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해석학_급수	<p>정의 $ 6.29 $<p>함수 $ f $가 $ a $에서 무한 번 미분가능할 때 멱급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (k) } (a) } { k ! } (x-a) ^ { k } =f(a) + f ^ {\prime } (a)(x-a) $ $ + \frac { f ^ {\prime \prime } (a) } { 2 ! } (x-a) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (k) } (a) } { k ! } (x-a) ^ { k } + \cdots $을 $ x=a $에서 $ f $의 Taylor 급수라 부른다.</p></p> <p>정의 $ 6.30 $<p>함수 $ f $가 $0 $에서 무한 번 미분가능할 때 멱급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (k) } (0) } { k ! } x ^ { k } =f(0) + f ^ {\prime } (0) x $ $ + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (k) } (0) } { k ! } x ^ { k } + \cdots $을 $ f $의 Maclaurin 급수라 부른다.</p></p> <p>예제 $ 4.6 $<p>함수 $ e ^ { x } , \sin x, \cos x $의 Maclaurin 급수를 구하라.</p> <p>풀이<p>예제 $4.1 $에 의해서 $ e ^ { x } $의 Maclaurin 급수는 다음과 같다.</p> <p>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k } } { k ! } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots + \frac { x ^ { n } } { n ! } + \cdots $</p> <p>풀이<p>$ a_ { k } = \frac { k + 3 } { k(k + 1) } $라 하자. 다음 사실을 얻을 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { k \rightarrow \infty } a_ { k } =& \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac { k + 3 } { k(k + 1) } = \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac {\frac { 1 } { k } + \frac { 3 } { k ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 1 } { k } } =0 \\ \frac { a_ { k + 1 } } { a_ { k } } &= \frac { k + 4 } { (k + 1)(k + 2) } \cdot \frac { k(k + 1) } { k + 3 } \\ &= \frac { k ^ { 2 } + 4 k } { k ^ { 2 } + 5 k + 6 } \\ &= \frac { k ^ { 2 } + 4 k } {\left (k ^ { 2 } + 4 k \right ) + (k + 6) }<1 \end {aligned} $</p> <p>따라서 $ k \geq 1,0<a_ { k + 1 }<a_ { k } $이다. 정리 $ 6.18 $에 의해서 주어진 급수는 수렴한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.22 $ ( $2007 $. 임용고사 )<p>교대급수판정법을 이용하여 무한급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { (2 n-1) ! } {\left (2 ^ { n } \cdot n ! \right ) ^ { 2 } } $가 수렴함을 보여라. (단, $ \frac { (2 n-1) ! } {\left (2 ^ { n } \cdot n ! \right ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \cdots \frac { 2 n-1 } { 2 n } \times \frac { 1 } { 2 n } $이다.)</p> <p>풀이<p>$ a_ { n } = \frac { (2 n-1) ! } {\left (2 ^ { n } \cdot n ! \right ) ^ { 2 } } $이라 두면 $ a_ { n } >0, n=1,2, \cdots $이다. $ a_ { n } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \cdots \frac { 2 n-1 } { 2 n } \times \frac { 1 } { 2 n } $이고 $ a_ { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 } { 4 } \times \cdots \frac { 2 n-1 } { 2 n } \times \frac { 2 n + 1 } { 2(n + 1) } \times \frac { 1 } { 2(n + 1) } $ $ =a_ { n } \times \frac { 2 n + 1 } { 4(n + 1) ^ { 2 } } $이다. $ a_ { n }<a_ { n + 1 } $이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } $은 존재한다. 그리고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n + 1 } { 4(n + 1) ^ { 2 } } =0 $이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $이다. 따라서 정리 $ 6.18 $(교대급수판정법)에 의하여 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } a_ { n } $은 수렴한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.23 $<p>다음 급수의 절대수렴, 조건수렴 또는 발산을 말하라.</p> <ol type= start=1><li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 4 ^ { n } } $</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } $</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } n } { n + 3 } $</li></ol> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 4 ^ { n } } \right ) $이 수렴하므로 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 4 ^ { n } } $은 절대수렴한다.</li> <li>급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $은 발산하고 교대조화급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } $은 수렴하므로 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n } $은 조건수렴한다.</li> <li>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 3 } =1 \neq 0 $이므로 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } n } { n + 3 } $은 발산한다.</li></ol></p></p></p> <p>정리 $ 6.21 $<p>만약 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $이 절대수렴하면 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 수렴한다.</p> <p>증명<p>만약 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $이 수렴하면 정리 $ 6.7 $에 의해서 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 2 \left \|a_ { n } \right \| $도 수렴한다. $ n=1,2, \cdots,- \left \|a_ { n } \right \| \leq a_ { n } \leq \left \|a_ { n } \right \| $이므로 $ \left \|a_ { n } \right \| $을 각 변에 더하면 $ 0 \leq a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \leq 2 \left \|a_ { n } \right \| $이다. 정리 $ 6.13 $에 의해서 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \right ) $은 수렴한다. 정리 $ 6.7 $과 다음 식에 의해서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 수렴한다.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left [ \left (a_ { n } + \left \|a_ { n } \right \| \right )- \left \|a_ { n } \right \| \right ] $</p></p></p> <p>예제 $2.24 $<p>다음 급수가 수렴함을 보여라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac {\cos k } { k ^ { 2 } } $</p> <p>풀이<p>$ k \geq 1,\| \cos k\| \leq 1 $이므로 $ \left \| \frac {\cos k } { k ^ { 2 } } \right \| \leq \frac { 1 } { k ^ { 2 } } $이다. 따라서 $ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \left \| \frac {\cos k } { k ^ { 2 } } \right \| $은 수렴한다. 그러므로 정리 $ 6.21 $에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.</p></p></p></p> <p>정리 $ 6.22 $<p>만약 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $이 수렴하면 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>$ \left \| \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \right \| \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $</p> <p>증명<p>$ s_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } $라 하면 가정에 의하여 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $은 수렴한다. 따라서 모든 자연수 $ n $에 대하여 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>$ \left \| \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \right \|= \left \|s_ { n } \right \| \leq \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|a_ { i } \right \| $<caption>(1)</caption></p> <p>$t_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|a_ { i } \right \| $라 하면 $ \left \|a_ { i } \right \| \geq 0 $이므로 수열 $ \left \{ t_ { n } \right \} $은 증가수열이다. 따라서 수열 $ \left \{ t_ { n } \right \} $은 수렴하거나 $ \infty $로 발산한다. 두 경우 모두 각 $ n $에 대해서 $ t_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|a_ { i } \right \| \leq \lim _ { n \rightarrow \infty } t_ { n } $이다. 식 $(1) $로부터 각 자연수 $ n $에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|s_ { n } \right \| \leq \lim _ { n \rightarrow \infty } t_ { n } $이다. 따라서 정리 $ 2.6(9) $에 의해서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|s_ { n } \right \|= \left \| \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } \right \| $이므로 $ \left \| \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \right \| \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $이다.</p></p></p> <p>예제 $ 5.4 $<p>정리 $6.39 $을 이용하여 $ \tan ^ { -1 } x $의 Maclaurin 급수를 구하라.</p> <p>풀이<p>$ \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x= \tan ^ { -1 } x + C $이므로 $ \frac { 1 } {\left (1 + x ^ { 2 } \right ) } $의 Maclaurin 급수를 구하여 얻어진 급수에 정리 $ 6.39 $ $(3) $을 적용하자.</p> <p>$ \frac { 1 } { 1-x } =1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + x ^ { 4 } + \cdots $</p> <p>위 식에서 $ x $를 $ -x ^ { 2 } $으로 바꾸면 다음과 같다.</p> <p>$ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } =1-x ^ { 2 } + x ^ { 4 } -x ^ { 6 } + x ^ { 8 } - \cdots $</p> <p>따라서 다음을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} \tan ^ { -1 } x &= \int \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } d x= \int \left (1-x ^ { 2 } + x ^ { 4 } -x ^ { 6 } + x ^ { 8 } - \cdots \right ) d x \\ &=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 } + \frac { x ^ { 9 } } { 9 } - \cdots + C \end {aligned} $</p> <p>위 식에서 $ x=0 $라 두면 $ \tan ^ { -1 } 0=0 $이므로 $ C=0 $이다. 따라서 다음을 얻을 수 있다.</p> <p>$ \tan ^ { -1 } x=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 } + \frac { x ^ { 9 } } { 9 } - \cdots $</p></p></p> <p>$1 $.<ol type=1 start=1><li>발산</li> <li>$ \frac { 1 } { 4 } $</li> <li>$ \frac { 4 } { 7 } $</li> <li>$ \frac { 8 } { 9 } $</li> <li>$6 $</li> <li>발산</li> <li>발산</li> <li>$ \frac { 1 } { 4 } $</li> <li>$ \frac { 1 } { 3 } $</li> <li>$ \frac { 1 } { 2 } $</li> <li>$ \frac { 1 } { 6 } $</li> <li>$ \frac { 1 } { 2 } $</li> <li>$ \frac {\pi } {\pi-e } $</li></ol></p> <p>$2 $.<ol type=1 start=1><li>$ \frac { 4 } { 9 } $</li> <li>$1 $</li> <li>$ 5 + \frac { 37 } { 99 } $</li> <li>$ \frac { 159 } { 999 } $</li> <li>$ \frac { 7821 } { 9999 } $</li> <li>$ \frac { 44663 } { 99000 } $</li></ol></p> <p>$3 $. $(2) $ 다음 식으로부터 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=2 } ^ { n } \ln \left (1- \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \ln \frac { n + 1 } { n } - \ln 2 \right )=- \ln 2 $ \[ \ln \left (1- \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \right )= \ln \left (1- \frac { 1 } { k } \right ) \left (1 + \frac { 1 } { k } \right )= \ln \frac { k-1 } { k } + \ln \frac { k + 1 } { k } \] \[ = \ln (k-1)- \ln k + \ln (k + 1)- \ln k(k \geq 2) \] $(3) $ $ \frac {\sqrt { k + 1 } - \sqrt { k } } {\sqrt { k ^ { 2 } + k } } = \frac {\sqrt { k + 1 } - \sqrt { k } } {\sqrt { k } \sqrt { k + 1 } } = \frac { 1 } {\sqrt { k } } - \frac { 1 } {\sqrt { k + 1 } } $이므로 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } {\sqrt { k } } - \frac { 1 } {\sqrt { k + 1 } } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } {\sqrt { n + 1 } } \right )=1 \] $(4) $ $ a=10 \mathrm { ~m } $라 두면 공이 운동한 거리는 다음 급수이다. \[ a + 2 \times \frac { 3 } { 4 } a + 2 \times \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) ^ { 2 } a + 2 \times \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) ^ { 3 } a + \cdots=9 a \] 따라서 공이 운동한 거리는 $ 90 \mathrm { ~m } $이다.</p> <p>$4 $.<ol type=1 start=1><li>초항이 $1 $이고 공비가 $ -x $이므로 $ \|-x\|<1 $인 경우에 $ \frac { 1 } { 1 + x } $로 수렴한다.</li> <li>초항이 $1 $이고 공비가 $ x-3 $이므로 $ \|x-3\|<1 $인 경우에 $ \frac { 1 } { 4-x } $로 수렴한다.</li> <li>초항이 $1 $이고 공비가 $ -x ^ { 2 } $이므로 $ \left \|-x ^ { 2 } \right \|<1 $인 경우에 $ \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } $로 수렴한다.</li></p> <p>정리 $ 6.19 $<p>교대급수 $ \sum_ { n = 1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } a_ { n } $가 교대급수 판정의 가정을 만족하고 $ s $를 교대급수의 합, 즉 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } a_ { n } =s, s_ { n } $을 $ n $째 부분합이라 하면 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>$ n=1,2, \cdots, \quad \left \|s-s_ { n } \right \|<a_ { n + 1 } $</p> <p>증명<p>교대급수의 합 $ s $와 부분합 $ s_ { n } $의 정의에 의해서 $ n $이 짝수이면 $ s_ { n }<s<s_ { n + 1 } $이고 $ n $이 홀수이면 $ s_ { n + 1 }<s<s_ { n } $이다. 따라서 다음 식이 성립한다.</p> <p>$ n=1,2, \cdots, \quad \left \|s-s_ { n } \right \|< \left \|s_ { n + 1 } -s_ { n } \right \| $</p> <p>$ s_ { n + 1 } -s_ { n } = \pm a_ { n + 1 } $이므로 $ n=1,2, \cdots, \left \|s-s_ { n } \right \|<a_ { n + 1 } $이다.</p></p> <p>우리는 조화급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } $은 발산하지만 교대조화급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { 1 } { n } $과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } \frac { 1 } { n } $은 수렴함을 보았다. 이와 같은 급수에 대한 정의를 소개한다.</p></p> <p>정의 $ 6.20 $<p>급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $에 대해서 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $이 수렴할 때 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 절대수렴(absolutely convergent)한다고 하고, 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 수렴하지만 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $이 수렴하지 않을 때 급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 조건수렴(conditionally convergent)한다고 말한다.</p> <p>주의<p>$ x=a-r, x=a + r $일 때는 수렴여부를 각각 조사하여야 한다.</p> <p>여기서 $ r $을 주어진 급수의 수렴반경(radius of convergence)이라고 한다. $(1) $의 경우는 $ r=0 $로 $(2) $의 경우는 $ r= \infty $로 생각 할 수 있다.</p></p> <p>예제 $3.3 $<p>다음 멱급수의 수렴반경을 구하라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n-1 } x ^ { 2 n-1 } } { (2 n-1) ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots $</p> <p>풀이<p>$ b_ { n } = \frac { (-1) ^ { n-1 } } { (2 n-1) ! } , b_ { n + 1 } = \frac { (-1) ^ { n } } { (2 n + 1) ! } $이라 두면 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { (2 n-1) ! } { (2 n + 1) ! } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 n(2 n + 1) } =0 $</p> <p>따라서 정리 $ 6.26(2) $에 의해서 주어진 급수는 모든 실수에 대해서 절대수렴 한다.</p></p></p> <p>예제 $3.4 $<p>급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ^ { 3 } } $의 수렴반경을 구하라.</p> <p>풀이<p>$ b_ { n } = \frac { 1 } { n ^ { 3 } } $라 두면 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { n ^ { 3 } } { (n + 1) ^ { 3 } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { n } { n + 1 } \right ) ^ { 3 } =1 $</p> <p>정리 $ 6.15 $ 근판정(root test)<p>양항급수 $ \sum_ { n = 1 } ^ {\infty } a_ { n } $에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt[n] { a_ { n } } =l $이라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>만약 $ 0 \leq l<1 $이면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 수렴한다.</li> <li>만약 $ l>1 $이면 주어진 급수는 발산한다.</li> <li>만약 $ l=1 $이면 주어진 급수의 수렴 또는 발산을 말할 수 없다.</li></ol> <p>증명<p>정리 $6.14 $와 같은 방법으로 증명할 수 있으므로 $(1) $만 증명하겠다. $ 0 \leq l<1 $ 이라면 다음 부등식을 만족하는 $ n_ { 0 } $ 가 있다.</p> <p>$ n \geq n_ { 0 } , \quad \sqrt[n] { a_ { n } }<r $</p> <p>따라서 다음 식을 만족한다.</p> <p>$ n \geq n_ { 0 } , \quad a_ { n }<r ^ { n } \quad \cdots \cdots $<caption>(1)</caption></p> <p>$ r<1 $이므로 $ \sum r ^ { n } $은 수렴한다. $(1) $과 정리 $6.13 $에 의해서 $ \sum a_ { n } $은 수렴한다.</p></p> <p>예제 $ 2.17 $<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 4 k-5 } { 2 k + 1 } \right ) ^ { k } $</p> <p>풀이<p>$l= \lim _ { k \rightarrow \infty } \left (a_ { k } \right ) ^ { 1 / k } = \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac { 4 k-5 } { 2 k + 1 } =2>1 $</p> <p>따라서 정리 $ 6.15 $에 의해서 주어진 급수는 발산한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.18 $<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { ( \ln (k + 1)) ^ { k } } $</p> <p>풀이<p>$ l= \lim _ { k \rightarrow \infty } \left (a_ { k } \right ) ^ { 1 / k } = \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\ln (k + 1) } =0<1 $</p> <h1>6.4 Taylor 급수</h1> <p>다항식을 이용해서 함수의 근사값을 구하는 방법을 이 절에서 공부하고자 한다.</p> <p>정의 $ 6.27 $<p>함수 $ f $가 $0 $에서 $ n $번 미분가능일 때 다음 다항식을 $ f $의 $ n $째 Maclaurin 다항식이라 부른다.</p> <p>$P_ { n } (x) = f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (0) } { 3 ! } x ^ { 3 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } $</p></p> <p>예제 $ 4.1 $<p>다음 함수의 Maclaurin 다항식 $ P_ { 0 } , P_ { 1 } , P_ { 2 } , P_ { 3 } $ 그리고 $ P_ { n } $을 구하라.</p> <p>$f(x)=e ^ { x } $</p> <p>풀이<ul> <li>$ f ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime \prime } (x)=f ^ {\prime \prime \prime } (x)= \cdots=f ^ { (n) } (x)=e ^ { x } $</li> <li>$ f ^ {\prime } (0)=f ^ {\prime \prime } (0)=f ^ {\prime \prime \prime } (0)= \cdots=f ^ { (n) } (0)=1 $</li></ul> <p>이다. 따라서 다음 식을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} P_ { 0 } (x) &=f(0)=1 \\ P_ { 1 } (x) &=f(0) + f ^ {\prime } (0) x=1 + x \\ P_ { 2 } (x) &=f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } =1 + x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \\ P_ { 3 } (x) &=f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (0) } { 3 ! } x ^ { 3 } \\ &=1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } \\ &=1 + x + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } x ^ { 3 } \\ P_ { n } (x) &=f(0) + f ^ {\prime } (0) x + \frac { f ^ {\prime \prime } (0) } { 2 ! } x ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } x ^ { n } \\ &=1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots + \frac { x ^ { n } } { n ! } \end {aligned} $</p></p></p> <p>예제 4.5<p>$ a= \frac {\pi } { 3 } $에서 다음 함수의 Taylor 다항식 $ P_ { 1 } (x), P_ { 2 } (x), P_ { 3 } (x) $를 구하라.</p> <p>$ f(x)= \sin x $</p> <p>풀이<p>다음이 성립한다.</p> <ul> <li>$ f(x)= \sin x \quad f( \pi / 3)= \sin \frac {\pi } { 3 } = \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } $</li> <li>$ f ^ {\prime } (x)= \cos x \quad f ^ {\prime } ( \pi / 3)= \cos \frac {\pi } { 3 } = \frac { 1 } { 2 } $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime } (x)=- \sin x \quad f ^ {\prime \prime } ( \pi / 3)=- \sin \frac {\pi } { 3 } =- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } $</li> <li>$ f ^ {\prime \prime \prime } (x)=- \cos x \quad f ^ {\prime \prime } ( \pi / 3)=- \cos \frac {\pi } { 3 } =- \frac { 1 } { 2 } $</li></ul> <p>따라서 Taylor 다항식 $ P_ { 1 } (x), P_ { 2 } (x), P_ { 3 } (x) $는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} P_ { 1 } (x) &=f( \pi / 3) + f( \pi / 3) \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right )= \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) \\ P_ { 2 } (x) &=f( \pi / 3) + f( \pi / 3) \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) + \frac { f ^ {\prime } ( \pi / 3) } { 2 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right )- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 \cdot 2 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 } \\ P_ { 3 } (x) &=f( \pi / 3) + f( \pi / 3) \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) + \frac { f ^ {\prime } ( \pi / 3) } { 2 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 } + \frac { f ^ {\prime \prime } ( \pi / 3) } { 3 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 3 } \\ &= \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right )- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 \cdot 2 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } \left (x- \frac {\pi } { 3 } \right ) ^ { 3 } \end {aligned} \)</p></p></p> <p>$ \int_ { a } ^ {\beta } f(x) d x= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left [ \int_ { a } ^ {\beta } c_ { k } (x-a) ^ { k } d x \right ] . $</p></p> <p>증명<p>제 $9 $장 정리 $ 9.14 $와 정리 $ 9.15 $에서 증명</p></p> <p>예제 $ 5.1 $<p>함수항 급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) $에 대하여 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) $라 할 때 $ f $의 리만적분 가능성을 판별하고 $ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f(x) d x $를 구하시오.</p></p> <p>예제 $ 5.2 $<p>함수 $ \sin x $와 $ \cos x $를 이용하여 정리 $6.39 $을 설명하라.</p> <p>풀이<ul> <li>$ \frac { d } { d x } [ \sin x]= \cos x, \quad \int \cos x d x= \sin x + C $</li> <li>$ \sin x=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \quad- \infty<x< \infty $</li> <li>$ \cos x=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots \quad- \infty<x< \infty $</li></ul> <p>정리 $ 6.39 $의 $(1) $에 의해서 다음 식을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} \frac { d } { d x } [ \sin x] &= \frac { d } { d x } \left [x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \right ] \\ &=1-3 \frac { x ^ { 2 } } { 3 ! } + 5 \frac { x ^ { 4 } } { 5 ! } -7 \frac { x ^ { 6 } } { 7 ! } + \cdots \\ &=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots \\ &= \cos x \end {aligned} $</p> <p>예제 $ 1.5 $<p>아래 급수의 합을 구하라.</p> <p>$5 + \frac { 5 } { 4 } + \frac { 5 } { 4 ^ { 2 } } + \cdots + \frac { 5 } { 4 ^ { k-1 } } + \cdots $</p> <p>풀이<p>주어진 급수는 초항이 $5 $, 공비가 $ \frac { 1 } { 4 } $인 기하급수이므로 정리 $ 6.4 $에 의해서 합은 다음과 같다.</p> <p>$ \frac { 5 } { 1- \frac { 1 } { 4 } } = \frac { 20 } { 3 } $</p></p></p> <p>예제 $ 1.6 $<p>다음 소수를 분수로 표시하라.</p> <p>$ 0.784784784 \cdots $</p> <p>풀이<p>$ 0.784784784 \cdots=0.784 + 0.000784 + 0.000000784 + \cdots $이므로 주어진 수는 초항 $ 0.784 $,공비 $ 0.001 $인 기하급수이므로 정리 $ 6.4 $에 의해서 $ 0.784784784 \cdots= \frac { 0.784 } { 1-0.001 } = \frac { 0.784 } { 0.999 } = \frac { 784 } { 999 } $이다.</p></p></p> <p>예제 $ 1.7 $<p>다음 급수의 수렴여부를 말하고 수렴하면 그 합을 구하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k(k + 1) } = \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \frac { 1 } { 4 \cdot 5 } + \cdots $</p> <p>풀이<p>주어진 급수의 제 $ n $번째 부분합은 다음과 같다.</p> <p>$ s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { k(k + 1) } = \frac { 1 } { 1 \cdot 2 } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 } + \frac { 1 } { 3 \cdot 4 } + \cdots + \frac { 1 } { n(n + 1) } $ $ \frac { 1 } { k(k + 1) } = \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k + 1 } $이므로 $ s_ { n } $은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} s_ { n } &= \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k + 1 } \right ) \\ &= \left (1- \frac { 1 } { 2 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right ) + \left ( \frac { 1 } { 3 } - \frac { 1 } { 4 } \right ) + \cdots + \left ( \frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 } \right ) \\ &=1 + \left (- \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \right ) + \left (- \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } \right ) + \cdots + + \left (- \frac { 1 } { n } + \frac { 1 } { n } \right )- \frac { 1 } { n + 1 } \\ &=1- \frac { 1 } { n + 1 } \end {aligned} $</p> <p>따라서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } { n + 1 } \right )=1 $이므로 $ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k(k + 1) } $은 수렴한다. 그리고 $ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k(k + 1) } =1 $이다.</p></p></p> <p>예제 $ 1.8 $<p>다음 무한급수를 조화급수(harmonic series)라 부른다. 이 급수의 수렴여부를 말하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k } =1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 5 } + \cdots $</p> <p>따라서 주어진 급수는 정리 $ 6.15 $에 의해서 수렴한다.</p></p></p> <p>정리 $ 6.16 $ 극한비교판정(limit comparison test)<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $ 과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $을 양항급수라 하자. $ 0<l= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } }< \infty $일 때, $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $과 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $은 동시에 수렴하거나 또는 동시에 발산한다.</p> <p>증명<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } =l $이므로, $ 0< \varepsilon<l $인 $ \varepsilon $에 대해서 다음 부등식을 만족하 는 자연수 $ n_ { 0 } $가 있다.</p> <p>$n \geq n_ { 0 } , \quad 0<l- \varepsilon< \frac { a_ { n } } { b_ { n } }<l + \varepsilon $</p> <p>따라서 다음이 성립한다.</p> <p>$n \geq n_ { 0 } , \quad(l- \varepsilon) b_ { n }<a_ { n }<(l + \varepsilon) b_ { n } $</p> <p>비교판정에 의해서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } , \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } $은 동시에 수렴하거나 또는 동시에 발산한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.19 $<p>다음 급수의 수렴여부를 조사하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 3 k ^ { 3 } -2 k ^ { 2 } + 4 } { k ^ { 5 } -k ^ { 3 } + 2 } $</p> <p>풀이<p>급수 $ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 3 k ^ { 3 } } { k ^ { 5 } } = \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 3 } { k ^ { 2 } } $이 수렴함을 알므로 주어진 급수의 수렴 여부를 알기 위하여 이 급수와 정리 $ 6.16 $을 이용하고자 한다.</p> <h1>6.3 멱급수</h1> <p>정의 $6.25 $<p>$ a $를 고정된 실수라 하자. $ x $를 실변수로 가지는 급수 $ \sum_ { n = 0 } ^ {\infty } b_ { n } (x-a) ^ { n } $을 $ (x-a) $에 대한 멱급수(power series)라고 한다. 특히 $ a=0 $일 때 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } x ^ { n } $을 $ x $에 대한 멱급수라고 한다.</p></p> <p>예제 $3.1 $<p>멱급수의 예</p> <ul> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x ^ { n } =1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } =x- \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 } + \cdots $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n } } { (2 n) ! } =1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots $</li></ul></p> <p>예제 $ 4.4 $<p>다음 함수의 Maclaurin 다항식을 구하라.</p> <p>$ f(x)= \cos x $</p> <p>풀이<p>$ f(x) $의 미분을 구하기 쉬우므로 Maclaurin 다항식을 구하면 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} P_ { 0 } (x) &=P_ { 1 } (x)=1 \\ P_ { 2 } (x) &=P_ { 3 } (x)=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } \\ P_ { 4 } (x) &=P_ { 5 } (x)=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } \\ P_ { 6 } (x) &=P_ { 7 } (x)=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } \\ P_ { 8 } (x) &=P_ { 9 } (x)=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } \frac { + x ^ { 8 } } { 8 ! } \\ & \vdots \\ P_ { 2 n } (x) &=P_ { 2 n + 1 } (x)=1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n } } { (2 n) ! } (n=0,1,2, \cdots) \end {aligned} $</p></p></p> <p>정의 $ 6.28 $<p>함수 $ f $가 $ a $에서 $ n $번 미분가능일 때 다항식 $ P_ { n } (x)=f(a) + f ^ {\prime } (a)(x-a) + \frac { f ^ {\prime \prime } (a) } { 2 ! } (x-a) ^ { 2 } $ $ \quad + \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (a) } { 3 ! } (x-a) ^ { 3 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } (x-a) ^ { n } $을 $ x=a $ 에서 $ f $의 $ n $째 Taylor 다항식이라 부른다.</p></p> <p>$ f(x)= \sin x $</p> <p>풀이<p>$ \begin {aligned} f(x) &= \sin x & & f(0)=0 \\ f ^ {\prime } (x) &= \cos x & & f ^ {\prime } (0)=1 \\ f ^ {\prime \prime } (x) &=- \sin x & f ^ {\prime \prime } (0)=0 \\ f ^ {\prime \prime \prime } (x) &=- \cos x & f ^ {\prime \prime } (0)=-1 \\ & \vdots & & \vdots \\ f ^ { (2 n + 1) } (x) &=(-1) ^ { n } \cos x & f ^ { (2 n + 1) } (0)=(-1) ^ { n } \\ f ^ { (2 n) } (x) &=(-1) ^ { n } \sin x & f ^ { (2 n) } (0)=0 \\ n &=0,1,2, \cdots & & \end {aligned} $</p> <p>따라서 Maclaurin 다항식은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} P_ { 1 } (x) &=0 + x=x \\ P_ { 2 } (x) &=0 + x + 0=x \\ P_ { 3 } (x) &=0 + x + 0- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } \\ P_ { 4 } (x) &=0 + x + 0- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + 0=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } \\ P_ { 5 } (x) &=0 + x + 0- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + 0 + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } \\ P_ { 6 } (x) &=0 + x + 0- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + 0 + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } + 0=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } \\ P_ { 7 } (x) &=0 + x + 0- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + 0 + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } + 0- \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } \\ & \vdots \\ P_ { 2 n-1 } (x) &=P_ { 2 n } (x)=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots + (-1) ^ { n } \frac { x ^ { 2 n-1 } } { (2 n-1) ! } (n=1,2, \cdots) \end {aligned} $</p></p></p> <p>풀이<p>$ s_ { 1 } =1, s_ { 2 } =1 + \frac { 1 } { 2 } , s_ { 3 } =1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } , s_ { 4 } =1 + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } , \cdots $이므로 $ \left \{ s_ { n } \right \} $은 순증가수열이다.</p> <p>$ \begin {aligned} s_ { 2 } &=1 + \frac { 1 } { 2 } >\frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } = \frac { 2 } { 2 } \\ s_ { 4 } &=s_ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 4 } >s_ { 2 } + \left ( \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right )=s_ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } >\frac { 3 } { 2 } \\ s_ { 8 } &=s_ { 4 } + \frac { 1 } { 5 } + \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 7 } + \frac { 1 } { 8 } >s_ { 4 } + \left ( \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } + \frac { 1 } { 8 } \right )=s_ { 4 } + \frac { 1 } { 2 } >\frac { 4 } { 2 } \\ & \ldots \\ & \quad s_ { 2 ^ { * } } >\frac { n + 1 } { 2 } (n \geq 1) \\ \quad \ldots \end {aligned} $</p> <p>부분합의 수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $가 발산하는 부분수열 $ \left \{ s_ { 2 ^ {\star } } \right \} $을 가지므로 정리 $ 2.8 $에 의하여 조화급수는 발산한다.</p></p></p> <p>따라서 수렴반경 $ r=1 $이다. 주어진 급수는 $ x=1 $일 때 수렴하는 $ p $-급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } $ 이고 $ x=-1 $ 일 때 절대수렴 하는 교대급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n ^ { 3 } } $ 이므로 수렴반경은 $1 $ 이고 $ [-1,1] $ 위에서 절대수렴한다.</p></p></p> <p>예제 $3.5 $<p>다음 급수의 수렴구간과 수렴반경을 구하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { (x-5) ^ { k } } { k ^ { 2 } } $</p> <p>풀이<p>$ n=1,2, \cdots $에 대하여 $ b_ { n } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } $이라 두면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|=1 $이므로 정리 $ 6.26 $에 의해서 구간 $ (4,6) $ 위에서 주어진 급수는 수렴한다. $ x=6 $ 그리고 $ x=4 $에서 주어진 급수는 수렴하므로 수렴구간은 $ [4,6] $이다. 수렴반경은 $1 $이다.</p></p></p> <p>예제 $3.6 $ ( $1992 $. 임용고사 )<p>다음 무한급수의 수렴반경을 구하라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (2 n) ! } { (n !) ^ { 2 } } x ^ { n } $</p> <p>풀이<p>$n=1,2, \cdots $에 대하여 $ b_ { n } = \frac { (2 n) ! } { (n !) ^ { 2 } } $이라 두면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|=4 $이므로 주어진 급수의 수렴반경은 $ \frac { 1 } { 4 } $이다.</p></p></p> <p>연습문제 $ 6.3 $</p> <p>$1 $. 다음 급수의 수렴구간과 수렴반경을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k } } { k + 1 } $</li> <li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { k } x ^ { k } } { k ! } $</li> <li>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 5 ^ { k } } { k ^ { 2 } } x ^ { k } $</li> <li>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k } } { k(k + 1) } $</li> <li>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } \frac { x ^ { k } } {\sqrt { k } } $</li> <li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } \frac { x ^ { 2 k + 1 } } { (2 k + 1) ! } $</li></ol> <p>2.</p> <ol type=1 start=1><li>급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } x ^ { k } $의 수렴반경이 $ R $이면 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } x ^ { 2 k } $의 수렴반경은 $ \sqrt { R } $임을 밝혀라.</li> <li>급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } (x-a) ^ { k } $의 수렴구간이 $ (a-R, a + R] $이면 주어진 급수는 $ a + R $에서 조건수렴함을 밝혀라.</li></ol> <p>예제 $ 4.3 $에 의해서 $ \sin x $의 Maclaurin 급수는 다음과 같다.</p> <p>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } \frac { x ^ { 2 k + 1 } } { (2 k + 1) ! } =x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots $</p> <p>예제 $ 4.4 $에 의해서 $ \cos x $의 Maclaurin 급수는 다음과 같다.</p> <p>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } \frac { x ^ { 2 k } } { (2 k) ! } =1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots $</p></p></p> <p>예제 $ 4.7 $<p>다음 함수의 $ x=1 $에서 Taylor 급수를 구하라.</p> <p>$ f(x)= \frac { 1 } { x } $</p> <p>풀이<p>$ \begin {aligned} f(x) &= \frac { 1 } { x } & & f(1)=1 \\ f ^ {\prime } (x) &=- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } & & f ^ {\prime } (1)=-1 \\ f ^ {\prime \prime } (x) &= \frac { 2 } { x ^ { 3 } } & & f ^ {\prime \prime } (1)=2 ! \\ f ^ {\prime \prime \prime } (x) &=- \frac { 3 \cdot 2 } { x ^ { 4 } } & f ^ {\prime \prime \prime } (1)=-3 ! \\ f ^ { (4) } (x) &= \frac { 4 \cdot 3 \cdot 2 } { x ^ { 5 } } & f ^ { (4) } (1)=4 ! \\ & \vdots & & \vdots \\ f ^ { (k) } (x) &=(-1) ^ { k } \frac { k ! } { x ^ { k + 1 } } & & f ^ { (k) } (1)=(-1) ^ { k } k ! \\ & \vdots & & \vdots \end {aligned} $</p> <p>따라서 $ x=1 $에서 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $의 Taylor 급수는 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { k } k ! } { k ! } (x-1) ^ { k } &= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } (x-1) ^ { k } \\ &=1-(x-1) + (x-1) ^ { 2 } -(x-1) ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} $</p></p></p> <h1>6.5 멱급수의 미분과 적분</h1> <p>정리 $ 6.39 $<p>급수 $ \sum_ { k = 0 } ^ {\infty } c_ { k } (x-a) ^ { k } $이 수렴반경이 $ r $일 때 함수 $f(x) $를 다음과 같이 두자.</p> <p>$ x \in(a-r, a + r), \quad f(x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } (x-a) ^ { k } . $</p> <p>$(1) $ 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { d } { d x } \left [c_ { k } (x-a) ^ { k } \right ]= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } k c_ { k } (x-a) ^ { k-1 } $은 수렴반경 $ r $을 가지고 다음이 성립한다.</p> <p>$ x \in(a-r, a + r), \quad f ^ {\prime } (x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { d } { d x } \left [c_ { k } (x-a) ^ { k } \right ] . $</p> <p>$(2) $ 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left [ \int c_ { k } (x-a) ^ { k } d x \right ]= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { k } } { k + 1 } (x-a) ^ { k + 1 } $은 수렴반경 $ r $을 가지고 다음이 성립한다.</p> <p>$ x \in(a-r, a + r), \int f(x) d x= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left [ \int c_ { k } (x-a) ^ { k } d x \right ] + C . $</p> <p>여기서 $ C $ 는 적분상수이다.</p> <p>$(3) $ $ a, \beta \in(a-r, a + r) $에 대해서 급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left [ \int_ { a } ^ {\beta } c_ { k } (x-a) ^ { k } d x \right ] $은 절대수렴하고 다음이 성립한다.</p> <p>$2 $. 다음의 순환 소수를 분수로 표시하라.<ol type=1 start=1><li>$ 0.4444 \cdots $</li> <li>$ 0.9999 \cdots $</li> <li>$ 5.373737 \cdots $</li> <li>$ 0.159159159 \cdots $</li> <li>$ 0.782178217821 \cdots $</li> <li>$ 0.451141414 \cdots $</li></ol></p> <p>$3 $.<p>$(1) $ 급수 $ \ln \frac { 1 } { 2 } - \ln \frac { 2 } { 3 } + \ln \frac { 3 } { 4 } - \cdots + (-1) ^ { n + 1 } \ln \frac { n } { n + 1 } + \cdots $ 의 수렴 여부를 말하라.</p> <p>$(2) $ $ \sum_ { k=2 } ^ {\infty } \ln \left (1- \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \right )=- \ln 2 $ 임을 보여라.</p> <p>$(3) $ $ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac {\sqrt { k + 1 } - \sqrt { k } } {\sqrt { k ^ { 2 } + k } } =1 $ 임을 보여라.</p> <p>$(4) $ 공을 떨어뜨뜨리면 처음 높이의 $ \frac { 3 } { 4 } $을 튀어올랐다 다시 떨어진다고 한다. 이 공을 $ 10 m $의 높이에서 떨어뜨려서 튀어올랐다 떨어지기를 무한번 반복할 때 공이 움직인 거리를 구하여라.</p></p> <p>$4 $. 다음을 증명하라 $ \left (0 ^ { 0 } =1 \right . $ 로 정의한다).</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } x ^ { k } = \frac { 1 } { 1 + x } :-1<x<1 $</li> <li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (x-3) ^ { k } = \frac { 1 } { 4-x } : 2<x<4 $</li> <li>$ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { k } x ^ { 2 k } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } :-1<x<1 $</li></ol> <p>연습문제 풀이 및 해답</p> <p>$ \begin {aligned} s_ { 2 n } &= \left (a_ { 1 } -a_ { 2 } \right ) + \left (a_ { 3 } -a_ { 4 } \right )- \cdots + \left (a_ { 2 n-1 } -a_ { 2 n } \right ) \\ &=a_ { 1 } - \left (a_ { 2 } -a_ { 3 } \right )- \cdots- \left (a_ { 2 n-2 } -a_ { 2 n-1 } \right )-a_ { 2 n } \end {aligned} $</p> <p>$ a_ { n } -a_ { n + 1 } \geq 0(n=1,2, \cdots) $이므로 $ s_ { 2 } \leq s_ { 4 } \leq \cdots \leq s_ { 2 n } \leq a_ { 1 } $이다. 따라서 수열 $ \left \{ s_ { 2 n } \right \} $ 은 수렴한다. $s_ { 2 n + 1 } =s_ { 2 n } + a_ { 2 n + 1 } , s_ { 2 n } \rightarrow s(n \rightarrow \infty), a_ { 2 n + 1 } \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { 2 n + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { 2 n } =s $</p> <p>따라서 교대급수는 수렴한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.20 $ (교대조화급수)<p>다음 교대급수들이 수렴함을 보여라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { 1 } { n } , \quad \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } \frac { 1 } { n } $</p> <p>풀이<p>교대급수판정에 의하여 주어진 급수는 수럼한다.</p></p></p> <p>예제 $ 2.21 $<p>다음 교대급수의 수렴,발산을 말하라.</p> <p>$ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { k + 1 } \frac { k + 3 } { k(k + 1) } $</p> <p>예제 $ 5.5 $<p>$ e ^ { -x ^ { 2 } } \tan ^ { -1 } x $의 Maclaurin 급수를 구하라.</p> <p>풀이<p>예제 $5.2 $와 $5.3 $에서 $ e ^ { -x ^ { 2 } } $과 $ \tan ^ { -1 } x $의 Maclaurin 급수를 알고 있다. 이들을 이용하면 다음을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} e ^ { -x ^ { 2 } } \tan ^ { -1 } x &= \left (1-x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 } - \cdots \right ) \left (x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 } - \cdots \right ) \\ &=x- \frac { 4 } { 3 } x ^ { 3 } + \frac { 31 } { 30 } x ^ { 5 } - \cdots \end {aligned} $</p></p></p> <p>예제 $ 5.6 $<p>함수 $ \tan x $의 Maclaurin 급수의 첫 $3 $항을 구하라.</p> <p>풀이<p>$ \tan x= \frac {\sin x } {\cos x } = \frac { x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots } { 1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \cdots } $</p> <p>위 식의 나눗셈을 하면 첫 $3 $항은 다음과 같다.</p> <p>$ x + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { 2 x ^ { 5 } } { 15 } $</p></p></p> <p>연습문제 $ 6.5 $</p> <p>$1 $. Maclaurin 급수를 이용해서 다음을 증명하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac { d } { d x } e ^ { x } =e ^ { x } $</li> <li>$ \int e ^ { x } d x=e ^ { x } + C $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \cos x=- \sin x $</li> <li>$ \int \sin x d x=- \cos x + C $</li> <li>$ \frac { d } { d x } \sinh x= \cosh x $</li> <li>$ \int \sinh x d x= \cosh x + C $</li> <li>$ \frac { d } { d x } [ \ln (1 + x)]= \frac { 1 } { 1 + x } $</li> <li>$ \int \frac { 1 } { 1 + x } d x= \ln (1 + x) + C $</li></ol> <p>$2 $. 다음 함수의 Maclaurin 급수의 첫 $4 $항을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ e ^ { -x ^ { 2 } } \cos x $</li> <li>$ \frac {\sin x } { e ^ { x } } $</li> <li>$ \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } $</li> <li>$ \sin ^ { 2 } x $</li> <li>$ \tanh x $</li> <li>$ \frac {\ln (1 + x) } { 1-x } $</li></ol> <p>연습문제 풀이 및 해답</p> <p>$ 2 . $</p> <ol type=1 start=1><li>$ 1- \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { 25 } { 24 } x ^ { 4 } - \frac { 11 } { 24 } x ^ { 6 } $</li> <li>$ x-x ^ { 2 } + \frac { 2 x ^ { 3 } } { 3 ! } $</li> <li>$ \frac { x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } $</li> <li>$ x ^ { 2 } - \frac { 2 x ^ { 4 } } { 3 ! } + \frac { 2 } { 45 } x ^ { 6 } - \frac { 30 } { 7 ! } x ^ { 8 } $</li> <li>$ x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { 4 x ^ { 5 } } { 3 ! \cdot 5 } - \frac { 17 x ^ { 7 } } { 5 ! \cdot 7 } $</li> <li>$ x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 5 } { 6 } x ^ { 3 } + \frac { 7 } { 12 } x ^ { 4 } $</li></ol> <p>정리 $6.26 $</p><p>멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } (x-a) ^ { n } $에 대해서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|=q $라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ q= \infty $이면 급수는 $ x=a $일 때만 수렴한다.</li> <li>$ q=0 $이면 급수는 모든 실수 $ x $에 대해서 절대수렴한다.</li> <li>$ q \in(0, \infty) $이면 $ r= \frac { 1 } { q } $이라 할 때 $ (a-r, a + r) $ 위에서 절대 수렴하고, $ (- \infty, a-r) \cup(a + r, + \infty) $ 위에서는 발산한다.</li></ol><p>증명</p><p>$ a_ { n } =b_ { n } (x-a) ^ { n } $라 두면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \| &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } (x-a) ^ { n + 1 } } { b_ { n } (x-a) ^ { n } } \right \| \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { b_ { n + 1 } } { b_ { n } } \right \|\|x-a\|=q\|x-a\|=l \end {aligned} $</p> <p>$(1) $ $ q= \infty $이고 $ x \neq a $이면 $ l= \infty $이다. 따라서 정리 $ 6.23 $에 의하여 주어진 급수는 $ x=a $일 때만 수렴한다.</p> <p>$(2) $ $ q=0 $이면 $ l=0<1 $이므로 정리 $ 6.23 $에 의하여 주어진 급수는 모든 실수에 대해서 절대수렴 한다.</p> <p>$(3) $ $ q \in(0, + \infty) $이면 $ l=q\|x-a\|<1 $일 때 주어진 급수는 절대수렴하고 $ l=q\|x-a\|>1 $일 때 발산한다. 따라서 주어진 급수는 $ (a-r, a + r) $ 위에서 절대수렴하고 $ (- \infty, a-r) \cup(a + r, + \infty) $ 위에서는 발산한다.</p> <p>증명<p>정리 $ 6.39 $ $(1) $에 의해서</p> <p>$ \begin {aligned} f(x) &=c_ { 0 } + c_ { 1 } (x-a) + c_ { 2 } (x-a) ^ { 2 } + c_ { 3 } (x-a) ^ { 3 } + c_ { 4 } (x-a) ^ { 4 } + \cdots \\ f ^ {\prime } (x) &=c_ { 1 } + 2 c_ { 2 } (x-a) + 3 c_ { 3 } (x-a) ^ { 2 } + 4 c_ { 4 } (x-a) ^ { 3 } + \cdots \\ f ^ {\prime \prime } (x) &=2 ! c_ { 2 } + (3 \cdot 2) c_ { 3 } (x-a) + (4 \cdot 3) c_ { 4 } (x-a) ^ { 2 } + \cdots \\ f ^ {\prime \prime \prime } (x) &=3 ! c_ { 3 } + (4 \cdot 3 \cdot 2) c_ { 4 } (x-a) + \cdots \\ & \vdots \end {aligned} $</p> <p>위 식에 $ x $에 $ a $를 대입하면 다음 식을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} f(a) &=c_ { 0 } & c_ { 0 } &=f(a) \\ f ^ {\prime } (a) &=c_ { 1 } & c_ { 1 } &=f ^ {\prime } (a) \\ f ^ {\prime \prime } (a) &=2 ! c_ { 2 } & c_ { 2 } &= \frac { f ^ {\prime \prime } (a) } { 2 ! } \\ f ^ {\prime \prime \prime } (a) &=3 ! c_ { 3 } & c_ { 3 } &= \frac { f ^ {\prime \prime \prime } (a) } { 3 ! } \\ & \vdots & \vdots & \vdots \end {aligned} $</p> <p>이들 $ c_ { i } $는 $ x=a $에서 $ f $의 Taylor 급수의 계수들이므로 정리 $ 6.40 $이 증명되었다.</p></p> <p>정리 $ 6.39 $ 의 $(2) $에 의해서 다음 식을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int \cos x d x &= \int \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots \right ) d x \\ &=x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } - \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots + C \\ &= \sin x + C \end {aligned} $</p></p></p> <p>예제 $ 5.3 $<p>다음을 구하라.</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { -x ^ { 2 } } d x $</p> <p>풀이<p>$ e ^ { -x ^ { 2 } } $의 부정적분을 모르므로 위 정적분을 바로 계산할 수 없다. 정리 $ 3.39 $ $(3) $을 이용하여 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { -x ^ { 2 } } d x $을 구하고자 한다. $ e ^ { x } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \cdots $이므로 $ x $을 $ -x ^ { 2 } $으로 바꾸면 다음과 같다.</p> <p>$ e ^ { -x ^ { 2 } } =1-x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 8 } } { 4 ! } + \cdots $</p> <p>예제 $ 4.2 $<p>다음 함수의 $ n $째 Maclaurin 다항식을 구하라.</p> <p>$f(x)= \ln (x + 1) $</p> <p>풀이<p>$ \begin {aligned} f(x) &= \ln (x + 1) & & f(0)= \ln 1=0 \\ f ^ {\prime } (x) &= \frac { 1 } { x + 1 } & & f ^ {\prime } (0)=1 \\ f ^ {\prime \prime } (x) &=- \frac { 1 } { (x + 1) ^ { 2 } } & & f ^ {\prime \prime } (0)=-1 \\ f ^ {\prime \prime \prime } (x) &= \frac { 2 } { (x + 1) ^ { 3 } } & & f ^ {\prime \prime } (0)=2 \\ f ^ { (4) } (x) &=- \frac { 3 \cdot 2 \cdot 1 } { (x + 1) ^ { 4 } } & & f ^ { (4) } (0)=-3 ! \\ f ^ { (5) } (x) &= \frac { 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } { (x + 1) ^ { 5 } } & & f ^ { (5) } (0)=4 ! \\ & \vdots & & \vdots \\ f ^ { (n) } (x) &=(-1) ^ { n + 1 } \frac { (n-1) ! } { (x + 1) ^ { n } } & & f ^ { (n) } (0)=(-1) ^ { n + 1 } (n-1) ! \end {aligned} $</p> <p>그러므로 $ n $째 Maclaurin 다항식은 다음과 같다.</p> <p>$ P_ { n } (x)=x- \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \cdots + (-1) ^ { n + 1 } \frac { x ^ { n } } { n } $</p></p></p> <p>예제 $ 4.3 $<p>다음 함수의 Maclaurin 다항식을 구하라.</p> <p>따라서 다음 식을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { -x ^ { 2 } } d x &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [1-x ^ { 2 } + \frac { x ^ { 4 } } { 2 ! } - \frac { x ^ { 6 } } { 4 ! } - \cdots \right ] d x \\ &= \left [x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 5 } } { 5(2 !) } - \frac { x ^ { 7 } } { 7(3 !) } + \frac { x ^ { 8 } } { 9(4 !) } - \cdots \right ]_ { 0 } ^ { 1 } \\ &=1- \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 \cdot 2 ! } - \frac { 1 } { 7 \cdot 3 ! } + \frac { 1 } { 9 \cdot 4 ! } - \cdots \end {aligned} $<caption>( $ * _ { 1 } $)</caption></p> <p>급수 $ \left (*_ { 1 } \right ) $이 교대급수판정의 가정을 만족하므로 정리 $ 6.19 $에 의해서 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { -x ^ { 2 } } d x $와 오차가 아주 적은 근사값을 구할 수 있다.</p></p></p> <p>정리 $ 6.40 $<p>$ I $를 $ a $를 포함하는 개구간이라 하자. 만약 다음 식이 성립하면 아래의 급수는 $ x=a $에서 $ f $의 Taylor 급수이다.</p> <p>$ x \in I, \quad f(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } (x-a) + c_ { 2 } (x-a) ^ { 2 } + \cdots + c_ { n } (x-a) ^ { n } + \cdots $</p></p> <p>예제 $2.25 $<p>다음 급수에 대하여 정리 $ 6.22 $가 성립함을 보여라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } 2 ^ { n + 1 } } { 3 ^ { n } } $</p> <p>풀이<p>주어진 급수는 첫항이 $2 $이고 공비가 $ - \frac { 2 } { 3 } $인 교대등비급수이므로 정리 $ 6.4 $에 의해서 $ \frac { 6 } { 5 } $로 수렴한다. 각 항의 절대값의 급수는 첫항이 $2 $이고 공비가 $ \frac { 2 } { 3 } $인 등비급수이므로 $6 $에 수렴한다. 따라서 정리 $ 6.22 $가 성립한다.</p></p></p> <p>정리 $ 6.23 $ 비판정(ratio test)<p>임의의 자연수 $ n $에 대하여 $ a_ { n } \neq 0 $이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|=l $ 이라 하면 급수 $ \sum_ { n } ^ {\infty } a_ { n } $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>만약 $ 0 \leq l<1 $이면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } \right \| $은 수렴한다.</li> <li>만약 $ l>1 $이거나 $ l= \infty $ 이면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $은 발산한다.</li> <li>만약 $ l=1 $이면 급수의 수렴 또는 발산을 말할 수 없다.</li></ol> <p>증명<p>$(1) $ $ \left \|a_ { n } \right \| \geq 0 $이므로 정리 $ 6.14 $ $(1) $과 같다.</p> <p>$(2) $ $ l>1 $이므로 다음 식을 만족하는 자연수 $ N $가 있다.</p> <p>$ n \geq N, \quad \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|>1 $</p> <p>따라서 다음 식이 성립한다.</p> <p>$ \left \|a_ { N } \right \|< \left \|a_ { N + 1 } \right \|< \left \|a_ { N + 2 } \right \|< \cdots $</p> <p>$ l= \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac {\frac { 3 k ^ { 3 } -2 k ^ { 2 } + 4 } { k ^ { 5 } -k ^ { 3 } + 2 } } {\frac { 3 } { k ^ { 2 } } } = \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac { 3 k ^ { 5 } -2 k ^ { 4 } + 4 k ^ { 2 } } { 3 k ^ { 5 } -3 k ^ { 3 } + 6 } =1 $이므로 정리 $ 6.16 $에 의해서 주어진 급수는 수렴한다.</p></p></p> <p>정의 $ 6.17 $<p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $이 양항급수일 때 다음과 같은 급수를 교대급수(alternating series)라고 한다. $ a_ { 1 } -a_ { 2 } + a_ { 3 } -a_ { 4 } + \cdots + (-1) ^ { n + 1 } a_ { n } + \cdots $ 또는 $ -a_ { 1 } + a_ { 2 } -a_ { 3 } + a_ { 4 } + \cdots + (-1) ^ { n } a_ { n } + \cdots $</p></p> <p>정리 $ 6.18 $ 교대급수판정<p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 $이고 다음 부등식을 만족하는 자연수 $ k $가 있다면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } a_ { n } $은 수렴한다.</p> <p>$ n \geq k, \quad 0<a_ { n + 1 } \leq a_ { n } $</p> <p>증명<p>급수의 수렴판정에서 처음 유한 항은 영향을 미치지 못하므로 $ k=1 $ 이라 가정할 수 있다. 즉 $ a_ { 1 } \geq a_ { 2 } \geq a_ { 3 } \geq \cdots \geq a_ { n } \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $라고 가정하면 다음 식을 얻을 수 있다.</p> <p>그러므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \neq 0 $이다. 따라서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } $는 발산한다.</p> <p>$(3) $ 정리 $6.14 $의 증명 $(3) $을 보라.</p></p></p> <p>예제 $2.26 $<p>다음 급수의 절대수렴, 조건수렴 또는 발산을 밝혀라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { 2 ^ { n } } { n ! } $</p> <p>풀이<p>$ n=1,2, \cdots, a_ { n } =(-1) ^ { n } \frac { 2 ^ { n } } { n ! } $라 두면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } \cdot \frac { n ! } { 2 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 } { n + 1 } =0<1 . $</p> <p>따라서 정리 $6.23 $의 $(1) $에 의해서 주어진 급수는 절대수렴 한다.</p></p></p> <p>예제 $2.27 $<p>다음 급수의 수렴여부를 밝혀라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots(2 n-1) } { 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdots n ^ { 2 } } $</p> <p>풀이<p>$n=1,2, \cdots, \quad a_ { n } = \frac { 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot(2 n-1) } { 1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot \cdots \cdot n ^ { 2 } } $라 두면 아래 식이 성립한다.</p> <p>$ \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \frac { 2 n + 1 } { n ^ { 2 } + 2 n + 1 } \quad \rightarrow \quad 0<1(n \rightarrow \infty) $</p> <p>따라서 정리 $ 6.23 $의 $(1) $에 의해서 주어진 급수는 수렴한다.</p></p></p> <p>예제 $2.28 $<p>다음 급수의 수렴여부를 밝혀라.</p> <p>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n r ^ { n-1 } $</p> <p>풀이<p>$ n=1,2, \cdots, a_ { n } =n r ^ { n-1 } $라 두면 아래 식이 성립한다.</p> <p>$ \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \frac { n + 1 } { n } \| \gamma\|, \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|=\| \gamma\| $</p> <p>정리 $ 6.23 $에 의해서 $ \| \gamma\|>1 $이면 주어진 급수는 발산하고, $ \| \gamma\|<1 $이면 주어진 급수는 절대수렴한다. $ \| \gamma\|=1 $이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|a_ { n } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } n= \infty $이므로 정리 $ 6.6 $에 의해서 주어진 급수는 발산한다.</p></p></p> <p>멱급수 $ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } x ^ { k } $에 대한 중요한 문제는 주어진 멱급수가 수렴하는 $ x $값들을 구하는 것이다.</p> <p>예제 $3.2 $<p>다음의 멱급수들이 수렴하는 $ x $의 값을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } n ! x ^ { n } $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } $</li> <li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (x-1) ^ { n } $</li></ol> <p>풀이<p>$(1) $ $ a_ { n } =n ! x ^ { n } $라 두면 다음 식이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { (n + 1) ! x ^ { n + 1 } } { n ! x ^ { n } } \right \|= \lim (n + 1)\|x\| $</p> <p>그러므로 주어진 급수는 정리 $ 6.23 $에 의하여 $ x=0 $일 때만 수렴한다.</p> <p>$(2) $ $ a_ { n } = \frac { x ^ { n } } { n ! } $이라 두면 모든 실수 $ x $에 대해서 다음이 성립한다.</p> <p>$ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { \|x\| } { n + 1 } =0 $</p> <p>따라서 주어진 급수는 정리 $ 6.23 $에 의하여 모든 실수 $ x $에 대해서 절대수렴한다.</p> <p>$(3) $ $ a_ { n } =(x-1) ^ { n } $라 두면 정리 $ 6.23 $에 의하여 개구간 $ (0,2) $ 위에서 주어진 급수는 절대수렴하고, $ (- \infty, 0) \cup(2, \infty) $ 위에서 발산함을 알 수 있다. $ x=0 $ 또는 $ x=2 $에서 주어진 급수는 발산한다.</p></p></p>	자연
M521-기초정수론	<p>\[ \begin {array} { l } =(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } \cdot 1 ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 2 } \cdots \left ( \frac { p-1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } \\ \equiv \left (1 \cdot 2 \cdots \frac { p-1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } ( \bmod p) \end {array} \]한편 윌슨의 정리에 의하여 \[ (p-1) ! \equiv-1( \bmod p), \]이므로 $ x=1 \cdot 2 \cdots \left [ \frac { p-1 } { 2 } \right ] $ 라 놓으면 \[ x ^ { 2 } \equiv-1( \bmod p) \]가 성립한다.</p> <p>하나의 보기로 $ p=13 $ 이라 하면 13 은 $ 4 k + 1 $ 형의 소수이므로 $ \frac { p-1 } { 2 } =6 $ 이고, 따라서 \[ 6 !=720 \equiv 5( \bmod 13) \]이며 \[ 5 ^ { 2 } + 1=26 \equiv 0( \bmod 13) . \]그러므로 $ p=13 $ 일 때 $ \left [ \left ( \frac { p-1 } { 2 } \right ) ! \right ] ^ { 2 } + 1 \equiv 0( \bmod p) $ 가 성립한다.</p> <p>윌슨의 정리는 $ n ! + 1 $ 형의 무한히 많은 합성수가 있음을 말해주지만 이런 꼴의 소수도 무한히 많은지 어떤지는 아직까지 알려져 있지 않다. $ 1 \leq n \leq 100 $ 의 범위에서 $ n ! + 1 $ 형의 소수는 $ n=1,2,3,11,27,37,41,73,77 $ 일 때뿐이다. 최근까지 알려진 $ n ! + 1 $ 형의 큰 소수는 1984 년에 발견한 $ 1477 ! + 1 $ 이다.</p> <h1>3.2 합동에 관한 기본 성질</h1> <p>합동의 개념은 등식과 아주 비슷해서 그 덧셈이나 곱셈은 일반적인 등식에 있 어서의 셈법과 별 차이가 없다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 $3.4 $ $ \circ $</h2> <p>$ a, b, c $ 가 정수일 때,<ol type=1 start=1><li>$ a \equiv a( \bmod n) $</li> <li>$ a \equiv b( \bmod n) $ 이면, $ b \equiv a( \bmod n) $ 이다.</li> <li>$ a \equiv b( \bmod n) $ 이고 $ b \equiv c( \bmod n) $ 이면, $ a \equiv c( \bmod n) $ 이다.</li></ol> <h3>증명</h3> <ol type=1 start=1><li>$ n \mid a-a $.</li> <li>$ n \mid a-b $ 이면, $ n \mid b-a $.</li> <li>$ n \mid a-b $ 이고 $ n \mid b-a $ 이면, $ n \mid(a-b) + (b-c) $ 이므로 $ n \mid a-c $ 이다.</li></ol> <h2>$ \circ $정리 $3.5 $ $ \circ $</h2> <p>$ a \equiv b( \bmod n) $ 이고, $ c \equiv d( \bmod n) $ 이면 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a + c \equiv b + d( \bmod n) $.</li> <li>$ a c \equiv b d( \bmod n) $</li></ol> <h3>증명</h3> <p>가정에서 $ n \mid a-b $ 이고 $ n \mid c-d $ 이므로 $ n \mid(a-b) + (c-d) $ 이고, 이 식은 또 $ a + c \equiv b + d( \bmod n) $ 과 같다. (2)의 증명은 $ n \mid a-b $ 이면 $ n \mid c(a-b) $ 이다. 즉, $ n \mid a c-b c $ 가 성립하여 $ a c \equiv b c( \bmod n) $ 이고, 비슷하게 $ n \mid c-d $ 에서 $ b c \equiv b d( \bmod n) $ 이므로, $ a c \equiv b c \equiv b d( \bmod n) $ 이 성립한다.</p> <h2>$ \bullet $따름정리 $ 3.6 $ $ \bullet $</h2> <p>$ a_ { 1 } \equiv b_ { 1 } ( \bmod n), a_ { 2 } \equiv b_ { 2 } ( \bmod n), \cdots, a_ { m } \equiv b_ { m } ( \bmod n) $ 이면 $ a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { m } \equiv b_ { 1 } + b_ { 2 } + \cdots + b_ { m } ( \bmod n) $</p> <p>위의 배열에서 보다시피, 각 행은 법 $ m $ 에 대한 완전잉여계이고, 각 열은 법 $ n $ 에 대한 완전잉여계이다. 왜냐하면 만약 $ m $ 개의 정수를 포함하는 다음 행에서 \[ q m + 1, q m + 2, \cdots, q m + m \] $ q m + s \equiv q m + t( \bmod m) $ 이라면, 이것은 $ s \equiv t( \bmod m) $ 이 되어, 이 합동식은 $ s $ 와 $ t $ 가 같지 않으면 성립할 수 없기 때문이다. 마찬가지로 $ n $ 개의 정수를 포함하는 다음 열에서 \[ r, m + r, 2 m + r, \cdots,(n-1) m + r \] $ u m + r \equiv v m + r( \bmod n) $ 이라면, 이것은 $ u m \equiv v m( \bmod n) $ 이고 $ m $ 과 $ n $ 은 서로소이므로, $ u \equiv v( \bmod n) $ 이지만 이것도 $ u $ 와 $ v $ 가 같지 않으면 성립하지 못한다. $ 0 \leq q<n $ 과 $ 1 \leq r<m $ 인 $ q, r $ 에 대하여 $ \operatorname { gcd } (q m + r, m)= \operatorname { gcd } (r, m) $이므로 $ \operatorname { gcd } (q m + r, m)=1 $ 되기 위한 필요충분조건은 $ \operatorname { gcd } (r, m)=1 $ 이다.이제 $ r $ 을 $ \operatorname { gcd } (r, m)=1 $ 되는 $ \phi(m) $ 개의 $ r $ 가운데 하나라고 하면, 이 $ r $ 이속한 열 \[ r, m + r, 2 m + r, \cdots,(n-1) m + r \]은 법 $ n $ 에 대한 한 완전잉여계이다. 따라서 $ m $ 과 서로소가 되는 $ \phi(m) $ 개의 각각의 열에는 $ n $ 과 서로소가 되는 정수가 $ \phi(n) $ 개 있다. 즉, $ m n $ 을 초과하지않고 $ m $ 과 $ n $ 에 서로소가 되는 정수의 개수는 $ \phi(m) \phi(n) $ 이다. 그리고 이 값은 $ \phi(m n) $ 과 같다. 즉 $ \phi(m n)= \phi(m) \phi(n) $.</p> <h2>$ \circ $ 정리 $ 3.15 $ $ \circ $</h2> <p>법 $ n $ 에 대한 완전잉여계 $ \{ 0,1,2, \cdots, n-1 \} $ 안에 있는 정수 $ a $ 로 $ \operatorname { gcd } (a $, $ n)=1 $ 을 만족하는 정수를 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 라 하자. 그러면 어떤 정수 $ x $ 가 법 $ n $ 에 대한 역수를 가지기 위한 필요충분조건은 \[ x \equiv a_ { i } ( \bmod n), \quad 1 \leq i \leq t \]</p> <h2>보기 $ 3.8 $</h2> <ol type=1 start=1><li>$ n=5 $ 일 때, $ 0,1,2,3,4 $ 중의 한 정수를 $ a $ 라 하면 $ \operatorname { gcd } (a, 5)=1 $ 을 만족 하는 정수는 $ 1,2,3,4 $ 이므로 $ t=4 $ 이고, 정수 $ x $ 가 법 5 에 대하여 역수를 가지기 위해서는 $ x \equiv 1,2,3,4( \bmod 5) $ 여야 한다.</li> <li>$ n=8 $ 일 때, $ 0,1,2, \cdots, 7 $ 중의 정수 $ a $ 가 $ \operatorname { gcd } (a, 8)=1 $ 을 만족하는 정수 는 $ 1,3,5,7 $ 이므로 $ t=4 $ 이고, $ x $ 가 법 8 에 대하여 역수를 가지기 위해서 는 $ x \equiv 1,3,5,7( \bmod 8) $ 이어야 한다.</li> <li>$ n=p(p $ 는 소수 $ ) $ 일 때, $ 0,1,2, \cdots, p-1 $ 중의 정수 $ a $ 가 $ \operatorname { gcd } (a, p)=1 $ 을 만족하는 정수는 $ 1,2, \cdots, p-1 $ 이므로 정수 $ x $ 가 법 $ p $ 에 대하여 역수를 가 지기 위해서는 $ x \equiv 1,2, \cdots, p-1( \bmod p) $ 여야 한다.</li></ol> <h2>$ \bullet $ 정의 $ 3.4 $ $ \bullet $</h2> <p>정수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 가 $ n $ 과 서로소이고, 임의의 정수 $ x $ 가 $ n $ 과 서로소이면,이 정수 $ x $ 는 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 중의 오직 하나의 정수와 합동이 될 때, $ \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } \right \} $ 를 법 $ n $ 의 기약잉여계(a reduced residue system modulo $ n) $ 라 한다.</p> <h2>$ \circ $정리 $ 3.20 $ $ \circ $ 오일러</h2> <p>$ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이면, \[ a ^ {\phi(n) } \equiv 1( \bmod n) \]이다. 여기서 $ \phi(n) $ 은 오일러의 $ \phi $ 함수이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ {\phi(n) } \right \} $ 이 법 $ n $ 에 대해 하나의 기약잉여계라 가정하자. 그러면 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이고 $ \operatorname { gcd } \left (r_ { i } , n \right )=1 $ 이므로 모든 $ i $ 에 대해 $ \operatorname { gcd } \left (a r_ { i } , n \right )=1 $이다. 기약잉여계의 정의에 의해 $ a r_ { i } $ 는 $ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ {\phi(n) } $ 중의 하나와 합동이다. 또한 어느 두 개의 $ a r_ { i } $ 도 같은 $ r_ { j } $ 와 합동이 될 수 없다. 왜냐하면 만약 $ a r_ { i } \equiv r_ { j } ( \bmod n) $ 이고 $ a r_ { i ^ {\prime } } \equiv r_ { j } ( \bmod n) $ 이라면 \[ a r_ { i } \equiv a r_ { i ^ {\prime } } ( \bmod n) \]이 되어 $ r_ { i } \equiv r_ { i ^ {\prime } } ( \bmod n) $ 으로 되는데 $ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ {\phi(n) } $ 는 어느 두 개도 법 $ n $ 에 대하여 합동이 아니므로 $ r_ { i } =r_ { i ^ {\prime } } $ 이다. 즉, $ \left \{ a r_ { 1 } , a r_ { 2 } , \cdots, a r_ {\phi(n) } \right \} $ 도 법 $ n $ 의 하나의 기약잉여계이다. 따라서 \[ \left (a r_ { 1 } \right ) \left (a r_ { 2 } \right ) \cdots \left (a r_ {\phi(n) } \right ) \equiv r_ { 1 } r_ { 2 } \cdots r_ {\phi(n) } ( \bmod n) \]이고, 이것은 \[ a ^ {\phi(n) } r_ { 1 } r_ { 2 } \cdots r_ {\phi(n) } \equiv r_ { 1 } r_ { 2 } \cdots r_ {\phi(n) } ( \bmod n) \]그리고 $ \operatorname { gcd } \left (r_ { 1 } r_ { 2 } \cdots r_ {\phi(n) } , n \right )=1 $ 이므로 양변에서 이 값을 소거하면 \[ a ^ {\phi(n) } \equiv 1( \bmod n) \]이다.</p> <h2>보기 $ 3.2 $</h2> <p>$ 6 ^ { 48 } $ 을 13으로 나눈 나머지를 구하라. 물론 6 을 48번 곱한 수를 13 으로 나누면 되겠지만 그 계산은 대단히 번거로울 것이다. 다행히 나머지를 구하는 계산은 합동의 개념으로 쉽게 구할 수 있다.</p> <p>법 13 에 대한 완전잉여류 $ \{ -6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 \} $ 을 이용하자. \[ \begin {array} { l } 6 ^ { 2 } =36 \equiv-3( \bmod 13) \\ 6 ^ { 4 } = \left (6 ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \equiv(-3) ^ { 2 } =9 \equiv-4( \bmod 13) \\ 6 ^ { 8 } = \left (6 ^ { 4 } \right ) ^ { 2 } \equiv(-4) ^ { 2 } =16 \equiv 3( \bmod 13) \\ 6 ^ { 16 } = \left (6 ^ { 8 } \right ) ^ { 2 } \equiv 3 ^ { 2 } =9 \equiv-4( \bmod 13) \\ 6 ^ { 32 } = \left (6 ^ { 16 } \right ) ^ { 2 } \equiv(-4) ^ { 2 } =16 \equiv 3( \bmod 13) \\ 6 ^ { 48 } =6 ^ { 32 } \cdot 6 ^ { 16 } \equiv 3 \cdot(-4)=-12 \equiv 1( \bmod 13) \end {array} \] 따라서 $ 6 ^ { 48 } \equiv 1( \bmod 13) $ 이므로 13으로 나눈 나머지는 1 이다.</p> <p>우리는 정리 $ 3.5 $ 에서 두 합동식의 대응하는 변끼리 더할 수도 있고, 곱할 수도 있다는 것을 알고 있다. 따라서 뺄셈도 가능하다. 이제는 나눗셈에 대하여 생각해보자. 합동식의 양변을 하나의 정수로 나누는 문제는 나누었을 때의 결과도 양변이 모두 정수여야 한다는 것이다. 예컨대 \[ 2 x \equiv 3( \bmod 4) \] 이 합동식이 해를 가지려면 우선 양변을 2 로 나누어야 한다. 이것은 2 의 역수도 정수라는 것을 전제로 하고 있다. 그러나 불행하게도 법 4에 대한 2 의 역수는 존재하지 않는다. 즉, $ 2 x \equiv 1( \bmod 4) $ 를 만족하는 정수 $ x $ 는 존재하지 않는다. 그러므로 위 합동식의 해는 존재하지 않는다.</p> <h2>$ \circ $정리 $ 3.12 $ $ \circ $</h2> <p>$ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이고, $ a ^ { * } $ 를 법 $ n $ 에 대한 $ a $ 의 역수라 하자. 그러면 $ x $ 가 합동식 $ a x \equiv b( \bmod n) $ 의 해가 되기 위한 필요충분조건은 $ x \equiv a ^ { * } b( \bmod n) $ 이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ a x \equiv b( \bmod n) $ 에서 $ a ^ { * } a x \equiv a ^ { * } b( \bmod n) $, 또 $ a a ^ { * } \equiv 1( \bmod n) $ 이므로 $ x \equiv a ^ { * } b( \bmod n) $. 역으로 $ x \equiv a ^ { * } b( \bmod n) $ 이면 $ a x \equiv a a ^ { * } b \equiv 1 \cdot b \equiv b $ $ ( \bmod n) $ 이다.</p> <h2>보기 $ 3.6 $</h2> <ol type=1 start=1><li>$ 3 x \equiv 2( \bmod 5) $ 를 풀려면 $ 3 ^ { * } =2 $ 이므로, $ x \equiv 2 \cdot 2 \equiv 4( \bmod 5) $ 이다. 따 라서 주어진 합동식의 해는 $ 5 t + 4 $ 와 같은 꼴이다.</li> <li>$ 3 x \equiv 5( \bmod 7) $ 을 풀려면 $ 3 ^ { * } =5 $ 이므로, $ x \equiv 5 \cdot 5 \equiv 4( \bmod 7) $ 이다. 따 라서 주어진 합동식의 해는 $ 7 t + 4 $ 와 같은 꼴이다.</li></ol> <p>위의 예제에서 $ a ^ { * } $ 를 암산으로 구하였으나, 이것은 $ a $ 의 절댓값이 작을 때에 한하고 일반적으로는 $2 $장에서 공부한 방법으로 구할 수 있다. 즉 $ a ^ { * } $ 가 법 $ n $ 에 대한 $ a $ 의 역수라는 것은 $ a a ^ { * } -1=k n $ 과 동치이므로, 디오판토스 방정식 $ a x + n y=1 $의 해에서 $ x $ 값이 곧 $ a ^ { * } $ 가 된다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 3.17 $\circ $</h2> <p>$ n $ 이 $ n>2 $ 인 정수이면 $ \phi(n) $ 은 짝수이다.</p> <h3>증명</h3> <p>우선 $ n=2 ^ { k } $ 인 형태이면 $ \phi(n)= \phi \left (2 ^ { k } \right )=2 ^ { k-1 } $ 이므로 짝수이고, $ n $ 이 $2 $의제곱수가 아니라면 $ n $ 은 홀수인 소수 $ p $ 를 약수로 가진다. 그러므로 $ n=p ^ { k } m, k \geq 1, \operatorname { gcd } \left (p ^ { k } , m \right )=1 $ 이라 놓을 수 있다. 따라서 \[ \phi(n)= \phi \left (p ^ { k } m \right )= \phi \left (p ^ { k } \right ) \phi(m)=p ^ { k-1 } (p-1) \phi(m) \]이므로 역시 짝수이다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 3.18 $ \circ $ 가우스</h2> <p>모든 양의 정수 $ n \geq 1 $ 에 대하여 다음 식이 성립한다. \[ n= \sum_ { d \mid n } \phi(d) . \]</p> <p>증명 정수의 집합 $ S= \{ 1,2, \cdots, n \} $ 을 다음의 부분 집합으로 분할하자. $ d $ 가 정수 $ n $ 의 양의 약수일 때 \[ S_ { d } = \{ m \mid \operatorname { gcd } (m, n)=d ; 1 \leq m \leq n \} \]라 하면 $ \operatorname { gcd } (m, n)=d $ 는 $ \operatorname { gcd } \left ( \frac { m } { d } , \frac { n } { d } \right )=1 $ 과 같으므로 $ S_ { d } $ 의 원소의 개수는 $ \frac { n } { d } $ 보다 작은 양의 약수 가운데 $ \frac { n } { d } $ 과 서로소인 정수의 개수 즉, $ \phi \left ( \frac { n } { d } \right ) $ 과 같다. 집합 $ S $ 에 속한 각 정수는 오직 하나의 $ S_ { d } $ 에만 속하므로 \[ n= \sum_ { d \mid n } \phi \left ( \frac { n } { d } \right ) . \]그러나 여기서 $ d $ 가 $ n $ 의 모든 약수이면, $ \frac { n } { d } $ 도 $ n $ 의 모든 양의 약수를 나타내므로 \[ \sum_ { d \mid n } \phi \left ( \frac { n } { d } \right )= \sum_ { d \mid n } \phi(d)=n \]이다.</p> <p>이고 \[ a_ { 1 } \cdot a_ { 2 } \cdots a_ { m } \equiv b_ { 1 } \cdot b_ { 2 } \cdots b_ { m } ( \bmod n) \]이 성립한다.</p> <h2>$ \bullet $ 따름정리 $ 3.7 $ $ \bullet $</h2> <p>$ a \equiv b( \bmod n) $ 이고 $ f(x) $ 가 정수 계수의 다항식이면 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>임의의 양의 정수 $ k $ 에 대하여 $ a ^ { k } \equiv b ^ { k } ( \bmod n) $ 이다.</li> <li>$ f(a) \equiv f(b)( \bmod n) $</li></ol> <h3>증명</h3> <p>정리 $ 3.5 $ 의 (2)에서 $ a_ { 1 } =a_ { 2 } = \cdots=a_ { k } =a $, 그리고 $ b_ { 1 } =b_ { 2 } = \cdots=b_ { k } =b $라 놓으면 $ a ^ { k } \equiv b ^ { k } ( \bmod n) $ 이고, $ f(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + c_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + c_ { m } x ^ { m } $ 라고 놓고 $ f(a)-f(b) $ 를 계산하면 모든 항마다 $ a-b $ 의 인수가 있어서 $ f(a)-f(b)=(a-b) M=n M_ { 1 } $ 이 되어 $ f(a) \equiv f(b)( \bmod n) $ 이 성립한다.</p> <h2>보기 $ 3.1 $</h2> <p>$ 2 ^ { 20 } -1 $ 이 41로 나누어지는가? $ 2 ^ { 5 } \equiv-9( \bmod 41) $ 이므로 $ \left (2 ^ { 5 } \right ) ^ { 4 } \equiv(-9) ^ { 4 } ( \bmod 41) $. 즉, $ 2 ^ { 20 } \equiv 81 \cdot 81( \bmod 41) $이다. 그런데 $ 81 \equiv-1( \bmod 41) $ 이므로 $ 81 \cdot 81 \equiv 1( \bmod 41) $ 에서[/2 ^ { 20 } -1 \equiv 81 \cdot 81-1 \equiv 1-1 \equiv 0( \bmod 41) \]따라서 $ 41 \mid 2 ^ { 20 } -1 $ 이다.</p> <p>법 $ n $ 의 기약잉여계를 얻는 가장 쉬운 방법은 법 $ n $ 의 완전잉여계에서 $ n $ 과 서로소인 정수만을 찾으면 된다. $ \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { n } \right \} $ 이 법 $ n $ 의 완전잉여계이고, 이 중에서 $ n $ 과 서로소인 정수가 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 라 하자. 그러면 임의의 정수 $ x $ 가 $ n $ 과 서로소이면 이 정수 $ x $ 는 완전잉여계의 한 정수 $ r_ { i } $ 와 합동이 되고, $ \operatorname { gcd } (x, n)=1 $ 이므로 $ \operatorname { gcd } \left (r_ { i } , n \right )=1 $ 이다. 따라서 $ r_ { i } $ 는 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 가운데 한 정수와 합동이 된다. 즉, $ \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } \right \} $ 가 법 $ n $ 의 기약잉여계가 된다.</p> <h2>보기 3.9</h2> <ol type=1 start=1><li>법 5의 기약잉여계는 $ \{ 1,2,3,4 \} $,</li> <li>법 12의 기약잉여계는 $ \{ 1,5,7,11 \} $ 또는 $ \{\pm 1, \pm 5 \} $,</li> <li>$ p $ 가 소수일 때, 법 $ p $ 의 기약잉여계는 $ \{ 1,2, \cdots, p-1 \} $,</li> <li>법 5의 완전잉여계 $ \{ 25,26,27,28,29 \} $ 로부터 얻어지는 기약잉여계는 $ \{ 26,27,28,29 \} $ 이다.</li></ol> <p>$ \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } \right \} $ 와 $ \left \{ b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { s } \right \} $ 가 법 $ n $ 의 두 기약잉여계이면 각 $ a_ { i } $ 는 오직 하나의 $ b_ { j } $ 와 법 $ n $ 에 대하여 합동이고, 어느 두 $ a_ { i } $ 도 같은 $ b_ { j } $ 와 합동이 아니다. 역으로 $ b_ { i } $ 와 $ a_ { j } $ 에 대한 성질도 마찬가지이다. 그러므로 $ t=s $ 이며, 이 두 기약잉여계는 같은 개수의 원소를 포함한다.</p> <p>다시 말해서 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $ 이 법 $ n $ 에 대한 하나의 완전잉여계라 하면, 이들 각각은 $ 0,1,2, \cdots, n-1 $ 가운데 오직 하나의 잉여와 법 $ n $ 에 대하여 합동이다. 예컨대 \[ \{ 0,1,2,3,4 \} \text { 와 } \{ -2,-1,0,1,2 \} \]가 법 $5 $에 대한 두 완전잉여계라 하면, 다음과 같이 일대일 대응이 이루어진다. \[ \begin {array} { c } -2 \equiv 3( \bmod 5), \quad-1 \equiv 4( \bmod 5), \quad 0 \equiv 0( \bmod 5) \\1 \equiv 1( \bmod 5), \quad 2 \equiv 2( \bmod 5) \end {array} \]</p> <h2>$ \bullet $ 정리 3.1 $ \bullet $</h2> <p>임의의 정수 $ a, b $ 에 대하여 $ a \equiv b( \bmod n) $ 은 $ a, b $ 를 $ n $ 으로 나누었을 때 양의 나머지가 같다는 것과 동치이다.</p> <h3>증명</h3> <p>우선 $ a \equiv b( \bmod n) $ 을 가정하면 적당한 정수 $ k $ 에 대하여 $ a=b + k n $ 이고, 또 $ b, n $ 에 관하여 나눗셈 정리를 적용하면 $ b=q n + r, 0 \leq r<n $. 따라서 \[a=b + k n=(q n + r) + k n=(q + k) n + r . \]이 식은 $ a $ 를 $ n $ 으로 나눈 나머지가 $ b $ 를 $ n $ 으로 나눈 나머지 $ r $ 과 같음을 보여준다. 다음에는 역으로, $ a, b $ 를 $ n $ 으로 나누었을 때의 나머지가 같다고 가정하자. 즉, $ a=q_ { 1 } n + r, b=q_ { 2 } n + r, 0 \leq r<n $ 이라 하면, \[ a-b= \left (q_ { 1 } n + r \right )- \left (q_ { 2 } n + r \right )= \left (q_ { 1 } -q_ { 2 } \right ) n . \] 그러므로 $ n \mid a-b $. 즉, $ a \equiv b( \bmod n) $ 이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ a x \equiv a y( \bmod n) $ 에서 $ n \mid a x-a y $. 즉 $ \frac { n } { d } \mid \frac { a } { d } (x-y) $ 이므로,</p> <p>\[ \frac { a } { d } x \equiv \frac { a } { d } y \left ( \bmod \frac { n } { d } \right ) . \]그리고 $ \operatorname { gcd } \left ( \frac { a } { d } , \frac { n } { d } \right )=1 $ 이므로 정리 $ 3.9 $ 에 의하여 \[ x \equiv y \left ( \bmod \frac { n } { d } \right ) \]이다. 이 정리의 특수한 경우로 $ d=1 $ 이면 바로 정리 $ 3.9 $ 가 된다.</p> <h2>보기 $ 3.4 $</h2> <ol type=1 start=1><li>$ 3 \cdot 2 \equiv 3 \cdot 16( \bmod 14) $ 이고 $ \operatorname { gcd } (3,14)=1 $ 이므로 $ 2 \equiv 16( \bmod 14) $</li> <li>\[6 \cdot 5 \equiv 6 \cdot 18( \bmod 26) \text { 이고 } \operatorname { gcd } (6,26)=2 \text { 이므로 } 5 \equiv 18( \bmod 13) \text { 이 } \] 된다. 그러나 $ 5 \equiv 18( \bmod 26) $ 은 성립하지 않는다.</li></ol> <p>이제는 본 교재의 주된 과제라 할 수 있는 다항합동식의 해법에 관하여 생각해보자. $ f(x) $ 가 정수 계수의 다항식일 때, 어떤 $ x $ 에 대하여 합동식이 성립할까?</p> <p>$ f(x) \equiv 0( \bmod n) $<caption>( $3.3 $)</caption></p> <p>우리는 앞에서 이 문제와 디오판토스 방정식 $ f(x)=0 $ 의 해를 결정하는 문제를 다루었다. 일반적으로 위의 방정식 (3.3)은 해를 가질 수도 있고, 갖지 않을 수도 있다.</p> <h2>보기 $ 3.5 $</h2> <p>합동식 $ x ^ { 2 } + 1 \equiv 0( \bmod 8) $ 은 해를 가지지 않는다. 왜냐하면 $ x $ 를 이 합동식의 해라 하면 $ x $ 는 $ x ^ { 2 } \equiv-1 \equiv 7( \bmod 8) $ 을 만족해야 하는데 법 8 에 대한 완전잉여계 $ \{ 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, + 4 \} $ 에서 $ x ^ { 2 } $ 을 계산하면 각각 $ 0,1,4,1,0 $ 이 되므로 어느 경우에도 $ x ^ { 2 } \not \equiv 7( \bmod 8) $ 이다. 따라서 합동식 $ x ^ { 2 } + 1 \equiv 0( \bmod 8) $ 은 해를 가지지 않는다. 이 예제의 부산물로 다음과 같은 사실을 알 수 있다.</p> <h2>$ \circ $정의 $ 3.5 $ $ \circ $</h2> <p>$ \phi(n) $ 이 정수 0 과 $ n $ 사이에서 $ n $ 과 서로소인 정수의 개수를 나타낼 때 이 $ \phi(n) $ 을 스위스의 수학자 오일러(Leonhard Euler)의 이름을 따라 오일러의 $ \phi $ 함수라 한다.</p> <p>위의 정의로부터 법 $ n $ 의 모든 기약잉여계는 같은 개수의 정수 $ \phi(n) $ 을 가진다는 것을 알 수 있다.</p> <h2>보기 $ 3.10 $</h2> <p>위의 보기 $ 3.8 $ 에서 $ \phi(5)=4, \phi(8)=4, \phi(p)=p-1 $ 이고, 특히 $ \phi(1)=1 $ 이다.</p> <p>나중에 7장에서 산술 함수를 다룰 때 오일러의 함수에 대해서 자세히 설명하겠지만 우선 $5 $장에서 필요하게 되는 몇 가지 성질을 소개하면 다음과 같다. 오일러의 $ \phi $ 함수는 승법 함수, 즉 $ \operatorname { gcd } (m, n)=1 $ 일 때, $ \phi(m n)= \phi(m) \phi(n) $ 이고, $ n $ 이 $ n>2 $ 인 정수이면 $ \phi(n) $ 은 짝수임을 알 수 있다. 또한 $ \sum_ { d \mid n } \phi(d) $ 를 정수 $ n $ 의 모든 양의 약수 $ d $ 의 $ \phi(d) $ 값의 합이라 하면 $ n= \sum_ { d \mid n } \phi(d) $ 가 성립한다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 $ 3.16 \circ $</h2> <p>$ m, n $ 이 자연수이고, $ \operatorname { gcd } (m, n)=1 $ 이면 $ \phi(m n)= \phi(m) \phi(n) $ 이 성립한다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ m $ 이나 $ n $ 중에 한 정수가 1 이면 결과는 자명하다. 따라서 $ n>1, m>1 $이라 가정하자. $ m n $ 개의 정수를 $1 $에서 $ m n $ 까지 나열할 때, 아래와 같이 $ n $개의 각 행에 $ m $ 개의 정수가 포함되도록 나열하자.</p> <p>$ \begin {array} { rrrrcc } 1 & 2 & \cdots & r & \cdots & m \\ m + 1 & m + 2 & \cdots & m + r & \cdots & 2 m \\ 2 m + 1 & 2 m + 2 & \cdots & 2 m + r & \cdots & 3 m \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ (n-1) m + 1 & (n-1) m + 2 & \cdots & (n-1) m + r & \cdots & n m \end {array} $</p> <h2>$ \bullet $ 정의 $ 3.3 $ $ \bullet $</h2> <p>$ a $ 가 하나의 정수일 때, 법 $ n $ 에 대한 $ a $ 의 역수(arithmetic inverse)란 $ a a ^ { * } \equiv 1( \bmod n) $ 을 만족하는 정수 $ a ^ { * } $ 를 말한다.</p> <p>$ a x \equiv 1( \bmod n) $. 따라서 $ a ^ { * } =x $ 이다.</p> <h2>보기 $ 3.3 $</h2> <ol type=1 start=1><li>$ 2 \cdot 2 \equiv 1( \bmod 3) $ 이므로, $ 2 ^ { * } =2 $</li> <li>$ 3 \cdot 2 \equiv 1( \bmod 5) $ 이므로, $ 3 ^ { * } =2 $.</li></ol> <h2>$ \circ $ 정리 $ 3.9 $ $ \circ $</h2> <p>$ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이고 \[ a x \equiv a y( \bmod n) \]이면 \[ x \equiv y( \bmod n) \]</p> <h3>증명</h3> <p>$ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이므로 법 $ n $ 에 대한 역수 $ a * $ 가 존재하므로, \[ x \equiv 1 \cdot x \equiv \left (a ^ { * } a \right ) x \equiv a ^ { * } (a x) \equiv a ^ { * } (a y) \equiv \left (a ^ { * } a \right ) y \equiv 1 \cdot y \equiv y( \bmod n) \]따라서, $ x \equiv y( \bmod n) $ 이다.</p> <h3>참고</h3> <p>위의 정리에서 $ \operatorname { gcd } (a, n)>1 $ 일 때에는 양변에서 $ a $ 를 소거할 수 없다. 예컨대 $ 2 \cdot 1 \equiv 2 \cdot 3( \bmod 4) $ 이지만, $ 1 \neq 3( \bmod 4) $ 이다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 $ 3.10 $ $ \circ $</h2> <p>\[ \operatorname { gcd } (a, n)=d \text { 이고 } \] \[ a x \equiv a y( \bmod n) \]이면 \[ x \equiv y( \bmod n / d) . \]</p> <p>오일러의 정리의 응용으로 법 $ n $ 에 대한 한 정수의 역수를 쉽게 구할 수 있다. $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이면 $ a ^ { * } =a ^ {\phi(n)-1 } $ 이다. 왜냐하면 \[ a a ^ { * } =a \cdot a ^ {\phi(n)-1 } =a ^ {\phi(n) } \equiv 1( \bmod n) \]이기 때문이다.</p> <p>\[ (p-1) ! \equiv-1( \bmod p) \]이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ p=2 $ 또는 $ p=3 $ 이면 \[ \begin {aligned} 1 & \equiv-1( \bmod 2) \\ 1 \cdot 2 & \equiv-1( \bmod 3) \end {aligned} \]이므로 정리는 자명하다. 따라서 $ p>3 $ 이라 가정하자. $ \{ 1,2, \cdots, p-1 \} $ 을 법 $ p $ 의 기약잉여계라 하면 이들 모든 정수는 법 $ p $ 에 대한 역수를 가진다. 이제 이 가운데서 자기자신의 역수를 가지는 정수를 찾아보면, 즉 $ r $ 이 $ 1 \leq r \leq p-1 $ 인 정수일 때, $ r ^ { 2 } \equiv r r ^ { * } \equiv 1( \bmod p) $ 를 만족하는 정수는 $ r ^ { 2 } -1=(r-1)(r + 1) \equiv 0( \bmod p) $ 이다. 따라서 \[ r-1 \equiv 0( \bmod p) \text { 또는 } r + 1 \equiv 0( \bmod p) \]에서 $ r \equiv 1 $ 과 $ r \equiv-1 \equiv p-1( \bmod p) $ 이다. 즉, 기약잉여계 중에서 1 과 $ p-1 $ 을 얻는다. 위의 기약잉여계에서 이 두 정수를 뺀 $ p-3 $ 개의 정수 $ 2,3, \cdots, p-2 $ 를 $ s= \frac { p-3 } { 2 } $ 개의 쌍으로 다음과 같이 묶자. \[ \left (r_ { 1 } , r_ { 1 } ^ { * } \right ), \left (r_ { 2 } , r_ { 2 } ^ { * } \right ), \cdots, \left (r_ { s } , r_ { s } ^ { * } \right ) . \]그러면 \[ \begin {aligned} 2 \cdot 3 \cdots(p-2) &=r_ { 1 } r_ { 1 } * r_ { 2 } r_ { 2 } * \cdots r_ { s } r_ { s } { } ^ { * } \\ & \equiv 1 \cdot 1 \cdots 1( \bmod p) \quad \left (r_ { i } r_ { i } { } ^ { * } \equiv 1( \bmod p) \right ) \\ & \equiv 1( \bmod p) . \end {aligned} \]따라서 \[ \begin {aligned} 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots(p-1) & \equiv(p-1)( \bmod p) \\ & \equiv-1( \bmod p) . \end {aligned} \]그러므로 $ (p-1) ! \equiv-1( \bmod p) $ 이다.</p> <h3>$ \frac {\pi } { 0 } $ 명</h3> <p>$ a \equiv a ^ {\prime } ( \bmod n) $ 이므로 적당한 정수 $ k $ 가 존재하여 $ a-a ^ {\prime } =k n $ 이 성립한다. 이제 $ \operatorname { gcd } \left (a ^ {\prime } , n \right )>1 $ 이라 가정하면, 어떤 소수 $ p $ 가 존재하여 $ p \mid \operatorname { gcd } \left (a ^ {\prime } , n \right ) $ 이 성립한다. 또 이것은 최대공약수의 정의에 의하여 $ p \mid a ^ {\prime } $ 이고, $ p \mid n $ 이므로 결국 $ p \mid a ^ {\prime } + k n=a $ 가 되어 $ p \mid \operatorname { gcd } (a, n) $ 이 성립한다. 이것은 $ \operatorname { gcd } (a, n)>1 $ 을 의미하므로 모순이다.</p> <p>위의 보조정리에서 역수를 가지는 정수에 관해 논하였다. 이제 $ \{ 0,1,2, \cdots, n-1 \} $을 법 $ n $ 에 대한 완전잉여계라 하면 임의의 정수 $ x $ 는 이 가운데 오직 하나의 정수와 합동이다. 또 정수 $ x $ 가 법 $ n $ 에 대하여 역수를 가지고, $ x \equiv a( \bmod n), 0 \leq a $ $ \leq n-1 $ 이면 $ \operatorname { gcd } (x, n)=1 $ 이고 보조정리 $ 3.14 $ 로부터 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이다. 역으로 $ x \equiv a( \bmod n),(0 \leq a \leq n-1) $ 이고 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이면 $ x $ 는 법 $ n $ 에 대한 역수를 가진다. $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이므로 $ a $ 는 역수 $ a ^ { * } $ 를 가지고 \[ x a ^ { * } \equiv a a ^ { * } \equiv 1( \bmod n) \] 이므로 $ a ^ { * } $ 는 $ x $ 의 역수이다. 이것을 정리로 요약하면 다음과 같다.</p> <p>정수의 완전제곱은 법 8 에 대하여 $ 0,1,4 $ 와 합동이다. 특별히 홀수의 완전제곱은 법 8 에 대하여 1 과 합동이다.</p> <p>위의 방정식 (3.3)의 해에 대하여 좀더 고찰해 보기 위하여 법 $ n $ 의 완전잉여계를 $ \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { n } \right \} $ 라 하고, 이 가운데서 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { t } $ 를 방정식 (3.3)의 해라 하면 즉, \[ x \equiv a_ { 1 } ( \bmod n) \text { 또는 } x \equiv a_ { 2 } ( \bmod n), \cdots, \text { 또는 } x \equiv a_ { t } ( \bmod n) \]여기서 $ a_ { j } $ 는 위의 완전잉여계에서 택하였으므로 어느 두 정수도 법 $ n $ 에 대하여 합동이 아니다. 이 경우 위의 방정식 (3.3)은 $ t $ 개의 서로 다른 해를 갖는다고 한다. 물론 방정식 (3.3)은 무한히 많은 해를 가지지만 우리는 법 $ n $ 에 대하여 서로 합동이 아닌 것만을 서로 다른 해로 간주하기 때문이다. 일반적으로 방정식 (3.3)은 대단히 복잡하지만, $ f(x) $ 가 특별히 선형인 경우에는 역수의 개념이 이 선형 다항방정식을 푸는 데 도움이 된다.</p> <h2>$ \circ $보조정리 $ 3.11 $ $ \circ $</h2> <p>합동식 $ a x \equiv b( \bmod n) $ 이 해를 가지면 $ \operatorname { gcd } (a, n) \mid b $ 이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ a x \equiv b( \bmod n) $<caption>( $3.4 $)</caption></p> <p>합동식이 해 $ x $ 를 가지고, $ s $ 를 $ a $ 와 $ n $ 의 공약수라 하자. 그러면 $ n \mid a x-b $ 이므로 $ b=a x-k n(k $ 는 정수 $ ) $ 이 되어 $ s $ 는 $ b $ 의 약수이다. 특히 $ s= \operatorname { gcd } (a, n) $ 이면 당연히 $ \operatorname { gcd } (a, n) \mid b $ 이다.</p> <h2>보기 $ 3.11 $</h2> <p>$ S= \{ 1,2,3,4,5,6 \} $ 이면 $6 $의 양의 약수는 $ 1,2,3,6 $ 이므로 각 $ S_ { d } $ 는 아래와 같다. \[ \begin {array} { l } S_ { 1 } = \{ 1,5 \} \\ S_ { 2 } = \{ 2,4 \} \\ S_ { 3 } = \{ 3 \} \\ S_ { 6 } = \{ 6 \} \end {array} \] $ \begin {aligned} \sum_ { d \mid 6 } \phi(d) &= \phi(1) + \phi(2) + \phi(3) + \phi(6) \\ &=1 + 1 + 2 + 2=6 \end {aligned} $</p> <h1>3.3 페르마, 오일러, 윌슨의 정리</h1> <p>이 절에서는 역사적으로 대단히 중요한 두 가지 합동식을 소개한다. 첫째는 페르마의 작은 정리(Fermat's little theorem)와 이 정리를 일반화한 오일러의 정리(Euler's theorem)이고, 둘째는 윌슨의 정리(Wilson's theorem)이다.</p> <h2>$ \circ $정리 $ 3.19 $ $ \circ $ 페르마의 작은 정리</h2> <p>$ p $ 가 소수이고, $ p \nmid a $ 이면 \[ a ^ { p-1 } \equiv 1( \bmod p) \]</p> <p>이 정리의 증명은 다음 오일러의 정리의 특수한 경우로 취급되므로 생략하고 몇 개의 보기만 들기로 한다. 예컨대 $ 3 ^ { 10 } \equiv 1( \bmod 11) $ 이고, $ 89 ^ { 820 } \equiv 1( \bmod 821) $, (821은 소수)이다. 또 $ 2 ^ { 1137 } $ 을 17 로 나누었을 때의 나머지를 구하려면 다음과 같이 한다. $17 $은 소수이고 $ 17 \times 2 $ 이므로 페르마의 정리에 의하여 \[ 2 ^ { 16 } \equiv 1( \bmod 17) \]이고 \[ 1137=16 \cdot 71 + 1 \]이므로 \[ 2 ^ { 1137 } = \left (2 ^ { 16 } \right ) ^ { 71 } \cdot 2 ^ { 1 } \equiv 1 ^ { 71 } \cdot 2=2( \bmod 17) \]이다. 따라서 $ 2 ^ { 1137 } $ 을 17 로 나눈 나머지는 2 이다.</p> <h2>보기 $ 3.7 $</h2> <p>$ 12 x \equiv 3( \bmod 15) $ 의 해를 구해 보자. $ d= \operatorname { gcd } (12,15)=3 $ 이고, $ 3 \mid 3 $ 이므로 해가 있다. $ \frac { a } { d } =4, \frac { b } { d } =1 $, 그리고 $ \frac { n } { d } =5 $ 이다. 법 $ \frac { n } { d } $ 에 대한 $ \frac { a } { d } $ 의 역수는 $4 $이다. 따라서 법 $5 $에 대한 해는 $ x \equiv 4 \cdot 1 \equiv 4( \bmod 5) $ 이고, 법 $15 $에 대한 해는 $ x \equiv 4,9,14( \bmod 15) $ 이다. 즉 이 합동식은 세 개의 서로 다른 해를 가진다. 그러나 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이면 위의 정리에 의하여 오직 하나의 해만을 가진다.</p> <p>정리 $3.8 $으로부터 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이면 법 $ n $ 에 대한 역수 $ a ^ { * } $ 가 존재한다. 역으로 어떤 정수 $ a $ 가 법 $ n $ 에 대하여 역수 $ a ^ { * } $ 를 가지는가에 대하여 고찰해 보자. 이 문제는 합동식 \[ a a ^ { * } \equiv 1( \bmod n) \]이 어떤 $ a $ 에 대해 해를 가지는가라는 명제와 같다. 이제 $ d= \operatorname { gcd } (a, n) $ 이라 하면, $ a ^ { * } $ 가 존재하기 위해서는 $ d \mid 1 $ 이 성립해야 한다. 즉, $ d=1 $ 이다. 따라서 $ a $ 가 역수 $ a ^ { * } $ 를 가지기 위해서는 $ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이어야 한다.</p> <h2>- 보조정리 $ 3.14 \bullet $</h2> <p>$ \operatorname { gcd } (a, n)=1 $ 이고, $ a \equiv a ^ {\prime } ( \bmod n) $ 이면 $ \operatorname { gcd } \left (a ^ {\prime } , n \right )=1 $ 이다.</p> <h2>보기 $ 3.12 $</h2> <p>\[ p=7 \text { 이면 } (p-1) !=720=7 \cdot 102 + 6 \equiv-1( \bmod 7) \text { 이고, 정리의 증명에서 } \]와 같이 $ 2,3,4,5 $ 를 쌍으로 묶으면 $ (2,4),(3,5) $ 이다.</p> <p>다음에는 페르마의 정리와 윌슨의 정리가 얼마나 유용하게 이용되는가를 보여주는 몇 가지 응용 예를 들고자 한다.</p> <h2>$ \circ $ 정리 $ 3.22 $ $ \circ $</h2> <p>$ p $ 가 홀수인 소수일 때 합동식 \[ x ^ { 2 } \equiv-1( \bmod p) \]가 해를 가지기 위한 필요충분조건은 $ p \equiv 1( \bmod 4) $ 이다. 그리고 $ p \equiv 1 $ $ ( \bmod 4) $ 일 때 $ x= \left ( \frac { p-1 } { 2 } \right ) ! $ 는 하나의 해가 된다.</p> <h3>증명</h3> <p>우선 $ x $ 가 $ x ^ { 2 } \equiv-1( \bmod p) $ 의 해라고 하자. 그러면, \[ x ^ { p-1 } = \left (x ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } \equiv(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } ( \bmod p) . \]한편, 페르마의 정리에 의하여 \[ x ^ { p-1 } \equiv 1( \bmod p) . \]따라서 $ 1 \equiv(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } ( \bmod p) $ 이다. 즉, $ p \mid 1-(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } $ 이다. 만약 $ 1-(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } \neq 0 $ 이면 $ 1-(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } =2 $ 로 되어 $ p $ 가 홀수라는 조건에 모순이다. 따라서 $ 1=(-1) ^ {\frac { p-1 } { 2 } } $. 즉, $ \frac { p-1 } { 2 } $ 은 짝수이다. 그러므로 $ p \equiv 1( \bmod 4) $. 역으로 $ p \equiv 1( \bmod 4) $ 를 가정하자. 그러면 \[ \begin {aligned} (p-1) ! &=1 \cdot 2 \cdots \frac { p-1 } { 2 } (p-1)(p-2) \cdots \left (p- \frac { p-1 } { 2 } \right ) \\ & \equiv 1 \cdot 2 \cdots \frac { p-1 } { 2 } (-1)(-2) \cdots \left (- \frac { p-1 } { 2 } \right ) \end {aligned} \]</p> <h1>3.1 합 동</h1> <h2>$ \bullet $ 정의 3.1 $ \bullet $</h2> <p>$ m $ 이 양의 정수이고, $ a-b $ 가 $ m $ 의 배수이면 “ $ a $ 와 $ b $ 는 법 $ m $ 에 대하여 합 동”이라 하고 $ a \equiv b( \bmod m) $ 이라 쓴다. $ a $ 와 $ b $ 가 법 $ m $ 에 대하여 합동이 아니면 $ a \neq b( \bmod m) $ 이라 쓴다.</p> <p>예컨대 $ 8 \equiv 3( \bmod 5), 31 \equiv-9( \bmod 10), 5 \neq 2( \bmod 4) $ 이고, 또 $ a $ 와 $ b $ 가 정수이면 언제나 $ a \equiv b( \bmod 1) $ 이 성립한다. 이와 같이 법 $1 $에 대한 합동은 별로 뜻이 없으므로 앞으로 법은 언제나 $1 $보다 큰 정수로 가정한다.</p> <p>이 합동의 개념은 일상생활에서도 종종 이용된다. 예컨대 한 주간의 요일은 법 $7 $에 대한 합동의 문제로, 자동차 주행계기판의 주행거리는 $100,000 $을 법으로 하는 합동의 문제로 생각할 수 있다. 주어진 정수 $ a $ 를 정수 $ n $ 으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 각각 $ q, r $ 이라 하면 \[a = q n + r, \quad 0 \leq r<n . \]이 식을 합동으로 표시하면, $ a \equiv r( \bmod n) $ 과 같다. 이 식에서 나머지 $ r $ 이 가질수 있는 값은 $ n $ 개이므로, 임의의 정수는 $ 0,1,2, \cdots, n-1 $ 가운데 오직 하나의 값과 법 $ n $ 에 대하여 합동이다. 특히 $ a \equiv 0( \bmod n) $ 은 $ n \mid a $ 와 동치이다.</p> <h2>$ \bullet $ 정의 3.2 $ \bullet $</h2> <p>$ n $ 개의 정수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $ 이 있을 때, 임의의 정수가 법 $ n $ 에 대하여 $ a_ { k } $ 가운데 오직 하나의 값과 합동이 되면 이 $ n $ 개의 정수를 법 $ n $ 에 관한 완전잉여계(a complete residue system modulo $ n $ )라 한다.</p> <p>이제는 일반적인 선형합동식 $ a x \equiv b( \bmod n) $ 을 좀 더 자세히 고찰해 보기로 하자. 이 합동식이 해를 가지기 위해서는, $ d= \operatorname { gcd } (a, n) $ 이라 하면 보조정리 $ 3.11 $에서 $ d \mid b $ 가 성립해야 한다. 즉, $ b=a b_ { 1 } $ 그리고 $ d\|a, d\| n $ 이므로 $ a=d a_ { 1 } , n=d n_ { 1 } $이라 놓으면 본래의 합동식은 \[ a_ { 1 } d x \equiv b_ { 1 } d \left ( \bmod n_ { 1 } d \right ) \]이고, 정리 $ 3.10 $ 으로부터 $ x $ 가 이 합동식의 해가 되기 위한 조건은 \[ a_ { 1 } x \equiv b_ { 1 } \left ( \bmod n_ { 1 } \right ) \]이다. 여기서 $ \operatorname { gcd } \left (a_ { 1 } , n_ { 1 } \right )=1 $ 이므로, 합동식 $ a x \equiv b( \bmod n) $ 의 해는 $ a_ { 1 } x \equiv b_ { 1 } $ $ \left ( \bmod n_ { 1 } \right ) $ 의 해와 같다. 정리 $ 3.12 $ 에 의하여 나중 합동식의 해는 \[ x \equiv a_ { 1 } * b_ { 1 } \left ( \bmod n_ { 1 } \right ) \]여기서 $ a_ { 1 } * $ 은 법 $ n_ { 1 } $ 에 대한 $ a_ { 1 } $ 의 역수이다. 지금까지 고찰한 것을 정리하면 다음정리가 된다.</p> <h2>$ \circ \ 정리 \( 3.13 $ $ \circ $</h2> <p>$ d= \operatorname { gcd } (a, n) $ 이라 할 때, 합동식 $ a x \equiv b( \bmod n) $ 이 해를 가지기 위한 조건은 $ d \mid b $ 이다. 이 경우 주어진 합동식의 해는 합동식 \[ x \equiv a_ { 1 } * \frac { b } { d } \left ( \bmod \frac { n } { d } \right ) \]을 만족하는 모든 해 $ x $ 이다. 즉, 법 $ n $ 에 대한 서로 다른 해는 다음과 같은 $ d $개가 있다. \[ x=a_ { 1 } * \left ( \frac { b } { d } \right ) + k \left ( \frac { n } { d } \right ), \quad 0 \leq k \leq d-1 \]</p> <p>예컨대 $ -47 $ 과 $ -20 $ 은 아래와 같이 표시된다. 즉, \[ \begin {array} { l } -47=(-6) 9 + 7, \\-20=(-3) 9 + 7 . \end {array} \] 따라서 $ -47 \equiv-20( \bmod 9) $ 이다. 또한 $ -24 \equiv 11( \bmod 7) $ 이므로 $ -24 $ 와 11 은 7로 나누었을 때 나머지가 같다. 즉, $ -24=(-4) 7 + 4, \quad 11=1 \cdot 7 + 4 $.</p> <p>합동의 개념은 덧셈과 곱셈에 관한 한 마치 일반적인 등식과 아주 비슷하기 때문에 합동의 개념을 등식의 일반화로 생각할 수도 있다. 또 합동의 개념은 다음과 같은 합동방정식</p> <p>$ 3 x \equiv 2( \bmod 7) $<caption>$(3.1) $</p> <p>$ 3 x ^ { 2 } + 7 x + 5 \equiv 0( \bmod 13) $<caption>$(3.2) $</p> <p>의 정수해를 구하는 문제라든가, 디오판토스 방정식의 해를 구하는 문제를 다루게된다. $3 $장에서는 합동의 개념을 디오판토스 방정식에 응용하는 문제를 주로 다루게 된다. 하나의 예로 $ x, y $ 를 미지수로 하는 정수 계수의 다항방정식 \[f(x, y)=0 \]을 생각하자. $ (x, y) $ 가 이 방정식의 해라면, 모든 $ n $ 에 대하여 $ n \mid 0 $ 이므로, 모든 $ n $에 대하여 $ n \mid f(x, y) $ 가 성립한다. 즉, \[f(x, y) \equiv 0( \bmod n) \]이다. 이것을 정리로 요약하면 다음과 같다.</p> <h2>$ \bullet $ 정리 3.2 $ \bullet $</h2> <p>디오판토스 방정식은 \[f(x, y)=0 \]이 해를 가지면 합동식 \[f(x, y) \equiv 0( \bmod n) \]도 모든 $ n $ 에 대하여 해를 가진다.</p> <p>이 정리는 어떤 디오판토스 방정식이 해를 가지지 않는다는 것을 보일 때 이 정 리의 대우명제를 이용한다.</p> <h2>$ \bullet $ 정리 3.3 $ \bullet $</h2> <p>어떤 $ n $ 에 대하여 합동식 \[f(x, y) \equiv 0( \bmod n) \] 이 해를 가지지 않으면 디오판토스 방정식 \[f(x, y)=0 \]은 해를 갖지 않는다.</p> <p>예컨대 $ f(x, y)=x ^ { 2 } -4 y ^ { 2 } -2=0 $ 은 해를 가지지 않는다는 것을 보이기 위하여, 법 $4 $로 하는 합동식을 생각하면 \[x ^ { 2 } -4 y ^ { 2 } -2 \equiv 0( \bmod 4) \]이다. 또 이 합동식은 \[x ^ { 2 } -2 \equiv 0( \bmod 4) \]와 같다. 만약 이 합동식이 해를 가진다면, $ 4 \mid x ^ { 2 } -2 $ 가 성립하여야 한다. $ x $ 가 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 생각하고 $ x=2 t $ 라 놓으면 $ 4 \mid 4 t ^ { 2 } -2 $ 이다. 따라서 $ 4 \mid-2 $ 가 되어 불합리하므로 $ x $ 가 짝수일 때는 해가 없고, 다음에 $ x $ 가 홀수일 때, 즉 $ x=2 t + 1 $ 이면, $ x ^ { 2 } -2=4 t ^ { 2 } + 4 t-1 $ 이다. 따라서, $ 4 \mid x ^ { 2 } -2 $ 는 $ 4 \mid 4 t ^ { 2 } + 4 t-1 $ 이다. 즉, $ 4-1 $ 이 되어 불합리하다. 따라서 합동식 \[x ^ { 2 } -4 y ^ { 2 } -2 \equiv( \bmod 4) \]가 해를 가지지 않으므로 디오판토스 방정식 \[x ^ { 2 } -4 y ^ { 2 } =2 \]도 해를 가지지 않는다.</p>	자연
기초수학	<h>정리 $ 6.5 .2 $ 로그의 성질(I)</p> <p>$ \log _ { a } 1=0, \quad \log _ { a } a=1 $</p> <p>정리 6.5.3 로그의 성질 (II) $ M $ 과 $ a $ 는 임의의 양의 실수, $ a \neq 1 $ 이고 $ r $ 은 임의의 실수라 하자.</p> <p>$ a ^ {\log _ { a } M } =M $<caption>$ (6.5.1) $</caption></p> <p>$ \log _ { a } a ^ { r } =r $<caption>$ (6.5.2) $</caption></p> <p>보기 6.5.4 성질 (6.5.1)과 (6.5.2)를 사용하기</p> <p>(a) $ 3 ^ {\log _ { 3 } \pi } = \pi $</p> <p>(b) $ \log { } _ { 0.5 } 0.5 ^ { - \sqrt { 3 } } =- \sqrt { 3 } $</p> <p>(c) $ \ln e ^ { k t } =k t $</p> <p>정리 $ 6.5 .5 $ 로그의 성질(III)<p>$ M, N, a $ 는 임의의 양수, $ a \neq 1 $ 이고 $ r $ 은 임의의 실수라 하자.</p> <p>곱의 로그는 각각의 로그의 합이다.</p> <p>$ \log _ { a } (M N)= \log _ { a } M + \log _ { a } N $<caption>$ (6.5.3) $</caption></p> <p>몫의 로그는 각각의 로그의 차다.</p> <p>$ \log _ { a } \left ( \frac { M } { N } \right )= \log _ { a } M- \log _ { a } N $<caption>$ (6.5.4) $</caption></p> <p>거듭제곱의 로그는 지수와 로그의 곱이다.</p> <p>$ \log _ { a } \left (M ^ { r } \right )=r \log _ { a } M $<caption>$ (6.5.5) $</caption></p> <p>보기 $ 6.5 .6 $ 로그 식을 로그의 합으로 쓰기</p> <p>$ \log _ { a } \left (x \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) $ 을 로그의 합으로 써라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내라.<p>풀이</p> <p>$ \log _ { a } \left (x \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right )= \log _ { a } x + \log _ { a } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $<caption>성질 (6.5.3)</caption></p> <p>$ y= \ln x \Leftrightarrow x=e ^ { y } $</p> <p>자연로그함수는 응용에서 매우 자주 발생한다.</p> <p>$ y= \ln x $ 와 지수함수 $ y=e ^ { x } $ 은 서로 역함수이므로, 우리는 직선 $ y=x $ 에 대하여 $ y=e ^ { x } $ 을 반사함으로써 $ y= \ln x $ 의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 6.4.2를 보라.</p> <p>정의 6.4.10 상용로그</p> <p>밑이 10인 로그함수 $ y= \log _ { 10 } x $ 를 상용로그함수(common logarith function)라하고 보통 밑 10 을 생략 하여 $ y= \log x $ 로 쓴다. 따라서</p> <p>$ y= \log x \Leftrightarrow x=10 ^ { y } $</p> <p>$ y= \log x $ 와 지수함수 $ y=10 ^ { x } $ 은 서로 역함수이므로, 직선 $ y=x $ 에 관하여 $ y=10 ^ { x } $ 의 그래프를 반사함으로써 $ y= \log x $ 의 그래프를 얻을 수 있다.</p> <h1>$ 6.5 $ 로그의 성질</h1> <h2>6.5.1 로그의 성질</h2> <p>로그는 그 정의와 지수법칙으로부터 직접 유도될 수 있는 몇 가지 매우 유용한 성질들을 갖는다.</p> <p>보기 6.5.1 로그의 성질을 증명하기</p> <p>(a) $ \log _ { a } 1=0 $ 임을 증명하라.</p> <p>(b) $ \log _ { a } a=1 $ 임을 증명하라.</p> <p>풀이</p> <p>(a) $ y= \log _ { a } 1 $ 라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { ll } a ^ { y } =1 & \text { 정의 } 6.4 .1 \text { 에 의하여 } \\ a ^ { y } =a ^ { 0 } & a ^ { 0 } =1 \\y=0 & a ^ { u } =a ^ { v } \text { 이면 } u=v \\ \text { 따라서 } \log _ { a } 1=0 . & y= \log _ { a } 1 \end {array} \]</p> <p>(b) $ y= \log _ { a } a $ 라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { ll } a ^ { y } =a & \text { 정의 } 6.4 .1 \text { 에 의하여 } \\ a ^ { y } =a ^ { 1 } & a ^ { 1 } =a \\y=1 & a ^ { u } =a ^ { v } \text { 이면 } u=v \\ \text { 따라서 } \log _ { a } a=1 . & y= \log _ { a } a \end {array} \]</p> <p>보기 $ 6.5 .11 $ 밑이 10 도 $ e $ 도 아닌 로그의 근사 값을 구하기</p> <p>$ \log _ { 2 } 7 $ 의 근사값을 구하라. 답을 소수 넷째자리까지 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ y= \log _ { 2 } 7 $ 이라 하자. 그러면 $ 2 ^ { y } =7 $. 그래서</p> <p>$ \ln 2 ^ { y } = \ln 7 $<caption>성질 (6.5.6)</caption></p> <p>$ y \ln 2= \ln 7 $<caption>성질 (6.5.5)</caption></p> <p>$ y= \frac {\ln 7 } {\ln 2 } $<caption>정확한 해</caption></p> <p>$ \approx 2.8074 $<caption>소수 넷째자리까지 근사 해</caption></p> <p>보기 6.5.11은 밑 $ e $ 를 포함하는 로그로 바꾸어 줌으로써 밑 2 인 로그의 근사 값을 구하는 방법을 보여준다. 이와 같이, 밑을 바꾸는 것을 밑 변환공식(change-of-base formula)이라 한다.</p> <p>정리 6.5.12 밑 변환공식</p> <p>$ a \neq 1, b \neq 1 $ 과 $ M $ 은 임의의 양수라 하자. 그러면</p> <p>$ \log _ { a } M= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } $<caption>(6.5.7)</caption></p> <p>특히,</p> <p>$ \log _ { a } M= \frac {\log _ { e } M } {\log _ { e } a } $ 이고 $ \log _ { a } M= \frac {\ln M } {\ln a } $<caption>(6.5.8)</caption></p> <p>증명 $ y= \log _ { a } M $ 이라 하자. 그러면<p>$ a ^ { y } =M $<caption>정의 6.4.1</caption></p> <p>$ \log _ { b } a ^ { y } = \log _ { b } M $<caption>성질 (6.5.6)</caption></p> <p>$ y \log _ { b } a= \log _ { b } M $<caption>성질 (6.5.5)</caption></p> <p>$ y= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } $<caption>( $ y $에 대하여 푼다.)</caption></p> <p>$ \log _ { a } M= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } $<caption>( $ y= \log _ { a } M $)</caption></p> <h2>보기 $ 6.5 .13 $ 밑변환공식의 사용</h2> <p>근사 값을 구하라.</p> <p>(a) $ \log _ { 5 } 89 $</p> <p>(b) $ \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } $</p> <p>답을 소수 넷째자리까지 써라.</p> <p>풀이</p> <p>(a) $ \log _ { 5 } 89= \frac {\log 89 } {\log 5 } \approx \frac { 1.94939 } { 0.69897 } =2.7889 $ 또는</p> <p>$ \log _ { 5 } 89= \frac {\ln 89 } {\ln 5 } \approx \frac { 4.4886 } { 1.6094 } =2.7889 $.</p> <p>(b) $ \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } = \frac {\log \sqrt { 5 } } {\log \sqrt { 2 } } \approx 2.3219 $ 또는</p> <p>$ \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } = \frac {\ln \sqrt { 5 } } {\ln \sqrt { 2 } } \approx 2.3219 $</p> <p>$ (a, b) $ 는 $ y=f(x) $ 로 정의되는 1 대1함수 $ f $ 의 그래프 위의 점이라 가정하자. 그러면 $ b=f(a) $. 이것은 $ a=f ^ { -1 } (b) $ 임을 의미한다. 그러므로 $ (b, a) $ 는 역함수 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프 위의 점이다. $ f $ 위의 점 $ (a, b) $ 와 $ f ^ { -1 } $ 위의 점 $ (b, a) $ 사이의 관계가 그림 6.2.4에서 보여진다. $ (a, b) $ 와 $ (b, a) $ 를 포함하는 선분은 직선 $ y=x $ 에 수직이고 직선 $ y=x $ 에 의하 여 2 등분 된다(여러분 그 이유를 아는가?). $ f ^ { -1 } $ 위의 점 $ (b, a) $ 는 직선 $ y=x $ 에 관한 $ f $ 위의 점 $ (a, b) $ 의 반사가 된다.</p> <p>정리 6.2.4 함수 $ f $ 의 그래프와 역함수 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프 사이의 관계</p> <p>함수 $ f $ 의 그래프와 그 역함수 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프는 직선 $ y=x $ 에 관하여 대칭이다.</p> <p>그림 6.2.5는 이 결과를 설명한다. 일단 $ f $ 의 그래프가 알려지면, 직선 $ y=x $ 에 관하여 $ f $ 의 그래프를 반사함으로써 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프를 얻을 수 있다.</p> <h2>$ 6.2 .4 $ 역함수를 구하기</h2> <p>1 대 1 함수 $ f $ 와 역함수 $ f ^ { -1 } $ 의 그래프들이 직선 $ y=x $ 에 관하여 대칭이라는 사실은 우리에게 더 많은 것을 말해준다. 이 사실은 $ f $ 에서 $ x $와 $ y $ 의 역할을 서로 바꾸어 줌으로써 우리가 $ f ^ { -1 } $ 을 얻을 수 있음을 말한다. 다시 그림 6.2.5를 살펴보자. $ f $ 가 방정식 $ y=f(x) $로 정의되면, $ f ^ { -1 } $ 는 방정식 $ x=f(y) $로 정의된다. 방정식 $ x=f(y) $ 는 음함수꼴로 $ f ^ { -1 } $ 를 정의한다. 우리가 이 방정식을 $ y $ 에 대하여 풀 수 있으면, 우리는 $ f ^ { -1 } $ 의 양함수 꼴, 즉, $ y=f ^ { -1 } (x) $를 가질 것이다.</p> <h2>6.5.2 로그식을 하나의 식으로 쓰기</h2> <p>성질 (6.5.3), (6.5.4)와 (6.5.5)의 다른 사용은 같은 밑을 갖는 로그의 합과 (또는) 차를 하나의 로그로 쓰는 것이다. 이 기술은 다음 절에서 논의 되는 어떤 로그 방정식을 풀 때에 필요하게 될 것이다.</p> <p>보기 $ 6.5 .9 $ 로그식을 하나의 로그로 쓰기</p> <p>다음 각 식을 하나의 로그로 써라.</p> <p>(a) $ \log _ { a } 7 + 4 \log _ { a } 3 $</p> <p>(b) $ \frac { 2 } { 3 } \ln 8- \ln \left (3 ^ { 4 } -8 \right ) $</p> <p>(c) $ \log _ { a } x + \log _ { a } 9 + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )- \log _ { a } 5 $</p> <p>풀이</p> <p>(a) $ \begin {aligned} \log _ { a } 7 + 4 \log _ { a } 3 &= \log _ { a } 7 + \log _ { a } 3 ^ { 4 } \\ &= \log _ { a } 7 + \log _ { a } 81 \\ &= \log _ { a } (7 \cdot 81) \\ &= \log _ { a } 567 \end {aligned} $</p> <p>(b) $ \begin {aligned} \frac { 2 } { 3 } \ln 8- \ln \left (3 ^ { 4 } -8 \right ) &= \ln 8 ^ { 2 / 3 } - \ln (81-8) \\ &= \ln 4- \ln 73 \\ &= \ln \left ( \frac { 4 } { 73 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>(c) $ \begin {aligned} \log _ { a } x + \log _ { a } 9 + \log _ { a } & \left (x ^ { 2 } + 1 \right )- \log _ { a } 5 \\ &= \log _ { a } (9 x) + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )- \log _ { a } 5 \\ &= \log _ { a } \left [9 x \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \right ]- \log _ { a } 5 \\ &= \log _ { a } \left [ \frac { 9 x \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) } { 5 } \right ] \end {aligned} $</p> <p>$ f $ 와 $ g $ 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, $ g \circ f $ 의 정의역은 모든 실수들이다.</p> <p>보기 $ 6.1 .3 $ 합성함수 구하기</p> <p>$ f(x)= \frac { 1 } { x + 2 } $ 이고 $ g(x)= \frac { 4 } { x-1 } $ 라 하자. 다음 각각을 구하라.</p> <p>(a) $ f \circ g $</p> <p>(b) $ f \circ f $</p> <p>풀이</p> <p>(a)</p> <p>$ \begin {aligned} (f \circ g)(x)=& f(g(x))=f \left ( \frac { 4 } { x-1 } \right )= \frac { 1 } {\frac { 4 } { x-1 } + 2 } \\=& \frac { x-1 } { 4 + 2(x-1) } = \frac { x-1 } { 2 x + 2 } = \frac { x-1 } { 2(x + 1) } . \\ & \uparrow \frac { x-1 } { x-1 } \text { 을 곱한다. } \end {aligned} $</p> <p>(b)</p> <p>$ \begin {aligned} (f \circ f)(x) &=f(f(x))=f \left ( \frac { 1 } { x + 2 } \right )= \frac { 1 } {\frac { 1 } { x + 2 } + 2 } \\ &= \frac { x + 2 } { 1 + 2(x + 2) } = \frac { x + 2 } { 2 x + 5 } . \end {aligned} $</p> <p>보기 6.1.4 두 합성함수가 같음을 증명하기</p> <p>$ f(x)=3 x-4 $ 이고 $ g(x)= \frac { 1 } { 3 } (x + 4) $ 일 때 $ f \circ g=g \circ f $ 임을 증명하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} (f \circ g)(x) &=f(g(x)) & & g(x)= \frac { 1 } { 3 } (x + 4)= \frac { x + 4 } { 3 } \\ &=f \left ( \frac { x + 4 } { 3 } \right ) & & g(x) \text { 를 } f \text { 에 대한 규칙 } \\ &=3 \left ( \frac { x + 4 } { 3 } \right )-4 & & f(x)=3 x-4 \text { 에 대입한다. } \\ &=x + 4-4=x & & \end {aligned} $</p> <p>(a) $ 1.2 ^ { 4 } =m $</p> <p>(b) $ e ^ { a } =9 $</p> <p>(c) $ a ^ { 5 } =24 $</p> <p>풀이</p> <p>우리는 정의 6.4.1을 사용한다.</p> <p>(a) $ 1.2 ^ { 4 } =m $ 이면, $ 4= \log _ { 1.2 } m $.</p> <p>(b) $ e ^ { a } =9 $ 면, $ a= \log _ { e } 9 $.</p> <p>(c) $ a ^ { 5 } =24 $ 면, $ 5= \log _ { a } 24 $.</p> <p>보기 6.4.4 로그 식을 지수 식으로 바꾸기<p>각 로그 식을 지수를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸라.</p> <p>(a) $ \log _ { a } 5=7 $</p> <p>(b) $ \log _ { e } a=-4 $</p> <p>(c) $ \log _ { 3 } 7=b $.</p> <p>풀이</p> <p>정의 6.4.1을 사용한다.</p> <p>(a) $ \log _ { a } 5=7 $ 이면, $ a ^ { 7 } =5 $.</p> <p>(b) $ \log _ { e } a=-4 $ 면, $ e ^ { -4 } =a $.</p> <p>(c) $ \log _ { 3 } 7=b $ 면, $ 3 ^ { b } =7 $.</p> <h2>6.4.2 로그의 값</h2> <p>로그의 정확한 값을 구하기 위하여, 로그를 지수표시로 쓰고 $ a ^ { u } =a ^ { v } $ 면 $ u=v $ 인 사실을 사용한다.</p> <p>보기 $ 6.4 .5 $ 로그 식의 정확한 값을 구하기</p> <p>다음 각각의 정확한 값을 구하라.</p> <p>(a) $ \log _ { 2 } 16 $</p> <p>(b) $ \log _ { 3 } \frac { 1 } { 27 } $</p> <p>풀이</p> <p>(a)</p> <p>$ \begin {array} { ll } y= \log _ { 2 } 16 & \\ 2 ^ { y } =16 & \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ 2 ^ { y } =2 ^ { 4 } & 16=2 ^ { 4 } \\ y=4 & a ^ { u } =a ^ { v } \text { 이면 } u=v \\ \text { 따라서 } \log _ { 2 } 16=4 & \end {array} $</p> <p>주목 몇몇 학생들이 공통으로 잘못을 하는 것은 합의 로그를 각각의 로그의 합으로 나타내는 것이다. \[ \log _ { a } (M + N) \neq \log _ { a } M + \log _ { a } N \]</p> <p>옳은 명제 $ \log _ { a } (M N)= \log _ { a } M + \log _ { a } N $.<caption>성질 (6.5.3)</caption></p> <p>또 다른 공통의 잘못은 로그의 차를 로그의 몫으로 나타내는 것이다. \[ \log _ { a } M- \log _ { a } N \neq \frac {\log _ { a } M } {\log _ { a } N } \]</p> <p>옳은 명제 $ \log _ { a } M- \log _ { a } N= \log _ { a } \left ( \frac { M } { N } \right ) $.<caption>성질 (6.5.4)</caption></p> <p>세 번째 공통의 잘못은 거듭제곱된 로그를 로그에 지수배의 곱으로 나타내는 것이다. \[ \left ( \log _ { a } M \right ) ^ { r } \neq r \log _ { a } M \]</p> <p>옳은 명제 $ \log _ { a } M ^ { r } =r \log _ { a } M $.<caption>성질 (6.5.5)</caption></p> <p>다음은 로그함수 $ y= \log _ { a } x $ 가 1대 1 이라는 사실의 직접적인 결과다.</p> <p>정리 6.5.10 로그의 성질 (IV)</p> <p>$ M, N $ 과 $ a $ 는 임의의 실수고 $ a \neq 1 $ 라 하자.</p> <p>$ M=N \Leftrightarrow \log _ { a } M= \log _ { a } N $<caption>(6.5.6)</caption></p> <p>성질 (6.5.6)은 다음 절에서 논의되는 지수와 로그 방정식을 푸는데 사용된다.</p> <h2>6.5.3 10 또는 $ e $ 이외의 밑을 갖는 로그의 값</h2> <p>밑이 10 인 로그, 즉, 상용로그는 계산기가 널리 사용되기 전에 산수계산을 쉅게 하기 위하여 사용되었다. 밑이 $ e $ 인 로그, 즉, 자연로그는 여전히 매우 중요하다. 왜냐면 자연로그는 자연현상의 연구에 자주 발생하기 때문이다. 보통 사용로그 $ \log _ { 10 } x $ 는 밑 10 을 생략하고 $ \log x $ 로 쓴다.</p> <p>(b) $ g(x)= \log _ { 5 } \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right ) $</p> <p>(c) $ h(x)= \log _ { 1 / 2 } \|x\| $</p> <p>풀이</p> <p>(a) 정리 6.4.6에 의하여, $ f $ 의 정의역은 $ x + 5>0 $ 인 모든 실수 $ x $ 로 이루어진다. 따라서 $ f $ 의 정의역은 $ \{ x: x>-5 \} $ 또는 $ (-5, \infty) $ 다.</p> <p>(b) 정리 6.4.6에 의하여, $ g $ 의 정의역은 \[ \frac { 1-x } { 1 + x } >0 \]로 제한된다. 이 부등식을 풀면, $ -1<x<1 $. 따라서 $ g $ 의 정의역은 $ \{ x:-1<x<1 \} $ 또는 구간 $ (-1,1) $ 이다.</p> <p>(c) 정리 6.4.6에 의하여, $ h $ 의 정의역은 $ \|x\|>0 $ 인 모든 실수 $ x $ 로 이루어진다. 그런데 $ x \neq 0 $ 이면 $ \|x\|>0 $. 따라서 $ h $ 의 정의역은 $ \{ x: x \neq 0 \} $ 또는 $ (- \infty, 0) $ 또는 $ (0, \infty) $ 다.</p> <h2>6.4.4 로그함수의 그래프</h2> <p>지수함수와 로그함수는 서로 역이므로, 로그함수 $ y= \log _ { a } x $ 의 그래프는 직선 $ y=x $ 에 대한 지수함수 $ y=a ^ { x } $ 의 그래프의 반사다. 그림 6.4.1을 보라.</p> <p>정리 6.4.8 로그함수의 성질</p> <p>로그함수 $ f(x)= \log _ { a } x $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>정의역은 양의 실수집합이고, 치역은 모든 실수들의 집합이다.</li> <li>이 그래프의 $ x $-절편은 1 이고, $ y $-절편은 존재하지 않는다.</li> <li>$ y $-축 $ (x=0) $ 은 이 그래프의 세로점근선이다.</li> <li>$ f $ 는 $ 0<a<1 $ 이면 감소하고 $ a>1 $ 이면 증가한다.</li> <li>$ f $ 의 그래프는 점 $ (1,0),(a, 1) $ 과 $ \left ( \frac { 1 } { a } ,-1 \right ) $ 을 포함한다.</li> <li>$ f $ 의 그래프는 돌출부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다.</li></ol> <p>정의 $ 6.4 .9 $ 자연로그함수<p>밑이 수 $ e $ 인 로그함수 $ y= \log _ { e } x $ 를 자연로그함수(natural logarithm function)라 하고 $ \log _ { e } $ 를 기호 $ \ln $ (라틴어 logarithmus naturalis에서 따옴)으로 쓴다. 따라서</p> <h1>$ 6.1 $ 합성함수</h1> <p>함수 $ y = (2 x + 5) ^ { 2 } $ 을 생각하자. 우리가 $ y=f(u)=u ^ { 2 } $ 과 $ u=g(x)=2 x + 5 $ 라 하면, 대입과정에 의하여, 우리는 원래의 함수를 얻을 수 있다. $ y=f(u)=f(g(x))=(2 x + 5) ^ { 2 } $. 이 과정을 합성(composition)이라 한다.</p> <p>일반적으로, $ f $ 와 $ g $ 는 $ x $ 가 $ g $ 의 정의역에 속하는 수인 두 함수라 가정하자. $ x $ 에서 $ g $ 의 값을 구함으로써, 우리는 $ g(x) $ 를 얻는다. $ g(x) $ 가 $ f $ 의 정의역의 원이면, 우리는 $ g(x) $ 에서 $ f $ 의 값을 구할 수 있고 그 때문에 식 $ f(g(x)) $ 를 얻는다. $ x $ 에서 $ f(g(x)) $ 까지의 대응을 합성함수 $ f \circ g $ 라 한다.</p> <p>정의 $ 6.1 .1 $ 합성함수</p> <p>두 함수 $ f $ 와 $ g $ 의 합성함수(composition function)는 기호 $ f \circ g $ 로 쓰고 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[(f \circ g)(x)=f(g(x)) . \]</p> <p>$ f \circ g $ 의 정의역은 $ g(x) $ 가 $ f $ 의 정의역에 속하는 $ g $ 의 정의역의 모든 원 $ x $ 들의 집합이다.</p> <p>그림 5.1.2는 합성함수의 정의에 대한 실례를 제공한다. $ f(g(x)) $ 안에서 합수 $ g $ 의 "내부"가 처음에 실행됨에 주목하라.</p> <p>보기 $ 6.1 .1 $ 합성함수의 값을 구하기</p> <p>$ f(x)=2 x ^ { 2 } -3 $ 이고 $ g(x)=4 x $ 라 하자. 다음 각각을 구하라.</p> <p>(a) $ (f \circ g)(1) $</p> <p>(b) $ (g \circ f)(1) $</p> <p>(c) $ (f \circ f)(-2) $</p> <p>(d) $ (g \circ g)(-1) $</p> <p>풀이</p> <p>(a)</p> <p>$ \begin {array} { } (f \circ g)(1)=f(g(1))=f(4)=2 \cdot 4 ^ { 2 } -3=29. \\ \quad \begin {array} { l } g(x)=4 x \uparrow \\ g(1)=4 \end {array} \qquad \uparrow_ { f(x)=2 x ^ { 2 } -3 } & \\ \end {array} $</p> <p>$ = \log _ { a } x + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 1 / 2 } $ $ = \log _ { a } x + \frac { 1 } { 2 } \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) $성질 (6.5.5)</caption></p> <p>보기 6.5.7 로그 식을 로그의 차로 쓰기<p>\[ \ln \frac { x ^ { 2 } } { (x-1) ^ { 3 } } \]을 로그의 차로 써라. 모든 거듭제곱은 인수로 나타내라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \ln \frac { x ^ { 2 } } { (x-1) ^ { 3 } } = \ln x ^ { 2 } - \ln (x-1) ^ { 3 } =2 \ln x-3 \ln (x-1) $</p> <p>보기 $ 6.5 .8 $ 로그 식을 로그의 합과 차로 쓰기</p> <p>$ \log _ { a } \frac { x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } { (x + 1) ^ { 4 } } $을 로그의 합과 차로 써라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \log _ { a } \frac { x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } { (x + 1) ^ { 4 } } = \log _ { a } \left (x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right )- \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } \quad $<caption>성질 (6.5.4)</caption> <p> <p>$ = \log _ { a } x ^ { 3 } + \log _ { a } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } \quad $<caption>성질 (6.5.3)</caption> <p> <p>$ = \log _ { a } x ^ { 3 } + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 1 / 2 } - \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } $<p> <p>$ =3 \log _ { a } x + \frac { 1 } { 2 } \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )-4 \log _ { a } (x + 1) $.<caption>성질 (6.5.5)</caption></p> <p>우리는 변환을 사용하여 \[y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \]의 그래프를 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프로부터 얻을 수 있다. $ f(x)=2 ^ { x } $ 면, \[f(-x)=2 ^ { -x } = \frac { 1 } { 2 ^ { x } } = \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \]이다. 그래서</p> <p>\[y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } =2 ^ { -x } \]의 그래프는 $ y $-축에 대한 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프의 반사다. 그림 6.3.1과 그림 6.3.3을 비교하라. 그림 6.3.3에 있는 \[f(x)= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \] 의 그래프는 0과 1 사이에 있는 밑을 갖는 모든 지수함수를 대표한다. 그들의 그래프는 $ x $-축 위쪽에 있고, 점 $ (0,1) $ 을 지난다. 이 그래프들은 $ x \rightarrow- \infty $ 일 때 급속히 증가 한다. $ x \rightarrow \infty $ 일 때, $ x $-축 $ (y=0) $ 은 가로 점근선이다. 세로점근선은 존재하지 않는다. 마지막으로, 이 그래프들은 돌출부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>정리 6.3.8 지수함수 성질(II)</p> <p>$ f(x)=a ^ { x } , 0<a<1 $ 는 임의의 함수라 하자.</p> <ol type= start=6><li>정의역은 모든 실수들의 집합이고; 치역은 양의 실수들의 집합이다.</li> <li>$ x $-절편은 존재하지 않고; $ y $-절편은 1 이다.</li> <li>$ x $-축 $ (y=0) $ 은 $ x \rightarrow \infty $ 일 때 가로점근선이다.</li> <li>$ f $ 는 감소함수고 1 대 1 이다.</li> <li>$ f $ 의 그래프는 점 $ (0,1),(1, a) $ 와 $ \left (-1, \frac { 1 } { a } \right ) $ 을 포함한다.</li> <li>$ f $ 의 그래프는 돌출부분도 끊어짐도 없는 매끄럽고 연속이다. 그림 6.3.4를 보라.</li></ol> <p>정의 6.3.9 무리수 $ \boldsymbol { e } $</p> <p>표 6.3.3은 $ n $ 이 증가하는 큰 값을 취할 때 식 (6.3.1)에 어떤 일이 발생하는가를 설명한다. 밑이 무리수 $ e $ 인 지수함수 $ f(x)=e ^ { x } $ 은 응용에서 흔히 발생한다.</p> <h1>$ 6.4 $ 로그함수</h1> <h2>$ 6.4 .1 $ 로그함수</h2> <p>1 대 1 함수 $ y=f(x) $ 는 방정식 $ x=f(y) $ 에 의하여 (암시적으로) 정의되는 역함수를 가짐을 상기하라. 특히, 지수함수 $ y=f(x)=a ^ { x } (a>0, a \neq 1) $ 은 1 대 1 이고 따라서 방정식 \[x=a ^ { y } (a>0, a \neq 1) \]에 의하여 암시적으로 정의되는 역함수를 갖는다. 이 역함수는 매우 중요하고 이 함수의 이름을 로그함수라 한다.</p> <p>정의 6.4.1 로그함수</p> <p>밑 $ a $ 의 로그함수(logarithmic function to the base $ a $ )는 기호 $ y= \log _ { a } x $ (" $ y $ 는 밑 $ a $ 에 대한 $ x $ 의 로그다"라고 읽음)로 쓰고 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ y= \log _ { a } x \Leftrightarrow x=a ^ { y } $</p> <p>여기서 $ a>0, a \neq 1 $ 이다. 로그함수 $ y= \log _ { a } x $ 의 정의역은 집합 $ \{ x: x>0 \} $ 이다.</p> <p>보기 $ 6.4 .2 $ 로그를 지수에 관련시키기</p> <p>(a) $ y= \log _ { 2 } x $ 면, $ x=2 ^ { y } $. 예로써, $ 4= \log _ { 2 } 16 \Leftrightarrow 16=2 ^ { 4 } $.</p> <p>(b) $ y= \log _ { 5 } x $ 면, $ x=5 ^ { y } $. 예로써, $ -1= \log _ { 5 } \left ( \frac { 1 } { 5 } \right ) \Leftrightarrow \frac { 1 } { 5 } =5 ^ { -1 } $.</p> <p>보기 6.4.3 지수 식을 로그 식으로 바꾸기</p> <p>각 지수 식을 로그를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸라.</p> <p>(b)</p> <p>$ \begin {array} { ll } y= \log _ { 3 } \frac { 1 } { 27 } & \\ 3 ^ { y } = \frac { 1 } { 27 } & \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ 3 ^ { y } =3 ^ { -3 } & \frac { 1 } { 27 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } =3 ^ { -3 } \\ y=-3 & a ^ { u } =a ^ { v } \text { 이면 } u=v \\ \text { 따라서 } \log _ { 3 } \frac { 1 } { 27 } =-3 . & \end {array} $</p> <h2>6.4.3 로그함수 로그함수의 정의역</h2> <p>로그함수 $ y= \log _ { a } x $ 는 지수함수 $ y=a ^ { x } $ 의 역으로 정의되었다. 즉, $ f(x)=a ^ { x } $ 면, $ f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x $. 역함수에 대한 $ 6.2 $ 절에서 주어진 논의에 근거하여, 우리는 함수 $ f $ 와 그 역함수 $ f ^ { -1 } $ 에 대하여 다음의 사실을 안다.</p> <p>$ f ^ { -1 } $ 의 정의역 $ =f $ 의 치역이고 $ \quad f ^ { -1 } $ 의 치역 $ =f $ 의 정의역.</p> <p>따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>정리 6.4.6 로그함수의 정의역과 치역</p> <p>$ y= \log _ { a } x(a>0, a \neq 1) $ 는 임의의 로그함수라 하자. 그러면</p> <p>정의역 : $ (0, \infty) $; 치역 : $ (- \infty, \infty) $</p> <p>로그함수의 정의역은 양의 실수로 이루어짐에 주목하라. 이것은 로그함수의 독립변수는 0보다 더 커야만 한다는 것을 의미한다.</p> <p>보기 $ 6.4 .7 $ 로그함수의 정의역을 구하기</p> <p>다음 각 함수의 정의역을 구하라.</p> <p>(a) $ f(x)= \log _ { 2 } (x + 5) $</p> <p>$ 1 ^ { s } =1, \quad a ^ { -s } = \frac { 1 } { a ^ { s } } = \left ( \frac { 1 } { a } \right ) ^ { s } , \quad a ^ { 0 } =1 $.</p> <p>정의 6.3.3 지수함수</p> <p>지수함수(exponential function)란 다음과 같은 꼴의 함수를 말한다.</p> <p>$ f(x)=a ^ { x } $</p> <p>여기서 $ a>0 $ 이고 $ a \neq 1$. $f $ 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다.</p> <p>우리는 밑 $ a=1 $ 을 제외한다. 왜냐면, 이 함수는 단순히 상수함수 $ f(x)=1 ^ { x } =1 $ 이기 때문이다. 역시 우리는 음이 되는 밑을 제외할 필요가 있다. [$ (-2) ^ { 1 / 2 } = \sqrt { -2 } ,(-3) ^ { 3 / 4 } = \sqrt[4] { (-3) ^ { 3 } } . $ 등은 실수체계에서 정의되지 않음을 상기하라.]</p> <p>다음은 지수 함수에 대한 몇 가지 예다.</p> <p>$ f(x)=2 ^ { x } , g(x)= \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { x } , h(x)= \pi ^ { x } $.</p> <p>여러분은 지수함수 $ f(x)=a ^ { x } $ 에서 $ a $ 는 어떤 역할을 할까 이상하게 여길 수 있다. 우리는 다음의 탐구를 사용하여 알아본다.</p> <p>정리 6.3.4 지수함수의 기본성질</p> <p>$ f(x)=a ^ { x } \quad(a>0, a \neq 1) $ 은 임의의 지수함수고 $ x $ 는 임의의 실수라 하자. 그러면</p> <p>$ \frac { f(x + 1) } { f(x) } =a $</p> <p>증명 $ \frac { f(x + 1) } { f(x) } = \frac { a ^ { x + 1 } } { a ^ { x } } =a ^ { x + 1-x } =a ^ { 1 } =a $.</p> <h2>6.2.2 $ y=f(x) $ 의 역함수</h2> <p>$ f $ 가 단사함수이고 전사함수이면 그것의 역 또한 함수이다. 그러면 $ f $ 의 정의역의 각 원 $ x $ 에 대하여, $ (f $ 가 함수이기 때문에 $ ) $ 치역의 꼭 하나의 원 $ y $ 가 있고; $ f $ 의 치역의 각 원 $ y $ 에 대하여, $ (f $ 가 1 대1함수이기 때문에) 정의역의 꼭 하나의 원 $ x $ 가 있다. $ f $ 의 치역에서 $ f $ 의 정의역으로 반대 대응을 $ f $ 의 (inverse function of $ f $ )라 하고 기호 $ f ^ { -1 } $ 로 쓴다. 그림 6.2.2는 이 정의를 설명한다.</p> <p>주목 주의하라! $ f ^ { -1 } $ 는 $ f $ 의 역함수에 대한 기호다. $ f ^ { -1 } $ 에 사용된 -1은 지수가 아니다. 즉, $ f ^ { -1 } $ 는 $ f $ 의 역수가 아니다 ; $ f ^ { -1 } (x) $ 는 $ \frac { 1 } { f(x) } $ 과 같지 않다.</p> <p>이제 함수 $ f $ 와 그 역 $ f ^ { -1 } $ 에 관하여 두 가지 사실이 얻어진다.</p> <p>$ f $ 의 정의역 $ =f ^ { -1 } $ 의 치역, $ \quad f $ 의 치역 $ =f ^ { -1 } $ 의 정의역.</p> <p>이 관계를 눈에 보이게 하기 위하여 다시 그림 6.2.2를 살펴보자. 우리가 $ x $ 에서 시작하여, $ f $ 를 적용하고, 다음에 $ f ^ { -1 } $ 를 적용하게 되면, 우리는 다시 $ x $ 를 되찾는다. 우리가 $ x $ 에서 시작하여, $ f ^ { -1 } $ 를 적용하고, 다음에 $ f $ 를 적용하면, 우리는 다시 $ x $ 를 되찾는다. 즉, $ f $ 가 하는 것을 $ f ^ { -1 } $ 가 원상태로 돌리고 역도 마찬가지다.</p> <p>(b)</p> <p>$ \begin {array} { c } (g \circ f)(1)=g(f(1))=g(-1)=4 \cdot(-1)=-4 \text { . } \\ \begin {array} { l } f(x)=2 x ^ { 3 } -3 \\ f(1)=-1 \end {array} \uparrow \qquad \quad \uparrow g(x)=4 x \end {array} $</p> <p>(c)</p> <p>$ \begin {array} { r } (f \circ f)(-2)=f(f(-2))=f(5)=2 \cdot 5 ^ { 2 } -3=47 . \\ \uparrow f(-2)=2(-2) ^ { 2 } -3=5 \end {array} $</p> <p>(d)</p> <p>$ \begin {array} { } (g \circ g)(-1)=g(g(-1))=g(-4)=4 \cdot(-4)=-16 \\ \qquad \qquad \quad \uparrow g(-1)=-4 \end {array} $.</p> <p>보기 $ 6.1 .2 $ 합성함수의 값을 구하기</p> <p>$ f(x)=x ^ { 2 } + 3 x-1 $ 이고 $ g(x)=2 x + 3 $ 이라 하자. 다음 각각을 구하라.</p> <p>(a) $ f \circ g $</p> <p>(b) $ g \circ f $</p> <p>각 합성함수의 정의역을 말하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f $ 의 정의역과 $ g $ 의 정의역은 모든 실수들이다.</p> <p>(a)</p> <p>$ \begin {array} { } f \circ g=f(g(x))=f(2 x + 3)=(2 x + 3) ^ { 2 } + 3(2 x + 3)-1 \\ \qquad \qquad \qquad \uparrow_ { f(x)=x ^ { 2 } + 3 x-1 } \\ =4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 + 6 x + 9-1=4 x ^ { 2 } + 18 x + 17 \end {array} $</p> <p>$ f $ 와 $ g $ 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, $ f \circ g $ 의 정의역은 모든 실수들이다.</p> <p>(b)</p>$ \begin {array} { } g \circ f =g(f(x))=g \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right )=2 \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right ) + 3 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \uparrow_ { g(x) =2x + 3 } \\=2 x ^ { 2 } + 6 x-2 + 3=2 x ^ { 2 } + 6 x + 1 \end {array} $</p> <p>$ a ^ { x } \approx a ^ { r } $</p> <p>을 기대한다는 것은 온당하다.</p> <p>예로써, 무리수 $ \pi=3.14159 \cdots $ 를 취하자. 그러면 $ a ^ {\pi } $ 의 근사값(approximation)은</p> <p>$ a ^ {\pi } \approx a ^ { 3.14 } $</p> <p>다. 100 번째 위치 이후의 숫자는 $ \pi $ 에 대한 값으로부터 제거되었다. 더 좋은 근사값은</p> <p>$ a ^ {\pi } \approx a ^ { 3.14159 } $</p> <p>일 것이다. 여기서 10 만 번째 위치 이후의 숫자는 제거 되었다. 이 방법을 계속하여, 우리는 바라는 정확도에 따라서 $ a ^ {\pi } $ 의 근사값을 얻을 수 있다.</p> <p>보기 6.3.1 2 의 거듭제곱 값을 구하기 위하여 계산기를 사용하기</p> <p>계산기를 사용하여 다음의 각 값을 구하라.<p>(a) $ 2 ^ { 1.4 } $</p> <p>(b) $ 2 ^ { 1.41 } $</p> <p>(c) $ 2 ^ { 1.414 } $</p> <p>(d) $ 2 ^ { 1.4142 } $</p> <p>(e) $ 2 ^ {\sqrt { 2 } } $</p> <p>풀이</p> <p>(a) $ 2 ^ { 1.4 } \approx 2.639015822 $</p> <p>(b) $ 2 ^ { 1.41 } \approx 2.657371628 $</p> <p>(c) $ 2 ^ { 1.414 } \approx 2.66474965 $</p> <p>(d) $ 2 ^ { 1.4142 } \approx 2.665119089 $</p> <p>(e) $ 2 ^ {\sqrt { 2 } } \approx 2.665144143 $</p> <p>유리수지수에 대한 잘 아는 법칙들이 실수지수에 대하여 성립한다는 것을 증명할 수 있다.</p> <p>정리 6.3.2 지수법칙</p> <p>$ s, t, a $ 와 $ b $ 는 임의의 실수고 $ a>0, b>0 $ 라 하자. 그러면</p> <p>$ a ^ { s } \cdot a ^ { t } =a ^ { s + t } , \quad \left (a ^ { s } \right ) ^ { t } =a ^ { s t } , \quad(a b) ^ { s } =a ^ { s } \cdot b ^ { s } $,</p> <p>$ \begin {aligned} (g \circ f)(x) &=g(f(x)) & & \\ &=g(3 x-4) & & f(x)=3 x-4 \\ &= \frac { 1 } { 3 } [(3 x-4) + 4] & & f(x) \text { 를 } g \text { 에 대한 규칙 } \\ &= \frac { 1 } { 3 } (3 x)=x & & g(x)= \frac { 1 } { 3 } (x + 4) \text { 에 대입한다. } \end {aligned} $</p> <p>그래서 $ (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x $. 따라서 $ f \circ g=g \circ f $.</p> <h1>$ 6.2 $ 역함수</h1> <h2>$ 6.2 .1 $ 함수의 역을 결정하기</h2> <p>우리는 함수 $ f $ 를, 정의역으로부터 입력 $ x $ 를 받아, 그것을 솜씨 있게 처리하여, 값 $ f(x) $ 를 출력하는, 기계로 생각할 수 있다고 말했다. $ f $ 의 역(inverse of $ f) $ 은 입력 $ f(x) $ 를 받아, 그것을 솜씨 있게 처리하여, 값 $ x $ 를 출력한다(역함수와 구별필요).</p> <p>보기 $ 6.2 .1 $ 함수의 역</p> <p>다음 함수의 역을 구하라.</p> <p>(a) 이 함수의 정의역은 $ \mathrm { A } $ 회사의 종업원을 나타내고 치역은 그들의 기본 봉급을 나타낸다.</p> <p>(b) 이 함수의 정의역은 $ \mathrm { A } $ 회사의 종업원을 나타내고 치역은 그들의 이름을 나타낸다.</p> <p>풀이</p> <p>(a) 정의역의 원들은 함수에서 입력들을 나타내고, 치역의 원들은 출력을 나타낸다. 역을 구하기 위하 여, 정의역의 원과 치역의 원을 서로 바꾸어 놓는다. 예로써, 이 합수는 입력으로 박씨를 받고 1,500,000 원을 출력한다. 그러므로 역은 입력으로 1,500,000원을 받고 박씨를 출력한다. 따라서 주어진 함수의 역은 다음과 같은 꼴이다.</p> <p>(b) 주어진 함수의 역은 다음과 같다.</p> <p>함수 $ f $ 가 순서 짝 $ (x, y) $ 들의 집합이면, $ f $ 의 역은 순서 짝 $ (y, x) $ 들의 집합이다.</p> <p>정의 6.2.3 단사함수(1대1함수)와 전사함수</p> <ol type= start=1><li>$ f $ 가 1대1함수(one-to-one function) 또는 단사함수(injective function)이다 $ \Leftrightarrow f $ 의 정의역의 임의의 원 $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 2 } $ 에 대하여, $ x_ { 1 } \neq x_ { 2 } $ 면 $ f \left (x_ { 1 } \right ) \neq f \left (x_ { 2 } \right ) $ 이다.</li> <li>$ f: X \rightarrow Y $ 가 있다 하자. $ f(X)=Y $ 이면 $ f $ 를 전사함수(onto function, surjective function)라고 한다.</li> <li>전사이고 단사인 함수를 전단사함수 또는 1 대 1 대응함수라 한다.</li></ol> <p>바꾸어 말하면, 치역의 어떠한 원 $ y $ 도 정의역의 두 개 이상의 원 $ x $ 의 상이 아니면 $ f $ 는 1 대 1 함수다. 정의역의 다른 두 원이 치역의 같은 원에 대웅하면 $ f $ 는 1 대 1 함수가 아니다. 보기 6.2.2(b)에서 원 $ -3 $과 3은 모두 9 에 대웅한다. 그러므로 이 함수는 1 대 1 함수가 아니다. 그림 6.2.1은 1 대1 대응함수의 정의를 설명한다.</p>	자연
미적분학_미분의 응용	<p>예제 1 $ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\cos x } {\sin x-1 } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \cos x = 0= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } ( \sin x-1) $ 이므로 로피탈의 법칙 (a)를 적용하자. \[ \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac {\cos x } {\sin x-1 } = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } \frac { - \sin x } {\cos x } = \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } ^ { - } } (- \tan x)=- \infty \] 다음 예제는 로피탈의 법칙을 계속해서 두 번 적용하여 극한을 구할 수 있음을 보여준다.</p> <p>예제2 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -x-1 } { x ^ { 2 } } \equiv $ 을 구하여라.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (e ^ { x } -x-1 \right )=0= \lim _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } $ 이므로 로피탈의 법칙에 의해 얻어지는 다읍 식 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -x-1 } { x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { 2 x } \] 에서 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (e ^ { x } -1 \right )=0= \lim _ { x \rightarrow 0 } 2 x $ 이므로, 로피탈의 법칙을 다시 적용하여 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { 2 x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \] 을 얻는다.</p> <p>$ \left [ \right . $ 부정형 $ \left . \frac {\infty } {\infty } \right ] $ 이제, $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)= \infty $ 또는 $ - \infty $ 이고, $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } g(x)= \infty $ 또는 $ - \infty $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f(x) } { g(x) } $ 는 부정형 $ \frac {\infty } {\infty } $ 를 갖는다고 한다. 부정형 $ \frac {\infty } {\infty } $ 의 극한을 포함한 로피탈의 법칙 두 번째 내용을 알아보자. 증명은 생략하기로 한다.</p> <p>정의 3.18 (로피탈의 법칙) (a) $ f $ 와 $ g $ 가 $ (a, b) $ 에서 미분가능이고, $ a<x<b $ 에 대해 $ g ^ {\prime } (x) \neq 0 $ 이라고 하자. \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)= \infty \text { 또는 } - \infty, \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } g(x)= \infty \text { 또는 } - \infty, \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다. (b) $ f $ 와 $ g $ 가 $ (a, \infty) $ 에서 미분가능이고, $ x>a $ 에 대해 $ g ^ {\prime } (x) \neq 0 $ 이라고 하자. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty \text { 또는 } - \infty, \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x)= \infty \text { 또는 } - \infty, \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다. (a)에서 $ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } $대신 $ \lim _ { x \rightarrow b ^ { - } } $또는 $ \lim _ { x \rightarrow c } (c \in(a, b)) $ 를, (b)에서 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } $ 대신 $ \lim _ { x \rightarrow- \infty } $ 를 적용시켜도 결과는 같다.</p>	자연
M337-선형대수학	<h1>8.4 대각화, 고유값, 고유벡터</h1> <p>$ A=\left[a_{i j}\right] $를 $ n $정방행렬이라 하자. $ A $가 대각행렬 $ D=\operatorname{diag}\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}\right) $과 유사행렬일 필요충분조건은 다음을 만족시키는 한 기저 $ S=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots\right. $, $ \left.u_{n}\right\} $이 존재하는 것이다. \[\begin{array}{l}A u_{1}=k_{1} u_{1} \\A u_{2}=k_{2} u_{2} \\A u_{n}=\quad k_{n} u_{n} \\\end{array}\]이 경우 행렬 $ A $ 를 대각화 가능(diagonizable)하다고 한다. 더구나 $ P $가 기저벡터 $ u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n} $들을 각 열로 가지는 정칙행렬일 때 $ D=P^{-1} A P $이다. 위의 개념을 정리하면 다음과 같은 정의를 할 수 있다.</p> <p>$정의 8.1 $ $ A $ 를 임의의 정방행렬이라 하자.\[A v=\lambda v\]를 만족시키는 0이 아닌 벡터 $ v $가 존재할 때 스칼라 $ \lambda $를 $ A $의 고유값(치) (eigenvalues)이라고 한다. 또한 이 관계를 만족시키는 벡터 $ v $를 고유값 $ \lambda $의 고유벡터(eigenvector)라 한다.</p> <p>임의의 스칼라 $ k $에 대하여\[A(k v)=k(A v)=k(\lambda v)=\lambda(k v)\]</p> <p>이므로 $ \lambda $의 고유벡터 $ v $의 $ k $배 $ k v $또한 $ \lambda $의 고유벡터가 된다. 이러한 모든 벡터들의 집합 $ E_{\lambda} $는 $ V $의 부분공간이다(유제 8.11). 이 부분공간을 $ \lambda $의 고유공간(eigenspace)이라 한다. $ \operatorname{dim} E_{\lambda}=1 $이면 $ E_{\lambda} $를 고유선(eigenline)이라 부르고 $ \lambda $를 비례인수(scaling factor)라 부른다.</p> <p>특성값(characteristic value), 특성벡터(characteristic vector) 또는 proper value, proper vector라는 말들이 고유값, 고유벡터 대신 쓰이기도 한다. 위의 관찰과 정의들은 다음 정리를 유도한다.</p> <p>$정리 8.6 $ $ n $정방행렬 $ A $가 대각행렬 $ D $와 유사할 필요충분조건은 $ A $가 $ n $개의 선형 독립인 고유벡터를 갖는 것이다. 이 경우 $ D $의 대각성분은 고유값과 일치하고 $ D=P^{-1} A P $를 만족한다. 여기서 $ P $의 각 열은 바로 고유값에 대응하는 고유벡터들이다.</p> <p>$ A $가 위에서처럼 대각화 가능하다고 하자. 즉 $ P^{-1} A P=D(D $는 대각행렬)이다. 그러면 $ A $는 절대적으로 유용한 대각인수분해(diagonal factorization)\[A=P D P^{-1}\]를 갖는다. 이 대각인수분해를 사용하여 $ A $ 에 관한 연산은 $ D $에 관한 연산(훨씬 쉽다)으로 축소된다. 특히 $ D=\operatorname{diag}\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}\right) $이면\[A^{m}=\left(P D P^{-1}\right)^{m}=P D^{m} P^{-1}=P \operatorname{diag}\left(k_{1}^{m}, \ldots, k_{n}^{m}\right) P^{-1}\]이다. 더 일반적으로 모든 다항식 $ f(t) $에 대하여\[f(A)=f\left(P D P^{-1}\right)=P f(D) P^{-1}=P \operatorname{diag}\left(f\left(k_{1}\right), \ldots, f\left(k_{n}\right)\right) P^{-1}\]이다. 더구나 만약 $ D $의 대각성분들이 음이 아닐 때\[B=P \operatorname{diag}\left(\sqrt{k_{1}}, \sqrt{k_{2}}, \ldots, \sqrt{k_{n}}\right) P^{-1}\]이라 하면 $ B $는 $ A $의 음이 아닌 제곱근이다. 즉 $ B^{2}=A $이고 $ B $의 고유값\[ \sqrt{k_{1}}, \sqrt{k_{2}}, \ldots, \sqrt{k_{n}}\]은 음이 아니다.</p> <p>$보기8.5$ $ A=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\ 2 & 2\end{array}\right], v_{1}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -2\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] $이라 하자. 그러면\[\begin{aligned}A v_{1} &=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}1 \\-2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1 \\-2\end{array}\right]=v_{1}, \\A v_{2} &=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}1 \\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}4 \\4\end{array}\right]=4 v_{2}\end{aligned}\]이다(여기서 고유값과 고유벡터를 구하는 방법은 소개되지 않았다). 그러므로 $ v_{1} $과 $ v_{2} $는 고유값 $ \lambda_{1}=1 $과 $ \lambda_{2}=4 $에 속하는 $ A $의 고유 벡터들이다. $ v_{1} $과 $ v_{2} $는 선형 독립이므로 $ \mathbb{R}^{2} $의 기저를 형성한다. 따라서 $ A $는 대각화 가능하다. 더구나 $ P $를 고유벡터 $ v_{1} $과 $ v_{2} $를 열로 갖는 행렬이라 하자. 즉\[P=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right] \text { 이므로 } P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\\frac{2}{3} & \frac{1}{3}\end{array}\right]\]이라 하자. 그러면 $ A $는 대각행렬\[D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}1 / 3 & -1 / 3 \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\2 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 4\end{array}\right]\]</p> <p>와 유사행렬이다. 기대했던 대로 $ D $의 대각성분 1과 4는 $ P $의 열을 이루는 고유벡터 $ v_{1} $과 $ v_{2} $에 대응하는 고유값이다. 특히 $ A $는 인수분해\[A=P D P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 / 3 & -1 / 3 \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]\]을 갖는다. 따라서</p> <p>\[A^{4}=P D^{4} P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 4^{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 / 3 & -1 / 3 \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}171 & 85 \\170 & 86\end{array}\right]\]이고 더욱이 $ f(t)=t^{3}-5 t^{2}+3 t+6 $이면 $ f(1)=5, f(4)=2 $이다.그러므로\[f(A)=\operatorname{Pf}(D) P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} & 0 \\0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cr}1 / 3 & -1 / 3 \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}3 & -1 \\-2 & 4\end{array}\right]\]이다. 마지막으로 $ A $ 의 양의 제곱근을 구하자. $ \sqrt{1}=1 $ 이고 $ \sqrt{4}=2 $이므로\[\begin{aligned}\sqrt{A} &=B=P \sqrt{D} P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 / 3 & -1 / 3 \\2 / 3 & 1 / 3\end{array}\right] \\&=\left[\begin{array}{ll}5 / 3 & 1 / 3 \\2 / 3 & 4 / 3\end{array}\right]\end{aligned}\]이다. $ B^{2}=A $이고 $ B $는 양의 고유값 1과 2를 갖는다.</p> <p>$언급 $II 이 장을 통하여 우리는 다음 사실을 사용할 것이다. \[\text { 만약 } P=\left[\begin{array}{ll}a & b \\c & d\end{array}\right] \text { 이면 } P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}d /\|P\| & -b /\|P\| \\-c /\|P\| & a /\|P\|\end{array}\right] \text { 이다. }\]</p> <p>$유제8.6$ $ A=\left[\begin{array}{l}3-4 \\ 2-6\end{array}\right] $ 이라 하자.</p> <ul> <li>모든 고유값과 고유벡터를 구하라.</li> <li>$ D=P^{-1} A P $를 만족하는 정칙행렬 $ P $와 행렬 $ D $를 구하라.</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) $ A $ 의 특성다항식은\[\Delta(t)=t^{2}-\operatorname{tr}(A) t+\|A\|=t^{2}+3 t-10=(t-2)(t+5)\]이므로 $ A $의 고유값은 $ \lambda=2,-5 $이다. 이제 대응하는 고유벡터를 구하자.<ol type=a start=1><li>$ \lambda=2 $일 때\[M=A-2 I=\left[\begin{array}{l}3-4 \\2-6\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & -4 \\2-8\end{array}\right] \text { 이므로 } M X=\]<p>0 의 해를 구하면 $ \left\{\begin{aligned} x-4 y &=0 \\ 2 x-8 y &=0 \end{aligned}\right. $이므로 $ x-4 y=0 $ 이다. 따라서 하나의 자유변수를 가지므로 $ y=1 $ 로 놓으면 $ v_{1}= $ $ (4,1) $이다.</p></li> <li> <p>$ \lambda=-5 $일 때$ M=A-2 I=\left[\begin{array}{l}3-4 \\ 2-6\end{array}\right]+5\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}8-4 \\ 2-1\end{array}\right] $ 이므로 $ M X= $0의 해를 구하면 $ \left\{\begin{array}{l}8 x-4 y=0 \\ 2 x-y=0\end{array}\right. $ 이므로 $ 2 x-y=0 $이다. 따라서 하나의 자유변수를 가지므로 $ y=2 $로 놓으면 $ v_{2}= $ $ (1,2) $이다.</p></li></ol></li> <li> <p>(2) $ P=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right] $이므로 $ D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}2 & 0 \\ 0 & -5\end{array}\right] $이다. $ D $는 $ A $의 고유값을 대각성분으로 갖는 대각행렬이다. $ P $는 $ S=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} $로부터 기본 기저로의 기저변환행렬이다. $ D $는 기저 $ S=\left\{v_{1}\right. $, $ \left.v_{2}\right\} $위의 행렬 $ A $의 새로운 표현이다.</p></li></ul> <p>$유제8.10$ 선형연산 $ T $에 대하여 다음을 증명하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ T $가 특이일 필요충분조건은 0이 $ T $의 고유값이라는 것이다.</li> <li>$ T $가 가역적일 때 $ \lambda $가 $ T $의 고유값이라 하면 $ \lambda^{-1} $는 $ T^{-1} $의 고유값이다.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>0이 $ T $의 고유값일 필요충분조건은 $ T(v)=0 v $를 만족하는 벡터 $ v \neq 0 $가 존재한다는 것이다. 또한 이 말은 $ T $가 특이선형연 산이라는 것이다.</li> <li>$ T $가 가역적이므로 정칙이다. 따라서 (1)에 의해 $ \lambda \neq 0 $이므로 고유값의 정의에 의하여 $ T(v)=\lambda v $를 만족하는 벡터 $ v \neq 0 $가 존재한다. $ T^{-1} $를 양쪽에 적용하면 $ v=T^{-1}(\lambda v)=\lambda T^{-1}(v) $이다. 따라서 $ T^{-1}(v)=\lambda^{-1} v $이다. 즉 $ \lambda^{-1} $는 $ T^{-1} $의 고유값이다.</li></ol> <p>$유제8.11$ $ \lambda $가 $ T: V \rightarrow V $의 고유값이라 하고 $ E_{\lambda} $는 $ \lambda $의 모든 고유벡터들의 집합이라 하자. 즉 $ \lambda $의 고유공간이라 하자. $ E_{\lambda} $는 $ V $의 부분공간임을 증명하라.</p> <p>$ \begin{aligned} \text { 풀이 } & u \in E_{\lambda} \text { 이므로 } T(u)=\lambda u \text { 이다. 그러면 } T(k u)=k T(u)=k(\lambda u) \\=& \lambda(k u) \text { 이므로 } k u \in E_{\lambda} \text { 이다. } u, v \in E_{\lambda} \text { 이므로 } T(u)=\lambda u \text { 이고 } \\ & T(v)=\lambda v \text { 이다. 따라서 } T(u+v)=T(u)+T(v)=\lambda u+\lambda v=\\ & \lambda(u+v) \text { 이므로 } u+v \in E_{\lambda} \text { 이다. } \end{aligned} $</p> <p>$유제8.12$ $ A=\left[\begin{array}{rr}7 & 3 \\ 3 & -1\end{array}\right] $이라 하자. $ D=P^{-1} A P $가 대각행렬이 되게 하는 직교행렬 $ P $를 구하라.</p> <p>풀이 $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 구하면\[\Delta(t)=t^{2}-\operatorname{tr}(A)+\|A\|=t^{2}-6 t-16=(t-8)(t+2)\]이다. 따라서 $ \lambda=8,-2 $이다.</p> <ol type=a start=1><li>$ \lambda=8 $일 때 $ M=\left[\begin{array}{rr}-1 & 3 \\ 3 & -9\end{array}\right], x-3 y=0 $이다. $ u_{1}=(3,1) $을 선택하자.</li> <li>$ \lambda=-2 $일 때$ M=\left[\begin{array}{ll}9 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right], 3 x+y=0 $이므로 $ u_{2}=(1,-3) $을 선택하자. 행렬 $ A $가 대칭행렬이므로 $ u_{1} $과 $ u_{2} $는 직교한다. $ u_{1} $과 $ u_{2} $를 정규화하면\[\widehat{u_{1}}=(3 / \sqrt{10}, 1 / \sqrt{10}), \widehat{u_{2}}=(1 / \sqrt{10},-3 / \sqrt{10})\]이다. 따라서\[P=\left[\begin{array}{lr}3 / \sqrt{10} & 1 / \sqrt{10} \\1 / \sqrt{10} & -3 / \sqrt{10}\end{array}\right], \quad D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\0 & -2\end{array}\right]\]이다.</li></ol> <p>$유제8.13$ $ B=\left[\begin{array}{rrr}11 & -8 & 4 \\ -8 & -1 & -2 \\ 4 & -2 & -4\end{array}\right] $라 하자.</p> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lambda=-2 $일 때$ M=\left[\begin{array}{ll}9 & 3 \\ 3 & 1\end{array}\right], 3 x+y=0 $이므로 $ u_{2}=(1,-3) $을 선택하자.행렬 $ A $가 대칭행렬이므로 $ u_{1} $과 $ u_{2} $는 직교한다. $ u_{1} $과 $ u_{2} $를 정규화하면\[\widehat{u_{1}}=(3 / \sqrt{10}, 1 / \sqrt{10}), \widehat{u_{2}}=(1 / \sqrt{10},-3 / \sqrt{10})\]이다. 따라서\[P=\left[\begin{array}{lr}3 / \sqrt{10} & 1 / \sqrt{10} \\1 / \sqrt{10} & -3 / \sqrt{10}\end{array}\right], \quad D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}8 & 0 \\0 & -2\end{array}\right]\]이다.</li> <li> <ol type=a start=1><li>$ \lambda=-5 $일 때 $ 1,2) $라 하고 $ v_{1} $과 직교인 벡터 $ v_{2}=(a, b, c) $를 찾자. 즉 $ 4 a-2 b+c=0, b-2 c=0 $을 만족하는 벡터를 $ v_{2}=(-5 $, $ -8,4) $라 하자.</li> <li>\[\begin{array}{l}\lambda=16 \text { 일 때 } \\M=\left[\begin{array}{rrr}-5 & -8 & 4 \\-8 & -17 & -2 \\4 & -2 & -20\end{array}\right],\left\{\begin{aligned}-5 x-8 y+4 z &=0 \\-8 x-17 y-2 z &=0 \\4 x-2 y-20 z &=0\end{aligned}\right.\end{array}\]$ (4,-2,1) $ 을 해로 갖는다. $ v_{1}, v_{2}, v_{3} $ 는 $ B $ 의 0 이 아닌 직교 고유벡터들이다.</li></ol></li> <li>$ v_{1}, v_{2}, v_{3} $ 를 정규화하면\[\widehat{v_{1}}=v_{1} / \sqrt{5}, \widehat{v_{2}}=v_{2} / \sqrt{105}, \widehat{v_{3}}=v_{3} / \sqrt{21}\]이므로\[P=\left[\begin{array}{crr}0 & -5 / \sqrt{105} & 4 / \sqrt{21} \\1 / \sqrt{5} & -8 / \sqrt{105} & -2 / \sqrt{21} \\2 / \sqrt{5} & 4 / \sqrt{105} & 1 / \sqrt{21}\end{array}\right],\]\[ D=P^{-1} B P=\left[\begin{array}{rrr}-5 & 0 & 0 \\0 & -5 & 0 \\0 & 0 & 16\end{array}\right]\]이다.</li></ol> <h2>선형연산의 대각화</h2> <p>$ T: V \rightarrow V $를 한 선형연산이라 하자. 이 연산을 대각행렬로 나타낼 수 있다면 $ T $가 대각화 가능하다고 말한다. 그러므로 $ T $가 대각화 가능할 필요충분조건은 다음을 만족시키는 $ V $의 기저 $ S=\left\{u_{1}, u_{2}, \ldots, u_{n}\right\} $을 갖는 것이다.\[\begin{array}{l}T u_{1}=k_{1} u_{1} \\T u_{2}=k_{2} u_{2} \\T u_{n}=\quad k_{n} u_{n} \\\end{array}\]이 경우 $ T $는 기저 $ S $에 대한 대각행렬\[D=\operatorname{diag}\left(k_{1}, k_{2}, \ldots, k_{n}\right)\]으로 표시된다.</p> <p>위의 관찰은 행렬에 관한 정의와 정리와 유사한 다음의 정의와 정리를 유도한다.</p> <p>$정의 8.2 $ $ T $를 한 선형연산이라 하자.\[T(v)=\lambda v\]를 만족시키는 0 이 아닌 벡터 $ v $가 존재할 때 스칼라 $ \lambda $를 $ T $의 고유값(치)(eigenvalues)이라고 한다. 또한 이 관계를 만족시키는 벡터 $ v $를 고유값 $ \lambda $의 고유벡터(eigenvector)라 한다.</p> <p>고유값 $ \lambda $의 모든 고유벡터들의 집합 $ E_{\lambda} $는 $ V $의 부분공간이고 이 부분공간을 $ \lambda $의 고유공간(eigenspace)이라 한다(또는 $ \lambda I-T $가 특이이면 $ \lambda $를 $ T $의 고유값이라고 부른다. 이때 $ E_{\lambda} $는 $ \lambda I-T $의 핵이다). 선형연산 $ T $의 고유값 $ \lambda $의 대수적 반복수(algebraic multiplicity)와 기하학적 반복수(grometric multi-plicity)는 행렬의 그것들과 유사하게 같은 방법으로 정의된다. 다음 정리들은 유한 차원 공간 $ V $위의 선형연산에 적용된다.</p> <p>$정리 8.12 $ $ T $가 대각행렬 $ D $로 표현될 수 있는 필요충분조건은 $ T $의 고유벡터들로 구성된 기저 $ S $가 존재하는 것이다.</p> <p>$정리 8.13 $ $ T $를 한 선형연산이라 하자. 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=i start=1><li>한 스칼라 $ \lambda $ 가 $ T $ 의 고유값이다.</li> <li>선형연산 $ \lambda I-T $ 는 특이이다.</li> <li>한 스칼라 $ \lambda $ 는 $ T $ 의 특성다항식 $ \Delta(t) $ 의 근이다.</li></ol> <p>$정리 8.14 $ $ V $를 복소수 벡터공간이라 하자. 그러면 $ T $는 적어도 한 개의 고유값을 갖는다.</p> <p>$정리 8.15 $ $ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} $ 을 고유값 $ \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n} $에 대응하는 선형연산 $ T $의 0이 아닌 고유벡터라고 하자. 그러면 $ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} $은 선형 독립이다.</p> <p>$증명$ $ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n} $이 선형 독립이 아니라 하자. $ v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{s} $는 가장 작은 선형 종속인 집합이라 하자. 즉 $ s \leq n $이다. $ v_{1} \neq 0 $이므로 $ s>1 $이다. 또한 최소성에 의해 $ v_{2}, \ldots, v_{s} $들은 선형 독립이다. 그러므로 $ v_{1} $은 $ v_{2}, \ldots, v_{s} $들의 선형결합으로 다음과 같이 나타내어진다.</p> <p>$ v_{1}=a_{2} v_{2}+a_{3} v_{3}+\cdots+a_{s} v_{s} $, 적어도 하나의 $ k $ 에 대하여 $ a_{k} \neq 0 $</p> <caption>(1)</caption> <p>$ T $에 대입하면\[\begin{aligned}T\left(v_{1}\right) &=T\left(a_{2} v_{2}+a_{3} v_{3}+\cdots+a_{s} v_{s}\right) \\&=a_{2} T\left(v_{2}\right)+a_{3} T\left(v_{3}\right)+\cdots+a_{s} T\left(v_{s}\right)\end{aligned}\]</p> <caption>(2)</caption> <p>이다. $ v_{j} $가 $ \lambda_{j} $에 대응하는 $ T $의 고유벡터이므로 $ T\left(v_{j}\right)=\lambda_{j} v_{j} $이고 이를 식 (2)에 대입하면\[\lambda_{1} v_{1}=a_{2} \lambda_{2} v_{2}+a_{3} \lambda_{3} v_{3}+\cdots+a_{s} \lambda_{s} v_{s}\]</p> <caption>(3)</caption> <p>이다. 식 (1)에 $ \lambda_{1} $을 곱하면\[\lambda_{1} v_{1}=a_{2} \lambda_{1} v_{2}+a_{3} \lambda_{1} v_{3}+\cdots+a_{s} \lambda_{1} v_{s}\]</p> <caption>(4)</caption> <p>이고 식 (4)에서 (3)을 빼면\[a_{2}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) v_{2}+a_{3}\left(\lambda_{1}\lambda_{3}\right) v_{3}+\cdots+a_{s}\left(\lambda_{1}-\lambda_{s}\right) v_{s}=0\]</p> <caption>(5)</caption> <p>이다. $ v_{2}, \ldots, v_{s} $들은 선형 독립이기 때문에 식 (5)의 모든 계수들은 모두 0이다. 즉\[a_{2}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)=0, a_{3}\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)=0, \ldots,a_{s}\left(\lambda_{1}-\lambda_{s}\right)=0\]</p> <p>그런데 $ \lambda_{j} $들은 모두 다르므로 $ \lambda_{1}-\lambda_{j} \neq 0(j>1) $이다. 따라서 $ a_{2}= $ $ 0, a_{3}=0, \ldots, a_{s}=0 $이다. 이것은 $ a_{k} \neq 0 $에 모순이다. 따라서 증명이 끝난다.</p> <p>$정리 8.16 $ $ T $의 특성다항식 $ \Delta(t) $가 $ n $개의 각각 다른 인수의 곱이라 하자. 즉 $ \Delta(t)= $ $ \left(t-a_{1}\right)\left(t-a_{2}\right) \cdots\left(t-a_{n}\right) $이다. 그러면 $ T $는 대각행렬\[D=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)\]으로 표현된다.</p> <p>$정리 8.17 $ 선형연산 $ T $의 고유값 $ \lambda $의 기하학적 반복수는 대수적 반복수보다 크지 않다.</p> <p>$언급$ II 다음 정리는 선형연산 $ T $의 대각화에 관한 연구를 행렬 $ A $의 대각화의 연구로 축소시킨다.</p> <p>$정리 8.18 $ 행렬 $ A $를 $ T $의 표현 행렬이라 하자. $ T $가 대각화 가능할 필요충분조건은 $ A $가 대각화 가능한 것이다.</p> <h2>2차방정식의 형태에 대한 응용</h2> <p>실가 다항식 $ q $를 미지수 $ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} $을 변수로 가지고 모든 항들이 2차인 다항식이라 하자. 즉\[q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i} c_{i} x_{i}^{2}+\sum_{i<j} d_{i j} x_{i} x_{j}, c_{i}, d_{i j} \in\mathbb{R} .\] 그러면 $ q $는 2차방정식 형태(quadratic form)이다. 만약 교차하는 곱 $ x_{i} x_{j} $를 가진 항들이 없다면, 즉 모든 $ d_{i j}=0 $이면 $ q $는 대각적이라 부른다. 위의 2차방정식 형태 $ q $는 $ a_{i i}=c_{i} $이고 $ a_{i j}=a_{j i}=\frac{1}{2} d_{i j} $인 실가 대칭행렬 $ A=\left[a_{i j}\right] $를 결정한다. 다시 말해 $ q $를 행렬 형태로 쓰면\[q(X)=X^{T} A X\]이다. 여기서 $ X=\left[x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right]^{T} $는 변수들의 열벡터이다. 예를 들면 \[\begin{aligned}q(X) &=X^{T} A X=\left[x_{1}, x_{2}, x_{3}\right]\left[\begin{array}{ccc}c_{1} & \frac{1}{2} d_{12} & \frac{1}{2} d_{13} \\\frac{1}{2} d_{12} & c_{2} & \frac{1}{2} d_{23} \\ \frac{1}{2} d_{13} & \frac{1}{2} d_{23} & c_{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\x_{3}\end{array}\right] \\&=\left[c_{1} x_{1}+\frac{1}{2} d_{12} x_{2}+\frac{1}{2} d_{13} x_{3}, \frac{1}{2} d_{12} x_{1}+c_{2} x_{2}+\frac{1}{2} d_{23} x_{3}, \frac{1}{2} d_{13} x_{1}\right.\end{aligned}\] $ \begin{aligned} &\left.+\frac{1}{2} d_{23} x_{2}+c_{3} x_{3}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \\=& c_{1} x_{1}^{2}+\frac{1}{2} d_{12} x_{1} x_{2}+\frac{1}{2} d_{13} x_{1} x_{3}+\frac{1}{2} d_{12} x_{1} x_{2}+c_{2} x_{2}^{2}+\frac{1}{2} d_{23} x_{2} x_{3} \\ &+\frac{1}{2} d_{13} x_{1} x_{3}+\frac{1}{2} d_{23} x_{2} x_{3}+c_{3} x_{3}^{2} \end{aligned} $</p> <p>$ =c_{1} x_{1}^{2}+c_{2} x_{2}^{2}+c_{3} x_{3}^{2}+d_{12} x_{1} x_{2}+d_{13} x_{1} x_{3}+d_{23} x_{2} x_{3} $.</p> <p>더 나아가 $ X=P Y $ 를 변수들에 선형적인 대입(linear substitution)을 한다고 하자. 그러면 위의 2 차방정식 형태 $ q $는 \[q(X)=(P Y)^{T} A(P Y)=Y^{T}\left(P^{T} A P\right) Y\]가 되어 $ P^{T} A P $는 새로운 변수 $ X $에 대한 $ q $의 행렬 표현이 된다. 우리는 $ X=P Y $가 대각 2차방정식 형태를 만들어내는 직교대입(orthogonal substitution) $ X=P Y $를 위한 직교행렬 $ P $를 찾기를 원한다. 즉 $ P^{T} A P $가 대각행렬이 되는 것을 말한다. $ P $가 직교(7.8절)이기 때문에 $ P^{T}=P^{-1} $이고 또 $ P^{T} A P=P^{-1} A P $이다. 위의 이론은 이러한 직교행렬을 구하는 방법을 설명하고 있다.</p> <p>$보기8.13$ 다음의 2차방정식 형태를 보자.\[q(x, y)=2 x^{2}-4 x y+5 y^{2}=X^{T} A X, A=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\-2 & 5\end{array}\right], \quad X=\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]\]보기 8.12에서\[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ll}6 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=P^{T} A P, P=\left[\begin{array}{lr}1 / \sqrt{5} & -2 / \sqrt{5} \\2 / \sqrt{5} & 1 / \sqrt{5}\end{array}\right] .\]$ Y=[s, t]^{T} $라고 하자. 그러면 행렬 $ P $가 바로 $ x, y $변수에\[[x, y]^{T}=X=P Y=P\left[\begin{array}{l}s \\t\end{array}\right]\]를 대입하여 $ s, t $변수들로 바꾸는 선형직교대입과 같은 것이다.\[x=\frac{1}{\sqrt{5}} s+\frac{2}{\sqrt{5}} t, y=-\frac{2}{\sqrt{5}} s+\frac{1}{\sqrt{5}} t .\]$ q(x, y) $에 위를 대입하면 2차방정식 형태 $ q(s, t)=6 s^{2}+t^{2} $을 얻는다. 즉$ \begin{aligned} q(P Y) &=Y^{T}\left(P^{-1} A P\right) Y=[s, t]\left[\begin{array}{ll}6 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}s \\ t\end{array}\right] \\ &=[6 s, t]\left[\begin{array}{l}s \\ t\end{array}\right]=6 s^{2}+t^{2} . \end{aligned} $</p> <h2>선형연산의 특성다항식</h2> <p>$ T: V \rightarrow V $를 유한 차원 벡터공간 $ V $위의 선형연산이라 하자. $ T $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 $ T $의 임의의 행렬 표현 행렬의 특성다항식으로 정의한다. $ P $가 기저변환행렬일 때, $ T $의 행렬 표현 행렬 $ A, B $ 는 $ B = P ^ { -1 } A P $의 관계를 가진다. 그러므로 그들은 유사행렬이고 정리 $ 8.3 $에 의해 같은 특성다항식을 가진다. 따라서 $ T $의 특성다항식은 어떤 특별한 기저의 선택에 무관하다.</p> <p>$ f(t) $가 다항식이고 $ A $가 $ T $의 임의의 행렬 표현일 때 $ f(T)=0 $일 필요충분 조건은 $ f(A)=0 $이므로 다음과 같은 선형연산에 대한 유사한 정리를 얻는다.</p> <p>$ 정리 8.5 $ (케일리 해밀턴) 한 선형연산 $ T $는 그 특성다항식의 근이다.</p> <p>$ 유제8.4 $ 다음 각 선형연산의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 구하라.</p> <ul> <li>$ F: \ mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \ mathbb { R } ^ { 2 } , F(x, y)=(3 x + 5 y, 2 x-7 y) $</li> <li>$ D: V \rightarrow V, D(f)=d f / d t, V $ 는 기저 $ S= \{\sin t, \cos t \} $를 갖는 함수공간이다.</li></ul> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 기본 기저를 사용하여 선형연산 $ F $를 나타내면 $ A= $ $ \left [ \begin {array} { rr } 3 & 5 \\ 2 & -7 \end {array} \right ] $이므로 $ \ Delta(t)=t ^ { 2 } -t r(A) t + \|A\|=t ^ { 2 } + 4 t-31 $이다.</li> <li>기저 $ S $에 대한 미분연산 $ D $의 행렬 표현 $ A $는 \[ \begin {array} { l } D( \sin t) = \cos t=0( \sin t) + 1( \cos t), \\ D( \cos t)=- \sin t=-1 ( \sin t) + 0( \cos t) \end {array} \] 이므로 $ A= \left [ \begin {array} { rr } 0 & -1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] $이다. 따라서 $ \Delta(t)=t ^ { 2 } + 1 $이다.</li></ol> <p>$ 유제8.5 $ 행렬 $ A $와 그의 전사행렬 $ A ^ { T } $의 특성다항식은 같음을 증명하라.</p> <p>풀이 $ (t I-A) ^ { T } = t I ^ { T } -A ^ { T } = t I-A ^ { T } $이다. 행렬 $ A $와 그의 전사행렬 $ A ^ { T } $는 행렬식이 같으므로 \[ \ Delta(t) = \|t I-A\|= \left \|(t I-A) ^ { T } = \right \| t I-A ^ { T } \mid= \Delta_ { A ^ { T } } (t) \]이다.</p> <h1>8.2 행렬의 다항식</h1> <p>체 $ \mathbb { K } $위의 다항식 $ f(t) = a_ { n } t ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } t + a_ { 0 } $를 보자. $ A $를 임의의 정방행렬이라 할 때 \[f(A)=a_ { n } A ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } A + a_ { 0 } I \]라고 하자. 여기서 $ I $는 단위행렬이다. 특히 $ f(A)=0 $ (영행렬)일 때 $ A $를 다항식 $ f(t) $의 근이라 한다.</p> <p>$보기8.1 $ $ A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] $ 라 하자. 그러면 $ A ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { rr } 7 & 10 \\ 15 & 22 \end {array} \right ] $ 이다. \[f(t)=2 t ^ { 2 } -3 t + 5 \text { 이고 } g(t)=t ^ { 2 } -5 t-2 \]라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} f(A) &=2 A ^ { 2 } -3 A + 5 I \\&= \left [ \begin {array} { ll } 14 & 20 \\30 & 44 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { cc } -3 & -6 \\-9 & -12 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { ll } 5 & 0 \\0 & 5 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 16 & 14 \\21 & 37 \end {array} \right ] \end {aligned} \]</p> <p>이고 \[ \begin {aligned} g(A) &=A ^ { 2 } -5 A-2 I \\&= \left [ \begin {array} { rr } 7 & 10 \\15 & -22 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rr } -5 & -10 \\-15 & -20 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rr } -2 & 0 \\0 & -2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\0 & 0 \end {array} \right ] \end {aligned} \] 이므로 $ A $는 $ g(t) $의 근이다.</p> <p>$정리 8.1 $ $ f $와 $ g $를 다항식이라 하자. 임의의 행렬 $ A $와 스칼라 $ k $에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=i start=1><li>$ (f + g)(A)=f(A) + g(A) \ )</li> <li>\( (f g)(A)=f(A) g(A) \ )</li> <li>\( (k f)(A)=k f(A) \ )</li> <li>\( f(A) g(A)=g(A) f(A) \ )</li></ol></p> <h2>행렬과 선형연산(linear operator) 관점</h2> <p>이제 \( T: V \rightarrow V $를 벡터공간 $ V $에서의 선형연산이라 하자. $ T $의 거듭제곱은 다음과 같이 연산의 합성으로 정의된다. \[T ^ { 2 } =T \circ T, T ^ { 3 } =T \circ T \circ T, \ldots \]또한 임의의 다항식 $ f(t)=a_ { n } t ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } t + a_ { 0 } $에 대하여 $ f(T) $를 행렬에서와 같이 정의한다. 즉 \[f(T)=a_ { n } T ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } T + a_ { 0 } I . \] 여기서 $ I $는 항등연산을 나타낸다. 또한 $ f(T)=0 $을 만족시키는 연산 $ T $를 $ f $의 영(zero) 또는 근(root)이라 한다. 위의 정리 8.1도 선형연산을 입력으로 했을 때 똑같이 성립한다.</p> <p>( \ 언급 \) \|\| $ A $가 선형연산 $ T $의 행렬 표현이라 하자. 그러면 $ f(A) $는 $ f(T) $의 행렬 표현이다. 특히 $ f(T)=0 $일 필요충분조건은 $ f(A)=0 $이다.</p> <h2>차수 2와 3의 특성다항식들</h2> <ol type= start=1><li> <p>$ A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right] $라고 하자. 그러면$ \begin{aligned} \Delta(t) &=\left\|\begin{array}{ll}t-a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & t-a_{22}\end{array}\right\|=\left(t-a_{11}\right)\left(t-a_{22}\right)-a_{12} a_{21} \\ &=t^{2}-\left(a_{11}+a_{22}\right) t+\operatorname{det}(A)=t^{2}-\operatorname{tr}(A) t+\operatorname{det}(A) \end{aligned} $</p> <p>이다. 여기서 $ \operatorname{tr}(A) $ 는 $ A $ 의 트레이스이다. 즉 $ A $ 의 대각성분의 합이다.</p></li> <li> <p>$ A=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right] $ 이라고 하자. 그러면</p> <p>\[\begin{array}{l}\Delta(t)=\left\|\begin{array}{ccc}t-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} \\-a_{21} & t-a_{22} & -a_{23} \\-a_{31} & -a_{32} & t-a_{33}\end{array}\right\| \\=\left(t-a_{11}\right)\left(t-a_{22}\right)\left(t-a_{33}\right)-a_{12} a_{23} a_{31}-a_{21} a_{32} a_{13} \\-a_{13} a_{31}\left(t-a_{22}\right)-a_{23} a_{32}\left(t-a_{11}\right)-a_{12} a_{21}\left(t-a_{33}\right) \\ =t^{3}-\left(a_{11}+a_{22}+a_{33}\right) t^{2}+a_{11} a_{22} t+a_{22} a_{33} t+a_{11} a_{33} t-a_{11} a_{22} a_{33} \\-a_{13} a_{31} t-a_{23} a_{32} t-a_{12} a_{21} t+a_{13} a_{31} a_{22}+a_{23} a_{32} a_{11}+a_{12} a_{21} a_{33} \\-a_{12} a_{23} a_{31}-a_{21} a_{32} a_{13} \\=t^{3}-\operatorname{tr}(A) t^{2}+\left(\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll} a_{11} & a_{13} \\a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|\right) t-\operatorname{det}(A) \\=t^{3}-\operatorname{tr}(A) t^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right) t-\operatorname{det}(A) \\\end{array}\]이다. 여기서 $ A_{11}, A_{22}, A_{33} $ 은 $ a_{11}, a_{22}, a_{33} $ 의 여인수들이다.</p></li></ol> <p>$보기8.3$ 다음 각 행렬의 특성다항식을 찾아라.</p> <ol type= start=1><li>$ \operatorname{tr}(A)=5+10=15,\|A\|=50-6=44 $이므로 $ \Delta(t)=t^{2}-15 t+44 $이다.</li> <li>$ \operatorname{tr}(B)=7+2=9,\|B\|=14+6=20 $ 이므로 $ \Delta(t)=t^{2}-9 t+20 $이다.</li> <li>$ \operatorname{tr}(C)=5-4=1,\|C\|=-20+8=-12 $ 이므로 $ \Delta(t)=t^{2}-t-12 $ 이다.</li></ol> <p>$보기 8.4 $ $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 2 \\0 & 3 & 2 \\1 & 3 & 9\end{array}\right] $의 특성다항식을 찾아라.</p> <p>풀이 $ \operatorname{tr}(A)=1+3+9=13 $ 이고 대각성분의 여인수들은 다음과 같다. \[A_{11}=\left\|\begin{array}{ll}3 & 2 \\3 & 9\end{array}\right\|=21, A_{22}=\left\|\begin{array}{ll}1 & 2 \\1 & 9\end{array}\right\|=7, A_{33}=\left\|\begin{array}{ll}1 & 1 \\0 & 3\end{array}\right\|=3 .\] 그러므로 $ A_{11}+A_{22}+A_{33}=31 $ 이고 $ \|A\|=27+2+0-6-6-0 $ $ =17 $ 이다. 따라서 \[\Delta(t)=t^{3}-13 t^{2}+31 t-17 .\]</p> <p>$언급 $\|\| 3 정방행렬 $ A $의 특성다항식의 계수들은 반복적으로 나타난다.\[S_{1}=\operatorname{tr}(A), S_{2}=A_{11}+A_{22}+A_{33}, S_{3}=\operatorname{det}(A) .\] 각 $ S_{k} $들은 행렬 $ A $의 위수 $ k $의 주요 마이너들의 합임을 주의하자(보기 8.14).</p> <p>다음 정리의 증명은 이 책의 범위를 넘어서므로 생략하지만 그 결과는 일반적으로 사실이다.</p> <p>$정리 8.4 $ $ A $를 $ n $정방행렬이라 하자. 특성다항식은 다음과 같이 위수 $ k $의 주요 마이너의 합 $ S_{k} $를 계수로 갖는다. \[\Delta(t)=t^{n}-S_{1} t^{n-1}+S_{2} t^{n-2}-\cdots+(-1)^{n} S_{n} .\]</p> <h1>8장 대각화: 고유값과 고유벡터</h1> <h1>8.1 개요</h1> <p>이 장은 두 가지의 관점에서 논할 수 있다.</p> <h2>행렬 관점</h2> <p>$ n $정방행렬 $ A=\left[a_{i j}\right] $가 주어져 있다고 하자. 만약\[B=P^{-1} A P\]</p> <p>가 대각행렬이 되는 정칙행렬 $ P $가 존재하면 $ A $는 대각화시킬 수 있다. 이 장은 행렬 $ A $의 대각화에 대해 논한다. 특히 $ P $가 존재한다면 이 행렬을 찾는 알고리듬에 관해 논한다.</p> <h2>선형연산(linear operators)의 관점</h2> <p>선형연산(linear operator) $ T: V \rightarrow V $가 주어져 있다고 하자. 만약 $ V $의 한 기저가 존재하여 이 기저에 대한 $ T $의 행렬 표현이 대각행렬 $ D $가 될 때 이 선형연산 $ T $가 대각화 가능하다고 한다. 이 장은 선형연산 $ T $가 어떤 조건하에서 대각화 가능한지에 대하여 논한다.</p> <h2>위의 두 관점의 동치성</h2> <p>위의 두 관점은 기본적으로 동치이다. 특히 정방행렬 $ A $는\[F(X)=A X\]와 같이 정의된 선형연산 $ F $와 같이 볼 수 있다. 여기서 $ X $는 열벡터이고 $ B=P^{-1} A P $는 새로운 기저 $ S $에 관한 $ F $의 한 표현 행렬이며 $ P $의 열들은 $ S $의 원소들이다. 반면 임의의 선형연산 $ T $는 한 기저에 관해 행렬 $ A $로 나타내어지고 또 다른 기저를 택하면 이 기저에 대하여 \[B=P^{-1} A P\]라고 나타내어진다. 즉 $ P $는 기저변환행렬(change-of-basis matrix)이다.</p> <p>거의 대부분의 정리는 위의 두 가지 관점에 따라 모두 서술될 것이다.</p> <h2>기초를 이루는 체 $ \mathbb{K} $의 역할</h2> <p>앞선 장에서 기초를 이루는 수의 체 $ \mathbb{K} $는 선형연산나 벡터공간을 논할 때 중요한 역할을 하지 않았다. 그러나 행렬 $ A $나 선형연산 $ T $의 대각화 이론에서는 $ \mathbb{K} $위에서 다항식 $ \Delta(t) $의 근에 많이 의존한다. 그리고 이 근들은 자연히 $ \mathbb{K} $에 속한다. 예를 들면 $ \Delta(t)=t^{2}+1 $이라 하자. 이 다항식의 근은 $ \mathbb{K}=\mathbb{R} $에는 존재하지 않지만 $ \mathbb{K}=\mathbb{C} $에서는 $ \pm i $를 해로 가진다. 더구나 2차 이상의 다항식 근을 찾는 것은 선형대수의 주 관심이 아니다. 따라서 우리들의 예들은 보통 쉽게 그 근을 찾을 수 있는 다항식으로 주어질 것이다.</p> <h1>8.3 특성다항식, 케일리 해밀턴 정리</h1> <p>$ A=\left[a_{i j}\right] $를 $ n $정방행렬이라 하자. $ I_{n} $이 단위행렬이고 $ t $가 미지수일 때 행렬 $ M=A-t I_{n} $은 $ A $의 대각성분에서 $ t $를 빼서 얻어진 행렬이다. $ -M $은 $ t I_{n}-A $이고 그 행렬식은 \[\Delta(t)=\operatorname{det}\left(t I_{n}-A\right)=(-1)^{n} \operatorname{det}\left(A-t I_{n}\right)\] 이다. 이 식은 차수 $ n $의 $ t $에 관한 다항식이고 $ A $의 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 부른다.</p> <p>$유제8.1$ 다음 각 행렬의 특성다항식 $ \Delta(t) $ 를 구하라.<ol type= start=1><li>$ A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 4 & 1\end{array}\right] $</li> <li>$ B=\left[\begin{array}{l}7-3 \\ 5-2\end{array}\right] $</li> <li>$ C=\left[\begin{array}{l}3-2 \\ 9-3\end{array}\right] $</li></ol>$ 2 \times 2 $ 행렬을 위한 $ \Delta(t)=t^{2}-\operatorname{tr}(M) t+\|M\| $ 을 이용하라.</p> <p>풀이<ol type= start=1><li>$ \operatorname{tr}(A)=2+1=3,\|A\|=2-20=-18 $ 이므로 \[\Delta(t)=t^{2}-3 t-18 \text { 이다. }\]</li> <li>$ \operatorname{tr}(B)=7-2=5,\|B\|=-14+15=1 $ 이므로 \[\Delta(t)=t^{2}-5 t+1 \text { 이다. }\]</li> <li>$ \operatorname{tr}(C)=3-3=0,\|C\|=-9+18=9 $ 이므로 \[\Delta(t)=t^{2}+9 \text { 이다. }\]</li></ol></p> <p>$정리 8.2 $ (케일리 해밀턴) 모든 행렬 $ A $는 그 특성다항식의 근이다.</p> <p>증명 $ A $를 임의의 $ n $정방행렬이라 하고 $ \Delta(t) $를 그 특성다항식이라 하자. 즉</p> <p>$ \Delta(t)=\|t I-A\|=t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\ldots+a_{1} t+a_{0} $.</p> <p>$ B(t) $를 $ t I-A $의 고전적 수반행렬이라 하자. $ B(t) $의 원소들은 행렬 $ t I-A $의 여인수(cofactor)들이므로 차수가 $ n-1 $보다 크지 않은 $ t $를 갖는 다항식이다. 그러므로\[B(t)=B_{n-1} t^{n-1}+\cdots+B_{1} t+B_{0}\]이다. 여기서 $ B_{i} $는 $ t $와 독립적인 체 $ \mathbb{K} $위의 $ n $정방행렬이다. 정리 $ 8.9 $에 의해 $ (t I-A) B(t)=\|t I-A\| I $또는\[\begin{array}{l}(t I-A)\left(B_{n-1} t^{n-1}+\cdots+B_{1} t+B_{0}\right) \\=\left(t^{n}+a_{n-1} t^{n-1}+\cdots+a_{1} t+a_{0}\right) I .\end{array}\]가로를 풀고 $ t $의 계수들을 비교하면\[B_{n-1}=I, B_{n-2}-A B_{n-1}=a_{n-1} I, \ldots, B_{0}-A B_{1}=a_{1} I,-A B_{0}=a_{0} I\]위의 방정식에 각각 $ A^{n}, A^{n-1}, \ldots, A, I $를 곱해주면\[\begin{array}{c}A^{n} B_{n-1}=A^{n} I, A^{n-1} B_{n-2}-A^{n} B_{n-1}=a_{n-1} A^{n-1}, \ldots, \\A B_{0}-A^{2} B_{1}=a_{1} A,-A B_{0}=a_{0} I .\end{array}\]</p> <p>위의 각 방정식을 좌우 항끼리 더해주면\[0=A^{n}+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_{1} A+a_{0} I\]이다. 그러므로 $ \Delta(A)=0 $이다.</p> <p>$언급$ II $ A=\left[a_{i j}\right] $ 를 삼각행렬이라 하자. 그러면 $ t I_{n}-A $ 는 대각성분이 $ t-a_{i i} $인 삼각행렬이다. 그러므로\[\Delta(t)=\operatorname{det}\left(t I_{n}-A\right)=\left(t-a_{11}\right)\left(t-a_{22}\right) \cdots\left(t-a_{n n}\right) .\]여기서 주의해서 봐야 할 것은 $ \Delta(t) $의 근들이 $ A $의 대각성분이라는 것이다.</p> <p>보기8.2 $ A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right] A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 4 & 5\end{array}\right] $라고 하자. 이 행렬의 특성다항식은\[\Delta(t)=\left\|t I_{n}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc} t-1 & -3 \\-4 & t-5\end{array}\right\|=(t-1)(t-5)-12=t^{2}-6 t-7\]이다. 케일리 해밀턴(Cayley-Hamilton) 정리에 의하여 행렬 $ A $는 $ \Delta(t) $의 근이다. 즉\[\begin{aligned}\Delta(t) &=A^{2}-6 A-7 I \\&=\left[\begin{array}{ll}13 & 18 \\24 & 37\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}-6 & -18 \\-24 & -30\end{array}\right]+\left[\begin{array}{rr}-7 & 0 \\0 & -7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right] .\end{aligned}\] $ A, B $를 유사행렬이라 하자. 즉 가역행렬 $ P $가 있어 $ B=P^{-1} A P $라 하자. 그러면 $ A $와 $ B $의 특성다항식은 일치한다. $ t I=P^{-1} t I P $를 사용하여 \[\begin{aligned}\Delta_{B}(t) &=\operatorname{det}(t I-B)=\operatorname{det}\left(t I-P^{-1} AP\right)=\operatorname{det}\left(P^{-1} t I P-P^{-1} A P\right) \\ &=\operatorname{det}\left(P^{-1}(t I-A) P\right)=\operatorname{det}\left(P^{-1}\right) \operatorname{det}(t I-A) \operatorname{det}(P) .\end{aligned}\] 행렬식은 스칼라이고 교환법칙이 성립하므로 $ \operatorname{det}\left(P^{-1}\right) \operatorname{det}(P)=\operatorname{det}(I)=1 $이다. 따라서\[\Delta_{B}(t)=\operatorname{det}(t I-A)=\Delta_{A}(t)\] 이다. 즉 우리는 다음 정리를 증명한 것이다.</p> <p>$정리 8.3 $ 유사행렬은 같은 특성다항식을 가진다.</p> <p>$유제8.2$ 다음 각 행렬의 특성다항식 $ \Delta(t) $ 를 구하라.<ol type= start=1><li>$ A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 3 & 0 & 4 \\ 6 & 4 & 5\end{array}\right] $</li> <li>$ B=\left[\begin{array}{rrr}1 & 6 & -2 \\ -3 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & -4\end{array}\right] $</li></ol>$ 3 \times 3 $ 행렬을 위한 $ \Delta(t)=t^{3}-\operatorname{tr}(A) t^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right) t-\|A\| $</p> <p>( $ A_{i i} $ 는 $ a_{i i} $ 의 여인수)를 이용하라.</p> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li> <p>$ \operatorname{tr}(A)=1+0+5=6 $ $ \left\|A_{11}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}0 & 4 \\ 4 & 5\end{array}\right\|=-16,\left\|A_{22}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 6 & 5\end{array}\right\|=-13,\left\|A_{33}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 0\end{array}\right\|=-6 $,<p></p>$ A_{11}+A_{22}+A_{33}=-35,\|A\|=48+36-16-30=38 $ 이므로</p> <p>$ \Delta(t)=t^{3}-6 t^{2}-35 t-38 $.</p></li> <li> <p>$ \operatorname{tr}(B)=1+2-4=-1 $, $ \left\|B_{11}\right\|=\left\|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 3 & -4\end{array}\right\|=-8,\left\|B_{22}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}1 & -2 \\ 0 & -4\end{array}\right\|=-4,\left\|B_{33}\right\|=\left\|\begin{array}{rr}1 & 6 \\ -3 & 2\end{array}\right\|=20 $,<p></p>$ B_{11}+B_{22}+B_{33}=8,\|B\|=-8+18-72=-62 $ 이므로</p> <p>$ \Delta(t)=t^{3}+t^{2}-8 t+62 $.</p></li></ol> <p>$유제8.3$ 다음 각 행렬의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 구하라.</p> <ol type= start=1><li>$ A=\left[\begin{array}{rrrr}2 & 5 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 3\end{array}\right] $</li> <li>$ B=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6\end{array}\right] $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ A $는 $ A_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 4\end{array}\right] $와 $ A_{2}=\left[\begin{array}{rr}6 & -5 \\ 2 & 3\end{array}\right] $을 블록으로 갖는 대각블록행렬이므로 \[\Delta(t)=\Delta_{A_{1}}(t) \Delta_{A_{2}}(t)=\left(t^{2}-6 t+3\right)\left(t^{2}-9 t+28\right)\]이다.</li> <li>$ B $는 삼각행렬이므로 $ \Delta(t)=(t-1)(t-3)(t-5)(t-6) $이다.</li></ol> <h1>8.5 고유값과 고유벡터의 계산, 대각화 행렬</h1> <h2>알고리듬 $ 8.1 $ (대각화 알고리듬) 입력은 $ n $정방행렬 $ A $이다.</h2> <ul> <li>Step 1. $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 찾는다.</li> <li>Step 2. $ A $의 고유값을 얻기 위해 $ \Delta(t) $의 근을 찾는다.</li> <li>Step 3. 다음을 각각의 $ A $의 고유값 $ \lambda $에 대해 반복한다.</li> <ol type=a start=1><li>$ M=A-\lambda I $를 만든다.</li> <li>동차방정식 $ M X=0 $의 해 공간의 기저를 찾는다(이 기저벡터들은 $ \lambda $에 속하는 선형 독립인 $ A $의 고유벡터들이다).</li></ol> <li>Step 4. Step 3에서 얻은 모든 고유벡터들의 집합 $ S=\left\{v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{n}\right\} $ 을 보자.<ol type=a start=1><li>만약 $ m \neq n $이면 $ A $는 대각화가 불가능하다.</li> <li>만약 $ m=n $이면 $ A $는 대각화 가능하다. 특히 고유벡터 $ v_{1}, v_{2} $, $ \ldots, v_{n} $들로 열이 이루어진 행렬을 $ P $라 할 때 \[D=P^{-1} A P=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}\right)\]이다. 여기서 $ \lambda_{i} $들은 고유벡터 $ v_{i} $에 대응하는 고유값이다.</li></ol></li></ul> <p>$보기8.6$ $ A=\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right] $ 에 위의 알고리듬을 적용하라.</p> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 계산하자. \[\operatorname{tr}(A)=4-1=3,\|A\|=-4-6=-10\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-3 t-10=(t-5)(t+2) .\]</li> <li>$ \Delta(t)=(t-5)(t+2)=0 $의 근을 구하면 $ \lambda_{1}=5 $와 $ \lambda_{2}=-2 $이다. $ A $의 고유값이다.</li> <li>\<ol type=a start=1><li>\[\begin{array}{l}\lambda_{1}=5 \text { 일 때 } \\M=A-\lambda I=\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\3 & -1\end{array}\right]-5\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\3 & -6\end{array}\right] \text { 이므로 } \\M X=\left[\begin{array}{rr}-1 & 2 \\3 & -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]\end{array}\]또는\[\begin{array}{r}-x+2 y=0 \\3 x-6 y=0\end{array}\]또는\[-x+2 y=0\]을 풀면 자유변수가 하나이다. 그러므로 0이 아닌 해는 벡터 $ v_{1}=(2,1) $이 $ \lambda_{1}=5 $의 고유공간을 확장하는 고유 벡터이다.</li> <li>\[\begin{array}{l}\lambda_{2}=-2 \text { 일 때 } \\M=A-\lambda I=\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\3 & -1\end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}6 & 2 \\ 3 & 1\end{array}\right] \text { 이므로 } \\M X=\left[\begin{array}{ll}6 & 2 \\3 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]\end{array}\]또는\[\begin{array}{l}6 x+2 y=0 \\3 x+y=0\end{array}\]또는\[3 x+y=0\]을 풀면 자유변수가 하나이다. 그러므로 0이 아닌 해는 벡터 $ v_{2}=(-1,3) $ 이 $ \lambda_{2}=-2 $의 고유공간을 확장하는 고유벡터이다.</li></ol></li> <li>$ P $를 고유벡터 $ v_{1} $과 $ v_{2} $로 열을 이루는 행렬이라 하면\[P=\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\1 & 3\end{array}\right] \text { 이고 } P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}3 / 7 & 1 / 7 \\-1 / 7 & 2 / 7\end{array}\right]\]이다. 따라서 $ D=P^{-1} A P $ 는 대각행렬이고 그 대각성분은 고 유값들이다. 즉\[D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}3 / 7 & 1 / 7 \\-1 / 7 & 2 / 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}4 & 2 \\3 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{rr}2 & -1 \\1 & 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}5 & 0 \\0 & -2\end{array}\right]\]</li></ol> <p>$보기8.7$ $ B=\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right] $이라 하자.\[\operatorname{tr}(B)=5+3=8,\|B\|=15+1=16\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-8 t+16=(t-4)^{2}\]이다. $ \lambda=4 $일 때\[M=B-\lambda I=\left[\begin{array}{rr}5 & -1 \\1 & 3\end{array}\right]-4\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & -1 \\1 & -1\end{array}\right] \text { 이고 } x-y=0\]이므로 $ v=(1,1) $은 대수적 반복수 2 를 갖는 $ B $의 고유벡터이다. 따라서 $ B $는 대각화가 불가능하다.</p> <p>$보기 8.8$ $ A=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right] $이라 하자( $ 30^{\circ} $ 회전 변환).\[\operatorname{tr}(A)=\sqrt{3} / 2+\sqrt{3} / 2=\sqrt{3},\|A\|=3 / 4+1 / 4=1\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-\sqrt{3} t+1\]이다. 따라서 $ \lambda=(\sqrt{3} \pm i) / 2 $의 허근을 갖는다.</p> <p>$보기 8.9$ $ A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right] $이라 하자.\[\operatorname{tr}(A)=1+1=2,\|A\|=1\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-2 t+1=(t-1)^{2}\]이다. 따라서 $ \lambda=1 $일 때\[M=A-\lambda I=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\0 & 0\end{array}\right]\]이다. 그러므로 모든 벡터를 고정한다.</p> <p>$보기8.10$ $ A=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 2\end{array}\right] $라 하자.\[\operatorname{tr}(A)=0+2=2,\|A\|=1\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-2 t+1=(t-1)^{2}\]이다. 따라서 $ \lambda=1 $일 때\[M=A-\lambda I=\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\1 & 2\end{array}\right]-1\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-1 & -1 \\1 & 1\end{array}\right]\]이므로 $ x+y=0 $이다. 따라서 $ v=(1,-1) $은 대수적 반복수 2를 갖는 $ B $의 고유벡터이므로 $ B $는 대각화가 불가능하다.</p> <p>$보기8.11$ $ A=\left[\begin{array}{ll}3 & -5 \\ 2 & -3\end{array}\right] $을 보자.\[\operatorname{tr}(A)=3-3=0,\|A\|=-9+10=1\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}+1 .\]우리는 다음의 두 경우를 고려한다.</p> <ol type=a start=1><li>실수체 $ \mathbb{R} $위에서의 행렬 $ A $라 하자. 그러면 $ \Delta(t) $는 해가 없다. 그러므로 $ A $는 고유값과 고유벡터가 없으므로 대각화가 불가능하다.</li> <li>복소수체 $ \mathbb{C} $위에서의 행렬 $ A $라 하자. 그러면 $ \Delta(t)=(t-i) $ $ (t+i) $는 2개의 해 $ i $와 $ -i $를 갖는다. 그러므로 $ A $ 는 2개의 고유값 $ i $와 $ -i $를 갖고 2개의 독립인 고유벡터를 갖는다. 따라서 복소수체 $ \mathbb{C} $위에서 정칙행렬 $ P $가 존재하여 \[D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr}i & 0 \\0 & -i\end{array}\right]\]가 되고 $ A $는 복소수체 $ \mathbb{C} $위에서 대각화 가능하다. (구체적으로 고유벡터들이 무엇인지 모른다. 그러므로 구체적인 $ P $도 모른다.)</li></ol> <h1>8.6 실가 대칭행렬의 대각화와 2차방정식 형태</h1> <p>모든 실가 행렬들이 대각화 가능한 것은 아니다. 사실 어떤 행렬은 실가의 고유값을 갖지 못한다. 하지만 실가 대칭행렬일 경우 이러한 문제는 걱정할 필요가 없다.</p> <p>$정리 8.19 $ $ A $를 실가 대칭행렬이라 하자. 이 행렬의 특성다항식의 해 $ \lambda $는 실수이다.</p> <p>$정리 8.20)\ \( A $를 실가 대칭행렬이라 하자. $ A $의 각각 다른 고유값 $ \lambda_{1} $과 $ \lambda_{2} $에 속하는 고유벡터들을 $ u $와 $ v $라 하자. 그러면 $ u $와 $ v $는 직교한다. 즉 $ \langle u, v\rangle=0 $이다.</p> <p>$정리 8.21$ $ A $를 실가 대칭행렬이라 하자. 그러면 $ D=P^{-1} A P $가 대각행렬이 되는 직교행렬 $ P $가 존재한다.</p> <p>직교행렬 $ P $는 다음 보기에서처럼 $ A $의 직교 고유벡터들의 기저를 정규화함으로써 구할 수 있다.</p> <p>$보기8.12$ $ A=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\ -2 & 5\end{array}\right] $는 실가 대칭행렬이다. $ D=P^{-1} A P $가 대각행렬이 되는 직교행렬 $ P $를 찾아라.</p> <p>풀이 먼저 $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 찾자.</p> <p>\[\operatorname{tr}(A)=2+5=7,\|A\|=10-4=6\]이므로\[\Delta(t)=t^{2}-7 t+6=(t-6)(t-1)\]이다. 따라서 $ \lambda_{1}=6 $과 $ \lambda_{2}=1 $은 $ A $의 고유값이다.</p> <ol type=a start=1><li> <p>\[\begin{array}{c}M=A-6 I=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\-2 & 5\end{array}\right]-6\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-4 & -2 \\-2 & -1\end{array}\right] \text { 이고 } \\M X=\left[\begin{array}{ll}-4 & -2 \\-2 & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]\end{array}\]또는\[\begin{array}{l}-4 x-2 y=0 \\-2 x-y=0\end{array}\]또는\[2 x+y=0\]이므로 $ u_{1}=(1,-2) $이다.</p></li> <li>\[\begin{array}{c}M=A-I=\left[\begin{array}{rr}2 & -2 \\-2 & 5\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\-2 & 4\end{array}\right] \text { 이고 } \\M X=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\-2 & 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\0\end{array}\right]\end{array}\]또는\[\begin{aligned}x-2 y &=0 \\-2 x+4 y &=0\end{aligned}\]또는\[x-2 y=0\]이므로 $ u_{2}=(2,1) $이다.정리 $ 8.20 $에서 언급했듯이 $ u_{1} $과 $ u_{2} $는 직교하고 이들을 정규화시키면 다음의 단위직교벡터들을 얻는다.</p>\[ \widehat{u_{1}}=(1 / \sqrt{5},-2 / \sqrt{5}), \widehat{u_{2}}=(2 / \sqrt{5}, 1 / \sqrt{5}) .\] 이들 벡터들로 $ P $를 만들면\[P=\left[\begin{array}{lr}1 / \sqrt{5} & -2 / \sqrt{5} \\2 / \sqrt{5} & 1 / \sqrt{5}\end{array}\right], \quad D=P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ll}6 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]\]예상했듯이 $ D $의 대각성분들은 $ A $의 고유값들이다.</li></ol> <p> <p>$유제8.7$ $ A=\left[\begin{array}{rrr}4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] $라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $의 모든 고유값을 구하라.</li> <li>$ A $의 선형 독립인 고유벡터들의 집합을 구하라.</li> <li>$ A $는 대각화 가능한가? 만약 그렇다면 $ D=P^{-1} A P $를 만족하 는 $ P $를 구하라.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $의 특성다항식은 $ \operatorname{tr}(A)=11,\|A\|=45 $이고\[A_{11}=\left\|\begin{array}{rr}5 & -2 \\1 & 2\end{array}\right\|=12, A_{22}=\left\|\begin{array}{rr}4 & -1 \\1 & 2\end{array}\right\|=9, A_{33}=\left\|\begin{array}{ll}4 & 1 \\2 & 5\end{array}\right\|=18\]이므로\[\begin{aligned}\Delta(t) &=t^{3}-t r(A) t^{2}+\left(A_{11}+A_{22}+A_{33}\right) t-\|A\| \\&=t^{3}-11 t^{2}+39 t-45 \\&=(t-3)^{2}(t-5)\end{aligned}\]이다. 따라서 $ A $ 의 고유값은 $ \lambda=3,5 $ 이다.</li> <li>대응하는 고유벡터를 구하자.<ol type=a start=1><li>$ \lambda=3 $ 일 때 $ M=A-3 I=\left[\begin{array}{ll}1 & 1-1 \\ 2 & 2-2 \\ 1 & 1-1\end{array}\right], x+y-z=0 $이다. 따라서 2개 의 자유변수를 가지므로 $ y=-1, z=0 $으로 놓으면 $ u= $ $ (1,-1,0) $이고, $ y=0, z=1 $로 놓으면 $ v=(1,0,1) $이다. $ u, v $는 선형 독립이다.</li> <li>$ \lambda=5 $일 때 $ M=A-5 I=\left[\begin{array}{rr}-1 & 1-1 \\ 2 & 0-2 \\ 1 & 1-3\end{array}\right],\left\{\begin{aligned} x-z=0 \\ y-2 z=0 \end{aligned}\right. $이다. 따라서 나의 자유변수를 가지므로 $ z=1 $로 놓으면 $ w=(1,2,1) $이다. 그러므로\[S=\{(1,-1,0),(1,0,1),(1,2,1)\}\]이다.</li></ol></li> <li>$ \lambda=5 $ 일 때 $ M=A-5 I=\left[\begin{array}{rr}-1 & 1-1 \\ 2 & 0-2 \\ 1 & 1-3\end{array}\right],\left\{\begin{aligned} x-z=0 \\ y-2 z=0 \end{aligned}\right. $ 이다. 따라서 하 나의 자유변수를 가지므로 $ z=1 $로 놓으면 $ w=(1,2,1) $이다. 그러므로\[S=\{(1,-1,0),(1,0,1),(1,2,1)\}\]이다.</li></ol> <p>$유제8.8$ $ B=\left[\begin{array}{ll}3-1 & 1 \\ 7-5 & 1 \\ 6-6 & 2\end{array}\right] $라 하자.<ol type=1 start=1><li>$ B $의 모든 고유값을 구하라.</li> <li>$ B $의 선형 독립인 고유벡터들의 집합을 구하라.</li> <li>$ B $는 대각화 가능한가? 만약 그렇다면 $ D=P^{-1} B P $를 만족하는 $ P $를 구하라.</li></ol></p> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ B $의 특성다항식은 $ \operatorname{tr}(B)=0,\|B\|=-16 $이고\[B_{11}=\left\|\begin{array}{ll}-5 & 1 \\-6 & 2\end{array}\right\|=-4, B_{22}=\left\|\begin{array}{ll}3 & 1 \\6 & 2\end{array}\right\|=0, \quad B_{33}=\left\|\begin{array}{l}3-1 \\7-5\end{array}\right\|=-8\]이므로\[\begin{aligned}\Delta(t) &=t^{3}-\operatorname{tr}(B) t^{2}+\left(B_{11}+B_{22}+B_{33}\right) t-\|B\| \\&=t^{3}-12 t+16 \\&=(t-2)^{2}(t+4)\end{aligned}\]이다. 따라서 $ B $의 고유값은 $ \lambda=2,-4 $이다.</li> <li>대응하는 고유벡터를 구하자.<ol type=a start=1><li>$ \lambda=2 $일 때$ M=B-2 I=\left[\begin{array}{ll}1-1 & 1 \\ 7-7 & 1 \\ 6-6 & 0\end{array}\right],\left\{\begin{array}{r}x-y+z=0 \\ z=0\end{array}\right. $이다. 따라서 하나의 자유변수를 가지므로 $ y=1 $ 로 놓으면 $ u=(1,1,0) $이다.</li> <li>$ \lambda=-4 $일 때$ M=B+4 I=\left[\begin{array}{rr}7-1 & 1 \\ 7-1 & 1 \\ 6-6 & 6\end{array}\right], \quad\left\{\begin{array}{r}x-y+z=0 \\ 6 y-6 z=0\end{array}\right. $이다. 따라서 하나의 자유변수를 가지므로 $ z=1 $로 놓으면 $ v=(0,1,1) $이다.</li></ol></li> <li>2개의 선형 독립인 고유벡터를 가지므로 $ B $는 대각화가 불가 능하다.</li></ol> <p>$유제8.9$ $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y, z)=(2 x+y-2 z, 2 x+3 y-4 z, x+y-z) $라 하자. $ T $의 모든 고유값을 구하고 $ T $의 고유공간의 기저를 구하라. $ T $는 대각화 가능한가? 만약 그렇다면 $ D=P^{-1} B P $를 만족하는 $ P $를 구하라.</p> <p>풀이 기본 기저에 대한 $ T $의 행렬 표현 $ A $를 구하면\[A=[T]=\left[\begin{array}{ll}2 & 1-2 \\2 & 3-4 \\1 & 1-1\end{array}\right]\]이고 특성다항식은 $ \operatorname{tr}(A)=4,\|A\|=2 $이며\[A_{11}=\left\|\begin{array}{l}3-4 \\1-1\end{array}\right\|=1, A_{22}=\left\|\begin{array}{ll}2-2 \\1-1\end{array}\right\|=0, A_{33}=\left\|\begin{array}{ll}2 & 1 \\2 & 3\end{array}\right\|=4\]이므로 $ \Delta(t)=t^{3}-4 t^{2}+5 t-2 $이다. 따라서 $ T $의 고유값은 $ \lambda=1 $, 2이다.<ol type=a start=1><li>$ \lambda=1 $일 때 $ M=\left[\begin{array}{ll}1 & 1-2 \\ 2 & 2-4 \\ 1 & 1-2\end{array}\right], x+y-2 z=0 $이다. 따라서 2개의 자유변수를 가지므로 $ y=-1, z=0 $으로 놓으면 $ u=(1,-1,0) $이고, $ y=0, z=1 $로 놓으면 $ v=(2,0,1) $이다. $ u, v $는 선형 독립이다.</li> <li>$ \lambda=1 $ 일 때 $ M=\left[\begin{array}{ll}1 & 1-2 \\ 2 & 2-4 \\ 1 & 1-2\end{array}\right], x+y-2 z=0 $이다. 따라서 2개의 자유수를 가지므로 $ y=-1, z=0 $으로 놓으면 $ u=(1,-1,0) $이고, $ y=0, z=1 $로 놓으면 $ v=(2,0,1) $이다. $ u, v $ 는 선형 독립이다.</li></ol></p> <h1>8.8 블록행렬의 특성다항식과 최소다항식</h1> <h2>특성다항식과 블록삼각행렬</h2> <p>$ M $을 블록삼각행렬이라 하자. 즉 $ M=\left[\begin{array}{cc}A_{1} & B \\ 0 & A_{2}\end{array}\right] $이다. 여기서 $ A_{1} $과 $ A_{2} $는 정방행렬이다. 그러면 $ t I-M $도 또한 블록삼각행렬이다. 그의 대각블록은 $ t I-A_{1} $과 $ t I-A_{2} $이다. 그러므로 \[\|t I-M\|=\left\|\begin{array}{cr}t I-A_{1} & -B \\0 & t I-A_{2}\end{array}\right\|=\left\|t I-A_{1}\right\|\left\|t I-A_{2}\right\| .\]</p> <p>$정리 8.25 $ $ M $을 대각블록 $ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{r} $을 갖는 블록삼각행렬이라 하자. 그러면 $ M $의 특성다항식은 대각블록 $ A_{i} $들의 특성다항식의 곱이다. 즉 \[\Delta_{M}(t)=\Delta_{A_{1}}(t) \Delta_{A_{2}}(t) \cdots \Delta_{A_{r}}(t) .\]</p> <p>$보기 8.15 $\[\begin{aligned}M &=\left[\begin{array}{rrrr}9 & -1 & 5 & 7 \\8 & 3 & 2 & -4 \\0 & 0 & 3 & 6 \\0 & 0 & -1 & 8\end{array}\right] \text { 을 보자. } M \text { 은 대각블록 } A=\left[\begin{array}{rr}9 & -1 \\8 & 3\end{array}\right] \text { 과 } \\B=\left[\begin{array}{rr}3 & 6 \\-1 & 8\end{array}\right] \text { 을 갖고 있으므로 } \\& \operatorname{tr}(A)=9+3=12, \operatorname{det}(A)=27+8=35\end{aligned}\]이고\[\begin{array}{c}\Delta_{A}(t)=t^{2}-12 t+35=(t-5)(t-7), \\\operatorname{tr}(B)=3+8=11, \operatorname{det}(B)=24+6=30\end{array}\]이다. 따라서\[\Delta_{B}(t)=t^{2}-11 t+30=(t-5)(t-6)\]이므로 $ M $의 특성다항식은\[\Delta_{M}(t)=\Delta_{A}(t) \Delta_{B}(t)=(t-5)^{2}(t-6)(t-7)\]이다.</p> <h2>최소다항식과 블록대각행렬</h2> <p>$정리 8.26$ $ M $을 대각블록 $ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{r} $을 갖는 블록대각행렬이라 하자. 그러면 $ M $의 최소다항식은 대각블록 $ A_{i} $들의 최소다항식의 최소공배수이다.</p> <p>$증명$ $ r=2 $일 때만 증명하면 귀납법으로 유한개까지 확장이 가능하다. $ A $와 $ B $가 정방행렬일 때 $ M=\left[\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & B\end{array}\right] $라 하자. $ g(t) $와 $ h(t) $가 $ A $와 $ B $의 최소다항식이고 $ m(t) $가 $ M $의 최소다항식이라 하자. $ m(t) $가 $ M $의 최소 다항식이라 하면 $ m(M)=\left[\begin{array}{cc}m(A) & 0 \\ 0 & m(B)\end{array}\right]=0 $이다. 그러므로 $ m(A)=0 $ 이고 $ m(B)=0 $이다. $ g(t) $가 $ A $의 최소다항식이므로 $ g(t) $는 $ m(t) $를 나눈다. 비슷하게 $ h(t) $가 $ m(t) $를 나눈다. 따라서 $ m(t) $는 $ g(t) $와 $ h(t) $의 배수이다. 이제 $ f(t) $를 $ g(t) $와 $ h(t) $의 배수의 다른 배수라 하자. $ f(M)=\left[\begin{array}{cc}f(A) & 0 \\ 0 & f(B)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]=0 $이다. 그러나 $ m(t) $는 $ M $의 최소다항식이므로 $ m(t) $는 $ f(t) $를 나눈다. 따라서 $ m(t) $는 $ g(t) $와 $ h(t) $의 공배수이다.</p> <p>$보기 8.16 $\[\begin{aligned}M &=\left[\begin{array}{ccccccc}2 & 5 & \mid & 0 & 0 & \mid & 0 \\0 & 2 & \mid & 0 & 0 & : & 0 \\\hdashline 0 & - & - & - & - & - & - \\0 & 0 & \mid & 4 & 2 & 0 \\0 & 0 & : & 3 & 5 & 0 \\\hdashline & - & - & - & - & - \\0 & 0 & \mid & 0 & 0 & 7\end{array}\right]=\operatorname{diag}\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right), A_{1}=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\0 & 2\end{array}\right], \\A_{2} &=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\3 & 5\end{array}\right] A_{3}=[7] \text { 을 보자. }\end{aligned}\] $ \Delta(t) $은 $ A_{1}, A_{2}, A_{3} $의 각각의 특성다항식 $ \Delta_{1}(t), \Delta_{2}(t), \Delta_{3}(t) $의 곱이다.</p> <p>\[\Delta_{1}(t)=(t-2)^{2}, \Delta_{2}(t)=(t-2)(t-7), \Delta_{3}(t)=t-7\]이므로 $ \Delta(t)=(t-2)^{3}(t-7)^{2} $이다. 대각블록 $ A_{1}, A_{2}, A_{3} $의 최소다항식 $ m_{1}(t), m_{2}(t), m_{3}(t) $는 특성 다항식과 같으므로 \[m_{1}(t)=(t-2)^{2}, m_{2}(t)=(t-2)(t-7), m_{3}(t)=t-7\]이다. 하지만 $ m(t) $는 $ m_{1}(t), m_{2}(t), m_{3}(t) $ 의 최소공배수이므로\[m(t)=(t-2)^{2}(t-7)\]이다.</p> <p>$유제8.15$ 다음 각 행렬의 특성다항식 $ \Delta(t) $와 최소다항식 $ m(t) $를 구하라.</p> <ol type= start=1><li>$ M=\left[\begin{array}{lllll}4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\end{array}\right] $</li> <li>$ M^{\prime}=\left[\begin{array}{rrrr}2 & 7 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & 4\end{array}\right] $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>$ M $은 대각블록\[A=\left[\begin{array}{lll}4 & 1 & 0 \\0 & 4 & 1 \\0 & 0 & 4\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\0 & 4\end{array}\right]\] 를 갖는 블록대각행렬이다. $ A $의 특성다항식과 최소다항식은 $ f(t)=(t-4)^{3} $이고 $ B $의 특성다항식과 최소다항식은 $ g(t)= $ $ (t-4)^{2} $이다. 그러므로 $ \Delta(t)=f(t) g(t)=(t-4)^{5} $이지만 $ m(t) $ $ =\operatorname{LCM}[f(t), g(t)]=(t-4)^{3} $ 이다.</li> <li> <p>$ M^{\prime} $은 대각블록\[A=\left[\begin{array}{ll}2 & 7 \\0 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\-2 & 4\end{array}\right]\]를 갖는 블록대각행렬이다. $ A $ 의 특성다항식과 최소다항식은 $ f(t)=(t-2)^{2} $이고 $ B $의 특성다항식과 최소다항식은 $ g(t)= $ $ t^{2}-5 t+6=(t-2)(t-3) $이다. 그러므로\[\begin{array}{c}\Delta(t)=f(t) g(t)=(t-2)^{3}(t-3), \\m(t)=\operatorname{LCM}[f(t), g(t)]=(t-2)^{2}(t-3)\end{array}\]이다.</p></li></ol> <p>$유제8.16$ $ n $정방행렬 $ A $의 최소다항식을 $ m(t) $라고 하자. $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $가 $ [m(t)]^{n} $을 나눔을 증명하라.</p> <p>풀이 $ m(t)=t^{r}+c_{1} t^{r-1}+\cdots+c_{r-1} t+c_{r} $이라 하자. 행렬 $ B_{j} $를 다음 과 같이 정의하자. \[ \begin{array}{ll}B_{0}=I & \Rightarrow I=B_{0} \\B_{1}=A+c_{1} I & \Rightarrow c_{1} I=B_{1}-A=B_{1}-A B_{0} \\B_{2}=A^{2}+c_{1} A+c_{2} I & \Rightarrow c_{2} I=B_{2}-A\left(A+c_{1} I\right)=B_{2}-A B_{1} \\\vdots & \vdots \\B_{r-1}=A^{r-1}+c_{1} A^{r-2}+\cdots+c_{r-1} I \\& \Rightarrow c_{r-1} I=B_{r-1}-A B_{r-2}\end{array}\]그러면 \[\begin{aligned}-A B_{r-1} &=c_{r} I-\left(A^{r}+c_{1} A^{r-1}+\cdots+c_{r-1} A+c_{r} I\right) \\&=c_{r} I-m(A)=c_{r} I\end{aligned}\]이다. \[B(t)=t^{r-1} B_{0}+t^{r-2} B_{1}+\cdots+t B_{r-2}+B_{r-1}\]이라 하면\[\begin{aligned}(t I-A) B(t) \\=&\left(t^{r} B_{0}+t^{r-1} B_{1}+\cdots+t B_{r-1}\right) \\& \quad-\left(t^{r-1} A B_{0}+t^{r-2} A B_{1}+\cdots+A B_{r-1}\right) \\=& t^{r} B_{0}+t^{r-1}\left(B_{1}-A B_{0}\right)+t^{r2}\left(B_{2}-A B_{1}\right)+\cdots \\& \quad+t\left(B_{r-1}-A B_{r-2}\right)-A B_{r-1} \\=& t^{r} I+c_{1} t^{r-1} I+c_{2} t^{r-2} I+\cdots+c_{r-1} t I+c_{r} I=m(t) I .\end{aligned}\] 위 식의 양쪽 행렬의 행렬식을 구하면 $ \|t I-A\|\|B(t)\|=\|m(t) I\| $ $ =[m(t)]^{n} $이다. $ \|B(t)\| $가 다항식이므로 $ \|t I-A\| $는 $ [m(t)]^{n} $을 나눈다. 즉 $ A $ 의 특성다항식이 $ [m(t)]^{n} $을 나눈다.</p> <h1>8.7 최소다항식</h1> <p>$ A $가 정방행렬이라 하자. $ J(A) $를 $ A $를 근으로 갖는 모든 다항식 $ f(t) $의 모임이라고 하자. 즉 $ f(A)=0 $이다. 케일리 해밀턴의 정리 $ 8.1 $에 의하면 $ A $의 특성다항식 $ \Delta_{A}(t) $는 $ J(A) $의 원소이므로 집합 $ J(A) $는 공집합이 아니다. $ J(A) $의 원소 중 차수가 제일 작은 다항식을 $ m(t) $라고 하자(이러한 다항식은 유일하게 존재한다). 우리는 $ m(t) $를 최소다항식(minimal polynomial)이라고 부른다.</p> <p>$언급$ II 최고 차항의 계수가 1인 다항식 $ f(t) \neq 0 $를 모닉(monic)이라고 부른다.</p> <p>$정리 8.22 $ 한 행렬 $ A $의 최소다항식 $ m(t) $는 $ A $를 해로 갖는 모든 다항식을 나눈다. 특히 $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 나눈다.</p> <p>$증명$ $ f(t) $가 $ f(A)=0 $을 만족하는 다항식이라 하자. 나눗셈 정리에 의해 다항식 $ q(t) $와 $ r(t) $가 존재하여 $ f(t)=m(t) q(t)+r(t), r(t)=0 $ 또는 $ \operatorname{deg} r(t)<\operatorname{deg} m(t) $를 만족한다. 이 방정식에 $ t=A $를 대입하고 $ f(A) $ $ =0 $과 $ m(A)=0 $을 이용하면 $ r(A)=0 $을 얻는다. 만약 $ r(t) \neq 0 $이라면 $ r(t) $는 $ A $를 해로 갖는 $ m(t) $보다 차수가 작은 다항식이다. 이것은 최소다항식의 정의에 모순된다. 그러므로 $ r(t)=0 $이다. 따라서 $ f(t)= $ $ m(t) q(t) $이므로 $ m(t) $는 $ f(t) $를 나눈다.</p> <p>$정리 8.23$ 한 행렬 $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $와 최소다항식 $ m(t) $는 같은 기약인수를 갖는다.</p> <p>$증명$ $ f(t) $를 기약다항식이라 하자. 만약 $ f(t) $가 $ m(t) $를 나눈다면 $ m(t) $가 $ \Delta(t) $를 나누므로 $ f(t) $는 또한 $ \Delta(t) $를 나눈다. 반면 $ f(t) $가 $ \Delta(t) $를 나눈다면 유제 $ 8.16 $에 의해 $ f(t) $또한 $ [m(t)]^{n} $을 나눈다. 그러나 $ f(t) $는 기약이므로 $ f(t) $는 $ m(t) $를 나눈다. 따라서 $ \Delta(t) $와 $ m(t) $는 같은 기약인수를 갖는다.</p> <p>$증명$ $ f(t) $를 기약다항식이라 하자. 만약 $ f(t) $가 $ m(t) $를 나눈다면 $ m(t) $가 $ \Delta(t) $를 나누므로 $ f(t) $는 또한 $ \Delta(t) $를 나눈다. 반면 $ f(t) $가 $ \Delta(t) $를 나눈다면 유제 8.16에 의해 $ f(t) $ 또한 $ [m(t)]^{n} $을 나눈다. 그러나 $ f(t) $는 기약이므로 $ f(t) $는 $ m(t) $를 나눈다. 따라서 $ \Delta(t) $와 $ m(t) $는 같은 기약인수를 갖는다.</p> <p>$정리 8.24$ 스칼라 $ \lambda $가 행렬 $ A $의 고유값일 필요충분조건은 $ \lambda $가 행렬 $ A $의 최소다항식 $ m(t) $의 근인 것이다.</p> <p>$보기8.14$ $ A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 2 & -5 \\ 3 & 7 & -15 \\ 1 & 2 & -4\end{array}\right] $ 의 최소다항식 $ m(t) $ 를 찾아라.</p> <p>풀이 행렬 $ A $의 특성다항식 $ \Delta(t) $를 찾자.\[\operatorname{tr}(A)=5, A_{11}+A_{22}+A_{33}=2-3+8=7,\|A\|=3\]이므로\[\Delta(t)=t^{3}-5 t^{2}+7 t-3=(t-1)^{2}(t-3) .\]$ m(t) $ 는 특성다항식 $ \Delta(t) $ 를 나누고 같은 기약인수를 가지므로\[f(t)=(t-3)(t-1) \text { 또는 } g(t)=(t-3)(t-1)^{2}\]중 하나이다. 또한 케일리 해밀턴의 정리에 의해 $ g(A)=\Delta(A) $ $ =0 $이므로 $ f(t) $를 테스트해봐야 한다.</p> <p>\[\begin{aligned}f(A) &=(A-I)(A-3 I)=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -5 \\3 & 6 & -15 \\1 & 2 & -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}2 & 2 & -5 \\3 & 7 & -15 \\1 & 2 & -4\end{array}\right] \\&=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] .\end{aligned}\] 그러므로 최소다항식은 $ f(t)=(t-3)(t-1)=t^{2}-4 t+3 $ 이다.</p> <p>유제8.14 $ A=\left[\begin{array}{ll}4-2 & 2 \\ 6-3 & 4 \\ 3-2 & 3\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{ll}3-2 & 2 \\ 4-4 & 6 \\ 2-3 & 5\end{array}\right] $라 하자. 두 행렬의 특성다항식은 모두 $ \Delta(t)=(t-2)(t-1)^{2} $이다. 각 행렬의 최소다항식 $ m(t) $를 찾아라.</p> <p>풀이 $ m(t) $는 $ \Delta(t) $를 나눈다. 또한 $ \Delta(t) $의 각 인수 $ (t-2) $와 $ (t-1) $은 또한 $ m(t) $의 인수이다. 따라서 $ m(t) $는 다음 중 하나이다.\[f(t)=(t-2)(t-1) \text { 또는 } g(t)=(t-2)(t-1)^{2}\]</p> <ol type=a start=1><li>케일리 해밀턴 정리에 의해 $ g(A)=\Delta(A)=0 $ 이다. 따라서 $ f(t) $ 를 보자. \[\begin{aligned}f(A) &=(A-2 I)(A-I)=\left[\begin{array}{ll}2-2 & 2 \\6-5 & 4 \\3-2 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}3-2 & 2 \\6-4 & 4 \\3-2 & 2\end{array}\right] \\&=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0\end{array}\right] .\end{aligned}\]따라서 $ m(t)=f(t)=(t-2)(t-1)=t^{2}-3 t+2 $ 가 $ A $ 의 최소 다항식이다.</li> <li>비슷하게 $ g(B)=\Delta(B)=0 $ 이다. 따라서 $ f(t) $ 를 보자. \[f(B)=(B-2 I)(B-I)=\left[\begin{array}{ll}1-2 & 2 \\4-6 & 6 \\2-3 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}2-2 & 2 \\4-5 & 6 \\2-3 & 4\end{array}\right]\]\[=\left[\begin{array}{cc}-2 & 2-2 \\-4 & 4-4 \\-2 & 2-2\end{array}\right] \neq 0\]따라서 $ m(t) \neq f(t) $ 이다. $ B $ 의 최소다항식은 $ m(t)=g(t)= $ $ (t-2)(t-1)^{2} $ 이다.</li></ol>	자연
m867-미분적분학	<p>예제 $ 4.4 f(x)=x ^ { 3 } $ 은 닫힌구간 $ [-1,1] $ 에서 대역극값 (최댓값, 최솟값) 을 갖는다. 하지만 극값은 갖지 않는다. $ f ^ {\prime } (0)=0 $ 이나 어떠한 $ \delta>0 $ 에 대해서도 열린구간 $ (- \delta, \delta) $ 에서 $ f(0)=0 $ 이 최댓값 또는 최솟값이 되지 않기 때문이다(그림 4.4).</p> <p>예제 $ 4.5 $ 다음 그림 4.5에서 점 $ a, b, c, d, e $ 에서 극값을 가짐을 정의에 의하여 알 수 있다. 따라서 미분불가능점, 불연속점도 극값이 될 수 있다.</p> <h2>4.2 평균값정리와 그 응용</h2> <h3>정리 4.4 (Rolle의 정리)</h3> <p>$ f $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $ 에서 미분가능하며 $ f(a)=f(b) $ 이면 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이 되는 적어도 하나의 $ c \in(a, b) $ 가 존재한다.</p> <p>Rolle의 정리는 $ f $ 가 가정을 만족하면 $ (c, f(c)) $ 에서 기울기가 0 인 접선이 존재함을 알려준다 (그림 4.6).</p> <h3>정리 4.5 (평균값 정리)</h3> <p>$ f $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $ 에서 미분가능하면</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $</p> <p>가 성립하는 적어도 하나의 $ c $ 가 구간 $ (a, b) $ 내에 존재한다.</p> <p>[증명] 함수 $ g $ 를</p> <p>$ g(x)=f(x)- \left [f(a) + \frac { f(b)-f(a) } { b-a } (x-a) \right ], \quad a \leq x \leq b $</p> <p>로 정의하면(그림 $ 4.7 $ ) $ f $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $ 에서 미분가능하므로 $ g $ 도 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ (a, b) $ 에서 미분가능하다. 또한 $ g(a)=g(b)=0 $ 이므로 Rolle의 정리에 의하여 $ g ^ {\prime } (c)=0 $ 이 되는 $ c $ 가 구간 $ (a, b) $ 내에 존재한다.</p> <p>$ \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } {\sqrt[3] { c } } =f ^ {\prime } (c)= \frac { 1 } { 7 } $</p> <p>을 만족하여야 한다. 하지만 $ c= \left ( \frac { 14 } { 3 } \right ) ^ { 3 } \doteqdot 102 $ 는 구간 $ (-8,27) $ 내에 있지 않으므로 $ f $ 는 평균값 정리를 만족하지 않는다. 그 이유는 그림 ⒋9에서 보이는 바와 같이 $ f(x)=x ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 은 $ (-8,27) $ 내의 $ x=0 $ 인 점에서 미분불가능하여 평균값 정리의 가정을 만족하지 않기 때문이다.</p> <h3>정리 4.6</h3> <p>(i) $ f $ 는 구간 $ I $ 에서 연속이라 하자. $ I $ 내의 모든 $ x $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 이면 $ f $ 는 $ I $ 에서 상수이다.</p> <p>(ii) $ f $ 와 $ g $ 가 구간 $ I $ 에서 연속이라 하자. $ I $ 내의 모든 $ x $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)=g ^ {\prime } (x) $ 이면 상수 $ c $ 가 존재하여 $ I $ 내의 모든 $ x $ 에 대하여 $ f(x)=g(x) + c $ 이다.</p> <p>[증명] (i) $ x $ 와 $ z $ 는 $ x<z $ 인 $ I $ 내의 임의의 점들이라 하자. 평균값 정리에 의하여</p> <p>$ \frac { f(z)-f(x) } { z-x } =f ^ {\prime } (c)=0 $</p> <p>가 성립되는 $ c $ 가 $ (x, z) $ 내에 존재한다. 따라서 $ f(z)-f(x)=0 $ 이고 $ f(z)=f(x) $, $ { } ^ {\forall } x \in I $ 이다. 즉 $ f $ 는 $ I $ 에서 상수함수이다.</p> <p>(ii) $ h(x)=f(x)-g(x) $ 라 놓으면 $ h ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x)-g ^ {\prime } (x)=0 $ 이고 $ h(x) $ 는 $ I $ 에서 연속이므로 (i)에 의하여 $ h(x)=f(x)-g(x) $ 는 $ I $ 내에서 상수함수이다. 따라서</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이 되는 점 $ c $ 를 정점(stationary point)이라 하고 $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하지 않는 점 $ c $ 를 특이점(singular point)이라 한다. 정점, 특이점 그리고 끝점을 통틀어 임계점(critical point)이라 하며, 정리 $ 4.2 $ 는 $ f $ 가 미분가능한 점에서 극값을 가지면 정점임을 알려 주고 있다. $ f $가 어떤 영역 위에서 정의되었다면 그 영역 위의 수많은 점들 중에서 특별한 점들에서만 최댓값과 최솟값을 갖는다는 사실을 다음 정리에서 보이고 있다.</p> <h3>정리 4.3</h3> <p>$ f $ 가 구간 $ I $ 에서 정의된 함수이고 $ c \in I $ 라 하자. $ f $ 가 $ c $ 에서 최댓값 또는 최솟값을 가지면 $ c $ 는 임계점이어야 한다.</p> <p>[증명] $ f(c) $ 는 $ I $ 에서 $ f $ 의 최댓값이고 끝점도 특이점도 아니라면 $ c $ 가 정점임을 보이면 된다. $ f(c) $ 가 $ I $ 에서 최댓값이므로 $ x \in I $ 인 모든 $ x $ 에 대하여</p> <p>$ f(x) \leq f(c) $</p> <p>이다. 즉 $ f(x)-f(c) \leq 0 $ 이다. 따라서 $ x<c $ 이면 $ x-c<0 $ 이므로</p> <p>$ \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \geq 0 $</p> <p>이고 $ x>c $ 이면 $ x-c>0 $ 이므로</p> <p>$ \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \leq 0 $</p> <p>이다. $ c $ 는 특이점이 아니므로 $ f ^ {\prime } (x) $ 가 존재하고 위 사실로부터</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \geq 0, \quad \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \leq 0 $</p> <p>이 성립하여 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이어야 한다. $ f(c) $ 가 최솟값일 때에도 유사하게 증명된다.</p> <p>위 정리로부터 최댓값과 최솟값은 끝점, 정점 또는 특이점에서만 발생함을 알 수 있다(그림 4.1). 따라서 최대, 최솟값을 실제로 찾기 위해서는 각 임계점에서 $ f $ 의 값을 계산하여 그 중 제일 큰 값과 제일 작은 값을 구하면 된다.</p> <p>예제 $ 4.1 f(x)=x-x ^ { 3 } $ 의 닫힌구간 $ [0,1] $ 에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f $ 는 닫힌구간 $ [0,1] $ 에서 연속이므로 최대, 최솟값 정리에 의하여 대역극값을 갖는다.</p> <p>$ f $ 는 $ [0,1] $ 의 모든 점에서 미분가능하므로 특이점은 존재하지 않는다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)=1-3 x ^ { 2 } $</p> <p>이므로 $ f ^ {\prime } (x)=1-3 x ^ { 2 } =0 $ 이라 놓으면 $ x=- \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } $ 또는 $ x= \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } $ 이다. 그러나 $ x=- \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } $ 은 $ [0,1] $ 내의 점이 아니므로 최대, 최솟값은 끝점 $ x=0, x=1 $ 과 $ \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } $ 에서 갖는다.</p> <p>$ f(0)=0, \quad f(1)=0 $</p> <p>$ f \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \right )= \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } - \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \right ) ^ { 3 } = \frac { 2 } { 9 } \sqrt { 3 } $</p> <p>이므로 최댓값은 $ \frac { 2 } { 9 } \sqrt { 3 } $ 이고 최솟값은 0 이다.</p> <p>예제 $ 4.2 f(x)=x ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 의 닫힌구간 $ [-1,1] $ 에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)= \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } = \frac {\frac { 2 } { 3 } } {\sqrt[3] { x } } $ 이므로 $ x=0 $ 에서 $ f ^ {\prime } $ 값이 존재하지 않아 미분불가능하다. 즉 $ x=0 $ 은 특이점이 된다. 또한 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 인 점이 존재하지 않으므로 정점은 존재하지 않는다 (그림 (4.2). 따라서 최대, 최솟값은 끝점 $ x=-1 $ 과 $ x=1 $ 그리고 특이점 $ x=0 $에서 존재한다.</p> <p>이다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)= \frac { 10(x-18)(x + 10) } { (x-4) ^ { 2 } } , \quad 4<x $</p> <p>이므로 $ f ^ {\prime } (18)=0=f ^ {\prime } (-10) $ 이지만 $ x=-10 $ 은 $ 4<x $ 영역 밖의 점이고 $ f(x) $ 는 특이점을 갖지 않으므로 임계점은 $ x=18 $ 뿐이다.</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { 3920 } { (x-4) ^ { 3 } } $</p> <p>이므로 $ f ^ {\prime \prime } (18)>0 $ 이 되어 $ f(18)=45 $ 가 최솟값이다. 따라서 $ x=18 \mathrm { ~cm } , y=45 \mathrm { ~cm } $가 광고지를 최소화하는 크기이다.</p> <p>예제 $ 4.13 $ 한 변의 길이가 $ a \mathrm { ~cm } $ 인 정사각형 판지의 네 모퉁이에서 같은 크기의 정사각형을 오려내어 뚜껑이 없는 상자를 만들 때 상자의 부피를 최대로 하려면 얼마만한 크기의 정사각형을 오려내야 하는가?</p> <p>풀이 판지의 한 변의 길이를 $ a $ 라 하고 오려내는 작은 정사각형의 한 변을 $ x $ 라 하자(그림 4.13). 이 상자의 부피를 $ V $ 라 하면</p> <p>$ V(x)=x(a-2 x) ^ { 2 } , \quad 0<x< \frac { a } { 2 } $</p> <p>이다. $ V(x) $ 는 $ \left (0, \frac { a } { 2 } \right ) $ 에서 연속이며 미분가능하다. 따라서</p> <p>$ \frac { d V } { d x } =12 x ^ { 2 } -8 a x + a ^ { 2 } =(6 x-a)(2 x-a) $</p> <p>$ V ^ {\prime } \left ( \frac { a } { 6 } \right )=0, \quad V ^ {\prime } \left ( \frac { a } { 2 } \right )=0 $</p> <p>또한 $ V ^ {\prime \prime } (x)=24 x-8 a $ 이므로</p> <p>$ V ^ {\prime \prime } \left ( \frac { a } { 6 } \right )=-4 a<0, \quad V ^ {\prime \prime } \left ( \frac { a } { 2 } \right )=4 a>0 $</p> <p>열린구간 $ I $ 내의 임의의 점 $ x $ 에서 $ f ^ {\prime } (x) $ 가 존재한다 하고 $ c $ 를 $ I $ 내의 고정된 점이라 하자.</p> <p>점 $ (c, f(c)) $ 에서 $ f $ 의 접선은</p> <p>$ y=f(c) + f ^ {\prime } (c)(x-c) $</p> <p>이다.</p> <p>$ g(x)=f(x)- \left [f(c) + f ^ {\prime } (c)(x-c) \right ], \quad { } ^ {\forall } x \in I $</p> <p>라 정의하자(그림 4.15). 만일 $ g(x)>0, { } ^ {\forall } x \in I, x \neq c $ 이면 점 $ (c, f(c)) $ 에서의 접선은 $ f $ 의 그래프의 아래에 존재한다.</p> <h3>정리 $ 4.10 $</h3> <p>열린구간 $ I $ 에서 $ f ^ {\prime \prime } $ 이 존재한다 하자.</p> <p>(i) $ x \in I $ 에 대하여 $ f ^ {\prime \prime } (x)>0 $ 이면 $ f $ 의 그래프는 $ I $ 에서 위로 오목하다.</p> <p>(ii) $ x \in I $ 에 대하여 $ f ^ {\prime \prime } (x)<0 $ 이면 $ f $ 의 그래프는 $ I $ 에서 아래로 오목하다.</p> <p>[증명] (i) $ I $ 내에 임의의 점 $ c $ 를 잡자. $ x \in I $ 에서 $ f ^ {\prime \prime } (x)= \left (f ^ {\prime } \right ) ^ {\prime } (x)>0 $ 이므로 $ I $ 에서 $ f ^ {\prime } (x) $는 단조증가함수이다. 고정된 $ x \in I, x \neq c $ 에 대하여 평균값 정리를 적용하면</p> <p>$ f(x)-f(c)=f ^ {\prime } (z)(x-c) $</p> <p>를 만족하는 점 $ z $ 가 구간 $ (x, c) $ 내에 존재한다. 앞에서 정의한 함수</p> <p>$ g(x)=f(x)- \left [f(c) + f ^ {\prime } (c)(x-c) \right ] $</p> <p>에 대입하면</p> <p>$ \begin {aligned} g(x) &=f ^ {\prime } (z)(x-c)-f ^ {\prime } (c)(x-c) \\ &= \left [f ^ {\prime } (z)-f ^ {\prime } (c) \right ](x-c) \end {aligned} $</p> <h1>도함수의 응용</h1> <p>공학, 물리학, 생물학과 사회과학의 영역에서 혼히 발생되는 최적화 문제를 해결하기 위하여 함수의 증감, 극값과 오목을 도함수를 이융하여 결정하는 방법을 다룬다.</p> <h2>4.1 최댓값과 최솟값</h2> <p>$ I $ 를 함수 $ f $ 의 정의역에 포함되는 집합이라 하자.<p>(1) $ I $ 에 속하는 모든 $ x $ 에 대하여 $ f(x) \leq f(c) $ 가 성립되는 $ c $ 가 $ I $ 내에 존재하면 함수 $ f $ 는 $ I $ 에서 최댓값을 갖는다고 하고 $ f(c) $ 를 $ I $ 에서 $ f $ 의 최댓값이라 한다.</p> <p>(2) $ I $ 에 속하는 모든 $ x $ 에 대하여 $ f(x) \geq f(c) $ 가 성립되는 $ c $ 가 $ I $ 내에 존재하면 함수 $ f $ 는 $ I $ 에서 최솟값을 갖는다고 하고 $ f(c) $ 를 $ I $ 에서 $ f $ 의 최솟값이라 한다.</p> <p>(3) $ f $ 의 최댓값 또는 최솟값을 대역극값이라 한다.</p> <p>$ I $ 가 함수 $ f $ 의 정의역이고 $ I $ 에서 $ f $ 의 최댓값과 최솟값이 각각 존재한다면, 이 값을 간단히 $ f $ 의 최댓값, 최솟값이라 한다.</p> <p>함수 $ f $ 가 $ I $ 위에서 최댓값 또는 최솟값을 갖거나 갖지 않음은 $ f $ 와 $ I $ 에 달려 있음을 알 수 있다. 예를 들어 $ f(x) = \frac { 1 } { x } $ 은 구간 $ (0,1] $ 에서 최댓값을 갖지 않는다. 반면 구간을 $ [1,2] $로 잡으면 이 위에서는 최댓값 1 과 최솟값 $ \frac { 1 } { 2 } $ 이 존재한다.</p> <p>항상 최댓값과 최솟값이 존재하려면 $ f $ 와 $ I $ 가 어떤 조건을 갖추어야 하는지는 다음 정리에서 밝히고 있다.</p> <h2>정리 4.1 (최댓값, 최솟값 정리)</h2> <p>$ f $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의되어진 연속함수이면 $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 최댓값과 최솟값을 갖는다.</p> <p>따라서 $ x= \frac { a } { 6 } $ 에서 최댓값 $ V \left ( \frac { a } { 6 } \right )= \frac { 2 } { 27 } a ^ { 3 } $ 을 갖는다.</p> <p>예제 $ 4.14 $ 부피가 $ 100 \mathrm { ~cm } ^ { 3 } $ 인 주석 깡통을 만들고자 한다. 가장 적은 주석을 요구하는 깡통의 치수를 구하여라.</p> <p>풀이 깡통의 반지름을 $ r $ 이라 표시하고 높이를 $ h $ 라 하자. 그러면 $ \pi r ^ { 2 } h=100 $ 이 성립하고 깡통의 표면적은</p> <p>$ S(r, h)=2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r h $</p> <p>이다. 따라서 $ h= \frac { 100 } {\pi r ^ { 2 } } $ 을 위 식에 대입하면</p> <p>$ S(r)=2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r \cdot \frac { 100 } {\pi r ^ { 2 } } =2 \pi r ^ { 2 } + \frac { 200 } { r } $</p> <p>이므로</p> <p>$ \frac { d S } { d r } =4 \pi r- \frac { 200 } { r ^ { 2 } } = \frac { 4 \pi r ^ { 3 } -200 } { r ^ { 2 } } $</p> <p>이다. $ \frac { d S } { d r } =0 $ 에서 $ r= \sqrt[3] {\frac { 50 } {\pi } } $ 이고 반지름 $ r $ 의 영역은 $ (0, \infty) $ 이므로 임계점은 $ r= $ $ \sqrt[3] {\frac { 50 } {\pi } } $ 뿐이다. 2계 도함수 판정법을 이용하기 위하여</p> <p>$ \frac { d ^ { 2 } S } { d r ^ { 2 } } =4 \pi + \frac { 400 } { r ^ { 3 } } $</p> <p>(i) $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 $ x=c $ 를 기준점으로 양에서 음으로 바뀌면 $ f $ 는 $ x=c $ 에서 극댓값을 갖는다.</p> <p>(ii) $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 $ x=c $ 를 기준점으로 음에서 양으로 바뀌면 $ f $ 는 $ x=c $ 에서 극솟값을 갖는다.</p> <p>[증명] (i) $ f ^ {\prime } $ 의 부호가 $ x=c $ 를 기준점으로 양에서 음으로 바뀌므로 $ \delta>0 $ 가 존재하여 $ { } ^ {\forall } x \in(c- \delta, c) $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이고 $ { } ^ {\forall } x \in(c, c + \delta) $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이다. 정리 $ 4.7 $ 에 의하여 $ f $ 는 $ [c- \delta, c] $ 에서 순증가하고 $ [c, c + \delta] $ 에서 순감소한다. 그러므로 $ f(c) $ 는 $ [c- \delta, c + \delta] $ 에서 최댓값이다. 즉 $ f $ 는 $ x=c $ 에서 극댓값을 갖는다.</p> <p>(ii) (i) 과 유사한 방법으로 증명된다.</p> <p>위의 정리 $ 4.8 $ 은 $ f $ 가 $ x=c $ 에서 미분불가능한 경우도 포함하고 있다(그림 $ 4.10 $ ).</p> <p>예제 $ 4.9 f(x)=x(1-x) ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 의 극댓값, 극솟값 (극값 $ ) $ 을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)=(1-x) ^ {\frac { 2 } { 3 } } + x \cdot \frac { 2 } { 3 } (1-x) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \cdot(-1)= \frac { 3-5 x } { 3(1-x) ^ {\frac { 1 } { 3 } } } $</p> <p>이므로 $ f ^ {\prime } \left ( \frac { 3 } { 5 } \right )=0 $ 이고 $ x=1 $ 에서 $ f ^ {\prime } (x) $ 의 값은 존재하지 않는다. 그리고 $ f ^ {\prime } (x) $ 의 부호는 $ \left (- \infty, \frac { 3 } { 5 } \right ) $ 에서 양이고 $ \left ( \frac { 3 } { 5 } , 1 \right ) $ 에서 음이므로 $ x= \frac { 3 } { 5 } $ 에서 극댓값 $ f \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) $ 을 갖는다. 또한 $ f ^ {\prime } (x) $ 의 부호가 $ \left ( \frac { 3 } { 5 } , 1 \right ) $ 에서 음이고 $ (1, \infty) $ 에서 양이므로 $ x=1 $ 에서 극솟값 $ f(1) $을 갖는다.</p> <p>이므로 $ f $ 는 구간 $ \left (- \infty, \frac { 1 } { 3 } \right ) $ 과 구간 $ \left ( \frac { 1 } { 3 } , \infty \right ) $ 에서 단조감소하고 구간 $ \left (- \infty, \frac { 1 } { 3 } \right ) $ 에서 아래로 오목하며 구간 $ \left ( \frac { 1 } { 3 } , \infty \right ) $ 에서 위로 오목하다. 점근선을 구하기 위하여 다음과 같이 계산한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \frac { 1 } { 3 } ^ { + } } f(x) &= \lim _ { x \rightarrow \frac { 1 } { 3 } ^ { + } } \frac { 2 x + 1 } { 3 x-1 } = \infty \\ \lim _ { x \rightarrow \frac { 1 } { 3 } ^ { - } } f(x) &= \lim _ { x \rightarrow \frac { 1 } { 3 } ^ { - } } \frac { 2 x + 1 } { 3 x-1 } =- \infty \\ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x) &= \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)= \frac { 2 } { 3 } . \end {aligned} $</p> <p>그러므로 $ x= \frac { 1 } { 3 } $ 이 수직점근선이고 $ y= \frac { 2 } { 3 } $ 가 수평점근선이다.</p> <h3>정의 $ 4.7 $</h3> <p>$ f(x) $ 가 구간 $ (a, \infty) $ 에서 정의되었다 하자. $ x \rightarrow \infty $ 일 때 $ f(x) \rightarrow \infty $ 이면</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty $</p> <p>라 쓴다.</p> <p>다음의 정의는 정의 4․6과 $ 4.7 $을 보다 엄밀하게 정의한 것이다. 그러나 처음 읽는 독자들은 생략해도 된다.</p> <h3>정의 $ 4.8 $</h3> <p>(i) $ f $가 구간 $ (a, \infty) $에서 정의되었을 경우 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)=6 x ^ { 2 } -18 x=6 x(x-3) $ 이고 $ f ^ {\prime \prime } (x)=12 x-18=6(2 x-3) $ 이므로 $ f ^ {\prime } (0)= $ $ 0=f ^ {\prime } (3) $ 이다. 또한 $ f ^ {\prime \prime } (0)=-18<0 $ 이고 $ f ^ {\prime \prime } (3)=18>0 $ 이므로 $ f(0)=5 $ 는 극댓값이고 $ f(3)=-22 $ 는 극솟값이다.</p> <h2>$ 4.4 $ 극값의 응용</h2> <p>일상 생활에서 흔히 발생하는 면적, 부피 또는 이윤의 극대화 문제라든가 시간, 거리 또는 비용의 최소화 문제 등 제반의 극대화, 극소화 문제를 해결하기 위하여 최대, 최솟값 정리의 결과를 이용할 수 있다.</p> <p>예제 $ 4.12 $ 광고지에서 $ 490 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } $ 에 해당하는 면적에 광고 내용을 직사각형으로 인쇄하고자 한다. 이때 광고지의 위쪽과 아래쪽에 각각 $ 2 \mathrm { ~cm } $ 의 여백을 두고 좌우쪽은 $ 5 \mathrm { ~cm } $ 의 여백을 두고자 한다. 위 조건을 만족하는 광고 내용을 게재하면서도 광고지를 가장 적게 사용하고자 한다. 광고지의 크기를 정하여라.</p> <p>풀이 광고지의 세로를 $ x \mathrm { ~cm } $ 라 하고 가로를 $ y \mathrm { ~cm } $ 라 하면 광고지의 면적은</p> <p>$ S(x, y)=x y $</p> <p>이다. 광고 내용이 차지하는 부분은 세로 $ (x-4) \mathrm { cm } $, 가로 $ (y-10) \mathrm { cm } $ 인 직사각형이므로</p> <p>$ (x-4)(y-10)=490, \quad 4<x, \quad 10<y $</p> <p>가 성립된다. 따라서 $ S(x, y) $ 의 값이 최소가 되는 $ x, y $ 를 구하면 된다. $ S(x, y) $ 를 $ x $ 에 관한 일변수함수로 바꾸기 위하여 $ (x-4)(y-10)=490 $ 으로부터</p> <p>$ y= \frac { 490 } { x-4 } + 10, \quad 4<x $</p> <p>의 관계식을 유도하고 $ S(x, y) $ 에 대입하면</p> <p>$ S(x, y)=f(x)= \frac { 490 x } { x-4 } + 10 x, \quad 4<x $</p> <p>(ii) $ I $ 내의 각 점 $ x $ 에서 $ f ^ {\prime } (x) \leq 0 $ 이면 $ f $ 는 $ I $ 에서 감소한다. 또한 $ I $ 의 유한개의 내점에서만 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 이고 그 외의 모든 내점에서 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이면 $ f $ 는 $ I $ 에서 순감소한다.</p> <p>[증명] (i) $ x, z $ 는 $ x<z $ 인 임의의 $ I $ 내의 점이라 하자. 가정에 의하여 $ f $ 는 닫힌구간 $ [x, z] $에서 연속이고 열린구간 $ (x, z) $ 에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(z)-f(x) } { z-x } $</p> <p>인 $ c $ 가 $ (x, z) $ 내에 존재한다. $ f ^ {\prime } (c) \geq 0 $ 이고 $ z-x>0 $ 이므로 $ f(z) \geq f(x) $ 가 되어 $ f $ 는 $ I $ 에서 증가한다. (i)의 두 번째 사실을 증명하기 위하여 $ f $ 는 $ I $ 에서 순증가하지 않는다고 하자. $ f $ 는 증가함을 증명하였으므로 순증가하지 않는다는 가정은 $ v<w $이고 $ f(v)=f(w) $ 인 $ v, w $ 가 $ I $ 내에 존재함을 뜻한다. 다시 말하면 $ f $ 는 닫힌구간 $ [v, w] $ 에서 상수함수이므로 $ v<x<w $ 인 $ x $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 이다. 이는 $ I $ 내의 유한개의 점들을 제외한 점 $ x $ 에 대하여 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이라는 가정에 모순이다. 그러므로 $ f $ 는 $ I $ 에서 순증가한다.</p> <p>(ii) (i)과 유사한 방법으로 증명된다.</p> <h2>$ 4.3 $ 단조성, 오목성과 도함수</h2> <h3>정리 $ 4.8 $ (1계 도함수 판정법)</h3> <p>$ f $ 는 구간 $ I $ 에서 연속이고 $ c \in I $ 라 한다.</p> <p>$ x>M \Rightarrow\|f(x)-L\|< \varepsilon $</p> <p>이 성립하는 실수 $ M $이 존재하면 $ L $을 $ x $가 $ \infty $로 다가갈 때 $ f(x) $의 극한이라 한다. 이것을</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L $</p> <p>으로 쓴다.</p> <p>(ii) $ f $ 가 구간 $ (- \infty, a) $에서 정의되었을 경우 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여</p> <p>$ x<m \Rightarrow\|f(x)-L\|< \varepsilon $</p> <p>이 성립하는 실수 $ m $ 이 존재하면 $ L $ 을 $ x $ 가 $ - \infty $ 로 다가갈 때 $ f(x) $ 의 극한이라 한다.</p> <p>이것을</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)=L $</p> <p>으로 쓴다.</p> <p>(iii) 만일</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L $ 또는. $ \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)=L $</p> <p>이면 $ y=L $ 을 $ f $ 의 그래프의 수평점근선이라 한다.</p> <h3>정의 $ 4.9 $</h3> <p>$ f(x) $가 구간 $ (a, \infty) $에서 정의되었다 하자. 임의의 양수 $ N $에 대하여 적당한 수 $ M $이 존재하여 $ x>M $인 모든 $ x $에 대하여 $ f(x)>N $가 성립할 때 $ x $가 $ \infty $에 다가갈 때 $ f(x) $의 극한이 $ \infty $라 한다. 이것을</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty $</p> <p>으로 쓴다.</p> <h2>$ 4.7 $ 그래프</h2> <p>제 4 장에서 배운 지식을 활용하여 함수의 그래프를 그릴 수 있다. 그래프를 그릴 때 다음 단계들을 생각하여야 한다.</p> <p>1 단계. $ f $ 의 $ x $ 축 및 $ y $ 축 절편을 구한다.</p> <p>2 단계. $ f $ 의 $ x $ 축, $ y $ 축 그리고 원접에 관한 대칭성을 살펴본다.</p> <p>3 단계. $ f $ 의 극값을 구한다.</p> <p>4 단계. $ f $ 의 단조증감 구간을 구한다.</p> <p>5 단계. $ f $ 의 오목 구간을 구한다.</p> <p>6 단계. $ f $ 의 변곡점을 구한다.</p> <p>최대, 최솟값 정리에 의하여 대역극값의 존재성이 확인되었을 때 최댓값과 최솟값을 실제로 찾는 작업이 중요하다. 이를 위한 준비 단계의 하나로써 다음 정리를 알아본다.</p> <h2>정리 4.2</h2> <p>$ f $ 는 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 함수라 하자. 만일 $ f $ 가 $ (a, b) $ 내의 미분가능한 점 $ c $에서 대역극값을 가지면 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이다.</p> <p>[증명] $ f $ 는 $ f ^ {\prime } (c) $ 가 존재하고 $ f ^ {\prime } (c) \neq 0 $ 인 $ (a, b) $ 내의 어떠한 점 $ c $ 에 대해서도 대역극값을 갖지 않음을 보이면 충분하다. 그러므로 $ f ^ {\prime } (c) \neq 0 $ 라 가정하자. 첫째, $ f ^ {\prime } (c)>0 $ 인 경우를 생각하자.</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)= \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 $</p> <p>이므로 $ c $ 를 포함하는 어떤 열린구간 $ I $ 내에 있는 $ x $ 에 대하여</p> <p>$ \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 $</p> <p>가 성립한다. 이러한 $ x $ 에 대하여 만일 $ x>c $ 이면</p> <p>$ f(x)-f(c)=(x-c) \cdot \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 $</p> <p>가 성립하여 $ f(x)>f(c) $ 이다. 따라서 $ f $ 는 $ c $ 에서 최댓값을 갖지 않는다. 만일 $ x \in I $이고 $ x<c $ 이면</p> <p>$ f(x)-f(c)=(x-c) \cdot \frac { f(x)-f(c) } { x-c }<0 $</p> <p>가 성립하여 $ f(x)<f(c) $ 이다. 따라서 $ f $ 는 $ c $ 에서 최솟값을 갖지 않는다. 그러므로 $ f ^ {\prime } (c)>0 $ 이면 $ f $ 는 $ c $ 에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다. $ f ^ {\prime } (c)<0 $ 인 경우도 유사하게 보이면 $ f $ 는 $ c $ 에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다.</p> <p>$ f(-1)=1=f(1), \quad f(0)=0 $</p> <p>이므로 최댓값은 1 이고 최솟값은 0 이다.</p> <p>예제 $ 4.3 f(x)=x(1-x) ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 의 닫힌구간 $ [-2,1] $ 에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)=(1-x) ^ {\frac { 2 } { 3 } } + x \cdot \frac { 2 } { 3 } \cdot(1-x) ^ { - \frac { 1 } { 3 } } \cdot(-1)= \frac { 3-5 x } { 3 \sqrt[3] { 1-x } } $ 이므로 $ x= \frac { 3 } { 5 } $ 에서 $ f ^ {\prime } (x)=0 $이고 $ x=1 $ 에서 $ f ^ {\prime } $ 값이 존재하지 않는다. 따라서 $ x=1 $ 은 특이점이다. 극점 $ x= \frac { 3 } { 5 } $와 끝점 $ x=-2, x=1 $ 에서 함수값을 비교하면</p> <p>$ f \left ( \frac { 3 } { 5 } \right )= \frac { 3 } { 5 } \cdot \left (- \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ {\frac { 2 } { 3 } } , \quad f(-2)=-2 \sqrt[3] { 9 } , \quad f(1)=0 $</p> <p>이므로 최댓값은 $ \frac { 3 } { 5 } \left (- \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 이고 최솟값은 $ -2 \sqrt[3] { 9 } $ 이다.</p> <h3>정의 4.2</h3> <p>함수 $ f $ 는 열린구간 $ (c- \delta, c + \delta) $ 에서 $ f(c) $ 가 최댓값 (최솟값)이 되는 $ \delta>0 $ 가 존재하면 $ x=c $ 에서 국소극댓(국소극솟) 값을 갖는다고 한다. 국소극댓값과 국소극솟값을 국소극값이라 한다.</p> <p>넓은 영역에서 가장 큰 값은 최댓값이고 좁은 영역에서 가장 큰 값은 국소극댓값임을 알 수 있다(그림 4.3). 앞으로 국소극댓값(국소극솟값)을 간단히 극댓(극솟)값이라 사용하겠다. 또한 극솟값과 극댓값을 극값이라 한다.</p> <p>$ h(x)=c(c $ 는 상수 $ ) $ 이고 $ f(x)=g(x) + c $ 가 성립한다.</p> <p>예제 $ 4.8 f ^ {\prime } (x)= \cos x $ 이고 $ f \left ( \frac {\pi } { 2 } \right )=-1 $ 일 때 $ f $ 를 정하여라.</p> <p>풀이 $ g(x)= \sin x $라 하면</p> <p>$ g ^ {\prime } (x)= \cos x=f ^ {\prime } (x), \quad { } ^ {\forall } x \in \mathbf { R } $</p> <p>이고 $ f(x), g(x) $ 는 연속함수들이다. 그러므로 정리 4.6 에 의하여</p> <p>$ f(x)=g(x) + c= \sin x + c $</p> <p>이고 $ f \left ( \frac {\pi } { 2 } \right )=-1 $ 이므로</p> <p>$ -1=f \left ( \frac {\pi } { 2 } \right )= \sin \frac {\pi } { 2 } + c=1 + c $</p> <p>이므로 $ c=-2 $ 이다. 따라서</p> <p>$ f(x)= \sin x-2 $</p> <p>이다.</p> <h3>정의 4.3</h3> <p>함수 $ f $ 는 $ x<z $ 인 구간 $ I $ 내의 임의의 점 $ x, z $ 에 대하여 $ f(x) \leq f(z)(f(x) \geq f(z)) $이면 구간 $ I $ 에서 증가(감소)한다고 한다. 함수 $ f $ 는 $ x<z $ 인 구간 $ I $ 내의 임의의 점 $ x $, $ z $ 에 대하여 $ f(x)<f(z)(f(x)>f(z)) $ 이면 구간 $ I $ 에서 순증가(순감소) 한다고 한다. 증가함수와 감소함수를 단조함수라 한다.</p> <p>단조함수는 정의역 전체에서 증가하거나 감소하는 함수를 말한다. 만일 정의역에서 증가와 감소가 모두 일어나는 함수는 단조함수가 아니다.</p> <h3>정리 4.7</h3> <p>$ f $ 는 구간 $ I $ 에서 연속이고 $ I $ 의 내점에서 미분가능하다고 하자.</p> <p>(i) $ I $ 내의 각 점 $ x $ 에서 $ f ^ {\prime } (x) \geq 0 $ 이면 $ f $ 는 $ I $ 에서 증가한다. 또한 $ I $ 의 유한개의 내점에서만 $ f ^ {\prime } (x)=0 $ 이고 그 외의 모든 내점에서 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이면 $ f $ 는 $ I $ 에서 순증가한다.</p> <p>예제 $ 4.10 f(x)=(x-1) ^ { 2 } (x-3) ^ { 2 } $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 $ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &=2(x-1)(x-3) ^ { 2 } + (x-1) ^ { 2 } \cdot 2(x-3) \\ &=2(x-1)(x-3) \{ (x-3) + (x-1) \} \\ &=4(x-1)(x-2)(x-3) \end {aligned} $</p> <p>따라서 $ f(x) $ 의 그래프는 그림 $ 4.11 $ 과 같다.</p> <h3>정리 $ 4.9 $ (2계 도함수 판정법)</h3> <p>$ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이라 가정하자.</p> <p>(i) $ f ^ {\prime \prime } (c)<0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극댓값이다.</p> <p>(ii) $ f ^ {\prime \prime } (c)>0 $ 이면 $ f(c) $ 는 $ f $ 의 극솟값이다.</p> <p>[증명] (i) $ f ^ {\prime \prime } (c)= \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (c) } { x-c }<0 $ 이고 $ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이므로 어떤 구간 $ (c- \delta, c + \delta) $ 내의 임의의 $ x( \neq c) $ 에 대하여</p> <p>$ \frac { f ^ {\prime } (x) } { x-c } = \frac { f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (c) } { x-c }<0 $</p> <p>이다. 만일 $ c- \delta<x<c $ 이면 $ x-c<0 $ 가 되어 $ f ^ {\prime } (x)>0 $ 이고 $ c<x<c + \delta $ 이면 $ x-c>0 $ 가 되어 $ f ^ {\prime } (x)<0 $ 이므로 정리 4.8에 의하여 $ f(c) $ 는 극댓값이다.</p> <p>(ii) (i) 과 유사한 방법으로 증명된다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)=0 $ 이고 $ f ^ {\prime \prime } (c)=0 $ 이면 위의 정리를 적용할 수 없으며, 이 경우 $ f(c) $ 는 극댓값, 극솟값일 수도 있고 아닐 수도 있다 (그림 ․12).</p> <p>예제 4.11 $ f(x)=2 x ^ { 3 } -9 x ^ { 2 } + 5 $ 의 극값을 2계 도함수 판정법을 사용하여 구하여라.</p> <p>5. 점근선.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } =0, \quad \lim _ { x \rightarrow- \infty } \frac { 2 } { 1 + x ^ { 2 } } =0 $</p> <p>이므로 $ y=0 $은 $ f $의 수평점근선이다. 위 사실들로부터 $ f $의 그래프는 그림 4.22과 같음을 알 수 있다.</p> <p>예제 $ 4.21 f(x)= \frac { x } { (x + 1) ^ { 2 } } $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 1. $ x $ 축, $ y $ 축 절편은 0 이다.<p>2.</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)= \frac { (x + 1) ^ { 2 } -2 x(x + 1) } { (x + 1) ^ { 4 } } = \frac { 1-x } { (x + 1) ^ { 3 } } $</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (x)= \frac { (-1) \cdot(x + 1) ^ { 3 } -(1-x) \cdot 3 \cdot(x + 1) ^ { 2 } } { (x + 1) ^ { 6 } } = \frac { 2(x-2) } { (x + 1) ^ { 4 } } $</p> <p>이므로 $ f $는 구간 $ (- \infty,-1) $에서 단조감소하며 구간 $ (-1,1] $에서 단조증가하고 구간 $ [1, \infty) $에서 단조감소한다. 또한 구간 $ (- \infty,-1) $에서 아래로 오목하고 구간 $ (-1,2) $에서도 아래로 오목하며 구간 $ (2, \infty) $에서 위로 오목하다. 그러므로 점 $ \left (2, \frac { 2 } { 9 } \right ) $는 $ f $ 의 변곡점이다.</p> <p>3.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x } { (x + 1) ^ { 2 } } =0, \quad \lim _ { x \rightarrow- \infty } \frac { x } { (x + 1) ^ { 2 } } =0 $</p> <p>이므로 $ y=0 $은 수평점근선이다. 또한</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow-1 } \frac { x } { (x + 1) ^ { 2 } } =- \infty $</p> <p>이므로 $ x=-1 $은 수직접근선이다.</p> <p>$ g ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } , \quad a<x<b $</p> <p>이므로</p> <p>$ 0=g ^ {\prime } (c)=f ^ {\prime } (c)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $</p> <p>가 되어</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } $</p> <p>가 성립한다.</p> <p>평균값 정리는 그림 $ 4.8 $ 에서와 같이 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 열린구간 $ (a, b) $ 에서 미분가능한 함수 $ f $ 의 끝점 $ (a, f(a)) $ 와 $ (b, f(b)) $ 를 지나는 직선의 기울기와 같은 기울기의 접선을 갖는 점 $ c $ 가 구간 $ (a, b) $ 내에 한 점 이상 존재함을 보여준다.</p> <p>예제 $ 4.6 f(x)=1-2 x ^ { 2 } $ 일 때 열린구간 $ (0,2) $ 에서 평균값 정리를 만족하는 $ c $ 를 구하여라.</p> <p>풀이 $ f(x) $ 는 닫힌구간 $ [0,2] $ 에서 연속이고 열린구간 $ (0,2) $ 에서 미분가능하므로</p> <p>$ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(2)-f(0) } { 2-0 } =-4 $</p> <p>를 만족하는 $ c $ 가 구간 $ (0,2) $ 내에 존재한다. $ f ^ {\prime } (x)=-4 x $ 이므로</p> <p>$ -4=f ^ {\prime } (c)=-4 c $</p> <p>에서 $ c=1 $ 이고 $ c $ 는 구간 $ (0,2) $ 내에 존재한다.</p> <p>예제 $ 4.7 f(x)=x ^ {\frac { 2 } { 3 } } $ 은 닫힌구간 $ [-8,27] $ 에서 평균값 정리를 만족하지 않음을 보이고 그 이유를 밝혀라.</p> <p>풀이 $ f ^ {\prime } (x)= \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } = \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } {\sqrt[3] { x } } $ 이고 $ \frac { f(27)-f(-8) } { 27-(-8) } = \frac { 1 } { 7 } $ 이다. 따라서 $ f $ 가 평균값 정리를 만족한다면 어떤 $ c $ 가 열린구간 $ (-8,27) $ 내에 존재하여</p>	자연
미분적분학	<h2>일반 영역 위의 삼중적분</h2> <p>삼차원 영역 $ U $ 가 \[ \begin{array}{c} U=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid(x, y) \in D, \psi_{1}(x, y) \leq z \leq \psi_{2}(x, y)\right\}^{} \\ D=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)\right\} \end{array} \] 일 때(그림 4.3-22), 삼차원의 일반영역 $ U $ 위의 함수 $ f $ 의 삼중적분은 이중적분의 경우와 같이 \[ \begin{aligned} \iiint_{U} f(x, y, z) d x d y d z &=\iint_{D}\left[\int_{\psi_{1}(x, y)}^{\psi_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right] d x d y \\ &=\int_{a}^{b}\left\{\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)}\left[\int_{\psi_{1}(x, y)}^{\psi_{2}(x, y)} f(x, y, z) d z\right] d y\right\} d x \end{aligned} \] 로 표현된다. 만일 $ U $ 에서 $ f=1 $ 이면, $ \iiint_{U} 1 d x d y d z $ 는 영역 $ U $ 의 부피로서 \[ V(U)=\iiint_{U} 1 d x d y d z=\iint_{D}\left(\psi_{2}(x, y)-\psi_{1}(x, y)\right) d x d y \] 이며, 이는 우리가 이미 알고 있는 이중적분에 의한 $ U $ 의 부피를 구하는 공식과 같다. $ { }^{\dagger} $</p> <p>예제 4.3.12 그림 4.3-23에서와 같이 영역 \[ U=\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq z \leq 1-x-y\} \] 가 주어질 때, $ U $ 위에서 정의된 연속함수 $ f(x, y, z) $ 의 삼중적분을 반복적분으로 나타내어라.</p> <p>풀이. $ U= $ 사면체 $ \mathrm{OABC}, D= $ 삼각형 $ O A B $ 라 하면, \[ D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x\} \] 이므로 \[ \begin{array}{l} \iiint_{U} f(x, y, z) d x d y d z \\ \quad=\iint_{D}\left[\int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z) d z\right] d x d y \\ \quad=\int_{0}^{1}\left\{\int_{0}^{1-x}\left[\int_{0}^{1-x-y} f(x, y, z) d z\right] d y\right\} d x . \end{array} \]</p> <p>예제 4.3.13 두 포물면 $ z=5 x^{2}+5 y^{2} $ 과 $ z=6-7 x^{2}-y^{2} $ 으로 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이. 그림 $ 4.3-24 $ 에서 부피를 구하고자 하는 입체를 $ G $ 라고 하자. 두 곡면의 교선은 \[ 5 x^{2}+5 y^{2}=6-7 x^{2}-y^{2} \text { 또는 } 2 x^{2}+y^{2}=1 \] 이므로 교선 $ 2 x^{2}+y^{2}=1 $ 의 정사영에 둘러싸인 $ x y $-평면 영역을 (그림 $ \left.4.3-25\right) R $ 이라고 하면 \[ \begin{array}{l} G=\left\{(x, y, z) \mid(x, y) \in R, \quad 5 x^{2}+5 y^{2} \leq z \leq 6-7 x^{2}-y^{2}\right\} \\ R=\left\{(x, y) \mid-\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}},-\sqrt{1-2 x^{2}} \leq y \leq \sqrt{1-2 x^{2}}\right\} \end{array} \] 이다. 따라서 입체 $ G $ 의 부피 $ V(G) $ \[ \begin{aligned} V(G) &=\iiint_{G} 1 d V \\ &=\iint_{R}\left[\int_{5 x^{2}+5 y^{2}}^{6-7 x^{2}-y^{2}} d z\right] d A \\ &=\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left[\int_{-\sqrt{1-2 x^{2}}}^{\sqrt{1-2 x^{2}}}\left(6-12 x^{2}-6 y^{2}\right) d y\right] d x \end{aligned} \] \[ \begin{array}{l} =\int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left[6\left(1-2 x^{2}\right) y-2 y^{3}\right]_{-\sqrt{1-2 x^{2}}}^{\sqrt{1-2 x^{2}}} d x \\ =8 \int_{-\frac{1}{\sqrt{2}}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}}\left(1-2 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} d x,(\sqrt{2} x=\sin \theta) \\ =\frac{8}{\sqrt{2}} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{4} \theta d \theta,\left(\cos ^{2} \theta=\frac{1+\cos 2 \theta}{2}\right) \\ =\frac{3 \pi}{\sqrt{2}} . \end{array} \]<p>예제 4.3.14 영역 $ U $ 가 평면 $ x=0, y=0, z=4 $ 와 곡면 $ z=x^{2}+y^{2}, x \geq 0, y \geq $ 0 으로 둘러싸인 영역이라고 하자. 적분 $ \iiint_{U} x d V $ 를 구하여라(그림 4.3-26).</p> <p>풀이. 영역 $ U $ 는 \[ U=\left\{(x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq y \leq \sqrt{4-x^{2}}, \quad x^{2}+y^{2} \leq z \leq 4\right\} \] 이므로 \[ \begin{aligned} \iiint_{U} x d V &=\int_{0}^{2}\left\{\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}}\left[\int_{x^{2}+y^{2}}^{4} x d z\right] d y\right\} d x \\ &=\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}}} x\left(4-x^{2}-y^{2}\right) d y\right] d x \\ &=\int_{0}^{2} x\left[\left(4-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{\left(4-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}{3}\right] d x \\ &=\int_{0}^{2} \frac{2}{3} x\left(4-x^{2}\right)^{\frac{3}{2}} d x=\frac{64}{15} \end{aligned} \]</p> <h2>삼중적분의 평균값 정리</h2> <p>정리 4.3.15 (삼중적분의 평균값 정리) 함수 $ f: U \rightarrow \mathbf{R} $ 가 유계인 닫힌영역 $ U $ 에서 연속이라 하자. 그러면 적당한 점 $ \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 가 $ U $ 안에 존재하여 \[ \iiint_{U} f(x, y, z) d V=f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) V(U) \] 이다. 이 때 $ V(U) $ 는 $ U $ 의 체적이다.</p> <p>증명은 이중적분의 평균값 정리의 경우와 매우 유사하다.</p> <p>예제 $ 4.3 .16 $ 평면 $ x=0, x=2, y=0, y=2, z=0, z=2 $, 에 둘러싸인 정육면체 $ B $ 위에서 정의된 함수 $ f(x, y, z)=x y z $ 의 평균값을 구하여라.</p> <p>풀이. 정육면체의 부피는 $ V(B)=2 \times 2 \times 2=8 $ 이고 \[ \begin{aligned} \iiint_{B} x y z d V &=\int_{0}^{2} \int_{0}^{2} \int_{0}^{2} x y z d x d y d z \\ &=\int_{0}^{2} x d x \int_{0}^{2} y d y \int_{0}^{2} z d z \\ &=\left(\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{0}^{2}\right)^{3}=8 \end{aligned} \]</p> <p>따라서 $ B $ 위에서 정의된 함수 $ f $ 의 평균값은 \[ \frac{1}{V(B)} \iiint_{B} x y z d V=\frac{1}{8} \cdot 8=1 . \]</p> <h2>직육면체 위의 삼중적분</h2> <p>이중적분과 같은 방법으로 삼중적분을 정의해 보자.</p> <p>$ B=[a, b] \times[c, d] \times[s, t] $ 를 3 차원 공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 안의 직육면체 영역이라고 하고 $ f: B \rightarrow \mathbb{R} $ 을 유계함수라 하자. 그러면 이변수 함수의 경우처럼 리만합의 극한으로 $ B $ 위에서 $ f $ 의 적분을 정의할 수 있다.</p> <p>구간 $ [a, b],[c, d],[s, t] $ 의 분할을 각각 $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ 라고 하고 $ B $ 의 분할(그림 4.3- 21) \[ \begin{aligned} P &=P_{1} \times P_{2} \times P_{3} \\ &=\left\{\left(x_{i}, y_{j}, z_{k}\right) \mid i=1,2, \cdots, m, j=1,2, \cdots, n, k=1,2, \cdots, l\right\} \end{aligned} \] 의 크기를 \[ \|P\|=\max \left\{\left\|P_{1}\right\|,\left\|P_{2}\right\|,\left\|P_{3}\right\|\right\} \] 라고 하자. 소영역 $ B_{i j k} $ 의 부피를 $ \Delta V_{i j k} $ 라고 하면 $ B_{i j k} $ 안의 임의의 점 $ \left(x_{i}^{}, y_{j}^{}, z_{k}^{}\right) $ 에 대하여, 리만합을 \[ S(f, P)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{l} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}, z_{k}^{}\right) \Delta V_{i j k} \] 로 정의한다. 만약 $ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P) $ 가 존재하면, 함수 $ f $ 는 적분가능(integrable)하다 고 하고, $ B $ 위에서 $ f $ 의 삼중적분(triple integral)을 \[ \begin{aligned} \iiint_{B} f(x, y, z) d V &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P) \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{l} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}, z_{k}^{}\right) \Delta V_{i j k} \end{aligned} \] 로 정의한다. 그리고 \[ \iiint_{B} f(x, y, z) d V, \iiint_{B} f, \iiint_{B} f(x, y, z) d x d y d z \] 등으로 표시한다.</p> <h2>삼중적분의 푸비니 정리</h2> <p>삼중적분도 이중적분과 마찬가지로 반복적분에 의해 계산될 수 있음을 보여주는 삼중적분에 대한 푸비니 정리가 성립한다.</p> <p>정리 4.3.10 (삼중적분의 푸비니 정리(Fubini theorem for triple integral)) 함수 $ f $ 가 영역 $ U=[a, b] \times[c, d] \times[s, t] $ 에서 연속이면 \[ \begin{aligned} \iiint_{U} f(x, y, z) d V &=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d}\left[\int_{s}^{t} f(x, y, z) d z\right] d y\right] d x \\ &=\int_{a}^{b}\left[\int_{s}^{t}\left[\int_{c}^{d} f(x, y, z) d y\right] d z\right] d x \end{aligned} \] 이고 그 외의 적분순서가 다른 4가지 적분의 값도 같다.</p> <p>삼중적분의 푸비니 정리의 증명은 부록의 이중적분에 대한 푸비니 정리의 증명과 비슷하다.</p> <p>예제 $ 4.3 .11 $ 삼중적분 $ \iiint_{U} 12 x y^{2} z^{3} d V $ 를 구하여라. 단, 영역 $ U $ 는 $ -1 \leq x \leq $ $ 2,0 \leq y \leq 3,0 \leq z \leq 2 $ 에 의해 만들어진 직육면체이다.</p> <p>풀이. $ f(x, y, z)=12 x y^{2} z^{3} $ 은 $ U $ 위에서 연속이므로 푸비니 정리에 의하면 어느 변수에 대해 먼저 적분하여도 값은 같다. 따라서 \[ \begin{aligned} \iiint_{U} 12 x y^{2} z^{3} d V &=\int_{-1}^{2}\left[\int_{0}^{3}\left[\int_{0}^{2} 12 x y^{2} z^{3} d z\right] d y\right] d x \\ &=\int_{-1}^{2}\left[\int_{0}^{3} 48 x y^{2} d y\right] d x \\ &=648 \end{aligned} \]</p> <h2>일반영역 위의 이중적분</h2> <p>직사각형 영역 위의 연속함수 $ f $ 의 이중적분을 보다 일반적인 영역 위의 이중적분으로 확장 할 수 있다 (그림 $ 4.3-16) $. 즉, 함수 $ f $ 가 유계인 닫힌영역 $ D $ 에서 연속일 때 $ D $ 를 포함하는 직사각형 $ R $ 를 생각하고 $ R $ 위에서의 함수 $ \tilde{f} $ 를 \[ \tilde{f}(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} f(x, y), & (x, y) \in D \\ 0, & (x, y) \in R-D \end{array}\right. \] 로 정의하면 $ \tilde{f} $ 는 $ R=[a, b] \times[c, d] $ 에서 유계함수이고, $ \iint_{R} \tilde{f}(x, y) d A $ 가 존재한다.</p> <p>따라서, $ D $ 위의 이중적분을 \[ \iint_{D} f(x, y) d A=\iint_{R} \tilde{f}(x, y) d A \] 로 정의할 수 있다. 이 때 $ D $ 를품는 직사각형 영역의 선택에 관계없이 $ \iint_{R} \tilde{f}(x, y) d A $ 는 일정하다.</p> <p>만일 영역 $ D $ 가 구간 $ [a, b] $ 위에서 연속인 두 함수 $ \phi_{1}(x) $ 와 $ \phi_{2}(x) $ 에 의해 표현된다고 하자(그림 4.3-17). 즉, \[ D=\left\{(x, y) \mid a \leq x \leq b, \phi_{1}(x) \leq y \leq \phi_{2}(x)\right\} \subset[a, b] \times[c, d] \] 라고 하자. 각 $ x \in[a, b] $ 에 대하여 \[ \int_{c}^{d} \tilde{f}(x, y) d y=\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(x, y) d y \] 이고, 푸비니 정리를 사용하면 \[ \begin{aligned} \iint_{D} f(x, y) d x d y &=\iint_{R} \tilde{f}(x, y) d x d y \\ &=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} \tilde{f}(x, y) d y\right] d x \\ &=\int_{a}^{b}\left[\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} f(x, y) d y\right] d x \end{aligned} \] 를 얻는다. 만일 $ f $ 가 $ D $ 위에서 항등적으로 1 이면, $ D $ 의 면적은 \[ \begin{aligned} A(D)=\iint_{D} 1 d x d y &=\int_{a}^{b}\left[\int_{\phi_{1}(x)}^{\phi_{2}(x)} 1 d y\right] d x \\ &=\int_{a}^{b}\left\{\phi_{2}(x)-\phi_{1}(x)\right\} d x \end{aligned} \] 가 되므로, 일변수 함수의 적분을 이용하여 면적을 구하는 공식과 일치한다.</p> <p>마찬가지로 $ [c, d] $ 위의 연속 함수 $ \psi_{1}, \psi_{2} $ 에 의하여 \[ D=\left\{(x, y) \mid c \leq y \leq d, \psi_{1}(y) \leq x \leq \psi_{2}(y)\right\} \subset[a, b] \times[c, d] \] 로 주어지는 평면영역 $ D $ 에 대하여(그림 4.3-18), $ D $ 위에서 연속인 함수 $ f(x, y) $ 의 이중적분은 \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\int_{c}^{d}\left[\int_{\psi_{1}(y)}^{\psi_{2}(y)} f(x, y) d x\right] d y \] 로 주어진다.</p> <h2>이중적분의 평균값 정리</h2> <p>일변수 함수에 대한 적분의 평균값 정리는 다변수 함수로 확장된다.</p> <p>정리 $ 4.3 .8 $ (이중적분의 평균값 정리) 함수 $ f: D \rightarrow \mathbb{R} $ 가 평면의 유계인 닫힌 영역 $ D $ 에서 연속인 함수라 하자. 그러면 적당한 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 가 $ D $ 안에 존재하여 \[ \iint_{D} f(x, y) d A=f\left(x_{0}, y_{0}\right) A(D) \] 이다. 이 때, $ A(D) $ 는 $ D $ 의 면적이다.</p> <p>증명. $ f $ 는 $ D $ 에서 연속이므로 최소값 $ m=f\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 과 최대값 $ M=f\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 갖는다. 따라서, 모든 $ (x, y) \in D $ 에 대해서 \[ m \leq f(x, y) \leq M \] 이므로 \[ m A(D)=\iint_{D} m d A \leq \iint_{D} f(x, y) d A \leq \iint_{D} M d A=M A(D) \] 이다. 그러므로 양변을 $ A(D) $ 로 나누어 \[ m \leq \frac{1}{A(D)} \iint_{D} f(x, y) d A \leq M \] 을 얻는다. $ f $ 는 $ D $ 위에서 연속이므로 정리 $ 4.1 .8 $ 의 증명에서와 같이 \[ \frac{1}{A(D)} \iint_{D} f(x, y) d A=f\left(x_{0}, y_{0}\right) \] 를 만족하는 한 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 가 $ D $ 안에 존재한다.</p> <p>$ f(x, y) $ 가 $ D $ 위에서 양일 때 $ z=f(x, y) $ 와 $ x y $-평면에 둘러싸인 영역의 부피는 대략 적당한 값 $ f\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 를 선택하여 영역의 면적을 곱함으로써 가늠할 수 있다.</p> <p>예제 $ 4.3 .9 $ 영역 $ D=[0, \pi] \times[0, \pi] $ 위에서 정의된 함수 $ f(x, y)=x \sin ^{2}(x y) $ 의 평균을 구하여라.</p> <p>풀이. 먼저 중적분을 구하면 \[ \begin{aligned} \iint_{D} f(x, y) d x d y &=\int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\pi} x \sin ^{2}(x y) d x d y \\ &=\int_{0}^{\pi}\left[\int_{0}^{\pi} \frac{1-\cos (2 x y)}{2} x d y\right] d x \\ &=\int_{0}^{\pi}\left[\frac{y}{2}-\frac{\sin (2 x y)}{4 x}\right]_{0}^{\pi} x d x \\ &=\int_{0}^{\pi}\left[\frac{\pi x}{2}-\frac{\sin (2 \pi x)}{4}\right] d x \\ &=\left[\frac{\pi x^{2}}{4}+\frac{\cos (2 \pi x)}{8 \pi}\right]_{0}^{\pi}=\frac{\pi^{3}}{4}+\frac{\cos \left(2 \pi^{2}\right)-1}{8 \pi} . \end{aligned} \]</p> <p>따라서, $ D $ 의 면적 $ A(D)=\pi^{2} $ 이므로 구하는 평균은 \[ \begin{aligned} \frac{1}{A(D)} \iint_{D} f(x, y) d x d y &=\frac{1}{\pi^{2}}\left[\frac{\pi^{3}}{4}+\frac{\cos \left(2 \pi^{2}\right)-1}{8 \pi}\right] \\ & \approx 0.7839 . \end{aligned} \]</p> <h2>미분적분학의 기본정리</h2> <p>미분적분학에서 중요한 역할을 하고 있는 미분적분학의 기본정리를 증명하기전에 먼저 적분에 대한 평균값 정리를* 알아보자. 적분에 대한 평균값 정리는 그림 4.1-9에서 처럼 곡선에 둘러싸인 면적은 $ [a, b] $내의 적당한 $ c $를 잡아 $ f(c) $를 높이로 하고 $ b-a $를 밑변으로 하는 직사각형의 면적과 같게 된다는 기하학적 의미를 가지고 있다.</p> <p>정리 4.1.8 (적분의 평균값 정리(mean value theorem for integrals)) 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이면 \[ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f(c) \] 인 $ c $ 가 $ (a, b) $ 에 존재한다.</p> <p>증명. 연속함수의 최대최소값 정리에 의하여 $ [a, b] $ 에서 $ f $ 의 최소값 $ m $ 과 최대값 $ M $ 이 존재한다. 즉, 모든 $ x \in[a, b] $ 에 대하여 \[ m \leq f(x) \leq M \] 이므로 \[ m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M(b-a) \] 이고 \[ m \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq M \] 이다. 그런데 만일 $ m=M $ 이면 $ f $ 는 상수함수이므로 모든 $ c \in[a, b] $ 에 대하여 \[ \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=m=M=f(c) \] 이다. 이제 $ m<M $ 인 경우를 생각하자.* \[ m<\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x<M \] 이므로 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 중간값 정리에 의해 \[ f(c)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x, \quad a<c<b \] 인 $ c $ 가 존재한다.</p> <p>예제 4.1.9 소리의 속력 $ v $ 는 지상으로부터의 높이에 따라 다음과 같이 달라진다고 하자. 지면으로부터 $ 80 \mathrm{~m} $ 안의 소리의 평균 속력을 구하여라 (그림 4.1-10).</p> <p>$ v(x)=\left\{\begin{array}{ll}-4 x+341, & 0 \leq x \leq 11.5 \\ 295, & 11.5<x \leq 22 \\ \frac{3}{4} x+278.5, & 22<x \leq 32 \\ \frac{3}{2} x+254.5, & 32<x \leq 50 \\ -\frac{3}{2} x+404.5, & 50<x \leq 80\end{array}\right. $</p> <p>풀이. 각 구간 위의 적분의 합으로 적분 $ \int_{0}^{80} v(x) d x $ 를 구하면 \[ \int_{0}^{11.5} v(x) d x=\int_{0}^{11.5}(-4 x+341) d x=3657 \] \[ \begin{aligned} \int_{11.5}^{22} v(x) d x &=\int_{11.5}^{22}(295) d x=3097.5 \\ \int_{22}^{32} v(x) d x &=\int_{22}^{32}\left(\frac{3}{4} x+278.5\right) d x=2987.5 \\ \int_{32}^{50} v(x) d x &=\int_{32}^{50}\left(\frac{3}{2} x+254.5\right) d x=5688 \\ \int_{50}^{80} v(x) d x &=\int_{50}^{80}\left(-\frac{3}{2} x+404.5\right) d x=9210 \end{aligned} \] 이므로 \[ \int_{0}^{80} v(x) d x=24640 \] 이다. 따라서 평균 속력은 \[ \frac{1}{80} \int_{0}^{80} v(x) d x=\frac{24640}{80}=308 . \]</p> <h1>$ 4.4 $ 다중적분에서의 변수 변환</h1> <p>일변수 함수의 정적분에서 치환적분을 다시 살펴보자. 함수 $ g:[a, b] \rightarrow[c, d] $ 는 미분가능하고 연속인 도함수를 갖는 진단사 함수라고 하자. 만일 $ g $ 가 증가함수이면(그림 4.4-28) \[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x=\int_{c}^{d} f(y) d y \] 이고, $ g $ 가 감소함수이면(그림 4.4-29) \[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(g(x)) g^{\prime}(x) d x &=\int_{d}^{c} f(y) d y \\ &=-\int_{c}^{d} f(y) d y \end{aligned} \] 이다. 따라서 어느 경우든 관계없이 \[ \int_{c}^{d} f(y) d y=\int_{a}^{b} f(g(x))\left\|g^{\prime}(x)\right\| d x \] 라고 쓸 수 있다. 이 사실을 이중적분의 경우로 확장해 보자.</p> <h2>이중적분의 변수변환</h2> <p>$ u v $-평면의 한 유계인 닫힌영역 $ D^{} $ 와 $ x y $-평면의 한 영역 $ D $ 사이의 변환 $ T: $ $ D^{} \rightarrow D $ 는 $ T(u, v)=(x(u, v), y(u, v)) $ 로 정의되고, 연속인 도함수 $ T^{\prime} $ 을 갖는 전단사 함수라고 하자. 분할 $ P * $ 에 의해 정의역 $ D^{} $ 를 작은 직사각형 영역 $ D_{i j}^{} $ 들로 나누면 치역 $ T\left(D^{}\right)=D $ 도 곡선사각형(curvilinear rectangle) $ D_{i j}=T\left(D_{i j}^{}\right) $ 들로 나누어진다. 이 때 소영역 $ D_{i j}^{} $ 의 면적은 $ \Delta u_{i} \Delta v_{j}=\left(u_{i}-u_{i-1}\right)\left(v_{j}-v_{j-1}\right) $ 이고, 대응하는 소영역 $ D_{i j} $ 의 면적 $ \Delta A_{i j} $ 은 \[ \Delta A_{i j} \approx\left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\| \Delta u_{i} \Delta v_{j} \] 이다. 왜냐하면 영역 $ D_{i j}^{} $ 는 \[ u=u_{i}, u=u_{i}+\Delta u_{i}, v=v_{j}, v=v_{j}+\Delta v_{j} \] 에 둘러싸인 직사각형이고, 영역 $ D_{i j} $ 는 영역 $ D_{i j}^{} $ 에 대응하는 $ x y $-평면 위의 곡선사각형이다(그림 4.4-30). 영역 $ D_{i j}^{} $ 위의 함수 $ f $ 에 평균값 정리를 적용하면 $ D_{i j}^{} $ 안의 적당한 점 $ \left(u_{i}^{}, v_{j}^{}\right) $ 가 존재하여 \[ \begin{array}{l} T\left(u_{i}+\Delta u_{i}, v_{j}\right)-T\left(u_{i}, v_{j}\right)=T_{u}\left(u_{i}^{}, v_{j}^{}\right) \Delta u_{i} \approx T_{u}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta u_{i} \\ T\left(u_{i}, v_{j}+\Delta v_{j}\right)-T\left(u_{i}, v_{j}\right)=T_{v}\left(u_{i}^{} , v_{j}^{} \right) \Delta v_{j} \approx T_{v}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta v_{j} \end{array} \] 이 된다. 따라서 소영역 $ D_{i j} $ 의 면적 $ \Delta A_{i j} $ 는 두 벡터 $ T_{u}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta u_{i}, T_{v}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta v_{j} $ 이 이루는 평행사변형의 면적으로 근사되므로 \[ \begin{aligned} \Delta A_{i j} & \approx\left\|T_{u}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta u_{i} \times T_{v}\left(u_{i}, v_{j}\right) \Delta v_{j}\right\| \\ &=\left\|T_{u}\left(u_{i}, v_{j}\right) \times T_{v}\left(u_{i}, v_{j}\right)\right\| \Delta u_{i} \Delta v_{j} \end{aligned} \] </p> <p>함수 $ \cos m x \cos n x, \cos m x \sin n x, \sin m x \sin n x $ 의 적분을 살펴보자.</p> <p>예제 4.2.8 $ \int \cos x \cos 2 x \cos 3 x d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. 변환공식 \[ \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}\{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)\} \] 을 이용하면 \[ \begin{aligned} \cos x \cos 2 x \cos 3 x &=\frac{1}{2}(\cos 3 x+\cos x) \cos 3 x \\ &=\frac{1}{2} \cos ^{2} 3 x+\frac{1}{2} \cos x \cos 3 x \\ &=\frac{1}{2} \cos ^{2} 3 x+\frac{1}{4} \cos 4 x+\frac{1}{4} \cos 2 x \\ &=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cos 6 x+\frac{1}{4} \cos 4 x+\frac{1}{4} \cos 2 x . \end{aligned} \] 따라서 \[ \int \cos x \cos 2 x \cos 3 x d x=\frac{1}{4} x+\frac{1}{24} \sin 6 x+\frac{1}{16} \sin 4 x+\frac{1}{8} \sin 2 x+C \text {. } \]</p> <p>함수 $ \sec ^{\alpha} x \tan ^{\beta} x $ 의 적분을 살펴보자.</p> <p>예제 $ 4.2 .9 \int \frac{\sec ^{4} x}{\sqrt{\tan x}} d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. 등식 $ 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x $ 을 이용하여 피적분 함수를 변형한 후 $ u=\tan x $ 로 치환하면 \[ \begin{aligned} \int \frac{\sec ^{4} x}{\sqrt{\tan x}} d x &=\int \tan ^{-\frac{1}{2}} x\left(1+\tan ^{2} x\right) \sec ^{2} x d x \\ &=\int u^{-\frac{1}{2}}\left(1+u^{2}\right) d u \quad(u=\tan x \text { 로 치환 }) \\ &=2 \tan ^{\frac{1}{2}} x+\frac{2}{5} \tan ^{\frac{5}{2}} x+C . \end{aligned} \]</p> <p>피적분 함수가 코탄젠트(cotangent)와 코시컨트(cosecant)의 멱의 곱인 경우도 위의 경우와 비슷한 방법으로 적분한다.</p> <h2>유리함수의 적분</h2> <p>다음과 같은 형태의 함수를 유리함수(rational function)라고 한다.</p> <p>\[ \frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}} \]</p> <p>대수학의 기본정리에 의하면 모든 3 차 이상의 실계수를 갖는 다항식은 실계수 1 차식과 2 차식의 곱으로 인수분해할 수 있으며, 따라서 모든 유리함수는 다항식과 \[ \frac{\alpha}{(a x+b)^{m}}, \quad \frac{\beta x+\gamma}{\left(a x^{2}+b x+c\right)^{n}} \] 형태의 부분분수들에 의하여 표시될 수 있다. 이것을 부분분수분해 (partial fractional decomposition)라고 하며, 분해하는 방법으로는 계수비교법, 수치대입법 등 항등식의 성질을 이용한다.</p> <p>주어진 유리함수를 형태에 따라서 부분분수로 분해하여 적분하는 법을 예제를 통하여 알아보도록 하자.</p> <p>예제 $ 4.2 .10 \int \frac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}} d x $ 계산하여라.</p> <p>풀이. 부분분수로 분해할 때 분모가 될 수 있는 경우는 $ x,(x-1),(x-1)^{2} $ 이다. 이 경우 \[ \frac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^{2}} \] 인 $ A, B, C $ 를 구하도록 한다. 따라서 \[ 2 x^{2}+3=A(x-1)^{2}+B x(x-1)+C x \] 이어야 하므로 $ x $ 에 $ 0,1,2 $ 를 대입하면 \[ 3=A, C=5,11=A+2 B+2 C . \] 그러므로 $ A=3, B=-1, C=5 $ 이고 \[ \begin{aligned} \int \frac{2 x^{2}+3}{x(x-1)^{2}} d x &=\int \frac{3}{x}-\int \frac{d x}{x-1}+5 \int \frac{d x}{(x-1)^{2}} \\ &=3 \ln \|x\|-\ln \|x-1\|-\frac{5}{x-1}+D \\ &=\ln \left\|\frac{x^{3}}{x-1}\right\|-\frac{5}{x-1}+D \end{aligned} \]</p> <p>예제 $ 4.2 .11 \int \frac{x^{3}+x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. $ \frac{x^{3}+x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} $ 은 \[ x^{3}+x+2=A\left(x^{2}+1\right)^{2}+(B x+C) x\left(x^{2}+1\right)+(D x+E) x \] 이다. 위 식에 $ x=0 $ 을 대입하여 $ A=2 $ 를 구한 다음 정리하면 위 등식은 \[ -2 x^{3}+x^{2}-4 x+1=(B x+C)\left(x^{2}+1\right)+(D x+E) \] 이다. 좌변을 $ x^{2}+1 $ 로 나누면 \[ -2 x^{3}+x^{2}-4 x+1=(-2 x+1)\left(x^{2}+1\right)+(-2 x) \] 에서 $ B=-2, C=1, D=-2, E=0 $ 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int \frac{x^{3}+x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x &=2 \int \frac{d x}{x}-\int \frac{2 x-1}{x^{2}+1}-\int \frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x \\ &=2 \ln \|x\|-\ln \left(x^{2}+1\right)+\tan ^{-1} x+\frac{1}{x^{2}+1}+K . \end{aligned} \]</p> <p>증명. (1) $ x \in(a, b) $ 이면 \[ F(x+h)-F(x)=\int_{x}^{x+h} f(t) d t \] 이고, $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이므로 적분의 평균값 정리에 의하여 \[ \int_{x}^{x+h} f(t) d t=f(\xi) h \] 인 $ \xi $ 가 $ x $ 와 $ x+h $ 사이에 존재한다. 따라서 \[ \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) d t=f(\xi) \] 이다. 그런데 $ h \rightarrow 0 $ 이면 $ \xi \rightarrow x $ 이고, $ f $ 는 $ x $ 에서 연속이므로 \[ F^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\lim _{\xi \rightarrow x} f(\xi)=f(x) . \] (2) (1)로부터 함수 $ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t $ 도 $ f(x) $ 의 부정적분이므로 $ F(x)=G(x)+ $ $ C $ (상수) 임을 알 수 있다. 따라서, $ F(a)=\int_{a}^{a} f(t) d t=0 $ 이므로 $ 0=F(a)=G(a)+ $ $ C $ 로부터 $ C=-G(a) $ 이다. 그러므로, $ F(x)=G(x)-G(a) $ 이다. 더 나아가서, $ \int_{a}^{b} f(t) d t=F(b) $ 이므로, $ \int_{a}^{b} f(t) d t=G(b)-G(a) $</p> <p>예제 4.1.13 시간의 구간 $ \left[t_{1}, t_{2}\right] $ 사이에서 $ v(t) $ 의 속도로 움직이는 자동차의 평균 속도는 한 시점에서의 속도와 일치함을 보여라.</p> <p>풀이. $ t $ 시각에서의 자동차의 위치를 $ s(t) $, 속도를 $ v(t) $ 라고 하면, \[ s(t)=\int_{t_{1}}^{t} v(u) d u+s\left(t_{1}\right), \quad s^{\prime}(t)=v(t) \] 이다. 따라서 자동차의 평균 속도는 경과한 시간에 대한 변위의 비이므로 자동차의 평균속도 $ =\frac{s\left(t_{2}\right)-s\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}} $ \[ \begin{array}{l} =\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} s^{\prime}(t) d t \\ =\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} v(t) d t \\ =v\left(t_{0}\right), t_{0} \in\left(t_{1}, t_{2}\right) \quad(\text { 적분의 평균값 정리 }) \end{array} \] 이다.</p> <p>예제 4.1.14 다음 함수의 도함수를 구하여라. (1) $ f(x)=\int_{x}^{2} \cos \left(t^{2}\right) d t $ (2) $ g(x)=\int_{1}^{\frac{\pi}{2}+x^{2}}(t+\sin t) d t $</p> <p>풀이. (1) 미분적분학의 기본정리를 이용하면 \[ f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{x}^{2} \cos \left(t^{2}\right) d t=\frac{d}{d x}\left(-\int_{2}^{x} \cos \left(t^{2}\right) d t\right)=-\cos x^{2} . \] (2) $ F(y)=\int_{1}^{y}(t+\sin t) d t $ 라고 하면 $ F^{\prime}(y)=y+\sin y $ 이고 \[ \int_{1}^{\frac{\pi}{2}+x^{2}}(t+\sin t) d t=F\left(\frac{\pi}{2}+x^{2}\right) \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \frac{d}{d x} \int_{1}^{\frac{\pi}{2}+x^{2}}(t+\sin t) d t &=\frac{d}{d x} F\left(\frac{\pi}{2}+x^{2}\right) \\ &=\left[\frac{\pi}{2}+x^{2}+\sin \left(\frac{\pi}{2}+x^{2}\right)\right](2 x) \end{aligned} \]</p> <p>예제 4.1.15 $ f^{\prime}(x)=\tan x $ 이고 $ f(1)=5 $ 일 때 $ \left[0, \frac{\pi}{4}\right] $ 에서 정의된 함수 $ f(x) $ 를 적분으로 나타내어라.</p> <p>풀이. 함수 \[ F(x)=\int_{1}^{x} \tan t d t, 0<x<\frac{\pi}{4} \] 는 $ \tan x $ 의 하나의 부정적분이므로 \[ f(x)=\int_{1}^{x} \tan t d t+C \] 이다. 그런데 $ f(1)=5 $ 이므로 $ 5=0+C $ 이다. 따라서 \[ f(x)=\int_{1}^{x} \tan t d t+5 . \]</p> <h2>삼각함수의 적분</h2> <p>다음 예제들을 통하여 $ \sin ^{m} x \cos ^{n} x $ 꼴의 함수를 적분하는 여러가지 방법들을 살펴보자.</p> <p>예제 4.2.6 다음 적분을 계산하여라. (1) $ \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x $ (2) $ \int \sin ^{2} x \cos ^{2} x d x $</p> <p>풀이. (1) $ \sin ^{2} x \cos ^{3} x=\sin ^{2} x \cos ^{2} x \cos x $ 이므로 등식 $ \cos ^{2} x+\sin ^{2} x=1 $ 을 이용하여 $ \cos ^{2} x $ 를 바꾼 후 치환적분법을 써서 적분한다. $ t=\sin x $ 라고 하면 $ d t= $ $ \cos x d x $ 이므로 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x &=\int \sin ^{2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) \cos x d x \\ &=\int t^{2}\left(1-t^{2}\right) d t \\ &=\int t^{2}-t^{4} d t \\ &=\frac{1}{3} t^{3}-\frac{1}{5} t^{5}+C \\ &=\frac{1}{3} \sin ^{3} x-\frac{1}{5} \sin ^{5} x+C . \end{aligned} \]</p> <p>(2) $ \sin x $ 와 $ \cos x $ 의 차수가 같으므로 등식 $ \sin 2 x=2 \sin x \cos x $ 를 이용하고 다시 등 식 $ \sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2} $ 을 이용하면 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{2} x d x &=\frac{1}{4} \int \sin ^{2} 2 x d x \\ &=\frac{1}{8} \int(1-\cos 4 x) d x \\ &=\frac{1}{8} x-\frac{1}{32} \sin 4 x+C . \end{aligned} \]</p> <p>예제 4.2.7 $ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 k} x d x,(k $ 는 자연수 $ ) $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. 먼저 부분적분법을 써서 $ \int \sin ^{2 k} x d x $ 를 구하면 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2 k} x d x &=\int \sin ^{2 k-1} x \sin x d x \\ &=-\sin ^{2 k-1} x \cos x+(2 k-1) \int \sin ^{2 k-2} x \cos ^{2} x d x \\ &=-\sin ^{2 k-1} x \cos x+(2 k-1) \int \sin ^{2 k-2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) d x \\ &=-\sin ^{2 k-1} x \cos x+(2 k-1) \int\left(\sin ^{2 k-2} x-\sin ^{2 k} x\right) d x \end{aligned} \] 이므로 \[ 2 k \int \sin ^{2 k} x d x=-\sin ^{2 k-1} x \cos x+(2 k-1) \int \sin ^{2 k-2} x d x \] \[ \int \sin ^{2 k} x d x=-\frac{1}{2 k} \sin ^{2 k-1} x \cos x+\frac{2 k-1}{2 k} \int \sin ^{2 k-2} x d x \] 이다. 따라서 \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 k} x d x=\left[-\frac{1}{2 k} \sin ^{2 k-1} x \cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\frac{2 k-1}{2 k} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 k-2} x d x \] \[ \begin{array}{l} =\frac{2 k-1}{2 k} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2 k-2} x d x \\ =\frac{2 k-1}{2 k} \cdot \frac{2 k-3}{2 k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d x \\ =\frac{2 k-1}{2 k} \cdot \frac{2 k-3}{2 k-2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} . \end{array} \]</p> <p>$ U(f, P)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} M_{i j} \Delta A_{i j} $</p> <p>$ L(f, P)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} m_{i j} \Delta A_{i j} $</p> <p>여기서, \[ M_{i j}=\sup _{R_{i j}} f(x, y), m_{i j}=\inf _{R_{i j}} f(x, y), \] \[ R_{i j} \text { 의 넓이 } \Delta A_{i j}=\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right)=\Delta x_{i} \Delta y_{j} \] 이다.</p> <p>$ R $ 의 임의의 분할 $ P $ 에 대하여 $ L(f, P) \leq S(f, P) \leq U(f, P) $ 이며, 또한 분할 $ Q $ 가 분할 $ P $ 의 세분이면, 일변수 함수의 경우와 유사하게 \[ L(f, P) \leq L(f, Q) \leq U(f, Q) \leq U(f, P) \] 가 성립한다. 따라서 $ \|P\| \rightarrow 0 $ 임에 따라 상합과 하합의 극한이 존재한다. 특히 \[ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} L(f, P)=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} U(f, P) \] 이면 $ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P) $ 도 존재하여 $ f $ 는 $ R $ 에서 적분가능하다. 역으로 $ f $ 가 $ R $ 위에서 적 분가능하면 $ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} L(f, P), \lim _{\|P\| \rightarrow 0} U(f, P) $ 이 존재하고 이때 적분값은 \[ \begin{aligned} \iint_{R} f(x, y) d A &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} L(f, P) \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P) \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} U(f, P) \end{aligned} \] 이다.</p> <p>예제 $ 4.3 .1 $ 직사각형 영역 $ R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,1 \leq y \leq 2\} $ 를 그림 4.3-15처럼 4개 분할을 생각하여 이중적분 $ \iint_{R}\left(x-3 y^{2}\right) d A $ 의 한 근사값인 리만합을 구하여라.</p> <p>풀이. 4 개 분할을 생각하면 $ R_{11}=[0,1] \times\left[1, \frac{3}{2}\right], \quad R_{12}=[0,1] \times\left[\frac{3}{2}, 2\right] $, $ R_{21}=[1,2] \times\left[1, \frac{3}{2}\right], \quad R_{22}=[1,2] \times\left[\frac{3}{2}, 2\right] $ 이다. 각 분할 영역 $ R_{i j} $ 의 면적 $ \Delta A_{i j}=\frac{1}{2}, i, j=1,2 $ 이고 $ \left(x_{i j}^{}, y_{i j}^{}\right) $ 는 $ R_{i j} $ 의 중점이라고 하면, 리만합은 \[ \begin{aligned} S(f, P) &=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) \Delta A_{i j} \\ &=f\left(x_{1}^{}, y_{1}^{}\right) \Delta A_{11}+f\left(x_{1}^{}, y_{2}^{}\right) \Delta A_{12}+f\left(x_{2}^{}, y_{1}^{}\right) \Delta A_{21}+f\left(x_{2}^{}, y_{2}^{}\right) \Delta A_{22} \\ &=f\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right) \Delta A_{11}+f\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{4}\right) \Delta A_{12}+f\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right) \Delta A_{21}+f\left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right) \Delta A_{22} \\ &=\left(-\frac{67}{16}\right) \frac{1}{2}+\left(-\frac{139}{16}\right) \frac{1}{2}+\left(-\frac{51}{16}\right) \frac{1}{2}+\left(-\frac{123}{16}\right) \frac{1}{2} \\ &=-\frac{95}{8}=-11.875 . \end{aligned} \]</p> <p>일변수함수의 리만적분의 경우처럼 이중 적분가능성에 대해서도 비슷한 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $ 4.3 .2 $ 함수 $ f $ 가 직사각형 $ R $ 에서 연속이면 $ f $ 는 적분가능하다.</p> <h2>극좌표 변환</h2> <p>예제 4.4.3 (극좌표 변환) 영역 $ D $ 는 $ D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 4\right\} $ 일 때, \[ \iint_{D} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} d x d y \] 를 구하여라(그림 4.4-32,4.4-33).</p> <p>풀이. 직사각형 영역 \[ D^{}=\{(r, \theta) \mid 1 \leq r \leq 2,0 \leq \theta \leq 2 \pi\} \] 를 생각하자. $ T(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta) $ 로 정의되는 극좌표 변환 $ T: D^{} \rightarrow D $ 는 도함수가 연속인 전단사 함수이다. 또 $ (x, y) $ 와 $ (r, \theta) $ 사이의 관계는 \[ x^{2}+y^{2}=r^{2}, \tan \theta=\frac{y}{x} \] 로 표현된다. $ T $ 의 야코비안은 \[ J(T)=\frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)}=\left\|\begin{array}{cc} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right\|=r \] 이므로 \[ \begin{aligned} \iint_{D} \frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}} d x d y &=\iint_{D^{}} \frac{1}{r^{6}} r d r d \theta \\ &=\int_{0}^{2 \pi}\left[\int_{1}^{2} \frac{1}{r^{5}} d r\right] d \theta \\ &=\int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{1}^{2} \frac{1}{r^{5}} d r \\ &=\frac{15 \pi}{32} . \end{aligned} \]</p> <h2>삼중적분의 변수변환</h2> <p>이제 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 유계인 닫힌 두 영역 $ U^{} $ 와 $ U $ 사이의 변환 $ T: U^{} \rightarrow U $ 가 \[ T(u, v, w)=(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) \] 로 주어져 있고, 연속인 도함수 $ T^{\prime} $ 을 갖는 전단사 함수라고 하자. 그러면 그림4.1-34의 작은 직육면체에 대응하는 곡선형평행육면체 (curvilinear parallelpiped)의 부피는 세 벡터 \[ \begin{array}{c} T(u+\Delta u, v, w)-T(u, v, w) \approx T_{u} \Delta u=\left(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial z}{\partial u}\right) \Delta u \\ T(u, v+\Delta v, w)-T(u, v, w) \approx T_{v} \Delta v=\left(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v}, \frac{\partial z}{\partial v}\right) \Delta v \\ T(u, v, w+\Delta w)-T(u, v, w) \approx T_{w} \Delta w=\left(\frac{\partial x}{\partial w}, \frac{\partial y}{\partial w}, \frac{\partial z}{\partial w}\right) \Delta w \end{array} \] 의 삼중적의 절대값 \[ \left\|T_{u} \Delta u \times T_{v} \Delta v \cdot T_{w} \Delta w\right\|=\left\|T_{u} \times T_{v} \cdot T_{w}\right\| \Delta u \Delta v \Delta w \] 으로 근사된다. 그런데 \[ \begin{aligned} \times T_{v} \cdot T_{w} &=\left\|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial v} \\ \frac{\partial x}{\partial w} & \frac{\partial y}{\partial w} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{array}\right\| \\ &=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \end{aligned} \] 이므로, 대응하는 곡선힝평행육면체 영역의 부피 $ \Delta x \Delta y \Delta z $ 는 \[ \Delta x \Delta y \Delta z \approx\left\|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right\| \Delta u \Delta v \Delta w \] 이다. 따라서 $ U $ 위에서 정의된 적분가능한 함수 $ f $ 의 삼중적분에 대해서 다음이 성립한다.</p> <p>정리 4.4.4 (삼중적분의 변수변환(change of variables for triple integrals)) $ T: U^{} \rightarrow U $ 는 연속인 도함수를 갖는 전단사 함수라고 하면 임의의 적분가능한 함수 $ f: U \rightarrow \mathbb{R} $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \iiint_{U} f(x, y, z) d V \\ =\iiint_{U^{}} f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))\left\|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\right\| d u d v d w \end{array} \]</p> <h2>이중적분의 푸비니 정리</h2> <p>미분적분학의 기본정리에 의하면 정적분의 정의를 사용하지 않고 함수의 부정적분을 이용하여 일변수함수의 정적분을 계산할 수 있다. 이제 이중적분의 정의를 사용하지 않고 반복적분에 의해 이변수함수의 적분을 계산할 수 있게 해 주며, 미분적분학의 기본정리에 대응하는 중요한 정리, 즉 푸비니 정리를 소개한다.</p> <p>정리 4.3.3 (이중적분의 푸비니 정리(Fubini theorem for double integrals)) 함수 $ f $ 가 영역 $ R=[a, b] \times[c, d] $ 에서 연속이면 \[ \begin{aligned} \iint_{R} f(x, y) d A &=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) d y\right] d x \\ &=\int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right] d y . \end{aligned} \]</p> <p>증명. 먼저 $ \iint_{R} f(x, y) d A=\int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) d y\right] d x $ 임을 증명하자.</p> <p>\[ F(x)=\int_{c}^{d} f(x, y) d y \] 라고 놓으면 $ [c, d] $ 의 분할 $ P_{2}: c=y_{0}<y_{1}<\cdots<y_{n}=d $ 에 대하여 \[ F(x)=\sum_{j=1}^{n} \int_{y_{j-1}}^{y_{j}} f(x, y) d y \] 이고, 일변수 함수의 적분의 평균값 정리를 이용하여 고정된 $ x $ 와 각 $ j $ 에 대해서 \[ \int_{y_{j-1}}^{y_{j}} f(x, y) d y=f\left(x, \eta_{j}(x)\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right) \] 를 만족하는 $ \eta_{j}(x) $ 가 $ \left(y_{j-1}, y_{j}\right) $ 사이에 존재한다. 여기서 $ \eta_{j}(x) $ 는 $ x $ 와 $ j $ 에 의존한다. 그러므로 \[ F(x)=\sum_{j=1}^{n} f\left(x, \eta_{j}(x)\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right) \text {. } \]</p> <p>한편, 구간 $ [a, b] $ 의 분할 $ P_{1}: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{m}=b $ 에 대하여 $ P= $ $ P_{1} \times P_{2} $ 라 하면 각 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 내의 임의의 점 $ \xi_{i} $ 에 대하여 \[ \begin{aligned} \int_{a}^{b}\left[\int_{c}^{d} f(x, y) d y\right] d x &=\int_{a}^{b} F(x) d x \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{m} F\left(\xi_{i}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{j}\left(\xi_{i}\right)\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right)\left(x_{i}-x_{i-1}\right) \\ &=\iint_{R} f(x, y) d A . \end{aligned} \]</p> <p>마찬가지 방법으로, \[ \int_{c}^{d}\left[\int_{a}^{b} f(x, y) d x\right] d y=\iint_{R} f(x, y) d A . \]</p> <p>예제 $ 4.3 .4 R=[0,1] \times[0,1] $ 에서 함수 $ f(x, y)=x^{2}+y $ 의 적분순서가 다른 두 반복적분을 계산하여 일치함을 보여라.</p> <p>풀이. 변수 $ x $ 에 관하여 먼저 적분한 후 다시 $ y $ 에 관하여 적분하면 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right) d x\right] d y &=\int_{0}^{1}\left[\frac{x^{3}}{3}+x y\right]_{0}^{1} d y \\ &=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{3}+y\right) d y \\ &=\left[\frac{1}{3} y+\frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{5}{6} \end{aligned} \]</p> <p>마찬가지로 변수 $ y $ 에 관하여 먼저 적분한 후 다시 $ x $ 에 관하여 적분하면 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1}\left(x^{2}+y\right) d y\right] d x &=\int_{0}^{1}\left[x^{2} y+\frac{1}{2} y^{2}\right]_{0}^{1} d x \\ &=\int_{0}^{1}\left(x^{2}+\frac{1}{2}\right) d x \\ &=\left[\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x\right]_{0}^{1}=\frac{5}{6} \end{aligned} \] 이 되어 적분 순서에 관계없이 같은 값을 가짐을 알 수 있다.</p> <p>다음은 삼차원 공간 영역 위의 변환인 원주좌표 변환과 구면좌표 변환을 소개한다.</p> <h2>원주좌표변환</h2> <p>원주좌표계(cylindrical coordinate system)는 공간 위의 한 점 $ P(x, y, z) $ 를 $ P(r, \theta, z) $ 로 표현하는데 $ (r, \theta) $ 는 $ x y $-평면의 $ (x, y) $ 의 극좌표 표현이고, $ z $ 는 점 $ P $ 의 직교좌표 표현에서의 $ z $ 값이다. 즉, $ (x, y, z) $ 와 $ (r, \theta, z) $ 의 관계는 \[ \begin{array}{l} x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z \\ 0<r<\infty, 0 \leq \theta<2 \pi,-\infty<z<\infty \end{array} \] 이고(그림 4.4-35), 이 때의 변환 \[ T(r, \theta, z)=(x, y, z)=(r \cos \theta, r \sin \theta, z) \] 을 원주좌표변환(cylindrical coordinate transformation)이라고 한다. 그리고 $ T $ 의 야코비안(Jacobian)은 \[ J(T)=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, z)} \] $ =\left\|\begin{array}{lll}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} & \frac{\partial x}{\partial z} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} & \frac{\partial y}{\partial z} \\ \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} & \frac{\partial z}{\partial z}\end{array}\right\| $ \[ =\left\|\begin{array}{ccc} \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right\|=r \] 이 된다. 따라서 그림 4.4-36에서 보듯이 \[ d x d y d z=r d r d \theta d z . \] 이제 $ U=T\left(U^{}\right) $ 라고 하면 $ U $ 위의 적분가능한 함수 $ f $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \iiint_{U} f(x, y, z) d x d y d z \\ =\iiint_{U^{}} f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z \end{array} \] 를 얻는다.</p> <p>예제 4.4.5 $ U $ 는 그림4.4-37 처럼 $ x y $-평면과 평면 $ y+z=4 $, 그리고 원기둥 $ x^{2}+y^{2}= $ 16 으로 둘러싸인 입체영역이라 할 때, $ \iiint_{U} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V $ 를 계산하여라.</p> <p>영역 $ U $ 에 대한 $ x y $-평면영역은 \[ \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 16\right\} \] 이므로 \[ U=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 16,0 \leq z \leq 4-y\right\} \] 이다. 따라서 원주좌표변환 \[ T: x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z \] 에 의해 $ T\left(U^{}\right)=U $ 인 영역 $ U^{} $ 는 \[ U^{}=\{(r, \theta, z) \mid 0 \leq r \leq 4,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq z \leq 4-r \sin \theta\} \] 이므로 \[ \iiint_{U} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d V=\int_{0}^{2 \pi}\left[\int_{0}^{4}\left(\int_{0}^{4-r \sin \theta} r \cdot r d z\right) d r\right] d \theta \] \[ \begin{array}{l} =\int_{0}^{2 \pi}\left[\int_{0}^{4} r^{2}(4-r \sin \theta) d r\right] d \theta \\ =\int_{0}^{2 \pi}\left[\left(\frac{4}{3} r^{3}-\frac{r^{4}}{4} \sin \theta\right)\right]_{0}^{4} d \theta \\ =\int_{0}^{2 \pi}\left(\frac{256}{3}-64 \sin \theta\right) d \theta \end{array} \] \[ =\left[\left(\frac{256}{3} \theta+64 \cos \theta\right)\right]_{0}^{2 \pi}=\frac{512}{3} \pi . \]</p> <p>함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면 리만적분의 값을 구할 때 분할은 등분할로 하고 임의의 점 $ x_{i}^{} $ 들은 소구간의 왼쪽 끝점 또는 오른쪽 끝점들로 택하여 \[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i-1}\right) \frac{b-a}{n} \text { (좌합) } \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right) \frac{b-a}{n}(\text { 우합 }), \quad \text { 단, } x_{i}=a+\frac{i(b-a)}{n} \end{aligned} \] 와 같이 쓸 수 있다.* (그림 4.1-7,4.1-8)</p> <p>예제 4.1.6 리만적분 $ \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-8\right) d x $ 를 리만합의 극한으로 구하여라.</p> <p>풀이. 함수 $ f(x)=2 x^{2}-8 $ 은 $ [-1,3] $ 에서 연속함수이고, 따라서 적분가능하므로 등분할 \[ P:-1=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=3 \] \[ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}=\frac{4}{n}, i=1,2, \cdots, n \] 에 대하여 임의의 점 $ x_{i}^{} $ 를 $ x_{i}^{}=x_{i}=-1+\frac{4 i}{n} $ (소구간 오른쪽 끝점)라고 하면 \[ \begin{aligned} \int_{-1}^{3}\left(2 x^{2}-8\right) d x &=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left\{2\left(-1+\frac{4 i}{n}\right)^{2}-8\right\} \cdot \frac{4}{n} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4}{n}\left(-\frac{16}{n} \sum_{i=1}^{n} i+\frac{32}{n^{2}} \sum_{i=1}^{n} i^{2}-\sum_{i=1}^{n} 6\right) \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{-\frac{64}{n^{2}} \frac{n(n+1)}{2}+\frac{128}{n^{3}} \frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}-\frac{4}{n} \cdot 6 n\right\} \\ &=-32+\frac{128 \cdot 2}{6}-24=-\frac{40}{3} . \end{aligned} \]<p>적분의 간단한 성질을 증명없이 소개한다.</p> <p>정리 $ 4.1 .7 $ (1) 함수 $ f $ 와 $ g $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 $ k $ 는 상수이면 $ k f, f+g $ 도 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 \[ \int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x, \int_{a}^{b} f(x)+g(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x+\int_{a}^{b} g(x) d x \] (2) 함수 $ f $ 가 $ a, b, c $ 를 포함하는 구간에서 적분가능하면 $ a, b, c $ 의 순서에 관계없 이 \[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \] (3) 함수 $ f, g $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 모든 $ x \in[a, b] $ 에 대하여 $ f(x) \leq g(x) $ 이 면 \[ \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \int_{a}^{b} g(x) d x \] (4) 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면 $ \|f\| $ 도 $ [a, b] $ 에서 적분가능하고 \[ \left\|\int_{a}^{b} f(x) d x\right\| \leq \int_{a}^{b}\|f(x)\| d x . \]</p> <h1>$ 4.3 $ 다중적분과 푸비니 정리</h1> <p>일변수 함수의 리만적분 개념은 다변수함수들로 확장될 수 있다. 이 절에서는 이변수의 실수값 함수와 삼변수의 실수값 함수의 리만적분을 정의하고 적분하는 방법을 공부한다.</p> <h2>직사각형 영역 위의 이중적분</h2> <p>함수 $ f $ 는 직사각형 영역 $ R=[a, b] \times[c, d] $ 에서 정의된 유계인 이변수 함수라고 하자. 구간 $ [a, b] $ 의 분할 $ P_{1} $ 과 $ [c, d] $ 의 분할 $ P_{2} $ 가 \[ \begin{array}{l} P_{1}: a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{m}=b \\ P_{2}: c=y_{0}<y_{1}<y_{2}<\cdots<y_{n}=d \end{array} \] 이면 \[ P=P_{1} \times P_{2}=\left\{\left(x_{i}, y_{j}\right) \mid i=1,2, \cdots m, j=1,2, \cdots n\right\} \] 은 영역 $ R $ 의 분할이 된다 (그림 4.3-13). 분할 $ P $ 의 크기 $ \|P\| $ 를 \[ \|P\|=\max \left\{\left\|P_{1}\right\|,\left\|P_{2}\right\|\right\} \] 라고 하고, 소영역 $ R_{i j}=\left[x_{i-1}, x_{i}\right] \times\left[y_{j-1}, y_{j}\right] $ 의 면적을 $ \Delta A_{i j} $ 라고 하자. 그림 4.3-14에서와 같이 각 소영역 $ R_{i j}=\left[x_{i-1}, x_{i}\right] \times\left[y_{j-1}, y_{j}\right] $ 안의 임의의 점 $ \left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) $ 를 택하자. 리만합 \[ S(f, P)=\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) \Delta A_{i j}, \quad \Delta A_{i j}=\left(x_{i}-x_{i-1}\right)\left(y_{j}-y_{j-1}\right) \] 의 극한값 \[ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P)=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) \Delta A_{i j} \] 가 존재하면 $ f $ 는 $ R $ 에서 적분가능(integrable)하다고 한다. 이 때, $ R $ 위의 $ f $ 의 적분을 \[ \iint_{R} f(x, y) d A=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) \Delta A_{i j} \] 로 정의하고 \[ \iint_{R} f(x, y) d A, \quad \iint_{R} f, \quad \iint_{R} f(x, y) d x d y \] 로 쓴다. 이 때 정의에 의하면 $ f(x, y) \geq 0 $ 일 때 $ \iint_{R} f(x, y) d A $ 는 직사각형 영역 $ R $ 과 곡면 $ z=f(x, y) $ 사이 입체의 부피임을 알 수 있다.</p> <p>일변수 함수의 경우와 마찬가지로 상합과 하합을 이용하여 적분가능성을 정의할 수도 있다. 먼저 상합(upper sum)과 하합(lower sum)을 다음과 같이 정의하자.</p> <p>예제 $ 4.3 .5 $ 영역 $ D $ 가 두 포물선 $ y=2 x^{2} $ 과 $ y=1+x^{2} $ 에 둘러싸여 있을 때 적분 $ \iint_{D}(x+2 y) d A $ 를 구하여라 (그림 4.3-19).</p> <p>풀이. 두 곡선의 교점을 구하면 \[ 2 x^{2}=1+x^{2}, \quad x=\pm 1 \] 이므로 영역 $ D $ 는 \[ D=\left\{(x, y) \mid-1 \leq x \leq 1, \quad 2 x^{2} \leq y \leq 1+x^{2}\right\} \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \iint_{D}(x+2 y) d A &=\int_{-1}^{1}\left[\int_{2 x^{2}}^{1+x^{2}}(x+2 y) d y\right] d x \\ &=\int_{-1}^{1}\left[x y+y^{2}\right]_{2 x^{2}}^{1+x^{2}} d x \\ &=\int_{-1}^{1}\left(x\left(1+x^{2}\right)+\left(1+x^{2}\right)^{2}-2 x^{3}-\left(2 x^{2}\right)^{2}\right) d x \\ &=\int_{-1}^{1}\left(-3 x^{4}-x^{3}+2 x^{2}+x+1\right) d x=\frac{32}{15} . \end{aligned} \]</p> <p>예제 4.3.6 반복적분 $ \int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1} d x\right] d y $ 를 어떤 영역 위의 이중적분으로 표 시하고, 적분의 순서를 변경하여 계산하여라 (그림 4.3-20).</p> <p>풀이. 적분영역 \[ U=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq 1, \sqrt{y} \leq x \leq 1\} \] 는 다시 \[ U=\left\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x^{2}\right\} \] 로 표현될 수 있으므로 적분의 순서를 바꾸어 먼저 변수 $ y $ 에 관하여 적분하면 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1}\left[\int_{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{x^{3}+1} d x\right] d y &=\iint_{U} \sqrt{x^{3}+1} d A \\ &=\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{x^{2}} \sqrt{x^{3}+1} d y\right] d x \\ &=\int_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x \\ &=\frac{1}{3}\left[\frac{2}{3}{\sqrt{x^{3}+1}}^{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{9}\left(\sqrt{2}^{3}-1\right) . \end{aligned} \]</p> <p>일변수 함수의 적분에서 성립하는 여러가지 성질들이 이중적분에서도 성립한다. 다음 성질들을 증명없이 소개한다.</p> <p>정리 $ 4.3 .7 $ (1) 함수 $ f $ 가 유계인 닫힌영역 $ D $ 에서 적분가능하면 영역 $ D $ 의 분할 영역* $ D_{1}, D_{2} $ 에서도 적분가능하고 \[ \iint_{D} f(x, y) d A=\iint_{D_{1}} f(x, y) d A+\iint_{D_{2}} f(x, y) d A . \] (2) 함수 $ f $ 가 영역 $ D $ 에서 적분가능하고 $ f(x, y) \leq g(x, y) $ 이면 \[ \iint_{D} f(x, y) d A \leq \iint_{D} g(x, y) d A . \] (3) 함수 $ f $ 가 영역 $ D $ 에서 적분가능하면 \[ \left\|\iint_{D} f(x, y) d A\right\| \leq \iint_{D}\|f(x, y)\| d A . \]</p> <p>정리 4.1.1 유계인 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하기위한 필요충분조건은 \[ \lim _{\|P\| \rightarrow 0} L(f, P)=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} S(f, P)=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} U(f, P) \] 이다.</p> <p>함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면 \[ \int_{b}^{a} f(x) d x=-\int_{a}^{b} f(x) d x, \quad \int_{a}^{a} f(x) d x=0 \] 라고 정의한다.</p> <p>예제 $ 4.1 .2 $ 함수 $ f(x)=x^{2}, 0 \leq x \leq 1 $ 에 대해서 $ P=\left\{0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1\right\} $ 를 $ [0,1] $ 의 분 할이라고 하고, 각 소구간의 점들을 \[ x_{1}^{}=\frac{1}{14}, \quad x_{2}^{}=\frac{2}{7}, \quad x_{3}^{}=\frac{5}{7} \] 이라고 할 때 리만합을 구하여라 (그림 4.1-6).</p> <p>풀이. 리만합을 구하면 \[ \begin{aligned} S(f, P) &=\sum_{i=1}^{3} f\left(x_{i}^{}\right) \Delta x_{i} \\ &=\left(\frac{1}{14}\right)^{2} \frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2} \frac{1}{4}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2} \frac{1}{2} \\ &=\frac{217}{784} . \end{aligned} \] 이제 적분가능하지 않는 함수의 예를 보자.</p> <p>예제 $ 4.1 .3 $ 함수 $ f(x) $ 가 \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x \text { 는 }[0,1] \text { 안의 유리수 } \\ 0, & x \text { 는 }[0,1] \text { 안의 무리수 } \end{array}\right. \] 로 정의되면, 임의의 분할 $ P=\left\{x_{0}, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right\} $ 에 대하여, 실수의 조밀성으로부터 모든 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 에서 $ M_{i}=1, m_{i}=0 $ 이므로 상합은 \[ U(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 1 \cdot \Delta x_{i}=1 \] 이고 하합은 \[ L(f, P)=\sum_{i=1}^{n} 0 \cdot \Delta x_{i}=0 \] 이다. 따라서 $ \int_{0}^{1} f(x) d x=0 $ 이고 $ \int_{0}^{1} f(x) d x=1 $ 이므로 $ f $ 는 적분가능하지 않다.</p> <p>다음 두 정리는 어떤 함수들이 적분가능한 함수들인지를 말하고 있으며 증명은 이 책의 마지막 부분에 부록으로 남긴다.</p> <p>정리 4.1.4 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 단조증가 혹은 단조감소이면 적분가능하다.</p> <p>정리 4.1.5 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이면 적분가능하다.</p> <p>위의 정리의 결과에 따르면 $ [a, b] $ 위에서 정의된 다항함수, 사인함수, 코사인함수, 분모가 0 이 아닌 유리함수등은 적분가능한 함수들이다.</p> <p>더 일반적인 적분의 평균값 정리를 생각해 보자.</p> <p>따름정리 4.1.10 함수 $ f, g $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이고 모든 $ x $ 에 대해서 $ g(x) \geq 0 $ 이면 \[ \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c) \int_{a}^{b} g(x) d x \] 인 $ c $ 가 $ (a, b) $ 에 존재한다.</p> <p>증명. $ m, M $ 을 각각 함수 $ f $ 의 최소값과 최대값이라고 하면 $ m \leq f(x) \leq M $ 으로부터 \[ m g(x) \leq f(x) g(x) \leq M g(x) \] 이므로 \[ m \int_{a}^{b} g(x) d x \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) d x \leq M \int_{a}^{b} g(x) d x \] 이다.</p> <p>구간 $ [a, b] $ 의 모든 점 $ x $ 에서 $ g(x)=0 $ 이면 등식이 성립한다. 만약 $ g(x)>0 $ 인 $ x $ 가 있으면 $ \int_{a}^{b} g(x) d x>0 $ 이므로, 위의 부등식을 $ \int_{a}^{b} g(x) d x $ 로 나누면 \[ m \leq \frac{\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x}{\int_{a}^{b} g(x) d x} \leq M \] 이다. 그러므로 정리 $ 4.1 .8 $ 의 증명과 같은 방법에 의하여 증명할 수 있다.</p> <p>참고 4.1.11 위에서 만약 $ g(x)=1 $ 이면 적분의 평균값 정리와 일치한다.</p> <p>다음에 소개하는 미분적분학의 기본정리는* 미분과 적분의 관계를 보여주는 중요한 정리로서 리만합의 극한을 이용하지 않고 부정적분을 이용하여 정적분을 쉽게 계산할 수 있는 방법을 제시하고 있다.</p> <p>정리 4.1.12 (미분적분학의 기본정리(fundamental theorem of calculus)) (1) 함수 $ f $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이고, 함수 $ F $ 를 $ [a, b] $ 에서 \[ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \] 로 정의하면, $ F(x) $ 는 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ (a, b) $ 에서 미분가능하며, \[ F^{\prime}(x)=\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f(t) d t=f(x) . \] (2) $ G $ 를 $ f $ 의 부정적분 $ \dagger $, 즉, $ G^{\prime}(x)=f(x) $ 이라 하면, \[ \int_{a}^{b} f(x) d x=G(b)-G(a) . \]</p> <h2>구면좌표 변환</h2> <p>구면좌표계(spherical coordinate system)는 공간 위의 점 $ P(x, y, z) $ 를 $ P(\rho, \varphi, \theta) $ 로 나타내는데, $ \rho $ 는 직교좌표계의 원점에서 $ P $ 에 이르는 거리, 즉, \[ \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \] 이고, $ \varphi $ 는 점 $ P $ 가 양의 $ z $ 축과 벡터 $ (x, y, z) $ 가 이루는 각이며, $ \theta $ 는 점 $ P(x, y, z) $ 를 $ x y $-평면으로 사영한 벡터 $ (x, y, 0) $ 와 양의 $ x $-축이 이루는 각을 나타낸다(그림4.4-38). 따라서 \[ \begin{array}{l} x=\rho \sin \varphi \cos \theta, y=\rho \sin \varphi \sin \theta, z=\rho \cos \varphi \\ 0<\rho<\infty, 0 \leq \varphi<\pi, 0 \leq \theta<2 \pi \end{array} \] 인 관계가 있다. 이 변환 \[ T(\rho, \varphi, \theta)=(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \] 을 구면좌표변환(spherical coordinate transformation)이라고 한다. 이 $ T $ 의 야코비안은 \[ \begin{aligned} J(T) &=\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(\rho, \varphi, \theta)} \\ &=\left\|\begin{array}{ccc} \frac{\partial x}{\partial \rho} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial \rho} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \\ \frac{\partial z}{\partial \rho} & \frac{\partial z}{\partial \varphi} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{array}\right\| \\ &=\left\|\begin{array}{ccc} \sin \varphi \cos \theta & \rho \cos \varphi \cos \theta & -\rho \sin \varphi \sin \theta \\ \sin \varphi \sin \theta & \rho \cos \varphi \sin \theta & \rho \sin \varphi \cos \theta \\ \cos \varphi & -\rho \sin \varphi & 0 \end{array}\right\| \\ &=\rho^{2} \sin \varphi \end{aligned} \] 로 주어진다. 그런데 $ 0<\varphi<\pi $ 이므로 $ \|J(T)\|=\rho^{2} \sin \varphi $ 이고, 그림 4.4-39에서 보듯이 \[ d x d y d z=\rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \] 이다. 따라서 $ U=T\left(U^{}\right) $ 라 하면 $ U $ 위의 적분가능한 함수 $ f(x, y, z) $ 에 대하여 \[ \begin{array}{l} \iiint_{U} f(x, y, z) d x d y d z \\ \quad=\iiint_{U^{}} f(\rho \sin \varphi \cos \theta, \rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \rho^{2} \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \end{array} \] 가 성립한다.</p> <p>예제 4.4.6 그림 4.4-40처럼 직원뿔 $ z^{2}=x^{2}+y^{2} $ 의 위쪽에 있고, 구면 $ x^{2}+y^{2}+z^{2}= $ $ z $ 안에 있는 영역 $ U $ 의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이. 영역 $ U $ 의 부피는 \[ V(U)=\iiint_{U} 1 d V \] 이다. 이 적분을 구면좌표변환을 이용하여 구해보자. 주어진 구면 위의 점은 구면좌표에 의한 방정식 $ \rho^{2}=\rho \cos \varphi $ 을 만족하므로 $ \rho=\cos \varphi $ 이다(그림 4.4-41). 따라서 영역 $ T\left(U^{}\right)=U $ 인 영역 $ U^{} $ 는 \[ U^{}=\left\{(\rho, \varphi, \theta) \mid 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{4}, 0 \leq \theta<2 \pi, 0 \leq \rho \leq \cos \varphi\right\} \] 임을 알 수 있다. 이제 구하는 부피는 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{2 \pi} d \theta \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left[\int_{0}^{\cos \varphi} \rho^{2} \sin \varphi d \rho\right] d \varphi &=2 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{3} \cos ^{3} \varphi \sin \varphi d \varphi \\ &=\frac{2 \pi}{3}\left[-\frac{1}{4} \cos ^{4} \varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}=\frac{\pi}{8} \end{aligned} \]</p> <p>예제 $ 4.4 .7 $ 구면좌표변환을 이용하여 \[ \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x \] 를 구하여라.</p> <p>풀이. 적분영역 \[ U=\left\{(x, y, z) \mid-2 \leq x \leq 2,-\sqrt{4-x^{2}} \leq y \leq \sqrt{4-x^{2}}, 0 \leq z \leq \sqrt{4-x^{2}-y^{2}}\right\} \] 는 상반구로서 구면좌표변환 $ T $ 에 의해 \[ T\left(U^{}\right)=U, U^{}=\left\{(\rho, \varphi, \theta) \mid 0 \leq \rho \leq 2,0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2}, 0 \leq \theta<2 \pi\right\} \] 인 영역이다(그림 4.4-42,4.4-43). 따라서 \[ \begin{aligned} \int_{-2}^{2} \int_{-\sqrt{4-x^{2}}}^{\sqrt{4-x^{2}}} & \int_{0}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d z d y d x \\ &=\iiint_{U} z^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d V \\ &=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2} \rho^{5} \cos ^{2} \varphi \sin \varphi d \rho d \varphi d \theta \\ &=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{32}{3} \cos ^{2} \varphi \sin \varphi d \varphi d \theta \\ &=\frac{32}{3} \int_{0}^{2 \pi}\left[-\frac{1}{3} \cos ^{3} \varphi\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} d \theta=\frac{32}{9} \int_{0}^{2 \pi} d \theta=\frac{64}{9} \pi . \end{aligned} \]</p> <h1>$ 4.1 $ 미분적분학의 기본정리</h1> <p>함수 $ f $ 가 폐구간 $ [a, b] $ 에서 유계인 함수라고 하자. 구간 $ [a, b] $ 를 $ n $ 개의 소구간으로 나누는 $ n+1 $ 개의 분점들의 집합 \[ P: a=x_{0}<x_{1}<\cdots<x_{n-1}<b=x_{n} \] 을 $ [a, b] $ 의 분할(partition)이라고 하고, $ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1} $ 이라고 할 때 분할 $ P $ 의 크기(norm) $ \|P\| $ 는 \[ \|P\|=\max \left\{\Delta x_{i} \mid i=1,2, \cdots, n\right\} \] 으로 정의한다. 분할 $ P $ 의 각 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 안의 임의의 점을 $ x_{i}^{} $ 라고 할 때 \[ S(f, P)=\sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}\right) \Delta x_{i} \] 을 함수 $ f $ 의 분할 $ P $ 에 대응하는 리만합(Riemann Sum)이라고 한다. (그림 4.1-1).</p> <p>만일 분할 방법과 $ x_{i}^{} $ 의 선택에 관계없이 $ \|P\| \rightarrow 0 $ 일 때 $ S(f, P) $ 가 극한 값을 가지면 $ f $ 는 $ [a, b] $ 에서 적분가능(integrable) 또는 리만적분가능(Riemann integrable)하다고 하고, 그 극한값을 $ [a, b] $ 위의 함수 $ f $ 의 리만적분(Riemann integral) \[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}^{}\right) \Delta x_{i} \] 라고 정의한다. 그리고 \[ \int_{a}^{b} f(x) d x \text { 또는 } \int_{a}^{b} f \] 라고 쓴다. 조금 더 자세히 상합과 하합을 정의하고 리만 적분과의 관계를 살펴보자. 분할 $ P $ 의 각 소구간 $ \left[x_{i-1}, x_{i}\right] $ 에서 $ f(x) $ 의 상한, 하한을 각각 $ M_{i}, m_{i} $, 즉, \[ M_{i}=\sup \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\}, m_{i}=\inf \left\{f(x) \mid x_{i-1} \leq x \leq x_{i}\right\} \] 라고 할 때, $ f $ 의 상합(upper sum) $ U(f, P) $ 와 하합(lower sum) $ L(f, P) $ 를 \[ \begin{aligned} U(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i} \\ L(f, P) &=\sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i} \end{aligned} \] 라고 정의한다(그림 4.1-2,4.1-3). 그러면 다음 성질들이 성립함은 분명하다.</p> <ol type= start=1><li>$ [a, b] $ 에서 $ f(x) $ 의 상한, 하한을 각각 $ M, m $ 이라 하면, 임의의 분할 $ P $ 에 대해서 \[ m(b-a) \leq L(f, P) \leq S(f, P) \leq U(f, P) \leq M(b-a) \]</li> <li>임의의 두 분할 $ P_{1}, P_{2} $ 의 분점들을 합한 공통세분 $ Q=P_{1} \cup P_{2} $ 에 대하여 \[ L\left(f, P_{1}\right) \leq L(f, Q) \leq U(f, Q) \leq U\left(f, P_{2}\right) \]</li></ol> <p>가 성립한다 (그림 $ 4.1-4,4.1-5) $. 이 때 $ [a, b] $ 위에서의 $ f $ 의 상적분 (upper integral) $ \int_{a}^{b} f(x) d x $ 과 $ f $ 의 하적분(lower integral) $ \int_{a}^{b} f(x) d x $ 은 각각 상합과 하합의 극한값 $ \overline{\int_{a}^{b}} f(x) d x=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} U(f, P)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} M_{i} \Delta x_{i} $ $ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} L(f, P)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} m_{i} \Delta x_{i} $ 로 정의한다. 따라서 정의에 의하여 \[ \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \overline{\int_{a}^{b}} f(x) d x \] 임을 알 수 있다.</p> <h1>$ 4.2 $ 함수의 적분</h1> <p>다음 적분공식은 간단한 치환과 기본이 되는 함수의 미분공식으로부터 쉽게 얻을 수 있으며 일반적인 함수를 적분하는데 많이 이용된다.</p> <h2>적분의 기본공식</h2> <h2>부분적분</h2> <p>미적분학의 기본정리에 의하면 정적분의 계산을 위해서는 부정적분을 아는 것이 매우 중요함을 알았다. 부정적분을 구하는 방법으로 치환적분법, 부분적분법 등이 많이 사용되고 있으나, 여기서는 부분적분법만을 간략히 살펴본다.</p> <p>함수의 곱의 미분 공식 \[ (f g)^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(x)+f^{\prime}(x) g(x) \] 에 의하여 부분적분 공식 \[ \int f(x) g^{\prime}(x) d x=f(x) g(x)-\int f^{\prime}(x) g(x) d x \] 를 얻는다.</p> <p>예제 4.2.1 $ \int x e^{x} d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. 두 함수의 곱에서 \[ f(x)=x, g^{\prime}(x)=e^{x} \] 라 하면 부분 적분 공식에 의해 \[ \int x e^{x} d x=x e^{x}-e^{x}+C \] 이다.</p> <p>예제 4.2.2 다음 부정적분을 계산하여라. (1) $ \int x \ln x d x $ (2) $ \int \ln x d x $ (3) $ \int x \sin x d x $</p> <p>풀이. (1) $ f(x)=\ln x, g^{\prime}(x)=x $ 라 하면 부분적분 공식에 의하여 \[ \begin{aligned} \int x \ln x d x &=\int(\ln x)\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)^{\prime} d x \\ &=(\ln x)\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)-\int(\ln x)^{\prime}\left(\frac{1}{2} x^{2}\right) d x \\ &=(\ln x)\left(\frac{1}{2} x^{2}\right)-\int \frac{1}{2} x d x \\ &=\frac{1}{2} x^{2} \ln x-\frac{1}{4} x^{2}+C \end{aligned} \] 이다.</p> <p>(2) $ f(x)=\ln x, g^{\prime}(x)=1 $ 이라 하면 \[ \int \ln x d x=x \ln x-\int d x=x \ln x-x+C \] 이다.</p> <p>(3) $ x $ 는 미분에 의하여 차수가 낮아지므로 $ f(x)=x, g^{\prime}(x)=\sin x $ 라고 하면 \[ \begin{aligned} \int x \sin x d x &=x(-\cos x)-\int(-\cos x) d x \\ &=-x \cos x+\sin x+C . \end{aligned} \] 이다.</p> <p>부분적분을 반복 적용함으로써 적분하는 경우의 예를 들어 보자.</p> <p>예제 4.2.3 $ \int x^{2} e^{x} d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. $ x^{2} $ 는 미분에 의하여 차수가 낮아지므로 $ f(x)=x^{2}, g^{\prime}(x)=e^{x} $ 라 하면 \[ \begin{aligned} \int x^{2} e^{x} d x &=x^{2} e^{x}-2 \int x e^{x} d x \\ &=x^{2} e^{x}-2 x e^{x}+2 e^{x}+C . \end{aligned} \]</p> <p>다음 예와 같은 경우에도 부분적분이 적용됨에 유의하기 바란다.</p> <p>예제 $ 4.2 .4 \int \sec ^{3} x d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. $ f(x)=\sec x, g^{\prime}(x)=\sec ^{2} x $ 라 하면 \[ \begin{aligned} \int \sec ^{3} x d x &=\sec x \tan x-\int \sec x \tan ^{2} x d x \\ &=\sec x \tan x-\int \sec ^{3} x d x+\int \sec x d x \end{aligned} \] 그런데 \[ \begin{aligned} \int \sec x d x &=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x \\ &=\ln \|\sec x+\tan x\|+C \end{aligned} \] 이므로 \[ \int \sec ^{3} x d x=\frac{1}{2} \sec x \tan x+\frac{1}{2} \ln \|\sec x+\tan x\|+C . \]</p> <p>예제 4.2.5 $ \int e^{x} \cos x d x $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. $ f(x)=e^{x}, g^{\prime}(x)=\cos x $ 라 하면 \[ \int e^{x} \cos x d x=e^{x} \sin x-\int e^{x} \sin x d x \] 우변을 적분하기 위하여 $ f(x)=e^{x}, g^{\prime}(x)=\sin x $ 라 하면 \[ \begin{aligned} \int e^{x} \sin x d x &=e^{x}(-\cos x)-\int e^{x}(-\cos x) d x \\ &=-e^{x} \cos x+\int e^{x} \cos x d x \end{aligned} \] 따라서 \[ \int e^{x} \cos x d x=e^{x} \sin x+e^{x} \cos x-\int e^{x} \cos x d x \] 이므로 \[ \int e^{x} \cos x d x=\frac{1}{2} e^{x}(\sin x+\cos x)+C . \]</p> 그런데 \[ \begin{aligned} T_{u}\left(u_{i}, v_{j}\right) \times T_{v}\left(u_{i}, v_{j}\right) &=\left\|\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} & 0 \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} & 0 \end{array}\right\| \\ &=\left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right\| \mathbf{k}=\left\|\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right\| \mathbf{k} \end{aligned} \] 이다. 여기서 마지막 행렬식 \[ \left\|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right\| \] 을 $ \left(u_{i}, v_{j}\right) $ 에서 $ T $ 의 야코비 행렬식 또는 야코비안(Jacobian)이라 부르고 \[ J(T) \text { 또는 } \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left\|\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{array}\right\| \] 로 표시한다. 따라서 소 영역 $ D_{i j} $ 의 면적 $ \Delta A_{i j} $ 은, \[ \Delta A_{i j} \approx\left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\| \Delta u_{i} \Delta v_{j} \] 이다. 이제 $ D $ 에서 적분가능한 함수 $ f $ 에 대하여 \[ \begin{aligned} \iint_{D} f(x, y) d A &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f\left(x_{i}^{}, y_{j}^{}\right) \Delta A_{i j} \\ &=\lim _{\|P\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} f\left(x\left(u_{i}^{}, v_{j}^{}\right), y\left(u_{i}^{}, v_{j}^{}\right)\right)\left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\| \Delta u_{i} \Delta v_{j} \\ &=\iint_{D^{}} f(x(u, v), y(u, v))\left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\| d u d v \end{aligned} \] 이다. 따라서 우리는 다음과 같은 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>정리 4.4.1 (이중적분의 변수변환(change of variables for double integrals)) $ T: D^{} \rightarrow D $ 는 연속인 도함수 $ T^{\prime} $ 을 갖는 전단사 함수라고 하면, 임의의 적분가능한 함수 $ f: D \rightarrow \mathbb{R} $ 에 대하여 \[ \iint_{D} f(x, y) d x d y=\iint_{D^{}} f(x(u, v), y(u, v))\left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\| d u d v \]</p> <p>예제 4.4.2 그림 4.4-31처럼 영역 $ D $ 를 $ y=2 x, y=2 x-2, y=x, y=x+1 $ 로 둘러싸인 평행사변형 영역이라 할 때, $ \iint_{D} x y d A $ 를 계산하여라.</p> <p>풀이. 영역 $ D $ 를 적당한 변환을 택하여 직사각형 영역 $ D^{}=[0,1] \times[-2,0] $ 로 바꾸자. 이제 $ T $ 를 $ T(u, v)=(u-v, 2 u-v)^{} $ 로 정의하면, $ T: D^{} \rightarrow D $ 는 연속인 도함수를 갖는 전단사 함수이다. 더 나아가서, \[ \left\|\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}\right\|=\left\|\operatorname{det}\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & -1 \end{array}\right)\right\|=1 \] 이므로, 구하는 적분은 \[ \begin{aligned} \iint_{D} x y d A &=\iint_{D^{*}}(u-v)(2 u-v) \cdot 1 d A=\int_{-2}^{0}\left[\int_{0}^{1}\left(2 u^{2}-3 u v+v^{2}\right) d u\right] d v \\ &=\left.\int_{-2}^{0}\left(\frac{2}{3} u^{3}-\frac{3 u^{2} v}{2}+u v^{2}\right)\right\|_{0} ^{1} d v=\int_{-2}^{0}\left(\frac{2}{3}-\frac{3}{2} v+v^{2}\right) d v \\ &=\left.\left(\frac{2}{3} v-\frac{3}{4} v^{2}+\frac{v^{3}}{3}\right)\right\|_{-2} ^{0}=-\left(\frac{2}{3}(-2)-3-\frac{8}{3}\right)=7 \end{aligned} \]</p>	자연
m960-(알기 쉬운 통계 원리) 기초통계학	<h1>8.3 모비율의 검정</h1> <p>귀무가설 $ H_{0}: p=p_{0} $ ( $ \mu_{0} $ 는 어떤 정하여진 값)를 검정한다고 할 때, 이 검정을 모비율의 검정이라고 한다. 모비율 $ p $ 의 검정에서는 이항확률변수 $ X $ 나 표본비율 $ \hat{p} $ 를 이용하는데, 이를 위해서는 $ X $ 나 $ \hat{p} $ 의 분포를 알아야 한다.</p> <h2>8.3.1 소표본에서 모비율의 검정법</h2> <p>가설을 세울 때 관심대상 모수는 모비율(모불량율 $ p $ )이 되며, 확률변수 $ X $ 를 특별한 속성을 가진 것들의 개수라고 하면 $ X $ 는 이항분포 $ B(n, p) $ 를 따른다. 이 경우 모비율 $ p $ 의 합당한 추정량은 표본비율 $ \hat{p}=\frac{X}{n} $ 가 되며 아래 사실이 성립한다.</p> <p>$ E(\hat{p})=p, \quad \operatorname{Var}(\hat{p})=\frac{p(1-p)}{n} $</p> <p>만일 $ p_{0} $ 를 $ p $ 의 가설화된 값이라고 하면 다음과 같은 가설들을 고려해볼 수 있다. 즉 귀무가설 $ H_{0}: p=p_{0} $ 에 대하여 대립가설</p> <p>$ H_{1}: p \neq p_{0}, H_{1}: p<p_{0} $ 또는 $ H_{1}: p>p_{0} $</p> <p>를 생각해볼 수 있다. 유의수준 $ \alpha $ 에서 위의 가설들을 검정한다고 할 때 확률변수 $ X $ 가 이산형이기 때문에 정확하게 유의수준이 $ \alpha $ 가 되는 기각값을 구할 수 없다.</p> <p>예제 1 어떤 제품을 만드는 공정에서 제품의 불량률이 $ 25 \% $ 이면 공정의 일부만 조정하고 불량률이 $ 25 \%(p=0.25) $ 이상이면 공정의 대폭조정이 불가피하다고 한다. 이 공정의 일부 또는 대폭 조정을 결정하기 위하여 크기 20 인 무작위표본을 추출하여 검정하여라.</p> <p>풀이 $ \hat{p} $ 를 검정통계량으로 두고 검정하기 위해 가설을</p> <p>$ H_{0}: p=0.25, \quad H_{1}: p>0.25 $</p> <p>로 세우고 $ n=20, \alpha=0.05 $ 라고 가정하자. 이 경우 제 1 종 오류를 범할 확률이 $ 0.05 $ 를 넘지 않게 기각값을 정해야 하며, 부록의 이항확률표로부터 다음 사실을 알 수 있다.</p> <p>$ P(X \geq 13 \mid p=0.25)=0.0002 \\ P(X \geq 12 \mid p=0.25)=0.0010 \\ \vdots \\ P(X \geq 9 \mid p=0.25)=0.0410 \\ P(X \geq 8 \mid p=0.25)=0.1019 $</p> <p>그러므로 $ P(X \geq 9 \mid p=0.25)<0.05<P(X \geq 8 \mid p=0.25) $ 이고, 따라서 $ C= \{X: X \geq 9\} $ 를 기각역으로 하는 것이 타당하다. 즉 20 개의 임의 추출된 표본 가운데 불량품 개수가 9 개 이상이면 불량률이 $ 0.25 $ 보다 크다고 할 수 있다. 이 부분은 확률화된 검정을 이용할 수도 있으나 이론적인 측면이 강하므로 대부분의 실제 상황에서는 $ \alpha $ 를 특정한 값으로 주고 $ p $ 값( $ p $-value)을 이용하여 겁정한다. 이 문제에서 $ p $ 값은</p> <p>불량품 $ (X) $ 이 9개 나왔다면 : $ p $ 값은 $ P(X \geq 9 \mid p=0.25)=0.0419 $</p> <p>불량품 $ (X) $ 이 8 개 나왔다면 : $ p $ 값은 $ P(X \geq 8 \mid p=0.25)=0.1019 $</p> <p>가 되며, 이러한 $ p $ 값이 유의수준 $ \alpha $ 보다 작으면 거무가설을 기각하게 되고, 유의수준보다 크면 대립가설을 기각하게 된다.</p> <h2>8.3.2 $ n $ 이 클 때 정규근사를 이용한 검정</h2> <p>한편 표본의 크기 $ n $ 이 충분히 크다면, 다시 말해서 $ n p_{0}>5, n\left(1-p_{0}\right)>5 $ 인 경우 표본비율 $ \hat{p}=X / n $ 는 점근적으로</p> <p>$ Z=\frac{\hat{p}-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \approx N(0,1) $</p> <p>에 따르는 것을 이미 살펴보았다. 그러므로 귀무가설 $ H_{0}: p=p_{0} $ 가 참이라는 조건 아래서</p> <p>$ Z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\left(1-p_{0}\right)}{n}}} \approx N(0,1) $</p> <p>이고, $ Z $ 검정통계량의 분모와 분자에 각각 $ n $ 을 곱하면 관찰된 성공횟수에 대한 $ Z $ 통계량을 이용하여 다음과 같이 표현이 가능하다.</p> <p>$ Z=\frac{X-n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}\left(1-p_{0}\right)}} \approx N(0,1) $</p> <p>따라서 모비율에 대한 귀무가설 $ H_{0}: p=p_{0} $ 에 대한 검정을 위하여 $ Z $ 검정통계량</p> <p>$ Z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}\left(1-p_{0}\right) / n}} $ 또는 $ Z=\frac{X-n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}\left(1-p_{0}\right)}} $</p> <p>를 이용한다. 그러므로 다음과 같은 순서에 따라 귀무가설을 검정한다.</p> <ol type=1 start=1><li>귀무가설 $ H_{0}: p=p_{0} $ 를 설정한다.</li> <li>유의수준 $ \alpha $ 를 정한다.</li> <li>검정통계량 $ Z=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0}\left(1-p_{0}\right)}{n}}} \approx N(0,1) $ 또는 $ Z=\frac{X-n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}\left(1-p_{0}\right)}} \approx $ $ N(0,1) $ 을 사용한다.</li> <li>검정통계량의 관찰값 $ z_{0}=\frac{\hat{p}-p_{0}}{\sqrt{p_{0}\left(1-p_{0}\right) / n}} $ 또는 $ z_{0}=\frac{x_{0}-n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}\left(1-p_{0}\right)}} $ 를 구한다.</li> <li>양측검정 $ \left(H_{1}: p \neq p_{0}\right) $ 인 경우 : $ \left\|z_{0}\right\| \geq z_{\alpha / 2} $ 이면 귀무가설 $ H_{0} $ 를 기각한다. 하단측검정 $ \left(H_{1}: p<p_{0}\right) $ 인 경우 : $ z_{0} \leq-z_{\alpha} $ 이면 귀무가설 $ H_{0} $ 를 기각한다. 상단측검정 $ \left(H_{1}: p>p_{0}\right) $ 인 경우 : $ z_{0} \geq z_{\alpha} $ 이면 귀무가설 $ H_{0} $ 를 기각한다.</li></ol> <p>이때 양측검정에 대한 $ p $ 값은 검정통계량의 관찰값 $ z_{0} $ 에 대하여</p> <p>$ p $ 값 $ =P\left(Z<-z_{0}\right)+P\left(Z>z_{0}\right)=2\left(1-\Phi\left(z_{0}\right)\right) $</p> <p>이며, 하단측검정인 경우 $ p $ 값은 검정통계량의 관찰값 $ -z_{0} $ 에 대하여</p> <p>$ p $ 값 $ =P\left(Z<-z_{0}\right)=\Phi\left(-z_{0}\right) $.</p> <p>그리고 상단측검정인 경우 $ p $ 값은</p> <p>$ p $ 값 $ =P\left(Z>z_{0}\right)=1-\Phi\left(z_{0}\right) $</p> <p>로 정의되며, $ p $ 값 $ >\alpha $ 이면 $ H_{0} $ 를 채택하고 $ p $ 값 $ \leq \alpha $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다.</p> <p>예제 2 예전 공정방법으로 생산된 제품의 불량률은 $ 0.05 $ 이었다. 이제 새로운 공정방법을 도입하면 불량률이 줄어드는지 알아보고자 한다. 이를 위하여 새로운 공정방법으로 생산된 제품 가운데 100 개를 임의로 추출한 결과 불량품 3 개가 발견되었다. 새로운 공정방법에 의하여 불량률 이 예전의 불량률과 같은지를 유의수준 $ 5 \% $ 에서 검정하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 귀무가설 $ H_{0}: p_{0}=0.05 $ 와 대립가설 $ H_{1}: p_{0} \neq 0.05 $ 를 설정한다.</p> <p>(2) 유의수준 $ 0.05 $ 에서 양측검정을 하므로 임계값은 $ z_{0.025}=1.96 $ 이고, 따라서 기각역은 $ R:\|Z\| \geq 1.96 $ 이다.</p> <p>(3) 검정통계량과 분포를 선정한다.</p> <p>$ Z=\frac{X-n p_{0}}{\sqrt{n p_{0}\left(1-p_{0}\right)}} \approx N(0,1) $</p> <p>(4) $ n=100, x=3 $, 그리고 $ p_{0}=0.05 $ 이므로 $ Z $ 통계량의 관찰값은 다음과 같다.</p> <p>$ z_{0}=\frac{3-100 \cdot(0.05)}{\sqrt{100 \cdot(0.05) \cdot(0.95)}}=-0.9177>-1.96 $</p> <p>(5) $ z_{0}=-0.9177>-1.96 $ 이므로 귀무가설 $ H_{0} $ 를 기각할 수 없다. 즉 새로운 공정 방법에 의하여 불량률을 개선시켰다고 할 수 없다.</p> <p>예제 1 주사위를 60 번 던져서 표 3 과 같은 결과를 얻었다. 이 결과로부터 (1) 2 의 눈이 나올 가능성이 $ 1 / 6 $ 이라 할 수 있는지 유의수준 $ 0.05 $ 에서 검정하고, (2) 이 주사위가 공정하게 만들어졌는지 유의수준 $ 0.05 $ 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 (1) 우선 2 의 눈이 나올 가능성이 $ 1 / 6 $ 이라 할 수 있는지 유의수준 $ 0.05 $ 에서 검정하여보자.</p> <ol type = 1 start=1><li>귀무가설 $ H_ { 0 } : p=1 / 6 $ 과 대립가설 $ H_ { 1 } : p \neq 1 / 6 $ 을 설정한다.</li> <li>$ \chi ^ { 2 } $ 통계량 $ \chi ^ { 2 } = \frac {\left (n_ { 1 } -e_ { 1 } \right ) ^ { 2 } } { e_ { 1 } } + \frac {\left (n_ { 2 } -e_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } { e_ { 2 } } $ 을 선택한다.</li> <li>유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에 대한 기각역은 $ \chi ^ { 2 } >\chi_ { 0.05 } ^ { 2 } (1)=3.84 $ 이다.</li> <li>$ \chi ^ { 2 } $ 통계량의 관찰값은 다음 표와 같이 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } =155.52 $ 이다.</li> <li>관찰값이 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } =4.32>3.84 $ 이므로 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. 즉 2 의 눈이 나올 가능성이 $ 1 / 6 $ 이라 할 수 없다.</li></ol> <p>(2) 이제 이 주사위가 공정하게 만들어졌는지, 다시 말해서 모든 눈이 나올 가능성이 $ 1 / 6 $ 로 동일한지 검정해보자.</p> <ol type=1 start=1><li>귀무가설과 대립가설을 설정한다. $ \begin {array} { l } H_ { 0 } : p_ { 1 } = \frac { 1 } { 6 } , p_ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } , p_ { 3 } = \frac { 1 } { 6 } , p_ { 4 } = \frac { 1 } { 6 } , p_ { 5 } = \frac { 1 } { 6 } , p_ { 6 } = \frac { 1 } { 6 } \\ H_ { 1 } : H_ { 0 } \text { 가 아니다. } \end {array} $</li> <li>$ \chi ^ { 2 } $ 통계량 $ \chi ^ { 2 } = \sum_ { i=1 } ^ { 6 } \frac {\left (n_ { i } -e_ { i } \right ) ^ { 2 } } { e_ { i } } $ 을 선택한다.</li> <li>주사위가 공정하게 만들어졌다면 각각의 눈이 나올 기대비율은 $ 1 / 6 $ 이므로, 눈의 수 $ i $ 가 나올 확률을 $ p_ { i } $ 라 하면 $ p_ { i } =1 / 6(i=1,2, \cdots, 6) $ 이다. 또한 주사위를 60 번 던지면 각각의 눈이 나올 기대도수는 각각 $ e_ { i } =10(i=1,2, \cdots, 6) $ 이다. 또한 범주의 수가 6 개이므로 자유도는 5 이고, 따라서 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에 대한 기각역은 $ \chi ^ { 2 } >\chi_ { 0.05 } ^ { 2 } (5)= 11.07 $ 이다.</li> <li>$ \chi ^ { 2 } $ 통계량의 관찰값은 표 5 와 같이 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } =7.2 $ 이다.</li> <li>관찰값이 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } =7.2<11.07 $ 이므로 귀무가설을 채택한다. 다시 말해서 실험결과로부터 공정한 주사위가 아니라는 근거가 없다.</li></ol> <h1>8.6 독립성검정</h1> <p>몸무게와 키의 경우와 같이 서로 다른 두 가지 속성 $ A $ 와 $ B $ 로 모집단이 각각 서로 배반인 $ k $ 개의 범주 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} $ 그리고 $ r $ 개의 범주 $ B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{r} $ 인 범주로 구성되어 있다고 하자. 그리고 $ A_{i} \cap B_{j} $ 의 확률을</p> <p>$ p_{i j}=P\left(A_{i} \cap B_{j}\right), i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, r $</p> <p>이라 하자. 그러면 두 종류의 속성에 대한 범주들의 공통부분 $ A_{i} \cap B_{j} $ 에 대한 모 비율은 다음과 같은 분할표를 이용하여 나타낼 수 있다.</p> <p>여기서 $ p_{i .}=P\left(A_{i}\right)=\sum_{j=1}^{r} p_{i j}, p_{. j}=P\left(B_{j}\right)=\sum_{i=1}^{k} p_{i j} $ 이다. 이때 두 속성 $ A $ 와 $ B $ 가 독립인지 아닌지 검정하는 방법을 독립성검정(test of independence)이라 한다. 즉 귀무가설</p> <p>$ H_{0}: P\left(A_{i} \cap B_{j}\right)=P\left(A_{i}\right) P\left(B_{j}\right), i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, r $</p> <p>또는</p> <p>$ H_{0}: p_{i j}=p_{i} . p_{. j}, i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, r $</p> <p>을 검정하는 것을 독립성검정이라 하고, 이때 대립가설은 ' $ H_{1}: H_{0} $ 가 아니다'이다. 이제 귀무가설을 검정하기 위하여 통계실험을 $ n $ 번 독립적으로 반복하여 표 2와 같은 관측도수를 얻었다고 하자.</p> <p>여기서 $ n_{i \cdot}=\sum_{j=1}^{r} n_{i j}, n_{\cdot j}=\sum_{i=1}^{k} n_{i j} $ 이다. 그러면 귀무가설 $ H_{0} $ 가 참이라고 할 때 $ p_{i} $. 와 $ p_{. j} $ 에 대한 최대우도추정은 각각</p> <p>$ \hat{p}_{i \cdot}=\frac{n_{i \cdot}}{N}, \hat{p}_{\cdot j}=\frac{n_{\cdot j}}{N}, i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, r $</p> <p>이고, 따라서 합동표본비율 $ \hat{p}_{i j} $ 는 다음과 같다.</p> <p>$ \hat{p}_{i j}=\hat{p}_{i \cdot} \hat{p}_{\cdot j}=\frac{n_{i} \cdot}{N} \frac{n \cdot j}{N}, i=1,2, \cdots, k, j=1,2, \cdots, r $</p> <p>그리고 이 경우에 $ A_{i} \cap B_{j} $ 의 기대도수는 다음과 같이 추정된다.</p> <p>$ \hat{e}_{i j}=N \hat{p}_{i j}=N \hat{p}_{i \cdot} \hat{p}_{\cdot j}=\frac{n_{i \cdot} n_{\cdot j}}{N} $</p> <p>그러면 적합도검정과 동일한 방법으로 귀무가설 $ H_{0} $ 가 참이라는 조건 아래서 관찰도수 $ n_{i j} $ 와 기대도수 $ \hat{e}_{i j} $ 의 일치성을 측정하기 위한 $ \chi^{2} $ 통계량을 사용하며, 이때 자유도 $ (k-1)(r-1) $ 인 카이제곱분포를 사용한다. 그러므로 유의수준 $ \alpha $ 에 대한 기각역은 $ \chi^{2}>\chi_{\alpha}^{2}[(k-1)(r-1)] $ 이고, 검정통계량은 다음과 같다.</p> <p>$ \chi^{2}=\sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{r} \frac{\left(n_{i j}-\hat{e}_{i j}\right)^{2}}{\hat{e}_{i j}} $</p> <p>예제 1 어떤 회사가 세 종류의 신상품 $ A, B, C $ 를 개발하여 소비자들이 어떤 종류의 신상품을 더 좋아하는지의 선호도가 남녀간에 상관관계가 있는지를 알아보기 위하여 200 명을 임의로 추출하여 표 3 을 얻었다. 이 자료로부터 신상품에 대한 선호도와 성별은 서로 독립이라고 할 수 있는지 유의수준 $ 5 \% $ 에서 검정하여라.</p> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>귀무가설과 대립가설을 설정한다. $ H_{0}: p_{i j}=p_{i} p_{j}, i=1,2, j=1,2,3, H_{1}: H_{0} $가 아니다.</li> <li>$ \chi^{2} $ 통계량 $ \chi^{2}=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} \frac{\left(n_{i j}-\hat{e}_{i j}\right)^{2}}{\hat{e}_{i j}} $ 을 선택한다.</li> <li>$ r=3, k=2 $ 이므로 자유도는 $ (3-1)(2-1)=2 $ 이고, 따라서 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에 대한 기각역은 $ \chi^{2}>\chi_{0.05}^{2}(2)=5.99 $ 이다.</li> <li>$ H_{0} $ 가 참이라는 조건 아래서 추정기대도수를 구한다. $ \hat{e}_{11}=\frac{n_{1 \cdot} n_{\cdot 1}}{N}=\frac{80 \cdot 30}{200}=12, \hat{e}_{12}=\frac{n_{1 \cdot} n_{\cdot 2}}{N}=\frac{80 \cdot 90}{200}=36 $, $ \hat{e}_{13}=\frac{n_{1 \cdot} n_{\cdot 3}}{N}=\frac{80 \cdot 80}{200}=32, \hat{e}_{21}=\frac{n_{2 \cdot} n_{\cdot 1}}{N}=\frac{120 \cdot 30}{200}=18 $, $ \hat{e}_{22}=\frac{n_{2 \cdot} n_{\cdot 2}}{N}=\frac{120 \cdot 90}{200}=54, \hat{e}_{23}=\frac{n_{2 \cdot} n_{\cdot 3}}{N}=\frac{120 \cdot 80}{200}=48 $ 그러면 $ \chi^{2} $ 통계량의 관찰값은 표 5 와 같이 $ \chi_{0}^{2}=17.12 $ 이다.</li> <li>관찰값이 $ \chi_{0}^{2}=17.12>5.99 $ 이므로 $ H_{0} $ 를 기각한다. 즉 선호도와 성별은 독립이라고 할 수 없다.</li></ol> <h2>8.2.2 모분산 $ \sigma^{2} $ 을 모르는 경우 모평균 $ \mu $ 의 검정</h2> <p>모분산 $ \sigma^{2} $ 이 미지인 정규모집단 $ N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ 에서 모평균 $ \mu $ 를 검정하려고 할 때 표본의 크기가 큰 경우에는 모표준편차 $ \sigma $ 대신 표본표준편차 $ S $ 를 대입한 검정통계량을 사용하고, 이에 따른 기각역은 모분산 $ \sigma^{2} $ 을 알 때와 동일하다.</p> <p>$ Z_{0}=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}} $</p> <p>또한 모집단의 분포가 정규분포가 아닌 임의의 모집단에서 $ n $ 이 대표본일 경우 중심극한정리에 의해 $ \bar{X} $ 는 근사적으로 정규분포를 따르므로 모평균 $ \mu $ 의 검정에 위의 식을 그대로 사용할 수 있다.</p> <p>한편 모분산 $ \sigma^{2} $ 이 미지인 정규모집단 $ N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ 에서 표본의 크기 $ n $ 이 소표본 $ (n<30) $ 일 경우 $ Z $ 통계량에서 $ \sigma $ 대신 $ S $ 를 대입한 $ t $ 통계량</p> <p>$ t_{0}=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}} $</p> <p>는 자유도 $ n-1 $ 인 $ t $ 분포를 따른다. 그러므로 귀무가설이 참이라는 가설하에 얻은 검정통계량을 이용하여 모평균 $ \mu $ 에 대한 검정법을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>모분산이 알려지지 않은 경우 모평균 $ \mu $ 에 대한 검정법<ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 $ -H_{0}: \mu=\mu_{0} $</li> <li>검정통계량 $ -t_{0}=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{S / \sqrt{n}} $</li> <li>가설검정 $ -H_{1}: \mu>\mu_{0} $ 일 때 $ t_{0} \geq t_{\alpha}(n-1) $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다. $ H_{1}: \mu<\mu_{0} $ 일 때 $ t_{0} \leq-t_{\alpha}(n-1) $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다. $ H_{1}: \mu \neq \mu_{0} $ 일 때 $ \left\|t_{0}\right\| \geq t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다.</li></ol></p> <p>이와 같이 검정하고자 하는 가설의 검정통계량이 $ t $ 분포를 따를 때 가설의 기각역은 $ t $ 분포를 이용하여 구하게 되는데, 이러한 검정을 $ t $ 분포 검정이라 한다.</p> <p>예제 3 어느 회사에서 수입한 제품의 부품을 구입하려고 한다. 납품서에 의하면 부품의 평균 지름이 $ 12.5 \mathrm{~cm} $ 로 되어 있다. 부품의 지름이 납품서에 적혀 있는 수치와 같은지를 검사하기 위하여 10 개의 부품을 임의로 추출하여 지름을 측정한 결과는 다음과 같다.</p> <p>$ 12.6,12.7,12.8,12.6,12.7,12.4,12.5,12.6,12.8,12.3 $</p> <p>부품의 지름이 정규분포 $ N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ 을 따를 때, 부품의 지름이 납품서와 같다고 할 수 있는지를 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 로 검정하여라.</p> <p>풀이 위의 검정법의 기본 원리에 따라 하면 다음과 같이 요약할 수 있다.</p> <p>(1) $ H_{0}: \mu=12.5 $ $ H_{1}: \mu \neq 12.5 $</p> <p>(2)$ \begin{array}{l}\bar{X}=\frac{1}{10}(12.6+12.7+\cdots+12.3)=12.6 \\ \begin{aligned} S^{2} &=\frac{1}{10-1}\left[(12.6-12.6)^{2}+(12.7-12.6)^{2}+\cdots+(12.3-12.6)^{2} .\right.\\&=0.0267\end{aligned} \\ \text { 검정통계량 }:\left\|t_{0}\right\|=\left\|\frac{12.6-12.5}{0.163 / \sqrt{10}}\right\|=1.94 \end{array} $</p> <p>(3) $ \alpha=0.05 $ 이고 자유도가 $ 10-1=9 $ 이므로 $ t_{0.025}(9)=2.262 $ 이다.</p> <p>(4) $ \left\|t_{0}\right\|=1.94<t_{0.025}(9)=2.262 $ 이므로 $ H_{0} $ 를 기각하지 못한다. 따라서 부품의 지름이 납품서와 다르다고 할 수 없다.</p> <h1>8.2 모평균의 검정</h1> <p>모분산 $ \sigma^{2} $ 을 아는 경우와 모르는 경우로 나누어서 모평균의 검정에 대하여 살펴보자.</p> <h2>8.2.1 모분산 $ \sigma^{2} $ 을 아는 경우 모평균 $ \mu $ 의 검정</h2> <p>귀무가설 $ H_{0}: \mu=\mu_{0} $ ( $ \mu_{0} $ 는 어떤 정하여진 값)를 검정한다고 할 때, 이 검정을 모평균의 검정이라고 한다.</p> <p>모평균 $ \mu $ 의 검정에서는 표본평균 $ \bar{X} $ 를 이용하는데, 이를 위해서는 $ \bar{X} $ 의 분포를 알아야 한다. 모분산이 알려져 있는 정규모집단 $ N\left(\mu, \sigma^{2}\right) $ 으로부터 추출한 크기가 $ n $ 인 임의 표본의 표본평균 $ \bar{X} $ 는 정규분포 $ N\left(\mu, \frac{\sigma^{2}}{n}\right) $ 을 따르므로 이것을 표준화한 $ Z $ 통계량</p> <p>$ Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} $</p> <p>는 표준정규분포 $ N(0,1) $ 을 따른다. 그러므로 귀무가설이 참이라 가설하여 얻은 검정통계량을 이용하여 모평균 $ \mu $ 에 대한 검정법을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>모분산이 알려진 경우 모평균 $ \mu $ 에 대한 검정법<ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 $ -H_{0}: \mu=\mu_{0} $</li> <li>검정통계량 $ -Z_{0}=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} $</li> <li>가설검정 $ -H_{1}: \mu>\mu_{0} $ 일 때 $ Z_{0} \geq z_{\alpha} $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다.</li></ol>$ H_{1}: \mu<\mu_{0} $ 일 때 $ Z_{0} \leq-z_{\alpha} $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다. $ H_{1}: \mu \neq \mu_{0} $ 일 때 $ \left\|Z_{0}\right\| \geq z_{\alpha / 2} $ 이면 $ H_{0} $ 를 기각한다.</p> <p>이와 같이 검정하고자 하는 가설의 검정통계량이 정규분포를 따를 때 가설의 기각역은 정규분포를 이용하여 구하게 되는데, 이러한 검정을 정규분포검정이라 한다. 모집단의 분포가 정규분포이든 또는 임의의 분포이든 간에 표본의 크기 $ n $ 이 큰 경우 모평균 $ \mu $ 에 대한 가설검정의 검정통계량과 이에 따른 기각역은 위에서 설명된 방법을 그대로 사용한다.</p> <p>예제 1 포장할 때 사용하는 고무고리 개수가 한 상자당 평균 몇 개씩 들어있는지를 조사하고자 할 때 모든 상자를 다 조사하는 것은 무리다. 공정이 관리하에 있을 때 각 상자에 들어 있는 고무고리 수는 평균이 1000 이고 표준편차가 $ 37.5 $ 인 정규분포를 따른다고 가정하자. $ n=9 $ 이고 유의수준 $ 5 \% $ 로 가정하여 가설을 세우고 기각역과 다양한 $ \mu $ 에 대한 제2종 오류와 검정력 함수를 구하여라.</p> <p>풀이 이 경우 회사는 가설 $ H_{0}: \mu=1000 $ (공정이 관리상태), $ H_{1}: \mu \neq 1000 $ (공정이 관리상태에 있지 않다)을 검정하고자 할 것이며, 이때 검정통계량은 $ Z= \frac{\left(\bar{X}-\mu_{0}\right)}{\sigma / \sqrt{n}} $ 가 된다. 회사 측이 무작위로 $ n=9 $ 의 표본을 추출하였고 $ \alpha=0.05 $ 로 했을 때 채택역의 경계점은</p> <p>$ \mu_{0} \pm z_{\alpha / 2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=1000 \pm 1.96\left(\frac{37.5}{3}\right)=1000 \pm 24.5 $</p> <p>가 되며 이는 그림 1 과 같다.</p> <p>이 문제에 대하여 $ C $ 를 기각역이라고 하면 $ \beta $ 는 다음과 같이 계산할 수 있다.</p> <p>$ \beta(\mu)=P\left(H_{0}\right. $ 채택 $ \left.\mid \mu \neq 1000\right)=1-P(Z \in C \mid \mu \neq 1000) $</p> <p>예를 들어 $ \mu=990, \sigma=37.5, n=9 $ 일 때</p> <p>$ \begin{aligned} \beta(\mu) &=P(975.5 \leq \bar{X} \leq 1024.5) \\ &=P\left(\frac{975.5-990}{37.5 / 3} \leq \frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \leq \frac{1024.5-990}{37.5 / 3}\right)=0.8741 . \end{aligned} $</p> <p>즉 제 2종 오류를 범할 확률은 $ 0.8741 $ 이다. 이는 참값 $ \mu=990 $ 일 때 $ H_{0} $ : $ \mu=1000 $ 을 잘못 채택하는 오류를 범하는 경우가 $ 87.41 \% $ 정도 된다는 의미이며, 이 검정의 검정력함수는 $ \gamma(990)=0.1259 $ 이다. 이는 이 검정이 거짓인 거무가설을 제대로 판단하는 경우가 $ 12.59 \% $ 정도 된다는 의미이다. 만약 참값이 $ \mu=1010 $ 이면 $ \beta(\mu) $ 는 어떻게 될까? 계산해보면 역시 $ 0.8741 $ 이 나온다. 즉</p> <p>$ \beta(1000-10)=\beta(1000+10) $</p> <p>이 되며 $ \mu=1000 $ 일 때는 당연하게도 $ \beta $ 의 값은 존재하지 않는다. 여러 가지 $ \mu $ 값에 대하여 검정력을 구해보면 표 1과 같고 그림 2는 검정력함수를 설명하고 있다.</p> <h2>8.4.2 모평균 $ \mu $ 를 모를 때의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 의 검정</h2> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 에서 모평균 $ \mu $ 를 모를 때의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 검정에 이용되는 $ \chi ^ { 2 } $ 통계량</p> <p>$ \chi ^ { 2 } = \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } $</p> <p>은 자유도가 $ n-1 $ 인 카이제곱분포를 한다. 그러므로 귀무가설이 참이라는 가설하에 얻은 검정통계량을 이용하여 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 검정법을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>모평균이 알려지지 않은 경우 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 검정법<ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 $ -H_ { 0 } : \sigma ^ { 2 } = \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $</li> <li>검정통계량 $ - \chi_ { 0 } ^ { 2 } = \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma_ { 0 } ^ { 2 } } $</li> <li>가설검정- $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 } >\sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \geq \chi_ {\alpha } ^ { 2 } (n-1) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 }< \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \leq \chi_ { 1- \alpha } ^ { 2 } (n-1) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 } \neq \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \geq \chi_ {\frac {\alpha } { 2 } } ^ { 2 } (n-1) $ 이거나 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \leq \chi_ { 1- \frac {\alpha } { 2 } } ^ { 2 } (n-1) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다.</li></ol></p> <p>예제 1 어떤 품질 특성을 개선하기 위하여 시험품을 만들어 보았는데 분산이 변화하는 문제가 발생하였다. 시험품으로 만든 제품들 가운데 임의로 10 개의 제품을 추출하여 특성값을 측정한 결과는 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { llllllllll } 0.3 & -0.1 & -0.5 & 0.1 & -0.3 & 0.2 & 0.4 & -0.1 & 0.5 & 0.1 \end {array} $</p> <p>품질의 특성을 개선하기 이전의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } =0.03 $ 과 차이가 있다고 할 수 있는지를 유의수준 $ 5 \% $ 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 위 검정의 기본 원리에 따라 하면 다음과 같이 요약할 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ H_ { 0 } : \sigma ^ { 2 } =0.03 $ $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 } \neq 0.03 $</li> <li>$ \begin {aligned} \bar { X } &= \frac { 1 } { 10 } (0.3-0.1 + \cdots + 0.1)=0.06 \\ S ^ { 2 } &= \frac { 1 } { 10-1 } \left [(0.3-0.06) ^ { 2 } + (-0.1-0.06) ^ { 2 } + \cdots + (0.1-0.06) ^ { 2 } \right ] \\ &=0.09 \end {aligned} $ 검정통계량 : $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 9 \times 0.09 } { 0.03 } =27 $</li> <li>$ \alpha=0.05 $ 이므로 $ \chi_ { 0.025 } ^ { 2 } (9)=19.02 $ 이거나 $ \chi_ { 0.975 } ^ { 2 } (9)=2.70 $ 이다.</li> <li>$ \chi_ { 0 } ^ { 2 } =27>\chi_ { 0.025 } ^ { 2 } (9)=19.02 $ 이므로 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. 따라서 시험품으로 만든 제품의 품질 특성은 개선하기 이전의 모분산과 차이가 있다고 할 수 있다.</li></ol> <p>일반적으로 모수 $ \theta $ 에 대한 가설을 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>모수 $ \theta $ 에 대한 일반적인 가설의 형태<ol type=1 start=1><li>$ H_{0}: \theta=\theta_{0}\left(\right. $ 또는 $ \left.\theta \leq \theta_{0}\right) $ $ H_{1}: \theta>\theta_{0} $</li> <li>$ H_{0}: \theta=\theta_{0} $ (또는 $ \left.\theta \geq \theta_{0}\right) $ $ H_{1}: \theta<\theta_{0} $</li> <li>$ H_{0}: \theta=\theta_{0} $ $ H_{1}: \theta \neq \theta_{0} $</li></ol></p> <p>①, ②와 같이 귀무가설 $ H_{0} $ 에 대해 대립가설 $ H_{1} $ 이 단측(one-sided)으로 주어질 때의 통계적 가설검정을 단측검정(one-sided test) 또는 한쪽검정이라 하며, 특히 대립가설이 ①과 같은 형태를 취할 때는 우단측검정 또는 상단측검정, ②와 같을 때는 좌단측검정 또는 하단측검정이라 한다. 한편 대립가설이 ③과 같이 양측(two- sided)으로 주어질 때는 양측검정(two-sided test)이라 한다.</p> <p>대립가설의 형태에 따라 기각역도 비슷한 형태를 취하게 되는데 우단측검정일 때는 검정통계량 분포의 우측에, 좌단측검정일 때에는 좌측에, 양측검정인 경우에는 양측에 기각역이 설정된다. 즉 유의수준을 $ \alpha $ 라 하고, $ \hat{\theta} $ 를 가설의 검정통계량이라 할 때 각각의 기각역은 다음과 같다.</p> <p>가설의 형태에 따른 기각역의 형태<ol type=1 start=1><li>우단측검정일 때의 기각역 : $ \hat{\theta}>c_{1} $</li> <li>좌단측검정일 때의 기각역 : $ \hat{\theta}<c_{2} $</li> <li>양측검정일 때의 기각역 : $ \hat{\theta}>c_{3} $ 또는 $ \hat{\theta}<c_{4} $</li></ol></p> <p>여기서 $ c_{1} $ 은 검정통계량 $ \hat{\theta} $ 가 귀무가설하에서 우측확률을 $ \alpha $ 로 갖는 기각값이고, $ c_{2} $ 는 $ \hat{\theta} $ 가 귀무가설하에서 좌측확률을 $ \alpha $ 로 갖는 기각값이다. 또한 $ c_{3} $ 는 우측확률을 $ \alpha / 2 $ 로 갖는 기각값이며, $ c_{4} $ 는 좌측확률을 $ \alpha / 2 $ 로 갖는 기각값이다.</p> <p>지금까지 설명한 것들을 정리하여 통계적 가설검정의 절차를 살펴보면 다음과 같다.</p> <p>통계적 가설검정 절차<ol type=1 start=1><li>귀무가설과 대립가설을 세운다.</li> <li>유의수준 $ \alpha $ 를 결정한다.</li> <li>검정통계량을 계산한다.</li> <li>기각역을 구한다.</li> <li>검정통계량이 기각역 안의 값을 가지면 $ H_{0} $ 를 기각하고, 그렇지 않으면 $ H_{0} $ 를 채택한다.</li></ol></p> <p>한편 앞에서 언급한 바와 같이, 동일한 표본의 동일한 관측값에 대하여 유의수준에 따라 기각역이 다르게 나타날 수 있으며, 따라서 귀무가설 $ H_{0} $ 을 기각시키는가 하면 기각시키지 못하는 경우가 발생할 수 있다. 예를 들어, 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에서 $ H_{0} $ 을 기각하지만 $ \alpha=0.01 $ 에서 $ H_{0} $ 을 기각시키지 못하는 경우가 있다. 이러한 문제를 극복하기 위하여, 검정통계량의 관측값에 기초하여 귀무가설 $ H_{0} $ 을 기각시킬 수 있는 가장 작은 유의수준을 정의한다. 이와 같이 정의된 유의수준을 $ p $-값( $ (p $-value)이라 하며, 이러한 $ p $-값을 이용한 검정방법은 이미 주어진 유의수준 $ \alpha $ 대신에, 어떤 값보다 큰 임의의 유의수준 $ \alpha $ 에 대하여 귀무가설을 기각하고, 그 값보다 작은 임의의 유의수준 $ \alpha $ 에 대하여 귀무가설을 채택하게 되는 값을 이용한다. 따라서 $ p $-값은 귀무가설이 사실이라는 전제 아래서 관찰된 표본으로부터 얻은 결과이기보다는 귀무가설에 대한 모순을 극복할 표본을 얻을 확률, 다시 말해서 표본으로부터 얻은 검정통계량의 값을 초과할 확률을 나타내며, 이 값이 작을수록 $ H_{0} $ 에 대한 신빙성은 떨어진다. 그러나 $ p $-값이 유의수준보다 크면 $ H_{0} $ 에 대한 신빙성이 높아지고 귀무가설을 채택한다. 일반적으로 $ p $-값이 유의수준보다 작으면 $ H_{0} $ 에 대한 신빙성은 떨어지며, 따라서 대립가설 $ H_{1} $ 에 대한 신빙성이 높아진다. 이와 같은 경우에 귀무가설 $ H_{0} $ 을 기각하고 대립가설 $ H_{1} $ 을 채택한다. 반면에 $ p $-값이 유의수준보다 크면 $ H_{0} $ 에 대한 신빙성이 매우 높게 나타나고, 대립가설 $ H_{1} $ 에 대한 신빙성이 약하게 나타난다. 따라서 이 경우에는 $ H_{0} $을 채택하고 $ H_{1} $ 을 기각한다. 그러므로 $ p $-값과 유의수준 $ \alpha $ 에 따른 귀무가설 $ H_{0} $ 의 기각 및 채택은 다음과 같다.</p> <p>대부분의 통계처리용 프로그램에서는 $ p $ 값을 계산하여 출력하며, 이 값을 이용한 검정을 앞에서 설명한 방법과 더불어 자주 사용한다.</p> <p>예제 1 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{25} $ 를 $ N\left(\mu_{0}, 16\right) $ 으로부터 얻은 확률표본이고, $ H_{0}: \mu_{0} $ $ =10 $ 에 대하여 $ H_{1}: \mu_{0}>10 $ 를 검정하기 위하여 표본의 관찰값을 조사한 결과 $ \bar{x}=11.4 $ 를 얻었다고 하자. 그러면 $ \bar{X} \sim N\left(\mu_{0}, 16 / 25\right) $ 이므로</p> <p>$ \begin{aligned} p-\text { 값 } &=P\left(\bar{X} \geq 11.4 \mid \mu_{0}=10\right)=P(Z \geq 1.75) \\ &=1-0.9599=0.0401 \end{aligned} $</p> <p>이다. 그러므로 $ \alpha_{1}=0.01<0.0401<\alpha_{2}=0.05 $ 이므로 유의수준 $ 0.05 $ 에서 $ H_{0} $ 을 기각시킬 수 있으나 유의수준 $ 0.01 $ 에서 $ H_{0} $ 을 기각시킬 수 없다. 그러나 이미 $ p $ 값이 알려져 있다면, 그 값을 이용하여 $ H_{0} $ 의 기각 여부를 판정하는데 사용할 수 있다.</p> <p>이와 같은 $ p $ 값은 특정한 귀무가설이 참이라는 조건 아래서 표본으로부터 계산된 값이므로 추출한 표본으로부터 얻은 자료집단이 좋은지 나쁜지 그리고 귀무가설이 진실로 참인가에 크게 의존한다. 이때 $ p $ 값이 $ 0.01 $ 이하라는 것은 귀무가설이 참인 경우에 귀무가설에 대한 모순을 극복할 표본을 얻을 확률이 $ 0.01 $ 이하임을 의미하고, 따라서 100 번의 표본을 추출하여 얻은 자료집단 중에서 많아야 1 번 정도 귀무가설의 주장을 밑받침할 표본이 얻어짐을 나타낸다.</p> <h1>8.1 가설검정의 기본 원리</h1> <p>모집단으로부터 추출된 표본에 근거하여 모집단에 관한 결정을 내리는 것을 통계적 결정(statistical decision)이라 한다. 통계적 결정은 우선 모집단에 대하여 서로 반대되는 두 개의 가설 가운데 하나를 채택하는 식으로 진행되며, 채택의 기준이 되는 것은 표본 관측치와 표본통계량의 확률분포이다. 통계적인 결정을 하기 위해 세우는 이러한 가설은 참(truth)일 수도 거짓(falsity)일 수도 있다. 가설을 부정할 때 그 가설을 기각(reject)한다고 하며, 부정하지 못할 때 그 가설을 채택(accept)한다고 한다.</p> <p>예를 들어 어떤 회사에서 생산한 전자제품의 평균 사용시간이 10,000 (시간)이라고 주장할 때, 이 주장이 타당성이 있는지 또는 어떤 업체로부터 들어온 부품 로트가 양품인지 불량품인지를 판단하기 위해서는 가설을 세워 검정을 해보아야 한다.</p> <p>일반적으로 가설을 반증적인 방법으로 증명하기 위하여 기각할 것을 바라면서 가설을 세우게 되는데, 이러한 가설을 귀무가설(null hypothesis)이라 하며 $ H_{0} $ 로 표시한다. 귀무가설이라는 용어는 원래 가설검정 연구의 초기단계에서 지어진 이름으로 연구자가 기각되기를 바라는 또는 무효가 되기를 희망하는 가설이라는 데에서 연유된 명칭이다. 귀무가설과 대립되거나 이를 부정하는 가설로서 강력한 증거에 의하여 입증하고자 하는 가설을 대립가설(alternative hypothesis)이라 하며, $ H_{1} $ 으로 표시한다. 즉 귀무가설은 연구자가 모수의 참값이 아니라고 생각하는 값으로 정의하고 반대로 대립가설은 모수가 실제 취하리라고 예상하는 값으로 설정하여 관측된 표본자료를 이용하여 귀무가설을 기각하기를 희망한다고 하겠다.</p> <p>따라서 자신이 입증하고자 하는 가설을 대립가설로 세우고 기각되기를 바라는 가설을 귀무가설로 세운다. 하나의 귀무가설과 대립가설을 설정하여 놓고 이의 참거짓을 결정하려 할 때 그 판단의 기준으로 임의의 표본으로부터 얻은 표본통계량을 사용하게 된다.</p> <p>이와 같이 귀무가설과 대립가설 중 어느 하나를 택하는 데 사용되는 표본통계량을 검정통계량(test statistic)이라 한다. 검정통계량의 값에 따라 귀무가설 $ H_{0} $ 를 기각하든지 또는 채택하든지를 결정하게 되므로, $ H_{0} $ 를 기각하게 되는 검정통계량값의 영역을 기각역(rejection region or critical region)이라 한다. 반대로 채택하게 되는 검정통계량값의 영역을 채택역(acceptance region)이라 한다.</p> <p>가설의 기각역 또는 채택역은 유의수준을 어떻게 취하느냐에 따라 다르게 된다. 이상으로부터 통계적 가설검정(testing a statistical hypothesis)이란 모집단의 모수값이나 확률분포에 대하여 어떤 가설을 설정하고 이 가설의 참거짓 여부를 표본통계량에 의해 확률적으로 확정하여 통계적 결정을 내리는 것이다.</p> <h2>8.1.1 제1종 오류와 제2종 오류</h2> <p>모수에 대한 추정과정과 마찬가지로 가정된 모수값의 참과 거짓을 퐌정하는 가설검정과정 또한 한정된 표본정보를 기초로 이루어지므로 그 결과는 항상 오류가 발생할 가능성을 안고 있다. 가설검정결과를 나누어보면 귀무가설이 참인 경우에 이를 채택하거나 기각하는 두 가지의 결정이 있고, 귀무가설이 거짓인 경우에 이를 채택하거나 기각하는 두 가지 결정이 있다. 따라서 가설검정에는 두 가지 오류를 범할 수 있는데, 귀무가설이 참임에도 불구하고. 귀무가설을 기각함으로써 발생되는 오류를 제 1종 오류(type I error)라 하고, 제 1종 오류를 범할 확률의 최대 허용한계를 유의수준(significance level) 또는 위험률(critical rate)이라 하며 $ \alpha $ 로 표시한다.</p> <p>또한 귀무가설이 거짓임에도 불구하고. 귀무가설을 채택함으로써 발생되는 오류를 제 2종 오류(type II error)라 하며, 제 2종 오류를 범할 확률을 $ \beta $ 로 나타낸다.</p> <p>제 1종 오류와 제 2종 오류를 동시에 줄이는 검정이 바람직한 검정법이지만 표본의 크기가 고정되어 있을 때 제 1종 오류를 줄이면 제 2종 오류가 커지게 되므 로, 이런 경우 두 종류의 오류를 줄이기 위해서는 표본의 크기 $ n $ 을 크게 해야 한</p> <p>다. 그러나 이 경우에는 동시에 증대되는 비용 문제가 고려되어야 하므로, 두 개의 오류 가운데 어느 것에 우선적인 배려를 해야 하는지에 관한 판단기준 설정이 필요하게 된다. 전통적으로 기각되기를 희망하는 가설을 귀무가설로 설정하고 이 때 희망대로 기각할 수 있는 기각역을 선정하는 것이 고전적인 가설검정의 방법이며, 따라서 통계적 가설검정에서는 유의수준 $ \alpha $ 를 고정시키고, 제 2종 오류를 범할 확률을 최소가 되도록 하는 것이 보통이다. 이 방법은 귀무가설이 실제로는 사실인데도 불구하고 이를 기각하게 될 위험수준을 중요시하여 제 1종 오류수준을 먼저 임의 선정한 뒤 $ \beta $ 의 크기를 고려한다는 것이다. 이러한 가설검정방법론은 귀무가설이 기각되기를 기대하는 의지를 대변하도록 하여 통상적으로 대립가설이 채택되기를 기대한 데서 기인한다.</p> <p>그러나 제 1종 오류의 수준을 나타내는 $ \alpha $ 값은 연구자가 사실인 귀무가설을 부당하게 기각하는 가능성을 대변하는 것이며, 이 가능성은 상당히 중요한 의미를 가질 수도 있다. 예를 들어 "새로 개발된 암 치료약이 유해하다"는 귀무가설을 선정하였고, 또 그것이 사실임에도 불구하고 귀무가설이 기각되기를 기대하는 욕심에서 기각역을 넓게 선정하여 이를 기각했다고 하자. 이는 이 약이 실제로는 유해한 것인데도 불구하고 무해하다고 하고, 나아가서는 암 치료에 효능이 있다는 대립가설을 채택하였다는 의미가 된다. 이러한 결과가 인명에 미치는 가공할만한 결과를 상상해보면 $ \alpha $ 수준의 중요성은 이해될 수 있을 것이다. 따라서 $ \alpha $ 수준은 일반적으로 $ 5 \% $ 이하의 작은 값으로 설정되는 것이다.</p> <p>그러면 $ \alpha $ 값이 먼저 선정되든 아니면 $ \beta $ 와 동시에 고려되어 선정되든 $ \alpha $ 값이 저수준의 값을 갖게 되는 상황에서 어떻게 하면 $ \beta $ 값을 최소화할 수 있는 기각역을 선정할 수 있을 것인가? 이 문제의 해결은 귀무가설이 허위일 때 이를 제대로 기각할 수 있는 힘을 측정할 수 있는 고위 검정력함수를 이용하여 달성할 수 있다. 일반적으로 대립가설은 복합가설이므로 대립가설이 참일 때는 하나의 확정된 $ \beta $ 값이 존재하지 않으며, 따라서 $ \beta $ 는 고정된 값이 아니다. $ \beta $는 모수의 함수관계로 표시할 수 있으며, 특히 $ (1-\beta) $를 검정력함수(power function)라 하고 $ \gamma $ 로 표시한다. 여기서 POWER는 거짓인 귀무가설을 제대로 기각할 수 있는 능력이라는 의미를 갖는다. 검정력함수의 값을 검정력(power)이라 하는데, 이것은 귀무가설이 틀린 경우에 이를 기각하는 확률이 된다.</p> <h1>8.4 모분산의 검정</h1> <p>모평균 $ \mu $ 를 알 때와 모를 때로 나누어서 모분산의 검정에 대하여 살펴보자.</p> <h2>8.4.1 모평균 $ \mu $ 를 알 때의 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 의 검정</h2> <p>귀무가설 $ H_ { 0 } : \sigma ^ { 2 } = \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 을 검정한다고 할 때 이 검정을 모분산의 검정이라고 한다. 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 검정에서는 추정량으로 $ \chi ^ { 2 } $ 통계량을 이용하는데, 이를 위해서는 $ \chi ^ { 2 } $ 통계량의 분포를 알아야 한다.</p> <p>정규모집단 $ N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 에서 모평균 $ \mu $ 를 알고 있을 때, $ \chi ^ { 2 } $ 통계량</p> <p>$ \chi ^ { 2 } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } $</p> <p>은 자유도가 $ n $ 인 카이제곱분포를 한다. 그러므로 귀무가설이 참이라는 가설하에 얻은 검정통계량을 이용하여 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 검정법을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>모평균이 알려진 경우 모분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 에 대한 검정법<ol type=1 start=1><li>귀무가설 설정 $ -H_ { 0 } : \sigma ^ { 2 } = \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $</li> <li>검정통계량 $ - \chi_ { 0 } ^ { 2 } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } {\sigma_ { 0 } ^ { 2 } } $</li> <li>가설검정 $ -H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 } >\sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \geq \chi_ {\alpha } ^ { 2 } (n) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 }< \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \leq \chi_ { 1- \alpha } ^ { 2 } (n) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다. $ H_ { 1 } : \sigma ^ { 2 } \neq \sigma_ { 0 } ^ { 2 } $ 일 때 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 } \geq \chi_ {\frac {\alpha } { 2 } } ^ { 2 } (n) $ 이거나 $ \chi_ { 0 } ^ { 2 }< \chi_ { 1- \frac {\alpha } { 2 } } ^ { 2 } (n) $ 이면 $ H_ { 0 } $ 를 기각한다.</li></ol></p> <p>예제 1 에서 표본크기가 일정할 때 왜 $ \alpha $ 를 줄이면 $ \beta $ 가 증가하게 되고 $ \beta $ 를 줄이면 $ \alpha $ 가 증가하게 되는지를 알아보자.</p> <p>$ \alpha $ 를 $ 0.05 $ 에서 $ 0.10 $ 으로 증가시키면 $ \beta $ 를 줄일 수 있게 된다. 이 경우 $ 979.5 \leq \bar{X} \leq 1020.5 $ 이면 귀무가설을 채택하게 되는데, 만약 참값을 $ \mu=970 $ 이라고 하면 $ \beta(970)=0.2236 $ 으로 $ \alpha=0.05 $ 를 사용했을 때의 $ \beta(970)=0.3300 $ 보다 작아졌다. 같은 방법으로 다른 $ \mu $ 값들에 대하여 조사해보면 같은 사실을 확인할 수 있다. 즉 $ \alpha $ 를 증가시킬수록 좁은 채택역을 갖게 되고 검정을 더욱 강력하게 할 수 있다. 그렇다고 $ \alpha $ 를 너무 크게 할 수는 없을 것이다.</p> <p>이제 $ \alpha=0.05 $ 로 다시 줄이고 참값이 $ \mu=970 $ 일 때 $ n $ 을 9에서 36 으로 증가 시켜보면 $ \beta $ 는 $ 0.2236(\mu=970, n=0, \alpha=0.05) $ 에서 $ 0.0023(\mu=970, n=36, \alpha= 0.05) $ 으로 감소했다. 그러나 대부분의 경우 표본의 크기를 늘리면 많은 비용과 샘플링비용을 부담해야 하므로 잘못된 결정을 했을 때 드는 비용과 시간이 상쇄 될 수 있는지 또는 어느 한쪽이 손실을 보게 되는지를 잘 고려해야 한다.</p> <p>예제 2 어느 제조회사에서 생산되는 특별한 제품은 공정온도 $ 100^{\circ} \mathrm{C} $ 에서 만들어지며, 이때 제품 강도는 정규분포 $ N(60,4) $ 에 따른다고 알려져 있다(단위는 $ \mathrm{Pa} / \mathrm{cm}^{2} $ 이다). 한편 공정온도를 변화시키면서 생산하였더니, 강도의 표준편차는 변화가 없으나 평균 강도에 변화가 생겼다. 공정온도의 변화에 따라 평균 강도에 차이가 있는지 20 개의 제품을 임의로 추출하여 측정한 결과 평균 강도가 $ 61.1 \mathrm{~Pa} / \mathrm{cm}^{2} $ 이었다. 공정 온도가 변함에 따라 이 회사에서 생산되는 제품의 평균 강도가 달라지는지 유의수준 $ 5 \% $ 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 이를 알기 위하여 검정하는 순서에 따라 다음과 같이 검정을 수행한다.</p> <p>(1) 귀무가설 $ H_{0}: \mu=60 $ 에 대한 대립가설 $ H_{1}: \mu \neq 60 $ 을 설정한다.</p> <p>(2) 모표준편차가 $ \sigma=2 $ 이므로 모평균에 대한 겁정통계량과 그의 분포는 다음과 같다.</p> <p>$ Z=\frac{\bar{X}-60}{2 / \sqrt{20}} \sim N(0,1) $</p> <p>(3) 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에 대한 양측검정의 임계값은 $ z_{0.025}=1.96 $ 이고, 따라서 기각역은 $ R: Z \leq-1.96 $ 또는 $ R: Z \geq 1.96 $ 이다.</p> <p>(4) 표본으로부터 얻은 표본평균이 $ \bar{x}_{0}=61.1 $ 이므로 겁정통계량의 관찰값은</p> <p>$ z_{0}=\frac{61.1-60}{2 / \sqrt{20}}=2.46>1.96 $</p> <p>이고, 이 관찰값은 기각역 안에 들어가므로 거무가설을 기각한다. 따라서 유의수준 $ \alpha=0.05 $ 에서 겁정한 결과, 온도의 변화에 따라 평균 강도가 달라진다고 할 수 있다. 한편 $ H_{0} $ 을 기각할 수 있는 최소한의 유의수준인 $ p $-값은</p> <p>$ 2 \cdot P\left(Z>z_{0}\right)=2 \cdot P(Z>2.46)=2 \cdot(0.0778)=0.0138 $</p> <p>인데 이 값은 유의수준 $ 0.05 $ 보다 적으므로 거무가설을 기각한다.</p>	자연
	<h2>3.1. Three-class 진단방법의 확장</h2> <p>Foucher 등 (2010)는 원인별 위험 함수 $ \lambda_{j}(t \mid x) $ 를 직접적으로 이용하여 누적 민감도와 다이나믹 특이도를 유도 하였다. 마커에 대한 비례 회귀모형을 적용하여, 원인 $ j $ 에 대한 생존 함수는 $ S_{j}(t \mid x)=S_{0 j}(t)^{\exp \left(\alpha_{j}^{\prime} X\right)} $로 정의된다. 여기서 회귀계수 $ \alpha_{j} $ 를 추정하기 위해 다른 원인에 의한 모든 사건 발생은 중도 절단으로 간주하게 된다. 이에 통해 구한 $ z_{j}=\hat{\alpha}_{j}^{\prime} X $ 를 마커로 이용한 누적 민감도와 다이나믹 특이도를 다음과 같이 유도하였다.</p> <p>$ \operatorname{Se}_{2}^{\mathrm{CR}}(c, t)=\frac{\int_{c}^{\infty}\left(1-S_{j}\left(t \mid z_{j}\right)\right) g_{j}\left(z_{j}\right) d z_{j}}{\int_{-\infty}^{\infty}\left(1-S_{j}\left(t \mid z_{j}\right)\right) g_{k}\left(z_{j}\right) d z_{j}}, \quad \mathrm{Sp}_{2}^{\mathrm{CR}}(c, t)=\frac{\int_{c}^{\infty}\left(S_{j}\left(t \mid z_{j}\right)\right) g_{j}\left(z_{j}\right) d z_{j}}{\int_{-\infty}^{\infty}\left(S_{j}\left(t \mid z_{j}\right)\right) g_{j}\left(z_{j}\right) d z_{j}} $<caption>(3.2)</caption></p> <h2>3.2. Inverse probability censoring weighting (IPCW) 방법의 적용</h2> <p>Blanche 등 (2013b)은 경쟁 사건에 대한 표본 편이를 고려하기 위해 다음 두 가지 시간 가변 다이나믹 특이도를 정의한다.</p> <p>$ \mathrm{Sp}_{\mathrm{IPCW}}^{\mathrm{CR}, }(c, t)=\operatorname{Pr}(X \leq c \mid T>t) $<caption>(3.3)</caption></p> <p>$ \operatorname{Sp}_{\mathrm{IPCW}}^{\mathrm{CR}}(c, t)=\operatorname{Pr}(X \leq c \mid\{T>t \cup\{T \leq t, \eta \neq 1\}\}) $<caption>(3.4)</caption></p> <p>여기서 식 (3.3)과 (3.4)의 차이는 경쟁 사건에 대한 처리에 있다. $ t $ 시간 전에 발생된 경쟁 사건을 식 (3.3)에서는 대조군(control)으로 고려하지 않는 반면에, 식 (3.4)에서는 위험그룹으로 인식함으로써 대조군 그룹에 포함시키게 된다. 다만 경쟁 사건 발생시점에 따라 가중치를 부여함으로써 위험그룹의 기여도가 시간에 따라 변화도록 한다. 위 두 가지 특이도에 따라 AUC 추정량은 다음과 같이 두 가지로 표현된다.</p> <p>$ \operatorname{AUC}_{\mathrm{IPCW}}^{C R, }(t)=\operatorname{Pr}\left(X_{i}>X_{l} \mid T_{i} \leq t, \eta_{i}=1, T_{l}>t\right) $<caption>(3.5)</caption></p> <p>$ \mathrm{AUC}_{\mathrm{IPCW}}^{C R}(t)=\operatorname{Pr}\left(X_{i}>X_{l} \mid T_{i} \leq t, \eta_{i}=j,\left\{T_{l}>t \cup\left\{T_{l} \leq t, \eta \neq j\right\}\right\}\right) $<caption>(3.6)</caption></p> <p>식 (3.2)에 기반하여 구한 $ \mathrm{AUC}^{\mathrm{CR}}(t) $ 의 의미는 $ t $ 시점에 원인 $ j $의 사건을 가진 환자와 $ t $시점까지 원인 $ j $의 사건을 가지지 않은 환자를 구분하는 확률로 해석된다. 반면에, 식 (3.3)과 (3.4)을 이용한 $ \mathrm{AUC}_{\mathrm{IPCW}}^{\mathrm{CR}}(t) $와 $ \mathrm{AUC}_{\mathrm{IPCW}}^{\mathrm{CR}}(t) $에 대한 해석은 $ t $시점에서 원인 $ j $를 가진 환자와 어떤 사건도 경험하지 않은 환자를 구분하는 확률로 해석된다.</p> <p>만약 마커가 경쟁 사건 발생 확률에 영향을 주는 경우, 위에서 정의된 식 (3.3)과 (3.4)는 매우 다른 결과를 가지게 된다. 마커와 관련된 중도절단의 영향력을 반영하기 위해 Blanche 등 (2013b)은 누적 민감도와 두 가지 유형의 다이나믹 특이도를 제안하였다.</p> <p>$ \widehat{\operatorname{Se}}(c, t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} \delta_{i} \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right) I\left(X_{i}>c, T_{i}^{} \leq t, \eta_{i}=j\right)}{\sum_{i=1}^{n} \delta_{i} \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right) I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i}=j\right)} $,</p> <p>$ \widehat{\mathrm{Sp}^{}}(c, t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} I\left(X_{i} \leq c, T_{i}^{}>t\right)}{\sum_{i=1}^{n} I\left(T_{i}^{}>t\right)} $</p> <p>$ \widehat{\operatorname{Sp}}(c, t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} I\left(X_{i} \leq c\right)\left(I\left(T_{i}^{}>t\right) \widehat{W}(t)+I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i} \neq\{0, j\}\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)\right)}{\sum_{i=1}^{n} I\left(T_{i}^{}>t\right) \widehat{W}(t)+I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i} \neq\{0, j\}\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)} $.</p> <p>해당 AUC 추정량을 다음과 같이 유도할 수 있다.</p> <p>$ \widehat{\mathrm{AUC}}^{, \mathrm{CR}_{C}}(t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} I\left(X_{i}>X_{j}\right), I\left(T_{i}^{} \leq t, T_{j}^{}>t, \eta_{i}=j\right) \frac{\delta_{i}}{n^{2} S_{C}\left(T_{i}^{}\right) S_{C}(t)}}{\left\{\sum_{i=1}^{n} I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i}=j\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)\right\}\left\{\sum_{j=1}^{n} I\left(T_{j}^{}>t\right) \widehat{W}(t)\right\}} $,<caption>(3.7)</caption></p> <p>$ \widehat{\operatorname{AUC}^{\mathrm{CR}}{ }_{C}}(t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} I\left(X_{i}>X_{j}\right), I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i}=j\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)\left(I\left(T_{j}^{}>t\right) \widehat{W}(t)+I\left(T_{j}^{}<t, \eta_{j} \neq\{0, j\}\right) \widehat{W}\left(T_{j}^{}\right)\right)}{\left\{\sum_{i=1}^{n} I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta_{i}=j\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)\right\}\left\{\sum_{j=1}^{n} I\left(T_{j}^{}>t\right) \widehat{W}(t)+I\left(T_{i}^{} \leq t, \eta \neq(0, j)\right) \widehat{W}\left(T_{i}^{}\right)\right\}} $<caption>(3.8)</caption></p> <p>여기서 $ \widehat{W}(t)=1 / \hat{S}_{C}(t) $로 정의된다.</p> <h1>3. 경쟁 위험 모형에서 receiver operating characteristics (ROC) 곡선 추정</h1> <p>일반적인 우중도 절도 생존 자료는 이항 자료(사건 발생 여부)와 사건 발생 시간의 결합 자료로 이해할 수 있다. 이항 자료의 확장으로 경쟁 위험 모형(competing risk model)은 사건 발생 시간과 그 사건 발생의 원인을 다항 자료로 표현할 수 있다. 만약 관심 사건 외의 모든 사건을 중도 절단으로 간주할 경우 중도 절단 사건과 관심 사건의 독립성이 위배되며 이는 편이된 추정 결과를 가져올 수 있다. 예를 들어, 노년층을 대상으로 치매 발병이 관심 사건인 경우 사망 사건은 중도 절단 사건으로 간주하기 보다는 경쟁 사건으로 분석되어진다. 즉, 이른 시점에 사망할 경우 치매를 경험할 수 있는 상태에 이르지 못하는 반면 오랫동안 생존하는 사람은 치매 위험에 상대적으로 노출될 수 기간이 더 길어지게 된다. 따라서 위험 노출에 대한 편이를 보정하기 위한 방법이 적절하게 고려될 필요가 있으며 역확률 중도 절단 가중치(IPCW)를 이용한 회귀 모형 (Fine과 Gray, 1999)이 널리 적용되고 있다. 경쟁 위험 모형에서도 마커 또는 모형의 예측력을 평가하기 위한 여러 가지 방법론이 제안되었다. 경쟁 위험 모형은 다단계 모형의 한 가지 유형으로 간주할 수 있는데 일반적인 우중도 절단 생존모형이 0 (생존) $ \rightarrow 1 $ (사망)의 모형이라면 경쟁위험 모형은 마지막 흡수 상태(absorbing state)가 여러 가지 원인을 가지는 사망으로 간주될 수 있을 것이다. 이러한 개념을 확장하여 Foucher 등 (2010)은 두 가지 경쟁 사건(사망, 치매)에 대해 3개의 그룹으로 분류한 후 ROC 곡선을 적용하였다. Blanche 등 (2013b)은 Uno 등 (2000)과 Hung과 Chiang (2010)이 제안한 IPCW에 기반한 ROC 곡선 추정량을 경쟁 위험 모형으로 확장하였다.</p> <p>경쟁 위험 모형의 관측 자료는 $ \left\{\left(\tilde{T}_{i}, \delta_{i}, \eta_{i}, X_{i}\right), i=1, \ldots, n\right\} $ 로 구성된다. 여기서 $ \eta_{i} $는 경쟁 위험의 원인에 대한 지시함수로 $ K $ 개의 경쟁 사건에 대해 $ \{1,2, \ldots, K\} $ 의 값을 가진다. 여기서 주 관심사건이 $ \eta_{i}=1 $ 일 때, 누적 민감도 (1.1) 은 다음과 같이 재정의된다.</p> <p>$ \mathrm{Se}_{k}^{\mathrm{CR}}(c, t)=\operatorname{Pr}(X>c \mid T \leq t, \eta=1) $</p> <p>위 통계량의 추정량을 구하기 위해 다음의 원인 별 누적 발생 함수(cumulative incidence function)가 적용된다.</p> <p>$ C_{j}(t)=\operatorname{Pr}(T \leq t, \eta=j), \quad j=1,2, \ldots, K, \quad \lim _{t \rightarrow \infty} \sum_{j=1}^{K} C_{j}(t)=1 $</p> <p>관심 사건이 $ \eta=1 $로 표시될 때, Sara와 Heagerty (2010)는 사건 별 누적 민감도를 다음과 같이 유도하였다.</p> <p>$ {\widehat{\mathrm{Se}_{1}}}_{1}^{\mathrm{CR}}(c, t)=P(X>c \mid T \leq t, \eta=1)=\frac{\int_{c}^{\infty} \hat{C}_{1}(t \mid X=u) g_{X}(u) d u}{\int_{-\infty}^{\infty} \hat{C}_{1}(t \mid X=u) g_{X}(u) d u} $,<caption>(3.1)</caption></p> <p>여기서 $ g_{X}(\cdot) $는 마커 $ X $의 확률 밀도 함수(pdf) 이며 $ \widehat{C}_{j}(t \mid X=m) $ 는 다음과 같이 추정된다.</p> <p>$ \widehat{C}_{j}\left(t \mid X=x_{i}\right)=\sum_{s \leq t} \hat{S}\left(s \mid X=x_{i}\right) \hat{\lambda}_{j}\left(s \mid X=x_{i}\right) $</p> <p>여기서 $ \hat{\lambda}_{j}(s \mid x) $는 원인별 위험 함수(cause-specific hazard function)를 의미한다.</p> <p>$ \widehat { C } (t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } I \left (T_ { i }<T_ { j } \right ) N_ { i } (t) I \left (M_ { n } \left (t, Z_ { i } \right )>M_ { n } \left (t, Z_ { j } \right ) \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } I \left (T_ { i }<T_ { j } \right ) N_ { i } (t) } , \quad N_ { i } (t)=I \left (T_ { i } \leq t \right ) \delta_ { i } $,</p> <p>여기서 $ C(t) $ 는 $ t $ 시점에서 랜덤하게 선택된 두 사람의 마커값의 순위와 사건 발생 시점의 순위의 일치쌍(concordance)의 비율을 의미한다 (Harrell 등, 1996). 따라서 $ \mathrm { AUC } (t) $와 마찬가지로 1에 가까울수록 높은 마커 값을 가진 환자가 더 빠른 발생 시점을 가짐을 의미하게 된다. 중도 절단 독립성이 위배되는 경우를 반영하기 위해 $ C ^ {\mathrm { IPCW } } (t) $와 $ C ^ {\mathrm { CIPCW } } (t) $가 각각 다음과 같이 유도되었다 (Gerds 등, 2013).</p> <p>$ \widehat { C } ^ {\mathrm { IPCW } } (t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } I \left (T_ { i }<T_ { j } \right ) N_ { i } (t) I \left (M_ { n } \left (t, Z_ { i } \right )>M_ { n } \left (t, Z_ { j } \right ) \right ) \frac { 1 } { S_ { C } \left (T_ { i } \right ) S_ { C } \left (T_ { j } \right ) } } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } I \left (T_ { i }<T_ { j } \right ) N_ { i } (t) \frac { 1 } { S_ { C } \left (T_ { i } \right ) S_ { C } \left (T_ { j } \right ) } } $,</p> <p>$ {\widehat {\operatorname { Se } _ {\mathrm { CD } } } } ^ { C } (c, t)= \frac {\sum_ { k=1 } ^ { m(t) } I \left (X_ { k } >c \right ) \left ( \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k-1 } \right )- \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k } \right ) \right ) } { 1- \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { m(t) } \right ) } $</p> <p>$ \widehat {\mathrm { Sp } } _ {\mathrm { CD } } ^ { D } (c, t)= \frac {\widehat { F } _ { X } (c)- \sum_ { k=1 } ^ { m(t) } I \left (X_ { k } \leq c \right ) \left ( \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k-1 } \right )- \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k } \right ) \right ) } {\hat { S } \left ( \tilde { s } _ { m(t) } \right ) } $<caption>(2.4)</caption></p> <h2>2.3. Uno et al. (2007) and Hung and Chiang (2010) estimator</h2> <p>Uno 등 (2007)과 Hung과 Chiang (2010)이 제안한 편이 추출을 보정하기 위한 역확률 중도 절단 가중(inverse probability censoring weighting, IPCW)방법은 생존 함수에서 편이 표본(biased sampling) 또는 중도 절단과 관심 사건의 독립성이 위배되는 경우, 예를 들어, 경쟁 위험 모형과 재발 사건 자료의 종속 절단(induced dependent censoring)에 적용되어 왔다. IPCW 의 주요 개념은 관측 확률로 중도 절단 되지 않을 확률을 가중치로 사용함으로써 표본 편이를 보정하고자 하는 것이다. 식 (2.1)의 Naive 추정량을 확장하여 누적 민감도와 다이나믹 특이도를 다음과 같이 유도할 수 있다.</p> <p>$ \widehat {\operatorname { Se } } _ {\mathrm { IPCW } } ^ { C } (c, t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\delta_ { i } } { n \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \right ) } I \left (X_ { i } >c, T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\delta_ { i } } { n \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \right ) } I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) } $</p> <p>$ \widehat {\mathrm { AUC } } ^ {\mathrm { IPCW } } (t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i } I \left (X_ { i } >X_ { j } \right ), I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t, T_ { j } ^ { * } >t \right ) \frac {\delta_ { i } } { n ^ { 2 } \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \right ) \hat { S } _ { C } (t) } } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i } I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) I \left (T_ { j } ^ { * } >t \right ) \frac {\delta_ { i } } { n ^ { 2 } \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \right ) \hat { S } _ { C } (t) } } $.</p> <p>하지만 지금까지 설명한 어떤 AUC 추정량도 마커 종속 중도 절단(marker dependent censoring)을 고려하지는 못하였다. 이를 위해 Blanche 등 (2013)은 중도 절단 조건부 생존 함수 추정량을 구하기 위해 마커값을 공변량으로 하는 회귀모형을 이용하였다. Cox의 비례 위험 모형, Aalen의 가법 모형이 적용되거나 비모수 스무딩 기법을 적용하여 추정될 수 있다. 이렇게 구한 $ \hat { S } _ { C } (t \mid X) $는 민감도, 특이도 그리고 $ \mathrm { AUC } $에 대해 다음과 같이 적용된다.</p> <p>$ {\widehat {\operatorname { Se } _ {\mathrm { CIPCW } } } } ^ { (c, t) } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\delta_ { i } } { n \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \mid X_ { i } \right ) } I \left (X_ { i } >c, T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\delta_ { i } } { n \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \mid X_ { i } \right ) } I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) } $</p> <h1>2. 우중도 절단 자료에서 $ \mathrm{ROC} $ 곡선 추정</h1> <p>전향 연구를 통해 구해지는 생존 분석 자료에서 가장 흔히 발생되는 우중도 절단 자료를 고려해보자. $ n $명의 관측 개체 중 $ i $번째 관측 개체에 대해 분석할 자료는 다음과 같다.</p> <p>$ \left\{\left(T_{i}^{}, \delta_{i}, X_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n\right\} $</p> <p>여기서 $ T_{i}^{}=\min \left(C_{i}, T_{i}\right) $이며 $ T_{i} $는 관심 있는 사건의 발생 시간을 $ C_{i} $는 중도 절단 시간을 의미한다. $ \delta_{i}= I\left(T_{i}<C_{i}\right) $는 중도 절단 지시 함수이며 마커 값은 $ X_{i} $로 표시된다. 우중도 절단은 관심 있는 사건과 독립적으로 발생한다고 가정하거나 공변량이 주어진 경우, 조건부 독립을 가정한다. 생존 분석의 특성 상, 위에서 정의된 세 가지 유형의 민감도와 특이도 정의에서 누적 민감도와 다이나믹 특이도가 가장 많이 적용된다. 즉, $ t $시점 까지 사건을 경험한 사례군(case)은 아직 사건을 경험하지 못한 대조군(control)보다 더 높은 마커값을 가질 것이라 기대된다. 식(1.1)에 정의된 조건부 확률을 이용하여 누적 민감도, 다이나믹 특이도와 해당 시간 가변 AUC에 대한 Naive 추정량은 다음과 같다.</p> <p>$ {\widehat{\mathrm{Se}_{N}}}^{C}(c, t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} \delta_{i} I\left(X_{i}>c, T_{i}^{} \leq t\right)}{\sum_{i=1}^{n} \delta_{i} I\left(T_{i}^{} \leq t\right)} $,</p> <p>$ {\widehat{\mathrm{Sp}_{N}}}^{D}(c, t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} I\left(X_{i} \leq c, T_{i}^{}>t\right)}{\sum_{i=1}^{n} I\left(T_{i}^{}>t\right)} $,</p> <p>$ \operatorname{AUC}^{\text {Naive }}(t)=\frac{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \delta_{i} I\left(X_{i}>X_{j}\right) I\left(T_{i}^{} \leq t, T_{j}^{}>t\right)}{\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \delta_{i} I\left(T_{i}^{} \leq t\right) I\left(T_{j}^{}>t\right)} $<caption>(2.1)</caption></p> <p>식 (2.1)에서 제시된 누적 민감도 추정량은 중도 절단률이 증가할수록 편이된 추정량을 가져올 수 있다. 예를 들어, $ t $시점의 누적 민감도 계산에서, $ t $시점 전에 중도 절단된 관측개체 $ i\left(C_{i}<t\right) $의 사건 발생 시간 $ T_{i} $는 알려져 있지 않으며 대신 $ C_{i}<T_{i} $라는 정보만을 가지게 된다. 따라서 $ t $가 증가할수록 무시되어지는 중도 절단 자료의 비율은 점점 더 커지게 된다. 하지만 중도 절단 자료를 누적 민감도 계산에서 완전히 제외시키는 것은 표본의 편이성(biased sampling)을 가져오게 된다. 따라서 이러한 관측 자료의 불완전성을 보정하기 위해 여러 가지 방법들이 제안되었다. Heagerty 등 (2000)이 제시한 Kaplan-Meier를 이용한 방법과 비모수 이변량 분포함수를 이용한 방법, Chambles와 Diao (2006)가 제시한 재귀(recursive)방법에 의해 재계산된 위험 그룹을 이용한 방법, Uno 등 (2007)과 Hung과 Chiang (2010)이 제안한 편이 추출을 보정하기 위한 역확률 중도 절단 가중(inverse probability censoring weighting, IPCW)방법이 있다. 다음 절에서 이들 방법들을 간략하게 요약하고자 한다.</p> <h2>2.1. Kaplan-Meier based estimator: Heagerty et al. (2000)</h2> <p>중도 절단 자료의 영향력을 반영하기 위해 카플란 마이어 추정량을 이용하여 구한 누적 민감도와 다이나믹 특이도의 추정량은 다음과 같다.</p> <p>$ \widehat{\mathrm{Se}}_{H, 1}^{C}(c, t)=\frac{[1-\hat{S}(t \mid X>c)]\left(1-\widehat{F}_{X}(c)\right)}{1-\hat{S}(t)}, \quad \widehat{\mathrm{Sp}}_{H, 1}^{C}(c, t)=\frac{\hat{S}(t \mid X \leq c) \widehat{F}_{X}(c)}{\hat{S}(t)} $.<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 $ \widehat{F}_{X} $는 마커 $ X $의 분포함수이며 $ \hat{S}(t) $는 주변(marginal) 생존 함수의 Kaplan-Meier 추정량이다. 마커 값의 영향력을 반영하기 위해 주어진 $ c $를 이용하여 $ X>c $ 또는 $ X \leq c $를 만족하는 두 그룹에 대해 조건부 (conditional) 생존 함수의 Kaplan-Meier 추정량 $ \hat{S}(t \mid X>c) $와 $ \hat{S}(t \mid X \leq c) $을 각각 구하게 된다. 하지만 식 (2.2)는 중도 절단이 마커와 연관된 경우에 편이 추정량을 가져오게 되며 이러한 마커 종속 중도 절단(marker dependent censoring)은 임상 연구에서 매우 흔히 발생된다. 위 추정량의 더욱 심각한 단점은 고정된 시점 $ t $에서 변화되어지는 $ c $값에 대해 $ \widehat{\mathrm{Se}}_{H, 1}^{C}(c, t) $와 $ \widehat{\mathrm{Sp}}_{H, 1}^{D}(c, t) $가 단조성을 보장하지 못하는 경우가 발생하게 되며 이는 $ \mathrm{ROC}(t) $ 가 $ [0,1] \times[0,1] $ 범위를 벗어나는 결과를 가져오게 된다. 이러한 비단조성(non-monotonicity)은 조건부 생존 함수 추정량 $ \hat{S}(t \mid X>c) $와 $ \hat{S}(t \mid X \leq c) $ 계산에 적용될 관측 개체 $ (X>c $ 또는 $ X \leq c) $들이 $ c $값에 따라 변하기 때문이다. Heagerty 등 (2000)은 이러한 단점을 극복하기 위해 Akritas (1987) 에 의해 제안된 비모수 스무딩 기법을 이용한 가중 카플란 마이어 함수(weighted Kaplan-Meier)를 제안하였다.</p> <p>$ \hat{S}_{\lambda}(t \mid x)=\prod_{s \leq t}\left(1-\frac{\sum_{j} K_{\lambda}\left(x, x_{j}\right) I\left(T_{j}=s\right) \delta_{j}}{\sum_{j} K_{\lambda}\left(x, x_{j}\right) I\left(T_{j} \geq s\right)}\right) $,</p> <p>여기서 $ K_{\lambda}\left(x, x_{j}\right) $는 스무딩 모수 $ \lambda $에 의해 조정되는 커널 함수 $ K_{\lambda}\left(x, x_{j}\right)=I\left(-\lambda \leq \widehat{F}_{X}(x)-\widehat{F}_{X}\left(x_{j}\right)<\lambda\right) $이며 이를 이용한 누적 민감도와 다이나믹 특이도의 추정량은 다음과 같았다.</p> <p>$ {\widehat{\mathrm{Se}_{H, 2}}}^{C}(c, t)=\frac{\left(1-\widehat{F}_{X}(c)\right)-\hat{S}_{\lambda}(c, t)}{1-\hat{S}_{\lambda}(t)}, \quad{\widehat{\mathrm{Sp}_{H, 2}}}^{D}(c, t)=1-\frac{\hat{S}_{\lambda}(c, t)}{\hat{S}_{\lambda}(t)} $,<caption>(2.3)</caption></p> <p>$ \hat{S}_{\lambda}(t)=\hat{S}_{\lambda}(-\infty, t) $ 이며 식 (2.2)와 식 (2.3)과 관련된 $ \mathrm{AUC} $를 각각 $ \mathrm{AUC}^{\mathrm{KM}}(t) $와 $ \mathrm{AUC}^{\mathrm{NNE}}(t) $라 하며 survivalROC 패키지를 이용하여 구할 수 있다.</p> <p>$ {\widehat {\mathrm { Sp } _ {\mathrm { CIPCW } } } } ^ { D } (c, t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } I \left (X_ { i } \leq c, T_ { i } ^ { * } >t \right ) \frac { 1 } { n \hat { S } _ { C } \left (t \mid X_ { i } \right ) } } {\sum_ { i=1 } ^ { n } I \left (T_ { i } ^ { * } >t \right ) \frac { 1 } { n \hat { S } _ { C } \left (t \mid X_ { i } \right ) } } $</p> <p>$ \widehat {\mathrm { AUC } } ^ {\mathrm { CIPCW } } (t)= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i } I \left (X_ { i } >X_ { j } \right ), I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t, T_ { j } ^ { * } >t \right ) \frac {\delta_ { i } } { n ^ { 2 } \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \mid X_ { i } \right ) \hat { S } _ { C } \left (t \mid X_ { j } \right ) } } {\left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\delta_ { i } } { n \hat { S } _ { C } \left (T_ { i } ^ { * } \mid X_ { i } \right ) } I \left (T_ { i } ^ { * } \leq t \right ) \right ) \left ( \sum_ { j=1 } ^ { n } I \left (T_ { j } ^ { * } >t \right ) \frac { 1 } { n \hat { S } _ { C } \left (t \mid X_ { j } \right ) } \right ) } $<caption>(2.6)</caption></p> <p>추정량 (2.5)와 (2.6)은 survAUC 와 timeROC 를 이용하여 구할 수 있다. Table 1은 위에서 설명한 여러 가지 추정량을 포함한 패키지를 보여준다.</p> <h2>2.2. Chamless and Diao (2006) estimator</h2> <p>Chamless와 Diao (2006)는 우중도 절단의 효과를 보정하기 위해 순서 통계량과 베이즈 정리를 이용하였다. $ \delta = 1 $을 가지는 사건 발생 시간을 순서대로 다음과 같이 나열한다 $ 0= \tilde { s } _ { 0 }< \tilde { s } _ { 1 }< \cdots< \tilde { s } _ { m } $. 따라서 $ \tilde { s } _ { m } $은 사건 발생 시간의 최대값을 의미한다. 특정 시점 $ t $ 에서의 누적 민감도와 다이나믹 특이도를 구하기 위해, $ 0= \tilde { s } _ { 0 }< \tilde { s } _ { 1 }< \cdots< \tilde { s } _ { m(t) }<t $에서 관측된 정보가 사용되는데 여기서 $ \tilde { s } _ { m(t) } $은 $ t $시점보다 빠른 관측 시점 중에서 $ t $와 가장 가까운 시점을 의미한다. 베이즈 정리를 이용하여 누적 민감도 $ P(X>c \mid T \leq t)=P(x>c, T \leq t) / P(T \leq t) $의 분자를 $ \sum_ { k=1 } ^ { m(t) } P \left (X>c \mid \tilde { s } _ { k-1 }<T \leq \tilde { s } _ { k } \right ) \times P \left ( \tilde { s } _ { k-1 }<T \leq \tilde { s } _ { k } \right ) $로 유도하고 $ P \left (X>c \mid \tilde { s } _ { k-1 }<T \leq \tilde { s } _ { k } \right ) $에 대한 추정량 $ I \left (X_ { (k) } >c \right ) $과 $ P \left ( \tilde { s } _ { k-1 }<T \leq \tilde { s } _ { k } \right ) $의 추정량 $ \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k-1 } \right )- \hat { S } \left ( \tilde { s } _ { k } \right ) $을 이용하여 다음의 누적 민감도 추정량을 구하게 된다. 비슷하게 다이나믹 특이도 $ P(X \leq c \mid T>t) $의 추정량을 위해 $ P \left (X \leq c \mid \tilde { s } _ { k-1 }<T \leq \tilde { s } _ { k } \right ) $의 추정량 $ I \left (X_ { (k) } \leq c \right ) $과 $ X $의 분포함수 $ \left (F_ { X } (x)=P(X \leq x) \right ) $ 추정량 $ \widehat { F } _ { X } (c) $ 을 다음과 같이 적용한다.</p> <h1>5. 자료분석</h1> <p>앞에서 설명한 우중도 절단 자료의 누적 민감도와 다이나믹 특이도를 적용하기 위해 프랑스에서 수집된 치매자료를 분석하고자 한다 (Letenneur 등, 1994). 치매 관련 자료의 주요 목적은 노인의 향후 치매 발병 위험 정도를 예측하고 예방하는 것이므로 치매 위험 노인들을 대상으로 꾸준하게 세 가지 인지 테스트 mini-mental state examination (MMSE), Benton visual retention test (BVRT), Isaacs set test (IST)와 신체 자립도 점수(Score of physical dependency)를 포함한 예측모형을 고려해본다. 연구에 참여한 487명의 노인들의 연구 참여 시 연령 범위는(65.22, 92.14)이었으며 연구 참여 이후 연구가 종료할 때까지 위 테스트 점수는 방문할 때마다 기록되며 환자마다 관측 횟수는 적게는 한번 많게는 9번을 면담하였다. 이들 중에 치매 진단을 받은 노인은 126명(26%)이였으며 평균 발병 나이는 85.15세이고 범위는(67.51, 99.49)이었다. 치매 여부는 정신과 전문의의 진단과 신경학과 전문의의 뇌 초음파 자료에 의해 진단된다. 자료 분석의 목적은 연구 참여 이후 치매 발병을 예측하기 위한 마커의 예측력을 평가하기 위해 앞에서 설명한 여러가지 우중도 절단 자료에 대한 여러가지 AUC 통계량을 적용하고 그 결과값을 비교하고자 한다. 관심있는 반응 변수는 연구 시작에서 치매 발병까지 걸린 시간이며 참여자의 연구 참여 나이가 동일하지 못한 점을 반영하기 위해 공변량으로 참여 당시의 나이를 포함한다. 마커값을 구하기 위해 두 가지 예측 모형이 고려되었다. 세 가지 인지 테스트 중 가장 많이 사용되는 MMSE와 연구 참여 당시 나이를 비례 위험 모형에 적용하여 얻은 회귀계수 값을 이용하여 $ M_ { i 1 } = -0.191 \mathrm { MMSE } _ { i } + 0.116 \mathrm { Age } _ { i } $이었다. 여기서 MMSE 점수가 낮을수록 나이가 많을수록 치매 발병이 빨리 진행됨을 알 수 있다. 또 다른 마커에서는 세 가지 인지 테스트 값(MMSE,BVRT,IST), 신체 자립도(Score of physical dependency) 그리고 나이를 이용하여 구한 회귀 계수값이 적용된다. $ M_ { i 2 } =-0.135 \mathrm { MMSE } _ { i } -0.10 \mathrm { BVRT } _ { i } -0.034 \mathrm { IST } _ { i } -0.278 \mathrm { Score } ^ { 2 } $ of physical dependency $ \mathrm { y } _ { i } + 0.117 \mathrm { Age } _ { i } $. 즉, 인지 관련 점수가 낮고 신체 자립도가 낮은 나이가 많은 노인이 치매 발병 시점이 빠름을 알 수 있다(Table 3). 또 다른 예측 모형의 판별 측도(discrimination measure)로 자주 사용되는 $ c $-index 를 확장한 시간 가변 $ C $-index $ C(t) $도 적용해 보았다.</p>	자연
s374-미적분학	<h3>미분계수의 정의</h3> <p>함수 $ y=f(x) $의 $ x=a $에서 미분계수: \[f^{\prime}(a)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]</p> <p>예 $ x=1 $에서 함수 $ f(x)=x^{2} $의 미분계수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ \begin{aligned} f^{\prime}(1) &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(1+\Delta x)^{2}-1^{2}}{\Delta x} \\ &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2 \Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(2+\Delta x)=2 \end{aligned} $</p> <p>다른 풀이 $ \begin{aligned} f^{\prime}(1) &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1^{2}}{x-1} \\ &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1}(x+1)=2 \end{aligned} $</p> <h3>평균변화율, 미분계수: 기하적 해석과 이해</h3> <p>함수 $ y=f(x) $의 $ x=a $에서 $ a+\Delta x $까지 변할 때 평균변화율은 [그림 1]에서 함수의 그래프 위에 있는 두 점 $ \mathrm{P} $와 $ \mathrm{Q} $를 잇는 직선의 기울기이다. [그림 2]는 $ \Delta x $가 0으로 작아지면 평균변화율 즉 기울기의 변화를 설명하고 있다. $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때, 평균변화율의 극한이 미분계수 $ f^{\prime}(a) $로 정의하였다. 함수 $ y=f(x) $ 의 평균변화율 $ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{(a+\Delta x)-a} $은 함수 $ y=f(x) $의 그래프 위에 있는 두 점 $ \mathrm{P}(a, f(a)), \mathrm{Q}(a+\Delta x, f(a+\Delta x)) $를 잇는 직선의 기울기이다. 즉 $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때, 평군변화율은 $ \frac{\Delta y}{\Delta x} \rightarrow f^{\prime}(a) $이다. 따라서 $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때 점 $ \mathrm{Q}(a+\Delta x, f(a+\Delta x)) $는 $ y=f(x) $의 그래프 위에서 점 $ \mathrm{P}(a, f(a)) $로 가까이 간다. 그러므로 직선 $ \mathrm{PQ} $의 기울기는 미분계수 $ f^{\prime}(a) $로 수렴한다. 그러므로 점 $ \mathrm{P}(a, f(a)) $에서 기울기가 미분계수 $ f^{\prime}(a) $인 직선을 점 $ \mathrm{P} $에서 함수 $ y=f(x) $의 그래프에 접하는 접선이라고 말한다.</p> <h3>미분가능성과 연속성 정리</h3> <p>함수 $ f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.</p> <p>정리 함수 $ f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다.</p> <p>증명 함수 $ f(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하면 미분계수 $ f^{\prime}(a) $는 \[f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] 을 만족한다. 따라서 \[\lim _{x \rightarrow a}\{f(x)-f(a)\}=\lim _{x \rightarrow a}\left\{\frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot(x-a)\right\}\] \[\begin{array}{l} =\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot \lim _{x \rightarrow a}(x-a) \\ =f^{\prime}(a) \cdot 0=0 \end{array}\] 따라서 $ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) $. 그러므로 함수 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속이다.</p> <p>예 $ f(x)=\|x\| $는 $ x=0 $에서 미분가능한지 조사해보자.</p> <p>풀이 $ x=0 $에서 $ x=0+\Delta x $까지 함수 $ f $의 평균변화울은 \[\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\|\Delta x\|-0}{\Delta x}=\frac{\|\Delta x\|}{\Delta x}\] 그런데 $ \lim _{\Delta x \rightarrow 0-0} \frac{\|\Delta x\|}{\Delta x}=-1, \lim _{\Delta x \rightarrow 0+0} \frac{\|\Delta x\|}{\Delta x}=1 $이다. 즉 좌극한 $ \neq $ 우극한이다. 그러므로 극한 $ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\|\Delta x\|}{\Delta x} $는 존재하지 않는다. 따라서 함수 $ f(x)=\|x\| $는 $ x=0 $에서 미분가능하지 않다.</p> <p>예 함수 $ f(x) $는 $ x=a $에서 미분가능하다. 미분을 이용하여 $ \lim _{x \rightarrow a} \frac{a f(x)-x f(a)}{x-a} $의 극한을 구해보자.</p> <p>풀이 $ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow a} \frac{a f(x)-x f(a)}{x-a} &=\lim _{x \rightarrow a} \frac{a f(x)-x f(a)+a f(a)-a f(a)}{x-a} \\ &=a \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\lim _{x \rightarrow a} \frac{(x-a) f(a)}{x-a} \\ &=a f^{\prime}(a)-f(a) \end{aligned} $</p> <h3>매개변수 함수의 미분법</h3> <p>변수 $ t $에 의한 함수 $ x=f(t), y=g(t) $에서 $ x, y $의 관계가 함수가 될 수 있다. 이때, $ x=f(t), y=g(t) $를 매개변수 $ t $에 의한 함수라고 부른다. 매개변수 $ t $에 의한 함수를 간단히 매개변수함수라고 부른다. 두 함수 $ f(t), g(t) $가 미분가능하고 $ f^{\prime}(t) \neq 0 $일 때, 매개변수함수 $ x=f(t), y=g(t) $의 도함수 $ \frac{d y}{d x} $를 구해보자. 매개변수 $ t $의 증분 $ \Delta t $에 대한 $ x $의 증분을 $ \Delta x, y $의 증분을 $ \Delta y $라고 하자. 그러면 $ f(t) \neq 0 $이다. 그러므로 $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때, $ \Delta t \rightarrow 0 $이다. 따라서 \[ \frac{d y}{d x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\frac{\Delta y}{\Delta t}}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}}{\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \]</p> <p>매개변수로 나타내어진 함수의 미분법</p> <p>$ x=f(t), y=g(t) $ 가 $ t $ 에 대하여 미분가능하고, $ f^{\prime}(t) \neq 0 $이면</p> <p>$ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} $</p> <p>예 매개변수 $ t $로 나타내어진 다음 함수에서 $ \frac{d y}{d x} $를 구하여라.</p> <p>$ x=2 t+1, y=-t^{2}+3 $</p> <p>풀이 $ x=2 t+1, y=-t^{2}+3 $이다. 그러므로 $ \frac{d x}{d t}=2, \frac{d y}{d t}=-2 t $ 따라서 $ \frac{d y}{d x} $를 구하면 $ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{-2 t}{2}=-t $</p> <p>예 실수 $ t $에 대하여 $ x=t-\frac{1}{t}, y=t+\frac{1}{t} $로 주어질 때, $ t=2 $에서의 $ \frac{d y}{d x} $의 값을 구하여보자. 즉 곡선위의 점 $ (x(2), y(2))=\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right) $에서 접선의 기울기를 구하여보자.</p> <p>풀이 $ x=t-\frac{1}{t} $ 에서 $ \frac{d x}{d t}=1+\frac{1}{t^{2}}=\frac{t^{2}+1}{t^{2}} $</p> <p>$ y=t+\frac{1}{t} $ 에서 $ \frac{d y}{d t}=1-\frac{1}{t^{2}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}} $</p> <p>따라서 $ \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1} $ 이다.</p> <p>그러므로 $ t=2 $ 에서의 $ \frac{d y}{d x} $ 의 값은 $ \frac{2^{2}-1}{2^{2}+1}=\frac{3}{5} $ 이다.</p> <h2>6.2 도함수</h2> <h3>도함수의 정의</h3> <p>$ y=f(x) $가 정의역의 모든 $ x $에서 미분가능한 함수라고 하자. 그러면, 정의역의 각 점 $ x $에서 미분계수 $ f^{\prime}(x) $를 유일하게 갖는다. 즉 정의역의 모든 점 $ x $에서 $ f^{\prime}(x) $로의 대응은 함수가 된다. 이렇게 정의된 함수 $ f^{\prime}(x) $를 $ y=f(x) $의 도함수라 부른다. 그리고 도함수의 기호는 맥락 상황에 따라 다음과 같이 다양하게 쓴다. \[f^{\prime}(x), \quad y^{\prime}, \quad \frac{d y}{d x}, \quad \frac{d}{d x} f(x)\]</p> <p>함수 $ y=f(x) $의 도함수의 정의: \[f^{\prime}(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]</p> <p>예 양의 정수 $ n $에 대하여 함수 $ f(x)=x^{n} $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\{(x+h)-x\}\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2} x+\cdots+x^{n-1}\right.}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0}\left\{(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2} x+\cdots+x^{n-1}\right\} \\ &=x^{n-1}+x^{n-1}+\cdots+x^{n-1} \\ &=n x^{n-1} \quad \end{aligned} $</p> <p>특히 상수함수 $ f(x)=c $ ( $ c $는 상수)의 도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0 $</p> <p>$ y=x^{n} $과 상수함수의 도함수</p> <p>(1) $ y=x^{n} \quad(n $은 양의 정수 $ ) $이면 $ y^{\prime}=n x^{n-1} $</p> <p>(2) $ y=c(c $는 상수 $ ) $이면 $ \quad y^{\prime}=0 $</p> <p>예 $ f(x)=\frac{1}{x} $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ \begin{aligned} f^{\prime}(x) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{-h}{x(x+h)}}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-1}{x(x+h)}=-\frac{1}{x^{2}} \end{aligned} $</p> <h2>6.3 미분법</h2> <p>함수의 스칼라곱, 합, 차의 미분법<p>두 함수 $ f(x), g(x) $가 미분가능할 때, 함수의 스칼라곱, 합, 차의 미분은 다음과 같다.</p> <p>(1) $ \{c f(x)\}^{\prime}=c f^{\prime}(x) $ (단, $ c $ 는 상수)</p> <p>(2) $ \{f(x)+g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x) $</p> <p>(3) $ \{f(x)-g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x)-g^{\prime}(x) $</p> <p>곱의 미분법</p> <p>두 함수 $ y=f(x) $와 $ y=g(x) $가 미분가능하면 두 함수의 곱 $ f(x) g(x) $도 미분가능하다. 그리고 $ f(x) g(x) $의 도함수는 $ \{f(x) g(x)\}^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) $이다.</p> <p>증명 $ y=f(x) g(x) $ 이면, \[\begin{aligned} y^{\prime} &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) g(x+h)-f(x) g(x)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)\{f(x+h)-f(x)\}+f(x)\{g(x+h)-g(x)\}}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \lim _{h \rightarrow 0} g(x+h)+\lim _{h \rightarrow 0} f(x) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \end{aligned}\]</p> <h3>합성함수의 미분법</h3> <p>$ y=f(u), u=g(x) $가 각각 $ u $와 $ x $에 대하여 미분가능하다. 그러면 합성함수 $ y=f(g(x)) $도 $ x $에 관하여 미분가능하다. 이때 도함수는 $ y^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) $이다. 합성함수의 라이프니츠 미분 표현은 $ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} $이다.</p> <p>두 함수 $ y=f(u), u=g(x) $가 미분가능할 때, 합성함수 $ y=f(g(x)) $의 도함수를 구해 보자. $ x $의 증분 $ \Delta x $에 대한 $ u $의 증분을 $ \Delta u, u $의 증분 $ \Delta u $에 대한 $ y $의 증분을 $ \Delta y $라고 하면 \[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x} \quad(\Delta u \neq 0)\] 그런데 두 함수 $ y=f(u), u=g(x) $ 는 미분가능하므로 \[ \begin{array}{l} \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}=\frac{d u}{d x}=g^{\prime}(x) \\ \lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u}=\frac{d y}{d u}=f^{\prime}(u) \end{array} \] 여기서, $ u=g(x) $는 연속이므로 $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때, $ \Delta u \rightarrow 0 $이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}\right) \\ &=\lim _{\Delta u \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta u} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} \\ &=f^{\prime}(u) g^{\prime}(x) \\ &=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \end{aligned} \]</p> <p>합성함수의 미분법 두 함수 $ y=f(u), u=g(x) $가 미분가능할 때, 합성함수 $ y=f(g(x)) $의 도함수는 \[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=f^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x)\]</p> <p>예 함수 $ y=\left(x^{2}+1\right)^{3} $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 $ u=x^{2}+1 $로 놓자. 그러면 $ y=u^{3} $이므로 $ \frac{d y}{d u}=3 u^{2} $이고 $ \frac{d u}{d x}=2 x $이다. 그러므로 $ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=3 u^{2} \cdot 2 x=6 x\left(x^{2}+1\right)^{2} $</p> <p>예 $ f(x)=\frac{1}{x} $의 도함수는 $ f^{\prime}(x)=\left[\frac{1}{x}\right]^{\prime}=-\frac{1}{x^{2}} $임을 안다. $ y=\frac{1}{g(x)},(g(x) \neq 0) $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ u=g(x) $라 하고, $ y=f(u)=\frac{1}{u} $라고 하자. 그러면 $ y=\frac{1}{g(x)} $는 합성함수 $ y=f(g(x)) $이다. 따라서 합성함수의 미분법에 의하여 도함수를 구하자. $ y=f(u)=\frac{1}{u} $이므로 $ y^{\prime}=f^{\prime}(u)=-\frac{1}{u^{2}}=-\frac{1}{[g(x)]^{2}} $이다. 따라서 $ y^{\prime}=f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)=-\frac{1}{\{g(x)\}^{2}} \cdot g^{\prime}(x) $이다.</p> <p>두 함수 $ f(x), g(x) $의 몫 $ \frac{f(x)}{g(x)} $의 미분법</p> <p>예 미분가능한 $ f(x), g(x)(g(x) \neq 0) $의 몫 $ \frac{f(x)}{g(x)} $에 대한 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ \frac{f(x)}{g(x)}=f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} $이므로 $ f(x), \frac{1}{g(x)} $의 곱함수이다. 그러므로 곱함수의 미분법으로 미분하자. \[ \begin{aligned} \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime} &=f^{\prime}(x) \cdot \frac{1}{g(x)}+f(x) \cdot\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}^{\prime} \\ &=\frac{f^{\prime}(x)}{g(x)}-\frac{f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}} \\ &=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}} \end{aligned} \]</p> <p>분수함수, 몫 함수의 미분법</p> <p>미분가능한 두 함수 $ f(x), g(x)(g(x) \neq 0) $에 대하여</p> <p>① $ \left\{\frac{1}{g(x)}\right\}^{\prime}=-\frac{g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}} $</p> <p>② $ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}} $</p> <p>예 $ y=\frac{x}{x^{2}-1} $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ \frac{f(x)}{g(x)} $에 대한 미분법을 사용하자. 그러면</p> <p>$y^{\prime}=\frac{(x)^{\prime}\left(x^{2}-1\right)-x\left(x^{2}-1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} =\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{\{g(x)\}^{2}} $ $ =\frac{-x^{2}-1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}}=-\frac{x^{2}+1}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} $</p> <h1>제6장 미분,미분법 도함수</h1> <h2>6.1 미분</h2> <p>함수 $ y=f(x) $에서 변수 $ x $의 값이 $ a $에서 $ b $까지 변할 때, $ y $의 값은 $ f(a) $에서 $ f(b) $까지 변한다. 이때, $ x $의 변화량에 대한 $ y $의 변화량의 비율 \[\bar{f}_{a}^{b}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\] 은 $ x=a $ 근방에서 함수 $ f $가 변화하는 행동을 이해하고 예측할 수 있는 수학적 도구가 될 수 있다.</p> <p>$ \bar{f}_{a}^{b} $를 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때 함수 $ y=f(x) $의 평균변화율이라고 한다. $ x $의 변화량 $ b-a $를 $ x $의 증분, 함수 $ y=f(x) $의 변화량 $ f(b)-f(a) $를 $ y $의 증분이라 한다. 증분의 기호는 $ \Delta x, \Delta y $이고 $ \Delta x=b-a, \Delta y=f(b)-f(a) $으로 쓴다.</p> <h3>평균변화율</h3> <p>변수 $ x $가 $ a $에서 $ b $까지 변할 때 함수 $ y=f(x) $의 평균변화율은 \[ \begin{array}{c} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} \\ \text { (단, } \Delta x=b-a) \end{array} \] 으로 정의한다.</p> <p>예 그림의 그래프는 A씨가 그랑프리 자동차 경주대회에서 출발을 한 후 시속 $ 360 \mathrm{~km} / \mathrm{h} $에 도달하기 위하여 가속하는 과정을 팀 동료가 경과 시간과 주행 거리를 측정한 데이터를 그래프로 나타낸 것이다.</p> <p>문제1] 자동차가 가속을 시작한 후 60초 동안의 평균 속력을 구하여보자.</p> <p>문제2] 자동차가 가속을 시작한 후 처음 30초 동안의 평균 속력을 수하여보자</p> <p>문제3] 30초 이후 30초 동안의 평균 속력을 구하여보자.</p> <p>풀이 자동차는 정상 주행을 위하여 가속을 시작한 후 60초 동안 $ 2460 \mathrm{~m} $를 이동했다. 그러므로 60초 동안 평균 속력은 $ \frac{2460}{60}=41(\mathrm{~m} / \mathrm{sec}) $이다. 처음 30초 동안의 평균 속력은 $ \frac{240}{30}=8(\mathrm{~m} / \mathrm{sec}) $이다. 30초부터 60초까지 30초 동안의 평균 속력은 $ \frac{2460-240}{60-30}=\frac{2220}{30}=74(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) $이다.</p> <h3>미분계수의 정의</h3> <p>변수 $ x $가 $ a $에서 $ a+\Delta x $까지 변할 때 함수 $ y=f(x) $의 평균변화율은 독립변수 $ x $의 증분 $ \Delta x $에 따라 변한다. 그런데 $ \Delta x \rightarrow 0 $이 될 때 평균변화율 \[\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\] 이 수렴해서 극한값을 가질 수 있다. 평균변화율이 수렴할 때 극한값을 $ x=a $에서 순간변화율이라고 부른다. 즉,</p> <p>$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x} $<caption>①</caption></p> <p>이때 극한값을 $ x=a $에서 함수 $ f $의 순간변화율 또는 미분계수라고 말한다. 그리고 함수 $ f $는 $ x=a $에서 미분가능하다고 말한다. $ x=a $에서 함수 $ f $의 미분계수를 기호로 $ f^{\prime}(a) $으로 쓴다.</p> <p>식①에서 $ x=a+\Delta x $로 놓자. 그러면 $ \Delta x \rightarrow 0 $일 때 $ x \rightarrow a $이다. 따라서 미분계수는 다음 극한 계산으로도 구해진다. \[f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]</p> <h3>음함수의 정의</h3> <p>$ f(x, y)=0 $으로 표현된 식을 음함수라고 부른다.</p> <p>예 음함수 $ f(x, y)=y^{2}+x^{2}-r^{2}=0 $은 중심은 원점 (0, 0)이고 반지름이 $ r $인 원이다. 함수의 정의에 의하여 $ y^{2}+x^{2}-r^{2}=0 $은 함수가 아니다. 그러나 x-축 위 반원 $ y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} $ 과 x-축 아래 반원 $ y=-\sqrt{r^{2}-x^{2}} $으로 원을 나누면 함수가 된다. 음함수의 그래프는 함수가 되는 조각들로 나눌 수 있다.</p> <p>음함수 $ f(x, y)=0 $의 미분법</p> <p>$ y $가 $ x $의 함수라고 가정하여 미분한다. 즉 식 $ f(x, y) $에 있는 $ g(y) $부분을 다음과 같이 미분한다.</p> <p>$ \frac{d}{d x} g(y)=g^{\prime}(y) \cdot \frac{d y}{d x}=g^{\prime}(y) \cdot y^{\prime} $</p> <p>예 음함수 $ x^{2}+y^{2}-1=0 $ 의 $ \frac{d y}{d x} $를 구해보자.</p> <p>풀이 $ x^{2}+y^{2}-1=0 $ 의 양변을 $ x $에 대하여 미분하면 $ \frac{d}{d x} x^{2}+\frac{d}{d x} y^{2}-\frac{d}{d x} 1=0 $이다. 그러므로 음함수 미분법을 적용하자. \[2 x+\frac{d}{d y} y^{2} \cdot \frac{d y}{d x}=0 \text {. 즉 } 2 x+2 y \frac{d y}{d x}=0 .\] 그러므로 $ \frac{d y}{d x}=-\frac{x}{y} $</p> <p>예 음함수 $ 2 x^{2}+y^{2}-2 y=0 $에서 $ \frac{d y}{d x} $를 구하여라.</p> <p>풀이 $ y $를 $ x $의 함수로 보고, 각 항을 $ x $에 대하여 미분하자. 그러면 \[ \begin{array}{l} 4 x+2 y \cdot \frac{d y}{d x}-2 \cdot \frac{d y}{d x}=0 \\ \Longleftrightarrow(2 y-2) \frac{d y}{d x}=-4 x \\ \therefore \frac{d y}{d x}=\frac{-4 x}{2 y-2} \quad=-\frac{2 x}{y-1} \end{array} \]</p> <h3>역함수의 미분법</h3> <p>$ y=f(x), x=g(y) $는 서로 역함수라고 하자. 즉 $ (g \circ f)(x)=g(f(x))=x $는 항등함수이다. 양변을 $ x $에 대하여 각각 미분하자. 그러면 \[g^{\prime}(f(x)) \cdot f^{\prime}(x)=1\] 그러므로 $ f^{\prime}(x)=\frac{1}{g^{\prime}(f(x))}=\frac{1}{g^{\prime}(y)} $이다. 또한 $ g^{\prime}(y)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}=\frac{1}{f^{\prime}(g(y))} $</p> <p>역함수의 미분: 라이프니츠 미분식</p> <p>함수 $ y=f(x) $의 역함수를 $ x=g(y) $라 하자. $ x=g(y) $의 양변을 $ x $에 대하여 미분하자. \[\frac{d}{d x} x=\frac{d}{d x} g(y)=\frac{d}{d x} g(y) \frac{d y}{d x}=g^{\prime}(y) \frac{d y}{d x}\] 그런데, $ \frac{d}{d x} x=1, g^{\prime}(y)=\frac{d x}{d y} $이므로 $ 1=\frac{d x}{d y} \cdot \frac{d y}{d x} $이다. 그러므로 $ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}} $</p> <p>예 역함수의 미분법을 이용하여 함수 $ y=\sqrt[3]{x} $를 미분하여보자.</p> <p>풀이 $ y=\sqrt[3]{x} $의 역함수는 $ x=y^{3} $이다. 양변을 $ y $에 대하여 미분하면 $ \frac{d x}{d y}=3 y^{2} $이다. $ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}}=\frac{1}{3 y^{2}} $이다. 그리고 $ y^{2}=x^{\frac{2}{3}} $이다. 그러므로 $ \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\frac{d x}{d y}}=\frac{1}{3 y^{2}}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} $</p>	자연
미분적분학	<h1>8.4 스토크스 정리</h1> <p>평면 영역에 대한 그린 정리는 삼차원 영역으로 확장될 수 있는 데 다음과 같은 곡선적분과 곡면적분의 관계도 그런 것 중의 하나이다.</p> <h2>스토크스 정리</h2> <p>곡면 $ S $의 경계 $ C $의 양의 방향은 그 경계를 따라 걸을 때 곡면의 방향을 주는 단위법선벡터 $ N $을 왼편에 두고 도는 방향을 말한다.</p> <p>정리 8.4.1 (스토크스의 정리 (Stokes' theorem)) 매끄러운 단순폐곡선 $ C $를 경계로 갖는 곡면 $ S $의 방향이 단위법선벡터 $ N $에 의해 주어지고, 이에 따라 곡면의 경계 $ C $의 양의 방향이 주어질 때, $ F $가 $ S $ 위의 $ C ^ { 1 } $벡터장이라고 하면 \[ \int_ { C } F \cdot d X= \iint_ { S } \nabla \times F \cdot N d S \]</p> <p>증명은 부록으로 싣는다.</p> <h3>예제 8.4.2</h3> <p>예제 8.4.2 벡터 함수 $ F(x, y, z)=- \left (y ^ { 3 } , z ^ { 3 } , x ^ { 3 } \right ) $과 그림 8.4-32에서와 같이 상반구면 \[S= \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1, \quad z \geq 0 \right \} \] 에 방향을 주는 단위법선벡터가 주어졌을 때 스토크스 정리를 이용하여 $ \int_ { C } F \cdot d X $를 구하여라. (단, $ S $는 바깥을 향하는 단위법선벡터로 방향이 주어져 있고 $ C $는 상반구면 $ S $의 경계이다.)</p> <p>풀이. 상반구면 $ S $의 매개함수 표현은 \[ \Phi( \varphi, \theta)=( \sin \varphi \cos \theta, \sin \varphi \sin \theta, \cos \varphi), \quad 0 \leq \varphi \leq \frac {\pi } { 2 } , 0 \leq \theta \leq 2 \pi \] 이고, 구면의 경계 $ C $는 \[X( \theta)=( \cos \theta, \sin \theta, 0), \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi \] 로 나타낼 수 있다. 그런데, 스토크스 정리에 의하면 \[ \int_ { C } F \cdot d X= \iint_ { S } \nabla \times F \cdot N d S \] 이다. 한편, \[d S= \left \| \Phi_ {\theta } \times \Phi_ {\varphi } \right \| d \varphi d \theta= \sin \varphi d \varphi d \theta \] 이고 \[ \operatorname { curl } F= \nabla \times F= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ -y ^ { 3 } & -z ^ { 3 } & -x ^ { 3 } \end {array} \right \|= \left (3 z ^ { 2 } , 3 x ^ { 2 } , 3 y ^ { 2 } \right ) \] 이며 $ N(x, y, z)=(x, y, z) $이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } \nabla \times F \cdot N d S &= \iint_ { S } 3 x z ^ { 2 } + 3 y x ^ { 2 } + 3 z y ^ { 2 } d S \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } 3 \left ( \sin \varphi \cos \theta \cos ^ { 2 } \varphi + \sin ^ { 3 } \varphi \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta \right . \\ & \left . + \cos \varphi \sin ^ { 2 } \varphi \sin ^ { 2 } \theta \right ) \sin \varphi d \varphi d \theta \\ &=3 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \cos ^ { 2 } \varphi \sin ^ { 2 } \varphi \cos \theta \right . \\ & \left . + \sin ^ { 4 } \varphi \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta + \sin ^ { 3 } \varphi \cos \varphi \sin ^ { 2 } \theta \right ) d \varphi d \theta \\ &=3 \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \theta d \theta \right ] \left [ \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \cos ^ { 2 } \varphi \sin ^ { 2 } \varphi \right ) d \varphi \right ] \\ & + 3 \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left ( \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta \right ) d \theta \right ] \left [ \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \sin ^ { 4 } \varphi \right ) d \varphi \right ] \\ & + 3 \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left ( \sin ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \right ] \left [ \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \sin ^ { 3 } \varphi \cos \varphi \right ) d \varphi \right ] . \end {aligned} \] 위의 각 적분들을 계산하면, \[ \begin {array} { c } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos \theta d \theta=[ \sin \theta]_ { 0 } ^ { 2 \pi } =0, \quad \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \cos ^ { 2 } \varphi \sin ^ { 2 } \varphi \right ) d \varphi= \frac {\pi } { 16 } \\ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta d \theta=0, \quad \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \sin ^ { 4 } \varphi \right ) d \varphi= \frac { 3 } { 16 } \pi \\ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 2 } \theta d \theta= \pi, \quad \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \sin ^ { 3 } \varphi \cos \varphi \right ) d \varphi= \frac { 1 } { 4 } \end {array} \] 따라서, 구하는 곡선적분 \[ \int_ { C } F \cdot d X= \iint_ { S } \nabla \times F \cdot N d S=3 \left (0 \cdot \frac {\pi } { 16 } + 0 \cdot \frac { 3 } { 16 } + \pi \cdot \frac { 1 } { 4 } \right )= \frac { 3 } { 4 } \pi \] 이다.</p> <h2>가우스의 발산정리</h2> <p>이제 이 그린 정리와 비슷하게 3차원 영역 위의 삼중적분과 곡면 위의 곡면적분 사이의 관계를 보여주는 가우스의 발산정리를 살펴보자.</p> <p>정리 8.3.1 (가우스의 발산정리(Gauss' divergence theorem)) $ \Omega $를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 유계인 닫힌영역이라 하고, 그 경계면 $ S $의 방향이 바깥을 향하는 단위법선벡터 $ N $에 의해 주어졌다고 하자. $ \Omega $를 포함하는 열린집합 위에서 정의되는 $ C ^ { 1 } $급 벡터장 $ F(x, y, z) $에 대하여 다음 등식이 성립한다. \[ \iint_ { S } F \cdot N d S= \iiint_ {\Omega } \operatorname { div } F d V. \]</p> <p>증명은 부록으로 남긴다.</p> <p>위의 발산정리를 이용하여 $ \operatorname { div } F $의 의미를 살펴보자. 벡터장 $ F $는 $ (0,0,0) $을 중심으로 하고 반경이 $ R $인 구 $ \Omega $ 위에 정의된 연속인 속도벡터장이라고 하자. 닫힌영역 $ \Omega_ { r } $은 $ P_ { 0 } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $를 중심으로 하고 반경이 $ r, r<R $인 작은 구라고 하자. $ \Omega_ { r } $의 경계면을 $ S_ { r } $이라고 하고, $ \Omega_ { r } $의 체적을 $ V \left ( \Omega_ { r } \right ) $라 하자. 발산정리의 양변을 나누면 \[ \frac { 1 } { V \left ( \Omega_ { r } \right ) } \iiint_ {\Omega_ { r } } \operatorname { div } F d V= \frac { 1 } { V \left ( \Omega_ { r } \right ) } \iint_ { S_ { r } } F \cdot N d S \] 를 얻는다. 그런데 좌변은 삼중적분의 평균값 정리로부터 적당한 $ Q \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) $가 $ \Omega_ { r } $ 안에 존재하여 \[ \frac { 1 } { V \left ( \Omega_ { r } \right ) } \iiint_ {\Omega_ { r } } \operatorname { div } F d V= \operatorname { div } F \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) \] 을 만족한다. 이제 구의 반지름 $ r $을 0에 가깝게 하면, 즉, $ r \rightarrow 0 $이면 $ Q \rightarrow P_ { 0 } $이고, 따라서 \[ \begin {aligned} \operatorname { div } F \left (P_ { 0 } \right ) &= \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { V \left ( \Omega_ { r } \right ) } \iiint_ {\Omega_ { r } } \operatorname { div } F d V \\ &= \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } { V \left ( \Omega_ { r } \right ) } \iint_ { S_ { r } } F \cdot N d S \end {aligned} \] 와 같이 된다. 따라서 $ \Omega_ { r } $의 경계면 $ S_ { r } $의 단위법선벡터 $ N $이 곡면 바깥쪽을 향하고 있을 때, 충분히 작은 $ r $에 대하여 \[ \iint_ { S_ { r } } F \cdot N d S \approx \operatorname { div } F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) V \left ( \Omega_ { r } \right ) \] 이므로 $ \operatorname { div } F $는 단위부피 당 $ \Omega_ { r } $의 외부로 흐르는 순간 유량을 나타낸다. 즉, 구면 $ S_ { r } $을 통해서 밖으로 빠져나간 유량은 대략 영역의 부피에 $ \operatorname { div } F $배를 한 것이 된다. 따라서,<ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { div } F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )>0 $이면, $ \iint_ { S_ { r } } F \cdot N d S>0 $이므로 이는 곡면 안으로 들어 오는 유체의 양보다 밖으로 나가는 유체의 양이 더 많다는 것이며, 곡면 내부의 점 $ P_ { 0 } $는 유체가 흘러나오고 있는 점(source) 임을 의미한다.</li> <li>$ \operatorname { div } F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )<0 $이면, $ \iint_ { S_ { r } } F \cdot N d S<0 $이므로 이는 곡면 안으로 들어오는 유체의 양보다 밖으로 나가는 유체의 양이 더 작다는 것이며, 곡면 내부의 점 $ P_ { 0 } $는 유체가 빠져나가고 있는 점(sink)임을 의미한다.</li> <li>$ \operatorname { div } F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0 $ 이면, 유체가 비압축성 (incompressible)이다.</li></ol></p> <h3>예제 8.1.5</h3> <p>매개함수 표현 \[ \begin {array} { l } \Phi(u, v)=(2 + \cos u) \cos v \mathbf { i } + (2 + \cos u) \sin v \mathbf { j } + \sin u \mathbf { k } \\ U= \{ (u, v) \mid 0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq 2 \pi \} \end {array} \] 에 의해 주어진 원환면(torus) $ S $의 면적을 구하여라.</p> <p>풀이. 먼저 $ \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| $를 구하기 위하여 다음을 계산해 보자.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { cc } - \sin u \cos v & -(2 + \cos u) \sin v \\ - \sin u \sin v & (2 + \cos u) \cos v \end {array} \right \|=-(2 + \cos u) \sin u, \\ \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { cc } - \sin u \sin v & (2 + \cos u) \cos v \\ \cos u & 0 \end {array} \right \|=-(2 + \cos u) \cos u \cos v, \\ \frac {\partial(z, x) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { cc } \cos u & 0 \\ - \sin u \cos v & -(2 + \cos u) \sin v \end {array} \right \|=-(2 + \cos u) \cos u \sin v \end {array} \] 이므로 \[ \begin {aligned} \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| &=(2 + \cos u) \sqrt {\sin u ^ { 2 } + ( \cos u \cos v) ^ { 2 } + ( \cos u \sin v) ^ { 2 } } \\ &=(2 + \cos u) \sqrt {\sin u ^ { 2 } + \cos u ^ { 2 } \left ( \cos v ^ { 2 } + \sin v ^ { 2 } \right ) } \\ &=2 + \cos u \end {aligned} \] 가 된다. 따라서 원환면 $ S $의 넓이 \[ \begin {aligned} A(S) &= \iint_ { U } \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| d u d v \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 + \cos u d u d v \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 4 \pi d v=8 \pi ^ { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>증명은 생략한다.</p> <p>따라서 곡면의 면적은 매개함수 표현에 관계없이 \[A(S)= \iint_ {\Phi_ { 1 } } d S= \iint_ {\Phi_ { 2 } } d S \] 이고, $ \Phi $가 방향을 유지하는 매개변수 표현이면 곡면 $ S $ 위의 함수 $ F $의 곡면적분을 \[ \iint_ { S } F= \iint_ {\Phi } F \] 라고 쓴다. 물론 $ \Phi $가 방향을 역으로 하는 매개변수 표현이면 곡면 $ S $위의 함수 $ F $의 곡면적분을 \[ \iint_ { S } F=- \iint_ {\Phi } F \] 이다.</p> <p>시간에 관계없는 속도 $ F(x, y, z) $를 갖는 유체가 방향이 주어진 곡면 $ S $를 자유롭게 드나들고 있다고 하자.* 단위 시간당 곡면을 통해 빠져나간 유체의 부피를 구해 보자.</p> <p>곡면 $ S $ 위의 점 $ (x, y, z) $ 에서 연속인 속도벡터장이 \[F(x, y, z)=f(x, y, z) \mathbf { i } + g(x, y, z) \mathbf { j } + h(x, y, z) \mathbf { k } \] 로 주어지고 곡면 $ S $에 바깥방향을 주는 단위법선 벡터를 $ N(x, y, z) $이라고 하자. 곡면 $ S $의 분할 $ P $에 대하여 단위 시간에 면적이 $ \Delta S_ { i j } $인 $ S $의 작은 분할 곡면 $ S_ { i j } $를 통해 $ S $의 내부에서 외부로 흐르는 유체의 부피는 $ S_ { i j } $ 안의 적당한 점 $ \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) $에 대하여 \[ \Delta V_ { i j } \approx \left [F \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) \cdot N \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) \right ] \Delta S_ { i j } \] 이다. 여기서 $ F \cdot N $은 작은 곡면 $ S_ { i j } $의 적당한 점에서 $ N $방향으로의 $ F $의 성분이다.* 결과적으로 단위 시간에 $ S $를 통하여 외부로 빠져 나가는 총 유량(flux)은 \[ \lim _ { \|P\| \rightarrow 0 } \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } F \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) \cdot N \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) \Delta S_ { i j } \] 이다. 이것은 곡면적분 \[ \iint_ { S } F= \iint_ { S } F \cdot N d S \] 이다.</p> <h3>예제 8.2.8</h3> <p>곡면 $ S= \left \{ (x, y, z) \mid y=x ^ { 2 } , 0 \leq x \leq 2,0 \leq z \leq 3 \right \} $를 통과하는 물의 유량(flux)을 계산하여라. (단, 속도벡터는 $ F(x, y, z)=(y, 2, x z) $ 이고 속력은 $ \mathrm { m } / \mathrm { sec } $ 로 측정한다.)</p> <p>풀이. $ x=u, z=v $라 하면 $ y=u ^ { 2 } $이 된다. 그러므로, 곡면 $ S $는 \[ \Phi(u, v)= \left (u, u ^ { 2 } , v \right ), \quad 0 \leq u \leq 2, \quad 0 \leq v \leq 3 \] 으로 표현된다. 따라서 \[N= \frac {\Phi_ { u } \times \Phi_ { v } } {\left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| } \] 라고 하면 \[ \Phi_ { u } =(1,2 u, 0), \Phi_ { v } =(0,0,1) \] 이므로 $ \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } =(2 u,-1,0) $이고, $ F( \Phi(u, v))= \left (u ^ { 2 } , 2, u v \right ) $이다. 따라서 \[F \cdot \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } =u ^ { 2 } \cdot 2 u + 2(-1)=2 u ^ { 3 } -2 \] 이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } F &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2 u ^ { 3 } -2 \right ) d u \right ] d v \\ &=3 \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2 u ^ { 3 } -2 \right ) d u \\ &=12 \mathrm { ~m } ^ { 3 } / \mathrm { sec } \end {aligned} \] 를 얻는다.</p> <h3>예제 8.2.9</h3> <p>포물면 $ z=1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $와 평면 $ z=0 $에 둘러싸인 영역의 경계곡면 $ S $ 위에 벡터장 $ F(x, y, z)=(y, x, z) $이 정의될 때 곡면적분 $ \iint_ { S } F $를 구하여라.</p> <h2>회전의 물리적 해석</h2> <p>곡면 $ S_ { r } $은 그림 8.4-35과 같이 반지름이 $ r $, 중심이 $ P $인 원판이고, $ N $이 $ S_ { r } $에서 정의되는 단위법선벡터장 그리고 $ \partial S_ { r } $은 곡면 $ S_ { r } $의 경계라고 하자. $ F $를 $ S_ { r } $ 위에 정의된 유체의 속도벡터장이라고 하면 스토크스 정리에 의하여 \[ \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s= \iint_ { S_ { r } } \operatorname { curl } F \cdot N d S \] 이다. 여기서 $ \partial S_ { r } $의 방향은 양의 방향으로 $ N $을 왼쪽에 두고 도는 방향이다. 이제 양변을 곡면 $ S_ { r } $의 면적으로 나누고 곡면적분의 평균값 정리를* 적용 하면 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { A \left (S_ { r } \right ) } \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s &= \frac { 1 } { A \left (S_ { r } \right ) } \iint_ { S_ { r } } \operatorname { curl } F \cdot N d S \\ &=( \operatorname { curl } F \cdot N)(Q) \end {aligned} \] 을 만족하는 점 $ Q $가 $ S_ { r } $ 안에서 존재한다. 따라서 \[( \operatorname { curl } F \cdot N)(Q)= \frac { 1 } {\pi r ^ { 2 } } \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s \] 이다. 결국 \[ \begin {aligned} \operatorname { curl } F(P) \cdot N(P) &= \lim _ { r \rightarrow 0 } \operatorname { curl } F(Q) \cdot N(Q) \\ &= \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 1 } {\pi r ^ { 2 } } \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s \end {aligned} \] 이므로 충분히 작은 $ r $에 대하여 \[ \operatorname { curl } F(P) \cdot N(P) \approx \frac { 1 } {\pi r ^ { 2 } } \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s \] 이다. $ F $가 유체의 속도벡터장인 경우 적분 $ \int_ {\partial S_ { r } } F \cdot T d s $는 유체가 $ S_ { r } $의 주위로 회전하는 양을 나타내며 유체의 순환(circulation)이라 부른다. 따라서 위의 극한식으로 부터 $ \operatorname { curl } F(P) \cdot N(P) $는 $ P $ 근방의 곡면 위에서 $ N(P) $에 대한 $ F $의 회전량을 의 미한다. 이 때 $ \operatorname { curl } F $와 $ N(P) $가 같은 방향이면 회전량은 최대가 된다.</p> <h3>예제 8.3.4</h3> <p>(역제곱장에 대한 가우스 법칙) 닫힌곡면 $ S $는 원점 $ O $을 내부점으로 갖는 영역 $ \Omega $의 경계면이라고 하자. 영역 $ \Omega $ 위에 정의된 벡터장 \[ \begin {array} { l } F= \frac { q } { r ^ { 3 } } \mathbf { r } , \quad q \text { 는 상수 } \\ \mathbf { r } =(x, y, z), r=\| \mathbf { r } \| \end {array} \] 의 곡면 $ S $위의 곡면적분을 구하여라.</p> <p>풀이. $ F $는 원점 $ O $에서 연속이 아니므로 직접 가우스의 발산정리를 응용할 수 없다. 따라서 원점 $ O $을 중심으로 하고 반경이 $ r $인 구가 곡면 $ S $의 내부에 있다하고, 그 구의 경계면을 $ S_ { 1 } $이라 하자. 곡면 $ S $와 곡면 $ S_ { 1 } $에 둘러싸인 영역을 $ \Omega_ { 1 } $이라고 하면 $ \Omega_ { 1 } $의 경계면 $ \partial \Omega_ { 1 } $은 $ S \cup S_ { 1 } $이고, $ \nabla \cdot F=0 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} 0 &= \iiint_ {\Omega_ { 1 } } \nabla \cdot F d V= \iint_ {\partial \Omega_ { 1 } } F \cdot N d V \\ &= \iint_ { S } F \cdot N d S + \iint_ { S_ { 1 } } F \cdot N d S \end {aligned} \] 여기서 $ \partial \Omega_ { 1 } =S \cup S_ { 1 } $에 대한 단위법선벡터는 영역의 바깥을 향하므로 구 $ S_ { 1 } $에 대한 단위법선벡터는 원점을 향한다. 따라서 $ N=- \frac {\mathrm { r } } { r } $이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } F \cdot N d S &=- \iint_ { S_ { 1 } } F \cdot N d S= \iint_ { S_ { 1 } } F \cdot \frac {\mathbf { r } } { r } d S \\ &= \iint_ { S_ { 1 } } \frac { q \mathbf { r } \cdot \mathbf { r } } { r ^ { 4 } } d S= \iint_ { S_ { 1 } } \frac { q } { r ^ { 2 } } d S \\ &= \frac { q } { r ^ { 2 } } \iint_ { S_ { 1 } } d S=4 \pi q . \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.4.3</h3> <p>예제 8.4.3 그림 8.4-33에서와 같이 곡선 $ C $는 평면 $ 2 x + 2 y + z=6 $에 놓여있는 삼각형이다. 벡터장 \[F(x, y, z)=-y ^ { 2 } \mathbf { i } + z \mathbf { j } + x \mathbf { k } \] 에 대하여 방향이 주어진 곡선 $ C $를 따라 곡선적분 $ \int_ { C } F \cdot d X $을 구하여라.</p> <p>풀이. 곡선 $ C $를 경계로 갖는 삼각평면을 $ S $라고 하면 \[ \begin {array} { l } S: \Phi(u, v)=(u, v, 6-2 u-2 v), \\ (u, v) \in R= \{ (u, v) \mid 0 \leq u \leq 3,0 \leq v \leq 3-u \} \end {array} \] 이고 \[ \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } =2 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } + \mathbf { k } \] 은 경계 $ C $의 양의 방향을 주는 곡면의 법선벡터이다. 이제 스토크스정리를 이용하기 위해 $ \operatorname { curlF } $ 를 구해보자. \[ \nabla \times F= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ -y ^ { 2 } & z & x \end {array} \right \|=- \mathbf { i } - \mathbf { j } + 2 y \mathbf { k } \] 이고, 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ { C } F \cdot d X &= \int_ { C } F \cdot T d s \\ &= \iint_ { S } ( \nabla \times F) \cdot \frac {\Phi_ { u } \times \Phi_ { v } } {\left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| } d S \\ &= \iint_ { R } ( \nabla \times F) \cdot \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } d u d v \\ &= \iint_ { R } (- \mathbf { i } - \mathbf { j } + 2 v \mathbf { k } ) \cdot(2 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } + \mathbf { k } ) d u d v \\ &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { 0 } ^ { 3-u } (2 v-4) d v d u \\ &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \left (u ^ { 2 } -2 u-3 \right ) d y \\ &= \left [ \frac { 1 } { 3 } u ^ { 3 } -u ^ { 2 } -3 u \right ]_ { 0 } ^ { 3 } =-9 \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.4.6</h3> <p>반경이 2인 실린더의 용기 안에서 유체가 회전하고 있다. 이 운동은 속도 벡터장 \[F(x, y, z)=-y \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { i } + x \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \mathbf { j } \] 에 의해서 묘사된다. $ \iint_ { S } \operatorname { curl } F \cdot N d S $를 구하여라. (단, $ S $는 실린더 용기의 윗면으로 단위법선벡터의 방향은 그림 8.4-36와 같다.</p> <p>풀이. 곡면 $ S $의 매개함수 표현을 \[ \Phi(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta, 0), 0 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq \theta \leq 2 \pi \] 라고 하면 \[d S= \left \| \Phi_ { r } \times \Phi_ {\theta } \right \| d r d \theta=r d r d \theta \] 이다. 또 \[ \operatorname { curl } F= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ -y \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & x \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & 0 \end {array} \right \|= \left (0,0,3 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right ) \] 이고 $ N(x, y, z)= \mathbf { k } $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } \operatorname { curl } F \cdot N d S &= \iint_ { S } 3 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } d S \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } (3 r) r d r d \theta=16 \pi \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.3.2</h3> <p>닫힌곡면 \[ \begin {aligned} S=& \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } , 0 \leq z \leq b \right \} \\ & \cup \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq a ^ { 2 } , z=0 \right \} \\ & \cup \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq a ^ { 2 } , z=b \right \} \end {aligned} \] 을 통해서, 입자가 속도 $ F=x ^ { 3 } \mathbf { i } + x ^ { 2 } y \mathbf { j } + x ^ { 2 } z \mathbf { k } $로 $ S $를 빠져나갈 때 유량 $ \iint_ { S } F \cdot N d S $를 구하여라.</p> <p>풀이. 곡면 $ S $에 둘러싸인 영역을 $ \Omega $라고 하면, 가우스의 발산정리로부터 \[ \iint_ { S } F \cdot N d S= \iiint_ {\Omega } \operatorname { div } F d V \] 이다. $ \operatorname { div } F=3 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } + x ^ { 2 } =5 x ^ { 2 } $이므로 원주좌표변환으로부터 원식은 \[ \begin {array} { l } \iiint_ {\Omega } 5 x ^ { 2 } d V \\ =5 \int_ { 0 } ^ { b } \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \int_ { 0 } ^ { a } r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \cdot r d r \right ] d \theta \right ] d z \\ =5 b \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \int_ { 0 } ^ { a } r ^ { 3 } \cos ^ { 2 } \theta d t \right ] d \theta \\ =5 b \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { a ^ { 4 } } { 4 } \cos ^ { 2 } \theta d \theta \\ = \frac { 5 } { 4 } a ^ { 4 } b \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 + \cos \theta } { 2 } d \theta \\ = \frac { 5 } { 4 } \pi a ^ { 4 } b . \end {array} \]</p> <h3>예제 8.2.2</h3> <p>곡면 $ S $가 원점이 중심이고 반지름이 2인 구면일 때, $ \iint_ { S } z ^ { 2 } d S $를 계산하여라.</p> <p>풀이. 구면 $ S $의 매개함수표현 $ \Phi $는 \[ \begin {array} { l } \Phi: x=2 \sin \varphi \cos \theta, y=2 \sin \varphi \sin \theta, z=2 \cos \varphi \\ (0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta \leq 2 \pi) \end {array} \] 이고, $ \left \| \Phi_ {\varphi } \times \Phi_ {\theta } \right \|=4 \sin \varphi $ 이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } z ^ { 2 } d S &=4 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \int_ { 0 } ^ {\pi } 4 \cos ^ { 2 } \varphi \sin \varphi d \varphi \right ] d \theta \\ &=16 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { 1 } { 3 } \left (- \cos ^ { 3 } \varphi \right ) \right ]_ { 0 } ^ {\pi } d \theta \\ &= \frac { 32 } { 3 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \\ &= \frac { 64 \pi } { 3 } . \end {aligned} \] 곡면 $ S $가 $ z=g(x, y),(x, y) \in D $에 의해 주어지면 곡면의 매개함수 표현 $ \Phi(x, y)=(x, y, g(x, y)) $로부터 \[ \left \| \Phi_ { x } \times \Phi_ { y } \right \|= \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } \] 을 구할 수 있고, 따라서 곡면 $ S $ 위의 함수 $ f $의 곡면적분은 \[ \iint_ { S } f(x, y, z) d S= \iint_ { D } f(x, y, g(x, y)) \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } d x d y \] 이다.</p> <h3>예제 8.2.4</h3> <p>곡면 $ S $가 $ z=x ^ { 2 } + y, \quad D: 0 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1 $로 주어질 때 $ \iint_ { S } x d S $를 구하여라.</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ { S } x d S &= \iint_ { D } x \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } d x d y \\ &= \int_ { -1 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x \sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } + 1 } d x d y \\ &= \frac { 1 } { 8 } \int_ { -1 } ^ { 1 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (2 + 4 x ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } 8 x d x \right ] d y \\ &= \frac { 2 } { 3 } \frac { 1 } { 8 } \int_ { -1 } ^ { 1 } \left [ \left (2 + 4 x ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } d y= \sqrt { 6 } - \frac {\sqrt { 2 } } { 3 } . \end {aligned} \] 곡면 $ S $가 $ z=g(x, y),(x, y) \in D $로 주어질 때 $ f $의 곡면적분은 \[ \iint_ { S } f(x, y, z) d S= \iint_ { D } f(x, y, g(x, y)) \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } d x d y \] 로 표현됨을 알고 있다. 이제 곡면 $ S $가 $ z=g(x, y),(x, y) \in D $로 주어질 때 $ f $의 곡면적분의 또 다른 표현을 보자. 곡면의 매개함수 표현 $ \Phi(x, y)=(x, y, g(x, y)) $로부터 법선벡터장 \[ \mathbf { n } = \Phi_ { x } \times \Phi_ { y } = \left (- \frac {\partial g } {\partial x } ,- \frac {\partial g } {\partial y } , 1 \right ) \] 을 얻을 수 있다. 따라서 $ z $-축 방향의 단위벡터 $ \mathbf { k } =(0,0,1) $에 대해서 \[ 1= \mathbf { n } \cdot \mathbf { k } =\| \mathbf { n } \|\| \mathbf { k } \| \cos \theta=\| \mathbf { n } \| \cos \theta, \theta: \mathbf { n } \text { 과 } \mathbf { k } \text { 사이의 각 } \] 이므로 \[ \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } =\| \mathbf { n } \|= \frac { 1 } {\cos \theta } \] 이 되어* 곡면 적분은 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } f(x, y, z) d S &= \iint_ { D } f(x, y, g(x, y)) \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } d x d y \\ &= \iint_ { D } f(x, y, g(x, y)) \frac { 1 } {\cos \theta } d x d y. \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.2.5</h3> <p>곡면 $ S $가 $ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) $을 꼭지점으로 하는 삼각형 평면이라 할 때 $ \iint_ { S } x d S $를 구하여라.</p> <p>풀이. 세 점을 지나는 평면의 방정식은 $ x + y + z=1 $ 이다. 이 때 곡면 $ S $를 나타내는 $ x y $-평면 위의 영역 $ D $는 \[x + y=1, x=0, y=0 \] 으로 둘러싸인 부분이다. 곡면 $ z=g(x, y)=1-x-y $에 대한 법선벡터는 \[ \mathbf { n } = \left (- \frac {\partial g } {\partial x } ,- \frac {\partial g } {\partial y } , 1 \right )=(1,1,1) \] 이고, 따라서 \[ \cos \theta= \frac {\mathbf { n } \cdot \mathbf { k } } { \| \mathbf { n } \| } = \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \] 이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } x d S &= \sqrt { 3 } \iint_ { D } x d x d y= \sqrt { 3 } \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1-x } x d y d x \\ &= \sqrt { 3 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x(1-x) d x= \frac {\sqrt { 3 } } { 6 } \end {aligned} \] 이다.</p> <h2>벡터값 함수의 곡면적분</h2> <p>함수 $ F $는 곡면 $ S $위에 정의된 벡터함수이며, 곡면 $ S $는 매개함수 표현 $ \Phi: U \subset $ $ \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $를 갖는다고하자. 벡터함수 $ F $의 $ S $위의 곡면적분은 $ \iint_ {\Phi } F $라고 쓰며 \[ \iint_ {\Phi } F= \iint_ { U } \left (F \cdot \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right ) d u d v \] 로 정의한다. 만일 $ N $을 곡면 $ S $ 위의 단위법선벡터라고하면, 즉, \[N(u, v)= \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \] 이면, \[ \begin {aligned} \iint_ {\Phi } F &= \iint_ { U } F \cdot \left ( \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right ) d u d v \\ &= \iint_ { U } \left (F \cdot \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \right ) \left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| d u d v \\ &= \iint_ { S } \left (F \cdot \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \right ) d S \end {aligned} \] 이므로 이 곡면 적분은 \[ \iint_ {\Phi } F= \iint_ { S } F \cdot N d S \] 로도 쓸 수 있다.</p> <p>곡면 $ z=f(x, y) $의 매개함수 표현 $ \Phi(x, y)=(x, y, g(x, y)) $라고 하자. 그러면 곡면에 양의 방향을 주는 단위법선벡터 $ N $을 \[ \begin {aligned} N(x, y) &= \frac {\Phi_ { x } (x, y) \times \Phi_ { y } (x, y) } {\left \| \Phi_ { x } (x, y) \times \Phi_ { y } (x, y) \right \| } \\ &= \frac {\left (- \frac {\partial g } {\partial x } ,- \frac {\partial g } {\partial y } , 1 \right ) } {\sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial g } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial g } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } } \end {aligned} \] 라고 하면 $ \Phi $는 방향을 유지하는 매개함수표현이 된다.</p> <p>함수 $ F $의 곡선 $ C $ 위의 곡선적분은 곡선 $ C $의 방향이 같은 두 매개함수 표현에 대하여 적분값은 변하지 않으나, 방향이 반대인 두 매개함수 표현에 대한 적분값은 부호가 반대라는 것을 알고 있다. 곡면적분에 대해서도 마찬가지이다.</p> <p>정리 8.2.7 곡면 $ S $에 방향이 주어졌다고 하고, 함수 $ F $가 곡면 $ S $ 위에서 정의된 연속인 벡터함수라고 하자.</p> <p>(1) $ \Phi_ { 1 } $과 $ \Phi_ { 2 } $가 같은 방향을 유지하는 곡면 $ S $의 매개함수표현이면 \[ \iint_ {\Phi_ { 1 } } F= \iint_ {\Phi_ { 2 } } F \] (2) $ \Phi_ { 1 } $과 $ \Phi_ { 2 } $가 서로 반대 방향을 유지하는 곡면 $ S $의 매개함수표현이면 \[ \iint_ {\Phi_ { 1 } } F=- \iint_ {\Phi_ { 2 } } F \] (3) 함수 $ f $가 곡면 $ S $ 위에서 정의된 연속인 실수값 함수이고 $ \Phi_ { 1 } $과 $ \Phi_ { 2 } $가 곡면 $ S $의 임의의 두 매개변수 표현이면 \[ \iint_ {\Phi_ { 1 } } f d S= \iint_ {\Phi_ { 2 } } f d S \] 이다</p> <h3>예제 8.4.4</h3> <p>$ F $가 구면 $ S= \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 \right \} $ 위의 벡터값 함수이고 $ N $을 $ S $의 바깥을 향하는 단위법선벡터라 하면 \[ \iint_ { S } \operatorname { curl } F \cdot N d S=0 \] 이다. 왜냐하면 적도면 $ z=0 $을 따라 $ S $를 두 곡면 북반구 $ S ^ { + } $와 남반구 $ S ^ { - } $로 분할하여 각 곡면에 스토크스 정리를 적용하면 \[ \begin {aligned} \iint_ { S ^ { + } } \operatorname { curl } F \cdot N d S &= \int_ {\partial S ^ { + } } F \cdot T d s \\ \iint_ { S ^ { - } } \operatorname { curl } F \cdot N d S &= \int_ {\partial S ^ { - } } F \cdot T d s \end {aligned} \] 여기서 $ \partial S ^ { + } $와 $ \partial S ^ { - } $는 방향이 반대이므로 \[ \int_ {\partial S ^ { + } } F \cdot T d s + \int_ {\partial S ^ { - } } F \cdot T d s=0 . \] 따라서 두 식을 더하면 각각 \[ \iint_ { S } \operatorname { curl } F \cdot N d S= \iint_ { S ^ { + } } \operatorname { curl } F \cdot N d S + \iint_ { S ^ { - } } \operatorname { curl } F \cdot N d S=0 . \] 위의 예제 8.4.4에서와 같은 방법에 의해서 다음 정리를 증명할 수 있다.</p> <p>정리 8.4.5 닫힌곡면 $ S $ 위에서 $ \operatorname { Curl } F $의 곡면적분은 0이다. 즉, \[ \iint_ { S } \nabla \times F \cdot N d S=0 \]</p> <p>곡선 $ C $를 따른 곡선적분은 곡선 $ C $의 방향에 따라 적분값의 부호가 달라짐을 알았다. 곡면적분도 비슷한 성질을 가지고 있는 데 그 성질을 정확히 하기 위하여 곡면의 방향을 정의할 필요가 있다.</p> <p>벡터값 함수의 곡면적분은 곡면을 통과하는 유체의 부피와 밀접한 관련이 있으며, 이 때의 곡면은 반드시 두 면(안쪽면과 바깥쪽면)을 갖는 곡면이여야 한다. 구, 포물면, 타원체면, 평면 등과 같은 곡면들은 안과 밖의 구분이 있는 곡면들이지만, 뫼비우스 띠(Möbius strip)와* 같은 곡면은 한 면만을 갖는 곡면이다.</p> <p>이처럼 안쪽면과 바깥쪽면의 두 면을 가진 곡면을 방향을 줄 수 있는 곡면(orientable surface)이라고 하고 한 면만을 갖는 곡면은 방향을 줄 수 없는 곡면(non-orientable surface)이라고 한다.</p> <p>방향을 줄 수 있는 곡면의 경우 $ S $ 위의 각 점 $ (x, y, z) $에서 두 종류의 연속인 단위법선벡터 $ N_ { 1 } (x, y, z) $과 $ N_ { 2 } (x, y, z) $를 정의할 수 있으며, 이때 두 벡터는 각각 곡면의 안쪽과 바깥쪽을 향하는 것으로 $ N_ { 1 } (x, y, z)=-N_ { 2 } (x, y, z) $이다. 우리는 두 벡터 중 어느 한 벡터 $ N $을 택해서 그 벡터가 향하는 방향을 곡면의 양의방향 혹은 바깥 방향으로 정하고, 이 단위법선벡터 $ N(x, y, z) $은 곡면에 방향을 준다고 말한다.</p> <p>편의상 구, 직육면체, 타원체와 같은 닫힌곡면 즉, 유계영역 $ D $의 경계면 $ \partial D $의 양의방향은 영역의 바깥부분을 향하는 단위법선벡터의 방향으로 정한다.</p> <p>$ \Phi: U \rightarrow \mathbf { R } ^ { 3 } $를 매끄러운 곡면 $ S $의 매개함수표현이고, 단위 법선벡터 $ N $이 이 곡면에 방향을 준다고 하자. 즉, $ N $의 방향을 곡면의 양의 방향이라고 하자. 그러면 단위법선벡터 $ N $은 \[N(u, v)= \pm \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \] 이다. 만일 \[N(u, v)= \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \] 이면 $ \Phi $는 방향을 유지하는 매개함수 표현이라고 하고, \[N(u, v)=- \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \] 이면 $ \Phi $는 방향을 역으로 하는 매개함수 표현이라고 한다.</p> <p>우리는 이미 평면 영역 위에서 정의된 함수의 적분을 공부했다. 이제 일반적인 곡면 위에서 정의된 함수의 적분을 생각하자. 먼저 곡면의 넓이를 구하고 이를 이용하여 매끄러운 곡면 위에 정의된 함수의 곡면적분을 정의한다. 이 곡면적분은 멤부레인을 통과하는 유체의 양을 계산하거나 떨어지는 낙하산을 아래에서 받혀올리는 힘 등을 계산하는데 이용된다.</p> <h1>8.1 곡면의 넓이</h1> <h2>매개함수 표현을 갖는 곡면의 넓이</h2> <p>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 평면영역 $ U $에서 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $로의 연속인 사상 $ \Phi: U \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $가 \[ \Phi(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), \quad(u, v) \in U \] 로 주어졌을 때, $ S= \Phi(U) $를 곡면(surface)이라 * 하고, $ \Phi $를 곡면 $ S $의 매개함수 표현이라 한다. 이 때 $ \Phi $가 $ C ^ { 1 } $급 함수이면 $ S $를 $ C ^ { 1 } $급 곡면이라하고, 특히 $ \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \neq 0$인 경우 매끄러운 곡면(smooth surface)이라고 한다.</p> <h3>예제 8.1.1</h3> <p>포물면, 원기둥면, 구면의 매개함수 표현은 다음과 같다.</p> <p>$ \Phi(u, v)= \left (u, v, 9-u ^ { 2 } -v ^ { 2 } \right ) $, 포물면</p> <p>$ \Phi(u, v)=( \cos u, \sin u, v) $, 원기둥면</p> <p>$ \Phi( \varphi, \theta)=( \sin \varphi \cos \theta, \sin \varphi \sin \theta, \cos \varphi) $, 구면</p> <p>이제, 함수 $ \Phi $가 $ U $에서 $ C ^ { 1 } $급이라고 하자. $ P $를 $ U $의 분할이라고 하면 $ U $의 작은 직사각형 영역 $ U_ { i j } $ 위의 함수 $ \Phi $에 대하여 \[ \begin {array} { l } \Phi \left (u_ { i } + \Delta u_ { i } , v_ { j } \right )- \Phi \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \approx \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \Delta u_ { i } \\ \Phi \left (u_ { i } , v_ { j } + \Delta v_ { j } \right )- \Phi \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \approx \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \Delta v_ { j } \end {array} \] 이다. 따라서 작은 곡면 $ S_ { i j } = \Phi \left (U_ { i j } \right ) $의 면적 $ \Delta S_ { i j } $은 \[ \begin {aligned} \Delta S_ { i j } \approx \left \| \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \Delta u_ { i } \times \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \Delta v_ { j } \right \| \\ &= \left \| \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \times \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right \| \Delta u_ { i } \Delta v_ { j } \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ S= \Phi(U) $의 면적 $ A(S) $는 \[A(S) \approx \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { m } \left \| \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \times \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right \| \Delta u_ { i } \Delta v_ { j } \] 와 같게 된다. $ \|P\| \rightarrow 0 $일 때의 극한값은 $ S= \Phi(U) $의 면적이 된다. 즉, \[A(S)= \iint_ { U } \left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| d u d v \] 이다.. 이때 그림 8.1-1에서 알 수 있듯이 $ \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) $는 곡면 위의 점 $ \Phi(u, v) $에서 곡면에 대한 법선벡터이고, \[ \begin {aligned} \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) &= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial z } {\partial u } \\ \frac {\partial x } {\partial v } & \frac {\partial y } {\partial v } & \frac {\partial z } {\partial v } \end {array} \right \| \\ &= \left \| \begin {array} { cc } \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial z } {\partial u } \\ \frac {\partial y } {\partial v } & \frac {\partial z } {\partial v } \end {array} \right \| \mathbf { i } - \left \| \begin {array} { cc } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial z } {\partial u } \\ \frac {\partial x } {\partial v } & \frac {\partial z } {\partial v } \end {array} \right \| \mathbf { j } + \left \| \begin {array} { cc } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial u } \\ \frac {\partial x } {\partial v } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \| \mathbf { k } \\ &= \left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } , \frac {\partial(z, x) } {\partial(u, v) } , \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) \end {aligned} \] 이므로, \[ \left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \|= \sqrt {\left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(z, x) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } } \] 이다. 따라서 \[ A(S)= \iint_ { U } \sqrt {\left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(z, x) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } } d u d v \] 으로도 표현된다. 특히 \[ \begin {aligned} d S &= \left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| d u d v \\ &= \sqrt {\left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(z, x) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } } d u d v \end {aligned} \] 를 면적소(area element)라고 한다.</p> <h3>예제 8.3.3</h3> <p>영역 $ \Omega $는 포물면 $ z=4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $과 $ x y $-평면으로 둘러싸여 있다. 벡터장 $ F(x, y, z)=2 z \mathbf { i } + x \mathbf { j } + y ^ { 2 } \mathbf { k } $에 대하여 가우스의 발산정리가 성립함을 확인하여라.</p> <p>풀이. 먼저 $ \iiint_ {\Omega } \operatorname { div } F d V $를 구해보자. \[ \operatorname { div } F= \frac {\partial } {\partial x } (2 z) + \frac {\partial } {\partial y } (x) + \frac {\partial } {\partial z } \left (y ^ { 2 } \right )=0 \] 이므로 \[ \iiint_ {\Omega } \operatorname { div } F d V=0 \] 이제 $ \iint_ { S } F \cdot N d S $을 구하기 위해서 곡면 $ S $를 이루고 있는 $ x y- $평면 $ S_ { 1 } $과 포물면 $ S_ { 2 } $의 바깥쪽을 향하는 단위법선벡터를 각각 $ N_ { 1 } , N_ { 2 } $라고 하고 $ D= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq \right . $ $ 2 \} $라고 하자. \[N_ { 1 } =- \mathbf { k } , \quad N_ { 2 } = \frac { 2 x \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j } + \mathbf { k } } {\sqrt { 4 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + 1 } } \] 이고, 따라서 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } F & \cdot N d S \\ &= \iint_ { S_ { 1 } } F \cdot N_ { 1 } d S + \iint_ { S_ { 2 } } F \cdot N_ { 2 } d S \\ &= \iint_ { S_ { 1 } } F \cdot(- \mathbf { k } ) d S + \iint_ { S_ { 2 } } F \cdot \left ( \frac { 2 x \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j } + \mathbf { k } } {\sqrt { 4 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } + 1 } } \right ) d S \\ &= \iint_ { D } -y ^ { 2 } d A + \iint_ { D } \left (4 x z + 2 x y + y ^ { 2 } \right ) d A \\ &= \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { - \sqrt { 4-y ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 4-y ^ { 2 } } } (4 x z + 2 x y) d x d y \\ &= \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { - \sqrt { 4-y ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 4-y ^ { 2 } } } \left [4 x \left (4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) + 2 x y \right ] d x d y \\ &= \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { - \sqrt { 4-y ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 4-y ^ { 2 } } } \left (16 x-4 x ^ { 3 } -4 x y ^ { 2 } + 2 x y \right ) d x d y \\ &= \int_ { -2 } ^ { 2 } \left [8 x ^ { 2 } -x ^ { 4 } -2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y \right ]_ { - \sqrt { 4-y ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 4-y ^ { 2 } } } d y \\ &= \int_ { -2 } ^ { 2 } 0 d y=0 . \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.2.1</h3> <p>그림 8.2-13과 같이 주어진 나선면 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z= \theta $ 위에서 정의된 실수값 함수 $ f(x, y, z)= \sqrt { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $의 곡면적분을 구하여라. (단, $ 0 \leq \theta<2 \pi, 0 \leq r \leq 1) $</p> <p>풀이. 주어진 곡면으로부터 면적비를 구하기 위하여 각 야코비 행렬식을 계산하면 \[ \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } =r, \frac {\partial(y, z) } {\partial(r, \theta) } = \sin \theta, \frac {\partial(x, z) } {\partial(r, \theta) } = \cos \theta \] 이므로 \[ \sqrt {\left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(r, \theta) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, z) } {\partial(r, \theta) } \right ) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } \] 이다. 또한 주어진 함수 $ f $는 \[f(x, y, z)=f(r \cos \theta, r \sin \theta, \theta)= \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } \] 이므로, 따라서 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } f(x, y, z) d S &= \iint_ { D } f( \Phi(r, \theta)) \left \| \Phi_ { r } \times \Phi_ {\theta } \right \| d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } \sqrt { 1 + r ^ { 2 } } d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 4 } { 3 } d \theta \\ &= \frac { 8 } { 3 } \pi. \end {aligned} \]</p> <h3>예제 8.2.6</h3> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 구면 $ S= \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =a ^ { 2 } \right \} $의 매개함수 표현 $ \Phi $가 다음과 같이 주어졌을 때, $ \Phi $가 방향을 유지하는 매개함수 표현이 되도록 이 구면 위의 단위법선벡터를 구하여라. \[ \Phi( \varphi, \theta)=(a \sin \varphi \cos \theta, a \sin \varphi \sin \theta, a \cos \varphi),( \varphi, \theta) \in U \\ J= \{ ( \varphi, \theta) \mid 0 \leq \varphi \leq \pi, 0 \leq \theta<2 \pi \} \]</p> <p>풀이. 구하는 단위 법선벡터 $ N $은 \[N(u, v)= \frac {\Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) } {\left \| \Phi_ { u } (u, v) \times \Phi_ { v } (u, v) \right \| } \] 이다. 이제 구면 $ S $의 매개함수 표현에 대하여 \[ \begin {array} { l } \Phi_ {\varphi } ( \varphi, \theta)=(a \cos \varphi \cos \theta, a \cos \varphi \sin \theta,-a \sin \varphi), \\ \Phi_ {\theta } ( \varphi, \theta)=(-a \sin \varphi \sin \theta, a \sin \varphi \cos \theta, 0) \end {array} \] 이고, \[ \begin {aligned} \Phi_ {\varphi } &( \varphi, \theta) \times \Phi_ {\theta } ( \varphi, \theta) \\ &= \left (a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi \cos \theta, a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi \sin \theta, a ^ { 2 } \sin \varphi \cos \varphi \right ) \\ &=(a \sin \varphi) \Phi( \varphi, \theta) \\ \mid \Phi_ {\varphi } &( \varphi, \theta) \times \Phi_ {\theta } ( \varphi, \theta) \mid \\ &=\|(a \sin \varphi) \Phi( \varphi, \theta)\| \\ &=(a \sin \varphi)\| \Phi( \varphi, \theta)\|=a ^ { 2 } \sin \varphi \quad(0 \leq \varphi \leq \pi) \end {aligned} \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} N &= \frac {\Phi_ {\varphi } ( \varphi, \theta) \times \Phi_ {\theta } ( \varphi, \theta) } {\left \| \Phi_ {\varphi } ( \varphi, \theta) \times \Phi_ {\theta } ( \varphi, \theta) \right \| } \\ &= \frac { 1 } { a } \Phi( \varphi, \theta) \\ &= \frac { 1 } { a } (x, y, z) \end {aligned} \] 이다.</p> <h2>양함수 표현을 갖는 곡면의 넓이</h2> <p>곡면 $ S $가 양함수 $ z=f(x, y),(x, y) \in U $로 주어지면 매개함수 표현은 \[ \Phi: x=u, y=v, z=f(u, v),(x, y) \in U \] 이다. $ f $가 $ C ^ { 1 } $급 함수이면 \[ \Phi_ { u } = \left (1,0, \frac {\partial f } {\partial u } \right ), \] \[ \Phi_ { v } = \left (0,1, \frac {\partial f } {\partial v } \right ) \] 이고 \[ \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \|= \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial f } {\partial u } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial f } {\partial v } \right ) ^ { 2 } } \] 이므로 함수 $ z=f(x, y),(x, y) \in U $로 표현되는 곡면 $ S $의 넓이는 \[A(S)= \iint_ { U } \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial f } {\partial u } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial f } {\partial v } \right ) ^ { 2 } } d u d v \] 로 표현된다.</p> <h3>예제 8.1.6</h3> <p>예제 8.1.6 평면 $ z=9 $와 평면 $ z=0 $ 사이에 놓여있는 포물면 $ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이. 포물면 $ S $는 정의역 $ U= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 9 \right \} $ 위에서 $ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $로 정의되므로 면적 $ A(S) $는 \[ \begin {aligned} A(S) &= \iint_ { U } \sqrt { 1 + \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) ^ { 2 } } d x d y \\ &= \iint_ { U } \sqrt { 1 + (2 x) ^ { 2 } + (2 y) ^ { 2 } } d x d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 3 } \sqrt { 1 + 4 r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \int_ { 0 } ^ { 3 } r \sqrt { 1 + 4 r ^ { 2 } } d r \\ &=2 \pi \left ( \frac { 1 } { 8 } \right ) \frac { 2 } { 3 } \left [ \left (1 + 4 r ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } \right ]_ { 0 } ^ { 3 } \\ &= \frac {\pi } { 6 } (37 \sqrt { 37 } -1) \end {aligned} \] 이다.</p> <h1>8.2 곡면적분</h1> <h2>실수값 함수의 곡면적분</h2> <p>매끄러운 곡면 $ S $가 매개함수 표현 \[ \Phi(u, v)=(x(u, v), y(u, v), z(u, v)),(u, v) \in D \] 를 갖는다고 하자. $ D $를 평면 위의 영역이라 하고 $ D $의 분할 \[P= \left \{\left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \mid i=1,2, \cdots, n, j=1,2, \cdots, m \right \} \] 에 대하여 작은 곡면영역 $ S_ { i j } = \Phi \left (D_ { i j } \right ) $의 면적을 $ \Delta S_ { i j } $로 표시하자. 그러면 \[ \Delta S_ { i j } \approx \left \| \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \times \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right \| \Delta u_ { i } \Delta v_ { j } \] 이므로, 곡면 $ S $ 위에서 정의된 연속인 실수값 함수 $ f $의 리만합은 \[ \begin {aligned} \sum_ { j=1 } ^ { m } & \sum_ { i=1 } ^ { n } f \left ( \Phi \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right ) \Delta S_ { i j } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { m } \sum_ { i=1 } ^ { n } f \left ( \Phi \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right ) \left \| \Phi_ { u } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \times \Phi_ { v } \left (u_ { i } , v_ { j } \right ) \right \| \Delta u_ { i } \Delta v_ { j } \end {aligned} \] 이다. 결국 $ \|P\| \rightarrow 0 $이면 그 극한은 이중적분 \[ \iint_ { D } f( \Phi(u, v)) \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| d u d v \] 가 되며, 이 이중적분을 곡면 $ S $ 위에 정의된 함수 $ f $의 곡면 적분(surface integral)이라고 하고 \[ \iint_ { S } f(x, y, z) d S, \iint_ { S } f d S, \iint_ { S } f \] 와 같이 나타낸다. 즉, \[ \iint_ { S } f(x, y, z) d S= \iint_ { D } f( \Phi(u, v)) \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| d u d v \] 이다. $ { } ^ {\dagger } $ 이제 \[ \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \|= \sqrt {\left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } } \] 을 이용하면 \[ \begin {aligned} \iint_ { S } f(x, y, z) d S &= \iint_ { D } f(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \\ & \times \sqrt {\left ( \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(y, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\partial(x, z) } {\partial(u, v) } \right ) ^ { 2 } } d u d v \end {aligned} \] 이 된다. 만일 $ \delta(x, y, z) $가 곡면 위의 점 $ (x, y, z) $의 밀도를 나타내면, 곡면의 질량 $ m $은 \[m= \iint_ { S } \delta(x, y, z) d S \] 가 된다.</p> <h3>예제 8.1.3</h3> <p>매개함수 표현 \[ \Phi(u, v)=2 \cos u \mathbf { i } + 2 \sin u \mathbf { j } + v \mathbf { k } \quad(0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq 2) \] 을 갖는 원기둥 $ S $의 면적을 구하여라.</p> <p>풀이. 매개함수 표현은 \[ \Phi(u, v)=2 \cos u \mathbf { i } + 2 \sin u \mathbf { j } + v \mathbf { k } (0 \leq u \leq 2 \pi, 0 \leq v \leq 2) \] 이므로 \[ \begin {array} { l } \Phi_ { u } =(-2 \sin u, 2 \cos u, 0), \Phi_ { v } =(0,0,1), \\ \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ -2 \sin u & 2 \cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right \| \\ =(2 \cos u, 2 \sin u, 0) \\ \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \|= \sqrt { 4 \cos ^ { 2 } u + 4 \sin ^ { 2 } u } =2 \\ A(S)= \iint_ { U } \left \| \Phi_ { u } \times \Phi_ { v } \right \| d u d v \\ = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 } 2 d v \right ] d u=8 \pi . \\ \end {array} \]</p> <h3>예제 8.1.4</h3> <p>밑면의 반지름이 1이고 높이가 1인 원뿔곡면의 면적을 구하여라</p> <p>풀이. 원뿔곡면은 영역 $ U= \{ (r, \theta) \mid 0<r \leq 1,0 \leq \theta \leq 2 \pi \} $ 위에서 정의된 매개함수 \[x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=r \] 에 의해 표현될 수 있다. 이 매개함수에 의해 \[ \begin {array} { l } \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } = \left \| \begin {array} { cc } \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end {array} \right \|=r, \\ \frac {\partial(y, z) } {\partial(r, \theta) } = \left \| \begin {array} { cc } \sin \theta & r \cos \theta \\ 1 & 0 \end {array} \right \|=-r \cos \theta, \\ \frac {\partial(z, x) } {\partial(r, \theta) } = \left \| \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ \cos \theta & -r \sin \theta \end {array} \right \|=-r \sin \theta \end {array} \] 이므로 \[ \begin {aligned} \left \| \Phi_ { r } (r, \theta) \times \Phi_ {\theta } (r, \theta) \right \| &= \sqrt { r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \\ &= \sqrt { 2 } r \end {aligned} \] 이 된다. 따라서 원뿔곡면의 면적은 \[ \begin {aligned} \iint_ { U } \left \| \Phi_ { r } \times \Phi_ {\theta } \right \| d r d \theta &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 2 } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } d \theta= \sqrt { 2 } \pi \end {aligned} \]</p>	자연
해석학_편미분	<p>예제 $ 2.3 $</p> <p>정리 $ 7.8 $을 써서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } \left (x ^ { 2 } + 2 y \right ) $ 를 계산하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } \left (x ^ { 2 } + 2 y \right )=& \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } x ^ { 2 } + \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } 2 y \\=& \left ( \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } x \right ) ^ { 2 } + 2 \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } y=1 ^ { 2 } + 2 \cdot 2=5 \end {aligned} $</p> <p>반복극한(iterated limit) $ \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } \lim _ { y \rightarrow y_ { 0 } } f(x, y)= \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } \left \{\lim _ { y \rightarrow y_ { 0 } } f(x, y) \right \} $ 와 $ \lim _ { y \rightarrow y_ { 0 } } \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } f(x, y)= \lim _ { y \rightarrow y_ { 0 } } \left \{\lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } f(x, y) \right \} $ 는 일반적으로 같지 않다. 두 반복극한이 같다고 해도 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) $ 가 존재하는 것을 보장하지는 않지만 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) $ 가 존재하면 두 반복극한이 일치한다.</p> <p>예제 $ 2.4 $</p> <p>$ f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 일 때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left ( \lim _ { y \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right )= \lim _ { x \rightarrow 0 } 1=1, \lim _ { y \rightarrow 0 } \left ( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right )= \lim _ { y \rightarrow 0 } (-1)=-1 . $ 두 반복극한이 서로 다르므로 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 는 존재하지 않는다.</p> <p>다음에는 이변수함수의 연속성을 정의하자.</p> <p>같은 방법으로 $ n \geq 3 $ 에 대하여 $ n $ 계 편도함수를 정의할 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } \right ) &= \frac {\partial ^ { 3 } f } {\partial x ^ { 3 } } =f_ { x x x x } \\ \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } \right ) &= \frac {\partial ^ { 3 } f } {\partial x \partial y \partial x } =f_ { x y x } , \quad \cdots \end {aligned} $</p> <p>예제 $ 3.4 $</p> <p>다음 함수의 $ 2 $계 편도함수를 구하라.</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 2 x + 5 y + 4 $</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2, f_ { y } (x, y)=2 x ^ { 3 } y + 5 $ 이므로 $ f_ { x x } (x, y)=6 x y ^ { 2 } , f_ { x y } (x, y)=6 x ^ { 2 } y $, $ f_ { y x } (x, y)=6 x ^ { 2 } y, f_ { y y } (x, y)=2 x ^ { 3 } $.</p> <p>예제 $ 3.5 $</p> <p>다음 함수의 $ 2 $ 계 편미분계수 $ f_ { x y } (0,0) $ 과 $ f_ { y x } (0,0) $ 을 구하라.</p> <p>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } \frac { x y \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $</p> <p>$ \begin {aligned} f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=& f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + h f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + k f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ + \frac { 1 } { 2 } \left \{ h ^ { 2 } f_ { x x } \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ) + 2 h k f_ { x y } \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ) \right . \\ & \left . + k ^ { 2 } f_ { y y } \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ) \right \} \end {aligned} $,</p> <p>여기서 $ 0< \theta<1 $ 이다. $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이므로 $ f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 } f_ { x x } \left \{\left (h + \frac { f_ { x y } } { f_ { x x } } k \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } } { f_ { x x } ^ { 2 } } \right ) k ^ { 2 } \right \} $.</p> <p>정리 $ 7.13 $ 함수 $ f(x, y) $ 와 $ g(x, y) $ 가 편도함수를 가지고 $ c $ 가 상수일 때 다음 편미분 공식들이 성립한다.<ol type = 1 start=1><li>$ (f + g)_ { x } =f_ { x } + g_ { x } , \quad(f + g)_ { y } =f_ { y } + g_ { y } $</li> <li>$ (c f)_ { x } =c f_ { x } , \quad(c f)_ { y } =c f_ { y } $</li> <li>$ (f-g)_ { x } =f_ { x } -g_ { x } , \quad(f-g)_ { y } =f_ { y } -g_ { y } $</li> <li>$ (f g)_ { x } =f_ { x } g + f g_ { x } ,(f g)_ { y } =f_ { y } g + f g_ { y } $</li> <li>$ g(x, y) \neq 0 $ 일 때 $ \left ( \frac { f } { g } \right )_ { x } = \frac { f_ { x } g-f g_ { x } } { g ^ { 2 } } , \quad \left ( \frac { f } { g } \right )_ { y } = \frac { f_ { y } g-f g_ { y } } { g ^ { 2 } } $</li></ol></p> <p>예제 $ 3.2 $</p> <p>다음 함수의 편도함수 $ f_ { x } , f_ { y } $ 와 편미분계수 $ f_ { x } (0,0), f_ { y } (1,2) $ 를 구하라.</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 2 x + 5 y + 4 $</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2, f_ { y } (x, y)=2 x ^ { 3 } y + 5 $ 이므로 $ f_ { x } (0,0)=2, f_ { y } (1,2)=9 $ 이다.</p> <p>$ g(x, y) $ 가 $ (1,2) $ 에서 연속임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } g(x, y)=5=g(1,2) $ 이므로 $ g(x, y) $ 는 $ (1,2) $ 에서 연속이다.</p> <p>함수 $ f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이 아니면 불연속 (discontinuous)이라 하고, 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f(x, y) $ 의 불연속점 (discontinuity)이라 한다. 위의 두 예제에서 보는 바와 같이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 $ f(x, y) $ 의 불연속점이기는 하나 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) $ 가 존재하면, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 다시 정하여 연속인 함수 $ g(x, y) $ 로 고칠 수 있다. 이러한 불연속점을 제거가능 불연속 점(removable discontinuity)라 한다.</p> <p>예제 $ 2.7 $</p> <p>$ h(x, y) $ 가 다음과 같이 정의된 함수라 하자.</p> <p>$ h(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $</p> <p>$ (0,0) $ 에서 $ h(x, y) $ 의 연속성을 조사하라.</p> <p>풀이</p> <p>예제 $ 2.4 $ 에서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } h(x, y) $ 가 존재하지 않음을 보았다. 따라서 $ h(x, y) $ 는 $ (0,0) $ 에서 불연속이고, $ h(0,0) $ 을 어떤 값으로 재지정하더라도 연속함수로 만들 수 없다. 즉 $ h(x, y) $ 의 불연속점 $ (0,0) $ 은 제거가능하지 않다.</p> <p>$ D $ 가 평면의 영역일 때 $ f(x, y) $ 가 $ D $ 의 각 점에서 연속이면 간단히 $ f(x, y) $ 는 $ D $ 에서 연속이다라고 한다.</p> <p>일변수함수들에 관한 연속함수의 성질은 이변수함수에 관해서도 비슷한 정리가 성립함을 증명할 수 있다. 그 중에서 정리 $ 3.14 $ 의 확장을 여기에 소개한다.</p> <p>정리 $ 7.10 $ $ D $ 가 평면의 부분집합이고 두 함수 $ f, g: D \rightarrow \mathbb { R } $ 이 연속이면, $ c f, f + g, f g,\|f\| $ 가 연속이고, $ \frac { f } { g } $ 가 정의되면 연속이다. 여기서 $ c $는 실수이다.</p> <p>정의 $ 7.11 $ 함수 $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속임을 정의할 때 쓰인 $ \delta $ 는 $ \varepsilon $ 과 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 따라서 정해진다. 영역 $ R $ 에서 연속인 함수 $ f(x, y) $ 에 대하여 $ \varepsilon $ 에만 의존하고 특정한 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에는 관계없는 $ \delta $ 가 존재하면, $ f(x, y) $ 는 $ R $ 에서 균등연속(uniformly continuous)이라 한다. 즉, $ f(x, y) $ 가 $ R $ 에서 균등연속이면 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 가 존재한다. $ (x, y), \quad \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \in R, \quad \left \|x-x_ { 0 } \right \|< \delta, \left \|y-y_ { 0 } \right \|< \delta $ 이면 $ \left \|f(x, y)-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon . $</p> <p>정의로부터 영역 $ R $ 에서 균등연속인 함수는 $ R $ 에서 연속이다. 유계인 닫힌 영역에서 연속인 이변수함수는 그 영역에서 균등연속임이 증명되어 있다. 평면의 영역 $ R $ 이 유계(bounded)라 함은 다음을 만족하는 실수 $ M>0 $ 이 존재하는 것을 뜻한다. $ (x, y) \in R \text { 이면 } \|x\| \leq M \text { 이고 } \|y\| \leq M \left ( \text { 또는 } x ^ { 2 } + y ^ { 2 }<M ^ { 2 } \right ) $.</p> <p>예제 $ 3.8 $</p> <p>$ x=3 r ^ { 2 } + 2 s, y=4 r-2 s ^ { 3 } \text { 이고 } z=2 x ^ { 2 } -3 y ^ { 2 } \text { 일 때 } \frac {\partial z } {\partial r } \text { 과 } \frac {\partial z } {\partial s } $ 를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {array} { l } \frac {\partial z } {\partial x } =4 x, \frac {\partial z } {\partial y } =-6 y, \frac {\partial x } {\partial r } =6 r, \\ \frac {\partial x } {\partial s } =2, \quad \frac {\partial y } {\partial r } =4, \frac {\partial y } {\partial s } =-6 s ^ { 2 } \end {array} $ 이므로 연쇄율을 써서 다음과 같이 구할 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial r } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } \\ &=(4 x)(6 r) + (-6 y)(4) \\ &=24 r \left (3 r ^ { 2 } + 2 s \right )-24 \left (4 r-2 s ^ { 3 } \right )=72 r ^ { 3 } + 48 s ^ { 3 } + 48 r s-96 r, \\ \frac {\partial z } {\partial s } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \\ &=(4 x)(2) + (-6 y) \left (-6 s ^ { 2 } \right ) \\ &=8 \left (3 r ^ { 2 } + 2 s \right ) + 36 s ^ { 2 } \left (4 r-2 s ^ { 3 } \right )=24 r ^ { 2 } + 16 s + 144 r s ^ { 2 } -72 s ^ { 5 } \end {aligned} $.</p> <p>임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여, $ 0<\|x-1\|< \delta $ 이고 $ 0<\|y-2\|< \delta $ 이면 $ \left \|x ^ { 2 } + 2 y-5 \right \|< \varepsilon $ 인 $ \delta>0 $ 를 구하면 된다. $ \delta \leq 1 $ 인 $ \delta $ 를 구하기로 하자. 우선 $ 0<\|x-1\|< \delta $ 이고 $ 0<\|y-2\|< \delta $ 이라 하면 $ 1- \delta<x<1 + \delta $ 이고 $ 2- \delta<y<2 + \delta $ 이다. $ (x=1, y=2 $ 는 제외된다. $ ) $ 따라서 $ 1-2 \delta + \delta ^ { 2 }<x ^ { 2 }<1 + 2 \delta + \delta ^ { 2 } $, $ 4-2 \delta<2 y<4 + 2 \delta $, 이고, 각 변끼리 더하면 다음이 된다. 즉 $ -4 \delta + \delta ^ { 2 }<x ^ { 2 } + 2 y-5<4 \delta + \delta ^ { 2 } $ 이다.이제 $ 0< \delta \leq 1 $ 이므로 $ -5 \delta<x ^ { 2 } + 2 y-5<5 \delta $, 즉 $ \left \|x ^ { 2 } + 2 y-5 \right \|<5 \delta $ 가 된다. 따라서 $ \delta= \min \left \{\frac {\varepsilon } { 5 } , 1 \right \} $ 라 두면 다음이 성립한다. $ 0<\|x-1\|< \delta \text { 이고 } 0<\|y-2\|< \delta \text { 이면 } \left \|x ^ { 2 } + 2 y-5 \right \|< \varepsilon \text { . } $</p> <p>위의 예제에서 $ f(1,2)=0 $ 이므로 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } f(x, y) \neq f(1,2) $ 임에 주목하자. 실제로 함수 $ f(x, y) $ 가 $ (1,2) $ 에서 $ 0 $ 아닌 다른 값으로 정의되거나 혹은 아예 정의되지 않더라도 위의 극한값은 $ 5 $ 이다.</p> <p>극한 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) $ 가 존재하면 그 값은 $ (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $에 접근하는 경로에 관계없이 일정하다. 따라서 다른 접근 경로를 택할 때 값이 달라진다면 극한은 존재하지 않는다. 이것은 일변수함수와 마찬가지로 이변수함수의 극한도 존재하면 유일함을 뜻한다.</p> <p>예제 $ 2.2 $</p> <p>다음 이변수함수에 대하여 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,1) } f(x, y) $ 은 존재하지 않음을 보여라.</p> <p>$ f(x, y)= \tan ^ { -1 } \frac { y } { x } $</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ {\substack { x \rightarrow 0 + \\ y \rightarrow 1 } } f(x, y)= \frac {\pi } { 2 } $ 이고 $ \lim _ {\substack { x \rightarrow 0- \\ y \rightarrow 1 } } f(x, y)=- \frac {\pi } { 2 } . $ 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,1) } f(x, y) $ 은 존재하지 않는다.</p> <p>예제 $ 2.2 $에서처럼 일방극한의 개념은 이변수함수일 때도 자연스럽게 정의된다. 일변수함수에서 성립하는 여러 극한정리들과 비슷한 정리를 이변수함수에 대해서도 어렵지 않게 증명할 수 있다. 그 중에서 정리 $ 3.6 $ 을 확장한 정리를 여기에 소개한다.</p> <p>예제 $ 3.3 $</p> <p>다음 함수의 편도함수를 구하라.</p> <p>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $</p> <p>풀이</p> <p>먼저 $ (x, y) \neq(0,0) $ 일 때는 정리 $ 7.13 $ 를 사용하여 편미분계수를 구할 수 있다.</p> <p>$ f_ { x } (x, y)= \frac { (y) \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right )-(x y)(2 x) } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } = \frac { y ^ { 3 } -x ^ { 2 } y } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $ $ f_ { y } (x, y)= \frac { (x) \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right )-(x y)(2 y) } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } = \frac { x ^ { 3 } -x y ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } $</p> <p>다음 $ (x, y)=(0,0) $ 일 때 위에서 구한 $ f_ { x } (x, y) $ 나 $ f_ { y } (x, y) $ 에 $ (0,0) $ 을 대입하여 $ f_ { x } (0,0) $ 와 $ f_ { y } (0,0) $ 을 구할 수는 없다. 그러므로 편미분계수의 정의에 따라 직접 계산한다.</p> <p>$ f_ { x } (0,0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(0 + h, 0)-f(0,0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left ( \frac { (h)(0) } { h ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } -0 \right )=0 $, $ f_ { y } (0,0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(0,0 + h)-f(0,0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left ( \frac { (0)(h) } { 0 ^ { 2 } + h ^ { 2 } } -0 \right )=0 . $</p> <p>예제 $ 3.3 $ 의 함수 $ f(x, y) $ 는 평면상의 모든 점에서 정의되는 편도함수를 가진다. 그러나 $ f(x, y) $ 는 $ (x, y)=(0,0) $ 에서 연속이 아니다. 이것은 편도함수의 존재가 이변수함수의 연속성을 보장하는 것은 아님을 뜻한다. 그러나 도함수를 가지는 일변수함수는 연속이다(정리 $ 4.3 $).</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } =2 x, f_ { y } =2 y $ 이므로 임계점은 $ (0,0) $ 이다. 또, $ f_ { x x } =2, f_ { y y } =2 $, $ f_ { x y } =f_ { y x } =0 $ 이므로 $ \quad(0,0) $ 에서 $ \quad \Delta=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } { } ^ { 2 } =4>0 $ 이다. $ f_ { x x } =2>0 $ 이므로 $ f(0,0)=0 $ 은 극소값이다. 실제로 $ (0,0) $ 은 $ f $ 의 유일한 임계점이므로 $ f(0,0)=0 $ 은 $ f $ 의 최소값이 된다.</p> <p>예제 $ 4.2 $</p> <p>$ f(x, y)=x y $ 의 임계점을 조사하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } =y, f_ { y } =x $ 이므로 임계점은 $ (0,0) $ 이다. 그리고 $ f_ { x x } =f_ { y y } =0 $, $ f_ { x y } =f_ { y x } =1 $ 이므로 $ \triangle=-1 $ 〈0이다. 따라서 $ (0,0) $ 은 $ f $ 의 안장점이다.</p> <h1>연습문제 $ 7.4 $</h1> <p>$ 1. $ 점 $ (0,0) $ 은 다음 함수의 임계점이다. 극대, 극소 또는 안장점을 판별하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } $</li> <li>$ f(x, y)=y ^ { 4 } -x ^ { 4 } $</li> <li>$ f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } $</li> <li>$ f(x, y)=x ^ { 5 } + x ^ { 3 } + y ^ { 3 } $</li></ol> <p>$ 2. $ 다음 함수의 극대값과 극소값을 구하여라.</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -3 x-12 y + 20 $</p> <h2>연습문제 풀이 및 해답</h2> <p>$ 1. $</p> <ol type=1 start=1><li>극소</li> <li>안장점</li> <li>안장점</li> <li>아무것도 아님</li></ol> <p>$ 2. $ $ f_ { x } =3 x ^ { 2 } -3=0 $ 이면 $ x= \pm 1, f_ { y } =3 y ^ { 2 } -12=0 $ 이면 $ y= \pm 2 $ 이다. 따라서 $ \quad $ 임계점은 $ \quad(1,2),(-1,2),(1,-2),(-1,-2) $ 이다. $ f_ { x x } =6 x, f_ { y y } =6 y, f_ { x y } =0 $ 이므로 $ \quad \Delta=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } { } ^ { 2 } =36 x y $ 이다. $ (-1,2) $ 와 $ (1,-2) $ 에서 $ \triangle<0 $ 이므로 $ (-1,2) $ 와 $ (1,-2) $ 에서 안장점을 가진다. (1, 2) 와 $ (-1,-2) $ 에서는 $ \quad \triangle>0 $ 이고 $ f_ { x x } (1,2)>0, f_ { x x } (-1,-2)<0 $ 이므로 $ f(1,2)=2 $ 는 극소값이고 $ f(-1,-2)=38 $ 은 극대값이다.</p> <p>여기서 $ f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 $ 이면 $ f_ { x x } $ 의 연속성에 의하여 $ f_ { x x } (x, y)<0 $ 인 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방이 존재한다. 마찬가지로 $ \Delta=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-f_ { x y } ^ { 2 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 $ 이면, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방에서 중괄호 속의 합 $ >0 $ 이다.</p> <p>따라서 절대값이 충분히 작은 $ h $ 와 $ k $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>$f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $</p> <p>즉, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극대값이다.</p> <p>$ R $ 이 유계인 닫힌 영역이고, $ f $ 가 $ R $ 에 속하는 점 $ \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값을 가지면 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 $ f $ 의 임계점이거나 영역 $ R $ 의 경계점이다. 영역 $ R $ 에서 $ f $ 의 최대값(또는 최소값)은 임계점에서의 함수값과 $ R $ 의 경계선에서의 $ f $ 의 극값 중에서 가장 큰(또는 작은) 값이다.</p> <p>예제 $ 4.1 $</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 의 극값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ (x, y) \neq(0,0) $ 일 때는 정리 $ 7.13 $ 를 사용하여 편미분계수를 구할 수 있다.</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=y \left \{\frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \frac { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \right \} $, $ f_ { y } (x, y)=x \left \{\frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - \frac { 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \right \} . $</p> <p>특히 $ f_ { x } (0, y)=-y, f_ { y } (x, 0)=x $ 이다. $ (0,0) $ 에서는 편미분계수의 정의로부터 다음을 얻는다.</p> <p>$ f_ { x } (0,0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(h, 0)-f(0,0) } { h } =0 $, $ f_ { y } (0,0)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { f(0, k)-f(0,0) } { k } =0 . $</p> <p>따라서 구하는 $ 2 $ 계 편미분계수는 다음과 같다.</p> <p>$ f_ { x y } (0,0)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { f_ { x } (0, k)-f_ { x } (0,0) } { k } = \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { -k } { k } =-1 $, $ f_ { y x } (0,0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f_ { y } (h, 0)-f_ { y } (0,0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { h } { h } =1 . $</p> <p>위 예제에서 보는 바와 같이 $ f_ { x y } $ 와 $ f_ { y x } $ 는 일반적으로 일치하지 않는다. 다음 정리는 $ f_ { x y } $ 와 $ f_ { y x } $ 가 일치할 조건을 제시한다. 그 증명은 일변수함수의 평균치정리를 이용하여 증명할 수 있으나 여기서는 생략하기로 한다.</p> <p>같은 방법으로 $ y $ 에 관하여 미분하여 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 에 관하여 풀면 다음 결과를 얻는다.</p> <p>$ -2 x y + z ^ { 2 } + 2 y z \frac {\partial z } {\partial y } -3 z ^ { 2 } \frac {\partial z } {\partial y } =0 $. $ z_ { y } = \frac {\partial z } {\partial y } = \frac { 2 x y-z ^ { 2 } } { 2 y z-3 z ^ { 2 } } \quad \left (2 y z \neq 3 z ^ { 2 } \right ) $.</p> <p>예제 $ 3.7 $</p> <p>$ u $ 와 $ v $ 가 $ x, y $ 의 이변수함수이고 다음을 만족한다고 할 때, $ u_ { x } $ 와 $ v_ { x } $ 를 구하라.</p> <p>$ u ^ { 2 } -v ^ { 2 } =x, \quad 2 u v=y $</p> <p>풀이</p> <p>$ x $ 에 관하여 미분하면 $ 2 u u_ { x } -2 v v_ { x } =1, \quad v u_ { x } + u v_ { x } =0 $</p> <p>크레이머의 공식을 이용하여 $ u_ { x } $ 와 $ v_ { x } $ 를 구하면 $ \begin {array} { l } u_ { x } = \frac {\left \| \begin {array} { cc } 1 & -2 v \\ 0 & u \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { cc } 2 u & -2 v \\ v & u \end {array} \right \| } = \frac { u } { 2 \left (u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) } \\ v_ { x } = \frac {\left \| \begin {array} { cc } 2 u & 1 \\ v & 0 \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { cc } 2 u & -2 v \\ v & u \end {array} \right \| } = \frac { -v } { 2 \left (u ^ { 2 } + v ^ { 2 } \right ) } . \end {array} $</p> <p>이변수함수나 다변수함수에 대해서도 연쇄율을 적용할 수 있다. 그러나 일변수함수와는 달리 합성함수를 만드는 방법이 매우 다양하므로 연쇄율도 여러 가지 형태로 나타난다.</p> <p>$ x=g(r, s), y=h(r, s) $ 이고 $ z=f(x, y) $ 이면 $ z $ 는 $ r $ 과 $ s $ 의 함 수가 된다. 이 때는 $ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } , \quad \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } $.</p> <p>일반적으로 $ \quad x_ { 1 } =f_ { 1 } \left (r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { m } \right ), \cdots, x_ { n } =f_ { n } \left (r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { m } \right ) $ 이고 $ y=F \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 이면 $ \frac {\partial y } {\partial r_ { k } } = \frac {\partial y } {\partial x_ { 1 } } \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial r_ { k } } + \frac {\partial y } {\partial x_ { 2 } } \frac {\partial x_ { 2 } } {\partial r_ { k } } + \cdots + \frac {\partial y } {\partial x_ { n } } \frac {\partial x_ { n } } {\partial r_ { k } } , k=1,2, \cdots, m $</p> <p>특히 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $ 이 변수 $ r $ 하나에만 종속되는 변수이면 $ \frac { d y } { d r } = \frac {\partial y } {\partial x_ { 1 } } \frac { d x_ { 1 } } { d r } + \frac {\partial y } {\partial x_ { 2 } } \frac { d x_ { 2 } } { d r } + \cdots + \frac {\partial y } {\partial x_ { n } } \frac { d x_ { n } } { d r } . $</p> <p>예제 $ 3.1 $</p> <p>점 $ (1,2) $ 에서 다음 함수의 편미분계수를 구하라.</p> <p>$ f(x, y)=2 x ^ { 2 } -x y + y ^ { 2 } $</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \left . \frac {\partial f } {\partial x } \right \|_ { (1,2) } &=f_ { x } (1,2)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(1 + h, 2)-f(1,2) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 2(1 + h) ^ { 2 } -(1 + h)(2) + 2 ^ { 2 } - \left [(2)(1) ^ { 2 } -(1)(2) + 2 ^ { 2 } \right ] } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 2 h + 2 h ^ { 2 } } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } (2 + 2 h)=2 \end {aligned} $ $ \begin {aligned} \left . \frac {\partial f } {\partial y } \right \|_ { (1,2) } &=f_ { y } (1,2)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(1,2 + h)-f(1,2) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { (2)(1) ^ { 2 } -(1)(2 + h) + (2 + h) ^ { 2 } - \left [(2)(1) ^ { 2 } -(1)(2) + 2 ^ { 2 } \right ] } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 3 h + h ^ { 2 } } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } (3 + h)=3 \end {aligned} $</p> <p>실제로 이변수함수 편도함수를 구하는 일이 일변수함수의 도함수를 구하는 것보다 더 어려운 것은 아니다. 한 변수는 고정하여 상수처럼 취급하므로 사실상 일변수함수를 미분하는 것과 같다. 따라서 정리 $ 4.6 $ 의 미분공식은 편미분에서도 유효하다.</p> <p>정리 $ 7.20 $ 이변수함수 $ f(x, y) $ 와 $ 1 $계 편도함수, $ 2 $계 편도함수가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 영역 $ R $ 에서 모두 연속이고, $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이라 하자. 이때 $ \Delta=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-f_ { x y } ^ { 2 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 로 두면<ol type=1 start=1><li>$ \triangle>0, f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극대값이고,</li> <li>$ \triangle>0, f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극소값이고,</li> <li>$ \triangle<0 $ 이면 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 $ f(x, y) $ 의 안장점(saddle point)이다.</li> <li>$ \Delta=0 $ 이면 $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극대, 극소, 안장점을 가질 수도 있고 아무것도 가지지 않을 수도 있다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>$ \triangle>0, f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 $ 인 경우만 증명하기로 한다.</p> <p>$ n=1 $ 일 때 Taylor의 평균치 정리는 다음과 같다.</p> <p>정리 $ 7.15 $ 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방에서 이변수함수 $ f(x, y) $ 와 편도함수 $ f_ { x } , f_ { y } $, $ f_ { x y } $ 가 존재하고 연속이면, $ f_ { y x } $ 도 존재하고 $ f_ { y x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) = f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이다.</p> <p>음함수로 정의된 이변수함수의 편미분을 구하는 방법도 일변수함수일 때와 비슷하다.</p> <p>예제 $ 3.6 $</p> <p>$ z $ 가 $ x, y $ 의 함수이고 다음 식을 만족한다고 하자.</p> <p>$ x ^ { 3 } -x y ^ { 2 } + y z ^ { 2 } -z ^ { 3 } =5 $</p> <p>편도함수 $ z_ { x } = \frac {\partial z } {\partial x } , z_ { y } = \frac {\partial z } {\partial y } $ 존재한다고 하면 $ z_ { x } $ 와 $ z_ { y } $ 를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>양변을 $ x $ 에 관하여 미분하면 $ 3 x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + 2 y z \frac {\partial z } {\partial x } -3 z ^ { 2 } \frac {\partial z } {\partial x } =0 $</p> <p>$ \frac {\partial z } {\partial x } $ 에 관하여 풀면 다음과 같다.</p> <p>$z_ { x } = \frac {\partial z } {\partial x } = \frac { y ^ { 2 } -3 x ^ { 2 } } { 2 y z-3 z ^ { 2 } } \quad \left (2 y z \neq 3 z ^ { 2 } \right ) $</p> <p>정리 $ 7.14 $ 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 편도함수 $ f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 서 연속이면, $ f(x, y) $ 도 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이다.</p> <p>증명은 생략한다. 예제 $ 3.3 $ 에서 편도함수 $ f_ { x } $ 와 $ f_ { y } $ 는 $ (0,0) $ 에서 연속이 아님에 주목하자.</p> <p>이변수함수 $ f(x, y) $ 의 편도함수 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 도 이변수함수이다. $ f_ { x } $ 나 $ f_ { y } $ 가 편도함수를 가지면 이를 $ f $ 의 2계 편도함수(2nd order partial derivative)라 하고 다음과 같이 나타낸다.</p> <p>$ \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right ) = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } =f_ { x x } , \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } =f_ { x y } $, $ \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } =f_ { y x } , \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } =f_ { y y } . $</p> <p>정의 $ 7.9 $ 함수 $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방에서 정의된다고 하자. $ f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속(continuous)이라 함은 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) = f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 임을 뜻한다. 즉 $ f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이면 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ ( $ \varepsilon $ 과 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 의하여 결정된다)이 존재하는 것이다. $ \left \|x-x_ { 0 } \right \|< \delta $ 이고 $ \left \|y-y_ { 0 } \right \|< \delta $ 이면 $ \left \|f(x, y)-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon $</p> <p>예제 $ 2.5 $</p> <p>$ f(x, y) $ 가 다음과 같이 정의된 함수라 하자.</p> <p>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } x ^ { 2 } + 2 y, & (x, y) \neq(1,2) \\ 0, & (x, y)=(1,2) \end {array} \right . $</p> <p>$ f(x, y) $ 가 $ (1,2) $ 에서 연속이 아님을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } f(x, y)=5 \neq 0=f(1,2) \text { 이므로 } f(x, y) $는 $ (1,2) $ 에서 연속이 아니다.</p> <p>예제 $ 2.6 $</p> <p>$ g(x, y) $ 가 다음과 같이 정의된 함수라 하자.</p> <p>$ g(x, y)= \left \{\begin {array} { cc } x ^ { 2 } + 2 y, & (x, y) \neq(1,2) \\ 5, & (x, y)=(1,2) \end {array} \right . $</p> <h1>7.3 편도함수</h1> <p>$ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 근방에서 정의된 이변수함수일 때 독립변수 $ y $ 를 $ y_ { 0 } $ 로 고정하면, $ f $ 는 $ x = x_ { 0 } $ 근방에서 정의되는 $ x $ 에 관한 일변수함수가 된다. 즉, $ \Phi(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 그러면 $ \phi $ 는 $ x=x_ { 0 } $ 에서 미분계수 $ \phi ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) $ 를 가지는가? 이 질문으 로부터 편미분계수의 정의를 이끌어 낸다.</p> <p>정의 $ 7.12 $ $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 근방에서 정의된 이변수함수일 때, 극한 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \equiv \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } $ 가 존재하면, $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ x $ 에 관한 $ f $ 의 편미분계수(partial derivative of $ f $ with respect to $ x $ at $ \left . \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 라 한다. 또 극한 $f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \equiv \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + h \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } $ 가 존재하면, $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ y $ 에 관한 $ f $ 의 편미분계수(partial derivative of $ f $ with respect to $ y $ at $ \left . \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 라 한다. 일변수함수에 대하여 미분계수로부터 도함수를 정의한 것처럼 편미분계수를 함수값으로 하는 새로운 함수를 정의할 수 있다. $ f_ { x } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h, y)-f(x, y) } { h } $, $ f_ { y } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x, y + h)-f(x, y) } { h } $ 를 각각 $ f $ 의 $ x $ 에 관한 편도함수(partial derivative of $ f $ with respect to $ x $ ), $ f $ 의 $ y $ 에 관한 편도함수(partial derivative of $ f $ with respect to $ y $ )라 부른다. 편도함수는 $ \quad \frac {\partial f } {\partial x } =f_ { x } =f_ { x } (x, y), \frac {\partial f } {\partial y } =f_ { y } =f_ { y } (x, y) $ 로 $ \quad $ 나타내며, $ \quad z=f(x, y) $ 로 함수를 표시하면 $ \frac {\partial z } {\partial x } =f_ { x } , \frac {\partial z } {\partial y } =f_ { y } $ 등으로 쓰기도 한다. 편미분계수는 $ \left . \frac {\partial f } {\partial x } \right \|_ {\left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } , \left . \frac {\partial f } {\partial y } \right \|_ {\left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } $ 등으로 나타낸다. 편도함수를 구하는 일을 편미분(partial differentiation)이라 한다.</p> <p>정리 $ 7.19 $ 이변수함수 $ f(x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극대값 또는 극소값을 가지고, 편미분계수가 모두 존재하면 다음이 성립한다. $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) = 0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $.</p> <p>증명</p> <p>$ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 $ f(x, y) $ 의 극값이면, 일변수함수 $ \phi(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 와 $ \Psi(x)=f \left (x_ { 0 } , y \right ) $ 에 대하여도 극값이 된다. $ \Phi $ 와 $ \Psi $ 가 $ x=x_ { 0 } $ 와 $ y=y_ { 0 } $ 에서 각각 극값을 가지면 정리 $ 4.9 $ 에 의하여 $ \Phi ^ {\prime } (x)=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이고 $ \Psi ^ {\prime } (x)=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이다.</p> <p>함수 $ f(x, y) $ 의 정의역에 속하는 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ f $ 의 편미분 계수가 모두 존재하여 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이거나 적어도 하나의 편미분 계수가 존재하지 않을 때, $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f $ 의 임계점 (critical point)이라고 한다. 정리 $ 7.19 $는 극값은 임계점에서만 존재할 수 있음을 의미한다.</p> <h1>7.2 이변수함수의 극한과 연속성</h1> <p>정의 $ 7.7 $ 함수 $ f(x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 제거된 근방에서 정의된다고 하자. (점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서는 $ f $ 가 정의되지 않아도 된다.) $ (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때 $ f(x, y) $ 의 극한(limit)이 $ L $ 이라는 말은 다음을 뜻한다. 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 $ \delta>0 \left ( \varepsilon \right . $ 과 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 의하여 결정된다)이 존재하여, $ 0< \left \|x-x_ { 0 } \right \|< \delta $ 이고 $ 0< \left \|y-y_ { 0 } \right \|< \delta $ 이면 $ \|f(x, y)-L\|< \varepsilon $ 이다. 이 때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y) = L $ 또는 $ \lim _ {\substack { x \rightarrow x_ { 0 } \\ y \rightarrow y_ { 0 } } } f(x, y)=L $ 로 나타낸다.</p> <p>위의 정의에서 제거된 $ \delta $-근방을 $ 0< \left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 }< \delta ^ { 2 } $ 으로 하여도 된다.</p> <p>예제 $ 2.1 $</p> <p>다음 이변수함수에 대하여 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } f(x, y)=5 $ 임을 증명하라.</p> <p>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { cc } x ^ { 2 } + 2 y, & (x, y) \neq(1,2) \\ 0, & (x, y)=(1,2) \end {array} \right . $</p> <p>풀이</p> <p>정리 $ 7.17 $ Taylor의 평균치 정리(Taylor's Mean value Theorem) 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 닫힌 영역에서 함수 $ f(x, y) $ 의 모든 $ n $ 계 편도함수들이 연속이고, 경계선을 제외한 내부에서 $ (n + 1) $ 계 편도함수들이 존재하면 다음 식이 성립한다. $ \begin {aligned} f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) & = f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ & + \frac { 1 } { 2 ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { 2 } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \cdots \\ & + \frac { 1 } { n ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + R_ { n } \end {aligned} $<caption>(2)</caption>여기서 $ R_ { n } $ 은 $ n $ 항 이후의 나머지로서 다음과 같다. $ R_ { n } = \frac { 1 } { (n + 1) ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n + 1 } f \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ), 0< \theta<1 . $ 그리고 식 $ (2) $에서 쓴 편미분 기호는 다음을 뜻한다. $ \begin {aligned} \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) &=h f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + k f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { 2 } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) &= \left (h ^ { 2 } \frac {\partial ^ { 2 } } {\partial x ^ { 2 } } + 2 h k \frac {\partial ^ { 2 } } {\partial x \partial y } + k ^ { 2 } \frac {\partial ^ { 2 } } {\partial y ^ { 2 } } \right ) f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ &=h ^ { 2 } f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + 2 h k f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + k ^ { 2 } f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), \end {aligned} $ $ \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n } $ 은 이항전개를 하는 것처럼 전개하여 해당되는 편미분 기호로 해석하면 된다.</p> <h1>연습문제 $ 7.2 $</h1> <p>$ 1. $ 정의에 의하여 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,-1) } (3 x-2 y) = 8 $을 증명하라.</p> <p>$ 2. $ 다음 극한을 계산하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } \frac { 3-x + y } { 4 + x-y } $</li> <li>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 2 x-3 y } { 3 y-2 x } $</li> <li>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(4, \pi) } x ^ { 2 } \sin \frac { y } { x } $</li> <li>$ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 2 x-y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $</li></ol> <p>$ 3. $ 다음 함수의 연속성을 조사하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $</li> <li>$ f(x, y)= \frac { x } { 3 x + 5 y } $</li> <li>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \sin \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $</li> <li>$ f(x, y)= \frac { x-y } { x + y } $</li></ol> <h2>연습문제 풀이 및 해딥</h2> <p>$ 1. $ $ 0<\|x-2\|< \delta $ 이고 $ 0<\|y + 1\|< \delta $ 이면 $ \|3 x-2 y-8\|=\|3(x-2)-2(y + 1)\| \leq 3\|x-2\| + 2\|y + 1\|<3 \delta + 2 \delta=5 \delta $ 이므로 주어진 $ \varepsilon $ 에 대하여 $ \delta= \frac {\varepsilon } { 5 } $ 으로 두고 증명하면 된다.</p> <p>$ 2. $</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac { 4 } { 3 } $</li> <li>존재하지 않음</li> <li>$ 8 \sqrt { 2 } $</li> <li>존재하지 않음</li></ol> <p>$ 3. $</p> <ol type=1 start=1><li>$ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 연속</li> <li>직선 $ 3 x + 5 y=0 $ 위에서 불연속</li> <li>$ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 에서 연속, 특히 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=0=f(0,0) $</li> <li>직선 $ x + y=0 $ 위에서 불연속</li></ol> <p>위의 정리는 $ F(t)=f \left (x_ { 0 } + h t, y_ { 0 } + k t \right ) $ 로 두고 $ F(t) $ 를 Taylor 다항식으로 전개하여 증명할 수 있다.</p> <p>다음은 이변수함수의 최대값과 최소값을 구하는 것을 알아보자.</p> <p>정의 $ 7.18 $ $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 정의역에 속하는 점이라 하자. $ f $ 의 정의역의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이면 $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 최대값을 가진다고 하고 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f $ 의 최대값 (maximum)이라 한다. 또 $ f $ 의 정의역의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이면 $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 최소값을 가진다고 하고 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f $ 의 최소값 $ ( $ minimum $ ) $ 이라 한다. $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 근방 $ N $ 이 존재해서 $ N $ 의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ (또는 $ \left .f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 이면, $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 서 극대값(또는 극소값)을 가진다고 하고, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 극대값(또는 극소값)이라 한다. 극대값 또는 극소값을 극값(extremum)이라고 한다.</p>	자연
m749-선형대수학과 응용	<p>정리 4.10</p> <p>$ T: V \rightarrow V $를 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 상에서의 선형사상이라 하고 $ V $의 두 기저를 각각 $ B $와 $ C $라고 하면 $ C $에서 $ B $로의 추이행렬 $ P $에 대해 다음 관계식이 성립한다. \[ [T]_{C}=P^{-1}[T]_{B} P \]</p> <p>증명</p> <p>정리 $ 4.9 $에 의해 $ P $를 $ C $에서 $ B $로의 추이행렬이라 하면 \[ \begin{array}{l} {[v]_{B}=P[v]_{C}, \quad(v \in V)} \\ P^{-1}[w]_{B}=[w]_{C}, \quad(w \in V) \end{array} \]가 성립한다. $ v \in V $에 대해 $ T(v)=w $이면 정리 $ 4.6 $에 의해 \[ \begin{array}{l} {[T]_{B}[v]_{B}=[T(v)]_{B}=[w]_{B},} \\ {[T]_{C}[v]_{C}=[T(v)]_{C}=[w]_{C}} \end{array} \]가 성립하므로 \[ P^{-1}[T]_{B} P[v]_{C}=P^{-1}[T]_{B}[v]_{B}=P^{-1}[w]_{B}=[w]_{C}=[T]_{C}[v]_{C} \]이다. 따라서 $ P^{-1}[T]_{B} P=[T]_{C} $가 되어 정리가 증명된다.</p> <p>정리 4.10의 관계식을 도식화하면 그림 4.5와 같다.</p> <p>예제 4.16</p> <p>$ V=P_{2} $이고 $ T: V \rightarrow V $를 다음과 같이 정의된 선형사상이라고 하자. \[ T\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right)=\left(a_{1}-2 a_{2}\right)+\left(2 a_{0}+3 a_{2}\right) x+2 a_{2} x^{2} \] $ V $의 기저를 $ B=\left\{1, x, x^{2}\right\}, C=\left\{1+x, 1-x, x+x^{2}\right\} $라고 하자. $ [T]_{B} $와 $ [T]_{C} $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ T(1)=2 x, T(x)=1, T\left(x^{2}\right)=-2+3 x+2 x^{2} $이다. 따라서 \[ [T]_{B}=\left[[T(1)]_{B} \vdots[T(x)]_{B} \quad \vdots\left[T\left(x^{2}\right)\right]_{B}\right]=\left[\begin{array}{lrr} 0 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] . \] $ C $에서 $ B $로의 추이행렬 $ P=\left[P^{(1)} P^{(2)} P^{(3)}\right] $는 \[ P^{(1)}=[1+x]_{B}, P^{(2)}=[1-x]_{B}, P^{(3)}=\left[x+x^{2}\right]_{B} \]로부터 다음과 같이 주어진다. \[ P=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]이고, 추이행렬의 역행렬은 \[ P^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrr} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 정리 4.10으로부터 \[ [T]_{C}=P^{-1}[T]_{B} P=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0 \\ -1 & -3 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \end{array}\right] .\] 정사각행렬 $ A $와 $ A^{\prime} $에 대해 \[ A^{\prime}=P^{-1} A P \]인 가역행렬 $ P $가 존재하면 $ A^{\prime} $은 $ A $와 닮음행렬(similar matrix)이라고 한다. $ A^{\prime} $이 $ A $와 닮음행렬이면 $ A^{\prime}=P^{-1} A P $에서 $ Q=P^{-1} $에 대해 \[ A=P B P^{-1}=\left(P^{-1}\right)^{-1} A^{\prime} P^{-1}=Q^{-1} A^{\prime} Q \]이므로 $ A $는 $ A^{\prime} $과 닮음행렬이다. 행렬의 닮음관계는 동치관계를 이룸을 쉽게 보일 수 있다.</p> <h1>기저의 변환과 행렬의 닮음</h1> <p>많은 응용문제들은 한 좌표계로부터 다른 좌표계로 전환함으로서 단순화될 수 있다. 벡터공간에서 좌표계를 바꾸는 것은 본질적으로는 기저를 바꾸는 것과 동일하다. 이 절에서는 추이행렬을 통한 기저의 변환과 행렬의 닮음에 대해 논의한다.</p> <p>먼저 벡터공간에서 기저의 변환에 대해 알아보자.</p> <p>정리 4.9</p> <p>$ n $ 차원 벡터공간 $ V $의 두 기저를 각각 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $와 $ C=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right\} $라 하고 $ n \times n $ 행렬 $ P $를 열이 다음과 같이 주어진 행렬이라 하자. \[ P^{(j)}=\left[v_{j}\right]_{C}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \] 그러면 $ P $는 정칙행렬이고 $ V $의 벡터 $ v $에 대해서 \[ [v]_{C}=P[v]_{B} \]가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>$ i d: V \rightarrow V $를 $ V $ 상에서의 항등사상이라고 하자. 즉 $ i d(v)=v,(v \in V) $. 그러면 각 $ j $에 대해 $ i d\left(v_{j}\right)=v_{j} $이므로 $ [i d]_{B, C} $의 열은 \[ \left[i d\left(v_{j}\right)\right]_{C}=\left[v_{j}\right]_{C}=P^{(j)}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \]가 되어 $ [i d]_{B, C} $가 $ B $에서 $ C $로의 행렬 $ P $ 임을 알 수 있다. 따라서 정리 4.6에 의해 \[ P[v]_{B}=[i d]_{B, C}[v]_{B}=[i d(v)]_{C}=[v]_{C} \]가 성립한다. 이제 $ P $가 가역임을 보이자. $ V $의 임의의 벡터 $ v $에 대해 $ P[v]_{B}=0 $이라 하면 $ P[v]_{B}=[v]_{C} $이므로 $ [v]_{C}=0 $이고, 이때 기저 $ C $가 일차독립이므로 $ v=0 $이다. 따라서 $ [v]_{B}=0 $이므로 $ P $는 정칙행렬이다.</p> <p>정리 4.9에 주어진 행렬 $ P $를 벡터공간 $ V $의 $ B $에서 $ C $로의 추이행렬(transition matrix) 이라고 한다. 또한 정리 $ 4.9 $에 의해 $ P $가 정칙이므로 $ P $의 역행렬에 대해 \[ [v]_{B}=P^{-1}[v]_{C} \]이고 $ P^{-1} $은 $ C $에서 $ B $로의 추이행렬에 해당한다.</p> <p>예제 4.15</p> <p>$ V=P_{2} $의 기저를 $ B=\left\{1, x, x^{2}\right\}, C=\left\{1, x+1, x^{2}+x+2\right\} $라고 하자.<ol type= start=1><li>각 $ r(x) \in V $에 대해 \[ P[r(x)]_{B}=[r(x)]_{C} \]를 만족하는 추이행렬 $ P $를 구하라.</li> <li>(1)의 결과를 이용하여 $ r(x)=1-2 x+3 x^{2} $일 때 $ [r(x)] C_{C} $를 구하라.</li></ol></p> <p>풀이</p> <p> <ol type= start=1><li>$ P $는 $ B $에서 $ C $로의 추이행렬이므로 $ B $의 각 원소를 $ C $의 일차결합으로 나타내면 \[ \begin{array}{l} 1=1, \\ x=(x+1)-1, \\ x^{2}=\left(x^{2}+x+2\right)-(x+1)-1 \end{array} \]이다. 따라서 $ C $에 대한 $ B $의 좌표행렬은 \[ [1]_{C}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right],[x]_{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad\left[x^{2}\right]_{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right]\]이므로 $ B $에서 $ C $로의 추이행렬 $ P $는 \[ P=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]</li> <li>\[ \begin{aligned} {[r(x)]_{B}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right] \text { 이므로 } } \\ & {[r(x)]_{C}=P[r(x)]_{B}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 0 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right] . } \end{aligned} \] 따라서 $ r(x) $는 기저 $ C $의 일차결합으로 \[ r(x)=-5(x+1)+3\left(x^{2}+x+2\right) \]로 주어진다.</li></ol></p> <p>추이행렬을 이용하여 두 개의 서로 다른 기저 $ B $와 $ C $에 대해 벡터공간 $ V $ 상에서 정의된 선형사상에 대한 행렬을 구할 수 있다.</p> <p>예제 4.14</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $를 다음과 같이 정의된 선형사상이라고 하자. \[ T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}, x_{2}-x_{3}, x_{3}-x_{1}\right) \] $ \mathbb{R}^{3} $의 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} $에 대해서 다음을 구하라. 단, $ v_{1}=(1,0,1), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(1,1,0) $이다.<ol type= start=1><li>기저 $ B $에 대한 $ T $의 행렬 $ [T]_{B} $를 구하라.</li> <li>(1)의 결과를 이용하여 $ v=(2,1,0) $에 대해 $ T(v) $를 구하라.</li></ol></p> <p>풀이</p> <p> <ol type= start=1><li>$\begin{array}{l} T\left(v_{1}\right)=T(1,0,1)=(1,-1,0), \quad T\left(v_{2}\right)=T(0,1,1)=(-1,0,1) \\ T\left(v_{3}\right)=T(1,1,0)=(0,1,-1) \end{array} $이고, 첨가행렬 \[ \left[\begin{array}{llllll} v_{1} & v_{2} & v_{3} \vdots & \ T\left(v_{1}\right) & T\left(v_{2}\right) & T\left(v_{3}\right)\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 & \vdots & \ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & \ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & \vdots & \ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \]에 가우스-조르당 소거법을 적용하여 기약 행사다리꼴로 전환하면 \[ \left[\begin{array}{llllll} 1 & 0 & 0 & \vdots & \ 1 & 0 & -1 & \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & \ -1 & 1 & 0 & \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & \ 0 & -1 & 1 & \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} I_{3} & \vdots & Q \end{array}\right] \]이다. 따라서 $ T $에 대응하는 행렬은 다음과 같이 주어진다. \[ [T]_{B}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right] \]</li> <li>\[ \begin{array}{l} v=(2,1,0)=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+a_{3} v_{3} \\ \Rightarrow\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] \\ \Rightarrow a_{1}=\frac{1}{2}, a_{2}=-\frac{1}{2}, a_{3}=\frac{3}{2} \\ {} 따라서 [v]_{B}=\left[\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{array}\right] {} 이고, \\ {[T(v)]_{B}=[T]_{B}[v]_{B}=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right]} \\ \end{array} \]이다. 따라서 $ T(v)=(-1) v_{1}+(-1) v_{2}+2 v_{3}=(1,1,-2) $이다.</li></ol></p> <p>다음 정리는 두 선형사상의 합성에 대한 행렬이 각 선형사상에 대응하는 행렬의 곱으로 나타난다는 것을 말해준다.</p> <p>정리 4.8</p> <p>$ B, C, D $를 각각 유한차원 벡터공간 $ U, V, W $의 기저라 하면 선형사상 $ S: U \rightarrow V $와 $ T: V \rightarrow W $의 합성 $ T \circ S $에 대한 행렬은 다음을 만족한다. \[ [T \circ S]_{B, D}=[T]_{C, D}[S]_{B, C} \]</p> <p>증명</p> <p>정리 $ 4.6 $에 의해 모든 $ u \in U $에 대해 \[ [(T \circ S)(u)]_{D}=[T \circ S]_{B, D}[u]_{B} \]가 성립한다. 마찬가지로 $ S $와 $ T $에 대해서도 각각 \[ \begin{array}{l} {[S(u)]_{C}=[S]_{B, C}[u]_{B}, \quad(u \in U),} \\ {[T(v)]_{D}=[T]_{C, D}[v]_{C}, \quad(v \in V)} \end{array} \]이 성립한다. 모든 $ u \in U $에 대해 $ S(u) \in V $이므로 \[ [T \circ S]_{B, D}[u]_{B}=[T(S(u))]_{D}=[T]_{C, D}[S(u)]_{C}=[T]_{C, D}[S]_{B, C}[u]_{B} \]가 되어 $ [T \circ S]_{B, D}=[T]_{C, D}[S]_{B, C} $가 성립한다.</p> <h2>2 선대칭변환(reflection)</h2> <p>$ l $을 원점을 지나는 직선이라 하자. 사상 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $를 $ x=(x, y) \in \mathbb{R}^{2} $의 상 $ T(x) $가 $ l $ 에 대한 $ x $의 대칭변환을 나타낸 것이라 하면 $ T $는 $ x $의 크기를 보존한다. 이 변환을 직선 $ l $에 대한 선대칭변환이라고 한다.</p> <p>선대칭변환 $ T $에 대한 표준행렬을 구해보자. $ \frac{\theta}{2} $를 대칭축 $ l $과 양의 $ x $-축과의 각도라 하자. 그림 4.2에서처럼 $ v $를 $ l $을 따른 단위벡터라고 하면 $ v=\left(\cos \frac{\theta}{2}, \sin \frac{\theta}{2}\right) $로 주어진다. 그러면 $ x $의 $ v $ 위로의 정사영은 \[ \begin{array}{l} \operatorname{Pr}_{v}(x)=(x \cdot v) v \\ =\left(x \cos \frac{\theta}{2}+y \sin \frac{\theta}{2}\right)\left(\cos \frac{\theta}{2}, \sin \frac{\theta}{2}\right) \\ =\left(x \cos ^{2} \frac{\theta}{2}+y \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}, x \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}+y \sin ^{2} \frac{\theta}{2}\right) \\ \text { 이고 } \frac{x+T(x)}{2}=\operatorname{Pr}_{v}(x) \text { 이므로 } \\ T(x)=2 \operatorname{Pr}_{v}(x)-x \\ =\left(x\left(2 \cos ^{2} \frac{\theta}{2}-1\right)+y\left(2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}\right), x\left(2 \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2}\right)+y\left(2 \sin ^{2} \frac{\theta}{2}-1\right)\right) \\ =(x \cos \theta+y \sin \theta, x \sin \theta-y \cos \theta) \end{array} \]가 되어 $ 2 \times 2 $ 행렬을 \[ A=\left[T\left(e_{1}\right) T\left(e_{2}\right)\right]=\left[\begin{array}{lr} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \]라 하면 선대칭변환 $ T $에 대한 표준행렬은 $ A $이고 $ T=T_{A} $이다. 선대칭변환이 직교변환임은 쉽게 검증할 수 있다.</p> <p>예제 4.9</p> <p>점 $ P(3,4) $의 직선 $ l: y=\sqrt{3} x $에 대한 대칭점 $ Q $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>직선 $ l: y=\sqrt{3} x $이 $ x $-축과 이루는 각은 $ \frac{\pi}{3} $이므로 선대칭변환에서 $ \frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3} $이고 $ \theta=\frac{2 \pi}{3} $이므로 변환에 대응하는 행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{cc} \cos \frac{2 \pi}{3} & \sin \frac{2 \pi}{3} \\ \sin \frac{2 \pi}{3} & -\cos \frac{2 \pi}{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \]로 주어진다. 따라서 직선 $ l $에 대해 점 $ P $를 대칭이동한 점의 좌표를 $ Q(a, b) $라 하면 \[ \left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=T_{A}(3,4)=\left[\begin{array}{ll} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \frac{4 \sqrt{3}-3}{2} \\ \frac{3 \sqrt{3}+4}{2} \end{array}\right] \]이므로 $ Q=\left(\frac{4 \sqrt{3}-3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}+4}{2}\right) $이다. 다음 정리는 $ \mathbb{R}^{2} $ 상에서의 직교변환에 대한 특성을 잘 나타낸다.</p> <p>예제 4.6</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $가 다음과 같이 정의된 선형사상일 때 $ T $의 표준행렬을 구하라. \[ T\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 x_{1}+x_{2} \\ x_{1}-x_{2} \\ -3 x_{1}+2 x_{2} \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>$ T\left(e_{1}\right)=T\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -3\end{array}\right], T\left(e_{2}\right)=T\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 2\end{array}\right] $이므로 $ T $의 표준행렬 $ A $는 \[ A=\left[T\left(e_{1}\right) \vdots T\left(e_{2}\right)\right]=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{array}\right] \]이다.</p> <p>예제 4.7</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 $ T\left(e_{1}\right)=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right], T\left(e_{2}\right)=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1\end{array}\right], T\left(e_{3}\right)=\left[\begin{array}{l}2 \\ 3\end{array}\right] $에 의해 정의된 선형사상이라 할 때 3 차원 벡터 $ x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] $에 대해 $ T(x) $를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x=x_{1} e_{1}+x_{2} e_{2}+x_{3} e_{3} $이고 $ T $가 선형사상이므로 \[ \begin{aligned} T(x) &=x_{1} T\left(e_{1}\right)+x_{2} T\left(e_{2}\right)+x_{3} T\left(e_{3}\right) \\ &=x_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]+x_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array}\right]+x_{3}\left[\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{c} x_{1}-x_{2}+2 x_{3} \\ 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} \end{array}\right] \end{aligned} \]이다. 이것은 $ 2 \times 3 $ 행렬 \[ A=\left[T\left(e_{1}\right) \vdots T\left(e_{2}\right) \vdots T\left(e_{3}\right)\right]=\left[\begin{array}{lrl} 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{array}\right] \]에 대해 $ T(x)=A x=T_{A}(x) $로 주어진다.</p> <p>선형사상의 합성에 대응하는 행렬을 살펴보자. $ T_{1}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m}, T_{2}: \mathbb{R}^{m} \rightarrow \mathbb{R}^{\ell} $을 선형사상이라 하고 $ m \times n $ 행렬 $ A $와 $ \ell \times m $ 행렬 $ B $를 각각 $ T_{1}=T_{A}, T_{2}=T_{B} $ 인 행렬이라 하면 $ n $ 차원 열벡터 $ x $에 대해 \[ \left(T_{2} \circ T_{1}\right)(x)=T_{2}\left(T_{1}(x)\right)=T_{B}\left(T_{A}(x)\right)=T_{B}(A x)=B(A x)=(B A) x \] 이므로 $ T_{2} \circ T_{1}=T_{B} \circ T_{A}=T_{B A} $ 임을 알 수 있다.</p> <p>항등사상 $ i d: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} $에 대응하는 행렬은 단위행렬 $ I_{n} $ 임을 보이는 것은 쉽다. 즉, $ i d=T_{I_{n}} $이다.</p> <h2>직교변환의 행렬</h2> <p>기하학적인 관점에서 $ \mathbb{R}^{2} $에서의 특수한 선형사상을 살펴보자. 특히 강체운동(rigid motion)을 기술하고자 할 때 자연스럽게 벡터의 길이를 보존하는 선형사상을 생각할 수 있다. 크기를 보존하는 선형사상 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $를 평면에서의 직교변환(orthogonal transformation)이라고 한다. \[ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \text { 가 직교변환 } \Leftrightarrow\\|T(v)\\|=\\|v\\|, v \in \mathbb{R}^{2} \] 평면에서의 직교변환을 직접적이고도 직관적인 예를 통해 알아보자.</p> <p>보조정리 4.7</p> <p>$ T: V \rightarrow W $가 선형사상이고 $ B = \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} $와 $ C= \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} $가 각각 벡터공간 $ V $와 $ W $의 기저이면 $ T $에 대응하는 행렬은 다음과 같이 첨가행렬의 기약 행사다리꼴 전환으로 얻어진다. \[ \left [w_ { 1 } w_ { 2 } \cdots w_ { m } \vdots T \left (v_ { 1 } \right ) T \left (v_ { 2 } \right ) \cdots T \left (v_ { n } \right ) \right ] \sim_ { r } \left [I_ { m } \vdots[T]_ { B, C } \right ] \]</p> <p>증명</p> <p>$ \Phi= \left [w_ { 1 } w_ { 2 } \cdots w_ { m } \right ] $라면 첨가행렬 $ \left [w_ { 1 } w_ { 2 } \cdots w_ { m } \vdots T \left (v_ { 1 } \right ) T \left (v_ { 2 } \right ) \cdots T \left (v_ { n } \right ) \right ] $은 다음과 같이 $ \left [I_ { m } \vdots Q \right ] $에 행동치이다. \[ \begin {aligned} \Phi ^ { -1 } \left [ \Phi: T \left (v_ { 1 } \right ) T \left (v_ { 2 } \right ) \cdots T \left (v_ { n } \right ) \right ] &= \left [I_ { m } \vdots \Phi ^ { -1 } T \left (v_ { 1 } \right ) \cdots \Phi ^ { -1 } T \left (v_ { n } \right ) \right ] \\ &= \left [I_ { m } \vdots Q ^ { (1) } \cdots Q ^ { (n) } \right ] \\ &= \left [I_ { m } \vdots Q \right ] . \end {aligned} \]</p> <h2>벡터공간에서의선형사상의 행렬</h2> <p>$ V $와 $ W $가 유한차원 벡터공간이고 $ T: V \rightarrow W $가 선형사상일 때 $ T $에 대응하는 행렬에 대해 알아보자. $ \operatorname{dim}(V)=n, \operatorname{dim}(W)=m $ 일 때 각각 $ V $의 기저 : $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $, $ W $의 기저 : $ C=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} $이라면 각 $ v \in V $에 대해 $ v $의 좌표행렬은 $ [v]_{B} \in \mathbb{R}^{n} $이고, $ w \in W $의 좌표행렬은 $ [w]_{C} \in \mathbb{R}^{m} $이다. 이제 각 $ V $의 기저 $ v_{j} $에 대해 $ T\left(v_{j}\right) \in W $이므로 이를 $ W $의 기저로 표현하면</p> <p>\[ T\left(v_{j}\right)=q_{1 j} w_{1}+q_{2 j} w_{2}+\cdots+q_{m j} w_{m}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \]으로 나타난다. 이때 다음과 같은 $ m \times n $ 행렬 $ Q $를 선형사상$ T: W \rightarrow W $ 애 대한 행렬이라고 한다. \[ Q^{(j)}=\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{C}=\left[\begin{array}{c} q_{1 j} \\ q_{2 j} \\ \vdots \\ q_{m j} \end{array}\right], \quad(j=1,2, \cdots, n) \]</p> <p>정리 4.6</p> <p>$ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $와 $ C=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} $가 각각 벡터공간 $ V $와 $ W $의 기저이면 선형사상 $ T: V \rightarrow W $에 다음을 만족하는 $ m \times n $ 행렬 $ Q $가 존재한다. \[ [T(v)]_{C}=Q[v]_{B}, \quad(v \in V) \] 이때 $ Q $는 기저 $ B $와 $ C $에 대해 선형사상 $ T $를 나타내는 행렬로서 \[ Q^{(j)}=\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{C}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \]이다.</p> <p>증명</p> <p>$ v \in V $에 대해서 $ T(v)=w $라 하면 $ B $가 $ V $의 기저이므로 \[ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \]이고 \[ w=T(v)=a_{1} T\left(v_{1}\right)+a_{2} T\left(v_{2}\right)+\cdots+a_{n} T\left(v_{n}\right) \]이다. 따라서 \[ \begin{aligned} {[T(v)]_{C} } &=[w]_{C}=a_{1}\left[T\left(v_{1}\right)\right]_{C}+a_{2}\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{C}+\cdots+a_{n}\left[T\left(v_{n}\right)\right]_{C} \\ &=a_{1} Q^{(1)}+a_{2} Q^{(2)}+\cdots+a_{n} Q^{(n)} \\ &=\left[Q^{(1)} Q^{(2)} \cdots Q^{(n)}\right]\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right] \\ &=Q[v]_{B} \end{aligned} \] 가 되어 정리가 성립한다.</p> <p>기저 $ B $와 $ C $에 대해서 선형사상 $ T: V \rightarrow W $를 나타내는 행렬 $ Q $를 $ T $와 연계성을 강조하기 위해 $ Q=[T]_{B, C} $로 정의하자. 그러면 정리 4.6은 다음과 같이 간결하게 나타낼 수 있다.</p> <p>\[ [T(v)]_{C}=[T]_{B, C}[v]_{B}, \quad(v \in V) \] 특히 $ V=W $이면 $ B=C $이고 선형사상 $ T: V \rightarrow V $에 대한 행렬 $ Q $는 \[ Q^{(j)}=\left[T\left(v_{j}\right)\right]_{B}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \]로 나타난다. 이때 대응하는 행렬을 $ Q=[T]_{B} $로 나타낸다.</p> <h1>4.2 선형사상과 행렬</h1> <p>$ A=\left[a_{i j}\right] $가 $ m \times n $ 행렬이면 $ n $ 치원 열베터 $ x $에 대해 \[ T_{A}(x)=A x \] 로 정의된 사상 $ T_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} $은 선형사상이다. 여기에서 $ T_{A} $의 상은 $ m $ 치원 열테터이다. $ T_{A} $를 행렬 $ A $에 대응하는 선형사상이라고 한다.</p> <p>예제 4.5</p> <p>$ A=\left[\begin{array}{rr}1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4\end{array}\right] $이면 2 차원 열벡터 $ x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] $에 대해 \[ T_{A}(x)=A x=\left[\begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x_{1}+3 x_{2} \\ 2 x_{1}-x_{2} \\ 4 x_{2} \end{array}\right] \] 가 되어 $ x_{0}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right] $이면 $ T_{A}\left(x_{0}\right)=\left[\begin{array}{c}1+3(-1) \\ 2(1)-(-1) \\ 4(-1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}-2 \\ 3 \\ -4\end{array}\right] $이다.</p> <h2>유클리드 공간에서의 선형사상의 행렬</h2> <p>$ T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} $을 선형사상이라고 하자.</p> <p>$ \mathbb{R}^{n} $의 벡터는 열벡터로 표현된 $ \mathbb{R}^{n} $의 표준기저 $ e_{j} $의 일차결합으로 \[ x=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]=x_{1} e_{1}+x_{2} e_{2}+\cdots+x_{n} e_{n} \] 으로 쓸 수 있으므로 \[ \begin{array}{l} T(x)=x_{1} T\left(e_{1}\right)+x_{2} T\left(e_{2}\right)+\cdots+x_{n} T\left(e_{n}\right) \\ =\left[T\left(e_{1}\right) \vdots T\left(e_{2}\right) \vdots \cdots \quad \vdots T\left(e_{n}\right)\right]\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right] \\ \end{array} \]이 되어 $ m \times n $ 행렬 $ A $를 \[ A=\left[T\left(e_{1}\right) \vdots T\left(e_{2}\right) \vdots \cdots \quad \vdots T\left(e_{n}\right)\right], \] 즉 $ A $의 $ j $ 번째 열벡터를 \[ A^{(j)}=T\left(e_{j}\right),(j=1,2, \cdots, n) \] 로 택하면 \[ T(x)=A x=T_{A}(x) \] 가 된다. 이것이 모든 $ x \in \mathbb{R}^{n} $에 대해 성립하므로 $ T=T_{A} $이다. 이렇게 얻어진 행렬 $ A $를 선형사상 $ T $의 표준행렬(standard matrix)이라고 한다.</p> <p>정리 4.4</p> <p>두 선형사상 $ T_{1}, T_{2}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} $이 있어서 $ T_{1}=T_{A} $이고 $ T_{2}=T_{B} $이며 $ T_{1}=T_{2} $이면 $ A=B $이다.</p> <p>증명</p>$ x $를 임의의 $ n $ 차원 열벡터라고 하자. 각 $ j $에 대해 $ T_{1}(x) $와 $ T_{2}(x) $의 $ j $ 번째 성분을 비교하면 \[ \begin{array}{l} \left(T_{1}(x)\right)_{(j)}=\left(T_{A}(x)\right)_{(j)}=(A x)_{(j)}=A_{(j)} x, \\ \left(T_{2}(x)\right)_{(j)}=\left(T_{B}(x)\right)_{(j)}=(B x)_{(j)}=B_{(j)} x \end{array} \] 가 되며 $ T_{1}=T_{2} $이므로 \[ \left(A_{(j)}-B_{(j)}\right) x=0 \] 이다. 따라서 $ A_{(j)}=B_{(j)}, j=1,2, \cdots, m $이고 $ A=B $이다. 위의 논의와 정리에 의해 $ \mathbb{R}^{n} $에서 $ \mathbb{R}^{m} $으로의 선형사상과 $ m \times n $ 행렬은 일대일 대응관계에 있음을 알 수 있다.</p> <p>정리 4.3</p> <p>$ T: V \rightarrow W $가 선형사상, $ \operatorname{dim}(V)=n $이고 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $을 $ V $의 기저라 할 때 다음 사실이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ R(T)=S P\left\langle T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\rangle $</li> <li>$ T $가 일대일일 필요충분조건은 $ T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right) $이 일차독립일 때이다.</li> <li>$ \operatorname{dim}(N(T))+\operatorname{dim}(R(T))=n $</li></ol></p> <p>증명<ol type= start=1><li>$ w \in R(T) $이면 $ w=T(v) $ 인 $ v \in V $가 존재한다. $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 $ V $의 기저이므로 $ v=k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n} $로 쓸 수 있고, \[ w=T(v)=k_{1} T\left(v_{1}\right)+k_{2} T\left(v_{2}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right) \] 이다. 따라서 $ w \in S P\left\langle T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\rangle $이다.</li> <li>먼저 $ T $가 일대일이라고 하자. $ k_{1} T\left(v_{1}\right)+k_{2} T\left(v_{2}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right)=0 $이라면 $ T\left(k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}\right)=0 $이다. $ T $가 일대일이므로 정리 $ 4.2 $의 (4)에 의해 $ k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}=0 $이다. $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 일차독립이므로 $ k_{1}=k_{2}=\cdots=k_{n}=0 $을 얻는다. 따라서 $ T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right) $은 일차독립이다. 역으로 $ T $가 일대일이 아니라고 하면 $ T(v)=0 $ 인 영이 아닌 벡터 $ v $가 $ V $에 존재한다. $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 $ V $를 생성하므로 적당한 스칼라 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n} $에 대해 $ v=k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n} $으로 쓸 수 있고 \[ \begin{aligned} 0 &=T(v)=T\left(k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}\right) \\ &=k_{1} T\left(v_{1}\right)+k_{2} T\left(v_{2}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right) \end{aligned} \]이다. 이것은 $ T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right) $의 일차독립성에 모순이 된다.</li> <li>$ N(T) $가 $ V $의 부분공간이므로 $ 0 \leq \operatorname{dim}(N(T)) \leq n $이다. $ \operatorname{dim}(N(T))=0 $이면 (1)과 (2)에 의해 $ \operatorname{dim}(R(T))=n $이 되어 (3)이 성립한다. 또한 $ \operatorname{dim}(N(T))=n $이면 $ T $는 영사상이므로 $ \operatorname{dim}(R(T))=0 $이 되어 결과가 성립한다. 이제 $ 0<\operatorname{dim}(N(T))=r<n $이라고 가정하고, $ N(T) $의 기저를 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $이라고 하자. 정리 $ 3.10 $에 의해 이 기저를 $ V $의 기저로 확장하여 $ v_{1} $, $ \cdots, v_{r}, v_{r+1}, \cdots, v_{n} $을 $ V $의 기저라고 하자. 이때 $ T\left(v_{r+1}\right), T\left(v_{r+2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right) $이 $ R(T) $의 기저를 이루는 것을 보이면 $ R(T) $의 차원이 $ n-r $이 되어 정리가 성립한다. $ w \in R(T) $이면 $ w=T(v) $ 인 $ v \in V $가 존재하고 \[ v=k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n} \] 이라면 \[ \begin{aligned} w=T(v) &=k_{1} T\left(v_{1}\right)+\cdots+k_{r} T\left(v_{r}\right)+k_{r+1} T\left(v_{r+1}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right) \\ &=k_{r+1} T\left(v_{r+1}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right) \end{aligned} \] 이므로 모든 $ w \in R(T) $가 $ T\left(v_{r+1}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right) $의 일차결합으로 나타난다. 따라서 $ R(T)=S P\left\langle T\left(v_{r+1}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\rangle $이다. 이제 이들이 일차독립임을 보이자. \[ k_{r+1} T\left(v_{r+1}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right)=0 \] 이면 $ k_{r+1} v_{r+1}+\cdots+k_{n} v_{n} \in N(T) $이므로 \[ k_{r+1} v_{r+1}+\cdots+k_{n} v_{n}=k_{1} v_{1}+\cdots+k_{r} v_{r} \] 이고 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 일차독립이므로 $ k_{r+1}=\cdots=k_{n}=0 $이어야 한다.</p> <p>예제 4.4</p> <p>2차 다항식의 벡터공간을 $ P_{2} $라 할 때 $ T: P_{2} \rightarrow \mathbb{R} $이 $ T(p(x))=p(2) $로 정의되어 있다. $ N(T) $의 기저와 $ T $의 계수를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ T\left(c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}\right)=c_{0}+c_{1}(2)+c_{2}(2)^{2}=c_{0}+2 c_{1}+4 c_{2} $이므로 $ N(T) $의 원소는 $ c_{0}+2 c_{1}+4 c_{2}=0 $을 만족하는 2차 다항식 $ p(x)=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2} $로 구성된다. 이때 $ c_{0}=-2 c_{1}-4 c_{2} $이므로 $ N(T) $에 있는 $ p(x) $는 \[ \begin{aligned} p(x) &=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}=\left(-2 c_{1}-4 c_{2}\right)+c_{1} x+c_{2} x^{2} \\ &=c_{1}(-2+x)+c_{2}\left(-4+x^{2}\right) \end{aligned} \] 이다. 따라서 $ N(T) $의 기저는 $ \left\{-2+x,-4+x^{2}\right\} $이고, $ T $의 계수는 \[ \operatorname{rank}(T)=\operatorname{dim}(R(T))=\operatorname{dim}\left(P_{2}(\mathbb{R})\right)-\operatorname{dim}(N(T))=3-2=1 \] 이다.</p> <p>정리 4.5</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 선형사상이라 하자. $ T $가 직교변환일 필요충분조건은 \[ \left\\|T\left(e_{1}\right)\right\\|=1=\left\\|T\left(e_{2}\right)\right\\|, T\left(e_{1}\right) \cdot T\left(e_{2}\right)=0 \]일 때이다.</p> <p>증명</p> <p>$ T $가 직교변환이라면 모든 $ x \in \mathbb{R}^{2} $에 대해 $ \\|T(x)\\|=\\|x\\| $이다. 특히 $ \left\\|T\left(e_{1}\right)\right\\|=\left\\|e_{1}\right\\|=1 $이고 $ \left\\|T\left(e_{2}\right)\right\\|=\left\\|e_{2}\right\\|=1 $이다. $ T\left(e_{1}\right) \cdot T\left(e_{2}\right)=0 $임을 보이자. 벡터 $ x=e_{1}+e_{2}=(1,1) $을 택하면 $ \\|x\\|=\sqrt{2} $이고 $ T $가 직교 변환이므로 \[ \begin{aligned} 2 &=\\|x\\|^{2}=\\|T(x)\\|^{2}=\left\\|T\left(e_{1}+e_{2}\right)\right\\|^{2} \\ &=\left\\|T\left(e_{1}\right)+T\left(e_{2}\right)\right\\|^{2} \\ &=2+2\left(T\left(e_{1}\right) \cdot T\left(e_{2}\right)\right) \end{aligned} \]로부터 $ T\left(e_{1}\right) \cdot T\left(e_{2}\right)=0 $이 얻어진다. 따라서 충분조건이 증명되었다. 역으로 $ T $가 주어진 조건을 만족할 때 $ T $는 직교변환임을 보이자. $ x=(x, y) $가 임의의 2 차원 벡터라면 $ x=x e_{1}+y e_{2} $이므로 \[ T(x)=T\left(x e_{1}+y e_{2}\right)=x T\left(e_{1}\right)+y T\left(e_{2}\right) \]이다. 조건에서 $ T\left(e_{1}\right) \cdot T\left(e_{2}\right)=0 $이고 $ \left\\|T\left(e_{1}\right)\right\\|=\left\\|T\left(e_{2}\right)\right\\|=1 $이므로 \[ \begin{aligned} \\|T(x)\\|^{2} &=\left\\|x T\left(e_{1}\right)+y T\left(e_{2}\right)\right\\|^{2} \\ &=x^{2}+y^{2}=\\|x\\|^{2} \end{aligned} \]이 되어 $ \\|T(x)\\|=\\|x\\| $가 성립한다. 따라서 조건을 만족하는 $ T $는 직교변환이다.</p> <p>정리 4.5의 직접적인 결과로서 모든 평면상에서의 직교변환은 회전이나 선대칭변환, 또는 이의 합성으로 주어진다는 사실을 알 수 있다. 이것을 기하학적 관점에서 설명해 보자.</p> <p>먼저 직교변환 $ T $에 대해 $ T\left(e_{1}\right)=v_{1}, T\left(e_{2}\right)=v_{2} $라 하자. $ v_{1}=(a, b) $ 일 때 $ v_{2} $의 선택에 대해 조사해 보자. $ \left\\|v_{1}\right\\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\left\\|T\left(e_{1}\right)\right\\|=1 $이므로 $ a^{2}+b^{2}=1 $이다. 마찬가지로, $ \left\\|v_{2}\right\\|=1 $이고 정리 $ 4.5 $에 의해 $ v_{2} $가 $ v_{1} $에 수직이므로 $ v_{1} $에 수직인 벡터 $ v_{2} $의 선택에는 두 가지 가능성이 존재한다.</p> <p>만약 $ v_{2}=(-b, a) $이면 $ T $에 대한 표준행렬은 $ A=\left[\begin{array}{lr}a & -b \\ b & a\end{array}\right] $이고 $ T $는 회전변환이다. 한편 $ v_{2}=(b,-a) $이면 $ T $의 표준행렬은 $ A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b-a\end{array}\right] $가 되어 $ T $는 선대칭변환이다. 결론적으로, 회전변환과 선대칭변환이 $ \mathbb{R}^{2} $에서의 모든 직교변환을 대표한다. 위에서 회전과 선대칭변환의 표준행렬 $ A $에 대해서 $ A A^{t}=I_{2}=A^{t} A $ 임에 주목하라.</p> <p>일반적으로 $ A A^{t}=I_{n}=A^{t} A $ 인 정사각행렬 $ A $를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다. 따라서 $ \mathbb{R}^{2} $에서의 직교변환은 직교행렬 $ A $에 대해 \[ T(x)=A x \]로 주어짐을 알 수 있다.</p> <p>예제 4.10</p> <p>다음 행렬은 직교행렬임을 보여라. \[ A=\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\[ A^{t} A=\left[\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=I_{3} \]이고, 마찬가지로 $ A A^{t}=I_{3} $이다. 따라서 $ A $는 직교행렬이다.</p> <p>예제 4.2</p> <p>$ T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2}+1,2 x_{2}\right) $로 정의된 사상 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 선형사상인지 조사하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ u=\left(u_{1}, u_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} $와 스칼라 $ k $에 대해서 \[ \begin{array}{l} T(k u)=T\left(k u_{1}, k u_{2}\right)=\left(k u_{1}+k u_{2}+1,2 k u_{2}\right) \\ k T(u)=k T\left(u_{1}, u_{2}\right)=k\left(u_{1}+u_{2}+1,2 u_{2}\right)=\left(k u_{1}+k u_{2}+k, 2 k u_{2}\right) \end{array} \] 이므로 $ k \neq 1 $이면 $ T(k u) \neq k T(u) $가 되어 $ T $는 선형사상이 아니다. 이를테면 $ T(2(1,0))=(3,0) $이고. $ 2 T(1,0)=(4,0) $이 되어 $ T(2(1,0)) \neq 2 T(1,0) $이다.</p> <p>$ T: V \rightarrow W $가 선형사상이 될 조건은 다음 단일 조건 $ (\mathrm{LT}) $로 통합될 수 있다.</p> <p>(LT) 임의의 $ u, v \in V $와 스칼라 $ k, \ell $에 대해 $ T(k u+\ell v)=k T(u)+\ell T(v) $</p> <p>벡터의 가법연산의 결합법칙과 수학적 귀납법을 사용하면 선형사상 $ T: V \rightarrow W $에 대해서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 $ V $의 임의의 원소이고 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n} $이 임의의 스칼라일 때 \[ T\left(k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n}\right)=k_{1} T\left(v_{1}\right)+k_{2} T\left(v_{2}\right)+\cdots+k_{n} T\left(v_{n}\right) \] 이 성립함을 보일 수 있다. 역으로, $ T: V \rightarrow W $가 이러한 성질을 가지면 $ T $가 선형사상임은 자명하다. 선형사상의 이러한 성질을 이용하여 $ V $가 유한차원의 벡터공간이고 사상 $ T $가 $ V $의 기저에서 정의되면 $ V $로부터 $ W $로의 선형사상을 구성할 수 있다.</p> <p>정리 4.1</p> <p>$ V $와 $ W $가 벡터공간, $ \operatorname{dim}(V)=n $이고 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $을 $ V $의 기저라 하자. $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $을 $ W $의 임의의 원소라고 할 때 T\left(v_{1}\right)=w_{1}, T\left(v_{2}\right)=w_{2}, \cdots, T\left(v_{n}\right)=w_{n} \] 인 선형사상 $ T: V \rightarrow W $가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>$ v $를 $ V $의 임의의 원소라면 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 $ V $의 기저이므로 \[ v=k_{1} v_{1}+k_{2} v_{2}+\cdots+k_{n} v_{n} \] 인 스칼라 $ k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n} $이 유일하게 존재한다. 이때 $ T: V \rightarrow W $를 \[ T(v)=k_{1} w_{1}+k_{2} w_{2}+\cdots+k_{n} w_{n} \] 으로 정의하면 $ T $는 $ V $에서 $ W $로의 사상이며 모든 $ i $에 대해 $ T\left(v_{i}\right)=w_{i} $ 임은 자명하다. 이제 $ T $가 선형사상임을 보이자.</p> <p>$ u $를 $ V $의 원소라 하고 $ u=\ell_{1} v_{1}+\ell_{2} v_{2}+\cdots+\ell_{n} v_{n} $이라 하자. 임의의 스칼라 $ \alpha, \beta $에 대해 \[ \alpha u+\beta v=\left(\alpha l_{1}+\beta k_{1}\right) v_{1}+\left(\alpha l_{2}+\beta k_{2}\right) v_{2}+\cdots+\left(\alpha l_{n}+\beta k_{n}\right) v_{n} \] 이므로 \[ \begin{aligned} T(\alpha u+\beta v) &=\left(\alpha \ell_{1}+\beta k_{1}\right) w_{1}+\left(\alpha \ell_{2}+\beta k_{2}\right) w_{2}+\cdots+\left(\alpha \ell_{n}+\beta k_{n}\right) w_{n} \\ &=\alpha\left(\ell_{1} w_{1}+\cdots+\ell_{n} w_{n}\right)+\beta\left(k_{1} w_{1}+\cdots+k_{n} w_{n}\right) \\ &=\alpha T(u)+\beta T(v) \end{aligned} \] 가 되어 $ T $는 선형사상이다. 이제 유일성을 보이기 위해 $ S: V \rightarrow W $를 각 $ i $에 대해 $ S\left(v_{i}\right)=w_{i} $ 인 선형사상이라면 $ V $의 임의의 원소 $ v=k_{1} v_{1}+\cdots+k_{n} v_{n} $에 대해 \[ \begin{aligned} S(v) &=S\left(k_{1} v_{1}+\cdots+k_{n} v_{n}\right) \\ &=k_{1} S\left(v_{1}\right)+\cdots+k_{n} S\left(v_{n}\right) \\ &=k_{1} w_{1}+\cdots+k_{n} w_{n} \\ &=T(v) \end{aligned} \] 가 되어 $ S=T $ 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 4.11</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $를 다음과 같이 정의된 선형사상이라고 하자.\[ T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{2}, x_{1}+x_{2}, x_{1}-x_{2}\right) \] $ \mathbb{R}^{2} $의 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} $와 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저 $ C=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} $에 관한 $ T $의 행렬을 구하라. 단 $ v_{1}=(1,2), v_{2}=(3,1), w_{1}=(1,0,0), w_{2}=(1,1,0) $, $ w_{3}=(1,1,1) $이다.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} T\left(v_{1}\right)=& T(1,2)=(2,3,-1), T\left(v_{2}\right)=T(3,1)=(1,4,2) \\ T\left(v_{1}\right)=&(2,3,-1)=a_{1} w_{1}+a_{2} w_{2}+a_{3} w_{3} \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{r}2 \\ 3 \\ -1\end{array}\right] \\ & \Rightarrow a_{1}=-1, a_{2}=4, a_{3}=-1 \end{aligned} $ \[ \begin{aligned} T\left(v_{2}\right)=&(1,4,2)=a_{1}^{\prime} w_{1}+a_{2}{ }^{\prime} w_{2}+a_{3}^{\prime} w_{3} \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1}^{\prime} \\ a_{2}{ }^{\prime} \\ a_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right] \\ & \Rightarrow a_{1}^{\prime}=-3, a_{2}^{\prime}=2, a_{3}^{\prime}=2 \end{aligned} \] 따라서 \[ \left[T\left(v_{1}\right)\right]_{C}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 4 \\ -1 \end{array}\right], \quad\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{C}=\left[\begin{array}{r} -3 \\ 2 \\ 2 \end{array}\right] \] 이므로 $ T $에 대응하는 행렬은 \[ [T]_{B, C}=\left[\left[T\left(v_{1}\right)\right]_{C} \quad \vdots\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{C}\right]=\left[\begin{array}{rr} -1 & -3 \\ 4 & 2 \\ -1 & 2 \end{array}\right] . \]</p> <p>예제 4.12</p> <p>$ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 다음과 같이 정의된 선형사상이라고 하자. \[ T\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(x_{1}+x_{2},-2 x_{1}+4 x_{2}\right) \] $ \mathbb{R}^{2} $의 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}\right\} $에 관한 $ T $의 행렬을 구하라. 단, $ v_{1}=(1,1), v_{2}=(1,2) $이다.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin{aligned} T\left(v_{1}\right)=& T(1,1)=(2,2), T\left(v_{2}\right)=T(1,2)=(3,6) \\ T\left(v_{1}\right)=&(2,2)=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2} \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right] \\ & \Rightarrow a_{1}=2, a_{2}=0 \\ T\left(v_{2}\right)=&(3,6)=a_{1}^{\prime} v_{1}+a_{2}^{\prime} v_{2} \\ & \Rightarrow\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_{1}^{\prime} \\ a_{2}^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 6 \end{array}\right] \\ & \Rightarrow a_{1}^{\prime}=0, a_{2}^{\prime}=3 \end{aligned} \] 따라서 $ T $에 대응하는 행렬은 \[ [T]_{B}=\left[\left[T\left(v_{1}\right)\right]_{B} \vdots\left[T\left(v_{2}\right)\right]_{B}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right] .\]</p> <p>위 예에서 살펴본 바와 같이 선형사상에 대한 행렬을 구하는 것은 $ T\left(v_{j}\right) $를 $ W $의 기저 $ C $로 나타낸 연립방정식을 푸는 것으로 귀결된다. 즉 \[ \begin{aligned} T\left(v_{j}\right)=& a_{1} w_{1}+a_{2} w_{2}+\cdots+a_{m} w_{m} \\ & \Rightarrow Q^{(j)}=[T]_{B, C}^{(j)}=\left[\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{m} \end{array}\right] \end{aligned} \] 이므로 $ \Phi=\left[w_{1} w_{2} \cdots w_{m}\right] $라고 하면 선형사상 $ T $의 행렬은 \[ Q^{(j)}=\Phi^{-1} T\left(v_{j}\right), \quad(j=1,2, \cdots, n) \]에 의해 주어진다.</p> <h3>회전(rotation)</h3> <p>직관적으로 주어진 점을 원점에 대해서 회전하면 원점에서의 거리는 변하지 않는다. 회전에 대응하는 행렬을 구하기 위해 그림 4.1에서와 같이 $ \mathbb{R}^{2} $에서 주어진 점 $ P\left(a_{0}, b_{0}\right) $를 시계반대방향으로 $ \theta $ 만큼 회전한 변환점 $ Q(a, b) $를 생각하자. 원점으로부터 점 $ P $까지의 거리를 $ \sqrt{a_{0}^{2}+b_{0}^{2}}=r $이라 하고, $ \theta_{0}=\arctan \left(\frac{b_{0}}{a_{0}}\right) $라 하면 점 $ Q $가 반경이 $ r $이고 각도가 $ \theta_{0}+\theta $ 인 원주상의 점이므로 $ Q $의 좌표 $ (a, b) $는 \[ \begin{aligned} a=r \cos \left(\theta+\theta_{0}\right) &=r \cos \theta \cos \theta_{0}-r \sin \theta \sin \theta_{0} \\ &=(\cos \theta) a_{0}-(\sin \theta) b_{0} \\ b=r \sin \left(\theta+\theta_{0}\right) &=r \sin \theta \cos \theta_{0}+r \cos \theta \sin \theta_{0} \\ &=(\sin \theta) a_{0}+(\cos \theta) b_{0} \end{aligned} \] 로 주어진다. 따라서 $ \theta $의 각 만큼 회전에 대한 변횐을 $ T_{\theta}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $라 하면 선형사상 \[ T_{\theta}(x, y)=((\cos \theta) x-(\sin \theta) y,(\sin \theta) x+(\cos \theta) y) \] 를 얻는다. 이때 $ \left\\|T_{\theta}(x, y)\right\\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\\|(x, y)\\| $이므로 회전변환은 직교변횐이다. 또한 회전변환에 대한 표준행렬을 $ A_{\theta} $라 하면 $ A_{\theta} $는 \[ \begin{aligned} A_{\theta} &=\left[\begin{array}{lll} T_{\theta}\left(e_{1}\right) & \vdots & T_{\theta}\left(e_{2}\right) \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cr} \cos \theta-\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \end{aligned} \] 로 주어진다. $ x $가 2차원 열벡터일 때 $ T_{\theta}(x)=A_{\theta} x $이다. 이러한 관계를 이용하면 $ \varphi $ 각 만큼 회전하고 다시 $ \theta $ 각 만큼 회전한 변환은 $ T_{\theta} \circ T_{\varphi} $이고, \[ \begin{aligned} T_{\theta} \circ T_{\varphi}(x) &=T_{\theta}\left(T_{\varphi}(x)\right)=A_{\theta}\left(A_{\varphi} x\right) \\ &=\left(A_{\theta} A_{\varphi}\right) x=A_{\theta+\varphi} x=T_{\theta+\varphi}(x) \end{aligned} \] 가 되어 $ T_{\theta} \circ T_{\varphi}=T_{\theta+\varphi} $ 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 4.8</p> <p>$ 2 \times 2 $ 행렬 $ A=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2}\end{array}\right] $에 대해 $ T=T_{A} $로 정의된 선형사상 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $의 기하학적 의미는 무엇인가?</p> <p>풀이</p> <p>$ \cos \frac{4}{3} \pi=-\frac{1}{2}, \sin \frac{4}{3} \pi=-\frac{\sqrt{3}}{2} $ 이므로 $ T=T_{\frac{4}{3}} \pi $가 되어 $ T $는 $ \frac{4}{3} \pi $ 각만큼 회전변횐을 나타낸다.</p> <p>정리 4.10으로부터 $ V $가 $ n $ 차원 벡터공긴일 때 $ A $와 $ A ^ {\prime } $이 $ V $의 서로 다른 두 기저에 대해 선형사상 $ T: V \rightarrow V $의 행렬을 나타내면 $ A $와 $ A ^ {\prime } $은 서로 닮음행렬임을 알 수 있다. 역으로, $ A $가 기저 $ B = \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} $에 대한 $ T $의 행렬 $ A=[T]_ { B } $이고 가역행렬 $ P= \left [p_ { i j } \right ] $에 대해 $ A ^ {\prime } =P ^ { -1 } A P $를 만족한다고 하자. 벡터 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } $이 \[ \begin {aligned} w_ { 1 } &=p_ { 11 } v_ { 1 } + p_ { 21 } v_ { 2 } + \cdots + p_ { n 1 } v_ { n } \\ w_ { 2 } &=p_ { 12 } v_ { 1 } + p_ { 22 } v_ { 2 } + \cdots + p_ { n 2 } v_ { n } \\ \vdots & \\ w_ { n } &=p_ { 1 n } v_ { 1 } + p_ { 2 n } v_ { 2 } + \cdots + p_ { n n } v_ { n } \end {aligned} \]에 의해 정의되면 $ C= \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } \right \} $는 $ V $의 기저를 이루고 $ A ^ {\prime } =[T]_ { C } $이다.</p> <p>정리 4.10을 이용하면 $ T: V \rightarrow V $가 $ n $ 차원 벡터공간 $ V $ 상에서의 선형사상이라 할 때 다음 알고리즘과 같이 주어진 기저 $ B $에 대해 $ C $에 대한 행렬이 $ B $에 대한 행렬보다 간결하게 표현되도록 기저 $ C $를 결정하는데 유용하게 이 관계를 활용할 수 있다.</p> <p> <ol type= start=1><li>일단계 : 주어진 기저 $ B $에 대한 $ T $의 행렬 $ [T]_ { B } $를 계산한다.</li> <li>이단계 : 행렬의 기술을 써서 $ A ^ {\prime } =P ^ { -1 } [T]_ { B } P $가 더욱 단순한 형태가 되는 정칙행 렬 $ P $를 구한다.</li> <li>삼단계 : $ P $의 각 열에 대해 $ \left [w_ { j } \right ]_ { B } =P ^ { (j) } $ 인 벡터 $ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } $을 구한다. \[ \Rightarrow C= \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } \right \} \text { 은 } V \text { 의 기저이고 } [T]_ { C } =A ^ {\prime } \text { 이다. } \]</li></ol></p> <p>위에서 언급한 행렬의 기술로는 대각화의 기법 등을 이용할 수 있다. 특히 $ A ^ {\prime } $이 대각행렬이면 선형사상 $ T $는 대각화가능하다고 한다. 이에 관한 예시는 예제 6.10을 참조하라.</p> <p>예제 4.13</p> <p>$ T: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } $를 다음과 같이 정의된 선형사상이라고 하자. \[ T \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )= \left (x_ { 2 } , x_ { 1 } + x_ { 2 } , x_ { 1 } -x_ { 2 } \right ) \] $ \mathbb { R } ^ { 2 } $의 기저 $ B= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } \right \} $와 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $의 기저 $ C= \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , w_ { 3 } \right \} $에 관한 $ T $의 행렬을 구하라. 단, $ v_ { 1 } =(3,1), v_ { 2 } =(5,2), w_ { 1 } =(1,0,-1), w_ { 2 } =(-1,2,2) $, $ w_ { 3 } =(0,1,2) $이다.</p> <p>풀이</p> <p>$ T \left (v_ { 1 } \right )=T(3,1)=(1,4,2), T \left (v_ { 2 } \right )=T(5,2)=(2,7,3) $. 첨가행렬 \[ \left [ \begin {array} { llllll } w_ { 1 } & w_ { 2 } & w_ { 3 } \vdots & \ T \left (v_ { 1 } \right ) & T \left (v_ { 2 } \right ) \\ \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & -1 & 0 & \vdots & \ 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & \vdots & \ 4 & 7 \\ -1 & 2 & 2 & \vdots & \ 2 & 3 \end {array} \right ] \]에 가우스-조르당 소거법을 적용하여 기약 행사다리꼴로 전환하면 \[ \left [ \begin {array} { llllll } 1 & 0 & 0 & \vdots & \frac { 8 } { 3 } & 5 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & \frac { 5 } { 3 } & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & \frac { 2 } { 3 } & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } I_ { 3 } & \vdots & Q \end {array} \right ] \]이다. 따라서 $ T $에 대응하는 행렬은 다음과 같이 주어진다. \[ [T]_ { B, C } = \left [ \begin {array} { cc } \frac { 8 } { 3 } & 5 \\ \frac { 5 } { 3 } & 3 \\ \frac { 2 } { 3 } & 1 \end {array} \right ] \]</p> <h1>4.1 선형사상</h1> <p>선형사상은 벡터공간을 이해하고 벡터공간 사이의 여러 관계를 밝히는 데 중요한 역할을 한다. 선형사상은 또한 수학의 여러 현상을 이해하고 분석하는 기준틀로서 기능해 왔다. 이 절에서는 선형사상의 기본적인 특징을 살펴보자.</p> <p>선형사상의 개념은 통상적인 함수의 개념을 따른다. $ V $와 $ W $를 벡터공간이라 하자. 함수 $ T: V \rightarrow W $를 사상(mapping)이라고 한다. 이때 $ v \in V $의 $ T $에 의한 $ v $의 값 $ T(v) $를 $ T $에 의한 $ v $의 상(image)이라 하고, $ T $에 의한 $ V $의 상 전체의 집합을 \[ R(T)=\{T(v) \mid v \in V\} \]로 정의하고 $ T $의 치역공간(range space)이라고 한다. 그리고 상이 $ W $의 영벡터가 되는 $ V $의 모든 원소의 집합을 \[ N(T)=\{v \in V \mid T(v)=0\} \] 로 정의하고 $ T $의 영공간(null space), 또는 $ T $의 핵(kernel)이라고 한다.</p> <p>이제 $ V $와 $ W $를 두 벡터공간이라 할 때 $ V $에서 $ W $로의 벡터공간의 구조를 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping), 또는 선형변환(linear transformation)이라고 한다. 즉 사상 $ T: V \rightarrow W $가 다음 두 조건을 만족하면 $ T $를 $ V $에서 $ W $로의 선형사상이라고 한다.</p> <p>(LT1) 임의의 $ u, v \in V $에 대해 $ T(u+v)=T(u)+T(v) $ (가법보존)</p> <p>(LT2) 임의의 $ u \in V $와 스칼라 $ k \in \mathbb{R} $에 대해 $ T(k u)=k T(u) $ (동차성)</p> <p>벡터공간 $ V $의 모든 원소에 0 을 대응시키는 사상은 명백히 선형사상이다. 이것을 영사상(zero mapping)이라 하고 $ O: V \rightarrow W $로 나타낸다. 또한 벡터공간 $ V $의 모든 원소에 자기 자신을 대응시키는 사상은 명백히 선형사상이다. 이를 항등사상(identity mapping)이라 하고 $ i d: V \rightarrow V $로 나타낸다.</p> <p>예제 4.1</p> <p>사상 $ T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $가 $ T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}\right) $로 정의되어 있을 때 $ T $가 선형사상인지 결정하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ u=\left(u_{1}, u_{2}, u_{3}\right), v=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} $에 대해서 \[ \begin{aligned} u+v=\left(u_{1}+v_{1}, u_{2}\right.&\left.+v_{2}, u_{3}+v_{3}\right) \end{aligned} \] 이므로 \[ \begin{aligned} T(u+v) &=\left(\left(u_{1}+v_{1}\right)+\left(u_{2}+v_{2}\right),\left(u_{2}+v_{2}\right)-2\left(u_{3}+v_{3}\right)\right) \\ &=\left(u_{1}+u_{2}, u_{2}-2 u_{3}\right)+\left(v_{1}+v_{2}, v_{2}-2 v_{3}\right) \\ &=T(u)+T(v) \end{aligned} \] 이다. 또한 스칼라 $ k $에 대해 $ k u=\left(k u_{1}, k u_{2}\right) $이므로 \[ \begin{aligned} T(k u) &=\left(k u_{1}+k u_{2}, k u_{2}-2\left(k u_{3}\right)\right) \\ &=k\left(u_{1}+u_{2}, u_{2}-2 u_{3}\right)=k T(u) \end{aligned} \] 이다. 따라서 $ T $는 선형사상이다.</p> <p>예제 4.3</p> <p>$ T: P_{3} \rightarrow P_{2} $가 다음을 만족하는 선형사상일 때 $ T\left(3-4 x+x^{2}-2 x^{3}\right) $을 구하라. \[ T(1)=1+x, \quad T(x)=x-2 x^{2}, \quad T\left(x^{2}\right)=1+2 x, \quad T\left(x^{3}\right)=1+x^{2} \]</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} T\left(3-4 x+x^{2}-2 x^{3}\right) &=3 T(1)-4 T(x)+T\left(x^{2}\right)-2 T\left(x^{3}\right) \\ &=3(1+x)-4\left(x-2 x^{2}\right)+(1+2 x)-2\left(1+x^{2}\right) \\ &=2+x+6 x^{2} \end{aligned} $</p> <p>정리 4.1에 의해 $ V $가 유한차원의 벡터공간일 때 $ V $에서 정의된 선형사상 $ T $는 $ T $에 의한 $ V $의 기저의 상에 의해 결정되며 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 $ V $의 기저일 때 \[ R(T)=S P\left\langle T\left(v_{1}\right), T\left(v_{2}\right), \cdots, T\left(v_{n}\right)\right\rangle \] 임을 말해준다.</p> <p>일반적으로 $ T: V \rightarrow W $가 선형사상일 때 $ R(T) $의 차원을 $ T $의 계수(rank)라고 하고, 영공간 $ N(T) $의 차원을 $ T $의 영계수(nullity)라고 한다. $ T $의 계수를 $ \operatorname{rank}(T) $로 정의한다. 선형사상 $ T $는 $ T(u)=T(v) $이면 $ u=v $ 일 때 일대일 사상(one-to-one mapping), 또는 단사상이라고 한다. 또한 $ W=R(T) $이면 $ T $는 전사사상(onto mapping)이라고 한다. $ N(T) $와 $ R(T) $는 선형사상의 분석에서 중추적인 역할을 한다. 먼저 선형사상의 기본적인 성질을 살펴보자.</p> <p>정리 4.2</p> <p>선형사상 $ T: V \rightarrow W $에 대해 다음 사실이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ T(0)=0 $</li> <li>$ N(T) $는 $ V $의 부분공간이다.</li> <li>$ R(T) $는 $ W $의 부분공간이다.</li> <li>$ T $가 일대일일 필요충분조건은 $ N(T)=\{0\} $이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p> <ol type= start=1><li>$ 0=0+0 $이므로 $ T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0) $이 되어 $ T(0)=0 $이다.</li> <li>$ u, v \in N(T) $라 하고 $ k $를 임의의 스칼라라 하자. $ T(u)=T(v)=0 $ 이므로 \[ \begin{array}{l} T(u+v)=T(u)+T(v)=0+0=0, \\ T(k v)=k T(v)=k 0=0 \end{array} \]이다. 그러므로 $ u+v \in N(T) $이고 $ k v \in N(T) $가 되어 $ N(T) $는 $ V $의 부분 공간이다.</li> <li>$ w_{1}, w_{2} \in R(T) $이고 $ k $를 임의의 스칼라라 하자. 그러면 $ T\left(v_{1}\right)=w_{1} $, $ T\left(v_{2}\right)=w_{2} $ 인 $ V $의 원소 $ v_{1}, v_{2} $가 존재하고 \[ \begin{array}{l} T\left(v_{1}+v_{2}\right)=T\left(v_{1}\right)+T\left(v_{2}\right)=w_{1}+w_{2} \\ T\left(k v_{1}\right)=k T\left(v_{1}\right)=k w_{1} \end{array} \] 이 되므로 $ w_{1}+w_{2}, k w_{1} \in R(T) $이다. 따라서 $ R(T) $는 $ W $의 부분공간이 다.</li> <li>먼저 $ N(T)=\{0\} $이면 $ T $가 일대일임을 보이기 위해 $ T(u)=T(v) $라 하자. 그러면 $ 0=T(u)-T(v)=T(u-v) $이고 $ u-v \in N(T)=\{0\} $이다. 따라 서 $ u=v $이고 $ T $는 일대일이다. 역으로 $ T $가 일대일이라 하고 $ v \in N(T) $라 하면 $ T(v)=0=T(0) $이므로 $ v=0 $이다. 따라서 $ N(T)=\{0\} $이다.</li></ol></p> <p>앞에서 언급한 바대로 $ T: V \rightarrow W $가 선형사상이고 $ V $가 유한차원이면 $ W $의 부분공간 $ R(T) $는 유한차원이다. 이 관계를 좀 더 구체적으로 알아보자.</p>	자연
m794-미적분과 해석기하학	<p>이제 변수변환이 이중적분에 미치는 영향을 알아보자.</p> <p>정리 2 이중적분에서의 변수변환 변환 $ x=g(u, v), y=h(u, v) $ 에 의해, $ u v $ 평면의 닫힌영역 $ S $ 에서 $ x y $ 평면의 닫힌영역 $ W $ 로의 일대일 변환 $ T $ 가 주어져 있고, 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 편도함수가 $ W $ 에서 연속일 때 야코비안이 0이 아니면 \[ \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \iint_ { S } f(g(u, v), h(u, v)) \left \| \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right \| d u d v \] 가 성립한다.</p> <p>예제 1 직선 $ y=2 x + 3, y=2 x + 1, y=5-x, y=2-x $ 로 둘러싸인 닫힌영역을 $ W $ 라고 할 때, 이중적분 $ \iint_ { W } \left (x ^ { 2 } + 2 x y \right ) d A $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 $ u=y-2 x, v=y + x $, 즉 변수변환 \[ x= \frac { 1 } { 3 } (v-u), y= \frac { 1 } { 3 } (2 v + u) \] 는 직사각형 영역 $ S= \{ (u, v) \mid 1 \leq u \leq 3,2 \leq v \leq 5 \} $ 를 $ W $ 로 사상한다. 이 변환의 야코비안이 \[ \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \|=- \frac { 1 } { 3 } \] 이므로 \[ \begin {aligned} \iint_ { W } \left (x ^ { 2 } + 2 x y \right ) d A &= \frac { 1 } { 27 } \int_ { 2 } ^ { 5 } \int_ { 1 } ^ { 3 } \left [(v-u) ^ { 2 } + 2 \left (2 v ^ { 2 } -u v-u ^ { 2 } \right ) \right ] d u d v \\ &= \frac { 196 } { 27 } \end {aligned} \] 을 얻는다. 마지막 적분 계산은 독자에게 남긴다.</p> <p>정의 3 일반 닫힌영역에서의 이중적분 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 를 포함하는 직사각형 영역 $ D $ 에서 적분가능하면 $ f(x, y) $ 는 닫힌영역 $ \Omega $ 에서 적분가능하다고 하고, $ \Omega $ 에서 $ f(x, y) $ 의 이중적분을 \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \iint_ { D } F(x, y) d A \] 로 정의한다.</p> <p>(i) $ \Omega $ 가 형태 $ \mathrm { I } $ 인 닫힌영역일 경우</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속인 두 함수 $ g_ { 1 } (x) $ 와 $ g_ { 2 } (x) $ 에 대하여, $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 가 \[ \Omega= \left \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, g_ { 1 } (x) \leq y \leq g_ { 2 } (x) \right \} \] 로 주어질 때, $ \Omega $ 를 형태 $ \mathrm { I } $ 인 닫힌영역이라 한다.</p> <p>정리 4 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 형태 $ \mathrm { I } $ 인 닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 연속이면, 다음이 성립한다. \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \int_ { a } ^ { b } \int_ { g_ { 1 } (x) } ^ { g_ { 2 } (x) } f(x, y) d y d x \]</p> <p>이중적분의 계산에서는 어떤 변수에 대하여 먼저 적분할 것인지에 따라 계산식이 더 쉬워질 수도 있고 어려워질 수도 있다.</p> <p>예제 1 $y=x, x=1, y=0 $ 으로 둘러싸인 닫힌영역 $ \Omega $ 에 대하여 \[ \iint_ {\Omega } e ^ { x ^ { 2 } } d A \] 를 구하시오.</p> <p>풀이I $ \Omega $ 를 형태 II인 닫힌 영역으로 표현하면 \[ \iint_ {\Omega } e ^ { x ^ { 2 } } d A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { y } ^ { 1 } e ^ { x ^ { 2 } } d x d y \] 로 주어진다. 이 경우는 $ e ^ { x ^ { 2 } } $ 의 원시함수를 알 수 없기 때문에, 이중적분 $ \iint_ {\Omega } e ^ { x ^ { 2 } } d A $ 를 구할 수 없다. 그러나 $ \Omega $ 를 형태 $ \mathrm { I } $ 의 닫힌영역으로 표현하면 \[ \iint_ {\Omega } e ^ { x ^ { 2 } } d A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { x } e ^ { x ^ { 2 } } d y d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { x ^ { 2 } } d x \] 로 주어진다. 이때 $ u=x ^ { 2 } $ 으로 치환하여 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } e ^ { x ^ { 2 } } d A &= \int_ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { x ^ { 2 } } d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { u } d u= \left [ \frac { 1 } { 2 } e ^ { u } \right ]_ { x=0 } ^ { x=1 } = \frac { 1 } { 2 } (e-1) \end {aligned} \] 을 얻는다.</p> <p>예 3 $x=y ^ { 2 } , y=x + 3, y=-3, y=2 $ 로 둘러싸인 닫힌영역 $ D $ 의 넓이 $ A $ 는 \[ \begin {aligned} A &= \iint_ { D } d A= \int_ { -3 } ^ { 2 } \int_ { y-3 } ^ { y ^ { 2 } } d x d y= \int_ { -3 } ^ { 2 } [x]_ { x=y-3 } ^ { x=y ^ { 2 } } d y \\ &= \int_ { -3 } ^ { 2 } \left [y ^ { 2 } -(y-3) \right ] d y= \frac { 175 } { 6 } \end {aligned} \] 로 주어진다.</p> <h3>(2) 겉넓이</h3> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 로 주어지는 곡면의 겉넓이를 구할 때, 이중적분을 이용한다.</p> <p>정리 9 $ f_ { x } (x, y) $ 와 $ f_ { y } (x, y) $ 가 닫힌영역 $ \Omega $ 에서 연속일 때, $ \Omega $ 에서 정의된 이변수함수 $ z= $ $ f(x, y) $ 로 주어지는 곡면의 겉넓이 $ A(S) $ 는 \[ A(S)= \iint_ {\Omega } \sqrt {\left [f_ { x } (x, y) \right ] ^ { 2 } + \left [f_ { y } (x, y) \right ] ^ { 2 } + 1 } d A \] 로 주어진다.</p> <p>예제 3 세 점 $ (0,0),(1,0),(1,1) $ 을 꼭짓점으로 갖는 $ x y $ 평면에 놓인 삼각형 영역 $ \Omega $ 위에서 곡면 $ z=x ^ { 2 } + 2 y $ 의 겉넓이를 구하시오.</p> <p>풀이 $ \Omega= \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \} $ 이므로, 겉넓이 $ A $ 는 \[ \begin {aligned} A &= \iint_ {\Omega } \sqrt { (2 x) ^ { 2 } + (2) ^ { 2 } + 1 } d A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { x } \sqrt { 4 x ^ { 2 } + 5 } d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } x \sqrt { 4 x ^ { 2 } + 5 } d x= \frac { 1 } { 12 } (12-5 \sqrt { 5 } ) \end {aligned} \] 로 주어진다.</p> <p>② 이중적분의 성질</p> <p>정리 6 이중적분의 성질 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 와 $ w=g(x, y) $ 가 닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 적분가능할 때, 다음이 성립한다.<ul> <li>(1) 임의의 상수 $ c, d $ 에 대하여 \[ \iint_ {\Omega } [c f(x, y) + d g(x, y)] d A=c \iint_ {\Omega } f(x, y) d A + d \iint_ {\Omega } g(x, y) d A \]</li> <li>(2) 모든 $ (x, y) \in \Omega $ 에 대하여 $ g(x, y) \leq f(x, y) $ 이면 \[ \iint_ {\Omega } g(x, y) d A \leq \iint_ {\Omega } f(x, y) d A \]</li> <li>(3) $ \left \| \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \right \| \leq \iint_ {\Omega } \|f(x, y)\| d x d y $</li> <li>(4) [이중적분의 평균값정리] $ \Omega $ 에서 $ z=f(x, y) $ 가 연속이고, 모든 $ (x, y) \in \Omega $ 에 대하여 $ m \leq f(x, y) \leq M $ 일 때, $ \Omega $ 의 넓이를 $ A( \Omega) $ 라 하면 \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \mu A( \Omega) \] 를 만족하는 $ \mu $ (단, $ m \leq \mu \leq M $ ) 가 존재한다.</li></ul></p> <p>이중적분에 대한 다음 성질은 형태 $ \mathrm { I } $ 과 형태 $ \mathrm { II } $ 가 아니면서 형태 $ \mathrm { I } $ 과 형태 $ \mathrm { II } $ 의 합집합으로 표시되는 닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 이중적분을 구하는 데 이용된다.</p> <p>정리 7 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ \Omega= \Omega_ { 1 } \cup \Omega_ { 2 } $ 와 $ \Omega_ { 1 } \cap \Omega_ { 2 } = \varnothing $ 인 닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 적분가능하면, 다음이 성립한다. \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \iint_ {\Omega_ { 1 } } f(x, y) d A + \iint_ {\Omega_ { 2 } } f(x, y) d A \]</p> <p>참고 이중적분 문제에서, 닫힌영역이 원이거나 원과 유사한 형태의 경계를 갖는다면 극좌표로의 변환을 이용하는 것이 좋다. 일반적으로 극좌표는 대칭, 원형꼴의 형태에 널리 응용된다.</p> <p>예 5 $ D $ 가 중심이 원점이고 반지름이 2 인 원으로 둘러싸인 닫힌영역일 때 \[ \iint_ { D } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 \right ) d A \] 를 구해보자. 이때 극좌표로의 변환을 이용하면 \[ \begin {aligned} \iint_ { D } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 \right ) d A &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (r ^ { 2 } + 3 \right ) r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { r ^ { 4 } } { 4 } + \frac { 3 r ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { r=0 } ^ { r=2 } d \theta=10 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta=20 \pi \end {aligned} \] 를 얻는다.</p> <p>따름정리 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 형태 $ \mathrm { I } $ 인 극영역 \[ \Omega= \left \{ (r, \theta) \mid a \leq r \leq b, g_ { 1 } (r) \leq \theta \leq g_ { 2 } (r) \right \} \] 위에서 연속이면 \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \int_ { a } ^ { b } \int_ { g_ { 1 } (r) } ^ { g_ { 2 } (r) } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \] 로 주어진다. 또한 $ z=f(x, y) $ 가 형태 $ \mathrm { II } $ 인 극영역 \[ \Omega= \left \{ (r, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, h_ { 1 } ( \theta) \leq r \leq h_ { 2 } ( \theta) \right \} \] 위에서 연속이면 \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d A= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ { h_ { 1 } ( \theta) } ^ { h_ { 2 } ( \theta) } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \] 로 주어진다.</p> <h1>$ 8.1 $ 이중적분</h1> <h2>1. 이중적분</h2> <h3>(1) 직사각형 영역에서의 이중적분</h3> <p>직사각형 영역 $ D = \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} $ 에서 정의된 유계인 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 의 이중적분을 정의한다. 먼저 \[ \begin {array} { c } a=x_ { 0 }<x_ { 1 }<x_ { 2 }< \cdots<x_ { m-1 }<x_ { m } =b \\ c=y_ { 0 }<y_ { 1 }<y_ { 2 }< \cdots<y_ { n-1 }<y_ { n } =d \end {array} \] 라 하고, 이 분할점들을 지나는 좌표축과 평행한 선들로부터 $ m n $ 개의 부분직사각형 (여기서 부분직사각형의 변의 길이가 같을 필요는 없다) \[ D_ { i j } = \left \{ (x, y) \mid x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } , y_ { j-1 } \leq y \leq y_ { j } \right \} \] 으로 구성되는 $ D $ 의 분할 $ P $ 를 택한다. 이때 \[ \Delta x_ { i } =x_ { i } -x_ { i-1 } , \Delta y_ { i } =y_ { i } -y_ { i-1 } \] 라 놓으면, 각 $ D_ { i j } $ 의 넓이는 $ \Delta A_ { i j } = \Delta x_ { i } \Delta y_ { i } $ 가 된다.</p> <p>정의 1 이중적분 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 $ x y $ 평면의 직사각형 영역 $ D $ 에서 정의된 유계함수라 하자. 이때 분할 영역 $ D_ { i j } $ 에서 임의의 점 $ \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) $ 의 선택에 관계없이 극한 $ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) \Delta A_ { i j } $ 로 정의하고, 이때 $ f(x, y) $ 를 직사각형 영역 $ D $ 에서 적분가능하다고 한다. 여기서 분할 $ P $ 의 모든 부분직사각형의 대각선 중 최대길이를 $ \\|P \\| $ 이라 한다.</p> <h2>2. 원주좌표와 구면좌표에 의한 삼중적분</h2> <h3>(1) 원주좌표에 의한 삼중적분</h3> <p>삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 입체영역 \[ \begin {array} { c } E= \left \{ (x, y, z) \mid(x, y) \in D, \phi_ { 1 } (x, y) \leq z \leq \phi_ { 2 } (x, y) \right \} \\ \left ( \text { 단, } D= \left \{ (r, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, h_ { 1 } ( \theta) \leq z \leq h_ { 2 } ( \theta) \right \} \right ) \end {array} \] 에서 연속이면 \[ \begin {aligned} \iiint_ { E } f(x, y, z) d V &= \iint_ { D } \left [ \int_ {\phi_ { 1 } (x, y) } ^ {\phi_ { 2 } (x, y) } f(x, y, z) d z \right ] d A \\ &= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ { h_ { 1 } ( \theta) } ^ { h_ { 2 } ( \theta) } \int_ {\phi_ { 1 } (r \cos \theta, r \sin \theta) } ^ {\phi_ { 1 } (r \cos \theta, r \sin \theta) } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d z d r d \theta \end {aligned} \] 를 얻는다. 여기서 $ D $ 는 $ E $ 의 $ x y $ 평면으로의 정사영을 극좌표로 표현한 것이고, 함수 $ \phi_ { 1 } (x, y) $ 와 $ \phi_ { 2 } (x, y) $ 는 $ D $ 에서 연속임을 의미한다.</p> <p>참고 직교좌표계로 표현된 삼중적분을 때로는 원주좌표계로 변환하면 간단히 구할 수 있다. 그러나 반복적분에서 직교좌표계를 원주좌표계로 변환하고자 할 때는 적분하고자 하는 입체영역의 시각화에 주의를 기울여야 한다.</p> <h3>(2) 구면좌표에 의한 삼중적분</h3> <p>어떤 삼중적분에서는 직교좌표계나 원주좌표계로는 정확하게 계산할 수 없지만, 구면좌표계를 이용하면 쉽게 계산할 수 있는 경우도 있다.</p> <p>정리 3 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 \[ E= \{ ( \rho, \theta, \phi) \mid a \leq \rho \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta, c \leq \phi \leq d \} \] 에서 연속이면 \[ \begin {array} { l } \iiint_ { E } f(x, y, z) d V \\ = \int_ { c } ^ { d } \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ { a } ^ { b } f( \rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \end {array} \] 로 주어진다.</p> <p>예 2 $ \int_ { 1 } ^ { 2 } \int_ { 1 } ^ { 3 } (x + y) d y d x= \int_ { 1 } ^ { 2 } \left [x y + \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { y=1 } ^ { y=3 } d x= \int_ { 1 } ^ { 2 } (2 x + 4) d x=7 $ 이고, 같은 방법으로 \[ \int_ { 1 } ^ { 3 } \int_ { 1 } ^ { 2 } (x + y) d x d y=7 \] 을 얻는다. 이것은 적분순서와 상관없이 같은 결과가 얻어짐을 의미한다.</p> <p>다음 정리는 이중적분과 반복적분의 관계, 즉 이중적분을 반복적분으로 바꾸어 계산할 수 있음을 보여준다.</p> <p>정리 2 푸비니 정리(Fubini's theorem) 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 직사각형 영역 \[ D= \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} \] 에서 적분가능할 때, 다음이 성립한다. \[ \iint_ { D } f(x, y) d A= \int_ { a } ^ { b } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y d x= \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x d y \]</p> <p>푸비니 정리는 반복적분을 이용하여 이중적분을 구할 때, 적분순서와 상관없이 같은 결과가 얻어짐을 보여주고 있다.</p> <h3>(3) 일반 닫힌영역에서의 이중적분</h3> <p>① 이중적분 구하기</p> <p>이제 일반적인 닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 이중적분을 정의한다. $ \Omega $ 에서 정의된 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 와 $ \Omega $ 를 포함하는 어떤 직사각형 영역 $ D $ 에 대하여 새로운 함수 $ F(x, y) $ 를 \[ F(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } f(x, y), & (x, y) \in \Omega \\ 0 & ,(x, y) \in D- \Omega \end {array} \right . \] 으로 정의할 때, $ \Omega $ 에서 $ f(x, y) $ 의 이중적분을 다음으로 정의한다.</p> <p>삼중적분을 $ \iiint_ { B } f(x, y, z) d A= \iiint_ { B } f(x, y, z) d x d y d z $ 로 표현하기도 한다.</p> <p>이중적분에서와 같이, 삼중적분을 구하는 방법도 삼중적분을 반복적분으로 표현하는 것이다.</p> <p>정리 2 푸비니 정리 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 직육면체 영역 \[ B= \{ (x, y, z) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, r \leq z \leq s \} \] 에서 적분가능할 때, 삼중적분은 $ B $ 에서 삼중 반복적분으로 구할 수 있다. 즉 \[ \iiint_ { B } f(x, y, z) d V= \int_ { r } ^ { s } \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { b } f(x, y, z) d x d y d z \] 가 성립한다. 이때 적분할 수 있는 다섯 가지 방법이 더 있다. 그러나 적분순서와는 상관없이 같은 결과가 얻어진다. 삼중적분의 계산은 이중적분의 경우처럼 편적분을 사용하여 안쪽에서부터 바깥쪽으로 적분해 나간다.</p> <p>예제 1 $ B= \{ (x, y, z) \mid 0 \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 2,0 \leq z \leq 3 \} $ 일 때 \[ \iiint_ { B } x y z ^ { 2 } d V \] 를 구하시오.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \iiint_ { B } x y z ^ { 2 } d V &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { -1 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x y z ^ { 2 } d x d y d z= \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { -1 } ^ { 2 } \left [ \frac { x ^ { 2 } y z ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { x=0 } ^ { x=1 } d y d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { -1 } ^ { 2 } \frac { y z ^ { 2 } } { 2 } d y d z= \int_ { 0 } ^ { 3 } \left [ \frac { y ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 4 } \right ]_ { y=-1 } ^ { y=2 } d z \\ & \left .= \int_ { 0 } ^ { 3 } \frac { 3 z ^ { 2 } } { 4 } d z= \frac { z ^ { 3 } } { 4 } \right ]_ { 0 } ^ { 3 } = \frac { 27 } { 4 } \end {aligned} \]</p> <p>(i) 정사영 $ D $ 가 형태 $ \mathrm { I } $ 인 평면인 경우</p> <p>$ g_ { 1 } (x) $ 와 $ g_ { 2 } (x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이라 하자. 이때 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 입체영역 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid a \leq x \leq b, g_ { 1 } (x) \leq y \leq g_ { 2 } (x), \phi_ { 1 } (x, y) \leq z \leq \phi_ { 2 } (x, y) \right \} \] 에서 연속이면 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \int_ { a } ^ { b } \int_ { g_ { 1 } (x) } ^ { g_ { 2 } (x) } \int_ {\phi_ { 1 } (x, y) } ^ {\phi_ { 2 } (x, y) } f(x, y, z) d z d y d x \] 가 된다.</p> <p>(ⅱ) 정사영 $ D $ 가 형태 $ \mathrm { II } $ 인 평면인 경우</p> <p>$ h_ { 1 } (y) $ 와 $ h_ { 2 } (y) $ 가 닫힌구간 $ [c, d] $ 에서 연속이라 하자. 이때 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 입체영역 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid c \leq y \leq d, h_ { 1 } (y) \leq x \leq h_ { 2 } (y), \phi_ { 1 } (x, y) \leq z \leq \phi_ { 2 } (x, y) \right \} \] 에서 연속이면 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \int_ { c } ^ { d } \int_ { h_ { 1 } (y) } ^ { h_ { 2 } (y) } \int_ {\phi_ { 1 } (x, y) } ^ {\phi_ { 2 } (x, y) } f(x, y, z) d z d x d y \] 가 된다.</p> <h1>$ 8.2 $ 삼중적분</h1> <p>삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 는 사차원에서 초곡면 (hypersurface)의 그래프이기 때문에 함수 $ f(x, y, z) $ 에 대한 삼중적분은 기하학적 의미를 부여할 수 없다. 그러나 경우에 따라서는 삼변수 또는 그 이상의 변수에 대한 함수의 적분이 중요할 수도 있다.</p> <h2>1. 삼중적분</h2> <h3>(1) 직육면체에서의 삼중적분</h3> <p>먼저 어떤 직육면체 영역 \[ B= \{ (x, y, z) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d, r \leq z \leq s \} \] 에서 정의된 유계인 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 의 삼중적분을 정의한다. \[ \begin {array} { l } a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { i-1 }<x_ { i }< \cdots<x_ { l } =b \\ c=y_ { 0 }<y_ { 1 }< \cdots<y_ { j-1 }<y_ { j }< \cdots<x_ { m } =d \\ r=z_ { 0 }<z_ { 1 }< \cdots<z_ { k-1 }<x_ { k }< \cdots<x_ { n } =s \end {array} \] 라 하고, 이 분할점들을 지나는 좌표축과 평행한 선들로부터 $ l m n $ 개의 작은 직육면체 영역 \[ B_ { i j k } = \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] \times \left [y_ { j-1 } , y_ { j } \right ] \times \left [z_ { k-1 } , y_ { k } \right ] \] 로 구성되는 $ B $ 의 분할 $ P $ 를 택한다. 이때 \[ \Delta x_ { i } =x_ { i } -x_ { i-1 } , \Delta y_ { j } =y_ { j } -y_ { j-1 } , \Delta z_ { k } =z_ { k } -z_ { k-1 } \] 라 놓으면, 각 $ B_ { i j k } $ 의 부피는 $ \Delta V_ { i j k } = \Delta x_ { i } \Delta y_ { i } \Delta z_ { k } $ 가 된다.</p> <p>특히 $ f(x, y)=1, h_ { 1 } ( \theta)=0, h_ { 2 } ( \theta)=h( \theta) $ 로 놓으면, $ \theta= \alpha, \theta= \beta, r=h( \theta) $ 로 둘러싸인 닫힌영역의 넓이 $ A( \Omega) $ 는 \[ \begin {aligned} A( \Omega) &= \iint_ {\Omega } 1 d A= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ { 0 } ^ { h( \theta) } r d r d \theta \\ &= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \left [ \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { h( \theta) } d \theta= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \frac { 1 } { 2 } [h( \theta)] ^ { 2 } d \theta \end {aligned} \] 로 주어진다.</p> <p>예제 4 심장형 $ r=2-2 \sin \theta $ 로 둘러싸인 닫힌영역 $ \Omega $ 의 넓이 $ A( \Omega) $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 $ \Omega $ 가 극영역 $ \Omega= \{ (r, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 2-2 \sin \theta \} $ 로 주어지므로, $ \Omega $의 넓이 $ A( \Omega) $ 는 \[ \begin {aligned} A( \Omega) &= \iint_ {\Omega } d A= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2-2 \sin \theta } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { r=0 } ^ { r=2-2 \sin \theta } d \theta \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } (2-2 \sin \theta) ^ { 2 } d \theta=6 \pi \end {aligned} \] 로 주어진다.</p> <p>일반적으로 겉넓이를 구할 때는 많은 계산이 필요하다. 이때 적분영역에 대하여, 적절한 좌표계를 선택하면 편리한다. 또한 대부분의 겉넓이에 대한 적분은 정확하게 계산할 수 없으므로 수치적분법을 이용해야 한다.</p> <p>일반적으로 이중적분을 $ \Delta A_ { i j } = \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } $ 라는 사실에 기인하여 \[ \iint_ { D } f(x, y) d A= \iint_ { D } f(x, y) d x d y \] 로 표현하기도 한다. 정의로부터 직접 이중적분을 구하는 것은 어려우므로 반복적분을 이용한다.</p> <p>예 1 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 직사각형 영역 $ D $ 에서 연속이면, $ z=f(x, y) $ 는 $ D $ 에서 적분가능하다.</p> <p>참고 정적분의 근삿값을 구하는 데 사용하였던 방법 (중점 공식, 사다리꼴 공식, 심프슨 공식)들은 중적분에 대해서도 적용된다.</p> <h3>(2) 반복적분</h3> <p>여기서는 반복적분을 이용하여 이중적분을 구할 수 있음을 보인다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 직사각형 영역 $ D= \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} $ 에서 적분가능할 때, $ A(x)= \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y $ 라 놓으면 \[ \int_ { a } ^ { b } A(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \left [ \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ] d x \] 가 된다. 이때 오른쪽의 적분을 반복적분 (iterated integral)이라고 한다. 반복적분의 순서는 내부변수에 대한 편적분을 먼저 계산하고, 다음에 외부변수에 대한 적분을 계산한다. 보통 괄호를 생략하여 \[ \begin {array} { l } \int_ { a } ^ { b } \left [ \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ] d x= \int_ { a } ^ { b } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y d x \\ \int_ { c } ^ { d } \left [ \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x \right ] d y= \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x d y \end {array} \] 로 표현한다.</p> <p>정의 1 삼중적분 (triple integral) 직육면체 영역 $ B $ 에서 정의된 유계인 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 에 대한 삼중적분은 분할영역 $ B_ { i j k } $ 에서 임의의 점 $ \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } , z_ { i j } ^ { * } \right ) $ 의 선택에 관계없이 $ \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { i=1 } ^ { l } \sum_ { j=1 } ^ { m } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j k } ^ { * } \right . $, $ \left .y_ { i j k } ^ { * } , z_ { i j k } ^ { * } \right ) \Delta V_ { i j k } $ 가 존재할 때 \[ \iiint_ { B } f(x, y, z) d V= \lim _ {\\|P \\| \rightarrow 0 } \sum_ { i=1 } ^ { l } \sum_ { j=1 } ^ { m } \sum_ { k=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j k } ^ { * } , y_ { i j k } ^ { * } , z_ { i j k } ^ { * } \right ) \Delta V_ { i j k } \] 로 정의한다. 이때 유계인 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 를 영역 $ B $ 에서 적분가능하다고 한다. 여기서 분할 $ P $ 의 모든 부분직육면체의 대각선 중 최대길이를 $ \\|P \\| $ 이라 한다.</p> <p>예 1 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 직육면체 영역 $ B $ 에서 연속이면, $ w=f(x, y, z) $ 는 $ B $ 에서 적분가능하다.</p> <h3>(2) 일반 닫힌영역에서의 삼중적분</h3> <p>유계인 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 닫힌영역 $ E \subset R ^ { 3 } $ 에서 정의되었다고 하자. $ E $ 가 어떤 직육면체 영역 $ B $ 에 포함되는 닫힌영역이라 할 때, 새로운 함수 $ F(x, y, z) $ 를 \[ F(x, y, z)= \left \{\begin {array} { ll } f(x, y, z), & (x, y, z) \in E \\ 0 r & ,(x, y, z) \in B-E \end {array} \right . \] 으로 놓는다. 이때 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 $ B $ 에서 적분가능하면, $ f(x, y, z) $ 는 $ E $ 에서 적분가능하다고 하고, $ E $ 에서 $ f(x, y, z) $ 의 삼중적분을 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \iiint_ { B } F(x, y, z) d V \] 로 정의한다. 이중적분의 성질은 삼중적분으로 확장된다.</p> <p>삼중적분을 계산하는 데 가장 중요한 것은 적분구간을 올바르게 선정하는 것이다. 그러기 위해서는 주어진 영역에 대한 정확한 그래프를 그릴 수 있어야 한다.</p> <p>① 닫힌영역 $ E $ 가 형태 $ \mathrm { I } $인 입체영역일 경우</p> <p>삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid(x, y) \in D, \phi_ { 1 } (x, y) \leq z \leq \phi_ { 2 } (x, y) \right \} \] 에서 연속일 때 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \iint_ { D } \left [ \int_ {\phi_ { 1 } (x, y) } ^ {\phi_ { 2 } (x, y) } f(x, y, z) d z \right ] d A \] 로 주어진다. 여기서 $ D $ 는 $ E $ 의 $ x y $ 평면으로의 정사영이고, 함수 $ \phi_ { 1 } (x, y) $ 와 $ \phi_ { 2 } (x, y) $ 는 $ D $ 에서 연속이다. 이때 $ E $ 를 형태 $ \mathrm { I } $ 인 입체영역이라 한다.</p> <p>참고 정리 2 를 이용하면, 극좌표에 의한 중적분의 공식 \[ \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \iint_ { S } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \] 를 쉽게 얻을 수 있다. 왜나하면 \[ x=g(r, \theta)=r \cos \theta, y=h(r, \theta)=r \sin \theta \] 라 놓으면 \[ \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial r } & \frac {\partial x } {\partial \theta } \\ \frac {\partial y } {\partial r } & \frac {\partial y } {\partial \theta } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cr } \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end {array} \right \|=r>0 \] 이 성립하기 때문이다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 닫힌영역 $ \Omega $ 에서 유계가 아니든지 연속이 아닌 경우, 또는 $ \Omega $ 가 유계가 아닌 경우까지 적분의 의미를 확장할 수 있다.</p> <h2>2. 삼중적분에서의 변수변환</h2> <p>삼중적분에 대해서도 비슷한 변수변환 공식이 있다. $ u v w $ 공간의 어떤 영역 $ U $ 를 변환 \[ \begin {array} { c } T(u, v, w)=(x, y, z) \\ x=g(u, v, w), y=h(u, v, w), z=k(u, v, w) \end {array} \] 에 의해 $ x y z $ 공간의 영역 $ W $ 로 변환하면, 변환의 야코비안은 \[ \frac {\partial(x, y, z) } {\partial(u, v, w) } = \left \| \begin {array} { lll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } & \frac {\partial x } {\partial w } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } & \frac {\partial y } {\partial w } \\ \frac {\partial z } {\partial u } & \frac {\partial z } {\partial v } & \frac {\partial z } {\partial w } \end {array} \right \| \] 로 주어진다.</p> <h2>3. 극좌표계에서 이중적분</h2> <p>정리 10 이중적분에서 극좌표로의 변환 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 극장방형 (polar rectangle) \[ D= \{ (r, \theta) \mid 0 \leq a \leq r \leq b, \alpha \leq \theta \leq \beta, 0 \leq \beta- \alpha \leq 2 \pi \} \] 위에서 연속이면, 다음이 성립한다. \[ \iint_ { D } f(x, y) d A= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ { a } ^ { b } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \]</p> <p>예 4 반복적분 $ \int_ { -1 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } x ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } d y d x $ 를 구해보자. 이때 극좌표로의 변환을 이용하면 \[ \begin {aligned} \int_ { -1 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } x ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } d y d x &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \left (r ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 7 } \cos ^ { 2 } \theta \left (r ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \left [ \frac { r ^ { 8 } } { 8 } \right ]_ { r=0 } ^ { r=1 } \cos ^ { 2 } \theta d \theta \\ &= \frac { 1 } { 8 } \int_ { 0 } ^ {\pi } \frac { 1 } { 2 } (1 + \cos 2 \theta) d \theta \\ &= \frac { 1 } { 16 } \left [ \theta + \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \right ]_ { 0 } ^ {\pi } = \frac {\pi } { 16 } \end {aligned} \] 를 얻는다.</p> <h2>2. 이중적분의 응용</h2> <h3>(1) 넓이와 부피</h3> <p>$ f(x) \geq 0 $ 를 만족하는 일변수 연속함수의 정적분이 넓이로 해석된 것처럼, 이변수 연속함수 $ f(x, y) \geq 0 $ 의 이중적분은 부피로 해석될 수 있다.</p> <p>정리 8 $ f(x, y) \geq 0 $ 인 이변수함수 $ z=f(x, y) $ 가 닫힌영역 $ \Omega $ 에서 연속일 때, $ z=f(x, y) $ 아래에 있고 $ \Omega $ 위에 놓인 도형의 부피는 \[ V= \iint_ {\Omega } f(x, y) d A \] 로 주어진다.</p> <p>입체를 잘 그리고, 주어진 입체의 $ x y $ 평면 위의 영역을 구하는 것은 이중적분에서 제일 중요하다.</p> <p>예제 2 평면 $ 2 x + y + z=2 $ 와 세 좌표평면이 이루는 사면체 $ S $ 의 부피를 구하시오.</p> <p>풀이 $ S $ 는 $ \Omega= \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2-2 x \} $ 위와 $ 2 x + y + z=2 $ 아래 놓여 있는 도형이므로, 푸비니 정리로부터 \[ \begin {aligned} V &= \iint_ {\Omega } (2-2 x-y) d A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 2-2 x } (2-2 x-y) d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [2 y-2 x y- \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { y=0 } ^ { y=2-2 x } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [2(2-2 x)-2 x(2-2 x)- \frac { (2-2 x) ^ { 2 } } { 2 } \right ] d x= \frac { 2 } { 3 } \end {aligned} \] 를 언는다.</p> <p>닫힌영역 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $ 에서 정의된 상수함수 $ f(x, y)=1 $ 을 적분하면, $ \Omega $ 의 넓이 $ A( \Omega) $ 를 얻는다. 즉 이중적분에서 $ f(x, y)=1 $ 로 놓으면, $ \Omega $ 의 넓이 $ A( \Omega) $ 는 $ \iint_ {\Omega } 1 d A=A( \Omega) $ 로 주어진다. 예를 들면 형태 $ \mathrm { I } $ 인 닫힌영역의 경우 \[ \iint_ {\Omega } 1 d A= \int_ { a } ^ { b } \int_ { g_ { 1 } (x) } ^ { g_ { 2 } (x) } 1 d y d x= \int_ { a } ^ { b } \left [g_ { 2 } (x)-g_ { 1 } (x) \right ] d x=A( \Omega) \] 가 성립한다.</p> <p>예제 3 삼중 반복적분 \[ \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } } } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) d z d y d x \] 를 구면좌표를 이용하여 구하시오.</p> <p>풀이 반구 $ z= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 과 $ x y $ 평면으로 둘러싸인 입체영역 $ E $ 에서 \[ \iiint_ { E } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) d z d y d x \] 를 구하면 된다. 구면좌표계에서 입체영역 $ E $ 는, 구 $ \rho $ 를 0 에서 위로 2 까지, $ \phi $ 를 0 에서 위로 $ \frac {\pi } { 2 } $ 까지, $ \theta $ 를 0 에서 $ \pi $ 까지 각각 변하게 함으로써 얻어진다. 따라서 주어진 삼중적분을 구면좌표계로 변환하여 계산하면, 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } } } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) d z d y d x \\ = \iiint_ { E } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) d V \end {array} \] $ = \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \left ( \rho ^ { 2 } \sin \phi \right ) d \rho d \phi d \theta $ $ = \frac { 32 \pi } { 5 } $</p> <p>② 닫힌영역 $ E $ 가 형태 $ \mathrm { II } $ 인 입체영역일 경우</p> <p>삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid(y, z) \in D, \phi_ { 1 } (y, z) \leq x \leq \phi_ { 2 } (y, z) \right \} \] 에서 연속일 때 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \iint_ { D } \left [ \int_ {\phi_ { 1 } (y, z) } ^ {\phi_ { 2 } (y, z) } f(x, y, z) d x \right ] d A \] 로 주어진다. 여기서 $ D $ 는 $ E $ 의 $ y z $ 평면으로의 정사영이고, 함수 $ \phi_ { 1 } (y, z) $ 와 $ \phi_ { 2 } (y, z) $ 는 $ D $ 에서 연속이다. 이때 $ E $ 를 형태 $ \mathrm { II } $ 인 입체영역이라 한다.</p> <p>예제 2 입체영역 $ E $ 가 평면 $ x=0, y=0, z=0 $ 와 $ 2 x + y + z=4 $ 로 둘러싸인 사면체일 때, $ \iiint_ { E } 6 x y d V $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 $ y z $ 평면의 삼각형 영역을 사면체의 바닥으로 생각하고, $ y z $ 평면에 수직인 직선을 그리면 $ x=0 $ ( $ y z $ 평면)으로부터 $ x= \frac { 1 } { 2 } (4-y-z) $ 평면을 통과한다. 따라서 입체영역 $ E $ 가 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid 0 \leq y \leq 4,0 \leq z \leq 4-y, 0 \leq x \leq \frac { 1 } { 2 } (4-y-z) \right \} \] 로 주어지므로 \[ \begin {aligned} \iiint_ { E } 6 x y d V &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \int_ { 0 } ^ { 4-y } \int_ { 0 } ^ {\frac { 1 } { 2 } (4-y-z) } 6 x y d x d z d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \int_ { 0 } ^ { 4-y } \left [3 x ^ { 2 } y \right ]_ { x=0 } ^ {\frac { 1 } { 2 } (4-y-z) } d z d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \int_ { 0 } ^ { 4-y } \frac { 3(4-y-z) ^ { 2 } y } { 4 } d z d y \\ &= \frac { 3 } { 4 } \int_ { 0 } ^ { 4 } \int_ { 0 } ^ { 4-y } (4-y-z) ^ { 2 } y d z d y= \frac { 64 } { 5 } \end {aligned} \] 를 얻는다. 마지막 적분 계산은 독자에게 남긴다.</p> <p>③ 닫힌영역 $ E $ 가 형태 $ \mathrm { III } $ 인 입체영역일 경우</p> <p>삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 가 \[ E= \left \{ (x, y, z) \mid(x, z) \in D, \phi_ { 1 } (x, z) \leq y \leq \phi_ { 2 } (x, z) \right \} \] 에서 연속일 때 \[ \iiint_ { E } f(x, y, z) d V= \iint_ { D } \left [ \int_ {\phi_ { 1 } (x, z) } ^ {\phi_ { 2 } (x, z) } f(x, y, z) d y \right ] d A \] 로 주어진다. 여기서 $ D $ 는 $ E $ 의 $ x z $ 평면으로의 정사영이고, 함수 $ \phi_ { 1 } (x, z) $ 와 $ \phi_ { 2 } (x, z) $ 가 $ D $ 에서 연속이다. 이때 $ E $ 를 형태 III인 입체영역이라 한다.</p> <p>참고 [삼중적분의 응용] 닫힌영역 $ E \subset R ^ { 3 } $ 에서 정의된 상수함수 $ f(x, y, z)=1 $ 을 적분하면, $ E $ 의 부피 $ V(E) $ 를 얻는다. 즉 \[ \iiint_ { E } 1 d V=V(E) \] 가 성립한다.</p> <p>예 2 교차하는 두 원주 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 과 $ x ^ { 2 } + z ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 에 공통된 입체영역의 부피 $ V $ 는 \[ \begin {aligned} V &=8 \int_ { 0 } ^ { a } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \int_ { 0 } ^ { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d z d y d x \\ &=8 \int_ { 0 } ^ { a } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d y d x \\ &=8 \int_ { 0 } ^ { a } \left (a ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) d x= \frac { 16 a ^ { 3 } } { 3 } \end {aligned} \] 으로 주어진다.</p> <h1>$ 8.3 $ 다중적분에서의 변수변환</h1> <p>다중적분에서 적분변수의 변환법은 매우 유용하다. 여기서는 이중적분과 삼중적분에서 변환하는 방법을 살펴본다.</p> <h2>1. 이중적분에서의 변수변환</h2> <p>$ u v $ 평면에서 $ x y $ 평면으로의 변환 (transformation) \[ T(u, v)=(x, y) ; x=g(u, v), y=h(u, v) \] 에 의해 주어진 변수변환 $ T $ 가 일대일 변환일 경우, $ x y $ 평면에서 $ u v $ 평면으로의 역변환 $ T ^ { -1 } $ 를 갖고 $ u, v $ 를 $ x $ 와 $ y $ 의 식으로 푸는 것이 가능하다.</p> <p>예 1 직선 $ y=2 x + 3, y=2 x + 1, y=5-x, y=2-x $ 로 둘러싸인 평행사변형 영역을 $ W $ 라고 할 때, $ u v $ 평면에서 직사각형 영역 $ S(u, v $ 축과 평행한 변으로 주어진 어뗜 직사각형 영역) 가 $ W $ 로 사상하는 변환 $ T $ 를 구해보자. 직선들은 평행사변형 영역 $ W $ 의 경계를 만드는 방정식 \[ y-2 x=3, y-2 x=1, y + x=5, y + x=2 \] 로 다시 쓸 수 있으므로 \[ u=y-2 x, v=y + x \] 로 치환하면, $ W $ 의 경계를 구성하는 선분들은 $ u v $ 평면에서 직사각형 영역 $ S $ 에 대응하는 경계선들로 각각 $ u=3, v=1, v=5, v=2 $ 에 대응된다. 따라서 다음과 같은 변환 $ T $ 를 정의할 수 있다. \[ T(u, v)=(x, y) ; x= \frac { 1 } { 3 } (v-u), y= \frac { 1 } { 3 } (2 v + u) \]</p> <p>정의 1 야코비안 $ x=g(u, v) $ 와 $ y=h(u, v) $ 가 미분가능할 때, $ \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } $ 로 표시되는 $ u $ 와 $ v $ 에 관한 $ x $ 와 $ y $ 의 야코비안 (Jacobian)은 \[ \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \| \] 로 정의한다.</p> <p>정리 3 삼중적분에서의 변수변환 변환 \[ x=g(u, v, w), y=h(u, v, w), z=k(u, v, w) \] 에 의해, $ u v w $ 공간의 닫힌영역 $ U $ 에서 $ x y z $ 공간의 닫힌영역 $ W $ 로의 일대일 변환 $ T $ 가 주어져 있고, 삼변수함수 $ w=f(x, y, z) $ 의 편도함수가 $ W $ 에서 연속일 때 야코비안이 0 이 아니면 \[ \begin {array} { l } \iiint_ { W } f(x, y, z) d x d y d z \\ = \iiint_ { U } f(g(u, v, w), h(u, v, w), k(u, v, w)) \left \| \frac {\partial(x, y, z) } {\partial(u, v, w) } \right \| d u d v d w \end {array} \] 가 성립한다.</p> <p>원주좌표로의 변환 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z $ 에 의하여 \[ \frac {\partial(x, y, z) } {\partial(r, \theta, z) } =r \] 이므로 \[ \iiint_ { W } f(x, y, z) d V= \iiint_ { U } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z \] 가 된다. 또한 구면좌표로의 변환 \[ \begin {array} { l } x=g( \rho, \theta, \phi)= \rho \sin \phi \cos \theta \\ y=h( \rho, \theta, \phi)= \rho \sin \phi \sin \theta \\ z=k( \rho, \theta, \phi)= \rho \cos \phi \end {array} \] 에 의하면 \[ \frac {\partial(x, y, z) } {\partial( \rho, \theta, \phi) } = \left \| \begin {array} { lll } \frac {\partial x } {\partial \rho } & \frac {\partial x } {\partial \theta } & \frac {\partial x } {\partial \phi } \\ \frac {\partial y } {\partial \rho } & \frac {\partial y } {\partial \theta } & \frac {\partial y } {\partial \phi } \\ \frac {\partial z } {\partial \rho } & \frac {\partial z } {\partial \theta } & \frac {\partial z } {\partial \phi } \end {array} \right \|=- \rho ^ { 2 } \sin \phi \cos ^ { 2 } \phi- \rho ^ { 2 } \sin \phi \sin ^ { 2 } \phi=- \rho ^ { 2 } \sin \phi \] 이므로, $ \left \| \frac {\partial(x, y, z) } {\partial( \rho, \theta, \phi) } \right \|= \rho ^ { 2 } \sin \phi $ 로부터 \[ \begin {aligned} \iiint_ { W } f(x, y, z) d V \\ &= \iiint_ { U } f( \rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \end {aligned} \] 를 얻는다.</p>	자연
M420-대학일반수학	<p>[예제 6 ]</p> <p>(1) $ A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)(\neq O) $ 이고 $ B=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) \neq(O) $ 이지만 $ A B=O $ 이다.</p> <p>(2) $ A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 4\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 3 & 4\end{array}\right) $ 일 때, $ A B=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 6 & 8\end{array}\right)=A C $ 이다.</p> <p>다음은 특별한 행렬인 단위행렬을 정의한다.</p> <h2>정의</h2> <p>대각성분은 모두 1 이고 그 외의 성분은 모두 0 인 행렬을 단위행렬(unit matrix)이라 하고 $ I $ 또는 $ E $ 로 나타낸다.</p> <p>참고</p> <p>(1) 행렬 $ A $ 에 대하여 $ A I=A=I A $ 가 성립한다.</p> <p>(2) $ A $ 가 정방행렬일 때, $ A^{0}=I, A^{n}=A \cdot A \cdot \cdots \cdot A(n>0) $ 으로 정의한다.</p> <p>[예제 7$ ] $</p> <p>$ I=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right) $ 은 각각 2차, 3 차, 4차 단위행렬이다.</p> <p>[예제 8$ ] $</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) $ 에 대하여 $ A^{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right) $ 이고 $ A^{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}4 & 4 \\ 4 & 4\end{array}\right) $이다. 일반적으로 $ A^{n}=\left(\begin{array}{ll}2^{n-1} & 2^{n-1} \\ 2^{n-1} & 2^{n-1}\end{array}\right) $ 이다.</p> <p>다음은 행렬의 덧셈과 곱셈에 관한 연산법칙을 모은 것이다. 여기서 행렬 $ A $, $ B, C $ 는 잘 정의되어 있고, $ h $ 와 $ k $ 는 실수라 하면 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (A+B)+C=A+(B+C) $</li> <li>$ A+B=B+A $</li> <li>모든 성분이 0 인 행렬 $ O $ 가 존재하여 \[A+O=O+A=A\]를 만족한다. 이때 $ O $ 를 영행렬(zero matrix)이라 한다.</li> <li>모든 행렬 $ A $ 에 대하여 \[A+(-A)=(-A)+A=O\]인 행렬 $ -A $ 가 존재한다.</li> <li>$ k(A+B)=k A+k B $</li> <li>$ (h+k) A=h A+k A $</p> <p>7. $ (h k) A=h(k A) $</li> <li>$ (h k) A=h(k A) $</li> <li>$ 1 A=A $</li> <li>$ (A B) C=A(B C) $</li> <li>$ A(B+C)=A B+A C $</li> <li>$ (A+B) C=A C+B C $</li></ol> <p>$ n $ 차 정방행렬의 역행렬을 다음과 같이 정의한다.</p> <h2>정의</h2> <p>$ n $ 차 정방행렬 $ A $ 에 대하여 $ A B=B A=I $ 를 만족하는 행렬 $ B $ 가 존재할 때 $ A $ 는 가역적(invertible)이라 하고, 행렬 $ B $ 를 행렬 $ A $ 의 역행렬(inverse matrix)이라 하며 $ B=A^{-1} $ 로 쓴다.</p> <p>참고</p> <p>가역적인 행렬을 정칙행렬(nonsingular matrix)이라 한다.</p> <p>[예제 9 ]</p> <p>영행렬 $ O=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) $ 과 $ A=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right) $ 은 역행렬이 없다.</p> <p>일반적으로 어떤 행렬의 역행렬은 항상 존재한다고 할 수 없다. 그러므로 역행렬이 존재할 조건과 역행렬이 존재한다면 몇 개나 존재하는가 하는 것에 대한 결과는 다음과 같다.</p> <h2>역행렬의 유일성</h2> <p>임의의 정방행렬의 역행렬이 존재한다면 그 역행렬은 유일하다.</p> <p>증명</p> <p>$ B $ 와 $ C $ 가 정방행렬 $ A $ 의 두 역행렬이라 하자. 이때, $ A B=I=B A $ 이고 $ A C=I=C A $ 이다. 따라서 $ B=I B=(C A) B=C(A B)=C I=C $ 이다.</p> <p>모든 정방행렬이 역행렬을 갖는 것이 아니므로 먼저 2차 가역행렬의 역행렬이 존재할 조건을 알아보고, 그 역행렬을 구해 보도록 하자.</p> <p>2 차 정방행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) $ 은 $ a d-b c \neq 0 $ 일 때 가역이고, 이때 $ A $ 의 역행렬은 \[ A^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{rr}d-b \\-c & a\end{array}\right)\]으로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>만일 $ a d-b c=0 $ 이면 역행렬은 존재하지 않는다.</p> <p>[예제 10]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{rr}4 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right) $ 에서 $ a d-b c=4 \cdot(-1)-2 \cdot 2=-8 \neq 0 $ 이므로 역행렬이 존재하고, 그 역행렬은 $ A^{-1}=-\frac{1}{8}\left(\begin{array}{rr}-1 & -2 \\ -2 & 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{8} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{2}\end{array}\right) $ 이다.</p> <p>[예제 11]</p> <p>행렬 $ \left(\begin{array}{cc}-a & -2 \\ a+1 & 6\end{array}\right) $ 의 역행렬이 존재하지 않을 때, 상수 $ a $ 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ -6 a+2(a+1)=-4 a+2=0 $ 에서 $ a=\frac{1}{2} $ 이다.</p> <p>$ A, B $ 를 차원이 같은 두 가역행렬이라 하자. 이때 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A B $ 도 가역행렬이다.</li> <li>$ (A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1} $ 이 성립한다.</li></ol> <p>증명</p> <p>(2)의 증명 : \[\begin{array}{l}\left(B^{-1} A^{-1}\right)(A B)=B^{-1}\left(A^{-1} A\right) B=B^{-1}(I B)=B^{-1} B=I \text { 이고 } \$A B)\left(B^{-1} A^{-1}\right)=A\left(B B^{-1}\right) A^{-1}=(A I) A^{-1}=A A^{-1}=I \text { 이므로 }\end{array}\] \( A B $ 는 가역이다.</p> <p>[예제 12]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right) $ 이고 $ B=\left(\begin{array}{rl}0 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right) $ 일 때, $ A B=\left(\begin{array}{ll}-2 & 5 \\ -3 & 7\end{array}\right) $ 이다. 또한 $A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3-2 \\ -1 & 1\end{array}\right) $ 이고 $ B^{-1}=\left(\begin{array}{rr}2-1 \\ 1 & 0\end{array}\right) $ 이므로 $ (A B)^{-1}=\left(\begin{array}{l}7-5 \\ 3-2\end{array}\right) $ $ =B^{-1} A^{-1} $ 이다.</p> <p>일반적으로 역행렬은 다음과 같은 성질이 성립한다.</p> <h2>역행렬의 성질</h2> <ol type=1 start=1><li>$ A^{-n}=\left(A^{-1}\right)^{n}=A^{-1} A^{-1} \cdots A^{-1} $</li> <li>$ \left(A^{-1}\right)^{-1}=A $</li> <li>$ (k A)^{-1}=\frac{1}{k} A^{-1} $ (단, $ k $ 는 상수)</li> <li>$ \left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T} $</li></ol> <p>[예제 13]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 1 & 3\end{array}\right) $ 이라 하자. 이때 $ A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right) $ 이고, $ 2 A=\left(\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 2 & 6\end{array}\right) $ 이므로 $ (2 A)^{-1}=\frac{1}{4 \cdot 6-10 \cdot 2}\left(\begin{array}{rc}6 & -10 \\ -2 & 4\end{array}\right)=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rr}6 & -10 \\ -2 & 4\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{rr}3 & -5 \\ -1 & 2\end{array}\right) $ $ =\frac{1}{2} A^{-1} $ 가 성립한다.</p> <h1>7.4 행렬식</h1> <h2>정의</h2> <p>$ n $ 차 정방 행렬 $ A $ 가 주어졌을 때, 일정한 규칙에 따라 행렬 $ A $ 의 성분을 합한 스칼라 양을 $ A $ 의 행렬식(determinant)라 하고, $ \|A\| $ 또는 $ \operatorname{det} A $ 로 표시한다.</p> <p>참고</p> <p>행렬과는 달리 행렬식은 일정한 값을 갖는다.</p> <p>먼저 1 차 행렬과 2 차 행렬의 행렬식 $ \operatorname{det} A $ 의 값을 구하여 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (a) $ 의 행렬식 $ \|a\|=a $ 이다.</li> <li>$ A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) $ 일 때, $ \left\|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right\|=a d-b c $</li></ol> <p>[예제1]</p> <p>$ \left\|\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 2 & 4\end{array}\right\|=12-10=2 $ 이고 $ \left\|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 4 & 2\end{array}\right\|=-2-4=-6 $ 이다.</p> <p>3 차 이상의 행렬의 행렬식의 값을 구하기 위하여 다음과 같이 여인자를 정의한다.</p> <h2>정의</h2> <p>$ A $ 를 $ n $ 차 정방 행렬이라 하자. 행렬 $ A $ 의 $ i $ 번째 행과 $ j $ 번째 열을 제외한 $ n-1 $ 차 행렬의 행렬식을 $ A $ 의 $ (i, j) $ - 소행렬식(minor)이라 하고. $ M_{i j}(A) $ 로 나타낸다. 또한 \[A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}(A)\]를 $ A $ 의 여인자(cofactor)로 정의한다.</p> <p>[예제 2 ]</p> <p>3 차 정방행렬 \[A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 2 \\-1 & 2 & 1\end{array}\right)\에 대하여 $ M_{12}(A) $ 와 $ A_{12} $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ M_{12}(A) $ 는 행렬 $ A $ 의 1행과 2 열을 제외한 행렬 $ \left(\begin{array}{rr}0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right) $ 의 행렬식이므로 $ \left\|\begin{array}{rr}0 & 2 \\ -1 & 1\end{array}\right\|=2 $ 이다. 따라서 $ A_{12}=(-1)^{1+2} 2=-2 $ 이다.</p> <p>$ n $ 차 정방행렬 $ A $ 의 행렬식의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.</p> <p>\[\operatorname{det} A=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}\] 또는 \[\operatorname{det} A=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}\]</p> <p>[예제 3]</p> <p>3 차 정방행렬 \[A=\left(\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\2 & 1 & 1 \\-1 & 3 & 0\end{array}\right)\] 의 행렬식의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>두 가지 방법으로 계산해 보자.</p> <ol type=i start=1><li>먼저 2행을 중심으로 전개하면 \[\begin{aligned}\operatorname{det} A &=a_{21} A_{21}+a_{22} A_{22}+a_{23} A_{23} \\&=2 \cdot(-1) M_{21}(A)+1 \cdot M_{22}(A)+1 \cdot(-1) M_{23}(A) \\&(-2)\left\|\begin{array}{ll}0 & 1 \\3 & 0\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{cc}-1 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\-1 & 3\end{array}\right\|=6+1+3=10\end{aligned}\]</li> <li>이제 3 열을 중심으로 전개하면 \[\begin{aligned}\operatorname{det} A &=a_{13} A_{13}+a_{23} A_{23}+a_{33} A_{33} \\&=1 \cdot M_{13}(A)+(-1) \cdot M_{23}(A)+0 \cdot M_{33}(A)\end{aligned}\]\[=\left\|\begin{array}{cc}2 & 1 \\-1 & 3 \end{array}\right\|-\left\|\begin{array}{cc}-1 & 0 \\-1 & 3 \end{array}\right\|=7+3=10\]이다.</li></ol> <p>참고</p> <p>위의 예제에서와 같이 행렬식의 값은 어느 행이나 열을 중심으로 계산하여도 같은 값을 얻을 수 있다.</p> <p>4 차 이상의 행렬식을 그 계산해야 하는 경우 계산 자체가 대단히 지루해지므로 특별한 경우는 다음과 같이 계산하면 편리할 때도 있다.</p> <p>$ A $ 를 $ n $ 차 정방행렬이라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A $ 의 한 행이나 열이 모두 0 이면 $ \operatorname{det} A=0 $ 이다.</li> <li>서로 다른 두 행이나 열이 서로 바뀌면 행렬식의 값은 $ -\operatorname{det} A $.</li> <li>행렬 $ A $ 의 한 행 또는 한 열에 상수 $ k $ 를 곱하면 행렬식의 값은 $ k(\operatorname{det}(A)) $이다.</li> <li>두 행 또는 두 열의 성분이 같으면 $ \operatorname{det} A=0 $ 이다.</li> <li>대각성분의 상부 또는 하부의 성분이 모두 0 이면 행렬식의 값은 대각성분의 곱이다.</li> <li>행렬 $ A $ 와 그 전치행렬 $ A^{T} $ 의 행렬식의 값은 같다. 즉, $ \operatorname{det} A=\operatorname{det}\left(A^{T}\right) $</li></ol> <h1>$ 7.5 $ 크래머의 공식</h1> <p>앞 절에서 다루었던 $ n $ 개의 미지수를 갖는 $ n $ 개의 1 차 방정식으로 이루어진 연립방정식을 해결하는 방법인 역행렬을 이용하는 방법 외에 또 다른 해법을 소개하도록 한다.</p> <h2>크래머(Cramer) 공식</h2> <p>연립방정식의 계수 행렬 $ A $ 에 대하여 $ \operatorname{det}(A) \neq 0 $ 이면 주어진 연립방정식은 유일한 해 \[x_{1}=\frac{\operatorname{det}\left(C_{1}\right)}{\operatorname{det} A}, \quad x_{2}=\frac{\operatorname{det}\left(C_{2}\right)}{\operatorname{det} A}, \cdots,x_{n}=\frac{\operatorname{det}\left(C_{n}\right)}{\operatorname{det} A}\]를 갖는다. 여기서 $ C_{j} $ 는 $ A $ 의 $ j $ 번째 열의 성분을 $ B $ 의 성분으로 바꾼 행렬(확대행렬)이다.</p> <p>[예제 1$ ] $</p> <p>다음 연립방정식을 풀어라. \[\left\{\begin{array}{l}x+y=1 \\x-2 y=0\end{array}\right.\]</p> <p>풀이</p> <p>계수행렬 $ A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -2\end{array}\right) $ 의 행렬식의 값은 $ -3 $ 이므로 주어진 연립방정식은 유일한 해를 갖는다. 이때 $ B=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) $ 이므로 $ C_{1}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 0 & -2\end{array}\right) $ 과 $ C_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) $ 을 얻고 $ \operatorname{det}\left(C_{1}\right)=-2 $ 이고 $ \operatorname{det}\left(C_{2}\right)=-1 $ 가 되어 $ x=\frac{2}{3} $ 이고 $ y=\frac{1}{3} $ 이다.<p>[예제 2]</p> <p>포물선 $ y=a x^{2}+b x-1 $ 이 두 점 $ (-2,5) $ 와 $ (2,9) $ 를 지날 때 $ a, b $의 값을 정하여라. 주어진 포물선이 점 $ (-2,5) $ 를 지나므로 $ 5=4 a-2 b-1 \cdots(1) $ 이다. 또한 점 $ (2,9) $ 를 지나므로 $ 9=4 a+2 b-1 \cdots(2) $ 이다. 식 (1)과 (2)로부터 연립방정식 $ \left\{\begin{array}{l}2 a-b=3 \\ 2 a+b=5\end{array}\right. $ 를 얻는다. 이 연립방정식을 풀기 위하여 $ A=\left(\begin{array}{lr}2 & -1 \\ 2 & 1\end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l}a \\ b\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5\end{array}\right) $ 라 하면 $ \operatorname{det} A=4 $ 이므로, 크래머(Cramer)의 공식에 의하여\[a=\frac{\left\|\begin{array}{lr}3-1 \\5 & 1\end{array}\right\|}{4} \text { 이고 } b=\frac{\left\|\begin{array}{ll}2 & 3 \\2 & 5\end{array}\right\|}{4}\]이다. 이것으로부터 $ a=2, b=1 $ 을 얻을 수 있다.</p> <p>[예제 3$ ] $</p> <p>다음 연립방정식을 풀어라. \[\left\{\begin{array}{l}x+2 z=6 \\-3 x+4 y+6 z=30 \\-x-2 y+3 z=8\end{array}\right.\]</p> <p>풀이</p> <p>계수행렬 $ A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 2 \\ -3 & 4 & 6 \\ -1 & -2 & 3\end{array}\right) $ 의 행렬식의 값은 $ \|A\|=44 $ 이다. 이때 각 확대행렬의 행렬식의 값을 구해 보면 \[\begin{aligned}\left\|C_{1}\right\| &=\left\|\begin{array}{crr}6 & 0 & 2 \\30 & 4 & 6 \\8 & -2 & 3\end{array}\right\|=40, \\\left\|C_{2}\right\| &=\left\|\begin{array}{rrr}1 & 6 & 2 \\-3 & 30 & 6 \\-1 & 8 & 3\end{array}\right\|=72,\left\|C_{3}\right\|=\left\|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 6 \\-3 & 4 & 30 \\-1 & -2 & 8\end{array}\right\|=38\end{aligned}\]이다. 따라서 $ x=-\frac{10}{11}, y=\frac{18}{11}, z=\frac{38}{11} $ 이다.</p> <h1>7.1 행렬</h1> <p>정의</p> <p>수(numbers)를 직사각형으로 배열(array)하여 괄호(bracket)로 묶어 나타낸 것을 행렬(matrix)이라고 한다. 이때 행렬을 이루는 수를 그 행렬의 성분(entries)이라고 하며, 행(row)은 위에서 아래로, 열(column)은 왼쪽에서 오른쪽으로의수의 배열을 말한다. 이 행의 수와 열의 수로써 주어진 행렬의 차원(dimension) 또는 크기(size)을 말한다.</p> <p>[예제 1]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}-2 & 3 \\ -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) $ 등은 행렬이다.</p> <p>일반적으로 $ m $ 행과 $ n $ 열을 갖는 행렬을 $ m \times n $ 행렬이라 한다. 위의 예제 1 에서 $ A $ 는 $ 2 \times 2, B $ 는 $ 2 \times 4, C $ 는 $ 3 \times 2 $ 행렬이다. 또한 행렬 $ A $ 의 2 행의 성분은 $ -1 $ 과 0 이고, $ B $ 의 2 행 3 열의 성분은 $ a_{23}=6 $ 과 같이 쓴다.</p> <p>정의</p> <p>한 행렬의 $ i $ 번째 행과 $ j $ 번째 열에 있는 성분을 $ a_{i j} $ 로 나타내고, 특히 행의 수와 열의 수가 같은 행렬을 $ n \times n $ 정방행렬(square matrix) 또는 $ n $ 차 정방행렬이라고 한다. 행렬 $ A $ 가 정방행렬일 때 대각선에 있는 성분 $ a_{i j}(i=j) $ 를 대각 성분(diagonal entry)이라고 한다.</p> <p>[예제 2]</p> <p>2차 정방행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\ 1 & 7\end{array}\right) $ 의 대각성분과 행렬 $ C=\left(\begin{array}{r}0 \\ 3 \\ -5\end{array}\right) $ 의 3행 2열의 성분을 말하여라.</p> <p>풀이</p> <p>행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}5 & 3 \\ 1 & 7\end{array}\right) $ 의 대각성분은 5,7 이고, 행렬 $ C $ 의 3행 2 열의 성분은 \[c_{32}=3 \text { 이다. }\]</p> <p>참고</p> <p>두 행렬 $ A $ 와 $ B $ 가 같은 차원을 갖는다는 것은 두 행렬의 행의 수와 열의 수가 같을 때를 의미한다.</p> <p>정의</p> <p>두 행렬 $ A, B $ 에 대하여 $ A $ 와 $ B $ 가 같다(equal)라는 것은</p> <ol type=1 start=1><li>1. 두 행렬의 차원이 같다</li> <li>2. 각 대응하는 성분이 같다.</li></ol> <p>[예제 3 ]</p> <p>두 행렬 $ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right) $ 와 $ B=\left(\begin{array}{lll}a & 2 & d \\ b & 2 & 3 \\ 3 & 1 & c\end{array}\right)$ 에 대하여 $ A=B $ 일 때 $ a+b+c+d $의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ a=1, b=1, c=2, d=3 $ 이므로 $ a+b+c+d=7 $ 이다.</p> <p>정의</p> <p>$ A $ 를 행렬, $ k $ 를 실수라고 할 때, $ k A $ 는 $ A $ 의 각 성분에 $ k $ 를 곱하여 얻어진 행렬이다. 즉, $ k A=\left(k a_{i j}\right) $ 이다.</p> <p>[예제 4$ ] $</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 4 & 3\end{array}\right) $ 일 때 $ 2 A=\left(\begin{array}{ll}4 & 0 \\ 8 & 6\end{array}\right) $ 이고 $ -A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 0 \\ -4 & -3\end{array}\right) $ 이다.</p> <p>임의의 $ n \times m $ 행렬의 행과 열을 바꾼 $ m \times n $ 행렬에 대하여 알아보도록 하자.</p> <p>정의</p> <p>$ n \times m $ 행렬 $ A $ 에 대하여 $ A $ 의 행과 열을 바꾼 행렬을 $ A $ 의 전치행렬(transpose matrix)이라 하며, 이 전치행렬은 $ m \times n $ 행렬이고 $ A^{T} $ 로 쓴다.</p> <p>참고</p> <p>정사각행렬 $ A $ 의 주대각성분은 $ A^{T} $ 의 주대각성분과 같다.</p> <p>[예제 5$ ] $</p> <p>행렬 $ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ 4 & 5 & 2\end{array}\right) $ 의 전치행렬 $ A^{T} $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ A $ 가 $ 2 \times 4 $ 행렬이므로 $ A^{T} $ 는 $ 4 \times 2 $ 행렬로써 $ A^{T}=\left(\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 1 & 5 \\ 3 & 2\end{array}\right) $ 이다.</p> <h2>전치행렬의 성질 (1)</h2> <ol type=1 start=1><li>$ \left(A^{T}\right)^{T}=A $</li> <li>$ (k A)^{T}=k A^{T} $, 단 $ k $는 실수</li></ol> <p>[예제 6]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ a & b & c\end{array}\right) $ 일 때 $ A^{T}=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 2 & b \\ 3 & c\end{array}\right) $이고 $ 3 A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 6 & 9 \\ 3 a & 3 b & 3 c\end{array}\right) $ 이다. 따라서\[(3 A)^{T}=\left(\begin{array}{ll}3 & 3 a \\6 & 3 b \\9 & 3 c\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{ll}1 & a \\2 & b \\3 & c\end{array}\right)=3 A^{T} \text { 이다. }\]</p> <p>정의</p> <p>$ A^{T}=A $ 이 성립할 때 $ A $ 를 대칭행렬(Symmetric)이라 하고, $ -A=A^{T} $ 이 성립할 때 $ A $를 반대칭행렬(skew symmetric)이라 한다.</p> <p>참고</p> <p>대칭행렬과 반대칭 행렬은 정방행렬에서만 나타나며 대각성분을 중심으로 위쪽과 아래쪽의 성분이 같은 경우는 대칭행렬이고, 대각성분이 모두 0이며 위쪽과 아래쪽의 대칭되는 성분의 부호가 반대인 경우가 반대칭 행렬이다.</p> <p>[예제 7$ ] $</p> <p>행렬 $ A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 7 \\ 3 & 7 & 5\end{array}\right) $는 대칭행렬이고, 행렬 $ B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & 2 \\ -1 & -2 & 0\end{array}\right) $ 는 반대칭 행렬이다.</p> <p>[예제 8$ ] $</p> <p>다음 행렬이 반대칭행렬이 되도록 $ a, b, c $의 값을 구하여라.\[\left(\begin{array}{rrr}0 & a & -5 \\7 & 0 & 3 \\5 & b & c\end{array}\right)\]</p> <p>풀이</p> <p>$ a=-7, \quad b=3, c=0 $ 이다.</p> <h1>7.3 가우스 소거법</h1> <h2>정의</h2> <p>$ n $ 개의 변수 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $ 으로 이루어진 하나의 선형방정식(linear equation)은 $ a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+\cdots+a_{n} x_{n}=b $ 꼴로 표현되는데, 이때 각 실수 $ a_{i} $ 를 $ x_{i} $ 의 계수(coefficient)라 한다. 선형방정식이 여러 개로 주어졌을 때, 이 방정식들의 모임을 선형방정식계(system of linear equations) 또는 연립 1차 방정식, 간단히 연립방정식이라 한다.</p> <p>이제 연립방정식을 행렬로 표현하는 방법에 대하여 알아보도록 하자. 예를들어 다음 연립방정식 \[\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y+z+2 w=1 \\x+y-z-w=-2 \\2 x-y+3 z=4\end{array}\right.\]에서 계수들만으로 이루어진 행렬 $ \left(\begin{array}{rrrr}3 & -2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 2 & -1 & 3 & 0\end{array}\right) $ 을 계수행렬(coefficient matrix)이라 한다. 이 방정식에 대한 확대행렬(augmented matrix)이란 마지막열에 다음의 열을 첨가한 행렬인 \[\left(\begin{array}{cccrr}3 & -2 & 1 & 2 & 1 \\1 & 1 & -1 & -1 & -2 \\2 & -1 & 3 & 0 & 4\end{array}\right)\]을 말한다.</p> <p>일반적으로 다음과 같은 형태의 연립방정식을 동차연립방정식이라고 한다.\[\left\{\begin{array}{cc}a_{11} x_{1}+\cdots+a_{1 n} x_{n} & =b_{1} \\a_{21} x_{1}+\cdots+a_{2 n} x_{n} & =b_{2} \\& \vdots \\a_{m 1} x_{1}+\cdots+a_{m n} x_{n} & =b_{m}\end{array}\right.\] 위 동차 연립방정식의 확대행렬은 다음과 같다.\[\left(\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\\vdots & & & \vdots & \vdots \\a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_{m}\end{array}\right)\]</p> <p>이제 연립방정식의 여러 가지 해법 중에서 행렬의 기본행 연산을 이용하여 해를 구하는 방법에 대하여 알아본다.</p> <p>다음 세 가지 연산을 기본행연산(elementary row operation)이라 부른다.</p> <ol type=1 start=1><li>0이 아닌 수를 한 행에 곱한다.(constant multiplication)</li> <li>한 행에 0 이 아닌 수를 곱하여 다른 행에 더한다.(row replacement)</li> <li>두 행을 교환한다.(row interchange)</li></ol> <p>참고</p> <p>한 행렬이 여러 번 수행된 기본행 연산에 의하여 다른 행렬로부터 얻어질 때, 이 두 행렬을 행동치(row equivalent)라고 한다.</p> <p>연립방정식의 확대행렬이 기본행 연산에 의하여 변화되었다고 하더라도 새로운 연립방정식의 해는 원래의 연립방정식의 해와 일치한다. 이와 같은 이유로, 주어진 연립방정식의 확대행렬을 몇 차례의 기본행 연산을 통하여 해를 구하기 위한 가장 편리한 형태로 변화시키는 것이 우리의 목표다.</p> <p>[예제1]</p> <p>다음의 방정식을 기본행 연산에 의하여 풀어보자. \[\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\2 x+3 y-z=3 \\3 x-2 y+z=-1\end{array}\right.\]</p> <p>풀이</p> <p>이 연립방정식의 확대행렬은 \[\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 2 \\2 & 3 & -1 & 3 \\3 & -2 & 1 & -1\end{array}\right)\](2) - (1) $ \times 2 $ 한 후, (3)- (1) $ \times 3 $ (1)를 시행하면 \[\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & -3 & -1 \\0 & -5 & -2 & -7\end{array}\right)\] 다시 (3) $ + $ (2) $ \times 5 $ 하면 \[\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & -3 & -1 \\0 & 0 & -17 & -12\end{array}\right)\] (3) $ \times\left(-\frac{1}{17}\right) $ 하면 \[\left(\begin{array}{rrrr}1 & 1 & 1 & 2 \\0 & 1 & -3 & -1 \\0 & 0 & 1 & \frac{12}{17}\end{array}\right)\]이다. 이 마지막으로 변형된 행렬은 사다리꼴 모양이 되므로, 이러한 형태의 행렬을 행사다리꼴(row echelon form)이라 한다. 이 예제에서 마지막 행에서 마지막 변수 $ z $ 에 대한 계수가 0 이 아니므로 $ z=\frac{12}{17} $ 을 구할 수 있다. 또 그 바로 위의 행에서 $ y-3 z=-1 $ 이므로 $ y=\frac{19}{17} $ 을 구하고, 끝으로 $ x+y+z=2 $ 에서 $ x=\frac{3}{17} $ 을 차례로 얻는다.</p> <p>위 과정에서 해를 구하는 순서가 $ z, y, x $ 의 순서로서 변수가 늦은 것부터 구하게 되므로 이러한 방법을 후진대입법(backward substitution)이라 한다. 또 이러한 방법으로 해를 구하는 가정을 가우스 소거법(Gauss elimination)이라 한다.</p> <p>즉, 가우스 소거법은 행사다리꼴로의 변환과 후진 대입법으로 나눌 수 있다.</p> <p>앞의 [예제 1]에서 행사다리꼴로의 변환을 위해서는 다음과 같은 성질에서 시작하여야 한다.</p> <p>행사다리꼴의 성질</p> <ol type=1 start=1><li>연속된 두 행이 모두 0 으로 되어 있지 않으면 두 번째 행의 0이 아닌 성분은 바로 위의 행의 0이 아닌 성분보다 오른쪽에서 시작한다.</li> <li>모든 성분이 0이 아닐 때, 0이 아닌 첫 성분은 1이다.</li> <li>모든 성분이 0인 행은 제일 아래쪽에 위치한다.</li></ol> <p>참고</p> <p>조건 (2)에서의 성분 " 1 "을 그 행의 선행선분(leading entry)라고 한다.</p> <p>[예제 2$ ] $</p> <p>다음은 행사다리꼴 행렬이다.</p> <p>(1) $ \left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) $(2) $ \left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) $</p> <p>행사다리꼴에서 다음 조건을 만족할 경우 기약 행사다리꼴이라 한다.</p> <p>기약 행사다리꼴</p> <p>조건 (2)와 "1"을 포함하는 각 열의 다른 성분들은 모두 "0"이다.</p> <p>[예제 3$ ] $</p> <p>다음은 기약 행사다리꼴 행렬이다.</p> <p>(1) $ \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 7\end{array}\right) $ (2) $ \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right) $</p> <p>[예제 4 ]</p> <p>다음 행렬은 2 열이 조건을 만족하지 못하므로 기약 행사다리꼴이 아니다.</p>$ \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right) $</p> <p>[예제 4 ]</p> <p>(1) $ \left\|\begin{array}{rrr}0 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 5\end{array}\right\|=0 $(2) $ \left\|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & 2 & 5 \\ 0 & 6 & 3\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{rrr}3 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & 0\end{array}\right\| $</p> <p>(3) $ \left\|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 6 & 8\end{array}\right\|=2\left\|\begin{array}{ll}1 & 4 \\ 3 & 8\end{array}\right\|=2 \cdot 2\left\|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right\|=2 \cdot 2 \cdot 2\left\|\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 3 & 2\end{array}\right\|=-8 $.</p>(4) $ \left\|\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3 \\ -1 & 4 & 6 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right\|=0 $(5) $ \left\|\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 5 & 6 & 3\end{array}\right\|=2 \times 5 \times 3=30 $</p> <p>(6) $ \left\|\begin{array}{rrr}1 & 5 & 7 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right\|=-1 $ 이고 $ \left\|\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1\end{array}\right\|=1 $.</p> <p>참고</p> <p>$ \left\|\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 6 & 8\end{array}\right\| \neq 2\left\|\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right\|=2 \cdot(-2)=-4 $ 임에 주의해야 한다.</p> <p>$ [ $ 예제 5$ ] $</p> <p>$ \left\|\begin{array}{lll}a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right\|=5 $ 일 때 다음 값을 계산하여라.</p> <p>(1) $ \left\|\begin{array}{ccc}a+1 & b+2 & c+3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right\| $(2) $ \left\|\begin{array}{ccc}2 a & 2 b & 2 c \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right\| $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ \left\|\begin{array}{ccc}a+1 & b+2 & c+3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & 7 & 8\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{lll}a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & 7 & 8\end{array}\right\|+\left\|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & 7 & 8\end{array}\right\|=5+0=5 $(2) $ \left\|\begin{array}{ccc}2 a & 2 b & 2 c \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right\|=2\left\|\begin{array}{llc}a & b & c \\ 2 & 4 & 6 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right\|=2 \cdot 2\left\|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 6 & 8 & 10\end{array}\right\|=2 \cdot 2 \cdot 2\left\|\begin{array}{lll}a & b & c \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right\|=40 $</p> <p>$ [ $ 예제 6$ ] $</p> <p>다음 방정식을 풀어라(단 $ x>0 $ ). \[\left\|\begin{array}{rrr}x & 7 & -4 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & x\end{array}\right\|=1 \]</p> <p>풀이</p> <p>삼각행렬의 행렬식이므로 대각성분으로부터 해를 구할 수 있다. 즉, $ x^{2}=1 $ 에서 $ x=\pm 1 $ 이다. 이때 $ x>0 $ 이므로 구하는 해는 $ x=1 $ 이다.</p> <p>정의</p> <p>$ n $ 차 정방행렬 $ A $ 에 대하여 $ A_{i j} $ 를 그 여인자라고 하자. 이때 행렬 \[\left(\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n}\end{array}\right)\]을 행렬 $ A $ 의 수반행렬(adjoint matrix of $ A $ )이라 하고 $ \operatorname{adj}(A) $ 로 표시한다.</p> <p>[예제 7 ]</p> <p>다음 행렬의 수반행렬을 구하여라. \[A=\left(\begin{array}{rrr}3 & 2 & -1 \\ 1 & 6 & 3 \\1 & 4 & 0\end{array}\right)\]</p> <p>풀이</p> <p>$ A_{11}=M_{11}=\left\|\begin{array}{ll}6 & 3 \\ 4 & 0\end{array}\right\|=-12, A_{12}=-M_{12}=-\left\|\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 0\end{array}\right\|=6 $,$ A_{13}=M_{13}=\left\|\begin{array}{ll}1 & 6 \\ 1 & 0\end{array}\right\|=-6 $,$ A_{21}=-M_{21}=-\left\|\begin{array}{cr}2 & -1 \\ 4 & 0\end{array}\right\|=-4, A_{22}=M_{22}=\left\|\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right\|=1 $,$ A_{23}=-M_{23}=-\left\|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 4\end{array}\right\|=-10 $,$ A_{31}=M_{31}=\left\|\begin{array}{rr}2 & -1 \\ 6 & 3\end{array}\right\|=12, A_{32}=-M_{32}=-\left\|\begin{array}{rr}3 & -1 \\ 1 & 3\end{array}\right\|=-10 $,$ A_{33}=M_{33}=\left\|\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 1 & 6\end{array}\right\|=16 $이므로 $ \operatorname{adj} A=\left(\begin{array}{rrr}-12 & -4 & 12 \\ 6 & 1 & -10 \\ -6 & -10 & 16\end{array}\right) $ 이다.</p> <p>2 차 이상의 가역행렬에 대하여 그 역행렬은 다음과 같다.</p> <p>$ A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(A)} \operatorname{adj}(A) $</p> <h1>7.2 행렬의 계산</h1> <p>행렬의 덧셈</p> <p>두 $ n \times m $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right), B=\left(b_{i j}\right) $ 에 대하여, $ A+B $ 는 각각에 대응하는 성분끼리의 덧셈으로 계산한다. 즉 $ A+B=\left(c_{i j}\right) $ 를 말한다. 여기서 각 $ c_{i j}=a_{i j}+b_{i j}(1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq m) $ 이다.</p> <p>[예제1]</p> <p>다음 세 행렬에 대하여, $ A+B $ 와 $ A+C $ 를 계산하여라. \[A=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\-1 & 0\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\0 & 5\end{array}\right), \quad C=\left(\begin{array}{rr}-1 & 2 \\1 & 3\end{array}\right)\]</p> <p>풀이</p>$ A+B=\left(\begin{array}{rr}1+3 & 1+4 \\ -1+0 & 0+5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}4 & 5 \\ -1 & 5\end{array}\right) $ 이다. 또한 $ A $와 $ C $는 서로 차원 이 다르므로 $ A+C $ 를 계산할 수 없다.</p> <p>[예제 2]</p> <p>두 행렬 $ A=\left(\begin{array}{cr}2 & -3 \\ 4 & 1 \\ -1 & 5\end{array}\right) $ 와 $ B=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & -4 \\ 3 & -1 & 2\end{array}\right) $ 에 대하여 다음을 구하여라.<p>풀이</p> <p>$(1) \begin{aligned} A B &=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{rr}1 \times 2+1 \times 0+0 \times(-1) & 1 \times 0+1 \times 1+0 \times 1 \\ 2 \times 2+(-3) \times 0+1 \times(-1) & 2 \times 0+(-3) \times 1+1 \times 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 3 & -2\end{array}\right) \end{aligned} $</p> <p>$(2) \begin{aligned} B A &=\left(\begin{array}{cr}2 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 2-3 & 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{rrr}2 \times 1+0 \times 2 & 2 \times 1+0 \times(-3) & 2 \times 0+0 \times 1 \\ 0 \times 1+1 \times 2 & 0 \times 1+1 \times(-3) & 0 \times 0+1 \times 1 \\ (-1) \times 1+1 \times 2(-1) \times 1+1 \times(-3)(-1) \times 0+1 \times 1\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{rrr}2 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -4 & 1\end{array}\right) \end{aligned} $</p> <p>전치행렬의 덧셈과 곱셈에 대하여 다음이 성립한다.</p> <h2>전치행렬의 성질 (2)</h2> <p>1. $ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T} $2. $ (A B)^{T}=B^{T} A^{T} $</p> <p>[예제 4 ]</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) $ 이고 $ B=\left(\begin{array}{ll}2 & 4 \\ 1 & 3\end{array}\right) $ 일 때 다음을 구하여라.</p> <p>(1) $ (A B)^{T} $(2) $ A^{T} B^{T} $</p> <p>(3) $ B^{T} A^{T} $(4) $ (A+B)^{T} $</p> <p>(5) $ A^{T}+B^{T} $(6) $ B^{T}+A^{T} $</p> <p>풀이</p> <p>주어진 두 행렬에 대하여 $ A B=\left(\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 10 & 24\end{array}\right) $ 이고 $ A+B=\left(\begin{array}{ll}3 & 6 \\ 4 & 7\end{array}\right) $ 이다. 또한, $ A^{T}=\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right) $ 이고 $ B^{T}=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 4 & 3\end{array}\right) $ 이므로 다음을 알 수 있다.</p> <p>(1) $ (A B)^{T}=\left(\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 10 & 24\end{array}\right) $(2) $ A^{T} B^{T}=\left(\begin{array}{ll}14 & 10 \\ 20 & 14\end{array}\right) $</p> <p>(3) $ B^{T} A^{T}=\left(\begin{array}{cc}4 & 10 \\ 10 & 24\end{array}\right) $(4) $ (A+B)^{T}=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 6 & 7\end{array}\right) $</p> <p>(5) $ A^{T}+B^{T}=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 6 & 7\end{array}\right) $(6) $ B^{T}+A^{T}=\left(\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 6 & 7\end{array}\right) $</p> <p>따라서 $ (A B)^{T} \neq A^{T} B^{T} $ 이지만 $ (A B)^{T}=B^{T} A^{T} $ 임을 알 수 있다.</p> <p>[예제 5$ ] $</p> <p>두 $ n $ 차 정방행렬 $ A, B $ 가 대칭행렬일 때 $ A+B $ 도 대칭행렬임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ A^{T}=A $ 이고 $ B^{T}=B $ 이므로 전치행렬의 성질 (2)에 의하여\[ (A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}=A+B\]이 성립한다.</p> <p>일반적으로 두 행렬 $ A, B $ 의 곱셈에서는 다음에 주의해야 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A B \neq B A $ 이 성립하지 않는다.</li> <li>$ A B=O $ 이라도 반드시 $ A=O $ 이거나 $ B=O $ 는 아니다.</li> <li>$ A B=A C $ 이고 $ A \neq O $ 일지라도 $ B=C $ 라고 할 수 없다.</li></ol>	자연
대학기초수학_로그와 로그함수	<h1>13 로그와 로그함수</h1> <ol type = 1 start=1><li>로그의 의미를 설명할 수 있다.</li> <li>로그를 포함한 식의 계산을 할 수 있다.</li> <li>로그함수의 그래프를 그릴 수 있다.</li></ol> <h2>13-1 로그의 정의 $(1) $</h2> <p> <ul> <li>지수함수 $ y=a ^ { x } $를 $ x= \log _ { a } y $로 나타낼 수 있다. 이때, $ \log _ { a } y $를 밑이 $ a $이고 진수가 $ y $인 로그라고 한다. 단 $ a $는 $1 $이 아닌 양수이며 $ y $는 양수이다.</li></ul></p> <p>연습 $13-1 $ 다음 지수의 식을 로그의 식으로 표현하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 2 ^ { 3 } =8 $</li> <li>$ 3 ^ { 0 } =1 $</li> <li>$ 10 ^ { 2 } =100 $</li> <li>$ 2 ^ { -5 } = \frac { 1 } { 32 } $</li> <li>$ 8 ^ {\frac { 1 } { 3 } } =2 $</li> <li>$ 2 ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } $</li></ol> <h2>13-2 로그의 정의 $(2) $</h2> <p> <ul> <li>$ a $는 $1 $이 아닌 양수, $ y $는 양수일 때, $ \log _ { a } y=x \Leftrightarrow y=a ^ { x } $</li></ul></p> <p>연습 $13-2 $ 다음 로그의 식을 지수의 식으로 표현하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log _ { 2 } 8=3 $</li> <li>$ \log _ { 3 } 1=0 $</li> <li>$ \log _ { 2 } \left ( \frac { 1 } { 16 } \right )=-4 $</li> <li>$ \log _ { 10 } 10000=4 $</li> <li>$ \log _ { 10 } 0.000001=-6 $</li> <li>$ \log _ { 2 } \sqrt { 8 } = \frac { 3 } { 2 } $</li></ol> <h2>13-3 로그의 성질 $(1) $</h2> <p> <ul> <li>$ a>0, \quad a \neq 1, \quad y>0 $일 때,<ol type=1 start=1><li>$ \log _ { a } 1=0, \quad \log _ { a } a=1 $</li> <li>$ \log _ { a } a ^ { x } =x, \quad a ^ {\log _ { a } y } =y $</li></ol></ul></li></p> <h2>13-5 밑 변환 공식</h2> <p>$ a>0, \quad a \neq 1, \quad b>0, \quad b \neq 1, \quad M>0 $일 때,</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log _ { a } M= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } $</li> <li>$ \log _ { a } M= \frac { 1 } {\log _ { M } a } \quad(M \neq 1) $</li></ol> <p>연습 $13-5 $ 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \frac {\log _ { 2 } 25 } {\log _ { 2 } 5 } $</li> <li>$ \log _ { 2 } 3 \cdot \log _ { 3 } 2 $</li> <li>$ \frac { 1 } {\log _ { 4 } 2 } + \log _ { 2 } 8 $</li></ol> <h2>13-6 상용로그</h2> <p> <ul> <li>밑이 $10 $인 로그를 상용로그라고 하며 진수가 $ N $일 때의 상용로그를 $ \log N $으로 표시한다.</li> <li>$ \log N=n + \alpha(0 \leq \alpha<1) $에서 정수 부분인 $ n $을 $ \log N $의 지표, 소수 부분인 $ \alpha $를 $ \log N $의 가수라고 부른다.</li> <li>$ 10 ^ { n } \leq N<10 ^ { n + 1 } \Leftrightarrow n \leq \log N<n + 1 $이다. 즉 $ \log N $의 지표가 $ n $일 때,<ol type=1 start=1><li>$ n \geq 0 $이면 $ N $의 정수 부분은 $ n + 1 $자리의 수이다.</li> <li>$ n<0 $이면 $ N $은 소수점 이하 $ -n $자리에서 $0 $이 아닌 숫자가 처음으로 나타난다. (예) $ \log 1000= \log 10 ^ { 3 } =3, \quad \log 0.0001= \log 10 ^ { -4 } =-4 $</li></li></ul></p></ol> <p>연습 $ 13-6 $ 다음을 풀어라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log A=4.2 $일 때, $ A $의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?</li> <li>$ \log B=17.32 $일 때, $ B $의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?</li> <li>$ \log C=0.75 $일 때, $ C $의 정수 부분은 몇 자리의 수인가?</li> <li>$ \log D=-4.6 $일 때, $ D $는 소수점 이하 몇 번째 자리에서 처음으로 $0 $이 아닌 숫자가 나타나는가?</li></ol> <h2>13-7 로그함수의 정의와 그래프</h2> <p> <ul> <li>지수함수 $ y=a ^ { x } (a>0, a \neq 1) $는 $ x= \log _ { a } y $이며 이의 역함수는 $ y= \log _ { a } x(a>0 $, $ a \neq 1) $이 된다. 이 함수 $ y= \log _ { a } x(a>0, a \neq 1) $를 $ a $를 밑으로 하는 로그함수라 한다.</li> <li>로그함수 $ y= \log _ { a } x(a>0, a \neq 1) $의 성질 :</ol> <ol type=1 start=1><li>정의역은 양의 실수 전체의 집합 $ R ^ { + } $</li> <li>치역은 실수 전체의 집합 $ R $</li> <li>$ a>1 $일 때, $ x $의 값이 증가하면 $ y $값도 증가한다. 즉, $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $이면 $ \log _ { a } x_ { 1 }< \log _ { a } x_ { 2 } $이다.</li> <li>$ 0<a<1 $일 때, $ x $의 값이 증가하면 $ y $값은 감소한다. 즉, $ x_ { 1 }<x_ { 2 } $이면 $ \log _ { a } x_ { 1 } >\log _ { a } x_ { 2 } $이다.</li> <li>$ y=a ^ { x } $과 직선 $ y=x $에 대해 대칭(역함수)이다.</li></ol></li> <li>로그함수 $ y= \log _ { a } x $ 의 그래프 :</li>,</ul></p> <p>연습 $13-7 \quad y= \log _ { 2 } x $의 그래프를 다음의 변환에 의해 이동한 그래프의 식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ x $축으로 $2 $만큼, $ y $축으로 $ -3 $만큼 평행이동</li> <li>$ y $축 대칭이동</li> <li>$ y=x $에 대해 대칭이동</li></ol> <p>연습 13-3 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log _ { 2 } 1 $</li> <li>$ \log _ { 5 } 1 $</li> <li>$ \log _ { 3 } 3 $</li> <li>$ \log _ {\frac { 1 } { 3 } } \frac { 1 } { 3 } $</li> <li>$ \log _ { 3 } 27 $</li> <li>$ 3 ^ {\log _ { 3 } 25 } $</li></ol> <h2>13-4 로그의 성질 (2)</h2> <p> <ul> <li>$ a>0, \quad a \neq 1, \quad M>0, \quad N>0 $이고 $ k $는 임의의 실수일 때,<ol type=1 start=1><li>$ \log _ { a } M N= \log _ { a } M + \log _ { a } N $</li> <li>$ \log _ { a } \frac { M } { N } = \log _ { a } M- \log _ { a } N $</li> <li>$ \log _ { a } M ^ { k } =k \log _ { a } M, \quad \log _ { a } \frac { 1 } { M } =- \log _ { a } M $</li> <li>$ \log _ { a ^ { k } } M= \frac { 1 } { k } \log _ { a } M, \quad \log _ {\frac { 1 } { a } } M=- \log _ { a } M \quad (k \neq 0) $</li> <li>$ \log _ { a ^ { k } } M ^ { l } = \frac { l } { k } \log _ { a } M $ ( $l $은 임의의 실수)</li></ol></ul></li></p> <p>연습 13-4 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \log _ { 2 } 4 + \log _ { 2 } 8 $</li> <li>$ \log _ { 2 } 128- \log _ { 2 } 32 $</li> <li>$ \log _ { 4 } \frac { 1 } { 4 } + \log _ { 4 } \sqrt { 4 ^ { 3 } } $</li> <li>$ 2 \log _ { 10 } 3 + 3 \log _ { 10 } 2-2 \log _ { 10 } 6 $</li> <li>$ \log _ { 2 } 8 + \log _ { 4 } 8 $</li></ol>	자연
m925-일반수학	<p>\[ \|x-c\|< \delta_ { 1 } \quad \Rightarrow \quad\|f(x)-f(c)\|< \frac {\epsilon } { 2 } \] 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=g(c) $ 이므로, 특히 $ \frac {\epsilon } { 2 } $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta_ { 2 } \Rightarrow\|g(x)-g(c)\|< \frac {\epsilon } { 2 } \] $ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} >0 $ 으로 놓으면 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \|f(x) + g(x)-f(c)-g(c)\| & \leq\|f(x)-f(c)\| + \|g(x)-g(c)\| \\ &< \frac {\epsilon } { 2 } + \frac {\epsilon } { 2 } = \epsilon \end {aligned} \] 나머지도 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p> <ul> <li>예제 $3 $ $ g(x)=3 x ^ { 3 } -7 x $ 는 $ x=c $ 에서 연속이다.</li></ul> <p>풀이 $ f(x)=x $ 는 $ x=c $ 에서 연속이고 정리 4 에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ g(x)=3 x ^ { 3 } -7 x \text { 는 } x=c \text { 에서 연속이다. } \]</p> <ul> <li>예제 4 다음과 같이 정의된 함수를 생각해보자.</li></ul> <p>\[ \begin {array} { c } f(x)= \frac { x ^ { 3 } -8 } { x ^ { 2 } -4 } , \quad x \neq 2 \\ f(x)=3, \quad x=2 \end {array} \] $ x=2 $ 에서 연속임을 증명하시오.</p> <p>풀이 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 2 } \frac { x ^ { 3 } -8 } { x ^ { 2 } -4 } =& \lim _ { x \rightarrow 2 } \frac { x ^ { 2 } + 2 x + 4 } { x + 2 } \\ &=3 \end {aligned} \] 그리고 $ f(2)=3 $ 에 의해서 다음을 알 수 있다.</p> <h1>제 2장 도함수</h1> <ul> <li>$ 2.1 $ 함수의 극한</li> <li>$ 2.2 $ 도함수</li> <li>$ 2.3 $ 삼각함수의 도함수</li> <li>$ 2.4 $ 고계 도함수</li> <li>$ 2.5 $ 근삿값</li></ul> <p>극한 개념에 의해서 도함수의 개념을 이해할 수 있으므로. 극한의 기본 개념을 소개하고 다양한 극한의 특성과 여러 가지 기본정리에 대해서 알아보자. 또한 한 점에서의 연속 개념에 대해서 공부하고 연속의 정리에 대해서 공부한다. 극한을 이용하여 도함수를 정의하고 그의 특성에 대해서 공부한다. 삼각함수의 도함수, 도함수의 도함수인 이계도함수 그리고 고계도함수에 대해서 알아본다. 또한 음함수의 도함수를 구하는 방법에 대해서 알아보고 도함수를 이용하여 근삿값을 구하는 방법에 대해서 공부한다.</p> <h2>$ 1. $ 함수의 극한</h2> <p>$1 $. 함수의 극한</p> <p>함수 $ f(x) $ 에 대해서 $ x $ 가 $ c $ 의 근방에서 $ f(x) $ 가 $ L $ 에 수렴하면 $ L $ 을 $ f(x) $ 의 극한값이 라 한다.</p> <p>그리스 문자 $ \epsilon $ (엡실론)과 $ \delta $ (델타)를 이용하여 극한을 정의하자. 먼저 몇 가지 사실에 대해서 알아보자.</p> <p>$ \|f(x)-L\|< \epsilon $ 는 다음을 의미한다. \[ L- \epsilon<f(x)<L + \epsilon \]</p> <p>그리고 $ 0<\|x-c\|< \delta $ 는 다음을 의미한다. \[ c- \delta<x<c + \delta, \quad x \neq c \]</p> <p>정의) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta>0 $ 이 존재하여 \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(x)-L\|< \epsilon \] 을 만족할 때 다음과 같이 정의한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c } f(x) = L \]</p> <p>또는 다음과 같이 나타낸다. \[ \forall \epsilon>0, \exists \delta>0, \quad 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(x)-L\|< \epsilon \]</p> <p>예제 $1 $ $ f: R \rightarrow[0, \infty] $ 이고 $ f(x)=x ^ { 2 } $ 일 때 $ f $ 는 전단사함수가 아니다. 그러나 $ \lim _ { x \rightarrow 1 } (2 x + 3)=5 $ 임을 증명하시오.</p> <p>풀이 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-1\|< \delta \Rightarrow\|2 x + 3-5\|< \epsilon \]</p> <p>왜나하면 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \|2 x + 3-5\| &=\|2 x-2\| \\ &=2\|x-1\| \end {aligned} \] 그리고 가정에 의해서 $ \|x-1\|< \delta= \frac {\epsilon } { 2 } $ 이므로 다음을 알 수 있다. \[ 2\|x-1\|<2 \delta= \epsilon \] 그러므로 $ 0<\|x-1\|< \delta= \frac {\epsilon } { 2 } $ 이면 다음을 알 수 있다. \[ \|2 x + 3-5\|< \epsilon \]</p> <p>이 극한이 존재하면 함수 $ f(x) $ 는 $ x=c $ 에서 미분가능(differentiable)하다고 하고 도함수 를 구하는 것을 미분한다(differentiation)라고 한다.</p> <ul> <li>예제 $ 3 \quad f(x)=7 x-2 $ 의 도함수를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ 7(x + h)-2-(7 x-2) \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (7 h)=7 \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 4 f(x)= \sqrt { x } $ 의 도함수를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } $ $ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } ( \sqrt { x + h } - \sqrt { x } ) $ $ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } ( \sqrt { x + h } - \sqrt { x } ) \cdot \frac {\sqrt { x + h } + \sqrt { x } } {\sqrt { x + h } + \sqrt { x } } $ $ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { h } { h( \sqrt { x + h } + \sqrt { x } ) } $ $ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } {\sqrt { x + h } + \sqrt { x } } $ $ = \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } $</p> <p>도함수는 다음과 같은 형태로도 표현할 수 있다. \[ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { t \rightarrow x } \frac { f(t)-f(x) } { t-x } \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 f(x)= \frac { 1 } { x + 3 } $ 일 때 두 가지 방법으로 도함수를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>정의</p> <p>(a) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta>0 $ 이 존재하여 \[ 0<x-c< \delta \Rightarrow\|f(x)-L\|< \epsilon \] 을 만족할 때 다음과 같이 정의한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } f(x)=L \text { (우극한) } \]</p> <p>(b) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta>0 $ 이 존재하여 \[ - \delta<x-c<0 \Rightarrow\|f(x)-M\|< \epsilon \] 을 만족할 때 다음과 같이 정의한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } f(x)=M \text { (좌극한) } \]</p> <p>정리 $1 $</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=L $ 이 존재할 필요충분조건은 다음과 같다. \[ \lim _ { x \rightarrow c ^ { + } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow c ^ { - } } f(x) \]</p> <h2>$2 $. 극한 정리</h2> <p>다음은 극한의 여러 성질에 대해서 공부해 본다.</p> <p>정리 $1 $</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A, \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=B $ 인 경우 다음이 성립한다. 단, $ t $ 는 상수이다.</p> <p>( $a $) $ \lim _ { x \rightarrow c } k=k $</p> <p>( $b $) $ \lim _ { x \rightarrow c } x=c $</p> <p>( $c $) $ \lim _ { x \rightarrow c } k f(x)=k A $</p> <p>( $d $) $ \lim _ { x \rightarrow c } (f(x) + g(x))=A + B $</p> <p>( $e $) $ \lim _ { x \rightarrow c } (f(x)-g(x))=A-B $</p> <p>( $f $) $ \lim _ { x \rightarrow c } (f(x) g(x))=A B $</p> <p>( $g $) $ \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { A } { B } $, 단 $ B \neq 0 $</p> <p>증명 (a) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|k-k\|< \epsilon \] 그런데 다음은 가정에 의해서 항상 성립한다. \[ \|k-k\|=0< \epsilon \] 그 결과 $ \delta>0 $ 이 어떤 값이라도 증명된다.</p> <p>(방법 1) $ D \left (x ^ { 10 } \right )=10 x ^ { 9 } $</p><p>(방법 2) $ \begin {aligned} D \left (x ^ { 10 } \right ) &=D \left (x ^ { 3 } x ^ { 7 } \right ) \\ &=D \left (x ^ { 3 } \right ) x ^ { 7 } + x ^ { 3 } D \left (x ^ { 7 } \right ) \\ &=3 x ^ { 2 } x ^ { 7 } + x ^ { 3 } 7 x ^ { 6 } \\ &=3 x ^ { 9 } + 7 x ^ { 2 } =10 x ^ { 9 } \end {aligned} $</p><p>정리 9</p><p>$ f(x), g(x) $ 가 미분가능한 함수이면 다음이 성립한다. (단, $ f(x) \neq 0 $ ) \[ \left ( \frac { g } { f } \right ) ^ {\prime } (x)= \frac { g ^ {\prime } (x) f(x)-g(x) f ^ {\prime } (x) } { f ^ { 2 } (x) } \]</p><p>증명 정의에 의하여 다음을 알 수 있다.</p></p> <p>\[ \begin {aligned} \left ( \frac { g } { f } \right ) ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\left ( \frac { g } { f } \right )(x + h)- \left ( \frac { g } { f } \right )(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{\frac { g(x + h) } { f(x + h) } - \frac { g(x) } { f(x) } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{\frac { f(x) \cdot g(x + h)-f(x + h) \cdot g(x) } { f(x + h) \cdot f(x) } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{\frac { f(x) g(x + h)-f(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g(x)-f(x + h) \cdot g(x) } { f(x + h) \cdot f(x) } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{ (g(x + h)-g(x)) \cdot \frac { f(x) } { f(x + h) \cdot f(x) } \right \} \\ &= \frac { g ^ {\prime } (x) f(x) } { f ^ { 2 } (x) } - \frac { g(x) f ^ {\prime } (x) } { f ^ { 2 } (x) } \\ &= \frac { g ^ {\prime } (x) f(x)-g(x) f ^ {\prime } (x) } { f ^ { 2 } (x) } \end {aligned} \] 즉, 다음이 성립한다. $ \left ( \frac { g } { f } \right ) ^ {\prime } (x)= \frac { g ^ {\prime } (x) f(x)-g(x) f ^ {\prime } (x) } { f ^ { 2 } (x) } $</p><p>예제 9 정리 9를 이용하여 자연수 $ n $ 에 대해서 다음이 성립함을 증명하시오.</p><p>$ D \left (x ^ { -n } \right )=-n x ^ { -n-1 } $</p> <p>함수 $ f(x) $ 의 도함수 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하는 규칙에 대해서 알아보고 미분연산자(operator) $ D $ 의 성질에 대해서 공부하자. 우리는 다음과 같이 표시한다. \[ f ^ {\prime } =D(f) \text { 또는 } f ^ {\prime } (x)=D(f(x)) \]</p> <ul> <li>정리 2</li></ul> <p>$ f(x)=c $ 이면 다음이 성립한다. (단, $ c $ 는 상수) \[ f ^ {\prime } (x)=0 \]</p> <p>증명 정의에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (c-c)=0 \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 2 $f(x)= \pi $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이 $ f(x) $ 는 상수함수이므로 다음을 알 수 있다. \[ f ^ {\prime } (x)=0 \]</p> <ul> <li>정리 3</li></ul> <p>$ f(x)=x $ 이면 다음이 성립한다. \[ f ^ {\prime } (x)=1 \]</p> <p>증명 정의에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (x + h-x)=1 \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정리 4</li></ul> <p>$ f(x)=x ^ { n } $ 이면 다음이 성립한다. (단, $ n $ 은 자연수) \[ f ^ {\prime } (x)=n x ^ { n-1 } \]</p> <p>증명 정의에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{ (x + h) ^ { n } -x ^ { n } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left (x ^ { n } + n x ^ { n-1 } h + \cdots + h ^ { n } -x ^ { n } \right ) \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left (n x ^ { n-1 } h + \cdots + h ^ { n } \right )=n x ^ { n-1 } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 3 $f(x)=x ^ { 6 } $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이 정리 4 에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ f ^ {\prime } (x)=6 x ^ { 5 } \]</p> <ul> <li>정리 5</li></ul> <p>$ f(x) $ 는 미분가능한 함수이고 $ c $ 가 상수이면 다음이 성립한다. \[ (c f) ^ {\prime } (x)=c f ^ {\prime } (x) \]</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -10 x-3 $ $ f ^ {\prime \prime } (x)=6 x-10 $ $ f ^ {\prime \prime \prime } (x)=6 $ $ f ^ { (4) } (x)=0 $</p> <ul> <li>예제 $ 2 f(x)= \sin x $ 일 때 $ f ^ {\prime } , f ^ {\prime \prime } , f ^ {\prime \prime \prime } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ f ^ {\prime } (x)=( \sin x) ^ {\prime } = \cos x $</p> <p>$ f ^ {\prime \prime } (x)=( \cos x) ^ {\prime } =- \sin x $</p> <p>$ f ^ {\prime \prime \prime } (x)=(- \sin x) ^ {\prime } =- \cos x $</p> <ul> <li>예제 $ 3 f(x)=x \cos x $ 일 때 $ f ^ {\prime } , f ^ {\prime \prime } $ 을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x)=(x \cos x) ^ {\prime } \\ &=(x) ^ {\prime } \cdot \cos x + x \cdot( \cos x) ^ {\prime } \\ &= \cos x + x \cdot- \sin x \\ f ^ {\prime \prime } (x) &=( \cos x-x \sin x) ^ {\prime } \\ &=( \cos x) ^ {\prime } -(x \sin x) ^ {\prime } \\ &=- \sin x-1 \cdot \sin x-x( \cos x) \\ &=-(2 \sin x + x \cos x) \end {aligned} $</p> <p>다음은 여러 가지 형태의 이계 이상의 도함수를 나타내는 방법이다.</p> <ul> <li>예제 $ 4 y= \frac { 1 } { x-5 } $ 일 때 $ \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { d } { d x } \left ( \frac { 1 } { x-5 } \right ) \\ &= \frac { 0 \cdot(x-5)-1 \cdot 1 } { (x-5) ^ { 2 } } \\ &=- \frac { 1 } { (x-5) ^ { 2 } } \end {aligned} $</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 2 } f(x)=f(2) $</p> <ul> <li>정리 2</li></ul> <p>$ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=w $ 이고 $ f $ 가 $ w $ 에서 연속이면 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c } f(g(x))=f(w) \]</p> <ul> <li>증명 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자.</li></ul> <p>\[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(g(x))-f(w)\|< \epsilon \] 가정에 의해서 $ f $ 가 $ w $ 에서 연속이므로, 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재 하여 다음이 성립한다. \[ \|t-w\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(t)-f(w)\|< \epsilon \] 즉, 다음과 같다. \[ \|g(x)-w\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(g(x))-f(w)\|< \epsilon \] 또한, $ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=w $ 이므로 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta_ { 2 } \Rightarrow\|g(x)-w\|< \epsilon \] 특히 앞의 $ \epsilon= \delta_ { 1 } $ 으로 놓으면 모든 $ \epsilon= \delta_ { 1 } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta_ { 2 } \quad \Rightarrow\|g(x)-w\|< \epsilon= \delta_ { 1 } \] 또한 다음이 성립한다. \[ \|g(x)-w\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(g(x))-f(w)\|< \epsilon \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \|x-c\|< \delta_ { 2 } \Rightarrow\|f(g(x))-f(w)\|< \epsilon \]</p> <ul> <li>정리 3</li></ul> <p>함수 $ f(x) $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속인 경우 $ t \in[f(a), f(b)] $ 에 대해서 $ f(c)=t $ 를 만족하는 $ c \in[a, b] $ 가 존재한다.</p> <h2>$ 2.2 $ 도함수</h2> <p>도함수는 함수로서 정의역의 각 원소에 접선의 기울기를 대응한다. 도함수의 특성과 삼각 함수의 도함수, 이계도함수와 고계도함수 그리고 음함수의 도함수 등에 대해서 알아보고 미 분의 특성인 근삿값을 구하는 방법에 대해서 알아본다.</p> <h3>1. 도함수</h3> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ y=f(x) $ 위의 두 점 $ (c, f(c)) $ 와 $ (x, f(x)) $ 를 지나는 할선의 기울기 $ m_ {\mathrm { sec } } $ 는 다음과 같이 정의한다. \[ m_ {\mathrm { sec } } = \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \]</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ y=f(x) $ 위의 점 $ (c, f(c)) $ 에서 접선의 기울기 $ m_ {\tan } $ 는 다음과 같이 정의한다. \[ \begin {aligned} m_ {\tan } &= \lim _ { x \rightarrow c } m_ {\mathrm { sec } } \\ &= \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 1 f(x)=x ^ { 2 } -4 x + 1 $ 일 때 $ x=4 $ 에서 접선의 기울기를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>(a) $ D(c f)=c \cdot D(f) $</p> <p>(b) $ D(f + g)=D(f) + D(g) $</p> <p>위의 두 식을 만족하는 연산자를 선형연산자(linear operator)라 한다.</p> <ul> <li>정리 7</li></ul> <p>$ f(x), g(x) $ 가 미분가능한 함수이면 다음이 성립한다. \[ (f-g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x)-g ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>증명 앞에서 배운 정리 5 와 정리 6 에 의하여 다음을 알 수 있다.</li></ul> <p>$ \begin {aligned} (f-g) ^ {\prime } (x) &=D((f-g)(x)) \\ &=D((f + (-1) g)(x)) \\ &=D(f(x)) + D((-g)(x)) \\ &=D(f(x)) + (-1) D(g(x)) \\ &=f ^ {\prime } (x)-g ^ {\prime } (x) \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 6 f(x)=x ^ { 2 } + 4 x-7 $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>[풀이 앞의 정리들에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \left (x ^ { 2 } + 4 x-7 \right ) ^ {\prime } &= \left (x ^ { 2 } \right ) ^ {\prime } + (4 x) ^ {\prime } -(7) ^ {\prime } \\ &=2 x + 4 \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정리 8</li></ul> <p>$ f(x), g(x) $ 가 미분가능한 함수이면 다음이 성립한다. \[ (f \cdot g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>증명 함수 $ (f \cdot g)(x)=F(x) $ 로 놓자. 그러면 다음을 알 수 있다.</li></ul> <p>\[ \begin {aligned} F ^ {\prime } (x)=& \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } \\ =& \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ f(x + h) \cdot g(x + h)-f(x) \cdot g(x) \} \\ =& \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ f(x + h) \cdot g(x + h)-f(x) \cdot g(x + h) \\ \quad + f(x) \cdot g(x + h)-f(x) \cdot g(x) \} \\ =& \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ (f(x + h)-f(x)) \cdot g(x + h) \\ =& + \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{ (f(x + h)-f(x)) \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } g(x + h) \right . \\ \quad + \lim _ { h \rightarrow 0 } f(x) \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (g(x + h)-g(x)) \\ =& f ^ {\prime } (x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g ^ {\prime } (x) \end {aligned} \] 즉, 다음이 성립한다. \[ (f \cdot g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>예제 $ 7 f(x)= \left (3 x ^ { 3 } + 5 \right ) \left (x ^ { 2 } -x \right ) $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이 앞의 정리들에 의하여 다음을 알 수 있다.</p> <ul> <li>예제 $ 8 \quad D \left (x ^ { 10 } \right ) $ 을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \frac { d y } { d x } $ 를 한 번 더 미분하면 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } &= \frac { d } { d x } \left ( \frac { d y } { d x } \right ) \\ &= \frac { d } { d x } \left (- \frac { 1 } { (x-5) ^ { 2 } } \right ) \\ &= \frac { 0 \cdot(x-5) ^ { 2 } -(-1) 2 \cdot(x-5) } { (x-5) ^ { 4 } } \\ &= \frac { 2 } { (x-5) ^ { 3 } } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정리 1</li></ul> <p>자연수 $ n $ 에 대해서 다음이 성립한다. \[ D_ { x } ^ { n } \left (x ^ { n } \right )=n !( \text { 단, } n !=n(n-1) \cdots 2 \cdot 1) \]</p> <p>증명</p> <p>수학적 귀납법에 의해서 증명하자. 즉 $ n=1 $ 일 때 위의 사실이 참임을 보이고 $ n=k $ 일 때 위의 사실이 참임을 가정하고 $ n=k + 1 $ 일 때 위의 사실이 참임을 보이자. 먼저 $ n=1 $ 인 경우 다음을 보이자. \[ D_ { x } ^ { 1 } \left (x ^ { 1 } \right )=1 ! \] 그런데 다음과 같다. \[ D_ { x } ^ { 1 } \left (x ^ { 1 } \right )=D_ { x } (x) \] 그러므로 등식이 성립한다. $ n=k $ 인 경우 다음을 가정하자. \[ D_ { x } ^ { k } \left (x ^ { k } \right )=k ! \] 다음은 $ n=k + 1 $ 인 경우 다음을 보이자.</p> <p>\[ D_ { x } ^ { k + 1 } \left (x ^ { k + 1 } \right )=(k + 1) ! \] 도함수의 정의에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} D_ {\ddot { x } } ^ { k + 1 } \left (x ^ { k + 1 } \right ) &=D_ {\ddot { x } } ^ { k } \left (D_ { x } \left (x ^ { k + 1 } \right ) \right ) \\ &=D_ { x } ^ { k } \left ((k + 1) x ^ { k } \right ) \\ &=(k + 1) D_ {\ddot { x } } ^ { k } \left (x ^ { k } \right ) \\ &=(k + 1) \cdot k ! \\ &=(k + 1) ! \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 f(x)= \frac { 1 } { x } $ 일 때 $ f ^ { (n) } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>그 결과 $ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} >0 $ 으로 놓으면 다음과 같다. \[ 0<\|x-c\|< \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \|f(x) + g(x)-A-B\| & \leq\|f(x)-A\| + \|g(x)-B\| \\ &< \frac {\epsilon } { 2 } + \frac {\epsilon } { 2 } = \epsilon \end {aligned} \]</p> <p>(e) $ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow c } (f(x)-g(x)) &= \lim _ { x \rightarrow c } (f(x) + (-g(x))) \\ &= \lim _ { x \rightarrow c } f(x) + \lim _ { x \rightarrow c } (-g(x))((4) \text { 에 의 해서) } \\ &= \lim _ { x \rightarrow c } f(x)- \lim _ { x \rightarrow c } g(x) \quad \text { ((3)에 의 해서) } \\ &=A-B \end {aligned} $</p> <p>(f) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(x) g(x)-A B\|< \epsilon \] 삼각부등식에 의해서 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \|f(x) g(x)-A B\| &=\|f(x) g(x)-A g(x) + A g(x)-A B\| \\ & \leq\|f(x) g(x)-A g(x)\| + \|A g(x)-A B\| \\ &=\|g(x)\|\|f(x)-A\| + \|A\|\|g(x)-B\| \end {aligned} \] 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=B $ 이므로, 특히 $ 1>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존 재하여 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 1 } \quad \Rightarrow \quad\|g(x)-B\|<1 \] 부등식의 성질에 의해서 다음과 같다. \[ \|g(x)\|-\|B\| \leq\|g(x)-B\|<1 \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ \|g(x)\|<\|B\| + 1 \] 또한 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A $ 이므로, 특히 $ \frac {\epsilon } { 2(\|B\| + 1) } >0 $ 에 대해 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 2 } \Rightarrow\|f(x)-A\|< \frac {\epsilon } { 2(\|B\| + 1) } \] 또한 $ \lim _ { n \rightarrow 0 } g(x)=B $ 에 의해서, 특히 $ \frac {\epsilon } { 2\|A\| } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 3 } >0 $ 이 존재 하여 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 3 } \Rightarrow\|g(x)-B\|< \frac {\epsilon } { 2\|A\| } \] 그러므로 $ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } , \delta_ { 3 } \right \} $ 로 놓으면 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta \quad \Rightarrow \quad\|f(x) g(x)-A B\|< \epsilon \]</p> <p>먼저 다음을 가정하자. \[ 0<t< \frac {\pi } { 2 } \] 그리고 다음과 같이 놓자. \[ A(1,0), P( \cos t, \sin t), \quad T(1, \tan t) \] 그러므로 다음이 성립한다. 삼각형 $ O A P $ 의 넓이 $ \leq $ 부채꼴 $ O A P $ 의 넓이 \[ \leq \text { 삼각형 } O A T \text { 의 넓이 } \] 그리고 다음과 같다. 삼각형 $ O A P $ 의 넓이 $ = \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \cdot \sin t $</p> <p>\[ = \frac {\sin t } { 2 } \] 부채꼴 $ O A P $ 의 넓이 $ = \frac { t } { 2 \pi } \cdot $ 원의 넓이 \[ = \frac { t } { 2 \pi } \cdot \pi= \frac { t } { 2 } \] 삼각형 $ O A T $ 의 넓이 $ = \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \cdot \tan t $ \[ = \frac {\tan t } { 2 } \]</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \frac {\sin t } { 2 } \leq \frac { t } { 2 } \leq \frac {\tan t } { 2 } = \frac {\sin t } { 2 \cos t } \] 양변에 $ \frac { 2 } {\sin t } >0 $ 을 곱하면 다음과 같다. \[ 1 \leq \frac { t } {\sin t } \leq \frac { 1 } {\cos t } \]</p> <p>역수를 택하면 다음을 알 수 있다. \[ \cos t \leq \frac {\sin t } { t } \leq 1 \] 만약 $ - \frac {\pi } { 2 }<t<0 $ 인 경우 $ 0<-t< \frac {\pi } { 2 } $ 이므로 다음과 같다. \[ \cos (-t) \leq \frac {\sin (-t) } { -t } \leq 1 \] 그리고 다음이 성립한다. \[ \cos (-t)= \cos (t) \text { 그리고 } \sin (-t)=- \sin t \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \cos (t) \leq \frac {\sin (t) } { t } \leq 1 \] 그러므로 $ - \frac {\pi } { 2 }<t< \frac {\pi } { 2 } $ 단, $ t \neq 0 $ 인 경우 다음과 같다. \[ \cos (t) \leq \frac {\sin (t) } { t } \leq 1 \] 또한 다음이 성립한다. \[ \lim _ { t \rightarrow 0 } \cos t=1 \] 극한에 관한 정리에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin (t) } { t } =1 \]</p> <ul> <li>예제 $ 2 \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } =1 $ 임을 증명하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} m_ {\tan } &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (f(4 + h)-f(4)) \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left [ \left \{ (4 + h) ^ { 2 } -4(4 + h) + 1 \right \} - \left \{ 4 ^ { 2 } -4 \cdot 4 + 1 \right \} \right ] \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left (h ^ { 2 } + 4 h \right ) \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } (h + 4) \\ &=4 \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 2 f(x)= \frac { 3 } { x } $ 일 때 $ x=2 $ 에서 접선의 기울기를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} m_ {\tan } &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(2 + h)-f(2) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \left \{\frac { 3 } { (2 + h) } - \frac { 3 } { 2 } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 3 } { h } \left \{\frac { 2-2-h } { (2 + h) 2 } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 3 } { h } \left \{ - \frac { h } { (2 + h) 2 } \right \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 3 } { h } \left \{ - \frac { h } { (2 + h) 2 } \right \} =- \frac { 3 } { 4 } \end {aligned} $</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>함수 $ f(x) $ 의 도함수인 $ f ^ {\prime } (x) $ 는 다음과 같이 정의된 함수이다. \[ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \]</p> <h2>3. 연속</h2> <p>극한과 연계하여 함수의 연속에 대해서 알아보자.</p> <p>정의</p> <p>$ f(x) $ 가 $ x=c $ 에서 연속(continuous)이면 점 $ x=c $ 를 포함하는 $ c $ 의 근방이 함수 $ f(x) $ 의 정의역에 포함되고 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=f(c) $ 를 만족한다.</p> <p>이 정의는 다음을 필요로 한다. (a) $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x) $ 가 존재한다. (b) $ f(c) $ 가 존재한다. (c) $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=f(c) $ 이들 중 어느 하나도 만족하지 않으면 $ f(x) $ 는 $ x=c $ 에서 불연속(discontinuous)이라 한다.</p> <ul> <li>예제 1 최대정수함수는 다음과 같이 정의한다.</li></ul> <p>$ f(x)=[[x]]=x $ 와 같거나 $ x $ 보다 작은 최대의 정수 그 결과 다음이 성립한다. $ x=c \in Z $ 에서 $ f(x)=[[x]] $ 는 불연속이고 $ x=c \in R-Z $ 에서 $ f(x)=[[x]] $ 는 연속이다.</p> <ul> <li>예제 $ 2 f(x)=x $ 는 $ x=c $ 에서 연속이다.</li></ul> <p>풀이 임의의 양수 $ \epsilon $ 에 대해서 $ \epsilon= \delta $ 로 놓으면 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta \Rightarrow\|x-c\|< \epsilon \] 즉, 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c } x=c \]</p> <ul> <li>정리 1</li></ul> <p>$ f(x), g(x) $ 가 $ x=c $ 에서 연속이면 다음 함수도 역시 $ x=c $ 에서 연속이다. (단 $ a $ 는 상수이고 $ g(c) \neq 0 $ )</p> <p>(a) $ a f(x) $</p> <p>(b) $ f(x) + g(x) $</p> <p>(c) $ f(x)-g(x) $</p> <p>(d) $ f(x) \cdot g(x) $</p> <p>(e) $ \frac { f(x) } { g(x) } $</p> <ul> <li>증명 (a) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자.</li></ul> <p>\[ \|x-c\|< \delta \Rightarrow\|a f(x)-a f(c)\|< \epsilon \] 다음 등식을 생각해보자. \[ \|a f(x)-a f(c)\|=\|a\|\|f(x)-f(c)\| \] 가정에 의해 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=f(c) $ 이므로 특히 $ \frac {\epsilon } { \|a\| } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta= \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(x)-f(c)\|< \frac {\epsilon } { \|a\| } \] $ \delta= \delta_ { 1 } >0 $ 으로 놓으면 다음이 성립한다. \[ \|x-c\|< \delta_ { 1 } = \delta \Rightarrow\|a f(x)-a f(c)\|=\|a\|\|f(x)-f(c)\|<\|a\| \frac {\epsilon } { \|a\| } = \epsilon \] (b) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ \|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(x) + g(x)-f(c)-g(c)\|< \epsilon \] 삼각부등식에 의해서 다음이 성립한다. \[ \|f(x) + g(x)-f(c)-g(c)\| \leq\|f(x)-f(c)\| + \|g(x)-g(c)\| \] 가정에 의해서 $ \lim _ { z \rightarrow c } f(x)=f(c) $ 이므로, 특히 $ \frac {\epsilon } { 2 } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다.</p> <p>$ \tan $ 는 다음과 같은 함수이다.</p> <p>$ \tan : R- \left \{ m \pi + \frac {\pi } { 2 } \right \} \rightarrow R $ 에서 $ x \in R- \left \{ m \pi + \frac {\pi } { 2 } \right \} $ 을 $ \tan x $ 에 대응하는 함수이다. 또한 다음이 성립하므로 주기가 $ \pi $ 임을 알 수 있다.</p> <p>$ \tan x= \tan (x + m \pi), m \in Z $</p> <p>그리고 다음이 성립하므로 원점대칭인 기함수임을 알 수 있다.</p> <p>$ \tan x=- \tan (-x) $</p> <p>또한 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \operatorname { cosec } x= \frac { 1 } {\sin x } $</p> <p>그 결과 다음이 성립한다.</p> <p>cosec는 다음과 같은 함수이다.</p> <p>정의역 : $ R- \{ m \pi \} , m \in Z $ 치역 : $ (- \infty,-1] \cup[1, \infty) $ 주기 : $ 2 \pi $ 대칭 : 원점대칭 (기함수)</p> <p>또한 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \sec x= \frac { 1 } {\cos x } $</p> <p>그 결과 다음이 성립한다.</p> <p>$ \mathrm { sec } $ 는 다음과 같은 함수이다.</p> <p>정의역 : $ R- \left \{ m \pi + \frac {\pi } { 2 } \right \} , m \in Z $ 치역 : $ (- \infty,-1] \cup[1, \infty) $ 주기 : $ 2 \pi $ 대칭 : $ Y $ 축 대칭 (우함수)</p> <p>또한 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \cot x= \frac { 1 } {\tan x } $</p> <p>그 결과 다음이 성립한다.</p> <p>cot는 다음과 같은 함수이다.</p> <p>정의역 : $ R- \{ m \pi \} , m \in Z $ 치역 : $ R $ 주기 : $ \pi $ 대칭 : 원점대칭 (기함수)</p> <p>아래 그림에서 직교좌표와 극좌표와의 관계를 알 수 있다.</p> <h4>1. 삼각함수의 도함수</h4> <p>먼저 삼각함수의 극한에 대해서 공부하자. 그림에서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { t \rightarrow 0 } \sin t=0, \quad \lim _ { t \rightarrow 0 } \cos t=1 \]</p> <ul> <li>예제 $ 1 \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } =1 $ 임을 증명하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ y=t ^ { 5 } , t= \cos v, v=x ^ { 3 } \] 그러므로 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { d y } { d t } \cdot \frac { d t } { d v } \cdot \frac { d v } { d x } \\ &=5 t ^ { 4 } \cdot- \sin v \cdot \left (3 x ^ { 2 } \right ) \\ &=5 \cos ^ { 4 } \left (x ^ { 3 } \right ) \cdot- \sin \left (x ^ { 3 } \right ) \cdot \left (3 x ^ { 2 } \right ) \\ &=-15 x ^ { 2 } \cos ^ { 4 } \left (x ^ { 3 } \right ) \cdot \sin \left (x ^ { 3 } \right ) \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ x=f(t), y=g(t) $ 형태의 방정식을 매개변수 방정식이라 한다. 이때 변수 $ t $ 를 매개 변수(parameter)라 한다.</p> <ul> <li>예제 $ 7 x=2 t, y=t ^ { 2 } -3 $ 인 매개변수 방정식을 $ y=f(x) $ 형태로 나타내시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ t= \frac { x } { 2 } \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} y &= \left ( \frac { x } { 2 } \right ) ^ { 2 } -3 \\ &= \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } -3 \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정리 1</li></ul> <p>매개변수 방정식 $ x=f(t), y=g(t) $ 가 각각 미분가능하고 $ f ^ {\prime } (t) \neq 0 $ 인 경우 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } &= \frac { d y } { d x } \\ &= \frac { d y } { d t } \cdot \frac { d t } { d x } \\ &= \frac { d y } { d t } \cdot \frac { 1 } {\frac { d x } { d t } } \\ &= \frac { g ^ {\prime } (t) } { f ^ {\prime } (t) } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 8 x=t- \frac { 1 } { t } , y=t + \frac { 1 } { t } $ 인 경우 $ \frac { d y } { d x } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {aligned} g ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(x + h)-g(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{\cos (x + h)- \cos x \} \end {aligned} \] 보조 정리에 의하여 다음과 같다. \[ \begin {aligned} g ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } ( \cos x \cdot \cosh - \sin x \cdot \sinh - \cos x) \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (1- \cosh )(- \cos x) + \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \sin h \cdot(- \sin x) \\ &=0 \cdot(- \cos x) + 1 \cdot(- \sin x) \\ &=- \sin x \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 f(x)= \tan x $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &=( \tan x) ^ {\prime } \\ &= \left ( \frac {\cos x } {\sin x } \right ) ^ {\prime } \\ &= \frac { ( \sin x) ^ {\prime } \cdot \cos x- \sin x \cdot( \cos x) ^ {\prime } } {\cos ^ { 2 } x } \\ &= \frac { ( \cos x) \cdot \cos x- \sin x \cdot(- \sin x) } {\cos ^ { 2 } x } \\ &= \frac { 1 } {\cos ^ { 2 } x } = \sec ^ { 2 } x \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 6 f(x)= \sec x $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f(x) ^ {\prime } &=( \sec x) ^ {\prime } \\ &= \left ( \frac { 1 } {\cos x } \right ) ^ {\prime } \\ &= \frac { 1 ^ {\prime } \cos x-1( \cos x) ^ {\prime } } {\cos ^ { 2 } x } \\ &= \frac {\sin x } {\cos ^ { 2 } x } = \frac {\sin x } {\cos x } \cdot \frac { 1 } {\cos x } \\ &= \tan x \cdot \sec x \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 7 f(x)= \sin 2 x + 5 $ 위의 점 $ (0,5) $ 에서 접선의 방정식을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>풀이</p> <p>(a) $ \begin {aligned} \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\tan t } { t } &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } {\cos t } \cdot \frac { 1 } { t } \\ &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } \cdot \frac { 1 } {\cos t } =1 \end {aligned} $</p> <p>(b) $ \begin {aligned} \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\tan t } &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\cos t } {\sin t } \cdot t \\ &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\sin t } \cdot \cos t=1 \end {aligned} $</p> <ul> <li>보조정리 1</li></ul> <p>삼각함수에서 다음 성질이 성립한다.</p> <p>(a) $ \sin ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } x=1 $</p> <p>(b) $ 1 + \tan ^ { 2 } x= \sec ^ { 2 } x $</p> <p>(c) $ 1 + \cot ^ { 2 } x= \operatorname { cosec } ^ { 2 } x $</p> <p>(d) $ \sin (x \pm y)= \sin x \cdot \cos y \pm \cos x \cdot \sin y $</p> <p>(e) $ \cos (x \pm y)= \cos x \cdot \cos y \pm \sin x \cdot \sin y $</p> <p>(f) $ \tan (x \pm y)= \frac {\tan x \pm \tan y } { 1 \mp \tan x \tan y } $</p> <ul> <li>정리 2</li></ul> <p>$ f(x)= \sin x $ 는 미분가능하고 다음과 같다. \[ f ^ {\prime } (x)= \cos x \]</p> <p>증명</p> <p>\[ \begin {array} { l } f ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{\sin (x + h)- \sin x \} \end {array} \] 보조 정리에 의하여 다음과 같다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } ( \sin x \cdot \cosh + \cos x \cdot \sinh - \sin x) \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } (1- \cosh )(- \sin x) + \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \sin h \cdot \cos x \\ &=0 \cdot(- \sin x) + 1 \cdot \cos x \\ &= \cos x \end {aligned} \]</p> <ul> <li>정리 3</li></ul> <p>$ g(x)= \cos x $ 는 미분가능하고 다음과 같다. \[ g ^ {\prime } (x)=- \sin x \]</p> <p>풀이 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자.</p> <p>\[ 0<\|x-a\|< \delta \Rightarrow \left \| \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { a } \right \|< \epsilon \] 다음 식을 생각해 보자. \[ \begin {aligned} \left \| \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { a } \right \|=& \left \| \frac { x-a } { x a } \right \| \\ &= \frac { \|x-a\| } { \|x\|\|a\| } \end {aligned} \] $ \frac { \|x-a\| } { \|x \\| a\| }< \epsilon $ 에서 $ \|x-a\|< \epsilon\|x \\| a\|= \delta $ 로 놓으면 $ \delta $ 가 함수이므로 우리가 원 하는 값을 구할 수 없다. 우리의 목적은 $ \delta>0 $ 을 찾는 것이므로 $ \delta= \frac { \|a\| } { 2 } $ 로 놓 자. 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \|a\|=\|a-x + x\| \leqq\|x-a\| + \|x\|< \delta + \|x\|= \frac { \|a\| } { 2 } + \|x\| \] 위의 식에서 $ \|x\|>\frac { 1 } { 2 } \|a\| $ 를 구할 수 있다. 또는 다음과 같다. \[ \frac { 1 } { \|x\| }< \frac { 2 } { \|a\| } \]</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \left \| \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { a } \right \|= \frac { \|x-a\| } { \|x\|\|a\| }< \frac { 2\|x-a\| } { a ^ { 2 } }< \epsilon \] 그리고 $ \|x-a\|< \frac {\epsilon a ^ { 2 } } { 2 } $ 에서 $ \delta= \frac {\epsilon a ^ { 2 } } { 2 } $ 을 구할 수 있다. 그러므로 다음과 같다. \[ 0<\|x-a\|< \delta= \min \left \{\frac { \|a\| } { 2 } , \frac {\epsilon a ^ { 2 } } { 2 } \right \} \] 그 결과 다음이 성립함을 알 수 있다. \[ \left \| \frac { 1 } { x } - \frac { 1 } { a } \right \|< \epsilon \]</p> <p>풀이 정리 1 의 (b)에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 8 } x=8 \]</p> <p>예제 $3 $ $ \lim _ { x \rightarrow 2 } 4 x $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1 의 (b)와 (c)에 의해서 다음과 같다. \[ \lim _ { x \rightarrow 2 } 4 x=4 \lim _ { x \rightarrow 2 } x=8 \]</p> <p>예제 $4 $ $ \lim _ { x \rightarrow 2 } 3 x ^ { 3 } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1 의 (b), (c) 그리고 (f)에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 2 } 3 x ^ { 3 } &=3 \lim _ { x \rightarrow 2 } x ^ { 3 } \\ &=3 \lim _ { x \rightarrow 2 } x \lim _ { x \rightarrow 2 } x \lim _ { x \rightarrow 2 } x \\ &=24 \end {aligned} \]</p> <p>예제 $5 $ $ \lim _ { x \rightarrow 3 } \left (x ^ { 2 } + 9 \right ) $ 을 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1 의 (a), (b), (c), (d) 그리고 (f)에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 3 } \left (x ^ { 2 } + 9 \right ) &= \lim _ { x \rightarrow 3 } x ^ { 2 } + \lim _ { x \rightarrow 3 } 9 \\ &= \lim _ { x \rightarrow 3 } x ^ { 2 } + \lim _ { x \rightarrow 3 } 9 \\ &=3 ^ { 2 } + 9=18 \end {aligned} \]</p> <p>예제 $6 $ $ \lim _ { x \rightarrow-1 } \left (x ^ { 4 } + 2 x \right ) $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1 의 (a), (b), (c), (e) 그리고 (f)에 의해서 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow-1 } \left (x ^ { 4 } + 2 x \right ) &= \lim _ { x \rightarrow-1 } x ^ { 4 } + \lim _ { x \rightarrow-1 } (2 x) \\ &= \lim _ { x \rightarrow-1 } x ^ { 4 } + 2 \cdot \lim _ { x \rightarrow-1 } x \\ &=1-2=-1 \end {aligned} \]</p> <h2>2. 미분가능한 함수</h2> <p>미분가능성과 연속성의 관계를 알아보자.</p> <ul> <li>정리 1</li></ul> <p>$ f(x) $가 $ x=c $에서 미분가능하면 $ f(x) $는 $ x=c $에서 연속이다.</p> <ul> <li>증명 $ f(x) $를 다음과 같이 나타낼 수 있다.</li></ul> <p>\[ f(x)=f(c) + \frac { f(x)-f(c) } { x-c } (x-c) \text { , 단 } x \neq c \] 양변에 극한을 취하면 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow c } f(x) &= \lim _ { x \rightarrow c } \left \{ f(c) + \frac { f(x)-f(c) } { x-c } (x-c) \right \} \\ &= \lim _ { x \rightarrow c } f(c) + \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \cdot \lim _ { x \rightarrow c } (x-c) \end {aligned} \] 극한의 성질에 의해서 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c } f(c)=f(c), \quad \lim _ { x \rightarrow c } (x-c)=0 \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow c } f(x) &=f(c) + f ^ {\prime } (c) \cdot 0 \\ &=f(c) \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 1 정리 1의 역은 성립하지 않음을 설명하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ f(x)=\|x\| $에서 $ x=0 $을 생각해 보자. 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x)=f(0)=0 \] 그러므로 $ f(x)=\|x\| $는 $ x=0 $에서 연속이다. 그러나 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (0) &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { f(x)-f(0) } { x-0 } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \|x\| } { x } \end {aligned} \] 그 결과 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \|x\| } { x } =1, \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { \|x\| } { x } =-1 \] $ x=0 $에서 우극한과 죄극한이 다르기 때문에 $ f ^ {\prime } (0) $는 존재하지 않는다.</p> <p>예제 $8 $ $ x=0 $ 의 근방에서 $ 1- \frac { x ^ { 2 } } { 6 } \leq \frac {\sin x } { x } \leq 1 $ 이 성립할 때 다음의 값을 구하시오.</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } $</p> <p>풀이 정리 1 에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { 6 } \right )=1 \text { 그리고 } \lim _ { x \rightarrow 0 } 1=1 \] 위의 결과를 정리 2 에 적용하면 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } =1 \]</p> <p>정리 $3 $</p> <p>$ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A, \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=B $ 이면 다음이 성립한다. \[ A=B \]</p> <p>증명 $ B>A $ 라 가정하자. 그리고 다음과 같이 놓자. \[ \epsilon= \frac { B-A } { 2 } >0 \] $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A $ 이므로 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음을 만족 한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 1 } \quad \Rightarrow \quad\|f(x)-A\|< \frac { B-A } { 2 } \] 또한 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=B $ 이므로 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음을 만족한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 2 } \quad \Rightarrow \quad\|f(x)-B\|< \frac { B-A } { 2 } \]</p> <p>$ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} $ 라 놓으면 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow \frac { A + B } { 2 }<f(x)< \frac { A + B } { 2 } \] 위의 부등식은 모순이다. $ A>B $ 라 가정해도 같은 방법으로 모순이므로 다음을 알 수 있다. \[ A=B \]</p> <p>다음과 같다. \[ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) \cdot \Delta x \] 다음과 같이 놓자. \[ f(x)= \sqrt[3] { x } , x=27, \Delta x=-3 \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f(x + \Delta x) &= \sqrt[3] { x + \Delta x } \\ &= \sqrt[3] { 27-3 } \\ &= \sqrt[3] { 24 } \\ & \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) \cdot \Delta x \\ &= \sqrt[3] { x } + \frac { 1 } { 3 } x ^ { -2 / 3 } \cdot \Delta x \\ &= \sqrt[3] { 27 } + \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { 3 \sqrt { 27 ^ { 2 } } } \cdot(-3) \\ &=3- \frac { 1 } { 9 } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 \quad \sqrt[3] { 7.9 } $ 의 근삿값을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ f(x + \Delta x) \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) \cdot \Delta x \] 다음과 같이 놓자. \[ f(x)= \sqrt[3] { x } , x=8, \Delta x=-0.1 \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f(x + \Delta x) &= \sqrt[3] { x + \Delta x } \\ &= \sqrt[3] { 8-0.1 } \\ &= { } ^ { 3 } \sqrt { 7.9 } \\ & \approx f(x) + f ^ {\prime } (x) \cdot \Delta x \end {aligned} \]</p> <p>$ = { } ^ { 3 } \sqrt { x } + \frac { 1 } { 3 } x ^ { -2 / 3 } \cdot \Delta x $</p> <p>$ = \sqrt[3] { 8 } + \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } {\sqrt[3] { 8 ^ { 2 } } } \cdot(-0.1) $</p> <p>(b) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|x-c\|< \epsilon \] $ f(x)=x $ 는 항등함수이므로 $ \delta= \epsilon $ 로 놓으면 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta= \epsilon \Rightarrow\|x-c\|< \epsilon \] 왜나하면 다음과 같다. \[ (c- \epsilon, c) \cup(c, c + \epsilon) \subseteq(c- \epsilon, c + \epsilon) \]</p> <p>(c) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|k f(x)-k A\|< \epsilon \] 다음이 성립한다. \[ \|k f(x)-k A\|=\|k\|\|f(x)-A\| \] 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A $ 이므로, 특히 $ \frac {\epsilon } { \|k\| } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음과 같다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(x)-A\|< \frac {\epsilon } { \|k\| } \] 그 결과 $ \delta= \delta_ { 1 } >0 $ 으로 놓으면 $ 0<\|x-c\|< \delta= \delta_ { 1 } $ 이면 다음이 성립한다. \[ \|k f(x)-k A\|=\|k\|\|f(x)-A\|<\|k\| \cdot \frac {\epsilon } { \|k\| } = \epsilon \]</p> <p>(d) 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|f(x) + g(x)-A-B\|< \epsilon \] 삼각부등식에 의해서 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \|f(x) + g(x)-A-B\| &=\|f(x)-A + g(x)-B\| \\ & \leq\|f(x)-A\| + \|g(x)-B\| \end {aligned} \] 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A $, $ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=B $ 이므로 다음과 같다. 특히 $ \frac {\epsilon } { 2 } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|f(x)-A\|< \frac {\epsilon } { 2 } \] 특히 $ \frac {\epsilon } { 2 } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 가 존재하여 다음과 같다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 2 } \Rightarrow\|g(x)-B\|< \frac {\epsilon } { 2 } \]</p> <p>(a) $ \frac { d } { d x } (c)=0 $</p> <p>(b) $ \frac { d } { d x } (c \cdot f(x))=c \cdot \frac { d } { d x } f(x) $</p> <p>(c) $ \frac { d } { d x } (f(x) + g(x))= \frac { d } { d x } (f(x)) + \frac { d } { d x } (g(x)) $</p> <p>(d) $ \frac { d } { d x } (f(x) \cdot g(x))= \frac { d } { d x } (f(x)) \cdot g(x) + f(x) \frac { d } { d x } (g(x)) $</p> <p>(e) $ \frac { d } { d x } \left ( \frac { f(x) } { g(x) } \right )= \frac {\frac { d } { d x } (f(x)) \cdot g(x)-f(x) \frac { d } { d x } (g(x)) } { g(x) ^ { 2 } } $</p> <ul> <li>정리 2</li></ul> <p>미분에 대해서 다음이 성립한다. (단, $ c $ 는 상수)</p> <p>(a) $ D(c)=0 $</p> <p>(b) $ D(c \cdot f(x))=c \cdot D(f(x)) $</p> <p>(c) $ D(f(x) + g(x))=D(f(x)) + D(g(x)) $</p> <p>(d) $ D(f(x) \cdot g(x))=D(f(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g(x)) $</p> <p>(e) $ D \left ( \frac { f(x) } { g(x) } \right )= \frac { D(f(x)) \cdot g(x)-f(x) \cdot D(g(x)) } { g(x) ^ { 2 } } $</p> <p>다음은 근삿값에 대해서 알아보자. $ y=f(x)=x ^ { 5 } -x ^ { 3 } $ 일 때 $ x $ 가 $ 0.1 $ 에서 $ 0.3 $ 으로 변할 때 $ \Delta x $ 는 다음과 같다. \[ \Delta x=0.3-0.1=0.2 \] 그러나 다음과 같이 $ \Delta y $ 는 계산이 복잡하다. \[ \Delta y=(0.3) ^ { 5 } -(0.3) ^ { 3 } - \left ((0.1) ^ { 5 } -(0.1) ^ { 3 } \right ) \] 그래서 $ \Delta y $ 의 근삿값으로 $ d y $ 를 놓으면 다음을 알 수 있다. \[ f(x + \Delta x)-f(x)= \Delta y \approx d y=f ^ {\prime } (x) d x=f ^ {\prime } (x) \cdot \Delta x \]</p> <p>예제 $4 $ $ \lim _ { x \rightarrow 3 } \left (x ^ { 2 } + x-6 \right )=6 $ 임을 증명하시오.</p> <p>[풀이 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-3\|< \delta \Rightarrow \left \|x ^ { 2 } + x-6-6 \right \|< \epsilon \] 다음의 부등식을 생각해 보자. \[ \begin {aligned} \left \|x ^ { 2 } + x-6-6 \right \|< \epsilon & \Leftrightarrow \left \|x ^ { 2 } + x-12 \right \|< \epsilon \\ & \Leftrightarrow\|x-3\|\|x + 4\|< \epsilon \end {aligned} \] 예제 1 의 경우와 같이 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \|x-3\|\|x + 4\|< \epsilon \Leftrightarrow\|x-3\|< \frac {\epsilon } { \|x + 4\| } \] $ \delta= \frac {\epsilon } { \|x + 4\| } $ 로 놓으면 $ \|x-3\|< \delta $ 이 성립하지만 $ \delta $ 는 함수이므로 우리가 원하는 값을 구할 수 없다. 우리의 목적은 $ \delta>0 $ 을 찾는 것이므로 $ \delta=2 $ 로 놓자. 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \|x + 4\|=\|x-3 + 7\| \leq\|x-3\| + 7< \delta + 7=2 + 7=9 \] 즉 $ \delta=2 $ 인 경우 $ \|x + 4\|<9 $ 이므로 다음을 알 수 있다. \[ \|x-3\|\|x + 4\|<\|x-3\| \cdot 9< \epsilon \]</p> <p>그러므로 다음과 같다. \[ \|x-3\|< \frac {\epsilon } { 9 } \] 이 결과 $ 0<\|x-3\|< \delta= \min \left \{ 2, \frac {\epsilon } { 9 } \right \} $ 이면 다음이 성립한다. \[ \left \| \left (x ^ { 2 } + x-6 \right )-6 \right \|=\|x + 4\|\|x-3\|<9 \cdot \frac {\epsilon } { 9 } = \epsilon \]</p> <p>예제 $5 $ $ a \neq 0 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { a } $ 임을 증명하시오.</p> <p>이때 점 $ P(a, b) $ 에서 $ y=f(x) $ 의 접선의 기울기는 $ f ^ {\prime } (a) $ 이다. $ x $ 축과 $ d x $ 축, $ y $ 축과 $ d y $ 축은 각각 수평이므로 다음을 알 수 있다. \[ d y=f ^ {\prime } (a) d x \]</p> <p>정의 $ y=f(x) $ 가 미분가능한 함수이고 $ x $ 의 미분 $ d x $ 는 다음과 같다. \[ d x= \Delta x \] 이때 $ y $ 의 미분 $ d y $ 는 다음과 같이 정의한다. \[ d y=f ^ {\prime } (x) d x \]</p> <p>예제 1 다음 함수에서 $ d y $ 를 구하시오.</p> <p>(a) $ y=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 x-1 $</p> <p>(b) $ y= \sqrt { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 } $</p> <p>(c) $ y= \cos \left (3 x ^ { 2 } + x + 5 \right ) $</p> <p>(d) $ y= \sin ^ { 2 } x $</p> <p>풀이 (a) $ d y= \left (3 x ^ { 2 } + 2 x + 2 \right ) d x $</p> <p>(b) $ d y= \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 5 \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left (3 x ^ { 2 } + 4 x \right ) d x $</p> <p>(c) $ d y=-(6 x + 1) \sin \left (3 x ^ { 2 } + x + 5 \right ) d x $</p> <p>(d) $ d y=2 \sin x \cdot \cos x d x= \sin 2 x d x $</p><p>정리 1 도함수에 대해서 다음이 성립한다. (단, $ c $ 는 상수)</p> <p>예제 $2 $</p> <p>풀이 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow\|a x + b-a c-b\|< \epsilon \] 다음의 부등식을 생각해보자. \[ \begin {aligned} \|a x + b-a c-b\|< \epsilon & \Leftrightarrow\|a x-a c\|< \epsilon \\ & \Leftrightarrow\|a\|\|x-c\|< \epsilon \\ & \Leftrightarrow\|x-c\|< \frac {\epsilon } { \|a\| } \end {aligned} \]</p> <p>이 결과 $ 0<\|x-c\|< \delta= \frac {\epsilon } { \|a\| } $ 이면 다음을 알 수 있다. \[ \|a x + b-a c-b\|< \epsilon \] 왜나하면 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \|a x + b-a c-b\| &=\|a x-a c\| \\ &=\|a\|\|x-c\| \end {aligned} \] 그리고 가정에 의해서 $ \|x-c\|< \delta= \frac {\epsilon } { \|a\| } $ 이므로 다음을 알 수 있다. \[ \|a\|\|x-c\|<\|a\| \cdot \delta=\|a\| \cdot \frac {\epsilon } { \|a\| } = \epsilon \] 즉 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta= \frac {\epsilon } { \|a\| } >0 $ 이 존재해서 $ 0<\|x-c\|< \delta $ 이면 다음 을 알 수 있다. \[ \|a x + b-a c-b\|< \epsilon \]</p> <p>예제 $3 $ $ a>0 $ 일 때 $ \lim _ { x \rightarrow a } \sqrt { x } = \sqrt { a } $ 임을 증명하시오.</p> <p>풀이 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 구해보자. \[ 0<\|x-a\|< \delta \Rightarrow\| \sqrt { x } - \sqrt { a } \|< \epsilon \] 다음의 부등식을 생각해 보자. \[ \begin {aligned} \| \sqrt { x } - \sqrt { a } \|< \epsilon & \Leftrightarrow \left \| \frac { ( \sqrt { x } - \sqrt { a } )( \sqrt { x } + \sqrt { a } ) } { ( \sqrt { x } + \sqrt { a } ) } \right \|< \epsilon \\ & \Leftrightarrow \left \| \frac { x-a } {\sqrt { x } + \sqrt { a } } \right \|< \epsilon \end {aligned} \] $ \sqrt { a } \leq \sqrt { x } + \sqrt { a } $ 이 항상 성립하므로 다음을 알 수 있다. \[ \|x-a\|< \sqrt { a } \cdot \epsilon \] 이 결과 $ 0<\|x-a\|< \delta= \sqrt { a } \cdot \epsilon $ 이면 다음이 성립함을 알 수 있다. \[ \| \sqrt { x } - \sqrt { a } \|< \epsilon \]</p> <p>(g) 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x) } { g(x) } &= \lim _ { x \rightarrow c } \left \{ f(x) \cdot \frac { 1 } { g(x) } \right \} \\ &= \lim _ { x \rightarrow c } f(x) \cdot \lim _ { x \rightarrow c } \frac { 1 } { g(x) } \end {aligned} \] 그러므로 다음을 보이자. \[ \lim _ { x \rightarrow c } \frac { 1 } { g(x) } = \frac { 1 } { B } \] 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 다음을 만족하는 $ \delta>0 $ 을 찾자. \[ 0<\|x-c\|< \delta \Rightarrow \left \| \frac { 1 } { g(x) } - \frac { 1 } { B } \right \|< \epsilon \] 다음 등식을 생각해 보자. \[ \begin {aligned} \left \| \frac { 1 } { g(x) } - \frac { 1 } { B } \right \| &= \left \| \frac { g(x)-B } { g(x) B } \right \| \\ &= \frac { \|g(x)-B\| } { \|g(x)\|\|B\| } \end {aligned} \] 가정에 의해서 $ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=B $ 이므로 특히 $ \frac { \|B\| } { 2 } >0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음이 성립한다. \[ 0<\|x-c\|< \delta_ { 1 } \Rightarrow\|g(x)-B\|< \frac { \|B\| } { 2 } \]</p> <p>예제 $1 $ $ \lim _ { x \rightarrow 4 } \pi ^ { 2 } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1 의 (a)에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \lim _ { x \rightarrow 4 } \pi ^ { 2 } = \pi ^ { 2 } \]</p> <p>예제 $2 $ $ \lim _ { x \rightarrow 8 } x $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} D \left (x ^ { -n } \right ) &=D \left ( \frac { 1 } { x ^ { n } } \right ) \\ &= \frac { D(1) \cdot x ^ { n } -1 \cdot D \left (x ^ { n } \right ) } {\left (x ^ { n } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \frac { 0 \cdot x ^ { n } -n x ^ { n-1 } } { x ^ { 2 n } } \\ &=-n x ^ { -n-1 } \end {aligned} $</p> <ul> <li>예제 $ 10 \quad D \left ( \frac { 1 } { x } \right ) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \quad \begin {aligned} D \left ( \frac { 1 } { x } \right ) &=D \left (x ^ { -1 } \right ) \\ &=-1 \cdot x ^ { -2 } \\ &=- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \end {aligned} $</p> <h3>$ 2.3 $ 삼각함수의 도함수</h3> <p>삼각함수의 특성과 그의 도함수에 대해서 알아보자.</p> <p>$ \sin $ 은 다음과 같은 함수이다. $ \sin : R \rightarrow[-1,1] $ 에서 $ x \in R $ 을 $ \sin x $ 에 대응하는 함수이다. 또한 다음이 성립하므로 주기가 $ 2 \pi $ 임을 알 수 있다.</p> <p>$ \sin x= \sin (x + 2 m \pi), m \in Z $</p> <p>$ \cos $ 은 다음과 같은 함수이다.</p> <p>$ \cos : R \rightarrow[-1,1] $ 에서 $ x \in R $ 을 $ \cos x $ 에 대응하는 함수이다. 또한 다음이 성립하므로 주기가 $ 2 \pi $ 임을 알 수 있다.</p> <p>$ \cos x= \cos (x + 2 m \pi), m \in Z $</p> <p>그리고 다음이 성립하므로 $ Y $ 축 대칭인 우함수임을 알 수 있다.</p> <p>$ \cos x= \cos (-x) $</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos t } { t } =& \lim _ { t \rightarrow 0 } \left ( \frac { 1- \cos t } { t } \cdot \frac { 1 + \cos t } { 1 + \cos t } \right ) \\ &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \left ( \frac { 1- \cos ^ { 2 } t } { t } \cdot \frac { 1 } { 1 + \cos t } \right ) \end {aligned} $</p> <p>$ = \lim _ { t \rightarrow 0 } \left ( \frac {\sin t } { t } \cdot \frac {\sin t } { 1 + \cos t } \right ) $ $ = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } \cdot \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { 1 + \cos t } $ $ =1 \cdot \frac { 0 } { 2 } =0 $</p> <ul> <li>예제 3 다음 극한을 구하시오.</li></ul> <p>(a) $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 4-4 \cos t } {\sin t } $ (b) $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin 2 t } { -5 t } $</p> <p>풀이</p> <p>(a) \[ \begin {aligned} \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 4-4 \cos t } {\sin t } &= \lim _ { t \rightarrow 0 } 4 \cdot \frac {\frac { 1- \cos t } { t } } {\frac {\sin t } { t } } \\ &=4 \cdot \frac { 0 } { 1 } =0 \end {aligned} \]</p> <p>(b) \[ \begin {aligned} \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin 2 t } { -5 t } &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \left ( \frac {\sin 2 t } { -5 t } \cdot \frac { 2 t } { 2 t } \right ) \\ &=- \frac { 2 } { 5 } \cdot 1=- \frac { 2 } { 5 } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 4 다음 극한을 구하시오.</li></ul> <p>(a) $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\tan t } { t } $ (b) $ \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\tan t } $</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ f(x)= \frac { 1 } { x } =x ^ { -1 } \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &=-x ^ { -2 } \\ f ^ {\prime \prime } (x) &=-(-2) x ^ { -3 } \\ &=2 x ^ { -3 } \\ f ^ { (3) } (x) &=2 \cdot(-3) x ^ { -4 } \\ &=-3 ! x ^ { -4 } \\ f ^ { (4) } (x) &=(-3) ! \cdot(-4) x ^ { -5 } \\ &=4 ! x ^ { -5 } \end {aligned} \] 위의 결과에서 다음을 알 수 있다. \[ f ^ { (n) } (x)=(-1) ^ { n } n ! x ^ { -(n + 1) } \]</p> <h3>2. 음함수 미분법</h3> <p>음함수를 함수의 형태로 바꿀 수 있다면 앞에서 배운 범위 내에서 미분가능하다. 그러나 모든 음함수가 함수의 형태로 바꾸는 것이 가끔은 불가능하다. 이 경우를 대비해서 음함수 미분법을 배우도록 하자.</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ f(x, y)=c $ 의 형태의 함수를 음함수라 한다.</p> <ul> <li>예제 $ 1 x ^ { 3 } + y ^ { 3 } =3 x y $ 일 때 $ y ^ {\prime } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>양변을 $ x $ 로 미분하면 다음과 같다. \[ 3 x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } y ^ {\prime } =3 \left (y + x y ^ {\prime } \right ) \] $ y ^ {\prime } $ 을 구하면 다음을 알 수 있다. \[ y ^ {\prime } = \frac { y-x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } -x } \]</p> <ul> <li>예제 $ 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =8 $ 일 때 $ y ^ {\prime } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \begin {aligned} f(x) &= \sin 2 x + 5 \\ &=2 \sin x \cdot \cos x + 5 \end {aligned} \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &=2 \left \{ ( \sin x) ^ {\prime } \cos x + \sin x \cdot( \cos x) ^ {\prime } \right \} \\ &=2 \left ( \cos ^ { 2 } x- \sin ^ { 2 } x \right ) \\ &=2 \cos 2 x \end {aligned} \] 그 결과 기울기는 다음과 같다. \[ f ^ {\prime } (0)=2 \cos (2 \cdot 0)=2 \] 구하는 접선의 방정식은 다음과 같다. \[ y-5=2(x-0) \]</p> <p>$ f(x)= \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right ) ^ { 15 } $ 을 미분하기 위하여 $ f(x) $ 를 전개하는 방법 외에 다른 방법에 대해서 알아보자. 연쇄법칙을 이용하여 편리하게 미분을 구해보자.</p> <h4>2. 연쇄법칙</h4> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ y=f(t), t=g(x) $ 이고 두 함수가 미분가능할 때 다음과 같다. \[ (f \circ g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (g(x)) \cdot g ^ {\prime } (x) \] 또는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ D_ { x } y=D_ { t } y \cdot D_ { x } t \]</p> <ul> <li>예제 1 $y=f(x)= \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right ) ^ { 15 } $ 일 때 $ y ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ y=t ^ { 15 } , t=x ^ { 2 } + 3 x-1 \] 그러므로 다음과 같다. \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } =& f ^ {\prime } (x)=D_ { x } f(x) \\ &=D_ { x } t \cdot D_ { t } f(x) \\ &=(2 x + 3) \cdot 15 \left (t ^ { 14 } \right ) \\ &=15(2 x + 3) \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right ) ^ { 14 } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 2 $y=f(x)= \frac { 1 } {\left (x ^ { 3 } + 5 x + 7 \right ) ^ { 4 } } $ 일 때 $ y ^ {\prime } $ 을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ y=t ^ { 5 } , t=x ^ { 5 } + 5 x ^ { 3 } -2 x \] 연쇄법칙에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { d y } { d t } \cdot \frac { d t } { d x } \\ &=5 t ^ { 4 } \cdot \left (5 x ^ { 4 } + 15 x ^ { 2 } -2 \right ) \\ &=5 \left (x ^ { 5 } + 5 x ^ { 3 } -2 x \right ) ^ { 4 } \cdot \left (5 x ^ { 4 } + 15 x ^ { 2 } -2 \right ) \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 y=f(x)= \sin ^ { 4 } \left (x ^ { 2 } + 6 \right ) $ 일 때 $ \frac { d y } { d x } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ y=t ^ { 4 } , t= \sin v, v=x ^ { 2 } + 6 \] 그러므로 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac { d y } { d t } \cdot \frac { d t } { d v } \cdot \frac { d v } { d x } \\ &=4 t ^ { 3 } \cdot \cos v \cdot(2 x) \\ &=4 \sin ^ { 3 } \left (x ^ { 2 } + 6 \right ) \cdot \cos \left (x ^ { 2 } + 6 \right ) \cdot(2 x) \\ &=8 x \sin ^ { 3 } \left (x ^ { 2 } + 6 \right ) \cdot \cos \left (x ^ { 2 } + 6 \right ) \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 6 y=f(x)= \cos ^ { 5 } \left (x ^ { 3 } \right ) $ 일 때 $ \frac { d y } { d x } $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>증명 다음과 같이 놓자. \[ c f(x)=F(x) \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} F(x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { c f(x + h)-c f(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } c \cdot \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &=c \cdot \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } \\ &=c \cdot f ^ {\prime } (x) \end {aligned} \] 즉, 다음이 성립한다. \[ (c f) ^ {\prime } (x)=c \cdot f ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>예제 $ 4 f(x)=5 x ^ { 5 } $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이 정리 5 에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \left (5 x ^ { 5 } \right ) ^ {\prime } =5 \left (x ^ { 5 } \right ) ^ {\prime } \] 또한 정리 4 에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ 5 \left (x ^ { 5 } \right ) ^ {\prime } =5 \cdot 5 x ^ { 4 } =25 x ^ { 4 } \]</p> <ul> <li>정리 6</li></ul> <p>$ f(x), g(x) $ 가 미분가능한 함수이면 다음이 성립한다. \[ (f + g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>증명 다음과 같이 놓자.</li></ul> <p>\[ (f + g)(x)=F(x) \] 그러면 정의에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} F ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F(x + h)-F(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { (f + g)(x + h)-(f + g)(x) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ f(x + h) + g(x + h)-f(x)-g(x) \} \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ f(x + h)-f(x) \} + \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { h } \{ g(x + h)-g(x) \} \\ &=f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) \end {aligned} \] 즉, 다음이 성립한다. \[ (f + g) ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) \]</p> <ul> <li>예제 $ 5 f(x)=3 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 6 } $ 일 때 $ f ^ {\prime } (x) $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이 정리 6에 의하여 다음을 알 수 있다. \[ \left (3 x ^ { 4 } + 2 x ^ { 6 } \right ) ^ {\prime } = \left (3 x ^ { 4 } \right ) ^ {\prime } + \left (2 x ^ { 6 } \right ) ^ {\prime } \] 정리 4 와 정리 5 에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \left (3 x ^ { 4 } \right ) ^ {\prime } + \left (2 x ^ { 6 } \right ) ^ {\prime } =12 x ^ { 3 } + 12 x ^ { 5 } \] 미분연산자 $ D $ 는 다음의 두 가지 성질을 만족한다.</p> <p>예제 $7 $ $ \lim _ { x \rightarrow 3 } \frac { 4 x + 5 } { x ^ { 2 } -8 } $ 를 구하시오.</p> <p>풀이 정리 1의 (a), (b), (c), (d), (e) 그리고 (f)에 의해서 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 3 } \frac { 4 x + 5 } { x ^ { 2 } -8 } &= \frac {\lim _ { x \rightarrow 3 } 4 x + 5 } {\lim _ { x \rightarrow 3 } x ^ { 2 } -8 } \\ &=17 \end {aligned} $</p> <p>정리 $2 $</p> <p>(a) $ x=c $ 의 근방에서 다음과 같다. \[ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \] (b) $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)= \lim _ { x \rightarrow c } h(x)=A $ 위의 두식을 만족하면 다음이 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow c } g(x)=A \]</p> <p>증명 가정에 의해 $ \delta_ { 1 } >0 $ 이 존재하여 다음을 만족한다. \[ c- \delta_ { 1 }<x<c + \delta_ { 1 } \text { , 단 } x \neq c \quad \Rightarrow f(x) \leq g(x) \leq h(x) \] 또한 $ \lim _ { x \rightarrow c } f(x)=A $ 이므로 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 2 } >0 $ 이 존재하여 다음을 만족한다. \[ c- \delta_ { 2 }<x<c + \delta_ { 2 } \text { , 단 } x \neq c \Rightarrow A- \epsilon<f(x)<A + \epsilon \] 또한 $ \lim _ { x \rightarrow c } h(x)=A $ 이므로 모든 $ \epsilon>0 $ 에 대해서 $ \delta_ { 3 } >0 $ 이 존재하여 다음을 만족한다. \[ c- \delta_ { 3 }<x<c + \delta_ { 3 } \text { , 단 } x \neq c \Rightarrow A- \epsilon<h(x)<A + \epsilon \] 이 결과 $ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } , \delta_ { 3 } \right \} >0 $ 으로 놓으면 다음을 만족한다. $ c- \delta<x<c + \delta $, 단 $ x \neq c \Rightarrow A- \epsilon<f(x) \leq g(x) \leq h(x)<A + \epsilon $ 즉, 다음이 성립함을 알 수 있다. \[ 0<\|x-c\|< \delta \quad \Rightarrow \quad\|g(x)-A\|< \epsilon \]</p> <p>다음과 같이 놓자. \[ y=t ^ { 3 } , t= \cos v, v=4 x \] 그러므로 다음과 같다. \[ \begin {aligned} D_ { x } y &=D_ { t } y \cdot D_ { v } t \cdot D_ { x } v \\ &=3 t ^ { 2 } \cdot(- \sin v) \cdot 4 \\ &=12 \cos ^ { 2 } (4 x) \cdot \{ - \sin (4 x) \} \\ &=-12 \cos ^ { 2 } (4 x) \cdot \sin (4 x) \end {aligned} \]</p> <h4>3. 라이프니츠 표기법</h4> <p>다음은 라이프니츠(Leibniz)가 사용한 도함수의 표기법에 대해서 알아보자.</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>$ y=f(x) $ 에서 $ x $ 의 값이 $ x_ { 1 } $ 에서 $ x_ { 2 } $ 로 변할 때 $ x_ { 2 } -x_ { 1 } $ 을 $ x $ 의 증분이라 하고 $ \Delta x $ (델타 $ x $ )로 나타낸다. 이때 $ y $ 의 증분은 $ \Delta y $ 로 나타내고 다음과 같다. \[ \Delta y=f \left (x_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 1 } \right ) \]</p> <ul> <li>예제 $ 1 f(x)=x ^ { 2 } $ 에서 $ x_ { 1 } =1 $ 이고 $ x_ { 2 } =3 $ 인 경우 $ \Delta x $ 와 $ \Delta y $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \Delta x=x_ { 2 } -x_ { 1 } =3-1=2 $ 그리고 다음을 알 수 있다. \[ \Delta y=3 ^ { 2 } -1 ^ { 2 } =8 \]</p> <ul> <li>예제 $ 2 y=f(x)=2 x ^ { 2 } + 7 $ 이고 $ x $ 가 $ 0.1 $ 에서 $ 1.1 $ 로 변할 때 $ \Delta y $ 를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \Delta y &=f(1.1)-f(0.1) \\ &= \left (2(1.1) ^ { 2 } + 7 \right )- \left (2(0.1) ^ { 2 } + 7 \right ) \\ &=2(1.1 + 0.1)(1.1-0.1) \\ &=2(1.2) \cdot(1)=2.4 \end {aligned} $</p> <p>증명</p> <p>$ r $ 가 유리수이므로 다음과 같이 놓자. \[ r= \frac { n } { m } \quad( \text { 단, } m, n \text { 은 정수이고 } m \neq 0) \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ y=x ^ { r } =x ^ {\frac { n } { m } } \] 그리고 다음과 같다. \[ y ^ { m } =x ^ { n } \] 음함수 미분에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ m y ^ { m-1 } \cdot y ^ {\prime } =n x ^ { n-1 } \]</p> <p>그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } &= \frac { n } { m } \frac { x ^ { n-1 } } { y ^ { m-1 } } \\ &= \frac { n } { m } \frac { x ^ { n-1 } } { x ^ {\frac { n } { m } (m-1) } } \\ &= \frac { n } { m } x ^ { n-1-n + \frac { n } { m } } \\ &= \frac { n } { m } x ^ {\frac { n } { m } -1 } \\ &=r x ^ { r-1 } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 6 y= \sqrt { x } $ 일 때 $ y ^ {\prime } $ 을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>$ y=x ^ {\frac { 1 } { 2 } } $ 이고 정리 1 에 의해서 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } &= \frac { 1 } { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \\ &= \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \end {aligned} \]</p> <ul> <li>예제 $ 8 y=f(x)=x ^ {\frac { 3 } { 2 } } -3 x ^ {\frac { 2 } { 3 } } -2 x ^ {\frac { 5 } { 4 } } $ 일 때 $ y ^ {\prime } $ 을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>양변을 $ x $ 로 미분하면 다음과 같다. \[ 3 y ^ { 2 } \frac { d y } { d x } + 2 y \frac { d y } { d x } - \frac { d y } { d x } =2 x \] 점 $ (2,1) $ 을 대입하면 다음을 알 수 있다. \[ (3 + 2-1) \frac { d y } { d x } =4 \] 그러므로 $ \frac { d y } { d x } =1 $ 이고 접선의 방정식은 다음과 같다. \[ y-1=(x-2) \]</p> <ul> <li>예제 5 곡선 $ y ^ { 3 } -x y ^ { 2 } + \cos (x y)=2 $ 위의 점 $ (0,1) $ 에서의 접선의 방정식을 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>점 $ (0,1) $ 에서의 접선의 기울기를 구하기 위해 $ y ^ {\prime } $ 를 알아보자. \[ 3 y ^ { 2 } \cdot y ^ {\prime } - \left (1 \cdot y ^ { 2 } + x \cdot 2 y \cdot y ^ {\prime } \right ) + \sin (x y) \left (1 \cdot y + x \cdot y ^ {\prime } \right )=0 \] $ x=0, y=1 $ 를 대입하면 다음을 알 수 있다. \[ 3 \cdot y ^ {\prime } -(1 + 0) + \sin (0)=0 \] 그러므로 $ y ^ {\prime } = \frac { 1 } { 3 } $ 이고 접선의 방정식은 다음과 같다. \[ y-1= \frac { 1 } { 3 } (x-0) \text { 또는 } y= \frac { 1 } { 3 } x + 1 \]</p> <p>$ n $ 이 정수일 때 $ f(x)=x ^ { n } $ 에서 $ f ^ {\prime } (x)=n x ^ { n-1 } $ 임을 이미 공부했다. $ n $ 이 유리수일 때도 이 식이 성립함을 보이자.</p> <ul> <li>정리 1</li></ul> <p>$ r $ 를 임의의 유리수라 하자. 그러면 다음과 같다. \[ D_ { x } \left (x ^ { r } \right )=r x ^ { r-1 } \]</p>	자연
옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_인공지능	<p>위에서 $ s = -0.5 + t_ { 1 } + t_ { 2 } $ 는 $ t_ { 1 } $ 과 $ t_ { 2 } $ 에 대한 함수로 $ x_ { 1 } $ 에 대한 출력은 $ - 1 $ 이고, $ x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 에 대한 출력은 $ 1 $ 이다. 따라서 $ s=0 $, 즉 $ t_ { 1 } + t_ { 2 } -0.5=0 $ 은 두 종류의 데이터를 나누는 기준이 된다. 이 직선은 선형이므로 이 분리는 선형분리이다. 정확하게 분류하는 가중치가 이 외에도 많이 있다. 만일 오차가 있어 정확성이 떨어지면 학습을 통한 피드백으로 가중치를 개선할 수 있다.</p> <p>이처럼 평면을 두 개의 영역으로 나누는 직선 $ w_ { 0 } + w_ { 1 } t_ { 1 } + w_ { 2 } t_ { 2 } =0 $ 을 결정직선(decision line)이라 한다. 공간을 두 개의 영역으로 나누는 경계를 결정 경계(decision boundary)라 하며 일반적으로 다음과 같이 나타난다.</p> <p>$ w_ { 0 } + w_ { 1 } t_ { 1 } + \cdots + w_ { n } t_ { n } =0 $</p> <p>이는 일차 즉 선형으로 이들은 (linear classifier)이다. 그래서 선형분리라고 한다.</p> <p>위에 제시한 예는 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ 둘 중 하나가 $ 1 $ 이면 참이 되는 OR 분류 문제라 보면, $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ 둘 다 $1 $ 이어야 참이 되는 AND 분류 문제는 다음과 같고 같은 방법으로 선형분리 할 수 있다.</p> <p>그러면 다음과 같은 XOR의 문제는 선형분리가 가능할까? 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.</p> <p>위와 같은 데이터는 언듯 봐도 한 직선으로 분리하는 것은 불가능하다. 어떻게 나누든 원과 사각형을 분리할 수 없어서 선형분리가 되지 않는다. 그러나 퍼셉트론을 두 번에 걸치면 분리할 수 있다.</p> <p>두 개의 퍼셉트론은 다음과 같다.</p> <p>$ w_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 1.5 \\ -1 \\ -1 \end {array} \right ) $ 라 하면 각 데이터 $ x_ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ), x_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right ), x_ { 3 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right ), x_ { 4 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ) $ 에 대한 가중치 곱의 합은 $ w_ { 2 } ^ { T } x_ { 1 } =1.5, w_ { 2 } ^ { T } x_ { 2 } =w_ { 2 } ^ { T } x_ { 3 } =0.5, w_ { 2 } ^ { T } x_ { 4 } =-0.5 $ 이고, 따라서 출력 $ y= \tau(s) $ 는 각각 $ 1,1,1,-1 $ 이다. 그러므로 두 가중치 $ w_ { 1 } $ 과 $ w_ { 2 } $ 에 의해서 네 점 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } $ 은 아래와 같은 세 점으로 변환된다.</p> <p>$ x_ { 1 } \rightarrow \left ( \begin {array} { r } -1 \\ 1 \end {array} \right ), x_ { 2 } $ 와 $ x_ { 3 } \rightarrow \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ), x_ { 4 } \rightarrow \left ( \begin {array} { r } 1 \\ -1 \end {array} \right ) $</p> <p>이 세 점은 선형분리 할 수 있다. 변환된 데이터 $ z_ { 1 } = \left ( \begin {array} { r } 1 \\ -1 \\ 1 \end {array} \right ), z_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ), z_ { 3 } = \left ( \begin {array} { r } 1 \\ 1 \\ -1 \end {array} \right ) $ 에 가중치 $ w_ { 3 } =(-1,1,1) $ 을 적용하면 $ w_ { 3 } ^ { T } z_ { 1 } =w_ { 3 } ^ { T } z_ { 3 } =-1, w_ { 3 } ^ { T } z_ { 2 } =1 $ 이 되어 $ z_ { 2 } $ 와 $ z_ { 1 } , z_ { 3 } $ 로 분류되었다. 결과적으로 $ x_ { 2 } $ 와 $ x_ { 3 } $, 그리고 $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 4 } $ 로 잘 분리되었음을 알 수 있다.</p>	자연
사범대생을 위한 대수학_Sylow 정리와 군의 표현	<p>(증명)</p> <ol type = start=1><li>정리 $3.1.16 $에 의하여 성립한다.</li> <li>정리 $ 4.2 .5 $ 에 의하여 $ G $ 는 가환군이다. 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 성립한다.</li> <li>Sylow $1 $정리에 의하여 위수 $ p ^ { r-1 } ( \neq 1) $ 인 부분군이 존재하고 $ G $ 의 정규부분군이다. 따라서 $ G $ 는 단순군이 아니다.</li> <li>Sylow $1 $정리에 의하여 Sylow $ q $-부분군이 존재한다. Sylow $3 $정리에 의하여 Sylow $ q $-부분군의 수는 $ p q $ 의 약수 $ 1, p, q, p q $ 중에서 법 $ q $ 로 $1 $ 과 합동이다. 하지만, $ p \not \equiv 1( \bmod q), \quad q \neq 1( \bmod q), \quad p q \not \equiv 1( \bmod q) $ 이므로 Sylow $ q $-부분군은 $1 $ 개 존재한다. 정리 $ 4.2.14 $에 의하여 Sylow $ q $-부분군은 정규부분군이 된다. 또한, 위수가 $ q $ 이므로 $ G $ 는 단순군이 아니다.<ol type= start=1><li>$ q \not \equiv 1( \bmod p) $ 라 하자. Sylow $1 $ 정리에 의하여 Sylow $ p $-부분군이 존재한다. 그러면 $ q \not \equiv $ $ 1( \bmod p) $ 이므로, 위와 같은 방법으로 Sylow $ p $-군도 정규부분군임을 증명할 수 있다. Sylow $ p $-군을 $ P( \triangleleft G) $ 라 하고 Sylow $ q $-군을 $ Q( \triangleleft G) $ 이라 하자. $ P \cap Q= \{ e \} $ 이므로 정리 $3.1.14 $에 의하여 \[ \|P Q\|= \frac { \|P\|\|Q\| } { \|P \cap Q\| } =\|P \\| Q\|=p q=\|G\| \] 이다. 따라서 $ P Q=G $ 이다. 또한 $ P $ 와 $ Q $ 는 순환부분군(가환부분군)이므로, 정리 $3.3.7 $에 의하여 $ P Q=G $ 는 가환군이다 그러면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { p } \times \mathbb { Z } _ { q } \cong \mathbb { Z } _ { p q } $ 이다.</li> <li>가환군이면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { p } \times \mathbb { Z } _ { q } \cong \mathbb { Z } _ { p q } $ 이다(정리 $3.4.6 $). 다음에 $ G $ 가 비가환군이라 하자. 그러면 위에서 Sylow $ q $-부분군 $ Q $ 는 위수 $ q $ (소수)인 $ G $ 의 정규부분군임을 알았다. 따라서 $ Q $ 는 순환부분군(정리 $3.1.16 $)이다. 그러면 적당한 $ (e \neq) a \in G $ 에 대하여 $ Q= \langle a \rangle $ 이고, $ a ^ { q } =e, \quad $ 즉, $ \quad\|a\|=q $ 이다. $ b \in G-Q $ 를 선택하자. $ \|G / Q\|=p $ 이므로 $ b ^ { p } \in Q $ 이다. $ b ^ { p } \neq e $ 이면 $\|b\|=p q=\|G\| $ 이다. 그러면 $ G $ 는 순환군이 되어 가환군이므로 모순이다. 따라서 \[ b ^ { p } =e, \quad \text { 즉, } \quad\|b\|=p \] 이어야만한다. 그러므로 $ G / Q= \langle b Q \rangle= \left \{ b ^ { i } Q \mid i=0,1, \cdots, p-1 \right \} , \quad G=Q \cup b Q \cup \cdots \cup b ^ { p-1 } Q= \langle a, b\|\| a\|=q,\| b \mid=p $, 이다. 또한 $ Q \triangleleft G $ 이므로 $ b a b ^ { -1 } \in Q $ 이다. 만약 $ b a b ^ { -1 } =a $ 이면 $ b a=a b $ 가 되어 $ \|a b\|=\|a\|\|b\|= $ $ p q $ 이다(정리 $2.3.17 $). 그러면 $ G $ 가 순환군(가환군)이 되어 모순이다. 따라서 $ b a b ^ { -1 } \neq a $ 이다. 또한 $ b a b ^ { -1 } \neq e $ 이므로, \[ b a b ^ { -1 } \in \left \{ a ^ { 2 } , \cdots, a ^ { q-1 } \right \} \] 이다. 즉, 적당한 $ r \in \{ 2, \cdots, q-1 \} $ 이 존재하여 $ b a=a ^ { r } b $ 이다. 이때 $ 0 \leq s, u, w<q $ 와 $ 0 \leq t, v, z<p $ 에 대하여 \[ \left (a ^ { s } b ^ { t } \right ) \left [ \left (a ^ { u } b ^ { v } \right ) \left (a ^ { w } b ^ { z } \right ) \right ]= \left (a ^ { s } b ^ { t } \right ) \left [a ^ { u + w r ^ { v } } b ^ { v + z } \right ]=a ^ { s + \left (u + w r ^ { v } \right ) r ^ { t } } b ^ { t + v + z } \] 이다. 또한 $ b ^ { p } =1 $ 이므로 \[ \left [ \left (a ^ { s } b ^ { t } \right ) \left (a ^ { u } b ^ { v } \right ) \right ] \left (a ^ { w } b ^ { z } \right )= \left (a ^ { s + u r ^ { t } } b ^ { t + v } \right ) \left (a ^ { w } b ^ { z } \right )= \left (a ^ { s + u r ^ { t } } b ^ { r_ { 1 } } \right ) \left (a ^ { w } b ^ { z } \right )=a ^ { s + u r ^ { t } + w r ^ { 1 } } b ^ { r_ { 1 } + z } , r_ { 1 } =[t + v]_ { p } \] 이다(예 $3.2.16 $의 법 $ n $ 축약 준동형사상 참조). 그러면 결합법칙이 성립하므로 \[ s + \left (u + w r ^ { v } \right ) r ^ { t } \equiv s + u r ^ { t } + w r ^ { r_ { 1 } } ( \bmod q), \quad \Longrightarrow \quad w r ^ { v + t } \equiv w r ^ { r_ { 1 } } ( \bmod q) \cdots(1) \] 이다. ( $1 $)에서 $ w $ 와 $ t + v $ 는 임의로 선택할 때마다 성립하므로 $ w=1, t + v=p $ 로 선택하면 \[ r ^ { p } \equiv r ^ { r_ { 1 } } \equiv r ^ { [t + v]_ { p } } \equiv r ^ { [p]_ { p } } \equiv r ^ { 0 } \equiv 1( \bmod q) \] 이다. 즉, $ r ^ { p } \equiv 1( \bmod q), 1<r<q $ 이다. 그러면, \[ \begin {array} { c } G= \left \langle a, b\|\| a\|=q,\| b \mid=p, b a=a ^ { r } b \right \rangle, \quad \text { 단, } r ^ { p } \equiv 1( \bmod q), 1<r<q \\ = \left \{ e, a, a ^ { 2 } , \cdots, a ^ { q-1 } , b, b a, b a ^ { 2 } , \cdots, b a ^ { q-1 } , \cdots, \right . \\ \left .b ^ { p-1 } , b ^ { p-1 } a, b ^ { p-1 } a ^ { 2 } , \cdots, b ^ { p-1 } a ^ { q-1 } \mid b a=a ^ { r } b \right \} \end {array} \] 이다.</li></ol></li></ol> <p>예 $4.3.2 $ 군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\| = 20=2 ^ { 2 } \cdot 5 $ 이면 $ G $ 는 단순군이 아니다. (증명) Sylow $1 $정리에 의하여, Sylow $2 $-부분군과 Sylow $5 $-부분군이 존재한다. Sylow $3 $정리에 의해 Sylow $5 $-부분군의 수는 $20 $ 의 약수 $ 1,2,4,5,10,20 $ 중에서 법 $5 $ 에 대하여 $1 $ 과 합동인 수이므로, $1 $ 개 존재한다. 그러면 정리 $4.2.14 $에 의하여 Sylow $5 $-군은 정규부분군이 된다. 또한 위수가 $5 $ 이므로 $ G $ 는 단순군이 아니다.</p> <h2>$ 4.4 $ 군의 표현</h2> <p>이 절에서는 위수 $10 $ 이하의 유한군의 생성원과 원소의 관계의 표현에 대하여 살펴본다.</p> <p>예 $4.4.1 $ 군 $ G $ 의 위수가 $ 2,3,4,5,7,9 $ 이면 $ G $ 는 항상 가환군이 된다. 실제로 군의 위수가 소수 $ 2,3,5,7 $ 이면 순환군이다(정리 $3.1.16 $). 위수가 $4,9 $ 인 경우도 가환군이다(정리 $4.2.5 $). 그러므로 유한생성 가환군의 기본정리(정리 $3.4.12 $)를 이용하면 다음과 같이 가환군을 분류할 수 있다.<ol type = start=1><li>$ \|G\|=2 \Longrightarrow G \cong \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } , + \right ) $</li> <li>$ \|G\|=3 \Longrightarrow G \cong \left ( \mathbb { Z } _ { 3 } , + \right ) $</li> <li>$ \|G\|=4 \Longrightarrow G \cong \mathbb { Z } _ { 4 } $ 또는 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } $ (정리 $4.2.5 $)</li> <li>$ \|G\|=5 \quad \Longrightarrow \quad G \cong \left ( \mathbb { Z } _ { 5 } , + \right ) $</li> <li>$ \|G\|=7 \quad \Longrightarrow \quad G \cong \left ( \mathbb { Z } _ { 7 } , + \right ) $</li> <li>$ \|G\|=9 \Longrightarrow G \cong \mathbb { Z } _ { 9 } $ 또는 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 3 } \times \mathbb { Z } _ { 3 } $ (정리 $4.2.5 $)</li></ol>군의 위수가 $ 6,8,10 $ 인 경우에는 비가환군이 있다. 이 경우에 다음 예를 통해서 모든 종류의 군을 찾아 보자.</p> <p>예 $4.4.2 $ 위수 $6 $ 인 군 $ G $ 의 모든 종류를 구하자.</p> <ol type= start=1><li>(풀이 1) $ \|G\|=2 \cdot 3 $ 이므로, $ G $ 가 가환군이면 정리 $4.3.1(4)(1) $에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 6 } $ 이다. $ G $ 가 비가환군이면 $ 3 \equiv 1( \bmod 2) $ 이고, $ 2 ^ { 2 } \equiv 1( \bmod 3) $ 이므로, 정리 $4.3.1(4)(2) $에 의하여 \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=3,\| b \mid=2, b a=a ^ { 2 } b \right \rangle \] 이다(비교 : 예 $2.2.19 $). 실제로 위수 $6 $인 비가환군은 $ G \cong S_ { 3 } \cong D_ { 3 } $ 로 한 가지 종류이다. 즉, \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=3,\| b \mid=2, b a=a ^ { 2 } b \right \rangle \cong S_ { 3 } \cong D_ { 3 } \]</li> <li>(풀이 $2 $) 먼저 $ G $ 가 가환군이면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \[ G \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 3 } \cong \mathbb { Z } _ { 2 \times 3 } \] 으로 순환군이 된다. 다음에 $ G $ 가 비가환군인 경우를 살펴보자. Sylow 정리에 의하여 위수 $3 $ 인 원소 $ a \in G $ 가 존재한다. $ \|G: \langle a \rangle\|=2 $ 이므로 $ \langle a \rangle \triangleleft G $ 이다. 또한 원소 $ b \in G- \langle a \rangle $ 에 대하여 \[ \langle a \rangle \cup b \langle a \rangle=G, \quad G= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , b, b a, b a ^ { 2 } \right \} = \langle a, b \rangle \] 이고, $ G $ 는 위와 같은 형태의 원소 $6 $ 개를 갖는다. 즉, $ a, b $ 가 $ G $ 의 생성원이다. 다음에 $ a, b $ 의 관계에 대하여 알아보자. $ b \langle a \rangle \in G / \langle a \rangle $ 에 대하여 $ \|G / \langle a \rangle\|=2 $ 이므로, \[ b ^ { 2 } \langle a \rangle=(b \langle a \rangle) ^ { 2 } = \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } \right \} \] 이므로, $ b ^ { 2 } \in \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } \right \} $ 이다. 만약 $ b ^ { 2 } =a $ 이면 $ b ^ { 6 } =a ^ { 3 } =e $ 이다. 그러면 $ \|b\|=1,2,3,6 $ 에서 $ b $ 가 항등원이 아니고 $ G $ 가 비가환군이므로 $ \|b\|=2,3 $ 이다. 하지만 $ \|b\|=2 $ 이면 $ e=b ^ { 2 } =a $ 가 되어 모순이다. 또한 $ \|b\|=3 $ 이면 $ e=b ^ { 3 } =b b ^ { 2 } =b a $ 가 되어 모순이다. 따라서 $ b ^ { 2 } \neq a $ 이다. 같은 방법으로 $ b ^ { 2 } \neq a ^ { 2 } $ 임을 알 수 있다. 그러므로 $ b ^ { 2 } =e,\|b\|=2 $ 이다. 또한 $ \left \langle b a b ^ { -1 } \right \rangle=b \langle a \rangle b ^ { -1 } $ 은 $ \langle a \rangle $ 의 켤레부분군이므로 \[ \left \|b a b ^ { -1 } \right \|=\|a\|=3 \] 이다. 따라서 \[ b a b ^ { -1 } =a \text { 이거나 } b a b ^ { -1 } =a ^ { 2 } \] 이다. 만약 $ b a b ^ { -1 } =a $ 이면 $ b a=a b $ 이므로, $ G $ 가 가환군이 되어 모순이다. 그러므로 $ b a b ^ { -1 } =a ^ { 2 } $, 즉, $ b a=a ^ { 2 } b $ 가 된다. 그러므로 $ G $ 에서 생성원 $ a, b $ 의 관계식은 다음과 같다. \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=3,\| b \mid=2, b a=a ^ { 2 } b \right \rangle \]</li> <li>(별해) $ b ^ { 2 } =e $ (항등원)임을 다음과 같은 방법으로 확인할 수 있다. $ a ^ { 3 } =e $ 이므로 \[ \begin {aligned} b ^ { 2 } (a) &=b(b a)=b \left (a ^ { 2 } b \right )=(b a)(a b)= \left (a ^ { 2 } b \right )(a b)=a ^ { 2 } (b a) b=a ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } b \right ) b=(a) b ^ { 2 } \\ b ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } \right ) &=b(b a) a=b \left (a ^ { 2 } b \right ) a=(b a) a(b a)= \left (a ^ { 2 } b \right ) a \left (a ^ { 2 } b \right )= \left (a ^ { 2 } \right ) b ^ { 2 } \\ b ^ { 2 } (b a) &=b ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } b \right )=b(b a)(a b)=b \left (a ^ { 2 } b \right )(a b)=b a ^ { 2 } (b a) b=b a ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } b \right ) b=(b a) b ^ { 2 } \\ b ^ { 2 } \left (b a ^ { 2 } \right ) &=b ^ { 2 } (b a) a=b ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } b \right ) a=b ^ { 2 } a ^ { 2 } (b a)=b ^ { 2 } a ^ { 2 } \left (a ^ { 2 } b \right )=b(b a) b=b \left (a ^ { 2 } b \right ) b= \left (b a ^ { 2 } \right ) b ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ b ^ { 2 } =e $ 이고 $ \|b\|=2 $ 이다.</li></ol> <p>예 $4.4.3 $ 위수 $8 $ 인 군 $ G $ 의 모든 종류를 구하자.</p> <p>예 $4.4.4 $ 위수 $10 $ 인 군 $ G $ 의 모든 종류를 구하자.</p> <ol type = start=1><li>(풀이 $1 $) $ \|G\|=2 \cdot 5 $ 이므로, $ G $ 가 가환군이면 정리 $4.3.1(4)(1 $)에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 10 } $ 이다. $ G $ 가 비가환군이면 $ 5 \equiv 1( \bmod 2) $ 이고, $ 4 ^ { 2 } \equiv 1( \bmod 5) $ 이므로, 정리 $4.3.1(4)(2 $)에 의하여 \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=5,\| b \mid=2, b a=a ^ { 4 } b \right \rangle \] 이다. 실제로 $ G $ 는 $ D_ { 5 } $ 와 동형이다. 즉, \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=5,\| b \mid=2, b a=a ^ { 4 } b \right \rangle \cong D_ { 5 } \]</li> <li>(풀이 $2 $) 먼저 $ G $ 가 가환군이면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 다음 $1 $ 가지 종류가 존재한다. \[ G \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 5 } \cong \mathbb { Z } _ { 10 } \] 다음에 $ G $ 가 비가환군인 경우를 살펴보자. Sylow 정리에 의하여 위수 $5 $ 인 정규부분군 $ H= \langle a \rangle $ 가 존재하고, $ \|a\|=5 $ 이다. 그러면 원소 $ b \in G- \langle a \rangle $ 에 대하여, $ \|G: \langle a \rangle\|=2 $ 이므로 $ \langle a \rangle \cup b \langle a \rangle=G, \quad G= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , a ^ { 4 } , b, b a, b a ^ { 2 } , b a ^ { 3 } , b a ^ { 4 } \right \} = \langle a, b \rangle $ 이다. 즉, $ a, b $ 가 $ G $ 의 생성원이다. $ b \langle a \rangle \in G / \langle a \rangle $ 에 대하여 $ \|G / \langle a \rangle\|=2 $ 이므로, \[ b ^ { 2 } \langle a \rangle=(b \langle a \rangle) ^ { 2 } = \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , a ^ { 4 } \right \} \] 이므로, $ b ^ { 2 } \in \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , a ^ { 4 } \right \} $ 이다. 만약 $ b ^ { 2 } =e $ 가 아니면 나머지 원소들의 위수는 모두 $5 $ 이므로 $ \|b\|=10 $ 이다. 이것은 $ G $ 가 가환군이 되어 모순이다. 따라서 $ b ^ { 2 } =e .\|b\|=2 $ 이다. 또한 $ \left \langle b a b ^ { -1 } \right \rangle=b \langle a \rangle b ^ { -1 } $ 은 $ \langle a \rangle $ 의 켤레부분군이므로 \[ \left \|b a b ^ { -1 } \right \|=\|a\|=5 \] 이다. 따라서 $ b a b ^ { -1 } $ 는 $ a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , a ^ { 4 } $ 중에서 일치한다. 만약 $ b a b ^ { -1 } =a $ 이면 $ b a=a b $ 가 되어 $ G $ 가 가환군이 되어 모순이다. 다음에 $ b a=a ^ { 2 } b $ 라면 $ b ^ { 2 } =e $ 이므로 \[ a=b \left (a ^ { 2 } b \right )=(b a) a b= \left (a ^ { 2 } b \right ) a b=a ^ { 2 } (b a) b=a ^ { 4 } b ^ { 2 } =a ^ { 4 } \] 에서 $ \|a\|=3 $ 이므로 모순이다. 다음에 $ b a=a ^ { 3 } b $ 라면 $ b ^ { 2 } =e $ 이므로 \[ a=b \left (a ^ { 3 } b \right )=(b a) a ^ { 2 } b= \left (a ^ { 3 } b \right ) a ^ { 2 } b=a ^ { 3 } (b a) a b=a ^ { 3 } \left (a ^ { 3 } b \right ) a b=a ^ { 6 } (b a) b=a \left (a ^ { 3 } b \right ) b=a ^ { 4 } b ^ { 2 } =a ^ { 4 } \] 에서 $ \|a\|=3 $ 이므로 모순이다. 따라서 $ b a=a ^ { 4 } b $ 이어야 한다. 그러므로 $ G $ 에서 $ a, b $ 의 관계는 다음과 같다. \[ G= \left \langle a, b\|\| a\|=5,\| b \mid=2, b a=a ^ { 4 } b \right \rangle \]</li></ol> <p>문제 $4.4.5 $ 위수 $ 2 p \left (p \right . $ 는 홀수인 소수)인 군 $ G $ 는 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 2 p } $ (순환군) 또는 $ G \cong D_ { p } $ (비가환군)인 두 종류뿐임을 증명하라.</p> <p>임용시험 출제 $4.4.6 $ [ $2007 $학년도] 정이면체군 $ D_ { 3 } = \left \langle a, b \mid a ^ { 2 } =b ^ { 3 } =1, a ^ { -1 } b a=b ^ { -1 } \right \rangle $ 과 대칭군 $ S_ { 3 } = \left \langle \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ),(123) \right \rangle $ 이 동형(isomorphic)임을 보여라.</p> <h3>연 습 문 제 ( $4.4 $)</h3> <ol type= start=1><li>위수가 $14 $ 인 군 $ G $ 의 모든 종류를 구하라. [참조: 정리 $4.3.1(4 $)]</li> <li>위수가 $21 $ 인 군 $ G $ 의 모든 종류를 구하라. [참조: 정리 $4.3.1(4 $)를 이용하라. 비가환군을 만드는 표현이 두 가지 있는 것처럼 보이면 동형임을 보여라.]</li> <li>군 $ G $ 의 표현이 $ \left \langle a, b\|\| a\|=4,\| b \mid=2, b a=a ^ { 3 } b \right \rangle 인 군의 원소는 $ \[ G= \left \{ 1, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , b, a b, a ^ { 2 } b, a ^ { 3 } b \right \} \] 이다. 이때 다음 물음에 답하라.</p> <ol type= start=1><li>$ a ^ { 2 } b a ^ { 2 } $ 와 같은 원소를 구하라.</li> <li>$ b a ^ { 2 } $ 의 위수를 구하라.</li></ol></li></ol> <p> <p>정리 4.2.10 유한군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 가 $ p $-부분군일 때, 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>\[ \left \|N_ { G } (H): H \right \| \equiv\|G: H\|( \bmod~p) \]</li></ul> <p>(증명) $ L_ { H } = \{ a H \mid a \in G \} $ 을 $ H $ 의 좌잉여류의 집합이라 하자. 그러면 함수 \[ * : H \times L_ { H } \longrightarrow L_ { H } , \quad h * x H=(h x) H \] 라 정의하면, $ L_ { H } $ 는 $ H $-집합이 된다. 또한 지수의 정의에 의해 $ \left \|L_ { H } \right \|=\|G: H\| $ 이다. 다음에 $ L_ { H } $ 에서 $ H $-작용의 고정점 전체집합 $ X_ { 0 } $ 를 구해보자. 임의의 $ h \in H $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} x H \in X_ { 0 } & \Longleftrightarrow x H=h (x H) \Longleftrightarrow x ^ { -1 } h x H \quad \Longleftrightarrow \quad x ^ { -1 } h x \in H \\ & \Longleftrightarrow x ^ { -1 } h \left (x ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } \in H \quad \Longleftrightarrow x ^ { -1 } \in N_ { G } (H) \Longleftrightarrow x \in N_ { G } (H) \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ N_ { G } (H) $ 에서 $ H $ 의 좌잉여류 집합을 $ N_ { G } (H) / H $ 이라 하면, 다음 함수 \[ \phi: X_ { 0 } \longrightarrow N_ { G } (H) / H, \quad \phi(x H)=x H \] 는 잘 정의된다. 분명히 $ \phi $ 는 전단사함수이다. 그러므로 \[ \left \|X_ { 0 } \right \|= \left \|N_ { G } (H) / H \right \|= \left \|N_ { G } (H): H \right \| \] 이다. 그러면 정리 4.2.9에 의하여 $ \left \|L_ { H } \right \| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod~p) $ 이므로 \[ \|G: H\| \equiv \left \|L_ { H } \right \| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \| \equiv \left \|N_ { G } (H): H \right \|( \bmod~p) \] 이다.</p> <p>예 $4.2.18 $ [Sylow p-부분군] 위수 $6 $인 치환군 $ S_ { 3 } $ 에서 Sylow $2 $-부분군과 $3 $-부분군을 구하자. Sylow $2 $-부분군은 $ \{ (1),(12) \} , \{ (1),(13) \} , \{ (1),(23) \} $ 으로 $3 $ 개 존재한다. Sylow $3 $정리에 의해 $3 $은 $6 $ 의 약수이고, $ 3 \equiv 1( \bmod 2) $ 이다. Sylow $3 $-부분군은 $ A_ { 3 } = \left \{ (1), \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { lll } 1 & 3 & 2 \end {array} \right ) \right \} $ 로 $1 $개 존재하므로, 정리 $4.2.14(2) $에 의하여 $ A_ { 3 } \triangleleft S_ { 3 } $ 이다. 한편 $ \left \|S_ { 3 } : A_ { 3 } \right \|=2 $ 이므로 정리 $3.3.2 $에 의하여 $ A_ { 3 } \triangleleft S_ { 3 } $ 임을 알고 있다.</p> <p>예 $4.2.19 $ 위수 $15 $ 인 군 $ G $ 는 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>단순군이 아니다.</li> <li>순환군이다.</li></ol> <ol type= start=1>(증명)<li>$ \|G\|=3 \cdot 5 $ 이므로 Sylow $1 $정리에 의해 Sylow $3 $-군과 Sylow $5 $-군이 존재한다. Sylow $3 $-군의 개수는 Sylow $3 $정리에 의해 $15 $ 의 약수 $ 1,3,5,15 $ 중에서 법 $3 $에 대하여 $1 $ 과 합동인 수와 일치한다. 그러한 수는 $1 $ 뿐이다. 즉, $1 $ 개만 존재한다. 정리 $4.2.14 $에 의하여 Sylow $3 $-군은 정규부분군이 된다. 또한 위수가 $3 $ 이므로 $ G $ 는 단순군이 아니다.</li> <li>( $1 $)과 같은 방법으로 증명하면 Sylow $5 $-군이 $1 $개 존재하므로 정규부분군임을 알 수 있다.</li></ol> <ol type= start=1><li>(풀이 $1 $) Sylow $3 $-군을 $ H \triangleleft G $ 라 하고 Sylow $5 $-군을 $ N \triangleleft G $ 이라 하자. 그러면 $ H \cap N= \{ e \} $ 이므로, 정리 $3.1.14 $에 의하여 \[ \|H N\|= \frac { \|H\|\|N\| } { \|H \cap N\| } =\|H\|\|N\|=3 \cdot 5=15=\|G\| \] 이다. 따라서 $ H N=G $ 이다. 또한 $ H $ 와 $ N $ 은 순환군(가환군)이므로(정리 $3.1.16 $), 정리 $3.3.7 $에 의하여 $ H N=G $ 는 가환군이다. 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 3 } \times \mathbb { Z } _ { 5 } \cong \mathbb { Z } _ { 15 } $ 는 순환군(정리 $3.4.6 $)이다.</li> <li>(풀이 $2 $) Sylow $3 $-군을 $ H \triangleleft G $ 라 하고 Sylow $5 $-군을 $ N \triangleleft G $ 이라 하자. 각각의 잉여군 $ G / H, G / N $ 의 위수는 $5 $ 와 $3 $ 이므로 순환군이 되어 가환군이다. 정리 $3.3.28 $에 의하여 $ G $ 의 교환자부분군 $ C_ { G } $ 는 \[ C_ { G } = \left \langle a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } \mid a, b \in G \right \rangle \langle H \cap N= \{ e \} \] 이다. 즉, \[ C_ { G } = \left \langle a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } \mid a, b \in G \right \rangle= \{ e \} \] 이다. 그러면, 임의의 $ a, b \in G $ 에 대하여 $ a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } =e $ 이므로 $ a b=b a $ 이다. 따라서 $ G $ 는 가환군 이므로, 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 $ G \cong \mathbb { Z } _ { 3 } \times \mathbb { Z } _ { 5 } \cong \mathbb { Z } _ { 15 } $ 는 순환군(정리 $3.4.6 $)이다.</li></ol></p> <p>임용시험 출제 $4.2.20 $ [ $2010 $학년도] 잉여군(quotient group, factor group)에 관련된 다음 명제중 옳은 것을 모두 골라라.</p> <ol type= start=1><li>군 $ G $ 의 위수가 $40 $ 이면, 위수가 $5 $ 인 정규부분군 $ H $ 와 위수가 $8 $ 인 잉여군 $ G / H $ 가 존재한다.</li> <li>군 $ G= \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } $ 의 잉여군의 집합 \[ X= \{ G / N \mid N \text { 은 } G \text { 의 정규부분군 } \} \] 에 속하며 서로 동형이 아닌 잉여군은 모두 $4 $ 개이다.</li> <li>정수의 집합에서 정의된 덧셈군 $ \mathbb { Z } $ 의 부분군 $ 6 \mathbb { Z } $ 에 의한 잉여군 $ \mathbb { Z } / 6 \mathbb { Z } $ 는 모두 $3 $ 개의 부분 군을 갖는다.</li></ol> <p>정리 $4.2.17 $ (Sylow $3 $정리) 유한군 $ G $ 의 위수가 $ p\|\| G \mid $ 일 때, $ S = \{ H<G \mid H $ 는 Sylow $ p $-부분군 $ \} $ 이라 하면 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \|S\|\|\| G\|, \quad\| S \mid \equiv 1( \bmod p) \]</li></ul></p> <p>(증명) $ G $ 의 Sylow $ p $-부분군에 대하여, 함수 \[ : H \times S \longrightarrow S, \quad h * T=h T h ^ { -1 } \] 라 정의(켤레사상)하면, $ S $ 는 $ H $-집합이 된다. $ S $ 에서 $ H $-작용의 고정점 전체집합을 $ X_ { 0 } $ 라 하면 \[ \|S\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod p) \] 이다(정리 $4.2.9 $). $ X_ { 0 } $ 를 구하자. $ T \in X_ { 0 } $ 라 하면 모든 $ x \in H $ 에 대하여 \[ x * T=T \quad \Longrightarrow \quad x T x ^ { -1 } =T \] 이므로, $ H<N_ { G } (T) $ 이다. 또한 $ T<N_ { G } (T) $ 이다. 그러면 $ H, T $ 는 둘 다 $ G $ 의 Sylow $ p $-부분군이므로 $ N_ { G } (T) $ 의 Sylow $ p $-부분군이다. 따라서 Sylow $2 $정리(정리 $4.2.15 $)에 의하여 $ N_ { G } (T) $ 에서 $ H, T $ 는 켤레부분군이다. 즉, \[ g ^ { -1 } g ^ { -1 } =H \] 인 $ g \in N_ { G } (T) $ 가 존재한다. 그런데 $ T \triangleleft N_ { G } (T) $ 이므로 \[ T=g T g ^ { -1 } =H \] 이다. 따라서 $ X_ { 0 } = \{ H \} $ 이다. 그러므로 \[ \|S\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \| \equiv 1( \bmod p) \] 이다. 다음에 함수 \[ \cdot: G \times S \longrightarrow S, \quad g \cdot T=g T g ^ { -1 } \] 라 정의(켤레사상)하면, $ S $ 는 $ G $-집합이 된다. 한편 Sylow $ p $-부분군은 모두 켤레부분군이므로, $ G $-궤도는 $ S $ 하나만 존재한다. 그러므로 $ T \in S $ 이면 정리 $4.1.10 $에 의하여 \[ \|S\|= \left \| \mathscr { O } _ { T } \right \|= \left \|G: G_ { T } \right \|= \frac { \|G\| } {\left \|G_ { T } \right \| } \] 이므로, $ \|S\|\|\| G \mid $ 이다.</p> <p>정리 $4.2.17 $ (Sylow $3 $정리) 유한군 $ G $ 의 위수가 $ p\|\| G \mid $ 일 때, $ S = \{ H<G \mid H $ 는 Sylow $ p $-부분군 $ \} $ 이라 하면 다음이 성립한다.<ul> <li>$ \|S\|\|\| G\|, \quad\| S \mid \equiv 1( \bmod p) $</li></ul></p> <p>(증명) $ G $ 의 Sylow $ p $-부분군에 대하여, 함수 \[ * : H \times S \longrightarrow S, \quad h * T=h T h ^ { -1 } \] 라 정의(켤레사상)하면, $ S $ 는 $ H $-집합이 된다. $ S $ 에서 $ H $-작용의 고정점 전체집합을 $ X_ { 0 } $ 라 하면 \[ \|S\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod p) \] 이다(정리 $4.2.9 $). $ X_ { 0 } $ 를 구하자. $ T \in X_ { 0 } $ 라 하면 모든 $ x \in H $ 에 대하여 \[ x * T=T \quad \Longrightarrow \quad x T x ^ { -1 } =T \] 이므로, $ H<N_ { G } (T) $ 이다. 또한 $ T<N_ { G } (T) $ 이다. 그러면 $ H, T $ 는 둘 다 $ G $ 의 Sylow $ p $-부분군 이므로 $ N_ { G } (T) $ 의 Sylow $ p $-부분군이다. 따라서 Sylow $2 $정리(정리 $4.2.15 $)에 의하여 $ N_ { G } (T) $ 에서 $ H, T $ 는 켤레부분군이다. 즉, \[ g T g ^ { -1 } =H \] 인 $ g \in N_ { G } (T) $ 가 존재한다. 그런데 $ T \triangleleft N_ { G } (T) $ 이므로 \[ T=g T g ^ { -1 } =H \] 이다. 따라서 $ X_ { 0 } = \{ H \} $ 이다. 그러므로 \[ \|S\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \| \equiv 1( \bmod p) \] 이다. 다음에 함수 \[ \cdot: G \times S \longrightarrow S, \quad g \cdot T=g T g ^ { -1 } \] 라 정의(켤레사상)하면, $ S $ 는 $ G $-집합이 된다. 한편 Sylow $ p $-부분군은 모두 켤레부분군이므로, $ G $-궤도는 $ S $ 하나만 존재한다. 그러므로 $ T \in S $ 이면 정리 $4.1.10 $에 의하여 \[ \|S\|= \left \| \mathscr { O } _ { T } \right \|= \left \|G: G_ { T } \right \|= \frac { \|G\| } {\left \|G_ { T } \right \| } \] 이므로, $ \|S\|\|\| G \mid $ 이다.</p> <p>예 $ 4.3.5 $ 군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\|=36=2 ^ { 2 } \cdot 3 ^ { 2 } $ 이면 $ G $ 는 단순군이 아니다. (증명) Sylow 정리에 의해 Sylow $3 $-부분군이 $1 $개 또는 $4 $개 존재한다. 만약 Sylow $3 $-부분군이 $1 $ 개 존재한다면 이것이 $ G $ 의 정규부분군이 되어 $ G $ 는 단순군이 아니다. Sylow $3 $-부분군이 $4 $ 개 존재한다고 하자. 그 중 $2 $ 개를 $ H, K $ 라 하자. Sylow $3 $-부분군의 위수는 $9 $이므로, 정리 $3.1.14 $에 의하여 \[ \|H K\|= \frac { \|H\|\|K\| } { \|H \cap K\| } = \frac { 9 \cdot 9 } { \|H \cap K\| } \leq\|G\|=36 \] 이고 $ \|H \cap K\| $ 의 후보자 $1,3 $ 중에서 위 식을 만족하는 것은 $ \|H \cap K\|=3 $ 뿐이다. 그러면 Sylow $1 $정리에 의해 \[ (H \cap K) \triangleleft H, \quad(H \cap K) \triangleleft K \] 이다. 그러므로 $ H, K $ 는 $ H \cap K $ 의 정규화부분군 $ N_ { G } (H \cap K) $ 에 포함된다. 즉, \[ H<N_ { G } (H \cap K)<G, \quad K<N_ { G } (H \cap K)<G \] 이다. 그러면, $ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \| $ 은 $9 $보다 크지만, Lagrange 정리에 의하여 $9 $의 배수이며, 동시에 $36 $ 의 약수이어야 한다. 따라서 \[ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \|=18 \text { 이거나 } 36 \] 이다. 먼저 $ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \|=18 $ 인 경우에는 $ \left \|G: N_ { G } (H \cap K) \right \|=2 $ 이므로 $ N_ { G } (H \cap K) \triangleleft G $ 가 되어 $ G $ 는 단순군이 아니다. 다음에 $ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \|=36 $ 인 경우에는 $ N_ { G } (H \cap K)=G $ 이다. 그러면, \[ (H \cap K) \triangleleft N_ { G } (H \cap K)=G \] 가 되어 $ G $ 는 단순군이 아니다.</p> <p>예 $4.2.11 $ 예 $4.2.7 $에서 $ S_ { 3 } $ 의 부분군 $ H= \{ (1),(12) \} $ 와 $ A_ { 3 } $ 의 정규화 부분군은 $ N_ { S_ { 3 } } (H)=H $ 이고 $ N_ { S_ { 3 } } \left (A_ { 3 } \right )=S_ { 3 } $ 이다. 또한 $ H $ 는 $2 $-부분군이고, $ A_ { 3 } $ 는 $3 $-부분군이다. 그러므로 \[ \left \|N_ { S_ { 3 } } (H): H \right \|=\|H: H\|=1, \quad \left \|S_ { 3 } : H \right \|=3 \quad \Longrightarrow \quad 1 \equiv 3( \bmod 2) \] 이고, \[ \left \|N_ { S_ { 3 } } \left (A_ { 3 } \right ): A_ { 3 } \right \|= \left \|S_ { 3 } : A_ { 3 } \right \|=2, \quad \left \|S_ { 3 } : A_ { 3 } \right \|=2 \Longrightarrow 2 \equiv 2( \bmod 3) \] 이다.</p> <p>정리 $4.2.12 $ (Sylow 1정리) 유한군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\| = p ^ { n } m, \operatorname { gcd } (p, m)=1, n \geq 1 $ 일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>각 정수 $ i(1 \leq i \leq n) $ 에 대하여 위수 $ p ^ { i } $ 인 부분군 $ H_ { i }<G $ 가 존재한다.</li> <li>위수 $ p ^ { i } $ 인 부분군 $ H_ { i } (1 \leq i<n) $ 에 대해, $ H_ { i }<H_ { i + 1 } $ 인 위수 $ p ^ { i + 1 } $ 인 부분군 $ H_ { i + 1 } $ 이 존재. 특히, $ H_ { i }<H_ { i + 1 } $ 이면, $ H_ { i } \triangleleft H_ { i + 1 } $ 이다.</li></ol> <p>$ ※ $ 위수 $ p ^ { n } $ 인 부분군 $ H_ { n } $ 을 Sylow $ p $-부분군 (Sylow $ p $-subgroup)이라 한다.</p> <p>(증명) 연습문제로 남긴다.</p> <p>정리 $4.2.15 $ (Sylow $2 $정리) 유한군 $ G $ 의 Sylow $ p $-부분군 $ H, S $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>$ H=g S g ^ { -1 } $ 인 $ g \in G $ 가 존재한다. 즉, $ H $ 와 $ S $ 는 $ G $ 에서 켤레부분군이다.</li></ul></p> <p>(증명) $ L_ { H } = \{ a H \mid a \in G \} $ 을 $ H $ 의 좌잉여류의 집합이라 하자. 그러면 함수 \[ * : S \times L_ { H } \longrightarrow L_ { H } , \quad s * x H=(s x) H \] 라 정의하면, $ L_ { H } $ 는 $ S $-집합이 된다. $ L_ { H } $ 에서 $ S $-작용의 고정점 전체집합을 $ X_ { 0 } $ 라 하면 \[ \left \|L_ { H } \right \| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod p) \] 이고(정리 $4.2.9 $), $ \left \|L_ { H } \right \|=\|G: H\| $ 는 $ p \nmid\|G: H\| $ 이므로, $ p \nmid \left \|X_ { 0 } \right \| $ 이다. 따라서 $ \left \|X_ { 0 } \right \| \neq 0 $ 이다. 따라서 $ S $-작용의 고정점을 $ x H \in X_ { 0 } $ 라 하면, 모든 $ y \in S $ 에 대하여 \[ y x H=x H \quad \Longrightarrow \quad x ^ { -1 } y x \in H \] 이다. 즉, $ x ^ { -1 } S x \subset H $ 이다. 한편 $ \|S\|=\|H\| $ 이므로 $ \left \|x ^ { -1 } S x \right \|= \left \|x ^ { -1 } H x \right \|=\|H\| $ 가 되어 $ x ^ { -1 } S x=H $ 이다.</p> <p>예 $4.2.16 $ $ S_ { 3 } $ 에서, Sylow $2 $-부분군은 $ \{ (1),(12) \} , \{ (1),(13) \} , \{ (1),(23) \} $ 으로 $3 $ 개 존재하고, 이들은 모두 쌍마다 켤레부분군이다. 실제로, 다음이 성립한다. \[ \text { (23) } \{ (1),(12) \} (23) ^ { -1 } =(23) \{ (1),(12) \} (23)= \{ (1),(23)(12)(23) \} = \{ (1),(13) \} \] \[ (13) \left \{ (1), \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \right \} (13) ^ { -1 } =(13) \{ (1),(13) \} (13)= \{ (1),(13)(12)(13) \} = \{ (1),(23) \} \] \[ (13) \left \{ (1), \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right ) \right \} (13) ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \{ (1),(13) \} (13)= \{ (1),(13)(13)(13) \} = \{ (1),(23) \} \]</p> <p>(1) $ H(1) ^ { -1 } = \left \{ (1), \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \right \} =H, \quad $ (1 2 $ ) H \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \{ (1),(12) \} =H $,</p> <p>(13) $ H(13) ^ { -1 } = \{ (1),(23) \} \neq H, \quad(123) H(132)= \{ (1),(23) \} \neq H $,</p> <p>(23) $ H \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \{ (1),(13) \} \neq H, \quad(132) H \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right )= \{ (1),(13) \} \neq H $</p> <p>이고, $ A_ { 3 } \triangleleft S_ { 3 } $ 이다. 그러므로 $ N_ { S_ { 3 } } (H)= \{ (1),(12) \} =H $ 이고, $ \quad N_ { S_ { 3 } } \left (A_ { 3 } \right )=S_ { 3 } \neq A_ { 3 } $ 이다.</p> <p>정리 $ 4.2 .8 $ 군 $ G $ 의 부분군 $ H<G $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ N_ { G } (H)<G $</li> <li>$ H \triangleleft N_ { G } (H) $</li></ol><p>(1)(증명) 분명히 $ H \subset N_ { G } (H) $ 이다. 따라서 $ e \in N_ { G } (H) $ 이다. 다음에 모든 $ x, y \in N_ { G } (H) $ 에 대하여 $ x H x ^ { -1 } =H, y H y ^ { -1 } =H $ 이므로, \[ x y H(x y) ^ { -1 } =x \left (y H y ^ { -1 } \right ) x ^ { -1 } =x H x ^ { -1 } =H \] 이다. 따라서 $ x y \in N_ { G } (H) $ 이다. 또한 \[ \begin {aligned} H=x H x ^ { -1 } & \Longrightarrow x ^ { -1 } H x=x ^ { -1 } \left (x H x ^ { -1 } \right ) x= \left (x ^ { -1 } x \right ) H \left (x ^ { -1 } x \right )=e H e=H \\ & \Longrightarrow x ^ { -1 } H \left (x ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =x ^ { -1 } H x=H \end {aligned} \] 이므로, $ x ^ { -1 } \in N_ { G } (H) $ 이다. 따라서 $ N_ { G } (H)<G $</p><p>(2)모든 $ x \in N_ { G } (H) $ 에 대하여 $ x H x ^ { -1 } =H $ 이므로 $ H \triangleleft N_ { G } (H) $ 이다.</p> <p>정리 $ 4.2 .9 p $-군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\|=p ^ { r } $ 이고 유한집합 $ X $ 가 $ G $-집합일 때, $ G $-작용의 고정점의 전체집합을 $ X_ { 0 } $ 라 하면, 다음이 성립한다.</p><p>\[ \|X\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod p) \] 특히, $ p \nmid\|X\| $ 이면, $ G $-작용의 고정점이 적어도 하나 존재한다.</p> <p>임용시험 출제 $4.3.7 $ [ $2010 $학년도] 군 $ G $ 가 유한군(finite group)이고, $ H $ 와 $ K $ 가 $ G $ 의 부분군일 때, 다음 명제 중 옳지 않은 것은?<ol type= start=1><li>$ G $ 와 $ H $ 의 부분군의 개수가 같으면 $ G=H $ 이다.</li> <li>$ G $ 가 $ \mathrm { Abel } $ 군(가환군)이면 $ H K $ 는 $ G $ 의 정규부분군(normal subgroup)이다.</li> <li>$ G $ 의 위수(order)가 12 이면 $ G $ 는 단순군(simple group)이다.</li> <li>$ G $ 가 순환군(cyclic group)이면 $ H $ 와 $ K $ 는 모두 $ \mathrm { Abel } $ 군이다.</li> <li>$ H ^ { -1 } = \left \{ a ^ { -1 } \mid a \in H \right \} $ 는 $ G $ 의 부분군이다. (단, $ a ^ { -1 } $ 는 $ a $ 의 역원이다.)</li></ol></p> <h3>연 습 문 제 ( $4.3 $)</h3> <ol type= start=1><li>위수가 각각 $ 12,56,96,160,200 $ 인 군은 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>위수가 $39 $ 인 유한군 $ G $ 가 가환군인 경우와 비가환군인 경우에 대하여 Sylow $3 $-부분군 전체의 개수와 Sylow 13- 부분군 전체의 개수를 각각 구하라.</li> <li>위수가 $70 $ 인 유한군 $ G $ 에 대하여 다음을 구하라.<ol type= start=1><li>위수가 $7 $인 정규부분군이 존재함을 보여라.</li> <li>위수가 $35 $ 인 부분군이 존재함을 보여라.</li></ol></li> <li>위수 $5 \cdot7 \cdot13 $인 유한군 $ G $ 에 대하여 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>위수 $13 $ 인 정규부분군이 존재함을 보여라.</li> <li>위수 $7 $인 정규부분군이 존재함을 보여라.</li> <li>$ G $ 가 가환군임을 보여라.</li> <li>$ G $ 가 순환군임을 보여라.</li></ol></li> <li>위수가 $33 $ 인 유한군은 순환군임을 증명하여라.</li> <li>위수가 $30 $ 인 군은 위수가 $15 $ 인 부분군을 갖는다. [참조: 예 $4.3.3 $]</li> <li>위수 $44 $ 인 비가환군에서 위수 $11 $ 인 원소의 수는?</li> <li>위수 $44 $ 인 비가환군에서 위수 $11 $ 인 원소의 수는?</li> <li>위수가 $ 168=2 ^ { 3 } \cdot 3 \cdot 7 $ 인 단순군에서 위수가 $7 $ 인 원소는 모두 몇 개인가?</li> <li>위수가 $ 231=3 \cdot 7 \cdot 11 $ 인 군 $ G $ 의 Sylow $11 $-부분군은 $ G $ 의 중심 $ Z(G) $ 에 포함됨을 보여라.</li> <li>위수가 $45 $ 인 유한군 $ G $ 에 대하여 $ P $ 와 $ Q $ 를 각각 $ G $ 의 Sylow $3 $-부분군, Sylow $5 $-부분군이라고 할 때, $ G=P Q $ 이고 $ G $ 는 가환군임을 밝혀라.</li> <li>위수가 $ p ^ { 2 } q $ ( $ p, q $ 는 소수)인 군은 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>위수가 $ p ^ { r } m $ ( $ p $ 는 소수, $ r \geq 1, p>m>1 $ )인 군은 단순군이 아님을 보여라.</li> <li>유한 단순군 $ G $ 의 위수가 $60 $ 보다 클 때, $ G $ 에는 $ 1<\|G: H\| \leq 5 $ 인 부분군 $ H $ 가 존재하지 않음을 증명하여라.</li></ol> <p>임용시험 출제 4.2.20 [2010학년도] 잉여군(quotient group, factor group)에 관련된 다음 명제중 옳은 것을 모두 골라라.</p> <ol type= start=1><li>군 $ G $ 의 위수가 40이면, 위수가 5인 정규부분군 $ H $ 와 위수가 8인 잉여군 $ G / H $ 가 존재한다.</li> <li>군 $ G= \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } $ 의 잉여군의 집합 \[ X= \{ G / N \mid N \text { 은 } G \text { 의 정규부분군 } \} \] 에 속하며 서로 동형이 아닌 잉여군은 모두 4개이다.</li> <li>정수의 집합에서 정의된 덧셈군 $ \mathbb { Z } $ 의 부분군 $ 6 \mathbb { Z } $ 에 의한 잉여군 $ \mathbb { Z } / 6 \mathbb { Z } $ 는 모두 3개의 부분군을 갖는다.</li></ol> <h3>연 습 문 제 (4.2)</h3> <ol type = start=1><li>대칭군 $ S_ { 4 }$ , $S_ { 5 } $ 의 Sylow 2-부분군과 Sylow 3-부분군을 각각 구하라.</li> <li>대칭군 $ S_ { 4 } $ 의 부분군 $ H= \langle(123) \rangle= \{ (1),(123),(132) \} $ 에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>$ H $ 의 정규화 부분군 $ N_ { S_ { 4 } } (H) $ 를 구하라.</li> <li>$ S_ { 4 } $ 의 모든 Sylow $3 $-부분군을 $ \mathrm { gHg } ^ { -1 } $ 인 형태로 표현하라.</li></ol></li> <li>위수가 45인 군은 위수가 9인 정규부분군을 가짐을 보여라.</li> <li>위수가 $ (35) ^ { 3 } $ 인 군은 위수가 125인 정규부분군을 가짐을 보여라.</li> <li>위수가 36인 가환군 $ G $ 에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>모든 $ g \in G $ 에 대해서 $ g=a b,\|a\| $ 는 9의 약수, $ \|b\| $ 는 4의 약수 꼴로 쓸 수 있음을 보여라.</li> <li>$ G=H K, H \cap K= \{ e \} $ 인 Sylow 2-부분군 $ H $ 와 Sylow 3-부분군 $ K $ 를 구하라.</li></ol></li> <li>군 $ G $ 의 위수가 $ p n, p>n(p $ 는 소수 $ ) $ 일 때, 위수 $ p $ 인 부분군은 정규부분군임을 보여라.</li> <li>군 $ G $ 의 위수가 $ p ^ { n } q(p>q $ 는 소수)일 때, 지수가 $ q $ 인 정규부분군이 유일하게 존재함을 보여라.</li> <li>(따름정리 4.2.4) 유한군 $ G $ 에 대하여, $ G $ 가 $ p $-군일 필요 충분조건은 $ \|G\|=p ^ { r } $ 임을 증명하라.</li> <li>(정리 4.2.14) 유한군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 에 대하여 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>임의의 $ g \in G $ 와 $ H $ 의 컬레부분군 $ g H ^ { -1 } $ 에 대하여, $ \left \|g g ^ { -1 } \right \|=\|H\| $</li> <li>위수가 같은 부분군 $ H $ 가 유일하게 존재하면, $ H \triangleleft G $ 이다. [참조: 문제 3.3.5]</li></ol></li> <li>군 $ G $ 의 정규부분군 $ N $ 과 잉여군 $ G / N $ 이 모두 $ p $-군이면, $ G $ 도 $ p $-군임을 보여라.</li> <li>$ p $ 가 소수일 때 위수가 $ p ^ { 2 } $ 인 군 $ G $ 는 항상 가환군이 됨을 Sylow 정리를 써서 증명하라.[정리 4.2.5(3)과 비교]</li> <p>예 $4.2.13 $ $4 $차 정 $2 $면체군 $ D_ { 4 } = \left \{\rho_ { 0 } , \rho_ { 1 } , \rho_ { 2 } , \rho_ { 3 } , x, y, \delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right \} $ (예 $2.4.19 $ 참조)의 $2 $-부분군 $ A= \left \{\rho_ { 0 } , x \right \} , B= \left \{\rho_ { 0 } , \rho_ { 2 } , x, y \right \} , D_ { 4 } $ 에 대하여, $ \left \|D_ { 4 } : B \right \|=\|B: A\|=2 $ 이므로, 다음이 성립한다. \[ A \triangleleft B \triangleleft D_ { 4 } \] 이다. 하지만, \[ A \ntriangleleft D_ { 4 } \]</p> <p>이다. 실제로, $ A $ 의 원소를 치환표현으로 하면 $ \rho_ { 0 } =(1), x=(14)(23) $ 이고, $ \delta_ { 2 } =(13) $ 이다. 그러면 \[ \begin {array} { l } \delta_ { 2 } A=(13) \{ (1),(14)(23) \} = \{ (13),(1432) \} = \left \{\delta_ { 2 } , \rho_ { 3 } \right \} \\ A \delta_ { 2 } = \{ (1),(14)(23) \} (13)= \{ (13),(1234) \} = \left \{\delta_ { 2 } , \rho_ { 1 } \right \} \end {array} \] 이므로, $ \delta_ { 2 } A \neq A \delta_ { 2 } $ 이다. 따라서 $ A \ntriangleleft D_ { 4 } $ 이다. 즉, $ A $ 는 $ B $ 의 정규부분군, $ B $ 는 $ C $ 의 정규부분군이나 $ A $ 는 $ C $ 의 정규부분군이 되지 않는 경우도 있다.</p> <p>정리 $4.2.14 $ 유한군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>임의의 $ g \in G $ 와 $ H $ 의 켤레부분군 $ g g ^ { -1 } $ 에 대하여, $ \left \|g g ^ { -1 } \right \|=\|H\| $</li> <li>위수가 같은 부분군 $ H $ 가 유일하게 존재하면, $ H \triangleleft G $ 이다.</li></ol></p> <p>(증명) $ X $ 의 서로 다른 $ G $-궤도 전체를 $ \mathscr { O } _ { 1 } , \cdots, \mathscr { O } _ { n } $ 라 하자. 이때 $ \left \| \mathscr { O } _ { 1 } \right \|= \cdots= \left \| \mathscr { O } _ { t } \right \|=1, \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| \geq 2, \cdots, \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| \geq 2,(1 \leq t \leq n) $ 이면, $ \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|(t<i \leq n) $ 에 대하여 정리 4.1.14에 의하여 다음이 성립한다. \[ \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|\|\| G\|, \quad\| X\|=\| X_ { 0 } \| + \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \| + \cdots + \| \mathscr { O } _ { n } \mid \] 그러면 $ \|G\|=p ^ { r } $ 이고 $ 2 \leq \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|(t<i \leq n) $ 이므로 $ p\|\| \mathscr { O } _ { i } \mid(t<i \leq n) $ 이다. 따라서 \[ \|X\|- \left \|X_ { 0 } \right \|= \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| + \cdots + \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| \]</p> <p>는 $ p $ 의 배수이다. 그러므로 $ \|X\| \equiv \left \|X_ { 0 } \right \|( \bmod p) $ 이다. 특히, $ p \nmid\|X\| $ 이면, $ p \nmid \left \|X_ { 0 } \right \| $ 이므로 $ \left \|X_ { 0 } \right \| \neq 0 $ 이다. 따라서 $ G $-작용의 고정점이 적어도 하나 존재한다.</p> <h2>$ 4.3 $ Sylow 정리의 응용</h2> <p>이 절에서는 유한군에서 Sylow 정리의 응용에 대하여 다룬다. 특히, 단순군이 아닌 경우의 판정에 유용하다.</p> <p>정리 $4.3.1 $ 유한군 $ G $ 와 서로소인 두 소수 $ p, q(p<q) $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ \|G\|=p \Longrightarrow G $ 는 순환군이고, $ G \cong \mathbb { Z } _ { p } $</li> <li>$ \|G\|=p ^ { 2 } \quad \Longrightarrow G $ 는 가환군이고, $ G \cong \mathbb { Z } _ { p ^ { 2 } } $ 또는 $ G \cong \mathbb { Z } _ { p } \times \mathbb { Z } _ { p } $</li> <li>$ \|G\|=p ^ { r } (r \geq 2) \quad \Longrightarrow \quad G $ 는 단순군이 아니다.</li> <li>$ \|G\|=p q \quad \Longrightarrow \quad G $ 는 단순군이 아니다. 특히,<ol type= start=1><li>$ q \not \equiv 1( \bmod p) \quad \Longrightarrow \quad G \cong \mathbb { Z } _ { p q } $ (순환군)</li> <li>$ q \equiv 1( \bmod p) $ 일 때, \[ \left \{\begin {array} { l } G \text { 가 가환군 } \Longrightarrow G \cong \mathbb { Z } _ { p q } \text { (순환군), } \\ G \text { 가 비가환군 } \Longrightarrow G= \left \langle a, b\|\| a\|=q,\| b \mid=p, b a=a ^ { r } b \right \rangle \end {array} \right . \] 단, $ r ^ { p } \equiv 1( \bmod q), 1<r<q $.</li></ol></li></ol> <p>※ ( $2 $)의 결론부분에서 $ p, q $ 가 바뀌어도 정리가 성립한다. 즉, \[ q \equiv 1( \bmod p) \text { 이고 } G \text { 가 비가환군 } \Longrightarrow G= \left \langle a, b\|\| a\|=p,\| b \mid=q, b a=a ^ { r } b \right \rangle 단, r ^ { q } \equiv 1( \bmod p), 1<r<p . \]</p> <h2>$ 4.2 $ Sylow 정리</h2> <p>유한생성 가환군은 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 모든 정보를 얻을 수 있지만 비가환군에서는 유한군일 때 Lagrange 정리로 일부의 정보를 얻을 수 있다. 하지만 Lagrange 역은 성립하지 않는다(예 $3.6.4 $). 이 절에서는 유한 비가환군을 연구(Lagrange 역에 대한 좀 더 유용한 정보)할 때 중요한 역할을 하는 Sylow 정리에 대하여 알아본다.</p> <p>$ ※ $ 이 절 전체에서 $ p $ 는 소수이다.</p> <p>정의 $ 4.2 .1 $ [p-부분군(p-subgroup $ ), p $-군(p-group $ )] $</p> <p>군 $ G $ 의 부분군 $ H $ 와 소수 $ p $ 에 대하여</p> <p>$ H $ 가 $ p $-부분군 (p-subgroup) $ \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } $ $ { } \quad \forall g \in H,\|g\|=p ^ { r } (r \geq 0) $</p> <p>$ G $ 가 $ p $-군 (p-group) $ \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } $ $ \quad \forall g \in G,\|g\|=p ^ { r } (r \geq 0) $</p> <p>예 $ 4.2 .2 p $-군의 예를 알아 보자.</p> <ol type= start=1><li>$ G= \mathbb { Z } _ { 9 } $ 은 $3 $-군이다. 실제로, 모든 $ g \in \mathbb { Z } _ { 9 } ,\|g\| \mid 3 ^ { 2 } $ 이다.</li> <li>$ G= \mathbb { Z } _ { 4 } \times \mathbb { Z } _ { 3 } $ 에서, $ \mathbb { Z } _ { 4 } \times \{ 0 \} $ 는 $2 $-부분군이고, $ \{ 0 \} \times \mathbb { Z } _ { 3 } $ 은 $3 $-부분군이다. 하지만 $ G $ 는 $ p $-군이 아니다.</li></ol> <p>정리 $ 4.2 .3 $ (Cauchy 정리)</p> <p>유한군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\|=p n(n \geq 1) $ 일 때, 다음이 성립한다.<ul> <li>위수 $ p $ 인 원소 $ g \in G $ 가 존재한다. 즉, 위수 $ p $ 인 부분군 $ \langle g \rangle<G $ 가 존재한다.</li></ul></p> <p>(증명) $ G $ 가 가환군인 경우이면, 정리 $3.4.15 $에 의하여 위수 $ p $ 인 부분군 $ H $ 가 존재한다. 이는 순환군이고 그 생성원의 위수가 $ p $ 가 되어 정리가 성립한다(정리 $3.1.16 $). $ n $ 에 관한 귀납법으로 증명하자. $ n=1 $ 인 경우, $ G $ 는 위수 $ p $ 인 순환군이므로, 가환군이 되어 정리가 성립한다. $ n \geq 2 $ 라 하고, 위수가 $ p m(1 \leq m<n) $ 인 군에 대하여 성립한다고 하자. 따름정리 $ 4.1 .15 $ 에 의하여 $ G $ 의 류등식은 $ ( * )\|G\|=\|Z(G)\| + \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| + \cdots + \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \|, \quad\|Z(G)\|=t, \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| \geq 2, \cdots, \quad \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| \geq 2,(1 \leq t<n) $ 인 형태이고, 각 $ i(t<i \leq n) $ 에 대하여 $ x_ { i } \in \mathscr { O } _ { i } $ 라 하면 다음이 성립한다. \[ (* ) 2 \leq \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|= \left \|G: G_ { x_ { i } } \right \|= \frac { \|G\| } {\left \|G_ { x_ { i } } \right \| } , \quad \left \|G_ { x_ { i } } \right \|<\|G\| \] 이때 $ p\|\| \mathscr { O } _ { t + 1 } \|, \cdots, p\| \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| $ 이면, $ p\|\| G \mid $ 이므로 $ () $ 에 의하여 $ p\|\| Z(G) \mid $ 이다. 그러면 $ G $ 의 중심 $ Z(G) $ 는 가환군이므로, $ Z(G) $ 에서 위수가 $ p $ 인 원소가 존재하여 정리가 성립한다.</p> <p>한편 적당한 $ i(t<i \leq n) $ 에 대하여 $ p\|\| \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \| $ 이면, $ (* ) $ 에 의하여 $ 2 \leq \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|= \frac { \|G\| } {\left \|G_ { x_ { i } } \right \| } = \frac { p n } {\left \|G_ { x_ { i } } \right \| } $ 에 $ p $ 의 인수가 없으므로, \[ \left \|G_ { x_ { i } } \right \|=p m, 1 \leq m<n \] 이어야 한다. 그러면 귀납 가정에 의하여 $ G_ { x_ { i } } $ 의 원소 중에서 위수 $ p $ 인 원소가 존재한다. 따라서 $ G $ 의 원소 중에서 위수 $ p $ 인 원소가 존재한다.</p> <p>따름정리 $4.2.4 $ 유한군 $ G $ 에 대하여, 다음이 성립한다.<ul> <li>$ G $ 가 $ p $-군 $ \Longleftrightarrow \quad\|G\|=p ^ { r } $</li></ul></p> <p>(증명) 연습문제로 남긴다.</p> <p>정리 $4.2.5 $ 유한군 $ G( \neq \varnothing) $ 가 $ p $-군일 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ p\|\| Z(G) \mid $</li> <li>$ \|G: Z(G)\| \leq p \quad \Longrightarrow \quad G $ 는 가환군 이다. 즉, $ G $ 가 비가환군이면, $ \|G: Z(G)\| \geq p ^ { 2 } $ 이다.</li> <li>$ \|G\|=p ^ { 2 } \Longrightarrow G $ 는 가환군</li></ol></p> <ol type= start=1>(증명)<li>$ G $ 가 가환군이면, $ Z(G)=G $ 이므로, 따름정리 $4.2.4 $에 의하여 ( $1 $)이 성립한다. 다음에 $ G $ 가 비가환군이면, 따름정리 $4.1.15 $에 의하여 $ G $ 의 류등식은 $ ()\|G\|=\|Z(G)\| + \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| + \cdots + \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \|, \quad\|Z(G)\|=t, \left \| \mathscr { O } _ { t + 1 } \right \| \geq 2, \cdots, \quad \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| \geq 2,(1 \leq t<n) $ 인 형태이다. 또한 $ \|G\|=p ^ { r } $ 이라 하면, 각 $ i(t<i \leq n) $ 에 대하여 다음이 성립한다. \[ 2 \leq \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|, \quad \left \| \mathscr { O } _ { i } \right \|\|\| G\| \Longrightarrow\| \mathscr { O } _ { i } \|\| p ^ { r } \] 따라서 $ p\|\| \mathscr { O } _ { t + 1 } \|, \cdots, p\| \left \| \mathscr { O } _ { n } \right \| $ 이고, $ p\|\| G \mid $ 이므로 $ () $ 에 의하여 $ p\|\| Z(G) \mid $ 이다.</li> <li>먼저 $ \|G: Z(G)\|=1 $ 이면, $ G=Z(G) $ 이므로 $ G $ 는 가환군이다(정리 $3.3.23 $). 다음에 $ \|G: Z(G)\|=p $ 이면, 잉여군 $ G / Z(G) $ 는 위수 $ p $ 인 순환군이고, 정리 $3.3.24 $에 의하여 $ G $ 는 가환군이다.</li> <li>$ \|G\|=p ^ { 2 } $ 이라 하자. ( $1 $)에 의하여 $ p\|\| Z(G) \mid $ 이므로 $ \|Z(G)\|=p $ 이거나 $ \|Z(G)\|=p ^ { 2 } $ 이다. 따라서 $ \|G: Z(G)\| \leq p $ 이므로 ( $2 $)에 의해 $ G $ 는 가환군이다.</li></ol> <p>정의 $4.2.6 $ [정규화 부분군(normalizer, 正規化部分群)] 군 $ G $ 의 부분군 $ H<G $ 에 대하여</p> <ul> <li>$ N_ { G } (H) $ 가 군 $ G $ 에서 $ H $ 의 정규화 부분군 $ \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } $ $ \quad N_ { G } (H) = \left \{ g \in G \mid g H g ^ { -1 } =H \right \} $</li></ul> <p>예 $4.2.7 $ $ S_ { 3 } $ 의 부분군 $ H= \{ (1),(12) \} $ 와 $ A_ { 3 } $ 의 정규화 부분군 $ N_ { S_ { 3 } } (H) $ 와 $ N_ { S_ { 3 } } \left (A_ { 3 } \right ) $ 을 구해보자.</p> <p>예 $4.1.6$ 아래 그림과 같이 정$4$각형의 중심 $ C $ 와 꼭지점 $4$개 $ \{1,2,3,4\} $, 각 변의 중점 $4$개 $ \left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right\} $ 와 $8$ 개의 선분 $ \left\{x^{\prime}, y^{\prime}, \delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\right\} $ 로 이루어진 집합을 $ X $ 라 하자. 즉, \[ X=\left\{C, 1,2,3,4, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, x^{\prime}, y^{\prime}, \delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\right\} \] $4$ 차 정$2$면체군 $ D_{4}=\left\{\rho_{0}, \rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}, x, y, \delta_{1}, \delta_{2}\right\} $ (예 $2.4.19$ 참조)와 $ X $ 에 관한 함수 \[ : D_{4} \times X \longrightarrow X, \quad(\sigma, a) \mapsto \sigma * a=\sigma(a) \] 에서 $ \sigma * a $ 는 $ a $ 가 $ \sigma $ 에 의해 이동되는 대응점(선분) $ \sigma(a) $ 라 정의하면, $$는 $ D_{4} $-작용이 된다. 이 $ D_{4} $-작용에 대한 대응점(선분)은 다음과 같다.</p> <p>정의 $4.1.7$ [안정화 부분군(stabilizer, 안정화 부분군), $ G $-궤도(orbit, 궤도)] $ G $ 가 군이고, $ X(\neq \varnothing) $ 가 $ G $-집합일 때, $ x \in X $ 에 대하여</p> <p>$ G_{x} $ 가 $ G $에서 $x$의 안정화 부분군(stabilizer) $ \quad \stackrel{\text { 정의 }}{\Leftrightarrow} $$ G_{x}= \{g \in G\ \mid g x =x\} \subset G $</p> <p>$ \mathscr{O}_{x} $ 가 $ x $ 를 포함하는 $ G $-궤도 $ \left(G\right. $-orbit) $ \quad \stackrel{\text { 정의 }}{\Leftrightarrow} $$ \quad \mathscr{O}_{x}=\{g * x \mid g \in G\} \subset X $</p> <p>예 $4.1.8$ 예 $4.1.6$의 $ D_{4} $-집합 $ X=\left\{C, 1,2,3,4, P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, x^{\prime}, y^{\prime}, \delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\right\} $ 에 대하여 안정화 부분군과 궤도의 예를 살펴보자. \[ \begin{array}{l} \left(D_{4}\right)_{1}=\left\{\rho_{0}, \delta_{1}\right\}, \quad\left(D_{4}\right)_{P_{1}}=\left\{\rho_{0}, y\right\}, \quad\left(D_{4}\right)_{x^{\prime}}=\left\{\rho_{0}, \rho_{2}, x, y\right\}, \quad\left(D_{4}\right)_{s_{2}}=\left\{\rho_{0}, x\right\} \\ \mathscr{O}_{1}=\{1,2,3,4\}, \quad \mathscr{O}_{P_{1}}=\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right\}, \quad \mathscr{O}_{x^{\prime}}=\left\{x^{\prime}, y^{\prime}\right\}, \quad \mathscr{O}_{s_{2}}=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\right\} \end{array} \]</p> <p>정리 $4.1.9$ $ G $ 가 군이고, $ X(\neq \varnothing) $ 가 $ G $-집합일 때, $ X $ 위에서 관계를 아래와 같이 정의하면 다음이 성립한다. $ x, y \in X $ 에 대하여 \[ x \sim y \Longleftrightarrow \exists g \in G, y=g * x \] $\sim$은 $ X $ 위에서 동치관계이다</p> <p>※ 위 동치관계에서 $ x $ 를 포함하는 동치류는 $ G $-궤도 $ \mathscr{O}_{x} $ 가 된다.</p> <p>(증명) 임의의 $ x \in X $ 에 대하여 $ e * x=x $ 이므로, $ x \sim x $ 이다. $ x \sim y $ 라 하면, 적당한 $ g \in G $ 에 대하여 $ y=g * x $ 이다. 그러면, \[ g^{-1} * y=g^{-1} (g x)=\left(g^{-1} g\right) * x=e * x=x \] 이므로, $ y \sim x $ 이다.</p> <p>마지막으로 $ x \sim y $ 이고 $ y \sim z $ 라 하자. 그러면 적당한 $ g, h \in G $ 에 대하여 $ y=g * x, z=h * y $ 이다. 그러므로 \[ (h g) * x=h (g x)=h * y=z \] 이므로, $ x \sim z $ 이다. 따라서 $ \sim $ 은 $ X $ 위에서 동치관계이다.</p> <p>정리 $4.1.10$ $ G $ 가 군이고, $ X(\neq \varnothing) $ 가 $ G $-집합일 때, $ x \in X $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ G_{x}<G $</li> <li>$ G $ 가 유한군이면, 다음이 성립한다. \[ \left\|\mathscr{O}_{x}\right\|=\left\|G: G_{x}\right\|=\frac{\|G\|}{\left\|G_{x}\right\|}, \quad\left\|\mathscr{O}_{x}\right\|\|\| G \mid \]</li></ol></p> <p>(증명) $ e * x=x $ 이므로, $ e \in G_{x} $ 이다. 모든 $ g, h \in G_{x} $ 에 대하여 $ g * x=x, h * x=x $ 이므로, \[ (g h) * x=g (h x)=g * x=x \] 이다. 따라서 $ g h \in G_{x} $ 이다. 다음에 \[ x=e * x=\left(g^{-1} g\right) * x=g^{-1} (g x)=g^{-1} * x \] 이므로, $ g^{-1} \in G_{x} $ 이다. 따라서 $ G_{x}<G $ 이다.</p> <p>$ G $ 가 유한군일 때, $ G_{x} $ 의 좌잉여류 집합을 $ G / G_{x}=\left\{g G_{x} \mid g \in G\right\} $ 라 하자. 그러면 Lagrange 정리(정리 $3.1.10$)에 의하여 \[ \left\|G / G_{x}\right\|=\left\|G: G_{x}\right\|=\frac{\|G\|}{\left\|G_{x}\right\|}, \] 이다. 다음에 $ \mathscr{O}_{x}=\{g * x \mid g \in G\} $ 에서 $ G / G_{x} $ 로의 함수 $ \phi $ 를 다음과 같이 정의하자. \[ \phi: \mathscr{O}_{x} \longrightarrow G / G_{x}, \quad \phi(g * x)=g G_{x} \] 그러면 $ \phi $ 는 잘 정의된다. 실제로 \[ \begin{aligned} g * x=h * x & \Longleftrightarrow h^{-1} (g x)=h^{-1} (h x) \\ & \Longleftrightarrow\left(h^{-1} g\right) * x=\left(h^{-1} h\right) * x \\ & \Longleftrightarrow\left(h^{-1} g\right) * x=e * x \\ & \Longleftrightarrow\left(h^{-1} g\right) * x=x \Longleftrightarrow h^{-1} g \in G_{x} \Longleftrightarrow g G_{x}=h G_{x} \end{aligned} \] 이므로, $ \phi $ 는 잘 정의되고, 단사함수이다. 정의에 의하여 분명히 전사함수이므로, $ \phi $ 는 전단사함수이다. 따라서 $ \left\|\mathscr{O}_{x}\right\|=\left\|G / G_{x}\right\|=\left\|G: G_{x}\right\|=\frac{\|G\|}{\left\|G_{x}\right\|} $ 이고, 그러므로 $ \left\|\mathscr{O}_{x}\right\|\|\| G \mid $ 가 성립한다.</p> <h1>제 $4$ 장 Sylow 정리와 군의 표현</h1> <p>군론에서, 노르웨이의 수학자 실로우(숼로브, P. Sylow, $ 1832-1918 $)가 $ 1872$년에 증명한 Sylow 정리(Sylow's theorem 또는 숼로브의 정리)는 '유한군의 위수의 약수인 소수의 거듭제곱 위수를 가진 부분 군의 존재성' 등 매우 유용한 성질들을 알 수 있게 해 주는 근본적이면 서도 중요한 정리이다. 이 정리는 군의 작용이라는 수학적 도구를 이용하여 얻을 수 있다.</p> <p>Sylow는 $ 40 $년($1858-1898$) 동안 할렌에서 고등학교 수학 교사였었고, $1862$ 년부터 오슬로 대학교에 수학 강사로 나갔다.</p> <p>오슬로 대학교에서 오늘날 Sylow 부분군이라고 불리는 개념에 대하여 연구했으며, 이후 $1872$년에 Sylow 정리를 발표하였다. $1872$ 년부터 $1880$년 사이에 아벨(노: N. H. Abel, $1802-1829$)의 원고들을 편집해 출판하였다. $1898$ 년에 $66$세에 고등학교 교사에서 오슬로 대학교 교수가 되었다. Sylow는 오슬로에서 태어나 오슬로에서 사망하였다.</p> <p>Sylow 정리는 라그랑주(프: J. Lagrange, $1736-1813$)의 정리(유한군의 부분군의 위수는 군의 위수의 약수)의 역의 특별한 경우에 대한 성과인 코시(프: A. L. Cauchy, $1789-1857$)의 정리(유한군의 위수의 약수인 소수 위수를 가진 부분군의 존재성)를 폭넓게 일반화한 것이다.</p> <p>이 Sylow 정리는 추상대수학의 발전사에서 중요한 위치를 점하고 있다. 또 이 정리를 이용하면, 유한 단순군의 성질에 관한 몇 가지 중요한 결과를 유도할 수 있다.</p> <p>군론에서, 군의 표현(表現, representation)은 주어진 군을 생성원과 이들 사이의 관계식들을 통해 구체적으로 적는 방법이다. 군 표현론은 물리학에서 물리적 계(系, system)의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, 양자역학에서, 상태공간인 힐베르트 공간은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.</p> <h2>4.1 군의 작용</h2> <p>이 절에서는 선형대수에서 스칼라곱의 일반화인 집합 위에서 군의 작용에 대하여 다룬다.</p> <p>정의 $4.1.1$ $ [G $-집합( $ G $-set, 集合), $ G $-작용(G-action, 作用) $ ] $ 군 $ G $ 와 집합 $ X(\neq \varnothing) $ 에 대한 다음 함수 $ () $ 에 대하여, \[ : G \times X \longrightarrow X, \quad(g, x) \mapsto g * x \] 함수 $ * $ 가 $ X $ 위에서 $ G $-작용( $ G $-action), 집합 $ X $ 가 $ G $-집합 $ (G $-set $ ) $ $ \quad \stackrel{\text { 정의 }}{\Leftrightarrow} $ 임의의 $ g, h \in G, x \in X $ 에 대하여<ol type= start=1><li>$ (g h) * x=g (h x) $,</li> <li>$ e * x=x $</li></ol></p> <p>예 $4.1.2$ 군 $ G $ 에 대하여 $ X=G $ 라고 할 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>함수 $ * $ 를 임의의 $ g \in G, x \in G $ 에 대하여 \[ : G \times G \longrightarrow G, \quad(g, x) \mapsto g x=g x \] 라 정의(곱사상)하면, 군의 정의(결합법칙과 항등원 존재성)에 의해 $ * $ 는 $ G $-작용(action)이다. 그러므로 $ G $ 는 $ G $-집합 $ (G-s e t) $ 이다. 또한 $ G $ 의 부분군 $ H<G $ 에 대하여 $ * $ 의 $ H $ 로의 제한사상 $ _{H} $ 를 \[ _{H}: H \times G \longrightarrow G, \quad(h, x) \mapsto h _{H} x=h x \] 라 정의(곱사상)하면, $ G $ 는 $ H $-집합 $ (H-\mathrm{set}) $ 이다.</li> <li>함수 $ $ 를 임의의 $ g \in G, x \in G $ 에 대하여 \[ : G \times G \longrightarrow G, \quad(g, x) \mapsto g x=g x g^{-1} \] 라 정의(켤레 동형사상)하면, $ * $ 는 $ G $-작용(action)이다. 왜냐하면, 임의의 $ g, h, x \in G $ 에 대하여 \[ \left\{\begin{array}{l} (g h) * x=(g h) x(g h)^{-1}=(g h) x\left(h^{-1} g^{-1}\right)=g\left(h x h^{-1}\right) g^{-1}=g \left(h x h^{-1}\right)=g (h * x), \\ e * x=e x=x \end{array}\right. \] 이다. 그러므로 $ G $ 는 $ G $-집합 $ (G $-set)이다.</li></ol></p> <p>예 $4.1.3$ $ G $ 의 부분군 $ H<G $ 에 대하여 $ H $ 의 좌잉여류의 집합 $ G / H=\{a H \mid a \in G\} $ 에 대하여 \[ : G \times G / H \longrightarrow G / H, \quad(g, x H) \mapsto g x H=(g x) H \] 라 정의하자. 먼저 $ * $ 가 잘 정의됨을 보이자. \[ \begin{aligned} x H=y H & \Longrightarrow x=y h(\exists h \in H) \quad \Longrightarrow \quad g x=g y h \quad \Longrightarrow \quad(g x) H=(g y h) H \\ & \Longrightarrow(g x) H=(g y)(h H) \quad \Longrightarrow \quad(g x) H=(g y) H \quad \Longrightarrow \quad g * x H=g * y H \end{aligned} \] 이므로, $ * $ 는 잘 정의된다. 또한 임의의 $ g, h \in G, x H \in G / H $ 에 대하여 \[ (g h) * x H=(g h x) H=g(h x H)=g (h x H)=g (h * x H), \quad e * x H=(e x) H=x H \] 이므로, $ * $ 는 $ G $-작용 $ (G $-action)이고 $ G / H $ 는 $ G $-집합 $ (G $-set)이다.</p> <p>예 $4.1.4$ 집합 $ X $ 에 대한 치환군 $ S_{X} $ 에 대하여 다음 함수는 $ S_{X} $-작용이다. \[ : S_{X} \times X \longrightarrow X, \quad(\sigma, x) \mapsto \sigma x=\sigma(x) \] 실제로, 임의의 $ \sigma, \delta \in S_{X}, x \in X $ 에 대하여 \[ (\sigma \delta) * x=(\sigma \delta)(x)=\sigma(\delta(x))=\sigma (\delta x), \quad i * x=i(x)=x \] 이다. 그러므로 $ * $ 는 $ S_{X} $-작용 $ \left(S_{X}\right. $-action $ ) $ 이고 $ X $ 는 $ S_{X} $-집합 $ (G $-set $ ) $ 이다.</p> <p>예 $4.1.5$ 체(정의 $ 5.1 .1 $ 참조) $ F $ 위의 벡터공간 $ V $ 에 대하여 스칼라 곱 (.) \[ \cdot: F \times V \longrightarrow V, \quad(r, x) \mapsto r \cdot x \] 은 $ F $-작용이다. 실제로, 임의의 $ r, s \in F, x \in V $ 에 대하여 \[ (r s) \cdot x=r \cdot(s \cdot x), \quad 1 \cdot x=x \] 이다. 그러므로 $ (\cdot) $ 는 $ F $-작용( $ F $-action)이고 $ V $ 는 $ F $-집합 $ (F-\mathrm{set}) $ 이다.</p> <p>(풀이) 먼저 $ G $ 가 가환군이면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 다음 $3 $ 가지 종류가 존재한다. \[ G \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , \quad G \cong \mathbb { Z } _ { 4 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , \quad G \cong \mathbb { Z } _ { 8 } \] 다음에 $ G $ 가 비가환군인 경우를 살펴보자. 위수 $8 $ 인 원소가 존재하면 순환군(가환군)이 되어 모순이다. 또한 항등원이 아닌 모든 원소의 위수가 $2 $ 이면 가환군(정리 $2.1.16 $)이 되어 모순이다. 따라서 위수 $4 $ 인 원소 $ a \in G $ 가 존재한다. $ \|G: \langle a \rangle\|=2 $ 이므로 $ \langle a \rangle \triangleleft G $ 이다. 그러면 원소 $ b \in G- \langle a \rangle $ 에 대하여 \[ \langle a \rangle \cup b \langle a \rangle=G, \quad G= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } , b, b a, b a ^ { 2 } , b a ^ { 3 } \right \} = \langle a, b \rangle \] 이다. 즉, $ a, b $ 가 $ G $ 의 생성원이다. 다음에 $ a, b $ 의 관계에 대하여 알아보자. $ b \langle a \rangle \in G / \langle a \rangle $ 에 대하여 $ \|G / \langle a \rangle\|=2 $ 이므로, \[ b ^ { 2 } \langle a \rangle=(b \langle a \rangle) ^ { 2 } = \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } \right \} \] 이므로, $ b ^ { 2 } \in \langle a \rangle= \left \{ e, a, a ^ { 2 } , a ^ { 3 } \right \} $ 이다. 만약 $ b ^ { 2 } =a $ 이거나 $ b ^ { 2 } =a ^ { 3 } $ 이면 $ \|b\|=8 $ 이고 $ G $ 가 가환군이 되어 모순이다. 따라서 $ b ^ { 2 } =e $ 이거나 $ b ^ { 2 } =a ^ { 2 } $ 이다. 또한 $ \left \langle b a b ^ { -1 } \right \rangle=b \langle a \rangle b ^ { -1 } $ 은 $ \langle a \rangle $ 의 켤레부분군이므로 \[ \left \|b a b ^ { -1 } \right \|=\|a\|=4 \] 이다. 따라서 \[ b a b ^ { -1 } =a \text { 이거나 } b a b ^ { -1 } =a ^ { 3 } \] 이다. 만약 $ b a b ^ { -1 } =a $ 이면 $ b a=a b $ 이므로, $ G $ 가 가환군이 되어 모순이다. 그러므로 $ b a b ^ { -1 } =a ^ { 3 } $, 즉, $ b a=a ^ { 3 } b $ 이 된다. 따라서 $ G $ 는 다음과 같은 $2 $ 가지 종류의 비가환군이 존재한다. \[ \begin {array} { l } G= \left \langle a, b\|\| a\|=4,\| b \mid=2, b a=a ^ { 3 } b \right \rangle \\ G= \left \langle a, b\|\| a \mid=4, b ^ { 2 } =a ^ { 2 } , b a=a ^ { 3 } b \right \rangle \end {array} \] 실제로 $ G $ 는 다음과 같이 $ D_ { 4 } $ 나 $ Q_ { 8 } $ 과 동형이다. 즉, \[ \begin {array} { l } G= \left \langle a, b\|\| a\|=4,\| b \mid=2, b a=a ^ { 3 } b \right \rangle \cong D_ { 4 } \\ G= \left \langle a, b\|\| a \mid=4, b ^ { 2 } =a ^ { 2 } , b a=a ^ { 3 } b \right \rangle \cong Q_ { 8 } \end {array} \]</p> <p>예 4.1.11 예 4.1.8의 $ D_{4} $-집합 $ X $ 의 원소 $ x $ 에 대하여 $ G $-궤도 $ \mathscr{O}_{x} $ 와 안정화 부분군 $ \left(D_{4}\right)_{x} $ 사이에서 다음 관계가 성립한다. \[ 4=\left\|\mathscr{O}_{1}\right\|=\left\|D_{4}:\left(D_{4}\right)_{1}\right\|=\frac{\left\|D_{4}\right\|}{\left\|\left(D_{4}\right)_{1}\right\|}=\frac{8}{2} \] \[ 2=\left\|\mathscr{O}_{x^{\prime}}\right\|=\left\|D_{4}:\left(D_{4}\right)_{x^{\prime}}\right\|=\frac{\left\|D_{4}\right\|}{\left\|\left(D_{4}\right)_{x^{\prime}}\right\|}=\frac{8}{4} \]</p> <p>정의 $4.1.12$ [고정점(fixed point, 고정점)] $ G $ 가 군이고, $ X(\neq \varnothing) $ 가 $ G $-집합의 원소 $ x \in X $ 에 대하여<p>$ x $ 가 $ G $-작용의 고정점(fixed point) $ \quad \stackrel{\text { 정의 }}{\Leftrightarrow} $ $ \quad \forall g \in G, g * x=x $</p> <p>$ X_{0} $ 가 $ G $-작용의 고정점 전체집합 $ \quad $ $ \quad \stackrel{\text { 정의 }}{\Leftrightarrow} $ $ \quad X_{0}=\{x \in X \mid \forall g \in G, g * x=x\} $</p> <p>※ $ x $ 는 $ G $-작용의 고정점 $ \Longleftrightarrow \mathscr{O}_{x}=\{x\} \Longleftrightarrow\left\|\mathscr{O}_{x}\right\|=1 \Longleftrightarrow G_{x}=G $ 가 성립</p> <p>예 4.1.13 예 4.1.6의 $ D_{4} $-집합 $ X $ 에서 $ D_{4} $-작용의 고정점은 $ C $ 로 $1$ 개이다. 즉, $ X_{0}=\mathscr{O}_{C}=\{C\} $ 이고 $ \left(D_{4}\right)_{C}=D_{4} $ 이다.</p> <p>앞에서 얻은 결과를 종합하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 4.1.14 유한군 $ G $ 에 대하여, $ X(\neq \varnothing) $ 가 $ G $-집합, $ X_{0} $ 가 $ G $-작용의 고정점 진체집합이고, $ X $ 에서 서로 다른 $ G $-궤도 전체를 $ \mathscr{O}_{1}, \cdots, \mathscr{O}_{n} $ 이라 할 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ X=\mathscr{O}_{1} \cup \cdots \cup \mathscr{O}_{n}, \quad \mathscr{O}_{i} \cap \mathscr{O}_{j}=\varnothing(1 \leq i \neq j \leq n) $ 이고 $ \|X\|=\left\|\mathscr{O}_{1}\right\|+\cdots+\left\|\mathscr{O}_{n}\right\| $</li> <li>$ x_{i} \in \mathscr{O}_{i} $ 이면, $ \mathscr{O}_{x_{i}}=\mathscr{O}_{i} $ 이고 $ \left\|\mathscr{O}_{i}\right\|=\left\|G: G_{x_{i}}\right\|=\frac{\|G\|}{\left\|G_{x_{i}}\right\|}, \quad\left\|\mathscr{O}_{x_{i}}\right\|\|\| G \mid $</li> <li>$ \left\|\mathscr{O}_{1}\right\|=\cdots=\left\|\mathscr{O}_{n}\right\|=1 $ 이면 $ \|X\|=\left\|X_{0}\right\| $ 이다. 한편 $ \left\|\mathscr{O}_{1}\right\|=\cdots=\left\|\mathscr{O}_{t}\right\|=1,\left\|\mathscr{O}_{t+1}\right\| \geq 2, \cdots,\left\|\mathscr{O}_{n}\right\| \geq 2,(0 \leq t<n) $ 이면, $ \|X\|=\left\|X_{0}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{t+1}\right\|+\cdots+\left\|\mathscr{O}_{n}\right\|,\left\|X_{0}\right\|=t $</li></ol></p> <p>따름정리 4.1.15 유한군 $ G $ 위에서 $ G $-작용을 \[ : G \times G \longrightarrow G, \quad(g, x) \mapsto g x=g x g^{-1} \] 라 정의 (켤레사상) 하자. $ G $-집합 $ G $ 에서 서로 다른 $ G $ - 궤도 전체를 $ \mathscr{O}_{1}, \cdots, \mathscr{O}_{n} $ 이라 할 때, $ G $-작용의 고정점 진체집합 $ X_{0} $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ X_{0}=Z(G) $ 이고 $ x \in G $ 에 대하여 $ \mathscr{O}_{x}=\left\{g x g^{-1} \mid g \in G\right\} $ 이다. 특히, $ e \in X_{0} $ 이다.</li> <li>$ \|G\|=\left\|\mathscr{O}_{1}\right\|+\cdots+\left\|\mathscr{O}_{n}\right\| \cdots① $</li> <li>$ x_{i} \in \mathscr{O}_{i} $ 이면, $ \mathscr{O}_{x_{i}}=\mathscr{O}_{i} $ 이고 $ \left\|\mathscr{O}_{i}\right\|=\left\|G: G_{x_{i}}\right\|=\frac{\|G\|}{\left\|G_{x_{i}}\right\|}, \quad\left\|\mathscr{x}_{x_{i}}\right\|\|\| G \mid $</li> <li>$ G $ 가 가환군이면, $ G=Z(G) $ 이고 $ \left\|\mathscr{O}_{1}\right\|=\cdots=\left\|\mathscr{O}_{n}\right\|=1, n=\|G\| $ 이다. 한편 $ G $ 가 비가환군일 때, \[ \begin{array}{c} \left\|\mathscr{O}_{1}\right\|=\cdots=\left\|\mathscr{O}_{t}\right\|=1,\left\|\mathscr{O}_{t+1}\right\| \geq 2, \cdots,\left\|\mathscr{O}_{n}\right\| \geq 2,(1 \leq t<n) \text { 이라 하면, } \\ \|G\|=\|Z(G)\|+\left\|\mathscr{O}_{t+1}\right\|+\cdots+\left\|\mathscr{O}_{n}\right\|, \quad\|Z(G)\|=t \cdots \text { ② } \end{array} \]</li></ol> <p>※ ①, ②식을 $ G $ 의 류등식(class equation, 류등식)이라 한다.</p> <p>※ $ G $-궤도 $ \mathscr{O}_{x}=\left\{g x g^{-1} \mid g \in G\right\} $ 를 $ G $ 에서 켤레류(conjugate class)라 하고 $ \mathscr{C}_{x} $ 라 표기한다.</p> <p>(증명) $ X_{0}=\left\{x \in G \mid \forall g \in G, g x g^{-1}=x\right\}=\{x \in G \mid \forall g \in G, g x=x g\}=Z(G) $. $ G $-궤도의 정의에 의하여 $ \mathscr{O}_{x}=\{g * x \mid g \in G\}=\left\{g x g^{-1} \mid g \in G\right\} $ 이다. 그리고 정의에 의해 $ e \in Z(G)=X_{0} $ 이다.</li>($2$),($3$),($4$)는 정리 4.1.14에 의하여 성립한다.</p> <p>예 4.1.16 $ D_{3} $ 위에서 여러가지 $ D_{3} $-작용에 대한 고정점과 궤도에 대한 예를 살펴보자.</p> <p>($1)$[궤도] 예 2.4.18의 유한군 $ D_{3} $ 위에서 $ D_{3} $-작용을 \[ : G \times G \longrightarrow G, \quad(g, x) \mapsto g x=g x \] 라 정의(곱사상)하면, 이 $ D_{3} $-작용의 고정점은 없다. 또한 $ D_{3} $ 의 $ D_{3} $-궤도는 $ D_{3} $ 로 $1$ 개이다. 즉, 모든 $ x \in D_{3}(=X) $ 에 대하여, 군의 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[ X_{0}=\varnothing, \quad \mathscr{O}_{x}=\left\{g * x \mid g \in D_{3}\right\}=D_{3} \]</p> <p>($2$)[켤레류] 유한군 $ D_{3} $ 위에서 $ D_{3} $-작용을 \[ : G \times G \longrightarrow G, \quad(g, x) \mapsto g x=g x g^{-1} \] 라 정의(켤레사상)하면, 이 $ D_{3} $-작용의 고정점은 항등원 ($1$)로 $1$ 개뿐이다. 또한 모든 $ x \in D_{3}(=X) $ 에 대하여, $ x $ 가 우치환(기치환)이면, $ \mathrm{gxg}^{-1} $ 도 우치환(기치환)이므로, $ D_{3} $-궤도(켤레류)는 다음과 같은 $3$가지이고, 각각의 원소수는 $ \left\|D_{3}\right\|=6 $ 의 약수이다. \[ X_{0}=\mathscr{C}_{(1)}=\{(1)\}, \mathscr{C}_{(123)}=\mathscr{C}_{(132)}=\{(123),(132)\} \] \[ \mathscr{C}_{(12)}=\mathscr{C}_{(13)}=\mathscr{C}_{(23)}=\{(12),(13),(23)\} \] 그러므로 $ D_{3} $ 의 류등식(따름정리 4.1.15)은 다음과 같다.</p> <p>예 4.1.17 예 4.1.6의 $ D_{4} $-궤도를 구하자. $ D_{4} $-집합 $ X $ 에서 고정점은 $ C $ 로 $1$ 개이다. 또한 $ D_{4} $-궤도(켤레류)는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} X_{0}=\mathscr{O}_{C} &=\{C\} \\ \mathscr{O}_{1}=\mathscr{O}_{2}=\mathscr{O}_{3}=\mathscr{O}_{4} &=\{1,2,3,4\}, \\ \mathscr{O}_{P_{1}}=\mathscr{O}_{P_{2}}=\mathscr{O}_{P_{3}}=\mathscr{O}_{P_{4}} &=\left\{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}\right\}, \\ \mathscr{O}_{x^{\prime}}=\mathscr{O}_{y^{\prime}} &=\left\{x^{\prime}, y^{\prime}\right\}, \\ \mathscr{O}_{\delta_{1}}=\mathscr{O}_{\delta_{1}} &=\left\{\delta_{1}, \delta_{2}\right\}, \\ \mathscr{O}_{s_{1}}=\mathscr{O}_{s_{2}}=\mathscr{O}_{s_{3}}=\mathscr{O}_{s_{4}} &=\left\{s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}\right\} \end{aligned} \] 그러므로 $ X $ 의 서로 다른 궤도는 $ \mathscr{O}_{C}, \mathscr{O}_{1}, \mathscr{O}_{P_{1}}, \mathscr{O}_{x^{\prime}}, \mathscr{O}_{\delta_{1}}, \mathscr{O}_{s_{1}} $ 의 $6$ 가지이고, 각각의 원소수는 $ \left\|D_{4}\right\|=8 $ 의 약수이다. 그러므로 정리 4.1.14에 의하여 \[ \|X\|=\left\|X_{0}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{1}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{P_{1}}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{x^{\prime}}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{\delta_{1}}\right\|+\left\|\mathscr{O}_{s_{1}}\right\|=1+4+4+2+2+4=17 \]</p> <h3>연 습 문 제 ( $4.1 $)</h3> <ol type = start=1><li>$ X $ 는 $ G $-집합이다. $ g \in G, x, y \in X $ 에 대하여 $ g x=y $ 라고 하면 $ G_ { y } =g G_ { x } g ^ { -1 } $ 임을 보여라.</li> <li>$ X $ 를 $ G $-집합이라 하고 $ Y \subseteq X $ 라 하자. $ G_ { Y } = \{ g \in G \mid $ 모든 $ y \in Y $ 에 대해 $ g y=y \} $ 라 하자. 정리 $4.1.10(1 $)을 일반화해서 $ G_ { Y } $ 는 $ G $ 의 부분군임을 보여라.</li> <li>예 $4.1.6 $에서와 같은 $ D_ { 4 } $-집합 $ X= \left \{ C, 1,2,3,4, P_ { 1 } , P_ { 2 } , P_ { 3 } , P_ { 4 } , x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , \delta_ { 1 } ^ {\prime } , \delta_ { 2 } ^ {\prime } , s_ { 1 } , s_ { 2 } , s_ { 3 } , s_ { 4 } \right \} $ 에 대하여 안정화 부분군 $ \left (D_ { 4 } \right )_ { C } , \left (D_ { 4 } \right )_ { 1 } , \left (D_ { 4 } \right )_ { 2 } , \cdots, \left (D_ { 4 } \right )_ { s_ { 3 } } , \left (D_ { 4 } \right )_ { s_ { 4 } } $ 를 구하라.</li> <li>유한군 $ G $ 에서 원소 $ x $ 를 포함하는 켤레류 $ \mathscr { C } _ { x } = \left \{ g x g ^ { -1 } \mid g \in G \right \} $ 에 꼭 두 개의 원소가 존재하면, $ \mathscr { C } _ { x } \triangleleft G, \{ e \} \subsetneq \mathscr { C } _ { x } \subsetneq G $ 임을 밝혀라.</li> <li>유한군 $ G $ 에 꼭 두 개의 켤레류가 존재하면, $ \|G\|=2 $ 임을 밝혀라.</li> <li>다음 군의 켤레류를 모두 구하라.<ol type= start=1><li>대칭군 $ S_ { 4 } $</li> <li>사원군 $ Q_ { 8 } $</li> <li>정이면체군 $ D_ { 4 } $</li></ol></li></ol> <p>(증명) $ n $ 에 관한 귀납법을 이용하자. $ n=1 $ 인 경우는 Cauchy 정리(정리 $4.2.3 $)에 의하여 위수 $ p $ 인 부분군이 존재한다. 다음에 $ 1 \leq i<n $ 인 $ i $ 에 대하여 위수 $ p ^ { i } $ 인 부분군 $ H $ 가 존재한다고 하자. $ i<n $ 이므로, $ p\|\| G: H \mid $ 이다. 그러면, 정리 $4.2.10 $에 의하여 $ p\|\| N_ { G } (H): H \mid $ 이다. 또한 $ H \triangleleft N_ { G } (H) $ 이므로 잉여군 $ N_ { G } (H) / H $ 이 존재하고 $ p\|\| N_ { G } (H) / H \mid $ 이다. 그러면 Cauchy 정리(정리 $4.2.3 $)에 의하여 잉여군 $ N_ { G } (H) / H $ 는 위수 $ p $ 인 부분군 $ K / H $ 를 갖는다. 한편 자연 준동형사상 \[ \pi: N_ { G } (H) \longrightarrow N_ { G } (H) / H \] 를 생각하면 $ \pi ^ { -1 } (K / H)=K $ 는 $ N_ { G } (H) $ 의 부분군이다. 그러므로 $ G $ 의 부분군이고 \[ \|K / H\|=p, \quad\|H\|=p ^ { i } \] 이므로 $ \|K\|=p ^ { i + 1 } $ 이다. 따라서 귀납법에 의하여 ( $1 $)이 성립한다. ( $2 $) ( $1 $)의 증명에서 $ \|H\|=p ^ { i } ,\|K\|=p ^ { i + 1 } $ 이고 \[ H<K<N_ { G } (H) \] 이다. 특히, $ H<K,\|H\|=p ^ { i } ,\|K\|=p ^ { i + 1 } $ 라 하고, ( $1 $)의 증명을 다시 적용하면, \[ H<K<N_ { G } (H), \quad H \triangleleft N_ { G } (H) \] 이므로, $ H \triangleleft K $ 이다. 따라서 ( $2 $)가 성립한다.</p> <p>예 4.3.3 군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\|=30=2 \cdot 3 \cdot 5 $ 이면 $ G $ 는 단순군이 아니다. (증명) Sylow 1 정리에 의하여 Sylow 2 -부분군, Sylow 3-부분군, Sylow 5-부분군이 존재한다. Sylow 3 정리에 의해 Sylow 5-부분군의 수는 1개 또는 6개 존재 가능하고, Sylow 3-부분군의 수는 1개 또는 10개 존재 가능하다. 만약 Sylow 5-부분군이 6개 존재하고, Sylow 3-부분군이 10개 존재한다면, Sylow 5-부분군에서 위수 5인 원소의 수는 \[ 6 \cdot 4=24 \] 개이고, Sylow 3-부분군에서 위수 3인 원소의 수는 \[ 10 \cdot 2=20 \] 개이다. 따라서 위수 5인 원소의 수와 위수 3인 원소의 수의 개수는 최소 \[ 24 + 20=44 \] 개이다. 이것은 $ G $ 의 원소수가 30이라는데 모순이다. 따라서 Sylow 5-부분군 또는 Sylow 3-부분군이 하나만 존재해야 한다. 이것이 정리 4.2.14에 의하여 정규부분군이 된다. 그러므로, $ G $ 는 단순군이 아니다.</p> <p>예 4.3.4 군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\|=48=2 ^ { 4 } \cdot 3 $ 이면 $ G $ 는 단순군이 아니다. (증명) Sylow 1 정리에 의하여, Sylow 2-부분군과 Sylow 3-부분군이 존재한다. Sylow 3 정리에 의해 Sylow 2-부분군의 수는 1 개이거나 3 개 존재할 수 있다. (Sylow 3-부분군의 수는 1 개, 4 개이거나 16 개 존재할 수 있다.) 이때 Sylow 2-부분군이 1개 존재한다면, 이것이 정리 4.2.14에 의하여 정규부분군이 된다. 따라서 $ G $ 는 단순군이 아니다. 다음에 Sylow 2-부분군이 3개 존재한다고 하자. 그 중 2개를 $ H$, $K $ 라 하자. Sylow 2-부분군의 위수는 16 이므로, 정리 3.1 .14 에 의하여 \[ \|H K\|= \frac { \|H\|\|K\| } { \|H \cap K\| } = \frac { 16 \cdot 16 } { \|H \cap K\| } \leq\|G\|=48 \] 이고 $ \|H \cap K\| $ 의 후보자 1,2,4,8 중에서 위 식을 만족하는 것은 $ \|H \cap K\|=8 $ 뿐이다. 그러면 $ \|H:(H \cap K)\|=\|K:(H \cap K)\|=2 $ 이므로, 정리 3.3.2 또는 Sylow 1정리(정리 4.2.12)에 의하여 \[ (H \cap K) \triangleleft H, \quad(H \cap K) \triangleleft K \] 이다. 그러므로 $ H$, $K $ 는 $ H \cap K $ 의 정규화부분군 $ N_ { G } (H \cap K) $ 에 포함된다. 즉, \[ H<N_ { G } (H \cap K)<G, \quad K<N_ { G } (H \cap K)<G \] 이다. 그러면, $ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \| $ 은 16 보다 크지만, Lagrange 정리에 의하여 16의 배수이며, 동시에 48의 약수이어야 한다. 따라서 \[ \left \|N_ { G } (H \cap K) \right \|=48 \] 이다. 즉, $ N_ { G } (H \cap K)=G $ 이다. 그러면, \[ (H \cap K) \triangleleft N_ { G } (H \cap K)=G \] 가 되어 $ G $ 는 단순군이 아니다.</p> <p>예 $4.3.6 $ 군 $ G $ 의 위수가 $ \|G\| = 3 \cdot 5 \cdot 17 $ 이면 $ G $ 는 순환군이다. (증명) Sylow 정리에 의해 Sylow $17 $-부분군이 $1 $개 존재하여 정규부분군이 된다. 이 부분군을 $ H $ 라 하면, 잉여군 $ G / H $ 의 위수는 $15 $ 이다. 그러면 정리 $4.3.1 $에 의하여 $ G / H $ 는 가환군이다. 정리 $3.3.28 $에 의하여 $ G $ 의 교환자부분군 $ C_ { G } $ 는 \[ C_ { G } = \left \langle a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } \mid a, b \in G \right \rangle<H \] 이다. 한편 Sylow $3 $-부분군은 $1 $개 또는 $85 $개가 존재할 수 있으며, Sylow $5 $-부분군은 $1 $개 또는 $51 $ 개가 존재할 수 있다. 만일 Sylow $3 $-부분군이 $85 $개가 존재하고, Sylow $5 $-부분군이 $51 $ 개가 존재한다면, 위수 $3 $ 인 원소는 적어도 $ 85 \cdot 2=170 $개 존재하고, 위수 $5 $ 인 원소는 적어도 $ 51 \cdot 4=204 $개 존재하여, 이들의 원소수는 $ G $ 의 원소수 $255 $ 보다 많아 모순이다. 따라서 Sylow $3 $-부분군이나 Sylow $5 $-부분군 중에서 $1 $개만 존재해야하고, 이 부분군을 $ K $ 라 하면 정규부분군이 된다. 그러면 잉여군 $ G / K $ 의 위수는 $ 5 \cdot 17 $ 이거나 $ 3 \cdot 17 $ 이고, 정리 $ 4.3 .1 $ 에 의하여 가환군이 된다. 그러므로 정리 $3.3.28 $에 의하여 $ G $ 의 교환자부분군 $ C_ { G } $ 는 \[ C_ { G }<K \] 이다. 즉, \[ C_ { G } = \left \langle a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } \mid a, b \in G \right \rangle<H \cap K= \{ e \} \] 이므로, 임의의 $ a, b \in G $ 에 대하여 $ a b a ^ { -1 } b ^ { -1 } =e $ 이므로 $ a b=b a $ 이다. 따라서 $ G $ 는 가환군이다. 그러면 유한생성 가환군의 기본정리에 의하여 \[ G \cong \mathbb { Z } _ { 3 } \times \mathbb { Z } _ { 5 } \times \mathbb { Z } _ { 17 } \cong \mathbb { Z } _ { 255 } \] 이므로 $ G $ 는 순환군이다.</p>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<p>선적분은 곡선 $ C $ 를 잘게 나누어 그 한 조각의 길이를 $ \Delta s_{k} $ 라고 할 때 일변수함수의 정적분처럼 각 조각에서 한 점 $ P_{k} $ 를 잡아</p> <p>$ \int f_{C} f d s=\lim \sum f\left(P_{k}\right) \Delta s_{k} $</p> <p>로 정의하고 이 정의가 위의 정의와 같음을 보일 수 있다.</p> <p>매끈한 곡선 유한개를 연결하여 만든 곡선을 구분적으로 매끈한 곡선, 혹은 조각 곡선(a piecewise smooth curve)이라고 하며 조각곡선 $ C=C_{1} \cup C_{2} \cup \cdots \cup C_{m} \subseteq U $ 위에서의 $ f $ 의 선적분을 다음과 같이 정의하는 것이 자연스럽다</p> <p>$ \int f_{C} d s=\sum_{i} \int_{C_{i}} f d s $</p> <p>다음 보기들을 통하여 선적분의 의미를 생각하여 보자.</p> <h3>보기 2</h3> <p>$ f(x, y)=1+\frac{y}{3} $ 이고 곡선 $ C $ 의 매개변수식이 $ X(t)=(5 \cos t, 5 \sin t), t \in[0,2 \pi] $, 일 때 $ f $ 의 $ C $ 위에서의 선적분을 구하여라. 만약 $ f $ 가 각 지점 $ (x, y) $ 에서 어떤 담장의 높이를 나타낸다면 이 선적분의 의미는 무엇일까?</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \int_{C}\left(1+\frac{y}{3}\right) d s=\int_{0}^{2 \pi}\left(1+\frac{5 \sin t}{3}\right)\left(\sqrt{25(-\sin t)^{2}+25 \cos t^{2}}\right) d t=10 \pi $ 이고 그 의미는 담장의 면적이라고 할 수 있다.</p> <h3>보기 3</h3> <p>$ f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} $ 의 곡선 $ C: X(t)=(\cos t, \sin t, t), t \in[0,2 \pi] $ 위에서의 선적분을 구하여라.</p> <p>$ \int f_{C} d s=\int_{0}^{2 \pi} f(\cos t, \sin t, t)\|(-\sin t, \cos t, 1)\| d t=\sqrt{2} \int_{0}^{2 \pi}\left(1+t^{2}\right) d t $</p> <p>$ =\sqrt{2}\left(2 \pi+\frac{8 \pi^{3}}{3}\right) $</p> <p>보기 4 에서 만약 $ f $ 가 곡선 $ C $ 모양의 철사의 각 지점의 선밀도이면 $ f $ 의 선적분은 이 철사의 질량을 나타낸다고 할 수 있다. 이때 철사의 굵기는 무시한다. 선밀도는 단위길이 당 질량의 극한값 $ \lim _{(x, y) \subset l, \Delta l \rightarrow 0} \frac{\Delta m}{\Delta l} $ 을 의미한다.</p> <h3>보기 4</h3> <p>$ f(x, y)=x+y^{2} $ 이고 곡선 $ C $ 는 원점에서 $ (1,0) $ 을 통과하여 $ (1,1) $ 까지 가는 두 선분의 합집합일 때 $ f $ 의 $ C $ 위에서의 선적분을 구하여라.</p> <h3>풀이</h3>곡선 $ C $ 의 매개변수식은 $ X_{1}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2}, X_{1}(t)=(t, 0) $ 과 $ X_{2}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}^{2} $, \[ X_{2}(t)=(1, t) \text { 로 나타낼 수 있고, } \int_{C} f d s=\int_{0}^{1} t d t+\int_{0}^{1}\left(1+t^{2}\right) d t=\frac{11}{6} \text { 이다. } \]</p> <p>이제 벡터장의 선적분을 정의한다.</p> <h2>정의 4</h2> <p>일 work, 순환 circulation</p> <p>벡터장 $ F: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ 와 $ T $ 의 내적 $ F \cdot T $ 는 스칼라장이다. 이때 $ F $ 의 곡선 $ C $ 위에서의 선적분을 $ \int_{C} F \cdot d s $ 혹은 $ \int_{C} F \cdot d r $ 로 나타내고 $ \int_{C} F \cdot d s=\int_{C} F \cdot T d s $ 로 정의한다. 벡터장 $ F $ 의 선적분을 $ F $ 가 한 일이라고도 한다. 닫힌곡선 위에서의 벡터장의 선적분을 순환이라고도 하며 적분기호에 $ \oint_{C} \cdot d s $ 와 같이 동그라미 표시를 한다.</p> <p>$ \int_{C} F \cdot T d s=\int_{a}^{b}\left(F \cdot \frac{X^{\prime}(t)}{\left\|X^{\prime}(t)\right\|}\right)\left\|X^{\prime}(t)\right\| d t=\int_{a}^{b} F(X(t)) \cdot X^{\prime}(t) d t $ 이다.</p> <p>$ F(x, y, z)=\left(F_{1}(x, y, z), F_{2}(x, y, z), F_{3}(x, y, z)\right) $ 일 때 $ F $ 의 선적분을 \[ \int_{C} F \cdot T d s=\int_{C} F_{1} d x+F_{2} d y+F_{3} d z \]</p> <p>로 표시하기도 한다.</p> <h3>보기5</h3> <p>\[F(x, y, z)=x i+y j+z k \text { 의 } C: X(t)=(\sin t, \cos t, t)(t \in[0,2 \pi]) \text { 위에서의 일 }\]을 구하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} \int_{C} F \cdot T d s &=\int_{a}^{b} F \cdot X^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{2 \pi}(\sin t, \cos t, t) \cdot(\cos t,-\sin t, 1) d t \\ &=2 \pi^{2} \end{aligned} $</p> <h3>보기6</h3> <p>$ C: X(t)=\left(t, t^{2}, 1\right), t \in[0,1] $ 일 때 $ \int_{C}\left(x^{2}-1\right) d x+x y d y+d z $ 를 구하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ F(x, y, z)=\left(x^{2}-1, x y, 1\right) $ 이고 $ X^{\prime}(t)=(1,2 t, 0) $ 이므로</p> <p>$ \int_{C}\left(x^{2}-1\right) d x+x y d y+d z=\int_{0}^{1}\left(t^{2}-1+2 t^{4}\right) d t=-\frac{16}{15} $</p> <h3>보기7</h3> <p>$ C: X(t)=(\sin t, \cos t), \quad t \in[0,2 \pi] $ 일 때 벡터장 $ F(x, y)=x i-y j $ 의 순환 $ \oint_{C} F \cdot d s $ 를 구하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d s &=\int_{0}^{2 \pi}(\sin t,-\cos t) \cdot(\cos t,-\sin t) d t \\ &=\int_{0}^{2 \pi} 2 \sin t \cos t d t=0 \end{aligned} $</p> <h1>13 벡터장과 선적분</h1> <h2>도입문제 1</h2> <p>흐르는 강물의 한 지점 $ (x, y, z) $ 에 그 점에서의 물의 속도 $ v(x, y, z)=(0 $, $ \left.e^{-x^{2}}, 0\right) $ 를 대응시키는 함수를 그림으로 표현할 수 있을까?</p> <p>어떤 힘에 의해 물체가 곡선을 따라 움직였을 때 이 힘이 한 일은 어떻게 계산할 것인가? 힘을 묘사하는 함수인 벡터장부터 살펴보자.</p> <h3>정의 1</h3> <p>벡터장 a vector field, 스칼라장 scalar field</p> <p>벡터장이란 $ n $ 차원 공간의 벡터에 $ n $ 차원 공간의 벡터를 대응시키는 함수를 의미한다. 즉, $ U \subseteq \mathbb{R}^{n} $ 일 때 벡터함수 $ F: U \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ 를 벡터장이라고 한다. $ n=3 $ 일 때 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>$ F(x, y, z)=\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right),(x, y, z) \in U \subseteq \mathbb{R}^{3} $</p> <p>여기서 $ i=1,2,3 $ 에 대하여, $ F_{i}: U \rightarrow \mathbb{R} $ 는 실숫값을 갖는 함수로서 벡터를 함숫값으로 하는 벡터함수와 구별할 때 스칼라장이라고 한다.</p> <p>표준단위벡터 $ e_{1}=(1,0, \cdots, 0), \cdots, e_{n}=(0, \cdots, 0,1) $ 을 써서 벡터장을 나타내면 $ X=\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) $ 에 대해 $ F(X)=\left(F_{1}(X), \cdots, F_{n}(X)\right)=\sum_{i=1}^{n} F_{i}(X) e_{i} $ 로 쓸 수 있다. 모든 $ F_{i} $ 가 다 연속이면 $ F $ 가 연속이라고 하며 모든 $ F_{i} $ 가 다 미분가능하면 $ F $ 가 미분가능하다고 정의한다.</p> <p>벡터장은 2 차원 공간에서 정의된 것도 그래프를 그릴 수 없으므로 다음과 같이 정의역의 각 점에 대응되는 벡터를 그 점에서 시작하는 화살표로 나타낸다. 예를 들어 $ F(x, y, z)=x i+y j+z k $ 의 경우 다음 그림과 같다.</p> <h2>정의 2</h2> <p>매끈한 곡선 smooth curve, 폐곡선 closed curve, 표준 단위 접벡터 unit tangent vector</p> <p>$ n $ 차원 공간에 있는 곡선 $ C $ 의 매개변수식이 $ X(t) $ 라고 하자. 즉, $ X:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} $ 이고 $ X(t)=\left(x_{1}(t), \cdots, x_{n}(t)\right) $ 일 때 $ X^{\prime}(t) $ 가 연속함수이며 $ X^{\prime}(t) \neq \overrightarrow{0} $ 일 때 곡선 $ C $ 를 매끈한 곡선이라고 한다. 매끈한 곡선 $ C $ 의 속도벡터 $ X^{\prime}(t) $ 가 가리키는 방향을 나타내는 단위벡터 $ T=\frac{X^{\prime}(t)}{\left\|X^{\prime}(t)\right\|} $ 를 단위접벡터라고 한다. 출발점과 도착점이 같은 곡선, 즉 $ X(a)=X(b) $ 일 때 $ C $ 를 폐곡선(닫힌곡선)이라고 한다.</p> <h2>정의 3</h2> <p>선적분 line integral $ U \subseteq \mathbb{R}^{n} $ 일 때 스칼라장 $ f: U \rightarrow \mathbb{R} $ 의 매끈한 곡선 $ C $ 위에서의 적분을 선적분이라고 하고 $ \int_{C} f d s $ 로 나타내며 다음과 같이 정의한다. 곡선 $ C $ 의 매개변수식 $ X:[a, b] \rightarrow $ $ U $ 에 대해</p> <p>$ \int f_{C} f d s=\int_{a}^{b} f(X(t))\left\|X^{\prime}(t)\right\| d t $</p>	자연
위상수학	<h1>7.1 완비거리공간(Complete Metric Space)</h1> <p>제 1 장에서 집합상에 거리가 주어지면 자연스럽게 거리위상이 유도된다.</p> <p>정의 7.1.1</p> <ol type = start=1><li>거리공간 $ (X, d) $ 상의 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 이 $ x \in X $ 에 수렴한다(converge)는 것은 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } d \left (x_ { n } , x \right )=0 $ 을 의미한다.</li> <li>점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 이 코시(Cauchy)란 $ \lim _ { n, m \rightarrow \infty } d \left (x_ { n } , x_ { m } \right )=0 $ 을 의미한다.</li> <li>$ X $ 가 완비거리공간(complete metric space $ ) $ 의 정의는 $ X $ 의 모든 크시 점렬은 수렴함이다.</li> <li>거리공간상의 함수 $ f: \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (X_ { 2 } , d_ { 2 } \right ) $ 가 등거리 매장(isometric imbedding)이란 각 점 $ x, y \in X_ { 1 } $ 에 대하여 $ d_ { 1 } (x, y)=d_ { 2 } (f(x), f(y)) $ 를 의미한다.</li> <li>등거리 매장함수 $ f: \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (X_ { 2 } , d_ { 2 } \right ) $ 의 상이 $ X_ { 2 } $ 에 조밀(dense) 일 때(즉, $ \overline { f \left (X_ { 1 } \right ) } =X_ { 2 } $),$ \left (X_ { 2 } , d_ { 2 } \right ) $ 를 $ \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ) $ 의 완비화(competion)라 한다.</li></ol> <p>주의</p> <ol type= start=1><li>만일 함수 $ f: \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (X_ { 2 } , d_ { 2 } \right ) $ 가 등거리 매장이면 \[f: \left (X_ { 1 } , d_ { 1 } \right ) \rightarrow \left (f \left (X_ { 1 } \right ), d_ { 2 } \right ) \]는 위상동형함수이다.</li> <li>완비성은 위상동형함수의 불변성이 아니다. 예를 들면, 함수 \[f: \left (- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) \rightarrow \mathbb { R } , f(t)= \tan t \]는 위상동형이나 $ \left (- \frac {\pi } { 2 } , \frac {\pi } { 2 } \right ) $ 는 완비가 아니고 $ \mathbb { R } $ 은 완비이다.</li></ol> <p>정리 7.1.1 거리공간 $ (X, d) $ 에 대하여 다음 네 조전은 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$ \mathrm { X } $ 는 컴팩트이다.</li> <li>$ X $ 는 가산컴팩트이다. 즉 $ X $ 의 무한부분집합은 극한점을 갖는다.</li> <li>$ X $ 는 점렬컴팩트이다. 즉 $ X $ 의 점렬은 수렴하는 부분점렬을 갖는다.</li> <li>$ X $ 는 완비이며 완전유계(totally bounded)이다. 여기서 완전유계란 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 유한개의 $ \varepsilon $-볼 $ B_ {\varepsilon } \left (x_ { 1 } \right ), \ldots $, $ B_ { e } \left (x_ { n } \right ) $ 이 $ X $ 를 피복한다. 즉 $ X= \bigcup_ { i=1 } ^ { n } B_ { e } \left (x_ { i } \right ) $ 를 의미한다.</li></ol> <p>증명</p> <ul> <li> (1)$ \Rightarrow$(2)$ A \subset X $ 를 $ X $ 의 부분집합이지만 극한점을 갖지 않는다고 가정하자. $ A= \bar { A } $ 이므로 $ A $ 는 $ X $ 의 닫힌부분집합이며 컴팩트 이다. $ A $ 는 극한점을 갖지 않으므로 $ A $ 는 이산위상을 갖는다. 각 점이 $ A $ 의 열린부분집합이고 $ A $ 는 $ A $ 의 컴팩트이므로, 따 라서 $ A $ 는 유한집합이다.</li> <li> (2)$ \Longrightarrow$(3) $\left \langle x_ { n } \right \rangle $ 을 $ X $ 상의 점렬이라 하자. 만일 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 중 무한개가 같다면, 그 자체가 부분점렬로서 그 점에 수렴한다. 만일 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 중 무한개의 서로 다른 점이 존 재한다면 (2)에 의하여 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 의 극한점 $ x_ { 0 } \in X $ 가 존재한다. 점 $ x_ { 0 } $ 가 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 의 극한점이므로 $ n_ { 1 } $ 이 존재하여 $ x_ { n_ { 1 } } \in B_ { x_ { 0 } } (1) $ 이고 $ n_ { 2 } $ 가 존재하여 $ x_ { n_ { 2 } } \in B_ { x_ { 0 } } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ), n_ { 2 } >n_ { 1 } $ 이며, 귀납법에 의하여 $ n_ { j } $ 가 존재하여 \[ x_ { n_ { j } } \in B_ { x_ { 0 } } \left ( \frac { 1 } { 2 ^ { j-1 } } \right ), n_ { j } >n_ { j-1 } >\cdots>n_ { 2 } >n_ { 1 } . \] 이때 \[ \lim _ { j \rightarrow \infty } d \left (x_ { n_ { j } } , x_ { 0 } \right ) \leq \lim _ { j \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 2 ^ { j-1 } } =0 \] 이므로 $ \lim _ { j \rightarrow \infty } x_ { n_ { j } } =x_ { 0 } $ 이다.</li> <li>(3) $ \Rightarrow $ (4) 만일 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 이 코시 점렬이라면 (3)에 의하여 수렴하는 부분점렬 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 가 있다. 즉 $ \lim _ { k \rightarrow \infty } x_ { n_ { k } } =x_ { 0 } \in X $ 이다. 더욱이 $ d \left (x_ { n } , x_ { 0 } \right ) \leq d \left (x_ { n } , x_ { n_ { k } } \right ) + d \left (x_ { n_ { k } } , x_ { 0 } \right ) $ 이므로, $ n $ 과 $ n_ { k } \rightarrow \infty $ 에 따라 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } d \left (x_ { n } , x_ { 0 } \right )=0 $ 이다. 따라 서 $ X $ 는 완비이다. 다음은 $ X $ 가 완전유계임을 증명하자. 만일 $ X $ 가 완전유계가 아니라 하면 $ \varepsilon>0 $ 이 존재하여 어떤 유한개의 $ \varepsilon $-볼로도 $ X $ 를 피복할 수 없다. $ x_ { 1 } \in X $ 에 대하여 $ B_ { x_ { 1 } } ( \varepsilon) \neq X $ 이므로 $ x_ { 2 } \in X-B_ { x_ { 1 } } ( \varepsilon) $ 이 존 재하고 $ d \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) \geq \varepsilon $ 이다. $ B_ { x_ { 1 } } ( \varepsilon) \cup B_ { x_ { 2 } } ( \varepsilon) \neq X $ 이므로 $ x_ { 3 } \notin $ $ B_ { x_ { 1 } } ( \varepsilon) \cup B_ { x_ { 2 } } ( \varepsilon) $ 이 존재한다. 이때 $ d \left (x_ { i } , x_ { j } \right ) \geq \varepsilon, 1 \leq i< $ $ j \leq \varepsilon $ 이다. 귀납법으로 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 을 구성하면 $ d \left (x_ { i } , x_ { j } \right ) \geq \varepsilon $, $ i \neq j $ 이다. (3)에 의하여 수렴하는 부분점렬 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 가 존재하 여 $ \lim _ { k \rightarrow \infty } x_ { n_ { k } } =x_ { 0 } \in X $ 이다.이때 $ j_ { 0 } $ 가 존재하여 $ j>j_ { 0 } $ 이면 $ x_ { n_ { j } } \in B_ { x_ { 0 } } \left ( \frac {\varepsilon } { 2 } \right ) $ 이다. $ j_ { 1 } , j_ { 2 } >j_ { 0 } $ 에 대하여 \[ d \left (x_ { n_ { j_ { 1 } } } , x_ { n_ { j_ { 2 } } } \right ) \leq d \left (x_ { n_ { j 1 } } , x_ { 0 } \right ) + d \left (x_ { 0 } , x_ { n_ { j_ { 2 } } } \right )< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon . \] 그러나 $ n_ { j_ { 1 } } \neq n_ { j_ { 2 } } $ 이면 $ d \left (x_ { n_ { j } } , x_ { n_ { j k } } \right ) \geq \varepsilon $ 이므로 모순이다.</li> <li>(4) $ \Rightarrow$(1) 증명을 (i) (4) $ \Rightarrow$(3), (ii) (3), (4) $ \Rightarrow$(1) 과 같이 하자.</li> <ol type=i start=1><li>$ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 을 $ X $ 상의 점렬이라 하자. (4)에 의하여 유한개의 볼 $ B_ { 1 } (1), \ldots, B_ { k_ { 1 } } (1) $ 이 $ X $ 를 피 복한다. $ 1 \leq j_ { 1 } \leq k_ { 1 } $ 과 무한집합 $ J_ { 1 } \subset \mathbb { N } $ 이 존재하여 $ n \in J_ { 1 } $ 이면 $ x_ { u } \in B_ { j 1 } (1) $ 이다. $ n_ { 1 } $ 을 처음 $ x_ { n_ { 1 } } \in B_ { j_ { 1 } } (1) $ 이 라 하자. 다시 (4)에 의하여 유한개의 볼 $ B_ { 1 } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ), \ldots, B_ { k_ { 2 } } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) $ 이 $ X $ 를 피복한다. $ 1 \leq j_ { 2 } \leq k_ { 2 } $ 와 무한집합 $ J_ { 2 } \subset J_ { 1 } $ 이존재하여 $ n \in J_ { 2 } $ 이면 $ \quad x_ { n } \in B_ { j_ { 2 } } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) $ 이다. $ n_ { 2 } $ 를 처음 $ x_ { n_ { 2 } } \in B_ { j_ { 2 } } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ), n_ { 2 } >n_ { 1 } $ 인 정수라 하자. 수학적 귀납법으로 점렬 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 를 구성하자. 이때 $ l \geq k $ 에 대하여 $ x_ { n_ { l } } \in B_ { j_ { k } } \left ( \frac { 1 } { k } \right ) $ 이다. 따라서 $ l, m \geq k $ 에 대하여 $ d \left (x_ { n_ { l } } , x_ { n_ { m } } \right )< \frac { 2 } { k } $ 이므로 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 는 코시점열이다. 공간 $ X $ 가 완비이므로 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 는 수렴한다.</li> <li>$ \mathfrak {\{ l } $ 를 $ X $ 의 열린피복이라 하자. 완전유계에 의하여 다음 을 증명하자. 양의 정수 $ n $ 이 존재하여 모든 $ \frac { 1 } { n } $-볼은 $ \ 1 $ 의 요소에 속함을 보이자. 각 양의 정수 $ n $ 에 대하여 만일 볼 $ B_ { x_ { n } } \left ( \frac { 1 } { n } \right ) $ 이 존재하여 어떤 $ U \in \mathfrak { l } $ 에도 포함되지 않는 다고 하자. (3)에 의하여 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 은 수렴하는 부분점렬 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $ 가 존재 한다. $ \lim _ { k \rightarrow \infty } x_ { n_ { k } } =x_ { 0 } \in U_ { 0 } \in \mathfrak { L } $ 라 하자. $ U_ { 0 } $ 가 열린집합이므로 $ r>0 $ 이 존재하여 $ B_ { x_ { 0 } } (r) \subset U_ { 0 } $ 이 다. 또한 $ k_ { 0 } $ 가 존재하여 $ k \geq k_ { 0 } $ 이면 $ x_ { n_ { k } } \in B_ { x_ { 0 } } \left ( \frac { r } { 2 } \right ) $ 이다. 만일 $ \frac { 1 } { n_ { l } }< \frac { r } { 2 } $ 인 $ l \geq k_ { 0 } $ 이면 $ B_ { x_ { n_ { k } } } \left ( \frac { 1 } { n_ { l } } \right ) \subset B_ { x_ { 0 } } (r) \subset U_ { 0 } $ 이므로 모순이다.</li></ol></ul> <p>주의</p> <p>정리 7.2.2 (Baire Category Theorem)</p> <p>완비거리공간 $ (X, d) $ 는 제이범주이다.</p> <p>증명</p> <p>만일 $ X= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } N_ { n } $ 이고, 각 $ N_ { n } $ 은 조밀한 곳이 없는 집합이라 가정하자. \[ X= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \overline { N_ { n } } \text { 이고 } \phi=X- \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \overline { N_ { n } } = \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } \left (X- \bar { N } _ { n } \right ) \text { . } \] 그러나 각 $ n $ 에 대하여 $ X- \overline { N_ { n } } $ 은 열린집합이고 조밀하다. 정리 7.2.1에 의하여 $ \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } \left (X- \overline { N_ { n } } \right ) \neq \phi $ 이므로 모순이다.</p> <h1>7.3 함수공간(Function Space)</h1> <p>함수공간의 위상을 생각해보자.</p> <p>정의 $ 7.3 .1 $</p> <p>노름선형공간(normed linear space) $ (N, \\| \cdot \\|) $ 의 선형공간 $ N $ 과 함수 $ \\| \cdot \\|: N \rightarrow \mathbb { R } $ 은 다음 조건을 만족한다. 임의의 벡터 $ a, b \in N $ 과 스칼라 $ \lambda $ 에 대하여</p> <ol type= start=1><li>$ \\|a \\| \geq 0, \\|a \\|=0 \Leftrightarrow a=0 $</li> <li>$ \\| \lambda a \\|=\| \lambda\| \\|a \\| $</li> <li>$ \\|a + b \\| \leq \\|a \\| + \\|b \\| $</li></ol> <p>주의</p> <p>노름선형공간 $ (N, \\| \cdot \\|) $ 은 거리공간이다. 자 $ d: N \times N \rightarrow \mathbb { R } $ 을 $ d(a, b) $ $ = \\|a-b \\| $ 로 정의하자.</p> <ol type= start=1><li>$ d(a, b)= \\|a-b \\| \geq 0 $</li> <li>$ d(a, b)=0 \Leftrightarrow \\|a-b \\|=0 \Leftrightarrow a=b $</li> <li>$ d(a, b)= \\|a-b \\|= \\|(-1)(b-a) \\|=\|-1\| \\|b-a \\|=d(b, a) $</li> <li>$ \begin {aligned} d(a, c) &= \\|a-c \\|= \\|(a-b) + (b-c) \\| \leq \\|a-b \\| + \\|b-c \\| \\ &=d(a, b) + d(b, c) \end {aligned} $</li></ol> <p>따라서 $ (N, d) $ 는 거리공간이다. 함수 $ \\| \cdot \\| $ 를 노름(norm)이라 한다.</p> <p>정의 7.3.2</p> <p>노름선형공간 $ (N, \\| \cdot \\|) $ 이 바나크 공간(Banach space)이란 $ (N, d) $ 가 완비 거리공간임을 의미한다.</p> <p>예 7.3.1</p> <p>집합 $ N=C([0,1])= \{ f:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } : $ 연속함수 $ \} $ 에 대하여 임의의 $ f \in N $, $ \\|f \\|= \max _ { x \in[0,1] } \|f(x)\| $ 로 정의하자. 그러면 $ \\| \cdot \\|: N \rightarrow \mathbb { R } $ 은 노름이 된다.</p> <p>정리 $ 7.3 .1 $</p> <p>연속함수들의 일양수렴하는 열은 연속인 함수로 수렴한다. 이 정리에 의하여 예 7.3.1의 함수공간 $ (N, d) $ 는 완비거리공간이 된다. 따라서 $ (N, \\| \cdot \\|) $은 바나크 공간이다.</p> <p>정리 7.3.2</p> <p>모든 $ [0,1] $ 의 점에서 미분 불가능한 함수 $ f \in C([0,1]) $ 이 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>양의 정수 $ n $ 에 대하여 \[C_ { n } = \left \{ f \in C([0,1])\|\| \frac { f(t + h)-f(t) } { h } \mid \leq n, \right . \] $ t $ 가 존재하여 $ t + h \in[0,1] \} $.(1) 모든 $ n $ 에 대하여 $ C_ { n } $ 은 모든 곳에서 조밀하지 않은 집합임을 증명할 것이다. 만일 $ \circledast $ 가 사실이면 $ C([0,1]) $ 이 완비거리공간이므로 제이범주이다. 따라서 $ \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } C_ { u } \neq C([0,1]) $ 이고, $ f \in C([0,1])- \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } C_ { n } $ 이 존재한다. 모든 $ n $ 에 대하여 $ f \notin C_ { n } $ 이므로 모든 $ t \in[0,1] $ 에 대하여 $ h $ 가 존재하여 \[ \left \| \frac { f(t + h)-f(t) } { h } \right \|>n \]이 된다. 각 고정된 $ t $ 에 대하여 만일 $ n \rightarrow \infty $ 이면 $ h \rightarrow 0 $ 이다. 왜냐하면 $ h>\varepsilon>0 $ 이면 $ \left \| \frac { f(t + h)-f(t) } { h } \right \| $ 는 유계이기 때문이다. 따라서 \[ \limsup _ { h \rightarrow 0 } \left \| \frac { f(t + h)-f(t) } { h } \right \|= \infty \]이므로 $ f $ 는 모든 $ t \in[0,1] $ 에 대하여 미분가능이 아니다.®)을 증명하자. 각 $ n $ 에 대하여 $ C_ { n } $ 이 조밀한 곳이 없는 집합이란 닫힌포 $ \overline { C_ { n } } $ 이 열린집합을 포함하지 않는다는 의미이다. $ C_ { n } $ 이 $ C([0,1]) $ 의 닫힌부분집합임을 증명하자. $ C([0,1]) $ 은 거리공간이므로 제일가산이다. 한 부분집합 $ A \subset C([0,1]) $의 극한점은 $ A $ 의 가산부분집합의 극한점이다. 따라서 $ C_ { n } $ 이 닫힌집합임을 보이기 위하여 점렬 $ \left \langle f_ { k } \right \rangle \subset C_ { n } $ 이 $ f \in C([0,1]) $ 에 수렴하면 $ f \in C_ { n } $ 임을 보이면 된다. 각 $ f_ { k } \in C_ { n } $ 에 대하여 $ t_ { k } \in[0,1] $ 이 존재하여 \[ \left \| \frac { f_ { k } \left (t_ { k } + h \right )-f_ { k } \left (t_ { k } \right ) } { h } \right \| \leq n, \quad { } ^ {\forall } t_ { k } + h \in[0,1] . \] $ [0,1] $ 은 컴팩트이므로 $ \left \langle t_ { k } \right \rangle $ 는 수렴하는 부분점렬 $ \left \langle t_ { k } \right \rangle $ 가 존재하여 $ \lim _ { k \rightarrow \infty } t_ { k } =t_ { 0 } $ 이다.</p> <p>$ X $ 는 완비거리공간이다. 함수족 $ F= \left \{ f: X \rightarrow \mathbb { R } \mid f: \right . $ 연속, 각 $ x \in X $ 에 대하여 상수 $ M_ { x } $ 가 존재하여 $ \left .\|f(x)\|<M_ { x } \right \} $ 라 하면 열린부분집합 $ U $ 와 상수 $ M $ 이 존재하여 모든 $ f \in F $ 와 $ x \in U $ 에 대하여 $ \|f(x)\| \leq M $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>각 함수 $ f \in F $ 와 각 양의 정수 $ n $ 에 대하여 $ T_ { n, f } = \{ x \in X\|\| f(x) \mid $ $ \leq n \} $ 이라 하자. $ T_ { n, f } =f ^ { -1 } ([-n, n]) $ 이므로 $ T_ { n, f } $ 는 닫힌집합이다. \[T_ { n } = \bigcap_ { f \in F } T_ { n, f } = \left \{ x \in X\|\| f(x) \mid \leq n, \quad { } ^ {\forall } f \in F \right \} . \] $ T_ { n } $ 은 단힌집합이다. 각 $ x \in X $ 에 대하여 상수 $ M_ { x } >0 $ 이 존재하여 $ \|f(x)\| \leq M_ { x } $ 이므로 양의 정수 $ n>M_ { x } $ 에 대하여 $ x \in T_ { n } $ 이다. 따라서 $ \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } T_ { n } =X $ 이다. Baire 범주 정리에 의하여 $ n $ 이 존재하여 $ \bar { T } _ { n } =T_ { n } $ 은 공집합이 아닌 열린집합 $ U $ 를 포함한다. 모든 $ x \in U $ 와 모든 $ f \in \mathfrak { F } $ 에 대하여 $ \|F(x)\| \leq n $ 이므로 상수 $ M=n $ 으로 잡으면 된다.</p> <p>만일 $ X $ 가 컴팩트거리공간이면 임의의 열린피복에 대하여 $ \varepsilon>0 $ 이 존재하여 각 점의 $ \varepsilon $-볼은 열린피복의 한 열린집합에 들어간다. 이것을 Lebesgue number theorem이라 부르고 존재한 $ \varepsilon>0 $ 을 Lebesgue number라 한다.</p> <h1>7.2 범주 정리(Category Theorem)</h1> <p>정의 7.2.1</p> <p>위상공간 $ X $ 의 부분집합 $ A $ 에 대하여</p> <ol type= start=1><li>부분집합 $ A \subset X $ 가 조밀한 곳이 없음(nowhere dense)이란 단힌포 $ \bar { A } $ 가 $ X $ 의 어떤 열린집합도 포함하지 않음을 의미한다. 즉 $ X- \bar { A } $ 가 조 밀함이다.</li> <li>$ A $ 가 제일범주(first category)란 $ A $ 가 가산개의 조밀한 곳이 없는 집합 의 합집합을 의미한다.</li> <li>$ A $ 가 제일범주가 아닐 때 $ A $ 를 제이범주(second category)라 한다.</li></ol> <p>정리 $ 7.2 .1 $</p> <p>공간 $ (X, d) $ 가 완비거리공간이라 하자. 가산족 $ \left \{ U_ { n } \mid U_ { n } \right . $ 은 $ X $ 의 열린부분 집합이며 조밀하다 $ \} $ 의 교집합은 $ \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } U_ { n } \neq \phi $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>점 $ x_ { 1 } \in U_ { 1 } $ 의 작은 볼 $ B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) \subset U_ { 1 } \subset \overline { U_ { 1 } } =X $ 이다. $ B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) \cap U_ { 2 } \neq \phi $ 이므로 $ x_ { 2 } \in B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) \cap U_ { 2 } $ 라 하자. 다시 $ 0<r_ { 2 }< \min \left \{\frac { r_ { 1 } } { 2 } , d \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) \right \} $ 이고 $ B_ { x_ { 2 } } \left (r_ { 2 } \right ) \subset B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) \cap U_ { 2 } $ 가 되게 $ r_ { 2 } $ 를 택하자. 만일 $ x \in \overline { B_ { x_ { 2 } } \left (r_ { 2 } \right ) } $ 이면 \[ d \left (x, x_ { 1 } \right ) \leq d \left (x, x_ { 2 } \right ) + d \left (x_ { 2 } , x_ { 1 } \right ) \leq r_ { 2 } + d \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )<r_ { 1 } \]이므로 $ x \in B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) $ 이고 $ \overline { B_ { x_ { 2 } } \left (r_ { 2 } \right ) } \subset B_ { x_ { 1 } } \left (r_ { 1 } \right ) $ 이다. 귀납법으로 $ X $ 상에 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 을 얻고, 각 점 $ x_ { n } \in B_ { x_ { n } } \left (r_ { n } \right ) $ 에 대하여 \[ r_ { n }< \frac { r_ { 1 } } { 2 ^ { n-1 } } , \overline { B_ { x_ { n + 1 } } \left (r_ { r + 1 } \right ) } \subset B_ { x_ { n } } \left (r_ { n } \right ) \subset U_ { n } . \]점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 은 코시다. 왜냐하면 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 $ r_ { n_ { 0 } }< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 이라 하자. $ n>n_ { 0 } $ 에 대하여 $ x_ { n } \in B_ { x_ { n } } \left (r_ { n } \right ) \subset B_ { x_ { n_ { 0 } } } \left (r_ { n_ { 0 } } \right ) $ 이고, $ m, n \geq n_ { 0 } $ 에 대 하여 \[ d \left (x_ { m } , x_ { n } \right ) \leq d \left (x_ { m } , x_ { n_ { 0 } } \right ) + d \left (x_ { n_ { 0 } } , x_ { n } \right )<r_ { n_ { 0 } } + r_ { n_ { 0 } }< \varepsilon \] 이다. $ X $ 가 완비이므로 점렬 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $ 은 한 점 $ x_ { 0 } $ 에 수렴한다. 이때 모든 $ n $ 에 대하여 $ x_ { 0 } \in U_ { n } $ 이다. 왜냐하면 \[ x_ { 0 } = \lim _ { k \rightarrow \infty } x_ { n + k } , x_ { 0 } \in \overline { B_ { x_ { n + 1 } } \left (r_ { n + 1 } \right ) } \subset B_ { x_ { n } } \left (r_ { n } \right ) \subset U_ { n } \]이기 때문이다.</p> <p>함수 $ g $ 의 $ \varepsilon $ 근방 내에 톱니함수(sawtooth function) $ f $ 를 구성해야 한다. $ [0,1] $ 이 컴팩트이므로 $ g $ 는 일양연속이다. 양수 $ \delta>0 $ 이 존재하여 $ \left \|t_ { 1 } -t_ { 2 } \right \|< \delta $ 이면 $ \left \|g \left (t_ { 1 } \right )-g \left (t_ { 2 } \right ) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 이다. 단위 구간 $ [0,1] $ 을 $ 0< \frac { 1 } { n }< \cdots< \frac { n-1 } { n }<1 $ 의 $ n $ 개의 작은 구간으로 자르자. 단, $ 0< \frac { 1 } { n }< \delta $ 이다. 여기서 $ f:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } $ 이 $ \\|f-g \\|< \varepsilon $ 이며 $ \left \| \frac { f \left (x + \frac { 1 } { n } \right )-f(x) } {\frac { 1 } { n } } \right \|>\varepsilon $인 톱니함수가 되도록 구성하면 된다.</p> <p>예 7.3.2</p> <p>$ X= \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid y \geq 0 \right \} \supset \mathbb { R } ^ { 1 } = \{ x=(x, 0) \mid x \in \mathbb { R } \} $ 이라 하고 $ \mathfrak { B } _ { 1 } $ 을 $ X- \mathbb { R } ^ { 1 } $의 열린부분집합들이라 하며, $ \mathfrak { B } _ { 2 } = \left \{ B_ { (x, \varepsilon) } ( \varepsilon) \cup \{ x \} \mid x \in \mathbb { R } ^ { 1 } , \varepsilon>0 \right \} $ 이라 하자. $ \mathfrak { B } _ { 1 } \cup \mathfrak { B } _ { 2 } $ 는 $ X $ 상에 위상을 위한 기저가 된다. 이때 부분공간 $ \mathbb { R } ^ { 1 } \subset X $ 는 이산 위상을 갖는다.</p> <ol type= start=1><li>$ X $ 는 정칙이다.</li> <li>$ X $ 는 정규가 아니다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type= start=1><li>단힌부분집합 $ F \subset X $ 와 $ P \in X-F $ 에 대하여 만일 $ P \notin \mathbb { R } ^ { 1 } $ 이면 $ \varepsilon>0 $ 인 볼 $ B_ { P } ( \varepsilon) \in X-F $ 가 존재한다. 이때 $ B_ { P } \left ( \frac {\varepsilon } { 2 } \right ) $ 과 $ X- \overline { B_ { P } \left ( \frac {\varepsilon } { 2 } \right ) } $ 은 서로소인 $ P $ 와 $ F $ 의 근방이 된다. 만일 $ P \in \mathbb { R } ^ { 1 } $ 이면 $ P $ 의 근방 $ P \in V $ 가 존재하고 이는 $ V \subset X-F $ 이다. $ P \in V_ { 1 } \subset \overline { V_ { 1 } } \subset V $ 가 되는 $ P $ 의 기저열린근방 $ V_ { 1 } $ 이 존재한다. $ U=X- \overline { V_ { 1 } } $ 이라 하면 $ U $ 는 열린집합이고 $ U=X- \overline { V_ { 1 } } \supset X-V_ { 1 } $ $ \supset X-V \supset F $ 이므로 $ V_ { 1 } $ 과 $ U $ 는 서로소인 $ P $ 와 $ F $ 의 근방이다.</li> <li>$ F_ { 1 } \subset \mathbb { R } ^ { 1 } $ 은 유리수의 집합, $ F_ { 2 } \subset \mathbb { R } ^ { 1 } $ 은 무리수의 집합이라 하자. $ F_ { 1 } $ 과 $ F_ { 2 } $ 는 $ X $ 에서 서로소인 닫힌부분집합이다. $ X $ 내에 열린집합 $ U_ { 1 } $ 과 $ U_ { 2 } $ 가 $ F_ { 1 } \subset U_ { 1 } , F_ { 2 } \subset U_ { 2 } , U_ { 1 } \cap U_ { 2 } = \phi $ 을 만족한다고 가정하자. 각 점 $ P \in F_ { 1 } \cup F_ { 2 } $ 는 기저열린집합 $ U_ { P } \subset U_ { 1 } $ 혹은 $ U_ { P } \subset U_ { 2 } $ 가 존 재한다. $ F_ { 1 } \subset \bigcup_ { P \in F_ { 1 } } U_ { P } \subset U_ { 1 } $ 이고 $ F_ { 2 } \subset \bigcup_ { P \in F_ { 2 } } U_ { p } \subset U_ { 2 } $ 이다. 함수 $ f: \mathbb { R } ^ { 1 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 1 } $ 을 $ f(P)=U_ { P } $ 의 반지름으로 정의하자. 각 양의 정수 $ n $ 에 대하여 \[T_ { n } = \left \{ P \in F_ { 2 } \mid f(P) \geq \frac { 1 } { n } \right \} \]이라고 두면 $ \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } T_ { n } =F_ { 2 } $ 이고 \[ \mathbb { R } ^ { 1 } = \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } T_ { n } \right ) \cup \left ( \bigcup_ { q \in F_ { 1 } } \{ q \} \right ) \]는 가산합집합이 된다. 지금 $ \mathbb { R } ^ { 1 } $ 을 보통(usual topology) 실직선이라 하자. $ \mathbb { R } ^ { 1 } $ 은 완비거리공간이므로 제이범주이고 $ T_ { n } $ 중 하나 $ \overline { T_ { n } } $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 1 } $ 의 열린집합을 포함한다. 즉 $ \overline { T_ { n } } $ 는 열린구간 $ \mathrm { I } $ 을 포함하고 $ \mathrm { II } $ 는 유리수 $ q $ 를 포함한다. $ q \in \overline { T_ { n } } $ 는 점렬 $ \left \langle q_ { k } \right \rangle \subset T_ { n } $ 이 존재하여 $ q $ 에 수렴한다. 한편 $ \left ( \bigcup_ { k=1 } ^ {\infty } U_ { q_ { k } } \right ) \cap U_ { q } \subset U_ { 1 } \cap U_ { 2 } = \phi $ 이다. 각 $ U_ { q_ { k } } $ 의 반지름 $ \geq \frac { 1 } { n } $ 이므로 $ f \left (q_ { k } \right ) \nrightarrow 0, k \rightarrow \infty $ 일 때 이것은 모순 이다. 왜냐하면 $ q $ 에서 어떤 기저열린근방을 잡아도 가까운 $ q_ { k } $ 의 기 저열린근방과 교집합이 생기기 때문이다.</li></ol> <p>정리 7.3 .3 (Uniform Boundedness Principle)</p> <p>$ \left \| \frac { f \left (t_ { 0 } + h \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { h } \right \| $ $ \quad= \mid \frac { 1 } { h } \left [ \left (f \left (t_ { 0 } + h \right )- \left (f \left (t_ { k } + h \right ) \right ) + f \left (t_ { k } + h \right )-f_ { k } \left (t_ { k } + h \right ) \right ) \right . $ $ \left . \quad + \left (f_ { k } \left (t_ { k } + h \right )-f_ { k } \left (t_ { k } \right ) \right ) + \left (f_ { k } \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { k } \right ) \right ) + \left (f \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \right ] \mid $ $ \quad \leq \left \| \frac { f \left (t_ { 0 } + h \right )-f \left (t_ { k } + h \right ) } { h } \right \| + \left \| \frac { f \left (t_ { k } + h \right )-f_ { k } \left (t_ { k } + h \right ) } { h } \right \| $ $ \quad + \left \| \frac { f_ { k } \left (t_ { k } + h \right )-f_ { k } \left (t_ { k } \right ) } { h } \right \| + \left \| \frac { f_ { k } \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { k } \right ) } { h } \right \| + \left \| \frac { f_ { k } \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { h } \right \| $ $ h $ 를 고정하고 임의의 $ \varepsilon>0 $, 만일 $ k \gg 0 $ 이 충분히 크면 (1)과 (5)는 $ t_ { k } \rightarrow t_ { 0 } $ 이므로 $ \varepsilon $ 보다 작게 되고, (2)와 (4)는 $ f_ { k } \rightarrow f $ 이므로 $ \varepsilon $ 보다 작게 되며, (3) $ \leq n $ 이 된다. 따라서 \[ \left \| \frac { f \left (t_ { 0 } + h \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { h } \right \| \leq n + 4 \varepsilon, \quad { } ^ {\forall } \varepsilon>0 \]이고 $ \left \| \frac { f \left (t_ { 0 } + h \right )-f \left (t_ { 0 } \right ) } { h } \right \| \leq n $ 이며 $ f \in C_ { n } $ 이다. 따라서 각 $ C_ { n } $ 은 닫힌집합이다. 다음은 $ C_ { n } $ 이 조밀한 곳이 없는 집합임을 증명하자. 즉 각 점 $ g \in C_ { n } = \overline { C_ { n } } $, 임의의 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 $ f \in C([0,1])-C_ { n } $ 이 존재하여 $ \\|f-g \\|< \varepsilon $ 임을 보이자.</p>	자연
대수적 위상수학_특이코호몰로지	<p>$2 $. $ F $ 가 체(field)이면 $ H ^ { k } (X ; F) \simeq H_ { k } (X ; F) ^ { * } $ 임을 보이시오.</p> <p>$3 $. 모든 $ k $ 에 대하여 $ H_ { k } (X) $ 가 유한개의 생성원을 갖고, 자유 부분군 $ F_ { k } (X) $ 와 토존 부분군(torsion subgroup) $ T_ { k } (X) $ 를 가지면, 즉 \[ H_ { k } (X) = F_ { k } (X) \oplus T_ { k } (X) \text { 이면 } H ^ { k } (X) \simeq F_ { k } (X) \oplus T_ { k-1 } (X) \] 임을 보이시오.</p> <p>$4 $. 사슬복체 \[ \cdots \rightarrow S_ { n + 1 } (X) \stackrel {\partial_ { n + 1 } } {\longrightarrow } S_ { n } (X) \stackrel {\partial_ { n } } {\longrightarrow } S_ { n-1 } (X) \rightarrow \cdots \] 에서 $ 0 \rightarrow B_ { n } (X) \stackrel { j_ { n } } {\longrightarrow } Z_ { n } (X) \rightarrow H_ { n } (X: \mathbb { Z } ) \rightarrow 0 $ 은 완전열이다. 여기에 아벨군 $ G $ 를 텐서하면 \[ 0 \rightarrow \operatorname { Tor } \left (H_ { n } (X), G \right ) \rightarrow B_ { n } \otimes G \stackrel { j_ { n } \otimes I } {\longrightarrow } Z_ { n } \otimes G \rightarrow H_ { n } (X) \otimes G \rightarrow 0 \] 가 된다. 여기서 $ \operatorname { Tor } \left (H_ { n-1 } (X), G \right ) $ 는 $ j_ { n } \otimes I $ 의 핵(kernel)이다.</p> <ol type= start=1><li>$ 0 \rightarrow H_ { n } (X: \mathbb { Z } ) \otimes G \rightarrow H_ { n } (X: G) \rightarrow \operatorname { Tor } \left (H_ { n-1 } (X: \mathbb { Z } ), G \right ) \rightarrow 0 $ 이 분리완전열임을 보이시오.</li> <li>$ \operatorname { Tor } \left (H_ { n-1 } (X: \mathbb { Z } ), \mathbb { Z } _ { 2 } \right ) $ 는 $ H_ { n-1 } (X: \mathbb { Z } ) $ 의 order 2 인 원소들의 부분 군임을 보이시오.</li> <li>$ \operatorname { Tor } \left ( \mathbb { Z } , \mathbb { Z } _ { n } \right )=0, \operatorname { Tor } \left ( \mathbb { Z } _ { n } , \mathbb { Z } _ { m } \right )= \mathbb { Z } _ { d } , d= \operatorname { gcd } (n, m) $ 임을 보이시오.</li></ol> <h1>4.2 연습문제</h1> <p>$[1-8] $ 다음 특이코호몰로지에 대한 몇 가지 기본성질을 증명하시오.</p> <p>$1 $. $ c: X \rightarrow P $ 가 상수맵이면 $ c ^ { * } : H ^ { 0 } (P) \rightarrow H ^ { 0 } (X) $ 의 여핵(cokernel)을 \[ H ^ { 0 } (X)=H ^ { 0 } (X) / \operatorname { Im } c ^ { * } \] 로 정의한다. 여기서 $ H ^ { 0 } (X) $ 를 축소 0 번째 코호몰로지군(reduced 0-th cohomology group)이라 한다. 만일 $ A \neq \phi $ 이면, $ H ^ { 0 \# } (X, A)=H ^ { 0 } (X, A) $ 라 정의하면 $ () \quad 0 \rightarrow H ^ { 0 \# } (X, A) \rightarrow H ^ { 0 \# } (X) \rightarrow H ^ { 0 \# } (A) \rightarrow H ^ { 1 } (X, A) \rightarrow H ^ { 1 } (X) \rightarrow \cdots $ 은 완전열이다. ()를 축소 코호몰로지완전열(reduced cohomology exact sequence)이라 부른다.</p> <p>$2 $. $ X \supset X_ { 1 } \supset A $ 에 대하여 \[ \cdots \rightarrow H ^ { k } \left (X, X_ { 1 } \right ) \rightarrow H ^ { k } (X, A) \rightarrow H ^ { k } \left (X_ { 1 } , A \right ) \rightarrow H ^ { k + 1 } \left (X, X_ { 1 } \right ) \rightarrow \cdots \] 은 완전열이다.</p> <p>$3 $. 완전분할 $ \left (X, X_ { 1 } , X_ { 2 } \right ) $ 에 대하여 마이어-비토리스열 \[ \cdots \rightarrow H ^ { k } (X) \rightarrow H ^ { k } \left (X_ { 1 } \right ) \oplus H ^ { k } \left (X_ { 2 } \right ) \rightarrow H ^ { k } (A) \rightarrow \cdots \] 은 완전열이다. 여기서 $ X=X_ { 1 } \cup X_ { 2 } , A=X_ { 1 } \cap X_ { 2 } $ 이다.</p> <p>$4 $. $ X $ 가 한 점으로 축약(contractible)이면 $ H ^ { k \# } (X)=0, { } ^ {\forall } k $ 이다.</p> <p>$5 $. $ X $ 가 패스성분의 서로소인 합집합 $ X= \coprod_ { i } X_ { i } $ 이면 \[ H ^ { k } (X)= \bigoplus_ { i } H ^ { k } \left (X_ { i } \right ) \] 이고, $ \phi \neq A \subset X $ 가 패스연결이면 $ H ^ { 0 } (X)= \mathbb { Z } $ 이며 $ H ^ { 0 } (X, A)=0 $ 이다.</p> <p>$6 $. 쌍 $ \left (E ^ { n } , S ^ { n-1 } \right ) $ 에 대하여 경계맵 \[ \delta: H ^ { k \# } \left (S ^ { n-1 } \right ) \rightarrow H ^ { k + 1 } \left (E ^ { n } , S ^ { n-1 } \right ) \] 은 동형맵이고 \[ H ^ { k \# } \left (S ^ { n } \right )= \left \{\begin {array} { ll } \mathbb { Z } , & k=n \\ 0, & \text { 그 외 } \end {array} \right . \] 이다.</p> <p>$7 $. 맵 $ E \supset S ^ { n-1 } \stackrel { f } {\rightarrow } Y $ 에 의한 첨가공간 $ Z=E \bigcup_ { f } Y $ 에 대하여,<ol type= start=1><li>만일 $ k \neq n, n-1 $ 이면 $ H ^ { k } (Z) \rightarrow H ^ { k } (Y) $ 는 동형맵이다.</li> <li>$ H ^ { n-1 } (Z) \simeq \operatorname { Ker } \left [H ^ { n-1 } (f): H ^ { n-1 } (Y) \rightarrow H ^ { n-1 } \left (S ^ { n-1 } \right ) \right ] $</li> <li>$ 0 \rightarrow \operatorname { Coker } H ^ { n-1 } (f) \rightarrow H ^ { n } (Z) \rightarrow H ^ { n } (Y) \rightarrow 0 $ 은 완전열이다.</li></ol>여기서 $ f: \left (E ^ { n } , S ^ { n-1 } \right ) \rightarrow(Z, Y) $ 이고, 대응하는 완전열 $ \cdots \rightarrow H ^ { n-1 } (Z) \rightarrow H ^ { n-1 } (Y) \stackrel { H ^ { n-1 } (f) } {\longrightarrow } H ^ { n-1 } \left (S ^ { n-1 } \right ) \rightarrow H ^ { n } (Y) \rightarrow \cdots $ $ H ^ { n } (Z, Y) \stackrel { H ^ { n } (f) } {\longrightarrow } H ^ { n } \left (E ^ { n } , S ^ { n-1 } \right ) $ 은 동형맵이다.</p> <p>$8 $. 정리 $ 4.2 .3 $ 을 증명하시오.</p> <p>다음은 대수학에 속하는 유용한 정리를 증명없이 소개하자. 자세한 증명은 $ \mathrm { T } $. Hungerford의 책 Algebra를 참조하자.</p> <p>정리 $4.3.2 $</p> <p>$ R $ 은 환이고, \[ 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \] 은 $ R $ 모듈로서 완전열이라 하자.</p> <p>$(1) $ 좌 $ R $ 모듈(left $ R $ module) $ D $ 에 대하여, 홈 함수자(hom functor) $ \operatorname { Hom } _ { R } (D $, - )를 취하면 \[ 0 \rightarrow \operatorname { Hom } _ { R } (D, A) \rightarrow \operatorname { Hom } _ { R } (D, B) \rightarrow \operatorname { Hom } _ { R } (D, C) \] 는 완전열이다. 즉 $ \operatorname { Hom } _ { R } (D, \cdot) $ 는 좌완전함수자(left exact functor)이다.</p> <p>$(2) $ 우 $ R $ 모듈(right $ R $ module) $ D $ 에 대하여, 텐서 함수자(tensor functor) $ D \otimes_ { R } $ 를 취하면 \[ D \otimes_ { R } A \rightarrow D \otimes_ { R } B \rightarrow D \otimes_ { R } C \rightarrow 0 \] 은 완전열이다. 즉 $ D \otimes { } _ { R } $ 은 우완전함수자(right exact functor)이다.</p> <p>$(3) $ 만일 \[ 0 \rightarrow A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow 0 \] 이 분리완전열(split exact sequence)이면 $ \operatorname { Hom } _ { R } (D, \quad) $ 와 $ D \otimes_ { R } $ 은 완전함수자(exact functor)이다.</p> <p>$(4) $ $ \operatorname { Hom } _ { R } \left (A \otimes { } _ { R } B, C \right ) \simeq \operatorname { Hom } _ { R } \left (A, \operatorname { Hom } _ { R } (B, C) \right ) $ 는 동형이다.</p> <h1>4.3 연습문제</h1> <p>$1 $. 완전열 $ 0 \rightarrow \mathbb { Z } \stackrel { n } {\longrightarrow } \mathbb { Z } \rightarrow \mathbb { Z } _ { n } \rightarrow 0 $ 에 대하여 사슬복합체의 완전열 \[ 0 \rightarrow S(X) \stackrel { n } {\longrightarrow } S(X) \rightarrow \mathbb { Z } _ { n } \otimes S(X) \rightarrow 0 \] 을 사용하여 ⓐ $ \cdots \rightarrow H_ { k } (X ; \mathbb { Z } ) \stackrel { n } {\rightarrow } H_ { k } (X ; \mathbb { Z } ) \rightarrow H_ { k } \left (X ; \mathbb { Z } _ { n } \right ) \stackrel {\beta } {\rightarrow } H_ { k-1 } (X ; \mathbb { Z } ) \rightarrow \cdots $ ⓑ $ \cdots \rightarrow H ^ { k-1 } (X ; \mathbb { Z } ) \stackrel {\beta } {\rightarrow } H ^ { k } \left (X ; \mathbb { Z } _ { n } \right ) \rightarrow H ^ { k } (X ; \mathbb { Z } ) \stackrel { n } {\rightarrow } H ^ { k } (X ; \mathbb { Z } ) \rightarrow \cdots $ 가 완전열임을 보이시오. 여기서 $ \beta $ 를 복스타인 준동형맵(Bockstein homomorphism)이라 부른다.</p> <h1>4.3 계수변환(Coefficient Change)</h1> <p>지금까지 호몰로지군과 코호몰로지군의 계수는 정수 $ \mathbb { Z } $ 였다. 계수변환을 생각해보자. $ R $ 을 환(ring), $ M $ 과 $ N $ 을 $ R $ 모듈(module)이라 하자.</p> <p>정의 $4.3.1 $</p> <p>$ M $ 의 분해(resolution)는 사슬복합체(chain complex) $ C = \left (C_ { q } , \partial_ { q } \right ) $ 로서 $ \varepsilon: C_ { 0 } \rightarrow M $ 은 전사준동형맵 $ \operatorname { Im } \partial_ { k } = \operatorname { Ker } _ { k-1 } (k>1), \operatorname { Im } \partial_ { 1 } = \operatorname { Ker } \varepsilon $, $ C_ { k } $ 는 자유 $ R $ 모듈(free $ R $ module)로 정의한다. 홈 함수자(hom functor) $ \operatorname { Hom } _ { R } (, N):=H( $ 를 $ M $ 의 분해(resolution) \[ \cdots \rightarrow C_ { k } \stackrel {\partial_ { k } } {\longrightarrow } C_ { k-1 } \rightarrow \cdots \stackrel {\partial_ { 1 } } {\longrightarrow } C_ { 0 } \stackrel {\varepsilon } {\rightarrow } M \rightarrow 0 \] 에 작용하면 코사슬복합체(cochain complex) \[ \begin {array} { c } C ^ { * } = \left \{\left (H \left (C_ { q } \right ), \partial_ { q } ^ { * } : H \left (C_ { q-1 } \right ) \rightarrow H \left (C_ { q } \right ) \right ) \right \} , \\ \text { 즉 } \\ 0 \rightarrow H(M) \stackrel {\varepsilon ^ { * } } {\longrightarrow } H \left (C_ { 0 } \right ) \stackrel {\partial_ { 1 } ^ { * } } {\longrightarrow } \cdots H \left (C_ { k-1 } \right ) \stackrel {\partial_ { k } ^ { * } } {\longrightarrow } H \left (C_ { k } \right ) \stackrel {\partial_ { k + 1 } ^ { * } } {\longrightarrow } H \left (C_ { k + 1 } \right ) \rightarrow \cdots \end {array} \] 이 유도된다.</p> <p>공간쌍 $ (X, A) $ 에 대한 사슬복합체 \[ 0 \rightarrow S_ { k } (A) \stackrel { i } {\rightarrow } S_ { k } (X) \stackrel { p } {\rightarrow } S_ { k } (X, A) \rightarrow 0 \] 은 완전열이다. 여기에 $ \operatorname { Hom } (, \mathbb { Z } ) $ 를 작용하면 \[ 0 \rightarrow S ^ { k } (X, A) \stackrel { p ^ {\# } } {\rightarrow } S ^ { k } (X) \stackrel { i ^ {\# } } {\rightarrow } S ^ { k } (A) \rightarrow 0 \] 은 완전열이다.</p> <p>다음은 연결준동형맵(connecting homomorphism)을 정의하자. 간단한 계산으로 $(1) $ $ \delta \circ p ^ {\# } =p ^ {\# } \circ \delta $ $(2) $ $ \delta \circ i ^ {\# } =i ^ {\# } \circ \delta $ 임을 알 수 있다.</p> <p>따라서 \[ H ^ { k } (X, A) \stackrel { p ^ { * } } {\longrightarrow } H ^ { k } (X) \stackrel { i ^ { * } } {\longrightarrow } H ^ { k } (A) \] 가 유도된다.</p> <p>각 $ c \in Z ^ { k } (A) $ 에 대하여 $ c ^ {\prime } \in S ^ { k } (X) $ 가 있어 $ i ^ {\# } \left (c ^ {\prime } \right )=c $ 이고 \[ i ^ {\# } \delta \left (c ^ {\prime } \right )= \delta i ^ {\# } \left (c ^ {\prime } \right )= \delta(c)=0 \] 이므로 \[ \delta \left (c ^ {\prime } \right ) \in \operatorname { Ker } i ^ {\# } = \operatorname { Im } p ^ {\# } \] 이고 $ d \in S ^ { k + 1 } (X, A) $ 가 존재하여 $ p ^ {\# } (d)= \delta \left (c ^ {\prime } \right ) $ 이다. \[ p ^ {\# } \delta(d)= \delta p ^ {\# } (d)= \delta \delta \left (c ^ {\prime } \right )=0 \] 이고 $ p ^ {\# } $ 가 단사이므로 $ \delta(d)=0 $ 이고 $ d \in Z ^ { k + 1 } (X, A) $ 이다.</p> <p>연결준동형맵을 \[ \delta: H ^ { k } (A) \rightarrow H ^ { k + 1 } (X, A), \delta([c])=[d] \] 로 정의한다.</p> <p>$(2) $ 맵 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 특이코사슬 간의 특이사슬맵(singular cochain map) \[ S ^ { k } (f): S ^ { k } (Y) \rightarrow S ^ { k } (X) \] 를 $ c \in S ^ { k } (Y), \sigma \in S_ { k } (X) $ 에 대하여 \[ \left [ \sigma, S ^ { k } (f) c \right ]= \left [S_ { k } (f) \sigma, c \right ] \] 로 정의한다.</p> <p>(3) 코경계맵(coboundary map) \[ \begin {array} { c } \delta: S ^ { k } (X) \rightarrow S ^ { k + 1 } (X), \\{ [ \sigma, \delta(c)]=[ \partial \sigma, c], c \in S ^ { k } (X), \sigma \in S_ { k + 1 } (X) } \end {array} \] 로 정의한다.</p> <p>정리 $4.2.1 $</p> <ol type= start=1><li>맵 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대하여 $ \delta S ^ { k } (f)=S ^ { k + 1 } (f) \delta $ 이다.</li> <li>$ \delta \circ \delta=0 $ 이다.</li></ol> <p>[증명]</p> <p>정의와 호몰로지에 대한 쌍대성으로부터 쉽게 증명된다.</p> <p>정의 $4.2.2 $</p> <p>공간 $ X $ 에 대하여 코사슬군과 코경계맵들의 복합체(complex) \[ \cdots \rightarrow S ^ { k-1 } (X) \stackrel {\delta } {\rightarrow } S ^ { k } (X) \stackrel {\delta } {\rightarrow } S ^ { k + 1 } (X) \rightarrow \cdots \] 를 생각하자. 코사이클군(cocycle group) : \[ Z ^ { k } (X):= \operatorname { Ker } \left [ \delta: S ^ { k } (X) \rightarrow S ^ { k + 1 } (X) \right ] \] 코경계군(coboundary group) : \[ B ^ { k } (X):= \operatorname { Im } \left [ \delta: S ^ { k-1 } (X) \rightarrow S ^ { k } (X) \right ] \] $ k $ 차원 특이코호몰로지군( $ k $-th singular cohomology group) : \[ H ^ { k } (X)= \frac { Z ^ { k } (X) } { B ^ { k } (X) } \] 로 정의한다. 맵 $ f: X \rightarrow Y $ 에 대해 정리 4.2.1에 의하여 \[ S ^ { k } (f): S ^ { k } (Y) \rightarrow S ^ { k } (X) \] 는 코사이클을 코사이클로, 코경계를 코경계로 보낸다. 따라서 준동형맵 \[ H ^ { k } (f): H ^ { k } (Y) \rightarrow H ^ { k } (X) \] 는 잘 정의된다.</p> <p>$(4) $ 방향불가 곡면 $ U_ { h } $ 에 대하여 $ 3.7 $ 절의 연습문제 $3 $을 사용하면, $ U_ { h } $ 의 $ \mathbb { Z } _ { 2 } $ 계수에서 코호몰로지는 \[ H ^ { k } \left (U_ { h } ; \mathbb { Z } _ { 2 } \right ) \simeq H_ { k } \left (U_ { h } ; \mathbb { Z } _ { 2 } \right ) ^ { * } \simeq \left \{\begin {array} { ll } \mathbb { Z } _ { 2 } , & k=0,2 \\ \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { h } , & k=1 \\ 0, & \text { 그 외 } \end {array} \right . \] 이고, $ U_ { h } $ 의 $ \mathbb { Z } $ 계수에서 코호몰로지는 \[ H ^ { k } \left (U_ { h } ; \mathbb { Z } \right )= \left \{\begin {array} { ll } \mathbb { Z } , & k=0 \\ \mathbb { Z } ^ { h-1 } , & k=1 \\ \mathbb { Z } _ { 2 } , & k=2 \\ 0, & k>2 \end {array} \right . \] 이다.</p> <p>$(5) $ 정리 $3.7.4 $에 의하여, $ \mathbb { R P } ^ { n } $ 의 $ \mathbb { Z } _ { 2 } $ 계수의 코호몰로지는 \[ H ^ { k } \left ( \mathbb { R } \mathbb { P } ^ { n } ; \mathbb { Z } _ { 2 } \right )= \left \{\begin {array} { ll } \mathbb { Z } _ { 2 } , & 0 \leq k \leq n \\ 0, & \text { 그 외 } \end {array} \right . \] 이다.</p> <h1>$ 4.2 $ 특이코호몰로지(Singular Cohomology)</h1> <p>특이호몰로지는 위상공간을 아벨군에 대응시켜 여러 가지 위상성질을 유도했다.</p> <p>특이코호몰로지는 호몰로지의 쌍대(dual) 개념으로 위상공간을 아벨군에 대응시키지만 호몰로지와 짝(pairing)을 이루고 호몰로지는 공변함수자(covariant functior)이지만 코호몰로지는 반변함수자(contravariant functor)이다.</p> <p>정의 $4.2.1 $</p> <p>$(1) $ 특이코사슬(singular cochain)들의 자유아벨군을 \[ S ^ { k } (X) = S_ { k } (X) ^ { * } = \operatorname { Hom } _ {\mathbb { Z } } \left (S_ { k } (X), \mathbb { Z } \right ) \] 로 정의한다. $ S ^ { k } (X) $ 를 $ X $ 의 $ k $ 차 특이코사슬군 $ (k $-th singular cochain group)이라 부른다. $ X $ 의 $ k $ 차 특이코사슬군 $ S ^ { k } (X) $ 의 원소인 준동형맵 $ c: S_ { k } (X) \rightarrow \mathbb { Z } $ 을 $ X $ 의 특이 $ k $ 코사슬(singular $ k $-cochain)이라 한다. 특이사슬과 특이코 사슬은 짝(pairing)을 이룬다. 즉, \[ [,]: S_ { k } (X) \times S ^ { k } (X) \rightarrow \mathbb { Z } \] 는 이중 준동형맵(bi-homomorphism)으로 각 $ c, c_ { 1 } , c_ { 2 } \in S ^ { k } (X), \sigma, \sigma_ { 1 } , \sigma_ { 2 } \in S_ { k } (X), \gamma \in \mathbb { Z } $ 에 대하여 \[ \begin {array} { l } {\left [ \sigma_ { 1 } + \sigma_ { 2 } , c \right ]= \left [ \sigma_ { 1 } , c \right ] + \left [ \sigma_ { 2 } , c \right ], } \\{\left [ \sigma, c_ { 1 } + c_ { 2 } \right ]= \left [ \sigma, c_ { 1 } \right ] + \left [ \sigma, c_ { 2 } \right ], } \\{ [ \gamma \sigma, c]= \gamma[ \sigma, c]=[ \sigma, \gamma c] } \end {array} \] 이다.</p> <p>정리 $4.2.3 $</p> <p>특이코호몰로지는 다음 성질을 갖는다.</p> <p>$(1) $ 각 $ k $ 에 대하여 \[ H ^ { k } : \text { Top } \rightarrow \text { Abel } \] 은 반변함수자(contravariant functor)이다.</p> <p>$(2) $ 각 공간쌍 $ (X, A) $ 에 대하여 \[ 0 \rightarrow H ^ { 0 } (X, A) \rightarrow H ^ { 0 } (X) \rightarrow H ^ { 0 } (A) \stackrel {\delta } {\rightarrow } H ^ { 1 } (X, A) \rightarrow \cdots \] 은 완전열이다.</p> <p>$(3) $ 각 맵 $ f:(X, A) \rightarrow(Y, B) $ 에 대하여 다음 다이어그램 \[ \begin {array} { c } H ^ { k } (A) \stackrel {\delta } {\longrightarrow } H ^ { k + 1 } (X, A) \\ \uparrow H ^ { k } (f) \uparrow H ^ { k + 1 } (f) \\ H ^ { k } (B) \stackrel {\delta } {\longrightarrow } H ^ { k + 1 } (Y, B), k \end {array} \] 은 교환이다.</p> <p>$(4) $ 만일 두 맵 $ f, g:(X, A) \rightarrow(Y, B) $ 가 호모토픽이면 \[ H ^ { k } (f) = H ^ { k } (g), k \] 이다.</p> <p>$(5) $ 만일 $ \bar { U } \subset A ^ {\circ } \subset X $ 이면, 포함맵 \[ i:(X-U, A-U) \rightarrow(X, A) \] 에 대하여 \[ i ^ { * } : H ^ { k } (X, A) \stackrel {\simeq } {\longrightarrow } H ^ { k } (X-U, A-U), k \] 가 동형맵이다.</p> <p>$(6) $ $ H ^ { k } ( \{$ 점 $ \} )= \left \{\begin {array} { ll } \mathbb { Z } , & k=0 \\ 0, & \text { 그 외. } \end {array} \right . $</p> <p>[증명]</p> <p>특이호몰로지에서 위의 정리와 같은 성질이 유도되었다. 특이코호몰로지는 특이호몰로지의 쌍대 개념으로 증명을 자연스럽게 따라가면 증명된다.</p> <p>정리 $4.2.2 $</p> <ol type= start=1><li>항등맵 $ I_ { X } : X \rightarrow X $ 에 대하여 $ H ^ { k } \left (I_ { X } \right )=I_ { H ^ { k } (X) } $ 이다.</li> <li>합성맵 $ X \stackrel { f } {\longrightarrow } Y \stackrel { g } {\longrightarrow } Z $ 에 대하여 \[ H ^ { k } (g \circ f)=H ^ { k } (f) \circ H ^ { k } (g) \] 이다.</li></ol> <p>정의 $4.2.3 $</p> <p>공간쌍 $ (X, A) $ 에 대하여 관계사슬군(relative chain group)은 \[ S_ { k } (X, A)=S_ { k } (X) / S_ { k } (A) \] 이다. 관계코사슬군(relative cochain group)의 관계코경계맵(relative coboundary map) \[ S ^ { k } (X, A):= \operatorname { Hom } _ {\mathbb { Z } } \left (S_ { k } (X, A), \mathbb { Z } \right ) \] 라 하고 \[ \delta: S ^ { k } (X, A) \rightarrow S ^ { k + 1 } (X, A) \] 를 \[ [ \sigma, \delta c]=[ \partial \sigma, c], c \in S ^ { k } (X, A), \sigma \in S_ { k + 1 } (X, A) \] 로 정의하자. 관계특이코호몰로지군(relative singular cohomology group)을 \[ H ^ { k } (X, A)= \frac {\operatorname { Ker } \left [ \delta: S ^ { k } (X, A) \rightarrow S ^ { k + 1 } (X, A) \right ] } {\operatorname { Im } \left [ \delta: S ^ { k-1 } (X, A) \rightarrow S ^ { k } (X, A) \right ] } \] 로 정의한다.</p> <p>[주의]</p> <p>여기서 $ \delta \circ \delta=0 $ 이다. 의미상으로 명확하기 때문에 경계맵 $ \partial $ 과 코경계맵 $ \delta $ 을 복체 $ S(X) $ 와 관계복체 $ S(X, A) $ 에 혼용하였다.</p> <p>정의 4.3.2</p> <p>홈함수자 $ \operatorname { Hom } _ { R } (, N) $ 에 대한 $ k $ 번째 유도함수자 $ k $-th derived functor) $ \operatorname { Ext } _ { R } ^ { k } (, N) $ 을 \[ \operatorname { Ext } _ { R } ^ { k } (M, N)= \frac {\operatorname { Ker } \left [ \partial_ { k + 1 } ^ { * } : H \left (C_ { k } \right ) \rightarrow H \left (C_ { k + 1 } \right ) \right ] } {\operatorname { Im } \left [ \partial_ { k } ^ { * } : H \left (C_ { k-1 } \right ) \rightarrow H \left (C_ { k } \right ) \right ] } \] 로 정의한다.</p> <p>[주의]</p> <p>(1) $ 0 \rightarrow H(M) \stackrel {\varepsilon ^ { * } } {\longrightarrow } H \left (C_ { 0 } \right ) \stackrel {\partial_ { 1 } ^ { * } } {\longrightarrow } H \left (C_ { 1 } \right ) $ 은 완전열이다. 즉 $ \varepsilon ^ { * } $ 는 단사이고, $ \operatorname { Im } \varepsilon ^ { * } = \operatorname { Ker } \partial_ { 1 } ^ { * } $ 이다. 따라서 $ \operatorname { Ext } ^ { 0 } (M, N)=H ^ { 0 } \left (C ^ { * } \right ), \operatorname { Ker } _ { 1 } ^ { * } \cong \operatorname { Hom } _ { R } (M, N) $ 이다.</p> <p>(2) 만일 $ R= \mathbb { Z } $ 이면 $ M $ 의 분해는 \[ 0 \rightarrow C_ { 1 } \stackrel {\partial_ { 1 } } {\longrightarrow } C_ { 0 } \stackrel {\varepsilon } {\rightarrow } M \rightarrow 0 \] 이다. 여기서 $ C_ { 0 } $ 는 $ M $ 에 의하여 생성된 자유아벨군이고, $ C_ { 1 } $ 은 $ \varepsilon $ 의 핵 (kernel)이다. $ M $ 의 분해에 $ \operatorname { Hom } _ { z } (, N) $ 을 취하면 \[ 0 \rightarrow \operatorname { Hom } _ { Z } (M, N) \stackrel {\varepsilon ^ { * } } {\longrightarrow } \operatorname { Hom } _ {\mathbb { Z } } \left (C_ { 0 } , N \right ) \stackrel {\partial_ { 1 } ^ { * } } {\longrightarrow } \operatorname { Hom } _ {\mathbb { Z } } \left (C_ { 1 } , N \right ) \rightarrow 0 \] 이므로 $ \mathrm { Ext } ^ { k } =0, { } ^ {\forall } k \geq 2 $ 이고, \[ \operatorname { Ext } (M, N)= \frac {\operatorname { Hom } \left (C_ { 1 } , N \right ) } {\operatorname { Im } \partial_ { 1 } ^ { * } } \] 이다. 여기서 $ \operatorname { Ext } (M, N):= \operatorname { Ext } ^ { 1 } (M, N) $ 이다.</p> <p>(3) $ G $ 가 아벨군이면 \[ \operatorname { Ext } ( \mathbb { Z } , G)=0 \] 이다. 왜냐하면 $ 0 \rightarrow \mathbb { Z } \rightarrow \mathbb { Z } \rightarrow 0 $ 이기 때문이다. \[ \operatorname { Ext } ( \mathbb { Z } / n \mathbb { Z } , G)=G / n G \] 이다. 왜냐하면 \[ 0 \rightarrow \mathbb { Z } \stackrel { n } {\longrightarrow } \mathbb { Z } \stackrel {\varepsilon } {\longrightarrow } \mathbb { Z } / n \mathbb { Z } \rightarrow 0 \] 이기 때문이다. 따라서 \[ \operatorname { Ext } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \mathbb { Z } _ { n } \right )=0, \operatorname { Ext } \left ( \mathbb { Z } _ { n } , \mathbb { Z } \right )= \mathbb { Z } _ { n } \] 이고, \[ \operatorname { Ext } \left ( \mathbb { Z } _ { n } , \mathbb { Z } _ { m } \right )= \mathbb { Z } _ { m } / n \mathbb { Z } _ { m } = \mathbb { Z } _ { (n, m) } \] 이다.</p> <p>(4) $ R $ 이 $ \mathbb { Q } , \mathbb { R } , \mathbb { C } $ 와 같이 체(field)이면 $ M $ 은 벡터공간이며 $ M $ 의 분해는 \[ 0 \rightarrow M \stackrel {\varepsilon } {\rightarrow } M \rightarrow 0 \] 이다. 따라서 $ \operatorname { Ext } (M, N)=0 $ 이다.</p> <p>정리 4.3.1 범계수정리(Universal Coefficient Theorem)</p> <p>공간쌍 $ (X, A) $ 와 아벨군 $ G $ 에 대하여 \[ 0 \rightarrow \operatorname { Ext } \left (H_ { n-1 } (X, A ; \mathbb { Z } ), G \right ) \rightarrow H ^ { n } (X, A ; G) \stackrel {\alpha } {\rightarrow } \] \[ \operatorname { Hom } \left (H_ { n } (X, A ; \mathbb { Z } ), G \right ) \rightarrow 0 \] 은 자연성(naturality), 완전열(exact sequence)이고 분리(splitting)된다. 여기서 분리는 $ H ^ { n } (X, A ; G) \simeq \operatorname { Ext } \left (H_ { n-1 } (X, A ; \mathbb { Z } ), G \right ) \oplus \operatorname { Hom } \left (H_ { n } (X, A ; \mathbb { Z } ), G \right ) $ 을 의미하며, 맵 $ \alpha: H ^ { n } (X, A ; G) \rightarrow \operatorname { Hom } \left (H_ { n } (X, A ; \mathbb { Z } ), G \right ) $은 크로네커곱(Kronecker product) $ ( \alpha[c])[ \sigma] = [ \sigma, c] $ 이다.</p> <p>[증명]</p> <p>편의상 $ S_ { n } (X, A)=S_ { n } , H_ { n } (X, A ; \mathbb { Z } )=H_ { n } , B_ { n } (X, A)=B_ { n } $, $ Z_ { n } (X, A)=Z_ { n } $ 이라고 놓자. 그러면 \[ \begin {array} { l } 0 \rightarrow B_ { n } \rightarrow Z_ { n } \rightarrow H_ { n } \rightarrow 0 \\ 0 \rightarrow Z_ { n } \rightarrow S_ { n } \rightarrow B_ { n-1 } \rightarrow 0 \end {array} \] 은 완전열이다. 둘째 열은 모두 자유(free)이므로 분리이다. 홈 함수자 $ \operatorname { Hom } (, G) $ 는 좌완전(left exact)이므로 다음과 같은 다이어그램을 얻는다. 위 다이어그램에서 첫째와 셋째 열과 둘째 행은 완전열이다. 편의상 \[ \begin {array} { c } F_ { 0 } := \operatorname { Ker } \left [ \operatorname { Hom } \left (S_ { n } , G \right ) \stackrel { j_ { 2 } } {\longrightarrow } \operatorname { Hom } \left (Z_ { n } , G \right ) \right ] \\ F_ { 1 } := \operatorname { Ker } \left [ \operatorname { Hom } \left (S_ { n } , G \right ) \stackrel { i_ { 2 } \circ j_ { 2 } } {\longrightarrow } \operatorname { Hom } \left (B_ { n } , G \right ) \right ] \end {array} \] 라 두자. 그러면 $ F_ { 0 } \subset F_ { 1 } = \operatorname { Ker } \partial_ { n + 1 } ^ { * } $ 이다. \[ \begin {array} { l } \operatorname { Hom } \left (H_ { n } , G \right ) \cong \operatorname { Im } i_ { 1 } = \operatorname { Ker } i_ { 2 } , \\ F_ { 1 } =j_ { 2 } ^ { -1 } \left ( \text { Ker } i_ { 2 } \right ) \supset j_ { 2 } ^ { -1 } (0)=F_ { 0 } \end {array} \] 이므로 전사준동형맵 \[ j_ { 2 } : F_ { 1 } \rightarrow \operatorname { Hom } \left (H_ { n } , G \right ) \simeq \operatorname { Im } i_ { 1 } = \operatorname { Ker } i_ { 2 } \subset \operatorname { Hom } \left (Z_ { n } , G \right ) \] 는 핵(kernel) $ F_ { 0 } $ 를 갖는다. \[ F_ { 0 } = \operatorname { Ker } j_ { 2 } = \operatorname { Im } j_ { 1 } \simeq \operatorname { Hom } \left (B_ { n-1 } , G \right ) \] 이므로 전사준동형맵 $ F_ { 0 } \rightarrow \operatorname { Ext } \left (H_ { n-1 } , G \right ) $ 가 존재하여 \[ \operatorname { Hom } \left (S_ { n-1 } , G \right ) \rightarrow \operatorname { Hom } \left (B_ { n-1 } , G \right ) \] 이 전사이므로 핵 \[ K \cong \operatorname { Im } \partial_ { n } ^ { * } \] 을 갖는다. 코호몰로지는 \[ H ^ { n } = \frac {\operatorname { Ker } \partial_ { n + 1 } ^ { * } } {\operatorname { Im } \partial_ { n } ^ { * } } \] 이므로, 다음 다이어그램을 얻는다. 위 다이어그램은 교환이고 마지막 열이 구하는 완전열이다. 자연성(naturality)은 구성으로부터 알 수 있고, 분리은 \[ \operatorname { Hom } \left (H_ { n } , G \right ) \simeq F_ { 1 } / F_ { 0 } \rightarrow F_ { 1 } \rightarrow H ^ { n } \] 으로부터 증명된다.</p>	자연
해석학_거리공간	<p>$ \rho $ 는 $ M $ 위에서 거리함수임을 보여라. 이때 $ \rho $ 를 이산거리(discrete metric)라 한다.</p> <p>풀이</p> <p>거리함수의 조건 (i)과 (ii)는 명백하므로 삼각부등식만 증명하겠다. $ x, y, z $ 를 $ M $ 의 원소라 하자.</p> <p>$ x=y=z $ 이면 $ \rho(x, z)=0= \rho(x, y) + \rho(y, z) $ 이나.</p> <p>$ x=y, y \neq z $ 또는 $ x \neq y, y=z $ 이면</p> <p>$ \rho(x, z)=1= \rho(x, y) + \rho(y, z) $ 이나.</p> <p>$ x \neq y, y \neq z, x \neq z $ 이면</p> <p>$ \rho(x, z)=1<1 + 1= \rho(x, y) + \rho(y, z) $ 이나.</p> <p>예제 $ 1.3 $</p> <p>함수 $ d: \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow[0, \infty) $ 를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>$ x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ), \quad y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } \right ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } , \quad d(x, y)= \left [ \left (x_ { 1 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>$ d $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 위에서 거리함수이다.</p> <p>풀이</p> <p>(i) $ d(x, y) \geq 0 $ 이고</p> <p>$ d(x, y)= \left [ \left (x_ { 1 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } =0 \Leftrightarrow x_ { 1 } =y_ { 1 } , x_ { 2 } =y_ { 2 } $</p> <h1>10.1 거리공간(Metric spaces)</h1> <p>수직선위의 두 점 $ x, y $ 간의 거리는 $ \|x-y\| $ 로 주어진다. 이 값은 하나의 함수 $ \| \cdot\|: \mathbb { R } \times \mathbb { R } \rightarrow[0, \infty) $ 로서 다음의 성질을 만족한다.</p> <ul> <li>$ \|x-y\| \geq 0 $</li> <li>$ \|x-x\| = 0 $</li> <li>$ \|x-y\|=\|y-x\| $</li> <li>$ \|x-y\| \leq\|x-z\| + \|z-y\| $</li></ul> <p>실수 위에서 정의된 거리는 임의의 거리공간에서 두 점 사이의 거리 개념으로 확장할 수 있다.</p> <p>정의 $ 10.1 $</p> <p>$ M $ 을 집합이라 하자 $ (M \neq \varnothing) $. 함수 $ d: M \times M \rightarrow[0, \infty) $ 가 다음 조건을 만족할 때 $ d $ 를 $ M $ 위에서 거리함수(distance function, metric function) 또는 거리(metric)라 한다.</p> <ol type=i start=1><li>$ x, y \in M, \quad x \neq y, \quad d(x, x)=0, \quad d(x, y)>0 $</li> <li>$ x, y \in M, \quad d(x, y)=d(y, x) $</li> <li>$ x, y, z \in M, \quad d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) $</li></ol> <p>집합 $ M $ 이 거리함수 $ d $ 를 가질 때 $ (M, d) $ 를 거리공간(metric space)이라 한다.</p> <p>(iii)의 성질을 삼각부등식(triangle inequality)이라 부른다.</p> <p>(i)번 성질은 다음과 같이 적을 수도 있다.</p> <p>$ x, y \in M, d(x, y) \geq 0 $, 단 $ d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y $</p> <p>예제 $ 1.1 $</p> <p>서두에서 다룬 $ \mathbb { R } $ 위의 두 실수 $ x, y $ 의 차의 절대값 $ \|x-y\| $ 는 $ \mathbb { R } $ 위에서 거리함수가 된다.</p> <p>$ d: \mathbb { R } \times \mathbb { R } \rightarrow[0, \infty), d(x, y)=\|x-y\| $</p> <p>예제 $ 1.2 $</p> <p>$ M $ 을 집합이라 하자 $ (M \neq \varnothing) . \rho: M \times M \rightarrow[0, \infty) $ 를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>$ x \in M, \rho(x, x)=0 $</p> <p>$ x, y \in M, x \neq y, \quad \rho(x, y)=1 $</p> <p>$ \Leftrightarrow x=y $</p> <p>(ii) $ d(x, y)= \left [ \left (x_ { 1 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>$ = \left [ \left (y_ { 1 } -x_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 2 } -x_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>$ =d(y, x) $</p> <p>(iii) 삼각부등식을 증명하겠다.</p> <p>$ x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } \right ), z= \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right ) $ 가 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 의 점이면 다음 부등식을 증명하여야 한다.</p> <p>$ \left [ \left (x_ { 1 } -z_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -z_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>$ \leq \left [ \left (x_ { 1 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } + \left [ \left (y_ { 1 } -z_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 2 } -z_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>$ a_ { i } =x_ { i } -y_ { i } , b_ { i } =y_ { i } -z_ { i } (i=1,2) $ 라 두면 $ a_ { i } + b_ { i } =x_ { i } -z_ { i } $ 이다.</p> <p>따라서 다음을 보여야 한다.</p> <p>$ \left [ \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (a_ { 2 } + b_ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } \leq \left (a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } + \left (b_ { 1 } ^ { 2 } + b_ { 2 } ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>양변을 제곱하여 정리하면 얻어지는 식으로부터, 모든 실수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , b_ { 1 } , b_ { 2 } $ 에 대해서 다음을 증명하면 삼각부등식이 증명된다.</p> <p>$ \left \|a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } \right \| \leq \left [a_ { 1 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } \left [b_ { 1 } ^ { 2 } + b_ { 2 } { } ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 2 } } $</p> <p>모든 실수 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , b_ { 1 } , b_ { 2 } $ 에 대해서</p> <p>$ \left (a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) ^ { 2 } \geq 0 $</p> <p>이므로 다음이 성립한다.</p> <p>$ 2 a_ { 1 } b_ { 1 } a_ { 2 } b_ { 2 } \leq a_ { 1 } ^ { 2 } b_ { 2 } ^ { 2 } + a_ { 2 } ^ { 2 } b_ { 1 } ^ { 2 } $</p> <p>위 식의 양변에 $ a_ { 1 } ^ { 2 } b_ { 1 } ^ { 2 } , a_ { 2 } ^ { 2 } b_ { 2 } ^ { 2 } $ 을 더하면 다음이 성립한다.</p>	자연
m309-선형대수학 입문	<h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정리4.4.6 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $에 대하여, $ A $의 행 계수 $ r(A) $와 $ A $의 열 계수 $ c(A) $는 일치한다. 즉\[r(A)=c(A) .\] 더욱이 이를 $ r $ 이라하면 동차 연립일차방정식 (*)의 해공간의 차수는 $ n-r $ 이다. 즉 $ \operatorname{dim} U=n-r $.</p> <p>증명, 사상 $ L=L_{A}: K^{n} \rightarrow K^{m} $를\[L(X)=L_{A}(X)=A X=x_{1} A^{1}+x_{2} A^{2}+\cdots+x_{n} A^{n}\]으로 정의되는 선형사상 이라하면,\[I m L_{A}=\left\{A X=x_{1} A^{1}+x_{2} A^{2}+\cdots+x_{n} A^{n} \mid x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in K\right\}\]는 행렬 $ A $의 열 공간이므로 $ \operatorname{dim} L_{A}=c(A) $이다. 또, $ \operatorname{Ker} L_{A}=\left\{X \in K^{n} \mid L_{A}(X)=A X=0\right\} $이므로 $ \operatorname{Ker} L_{A} $는 동차 연립일차방정식 $ ( ) $의 해 공간이다. 따라서 정리 3.2.4에 의하여 \[c(A)+( ) \text { 의 해공간의 차수 }=\]<caption>$ \cdots $ (1)</caption>한편, 행렬 $ A $ 의 각 행에 의해서 생성되는 벡터공간을 \[ W=\left\{c_{1} A_{1}+c_{2} A_{2}+\cdots+c_{m} A_{m} \mid c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{m} \in K\right\}\] 이라고 하면 $ W $ 는 $ K^{n} $ 의 부분공간이고, $ \operatorname{dim} W=r(A) $이다. 또, 동차 연립일차방정식 $ ( ) $ 의 해공간은 $ W^{\perp} $이다. 따라서 정리4.4.5에 의하여\[r(A)+( ) \text { 의 해공간의 차수 }=n\]<caption>$ \cdots $ (2)</caption>(1), (2)로부터 $ c(A)=r(A) $ 이다. 또한, (2)로부터 ()의 해공간의 차수은 $ n-r $ 이다.</p> <p>정리4.4.6에 의하여 행렬의 행 계수와 열 계수는 같으므로 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 : 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $ 에서 행렬 $ A $의 행 계수 또는 열계수를 행렬 $ A $ 의 계수 (rank of $ A $ )라 하고, \[\operatorname{rankA}\]로 표시한다.</p> <p>보기 4.4.3 실수체 $ \mathbb{R} $에서, 다음 동차 연립일차방정식을 생각해보자. \[\left\{\begin{array}{r}2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \\x_{2}-x_{3}=0\end{array}\right.\] 이 방정식의 계수행렬은 $ A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right) $이고, 행렬 $ A $의 각 행 $ A_{1}=(2,1,1) $, $ A_{2}=(0,1,-1) $은 일차독립이므로 $ A $의 행 계수는 $ r(A)=2 $이다. 또, 행렬 $ A $의 각 열 $ A^{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right), A^{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), A^{3}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right) $에 대하여 $ A^{1}, A^{2} $는 일차독립이고, $ A^{1}-A^{2}=A^{3} $이므로 $ A^{1}, A^{2}, A^{3} $은 일차종속이므로 행렬 $ A $의 열계수 $ c(A)=2 $이다. 따라서 $ r(A)=c(A)=2 $. 즉 \[\operatorname{rankA}=2 \text { 이다. }\] 그러므로 주어진 연립일차방정식의 해 공간의 차수는 $ 3-2=1 $ 이다. 실제로, $ x_{2}=x_{3}=t(t \in \mathbb{R}) $ 이라하면 $ x_{1}=-t $ 이므로 주어진 동차연립방정식의 해는 $ X=(-t, t, t)=t(-1,1,1) \quad(t \in \mathbb{R}) $ 이고, 벡터 $ (-1,1,1) $는 $ A $의 각 행 $ A_{1}, A_{2} $ 에 수직이므로 $ \{(-1,1,1)\} $ 는 주어진 방정식의 해 공간의 기저이다. 이제, 비 동차 연립일차방정식 \[\text { () } \cdots\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=b_{m} \end{array} \quad \Leftrightarrow \quad A X=B, \quad B=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\b_{2} \\\vdots \\ b_{m}\end{array}\right)\right. \text {. }\]의 해 공간과 그 차수에 대하여 알아보자. 이러한 연립방정식은 해를 전혀 갖지 않을 수 있다. 예를 들면, 연립방정식 \[\left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=1 \\2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=2 \end{array}\right.\]는 해를 갖지 않는다. 그러면 연립방정식 ()가 적어도 하나의 해를 가지는 경우에 방정식 $ () $의 해와 해 공간의 차수에 대해서 알아보기 위해 다음 정리를 생각하자.</p> <h1>4.5. 쌍선형사상과 이차형식</h1> <p>정의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ U, V, W $에 대하여 사상 $ g: U \times V \rightarrow W $가 다음 두 조건을 만족시킬 때 사상 $ g $ 를 쌍선형사상(bilinear map)이라고 한다. B1. 임의의 $ u_{1}, u_{2} \in U $ 와 고정된 $ v \in V, c \in K $에 대하여, \[g\left(u_{1}+u_{2}, v\right)=g\left(u_{1}, v\right)+g\left(u_{2}, v\right), g\left(c u_{1}, v\right)=c g\left(u_{1}, v\right) .\] 즉, 변수 $ u $ 에 관하여 $ g $ 는 선형사상이다. B2. 임의의 $ v_{1}, v_{2} \in V $와 고정된 $ u \in U, c \in K $에 대하여, \[g\left(u, v_{1}+v_{2}\right)=g\left(u, v_{1}\right)+g\left(u, v_{2}\right), g\left(u, c v_{1}\right)=c g\left(u, v_{1}\right) .\] 즉, 변수 $ v $에 관하여 $ g $는 선형사상이다.</p> <p>정리4.5.1 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $에 있어서, 임의의 열벡터 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $ 에 대하여 사상\[g_{A}: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K, \quad g_{A}(X, Y)=X^{T} A Y\]는 쌍선형사상이다.</p> <p>증명, $ X \in K^{m} $을 고정할 때 임의의 $ Y_{1}, Y_{2}, \in K^{n} $과 $ c \in K $에 대하여 \[ \begin{aligned}g_{A}\left(X, Y_{1}+Y_{2}\right) &=X^{T} A\left(Y_{1}+Y_{2}\right)=X^{T} A Y_{1}+X^{T} A Y_{2} \\ &=g_{A}\left(X, Y_{1}\right)+g_{A}\left(X, Y_{2}\right), \\g_{A}\left(X, c Y_{1}\right)=& X^{T} A\left(c Y_{1}\right)=c\left(X^{T} A Y_{1}\right)=c g_{A}\left(X, Y_{1}\right)\end{aligned}\] 같은 방법으로 $ Y \in K^{n} $을 고정할 때, 임의의 $ X_{1}, X_{2} \in K^{m} $과 $ c \in K $에 대하여 \[\begin{array}{l} g_{A}\left(X_{1}+X_{2}, Y\right)=g_{A}\left(X_{1}, Y\right)+g_{A}\left(X_{2}, Y\right), \\g_{A}\left(c X_{1}, Y\right)=c g_{A}\left(X_{1}, Y\right)\end{array}\] 임을 알 수 있다. 따라서 $ g_{A} $ 는 쌍선형사상이다. 실제로, $ g_{A}(X, Y)=X^{T} A Y $</p> <p>$ =\left(\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{m}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right) $$ =\left(\begin{array}{llll}\sum_{i=1}^{m} x_{i} a_{i 1} & \sum_{i=1}^{m} x_{i} a_{i 2} & \cdots & \sum_{i=1}^{m} x_{i} a_{i n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right) $ $ =\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{m} x_{i} a_{i j}\right) y_{j} $ $ =\sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{i j} x_{i} y_{j} $.</p> <p>정리4.5.1에서 보는바와 같이 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $가 주어지면 쌍선형사상 $ g_{A}: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K $가 대응됨을 알 수 있다.</p> <p>보기 4.5.1 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 행렬 $ A=\left(\begin{array}{rr}1 & 2 \\ 3 & -1\end{array}\right) $ 에 대응되는 쌍선형사상은 다음과 같다. \[\begin{aligned}g_{A}: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, g_{A}(X, Y)=X^{T} A Y . \text { 즉 } \\g_{A}(X, Y) &=\left(x_{1} x_{2}\right)\left(\begin{array}{rr} 1 & 2 \\3 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\y_{2}\end{array}\right) \\&=x_{1} y_{1}+2 x_{1} y_{2}+3 x_{2} y_{1}-x_{2} y_{2} .\end{aligned}\]</p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정리4.4.7 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V, W \에 있어서, \( T: V \rightarrow W $가 선형사상이고 $ C \in \operatorname{Im} T $ 일 때, $ S=\{Y \in V \mid T(Y)=C\} $라 하고, 이때 $ P \in V $가 $ T(P)=C $인 임의의 벡터이면 \[S=P+\operatorname{Ker} T\]이다. 증명, $ P \in V $를 $ T(P)=C $ 인 임의의 벡터라 하자.</p> <p>만일 $ Y \in S $이면 \[T(Y-P)=T(Y)-T(P)=C-C=0\]이므로 $ Y-P \in \operatorname{Ker} T $이고, 따라서 $ Y=P+(Y-P) \in P+\operatorname{Ker} T $이므로 \[S \subset P+\operatorname{Ker} T \text { 이다. }\] 또, 만약 $ Y \in P+\operatorname{Ker} T \이면 \( Y=P+X $인 $ X \in \operatorname{Ker} T $가 존재하므로 \[T(Y)=T(P+X)=T(P)+T(X)=C+0=C \text { 이다. }\] 그러므로 $ Y \in S $이다. 따라서 $ P+\operatorname{Ker} T \subset S $이다. 그러므로 $ S=P+\operatorname{Ker} T $이다.</p> <p>정의 $ W $가 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $의 부분공간이고, $ P \in V $라고 하자. 이때 집합 \[P+W=\{P+X \mid X \in W\}\]를 $ W $의 $ P $만큼의 평행이동(parallel translation)이라한다.</p> <p>정리 4.4.8 비 동차 연립일차방정식\[A X=B \quad \cdots \quad()\]의 해 공간 $ S $는 공집합이거나 동차 연립일차방정식 \[A X=0 \cdots( )\]의 해 공간의 평행이동이다.</p> <p>증명. $ T: K^{n} \rightarrow K^{m} $을 $ K^{n}, K^{m} $의 표준기저에 관한 행렬이 $ A $인 선형사상이라고 하자. 즉 $ T(X)=A X \quad\left(X \in K^{n}\right), S \neq \varnothing $이면 임의의 특수해 $ P \in S $에 대하여, 정리4.4.에 의하여, \[S=P+\operatorname{Ker} T \text { 이다. }\] 또 $ \operatorname{Ker} T $는 동차연립일차방정식 $ A X=0 $의 해 공간이므로 $ S $는 $ A X=0 $의 해 공간의 평행이동이다. 정리4.4.8에 의하면 다음 두 가지 사실</p> <p>(1) 연립일차방정식 $ A X=B $ 의 특수해, (2) 동차 연립일차방정식 $ A X=0 $ 의 해 공간의 기저 (또는 일반해)를 알면 연립일차방정식 $ A X=B $ 의 일반해를 구할 수 있다. 즉 \[\begin{aligned}A X &=B \text { 의 일반해 } \\&=(A X=B \text { 의 특수해 })+(A X=0 \text { 의 일반해 })\end{aligned}\]이고, $ (A X=B $의 일반해 $ ) $는 $ (A X=0 $의 일반해 $ ) $의 $ A X=B $의 특수해 만큼 평행 이동이므로 $ (A X=B $의 해 공간의 차수 $ )=(A X=0 $의 해 공간의 차수 $ ) $이다.</p> <p>보기4.4.4 체 $ \mathbb{R} $ 위에서, 비 동차 연립일차방정식 \[\left\{\begin{aligned}2 x+y+z &=1 \\y-z &=0 \end{aligned}\right.\]의 해 공간에 대해서 알아보자. 주어진 연립방정식은 적어도 하나의 해 $ X_{0}=\left(\frac{1}{2}, 0,0\right) $ 가 있다는 것을 알 수 있다. 또, 연립방정식의 계수행렬 $ A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right) $ 의 계수 $ \operatorname{rank} A=2 $이다. 더욱이, 동차 연립일차방정식 \[ \left\{\begin{aligned}2 x+y+z &=0 \\y-z &=0\end{aligned}\right.\]의 일반해는 $ X=t(-1,1,1) \quad(t \in \mathbb{R}) $이므로 주어진 연립방정식의 일반해 $ Y $는 $ Y=\left(\frac{1}{2}, 0,0\right)+t(-1,1,1) $이고 해 공간의 차수는 $ 3-\operatorname{rankA}=1 $이다.</p> <p>보기 4.4.5 $ \mathbb{R}^{3} $에서 연립방정식 $ 3 x-2 y+z=0 $ 의 해공간의 기저를 구하여라.</p> <p>풀이. 연립방정식의 계수행렬 $ A=(3,-2,1) $의 계수는 1이므로 주어진 연립방정식의 해공간의 차수는 2이고, 주어진 방정식의 해 공간은 $ A=(3,-2,1) $에 수직인 공간이다. 물론 이 공간의 기저는 많이 존재하지만 그 중 하나를 찾기 위해 우선 $ A=(3,-2,1) $를 포함하는 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저를 구하자. $ B=(0,1,0), C=(0,0,1) $이라고 하면 $ A, B, C $는 일차독립이다. 이제 이 벡터들을 직교화 해야 한다. \[B^{\prime}=B-\frac{\langle B, A\rangle}{\langle A, A\rangle} A=\left(\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, \frac{1}{7}\right)\]\[\begin{aligned}C^{\prime} &=C-\frac{\langle C, A\rangle}{\langle A, A\rangle} A-\frac{\left\langle C, B^{\prime}\right\rangle}{\left\langle B^{\prime}, B^{\prime}\right\rangle} B^{\prime} \\&=(0,0,1)-\frac{1}{14}(3,-2,1)-\frac{1}{35}(3,5,1)\end{aligned}\]이라두면 $ B^{\prime}, C^{\prime} $는 $ A $에 수직이다. 따라서 $ \left\{B^{\prime}, C^{\prime}\right\} $는 주어진 연립방정식의 해 공간의 기저이다.</p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정의 체 $ K $ 위의 $ n $ 차원 벡터공간 $ K^{n} $에서, 두 벡터 $ A=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), B=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right) \in K^{n} $에 대하여 $ A $ 。 $ B $를 다음과 같이 정의한다.\[ A \circ B=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\] 이때, $ A \circ B $ 를 $ K^{n} $ 의 두 벡터 $ A, B $ 의 점적(dot product) 또는 내적(scalar product)이라고 한다.</p> <p>$ K^{n} $ 위의 점적에 관해서 다음 성질이 성립함을 쉽게 알 수 있다(보기4.1.1). 임의의 벡터 $ A, B, C \in K^{n} $ 와 $ x \in K $에 대하여</p> <p>SP1. $ A \circ B=B \circ A $.</p> <p>SP2. $ A \circ(B+C)=A \circ B+A \circ C=(B+C) \circ A $.</p> <p>SP3. $ (x A) \circ B=x(A \circ B), A \circ(x B)=x(A \circ B) $.</p> <p>따라서 벡터공간 $ K^{n} $ 위의 점적(dot product)은 $ K^{n} $ 위에서의 하나의 내적(inner product)임을 알 수 있다. 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $ 에서는 위의 성질과 더불어 다음이 성립한다(보기4.1.4). SP4. $ A \circ A \geq 0 $, 특히 $ A \circ A=0 \Leftrightarrow A=(0,0, \cdots, 0) $</p> <p>그러나 벡터공간 $ \mathbb{C}^{2} $ 에서 $ A=(1+i, 1-i) $ 일 때 \[A \neq(0,0) \text { 이고, } A \circ A=(1+i)^{2}+(1-i)^{2}=0 \text {이다. }\]</p> <p>정리 4.4.4 벡터공간 $ K^{n} $에서, $ K^{n} $ 의 부분집합 $ S(\neq \varnothing) $에 대하여 $ S^{\perp}=\left\{X \in K^{n} \mid\right. $ 모든 $ Y \in S $에 대하여 $ \left.X \circ Y=0\right\} $은 $ K^{n} $ 의 부분공간이다.</p> <p>증명, 보기4.1.2와 동일하다.</p> <p>정리4.2.4, 정리4.3.4와 유사하게 벡터공간 $ K^{n} $ 에 대해서도 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리4.4.5 비퇴화 점적이 정의된 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ K^{n} $ 의 부분공간 $ W $에 대하여 다음이 성립한다. \[ \operatorname{dim} W+\operatorname{dim} W^{\perp}=n\]</p> <p>체 $ K $ 위에서의 동차 연립일차방정식 \[( ) \cdots\left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}=0\end{array} \quad\left(a_{i j} \in K\right)\right.\]에서, 이 동차 연립일차방정식의 계수행렬은 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $이다. 이 동차 연립일차방정식을 행렬의 성질을 사용하여 다음과 같이 달리 표현할 수 있다. \[\begin{array}{ll}x_{1} A^{1}+x_{2} A^{2}+\cdots+x_{n} A^{n}=0 & \left(X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in K^{n}\right), \\A_{1} \cdot X=0, A_{2} \cdot X=0, \cdots, A_{n} \cdot X=0 & \left(X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in K^{n}\right), \\A X=0 & \left(X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n} \end{array}\right) \in K^{n}, O=\left(\begin{array}{c}0 \\0 \\\vdots \\0\end{array}\right)\right)\end{array}\] 이제, 이 동차 연립일차방정식의 해 공간을 $ U $ 라고하면 $ U $ 는 벡터공간 $ K^{n} $의 부분공간이고, 해 공간 $ U $ 는 다음의 세 가지 방법으로 설명할 수 있다.</p> <p> <ol type=a start=1><li>$ U=\left\{X \in K^{n} \mid x_{1} A^{1}+x_{2} A^{2}+\cdots+x_{n} A^{n}=0\right\} $</li> <li>$ U=\left\{X \in K^{n} \mid X \perp A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}\right\} $</li> <li>$ U=\left\{X \in K^{n} \mid A X=0\right\} $. 즉</li></ol>해 공간은 계수행렬 $ A $ 에 대응하는 선형사상의 핵(kernel)이다.</p> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정의 : 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서, 다음 조건 SP1~SP3을 만족시키는 사상 \[ \langle,\rangle: V \times V \rightarrow K, \quad(v, w) \rightarrow\langle v, w\rangle\] 를 벡터공간 $ V $ 위의 내적 (scalar product 또는 inner product)이라고 한다.<p> <p>SP1. 임의의 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 \[\langle v, w\rangle=\langle w, v\rangle\]이다.</p> <p>SP2. 임의의 벡터 $ u, v, w \in V $에 대하여 \[\langle u, v+w\rangle=\langle u, v\rangle+\langle u, w\rangle \]이다.</p> <p>SP3. 임의의 벡터 $ v, w \in V $와 $ x \in K $에 대하여\[\langle x v, w\rangle=x\langle v, w\rangle=\langle v, x w\rangle\]이다. 특히, 벡터공간 $ V $ 위의 내적 $ \langle , \rangle$이 다음조건을 만족할 때, 내적$ \langle , \rangle$를 비퇴화(non-degenerate)내적이라고 한다. $ v \in V $, 모든 $ w \in V $ 에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0 $ 이면 $ v=0 $ 이다.</p> <h2>보기 4.1.1</h2> <p>실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $에서, 임의의 두 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $에 대하여 \[\langle X, Y\rangle=X \circ Y=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}\]으로 정의하면 사상 $ \langle\rangle:, \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} $ 은 벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $ 위의 내적이다. 실제로, 임의의 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right), Z=\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $ 과 $ c \in \mathbb{R} $에 대하여</p> <p>SP1. $ \langle X, Y\rangle=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n} $.\[=y_{1} x_{1}+y_{2} x_{2}+\cdots+y_{n} x_{n}=\langle Y, X\rangle\] SP2. $ Y+Z=\left(y_{1}+z_{1}, y_{2}+z_{2}, \cdots, y_{n}+z_{n}\right) $ 이므로 \[\begin{aligned}\langle X, Y+Z\rangle &=x_{1}\left(y_{1}+z_{1}\right)+x_{2}\left(y_{2}+z_{2}\right)+\cdots+x_{n}\left(y_{n}+z_{n}\right) \\ &=\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}\right)+\left(x_{1} z_{1}+x_{2} z_{2}+\cdots+x_{n} z_{n}\right) \\&=\langle X, Y\rangle+\langle X, Z\rangle .\end{aligned}\] SP3. $ c X=\left(c x_{1}, c x_{2}, \cdots, c x_{n}\right) $ 이므로</p> <p>\[\begin{aligned}\langle c X, Y\rangle &=\left(c x_{1}\right) y_{1}+\left(c x_{2}\right) y_{2}+\cdots+\left(c x_{n}\right) y_{n} \\&=c\left(x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}\right)=C\langle X, Y\rangle\end{aligned} \] 따라서 $ \langle X, Y\rangle=X $ 。 $ Y $로 정의된 사상은 $ \mathbb{R}^{n} $ 위의 내적이다.</p> <p>주의. 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적을 $ \langle $ , $ \rangle$이라고 하면 임의의 벡터 $ u, v, w \in V $에 대하여 \[ \langle u+v, w\rangle=\langle u, w\rangle+\langle v, w\rangle\]이다. 실제로, SP1와 SP2에 의하여 \[ \begin{aligned}\langle u+v, w\rangle &=\langle w, u+v\rangle \\&=\langle w, u\rangle+\langle w, v\rangle \\ &=\langle u, w\rangle+\langle v, w\rangle\end{aligned}\] 또, $ v=0 $ 또는 $ w=0 $ 이면 $ \langle v, w\rangle=0 $이다. 실제로, $ \langle 0, w\rangle=\langle 0+0, w\rangle=\langle 0, w\rangle+\langle 0, w\rangle $이므로 $ \langle 0, w\rangle=0 $이다. 같은 방법으로, $ \langle v, 0\rangle=0 $이고 $ \langle 0,0\rangle=0 $이다. 일반적으로 바로위의 사실의 역은 참이 아니다. 즉\[\langle v, w\rangle=0 \nRightarrow v=0 \text { 또는 } w=0 \text { 이다. } \] 실제로, $ X=(1,2), Y=(-2,1) \in \mathbb{R}^{2} $에 대하여 \[\langle X, Y\rangle=X \circ Y=1 \cdot(-2)+2 \cdot 1=0 \text { 이지만 } X \neq 0, Y \neq 0 \text { 이다. }\]</p> <p>정의 : 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $위의 내적을 $ \langle $ , $ \rangle$이라고 할 때, 두 벡터 $ v, w \in V $에 대하여, $ \langle v, w\rangle=0 $일 때 $ v, w $는 서로 직교한다(orthogonal) 또는 서로 수직이다(perpendicular)라 하고, 이 시실을 \[v \perp w\]으로 표시한다.</p> <p>임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여, $ \langle 0, v\rangle=0 $이므로 영벡터 0은 $ V $의 모든 벡터와 수직이다.</p> <h1>4.5. 쌍선형사상과 이차형식</h1> <p>정의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V, W $에 있어서 사상 $ f: V \times V \rightarrow W $가 임의의 $ u, v \in V $ 에 대하여 \[f(u, v)=f(v, u)\]가 성립할 때, $ f $를 대칭사상(symmetric map)이라고 한다. 특히 $ f $가 대칭이고 쌍선형사상일 때 $ f $를 $ V $ 위의 대칭 쌍선형사상(symmetric bilinear map on $ V $ )이라한다.</p> <p>체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적(scalar product or inner product)은 사상\[g=\langle,\rangle: V \times V \rightarrow K, \quad g(v, w)=\langle v, w\rangle\]로서 SP1~SP3를 만족하는 사상이다. 조건 SP1에 의해서, 임의의 $ v, w \in V $에 대하여 \[g(v, w)=\langle v, w\rangle=\langle w, v\rangle=g(w, v)\]이므로 내적 $ g=\langle $,$ \rangle 는 대칭사상이다. $ 또, SP2와 SP3에 의하여, 임의의 $ c \in K, u, v, w \in V $에 대하여 \[\begin{array}{l} g(u+v, w)=\langle u+v, w\rangle=\langle u, w\rangle+\langle v, w\rangle=g(u, w)+g(v, w) \\ g(c u, v)=\langle c u, v\rangle=c\langle u, v\rangle=c g(u, v)=g(u, c v)\end{array} \] 같은 방법으로 \[g(u, v+w)=g(u, v)+g(u, w), \quad g(u, c v)=c g(u, v)\]이다. 따라서 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적은 대칭 쌍선형사상이다. 이런 의미에서 벡터공간 $ V $ 위의 내적을 벡터공간 $ V $ 위의 대칭 쌍선형사상(symmetric bilinear map on $ V $ )이라고도 한다.</p> <p>정리 4.5.4 체 $ K $ 위의 $ n \times n $ 행렬 $ C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n} $에 대응하는 쌍선형사상</p> <p>\[g_{C}: K^{n} \times K^{n} \rightarrow K, \quad g_{C}(X, Y)=X^{T} C Y \quad\left(X, Y \in K^{n}\right) \]에 대하여 다음은 동치이다. (1) $ g_{C} $ 는 대칭 쌍선형사상이다. (2) 행렬 $ C $는 대칭행렬이다.</p> <p>증명. (1) $ \Rightarrow $ (2) : 사상 $ g_{C} $가 대칭 쌍선형사상이 라고 하면 임의의 열벡터 $ X, Y \in K^{n} $에 대하여 \[X^{T} C Y=g_{C}(X, Y)=g_{C}(Y, X)=Y^{T} C X\] 한편, $ Y^{T} C X $ 는 $ 1 \times 1 $ 행렬 즉 스칼라이므로 \[Y^{T} C X=\left(Y^{T} C X\right)^{T}=X^{T} C^{T} Y\] 따라서 임의의 열벡터 $ X, Y \in K^{n} $ 에 대하여 $ X^{T} C Y=X^{T} C^{T} Y $이므로 따라서 $ C $는 대칭행렬이다. (2) $ \Rightarrow $ (1) : 행렬 $ C $ 가 대칭행렬이라고 하면 $ C=C^{T} $이다. 임의의 열벡터 $ X, Y \in K^{n} $ 에 대하여, $ X^{T} C Y $는 $ 1 \times 1 $ 행렬, 즉 스칼라이므로 \[X^{T} C Y=\left(X^{T} C Y\right)^{T} \text {. }\] 따라서 $ g_{C}(X, Y)=X^{T} C Y=\left(X^{T} C Y\right)^{T}=Y^{T} C^{T} X $ \[=Y^{T} C X=g_{C}(Y, X) \text {. }\] 그러므로 $ g_{C} $ 는 대칭사상이다.</p> <p>보기4.5.3 다음 사상 $ f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $는 대칭 쌍선형사상 이다. \[\begin{aligned}f\left (\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right),\left(\begin{array}{l} y_{1} \\y_{2}\end{array}\right)\right) &=2 x_{1} y_{1}+3 x_{1} y_{2}+3 x_{2} y_{1}-5 x_{2} y_{2} \\ &=\left(x_{1} x_{2}\right)\left(\begin{array}{rr}2 & 3 \\3 & -5\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\y_{2} \end{array}\right)\end{aligned}\] 쌍선형사상 $ f $의 행렬 $ C=\left(\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 3 & -5\end{array}\right) $가 대칭행렬이므로 $ f $는 대칭쌍선형사상이다.</p> <h1>4.5. 쌍선형사상과 이차형식</h1> <p>정리 4.5.2 주어진 쌍선형사상 $ g: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K $에 대하여 $ g=g_{A} $, 즉\[ g(X, Y)=g_{A}(X, Y)=X^{T} A Y\]인 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A $가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명. $ \left\{E^{1}, E^{2}, \cdots, E^{m}\right\} $을 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ K^{m} $의 표준기저라 하고, $ \left\{U^{1}, U^{2}, \cdots, U^{n}\right\} $을 $ K^{n} $의 표준기저라고 하면 임의의 $ X \in K^{m} $은</p> <p>\[X=x_{1} E^{1}+x_{2} E^{2}+\cdots+x_{m} E^{m}=\sum_{i=1}^{m} x_{i} E^{i} \quad\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m} \in K\right)\]이고, $ Y \in K^{n} $는 \[Y=y_{1} U^{1}+y_{2} U^{2}+\cdots+y_{n} U^{n}=\sum_{j=1}^{n} y_{j} U^{j} \quad\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \in K\right)\]이다. 첫째 변수에 대한 선형성에 의해서, \[g(X, Y)=\sum_{i=1}^{m} x_{i} g\left(E^{i}, y_{1} U^{1}+y_{2} U^{2}+\cdots+y_{n} U^{n}\right)\]가 되고, 다시 둘째 변수에 대한 선형성에 의해서 \[g(X, Y)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} x_{i} y_{j} g\left(E^{i}, U^{j}\right)\]가 된다. 여기서 $ g\left(E^{i}, U^{j}\right) \in K $이므로 $ a_{i j}=g\left(E^{i}, U^{j}\right) $라 두면 \[g(X, Y)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j} \text { 가 된다. }\] 다시 $ A=\left(a_{i j}\right) $ 라 두면 $ A $ 는 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬이고 \[g(X, Y)=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} y_{j}=X^{T} A Y=g_{A}(X, Y) \text { 이다. } \] 따라서 $ g=g_{A} $ 이다.</p> <p>행렬 $ A $의 유일성을 증명하기 위하여, $ B $ 가 $ g=g_{B} $인 행렬이라 하자. 그러면 모든 벡터 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 \[g(X, Y)=g_{B}(X, Y)=X^{T} B Y .\] 따라서 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 $ X^{T} A Y=X^{T} B Y $이다. 이항하면 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 $ X^{T}(A-B) Y=0 $이다. 여기서, $ C=A-B $라고 두면 $ C $는 $ m \times n $이고, 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 $ X^{T} C Y=0 $이다. $ C=\left(c_{i j}\right) $라고 하자. 이제 모든 $ c_{i j}=0 $임을 보여야 한다. 위의 관계식이 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대해 성립하므로, 특히 $ X=E^{i}, Y=U^{j} $일 때도 성립 한다 $ (1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) $. 그러면 $ 0=\left(E^{i}\right)^{T} C U^{j}=c_{i j} $이므로 $ C=0 $, 즉 $ A=B $이다.</p> <p>정리4.5.2에서 보는바와 같이 쌍선형사상 $ g: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K $에 대하여 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A $가 존재하여, 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 \[g(X, Y)=X^{T} A Y \text { 이다.} \] 즉 쌍선형사상 $ g $는 행렬 $ A $에 의하여 완전히 결정된다. 이때, 행렬 $ A $를 쌍선형사상 $ g $의 행렬이라고 한다.</p> <p>보기 4.5.2 3차원 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{3} $에서, 사상\[\begin{aligned} g: \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, g(X, Y)=2 x_{1} y_{1}-3 x_{1} y_{2}+4 x_{2}y_{3}-5 x_{3} y_{1} \\\left(X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2} \\x_{3}\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\y_{2} \\y_{3}\end{array}\right)\right)\end{aligned}\]는 쌍선형사상이다. $ \mathbb{R}^{3} $의 표준기저 $ \left\{E^{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), E^{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\0\end{array}\right), E^{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} $를 생각하자.\[ \begin{array}{l}a_{11}=g\left(E^{1}, E^{1}\right)=2 \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 1 \cdot 0+4 \cdot 0 \cdot 0-5 \cdot 0 \cdot 1=2 . \\a_{12}=g\left(E^{1}, E^{2}\right)=2 \cdot 1 \cdot 0-3 \cdot 1 \cdot 1+4 \cdot 0 \cdot 0-5 \cdot 0 \cdot 0=-3 . \\a_{13}=g\left(E^{1}, E^{3}\right)=2 \cdot 1 \cdot 0-3 \cdot 1 \cdot 0+4 \cdot 0 \cdot 1-5 \cdot 0 \cdot 0=0 .\end{array}\] 같은 방법으로 \[\begin{array}{l}a_{21}=g\left(E^{2}, E^{1}\right)=0, a_{22}=g\left(E^{2}, E^{2}\right)=0, a_{23}=g\left(E^{2}, E^{3}\right)=4 \\a_{31}=g\left(E^{3}, E^{1}\right)=-5, a_{32}=g\left(E^{3}, E^{2}\right)=0, a_{33}=g\left(E^{3}, E^{3}\right)=0\end{array}\] 이므로 쌍선형사상 $ g $ 의 행렬 $ A $는 \[ A=\left(\begin{array}{rrr}2 & -3 & 0 \\0 & 0 & 4 \\-5 & 0 & 0\end{array}\right) \text { 이다. 즉 }\] $ \begin{aligned} g(X, Y) &=\left(\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ -5 & 0 & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right) \\ &=2 x_{1} y_{1}-3 x_{1} y_{2}+4 x_{2} y_{3}-5 x_{3} y_{1} \text { 이다. } \end{aligned} $</p> <h1>4.3 복소 내적공간의 정규직교기저</h1> <p>이 절에서는 4.1절과 4.2절의 결과를 복소수위에서의 벡터공간에 대해서도 적용할 수 있도록 복소수체 위의 벡터공간위의 내적을 정의하고 그 성질들을 알아보도록 한다.</p> <p>정의 : 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 벡터공간 $ V $에서, 다음조건 HP1~HP3를 만족시키는 사상 \[ \langle,\rangle: V \times V \rightarrow \mathbb{C}, \quad(v, w) \rightarrow\langle v, w\rangle \]를 벡터공간 $ V $ 위의 에르미트 내적(Hermitian product)이라고 한다.<p>HP1. 모든 $ v, w \in V $ 에 대하여, (위에 줄을 그은 것은 켤레복소수를 나타낸다.)\[ \langle v, w\rangle=\overline{\langle w, v\rangle}\] HP2. 모든 $ u, v, w \in V $에 대하여,\[ \langle u, v+w\rangle=\langle u, v\rangle+\langle u, w\rangle\] HP3. 모든 $ v, w \in V $, 모든 $ \alpha \in \mathbb{C} $에 대하여, \[\langle\alpha v, w\rangle=\alpha\langle v, w\rangle,\langle v, \alpha w\rangle=\bar{\alpha}\langle v, w\rangle .\] 특히, 위에 정의된 에르미트 내적이 다음 HP4를 만족할 때, $ \langle $,$ \rangle$를 양의 정부호 에르미트 내적(positive definite Hermitian product)이라고 한다. HP4. 모든 $ v \in V $ 에 대하여,\[\langle v, v\rangle \geq 0 \text { 이고 }\langle v, v\rangle=0 \Leftrightarrow v=0 \text { 이다. }\]이때, 양의 정부호 내적이 정의된 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 벡터공간을 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간(inner product space) 또는 복소 내적공간(complex inner product space)이라고 한다.</p> <p>보기4.3.1 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 벡터공간 $ \mathbb{C}^{n} $에서 임의의 두 벡터, $ v=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), w=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) \in \mathbb{C}^{n} $에 대하여 \[ \langle v, w\rangle=x_{1} \overline{y_{1}}+x_{2} \overline{y_{2}}+\cdots+x_{n} \overline{y_{n}}\]으로 정의하면, 사상 $ \langle\rangle:, \mathbb{C}^{n} \times \mathbb{C}^{n} \rightarrow \mathbb{C} $는 $ \mathbb{C}^{n} $ 위의 에르미트 내적이고 HP1~HP4를 만족한다. 따라서 $ \mathbb{C}^{n} $은 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간이다. 이때, 이 내적을 $ \mathbb{C}^{n} $의 표준내적(standard inner product)이라 하고, 표준내적이 정의된 벡터공간 $ \mathbb{C}^{n} $을 $ n $차원 유니타리 공간(unitary space)이라고 한다.</p> <p>풀이. 조건 HP1, HP2, HP3이 만족됨을 쉽게 보일 수 있다.\[\langle v, v\rangle=x_{1} \overline{x_{1}}+x_{2} \overline{x_{2}}+\cdots+x_{n}\overline{x_{n}}=\left\|x_{1}\right\|^{2}+\left\|x_{2}\right\|^{2}+\cdots+\left\|x_{n}\right\|^{2} \geq 0\]이고, 또한 \[\begin{aligned} v=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=0 & \Leftrightarrow \text { 모든 } i \text { 에 대하여 } x_{i}=0 \quad(i=1,2, \cdots, n) \\\Leftrightarrow\langle v, v\rangle &=x_{1} \overline{x_{1}}+x_{2} \overline{x_{2}}+\cdots+x_{n} \overline{x_{n}} \\&=\left\|x_{1}\right\|^{2}+\left\|x_{2}\right\|^{2}+\cdots+\left\|x_{n}\right\|^{2}=0\end{aligned}\] 따라서 〈, $ \rangle $ 는 양의 정부호 에르미트 내적이다.</p> <p>직교, 수직, 직교기저, 직교보공간과 같은 용어를 앞 절에서와 같이 정의할 수 있다. 마찬가지로, $ w $에 관한 $ v $의 사영과 성분들의 정의 및 이와 관련된 성질도 그대로 받아들일 수 있다.</p> <p>복소수 $ \alpha $에 대하여 $ \alpha=\bar{\alpha} \Leftrightarrow \alpha \in \mathbb{R} $이다. 위의 정의의 조건 HP1에서 $ \langle v, v\rangle=\overline{\langle v, v\rangle} $이므로 $ \langle v, v\rangle $는 실수이다. 따라서 조건 HP4는 의미 있는 조건이다. 그리고 $ \alpha $가 실수이면 $ \alpha=\bar{\alpha} $이므로, 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $에 대한 네 조건은 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간 $ V $의 네 가지 조건은 동일하다. 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간 $ V $에서, 임의의 $ v \in V $에 대하여 HP4에 의하여 $ \langle v, v\rangle \geq 0 $인 실수이므로 $ \langle v, v\rangle $의 0 보다 크거나 같은 실수인 제곱근을 택할 수 있다. 따라서 다음을 정의 할 수 있다.</p> <h1>4.3 복소 내적공간의 정규직교기저</h1><p>정의 : 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간 $ V $의 각 원소 $ v \in V $에 대하여 \[\\|v\\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}\]로 정의하고 $ \\|v\\| $를 $ v $의 노름(norm)이라고 한다. 특히, $ \\|v\\|=1 $일 때 $ v \in V $를 단위벡터라고 한다.</p> <p>다음의 성질은 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간에서의 경우와 마찬가지로 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 벡터공간에 대해서도 성립한다.</p> <p>정리 4.3.1 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간 $ V $에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>모든 $ v \in V $에 대하여\[\\|v\\| \geq 0 \text { 이고, }\\|v\\|=0 \Leftrightarrow v=0\]</li> <li>임의의 복소수 $ \alpha \in \mathbb{C} $에 대하여 \[\\|\alpha v\\|=\|\alpha\|\\|v\\|\]</li> <li>임의의 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 \[\|\langle v, w\rangle\| \leq\\|v\\|\\|w\\| \text { (Cauchy-Schwarz의 부등식) } \]</li> <li>(4) 임의의 두 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 \[v \text { 와 } w \text { 가 수직 } \Leftrightarrow\\|v-w\\|=\\|v+w\\| \]</li> <li>(5) 두 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 $ v $와 $ w $가 수직이면 \[\\|v+w\\|^{2}=\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2} \quad \text { (피타고라스 정리) }\]</li> <li>(6) 두 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 \[\\|v+w\\|^{2}+\\|v-w\\|^{2}=2\left(\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2}\right) \text { (평행사변형의 법칙) }\]</li> <li>(7) 임의의 두 벡터 $ v, w \in V $에 대하여 \[\\|v+w\\| \leq\\|v\\|+\\|w\\| \quad \text { (삼각 부등식) }\]</li></ol></p> <p>증명. (1) HP4에 의하여 분명하다. \[\text { (2) } \begin{aligned}\\|\alpha v\\| &=\sqrt{\langle\alpha v, \alpha v\rangle}=\sqrt{\alpha \bar{\alpha}\langle v, v\rangle} \\&=\sqrt{\|\alpha\|^{2}\langle v, v\rangle}=\|\alpha\| \sqrt{\langle v, v\rangle}=\|\alpha\|\\|v\\|\end{aligned}\] (3), (4), (5), (6) 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간인 경우와 동일하다. \[\text { (7) } \begin{aligned}\\|v+w\\|^{2} &=\langle v+w, v+w\rangle=\langle v, v\rangle+\langle w, v\rangle+\langle v, w\rangle+\langle w, w\rangle \\&=\langle v, v\rangle+\overline{\langle v, w\rangle}+\langle v, w\rangle+\langle w, w\rangle \\&=\\|v\\|^{2}+2 R(\langle v, w\rangle)+\\|w\\|^{2} \\ & \leq\\|v\\|^{2}+2\|\langle v, w\rangle\|+\\|w\\|^{2} \\& \leq\\|v\\|^{2}+2\\|v\\|\\|w\\|+\\|w\\|^{2} \quad \text { (Cauchy-Schwarz) }\end{aligned}\]\[=(\\|v\\|+\\|w\\|)^{2} .\] 여기서, $ R(\langle v, w\rangle) $을 복소수 $ \langle v, w\rangle $의 실수부를 나타낸다. 노름 $ \geq 0 $이므로 \[\\|v+w\\| \leq\\|v\\|+\\|w\\| \text { 이다. }\]</p> <p>정리 4.3.2 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 $ n $ 차원 내적공간 $ V $에서, $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $가 $ V $의 직교기저이면 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 다음이 성립한다. \[ v=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} v_{i}=\frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}+\cdots+\frac{\left\langle v, v_{n}\right\rangle}{\left\langle v_{n}, v_{n}\right\rangle} v_{n}\] 특히, $ B $가 정규직교기저이면 \[ \begin{aligned}v &=\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle \\ &=\left\langle v, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle v, v_{2}\right\rangle v_{2}+\cdots+\left\langle v, v_{n}\right\rangle v_{n}\end{aligned}\]이다.</p> <p>증명. 정리 4.2.2의 증명과 동일하다.</p> <p>정리 4.3.3 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 내적공간 $ V $에서, $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $가 $ V $의 기저이면 $ V $의 직교기저 \[B^{\prime}=\left\{v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{n}^{\prime}\right\} \]가 존재한다.</p> <p>증명. 정리 4.2.3의 증명과 동일하다 (Gram-Schmidt의 직교화 과정).</p> <p>보기4.3.2 유니타리 공간 $ \mathbb{C}^{3} $에서, $ v_{1}=(i, i, 0), v_{2}=(0, i, i), v_{3}=(0,0, i) \in \mathbb{C}^{3} $는 $ \mathbb{C}^{3} $의 기저를 이룬다. 이제 Gram-Schmidt의 직교화 과정을 이용하여 $ \mathbb{C}^{3} $의 정규직교기저를 구하여 보자.</p> <p>\[\begin{aligned}v_{1}^{\prime} &=v_{1}=(i, i, 0) \\v_{2}^{\prime} &=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime}, \\ &=(0, i, i)-\frac{1}{2}(i, i, 0)=\left(-\frac{i}{2}, \frac{i}{2}, i\right), \\v_{3}^{\prime} &=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{2}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{2}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle} v_{2}^{\prime}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} \\&=(0,0, i)-\frac{1}{\frac{3}{2}}\left(-\frac{i}{2}, \frac{i}{2}, i\right)-\frac{0}{2}(i, i, 0)=\left(\frac{i}{3},-\frac{i}{3}, \frac{i}{3}\right) \text { 이다. }\end{aligned}\] 따라서 $ \left\{v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, v_{3}^{\prime}\right\} $는 $ \mathbb{C}^{3} $의 직교기저이다. \[\begin{array}{l} w_{1}=\frac{v_{1}^{\prime}}{\left\\|v_{1}^{\prime}\right\\|}=\frac{(i, i, 0)}{\sqrt{i \bar{i}+i \bar{i}+0 \overline{0}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}(i, i, 0)=\left(\frac{i}{\sqrt{2}}, \frac{i}{\sqrt{2}}, 0\right), \\ w_{2}=\frac{v_{2}^{\prime}}{\left\\|v_{2}^{\prime}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{3}{2}}}\left(-\frac{i}{2}, \frac{i}{2}, i\right)=\left(-\frac{i}{\sqrt{6}}, \frac{i}{\sqrt{6}}, \frac{\sqrt{6} i}{3}\right), \\ w_{3}=\frac{v_{3}^{\prime}}{\left\\|v_{3}^{\prime}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}}}\left(\frac{i}{3},-\frac{i}{3}, \frac{i}{3}\right)=\left(\frac{i}{\sqrt{3}}, \frac{i}{\sqrt{3}}, \frac{i}{\sqrt{3}}\right) \end{array} \] 이므로 $ \left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} $ 는 $ \mathbb{C}^{3} $ 의 정규직교기저이다.</p> <p>정리 4.3.4 복소수체 $ \mathbb{C} $ 위의 유한차원 내적공간 $ V $에서, $ W $가 $ V $의 부분공간이면\[ V=W \oplus W^{\perp} \text { 이고, } \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W+\operatorname{dim} W^{\perp}\]이다.</p> <p>증명. 정리 4.2.4의 증명과 동일하다.</p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정리4.4.3 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A $ 에 적당한 기본 행 연산을 유한 번 시행하면 $ A $는 다음과 같은 $ A $와 행 동치인 기약 행 사다리꼴 행렬 $ A^{\prime} $로 변형된다.<p> <p>$ A^{\prime}=\left(\begin{array}{cccccccccc}1 & & 0 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & 1 & * & \cdots & * & 0 & * & \cdots & * \\ \vdots & & \vdots & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & & & & & & \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right) r $</p> <p>이때, $ A^{\prime} $의 처음 $ r $개의 행벡터 $ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} $만이 영벡터가 아닐 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ A $의 행 공간 $ =A^{\prime} $의 행 공간</li> <li>$ \left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\} $는 $ A $의 행 공간의 기저이다.</li> <li>$ r(A)=r\left(A^{\prime}\right)=r $, 즉 $ A $의 행계수와 $ A^{\prime} $의 행 계수는 일치한다.</li></ol> <p>증명. 분명히 $ r $개의 벡터 \[\begin{aligned}u_{1}=&(1, , 0, , \cdots, , 0, , \cdots, ) \\ u_{2}=&(0,0,1, , \cdots, , 0, , \cdots, ) \\& \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\u_{r}=&(0,0,0, \cdots, 0, , \cdots, *)\end{aligned}\]는 일차독립이고, 정리4.4.2에 의하여, $ (A $의 행 공간 $ )=\left(A^{\prime}\right. $의 행 공간)\[=\left\langle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, 0, \cdots, 0\right\rangle=\left\langle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\rangle \text { 이다. }\] 따라서 $ \left\{u_{1}, v_{2}, \cdots, u_{r}\right\} $ 는 ( $ A $ 의 행 공간)의 기저이다. 그러므로 (1), (2), (3)이 성립한다.</p> <p>보기4.4.2 다음과 같은 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 $ 3 \times 4 $ 행렬 $ A $의 행 공간을 생각해보자. \[ A=\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -2 & 1 \\1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 0 & 10\end{array}\right)\] 행렬 $ A $에 기본 행 연산을 시행하면 $ A $는 다음과 같은 사다리꼴행렬 $ A^{\prime} $로 변형된다. \[\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -2 & 1 \\1 & 2 & -1 & 3 \\2 & 4 & 0 & 10\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -2 & 1 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 4 & 8\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 5 \\0 & 0 & 1 & 2 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=A^{\prime}\] 따라서 $ r(A)=r\left(A^{\prime}\right)=2 $ 이므로, $ A $의 행 공간을 벡터공간 $ \mathbb{R}^{4} $의 부분공간으로서 $ \{(1,2,0,5),(0,0,1,2)\} $를 기저로 가지는 2차원 부분공간이다. 이제, 행렬의 행 계수(열 계수)와 동차 연립일차방정식의 해 공간 사이의 관계를 알아보자.</p> <h1>4.2 실 내적공간의 정규직교기저</h1> <p>이 절에서는 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간의 정규직교기저에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 : 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $에서, $ V $의 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $에 대하여<ol type= start=1><li>$ B $ 에 속하는 벡터가 서로 직교할 때, 즉\[\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0 \quad(1 \leq i \neq j \leq n)\] 일 때, $ B $ 를 $ V $ 의 직교기저(orthogonal basis)라고 한다. 여기서 $ n=1 $ 인 경우는 아무런 제약이 없는 것으로 한다.</li> <li>$ B $ 가 직교기저이고 $ B $ 에 속하는 벡터가 모두 단위벡터 일 때, 즉\[\left\\|v_{i}\right\\|=1 \quad(1 \leq i \leq n) \]일 때, $ B $ 를 $ V $ 의 정규직교기저(orthonomal basis)라고 한다.</li></ol></p> <p>보기4.2.1 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 표준기저 $ B=\left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\} $은 정규직 교지기저이고, 또 다음 집합도 정규직교기저이다. \[\left\{-e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\},\left\{-e_{1},-e_{2}, \cdots, e_{n}\right\}, \cdots,\left\{-e_{1},-e_{2}, \cdots,-e_{n}\right\} \text {. }\]</p> <p>정리4.2.1 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 영 아닌 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $가 서로 직교하면 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $은 일차독립이다.</p> <p>증명. $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $가 서로 직교하고, $ v_{i} \neq 0 \quad(i=1,2, \cdots, n) $이라하자.\[ \begin{array}{l}c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n}=0 \quad\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} \in \mathbb{R}\right) \text { 이라 가정하면, } \\0=\left\langle 0, v_{i}\right\rangle=\left\langle c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n}, v_{i}\right\rangle \\=c_{1}\left\langle v_{1}, v_{i}\right\rangle+c_{2}\left\langle v_{2}, v_{i}\right\rangle+\cdots+c_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle+\cdots+c_{n}\left\langle v_{n}, v_{i}\right\rangle \\=c_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle \text { 이다. } \\\end{array}\] 여기서 $ v_{i} \neq 0 $이므로 $ \left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle \neq 0 $이다. 따라서 $ c_{i}=0 $이다. 이것은 모든 $ i $ 에 대하여 성립하므로 \[c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{n}=0 \text { 이다. }\] 따라서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차독립이다.</p> <p>정리4.2.2 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 $ n $차원 내적공간 $ V $에서 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $가 $ V $의 직교기저이면 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned}v &=\frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}+\cdots+\frac{\left\langle v, v_{n}\right\rangle}{\left\langle v_{n}, v_{n}\right\rangle} v_{n} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} v_{i} \end{aligned}\] 특히, $ B $ 가 정규직교기저이면 \[v=\left\langle v, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle v, v_{2}\right\rangle v_{2}+\cdots+\left\langle v, v_{n}\right\rangle v_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left\langle v, v_{i}\right\rangle v_{i} \text { 이다. }\] 이때, 각 $ \frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} $를 $ v_{i} $ 에 관한 $ v $ 의 fourier계수라고 한다.</p> <p>증명, 집합 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $가 $ V $의 직교기저이므로 임의의 벡터 $ v \in V $는 \[ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{R}\right) \text { 이다. }\] 각 $ i(1 \leq i \leq n) $에 대하여 \[\begin{array}{l}\left\langle v, v_{i}\right\rangle=\left\langle a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n}, v_{i}\right\rangle \\=a_{1}\left\langle v_{1}, v_{i}\right\rangle+a_{2}\left\langle v_{2}, v_{i}\right\rangle+\cdots+a_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle+\cdots+a_{n}\left\langle v_{n}, v_{i}\right\rangle \\=a_{i}\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle \\ \text { 이고 }\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle \neq 0 \text { 이므로 } a_{i}=\frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} \text { 이다. } \\\text { 따라서 } v=\frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle} v_{1}+\frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle} v_{2}+\cdots+\frac{\left\langle v, v_{n}\right\rangle}{\left\langle v_{n}, v_{n}\right\rangle} v_{n} \text { 이다. } \\\text { 특히, } B \text { 가 직교정규기저이면 }\left\langle v_{i},v_{i}\right\rangle=\left\\|v_{i}\right\\|^{2}=1 \quad(1 \leq i \leq n) \text { 이므로 } \\ v=\left\langle v, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle v, v_{2}\right\rangle v_{2}+\cdots+\left\langle v, v_{n}\right\rangle v_{n} \text { 이다. } \\\end{array}\]</p> <p>보기4.2.2 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{3} $에서 세 벡터, \[v_{1}=(4,3,0), v_{2}=(-3,4,0), v_{3}=(0,0,1) \text { 는 } \mathbb{R}^{3} \text { 의 직교기저를 이룬다. }\] $ v=(1,2,3) \in \mathbb{R}^{3} $에 대하여,\[ \frac{\left\langle v, v_{1}\right\rangle}{\left\langle v_{1}, v_{1}\right\rangle}=\frac{2}{5}, \frac{\left\langle v, v_{2}\right\rangle}{\left\langle v_{2}, v_{2}\right\rangle}=\frac{1}{5}, \frac{\left\langle v, v_{3}\right\rangle}{\left\langle v_{3}, v_{3}\right\rangle}=3\]이므로 $ v=\frac{2}{5} v_{1}+\frac{1}{5} v_{2}+3 v_{3} $이다.</p> <h1>4.2 실 내적공간의 정규직교기저</h1> <p>정리4.2.4 실수체 $ \mathrm{R} $ 위의 유한차원 내적공간 $ V $에서, $ W $가 $ V $의 임의의 부분공간이면 $ V=W \oplus W^{\perp} $이고, $ \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W+\operatorname{dim} W^{\perp} $이다. 이때, $ W^{\perp} $를 $ W $의 직교보공간(orthogonal complement of $ W $ )이라고 한다.</p> <p>증명, $ W=\{0\} $이면 $ W^{\perp}=\{v \in V \mid\langle v, 0\rangle=0\}=V $이고 $ W=V $이면 $ W^{\perp}=\{v \in V \mid $ 모든 $ w \in W=V $에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0\}=\{0\} $이므로 임의의 $ v \in V $에 대하여 $ v=0+v=v+0 $이고 $ W \cap W^{\perp}=\{0\} $이 되어 주어진 정리가 성립한다. $ W \neq V $이고 $ W \neq\{0\} $이라고 가정하자. 먼저, $ \operatorname{dim} W=r>0 $이라고 하면 정리4.2.3에 의하여 $ W $의 정규직교기저 $ B=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{r}\right\} $가 존재한다. 이제, $ v \in V $ 라 하고 $ w=\sum_{i=1}^{r}\left\langle v, w_{i}\right\rangle w_{i} $이라고 하면 $ w \in W $ 이다. 또한 $ w^{\prime}=v-w=v-\sum_{i=1}^{r}\left\langle v, w_{i}\right\rangle w_{i} $이라고 하자. $ B $가 $ W $의 정규직교기저이므로 $ \left\langle w_{i}, w_{j}\right\rangle=0(i \neq j),\left\langle w_{j}, w_{j}\right\rangle=\left\\|w_{j}\right\\|^{2}=1(1 \leq j \leq r) $이다. 따라서 각 $ j(1 \leq j \leq r) $에 대하여,\[\begin{aligned} \left\langle w^{\prime}, w_{j}\right\rangle &=\left\langle v-\sum_{i=1}^{r}\left\langle v, w_{i}\right\rangle w_{i}, w_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v, w_{j}\right\rangle-\sum_{i=1}^{r}\left\langle v, w_{i}\right\rangle\left\langle w_{i}, w_{j}\right\rangle \\&=\left\langle v, w_{j}\right\rangle-\left\langle v, w_{j}\right\rangle=\end{aligned}\] 이므로 $ w^{\prime} $ 는 각 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{r} $ 와 수직이고 이들의 일차결합과도 수직이다. (보기 4.1.3) 따라서 $ w^{\prime} $ 는 $ W $ 의 모든 원소와 수직이다. 그러므로 $ w^{\prime}=v-w \in W^{\perp} $ 이다. 즉 $ v=w+w^{\prime} \in W+W^{\perp} $이므로 $ V=W+W^{\perp} $이다. $ w \in W \cap W^{\perp} $이면 $ \langle w, w\rangle=0 $이므로 $ w=0 $이다. 즉 $ W \cap W^{\perp}=\{0\} $이다. 따라서 $ V=W \oplus W^{\perp} $ 이고, 또한, 정리 1.5.9에 의하여, $ \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W+\operatorname{dim} W^{\perp} $이다.</p> <p>정의 실수체 $ \mathrm{R} $ 위의 내적공간 $ V $에서, $ W $를 $ V $의 유한차원 부분공간이라하면 정리4.2.4에 의하여, \[V=W \oplus W^{\perp}\]이고, 정리 $ 1.3 .2 $ 에 의하여, 임의의 $ v \in V $는\[ v=w+w^{\prime} \quad\left(w \in W, w^{\prime} \in W^{\perp}\right)\]의 꼴로 유일하게 표시된다. 이때, $ w $를 $ v $의 $ W $ 위의 직교정사영(orthogonal projection of $ v $ on $ \mathrm{W} $ )이라하고 \[P_{W}(v)\]로 표시한다. 또한 $ w^{\prime} $를 $ W $에 직교하는 $ v $의 성분(component of $ v $ orthogonal to $ W $)이라고 한다.</p> <p>실제로 $ \operatorname{dim} W=r \quad(r \geq 1) $인 경우는 정리4.2.4의 증명 과정에서와 같이 $ B=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{r}\right\} $를 $ W $의 정규직교기저라고 하면 각 $ v \in V $에 대하여 $ P_{W}(v)=\sum_{i=1}^{r}\left\langle v, w_{i}\right\rangle w_{i} \in W, v-P_{W}(v) \in W^{\perp} $이고 \[ v=P_{W}(v)+\left(v-P_{W}(v)\right)\]로 표시된다.</p> <p>보기 4.2.4 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{3} $의 부분공간 $ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0\right) \mid x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R}\right\} $을 생각하자. 분명히, $ W^{\perp}=\left\{\left(0,0, x_{3}\right) \mid x_{3} \in \mathbb{R}\right\} $이다. 즉 $ W $는 $ x y $-평면이고 $ W^{\perp} $는 $ z $-축이다. 또한 $ \mathbb{R}^{3}=W \oplus W^{\perp} $이다. 이제, $ W $ 의 직교정규기저 $ B=\left\{e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0)\right\} $와 $ \mathbb{R}^{3} $의 임의의 벡터 $ v=(a, b, c) $ 를 생각하자. 그러면,\[ \begin{aligned}P_{W}(v) &=\sum_{i=1}^{2}\left\langle v, e_{i}\right\rangle e_{i} \\ &=\left\langle v, e_{1}\right\rangle e_{1}+\left\langle v, e_{2}\right\rangle e_{2}=a(1,0,0)+b(0,1,0) \\ &=(a, b, 0) \\v-P_{W}(v) &=(a, b, c)-(a, b, 0) \\&=(0,0, c) \\v=(a, b, c) &=(a, b, 0)+(0,0, c) \\ &=P_{W}(v)+\left(v-P_{W}(v)\right) \text { 이다. }\end{aligned}\] 또한 $ W $ 위의 $ \mathbb{R}^{3} $의 직교정사영 $ P_{W}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $는 임의의 $ v=(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} $에 대하여 $ P_{W}(v)=(a, b, 0) $으로 정의된다.</p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정리 4.4.1 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $에 대하여, $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in K^{n} $과 $ A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{n} \in K^{m} $을 각각 $ A $의 행벡터, 열벡터라 하면 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ \left(A\right. $의 행 공간) $ =\left(A^{T}\right. $의 열 공간), $ r(A)=c\left(A^{T}\right) $,</li> <li>$ 0 \leq r(A) \leq n, 0 \leq r(A) \leq m $</li> <li>$ r(A)=0 \Leftrightarrow A=0 $</li> <li>$ r(A)=m \Leftrightarrow $ 벡터공간 $ K^{n} $에서 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} $은 일차독립이다.</li></ol></p> <p>(2) ' $ 0 \leq c(A) \leq m, 0 \leq c(A) \leq n $</p> <p>(3) ' $ c(A)=0 \Leftrightarrow A=0 $</p> <p>(4) ' $ c(A)=n \Leftrightarrow $ 벡터공간 $ K^{m} $ 에서 $ A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{n} $은 일차독립이다.</p> <p>증명.<ol type= start=1><li>행렬 $ A $의 행 벡터(열벡터)는 전치행렬 $ A^{T} $의 열벡터(행벡터)이므로 \[\text { ( } A \text { 의 행 공간) }=\left(A^{T} \text { 의 열 공간), } r(A)=c\left(A^{T}\right)\right. \text { 이다. }\]</li> <li>\[\text { } (\begin{aligned}W &=\left\langle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\right\rangle \\ &=\left\{c_{1} A_{1}+c_{2} A_{2}+\cdots+c_{m} A_{m} \mid c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{m} \in K\right\} \end{aligned}\]을 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \in K^{n} $ 에 의해서 생성되는 벡터공간이라고 하면 $ W $는 $ n $ 차원 벡터공간 $ K^{n} $의 부분공간이므로 $ 0 \leq \operatorname{dim} W \leq n $ 이고, 또 $ W $는 $ m $개의 벡터로 생성된 부분공간이므로 $ 0 \leq \operatorname{dim} W \leq m $이다. 따라서 \[0 \leq r(A) \leq n, 0 \leq r(A) \leq m \text { 이다. }\]</li> <li>$ r(A)=0 $\[\begin{array}{l}\Leftrightarrow\left\langle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\right\rangle=\{0\} \\ \Leftrightarrow A_{1}=0, A_{2}=0, \cdots, A_{m}=0 \text { 이므로 } \\\Leftrightarrow A=0 .\end{array}\]</li> <li>$ r(A)=\operatorname{dim}\left\langle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\right\rangle $이므로 \[ r(A)=m \Leftrightarrow A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\]은 일차독립 $ \left(K^{n}\right. $에서 $ ) $이다. 같은 방법으로 (2)', (3)', (4)'가 성립함을 증명할 수 있다.</p></li> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정의 : 체 $ K $위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적이 $ \langle $ , $ \rangle$이고, $ V $의 부분집합 $ S $에 있어서, 벡터 $ v \in V $가 모든 $ w \in S $에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0 $일 때 $ v $는 집합 $ S $에 수직이다(perpendicular to $ S $ )라 하고, \[v \perp S\]로 나타낸다.</p> <p>보기 4.1.2 체 $ K $위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적이 $ \langle $ , $ \rangle$이고, $ S $가 $ V $의 부분집합이면 다음 집합은 $ V $의 부분공간이다. \[S^{\perp}=\{v \in V \mid \text { 모든 } w \in S \text { 에 대하여 }\langle v, w\rangle=0\} .\] 이때, $ S^{\perp} $ 를 $ S $ 의 직교공간(orthogonal space)이라고 한다. 실제로, 임의의 $ v_{1}, v_{2} \in S^{\perp} $이면 모든 $ w \in S $에 대하여 $ \left\langle v_{1}, w\right\rangle=0,\left\langle v_{2}, w\right\rangle=0 $ 이고 $ \left\langle v_{1}+v_{2}, w\right\rangle=\left\langle v_{1}, w\right\rangle+\left\langle v_{2}, w\right\rangle=0+0=0 $이므로 \[v_{1}+v_{2} \in S^{\perp} \text { 이다. }\] 또, 임의의 $ c \in K $ 에 대하여 $ \left\langle c v_{1}, w\right\rangle=c\left\langle v_{1}, w\right\rangle=c \cdot 0=0 $이므로 \[ c v_{1} \in S^{\perp} \text { 이다. }\] 따라서 $ S^{\perp} $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>보기 4.1.3 체 $ K $위의 벡터공간 $ V $의 내적이 $ \langle $ , $ \rangle$이고, $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $일 때, 벡터 $ v \in V $가 각 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $과 수직이면 $ v \in V $는 이들의 일차결합 $ c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n} $ 과도 수직이다. 실제로, $ v \perp v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이므로 \[ \left\langle v, v_{1}\right\rangle=0,\left\langle v, v_{2}\right\rangle=0, \cdots,\left\langle v, v_{n}\right\rangle=0 \text { 이다. }\] 따라서 \[\begin{array}{c}\left\langle v, c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n}\right\rangle=c_{1}\left\langle v, v_{1}\right\rangle+c_{2}\left\langle v, v_{2}\right\rangle+\cdots+c_{n}\left\langle v, v_{n}\right\rangle=0 \text { 이므로 } \\ v \perp c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n} \text { 이다. }\end{array}\]</p> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정의 : 체 $ K $위의 벡터공간 $ V $위의 내적이 $ \langle $ , $ \rangle$일 때, \) $ V $의 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $에 대하여 $ B $에 속하는 벡터가 서로 직교(mutually perpendicular)할 때, 즉 \[\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0 \quad(1 \leq i \neq j \leq n)\] 일 때, $ B $ 를 $ V $ 의 직교기저(orthogonal basis)라고 한다.</p> <p>이제, 실수체 위의 벡터공간에서, 좀 더 강한 내적에 대해서 알아보자.</p> <p>정의 : 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 내적이 $ \langle $ , $ \rangle$일 때, 내적 $ \langle $ , $ \rangle$이 다음 조건을 만족할 때 내적 $ \langle $ , $ \rangle$을 양의 정부호(positive definite)내적이라고 한다.</p> <p>SP 4. 모든 $ v \in V $ 에 대해서\[\langle v, v\rangle \geq 0 \text { 이고, }\langle v, v\rangle=0 \Leftrightarrow v=0 \text { 이다. }\] 이때, 양의 정부호 내적이 정의된 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간 $ V $를 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간(inner product space over $ \mathbb{R} $ ) 또는 실 내적공간(real inner product space)이라 한다. 즉 벡터공간 $ V $가 실내적 공간이라고 하는 것은 SP1~SP4를 만족하는 내적 $ \langle $ , $ \rangle$이 정의된 실수체 $\mathbb{R} $ 위의 벡터공간임을 의미한다.</p> <p>앞으로, 일반적인 내적공간에 대해서 논할 때에는 그 내적을 $ \langle $ , $ \rangle$으로 나타내기로 한다.</p> <p>보기 4.1.4 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $에서, 보기4.1.1에서 정의된 내적은 양의 정부호 내적이다. 즉 $ \mathbb{R}^{n} $은 실내적 공간이다. 실제로, SP4가 만족함을 보이면 된다.</p> <p>임의의 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $에 대해서 \[ \begin{array}{l} \langle X, X\rangle=X \circ X=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geq 0 \text { 이고, } \\ X=0 \Leftrightarrow x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{n}=0 \Leftrightarrow\langle X, X\rangle=0 \text { 이므로 } \end{array}\] $ \langle $ , $ \rangle$는 양의 정부호 내적이다. 이 내적을 $ \mathbb{R}^{n} $ 의 표준내적(standard inner product)이라 하고, 표준내적이 정의되어 있는 벡터공간 $ \mathbb{R}^{n} $ 을 $ n $차원 유클리드 공간(Euclidean space)이라 한다.</p> <p>정리4.1.1 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>모든 $ w \in V $ 에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0 $ 이면 $ v=0 $이다. 모든 $ w \in V $ 에 대하여 $ \left\langle v_{1}, w\right\rangle=\left\langle v_{2}, w\right\rangle $ 이면 $ v_{1}=v_{2} $이다.</li> <li>모든 $ v \in V $ 에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0 $ 이면 $ w=0 $이다. 모든 $ v \in V $ 에 대하여 $ \left\langle v, w_{1}\right\rangle=\left\langle v, w_{2}\right\rangle $ 이면 $ w_{1}=w_{2} $ 이다.</li></ol> <p>증명.<ol type= start=1><li>모든 $ w \in V $ 에 대하여 $ \langle v, w\rangle=0 $이면 특히 $ \langle v, v\rangle=0 $이므로 SP4에 의하여 $ v=0 $이다. 또, 모든 $ w \in V $ 에 대하여 $ \left\langle v_{1}, w\right\rangle=\left\langle v_{2}, w\right\rangle $ 이면 $ \left\langle v_{1}-v_{2}, w\right\rangle=0 $이므로 $ v_{1}-v_{2}=0 $. 즉 $ v_{1}=v_{2} $이다.</li> <li>(1)의 결과에 SP1을 적용하면 (2)의 결과를 얻을 수 있다.</li></ol> <p>주의. 정리4.1.1의 (1)의 결과로부터, 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 내적은 비퇴화 내적임을 알 수 있다.</p> <p>이제, 실내적 공간 $ V $ 의 부분공간 $ W $ 위의 내적에 대해서 생각해 보면, $ W $에는 $ V $에서의 내적을 정의하는 규칙을 똑같이 사용하여 정의된 내적이 존재한다. 즉 $ w, w^{\prime} \in W $ 일 때, $ W $ 위의 내적 $ \left\langle w, w^{\prime}\right\rangle $는 $ V $에서의 $ \left\langle w, w^{\prime}\right\rangle $를 생각하면 된다. 따라서 $ W $는 $ V $의 부분공간으로서 실 내적공간이다.</p> <p>보기4.1.5 $ W $를 두 벡터 $ (1,2,2) $와 $ (\pi,-1,0) \in \mathbb{R}^{3} $ 에 의해서 생성된 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 부분공간이라 하면 \[W=\{a(1,2,2)+b(\pi,-1,0) \mid a, b \in \mathbb{R}\} \text { 이다. }\] 임의의 벡터 $ w \in W $ 에 대하여, \[w=a(1,2,2)+b(\pi,-1,0)=(a+b \pi, 2 a-b, 2 a) \text {}이다\]$ \mathbb{R}^{3} $ 위의 표준내적을 적용하여 $ \langle w, w\rangle $를 구하면\[\begin{array}{c}\langle w, w\rangle=(a+b \pi)^{2}+(2 a-b)^{2}+(2 a)^{2} \geq 0 \text { 이고, } \\w=0 \Leftrightarrow a=0, b=0 \Leftrightarrow\langle w, w\rangle=0 \text { 이다. }\end{array} \]</p> <p>따라서 $ W $도 실 내적공간이다.</p> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정리 4.1.5 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $에서 $ w(\neq 0) \in V $일 때, 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 $ v-c w $가 $ w $에 수직이 되는 실수 $ c \in \mathbb{R} $가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명. $ v-c w \perp w $인 $ c \in \mathbb{R} $를 구하여 보자. \[\begin{aligned}v-c w \perp w & \Leftrightarrow\langle v-c w, w\rangle=0 \\ & \Leftrightarrow\langle v, w\rangle-c\langle w, w\rangle=0 \\ & \Leftrightarrow c=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} . \\c=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} \text { 라고 두면 } c \in \mathbb{R} \text { 이고, } \\\langle v-c w, w\rangle &=\langle v, w\rangle-\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle}\langle w, w\rangle=0\end{aligned}\] 이므로 $ v-c w \perp w $ 인 실수 $ c \in \mathbb{R} $가 존재한다. 또 $ c $의 유일성을 증명하기 위하여, $ v-c^{\prime} w \perp w $인 실수 $ c^{\prime} \in \mathbb{R} $가 존재한다면 \[\begin{array}{c}0=\left\langle v-c^{\prime} w, w\right\rangle=\langle v, w\rangle-c^{\prime}\langle w, w\rangle \text { 이므로 } \\c^{\prime}=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle}=c \text { 이다. }\end{array}\] 따라서 만족하는 실수 $ c $ 는 유일하게 존재한다.</p> <p>이때, $ c=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} $ 를 $ w $ 에 관한 $ v $ 의 성분(component of $ v $ along $ w $ ), $ c w $를 $ v $의 $ w $ 위의 사영 (projection of $ v $ along $ w $ )이라고 한다. 특히, $ w \in V $가 단위벡터이면 $ \langle w, w\rangle=1 \quad(\\|w\\|=1 $ )이므로 $ w $에 관한 $ v $의 성분은 $ \langle v, w\rangle $ 이다.</p> <p>보기4.1.8 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $에서 $ E_{i} $ 를 $ i $번째 단위벡터, 즉 $ E_{i}=(0, \cdots, 0,1,0, \cdots, 0) $이면 임의의 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $의 $ E_{i} $ 에 관한 성분은 \[\left\langle X, E_{i}\right\rangle=x_{i}\]이다.</p> <p>주의. 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $ 위의 두 벡터 $ v=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), w=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) $의 내적은 \[\langle v, w\rangle=v \circ w=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n} \]이다.</p>$ \theta(0 \leq \theta \leq \pi) $ 를 두 벡터 $ v $ 와 $ w $ 사이의 각이라고 하면 $ \\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2}=\\|v+w\\|^{2}+2\\|v\\|\\|w\\| \cos \theta $이다. 따라서 $ \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\right)+\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2}\right) $$ \Delta \theta $ $ =\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-y_{n}\right)^{2}+2\\|v\\|\\|w\\| \cos \theta $</p> <p>이다. 그러므로 $ \\|v\\|\\|w\\| \cos \theta=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+\cdots+x_{n} y_{n}=\langle v, w\rangle=v \circ w $이다. 즉 \[\langle v, w\rangle=\\|v\\|\\|w\\| \cos \theta\]이다. 더욱이, $ v \neq 0, w \neq 0 $이면 \[ \cos \theta=\frac{\langle v, w\rangle}{\\|v\\|\\|w\\|} .\] 따라서 \[ -1 \leq \frac{\langle v, w\rangle}{\\|v\\|\\|w\\|} \leq 1 \quad(\because-1 \leq \cos \theta \leq 1) .\] 그러므로 \[ \|\langle v, w\rangle\| \leq\\|v\\|\\|w\\|\]이다.</p> <p>보기 4.1.9 Euclid 공간 $ \mathbb{R}^{4} $ 위의 두 벡터 $ v=(1,2,0,2), w=(-3,1,1,5) $가 이루는 각 $ \theta $ 를 구하여 보자.</p> <p>풀이, $ \cos \theta=\frac{\langle v, w\rangle}{\\|v\\|\\|w\\|}=\frac{1 \cdot(-3)+2 \cdot 1+0 \cdot 1+2 \cdot 5}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}+2^{2}} \sqrt{(-3)^{2}+1^{2}+1^{2}+5^{2}}}=\frac{1}{2} $ 이다. 따라서 $ \theta=\frac{\pi}{3} $이다.</p> <p>일반적으로 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 4.1.6 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 임의의 두 벡터 $ v, w $에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[\|\langle v, w\rangle\| \leq\\|v\\|\\|w\\| \quad \text { (Cauchy-Schwarz의 부등식) }\] 여기서, $ v, w $ 가 일차종속일 때 등호가 성립한다.</p> <p>증명. 먼저 $ w=0 $인 경우에는 $ \langle v, w\rangle=0=\\|v\\|\\|w\\| $이고, 또 $ v, w $는 일차종속이므로 정리가 성립한다. 이제 $ w \neq 0 $ 이라고 하자. 이때, 임의의 $ c \in \mathbb{R} $ 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned}0 \leq\\|v-c w\\|^{2} &=\langle v-c w, v-c w\rangle \\&=\langle v, v\rangle-2 c\langle v, w\rangle+c^{2}\langle w, w\rangle\end{aligned}\] 특히, $ c=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} $ 일 때도 성립하므로 \[\begin{aligned}0 & \leq\left\\|v-\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} w\right\\|^{2} \\ &=\\|v\\|^{2}-2 \frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle}\langle v, w\rangle+\left(\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle}\right)^{2}\langle w, w\rangle \\&=\\|v\\|^{2}-\frac{\|\langle v, w\rangle\|^{2}}{\\|w\\|^{2}} \text {. 즉 } \\\|\langle v, w\rangle\|^{2} \leq\\|v\\|^{2}\\|w\\|^{2} \text { 이다. }\end{aligned}\] 따라서 $ \|\langle v, w\rangle\| \leq\\|v\\|\\|w\\| $이다. 여기서, $ v=\frac{\langle v, w\rangle}{\langle w, w\rangle} w $, 즉 $ v, w $가 일차종속일 때 $ \\|v\\|\\|w\\|=\|\langle v, w\rangle\| $이므로 등호가 성립한다.</p> <h1>4.2 실 내적공간의 정규직교기저</h1> <p>정리 4.2.3 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $에서, $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $가 $ V $의 기저이면 $ V $의 직교기저 $ B^{\prime}=\left\{v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{n}^{\prime}\right\} $가 존재한다.</p> <p>증명. 정리의 증명방법은 정리의 내용만큼이나 중요하며, 이 방법을 Gram-Schmidt의 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)이라고 한다. $ B $가 $ V $의 기저이므로 $ v_{i} \neq 0 \quad(i=1,2, \cdots, n) $이다. 먼저, $ v_{1}^{\prime}=v_{1} $ 이라고 하면 $ v_{1}^{\prime} \neq 0 $ 이므로\[\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle>0 \text { 이다. }\] 따라서 $ v_{2}^{\prime}=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} $이라고 하면 $ v_{2}^{\prime} \in V $이고 $ v_{2}^{\prime} \neq 0 $이다. 실제로, $ v_{2}^{\prime} $는 $ v_{1} $와 $ v_{2} $의 일차결합이므로 $ v_{2}^{\prime} \in V $이고 $ v_{2}^{\prime}=0 $이라하면 $ v_{2}=\frac{\left\langle v_{2}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1} $이 되어 $ v_{1}, v_{2} $가 일차종속이 되어 모순이다. 또한 정리4.1.5에 의하여 $ v_{1}^{\prime} $와 $ v_{2}^{\prime} $는 서로수직이다. 더욱이, $ v_{1}^{\prime} \neq v_{2}{ }^{\prime} $이다. $ \left(v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime}\right. $이면 $ \left\langle v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle=0 \Leftrightarrow v_{1}^{\prime}=v_{2}^{\prime}=0 $이 되어 모순이다. $ ) $ 다음, $ v_{2}{ }^{\prime} \neq 0 $ 이므로 $ \left\langle v_{2}{ }^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle>0 $이다. 따라서 $ v_{3}^{\prime}=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{2}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{2}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle} v_{2}^{\prime}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} $이라고 두면, $ v_{2}^{\prime} $와 $ v_{1}^{\prime} $는 각각 $ v_{1} $과 $ v_{2} $의 일차결합이므로 $ v_{3}^{\prime} $는 $ v_{1}, v_{2}, v_{3} $의 일차결합이다. 따라서 $ v_{3}^{\prime} \in V $이고 $ v_{3}^{\prime} \neq 0 $이다. 실제로, $ v_{3}{ }^{\prime}=0 $이라하면 $ v_{3} $는 $ v_{1} $과 $ v_{2} $의 일차결합이므로 $ v_{1}, v_{2}, v_{3} $가 일차종속이 되어 모순이다. 또한 정리4.1.8에 의하여 $ v_{3}^{\prime} $는 $ v_{2}^{\prime} $와 $ v_{1}^{\prime} $에 수직이다. 더욱이 $ v_{3}^{\prime} \neq v_{1}^{\prime} $이고, $ v_{3}^{\prime} \neq v_{2}^{\prime} $이다. $ \left(v_{1}{ }^{\prime}=v_{3}{ }^{\prime}\right. $이면 $ v_{1}{ }^{\prime}=v_{3}{ }^{\prime}=0 $이 되어 모순, $ v_{2}{ }^{\prime} \neq v_{3}{ }^{\prime} $이면 $ v_{2}{ }^{\prime}=v_{3}{ }^{\prime}=0 $이 되어 모순). 따라서 $ v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, v_{3}^{\prime} $는 서로 수직이다. 이와 같은 방법을 계속하여 서로 수직인 벡터 $ v_{1}{ }^{\prime}, v_{2}{ }^{\prime}, \cdots, v_{m}{ }^{\prime} \in V $ $ \left(m<n: v_{i}^{\prime} \neq 0 \quad(i=1,2, \cdots, m)\right) $ 을 얻었다고 가정하자. 마지막으로, \[\begin{aligned}v_{m+1}{ }^{\prime}=v_{m+1}-\frac{\left\langle v_{m+1}, v_{m}{ }^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{m}{ }^{\prime}, v_{m}{ }^{\prime}\right\rangle} v_{m}{ }^{\prime} &-\frac{\left\langle v_{m+1}, v_{m-1}{ }^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{m-1}{ }^{\prime}, v_{m-1}{ }^{\prime}\right\rangle} v_{m-1}{ }^{\prime} \\&-\cdots-\frac{\left\langle v_{m+1}, v_{1}{ }^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}{ }^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}{ }^{\prime}\end{aligned}\] 이라고 두면 $ v_{m+1}{ }^{\prime} \in V $이다. 실제로, $ v_{1}{ }^{\prime}, v_{2}{ }^{\prime}, \cdots, v_{m}{ }^{\prime} $는 각각 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $의 일차결합이므로 $ v_{m+1}{ }^{\prime} $는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}, v_{m+1} $의 일차결합이 되어 $ v_{m+1}{ }^{\prime} \in V $이다. 또한 $ v_{m+1}{ }^{\prime} \neq 0 $이다. $ \left(v_{m+1}{ }^{\prime}=0\right. $이면 $ v_{m+1} $은 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $의 일차결합이므로 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}, v_{m+1} $이 일차종속이 되어 모순이다.) 따라서 정리4.1.8에 의하여, $ v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{m}{ }^{\prime}, v_{m+1}{ }^{\prime} $ 는 서로 수직이다. 그러므로 수학적 귀납법에 의하여, 서로 수직인 벡터 $ v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{n}{ }^{\prime} \in V $를 얻는다. 한편 $ \operatorname{dim} V=n $ 이므로 $ \left\{v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{n}^{\prime}\right\} $는 $ V $의 직교기저이다.</p> <p>주의. 정리4.2.3의 증명과정을 다시 한 번 요약하면 다음과 같다. 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $ 의 기저가 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $일 때, 이것을 직교화 하기위하여 다음과 같이 두자 ; (Gram-Schmidt의 직교화 과정)</p> <p>$ v_{1}^{\prime}=v_{1} $,$ v_{2}^{\prime}=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} $,$ v_{3}^{\prime}=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{2}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{2}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle} v_{2}^{\prime}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime},v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} $\[v_{n}^{\prime}=v_{n}-\frac{\left\langle v_{n}, v_{n-1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{n-1}{ }^{\prime}, v_{n-1}{ }^{\prime}\right\rangle} v_{n-1}{ }^{\prime}-\cdots-\frac{\left\langle v_{n}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime}\] 이라고 두면 $ \left\{v_{1}^{\prime}, v_{2}^{\prime}, \cdots, v_{n}^{\prime}\right\} $ 는 $ V $ 의 정규직교기저가 된다. 더욱이, 다시\[w_{1}=\frac{v_{1}^{\prime}}{\left\\|v_{1}^{\prime}\right\\|}, w_{2}=\frac{v_{2}^{\prime}}{\left\\|v_{2}^{\prime}\right\\|}, \cdots, w_{n}=\frac{v_{n}^{\prime}}{\left\\|v_{n}^{\prime}\right\\|}\]</p>이라고 두면 $ \left\\|w_{i}\right\\|=1 $이고 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $은 서로 수직이다. 실제로,\[\begin{array}{l}\left\langle w_{i}, w_{j}\right\rangle=\left\langle\frac{v_{i}^{\prime}}{\left\\|v_{i}^{\prime}\right\\|}, \frac{v_{j}^{\prime}}{\left\\|v_{j}^{\prime}\right\\|}\right\rangle \\\left.=\frac{1}{\left\\|v_{i}^{\prime}\right\\|\left\\|v_{j}^{\prime}\right\\|}\left\langle v_{i}^{\prime}, v_{j}^{\prime}\right\rangle=0 \quad(1 \leq i \neq j \leq n)\right) .\end{array}\] $ \operatorname{dim} V=n $이므로 $ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right\} $는 $ V $의 정규직교기저이다.</p> <p>보기4.2.3 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{3} $에서, $ v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(0,1,1), v_{3}=(0,0,1) $이라하면 $ \quad B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} $는 $ \mathbb{R}^{3} $의 기저이다. 이제, Gram-Schmidt의 직교화 과정에 의하여 $ \mathbb{R}^{3} $의 직교기저를 구하여 보자. \[\begin{aligned} v_{1}^{\prime} &=v_{1}=(1,1,0), \\v_{2}^{\prime} &=v_{2}-\frac{\left\langle v_{2}, v_{1}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime}, \\ &=(0,1,1)-\frac{1}{2}(1,1,0)=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right) \\ v_{3}^{\prime} &=v_{3}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{2}^{\prime}\right\rangle}{\left\langle v_{2}^{\prime}, v_{2}^{\prime}\right\rangle} v_{2}^{\prime}-\frac{\left\langle v_{3}, v_{1^{\prime}}\right\rangle}{\left\langle v_{1}^{\prime}, v_{1}^{\prime}\right\rangle} v_{1}^{\prime} \\ &=(0,0,1)-\frac{1}{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)-\frac{0}{2}(1,1,0) \\ &=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right) \text { 이다. }\end{aligned}\] 따라서 $ B^{\prime}=\left\{v_{1}^{\prime}=(1,1,0), v_{2}^{\prime}=\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right), v_{3}^{\prime}=\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)\right\} $ 을 $ \mathbb{R}^{3} $의 직교기저이다. 또한,\[ \begin{array}{l}w_{1}=\frac{v_{1}^{\prime}}{\left\\|v_{1}^{\prime}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) \\w_{2}=\frac{v_{2}^{\prime}}{\left\\|v_{2}^{\prime}\right\\|}=\frac{2}{\sqrt{6}}\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right) \\w_{3}=\frac{v_{3}^{\prime}}{\left\\|v_{3}^{\prime}\right\\|}=\frac{3}{\sqrt{3}}\left(\frac{1}{3},-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \text { 이다. } \end{array}\] 따라서 \[ B^{\prime \prime}=\left\{w_{1}=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right), w_{2}=\left(-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right), w_{3}=\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)\right\}\]은 $ \mathbb{R}^{3} $의 정규직교기저이다.</p> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정의 : 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 각 원소 $ v \in V $에 대하여 \[ \\|v\\|=\sqrt{\langle v, v\rangle}\]으로 정의하고 $ \\|v\\| $ 를 $ v $의 노름(norm) 또는 길이라고 한다. 특히, $ \\|v\\|=1 $일 때 $ v $를 단위벡터 (unit vector)라 한다.</p> <p>보기4.1.6 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $에서 임의의 벡터 $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} $에 대하여 \[\\|X\\|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}\]이다.</p> <p>정리4.1.2 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 임의의 벡터 $ v \in V $와 $ a \in \mathbb{R} $에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ \\|v\\| \geq 0 $ 이고, $ \\|v\\|=0 \Leftrightarrow v=0 $.</li> <li>$ \\|a v\\|=\|a\|\\|v\\| $, 여기서 $ \|a\| $는 $ a $의 절대값이다.</li></ol>특히, $ v \neq 0 $ 이면 $ \frac{v}{\\|v\\|} $는 단위벡터이다.</p> <p>증명.<ol type= start=1><li>SP4에 의하여 명백하다.</li> <li>노름의 정의에 의하여, \[\\|a v\\|=\sqrt{\langle a v, a v\rangle}=\sqrt{a^{2}\langle v, v\rangle}=\|a\|\\|v\\| \text { 이다. }\] 또, $ v \neq 0 $ 이므로 $ \\|v\\| \neq 0 $ 이다.</li></ol>따라서 \[\begin{aligned}\left\\|\frac{v}{\\|v\\|}\right\\| &=\sqrt{\left\langle\frac{v}{\\|v\\|}, \frac{v}{\\|v\\|}\right\rangle} \\&=\sqrt{\frac{1}{\\|v\\|^{2}}\langle v, v\rangle}=\frac{1}{\\|v\\|} \sqrt{\langle v, v\rangle} \end{aligned}\]\[=\frac{1}{\\|v\\|}\\|v\\|=1 \text {. 즉 }\] $ \frac{v}{\\|v\\|} $는 단위벡터이다.</p> <p>정의 : 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 두 벡터 $ v, w $에 대하여 \[\operatorname{dist}(v, w)=\\|v-w\\|\]으로 정의하고, $ \operatorname{dist}(v, w) $를 두 벡터 $ v, w $ 사이의 거리(distance)라 한다.</p> <p>이 정의는 다음 보기에서 타당성을 찾을 수 있다.</p> <p>보기 4.1.7 $ V=\mathbb{R}^{3}: 3 $차원 유클리드 공간이라 하고 $ X=(x, y, z) \in V $이면\[ \\|X-0\\|=\\|X\\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\]이다. 이것은 피타고라스 정리에 의해서 원점 $ O $에서 점 $ X $까지 거리라는 개념과 정확하게 일치한다.</p> <p>다음정리는 수직에 관한 정의가 타당함을 보여준다.</p> <p>정리4.1.3 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 두 벡터 $ v, w $에 대하여 다음이 성립한다. \[ v \text {와 } w \text {가 수직 } \Leftrightarrow\\|v-w\\|=\\|v+w\\|\]</p> <p>증명. $ \\|v-w\\|=\\|v+w\\| \Leftrightarrow\\|v-w\\|^{2}=\\|v+w\\|^{2} $\[\begin{aligned} & \Leftrightarrow\langle v-w, v-w\rangle=\langle v+w, v+w\rangle \\ & \Leftrightarrow\langle v, v\rangle-\langle w, v\rangle-\langle v, w\rangle+\langle w, w\rangle \\ &=\langle v, v\rangle+\langle w, v\rangle+\langle v, w\rangle+\langle w, w\rangle \\ & \Leftrightarrow-2\langle v, w\rangle=2\langle v, w\rangle (SP1)\\ & \Leftrightarrow 4\langle v, w\rangle=0 \\ & \Leftrightarrow\langle v, w\rangle=0 \\ & \Leftrightarrow v \perp w \end{aligned}\]</p> <p>정리 4.1.4 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $ 의 두 벡터 $ v, w $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ v $ 와 $ w $ 가 수직이면 \[\\|v+w\\|^{2}=\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2} \quad \text { }\] (피타고라스 정리)</li> <li>$ \\|v+w\\|^{2}+\\|v-w\\|^{2}=2\left(\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2}\right) $ (평행사변형의 법칙)</li></ol></p> <p>증명.<ol type= start=1><li>$ v \perp w $ 이면 $ \langle v, w\rangle=0 $ 이다. 따라서 $ \\|v+w\\|^{2}=\langle v+w, v+w\rangle $ $ =\langle v, v\rangle+2\langle v, w\rangle+\langle w, w\rangle $$ =\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2} $ 이다.</li> <li>$ \\|v+w\\|^{2}=\\|v\\|^{2}+2\langle v, w\rangle+\\|w\\|^{2} $, $ \\|v-w\\|^{2}=\\|v\\|^{2}-2\langle v, w\rangle+\\|w\\|^{2} $이므로 \[\\|v+w\\|^{2}+\\|v-w\\|^{2}=2\left(\\|v\\|^{2}+\\|w\\|^{2}\right)\]이다.</li></ol></p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>정리4.4.2 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $에서, $ m $개의 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} \in V $에 대하여 $ W=\left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}\right\rangle $ 이라고 하면 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ W=\left\langle v_{1}, \cdots, v_{j}, \cdots, v_{i}, \cdots, v_{m}\right\rangle \quad(1 \leq i \neq j \leq m) $</li> <li>$ W=\left\langle v_{1}, \cdots, a v_{i}, \cdots, v_{m}\right\rangle \quad(a \in K, a \neq 0) $</li> <li>$ W=\left\langle v_{1}, \cdots, v_{i}+a v_{j}, \cdots, v_{j}, \cdots, v_{m}\right\rangle \quad(1 \leq i \neq j \leq m, a \in K, a \neq 0) $</li></ol></p> <p>증명. 정의에 의하여 $ W=\left\{a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{m} v_{m} \mid a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m} \in K\right\} $ 이고, 또 임의의 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m} \in K $ 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i} v_{i}+\cdots+a_{j} v_{j}+\cdots+a_{m} v_{m} $\[ =a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{j} v_{j}+\cdots+a_{i} v_{i}+\cdots+a_{m} v_{m}\]</li> <li>\[\begin{array}{l}a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i} v_{i}+\cdots+a_{m} v_{m} \\ \quad=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+\left(a_{i} a^{-1}\right)\left(a v_{i}\right)+\cdots+a_{m} v_{m}, \end{array}\] $ =a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\left(a_{i} a\right) v_{i}+\cdots+a_{m} v_{m} $</li> <li>$ \begin{aligned} a_{1} v_{1}+& a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i} v_{i}+\cdots+a_{j} v_{j}+\cdots+a_{m} v_{m} \\ &=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i}\left(v_{i}+a v_{j}\right)+\cdots+\left(a_{j}-a_{i} a\right) v_{j}+\cdots+a_{m} v_{m}, \\ a_{1} v_{1}+& a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i}\left(v_{i}+a v_{j}\right)+\cdots+a_{j} v_{j}+\cdots+a_{m} v_{m} \\ &=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{i} v_{i}+\cdots+\left(a_{i} a+a_{j}\right) v_{j}+\cdots+a_{m} v_{m} \end{aligned} $</li></ol> <p>따라서 세 등식 (1), (2), (3)이 성립한다.</p> <p>체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $ 에 기본 행(열)연산 $ E_{1}, E_{2}, E_{3} $을 시행할 때, 이때 행렬 $ A $의 행벡터 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} $ (열벡터 $ \left.A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{n}\right) $은 각각 다음과 같이 변형된다. \[\begin{aligned}E_{1} . A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{j}, \cdots, & A_{i}, \cdots, A_{m} \\&\left(A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{j}, \cdots, A^{i}, \cdots, A^{m}\right) \\E_{2} . A_{1}, A_{2}, \cdots, a A_{i}, \cdots, & A_{m} \\&\left(A^{1}, A^{2}, \cdots, a A^{i}, \cdots, A^{m}\right) \\E_{3} . A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{i}+a A_{j}, \cdots & A_{j}, \cdots, A_{m} \\&\left(A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{i}+a A^{j}, \cdots, A^{j}, \cdots, A^{m}\right)\end{aligned}\] 정리4.4.2에서 보는바와 같이, 행렬 $ A $의 행 공간 $ \left\langle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m}\right\rangle $과 다음 세 행렬 $ \left(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{j}, \cdots, A_{i}, \cdots, A_{m}\right),\left(A_{1}, A_{2}, \cdots, a A_{i}, \cdots, A_{m}\right) $ $ \left(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{i}+a A_{j}, \cdots, A_{j}, \cdots, A_{m}\right) $의 행 공간은 일치한다. 열에 관해서도 마찬가지로 성립한다.</p> <h1>4.5. 쌍선형사상과 이차형식</h1> <p>정의 : 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 위의 대칭 쌍선형형식 $ f: V \times V \rightarrow K $에 의하여 정의된 사상\[ q: V \rightarrow K, \quad q(v)=f(v, v)\]를 $ f $에 대응하는 $ V $ 위의 이차형식(quadratic form)이라고 한다.</p> <p>위의 정의에서, 벡터공간 $ K^{n} $ 위의 대칭 쌍선형형식 $ f $가 적당한 대칭행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} $에 대응하는 쌍선형형식인 경우에 이차형식 $ q: K^{n} \rightarrow K $는 다음과 같이 정의된 사상이다. 임의의 벡터 $ X \in K^{n} $에 대하여 \[\begin{array}{l}q(X)=f(X, X)=X^{T} A X=\left(\begin{array}{llll}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{array}\right) A\left(\begin{array}{c}x_{1} \\x_{2} \\\vdots \\x_{n}\end{array}\right) \\ =\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} a_{i j} x_{i} x_{j}=\sum_{i=1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2}+2 \sum_{i<j}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \quad\left(a_{i j}=a_{j i}\right) . \\\end{array}\] 이 경우에 $ q $를 대칭행렬 $ A $에 대응하는 2차형식이라 하고 대칭행렬 $ A $를 2차형식 $ q $의 행렬이라고 한다.</p> <p>보기 4․5.4 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 대칭행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 3 & 4\end{array}\right) $에 대응하는 대칭쌍선형형 식 $ f: \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $와 2차 형식 $ q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} $는 각각 다음과 같이 정의된 사상이다. 임의의 열벡터 $ X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} $에 대하여, \[\begin{aligned}f(X, Y) &=X^{T} A Y=\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1} \\y_{2} \end{array}\right) \\&=2 x_{1} y_{1}+3 x_{1} y_{2}+3 x_{2} y_{1}+4 x_{2} y_{2} \\q(X) &=f(X, X)=X^{T} A X=\left(\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\3 & 4 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right) \\=& 2 x_{1}{ }^{2}+6 x_{1} x_{2}+4 x_{2}{ }^{2} .\end{aligned}\]</p> <p>보기 4.5.6 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $에서, $ f $ 를 $ V $ 위의 대칭 쌍선형형식 이라하고 $ q $를 $ f $에 대응하는 2차 형식이라 하면 임의의 $ v, w \in V $에 대하여, \[\begin{aligned}q(v+w) &=f(v+w, v+w) \\&=f(v, v)+f(v, w)+f(w, v)+f(w, w) \\&=f(v, v)+2 f(v, w)+f(w, w) \\&=q(v)+2 f(v, w)+q(w) .\end{aligned}\] 즉 $ 2 f(v, w)=q(v+w)-q(v)-q(w) $이다. 특히 $ K=\mathbb{R} $ 또는 $ \mathbb{C} $이면 \[ f(v, w)=\frac{1}{2}\{q(v+w)-q(v)-q(w)\}\]이다. 이 식을 $ f $ 의 극형식 (polar form of $ f $ )이라고 한다. 특히 $ f=\langle $,$ \rangle$를 벡터공간 $V $ 위의 내적이라고 하면 \[q(v)=f(v, v)=\langle v, v\rangle\]이다. 따라서 위의 극형식을 내적으로 표시하면 다음과 같다. \[\langle v, w\rangle=\frac{1}{2}(\langle v+w, v+w\rangle)-\langle v, v\rangle-\langle w, w\rangle ) \text {. }\] 이차형식의 응용에 관해서는 제 7장에서 다시 다루기로 한다.</p> <h1>4.4 행렬의 계수, 연립일차방정식의 해공간</h1> <p>이 절에서는 체 $ K $ 위의 행렬 $ A $의 계수를 정의하고 그 성질을 알아보고 앞 절의 정리4.3.4를 이용하여 연립일차방정식의 해공간의 차수에 대해서 알아본다.</p> <p>정의 : 체 $ K $ 위의 $ m \times n $ 행렬 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n} $, 즉$ A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right) $ 에 대하여 $ A $ 의 각 행의 원소로 이루어진 $ m $ 개의 벡터\[\begin{aligned}A_{1}=\left(a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right), A_{2}=&\left(a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right), \\\cdots, A_{m}=\left(a_{m 1}, a_{m 2}, \cdots, a_{m n}\right) \in K^{n}\end{aligned}\]을 $ A $의 행벡터라 하고, 또 벡터공간 $ K^{n} $에서 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} $에 의해서 생성된 $ K^{n} $의 부분공간 \[ \left\langle A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{m}\right\rangle=\left\{c_{1} A_{1}+c_{2} A_{2}+\cdots+c_{m} A_{m} \mid c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{m} \in K\right\}\]을 $ A $의 행 공간 (row space)이라하고, 행렬 $ A $의 행 공간의 차원을 $ A $의 행계수(row rank)라하며, 이것을 \[r(A)\]로 나타낸다. 즉 $ r(A) $는 $ A $의 각행 $ A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} $들 중 일차독립인 것의 최대의 개수이다. 따라서 $ 0 \leq r(A) \leq m $이다. 같은 방법으로, 행렬 $ A $ 의 각 열의 원소로 이루어진 $ n $ 개의 벡터 \[A^{1}=\left(\begin{array}{c}a_{11} \\a_{21} \\\vdots \\a_{m 1}\end{array}\right), A^{2}=\left(\begin{array}{c}a_{12} \\a_{22} \\\vdots \\a_{m 2}\end{array}\right), \cdots, A^{n}=\left(\begin{array}{c}a_{1 n} \\a_{2 n} \\\vdots \\a_{m n}\end{array}\right) \in K^{m}\]을 $ A $ 의 열 벡터(column vector)이라고 한다. 또 벡터공간 $ K^{m} $에서 $ A $의 열벡터 $ A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{n} $에 의해서 생성된 $ K^{m} $의 부분공간 \[\left\langle A^{1}, A^{2}, \ldots, A^{n}\right\rangle=\left\{d_{1} A^{1}+d_{2} A^{2}+\cdots+d_{n} A^{n} \mid d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n} \in K\right\}\]을 $ A $ 의 열 공간(column space)이라하고, $ A $의 열 공간의 차원을 $ A $의 열 계수 (column rank)이라고 하며 이것을 \[c(A)\]로 나타낸다. 즉 $ c(A) $는 $ A $의 각 열 $ A^{1}, A^{2}, \cdots, A^{n} $들 중에서 일차독립인 것의 최대개수이다. 따라서 $ 0 \leq c(A) \leq n $이다.</p> <p>보기4.4.1 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 행렬 $ A=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right), A^{T}=\left(\begin{array}{rr}2 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right) $에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다. $ (A $의 행 공간 $ )=\left(A^{T}\right. $의 열 공간 $ )=\langle(2,1,1),(0,1,-1)\rangle $, $ (A $의 열 공간 $ )=\left(A^{T}\right. $의 행 공간 $ )=\langle(2,0),(1,1),(1,-1)\rangle $이고, 벡터 $ A_{1}=(2,1,1), A_{2}=(0,1,-1) $ 은 일차독립이므로 $ r(A)=2 $이다. 또, 벡터 $ A^{1}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0\end{array}\right), A^{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right), A^{3}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right) $ 에 대하여는 $ A^{1}, A^{2} $는 일차독립이고, $ A^{1}-A^{2}=A^{3} $이므로 $ A^{1}, A^{2}, A^{3} $는 일차종속이다. 따라서 $ c(A)=2 $이다.</p> <h1>4.5. 쌍선형사상과 이차형식</h1> <p>정리4.5.3 $ K^{m} \times K^{n} $에서 $ K $로의 쌍선형사상 전체의 집합을 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $로 나타내면 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $는 체 $ K $ 위의 벡터공간이고, 벡터공간 $ \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) $ 와 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $ 는 동형이다.</p> <p>증명, 먼저 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $가 체 $ K $ 위의 벡터공간이 되도록 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $ 위에 덧셈 $ + $ 와 스칼라배(scalar multiple)를 다음과 같이 정의하자.임의의 $ f, g \in \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $와 임의의 $ c \in K $에 대하여 \[ \begin{aligned}f+g &: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K,(f+g)(X, Y)=f(X, Y)+g(X, Y), \\c f &: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K,(c f)(X, Y)=c f(X, Y) .\end{aligned}\] 그러면 $ f+g $와 $ c f $는 쌍선형사상이다. 즉 \[ f+g, c f \in \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) \text { 이다. }\] 더욱이 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $ 내의 영멕터는 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 \[ O: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K, O(X, Y)=0 \text { 인 사상이고, }\]임의의 $ f \in \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $에 대한\[-f: K^{m} \times K^{n} \rightarrow K,(-f)(X, Y)=-f(X, Y) \text { 이다. } \] 따라서 $ \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $ 는 $ K $ 위의 벡터공간이다. (VS1 VS4, SM1 SM4)의 상세한 증명은 각자 해보기로 한다. 다음, 사상 $ T: \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) \rightarrow \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $를 임의의 $ A \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) $ 에 대하여 $ T(A)=f_{A} $로 정의하면 $ T $는 전단사선형사상이다. 따라서 $ \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) \cong \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $.</p> <p>실제로, 임의의 $ A, B \in \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) $, 임의의 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n}, c \in K $ 에 대하여 \[\begin{aligned}T(A+B)(X, Y) &=f_{A+B}(X, Y) \\&=X^{T}(A+B) Y=f_{A}(X, Y)+f_{B}(X, Y) \\&=\left(f_{A}+f_{B}\right)(X, Y)\end{aligned}\]이므로 $ T(A+B)=f_{A}+f_{B}=T(A)+T(B) $이다. 또, $ T(c A)=c f_{A}=c T(A) $ 따라서 $ T $는 선형사상이다. 정리4.5.1과 정리4.5.2에 의해서 $ T $는 일대일 대응사상이다. 그러므로 $ \operatorname{Mat}_{m \times n}(K) \cong \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $이다.</p> <p>$ f \in \operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $에 대하여 쌍선형사상 $ f $의 행렬을 $ A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n},-f $의 행렬을 $ B $ 라고 하면 정리 4.5.2의 증명과정에서 알 수 있듯이 $ a_{i j}=f\left(E^{i}, U^{j}\right) $이고, $ (-f)\left(E^{i}, U^{j}\right)=-f\left(E^{i}, U^{j}\right)=-a_{i j} $이므로 $ B=-A $이다. 따라서 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 $ (-f)(X, Y)=X^{T} B Y=X^{T}(-A) Y $이다. 특히, $ O \in\operatorname{Bil}\left(K^{m} \times K^{n}, K\right) $은 모든 $ X \in K^{m}, Y \in K^{n} $에 대하여 $ O(X, Y)=0 $이므로 영 사상 $ O $의 행렬은 $ m \times n \quad O $ 행렬이다.</p> <h1>4.1 내적의 정의와 직교성</h1> <p>정리4.1.7 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $ 의 임의의 두 벡터 $ v, w $ 에 대하여 다음 부등식이 성립한다. $ \\|v+w\\| \leq\\|v\\|+\\|w\\| $ (삼각부등식)</p> <p>증명. \[\begin{aligned}\|v+w\\|^{2} &=\langle v+w, v+w\rangle \\&=\\|v\\|^{2}+2\langle v, w\rangle+\\|w\\|^{2} \\ & \leq\\|v\\|^{2}+2\\|v\\|\\|w\\|+\\|w\\|^{2} \\&=(\\|v\\|+\\|w\\|)^{2} \text { 이므로 } \\&\\|v+w\\| \leq\\|v\\|+\\|w\\| \text { 이다. } \end{aligned}\] (정리4.1.6)</p> <p>보기4.1.10 유클리드 공간 $ \mathbb{R}^{n} $의 두 벡터, $ X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right) $ 에 대하여 다음 부등식이 성립한다.</p> <p> <ol type= start=1><li>$ \left\|\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right\| \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $.</li> <li>$ \left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+y_{i}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \leq\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)^{\frac{1}{2}} $.</li></ol>실제로, $ \mathbb{R}^{n} $ 에서의 Cauchy-Schwarz 부등식과 삼각부등식이다.</p> <p>이제, 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 한 벡터 $ v \in V $에 가장 가까운 벡터에 대해서 알아보자.</p> <p>정리4.1.8 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 영 아닌 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 서로 수직일 때, 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 $ c_{i} $를 $ v_{i} $ 에 관한 $ v $의 성분, 즉 \[ c_{i}=\frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} \quad(1 \leq i \leq n)\]이라고 하면, 벡터 $ v-c_{1} v_{1}-c_{2} v_{2}-\cdots-c_{n} v_{n}=v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i} $ 는 각 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $에 수직이다.</p> <p>증명, 가정에서 $ \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0 \quad(i \neq j) $. 임의의 $ v_{j} $에 대해 \[ \begin{aligned}\langle v&\left.-c_{1} v_{1}-c_{2} v_{2}-\cdots-c_{n} v_{n}, v_{j}\right\rangle \\ &=\left\langle v, v_{j}\right\rangle-c_{1}\left\langle v_{1}, v_{j}\right\rangle-\cdots-c_{j}\left\langle v_{j}, v_{j}\right\rangle-\cdots-c_{n}\left\langle v_{n}, v_{j}\right\rangle \\ &=\left\langle v, v_{j}\right\rangle-c_{j}\left\langle v_{j}, v_{j}\right\rangle \quad\left(\left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=0 \quad(i \neq j)\right) \\ &=\left\langle v, v_{j}\right\rangle-\frac{\left\langle v, v_{j}\right\rangle}{\left\langle v_{j}, v_{j}\right\rangle}\left\langle v_{j}, v_{j}\right\rangle=0\end{aligned}\]이므로 $ v-c_{1} v_{1}-c_{2} v_{2}-\cdots-c_{n} v_{n} $은 각 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $에 수직이다.</p> <p>다음 정리는 $ c_{i}=\frac{\left\langle v, v_{i}\right\rangle}{\left\langle v_{i}, v_{i}\right\rangle} $일 때, $ c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n} $이 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $의 일차결합으로서 $ v $에 가장 가까운 근사(best approximation : 최량근사)라는 사실을 보여준다.</p> <p>정리 4.1.9 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 영 아닌 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 서로 수직일 때, 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 $ c_{i} $를 $ v_{i} $에 관한 $ v $의 성분이라고 하면 임의의 실수 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{R} $에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\| \leq\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}\right\\| .\]</p> <p>증명. 정리4.1.8에 의하여, 벡터 $ v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i} $는 각 $ v_{i} $에 수직이므로 이 벡터는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $의 일차결합과도 수직이다(보기4.1.3). 따라서 피타고라스 정리에 의하여, \[\begin{aligned} \left\\|v-\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}\right\\|^{2} &=\left\\|\left(v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(c_{i}-a_{i}\right) v_{i}\right\\|^{2} \\&=\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2}+\left\\|\sum_{i=1}^{n}\left(c_{i}-a_{i}\right) v_{i}\right\\|^{2} \\& \geq\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2} \text { 이므로 } \\&\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\| \leq\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i}\right\\| \text { 이다. }\end{aligned}\]</p> <p>정리 4.1 .10 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 내적공간 $ V $의 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $이 서로 수직인 단위벡터일 때, 임의의 벡터 $ v \in V $에 대하여 $ c_{i} $ 를 $ v_{i} $에 관한 $ v $의 성분이라고 하면 다음 부등식이 성립한다. \[\sum_{i=1}^{n} c_{i}{ }^{2} \leq\\|v\\|^{2}\] (Bessel의 부등식)</p> <p>증명. 정리4.1.8에 의하여 벡터 $ v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i} $는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $과 수직이므로 \[ v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i} \text { 는 } \sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i} \text { 에 수직이다. }\] 또, 가정에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 서로수직이고 $ \left\\|v_{i}\right\\|=1 $이므로 \[\begin{array}{l} \\|v\\|^{2}=\left\\|\left(v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2} \\ =\left\\|v-\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2}+\left\\|\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2} \text { (피타고라스 정리) } \\\geq\left\\|\sum_{i=1}^{n} c_{i} v_{i}\right\\|^{2} \\\text { (노름 } \geq 0) \\=\sum_{i=1}^{n} c_{i}{ }^{2} \\ \end{array}\] 따라서 $ \sum_{i=1}^{n} c_{i}{ }^{2} \leq\\|v\\|^{2} $ 이다.</p>	자연
Penalized variable selection in mean-variance accelerated failure time models	<h2>2.2. 벌점화 변수선택</h2> <p>이 절에서는 벌점 가능도 함수를 사용하여 변수선택 절차를 유도하는 방법을 제안한다. 임의의 중도절단(random censoring)하에서 관측 가능한 확률 변수(observable random variables)는 다음과 같이 주어진다.</p> <p>$ Y_{i}=\min \left(\log T_{i}, \log C_{i}\right) \quad $ and $ \quad \delta_{i}=I\left(T_{i} \leq C_{i}\right) $.</p> <p>여기서 $ I(\cdot) $ 는 지시함수(indicator function)이며, $ \delta_{i} $는 중도절단 지시함수(censoring indicator)이다.</p> <p>$ f_{\theta}(\cdot) $ 와 $ S_{\theta}(\cdot) $ 를 각각 관심모수 $ \theta=\left(\beta^{T}, \alpha^{T}\right)^{T} $ 를 갖는 $ \log T_{i} $ 에 대한 확률밀도함수(probability density func-tion)와 생존함수(survival function)라 하자. 모형 (2.1)하에서 $ \log T_{i} \sim N\left(x_{i}^{T} \beta, \sigma_{i}^{2}\right) $이므로, 두 가정 (A1과 A2) 하에서 모형 (2.1)과 (2.2)의 로그가능도 함수는 다음과 같이 주어진다.</p> <p>$ \begin{aligned} \ell\left(\theta ; y_{i}, \delta_{i}\right) &=\sum_{i=1}^{n} \log \left[f_{\theta}\left(y_{i}\right)^{\delta_{i}} S_{\theta}\left(y_{i}\right)^{1-\delta_{i}}\right], \\ &=\sum_{i=1}^{n}\left[-\frac{\delta_{i}}{2}\left\{\log \left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)+m_{i}^{2}\right\}+\left(1-\delta_{i}\right) \log \left\{1-\Phi\left(m_{i}\right)\right\}\right] . \end{aligned} $<caption>(2.3)</caption></p> <p>여기서 $ m_{i}=\left(y_{i}-x_{i}^{T} \beta\right) / \sigma_{i} $이며, $ \sigma_{i}^{2}=\exp \left(z_{i}^{T} \alpha\right) $이다.</p> <p>모형 (2.1)과 (2.2)에서 고정효과인 $ \beta $와 $ \alpha $에 대응하는 변수선택을 위해서, 본 논문에서는 다음과 같은 벌점 로그가능도 함수를 사용하며 $ \ell_{p} $로 표기한다.</p> <p>$ \ell_{p}=\ell_{p}(\theta)=\ell(\theta)-n \sum_{j=0}^{p-1} J_{\gamma_{1}}\left(\left\|\beta_{k}\right\|\right)-n \sum_{k=0}^{q-1} J_{\gamma_{2}}\left(\left\|\alpha_{k}\right\|\right) $,<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 $ J_{\gamma}(\cdot) $은 조율모수(tuning parameter) $ \gamma_{j}(j=1,2) $를 갖는 벌점 함수이다. $ \gamma_{j} $가 클수록 간단한 모형을 선택하고, $ \gamma_{j} $가 작을수록 복잡한 모형을 선택하는 경향이 있다. 본 논문에서는 Wu와 Li (2012)의 제안에서와 같이 $ \gamma_{1}=\gamma_{2}=\gamma $를 사용한다. 하지만 3절의 Table 1의 모의실험 결과에서 보여지는 바와 같이 이러한 조율모수의 제약은 LASSO 방법을 제외하고는 전반적으로 적절한 변수선택 결과를 주었다. 고려된 네 가지의 벌점 함수(LASSO, ALASSO, SCAD, HL)의 형태는 다음과 같다.</p> <p>(1) LASSO (Tibshirani, 1996)</p> <p>$ J_{\gamma}(\|\theta\|)=\gamma\|\theta\| $,<caption>(2.5)</caption></p> <p>(2) ALASSO (Zou, 2006)</p> <p>$ J_{\gamma}(\|\theta\|)=\gamma\|\theta\| \omega $<caption>(2.6)</caption></p> <p>$ \omega $는 기지(known)의 가중치 벡터이다. 본 논문에서는 $ \omega=1 /\|\hat{\theta}\| $로써 $ \hat{\theta} $는 평균-분산 AFT 모형에서의no-penalty 추정값을 사용한다.</p> <p>(3) SCAD (Fan과 Li, 2001)</p> <p>$ J_{\gamma}^{\prime}(\|\theta\|)=\gamma I(\|\theta\| \leq \gamma)+\frac{(\omega \gamma-\|\theta\|)_{+}}{\omega-1} I(\|\theta\|>\gamma) $,<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 $ \omega=3.7 $이며 $ x_{+} $는 $ x $의 양수 부분이다.</p> <p>(4)HL(Lee와 Oh, 2014)</p> <p>$ J_{\gamma, \kappa}(\|\theta\|)=\frac{\gamma \theta^{2}}{2 a(\|\theta\|)}+\frac{(\kappa-2) \log a(\|\theta\|)}{2 \kappa}+\frac{a(\|\theta\|)}{\kappa} $,<caption>(2.8)</caption></p> <p>여기서 $ a(\|\theta\|)=\left[\left\{8 \kappa \gamma \theta^{2}+(2-\kappa)^{2}\right\}^{1 / 2}+(2-\kappa)\right] / 4 $ 이다.</p> <p>특히 SCAD 벌점함수는 다른 세 가지 벌점함수와 달리 단순한 식을 제공하는 미분 함수식을 사용하였다. Figure 1 은 $ \gamma=1 $에서 세 가지 벌점화 함수(LASSO, SCAD, HL)의 형태를 나타낸 것이다. Figure 1에서 알 수 있듯이, HL은 $ \kappa $의 값에 따라 그 형태가 변하며, 특히 $ \kappa \rightarrow 0 $인 경우 Ridge, $ \kappa=2 $인 경우 LASSO, $ \kappa>2 $인 경우 0에서의 값이 음의 무한대 값을 갖는 비유계 형태(unbounded form)를 갖는다. Lee와 Oh (2014)의 제안에 따라 본 논문에서는 식 (2.8)의 HL의 경우 $ \kappa=30 $을 사용하였다. 좋은 벌점 함수는 세 가지 오라클(oracle) 성질인 불편성(unbiasedness), 성김성(sparsity), 연속성(continuity)을 만족해야 한다. 벌점 함수로써 잘 알려진 LASSO 접근법은 이러한 오라클 성질을 만족시키지 못한다. 하지만 나머지 세 벌점함수(ALASSO, SCAD, HL) 접근법은 세 가지 오라클 성질을 만족하고, 정확한 부분집합 모형을 선택하는 동시에 실제로 0이 아닌 회귀계수를 추정하는 면에서 오라클 성질을 만족한다.</p> <h1>3. 모의실험 연구</h1> <p>이 절에서는 평균-분산 AFT 모형에서 네 가지 변수선택 방법 (LASSO, ALASSO, SCAD, HL)의 성능을 비교 평가하기 위해 모의실험을 수행한다. 여기서 모의실험의 반복횟수는 Fan과 Li와 Ha 등에서 처럼 100번을 사용한다.</p> <h2>3.1. 모의실험 설계</h2> <p>모의실험 설계 방법으로 Fan과 Li (2001, 2002)의 방법을 사용하며, 모의실험 자료는 평균-분산 AFT 모형 (2.1)과 (2.2)에서 생성하였으며, 실제(true) 회귀계수 $ \beta $와 $ \alpha $는 4절에서 제시한 폐암 자료에 대해 SCAD를 이용한 변수선택의 결과 추정값에 근거하였다. 여기서 실제 회귀계수는 다음과 같다.</p> <p>$ \begin{aligned} \beta &=\left(\beta_{0}, \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}, \beta_{5}, \beta_{6}, \beta_{7}, \beta_{8}, \beta_{9}, \beta_{10}, \beta_{11}, \beta_{12}, \beta_{13}, \beta_{14}, \beta_{15}, \beta_{16}, \beta_{17}, \beta_{18}, \beta_{19}, \beta_{20}, \beta_{21}, \beta_{22}, \beta_{23}, \beta_{24}, \beta_{25}\right)^{T} \\ &=(2.1, \underbrace{0, \ldots, 0}_{5}, 1.5,0.4,0.5,1.1,0,-0.5,-1.2,-1.8,-0.5,0,0,-0.3,0,-0.4,0,-0.45, \underbrace{0, \ldots, 0}_{4})^{T}, \\ \alpha &=\left(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}, \alpha_{6}, \alpha_{7}, \alpha_{8}, \alpha_{9}, \alpha_{10}, \alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{13}, \alpha_{14}, \alpha_{15}, \alpha_{16}, \alpha_{17}, \alpha_{18}, \alpha_{19}, \alpha_{20}, \alpha_{21}, \alpha_{22}, \alpha_{23}, \alpha_{24}, \alpha_{25}\right)^{T} \\ &=(\underbrace{0, \ldots, 0}_{5}, 0.5,0,0,-0.46,-0.9, \underbrace{0, \ldots, 0}_{5},-0.3, \underbrace{0, \ldots, 0,0.7}_{9})^{T} . \end{aligned} $</p> <p>특히 실제 회귀계수 $ \beta $ 에 해당하는 공변량 벡터 $ x=\left(1, x^{}\right), x^{}=\left(x_{1}, \ldots, x_{25}\right)^{T} $는 다중공선성(multicollinearity) 구조를 만들기 위해 상관계수를 $ 0.5 $로 하는 AR(1) 모형에서 생성하였으며, $\alpha $ 에 해당하는 공변량 벡터 $ z=\left(1, z^{}\right), z^{}=\left(z_{1}, \ldots, z_{25}\right)^{T} $는 편의상 $ x=\left(1, x^{}\right) $ 와 동일한 공변량을 사용하였다. $ x^{} $에서 중요한 변수는 0이 아닌 $ \beta $에 대응하는 총 11 개 $ \left(x_{6}, x_{7}, x_{8}, x_{9}, x_{11}, x_{12}, x_{13}, x_{14}, x_{17}, x_{19}, x_{21}\right) $의 변수이다. $ z^{*} $에서 중요한 변수 또한 0이 아닌 $ \alpha $에 대응하는 총 5개 $ \left(z_{5}, z_{8}, z_{9}, z_{15}, z_{25}\right) $의 변수이다. 표본의 크기(sample size)는 총 두 가지 경우인 $ n=855 $와 $ n=2500 $를 고려하였으며, 특히 표본의 크기로 $ n=855 $를 사용한 이유는 4절의 폐암 자료의 환자 수와 동일하게 설정하기 위해서이다. 중도절단시간은 지수분포를 사용하여, $ 25 \% $ (낮은 중도절단 비율)와 $ 50 \% $ (높은 중도절단 비율)가 되도록 생존자료를 생성하였다.</p> <p>변수선택의 성능을 평가하기 위해서 PT, MSE, C와 IC를 고려하였다. 여기서 PT는 실제 모형을 제대로 선택 할 확률 probability of choosing the true model (PT)을 나타낸다. Model square error (MSE)는 모형 제곱 오차 이다. Fan과 Li(2001)의 방법에 따라 모형 오차로 $ \operatorname{MSE}(\hat{\theta})=(\hat{\theta}-\theta)^{T} E\left(X X^{T}\right)(\hat{\theta}-\theta) $를 사용하지만, 실제 MSE 값으로는 $ n $ 개의 MSE값들에 대한 중앙값(median)을 사용하였다. "C'는 $ \beta $ (또는 $ \alpha $ )에서 중요하지 않은 변수를 0으로 정확하게 찾아내는 평균 수를 나타내며, 여기서 $ \beta $의 경우 14, $\alpha $의 경우 21이 최적의 값이다. 그리고 "IC"는 중요한 변수 (0이 아닌 회귀계수)를 0 으로 잘못 찾아내는 평균 수를 나타내며, $ \beta $와 $ \alpha $ 모두 0이 최적의 값이다. 또한 모의실험에서의 추정값 결과로써, 100번의 반복 시행에서 추정된 $ \hat{\beta} $와 $ \hat{\alpha} $ 각각의 추정치들에 대한 평균(mean), 표준편차(standard deviation; SD), 표준오차들의 평균(mean of the estimated standard errors; SEs)을 계산하였다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>Accelerated failure time (AFT) 모형은 비례위험모형(proportional hazards models)의 한 대안 (Lawless, 1982)으로써 사용되며, 로그생존시간과 공변량과의 관계를 선형으로 나타냄으로써 해석이 용이하다. 특히 AFT 모형은 모형의 분포 가정에 위배되더라도 모형 추론 결과가 다소 강건한(robust)한 결과를 준다 (Hutton과 Monaghan, 2002; Ha 등, 2002, 2017). AFT 모형은 통상적으로 생존시간의 평균과 공변량간의 관계를 모형화하여 공변량의 평균 효과를 통계적으로 추론하는데 관심을 보여왔다. 본 논문에서는 생존시간의 평균 뿐만 아니라, 변동성에 영향을 미치는 공변량의 효과를 동시에 추론하는 것에 관심이 있기 때문에 생존시간의 분산에 대한 모형도 고려한다. 즉, 각 개체의 생존시간이 서로 다른 분산을 갖는다고 가정하며, 이러한 모형을 본 논문에서는 평균-분산 AFT 모형이라고 부른다 (Nelder와 Lee, 1998). Wu와 Li (2012), Charalambous 등 (2015) 그리고 Antoniadis 등 (2016)은 완전자료(complete data)에 대한 평균-산포 결합모형에서 벌점화 변수 선택(penalized variable selection) 방법들을 제안하여 왔다. Park과 Ha (2018)는 중도절단성(censoring)을 갖는 불완전 자료(incomplete data)에 대한 AFT모형에서 평균 회귀모수에 대한 벌점화 변수선택 절차를 제안하였다. 본 논문에서는 이러한 변수선택 절차를 확장하기 위해, 중도절단된 생존자료에 대한 평균-분산 AFT 모형에서 평균 회귀 모수 뿐만 아니라 분산 회귀 모수에 대한 변수선택을 제안한다.</p> <p>특히, 벌점 함수(penalty function)에 기초하여 벌점 가능도함수(penalized likelihood function)를 사용한 변수선택 방법이 선형모형(linear models), 일반화 선형모형(generalized linear models; Nelder와 Wedderburn, 1972), 콕스의 비례위험모형(cox's proportional hazards models; Cox, 1972) 등에서 폭 넓게 연구되어 왔다. 이러한 변수선택의 장점 중 하나는 중요한 변수를 선택하는 동시에 공변량의 회귀계수를 추정할 수 있다. 특히 중요하지 않은 변수들에 대한 회귀모수들을 0으로 추정한다. 또한 모형에서 중요한 변수만을 포함함으로써 추정과 해석 측면에서 회귀분석의 질을 높일 수 있다. 따라서 많은 공변량을 갖는 회귀 모형에서 중요한 변수를 선택하는 것은 생존 분석(survival analysis)을 포함한 다양한 형태의 자료 분석에서 매우 중요하다. 평균-분산 AFT 모형에서 고정효과에 대한 변수선택을 위해, 본 논문에서는 생존시간의 분포로써 AFT 모형에서 자주 사용되는 로그정규분포(lognormal distribution)를 가정한다. 특히 AFT 모형에서 이러한 로그정규분포의 모수적 가정은 다소 강건한 추론결과를 보여왔다. 변수선택을 위해서는 문헌에서 자주 사용되고 있는 네 가지의 벌점 함수, least absolute shrinkage and selection operator, adaptive lasso (ALASSO), smoothly clipped absolute deviation(SCAD), h-likelihood (HL)를 고려한다. 이러한 벌점화 함수에 따른 성능을 비교하기 위해 모의실험을 수행한다. 나아가, 북 아일랜드의 한 임상연구에 의한 폐암 자료(lung cancer data)를 통해 제안된 방법을 예증한다. 본 논문의 모든 계산은 R 프로그램을 사용하였다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 2절에서는 평균-분산 AFT 모형에서 벌점화 변수선택 절차 제안한다. 이를 위해 평균-분산 AFT 모형의 기본 개념과 네 가지 벌점화 방법(LASSO, ALASSO, SCAD, HL)을 리뷰한다. 3절에서는 모의실험을 통해, 평균-분산 AFT 모형에서 네가지 벌점화 방법들의 성능을 비교한다. 4절에서는 제안된 방법의 한 예증으로 위에서 제시한 폐암 자료를 사용하여 벌점화 방법들의 추정결과를 비교한다. 5절에서는 연구결과를 토론하고 향후 과제를 제시한다. 마지막으로, 부록에서는 평균-분산 AFT 모형의 변수 선택에 필요한 계산절차의 유도를 제시한다.</p> <h2>2.3. 벌점화 변수선택 알고리즘</h2> <p>식 (2.10)의 $ \theta $의 추정방정식은 $ \theta $에 대해 일반적으로 비선형함수이므로 그 추정량의 해를 구하기 위해 본 논문에서는 뉴튼-랩슨(Newton-Raphson)방법을 사용하며, 이에 대한 추정 절차는 다음과 같다.</p> <p>$ \hat {\theta } ^ { (s + 1) } = \hat {\theta } ^ { (s) } + \left [- \ell_ { p } ^ {\prime \prime } \left ( \hat {\theta } ^ { (s) } \right ) \right ] ^ { -1 } \ell_ { p } ^ {\prime } \left ( \hat {\theta } ^ { (s) } \right ), \quad s=0,1,2, \ldots $<caption>(2.11)</caption></p> <p>여기서 $ \ell_ { p } ^ {\prime } ( \theta)= \partial \ell_ { p } ( \theta) / \partial \theta $와 $ - \ell_ { p } ^ {\prime \prime } ( \theta)=H_ { p } ( \theta) $이며, 이것은 (2.10)과 (2.11)을 각각 나타낸다.</p> <p>본 논문에서는 $ \hat {\theta } $에 대한 표준오차(standard error; SE)를 계산하기 위해 다음의 샌드위치(sandwich) 분산-공분산 행렬을 사용한다.</p> <p>$ \operatorname { cov } ( \hat {\theta } )= \left (H_ {\theta \theta } + n \Sigma_ {\gamma } ( \theta) \right ) ^ { -1 } H_ {\theta \theta } \left (H_ {\theta \theta } + n \Sigma_ {\gamma } ( \theta) \right ) ^ { -1 } $,<caption>(2.13)</caption></p> <p>여기서 $ H_ {\theta \theta } =- \partial ^ { 2 } \ell / \partial \theta \partial \theta ^ { T } $ 이다. Wang 등 (2007)은 일반화 교차검증(generalized cross validation; GCV) 접근법 (Fan과 Li, 2001, 2002)이 조율모수의 선택 시 얻어지는 모형에서 무시할 수 없는 과대적합(overfitting) 효과를 줄 수 있기 때문에, GCV 접근법이 조율모수 $ \gamma $를 정확하게 선택 할 수 없다는 것을 밝혔다. 따라서 $ \gamma $를 결정하기 위해서 본 논문에서는 다음과 같은 Bayesian information criterion (BIC)의 한 형태를 사용한다.</p> <p>$ \operatorname { BIC } ( \gamma)=-2 \ell( \hat {\theta } , \hat {\phi } ) + \log (n) \mathrm { df } $,<caption>(2.14)</caption></p> <p>여기서 $ \mathrm { df } = \operatorname { tr } \left [ \left (H_ {\theta \theta } + n \sum_ {\gamma } ( \theta) \right ) ^ { -1 } H_ {\theta \theta } \right ] $는 효율적인 자유도(effective degree of freedom)이다.</p> <p>제안된 변수선택 방법의 적합 알고리즘(fitting algorithm)은 다음과 같다.</p> <p>Step 1. $ \beta $와 $ \alpha $의 초기값을 구한다.</p> <p>Step 2. 내부 루프(inner loop)에서 식 (2.4)의 벌점 로그가능도 $ \ell_ { p } $ 를 최대화 시키는 $ \hat {\beta } $와 $ \hat {\alpha } $를 구하기 위해 뉴튼 랩슨 방법 (2.12)를 사용한다.</p> <p>Step 3. 외부 루프(outer loop)에서 식 (2.14)의 $ \mathrm { BIC } ( \gamma) $를 최소화 시키는 $ \gamma $를 찾는다.</p> <p>위에서 제시한 알고리즘이 모두 수렴한 후, 식 (2.13)을 이용하여 $ \hat {\beta } $와 $ \hat {\alpha } $에 대한 추정된 표준오차를 계산한다. LASSO와 ALASSO의 $ \beta $와 $ \alpha $ 초기값으로는 no-penalty를 적합해서 얻어진 추정값을 사용하며, SCAD와 HL의 초기값으로는 LASSO에서 계산된 추정값을 사용한다.</p> <h1>2. 평균-분산 가속화 실패시간 모형과 변수선택</h1> <p>이 절에서는 먼저 평균-분산 AFT 모형을 기술한 후, 네 가지 벌점함수에 기초한 벌점 가능도 접근법을 사용하여 고려한 평균-분산 AFT 모형에 대한 고정효과의 변수선택 절차를 제안한다. 이를 위해, 벌점 가능도 함수를 구성하는 방법과 변수선택을 위한 회귀 모수 추정 절차를 유도한다.</p> <h2>2.1. 평균-분산 가속화 실패시간 모형</h2> <p>$ T_{i}(i=1, \ldots, n) $ 를 $ i $ 번째 개체의 생존시간이라 하자. 평균-분산 AFT 모형은 로그생존시간과 공변량과의 선형적 관계로써 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \log T_{i}=x_{i}^{T} \beta+\epsilon_{i}, \quad i=1, \ldots, n $.<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 회귀계수 $ \beta=\left(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{p-1}\right)^{T} $는 평균모수의 공변량 벡터 $ x_{i}=\left(1, x_{i 1}, \ldots, x_{i, p-1}\right)^{T} $ 에 대응하는 $ p $ 차원의 미지의 회귀계수 벡터이며, $ \epsilon_{i} $ 는 서로 독립인 랜덤 오차항(random error term)이다. 본 논문에서는 $ \epsilon_{i} $의 분포로 AFT 모형에서 자주 사용되는 정규 분포로써 $ \epsilon_{i} \sim N\left(0, \sigma_{i}^{2}\right) $ 을 가정한다. 식 (2.1)에서 $ \sigma_{i}^{2} $ 과 공변량과의 관계를 다음과 같이 설정하여 개체에 따라 서로 다른 분산을 가정한다.</p> <p>$ \sigma_{i}^{2}=\exp \left(z_{i}^{T} \alpha\right), \quad $ 즉 $ \log \left(\sigma_{i}^{2}\right)=z_{i}^{T} \alpha $.<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 회귀계수 $ \alpha=\left(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{q-1}\right)^{T} $는 분산모수의 공변량 벡터 $ z_{i}=\left(1, z_{i 1}, \ldots, z_{i, q-1}\right)^{T} $ 에 대응하는 $ q $ 차원의 미지의 회귀계수 벡터이다. 특히 $ z_{i} $는 $ x_{i} $와 같거나 그 일부로 자주 사용된다. 특히 $ \epsilon_{i} $ 의 정규분포 가정하에서,</p> <p>모형 (2.1)과 (2.2)는 각각 다음과 같이 표현할 수 있으므로,</p> <p>$ E\left(\log T_{i}\right)=x_{i}^{T} \beta, \quad \operatorname{var}\left(\log T_{i}\right)=\exp \left(z_{i}^{T} \alpha\right) $,</p> <p>모형 (2.2)를 허락하는 모형 (2.1)을 본 논문에서는 평균-분산 AFT 모형이라 부른다. 이 모형은 기존의 AFT 모형에서 제공하는 생존시간의 평균에 영향을 미치는 $ \beta $ 를 추론할 수 있을 뿐만 아니라, $ \alpha $ 를 추정함으로써 생존시간의 분산에 영향을 미치는 $ \alpha $를 또한 동시에 추론 할 수 있는 장점이 있다. 모형 (2.2)에서 모든 개체 $ i $가 동일한 분산(등분산)을 갖는다고 가정하면, 모형 (2.1)은 기존의 고전적인 AFT 모형이 된다.</p> <p>본 논문에서는 $ T_{i} $에 대응하는 중도절단 시간(censoring time) $ C_{i}(i=1, \ldots, n) $에 대해 다음과 같은 두 가지를 가정한다.</p> <ul> <li>A1 : 공변량 $ x_{i} $ 와 $ z_{i} $ 가 주어졌을 때, $ T_{i} $와 $ C_{i} $는 조건부 독립이며 순서쌍 $ \left(T_{i}, C_{i}\right) $ 또한 조건부 독립이다.</li> <li>A2 : 공변량 $ x_{i} $ 와 $ z_{i} $ 가 주어졌을 때, $ C_{i} $ 는 $ T_{i} $ 에 대해 조건부 무정보적(conditionally non-informative)이다.</li></ul> <p>여기서 $ i=1, \ldots, n $ 이다.</p> <p>변수선택을 위해서 식 (2.4)의 벌점 로그가능도 함수 $ \ell_{p} $ 를 최대로 하는 $ \theta $ 의 추정량 $ \hat{\theta}=\left(\hat{\beta}^{T}, \hat{\alpha}^{T}\right)^{T} $ 을 찾아야 하며, $ \hat{\theta} $ 은 다음과 같이 주어진다.</p> <p>$ \hat{\theta}=\arg \max _{\theta} \ell_{p}(\theta) $.</p> <p>이와 같은 $ \hat{\theta} $ 를 벌점화 최대가능도 추정량(penalized maximum likelihood estimators; PMLEs)이라고 부른다. 본 논문에서는 일련의 추정절차의 논의를 단순화 하기 위해 $ \theta=\left(\beta^{T}, \alpha^{T}\right)^{T} $ 를 다음과 같이 표현한다.</p> <p>\[ \theta=\left(\theta_{1}, \ldots, \theta_{s}\right)^{T}=\left(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{p-1}, \alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{q-1}\right)^{T} . \]</p> <p>여기서 $ s=p+q $는 추정해야 할 회귀모수의 총 갯수이다. 그러면 $ \theta $의 PMLEs는 다음과 같은 $ \theta_{r}(r=1, \ldots, s) $의 추정 방정식(estimating equations)을 통해 그 해를 얻을 수 있다.</p> <p>$ \left.\frac{\partial \ell_{p}}{\partial \theta_{r}}=\frac{\partial \ell}{\partial \theta_{r}}-n \sum_{r=0}^{s}\left[J_{\gamma}\left(\mid \theta_{r}\right)\right)\right]^{\prime}=0 $.<caption>(2.9)</caption></p> <p>하지만 식 (2.9)에서 $ \left\|\theta_{r}\right\| $ 는 0 에서 미분 불가능하므로 우리는 다음과 같은 국소 이차 근사법(local quadratic approximation; LQA) (Fan과 Li, 2001)을 사용한다.</p> <p>\[ \left[J_{\gamma}\left(\left\|\theta_{r}\right\|\right)\right]^{\prime}=J_{\gamma}^{\prime}\left(\left\|\theta_{r}\right\|\right) \operatorname{sgn}\left(\theta_{r}\right) \approx\left\{\frac{J_{\gamma}^{\prime}\left(\left\|\theta_{r}^{(0)}\right\|\right)}{\left\|\theta_{r}^{(0)}\right\|}\right\} \theta_{r}, \quad \text { for } \theta_{r} \approx \theta_{r}^{(0)} . \]</p> <p>여기서 $ \operatorname{sgn}(\cdot) $은 부호함수이며, $ \theta_{r}^{(0)} $ 는 $ \theta_{r} $ 의 실제값(true value)과 가까운 하나의 초기치이다. 따라서 $ \theta $ 의 벌점화 최대가능도 추정방정식은 다음과 같이 간단히 표현할 수 있다.</p> <p>$ \frac{\partial \ell_{p}}{\partial \theta}=\frac{\partial \ell}{\partial \theta}-n\left\{\Sigma_{\gamma}(\theta)\right\} \theta=0 $.<caption>(2.10)</caption></p> <p>여기서</p> <p>\[ \Sigma_{\gamma}(\theta)=\operatorname{diag}\left\{\frac{J_{\gamma}^{\prime}\left(\left\|\theta_{r}\right\|\right)}{\left\|\theta_{r}\right\|}\right\}=\left(\Sigma_{\gamma}(\beta), \Sigma_{\gamma}(\alpha)\right) . \]</p> <p>는 $ (p+q) \times(p+q) $ 차원을 갖는 대각선 행렬이며, $ \Sigma_{\gamma}(\beta) $ 와 $ \Sigma_{\gamma}(\alpha) $는 각각 $ p \times p $와 $ q \times q $ 대각선 행렬들이다. 따라서 Ha 등 (2014)의 방법에 의해, $ \ell_{p} $ 에 대한 $ \theta $ 의 $ (p+q) \times(p+q) $차원의 음의 헤시안 행렬(negative hessian matrix) $ H_{p} $를 얻을 수 있다.</p> <p>$ H_{p}=H_{p}(\theta)=-\frac{\partial^{2} \ell_{p}}{\partial \theta \partial \theta^{T}}=\left(\begin{array}{cc}X^{T} W_{1} X+n \Sigma_{\gamma}(\beta) & X^{T} W_{2} Z \\ Z^{T} W_{2} X & Z^{T} W_{3} Z+n \Sigma_{\gamma}(\alpha)\end{array}\right) $,<caption>(2.11)</caption></p> <p>여기서 $ X $ 는 $ \beta $ 의 $ n \times p $ 모형 행렬이며, $ Z $ 는 $ \alpha $ 의 $ n \times q $ 모형 행렬이다. $ W_{1}, W_{2}, W_{3} $ 는 모두 $ n \times n $ 대각선 행렬로서 각 성분으로 $ w_{1 i}, w_{2 i}, w_{3 i} $ 를 갖는 가중행렬(weight matrix)이다. 식 (2.11)의 $ H_{p} $ 에 대한 자세한 유도는 부록에 주어져 있다.</p> <h2>3.2. 모의실험 결과</h2> <p>모의실험 결과는 Table 1과 같다. 먼저 중도절단 비율이 작은 $ 25 \% $ 하에서 관측된 결과는 다음과 같다.</p> <p>(i) $ \hat{\beta} $에 대해서는 표본크기 n에 상관 없이 “C”에 대해서는 ALASSO가 최적값 14에 가장 가까우며, 다음으로는 HL의 “C”가 최적값에 가깝다. PT에 대해서도 ALASSO가 가장 큰 것을 알 수 있으며, 다음으로는 HL이다. 하지만 두 방법간의 차이는 크지 않다. 특히 LASSO와 SCAD는 “C”와 PT의 결과가 좋지 않다. “IC”는 4가지 방법 모두 0으로써, 0이 아닌 추정값들을 모두 0이 아니라고 잘 추정한다는 것을 알 수있다. MSE 는 ALASSO가 가장 크고 SCAD 방법이 가장 작다.</p> <p>(ii) $ \hat{\alpha} $에 대해서는 표본이 작을 경우 $ (n=855)$, SCAD가 "C"의 최적값 21에 가장 가까우며, 다음으로는 HL, ALASSO, LASSO 순서이다. PT에 대해서는 SCAD가 가장 큰 것을 알 수 있으며, 다음으로는 HL, ALASSO, LASSO이다. 표본이 큰 경우 $ (n=2500) $ 그 모의실험 결과는 본 논문에서 제시하지는 않았지만 ALASSO가 "C"와 PT 면에서 가장 좋은 결과를 보이고, 다음으로는 SCAD와 HL, LASSO 순서이다. MSE는 여전히 ALASSO가 가장 크고 SCAD 방법이 가장 작게 나타났다.</p> <p>다음으로 중도절단 비율이 큰 $ 50 \% $ 하에서의 결과에 따르면, $ \hat{\beta} $ 에서는 $ 25 \% $ 중도절단 비율에서와 마찬가지로 표본크기에 상관 없이 “C”와 PT 측면에서 ALASSO가 가장 좋은 결과값을 가진다. 다음으로는 HL로써, 두 방법간의 차이는 크지 않으며, SCAD와 LASSO는 결과값이 좋지 않다. $ \hat{x} $ 에서는 표본크기에 상관 없이 "C"와 PT 측면에서 SCAD와 HL이 비슷하게 좋은 결과값을 가지는 것을 알 수 있다.</p> <p>정리하면, LASSO는 모든 경우에서 “C”, PT, MSE가 가장 좋지 않은 결과를 준다. SCAD는 중도절단 비율과 표본크기에 상관 없이 네 가지 방법 중 가장 작은 MSE를 가지고, $ \hat{\alpha} $ 의 "C'와 PT 측면에서 좋은 결과값을 가지지만, $ \hat{\beta} $ 의 측면에서 "C"가 최적값과 많은 차이가 나며, PT역시 작은 값을 가지는 것을 알 수 있었다. ALASSO는 중도절단 비율이 $ 50 \% $ 로 크고 표본크기가 $ n=855 $ 로 작은 경우 $ \hat{\alpha} $ 의 “C”와 PT의 결과가 다른 방법에 비해 약간 좋지 않지만, 표본의 크기가 $ n=2500 $ 으로 커지는 경우 "C"와 PT 모두 크게 개선되는 것으로 나타났다. HL은 전반적으로 좋은 결과를 주지만, $ n $ 이 작은 경우 $ \hat{\beta} $ 의 “C"와 PT 측면에서 ALASSO보다는 약간 성능이 좋지 않음을 알 수 있다.</p> <p>나아가, 3.1절의 실제 모수값이 0아닌 평균 밎 분산의 회귀계수에 대한 모의실험 추정값의 결과는 Table 2에 제시하였다. 그 결과는 다음과 같이 요약된다.</p> <p>(i) $ \hat{\beta} $에서는 표본크기 $ n $에 상관 없이 작은 중도절단 비율 (25\%)을 가질 때는 SCAD의 추정값이 실제 $ \beta $값에 가장 가깝게 나타난다. 하지만 나머지 세 가지 벌점 함수 역시 SCAD와 큰 차이를 보이지 않는다. 중도절단 비율이 $ 50 \% $로 큰 경우(not shown) SCAD와 HL의 추정값이 거의 유사하지만, SCAD가 실제 $ \beta $와 매우 가까워서 가장 정확하게 추정한다. 그 다음으로는 ALASSO, LASSO 순서이다. 한편, SE의 측면에서는 네 가지 벌점 함수 모두 $ n $과 중도절단 비율과 상관 없이 SD와 SE는 거의 같은 결과를 보이기 때문에 식 (2.13)에서 제시한 SE가 적절하다는 것을 알 수 있다.</p> <p>(ii) $ \hat{\alpha} $ 에서는 표본 크기 및 중도절단 비율과 상관 없이 HL의 추정값이 가장 정확하게 나타나며, 다음으로는 SCAD이다. LASSO와 ALASSO의 추정값은 실제 $ \alpha $와 큰 차이를 보이는 경향이 있다. SE의 측면에서는 SCAD와 HL의 SD와 SE가 매우 유사하므로 두 방법은 SE를 잘 추정한다. LASSO와 ALASSO는 중도절단 비율이 $ 50 \% $로 클 때 SD와 SE가 큰 차이를 보이는 경우가 있음을 알 수 있다.</p> <p>결론적으로 Tables 1-2의 모의실험 결과에 따르면, 평균-분산 AFT 모형의 변수선택에서 LASSO는 전반적으로 좋지 않은 반면, 나머지 세 가지 방법(ALASSO, SCAD, HL)은 LASSO의 단점을 크게 개선하는 것으로 나타난다.</p> <h1>4. 폐암 자료의 적합</h1> <p>2절에서 제안한 방법의 예증을 위해서 북아일랜드의 한 폐암 임상연구로부터 제시된 폐암 자료를 사용한다. 연구 대상자는 총 855 명의 폐암 환자이다. 생존시간은 진단일로부터 사망일까지의 시간(단위: 월)이며, 연구 종료 시점(study end date)에 사망하지 않은 환자들은 우측 중도절단(right censoring)이다. 855 명의 환자 중 182명이 연구 종료 시점까지 사망하지 않았으므로 중도절단 비율은 $ 21.3 \% $이다. 분석에서 사용된 변수들에 대한 자세한 설명은 Table 3과 같다.</p> <p>먼저 폐암 생존시간 $ T $ 가 로그정규 분포를 따르는지 확인하기 위해서 로그정규 위험 그래프(lognormal hazard plot)를 사용하였다. 즉 $ \Phi^{-1}\left(1-\hat{S}_{0}(t)\right) $와 $ \log t $의 관계의 그래프가 직선의 형태로 나타난다면 해당 생존자료가 로그정규 분포를 따른다고 할 수 있다. 여기서 $ \Phi(\cdot) $는 $ \mathrm{N}(0,1) $의 누적분포 함수를 나타내며, $ \hat{S}_{0}(t) $ 는 $ T $ 의 기저 생존함수(baseline survival function) $ S_{0}(t) $에 대한 카플란-마이어(Kaplan-Meier; KM) 추정값을 나타낸다. 이를 그래프로 표현한 Figure 2는 거의 선형의 형태로 나타나므로, 본 폐암자료의 생존시간이 로그정규 분포를 따른다고 볼 수 있다. 이러한 결과는 2절의 평균-분산 AFT 모형을 사용할 수 있는 근거가 될 수 있다.</p> <p>Table 4는 평균-분산 AFT 모형에서 변수선택을 위해 추정된 회귀계수와 표준오차의 결과이다. 유의수준 $ 5 \% $를 기준으로 분석한 결과, no-penalty에서 평균 생존시간에 중요하게 영향을 미치는 변수는 총 12개 (treat2, treat3, treat4, treat5, who3, who4, who5, cell2, cell4, sod2, alb2, met2)이며, 생존시간의 분산에 유의한(즉, 중요한) 영향을 미치는 변수는 총 5 개(sex1, treat4, treat5, cell3, sod3)로 나타난다. 또한 BIC를 최소로 하는 조율모수의 값은 LASSO가 0.009, ALASSO가 0.005, SCAD가 0.058, HL가 0.011이었다. 전반적으로 LASSO는 다른 세 가지 방법에 비해 no-penalty에서 유의하지 않은 변수를 많이 선택함을 알 수 있다.</p> <p>Table 4의 no-penalty에서 중요(유의)한 변수를 네 가지 변수선택법에서 중요하지 않은 변수(즉, 추정된 회귀계수가 0)로 선택하는 경우를, 본 논문에서는 그 결과가 실제값은 아니지만 단지 정밀도 측면의 분류상 제안된 방법의 성능 비교를 위해서 false negative (FN)이라 하였다. 그러면 no-penalty에서 중요(유의)하지 않은 변수를 네 가지 변수선택법에서 중요한 변수(즉, 추정된 회귀계수가 0 이 아님)처럼 잘못 선택하는 경우를 false positive (FP)가 된다. 두 경우 모두 0이 최적값이다. 특히 FN과 FP는 Table 1의 모의실험 결과에서 "IC"와 "C의 반대 경우(complement of C)"를 각각 의미한다. 이러한 결과를 요약한 Table 5에 의하면, 네 가지 방법 중 LASSO 방법이 변수를 가장 정확하지 않게 선택하는 것을 알 수 있다. 특히 FN에서는 네가지 방법이 비슷하지만 FP에서는 LASSO방법이 매우 좋지 않은 결과를 준다. 이러한 결과는 Table 1의 모의실험 결과를 반영하는 것임을 확인할 수 있으며, 특히 Table 5에서 LASSO 방법이 "C" 측면에서 성능이 좋지 않다는 사실을 다시 한번 확증한다고 볼 수 있다.</p>	자연
옥타브로 배우는 인공지능을 위한 기초수학_미분	<p>다시 점 $ \left (x_ { 1 } , f \left (x_ { 1 } \right ) \right ) $에서 함수 $ f(x) $의 접선방정식이 $ x $축과 만나는 점을 $ x_ { 2 } $로 하는 이러한 과정을 반복하여 근사해를 구하는 방법을 뉴턴 방법(Newton's Method)이라 하며 다음과 같은 반복식을 되풀이한다.</p> <p>$ x_ { n + 1 } =x_ { n } - \frac { f \left (x_ { n } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) } , f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) \neq 0 $</p> <p>뉴턴 방법에서 근사해 $ x_ { n } $이 적당한 값 $ \alpha $에 수렴하면 함수 $ f(x) $와 $ f ^ {\prime } (x) $는 연속이므로 $ f \left (x_ { n } \right ) $과 $ f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) $은 각각 $ f( \alpha) $와 $ f ^ {\prime } ( \alpha) $로 수렴한다. 따라서 $ x_ { n + 1 } -x_ { n } =- \frac { f \left (x_ { n } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) } \rightarrow \alpha- \alpha=- \frac { f( \alpha) } { f ^ {\prime } ( \alpha) } $이 되어 $ f( \alpha)=0 $가 성립한다. 즉 근사해 $ x_ { n } $이 수렴하면 그 극한값은 $ f(x)=0 $의 근이 된다. 만일 $ f ^ {\prime } ( \alpha) \neq 0 $이면 $ x= \alpha $를 단순근이라 하며 $ f ^ {\prime } ( \alpha)=0 $이고 $ f ^ {\prime \prime } ( \alpha) \neq 0 $이면 중근이라 한다.</p> <p>예제 $4.9 $<p>$ x ^ { 2 } -4=0 $의 근사값을 $ x_ { 0 } =5 $에서 뉴턴 방법으로 구하여 보자.</p> <p>$ 08 x ^ { 4 } -x ^ { 3 } -x + 1=0 $의 해를 초기치 $ x_ { 0 } =2, \mathrm { tol } =0.00001, \mathrm { kmax } =20 $으로 근사해를 구하고자 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ x=1 $은 단순근인가 아니면 중근인가?</li> <li>뉴턴 방법으로 근사해 $ x_ { 2 } $를 구하라.</li> <li>수정된 뉴턴 방법으로 근사해를 구하라.</li> <li>둘의 차이를 보고 그 이유를 설명하라.</li></ol> <p>$09 $ 다음 함수들의 일차 편도함수를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x e ^ { 2 y } $</li> <li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 3 x y + y ^ { 2 } $</li> <li>$ z= \frac { x + y } { x-y } $</li> <li>$ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y $</li> <li>$ f(x, y, z)=x y ^ { 2 } z ^ { 3 } + 3 x y + 2 z $</li> <li>$ w= \ln (x + 2 y + 3 z) $</li></ol> <p>$10 $ 연쇄법칙을 이용하여 $ f ^ {\prime } (t) $를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } , x=1-t ^ { 2 } , y=2 + 3 t ^ { 3 } $</li> <li>$ f(x, y)=x e ^ { 2 y } , x= \sin t, y= \cos t $</li> <li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } -x y + y ^ { 2 } , x= \sin t, y= \cos t $</li> <li>$ f(x, y, z)= \ln (x + 2 y + 3 z), x=e ^ { t } , y=t ^ { 2 } , z= \sin t $</li></ol> <p>$11 $ 연쇄법칙을 이용하여 $ f_ { s } $와 $ f_ { t } $를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } , \quad x=s + t, \quad y=s-t $</li> <li>$ f(x, y)=x e ^ { 2 y } , x= \sin s + \cos t, y=s-t $</li> <li>$ f(x, y)=x ^ { 2 } -x y + y ^ { 2 } , x=s ^ { 2 } + t, y=t ^ { 2 } + s $</li> <li>$ f(x, y, z)= \ln (x + 2 y + 3 z), x=e ^ { s-t } , y=s t, z=e ^ { s + t } $</li></ol> <p>$12 $ 음함수 $ F(x, y)=0 $의 미분법을 이용하여 $ \frac { d y } { d x } $를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left (1 + x y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } =x y $</li> <li>$ \cos (x + y)=y e ^ { x } $</li> <li>$ x ^ { 3 } -y ^ { 3 } =4 x y $</li> <li>$ 3 x y=x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } + 1 $</li></ol> <p>$13 $ $f(x, y)=x e ^ { y } $에 대하여 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>기울기벡터 $ \nabla f(x, y) $와 $ P(2,0) $에서의 값</li> <li>$ u=(a, b) $ 방향으로 향하는 방향도함수 $ D_ { u } f(x, y) $</li> <li>$ P(2,0) $에서 $ Q(1,2) $로 향하는 방향도함수의 $ P(2,0) $에서의 값</li> <li>$ P(2,0) $에서 어떤 방향으로 갈 때 최대의 변화율을 갖고 그 값은 얼마인가?</li></ol> <p>$14 $ 다음 함수의 극댓값과 극솟값 그리고 안장점을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y)=1 + 2 x y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $</li> <li>$ f(x, y)=x + y + x ^ { 2 } y + x y ^ { 2 } $</li></ol> <p>연속함수 위의 꺾임이 없는 또는 매끄러운 한 지점에서 얼마나 변화하는지 그 양을 미분으로 나타내며, 이때 그 점에서 미분이 가능하다고 한다. 모든 곳에서 미분이 가능할 때 함수의 미분 또는 도함수를 정의할 수 있다. 따라서 도함수가 존재하는 곳에서는 그 선 또는 면이 각을 지지 않고 매끄럽다. 미분은 인공지능의 분야인 기계학습, 딥러닝, 신경망, 최소제곱법, 경사하강법 등 많은 곳에서 활용되고 있다. 이 단원에서 다루는 내용은 다음과 같다.</p> <p>극한과 연속, 미분계수와 도함수, 도함수의 성질, 최대최소 그래프의 모양, 뉴턴 방법, 편도함수, 방향도함수, 기울기벡터</p> <h1>4.1 극한과 연속</h1> <p>다음 두 함수 $ f(x) $와 $ g(x) $를 살펴보자.</p> <p>$ f(x) = \left \{\begin {array} { cl } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } & \text { if } x \neq 1 \\ 3 & \text { if } x=1 \end {array} , g(x)=x + 1 \right . $</p> <p>$ x $의 값이 $1 $이 아닌, 예를 들어 $2 $로 가까이 가면 $ \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } =x + 1 $이므로 두 함수는 모두 $3 $으로 가까이 가며 $ f(2)=g(2) $으로 서로 같다. 이때 $3 $을 $ x $의 값이 $2 $로 갈 때 함수 $ f(x) $ 또는 $ g(x) $의 극한값이라고 한다. 그러나 $ x $의 값이 $1 $로 가까이 가면 $ f(x) $와 $ g(x) $는 $2 $로 가까이 가서 극한값이 모두 $2 $가 된다. 그러나 $ f(1)=3 $이지만 $ g(1)=2 $가 되어 $ x=1 $에서 그 함숫값이 서로 다르다. 한 점에서 극한값하고 함숫값이 같은 함수를 그 점에서 연속함수라 한다. 따라서 $ g(x) $는 $ x=1 $에서 연속함수이지만 $ f(x) $는 아니다. 즉 $ f(x) $와 $ g(x) $는 서로 다른 함수이다.</p> <p>정의 $4.1 $<p>$ x $가 $ a $로 가까이 갈 때 함수 $ f(x) $가 가까이 가는 유일한 값을 $ x=a $에서 $ f(x) $의 극한값(limit)이라고 하며 $ \lim _ { x \rightarrow a } f(x) $라고 나타낸다. 이 극한값이 $ \alpha $라면 $ x $가 $ a $로 가까이 갈 때 함수 $ f(x) $의 값은 $ \alpha $에 수렴(convergence)한다고 한다.</p></p> <h1>4.6 방정식의 수치해법</h1> <p>물건을 구입할 때 목돈이 없어 할부로 구입하는 경우가 있다. 예를 들어 $1000 $만원짜리 물건을 $12 $개월 할부하는데 할부금으로 $100 $만원을 낸다고 하자. 그러면 복리로 계산할 때 월이율은 얼마가 될까?</p> <p>일반화하여 원금을 $ s $, 할부금을 $ a $, 월이율을 $ r $, 기간을 $ n $개월이라고 하면 $ s = $ $ \frac { a } { r } \left [1-(1 + r) ^ { -n } \right ] $에서 $ \frac { s } { a } r(1 + r) ^ { n } -(1 + r) ^ { n } + 1=0 $이 된다. 따라서 $1000 $만원짜리 물건을 $12 $개월 할부하여 할부금 $100 $만원을 낼 때 월이율은 $10 r(1 + r) ^ { 12 } -(1 + r) ^ { 12 } + 1=0 $이다. 단 $ r>0 $이다. $ 1 + r=x $라고 놓으면 $ 10 x ^ { 13 } -11 x ^ { 12 } + 1=0 $이 되어 일반적으로 $ f(x)=0 $의 해를 구하는 문제가 된다. 여기서 $ x>1 $이다.</p> <p>뉴턴 방법은 $ f(x)=0 $의 근을 구하는 방법으로 초기 근사값 $ x_ { 0 } $을 알고 있을 때 점 $ \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $에서 $ y=f(x) $의 접선이 $ x $축과 만나는 점을 새로운 근사해로 구하는 방법이다. 초기값 $ x_ { 0 } $ 에 대응하는 점 $ \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) $에서 함수 $ f(x) $의 접선방정식은 $y=f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f \left (x_ { 0 } \right ) $이고 이 직선이 $ x $축과 만나는 점 $ x_ { 1 } $은 다음과 같다.</p> <p>$ x_ { 1 } =x_ { 0 } - \frac { f \left (x_ { 0 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } , f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \neq 0 $</p> <p>따라서 단위벡터 $ u=(a, b, c) $ 방향으로의 $ f $의 방향도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ D_ { u } f(x, y, z)= \nabla f(x, y, z) \cdot u $</p> <p>일반적으로 다변수함수 $ f: R ^ { n } \rightarrow R $의 기울기벡터와 헤시안 행렬은 다음과 같다.</p> <ul> <li>$ \nabla f= \left ( \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } , \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } , \cdots, \frac {\partial f } {\partial x_ { n } } \right ) $</li> <li>$ \nabla ^ { 2 } f(x, y)= \left ( \begin {array} { cccc } \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 1 } ^ { 2 } } & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 1 } \partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 1 } \partial x_ { n } } \\ \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 2 } \partial x_ { 1 } } & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 2 } ^ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 2 } \partial x_ { n } } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { n } \partial x_ { 1 } } & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { n } \partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } \frac {\partial ^ { 2 } f(x) } {\partial x_ { i } \partial x_ { j } } \end {array} \right ) $</li></ul> <p>일변수함수일 때처럼 이변수함수의 최대, 최소, 극대, 극소를 정의할 수 있다. 주어진 영역에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다. 마찬가지로 부등호의 위치만 바꾸어 극댓값을 정의할 수 있다.</p> <p>하이퍼볼릭탄젠트 함수 $ r(x)= \frac { 2 } { 1 + e ^ { -a x } } -1 $는 모든 점에서 끊어짐이 없으므로 연속함수이다. $ x $가 무한대로 커지면 $ 1 + e ^ { -a x } $는 $1 $로 수렴하여 $ r(x) $은 $1 $로 수렴하고, $ x $가 음의 무한 대로 커지면 $ 1 + e ^ { -a x } $는 무한대로 발산하므로 $ r(x) $은 $-1 $로 수렴한다. 그러므로 함숫값이 갖는 범위는 $ (-1,1) $이 된다. 하이퍼볼릭탄젠트 함수의 일차도함수와 이차도함수는 $ r ^ {\prime } (x)= \frac { 2 e ^ { -x } } {\left (1 + e ^ { -x } \right ) ^ { 2 } } , r ^ {\prime \prime } (x)= \frac { 2 e ^ { -x } \left (e ^ { -x } -1 \right ) } {\left (1 + e ^ { -x } \right ) ^ { 3 } } $로 시그모이드 함수와 비슷하다. 그러므로 범위만 다르고 그래프의 모양는 비슷하다.</p> <p>소프트플러스 함수 $ r(x)= \ln \left (1 + e ^ { x } \right ) $도 모든 점에서 끊임이 없는 연속함수이다. $ x $가 무한대로 커지면 $ 1 + e ^ { x } $는 무한대로 발산하므로 $ r(x) $도 무한대로 발산하고, $ x $가 음의 무한대로 커지면 $ 1 + e ^ { x } $는 $1 $로 수렴하므로 $ r(x) $은 $0 $으로 수렴한다. 그러므로 함숫값이 갖는 범위는 $ (0, \infty) $이 된다. 소프트플러스 함수의 일차도함수와 이차도함수는 $ r ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 1 + e ^ { -x } } , r ^ {\prime \prime } (x)= \frac { e ^ { -x } } {\left (1 + e ^ { -x } \right ) ^ { 2 } } $으로 $0 $이 되지 않으므로 극댓값과 극솟값이 없고 변곡점도 없다. 또한 모든 점에서 $ r ^ {\prime } (x)>0 $이므로 항상 증가하고, $ r ^ {\prime \prime } (x)>0 $이므로 아래로 볼록한 모양이다.</p> <p>마지막으로 렉티파이어 함수 $ r(x)= \max (0, x) $는 $ x \leq 0 $이면 $0 $이고 $ x>0 $이면 $ x $인 함수이므로 끊어짐이 없어 연속함수이고 범위는 $ [0, \infty) $이다. 일차도함수와 이차도함수는 $ r ^ {\prime } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x \leq 0 \\ 1, & x>0 \end {array} \right . $ 와 $ r ^ {\prime \prime } (x)=0, x \neq 0 $이므로 $ x \leq 0 $인 범위에서 증감이 없는 상수이고, $ x>0 $인 범위에서는 증가한다.</p> <p>헤시안 행렬은 $ z_ { x x } =z_ { y y } =0 $이고 $ z_ { x y } =z_ { y x } =0 $이므로 다음과 같다.</p> <p>$ \nabla ^ { 2 } z(x, y)= \left ( \begin {array} { ll } 2 & 0 \\ 0 & 2 \end {array} \right ) $</p> <p>벡터 $ u $와 $ \nabla f $의 사잇각을 $ \theta $라고 하면 이 방향도함수의 크기는 $ D_ { u } f= \nabla f \cdot u= \\| \nabla f \\| \cos \theta $이므로 $ \theta=0 $일 때 최댓값을 갖는다. 즉 $ u $와 $ \nabla f $의 방향이 같을 때 최댓값을 갖는다.</p> <p>정리 $4.12 $ 단위벡터 $ u $에 대하여 $ D_ { u } f $의 최댓값은 $ u $가 $ \nabla f $의 방향과 같을 때 생긴다.</p> <p>$ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $에서 $ \nabla z=(2 x, 2 y) $이므로 점 $ P(10,-5) $에서 $ z $의 방향도함수가 가장 크게 일어나는 방향은 $ u=(20,-10) $일 때 또는 단위벡터 $ \left ( \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } ,- \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \right ) $일 때이고 이때 변화율은 $ D_ { u } z= \frac { 6 } { 5 } \cdot \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } + \frac { 8 } { 5 } \cdot \frac { -1 } {\sqrt { 5 } } = \frac { 4 } { 5 \sqrt { 5 } } $이다.</p> <p>3차원 공간 $ R ^ { 3 } $에서 $ i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) $이라고 하면 $ f(x, y, z) $의 기울기 벡터는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \nabla f(x, y, z)= \frac {\partial f } {\partial x } i + \frac {\partial f } {\partial y } j + \frac {\partial f } {\partial z } k= \left ( \frac {\partial f } {\partial x } , \frac {\partial f } {\partial y } , \frac {\partial f } {\partial z } \right ) $</p> <p>약속한 바에 따라 주요 함수의 도함수를 구하면 다음과 같다. 여기서 $ \ln x $는 밑수가 $ e $인 자연로그함수로 $ \log _ { e } x $를 뜻한다.</p> <ul> <li>$ \left (x ^ { n } \right ) ^ {\prime } = n x ^ { n-1 } $</li> <li>$ ( \ln x) ^ {\prime } = \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ \left ( \log _ { a } x \right ) ^ {\prime } = \frac { 1 } { x \ln a } $</li> <li>$ \left (e ^ { x } \right ) ^ {\prime } =e ^ { x } $</li> <li>$ \left (a ^ { x } \right ) ^ {\prime } =a ^ { x } \ln a $</li> <li>$ ( \cos x) ^ {\prime } =- \sin x $</li> <li>$ ( \sin x) ^ {\prime } = \cos x $</li> <li>$ ( \tan x) ^ {\prime } = \sec ^ { 2 } x $</li> <li>$ ( \sec x) ^ {\prime } = \sec x \tan x $</li> <li>$ ( \csc x) ^ {\prime } =- \csc x \cot x $</li> <li>$ ( \cot x) ^ {\prime } =- \csc ^ { 2 } x $</li></ul> <p>아래 그림에서 보듯이 함수와 도함수를 비교하면 함수가 감소하는 영역에서 도함수는 음수가 되고 증가하는 영역에서는 양수가 된다. 도함수가 증가에서 감소로 또는 감소에서 증가로 바뀌는 곳을 보면 곡선의 모양이 아래로 볼록한지 위로 볼록한지 알 수 있다. 다음 그림에서 위의 그림이 함수의 그래프이고 아래 그림이 도함수의 그래프이다.</p> <p>함수 $ y=f(x) $는 처음 출발해서 $ x $시간 지났을 때 지나간 거리를 나타낸다고 하자. 그러면 $ a $시간에서 $ a + h $시간까지의 평균 속도는 지나간 거리를 경과 시간으로 나눈 $ \frac { f(a + h)-f(a) } { h } $이다. $ x=a $에서 순간 속도 또는 속도는 $ h $가 $0 $으로 수렴할 때 그 극한값 $ f ^ {\prime } (a) $로 $ f ^ {\prime } (a)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } $이다. 따라서 $ s=s(t) $가 움직이는 물체의 위치를 나타내는 함수라면 물체의 속도 $ v(t) $와 가속도 $ a(t) $는 다음과 같다.</p> <h1>4장 연습문제</h1> <p>$01 $ 다음 함수는 $x = 0 $으로 가까이 갈 때 무슨 값으로 수렴하는가?</p> <ol type=1 start=1><li>$ g(x)=x $</li> <li>$ f(x)=\|x\| $</li> <li>$ h(x)= \frac { x ^ { 2 } } { x } $</li> <li>$ r(x)= \left \{\begin {aligned} 1, & x \geq 0 \\-1, & x<0 \end {aligned} \right . $</li></ol> <p>$02 $ 다음 함수는 $ x=0 $에서 연속인가?</p> <ol type=1 start=1><li>$ g(x)=x $</li> <li>$ f(x)=\|x\| $</li> <li>$ h(x)= \frac { x ^ { 2 } } { x } $</li> <li>$ r(x)= \left \{\begin {array} { rr } 1, & x \geq 0 \\ -1, & x<0 \end {array} \right . $</li></ol> <p>$03 $ 다음 함수는 $ x=0 $에서 미분가능한가?</p> <ol type=1 start=1><li>$ g(x)=x $</li> <li>$ f(x)=\|x\| $</li> <li>$ h(x)= \frac { x ^ { 2 } } { x } $</li> <li>$ r(x)= \left \{\begin {aligned} 1, & x \geq 0 \\-1, & x<0 \end {aligned} \right . $</li></ol> <p>$04 $ 다음 함수의 도함수를 약속에 따라 구하여 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=10 $</li> <li>$ f(x)= \frac { 1 } { x } $</li> <li>$ f(x)=e ^ { x } $</li> <li>$ f(x)= \sin x $</li></ol> <p>$05 $ 다음 함수를 미분하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y= \left (x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -4 \right ) ^ { 3 } $</li> <li>$ y= \sqrt { x } + \frac { 1 } {\sqrt { x } } $</li> <li>$ y=x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } $</li> <li>$ y= \sin \left (x ^ { 3 } \right ) $</li> <li>$ y=e ^ { x ^ { 2 } + 1 } $</li> <li>$ y= \tan ^ { 2 } ( \cos x) $</li></ol> <p>$06 $ 주어진 구간에서 함수의 그래프를 그리고 최댓값, 최솟값, 극댓값, 극솟값 그리고 변곡점이 존재하면 모두 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ y=2 x + 3, \quad[-1,2] $</li> <li>$ y= \frac { 1 } { x } ,[1,4] $</li> <li>$ y=x ^ { 2 } -2 x + 1, \quad[-2,3] $</li> <li>$ y= \sin x, \left [- \frac {\pi } { 4 } , \frac { 5 \pi } { 4 } \right ] $</li> <li>$ y=(2 x + 4)(2 x + 1)(2 x-4),[-3,3] $</li> <li>$ y= \sin x + \cos x, \quad[0, \pi] $</li></ol> <p>$07 $ 초기값을 $ x_ { 0 } =1 $로 하고 뉴턴 방법으로 $ \sqrt { 3 } $의 근사해 $ x_ { 3 } $를 구하라.</p> <h1>4.8 기울기벡터와 최대최소</h1> <p>$ z = f(x, y) $일 때 편도함수 $ f_ { x } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h, y)-f(x, y) } { h } , f_ { y } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x, y + h)-f(x, y) } { h } $은 각각 $ x $축과 $ y $축 방향, 즉 단위벡터 $ i=(1,0), j=(0,1) $ 방향으로 $ z $의 변화율을 나타낸 다. 일반적으로 단위벡터 $ u=(a, b) $ 방향으로의 $ f $의 방향도함수는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 $ 4.9 $<p>다음을 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 단위벡터 $ u=(a, b) $ 방향으로의 $ z=f(x, y) $ 의 (directional derivative)라고 한다.</p> <p>$ D_ { u } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } $</p></p> <p>정리 $4.10 $<p>단위벡터 $ u=(a, b) $ 방향으로의 $ f $의 방향도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ D_ { u } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b $</p></p> <p>만일 $ u $가 단위벡터가 아니라면 자기 자신의 크기 $ \\|u \\| $로 나누어주면 된다. 예를 들어 $ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $에서 $ u=(3,4) $ 방향으로의 $ z $의 방향도함수는 $ u $의 크기가 $ \\|u \\|=5 $이므로 $ u $를 $5 $로 나누어준 벡터로 대신한다. 즉 $ u= \left ( \frac { 3 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } \right ) $일 때와 같다. $ z_ { x } =2 x, z_ { y } =2 y $이므로 방향도함수는 다음과 같다.</p> <p>풀이<p>$ f(x)=x ^ { 2 } -4 $이고 $ f ^ {\prime } (x)=2 x $이므로</p> <ul> <li>$ x_ { 1 } =x_ { 0 } - \frac { f \left (x_ { 0 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) } =5- \frac { 21 } { 10 } =2.9 $</li> <li>$ x_ { 2 } =x_ { 1 } - \frac { f \left (x_ { 1 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) } =2.9- \frac { 4.41 } { 5.8 } =2.14 $</li> <li>$ x_ { 3 } =x_ { 2 } - \frac { f \left (x_ { 2 } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { 2 } \right ) } =2.14- \frac { 0.58 } { 4.28 } =2.00 $</li></ul></p></p> <p>$ x=2 $는 $ f(x)=x ^ { 2 } -4 $의 단순근이다. 왜냐하면 $ f ^ {\prime } (2) \neq 0 $이기 때문이다. 만일 중근이면 좀 더 개선된 방법이 있다. 만일 $ f \left (x_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )=0 $이고 $ f ^ {\prime \prime } \left (x_ { 0 } \right ) \neq 0 $면, 즉 $ x_ { 0 } $가 $ f(x)=0 $의 중근이면 뉴턴 방법은 매우 천천히 수렴할 수 있다. 이것을 방지하기 위해서 알고리즘을 다음과 같이 바꾸면 빠르게 수렴한다. 이것을 수정된 뉴텬 방법이라고 한다.</p> <p>$ x_ { n + 1 } =x_ { n } -2 \frac { f \left (x_ { n } \right ) } { f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) } , f ^ {\prime } \left (x_ { n } \right ) \neq 0 $</p> <p>뉴턴 방법의 알고리즘은 다음과 같다. 여기서 kmax는 최대 반복횟수이고 $ \epsilon $은 충분히 작은 수로 $ x_ { 0 } =c $일 때 $ \|y\|< \varepsilon $이 되면 $ c $를 방정식의 근으로 본다는 뜻이다.</p> <p>$1000 $만원짜리 물건을 $12 $개월 할부하여 할부금 $100 $만원을 낼 때 월이율을 구하여 보자. $ f(x)=10 x ^ { 13 } -11 x ^ { 12 } + 1 $ 이고 $ f ^ {\prime } (x)=130 x ^ { 12 } -132 x ^ { 11 } $이다. 초기값으로 $ x_ { 0 } =1.2, \epsilon $에 대응하는 tol은 $ 0.0001 $ 그리고 최대반복 횟수를 kmax= $20 $로 택하고 실행하면 월이율은 $ 2.9 \% $가 된다.</p> <p>뉴턴 방법은 근사값을 구하기 위해서 매번 미분값이 필요하여 이에 대한 정보를 넣어주어야 하는 불편함이 있고, 초기값에 따라 근사해는 발산될 수 있으므로 초기값을 잘 선택해야 하는 어려움이 있다. 그러나 일단 수렴하면 매우 빨리 수렴한다.</p> <p>정의 $ 4.4 $ 적당한 $ c \in D \subset R $가 있어서 모든 $ x \in D $에 대하여 $ f(c) \leq f(x) $이면 $ f(c) $를 $ D $에서 최솟깂이라 하며, $ f(c) \geq f(x) $이면 $ f(c) $를 $ D $에서 최댓깂이라 한다.</p> <p>정의 $ 4.5 $ $ c \in D \subset R $의 적당한 근방에 있는 모든 $ x $에 대하여 $ f(c) \leq f(x) $이면 $ f(c) $를 극솟값이라 하며, $ f(c) \geq f(x) $이면 $ f(c) $를 $ D $에서 극댓깂이라 한다.</p> <p>정리 $ 4.2 $ (최대최소) $ f $가 닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속이면 최댓값과 최솟값을 갖는다.</p> <p>정리 $ 4.3 $ (페르마) $ f ^ {\prime } (c) $가 존재하고 $ f(c) $가 극소 또는 극댓값이면 $ f ^ {\prime } (c)=0 $이다.</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $에서 연속인 함수 $ f $의 최댓값과 최솟값은 먼저 $ f ^ {\prime } (c)=0 $인 점에서 극댓값과 극솟값을 구하고 양 끝 점에서 함숫값과 비교하여 큰 것이 최댓값, 작은 것이 최솟값이 된다. 도함수가 $0 $인 점에서 반드시 극댓값과 극솟값을 갖지는 않지만 극댓값과 극솟값은 도함수가 $0 $인 점들 중에서 찾을 수 있다.</p> <p>예제 $4.3 $<p>주어진 범위에서 다음 함수의 극댓값, 극솟값, 최댓값과 최솟값을 구하여 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)= \sin x,[0,2 \pi] $</li> <li>$ g(x)= \sqrt { 3 } \left (x ^ { 3 } -x \right ),[-1,2] $</li></ol> <p>풀이<p>( $1 $) $ f ^ {\prime } (x)= \cos x=0 $이면 $ x= \frac {\pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } $이다. $ \sin \frac {\pi } { 2 } =1, \sin \frac { 2 \pi } { 3 } =-1 $이고 $ \sin 0= \sin 2 \pi=0 $이므로 극솟값과 최솟값은 모두 $-1 $이고 극댓값과 최댓값은 모두 $1 $이다.</p> <p>( $2 $) $ g ^ {\prime } (x)= \sqrt { 3 } \left (3 x ^ { 2 } -1 \right )=0 $이면 $ x= \pm \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } $이다. $ g(-1)=0, g(2)=6 \sqrt { 3 } , g \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \right )=- \frac { 2 } { 3 } , g \left (- \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \right )= \frac { 2 } { 3 } $이므로 극솟값이자 최솟값은 $ -2 / 3 $, 극댓값은 $ 2 / 3 $, 최댓값은 $ 6 \sqrt { 3 } $이다.</p></p></p> <p>실질적인 예를 들어보자. 공장에서 원기둥의 알루미늄 깡통을 만들려고 한다. 알루미늄 판의 가격이 비싸 주어진 알루미늄 판으로 최대의 부피를 이루려고 하면 반지름과 높이의 규격을 얼마로 하면 되는가?</p> <p>원기둥의 반지름을 $ r $, 높이를 $ h $라고 하면 표면적은 $ s=2 \pi r ^ { 2 } + 2 \pi r h $이고 부피는 $ v= \pi r ^ { 2 } h $이다. 고정된 부피에 대해 필요한 알루미늄 판은 $ v= \pi r ^ { 2 } h $이므로 $ s(r)=2 \pi r ^ { 2 } + \frac { 2 v } { r } $이다. $ S ^ {\prime } (r)=4 \pi r- \frac { 2 v } { r ^ { 2 } } =0 $에서 $ r= \left ( \frac { v } { 2 \pi } \right ) ^ { 1 / 3 } $이다. 따라서 $ h= \frac { v } {\pi r ^ { 2 } } =2 \left ( \frac { v } { 2 \pi } \right ) ^ { 1 / 3 } =2 r $로 높이가 반지름의 두 배가 되어야 한다. 따라서 원기둥을 만들 때 높이를 반지름의 두 배로 하면 최소 면적에 최대 부피가 되어 비용이 절감됨을 알 수 있다.</p> <p>$ x $가 $ a $로 가까이 갈 때 $ f(x) $가 가까이 가는 유일한 값이란 $ x $가 $ a $보다 작은 쪽에서 $ a $로 가까이 가나 큰 쪽에서 $ a $로 가까이 가나, 어느 방향에서든지 가까이 가면 수렴하는 값은 단 하나뿐이라는 뜻이다. 따라서 $ x $가 $ a $로 가까이 갈 때 함수 $ f(x) $의 값이 서로 다른 두 개 이상의 수로 가까이 가거나 또는 무한대로 가까이 가면 발산(divergence)한다고 한다. 또한 $ x $가 $ a $로 가까이 간다는 뜻은 말 그대로 가까이 접근할 뿐이지 $ x=a $가 된다는 뜻은 아니다. $ x $가 $ a $로 가까이 갈 때 $ f(x) $의 극한값과 $ x=a $에서 함숫값 $ f(a) $가 같으면 이 함수를 연속함수라 한다.</p> <p>정의 $4.2 $<p>$ x=a $에서 $ f(x) $의 극한값이 $ f(a) $이면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 연속함수라 하며, $ f(x) $가 영역 $ D $의 모든 점에서 연속이면 $ f(x) $는 $ D $ 위에서 연속함수(continuous function)라 한다.</p></p> <p>$ D $ 위의 모든 점 $ x=a $에서 $ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a) $이면 $ f(x) $를 $ D $ 위에서 연속함수라고 한다. 여기서 $ x \rightarrow a $란 의미는 $ x $가 $ a $보다 큰 쪽에서 접근하던지 또는 작은 쪽에서 접근하던지 어느 쪽이든 상관이 없다는 뜻이다. 즉 어떤 영역 $ D $ 위에서 연속함수란 $ D $에 속하는 어떤 점에서도 구멍이 나 있지 않고 모두 연결된 함수임을 뜻한다. 우리가 알고 있는 일차함수와 이차함수, 지수함수와 로그함수, 삼각함수, 그리고 계단함수를 제외한 이미 언급한 모든 활성함수는 모두 연속함수이다.</p> <h1>4.2 미분계수와 도함수</h1> <p>전혀 끊어짐이 없고 각진 곳도 없는 매끄러운 곡선의 한 지점에서 순간순간 변화하는 양은 그 점에 접하는 벡터의 기울기로 알 수 있다.</p> <p>이 기울기를 그 곡선의 그 점에서 미분계수라 하며, 그 점을 지나고 그 기울기를 갖는 직선을 그 점에서 그 곡선의 접선이라고 한다.</p> <p>이러한 접선의 기울기는 아래 그림에서 보듯이 구할 수 있다. 연속함수 $ y=f(x) $ 위의 한 점 $ P(a, f(a)) $에서 기울기는 $ P $와 또 다른 임의의 한 점 $ Q(x, f(x)) $의 기울기인 $ \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $의 극한 $ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $으로 정의한다.</p> <p>따라서 $ m= \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } $라 하면 점 $ P(a, f(a)) $ 를 지나는 접선의 방정식은 $ y=m(x-a) + f(a) $이 된다. 만일 $ x-a=h $라고 하면 기울기는 다음과 같이도 정의한다.</p> <p>$ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } $</p> <p>이 접선의 기울기를 함수 $ f(x) $의 $ x=a $에서 미분계수라 하며 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ f ^ {\prime } (a)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h)-f(a) } { h } $</p> <p>$ x=a $에서 $ f(x) $의 미분계수 $ f ^ {\prime } (a) $의 값이 존재하면 $ f(x) $는 $ x=a $에서 미분가능하다고 하며, 모든 점에서 미분가능하면 함수의 미분인 도함수는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 $ 4.3 $<p>모든 점에서 미분가능하면 $ f(x) $의 도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } $</p> <p>이를 $ f ^ {\prime } (x) $또는 $ \frac { d f(x) } { d x } $로 나타낸다.</p></p> <p>예제 $4.1 $<p>다음 함수의 도함수를 약속에 따라 구하여 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x)=x ^ { 2 } $</li> <li>$ g(x)=x ^ { 3 } $</li></ol></p> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>$ f ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h)-f(x) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { (x + h) ^ { 2 } -x ^ { 2 } } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } (2 x + h)=2 x $</li> <li>$ g ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(x + h)-g(x) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { (x + h) ^ { 3 } -x ^ { 3 } } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \left (3 x ^ { 2 } -3 x h + h ^ { 2 } \right )=3 x ^ { 2 } $</li></ol></p> <p>정의 4.11 $ (a, b) $의 적당한 근방에 있는 모든 $ (x, y) $에 대하여 $ f(a, b) \leq f(x, y) $이면 $ f(a, b) $를 극솟깂이라 하며, $ f(a, b) \geq f(x, y) $이면 $ f(a, b) $를 극댓깂이라 한다.</p> <p>정리 4.13 $ (a, b) $에서 $ f $가 극값을 갖고 $ \nabla f(a, b) $가 존재하면 $ \nabla f(a, b)=0 $이다.</p> <p>정리 4.14<p>$ f $가 $ (a, b) $ 근방에서 연속이고 $ \nabla f(a, b)=0 $라고 하자.</p> <p>$ D= \left \| \begin {array} { ll } f_ { x x } (a, b) & f_ { x y } (a, b) \\ f_ { y x } (a, b) & f_ { y y } (a, b) \end {array} \right \| $라고 하면</p> <ol type=1 start=1><li>$ D>0 $ 이고 $ f_ { x x } (a, b)>0 $ 이면 $ f $ 는 $ (a, b) $ 에서 극솟값을 갖는다.</li> <li>$ D>0 $ 이고 $ f_ { x x } (a, b)<0 $ 이면 $ f $ 는 $ (a, b) $ 에서 극댓값을 갖는다.</li> <li>$ D<0 $ 이면 $ f(a, b) $ 는 극값이 아니다.</li></ol></p> <p>(3)의 경우 $ (a, b) $를 $ f $의 안장점(saddle point)이라고 한다. $ D=0 $인 경우는 알 수가 없다. 여기서 헤시안 행렬의 행렬식 $ D=f_ { x x } (a, b) f_ { y y } (a, b)- \left [f_ { x y } (a, b) \right ] ^ { 2 } $이다. 안장점은 다음과 같은 $ z=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } $의 그래프에서 보듯이 계곡 가운데 고갯마루 같은 곳이다.</p> <p>>>$ [x, y]= $ meshgrid $ (-4: 0.2: 4) ; z=y \cdot { } ^ {\wedge } 2-x \cdot ^ {\wedge } 2 $</p> <p>>>mesh $ (x, y, z) $</p> <p>정리 4.15 $ f $가 닫힌 영역 $ E \subset R ^ { 2 } $에서 연속이면 최댓값과 최솟값을 갖는다.</p> <p>예제 4.12 <p>$ f(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } -4 x y + 1 $의 극댓값과 극솟값 그리고 안장점을 구하여 보자.</p> <p>풀이<p>$ \nabla f=0 $이어야 하므로 $ f_ { x } =4 x ^ { 3 } -4 y=0, f_ { y } =4 y ^ { 3 } -4 x=0 $이다. 따라서 $ x ^ { 3 } =y $이고 $ y ^ { 3 } =x $이므로 $ x ^ { 9 } =x $이다. 인수분해하면 $ x ^ { 9 } -x=x(x-1)(x + 1) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \left (x ^ { 4 } + 1 \right ) $이므로 $ x=0,-1,1 $이다. 따라서 $ (0,0),(1,1),(-1,-1) $에서 $ \nabla f=0 $이다. 한편 $ f_ { x x } =12 x ^ { 2 } , f_ { x y } =-4, f_ { y y } =12 y ^ { 2 } $이고 $ D(x, y)=144 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -16 $이다. 따라서 $ D(0,0)=-16<0 $이므로 $ (0,0) $은 안장점이다. $ D(1,1)=128>0, f_ { x x } (1,1)=12>0 $이므로 $ f(1,1)=-1 $은 극솟값이고, 마찬가지로 $ f(-1,-1) $ $=-1 $도 극솟값이다. 아래 그래프에서 양쪽 점 $ (-1,-1) $과 $ (1,1) $ 위에서 옴폭 내려가고, $ (0,0) $ 위의 점이 안장점임을 알 수 있다.</p> <p>$ D_ { u } z= \frac { 6 } { 5 } x + \frac { 8 } { 5 } y $</p> <p>일변수함수의 일계도함수에 해당하는 기울기벡터와 이계도함수에 해당하는 헤시안은 다음과 같다.</p> <p>정의 $4.10 $<p>$ z=f(x, y) $의 기울기벡터(gradient) $ \nabla $와 헤시인(Hessian) 행렬 $ \nabla ^ { 2 } $은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \begin {aligned} \nabla f(x, y) &= \frac {\partial f } {\partial x } i + \frac {\partial f } {\partial y } j= \left ( \frac {\partial f } {\partial x } , \frac {\partial f } {\partial y } \right ) \\ \nabla ^ { 2 } f(x, y) &= \left ( \begin {array} { ll } f_ { x x } f_ { x y } \\ f_ { y x } f_ { y y } \end {array} \right ) \end {aligned} $</p></p> <p>만일 $ f_ { x y } $와 $ f_ { y x } $가 모두 연속이면 $ f_ { x y } =f_ { y x } $이므로 헤시안 행렬은 대칭행렬이다.</p> <p>정리 $4.11 $<p>단위벡터 $ u=(a, b) $ 방향으로의 $ f $의 방향도함수는 다음과 같다.</p> <p>$ D_ { u } f(x, y)= \nabla f(x, y) \cdot u $</p></p> <p>$ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $에서 $ u=(3,4) $ 방향으로의 $ z $의 방향도함수는 $ D_ { u } z= \frac { 6 } { 5 } x + \frac { 8 } { 5 } y $였다. $ u $의 크기가 $5 $이므로 $ u= \left ( \frac { 3 } { 5 } , \frac { 4 } { 5 } \right ) $이고 $ \nabla z=(2 x, 2 y) $이므로 $ D_ { u } z= \frac { 6 } { 5 } x + \frac { 8 } { 5 } y= \nabla z \cdot u $이다. 따라서 $ P(10,-5) $에서의 값은 $4 $가 된다.</p> <p>정리 $ 4.1 $ 연쇄 법칙<p>$ y=f(u), u=g(x) $이면 다음이 성립한다.</p> <p>$ \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } $</p></p> <p>위 식은 $ \frac { d f(x) } { d x } = \frac { d f(g(x)) } { d g(x) } \cdot \frac { d g(x) } { d x } $ 또는 $ f(g(x)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (g(x)) \cdot g ^ {\prime } (x) $와 같이 나타내기도 한다. $ f(g(x)) ^ {\prime } $와 $ g(f(x)) ^ {\prime } $는 서로 다르다.</p> <p>예제 $ 4.2 $<p>$ f(x)= \sin x, g(x)=x ^ { 2 } $일 때 $ f(g(x)) ^ {\prime } $와 $ g(f(x)) ^ {\prime } $를 구하여 보자.</p> <p>풀이<p>$ f(g(x))=f \left (x ^ { 2 } \right )= \sin \left (x ^ { 2 } \right ) $이므로 $ \sin \left (x ^ { 2 } \right ) $을 $ x ^ { 2 } $에 관하여 먼저 미분하고, 그 다음 $ x ^ { 2 } $을 미분하면 $ f(g(x)) ^ {\prime } = \cos \left (x ^ { 2 } \right ) 2 x=2 x \cos \left (x ^ { 2 } \right ) $이다.</p> <p>$ g(f(x))=g( \sin x)= \sin ^ { 2 } (x) $이므로 $ \sin ^ { 2 } x $을 $ \sin x $에 관하여 먼저 미분하고, 그 다음 $ \sin x $을 미분하면 $ g(f(x)) ^ {\prime } =2( \sin x) \cos x=2 \sin x \cos x= \sin (2 x) $가 된다.</p> <p>$ \frac {\sin \Delta } { d \Delta } = \cos \Delta $이고 $ \frac { ( \Delta) ^ { 2 } } { d \Delta } =2 \Delta $임을 이해하자. 여기서 $ \Delta $는 $ x $도 되고, $ x ^ { 2 } $도 되고, $ \sin x $도 되고, $ f(x) $도 되고 뭐든 다 된다.</p> <h1>4.5 활성함수의 미분과 그래프</h1> <p>$3.5 $절에서 제시한 활성함수의 그래프를 도함수를 이용하여 구해본다. $3.5 $절에서 본 그래프의 모양이 어떻게 나왔는지 알아볼 수 있다. 그래프를 그리는 옥타브 명령어는 $3.5 $절에 있다. 계단함수 $ r(x) = \left \{\begin {aligned} 1, & x \geq 0 \\-1, & x<0 \end {aligned} \right . $가 갖는 값은 $ -1 $과 $1 $ 뿐이며, $ x=0 $에서 끊어져 연속함수가 아니다. 따라서 계단함수는 $ x=0 $에서는 미분이 가능하지 않다. 그러나 $ x \neq 0 $인 곳에서는 상수이므로 미분하면 $0 $이 된다. $ x \neq 0 $인 점에서 $ r ^ {\prime } (x)=0 $이므로 함숫값은 증가도 아니고 감소도 아닌 변함이 없는 상수로 $1 $이다.</p> <p>상수 $ a $가 양수인 시그모이드 함수 $ r_ { a } (x)= \frac { 1 } { 1 + e ^ { -a x } } $는 모든 점에서 끊어짐이 없으므로 연속함수이다. $ x $가 무한대로 커지면 $ 1 + e ^ { -a x } $는 $1 $로 수렴하여 $ \frac { 1 } { 1 + e ^ { -a x } } $은 $1 $로 수렴하고, $ x $가 음의 무한대로 커지면 $ 1 + e ^ { -a x } $는 무한대로 발산하므로 $ \frac { 1 } { 1 + e ^ { -a x } } $은 $0 $으로 수렴한다. 그러므로 함숫값이 갖는 범위는 $ (0,1) $이 된다. 시그모이드 함수를 미분하기 위해 편의상 $ a=1 $로 놓는다. 그래프의 전체적인 모양은 $ a $의 값에 관계없이 같기 때문이다. 시그모이드 함수의 도함수는 $ r ^ {\prime } (x)= \frac { e ^ { -x } } {\left (1 + e ^ { -x } \right ) ^ { 2 } } $이므로 $0 $이 될 수 없다. 따라서 극댓값과 극솟값이 존재하지 않는다. 또한 모든 점에서 양수이므로 항상 증가하는 함수이다. 이차도함수는 $ r ^ {\prime \prime } (x)= \frac { e ^ { -x } \left (e ^ { -x } -1 \right ) } {\left (1 + e ^ { -x } \right ) ^ { 3 } } $이므로 $ r ^ {\prime \prime } (0)=0 $이다. $ x<0 $이면 $ r ^ {\prime \prime } (x)>0 $이므로 이래로 볼록, $ x>0 $이면 $ r ^ {\prime \prime } (x)<0 $이므로 위로 볼록이다.</p> <p>$ v(t)= \frac { d s } { d t } , \quad a(t)= \frac { d v } { d t } = \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } $</p> <p>즉 거리를 시간에 관하여 한 번 미분하면 속도, 속도를 한 번 더 미분하면 가속도이다. 그래서 거리를 시간에 관하여 두 번 미분하면 가속도가 된다.</p> <p>예를 들어 자동차가 시속 $ 60 \mathrm { ~km } $로 일정하게 주행한다면 이 자동차가 $ t $시간 동안 주행한 거리는 $ s(t)=60 t $가 된다. 즉 속도는 $ v(t)= \frac { d s } { d t } =60 $이며 가속도는 $ a(t)= \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } =0 $이다. 만일 거리가 $ s(t)=t ^ { 2 } $로 나타난다면 속도는 $ 2 t $로 시간이 감에 따라 두 배씩 증가하고 가속도 는 시간에 관계없이 $2 $로 일정하다.</p> <h1>4.3 도함수의 성질과 최대최소</h1> <p>수의 사칙연산처럼 도함수도 사칙연산을 할 수 있다. $ f(x)= \sin x, g(x)=x ^ { 2 } $일 때 합의 미분은 $ (f(x) + g(x)) ^ {\prime } =( \sin x) ^ {\prime } + \left (x ^ { 2 } \right ) ^ {\prime } = \cos x + 2 x=f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) $으로 각각 미분한 다음에 합한 것과 같다. 이처럼 사칙연산에 대한 도함수의 기본법칙은 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (f(x) + g(x)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x) $</li> <li>$ ( \alpha f(x)) ^ {\prime } = \alpha f ^ {\prime } (x) $</li> <li>$ (f(x) g(x)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) $</li> <li>$ \left ( \frac { f(x) } { g(x) } \right ) ^ {\prime } = \frac { f ^ {\prime } (x) g(x)-f(x) g ^ {\prime } (x) } { g(x) ^ { 2 } } $</li></ol> <p>이 법칙에 의해 $ f(x)= \sin x, g(x)=x ^ { 2 } $이면 $ \left ( \frac { f(x) } { g(x) } \right ) ^ {\prime } = \frac { x ^ { 2 } \cos x-2 x \sin x } { x ^ { 4 } } = \frac { x \cos x-2 \sin x } { x ^ { 3 } } $이 된다. $ y=f(u), u=g(x) $와 같이 한 함수 $ f $의 독립변수 $ u $가 다른 함수 $ g $의 종속변수가 되면 $ f $는 $ x $에 관한 함수가 되어 $ x $에 관하여 미분할 수 있다.</p>	자연
확률과정입문_베르누이과정과 단순확률보행	<p>보조정리 $ 3.17 $ \[E[T]< \infty \]</p> <p>증명 $ m=a + b $라 하자. 임의 정수 $ x \in A $에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ P \left (x + Z_ { m } \notin A \right ) \geq P \left (Y_ { 1 } =1, \cdots, Y_ { m } =1 \right )=2 ^ { -m } $ $ = \sum_ { x \in A } P \left (x + \left (Z_ { 2 m } -Z_ { m } \right ) \in A \mid Z_ { m } =x \right ) P \left (Z_ { m } =x \right ) $ $ = \sum_ { x \in A } P \left (x + Z_ { m } \in A \right ) P \left (Z_ { m } =x \right ) $ $ \leq \left (1-2 ^ { -m } \right ) P \left (Z_ { m } \in A \right ) $ $ \leq \left (1-2 ^ { -m } \right ) ^ { 2 } $</p> <p>같은 방법으로 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ P \left (Z_ { m } \in A, \cdots, Z_ { k m } \in A \right ) \leq \left (1-2 ^ { -m } \right ) ^ { k } $</p> <p>한편 \[ \begin {array} { c } \sum_ { j=k m } ^ { (k + 1)_ { m-1 } } P(T>j) \leq m P(T>k m), \quad k=0,1, \cdots \\ P(T>k m) \leq P \left (Z_ { m } \in A, \cdots, Z_ { k m } \in A \right ) \leq \left (1-2 ^ { -m } \right ) ^ { k } \end {array} \]이므로 \[ \begin {aligned} E[T] &= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } P(T>k) \leq \sum_ { k=0 } ^ {\infty } m P(T>k m) \\ & \leq m \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left (1-2 ^ { -m } \right ) ^ { k } =m 2 ^ { m }< \infty \end {aligned} \]</p> <p>사실 $ 0<a<b<1 $에 대하여 $ n \rightarrow \infty $일 때 다음이 성립합을 보일 수 있다.</p> <p>$ P \left (a \leq \frac { L_ { 2 n } } { 2 n } \leq b \right ) \rightarrow \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } {\pi } \frac { 1 } {\sqrt { x(1-x) } } d x $<caption>(3.9)</caption></p> <p>즉 $ n $이 층분히 클 때 $ \frac { L_ { 2 n } } { 2 n } $의 분포는 근사적으로 모수가 $ \left ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) $인 베타분포를 따른다. 한편 위의 적분 $(3.9) $에서 $ y= \sqrt { x } $로 치환하면 $ \begin {aligned} \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } {\pi } \frac { 1 } {\sqrt { x(1-x) } } d x &= \int_ {\sqrt { a } } ^ {\sqrt { b } } \frac { 2 } {\pi } \frac { 1 } {\sqrt { 1-y ^ { 2 } } } d y \\ &= \frac { 2 } {\pi } \left ( \sin ^ { -1 } \sqrt { b } - \sin ^ { -1 } \sqrt { a } \right ) \end {aligned} $이므로 확률분포가 $(3.8) $과 같을 때 그 분포는 아크사인법칙(arc sine law) 또는 역사인법칙을 따른다고 한다. $(3.9) $로부터 충분히 큰 $ n $에 대하여 역사인법칙을 따르는 분포를 근사할 수 있다. 예를 들어 $ n $이 충분히 클 때 $ P \left ( \frac { L_ { 2 n } } { 2 n } \leq \frac { 1 } { 2 } \right ) \approx \frac { 1 } { 2 } $이므로 다음과 같이 해석할 수 있다. 두 사람이 공정한 동전을 던지는 게임을 $10,000 $회 하였을 때 $5,000 $번 이후 한 사람이 항상 돈을 딴 상태에 있을 확률은 약 $ \frac { 1 } { 2 } $이 된다.</p> <p>길이가 $ 2 n $인 경로 $ \left (Z_ { 0 } , \cdots, Z_ { 2 n } \right ) $에서 $ Z_ { 2 n } $과 처음으로 같아지는 시각을 $ \tau_ { 2 n } $이라 하자. 즉 \[ \tau_ { 2 n } = \inf \left \{ 0 \leq j \leq 2 n: Z_ { j } =Z_ { 2 n } \right \} \]</p> <p>대칭단순확률보행 $ Z $의 상태공간은 정수 전체 집합 $ \{ 0, \pm 1, \pm 2, \cdots \} $가 된다. $ Z_ { k } =a $일 때 $ Z $가 시각 $ k $ 에 (또는 $ k $번째 시행에서) 상태 $ a $를 방문하였다고 한다. $ Z $가 방문한 시각과 상태를 $ (k, a) $와 같이 순서쌍을 이용하여 나타내기도 한다. 예를 들어 $ Z_ { 5 } =-3 $일 때 $ Z $가 $ (5,-3) $을 방문하였다고 하기도 하고 시각 $5 $에 (또는 다섯째 시행에서) 상태 $ -3 $을 방문하였다고 하기도 한다.</p> <p>$ Z_ { i } =z_ { i } (i=0,1, \cdots, n) $일 때 $ (x, y) $ 좌표평면에서 $ (0,0) $과 각각의 점 $ \left (i, z_ { i } \right ) $를 그림 $3.1 $과 같이 선분으로 연결하여 얻어지는 꺾은선 그래프 모양의 도형을 $ (0,0) $에서 출발하여 $ \left (n, z_ { n } \right ) $에 도달하는 경로라고 하고 $ \left (z_ { 0 } , z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \right ) $으로 나타내기로 한다. 이때 $ \left (i, z_ { i } \right ) $와 $ \left (i + 1, z_ { i + 1 } \right ) $을 연결한 선분을 이 경로의 변(side)이라고 한다. 변의 개수 $ n $을 이 경로의 길이(length)라고 한다. 그림 $3.1 $은 $ (0,0) $에서 출발하여 $ (8,2) $ 에 도달하는 길이 $8 $인 경로를 나타낸 것이다.</p> <p>$ \left (Z_ { 0 } , Z_ { 1 } , \cdots, Z_ { n } \right ) $이 적당한 $ 1 \leq k \leq n $에 대하여 $ Z_ { k } =a $를 만족할 때 이 경로는 상태 $ a $ 또는 직선 $ y=a $를 경유한다고 한다. 또한 $ Z_ { k-1 }<a<Z_ { k + 1 } $이거나 $ Z_ { k-1 } >a>Z_ { k + 1 } $이면 이 경로는 시각 $ k $에 상태 $ a $ (또는 직선 $ y=a $ )를 통과한다고 한다. 그림 $3.1 $의 경로는 시각 $ k=2 $와 시각 $ k=6 $에서 상태 $0 $을 통과하고 시각 $ k=4 $에서는 상태 $0 $을 경유하지만 통과하지는 않는다.</p> <p>따라서 $ T_ { k + 1 } -T_ { k } $ 는 $ T_ { 1 } , \cdots, T_ { k } $와 서로 독립이고 모수가 $ p $인 기하분포를 따른다. $ T_ { k + 1 } -T_ { k } $는 $ T_ { 0 } , T_ { 1 } , \cdots, T_ { k } $와 서로 독립이므로 $ T_ { k + 1 } -T_ { k } $는 $ T_ { j } - $ $ T_ { j-1 } , j=1,2, \cdots, k $와 독립이다. 이와 같은 과정을 반복하면 $ T_ { k } -T_ { k-1 } $, $ k=1,2, \cdots $는 서로 독립임을 알 수 있다.</p> <p>$(2) $ $ \tau_ { k } =T_ { k } -T_ { k-1 } $로 두면 $ T_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \tau_ { k } $이므로 위의 $(1) $과 정리 $2.1 $로부터 $ \left \{ T_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} $는 독립증분과 정상증분을 갖는다.</p> <p>예제 $ 3.4 $</p> <p>다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P \left (T_ { 1 } =3, T_ { 5 } =9, T_ { 7 } =17 \right ) $</li> <li>$ E \left [T_ { 5 } \mid T_ { 1 } , T_ { 2 } , T_ { 3 } \right ] $</li></ol> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>$ \begin {aligned} P & \left (T_ { 1 } =3, T_ { 5 } =9, T_ { 7 } =17 \right ) \\ &=P \left (T_ { 1 } =3, T_ { 5 } -T_ { 1 } =6, T_ { 7 } -T_ { 5 } =8 \right ) \\ &=P \left (T_ { 1 } =3 \right ) P \left (T_ { 5 } -T_ { 1 } =6 \right ) P \left (T_ { 7 } -T_ { 5 } =8 \right ) \\ &=P \left (T_ { 1 } =3 \right ) P \left (T_ { 4 } =6 \right ) P \left (T_ { 2 } =8 \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { l } 3-1 \\ 1-1 \end {array} \right ) p q ^ { 3-1 } \left ( \begin {array} { l } 6-1 \\ 4-1 \end {array} \right ) p ^ { 4 } q ^ { 6-4 } \left ( \begin {array} { l } 8-1 \\ 2-1 \end {array} \right ) p ^ { 2 } q ^ { 8-2 } \\ &=70 p ^ { 7 } q ^ { 10 } \end {aligned} $</li> <li>조건부기댓값의 CE $3 $ 성질에 의하여 $ E \left [T_ { 3 } \mid T_ { 1 } , T_ { 2 } , T_ { 3 } \right ]=T_ { 3 } $이므로 \[ \begin {aligned} E \left [T_ { 5 } \mid T_ { 1 } , T_ { 2 } , T_ { 3 } \right ] &=E \left [T_ { 5 } -T_ { 3 } \mid T_ { 1 } , T_ { 2 } , T_ { 3 } \right ] + E \left [T_ { 3 } \mid T_ { 1 } , T_ { 2 } , T_ { 3 } \right ] \\&=E \left [T_ { 5 } -T_ { 3 } \right ] + T_ { 3 } \quad \text { (독립증분) } \\&= \frac { 2 } { p } + T_ { 3 } . \quad \text { (정상증분) } \end {aligned} \]</li></ol></p> <p>정리 $ 3.2 $ $ P \left (N_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, N_ { n-1 } =i_ { n-1 } , N_ { n } =i \right )>0 $일 때 다음이 성립한다.</p> <p>$ P \left (N_ { n + 1 } =j \mid N_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, N_ { n-1 } =i_ { n-1 } , N_ { n } =i \right ) $ $ =P \left (N_ { n + 1 } =j \mid N_ { n } =i \right )= \left \{\begin {array} { ll } p, & j=i + 1 \\ 1-p, & j=i \\ 0, & \text { 그 밖에 } \end {array} \right . $</p> <p>증명 $ N_ { n + 1 } =N_ { n } + X_ { n + 1 } $이고 $ N_ { n } $과 $ X_ { n + 1 } $은 서로 독립이므로 \[ \begin {aligned} P \left (N_ { n + 1 } =j \mid N_ { n } =i \right ) &=P \left (X_ { n + 1 } =j-i \mid N_ { n } =i \right ) \\&=P \left (X_ { n + 1 } =j-i \right ) \end {aligned} \]가 됨을 알 수 있다. 한편 \[ \begin {array} { l } P \left (N_ { n + 1 } =j \mid N_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, N_ { n-1 } =i_ { n-1 } , N_ { n } =i \right ) \\ =P \left (N_ { n + 1 } -N_ { n } =j-i \mid N_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, N_ { n-1 } =i_ { n-1 } , N_ { n } =i \right ) \\ =P \left (N_ { n + 1 } -N_ { n } =j-i \right )( \text { (독립증분 } ) \\=P \left (X_ { n + 1 } =j-i \right ) \end {array} \]이므로 정리가 증명된다.</p> <p>한편 $ \left \{ T_ { k } =n_ { k } \right \} = \left \{ N_ { n_ { k } -1 } =k-1, X_ { n_ { k } } =1 \right \} $이고 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots $는 서로 독립이므로 $ \left \{ T_ { k } =n_ { k } \right \} $ 는 $ \left \{ X_ { j } , j \geq n_ { k } + 1 \right \} $과 독립이다. 따라서 \[ \begin {aligned} P & \left (T_ { k + 1 } =n \mid T_ { k } =n_ { k } \right ) \\=& P \left (X_ { n_ { k } + 1 } =0, \cdots, X_ { n-1 } =0, X_ { n } =1 \mid N_ { n_ { k } -1 } =k-1, X_ { n_ { k } } =1 \right ) \\=& P \left (X_ { n_ { k } + 1 } =0, \cdots, X_ { n-1 } =0, X_ { n } =1 \right ) \\=&p q ^ { n-n_ { k } -1 } . \end {aligned} \]</p> <p>정리 $3.3(2) $로부터 $ T_ { k } $가 주어졌을 때 $ T_ { k + 1 } $과 $ T_ { 0 } , T_ { 1 } , \cdots, T_ { k-1 } $은 조건부로 독립임을 알 수 있다.</p> <p>따름정리 $ 3.4 $<ol type=1 start=1><li>$ T_ { k } -T_ { k-1 } \sim \operatorname { Geo } (p)(k=1,2, \cdots) $이고 서로 독립이다.</li> <li>확률과정 $ \left \{ T_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} $는 독립증분과 정상증분을 갖는다.</li></ol></p> <p>증명 $(1) $ 정리 $ 3.3(2) $로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ P \left \{ T_ { k + 1 } -T_ { k } =m \mid T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right \} $ $ \quad=P \left \{ T_ { k + 1 } =m + n_ { k } \mid T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right \} $ $ \quad=p q ^ { m + n_ { k } -1-n_ { k } } =p q ^ { m-1 } $</p> <p>성공할 때까지의 시간 $ X = \left \{ X_ { n } , n=1,2, \cdots \right \} \sim \mathrm { BP } (p) $일 때, $ n $번째 성공할 때 까지 시행한 횟수를 $ T_ { n } \left (n \geq 1, T_ { 0 } =0 \right ) $이라 하자. 즉 \[ \begin {array} { l } T_ { 1 } = \inf \left \{ n \geq 1: X_ { n } =1 \right \} \\ T_ { k } = \inf \left \{ n>T_ { k-1 } : X_ { n } =1 \right \} , k=2,3, \cdots . \end {array} \]</p> <p>예를 들어 $ X_ { 1 } =0, X_ { 2 } =1, X_ { 3 } =0, X_ { 4 } =0, X_ { 5 } =1, \cdots $ 이면 $ T_ { 1 } =2, T_ { 2 } =5, \cdots $이다.</p> <p>정리 $ 3.3 $<ol type=1 start=1><li>\[ \begin {array} { l } T_ { k } \sim \operatorname { NB } (k, p)(k=1,2, \cdots), \text { 즉 } \\ \qquad P \left (T_ { k } =n \right )= \left ( \begin {array} { l } n-1 \\k-1 \end {array} \right ) p ^ { k } q ^ { n-k } , \quad n=k, k + 1, \cdots \end {array} \]</li> <li>임의의 정수 $ 0<n_ { 1 }< \cdots<n_ { k }<n $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} P \left (T_ { k + 1 } =n \mid T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right ) &=P \left (T_ { k + 1 } =n \mid T_ { k } =n_ { k } \right ) \\&=p q ^ { n-n_ { k } -1 } \end {aligned} \]</li></ol></p> <p>증명 $(1) $ $ k $번째 성공이 $ n $번째 시행에서 발생하기 위해서는 $ (n-1) $번의 시행에서 $ (k-1) $번의 성공이 발생하고 $ n $번째 시행에서 성공이 발생하면 된다. 따라서 $ \left \{ T_ { k } =n \right \} = \left \{ N_ { n-1 } =k-1, X_ { n } =1 \right \} $이다. $ N_ { n-1 } $과 $ X_ { n } $은 서로 독립이고 $ N_ { n-1 } \sim \mathrm { B } (n-1, p) $이므로 다음을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} P \left (T_ { k } =n \right ) &=P \left (N_ { n-1 } =k-1, X_ { n } =1 \right ) \\ &=P \left (N_ { n-1 } =k-1 \right ) P \left (X_ { n } =1 \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { l } n-1 \\ k-1 \end {array} \right ) p ^ { k } q ^ { n-k } \end {aligned} $</p> <p>$(2) $ $ \left \{ T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right \} $는 처음 $ n_ { k } $번의 시행에서 $ j $번째 성공이 $ n_ { j } $ $(j=1 $, $ \cdots, k) $번째 시행에서 발생하였다는 것을 의미한다. 또한 $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots $는 서로 독립이므로 다음을 얻는다.</p> <p>$ \begin {aligned} P & \left (T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right ) \\ &=P \left (X_ { i } =0, i \neq n_ { j } , 1 \leq i \leq n_ { k } , X_ { n_ { j } } =1, j=1, \cdots, k \right ) \\ &=p ^ { k } q ^ { n_ { k } -k } \end {aligned} $</p> <p>같은 방법으로 \[P \left (T_ { k + 1 } =n, T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right )=p ^ { k + 1 } q ^ { n-k-1 } \]임을 알 수 있다. 따라서 \[P \left (T_ { k + 1 } =n \mid T_ { 1 } =n_ { 1 } , \cdots, T_ { k } =n_ { k } \right )=p q ^ { n-n_ { k } -1 } . \]</p> <h2>3.2.4 역사인법칙</h2> <p>길이 $ 2 n $인 경로 $ \left (Z_ { 0 } , Z_ { 1 } , \cdots, Z_ { 2 n } \right ) $이 최근에 상태 $0 $을 방문한 시각을 $ L_ { 2 n } $이라 하자. 즉 \[L_ { 2 n } = \max \left \{ m \leq 2 n: Z_ { 2 m } =0 \right \} . \]</p> <p>정리 $ 3.23 $ 최근에 $0 $을 방문한 시각에 대한 이산 역사인법칙 \[P \left (L_ { 2 n } =2 k \right )=u_ { 2 k } u_ { 2 n-2 k } , \quad k=0,1,2, \cdots, n \]<caption>(3.8)</caption></p> <p>증명 $ Z $가 독립증분과 정상증분을 가지므로 \[ \begin {aligned} P \left (L_ { 2 n } =2 k \right ) &=P \left (Z_ { 2 k } =0, Z_ { 2 k + 1 } \neq 0, \cdots, Z_ { 2 n } \neq 0 \right ) \\ &=P \left (Z_ { 2 k + 1 } \neq 0, \cdots, Z_ { 2 n } \neq 0 \mid Z_ { 2 k } =0 \right ) P \left (Z_ { 2 k } =0 \right ) \\ &=P \left (Z_ { 1 } \neq 0, \cdots, Z_ { 2 n-2 k } \neq 0 \right ) P \left (Z_ { 2 k } =0 \right ) \\ & \left .=u_ { 2 n-2 k } u_ { 2 k } \text { (정리 } 3.11 \right ) \end {aligned} \]</p> <p>$ n $과 $ k $가 충분히 클 때 스털링공식에 의하여 다음을 알 수 있다.</p> <p>$ P \left (L_ { 2 n } =2 k \right ) \approx \frac { 1 } { 2 n } \frac { 1 } {\pi \sqrt {\frac { 2 k } { 2 n } \left (1- \frac { 2 k } { 2 n } \right ) } } $</p> <p>성공 횟수 \[ \begin {array} { l } X \sim \mathrm { BP } (p) \text { 일 때, } \\N_ { k } = X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { k } , \quad k \geq 1 \left (N_ { 0 } =0 \right ) \end {array} \]이라 하면 $ N_ { k } $는 처음 $ k $번의 시행에서 성공한 횟수를 나타낸다. 또한 $ N_ { k + m } -N_ { k } $는 $ k + 1 $ 번째부터 $ k + m $ 번째까지의 시행에서 성공한 횟수를 나타낸다.</p> <p>정리 $ 3.1 $<ol type=1 start=1><li>$ N_ { k + m } -N_ { k } \sim \mathrm { B } (m, p) $, 즉 $ P \left (N_ { k + m } -N_ { k } =n \right )= \left ( \begin {array} { c } m \\ n \end {array} \right ) p ^ { n } q ^ { m-n } , \quad n=0,1, \cdots, m $</li> <li>$ N= \left \{ N_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} $는 독립증분과 정상증분을 갖는다.</li></ol></p> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>$ X_ { i } \sim \mathrm { B } (1, p) $ 이고 $ \left \{ X_ { k } \right \} $는 서로 독립이므로 정리 $ 1.16 $에 의하여 $ N_ { k + m } -N_ { k } = \sum_ { j=k + 1 } ^ { k + m } X_ { j } \sim \mathrm { B } (m, p) . $</li> <li>$ N_ { k } $는 서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수의 합으로 나타나므로 정리 $ 2.1 $ 에 의하여 자명하다.</li></ol> <p>예제 $ 3.3 $</p> <p>다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ P \left (N_ { 5 } =4, N_ { 7 } =5, N_ { 13 } =8 \right ) $</li> <li>$ E \left [N_ { 5 } N_ { 8 } \right ] $</li> <li>$ E \left [N_ { 8 } \mid N_ { 5 } \right ] $</li></ol> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>$ \begin {array} { l } P \left (N_ { 5 } =4, N_ { 7 } =5, N_ { 13 } =8 \right ) \\ = P \left (N_ { 5 } =4, N_ { 7 } -N_ { 5 } =1, N_ { 13 } -N_ { 7 } =3 \right ) \\=P \left (N_ { 5 } =4 \right ) P \left (N_ { 7 } -N_ { 5 } =1 \right ) P \left (N_ { 13 } -N_ { 7 } =3 \right ) \text { (독립증분) } \\ =P \left (N_ { 5 } =4 \right ) P \left (N_ { 2 } =1 \right ) P \left (N_ { 6 } =3 \right ) \text { (정상증분) } \\= \left ( \begin {array} { l } 5 \\ 4 \end {array} \right ) p ^ { 4 } q \left ( \begin {array} { l } 2 \\1 \end {array} \right ) p q \left ( \begin {array} { l } 6 \\3 \end {array} \right ) p ^ { 3 } q ^ { 3 } \\=200 p ^ { 8 } q ^ { 5 } \end {array} $</li> <li>$ \begin {aligned} E \left [N_ { 5 } N_ { 8 } \right ] &=E \left [N_ { 5 } \left (N_ { 8 } -N_ { 5 } \right ) + N_ { 5 } ^ { 2 } \right ] \\ &=E \left [N_ { 5 } \right ] E \left [N_ { 8 } -N_ { 5 } \right ] + E \left [N_ { 5 } ^ { 2 } \right ] \quad \text { (독립증분) } \\ &=5 p \cdot 3 p + 25 p ^ { 2 } + 5 p q=35 p ^ { 2 } + 5 p \end {aligned} $</li> <li>$ \begin {array} { rlr } E \left [N_ { 8 } \mid N_ { 5 } \right ] & =E \left [N_ { 5 } + \left (N_ { 8 } -N_ { 5 } \right ) \mid N_ { 5 } \right ] \\ & =N_ { 5 } + E \left [N_ { 8 } -N_ { 5 } \mid N_ { 5 } \right ] \\ & =N_ { 5 } + E \left [N_ { 8 } -N_ { 5 } \right ] & \text { (독립증분) } \\ & =N_ { 5 } + E \left [N_ { 3 } \right ] & \text { (정상증분) } \\ & =N_ { 5 } + 3 p \end {array} $</li></ol></p> <p>증명 먼저 $ r>0 $이라 하고 다음을 정의하자.</p> <p>$ I_ { n } = \left \{\begin {array} { l } 1, Z_ { 1 } >0, \cdots, Z_ { n-1 } >0, Z_ { n } =r \\ 0, \text { 그 밖에 } \end {array} \right . $</p> <p>그러면 \[V_ { r } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \]이고 보조정리 $ 3.9 $와 정리 $ 3.15 $에 의하여 \[E \left [I_ { n } \right ]=P \left (Z_ { 1 } >0, \cdots, Z_ { n-1 } >0, Z_ { n } =r \right )=P \left (T_ { r } =n \right ) \]이므로 \[E \left [V_ { r } \right ]= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } E \left [I_ { n } \right ]=P \left (T_ { r }< \infty \right )=1 . \]</p> <p>$ r<0 $인 경우는 대칭성에 의하여 성립한다.</p> <p>정리 $ 3.22 $ $ Z $가 상태 $0 $ 에 $ r $ 번째 되돌아오는 데 걸리는 시간을 $ T_ { 0 } ^ { (r) } $이라 하면 \[P \left (T_ { 0 } ^ { (r) } =n \right )=P \left (T_ { r } =n-r \right ) . \]</p> <p>증명 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $이며 $ Z_ { i } \leq 0, i=1,2, \cdots, n-1 $인 경로 $ \left (Z_ { 1 } , \cdots, Z_ { n } \right ) $을 생각하자. 이 경로를 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $인 경로의 대표경로라 하자(그림 $3.3 $). 그러면 각 대표경로에 대하여 $ x $축에 대칭인 경로가 대응된다(그림 $ 3.3 $ 의 점선 부분). 각 대표경로에 대하여 $ Z $가 상태 $0 $ 을 방문하는 시각 사이의 경로를 $ P_ { 1 } , \cdots, P_ { r } $이라 하고 각각의 $ P_ { i } $와 대칭인 경로를 $ Q_ { i } $라 하자. 그러면 각각의 대표경로에 대하여 $ P_ { i } $와 $ Q_ { i } $의 조합으로 이루어지는 $ 2 ^ { r } $개의 경로가 정해진다. 예를 들어 그림 $ 3.3 $에서 $ P_ { 1 } P_ { 2 } P_ { 3 } , P_ { 1 } P_ { 2 } Q_ { 3 } , P_ { 1 } Q_ { 2 } P_ { 3 } , \cdots, Q_ { 1 } Q_ { 2 } Q_ { 3 } $는 모두 대표경로 $ P_ { 1 } P_ { 2 } P_ { 3 } $에 대응되는 $ T_ { 0 } ^ { (3) } =12 $인 경로들이다. 일반적으로 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $인 각 대표경로에 대하여 $ 2 ^ { r } $개의 경로가 대응된다.</p> <p>이제 대표경로 수를 구하기 위하여 대표경로가 하나 주어졌을 때 다음과 같은 경로를 생각하자. 대표경로에서 $0 $을 방문하는 시점에서 기울기가 $ -1 $인 변을 하나씩 제거하고 나머지를 이어붙이면 길이가 $ (n-r) $인 경로가 하나 대응된다. 그림 $ 3.3 $의 대표경로에서 $ (0,0),(4,0),(6,0) $에서 기울기가 $ -1 $인 변을 하나씩 제거하여 이어붙이면 그림 $3.4 $와 같이 길이가 $ 12-3=9 $이고 시각 $9 $에서 상태 $3 $을 처음으로 방문하는 경로가 하나 정해진다(그림 $3.4 $에서 진하게 표시한 변이 제거되는 변이다).</p> <p>역으로 시각 $9 $에서 상태 $3 $을 처음으로 방문하는 경로가 하나 주어지면 그림 $ 3.5 $와 같이 $ T_ { 0 } ^ { (3) } =9 + 3=12 $를 만족하는 길이 $12 $인 대표경로가 하나 정해진다. 그림 $3.5 $는 주어진 경로에 $ (0,0) $일 때 기울기가 $ -1 $인 선분을 하나 추가하고 대표경로가 $0 $인 상태를 방문할 때마다 기울기가 $ -1 $인 선분을 하나씩 추가하여 얻어진 것이다(그림 $ 3.5 $에서 진하게 표시한 변이 추가된 변이다).</p> <p>일반적으로 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $인 대표경로와 $ (0,0) $에서 출발하여 시각 $ (n-r) $에 처음으로 상태 $ r $을 방문하는 경로는 일대일 대응이 된다. 정리 $ 3.15 $에 의하여 이 경로 수는 $ P \left (T_ { r } =n-r \right ) 2 ^ { n-r } $이다. 각 대표경로에 대응되는 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $ 인 경로 수는 $ 2 ^ { r } $이므로 $ (0,0) $에서 출발하는 길이가 $ n $인 $ 2 ^ { n } $개의 경로 중 $ T_ { 0 } ^ { (r) } =n $을 만족하는 경로 수는 \[2 ^ { r } \cdot P \left (T_ { r } =n-r \right ) 2 ^ { n-r } =2 ^ { n } P \left (T_ { r } =n-r \right ) \]이므로 정리가 증명된다.</p> <p>보조정리 $ 3.18 $ \[E \left [Z_ { T } \right ]=0 \]</p> <p>증명 다음을 주목하자.</p> <p>$ E \left [Z_ { T } \right ]= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } E \left [Z_ { n } 1_ {\{ T=n \} } \right ]= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } E \left [Y_ { k } 1_ { (T=n) } \right ] $ \[= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \sum_ { n=k } ^ {\infty } E \left [Y_ { k } 1_ { [T=n] } \right ]= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } E \left [Y_ { k } 1_ { [T \geq k] } \right ] \]</p> <p>단 $ 1_ { A } $는 $ A $가 성립하면 $1 $, 그렇지 않으면 $0 $의 값을 갖는 지시확률변수이다.</p> <p>\[ \{ T \geq k \} = \left \{ Z_ { j } \in A, j=1,2, \cdots, k-1 \right \} \] 이고 $ \left \{ Z_ { j } , j=1, \cdots, k-1 \right \} $ 은 $ Y_ { k } $와 서로 독립이므로 $ 1_ { (T \geq k) } $와 $ Y_ { k } $는 서로 독립이다. 따라서 \[E \left [Y_ { k } 1_ { (T \geq k) } \right ]=E \left [Y_ { k } \right ] E \left [1_ { (T \geq k) } \right ]=E \left [Y_ { 1 } \right ] P(T \geq k) . \]</p> <p>그러므로 다음을 얻는다.</p> <p>$ E \left [Z_ { T } \right ]=E \left [Y_ { 1 } \right ] \sum_ { k=1 } ^ {\infty } P(T \geq k)=E \left [Y_ { 1 } \right ] E[T] $<caption>(3.7)</caption></p> <p>한편 $ E \left [Y_ { 1 } \right ]=0 $이므로 보조정리가 증명된다.</p> <p>참고 식 $(3.7) $을 왈드(Wald)의 식이라 한다.</p> <p>정리 $ 3.19 $ \[P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right ) = \frac { b } { a + b } \]</p> <p>증명 $ P \left (Z_ { T } =-a \right ) + P \left (Z_ { T } =b \right )=1 $ 이고 $ P \left (Z_ { T } =-a \right )=P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right ), \quad P \left (Z_ { T } =b \right ) $ $ =P \left (T_ { -a } >T_ { b } \right ) $이므로 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ \begin {aligned} E \left [Z_ { T } \right ] &=-a P \left (Z_ { T } =-a \right ) + b P \left (Z_ { T } =b \right ) \\ &=-a P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right ) + b \left (1-P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right ) \right ) \\ &=b-(a + b) P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right ) \end {aligned} $</p> <p>보조정리 $3.18 $에 의하여 $ E \left [Z_ { T } \right ]=0 $이므로 정리가 증명된다.</p> <p>따름정리 $ 3.20 $ \[P \left (T_ { r }< \infty \right )=1, r=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \]</p> <p>증명 다음을 주목하자.</p> <p>\[P \left (T_ { -a }< \infty \right ) \geq P \left (T_ { -a }<T_ { b } \right )= \frac { b } { a + b } \]여기서 $ b \rightarrow \infty $이면 우변은 $1 $에 수렴한다. 따라서 $ P \left (T_ { -a }< \infty \right )=1 $이다. 대칭성에 의하여 $ P \left (T_ { a }< \infty \right )=1 $임을 알 수 있다.</p> <p>따름정리 $ 3.21 $ $ Z $가 상태 $0 $에 다시 돌아오는 동안 상태 $ r \neq 0 $을 방문한 횟수를 $ V_ { r } $이라 할 때 $ E \left [V_ { r } \right ]=1 $이다.</p> <h1>3.2 단순확률보행</h1> <h2>3.2.1 도입 및 정의</h2> <p>서로 독립이며 같은 분포를 따르는 확률변수열 $ Y_ { 1 } , Y_ { 2 } , \cdots $에 대하여 $ Z_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } Y_ { k } , \quad n \geq 1 \quad \left (Z_ { 0 } =0 \right ) $이라 할 때 확률과정 $ Z= \left \{ Z_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} $를 확률보행(random walk)이라 한다. 특히 $ P \left (Y_ { n } =1 \right )=p, P \left (Y_ { n } =-1 \right )=1-p(0<p<1) $일 때 $ Z $를 단순확률보행 (simple random walk)이라 하고 $ p= \frac { 1 } { 2 } $인 단순확률보행을 대칭단순확률보행(symmetric simple random walk)이라 한다. 정리 $ 2.1 $에 의하여 확률보행 $ Z $는 정상증분과 독립증분을 갖는다.</p> <p>확률보행에 대한 일반적인 이론은 이 책의 범위를 벗어나므로 생략하고 이 절에서는 대칭단순확률보행에 대해서만 생각한다. 대칭단순확률보행은 다음과 같이 공정한 동전을 던지는 모형으로 생각할 수 있다.</p> <p>공정한 동전을 반복해서 던질 때 확률변수 $ Y_ { n } $과 $ Z_ { n } $을 다음과 같이 정의하자.</p> <ul> <li>$ Y_ { n } = \left \{\begin {array} { rr } 1, & n \text { 번째 시행의 결과가 앞면 } \\ -1, & n \text { 번째 시행의 결과가 뒷면 } \end {array} \right . $</li> <li>$ Z_ { n } =Y_ { 1 } + \cdots + Y_ { n } , \quad n=1,2, \cdots \quad \left (Z_ { 0 } =0 \right ) $</li></ul> <p>그러면 명백하게 $ Y_ { 1 } , Y_ { 2 } , \cdots $는 서로 독립이며 \[P \left (Y_ { n } =1 \right )= \frac { 1 } { 2 } =P \left (Y_ { n } =-1 \right ) \] 이므로 확률과정 $ Z= \left \{ Z_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} $는 대칭단순확률보행이다. $ Z_ { n } $은 공정한 동전을 던져서 앞면이 나오면 $1 $단위의 돈을 따고 뒷면이 나오면 $1 $단위의 돈을 잃는 게임을 $ n $번 시행하였을 때 딴 돈의 액수로 생각할 수 있다.</p> <p>정리 $ 3.15 \\ r>0 $일 때 $ \begin {aligned} P \left (T_ { r } = n \right ) &= \frac { 1 } { 2 } \left (p_ { n-1 } , r-1-p_ { n-1, r + 1 } \right ) \\ &= \frac { r } { n } p_ { n, r } , \quad n=1,2, \cdots \end {aligned} $<caption>(3.6)</caption></p> <p>증명 \[ \begin {aligned} P \left (T_ { r } =n \right ) &=P \left (Z_ { j }<r, j=0,1, \cdots, n-1, Z_ { n } =r \right ) \\ &=P \left (Z_ { j } ^ { * } >0, j=1,2, \cdots, n-1, Z_ { n } ^ { * } =r \right ) \\&=P \left (Z_ { j } >0, j=1,2, \cdots, n-1, Z_ { n } =r \right ) \text { (보조정리 3.7) } \\&= \frac { 1 } { 2 } \left (p_ { n-1, r-1 } -p_ { n-1, r + 1 } \right )( \text { 보조정리 3.9) } \end {aligned} \]</p> <p>따름정리 $ 3.16 $ \[E \left [T_ { r } \right ]= \infty, r=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \]</p> <p>증명 $ r=0 $일 때는 따름정리 $ 3.14 $에서 보였다. 정리 $ 3.15 $와 $(3.3) $에 의하여 \[ \begin {aligned} P \left (T_ { 1 } =2 k + 1 \right ) &= \frac { (2 k) ! } { (k + 1) ! k ! } 2 ^ { -(2 k + 1) } \\ &= \frac { 1 } { 2(k + 1) } u_ { 2 k } \sim \frac { 1 } { 2(k + 1) } \frac { 1 } {\sqrt {\pi k } } . \end {aligned} \]</p> <p>따라서 $ E \left [T_ { 1 } \right ]= \infty $이다. 대칭성에 의하여 $ E \left [T_ { -1 } \right ]= \infty $이다. 한편 $ r>1 $일 때 $ T_ { r } >T_ { 1 } , T_ { -r } >T_ { -1 } $이므로 따름정리가 증명된다.</p> <p>발생시각의 조건부분포 성공할 확률이 $ p $인 베르누이시행을 $ k $번 시행하는 동안 한 번의 성공이 있었다면 몇 번째 시행에서 성공이 발생하였겠는가? 매 시행은 같은 조건하에서 독립적으로 이루어지므로 $ k $번 시행하는 동안 한 번의 성공이 있었다면 $ \{ 1,2, \cdots, k \} $중 $ i $번째 시행에서 성공이 발생할 확률은 $ \frac { 1 } { k } $로 예상할 수 있다. 예상이 사실이라는 것을 다음과 같이 보일 수 있다.</p> <p>$ 1 \leq m \leq k $ 에 대하여 $ P \left (T_ { 1 } = m \mid N_ { k } =1 \right )= \frac { P \left (T_ { 1 } =m, N_ { k } =1 \right ) } { P \left (N_ { k } =1 \right ) } $ $ = \frac { P \left (X_ { 1 } =0, \cdots, X_ { m-1 } =0, X_ { m } =1, X_ { m + 1 } =0, \cdots, X_ { k } =0 \right ) } { P \left (N_ { k } =1 \right ) } $ $ = \frac { p q ^ { k-1 } } {\left ( \begin {array} { l } k \\ 1 \end {array} \right ) p q ^ { k-1 } } = \frac { 1 } { k } $</p> <p>즉 $ N_ { k } =1 $이라는 가정하에 $ T_ { 1 } $은 $ \{ 1,2, \cdots, k \} $에서 균등분포를 따른다. 이 결과는 다음과 같이 $ T_ { 1 } , \cdots, T_ { n } $에 대한 결합분포로 일반화시킬 수 있다.</p> <p>정리 $ 3.5 $ \[P \left (T_ { 1 } =k_ { 1 } , \cdots, T_ { n } =k_ { n } \mid N_ { k } =n \right )= \frac { 1 } {\left ( \begin {array} { l } k \\n \end {array} \right ) } , \quad 1 \leq k_ { 1 }< \cdots<k_ { n } \leq k \]<caption>( 3.1)</caption></p> <p>증명 따름정리 $ 3.4 $에 의하여 $ T_ { i } -T_ { i-1 } \sim \operatorname { Geo } (p)(i=1,2, \cdots, n) $이고 서로 독립 이므로 $ 1 \leq k_ { 1 }<k_ { 2 }< \cdots<k_ { n } \leq k $에 대하여 \[ \begin {aligned} P & \left (T_ { 1 } =k_ { 1 } , T_ { 2 } =k_ { 2 } , \cdots, T_ { n } =k_ { n } \mid N_ { k } =n \right ) \\=& \frac { P \left (T_ { 1 } =k_ { 1 } , T_ { 2 } =k_ { 2 } , \cdots, T_ { n } =k_ { n } , N_ { k } =n \right ) } { P \left (N_ { k } =n \right ) } \\ =& \frac { P \left (T_ { i } -T_ { i-1 } =k_ { i } -k_ { i-1 } , i=1, \cdots, n, T_ { n + 1 } -T_ { n } >k-k_ { n } \right ) } { P \left (N_ { k } =n \right ) } \\ =& \frac { p q ^ { k_ { 1 } -1 } p q ^ { k_ { 2 } -k_ { 1 } -1 } \cdots p q ^ { k_ { n } -k_ { n-1 } -1 } q ^ { k-k_ { n } } } {\left ( \begin {array} { l } k \\n \end {array} \right ) p ^ { n } q ^ { k-n } } \\=& \frac { 1 } {\left ( \begin {array} { l } k \\n \end {array} \right ) } \end {aligned} \]</p> <p>정리 $ 3.5 $는 $ N_ { k } =n $이라는 가정하에서 $ T_ { 1 } , \cdots, T_ { n } $의 조건부분포는 이산형 균등분포 $ \mathrm { U } \{ 1,2, \cdots, k \} $의 순서통계량의 분포와 같다는 것을 뜻한다(따름정리 $ 1.15 $ 참조).</p>	자연
은닉 마르코프 모델을 이용한 국가별 주가지수 예측	<p>마찬가지로 $ T + 2 $ 시점의 가격을 예측하기 위해서는 새로운 데이터 $ O $를 학습 데이터로 사용한다.</p> <p>\[ O= \left \{ O_ { t } ^ { (1) } , O_ { t } ^ { (2) } , O_ { t } ^ { (3) } , O_ { t } ^ { (4) } , t=T-D + 2, T-D + 3, \ldots, T + 1 \right \} . \]</p> <p>처음 예측 과정에서 추정된 HMM의 모수 $ \lambda $는 두 번째 예측을 진행할 때 초기 모수로 사용하며, 나머지는 위의 과정을 동일하게 반복하여 예측을 진행한다.</p> <h3>3.2.3. 모델 검증</h3> <p>예측 결과를 비교하기 위한 효율성 측도로 평균절대백분율오차(MAPE)와 평균절대오차(AAE), 제곱근평균 제곱오차(RMSE)를 사용하며 다음과 같이 정의된다.</p> <ol type=i start=1><li>mean absolute percentage error (MAPE)<p>\[ \mathrm { MAPE } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } \frac { \| \operatorname { True } (i)- \operatorname { Predicted } (i)\| } {\operatorname { True } (i) } , \]</p></li> <li>average absolute error (AAE)<p>\[ \mathrm { AAE } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } \| \operatorname { True } (i)- \operatorname { Predicted } (i)\|, \]</p></li> <li>root-mean-square error (RMSE)<p>\[ \mathrm { RMSE } = \sqrt {\frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } ( \operatorname { True } (i)- \operatorname { Predicted } (i)) ^ { 2 } } . \]</p></li></ol> <p>세 가지 측도 모두 상대적으로 작을수록 예측이 잘 이루어졌다고 판단할 수 있다.</p> <h2>3.3. 모델 설정</h2> <p>주가지수 데이터는 연속형 변수이므로 2.3에서 언급한 다변량 Gaussian HMM을 사용할 것이다. 모델을 설정 할 때 은닉 상태의 수를 충분하게 설정하면 모형의 선택 폭도 다양하고 더 적합한 모형이 선택될 수는 있으나, 파라미터의 해석과 모형에 대한 이해가 어렵다는 단점이 있다. 따라서 절약성의 원리(principle of parsimony) 를 고려하여 은닉 상태의 수는 2에서 6까지로 제한하고, 각 상태의 수에 따라 AIC, BIC, HQC, CAIC 기준을 사용하여 적절한 은닉 상태의 수를 결정하였다. 기준값이 작을수록 더 좋은 모형이며, Table 2은 KOSPI200 지수에 대한 상태의 수에 따른 기준값들을 나타내고 있다.</p> <p>\[O= \left \{ O_ { t } ^ { (1) } , O_ { t } ^ { (2) } , O_ { t } ^ { (3) } , O_ { t } ^ { (4) } , t=T-D + 1, T-D + 2, \ldots, T \right \} . \]</p> <p>임의의 초기 모수와 데이터를 이용하여 관측 값의 확률 $ P(O \mid \lambda) $를 계산할 수 있다. 그 이후엔 데이터 블록을 일별로 이동시켜 다음의 새로운 관측 데이터를 얻으며 확률 $ P \left (O ^ {\text { new } } \mid \lambda \right ) $를 계산할 수 있다.</p> <p>\[ O ^ {\text { new } } = \left \{ O_ { t } ^ { (1) } , O_ { t } ^ { (2) } , O_ { t } ^ { (3) } , O_ { t } ^ { (4) } , t=T-D, T-D + 1, \ldots, T-1 \right \} . \]</p> <p>이러한 과정을 반복하여 $ P \left (O ^ { * } \mid \lambda \right ) \simeq P(O \mid \lambda) $를 만족하는 데이터 $ O ^ { * } $를 찾아낸다.</p> <p>\[ O ^ { * } = \left \{ O_ { t } ^ { (1) } , O_ { t } ^ { (2) } , O_ { t } ^ { (3) } , O_ { t } ^ { (4) } , t=T ^ { * } -D + 1, T ^ { * } -D + 2, \ldots, T ^ { * } \right \} . \]</p> <p>마지막으로 관측 가능한 수열 중 종가를 예로 든다면 $ T + 1 $ 시점의 종가 $ O_ { T + 1 } ^ { (1) } $의 가격은 다음 식을 이용하여 계산할 수 있다.</p> <p>\[ O_ { T + 1 } ^ { (1) } =O_ { T } ^ { (1) } + \left (O_ { T ^ { * } + 1 } ^ { (1) } -O_ { T ^ { * } } ^ { (1) } \right ) \times \operatorname { sign } \left (P(O \mid \lambda)-P \left (O ^ { * } \mid \lambda \right ) \right ). \]</p> <p>국내 KOSPI200 지수뿐만 아니라 해외 주가지수들 모두 4가지 기준에 의해 결정된 최적의 상태 수는 6개 이다. KOSPI200의 경우 상태의 수를 제한 없이 충분히 크게 하면, AIC, HQC를 기준으로는 25 States가 최적인 것으로, BIC, CAIC 를 기준으로는 15 States가 최적인 것으로 확인할 수 있었으나 상태의 수가 큰 경우 모형을 위해 추정해야 할 파라미터의 수도 기하급수적으로 증가하므로 여러 가지 효율성을 위해 제한된 상태에서 최적의 상태 수인 6개를 최적으로 선택하기로 하였다. 최적의 모형으로 선택된 6 States HMM을 기반으로 적합한 모델의 100영업일 시점 예측에 대한 파라미터의 값은 Figure 4에서 확인할 수 있고, 그 해석은 다음과 같이 할 수 있다. 초기 확률이 $ p=(1, 0, 0, 0, 0, 0) $으로 주어졌을 때 $ t=1 $ 시점에서 $ q_ { 1 } =S_ { 1 } $ 값을 갖고, $ t=2 $ 시점에서 $ q_ { 2 } =S_ { 1 } $ 값을 가질 확률이 0.995가 됨을 알 수 있다. 마찬가지로 $ t=2 $ 시점에서 $ q_ { 2 } =S_ { 2 } $ 값을 가질 확률은 0에 근접하고, $ q_ { 2 } =S_ { 3 } $ 값을 가질 확률은 0.007이 된다. 일반화하면, 전이확률행렬 $ A $의 $ i $행 $ j $열 원소는 임의의 $ t $시점에서 $ q_ { t } =S_ { i } $값을 갖고 $ t + 1 $ 시점에서 $ q_ { t + 1 } =S_ { j } $ 값을 가질 확률을 나타낸다. 행렬의 대각원소 값이 대부분 0.95보다 크게 나타나는 것으로 보아 동일 상태로 전이될 확률이 가장 큰 것을 알 수 있다.</p> <p>실제 주가지수 데이터 분석에서 다변량 가우시안 분포를 가정했으므로, 출력확률행렬 $ B $는 파라미터 $ \mu $와 $ \Sigma $를 의미한다. 행렬 $ \mu $의 의미는 다음과 같다. 임의의 $ t $ 시점에서 1행은 첫 번째 상태가 $ S_ { 1 } $값을 가질 때, 즉 $ q_ { t } =S_ { 1 } $일 때 종가, 시가, 고가, 저가에 해당하는 평균값들의 벡터를 의미한다. 즉, $ \mu_ { i k } $는 상태가 $ S_ { i } $일 때, 심볼 (Symbols) $ v_ { k } $값에 대한 평균을 의미한다. 해당 예에서 가능한 심볼은 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } , v_ { 4 } \right \} $이고 각각은 종가, 시가, 고가, 저가를 나타낸다. 행렬 $ \Sigma $도 마찬가지로 종가, 시가, 고가, 저가에 해당하는 공분산행렬이 상태의 수만큼 6개가 나타남을 알 수 있다. Figure 4을 통해서 상태가 $ S_ { i } $일 때, 이에 해당하는 각각의 공분산을 확인할 수 있으며, 평균과 공분산행렬 모두 상태에 따라 값의 수준이 군집화된 것처럼 구분되어 나타난 것을 확인할 수 있다.</p> <h1>3. 실제 데이터 분석</h1> <h2>3.1. 주가지수 데이터</h2> <p>주가지수란 거래소에 상장 및 등록된 주식의 시장가격을 토대로 형성되어 전반적인 주가의 동향을 나타내는 대표적인 지수로 각 나라의 벤치마크 지수로 사용된다. 나라마다 시장을 대표하는 주가지수는 다양하지만, 본 논문에서는 주가연계증권(equity linked securities; ELS)에서 주로 사용되는 기초자산을 바탕으로 다섯 개의 국가별 주가지수를 선택하였다. 한국의 KOSPI200 지수, 일본의 NIKKEI225 지수, 홍콩의 HSI 지수, 미국의 S&P500 지수, 영국의 FTSE100 지수이다. 데이터는 2010년 1월부터 2019년 12월 말까지 총 10년 동안의 일별 주가지수 데이터이며, 출처는 야후 파이낸스(finance.yahoo.com)와 한국거래소(krx.co.kr)이다.</p> <p>Figure 2은 국내 KOSPI200 데이터의 일별 변화 추이를 나타내며, 해외 주가지수들의 데이터 그래프는 Figure 3를 통해 확인할 수 있다. 국내 KOSPI200 그래프와 해외 주가지수들의 그래프를 살펴보면, 2010년 부터 2019년까지 10년 동안 전반적으로 상승하는 추세가 있음을 알 수 있다. 그러나 각 국가 주가지수마다 자세한 추이나, 전체적인 패턴은 다른 양상을 나타낸다. 아시아권 지수들인 KOSPI200과 HSI 지수의 경우 그 래프의 패턴은 비슷해 보이나 NIKKEI225 지수의 패턴은 둘과는 다른 패턴을 나타낸다. 영국 지수인 FTSE100 의 경우 아시아권 지수들과는 또 다른 패턴의 모습을 지난 10년간 보여 왔으며 세계적으로 기준 지수가 되는 미국의 S&P500은 지수의 전체적인 변동 폭이 아주 작아 안정적으로 움직이는 것에 비해, 나머지 4개 지수의 경우 상대적으로 큰 변동 폭으로 움직이고 있음을 알 수 있다.</p> <h2>3.2. 주가지수 예측 방법</h2> <p>은닉 마르코프 모델은 경제적 상황 예측이나 변동성, 주식 움직임 예측 등과 같이 금융 분야에서 널리 사용되 고 있다 (박형준 등, 2007; Lee와 Oh, 2007; Nguyen, 2018). 본 논문에서는 HMM을 이용해 세계 주가지수를 분석해보고, 각 국가별 주가지수의 추이와 움직임 그리고 가격 등을 예측해 보고자 한다. 특히 국내 시장의 벤치마크 지수로 가장 널리 이용하는 KOSPI200 지수를 자세히 살펴보고 모델에 적용하고자 한다. 2010년 1월부터 2019년 12월 말까지 전체 데이터 중에서 마지막 100 영업일에 해당하는 데이터를 예측하고자 하는 데이터로써 선택하였다.</p> <p>HMM을 이용해서 주가지수를 예측하는 과정은 다음과 같다. HMM 모델의 성과를 평가하기 위해 AIC, BIC 등과 같은 기준을 도입하고, 이를 바탕으로 각각 은닉 상태의 수에 따른 모델을 비교하여 데이터 내에 내 재하는 최적의 상태의 수를 선택한다. 추정된 상태의 수를 바탕으로 은닉 마르코프 모델을 학습하는 데에는 전체 데이터를 학습 데이터와 실험 데이터로 나누어 진행한다. 학습 데이터를 이용해 구축한 모형을 예측에 활용하고, 실험 데이터와의 예측 오차를 측정하여 예측 모델이 최적으로 생성되었는지 결과를 확인한다. 본 논문에서 사용된 모든 분석에는 Python hmmlearn 패키지를 이용하였다 (Lebedev 등, 2017).</p> <h1>2. 은닉 마르코프 모델(Hidden Markov model)</h1> <h2>2.1. 은닉 마르코프 모델 소개</h2> <p>은닉 마르코프 모델(hidden Markov model; HMM)은 마르코프 모델의 하나로, 은닉된 상태와 관찰 가능한 결과의 두 가지 요소로 구성된 통계적 모델이다. 은닉 상태들은 마르코프 과정을 따르고 이를 직접적인 원인으로 하여 관찰 가능한 결과가 발생한다. 상태를 직접적으로 볼 수 없고 이로부터 야기된 결과들만 관찰할 수 있어 '은닉(hidden)'이라는 단어가 붙게 되었다. 방법론은 1960년대에 알려졌지만, 1970년대에 모델의 파라미터 추정을 위한 방법들이 연구되면서 은닉 마르코프 모델에 대한 연구가 더욱 활발히 진행되었다 (Baum과 Petrie, 1966; Baum 등, 1970). 은닉 마르코프 모델은 1970년대 음성 인식 분야에서 응용되기 시작하여, 생물정보학, 생태학, 언어학, 환경, 통신 및 금융 등 다양한 분야에서 사용되고 있다 (Cappé 등, 2006; Zucchini 등, 2017). 특히 은닉 마르코프 모델은 관찰 가능한 확률 과정의 경우 마르코프 연쇄가 주어진 상황에서 조건부 독립이며, 각 시점의 조건부 분포는 오직 해당 시점의 마르코프 연쇄에만 의존하는 기본 구조를 가지고 있는데, 이는 주가지수 움직임에 적합한 구조라고 할 수 있다. 임의의 시점의 주가지수가 은닉된 여러 상태에 의해 영향을 받으며 마르코프 과정을 따른다고 가정을 할 수 있기 때문이다. 따라서 은닉 마르코프 모델은 주가지수 자료 분석에 많이 응용되고 있다 (Zucchini 등, 2017).</p> <p>은닉 마르코프 모델의 구조와 이를 나타내는 구성 요소들은 Figure 1과 Table 1에 각각 나타내었다. 본 논문에서는 Idvall과 Jonsson (2008)과 Nguyen (2018)에 나와 있는 기호를 참고하여 사용하였다. 관측되지 않는 마르코프 연쇄 $ Q $는 전이확률행렬 $ A $와 초기 확률 $ p $를 가진다. 관찰 가능한 확률과정 $ O $는 마르코프 연쇄가 주어진 상황에서 조건부 독립이며, 각 시점의 조건부 분포는 오직 해당 시점의 마르코프 연쇄에만 의존한다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} P \left (q_ { t } \mid q_ { 1 } , q_ { 2 } , \ldots, q_ { t-1 } \right ) & = P \left (q_ { t } \mid q_ { t-1 } \right ), & & t=2,3, \ldots, \\ P \left (O_ { t } \mid O_ { 1 } , \ldots, O_ { t-1 } , q_ { 1 } , \ldots, q_ { t } \right ) &=P \left (O_ { t } \mid q_ { t } \right ), & & t=1,2,3 \ldots \end {aligned} \]</p> <h1>1. 서론</h1> <p>연 $ 1 \% $대의 저금리 시대가 계속되고, 특히 최근 코로나 19로 인해 국내 기준금리가 $ 1 \% $ 미만으로 변경 및 유지되 면서 자산 보호를 위해서는 금과 부동산 같은 다른 확실한 안전자산으로 대체하거나, 반대로 투자를 위해서는 채권, 주식 또는 파생상품 등과 같은 리스크를 동반한 금융 상품을 대체 투자 수단으로 활용하려는 금융 소비 자들이 늘어나고 있다. 또한, 투자에 대한 국제화가 심화되면서 금융기관과 기업뿐만 아니라 개인 투자자도 환 위험을 감안하면서까지도 해외 투자에 대한 관심이 높아지고 있다. 주식 시장은 가장 간단하면서도 빠 르게 금융 시장 상황을 파악할 수 있는 곳이다. KOSPI200 주가지수는 한국을 대표하는 주식 200개 종목의 시가총액을 지수화한 것으로 1990년 1월 3일 100을 기준으로 얼마나 변동되었는지를 나타내며, 투자에 대한 벤치마크 지표로 사용되는 국내 대표 지수이다. 주식 시장이 어떤 흐름을 나타낼지 예측하는 것은 경제 및 금융 시장 예측에 굉장히 중요한 부분이며, 여러 가지 방법들이 주가 예측에 활용되어 활발히 연구되고 있다.</p> <p>본 연구에서는 주가 및 환율, 이자율 등과 같은 시계열 데이터에 적합한 은닉 마르코프 모델(hidden Markov model; HMM)을 이용해 향후 예측에 적용하고자 한다. 실제 국내 및 해외 주가지수를 적용하여 최적의 모델을 추정한다면 이를 통해서 향후의 일정 기간의 주식 시장에 대한 추이 및 방향성 그리고 움직임에 대한 예측이 가능할 것이다.</p> <p>음성인식 분야에서 주로 활용되기 시작한 은닉 마르코프 모델은 유전학과 생물정보학을 포함한 다양한 분야에서 시계열의 패턴을 활용하는 도구로 널리 이용되고 있으며 금융 관련 데이터 분석에서도 활발하게 사용되고 있다 (Zucchini 등, 2017). 옵션의 가격 결정과 LIBOR 시장의 모델 연구 그리고 이자율의 기간 구조 모델 구축과 관련해서도 HMM이 활발하게 이용되어 왔다 (Mamon과 Elliott, 2007). 또한, HMM을 활용한 채권 가격 산출 (Landen, 2000) 및 은행 고객을 군집화하는 연구도 진행되었으며 (Knab 등, 2003), 주식가격에 대한 예측에도 HMM이 활용되어왔다 (Hassan과 Nath, 2005).</p> <p>본 논문에서는 HMM 방법을 국가별 주가지수 예측에 적용해 보고자 한다. 먼저 AIC, BIC, HQC (Hannan과 Quinn, 1979), CAIC (Bozdogan, 1987)와 같은 정보 기준을 사용하여 HMM의 최적의 상태의 수를 결정한다. 그 후 HMM의 모수 추정에 사용되는 훈련 데이터에 대하여 종가, 시가, 고가, 저가를 이용하여 Hassan과 Nath(2005)의 방법을 적용하고자 한다. 실제 데이터로는 국내 KOSPI200 주가지수와 일본의 NIKKEI225, 홍콩의 HSI, 미국의 S \&P500, 영국의 FTSE100 등 주가연계증권(equity linked securities; ELS)의 기초자산으로 주로 사용하는 대표적인 해외 주가지수를 이용한다. 2010년 1월부터 2019년 12월까지 총 10년 동안의 데이터를 이용하여 추정한 모형이 실제 데이터 예측에 얼마나 정확하게 적용될 수 있는지 알아보려고 한다. 또한, 인공 지능 분야의 발전으로 인해 주식 가격 예측에 널리 사용되고 있는 서포트 벡터 회귀(support vector regression; SVR) 방법 (Cao와 Tay, 2001) 을 비교군으로 사용하여 그 결과를 비교하고자 한다. 본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 은닉 마르코프 모델 이론과 관련된 주요 문제들에 대해 소개한다. 3장에서는 국내 및 해외 주가지수 데이터를 이용한 예측 방법과 결과를 제시하며 4장에서는 본 논문의 결론과 후속 연구의 방향을 언급하며 마무리한다.</p> <p>마코르프 연쇄가 주어졌을 때 관찰 가능한 확률과정이 이산형 분포라면 이산형 HMM이고, 연속형 분포라면 연속형 HMM이 된다. Table 1을 참고하면, HMM를 나타내기 위해서 필요한 파라미터는 $ \lambda \equiv \{ A, B, p \} $임을 알 수 있다. 예를 들어, 연속형 HMM에서 가우시안 분포를 가정한다면, 파라미터는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>$ \lambda \equiv \{ A, B, p \} \equiv \{ A, \mu, \sigma, p \} . $</p> <h2>2.2. 은닉 마르코프 모델의 주요 문제</h2> <p>HMM을 실제로 활용하기 위해서는 우선 3가지 주요 문제에 대해 생각해 보아야 한다 (Rabiner, 1989). 첫 번째 문제는 관찰 가능한 수열 $ \left \{ O_ { t } \right \} $와 모델의 파라미터 $ \lambda \equiv \{ A, B, p \} $가 주어졌을 때, 주어진 모델에서 관측 수열의 확률을 계산하는 평가 문제이다. 같은 상황에서 관측 수열을 나타낼 확률이 가장 큰 은닉 상태 수열을 찾는 해독 문제, 그리고 관측 수열만 주어진 경우 이를 가장 잘 나타내는 모델 파라미터를 찾는 학습 추정 문제가 나머지 주요 문제이다.</p> <ol type=i start=1><li>평가 문제(evaluation question)<p>(a) 관찰 가능한 수열 $ O= \left \{ O_ { t } , t=1,2, \ldots, T \right \} $와 모델의 파라미터 $ \lambda \equiv \{ A, B, p \} $가 주어졌을 때, 관측 수열의 확률 $ P(O \mid \lambda) $를 계산한다.</p></li> <li>해독 문제(decoding question)<p>(a) 관찰 가능한 수열 $ O= \left \{ O_ { t } , t=1,2, \ldots, T \right \} $와 모델의 파라미터 $ \lambda \equiv \{ A, B, p \} $가 주어졌을 때, 관측 수열을 나타내는데 가장 적합한 은닉 상태 수열을 확인한다. $ \operatorname { argmax } _ { Q } P(Q \mid O, \lambda) $를 계산한다.</p></li> <li>학습 추정 문제(learning question)<p>(a) 관찰 가능한 수열 $ O= \left \{ O_ { t } , t=1,2, \ldots, T \right \} $만 주어진 경우, 이를 가장 잘 나타내는 HMM의 파라미터 $ \lambda $가 무엇인지 확인한다. $ \operatorname { argmax } _ {\lambda } P(O \mid \lambda) $를 계산한다.</p></li></ol> <p>\[ \gamma_ { t } ^ { (l) } (i)=P \left (q_ { t } =S_ { i } \mid O ^ { (l) } , \lambda \right )= \frac {\alpha_ { t } ^ { (l) } (i) \beta_ { t } ^ { (l) } (i) } { P \left (O ^ { (l) } \mid \lambda \right ) } = \frac {\alpha_ { t } ^ { (l) } (i) \beta_ { t } ^ { (l) } (i) } {\sum_ { k=1 } ^ { N } \alpha_ { t } ^ { (l) } (k) \beta_ { t } ^ { (l) } (k) } . \]</p> <p>$ t $시점의 상태가 $ S_ { i } $이고 $ t + 1 $시점의 상태가 $ S_ { j } $일 확률 $ \xi_ { t } ^ { (l) } (i, j) $은 다음과 같이 나타낼 수 있고, 이때 $ \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) $와의 관계 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \xi_ { t } ^ { (l) } (i, j) &=P \left (q_ { t } =S_ { i } , q_ { t + 1 } =S_ { j } \mid O ^ { (l) } , \lambda \right )= \frac {\alpha_ { t } ^ { (l) } (i) a_ { i j } b_ { j } \left (O_ { t + 1 } ^ { (l) } \right ) \beta_ { t + 1 } ^ { (l) } (j) } { P \left (O ^ { (l) } \mid \lambda \right ) } , \\ \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) &= \sum_ { j=1 } ^ { N } \xi_ { t } ^ { (l) } (i, j). \end {aligned} \]</p> <h3>3.2.1. 모델 선택: 상태의 수 결정</h3> <p>은닉 마르코프 모델에서 은닉 상태의 수를 결정하는 것은 굉장히 중요하다. 은닉 상태의 수가 많을수록 모델이 더 적절한 것처럼 보일 수도 있으나, 이럴 경우 모델을 구축하기 위해 추정해야 할 모수의 수가 증가하므로 간결성의 원칙에서 벗어나거나 계산 과정이 오래 걸리는 등 비효율적인 모습을 나타내기도 한다. 상태 수에 따른 모델의 성능을 평가하기 위해 다음 네 가지 정보 기준을 사용한다. $ L $은 모델의 가능도 함수를 나타내고, $ M $은 전체 관측한 기간의 데이터의 수를 의미하며, $ k $는 모델에서 추정된 모수의 수를 나타낸다. 네 가지 지표 모두 각각의 기준값이 작을수록 더 좋은 모델이라고 판단할 수 있다.</p> <ol type=i start=1><li>Akaike information criterion (AIC): AIC $=-2 \ln L + 2 k $.</li> <li>Bayesin information criterion (BIC): BIC $=-2 \ln L + k \ln M $.</li> <li>hannan-quinn information criterion (HQC): HQC $=-2 \ln L + 2 k \ln ( \ln M) $.</li> <li>bozdogan consistent Akaike information criterion (CAIC): CAIC $=-2 \ln L + k( \ln M + 1) $.</li></ol> <h3>3.2.2. 모델 학습</h3> <p>HMM의 모수를 추정하기 위해 바움-웰치 알고리즘을 적용한다. 이때, 전체 데이터를 학습 데이터와 실험 데이터로 나누고, 학습 데이터를 임의의 단위 블록으로 분할하여 각각 블록별 학습을 진행한다. 그리고 임의의 시점에 대해서 관측치가 주어진 경우, 과거에 비슷한 가능도를 나타낸 유사 데이터를 찾는 방법을 이용해 다음 시점에 대한 가격을 예측한다 (Hassan과 Nath, 2005). 이후에 관측 데이터가 추가되면 이를 다시 학습 데이터로 하여 모델을 재학습하고 다음 시점의 예측을 진행한다.</p> <p>주가지수 데이터에 적용하여 예측 과정을 조금 더 자세히 살펴보면 다음과 같다. 우선, 학습 데이터에서 길이가 $ D $인 고정된 구간을 선택한다. HMM의 모수인 $ \lambda $를 추정하기 위해 $ T-D + 1 $부터 $ T $까지 구간을 단위 블록으로 하여 학습 데이터로 사용한다. 주가지수 데이터는 연속형 데이터이므로 가우시안 분포를 따른다고 가정하며, HMM의 모수인 $ \lambda= \{ A, B, p \} $에서 행렬 $ B $는 가우시안 분포의 평균 $ \mu $와 표준편차 $ \sigma $를 나타낸다. 주가지수 데이터에서 관측 가능한 수열은 종가, 시가, 고가, 저가를 의미하며 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>평가 문제는 확률의 추정 문제와 같으며, 직접적인 방법을 사용한 계산보다는 전향(forward) 또는 후향 알고 리즘(backward algorithm)을 이용하여 문제를 해결한다. 해독 문제는 최적의 상태 수열을 찾는 문제와 같으며 비터비 알고리즘(Viterbi algorithm)을 이용한다 (Viterbi, 1967). 마지막으로 학습 추정 문제는 모수 추정 및 재추정의 문제와 같으며, 최적의 모델로 개선하기 위해서 반복적인 해법을 필요로 한다. EM 알고리즘의 하나 인 바움-웰치 알고리즘(Baum-Welch algorithm)은 국소 최우 추정치로서 수렴이 잘 되기 때문에 HMM에서의 학습 추정 문제를 해결하기 위해 일반적으로 사용된다 (Welch, 2003). 여기서는 바움-웰치 알고리즘에 대해 간략히 소개한다. 먼저 알고리즘을 이해하는데 필요한 확률 $ \alpha, \beta $를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[ \alpha_ { t } ^ { (l) } (i)=P \left (O_ { 1 } ^ { (l) } , O_ { 2 } ^ { (l) } , \ldots, O_ { t } ^ { (l) } , q_ { t } =S_ { i } \mid \lambda \right ), \quad t=1,2, \ldots, T ~and ~l=1,2, \ldots, L, \] \[beta_ { t } ^ { (l) } (i)=P \left (O_ { t + 1 } ^ { (l) } , O_ { t + 2 } ^ { (l) } , \ldots, O_ { T } ^ { (l) } \mid q_ { t } =S_ { i } , \lambda \right ), \quad t=1,2, \ldots, T ~and ~l=1,2, \ldots, L. \]</p> <p>$ \alpha_ { t } ^ { (l) } (i) $는 $ l $번째 샘플에 대해 모델의 파라미터 $ \lambda $가 주어졌을 때, $ t $시점의 상태가 $ S_ { i } $이면서 $ t $시점까지의 관측된 데이터가 나타날 확률을 의미하고, $ \beta_ { t } ^ { (l) } (i) $는 $ t $시점의 상태가 $ S_ { i } $로 주어졌을 때, $ t $시점 이후의 데이터가 나타날 확률을 의미한다. 또한, 모델의 파라미터와 관측 수열이 주어졌을 때, $ t $ 시점의 상태가 $ S_ { i } $일 확률 $ \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) $은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>(c) $ \Delta=P \left (O, \lambda ^ { * } \right )-P(O, \lambda) $를 계산한다.</p> <p>(d) 다음을 업데이트한다. \[ \lambda= \lambda ^ { * } . \]</p></li> <li>파라미터 결과를 확인할 수 있다.</li></ol> <h2>2.3. 다변량 Gaussian 은닉 마르코프 모델</h2> <p>주가지수 데이터는 종가, 시가, 고가, 저가를 포함하고 있다. 4개의 관찰 가능한 데이터를 이용하여 은닉 마르코프 모델(HMM)에 적용할 때 관찰 가능한 데이터가 연속형 변수이므로 가장 기본이 되는 모형인 다변량(multivariate) Gaussian 은닉 마르코프 모델을 고려해 볼 수 있다. 다변량 Gaussian 은닉 마르코프 모델은 관찰 가능한 데이터의 확률분포가 정규분포를 따르는 유한 상태공간(finite state space)이면서 동질적인(homogeneous) 은닉 마르코프 모델의 형태를 띠고 있다. 마르코프 연쇄 상태가 $ q_ { t } =S_ { i } $로 주어진 경우 관측치 $ O_ { t } $의 조건부 분포는 혼합 가우시안 분포를 나타내며 확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\[ b_ { i } \left (O_ { t } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { M } w_ { i k } b_ { i k } \left (O_ { t } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { M } w_ { i k } N \left (O_ { t } ; \mu_ { i k } , \Sigma_ { i k } \right ), \quad i=1,2, \ldots, N. \]</p> <p>이때, $ w_ { i k } $는 상태가 $ S_ { i } $일때 $ k $번째 혼합그룹에 대한 가중치를 나타내며 $ w_ { i k } \geq 0 $ 과 $ w_ { i 1 } + w_ { i 2 } + \cdots + w_ { i M } =1 $를 만족한다. 그리고, $ \mu_ { i k } , \Sigma_ { i k } $는 각각 $ i $번째 상태의 $ k $번째 혼합그룹의 평균과 공분산 행렬을 나타낸다. 즉, 다변량 Gaussian 은닉 마르코프 모델을 구성하는 파라미터는 전이확률행렬 $ A $와 초기확률 $ p $, 평균 $ \mu $, 공분산 행렬 $ \Sigma $로 구성된 $ \lambda=(A, \mu, \Sigma, p) $이다.</p> <h2>3.4. 분석 결과</h2> <p>Figure 5는 KOSPI200 지수의 종가, 시가, 고가, 저가에 대한 2019년 8월 5일부터 2019년 12월 30일까지 100 영업일 동안의 예측 결과를 나타낸다. 실제 주가지수 가격은 붉은색 점선, 모델을 통한 예측가격은 검정색 실선으로 표현되고 있다. 은닉 마르코프 모델(HMM)을 이용한 예측이 전체적인 주가지수 움직임이나 추이를 잘 나타내고 있음을 보여주고 있다. 예측의 성과를 확인하기 위해 학습 데이터와 실험 데이터로 나눈 전체 데이터 중에서 실험 데이터와의 예측 오차를 확인하였다. Table 3에는 HMM과 비교모델인 서포트 벡터 회귀 (support vector regression; SVR) 모델 (Basak 등, 2007)을 통해서 나온 예측 오차를 비교하고 있다. HMM 모델이 SVR 모델보다 전반적으로 더 작은 예측 오차를 보여주고 있지만, 제곱근평균제곱오차(RMSE)의 경우 주가지수 시가와 고가는 SVR 모델이 더 작은 예측 오차를 가지고 있다. KOSPI200의 경우 비교 대상으로 한 SVR 모델이 RBF 커널(radial basis function kernel)을 이용한 결과이지만, 각각의 주가지수 데이터에 따라서 선형(linear), 다항(polynomial), 시그모이드(sigmoid) 커널 등과 같은 다른 옵션을 이용하게 되면 결과는 조금씩 달라질 수 있을 것이다. 서포트 벡터 회귀 모델은 순서에 따른 근접한 데이터의 조건부 의존성에 대한 고려가 부족하고, 모형 적합 및 예측까지의 계산 시간이 HMM보다 상대적으로 많이 소요되는 단점을 가지고 있다. HMM 모델은 관찰 가능한 확률 과정의 경우 마르코프 연쇄가 주어진 상황에서 조건부 독립이며, 각 시 점의 조건부 분포는 오직 해당 시점의 마르코프 연쇄에만 의존하는 기본 구조를 가지고 있다. 이는 주가지수 움직임에 적합한 구조라고 할 수 있는데 임의의 시점의 주가지수가 은닉된 여러 상태에 의해 영향을 받으며 마르코프 과정을 따른다고 가정을 할 수 있기 때문이다. 또한 HMM 모델은 파라미터 등을 이용하여 모델을 설명 및 해석할 수 있으므로 데이터의 특성상 HMM을 이용한 예측이 더 좋은 결과를 제공하고 있다고 볼 수 있다.</p> <p>Figure 6는 해외 주가지수에 대한 HMM을 이용한 종가의 예측 결과를 나타내는데 실제 주가지수 가격은 붉은색 점선, 모델을 통한 예측가격은 검정색 실선으로 표현하고 있다. Table 4는 이에 대한 예측 오차를 비교한 결과를 보여주고 있다.</p> <p>본 연구에서 적용한 HMM이 최근 주가 예측에 많이 활용되고 있는 SVR에 못지않게 전반적으로 우수한 예측 정확도를 보이고 있음을 확인할 수 있다. 이는 국내 및 해외 주가지수를 예측하기 위한 방법으로 HMM이 효과적인 수단이 될 수 있다는 점을 뒷받침하는 연구 결과라고 할 수 있다.</p> <p>바움-웰치 알고리즘의 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>Algorithm 1 Baum-Welch algorithm</p> <ol type=1 start=1><li>길이가 $ T $인 $ L $개의 독립 관측 수열 $ O= \left (O ^ { (1) } , O ^ { (2) } , \ldots, O ^ { (L) } \right ) $을 고려한다.</li> <li>$ ( \lambda, \delta, \Delta) $에 대한 초기값을 설정한다.</li> <li>다음 조건을 만족할 때까지 아래 과정을 반복한다. 이때, $ \Delta< \delta $.<p>(a) 전향 알고리즘을 이용해 다음을 계산한다. \[ P(O, \lambda)= \prod_ { l=1 } ^ { L } P \left (O ^ { (l) } \mid \lambda \right ), \]</p> <p>(b) $ 1 \leq i \leq N $에 대해서 새로운 파라미터 $ \lambda ^ { * } = \left \{ A ^ { * } , B ^ { * } , p ^ { * } \right \} $를 계산한다. \[ \begin {aligned} p_ { i } ^ { * } &= \frac { 1 } { L } \sum_ { l=1 } ^ { L } \gamma_ { 1 } ^ { (l) } (i), & \\ a_ { i j } ^ { * } &= \frac {\sum_ { l=1 } ^ { L } \sum_ { t=1 } ^ { T-1 } \xi_ { t } ^ { (l) } (i, j) } {\sum_ { l=1 } ^ { L } \sum_ { t=1 } ^ { T-1 } \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) } , & 1 \leq j \leq N, \\ b_ { i } ^ { * } (k) &= \frac {\sum_ { l=1 } ^ { L } \sum_ { t=1 } ^ { T-1 } I \left (O_ { t } ^ { (l) } =v_ { k } ^ { (l) } \right ) \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) } {\sum_ { l=1 } ^ { L } \sum_ { t=1 } ^ { T-1 } \gamma_ { t } ^ { (l) } (i) } , & & 1 \leq k \leq M . \end {aligned} \]</p> <h1>4. 결론 및 논의</h1> <p>본 논문에서는 은닉 마르코프 모델을 기반으로 국내 KOSPI200 주가지수와 해외 NIKKEI225, HSI, S&P500, FTSE100 주가지수 예측에 적용하여 얼마나 우수한 예측 정확도를 나타내는지 실증분석을 시도하였다. AIC, BIC, HQC, CAIC 기준을 이용해 모델의 최적 상태 수를 결정하였고, 이를 통해 생성한 모형으로 주가지수들의 움직임을 잘 따라가며 가격 또한 잘 예측하는지를 살펴보았다. 그 결과, HMM 방법이 비교 모형인 서포트 벡터 회귀 모형과 비교해 뒤처지지 않는 우수한 예측 정확도를 보임을 확인할 수 있었다. 특히, HMM 방법은 마르코프 연쇄와 조건부 독립이라는 기본 구조가 주가 데이터의 특성을 잘 반영할 수 있는 모형이라는 점에서 주가지수 예측의 수단으로써 적합하다는 사실을 확인하였다. 또한, 본 연구를 참고하여 추후 환율 데이터나, 금리, 주식의 변동성뿐만 아니라 신용 데이터 등 금융시장의 여러 데이터에도 HMM 방법을 다양하게 활용할 수 있을 것으로 기대해 볼 수 있었다 (Idvall과 Jonsson, 2008; Liu, 2018).</p> <p>본 연구의 한계점 및 향후 연구 방향은 다음과 같다. 첫째, 관찰 가능한 데이터인 주가지수 데이터 모형에 대해 가우시안 분포 외에 다양한 분포를 가정하여 적용하고, 금융 시장의 특성을 반영한 더 적합한 모델을 적용하는 것에 대한 연구가 필요하다. 주가지수 데이터의 경우 양쪽 극단 값의 밀도가 더 높은 fat-tail 형태의 분포를 가지고 있다는 것이 알려져 있기 때문에 가우시안 분포 외에 로그 정규 분포나 웨이블 분포, 코시 분포 등과 같이 데이터의 특성을 반영한 HMM을 적용하여 결과를 보다 개선할 수 있을 것이다. 둘째, 본 논문은 2010년부터 2019년까지 해당 10년 동안의 데이터 세트에만 근간하고 있어서 과거 2008년 세계 금융위기나, 현재 코로나 19 사태로 인한 금융시장 침체 등 금융시장에 큰 충격을 준 사건들이 포함되지 않았다는 한계점이 있다. 이슈가 없는 보통의 금융시장에서 주식의 움직임을 예측하는 것 외에도 금융시장에 큰 충격이 발생했을 때의 주식 움직임 또한 예측이 가능하도록 연구가 진행된다면 리스크 관리 차원에서도 효율적으로 활용될 수 있을 것으로 기대해 볼 수 있다.</p> <h1>요 약</h1> <p>은닉 마르코프 모델(hidden Markov model, HMM)은 은닉된 상태와 관찰 가능한 결과의 두 가지 요소로 이루어진 통계적 모형으로 확률론적 접근이 가능하고, 다양한 수학적인 구조를 가지고 있어 여러 분야에서 활발하게 사용되고 있다. 특히 금융 분야의 시계열 데이터에 응용되어 다양한 연구가 진행되고 있다. 본 연구는 HMM 이론을 국내 KOSPI200 주가지수와 더불어 NIKKEI225, HSI, S&P500, FTSE100과 같은 해외 주가지수 예측에 적용해 보고자 한다. 또한, 최근 인공지능 분야의 발전으로 인해 주식 가격 예측에 빈번하게 사용되는 서포트 벡터 회귀(support vector regression, SVR) 결과와 어떤 차이가 있는지 비교하여 살펴보고자 한다.</p>	자연
해석학_함수열과 함수급수	<p>예제 $ 1.5 $ 자연수 $ n $에 대하여 $ f_ { n } :[0,1] \rightarrow \mathrm { R } $을 $ f_ { n } (x) = n(1-x) x ^ { n } $으로 정의할 때 다음 물음에 답하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 점마다 수렴하는 함수 $ f $를 구하시오.</li> <li>함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ f $로 균등수렴하는지를 판별하시오.</li></ol> <p>풀이</p> <p>$ 1 $. 만약 $ x \in[0,1] $에 대해서 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } $이 존재한다면 극한의 성질로부터 다음이 성립하므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } $의 존재성을 보이자. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n(1-x) x ^ { n } =(1-x) \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } $<ol type=i start=1><li>$ x=0 $또는 $ x=1 $이면 명백하다.</li> <li>$ x \in(0,1) $이라 하자.</li></ol>$ \frac { (n + 1) x ^ { n + 1 } } { n x ^ { n } } = \frac { n + 1 } { n } x $이고 아르키메데스 성질에 의하여 다음을 만족하는 자연수 $ N $가 존재한다. $ \frac { x } { 1-x }<N $ 따라서 $ n \geq N, \quad \frac { n + 1 } { n } x= \left (x + \frac { x } { n } \right ) \leq(x + 1-x)=1 $ 따라서 수열 $ \left \{ n x ^ { n } \right \} $은 자연수 $ N $번째 이상에서 단조감소수열이다. 즉 아래로 유계이고 단조감소수열이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } $이 존재한다. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } =0 $임을 보이자. $ L= \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } $이라 두면 다음이 성립한다. $ L= \lim _ { n \rightarrow \infty } (n + 1) x ^ { n + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n + 1 } + \lim _ { n \rightarrow \infty } x ^ { n + 1 } =x \lim _ { n \rightarrow \infty } n x ^ { n } =x L $ 여기서 $ x \in(0,1) $, 즉 $ x \neq 0 $이므로 $ L=0 $이다.</p> <p>7. 함수 $ f: \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } $은 균등연속이고 $ f_ {\mathrm { n } } : \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } $은 다음과 같이 정의한다. $ f_ { n } (x)=f \left (x + \frac { 1 } { x } \right ), \quad n \in \mathrm { N } $ 그러면 $ \left \{ U_ { n } \right \} $은 $ \mathrm { R } $ 위에서 $ f $에 균등수렴함을 보여라.</p> <p>8. $ [0,1] $ 위에서 함수열 $ \left \{\frac { n x } { 1 + n x } \right \} $는 적분가능한 함수 $ f $에 균등수렴하고, $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) d x= \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { 1 } f(x) d x $임을 증명하라.</p> <p>연습문제 풀이 및 해답</p> <p>2. $ f_ { n } g $가 $ [0,1] $ 위에서 균등수렴함을 증명하면 된다.</p> <p>3. 모든 자연수 $ n $에 대해서 다음과 같이 정의된 함수는 조건을 만족한다. \[ f_ { n } (x)= \frac { 1 } { n } , x \in[0,1] \cap \mathbb { Q } , f_ { n } (x)=0, x \in[0,1] \cap( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } ) \]</p> <p>4. $ x \in[0,1], f(x)=1-x, x \in[1,2], f(x)=0 $이라 두면 \[ \begin {array} { l } \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|= \left \| \frac { (1-x) x ^ { n } } { 1 + x ^ { n } } \right \| \leq(1 + x) x ^ { n } , x \in[0,1] \\ \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|= \left \| \frac { x-1 } { 1 + x ^ { n } } \right \| \leq \frac { x-1 } { x ^ { n } } , x \in[1,2] \end {array} \] 이다. 각 구간에서 최대값을 찾음으로. $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [0,2] $ 위에서 $ f $에 균등수렴함을 알 수 있다.</p> <p>5. $ f_ { n } (0)=0 $이고 $ \operatorname { lub } _ { x \in [-1,1] } \left \|f_ { n } (x) \right \|= $ $ \operatorname { lub } _ { x \in[-1,1] } \left \| \frac { x } { 1 + n x ^ { 2 } } \right \| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $이므로 $ \left \{ f_ { n } \right ] $은 $ [-1,1] $ 위에서 상수함수 $ f=0 $에 균등수렴 한다. $ f_ { n } ^ {\prime } (0)=1 $이고 $ f(0)=0 $이므로 $ \left \{ f_ { n } ^ {\prime } \right \} $이 $ f ^ {\prime } $에 수렴하지 않는다. 즉 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } ^ {\prime } (0) \neq f ^ {\prime } (0) $이다.</p> <p>6. $ [0,1] $에서 $ \left \{ f_ { n } \right \} $을 다음과 같이 정의하자. \[ 0<x< \frac { 1 } { n } , \quad f_ { n } (x)=n, \] $ x=0 $ 혹은 $ \frac { 1 } { n } \leq x \leq 1, \quad f_ { n } (x)=0 $ 그러면 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0,1] $ 위에서 $ f=0 $에 점마다 수렴한다. 그러나 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f_ { n } =1 $이고 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } f=0 $이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { 1 } f_ { n } =1 \neq 0= \int_ { 0 } ^ { 1 } f $이다.</p> <p>연습문제 $ 9.1 $</p> <p>$ 1 $. $ \mathrm { X } _ {\mathrm { n } } : \mathrm { R } \rightarrow \mathrm { R } $ 은 $ [-n, n] $에서 특성함수라 하자. 그러면 $ \left \{ X_ { n } \right \} $은 $ \mathbb { R } $ 위에서 상수함수 $ 1 $에 점마다 수렴하지만 균등수렴하지는 않음을 증명하라.</p> <p>$ 2 $. $ [0,1] $에서 정의된 함수 $ f_ { n } (x) = \frac {\sin n x } { n } $에 대해서 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [0,1] $ 위에서 상수함수 $ 0 $에 균등수렴함을 증명하라.</p> <p>$ 3 $. $ [0, \infty) $에서 정의된 함수 $ f_ { n } (x)=x ^ { 2 } e ^ { -n x } $ 에 대하여 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0, \infty) $ 에서 균등수렴 함을 증명하라.</p> <p>$ 4 $. $ X $ 위에서 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $ 과 $ \left \{ g_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 각각 $ f, g $에 균등수렴 한다고 하면 $ \left \{ f_ { n } + g_ { n } \right \} , \left \{ c f_ { n } \right \} , \left \{ f_ { n } g_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f + g, c f, f g $ 에 각각 균등수렴 함을 증명하라.</p> <p>$ 5 $. [코시 판정법] $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 함수열이라 하자. $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $ 에 균등수렴할 필요충분조건은 모든 $ \varepsilon>0 $에 대해서 자연수 $ N $이 존재해서 다음을 만족하는 것이다. $ x \in X, \quad n, m \geq N, \quad \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \|< {\varepsilon } $</p> <p>증명 각 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 $ f_ { n } $이 연속이면 $ s_ { n } =f_ { 1 } + f_ { 2 } + \cdots + f_ { n } $도 연속이다. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $이 $ f $에 균등수렴하므로 $ \left \{ s_ { n } \right \} $이 $ f $에 균등수렴하고 따름정리 9.5에 의하여 $ f $는 연속이다.</p> <p>예제 3.2 $ [0,1] $에서 함수급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x(1-x) ^ { n } $는 절마다 수렴하지만 균등수렴하지 않음을 보여라.</p> <p>증명 $ x=0 $ 혹은 $ x=1 $이면 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x(1-x) ^ { n } =0 $이고 $ 0<x<1 $이면 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x(1-x) ^ { n } =x \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (1-x) ^ { n } =x \left [ \frac { 1 } { 1-(1-x) } \right ]=1 \] 그러므로 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & 0<x<1 \\ 0, & x=0 \text { 또는 } 1 \end {array} \right . \] 이라 하면 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } x(1-x) ^ { n } $은 $ [0,1] $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다. 각 $ n $에 대해서 $ f_ { n } (x)=x(1-x) ^ { n } $은 $ [0,1] $ 위에서 연속함수이다. 그러나 $ f $는 $ [0,1] $ 위에서 연속이 아니므로 정리 9.9에 의하여 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ [0,1] $ 위에서 $ f $에 균등수렴하지 않는다.</p> <p>따름정리 9.10 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [a, b](a<b) $ 위에서 적분가능한 함수열이라 하자. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $이 $ [a, b] $ 위에서 $ f $에 균등수렴하면 $ f $는 적분가능한 함수이고 $ \int_ { a } ^ { b } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (x) d x= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x $이다.</p> <p>정리 $ 9.13 $ 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $의 수렴반경을 $ R $이라 하고 $ \|x-a\|<R $에 대해서 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $이라 하자. $ 0<r<R $이면 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $는 $ [a-r, a + r] $에서 $ f $로 균등수렴하고 $ f $는 $ (a-R, a + R) $에서 연속이다.</p> <p>증명 $ 0<r<R $일 때 $ \|x-a\| \leq r $이면 $ \left \|c_ { n } (x-a) ^ { n } \right \| \leq \left \|c_ { n } \right \| r ^ { n } $이고, $ 0<r<R $이므로 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left \|c_ { n } \right \| r ^ { n } $는 수렴한다. 정리 $ 9.12 $에 의해서 멱급수 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $는 $ [a-r, a + r] $ 에서 균등수렴한다. $ 0<r<R $ 이면 $ f_ { n } (x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } c_ { k } (x-a) ^ { k } $는 $ [a-r, a + r] $에서 연속이다. 그러면 정리 $ 9.9 $에 의하여 균등수렴 함수 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $는 $ [a-r, a + r] $에서 연속이다. $ f $는 $ 0<r<R $이 되는 모든 $ r $에 대하여 $ [a-r, a + r] $에서 연속이므로 $ f $는 $ (a-R, a + R) $에서 연속이다.</p> <p>정리 $ 9.14 $ 멱급수 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $의 수렴반경을 $ R>0 $이라 하면, $ s, t \in(a-R, a + R) $에 대해서 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } \int_ { s } ^ { t } (x-a) ^ { n } d x $는 수렴하며 \[ \int_ { s } ^ { t } f(x) d x= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } \int_ { s } ^ { t } (x-a) ^ { n } d x \text { 이다. } \]</p> <p>예제 $ 3.3 $ 함수급수 $ \sum_ { n = 0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) $에 대하여 다음 물음에 답하시오.<ol type=1 start=1><li>$ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) $가 실수 $ \mathrm { R } $ 위에서 균등수렴함을 보이시오.</li> <li>$ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) $라 할 때 $ f $의 리만적분 가능성을 판별하고 $ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f(x) d x $를 구하시오.</li></ol></p> <p>풀이</p> <p>$ (1) $ $ f_ { n } (x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 ^ { k } } \cos \left (3 ^ { k } x \right ) $라 하면 $ \left \| \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) \right \| \leq \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } $이고, $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } $은 $ 2 $로 수렴하므로, 정리 $ 9.12 $에 의해서 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ \mathbb { R } $ 위에서 균등수렴한다.</p> <p>$ (2) $ 따름정리 $ 9.10 $에 의해서 $ f(x) $는 적분가능하고 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { l } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (x) d x= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f_ { n } (x) d x \\ \text { 그런데 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f_ { n } (x) d x= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { n } } \int_ { 0 } ^ {\pi } \cos \left (3 ^ { n } x \right ) d x=0 \text { 이므로 } \\ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f(x) d x=0 \text { 이다. } \end {array} \] 항들이 변수인 멱급수에서는 급수가 수렴하는 변수의 범위를 구하는 것이 문제이다. 앞의 결과를 이용하여 멱급수를 수렴 반경 내에서 항별로 적분 또는 미분할 수 있음을 다음 정리에서 증명한다.</p> <p>연습문제 $ 9.2 $</p> <p>$ 1 $. $ [0, 1] $ 위에서 함수열 $ \left \{\frac {\sin n x } { n } \right \} $이 $ 0 $에 균등수렴함을 살펴보았다. 이 함수열의 미분한 함수열은 $ 0 $에 수렴하지 않음을 보여라.</p> <p>$ 2 $. $ g $는 $ [a, b] $ 위에서 연속이고, 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [a, b] $ 위에서 $ f $에 균등수렴하면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ {\alpha } ^ { b } f_ { n } g = \int_ {\alpha } ^ { b } f g $ 임을 증명하라.</p> <p>$ 3 $. $ [0, 1] $ 위의 모든 점에서 불연속이나 $ [0,1] $ 위에서 연속인 함수에 균등수렴하는 함수열을 구하여라.</p> <p>$ 4 $. 각 자연수 $ n $에 대해서 $ x \in[0,2], f_ {\pi } (x)= \frac { 1-x } { 1 + x ^ { n } } $가 정의되어 있다. 그러면 $ \left \{\int_ {\mathrm { n } } \right \} $이 $ [0,2] $ 위에서 균등수렴하는 극한함수 $ f $를 구하라.</p> <p>$ 5 $. $ [-1, 1] $ 위에서 $ f_ { n } (x)= \frac { x } { 1 + n x ^ { 2 } } $가 정의되어 있다. 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [-1,1] $ 위에서 상수함수 $ 0 $에 균등수렴하지만 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } ^ {\prime } = \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } \right ) ^ {\prime } $ 가 성립하지 않음을 보여라.</p> <p>$ 6 $. $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [0,1] $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴하고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { 1 } f_ { n } \neq \int_ { 0 } ^ { 1 } f $되는 함수열을 구하라.</p> <p>증명 정리 $ 9.6 $과 정의 $ 9.8 $에 의해서 명백하다.</p> <p>따름정리 $ 9.11 $ $ [a, b](a<b) $ 위에서 미분가능한 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 있다.<ol type=i start=1><li>각 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 $ f_ { n } ^ {\prime } $는 연속이다.</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ (a, b) $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다.</li> <li>$ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } ^ {\prime } $는 $ (a, b) $ 위에서 균등수렴한다.</li></ol>그러면 $ \quad f $는 $ \quad(a, b) $ 위에서 미분가능한 함수이고 모든 $ x \in(a, b) $에 대해서 다음이 성립한다. \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x) \]</p> <p>증명 정리 $ 9.7 $과 정의 $ 9.8 $에 의하면 자명하다.</p> <p>정리 $ 9.12 $ Weierstrass M-test $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ X $에서 $ \mathbb { R } $로의 함수의 급수이다. 만약 양의 실수의 수열 $ \left \{ M_ { n } \right \} $이 존재하여서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } M_ { n }< \infty $이고, 모든 $ n \in \mathrm { N } $과 $ x \in X $에 대해서 $ \left \|f_ { n } (x) \right \| \leq M_ { n } $이면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ X $ 위에서 균등수렴한다.</p> <p>증명 $ s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } f_ { k } , t_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } M_ { k } $라 두자. $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } M_ { n } $은 수렴하므로 적당한 $ N_ { 1 } $이 있어서 $ m>n \geq N_ { 1 } $이면 $ \left \|t_ { m } -t_ { n } \right \|< \varepsilon $이다. 모든 $ x \in X $에 대하여 \[ \begin {aligned} \left \|s_ { m } (x)-s_ { n } (x) \right \| &= \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { m } f_ { k } (x) \right \| \\ & \leq \sum_ { k=n + 1 } ^ { m } \left \|f_ { k } (x) \right \| \\ & \leq \sum_ { k=n + 1 } ^ { m } M_ { k } = \left \|t_ { m } -t_ { n } \right \|<_ {\varepsilon } \end {aligned} \] 연습문제 $ 9.1 $의 $ 4 $번에 의하여 함수열 $ \left \{ s_ { n } \right \} $은 $ X $ 위에서 균등수렴한다. 그러므로 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ X $ 위에서 균등수렴한다.</p> <p>증명 따름정리 $ 9.10 $에서 분명하다.</p> <p>정리 $ 9.15 $ 멱급수 $ f(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $는 수렴반경을 $ R>0 $을 갖는다고 하면, 구간 $ (a-R, a + R) $에서 $ f(x) $는 모든 차수의 도함수를 가지며 계수 $ c_ { n } $는 다음과 같다. \[ c_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } \]</p> <p>증명</p> <p>i) 각 $ n \in \mathrm { N } $에 대하여 $ n c_ { n } (x-a) ^ { n-1 } $은 $ (a-R, a + R) $에서 연속이다.</p> <p>ii) 정리 $ 9.13 $에서 $ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } (x-a) ^ { n } $은 $ (a-R, a + R) $에서 균등수렴한다.</p> <p>iii) 제2장 예제 $ 2.10 $에 의하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ {\frac { 1 } { n } } =1 \text { 이므로 } \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup \left \|n c_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup \left \|c_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } \] 이고 따라서 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } (x-a) ^ { n } $은 $ (a-R, a + R) $에서 균등수렴한다. 따름정리 $ 9.11 $에 의하여 $ f(x) $는 $ (a-R, a + R) $에서 미분가능하고, $ \|x-a\|<R $이면 $ f ^ {\prime } (x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } (x-a) ^ { n-1 } $이다. 한편 $ (a-R, a + R) $에서 $ f(x) $를 계속해서 미분하면 $ f ^ { (k) } (x)= \sum_ { n=k } ^ {\infty } n(n-1) \cdots(n-k + 1) c_ { n } (x-a) ^ { n-k } $이다. 만약 $ x=a $이면 $ f ^ { (n) } (a)=c_ { n } n ! $이므로 $ c_ { n } = \frac { f ^ { (n) } (a) } { n ! } $이다.</p> <p>따름정리 $ 9.5 $ $ X $에서 정의된 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴할 때 각 $ f_ { n } $이 $ X $ 위에서 연속이면 $ f $도 $ X $ 위에서 연속이다.</p> <p>예제 $ 2.1 $ 실수의 집합을 $ \mathrm { R } $이라할 때, 모든 자연수 $ n $에 대하여 함수 $ f_ { n } $을 다음과 같이 정의하자. $ f_ {\mathrm { n } } :[0,2] \rightarrow \mathrm { R } , f_ {\mathrm { m } } (x)= \frac { 3 x ^ { n } } { 2 x ^ {\mathrm { n } } + 1 } $. 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $의 극한함수 $ f $를 구하고, $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ f $로 균등수렴하는지 판정하라.</p> <p>풀이 $ 0 \leq x<1 $이면 $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } 3 x ^ { n } =0, \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (2 x ^ { n } + 1 \right )=1 $이므로 $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=0 $이고, $ x=1 $이면 $ f_ { n } (x)=1 $이므로 $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=1 $이다. 그리고 $ 1<x \leq 2 $이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } x ^ { n } = \infty $이므로 $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)= \frac { 3 } { 2 } $이다. 따라서 극한함수 $f $는 $ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & 0 \leq x<1 \\ 1, & x=1 \\ \frac { 3 } { 2 } , & 1<x \leq 2 \end {array} \right . $ 이고, $ f $는 연속함수가 아니다. 그러므로 따름정리 $ 9.5 $에 의하여 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ f $로 수렴하지만 균등수렴하지는 않는다 다음은 적분가능한 함수열이 점마다 수렴하는 경우에 수렴하는 함수가 적분가능한가 하는 문제를 생각한다.</p> <p>예제 $ 2.2 $ $ \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots \right \} $은 $ [0,1] $ 내의 모든 유리수의 집합이라 하자. 각 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 $ f_ { n } $은 $ [0,1] $에서 다음과 같이 정의한다. $ f_ { n } (x)=0 \quad x \in \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { n } \right \} $ $ f_ { n } (x)=1 \quad x \in[0,1] \backslash \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { n } \right \} $ 그러면 각 $ f_ { n } $은 $ [0,1] $ 위에서 적분가능한 함수이고 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0,1] $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다. 여기서 $ f(x)=0 \quad x \in[0,1] \bigcap \mathbb { Q } $ $ f(x)=1 \quad x \in[0,1] \cap( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } ) $ 그러나 $ f $는 리만적분 가능한 함수가 아니다 적분가능한 함수열이 균등수렴하는 함수는 적분가능함을 다음 정리에서 보여준다.</p> <p>예제 $ 1.4 $ 실수 집합 $ \mathrm { R } $에서 정의된 다음 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $중에서 $ f(x) $로 균등수렴하는 것은?</p> <ul> <li>ㄱ. $ f_ { n } (x)= \frac { x } { n } , f(x)=0 $</li> <li>ㄴ. $ f_ { n } (x)= \frac { x ^ { 2 } + n x } { n } , f(x)=x $</li> <li>ㄷ. $ f_ { n } (x)= \frac { 1 } { n } \sin (n x + n), f(x)=0 $</li></ul> <p>풀이</p> <p>ㄱ. $ \left \|f_ { n } (x) \right \|= \left \| \frac { x } { n } \right \|= \frac { \|x\| } { n } $이므로 $ \left \|f_ { n } (n) \right \|=1 $이고 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x \in \mathrm { R } } \left \|f_ { n } (x) \right \| \neq 0 $이다. 그러므로 정리 $ 9.3 $에 의하여 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ \mathbb { R } $ 위에서 $ f $에 균등수렴하지 않는다.</p> <p>ㄴ. $ \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|= \left \| \frac { x ^ { 2 } + n x } { n } -x \right \|= \left \| \frac { x ^ { 2 } + n x-n x } { n } \right \|= \frac { x ^ { 2 } } { n } $이므로 $ \left \|f_ { n } (n)-f(n) \right \|=n $이다. 그러므로 $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x } \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| \neq 0 $이므로 정리 $ 9.3 $에 의하여 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ \mathbb { R } $ 위에서 $ f $에 균등수렴하지 않는다.</p> <p>ㄷ.모든 $ x \in \mathbb { R } $에 대해서 $ \left \|f_ { n } (x) \right \|= \left \| \frac { 1 } { n } \sin (n x + n) \right \| \leq \frac { 1 } { n } \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) $이므로 $ \quad \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ \quad \mathbb { R } $ 위에서 $ f $에 균등수렴 한다.</p> <h1>9.2 균등수렴의 중요성</h1> <p>$ [0,1] $에서 정의된 함수 $ f_ { n } (x) = x ^ { n } $은 모든 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 연속이다. 그러나 함수열 $ \left \{ f_ { z } \right \} $이 $ [0,1] $ 위에서 점마다 수렴하는 함수 $ f $는 연속이 아니다. 연속인 함수의 함수열이 수렴하는 함수가 연속이 되기 위해서는 점마다 수렴으로는 약한 조건이며 그 보다는 강한 균등수렴일 때 만족함을 다음 정리에서 볼 수 있다.</p> <p>정리 $ 9.4 $ $ X $에서 정의된 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴한다고 가정하자. 만약 각 $ f_ { n } $이 $ a \in X $에서 연속이면 $ f $도 $ a $에서 연속이다. 즉 $ \lim _ { x \rightarrow a } \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=f(a)= \lim _ { n \rightarrow \infty } \lim _ { x \rightarrow a } f_ { n } (x) $이다.</p> <p>증명 $ \varepsilon>0 $이 주어져 있을 때 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴하므로 자연수 $ N $이 있어서 다음을 만족한다. $ x \in X, \quad n \geq N, \quad \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 3 } $ $ f_ { N } $이 $ a $에서 연속이므로 $ \delta>0 $가 존재해서 다음을 만족한다. $ 0<\|x-a\|< \delta \Rightarrow \left \|f_ { N } (x)-f_ { N } (a) \right \|< \frac {\varepsilon } { 3 } $ 만약 $ 0<\|x-a\|< \delta $이면 $ \begin {aligned} \|f(x)-f(a)\| & \leq \left \|f(x)-f_ { N } (x) \right \| + \left \|f_ { N } (x)-f_ { N } (a) \right \| + \left \|f_ { N } (a)-f(a) \right \| \\ &< \frac {\varepsilon } { 3 } + \frac {\varepsilon } { 3 } + \frac {\varepsilon } { 3 } = \varepsilon \end {aligned} $ 그러므로 $ f $는 $ a $에서 연속이다.</p> <p>정리 $ 9.6 $ $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [a, b] $ 위에서 적분가능한 함수열이고 $ [a, b] $ 위에서 함수 $ f $에 균등수렴한다면 $ f $는 적분가능하고 다음을 만족한다. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x = \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x) d x \]</p> <p>증명 먼저 $ f $가 $ [a, b] $ 위에서 적분가능함을 보이자. 주어진 $ \varepsilon>0 $에 대하여 분할 $ P $가 존재하여 다음을 만족함을 보여야 한다. \[ U(f, P)-L(f, P)< \varepsilon \] $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [a, b] $ 위에서 $ f $에 균등수렴하므로 자연수 $ N $이 있어서 모든 $ x \in[a, b] $에 대해서 다음을 만족한다. \[ n \geq N, x \in[a, b], \quad \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \] $ f_ { N } $은 적분가능 하므로 $ [a, b] $의 분할 $ P= \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right \} $가 존재해서 다음을 만족한다. \[ U \left (f_ { N } , P \right )-L \left (f_ { N } , P \right )< \frac {\varepsilon } { 3 } \] $ x \in \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $에 대하여 다음과 같이 정의한다. \[ \begin {aligned} M_ { i } &= \sup f(x) \quad, \quad m_ { i } = \inf f(x) \\ M_ { i } ^ {\prime } &= \sup f_ { N } (x), \quad m_ { i } ^ {\prime } = \inf f_ { N } (x) \end {aligned} \] 그러면 모든 $ x $에 대해서 \[ f_ { N } (x)- \frac {\varepsilon } { 3(b-a) }<f(x)<f_ { N } (x) + \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \] 을 만족하므로, $ i=1,2, \cdots, n $에 대해서 다음이 성립한다. \[ m_ { i } ^ {\prime } - \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \leq m_ { i } \leq M_ { i } \leq M_ { i } ^ {\prime } + \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \] 그러므로 \[ \begin {aligned} U(f, P) &-L(f, P)= \sum_ { i=1 } ^ { n } M_ { i } \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right )- \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) \\ & \leq \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [M_ { i } ^ {\prime } + \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \right ] \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right )- \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [m_ { i } ^ {\prime } - \frac {\varepsilon } { 3(b-a) } \right ] \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) \\ & \leq \sum_ { i=1 } ^ { n } M_ { i } ^ {\prime } \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) + \frac {\varepsilon } { 3 } - \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } ^ {\prime } \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) + \frac {\varepsilon } { 3 } \\ &=U \left (f_ { N } , P \right )-L \left (f_ { N } , P \right ) + \frac { 2 } { 3 } \varepsilon \\ &< \frac {\varepsilon } { 3 } + \frac { 2 \varepsilon } { 3 } = \varepsilon \end {aligned} \] 그러므로 $ f $는 $ [a, b] $ 위에서 적분가능하다. 이제 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x= \int_ { a } ^ { b } f d x $ 임을 증명하자. $ \varepsilon>0 $이 주어져 있으면 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [a, b] $ 위에서 $ f $에 균등수렴하므로 다음을 만족하는 자연수 $ N $가 있다. \[ x \in[a, b], \quad n \geq N, \quad \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { (b-a) } \] 그러면 모든 $ n \geq N $에 대해서 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \left \| \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x- \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \right \| &= \left \| \int_ { a } ^ { b } \left (f_ { n } (x)-f(x) \right ) d x \right \| \\ & \leq \int_ { a } ^ { b } \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| d x \\ & \leq \int_ { a } ^ { b } \frac {\varepsilon } { b-a } d x= \varepsilon \end {aligned} \] 그러므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x $ 이다. 미분가능한 함수열이 수렴하는 함수의 미분가능성을 어떻게 보장할 수 있는가? 이 경우는 연속이나 적분가능의 경우와 같이 균등수렴만으로는 성립하지 않는다.</p> <p>$ 6 $. $ [0,1] $ 위에서 연속함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ [0,1] $ 위에서 균등수렴하면 균등유계(uniformly bounded)이다. 즉, 한 실수 $ M>0 $이 있어서 모든 $ n \in \mathrm { N } $과 모든 $ x \in[0,1] $에 대해서 $ \left \|f_ { n } (x) \right \| \leq M $ 이다.</p> <p>연습문제 풀이 및 해답</p> <p>$ 1 $. $ x \in \mathrm { R } $ 이면 $ \|x\|<N $을 만족하는 자연수 $ N $을 잡는다. 만약 $ n \geq N $이면 $ x \in[-n, n] $이므로 $ \mathrm { x } _ { n } (x)=1 $이다. 즉 $ x \in \mathrm { R } , \lim _ {\pi \rightarrow \infty } \mathrm { x } _ { n } (x)=1 $ 이므로 $ \left \{\mathrm { x } _ { n } \right \} $은 $ \mathrm { R } $ 위에서 상수함수 $ 1 $에 점마다 수렴한다. 그러나 $ \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } $일 때 다음을 만족하는 자연수 $ N $은 잡을 수 없다. $ n \geq N, \quad x \in \mathbb { R } , \quad \left \|X_ { n } (x)-1 \right \|< \frac { 1 } { 2 } $ 왜냐하면 위의 식을 만족하는 $ N $이 있다면 다음을 만족하여야한다. $ n \geq N, \quad x \in \mathbf { R } , \quad X_ { n } (x)=1 $ 이것은 모순이다.</p> <p>$ 2 $. $ x \in[0,1], \left \|f_ { n } (x) \right \|= \left \| \frac {\sin n x } { n } \right \| \leq \frac { 1 } { n } $ 이므로 명백하다.</p> <p>$ 5 $. 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 함수 $ f $에 균등수렴 한다고 하자. 그러면 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대해서 다음이 만족되는 자연수 $ N $이 존재한다. $ n \geq N, \quad x \in X, \quad \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 그러므로. $ n, m \geq N $이면 다음이 만족된다. $ \begin {aligned} x \in X, \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \| &= \left \|f_ { n } (x)-f(x) + f(x)-f_ { m } (x) \right \| \\ & \leq \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| + \left \|f(x)-f_ { m } (x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \end {aligned} $ 역으로, $ \varepsilon>0 $에 대해서 자연수 $ N $이 존재하여 다음이 만족된다고 하자. $ n, \quad m \geq N, \quad x \in X, \quad \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \|< \varepsilon $ 그러면 각 $ x \in X $에 대해서 $ \left \{ f_ { n } (x) \right \} $은 실수의 Cauchy 수열이므로 수렴한다. 그 극한치를 $ f(x) $라 하자. 그러면 $ f $는 $ X $에서 $ \mathbb { R } $로의 함수이고 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ X $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다. 이제 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴함을 보이자. $ \varepsilon>0 $이 주어지면 다음을 만족하는 $ N $이 존재한다. $ n, m \geq N, \quad x \in X, \quad \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 각각의 $ x \in X $에 대해서 $ \left \{ f_ { n } (x) \right \} $가 $ f(x) $에 수렴하므로 자연수 $ N_ { x } (>N) $가 존재하여 다음을 만족한다. $ \left \|f_ { N_ { x } } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 그러므로 $ n>N $이면 모든 $ x \in X $에 대해서 다음을 만족한다. $ \begin {aligned} \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| &= \left \|f_ { n } (x)-f_ { N_ { x } } (x) + f_ { N_ { x } } (x)-f(x) \right \| \\ & \leq \left \|f_ { n } (x)-f_ { N_ { x } } (x) \right \| + \left \|f_ { N_ { x } } (x)-f(x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \end {aligned} $ 따라서 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ f $에 $ X $ 위에서 균등수렴 한다. 역의 다른 증명 역으로, $ \varepsilon>0 $에 대해서 자연수 $ N $이 존재하여 다음이 만족된다고 하자. $ n, \quad m \geq N, \quad x \in X, \quad \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \|< \varepsilon $ 그러면 각 $ x \in X $에 대해서 $ \left \{ f_ { n } (x) \right \} $은 실수의 Cauchy 수열이므로 수렴한다. 그 극한치를 $ f(x) $라 하자. 그러면 $ f $는 $ X $에서 $ \mathbb { R } $로의 함수이고 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ X $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다. 이제 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴함을 보이자. $ \varepsilon>0 $이 주어지면 다음이 만족하는 $ N $이 존재한다. $ n, \quad m \geq N, \quad x \in X, \quad \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $ 각 $ x \in X $와 $ n \geq N $을 고정하고 극한을 취하면 다음과 같다. $ \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|= \left \|f_ { n } (x)- \lim _ { m \rightarrow \infty } f_ { m } (x) \right \|= \lim _ { m \rightarrow \infty } \left \|f_ { n } (x)-f_ { m } (x) \right \| \leq \frac {\varepsilon } { 2 }< \varepsilon $ 그러므로 $ \operatorname { lub } _ { x \in X } \left \| { } _ { n } (x)-f(x) \right \|< \varepsilon $이다. 즉 $ \lim _ { x \rightarrow \infty } $ $ \operatorname { lub } _ { x \in X } \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|=0 $.</p> <h1>9.3 함수급수의 점마다 수렴과 균등수렴</h1> <p>실수의 급수와 마찬가지로 함수열의 급수에 관하여 수렴성을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정의 $ 9.8 $ $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ X \subset \mathrm { R } $에서 정의된 함수열이라 하자. 각 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 \[ s_ { n } = f_ { 1 } + f_ { 2 } + \cdots + f_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } f_ { k } \] 이라 두자. 만약 $ \left \{ s_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴하면 함수급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ X $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다고 한다. $ \left \{ s_ { n } \right \} $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴하면 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴한다고 한다.</p> <p>예제 $ 3.1 $ $ (-1,1) $에서 $ f_ { n } (x)=x ^ { n } $ 일 때 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $은 다음과 같이 정의된 함수 $ f $에 점마다 수렴한다. $ x \in(-1,1), f(x)= \frac { x } { 1-x } $</p> <p>풀이 $ x \in(-1,1), \quad \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (x)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } x ^ { n } = \frac { x } { 1-x } =f(x) $.</p> <p>정리 $ 9.9 $ $ X $에서 정의된 연속함수 $ f_ { n } $의 함수급수 $ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } $이 $ X $ 위에서 $ f $에 균등수렴하면 $ f $는 $ X $ 위에서 연속이다.</p> <p>$ 2 $. 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ f=0 $로 균등수렴하지는 않는다. 왜냐하면 $ f_ { n } ^ {\prime } (x)=n ^ { 2 } x ^ { n-1 } -n(n + 1) x ^ { n } =0 $이므로 $ \quad x= \frac { n } { n + 1 } $이다. $ \frac { n } { n + 1 } $은 $ [0,1] $에서 $ f_ { n } $의 유일한 극점이고 $ f ^ {\prime \prime } \left ( \frac { n } { n + 1 } \right )<0 $이므로 $ f_ { n } \left ( \frac { n } { n + 1 } \right )= \left (1- \frac { 1 } { n + 1 } \right ) ^ { n + 1 } $은 $ f_ { n } (x) $의 최대값이다. 다음 식에 의하여 $ f=0 $로 균등수렴하지는 않는다. $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x } \left \|f_ { n } (x)-0 \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1- \frac { 1 } { n + 1 } \right ) ^ { n + 1 } =1 \cdot \frac { 1 } { e } \neq 0 $</p> <p>예제 $ 1.6 $ 함수 $ f(x)= \ln (1 + x) $에 대하여 Taylor 다항식 $ f_ { n } (x) $를 구하고 나머지 $ r_ { n } (x)=f(x)-f_ { n } (x) $를 이용하여 구간 $ [0,1] $에서 $ f_ { n } $이 $ f $로 균등수렴함을 보이시오.</p> <p>풀이 $ 6.4 $절의 예제 $ 4.2 $에 의하여 $ f_ { n } (x)=x- \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \cdots + (-1) ^ { n + 1 } \frac { x ^ { n } } { n } $이고 정리 $ 6.35 $에 의하여 $ r_ { n } (x)=f(x)-f_ { n } (x)= \frac { f ^ { (n + 1) } (c) } { (n + 1) ! } x ^ { n + 1 } $이다. 여기서 $ x \in[0,1] $이고, $ c \in(0, x) $이다. $ \|x\| \leq 1 $이므로 $ \quad \left \|r_ { n } (x) \right \| \leq \frac { f ^ { (n + 1) } (c) } { (n + 1) ! } $이고, $ \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { f ^ { (n + 1) } (c) } { (n + 1) ! } =0 $이므로 $ 0 \leq x \leq 1 $인 모든 $ x $에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x \in[0,1] } \left \|f(x)-f_ { n } (x) \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x \in[0,1] } \left \|r_ { n } (x) \right \|=0 $이다. 따라서 정리 $ 9.3 $에 의하여 구간 $ [0,1] $에서 $ f_ { n } (x) $는 $ f(x) $로 균등수렴한다.</p> <p>예제 $ 2.3 $ 다음의 함수열을 생각하여 보자. \[ n \in \mathrm { N } , x \in[0,1], \quad f_ { n } (x)= \frac { x ^ { n } } { n } \] 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0,1] $에서 상수함수 $ f=0 $에 균등수렴한다 $ \left ( \operatorname { lub } _ { x \in[0,1] } \left \|f_ { n } (x) \right \| \leq \frac { 1 } { n } \right ) $. 그러나 모든 $ n \in \mathrm { N } $에 대해서 $ f_ { n } ^ {\prime } (1)=1 $ 이므로 $ \left \{ f_ { n } ^ {\prime } (1) \right \} $은 $ f(1) $에 수렴하지 않는다. 즉 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } ^ {\prime } (1) \neq \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } \right ) ^ {\prime } (1) $이다. 다음 정리에서 미분가능 함수에 관한 성질을 소개한다.</p> <p>정리 $ 9.7 $</p> <ol type=i start=1><li>각 $ n \in \mathrm { N } $ 대해서 $ f_ { n } ^ {\prime } $은 $ [a, b] $ 위에서 연속이다.</li> <li>$ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [a, b] $ 위에서 $ f $에 점마다 수렴한다.</li> <li>$ \left \{ f_ { n } ^ {\prime } \right \} $는 $ [a, b] $ 위에서 $ g $에 균등수렴 한다.</li></ol> <p>그러면 $ f $는 미분가능하며 $ f ^ {\prime } =g $이다. 즉 $ x \in[a, b], \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x)= \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } \right ) ^ {\prime } (x) $</p> <p>증명 모든 $ n \in \mathrm { N } $에 대하여 $ f_ { n } ^ {\prime } $은 각각이 연속이고, 함수열 $ \left \{ f_ { n } ^ {\prime } \right \} $은 $ [a, b] $ 위에서 $ g $에 균등수렴하므로 $ g $는 $ [a, b] $ 위에서 연속이다. 임의의 $ y \in[a, b] $에 대해서 $ \left \{ f_ { n } ^ {\prime } \right \} $는 $ [a, y] $ 위에서 $ g $에균등수렴 한다. 정리 $ 9.6 $ 에 의해서 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { y } f_ { n } ^ {\prime } (x) d x= \int_ { a } ^ { y } g(x) d x \] 이다. 그러므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [f_ { n } (y)-f_ { n } (a) \right ]= \int_ { a } ^ { y } g(x) d x $. 가정 ⅱ)에 의하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (y)=f(y), \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (a)=f(a) $ 이므로 \[ y \in[a, b], \quad f(y)-f(a)= \int_ { a } ^ { y } g(x) d x \] 이 식의 양변을 미분하면 \[ y \in[a, b], \quad f ^ {\prime } (y)=g(y) \] 이다. 그러므로 $ f ^ {\prime } =g $이다.</p> <p>정리 $ 9.3 $ $ X $ 위에서 함수열 $ \left \{ f_ { n } \right \} $이 $ X $에서 $ \mathbb { R } $로의 함수 $ f $에 균등수렴할 필요충분조건은 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x \in X } \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| = 0 $이다.</p> <p>예제 $ 1.3 $ $ [0, \infty) $ 위에서 함수열을 다음과 같이 정의할 때 균등수렴하는지 점마다 수렴하는지를 조사하라. $ n=1,2, \cdots, x \in[0, \infty), f_ { n } (x)= \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } $</p> <p>풀이 각 점 $ x \in[0, \infty) $에 대해서는 $ \left \|f_ { n } (x)-0 \right \|= \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } }< \frac { n x } { n ^ { 2 } x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { n x } $ 이므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=0 $이다. 그러므로 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0, \infty) $ 위에서 $ [0, \infty) $에서 $ \mathrm { R } $로의 상수함수 $ 0 $에 점마다 수렴한다. $ n=1,2, \cdots $,에 대하여 $ \left \|f_ { n } \left ( \frac { 1 } { n } \right ) \right \|= \frac { 1 } { 1 + 1 } = \frac { 1 } { 2 } $이다. 따라서 $ \operatorname { lub } _ { x \in[0, \infty) } \left \|f_ { n } (x) \right \| \geq \frac { 1 } { 2 } $이다. 그러므로, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \operatorname { lub } _ { x \in[0, \infty) } \left \|f_ { n } (x) \right \| \geq \frac { 1 } { 2 } $이고 정리 $ 9.3 $에 의하여 $ \left \{ f_ { n } \right \} $은 $ [0, \infty) $ 위에서 상수함수 $ 0 $에 균등수렴하지 않는다.</p>	자연
약물유전체학에서 약물반응 예측모형과 변수선택 방법	<h2>2.3. 랜덤포레스트</h2> <p>의사결정나무 모형은 비선형 모형의 하나로 이해하기 쉬운 높은 해석력을 보이지만 하나의 의사결정나무 모형은 예측력이 높지 않아 예측모형으로써 활용성은 떨어진다. Breiman (1996)은 부스트랩(bootstrap) 자료를 활용하여 많은 의사결정나무 모형을 만든 후 평균 혹은 다수결을 기반으로 하는 배깅(bagging)이라는 분석방법을 제안하였고 후에 의사결정나무 모형들 간의 상관관계를 낮추어 평균제곱오차(mean square error)를 작게 할 수 있는 방법인 랜덤포레스트 (Breiman, 2001)를 제안하였다. 랜덤포레스트 에서는 노드(node)에서 이분할하는 변수를 랜덤하게 추출하여 선택된 변수만을 사용하여 각각의 의사결정나무 모형을 생성한다. 각각의 노드에서 분할 시 새로운 변수를 선택하여 생성된 의사결정나무 모형들 간의 상관관계를 낮게 해주는 효과를 가져와 보통 랜덤포레스트가 모든 변수를 사용하여 노드에서 이분할 하는 배깅 모형보다 예측력이 뛰어나다. 랜덤포레스트는 하나의 의사결정나무 모형보다 해석력이 낮아지는 단점이 있지만 변수 중요도 측도를 사용하여 각 변수의 중요도를 측정할 수 있으며 이는 변수 선택에 활용할 수 있다. 널리 쓰이는 변수 중요도 측도로는 평균불순도감소(mean decrease impurity)와 순열변수중요도(permutation importance)가 있다.</p> <p>변수 $ x_{j} $ 의 평균불순도감소는 각각의 의사결정나무에서 변수 $ x_{j} $ 가 분할에 사용된 노드에서 감소된 불순도측도의 평균으로 정의된다. 의사결정나무 모형의 각 노드 $ t $ 에서 불순도 측도를 $ i(t) $, 변수 $ x_{j} $ 에 의해 분할되기 이전의 노드에 포함된 표본의 개수를 $ n_{t} $, 분할 $ s_{t} $ 후의 노드를 각각 $ t_{L} $ 과 $ t_{R} $, 분할 이후 각 노드에 속한 표본의 개수를 $ n_{t_{L}} $ 과 $ n_{t_{R}} $ 이라고 하였을 때, 변수 $ x_{j} $ 의 불순도 측도 감소분 $ \Delta i(s, t) $ 는 다음과 같다.</p> <p>\[ \Delta i(s, t)=i(t)-\frac{n_{t_{L}}}{n_{t}} i\left(t_{L}\right)-\frac{n_{t_{R}}}{n_{t}} i\left(t_{R}\right) . \]</p> <p>각 의사결정나무 모형을 $ T $ 라 할 때, $ n_{T} $ 개의 의사결정나무를 사용한 랜덤포레스트에서 $ x_{j} $ 의 평균불순도 감소 $ \mathrm{VI}_{1}\left(x_{j}\right) $ 은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\[ \mathrm{VI}_{1}\left(x_{j}\right)=\frac{1}{n_{T}} \sum_{T} \sum_{t \in T: v\left(s_{t}\right)=x_{j}} \frac{n_{t}}{n} \Delta i(s, t) . \]</p> <p>이 때, $ n $ 은 전체 표본 개수이고, $ v\left(s_{t}\right) $ 는 분할 $ s_{t} $ 에서 사용된 변수이다. 불순도 측도를 정확도(accuracy)로 할 경우 이 때의 변수 중요도를 평균정확도감소(mean decrease accuracy)라고 하며 불순도 측도를 지니 계수(gini index)로 할 경우 이 때의 변수중요도를 평균지니감소(mean decrease gini)라고 한다. 분류 문제의 경우 이 두 가지의 변수 중요도 측도가 널리 사용된다. 변수 $ x_{j} $ 의 순열 변수 중요도는 랜덤포레스트의 각 의사결정나무 모형에서 변수가 무작위로 분포될 때 저하되는 예측력의 평균으로 정의된다. 저하되는 예측력은 (out of bag; OOB) 표본을 이용하여 계산한다. 각 의사결정나무 모형에서 변수 $ x_{j} $ 가 무작위로 분포될 때의 예측력 감소분 $ \triangle P\left(x_{j}\right) $ 다음과 같이 계산한다.<ol type= start=1><li>의사결정나무 모형의 예측력(정확도, 지니 계수 등) $ P $ 를 OOB 표본을 이용하여 계산한다.</li> <li>OOB 표본의 $ j $ 번째 변수의 데이터를 무작위로 섞은 후 이 데이터를 이용하여 의사결정나무 모형의 예측력 $ P_{j} $ 를 계산하고 예측력의 감소분 $ \triangle P\left(x_{j}\right)=P-P_{j} $ 를 구한다.</li></ol> <p>각 의사결정나무 모형을 $ T $ 라 할 때, $ N_{T} $ 개의 의사결정나무를 사용한 랜덤포레스트에서 $ x_{j} $ 의 순열변수중요도 는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[ \mathrm{VI}_{2}\left(x_{j}\right)=\frac{1}{N_{T}} \sum_{T} \Delta P^{(T)}\left(x_{j}\right) . \]</p> <p>이 때, $ \Delta P^{(T)}\left(x_{j}\right) $ 는 나무 $ T $ 에서의 예측력 감소분이다. 이러한 변수 중요도의 크기에 따라 변수를 선택할 수 있으며 VSURF (Genuer 등, 2015)와 varSelRF (Díaz-Uriarte, 2007)와 같은 랜덤포레스트를 이용하는 다양한 변수선택 방법이 제안되었다.</p> <h1>2. 방법론</h1> <h2>2.1. 로지스틱 회귀분석</h2> <p>변수 선택 방법 중 필터 방법의 몇 가지는 로지스틱 회귀분석 모형으로 표현될 수 있다. 최종 변수 선택에 강제로 포함하는 변수 벡터를 $ \mathrm{z} $ 라고 하였을 때, 각 변수 $ x_{j} $ 의 랭크는 다음과 같은 로지스틱 회귀분석 모형으로부터 $ \beta_{j} $ 의 $ p $-값으로 계산할 수 있다.</p> <p>\[ \log \frac{P\left(Y=1 \mid x_{j}, \mathbf{z}\right)}{1-P\left(Y=1 \mid x_{j}, \mathbf{z}\right)}=\beta_{0}+\beta_{j} x_{j}+\gamma^{T} \mathbf{z} . \]</p> <p>변수 $ x_{j} $ 가 범주형인 경우 가변수(dummy variable) 열벡터이고 $ \beta_{j} $ 는 행벡터이다. 약물유전체학에서 자주 사용되는 코크란-아미티지 검정의 경우 변수 $ x_{j} $ 의 코딩에 따라 다양한 유전모형에 대한 분석을 진행할 수 있다. 예로 변수 $ x_{j} $ 의 값이 유전자형(genotype) $ \mathrm{AA}, \mathrm{AB}, \mathrm{BB} $ 가 가능한 경우, 변수 $ x_{j} $ 의 코딩을 $ 0,1,2 $ 로 하면 부가(additive) 모형이 되고 코딩을 $ 0,1,1 $ 로 하면 우성(dominant) 모형이 된다. 만약 변수 $ x_{j} $ 를 범주형 변수로 간주하면 카이제곱 검정의 $ p $-값을 사용하는 것과 일치하게 된다.</p> <h2>2.2. Relief 기반 알고리즘</h2> <p>Relief 기반 알고리즘은 상호작용을 가지는 변수들을 찾아내는 최근접이웃 알고리즘 기반의 변수 선택 알고리즘이다. 이 알고리즘은 Kira과 Rendell (1992)에 의해 처음으로 제안되었다. 훈련용 데이터가 $ X=\left\{\mathbf{x}_{i} \in\right. $ $ \left.\mathbf{R}^{d}, y_{i} \in \mathbf{R}: 1 \leq i \leq n\right\} $ 이고 반응 변수는 $ y_{i}=0 $ 또는 1 로 두 클래스 분류 문제인 경우, Relief 알고리즘은 다음과 같은 과정을 반복한다.</p> <ol type= start=1><li>최초에 $ d $ 차원의 변수 가중치 벡터(weight vector)를 $ \mathbf{w}^{(0)}=\left(w_{1}, \ldots, w_{s}, \ldots, w_{d}\right)=(0, \ldots, 0) $ 와 같은 영벡터로 설정한다.</li> <li>임의표본 $ \left(\mathbf{x}_{i}, y_{i}\right) $ 을 추출하고, 이 임의표본의 같은 클래스의(같은 $ y_{i} $ 값) 최근접이웃인 최근접성공(nearest hit) 표본 $ \mathbf{x}_{i_{h}}=\left(x_{i_{h} 1}, \ldots, x_{i_{h} d}\right) $ 와 다른 클래스의(다른 $ y_{i} $ 값) 최근접이웃인 최근접실패(nearest miss) 표본 $ \mathbf{x}_{i_{m}}=\left(x_{i_{m} 1}, \ldots, x_{i_{m} d}\right) $ 를 구한다. 만약 $ x_{j} $ 가 연속형 변수이며 정규화(normalization) 되어 있다면, 두 표본 사이의 거리는 다음과 같다. \[ D\left(\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right)=\sum_{j=1}^{d}\left\|x_{1 j}-x_{2 j}\right\| . \]</li> <li>$ (r+1) $ 번째 반복에서 가중치 벡터를 다음과 같이 갱신한다. \[ w_{j}^{(r+1)}=w_{j}^{(r)}-\frac{\left\|x_{i j}-x_{i_{h} j}\right\|}{R}+\frac{\left\|x_{i j}-x_{i_{m} j}\right\|}{R}, \quad j=1, \ldots, d . \]이 때, $ R $ 은 총 반복 횟수이다.</li></ol> <p>ReliefF 알고리즘 (Kononenko, 1994)는 Relief 알고리즘을 개선한 것이다. Relief 알고리즘이 각 반복에서 한 개의 최근접성공과 한 개의 최근접실패를 사용한 것과는 다르게, ReliefF는 $ k $ 개의 최근접성공과 $ k $ 개의 최근접실패를 사용한다. 이 때문에 ReliefF 알고리즘은 Relief 알고리즘보다 로버스트하다. 보통의 경우 ReliefF 알고리즘은 10 개씩의 최근접성공과 최근접실패를 사용한다. ReliefF 알고리즘은 가중치 벡터를 갱신하는 방법 외엔 Relief 알고리즘과 거의 유사하다. $ H_{i}=\left\{\mathbf{x}_{i_{h 1}}, \ldots, \mathbf{x}_{i_{h k}}\right\} $ 를 $ \mathbf{x}_{i} $ 의 $ k $ 개의 최근접성공의 정규화 된 집합이라 하고, $ M_{i}=\left\{\mathbf{x}_{i_{m 1}}, \ldots, \mathbf{x}_{i_{m k}}\right\} $ 를 $ \mathbf{x}_{i} $ 의 $ k $ 개의 최근접실패의 정규화 된 집합이라고 할 때, $ (r+1) $ 번째 반복에서 가중치 벡터는 다음과 같이 갱신한다.</p> <p>\[ w_{j}^{(r+1)}=w_{j}^{(r)}-\frac{1}{k} \sum_{\mathrm{x}_{i^{\prime}} \in H_{i}} \frac{\left\|x_{i j}-x_{i^{\prime} j}\right\|}{R}+\frac{1}{k} \sum_{\mathrm{x}_{i^{\prime}} \in M_{i}} \frac{\left\|x_{i j}-x_{i^{\prime} j}\right\|}{R}, \quad j=1, \ldots, d . \]</p> <p>그러나, ReliefF 알고리즘의 성능은 잡음이 있는 변수들에 의해 저하되는 것으로 알려져 있다. 본 논문에서도 사용된 Tuned ReliefF 알고리즘 (Moore과 White, 2007)은 ReliefF 알고리즘을 여러 번 반복하며 낮은 가중치를 보이는 잡음이 있는 변수를 제거함으로써 ReliefF 알고리즘을 개선한 것이다. Tuned ReliefF 알고리즘의 과정은 다음과 같다:</p> <ol type= start=1><li>ReliefF 알고리즘을 적용한 후(보통, $ k=10) $, 가중치 $ w $ 에 따라 내림차순으로 정렬한다.</li> <li>가장 가중치가 낮은 변수를 제거한다.</li></ol> <p>만약 반복마다 $ 10 \% $ 의 가장 성능이 낮은 변수를 제거하면 이를 TuRF $ 10 \% $ 라고 한다. 변수의 수가 적은 다중차원축소(multifactor dimensionality reduction; MDR) 분석의 경우, TuRF 알고리즘이 ReliefF 알고리즘보다 더 좋은 성능을 보여주는 것으로 알려져 있다 (Moore과 White, 2007).</p> <h1>4. 분석결과</h1> <p>모형의 성능을 비교하기 위해 각 모형의 정확도와 AUC값을 계산하였으며 그 결과는 Table 1과 Table 2에 정리하였다. Figure 2에서는 4개의 스태킹 모형의 평균 ROC곡선을 확인할 수 있고 Figure 3에서는 4개의 스태킹 모형의 각 폴드에서 ROC곡선을 확인할 수 있다. 랜덤포레스트의 변수중요도와 ReliefF의 조합으로 변수선택을 진행하여 여러 머신러닝기저 모형을 스태킹으로 생성한 M1E모형이 평균 정확도가 0.727이고 평균 AUC가 0.761로 다른 모형과 비교하였을 때 높은 성능 보여주었다. 전반적으로 FS1으로 변수선택을 진행한 경우의 정확도와 AUC가 높은 것을 볼 수 있다. 다른 변수 선택 방법의 경우 Wei 등 (2013)이 사용한 변수선택 방법과 스태킹을 적용한 M4E가 AUC$=0.727$로 높은 성능을 보여주고 있다. 변수 선택 방법과 관계없이 서포트벡터머신을 사용한 모형의 성능은 전반적으로 낮은 것을 볼 수 있고, 오히려 그래디언트 부스팅으로 학습한 모형의 성능이 상대적으로 높았다. 통계적 유의미성을 확인하기 위하여 AUC값의 로짓(logit) 변환 후 완전임 의배치법(randomized complete block design)의 분산분석(ANOVA)을 실행한 결과 변수 선택 방법 요인의 F 통계량은 $ 8.260 $ 이고 $ p $-값은 $ 9.03 \times 10^{-5} $ 이었고 스태킹 또는 머신러닝 예측 모형 요인의 F 통계량은 $ 6.970 $ 이고 $ p $-값은 $ 3.65 \times 10^{-4} $ 로 통계적으로 유의미한 차이를 보여주고있다.</p> <p>Tukey의 HSD를 이용한 다중비교 결과 FS1의 변수선택방법은 다른 세가지 변수선택방법과의 보정 $ p $ -값 (adjusted $ p $-value)이 0.01보다 작은 결과를 보여주었고 예측모형 요인의 경우 (스태킹-서포트벡터머신)과 (서포트벡터머신-그래디언트 부스팅)의 보정 $ p $-값이 $ 0.05 $ 보다 낮은 값을 보여주었다. (스태킹-랜덤포레스트) 비교의 경우 보정 $ p $-값은 $ 0.0518 $ 로 $ 0.05 $ 보다 약간 큰 값을 보여주었다. 네가지 스태킹 모형간의 정확도의 통계적 유의미성을 확인하기 위하여 Cochran's $ \mathrm{Q} $ 검정을 실행한 결과 $ \mathrm{Q} $ 통계 값은 $ \mathrm{Q}=14.8827 $ 이고 $ p $ 값은 $ 1.92 \times 10^{-3} $ 이었다. Pairwise McNemar's 사후검정의 결과 (M1E-M2E), (M1E-M4E)의 보정 $ p $-값이 $ 0.05 $ 보다 작게 나왔으며 (M1E-M3E)의 보정 $p$-값은 $0.062$로 $0.05$보다는 약간 큰 값을 보여주었다. 분석 결과로부터 FS1변수 선택 방법이 가장 좋은 성능을 보여주는 것을 알 수 있으며 예측 모형의 경우 스태킹 방법과 그래디언트부스팅이 서포트벡터머신이나 랜덤포레스트보다 높은 성능을 보여주는 것으로 보인다. 성능이 높은 그래디언트 부스팅과 스태킹의 표준편차를 보면 스태킹의 표준편차가 더 낮은 경향이 있어 그래디언트 부스팅보다스태킹 방법이 상대적으로 안정적인 모형으로 보인다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>인간 게놈 프로젝트가 완료되고 DNA 서열 분석(DNA sequencing)기술이 발달함에 따라, 약물유전체학(Phar-macogenomics) 데이터를 기반으로 한 분석이 등장하기 시작했다. 약물유전체학 데이터를 이용한 질병 혹은 약물 반응성 예측에 대한 접근법으로는 대표적으로 다원유전적 위험 평가(Polygenic risk scoring)와 머신러닝(machine learning)이 있는데, 다원유전적 위험 평가는 예측성능에 있어 한계를 보이며 (Ho, Daniel Sik Wai 등,2019), 이에 따라 높은 예측정확도를 보여주는 머신러닝 기반의 다양한 예측모형이 등장하고 있다. 이러한 약물유전체 자료와 임상자료로 구축되는 예측모형은 개인 맞춤형 의료(personalized medicine) 혹은 정밀 의료(precision medicine)와 같은 미래 의학의 일부분으로 여겨지며 현재 활발한 연구가 진행되고 있다.</p> <p>보통 약물유전체학 데이터는 작은 표본 수에 비해 단일염기 다형성(single nucleotide polymorphism; SNP)의 수가 매우 많아 머신러닝 기반의 예측모형은 변수선택 과정을 필수적으로 수반한다. 변수선택 방법은 크게 필터(filter) 방법, 래퍼(wrapper) 방법, 임베디드(embedded) 방법, 그리고 혼합(hybrid) 방법이 있다. 필터 방법은 모델 학습과는 독립적인 변수선택 방법으로 다른 방법보다 계산이 효율적이기 때문에 (Li 등, 2017) 약물유전체학 데이터의 변수선택에서 가장 많이 이용되며 (Ho, Daniel Sik Wai 등, 2019), 카이제곱 검정이나 코크란-아미티지 검정(cochran-armtiage test), 로지스틱 회귀분석과 같은 연관성 검정의 p 값(p value)을 사용하는 변수 선택 방법과 k-최근접이웃 알고리즘(k-nearest neighbors; KNN) 방법을 이용하는 Relief 기반 알고리즘(Kira과 Rendell, 1992) 등을 포함한다. 래퍼 방법은 예측모형에 쓰이는 변수의 여러 부분집합을 탐색하여 가장 좋은 성능을 보이는 변수의 부분집합을 선택하는 변수 선택 방법으로 높은 성능을 보이지만 계산 비용이 매우크다. 전진 선택법(forward selection), 후진 제거법(backward elimination), 단계별 선택법(stepwise selection)등의 방법이 이에 해당되고 약물유전체 자료와 같은 고차원 자료에 응용은 한계가 있다. 임베디드 방법은 모형의 훈련 과정 안에서 예측의 정확도에 기여하는 변수를 찾아내는 변수 선택 방법으로 Tibshirani (1996)가 제안한 라쏘(least absolute shrinkage and selection operator; LASSO)와 같은 L1-정규화(L1-regularization)방법이 널리 이용되고 있다. Zou 등 (2005)은 LASSO를 일반화하여 L2-정규화(L2-regularization) 항을 포함한 신축망(elastic net) 모형을 제안하였고 이 모형도 변수 선택에 이용될 수 있다. 의사결정나무와 Breiman(2001)이 제안한 랜덤포레스트(random forest)의 결과물인 변수 중요도 측도(variable importance measure)를 기준으로 변수를 선택할 수 있으며 이 방법도 임베디드 방법중의 하나이다. 혼합 방법과 같이 여러 가지의 변수 선택 방법을 혼합하여 변수 선택을 진행할 수도 있다. 한 예로 Wei 등 (2013)은 먼저 필터 방법인 로지스틱회귀분석으로 얻은 SNP의 p 값을 이용하여 변수선택을 한 후, 남은 변수들에 임베디드 방법인 L1-정규화를 적용하여 추가적인 변수 선택을 진행하였다. Mieth 등 (2016)은 임베디드 방법인 서포트벡터머신(support vectormachine; SVM)을 이용하여 SNP를 선택한 후, 필터 방법인 카이제곱 검정으로 얻은 해당 SNP의 p 값에 따라추가적인 변수 선택을 진행하였다. Jovi ́c 등 (2015)은 다양한 분야의 데이터에 대한 변수 선택 방법의 성능을논의하였으며 Muˇstra 등 (2012)은 SNP 데이터의 경우 카이제곱 방법과 ReliefF 등이 좋은 성능을 보이는 것을발표하였다.</p> <p>선택된 SNP에 적용되는 모형 또한 서포트벡터머신 (Wei 등, 2013; Abraham 등, 2014; Nguyen 등, 2015;Mieth 등, 2016), 랜덤포레스트 (L ́opez 등, 2017)와 같은 머신러닝 모형부터, 인공신경망(neural network)과같은 딥러닝(deep learning) 모형 (Monta ̃nez 등, 2018; Romagnoni 등, 2019) 등으로 다양하게 사용할 수 있다.Wei 등 (2013)은 크론병 예측을 위해 앞서 선택한 SNP에 서포트벡터머신을 적용하였고 이 모델은 0.86의AUC를 보였다. Mieth 등 (2016)은 T2D 예측에 서포트벡터머신을 적용하였고 이 모델은 0.84의 AUC를 보였다. 서포트벡터머신의 핵(kernel)으로는 선형핵(linear kernel)이 주로 이용되었으며 (Wei등, 2013; Nguyen등, 2015; Mieth 등, 2016), Abraham 등 (2014)은 L1-벌점(L1-penalized) 서포트벡터머신을 이용하여 셀리악병(Celiac disease)을 예측하여 0.87의 AUC를 보이기도 했다. L ́opez 등 (2017)은 랜덤포레스트를 이용하여 T2D를 예측하여 0.85의 AUC를 달성하였는데, 랜덤포레스트는 약물유전체학 연구에서 다른 머신러닝 모형들에비해 뛰어난 성능을 보여주는 것으로 알려져 있다 (Chen과 Ishwaran, 2012; Boulesteix 등, 2012; Austin 등,2013; L ́opez 등, 2017). (Monta ̃nez 등 (2018)은 비만 예측을 위해 인공신경망을 적용하였고 0.99의 AUC를달성하기도 했다.</p> <p>위에 설명한 다양한 개별 머신러닝 방법으로 예측모형을 만들 수 있으나 이 논문에선 다양한 머신러닝의예측모형을 앙상블하는 방법을 적용한다. Wolpert (1992)는 level-0와 level-1 자료의 개념을 통해 여러 개의다양한 형태의 분류모형을 앙상블(ensemble)하는 방법인 스태킹(stacking)을 제안하였고 과적합(overfitting)을 방지하기 위하여 k-폴드 교차 검증 자료를 사용하여 메타모형(meta learner)를 훈련하는 방법을 제안하였다. 후에 Breiman (1996)은 스태킹 방법을 회귀문제로 확장하였다. 그 후 van der Laan 등 (2007)은 이론적으로 k-폴드 교차 검증 자료로 훈련하여 얻어진 스태킹 모형의 성능이 점근적으로 각각의 모형의 성능보다 높은것을 증명하였다.</p> <p>이 논문은 뇌전증 약물유전체 자료를 사용하여 4가지의 다른 절차에 따른 변수 선택을 진행하여 환자의 약물반응에 대한 3가지 단일 예측모형과 스태킹 모형을 구축하여 총 16가지 모형의 성능을 비교한다. 이 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 이 논문에서 사용하는 변수선택 방법인 로지스틱 회귀분석, Relief, 랜덤포레스트를 간략하게 설명하고 다양한 분류기(classifier)를 앙상블하는 스태킹 방법에 대하여 설명한다.3장에서는 뇌전증 약물유전체 자료와 분석 절차에 대하여 설명하고, 4장에서는 수행한 결과를 설명한다. 마지막 5장에서는 이 논문에 대한 결론을 제시한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>인간 게놈 프로젝트가 완료되고 DNA 서열 분석(DNA sequencing)기술이 발달함에 따라, 약물유전체학(Phar-macogenomics) 데이터를 기반으로 한 분석이 등장하기 시작했다. 약물유전체학 데이터를 이용한 질병 혹은약물 반응성 예측에 대한 접근법으로는 대표적으로 다원유전적 위험 평가(Polygenic risk scoring)와 머신러닝(machine learning)이 있는데, 다원유전적 위험 평가는 예측성능에 있어 한계를 보이며 (Ho, Daniel Sik Wai 등,2019), 이에 따라 높은 예측정확도를 보여주는 머신러닝 기반의 다양한 예측모형이 등장하고 있다. 이러한 약물유전체 자료와 임상자료로 구축되는 예측모형은 개인 맞춤형 의료(personalized medicine) 혹은 정밀 의료(precision medicine)와 같은 미래 의학의 일부분으로 여겨지며 현재 활발한 연구가 진행되고 있다.</p> <p>보통 약물유전체학 데이터는 작은 표본 수에 비해 단일염기 다형성(single nucleotide polymorphism; SNP)의 수가 매우 많아 머신러닝 기반의 예측모형은 변수선택 과정을 필수적으로 수반한다. 변수선택 방법은 크게 필터(filter) 방법, 래퍼(wrapper) 방법, 임베디드(embedded) 방법, 그리고 혼합(hybrid) 방법이 있다. 필터방법은 모델 학습과는 독립적인 변수선택 방법으로 다른 방법보다 계산이 효율적이기 때문에 (Li 등, 2017) 약물유전체학 데이터의 변수선택에서 가장 많이 이용되며 (Ho, Daniel Sik Wai 등, 2019), 카이제곱 검정이나 코크란-아미티지 검정(cochran-armtiage test), 로지스틱 회귀분석과 같은 연관성 검정의 p 값(p value)을 사용하는 변수 선택 방법과 k-최근접이웃 알고리즘(k-nearest neighbors; KNN) 방법을 이용하는 Relief기반 알고리즘(Kira과 Rendell, 1992) 등을 포함한다. 래퍼 방법은 예측모형에 쓰이는 변수의 여러 부분집합을 탐색하여 가장좋은 성능을 보이는 변수의 부분집합을 선택하는 변수 선택 방법으로 높은 성능을 보이지만 계산 비용이 매우크다. 전진 선택법(forward selection), 후진 제거법(backward elimination), 단계별 선택법(stepwise selection)등의 방법이 이에 해당되고 약물유전체 자료와 같은 고차원 자료에 응용은 한계가 있다. 임베디드 방법은모형의 훈련 과정 안에서 예측의 정확도에 기여하는 변수를 찾아내는 변수 선택 방법으로 Tibshirani (1996)가 제안한 라쏘(least absolute shrinkage and selection operator; LASSO)와 같은 L1-정규화(L1-regularization)방법이 널리 이용되고 있다. Zou 등 (2005)은 LASSO를 일반화하여 L2-정규화(L2-regularization) 항을 포함한 신축망(elastic net) 모형을 제안하였고 이 모형도 변수 선택에 이용될 수 있다. 의사결정나무와 Breiman(2001)이 제안한 랜덤포레스트(random forest)의 결과물인 변수 중요도 측도(variable importance measure)를기준으로 변수를 선택할 수 있으며 이 방법도 임베디드 방법중의 하나이다. 혼합 방법과 같이 여러 가지의 변수 선택 방법을 혼합하여 변수 선택을 진행할 수도 있다. 한 예로 Wei 등 (2013)은 먼저 필터 방법인 로지스틱회귀분석으로 얻은 SNP의 $p$ 값을 이용하여 변수선택을 한 후, 남은 변수들에 임베디드 방법인 L1-정규화를 적용하여 추가적인 변수 선택을 진행하였다. Mieth 등 (2016)은 임베디드 방법인 서포트벡터머신(support vectormachine; SVM)을 이용하여 SNP를 선택한 후, 필터 방법인 카이제곱 검정으로 얻은 해당 SNP의 $p$ 값에 따라추가적인 변수 선택을 진행하였다. Jovi ́c 등 (2015)은 다양한 분야의 데이터에 대한 변수 선택 방법의 성능을논의하였으며 Mustra 등 (2012)은 SNP 데이터의 경우 카이제곱 방법과 ReliefF 등이 좋은 성능을 보이는 것을 발표하였다.</p> <p>선택된 SNP에 적용되는 모형 또한 서포트벡터머신 (Wei 등, 2013; Abraham 등, 2014; Nguyen 등, 2015;Mieth 등, 2016), 랜덤포레스트 (L ́opez 등, 2017)와 같은 머신러닝 모형부터, 인공신경망(neural network)과같은 딥러닝(deep learning) 모형 (Monta ̃nez 등, 2018; Romagnoni 등, 2019) 등으로 다양하게 사용할 수 있다.Wei 등 (2013)은 크론병 예측을 위해 앞서 선택한 SNP에 서포트벡터머신을 적용하였고 이 모델은 0.86의AUC를 보였다. Mieth 등 (2016)은 T2D 예측에 서포트벡터머신을 적용하였고 이 모델은 0.84의 AUC를 보였다. 서포트벡터머신의 핵(kernel)으로는 선형핵(linear kernel)이 주로 이용되었으며 (Wei등, 2013; Nguyen등, 2015; Mieth 등, 2016), Abraham 등 (2014)은 L1-벌점(L1-penalized) 서포트벡터머신을 이용하여 셀리악병(Celiac disease)을 예측하여 0.87의 AUC를 보이기도 했다. L ́opez 등 (2017)은 랜덤포레스트를 이용하여 T2D를 예측하여 0.85의 AUC를 달성하였는데, 랜덤포레스트는 약물유전체학 연구에서 다른 머신러닝 모형들에비해 뛰어난 성능을 보여주는 것으로 알려져 있다 (Chen과 Ishwaran, 2012; Boulesteix 등, 2012; Austin 등,2013; L ́opez 등, 2017). (Monta ̃nez 등 (2018)은 비만 예측을 위해 인공신경망을 적용하였고 0.99의 AUC를 달성하기도 했다.</p> <p>위에 설명한 다양한 개별 머신러닝 방법으로 예측모형을 만들 수 있으나 이 논문에선 다양한 머신러닝의 예측모형을 앙상블하는 방법을 적용한다. Wolpert (1992)는 level-0와 level-1 자료의 개념을 통해 여러 개의 다양한 형태의 분류모형을 앙상블(ensemble)하는 방법인 스태킹(stacking)을 제안하였고 과적합(overfitting)을 방지하기 위하여 k-폴드 교차 검증 자료를 사용하여 메타모형(meta learner)를 훈련하는 방법을 제안하였다. 후에 Breiman (1996)은 스태킹 방법을 회귀문제로 확장하였다. 그 후 van der Laan 등 (2007)은 이론적으로k-폴드 교차 검증 자료로 훈련하여 얻어진 스태킹 모형의 성능이 점근적으로 각각의 모형의 성능보다 높은것을 증명하였다.</p> <p>이 논문은 뇌전증 약물유전체 자료를 사용하여 4가지의 다른 절차에 따른 변수 선택을 진행하여 환자의 약물반응에 대한 3가지 단일 예측모형과 스태킹 모형을 구축하여 총 16가지 모형의 성능을 비교한다. 이논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 이 논문에서 사용하는 변수선택 방법인 로지스틱 회귀분석, Relief,랜덤포레스트를 간략하게 설명하고 다양한 분류기(classifier)를 앙상블하는 스태킹 방법에 대하여 설명한다.3장에서는 뇌전증 약물유전체 자료와 분석 절차에 대하여 설명하고, 4장에서는 수행한 결과를 설명한다. 마지막 5장에서는 이 논문에 대한 결론을 제시한다.</p> <h2>2.4. 스태킹(stacking)</h2> <p>스태킹은 여러 가지의 모형을 결합하는 앙상블 방법의 하나이다. 스태킹이 제안되기 전에는 여러 개의 모형을 결합할 때 과적합 문제와 모형 간의 상관 문제가 발생하여 연구자들은 여러 개의 모형 중 가장 좋은 모형을 선택하는 방법에 집중하였다. 하지만 Wolpert (1992)는 레벨-1(level-1) 데이터의 개념과 교차 검증 방법을 이용하여 분류문제의 스태킹 방법을 제안하였으며, Breiman (1996)은 스태킹 방법을 회귀문제로 확장시켰다. 그 후 van der Laan 등 (2007)은 스태킹 방법을 수학적으로 설명하였고 스태킹으로 결합된 모형이 결합되지 않은 각각의 단일 모형보다 더 높은 성능을 보인다는 것을 점근적으로 증명하였다.</p> <p>훈련용 데이터를 $ \mathcal { X } = \left \{\mathbf { x } _ { i } \in \mathbf { R } ^ { d } , y_ { i } \in \mathbf { R } : 1 \leq i \leq n \right \} $ 로 표현하고 레벨-0(level-0) 데이터라고 부르며 $ \mathbf { x } _ { i } $는 설명 변수의 벡터이다. 이 때, $ M $ 개의 모형을 결합하는 스태킹 과정은 다음과 같다.</p> <ol type= start=1><li>레벨-0 데이터를 $ \bigcup_ { k=1 } ^ { K } X_ { k } =X $ 그리고 $ X_ { k } \cap X_ { k ^ {\prime } } = \emptyset, \vee k \neq k ^ {\prime } $ 를 만족시키는 $ \mathrm { K } $ 개의 폴드 $ X_ { 1 } , \ldots, X_ { K } $ 로 최대한 크기가 같도록 분할한다.</li> <li>$ X ^ { (-k) } =X-X_ { k } $ 를 이용하여 $ m $ 번째 기저 모형(base learner) $ f_ { m } ^ { (-k) } ( \mathbf { x } ) $ 를 적합하고 다음과 같은 예측치를 만든다. \[ z_ { i m } = \widehat { f } _ { m } ^ { (-k) } \left ( \mathbf { x } _ { i } \right ), \quad \left ( \mathbf { x } _ { i } , y_ { i } \right ) \in X_ { k } , \quad m=1, \ldots, M . \] 여기서 구한 $ \mathbf { z } _ { i } = \left (z_ { i 1 } , z_ { i 2 } , \ldots, z_ { i M } \right ) $ 을 레벨-1 데이터라고 정의한다.</li> <li>위 과정에서 생성된 level-1 데이터를 이용하여 손실 함수 $ L( \cdot, \cdot) $ 를 최소화하는 메타 모형(meta learner) $ \hat { g } $ 을 생성한다.</li> <li>모든 훈련용 데이터를 사용하여 각 기저 모형을 적합하여 $ \hat { f } _ { m } $ 을 구하고 전 과정에서 생성된 메타 모형으로 결합하여 스태킹 모형 $ \hat { g } \left ( \hat { f } _ { 1 } , \ldots, \hat { f } _ { M } \right ) $ 을 예측에 사용한다. 따라서, $ \mathbf { x } _ { 0 } $ 에서의 예측값은 $ \hat { g } \left ( \hat { f } _ { 1 } \left ( \mathbf { x } _ { 0 } \right ), \ldots, \hat { f } _ { M } \left ( \mathbf { x } _ { 0 } \right ) \right ) $으로 표현할 수 있다.</li></ol> <p>분류 문제의 경우, 보통 각 클래스에 대한 사후 확률 예측치를 레벨-1 데이터로 사용한다.</p> <h1>3. 데이터 분석</h1> <h2>3.1. 데이터 설명</h2> <p>이 논문에서는 뇌전증 환자의 약물반응 예측모형을 구축하기 위하여 최근 발간된 Kang 등 (2019)과 Lee 등 (2020)의 논문에 이용된 400명의 진유전체(exome)자료를 이용하였다. 자료에 대한 자세한 설명은 Kang 등 (2019)에 서술되어 있으며 이 절에서는 간략한 설명을 포함하였다.</p> <p>대한민국내 3 차 뇌전증 의료센터 10 곳을 대상으로 뇌전증 환자 400 명의 차세대 염기 서열분석을 통한 환자들의 고차원 진유전체의 유전자형 자료가 생성되어 CODA (http://coda.nih.go.kr)에 등록되어 있다. 모든 뇌전증환자는 뇌전증의 임상적 정의 (Fisher 등, 2014)에 의해 정의되었으며, 2년 동안 의료센터의 뇌전증 전문가에 의해 관리되어 왔다. 이 논문에서 반응변수로 사용하는 약물반응은 Kim 등 (2011)이 기술한 정의와 기준에 따라 약물 내성군(drug-resistance group; DR 그룹) 또는 약물 반응군(drug-responsive group; DS 그룹)으로 분류되었다. 약물저항성은 모집하기 이전 1 년동안 두 가지 이상의 적절한 최대 허용 용량의 항뇌전증약물(antiepileptic drugs; AEDs)을 복용하면서 최소 12 번의 이유 없는 발작이 발생하는 것으로 정의하였는데, 이는 두 그룹 간의 대조를 강화하기 위해 전통적인 방법보다 더욱 엄격하게 정의한 것이다. 뇌전증 치료를 받은 DR 그룹의 환자들은 수술 결과에 관계없이 DR 그룹으로 분류되었다. 1차 혹은 2차 혈족에서 뇌전증의발생이 분명한 환자, AED 치료가 미흡한 환자, 운동성 발작이 없는 환자, 의식장애 없이 비운동성 발작만발생한 환자, 혹은 진행성 DEEs를 가진 환자는 본 연구에서 제외되었다. 약물 반응성은 후속 방문일로부터적어도 1년 이상 발작에서 자유로워지는 것으로 정의되었다. Lee 등 (2020)의 논문에서와 같이 환자의 나이(age)와 뇌전증 지속기간(duration) 두 변수는 강제적으로 모든 변수선택 과정 및 모형에 포함하였다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>맞춤형 의료 혹은 정밀 의료는 암과 같은 특정 질병 분야에서 활발히 연구되고 있으며 치료 방법 및 약물의반응에 대한 예측모형 개발은 미래의 의학으로 불리고 있다. 이에 따라 환자의 유전자자료와 임상자료를 이용하여 약물 반응을 예측하는 것은 점차 현대 의학의 필수적인 요소로 자리 잡아가고 있다. 기존의 유전통계학은고전 통계를 적용하여 유전병 혹은 약물 반응의 유의미한 유전자 변수를 추출하는 것에 목적을 하고 있지만 약물유전체학의 한 분야는 인공지능, 데이터마이닝, 머신러닝과 같은 복잡한 블랙박스 모형의 활용으로 예측력이 높은 모형을 구축하는데 적용할 수 있다.</p> <p>약물유전체 데이터는 많은 유전자 변수를 포함하는 고차원 데이터로 예측모형에 사용할 변수를 선택하는 과정이 필수이다. 각 질병이나 약물의 특성에 따라 효율적인 변수 선택 방법이 다를 수 있는 만큼 필터 방법,래퍼 방법, 임베디드 방법이나 다양한 조합의 혼합 방법을 사용할 수 있다. 또한, 머신러닝의 예측모형 또한더욱 다양한 방법을 사용해볼 수 있다.</p> <p>이 논문에서는 400명의 뇌전증 환자의 약물 반응 예측을 위하여 로지스틱 회귀, ReliefF, TurF, 랜덤포레스트, LASSO의 혼합 방법과 같은 변수 선택 방법을 고차원의 약물유전체학 데이터에 적용하여 머신러닝 예측모형 구축에 효과적으로 이용할 수 있는 방안에 대해서 논의하였다. 또한 단일 모형을 적용했던 기존의 연구와는 다르게 여러 가지 머신러닝 모형을 교차검증 데이터에 적용하고 그 결과를 앙상블 하는 스태킹모형을 적용해본 결과 통계적으로 유의미한 성능 향상을 볼 수 있었다. 이 과정에서 여러 가지 변수 선택 방법을 시도하여 모형 간의 성능을 비교하였으며, 같은 예측모형이라도 변수 선택 방법에 따라 성능에 유의미한차이가 생길 수 있음을 확인하였다.</p> <p>랜덤포레스트를 이용하는 변수 선택 방법은 두가지 단점을 가지는 것으로 알려져 있다. 첫 번째 단점은취할 수 있는 값이 많은 변수를 선택하려는 경향이 있다는 것이고 두 번째 단점은 상관계수가 높은 변수를선택하지 않으려는 경향이 있는 것이다. 이 논문에서 사용한 약물유전체 데이터의 경우 모든 유전자 변수는0, 1, 2의 값을 취할 수 있어 첫 번째 단점을 극복하는 것으로 보인다. 특히 랜덤포레스트과 ReliefF를 이용한변수 선택 방법이 높은 성능을 보여주었는데 이는 ReliefF가 랜덤포레스트의 두 번째 단점을 보완해주고 있는것으로 보인다. 이 논문에서는 적은 표본 수로 인하여 변수 선택 과정의 초모수 선택 연구는 실행하지 않았으나 앞으로 더 많은 표본 수의 자료를 사용하여 다양한 변수 선택 방법 및 조합과 예측모형의 활용에 대한연구가 필요할 것으로 보인다. 최근 Bommert 등 (2020)은 고차원 데이터를 사용하여 다양한 필터 방법의 비교연구를 실행하였다. 유전체 자료의 경우 유전자 발현(gene expression) 자료를 사용한 변수 선택 방법 연구가SNP 데어터보다 많이 실행되어 앞으로 더 많은 고차원 SNP 데이터에 대한 변수 선택 방법 및 비교 연구가필요해 보인다.</p> <h2>3.2. 실험설계 및 데이터 전처리</h2> <p>유전자자료의 품질관리를 위하여 차세대염기서열 실험결과에서 얻어지는 읽기깊이(read depth; DP)의 값이10이상인 이대립인자성(biallelic) SNP만 추출하였고 그 개수는 54,708개이다. 또, 본 논문에서는 각 SNP변수를 유전자형에 따라 0, 1, 2로 코딩하였다. 약물유전체학 데이터와 같이 표본 수는 적고 변수는 많은 고차원데이터의 경우 과적합이 일어날 수 있다. 이러한 문제점을 보완하기 위해, 이 논문에서는 데이터를 5개의폴드로 나누고 4개의 폴드를 훈련용 데이터로 남은 한 개의 폴드를 검증용 데이터로 사용하였다. 총 표본의수가 400으로 많지 않은 이유로 각각의 폴드가 모두 한 번씩 테스트 데이터로 쓰이도록 이 과정을 5번 반복하였다. 따라서 320개의 표본이 훈련용 데이터로 80개의 표본이 검증용 데이터로 사용해 다섯 번 반복하여모형을 구축하였고 이를 통해 검증 정확도를 계산하였다. 고정된 검증용 데이터에서 모든 변수선택은 각각훈련용 데이터에서 실행하였고 스태킹 모형을 위한 10-폴드 교차검증 자료는 훈련용 데이터를 10개의 폴드로나누어서 적합하여 각 검증용 데이터는 모형의 평가에만 사용하였다.</p> <h2>3.3. 변수 선택과 예측모형 구축</h2> <p>이 논문에서는 다음과 같은 16가지의 방법으로 변수선택과 예측모형을 구축하여 결과를 비교하였다. 첫번째변수 선택 방법 FS1에서는 총 54,710개의 변수를 대상으로 임베디드 방법인 랜덤포레스트의 평균정확도감소값이 높은 대략 10%에 해당하는 5,000개의 변수를 선택한 후 필터 방법인 ReliefF를 적용하여 평균+3표준편차를 넘는 변수를 선택하였다. 대략 훈련용 데이터의 표본수의 약 1/3인 100개의 변수가 선택되었다. 두 번째변수 선택 방법 FS2의 경우는 ReliefF를 적용하지 않고 랜덤포레스트만으로 100개의 변수를 선택하였다. 세번째 방법 FS3에서는 각각의 SNP 변수와 나이, 뇌전증 지속기간을 변수를 대상으로 필터 방법인 로지스틱회귀분석을 적용한 후 $p$-값이 0.005 이하인 변수와 전체 데이터에 필터방법인 TuRF를 적용한 후 TuRF 점수가 평균+9표준편차를 넘는 변수를 선택한 후, 선택된 변수에 임베디드 방법인 LASSO를 적용시켜 추가적인변수 선택을 진행하였다. 비교연구를 위하여 기존에 약물유전체학 데이터의 예측모형에 많이 사용되는 방법인 Wei 등 (2013)의 변수선택 방법 FS4를 이용하였다. 이 경우 로지스틱 회귀분석의 $p$-값이 0.005이하인변수를 추출하고 선택된 변수에 LASSO 방법을 적용하였다. Wei 등 (2013)은 17만여개의 SNP가 포함된 데이터를 이용하였고 로지스틱 회귀분석을 통한 변수선택 과정에서 $p$-값의 절사값으로 0.0001을 사용하였으나,본 연구에서 사용된 훈련용 데이터의 SNP수는 5만여개로 Wei 등 (2013)의 데이터보다 변수의 개수가 적기때문에 로지스틱 회귀분석을 통한 변수선택 과정에서 $p$-값의 절사값으로 0.005를 사용하였다. 설명한 4가지방법으로 선택된 변수를 사용하여 각 예측모형은 랜덤포레스트, 그래디언트 부스팅, 방사형핵 서포트벡터머신, k-최근접이웃 알고리즘, 로지스틱 회귀, 신축망(elastic net)을 적합한 후 스태킹 앙상블을 적용하여 4개의다른 스태킹 모형 M1E, M2E, M3E, M4E를 생성하였다. 각 변수 선택 방법으로 선택된 변수를 사용하여 3가지의 머신러닝 알고리즘인 랜덤포레스트, 방사형 핵 서포트벡터머신, 그래디언트 부스팅을 적용한 12가지의예측모형도 생성하였다. 그 중 모형 M4S는 Wei 등 (2013)과 유사한 예측모형으로 볼 수 있다. 변수 선택 방법FS3와 FS4의 경우 계산시간은 대략 각 방법당 1시간 정도 소요되었고, 랜덤포레스트를 사용하는 FS1과 FS2의 경우 튜닝을 하지 않으면 FS1 또는 FS2와 비슷한 시간이 소요된다. 본 논문에서는 10폴드 교차검증으로 튜닝을 실행하였고 대략 12시간 정도의 시간이 소요되었다. 계산시간은 3.0 GHz Intel Xeon 10코어 프로세서의컴퓨터에서 실행한 결과이다.</p>	자연
K430-해석기하학	<h1>제1 장 기본적인 개념</h1> <p>수세기 동안 기하와 대수는 서로 다른 수학적인 개념으로 서서히 발달되어 왔다. 1637년에 프랑스의 수학자 겸 철학자인 데카르트(Rene Descartes)는 이러한 두 수학분야를 동합하는 도구를 소개하는 La Geometrie를 출간하였다. 오늘날 해석기하(analytic geometry)라 부르는 이 새로운 과정의 기본적인 특징은 좌표계를 사용하는 것이다. 좌표계에 의해 대수적인 방법들을 기하의 연구에 강력하게 적용할 수 있고 대수적인 방정식들을 그래프로 표현하는데 대수에서 생기는 장점이 있다. 데카르트의 괄목할만한 공헌으로 수학에서 급속하고 원대한 발달의 길을 닦았다. 왜냐하면 그것이 미적분학의 탄생에 골격을 제공헸기 때문이다.</p> <p>이 책에서 소개하는 많은 개념들은 고대에 기원을 둔 것이다. 그것들을 단지 역사적인 가치 때문에 공부한다고 생각하지 마라. 반대로 이런 개념들은 오늘날(그리고 내일)의 문제들을 다루는데 유용하기 때문에 세월의 시련을 넘어 오늘날까지 연구가 되고있다. 오로지 역사적인 흥미만 있는 개념들이나 오늘날 수확이 많지 않은 개념들은 대부분 활발한 연구를 하지 않는다.</p> <p>이 책에 나오는 개념들은 여러 수학적인 연구와 천문학, 물리학, 화학, 생물학, 공학, 경영학, 의학, 사회과학, 심리학, 통계학, 농학, 그리고 경제학과 같은 다양한 분야에 의미 있는 응용을 한다. 해석기하의 지식이 수학의 많은 응용분야를 이해하는데 기본인 반면 이 책에서 나타낸 많은 응용을 알기 위해서 보다 많은 수학적인 교양을 알아야한다고 학생들에게 충고한다. 아마도 이 연구의 주요한 목적은 보다 추상적인 일에 강력한 수학적인 도구들로 일반화되는 개념들을 조사하는 것이다.</p> <h2>1.1 기본 개념</h2> <p>한 방향을 양으로 반대 방향을 음으로 선택한 직선을 유향직선(directed line)이라 부른다. 임의의 두 점과 두 점 사이의 부분으로 이루어진 직선의 선분을 유향선분(directed line segment)이라 부른다. 그림 1.1에서 양의 방향을 화살촉으로 나타냈다. 점 $ A $ 와 $ B $ 는 $ AB $ 혹은 $ BA $ 로 표시하는 한 선분을 결정한다. 양의 방향에서 측정한 $ A $ 부터 $ B $ 까지 거리는 양수로, 음의 방향에서 측정한 $ B $ 부터 $ A $ 까지 거리는 음수로 지정한다. $ \overrightarrow{A B} $ 와 $ \overrightarrow{BA} $ 로 표시하는 이런 두 거리를 유향거리들(directed distances)이라 부른다. 만약 선분의 길이가 3이면 $ \overrightarrow{AB}=3 $ 그리고 $ \overrightarrow{BA}=-3 $ 이다. 그러므로 유향선분 위에 거리들은 다음 방정식을 만족한다.</p> <p>\[ \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}. \]</p> <p>선분 $ AB $ 위에 거리에 관한 다른 개념은 $ A $ 와 $ B $ 사이에 비유향거리(undirected distances)의 개념이다. 비유향거리는 양으로 취한 선분의 길이이다. $ \|AB\| $ 나 $ \|BA\| $ 는 $ A $ 와 $ B $ 사이의 양의 거리나 선분 $ AB $ 의 거리를 나타내는데 사용할 것이다.</p> <p>앞의 논의로 보아 \[ \overrightarrow{AB}=\|A B\|=\|B A\|=3 \] \[ \overrightarrow{B A}=-\|A B\|=-\|B A\|=-3. \]</p> <p>결과적으로 한 수의 절대값의 개념은 특별히 중요하다. 이 개념에 관련해서 다음의 정의를 갖는다.</p> <p>정의 1.1 실수 $ a $ 의 절대값(absolute value)은, $ \|a\| $ 로 표시하는, 다음을 만족하는 실수이다. $ \|a\|=a \quad a $가 양수이거나 0 일 때, $ \|a\|=-a \quad a $가 음수일 때.</p> <p>이 정의에 따라서 모든 0이 아닌 수의 절대값은 양수이고 0의 절대값은 0이다. 그래서 \[ \|5\|=5, \quad\|-5\|=-(-5)=5, \quad\|0\|=0 \]</p> <p>그러면 임의의 음이 아닌 수의 이중근은 음이 아니기 때문에 임의의 실수 $ a $에 대해 $ \|a\|=\sqrt{a^{2}} $ 임을 알 수 있다.</p> <p>정리 1.1 만약 $ A,B $, 그리고 $ C $가 유향직선의 세 점들이면 이 점들에 의해 결정된 유향거리는 다음 방정식들을 만족한다.\[ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \quad \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}, \quad \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{B C} \]</p> <p>증명: 만약 $ B $가 $ A $와 $ C $사이에 있다면 거리들 $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC} $, 그리고 $ \overrightarrow{AC} $ 모두 같은 부호를 갖고 $ \overrightarrow{A C} $ 는 다른 두 거리의 합과 같다(그림 1.2). 두 번째와 세번째 방정식들은 첫 번째에서 즉시 증명된다. 두 번째 방정식을 구하기 위해 첫 번째 방정식의 양쪽에 $ -\overrightarrow{BC} $ 를 더하고 조건 $ -\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CB} $ 을 사용한다. 그래서 \[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB} \]</p> <h2>1.6 그래프의 방정식</h2> <p>방정식들의 그래프를 얻었기 때문에 당연히 그래프는 대응하는 방정식을 갖는다. 모든 점들이 주어진 기하학적인 조건들에 의해 명확히 고정되는 그래프의 방정식을 구하는 문제를 생각해 보자.</p> <p>정의 1.10 그래프의 모든 점들의 좌표들에 의해 만족하는 $ x $ 와 $ y $ 의 방정식을 그래프의 방정식(equation of the graph)이라 부른다.</p> <p>그래프의 방정식을 구하는 과정은 간단하다. 그래프의 모든 점 $ P(x, y) $ 는 특별한 조건을 만족하여야 한다. 구할 방정식은 $ F $ 가 조건들을 맞게 쓸 수 있다. 다음 보기에서 방법을 보여 준다.</p> <p>보기 직선이 점 (-3,1) 을 지나고 기울기가 3/2 이다. 직선의 방정식을 구하라.</p> <p>해: 먼저 주어진 기울기를 갖고 점 (-3,1) 을 지나는 직선을 그리자. 그러면 두 점을 지나는 직선의 기울기에 대한 공식을 적용한다. 그래서 $ P(x, y) $ 와 (-3,1) 을 지나는 기울기 $ m $ 은 다음과 같다. \[ m = \frac { y-1 } { x-(-3) } = \frac { y-1 } { x + 3 } . \] 이것을 주어진 기울기와 같게 하면 \[ \frac { y-1 } { x + 3 } = \frac { 3 } { 2 } , \] 혹은 간단히 \[ 3 x-2 y + 11=0 . \] 이 방정식의 그래프는 그림 1.36 에 직선이다.</p> <p>보기2 점 (5,-2) 를 지나고 기울기가 -4/3 인 직선의 방정식을 구하라.</p> <p>해: \[ m= \frac { y-(-2) } { x-5 } = \frac { y + 2 } { x-5 } . \] 그래서 \[ \frac { y + 2 } { x-5 } =- \frac { 4 } { 3 } . \] 이 방정식을 간단히 하면 원하는 방정식을 얻는다. \[ 4 x + 3 y-14=0 . \] 이 방정식의 그래프는 그림 1.37 에 있다.</p> <p>보기3 $ y $ 축과 (4,0) 에서 같은 거리에 있는 모든 점들의 집합의 방정식을 구하라.</p> <p>해: 그래프 위의 점 $ P(x, y) $ 를 취하고 거리공식을 이용하여 $ y $-축에서 가로 좌표 $ x $ 까지 $ F $ 의 거리를 구한다. 점 (4,0) 부터 거리는 \[ \sqrt { (x-4) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } . \] 두 거리를 같게 놓으면 \[ \sqrt { (x-4) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =x . \] 양변을 제곱하여 간단히 하면 \[ y ^ { 2 } -8 x + 16=0 \] 두 번째 거리가 첫 번째 거리의 2배이므로 \[ 2 \sqrt { (x-1) ^ { 2 } + (y-1) ^ { 2 } } = \sqrt { (x-4) ^ { 2 } + (y-4) ^ { 2 } } . \] 간단히 하면 \[ 4 \left (x ^ { 2 } -2 x + 1 + y ^ { 2 } -2 y + 1 \right )=x ^ { 2 } -8 x + 16 + y ^ { 2 } -8 y + 16 \] 혹은 \[ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =8. \] 방정식의 그래프는 그림 1.39 에 있다.</p> <p>정리 1.5 두 비스듬한 직선은 수직하다. $ \Leftrightarrow $ 하나의 기울기는 다른 것의 기울기의 음의 역수이다.</p> <p>물론 만약 한 직선이 $ x $-축에 평행하고 다른 직선이 $ y $-축에 평행하면 두 직선의 수직성은 생긴다. $ x $-축에 평행한 직선의 기울기는 0 이지만 $ y $-축에 평행한 직선은 기울기를 갖지 않는다.</p> <p>보기4 꼭지점들이 $A(3,-2), B(-5,8), C(4,5) $ 인 삼각형의 각들에 탄젠트를 구하라. 그리고 각각을 가장 가까운 도로 표현하여라.</p> <p>해: 먼저 각 변의 기울기를 구한다. 그래서 그림 1.19 로부터 \[ A B \text { 의 기울기 } = \frac { -2-8 } { 3-(-5) } =- \frac { 5 } { 4 } . \]</p> <p>$ BC $ 의 기울기 $ = \frac { 8-5 } { -5-4 } =- \frac { 1 } { 3 } $. $ AC $ 의 기울기 $ = \frac { -2-5 } { 3-4 } =7 $.</p> <p>식 (1.3)에 대입하면 \[ \begin {array} { l } \tan A= \frac { - \frac { 5 } { 4 } -7 } { 1 + \left (- \frac { 5 } { 4 } \right )(7) } = \frac { 33 } { 31 } =1.06, \quad A=47 ^ {\circ } . \\ \tan B= \frac { - \frac { 1 } { 3 } - \left (- \frac { 5 } { 4 } \right ) } { 1 + \left (- \frac { 1 } { 3 } \right ) \left (- \frac { 5 } { 4 } \right ) } = \frac { 11 } { 17 } =0.647, \quad B=33 ^ {\circ } . \\ \tan C= \frac { 7- \left (- \frac { 1 } { 3 } \right ) } { 1 + 7 \left (- \frac { 1 } { 3 } \right ) } =- \frac { 22 } { 4 } =-5.5, \quad C=100 ^ {\circ } . \end {array} \]</p> <p>보기1 $ A $-구조의 작은집의 단면은 이등변삼각형이다. 만약 변 중에 하나의 기울기가 1.8 이고 지붕 끝이 19 피트 높이이면 작은 집의 폭은 얼마인가?</p> <p>해: 만약 그림 1.20에서처럼 축들을 놓으면 \[ \begin {array} { l } \frac { 19-0 } { 0-x } =1.8 \\ \frac { 19 } { -x } =1.8 \\ x=- \frac { 19 } { 1.8 } =- \frac { 95 } { 9 } . \end {array} \] 그래서 작은 집의 폭은 $ 2 \left ( \frac { 95 } { 9 } \right )=21 \frac { 1 } { 9 } $ 피트이다.</p> <p>보기6 텔레비전 카메라를 미식축구경기장의 40 -야드 선을 따라 놓았다. 만약 카메라가 사이드라인에서 20 야드 뒤에 있다면 10 야드 깊이 있는 엔드존을 포함하여 시합하는 전 구장을 비추기 위해 카메라를 어느 각도로 돌려야 할까?</p> <p>해: (70,20) 을 지나는 직선부터 (-50,20)을 지나는 직선까지의 모든 동작을 비추기 위해 카메라를 원점에 놓는다. 만약 $ \phi $ 가 시계반대방향으로 측정한 문제의 각이라면 그림 1.21 로부터 다음을 알 수 있다. \[ \begin {array} { l } \tan \phi= \frac { - \frac { 2 } { 5 } - \frac { 2 } { 7 } } { 1- \frac { 2 } { 5 } \cdot \frac { 2 } { 7 } } =- \frac { 24 } { 31 } , \\ \phi=142 ^ {\circ } . \end {array} \]</p> <p>그림을 잘 그리기 위해서 표를 만드는데 구간 $[a, b] $ 를 그릴 함수의 정의역의 부분집합으로 제한하고 함수의 어떤 치역을 포함하는 수직구간 $[c, d] $ 로 제한하고 있다. 그림을 잘 그리기 위한 성공여부는 종종 곡선의 홍미 있는 모양을 나타내는 이런 구간의 선택에 달려 있다.</p> <p>보기8 방정식 $ 4 x ^ { 2 } + 9 y ^ { 2 } = 36 $ 로 정의된 관계의 그래프를 그려라.</p> <p>해: 표를 만들어 적당한 형식을 구하기 위해 $ y $ 에 대해 방정식을 푼다. 그래서 \[ y= \pm \frac { 2 } { 3 } \sqrt { 9-x ^ { 2 } } \text { . } \] 지금 $ x $ 는 오직 -3 부터 3 까지 값들을 취할 수 있다. $ x $ 의 다른 값들에 대해 $ y $ 의 값들은 허수가 된다. 다음 표의 수의 쌍들은 그래프의 점들이 된다. 점들을 연결하여 그린 곡선을 타원(ellipse)이라 부른다.</p> <p>그림 1.6 과 그림 1.33 에서 1.35 까지 그래프를 살펴보면 다음 테스트로 비교적 쉽게 그래프로부터 관계가 함수가 되는지를 말할 수 있다: 만약 임의의 수직선이 한 점보다 많은 점에서 관계의 그래프를 가로지르거나 만난다면 관계는 함수가 아니다. 왜냐하면 그래프 위에 $ y \neq z $ 인 두 점들 $ (x, y) $ 와 $ (x, z) $ 이 있기 때문이다. 그림 1.6 과 1.35 에 그린 관계들은 함수가 아니다. 반면에 그림 1.33 과 1.34 에 그린 관계들은 함수임을 쉽게 알 수 있다.</p> <p>정의 1.9 곡선이 $ X $-축과 만나거나 가로지르는 점의 가로좌표를 $ x $ - 절편 ( $x $-intercept)이라 부르고 곡선이 $ y $-축과 만나거나 가로지르는 점의 세로좌표를 $ y $-절편 ( $y $-intercept)이라 부른다.</p> <p>방정식의 그래프의 $ x $-절편을 구하기 위해 $ y=0 $ 으로 놓고 $ x $ 에 대해 방정 식을 푼다. 비슷하게 $ x=0 $ 로 놓고 $ y $-절편을 구하기 위해 $ y $ 에 관해 푼다. 그러면 방정식 \[ y + x ^ { 2 } -2 x-3=0 \] 의 $ x $-절편은 $ -1 $ 과 3 이고 $ y $-절편은 3이다. 절편은 다음 연습문제에서 방정식의 그래프를 그리는데 도움이 될 것이다.</p> <p>보기3 $ T $를 정의역이 실수들의 집합이고 만약 $ y=\|x\| $ 이면 $ (x, y) $ 가 $ T $ 에 있는 성질을 갖는 관계라 하자. $ T $ 는 함수인가? $ T $의 치역은?</p> <p>해: $ (2,2) $ 와 $ (-2,2) $ 는 $ T $ 에 있다. 그러나 이것은 함수의 정의에 모순이 아니다. 문제는 다음 것이다. 같은 첫 번째 원소와 다른 두 번째 원소를 갖는 $ T $ 안에 두 순서쌍이 존재하는가? 실수는 두개의 다른 절대값들을 가질 수 있는가? 정의1.1에 따라 대답은 “아니다"이다. 관계 $ T $ 는 함수이다. $ T $ 의 치역은 각 실수에 절대값을 취해 얻을 수 있는 모든 결과들의 집합이다. 그래서 $ T $ 의 치역은 모든 음이 아닌 실수들의 집합이다.</p> <p>정의역을 열거하고 순서쌍의 원소들을 관련시키는 방정식에 의해 관계나 함수는 완전히 결정될 수 있다. 정의역을 열거하지 않고 방정식을 주는 것이 흔한 일이다. 이런 일이 생기면 정의역이 가장 큰 실수 $ x $ 로 되어 있어서 방정식이 실수 $ y=f(x) $ 가 된다고 이해하면 된다.</p> <p>보기4 $ y=1 / x $ 인 함수의 정의역과 치역을 구하라.</p> <p>해: 모든 0 이 아닌 실수 $ x $ 에 대해 방정식은 실수 $ y $ 가 0 이 아니게 된다. 만약 $ x $ 나 혹은 $ y $ 가 0 이면 방정식은 거짓이 된다. 그래서 정의역은 모든 0 이 아닌 실수들의 집합이고 치역도 마찬가지이다.</p> <p>보기5 $ y=\sqrt{9-x^{2}} $ 의 정의역과 치역을 구하라.</p> <p>해: 정의역은 $ 9-x^{2} \geq 0 $ 인 모든 실수 $ x $ 로 되어있다. 만약 근호 속의 숫자가 음수이면 $ y $ 가 실수가 아니기 때문이다. 대수에서 $ 9 \geq x^{2} $ 과 $ -3 \leq x \leq 3 $ 은 서로 동치이다. 게다가 $ x $ 가 $ -3 $ 에서 3 까지 변하므로 $ y $ 는 0 부터 3 까지 변하여 0 으로 돌아온다. 그래서 치역은 0 부터 3 까지 수들의 집합이다.</p> <p>삼각함수 사인과 코사인은 정의역이 실수의 집합이고 치역은 $ -1 $ 부터 1 까지 실수의 집합이다. 책 후반에 다시 삼각함수가 나온다.</p> <p>함수가 다른 구간에서 다른 방법으로 정의되는 일도 생긴다. 예를 들면 \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x & \text { if } 0 \leq x<1, \\ x^{2} & \text { if } 1 \leq x<3, \\ 2 x+3 & \text { if } 3 \leq x . \end{array}\right. \] 그러면 $ f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(2)=4 $, 그리고 $ f(12)=27 $.</p> <p>두 점들 사이의 거리</p> <p>많은 문제에서 좌표평면의 두 점들 사이에 거리가 필요하다. 임의의 두 점들 사이의 거리, 혹은 그들을 연결하는 선분의 길이는 점들의 좌표들에서 구할 수 있다. 선분(혹은 직선)을 $ x $-축, $ y $-축에 평행하냐 혹은 어느 축에도 평행하지 않느냐에 따라 수평선(horizontal), 수직선(vertical), 혹은 사선(slant)으로 분류한다. 이런 종류의 선분들의 길이에 대한 적당한 공식을 유도하는데 유향선분의 개념을 사용할 것이다.</p> <p>$ P_{1}\left(x_{1}, y\right) $과 $ P_{2}\left(x_{2}, y\right) $를 수평선 위에 두 점이라 하고 $ A $를 직선이 $ y $-축을 가로지르는 점이라 하자(그림 1.7). 정리 1.1 에 의해서 \[ \begin{aligned} \overrightarrow{A P_{1}}+\overrightarrow{P_{1} P_{2}} &=\overrightarrow{A P_{2}} \\ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} &=\overrightarrow{A P_{2}}-\overrightarrow{A P_{1}} \\ &=x_{2}-x_{1} . \end{aligned} \]</p> <p>비슷하게 수직거리 $ \overrightarrow{Q_{1} Q_{2}} $에 대해서 \[ \begin{aligned} \overrightarrow{Q_{1} Q_{2}} &=\overrightarrow{Q_{1} B}+\overrightarrow{B Q_{2}} \\ &=\overrightarrow{B Q_{2}}-\overrightarrow{B Q_{1}} \\ &=y_{2}-y_{1} . \end{aligned} \]</p> <p>그래서 수평선 위에 첫 번째 점에서 두 번째 점까지 유향거리는 두 번째 점의 가로좌표에서 첫 번째 점의 가로좌표를 뺀 것과 같다. 두 번째 점이 첫 번째 점의 오른쪽인가 왼쪽인가에 따라서 거리가 양수거나 음수가 된다. 수직선분에 대해서도 대응하는 진술을 얻을 수 있다.</p> <p>방향에 상관없이 선분들의 길이만 종종 요구되므로 양의 결과들이 되는 기준을 진술한다.</p> <p>두 점을 연결하는 수평선분의 길이는 오른쪽 점의 가로좌표에서 왼쪽 점의 가로좌표를 뺀 것이다.</p> <p>두 점을 연결하는 수직선분의 길이는 위에 점의 세로좌표에서 아래 점의 세로좌표를 뺀 것이다.</p> <p>만약 점이 다른 점의 오른쪽에 있는지를 알지 못하면 $ P_{1}\left(x_{1}, y\right) $과 $ P_{2}\left(x_{2}, y\right) $사이의 비유향거리에 대한 다음 동치인 표현을 사용한다.</p> <p>$ \left\|P_{1} P_{2}\right\|=\left\|x_{1}-x_{2}\right\|=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}} $<caption>(1.1)</caption></p> <p>비슷하게 다음은 $ Q_{1}\left(x, y_{1}\right) $과 $ Q_{2}\left(x, y_{2}\right) $사이의 거리이다. \[ \left\|Q_{1} Q_{2}\right\|=\left\|y_{1}-y_{2}\right\|=\sqrt{\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} \]</p> <p>이 기준들을 그림 $ 1.8 $ 에 선분들의 길이들을 구하는데 적용한다. \[ \begin{array}{ll} \|A B\|=5-1=4, & \|C D\|=6-(-2)=6+2=8, \\ \|E F\|=1-(-4)=1+4=5, & \|G H\|=-2-(-5)=-2+5=3 . \end{array} \]</p> <p>다음에 사선을 결정하는 점들 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $과 $ P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $를 생각해 보자. $ P_{1} $을 지나고 $ x $-축에 평행한 직선과 $ P_{2} $를 지나고 $ y $-축에 평행한 직선을 그린다(그림 1.9). 이 두 직선들은 가로좌표가 $ x_{2} $이고 세로좌표가 $ y_{1} $인 점 $ R $에서 만난다. 그래서 $ \overrightarrow{P_{1} R}=x_{2}-x_{1} \quad $ 그리고 $ \quad \overrightarrow{R P_{2}}=y_{2}-y_{1} $.</p> <p>피타고라스의 정리에 의해 \[ \left\|P_{1} P_{2}\right\|^{2}=\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2} . \]</p> <p>선분 $ P_{1} P_{2} $ 의 길이를 $ a $ 로 표시하면 다음 공식을 얻는다.</p> <p>$ d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} $.<caption>(1.2)</caption></p> <p>두 점 사이의 거리를 구하기 위해 가로좌표들의 차의 자승에 세로좌표들의 차의 자승을 더한 합에 이중근을 취하면 된다.</p> <p>거리공식을 사용하는데 한 점을 $ \left(x_{1}, y_{1}\right) $ 로 정하거나 다른 점을 $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ 로 정할 수 있다. 이것은 근호 안에 포함된 두 차가 제곱이라는 사실에서 기인한다. 두 수들의 차의 제곱은 뺄셈의 순서가 바뀌어도 변하지 않는다.</p> <p>보기1 꼭지점들이 $ A(-1,-3), B(6,1) $ 그리고 $ C(-2,5) $ 인 삼각형 (그림 1.10)의 변들의 길이를 구하라.</p> <p>해: $ A $ 와 $ C $ 의 가로좌표들은 같고 그러므로 변 $ AC $ 는 수직선이다. 수직변의 길이는 세로좌표들의 차이다. 다른 변들은 사선이고 그 길이를 구하는데 일반적인 거리공식을 사용한다. 그래서 \[ \begin{array}{l} \|A C\|=5-(-3)=5+3=8, \\ \|A B\|=\sqrt{(6+2)^{2}+(1+3)^{2}}=\sqrt{80}=4 \sqrt{5}, \\ \|B C\|=\sqrt{(6+2)^{2}+(1-5)^{2}}=\sqrt{80}=4 \sqrt{5} . \end{array} \] 변들의 길이로 보아 삼각형은 이등변삼각형이다.</p> <h2>1.3 선분의 분할</h2> <p>이 절에서 선분을 특별한 관계를 갖는 두 부분으로 나누는 점의 좌표를 구하는 방법에 대해 알아 볼 것이다. 먼저 주어진 두 점들 사이의 중점의 좌표에 대한 공식을 구한다.</p> <p>$ A\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 과 $ B\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 을 선분의 끝점이라 하고 $ P(x, y) $ 를 $ AB $ 의 중점이라 하자. 닮은 삼각형(그림 1.23)으로부터 \[ \frac{\overrightarrow{A P}}{\overrightarrow{A B}}=\frac{\overrightarrow{A M}}{\overrightarrow{A N}}=\frac{\overrightarrow{M P}}{\overrightarrow{N B}}=\frac{1}{2}. \]</p> <p>그래서 \[ \frac{\overrightarrow{A M}}{\overrightarrow{A N}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{1}{2}\ \text { 그리고 } \quad \frac{\overrightarrow{M P}}{\overrightarrow{N B}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=\frac{1}{2} . \]</p> <p>$ x $ 와 $ y $ 에 관해 풀면 \[ x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \text { 그리고 } \quad y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2} \text {. } \]<caption>(1.4)</caption></p> <p>정리 1.6 한 선분의 중점의 가로좌표는 끝점들의 가로좌표들의 합의 반이고 세로 좌표는 세로좌표들의 합의 반이다.</p> <p>이 정리는 $ P(x, y) $ 를 $ A $ 와 $ B $ 를 지나는 직선의 임의의 분할 점으로 놓으면 일반화된다. 만약 $ \overrightarrow{AB} $에 대한 $ \overrightarrow{AF} $의 비를 $ \frac{1}{2} $ 대신에 $ r $ 이라면 \[ \frac{\overrightarrow{A P}}{\overrightarrow{A B}}=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}=r \quad \text { 그리고 } \quad \frac{\overrightarrow{A P}}{\overline{A B}}=\frac{y-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}=r \]</p> <p>이 방정식들을 $ x $ 와 $ y $ 에 관해 풀면 \[ x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right), \quad y=y_{1}+r\left(y_{2}-y_{1}\right) . \]<caption>(1.5)</caption></p> <p>만약 $ r=\frac{1}{2} $ 이면 공식 $ (1.5) $ 가 중점공식 (1.4) 가 된다.</p> <p>학생들은 공식 (1.5)를 기억하는 것보다 닮은 삼각형을 이용하여 유도하는 방법을 기억하는 것이 좋다. 학생들은 이것과 앞으로 수학과정에서 문제를 풀기 위해 닮은 삼각형을 사용할 기회가 많을 것이다. 상대적으로 공식 (1.5)를 사용할 기회는 적다.</p> <p>보기1 $ A(3,-4) $ 와 $ B(7,2) $ 를 연결하는 선분의 중점의 좌표를 구하라.</p> <p>해: 중점공식 (1.4) 를 적용하면 \[ x=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=\frac{3+7}{2}=5, \quad y=\frac{y_{1}+y_{2}}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1 . \] 그래서 그림 1.24에서처럼 중점의 좌표는 (5,-1)이다.</p> <p>보기2 선분의 한 끝점이 $ A(6,4) $ 이고 선분의 중점이 $ P(-2,9) $ 이다. 다른 끝점의 좌표를 구하라.</p> <p>해: $ \left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 모르는 좌표라 하자. 그러면 공식 (1.4)에서 $ x $ 대신에 -2, $ y $ 대신에 9, $x_{1}$ 대신에 6 , 그리고 $ y_{1} $ 대신에 4를 대입하면 \[ -2=\frac{6+x_{2}}{2} \text { 그리고 } 9=\frac{4+y_{2}}{2} \text {. } \] $ x_{2}=-10 $이고 $ y_{2}=14 $이다. 그래서 구할 좌표는 (-10,14) 이다.</p> <p>보기3 $ A(-3,-4) $ 와 $ B(6,11) $ 를 연결하는 선분의 두 3등분 점의 좌표를 구하라.</p> <p>해: $ P_{1}(x, y) $ 과 $ P_{2}(x, y) $ 를 3 등분점이라 하자. $ P_{1} $ 을 구하기 위해 공식 (1.5)에서 $ r=\frac{1}{3} $ 을 사용하면 \[ \begin{array}{l} x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right)=-3+\frac{1}{3}(6+3)=0, \\ y=y_{1}+r\left(y_{2}-y_{1}\right)=-4+\frac{1}{3}(11+4)=1 . \end{array} \] $ P_{2} $ 을 구하기 위해 공식 (1.5)에서 $ r=\frac{2}{3} $ 을 사용하면 \[ \begin{array}{l} x=x_{1}+r\left(x_{2}-x_{1}\right)=-3+\frac{2}{3}(6+3)=3, \\ y=x_{1}+r\left(y_{2}-y_{1}\right)=-4+\frac{2}{3}(11+4)=6 . \end{array} \] 그래서 그림 1.25에서처럼 3등분 점은 (0,1) 과 (3,6)이다.</p> <p>공식 (1.5)에서 점 $ F $ 가 $ A $ 와 $ B $ 사이에 있기 위한 필요충분조건은 $ 0<r<1 $이다. 그러나 만약 $ F $가 $ B $로 확장한 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 위의 점이면 선분 $ \overrightarrow{A F} $ 의 길이는 $ \overrightarrow{A B} $ 의 길이보다 크고 $ r $은 1보다 크다. 반대로 만약 $ r $ 이 1보다 크면 공식 (1.5)에 의해 $ B $로 확장한 선분 위에 점을 얻는다. 다른 쪽( $ A $ 쪽)으로 확장한 선분 위의 점을 구하기 위해 $ r $ 이 음수인 공식 (1.5)을 사용하거나 (1.5)를 유도하는데 사용한 것과 비슷한 삼각형논법을 사용할 수 있다.</p> <p>보기4 한 점 $ P(x, y) $ 가 $ A(-4,4) $ 와 $ B(5,2) $ 를 지나는 직선 위에 있다. (a) $ A $부터 거리가 $ B $부터 거리의 2배가 되게 선분 $ \overrightarrow{A B} $를 $ B $를 지나 $ P $까지 연장할 때 $ F $의 좌표를 구하라. (b) $ B $부터 거리가 $ A $부터 거리의 3 배가 되게 선분 $ \overrightarrow{A B} $를 $ A $를 지나 $ P $까지 연장할 때 $ F $의 좌표를 구하라.</p> <p>해: (a) $ \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{B F} $이기 때문에 $ \overrightarrow{B P}=\overrightarrow{A B} $이다. 그래서 $ \overrightarrow{A B} $에 대한 $ \overrightarrow{A F} $의 비는 2이다. 따라서 공식 ( 1.5) 에서 $ r=2 $ 를 사용하면 \[ x=-4+2(5+4)=14, \quad y=4+2(2-4)=0. \] 구할 좌표는 $ (14,0) $ 이다.$\\$ (b) 먼저 닮은 삼각형을 사용할 수 있게 그래프를 그린다. 그림에서 \[ \begin{array}{c} \frac{\overrightarrow{P A}}{\overrightarrow{P B}}=\frac{-4-x}{5-x}=\frac{1}{3} \\ 3(4+x)=x-5 \\ x=-8.5, \end{array} \] 그리고 \[ \begin{array}{c} \frac{\overrightarrow{P A}}{\overrightarrow{P B}}=\frac{4-y}{2-y}=\frac{1}{3} \\ 3(4-y)=2-y \\ y=5 . \end{array} \] 한편 $ r=-\frac{1}{2} $인 공식 (1.5)를 사용하면 \[ \begin{array}{l} x=-4+\left(-\frac{1}{2}\right)(5+4)=-8.5 \\ y=4+\left(-\frac{1}{2}\right)(2-4)=5 . \end{array} \] 다른 방법으로 $ F $ 의 좌표는 (-8.5, 5)이다.</p> <p>보기5 삼각형의 한 꼭지점과 마주보는 변의 중점을 연결한 선분을 삼각형의 중선(median)이라 한다. 그림 1.28 에서 꼭지점 $ A(4,-4), B(10,4), C(2,6) $ 을 갖고 마주보는 변들의 중점이 각각 $ D(6,5), E(3,1), F(7,0) $인 삼각형을 그렸다. 꼭지점부터 마주보는 변의 중점까지의 거리의 2/3 인 각 중선 위의 점을 구하라.</p> <p>해: 분할공식 (1.5)의 점에서 $ r=2 / 3 $ 을 사용하면 각각 중선 $ A D, B E, C F $에 대해 \[ \begin{array}{l} x=4+\frac{2}{3}(6-4)=\frac{16}{3}, \quad y=-4+\frac{2}{3}(5+4)=2, \\ x=10+\frac{2}{3}(3-10)=\frac{16}{3}, \quad y=4+\frac{2}{3}(1-4)=2, \\ x=2+\frac{2}{3}(7-2)=\frac{16}{3}, \quad y=6+\frac{2}{3}(0-6)=2 . \end{array} \] 중선들은 동시에 점 (16/3, 2)에서 만난다는 것을 말해 준다.</p> <p>보기5 (-5,0) 와 (5,0) 부터 $ F $ 까지 거리의 합이 14인 모든 점 $ P(x, y) $ 의 집합의 방정식을 구하라.</p> <p>해: 그림 1.40 을 참고로 하면 다음 방정식을 얻는다. \[ \sqrt { (x + 5) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } + \sqrt { (x-5) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = 14 . \] 두 번째 근호를 이항하고 제곱하여 간단히 하면 다음 식을 얻는다. \[ 7 \sqrt { (x-5) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =49-5 x \text { . } \] 다시 제곱하고 간단히 하면 다음 식을 얻는다. \[ 24 x ^ { 2 } + 49 y ^ { 2 } =1176 . \] 그림에서 알 수 있듯이 이 방정식의 그래프의 $ x $-절편은 (-7,0) 과 (7,0) 이고 $ y $-절편은 $ (0,- \sqrt { 24 } ) $와 $ (0, \sqrt { 24 } ) $이다.</p> <p>연구원이 자료를 얻으면 자료에 변수들 사이에 함수적인 관계를 구하고 싶어 하는 것은 흔히 있는 일이다. 만약 오직 많은 한정된 관찰만을 했다면 자료의 그래프는 이산그래프가 될 것이고 어떠한 “가장 적합"한 관련성도 측정할 수 없을 것이다.</p> <p>보기6 홍역이 발생한 동안에 보건당국자는 첫 번째 주에 5가지의 새로운 경우를 관찰하고 두 번째 주에 18가지의 새로운 경우, 세 번째 주에 36가지의 경우, 네 번째 주에 59가지의 새로운 경우를 관찰하였다. 다섯 번째 주에는 얼마나 새로운 경우가 기대되는가?</p> <p>해: 그림 1.41에 나타낸 것처럼 점들 { (1, 5),(2, 18),(3, 36),(4, 59) } 를 표시한다. 변수들 사이에 어떠한 관련성도 없으므로 $ f(5) $ 에 대한 정확한 값을 결정할 특별한 방법이 없다. 여러가지 추정을 할 수 있다. $ x=3 $ 과 $ x=4 $ 사이의 "기울기"는 23이다. 만약 $ x=4 $ 와 $ x=5 $ 사이에 똑같은 기울기를 갖는다면 (5,82) 는 82가지의 새로운 경우들이 기대되는 점이다. 그러나 (1,5) 와 (2,18) 사이의 기울기는 13,(2,18) 과 (3,36) 사이의 기울기는 18 , 그리고 (3,36) 과 (4,59) 사이의 기울기는 23임에 주목하자. 기울기는 주들 사이에 5만큼 증가하고 있다. 만약 또 다른 그러한 증가를 가정한다면 (5,87) 은 예상했던 점이고 87가지의 새로운 홍역이 예상된 다. 보건당국자는 십중팔구 다섯 번째 주에는 80과 90 사이의 새로운 경우를 기대하게 될 것이다.</p> <p>연속적인 곡선에 이산자료를 맞추는 여러 가지 방법들이 있다. 다른 방법은 다음에 보다 자세히 조사해 볼 것이다.</p> <h2>1.4 기하학적인 정리들의 해석적인 증명</h2> <p>좌표계를 사용하면 고전 유클리드 기하의 많은 정리들이 아주 간단하고 직접적으로 증명될 수 있다. 다음 보기에서 이 과정을 나타낸다.</p> <p>보기1 평행사변형의 대각선들은 서로를 이등분한다.</p> <p>해: 먼저 평행사변형을 그리고 좌표계를 도입하자. 그림에서 좌표축들의 위치를 잘 선택하면 꼭지점들의 좌표를 기입하기 쉽고 역시 증명을 하는데 필요한 대수적인 연산을 간단하게 할 수 있다. 그러므로 원점에 한 꼭지점을 놓고 평행사변형의 한 변을 따라서 좌표축을 놓는다. 그리고 꼭지점들의 좌표를 $ O(0,0) $, $ P_{1}(a, 0), P_{2}(b, c) $, 그리고 $ P_{3}(a+b, c) $ 로 표시한다. $ P_{2} $와 $ P_{3} $의 좌표들은 $ P_{2} P_{3} $ 와 $ O P_{1} $이 평행하고 같은 길이를 갖도록 표현하는 것이 중요하다. $ P_{2} $와 $ P_{3} $의 세로좌표를 같게 만들고 $ P_{3} $의 가로좌표를 $ P_{2} $의 가로좌표보다 $ a $만큼 크게 만들면 된다. $ O P_{3} $와 $ P_{1} P_{2} $가 서로서로 이등분된다는 것을 보이기 위해 각 좌표의 중점의 좌표를 구한다. $ O P_{3} $의 중점: $ x=\frac{a+b}{2}, y=\frac{c}{2}. $ $ P_{1} P_{2} $의 중점: $ x=\frac{a+b}{2}, \quad y=\frac{c}{2}. $ 각 대각선의 중점이 $ \left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right) $ 이므로 정리가 증명되었다.</p> <p>증명을 하는데 일반적인 그림을 사용하는 것이 중요하다. 예를 들어 직각사각형이나 마름모(모든 변이 같은 평행사변형)는 평행사변형으로 사용되지 않는다. 특별한 경우에 기반을 둔 정리의 증명은 일반적인 증명이 되지 못한다.</p> <p>보기2 삼각형에서 두 변의 중점을 연결하는 직선은 다른 변과 평행하고 길이가 1/2이 되는 것을 보여라.</p> <p>해: 삼각형과 두 변의 중점은 그림 1.30에서 나타냈다. 꼭지점들의 좌표들을 쉽게 쓸 수 있게 좌표축들의 위치를 정한다. 정리 1.3에 의해서 $ D C $ 의 기울기는 다음과 같다. \[ \frac{(c / 2)-(c / 2)}{\frac{1}{2}(a+b)-\frac{1}{2} b}=0 . \] 그래서 직선 $ D C $ 와 다른 변은 각각의 기울기가 0이기 때문에 평행하다. $ D C $의 길이를 구하기 위해 거리공식을 사용하면 \[ \sqrt{\left(\frac{a+b}{2}-\frac{b}{2}\right)^{2}+\left(\frac{c}{2}-\frac{c}{2}\right)^{2}}=\frac{a}{2} . \] 이것은 다른 변의 1/2이다.</p> <p>마름모의 정의를 만족해서 평행사변형의 마주보는 변은 같다. 그래서 만약 마주보는 한 쌍의 한 변의 길이가 다른 쌍의 한 변의 길이와 같다면 모든 변들은 같고 $ O A C B $는 마름모이다. 이제 변 $ O A $는 변 $ O B $와 같음을 보이자.</p> <p>$ O C $ 의 기울기 $ =\frac{c-0}{a+b-0}=\frac{c}{a+b}. $</p> <p>$ A B $ 의 기울기 $ =\frac{c-0}{b-a}=\frac{c}{b-a}. $</p> <p>각각의 기울기는 다른 기울기의 음의 역수이다(정리1.5). 다른 말로 두 기울기의 곱이 -1 이다. 그래서 \[ \frac{c}{b-a} \cdot \frac{c}{a+b}=-1 \text { 혹은 } \quad c^{2}=a^{2}-b^{2} \text { 그리고 } a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}. \]</p> <p>이 마지막 방정식의 왼쪽은 $ O A $의 길이이고 오른쪽은 $ O B $의 길이다. 그래서 $ O A C B $는 마름모이다.</p> <p>보기4 $ A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) $, 그리고 $ C\left(x_{3}, y_{3}\right) $는 삼각형의 꼭지점들이다. 꼭지점에서 마주보는 변의 중점까지 길이에 2/3가 되는 각 중선위에 점의 좌표들을 구하라.</p> <p>해: 그림 1.32는 삼각형과 변의 중점들의 좌표들을 표시했다. $ (x, y) $ 를 중선 $ A D $ 위에 구할 점의 좌표로 놓자. 그러면 분할공식(식(1.5))에서 $ r=2 / 3 $를 사용하여 다음 식을 얻는다. \[ x=x_{1}+\frac{2}{3}\left(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}-x_{1}\right)=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3} \] \[ y=y_{1}+\frac{2}{3}\left(\frac{y_{2}+y_{3}}{2}-y_{1}\right)=\frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}. \] 비슷하게, 중선 $ B E $ 위에 구할 점을 $ (x, y) $ 라 하면 다음과 같이 된다. \[ \begin{array}{l} x=x_{2}+\frac{2}{3}\left(\frac{x_{1}+x_{3}}{2}-x_{2}\right)=\frac{x_{2}+x_{1}+x_{3}}{3}, \\ y=y_{2}+\frac{2}{3}\left(\frac{y_{1}+y_{3}}{2}-y_{2}\right)=\frac{y_{2}+y_{1}+y_{3}}{3}. \end{array} \] 위의 결과로부터 중선들 중에 둘은 점 \[ \left(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}\right) \] 에서 만난다. 그레서 모든 세 중선은 이 점을 통과한다는 결론에 이른다. 오직 한 중선만을 생각하여 이런 결론을 낼 수 있을까?</p> <p>지금까지의 결과로부터 다음 정리를 만들었다.</p> <p>정리 1.7 삼각형의 세 중선은 가로좌표가 삼각형의 꼭지점들의 가로좌표들의 합에 1/3 이고 세로좌표는 꼭지점들의 세로좌표의 합에 1/3 인 점에서 만난다.</p> <p>보기5 삼각형의 꼭지점들이 (-7, 3),(4, -2), 그리고 (6, 5)에 있다. 중선들의 교점을 구하라.</p> <p>해: 교점의 가로좌표는 $ \frac{1}{3}(-7+4+6)=1 $, 세로좌표는 $ \frac{1}{3}(3-2+5)=2 $이다. 그래서 중선들은 (1, 2)에서 만난다.</p> <h2>1.5 관계와 함수</h2> <p>이 절에서 소개하는 관계와 함수의 개념은 수학의 모든 분야에 보급되었다. 아마도 많은 수학분야에서 가장 중요한 개념이다. 실제로 대수와 삼각함수에서 이런 개념을 벌써 만났다. 그럼에도 불구하고 이 개념은 중요하기 때문에 이 책의 많은 나머지 부분에서 다시 소개를 한다.</p> <p>정의 1.6 관계(relation)는 수들의 순서쌍의 집합이다. 관계에서 나오는 모든 첫 번 째 원소들의 집합은 관계의 정의역(domain)이고 모든 두 번째 원소들의 집합은 관계의 치역(range)이다.</p> <p>보기1 다음 관계의 정의역과 치역을 구하라. \[ R=\{(-5,-5),(-4,2),(-2,-2),(0,1),(0,-3),(2,-4),(3,4)\} \]</p> <p>해: 정의역은 {-5,-4,-2,0,2,3} 이고 $ R $의 치역은 {-5,-4,-3,-2,1,2,4} 이다. 이 관계 $ R $은 순서쌍의 원소들 사이의 분명한 관계를 보이지 않았다. 그래서 순서쌍을 열거하는 것이 관계를 나타내는 최선책이다. 종종 관계의 순서쌍의 원소들 사이에 특녈한 관련성이 있게된다. 예를 들어 두 번째 원소가 항시 첫 번째 원소의 두 배가 될 수도 있다. 순서쌍의 원소들이 어떻게 관련되는지 보여주는 법칙과 방법이 있을 때 보기1에서 했던 것처럼 쌍들의 열거에 의지할 필요가 없다. 법칙을 사용하여 관계를 보일 수 있다.</p> <p>보기2 정의역이 실수들의 집합이고 각 순서쌍이 어떤 실수 $ x $에 대해 $ (x, 2 x) $ 형태의 성질을 갖는 관계 $ S $는 무한히 많은 순서쌍을 갖는다. 법칙 $ y=2 x $로 표시할 수 있다.</p> <p>정의 1.7 함수(function)는 어떠한 두 순서쌍도 같은 첫 번째 원소와 다른 두 번째 원소를 갖지 않는 관계이다.</p> <p>만약 관계가 함수라면 정의역의 각 원소에 대해 치역의 한 원소가 오직 하나 대응된다. 그래서 함수는 특별한 형태의 관계이다. 보기 1 의 관계 $ R $은 (0,1) 과 (0,-3)이 $ R $에 있기 때문에 함수가 아니다. 즉 정의역에 수 0은 치역에 다른 수들 1,-3과 관련이 되었다. 보기 2의 관계 $ S $는 함수이다.</p> <p>함수에 이름이 $ t $ 로 주어지면 $ y=f(x) $ 라 쓰고 함수의 관계를 열거하는 것이 관습이다.</p> <p>술어 " $ f(x) $ "는 " $ x $ 의 $ f $ "라 읽고 정의역의 원소 $ x $ 가 함수 $ t $ 에 의해 관련이 되는 치역의 원소를 의미한다. 만약 $ S $ 가 보기 2 의 함수이면 함수를 $ y=S(x) =2 x $ 로 열거할 수 있다. 그래서 $ S(6)=12, S(-\sqrt{2})=-2 \sqrt{2} $, 그리고 $ S(\pi)=2 \pi $ 이다.</p> <p>실직선</p> <p>해석기하의 기본적인 개념은 모든 실수들을 유향직선 위에 점들로 표시하는 것이다. 실수들은 양수들, 음수들, 그리고 0 로 되어있다.</p> <p>먼저 직선 위에 한 방향을 양으로 취하고(그림 1.3 에서 오른쪽) 수 0를 표현 하기 위해서 직선의 한 점 $ O $를 선택한다. 그것을 원점(origin)이라고 부른다. 다음 원점의 오른쪽에 점들을 거리 1,2,3, $\cdots $으로 표시한다. 그렇게 놓은 점들은 수들 1,2,3, $\cdots $ 을 나타내게 놓는다. 똑같은 방법으로 원점의 왼쪽에 점들을 수들 -1,-2,-3, $\cdots $ 을 나타내게 놓는다. 그래서 양의 정수, 음의 정수, 정수 0 을 지정한 점들이 있다. 두 연속되는 정수들 사이에 있는 수들은 그 정수들과 연관된 점들 사이에 대응하는 점들을 가지고 있다. 그래서 수 $ 2 \frac{1}{4} $ 은 원점에서 $ 2 \frac{1}{4} $ 만큼 오른쪽으로 있는 점이다. 그리고 일반적으로 임의의 양수 $ p $ 는 원점에서 $ p $ 만큼 오른쪽으로 있는 점으로 나타내고 음수 $ q $ 는 원점에서 $ q $ 만큼 왼쪽으로 있는 점으로 나타낸다. 더욱이 모든 실수는 직선 위에 한 점에 대응되고 반대로 직선 위에 모든 점은 한 실수에 대응된다고 가정하자. 실수들의 집합과 유향직선 위에 점들의 집합과의 이 관계를 1 대1 대응 (oneto-one correspondence)이라고 부른다. 예를 들어 “수 5”일 때 “점 5”로 말할 수 있고 “점 5”일 때 “수 5”로 말할 수 있다.</p> <p>직각좌표</p> <p>직선 위에 점들과 실수계 사이에 1대1 대응을 얻고 난 다음으로 평면의 점들을 실수들의 순서쌍들의 집합과 1대1 대응 관계를 설명한다.</p> <p>정의 1.2 수들이 발생하는 순서가 구별되는 수들의 쌍 $ (x, y) $ 는 수들의 순서쌍 (ordered pair)이다. 두 순서쌍, $ (x, y) $ 와 $ \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) $ 이 같기 위한 필요 충분조건은 $ x=x^{\prime} $ 와 $ y=y^{\prime} $ 이다.</p> <p>$ (3,2) \neq(2,3) $, 그리고 $ (1,1)=(x, y) \Leftrightarrow x=1 $ 과 $ y=1 $.</p> <p>원점 $ O $에서 만나는 수평선과 수직선을 그린다(그림 1.4). 수평선을 $ x $-축이라 부르고 수직선을 $ y $-축이라 부른다. $ x $-축과 $ y $-축을 함께 좌표축들(coordinate axes)이라 부르고 좌표축들에 의해 결정되는 평면을 좌표평면(coordinate plane)이라 부른다. 흔히 수평으로 그린 $ X $-축을 수평축이라 부르고 $ y $-축을 수직축이라 부른다. 편리한 길이의 단위로 원점을 0점으로 놓고 각 좌표축 위에 실수 눈금을 표시한다. 그림에서 화살촉으로 표시한 것처럼 양의 방향을 $ x $-축의 오른쪽과 $ y $-축의 위쪽으로 택한다.</p> <p>좌표축들을 표시하는 것은 아주 중요하다. 학생들은 당장 이 습관을 들여야 한다. 각 좌표축의 양의 방향으로 간단한 화살표를 하면 충분하지만 그림 1.4에서처럼 현 상황에서 각 좌표의 이름 $ (x $ 혹은 $ y) $ 을 나타내야 하고 책의 나머지에서도 마찬가지다.</p> <p>만약 $ F $ 가 좌표평면 위의 한 점이면 좌표축들로부터 점까지의 거리를 유향 거리로 정의한다. 즉, $ F $ 가 $ y $-축의 오른쪽에 있으면 $ \quad y $-축으로부터 거리는 양수이고 만약 $ F $ 가 왼쪽에 있으면 음수이다. 만약 $ F $ 가 $ x $-축 위에 있으면 $ x $-축으로부터 거리는 양수이고 만약 $ F $ 가 $ x $-축 아래에 있으면 음수이다.</p> <p>정의 1.3 한 점 $ F $ 의 $ x $-좌표, 혹은 가로좌표(abscissa), 는 $ y $-축부터 점까지 유향거리이다. 한 점 $ F $ 의 $ y $-좌표, 혹은 세로좌표(ordinate), 는 $ x $-축부터 점까지 유향거리이다.</p> <p>가로좌표가 $ x $ 이고 세로좌표가 $ y $ 인 한 점은 $ (x, y) $ 로 정하는데 순서에서 가로좌표가 항상 먼저 나온다. 그래서 한 점의 좌표는 수들의 순서쌍이다. 비록 한 쌍의 좌표가 한 점을 결정하지만 종종 좌표들 그 자체를 점으로 여긴다.</p> <p>임의의 실수 쌍에 대해 하나의 명확한 점이 대응된다고 가정하자. 반대로 평면의 각 점에 대해 하나의 분명한 좌표쌍이 대응된다고 가정하자. 평면 위에 점들과 실수들의 쌍들과의 이 관계를 1대1 대응이라 부른다. 이 대응관계를 얻기 위해 설명한 도구를 직각좌표계(rectangular coordinate system)라 부른다.</p> <p>좌표축들은 평면을 상한들(quadrants)이라 부르는 4 부분으로 나누는데 그림 1.4 에 Ⅰ에서 Ⅳ까지 번호를 붙였다. 1상한에 한 점의 좌표들은 둘 다 양수이고 그림에 $ (+,+) $ 로 표시했다. 다른 상한들 각각에서 좌표들의 부호들은 비슷하게 표시했다.</p> <p>주어진 좌표들의 한 점은 축들로부터 적당한 거리를 측정하고 그렇게 위치한 점을 표시하여 정했다. 예를 들어 만약 한 점의 좌표들이 (-4,3)이면 가로 좌표 -4 는 점이 $ y $-축의 왼쪽으로 4만큼 떨어진 것을 의미하고 세로좌표 3은 점이 $ x $-축 위로 3 만큼 떨어졌음을 의미한다. 결과적으로 점을 원점에서 $ x $-축을 따라 왼쪽으로 4만큼 이동하고 $ y $-축과 평행하게 위로 3만큼 이동한 것이다(그림 1.5).</p> <p>비슷하게 만약 점 (5,-3) 을 표시하고 싶으면 $ x $-축을 따라 원점의 오른쪽으로 5만큼 이동하고 $ y $-축과 평행하게 아래로(세로좌표가 음수이므로) 3만큼 이동한다. 이제 원했던 점을 표시한다.</p> <p>몇 개의 좌표들과 대응하는 점들을 그림 1.6에 표시했다.</p> <p>한 점의 좌표들이 정수가 아닐 때는 그래프 위에 점을 정하기 위해서 할 수 있는 가장 근사치를 만든다. 예를 들어 점들 $ A(\pi, \sqrt{2}) $ 와 $ B(-\sqrt{5}, 3 \pi) $ 를 표시하고 싶으면 그래프 위에 $ A $ 를 (3.1, 1.4) 의 근방에 정하고 $ B $ 를 (-2.2, 9.4) 가까이에 정한다. 만약 보다 정확하게 하고 싶으면 축들 위에 눈금들을 늘려 보다 정확하게 해야한다.</p> <p>두 변들 사이의 각</p> <p>두 만나는 직선은 같은 각의 두 쌍을 형성하고 한 쌍의 각은 다른 쌍의 각의 보각이다. 제각기 각을 직선들의 기울기로 어떻게 측정하는가를 보일 것이다.</p> <p>두 각의 차의 탄젠트공식을 사용하면 \[ \tan \phi=\tan \left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)=\frac{\tan \theta_{2}-\tan \theta_{1}}{1+\tan \theta_{1} \tan \theta_{2}} . \] 만약 $ m_{2}=\tan \theta_{2} $과 $ m_{1}=\tan \theta_{1} $으로 놓으면 \[ \tan \phi=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}, \] 여기서 $ m_{2} $ 는 끝나는 변의 기울기이고 $ m_{1} $은 시작하는 변의 기울기며 $ \phi $는 시계반대방향으로 측정한다.</p> <p>각 $ \psi $ 는 $ \phi $ 의 보각이고 그러므로 \[ \tan \psi=-\tan \phi=\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1} m_{2}} . \]</p> <p>$ \tan \psi $에 대한 이 공식은 분자에서 항들이 바뀐 것을 제외하고는 $ \tan \phi $에 대한 공식과 똑같다. 그러나 그림에서 시계반대방향으로 나타낸 것처럼 $ \psi $ 의 끝나는 변이 $ \phi $ 의 시작하는 변이고 $ \psi $ 의 시작하는 변이 $ \phi $ 의 끝나는 변임을 알 수 있다. 그래서 $ \tan \psi $ 의 분자는 $ \psi $ 의 끝나는 변의 기울기에서 $ \psi $ 의 시작하는 변의 기울기를 뺀 것과 같다. 똑같은 표현은 $ \tan \phi $ 에 대해서도 성립한다. 즉, $ \tan \phi $ 의 분자는 $ \phi $ 의 끝나는 변의 기울기에서 $ \phi $ 의 시작하는 변의 기울기를 뺀 것과 같다. 따라서 시작하고 끝나는 변들의 기울기로 어느 한쪽의 탄젠트를 같은 법칙으로 구할 수 있다. 이 결론을 정리로 진술한다.</p> <p>정리 1.4 만약 $ \phi $ 가 시계반대방향으로 측정한 두 직선사이의 각이면 \[ \tan \phi=\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1} m_{2}}, \]<caption>(1.3)</caption>여기서 $ m_{2} $는 끝나는 변의 기울기이고 $ m_{1} $은 시작하는 변의 기울기이다.</p> <p>이 공식은 만약 직선들 중에 어느 하나가 수직선이면 수직선은 기울기를 가지고 있지 않기 때문에 적용될 수 없을 것이다. 이 경우에 문제는 기울기가 알려진 직선이 수직선과 이루는 각을 구하거나 각의 삼각함수를 구하는 것이다. 그래서 새로운 공식이 필요 없다.</p> <p>수직하지 않은 임의의 두 비스듬한 직선에 대해 식 (1.3)에서 $ \tan \phi $의 값으로 명확한 수를 갖게 된다. 반대로 만약 직선들의 기울기로 공식이 명확한 값을 갖게 된다면 직각의 탄젠트는 존재하지 않기 때문에 직선들은 수직하지 않는다. 공식은 분모가 0 일 때에는 값을 갖지 못하므로 직선은 $ 1+m_{1} m_{2}=0 $ 이거나 \[ m_{2}=-\frac{1}{m_{1}} \] 일 때에만 수직하게 된다.</p> <p>게다가 만약 $ a_{2} $ 와 $ a_{1} $ 이 수직한 비스듬한 직선들의 경사각이라면 \[ a_{2}=a_{1}+90^{\circ} \quad \text { 혹은 } \quad a_{2}=a_{1}-90^{\circ} \text {. } \]</p> <h2>1.2 직선의 경사각과 기울기</h2> <p>직선의 경사각은 미적분과 다른 수학분야에서 널리 사용된 개념이다. 이 개념에 대해 다음의 정의를 갖는다.</p> <p>정의 1.4 $ x $-축과 만나는 직선의 경사각(inclination)은 직선과 $ x $-축의 양의 방향이 만드는 가장 작은 각으로, $ 0^{\circ} $ 보다 크거나 같다. 수평선의 경사각은 0이다.</p> <p>이 정의에 따르면 직선의 경사각 $ \Theta $ 는 다음과 같다.</p> <p>\[ 0^{\circ} \leq \theta<180^{\circ}, \] 혹은 라디안으로 측정해서 \[ 0 \leq \theta<\pi . \]</p> <p>그림 1.13에서 직선 $ L $의 경사각은 구부러진 화살로 표시했다. $ MX $는 시작하는 변이고 $ ML $은 끝나는 변이다.</p> <p>정의 직선의 기울기(slope)는 경사각의 탄젠트이다.</p> <p>오른쪽으로 기울은 직선은 경사각이 예각이므로 양의 기울기를 갖는다. 왼쪽으로 기울은 직선의 기울기는 음수이다. 그러나 $ 90^{\circ} $ 는 탄젠트를 갖지 않으므로 수직선은 기울기를 갖지 않는다.</p> <p>만약 수직이 아닌 직선의 경사각을 알고 있다면 정확한 계산기를 사용하여 기울기를 결정할 수 있다. 반대로 만약 직선의 기울기를 알고 있다면 그것의 경사각은 구할 수 있다. 그러나 대부분의 문제에서 직선의 경사각보다 기울기를 사용하는 것이 보다 편하다.</p> <p>보기1 $ P(2,2) $를 지나고 경사각이 $ 35^{\circ} $ 인 직선을 그려라.</p> <p>해: 그림 $ 1.14 $ 에서처럼 $ F $ 를 지나고 양의 $ x $-방향과 $ 35^{\circ} $ 를 이루는 직선을 그린다. 그림에서 역시 (-4,0)을 지나고 경사각이 $ 135^{\circ} $인 직선을 그렸다.</p> <p>경사각과 기울기의 정의들로부터 즉시 평행한 직선들에 관한 정리를 얻게 된다. 만약 두 직선이 같은 기울기를 갖는다면 그들의 경사각들은 같다. 그래서 기하학으로부터 그들이 평행하다는 것을 안다. 반대로 두 수직하지 않은 직선이 평행하다면 같은 경사각을 갖고 기울기가 같다.</p> <p>정리 1.2 두 수직하지 않은 직선이 평행하다. $ \Leftrightarrow $ 그들의 기울기가 같다.</p> <p>만약 직선 위에 두 점의 좌표를 알고 있다면 주어진 좌표로부터 직선의 기울기를 구할 수 있다. 지금 이런 목적으로 공식을 유도한다.</p> <p>$ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $ 과 $ P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 를 두 주어진 점이라 하고 기울기를 $ m $ 으로 나타내자. 그러면 그림 1.16을 참조하면 \[ m=\tan \theta=\frac{\overrightarrow{R P_{2}}}{\overline{P_{1} R}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} . \]</p> <p>그림 1.17에서 직선은 왼쪽으로 기울었다. $ y_{2}-y_{1} $ 과 $ x_{2}-x_{1} $ 은 양수이고 각 $ \theta $와 $ \Phi $는 보각이다. 그래서 \[ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\tan \phi=-\tan \theta . \]</p> <p>그러므로 \[ m=\tan \theta=-\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} . \]</p> <p>그래서 기울기는 왼쪽이나 오른쪽으로 기울은 직선들에 대해서도 똑같은 방법으로 결정된다.</p> <p>정리 1.3 두 주어진 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $과 $ P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $를 지나는 직선의 기울기 $ m $은 같은 순서로 세로좌표들의 차를 가로좌표들의 차로 나눈 것과 같다; 즉, \[ m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} . \]</p> <p>만약 두 점이 사선이나 수평선 위에 있다면 이 공식으로 기울기를 구할 수 있지만 직선이 수직선이면 공식에서 분모가 0이 되어 수직선에 대해서는 기울기가 정의되지 않는다는 사실과 일치되는 결과를 얻는다. 점들 중에 어느 하나를 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right) $으로 다른 것을 $ P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $로 지정할 수 있는 것은 다음 때문이다. \[ \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}. \]</p> <p>보기3 점들 $ A(-1,-1), B(5,0), C(4,3), D(-2,2) $에 대해 $ A B C D $가 평행사변형임을 보여라.</p></p>해: 만약 그림이 평행사변형이라면 변들의 기울기로부터 결정한다. $ AB $ 의 기울기 $ =\frac{0-(-1)}{5-(-1)}=\frac{1}{6}.\quad$ $BC $ 의 기울기 $ =\frac{3-0}{4-5}=-3 $. $ CD $ 의 기울기 $ =\frac{2-3}{-2-4}=\frac{1}{6} . \quad DA $ 의 기울기 $ =\frac{2-(-1)}{-2-(-1)}=-3 $. 마주보는 변들이 기울기가 같으므로 $ A B C D $ 는 평행사변형이다.</p> <p>관계와 함수의 그래프</p> <p>이 장의 초기에 해석기하가 대수와 기하의 결합이라는 사실을 언급했었다. 실제로 지금 해석기하의 대단한 힘을 보려고 한다. 이 분야의 강점은 이것이다: 대수적인 표현을 시각화 할 수 있는 방법과 다른 한편으로 기하학적인 그림과 대수적인 표현을 연관시키는 방법을 가르쳐 준다. 그러면 기하학적인 그림에 관해 더 알기 위해 대수적인 표현을 다룰 수도 있다.</p> <p>마찬가지로 대수적인 표현이 주어지면 그것과 기하학적인 그림을 연관시켜서 그림을 관찰하면 앞에서 분명하지 않았던 대수적인 표현의 성질들을 알 수 있다.</p> <p>이 절에서 기하학적인 그림과 대수적이거나 해석적인 표현을 연관시키는 문제에 관심을 갖는다.</p> <p>정의 1.8 관계나 함수의 그레프(graph)는 그 좌표들이 관계나 함수를 만족하는 좌표평면에 모든 점들로 구성되었다. 만약 관계나 함수가 방정식에 의해 정의된다면 방정식의 그래프는 관계나 함수의 그래프와 똑같다.</p> <p>이 절의 보기 1 에서 관계 $ R $ 의 그래프는 1.1 절에서 그림 1.6 이다. 그것은 오직 7개의 점으로 되어있는 이산그래프이다. 보기 2에서 4까지 함수의 그래프는 연습문제로 남겨 놓았다. 보기5의 $ y=\sqrt{9-x^{2}} $ 의 그래프는 5장의 2절에 연습문제이다.</p> <p>보기6 방정식 $ 2 x+3 y=6 $ 로 정의된 함수의 그래프를 그려라.</p> <p>해: 그래프를 그리기 위해 $ x $에 대한 값들을 지정하고 대응하는 $ y $의 값을 구한다. 얻어지는 순서쌍들을 다음 표에서 표시했다. 쌍들의 각각을 한 점의 가로좌표와 세로좌표로 표시한다. 그래서 얻은 점들은 직선(그림 1.33)위에 나타내었다. 변수 $ x $와 $ y $는 주어진 방정식에서 1차이므로 방정식을 선형(linear)이라 부른다. 다음 장에서 두 변수의 선형방정식의 그래프는 직선임을 증명할 것이다.</p> <p>보기7 방정식 $ y=x^{2}-3 x-3 $ 의 그래프를 그려라.</p> <p>해: 방정식을 만족하는 $ x $ 와 $ y $ 에 대한 수들의 쌍을 방정식의 혜(solution)라 부 른다. 만약 $ x $ 에 값을 지정하면 대응하는 $ y $ 의 값을 계산할 수 있다. 그래서 $ x=-2 $ 라 놓으면 $ y=7 $ 이 된다. $ x $ 의 여러 가지 값들과 대응하는 $ y $ 의 값들을 표에 나타내었다. 각각이 해가 되는 이런 값들의 쌍들은 $ x $ 와 $ y $ 의 관계의 그림을 만들어 준다. 그러나 $ x $ 의 모든 값과 대응하는 $ y $ 의 값을 한 점의 가로좌표와 세로좌표로 표시하고 그렇게 해서 얻어진 점들을 부드러운 곡선으로 연결하여 그리면 보다 좋은 표현이 된다. 이 과정을 방정식을 그래평(graphing the equation)한다고 하고 이 곡선을 방정식의 그래프(graph)라 부른다. 표시한 점들(그림 1.34)은 $ x=-2 $ 에서 $ x=5 $ 까지 이다. $ x $ 의 보다 크고 작은 값들에 대웅하는 점들을 표시할 수 있고 역시 많은 중간 점들도 표시할 수 있다. 그러나 표시된 점들은 대략 중간 점들이 어디에 있을지를 보여준다. 그래서 몇몇 점들을 사용하여 상당히 정확한 곡선을 그릴 수 있다. 여기서 보인 곡선을 포물선(parabola)라 부른다. 물론 완전한 그래프는 제 1사분면과 제 2사분면으로 무한히 뻗어 나가므로 오직 그래프의 한 부분을 그릴 수 있다.</p> <p>그래프를 그릴 수 있는 능력에 도달한 학생들은 마지막 보기에서 단지 $ y=x^{2}-3 x-3 $ 을 표로 나타내지 않고 그리려고 한다면 그래프의 적당치 않은 부분을 나타낼 수도 있음에 주목하자. 한편 만약 구간 $ -2 \leq x \leq 5 $ 와 $ -6 \leq y \leq 7 $ 의 조건이 붙으면 그림 1.34 와 매우 흡사한 왜곡된 수직눈금을 갖는 그래프를 볼 수 있을 것이다. 패구간(closed interval) $ [a, b] $ 는 $ a \leq x \leq t $ 인 모든 점 $ x $ 들의 집합이다. $ a $ 는 $ [a, b] $ 의 원소임에 주목하자. 역시 개구간(open interval) $ (a, b) $ 는 $ a<x<b $ 인 모든 점 $ x $ 들의 집합이다. 끝점 $ a $ 와 $ b $ 는 개구간 $ (a, b) $ 에서 제외되지만 페구간 $ [a, b] $ 에는 포함됨에 주목하자. 반개와 반폐구간(half-open and half-closed intervals)들은 분명한 방법으로 정의된다. $ [a, b) $ 는 $ a $ 를 포함하고 $ b $ 를 제외한다. 마지막으로 $ (a, \infty) $ 는 $ x\rangle a $ 인 모든 $ x $ 의 반 직선을 나타내고 반면에 $ (-\infty, b) $ 는 반 직선 $ x \leq b $ 를 나타낸다.</p>	자연
m896-미분적분학	<p>[정리 10.9]</p> <p>$ f $ 의 2 계편도함수가 중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 개원판에서 연속이고 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이라 가정하자. \[D=D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )- \left [f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] ^ { 2 } \]라 할 때<ol type= start=1><li>$ D>0 $ 이고 $ f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극소값이다.</li> <li>$ D>0 $ 이고 $ f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극대값이다.</li> <li>$ D<0 $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 안장점이다.</li> <li>$ D=0 $ 이면 판정할 수 없다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>(2)와 (3)의 경우의 증명은 (1)과 비슷하므로 (1)의 증명만 소개한다. 단위벡터 $ \mathbf { u } =(h, k) $ 의 방향으로의 $ f $ 의 2계방향도함수를 구하자. 정리 $ 10.6 $ 에 의하여 \[D_ {\mathbf { u } } f=f_ { x } h + f_ { y } k \]이므로 \[ \begin {aligned} D_ {\mathbf { u } } ^ { 2 } f &=D_ {\mathbf { u } } \left (D_ {\mathbf { u } } f \right )= \frac {\partial } {\partial x } \left (D_ {\mathbf { u } } f \right ) h + \frac {\partial } {\partial y } \left (D_ {\mathbf { u } } f \right ) k \\ &= \left (f_ { x x } h + f_ { y x } k \right ) h + \left (f_ { x y } h + f_ { y y } k \right ) k=f_ { x x } h ^ { 2 } + 2 f_ { x y } h k + f_ { y y } k ^ { 2 } \end {aligned} \]이다. $ D_ { u } ^ { 2 } f $ 를 완전제곱꼴로 고치면 $ D_ { u } ^ { 2 } f=f_ { x x } \left (h + \frac { f_ { x y } } { f_ { x x } } k \right ) ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { f_ { x x } } \left (f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } \right ) $<caption>(1)</caption>가정에 의하여 $ f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0, D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 $ 이고 $ f_ { x x } $ 와 $ D=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } $ 가 연속이므로 중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이고 반지름이 $ \delta>0 $ 인 원판 $ B $ 가 존개해 서, $ B $ 의 임의의 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f_ { x x } (x, y)>0 $ 이고 $ D(x, y)>0 $ 이다. 그러므로 식 (1)로부터 $ B $ 의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ D_ { u } ^ { 2 } f(x, y)>0 $ 이다. 이것은 $ \mathbf { u } $ 의 방향에서 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 를 지나는 $ f $ 의 그래 프와 수직평면과의 교차곡선을 $ C $ 라 할 때, 길이 $ 2 \delta $ 인 구간 위에서 $ C $ 가 위로 오목임을 의미한다. $ \mathbf { u } $ 는 임의의 벡터이므로 $ (x, y) $ 가 $ B $ 에 속하기만 하면 $ f $ 의 그래프는 위로 오목하다. 따라서 $ (x, y) $ 가 $ B $ 에 속할 때마다 $ f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이다. 그러므로 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 극소값 이다.</p> <p>방정식 $ z=f(x, y) $ 로 주어진 곡면을 $ S, z_ { 0 } =f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 라 하자. 그러면 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 는 $ S $ 위에 있고 $ \mathbf { u } $ 의 방향으로 $ P $ 를 지나는 수직평면은 $ S $ 와 곡선 $ C $ 에서 만난다(그림 10.11), 이때 점 $ P $ 에서 $ C $ 에 관한 접선 $ T $ 의 기울기가 $ \mathbf { u } $ 의 방향으로의 $ z $ 의 변화율이다.</p> <p>만약 $ Q $ 가 $ C $ 위의 또 하나의 점이고 $ P ^ {\prime } , Q ^ {\prime } $ 가 각각 $ x y $-평면으로 의 $ P, Q $ 의 정사영이면 벡터 $ \overrightarrow { P ^ {\prime } Q ^ {\prime } } $ 는 $ \mathbf { u } $ 와 평행하므로 적당한 스칼라 $ h $ 에 대하여 \[ \overrightarrow { P ^ {\prime } Q ^ {\prime } } =h \mathbf { u } = \left (h u_ { 1 } , h u_ { 2 } \right ) \]이다. 그러므로 $ x-x_ { 0 } =h u_ { 1 } , y-y_ { 0 } =h u_ { 2 } $, 즉 $ x=x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y=y_ { 0 } + h u_ { 2 } $이고 \[ \frac {\Delta z } { h } = \frac { z-z_ { 0 } } { h } = \frac { f \left (x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y_ { 0 } + h u_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \] 이다. $ h \rightarrow 0 $ 일 때 $ \mathbf { u } $ 의 방향으로의 $ z $ 의 변화율을 얻는데, 이를 $ \mathbf { u } $ 방향으로의 $ f $ 의 방향도함수라 한다.<p>[정의 10.7]</p> <p>$ 11.3 $ 절에서 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 를 지나는 평면의 방정식은 \[a_ { 1 } \left (x-x_ { 0 } \right ) + a_ { 2 } \left (y-y_ { 0 } \right ) + a_ { 3 } \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \]이었다. 이 방정식을 $ a_ { 3 } $ 로 나누고 $ a=- \frac { a_ { 1 } } { a_ { 3 } } , b=- \frac { a_ { 2 } } { a_ { 3 } } $ 라 하면 \[z-z_ { 0 } =a \left (x-x_ { 0 } \right ) + b \left (y-y_ { 0 } \right ) \]<caption>(1)</caption>이다. 만약 방정식 (1)이 $ P $ 에서의 접평면을 나타낸다고 가정하면 평 면 $ y=y_ { 0 } $ 와의 교선은 접선 $ T_ { c } $ 임에 틀림없다. 방정식 (1)에 $ y=y_ { 0 } $ 를 대입하면 \[z-z_ { 0 } =a \left (x-x_ { 0 } \right ), \quad y=y_ { 0 } \]이다. 이는 기울기가 $ a $ 인 직선이고 $ 10.3 $ 절에서 $ T_ { c } $ 의 기울기가 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } \right . $, $ \left .y_ { 0 } \right ) $ 이므로 $ a=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이다. 또한, 방정식 (1)에 $ x=x_ { 0 } $ 를 대입하면 \[z-z_ { 0 } =b \left (y-y_ { 0 } \right ) \]이므로 $ b=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이다. 그러므로, 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 에서 곡면 $ z= $ $ f(x, y) $ 에 관한 접평면의 방징식은 \[z-z_ { 0 } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]이다.</p> <p>증명</p> <p>$ t $ 의 증분 $ \Delta t $ 에 대응하는 $ x, y, z $ 의 증분을 $ \Delta x, \Delta y, \Delta z $ 라 하면, 정의 $ 10.6 $ 에 의하여 $ \Delta z= \frac {\partial f } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial f } {\partial y } \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y $ 이고 $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $이다. 이 방정식의 양변을 $ \Delta t $ 로 나누면 \[ \frac {\Delta z } {\Delta t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac {\Delta y } {\Delta t } + \varepsilon_ { 1 } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \varepsilon_ { 2 } \frac {\Delta y } {\Delta t } \] $ \Delta t \rightarrow 0 $ 이면 $ g, h $ 가 연속 $ ( \because g, h $ 는 미분가능 $ ) $ 이므로 $ \Delta x=g(t + \Delta t) $ $ -g(t) \rightarrow 0, \Delta y=h(t + \Delta t)-h(t) \rightarrow 0 $ 이다. 그러므로 $ \varepsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $ 이 다. 따라서 \[ \begin {aligned} \frac { d z } { d t } &= \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta z } {\Delta t } \\&= \frac {\partial f } {\partial x } \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \frac {\partial f } {\partial y } \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta t } + \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \varepsilon_ { 1 } \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \varepsilon_ { 2 } \lim _ {\Delta t \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta t } \\&= \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } + 0 \frac { d x } { d t } + 0 \frac { d y } { d t } \\&= \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } \end {aligned} \]</p> <p>$ z=x y ^ { 2 } + 3 x ^ { 4 } y, x= \cos t, y=e ^ { t } $ 일 때 $ \frac { d z } { d t } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \frac { d z } { d t } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \\ &= \left (y ^ { 2 } + 12 x ^ { 3 } y \right )(- \sin t) + \left (2 x y + 3 x ^ { 4 } \right ) e ^ { t } \\ &=- \left (e ^ { 2 t } + 12 \cos ^ { 3 } t e ^ { t } \right ) \sin t + \left (2 e ^ { t } \cos t + 3 \cos ^ { 4 } t \right ) e ^ { t } \end {aligned} $</p> <p>예제 2</p> <p>원기둥의 반지름이 매초 $ 1.2 \mathrm { ~cm } $ 씩 줄어들고 높이는 매초 $ 3 \mathrm { ~cm } $ 씩 늘어 나고 있다. 반지름 $ 80 \mathrm { ~cm } $, 높이 $ 150 \mathrm { ~cm } $ 일 때 이 원기둥의 부피의 변화율을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>반지름 $ r $, 눞이 $ h $ 인 원기둥의 부피는 $ V= \pi r ^ { 2 } h $ 이다. 경과한 시간을 $ t $ 라 하면 주어진 순간에서 $ r=80, \frac { d r } { d t } =-1.2, h=150, \frac { d h } { d t } =3 $ 이므로 \[ \begin {aligned} \frac { d V } { d t } &= \frac {\partial V } {\partial r } \frac { d r } { d t } + \frac {\partial V } {\partial h } \frac { d h } { d t } =2 \pi r h \frac { d r } { d t } + \pi r ^ { 2 } \frac { d h } { d t } \\&=2 \pi(80)(150)(-1.2) + \pi(80) ^ { 2 } (3) \\&=-9600 \pi \end {aligned} \]따라서, 주어진 순간에 부피는 $ 9600 \pi \left ( \mathrm { cm } ^ { 3 } / \mathrm { s } \right ) $ 씩 줄어든다.</p> <p>예제 7</p> <p>타원면 $ \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + z ^ { 2 } =3 $ 의 점 $ (-3,2,1) $ 에서 접평면과 법선의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } F(x, y, z)= \frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 4 } + z ^ { 2 } \text { 라 하면 } \\ F_ { x } (x, y, z)= \frac { 2 x } { 9 } , \quad F_ { y } (x, y, z)= \frac { y } { 2 } , \quad F_ { z } (x, y, z)=2 z \\ F_ { x } (-3,2,1)=- \frac { 2 } { 3 } , \quad F_ { y } (-3,2,1)=1, \quad F_ { z } (-3,2,1)=2 \end {array} \]따라서 $ (-3,2,1) $ 에서 접평면의 방정식은 \[- \frac { 2 } { 3 } (x + 3) + (y-2) + 2(z-1)=0 \]또는 \[2 x-3 y-6 z + 18=0 \]이고, 법선의 방정식은 \[- \frac { 3(x + 3) } { 2 } =y-2= \frac { z-1 } { 2 } \]</p> <h1>$ 10.7 $ 이변수함수의 극값</h1> <p>제 3 장에서 일변수함수의 최대, 최소값을 구하기 위해 미분을 이용 하였다. 이 절에서는 이변수함수의 최대, 최소값을 구하는데 어떻게 편미분을 이용하는가를 알아보자.</p> <p>[정의 10.9]</p> <p>중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 적당한 개원판 안의 임의의 점 $ (x, y) $ 에 대하여 $ f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 $ f $ 의 극대값 $ f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이면 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 $ f $ 의 극소값이라 한다. 위의 부등식이 $ f $ 의 징의역 내의 모든 점 $ (x, y) $ 에 대하여 성립하면 $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 최대값 또는 최소값을 갖는다고 한다.</p> <p>[정리 10.8]</p> <p>$ f $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ f $ 의 1계편도함수가 존재하고 또한 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값(즉, 극대 또는 극소값)을 가지면 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]<caption>(1)</caption>이다.</p> <p>증명</p> <p>$ g(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 라 하자. $ f $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값을 가지면 $ g $ 는 $ x_ { 0 } $ 에서 극값을 가지므로 정리 3.7에 의하여 $ g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )=0 $ 이다. 또한 $ g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )= $ $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이므로 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이다. 마찬가지 방법에 의해 $ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ $ =0 $ 이다.</p> <p>접평면의 방정식 \[z-z_ { 0 } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]에서 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이라 하면 $ z=z_ { 0 } $ 이다. 그러므로 정리 10.8은 기하학적으로 $ f $ 의 그래프가 극점(즉, 극대점 또는 극소점)에서 접평면을 가지면 접평면은 반드시 수평면임을 의미한다고 할 수 있다.</p> <p>점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 단위벡터 $ \mathbf { u } =u_ { 1 } \mathbf { i } + u_ { 1 } \mathbf { j } $ 의 방향으로의 $ f $ 의 방향 도함수(diretional derivative)는 $ D_ {\mathbf { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y_ { 0 } + h u_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } $ 이다.</p> <p>$ \mathbf { u } = \mathbf { i } $ 이면 $ D_ {\mathbf { u } } f=f_ { x } $ 이고 $ \mathbf { u } = \mathbf { j } $ 이면 $ D_ {\mathbf { u } } f=f_ { y } $ 이다. 즉 $ x $ 와 $ y $ 에 관한 $ f $ 의 편도함수는 방향도함수의 특수한 경우이다. 일반적으로 방향 도함수를 계산하기 위해 다음 정리를 이용한다.</p> <p>[정리 10.6]</p> <p>$ f $ 가 $ x, y $ 의 미분가능한 함수이면 임의의 단위벡터 $ \mathbf { u } =u_ { 1 } \mathbf { i } + u_ {\mathrm { J } } \mathbf { j } $ 의 방향으로의 $ f $ 의 방향도함수는 존재하고 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) u_ { 1 } + f_ { y } (x, y) u_ { 2 } \]이다.</p> <p>증명</p> <p>$ F(h)=f \left (x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y_ { 0 } + h u_ { 2 } \right ) $ 라 정의하면 \[ \begin {aligned} D_ { u } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y_ { 0 } + h u_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \\&= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { F(h)-F(0) } { h } =F ^ {\prime } (0) \end {aligned} \] $ x=x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y=y_ { 0 } + h u_ { 2 } $ 로 놓고 연쇄법칙을 적용하면 \[F ^ {\prime } (h)= \frac { d F } { d h } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d h } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d h } =f_ { x } (x, y) u_ { 1 } + f_ { y } (x, y) u_ { 2 } \] $ h=0 $ 이면 $ x=x_ { 0 } , y=y_ { 0 } $ 이므로 \[D_ { u } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=F ^ {\prime } (0)=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) u_ { 1 } + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) u_ { 2 } \]이다.</p> <p>정리 $ 10.2 $ 는 $ \Delta z=d z + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y, \quad( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_ { 1 } , \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $로 표현할 수 있다. 이는 일변수함수의 미분가능성과 동치인 방정식(2)의 2차원적 교현이다. 따라서 이변수함수의 미분가능성에 관하여 다음과 같이 정의한다.</p> <p>[정의 10.6]</p> <p>$ z=f(x, y) $ 에서 \[ \Delta z=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \]이고 $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $이면 $ f $ 는 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>그러므로 정리 $ 10.2 $ 는 만약 $ f_ { x } , f_ { y } $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 근방에서 존재하고 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이면 $ f $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 미분가능함을 나타낸다. 또 한 $ \Delta x $ 와 $ \Delta y $ 가 작은 양일 때 $ z $ 의 실제 변화량은 전미분 $ d z $ 와 근사적으로 같다는 것을 의미하기도 한다. 즉 \[ \Delta z \approx d z \]따라서 $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 값을 알 때 $ f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 의 근사값은 \[f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \approx f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + d z \]이다.</p> <p>증명</p> <p>$ D_ {\mathbf { u } } f= \nabla f \cdot \mathbf { u } =\| \nabla f\|\| \mathbf { u } \| \cos \theta=\| \nabla f\| \cos \theta $ 이고 여기서 $ \theta $ 는 $ \nabla f $ 와 $ \mathbf { u } $ 사이의 각이다. $ \cos \theta $ 의 최대값이 1 이고, 이때 $ \theta=0 $ 이므로 $ D_ { u } f $ 의 최대값은 $ \| \nabla f\| $ 이고 $ \mathbf { u } $ 와 $ \nabla f $ 의 방향은 서로 같다.</p> <p>예제 6</p> <p>공간의 한 점 $ (x, y, z) $ 에서 온도는 $ T(x, y, z)= \frac { 100 } { 10 + 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } $ 로 주어진다고 하자. 점 $ (1,-1,2) $ 에서 온도가 가장 빠르게 증가하는 방향과 최대증가율을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>그래디언트를 구하면 \[ \nabla T= \frac { 200 } {\left (10 + 3 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } (-3 x \mathbf { i } -2 y \mathbf { j } -z \mathbf { k } ) \]점 $ (1,-1,2) $ 에서 그래디언트 벡터는 \[ \nabla T(1,-1,2)= \frac { 200 } { 361 } (-3 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } -2 \mathbf { k } ) \] 이다. 정리 $ 10.7 $ 에 의하여 온도가 가장 빠르게 증가하는 방향은 $ \frac { 200 } { 361 } (-3 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } -2 \mathbf { k } ) $ 이고 춰대증가율은 그래디언트 벡터의 크기, 즉 \[\| \nabla T(1,-1,2)\|= \frac { 200 } { 361 } \|-3 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } + 2 \mathbf { k } \|= \frac { 200 \sqrt { 17 } } { 361 } \]</p> <p>함수 $ f $ 기 $ x $ 와 $ y $ 의 이변수 함수인 때, $ f $ 의 편도함수는 \[ \begin {array} { l } f_ { x } (x, y)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x, y)-f(x, y) } {\Delta x } \\f_ { y } (x, y)= \lim _ {\Delta y \rightarrow 0 } \frac { f(x, y + \Delta y)-f(x, y) } {\Delta y } \end {array} \] 로 정의한다.</p> <p>면도함수를 나타내는 어러 기지 표기법이 있다. $ z=f(x, y) $ 일 때 \[ \begin {array} { l } f_ { x } (x, y)= \frac {\partial f(x, y) } {\partial x } = \frac {\partial z } {\partial x } =D_ { x } f(x, y) \\f_ { y } (x, y)= \frac {\partial f(x, y) } {\partial y } = \frac {\partial z } {\partial y } =D_ { y } f(x, y) \end {array} \] 등으로 표기하기도 한다. $ f_ { x } (x, y) $ 를 구하기 위해시는 $ y $ 를 상수로 간주하고 $ f(x, y) $ 를 $ x $ 에 관해 미분하고, $ f_ { y } (x, y) $ 를 가하기 위해시는 $ x $ 를 상수로 간주하고 $ f(x, y) $ 를 $ y $ 에 관해 미분한다.</p> <p>예제 1</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 x y + y-1 $ 일 때 점 $ (4,5) $ 에서 $ f_ { x } (4,5) $ 와 $ f_ { y } (4,5) $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=2 x + 3 y, f_ { y } (x, y)=3 x + 1 $ 이므로 \[f_ { x } (4,5)=2(4) + 3(5)=23, f_ { y } (4,5)=3(4) + 1=13 \] $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ x $ 에 관한 이변수함수 $ f $ 의 편도함수 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 의 기하학적 의미에 대해서 알아보자.</p> <p>그림 $ 10.4 $ (1)에서 보듯이, 수직평면 $ y=y_ { 0 } $ 와 곡면 $ z=f(x, y) $ 와 의 교선은 곡선 $ C $ 이다. 이 곡선의 방징식은 $ z=f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 이고 $ y_ { 0 } $ 가 고정되어 있으므로 이 $ z $ 는 $ x $ 만의 함수이다. 곡선 $ C $ 가 평면 $ y=y_ { 0 } $ 에 있으므로 평면 위의 점 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 에서 $ C $ 의 접선의 기울기 는 $ f \left (x, y_ { 0 } \right ) $ 를 $ x $ 에 관해 미분한 다음 $ x=x_ { 0 } $ 를 대입한 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이다. 즉, $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 은 $ y $ 를 $ y_ { 0 } $ 로 고징시킬 때 나타나는 곡선 $ C $ 에 대한 $ P $ 에서의 접선의 기울기이다. 그림 $ 10.4 $ (2)를 이용하여 $ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 관한 비슷한 해석을 할 수 있다.</p> <p>편미분은 또한 변화율로 해식할 수 있다. $ z=f(x, y) $ 일 때 $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 는 $ y $ 가 고정되었을 때 $ x $ 에 관한 $ z $ 의 변화율을 나타내며, $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 는 $ x $ 가 고정되었을 때 $ y $ 에 관한 $ z $ 의 변화율을 나타낸다. 예컨대 $ 10.1 $ 절의 이상 기체의 방정식 $ V(T, P)=k \frac { T } { P } $ 에 대하여 $ \frac {\partial V } {\partial T } $ 는 압력이 일정할 때 부피의 온도에 관한 변화율을 나타내고, $ \frac {\partial V } {\partial P } $ 는 온도가 일정할 때 부피의 압력에 관한 변화율을 의미한다.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} D_ { u } f(x, y) &=f_ { x } (x, y) \cos \frac {\pi } { 3 } + f_ { y } (x, y) \sin \frac {\pi } { 3 } \\ &=(2 x-5 y) \frac { 1 } { 2 } + \left (-5 x + 12 y ^ { 2 } \right ) \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \end {aligned} $ $ \therefore D_ {\mathbf { u } } f(2,1)=- \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { 3 } $</p> <p>정리 10.6으로부터 방향도함수는 두 벡터의 내적으로 표현할 수 있다. 즉 \[ \begin {aligned} D_ {\mathbf { u } } f(x, y) &=f_ { x } (x, y) u_ { 1 } + f_ { y } (x, y) u_ { 2 } \\&= \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \cdot \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } \right ) \\ &= \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \cdot \mathbf { u } \end {aligned} \]이다. 이때 $ \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) $ 를 $ f $ 의 그래디언트라 하고 $ \nabla f $ 또는 $ \operatorname { grad } f $ 로 나타내며 "del $ f $ "로 읽는다.</p> <p>[정의 10.8]</p> <p>$ f $ 가 $ x, y $ 의 함수일 때, $ f $ 의 그래디언트(gradient)는 \[ \nabla f(x, y)= \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right )= \frac {\partial f } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathbf { j } \]로 정의되는 벡터함수이다.</p> <p>$ f $ 의 그래디언트 기호를 사용하여 방향도함수를 나타내면 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y)= \nabla f(x, y) \cdot \mathbf { u } \]이다.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x, y)=x y ^ { 3 } -x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 x + 2 y + 3 $ 은 다항합수이므로 $ \mathbf { R } ^ { 2 } $ 에시 연속이다. 따라서 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(-1,2) } \left (x y ^ { 3 } -x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 x + 2 y + 3 \right ) $ $ =(-1) \cdot 2 ^ { 3 } -(-1) ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 2 } + 3 \cdot(-1) + 2 \cdot 2 + 3=-8 $</p> <p>예제 6</p> <p>함수 $ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $ 는 $ (0,0) $ 에시 연속인가?</p> <p>풀이</p> <p>$ f $ 는 $ (0,0) $ 에시 정의되지만 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 기 존재하지 않으므로 $ (0,0) $ 에시 불연속이다(예제 1 참조).</p> <p>예제 7</p> <p>함수 $ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 5 x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . $ 는 어디에시 연속인가?</p> <p>풀이</p> <p>$ f $ 는 유리함수이므로 $ (x, y) \neq(0,0) $ 에 대하여 연속이다. 또한 예제 4로부터 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)= \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 5 x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0=f(0,0) \]이므로 $ (0,0) $ 에시 언속이다. 따리시 $ f $ 는 $ \mathbf { R } ^ { 2 } $ 에서 연속이다. 이변수함수의 극한과 연속의 정의 및 성질은 삼변수 또는 $ I $ 이상의 변수를 가진 함수로 확장할 수 있다. 그러므로 \[ \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } , \frac { e ^ { x-y + z } } { z ^ { 2 } + \cos ( \sqrt { x y } ) } \]와 같은 함수는 이들이 정의되어 있는 모든 점에서 연속이다.<h1>$ 10.3 $ 편 미 분</h1> <p>[정의 $ 10.5 $ ]</p> <p>$ f(x, y, z)= \cos (x y) \ln z $ 에서 $ f_ { x } , f_ { y } $ 와 $ f_ { z } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } =-y \sin (x y) \ln z, f_ { y } =-x \sin (x y) \ln z, f_ { z } = \frac {\cos (x y) } { z } $</p> <p>이변수함수 $ f $ 의 편도함수 $ f_ { x } $ 와 $ f_ { y } $ 또한 이변수함수이다. 이 함수의 편도함수 $ \left (f_ { x } \right )_ { x } , \left (f_ { x } \right )_ { y } , \left (f_ { y } \right )_ { x } , \left (f_ { y } \right )_ { y } $ 를 $ f $ 의 2계편도함수라고 하고 다음과 같이 나타낸다. \[ \begin {array} { l } \left (f_ { x } \right )_ { x } =f_ { x x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } \\ \left (f_ { x } \right )_ { y } =f_ { x y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } \\ \left (f_ { y } \right )_ { x } =f_ { y x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } \\ \left (f_ { y } \right )_ { y } =f_ { y y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \end {array} \] 이와 같이 기호 $ f_ { x y } \left ( \right . $ 또는 $ \left . \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } \right ) $ 는 $ x $ 에 관해 먼저 미분한 다음 $ y $ 에 관해 미분함을 의미한다.</p> <p>연쇄법칙은 음함수를 미분하는 경우에도 적용할 수 있다. 방정식 $ F(x, y, z)=0 $ 이 함수 $ z=f(x, y) $ 를 음적으로 정의하고 있다고 가정하자. $ F $ 가 미분가능하고 $ f_ { x } $ 와 $ f_ { y } $ 가 존재할 때 $ F(x, y, z)=0 $ 을 미분하는 데 연셰법칙을 적용하면 \[ \frac {\partial F } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial x } + \frac {\partial F } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial x } + \frac {\partial F } {\partial z } \frac {\partial z } {\partial x } =0 \] 이다. $ \frac {\partial x } {\partial x } =1, \frac {\partial y } {\partial x } =0 $ 이므로 \[ \frac {\partial F } {\partial x } + \frac {\partial F } {\partial z } \frac {\partial z } {\partial x } =0 \]이다. $ \frac {\partial F } {\partial z } \neq 0 $ 이면 $ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac {\frac {\partial F } {\partial x } } {\frac {\partial F } {\partial z } } $ 을 얻는다. $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 도 마찬가지 방법으로 구할 수 있다. 즉 $ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac {\frac {\partial F } {\partial x } } {\frac {\partial F } {\partial z } } =- \frac { F x } { F z } , \quad \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac {\frac {\partial F } {\partial y } } {\frac {\partial F } {\partial z } } =- \frac { F y } { F z } $<caption>(2)</caption></p> <p>예제 8</p> <p>$ x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } + 12 x y z=1 $ 에서 $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 를 구하여라.</p> <p>동시에 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 $ 이거나 적어도 이들 중 어느 하나가 존재하지 않는 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ f $ 의 임계점(critical point)이라 한다. 정리 $ 10.8 $ 은 $ f $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 극값을 가지면 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 는 $ f $ 의 임계점임을 나타내고 있다. 일변수함수의 경우와 마찬가지로 임계점 에서 함수 $ f $ 는 반드시 극값을 갖지는 않는다. 즉 임계점에서 함수는 극대값 또는 극소값을 가질 수도 있고 갖지 않을 수도 있다.</p> <p>예제 1</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x-6 y + 15 $ 의 임계점과 극값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>편도함수를 구하면 \[f_ { x } (x, y)=2 x + 4, \quad f_ { y } (x, y)=2 y-6 \]이 편도함수는 $ x=-2, y=3 $ 에서 0 이고 임계점은 $ (-2,3) $ 이다. \[f(x, y)=(x + 2) ^ { 2 } + (y-3) ^ { 2 } + 2 \geq 2 \]이므로 $ f(-2,3)=2 $ 는 극소값이고 또한 $ f $ 의 최소값이다.</p> <p>예제 2</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=-2 x, f_ { y } (x, y)=2 y $ 이므로 임계점은 $ (0,0) $ 이다. $ x $ 축 위에서 $ f(x, y)=-x ^ { 2 }<0 $ ( $ x \neq 0 $ 일 때), $ y $ 축 위에서 $ f(x, y)=y ^ { 2 } >0 $ ( $ y $ $ \neq 0 $ 일 때 $ ) $ 이다. $ (0,0) $ 을 포함하는 임의의 개원판은 양의 함수값과 음의 함수값을 갖는 점을 포함한다. 따라서 $ f(0,0)=0 $ 은 $ f $ 의 극값 이 아니고 $ f $ 는 극값을 갖지 않는다. $ z=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } $ 의 그래프(그림 10.13)는 원점 근방에서 안장 모양이므로 $ (0,0) $ 을 $ f $ 의 안장점(saddle point)이라고 한다. 다시 말해 $ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이면서 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 극점이 아닌 점을 안장점이라 한다.<p>임계점에서 함수가 극값을 갖는지를 알 필요가 있는데 다음은 일변수함수의 2 계도함수 판정법과 비슷한 정리이다.</p> <p>식 (5)로부터, $ P $ 에서 그래디언트 $ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 는 $ P $ 를 지나는 곡면 $ S $ 위의 임의의 곡선 $ C $ 에 관한 점선벡터 $ \mathbf { r } ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) $ 와 수직임을 알 수 있다. 이때 $ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 를 법선벡터라 한다. 그리고 $ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right . $, $ \left .z_ { 0 } \right ) \neq 0 $ 이면 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 에서 곡면 $ F(x, y, z)=k $ 에 관한 접평면은 $ P $ 를 지나고 법선벡터 $ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 를 갖는 평면, 즉 \[ \begin {array} { c } F_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \\ + F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \end {array} \]이다.</p> <p>$ P $ 에서 $ S $ 의 법선은 접평면과 수직이고 $ P $ 를 지나는 직선이다. 그러므로 법선의 방향은 그래디언트 벡터 $ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 로 주어진다. 따라서 법선의 방정식은 \[ \frac { x-x_ { 0 } } { F_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } = \frac { y-y_ { 0 } } { F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } = \frac { z-z_ { 0 } } { F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } \]이다. 곡면 $ S $ 의 방정식이 $ z=f(x, y) $ 로 주어지는 경우 \[F(x, y, z)=f(x, y)-z=0 \] 으로 나타낼 수 있고 \[ \begin {array} { l } F_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=-1 \end {array} \]이므로 식 (6)을 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right )- \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \]으로 쓸 수 있다. 따라서 위에서 소개한 접평면에 대한 새롭고 보다 더 일반적인 정의는 $ 10.4 $ 절의 정의와 일치함을 알 수 있다.</p> <p>예제 1 $ f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 일 때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 가 존재하는가?</p> <p>풀이 $ f $ 는 $ (0,0) $ 을 제외한 평면 $ \mathbf { R } ^ { 2 } $ 의 모든 점에서 정의된다. $ x $ 축을 따라 $ (0,0) $ 에 접근하면 $ y=0 $ 이므로 $ x \neq 0 $ 에 대하여 $ f(x, 0)= \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } $ 이다. 따 라서 $ x $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 일 매 $ f(x, y) \rightarrow 1 $ 이다. 또한 $ y $ 축을 따라 $ (0,0) $ 에 접근하면 $ x=0 $ 이므로 $ y \neq 0 $ 에 대하여 $ f(x, 0)=- \frac { y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } $ 이다. 즉, $ y $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ f(x, y) \rightarrow-1 $ 이다. 이와 같이 서로 다른 겅로를 따라 접근할 때, $ f $ 는 서로 다른 값에 접근하므로 극한값이 존재하지 않는다.</p> <p>예제 2 극한값 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 가 존재하는가?</p> <p>풀이 $ f(x, y)= \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 라 하자. $ x $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ f(x, y) $ $ \rightarrow 0 $ 이고, $ y $ 축을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ f(x, y) \rightarrow 0 $ 이다. 그러나 직선 $ y=x $ 를 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 으로 접근하면 모든 $ x \neq 0 $ 에 대하여 \[f(x, x)= \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \]이므로 $ f(x, y) \rightarrow \frac { 1 } { 2 } $ 이다. 따라서 극한값이 존재하지 않는다.</p> <h1>$ 10.2 $ 극한과 연속</h1> <p>$ 10.1 $ 절의 예제 3 의 함수 $ f(x, y)= \sqrt { 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 에 대하여, 점 $ (x, y) $ 가 원점에 접근하면 $ x $ 와 $ y $ 가 0 에 동시에 접근해서 $ f(x, y) $ 는 5 에 접근한다. 사실 $ (x, y) $ 가 작은 개원판 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 }< \delta ^ { 2 } $ 안에 놓여 있으면 \[ \sqrt { 25 } \geq f(x, y)= \sqrt { 25- \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } >\sqrt { 25- \delta ^ { 2 } } \]이다. 이와 같이 $ (x, y) $ 를 중심이 $ (0,0) $ 인 층분히 작은 개원판(open disk) 내에서 선택함으로씨 $ f(x, y) $ 의 값을 5 에 원하는 만큼 접근시킬 수 있다. 이를 기호 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=5 \] 로 나타낸다. 일반적으로 기호 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]은 $ (x, y) $ 를 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 충분히 가까이 선택함으로씨 $ f(x, y) $ 의 값을 우리가 원하는 만큼 $ L $ 에 접근시킬 수 있음을 의미한다. 더 엄밀한 정의는 다음과 같다.</p> <p>[정의 10.3]<p>이변수함수 $ f $ 가 중심이 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 인 개원판에서 정의되어 있다고 하자 $ \left ( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right . $ 에서는 정의되지 않아도 됨 $ ) $. 임의의 양수 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 이에 대응하는 적당한 양수 $ \delta $ 가 존재해서 $ 0< $ $ \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta $ 일 때마다 $ \|f(x, y)-L\|< \varepsilon $ 이면 $ (x $, $ y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때 $ f(x, y) $ 의 극한값은 $ L $ 이다라고 하고 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]로 표기한다.</p> <p>예제 5</p> <p>함수 $ f(x, y, z)=z \sin x y $ 에 대하여 $ f $ 의 그래디언트를 구하고 점 $ (0 $, $ 3,1) $ 에서 벡터 $ \mathbf { v } = \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } -2 \mathbf { k } $ 의 방향으로의 방향도함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \nabla f(x, y, z)=y z \cos x y \mathbf { i } + z x \cos x y \mathbf { j } + \sin x y \mathbf { k } $ \[ \nabla f(0,3,1)=3 \mathbf { i } + 0 \mathbf { j } + 0 \mathbf { k } \] $ \mathbf { v } $ 방향의 단위벡터는 \[ \mathbf { u } = \frac { 1 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { i } + \frac { 3 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { j } - \frac { 2 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { k } \]이므로 \[ \begin {aligned} D_ {\mathbf { u } } f(0,3,1) &= \nabla f(0,3,1) \cdot \mathbf { u } \\&=3 \mathbf { i } \cdot \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { i } + \frac { 3 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { j } - \frac { 2 } {\sqrt { 14 } } \mathbf { k } \right )= \frac { 3 } {\sqrt { 14 } } \end {aligned} \]</p> <p>주어진 점에서 주어진 방향으로 $ f $ 의 방향도함수는 이 방향으로의 $ f $ 의 변화율을 의미한다. 다음 정리로부터 이들 중에서 $ f $ 가 가장 빠르게 변화하는 방향과 $ f $ 의 최대변화율을 알 수 있다.</p> <p>[정리 10.7]</p> <p>$ f $ 가 미분가능한 이변수 또는 삼변수함수일 때 방향도함수 $ D_ {\mathbf { u } } f $ 의 최대값은 $ \| \nabla f( \mathbf { x } )\| $ 이고, 이 때 $ \mathbf { u } $ 의 방향은 $ \nabla f( \mathbf { x } ) $ 의 방향과 같다.</p> <p>예제 7</p> <p>$ z=f(x, y) $ 의 2계편도함수가 연속이고 $ x=r ^ { 2 } -s ^ { 2 } , y=r s $ 이다. $ \frac {\partial z } {\partial r } $ 와 $ \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial r ^ { 2 } } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } (2 r) + \frac {\partial z } {\partial y } (s) \] $ \frac {\partial z } {\partial r } $ 를 $ r $ 에 관해 편미분하면 \[ \begin {aligned} \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial r ^ { 2 } } &= \frac {\partial } {\partial r } \left (2 r \frac {\partial z } {\partial x } + s \frac {\partial z } {\partial y } \right ) \\&=2 \frac {\partial z } {\partial x } + 2 r \frac {\partial } {\partial r } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) + s \frac {\partial } {\partial r } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) \end {aligned} \]<caption>(1)</caption>연쇄법칙을 적용하면 \[ \begin {aligned} \frac {\partial } {\partial r } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) &= \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right ) \frac {\partial y } {\partial r } \\ &= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } (2 r) + \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } (s) \\ \frac {\partial } {\partial r } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) &= \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right ) \frac {\partial y } {\partial r } \end {aligned} \] \[= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } (2 r) + \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } (s) \]이다. 이들을 식 (1)에 대입하면 \[ \begin {aligned} \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial r ^ { 2 } } &=2 \frac {\partial z } {\partial x } + 2 r \left (2 r \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } + s \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } \right ) + s \left (2 r \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } + s \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \right ) \\&=2 \frac {\partial z } {\partial x } + 4 r ^ { 2 } \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } + 4 r s \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } + s ^ { 2 } \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>일변수함수와 마찬가지로 극한값의 성질과 연속성을 이용하면 미변수함수의 극한값을 쉅게 구할 수 있다. 이변수함수의 극한값의 성질은 일변수함수의 경우와 같다. 즉 합의 극한은 극한의 합이고 곱의 극한은 극한의 곱 등이다.</p> <p>[정의 10.4]</p> <p>만약 함수 $ f(x, y) $ 가 다음 조건을 만족하면 $ f(x, y) $ 는 $ (a, b) $ 에서 연속이라고 한다.<ul> <li>(1) $ f $ 가 $ (a, b) $ 에서 정의되어 있고</li> <li>(2) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y) $ 가 존재 하고</li> <li>(3) $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=f(a, b) $ 이다.</li></ul> <p> <p>일변수함수와 마찬가지로 $ f(x, y) $ 와 $ g(x, y) $ 가 한 점에서 연속 이면 합 $ f(x, y) + g(x, y) $, 차 $ f(x, y)-g(x, y) $, 곱 $ f(x, y) g(x, y) $ 도 그 점에서 연속이다. 또한, 연속함수의 분수함수도 그의 정의역에서 연속이다. 따라서 이변수의 다항함수와 유리함수(분모와 분자가 다항함수)도 그의 정의역에서 연속이다. 예를 들어, 다항함수 $ f(x, y)=x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 3 x y ^ { 2 } -3 y + 5 $ 는 $ \mathbf { R } ^ { 2 } $ 에시 연속이고 유리함수 $ g(x, y)= \frac { 2 x y + 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 은 $ \mathbf { R } ^ { 2 } - \{ (0,0) \} $ 에시 연속이다. 만약 $ z=f(x, y) $ 기 $ x $ 와 $ y $ 의 연속함수이면 $ w=g(z) $ 기 $ z $ 의 연속합수이면 합싱함수 $ w=g(f(x, y)) $ 도 연속이다. 예를 들어 $ e ^ { x-y } , \quad \cos \frac { x y } { x ^ { 2 } + 1 } , \quad \ln \left (1 + x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right ) $은 모든 점 $ (x, y) $ 에서 연속이다.<p>예제 5<p> <p>극한 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(-1,2) } \left (x y ^ { 3 } -x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 3 x + 2 y + 3 \right ) $ 을 가하이라.</p> <p>예제 4</p> <p>한 원기둥의 지름과 높이의 측량값이 각각 $ 10 \mathrm { ~cm } $ 와 $ 20 \mathrm { ~cm } $ 이다. 이들 의 최대오차가 $ \pm 0.1 \mathrm { ~cm } $ 일 때, 원기둥의 부피의 최대상대오차를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>지름 $ x $, 높이 $ y $ 인 원기둥의 부피는 $ V= \frac {\pi } { 4 } x ^ { 2 } y $ 이다. \[d V= \frac {\pi } { 2 } x y d x + \frac {\pi } { 4 } x ^ { 2 } d y \]따라서 \[ \frac { d V } { V } = \frac { 2 } { x } d x + \frac { 1 } { y } d y \] 이다. $ d x $ 와 $ d y $ 가 모두 양수일 때 상대오차 $ \frac { d V } { V } $ 가 최대이므로 $ x= $ $ 10, y=20, d x=0.1, d y=0.1 $ 을 대입하면 최대상대오차는 \[ \frac { d V } { V } = \frac { 2(0.1) } { 10 } + \frac { 0.1 } { 20 } =0.025 \]이다. 즉 최대백불율 오차는 $ 2.5 \% $ 이다.</p> <h1>$ 10.5 $ 연쇄법칙</h1> <p>일변수함수의 연셰법칙은 합성함수를 미분하는 공식이다. 즉 $ y=f(x) $, $ x=g(t) $ 이고 $ f, g $ 가 미분가능한 함수이면 $ y $ 는 $ t $ 의 미분가능한 함수이면 \[ \frac { d y } { d t } = \frac { d y } { d x } \frac { d x } { d t } =f ^ {\prime } (x) g ^ {\prime } (t)=f ^ {\prime } (g(t)) g ^ {\prime } (t) \]이다. 이변수 이상의 합수에 관한 연셰법칙 역시 합성합수를 미분하 는 방법을 나타낸다.</p> <p>[정리 10.3]</p> <p>$ z=f(x, y) $ 가 $ x $ 와 $ y $ 의 미분가능한 함수이고 $ x=g(t), y=h(t) $ 가 $ t $ 의 미분가능한 함수라 가정하면 $ z $ 는 $ t $ 의 미분가능한 함수이고 \[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } \]이다.</p> <p>곡면 $ S $ 의 방정식을 $ F(x, y, z)=k(k $ 는 상수 $ ) $ 라 하고 $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z \right . $ $ { } _ { 0 } $ ))를 $ S $ 위의 점이라 하자. $ P $ 를 지나는 곡면 $ S $ 위의 임의의 곡선을 $ C $ 라 하면 $ C $ 는 연속벡터함수 $ \mathbf { r } (t)=(x(t), y(t), z(t)) $ 로 나타낼 수 있음을 기억하라. $ t_ { 0 } $ 를 $ P $ 에 대응하는 매개변수값, 즉 $ \mathbf { r } \left (t_ { 0 } \right )= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right . $, $ \left .z_ { 0 } \right ) $ 라 하자. $ C $ 가 $ S $ 위에 있으므로 임의의 점 $ (x(t), y(t), z(t)) $ 는 $ S $ 의 방정식을 만족한다. 즉 $ F(x(t), y(t), z(t))=k $<caption>(2)</caption></p> <p>만약 $ x, y, z $ 가 $ t $ 의 미분가능한 함수이고 $ F $ 또한 미분가능하면 연쇄 법칙을 사용하여 식 (2)를 $ t $ 에 관해 미분할 수 있으므로 \[ \frac {\partial F } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial F } {\partial y } \frac { d y } { d t } + \frac {\partial F } {\partial z } \frac { d z } { d t } =0 \]<caption>(3)</caption>을 언는다. 그런데 $ \nabla F= \left (F_ { x } , F_ { y } , F_ { z } \right ) $ 이고 $ \mathbf { r } ^ {\prime } (t)= \left (x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t), z ^ {\prime } (t) \right ) $이므로 식 (3)을 내적을 이용하여 \[ \nabla F \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t)=0 \]<caption>(4)</caption>으로 쓸 수 있다. 븍허 $ t=t_ { 0 } $ 일 때 \[ \nabla F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )=0 \]이다.</p> <p>(2) $ \ln \left (x ^ { 2 } -y \right ) $ 는 $ x ^ { 2 } -y>0 $, 즉 $ y<x ^ { 2 } $ 일 때만 정의되므로 $ f $ 의 정의역은 \[D= \left \{ (x, y) \mid y<x ^ { 2 } \right \} \]이고(그림 10.1 (2)), \[f(4,1)= \ln \left (4 ^ { 2 } -1 \right )= \ln 15 \]</p> <p>[정의 10.2] $ f $ 가 정의역이 $ D $ 인 이변수함수일 때, $ f $ 의 그레프는 집합 \[S= \left \{\left .(x, y, z) \in R ^ { 3 } \right \|_ { z } =f(x, y),(x, y) \in D \right \} \]이다.</p> <p>일변수함수 $ f $ 의 그레프가 방정식 $ y=f(x) $ 를 가진 곡선 $ C $ 인 것 처럼 이변수함수 $ f $ 의 그레프는 방정식이 $ z=f(x, y) $ 인 곡면 $ S $ 이다.</p> <p>예제2 함수 $ f(x, y)=12-4 x-3 y $ 의 그레프를 그려라.</p> <p>풀이 $ f $ 의 그래프는 방징식 $ z=12-4 x-3 y $, 즉 $ 4 x + 3 y + z=12 $ 로 나타낼 수 있다. 그림 $ 10.2 $ 는 제 1 팔분공간에 놓여 있는 이 그레프의 일부이다.</p> <p>예졔 $ 3 f(x, y)= \sqrt { 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 의 정의역, 치역을 구하고 그레프를 그려라.</p> <p>풀이 $ f $ 의 정의역은 \[D= \left \{ (x, y) \mid 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \geq 0 \right \} = \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 25 \right \} \]이고, $ f $ 의 치역은 \[ \left \{ z \mid z= \sqrt { 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } ,(x, y) \in D \right \} \]이다. $ z $ 가 양의 제곱근이므로 $ z \geq 0 $ 이다. 또한 $ 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \leq 25 $ 이므로 $ \sqrt { 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \leq 5 $ 이다. 따라서 치역은 \[ \{ z \mid 0 \leq z \leq 5 \} =[0,5] \]이다. $ f $ 의 그레프는 방정식 $ z= \sqrt { 25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 로 나타낼 수 있다. 이 방징식의 양변을 제곱하면 $ z ^ { 2 } =25-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $, 또는 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =25 $ 를 얻는데 이것은 원점이 중심이고 반지름이 5 인 구의 방정식이다. $ z \geq $ 0 이므로 $ f $ 의 그레프는 상반구이다(그림 10.3).</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial s } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \\ &= \left (e ^ { x } \sin y \right )(2 s t) + \left (e ^ { x } \cos y \right ) \left (t ^ { 2 } \right ) \\ &=2 s t e ^ { s ^ { 2 } t } \sin \left (s t ^ { 2 } \right ) + t ^ { 2 } e ^ { s ^ { 2 } t } \cos \left (s t ^ { 2 } \right ) \\ \frac {\partial z } {\partial t } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } \\ &= \left (e ^ { x } \sin y \right ) \left (s ^ { 2 } \right ) + \left (e ^ { x } \cos y \right )(2 s t) \\ &= \left (s ^ { 2 } \right ) e ^ { s ^ { 2 } t } \sin \left (s t ^ { 2 } \right ) + 2 s t e ^ { s ^ { 2 } t } \cos \left (s t ^ { 2 } \right ) \end {aligned} $</p> <p>다음은 $ u $ 가 $ n $ 개의 변수 $ x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $ 의 함수이고 또 이들 변수 각각이 $ m $ 개의 변수 $ t_ { 1 } , \cdots, t_ { m } $ 의 합수인 경우의 연세법칙이다. 증명은 정리 $ 10.4 $ 와 비슷하다.</p> <p>예제 1</p> <p>점 $ P(1,3) $ 에서 단위벡터 $ \mathbf { u } = \frac { 1 } { 2 } \mathbf { i } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \mathbf { j } $ 의 방향으로의 $ f(x, y)=5 $ $ -2 x ^ { 2 } + y ^ { 3 } $ 의 도함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=-4 x, f_ { y } (x, y)=3 y ^ { 2 } $ 이므로 $ D_ {\mathbf { u } } f(1,3)=f_ { x } (1,3) \frac { 1 } { 2 } + f_ { y } (1,3) \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) $ $ =-4(1) \frac { 1 } { 2 } + 3(3) ^ { 2 } \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right )=-2- \frac { 27 } { 2 } \sqrt { 3 } $</p> <p>만약 단위벡터 $ \mathbf { u } =u_ { 1 } \mathbf { i } + u_ { 1 } \mathbf { j } $ 가 양의 $ x $ 축과 이루는 각이 $ \theta $ 이면 그림 $ 10.12 $ 에서 알 수 있듯이 $ \mathbf { u } =( \cos \theta, \sin \theta) $ 이므로 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y)=f_ {\boldsymbol { x } } (x, y) \cos \theta + f_ { y } (x, y) \sin \theta \]로 나타낼 수 있다.</p> <p>예제 2</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 2 } -5 x y + 4 y ^ { 3 } $ 이고 단위벡터 $ \mathbf { u } $ 가 $ x $ 축의 양의 방향과 이루는 각이 $ \theta= \frac {\pi } { 3 } $ 일 때 $ D_ {\mathbf { u } } f(2,1) $ 을 구하여라.</p> <p>예제 1</p> <p>점 $ (1,3,28) $ 에서 타원포물면 $ z=x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } $ 의 접평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>폴이</p> <p>$ f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } $ 이라 하면 \[ \begin {array} { ll } f_ { x } (x, y)=2 x, & f_ { y } (x, y)=6 y \\f_ { x } (1,3)=2, & f_ { y } (1,3)=18 \end {array} \] 점 $ (1,3,28) $ 에서 접평면의 방정식은 \[z-28=2(x-1) + 18(y-3) \text { 또는 } 2 x + 18 y-z=28 \]</p> <p>2.9절에서 함수 $ y=f(x) $ 에 대하여 $ y $ 의 증분을 \[ \Delta y=f(x + \Delta x)-f(x) \] $ y $ 의 미분을 \[d y=f ^ {\prime } (x) d x \]로 정의한 바 있다. 그림 $ 12.6 $ 은 $ \Delta y $ 와 $ d y $ 사이의 관계를 보여주고 있다. $ x $ 가 $ d x= \Delta x $ 만흠 변할 때 $ \Delta y $ 는 곡선 $ y=f(x) $ 의 높이의 변화를 나타내고 $ d y $ 는 점선의 높이의 변화를 나타넨다. $ \Delta y-d y $ 가 $ \Delta x $ 보다 더 빨리 0 에 접근한다. 그 이유는 $ \Delta x \rightarrow 0 $ 일 때 \[ \begin {aligned} \varepsilon= \frac {\Delta y-d y } {\Delta x } &= \frac { f(x + \Delta x)-f(x)-f ^ {\prime } (x) \Delta x } {\Delta x } \\&= \frac { f(x + \Delta x)-f(x) } {\Delta x } -f ^ {\prime } (x) \\& \rightarrow f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (x)=0 \end {aligned} \] 이기 때문이다. 따라서 \[ \Delta y=d y + \varepsilon \Delta x \]<caption>(2)</caption>이고 식 (2)에 의해 $ \Delta x \rightarrow 0 $ 일 때 $ \varepsilon \rightarrow 0 $ 이다.</p> <p>삼변수함수 $ f $ 는 정의역 $ D \subset \mathbf { R } ^ { 3 } $ 에 속하는 각 3 중순서쌍 $ (x, y $, z)에 유일한 실수 $ f(x, y, z) $ 를 대응시키는 대응규칙이다.<p>예제 4 $ f(x, y, z)=x ^ { 3 } -2 y z ^ { 2 } $ 일 때 $ f(1,-3,2), f \left (x ^ { 2 } , y ^ { 2 } , z ^ { 2 } \right ), f(-y, z, 2 x) $ 를 구하여라.</p> <p>풀 이 $ \begin {aligned} & f(1,-3,2)=1 ^ { 3 } -2(-3) 2 ^ { 2 } =1 + 24=25 \\ & f \left (x ^ { 2 } , y ^ { 2 } , z ^ { 2 } \right )= \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \left (z ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } =x ^ { 6 } -2 y ^ { 2 } z ^ { 4 } \\ & f(-y, z, 2 x)=(-y) ^ { 3 } -2 z(2 x) ^ { 2 } =-y ^ { 3 } -8 x ^ { 2 } z \end {aligned} $</p> <p>일반적으로 $ n $ 개의 변수를 가진 함수 $ f $ 는 정의역 $ D \subset \mathbf { R } ^ { n } $ 에 속하 는 각 $ n $ 중순서쌍 $ \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 에 유일한 실수 $ f \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 를 대응시키는 대응규칙이다. 기호 \[f: D \subset \mathbf { R } ^ { n } \rightarrow \mathbf { R } \]은 $ f $ 가 $ \mathbf { R } ^ { n } $ 의 부분집합인 정의역 $ D $ 를 가진 실수함수임을 의미한다.</p> <p>다음은 $ z=f(x, y) $에서 $ x, y $가 이변수 $ s, t $의 함수인 경우 연쇄법칙에 관해 알아보자. $ z $는 간접적으로 $ s $와 $ t $의 함수이므로 $ \frac {\partial z } {\partial s } , \frac {\partial z } {\partial t } $를 구하자. $ \frac {\partial z } {\partial s } $는 $ t $를 고정시킨 다음 $ s $에 관한 $ z $의 미분으로 구한다. 그러므로 정리 10.3에 의하여 \[ \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \]이다. $ \frac {\partial z } {\partial t } $에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 연쇄법칙에 관한 다음 정리가 증명되었다.<p>[정리 10.4] $ z=f(x, y) $가 $ x $와 $ y $의 미분가능한 함수이고 $ x=g(s, t), y=h $ $ (s, t) $이며 편도함수 $ g_ { s } , g_ { t } , h_ { s } , h_ { t } $가 존재하면 \[ \begin {array} { l } \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \\ \frac {\partial z } {\partial t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } \end {array} \]</p> <p>이 경우의 연쇄법칙도 그림 10.10으로 기억하면 편리하다.</p> <p>예제 3 $ z=e ^ { x } \sin y, x=s ^ { 2 } t, y=s t ^ { 2 } $일 때 $ \frac {\partial z } {\partial s } , \frac {\partial z } {\partial t } $를 구하여라.</p> <p>정의 $ 10.3 $ 에서 $ \|f(x, y)-L\| $ 은 실수 $ f(x, y) $ 와 $ L $ 사이의 거리 이고 $ \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } $ 는 점 $ (x, y) $ 와 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 사이의 거리 이므로 정의 $ 10.3 $ 은 점 $ (x, y) $ 와 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 사이의 거리를 충분히 가깝게 함으로써 $ f(x, y) $ 와 $ L $ 사이의 거리를 임의로 가깝게 만들 수 있음을 의미한다.</p> <p>일변수함수의 경우, $ x $ 가 $ x_ { 0 } $ 에 접근할 때 왼쪽 또는 오른쪽으로 부터의 두 가지 경로만 있다. 그러나 이변수함수의 경우에는 점 $ (x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 접근할 때 무한히 많은 경로가 있으므로 극한값 계산이 그리 간단하지 않다. 정의 $ 10.3 $ 은 점 $ (x, y) $ 와 점 $ \left (x_ { 0 } \right . $, $ y_ { 0 } $ ) 사이의 거리에만 관계가 있고 접근 경로와는 무관하므로 극한값이 존재하기 위해서는 점 $ (x, y) $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에 어떻게 접근하든지 $ f(x, y) $ 는 반드시 같은 극한값을 가져야 한다. 그러므로 서로 다른 두 경로를 따라 $ (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 일 때, $ f(x, y) $ 가 서로 다른 값에 접근하면 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)_ { { } } $ 는 존재하지 않는다.</p> <p>예제 2</p> <p>$ z=f(x, y)=2 x ^ { 2 } + 5 x y + 4 y ^ { 2 } $ 에서 $ d z $ 를 구하고, $ x $ 는 2 에서 $ 1.99 $ 로 $ y $ 는 $ -1 $ 에서 $ -0.98 $ 로 변할 때 $ d z $ 와 $ \Delta z $ 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } d z=(4 x + 5 y) d x + (5 x + 8 y) d y \\x_ { 0 } =2, d x= \Delta x=1.99-2=-0.01 \\y_ { 0 } =-1, d y= \Delta y=-0.98-(-2)=0.02 \end {array} \]를 대입하면 \[ \begin {array} { l } d z=[4(2) + 5(-1)](-0.01) + [5(2) + 8(-1)](0.02)=0.01 \\ \Delta z=f(1.99,-0.98)-f(2,-1)=0.0108 \end {array} \] $ \Delta z \approx d z $ 이지만 $ d z $ 의 계산이 더 간단함을 알 수 있다. $ d z $ 가 $ z $ 의 전미분일 매 비 $ \frac { d z } { z } $ 를 $ z $ 의 상대오차라 하고 $ \frac { d z } { z } \times 100 \% $ 를 $ z $ 의 백분율오차라 한다.</p> <p>예제 3</p> <p>저항 $ R_ { 1 } , R_ { 2 } $ 가 병렬로 연견되어 있는 회로의 총저항 $ R $ 은 $ \frac { 1 } { R } = \frac { 1 } { R_ { 1 } } + $ $ \frac { 1 } { R_ { 2 } } $ 을 만족한다. $ R_ { 1 } , R_ { 2 } $ 의 측량값이 각각 $ 400 \Omega, 200 \Omega $ 이고 이들의 최대백분율오차가 각각 $ 3 \%, 2 \% $ 일 때 $ R $ 의 최대백분율오차를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>주어진 조건으로부터 \[ \left \| \frac { d R_ { 1 } } { R_ { 1 } } \right \| \leq 0.03, \quad \left \| \frac { d R_ { 2 } } { R_ { 2 } } \right \| \leq 0.02 \]이며 $ \left \| \frac { d R } { R } \right \| $ 의 최대값을 구해야 한다. \[ \begin {aligned} d R &= \frac {\partial R } {\partial R_ { 1 } } d R_ { 1 } + \frac {\partial R } {\partial R_ { 2 } } d R_ { 2 } \\&= \frac { R_ { 2 } ^ { 2 } } \left (R_ { 1 } + R_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d R_ { 1 } + \frac { R_ { 1 } ^ { 2 } } {\left (R_ { 1 } + R_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d R_ { 2 } \end {aligned} \]이므로 \[ \begin {aligned} \frac { d R } { R } &= \left [ \frac { R_ { 2 } ^ { 2 } } {\left (R_ { 1 } + R_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d R_ { 1 } + \frac { R_ { 1 } ^ { 2 } } {\left (R_ { 1 } + R_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d R_ { 2 } \right ] \frac { R_ { 1 } + R_ { 2 } } { R_ { 1 } R_ { 2 } } \\ &= \frac { R_ { 2 } } { R_ { 1 } + R_ { 2 } } \frac { d R_ { 1 } } { R_ { 1 } } + \frac { R_ { 1 } } { R_ { 1 } + R_ { 2 } } \frac { d R_ { 2 } } { R_ { 2 } } \end {aligned} \]이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { d R } { R } \right \| & \leq \left \| \frac { R_ { 2 } } { R_ { 1 } + R_ { 2 } } \right \| \left \| \frac { d R_ { 1 } } { R_ { 1 } } \right \| + \left \| \frac { R_ { 1 } } { R_ { 1 } + R_ { 2 } } \right \| \left \| \frac { d R_ { 2 } } { R_ { 2 } } \right \| \\& \leq \frac { 200 } { 400 + 200 } (0.03) + \frac { 400 } { 400 + 200 } (0.02) \\&=0.0233 \end {aligned} \] 즉 최대백분율오차는 $ 2.3 \% $ 이다.</p> <p>풀이</p> <p>$ F(x, y, z)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } + z ^ { 4 } + 12 x y z-1 $ 이라 하자. 식 (2)로부터 \[ \begin {array} { c } \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { z } } =- \frac { 4 x ^ { 3 } + 12 y z } { 4 z ^ { 3 } + 12 x y } =- \frac { x ^ { 3 } + 3 y z } { z ^ { 3 } + 3 x y } \\ \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { F_ { y } } { F_ { z } } =- \frac { 4 y ^ { 3 } + 12 x z } { 4 z ^ { 3 } + 12 x y } =- \frac { y ^ { 3 } + 3 x z } { z ^ { 3 } + 3 x y } \end {array} \]</p> <h1>$ 10.6 $ 방향도함수와 그래디언트</h1> <p>$ z=f(x, y) $ 에서 편도함수 $ f_ { x } , f_ { y } $ 는 각각 $ x $ 축, $ y $ 축 방향으로의 $ z $ 의 변화율을 의미한다. 즉 이들은 단위벡터 $ \mathbf { i } , \mathbf { j } $ 방향으로의 $ z $ 의 변화율을 나타낸다. 이 절에서는 주어진 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 임의의 단위벡터 $ \mathbf { u } = $ $ \left ( \mathrm { u } _ { 1 } , \mathrm { u } _ { 2 } \right ) $ 의 방향으로의(그럽 10.11) $ z $ 의 변화율을 구하고자 한다.</p> <p>참고</p> <p>1. $ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } =f_ { x } (x, y) g ^ {\prime } (t) + f_ { y } (x, y) h ^ {\prime } (t) $ \[=f_ { x } (g(t), h(t)) g ^ {\prime } (t) + f_ { y } (g(t), h(t)) h ^ {\prime } (t) \] 2. $ \frac {\partial f } {\partial x } $ 를 $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 로 나타내면 \[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \]</p> <p>이변수 이상의 합수의 연세법칙은 그림 $ 10.9 $ 와 같이 기억하면 편리하다. 먼저 함수 $ z=f(x, y) $ 의 종속변수 $ z $ 를 제일 위에 쓰고 독립변수 $ x, y $ 를 그 아래에 나란허 쓴다. 또 함수 $ x=g(t) $ 와 $ y=h(t) $ 의 독립변수 $ t $ 를 제일 아래에 쓰고 아래 위의 변수를 선으로 연결한다. 이때, 위와 아래의 변수를 연결하는 선은 위의 변수를 아래의 변수로 미분하는 것을 의미한다.</p> <p>따라서 $ z $ 와 $ x $ 를 연견하는 선은 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 를 나타낸다. $ y $ 와 $ t $ 를 연견하는 선은 $ \frac { d y } { d t } $ 를 나타낸다. 여기서 $ d $ 와 $ \partial $ 의 차이는 일변수 함수의 미분 인지, 이변수 이상의 함수의 편미분인지를 나타내는 것이다. 그러면 $ z $ 를 $ t $ 로 미분하는 것은 $ z $ 와 $ t $ 를 연결하는 각 경로의 도함수를 곱하 고 이것들을 더하여 구할 수 있다. 즉, \[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \]이다.<p>예제 1</p> <p>[정리 10.2]</p> <p>$ f_ { x } $ 와 $ f_ { y } $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 와 $ \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 를 포함하는 직사각형 영역 $ R $ 에서 존재한다고 가정하자. $ f_ { x } , f_ { y } $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 연속이라 가정하고 \[ \Delta z=f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]라 하면 \[ \Delta z=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \] 이다. 여기서 $ \varepsilon_ { 1 } , \varepsilon_ { 2 } $ 는 $ \Delta x $ 와 $ \Delta y $ 의 함수이고 $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \begin {aligned} \Delta z=& f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\=& {\left [f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right ) \right ] } \\ & + \left [f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] \end {aligned} $<caption>(6)</caption>(그림 10.8). 함수 $ f \left (x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 에 관해 구간 $ \left [x_ { 0 } , x_ { 0 } + \Delta x \right ] $ 에서 평균값 정리를 적용하면 \[f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right )=f_ { x } \left (u, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \Delta x \] 이고 여기서 $ u $ 는 $ x_ { 0 } $ 와 $ x_ { 0 } + \Delta x $ 사이의 값이다. 또한, 함수 $ f \left (x_ { 0 } , y \right ) $ 에 관해 구간 $ \left [y_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right ] $ 에서 평균값 정리를 적용하면 \[f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (x_ { 0 } , v \right ) \Delta y \]이고 $ v $ 는 $ y_ { 0 } $ 와 $ y_ { 0 } + \Delta y $ 사이의 값이다. 이것을 방정식 (6)에 대입하면 \[ \begin {aligned} \Delta z=& f_ { x } \left (u, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , v \right ) \Delta y \\=& f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + \left [f_ { x } \left (u, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] \Delta x \\ & + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \left [f_ { y } \left (x_ { 0 } , v \right )-f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] \Delta y \\=& f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \]이고, 여기서 \[ \begin {array} { l } \varepsilon_ { 1 } =f_ { x } \left (u, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ \varepsilon_ { 2 } =f_ { y } \left (x_ { 0 } , v \right )-f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \end {array} \]이다. $ ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \left (u, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), \left (x_ { 0 } , v \right ) \rightarrow $ $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 이고 $ f_ { x } , f_ { y } $ 가 연속이므로 $ \varepsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 $ 이다.</p> <p>예제 7</p> <p>$ f(x, y, z)= \cos (2 x + y z) $ 의 4계편도함수 $ f_ { x y y z } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f_ { x } =-2 \sin (2 x + y z), \quad f_ { x y } =-2 z \cos (2 x + y z) $ $ f_ { x y y } =2 z ^ { 2 } \sin (2 x + y z) $ $ f_ { x y y z } =2 y z ^ { 2 } \cos (2 x + y z) + 4 z \sin (2 x + y z) $</p> <h1>$ 10.4 $ 접평면과 전미분</h1> <p>곡면 $ S $ 의 방징식을 $ z=f(x, y) $ 라 하고 $ f $ 의 1계편도함수가 연속이라 가정하자. $ P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 가 $ S $ 위의 점일 때, $ 10.3 $ 절에서처럽 $ C, D $ 를 수직평면 $ y=y_ { 0 } , x=x_ { 0 } $ 와 곡면 $ S $ 가 교차하는 각각의 곡선이라 하고 $ T_ { C } , T_ { D } $ 를 $ P $ 에서 곡선 $ C, D $ 에 관한 각각의 접선이라 하자. 그러면 $ P $ 에서 곡면 $ S $ 에 관한 접평면(tangent plane)은 접선 $ T_ { C } , T_ { D } $ 를 포함하는 평면으로 정의한다(그림 10.5).</p> <p>만약 $ E $ 가 곡면 $ S $ 위에 있고 $ P $ 를 지나는 임의의 곡선이면 $ P $ 에서 이 곡선의 접선 또한 접평면에 있음을 $ 10.6 $ 절에서 보인다. 그러므로 $ P $ 에서 $ S $ 에 관한 접평면은 $ P $ 를 지나는 모든 곡선의 $ P $ 에서의 접선으로 구성되어 있다고 할 수 있다.</p> <p>예제 6</p> <p>$ f(x, y)=x \sin y + y e ^ { x } $ 의 2계편도함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[f_ { x } = \sin y + y e ^ { x } , \quad f_ { y } =x \cos y + e ^ { x } \] 이므로 \[ \begin {array} { ll } f_ { x x } =y e ^ { x } , & f_ { x y } = \cos y + e ^ { x } \\f_ { y x } = \cos y + e ^ { x } , & f_ { y y } =-x \sin y \end {array} \]예제 6 에서는 $ f_ { x y } =f_ { y x } $ 이지만 이것은 일반적으로는 성립하지 않는다. 다음 정리에서 $ f_ { x y } =f_ { y x } $ 일 조건을 알아보자.</p> <p>[정리 10.1]</p> <p>$ f $ 가 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 포함하는 개원판 $ D $ 에서 정의되어 있고 $ f_ { x } $, $ f_ { y } , f_ { x y } , f_ { y x } $ 또한 $ D $ 에서 정의되어 있다고 가정하자. 만약 $ f_ { x y } $, $ f_ { y x } $ 가 $ D $ 에서 연속이면 \[f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]이다.</p> <p>위 정리로부터 다변수함수가 연속인 편도함수를 갖는 경우, 편미분의 순서를 임의로 바꿀 수 있음을 알 수 있다. 예를 들어 $ f_ { x x y } $, $ f_ { x y x } , f_ { y x x } $ 가 연속이면 \[f_ { x x y } =f_ { x y x } =f_ { y x x } \]이다.</p> <h1>10.1 다변 수함수</h1> <p>이제까지 (독립)변수가 하나인 함수의 미적분에 대해 공부해 왔다. 그러나 현실세계에 나타나는 대부분의 물리적인 양은 두 개 또는 그 이상의 변수에 의존한다. 그러므로 이 장에서는 다변수함수를 소개하고 이 함수의 미분에 대해 공부한다.</p> <p>예를 들어 원기등의 부피 $ V $ 는 반지름 $ r $ 와 높이 $ h $ 에 따라 변하므로 $ r $ 와 $ h $ 의 함수이며 $ V(r, h) = \pi r ^ { 2 } h $ 로 나타낼 수 있다. 이상기체의 법칙에 의하면 밀페되어 있는 기체의 부피 $ V $ 는 온도 $ T $ 에 비례하고 압력 $ P $ 에 반비레하는 $ T $ 와 $ P $ 의 함수이며 $ V(T, P)=k \frac { T } { P } $ 로 나타한다.</p> <p>[정의 10.1] $ D \subset \mathbf { R } ^ { 2 } $ 라 하자. 이변수함수 $ f $ 는 $ D $ 에 속하는 각 순서쌍 $ (x, y) $ 에 유일한 실수 $ f(x, y) $ 를 대응시키는 대응규칙이다. 집합 $ D $ 는 $ f $ 의 징의역(domain)이고 $ f $ 의 치역(range)은 함수값 $ f(x, y) $ 의 집합, 즉 $ \{ f(x, y) \mid(x, y) \in D \} $ 이다.</p> <p>함수 $ f $ 가 어떤 식으로 주어지고 정의역이 구체화되어 있지 않을 때, $ f $ 의 정의역은 주어진 식이 정의되는 모든 순서쌍 $ (x, y) $ 의 집합이다.</p> <p>예제 1 다음 함수의 정의역과 $ f(4,1) $ 을 계산하어라.</p> <p>(1) $ f(x, y)= \frac {\sqrt { 1 + x + 4 y } } { y } $ (2) $ f(x, y)= \ln \left (x ^ { 2 } -y \right ) $</p> <p>풀이 (1) 분모가 영이 아니고 제곱근 안의 부호가 음이 아니면 $ f $ 가 정의되 므로 $ f $ 의 정의역은 $ D= \{ (x, y) \mid 1 + x + 4 y \geq 0, y \neq 0 \} $<p>이고(그림 $ 10.1 $ (1)), \[f(4,1)= \frac {\sqrt { 1 + 4 + 4 } } { 1 } =3 \]</p> <p>삼변수함수에 대하여도 같은 방법으로 방향도함수와 그래디언트를 정의한다. 즉 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , _ { 0 } \right ) $ 에서 단위벡터 $ \mathbf { u } =u_ { 1 } \mathbf { i } + u_ { 2 } \mathbf { j } + u_ { 3 } \mathbf { k } $ 의 방향으로의 $ f $ 의 방향도함수는 \[D_ {\mathbf { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h u_ { 1 } , y_ { 0 } + h u_ { 2 } , z_ { 0 } + h u_ { 3 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } { h } \]이다. 또 $ f(x, y, z) $ 가 미분가능하면, 징리 $ 10.6 $ 의 증명과 같은 방법을 사용하여 $ D_ { u } f(x, y, z)=f_ { x } (x, y, z) u_ { 1 } + f_ { y } (x, y, z) u_ { 2 } + f_ { z } (x, y, z) u_ { 3 } $<caption>(1)</caption>임을 증명할 수 있다. 또한 삼변수함수에 대한 그래디언트 벡터는 \[ \begin {aligned} \nabla f(x, y, z) &= \left (f_ { x } (x, y, z), f_ { y } (x, y, z), f_ { z } (x, y, z) \right ) \\ &= \frac {\partial f } {\partial x } \mathbf { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathbf { j } + \frac {\partial f } {\partial z } \mathbf { k } \end {aligned} \]로 정의한다. 따라서 공식 (1)은 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y, z)= \nabla f(x, y, z) \cdot \mathbf { u } \]로 나타낼 수 있다.</p> <p>이변수함수 $ z=f(x, y) $ 에서 $ x, y $ 가 $ \Delta x, \Delta y $ 만큼 증가할 때, 이에 대응하는 $ z $ 의 증분(increment)은 \[ \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \]로 정의한다. 이는 $ (x, y) $ 가 $ (x + \Delta x, y + \Delta y) $ 로 변할 때, 함수값 $ f $ 의 변화를 의미한다. 미분 $ d x $ 와 $ d y $ 를 독립변수로 춰급할 때 전미분 (total differential) $ d z $ 는 \[ \begin {aligned} d z &=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y \\&= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \end {aligned} \]<caption>(3)</caption>로 정의한다. 방정식 (3)에서 $ (x, y)= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 라 하고 \[d x= \Delta x, \quad d y= \Delta y \]라 하면 $ d z=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y $<caption>(4)</caption>이다. 한편, 만약 $ f_ { x } $ 와 $ f_ { y } $ 가 연속이면 방정식 (1)로부터 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right . $, $ \left .f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) $ 에서 곡면 $ z=f(x, y) $ 에 관한 접평면의 방정식은 $ z-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) $<caption>(5)</caption>이다. 방정식 (4), (5)를 비교하면 $ (x, y) $ 가 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 에서 $ \left (x_ { 0 } + \Delta x \right . $, $ \left .y_ { 0 } + \Delta y \right ) $ 로 변할 매, $ d z $ 는 접평면의 곺이의 변화를 나타냄을 알 수 있다(그림 10.7).</p> <p>예제 2</p> <p>점 $ P(1,2,4) $ 에서 $ x z ^ { - } $ 평면과 평행하고 곡면 f(x, y)= $ =7-x ^ { 2 } -x y $ 에 접하는 직선의 기울기를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>구하고자 하는 직선의 기울기는 $ f_ { x } (1,2) $ 이다.</p> <p>$ f_ { x } (x, y)=-2 x-y, \quad f_ { x } (1,2)=-2-2=-4 $</p> <p>예제 3</p> <p>$ f(x, y)=y \sin x y $ 에서 $ \frac {\partial f(x, y) } {\partial y } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac {\partial f(x, y) } {\partial y } =y \frac {\partial } {\partial y } ( \sin x y) + \sin x y \frac {\partial } {\partial y } (y)=x y \cos x y + \sin x y $</p> <p>예제 4</p> <p>$ z $ 가 방정식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } + 2 x y z=2 $ 로 정의된 $ x $ 와 $ y $ 의 음함수일 때 $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 와 $ \frac {\partial z } {\partial y } $ 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac {\partial z } {\partial x } $ 를 구하기 위해 $ y $ 를 상수로 취급하고 $ x $ 에 관해 음적으로 미분하면 \[2 x + 2 z \frac {\partial z } {\partial x } + 2 y z + 2 x y \frac {\partial z } {\partial x } =0 \] $ \frac {\partial z } {\partial x } $ 에 관해 풀면 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { x + y z } { z + x y } \] 또한 $ y $ 에 간한 음함수 미분으로부터 \[ \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { y + x z } { z + x y } \] 편도함수는 삼변수 또는 그 이상의 변수를 가진 함수에 관해서도 정의할 수 있다. 예를 들어 $ f $ 가 삼변수 $ x, y, z $ 의 함수이면 $ x $ 에 관한 편도함수는 \[f_ { x } (x, y, z)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x, y, z)-f(x, y, z) } {\Delta x } \]로 정의하고 $ y $ 와 $ z $ 를 상수로 간주한 후 $ x $ 에 관해 $ f(x, y, z) $ 를 미분 하여 구한다. 일반적으로 $ u $ 가 $ n $ 개의 변수의 함수 $ u=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) $ 이면 $ i $ 번째 변수 $ x_ { i } $ 에 관한 편도함수는 \[ \frac {\partial u } {\partial x_ { i } } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } f \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { i } + \Delta x, \cdots, x_ { n } \right )-f \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { i } , \cdots, x_ { n } \right ) \]으로 정의하고 \[ \frac {\partial u } {\partial x_ { i } } = \frac {\partial f } {\partial x_ { i } } =f_ { x_ { i } } \]등으로 나타낸다.<p>예제 5</p> <p>예제 3 $ f(x, y)= \frac { 3 x ^ { 2 } y } {\left (x ^ { 4 } + y ^ { 2 } \right ) } $ 일 때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 가 존재하는가?<p>풀이 원점을 지나는 입의의 직선 $ y=m x(m \neq 0) $ 를 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $ 으로 접근하면<p>\[f(x, y)=f(x, m x)= \frac { 3 x ^ { 2 } (m x) } { x ^ { 4 } + (m x) ^ { 2 } } = \frac { 3 m x ^ { 3 } } { x ^ { 4 } + m ^ { 2 } x ^ { 2 } } = \frac { 3 m x } { x ^ { 2 } + m ^ { 2 } } \]이므로 $ f(x, y) \rightarrow 0 $ 이다. 그러나 포물선 $ y=x ^ { 2 } $ 을 따라 $ (x, y) \rightarrow(0,0) $으로 접근하면 \[f(x, y)=f \left (x, x ^ { 2 } \right )= \frac { 3 x ^ { 4 } } { x ^ { 4 } + x ^ { 4 } } = \frac { 3 } { 2 } \]이므로 $ f(x, y) \rightarrow \frac { 3 } { 2 } $ 이다. 따라서 극한값은 존재하지 않는다.</p> <p>예제 4 $ f(x, y)= \frac { 5 x y ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } $ 일 때 $ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) $ 가 존재하는가?</p> <p>풀이 예제 3 처럼 원점을 지나는 임의의 직선을 따라 접근할 때의 극한값은 0 임을 알 수 있다. 또한 포물선 $ y=x ^ { 2 } $ 과 $ x=y ^ { 2 } $ 을 따라 접근할 때의 극한값도 0 이므로 극한값의 존재를 기대하고 극한값이 0 임을 보이자. $ \varepsilon>0 $ 라 하자. $ 0< \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \delta $ 일 때마다 \[ \left \| \frac { 5 x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } -0 \right \|= \frac { 5\|x\| y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \varepsilon \]를 만족하는 $ \delta $ 를 찾아야 한다. $ y ^ { 2 } \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 이므로 \[ \frac { 5\|x\| y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq 5\|x\|=5 \sqrt { x ^ { 2 } } \leq 5 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \]이다. 그러므로 $ \delta= \frac {\varepsilon } { 5 } $ 로 선택하면 $ 0< \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \delta $ 일 때마다 \[ \left \| \frac { 5 x y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } -0 \right \| \leq 5 \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }<5 \delta=5 \left ( \frac {\varepsilon } { 5 } \right )= \varepsilon \]이다. 따라서 정의 $ 10.3 $ 에 의하여 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=0 . \]</p>	자연
확률과 통계_확률분포와 기댓값	$ \lambda>0 $일 때 모든 $ x = 0,1,2, \cdots $에 대하여, $ e ^ { - \lambda } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } \geqslant 0 $이고 $ \sum_ { x=0 } ^ {\infty } e ^ { - \lambda } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } =1 $. 따라서 다음과 같이 포아송분포를 정의할 수 있다.</p> <p>定義 2.25 이산형 확률변수 $ X $가 확률질량함수 \[ f(x ; \lambda)= \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } , \quad x=0,1,2,3 \cdots \] 를 가지면 확률변수 $ X $는 모수(parameter) $ \lambda>0 $를 갖는 포아송(Poisson)분포에 따른다고 한다. 확률변수 $ X $가 모수 $ \lambda>0 $ 를 갖는 포아송분포에 따를때, 기호 $ X \sim \operatorname { POIS } ( \lambda) $로 쓰기로 한다.</p> <p>이제 포아송분포의 평균과 분산을 구하면 다음과 같다.</p> <p>定理 2.24 $ X \sim \operatorname { POIS } ( \lambda) $이면, $ X $의 평균과 분산은 각각 \[ E(X) = \lambda \]<caption>(2.10)</caption></p> <p>\[ \operatorname { Var } (X) = \lambda \]<caption>(2.11)</caption></p> <p>이다.</p> <p>證明 먼저, 평균 $ E(X) $는 \[ \begin {aligned} E(X) &= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } x \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } \\ &= \sum_ { x=1 } ^ {\infty } \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { (x-1) ! } \\ &=e ^ { - \lambda } \sum_ { y=0 } ^ {\infty } \frac {\lambda ^ { y + 1 } } { y ! } \quad(y=x-1 \text { 로 치환 } ) \\ &= \lambda e ^ { - \lambda } \sum_ { y=0 } ^ {\infty } \frac {\lambda ^ { y } } { y ! } \\ &= \lambda e ^ { - \lambda } e ^ {\lambda } \\ &= \lambda \end {aligned} \] 이다. 분산을 구하기 전에 다음 식 $ E \left (X ^ { 2 } \right ) $을 먼저 계산하면, \[ \begin {aligned} E \left (X ^ { 2 } \right )&= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } x ^ { 2 } \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } (x-1 + 1) x \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } (x-1) x \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } + \sum_ { x=0 } ^ {\infty } x \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } e ^ { - \lambda } \\ &= \sum_ { x=2 } ^ {\infty } \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { (x-2) ! } + E(X) \\ &=e ^ { - \lambda } \sum_ { y=0 } ^ {\infty } \frac {\lambda ^ { y + 2 } } { y ! } + \lambda & \quad (y=x-2 \text { 로 치환 } ) \\ &= \lambda ^ { 2 } e ^ { - \lambda } \sum_ { y=0 } ^ {\infty } \frac {\lambda ^ { y } } { y ! } + \lambda \\ &= \lambda ^ { 2 } e ^ { - \lambda } e ^ {\lambda } + \lambda \\ &= \lambda ^ { 2 } + \lambda \end {aligned} \] 이다. 따라서, 분산은 \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (X) &=E \left (X ^ { 2 } \right )-(E(X)) ^ { 2 } \\ &= \lambda ^ { 2 } + \lambda-( \lambda) ^ { 2 } \\ &= \lambda \end {aligned} \] 이다.</p> <p>解答 먼저 팩토리얼 적률모함수를 구하면 \[ \begin {aligned} L_ { X } (t) &=M_ { X } ( \ln t) \\ &= \frac { 1 } { 2-e ^ {\ln t } } \\ &= \frac { 1 } { 2-t } \quad(t<2) \end {aligned} \] 이다. 이 함수를 $ r $ 번 미분하면, \[ L_ { X } ^ { (r) } (t)=r !(2-t) ^ { -r-1 } \] 이고 \[ \begin {aligned} E(X) &=L_ { X } ^ {\prime } (1)=1 !(2-1) ^ { -2 } =1 \\ E[X(X-1)] &=L_ { X } ^ {\prime \prime } (1)=2 !(2-1) ^ { -3 } =2 \end {aligned} \] 로부터, \[ E \left (X ^ { 2 } \right )=E(X) + E[X(X-1)]=1 + 2=3 \] 이다. 그러므로 $ \operatorname { Var } (X)=3-1 ^ { 2 } =2 $ 이다.</p> <h1>2.7 Chebyshev의 부등식</h1> <p>이 절에서는 통계학과 확률론에서 많이 사용되는 부등식으로서 Chebyshev의 부등식, Markov의 부등식에 관해서 알아본다.</p> <p>定理 2.14 $ X $ 를 확률변수 $ u(x) \geqslant 0 $ 를 연속인 실수치 함수라 하면, 임의의 모든 상수 $ c>0 $ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다. \[ P \{ u(X) \geqslant c \} \leqslant \frac { E[u(X)] } { c } . \]</p> <p>證明 확률변수 $ X $ 가 연속이고 연속확률밀도함수 $ f(x) $ 를 갖는 경우로 증명한다. 먼 저 $ A= \{ x \mid u(x) \geqslant c \} $라 하면, $ A ^ { c } = \{ x \mid u(x)<c \} $이므로 \[ \begin {aligned} E[u(X)] &= \int_ { - \infty } ^ {\infty } u(x) f(x) d x \\ &= \int_ { A \cup A ^ { c } } u(x) f(x) d x \\ &= \int_ { A } u(x) f(x) d x + \int_ { A ^ { c } } u(x) f(x) d x \\ & \geqslant \int_ { A } u(x) f(x) d x \\ & \geqslant \int_ { A } c f(x) d x \\ &=c P \{ X \in A \} \\ &=c P \{ u(X) \geqslant c \} \end {aligned} \] 이다. 따라서, 위의 부등식을 정리하면 \[ P \{ u(X) \geqslant c \} \leqslant \frac { E[u(X)] } { c } . \] 이다.</p> <p>定理 2.27 $ X \sim \operatorname { GEO } (p) $이면, $ X $의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \[ E(X)= \frac { 1 } { p } , \quad \operatorname { Var } (X)= \frac { q } { p ^ { 2 } } \]<caption>(2.13)</caption></p> <p>證明 먼저 평균 $ E(X) $는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} E(X) &= \sum_ { x=1 } ^ {\infty } x p q ^ { x-1 } \\ &=p \frac { 1 } { (1-q) ^ { 2 } } \\ &= \frac { p } { p ^ { 2 } } \\ &= \frac { 1 } { p } \end {aligned} \] 또한 분산을 계산하기 위하여 먼저 $ E \left (X ^ { 2 } \right ) $을 구하면, \[ \begin {aligned} E \left (X ^ { 2 } \right ) &= \sum_ { x=1 } ^ {\infty } (x-1 + 1) x p q ^ { x-1 } \\ &= \sum_ { x=1 } ^ {\infty } (x-1) x p q ^ { x-1 } + \sum_ { x=1 } ^ {\infty } x p q ^ { x-1 } \\ &=p \frac { 2 q } { (1-q) ^ { 3 } } + \frac { 1 } { p } \\ &= \frac { 2 q } { p ^ { 2 } } + \frac { 1 } { p } \end {aligned} \] 이다. 따라서, 분산은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (X) &=E \left (X ^ { 2 } \right )-(E(X)) ^ { 2 } \\ &= \frac { 2 q } { p ^ { 2 } } + \frac { 1 } { p } - \left ( \frac { 1 } { p } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { q } { p ^ { 2 } } . \end {aligned} \]</p> <p>기하분포의 특징으로는 무기억성 성질(memoryless property)이 있다.</p> <p>定理 2.28 $ X \sim \mathrm { GEO } (p) $이면, 모든 $ x, y \in \mathbb { R } $에 대하여 다음 식이 성립한다. \[ P \{ X>x + l \mid X>l \} =P \{ X>x \} . \]<caption>(2.14)</caption></p> <p>證明 먼저 $ X \sim \mathrm { GEO } (p) $의 분포함수 $ F(x) $를 구하면 \[ \begin {aligned} F(x) &=P \{ X \leqslant x \} \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { x } p q ^ { i-1 } \\ &=1-q ^ { x } , x=1,2,3, \cdots \end {aligned} \] 이다. 이로부터 $ P \{ X>x \} =q ^ { x } ,(x=1.2 .3 \cdots) $이다. 따라서 조건부확률의 정의와 모든 $ x, y \in \mathbb { R } $에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} P \{ X>x + l \mid X>l \} &= \frac { P \{ X>x + l \} } { P \{ X>l \} } \\ &= \frac { (1-p) ^ { x + l } } { (1-p) ^ { l } } \\ &=(1-p) ^ { x } \\ &=P \{ X>x \} . \end {aligned} \]</p> <p>Chebyshev의 부등식에서 알 수 있는 또 하나의 사실은 양의 상수 $ k $가 $2 $일 경우이다. 실제로 $ k=2 $를 대입하면 \[ P[\|X- \mu\| \geqslant 2 \sigma] \leqslant \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } =0.25 \] 이므로 이 부등식으로부터 $ X $의 확률분포는 평균 $ \mu $로부터 표준편차의 $2 $배 내에 있을 확률이 적어도 $ 0.75 $이상이라는 것이다. 더욱이 평균 $ \mu $와 표준편차 $ \sigma $로 주어진 확률부등식 \[ P[\|X- \mu\| \geqslant k \sigma] \] 는 확률변수 $ X $의 확률밀도함수 $ f_ { X } (x) $나 확률질량함수 $ p_ { X } (x) $로 계산할 수 있다. 그런데 Chebyshev의 부등식은 $ f_ { X } (x) $ 또는 $ p_ { X } (x) $를 모를 경우에도 위의 확률부등식에 대한 하한값(lower bound)이 결정될 수 있음을 보여준다. 이러한 성질은 추정과 가설검정에서 많이 이용한다.</p> <p>확률변수 $ X $의 분산이 영(zero)이면 이 확률분포는 오직 하나의 실수 값에 집중되어 있다. 이 사실을 증명하여 보자.</p> <p>定理 2.16 확률변수 $ X $의 평균을 $ \mu=E(X) $, 분산을 $ \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X) $라 하자. 이 경우, $ \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X)=0 $이면 $ P \{ X= \mu \} =1 $이다.</p> <p>證明 임의의 실수 $ x $를 관찰값이라 하자. $ x \neq \mu $이면, $ \|x- \mu\| \geqslant \frac { 1 } { i } , \forall i \geqslant 1 $이다. 따라서, \[ \{ X \neq \mu \} = \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } \left \{ \|X- \mu\| \geqslant \frac { 1 } { i } \right \} \] 이고, 이 식에 확률 $ P $를 부여한 다음, Boole의 부등식과 Chebyshev의 부등식을 이용하면, \[ \begin {aligned} P \{ X \neq \mu \} &=P \left \{\bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } \left \{ \|X- \mu\| \geqslant \frac { 1 } { i } \right \} \right \} \\ & \leqslant \sum_ { i=1 } ^ {\infty } P \left \{ \|X- \mu\| \geqslant \frac { 1 } { i } \right \} \\ & \leqslant \sum_ { i=1 } ^ {\infty } i ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } =0 \end {aligned} \] 이다. 따라서, $ P \{ X \neq \mu \} =0 $이므로 $ P \{ X= \mu \} =1 $이다.</p> <p>위의 정리에서 음아닌 함수 $ u(x) $가 $ u(x)=\|x\| ^ { r } ,(r>0) $이면, Markov의 부등식 \[ \begin {aligned} P \{ \|X\| \geqslant c \} &=P \left \{ \|X\| ^ { r } \geqslant c ^ { r } \right \} \\ & \leqslant \frac { E \left [\|X\| ^ { r } \right ] } { c ^ { r } } ,(c>0) \end {aligned} \] 을 얻는다.</p> <p>Markov의 부등식에서 $ r=2 $인 경우는 Chebyshev의 부등식이라 부르고 이 부등식은 다음과 같다.</p> <p>定理 2.15 확률변수 $ X $의 평균을 $ \mu=E(X) $, 분산을 $ \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X) $이라 하자. 모든 $ k>0 $에 대하여, 다음 부등식이 성립한다. \[ P[\|X- \mu\| \geqslant k \sigma] \leqslant \frac { 1 } { k ^ { 2 } } . \]</p> <p>證明 Markov의 부등식에서 음이 아닌 실함수 $ u(x) $와 양의 상수 $ c $를 각각 \[ u(x)=(x- \mu) ^ { 2 } , \quad c=k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \] 으로 두면, \[ \begin {aligned} P[\|X- \mu\| \geqslant k \sigma] & \leqslant P \left [(X- \mu) ^ { 2 } \geqslant k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \right ] \\ & \leqslant \frac { E \left [(X- \mu) ^ { 2 } \right ] } { k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } } { k ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & \leqslant \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \end {aligned} \] 이 성립한다.</p> <p>Chebychev의 부등식을 변형하면 다음과 같은 여러가지 형태의 부등식이 얻어진다. \[ P[\|X- \mu\| \geqslant k \sigma]=1-P[\|X- \mu\|<k \sigma] \leqslant \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \] 이므로 \[ P[\|X- \mu\|<k \sigma] \geqslant 1- \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \] 이 성립하며, 또한 위의 부등식에서 $ \epsilon=k \sigma $로 치환하면, \[ P[\|X- \mu\|< \epsilon] \geqslant 1- \frac {\sigma ^ { 2 } } {\epsilon ^ { 2 } } \] 이고, 따라서 \[ P[\|X- \mu\| \geqslant \epsilon] \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } } {\epsilon ^ { 2 } } \] 가 성립함을 알 수 있다.</p> <p>(3) 먼저 감마함수의 정의에 의하면 $ \Gamma(m)= \int_ { 0 } ^ { + \infty } x ^ { m-1 } e ^ { -x } d x $ 이다. 이때 $ x=u ^ { 2 } $ 으로 치환하면, $ x \rightarrow 0 $ 이면 $ u \rightarrow 0 $ 이고, $ x \rightarrow + \infty $ 이면 $ u \rightarrow + \infty $ 이다. 따라서, \[ \begin {aligned} \Gamma(m) &= \int_ { 0 } ^ { + \infty } u ^ { 2 m-2 } e ^ { -u ^ { 2 } } 2 u d u \\ &=2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } u ^ { 2 m-1 } e ^ { -u ^ { 2 } } d u \end {aligned} \] 이다. 또 다른 감마함수에 대하여도 $ \Gamma(n)=2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { 2 n-1 } e ^ { -v } d v $ 가 성립한다. 이 두 감마함수를 서로 곱하면, \[ \begin {aligned} \Gamma(m) \Gamma(n) &= \left (2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } u ^ { 2 m-1 } e ^ { -u } d u \right ) \left (2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } v ^ { 2 m-1 } e ^ { -v } d v \right ) \\ &=4 \int_ { 0 } ^ { + \infty } \int_ { 0 } ^ { + \infty } u ^ { 2 m-1 } v ^ { 2 n-1 } e ^ { -u ^ { 2 } -v ^ { 2 } } d u d v \end {aligned} \] 이다. 이 이중적분을 극좌표 $ u=r \cos \theta, v=r \sin \theta, \left (0<r< + \infty, 0 \leqslant \theta \leqslant \frac {\pi } { 2 } \right ) $ 를 이용하여 변수변환을 하면, \[ \begin {aligned} \Gamma(m) \Gamma(n) &=4 \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ { + \infty } r ^ { 2 m-1 } \cos ^ { 2 m-1 } \theta r ^ { 2 n-1 } \sin ^ { 2 n-1 } \theta e ^ { -r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \left (2 \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { 2 m-1 } \theta \cos ^ { 2 n-1 } d \theta \right ) \left (2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } r ^ { 2(m + n)-1 } e ^ { -r ^ { 2 } } d r \right ) \\ &=B(m, n) \left (2 \int_ { 0 } ^ { + \infty } \left (s ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ) ^ {\{ 2(m + n)-1 \} } e ^ { -s } \frac { 1 } { 2 } s ^ { - \frac { 1 } { 2 } } d s \right ) \quad \left (s=r ^ { 2 } \text { 으로 치환 } \right ) \\ &=B(m, n) \left ( \int_ { 0 } ^ { + \infty } s ^ { (m + n)-1 } e ^ { -s } d s \right ) \\ &=B(m, n) \Gamma(m + n) \end {aligned} \] 이다. 정리하면 베타함수와 감마함수 사이의 관계식 \[ B(m, n)= \frac {\Gamma(m) \Gamma(n) } {\Gamma(m + n) } \] 을 얻는다.</p> <p>실제로 기하분포 \[ f(x ; p)=p q ^ { x-1 } , \quad x=1,2,3, \cdots, \quad 0<p<1, q=1-p \] 가 확률질량함수의 조건을 만족하는지 살펴보자. 먼저 모든 $ x=1,2,3, \cdots $에 대하여 \[ f(x ; p)=p q ^ { x-1 } >0 \] 이고 \[ \sum_ { x=1 } ^ {\infty } p q ^ { x-1 } =p \frac { 1 } { 1-q } =1 \] 임을 알 수 있다.</p> <p>이제 기하분포의 평균과 분산을 계산하기 전에, 다음 몇가지 공식을 살펴보자.</p> <p>(무한급수 공식)</p> <ol type=1 start=1><li>다음 식은 기하급수를 미분한 결과이다. \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 1-q } =1 + q + q ^ { 2 } + q ^ { 3 } + \cdots \Longrightarrow \frac { d } { d q } \left ( \frac { 1 } { 1-q } \right ) &= \frac { 1 } { (1-q) ^ { 2 } } \\ &=1 + 2 q + 3 q ^ { 2 } + 4 q ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} \]</li> <li>(1)에서 결과를 다시 한 번 미분하면 다음과 공식을 얻는다.</ol>\[ \begin {aligned} \frac { d } { d q } \frac { 1 } { (1-q) ^ { 2 } } &= \frac { d } { d q } \left (1 + 2 q + 3 q ^ { 2 } + 4 q ^ { 3 } + \cdots \right ) \\ & \Longrightarrow \frac { 2 } { (1-q) ^ { 3 } } =2 + 2 \cdot 3 q + 3 \cdot 4 q ^ { 2 } + 4 \cdot 5 q ^ { 3 } + \cdots \end {aligned} \] 이 식의 양변에 다시 $ q $를 곱하면, 다음 공식을 얻는다. \[ \frac { 2 q } { (1-q) ^ { 3 } } =2 q + 2 \cdot 3 q ^ { 2 } + 3 \cdot 4 q ^ { 3 } + 4 \cdot 5 q ^ { 4 } + \cdots \]</li></ol> <p>위의 무한급수 공식을 이용하여 기하분포의 평균과 분산을 구해 보자.</p> <p>인 관계식이 성립한다. 먼저 베타함수와 관련된 몇가지 성질을 알아보고 위의 관계식을 증명하여 보자.</p> <p>定理 2.40 베타함수 \[ B(m, n)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x, \quad(m>0, n>0) \] 에 대하여 다음 식이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ B(m, n)=B(n, m). \quad $ (베타함수의 대칭성)</li> <li>$ \frac { 1 } { 2 } B \left ( \frac { p + 1 } { 2 } , \frac { q + 1 } { 2 } \right )= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { p } \theta \cos ^ { q } \theta d \theta, \quad(p>0, q>0) $</li> <li>$ B(m, n)= \frac {\Gamma(m) \Gamma(n) } {\Gamma(m + n) } . $</li></ol> <p>證明 (1) 다음 베타함수 $ B(m, n)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x $ 에서 $ u $ 를 $ u=1-x $ 로 치환하자. 이때 $ -d x=d u $ 이고 또한 $ x \rightarrow 0 $ 이면 $ u \rightarrow 1 $ 이고, $ x \rightarrow 1 $ 이면 $ u \rightarrow 0 $ 이므로 \[ \begin {aligned} B(m, n) &=- \int_ { 1 } ^ { 0 } (1-u) ^ { m-1 } u ^ { n-1 } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } u ^ { n-1 } (1-u) ^ { m-1 } d u \\ &=B(n, m) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>(2) $ x= \sin ^ { 2 } \theta $ 라 치환하자. 그러면, $ x \rightarrow 0 $ 이면 $ \theta \rightarrow 0 $ 이고, $ x \rightarrow 1 $ 이면 $ \theta \rightarrow \frac {\pi } { 2 } $ 이다. 따라서, \[ \begin {aligned} B(m, n) &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { 2 m-2 } \theta \left (1- \sin ^ { 2 } \theta \right ) ^ { 2 n-2 } 2 \sin \theta \cos \theta d \theta \\ &=2 \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { 2 m-1 } \theta \cos ^ { 2 n-1 } \theta d \theta \end {aligned} \] 이다. 여기서 다시 $ p=2 m-1, q=2 n-1 $ 로 치환하면, $ m= \frac { p + 1 } { 2 } $ 이고 $ n= \frac { q + 1 } { 2 } $ 이므로, \[ \frac { 1 } { 2 } B \left ( \frac { p + 1 } { 2 } , \frac { q + 1 } { 2 } \right )= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \sin ^ { p } \theta \cos ^ { q } \theta d \theta \] 가 성립한다.</p> <h1>2.8.4 초기하분포</h1> <p>초기하분포는 다음 확률계산으로부터 얻어진다.</p> <p>定義 2.27 어떤 유한모집단이 총 $ N $-개의 품목으로 구성되어 있는데 이 중에서 $ M $-개가 $ A $-종류, 나머지 $ (N-M) $-개는 $ B $-종류로 분류된다고 한다. 이제 이 유한모집단으로부터 비복원추출로 $ n $-개의 품목을 뽑았다고 했을 때, $ A $-종류에서 뽑힌 품목의 개수를 확률변수 $ X $로 정의하면, $ X $의 확률분포는 다음과 같다. \[ h(x ; n, M, N) = \frac {\left ( \begin {array} { c } M \\ x \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } N-M \\ n-x \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { c } N \\ n \end {array} \right ) } , \quad x=0,1,2,3, \cdots, n \]<caption>(2.15)</caption></p> <p>위의 확률분포를 초기하분포(hypergeometric distribution)라 한다. 확률변수 $ X $가 초기하분포에 따를 때, 기호를 $ X \sim \operatorname { HYP } (n ; M, N) $으로 쓰기로 한다.</p> <p>일반적으로 초기하분포는 비복원추출의 전형적인 결과로 나타난다. 초기하분포의 평균과 분산을 유도하면 다음과 같다.</p> <p>定理 2.29 $ X \sim \operatorname { HYP } (n ; M, N) $ 이면, $ X $ 의 평균은 \[ E(X)= \frac { n M } { N } \]<caption>(2.16)</caption></p> <p>이고, $ X $ 의 분산은 \[ \operatorname { Var } (X)= \frac { n M } { N } \frac { N-n } { N-1 } \left (1- \frac { M } { N } \right ) \]<caption>(2.17)</caption></p> <p>이다.</p> <p>證明 평균 $ E(X) $ 는 \[ \begin {aligned} E(X) &= \sum_ { x=0 } ^ { n } x \frac {\left ( \begin {array} { c } M \\ x \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } N-M \\ n-x \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { c } N \\ n \end {array} \right ) } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } x \frac {\frac { M ! } { x !(M-x) ! } } {\frac { N ! } { n !(N-n) ! } } \left ( \begin {array} { c } N-M \\ n-x \end {array} \right ) \\ &= \sum_ { x=1 } ^ { n } \frac {\frac { M(M-1) ! } { (x-1) !((M-1)-(x-1)) ! } } {\frac { N } { n } \frac { (N-1) ! } { (n-1) !((N-1)-(n-1)) ! } } \left ( \begin {array} { c } (N-1)-(M-1) \\ (n-1)-(x-1) \end {array} \right ) \\ &= \frac { n M } { N } \sum_ { y=0 } ^ { n-1 } \frac {\left ( \begin {array} { c } M-1 \\ y \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } (N-1)-(M-1) \\ (n-1)-y \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { c } N-1 \\ n-1 \end {array} \right ) } \\ &= \frac { n M } { N } \frac {\left ( \begin {array} { l } (M-1) + (N-1)-(M-1) \\ y + (n-1)-y \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { l } N-1 \\ n-1 \end {array} \right ) } \\ &= \frac { n M } { N } \frac {\left ( \begin {array} { l } N-1 \\ n-1 \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { l } N-1 \\ n-1 \end {array} \right ) } \\ &= \frac { n M } { N } \end {aligned} \] 이다.</p> <p>위의 정리에서와 같이 분산이 $0 $인 분포를 퇴화분포(degenerate distribution)라 한다.</p> <p>定理 2.17 단측 Chebyshev의 부등식(one-sided Chebyshev's inequality) 확률변수 $ X $의 평균을 $ \mu=E(X)=0 $, 분산을 $ \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X)< + \infty $라 하자. 모든 상수 $ a>0 $에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[ P \{ X \geqslant a \} \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \]</p> <p>證明 $ x $의 함수인 $ g(x)=(x + c) ^ { 2 } (c>0) $이라 하고 $ x>a>0 $이면 $ g(x) \geqslant(a + c) ^ { 2 } $이다. 따라서 앞의 정리 2.13에 의하여 모든 $ c>0 $와 $ a>0 $에 대하여 \[ \begin {aligned} P \{ X \geqslant a \} & \leqslant P \left \{ g(X) \geqslant(a + c) ^ { 2 } \right \} \\ & \leqslant \frac { E(g(X)) } { (a + c) ^ { 2 } } \\ &= \frac { E \left ((X + c) ^ { 2 } \right ) } { (a + c) ^ { 2 } } \end {aligned} \] 이다. 위의 식의 마지막 항을 정리하면 \[ \begin {aligned} \frac { E \left ((X + c) ^ { 2 } \right ) } { (a + c) ^ { 2 } } &= \frac { E \left (E \left (X ^ { 2 } \right ) + 2 c E(X) + c ^ { 2 } \right ) } { (a + c) ^ { 2 } } \\ &= \frac {\sigma ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { (a + c) ^ { 2 } } \end {aligned} \] 이고, 이 식이 최소가 되는 $ c $의 값을 미분으로 구하면 $ c= \frac {\sigma ^ { 2 } } { a } $이므로 이 값을 대입하면 정리의 결과를 얻는다.</p> <p>위의 정리를 일반화하면 다음과 같다. 확률변수 $ X $의 평균을 $ \mu=E(X)= \mu $, 분산을 $ \sigma ^ { 2 } = \operatorname { Var } (X)< + \infty $라 하면, 모든 상수 $ a>0 $에 대하여 다음 부등식이 성립한다. \[ \begin {array} { l } P \{ X \geqslant \mu + a \} \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } + a ^ { 2 } } , \\ P \{ X \geqslant \mu-a \} \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } + a ^ { 2 } } . \end {array} \] 이 식의 증명은 연습문제로 남겨 놓는다. Chebyshev의 부등식과 함께 확률론에서 자주 나오는 부등식이 Jensen의 부등식이다. 이 Jensen의 부등식은 볼록집합(convex set)과 볼록함수(convex function)와 밀접하게 관련되어 있다.</p> <p>위의 정리에서 알 수 있드시 이항분포에서 시행횟수 $ n $ 이 충분히 크고 성공확률 $ p $ 가 충분히 작을 때, 그러나 실제로는 확률이 $0 $ 에 아주 가까울 때에는 이항분포 대신 포아송분포를 근사적으로 사용할 수 있다.</p> <p>이제 포아송분포의 적률모함수를 구해 보자.</p> <p>定理 $ 2.26 \quad X \sim \operatorname { POIS } ( \lambda) $ 이면, $ X $ 의 적률모함수는 \[ M_ { X } (t)=e ^ {\lambda \left (e ^ { t } -1 \right ) } \]<caption>(2.12)</caption></p> <p>이다.</p> <p>證明 적률모함수의 정의에 의하여, \[ \begin {aligned} M_ { X } (t) &= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } e ^ { t x } \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } \\ &=e ^ { - \lambda } \sum_ { x=0 } ^ {\infty } \frac {\left ( \lambda e ^ { t } \right ) ^ { x } } { x ! } \\ &=e ^ { - \lambda } e ^ {\lambda e ^ { t } } \\ &=e ^ {\lambda \left (e ^ { t } -1 \right ) } \end {aligned} \]</p> <h1>2.8.3 기하분포</h1> <p>베르누이 시행에서 처음으로 성공 $ S $ (success)가 일어날 때까지 시행횟수를 $ X $ 라 하면, $ X $ 의 확률분포는 기하분포가 된다. 다음 정의를 살펴보자.</p> <p>定義 2.26 베르누이 시행에서 처음으로 성공 $ S $(success)가 일어날 때까지 시행횟수를 $ X $라 하면, $ x $번째까지 사건 $ \{ X=x \} $의 확률분포는 \[ p \text { 또는 } q p \text { 또는 } q q p \text { 또는 } q q q p \text { 또는 } q q q q p \quad \cdots \quad \overbrace { q q \cdots q p } ^ { (x-1) \text { -번 } } \] 이다. 따라서, 이 수열의 제 $ x $번째 항은 \[ f(x ; p)=p q ^ { x-1 } , \quad x=1,2,3, \cdots, \quad 0<p<1, q=1-p \] 가 되므로, 이 확률분포를 기하분포(geometric distribution)라 한다. 확률변수 $ X $가 기하분포에 따를 때, 기호 $ X \sim \mathrm { GEO } (p) $를 쓰기로 한다.</p> <p>이제, 위에서 유도한 평균공식 \[ E(X)= \frac { n M } { N } \] 의 성질을 이용하면 \[ E(X(X-1))= \frac { n M } { N } \frac { (n-1)(M-1) } { N-1 } \] 이고, 분산은 \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (X) &=E(X-E(X)) ^ { 2 } \\ &=E \left (X ^ { 2 } \right )-(E(X)) ^ { 2 } \\ &=E(X(X-1 + 1))-(E(X)) ^ { 2 } \\ &=E[X(X-1)] + E(X)-(E(X)) ^ { 2 } \\ &= \frac { n M } { N } \frac { (n-1)(M-1) } { N-1 } + \frac { n M } { N } - \left ( \frac { n M } { N } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { n M } { N } \left [ \frac { (n-1)(M-1) } { N-1 } + 1- \frac { n M } { N } \right ] \\ &= \frac { n M } { N } \left [ \frac { (n-1)(M-1) } { N-1 } + \frac { N-n M } { N } \right ] \\ &= \frac { n M } { N } \left [ \frac { N(n-1)(M-1) + (N-1)(N-n M) } { N(N-1) } \right ] \\ &= \frac { n M } { N } \frac { N(N-n)-M(N-n) } { N(N-1) } \\ &= \frac { n M } { N } \frac { N-n } { N(N-1) } (N-M) \\ &= \frac { n M } { N } \frac { N-n } { N-1 } \left (1- \frac { M } { N } \right ) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>(이항전개 공식)</p> <ol type=i start=1><li>$ \left ( \begin {array} { c } 2 n \\ n \end {array} \right )= \sum_ { k=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } n \\ n-k \end {array} \right ) $</li> <li>$ \left ( \begin {array} { c } m + n \\ k \end {array} \right )= \sum_ { r=0 } ^ { k } \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } m \\ k-r \end {array} \right ). $</li></ol> <p>다음과 같은 방법을 이용하면 초기하분포를 이항분포로 근사시킬 수가 있다.</p> <p>證明 적률모함수의 정의로 부터 \[ \begin {aligned} M_ { X } (t) & = \int_ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { t x } f(x ; \beta, \alpha) d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { t x } \frac {\beta ^ {\alpha } } {\Gamma( \alpha) } x ^ {\alpha-1 } e ^ { - \beta x } d x \\ &= \frac {\beta ^ {\alpha } } {\Gamma( \alpha) } \int_ { 0 } ^ { + \infty } x ^ {\alpha-1 } e ^ { -( \beta-t) x } d x \quad(u=( \beta-t) x \text { 로 치환 } ) \\ &= \frac {\beta ^ {\alpha } } {\Gamma( \alpha) } \int_ { 0 } ^ { + \infty } \left ( \frac { u } {\beta-t } \right ) ^ {\alpha-1 } \frac { 1 } {\beta-t } e ^ { -u } d u \\ &= \frac {\beta ^ {\alpha } } {\Gamma( \alpha) } \left ( \frac { 1 } {\beta-t } \right ) ^ {\alpha } \int_ { 0 } ^ { + \infty } u ^ {\alpha-1 } e ^ { -u } d u \\ &= \frac {\beta ^ {\alpha } } {\Gamma( \alpha) } \left ( \frac { 1 } {\beta-t } \right ) ^ {\alpha } \Gamma( \alpha) \\ &= \left ( \frac {\beta } {\beta-t } \right ) ^ {\alpha } \\ &= \left (1- \frac { t } {\beta } \right ) ^ { - \alpha } , \quad(t< \beta) \end {aligned} \] 이다.</p> <h1>2.9.4 $ \chi ^ { 2 } $-분포</h1> <p>감마분포에서 $ \beta= \frac { 1 } { 2 } $ 이고 $ \alpha= \frac {\nu } { 2 } $ 이면, 자유도(degree of freedom) $ \nu $ 를 갖는 $ \chi ^ { 2 } $-분포 ( $ \chi ^ { 2 } $-distribution)를 얻는다. 여기서 자유도란 자유롭게 움직일 수 있는 독립변수의 개수를 말한다.</p> <p>이항분포 $ X \sim \operatorname { BIN } (n, p) $ 에서 시행횟수가 $ n=1 $ 이면, \[ f(x ; 1, p)=P \{ X=x \} = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { 1-x } , \quad x=0,1, \quad q=1-p, \] 이므로, 베르누이 분포가 된다.</p> <p>이제 이항분포의 적률모함수를 구해 보자.</p> <p>定理 2.23 $X \sim \operatorname { BIN } (n, p) $ 라고 하면, $ X $ 의 적률모함수는 \[ M_ { X } (t)= \left (q + p e ^ { t } \right ) ^ { n } \]<caption>(2.9)</caption></p> <p>이다.</p> <p>證明 적률모함수의 정의에 의하여 \[ \begin {aligned} M_ { X } (t) &=E \left (e ^ { t X } \right ) \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } e ^ { t x } \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) \left (p e ^ { t } \right ) ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \left (q + p e ^ { t } \right ) ^ { n } \end {aligned} \] 이다.</p> <p>여기서 흥미있는 한 가지 사실은 $ X \sim \operatorname { BIN } (n ; p) $ 이면, 확률변수 $ Y=n-X $ 는 성공확률 $ 1-p $ 를 갖는 이항분포에 따른다. 즉, $ Y=n-X \sim \operatorname { BIN } (n ; 1-p) $ 가 성립한다.</p> <h1>2.8.2 Poisson 분포</h1> <p>포아송분포의 확률질량함수는 지수함수의 MacLaurin 급수식으로부터 유도할 수 있다. 먼저 연속인 실수치 지수함수 $ g( \lambda)=e ^ {\lambda } ( \lambda>0) $ 의 MacLaurin 급수식은 \[ \begin {aligned} g( \lambda) &=e ^ {\lambda } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ {\infty } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } \end {aligned} \] 이므로 \[ \sum_ { x=0 } ^ {\infty } e ^ { - \lambda } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } =1 \] 40쪽 이 성립한다. 또한, 함수 \[ f(x ; \lambda)=e ^ { - \lambda } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } \] 는 이산확률질량함수의 두 가지 조건을 만족한다. <p>證明 팩토리얼 적률모함수의 정의에 의하여 $ L_ { X } (t) = E \left [t ^ { X } \right ] $를 차례로 미분하면, \[ \begin {aligned} L_ { X } ^ {\prime } (t)=& E \left (X t ^ { X-1 } \right ) \longrightarrow L_ { X } ^ {\prime } (1)=E(X) \\ L_ { X } ^ {\prime \prime } (t)=& E \left (X(X-1) t ^ { X-2 } \right ) \longrightarrow L_ { X } ^ {\prime \prime } (1)=E(X(X-1)) \\ & \vdots & \\ L_ { X } ^ { (r) } (t)=& E \left (X(X-1)(X-2) \cdots(X-r + 1) t ^ { X-r } \right ) \longrightarrow \\ & \quad L_ { X } ^ { (r) } (1)=E(X(X-1)(X-2) \cdots(X-r + 1)) \end {aligned} \] 이다</p> <p>위의 팩토리얼적률을 이용하면 다음과 같은 결과를 얻는다. \[ \begin {aligned} E[X(X-1)] &=E \left [X ^ { 2 } -X \right ] \\ &=E \left (X ^ { 2 } \right )-E(X) \\ &=L_ { X } ^ {\prime \prime } (1) \end {aligned} \] 이므로 \[ \begin {aligned} E \left (X ^ { 2 } \right ) &=E(X) + E[X(X-1)] \\ &=L_ { X } ^ {\prime } (1) + L_ { X } ^ {\prime \prime } (1) \end {aligned} \] 이고, 따라서 분산 $ \operatorname { Var } (X) $는 \[ \begin {aligned} \operatorname { Var } (X) &=E \left (X ^ { 2 } \right )-[E(X)] ^ { 2 } \\ &=E(X) + E[X(X-1)]-[E(X)] ^ { 2 } \\ &=L_ { X } ^ {\prime } (1) + L_ { X } ^ {\prime \prime } (1)- \left (L_ { X } ^ {\prime } (1) \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \] 으로부터 유도할 수 있다.</p> <p>問題 1 2.5의 문제 2 에서 확률변수 $ X $ 의 팩토리얼 적률모함수를 구하여라.</p> <p>定義 2.33 확률변수 $ X $ 의 확률밀도함수가 다음과 같이 주어지면 \[ f(x ; \nu)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } {\Gamma \left ( \frac {\nu } { 2 } \right ) 2 ^ {\frac {\nu } { 2 } } } x ^ {\frac {\nu } { 2 } -1 } e ^ { - \frac { x } { 2 } } , & 0<x< \infty \\ 0, & x<0 \end {array} \right . \]<caption>(2.36)</caption></p> <p>$ X $ 는 자유도 $ \nu $ 를 갖는 $ \chi ^ { 2 } $-분포에 따른다고 한다. 확률변수 $ X $ 가 자유도 $ \nu $ 를 갖는 $ \chi ^ { 2 } $-분포에 따를 때, 기호 $ X \sim \chi ^ { 2 } ( \nu) $ 를 쓰기로 한다.</p> <p>$ \chi ^ { 2 } $-분포는 감마분포의 특별한 경우이므로 평균과 분산은 다음과 같다.</p> <p>定理 2.39 $X \sim \chi ^ { 2 } ( \nu) $이면, $ X $의 평균과 분산은 각각 \[ E(X) = \nu, \]<caption>$(2.37) $</caption></p> <p>\[ \operatorname { Var } (X) =2 \nu \]<caption>$(2.38) $</caption></p> <p>이다.</p> <h2>2.9.5 Beta 분포</h2> <p>베타분포(beta distribution)를 정의하기 전에 베타함수에 관하여 살펴 보기로 하자. 베타함수는 \[ B(m, n)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x, \quad(m>0, n>0) \]<caption>$ (2.39) $</caption></p> <p>와 같이 정적분으로 정의된 함수이다. 이 베타함수(beta function)는 종종 제 $1 $종의 오일러적분(Euler's integral of the first kind)이라고도 한다. 앞서 설명한 감마함수와 베터함수는 응용수학에서 자주 나타나며, 복잡한 적분문제를 비교적 간단하게 계산할 수 있는 방법을 제공해 준다. 이 절에서는 그 응용을 간단하게 소개하고 또한 중요한 문제는 앞 절에서 이미 설명한 감마함수와 베타함수사이의 변환관계식이다. 즉, 베타함수와 감마함수 사이에는 다음과 같은 \[ B(m, n)= \frac {\Gamma(m) \Gamma(n) } {\Gamma(m + n) } , \quad(m>0, n>0) \]<caption>$ (2.40) $</caption></p> <p>이항분포는 복원추출(sampling with repetition)의 전형적인 예이다. 복원추출이란 랜덤하게 추출한 물건을 다시 원래의 위치에 되돌려 놓고 다시 추출하는 방식을 말한다. 이제 비교적 간단한 예를 들어 이항분포가 어떻게 만들어지는지 살펴보자. 어떤 항아리 속에 $3 $개의 빨간 공과 $2 $개의 파란 공이 들어 있다고 하자. 이 항아리속에서 복원추출로 한 개의 공을 꺼낼 때 그것이 빨간 공일 확률은 $ \frac { 3 } { 5 } $이다. 이 경우 항아리 속에서 복원추출로 한 개의 공을 추출하는 것은 베르누이 시행이다. 왜냐하면, 이미 항아리 속에는 두 가지 빨간 공과 파란 공으로 나뉘어져 있기 때문이다. 또한, 항아리 속에서 한 개의 공을 추출하였을 때, 빨간 공의 개수를 확률변수 $ X $로 정의하면, $ X $는 베르누이 확률변수이다. 이제 이 항아리 속에서 복원추출로 $4 $회 뽑았을 때 그중 $2 $개가 빨간 공일 확률을 구해 보자. 여기서 추출된 공이 빨간 공일 사건을 $ R $로, 파란 공일 사건을 $ B $로 표시하면, $4 $회의 복원추출 중에 $2 $개가 빨간 공일 사건일 모든 경우의 수는 다음과 같이 \[ R R B B, \quad R B R B, \quad R B B R, \quad B B R R, \quad B R R B, \quad B R B R \] 모두 $6 $ 가지이다. 따라서, 위의 각 경우에 대한 사건의 확률을 계산하면 \[ \begin {array} { l } R R B B \longrightarrow \frac { 3 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } , \\ R B R B \longrightarrow \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } , \\ R B B R \longrightarrow \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } , \\ B B R R \longrightarrow \frac { 2 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } , \\ B R R B \longrightarrow \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } , \\ B R B R \longrightarrow \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \frac { 2 } { 5 } \frac { 3 } { 5 } \longrightarrow \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \\ \end {array} \] 이다. 이로부터 항아리 속에서 복원추출로 $4 $회 추출하였을 때 그 중 $2 $개가 빨간 공일 확률은 모두 같은 확률 $ \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } $이며, 이러한 확률의 모든 경우의 수는 $6 $가지가 있다. 따라서, $4 $회의 복원추출 중에 $2 $개가 빨간 공일 사건의 확률은 \[ 6 \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \] 이다. 여기서 상수 $6 $의 의미는, 항아리 속에서 복원추출로 $4 $회 추출하였을 때 그 중 $2 $개가 빨간 공일 경우의 수 즉, $ \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right ) = 6 $을 의미한다. 정리하면, 다음과 같이 이항분포로 나타낼 수 있다. \[ \begin {aligned} P \{ X=2 \} &=6 \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \\ &= \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right ) \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 2 } \left (1- \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { 4-2 } . \end {aligned} \] 위에서 설명한 예를 기초로 하여, 이항분포를 다음과 같은 방법으로 좀더 엄밀하게 유도할 수 있다. 먼저 $ X_ { i } (i=1,2,3, \cdots, n) $를 베르누이 확률변수라 하고, \[ X_ { i } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & i \text { -번째 시행에서 성공 } (S) \text { 이 나온 경우 } \\ 0, & i \text { -번째 시행에서 실패 } (F) \text { 가 나온 경우 } \end {array} \right . \] 라 정의하자. 이제 확률변수 $ X $를 \[ \begin {aligned} X &=X_ { 1 } + X_ { 2 } + X_ { 3 } + \cdots + X_ { n } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \end {aligned} \] 으로 정의하면, $ X $가 취할 수 있는 모든 값은 $ 0,1,2, \cdots, n $이다. 이 경우, 각 시행의 결과는 다른 시행의 결과에 영향을 주지 않으므로 독립인 것은 명백한 사실이다. 이제 모든 $ X \subseteq \{ 0,1,2, \cdots, n \} $에 대하여, \[ p_ { X } (x)=P \{ n \text { 회의 시행 중 성공이 꼭 } x \text { 회 일어날 사건 } \} \] 이라 하면, $ n $회의 시행 중 정확히 $ x $회의 성공이 나올 경우의 수는 $ \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) $이다. 또한, 각 시행결과 나타나는 사건의 확률은 모두 독립적이므로, 확률의 독립성에 의하여 \[ \begin {array} { lll } P \{\overbrace { S S \cdots S } ^ { x \text { 회 } } \overbrace { F F \cdots F } ^ { (n-x) \text { 회 } } \} &= \overbrace { P(S) P(S) \cdots P(S) } ^ { x \text { 개의 항 } } \overbrace { P(F) P(F) \cdots P(F) } ^ { (n-x) \text { 개의 항 } } \\ &= \overbrace { p \times p \times \cdots p } ^ { x \text { 회의 성공 } } \times \overbrace { (1-p) \times(1-p) \cdots(1-p) } ^ { (n-x) \text { 회의 실패 } } \\ &=p ^ { x } (1-p) ^ { n-x } \end {array} \] 이다. 따라서, \[ p_ { X } (x)=f(x ; n, p)= \left \{\begin {array} { ll } \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } (1-p) ^ { n-x } , & x=0,1,2,3, \cdots, n \\ 0, & \text { 그 외의 경우 } \end {array} \right . \] 가 성립한다.</p> <p>이제 베타분포를 유도해 보기로 하자. 이미 위에서 설명하였지만 베타함수는 \[ B(m, n)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x, \quad(m>0, n>0) \] 와 같이 이상적분으로 정의된 함수이므로, 이 식을 다음과 같이 변형하면, \[ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { B(m, n) } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } d x=1 \] 이 된다. 또한 정적분내의 피적분함수는 모든 $ m>0 $ 과 $ n>0 $ 에 대하여 양의 실수값을 취하므로 확률밀도함수 조건을 만족한다. 이 피적분함수가 바로 베타분포의 확률밀도함수이다.</p> <p>定義 2.34 확률변수 $ X $ 의 확률밀도함수가 \[ f(x ; m, n)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { B(m, n) } x ^ { m-1 } (1-x) ^ { n-1 } , & 0<x<1 \\ 0, & x \leqslant 0, x \geqslant 1 \end {array} \right . \]<caption>(2.41)</caption></p> <p>와 같이 주어지면, $ X $ 는 베타분포(beta distribution)에 따른다고 한다. 확률변수 $ X $ 가 베타분포에 따를 때, 기호 $ X \sim \operatorname { BETA } (m, n) $ 을 쓰기로 한다.</p> <p>베타분포의 평균과 분산은 다음과 같다.</p> <p>定理 2.41 $ X \sim \operatorname { BETA } (m, n) $이면, $ X $의 평균과 분산은 각각 다음과 같다. \[ E(X)= \frac { m } { m + n } , \quad \operatorname { Var } (X)= \frac { m n } { (m + n + 1)(m + n) ^ { 2 } } \]<caption>(2.42)</caption></p> <p>證明 평균 $ E(X) $ 는 \[\begin{aligned} E(X) & =\int_{0}^{1} x \frac{1}{B(m, n)} x^{m-1}(1-x)^{n-1} d x \\ & =\frac{1}{B(m, n)} \int_{0}^{1} x^{m}(1-x)^{n-1} d x \\ & =\frac{1}{B(m, n)} B(m+1, n) \\ & =\frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m) \Gamma(n)} \frac{\Gamma(m+1) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)} \\ & =\frac{\Gamma(m+n)}{\Gamma(m) \Gamma(n)} \frac{m \Gamma(m) \Gamma(n)}{(m+n) \Gamma(m+n)} \\ & =\frac{m}{m+n} \end{aligned}\]</p> <p>이항분포의 평균과 분산을 구해보자.</p> <p>定理 2.22 $X \sim \operatorname { BIN } (n, p) $라고 하면, $ X $의 기댓값과 분산은 각각 \[ E(X) =n p \]<caption>(2.7)</caption></p> <p>\[ \operatorname { Var } (X) =n p q \]<caption>(2.8)</caption></p> <p>이다.</p> <p>證明 $ X $의 평균 $ E(X) $는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} E(X) &= \sum_ { x=0 } ^ { n } x \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } x \frac { n ! } { x !(n-x) ! } p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=1 } ^ { n } \frac { n ! } { (x-1) !(n-x) ! } p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &=n p \sum_ { x=1 } ^ { n } \frac { (n-1) ! } { (x-1) !((n-1)-(x-1)) ! } p ^ { x-1 } q ^ { (n-1)-(x-1) } \\ &=n p \sum_ { y=0 } ^ { n-1 } \frac { (n-1) ! } { y !((n-1)-y) ! } p ^ { y } q ^ { (n-1)-y } \quad(y=x-1 \text { 로 치환) } \\ &=n p \sum_ { y=0 } ^ { n-1 } \left ( \begin {array} { c } n-1 \\ y \end {array} \right ) p ^ { y } q ^ { (n-1)-y } \\ &=n p(p + q) ^ { n-1 } \\ &=n p . \end {aligned} \] 분산을 계산하기 위하여 먼저 $ E \left (X ^ { 2 } \right ) $를 구하면, \[ \begin {aligned} E \left (X ^ { 2 } \right ) &= \sum_ { x=0 } ^ { n } x ^ { 2 } \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } \{ (x-1) + 1 \} x \left ( \begin {array} { c } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=0 } ^ { n } (x-1) x \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } + \sum_ { x=0 } ^ { n } x \left ( \begin {array} { c } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } q ^ { n-x } \\ &= \sum_ { x=2 } ^ { n } \frac { n ! } { (x-2) !(n-x) ! } p ^ { x } q ^ { n-x } + E(X) \\ &=n(n-1) p ^ { 2 } \sum_ { x=2 } ^ { n } \frac { (n-2) ! } { (x-2) !((n-2)-(x-2)) ! } p ^ { x-2 } q ^ { (n-2)-(x-2) } + n p \\ &=n(n-1) p ^ { 2 } \sum_ { y=0 } ^ { n-2 } \frac { (n-2) ! } { y !((n-2)-y) ! } p ^ { y } q ^ { (n-2)-y } + n p \quad(y=x-2 \text { 로 치환 } ) \\ &=n(n-1) p ^ { 2 } (p + q) ^ { n-2 } + n p \\ &=n ^ { 2 } p ^ { 2 } -n p ^ { 2 } + n p \end {aligned} \] 이므로 $ \operatorname { Var } (X)=E \left (X ^ { 2 } \right )-(E(X)) ^ { 2 } =n ^ { 2 } p ^ { 2 } -n p ^ { 2 } + n p-(n p) ^ { 2 } =n p q $ 이다.</p> <p>이항분포에 적당한 조건을 추가하면 이항분포는 다음과 같이 Poisson분포로 근사시킬 수가 있다.</p> <p>定理 2.25 확률변수 $ X $가 이항분포에 따른다고 하자. 즉, $ X \sim B(n, p) $라 하자. 이때 $ n p= \lambda $라 하고 $ p \rightarrow 0, n \rightarrow \infty $이면, 이항분포는 모수 $ \lambda>0 $를 갖는 포아송분포로 수렴한다. 즉, 다음 식이 성립한다. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } (1-p) ^ { n-x } = \frac { e ^ { - \lambda } \lambda ^ { x } } { x ! } , \quad x=0,1,2,3, \cdots \]</p> <p>證明 $ \lambda=n p $ 라고 하면, \[ \begin {aligned} \left ( \begin {array} { l } n \\ x \end {array} \right ) p ^ { x } (1-p) ^ { n-x } \\ &= \frac { n ! } { x !(n-x) ! } \left ( \frac {\lambda } { n } \right ) ^ { x } \left (1- \frac {\lambda } { n } \right ) ^ { n-x } \\ &= \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } \left ( \frac { n } { n } \right ) \left ( \frac { n-1 } { n } \right ) \cdots \left ( \frac { n-x + 1 } { n } \right ) \left (1- \frac {\lambda } { n } \right ) ^ { n } \left (1- \frac {\lambda } { n } \right ) ^ { -x } \end {aligned} \] $ \stackrel { n \rightarrow \infty \text { 이면 } } {\longrightarrow } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 \cdot e ^ { - \lambda } \cdot 1 ^ { -x } =e ^ { - \lambda } \frac {\lambda ^ { x } } { x ! } $ 이다.</p>	자연
곡선과 곡면의 미분기하학_평면곡선의 대역이론	<p>따름정리 $ 4.30 $ 단순폐곡선 $ \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { 2 } $의 길이를 $ L $, 유계인 영역의 면적을 $ A $라 할 때 \[L ^ { 2 } =4 \pi A \]일 필요충분조건은 곡선이 원(circle)일 때이다. 즉 같은 길이를 가지는 곡선으로 둘러싸인 영역의 면적이 최대일 경우는 원일 때이다.</p> <p>증명 곡선의 길이와 면적이 $ L ^ { 2 } =4 \pi A $을 만족하면 ( $ 4.9 $)의 Schwarz 부동식으로부터 \[(-g, x)= \mu \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) \]<caption>( $ 4.12 $)</caption>이다. 따라서 ( $ 4.12 $)로부터 $ \mu=x y ^ {\prime } -x ^ {\prime } g $이고 ( $ 4.9 $)로부터 $ A + \pi r ^ { 2 } = \mu L $ 이다. 즉, $ \mu>0 $ 이다. 더구나 ( $ 4.6 $)과 ( $ 4.12 $)로부터 $ r ^ { 2 } =g ^ { 2 } + x ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } \left (x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } \right )= \mu ^ { 2 } $ 이므로 $ \mu= \pm r $ 이다. 따라서 $ \mu=r $ 이다. 즉, (i) $ x=r y ^ {\prime } $<caption>(4.13)</caption>이다. 한편 ( $ 4.11 $)의 첫 번째 부등식으로부터 등호가 성립할 조건으로부터 (ii) $ A= \pi r ^ { 2 } $<caption>(4.14)</caption>이 성립한다. 그러므로 (ii)로부터 실수 $ r $은 오직 곡선에 의해 둘러싸인 영역의 면적에 의해서만 종속하고 접선 $ l_ { 1 } $의 선택에는 영향을 받지 않는다. 따라서 유사한 방법으로 $ l_ { 1 } $에 수직인 접선 $ l_ { 3 } , l_ { 4 } $라고 하고 내접하는 원의 중심을 $ (a, b) $라 할 때, $ (a, b) $를 원점으로 하는 새로운 좌표축을 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $라 하면 새로운 좌표축에 대해서도 (i)과 (ii)가 성립한다. 즉, (i)' $ \bar { x } =r \bar { y } ^ {\prime } , \quad $ (ii)' $ A= \pi r ^ { 2 } $이 성립하고 원래의 좌표와의 변환식은 \[( \bar { x } , \bar { y } )=(y-b,-x + a) \]이다. 따라서 (i)과 (i)'으로부터 \[x ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } =r ^ { 2 } y ^ {\prime 2 } + \bar { x } ^ { 2 } =r ^ { 2 } y ^ {\prime 2 } + r ^ { 2 } \bar { y } ^ {\prime 2 } =r ^ { 2 } \left (y ^ {\prime 2 } + x ^ {\prime 2 } \right )=r ^ { 2 } \]이므로 곡선은 원이다.</p> <h1>제 $4 $장 연습문제</h1> <p>$ 01 $ 양의 실수 $ a, b $에 대하여 다음 부등식 $ \sqrt { a b } \leq \frac { a + b } { 2 } $ 임을 증명하고 동호가 성립할 필요충분조건은 $ a=b $임을 증명하여라.</p> <p>$ 02 $ 다음 곡선들의 주기(period)와 회전수(rotation number)를 구하여라. 또한 단순폐곡선인 곡선을 찾아라.</p> <p> <ol type=1 start=1><li>$ \alpha(t)=( \sin t, \sin t \cos t) $</li> <li>$ \alpha(t)= \left ( \frac {\cos t } { 1 + \sin ^ { 2 } t } , \frac {\sin t \cos t } { 1 + \sin ^ { 2 } t } \right ) $</li> <li>$ \alpha(t)=(2 \cos t + 1)( \cos t, \sin t) $</li> <li>$ \alpha(t)= \left ( \cos t-2 \sin t \cos t, \sin t-2 \sin ^ { 2 } t \right ) $</li></ol></p> <p>$ 03 $ 다음 곡선이 단순폐곡선임을 보이고 곡선으로 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라. \[ \gamma(t)=(a \cos t, b \sin t), \quad a, b>0 . \]</p> <p>$ 04 $ 상수너비를 가진 도형을 찾아보아라. (정다각형을 생각하여라.)</p> <h1>4.3 등주부등식</h1> <p>정리 $4.28 $ 정칙인 단순폐곡선 $ \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { 2 } $에 의해 유계인 영역 $ \Omega $의 면적 $ A( \Omega) $는 \[A( \Omega) = \int_ {\alpha } x d y=- \int_ {\alpha } y d x . \]</p> <p>증명 Green 정리를 이용한다. 즉, $ F(x, y)=(f(x, y), g(x, y)) $에 대하여 \[ \int_ {\alpha } f d x + g d y= \iint_ { D } \left ( \frac {\partial g } {\partial x } - \frac {\partial f } {\partial y } \right ) d x d y . \] 여기서 $ \alpha $는 영역 $ \Omega $의 경계인 곡선이다. 따라서 $ f(x, y)=0, g(x, y)=x $ 로 두면 $ \frac {\partial g } {\partial x } =1, \frac {\partial f } {\partial y } =0 $이 성립하므로 Green 정리에 의해 \[A( \Omega)= \iint_ {\Omega } 1 d x d y= \int_ {\alpha } x d y \]이다. 두 번째 등식도 같은 방법으로 증명된다.</p> <p>정리 $ 4.29 $ (등주부등식, Isoperimetric inequality) 정칙인 단순폐곡선 $ \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { 2 } $의 길이를 $ L $, 유계인 영역의 면적을 $ A $라 할 때 \[L ^ { 2 } \geq 4 \pi A \]이 성립한다.</p> <p>증명 곡선 $ \alpha:[0, L] \rightarrow R ^ { 2 } $를 단위속력곡선이라 하자. 직선 $ l_ { 1 } $ 를 점 $ A= \alpha(0) $에서의 접선이라 하자. 물론 $ \alpha(0) $는 $ l_ { 1 } \cap \alpha= \{\alpha(0) \} $가 되는 점으로 잡는다. 그리고 $ l_ { 2 } $ 는 $ l_ { 1 } $과 평행하고 $ l_ { 2 } \cap \alpha= \left \{\alpha \left (s_ { 1 } \right ) \right \} $이라 하자. 그리고 $ B= \alpha \left (s_ { 1 } \right ) $이라 두고 곡선을 적당히 이동하여 좌표공간상에서 $ l_ { 1 } $과 $ l_ { 2 } $ 가 $ y $축에 평행되게 하자. 그리고 $ l_ { 1 } $과 $ l_ { 2 } $사이에 내접하고 원점을 증심으로 하는 원을 $ \beta $라 하자. 일반성을 잃지 않고 곡선 $ \alpha:[0, L] \rightarrow R ^ { 2 } $ 를 단위속력곡선이라 하자. 즉, $ \alpha(s)=(x(s), y(s)), x ^ {\prime } (s) ^ { 2 } + y ^ {\prime } (s) ^ { 2 } =1 $ 이다. 그리고 곡선 $ \beta:[0, L] \rightarrow R ^ { 2 } $ 의 방정식을 $ \beta(s)=(f(s), g(s)) $라 할 때, \[f(s)=x(s), \quad g(s)= \left \{\begin {aligned} \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } & 0 \leq s \leq s_ { 1 } \\ - \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } & s_ { 1 } \leq s \leq L \end {aligned} \right . \]<caption>(4.6)</caption>이다. 여기서 $ s $가 $ \beta $의 호길이 함수는 아니다. 그러면 정리 $ 4.27 $에 의해 곡선 $ \alpha $에 의해 둘러싸인 영역의 면적 $ A $는 \[A= \int_ { a } x d y= \int_ { 0 } ^ { L } x y ^ {\prime } d s . \]<caption>(4.7)</caption>또 곡선 $ \beta $에 의해 경계되는 영역의 면적은 $ \pi r ^ { 2 } $이므로 \[ \pi r ^ { 2 } =- \int_ { g } y d x=- \int_ { 0 } ^ { L } g d f=- \int_ { 0 } ^ { L } g f ^ {\prime } d s=- \int_ { 0 } ^ { L } g x ^ {\prime } d s . \]<caption>(4.8)</caption>그러므로 ( $ 4.7 $)과 ( $ 4.8 $)을 합하면 \[ \begin {aligned} A + \pi r ^ { 2 } &= \int_ { 0 } ^ { L } \left (x y ^ {\prime } -g x ^ {\prime } \right ) d s \\ &= \int_ { 0 } ^ { L } \left \|x y ^ {\prime } -g x ^ {\prime } \right \| d s \\ &= \int_ { 0 } ^ { L } \left \| \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ),(-g, x) \right \rangle \mid d s \\ & \leq \int_ { 0 } ^ { L } \left (x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } \left (g ^ { 2 } + f ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } d s( \text { Schwarz's 부등식 } ) \\&=r L \end {aligned} \]<caption>(4.9)</caption>이 성립한다. 따라서 \[A + \pi r ^ { 2 } \leq r L \]<caption>(4.10)</caption>이다. 한편 부등식 $ \sqrt { a b } \leq \frac { a + b } { 2 } \quad(a, b $ 는 양수)로부터 \[ \sqrt { A \pi r ^ { 2 } } \leq \frac { A + \pi r ^ { 2 } } { 2 } \leq \frac { r L } { 2 } \]<caption>(4.11)</caption>이므로 $ L ^ { 2 } \geq 4 \pi A $이다.</p> <h1>4.2 타원형곡선</h1> <p>정의 $ 4.17 $ 정칙인 평면곡선 $ \alpha $위의 점 $ p $에서의 곡률 $ \kappa_ { 2 } (p) $가 극대, 또는 극소일 때 점 $ p $를 곡선 $ \alpha $의 꼭지점(vertex)이라 한다.</p> <p>정리 $ 4.18 $ 정칙인 평면곡선의 꼭지점의 정의는 곡선의 재매개화에 독립이다.</p> <p>증명 정리 $ 3.22 $로부터 증명이 따른다.</p> <p>예제 $ 4.19 $ 곡선 $ \alpha(t) = (2 \cos t, \sin t)(0 \leq t \leq 2 \pi) $는 타원이다. 이때 꼭지점은 $ t=0 $, $ \frac {\pi } { 2 } , \pi, \frac { 3 \pi } { 2 } $이다. 즉, 4개의 꼭지점을 갖는다. 왜나하면, 곡률은 \[ \kappa_ { 2 } (t)= \frac {\left \langle \alpha ^ {\prime \prime } (t), J \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| ^ { 3 } } =2 \left (3 \sin ^ { 2 } t + 1 \right ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \]이고 곡률을 미분하면 \[ \kappa_ { 2 } ^ {\prime } (t)=-36 \left (3 \sin ^ { 2 } t + 1 \right ) ^ { - \frac { 5 } { 2 } } \sin 2 t \]이다. 따라서 극대값 및 극소값은 $ \kappa_ { 2 } ^ {\prime } (t)=0 $, 즉, $ \sin 2 t=0 $ 을 만족하는 값이다.</p> <p>정의 $ 4.20 $ 평면위의 단순폐곡선이 볼록(convex)하다고 하는 것은 임의의 곡선 내부의 두 점을 연결하는 선분이 다시 곡선 내부에 포함될 때이다.</p> <p>정리 $ 4.21 $(네 꼭지점 정리) 평면상의 정칙인 단순폐곡선이 볼록일 때, 적어도 네 개의 꼭지점이 존재한다.</p> <p>정의 $ 4.22 $ 평면상의 정칙인 단순폐곡선이 $ \kappa_ { 2 } >0 $, 또는 $ \kappa_ { 2 }<0 $ 일 때, 곡선을 타원형곡선 (oval)이라고 한다.</p> <p>참고 $(1) $ 타원형곡선(oval)은 볼록곡선(convex)이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.</p> <p>$(2) $ 임의의 타원형곡선 $ \alpha $ 위의 점 $ p= \alpha(s) $에 대하여 $ \bar { p } = \overline {\alpha(s) } $는 \[T( \bar { p } )=-T(p) \]<caption>(4.1)</caption>를 만족하는 점이라 하자. 여기서 $ T(p)= \alpha ^ {\prime } (s) / \left \\| \alpha ^ {\prime } (s) \right \\| $는 점 $ p $에서 단위접벡터이다.</p> <p>정의 $ 4.23 $ 타원형곡선 $ \alpha $ 위의 임의의 점 $ p= \alpha(s) $에서의 너비(width) $ \omega(s) $, 또는 $ \omega(p) $는 두 접선 $ L(p) $와 $ L( \bar { p } ) $사이의 거리이다. 즉, \[ \omega(p)= \operatorname { dist } (p, L( \bar { p } )) . \] 만약 $ \omega $가 점에 독립일 때, $ \alpha $를 상수너비(constant width) 곡선이라 한다.</p> <p>예제 $ 4.24 $ 반지름 $ R $인 원의 너비는 $ \omega(p)=2 R $이다. 따라서 원은 상수너비곡선이다.</p> <p>정리 $ 4.25 $ (Barbier, 1860) 상수너비 $ \omega $를 가지는 타원형곡선의 길이는 $ \pi \omega $이다.</p> <p>증명 단위속력곡선 $ \beta: R \rightarrow R ^ { 2 } $를 상수너비를 가지는 타원형곡선(oval)이라 하자. 그러면 $ \omega(s)=\| \langle \bar {\beta } (s)- \beta(s), J T(s) \rangle\| $이기 때문에 \[ \bar {\beta } (s)- \beta(s)= \lambda(s) T(s) + \omega J T(s) \]<caption>(4.2)</caption>로 표현할 수 있다. 여기서 $ \bar {\beta } (s)= \overline {\beta(s) } $이다. 따라서 $( 4.2 $)를 미분하면 \[ \bar {\beta } ^ {\prime } (s)= \left ( \lambda ^ {\prime } - \omega \kappa_ { 2 } + 1 \right ) T + \lambda \kappa_ { 2 } J T \]<caption>(4.3)</caption>이다. 여기서 $ T ^ {\prime } = \kappa_ { 2 } J T $이다. 점 $ \bar { p } $의 정의 ( $ 4.1 $)로부터 \[ \frac {\bar {\beta } ^ {\prime } (s) } {\left \\| \bar {\beta } ^ {\prime } (s) \right \\| } =T( \bar { p } )=-T(p)=-T(s), \quad \frac { d \bar { s } } { d s } = \left \\| \bar {\beta } ^ {\prime } (s) \right \\| \]가 성립한다. 여기서 $ \bar { s } $는 곡선 $ \bar {\beta } $의 호길이(arc length) 함수이다. 그러므로 \[ \bar {\beta } ^ {\prime } (s)=- \frac { d \bar { s } } { d s } T(s) \]이다. 따라서 ( $ 4.3 $)으로부터 \[ \left (1 + \frac { d \bar { s } } { d s } + \lambda ^ {\prime } - \omega \kappa_ { 2 } \right ) T + \lambda \kappa_ { 2 } J T=0 \]<caption>(4.4)</caption>이다. 그러므로 $ \kappa_ { 2 } = \frac { d \theta } { d s } $이므로 ( $ 4.4 $)식으로부터 \[ \frac { d(s + \bar { s } ) } { d s } + \frac { d \lambda } { d s } - \omega \frac { d \theta } { d s } =0, \quad \lambda \kappa_ { 2 } =0 \]<caption>(4.5)</caption>가 성립한다. 한편 타원형곡선의 곡률은 $ \kappa_ { 2 } >0 $이기 때문에 식 ( $ 4.5 $)의 두 번째 등식으로부터 $ \lambda=0 $ 이다. 따라서 ( $ 4.5 $)의 첫 번째 등식은 \[ \frac { d(s + \bar { s } ) } { d s } - \omega \frac { d \theta } { d s } =0 \]이 된다. 지금 점 $ p= \beta \left (s_ { 0 } \right ) $를 고정하고 $ \bar { p } = \beta \left (s_ { 1 } \right )= \bar {\beta } \left (s_ { 0 } \right ) $이라 하자. 그러면 타원형곡선의 길이는 $ L( \beta)=L_ {\hat { s } _ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } ( \beta) + L_ {\hat { s } _ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } ( \bar {\beta } ) $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} L( \beta) &= \int_ { s_ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } d s + \int_ { s_ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } \frac { d \bar { s } } { d s } d s= \int_ { s_ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } \frac { d(s + \bar { s } ) } { d s } d s \\ &= \int_ { s_ { 0 } } ^ { s_ { 1 } } \omega \frac { d \theta } { d s } d s= \int_ { 0 } ^ {\pi } \omega d \theta= \pi \omega \end {aligned} \]이다.</p> <p>예제 $ 4.26 $ 반지름 $ r $인 원의 너비는 $ w=2 r $이므로 곡선의 길이는 $ L= \pi w=2 \pi r $이다.</p> <p>정리 $ 4.27 $ 타원형곡선 $ \alpha $가 상수너비를 가질 때 벡터 $ \bar { p } -p $는 접벡터 $ T(p) $와 $ T( \bar { p } ) $에 각각 수직이다. 다시 말하면, $ \bar { p } -p $는 $ J T $와 평행이다.</p> <p>증명 정리 $ 4.25 $의 증명과정에서 식 ( $ 4.5 $)로부터 $ \lambda=0 $이다. 따라서 ( $ 4.2 $)로부터 \[ \bar { p } -p= \omega J T \]이다. 즉, $ \bar { p } -p $와 $ J T $는 평행이다.</p>	자연
s097-(R과 함께하는) 기초통계학	<p>예제 4</p> <p>$X $는 확률밀도함수가 다음과 같은 연속형 분포를 가진다고 가정하자. \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & 2.5 \leq x \leq 3 \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] $ X $의 중앙값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ 1 \leq m \leq 2.5 $ 내의 임의의 값 $ m $에 대하여 \[ P(X \leq m)=P(X>m)=\frac{1}{2} \] 이다. 그러므로 $ 1 \leq m \leq 2.5 $ 내의 모든 값 $ m $이 이 분포의 중앙값이 된다.</p> <p>앞에서 언급한 바와 같이 어떤 분포에서, 비록 작지만 양의 확률을 그 분포의 어느 부분으로부터 제거하여 충분히 큰 값에 이 확률을 할당함으로써 평균을 매우 크게 만들 수 있다. 그러나 중앙값은 확률의 유사한 변화에 의해 크게 영향을 받지 않는다. 만일 임의의 양의 확률이 중앙값보다 더 큰 값으로부터 제거되어 임의의 큰 값에 할당되어도 새로운 분포의 중앙값은 원래 분포의 중앙값과 같을 것이다.</p> <p>예를 들어 어떤 지역의 가구당 연평균 수입이 2,000만 원이라고 가정하자. 이 경우 평균이 2,000만 원이라는 것은 그 지역 내의 불과 몇 가구만이 실제로 2,000만 원 정도의 수입을 갖고, 극히 일부 가구는 2,000만 원이 훨씬 넘는 수입을 가지고 있을 수도 있다. 그러나 그 지역의 가구당 수입의 중앙값이 2,000만 원이라면 적어도 그 가구의 반은 2,000만 원 또는 그 이상의 수입을 가지고 있음에 틀림없다.</p> <h2>4.4.2 최빈값</h2> <p>통계에서의 자료를 분석할 때 수집된 자료 가운데 가장 여러 번 측정된 값이나 항목, 즉 가장 빈도수가 많은 수치나 범위에 관심을 가질 수 있다. 예를 들어 서울시 지하철 공사에서 아르바이트 검표원을 효율적으로 배치하기 위해 하루 중에서 어느 시간대에 승객이 가장 많은가를 조사하여 본 결과, 대략 오전 8시 전후와 오후 7시 전후로 나타났다면 이 두 값이 가장 많은 빈도수를 갖는 값이 될 것이다. 이를 이용하여 우리는 다음과 같은 정의할 수 있다.</p> <p>정의 2</p> <p>확률변수 $ X $의 확률함수 또는 확률밀도함수 $ f(x) $가 최댓값을 갖는 점 $ x $를 그 분포의 최빈값(mode)이라고 한다.</p> <p>예제 5</p> <p>$ X $의 확률함수가 다음과 같다고 하자. \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \left(\frac{1}{2}\right)^{x}, & x=1,2,3, \cdots \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] $ X $ 의 최빈값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$f(1)>f(2)>\cdots>f(n)>\cdots $</p> <p>이므로 $ x=1 $이 이 분포의 유일한 최빈값이다.</p> <p>예제 6</p> <p>$X $의 확률밀도함수가 다음과 같다고 하자. \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 12 x^{2}(1-x), & 0<x<1 \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] $ X $ 의 최빈값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ f(x) $가 최대가 되는 점을 구하기 위해 \[ f^{\prime}(x)=24 x-36 x^{2}=12 x(2-3 x)=0 \] 으로 하면 $ x=\frac{2}{3} $에서 $ f(x) $는 최대가 됨을 알 수 있다. 그러므로 $ x=\frac{2}{3} $가 이 분포의 유일한 최빈값이 된다.</p> <h1>4.1 확률변수의 기댓값</h1> <p>어느 도시에서의 연평균 강수량, 6월의 평균기온, 공장 근로자의 평균임금 등과 같이 평균은 우리 생활의 일부분이 되고 있음을 알 수 있다. 일상생활에서 자주 이용되는 평균은 통계학에서는 기댓값 또는 수학적 기댓값으로 불리는데, 이는 확률변수 $ X $를 정의하고 $ X $의 확률분포를 가정할 때 가정한 확률분포의 중심 위치를 나타내는 분포의 한 특성값이다.</p> <ol type=1 start=1><p>정의 1</p> <li> <p>(1) 확률변수 $ X $의 치역이 $ R $이고, 확률함수가 $ f $인 이산형 분포를 가진다고 가정하자. 그때</p> <p>$ \sum_{x \in R}\|x\| f(x)<\infty $<caption>(1)</caption></p> <p>이면 확률변수 $ X $는 기댓값이 존재한다고 하며, 이 경우 값</p> <p>$ E(X)=\sum_{x \in R} x f(x) $<caption>(2)</caption></p> <p>를 $ X $의 기댓값(expectation)이라고 한다.</p></li> <li> <p>(2) 확률변수 $ X $가 확률밀도함수가 $ f $인 연속형 분포를 가진다면 $ X $의 기댓값 $ E(X) $는 다음과 같다.</p> <p>$ E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x $<caption>(3)</caption></p> <p>이산형 분포와 마찬가지로 연속형 분포에서도 적분</p> <p>$ \int_{-\infty}^{\infty}\|x\| f(x) d x $</p> <p>가 존재하는 경우 $ X $의 기댓값은 존재한다고 하며, 이 경우 $ X $의 기댓값은 식 (3)에 의하여 구할 수 있다.</p></li></ol> <p>기댓값이라는 용어는 노름에서 그 어원을 찾을 수 있다. 예를 들어 한 사람이 1, 2, 2라는 숫자가 적힌 공이 들어 있는 상자에서 하나의 공을 꺼낸다고 가정하자.</p> <p>꺼낸 공에 적힌 숫자가 1일 때는 30원을 받고, 번호가 2일 때는 3원을 받는다고 하자. 그러면 30원에 대하여는 '$ \frac{1}{3} $의 청구권'이 부여되고 3원에 대하여는 '$ \frac{2}{3} $의 청구권'이 있다고 보는 것이 타당할 것이다. 그러므로 그 사람이 받을 수 있는 기대금액은</p> <p>$ 30\left(\frac{1}{3}\right)+3\left(\frac{2}{3}\right)=12(원) $</p> <p>이 될 것이다.</p> <p>기댓값과 평균(mean)이라는 용어는 같이 사용될 수 있다. 즉 $ E(X) $는 $ X $ 분포의 기댓값 또는 평균이라고 부른다. 확률변수의 기댓값 또는 그 분포의 평균은 분포의 무게중심의 의미로 생각할 수 있다. 예를 들어 [그림 1]의 확률함수를 생각해보자.</p> <p>$ x $ 축은 추가 달린 무게 없는 긴 막대로 생각할 수 있다. 만일 각 점 $ x_{i} $에 무게 $ f\left(x_{i}\right) $인 추가 막대에 달렸다면, 그 막대는 점 $ E(X) $에 지지될 경우 균형이 유지될 것이다. 그러나 $ x $ 값이 클 경우 여기에 부여된 확률값이 조금만 변하더라도 분포의 평균은 크게 영향을 받게 된다. 예를 들어 작은 양의 확률을 갖는 점 $ x_{i} $ 중의 하나를 원점에서 충분히 먼 점으로 이동시키면, 비록 원점에서 먼 점이라고 할지라도 분포의 평균을 그 점으로 이동시킬 수 있다.</p> <p>우리는 확률변수 $ r(X) $의 기댓값을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정리 1</p> <p>확률변수 $ X $가 확률함수 또는 확률밀도함수가 $ f $라 하고 $ Y = r(X) $라고 하자. 또한 이산형인 경우 $ \sum_ { x } \|r(x)\| f(x)< \infty $가 성립하고 연속형인 경우 \[ \int_ { - \infty } ^ {\infty } \|r(x)\| f(x) d x< \infty \]가 성립한다고 하자. 이 경우 확률변수 $ Y=r(X) $의 기댓값은 \[ E[r(X)]= \left \{\begin {array} { ll } \sum_ { x } r(x) f(x), & \text { 이산형 분포 } \\ \int_ { - \infty } ^ {\infty } r(x) f(x) d x, & \text { 연속형 분포 } \end {array} \right . \] 이다.</p> <p>예제 4</p> <p>예제 4 확률변수 $ X $는 두 주사위 눈의 합이라 하고 $ Y=r(X)=100 X $라 하면, $ Y $는 상금액수를 의미한다고 할 수 있다. 이때 평균적으로 기대할 수 있는 상금액수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} E[r(X)] &= \sum_ { x } 100 x P(X=x) \\ &=100(2) \frac { 1 } { 36 } + 100(3) \frac { 2 } { 36 } + 100(4) \frac { 3 } { 36 } + \cdots + 100(12) \frac { 1 } { 36 } \\ &=700 \end {aligned} $</p> <p>이다.</p> <p>정리 1은 두 개의 확률변수로 일반화시킬 수 있다. 확률변수 $ X, Y $의 결합확률 밀도함수가 $ f $이고 $ Z=r(X, Y) $라고 하자. 이때 $ Z $의 기댓값은</p> <p>$ E(Z)=E[r(X, Y)]= \left \{\begin {array} { ll } \sum_ { x } \sum_ { y } r(x, y) f(x, y), & \text { 이산형 } \\ \iint r(x, y) f(x, y) d x d y, & \text { 연속형 } \end {array} \right . $</p> <p>이다.</p> <p>예제 5</p> <p>확률변수 $ X $와 $ Y $의 결합확률밀도함수가 다음과 같다고 하자.</p> <p>$ f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } x + y, & 0<x<1,0<y<1 \\ 0, & \text { 기타 } \end {array} \right . $</p> <p>$ E(X), E(Y), E \left (X Y ^ { 2 } \right ) $ 을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ E(X)= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x f(x, y) d x d y= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x(x + y) d x d y= \frac { 7 } { 12 } $ 이고, 마찬가지 방법으로<p>$ E(Y)= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } y(x + y) d x d y= \frac { 7 } { 12 } $</p> <p>이다. 한편</p> <p>$ E \left (X Y ^ { 2 } \right )= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x y ^ { 2 } (x + y) d x d y= \frac { 17 } { 72 } $</p> <p>이다.</p> <p>예제 5에서 $ X $와 $ Y $의 주변확률밀도함수 $ f_ { 1 } $과 $ f_ { 2 } $에 대해 \[E(X)= \int_ { 0 } ^ { 1 } x f_ { 1 } (x) d x, \quad E(Y)= \int_ { 0 } ^ { 1 } y f_ { 2 } (y) d y \] 임에 유의하여라.</p> <h1>4.3 분산</h1> <p>확률변수 $ X $ 의 기댓값으로는 단지 분포의 중심 위치에 대한 정보만을 얻을 수 있으 며, 분포의 흩어진 정도를 판별할 수는 없다. 실제로 평균, 즉 분포의 중심 위치는 같으면서도 분포 모습이 서로 다른 경우들이 많이 있기 때문에 확률분포가 중심위 치 주변에 어느 정도로 밀집되어 있는가를 파악할 수 있는 적절한 측도가 필요하 다. 따라서 우리는 확률분포의 산포도(dispersion)에 대하여 알아보기로 한다.</p> <p>정의 1</p> <p>$ X $ 를 평균 $ \mu=E(X) $ 를 갖는 확률변수라고 하자. 이때 $ (X-\mu)^{2} $ 의 기댓값 \[ E\left[(X-\mu)^{2}\right] \] 이 존재하면 이 값을 $ X $ 의 분산(variance) 또는 $ X $ 분포의 분산이라 하고 $ \operatorname{Var}(X) $ 또는 $ \sigma^{2} $ 으로 표시한다. 또한 분산의 음이 아닌 제곱근을 확률변수의 표준편차(standard deviation)라 부르고 $ \sigma $ 로 표시한다.</p> <p>$ \operatorname{Var}(X) $ 는 $ (X-\mu)^{2} $ 의 기댓값이므로 $ \operatorname{Var}(X) \geq 0 $ 이다. 한 분포의 분산은 그 분포의 평균 주위에서 분포의 흩어진 정도를 나타낸다. 작 은 분산값은 확률분포가 평균 주위에 집중적으로 분포되어 있음을 나타내며, 큰 분 산값은 확률분포가 평균 주위에 넓게 퍼져 있음을 나타낸다.</p> <p>예제 1 확률변수 $ X $ 가 두 주사위의 눈의 합을 나타낸다고 할 때 $ X $ 의 분산 을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ E(X)=7 $ 이므로,<p>$ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=\sum_{x}(x-7)^{2} P(X=x) \\ &=(2-7)^{2} \frac{1}{36}+(3-7)^{2} \frac{2}{36}+\cdots+(12-7)^{2} \frac{1}{36} \\ &=\frac{210}{36}=\frac{35}{6} \end{aligned} $</p> <p>이 된다.</p> <p>예제 2</p> <p>$X $와 $ Y $의 확률밀도함수가 각각 다음과 같다고 하자. \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2 a}, & -a<x<a \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}, \quad g(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{4 a}, & -2 a<y<2 a \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right.\right. \] $ X $와 $ Y $의 분산을 구하여라.<p>풀이</p> <p>$ X $의 평균 $ \mu_{X} $는 \[ \mu_{X}=E(X)=\int_{-a}^{a} x \frac{1}{2 a} d x=0 \] 이므로 \[ \operatorname{Var}(X)=E\left[(X-\mu)^{2}\right]=\int_{-a}^{a} x^{2} \frac{1}{2 a} d x=\frac{a^{2}}{3} \] 이다.</p> <p>$ Y $의 평균 $ \mu_{Y} $도 \[ \mu_{Y}=E(Y)=\int_{-2 a}^{2 a} y \frac{1}{4 a} d y=0 \]</p> <p>이므로 \[ \operatorname{Var}(Y)=E\left[(Y-\mu)^{2}\right]=\int_{-2 a}^{2 a} y^{2} \frac{1}{4 a} d y=\frac{4 a^{2}}{3} \] 이다. 그러므로 $ Y $의 확률분포가 $ X $의 확률분포에 비하여 평균 0 을 중심으로 더 넓게 퍼져 있음을 의미한다.</p> <h1>4.2 기댓값의 성질</h1> <p>분포가 연속형이든지 또는 이산형이든지 확률변수가 취할 수 있는 값들이 많아지고, 또한 확률변수의 함수로 정의되는 새로운 확률변수의 기댓값을 구하고자 할 때 우리는 계산의 간편화를 위한 몇 가지 성질을 학습할 필요가 있다.</p> <p>성질 1</p> <p>$ Y=a X+b(a, b: $ 상수 $ ) $이면 \[E(Y)=a E(X)+b .\]</p> <p>$ X $가 확률밀도함수가 $ f $인 연속형 분포를 갖는다고 가정하자. 그러면 \[\begin{aligned}E(Y)=E(a X+b) &=\int_{-\infty}^{\infty}(a x+b) f(x) d x \\&=a \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x+b \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \\&=a E(X)+b\end{aligned}\] 이다. 이산형 분포에 대해서도 유사한 방법으로 증명된다.</p> <p>성질 2</p> <p>확률변수 $ X, Y $를 각각의 기댓값이 존재하는 확률변수라고 하면</p> <p>\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]</p> <p>가 성립한다.</p> <p>두 확률변수의 합이나 차의 기댓값은 각 변수의 기댓값들의 합이나 차와 같아진다는 것으로, 이는 다음과 같이 쉽게 증명된다. $ X $와 $ Y $는 결합확률밀도함수가 $ f $인 연속형 결합분포를 가진다고 하자. 그러면</p> <p>$ E(X+Y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}(x+y) f(x, y) d x d y $<p>$ =\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x, y) d x d y+\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y f(x, y) d x d y $<p>$ =E(X)+E(Y) $</p> <p>가 성립한다. 이산형 분포에 대해서도 유사하게 증명된다. 성질 1 은 다음과 같이 일반화될 수 있다. 임의의 상수 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 과 $ b $ 에 대하여 \[E\left(a_{1} X_{1}+a_{2} X_{2}+\cdots+a_{n} X_{n}+b\right)=a_{1} E\left(X_{1}\right)+a_{2} E\left(X_{2}\right)+\cdots+a_{n} E\left(X_{n}\right)+b\] 가 성립한다.</p> <p>예제 1</p> <p>빨간 공과 파란 공이 들어 있는 상자에서 빨간 공의 비율이 $ p(0 \leq $ $ p \leq 1 $ )라고 하자. 이 상자에서 $ n $개의 공을 무작위로 복원추출(with replacement)한다고 가정하고, 확률변수 $ X $를 추출된 빨간 공의 개수라고 하자. 이때 $ X $의 기댓값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>이 분포는 5장에서 이야기할 이항분포의 한 예이다. 먼저 $ n $개의 확률변수 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $을 다음과 같이 정의하자. \[ X_{i}=\left\{\begin{array}{l} 1, \text { 추출된 } i \text {번째 공이 빨간색 } \\ 0, \text { 추출된 } i \text {번째 공이 파란색 } \quad(i=1,2, \cdots, n) \end{array}\right. \] $ n $개의 공이 복원으로 추출되기 때문에 확률변수 $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $은 독립이다. 우리는 모든 공들이 무작위 순서에 의해 상자 속에 배열되어 있으며, 이러한 배열에서 $ n $개의 공이 추출된다고 생각할 수 있다. 그러므로 $ i=1,2, \cdots, n $에 대하여 \[ P\left(X_{i}=1\right)=p, \quad P\left(X_{i}=0\right)=1-p \] 이고, 따라서 $ E\left(X_{i}\right)=1 \cdot p+0 \cdot(1-p)=p $이다. $ X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} $의 정의에 의해 $ X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n} $은 추출된 빨간 공의 총 개수이므로 \[ X=X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n} \] 이며, 성질 2에 의해 \[ E(X)=E\left(X_{1}\right)+E\left(X_{2}\right)+\cdots+E\left(X_{n}\right)=n p \] 이다.</p> <p>성질 3</p> <p>확률변수 $ X, Y $를 각각의 기댓값이 존재하는 독립인 확률변수라고 하면 \[ E(X \cdot Y)=E(X) \cdot E(Y) \] 가 성립한다.</p> <p>$ X, Y $가 결합확률밀도함수가 $ f $인 연속형 결합분포를 가진다고 가정하자. 확률변수 $ X, Y $가 독립이므로 \[ f(x, y)=f_{1}(x) f_{2}(y) \] 가 성립한다. 그러므로 \[ \begin{aligned} E(X \cdot Y) &=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}(x y) f(x, y) d x d y \\ &=\left(\int_{-\infty}^{\infty} x f_{1}(x) d x\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty} y f_{2}(y) d y\right)=E(X) \cdot E(Y) \end{aligned} \] 이다. 이산형 분포에 대해서도 유사하게 증명된다.</p> <p>만일 각각의 기댓값이 존재한다면 성질 2에 의해 확률변수들의 합의 기댓값은 항상 그들 각각의 기댓값의 합과 같게 된다. 그러나 곱의 기댓값은 항상 각각의 기댓값의 곱과 같지는 않게 된다. 그들은 독립인 경우에만 항상 같게 된다.</p> <p>한편 성질 3의 역은 성립하지 않는다. 즉 확률변수들의 곱의 기댓값이 그들 각각의 기댓값의 곱과 같다고 해서 그들 확률변수들이 항상 독립인 것은 아니다.</p> <p>예제 3</p> <p>$ \quad X_{1} $과 $ X_{2} $의 결합확률함수가 다음과 같다고 하자. \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{4}, & (x, y)=(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] 성질 3의 역이 성립하지 않음을 보여라.<p>풀이</p> <p>$ E(X)=E(Y)=0 $ 이고 $ X Y=0 $ 이므로 $ E(X Y)=0 $ 이다. 그러므로 \[ E(X Y)=E(X) E(Y) \] 가 성립한다. 그러나 \[ 0=P(X=0, Y=0) \neq P(X=0) P(Y=0)=\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) \]</p> <p>이므로 $ X $과 $ Y $는 독립이 아니다.</p> <p>다양한 분포에 대해 분산값을 구하기 위해서는 분산의 성질에 대하여 알아볼 필요가 있다.</p> <p>성질 1</p> <p>$ \operatorname{Var}(X)=0 $이기 위한 필요충분조건은 $ P(X=c)=1 $을 만족하는 상수 $ c $가 존재하는 것이다.</p> <p>성질 2</p> <p>분산은 음이 될 수 없으므로 분산이 0이라는 것은 가장 작은 분산값이 되며, 이 경우 분포는 한 점에 집중되어 있음을 의미한다.</p> <p>임의의 상수 $ a, b $에 대하여 \[ \operatorname{Var}(a X+b)=a^{2} \operatorname{Var}(X) \] 가 성립한다.</p> <p>만일 $ E(X)=\mu $라고 하면 $ E(a X+b)=a \mu+b $이고, 따라서 \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(a X+b) &=E\left[(a X+b-a \mu-b)^{2}\right]=E\left[(a X-a \mu)^{2}\right] \\ &=a^{2} E\left[(X-\mu)^{2}\right]=a^{2} \operatorname{Var}(X) \end{aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>$ X $의 분포를 실직선상을 따라 $ b $만큼 이동하면 $ b $만큼 분포의 평균은 변하지만 그 평균 주위에서의 분포의 산포에는 영향을 미치지 않으므로 분산은 변화가 없을 것이다. 또한 실직선상의 원점에 관하여 $ X $의 분포를 대칭이동하면 원래 분포의 거울상인 분포가 생길 것이며 이 분포는 평균은 변하겠지만 평균 주위의 산포 정도는 변하지 않을 것이다.</p> <p>성질 3</p> <p>만일 $ E(X)=\mu $라고 하면 $ \operatorname{Var}(X)=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} $. \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E\left[(X-\mu)^{2}\right]=E\left(X^{2}-2 \mu X+\mu^{2}\right) \\ &=E\left(X^{2}\right)-2 \mu E(X)+\mu^{2}=E\left(X^{2}\right)-\mu^{2} \end{aligned} \]</p> <p>성질 4</p> <p>확률변수 $ X $와 $ Y $가 독립이면 \[ \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) \] 가 성립한다.</p> <p>성질 4를 보이기 위하여 $ E(X)=\mu_{1}, E(Y)=\mu_{2} $라고 하면</p> <p>\[ E(X+Y)=\mu_{1}+\mu_{2} \] 이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \operatorname{Var}(X+Y) &=E\left[\left(X+Y-\mu_{1}-\mu_{2}\right)^{2}\right] \\ &=E\left[\left(X-\mu_{1}\right)^{2}+\left(Y-\mu_{2}\right)^{2}+2\left(X-\mu_{1}\right)\left(Y-\mu_{2}\right)\right] \\ &=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 E\left[\left(X-\mu_{1}\right)\left(Y-\mu_{2}\right)\right] \end{aligned} \] 이고 $ X $와 $ Y $는 독립이므로 \[ E\left[\left(X-\mu_{1}\right)\left(Y-\mu_{2}\right)\right]=E\left(X-\mu_{1}\right) E\left(Y-\mu_{2}\right)=0 \] 이다. 따라서 \[ \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y) \] 가 성립한다. 4.2절에서 우리는 기댓값이 존재하는 경우 확률변수들의 합에 대한 기댓값이 각각의 기댓값의 합과 항상 같음을 보았다. 그러나 4.3절의 성질 4에 의하면 유사한 성질이 분산에 대해 성립하기 위해서는 독립이라는 조건이 있어야 함을 알 수 있다. 독립이 아닌 확률변수들의 합의 분산은 후에 논의할 것이다.</p> <p>예제 3</p> <p>확률변수 $ X $의 값에서 평균 $ \mu $를 뺀 값을 표준편차 $ \sigma $로 나눈 값을 $ Z $라고 하면 $ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $는 $ X $의 일차함수로서 새로운 확률변수가 된다. 이제 $ Z $의 평균과 분산을 구하여라.<p>풀이</p> <p>\[ \begin{array}{l} \text {} E(Z)=E\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=E\left(-\frac{\mu}{\sigma}+\frac{1}{\sigma} X\right)=-\frac{\mu}{\sigma}+\frac{1}{\sigma} \mu=0 \\ \operatorname{Var}(Z)=\operatorname{Var}\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)=\operatorname{Var}\left(-\frac{\mu}{\sigma}+\frac{1}{\sigma} X\right)=\frac{1}{\sigma^{2}} \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\sigma^{2}} \sigma^{2}=1 \end{array} \] 이상의 결과에서 $ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $는 평균이 0 , 분산이 1이 되는 특수한 변수가 된다. 이러한 특정을 갖도록 정의된 변수 $ Z $를 표준화변수(standardized variable)라고 하는데, 후에 이 개념은 중요하게 활용된다.</p> <h1>4.6 여러 가지 부등식</h1> <p>우리는 마르코프 부등식(Markov inequality)과 체비세프 부등식(Tchebychev inequality)에 대하여 공부할 것이다. 이 부등식들은 확률의 하한 또는 상한을 구하는 데 유용하게 이용되고 있는데, 이 한계값들은 정확한 확률에 가까운 값이라고 할 수는 없으나 이론적인 측면에서 유용하게 이용되고 있다.</p> <p>마르코프 부등식</p> <p>확률변수 $ X $의 함수 $ r(X) $에 대하여 $ r(X) \geq 0 $이고 $ E[r(X)] $가 존재하면 임의의 수 $ t>0 $에 대하여 \[P[r(X) \geq t] \leq \frac{E[r(X)]}{t}\] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>편의상 $ X $는 확률밀도함수가 $ f $인 연속형 분포를 가진다고 가정하고 \[ A=\{x: r(x) \geq t\} \] 라고 하면 \[ \begin{aligned} E[r(X)] &=\int_{-\infty}^{\infty} r(x) f(x) d x \\ &=\int_{A} r(x) f(x) d x+\int_{A^{c}} r(x) f(x) d x \end{aligned} \] 가 성립한다. $ f(x) \geq 0 $이고 집합 $ A $상에서 $ r(x) \geq t $이므로 \[ E[r(X)] \geq \int_{A} r(x) f(x) d x \geq \int_{A} t f(x) d x=t P[r(X) \geq t] \] 가 성립한다. 이산형 분포의 경우에도 증명은 유사하다.</p> <p>평균이 1인 음이 아닌 확률변수 $ X $에 대하여 $ P(X \geq 100) $의 가능한 최댓값이 $ 0.01 $이라는 사실은 마르코프 부등식으로부터 알 수 있다.</p> <p>체비세프 부등식</p> <p>$ X $를 분산이 존재하는 확률변수라고 하자. 그러면 임의의 주어진 수 $ t>0 $에 대하여 \[ P(\|X-E(X)\| \geq t) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{t^{2}} \] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>마르코프 부등식에서 $ r(X)=[X-E(X)]^{2} $이라고 하자. 그러면 $ r(X) \geq 0 $이고 $ E[r(X)]= $$ \operatorname{Var}(X)E[r(X)]=\operatorname{Var}(X) $ 이다. 그러므로 마르코프 부등식에 의해</p> <p>$ P(\|X-E(X)\| \geq t)=P\left(r(X) \geq t^{2}\right) \leq \frac{\operatorname{Var}(X)}{t^{2}} $</p> <p>가 성립한다.</p> <p>체비세프 부등식은 마르코프 부등식의 특수한 경우이다. 마르코프 부등식과 체비세프 부등식은 응용면에서 매우 중요하다. 예를 들어 $\operatorname{Var}(X)=\sigma^{2} $ 그리고 $ t=k \sigma $라고 하면 체비세프 부등식은 \[ P(\|X-E(X)\| \geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^{2}} \] 로 된다. 이 결과는 임의의 주어진 확률변수가 평균으로부터 표준편차의 $ k $배 이상 떨어져 있을 확률은 $ \frac{1}{k^{2}} $을 초과할 수 없음을 의미한다. 이 책에서 논의될 많은 확률변수와 분포들에 대하여 이 확률은 실제로 $ \frac{1}{k^{2}} $보다는 훨씬 더 작을 것이다. 체비세프 부등식은 이 확률이 모든 분포에 대하여 틀림없이 $ \frac{1}{k^{2}} $이든가 또는 더 작다는 사실 때문에 매우 유용하다.</p> <p>예제 1</p> <p>어떤 가게에서의 하루당 고객 수 $ X $는 오랜 동안의 조사에 의하여 평균이 20명이고 표준편차가 2명인 분포를 따른다고 한다. 어느 날 고객 수가 16명보다 많고 24명보다 적을 확률은 적어도 얼마 이상인가를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>구하고자 하는 확률은 $ P(16<X<24) $이고 체비세프 부등식으로부터</p> <p>\[ P(\|X-E(X)\|<k \sigma) \geq 1-\frac{1}{k^{2}} \] 이 성립하는데 $ E(X)=20, \sigma=2 $이므로 $ k=2 $일 때 \[ E(X)-k \sigma=16, \quad E(X)+k \sigma=24 \] 이다. 그러므로 \[ P(16<X<24) \geq 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4} \] 이다.</p> <p>예제 2</p> <p>평균이 40이고 표준편차가 5인 확률변수 $ X $에 대하여 \[ P(40-b<X<40+b) \geq 0.95 \] 가 되는 $ b $를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>체비세프 부등식으로부터 \[ P(\|X-E(X)\|<k \sigma) \geq 1-\frac{1}{k^{2}} \] 이므로 $ b=k \sigma, 1-\frac{1}{k^{2}}=0.95 $ 로부터 $ k=\sqrt{20} $ 이다. 그러므로 \[ b=k \sigma=\sqrt{20} \times 5=10 \sqrt{5} \] 이다.</p> <h1>4.5 공분산과 상관계수</h1> <p>확률변수들의 평균, 중앙값, 분산 등은 분포에 대한 유용한 정보를 제공해주기는 하지만 두 변수들 간의 관계에 대한 어떤 정보도 제공해주지는 못한다. 예를 들면 평균이 각각 $ \mu_{X} $와 $ \mu_{Y} $인 두 확률변수 $ X $와 $ Y $에서, 만일 $ X $값이 $ \mu_{X} $보다 커지면 $ Y $값도 $ \mu_{Y} $보다 커지고, $ X $값이 $ \mu_{X} $보다 작아질 때는 $ Y $값도 $ \mu_{Y} $보다 작아지는 경향이 있다면 $ \left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right) $는 양의 큰 값으로 나타날 것이며, $ X $값이 증가함에 따라 $ Y $값이 감소하는 경향을 보인다면 $ \left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right) $는 음의 큰 값으로 나타날 것으로 예상된다. 그러므로 $ \left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right) $에 대한 기댓값은 확률변수 $ X $의 증감에 따른 확률변수 $ Y $의 증감에 대한 경향을 파악할 수 있는 특성값으로 사용할 수 있다.</p> <p>$ X $와 $ Y $가 지정된 결합분포를 가지는 확률변수라 하고, \[ E(X)=\mu_{X}, E(Y)=\mu_{Y}, \quad \operatorname{Var}(X)=\sigma_{X}^{2}, \quad \operatorname{Var}(Y)=\sigma_{Y}^{2} \] 이라고 하자. 이때 \[ E\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right] \] 를 $ X $와 $ Y $의 공분산(covariance)이라 하고 $ \operatorname{Cov}(X, Y) $로 표시한다. $ \operatorname{Cov}(X, Y) $의 값은 양, 음 또는 0일 수 있다.</p> <p>한편 $ 0<\sigma_{X}^{2}<\infty, 0<\sigma_{Y}^{2}<\infty $인 경우 값 \[ \frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}} \] 를 $ X $와 $ Y $의 상관계수(correlation coefficient)라고 하며 $ \rho(X, Y) $로 표시한다.</p> <p>상관계수의 값은 $ -1 \leq \rho(X, Y) \leq 1 $이며, 만일 $ \rho(X, Y)>0 $이면 $ X $와 $ Y $는 양(positive)의 상관관계가 있다 하고, $ \rho(X, Y)<0 $이면 음(negative)의 상관관계가 있다고 하며 $ \rho(X, Y)=0 $이면 상관관계가 없다고 한다.</p> <p>이제 공분산과 상관계수의 성질에 대하여 알아보자.</p> <p>성질 1</p> <p>$ \sigma_{X}^{2}<\infty, \sigma_{Y}^{2}<\infty $인 임의의 확률변수 $ X $와 $ Y $에 대하여 \[ \operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y) . \]</p> <p>성질 1은 다음과 같이 증명된다. \[ \begin{aligned} \operatorname{Cov}(X, Y) &=E\left(X Y-\mu_{X} Y-\mu_{Y} X+\mu_{X} \mu_{Y}\right) \\ &=E(X Y)-\mu_{X} E(Y)-\mu_{Y} E(X)+\mu_{X} \mu_{Y} \\ &=E(X Y)-\mu_{X} \mu_{Y} \end{aligned} \]</p> <p>예제 1</p> <p>다음 $ X, Y $의 결합확률분포표를 이용하여 $ X, Y $의 상관계수를 구하여라.</p> <p>풀이 먼저 $ X $와 $ Y $의 분산을 구해보자. \[ E(X)=1 / 2, \quad E\left(X^{2}\right)=4 / 7 \] 이므로 $ \operatorname{Var}(X)=\frac{9}{28} $이다. \[ E(Y)=3 / 4, \quad E\left(Y^{2}\right)=27/28 \] 이므로 $ \operatorname{Var}(Y)=\frac{45}{112} $이다.</p> <p>한편 $Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=-9 / 56 $이므로 \[ \rho(X, Y)=\frac{-9 / 56}{\sqrt{\frac{9}{28}} \sqrt{\frac{45}{112}}}=-\frac{\sqrt{5}}{5} \approx-0.447 \] 이다.</p> <p>예제 2</p> <p>$X, Y $의 결합확률밀도함수가 다음과 같다. \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 3 x, & 0 \leq y \leq x \leq 1 \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] $ X, Y $의 상관계수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ X $와 $ Y $의 상관계수를 구하기 위해 $ \operatorname{Cov}(X, Y) $를 먼저 구하면 \[ \begin{array}{l} E(X Y)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x y(3 x) d y d x=\frac{3}{10}, \\ E(X)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} x(3 x) d y d x=\frac{3}{4}, \\ E(Y)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} y(3 x) d y d x=\frac{3}{8} \end{array} \] 이다. 그러므로 \[ Cov(X, Y)=E(X Y)-E(X) E(Y)=\frac{3}{160}=0.01875 \] 이다. 한편 $ E\left(X^{2}\right)=\frac{3}{5}, E\left(Y^{2}\right)=\frac{1}{5} $ 이므로 \[ \rho(X, Y)=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sigma_{X} \sigma_{Y}}=\frac{\frac{3}{10}-\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{8}}{\sqrt{\frac{3}{5}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}} \sqrt{\frac{1}{5}-\left(\frac{3}{8}\right)^{2}}}=\frac{\sqrt{57}}{19} \approx 0.39736 \] 이다.</p> <p>성질2</p> <p>$ X $와 $ Y $가 $ 0<\sigma_{X}^{2}<\infty $이고 $ 0<\sigma_{Y}^{2}<\infty $인 독립인 확률변수이면 \[ Cov(X, Y)=\rho(X, Y)=0 \] 이 성립한다.</p> <p>확률변수 $ X $와 $ Y $가 독립이면 $ E(X Y)=E(X) E(Y) $이므로 성질 1에 의해 \[ Cov(X, Y)=\rho(X, Y)=0 \] 이 성립한다.</p> <p>성질 2의 역은 일반적으로 참이 아니다. 즉 독립이 아닌 두 개의 확률변수들은 상관관계가 없을 수도 있다. 이에 대한 성질은 이미 4.2절에서 공부하였다. 이제 우리는 독립이 아닌 확률변수들의 합에 대한 분산을 구할 것이다.</p> <p>성질 3</p> <p>$ X $와 $ Y $가 $ \operatorname{Var}(X)<\infty $ 그리고 $ \operatorname{Var}(Y)<\infty $인 확률변수들이라면 \[ \operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y) \] 가 성립한다.</p> <p>\[ \begin{aligned} E(X+Y)=\mu_{X}+\mu_{Y} \text {이므로 } \\ \operatorname{Var}(X+Y) &=E\left[\left(X+Y-\mu_{X}-\mu_{Y}\right)^{2}\right] \\ &=E\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}+\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}+2\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right] \\ &=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y) \end{aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>예제 3</p> <p>$X $과 $ Y $가 독립인 확률변수이고 $ X $의 확률밀도함수 $ f_{1} $과 $ Y $의 확률밀도함수 $ f_{2} $가 다음과 같다고 하자. \[ f_{1}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2}, & -1<x<1 \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}, \quad f_{2}(y)=\left\{\begin{array}{ll} 10, & 0<y<\frac{1}{10} \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right.\right. \] $ Z=X^{2}+Y $라고 할 때 $ X $와 $ Z $의 상관계수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ E(X)=E\left(X^{3}\right)=0 $이고 $ X $와 $ Y $는 독립이므로 \[ E(X Y)=E(X) E(Y)=0 \] 이다. 그러므로 $ X $과 $ Z $의 공분산은 \[ Cov(X, Z)=E\left[X\left(X^{2}+Y\right)\right]-E(X) E\left(X^{2}+Y\right)=0 \] 이고, 따라서 $ X $과 $ Z $의 상관계수도 0이다.</p> <h1>4.4 중앙값과 최빈값</h1> <h2>4.4.1 중앙값</h2> <p>우리는 평균을 그 분포의 중심으로 공부하였다. 그러나 분포의 중심으로 간주할 수 있는 또 다른 특성값이 존재한다. 이것은 전체 확률을 동일한 두 부분으로 나누는 점으로 생각할 수 있는데, 이 점을 우리는 분포의 중앙값(median)이라고 부른다. 그러나 분포에 따라서는 전체 확률이 정확하게 같은 두 부분으로 나누어지는 점이 없을 수도 있고, 또는 그러한 점이 하나 이상 있을 수도 있다. 그러므로 중앙값의 공식적인 정의는 이러한 가능성을 모두 포함하는 충분히 일반적인 것이어야 할 것이다.</p> <p>정의 1</p> <p>임의의 확률변수 $ X $에 대하여 \[ P(X \leq m) \geq \frac{1}{2}, \quad P(X \geq m) \geq \frac{1}{2} \] 을 만족하는 점 $ m $을 $ X $의 중앙값(median)이라고 부른다.</p> <p>모든 분포는 최소한 하나의 중앙값을 가지며, 어떤 분포에 대해서는 구간 내의 모든 점이 중앙값일 수 있다. 그리고 $ P(X<m)=P(X>m) $인 점 $ m $이 존재하면, 즉 점 $ m $이 실질적으로 전체 확률을 동일한 두 부분으로 나눈다면 $ m $은 당연하게 $ X $의 중앙값이 될 것이다.</p> <p>예제 1</p> <p>$X $가 다음과 같은 이산형 분포를 가진다고 하자. \[ \begin{array}{l} P(X=1)=0.1, \quad P(X=2)=0.2, \\ P(X=3)=0.3, \quad P(X=4)=0.4 \end{array} \] $ X $의 중앙값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ P(X \leq 3)=0.6>\frac{1}{2}, P(X \geq 3)=0.7>\frac{1}{2} \] 이므로 값 3은 이 분포의 유일한 중앙값이다.</p> <p>예제 2</p> <p>$X $가 다음과 같은 이산형 분포를 가진다고 하자. \[ \begin{array}{l} P(X=1)=0.1, \quad P(X=2)=0.4, \\ P(X=3)=0.3, \quad P(X=4)=0.2 \end{array} \] $ X $ 의 중앙값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ P(X \leq 2)=\frac{1}{2}, P(X \geq 3)=\frac{1}{2} \] 이므로 $ 2 \leq m \leq 3 $ 안의 모든 값 $ m $은 이 분포의 중앙값이 될 것이다.</p> <p>예제 3</p> <p>$X $는 확률밀도함수가 다음과 같은 연속형 분포를 가진다고 가정하자. \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3 x^{2}, & 0<x<1 \\ 0, & \text { 기타 } \end{array}\right. \] $ X $의 중앙값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>이 분포의 유일한 중앙값은 \[ \int_{0}^{m} 3 x^{2} d x=\int_{m}^{1} 3 x^{2} d x=\frac{1}{2} \] 인 수 $ m $이 될 것이다. 이 수는 $ m=\sqrt[3]{\frac{1}{2}} $이다.</p>	자연
상대오차예측을 이용한 자동차 보험의 손해액 예측: 패널자료를 이용한 연구	<p>가 되어서, 만일 역가우스회귀모형에서 연결 함수로 로그함수를 사용하면, $ \mu= \exp \left (x ^ { T } \beta \right ) $ 이므로</p> <p>$ \begin {aligned} \mathrm { E } (y \mid x) &=e ^ { x ^ { T } \beta } \\ \mathrm { V } (y \mid x) &= \sigma ^ { 2 } e ^ { 3 x ^ { T } \beta } \end {aligned} $<caption>(2.30)</caption></p> <p>가 되어 최량상대오차예측량은</p> <p>BREP: $ = \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x \right ) } = \left \{\frac { 1 } { 3 \sigma ^ { 2 } e ^ { x ^ { T } \beta } + \left ( \sigma ^ { 2 } e ^ { x ^ { T } \beta } + 1 \right ) ^ { -1 } } \right \} e ^ { x ^ { T } \beta } $<caption>(2.31)</caption></p> <p>가 된다. 따라서, 패널자료에서 역가우스회귀모형에 임의효과 $ \gamma $ 가 추가되면, 조건부 평균과 기대값은</p> <p>$ \begin {aligned} \mathrm { E } (y \mid x, \gamma) &=e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } \\ \mathrm { V } (y \mid x, \gamma) &= \sigma ^ { 2 } e ^ { 3 \left (x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma \right ) } \end {aligned} $<caption>(2.32)</caption></p> <p>가 되어 역가우스분포의 패널모형에서 최량상대오차예측량은,</p> <p>BREP: $ = \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x, \gamma \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x, \gamma \right ) } = \left \{\frac { 1 } { 3 \sigma ^ { 2 } e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } + \left ( \sigma ^ { 2 } e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } + 1 \right ) ^ { -1 } } \right \} e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } $<caption>(2.33)</caption></p> <p>$ g( \mu)= \boldsymbol { x } ^ { T } \boldsymbol {\beta } + z ^ { T } \boldsymbol {\gamma } , \quad \boldsymbol {\gamma } \sim N( \mathbf { 0 } , G) $<caption>(2.2)</caption></p> <p>라고 할 수 있으며, 이를 간단히 예를 들어 설명하면, $ x=(1 x) ^ { T } $ 와 $ \beta= \left ( \beta_ { 0 } \beta_ { 1 } \right ) ^ { T } $ 일 때, 임의계수모형(random coefficient model)은</p> <p>$ g( \mu)= \left ( \beta_ { 0 } + \gamma_ { 0 } \right ) + \left ( \beta_ { 1 } + \gamma_ { 1 } \right ) x, \quad \gamma= \left ( \begin {array} { l } \gamma_ { 0 } \\ \gamma_ { 1 } \end {array} \right ) \sim N_ { 2 } (0, G) $<caption>(2.3)</caption></p> <p>가 되며, $ \gamma_ { i } = \gamma_ { 0 i } $ 일 때 임의절편모형(random intercept model)이 된다.</p> <p>이때, $ i $ 번째 군집의 $ j $ 번째 관측치를 $ y_ { i j } $ 라고 하면, $ \gamma_ { i } $ 가 주어졌을 때 조건부 확률밀도함수 $ f \left (y_ { i j } \mid \gamma_ { i } \right ) $ 가 지수족함수(exponential family)에 속하고 $ \gamma_ { i } $ 가 다변량정규분포이고 $ g( \cdot) $ 함수가 로그함수이면,</p> <p>$ \mu \mid \gamma_ { i } = \exp \left (x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma_ { i } \right ), \quad \gamma_ { i } \sim N( \mathbf { 0 } , G) $<caption>(2.4)</caption></p> <p>가 되고, 군집의 수가 $ a $, 군집의 크기가 $ n_ { i } $ 인 경우의 결합가능도함수(joint likelihood function)는</p> <p>$ L( \boldsymbol {\beta } )= \Pi_ { i=1 } ^ { a } \Pi_ { j=1 } ^ { n_ { i } } \int f \left (y_ { i j } \mid \gamma_ { i } \right ) f \left ( \gamma_ { i } \right ) d \gamma_ { i } $<caption>(2.5)</caption></p> <p>$ \mathrm { E } \left ( \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \right )= \frac { v ^ { 2 } } { (v-1)(v-2) \mu ^ { 2 } } , \quad v>2 $<caption>(2.11)</caption></p> <p>가 되어, 감마회귀모형의 최량상대오차예측량(best relative error predictor, BREP)을 구하면</p> <p>BREP : $ = \frac { (v-2) } { v } \mu, \quad v>2 $,<caption>(2.12)</caption></p> <p>라고 계산된다. 따라서, 만일 $ \mu= \exp \left (x ^ { T } \beta \right ) $ 이고 $ v=1 / \sigma ^ { 2 } $ 이라면,</p> <p>$ \mathrm { E } (y \mid x)=e ^ { x ^ { T } \beta } $<caption>(2.13)</caption></p> <p>$ \mathrm { V } (y \mid x)= \sigma ^ { 2 } e ^ { 2 x ^ { T } \beta } $<caption>(2.14)</caption></p> <p>가 되고, 감마회귀모형의 최량상대오차에측량은 다음과 같다.</p> <p>BREP: $ := \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x \right ) } = \left (1-2 \sigma ^ { 2 } \right ) e ^ { x ^ { T } \beta } , \quad \sigma ^ { 2 }< \frac { 1 } { 2 } $<caption>(2.15)</caption></p> <p>그러므로, 패널자료에서 감마회귀모형에 임의효과 $ \gamma $ 가 더해질 경우, 조건부 평균과 기대값은</p> <p>$ \mathrm { E } (y \mid x, \gamma)=e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } $<caption>(2.16)</caption></p> <p>$ \mathrm { V } (y \mid x, \gamma)= \sigma ^ { 2 } e ^ { 2 \left (x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma \right ) } $<caption>(2.17)</caption></p> <p>가 되어, 감마분포의 패널자료에서 최량상대오차예측량은 $ \gamma $ 의 분포와 관계없이, 조건부 적률값을 이용하면</p> <p>BREP: $ = \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x, \gamma \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x, \gamma \right ) } = \left (1-2 \sigma ^ { 2 } \right ) e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } , \quad \sigma ^ { 2 }< \frac { 1 } { 2 } $<caption>(2.18)</caption></p> <p>그러므로, 역가우스회귀모형에서 상대오차(혹은 퍼센트오차)를 최소로 하는 최량상대오차예측량(BREP) 은 식 (2.33)에 의해 ( $ i $-번째 area에 대해 ), 식 (3.2)의 $ \hat {\eta } _ { i } $ 를 이용하여</p> <p>가 된다. 이를 지역별(area) 패널그림을 그려보면 Figures 2-4와 같다.</p> <p>자동차 보험의 손해액 예측에 있어서, 자료의 분포가 역가우스분포를 따를 경우에, 기존의 MSE를 최소화시키는 최량예측량(BP)과 MSRE를 최소화시키는 최량상대오차예측량(BREP)을 비교하면, BP나 BREP 모두 운전자의 나이가 적을수록, 차량의 연식이 오래될수록, 그리고 여성보단 남성의 손해액이 높게 예측되었다. 또한, BREP는 BP보다 항상 낮게 예측(under-predict)하고 있는데, 이는 $ y ^ { -2 } $ 와 $ y $ 가 음의 상관관계 $ (y>0 $ 인 경우) 를 가지므로, 공분산 공식에 의해</p> <p>$ \operatorname { BREP } _ { i } = \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x, \gamma_ { i } \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x, \gamma_ { i } \right ) }< \mathrm { E } \left (y \mid x, \gamma_ { i } \right )=B P_ { i } $<caption>(3.4)</caption></p> <p>이기 때문이다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>상대오차를 최소화시키는 예측법은 계량경제학, 공학 및 생존분석에 이르기까지 연구가 활발해져 왔다. 예측 오차의 절대적인 크기보다 상대적 크기에 대한 관심이 많아지고, 예측방법에 대한 다양화가 요구되면서 여러 분야 별로 모수적 방법 혹은 비모수적 방법으로 접근이 이루어져 왔다. 본 논문은 최량상대오차예측량(BREP) 을 일반화선형혼합모형에 확장시켜 보았고, 그 예측방법을 자동차 보험분야의 손해액 예측에 적용하였다.</p> <p>그리고 보험 손해액 예측자료에 상대오차를 사용함에 있어서 Chen 등의 대칭적 상대오차의 개념은 사용되지 않았는데, 이는 주식의 가격결정과 달리 보험 손해액의 예측은 보험가입자 쪽이 아닌 보험회사 쪽에서만 적정 손해율 예측을 위해 이루어지기에 대칭적 상대오차 개념이 필요없기 때문이다.</p> <p>자동차 보험의 손해율을 추정에 대해서는, 그 추정방벙에 대한 여러 연구가 이루어져 왔지만, 최근들어 각 보험상품에 대한 미래의 손해액 예측은 보험회사의 지불능력과 보험가격의 적절성을 높이기 위한 방법으로 빅데이터와 GPS를 통한 개인 운전기록 등을 통해 보험업계의 예측분석(predictive analytics)의 발전분야로 떠오르고 있다.</p> <p>본 연구의 결과는 보험회사가 손해액을 예측하면서 상대적 예측오차를 줄이는 방법으로 활용될 수 있으며, 뿐만 아니라 일반화선형혼합모형을 사용하는 여러 분야에서도 상대오차예측량을 사용하는데 참고가 될 수 있을 것으로 사료된다.</p> <p>$ \tilde { Y } = \frac {\mathrm { E } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right ) } {\mathrm { E } \left (Y ^ { -2 } \mid X \right ) } = \frac {\mathrm { E } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right ) } {\mathrm { V } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right ) + \left [ \mathrm { E } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right ) \right ] ^ { 2 } } $<caption>(1.4)</caption></p> <p>임을 증명하였고, 이에 대한 추정량으로써</p> <p>$ \mathrm { E } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right )=f( \boldsymbol { x } , \boldsymbol {\beta } ) $<caption>(1.5)</caption></p> <p>$ \mathrm { V } \left (Y ^ { -1 } \mid X \right )= \sigma ^ { 2 } (f(x, \boldsymbol {\beta } )) ^ { 2 \theta } $,<caption>(1.6)</caption></p> <p>의 가정 하에, 준가능도함수(quasi-likelihood)와 의사가능도함수(pseudo-likelihood)를 이용한 $ \left ( \hat {\beta } , \hat {\sigma ^ { 2 } } , \hat {\theta } \right ) $ 을 구하거나, 적률추정법을 이용한 아래 값을 추천하였다.</p> <p>$ \hat {\tilde { Y } } := \arg \min _ { g } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { Y_ { i } -g \left (x_ { i } , \hat {\boldsymbol {\beta } } \right ) } { Y_ { i } } \right ) ^ { 2 } $<caption>(1.7)</caption></p> <p>여기서 $ g( \cdot) $ 함수는 $ x $ 의 일반적인 다항식이다.</p> <p>그 후, 상대오차 예측은 정상시계열자료와 (Park과 Shin, 2005), 커널(kernel)추정을 이용한 비모수 회귀모형으로 확장되었다. 또한, Chen 등 (2010, 2016)은 주식가격(stock price)을 예측함에 있어서, $ Y $ 가 실제 거래가격이고 $ \tilde { Y } $ 가 그 주식의 내재적 가치(예측값)이라고 했을 때 매입자(buyer)의 상대이득/손실은 $ \|Y- \tilde { Y } \| / Y $ 이지만, 매도자(seller)의 상대손실/이득은 $ \|Y- \tilde { Y } \| / \tilde { Y } $ 로 상대오차가 '비대칭적 (asymmetric)'인 점을 감안하여, least absolute relative error (LARE)</p> <p>가 되고, $ \hat {\boldsymbol {\beta } } , \hat {\sigma } ^ { 2 } $ 와 $ \hat {\gamma } $ 은 식 (2.4)-(2.6)에서 구하게 된다.</p> <h1>3. 자동차보험 손해액 패널자료</h1> <p>본 연구는 앞서 제안된 일반화선형혼합모형에서 상대오차를 이용한 손해액 예측방법을 2004년-2005년에 청구된 자동차 손해액 자료에 적용해 보았다. 이 자료는 통계패키지 R의 insuranceData 라이브러리에서 저장되어 있으며 Table 1 은 이 자료에서 사용된 변수들을 나열한 것이다.</p> <p>이 분석에서 반응변수는 claimcst이고, veh_age는 변수의 속성을 고려해 연속형 변수로 사용했고, agecat는 명목형 변수로, area는 차량이 등록된 지역의 우편번호를 중심으로 한 그룹변수로서, 본 연구에서는 임의효과(random effect)로 간주하였다. 원래 실제 자료는 67,856개로 구성되었지만, 그 중에 손해액이 0 인 것, 중복된 레코드, 그리고 veh_value가 0이거나 $ \$ 80,000 $ 을 초과한 것을 제외하고, 총 4,601 개의 자료만을 사용하였다.</p> <p>앞서 언급한대로, 손해액(claim size) 변수 claimcst에 대해 자동차 보험업계에서 보편적으로 사용되는 감마분포, 로그정규분포, 그리고 역가우스분포를 SAS의 proc severity를 이용해 적합해 보았고, 그 결과 Table 2 와 Figure 1을 얻게 되었다. 여기서 우리는 이 손해액 자료를 설명하는데, 역가우스분포(inverse gaussian distribution)가 가장 적합하다는 것을 알 수 있었다.</p> <p>이 자료를 가지고 $ \log $ (numclaims)를 offset(오프셋) 으로 하는 역가우스회귀모형을 적합하였다. 여기서 offset은 사건이 노출된 시간이나 공간의 크기를 의미하며, 일반적으로 관측값의 관측된 시간/공간의 단위가 다른 경우에 이를 보정하기 위해 사용하고 있다. 이 경우, 보험청구 횟수(numclaims)를 $ t_ { x, y } $ 라고 한다면, 사건당 청구된 평균 손해액은</p> <p>$ \log \left ( \frac {\mu_ { y \mid x, \gamma } } { t_ { x, \gamma } } \right )=x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma $<caption>(3.1)</caption></p> <p>가 되므로 $ \log $ (numclaims)를 오프셋으로 간주하여 proc glimmix를 이용해서 적합해 보았는데, 그 SAS 코드는 아래와 같다.</p> <p>그 결과, 관측개수가 4,601 개에 피어슨 카이제곱 통계량이 7.53으로 역가우스회귀모형은 적합한 것으로 판단되며, 따라서 area가 $ \gamma_ { i } $ 인 경우, 손해액에 대한 최량예측량(best predictor, BP)은 식 (2.32)에 의해</p> <p>로 표현된다 $ \left ( \hat {\sigma } ^ { 2 } =0.00137 \right ) $. 따라서 자동차 보험의 손해액은 차량이 노후화될수록(veh_age) 증가하며 $ (p= $ 0.012), 운전자의 나이 수준(agecat)이 '5'일때 가장 낮고, '1(youngest)'일때 가장 높게 예측되고 ( $ p=0.003) $, 여성보단 남성이 손해액이 높게 예측되고 있다 $ (p=0.003) $. 그리고, 각 지역(차량의 등록지, area)의 추정값은 Table 3에서 보여지듯이 A 지역에서 제일 낮고, $ \mathrm { F } $ 지역에서 높은 예측값을 보여준다.</p> <p>가 되고, $ \hat {\boldsymbol {\beta } } , \hat {\sigma } ^ { 2 } $ 와 $ \hat {\gamma } $ 은 식 (2.4)-(2.6)을 통해 구한다.</p> <h2>2.4. 역가우스회귀모형과 상대오차예측량</h2> <p>자동차 보험의 손해액을 추정할 때, 오른쪽으로 많이 기운 정도가 아주 심할 경우, 역가우스분포(inverse gaussian distribution)를 사용하고 있다 (Jong과 Heller, 2008). 역가우스분포는 양수의 값을 가지면서 감마분포나 로그정규분포와 비슷한 모습이지만, 오른쪽으로 더 많이 기운 형태이고 봉우리는 더 뾰족한 것이 특징이다. 역가우스분포의 확률밀도함수는,</p> <p>$ f_ { Y } (y)= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi y ^ { 3 } \sigma ^ { 2 } } } \exp \left (- \frac { 1 } { 2 y } \left ( \frac { y- \mu } {\mu \sigma } \right ) ^ { 2 } \right ), \quad y>0 $<caption>(2.27)</caption></p> <p>라고 정의된며, $ y \sim I G \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 라고 표기한다. ‘역가우스'라는 이름은 누적확률밀도함수가 정규부분포의 누적 확률밀도함수와 역수(inverse)관계를 갖는데서 비롯되었다. 이때 평균과 분산은</p> <p>$ \mathrm { E } (y)= \mu, \quad \mathrm { V } (y)= \sigma ^ { 2 } \mu ^ { 3 } $,<caption>(2.28)</caption></p> <p>가 되며, 역적률값(inverse moments)은</p> <p>$ \begin {aligned} \mathrm { E } \left ( \frac { 1 } { y } \right ) &= \frac {\mathrm { V } (y) + \mu ^ { 2 } } {\mu ^ { 3 } } = \sigma ^ { 2 } + \frac { 1 } {\mu } \\ \mathrm { E } \left ( \frac { 1 } { y ^ { 2 } } \right ) &= \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { 3 } \right ) } {\mu ^ { 5 } } = \frac {\mu ^ { 3 } \left (1 + 3 \mu \sigma ^ { 2 } + 3 \mu ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } \right ) } {\mu ^ { 5 } } ,=3 \sigma ^ { 4 } + \frac { 3 \sigma ^ { 2 } } {\mu } + \frac { 1 } {\mu ^ { 2 } } \end {aligned} $<caption>(2.29)</caption></p> <p>자동차 보험의 손해액을 예측함에 있어서 주의 깊게 고려되어야 할 사항 중 하나는 올바른 독립변수의 선택이라고 할 수 있다. 통상적으로 자동차 보험가입자의 손해액은 운전자의 인구통계학적인 특성은 물론, 차량의 연식, 차량의 종류(세단, 스포츠카, 트럭 등)와 사고의 노출정도(exposure)에 따라 다를 수 있으므로 이러한 독립변수를 손해액 추정모형에 고려해야 할 것이다. 통계학에서 동질집단은 흔히 군집(cluster) 혹은 코호트(cohort)로 분류되기 때문에, 같은 군집 내 자료 간에는 내재적 속성을 공유하는 상관관계를 고려한 패널자료(panel data)분석이 필수적이다.</p> <p>또한, 손해보험회사는 과거의 손해자료를 이용해서 미래의 손해액을 예측하는 것을 중요한 분석과정 중 하나로 여기고 있다. Boland는 군집의 평균손해액 추정 외에도, 사고로부터 발생한 손해액 자료를 효과적으로 다루기 위해서는 보험사가 반드시 미래의 발생할 개별 보험상품의 손해액에 대한 예측(prediction) 을 수행함으로써 그 위험에 대한 적절한 대비를 해야 한다고 주장한다. 정확한 예측방법은 곧 보험상품의 가격(pricing)과 회사의 지불능력(solvency)에 영향을 주기 때문에 보험분야에서는 여러 가지 예측방법에 대한 연구가 계속 진행되고 있다. 최근 손해보험과 생명보험에서는 뛰어난 컴퓨터의 발전과 방대한 자료를 이용한 '예측분석(predictive analytics)'을 강조하고 있으며, Telematics기법을 통해 블랙박스나 GPS를 통한 개인 운전자의 운전습성 정보를 이용해 손해액을 예측하는 시스템의 개발도 이루어지고 있다. 이와 같이 보험가입자나 보험상품에 대한 손해액 예측은 보험회사의 비지니스 효율성(business efficacy) 증대를 위해 필수적인 요소로 여겨지며, 보험업자(underwriter)는 보험상품의 위험(risk)을 적절하게 평가하고, 보험회사가 잘 운영될 수 있도록 손해액(claim size)을 정확하게 예측해야 할 필요가 있다.</p> <p>본 논문은 Park과 Stefanski 의 상대오차예측법을 임의효과가 포함된 일반화선형혼합모형(generalized linear mixed model, GLMM)에 확장시키고, 자동차 보험가격 산정에서 손해액 추정에 널리 사용되는 감마회귀모형(gamma regression model), 로그정규회귀모형(lognormal regression), 역가우스회귀모형(inverse gaussian regression)에 대해 적용시키되, $ \mathrm { R } $ 패키지 insuranceData에 저장되어 있는 dataCar라는 실제 자동 차 보험자료를 사용하였다.</p> <h2>2.1. 일반화선형혼합모형</h2> <p>일반화선형모형(generalized linear model, GLM)에서 회귀계수가 임의의 확률분포에서 추출된 값이라고 가정할 때, 그 회귀계수는 임의효과(random effect)라 하고, 같은 회귀계수를 가진 군집 내 반응값들은 서로 상관 관계가 존재하게 되며, 이를 일반화선형혼합모형(generalized linear mixed model, GLMM)이라고 한다. 다시 말하면, 독립변수 $ z $ 의 회귀계수 $ \gamma $ 가 $ N( \mathbf { 0 } , G) $ 을 따른다고 할 때, 반응변수의 기대값 $ \mu $ 는 연결함수 $ g( \cdot) $ 를 이용하여</p> <p>로 구현되지만 $ L( \beta) $ 를 최대화시키기 위해선 그 가운데 적분값을 구하는 어려움이 존재한다. 이 적분값을 수치해석적으로 구하기 위한 대표적 연구는 Breslow와 Clayton, Wolfingeer 와 O'Connell 등에 의해 SAS의 proc glimmix로 구현되었고, proc nlmixed 프로시져는 Gauss-Hermite Quadrature 알고리즘을 적용하여 이 적분문제를 해결하였다. 또한, 임의효과가 비정규분포를 따른다면 다단계 일반화선형모형(hierarchical generalized linear model)을 사용할 수 있다.</p> <p>그리고 proc glimmix나 proc nlmixed 모두, 임의효과의 추정을 위해 사후확률인,</p> <p>$ f( \gamma \mid y)= \frac { f(y \mid \gamma) f( \gamma) } { f(y) } $<caption>(2.6)</caption></p> <p>을 최대로 하는 $ \hat {\gamma } $ 를 선택하는 경험적 베이즈 추정량(empirical Bayes estimator)을 수치적 방법으로 제공하고 있다.</p> <h2>2.2. 감마회귀모형과 상대오차예측량</h2> <p>감마회귀모형은 독립변수 $ x $ 와 반응변수 $ y $ 에 대한 일반화선형모형(generalized linear model)의 한 형태로서 다음과 같은 형태를 취하고 있다.</p> <p>$ y \sim \operatorname { Gamma } ( \mu, v), \quad g( \mu)=x ^ { T } \boldsymbol {\beta } $.<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 $ g( \cdot) $ 는 연결(link)함수이고 감마회귀모형의 정준연결함수는 역함수이지만, 편의상 로그연결함수를 사용하며, $ y $ 의 확률밀도함수는 아래와 같이 정의되고,</p> <p>$ f_ { Y } (y)= \frac { y ^ { -1 } } {\Gamma(v) } \left ( \frac { v } {\mu } y \right ) ^ { v } e ^ { - \frac { v } {\mu } y } , \quad y>0 $<caption>(2.8)</caption></p> <p>평균과 분산은 다음과 같다.</p> <p>$ \mathrm { E } (y)= \mu, \quad \mathrm { V } (y)= \frac {\mu ^ { 2 } } { v } $<caption>(2.9)</caption></p> <p>윗 식에서 $ v $ 값이 작을수록 분산은 커져서 꼬리가 길고 오른쪽으로 기운분포를 하게 된다. 따라서, 감마분포의 성질에 의해 $ 1 / y $ 는 Inv.Gamma $ ( \mu, v) $ 인 역감마분포(inverse gamma distribution)를 따르며 적률값은,</p> <p>$ \mathrm { E } \left ( \frac { 1 } { y } \right )= \frac { v } { (v-1) \mu } , \quad v>1 $<caption>(2.10)</caption></p> <p>을 가정하면 이는</p> <p>$ \begin {aligned} y \mid x & \sim \operatorname { Lognormal } \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ), \quad 0<y< \infty \\ \mu &=x ^ { T } \beta- \frac { 1 } { 2 } \log \left ( \sigma ^ { * 2 } + 1 \right ), \\ \sigma ^ { 2 } &= \log \left ( \sigma ^ { * 2 } + 1 \right ), \end {aligned} $<caption>(2.22)</caption></p> <p>에 해당되므로 최량상대오차예측량은,</p> <p>BREP $ := \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x \right ) } = \left \{\frac { 1 } {\left ( \sigma ^ { * 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right \} e ^ { x ^ { T } \beta } $<caption>(2.23)</caption></p> <p>가 된다. 따라서, 패널자료에서 로그정규회귀모형에 임의효과 $ \gamma $ 가 더해질 경우, 조건부 평균과 기대값은</p> <p>$ \mathrm { E } (y \mid x, \gamma)=e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } $<caption>(2.24)</caption></p> <p>$ \mathrm { V } (y \mid x, \gamma)= \sigma ^ { * 2 } e ^ { 2 \left (x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma \right ) } $<caption>(2.25)</caption></p> <p>가 되므로, 로그정규분포의 패널자료에서 최량상대오차예측량은</p> <p>BREP: $ = \frac {\mathrm { E } \left (y ^ { -1 } \mid x, \gamma \right ) } {\mathrm { E } \left (y ^ { -2 } \mid x, \gamma \right ) } = \left \{\frac { 1 } {\left ( \sigma ^ { * 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right \} e ^ { x ^ { T } \beta + z ^ { T } \gamma } $<caption>(2.26)</caption></p> <h1>1. 서론</h1> <p>예측(prediction)이란 '주어진 정보를 가지고 위험(risk)을 최소화하면서 임의의 확률변수를 추정하는 통계적 과정'이라고 할 수 있다. 만일 예측하고자 하는 확률변수가 $ Y $ 이고, 독립변수가 $ X $, 그리고 예측변수(predictor) 가 $ \tilde { Y } $ 라고 할 때, 일반적인 예측오차의 손실함수(loss function)는 $ (Y- \tilde { Y } ) ^ { 2 } $ 이며, 이때 최량예측량(best predictor) 은,</p> <p>$ \mathrm { E } \left \{ (Y- \tilde { Y } ) ^ { 2 } \mid X \right \} $<caption>(1.1)</caption></p> <p>을 최소화시키는 $ \mathrm { E } (Y \mid X) $ 임을 알고 있다.</p> <p>그러나 예측오차(prediction error), $ (Y- \tilde { Y } ) $, 자체보다 미래값에 대한 상대오차(relative error), $ (Y- \tilde { Y } ) / Y $ 에 더 관심이 있을 수 있다. 이는 상대오차가 단순히 척도와 무관하기 때문만이 아니라 (Chen 등, 2010), 어찌면 행동과학( behavioral science )의 프로스펙트 이론( prospect theory )에서 말하듯이, 인간이 무의식적으로 사물을 절대적인 가치보다 상대적 가치에 의존해 의사결정을 하는 인지습성 때문일 수도 있다. 이와 같은 상대오차는 이미 화학이나 공학분야에서 퍼센트오차(percent/percentage error),</p> <p>$ \frac {\left \|V_ {\text { obs. } } -V_ {\text { true } } \right \| } { V_ {\text { true } } } \times 100 $<caption>(1.2)</caption></p> <p>로서 의미있는 측정오차의 척도로 사용되어 왔고, 계량경제학이나 시계열자료의 모형평가에서도 모형적합도를 평가함에 있어서 흔히 사용하는 mean square error (MSE) 외에, mean squared percentage error (MSPE), mean absolute percentage error (MAPE)의 모습으로 사용되어 오고 있다.</p> <p>Park과 Stefanski 는 예측량 관점에서 상대오차를 접근했는데, 그들은 $ Y $ 가 반응변수이고 $ \tilde { Y } $ 가 예측 변수일 때, mean squared relative error (MSRE)인,</p> <p>$ \mathrm { E } \left \{\left ( \frac { Y- \tilde { Y } } { Y } \right ) ^ { 2 } \mid X \right \} $<caption>(1.3)</caption></p> <p>를 최소화시키는 $ \tilde { Y } $ 는 다름아닌,</p> <p>가 된다. 따라서 우리는 식 (2.4)-(2.6) 에서 구한 $ \hat {\beta } , \hat {\sigma } ^ { 2 } $ 와 $ \hat {\gamma } $ 를 대입하여 그 추정치를 구하게 된다. 그러나 만일 $ \gamma $ 가 정규분포가 아닌 다른 분포를 가진다면, Lee와 Nelder에 의한 다단계 일반화선형모형에서 구한 추정치를 여기에 넣을 수 있다. 본 논문의 자동차 보험의 손해액 예측자료에서는 area라는 변수가 정규 분포에서 추출된 서로 다른 6개의 지역을 나타내는 임의효과로 가정함에 무리가 없기 때문에 proc glimmix 의 추정값을 그대로 사용하였다.</p> <h2>2.3. 로그정규회귀모형과 상대오차예측량</h2> <p>감마분포와 같이 오른쪽으로 많이 기운 분포 중 대표적인 분포는 로그정규(lognormal)분포이다. 로그정규분포를 이용한 회귀모형도 보험의 손해액 추정에 많이 사용되고 있다 (Jong과 Heller, 2008). 만일 확률변수 $ y $ 가 Lognormal $ \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) $ 을 따르면, 확률밀도함수는</p> <p>$ f_ { Y } (y)= \frac { 1 } { y \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \exp \left (- \frac { ( \log y- \mu) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right ), \quad 0<y< \infty $<caption>(2.19)</caption></p> <p>이고, 적률값은</p> <p>$ \mathrm { E } \left (y ^ { r } \right )= \mathrm { E } \left \{ e ^ { r( \mu + \sigma \mathrm { Z } ) } \right \} = \exp \left (r \mu + \frac { r ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } \right ), \quad r= \pm 1, \pm 2, \ldots $,<caption>(2.20)</caption></p> <p>가 되어 로그연결함수를 이용해</p> <p>$ \begin {aligned} \mathrm { E } (y \mid x) &=e ^ { x ^ { T } \beta } \\ \mathrm { V } (y \mid x) &= \sigma ^ { * 2 } e ^ { 2 x ^ { T } \beta } \end {aligned} $<caption>(2.21)</caption></p> <p>$ \operatorname { LARE } _ { n } ( \boldsymbol {\beta } ):= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \{\left \| \frac { Y_ { i } - \exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } { Y_ { i } } \right \| + \left \| \frac { Y_ { i } - \exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } {\exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } \right \| \right \} $,<caption>(1.8)</caption></p> <p>혹은 least product relative error (LPRE)</p> <p>$ \operatorname { LPRE } _ { n } ( \boldsymbol {\beta } ):= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \{\left \| \frac { Y_ { i } - \exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } { Y_ { i } } \right \| \times \left \| \frac { Y_ { i } - \exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } {\exp \left (X ^ { T } \boldsymbol {\beta } \right ) } \right \| \right \} $<caption>(1.9)</caption></p> <p>을 최소화시킬 것을 제안하고 있다. 그러나 이와 같은 LARE나 LPRE는 상대오차의 서로 다른 관점(매입자, 매도자)이 요구되거나, 생존분석의 가속수명시간(accelerated failure time, AFT)의 승법모형(multiplicative model)에 주로 적용되기 때문에 본 논문에서는 다루지 않게 될 것이다.</p> <h1>2. 사고 손해액 예측을 위한 상대오차예측량</h1> <p>자동차 보험업계에서 보험상품의 적정 손해율(손해액을 보험가액으로 나눈 값)을 예측하는 것은 매우 중요한 업무이다. 이때 순보험료(pure premium)는 과거 요율의 존재여부와 관계없이 요율을 새롭게 산출하는 방식으로, 사고발생 빈도(자주 발생하는 정도)와 심도(손해액 크기)가 일정기간 동안 변하지 않는다는 것을 전제함으로써, 동일 위험집단에 대한 정보를 가지고 손해빈도(Claim Frequency)와 손해심도 혹은 손해액(Claim Severity/Claim Size)을 이용해서</p> <p>Pure Premium $ =( $ Claim Frequency $ ) \times( $ Claim Size $ ) $,<caption>(2.1)</caption></p> <p>로 계산된다. 여기서 손해빈도에 대한 추정은 포아송과정이나 확률과정론으로 이루어졌으며, Jørgensen과 Souza 는 감마확률변수의 포아송 합(poisson sum of gamma random variables)을 이용한 Tweedie 분포를 이용해서 손해빈도와 손해크기를 동시에 추정하였으나, 빈도와 심도에 끼치는 독립변수가 동일해야 하는 제한점 때문에 실제로 보험업계에서 많이 사용되는 방법은 빈도와 심도를 따로 모형화시켜 대입하는 방법이다. 심도 추정에는 오른쪽으로 많이 기운 분포인 감마회귀모형(gamma regression), 로그정규회귀모형(lognormal regression), 역가우스회귀모형(inverse gaussian regression) 등이 사용되고 있다.</p>	자연
곡선과 곡면의 미분기하학_곡면의 기본형식	<p>정리 $6.13 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $에 대하여, 제 $2 $기본형식의 계수는 \[ \begin {array} { l } e=- \left \langle X_ { u } , n_ { u } \right \rangle, \\f=- \left \langle X_ { u } , n_ { v } \right \rangle=- \left \langle X_ { v } , n_ { u } \right \rangle, \\g=- \left \langle X_ { v } , n_ { v } \right \rangle \end {array} \]가 된다.</p> <p>예제 $6.14 $ 원환면(예제 $ 5.28 $, 예제 $6.9 $)의 좌표조각사상은 \[X(u, v)=((R + r \cos u) \cos v,(R + r \cos u) \sin v, r \sin u) \]이므로 \[ \begin {array} { l } X_ { u } =(-r \sin u \cos v,-r \sin u \sin v, r \cos u), \\X_ { v } = \left (-(R + r \cos u)_ {\sin v } ,(R + r \cos u) \cos v, 0 \right ) \end {array} \]이고 $ n=-( \cos u \cos v, \cos u \sin v, \sin u) $ 이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } n_ { u } =( \sin u \cos v, \sin u \sin v, \cos u), \\n_ { v } =( \cos u \sin v,- \cos u \cos v, 0) \end {array} \]이다. 그러므로 제 $2 $ 기본형식의 계수는 \[e=r, \quad f=0, \quad g=(R + r \cos u) \cos u \]이고 제 $ 2 $ 기본형식은 $ I I=r d u ^ { 2 } + (R + r \cos u) d v ^ { 2 } $이다.</p> <p>예제 $6.15 $ 나선면(helicoid) (예제 $5.32 $, 예제 $6.10 $)의 좌표조각사상은 \[X(u, v)=(a v \cos u, a v \sin u, b u) \]이다. 따라서 $ X_ { u } =(-v \sin u, v \cos u, b), X_ { v } =( \cos u, \sin u, 0) $ 이므로 \[ \begin {array} { l } X_ { u u } =(-v \cos u,-v \sin u, 0), \\X_ { u v } =(- \sin u, \cos u, 0), \\X_ { v v } =(0,0,0), \\X_ { u } \times X_ { v } =(-b \sin u, b \cos u,-v) \end {array} \]이고 $ n= \frac { 1 } {\sqrt { b ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } (-b \sin u, b \cos u,-v) $ 이다. 그러므로 \[ E=a ^ { 2 } v ^ { 2 } + b ^ { 2 } , \quad F=0, \quad G=a ^ { 2 } , \quad e=g=0, f= \frac { b } {\sqrt { b ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } \]이고 $ I= \left (a ^ { 2 } v ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) d u ^ { 2 } + a ^ { 2 } d v ^ { 2 } , I I= \frac { 2 b } {\sqrt { b ^ { 2 } + v ^ { 2 } } } d u d v $이다.</p> <p>증명 좌표조각사상 $ X $와 $ Y $ 사이의 좌표변환을 $ X(u, v)=Y( \bar { u } , \bar { v } ) $라 하면 \[X_ { u } =Y_ { _ {\bar { v } } } \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } + Y_ { _ {\bar { v } } } \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } , \quad X_ { v } =Y_ { _ {\bar { v } } } \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } + Y_ { _ {\bar { v } } } \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \]이다. 따라서, 직접 계산에 의해서 \[X_ { u } \times X_ { v } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } & \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \\ \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } & \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } \end {array} \right \| Y_ {\bar { u } } \times Y_ {\bar { v } } \]이 성립한다. 한편, $ d u= \frac {\partial u } {\partial \bar { u } } d \bar { u } + \frac {\partial u } {\partial \bar { v } } d \bar { v } , d v= \frac {\partial v } {\partial \bar { u } } d \bar { u } + \frac {\partial v } {\partial \bar { v } } d \bar { v } $ 이므로, $ d u, d v $, $ d \bar { u } , d \bar { v } $ 를 벡터로 보면 \[d u \times d v= \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial u } {\partial \bar { u } } & \frac {\partial u } {\partial \bar { v } } \\ \frac {\partial v } {\partial \bar { u } } & \frac {\partial v } {\partial \bar { v } } \end {array} \right \| d \bar { u } \times d \bar { v } \]이다. 한편 $ d u d v= \\|d u \times d v \\| $ 이기 때문에 \[ \begin {aligned} \iint_ { U } \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v &= \iint_ { U } \left \\|Y_ {\bar { u } } \times Y_ {\bar { v } } \right \\| \left \| \frac {\partial \bar { u } } {\partial u } \frac {\partial \bar { v } } {\partial v } - \frac {\partial \bar { u } } {\partial v } \frac {\partial \bar { v } } {\partial u } \right \| d u d v \\ &= \iint_ {\tilde { U } } \left \\|Y_ {\bar { u } } \times Y_ {\bar { v } } \right \\| d \bar { u } d \bar { v } . \end {aligned} \]이 성립한다.</p> <h1>6.2 곡면의 면적</h1> <p>정칙곡면 $ M $의 좌표조각사상을 $ X: \Omega \rightarrow X( \Omega) = M $라 하자. 여기서 $ \Omega \subset R ^ { 2 } $는 닫힌영역이다.</p> <p>\[ \Delta X_ { u } :=X \left (u_ { 0 } + \Delta u, v_ { 0 } \right )-X \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right )=X_ { u } \Delta u \] \[ \Delta X_ { v } :=X \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } + \Delta v \right )-X \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right )=X_ { v } \Delta v \]라 두면, 면적 $ \Delta A $는</p> <p>\[ \Delta A= \left \\| \Delta X_ { u } \times \Delta X_ { v } \right \\|= \left \\|X_ { u } \Delta u \times X_ { v } \Delta v \right \\|= \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| \Delta u \Delta v \]이다. 따라서 면적요소(area element) $ d . A= \lim _ {\Delta \cup \rightarrow 0, \Delta_ { v } \rightarrow 0 } \Delta A $로 정의하면 \[d A= \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v \]가 성립한다. 따라서 다음 정의를 얻는다.</p> <p>정의 $6.5 $ 좌표조각사상 $ X: \Omega \rightarrow M $의 표면적(area) $ A(X) $는 \[A(X)= \iint_ {\Omega } \left \\|X_ { u } \times X_ { v } \right \\| d u d v \]로 정의된다.</p> <p>참고 $ R ^ { 2 } $상에서의 면적요소 $ d A $를 벡터로 표현하면 \[d . A= \\|d u \times d v \\|=r \\|d r \times d \theta \\| \]으로 나타낼 수 있다. 여기서 $ d u, d v, d r, d \theta $는 벡터로 생각한다.</p> <p>정리 $6.6 $ 면적공식은 좌표조각사상의 선택에 독립적이다. 즉, 단순곡면 $ M $의 두 조각사상 $ X: U \rightarrow M, Y: \tilde { U } \rightarrow M $에 대해, $ A(X)=A(Y) $ 이다.</p> <h1>6.3 제2기본형식</h1> <p>정의 $6.11 $ 좌표조각사상 $ X: U \rightarrow R ^ { 3 } $에 대하여, \[e = \left \langle X_ { u u } , n \right \rangle, \quad f= \left \langle X_ { u v } , n \right \rangle, \quad g= \left \langle X_ { v v } , n \right \rangle \]로 둘 때, $ \{ e, f, g \} $ 를 $ X $의 제 $2 $기본형식의 계수(coefficients of the second fundamental form)라 하고 \[I I=e d u ^ { 2 } + 2 f d u d v + g d v ^ { 2 } \] 제 $2 $기본형식(the second fundamental form)이라 한다.</p> <p>예제 $6.12 $ 예제 $5.8 $의 구면 $ S ^ { 2 } (r) $에서 좌표조각사상은 \[X(u, v)=(r \cos v \cos u, r \cos v \sin u, r \sin v) \]이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } X_ { u } =(-r \cos v \sin u, r \cos v \cos u, 0), \\X_ { v } =(-r \sin v \cos u,-r \sin v \sin u, r \cos v), \\X_ { u u } =(-r \cos v \cos u,-r \cos v \sin u, 0), \\X_ { u v } =(r \sin v \sin u,-r \sin v \cos u, 0), \\X_ { v v } =(-r \cos v \cos u,-r \cos v \sin u,-r \sin v) \end {array} \]이므로 $ X_ { u } \times X_ { v } =r ^ { 2 } \cos v( \cos v \cos u, \cos v \sin u, \sin v) $이다. 그러므로 법벡터는 \[n=( \cos v \cos u, \cos v \sin u, \sin v)= \frac { X } { r } \]이 된다. 또한 제 $2 $기본형식의 계수는 \[e= \left \langle n, X_ { u u } \right \rangle=-r \cos ^ { 2 } v, f=0, g= \left \langle n, X_ { v v } \right \rangle=-r \]이고 제 $2 $기본형식은 $ I I=-r \cos ^ { 2 } v d u ^ { 2 } -r d v ^ { 2 } $이다.</p> <p>예제 $6.16 $ 현수면(catenoid) (예제 $5.31 $)의 좌표조각사상은 \[X(u, v)= \left (u, a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v, a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v \right ), \quad(0<v<2 \pi) \]이다. 여기서 $ a>0 $인 상수이다. 그러므로 \[ \begin {array} { l } X_ { u } = \left (1, \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v, \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v \right ) \\ X_ { v } = \left (0,-a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v, a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v \right ) \\X_ { u u } = \left (0, \frac { 1 } { a } \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v, \frac { 1 } { a } \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v \right ) \\X_ { u v } = \left (0,- \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v, \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v \right ) \\X_ { v v } = \left (0,-a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v,-a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v \right ) \end {array} \]이고 \[X_ { u } \times X_ { v } = \left (a \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ),-a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \cos v,-a \cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) \sin v \right ) \]이다. 따라서 법벡터 $ n $ 은 \[n= \frac { 1 } {\cosh \left ( \frac { u } { a } \right ) } \left ( \sinh \left ( \frac { u } { a } \right ),- \cos v,- \sin v \right ) \]이다. 따라서 제 $1 $기본형식, 제 $2 $기본형식의 계수는 \[E= \cosh ^ { 2 } \left ( \frac { u } { a } \right ), \quad F=0, \quad G=a ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \left ( \frac { u } { a } \right ), \quad \epsilon=- \frac { 1 } { a } , \quad f=0, \quad g=a \]이고 $ I= \cosh ^ { 2 } \left ( \frac { u } { a } \right ) d u ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cosh ^ { 2 } \left ( \frac { u } { a } \right ) d v ^ { 2 } , I I=- \frac { 1 } { a } d u ^ { 2 } + a d v ^ { 2 } $이다.</p>	자연
m817-수학과 사회	<p>예제 $3.1.8 $ 다음 주어진 번호가 올바른 신용카드의 번호인지 아닌지를 점검하여라.</p> <p>(1) $ 3541 \quad 0232 \quad 0033 \quad 2270 $ (2) 5148760071360407</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ x=2(3 + 4 + 0 + 3 + 0 + 3 + 2 + 7)=44 $이고 3,4,0,3,0,3,2,7에서 4보다 큰 수는 7 하나뿐이므로 $ y=1 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x + y + & \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } \\ &=44 + 1 + (5 + 1 + 2 + 2 + 0 + 3 + 2) + 0 \\ &=60 \end {aligned} \]은 10의 배수이므로 이 번호는 올바른 신용카드의 번호이다. (2) $ x=2(5 + 4 + 7 + 0 + 7 + 3 + 0 + 0)=52 $이고 5,4,7,0,7,3,0,0에서 4보다 큰 수는 5,7,7 셋이므로 $ y=3 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x + y + & \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } \\ &=52 + 3 + (1 + 8 + 6 + 0 + 1 + 6 + 4) + 7 \\ &=88 \end {aligned} \]은 10의 배수가 아니므로 이 번호는 올바른 신용카드의 번호가 아니다.</p> <p>예제 $3.1.9 $ a248 360924326129 는 올바른 신용카드의 번호이다. $ a $의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ x=2(a + 4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2)=2 a + 40 $이다. (1) $ a \leq 4 $인 경우 : $ a, 4,3,0,2,3,6,2 $에서 4보다 큰 수는 6하나뿐이므로 $ y=1 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x + y + & \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } \\ &=2 a + 41 + (2 + 8 + 6 + 9 + 4 + 2 + 1) + 9 \\&=2 a + 41 + 41=2 a + 82 \end {aligned} \]가 10의 배수이므로 $ a=4 $이다. (2) $ a>4 $인 경우: a, 4,3,0,2,3,6,2에서 4 보다 큰 수는 a, 6 둘이므로 $ y=2 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x + y + & \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } \\ &=2 a + 42 + (2 + 8 + 6 + 9 + 4 + 2 + 1) + 9 \\&=2 a + 42 + 41=2 a + 83 \end {aligned} \]이고 이 값은 홀수이기 때문에 10의 배수가 될 수 없다. 즉, 위 $ a>4 $이면 위 번호는 올바른 신용카드의 번호가 아니다.</p> <p>$ \begin {array} { llllll } 1423 & 1432 & 2143 & 2413 & 2431 & 3124 \end {array} $ $ \begin {array} { lllll } 3142 & 3214 & 3241 & 3412 & 3421 \end {array} $</p> <p>따라서 젊은이가 가장 많은 지참금을 제안한 처녀와 결혼할 확률은 $ \frac { 11 } { 24 } $이다.</p> <ol type= start=3><li>위 (2.1) 중에서 3214 을 생각하여 보자.</li> <ol type=a start=1><li>위의 예시대로 첫 번째 수 3과 두 번째 수 2는 통과한다.</li> <li>세 번째 수 1은 첫 번째 수 3이나 두 번째 수 2보다 작으므로 통과한다.</li> <li>네 번째 수 4는 첫 번째 수 3과 두 번째 수 2보다 크므로 선택한다.</li></ol> <p>따라서 이 경우 젊은이는 가장 많은 지참금 4를 제안한 처녀와 결혼하게 된다. 이와 같은 방법으로 (2.1)에 주어진 각 경우를 살펴보면 4를 제안한 처녀와 결혼하게 되는 경우는 다음과 같은 10 가지이고, 따라서 구하는 확률은 $ \frac { 10 } { 24 } = \frac { 5 } { 12 } $이다.</p> <ol type=1 start=4><li>위 (2.1)에서 네 번째에 4가 나오는 경우이므로 구하는 확률은 $ \frac { 6 } { 24 } = \frac { 1 } { 4 } $이다.</li></ol> <p>위 예제에서 알 수 있듯이 네 명의 처녀가 지참금을 제안할 경우, 첫 번째는 통과시키고 그 다음의 세 차례에서 첫 번째보다 큰 액수를 선택할 때 최다의 지참금을 제안한 처녀와 결혼할 확률이 가장 크다.</p> <p>풀이 다섯 명의 처녀가 제안한 지참금을 작은 것부터 차례로 1,2,3,4,5라고 하자. 그러면 발표되는 지참금을 차례로 나열한 것은 모두 $ 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 $가지가 있다. 위의 주어진 방법으로 처녀를 선택할 때 5가 선택되는 경우를 살펴보자.</p> <ol type=1 start=1><li>$ * * 5 * * $ 꼴의 수는 항상 5가 선택되고 이런 경우의 수는 $ 4 \times 3 \times 2 \times 1=24 $이다.</li> <li>*** 5 * 꼴의 수는 다음의 경우에만 5가 선택되고, 그 경우의 수는 16가지 이다. \[ \begin {array} { l } 4 * * 5 * \text { 꼴: } 3 \times 2 \times 1=6 \text { 가지 } * 4 * 5 * \text { 꼴: } 3 \times 2 \times 1=6 \text { 가지 } \\3 * * 54 \text { 꼴: } 2 \times 1=2 \text { 가지 } \quad * 3 * 54 \text { 꼴: } 2 \times 1=2 \text { 가지 } \\ \end {array} \]</li> <li>$ * * * * 5 $ 꼴의 수는 다음의 경우에만 5가 선택되고, 그 경우의 수는 12가지이다. $ 4 * * * 5 $ 꼴: $ 3 \times 2 \times 1=6 $ 가지 $ * 4 * * 5 $ 꼴: $ 3 \times 2 \times 1=6 $가지</li></ol> <p>위 (1), (2), (3)에 의하여 5가 선택되는 경우의 수는 모두 $ 24 + 16 + 12=52 $ 이고, 따라서 구하는 확률은 $ \frac { 52 } { 120 } = \frac { 13 } { 30 } $이다.</p> <p>(2) $ 1 + 1 + 4 + 1 + 0 + 1 + 1 + 2 + 5 + 3=19 $이고, 19를 9로 나눌 때 나머지는 1로 주어진 번호의 마지막 자리에 있는 수 0과 일치하지 않으므로 이 번호는 올바른 우편환 번호가 아니다.</p> <p>정의 $3.1.1 $ $ m $이 자연수이고 $ a, b $가 정수일 때 $ a-b $가 $ m $의 배수이면 $ a \equiv b( \bmod m) $라고 쓴다. 예를 들어 $ 26 \equiv 5( \bmod 7) $이다.</p> <p>예제 $3.1.2 $ a0218043087는 올바른 우편환 번호이다.</p> <p>(1) $ a $의 값을 구하여라. (2) 첫째 자리 수만 다른 두 번호 $ a_ { 1 } a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } $ 과 $ a_ { 1 } ^ {\prime } a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } $는 둘 다 올바른 우편환 번호일 수 있는가? (단, $ a_ { 1 } \neq a_ { 1 } ^ {\prime } $ ) (3) 첫 두 자리가 서로 바낀 두 번호 $ a_ { 1 } a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } $ 과 $ a_ { 2 } a_ { 1 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } $는 둘 다 올바른 우편환 번호일 수 있는가? (단, $ a_ { 1 } \neq a_ { 2 } $ )</p> <p>예를 들어 어떤 책의 ISBN이 89-7282-820-3이면 89는 이 책이 출판된 나라에서 사용되는 주요 언어는 한국어라는 뜻이며, 7282는 이 책을 출판한 출판사가 한국의 경문사란 뜻이고, 820 은 경문사에서 이 책에 부여한 일련번호이다. ISBN의 마지막 자리수 $ a_ { 10 } $은 주어진 번호가 올바른 번호인지 점검하는 수로서</p> <p>$ 10 a_ { 1 } + 9 a_ { 2 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } + a_ { 10 } $</p> <p>이 11의 배수가 되도록 결정된다. 이 때 마지막 합 $ a_ { 10 } $을 제외한 수</p> <p>$ 10 a_ { 1 } + 9 a_ { 2 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } $</p> <p>이 11로 나누어 나머지가 1이면 $ a_ { 10 } =10 $ 이어야 하나 두 자리이므로 이 경우에는 $ a_ { 10 } = \mathrm { X } $로 나타낸다. 따라서 위 예에서</p> <p>$ 10 \cdot 8 + 9 \cdot 9 + 8 \cdot 7 + 7 \cdot 2 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 2 + 4 \cdot 8 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 0 + 3=330 $</p> <p>이고 330은 11의 배수이므로 위의 번호는 올바른 ISBN이다.</p> <p>예제 $3.1.4 $ 다음 주어진 번호가 올바른 ISBN인지 아닌지를 점검하여라.</p> <p>(1) $ 89-7282-296- \mathrm { X } $ (2) $ 0-471-86371-8 $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ 10 \cdot 8 + 9 \cdot 9 + 8 \cdot 7 + 7 \cdot 2 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 9 + 2 \cdot 6 + 10= $ 346이고 346은 11의 배수가 아니므로 이 번호는 올바른 ISBN이 아니다.</p> <p>예제 $3.2.19 $ 어떤 테니스 대회에서 두 선수 $ \mathrm { A } $와 $ \mathrm { B } $가 결승전에 진출했다. 두 사람의 경기에서 $ \mathrm { A } $가 한 세트 이길 확률은 0.6이며, 5세트 경기를 벌여 먼저 3세트를 이긴 사람이 우승한다고 한다. $ \mathrm { A } $가 우승할 확률을 구하고, 그것을 $ \mathrm { A } $가 한 세트 이길 확률과 비교하여라.</p> <p>풀이 $ \mathrm { A } $가 우승하려면 경기하는 마지막 세트는 반드시 $ \mathrm { A } $가 이겨야 한다. 승패가 결정 될 때까지 두 사람이 경기하는 세트 수에 따라 다음의 세 경우가 있다.</p> <ol type=i start=1><li>세 세트 만에 $ \mathrm { A } $가 이기는 경우: 처음 두 세트를 모두 $ \mathrm { A } $가 이겨야 하므로 $ \left ( \begin {array} { l } 2 \\ 2 \end {array} \right )=1 $ 가지가 있다. 즉, $ \mathrm { A } \mathrm { A } \mathbf { A } $인 경우이며, 이 때 구하는 확률은 $ 0.6 ^ { 3 } = $ 0.216이다.</li> <li>네 세트 만에 $ \mathrm { A } $가 이기는 경우: $ \mathrm { A } $는 처음 세 세트 중에서 두 세트를 이겨야 하므로 $ \left ( \begin {array} { l } 3 \\ 2 \end {array} \right )=3 $가지가 있다. 즉, $ \mathrm { AABA } , \mathrm { ABAA } , \mathrm { BAAA } $인 경우이며, 이 때 구하는 확률은 $ 3 \times 0.6 ^ { 3 } \times 0.4=0.2592 $이다.</li> <li>다섯 세트 만에 $ \mathrm { A } $가 이기는 경우: $ \mathrm { A } $는 처음 네 세트 중에서 두 세트를 이겨 야 하므로 $ \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right )=6 $가지가 있다. 즉, AABBA, ABABA, BABAA, ABBAA, BBAAA, BAABA인 경우이고, 이 때 구하는 확률은 $ 6 \times 0.6 ^ { 3 } \times 0.4 ^ { 2 } =0.20736 $ 이다.</li></ol> <p>따라서 이 경기에서 $ \mathrm { A } $가 우승할 확률은 $ 0.216 + 0.2592 + 0.20736=0.68256 $이고, 그것은 $ \mathrm { A } $가 한 세트 이길 확률 0.6보다 더 크다.</p> <p>UPC의 마지막 자리수 $ a_ { 12 } $은 주어진 번호가 올바른 번호인지 점검하는 수로서 \[ 3 \left (a_ { 1 } + a_ { 3 } + a_ { 5 } + a_ { 7 } + a_ { 9 } + a_ { 11 } \right ) + \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } \right ) + a_ { 12 } \]가 10의 배수가 되도록 결정된다. 예를 들어 마지막 자리수를 제외한 UPC가 6-39382-00039라면 \[ 3(6 + 9 + 8 + 0 + 0 + 9) + (3 + 3 + 2 + 0 + 3)=107 \]이므로 $ a_ { 12 } =3 $이다.</p> <p>예제 $3.1.6 $ 다음 주어진 번호가 올바른 UPC인지 아닌지를 점검하여라.</p> <p>(1) $ 0-14300-25433-9 $ (2) $ 3-81370-09213-5 $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ 3(0 + 4 + 0 + 2 + 4 + 3) + (1 + 3 + 0 + 5 + 3) + 9=60 $은 10의 배수이므로 이 번호는 올바른 UPC이다.</p> <p>(2) $ 3(3 + 1 + 7 + 0 + 2 + 3) + (8 + 3 + 0 + 9 + 1) + 5=74 $는 10의 배수가 아니므로 이 번호는 올바른 UPC가 아니다.</p> <p>예제 $3.1.7 $ UPC에 관하여 다음 물음에 답하여라.</p> <p>(1) 1- $ a $ 2345-67890-1은 올바른 UPC이다. $ a $의 값을 구하여라. (2) 첫째 자리 수만 다른 두 번호 $ a_ { 1 } -a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } -a_ { 12 } $과 $ a_ { 1 } ^ {\prime } -a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } -a_ { 12 } $는 둘 다 올바른 UPC일 수 있는가? (단 $ a_ { 1 } \neq a_ { 1 } ^ {\prime } $ ) (3) 첫 두 자리가 서로 바낀 두 번호 $ a_ { 1 } -a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } -a_ { 12 } $과 $ a_ { 2 } -a_ { 1 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } -a_ { 12 } $는 둘 다 올바른 UPC일 때 $ a_ { 1 } $과 $ a_ { 2 } $의 관계를 구하여라.</p> <p>위 표에서 개표 도중에 동점이 나타나면 그 때까지의 개표결과를 진한 문자로 표시하였다. 예를 들어, 경우1에서 네 표까지 개표했을 때 $ \mathrm { AABB } $이므로 $ \mathrm { A } $와 $ \mathrm { B } $가 같은 득표수를 얻게 된다. 전체 10 가지 경우에서 8가지 경우에 동점이 나타나므로 구하는 확률은 $ \frac { 8 } { 10 } = \frac { 4 } { 5 } $이다. 실제로 $ \mathrm { B } $의 득표수가 $ \mathrm { A } $의 득표수 보다 많으므로 $ \mathrm { A } $를 최초로 개표한 후에는 반드시 같은 개표 득표수가 나옴을 알 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>젊은이와 결혼하길 원하는 처녀들은 지참금의 액수를 쪽지에 써서 제출한다.</li> <li>제출된 쪽지를 무작위로 섞은 후 차례로 그 쪽지의 액수를 발표한다.</li> <li>지참금의 액수가 발표될 때마다 젊은이는 그 지참금을 제안한 처녀를 선택하든지 아니면 다음으로 넘긴다. 단, 넘길 경우 다시는 그 처녀를 선택할 수는 없다.</li></ol> <p>어떤 술탄의 젊은이에게 네 명의 처녀가 각각 다른 액수의 지참금을 제안했다고 하자. 다음의 각 경우에 젊은이가 최대의 지참금을 제안한 처녀와 결혼할 확률을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>첫 번째로 발표된 액수의 처녀를 선택할 경우</li> <li>첫 번째 처녀는 통과하고 그 다음부터는 첫 번째보다 많을 때만 선택할 경우</li> <li>처음 두 처녀는 통과하고 그 다음부터는 첫째와 둘째보다 많을 때만 선택할 경우</li> <li>네 번째로 발표된 액수의 처녀를 선택할 경우</li></ol> <p>풀이 간략하게 나타내기 위하여 네 명의 처녀가 제안한 지참금을 작은 것부터 차례로 1,2,3,4라고 하자. 그러면 발표되는 지참금을 차례로 나열한 것은 다음과 같이 24가지가 있다.</p> <p>$ \begin {array} { llllll } 1234 & 1243 & 1324 & 1342 & 1423 & 1432 \\ 2134 & 2143 & 2314 & 2341 & 2413 & 2431 \\ 3124 & 3142 & 3214 & 3241 & 3412 & 3421 \\ 4123 & 4132 & 4213 & 4231 & 4312 & 4321 \end {array} $<caption>(2.1)</caption></p> <ol type= start=1><li>위 (2.1)에서 첫 번째에 4 가 나오는 경우이므로 구하는 확률은 $ \frac { 6 } { 24 } = \frac { 1 } { 4 } $ 이다.</li> <li>위 (2.1) 중에서 3241 을 생각하여 보자.</li> <ol type=a start=1><li>위의 예시대로 첫 번째 수 3은 통과한다.</li> <li>두 번째 수 2는 첫 번째 수 3보다 작으므로 통과한다.</li> <li>세 번째 수 4는 첫 번째 수 3보다 크므로 선택한다.</li></ol> <p>즉, 지참금이 3,2,4,1의 순서로 발표될 경우 젊은이는 가장 많은 지참금 4를 제안한 처녀와 결혼하게 된다. 이와 같은 방법으로 (2.1)에 주어진 각 경우를 살펴 보면 4를 제안한 처녀와 결혼하게 되는 경우는 다음과 같은 11가지이다.</p> <p>풀이 a, b, c, d, e에서 서로 다른 2개를 뽑는 방법은 다음의 10가지가 있다. ab, ac, ad, ae,bc, bd, be, cd, ce, de</p> <p>정의 $3.2.1 $ 서로 다른 $ n $개에서 서로 다른 $ r $개를 뽑는 것을 조합이라 하며, 이 조합의 수를 $ \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right ) $ 또는 $ { } _ { n } C_ { r } $로 나타낸다.</p> <p>예를 들어, 네 문자 a, b, c, d에서 서로 다른 두 문자를 뽑는 방법을 모두 나열하면 ab, ac, ad, bc, bd, cd이므로 $ \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right )=6 $이다.</p> <p>정의 $3.2.2 $ $ n, r $을 $ n \geq r $인 자연수라고 할 때, \[ \begin {aligned} \left ( \begin {array} { l } n \\r \end {array} \right ) &= \frac { n(n-1)(n-2) \cdots(n-r + 1) } { r ! } \\&= \frac { n ! } { r !(n-r) ! } \end {aligned} \] 이다. 여기서 $ 0 !=1, m !=1 \times 2 \times \cdots \times m $이다.</p> <p>증명 서로 다른 $ n $개에서 서로 다른 $ r $개를 뽑아 일렬로 나열하는 방법의 수 $ x $를 생각하여 보자. 첫 번째에는 어느 것이라도 올 수 있으므로 $ n $가지 경우가 있고 두 번째에는 첫 번째에 온 것을 제외한 $ (n-1) $가지 경우가 있다. 일반적으로 $ i $번째에는 첫째부터 $ (i-1) $ 번째까지 쓰인 것을 제외한 $ (n-i + 1) $개 가운데 하나를 쓸 수 있으므로 $ (n-i + 1) $가지 경우가 있다. 따라서 \[ x=n(n-1)(n-2) \cdots(n-r + 1) \]이다. 한편, 서로 다른 $ n $ 개에서 서로 다른 $ r $개를 뽑는 방법의 수는 $ \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right ) $ 이고, 뽑은 $ r $개를 일렬로 나열하는 방법의 수는 $ r $ ! 이므로 $ x= \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right ) \times r $ ! 이다. 따라서 $ \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right )= \frac { x } { r ! } $이 되어 \[ \begin {aligned} \left ( \begin {array} { l } n \\ r \end {array} \right ) &= \frac { n(n-1)(n-2) \cdots(n-r + 1) } { r ! } \\ &= \frac { n ! } { r !(n-r) ! } \end {aligned} \]이다.</p> <p>(3) $ a_ { 1 } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } $ 과 $ a_ { 2 } a_ { 1 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } $ 모두 올바른 ISBN이면 \[ \begin {array} { l } 10 a_ { 1 } + 9 a_ { 2 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } + a_ { 10 } , \\ 10 a_ { 2 } + 9 a_ { 1 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } + a_ { 10 } \end {array} \]는 모두 11 의 배수이므로 $ \left (10 a_ { 1 } + 9 a_ { 2 } \right )- \left (10 a_ { 2 } + 9 a_ { 1 } \right )=a_ { 1 } -a_ { 2 } $ 가 11 의 배수이고, $ a_ { 1 } =a_ { 2 } $ 이다. 따라서 $ a_ { 1 } \neq a_ { 2 } $이면 \[ a_ { 1 } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } \text { 과 } a_ { 1 } ^ {\prime } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } \] 모두 올바른 ISBN일 수는 없다.</p> <p>예제 $3.2.15 $ A, B, C 세 사람이 다트를 던져 상대방이 들고 있는 풍선을 터뜨리는 게임에서 A, B, C의 적중률은 각각 $ \frac { 1 } { 2 } , 1, \frac { 2 } { 5 } $라 한다. C, B, A 순서로 돌아가며 시도하고 풍선이 터지면 탈락한다. 마지막까지 풍선이 남는 사람이 승자일 때, 다음 물음에 답하여라.</p> <ol type= start=1><li>맨 처음 C가 B의 풍선에 다트를 던진 때, C가 승자가 될 확률을 구하여라.</li> <li>맨 처음 C가 A의 풍선에 다트를 던진 때, C가 승자가 될 확률을 구하여라.</li> <li>맨 처음 C가 A, B의 풍선 방향과 전혀 다른 허공에 다트를 던진 때, C가 승자가 될 확률을 구하여라.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>C가 B의 풍선에 다트를 던질 때 성공 또는 실패에 따라 다음의 두 경우가 있다.</li></ol> <ol type=i start=1><li>성공하면 C와 A가 남고, 그 후에 A, C순서로 번갈아 시도하여 C가 이 겨야 한다. 따라서 이 경우 C } 가 살아서 승자가 될 확률은 \[ \frac { 2 } { 5 } \times( \mathrm { A } , \mathrm { C } \text { 순서로 번갈아 시도하여 } \mathrm { C } \text { 가 이길 확률) } \] 이다. 한편, A,C의 순서로 번갈아 시도하여 C가 이길 확률은 문제 $ 3.2 .14 $에 의하여 $ \frac { 2 } { 7 } $이다. 따라서 이 경우 C가 승자가 될 확률은 $ \frac { 2 } { 5 } \times \frac { 2 } { 7 } = \frac { 4 } { 35 } $이다.</li> <li>실패하면 B는 A와 C 중 적중률이 높은 A를 공격하여 A는 바로 탈락하고, 그 다음 C는 B를 공격하여 성공해야 C가 승자가 된다. 따라서 이 경우에 C가 승자가 될 확률은 $ \left (1- \frac { 2 } { 5 } \right ) \times 1 \times \frac { 2 } { 5 } = \frac { 6 } { 25 } $이다. 위 (i )과 (ii)에 의하여 C가 승자가 될 확률은 \[ \frac { 4 } { 35 } + \frac { 6 } { 25 } = \frac { 62 } { 175 } =0.35 \]이다.</li></ol> <ol type=1 start=2><li>마찬가지로 성공 또는 실패에 따라 다음의 두 경우가 있다.</li> <ol type=i start=1><li>성공하면 B의 공격으로 C는 바로 탈락하게 되므로, 이 경우 C가 승자 가 될 확률은 0이다.</li> <li>실패하면 B는 A와 C 중 적중률이 높은 A를 공격하고, 그 다음에 C는 B를 공격하여 성공해야 하므로 이 경우 C가 승자가 될 확률은 $ \left (1- \frac { 2 } { 5 } \right ) \times 1 \times \frac { 2 } { 5 } = \frac { 6 } { 25 } =0.24 $이다. 위 ( i )과 (ii)에 의하여 C가 승자가 될 확률은 $ 0 + 0.24=0.24 $이다.</li></ol> <ol type=1 start=3><li>C가 어느 누구도 공격하지 않는다면 B는 A를 탈락시키고 C는 B를 공격하 여 성공해야한다. 따라서 C가 승자가 될 확률은 $ 1 \times \frac { 2 } { 5 } =0.4 $이다.</li></ol> <p>예제 $3.2.16 $ 다섯 문자 a, b, c, d, e에서 서로 다른 두 문자를 뽑는 방법을 모두 나열하여라.</p> <p>따라서 이 법정에서 어떤 사안이 옳게 판정할 확률은 \[ \frac { p ^ { 2 } } { 2 } + \frac { p ^ { 2 } } { 2 } + \frac { p(1-p) } { 2 } + \frac { p(1-p) } { 2 } =p \]로서 신중한 두 배심원이 옳게 판단할 확률과 같다.</p> <p>예제 $3.2.12 $ 어떤 범죄의 공범으로 구속되어 재판을 받고 있는 세 죄수 A, B, C 중에서 판사는 죄가 가장 크다고 판단되는 한 사람에게 사형을 언도한다고 한다. 어떤 사람이 현재까지의 모든 재판 진행 상황을 교도관에게 묻자, 그 교도관은 B는 사형을 언도 받지 않을 것이며 A는 현재 심사되지 않았다고만 말했다. 세 사람의 죄의 크기가 모두 다르다고 할 때, A가 사형을 언도 받을 확률을 구하여라. 또, 교도관이 알려준 정보는 A가 사형을 언도 받을 확률을 구하는데 도움이 되는지 살펴보아라.</p> <p>풀이 정보를 알지 못 했을 경우 A가 사형을 언도 받을 확률은 $ \frac { 1 } { 3 } $이다. 한편, 교도관의 정보에 의하여 C가 B보다 죄가 더 크고 A에 대한 정보는 없으므로 죄가 큰 사람부터 차례로 나열하면 다음과 같다.<p>$ \mathrm { ACB } , \mathrm { CAB } , \mathrm { CBA } $</p> <p>여기서 $ \mathrm { ACB } $일 때만 A가 사형을 언도 받게 되므로, A가 사형을 언도 받을 확률은 여전히 $ \frac { 1 } { 3 } $이다.</p> <p>예제 $3.2.13 $ A는 오랫동안 만나지 못한 친구 B의 집을 방문하는 중이다. A는 B에게 두 아이가 있다는 사실만 알 뿐 그 아이의 성별은 알 지 못한다. A가 B의 집의 초인종을 누르니 한 남자 아이가 답하였다. 이 때 B의 또 다른 아이가 여자일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이 두 아이의 성별을 나타내면 다음 네 가지 경우가 있다. (남, 남), (남, 여), (여, 남), (여, 여) 위에서 한 아이가 남자이므로 (남, 남), (남, 여), (여, 남)</p> <p>의 세 경우뿐이고 여기서 나머지가 여자인 경우는 (남, 여), (여, 남)의 두 가지이므로 구하는 확률은 $ \frac { 2 } { 3 } $이다.</p> <p>따라서 회로에서 전기가 흐를 확률은 \[ \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 2 } { 3 } \times \frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 } { 6 } \]이다.</p> <p>예제 $3.2.4 $ 완두콩 꽃의 색깔은 두 유전자형 $ \mathrm { A } , \mathrm { a } $에 의하여 결정된다. 예를 들어, $ \mathrm { A } $는 빨강, a는 흰색을 나타내는 유전자형이라면 $ \mathrm { AA } $는 빨강 꽃, $ \mathrm { Aa } $ 는 분홍 꽃, aa는 흰 꽃을 나타낸다(Aa와 $ \mathrm { aA } $는 구별되지 않는다). 두 유전자형 $ \mathrm { A } $와 $ \mathrm { a } $ 중에서 $ \mathrm { A } $ 가 나올 확률은 $ p $이고, a가 나올 확률은 $ q $라고 할 때, 각각 빨강 꽃, 분홍 꽃, 흰 꽃이 나올 확률을 구하여라. 여기서 $ p + q=1 $ 이다.</p> <p>풀이 빨간 꽃이 되려면 유전자형이 $ \mathrm { AA } $가 되어야 하므로 둘 다 $ \mathrm { A } $가 나와야 하고, 그럴 확률은 $ p \times p=p ^ { 2 } $이다. 한편, 분홍 꽃이 되려면 유전자형이 $ \mathrm { Aa } $가 되어야 하므로 첫 번째에 $ \mathrm { A } $, 두 번째에 a가 나오거나 첫 번째에 a, 두 번째에 $ \mathrm { A } $가 나와야하며, 이럴 경우의 확률은 $ p q + q p=2 p q $ 이다. 마지막으로 흰 꽃이 되려면 유전자형이 $ \mathrm { a } a $ 가 되어야 하므로 둘 다 $ \mathrm { a } $ 가 나와야 하고, 그럴 확률은 $ q \times q=q ^ { 2 } $이다.</p> <p>(2) $ 10 \cdot 0 + 9 \cdot 4 + 8 \cdot 7 + 7 \cdot 1 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 6 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 7 + 2 \cdot 1 + 8= $ 220이고 220은 11의 배수이므로 이 번호는 올바른 ISBN이다. $ a_ { 2 } a_ { 1 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } $ 는 둘 다 올바른 ISBN일 수 있는가? (단, $ a_ { 1 } \neq a_ { 2 } $ )</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ 10 \cdot 0 + 9 \cdot a + 8 \cdot 2 + 7 \cdot 1 + 6 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 4 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 0 + 8= $ $ 9 a + 104 $가 11의 배수이므로 $ a=8 $이다.</p> <p>(2) $ a_ { 1 } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } $ 과 $ a_ { 1 } ^ {\prime } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } $ 모두 올바른 ISBN이면 \[ \begin {array} { l } 10 a_ { 1 } + 9 a_ { 2 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } + a_ { 10 } , \\ 10 a_ { 1 } ^ {\prime } + 9 a_ { 2 } + 8 a_ { 3 } + 7 a_ { 4 } + 6 a_ { 5 } + 5 a_ { 6 } + 4 a_ { 7 } + 3 a_ { 8 } + 2 a_ { 9 } + a_ { 10 } \end {array} \]는 모두 11의 배수이므로 $ 10 a_ { 1 } -10 a_ { 1 } ^ {\prime } =10 \left (a_ { 1 } -a_ { 1 } ^ {\prime } \right ) $ 이 11 의 배수이고, $ a_ { 1 } =a_ { 1 } ^ {\prime } $ 이다. 따라서 $ a_ { 1 } \neq a_ { 1 } ^ {\prime } $ 이면 \[ a_ { 1 } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } \text { 과 } a_ { 1 } ^ {\prime } a_ { 2 } -a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } -a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } -a_ { 10 } \] 모두 올바른 ISBN일 수는 없다.</p> <p>예제 $3.2.9 $ 광복절을 맞이하여 세 죄수 A, B, C 중 두 명이 특별사면을 받을 예정이며, A의 친구인 교도관 J는 사면될 두 사람을 이미 알고 있다고 한다. 지금까지 겉으로 드러난 세 죄수의 수형 생활 태도는 모두 비슷하여 사면 받을 확률도 모두 같다고 한다. A는 J에게 자신의 사면 여부를 묻는 것이 쑥스러워 자신을 제외한 B와 C중 누가 사면되는지 그 한 명만을 물으려 하다가 다음과 같은 이유로 그만 두기로 하였다. A의 생각이 옳은지 판단하여라.</p> <ol type= start=1><li>묻기 전에는 셋 중에서 둘이 사면되므로 A가 사면될 확률이 $ \frac { 2 } { 3 } $이다.</li> <li>물은 후에는 J가 말하지 않은 죄수와 A둘 중에서 한 사람이 사면되므로 A가 사 면될 확률은 $ \frac { 1 } { 2 } $로 줄어든다.</li></ol> <p>풀이 분명히 묻기 전에 A가 사면될 확률은 $ \frac { 2 } { 3 } $이다. 이제 물은 후에 A가 사면될 확률을 구하여 보자. 사면되는 두 사람은 A, B 또는 B, C 또는 A, C이므로 A, B가 사면될 확률은 $ \frac { 1 } { 3 } $이고, 마찬가지로 B, C또는 A, C가 사면될 확률도 각각 $ \frac { 1 } { 3 } $이다. 사면되는 두 사람과 교도관의 대답에 따른 각 경우의 확률은 다음과 같다.</p> <ol type=I start=1><li>$ \mathrm { A } , \mathrm { B } $ 가 사면되고 $ \mathrm { J } $ 가 $ \mathrm { B } $ 로 답하는 경우; $ \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 1 } = \frac { 1 } { 3 } $</li> <li>$ \mathrm { B } , \mathrm { C } $ 가 사면되고 $ \mathrm { J } $ 가 $ \mathrm { B } $ 로 답하는 경우; $ \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 6 } $</li> <li>$ \mathrm { B } , \mathrm { C } $ 가 사면되고 $ \mathrm { J } $ 가 $ \mathrm { C } $ 로 답하는 경우; $ \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 6 } $</li> <li>$ \mathrm { A } , \mathrm { C } $ 가 사면되고 $ \mathrm { J } $ 가 $ \mathrm { C } $ 로 답하는 경우; $ \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 1 } { 1 } = \frac { 1 } { 3 } $</li></ol> <p>위의 네 가지 중에서 A가 사면되는 경우는 (i) 또는 (iv)이므로 A가 사면될 확률은 $ \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 3 } = \frac { 2 } { 3 } $로 묻기 전의 확률과 같다.</p> <p>따라서 A가 이길 확률은 위 확률을 모두 합한 \[ S= \frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 10 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 3 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \cdots \]이다. 이 무한합을 구하기 위해 위 양변에 $ \frac { 3 } { 10 } $을 곱하여 원래 식과 비교하면 \[ \begin {aligned} S &= \frac { 2 } { 5 } + \frac { 3 } { 10 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 3 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \cdots \\ \frac { 3 } { 10 } S &= \frac { 3 } { 10 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \left ( \frac { 3 } { 10 } \right ) ^ { 3 } \cdot \frac { 2 } { 5 } + \cdots \end {aligned} \]이고, 이 두 등식을 변끼리 빼면 \[ \frac { 7 } { 10 } S= \frac { 2 } { 5 } \]이 되어 $ S= \frac { 4 } { 7 } $이다. 즉, A가 이길 확률은 $ \frac { 4 } { 7 } $이다.</p> <p>예제 $3.2.17 $ 다음을 계산하여라.</p> <p>(1) $ \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 4 \end {array} \right ) $ (2) $ \left ( \begin {array} { c } 100 \\ 99 \end {array} \right ) $ (3) $ \left ( \begin {array} { c } 100 \\ 99 \end {array} \right ) \times 99 $ ! (4) $ \left ( \begin {array} { c } n \\ n-1 \end {array} \right ) $</p> <p>풀이 (1) $ \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 4 \end {array} \right )= \frac { 8(8-1)(8-2)(8-3) } { 4 ! } = \frac { 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 } { 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } =70 $ (2) $ \left ( \begin {array} { c } 100 \\ 99 \end {array} \right )= \frac { 100 ! } { 99 !(100-99) ! } = \frac { 100 ! } { 99 ! 1 ! } =100 $ (3) $ \left ( \begin {array} { c } 100 \\ 99 \end {array} \right ) \times 99 != \frac { 100 ! } { 99 !(100-99) ! } \times 99 $ ! $ =100 !=100 \times 99=100 $ ! (4) $ \left ( \begin {array} { c } n \\ n-1 \end {array} \right )= \frac { n ! } { (n-1) ! 1 ! } =n $</p> <p>예제 $3.2.18 $ 주머니에 두 개의 흰 공과 두 개의 검은 공이 들어있다. 주머니 속에서 임의로 두 개의 공을 꺼낼 때, 둘 다 흰 공일 확률을 구하여라.</p> <p>풀이 네 개의 공에서 두 개를 뽑는 경우의 수는 $ \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right )=6 $이고, 둘 다 흰 공을 뽑는 경우의 수는 $ \left ( \begin {array} { l } 2 \\ 2 \end {array} \right )=1 $가지이므로 구하는 확률은 $ \frac { 1 } { 6 } $이다.</p> <h1>제 1절 신분 확인 번호</h1> <p>인터넷으로 신분을 확인하기 위하여 주민등록번호를 입력할 때 주민등록번호가 아닌 번호를 입력하면 정상적인 주민등록번호가 아니니 다시 입력하라는 창이 뜬다. 이것은 주민등록번호가 각 개인에게 주어지는 고유번호일 뿐만 아니라 그 개인의 특정한 정보를 담고 있고, 또 그 번호가 일정한 규칙에 의하여 제대로 만들어진 것인지 점검하는 체계를 포함하기 때문이다. 이 절에서는 일상생활에서 많이 쓰이는 각종 신분 또는 불품 확인 번호의 특성을 살펴보기로 하자.</p> <h2>1. 우편환 번호</h2> <p>우체국에서 송금하려고 할 때는 우편환이란 것이 이용되고 있다. 이 우편환의 번호는 11자리수로 되어 있고 마지막 자리의 수는 이 번호가 올바른 체계를 갖추어 만들어진 번호인지 점검하는 수로서 앞 10 자리 숫자의 합을 9로 나눈 나머지로 결정된다. 즉, 우편환의 번호가 $ a_ { 1 } a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } $이면 $ a_ { 11 } $은</p> <p>$ a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + a_ { 4 } + a_ { 5 } + a_ { 6 } + a_ { 7 } + a_ { 8 } + a_ { 9 } + a_ { 10 } $</p> <p>을 9로 나눈 나머지이다. 이를 이용하여 주어진 우편환의 번호가 올바른 것인지 아닌지를 점검할 수 있다. 이처럼 대부분의 신분 또는 물품 확인 번호에는 주어진 번호가 올바른 것 인지 아닌지를 판단하는 수를 포함하고 있는데 이런 수를 점검수라고 한다.</p> <p>예제 $3.1.1 $ 다음 주어진 번호가 올바른 우편환 번호인지 아닌지를 점검하여라. (1) 21364750192 (2) 11410112530</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ 2 + 1 + 3 + 6 + 4 + 7 + 5 + 0 + 1 + 9 = 38 $이고, 38을 9로 나눌 때 나머지는 2로 주어진 번호의 마지막 자리에 있는 수 2와 일치하므로 이 번호는 올바른 우편환 번호이다.</p> <h2>5. 신용카드번호</h2> <p>우리가 물건을 살 때 현금을 대신하여 자주 이용하는 신용카드 번호는 대부분 16자리 $ a_ { 1 } a_ { 2 } a_ { 3 } a_ { 4 } a_ { 5 } a_ { 6 } a_ { 7 } a_ { 8 } a_ { 9 } a_ { 10 } a_ { 11 } a_ { 12 } a_ { 13 } a_ { 14 } a_ { 15 } a_ { 16 } $로 되어 있고 마지막 자리수 $ a_ { 16 } $은 주어진 번호가 올바른 번호인지 점검하는 수로서 다음과 같이 결정된다.</p> <ol type= start=1><li>$ 2 \left (a_ { 1 } + a_ { 3 } + a_ { 5 } + a_ { 7 } + a_ { 9 } + a_ { 11 } + a_ { 13 } + a_ { 15 } \right ) $을 계산하여 $ x $라 한다.</li> <li>$ a_ { 1 } , a_ { 3 } , a_ { 5 } , a_ { 7 } , a_ { 9 } , a_ { 11 } , a_ { 13 } , a_ { 15 } $에서 4 보다 큰 수의 개수를 $ y $라 한다.</li> <li>$ x + y + \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } $이 10의 배수가 되게 $ a_ { 16 } $을 결정한다.</li></ol> <p>예를 들어 주어진 번호가 412800123456 7896이라면 \[ x=2(4 + 2 + 0 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9)=62 \] 이고 $ 4,2,0,1,3,5,7,9 $에서 4보다 큰 수는 5,7,9 셋이므로 $ y=3 $이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x + y + & \left (a_ { 2 } + a_ { 4 } + a_ { 6 } + a_ { 8 } + a_ { 10 } + a_ { 12 } + a_ { 14 } \right ) + a_ { 16 } \\ &=62 + 3 + (1 + 8 + 0 + 2 + 4 + 6 + 8) + 6 \\ &=100 \end {aligned} \]은 10의 배수이므로 이 번호는 올바른 신용카드의 번호이다.</p> <p>세계의 많은 나라에서 여러 가지 공익사업을 위한 기금을 조성하기 위해 로또 복권을 발행하고 있다. 현재 우리나라에서도 2002년 12 월부터 매주 ‘로또 복권 6/45'를 발행하고 있다. 이 복권의 신청자들은 1부터 45까지의 숫자 중에서 서로 다른 6개의 숫자를 자기 마음대로 골라 적어 제출한다. 그러면 매주 토요일 저녁에 1부터 45까지 쓰인 구슬 중에서 6개를 임의로 뽑아 당첨번호를 결정하고, 아울러 하나를 더 뽑아 보너스 번호로 한다. 로또 복권 $ 6 / 45 $에서 당첨번호와 보너스 번호에 따른 각 순위는 다음과 같다.</p> <p>1등: 당첨번호와 6개 숫자가 일치 2등: 당첨번호와 5개 숫자가 일치하고 보너스 번호 일치 3등: 당첨번호와 5개 숫자가 일치 4등: 당첨번호와 4개 숫자가 일치 5등: 당첨번호와 3개 숫자가 일치</p> <p>현재 로또 당첨금은 전체 판매액의 $ 50 \% $만 배당하는 데, 먼저 5등에게 1만원씩 지급하고 5등 당첨금을 제외한 나머지 당첨금의 $ 60 \%, 10 \%, 10 \%, 20 \% $를 각각 1등부터 4등에게 지급한다. 물론 같은 등수가 여러 명일 경우에는 해당 등수의 배당금을 균등하게 나누어 지급한다.</p> <p>이제 로또 복권 $ 6 / 45 $에서 각 등위의 확률을 살펴보자.</p> <p>예제 $3.2.20 $ 우리나라의 로또 복권 $ 6 / 45 $에 대하여 다음 물음에 답하여라.</p> <p>(1) 어떤 복권 신청자가 1등에 당첨될 확률을 구하여라. (2) 어떤 복권 신청자가 2등에 당첨될 확률을 구하여라. (3) 어떤 복권 신청자가 3등에 당첨될 확률을 구하여라.</p> <p>풀이 가능한 모든 복권 번호의 개수는 서로 다른 45개에서 6개를 뽑는 조합의 수 \[ \left ( \begin {array} { c } 45 \\6 \end {array} \right ) \text { 이다. } \]< \p> <p>(1) 1 등은 6개의 당첨번호 중에서 모두 일치해야 하므로 $ \left ( \begin {array} { l } 6 \\ 6 \end {array} \right )=1 $개 있다. 따라서 복권 신청자가 1등에 당첨될 확률은 \[ \frac { 1 } {\left ( \begin {array} { c } 45 \\ 6 \end {array} \right ) } = \frac { 45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42 \cdot 41 \cdot 40 } { 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 } = \frac { 1 } { 8145060 } \]이다. 즉, 약 815 만 장의 복권 중에서 단 한 하나가 1등이 되는 셈이다.< \p> <p>(2) 2등은 6개의 당첨번호 중에서 5개가 일치하고 나머지 하나는 보너스 번호이므로 $ \left ( \begin {array} { l } 6 \\ 5 \end {array} \right )=6 $ 개 있다. 따라서 복권 신청자가 2등에 당첨될 확률은 \[ \frac {\left ( \begin {array} { l } 6 \\ 5 \end {array} \right ) } {\left ( \begin {array} { c } 45 \\ 6 \end {array} \right ) } = \frac { 6 } { 8145060 } = \frac { 1 } { 1357510 } = \frac { 1 } { 1357510 } \]이다. 즉, 약 136만 장의 복권 중에서 단 한 하나만 2등이다.< \p> <p>(3) 3등은 6개의 당첨번호 중에서 5개가 일치하고 나머지 하나는 보너스 번호와 당첨번호를 제외한 것 중 하나이므로 $ \left ( \begin {array} { l } 6 \\ 5 \end {array} \right ) \cdot(45-7)=228 $개 있다. 따라서 복권 신청자가 3등에 당첨될 확률은 \[ \frac {\left ( \begin {array} { l } 6 \\ 5 \end {array} \right ) \cdot(45-7) } {\left ( \begin {array} { c } 45 \\ 6 \end {array} \right ) } = \frac { 228 } { 8145060 } = \frac { 1 } { 35724 } \]이다. 즉, 약 4만 장의 복권 중에서 단 한 하나만 3등이다.</p> <p>문제 $3.2.20 $ 우리나라의 로또 복권 $ 6 / 45 $에 대하여 다음 물음에 답하여라.</p> <p>(1) 어떤 복권 신청자가 4등에 당첨될 확률을 구하여라. (2) 어떤 복권 신청자가 5등에 당첨될 확률을 구하여라.</p>	자연
m234-(쉬운설명, 다양한 예제) 집합론의 이해	<p>참고 실수의 임의의 두 닫힌구간 $ [a, b],[c, d] $ 는 서로 대등이다. 또한 임의의 두 열린구간 $ (a, b),(c, d) $ 도 서로 대등이다. 실제로 $ [a, b] $ 로부터 $ [c, d] $ 로의 함수 $ f $ 를 \[ f(x)= \frac { d-c } { b-a } (x-a) + c \] 로 정의하면, 명백히 $ f $ 는 $ [a, b] $ 로부터 $ [c, d] $ 로의 전단사가 된다. 또한 이 함수의 정의역을 함수 $ (a, b) $ 로 축소하고, 공역을 $ (c, d) $ 로 바꾸면, $ (a, b) $ 로부터 $ (c, d) $ 로의 전단사가 얻어진다.</p> <p>예 함수 $ f:(0,1) \rightarrow(-1,1) $ 을 $ f(x)=2 x-1 $ 로 정의하면, $ f $ 는 전단사이므로 $(0,1) \sim(-1,1) $이 된다. 또한 $ g:(-1,1) \rightarrow R $ 을 $ g(x)= \frac { x } { 1-\|x\| } $ 로 정의하면, 함수 $ g $ 도 전단사이므로 $(-1,1) \sim R $이 된다. 따라서 $ (0,1) \sim R $ 이 성립한다.</p> <p>참고 모든 열린구간은 실수의 집합 $ R $ 과 대등이다.</p> <p>예 함수 $ f:[0,1] \rightarrow[0,1) $ 을 $ f(x)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { 1 } { n + 1 } , & x= \frac { 1 } { n } ( \text { 단, } n \in N) \\ x, & x \neq \frac { 1 } { n } ( \text { 단, } n \in N) \end {array} \right . $ 로 정의하면, $ f $ 는 일대일 대응이므로 $ [0,1] \sim[0,1) $ 이고, $ g(x)=1-x $ 로 주어지는 함수 $ g:[0,1) \rightarrow(0,1] $ 도 일대일 대응이므로 $ [0,1) \sim(0,1] $ 이 성립한다.</p> <p>참고 임의의 닫힌구간 $ [a, b] $ 도 $ R $ 과 대동인데, $ [a, b] $ 로부-터 $ R $ 로의 건단사를 '구체적으로' 구성함으로써, 직접적으로 밝히는 일은 결코 시운 일이 아니다. 예컨대 우리가 보통 생각하는 '연속함수'의 범워에서는 이와 같은 건단사를 만드는 것은 붙가능하다. 실제로 미분적분학에서 알려져 있는 '중간값의 정리'와 '쵝대 - 칙스값의 정리'에 의하면 임의의 닫힌 구간 $ [a, b] $ 위에서 정의된 실연속함수 $ f $ 의 치역은 또한 한 개의 닫힌구간 $ [ \alpha, \beta] $ 로 될 뿐, $ R $ 전체로는 되지 않기 때문이다. 이와 같이 "구체적인 전단사'를 찾아내는 것이 용이하지 않을 경우에는, 슈뢰더-베른슈타인 정리 (제6장 참조)가 유효하게 사용된다.</p> <p>$ X $ 가 가부번집합이면 $ X $ 는 점렬 $ \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots \right \} $ 로 표현할 수 있고, 또한 상이한 항으로 이루어진 입의의 무한점열의 집합은 가부번이다. 왜냐하면 무한접열은 정의역이 $ N $ 인 함수 $ f(n)=a_ { n } $ 이기 때문이다.</p> <p>예제 $ x \in A $ 이고 $ A $ 가 가부번집합일 때 $ A- \{ x \} $는 가부번집합이다.</p> <p>증명 $ A $ 가 가부번집합이면, 전단사함수 $ f: N \rightarrow A $ 가 존재한다. 따라서 $ x \in A $ 에 대하여 $ f(n)=x $ 인 $ n \in N $ 이 존재한다. 이때 함수 $ g: N \rightarrow A- \{ x \} $ 를 $ g(m)= \left \{\begin {array} { ll } f(m) & , m<n \\ f(m + 1), & m \geqq n \end {array} \right . $로 정의하면, $ g $ 는 $ N $ 으로부터 $ A- \{ x \} $ 로의 전단사가 된다. 그러므로 $ A- \{ x \} $ 는 가부번집합이다.</p> <p>정리 2</p> <p>집합 $ X $ 가 가부번일 때, $ X $ 의 모든 무한부분집합은 가부번이다.</p> <p>증명 집합 $ X $ 가 가부번이므로, $ X= \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots \right \} $ 로 나타낼 수 있다. 이때 $ Y $ 를 $ X $ 의 무한부분집합이라 하고, $ n_ { 1 } $ 을 $ x_ { n_ { 1 } } \in Y $ 에 대한 최소첨자, $ n_ { 2 } $ 를 $ x_ { n_ { 2 } } \in Y- \left \{ x_ { n_ { 1 } } \right \} $ 에 대한 최소첨자라 하자. 또한 $ x_ { n_ { k-1 } } \in Y $ 에 대하여 $ x_ { n_ { k } } $ 를 \[ x_ { n_ { k } } \in Y- \left \{ x_ { n_ { 1 } } , x_ { n_ { 2 } } , \cdots, x_ { n_ { k-1 } } \right \} \]의 최소첨자라 하자. 그러면 $ Y $ 가 무한집합이므로, 이와 같은 $ x_ { n_ { k } } $ 는 $ k \in N $ 에 대하여 항상 존재한다. 즉 각 $ k \in N $ 에 대하여 \[ Y- \left \{ x_ { n_ { 1 } } , x_ { n_ { 2 } } , \cdots, x_ { n_ { k-1 } } \right \} \neq \varnothing \]이 성립한다. 따라서 각 $ k \in N $ 에 대하여 $ f(k)=x_ { n_ { k } } $ 로 주어진 일대일 대응 $ f: N \sim Y $ 가 존재하므로, 집합 $ Y $ 는 가부번이다.</p> <p>정리 6</p> <p>유리수의 집합 $ Q $ 는 가부번이다.</p> <p>모든 유러수를 서로소인 $ p \in Z, q \in N $ 을 사응하여 $ p / q $ 로 나타내기로 하자. 그러면 $f(p / q)=(p, q) $ 로 정의된 함수 $ f: Q \rightarrow Z \times N $ 은 단사이다. 이때 $Z \times \{ 1 \} \subset f(Q) \subset N \times N $ 이므로, $ Z \times \{ 1 \} $ 은 무한이고 $ f(Q) $ 는 가부번집합 $ N \times N $ 의 무한부분집합이므로 $ f(Q) $ 는 가부번집합이다. 따라서 $ Q $ 는 가부번집합이다.</p> <p>예제 평면 $ R ^ { 2 } $ 에서, 증심의 좌표와 반지름이 모두 유리수인 원 전체의 집합 $ \Omega $ 는 가부번이다.</p> <p>증명 집합 $ \Omega $ 에 대하여 $ (x, y) $ 는 중심이고, $ z $ 가 원 $ c \in \Omega $ 의 반지름일 때 $f(c)=(x, y, z) $ 로 정의된 함수 $ f: \Omega \rightarrow Q \times Q \times Q $ 는 단사이다. 그런데 $ Q \sim N $ 이므로 $Q \times Q \times Q \sim N \times N \times N $이다. 한편 $ N \times N \times N \sim N $ 이므로, $ Q \times Q \times Q \sim N $ 이다. 그러므로 $ Q \times Q \times Q $는 가부번집합이 된다. 여기서 $ f( \Omega) $ 가 가부번집합 $ Q \times Q \times Q $ 의 무한부분집합이므로, $ f( \Omega) $ 는 가부번집합이다. 따라서 $ \Omega $ 는 가부번집합이다.</p> <p>다음 정리는 가부번집합이 무한집합 중에서 '크기'가 최소임을 나타낸다.</p> <p>정리 7</p> <p>모든 무한집합은 가부번부분집합을 포함한다.</p> <p>증명 $ X $ 를 임의로 주어진 무한집합이라 하자. $ X \neq \varnothing $ 이므로 집합 $ X $ 에서 하나의 원소를 택하여 $ x_ { 1 } $ 이라 하고, 다음에 $ x_ { 2 } $ 를 $ \mathrm { N } - \left \{ x_ { 1 } \right \} $ 에 속하는 원소라 한다. 이와 같은 방법으로 $ x_ { k-1 } $ 을 정의하고 $ x_ { k } $ 를 $ X- \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k-1 } \right \} $ 의 원소라 하자. 이와 같은 $ x_ { k } $ 는 모든 $ k \in N $ 에 대하여 존재한다. 그런데 $ \mathrm { X } $ 가 무한집합이므로, 모든 $ k \in N $ 에 대하여 $X- \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k-1 } \right \} \neq \varnothing $이 된다. 따라서 집합 $ \left \{ x_ { k } \mid k \in N \right \} $은 $ \mathrm { X } $ 의 가부번부분집합이다.</p> <p>이제 우리들은 어떤 집합이 공집합이든지 또는 어떤 $ N_ { k } $ 와 일대일 대응일 때, 그때에 한하여 유한입을 정의할 수 있다. 또한 유한이 아널 때, 그때에 한하여 무한임을 정의할 수 있다.</p> <p>예제 집합 $ A $ 가 유한일 때, $ B \subset A $ 이면 $ B $ 는 유한집합이다.</p> <p>증명 집합 $ A $ 가 유한이므로, 어떤 $ N_ { k } $ 에 대하여 단사함수 $ f: A \rightarrow N_ { k } $ 가 존재한다. 이때 축소함수 $ \left .f \right \|_ { B } $ 도 $ N_ { k } $ 로의 단사함수이므로, $ B $ 는 유한집합이 된다.</p> <h2>5.3 가부번집합과 비가부번집합</h2> <h3>1. 가부번집합</h3> <p>정의 1 가부번집합(denumerable set)</p> <p>집합 $ X $ 에 대하여 $ X \sim N $ 일 때, $ X $ 를 가부번집합이라 하고, 유한집합이거나 또는 가부번집합을 가산집합 (countable set)이라고 한다.</p> <p>참고 집합 $ X $ 가 $ X \sim N $ 일 때, $ X $ 를 가부번집합 또는 가산집합이라 하고, 유한이거나 또는 가산인 집합을 '기껏가산인 집합'이라고 정의하기도 한다.</p> <p>예 자연수의 집합 $ N $ 은 가부번이다. 또한 모든 짝수의 집합 $ N_ { e } $ 와 모든 홀수의 집합 $ N_ { 0 } $는 각각 자연수 $ N $ 과 대등이므로, 가부번이다.</p> <p>예제 $ A $ 가 가부번집합일 때, 다음 세 조건을 만족하는 $ A $ 의 부분집합족 $ \left (A_ { n } \right )_ { n \in N } $ 이 존재 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>모든 $ n \in N $ 에 대하여, $ A_ { n } $ 은 가부번집합이다.</li> <li>$ A= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } A_ { n } $</li> <li>$ n \neq n ^ {\prime } \Rightarrow A_ { n } \cap A_ { n ^ {\prime } } = \varnothing $</li></ol> <p>증명 $ N \times N $ 은 가부번집합이므로, $ N \times N $ 으로부터 $ A $ 로의 전단사 $ f $ 가 존재한다. 이때 $ f( \{ n \} \times N)=A_ { n } $ 이라 두면 된다.</p> <p>증명 각 $ \gamma \in \Gamma $ 에 대하여 $ f_ {\gamma } : X_ {\gamma } \sim Y_ {\gamma } $ 라 하고, 함수 \[ f: \bigcup_ {\gamma \in \Gamma } X_ {\gamma } \rightarrow \bigcup_ {\gamma \in \Gamma } Y_ {\gamma } \]를 모든 $ x \in X_ {\gamma } $ 에 대하여 $ f(x)=f_ {\gamma } (x) $ 로 정의한다. 그러면 $ \left \{ X_ {\gamma } \mid \gamma \in \Gamma \right \} $ 와 $ \left \{ Y_ {\gamma } \mid \gamma \in \Gamma \right \} $ 는 각각 서로소인 집합족이므로, 함수 $ f $ 는 전단사가 된다.</p> <p>정리 6</p> <p>$ X, Y, Z $ 와 $ W $ 가 $ X \sim Y $ 이고 $ Z \sim W $ 인 집합이면 $X \times Z \sim Y \times W $가 성립한다.</p> <p>증명 $ f: X \sim Y, g: Z \sim W $ 라 하고, 함수 $ f \times g: X \times Z \rightarrow Y \times W $ 를 \[ \forall(x, z) \in X \times Z,(f \times g)(x, z)=(f(x), g(z)) \]로써 정의한다. $ \varphi=f \times g $ 라 할 때, $ \varphi $ 가 $ X \times Z $ 로부터 $ Y \times W $ 로의 일대일 대응임을 밝힌다. $ f $ 와 $ g $ 가 함수이므로 분명히 $ \varphi $ 는 함수가 된다.먼저 $ \varphi \left (x_ { 1 } , z_ { 1 } \right )= \varphi \left (x_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) $ 이라 놓으면 \[ \left (f \left (x_ { 1 } \right ), g \left (z_ { 1 } \right ) \right )= \left (f \left (x_ { 2 } \right ), g \left (z_ { 2 } \right ) \right ) \]로부터, $ f \left (x_ { 1 } \right )=f \left (x_ { 2 } \right ), g \left (z_ { 1 } \right )=g \left (z_ { 2 } \right ) $ 이다. 그런데 두 함수 $ f, g $ 가 단사이므로 \[ x_ { 1 } =x_ { 2 } , z_ { 1 } =z_ { 2 } \text { , 즉 } \left (x_ { 1 } , z_ { 1 } \right )= \left (x_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) \] 가 된다. 따라서 함수 $ \varphi $ 는 단사이다. 다음에 임의의 $ (y, w) \in Y \times W $ 에 대하여 $ y \in Y, w \in W $ 이고, 두 함수 $ f, g $ 가 전사이므로 \[ f(x)=y, g(z)=w \]를 만족하는 $ x \in X, \quad z \in Z $ 가 존재한다. 따라서 \[(f(x), g(z))=(y, w) \in Y \times W \]이므로, 함수 $ \varphi $ 는 전사이다. 그러므로 함수 $ \varphi $ 는 $ X \times Z $ 로부터 $ Y \times W $ 로의 일대일 대응이다.</p> <p>정리 2</p> <ol type=1 start=1><li>$ X $ 가 무한집합이고 $ X \subset Y $ 이면, $ Y $ 는 무한집합이다.</li> <li>$ Y $ 가 유한집합이고 $ X \subset Y $ 이면, $ X $ 는 유한집합이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>$ X $ 가 무한집합이면, $ f(X) \neq X $ 인 단사함수 $ f: X \rightarrow X $ 가 존재한다. 이때 함수 $ g: Y \rightarrow Y $ 를 $g(y)= \left \{\begin {array} { ll } f(y), & y \in X \\y, & y \in Y-X \end {array} \right . $ 로 정의하면 함수 $ g: Y \rightarrow Y $ 는 단사가 되고, $ g(Y) \neq Y $ 이다. 따라서 $ Y $ 는 무한집합이다.</li> <li>$ X $ 를 무한집합이라 가정하면, (1)에 의하여 집합 $ Y $ 는 무한이어야 한다. 그런데 이것은 가정에 모순이다. 따라서 집합 $ X $ 는 유한집합이다.</li></ol> <p>예 $ Q $ 가 유리수의 집합일 때 $ N \subset Q $ 이므로, $ Q $ 는 무한집합이다. 또한 실수의 집합 $ R $에 대하여 $ N \subset R $ 이므로, $ R $ 도 무한집합이다.</p> <p>정리 3</p> <p>두 집합 $ X, Y $ 에 대하여, $ g: X \sim Y $ 일 때</p> <ol type=1 start=1><li>집합 $ X $ 가 무한이면, $ Y $ 도 무한이다.</li> <li>집합 $ X $ 가 유한이면, $ Y $ 도 유한이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>집합 $ X $ 가 무한이므로 $ f(X) \neq X $ 인 단사 $ f: X \rightarrow X $ 가 존재한다. $ g: X \sim Y $ 이므로, $ g ^ { -1 } : Y \sim X $ 이다. 따라서 단사의 합성함수 $h=g \circ f \circ g ^ { -1 } : Y \rightarrow Y $는 단사이다. 한편 \[ \begin {aligned} h(Y) &= \left (g \circ f \circ g ^ { -1 } \right )(Y)=(g \circ f) \left (g ^ { -1 } (Y) \right ) \\ &=(g \circ f)(X)=g(f(X)) \end {aligned} \]이고 $ f(X) \neq X $ 이므로, $ g(f(X)) \neq Y $ 이다. 따라서 $ h(Y) $ 는 $ Y $ 의 진부분집합 이므로, $ Y $ 는 무한집합이다.</li> <li>$ X $ 가 무한집합이라고 가정하면, $ g ^ { -1 } : Y \sim X $ 이므로 (1)에 의하여 $ X $ 는 무한집합이다. 이것은 $ X $ 가 유한집합이라는 가정에 모순이다. 따라서 $ Y $ 는 유한집합이다.</li></ol> <p>예 $ f(x)=2 x-1 $ 로 주어진 함수 $ f: N \rightarrow N_ { 0 } $ 는 자연수의 집합과 홀수의 집합 사이의 전단사이므로, 홀수의 집합은 무한집합이다.</p> <p>집합 $ X $ 가 무한이고 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in X $ 이면 $X- \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right \} $도 무한집합이다.</p> <p>예 $ N $ 이 무한집합이므로 $ \{ 2,3,4, \cdots \} , \{ 5,6,7, \cdots \} $도 무한집합이 된다. 앞으로 임의의 $ k \in N $ 에 대하여 1 에서 $ k $ 까지의 모든 자연수의 집합을 $ N_ { k } = \{ 1,2, \cdots, k \} $ 로 표시하기로 한다.</p> <p>정리 6</p> <p>$ X= \varnothing $ 이거나 $ X $ 가 어떤 $ N_ { k } $ 와 일대일 대응이면, 그리고 그패만 집합 $ X $ 는 유한이다.</p> <p>증명 $ X= \varnothing $ 이거나 어떤 $ N_ { k } $ 와 일대일 대응이면, 집합 $ X $ 는 유한이다. 역을 증명하기 위하여, 대우법을 이용한다. 즉 $ X \neq \varnothing $ 이고 $ X $ 가 모든 $ N_ { k } $ 와 일대일 대응이 아니라고 가정하면, $ X $ 가 무한집합이 됨을 보인다. $ X \neq \varnothing $ 이므로 $ X $ 에서 원소 $ x_ { 1 } $ 을 택하자. 그러면 다시 $ X- \left \{ x_ { 1 } \right \} \neq \varnothing $ 이고, 같은 방법으로 $ X- \left \{ x_ { 1 } \right \} $ 에서 원소 $ x_ { 2 } $ 를 택할 수 있다. 이 방법을 계속함으로써 $ X $ 에서 원소 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } $ 를 택했다 가정하면 $ X- \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { k } \right \} \neq \varnothing $ 이므로 $X- \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { k } \right \} $에서 원소 $ x_ { k + 1 } $ 을 택할 수 있다. $ Y= \left \{ x_ { k } \mid k \in N \right \} $ 이라 놓으면 $ Y \subset X $ 이고 함수 $ f: Y \rightarrow Y- \left \{ x_ { 1 } \right \} $ 은 모든 $ k \in N $ 에 대하여 $ f \left (x_ { k } \right )=x_ { k + 1 } $ 로써 정의되고 $ Y $ 와 진부분집합 $ Y- \left \{ x_ { 1 } \right \} $ 은 대등이므로 $ Y $ 는 무한집합이다. 따라서 $ X $ 는 무한집합이다.</p> <p>따름정리 1</p> <p>$ A $ 가 무한집합이고, $ B $ 가 가산집합일 때 $A \cup B \sim A $ 가 성립한다.</p> <p>증명 $ (A \cup B)-A=C $ 라 두면, $ C \subset B $ 이고 $ C $ 는 가산집합이다. 그런데 $ (A \cup B)-C=A $이므로 $A \cup B \sim A $가 성립한다.</p> <p>유한집합은 결코 자신의 진부분집합과 대등이 퇼 수 없다. 따라서 따름정리 2 는 무한집합을 특정 짓는 하나의 성질이다.</p> <p>따름정리 2</p> <p>임의의 무한집합은 자신과 대등인 진부분집합을 포함한다.</p> <p>증명 $ A $ 가 무한집합이고 $ B $ 가 $ A $ 의 유한부분집합일 때, $ A-B $ 는 무한집합이므로 $ A-B \sim A $ 가 된다. 즉 무한집합 $ A $ 에서 유한개의 원소를 제거해서 얻어지는 집합은 $ A $ 와 대등이다.</p> <p>참고 무한집합은 다음 두 가지로 정의할 수 있다. 이들은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>집합 $ A $ 가 무한일 동치조건은 $ A $ 가 가부번부분집합을 포합하는 것이다.</li> <li>집합 $ A $ 가 무한일 동치조건은 $ A $ 가 자신과 대등인 진부분집합을 포한하는 것이다.</li></ol> <h3>2. 비가부번집합</h3> <p>정의 9 비가부번집합 (nondenumerable set)</p> <p>무한집합 중에서 가부번이 아넌 집합을 비가부번집합 또는 비가산집합 (uncountable set)이라고 한다.</p> <p>참고 두 집합 $ A $ 와 $ B $ 가 대등일 때, $ A $ 가 비가부번이면 $ B $ 도 비가부번이 된다.</p> <p>비가부번집합의 존재는 여러 무한집합이 존재합을 의미한다. 즉 두 무한집합에는 서로 크기가 다를 수 있다는 것이다. 칸토어는 1874년에 구간축소법 (method of nested interval)을 이용하여, 단힌구간 $ [a, b] $ 가 비가부번임을 증명했다.</p> <p>정리 10</p> <p>실수의 닫힌구간 $ [a, b] $ 는 비가부번집합이다.</p> <p>중명 실수의 단힌구간 $ [a, b] $ 를 가부번집합이라 가정하사. 그러면 단힌구간 $ [a, b] $ 의 원소에 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots $ 와 같이 번호를 붙일 수 있다. 이 최초의 두 수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ 를 택하여 대소를 비고하고 작은 것을 $ a_ { 1 } $, 큰 것을 $ b_ { 1 } $ 이라 놓는다. $ x_ { 3 } , x_ { 4 } , \cdots $ 로 진행하여 열린구간 $ \left (a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ) $ 의 최초의 두 수를 비교하여 그 대소를 비교해서 작은 쪽을 $ a_ { 2 } $, 큰 쪽을 $ b_ { 2 } $ 라 한다. 이와 같은 방법을 계속 진행해 가면, 단힌구간열의 감소열 $ \left [a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ] \supset \left [a_ { 2 } , b_ { 2 } \right ] \supset \cdots $ 가 얻어진다. 따라서 모든 닫힌구간 $ \left [a_ { n } , b_ { n } \right ] $ 에 포함되는 $ \alpha $ 가 존재한다. $ \alpha $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 의 원소이므로, 최초의 가정에 의하여 번호가 붙어 있을 것이다. $ \alpha=x_ { m } $ 이었다 하면, 위와 같은 구성에서 $ 2 n>m $ 으로 되는 $ n $ 에 대해서는 $ x_ { m } \notin \left [a_ { n } , b_ { n } \right ] $ 이므로 모순이 된다.</p> <p>1891년에 칸토어는 대각선 논법 (대각법; diagonal method)에 의해 실수의 단위 열린구간 $ (0,1) $ 이 비가부번집합임을 증명하였다.</p> <p>정리 11</p> <p>실수의 열린구간 $ (0,1) $ 은 비가부번집합이다.</p> <p>중명 각 수 $ x( $ 단, $ 0<x<1 $ )를 $ \forall n \in N, x_ { n } \in \{ 0,1,2, \cdots, 9 \} $ 일 때, 십진법의 무한소수의 전개 형식 $ 0 \cdot x_ { 1 } x_ { 2 } x_ { 3 } \cdots $ 로써 표현 (예컨대 $ 0.25000 \cdots $는 $ 0.24999 \ldots $ 형태의 무한소수로 표기)하기로 한다. 이제 열린구간 $ (0,1) $ 을 가부번집합이라 하자. 그러면 일대일 대응 $ f: N \sim(0,1) $ 이 존재한다. 따라서 \[ \begin {array} { c } f(1)=0 \cdot a_ { 11 } a_ { 12 } a_ { 13 } \cdots \\ f(2)=0 \cdot a_ { 21 } a_ { 22 } a_ { 23 } \cdots \\ f(3)=0 \cdot a_ { 31 } a_ { 32 } a_ { 33 } \cdots \\ \vdots \end {array} \] 와 같이 나타나게 된다. 여기서 $ a_ { i j } \in \{ 0,1,2, \ldots, 9 \} $ 이다. 이제 새로운 무한소수 $ z=0 \cdot z_ { 1 } z_ { 2 } z_ { 3 } \cdots $ 를 $z_ { i } = \left \{\begin {array} { ll } 5, & a_ { i i } \neq 5 \\ 1, & a_ { i i } =5 \end {array} \right . $ 로 정의하면, 소수점 이하 각 자리수가 1 이거나 5 이므로 분명히 $ z \in(0,1) $ 이다. 그러나 모든 $ n \in N $ 에 대하여 $ z_ { n } \neq a_ { n n } $ 이므로 $z \neq f(n) \text { , 즉 } z \in(0,1)-f(N) $ 이다. 따라서 $ f $ 는 일대일 대응이 아니다. 이것은 모순이므로, 열린구간 $ (0,1) $ 은 가부번집합이 아니다. 즉 열린구간 $ (0,1) $ 은 비가부번집합이다.</p> <p>정의 1 페아노 공리계(Peano axioms)</p> <p>다음 다섯 조건을 만족하는, 자연수라 불리는 원소들의 집합 $ N $이 존재한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ 1 \in N $</li> <li>$ a \in N $이면, $ \varphi(a) \in N $</li> <li>$ a, b \in N $이고 $ \varphi(a)= \varphi(b) $이면, $ a=b $</li> <li>임의의 $ a \in N $ 에 대하여, $ \varphi(a) \neq 1 $</li> <li>$ N $의 부분집합 $ S $에 대하여 '$ 1 \in S $'이고 "$ a \in S $이면, $ \varphi(a) \in S $이다."가 성립할 때, $ N=S $이다.</li></ol> <p>페아노는 자연수의 성질이 페아노 공리계에 의해서 특징지을 수 있음을 밝혔다. (1)에 의해서 '1'이 자연수임이 규정된다. 다른 자연수는 (2)에 의하여 만들어진다. (2)는 $ N $ 중에서 무한히 많은 원소를 만들 수 있음을 보이고, (3)에서는 $ \varphi $가 단사임을 규정하고 있다. (4)에 따르면 $ N $에는 무한히 많은 원소가 있음을 알 수 있으며, (5)는 수학적 귀납법의 기반이 된다.</p><p>이들의 원소를 \[1,2,3,4,5, \cdots \]라 명명함으로써, 자연수 체계가 얻어지는 것이다.</p> <p>함수 $ \varphi $는 각 자연수에 대하여 그 수의 바로 다음 수를 대응시키는 함수이므로, 보통 $ \varphi $를 후자함수(function of successor)라 한다. 그러나 위에서와 같은 조작을 한없이 계속할지라도 모든 자연수가 형성된다고는 할 수 없을 것이다. 따라서 임의의 귀납집합의 존재롤 인정하기 위하여 무한의 공리가 필요하다(3.4절 참조).</p> <p>참고 페아노 공리계에서는 '가, 감, 승, 제'라는 기본적인 '계산'은 마련되어 있지 않다. 그러나 자연수에 관하여 이미 알려진 모든 성질들은 페아노 공리계로부터 유도될 수 있고, 자연수계는 일의적이다.</p> <p>정의 2 자연수의 덧셈</p> <p>자연수의 덧셈을 다음과 같이 귀납적으로 정의한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \varphi(y)=1 + y $</li> <li>$ \varphi(x) + y= \varphi(x + y) $</li></ol> <p>정의 2와 수학적 귀납법을 이용하여, 자연수의 덧셈에 관한 기본 성질을 증명할 수 있다.</p> <p>정리 3 덧셈에 관한 기본 성질</p> <p>$ x, y, z \in N $일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$x + y=y + x $ (교환법칙)</li> <li>$x + (y + z)=(x + y) + z $ (결합법칙)</li> <li>$ x + y=y + x \Rightarrow x=y $ (소거법칙)</li></ol> <h2>5.2 유한집합과 무한집합</h2> <p>“전체는 부분보다 크다.”라는 유클리드의 공리와 완전히 다른 ‘부분이 전체와 원소가 같은 경우'라는 성질이 칸토어롤 포함해서 많은 수학자들을 놀라게 했다. 이 성질을 무한집합으로 정의한 사람은 데데킨트(Dedekind)이다.</p> <p>참고 볼차노(Bolzano)는 $ R $ 과 닫힌구간의 대등성을 연구했다. 그는 한 점으로 구성되지 않은 닫힌구간은 모두 $ R $ 과 대등함을 보였고, 무한집합의 특징적 성질로써 무한집합은 그 진부분집합의 하나와 대등하다는 사실을 그의 저서에 기술하였다.</p> <p>정의 1 유한집합과 무한집합</p> <p>집합 $ X $ 가 적당한 $ Y \subsetneq X $ 에 대하여 $ X \sim Y $, 즉 $ X $ 의 진부분집합 $ Y $ 가 존재하여 $ X $ 와 $ Y $ 사이에 일대일 대응이 존재할 때 $ X $ 롤 무한집합 (infinite set)이라 하고, 무한이 아닌 집합을 유한집합 (finite set)이라 한다.</p> <p>참고 $ X $ 가 무한집합일 퓔요충분조건은 $f: X \rightarrow X \text { 이고 } f(X) \neq X $인 단사함수가 존재하는 것이다. 임의의 유한집합은 자신의 진부분집합과는 절대로 대등이 될 수 없다.</p> <p>예 공집합은 진부분집합을 갖지 않으므로, 무한집합이 아니다. 따라서 공집합은 유한이다. 또한 $ \{ a \} $ 가 단원집합일 때, $ \{ a \} $ 의 진부분집합은 오직 공집합이고 $ \{ a \} $ 와 $ \varnothing $ 사이에는 일대일 대응이 존재하지 않으므로, $ \{ a \} $ 는 유한집합이 된다.</p> <p>예 자연수의 집합 $ N $ 은 짝수의 집합 $ N_ { e } $ 와 일대일 대응이므로 무한집합이다. 또한 짝수의 집합 $ N_ { e } $ 도 진부분집합인 4 의 배수의 집합과 일대일 대응이 되므로, 무한집합이 된다.</p> <p>예제 $ A $ 가 무한집합이면, $ A \times A $ 도 무한집합이다.</p> <p>증명 $ f: A \rightarrow A $ 를 단사라 하고, $ f(A) \neq A $ 라면 $g(x, y)=(f(x), f(y)) $로 정의된 함수 $ g: A \times A \rightarrow A \times A $ 는 단사이고 $g(A \times A) \neq A \times A $ 가 된다. 따라서 $ A \times A $ 는 무한집합이다.</p> <p>정리 4</p> <p>집합 $ N \times N $ 은 가부번이다.</p> <p>증명 모든 $ (j, k) \in N \times N $ 에 대하여, $ f(j, k)=2 ^ { j } 3 ^ { k } $ 로 주어지는 함수 $ f: N \times N \rightarrow N $ 을 생각하자. 이 함수는 단사이므로 \[N \times N \sim f(N \times N) \subset N \]이고, $ N \times N $ 이 무한이므로 $ f(N \times N) $ 도 무한이다. 그런데 가부번집합의 모든 무한 부분집합은 가부번이므로 $ f(N \times N) $ 는 가부번이고, 따라서 $ N \times N $ 은 가부번이다.</p> <p>참고 $ M=N \cup \{ 0 \} $ 이라 하자. 각 양의 정수 $ a \in N $ 는 $ r, s \in M $ 일 때 $ a=2 ^ { r } (2 s + 1) $ 로 유일하게 표기될 수 있다. 그러면 $f(a)=(r, s) $로 정의되는 함수 $ f: N \rightarrow M \times M $ 은 전단사이므로, $ M \times M $ 은 가부번집합이 된다. 이때 $ N \times N $ 이 $ M \times M $ 의 무한부분집합이므로, 집합 $ N \times N $ 은 가부번이다.</p> <p>따름정리</p> <p>증명 $ f: A \sim N, g: B \sim N $ 이라면 $h(x, y)=(f(x), g(x)) $로 정의된 함수 $ h: A \times B \rightarrow N \times N $ 은 전단사이다. 그러므로 $A \times B \sim N \times N $이 된다. 따라서 정리 4 에 의하여, $ A \times B $ 는 가부번집합이다.</p> <p>예 가산인 두 집합 $ A $ 와 $ B $ 가 모두 공집합이 아니고, $ A, B $ 중 적어도 한쪽이 가부번이면, $ A \times B $ 도 가부번집합이 된다.</p> <p>정리 5</p> <p>각 $ k \in N $ 에 대하여, $ A_ { k } $ 가 $ A_ { j } \cap A_ { k } = \varnothing $ (단, $ j \neq k $ )를 만족하는 가부번집합이면 $ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } $도 가부번집합이다.</p> <p>정리 3</p> <p>두 집합 $ X, Y $ 에 대하여, $ (X-Y) \sim(Y-X) $ 이면 $ X \sim Y $ 가 성립한다.</p> <p>증명 $ f:(X-Y) \sim(Y-X) $ 라 하고, 함수 $ g: X \rightarrow Y $ 를 $g(x)= \left \{\begin {array} { ll } f(x), & x \in X-Y \\x, & x \in X \cap Y \end {array} \right . $로 정의하면 \[X-Y=X-(X \cap Y), Y-X=Y-(X \cap Y) \] 이므로, $ g $ 는 전단사이다. 따라서 $ X \sim Y $ 가 성립한다.</p> <p>정리 4</p> <p>$ X, Y, Z $ 와 $ W $ 가 $ X \cap Z= \varnothing=Y \cap W $ 를 만족하는 집합일 때, $ f: X \sim Y $이고 $ g: Z \sim W $ 이면 $f \cup g:(X \cup Z) \sim(Y \cup W) $가 성립한다.</p> <p>증명 $ f: X \rightarrow Y $ 와 $ g: Z \rightarrow W $ 가 $ X \cap Z= \varnothing $ 인 함수이므로 $f \cup g: X \cup Z \rightarrow Y \cup W $는 함수이다. 또한 $ f, g $ 가 각각 일대일 대응이고 $X \cap Z= \varnothing=Y \cap W $ 이므로, $ f \cup g $ 를 $ h $ 라 하면 함수 $ h $ 는 단사이다. 한편 $h(X \cup Z)=h(X) \cup h(Z)=Y \cup W $ 이므로, 함수 $ h $ 는 전사가 된다. 따라서 함수 $ h $ 는 $ X \cup Z $ 로부터 $ Y \cup W $ 로의 일대일 대응이다.</p> <p>정리 5</p> <p>$ \left \{ X_ {\gamma } \mid \gamma \in \Gamma \right \} $ 와 $ \left \{ Y_ {\gamma } \mid \gamma \in \Gamma \right \} $ 롤 각 $ \gamma \in \Gamma $ 에 대하여 $ X_ {\gamma } \sim Y_ {\gamma } $ 를 만족하는 서로소인 두 집합족이라 할 때 \[ \bigcup_ {\gamma \in \Gamma } X_ {\gamma } \sim \bigcup_ {\gamma \in \Gamma } Y_ {\gamma } \]가 성립한다.</p> <h1>제 5 장 가부번집합과 비가부번집합</h1> <h2>5.1 집합의 대등</h2> <p>두 집합의 원소의 개수를 비교하기 위해서는 먼저 어떤 경우에 두 집합이 같온 원소의 개수를 값는다고 할 수 있겠는가를 분명히 해야 한다. 유한이론 무한이든 간에 두 집합 $ A $ 와 $ B $ 사이에 일대일 대응이 존개하면, 이 두 집합의 원소의 개수가 같다고 볼 수 있다.</p> <p>정의 1 대등 (equipotent)</p> <p>집합 $ X $ 로부터 집합 $ Y $ 로의 일대일 대응인 $ f: X \rightarrow Y $ 가 적어도. 하나 존재할 때, 두 집합 $ X, Y $ 는 '대등'이라 하고 $ X \sim Y $ 로 나타내며, 일대일 대응인 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 를 $ f: X \sim Y $ 로 정의한다. 특히 공집합은 오직 자기 자신과 대등이라고 한다.</p> <p>예 짝수의 집합 $ N_ { e } $ 에 대하여, $ f(x) = 2 x $ 로 주어진 $ f: N \rightarrow N_ { e } $ 는 전단사함수이므로 \[ N \sim N_ { e } \]가 된다. 또한 홀수의 집합 $ N_ { 0 } $ 에 대하여, $ f(x)=2 x-1 $ 로 주어진 함수 $ f: N \rightarrow N_ { 0 } $ 도 전단사이므로 \[ N \sim N_ { 0 } \] 가 된다.</p> <p>예 $ X $ 가 $ n $ 개의 원소롤 갖는 유한집합일 때, 집합 $ Y $ 가 $ X $ 와 대등이기 위해서는 $ Y $ 도 $ n $ 개의 원소를 갖는 유한집합이어야 한다. 따라서 유한집합은 그 진부분집합과 결코 대등이 될 수 없다.</p> <p>참고 모든 집합은 자기 자신과 대등하고 일대일 대응의 역은 역시 일대일 대응이므로, $ X \sim Y $ 이면 $ Y \sim X $ 이다. $ f: X \sim Y $ 이고 $ g: Y \sim Z $ 이면 \[g \circ f: X \sim Z \]이므로, 대등은 동치관계를 만족한다.</p> <p>정리 2</p> <p>집합족 $ \Im $ 에 대하여, $ \Re $ 을 $ X $ 와 $ Y $ 가 $ \Im $ 의 원소이고 $ X \sim Y $ 일 때, 그때에 한하여 $ X \Re Y $ 로써 주어지는 $ \Im $ 에서의 관계라 하면, $ \Re $ 은 $ \mathfrak { I } $ 에서의 동치관계이다.</p> <p>예제 집합 $ A $ 가 무한이고 $ B $ 가 공집합이 아닌 집합이면, $ A \times B $ 는 무한집합이다.</p> <p>증명 $ y $ 가 $ B $ 에서 고정된 원소일 때 $ f(x)=(x, y) $ 로 정의된 합수 $ f: A \rightarrow A \times B $ 는 단사이다. 따라서 $ g: N \rightarrow A $ 가 전단사이면, $ f \circ g: N \rightarrow A \times B $ 는 단사이다. 그러므로 $ A \times B $ 는 가부번부분집합을 포함한다. 따라서 $ A \times B $ 는 무한집합이다.</p> <p>참고 정리 7 의 증명 방법은 매우 쉽고 직관적이다. 그러나 모든 자연수 $ 1,2,3, \cdots $ 에 대하여 $ \mathrm { N } $ 의 원소 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots $ 를 택할 수 있는 배경에는 엄밀히 말해서 선택공리 (제 8 장 참조)가 숨어 있다는 사실에 유의하여야 한다.</p> <p>정리 8</p> <p>$ A $ 가 무한집합이고 $ A $ 의 부분집합 $ B $ 가 가산일 때, $ A-B $ 가 무한집합이면 $A-B \sim A $ 가 성립한다.</p> <p>증명 $ A-B=A_ { 1 } $ 이라 하자. $ A_ { 1 } $ 이 무한집합이므로 $ A_ { 1 } $ 은 가산집합 $ C $ 를 포합한다. 이제 $ A_ { 1 } -C=A_ { 2 } $ 라 하면 $ A $ 는 $ A_ { 2 } $ 와 $ B \cup C $ 와의 직합, $ A_ { 1 } $ 은 $ A_ { 2 } $ 와 $ C $ 와의 직합이 된다. 그런데 $ B \cup C $ 가 가산이므로, $ B \cup C $ 로부터 $ C $ 로의 전단사함수 $ f_ { 1 } $ 이 존재한다. 따라서 $ A $ 로부터 $ A_ { 1 } $ 으로의 \함수 $ f $ 를 $f(a)= \left \{\begin {array} { ll } a & , a \in A_ { 2 } \\f_ { 1 } (a), & a \in B \cup C \end {array} \right . $ 로 정의하면, $ f $ 는 $ A $ 로부터 $ A_ { 1 } $ 으로의 전단사가 된다.</p> <p>증명 각 $ k \in N $ 에 대하여, $ f_ { k } : N \rightarrow N \times \{ k \} $ 를 \[ \forall j \in N, f_ { k } (j)=(j, k) \] 로 주어진 함수라 하자. 그러면 $ f_ { k } : N \rightarrow N \times \{ k \} $ 는 일대일 대응이므로, $ N \sim N \times \{ k \} $ 이다. 그런데 각 $ k \in N $ 에 대하여 $ A_ { k } \sim N $ 이므로, $ N \sim N \times \{ k \} $ 로 부터 \[ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } \sim \bigcup_ { k \in N } A_ { k } \times \{ k \} \]를 얻는다. 여기서 집합 $ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } \times \{ k \} $ 는 가부번집합 $ N \times N $ 과 같다. 따라서 $ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } $ 는 가부번집합이다.</p> <p>따름정리</p> <p>각 $ k \in N $ 에 대하여 집합 $ B_ { k } $ 가 가부번이면 $ \bigcup_ { k \in N } B_ { k } $ 도 가부번집합이다.</p> <p>증명 $ A_ { 1 } =B_ { 1 } $ 이고 각 $ k \in N $ 에 대하여 $A_ { k + 1 } =B_ { k + 1 } - \bigcup_ { j=k } ^ { k } A_ { j } $ 라면, $ \left \{ A_ { k } \mid k \in N \right \} $ 은 서로소인 가산집합의 가부번족이다. 더욱 $ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } = \bigcup_ { k \in N } B_ { k } $ 이고, $ A_ { 1 } $ 과 $ B_ { 1 } $ 은 가부번집합이다. 따라서 정리 5 롤 이용하면, $ \bigcup_ { k \in N } A_ { k } $ 는 가부번집합 이므로, $ \bigcup_ { k \in N } B_ { k } $ 도 가부번집합이 된다.</p> <p>예 소수의 집합 $ P= \{ x \mid x $ 는 소수 $ \} $ 는 자연수의 집합 $ N $ 의 무한부분집합이므로, $ P $ 는 가부번이다.</p> <p>따름정리</p> <p>가산집합의 입의의 부분집합은 가산집합이 된다. $ A $ 가 유한집합이고 $ B $ 가 가부번집합일 때, 합집합 $ A \cup B $는 가부번이다. 한편 두 가부번집합 $ N_ { e } $ 와 $ N_ { 0 } $ 의 합 $ N_ { e } \cup N_ { 0 } $ 도 $ N $ 과 같으므로 가부 번이된다.</p> <p>정리 3</p> <p>두 가부번집합의 합집합은 가부번이다.</p> <p>증명 $ A $ 와 $ B $ 를 임의의 두 가부번집합이라 하고, 다음 두 경우에 있어서 $ A \cup B $ 가 가부번임을 밝힌다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A \cap B= \varnothing $ 일 경우: $ A \sim N $ 이고 $ N \sim N_ { 0 } $ 이므로 $ A \sim N_ { 0 } $ 이다. 같은 방법으로 $ B \sim N_ { e } $ 이다. 따라서 $(A \cup B) \sim \left (N_ { 0 } \cup N_ {\varepsilon } \right )=N $이므로 $ A \cup B $ 는 가부번이다.</li> <li>$ A \cap B \neq \varnothing $ 일 경우: $ C=B-A $ 라 하면 $ A \cup C=A \cup B $ 이고 $ A \cap C= \varnothing $ 이므로 $ C \subset B $ 는 유한 또는 가부번이다. $ C $ 가 유한이면 $ A \cup C $ 는 가부번이고, 한편 $ C $ 가 가부번이면 $ A \cup C $ 는 경우 (1)에 의하여 가부번이다. 따라서 $ A \cup B $ 는 가부번이다.</li></ol> <p>따름정리</p> <p>$ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $ 이 가부번집합이면, $ \bigcup_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } $ 도 가부번집합이다.</p> <p>예 정수의 집합 $ Z $ 는 가부번이다. 왜나하면 $Z= \{ 1,2,3, \cdots \} \cup \{ 0 \} \cup \{ -1,-2,-3, \cdots \} $에서 집합 $ N $ 과 $ -N $ 은 가부번이고 $ \{ 0 \} $ 은 유한이므로, $ Z $ 는 가부번집합이 된다.</p> <p>따름정리 1</p> <p>실수의 집합 $ R $ 은 비가부번이다.</p> <p>증명 $ R \sim(0,1) $ 이고 열린구간 $ (0,1) $ 이 비가부번집합이므로, 실수의 집합 $ R $ 은 비가부번이다.</p> <p>따름정리 2</p> <p>무리수의 집합 $ Q ^ { C } $ 는 비가부번이다.</p> <p>증명 $ Q ^ { c } >$ 가 가부번집합이라면 $R=Q \cup Q ^ {\mathrm { C } } $ 은 가부번이다. 그런데 이것은 모순이다. 따라서 $ Q ^ { c } $ 은 비가부번집합이다.</p> <p>예 0 과 1 사이에 있는 모든 무리수의 집합은 비가부번이다.</p> <p>정의 12 대수적수와 초월수</p> <p>정수 계수를 가지는 대수방정식을 정수 계수 대수방정식이라 한다. 이때 대수방정식의 근이 되는, 복소수를 대수적수 (algebraic number)라 하고, 대수저수가 아닌 수를 초월수 (transcendental number)라고 한다.</p> <p>초월수가 존재함을 최초로 발견한 사람은 리우빌 (Liouville)이고, 1874년에 칸토어는 임의의 구간 속에는 초월수가 무한히 많이 있음을 밝혔다.</p> <p>1873년에 $ e $ 의 초월성이 에르미트(Hermite)에 의해서, 1882년에 $ \pi $ 의 초월성이 린데만 (Lindemann)에 의해서 각각 증명되었다.</p> <p>참고 모든 대수적수의 집합을 $ K $ 라 하고 $ C $ 를 복소수의 집합이라 하면, $ Q \subset K \subset C $ 이고 $ K $ 는 가부번집합이다. 그런데 복소수의 집합은 비가부번이고 대수젹수 전체는 가부번집합이므로, 대수적수가 아넌 초월수가 존재한다는 것은 바로 알 수 있다.</p> <h2>5.4 페아노 공리계</h2> <p>일반적으로 수학 연구롤 위하여 새로운 대상을 도입하는 데는 두 가지 방법, 즉 공리적 방법 (axiomatic approach)과 구성적 방법 (constructive approach)이 있다.</p> <p>자연수의 집합 $ N= \{ 1,2,3, \cdots \} $ 는 수학의 가장 기본적인 대상이며 출발점이다. 19 세기 말 이탈리아의 수학자인 페아노 (Peano)는 다음 공리계, 즉 페아노 공리계를 자연수론의 기초로 삼았다. 이 공리계에서 자연수의 모든 성질을 유도할 수 있는데, 이것을 가장 완전하게 실행해 보인 학자는 란다우(Landau)이다. 페아노는 공리계를 형식적으로 기술하는데 있어서 집합과 논리에 관해 자기만의 독자적인 기호를 사용했다. 그 기호법 중에는 현재 사용되고 있는 것도 있으나 그렇지 않는 것도 있다. 따라서 여기서는 현대식으로 변형하여 기술하기로 한다.</p> <p>먼저 자연수의 집합을 뜻하는 $ N $, 가장 작은 자연수를 뜻하는 1 , ' 1 을 더한다.'는 뜻에서 '크기의 차례로 다음 수'를 나타내는 함수 $ \varphi $ 를 마련한다.</p> <p>정리 4</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여, $ A \sim B $ 이면 $ \wp(A) \sim \wp(B) $가 성립한다.</p> <p>증명 $ f: A \sim B $ 라면, 모든 $ X \in \wp(A) $ 에 대하여 $f ^ { * } (X)=f(X) $ 로 정의된 함수 $ f ^ { * } : \wp(A) \rightarrow \wp(B) $ 를 얻는다. 여기서 함수 $ f $ 가 전단사이므로, $ f * $ 도 전단사이다.</p> <p>정리 5</p> <p>집합 $ X $ 가 무한이고 $ x_ { 0 } \in X $ 이면, $ X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $ 도 무한집합이다.</p> <p>증명 집합 $ X $ 가 무한이므로, $ f(X) \neq X $ 인 단사함수 $ f: X \rightarrow X $ 가 존재한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ x_ { 0 } \in f(X) $ 인 경우: $ f \left (x_ { 1 } \right )=x_ { 0 } $ 와 같은 원소 $ x_ { 1 } \in X $ 가 존재하므로, 함수 $g: X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \rightarrow X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $는 다음과 같이 정의될 수 있다. 여기서 $ x_ { 2 } $ 는 공집합이 아넌 $ X-f(X) $ 에 속하는 입의로 고정된 원소이다. 그러 면 함수 $ g: X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \rightarrow X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $ 는 단사이고. \[ \begin {aligned} g \left (X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \right ) &=g \left (X- \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } \right \} \right ) \cup g \left ( \left \{ x_ { 1 } \right \} \right ) \\ &=f \left (X- \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } \right \} \right ) \cup \left \{ x_ { 2 } \right \} \\ &= \left (f(X)- \left \{ f \left (x_ { 0 } \right ), f \left (x_ { 1 } \right ) \right \} \right ) \cup \left \{ x_ { 2 } \right \} \\ & \neq X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \end {aligned} \] 가 성립한다. 따라서 집합 $ X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $ 는 무한이다.</li> <li>$ x_ { 0 } \in X-f(X) $ 인 경우: 임의의 $ x \in X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $ 에 대하여, $ g(x)=f(x) $ 로부터 함수 $ g: X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \rightarrow X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $를 정의하면 $ f: X \rightarrow X $ 가 단사이므로, 함수 $ g $ 도 단사이다. 한편 \[ g \left (X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \right )=f(X)- \left \{ f \left (x_ { 0 } \right ) \right \} \neq X- \left \{ x_ { 0 } \right \} \]가 성립한다. 따라서 집합 $ X- \left \{ x_ { 0 } \right \} $ 는 무한이다.</li></ol> <p>따름정리</p>	자연
기초미적분학_초월함수 미분법	<h1>9.1. 삼각함수 미분법</h1> <p>이제 삼각함수 미분법을 알아보자. 먼저 $ \sin x $ 에 대한 미분공식을 얻으면 이로부터 다른 삼각함수의 미분공식을 얻을 수 있는데 $ \sin x $ 의 미분공식을 얻으려면 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } $ 의 극한값을 알아야 한다.</p> <p>정리 $ 9.1.1 $ $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } = 1 $</p> <p>증명</p> <p>$ (1) $ $ 0<x< \frac {\pi } { 2 } $ 일 때 그림과 같이 중심이 $ O $ 인 단위원 위에 $ \angle A O B=x $ 인 원 위의 두 점 $ A, B $ 를 잡는다. 점 $ A $ 에서 이 원에 그은 접선이 선분 $ O B $ 의 연장선과 만나는 점을 $ T $ 라 할 때 $ \triangle O A B $ 의 넓이<부채꼴 $ O A B $ 의 넓이 $< \triangle O A T $ 의 넓이이므로 $ \frac { 1 } { 2 } \sin x< \frac { 1 } { 2 } x< \frac { 1 } { 2 } \tan x $, 즉 $ \sin x<x< \tan x $이다. $ \sin x>0 $ 이므로 $ \sin x $ 로 나누고 역수를 취하면 $ 1< \frac { x } {\sin x }< \frac { 1 } {\cos x } , \quad $ 즉 $ \cos x< \frac {\sin x } { x }<1 $.여기서 $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \cos x=1 $ 이므로 $ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\sin x } { x } =1 $</p> <p>$ (2) $ $ - \frac {\pi } { 2 }<x<0 $ 일 때 $ -x=t $ 로 놓으면 $ x \rightarrow 0- $ 일 때 $ t \rightarrow 0 + $ 이므로 $ \lim _ { x \rightarrow 0- } \frac {\sin x } { x } = \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\sin (-t) } { (-t) } = \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \frac {\sin t } { t } =1 $이다. 이상 $ (1), (2) $에 의하여 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } =1 $</p> <p>예제 9.1.1 다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } { 3 x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } {\sin 3 x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { x + \sin x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ 4 x=t $로 놓으면 $ x \rightarrow 0 $일 때 $ t \rightarrow 0 $이므로 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } { 3 x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } { 4 x } \frac { 4 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 } \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } = \frac { 4 } { 3 } $</li> <li>$ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } {\sin 3 x } &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } { 4 x } \cdot \frac { 3 x } {\sin 3 x } \cdot \frac { 4 x } { 3 x } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } { 4 x } \cdot \frac { 1 } {\frac {\sin 3 x } { 3 x } } \cdot \frac { 4 } { 3 } =1 \cdot 1 \cdot \frac { 4 } { 3 } = \frac { 4 } { 3 } \end {aligned} $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } { x + \sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 1 + \frac {\sin x } { x } } = \frac { 1 } { 2 } $</li></ol> <p>유제 9.1.1 다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\tan x } { x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\cos x-1 } { x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin 4 x } {\tan x } $</li></ol> <p>예제 9.1.2 다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow \pi } \frac {\sin x } { x- \pi } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \sin x) } { x } $</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>$ x- \pi=t $로 놓으면 $ x \rightarrow \pi $일 때 $ t \rightarrow 0 $이므로 $ \lim _ { x \rightarrow \pi } \frac {\sin x } { x- \pi } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \pi + t) } { t } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { - \sin t } { t } =-1 $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \sin x) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \sin x) } {\sin x } \frac {\sin x } { x } $이고 $ \sin x=t $로 놓으면 $ x \rightarrow 0 $일 때 $ t \rightarrow 0 $이므로 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \sin x) } {\sin x } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin t } { t } =1 $이다. 따라서 $ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \sin x) } { x } =1 $.</li></ol> <p>유제 9.1.2 다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \lim _ { x \rightarrow \pi } \frac {\tan x } {\pi-x } $</li> <li>$ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos 3 x } { x ^ { 2 } } $</li></ol>	자연
최대 전력수요 예측을 위한 시계열모형 비교	<p>또한, 국내 수요예측 및 판매량 예측모형으로 주로 사용되는 회귀모형을 이용하여 전력수요를 예측하였다. 기존 문헌 연구를 종합해보면 에너지 수요에 영향을 미치는 요인으로는 추세적 요인, 기온, 요일 등을 들 수 있다. 물론 전력 분석은 최근의 이상 기온 변화 및 경제효과 등 많은 외부적 영향을 반영하지 못하고 있고, 시간적 흐름의 변화를 모형에 반영하여 분석하는 시계열모형에 대한 연구 방향과 개념 정립이 시급하다. 전력수요 예측에 영향을 주는 주요 인자인 온도와 같은 외부변수들을 효과적으로 반영하는 예측 모형의 개발이 필요하다.</p> <p>본 논문에서는 이러한 예측을 위해 한국전력공사에서 제공하는 2010년부터 2020년까지의 전력수요 데이터를 바탕으로 평활법, SARIMA와 GARCH를 통해 전력수요의 예측을 수행하였으며, 각 결과를 비교 수행하였다. 또한, 기상청에서 제공하는 동기간의 온도 데이터와 주말과 공휴일을 고려하여 회귀분석을 수행하여 시계열 예측값과의 가중평균을 수행하여 더욱 정밀한 예측을 수행하였다. 가법적 및 승법적 계절지수평활법, seasonal ARIMA, ARCH모형과 같은 시계열모형을 이용한 전력수요 예측을 각 변수의 결정 및 정상화를 확보하면서 수행하였다. 전력수요와 외부변수와의 관계를 분석하고 이를 바탕으로 온도에 대한 회귀모형을 개발하였으며, 가중평균모형을 활용하여 온도변수를 고려한 정밀한 전력수요 예측을 수행하였다. 본 연구에서 제시한 일별 전력수요 예측치는 단기 전력수요를 예측함으로써 수소에너지 생산과 같은 에너지저장시스템의 활용에 지원할 수 있다.</p> <h1>2. 전력수요 예측방법</h1> <h2>2.1. 평활법</h2> <p>평활법은 시계열 데이터에 대해 이동평균 등의 방법을 사용하여 불규칙변동을 평활하여 미래의 값을 예측하는 방법이며 본 논문에서는 전력수요가 계절에 따라 변하는 특성을 고려하여 계절지수평활법(seasonal exponential smoothing method)을 가법적과 승법적에 대해 각각 수행하였다. 이 프레임워크는 신뢰할 수 있는 예측을 신속하게 생성하고 광범위한 시계열에 대한 예측을 생성하는데 이는 업계의 애플리케이션에 큰 이점과 중요한 중요성을 제공한다.</p> <p>가법적 계절지수평활에 의한 예측방법 (Winters, 1960)은 선형추세성과 가법 계절변동을 갖는 시계열에 적용하는 방법이다. 가법적 계절지수평활법(additive seasonal exponential smoothing method)에서 예측식은 시계열 패턴의 세 가지 성분인 수평성, 추세성, 계절성을 평활한 세 성분의 합으로 나타난다. 즉, 현재시점이 $ n $인 경우에 $ l $시점 후의 예측값은 식 (2.1)과 같이 나타난다.</p> <p>$ \begin {aligned} F_ { n + l } & = a_ { n } + b_ { n } l + S_ { n + l-L } \quad l=1,2, \ldots, L, \\ a_ { n } &= \alpha \left (Z_ { n } -S_ { n-L } \right ) + (1- \alpha) \left (a_ { n-1 } + b_ { n-1 } \right ), \\ b_ { n } &= \beta \left (a_ { n } -a_ { n-1 } \right ) + (1- \beta) b_ { n-1 } , \\ S_ { n } &= \gamma \left (Z_ { n } -a_ { n } \right ) + (1- \gamma) S_ { n-L } . \end {aligned} $<caption>(2.1)</caption></p> <p>끝으로, 외부 변수의 영향을 비교하기 위해 설명변수를 제외한 전력수요 로그분에 대한 AR(1)-GARCH(1, 1) 시계열모형은 식 (2.8)과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log \left (x_ { t } \right ) &= \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } \log \left (x_ { t-1 } \right ) + \epsilon_ { t } , \\ \epsilon_ { t } &= \phi_ { 1 } \epsilon_ { t-1 } + \phi_ { 2 } \epsilon_ { t-1 } + \cdots + \phi_ { k } \epsilon_ { t-k } + v_ { t } , \\ v_ { t } &= \sqrt { h_ { t } } e_ { t } , \\ h_ { t } &= \alpha_ { 0 } + \alpha_ { 1 } v_ { t-1 } ^ { 2 } + \beta_ { 1 } h_ { t-1 } , \quad e_ { t } \sim N(0,1) . \end {aligned} $<caption>(2.8)</caption></p> <h2>2.5. 온도에 대한 모형 및 가중평균모형</h2> <p>전력수요 예측에 있어 설명변수인 온도, 주말, 공휴일이 중요한 설명변수로 이에 대한 가중평균모형들을 다음과 같이 고려한다.</p> <p>$ y_ { t } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } \left \|T-T_ { 0 } \right \| + \beta_ { 2 } \text { Weekend } + \beta_ { 3 } \text { holiday } + \varepsilon_ { t } , \quad \varepsilon_ { t } \sim N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) . $<caption>(2.9)</caption></p> <p>Figure 1에서 보이듯이 전력수요와 온도는 15 도를 경계로 대칭을 보이므로 $ T_ { 0 } $는 15로 설정하였다. 식 (2.9)에서 $ y $는 최대전력수요, $ T $는 온도, $ T_ { 0 } $는 중심온도이다. weekend와 holiday는 가변수로서 1 또는 0을 배당한다. 최대전력수요는 Figure 2에서 보이는 바와 같이 해가 지날수록 증가하는 추세를 보인다. 이러한 추세는 온도모형만으로는 설명하기 어렵기 때문에 가장 최근의 데이터를 이용하여 회귀계수를 수정해 주어야 한다. 따라서 온도 모형에 의한 결과에 추세를 적용한 시계열 예측 결과를 적절히 혼합하여 전력수요를 설명하면 보다 정확한 예측이 가능할 것이다. 이를 위해 본 논문에서는 시계열 예측 결과에 회귀모형 예측결과를 반영한 가중평균모형을 제안한다.</p> <p>여기서 $ L $은 계절성의 길이 $ S_ { n } $은 계절인자, $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $는 평활상수를 나타낸다.</p> <p>승법적 계절지수평활에 의한 예측방법 (Winters, 1960)은 홀트의 선형지수평활법을 확장시킨 방법으로, 관측된 시계열이 선형추세성과 승법적 계절변동을 나타낼 때 적용하는 방법이다. 윈터스의 승법적 계절지수 평활법(multiplicative seasonal exponential smoothing method)은 다음과 같이 시계열 패턴의 세 가지 성분인 수평성, 추세성, 계절성을 평활하는 세 개의 방정식과 예측식으로 구성된다. 즉 현재 시점이 $ n $인 경우에 $ l $시점 후의 예측값 $ F_ { n + 1 } $은 식 (2.2)과 같이 나타난다.</p> <p>$ \begin {aligned} F_ { n + l } &= \left (a + b_ { n } l \right ) S_ { n + l-L } \quad l=1,2, \ldots, L, \\a_ { n } &= \alpha \frac { Z_ { n } } { S_ { n-L } } + (1- \alpha) \left (a_ { n-1 } + b_ { n-1 } \right ), \\b_ { n } &= \beta \left (a_ { n } -a_ { n-1 } \right ) + (1- \beta) b_ { n-1 } , \\S_ { n } &= \gamma \frac { Z_ { n } } { a_ { n } } + (1- \gamma) S_ { n-L } . \end {aligned} $<caption>(2.2)</caption></p> <h2>2.2. Seasonal ARIMA 모형</h2> <p>Box 등 (1994)은 시계열 자료가 계절성(seasonality)이나 주기적 특성(periodicity)이 있을 때 활용할 수 있는 시계열 분석(time series analysis) 기법 중 하나인 seasonal autoregressive integrated moving average (SARIMA)을 제안하였다. ARIMA 모형에 주기적인 특성이나 계절성을 반영한 모형이 SARIMA 모형이다. SARIMA 모형은 ARIMA 모형처럼 예측하고자 하는 시점으로부터 가까운 과거 자료들을 이용할 뿐만 아니라, 자료의 주기적인 특성, 계절성을 반영했기 때문에 이전 주기의 자료를 추가적으로 활용한다. $ \operatorname { SARIMA } (p, d, q) \times(P, D, Q)_ { s } $ 모형의 일반식은 식 (2.3)과 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \phi_ { p } (B) \Phi_ { P } (B) W_ { t } &= \theta_ { q } (B) \Theta_ { Q } (B) e_ { t } , \\ \phi_ { p } (B) &=1- \phi_ { 1 } B- \cdots \phi_ { p } B ^ { p } , \\ \Phi_ { P } (B) &=1- \Phi_ { 1 } B ^ { s } - \cdots- \Phi_ { P } B ^ { P_ { s } } , \\ \theta_ { q } (B) &=1- \theta_ { 1 } B- \cdots- \theta_ { q } B ^ { q } , \\ \Theta_ { Q } (B) &=1- \Theta_ { 1 } B ^ { s } - \cdots- \Theta_ { Q } B ^ { Q_ { s } } , \\ W_ { t } &= \nabla ^ { d } \nabla_ { s } ^ { D } X_ { t } . \end {aligned} $<caption>(2.3)</caption></p> <p>가중평균모형을 시계열 분석에 적용하기 위해서 여러가지 시계열모형(가법 계절지수평활법, 승법 계절지수평활법, Seasonal ARIMA 모형)의 예측 결과 $ X_ { t } $와 온도에 대한 회귀모형의 예측 결과 $ Y_ { t } $에 적절한 가중치를 부여한다면 추세와 설명변수에 의한 변화를 동시에 반영할 수 있다. 이때, 가중평균에 의한 최종 수요 $ Z_ { t } $는 식 (2.10)과 같이 표현된다.</p> <p>$ Z_ { t } =w_ { t } \hat { X } _ { t } + \left (1-w_ { t } \right ) \hat { Y } _ { t } . $<caption>(2.10)</caption></p> <p>여기서 $ \hat { X } _ { t } $와 $ \hat { Y } _ { t } $는 각각 Seasonal ARIMA 모형과 온도에 대한 회귀모형에 의한 수요의 추정치를 나타낸다. 최근 $ n $ 일 간의 상대오차제곱합(sum of squared errors)를 최소화하여 식 (2.11)를 유도하였다.</p> <p>$w_ { t } = \frac {\sum_ { k=t-1 } ^ { t + n } \frac {\left (z_ { k } - \hat { Y } _ { k } \right ) \left ( \hat { x } _ { k } - \hat { Y } _ { k } \right ) } { z_ { k } ^ { 2 } } } {\sum_ { k=t-1 } ^ { t + n } \frac {\left ( \hat { x } _ { k } - \hat { Y } _ { k } \right ) ^ { 2 } } { z_ { k } ^ { 2 } } } . $<caption>(2.11)</caption></p> <p>식 (2.11)의 사용은 실제 예측에 있어 매우 우수한 성능을 보인다.여기서 중요한 것은 바로 $ n $ 값에 따라 예측 성능이 결정된다는 점이다. 따라서 $ n $ 값의 선택이 매우 중요하다. 본 연구에서는 경험적인 방법을 통해 연간 평균절대오차(mean absolute error, MAE)를 최소화하는 $ n $ 값을 최적의 값으로 결정하였다. 가중평균모형은 $ w_ { t } $의 값이 음이거나 1보다 큰 경우가 발생하는데 이는 가중평균의 개념과는 거리가 있다. 이 경우, 음에 대해서는 0, 1 보다 큰 값에 대해서는 1을 취하면 된다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>최근 전력수요의 둔화와 신재생에너지의 계통 병입에 따른 전력불균형으로 인한 전력예비율이 최대 $ 50 \% $를 초과하고 있다. 신재생에너지의 간헐적 계통 병입으로 인한 계통 초과 부하를 제어하고 국가적 에너지 낭비를 줄이기 위해 잉여 전력의 2차적 에너지원으로 저장하려는 시도를 한국전력공사 주도로 하고 있다. 이를 위해 주파수 조정으로 사용하는 배터리 대신 장기 에너지 저장 시스템을 도입하고 있는 추세이다. 에너지 저장과 청정 에너지원 공급을 위해 수소에너지(연료전지, 수소연소, 암모니아 연소 등)를 잉여 전력으로 이용하여 생산하려고 하고 있다. 이를 위해서는 전력수요의 예측을 통해 잉여 전력의 정확한 계산이 필수적이다.</p> <p>또한, 전력 생산은 스마트 그리드, 전기 자동차 및 재생 에너지 생산과 같은 혁신 기술의 등장으로 인해 변동성이 증가하는 추세에 있다. 신재생에너지 사용에 따라 화력 및 원자력발전과 같은 전통 전력생산의 조절이 푈요하게 되어 더욱더 단기 전기 부하 예측(시간/일), 중기(월/년) 및 장기(5년/30년) 예측은 최근까지 산업계와 학계로 부터 많은 관심을 받아왔다. 전기 사업자에게 있어 전력수요 예측은 전력 시장에서 생산 계획 및 거래를 위한 가장 중요한 항목 중 하나이기 때문에 핵심 활동이다.</p> <p>전력수요 예측에 대한 연구는 다양한 형태로 활발히 이루어지고 있다. 부하 예측에 관한 문헌은 풍부하며, 전체 국가, 대도시 또는 지역에 대한 집계 수준의 전력수요 예측에 관한 많은 연구가 수행되었다. 고전적인 통계 분석 방법은 (Amjady 등, 2001) seasonal autoregressive integrated moving average (SARIMA) 모형과 지수평활법을 단기적 관점에서 전기 수요 예측에 적용하였다. Taylor와 Buizza (2003)에 제시된 상태 공간 모형은 전기 데이터의 부드러운 변화에 적응하는 흥미로운 예측 능력을 보여준다. 기계 학습 방법에 기초한 다른 접근법도 Kalimoldayev 등 (2020)과 같이 좋은 결과를 제공한다.</p> <p>Park 등 (2013)은 외부변수에 대한 회귀분석과 AR 모형의 가중평균을 통해 도시가스 일일 수요의 단기 예측을 수행하였다. Jung과 Kim (2014)은 온도와 계절성을 고려한 시계열모형으로 전력수요를 예측하였다. Lee 등 (2019)은 SARIMA 모형을 이용하여 한 생산시설에 수집된 전력사용량 시계열 데이터를 활용하여 최대 전력사용량 예측을 수행하여 우수한 예측성능을 보여주었다. 하지만 온도 등 외부변수 변화에 따른 기간별 특성을 고려하면 더욱 신뢰성 높은 전력수요 예측을 할 수 있으리라 기대된다.</p> <p>본 연구는 10년간의 전력수요 데이터를 바탕으로 제시된 외부변수를 고려한 시계열모형을 사용하여 전기수요를 15일 앞까지 예측하는 것을 고려한다. 일일 간격으로 기록된 일련의 수요에는 두 개 이상의 계절 패턴이 포함되어 있다. 한 주내 계절 주기는 하루에서 다음까지 전력수요 프로필의 유사성에서 명백하며, 인접한 주일에 대한 수요를 비교할 때, 일 년내 계절 주기가 분명하다. 계절성을 모두 포착할 수 있는 예측 방법을 사용하는 데는 큰 매력이 있다. 이를 위해 먼저 계절지수평활법이 이 목적을 위해 적용되었다. 이 논문에서는 홀트-윈터스 지수평활법을 적용하여 두 계절성을 수용할 수 있다.</p> <h2>3.3. 예측</h2> <p>모형의 예측 성능을 비교하기 위하여 mean absolute error (MAE)와 mean absolute percentage error (MAPE)를 사용하였으며 각 모형에 대한 값은 Table 3과 같다.</p> <p>$ \text { MAE } = \frac { 1 } { n } \sum_ { t=1 } ^ { n } \left \|Y_ { t } -F_ { t } \right \|, \quad \text { MAPE } = \frac { 1 } { n } \sum_ { t=1 } ^ { n } \left \| \frac { Y_ { t } -F_ { t } } { F_ { t } } \right \| \times 100( \%) . $<caption>(3.1)</caption></p> <p>각 모형별 예측력이 가장 좋은 모형은 모형7)로서 설명변수를 고려한 $ \operatorname { AR } (1)- \mathrm { GARCH } (1,1) $ 회귀모형이며 이때 평균 절대 예측오차는 1,289로 나타나며 이때 MAPE는 0.017로 낮은 오차 비율을 보여준다. 모형7)의 모수 추정치는 Table 4와 같고 예측치를 실제값과 비교한 그림은 Figure 4와 같다.</p> <p>이 때, $ n $은 예측에 사용한 데이터의 수이고 $ (n=15) $, $ Y_ { t } $는 $ t $ 시점에서의 실제 값, $ F_ { t } $는 $ t $ 시점에서의 예측 값을 의미한다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>본 연구는 여러 가지 시계열 예측방법에 대하여 비교분석하였다. 즉 가법 및 승법 Smoothing, SARIMA 모형을 이용하였고 또한 최대전력수요에 대한 예측을 보다 정확하게 하기 위하여 설명변수를 고려한 회귀모형을 이용하여 모형의 적합성을 높였다. 또한 시계열 모형을 보완하도록 가중평균모형을 제안하여 온도, 주말, 공휴일 변수를 추가하였으며 종합적으로 예측비교를 수행한 결과 AR-GARCH 회귀모형이 가장 좋은 예측력을 보여 주었다. 한편, 온도와 추세성을 고려한 가중중평균모형에서 가중치 0.8로서 시계열 모형의 예측부분이 온도의 회귀모형 예측값 보다 큰 영향을 미침을 보였다.</p> <h1>요약</h1> <p>본 연구에서는 여러가지 시계열 모형 중 평활법(가법계절지수, 승법계절지수), 계절 ARIMA 모형, AR-ARCH 그리고 AR-GARCH 회귀모형을 이용하여 최대 전력수요를 예측하는 방법을 연구하였다. 이 때 가중 평균모형으로 추세를 갖는 시계열 모형과 온도에 대한 회귀 모형을 적절한 가중치로 예측 정확도를 높이는 방법도 연구하였다. 결과적으로 AR-GARCH 회귀모형으로 예측하는 것이 가중 우수함을 보였다.</p> <h1>3. 전력수요 예측모형의 개발</h1> <p>본 논문에서는 총 8가지의 데이터 모형을 바탕으로 일별 최대전력수요를 15일간 예측하여 비교하였다. 본 논문에서 식 (2.1)-(2.8)을 이용한 모형은 다음과 같다.<ol type=1 start=1><li>가중평균모형을 사용한 가법적 지수평활법(additive smoothing + weighted average)</li> <li>가중평균모형을 사용한 승법적 지수평활법(multiplicative smoothing + weighted average)</li> <li>가중평균모형을 사용한 계절 ARIMA(SARIMA + weighted average)</li> <li>자귀회귀오차모형(autoregressive error model)</li> <li>설명변수를 고려한 회귀모형(regression)</li> <li>설명변수를 고려한 AR-ARCH 회귀모형(AR-ARCH regression)</li> <li>설명변수를 고려한 AR-GARCH 회귀모형(AR-GARCH regression)</li> <li>시차만 설명변수로 고려한 AR-GARCH모형(AR-GARCH)</li></ol>위 8가지 모형에 대해 시계열모형 적합성을 살펴보고 15 일간 예측에 대해 평균잔차를 계산함으로써 각 모형의 예측력을 MAE 기준에서 비교하였다.</p> <h2>3.1. 데이터설명</h2> <p>본 논문에서 이용한 데이터는 2010년 1월부터 2020년 12월까지 일별 최대 전력수요 데이터이다. 이 중 2010년 1월 1일부터 2020년 12월까지의 데이터를 트레이닝 데이터(training data)로써 모형 적합에 사용하고 2020년 12월 17일부터 2020년 12월 31일까지 15일치의 데이터를 테스트 데이터(test data)로써 모형 성능을 평가하는데 사용하였다. Figure 2로 부터 전력수요 데이터는 시간의 흐름에 따라서 변동이 증가하고 계절성을 나타내는 특징을 갖고 있는 것을 알 수 있다. 또한, Figure 2에서 1년간의 전력수요를 보면 주말과 공휴일에 전력수요가 낮아지는 경향을 보이고 있다. 따라서 본 논문에서는 일별 전력수요를 예측하기 위한 수리적 모형을 전개한다. 본 논문에서 제시하는 모형은 온도, 주말, 공휴일의 설명변수를 고려한 시계열 분석과 가중평균법을 기반으로 하고 있어 모형의 이해가 쉽고 사용이 용이하다는 장점이 있다.</p> <h2>3.2. 시계열모형</h2> <p>8가지 모형에 대해 시계열 적합성을 보기 위해 각 모형에 대한 최적화를 수행하였다. 모형3)인 seasonal ARIMA 모형은 변동이 시간에 따라 증가하는 경향이 있어 $ \log $ 변환을 하여 분산을 안정화 시키고 계절성이 보여 계절 차분을 하였다. Seasonal ARIAM 모형에서 Akaike's information criterion (AIC)가 최소인 모형으로 식별하였다. Table 1과 같이 AIC를 고려한 최적 모형은 $ \mathrm { SARIMA } (1,1,1) \times(1,1,0)_ { 7 } $ 였다. 전력수요량에 대하여 조건부 최소제곱법에 의해 추정된 결과는 Table 2와 같다. 추정된 모든 모수의 $ p $-value 는 $ 0.05 $ 보다 작아 유의하게 나타났다.</p> <p>또한, 시계열분석과 회귀분석의 가중치를 결정하기 위해 가중치별 잔차 평균은 Figure 3에서 보여 가중치( $ w $)는 0.8로 결정하였다.</p> <p>여기서, $ X_ { t } $는 원시계열 자료, $ W_ { t } $는 차분된 시계열 자료, $ t $는 시간을 나타내는 연산자, $ e_ { t } $는 $ N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) $을 따르는 오차항(백색잡음), $ B $는 후향연산자, $ p $는 $ \mathrm { AR } $항의 차수, $ q $는 $ \mathrm { MA } $항의 차수, $ d $는 차분의 차수, $ P $는 계절 $ \mathrm { AR } $항의 차수, $ Q $는 계절 $ \mathrm { MA } $항의 차수, $ D $는 계절차분의 차수, $ s $는 계절시차를 나타낸다.</p> <h2>2.3. k 차 자기회귀오차모형</h2> <p>오차들이 시간에 따른 자기상관관계를 갖는 경우에 적합하는 자기회귀오차모형(autoregressive error model)을 전력수요에 적용하면 주로 7일의 주기성을 보이므로 8차항으로 자귀회귀오차모형을 만들 수 있다. 전력수요에 $ \log $를 계산하여 정상성을 확보한다.</p> <p>$ \log \left (x_ { t } \right )= \epsilon_ { t } = \phi_ { 0 } + \phi_ { 1 } \epsilon_ { t-1 } + \phi_ { 2 } \epsilon_ { t-1 } + \cdots + \phi_ { k } \epsilon_ { t-k } + v_ { t } , \quad v_ { t } \sim N(0,1) $<caption>(2.4)</caption></p> <p>위의 자기회귀오차모형에 온도, 주말, 공휴일의 변수를 고려하고 AR(1)을 추가한 회귀모형은 식 (2.5)와 같다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log \left (x_ { t } \right ) &= \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } \log \left (x_ { t-1 } \right ) + \beta_ { 2 } \mid \text { temp } -15 \mid + \beta_ { 3 } \text { weekend } + \beta_ { 4 } \text { holiday } + \epsilon_ { t } , \\ \epsilon_ { t } &= \phi_ { 1 } \epsilon_ { t-1 } + \phi_ { 2 } \epsilon_ { t-1 } + \cdots + \phi_ { k } \epsilon_ { t-k } + v_ { t } , \quad v_ { t } \sim N(0,1) . \end {aligned} $<caption>(2.5)</caption></p> <h2>2.4. AR-ARCH 회귀모형</h2> <p>Engle (1982)은 시계열의 분산 변화를 반영하는 $ p $차 자기회귀 조건부 이분산모형 제안을 제시하였다. Autoregressive conditional heteroscedasticity (ARCH모형)은 시계열의 분산 변화를 반영하는 모형이다. ARCH 모형은 시계열 데이터의 조건부 변동성에 바탕으로 조건부 분산을 반응변수로 산정하여 AR(1)-ARCH(1)은 외부 설명변수를 넣어 식 (2.6)으로 계산하게 된다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log \left (x_ { t } \right ) &= \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } \log \left (x_ { t-1 } \right ) + \beta_ { 2 } \mid \text { temp } -15 \mid + \beta_ { 3 } \text { weekend } + \beta_ { 4 } \text { holiday } + \epsilon_ { t } , \\ \epsilon_ { t } &= \phi_ { 1 } \epsilon_ { t-1 } + \phi_ { 2 } \epsilon_ { t-1 } + \cdots + \phi_ { k } \epsilon_ { t-k } + v_ { t } , \\ v_ { t } &= \sqrt { h_ { t } } e_ { t } , \\ h_ { t } &= \alpha_ { 0 } + \alpha_ { 1 } v_ { t-1 } ^ { 2 } , \quad e_ { t } \sim N(0,1) . \end {aligned} $<caption>(2.6)</caption></p> <p>AR-ARCH모형의 정밀도를 더하기 위해 설명변수를 고려한 AR(1)-GARCH(1, 1) 회귀모형은 식 (2.7)과 같이 주어진다.</p> <p>$ \begin {aligned} \log \left (x_ { t } \right ) &= \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } \log \left (x_ { t-1 } \right ) + \beta_ { 2 } \mid \text { temp } -15 \mid + \beta_ { 3 } \text { weekend } + \beta_ { 4 } \text { holiday } + \epsilon_ { t } , \\ \epsilon_ { t } &= \phi_ { 1 } \epsilon_ { t-1 } + \phi_ { 2 } \epsilon_ { t-1 } + \cdots + \phi_ { k } \epsilon_ { t-k } + v_ { t } , \\ v_ { t } &= \sqrt { h_ { t } } e_ { t } , \\ h_ { t } &= \alpha_ { 0 } + \alpha_ { 1 } v_ { t-1 } ^ { 2 } + \beta_ { 1 } h_ { t-1 } , \quad e_ { t } \sim N(0,1) . \end {aligned} $<caption>(2.7)</caption></p>	자연
기초수학	<p>$ \frac{\pi}{2} $ 보다 작은 값을 유지하면서, $ x $ 가 $ \frac{\pi}{2} $ 의 근처에 있으면, $ \sin x $ 는 1 의 근처이고, $ \cos x $ 는 양이고 0 의 근처에 있을 것이다(사인 함수와 코사인 함수의 그래프를 다시 참고하라). 따라서 비 $ \frac{\sin x}{\cos x} $ 는 큰 양수가 될 것이다. 실로, $ x $ 가 $ \frac{\pi}{2} $ 에 더 가까운 값을 취할수록, $ \sin x $ 는 1 에 $ \cos x $ 는 0 에 점점 더 가깝게 된다. 그러므로 $ \tan x $ 는 $ \infty $ 에 접근한다. 즉, $ \lim _{\lim } \tan x=\infty $, 바꾸어 말하면, 세로 직선 $ x=-\frac{\pi}{2} $ $ x \rightarrow \frac{\pi^{-}}{2} $는 역시 이 그래프의 점근선이다. 그림 7.4.2를 보라.</p> <p>$ -\frac{\pi}{2} $ 보다 큰 값을 유지하면서, $ x $ 가 $ -\frac{\pi}{2} $ 에 가까우면, $ \sin x $ 는 $ -1 $ 에 가깝고, $ \cos x $ 는 양이고 0 에 가까울 것이다. 따라서 비 $ \frac{\sin x}{\cos x} $ 는 $ -\infty $ 에 접근한다. 즉,</p> <p>$ \lim _{x \rightarrow-\frac{\pi}{2}^{+}} \tan x=-\infty $.</p> <p>바꾸어 말하면, 세로 직선 $ x=-\frac{\pi}{2} $ 역시 $ y=\tan x $ 의 그래프의 세로 점근선이다.</p> <p>지금까지의 논의를 통하여, 우리는 $ y=\tan x $ 의 그래프의 1 주기를 완성할 수 있다. 그림 7.5.2에서 보이듯이, 이 주기를 반복함으로써 $ y=\tan x $ 의 완전한 그래프를 얻는다.</p> <p>$ y=\tan x $ 의 그래프는 이미 탄젠트함수에 대하여 알고 있는 몇 가지 사실을 설명해준다.</p> <h2>탄젠트 함수의 성질</h2> <p>(1) 정의역 $ =\left\{x \in \mathbb{R}: x \neq \frac{(2 n+1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} $.</p> <p>(2) 치역 $ =\mathbb{R} $.</p> <p>(3) 탄젠트 함수의 그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 탄젠트 함수는 흘함수다.</p> <p>(4) 탄젠트 함수는 주기 $ \pi $ 를 갖는 주기함수다.</p> <p>(5) $ x $-절편: $ \cdots,-2 \pi,-\pi, 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots $;<caption>$ y $-절편 : 0 .</caption></p> <p>(6) 세로점근선은 $ x=\cdots,-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \cdots $ 에서 생긴다.</p> <h1>7.4.2 $ y=\csc x $ 와 $ y=\sec x $ 의 그래프</h1> <p>때때로 역의 함수라고 부르는, 코시컨트와 시컨트 함수는 역의 항등식</p> <p>$ \csc x=\frac{1}{\sin x} $ 와 $ \sec x=\frac{1}{\cos x} $</p> <p>을 사용함으로써 그래프가 그려진다.</p> <p>예로써, 주어진 수 $ x $ 에서 코시컨트 함수 $ y=\csc x $ 의 값은, 사인 함수의 값이 0 이 아니라는 가정에서, 사인 함수에 대웅하는 값의 역과 같다. $ \sin x $ 의 값이 0 이면, 이와 같은 값 ( $ \pi $ 의 정수배수) $ x $ 에서, 코시컨트 함수의 그래프는 $ \pi $ 의 정수배수에서 세로점근선을 갖는다. 그림 7.4.3은 이 그래프를 보여준다.</p> <h1>$ 7.1 $ 각과 측정의 기준</h1> <h2>7.1.1 각</h2> <p>반직선(half-line 또는 ray)이란 직선위의 한 점 $ V $ 에서 출발하여 한 방향으로 한 없이 뻗어가는 직선의 부분(portion)을 말한다. 반직선의 출발점 $ V $ 를 이 반직선의 정점 또는 꼭지점(vertex)이라 한다. 그림 7.1.1을 보라.</p> <p>두 반직선이 공통의 정점과 함께 그려지면, 그들은 각(angle)을 만든다. 각의 반직선 중의 하나를 처음변(initial side), 다른 하나를 끝변(terminal side)이라 한다. 만들어지는 각은 처음변에서 끝변까지 회전의 방향과 양을 보여 줌으로써 확인된다. 회전이 시계바늘 반대 방향(counterclockwise direction) 상태에 있으면, 이 각은 양(positive)이고; 회전이 시계바늘과 같은 방향(clockwise direction) 상태에 있으면, 이 각</p> <p>은 음(negative)이다. 그림 7.1.2를 보라. $ \alpha $ (alpha), $ \beta $ (beta), $ \gamma $ (gamma)와 $ \theta $ (theta)와 같은 그리스문자 (Greek letter)의 소문자가 각을 표시하는데 사용될 것이다. 그림 7.1.2(a)에서 처음변에서 끝변까지 회전 방향이 시계바늘 반대이므로 각 $ \alpha $ 는 양임에 주목하라. 그림 7.1.2(b)에서 회전 방향이 시계바늘과 같으므로 각 $ \beta $ 는 음이다. 그림 7.1.2(c)에서 각 $ \gamma $ 는 양이다. 그림$ 7.1 .2(\mathrm{a}) $ 에서 각 $ \alpha $ 와 그림 $ 7.1 .2(\mathrm{c}) $ 에서 각 $ \gamma $ 는 같은 처음변과 같은 끝변을 갖고 있음에 주목하라. 그러나, $ \alpha $와 $ \gamma $ 는 같지 않다. 왜냐하면 처음변에서 끝변까지 가는데 필요한 회전의 양은 각 $ \alpha $ 에 대해서 보다 각 $ \gamma $ 에 대해서 더 크기 때문이다.</p> <p>각 $ \theta $ 가 표준위치(standard position) 상태에 있다는 뜻은 이것의 정점이 직각좌표계의 원점에 있고 이것의 처음 변이 양의 $ x $-축과 일치함을 의미한다. 그림 7.1.3를 보라.</p> <p>각 $ \theta $ 가 표준위치 상태에 있을 때, 끝변은 어떤 사분면에 있거나 또는, $ x $-축 또는 $ y $-축 위에 있을 것이다. 끝변이 어떤 사분면에 있을 때, $ \theta $ 는 그 사분면에 있다(lies in that quadrant)고 말한다. 그리고 끝 변이 $ x $-축 또는 $ y $-축 위에 있을 때, $ \theta $ 는 사분면의 각(quadrantal angle)이라 한다. 예로써, 그림 7.1.4(a)에서 각 $ \theta $ 는 사분면 II에 있고, 그림 7.1.4(b)에서 각 $ \theta $ 는 사분면 IV에 있으며, 그림 7.1.4(c)에서 각 $ \theta $ 는 사분면의 각이다.</p> <p>우리는 처음변이 끝변과 일치하게 되는데 필요한 회전의 양을 결정함으로써 각을 측정한다. 각에 대하여 보통 사용되는 측정법은 60 분법과 호도법 두 가지가 있다.</p> <h2>7.2.4 삼각함수의 정의역과 치역</h2> <p>$ \theta $ 는 표준위치의 상태에 있는 각이고 $ P=(x, y) $ 는 $ \theta $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림 7.2.3을 보라. 그러면, 정의 7.2.1에 의하여,</p> <p>$ \sin \theta=y, \quad \cos \theta=x, \quad \tan \theta=\frac{y}{x}, x \neq 0 $,</p> <p>$ \csc \theta=\frac{1}{y}, y \neq 0, \quad \sec \theta=\frac{1}{x}, x \neq 0, \quad \cot \theta=\frac{x}{y}, y \neq 0 $.</p> <p>$ \sin \theta $ 와 $ \cos \theta $ 에 대하여, $ \theta $ 는 임의의 각일 수 있다. 그러므로 사인 함수와 코사인 함수의 정의역은 모든 실수들의 집합이 된다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <h2>사인 함수와 코사인 함수의 정의역</h2> <p>사인 함수의 정의역 $ =\mathbb{R} $,</p> <p>코사인 함수의 정의역 $ =\mathbb{R} $.</p> <p>$ x=0 $ 이면, 탄젠트 함수와 시컨트 함수는 정의되지 않는다. 즉, 탄젠트 함수와 시컨트 함수에 대하여, $ P=(x, y) $ 의 $ x $-좌표가 0 이 될 수 없다. 단위원 위에 두 개의 점 $ (0,1) $ 과 $ (0,-1) $ 이 있다. 이 두 점은 각 $ \frac{\pi}{2}=90^{\circ} $ 와 $ \frac{3 \pi}{2}=270^{\circ} $ 또는, 더욱 일반적으로, $ \frac{\pi}{2}=90^{\circ}, \frac{3 \pi}{2}=270^{\circ} $, $ \frac{5 \pi}{2}=450^{\circ},-\frac{\pi}{2}=-90^{\circ},-\frac{3 \pi}{2}=-270^{\circ} $ 등과 같은 $ \frac{\pi}{2}=90^{\circ} $ 의 홀수배수인 임의의 각에 대응한다. 그러므로 이와 같은 각들은 탄젠트 함수와 시컨트 함수의 정의역에서 제외되어야만 한다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <h2>탄젠트와 시컨트 함수의 정의역</h2> <p>탄젠트 함수의 정의역 $ =\left\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq \frac{(2 n-1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} $,</p> <p>시컨트 함수의 정의역 $ =\left\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq \frac{(2 n-1) \pi}{2}, n \in \mathbb{Z}\right\} $.</p> <p>$ y=0 $ 이면, 코탄젠트 함수와 코시컨트 함수는 정의되지 않는다. 코탄젠트 함수와 코시컨트 함수에 대하여, $ P=(x, y) $ 의 $ y $-좌표는 0 이 될 수 없다. 단위원 위에, 두 개의 점 $ (1,0) $ 과 $ (-1,0) $ 이 있다. 이 두 점은 각 $ 0=0^{\circ} $ 와 $ \pi=180^{\circ} $ 또는, 더욱 일반적으로, $ 0=0^{\circ}, \pi=180^{\circ}, 2 \pi=360^{\circ}, 3 \pi=540^{\circ} $, $ -\pi=-180^{\circ} $ 등과 같은 $ \pi=180^{\circ} $ 의 정수배수인 임의의 각에 대응한다. 그러므로 이와 같은 각들은 코탄젠트 함수와 코시컨트 함수의 정의역에서 제외되어야만 한다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <h2>코탄젠트 함수와 코시컨트 함수의 정의역</h2> <p>코탄젠트 함수의 정의역 $ =\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq n \pi, n \in \mathbb{Z}\} $,</p> <p>코시컨트 함수의 정의역 $ =\{\theta \in \mathbb{R}: \theta \neq n \pi, n \in \mathbb{Z}\} $.</p> <p>다음에, 우리는 6개 삼각함수 각각의 치역을 결정한다. 다시 그림 7.2.5을 참고하라. $ P=(x, y) $ 가 각 $ \theta $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그러면 $ -1 \leq x \leq 1 $ 이고 $ -1 \leq y \leq 1 $ 이다. 정의에 의하여, $ \sin \theta=y $ 이고 $ \cos \theta=x $ 이므로, $ -1 \leq \sin \theta \leq 1 $ 이고 $ -1 \leq \cos \theta \leq 1 $, 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <h1>$ 7.2 $ 삼각함수</h1> <h2>7.2.1 단위원</h2> <p>단위원(unit circle)은 반지름이 1이고 중심이 직각좌표계의 중심인 원임을 상기하자. 역시 반지름 $ r $인 임의의 원둘레의 길이는 $ 2 \pi r $ 임을 상기하자. 그러므로 단위원은 원둘레의 길이가 $ 2 \pi $ 다. 다른 말로 하면, 단위원 주위 1 회전에 대하여 이 호의 길이는 $ 2 \pi $ 단위다.</p> <p>다음의 논의는 삼각함수를 정의하기 위한 단계를 준비한다.</p> <p>$ t \geq 0 $ 는 임의의 실수고 $ l $ 은 점 $ (1,0) $ 에서 $ t $ 까지의 거리라 하자. 그림 7.2.1(a) 굵은 부분을 보라. 그림 7.2.1(a)에 있는 단위원을 살펴보자. 단위원 위의 점 $ (1,0) $ 에서 시작하여 점 $ P=(x, y) $ 에 도달하기 위하여 이 원을 따라서 시계바늘 반대방향으로 $ l=t $ 단위를 움직인다. 이 의미에서, 길이 $ l=t $ 단위는 단위원 주위에 감기고 있다.</p> <p>$ t<0 $ 면, 우리는 단위원 위의 점 $ (1,0) $ 에서 시작하여 점 $ P=(x, y) $ 에 도달하기 위하여 시계바늘과 같은 방향으로 $ l=\|t\| $ 단위를 움직인다. 그림 7.2.1(b)를 보라.</p> <p>$ t>2 \pi $ 또는 $ t<-2 \pi $ 면, 점 $ P $ 에 도달하기 전에 한 번 더 단위원의 주위를 따라 움직일 필요가 있을 것이다. 여러분은 그 이유를 아는가?</p> <p>이 과정을 다른 방법으로 설명해 보자. 반지름 1 단위인 원에 감기어 있는 길이 $ l=\|t\| $ 단위의 끈을 상상해 보자. 우리는 점 $ (1,0) $ 에서 이 원에 이 끈을 감는 것에서부터 시작한다. $ t \geq 0 $ 이면, 우리는 이 끈을 시계바늘 반대방향으로 감고; $ t<0 $ 면, 우리는 이 끈을 시계바늘과 같은 방향으로 감는다. 점 $ P=(x, y) $ 는 이 끈이 끝나는 점이다.</p> <p>임의의 실수 $ t $ 에 대하여, 우리가 점 $ P=(x, y) $ 의 위치를 단위원 위에 유일하게 정할 수 있음을 이 논의는 말해준다. 우리는 $ P $ 를 $ t $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 부른다. 어떠한 실수 $ t $ 가 선택된다 하더라도, $ t $ 에 대응하는 단위원 위의 점 $ P $ 는 꼭 하나 존재한다. 우리는 실수 $ t $ 에 대응하는 단위원 위의 점 $ P=(x, y) $ 의 좌표를 사용하여 $ t $ 에 대한 6 개의 삼각함수를 정의한다.</p> <h2>정의 7.2.1 단위원에 의한 삼각함수의 정의</h2> <p>$ t $ 는 임의의 실수고 $ P=(x, y) $ 는 $ t $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 사인 함수는 $ P $ 의 $ y $-좌표를 $ t $ 와 대웅시키고 다음과 같이 쓴다.</p> <p>$ \sin t=y $</p> <h1>$ 7.3 $ 사인과 코사인 함수의 그래프</h1> <p>우리는 $ x y $-평면에서 삼각함수의 그래프를 그리고 싶으므로, 각 함수에 대하여 독립변수와 종속변수에 대하여 각각 전통적인 기호 $ x $ 와 $ y $ 를 사용할 것이다. 그러므로 우리는 6 개 삼각함수를 다음과 같이 쓴다.</p> <p>$ y=f(x)=\sin x, \quad y=f(x)=\cos x, \quad y=f(x)=\tan x $,</p> <p>$ y=f(x)=\csc x, \quad y=f(x)=\sec x, \quad y=f(x)=\cot x $</p> <p>여기서 독립변수 $ x $ 는 호도법으로 측정된 각을 나타낸다. 미분적분학에서, $ x $ 는 보통 실수로 취급될 것이다.</p> <h2>7.3.1 $ y=\sin x $ 의 그래프</h2> <p>사인 함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 가지므로, 우리는 구간 $ [0,2 \pi] $ 에서만 $ y=\sin x $ 의 그래프를 그릴 필요가 있다. 사인 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다.</p> <p>$ 0 \leq x \leq 2 \pi $ 에서 $ y=\sin x $ 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 7.3.1을 만드는 것으로부터 시작한다. 표 7.3.1이 보여주듯이, $ y=\sin x(0 \leq x \leq 2 \pi) $ 의 그래프는 원점에서 시작한다. $ x $ 가 0 에서 $ \frac{\pi}{2} $ 까지 증가할 때, $ y=\sin x $ 의 값은 0 에서 1 까지 중가하고, $ x $ 가 $ \frac{\pi}{2} $ 에서 $ \pi $ 를 지나 $ \frac{3}{2} \pi $ 까지 증가할 때; $ y $ 의 값은 1 에서 0 을 지나 $ -1 $ 까지 감소하며, $ x $ 가 $ \frac{3}{2} \pi $ 에서 $ 2 \pi $ 까지 증가할 때, $ y $ 의 값은 $ -1 $ 에서 0까지 증가한다. 우리가 표 7.3.1에 열거된 점들의 위치를 정하고 매끄러운 곡선으로 이들을 연결하면, 우리는 그림 7.3.1에 보이는 그래프를 얻는다.</p> <h2>7.3.2 사인 함수의 성질</h2> <p>(1) 정의역 $ =\mathbb{R} $.</p> <p>(2) 치역 $ =[-1,1] $ 또는 $ \{y \in \mathbb{R}:-1 \leq y \leq 1\} $.</p> <p>(3) 그래프는 원점에 관하여 대칭이다. 즉, 사인 함수는 홀함수다.</p> <p>(4) 사인 함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 갖는 주기함수다.</p> <p>(5) $ x $-절편 : $ \cdots,-2 \pi,-\pi, 0, \pi, 2 \pi, 3 \pi, \cdots ; \quad y $-절편 : 0 .</p> <p>(6) 최대값은 1 이고 $ x=\cdots,-\frac{3 \pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \frac{9 \pi}{2} $ 에서 생기고;</p> <p>최소값은 $ -1 $ 이고 $ x=\cdots,-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}, \frac{11 \pi}{2}, \cdots $ 에서 생긴다.</p> <h2>사인 함수와 코사인 함수의 치역</h2> <p>사인 합수의 치역 $ =\{t \in \mathbb{R}:-1 \leq t \leq 1\} $ 또는 구간 $ [-1,1] $,</p> <p>코사인 함수의 치역 $ =\{t \in \mathbb{R}:-1 \leq t \leq 1\} $ 또는 구간 $ [-1,1] $,</p> <p>$ \theta $ 가 $ \pi=180^{\circ} $ 의 배수가 아니면, 정의에 의하여, $ \csc \theta=\frac{1}{y} $. 그러면 $ y=\sin \theta $ 이고 $ \|y\|=\|\sin \theta\| \leq 1 $. 그래서 $ \|\csc \theta\|=\frac{1}{\|\sin \theta\|}=\frac{1}{\|y\|} \geq 1 $. 그러므로 코시컨트 함수의 치역은 $ -1 $ 보다 작거나 같고 또는 1보다 크거나 같은 모든 실수로 이루어진다. 한편 $ \theta $ 가 $ \frac{\theta}{2}=90^{\circ} $ 의 홀수배수가 아니면, 정의에 의하여, $ \sec \theta=\frac{1}{x} $, 그러면 $ x=\cos \theta $ 이고 $ \|x\|=\|\cos \theta\| \leq 1 $. 그래서 $ \|\sec \theta\|=\frac{1}{\|\cos \theta\|}=\frac{1}{\|x\|} \geq 1 $. 그러므로 시컨트 함수의 치역은 -1보다 작거나 같고 또는 1 보다 크거나 같은 모든 실수들로 이루어진다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <h2>코시컨트 함수와 시컨트 함수의 치역</h2> <p>코시컨트 함수의 치역 $ =\{t \in \mathbb{R}: t \leq-1 $ 또는 $ t \geq 1\} $ \[ =\{t \in \mathbb{R}:\|t\| \geq 1\} \text { 또는 }(-\infty,-1] \text { 또는 }[1, \infty) \text {, } \]</p> <p>시컨트 함수의 치역 $ =\{t \in \mathbb{R}: t \leq-1 $ 또는 $ t \geq 1\} $ \[=\{t \in \mathbb{R}:\|t\| \geq 1\} \text { 또는 }(-\infty,-1] \text { 또는 }[1, \infty) \text {. } \]</p> <h2>탄젠트 함수와 코탄젠트 함수의 치역</h2> <p>탄젠트 함수의 치역 $ =\mathbb{R}= $ 코탄젠트 함수의 치역.</p> <h1>7.2.5 삼각함수의 주기</h1> <p>그림 7.2.5를 살펴보자. 각 $ \frac{\pi}{3} $ 라디안에 대하여, 단위원 위에 대응하는 점$ P $ 는 $ \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ 이다. 각 $ \frac{\pi}{3}+2 \pi $ 라디안에 대하여, 대응하는 점 $ P $ 역시 $ \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) $ 임에 주목하라. 그러면</p> <p>$ \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} $ 이고 $ \quad \sin \left(\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} $, $ \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2} $ 이고 $ \quad \cos \left(\frac{\pi}{3}+2 \pi\right)=\frac{1}{2} $.</p <p>사인, 코사인, 시컨트와 코시컨트 함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 갖기 때문에, $ 0 \leq \theta<2 \pi $ 에 대한 위 네 삼각함수의 값을 알기만하면, $ \theta + 2 n \pi $ 에 대한 위 네 삼각함수의 값을 구할 수 있다. 비슷하게, 탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 $ \pi $ 를 갖기 때문에, $ 0 \leq \theta< \pi $ 에 대하여 $ \tan \theta $ 와 $ \cot \theta $ 의 값을 알기만하면, 우리는 $ \tan ( \theta + n \pi) $ 와 $ \cot ( \theta + n \pi) $ 의 값을 구할 수 있다.</p> <h2>7.2.6 삼각함수의 부호</h2> <p>$ P = (x, y) $ 는 각 $ \theta $ 에 대웅하는 단위원 위의 점이라 하자. 점 $ P $ 가 어느 사분면에 있다는 것을 알면, 우리는 $ \theta $ 의 삼각함수의 부호를 결정할 수 있다. 예로써, 그림 7.2.9에서 보이는 것처럼, $ P=(x, y) $ 가 사분면 IV에 있으면, 우리는 $ x>0 $ 이고 $ y<0 $ 임을 안다. 그러므로,</p> <p>$ \sin \theta=y<0, \quad \cos \theta=x>0, \quad \tan \theta= \frac { y } { x }<0 $,</p> <p>$ \csc \theta= \frac { 1 } { y }<0, \quad \sec \theta= \frac { 1 } { x } >0, \quad \cot \theta= \frac { x } { y }<0 $.</p> <h2>정리 7.2.9 삼각함수의 기본항등식</h2> <p>$ \theta $ 는 임의의 실수라 하자. 그러면</p> <p>$ \tan \theta= \frac {\sin \theta } {\cos \theta } , \quad \cot \theta= \frac {\cos \theta } {\sin \theta } $,<caption> (7.2.2)</caption></p> <p>$ \csc \theta= \frac { 1 } {\sin \theta } , \quad \sec \theta= \frac { 1 } {\cos \theta } , \quad \cot \theta= \frac { 1 } {\tan \theta } $<caption>(7.2.3)</caption></p> <p>$ \sin ^ { 2 } \theta + \cos ^ { 2 } \theta=1, \tan ^ { 2 } \theta + 1= \sec ^ { 2 } \theta, 1 + \cot ^ { 2 } \theta= \csc ^ { 2 } \theta $<caption>(7.2.4)</caption></p> <h2>$ y=\cos x $ 의 그래프</h2> <p>코사인 함수 역시 주기 $ 2 \pi $ 를 갖는다. $ 0 \leq x \leq 2 \pi $ 에서 $ y=\cos x $ 의 그래프 위의 몇 개의 점들을 정하는 표 7.3.2를 만듦으로써 사인 함수를 취급하였던 것처럼 진행한다. 이 표 7.3.2가 보여주듯이, $ y=\cos x(0 \leq x \leq 2 \pi) $ 의 그래프는 점 $ (0,1) $ 에서 시작한다. $ x $ 가 0 에서 $ \frac{\pi}{2} $ 를 지나 $ \pi $ 까지 증가할 때, $ y $ 의 값은 1 에서 0 을 지나 $ -1 $ 까지 감소하고; $ x $ 가 $ \pi $ 에서 $ \frac{2 \pi}{3} $ 를 지나 $ 2 \pi $ 까지 증가할 때, $ y $ 의 값은 $ -1 $에서 0 을 지나 1 까지 증가한다. 앞에서처럼, 이 그래프의 1 주기를 얻기 위하여 표 6.4.2에서 점들의 위치를 정한다. 그림 7.3.3을 보라.</p> <p>$ y=\cos x(0 \leq x \leq 2 \pi) $</p> <h2>코사인 함수의 성질</h2> <p>(1) 정의역 $ =\mathbb{R} $.</p> <p>(2) 치역 $ =[-1,1] $ 또는 $ \{y \in \mathbb{R}:-1 \leq y \leq 1\} $.</p> <p>(3) 이 그래프는 $ y $-축에 관하여 대칭이다. 즉, 코사인 함수는 짝함수다.</p> <p>(4) cosine 함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 갖는 주기함수다.</p> <p>(5) $ x $-절편$ -\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \frac{5 \pi}{2}, \cdots ; $<caption>$ y $-절편 : 1 .</caption></p> <p>(6) 최대값은 1 이고 $ x=\cdots,-2 \pi, 0,2 \pi, 4 \pi, 6 \pi, \cdots $ 에서 생기고;</p> <p>최소값은 $ -1 $ 이고 $ x=\cdots,-\pi, \pi, 3 \pi, 5 \pi, \cdots $ 에서 생긴다.</p> <h1>$ 7.4 $ 탄젠트, 코탄젠트, 코시컨트와 시컨트 함수의 그래프</h1> <h2>7.4.1 $ y=\tan x $ 와 $ y=\cot x $ 의 그래프</h2> <p>탄젠트함수는 주기 $ \pi $ 를 갖기 때문에, 우리는 길이가 $ \pi $ 인 어떤 구간 위에서만 이 그래프를 결정할 필요가 있다. 탄젠트 함수의 그래프의 나머지는 이 부분의 반복으로 이루어진다. 탄젠트 함수는 $ \cdots,-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}, \cdots $ 에서 정의되지 않기 때문에, 우리는 길이가 $ \pi $ 인 구간 $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $ 에 집중하여, $ y=\tan x\left(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}\right) $ 의 그래프 위에 있는 몇 개의 점의 목록을 작성한, 표 7.4.1을 만들 것이다. 우리는 이 표에 있는 점들의 위치를 정하고 매끄러운 곡선으로 그들을 연결한다. $ y=\tan x $ 의, $ -\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $ 범위에서, 부분적인 그래프에 대하여 그림 7.4.1을 보라.</p> <p>$ y=\tan x $ 의 그래프의 1 주기를 완성하기 위하여, 우리는 $ x $ 가 $ -\frac{\pi}{2} $ 와 $ \frac{\pi}{2} $ 에 접근할 때 이 함수의 행동을 조사할 필요가 있다. 그렇지만, 이 함수는 이들 수에서 정의되지 않기 때문에, 우리는 조심해야만 한다. 이 행동을 결정하기 위하여, 우리는 다음의 항등식을 사용한다.</p> <p>$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} $</p> <p>$ y=\tan x,-\frac{\pi}{3} \leq x \leq \frac{\pi}{3} $</p> <h2>$ 7.1 .260 $ 분법</h2> <p>처음변이 자신과 일치할 때까지 시계바늘 반대방향으로 꼭 한번 처음 변을 회전(1회전)함으로써 생기는 각을 360 도(360 degrees) $ \left (360 ^ {\circ } \right . $로 씀)라 한다.</p> <p>$ \frac { 1 } { 360 } $ 희전으로 생기는 각을 $ 1 ^ {\prime } $ (one degree)라 한다. $ 90 ^ {\circ } $ 인 각 또는 $ \frac { 1 } { 4 } $ 희전으로 생기는 각을 직각(right angle)이라 하고 ; $ 180 ^ {\circ } $ 또는 $ \frac { 1 } { 2 } $ 회전으로 생기는 각을 직선각(straight angle)이라 한다. 그림 7.1.5를 보라. 그림 7.1.5(b)가 보여 주듯이, 기호 직각 을 사용함으로써 직각을 나타내는 것이 습관적이다.</p> <h2>7.1.3 호도법</h2> <p>중심각(central angle)이란 정점이 원의 중심에 있는 각을 말한다. 중심각의 두 반직선은 원 위의 한 호와 만난다. 원의 반지름이 $ r $ 이고 중심각에 의하여 한계가 정해지는 호의 길이가 $ r $ 일 때, 그 중심각의 크기를 1라디안(radian)이라 한다. 그림 7.1.10(a)를 보라.</p> <p>반지름 1 인 원에 대하여, 크기 1 라디안을 갖는 중심각의 두 반직선은 길이가 1 인 호의 한계를 정할 것이다. 반지름 3 인 원에 대하여, 크기 1 라디안을 갖는 중심각의 두 반직선은 길이가 3 인 호의 한계를 정할 것이다. 그림 $ 7.1 .10( \mathrm { ~b } ) $ 를 보라.</p> <h2>7.1.4 원의 호의 길이</h2> <p>이제 반지름 $ r $ 인 원과 호도법으로 측정된 두 중심각 $ \theta $ 와 $ \theta_ { 1 } $ 을 생각하자. 그림 7.1.11에서 보듯이, 이 중심각들은 각각 길이 $ l $ 와 $ l_ { 1 } $ 인 호들의 한계를 정한다고 가정한다. 기하학으로부터, 중심각들의 크기들의 비는 대응하는 이 두 중심각들에 의하여 한계를 정하게 되는 호들의 길이들의 비와 같다. 즉,<p>$ \frac {\theta } {\theta_ { 1 } } = \frac { l } { l_ { 1 } } $<caption>$ (7.1 .1) $</caption>임을 우리는 안다. $ \theta_ { 1 } =1 $ 라디안이라고 가정하자. 그림 6.1.10(a)를 다시 참고하라. 중심각 $ \theta_ { 1 } =1 $ 라디안에 의하여 한계가 정해지는 호 $ l_ { 1 } $ 의 길이는 이 원의 반지름과 같다. 그러면 $ l_ { 1 } =r $. 그러므로 (7.1.1)는</p> <p>$ \frac {\theta } { 1 } = \frac { l } { r } $ 또는 $ l=r \theta $<caption>(7.1.2)</caption>로 변형된다.</p> <p>정리 $7.1.2$ 호의 길이</p> <p>$ r $ 은 원의 반지름, 중심각의 크기는 $ \theta $ 라디안이고 $ l $은 중심각에 의하여 한계가 정해지는 호의 길이라 하자. 그러면 $ l=r \theta $. <caption>$ (7.1.3) $</caption></p> <p>주목</p> <p>공식들은 사용되는 단위들에 관해서는 일관되어야만 한다. 방정식 (6.1.4)에서, 우리는 \[ l=r \theta \]로 쓴다. 그러나 단위들을 알아보기 위하여, 우리는 방정식 ($7.1.2$)으로 되돌아가서 다음과 같이 써야만 한다. \[\begin{aligned} \frac{\theta \text { 라디안 }}{1 \text { 라디안 }}=\frac{l \text { 길이 단위 }}{r \text { 길이 단위 }} \\ l \text { 길이 단위 }=r \text { 길이 단위 } \frac{\theta \text { 라디안 }}{1 \text { 라디안 }} \end{aligned}\] 라디안은 소거되므로, 위 방정식은 다음과 같이 된다. \[l \text { 길이 단위 }=(r \text { 길이 단위 }) \theta \text {. } \] 여기서 $ \theta $는 "크기가 없는"것으로 나타내지지만, 실로, 라디안으로 측정된다. 그러므로, 공식 $ l=r \theta $를 사용함에 있어서, $ \theta $에 대한 크기는 반드시 라디안이고 (인치 또는 미터와 같은) 길이의 임의의 편리한 단위가 $ l $과 $ r $에 대하여 사용될 수 있다.</p> <p>보기 $7.1.3$ 원의 호의 길이</p><p>크기가 0.25라디안인 중심각에 의하여 한계가 정해지는 반지름 $2\mathrm{m}$인 원의 호의 길이를 구하라.</p><p>풀이 $r=2\mathrm{m}, \theta=0.25$라디안이고 $l$은 호의 길이라 하자. 그러면, 방정식 $(7.1.3)$에 의하여,</p><p>$l=r\theta=2(0.25)=0.5\mathrm{m}$</p> <p>$7.1.5$ 60분법과 호도법 사이의 관계</p> <p>반지름 $ r $인 원을 생각하자. 1 회전의 중심각은 이 원의 원둘레와 같은 호의 한계를 정할 것이다(그림 $7.1.12$). 이 호의 길이를 $ l $이라 하면, 원둘레는 $ 2 \pi r $이므로, $ l=2 \pi r $. 그러므로, 방정식 ($7.1.3$)에 의하여, \[\begin{aligned}l &=r \theta & & \\ 2 \pi r &=r \theta & & \theta=1 \text { 회전 } ; l=2 \pi r \\\theta &=2 \pi \text { 라디안. } & & \theta \text { 에 대하여 푼다. }\end{aligned}\] 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>정리 $ 7.1.4$ 1회전의 중심각의 크기</p> <p>1회전 $ =2 \pi $ 라디안.<caption>$(7.1.4)$</caption></p> <p>1회전했을 때의 60분법으로 측정된 각은 $ 360^{\circ} $이므로, $(7.1.4)$로부터 $ 360^{\circ}=2 \pi $ 라디안임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 우리는 다음의 결과를 쉽게 얻는다.</p> <p>정리 $7.1.5$ 60분법의 각과 호도법의 각 사이의 관계</p> <p>$ 180^{\circ}=\pi $라디안. <caption>$ (7.1.5) $</caption></p> <p>특히, $ 1^{\circ}=\frac{\pi}{180} $ 라디안, 1 라디안 $ =\frac{180}{\pi} $도. <caption>$ (7.1 .6) $</caption></p> <p>$7.1.6$ 부채꼴의 넓이</p> <p>반지름 $ r $인 원을 생각한다. 호도법으로 측정된 $ \theta $는 이 원의 중심각이라 가정하자. 그림 $7.1.13$을 보라. 우리는 각 $ \theta $에 의해서 만들어지는 부채꼴(파란색부분)의 넓이 $ A $에 대한 공식을 찾는다. 지금 반지름 $ r $인 원과 둘 다 호도법으로 측정된 두 중심각 $ \theta $와 $ \theta_{1} $을 생각하자. 그림 $7.1.14$를 보라. 기하학으로부터, 두 각의 크기의 비는 이 두 각으로 만들어지는 두 부채꼴의 대응하는 넓이의 비와 같음을 안다. 즉, \[\frac{\theta}{\theta_{1}}=\frac{A}{A_{1}} .\] $ \theta_{1}=2 \pi $라 가정하자. 그러면 $ A_{1}= $이 원의 넓이 $ =\pi r^{2} $. 그래서 \[A=A_{1} \frac{\theta}{\theta_{1}}=\pi r^{2} \frac{\theta}{2 \pi}=\frac{1}{2} r^{2} \pi .\] 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>정리 $ 7.1.8 $ 부채꼴의 넓이</p> <p>$ A $ 는 $ \theta $ 라디안인 중심각에 의해서 만들어지는 반지름 $ r $인 원의 부채꼴의 넓이라 하자. 그러면</p><p>$ A=\frac{1}{2} r^{2} \theta $.<caption>$ (7.1 .7) $</caption></p> <p>이 보기는 더욱 일반적인 상태를 설명한다. 호도법으로 측정된 임의의 각 $ \theta $ 에 대하여, 점 $ P=(x, y) $ 는 $ \theta $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 이제 $ \theta $ 에 $ 2 \pi $ 를 더하라. 그러면 $ \theta+2 \pi $ 에 대응하는 단위원 위의 점은 $ \theta $ 에 대응하는 단위원 위의 점 $ P $ 와 일치함을 알게 된다. 그림 7.2.6을 보라. $ \theta+2 \pi $ 의 삼각함수들의 값들은 $ \theta $ 에 대웅하는 삼각함수들의 값들과 같다.</p> <p>이제 $ \theta $ 에 $ 2 \pi $ 의 정수배수를 더한다(또는 뺀다)면, 삼각함수들의 값들은 여전히 변하지 않음을 알 수 있다. 따라서 우리는 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>$ \sin (\theta+2 \pi n)=\sin \theta, \quad \cos (\theta+2 \pi n)=\cos \theta $.<caption>$ (7.2 .1) $</caption></p> <p>여기서 $ \theta $ 는 임의의 실수고 $ n $ 은 임의의 정수다.</p> <p>말로 하면, 탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 $ \pi $ 를 갖고; 나머지 삼각함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 갖는다.</p> <h2>정의 $ 7.2 .5 $ 주기함수</h2> <p>함수 $ f $ 가 주기함수(periodic function)다 iff 양수 $ p $ 가 존재하여 다음의 조건이 만족된다.</p> <p>(i) $ \theta $ 가 $ f $ 의 정의역의 원이면, $ \theta+p $ 역시 $ f $ 의 정의역의 원이다.</p> <p>(ⅱ) $ f(\theta+p)=f(\theta) $.</p> <p>조건(ⅱ)를 만족하는 가장 작은 $ p $ 를 $ f $ 의 (기본)주기(fundamental period)라 한다.</p> <p>방정식 (7.2.1)에 근거하여, 사인과 코사인 함수는 주기함수다. 실로 사인과 코사인 함수는 주기 $ 2 \pi $를 갖는다. 시컨트와 코시컨트 함수 역시 주기 $ 2 \pi $ 인 주기함수고, 탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 $ \pi $ 인 주기합수다.</p> <h2>정리 7.2.6 삼각함수의 주기적 성질</h2> <p>$ \theta $ 는 임의의 실수고 $ n $ 은 임의의 정수라 하자. 그러면</p> <p>$ \begin{array}{ll}\sin (\theta+2 \pi n)=\sin \theta, & \csc (\theta+2 \pi n)=\csc \theta, \\ \cos (\theta+2 \pi n)=\cos \theta, & \sec (\theta+2 \pi n)=\sec \theta, \\ \tan (\theta+2 \pi n)=\tan \theta, & \cot (\theta+2 \pi n)=\cot \theta\end{array} $</p> <p>사인, 코사인, 시컨트와 코시컨트 함수는 주기 $ 2 \pi $ 를 갖기 때문에, $ 0 \leq \theta<2 \pi $ 에 대한 위 네 삼각함수의 값을 알기만하면, $ \theta+2 n \pi $ 에 대한 위 네 삼각함수의 값을 구할 수 있다. 비슷하게, 탄젠트와 코탄젠트 함수는 주기 $ \pi $ 를 갖기 때문에, $ 0 \leq \theta<\pi $ 에 대하여 $ \tan \theta $ 와 $ \cot \theta $ 의 값을 알기만하면, 우리는 $ \tan (\theta+n \pi) $ 와 $ \cot (\theta+n \pi) $ 의 값을 구할 수 있다.</p> <h2>7.2.6 삼각함수의 부호</h2> <p>$ P=(x, y) $ 는 각 $ \theta $ 에 대웅하는 단위원 위의 점이라 하자. 점 $ P $ 가 어느 사분면에 있다는 것을 알면, 우리는 $ \theta $ 의 삼각함수의 부호를 결정할 수 있다. 예로써, 그림 7.2.9에서 보이는 것처럼, $ P=(x, y) $ 가 사분면 IV에 있으면, 우리는 $ x>0 $ 이고 $ y<0 $ 임을 안다. 그러므로,</p> <p>$ \sin \theta=y<0, \quad \cos \theta=x>0, \quad \tan \theta=\frac{y}{x}<0 $,</p> <p>$ \csc \theta=\frac{1}{y}<0, \quad \sec \theta=\frac{1}{x}>0, \quad \cot \theta=\frac{x}{y}<0 $.</p> <h2>정리 $ 7.2 .9 $ 삼각함수의 기본항등식</h2> <p>$ \theta $ 는 임의의 실수라 하자. 그러면</p> <p>$ \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}, \quad \cot \theta=\frac{\cos \theta}{\sin \theta} $,<caption>$ (7.2 .2) $</caption></p> <p>$ \csc \theta=\frac{1}{\sin \theta}, \quad \sec \theta=\frac{1}{\cos \theta}, \quad \cot \theta=\frac{1}{\tan \theta} $<caption>(7.2.3)</caption></p> <p>$ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1, \tan ^{2} \theta+1=\sec ^{2} \theta, 1+\cot ^{2} \theta=\csc ^{2} \theta $<caption>$ (7.2 .4) $</caption></p> <p>코사인 함수는 $ P $ 의 $ x $-좌표를 $ t $ 와 대응시키고 다음과 같이 쓴다.</p> <p>$ \cos t=x $</p> <p>$ x \neq 0 $ 면, 탄젠트 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \tan t=\frac{y}{x} $</p> <p>$ x \neq 0 $ 면, 시컨트 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \sec t=\frac{1}{x} $</p> <p>$ y \neq 0 $ 면, 코탄젠트 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \cot t=\frac{x}{y} $</p> <p>$ y \neq 0 $ 면, 코시컨트 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \csc t=\frac{1}{y} $.</p> <p>정의 7.2.1에서, $ x=0 $, 즉, 점 $ P=(0, y) $ 가 $ y $-축 위에 있으면, 탄젠트 함수(tangent function)와 시컨트 함수(secant function)는 정의되지 않음에 주목하라. 역시 $ y=0 $, 즉, 점 $ P=(x, 0) $ 이 $ x $-축 위에 있으면, 코시컨트 함수(cosecant function)와 코탄젠트 함수(cotangent function)는 정의되지 않는다. 우리는 정의 7.2.1에서 단위원을 사용하기 때문에, 정의 7.2.1에 있는 함수들을 때때로 원의 함수(circular function)들이라 부르기도 한다.</p> <h2>7.2.3 삼각함수의 값을 구하기 위하여 반지름 $ \mathrm{r} $ 인 원을 사용하기</h2> <p>지금까지, 각 $ \theta $ 의 삼각함수의 정확한 값을 구하기 위하여 단위원 위에 대응하는 점 $ P=(x, y) $ 의 위치를 정할 필요가 있었다. 그렿지만 중심이 원점인 임의의 원이 사용될 수 있다.</p> <p>$ \theta $ 는 표준위치의 상태에 있는 임의의 비사분면의 각이라 하자. $ P=(x, y) $ 는 $ \theta $ 에 대응하는 원$ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 위의 점이고 $ P^{}=\left(x^{}, y^{}\right) $ 는 $ \theta $ 에 대응하는 단위원 위의 점이라 하자. 그림 7.2.3를 보라.</p> <p>삼각형 $ O A^{} P^{} $ 와 $ O A P $ 는 닮은 삼각형임에 주목하라. 결과적으로, 대응하는 변들의 비는 같다. 즉,</p> <p>\[\begin{array}{l} \frac{y^{}}{1}=\frac{y}{r}, \quad \frac{x^{}}{1}=\frac{x}{r}, \quad \frac{y^{}}{x^{}}=\frac{y}{x}, \\ \frac{1}{y^{}}=\frac{r}{y}, \quad \frac{1}{x^{}}=\frac{r}{x}, \quad \frac{x^{}}{y^{*}}=\frac{x}{y} . \end{array}\]</p> <p>이 결과로부터 우리는 다음을 얻는다.</p> <h2>정리 $ 7.2 .3 $ 임의의 원 위에서 삼각함수</h2> <p>표준위치의 상태에 있는 각 $ \theta $ 에 대하여, $ P=(x, y) $ 는 원 $ x^{2}+y^{2}=r^{2} $ 위에 있는 끝변 위의 점이라 하자. 그러면</p> <p>$ \begin{array}{lll}\sin \theta=\frac{y}{r}, & \cos \theta=\frac{x}{r}, & \tan \theta=\frac{y}{x}, x \neq 0 \\ \csc \theta=\frac{r}{y}, y \neq 0, & \sec \theta=\frac{r}{x}, x \neq 0, & \cot \theta=\frac{x}{y}, y \neq 0\end{array} $</p>	자연
s374-미적분학	<p>함수와 영역의 대칭성을 이용한 중적분</p> <p>영역 $ \Omega $ 가 $ y $ 축에 대해 대칭일 때,</p> <p>1) $ f $ 가 $ x $ 에 대하여 기함수 (즉, $ f(-x, y)=-f(x, y)) $ 이면, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=0 $ 이다</p> <p>2) $ f $ 가 $ x $ 에 대하여 우함수 (즉, $ f(-x, y)=f(x, y)) $ 이면, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=2 \iint_ {\Omega_ { x } ^ { + } } f(x, y) d x d y $ 이다. 여기서 $ \Omega_ { x } ^ { + } = \{ (x, y) \in \Omega \mid y \geqq 0 \} =( \Omega $ 의 $ y $ 축 오른쪽 부분 영역 $ ) $ 같은 방식으로 영역 $ \Omega $ 가 $ x $ 축에 대해 대칭일 때,</p> <p>3) $ f $ 가 $ y $ 에 대하여 기함수이면, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=0 $ 이다</p> <p>4) $ f $ 가 $ y $ 에 대하여 우함수이면, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=2 \iint_ {\Omega_ { y } ^ { + } } f(x, y) d x d y $ 이다. 여기서 $ \Omega_ { y } ^ { + } = \{ (x, y) \in \Omega \mid x \geqq 0 \} =( \Omega $ 의 $ x $ 축 위쪽 부분 영역 $ ) $</p> <p>예<p>그림의 영역 $ \Omega $ 위에서 이중적분 $ \iint_ {\Omega } \left (2 x- \sin x ^ { 2 } y \right ) d x d y $ 을 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>$ \iint_ {\Omega } \left (2 x- \sin x ^ { 2 } y \right ) d x d y= \iint_ {\Omega } 2 x d x d y- \iint_ {\Omega } \sin x ^ { 2 } y d x d y $</p> <p>$ \Omega $ 는 $ y $ 축 대칭이고 $ 2 x $ 는 독립변수 $ x $ 에 대해 기함수이다.</p> <p>그러므로 $ \iint_ {\Omega } 2 x d x d y=0 $ 이다.</p> <p>또한 $ \Omega $ 는 $ x $ 축 대칭이고 $ \sin x ^ { 2 } y $ 는 변수 $ x $ 에 대해 기함수이다.</p> <p>그러므로 $ \iint_ {\Omega } \sin x ^ { 2 } y d x d y=0 $ 이다.</p> <p>그러므로 $ \iint_ {\Omega } \left (2 x- \sin x ^ { 2 } y \right ) d x d y=0 $</p></p> <p>예<p>위쪽은 평면 $ z=y $, 아래쪽은 포물면 $ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 을 경계로 하는 입체 $ T $ 의 부피를 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>원기둥좌표계에 의한 $ T $ 의 표현: 위쪽은 평면 $ z=r \sin \theta $, 아래쪽은 포물면 $ z=r ^ { 2 } $.</p> <p>두 곡면이 만나는 교선을 $ x y $ 평면에 사영한 곡선의 극방정식을 구하면 $ r= \sin \theta $ 이다.</p> <p>따라서 적분영역인 입체 $ T $ 는 $ 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq r \leq \sin \theta, r ^ { 2 } \leq z \leq r \sin \theta $ 이다.</p> <p>\[ \begin {aligned} (T \text { 의 부피 } ) &= \iint_ { 0 } r d r d \theta d z \\ &= \int_ { o } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ {\sin \theta } \int_ { r ^ { 2 } } ^ { r \sin \theta } r d z d r d \theta \\ & = \int_ { o } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ {\sin \theta } \left (r ^ { 2 } \sin \theta-r ^ { 3 } \right ) d r d \theta \\ & = \int_ { o } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ {\sin \theta } \left [ \frac { 1 } { 3 } r ^ { 3 } \sin \theta- \frac { 1 } { 4 } r ^ { 4 } \right ]_ { 0 } ^ {\sin \theta } d \theta \\ &= \frac { 1 } { 12 } \int_ { o } ^ {\pi } \sin ^ { 4 } \theta d \theta= \frac { 1 } { 32 } \pi \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>반지름 $ R $, 높이 $ h $ 인 원기둥 $ T $ 의 밀도가 중심축, 즉 $ z $ 축과의 거리에 비례한다. 이때 질량을 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>원기둥 $ T $ 는 $ 0 \leq r \leq R, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq z \leq h $ 으로 표현된다.</p> <p>밀도함수는 $ f(r, \theta, z)=k r $ 이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} T \text { 의 질량 } &= \iiint_ { T } f(r, \theta, z) r d r d \theta d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { h } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { R } k r ^ { 2 } d r d \theta d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { h } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 3 } k R ^ { 3 } d \theta d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { h } \frac { 2 } { 3 } \pi k R ^ { 3 } d z \quad= \frac { 2 } { 3 } \pi k R ^ { 3 } h \end {aligned} \]</p></p> <p>$ \iint_ { S } v ^ { 2 } d u d v = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta r d r d \theta= \frac {\pi } { 4 } $ 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d x d y &=a b \iint_ { S } \left (a ^ { 2 } u ^ { 2 } + b ^ { 2 } v ^ { 2 } \right ) d u d v \\ &= \frac {\pi } { 4 } a b \left (a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>$ S $ 는 세 점 $ (0,0),(1,0),(0,1) $ 이 꼭지점인 $ u v $ 평면의 삼각형이다.</p> <p>단사 $ C ^ { 1 } - $ 변환 $ T $ 는 $ x=2 u-3 v, y=5 u + 7 v $ 이다. $ \Omega=T[S] $ 이다. $ f(x, y)=x $ 일 때, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $ 를 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>$ f(x, y)=f(2 u-3 v, 5 u + 7 v)=2 u-3 v $.</p> <p>$ J(T)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { cc } 2 & -3 \\ 5 & 7 \end {array} \right \|=29 $</p> <p>영역 $ S $ 의 표현 : $ 0 \leqq u \leqq 1,0 \leqq v \leqq 1-u $</p> <p>변수변환 정리에 의하여, \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y &= \iint_ { S } (2 u-3 v) \left \| \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right \| d u d v \\ &=29 \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 1-u } (2 u-3 v) d v \right ] d u \\ &=29 \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [2 u(1-u)- \frac { 3(1-u) ^ { 2 } } { 2 } \right ] d u=- \frac { 29 } { 6 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>영역 $ \Omega $ 는 네 점 $ (1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1) $ 이 꼭짓점인 정사각형이다.</p> <p>이중적분 $ \iint_ {\Omega } (x + y) ^ { 2 } e ^ { x-y } d x d y $ 를 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>$ x + y=u, x-y=v $ 라고 하면,</p> <p>전단사 $ C ^ { 1 } - $ 변환 $ T $ 는 $ \quad x= \frac { u + v } { 2 } , \quad y= \frac { u-v } { 2 } $ 이다.</p> <p>$ S= \{ (u, v) \\|-1 \leq u \leq 1,-1 \leq v \leq 1 \} \text { 은 } \Omega=T[S] $ 이다.</p> <p>$ J(T)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { cc } 1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & -1 / 2 \end {array} \right \|=- \frac { 1 } { 2 } $ 그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } (x + y) ^ { 2 } e ^ { x-y } d x d y &= \frac { 1 } { 2 } \iint_ { S } u ^ { 2 } e ^ { v } d u d v \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { -1 } ^ { 1 } u ^ { 2 } d u \int_ { -1 } ^ { 1 } e ^ { v } d v= \frac { e-e ^ { -1 } } { 3 } \end {aligned} \]</p> <p>예<p>$ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } d x $ 를 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>$ A= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -y ^ { 2 } } d y $ 라고 하자.</p> <p>$ A ^ { 2 } = \left ( \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } d x \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -y ^ { 2 } } d y \right )= \int_ { 0 } ^ {\infty } \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } d x d y $</p> <p>$ \Omega: a \geqq x \geqq 0, a \geqq y \geqq 0 $ 와 함수 $ f(x, y)=e ^ { - \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } $ 를 극좌표로 변환하자. 그러면</p> <p>$ 0 \leqq \theta \leqq \frac {\pi } { 2 } , 0 \leqq r \leqq a $ 이고 $ 0 \leqq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } \leqq a ^ { 2 } $ 이다. 그러므로</p> <p>$ A ^ { 2 } = \lim _ { a \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ { a } e ^ { -r ^ { 2 } } r d r d \theta= \lim _ { a \rightarrow \infty } \frac {\pi } { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left (1-e ^ { -a ^ { 2 } } \right )= \frac {\pi } { 4 } $</p>$ A ^ { 2 } = \frac {\pi } { 4 } $ 이다. 그러므로 $ A= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \frac {\sqrt {\pi } } { 2 } $ 이다.</p></p> <p>풀이<p>적분영역: $ \Omega: 0 \leq x \leq 1, \quad 0 \leq y \leq x $.</p> <p>반복적분: \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \int_ { 0 } ^ { x } \frac {\sin x } { x } d y \right ] d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \left (y \frac {\sin x } { x } \right ) \mid \right ]_ { y=x } ^ { y=0 } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sin x d x=- \cos 1 + 1 \\ \end {aligned} \]</p></p> <p>참고<p>위 문제에서 영역 $ \Omega: \mid 0 \leq y \leq 1, y \leq x \leq 1 $ 으로 택하면, 반복적분은 \[ \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \int_ { y } ^ { 1 } \frac {\sin x } { x } d x \right ] d y \]</p> <p>이 경우에는, $ \int \frac {\sin x } { x } d x $ 는 기본함수에 의한 적분 계산이 어렵다.</p> <p>여러 예를 통하여 중적분을 반복적분법으로 계산하여 구했다. 반복적분과 중적분이 동치인가에 대한 질문을 가질 수 있다. 해석학의 푸비니(Fubini) 정리에 의하여 두 적분이 동치임이 알려져 있다.</p></p> <p>정리<p>중적분-반복적분의 푸비니 정리</p> <p>함수 $ f(x, y) $ 는 직사각형 영역 $ D=[a, b] \times[c, d] $ 위에서 연속함수라 하자.</p> <p>1) 각 $ x \in[a, b] $ 에 대하여 $ f(x, y) $ 가 $ [c, d] $ 에서 연속이면</p> <p>\[ \iint_ { D } f= \int_ { a } ^ { b } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y d x \text { 이다. } \]</p> <p>2) 각 $ y \in[c, d] $ 에 대하여 $ f(x, y) $ 가 $ [a, b] $ 에서 연속이면</p> <p>\[ \iint_ { D } f= \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x d y \text { 이다. } \]</p></p> <p>예<p>반복적분 $ \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { x } \int_ { 0 } ^ { 4-x ^ { 2 } } x y z d z d y d x $ 을 구해보자.</p> <p>[그림 이해] 반복적분의 기하적 도해 :</p> <p>삼중적분 영역인 입체 $ T $ 는 타원형원통 $ z=4-x ^ { 2 } $ 와 아래평면 $ z=0 $ 양옆 평면 $ y=x, y=0 $ 로 둘러싸인 입체이다.</p> <p>삼중적분영역 $ T: 0 \leqq x \leqq 2,0 \leqq y \leqq x, 0 \leqq z \leqq 4-x ^ { 2 } $</p></p> <p>풀이<p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { x } \int_ { 0 } ^ { 4-x ^ { 2 } } x y z d z d y d x &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \int_ { 0 } ^ { 4-x ^ { 2 } } x y z d z \right ) d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \left [ \frac { 1 } { 2 } x y z ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 4-x ^ { 2 } } \right ]_ { 0 } d y d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { x } \left [x \left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } y \right ] d y d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [ \frac { 1 } { 2 } x \left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { x } d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [x ^ { 3 } \left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \left [4 x ^ { 4 } - \frac { 8 } { 6 } x ^ { 6 } + \frac { 1 } { 8 } x ^ { 8 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 8 } { 3 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>삼중적분의 입체 $ T $ 의 경계면들은 $ x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 $ 이고 타원면 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } + \frac { z ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } $ $ =1 $ 의 내부이다. $ T $ 에서 정의된 함수 $ f(x, y, z)=x y + y z + z x $ 의 삼중적분을 구하여보자.</p> <p>[그림 이해] 입체 $ T $</p></p> <p>풀이<p>$ T $ 의 위쪽 경계면: $ z=c \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \right ) ^ { 1 / 2 } $.</p> <p>경계면의, $ x y $ 평면 사영 영역:</p> <p>\[ \Omega_ { x y } : 0 \leqq x \leqq a, 0 \leqq y \leqq \phi(x)=b \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right ) ^ { 1 / 2 } . \]</p> <p>그러므로 적분영역 입체 $ T $ :</p> <p>\[ 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq \phi(x)=b \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } , \]</p> <p>\[ 0 \leq z \leq \psi(x, y)=c \left (1- \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } . \]</p> <p>따라서 구하는 삼중적분은, 반복적분으로 \[ I= \int_ { 0 } ^ { a } \int_ { 0 } ^ {\phi(x) } \int_ { 0 } ^ {\psi(x, y) } (x y + y z + z x) d z d y d x= \frac { 1 } { 15 } a b c(a b + b c + c a) . \]</p></p> <p>그러므로 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ {\varphi_ { 1 } (x) } ^ {\varphi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right ) d x $</p> <p>좌측그 림은 이중적분에 의한 적분:</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \]</p> <p>우측 그림은 단면적 $ A(x)= \int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y $ 를 이용한 반복적분:</p> <p>\[ \int_ { a } ^ { b } A(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ {\varphi_ { 1 } (x) } ^ {\varphi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right ) d x \]</p></p> <p>예<p>적분영역 $ \Omega $ 는 $ -1 \leq x \leq 1,-x ^ { 2 } \leq y \leq x ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>이때 $ f(x, y)=x ^ { 2 } -y $ 의 $ \Omega $ 에서 이중적분을 반복적분으로 구하여보자.</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } \left (x ^ { 2 } -y \right ) d x d y \]</p></p> <p>풀이<p>[문제 상황 그림 그리기]</p> <p>[계산하기]</p> <p>이 문제는 적분영역의 경계 조건을 보면 반복적분으로 구할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } \left (x ^ { 2 } -y \right ) d x d y &= \int_ { -1 } ^ { 1 } \left ( \int_ { -x ^ { 2 } } ^ { x ^ { 2 } } \left (x ^ { 2 } -y \right ) d y \right ) d x \\ &= \int_ { -1 } ^ { 1 } \left [x ^ { 2 } y- \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { -x ^ { 2 } } ^ { x ^ { 2 } } d x \\ &= \int_ { -1 } ^ { 1 } \left ( \left (x ^ { 4 } - \frac { x ^ { 4 } } { 2 } \right )- \left (-x ^ { 4 } - \frac { x ^ { 4 } } { 2 } \right ) \right ) d x \\ &= \int_ { -1 } ^ { 1 } 2 x ^ { 4 } d x= \frac { 4 } { 5 } . \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>$ \Omega: 0 \leq y \leq 1,-1 \leq x \leq y $ 영역에서, 다음 이중적분을 구하여보자.</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } \left (x y-y ^ { 3 } \right ) d x d y \]</p></p> <p>풀이<p>[문제 상황 그림 그리기]</p> <p>계산하기] 이 문제의 이중적분을 반복적분으로 구할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left ( \int_ { -1 } ^ { y } \left (x y-y ^ { 3 } \right ) d x \right ) d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y-x y ^ { 3 } \right ]_ { 1 } ^ { y } d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (- \frac { y } { 2 } - \frac { y ^ { 3 } } { 2 } -y ^ { 4 } \right ) d y=- \frac { 23 } { 40 } \end {aligned} \]</p></p> <p>(반복적분이 존재하기 위하여 함수 $ f, \phi_ { 1 } , \phi_ { 2 } , \psi_ { 1 } , \psi_ { 2 } $ 는 모두 연속임을 가정한다.)</p> <p>[ $ x z $ 평면사영 경우]</p> <p>삼중적분 영역인 입체 $ T $ 의 $ x z $ 평면으로 사영한 영역 $ \Omega_ { x z } $ : \[ \Omega_ { x z } : \quad a_ { 1 } \leq z \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (z) \leq x \leq \phi_ { 2 } (z) \]</p> <p>그러면 $ T $ 는 경계조건이 다음과 같이 표현되는 입체이다.</p> <p>\[ T: \quad a_ { 1 } \leq z \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (z) \leq x \leq \phi_ { 2 } (z) \quad, \quad \psi_ { 1 } (x, z) \leq y \leq \psi_ { 2 } (x, z) \]</p> <p>이러한 적분영역 $ T $ 위에 정의된 연속함수 $ f(x, y, z) $ 의 삼중적분: \[ \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z= \int_ { a_ { 1 } } ^ { a_ { 2 } } \left ( \int_ {\phi_ { 1 } (z) } ^ {\phi_ { 2 } (z) } \left ( \int_ {\psi_ { 1 } (x, z) } ^ {\psi_ { 2 } (x, z) } f(x, y, z) d y \right ) d x \right ) d z \]</p> <p>예<p>다음 그림의 사면체의 부피를 반복적분으로 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>사면체 $ T $ 의 $ x y $ 평면 사영 영역: $ \Omega_ { x y } : 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x $.</p> <p>삼중적분의 계산</p> <p>이중적분에서 사영에 의한 반복적분 계산방법을 삼중적분의 계산방법으로 확장한다.</p> <p>정리<p>삼중적분의 푸비니 정리</p></p> <p>$ f(x, y, z) $ 가 직육면체 $ \Pi= \left [a_ { 1 } , a_ { 2 } \right ] \times \left [b_ { 1 } , b_ { 2 } \right ] \times \left [c_ { 1 } , c_ { 2 } \right ] $ 에서 연속이면, 삼중적분은 반복적분과 같다.</p> <p>$ R_ { i j } $ 의 면적 $ = \frac { 1 } { 2 } r_ { i } ^ { 2 } \Delta \theta_ { j } - \frac { 1 } { 2 } r_ { i-1 } ^ { 2 } \Delta \theta_ { j } \quad $ (즉, 바깥 부채꼴 면적-안쪽 부채꼴 면적)</p> <p>\[ \begin {array} { l } = \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \left (r_ { i } -r_ { i-1 } \right ) \Delta \theta_ { j } \\ = \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } \end {array} \]</p> <p>그러므로</p> <p>\[ \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } m_ { i } \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } \leq V \leq \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } M_ { i } \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } . \]</p> <p>여기서 $ \Delta r_ { i } =r_ { i } -r_ { i-1 } , \Delta \theta_ { j } = \theta_ { j } - \theta_ { j-1 } $ 이고, $ f $ 의 연속성에 의하여</p> <p>\[ \lim _ { m \rightarrow \infty } \sum_ { n \rightarrow \infty } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } m_ { i } \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } = \lim _ { m \rightarrow \infty n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } M_ { i } \frac { r_ { i } + r_ { i-1 } } { 2 } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } \]</p> <p>풀이<p>이 문제를 적분 순서를 $ d y d x $ 방식의 반복적분으로 구해보자.</p> <p>[이중적분의 그림 이해]</p> <p>적분 영역은 $ \Omega: 0 \leq x \leq a, \quad( \sqrt { a } - \sqrt { x } ) ^ { 2 } \leq y \leq a-x $ 이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } d x d y &= \int_ { 0 } ^ { a } \left ( \int_ { ( \sqrt { a } - \sqrt { x } ) ^ { 2 } } ^ { a-x } d y \right ) d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { a } \left [(a-x)-( \sqrt { a } - \sqrt { x } ) ^ { 2 } \right ] d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { a } [-2 x + 2 \sqrt { a } \sqrt { x } ] d x= \frac { a ^ { 2 } } { 3 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>$ \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [ \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } f(x, y) d y \right ] d x $ 에 대하여, $ d x d y $ 적분순서의 반복적분식을 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>적분영역 $ \Omega: x ^ { 2 } \leq y \leq 2 x, 0 \leq x \leq 2 $ 이다.</p> <p>적분영역은 직선 $ x=0, x=2 $ 그리고 $ y=x ^ { 2 } $ 와 $ y=2 x $ 에 의하여 둘러싸인 영역이다.</p> <p>적분 순서를 바꾸기 위해 영역을 다시 표시하자. 그러면 \[ \Omega: 0 \leq y \leq 4, \frac { y } { 2 } \leq x \leq \sqrt { y } \]</p> <p>그러므로, $ \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [ \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } f(x, y) d y \right ] d x= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left [ \int_ { y / 2 } ^ {\sqrt { y } } f(x, y) d x \right ] d y $</p></p> <p>여기서 두 극한이 같으면, 이를 극좌표에서의 중적분이라고 부른다.</p> <p>그리고 $ V= \iint_ { R } f(r, \theta) r d r d \theta $ 으로 표기한다.</p> <p>극좌표에서 반복적분</p> <p>극좌표 평면에서 영역이 $ \Omega: \alpha \leqq \theta \leqq \beta, \rho_ { 1 } ( \theta) \leqq r \leqq \rho_ { 2 } ( \theta) $ 일 때,</p> <p>함수 $ f(r, \theta) \geqq 0 $ 의 부피 $ V $ 는 반복적분으로 계산된다.</p> <p>\[ \begin {array} { r } V= \iint_ {\Omega } f(r, \theta) r d r d \theta= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \int_ {\rho_ { 1 } ( \theta) } ^ {\rho_ { 2 } ( \theta) } f(r, \theta) r d r d \theta \end {array} \]</p> <p>특히 $ f(r, \theta)=1 $ 이면, 극좌표 영역 $ \Omega $ 의 면적은,</p> <p>\[ ( \Omega \text { 의 면적 } )= \iint_ {\Omega } r d r d \theta \text { . } \]</p></p> <p>예<p>심장형 $ r=1- \cos \theta $ 그래프의 안쪽 영역 $ \Omega $ 의 면적을 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>적분영역 $ \quad \Omega: 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq 1- \cos \theta $ 이다.</p> <p>극좌표에 의한 반복적분을 구해보자.</p> <p>\[ \begin {aligned} \Omega \text { 의 면적 } &= \iint_ {\Omega } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1- \cos \theta } r d r d \theta= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { 1 } { 2 } r ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 1- \cos \theta } d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } (1- \cos \theta) ^ { 2 } d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) d \theta + \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } \cos ^ { 2 } \theta d \theta, \quad \left ( \cos ^ { 2 } \theta= \frac { 1 + \cos 2 \theta } { 2 } \right . \text { 를 사용) } \\ &= \frac { 3 } { 2 } \pi \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>위로는 원뿔 $ z ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $, 아래로는 $ x y $ 평면</p> <p>그리고 옆면은 반구 $ z= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } $ 로 둘러싸인 입체 $ T $ 의 부피를 구하여보자</p></p> <p>풀이<p>입체 $ T $ 의 구면좌표 표현을 구하자.</p> <p>반구의 구면좌표 방정식은 $ \rho=2,0 \leqq \phi \leqq \frac {\pi } { 2 } $ 이다.</p> <p>원뿔의 $ z $-축 교점은 $ z=2 $ 이다.</p> <p>$ z=2 $ 인 평면이 원뿔을 절단하면 $ (0,0,2) $ 를 중심으로 하는 원이 둘레가 된다.</p> <p>이 원과 원점과 이루는 각은 $ \frac {\pi } { 4 } $ 이다. 따라서 입체 $ T $ 의 구면좌표 표현은 다음과 같다.</p> <p>\[ S: 0 \leqq \rho \leqq 2, \quad 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi, \quad \frac {\pi } { 4 } \leqq \phi \leqq \frac {\pi } { 2 } \]</p> <p>그러므로 구하는 입체 $ T $ 의 부피는 \[ \begin {aligned} \iiint_ { T } d x d y d z &= \iiint_ { S } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \int_ {\pi / 4 } ^ {\pi / 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \left ( \int_ {\pi / 2 } ^ {\pi / 4 } \sin \phi d \phi \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { 2 } d \rho \right ) \\ &= \left ( \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \right )(2 \pi) \left ( \frac { 8 } { 3 } \right )= \frac { 8 \pi \sqrt { 2 } } { 3 } \end {aligned} \]</p></p> <p>정의<p>구면좌표계</p></p> <p>3차원공간의 점 $ P $ 의 구면좌표는 $ (\rho, \theta, \phi) $ 으로 표시한다. $ \rho $ 는 원점에서 점 $ P $ 까지 거리, $ \theta $ 는 $ x $-축의 양의 방향각, $ \phi $ 는 $ \mathrm{z} $-축의 양의 방향각을 의미한다.</p> <p>여기서 $ \rho \geq 0,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \phi \leq \pi $ 으로 가정한다.</p> <p>구면좌표계에서 $ \rho=\rho_{0}, \theta=\theta_{0}, \rho=\rho_{0} $은 중심에서 반지름 $ \rho_{0} $ 인 구, $ \mathrm{z} $ 축이 시작변인 반평면, 원점이 꼭지점인 원뿔면이다.</p> <p>직교좌표와 구면좌표의 관계</p> <p>직교좌표 $ (x, y, z) $ 와 구면좌표 $ (\rho, \theta, \phi) $ 사이의 좌표변환 관계식 : \[ \begin{array}{l} x=\rho \sin \phi \cos \theta, \quad y=\rho \sin \phi \sin \theta, \quad z=\rho \cos \phi \\ \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, \quad \tan \theta=\frac{y}{x}, \quad \cos \phi=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} \end{array} \]</p> <p>정의<p>구형쐐기의 부피</p></p> <p>구면좌표계의 기본입체인 구형쐐기 $ W $ :</p> <p>구형쐐기 $ W: a_{1} \leq \rho \leq a_{2}, b_{1} \leq \theta \leq b_{2}, c_{1} \leq \phi \leq c_{2} $</p> <p>구형쐐기 $ W $ 의 부피는 3중적분으로 다음과 같다.</p> <p>\[ \text{(W 의 부피)}=\iiint_{W} \rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \]</p> <p>증명<p>구형쐐기 $ W $ 는 면 $ \Omega: a_{1} \leq \rho \leq a_{2}, \theta=b_{1}, c_{1} \leq \phi \leq c_{2} $ 을 $ z $ 축을 중심축으로 하여 $ b_{2}-b_{1} $ 라디안 회전하여 만들어지는 입체이다. 그러면 구형좌표로서 $ \rho, \alpha=\frac{\pi}{2}-\phi $ 로 고정된 면을 극좌표 방식으로 회전할 수 있다.</p> <p>면 $ \Omega $ 는 $ \Gamma: a_{1} \leqq \rho \leqq a_{2}, \frac{\pi}{2}-c_{2} \leqq \alpha \leqq \frac{\pi}{2}-c_{1} $ 으로 영역 표현을 갖는다.</p> <p>$ X=(\rho, \alpha) $ 로 놓고 면 $ \Omega $ 의 중심에서 $ z $ 축에 관한 거리를 $ \bar{X} $ 라고 하자. 그리고 $ \Omega $ 의 면적을 $ A_{\Omega} $ 라고 하자. 그러면</p> <p>\[ \begin{aligned} \bar{X} \cdot A_{\Omega} &=\iint_{\Omega} X d X d z=\iint_{\Gamma} \rho^{2} \cos \alpha d \rho d \alpha \\ &=\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{\frac{\pi}{2}-c_{2}}^{\frac{\pi}{2}-c_{1}} \cos \alpha d \alpha\right),\left(\phi=\frac{\pi}{2}-\alpha \text { 으로 치환 }\right) \\ &=\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{c_{1}}^{c_{2}} \sin \phi d \phi\right) \end{aligned} \]</p> <p>즉 $ \bar{X}=\frac{1}{A_{\Omega}}\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{c_{1}}^{c_{2}} \sin \phi d \phi\right) $ 이다. 면 $ \Omega $ 를 $ \theta=b_{1} $ 에서 $ \theta=b_{2} $ 까지 회전시키면, 면 $ \Omega $ 는 호의 길이만큼 움직인다. 즉 면 $ \Omega $ 의 중심이 $ z $ 축에 관한 회전 거리 $ S $ 는 $ S=\left(b_{2}-b_{1}\right) \cdot \bar{X} $ 이다. 따라서</p> <p>\[ S=\left(b_{2}-b_{1}\right) \cdot \bar{X}=\left(b_{2}-b_{1}\right) \frac{1}{A_{\Omega}}\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{c_{1}}^{c_{2}} \sin \phi d \phi\right) \]</p> <p>파푸스의 정리를 따르면, $ W $ 의 부피는 다음 식으로 주어진다.</p> <p>\[ \text{ (W의 부피) } =S \cdot(\Omega \) 의 면적 $ ) \]</p> <p>그러므로 식을 정리하면, \[ \begin{aligned} (W \text { 의 부피 }) &=\left(b_{2}-b_{1}\right)\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{c_{1}}^{c_{2}} \sin \phi d \phi\right) \\ &=\left(\int_{b_{1}}^{b_{2}} d \theta\right)\left(\int_{a_{1}}^{a_{2}} \rho^{2} d \rho\right)\left(\int_{c_{1}}^{c_{2}} \sin \phi d \phi\right) \\ &=\int_{b_{1}}^{b_{2}} \int_{a_{1}}^{a_{2}} \int_{c_{1}}^{c_{2}} \rho^{2} \sin \phi d \rho d \phi d \theta \\ &=\iiint_{W} \rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \end{aligned} \]</p> <p>[그림참조] 구면좌표계에서 부피요소인 기본쐐기의 부피</p> <p>\[ (\rho \sin \phi d \theta) \cdot(\rho d \phi) \cdot(d \rho)=\rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \]</p> <p>정의<p>구형쐐기에서 적분</p></p> <p>구형쐐기 \( W $ 에서 연속인 밀도함수 $ f(\rho, \theta, \phi) $ 의 질량: \[ W \text { 의 질량 }=\iiint_{W} f(\rho, \theta, \phi) \rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \]</p> <p>일반 입체 $ S $ 에서 (구면좌표에 의한) 연속인 밀도함수 $ f(\rho, \theta, \phi) $ 의 질량: \[ S \text { 의 질량 }=\iiint_{S} f(\rho, \theta, \phi) \rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \]</p> <p>일반 입체 $ S $ 의 부피 : \[ S \text { 의 부피 }=\iiint_{S} \rho^{2} \sin \phi d \rho d \theta d \phi \]</p> <p>정리<p>좌표계 변환</p> <p>어떤 이중적분 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $ 은 극좌표를 사용하면 계산이 쉬운 경우가 있다. 직교좌표에 의한 이중적분을 극좌표에 의한 적분으로 변환하는 공식은 다음과 같다.</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \iint_ {\Omega } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \]</p></p> <p>증명<p>일반성을 잃지 않고 $ f \geqq 0 $ 라고 가정하자.</p> <p>$ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 이므로 곡면 $ z=f(x, y) $ 을 극좌표로 표현하면, $ z=f(r \cos \theta, r \sin \theta)=g(r, \theta) $ 이다.</p> <p>[그림 이해] 직교좌표와 극좌표에서 면적요소 $ d A=d x d y \approx r d \theta d r $</p> <p>이중적분 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $ 은 곡면과 $ \Omega $ 사이의 입체의 부피이다. 그러므로 \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \iint_ {\Omega } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta= \iint_ {\Omega } g(r, \theta) r d r d \theta . \]</p></p> <p>예<p>영역 $ \Omega $ 가 원점이 중심이고 반지름이 $ a $ 인 원의 내부이다.</p> <p>다음 이중적분을 구해보자.</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } e ^ { - \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } d x d y \]</p></p> <p>풀이<p>먼저 극좌표 적분식으로 변환하자.</p> <p>적분 영역 $ \Omega: 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq a $ 이다.</p> <p>함수의 좌표변환: $ f(x, y)=e ^ { - \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } =e ^ { -r ^ { 2 } } =g(r, \theta) $ 이다.</p> <p>극좌표로 변환하여 극좌표 반복적분식으로 변환하자.</p> <p>$ \iint_ {\Omega } e ^ { - \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } d x d y= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { a } e ^ { -r ^ { 2 } } r d r d \theta $ 이다.</p> <p>반복적분 계산을 하자.</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { a } e ^ { -r ^ { 2 } } r d r d \theta &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [- \frac { 1 } { 2 } e ^ { -r ^ { 2 } } \right ]_ { 0 } ^ { a } d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [ \frac { 1 } { 2 } \left (1-e ^ { -a ^ { 2 } } \right ) d \theta \right . \\ &= \pi \left (1-e ^ { -a ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>영역 $ R: 1 \leq x \leq 4,1 \leq y \leq 3 $ 에서 $ f(x, y)=x + y-2 $ 의 중적분을 구해보자. $ f(x, y)=x + y-2 $ 의 그래프는 평면 $ z=x + y-2 $ 이다.</p> <p>구간 $ [1,4] $ 은 $ P_ { 1 } = \{ 1,2,3,4 \} $, 구간 $ [1,3] $ 은 $ P_ { 2 } = \left \{ 1, \frac { 3 } { 2 } , 3 \right \} $ 으로 분할하자.</p> <p>1) 영역 $ R=[1,4] \times[1,3] $ 의 직사각형 분할 $ P=P_ { 1 } \times P_ { 2 } $ 에 대하여, 하합 $ L_ { f } (P) $ 와 상합 $ U_ { f } (P) $ 를 구해보자.</p> <p>2) 같은 분할에 대해 중간점에 의한 이중합을 구해보자.</p> <p>풀이<p>1 ) 작은 사각형 $ R_ { i j } $ 에서, $ f $ 의 최대값 $ M_ { i j } $ 는 점 $ \left (x_ { i } , y_ { j } \right ) $ 에서, 최소값 $ m_ { i j } $ 은 점 $ \left (x_ { i-1 } , y_ { j-1 } \right ) $ 에서 갖는다. 따라서 $ M_ { i j } =x_ { i } + y_ { j } -2, m_ { i j } =x_ { i-1 } + y_ { j-1 } -2 $. 그러므로 \[ \begin {array} { l } L(P)=0 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) + 1 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + \frac { 3 } { 2 } \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) + 2 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + \frac { 5 } { 2 } \left ( \frac { 3 } { 2 } \right )= \frac { 33 } { 4 } \\ U(P)= \frac { 3 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + 3 \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) + \frac { 5 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + 4 \left ( \frac { 3 } { 2 } \right ) + \frac { 7 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + 5 \left ( \frac { 3 } { 2 } \right )= \frac { 87 } { 4 } \end {array} \]</p> <p>$ f $ 가 $ \Pi $ 에서 연속이면 모든 분할 $ P $ 에 대하여 부등식을 만족하는 극한 $ I $ 이 존재한다.</p> <p>\[ L(P) \leq I \leq U(P) \]</p> <p>극한값 $ I $ 를 $ f $ 의 $ \Pi $ 에서 삼중적분이라 부르고 기호로 다음과 같이 쓴다.</p> <p>\[ I= \iiint_ {\Pi } f(x, y, z) d x d y d z \]</p> <p>정의<p>일반영역의 삼중적분</p></p> <p>직육면체가 아닌 일반적인 입체 $ T $ 를 영역으로 갖는 삼변수 연속함수 $ f $ 의 적분: 이중적분의 일반영역으로의 확장했던 경우처럼 $ T $ 를 포함하는 적당한 직육면체 $ \Pi $ 를 택하여 함수 $ f $ 의 $ T $ 바깥에서 0 인 값을 갖도록 확장한다. 이때 $ T $ 의 경계가 0 인 부피를 가지면, 삼중적분이 존재한다. 이를 $ T $ 에서 $ f $ 의 삼중적분이라고 부르고 다음과 같이 표기한다.</p> <p>\[ I= \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z \]</p> <p>정리<p>삼중적분의 평균값 정리</p></p> <p>3차원 입체 $ T $ 에서 정의된 $ f(x, y, z) $ 가 연속이라고 가정하자. 그러면 $ T $ 내부의 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) $ 가 존재하여 $ T $ 의 부피를 $ V_ { T } = \iiint_ { T } d x d y d z $ 라 하면,</p> <p>\[ \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \times V_ { T } . \]</p> <p>정의<p>질량으로서 삼중적분</p></p> <p>평균밀도는 단위부피의 질량(무게)을 뜻한다. 한 점에서의 밀도는 미분계수처럼 극한적 의미의 단위부피의 질량을 뜻한다. 이제 밀도 $ \rho=f(x, y, z) $ 가 입체 $ T $ 에서 연속적으로 변한다고 하자. 그러면 이 입체 $ T $ 의 전체 질량은, \[ (T \text { 의 질량 } )= \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z \]</p> <p>입체 $ T $ 의 밀도가 상수 1 이면, 삼중적분은 입체 $ T $ 의 부피이다.</p> <p>\[ T \text { 의 부피 } = \iiint_ { T } d x d y d z \]</p> <p>이중적분의 다음 성질은 일변수함수의 적분이 갖는 동일한 성질을 갖는다.</p> <p>정리<p>이중적분의 성질</p></p> <p>$ a, b $ 는 실수인 상수이고, $ \Omega, \Omega_ { 1 } , \Omega_ { 2 } $ 는 적분가능한 이변수함수 $ f, g $ 가 정의된 $ x y $ 평면의 영역이라고 하자.</p> <p>$ \Omega $ 의 분할: $ \Omega= \Omega_ { 1 } \cup \Omega_ { 2 } $</p> <ol type=1 start=1><li>(선형성) \[ \begin {aligned} & \iint_ {\Omega } [a f(x, y) + b g(x, y)] d x d y \\ =& a \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y + b \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \end {aligned} \]</li> <li>(부등호 보존성) 영역 $ \Omega $ 에서 $ f(x, y) \leq g(x, y) $ 이면, \[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \leq \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \]</li> <li>(가법성) $ \Omega= \Omega_ { 1 } \cup \Omega_ { 2 } , \Omega_ { 1 } \cap \Omega_ { 2 } = \varnothing $ 이고 $ \Omega_ { 1 } , \Omega_ { 2 } $ 에서 $ f $ 가 각각 적분가능하면, \[ \begin {array} { l } \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \\ = \iint_ {\Omega_ { 1 } } f(x, y) d x d y + \iint_ {\Omega_ { 2 } } f(x, y) d x d y . \end {array} \]</li> <li>$ \iint_ {\Omega } \|f\| d x d y $ 가 존재한다. 즉 $ \|f\| $ 는 적분가능하다. 그리고 $ \left \| \iint_ {\Omega } f d x d y \right \| \leq \iint_ {\Omega } \|f\| d x d y $ 이다.</li></ol> <p>[증명 생략]</p> <p>정의<p>함수 $ f $ 가 영역 $ \Omega $ 위에서 이중적분가능할 때, 영역 안의 점 $ \left (x_ { 0 } y_ { 0 } \right ) \in \Omega $ 이 있어서 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \cdot( \Omega $ 의 면적 $ ) $ 을 만족할 때, $ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 를 $ \Omega $ 위에서 $ f $ 의 평균 값이라고 부른다.</p> <p>예<p>그림의 원기둥 $ T $ 에서 각점의 밀도가 밑면인 $ x y $ 평면과의 거리에 따라 비례할 때 이 입체의 질량을 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>원기둥 $ T $ 의 $ x y $ 평면 사영 영역:</p> <p>$ \Omega_ { x y } :-r \leq x \leq r,- \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \leq y \leq \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } , $</p> <p>원기둥 $ T:-r \leq x \leq r $</p> <p>\[ \begin {array} { l } - \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \leq y \leq \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \\ 0 \leq z \leq h \end {array} \]</p> <p>이때 $ k $ 를 밀도의 비례상수라 하면, $ T $ 의 각점 $ (x, y, z) $ 와 $ x y $ 평면과의 거리에 비례한다. 그러므로 $ f(x, y, z) = k z $이다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} (T \text { 의 질량 } ) &= \iint_ { T } k z d x d y d z \\ &= \int_ { -r } ^ { r } \int_ { - \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \int_ { 0 } ^ { h } k z d z d y d x \\ &= \int_ { -r } ^ { r } \int_ { - \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } k h ^ { 2 } d y d x \\ &=4 \int_ { 0 } ^ { r } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } k h ^ { 2 } d y d x \\ &=2 k h ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { r } \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { 2 } k h ^ { 2 } r ^ { 2 } \pi . \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>변수변환은 $ T(u, v): x = u ^ { 2 } -v ^ { 2 } , y=2 u v $ 이다. 그리고 $ f(x, y)=y $ 이고, 적분영역 $ \Omega $ 는 $ x $-축과 두 포물선 $ y ^ { 2 } =4-4 x, y ^ { 2 } =4 + 4 x $ 로 둘러싸인 영역이다. 이때 이중적분 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $ 을 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>먼저 $ T[S]= \Omega $ 인 영역은 $ S=[0,1] \times[0,1] $ 이다.</p> <p>\[ J(T)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cc } 2 u-2 v \\ 2 v & 2 u \end {array} \right \|=4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } >0 \]</p> <p>변수변환 정리를 적용하면,</p> <p>\[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y &= \iint_ { S } f \left (u ^ { 2 } -v ^ { 2 } , 2 u v \right )\|J(T)\| d u d v \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } 2 u v \left \|4 u ^ { 2 } + 4 v ^ { 2 } \right \| d u d v \\ &=8 \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } u ^ { 3 } v + u v ^ { 3 } d u d v \\ &=8 \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \frac { 1 } { 4 } u ^ { 4 } v + \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } v ^ { 3 } \right ]_ { u=0 } ^ { u=1 } d v \\ & = \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (2 v + 4 v ^ { 3 } \right ) d v= \left [v ^ { 2 } + v ^ { 4 } \right ]_ { v=0 } ^ { v=1 } =2 \end {aligned} \]</p></p> <p>\[ \Omega: a \leq x \leq b, \phi_ { 1 } (x) \leq y \leq \phi_ { 2 } (x) \]</p> <p>이면, 이중적분은 다음 등식의 우측에 있는 반복적분에 의한 계산 값과 같다.</p> <p>\[ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ {\varphi_ { 1 } (x) } ^ {\varphi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right ) d x \]</p></p> <p>[$ \Omega $ 형태-2]<p>적분영역 $ \Omega $를 $ y $축 위에 사영하면 폐구간 $ [c, d] $가 되고,</p> <p>\[ \begin {array} { l } \Omega: \quad c \leq y \leq d, \psi_ { 1 } (y) \leq x \leq \psi_ { 2 } (y) \text {이면, } \\ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \int_ { c } ^ { d } \left ( \int_ {\psi_ { 1 } (y) } ^ {\psi_ { 2 } (y) } f(x, y) d x \right ) d y . \end {array} \]</p> <p>이러한 방식으로 이중적분을 구하는 방법을 (이중)반복적분이라고 부른다.</p></p> <p>[기하적 설명]<p>$ f \geq 0 $이고 $ \Omega $가 $ f $의 $ x $축 사영인 영역이라 하자. $ \Omega $에서 $ f $의 이중적분은 $ \Omega $와 곡면 $ z=f(x, y) $ 사이에 놓인 입체 $ T $의 부피이다. 즉</p> <p>\[ (T \text {의 부피} )= \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \]</p> <p>$ T $의 부피를 구하는 아이디어는 정적분의 부피 계산 방법처럼 $ x $축에 수직인 단면적의 적분으로 계산할 수 있다. 즉 좌표 값이 $ x $인 $ T $의 단면적을 $ A(x) $라고 하면,</p> <p>$ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x $, 여기서 $A(x)= \int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y . $</p> <h1>17.6 좌표변환과 중적분: Jacobian</h1> <p>일변수함수의 치환적분 정리소개</p> <p>일변수함수의 치환 정적분은, $ g ^ {\prime } (x) $ 가 구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고, $ u = g(x) $ 일 때, 합성함수 $ f(u) $ 가 $ g $ 의 치역 $ \operatorname { Im } [g] $ 에서 연속이면,</p> <p>$ \int_ { g(a) } ^ { g(b) } f(u) d u= \int_ { a } ^ { b } f(g(x)) g ^ {\prime } (x) d x $ 이었다.</p> <p>$ g(b)=d, g(a)=c $ 그리고 $ u=g(x), g ^ {\prime } (x)= \frac { d u } { d x } $ 인 특별한 경우에는,</p> <p>$ \int_ { c } ^ { d } f(u) d u= \int_ { a } ^ { b } f(u(x)) \frac { d u } { d x } d x $ 이다.</p> <p>일변수함수의 치환적분 정리를 다변수함수로 일반화한 정리를 소개한다.</p> <p>변수변환</p> <p>$ u v $ 평면의 영역 $ S $ 에서 $ x y $ 평면의 영역 $ R $ 으로의 함수(변환)인 $ T(u, v) $ 가<p>$ x=g(u, v), y=h(u, v) . $</p> <p>여기서 $ g, h $ 는 연속인 1 계-편도함수를 갖는 조건일 때, $ T $ 를 $ C ^ { 1 } $-변환이라고 부른다. 특히 $ T $ 가 $ C ^ { 1 } $-단사변환(one-to-one) 이면, 역변환 $ T ^ { -1 } $ 을 갖는다.</p> <p>그리고 $ T ^ { -1 } (x, y)=(u, v) $ 는 변수변환 함수 $ G, H, u=G(x, y), v=H(x, y) $ 로 표현된다.</p> <p>예<p>변수변환 $ T(u, v) $ 가 방정식 $ x=u ^ { 2 } -v ^ { 2 } , y=2 u v $ 으로 정의되었다고 하자.</p> <p>$ u v $ 평면의 정사각형 영역 $ S= \{ (u, v) \mid 0 \leqq u \leqq 1,0 \leqq v \leqq 1 \} $ 에 대하여, 치역 $ T[S] $를 구해보자.</p> <p>예<p>원판 $ \Omega:(x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqq 1 $ 위에 있는 원뿔 $ z=2- \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $ 의 부피를 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>직교좌표계의 원판 $ \Omega:(x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqq 1 $과 원뿔은 $ z=2- \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } $이다.</p> <p>원판, 원뿔을 극좌표로 변환하자. 그러면, 원뿔 $ z=2-r $이고</p> <p>영역 $ \Omega:- \frac { 1 } { 2 } \pi \leq \theta \leq \frac { 1 } { 2 } \pi, 0 \leq r \leq 2 \cos \theta $이다.</p> <p>원뿔의 부피 $ V $는 그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} V &= \iint_ {\Omega } (2-r) r d r d \theta= \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } \left (2 r-r ^ { 2 } \right ) d r d \theta \\ &= \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \left (4 \cos ^ { 2 } \theta- \frac { 8 } { 3 } \cos ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\ &=2 \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \left [2(1 + \cos 2 \theta)- \frac { 8 } { 3 } \left (1- \sin ^ { 2 } \theta \right ) \cos \theta \right ] d \theta \\ &=2 \left [2 \theta + \sin 2 \theta- \frac { 8 } { 3 } \sin \theta + \frac { 8 } { 9 } \sin ^ { 3 } \theta \right ]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \\ &=2 \pi- \frac { 32 } { 9 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>$ a ^ { 2 } >b>0 $ 라고 하자. 이때 원기둥 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = b ^ { 2 } $, 평면 $ y + z=a ^ { 2 } $, 그리고 평면 $ z=0 $ 사이에 놓인 입체의 부피를 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>적분영역: $ \Omega:-b \leq x \leq b,- \sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \leq y \leq \sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } $</p> <p>반복적분: \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } \left (a ^ { 2 } -y \right ) d x d y &= \int_ { -b } ^ { b } \int_ { - \sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } \left (a ^ { 2 } -y \right ) d y d x \\ &= \int_ { -b } ^ { b } \left [a ^ { 2 } y- \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { - \sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } d x \\ &= \int_ { -b } ^ { b } \left (2 a ^ { 2 } \sqrt { b ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) d x= \pi a ^ { 2 } b ^ { 2 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>적분영역 $ \Omega $ 는 $ x $ 축, 직선 $ y=x, x=1 $ 으로 둘러싸인 삼각형이다. $ f(x, y)= \frac {\sin x } { x } $ 일 때, $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $ 를 구하여보자.</p></p> <p>예<p>영역 $ \Omega $ 는 네 직선으로 $ x + y=0, x + y=1,2 x-y=0,2 x-y=3 $ 둘러싸인 평행사변형이다. 중적분 $ \iint_ {\Omega } (x + y) ^ { 2 } d x d y $ 를 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>$ u=x + y, v=2 x-y $ 로 정의하자. $ T(x, y)=(u, v)=(x + y, 2 x-y) $ 이다. 좌표변환 공식 야코비안을 이용한 적분으로 구할 수 있다. $ (x + y) ^ { 2 } $ 를 $ u, v $ 의 함수로 표현해 보자.</p> <p>$ u + v=(x + y) + (2 x-y)=3 x, 2 u-v=(2 x + 2 y)-(2 x-y)=3 y $ 이므로 $ x= \frac { u + v } { 3 } , y= \frac { 2 u-v } { 3 } $ 이다. $ x + y=u $ 이다. 따라서 \[ J(u, v)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { cc } \frac { 1 } { 3 } & \frac { 2 } { 3 } \\ \frac { 1 } { 3 } & - \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right \|=- \frac { 1 } { 3 } . \]</p> <p>그러므로 $ \iint_ {\Omega } (x + y) ^ { 2 } d x d y= \iint_ {\Gamma } u ^ { 2 } \|J(u, v)\| d u d v $ \[ = \frac { 1 } { 3 } \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { 0 } ^ { 1 } u ^ { 2 } d u d v= \frac { 1 } { 3 } \]</p></p> <p>풀이<p>입체 $ T $ 는 타원곡선의 회전으로 생성되는 회전면 $ z=4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $ 이 지붕이고 아래는 $ x y $ 평면으로 만들어지는 입체이다. 이 입체는 $ z $ 축에 대하여 회전대칭이므로 원기둥좌표 표현은 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} S: \quad 0 \leqq r \leqq 2, \quad 0 \leqq \theta \leqq 2 \pi, 0 \leqq z \leqq 4-r ^ { 2 } \\ \iiint_ { T } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d x d y d z=& \iiint_ { S } r ^ { 2 } r d r d \theta d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { 4-r ^ { 2 } } r ^ { 3 } d z d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [r ^ { 3 } z \right ]_ { 0 } ^ { 4-r ^ { 2 } } d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [4 r ^ { 3 } -r ^ { 5 } \right ] d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [r ^ { 4 } - \frac { 1 } { 6 } r ^ { 6 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } d \theta \\ &= \frac { 16 } { 3 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta= \frac { 32 } { 3 } \pi \end {aligned} \]</p> <p>직교좌표의 삼중적분 : 원기둥좌표의 삼중적분</p> <p>$ T $ 를 직교좌표로 표현된 $ x y z $ 공간의 입체라고 하자. 그리고 이를 원기둥좌표에 의한 $ r \theta z $ 공간 표현을 $ S $ 라고 하자. 그러면 다음 삼중적분은 동치이다.</p> <p>\[ \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z= \iiint_ { S } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z \]</p> <p>정의<p>원기둥좌표계의 삼중적분</p></p> <p>원기둥좌표로 정의된 다변수함수 $ f(r, \theta, z) $ 가 원기둥쐐기 $ \Pi $ 에서 연속일 때, 삼중적분을 정의할 수 있다. 이 삼중적분의 정의는 앞 절의 방법과 유사함으로 생략한다.</p> <p>원기둥쐐기인 입체 $ \Pi $ 에서 연속인 밀도함수 $ f(r, \theta, z) $ 의 3중적분 : \[ \Pi \text { 의 질량= } \iiint_ {\Pi } f(r, \theta, z) r d r d \theta d z \]</p> <p>또한 일반적인 입체 $ T $ 에서 연속인 밀도함수 $ f(r, \theta, z) $ 의 삼중적분 : \[ T \text { 의 질량 } = \iiint_ { T } f(r, \theta, z) r d r d \theta d z \]</p> <p>특히, 밀도함수가 입체 $ T $ 에서 균일하게 $ f(r, \theta, z)=1 $ 인 경우 3 중적분 $ T $ 의 부피이다. \[ T \text { 의 부피 } = \iiint_ { T } r d r d \theta d z \]</p> <p>원기둥좌표계는 대칭축이 있는 물리적 응용에 중요하게 쓰인다.</p> <p>예<p>입체 $ T $ 의 원기둥좌표 표현은</p> <p>$ T:-2 \leqq x \leqq 2,- \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \leqq y \leqq \sqrt { 4-x ^ { 2 } } , 0 \leqq z \leqq 4-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $ 일 때, 삼중적분 $ \iiint_ { T } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d x d y d z $ 을 구해보자.</p></p> <p>예<p>중심이 원점이고 반지름 $ a $ 인 구의 부피 $ V $ 를 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>구의 부피는 중적분으로 $ V = 2 \iint_ {\Omega } \sqrt { a ^ { 2 } - \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } d x d y $ 이다.</p> <p>영역 $ \Omega: 0 \leqq r ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leqq a ^ { 2 } $ 은 원판이다.</p> <p>극좌표계의 반복적분으로 구하기 위해 변수 $ r, \theta $ 로 변환을 하자.</p> <p>적분영역 $ \Omega: 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq r \leq a $</p> <p>$ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $ 이므로 위쪽 반구의 함수는 $ z=f(r, \theta) \equiv \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } $ 이다.</p> <p>따라서 구의 부피는,</p> <p>\[ \begin {aligned} V &=2 \iint_ {\Omega } \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { R } \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } (2 r) d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left [- \frac { 2 } { 3 } \left (a ^ { 2 } -r ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 0 } ^ { a } d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 2 } { 3 } a ^ { 3 } d \theta= \frac { 4 } { 3 } \pi a ^ { 3 } \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>방정식 $ \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } =2 z \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) $ 으로 정의되는 곡면으로 둘러싸인 입체 $ T $ 의 부피를 구하여 보자.</p></p> <p>풀이<p>주어진 직교좌표에 의한 곡면 방정식을 구면좌표계로 변환한 방정식을 구해보자.</p> <p>변환된 방정식은 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = \rho ^ { 2 } , z= \rho \cos \phi, x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } = \rho ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi $ 이다. 이를 주어진 방정식에 대입하면 $ \rho ^ { 4 } =2( \rho \cos \phi) \left ( \rho ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi \right ) $ 이다. 그러므로 식을 정리하면 변환된 구면좌표 방정식은 $ \rho=2 \sin ^ { 2 } \phi \cos \phi $ 이다. 변수 $ \theta $ 가 방정식에 없으므로 범위는 $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi $ 이다.</p> <p>직교좌표 방정식에서 $ z \geq 0 $ 이므로 변수 $ \phi $ 의 범위는 $ 0 \leq \phi \leq \frac { 1 } { 2 } \pi $ 이다. 따라서 입체 $ T $ 의 구면좌표계 표현식은 \[ T: 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \phi \leq \frac { 1 } { 2 } \pi, 0 \leq \rho \leq 2 \sin ^ { 2 } \phi \cos \phi . \]</p> <p>그러므로 구하는 입체 $ T $ 의 부피는 \[ \begin {aligned} (T \text { 의 부피 } ) &= \iiint_ { T } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \sin ^ { 2 } \phi \cos \phi } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \phi d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \frac { 8 } { 3 } \sin ^ { 7 } \phi \cos ^ { 3 } \phi d \phi d \theta \\ &= \\ & \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \frac { 8 } { 3 } \left ( \sin ^ { 7 } \phi \cos \phi- \sin ^ { 9 } \phi \cos \phi \right ) d \phi d \theta \\ &= \frac { 8 } { 3 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 1 } { 40 } d \theta= \frac { 2 } { 15 } \pi \end {aligned} \]</p></p> <p>$ f $ 는 $ R $ 에서 연속함수이므로, 작은사각형 $ R_ { i j } $ 에서 최대값 $ M_ { i j } $, 최소값 $ m_ { i j } $ 을 갖는다. 따라서 작은 사각기둥의 부피의 총합은 다음 식을 정의할 수 있다. \[ \begin {array} { l } L(P)= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } m_ { i j } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \\ U(P)= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } M_ { i j } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \end {array} \]</p> <p>분할 $ P $ 에 대하여 $ L(P) \leqq U(P) $ 임은 명백하다. $ U(P) $ 를 $ f $ 의 $ P $-상합, $ L(P) $ 를 $ f $ 의 $ P $-하합이라고 부른다. 분할 $ P $ 의 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $ 를 더 작게 세분화하면 $ \mid U(P)-L(P) \mid $ 는 작아질 것이다. 그리고 분할 $ P $ 를 세분화한 분할 $ Q $ 에 대하여, $ f $ 가 (연속 또는 유계)함수이면 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>\[ L(P) \leqq L(Q) \leqq U(Q) \leqq U(P) \]</p> <p>이제 $ R_ { i j } $ 에서 임의로 택한 표본점을 $ \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) $ 라고 하자.</p> <p>그러면 $ m_ { i j } \leqq f \left (x_ { i } ^ { * } , y_ { j } ^ { * } \right ) \leqq M_ { i j } , \forall i, j $ 이 성립한다.</p> <p>그리고 $ R_ { i j } $ 의 면적을 $ \triangle A_ { i j } = \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } $ 라고 하자. 이때 작은 사각기둥의 부피는 $ f \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) \Delta A_ { i j } $ 이다. 따라서 $ m_ { i j } \Delta A_ { i j } \leqq f \left (x_ { i } ^ { * } , y_ { j } ^ { * } \right ) \Delta A_ { i j } \leqq M_ { i j } \Delta_ { i j } , \forall i, j $ 이다.</p> <p>따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} L(P)= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } m_ { i j } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } & \leqq \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) \Delta A_ { i j } \\ & \leqq U(P)= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } M_ { i j } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \end {aligned} \]</p> <p>이 성립한다. 따라서 근사적으로 구하는 부피는 상합, 하합의 극한의 사이값이 될 것이다. 즉, 분할 $ P $ 가 더욱 세분화되어 면적요소가 $ \Delta A \rightarrow 0 $ 되어 가면, 직관적으로 $ \|U(P)-L(P)\| \rightarrow 0 $ 수렴하게 된다.</p> <p>\[ V \approx \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) \triangle A_ { i j } \]</p> <p>따라서 극한값은 $ V= \lim _ { m, n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } f \left (x_ { i j } ^ { * } , y_ { i j } ^ { * } \right ) \Delta A_ { i j } $ 이 될 것이다.</p> <h1>17.2 반복적분</h1> <p>정의에 의하여 이중적분을 계산하는 것은 적분가능한 함수라도 어떤 경우에는 쉽지 않다. 함수에 따라 중적분이 불가능한 것은 아니지만 어려울 때 중적분을 계산하는 방법으로 반복 적분법이 있다. 먼저 직관적으로 이해할 수 있는 반복적분법을 알아보자.</p> <p>생각하기<p>반복적분(iterated integral)</p></p> <p>직사각형 영역 $ D = [a, b] \times[c, d] $ 에서 함수 $ f $ 는 유계(또는 연속)이라고 가정하자.</p> <p>$ x \in[a, b] $ 인 $ x $ 를 상수로 고정시키면 $ f(x, y) $ 는 구간 $ [c, d] $ 에서 변수 $ y $ 의 함수이다. 이제 $ x \in[a, b] $ 에 대하여 함수 $ f(x, y) $ 가 $ [c, d] $ 에서 적분가능하면, 이를 함수 $ g(x)= $ $ \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y $ 으로 정의할 수 있다.</p> <p>그리고 $ g(x) $ 가 $ [a, b] $ 에서 적분가능하면, $ \int_ { a } ^ { b } g(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ) d x $ 을 구할 수 있다. 이를 $ f $ 의 영역 $ D=[a, b] \times[c, d] $ 에서 반복적분(iterated integral)이라 부른다.</p> <p>그리고 $ \int_ { a } ^ { b } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y d x= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ) d x $ 으로 쓴다.</p> <p>즉 반복적분법은 적분영역과 함수가 각각의 변수에 대하여 일변수함수의 적분을 반복하여 계산하여 구하는 방법이다.</p> <p>특히 그림에서처럼 중적분영역의 경계를 정의하는 함수가 알려져 있고, 이들이 연속함수인 경우 둘러싸인 영역의 면적을 반복적분법으로 구할 수 있다.</p> <p>정리<p>반복적분</p></p> <p>[ $ \Omega $ 형태-1]<p>적분영역 $ \Omega $ 를 $ x $ 축에 사영하면 폐구간 $ [a, b] $ 가 되고,</p> <h1>17.4 삼중적분</h1> <p>삼중적분을 정의하는 방법은 이중적분과 같다. 단지 다루는 적분영역이 3차원 공간의 영역이고 삼변수함수인 것이 다르다. 여기서는 직사각형 영역 대신 먼저 직육면체 영역에서 삼중적분을 정의하고 후에 보다 일반적인 영역의 삼중적분으로 확장하기로 하자.</p> <p>정의<p>상합, 하합, 삼중적분</p></p> <p>직육면체 적분영역 $ \Pi: a_ { 1 } \leq x \leq a_ { 2 } , b_ { 1 } \leq y \leq b_ { 2 } , c_ { 1 } \leq z \leq c_ { 2 } $</p> <p>각 좌표 구간을 다음과 같이 분할한다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } {\left [a_ { 1 } , a_ { 2 } \right ] \text { 의 분할 } P_ { 1 } = \left \{\mathrm { x } _ { 0 } , \cdots, \mathrm { x } _ {\mathrm { m } } \right \} } \\{\left [b_ { 1 } , b_ { 2 } \right ] \text { 의 분할 } P_ { 2 } = \left \{\mathrm { y } _ { 0 } , \cdots, \mathrm { y } _ {\mathrm { n } } \right \} } \\{\left [c_ { 1 } , c_ { 2 } \right ] \text { 의 분할 } P_ { 3 } = \left \{\mathrm { z } _ { 0 } , \cdots, \mathrm { z } _ {\mathrm { q } } \right \} } \end {array} \]</p> <p>$ \Pi $ 의 분할: $ P=P_ { 1 } \times P_ { 2 } \times P_ { 3 } = \left \{\left (x_ { i } , y_ { j } , z_ { k } \right ) \mid x_ { i } \in P_ { 1 } , y_ { j } \in P_ { 2 } , z_ { k } \in P_ { 3 } \right \} $</p> <p>예</p><p>$ x y $ 평면의 위, 타원면 $ b ^ { 2 } x ^ { 2 } + b ^ { 2 } y ^ { 2 } + a ^ { 2 } z ^ { 2 } =a ^ { 2 } b ^ { 2 } $ 의 아래, 옆은 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -a y=0 $ 으로 둘러있는 입체의 부피 $ V $ 를 구하여보자.</p> <p>풀이</p><p>좌표변환 공식은 $ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $ 이다.</p> <p>그러므로 타원면의 극방정식은 $ z= \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } $ 이고 밑면의 적분영역의 경계는 $ r=a \sin \theta $ 이다.</p> <p>극좌표에 의한 적분영역: $ \Omega: 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq r \leq a \sin \theta $.</p> <p>구하는 입체의 부피: \[ \begin {aligned} V &= \iint_ {\Omega } \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { a \sin \theta } \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -r ^ { 2 } } r d r d \theta= \frac { 1 } { 3 } \pi a ^ { 2 } b \end {aligned} \]</p></p> <p>예<p>타원체 $ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 를 지붕으로, 영역은 $ x y $ 평면과 원통 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =2 x $ 인 입체의 부피 $ V $ 를 구해보자.</p><p> </p><p>풀이</p><p>적분을 위한 $ x y $ 평면의 영역은 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =2 x $ 이다. 즉 $ D:(x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 $ 이다.</p><p>이를 극좌표 표현을 변환하자. $ D:- \frac {\pi } { 2 } \leqq \theta \leqq \frac {\pi } { 2 } , 0 \leqq r \leqq 2 \cos \theta $ 이다. 그리고 함수의 극좌표에 의한 식은 $ f(r, \theta)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $ 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} V= \iint_ { D } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d A&= \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } r ^ { 2 } r d r d \theta \\ &= \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \left [ \frac { r ^ { 4 } } { 4 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 \cos \theta } d \theta \\ &=4 \int_ { - \pi / 2 } ^ {\pi / 2 } \left [ \cos ^ { 4 } \theta \right ] d \theta \\ &=8 \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \left [ \cos ^ { 4 } \theta \right ] d \theta=8 \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \left ( \frac { 1 + \cos 2 \theta } { 2 } \right ) ^ { 2 } d \theta \\ &=2 \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \left [1 + 2 \cos \theta + \frac { 1 } { 2 } (1 + \cos 4 \theta) \right ] d \theta \\ &=2 \left [ \frac { 3 } { 2 } \theta + \sin 2 \theta + \frac { 1 } { 8 } \sin 4 \theta \right ]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } = \frac { 3 \pi } { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>정의<p>부피로서 이중적분</p></p> <p>직사각형 영역 $ R $ 에서 $ f(x, y) \geqq 0 $ 이면, $ z = f(x, y) $ 는 영역 $ R $ 위로 곡면을 이룬다. 이때 중적분 $ \iint_ { R } f(x, y) d x d y $ 은 아래로는 $ x y $ 평면 영역 $ R $, 위로는 곡면 $ z=f(x, y) $ 을 경계로 하는 입체 $ T $ 의 부피이다. 즉</p> <p>\[ (T \text { 의 부피 } )= \iiint_ { R } f(x, y) d x d y \]</p> <p>특히 $ f(x, y)=1 $ 이라고 하면,</p> <p>\[ (R \text { 의 면적 } )= \iint_ { R } d x d y \text { 이다. } \]</p> <p>정의<p>일반영역에서 이중적분</p> <p>유계한 닫힌 영역 $ \Omega $ 에서 연속인 이변수함수 $ f(x, y) $ 의 이중적분을 정의해보자. 먼저 영역 $ \Omega $ 를 둘러싸는 직사각형 영역 $ R $ 을 취하자. 그리고 함수 $ f $ 를 $ R- \Omega $ 에서, 즉 $ \Omega $ 바깥영역에서 함수값이 0 인 함수로 영역이 확장된 함수로서 생각하자.</p> <p>$ f $ 의 확장된 함수는 $ \Omega $ 의 경계를 제외한 $ R $ 의 영역에서 연속인 함수이다.</p> <p>이 경계의 면적이 0 이면 $ f $ 는 직사각형 영역 $ R $ 에서 이중적분이 존재한다. 그러므로 이 적분값을 함수 $ f $ 의 영역 $ \Omega $ 에서의 이중적분으로 정의한다. 이를 기호로 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y $으로 표시하고, $ f $ 는 $ \Omega $ 에서 적분가능하다고 말한다. 특히 $ \Omega $ 위에서, $ f \geqq 0 $ 이면, 이중적분은 $ \Omega $ 와 곡면 $ z=f(x, y) $ 이 만드는 입체 $ T $ 의 부피가 된다. 즉</p> <p>\[ \begin {array} { l } (T \text { 의 부피 } )= \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y . \\ ( \Omega \text { 의 면적 } )= \iint_ {\Omega } d x d y . \end {array} \]</p> <p>예<p>위는 포물기둥 $ z=4-y ^ { 2 } $, 아래는 타원포물면 $ z=x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } $ 을 경계로 만들어지는 입체 $ T $ 의 부피를 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>포물기둥과 타원포물면의 교선 $ C $ 를 $ x y $-평면에 사영한 곡선은 $ 4-y ^ { 2 } =x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>즉 $ 4=x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } $. 따라서 입체 $ T $ 를 $ x y $ 평면에 사영한 영역은 \[ \Omega_ { x y } :-2 \leqq x \leqq 2,- \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \leqq y \leqq \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4-x ^ { 2 } } . \]</p> <p>적분영역 $ T:-2 \leqq x \leqq 2,- \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \leqq y \leqq \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 4-x ^ { 2 } } , \quad x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \leqq z \leqq 4-y ^ { 2 } $</p> <p>따라서 $ (T $ 의 부피 $ )= \int_ { -2 } ^ { 2 } \int_ { - \sqrt { 4-x ^ { 2 } } / 2 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } } / 2 } \int_ { x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } } ^ { 4-y ^ { 2 } } d z d y d x $,</p> <p>입체 $ T $ 의 대칭성을 이용하면 \[ =4 \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ {\sqrt { 4-x ^ { 2 } } / 2 } \int_ { x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } } ^ { 4-y ^ { 2 } } d z d y d x=4 \pi \]</p></p> <p>따라서 $ \Pi $ 의 분할 $ P $ 는 $ \Pi $ 를 서로 겹치지 않는 $ m \cdot n \cdot q $ 개의 소직육면체들로 나눈다.</p> <p>\[ \Pi_ { i j k } : x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } , y_ { j-1 } \leq y \leq y_ { j } , z_ { k-1 } \leq z \leq z_ { k } \] $ \left ( \right . $ 소직육면체 $ \Pi_ { i j k } $ 의 부피 $ )= \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \Delta z_ { k } $.</p> <p>삼변수함수 $ f(x, y, z) $ 가 적분영역 $ \Pi $ 에서 연속이라고 하자. 작은 직육면체 $ \Pi_ { i j k } $ 에서 연속인 함수 $ f $ 의 최대값을 $ M_ { i j k } $, 최소값을 $ m_ { i j k } $ 라고 하자.</p> <p>분할 $ P $-상합 $ U(P) $ 과 $ P $-하합 $ L(P) $ : \[ \begin {aligned} U(P) &= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { q } M_ { i j k } \left ( \Pi_ { i j k } \text { 의 부피 } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { q } M_ { i j k } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \Delta z_ { k } \\ L(P) &= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { q } m_ { i j k } \left ( \Pi_ { i j k } \text { 의 부피 } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { m } \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { q } m_ { i j k } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } \Delta z_ { k } \end {aligned} \]</p> <p>$ J(T)=J(u, v)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \neq 0, \quad $ (여기서 모든 $ (u, v) \in \Gamma $ 에 대하여),</p> <p>$ T[ \Gamma]= \Omega= \{ T(u, v) \mid(u, v) \in \Gamma \} $ 이라고 하면, \[ \iint_ {\Omega } d x d y= \iint_ {\Gamma } \|J(u, v)\| d u d v \text { 이다. } \]</p></p> <p>정리<p>이중적분의 변수변환</p></p> <p>$ T $ 는 $ J(T) \neq 0 $ 이고 단사 $ C ^ { 1 } $-변환이다. 그리고 $ u v $ 평면 영역 $ S $ 를 $ x y $ 평면의 영역 $ \Omega $ 로 사상한다. $ T[S]= \Omega $ 변환이다. $ f(x, y) $ 가 $ \Omega $ 에서 연속이면, 이중적분에 관한 다음 변수변환 식이 성립한다.</p> <p>\[ \begin {aligned} & \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \\ =& \iint_ { S } f(x(u, v), y(u, v)) \left \| \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right \| d u d v \end {aligned} \]</p> <p>그림이해\| 변환 $ T $ 에 의한 면적요소의 의미 \[ \left (R_ { i j } \text { 의 면적 } \right ) \approx \left \| \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } \right \| d u d v=\|J(T)\| d u d v \]</p> <p>예<p>변환 $ T: x=g(r, \theta)=r \cos \theta, y=h(r, \theta)=r \sin \theta $ 은 극좌표 $ r \theta $-평면에서 $ x y $-평면으로의 좌표 변수변환으로 단사 $ C ^ { 1 } $-변환이다.</p> <p>\[ J(T)= \frac {\partial(x, y) } {\partial(u, v) } = \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x } {\partial u } & \frac {\partial x } {\partial v } \\ \frac {\partial y } {\partial u } & \frac {\partial y } {\partial v } \end {array} \right \| \]</p> <p>\[ \begin {array} { l } = \left \| \begin {array} { c } \cos \theta- \sin \theta \\ \sin \theta r \cos \theta \end {array} \right \|>0 \\ =r \cos ^ { 2 } \theta + r \sin ^ { 2 } \theta=r \\ \end {array} \]</p> <p>그림이해\| $ T: S \rightarrow R, T(r, \theta)=(r \cos \theta, r \sin \theta) $</p> <p>이중적분의 변수변환 정리를 적용하면, \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y &= \iiint_ { S } (r \cos \theta, r \sin \theta) \left \| \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } \right \| d r d \theta \\ &= \iint_ { S } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \end {aligned} \]</p></p> <p>삼중적분의 계산</p> <p>이중적분에서 사영에 의한 반복적분 계산방법을 삼중적분의 계산방법으로 확장한다.</p> <p>정리<p>삼중적분의 푸비니 정리</p></p> <p>$ f(x, y, z) $ 가 직육면체 $ \Pi = \left [a_ { 1 } , a_ { 2 } \right ] \times \left [b_ { 1 } , b_ { 2 } \right ] \times \left [c_ { 1 } , c_ { 2 } \right ] $ 에서 연속이면, 삼중적분은 반복적분과 같다.</p> <p>\[ \iiint_ {\Pi } f(x, y, z) d V= \int_ { c_ { 1 } } ^ { c_ { 2 } } \int_ { b_ { 1 } } ^ { b_ { 2 } } \int_ { a_ { 1 } } ^ { a_ { 2 } } f(x, y, z) d x d y d z \]</p> <p>정리<p>반복적분의 확장</p></p> <p>$ [x y $-평면 사영 경우 $ ] $</p> <p>그림과 같은 형태의 어떤 3 차원 입체 $ T $ 를 생각해보자. 즉 $ T $ 를 $ x y $ 평면으로 사영한 영역 $ \Omega_ { x y } $ 이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\[ \Omega_ { x y } : \quad a_ { 1 } \leq x \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (x) \leq y \leq \phi_ { 2 } (x) \]</p> <p>그러면 $ T $ 는 경계조건이 다음과 같이 표현되는 입체이다.</p> <p>\[ \text { T: } \quad a_ { 1 } \leq x \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (x) \leq y \leq \phi_ { 2 } (x), \psi_ { 1 } (x, y) \leq z \leq \psi_ { 2 } (x, y) \]</p> <p>이러한 형태의 입체 $ T $ 위에 정의된 연속함수 $ f(x, y, z) $ 의 삼중적분은 다음과 같은 반복적분으로 계산한다.</p> <p>\[ \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z= \int_ { a_ { 1 } } ^ { a_ { 2 } } \left ( \int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } \left ( \int_ {\psi_ { 1 } (x, y) } ^ {\psi_ { 2 } (x, y) } f(x, y, z) d z \right ) d y \right ) d x \]</p> <p>직교좌표와 면좌표의 삼중적분</p> <p>$ T $ 를 직교좌표로 표현된 $ x y z $ 공간의 입체라고 하자. 그리고 동일한 입체에 대한 구면좌표에 의한 $ \rho \theta \phi $ 공간 표현을 $ S $ 라고 하자. 그러면 다음 삼중적분은 동치이다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z \\ = \iiint_ { S } f( \rho \sin \phi \cos \theta, \rho \sin \phi \sin \theta, \rho \cos \phi) \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \end {array} \]</p> <p>구면좌표계는 대칭의 중심이 있는 응용에 이용된다.</p> <p>예<p>단위 구의 부피</p></p> <p>단위 구 $ S $ 의 구면 좌표 표현: \[ S: 0 \leqq \rho \leqq 1,0 \leqq \theta \leqq 2 \pi, 0 \leqq \phi \leqq \pi \]</p> <p>\[ \begin {aligned} \text { [구 } S \text { 의 부피]] } &= \iiint_ { S } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \left ( \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin \phi d \phi \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { 2 } d \rho \right )= \frac { 4 } { 3 } \pi \end {aligned} \]</p> <p>예<p>점의 밀도가 원점과의 거리의 제곱에 따라 정비례하는 반지름이 1 인 구의 질량을 구하여보자.</p></p> <p>풀이<p>구의 점 $ P(x, y, z) $ 까지의 거리는 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } = \rho ^ { 2 } $ 이다. 비례상수를 $ k $ 라고 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} \text { [구의 질량 } ]&= \iiint_ { S } \left (k \rho ^ { 2 } \right ) \rho ^ { 2 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &=k \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { 4 } \sin \phi d \rho d \theta d \phi \\ &= \left ( \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin \phi d \phi \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d \theta \right ) \left ( \int_ { 0 } ^ { 1 } \rho ^ { 4 } d \rho \right )= \frac { 4 } { 5 } k \pi \end {aligned} \]</p></p> <p>정리<p>이중적분의 평균값 정리</p> <p>$ x y $ 평면에서 $ \Omega $ 가 유계한-닫힌-영역(bounded closed region)이고, $ f(x, y) $ 가 $ \Omega $ 위에서 연속이라고 가정하자. 그러면 $ \Omega $ 내부의 (평균값의) 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 존재하여 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \iint_ {\Omega } d x d y $ 이 성립한다.</p> <p>증명<p>$ f $ 가 유계한 닫힌 영역 $ \Omega $ 에서 연속이므로,</p> <p>최소상계(상한)가 존재: $ f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )=M= \sup \{ f(x, y) \mid(x, y) \in \Omega \} $</p> <p>최대하계(하한)가 존재: $ f \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right )=m= \inf \{ f(x, y) \mid(x, y) \in \Omega \} $</p> <p>그리고 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \in \Omega $ 이다.</p> <p>그러므로 $ \Omega $ 의 면적 $ \iint_ {\Omega } d x d y=A_ {\Omega } $ 라고 하면,</p> <p>\[ m \cdot A_ {\Omega } = \iint_ {\Omega } m d x d y \leq \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \leq \iint_ {\Omega } M d x d y=M \cdot A_ {\Omega } \]</p> <p>영역 $ \Omega $ 의 면적은 $ A_ {\Omega } >0 $ 이다. 그러므로</p> <p>\[ m \leq \frac { 1 } { A_ {\Omega } } \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \leq M \]</p> <p>$ f(x, y) $ 가 $ \Omega $ 에서 연속이므로, 중간값 정리에 의하여, $ \Omega $ 내부의 점 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) $ 가 존재하여</p> <p>\[ f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { A_ {\Omega } } \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y \]</p> <p>따라서 $ \iint_ {\Omega } f(x, y) d x d y=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \iint_ {\Omega } d x d y $</p></p> <h1>17.5 원기둥좌표, 구면좌표의 다중적분</h1> <p>정의<p>원기둥좌표</p></p> <p>3차원 공간의 점 $ P $ 를 $ (r, \theta, z) $ 으로 나타내어, $ (r, \theta) $ 은 $ P $ 가 $ x y $ 평면에 사영된 점의 극좌표이고 $ z $ 는 직교좌표계에서의 $ z $ 성분이다. $ (r, \theta, z) $ 를 점 $ P $ 의 원기둥좌표라고 한다.</p> <p>3차원 공간을 표현하기 위한 이러한 좌표계를 원기둥좌표계라고 한다.</p> <p>일반편각에 대한 복잡함을 피하기 위한 목적으로 $ r \geq 0,0 \leq \theta \leq 2 \pi $ 으로 가정하자.</p> <p>정리<p>원기둥좌표와 직교좌표 사이의 변환 관계</p></p> <p>\[ \begin {array} { l } x = r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta, \quad z=z \\ r ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , \tan \theta= \frac { y } { x } , z=z \end {array} \]</p> <p>예<p>원기둥 좌표에 의한 점 $ P \left (2, \frac { 2 \pi } { 3 } , 1 \right ) $ 의 직교 좌표값을 구해보자.</p></p> <p>풀이<p>$ r=2, \theta= \frac { 2 \pi } { 3 } , z=1 $ 이므로 $ x=2 \cos \frac { 2 \pi } { 3 } , y=2 \sin \frac { 2 \pi } { 3 } , z=1 $ 이다. 그러므로 $ x=2 \left (- \frac { 1 } { 2 } \right )=-1, y=2 \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right )= \sqrt { 3 } , z=1 $. 즉 직교좌표로 $ P(-1, \sqrt { 3 } , 1) $ 이다.</p> <p>원기둥좌표계의 방정식과 곡면</p> <p>1) 원통면 $ r=c $</p> <p>2) 원뿔(cone) $ z=r $</p> <p>3) 평면 $ \theta= \theta_ { 0 } $ 또는 $ z=z_ { 0 } $</p></p> <p>정의<p>원기둥쐐기</p></p> <p>원기둥쐐기는 원기둥좌표계로 다음과 같이 정의된 입체이다;</p> <p>\[ \Pi: a_ { 1 } \leq r \leq a_ { 2 } , \quad b_ { 1 } \leq \theta \leq b_ { 2 } , c_ { 1 } \leq z \leq c_ { 2 } \]</p> <p>[ $ x z $ 평면사영 경우]</p> <p>삼중적분 영역인 입체 $ T $ 의 $ x z $ 평면으로 사영한 영역 $ \Omega_ { x z } $ : \[ \Omega_ { x z } : \quad a_ { 1 } \leq z \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (z) \leq x \leq \phi_ { 2 } (z) \]</p> <p>그러면 $ T $ 는 경계조건이 다음과 같이 표현되는 입체이다.</p> <p>\[ T: \quad a_ { 1 } \leq z \leq a_ { 2 } , \phi_ { 1 } (z) \leq x \leq \phi_ { 2 } (z) \quad, \quad \psi_ { 1 } (x, z) \leq y \leq \psi_ { 2 } (x, z) \]</p> <p>이러한 적분영역 $ T $ 위에 정의된 연속함수 $ f(x, y, z) $ 의 삼중적분: \[ \iiint_ { T } f(x, y, z) d x d y d z= \int_ { a_ { 1 } } ^ { a_ { 2 } } \left ( \int_ {\phi_ { 1 } (z) } ^ {\phi_ { 2 } (z) } \left ( \int_ {\psi_ { 1 } (x, z) } ^ {\psi_ { 2 } (x, z) } f(x, y, z) d y \right ) d x \right ) d z \]</p> <p>예<p>다음 그림의 사면체의 부피를 반복적분으로 구하여보자.</p> <p>$ T $ 의 윗면을 이루는 평면방정식은 $ z-1-x-y $ 이다. 그러므로,</p> <p>$ T $ : $ 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1-x, 0 \leq z \leq 1-x-y $. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} V &= \iiint_ { T } d x d y d z \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1-x } \int_ { 0 } ^ { 1-x-y } d z d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1-x } (1-x-y) d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [(1-x) y- \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 1-x } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } (1-x) ^ { 2 } d x= \left [- \frac { 1 } { 6 } (1-x) ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 6 } . \end {aligned} \]</p> <h1>17.1 이중적분</h1> <p>정의<p>영역의 분할, 상합(upper sum), 하합(lower sum)</p></p> <p>$ f(x, y) $ 는 직사각형 $ R: a \leq x \leq b, c \leq y \leq d $ 영역에서 정의된 연속함수라 하자.</p> <p>영역 $ R $ 에서 $ f $ 의 이중적분 $ \iint_ { R } f(x, y) d x d y $ 을 정의하려고 한다.</p> <p>영역 $ R $ 위의 곡면 $ z = f(x, y) $ 으로 생성되는 입체의 부피 $ V $ 에 대해 생각해보자.</p> <p>구간 $ [a, b] $ 의 임의의 분할 $ P_ { 1 } = \left \{ x_ { 0 } , x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { m } \right \} $, 구간 $ [c, d] $ 의 임의의 분할 $ P_ { 2 } = \left \{ y_ { 0 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right \} $ 에 대하여, 각 격자점 $ \left (x_ { i } , y_ { j } \right ) $ 집합 $ P=P_ { 1 } \times P_ { 2 } = \left \{\left (x_ { i } , y_ { j } \right ): x_ { i } \in P_ { 1 } , y_ { j } \in P_ { 2 } \right \} $ 을 영역 $ R $ 의 분할이라 한다.</p> <p>즉 분할 $ P $ 는, 영역 $ R $ 을 서로 겹치지 않는 작은사각형 영역 $ R_ { i j } $ 로 분할한다.</p> <p>\[ R_ { i j } : x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } , y_ { j-1 } \leq y \leq y_ { j } \] \[ R_ { i j } \text { 의 면적: } \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } = \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) \left (y_ { i } -y_ { i-1 } \right ) \]</p>	자연
m817-수학과 사회	<p>(ⅱ) 이미 받은 A를 제외하고 두 번째 표시 중 가장 왼쪽에 표시한 D에게 D가 나눈 두 번째 묶음을 준다.</p> p>(ⅲ) 이미 받은 A와 D를 제외하고 세 번째 표시 중 가장 왼쪽에 표시한 C에게 C가 나눈 세 번째 묶음을 준다.</p> <p>(ⅳ) 이제까지 받지 못한 B에게 B가 나눈 네 번째 묶음을 준다.</p> <p>(ⅴ) A, B, C, D에게 분배하고 남은 것은 다음과 같다. 제비뽑기나 주사위를 이용하여 남은 것을 추가로 나누어 준다.</p> <p>위에서 보듯이 네 명 모두가 각각 나눈 네 묶음 중 적어도 한 묶음은 차지하였으므로 이 분배는 공평분배임을 알 수 있다.</p> <p>예제 1.3.11</p> <p>무역회사를 동업하던 갑과 을은 각각의 개인 사정으로 회사를 폐업하기로 하고 사무실에 쓰던 집기도 서로 나누어 갖기로 하였다. 다음은 갑과 을이 원하는 집기의 순위를 나타낸 표이다.</p> <p>갑부터 시작하여 갑과 을이 번갈아 선택하기로 한다면 갑과 을은 각각 어떻게 선택해야 합리적일까? (단, 갑과 을은 위와 같은 상대방의 우선순위를 알고 있다.)</p> <p>풀이</p> <p>갑과 을이 모두 합리적이라면 가장 원하지 않는 것을 먼저 선택하지는 않는다. 또 자기가 지금 선택하지 않더라도 다음 자기 차례까지 남아있을 것을 지금 자기 차례에 선택하지도 않는다. 을이 먼저 F를 선택하지 않을 것이므로 갑은 맨 마지막 차례에 F를 선택한다. 을도 갑이 먼저 P를 선택하지 않을 것이므로 을의 맨 마지막 차례에 P를 선택한다. 이제 위의 표에서 F와 P를 지우면 다음과 같다.</p> <p>위 예제 1.3.11처럼 마지막 차례부터 결정하는 전략을 bottom$-$up 전략이라 한다.</p> <p>몇 개의 지역으로 나누어져 있는 어떤 도시의 시의회는 100명의 시의원으로 구성되어 있다. 지역에 살고 있는 주민 수에 비례하여 의원수를 배정한다면 각 지역에 몇 명의 시의원이 배정되어야할까? 이처럼 인구수가 서로 다른 집단에서 일정한 수의 대표를 뽑을 경우 각 집단에 할당되는 대표의 수는 어떻게 결정할 수 있는지 살펴보기로 하자.</p> <p>(4) 그래프에서 쉽게 알 수 있듯이 교점은 (4, 3)이다.</p> <p>예제 $ 1.6 .4 $</p> <p>다음 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내어라.</p> <p>(1) $ 2 x + 3 y \leq 18 $</p> <p>(2) $ y \leq 4 $</p> <p>(3) $ x \leq 3 $</p> <p>(4) $ 2 x + 3 y \geq 18 $</p> <p>(5) $ y \geq 4 $</p> <p>(6) $ x \geq 3 $</p> <p>풀이</p> <p>(1) 부등식 $ 2 x + 3 y \leq 18 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이므로 $ 2 x + 3 y \leq 18 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하는 직선 $ 2 x + 3 y=18 $의 아래 부분이다.</p> <p>(2) 부등식 $ y \leq 4 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이므로 $ y \leq 4 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하는 직선 $ y=4 $의 아래 부분이다.</p> <p>(3) 부등식 $ x \leq 3 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이므로 $ x \leq 3 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하는 직선 $ x=3 $의 왼쪽 부분이다.</p> <p>(4) 부등식 $ 2 x + 3 y \geq 18 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이 아니므로 $ 2 x + 3 y \geq 18 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하지 않는 직선 $ 2 x + 3 y=18 $의 위 부분이다.</p> <p>(5) 부등식 $ y \geq 4 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이 아니므로 $ y \geq 4 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하지 않는 직선 $ y=4 $의 위 부분이다.</p> <p>(6) 부등식 $ x \geq 3 $에 $ x=1, y=1 $을 대입하면 참이 아니므로 $ x \geq 3 $이 나타내는 영역은 (1, 1)을 포함하지 않는 직선 $ x=3 $의 오른쪽 부분이다.</p> <p>예제 1.6.5</p> <p>다음 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내어라.</p> <p>(1) $ 3 x + 4 y \leq 24, \quad x + y \leq 7, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0 $</p> <p>(2) $ 3 x + 4 y \leq 24, \quad x + y \leq 7, \quad x \geq 1, \quad y \geq 2 $</p> <p>갑과 을 모두 정보를 숨기는 경우 3점을 받고, 모두 자백하면 각자에게 유죄가 선고되나 자백한 정상을 참작하여 2점을 받는다. 또 한 사람이 정보를 숨기고 다른 한 사람은 자백한다면 정보를 숨긴 사람은 정의를 방해한 비행을 반영하여 1점, 자백한 사람은 정상을 참작하여 4점을 받는다고 하자. 이 게임을 알기 쉽게 간단히 정리하면 다음 표와 같다.</p> <p>이 게임에서 최소최대전략을 적용하여 보자. 정보를 숨기면 최소 1점을 받으나 자백하면 최소 2점을 받는다. 이 두 가능성 중 최댓값을 선택하여 갑과 을은 모두 자백하는 하는 것이 최선의 전략이다. 그러나 갑과 을 모두 위처럼 독자적으로 합리적인 조치를 선택하여 각자가 받는 2점은 모두가 정보를 숨길 때 받는 3점보다는 작다. 이 게임에서도 한 사람이 이익을 보면 다른 한 사람은 손해를 보는 것이 아니라 둘이 협력하면 보다 좋은 결과를 만들어 낼 수 있다.</p> <p>어떤 공장에서 몇 가지 재료로 그 혼합 비율만 달리하여 두 제품 A와 B를 생산한다고 하자. 각 재료의 양이 제한되어 있을 때 A와 B를 각각 얼마만큼 생산해야 가장 많은 이익을 얻을 수 있을까? 이런 종류의 문제는 대부분의 생산 공장은 물론 일상생활에서도 자주 겪는 문제이다. 이 절에서는 고등학교에서 배운 일차함수를 이용하여 위와 같은 문제를 효과적으로 해결하는 방법에 대하여 알아보자.</p> <p>먼저 이 절에서 필요한 아이디어와 용어를 설명하기 위하여 아주 간단한 경우를 살펴보자.</p> <p>예제 1.6.1</p> <p>어떤 플라스틱 그릇을 만드는 공장에서는 하나의 그릇을 만들기 위해서 $ 4 \mathrm { ~kg } $의 플라스틱이 필요하며 이것을 팔면 2000원의 이익이 있다고 한다. 하루에 이 공장에는 사용할 수 있는 플라스틱의 양은 $ 1000 \mathrm { ~kg } $이라고 한다. 아래에서 제시하는 방법으로 이 공장에서 하루에 얻을 수 있는 최대 이익을 구하여라.</p> <p>(1) 이 공장에서 하루에 생산할 수 있는 그릇의 개수 $ x $의 범위를 구하여라.</p> <p>(2) 위 (1)의 $ x $의 범위를 수직선에 나타내어라.</p> <p>(3) 하루에 $ x $개의 그릇을 생산할 때 이 공장의 이익 $ p $를 구하여라. 또 이 공장에서 하루에 얻을 수 있는 최대 이익을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 하루에 $ x $개의 그릇을 생산할 때 필요한 플라스틱은 $ 4 x $이고, 이 양은 하루에 사용할 수 있는 플라스틱의 양 $ 1000 \mathrm { ~kg } $을 넘지 못하므로 \[ 0 \leq 4 x \leq 1000 \text { , 즉 } 0 \leq x \leq 250 \]이다.</p> <p>생일 케이크를 나누어 먹거나 부모님이 물려준 재산을 자녀들에게 분배하는 경우, 이혼할 때 함께 모은 재산을 분할하는 경우와 같이 어떤 것을 적절히 나누어야 할 때가 있다. 이 절에서는 어떤 것을 몇 사람에게 나누어야 할 때 분배받는 사람 모두가 만족하도록 분배하는 방법에 대하여 알아본다.</p> <p>정의 1.3.1</p> <p>분배에 참여한 $ n $ 사람 모두 적어도 전체의 $ \frac { 1 } { n } $을 차지했다고 생각하는 분배를 공평분배(fair division)라고 한다.</p> <p>공평분배 문제는 케이크처럼 여러 조각으로 나눌 수 있는 경우와 집이나 보석처럼 조각으로 나눌 수 없는 경우로 크게 나뉜다. 먼저 케이크를 공평하게 나누는 방법에 대하여 알아 보자.</p> <p>예제 1.3.1</p> <p>다음 표는 세 조각으로 나누어진 케이크에 대한 A, B, C가 생각하는 가치를 나타낸 것이다.</p> <p>A에게 첫째조각, B에게 둘째조각, C에게 셋째조각을 주는 분배는 공평분배인가?</p> <p>풀이</p> <p>A, B, C는 자기가 생각하기에 각각 전체의 $ 34 \%, 34 \%, 35 \% $를 갖게 되고 이것은 모두 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상이므로 이 분배는 공평분배이다.</p> <p>분배에 참여한 모두에게 전체의 $ \frac { 1 } { n } $ 이상씩만 분배하면 공평분배이기 때문에 공평분배라 하더라도 때로는 참여자에게 가장 큰 가치를 부여한 것을 분배하지 못하는 경우도 있다. 예제 1.3.1에서 A는 첫째조각보다 둘째조각을 원하고 B는 둘째조각보다는 첫째조각을 원한다. 이럴 경우 A와 B는 각자에게 분배된 조각을 서로 교환하면 두 사람 모두 가장 원하는 조각을 분배 받을 수 있다.</p> <p>예제 1.3.2</p> <p>세 사람 A, B, C가 케이크를 다음과 같이 나누어 가졌다. 이와 같은 분배는 공평분배인가?</p> <p>① A는 자기가 생각하기에 가치가 똑같게 케이크를 세 조각으로 나눈다.</p> <p>② B는 위의 세 조각 중 한 조각을 선택한다.</p> <p>③ C는 남은 두 조각 중 한 조각을 선택한다.</p> <p>④ A는 남은 한 조각을 갖는다.</p> <p>풀이</p> <p>A는 자기가 똑같게 나눈 세 조각의 케이크 중 하나를 갖고, B는 자기가 생각하기에 세 조각에서 가장 가치가 큰 것을 선택했으므로 A와 B는 적어도 전체 케이크의 $ \frac { 1 } { 3 } $을 차지한다. 그러나 C는 B가 선택한 조각만 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상이고 나머지 두 조각은 모두 $ \frac { 1 } { 3 } $ 미만이라 생각할 수 있으므로 공평분배가 아니다.</p> <p>위 예제 1.4.6의 (1)에서 상담원 1명이 담당해야 할 학생의 수는 대략 100명이므로 학생 수 525명인 학교 C에 5명의 상담원이 배정된 것이다. 그러나 C가 신설된 후 다시 계산하니 A와 B에 할당된 상담원의 수가 변하는 모순이 발생하였다. 이 모순을 새 집단 역설(new-states paradox)이라고 한다.</p> <p>새 집단 역설</p> <p>새로운 집단이 추가되어 공정한 몫만큼의 대표를 그 집단에 배정하고 다시 계산하면 다른 집단에 할당되는 대표의 수가 변하는 모순</p> <p>쿼터 규칙</p> <p>각 집단에 할당되는 대표의 수는 하위쿼터 또는 상위쿼터 중에서 하나이다.</p> <p>그러나 해밀턴 방식은 위에서 보듯이 여러 모순을 갖고 있어 현재는 거의 쓰이지 않고 있다. 지금까지 살펴본 해밀턴 방식의 특징을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>해밀턴 방식의 특징</p> <p>① 쿼터 규칙을 만족한다.</p> <p>② 앨라배마 역설이 생길 수 있다.</p> <p>③ 인구 역설이 생길 수 있다.</p> <p>④ 새 집단 역설이 생길 수 있다.</p> <p>지금까지 살펴본 해밀턴 방식은 각 집단의 표준쿼터를 구하고 그것을 이용하여 할당하였다. 이제 각 집단의 인구수를 적당한 수 $ E $로 나눈 수정쿼터를 이용하는 제퍼슨(Jefferson) 방식, 애덤스(Adams) 방식, 웹스터(Webster) 방식에 대하여 알아보자.</p> <p>인구가 각각 $ N_ { 1 } , N_ { 2 } , \cdots, N_ { m } $인 집단 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { m } $에서 $ R $명의 대표를 뽑는다고 하자.</p> <p>제퍼슨 방식</p> <p>각 집단 $ A_ { i } $에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 내림만큼 할당하면 전체 대표가 모두 할당되도록 $ E $를 정하고 각 집단에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 내림만큼 할당한다.</p> <p>애덤스 방식</p> <p>각 집단 $ A_ { i } $에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 올림만큼 할당하면 전체 대표가 모두 할당되도록 $ E $를 정하고 각 집단에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 올림만큼 할당한다.</p> <p>웹스터 방식</p> <p>각 집단 $ A_ { i } $에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 반올림만큼 할당하면 전체 대표가 모두 할당되도록 $ E $를 정하고 각 집단에 $ \frac { N_ { i } } { E } $의 반올림만큼 할당한다.</p> <p>따라서 이 공장에서 하루에 각각 S를 $ 20 \mathrm { ~kg } $, T를 $ 24 \mathrm { ~kg } $ 생산할 때 최대 이익을 얻고, 이때의 이익은 1840000원이다.</p> <p>예제 1.6.9</p> <p>어떤 사람이 비타민과 미네랄이 포함되도록 두 식품 S와 T를 이용하여 식단을 짜려고 한다. $ 1 \mathrm { ~kg } $의 S에는 $ 10 \mathrm { ~g } $의 비타민과 $ 10 \mathrm { ~g } $의 미네랄이 함유되어 있으며 $ 1 \mathrm { ~kg } $의 T에는 $ 10 \mathrm { ~g } $의 비타민과 $ 50 \mathrm { ~g } $의 미네랄이 함유되어 있다. 하루에 한 사람에게 필요한 비타민과 미네랄의 양이 각각 $ 100 \mathrm { ~g } $과 $ 150 \mathrm { ~g } $이고, $ 1 \mathrm { ~kg } $ 당 S의 가격은 3000원이고 T의 가격은 5000원이라고 한다.</p> <p>(1) 이 사람이 하루에 필요한 비타민과 미네랄을 섭취하기 위하여 $ x \mathrm { ~kg } $의 S와 $ y \mathrm { ~kg } $의 T를 구입하려 한다. 실현가능해집합과 필요한 비용 $ p $를 구하여라.</p> <p>(2) 위 (1)를 이용하여 실현가능해영역을 좌표평면에 나타내어라.</p> <p>(3) 최소의 비용으로 하루에 필요한 비타민과 미네랄을 섭취하려면 S와 T를 각각 몇 $ \mathrm { kg } $씩 구입해야하나? 또 그 때 필요한 구입비용을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>위에서 주어진 상황을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>(1) $ x \mathrm { ~kg } $의 S와 $ y \mathrm { ~kg } $의 T를 구입한다고 하면 $ x, y $는 물질의 양을 나타내므로 음이 될 수 없다. 따라서 \[ x \geq 0, y \geq 0 \]이다. 또 $ x \mathrm { ~kg } $의 S와 $ y \mathrm { ~kg } $의 T를 구입할 때 이 두 식품에 포함된 비타민의 양은 $ 10 x + 10 y $이고, 이 값은 1일 비타민 필요량 $ 100 \mathrm { ~g } $ 이상이어야 하므로 \[ 10 x + 10 y \geq 100 \]이다. 마찬가지로 $ x \mathrm { ~kg } $의 S와 $ y \mathrm { ~kg } $의 T를 구입할 때 여기 포함된 미네랄의 양은 $ 10 x + 50 y $이고, 이 값은 1일 미네랄 필요량 $ 150 \mathrm { ~g } $ 이상이어야 하므로 \[ 10 x + 50 y \geq 150 \]이다. 따라서 위의 식을 종합하면 실현가능해집합은 다음과 같다. \[ \{ (x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0,10 x + 10 y \geq 100,10 x + 50 y \geq 150 \} \]</p> <p>경우 2: B와 C가 $ x $를 선택하여 $ z $를 A에게 주었다고 하면 경우 1과 마찬가지로 A는 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $을 갖는다. B와 C는 $ z $가 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $보다 작다고 생각하여 $ z $를 선택하지 않았다. 따라서 $ x $와 $ y $를 합치면 전체의 $ \frac { 2 } { 3 } $ 이상이며 이것을 예제 1.3.3의 방법으로 공평하게 나누어 갖게 되므로 B와 C는 각각 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상을 갖게 된다.</p> <p>어떤 경우에도 세 사람 모두 적어도 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상을 가졌다고 생각하기 때문에 이와 같은 분배는 공평분배이다.</p> <p>예제 1.3.5</p> <p>아래와 같이 A, B, C가 케이크를 나누면 공평분배임을 보여라.</p> <p>① A는 가치가 똑같게 케이크를 두 조각으로 나눈다.</p> <p>② 위의 두 조각 중에서 B가 먼저 한 조각을 선택하고 나머지는 A가 선택한다.</p> <p>③ A와 B는 각각 자기가 선택한 케이크를 공평하게 세 조각으로 나눈다.</p> <p>④ C는 A와 B가 나눈 케이크 중에서 각각 한 조각씩을 골라 갖는다.</p> <p>⑤ A와 B는 각각 자기가 자른 나머지를 갖는다.</p> <p>풀이</p> <p>아래 그림과 같이 A가 나눈 두 조각 $ s, t $를 A, B가 각각 차지한 후 A는 $ s $를 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , s_ { 3 } $로, B는 $ t $를 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , t_ { 3 } $로 나누었다고 하자.</p> <p>A는 케이크를 나눌 때 모두 가치가 같게 나누었으므로 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , s_ { 3 } $는 모두 전체의 $ \frac { 1 } { 6 } $이다. A는 $ s_ { 1 } , s_ { 2 } , s_ { 3 } $ 중에서 두 조각을 가지므로 전체의 $ \frac { 1 } { 6 } \times 2= \frac { 1 } { 3 } $을 갖게 된다. 한편, B는 $ t $가 전체의 $ \frac { 1 } { 2 } $ 이상이라고 생각하였고 $ t $를 가치가 같게 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , t_ { 3 } $로 나누었으므로 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } , t_ { 3 } $는 각각 전체의 $ \frac { 1 } { 6 } $ 이상이 되어 B는 전체의 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상을 갖게 된다. 마지막으로 C는 A와 B가 각각 나눈 세 조각에서 한 조각씩 선택했으므로 적어도 $ s $의 $ \frac { 1 } { 3 } $과 $ t $ 의 $ \frac { 1 } { 3 } $를 갖는다. 따라서 C가 $ s $와 $ t $의 가치를 각각 $ a, 1-a $로 생각한다면 C는 적어도 $ a \times \frac { 1 } { 3 } + (1-a) \times \frac { 1 } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } $을 갖게 된다. 위의 결과로부터 이 분배는 공평분배이다.</p> <p>다음 표는 시장조사에 의하여 갑과 을이 위의 전략 중에서 하나를 선택했을 때 각 경우의 이익과 손해를 갑의 입장에서 정리한 표이다.</p> <p>각 전략을 비교하여 항상 어떤 전략보다 불리한 전략이 있으면 그 전략을 제거하여 $ 2 \times 2 $ 게임으로 바꾸어라.</p> <p>풀이</p> <p>위의 표에서 을에게 전략 D는 전략 B보다 항상 좋지 않으므로 을은 절대로 전략 D는 선택하지 않을 것이다. 따라서 을의 전략 중 D를 제거하면 표 1.5.9와 같다.</p> <p>이제 표 1.5.9에서 갑에게 전략 B는 전략 A보다, 전략 D는 전략 C보다 항상 좋지 않은 결과를 가져오므로 갑의 전략 중 B와 D를 제거하면 표 1.5.10과 같다.</p> <p>같은 방법으로 표 1.5.10에서 을에게 전략 A는 전략 C보다 항상 좋지 않으므로 을의 전략 A를 지우면 다음과 같은 $ 2 \times 2 $ 게임이 된다.</p> <p>예제 1.5.4</p> <p>갑과 을은 각각 하나씩 동전을 내어 모두 앞면이면 300원을, 모두 뒷면이면 100원을 을이 갑에게 주고, 동전의 면이 서로 다르면 갑이 을에게 200원을 주는 게임에서 갑의 최소최대전략과 을의 최대최소전략은 각각 최선의 전략인가? 또, 이 게임에서 상대방의 전략을 미리 아는 것이 자기의 전략을 선택할 때 도움이 되는가?</p> <p>풀이</p> <p>다음은 위의 상황을 갑의 입장에서 간단히 정리한 표이다.</p> <p>여기서 갑과 을이 각각 최소최대전략과 최대최소전략을 이용하여 전략을 결정한다면 갑은 행의 최솟값의 최댓값인 -200에 해당되는 전략을 선택하여 동전의 어떤 면을 내어도 같은 결과이고, 을은 열의 최댓값의 최솟값 100에 해당되는 전략인 동전의 뒷면을 내게 된다.</p> <p>그러나 갑이 동전의 앞면을 내었다면 을은 동전의 뒷면을 내는 것이 더 유리하기 때문에 이 경우 최대최소전략이 최선의 전략이 되지만 갑이 동전의 뒷면을 내면 을은 동전의 앞면을 내는 것이 더 유리하기 때문에 이 경우에는 최대최소전략이 최선의 전략은 아니다. 즉, 을의 최선의 전략은 갑의 전략에 따라 변하게 된다. 마찬가지로 을이 동전의 앞면을 내면 갑은 동전의 앞면을, 을이 동전의 뒷면을 내면 갑은 동전의 뒷면을 내는 것이 갑에게 더 유리하기 때문에 갑의 전략도 을의 전략에 따라 변하게 된다. 따라서 여기서는 갑의 최소최대전략이나 을의 최대최소전략이 반드시 최선이라 말할 수 없다.</p> <p>물론 게임자의 전략이 상대방의 전략에 따라 달라지기 때문에 상대방의 전략을 미리 알면 자기에게 가장 유리한 전략을 선택하는데 결정적인 도움이 된다. 상대방의 전략과 관계없이 각각의 최선의 전략이 결정되는 결정게임과는 달리 예제 1.5.4처럼 상대방의 전략에 따라 자기편의 최선의 전략이 달라지는 게임을 비결정게임이라 한다.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 네 부등식 $ 3 x + 4 y \leq 24, x + y \leq 7, x \geq 0, y \geq 0 $이 나타내는 영역의 공통부분을 구한다.</p> <p>(2) 네 부등식 $ 3 x + 4 y \leq 24, x + y \leq 7, x \geq 1, y \geq 2 $이 나타내는 영역의 공통부분을 구한다.</p> <p>예제 1.6.6</p> <p>어떤 장난감 공장에서는 플라스틱으로 장난감 차와 장난감 자전거를 만들고 있다. 하나의 차를 만들기 위해서 $ 4 \mathrm { ~kg } $의 플라스틱이 필요하고 하나의 자전거를 만들기 위해서 $ 3 \mathrm { ~kg } $의 플라스틱이 필요하며, 하루에 이 공장에는 사용할 수 있는 플라스틱의 양은 최대 $ 600 \mathrm { ~kg } $이라고 한다.</p> <p>(1) 이 공장에서 하루에 $ x $개의 차와 $ y $개의 자전거를 생산할 때 $ x, y $의 관계식을 모두 구하여라.</p> <p>(2) 위 (1)의 관계식이 나타내는 영역을 좌표 평면에 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ x, y $는 물질의 양을 나타내므로 음이 될 수 없다. 따라서 \[ x \geq 0, y \geq 0 \]이다. 또 $ x $개의 차와 $ y $개의 자전거를 생산할 때 필요한 플라스틱의 양은 $ 4 x + 3 y $이고, 이 값은 하루에 사용할 수 있는 플라스틱의 양 $ 600 \mathrm { ~kg } $을 넘지 못하므로 \[ 4 x + 3 y \leq 600 \]이다. 위의 식을 종합하면 다음과 같다. \[ x \geq 0, y \geq 0,4 x + 3 y \leq 600 \]</p> <p>(2)</p> <p>정의 1.6.1</p> <p>$ R $을 평면 위의 한 영역이라 하자. $ R $ 안에 있는 임의의 두 점을 잡을 때 그 두 점을 잇는 선분도 항상 $ R $ 안에 있으면 $ R $은 볼록집합이라고 한다.</p> <p>예를 들어 아래 그림 1.6.1의 (a)에서 회색으로 된 부분은 볼록집합이다. 그러나 (b)나 (c)의 회색으로 된 부분은 영역 안의 두 점을 선분으로 이으면 그 선분이 항상 주어진 영역에 있는 것은 아니므로 볼록집합이 아니다.</p> <p>여러 볼록집합의 교집합도 볼록집합이란 사실과 일차함수의 성질로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있다.</p> <p>A가 지불한 1580만 원으로 B에게 950만 원, C에게 300만 원을 지불한다.</p> <p>(5) 몫을 배정하고 남은 돈이 있으면 3등분하여 각자에게 추가 배정한다. 위에서 330만 원이 남았으므로 A, B, C에게 각각 110만 원씩 추가로 배정한다.</p> <p>최종적으로 세 사람에게 배정된 재산과 그 금액은 다음과 같다.</p> <p>위의 표 1.3.17에서 보듯이 모든 상속자가 예상하는 몫보다 많이 배정받았으므로 공평분배이다. 이는 위의 재산을 세 사람이 부여한 가격 중 가장 높은 가격으로 판 결과와 같기 때문에 각각의 몫을 배정하고도 돈이 남으며 이 돈을 균등하게 나누어 추가 배당하기 때문이다.</p> <p>예제 1.3.9</p> <p>(상속문제 2) 부모로부터 집과 임야를 상속받은 세 자녀 A, B, C는 부모님의 유언에 따라 이 유산을 다른 사람에게 팔지 않고 각각 5:3:2의 비율로 나누려고 한다. 다음 표는 세 자녀가 생각하는 집과 임야의 가격을 나타낸 것이다. 모든 상속자에게 공평하게 분배하려면 어떻게 나누어야 할까?</p> <p>풀이</p> <p>예제 1.3.8과 비슷하게 문제를 해결하되 다만 각 상속자의 예상하는 몫을 5:3:2로 결정한다.</p> <p>A가 예상하는 몫 $ =3060 \times \frac { 5 } { 5 + 3 + 2 } =1530 $</p> <p>B가 예상하는 몫 $ =2850 \times \frac { 3 } { 5 + 3 + 2 } =855 $</p> <p>C가 예상하는 몫 $ =3300 \times \frac { 2 } { 5 + 3 + 2 } =660 $ 이다.</p> <p>집과 임야를 가장 높은 가격을 책정한 A와 C에게 각각 배정한다. 이 때 각 상속자가 현금으로 지불해야 할 금액은 다음과 같다.</p> <p>이제 A가 지불한 1070만 원과 C가 지불한 140만 원으로 B에게 855만 원을 배정하고, 남은 돈 $ (1070 + 140)-855=355 $만 원을 또 5:3:2로 분할하여 A, B, C에게 각각 177.5만 원, 106.5만 원, 71만 원을 추가 지불한다.</p> <p>최종적으로 A, B, C에게 배정된 재산과 그 금액은 다음과 같다.</p> <p>예제 1.3.10</p> <p>다음과 같은 22개의 과일과 스낵을 네 명 A, B, C, D에게 나누어 주려고 한다.</p> <p>네 명에게 위의 순서를 바꾸지 않고 각각 공평하게 네 묶음으로 나누라고 하니 다음과 같았다. 네 명에게 공평하게 분배하려면 어떻게 하여야할까?</p> <p>풀이</p> <p>( ⅰ ) 첫 번째 표시 중 가장 왼쪽에 표시한 A에게 A가 나눈 첫 번째 묶음을 준다.</p> <p>정리 1.5.1</p> <p>게임의 성과행렬이 $ \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) $로 나타내어지는 제로섬 게임에서 이 게임이 결정게임이면 행의 최솟값이며 열의 최댓값이 되는 성분이 존재하며, 역으로 행의 최솟값이며 열의 최댓값이 되는 성분이 존재하면 이 게임은 결정게임이다.</p> <p>증명</p> <p>게임의 참여자를 갑과 을이라 하고 갑의 입장에서 나타낸 성과행렬을 $ \left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) $라고 하자.</p> <p>먼저 결정게임이라고 하고 $ a, b, c, d $ 중에서 $ a $가 최대라고 하자. 그러면 $ b \leq a $이고 $ c \leq a $이다.</p> <p>① $ d \leq b $이면 $ b $는 첫째행의 최솟값이며 둘째열의 최댓값인 성분이다.</p> <p>② $ d \leq c $이고 $ d>b $이면 $ d $는 둘째행의 최솟값이며 둘째열의 최댓값인 성분이다.</p> <p>③ 마지막으로 $ d>c $이고 $ d>b $라 하자. 이 경우 갑이 첫째행의 전략을 선택하면 을은 둘째열의 전략이 최선의 전략이며, 갑이 둘째 행의 전략을 선택하면 을은 첫째열의 전략이 최선의 전략이다. 같은 방법으로 을의 최선의 전략도 갑의 전략에 따라 바낌을 알 수 있고, 따라서 이 게임은 결정게임이 아니므로 모순이다.</p> <p>다른 성분이 최대인 경우에도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다. 그러므로 결정게임이면 행의 최솟값이며 열의 최댓값이 되는 성분이 있다.</p> <p>역으로, $ a $ 가 행의 최솟값이며 열의 최댓값되는 성분이라 하자. 그러면 $ a \leq b $이고 $ c \leq a $이다.</p> <p>① $ c \leq d $이면 을에게 둘째열의 전략은 첫째열의 전략보다 항상 불리하다.</p> <p>따라서 을의 최선의 전략은 첫째열의 전략이고, 갑의 최선의 전략도 첫째행의 전략으로 결정된다.</p> <p>② $ c>d $이면 갑에게 둘째행의 전력은 첫째행의 전력보다 항상 불리하다.</p> <p>따라서 갑의 최선의 전략은 첫째행의 전략이고, 을의 최선의 전략도 첫째열의 전략으로 결정된다.</p> <p>위의 어떤 경우에도 갑과 을의 최선의 전략이 결정되므로 이 게임은 결정게임이다.</p> <p>예제 1.5.5</p> <p>다음과 같은 성과행렬로 나타내어지는 게임이 결정게임인지 또는 비결정게임인지 판단하여라.</p> <ul> <li>(1) $ \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ) $</li> <li>(2) $ \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \\ 4 & 2 \end {array} \right ) $</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) 연합군은 어떤 항로를 수색해야 더 유리한가?</p> <p>(2) 일본군은 어떤 항로를 이용해야 더 유리한가?</p> <p>풀이</p> <p>위 상황을 이해하기 십도록 연합군의 입장에서 정리하면 표1.5.2와 같다.</p> <p>(1) 위의 상황에서 일본군은 폭격 받는 일수를 최소로 하려고 할 것이며 반대로 연합군은 폭격 일수를 최대로 하려고 할 것이다. 이러한 상황에서는 각 전략에 따라 각 집단에게 일어날 수 있는 최악의 경우를 생각하고 그 최악의 경우 중 보다 나은 전략을 선택하는 방법이 주효하다.</p> <p>연합군은 북쪽 항로를 수색할 때는 일본군의 항로의 선택에 관계없이 2일 동안 폭격할 수 있다. 한편, 남쪽 항로를 수색한다면 일본군이 북쪽 항로를 이용할 때엔 1일, 남쪽 항로를 이용할 때엔 3일 폭격할 수 있으므로 최소 1일은 폭격할 수 있다. 그러므로 연합군은 최소 폭격일수를 최대로 하는 북쪽 항로를 수색하고 이 경우 2일 동안 일본군을 폭격할 수 있다.</p> <p>(2) 일본군은 북쪽 항로를 이용할 때 연합군이 북쪽 항로를 수색하면 2일, 남쪽 항로를 수색하면 1일 동안 폭격 당할 수 있으므로 최대 2일 동안 폭격 당할 수 있다. 또, 남쪽 항로를 이용할 때 연합군이 북쪽 항로를 수색하면 2일, 남쪽 항로를 수색하면 3일 동안 폭격 당할 수 있으므로 최대 3일 동안 폭격 당하게 된다. 그러므로 일본군은 최대로 폭격 당하는 일수를 최소로 하는 북쪽 항로를 이용하게 되고 이 때 연합군으로부터 2일 동안 폭격 당하게 된다.</p> <p>위의 예제의 게임은 간단히 행렬 $ \left ( \begin {array} { ll } 2 & 2 \\ 1 & 3 \end {array} \right ) $로 나타낼 수 있다. 이 행렬을 게임의 성과행렬이라 하고, 성과행렬의 각 성분을 성과라고 한다. 연합군은 게임의 성과행렬에서 각 행의 최솟값 중 최댓값에 해당되는 전략을 선택하는 최소최대전략으로 북쪽 항로를 수색하게 되고, 일본군은 각 열의 최댓값 중 최솟값에 해당되는 전략을 선택하는 최대최소전략으로 북쪽 항로를 이용하게 된다. 이때 연합군이 폭격할 수 있는 일수와 일본군이 폭격당할 수 있는 일수가 2일로 일치하며 연합군은 일본군을 2일 동안 폭격할 수 있다. 표 1.5.3은 위와 같은 상항에서 문제의 해결방법과 결과를 정리한 표이다.</p> <p>이 게임에서는 연합군이나 일본군 모두 상대방의 전략과 관계없이 자기의 최선의 전략이 결정되었다. 이처럼 상대방의 전략에 관계없이 자기의 최선의 전략이 결정되는 게임을 결정게임이라 한다.</p> <p>예제 1.3.3</p> <p>두 사람 A, B가 아래와 같은 방법으로 케이크를 나누면, 이 분배는 공평분배인가?</p> <p>① 먼저 A는 자기가 생각하기에 가치가 똑같게 케이크를 두 조각으로 나눈다.</p> <p>② B는 A가 나눈 두 조각 중 한 조각을 선택한다.</p> <p>③ 남은 한 조각을 A가 갖는다.</p> <p>풀이</p> <p>아래 그림과 같이 A가 나눈 두 조각을 각각 $ s $와 $ t $라 하자.</p> <p>B는 $ s $와 $ t $ 중에서 가치가 더 크다고 생각하는 것을 선택하므로 적어도 전체의 $ \frac { 1 } { 2 } $은 차지하게 된다. A는 케이크를 나눌 때 가치가 똑같게 나누었으므로 어느 조각을 갖더라도 전체의 $ \frac { 1 } { 2 } $은 차지하게 된다. 따라서 A와 B는 모두 적어도 전체의 $ \frac { 1 } { 2 } $은 차지한다고 생각하므로 위의 분배는 공평분배이다.</p> <p>예제 1.3.4</p> <p>아래와 같은 방법으로 세 명 A, B, C가 케이크를 분배하면 이 분배는 공평분배인가?</p> <p>① 먼저 A는 자기가 생각하기에 가치가 똑같게 케이크를 세 조각으로 나눈다.</p> <p>② B와 C는 각각 세 조각 중 가치가 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상이라고 생각하는 조각을 모두 적는다.</p> <p>③ B와 C가 적은 조각을 보고 다음과 같이 분배한다.</p> <p>경우 1: 서로 다른 조각이 있는 경우 $ \\ $ B와 C가 적어낸 서로 다른 조각을 B, C에게 하나씩 주고, 남은 조각을 A에게 준다.</p> <p>경우 2: 같은 조각을 하나만 적은 경우 $ \\ $ 나머지 두 조각 중 한 조각을 A가 선택하고 남은 한 조각과 B, C가 적어 낸 조각을 합쳐 한 덩이로 만들어 예제 1.3.3의 방법으로 두 사람 B, C가 나눈다.</p> <p>풀이</p> <p>아래 그림과 같이 ①에서 A가 나눈 세 조각을 각각 $ x, y, z $라고 하자.</p> <p>경우 1: B와 C는 모두 자기가 $ \frac { 1 } { 3 } $ 이상이라고 생각하는 조각을 가졌고, A는 각 조각이 $ \frac { 1 } { 3 } $이 되게 나누었기 때문에 어느 조각을 가져도 $ \frac { 1 } { 3 } $을 갖게 된다.</p> <p>어떤 안이 통과되려면 151표 이상 받아야 하고 각 정당은 당론을 정하여 모든 국회의원은 당론대로 투표한다고 한다.</p> <p>(1) 이 가중치선거를 $ \left [q: a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { k } \right ] $꼴로 나타내어라.</p> <p>(2) 이 가중치선거에서 각 정당의 영향력을 알아보아라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) [151 : 148, 145, 7]</p> <p>(2) 위 가증치선거에서 어느 정당도 혼자서는 통과 또는 부결을 결정할 수 없지만 다른 한 정당과 연합하면 항상 통과 또는 부결을 결정할 수 있으므로 각 정당의 영향력은 모두 같다. 한편 영향력의 합은 1이므로 각 정당의 영향력은 모두 $ \frac { 1 } { 3 } $이다.</p> <p>정의 1.2.2</p> <p>두 집합 $ A, B $에서 집합 $ B $의 모든 원소가 집합 $ A $의 원소일 때 $ B $를 $ A $의 부분집합이라 하고 $ B \subset A $로 나타낸다.</p> <p>예를 들어 $ A= \{ 1,2 \} $이면 $ A $의 부분집합은 $ \varnothing, \{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 1,2 \} $이다. 일반적으로 $ A $가 $ n $개의 원소로 이루어진 집합이면 $ A $의 부분집합의 수는 $ 2 ^ { n } $이다.</p> <p>예제 1.2.3</p> <p>집합 $ A= \{ a, b, c, d \} $의 부분집합을 모두 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \varnothing $ $ \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} $ $ \{ a, b \} , \{ a, c \} , \{ a, d \} , \{ b, c \} , \{ b, d \} , \{ c, d \} $ $ \{ a, b, c \} , \{ a, b, d \} , \{ a, c, d \} , \{ b, c, d \} $ $ \{ a, b, c, d \} $</p> <p>정의 1.2.3</p> <p>가중치선거에서 통과된 경우에 찬성으로 투표했던 어떤 투표자가 마음을 바꾸어 반대로 투표하면 제안된 안이 퉁과에서 부결로 바뀔 때 그 투표자를 이 경우의 임계투표자(critical voter)라고 한다.</p> <p>(2)</p> <p>(3) 그릇 한 개당 2000원의 이익이 있으므로 하루에 $ x $개의 그릇을 생산할 때 얻는 이익은 $ p=2000 x $이다. 위 (1)에 의하여 이 공장의 하루 최대 생산량은 250이므로 하루에 얻을 수 있는 최대 이익은 $ 2,000 \times 250=500,000 $이다.</p> <p>예제 1.6.2</p> <p>다음 방정식의 그래프를 그려라.</p> <p>(1) $ 2 x + 3 y=18 $</p> <p>(2) $ y=4 $</p> <p>(3) $ x=3 $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ 2 x + 3 y=18 $에서 $ x=0 $이면 $ y=6 $이고 $ y=0 $이면 $ x=9 $이므로, $ 2 x + 3 y=18 $의 그래프는 두 점 (0, 6)과 (9, 0)을 지나는 직선이다.</p> <p>(2) $ y=4 $에서 $ x=0 $이면 $ y=4 $이고 $ x=5 $이면 $ y=4 $이므로, $ y=4 $의 그래프는 두 점 (0, 4)과 (5, 4)를 지나는 직선이다.</p> <p>(3) $ x=3 $에서 $ y=0 $이면 $ x=3 $이고 $ y=4 $이면 $ x=3 $이므로, $ x=3 $의 그래프는 두 점 (3, 0)과 (3, 4)를 지나는 직선이다.</p> <p>예제 1.6.3</p> <p>다음 두 직선의 교점을 구하여라.</p> <p>(1) $ \left \{\begin {array} { l } 3 x + 4 y=24 \\ x + y=7 \end {array} \right . $</p> <p>(2) $ \left \{\begin {array} { l } 3 x + 2 y=18 \\ y=6 \end {array} \right . $</p> <p>(3) $ \left \{\begin {array} { l } 2 x + 3 y=12 \\ x=3 \end {array} \right . $</p> <p>(4) $ \left \{\begin {array} { l } y=3 \\ x=4 \end {array} \right . $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ y=7-x $를 $ 3 x + 4 y=24 $에 대입하면 \[ 3 x + 4(7-x)=24 \]이므로 $ x=4, y=3 $이고, 따라서 이 두 직선의 교점은 (4, 3)이다.</p> <p>(2) $ y=6 $을 $ 3 x + 2 y=18 $에 대입하면 $ x=2, y=6 $이고, 따라서 이 두 직선의 교점은 (2, 6)이다.</p> <p>(3) $ x=3 $을 $ 2 x + 3 y=12 $에 대입하면 $ x=3, y=2 $이고, 따라서 이 두 직선의 교점은 (3, 2)이다.</p> <p>선거는 각 개인의 의사를 반영하여 집단 내에서 통합된 하나의 결과를 이끌어 내는 과정이다. 학교의 학생 회장, 국회의원, 대통령 등을 선출할 때는 물론 체조나 다이빙 경기에서의 우승자, 올림픽 개최지의 선정과 같은 의사결정과정에서도 선거가 이루어진다. 이 절에서는 선거의 여러 가지 방법과 그 장단점을 알아본다.</p> <p>예제 1.1.1</p> <p>학생수가 37명인 영호 반에서 반장 선거를 하였다. 네 명의 학생 A, B, C, D가 반장 후보로 나왔으며 학급 학생 모두에게 투표용지를 한 장씩 나누어주고 자기가 좋아하는 순서대로 적게 하여 개표하여 보니 표 1.1.1과 같았다. 이 표에서 첫 번째 그림은 A를 1위, B를 2위, C를 3위, D를 4위로 적은 학생의 수가 14명임을 뜻한다. 이 결과를 이용하여 반장을 선출할 수 있는 방법을 생각하고 그에 따라 당선자가 누구인지를 결정하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 다수결 방식 : 1위를 가장 많이 득표한 후보가 당선된다. 위에서 후보 A가 1위를 가장 많이 차지했으므로 A가 당선자이다.</p> <p>(2) 과반수 방식 : 1위를 차지한 득표수가 전체 투표수의 절반을 넘는 후보가 당선자이다. 위의 경우 1위를 과반수이상 차지한 후보가 없으므로 당선자는 없다.</p> <p>(3) 보르다(Borda) 계산방식 : 각 투표지에서 1위, 2위, 3위, 4위를 차지한 후보들에게 각각 4점, 3점, 2점, 1점을 주고 모든 투표지의 점수롤 합하여 점수가 가장 높은 후보가 당선자이다. 위의 경우 A, B, C, D가 받은 점수는 다음과 같다.</p> <ul> <li>A: $ 14 \times 4 + 10 \times 1 + 8 \times 1 + 4 \times 1 + 1 \times 1 = 79 $</li> <li>B: $ 14 \times 3 + 10 \times 3 + 8 \times 2 + 4 \times 4 + 1 \times 2=106 $</li> <li>C: $ 14 \times 2 + 10 \times 4 + 8 \times 3 + 4 \times 2 + 1 \times 4=104 $</li> <li>D: $ 14 \times 1 + 10 \times 2 + 8 \times 4 + 4 \times 3 + 1 \times 3=81 $</li></ul> <p>따라서 점수가 가장 높은 후보 B가 당선자이다.</p> <p>(4) 헤어(Hare) 방식 : 1위를 가장 적게 차지한 후보롤 차례로 제외하여 마지막에 남는 후보가 당선자이다. 위에서 1위를 가장 적게 차지한 후보는 B이므로 후보 B를 제외하고 표를 다시 작성하면 아래와 같다.</p> <p>예제 1.3.6</p> <p>다음은 $ n $ 사람에게 케이크를 공평하게 분배하는 방법이다.</p> <p>사람을 일렬로 세워 맨 앞부터 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $이라 하자.</p> <p>Round 1</p> <p>① 맨 앞사람은 자기 몫만큼의 케이크를 잘라 다음 사람에게 건넨다.</p> <p>② 각 사람은 건네받은 케이크가 한 사람의 몫으로 적당하면 그대로, 아니면 받은 케이크를 더 잘라낸 후에 다음 사람에게 건넨다.</p> <p>③ 위 ②의 방법을 계속하여 맨 끝 사람은 건네받은 케이크가 한 사람의 몫으로 적당하면 마지막으로 케이크를 자른 사람에게 그 케이크를 갖게 하고, 아니면 받은 케이크를 더 잘라낸 후에 자신이 갖는다.</p> <p>Round 2</p> <p>Round 1에서 케이크를 가진 사람을 $ A_ { i } $라 할 때, 다음과 같이 새로 순서를 정하여 남은 케이크를 Round 1과 같은 방법으로 한 사람에게 나누어 준다.</p> <ul> <li>$ A_ { i } =A_ { 1 } $ 이면 $ A_ { 2 } , A_ { 3 } , \cdots, A_ { n } $</li> <li>$ A_ { i } \neq A_ { 1 } $ 이면 $ A_ { 2 } , A_ { 3 } , \cdots A_ { i-1 } , A_ { i + 1 } , \cdots, A_ { n } , A_ { 1 } $</li></ul> <p>Round 3-Round n</p> <p>Round 2와 같은 방법을 모든 사람이 케이크를 나누어 가질 때까지 계속한다.</p> <p>위의 방법으로 다섯 사람 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } , A_ { 4 } , A_ { 5 } $의 순서로 케이크를 나누게 하였더니 각 라운드에서 케이크를 자른 사람은 다음과 같았다.</p> <ul> <li>Round 1: $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 5 } $</li> <li>Round 2: $ A_ { 2 } $</li> <li>Round 3: $ A_ { 1 } , A_ { 3 } $</li></ul> <p>(1) 첫 번째로 케이크를 나누어 받은 사람은 누구인가?</p> <p>정의 1.2.4</p> <p>주어진 사람이나 사물을 일렬로 나열한 것을 순열이라고 한다. 예를 들어 a, b, c로 이루어진 순열은 다음과 같이 6개가 있다.</p> <ul> <li>abc, acb, bac, bca, cab, cba</li></ul> <p>일반적으로 $ n $ 개의 사물로 이루어진 순열은 $ n !=n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 $개가 있다.</p> <p>예제 1.2.8</p> <p>a, b, c, d로 이루어진 모든 순열을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb $ \\ $ bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca $ \\ $ cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba $ \\ $ dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba</p> <p>정의 1.2.5</p> <p>$ n $ 명의 투표자가 $ q $표 이상 찬성해야 통과되는 가중치선거에서 투표자들로 이루어진 하나의 순열 $ A_ { 1 } A_ { 2 } A_ { 3 } \cdots A_ { n } $에 대하여, 이 순열의 맨 앞의 투표자 $ A_ { 1 } $부터 차례로 투표자가 갖고 있는 투표수를 더하여 어떤 투표자 $ A_ { k } $의 투표수가 더해지는 순간 처음으로 합한 투표수가 $ q $ 이상이면 투표자 $ A_ { k } $를 이 경우의 핵심투표자(pivotal voter)라고 한다.</p> <p>예를 들어 네 투표자 a, b, c, d가 각각 3표, 3표, 2표, 2표의 권한을 갖는 가중치선거 [7: 3, 3, 2, 2]에서 순열 abcd의 경우 a의 투표수는 3, a와 b의 투표수의 합은 6이므로 a와 b의 찬성만으로는 제안된 안이 통과될 수 없다. 그러나 a, b, c의 투표수의 합은 8이고 a, b, c 모두가 찬성하면 그 안은 통과되므로 이 경우에는 투표자 c가 통과 또는 부결을 결정하는 핵심투표자가 된다. 한 순열에서 핵심투표자는 부결에서 통과로 바뀌게 하는 결정적인 역할을 하므로 핵심투표자가 되는 경우가 많을수록 선거에 미치는 영향력이 크다고 할 수 있다. 또 어떠한 순열에서도 마지막 투표자의 투표수까지 합한 수 만큼 찬성하면 제안된 안은 통과되므로 각 순열 마다 반드시 한 명의 핵심투표자가 있음을 알 수 있다.</p> <p>예제 1.2.9</p> <p>네 명의 투표자 a, b, c, d가 각각 5표, 3표, 2표, 1표의 권한을 갖는 가중치선거 [6: 5, 3, 2, 1]에서 다음 각 순열의 핵심투표자를 구하여라.</p> <ul> <li>(1) abcd</li> <li>(2) cbda</li></ul> <p>풀이</p> <p>예를 들어 네 명의 투표자 a, b, c, d가 각각 4표, 3표, 2표, 1표의 권한을 갖는 가중치선거 [6: 4, 3, 2, 1]에서 어떤 제안된 안에 대하여 a, b, d가 찬성하고 c가 반대하여 통과되었다고 하자. 이 때 찬성으로 투표했던 a가 마음을 바꾸어 반대로 투표하면 제안된 안도 통과에서 부결로 바뀌게 되므로 a는 이 경우의 임계투표자이다. 그러나 d는 찬성에서 반대로 바꾸어 투표해도 제안된 안은 여전히 통과되므로 임계투표자가 아니다. 이 경우에는 제안된 안에 대하여 d는 전혀 영향을 미치지 못하나 a는 결정적인 영향을 미친다고 볼 수 있다. 따라서 투표자는 임계투표자가 되는 경우에만 그 투표에 영향을 미치게 된다.</p> <p>예제 1.2.4</p> <p>네 명의 투표자 a, b, c, d가 각각 5표, 3표, 2표, 1표의 권한을 갖는 가중치선거 [6: 5, 3, 2, 1]에서 다음 각 경우에 임계투표자를 구하여라.</p> <p>(1) a, b, c가 찬성하고 d가 반대하는 경우</p> <p>(2) a, b, c, d 모두 찬성하는 경우</p> <p>풀이</p> <p>(1) a가 찬성에서 반대로 바꾸어 투표하면 찬성표수는 5표로 제안된 안은 부결되고, 따라서 a는 임계투표자이다. 그러나 b는 찬성에서 반대로 바꾸어 투표하면 찬성표수는 7표로 제안된 안은 여전히 통과되므로 b는 임계투표자가 아니다. c도 찬성에서 반대로 바꾸어 투표해도 제안된 안은 여전히 통과되므로 임계투표자가 아니다.</p> <p>(2) a, b, c, d 어느 누구도 찬성에서 반대로 바꾸어 투표해도 제안된 안은 여전히 통과되므로 임계투표자가 아니다.</p> <p>가중치선거 $ \left [q: a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ] $에서 반자프 영향력지표 구하는 법</p> <p>투표자 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $의 투표수가 각각 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $이라고 하자.</p> <p>① 집합 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $의 모든 부분집합을 구한다.</p> <p>② 위 ①의 각 부분집합에 대하여 부분집합 안에 있는 모든 투표자가 찬성하고 나머지 투표자는 반대한다고 가정하여 찬성표수를 계산하고 그 찬성표수가 $ q $ 이상이면 통과, $ q $ 미만이면 부결로 결정한다.</p> <p>올림픽개최지 결정방식</p> <p>올림픽 개최지는 국제올림픽 위원회에서 각 위원이 개최 후보 도시 중 하나를 선택하여 투표하고 그 중에서 과반수 표를 얻은 도시로 결정한다. 만약 과반수 표를 얻은 도시가 없으면 가장 표를 적게 얻은 도시를 제외하고 나머지 도시에 대하여 다시 투표하여 같은 방식으로 결정한다.</p> <p>아래는 2000년 하계 올림픽 개최지를 선정하기 위해서 1993년에 행하여진 89명의 국제올림픽 위원들의 투표 결과이다.</p> <p>1차, 2차, 3차 투표에서 어느 도시도 과반수의 표를 얻지 못해 각 투표에서 가장 표를 적게 얻은 이스탄불, 베를린, 맨체스터를 차례로 제외하고 4차 투표에서 비로소 올림픽 개최 도시를 결정할 수 있었다. 위에서 보듯이 1차, 2차, 3차 투표까지 가장 많은 표를 얻은 북경이 강력한 2000년 하계 올림픽 개최지로 예상되었으나 4차 투표에서 역전되어 결국 2000년 하계 올림픽 개최지는 시드니로 돌아갔다.</p> <p>올림픽 체조경기 채점 방식</p> <p>올림픽 체조 경기의 심판진은 A심판 3명, B심판 6명으로 구성되어 있고 각 심판은 모두 10점 만점으로 채점한다. A심판은 주심의 역할을 하는 심판으로 선수의 스타트나 난이도 등을 평가하고, B심판은 선수의 연기에 대한 감점사항을 주로 평가한다. 채점은 심판들의 점수를 모아 가장 높은 점수의 하나와 가장 낮은 점수의 하나를 제외한 나머지 점수를 평균하여 결정된다.</p> <p>다음 표는 가상으로 세 체조 선수 A, B, C에 대한 심판들의 채점을 나타낸 표이다.</p> <p>위 표에서 최종 점수가 가장 높은 순서대로 B가 1위, A가 2위, C가 3위이다.</p> <p>그러나 위의 점수를 자세히 살펴보면 8명의 심판이 A를 1위로 평가하고 단 1명만이 B를 1위로 평가했음을 알 수 있다. 즉, 한 명의 의견이 다른 모든 심판의 의견과 상반된 결과를 가져온 결과이고, 그 만큼 B가 1 위라는 사실은 설득력이 없다. 이것은 심판2를 제외한 모든 심판은 선수 간의 점수 편차를 그리 크지 않게 채점한데 비하여 유독 심판2만은 특정 선수 B에게 유리하게 점수 편차를 크게 했기 때문이다. 이처럼 올림픽 체조 채점 방식은 심판 몇 명에 의하여 악용될 소지가 있기 때문에 이런 방식을 선택할 경우 이를 막기 위한 사전 장치가 필요하다. 실제로 이와 비슷한 방법으로 혁신도시를 선정하기로 한 지방의 어느 도는 선정과정에서 위와 비슷한 상황이 발생하여 각 후보 도시 주민들 사이의 큰 갈등을 불러 일으켰다.</p> <p>이 표를 이용하여 두 후보 사이의 선호도를 조사하면 다음과 같다.</p> <p>따라서 점수가 가장 높은 B가 당선된다. 원래 당선자는 A이었으나 낙선된 C가 사퇴하여 C를 제외하고 다시 계산하면 당선자는 A가 아닌 B로 바뀌었으므로 상호 선호 비교 방식은 선거제도의 고려사항 중 IC를 만족하지 않는다.</p> <p>예제 1.1.9</p> <p>(승인투표) 어느 대학에서 30명의 학생이 대학수학을 수강하고 있다. 기말시험을 보기 위한 적당한 요일에 O표 하라고 하였더니 다음과 같았다.</p> <p>되도록 많은 학생이 선택한 요일에 시험을 볼 수 있도록 요일을 선택하라.</p> <p>풀이</p> <p>각 요일을 선택한 학생 수는 다음과 같다.</p> <ul> <li>수요일: $ 6 + 4 + 4 + 4=18 $</li> <li>목요일: $ 8 + 4 + 4=16 $</li> <li>금요일: $ 4 + 4 + 4=12 $</li></ul> <p>수요일이 학생들이 가장 많이 선택한 날이므로 수요일에 시험을 보는 것이 합리적이다.</p> <p>교황 선출 방법</p> <p>교황은 추기경들의 비밀회의인 콘클라베에서 선출된다. 교황 피선거권은 로마 가톨릭 남성 신자이면 누구에게나 주어지나 지금까지 교황은 추기경들 가운데서 선출되어 왔다. 교황을 뽑을 수 있는 선거권은 80세 미만의 추기경들에게만 주어지며 그 수는 최대 120명이고 현재 선거권이 있는 추기경은 119명이다. 교황 선출은 교황이 타계한 뒤 15~20일 후 시작되며 이는 과거에 여러 지역에 있는 추기경들이 로마까지 도달하는 시간을 2주로 설정한 데서 유래되었다.</p> <p>선거인 자격이 있는 추기경들은 바티칸 시스터나 성당에서 '나는 교황을 뽑는다.'라고 적힌 직사각형의 투표용지에 한 사람을 기명하는 방법으로 총 투표의 3분의 2 이상 득표자가 나올 때까지 무기명 투표한다. 선거가 시작되는 첫째 날에는 오후에 한 차례만 투표를 실시하나 여기서 교황이 선출되지 않으면 그 다음날부터는 오전과 오후 두 차례씩 투표하고 투표가 30회를 넘으면 과반수 방식으로 교황을 선출한다. 추기경들은 콘클라베가 열리는 동안 서신이나 전화, 그 밖의 어떤 통신수단으로도 외부와 연락할 수 없다.</p> <p>투표가 집계될 때마다 모든 투표용지는 화학약품으로 불태워지며 투표 결과는 연기 색깔로 알린다. 검은 연기가 나면 교황이 선출되지 않았다는 표시이며 흰 연기를 피워 올리면 새 교황이 권좌에 올랐다는 뜻이다. 콘클라베는 교황으로 선출된 추기경에게 이 결정을 받아들일지 묻고 당선자가 이를 수락하면 콘클라베 의장은 차기 교황이 어떤 이름을 쓸 것인지를 묻고 추기경들에게 이를 알린 뒤 경하한다. 이어 추기경들 중 가장 연장자는 성베드로 광장이 보이는 바티칸 대성전 발코니로 나가 “우리는 교황을 선출했다."라는 뜻의 라틴어인 “하베무스 파팜(Habemus papam)"이라고 공식 선언한다.</p> <p>우리나라 대통령 선거나 국회의원 선거에서는 모든 투표권자가 한 표만을 갖는 평등선거이다. 그러나 주식회사의 주주 총회에서는 투표자가 자기가 갖고 있는 주식 수만큼의 투표수를 가진다. 이처럼 투표자가 갖는 투표수가 각각 다를 수 있는 선거를 가중치 선거(weighted voting)라고 한다. 이 절에서는 가중치선거에서 각 투표자가 어떤 제안된 안의 통과 또는 부결의 결정에 얼마의 영향력을 갖고 있는지에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 1.2.1</p> <p>투표자 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } $이 갖고 있는 투표수가 각각 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } $이고 어떤 제안된 안이 $ q $표 이상 받아야 통과되는 가중치선거를 간단히 $ \left [q: a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ] $으로 나타낸다.</p> <p>예를 들어 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } , A_ { 4 } $가 각각 4표, 3표, 2표, 1표의 투표수를 가지며 6표 이상 찬성해야 통과되는 가중치선거는 [6: 4, 3, 2, 1]로 나타내어진다. 일반적으로 $ q $는 $ \frac { a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { n } } { 2 }<q \leq a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { n } $인 범위에서 결정된다.</p> <p>예제 1.2.1</p> <p>아래와 같이 주어진 가중치선거에서 다음 물음에 답하라.</p> <p>(1) 가중치선거 [11: 12, 5, 4]에서 다른 투표자의 선택에 관계없이 한 투표자에 의하여 통과 또는 부결이 결정될 수 있는가?</p> <p>(2) 가중치선거 [11: 8, 7, 4, 2]에서 선거의 결과에 전혀 영향을 줄 수 없는 투표자가 있는가?</p> <p>(3) 가중치선거 [50: 49, 48, 3]에서 각 투표자의 영향력은 [2: 1, 1, 1]에서 각 투표자의 영향력과 같음을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 12표를 갖는 투표자는 통과기준인 11표를 넘으므로 다른 투표자의 선택에 관계없이 통과 또는 부결을 결정할 수 있다.</p> <p>(2) 2표를 갖는 투표자를 A라 하자. A는 혼자 또는 다른 투표자와 둘이서는 11표 이상을 만들 수 없다. 또 다른 여러 투표자와 합쳐 11표 이상이 될 경우 A가 갖고 있는 2표를 제외해도 여전히 11표 이상이 되므로 A는 위의 선거 결과에 전혀 영향을 줄 수 없다.</p> <p>도날드와 이바나에게 상대방이 알지 못하게 위의 각 재산의 가치를 백분율(%)로 나타내도록 하였더니 아래와 같았다. 위의 재산을 도날드와 이바나에게 공평분배하여라.</p> <p>풀이</p> <p>다음 순서로 주어진 재산을 배정한다.</p> <p>(1) 우선 상대방보다 높은 가치를 부여한 사람에게 그 재산을 배정한다.</p> <p>(2) 둘이 똑같은 가치를 부여한 재산은 (1)에서 적게 배정 받은 사람에게 배정한다. 따라서 똑같은 가치를 부여한 E는 적게 배정 받은 이바나에게 배정한다.</p> <p>위의 표에서 보듯이 도날드와 이바나 모두에게 각자가 생각하는 몫인 $ 50 \% $ 보다 많은 재산이 배정되었으므로 두 사람 모두 만족하는 공평분배임을 알 수 있다.</p> <p>(3) 한편, 이바나보다 도날드에게 많은 가치의 재산이 배정되었으므로 아래와 같이 도날드에게 배정된 재산의 상대가치를 계산하여 상대가치가 작은 재산 B의 일부를 이바나에게 양도한다.</p> <p>도날드가 B의 $ x $를 소유하고 이바나가 B의 $ 1-x $를 소유한다면 도날드와 이바나가 차지한 재산의 총 가치는 각각 $ 38 + 40 x $와 $ 70 + 20(1-x) $이다. 이 두 값은 같아야 하므로 $ 38 + 40 x=70 + 20(1-x) $이다. 즉, $ x=13 / 15=87 \% $이다.</p> <p>최종적으로 도날드와 이바나에게 배정된 재산과 그 가치는 다음과 같다.</p> <p>실제로 이바나는 위의 재산 중 A, C, E를 차지했고 여름휴가 목적으로 1년 중 한 달 동안 B를 사용하기로 하였다.</p> <p>예제 1.3.8</p> <p>(상속문제1) 부모로부터 집과 임야를 상속받은 세 자녀 A, B, C는 이 유산을 다른 사람에게 팔지 않고 공평하게 나누려고 한다. 아래는 세 자녀 각자가 생각하는 집과 임야의 가격을 나타낸 것이다. 이 유산을 세 상속자에게 공평하게 분배하여라.</p> <p>풀이</p> <p>(1) 위의 표에서 각자가 생각하는 평가액의 $ \frac { 1 } { 3 } $을 계산한다.</p> <p>(2) 상속되는 재산은 그 재산을 가장 높게 평가한 사람에게 우선 배정한다. 이 경우에는 집과 임야를 가장 높은 가격을 책정한 A와 C에게 각각 배정한다.</p> <p>(3) 배정된 재산과 각 사람이 예상하는 몫과의 차이를 계산하여 그 차이만큼 현금으로 지불하게 한다.</p> <p>예를 들어 A는 2600만 원의 집을 받았는데 예상하는 몫이 1020만 원이므로 그 차이인 1580만 원을 현금으로 지불한다.</p> <p>(4) 위 (3)에서 지불된 현금으로 자기의 예상하는 몫보다 적게 배정받은 사람의 몫을 채워준다.</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} E(p, q)=& 300 \times p q + (-200) \times p(1-q) + (-200) \times(1-p) q \\ & + 100 \times(1-p)(1-q)=800 p q-300 p-300 q + 100 \end {aligned} \]이다.</p> <p>정의 1.5.3</p> <p>정의 1.5.2에서 모든 $ p, q $에 대하여 부등식 \[ E \left (p_ { 1 } , q \right ) \geq E \left (p_ { 1 } , q_ { 1 } \right ) \geq E \left (p, q_ { 1 } \right ) \quad \left (0 \leq p, p_ { 1 } , q, q_ { 1 } \leq 1 \right ) \]을 만족하는 기대성과 $ E \left (p_ { 1 } , q_ { 1 } \right ) $을 이 게임의 값이라고 한다. 또, 전략 1과 전략 2의 비율을 $ p_ { 1 } : 1-p_ { 1 } $ 와 $ q_ { 1 } : 1-q_ { 1 } $이 되게 취하는 전략을 각각 갑의 최선의 전략, 을의 최선의 전략이라 한다.</p> <p>위의 부등식에 의하여 게임의 값이 존재한다면 그 값은 유일함을 알 수 있다.</p> <p>예제 1.5.7</p> <p>갑의 입장에서 다음 표와 같이 나타내어지는 동전 게임을 생각하여 보자.</p> <p>(1) 갑의 최선의 전략을 구하고 게임의 값을 구하여라.</p> <p>(2) 을의 최선의 전략을 구하여라.</p> <p>(3) 위의 게임을 여러 번 반복할 때, 갑과 을이 각각 최선의 전략을 취한다면 이 게임은 갑과 을 중에서 누구에게 더 유리한가?</p> <p>풀이</p> <p>(1) 갑의 최선의 전략은 을이 내는 앞면과 뒷면의 비율과 관계없이 일정해야 하므로 두 기대성과 $ E(p, 1) $과 $ E(p, 0) $은 일치해야 한다. 예제 1.5.6의 (2)와 (3)에서</p> <ul> <li>$ E(p, 1)=500 p-200 $</li> <li>$ E(p, 0)=100-300 p $</li></ul> <p>이므로 $ 500 p-200=100-300 p $이고 $ p= \frac { 3 } { 8 } $이다. 따라서 앞면과 뒷면의 비율을 $ p: 1-p= \frac { 3 } { 8 } : \frac { 5 } { 8 } =3: 5 $로 내는 것이 갑의 최선의 전략이며, 이 때 게임의 값은 \[ 100-300 p=100-300 \times \frac { 3 } { 8 } =- \frac { 25 } { 2 } \]이다.</p>	자연
공업수학	<h1>3.3 선형 n계 비제차미분방정식의 해</h1><p>여기서는 우선 상수계수의 선형 n계 비제차미분방정식을 살피려고 한다. 3.1절의 정리 3.4에 의하면, 비제차미분방정식의 일반해는 동반제차방정식의 일반해와 한 특수해를 합하면 되는데, 앞절에서 제차미분방정식의 해를 구하는 것은 익혔으므로, 여기서는 2 장에서의 미정계수법과 매개변수변화법을 일반화하여 한 특수해를 구해보자.</p><h2>[미정계수법]</h2><p>기본적인 개념은 $ F(x) $ 의 형태와 동반제차방정식의 해의 형태를 살펴서 임의의 상수가 포함된 추측해를 세워서, 이 추측해를 주어진 미분방정식에 대입하여 상수를 결정함으로써 특수해를 구하는 방법이다. 다만 동반제차방정식의 특성방정식이 다중근(3중근, 4 중근 또는 k중근)을 갖는 경우에는 동반방정식의 해에 알맞는 x의 거듭제곱(3중근의 경우에는 $ \left.1, x, x^{2}, \cdots, x^{k-1}\right) $ 을 곱한 것을 해의 기본계로 하는 것을 잊지 않으면 된다. 예를 통하여 살펴보자.</p ><p>예제 $ 1 $ 미분방정식<p>$y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+6 y=x^{3}-4 x+2$</p>의 동반제차방정식의 해는<p>$ y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-x}+c_{3} e^{3 x} $</p>이다. 다음은 주어진 미분방정식의 한 특수해를 구해보자.<p>$ F(x)=x^{3}-4 x+2 $</p>이므로<p>$ y_{D}=A x^{3}+B x^{2}+C x+D $</p>으로 놓아 이 식을 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면<p>$ 6 A-24 A x-8 B+3 A x^{2}+2 B x+C+6 A x^{3}+6 B x^{2}+6 C x+6 D=x^{3}-4 x+2 $</p>가 된다. 이때 위의 항등식을 풀면<p>$ A=\frac{1}{6}, \quad B=-\frac{1}{12}, \quad C=\frac{1}{36}, \quad D=\frac{11}{216} $</p>이므로 한 특수해는<p>$ y_{p}-\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{12}+\frac{x}{36}+\frac{11}{216} $</p>이고, 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는<p>$ y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-x}+c_{3} e^{3 x}+\frac{x^{3}}{6}-\frac{x^{2}}{12}+\frac{x}{36}+\frac{11}{216} $</p>이 된다.<p>예제 $ 2 $ 미분방정식<p>$ y^{(3)}+2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}=4 e^{x}-3 \cos (2 x) $</p>의 일반해를 구해보자. 우선 동반제차방정식의 일반해를 구하면<p>$ y_{h}=c_{1}+c_{2} e^{(-1+\sqrt{2}) x}+c_{3} e^{(-1-\sqrt{2}) x} $</p>이 되고고, 다음은 $ F(x)=4 e^{x}-3 \cos (2 x) $이므로 추측해를<p>$ y_{p}=A e^{x}+B \cos (2 x)+C \sin (2 x) $</p>로 놓자. 이 식을 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면<p>$ \begin{aligned} A e^{x}+8 B \sin (2 x)-8 C \cos (2 x) &+2 A e^{x}-8 B \cos (2 x)-8 C \sin (2 x) -A e^{x}+2 B \sin (2 x)-2 C \cos (2 x)=4 e^{x}-3 \cos (2 x) \end{aligned} $</p>가 되고, 또 이 식을 풀면<p>$ A=2, \quad B=\frac{6}{41}, \quad C=\frac{15}{82} $</p>를 얻는다. 그러므로 주어진 미분방정식의 한 특수해는<p>$ y_{p}=2 e^{x}+\frac{6}{41} \cos (2 x)+\frac{15}{82} \sin (2 x) $</p>이고, 따라서 일반해는<p>$ y=c_{1}+e^{-x}\left(c_{2} e^{\sqrt{2} x}+c_{3} e^{-\sqrt{2} x}\right)+2 e^{x}+\frac{6}{41} \cos (2 x)+\frac{15}{82} \sin (2 x) $</p>이다.<p>예제 $ 3 $ 미분방정식<p>$ y^{(3)}-y^{\prime \prime}=8 y^{\prime}+12 y=7 e^{2 x} $</p>의 동반제차방정식의 특성방정식은<p>$ (r-2)^{2}(r+3)=0 $</p>인데, $ F(x)=7 e^{2 x} $ 이므로 $ y_{p}=A e^{2 x} $ 또는 $ y_{p}=A x e^{2 x} $ 대신 $ y_{p}=A x^{2} e^{2 x} $ 로 놓아 주어진 미분 방정식에 대입하면 $ 10 A=7 $ 이 된다. 그러므로 일반해는<p>$ y=c_{1} e^{-3 x}+e^{2 x}\left(c_{2}+c_{3} x\right)+\frac{7}{10} x^{2} e^{2 x} $</p이다.</p><p>예제 $ 4 $ 미분방정식<p>$ y^{(4)}+11 y^{(3)}+36 y^{\prime \prime}+16 y^{\prime}-64 y=-3 e^{-4 x}+2 \cos (2 x) $</p>의 동반제차방정식의 특성방정식은<p>$ (r+4)^{3}(r-1)=0 $</p>이므로 일반해는<p>$ y_{h}=\left(c_{1}+c_{2} x+c_{3} x^{2}\right) e^{-4 x}+c_{4} e^{x} $</p>이다. 여기서 -4는 특성방정식의 3중근이지만 $ F(x) $ 에 $ -3 e^{-4 x} $ 의 항이 있으므로<p>$ y_{b}=A x^{3} e^{-4 x}+B \cos (2 x)+C \sin (2 x) $</p>로 놓아야 하겠다. 이 식을 주어진 미분방정식에 대입하여 A, B, C를 구하면<p>$ A=\frac{1}{10}, \quad B=\frac{-6}{681}, \quad C=\frac{-7}{2724} $</p>이 된다. 그러므로 주어진 미분방정식의 일반해는<p>$ y=\left(c_{1}+c_{2} x+c_{3} x^{2}\right) e^{-4 x}+c_{4} e^{x}+\frac{1}{10} x^{3} e^{-4 x}-\frac{6}{681} \cos (2 x)-\frac{7}{2724} \sin (2 x) $</p>가 된다. <h2>[매개변수변화법]</h2> <p>이 방법도 마찬가지로 앞의 $ 2.7 $ 에서 익힌 것을 일반화한 것이다. 즉, $ P_{n-1}(x), \cdots, P_{1}(x) $, $ P_{0}(x) $ 가 $ x $ 만의 함수일 때 $y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=F(x)$ 형태의 비제차미분방정식에서, $ y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x) $ 가 동반제차방정식 $y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0 $ 의 일차독립인 해의 경우에 $y_{p}(x)=u_{1}(x) y_{1}(x)+u_{2}(x) y_{2}(x)+\cdots+u_{n}(x) y_{n}(x)$ 형태의 특수해를 찾는 방법이다. 구체적으로는 위의 $ y_{p} $ 를 미분하면 $y_{p}^{\prime}=u_{1}{ }^{\prime} y_{1}+u_{2}^{\prime} y_{2}+\cdots+y_{n}^{\prime} y_{n}+u_{1} y_{1}^{\prime}+\cdots+u_{n} y_{n}^{\prime}$인데, 여기서 $ u_{1}^{\prime} y_{1}+\cdots+u_{n}^{\prime} y_{n}=0 $ 으로 놓으면 $ y_{p}^{\prime \prime}=u_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime}+\cdots+u_{n}^{\prime} y_{n}^{\prime}+u_{1} y_{1}^{\prime}+\cdots+u_{n} y_{n}{ }^{\prime \prime} $ 가 되고, 다시 여기서 $ u_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime}+\cdots+u_{n}^{\prime} y_{n}^{\prime}=0 $ 으로 놓고 미분하면 $ y_{p}^{(3)}=u_{1}{ }^{\prime} y_{1}{ }^{\prime \prime}+\cdots+u_{n}{ }^{\prime} y_{n}{ }^{\prime \prime}+u_{1} y_{1}^{(3)}+\cdots+u_{n} y_{n}^{(3)} $ 이 되고, 또 $ u_{1}^{\prime} y_{1}^{\prime \prime}+\cdots+u_{n}^{\prime} y_{n}^{\prime \prime}=0 $ 으로 놓고 다음 미분을 하는 등등의 방법을 계속하여 $ y_{p}^{(4)}, \cdots, y_{p}^{(n-1)} $ 을 계산하는데, 이 때마다 $ u_{1}^{\prime}, \cdots, u_{n}^{\prime} $ 의 합이 0 인 연립방정식을 얻게 된다.<p>\[ y_{1} u_{1}^{\prime}+y_{2} u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n} u_{n}^{\prime}=0 \] \[ y_{1}^{\prime} u_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime} u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{\prime} u_{n}^{\prime}=0 \] \[ y_{1}^{\prime \prime} u_{1}^{\prime}+y_{2}^{\prime \prime} u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{\prime \prime} u_{n}^{\prime}=0 \] \[ \vdots \quad \vdots \] \[ y_{1}^{(n-2)} u_{1}^{\prime}+y_{2}^{(n-2)} u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{(n-2)} u_{n}^{\prime}=0 \] \[ y_{1}^{(n-1)} u_{1}^{\prime}+y_{2}^{(n-1)} u_{2}^{\prime}+\cdots+y_{n}^{(n-1)} u_{n}^{\prime}=F(x) \]</p> <p>위의 $ u_{1}^{\prime}, \cdots, u_{n}^{\prime} $ 에 관한 연립방정식을 풀어 각각을 적분하면 $ u_{1}, \cdots, u_{n} $ 이 정해지고, 따라서 특수해가 정해진다.</p> <p>예제 $ 5 $ 미분방정식<p>$y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+y^{\prime}+6 y=\cos ^{2}(x) $</p>의 해를 구해보자. 동반제차방정식의 해는 예제 1 에서 구한 것과 같이<p>$y_{1}=e^{2 x}, \quad y_{2}=e^{-x}, \quad y_{3}=e^{3 x} $</p>이므로 특수해를<p>$y_{p}=u_{1} e^{2 x}+u_{2} e^{-x}+u_{3} e^{3 x}$</p>로 놓자. 그러면 $ u_{1}^{\prime}, u_{2}^{\prime}, u_{3}^{\prime} $에 관한 연립방정식<p>$ \begin{aligned} e^{2 x} u_{1}^{\prime}+e^{-x} u_{2}^{\prime}+e^{3 x} u_{3}^{\prime} &=0 \\ 2 e^{2 x} u_{1}^{\prime}-e^{-x} u_{2}^{\prime}+3 e^{3 x} u_{3}^{\prime} &=0 \\ 4 e^{2 x} u_{1}^{\prime}+e^{-x} u_{2}^{\prime}+9 e^{3 x} u_{3}^{\prime} &=\cos ^{2}(x) \end{aligned} $</p>를 얻게 되고, 이 연립방정식을 풀면<p>$ u_{1}^{\prime}=-\frac{1}{3} e^{-2 x} \cos ^{2}(x) \\ u_{2}^{\prime}=\frac{1}{12} e^{x} \cos ^{2}(x) \\ u_{3}^{\prime}=\frac{1}{4} e^{-3 x} \cos ^{2}(x) $</p>가 된다. 이들을 각각 적분하면<p>$\begin{array}{l} u_{1}=\frac{e^{-2 x}}{24}\left[1-2 \sin (x) \cos (x)+2 \cos ^{2}(x)\right] \\ u_{2}=\frac{e^{x}}{60}\left[2+2 \sin (x) \cos (x)+\cos ^{2}(x)\right] \\ u_{3}=\frac{e^{-3 x}}{52}\left[2 \sin (x) \cos (x)-3 \cos ^{2}(x)-\frac{2}{3}\right] \end{array} $</p>가 되므로 주어진 미분방정식의 특수해는<p>$ \begin{aligned} y_{p}=& u_{1} e^{2 x}+u_{2} e^{-x}+u_{3} e^{3 x} \\=& \frac{1}{24}\left[1-2 \sin (x) \cos (x)+2 \cos ^{2}(x)\right] \\ &+\frac{1}{60}\left[2+2 \sin (x) \cos (x)+\cos ^{2}(x)\right] \\ &+\frac{1}{52}\left[2 \sin (x) \cos (x)-3 \cos ^{2}(x)-\frac{2}{3}\right] \\=& \frac{97}{1560}-\frac{3}{260} \sin (x) \cos (x)+\frac{17}{195} \cos ^{2}(x) \end{aligned} $</p>가 된다. <p>함수 $ y_{1}(x), \cdots, y_{k}(x) $ 를 모두는 0이 아닌 $ c_{i} $ 에 대해서, J의 모든 x에 대하여 0 인 일차 결합 $ c_{1} y_{1}(x)+\cdots+c_{k} y_{k}(x) $ 가 존재한다면 J에서 일차종속(linearly dependent)이라고 한다. 그러나 각각의 $ c_{i} $ 를 0으로 택할 때만 J의 모든 것에 대해서 $ c_{1} y_{1}(x)+\cdots+c_{k} y_{k}(x)=0 $ 이 되면 $ y_{1}(x), \cdots, y_{k}(x) $ 를 J에서 일차독립(linearly independent)이라 한다. 예를 들어, 모든 x에 대하여 $\frac{1}{5}[5 \cos (2 x)]-\frac{1}{3}\left[3 \cos ^{2}(x)\right]-\frac{1}{4}\left[-4 \sin ^{2}(x)\right]=0$ 이므로 세 함수 $ 5 \cos (2 x), 3 \cos ^{2}(x),-4 \sin ^{2}(x) $ 는 일차종속이 된다. 일반적으로 세 개 이상의 함수의 일차독립, 일차종속 여부를 계수를 확인하여 판별하기는 쉽지 않다. 그러나 두 개의 함수에서와 마찬가지로 론스키안을 계산하여 확인하면 어렵지 않다. 즉, 2.2절의 결과를 확장하면 $ y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x) $ 가 주어졌을 때, 이들의 론스키안은 이들의 도함수로 된 $ n \times n $ 의 행렬식 $ W\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right)=\left\|\begin{array}{cccc}y_{1} & y_{2}, & \cdots & y_{n} \\ y_{1}^{\prime} & y_{2}{ }^{\prime} & \cdots & y_{n}^{\prime} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ y_{n}^{(\dot{n}-1)} & y_{2}^{(\dot{n}-1)} & \cdots & y_{n}^{(n-1)}\end{array}\right\| $ 이다. 그러면 다음의 정리를 얻는다.<p>정리 $ 3.3 $ $ y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x) $ 이 $ n $ 계 제차미분방정식 $ (* ) $ 의 해일 때, 한 구간 $ J $ 에서 이들이 일차독립이기 위한 필요충분조건은 구간안에 한 점 $ x_{0} $ 이 존재하여, 이 점에서의 론스키안이 0이 아닌 것이다.</p><p>증명은 두 함수일 때와 마찬가지이므로 생략한다.</p><p>예제 $ 1 $ 세 함수 $ \cos (x), \sin (x), e^{x} $ 의 론스키안을 계산하면<p>$\left\|\begin{array}{rrr} \cos (x) & \sin (x) & e^{x} \\ -\sin (x) & \cos (x) & e^{x} \\ -\cos (x) & -\sin (x) & e^{x} \end{array}\right\| $</p>이므로 이들은 일차독립이다.</p><p>위의 정리를 써서 2.2절의 정리 2.4를 일반화하면 다음의 정리가 된다.</p><p>정리 $ 3.4 $ n개의 함수 $ y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x) $ 가 한 구간J에서 선형 n계 제차미분방정식<p>$y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0$</p>의 일차독입인 해이면, 구간 위에서 주어진 미분방정식의 모든 해는<p>\y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+\cdots+c_{n} y_{n}(x)\)</p>와 같이 일차독립인 해들의 일차결합의 형태가 된다.</p><p>증명은 생략한다. 이 정리에 의하면 선형 n계 제차미분방정식의 일반해는 주어진 미분방정식의 n개의 일차독립인 해를 구하여 이들의 일차결합으로 나타내면 된다.</p><p>예제 $ 2 $ 세 함수 $ e^{2 x}, e^{x}, e^{-x} $ 이 미분방정식<p>$y^{(3)}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0 $</p>의 일차독립인 해이므로 일반해는<p>$ y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{-x} $</p>이 된다.</p><p>다음은 선형 $ n $ 계 비제차미분방정식의 해를 생각해 보자. 비제차미분방정식 $y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=F(x)$<caption>$ () $</caption>에서, 2장에서와 마찬가지로, 미분방정식<p>$ y^{(n)}+P_{n-1}(x) y^{(n-1)}+\cdots+P_{1}(x) y^{\prime}+P_{0}(x) y=0 $<caption>$ (* ) $</caption>을 위의 비제차미분방정식의 동반제차방정식(associated homogeneous equation)이라고 한다. 2.7절의 정리 2.5를 일반화하면 다음의 정리를 얻는다.</p><p>정리 $ 3.5 $ $ y_{p} $가 선형 n계 비제차미분방정식 ()의 한 해이고, n개의 함수 $ y_{1}(x), \cdots, y_{n}(x) $ 이 ()의 동반제차방정식의 일차독립인 해이면 함수 $ y(x)=c_{1} y_{1}(x)+\cdots+c_{n} y_{n}(x)+y_{p}(x) $ 가 주어진 비제차방정식 () 의 일반해가 된다.</p><p>예제 $ 2 $ 함수 $ y_{p}=x $ 가 미분방정식<p>$ y^{(3)}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=2 x-1 $</p>의 한 해가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 한편 예제 2에 의해 동반제차미분방정식의 일반해는<p>$ y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{-x} $</p>이므로 주어진 비제차미분방정식의 일반해는<p>$ y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{-x}+x $</p>가 된다.<p>예제 $ 4 $ 초기치 문제<p>$ y^{(3)}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=2 x-1 ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=-3, y^{\prime \prime}(0)=4 $</p>의 해를 구해보자. 위의 예제 3에 의해 일반해는<p>$ y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{x}+c_{3} e^{-x}+x $</p>이므로 초기조건을 만족시키는 해를 구하려면<p>$ y(0)=c_{1}+c_{2}+c_{3}=1 $</p><p>$ y^{\prime}(0)=2 c_{1}+c_{2}-c_{3}+1=-3 $</p><p>$ y^{\prime \prime}(0)=4 c_{1}+c_{2}+c_{3}=4 $</p>를 풀면 된다. 이것을 풀면 $ c_{1}=1, c_{2}=-3, c_{3}=3 $ 을 얻으므로 해는<p>$ y=e^{2 x}-3 e^{x}+3 e^{-x}+x $</p>가 된다.	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<p>증명의 아이디어는 앞의 푸비니의 정리의 증명과 같으므로 증명은 생략한다.</p> <p>보기 $3 $</p> <p>$B= \left \{ (x, y): x ^ { 2 } \leq y \leq x + 3,0 \leq x \leq 2 \right \} \text { 위에서 } f(x, y)=9-x-2 y $의 이중적분을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \iint_ { B } f(x, y) d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left ( \int_ { x ^ { 2 } } ^ { x + 3 } (9-x-2 y) d y \right ) d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (9 \left (x + 3-x ^ { 2 } \right )-x \left (x + 3-x ^ { 2 } \right )-(x + 3) ^ { 2 } + x ^ { 4 } \right ) d x \\ &=17 \frac { 1 } { 15 } \end {aligned} $</p> <p>정의 $2 $ 평균(average)</p> <p>$ \frac {\iint_ { B } f(x, y) d x d y } {\iint_ { B } 1 d x d y } = \frac {\iint_ { B } f(x, y) d x d y } { B \text { 의 면 적 } } $는 $ f $의 $ B $ 위에서의 평균이라고 한다.</p> <p>보기 $4 $</p> <p>어떤 영역 $ B= \left \{ (x, y): x ^ { 2 } \leq y \leq x \right \} $의 각 지점 $ (x, y) $ 에 있는 풀의 높이가 $ f(x, y) $ $ =1 + x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } $ 일 때 $ B $ 에서의 평균 높이를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ B $ 의 면적은 $ \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { x ^ { 2 } } ^ { x } 1 d y d x= \frac { 1 } { 6 } $ 이고 \[ \begin {aligned} \iint_ { B } \left (1 + x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right ) d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { x ^ { 2 } } ^ { x } \left (1 + x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right ) d y d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (x + x ^ { 3 } + \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 } \right )- \left (x ^ { 2 } + x ^ { 4 } + \frac { 2 } { 3 } x ^ { 6 } \right ) d x \\ &= \frac { 121 } { 420 } \end {aligned} \] 이다. 따라서 평균 놂이는 $ \frac { 121 } { 420 } \div \frac { 1 } { 6 } = \frac { 121 } { 70 } $ 이다.</p> <p>풀이</p> <p>이 이중적분은 밑면적이 4이고 높이가 5인 직육각기둥의 부피로서 값이 20이다. 이 중적분의 정의를 따라 계산하여 보면 먼저 구간 $ 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 2 $를 각각 $ n $ 등분하고 $ P_ { i j } $는 각 정사각형의 한 가운데 있는 점으로 잡으면 $ \Delta B_ { i j } = \frac { 4 } { n ^ { 2 } } $이므로 $ \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } = \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } 5 \left ( \frac { 4 } { n ^ { 2 } } \right )=20 $ 이다. $ n $을 점점 더 크게 하여도 $ \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } $는 20 이므로 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \lim _ {\Delta B_ { i j } \rightarrow 0 } \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } =20 $ 이다.</p> <p>이중적분의 성질</p> <p>이중적분의 정의로부터 연속함수 $ f $와 $ g $, 그리고 상수 $ k $에 대해 다음 등식이 성립함을 확인할 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \iint_ { B } \{ f(x, y) \pm g(x, y) \} d x d y= \iint_ { B } f(x, y) d x d y \pm \iint_ { B } g(x, y) d x d y $</li> <li>$ \iint_ { B } k f(x, y) d x d y=k \iint_ { B } f(x, y) d x d y $</li> <li>$ \left \| \iint_ { B } f(x, y) d x d y \right \| \leq \iint_ { B } \|f(x, y)\| d x d y $</li> <li>$ f \leq g $ 이면 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y \leq \iint_ { B } g(x, y) d x d y $</li> <li>$ B=B_ { 1 } \cup B_ { 2 } $ 로서 그림과 같이 $ B_ { 1 } $ 과 $ B_ { 2 } $ 가 경계선 이외에서는 겹치지 않을 때 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \iint_ { B_ { 1 } } f(x, y) d x d y + \iint_ { B_ { 2 } } f(x, y) d x d y $이다.</li></ol> <p>$ B $가 여러 직사각형 $ B_ { 1 } , B_ { 2 } , \cdots, B_ { n } $의 합집합으로 주어지고 경계선 이외에서는 겹치지 않을 때 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \iint_ {\cup B_ { i } } f(x, y) d x d y= \sum_ { i } \iint_ { B_ { i } } f(x, y) d x d y $이다.</p> <p>$ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \int_ { c } ^ { d } \left ( \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x \right ) d y $는 이 입체를 $ x z $ 평면과 평행한 평면들로 잘게 나눈 조각의 부피를 합하여 부피를 구하는 것으로 생각한다.</p> <p>보기 $2 $</p> <p>푸비니 정리를 써서 $ \iint_ { B } \left (10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d x d y $를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \iint_ { B } \left (10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left ( \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d x \right ) d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (20- \frac { 8 } { 3 } -2 y ^ { 2 } \right ) d y= \frac { 88 } { 3 } \end {aligned} $</p> <p>정리 $2 $ 푸비니의 정리</p> <p>연속함수 $ f(x, y) $ 에 대해<ol type=1 start=1><li>$D= \left \{ (x, y): a \leq x \leq b, g_ { 1 } (x) \leq y \leq g_ { 2 } (x) \right \} $ $ g_ { 1 } , g_ { 2 } $ 는 연속함수일 때 $ \iint_ { D } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { g_ { 1 } (x) } ^ { g_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right ) d x $</li> <li>$D= \left \{ (x, y): h_ { 1 } (y) \leq x \leq h_ { 2 } (y), c \leq y \leq d \right \} , $ $ h_ { 1 } , h_ { 2 } $ 는 연속함수일 때 $ \iint_ { D } f(x, y) d x d y= \int_ { C } ^ { d } \left ( \int_ { h_ { 1 } (y) } ^ { h_ { 2 } (y) } f(x, y) d x \right ) d y $</li></ol></p> <p>위 보기 $1 $ 에서처럼 이중적분의 정의에 나오는 극한을 일일이 계산하려면 얼마나 복잡할 것인가. 다음 푸비니(Fubini)의 정리를 이용하면 이중적분을 변수 한 개씩 차례로 적분하는 소위 반복적분(iterated integral)으로 계산할 수 있다.</p> <p>정리 $1 $ 푸비니(Fubini) 정리</p> <p>함수 $ f(x, y) $ 가 $ B= \{ (x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} $ 위에서 연속이면 $ \\ $ $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ) d x= \int_ { c } ^ { d } \left ( \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x \right ) d y $ 이다.</p> <p>중명</p> <p>먼저 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ) d x $를 보이자. $ f(x, y)>0 $ 일 때 이 적분은 윗면이 함수의 그래프로 덮인 $ B $ 위의 입체의 부피이므로 이 입체를 $ y z $평면과 평행한 평면들로 잘게 나눈 조각의 부피를 합하여 부피를 구한다.</p> <p>$ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \lim _ {\Delta B_ { i } \rightarrow 0 } \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } = \lim _ {\Delta x_ { i } \rightarrow 0 } \sum_ { i } \left ( \lim _ {\Delta y_ { j } \rightarrow 0 } \sum_ { j } f \left (a_ { i } , b_ { j } \right ) \Delta y_ { j } \right ) \Delta x_ { i } $ $ \\ $ 에서 $ A(x)= \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y $라고 하자. 이 적분은 $ x $를 상수로 취급하여 계산한 것으로서 $ f $가 연속함수이므로 모든 $ x \in[a, b] $에 대하여 $ A(x) $가 존재한다. $ P_ { i j } = \left (a_ { i } , b_ { j } \right ) $로 두면 $ A \left (a_ { i } \right )= \int_ { c } ^ { d } f \left (a_ { i } , y \right ) d y= \lim _ {\Delta y_ { j } \rightarrow 0 } \sum_ { j } f \left (a_ { i } , b_ { j } \right ) \Delta y_ { j } $이다. 또한, $ \quad \lim _ {\Delta x_ { i } \rightarrow 0 } \sum_ { i } A \left (a_ { i } \right ) \Delta x_ { i } = \int_ { a } ^ { b } A(x) d x $ 이므로 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left ( \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ) d x $ 이다.</p> <p>$ B $가 직사각형 모양이 아닐 때에는 $ B $를 직사각형들의 합집합으로 근사시켜 그들 위에서의 적분의 합을 구하고, 점점 작은 직사각형들로 $ B $를 근사시킬 때 얻게 되는 합으로 이루어진 수열의 극한으로 $ B $ 위에서의 이중적분을 정의한다.</p> <p>도입문제 $1 $ 풀이</p> <p>아래는 $ B= \{ (x, y): 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 2 \} $, 위로는 곡면 $ z=f(x, y)=10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $으로 덮인 기둥 $ A= \{ (x, y, z):(x, y) \in B, 0 \leq z \leq f(x, y) \} $의 부피는 이중적분 $ \iint_ { B } \left (10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d x d y $로서 이를 계산하기 위해 구간 $ 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 2 $를 각각 $ n $ 등분하고 $ P_ { i j } = \left ( \frac { 2 i-1 } { n } , \frac { 2 j-1 } { n } \right ),(i, j=1,2, \cdots, n) $ 로 두면 $ \\ $ $ \begin {aligned} \iint_ { B } \left (10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d x d y &= \lim _ {\Delta B_ { i j } \rightarrow 0 } \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (10- \frac { (2 i-1) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } - \frac { (2 j-1) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right ) \frac { 2 } { n } \frac { 2 } { n } = \frac { 88 } { 3 } \end {aligned} $</p> <p>여기서 \[ \begin {array} { l } a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { m-1 }<x_ { m } =b \\ c=y_ { 0 }<y_ { 1 }< \cdots<y_ { n-1 }<y_ { n } =d \\ B_ { i j } = \left \{ (x, y): x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } , y_ { j-1 } \leq y \leq y_ { j } \right \} \\ \Delta B_ { i j } = \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) \left (y_ { j } -y_ { j-1 } \right )= \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } . \quad P_ { i j } \text { 는 } \end {array} \] $ B_ { i j } $ 위의 임의의 한 점, $ \max \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } $ 는 $ \Delta x_ { i } $ 와 $ \Delta y_ { i } $ 중 가장 큰 것을 의미한다.</p> <p>이중적분의 의미: 만약 $ B $ 위에서 $ f(x, y)>0 $이면 이중적분 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y $는 아래는 $ B $, 윗면은 $ z=f(x, y) $의 그래프로 덮인 기둥의 부피로 볼 수 있다.</p> <p>따라서 이 기둥의 부피를 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y $로 정의한다.</p> <p>또한, $ f(x, y)=1 $ 이면 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \iint_ { B } 1 d x d y $ 를 $ B $의 면적이라고 한다.</p> <p>보기 $1 $</p> <p>$ f(x, y)=5, B= \{ (x, y): 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 2 \} $ 일 때 $ \iint_ { B } f(x, y) d x d y $ 를 구하여라.</p> <h1>10 이중적분</h1> <p>도입문제 $1 $ 다음 기둥 $ A $ 의 부피를 어떻게 구할까?</p> <p>기둥 $ A = \{ (x, y, z):(x, y) \in B, 0 \leq z \leq f(x, y) \} $로서 함수 $ z=f(x, y)=10-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } $의 그래프가 윗면이고, 아랫면은 $ B=[0,2] \times[0,2]= \{ (x, y): 0 \leq y \leq 2,0 \leq x \leq 2 \} $이다.</p> <p>일변수함수의 정적분은 다음 그림과 같은 영역의 면적으로 정의하였다. 이 면적은 구간 $ [a, b] $를 $ n $개의 구간으로 나누어 $ x_ { 0 } =a<x_ { 1 }<x_ { 2 }< \cdots<x_ { n } =b, \quad \Delta x_ { i } =x_ { i } -x_ { i-1 } $ $ = \frac { b-a } { n } $ 으로 두고 각 구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $ 에서 한 점 $ x_ { i } ^ { * } $ 를 선택하여 각 조각의 면적의 근삿값을 구한 다음 아래와 같이 극한으로 정의한다.</p> <p>$ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \frac { b-a } { n } $</p> <p>이중적분은 일변수함수의 정적분의 아이디어를 이변수함수로 확장하여 평면의 일부인 면 위에서 적분하는 것이다.</p> <p>정의 $1 $ 이중적분 double integral</p> <p>직사각형 모양의 영역 $ B=[a, b] \times[c, d]= \{ (x, y): a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} $ 위에서 $ f(x, y) $ 의 이중적분을 $ \iint_ { B } f(x, y) d A, \int_ { B } f, \iint_ { B } f(x, y) d x d y $ 등으로 나타내고 다음과 같이 정의한다.</p> <p>$ \iint_ { B } f(x, y) d x d y= \lim _ {\Delta B_ { i j } \rightarrow 0 } \sum_ { i, j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta B_ { i j } = \lim _ {\max \Delta x_ { i } , \Delta y_ { j } \rightarrow 0 } \sum_ { i } \sum_ { j } f \left (P_ { i j } \right ) \Delta x_ { i } \Delta y_ { j } $</p> <p>보기5</p> <p>$ \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { x } ^ {\pi } \frac {\sin y } { y } d y d x $의 적분영역을 그림으로 나타내고 이 적분을 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>$ y $ 에 대해 먼저 적분을 계산하기는 어려우므로 정리 2 의 (2)를 적용하면 이 적분은 \[ \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { y } \frac {\sin y } { y } d x d y= \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin y d y=2 \text { 와 같다. 따라서 } \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { x } ^ {\pi } \frac {\sin y } { y } d y d x=2 \text { 이다. } \]</p> <p>이중적분을 이용하면 다음의 정리를 보일 수 있다.</p> <p>정리 $3 $ 라이프니츠의 정리 Leibniz rule, 혹은 적분기호 속의 미분법 differentiation under the integral sign</p> <p>$ f:[a, b] \times[c, d] \rightarrow R $는 연속함수로서 편미분 $ f_ { x } $가 존재하고 연속함수이면 $ \frac { d } { d x } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y= \int_ { c } ^ { d } \frac {\partial f(x, y) } {\partial x } d y $</p> <p>증명</p> <p>$ F(x)= \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y $ 로 두자. 이 적분은 앞의 푸비니 정리의 증명에서 본 것처럼 $ x $를 상수로 취급하고 계산한다. $ G(x)= \int_ { c } ^ { d } \frac {\partial f(x, y) } {\partial x } d y $로 두면 $ F ^ {\prime } =G $임을 보이면 된다.</p> <p>이를 위해 $ \int_ { a } ^ { t_ { 0 } } G(x) d x=F \left (t_ { 0 } \right )-F(a) $ 임을 보이고자 한다. $ t_ { 0 } \in[a, b] $ 에 대해 \[ \begin {aligned} \int_ { a } ^ { t_ { 0 } } G(x) d x &= \int_ { a } ^ { t_ { 0 } } \int_ { c } ^ { d } \frac {\partial f } {\partial x } d y d x= \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { t_ { 0 } } \frac {\partial f } {\partial x } d x d y \\ &= \int_ { c } ^ { d } \left (f \left (t_ { 0 } , y \right )-f(a, y) \right ) d y \\ &=F \left (t_ { 0 } \right )-F(a) \end {aligned} \] 이다. 따라서 $ F ^ {\prime } =G $이다.</p>	자연
s374-미적분학	<p>$ \log \left (x ^ {\log x } \right )= \log x \Longleftrightarrow \log x \cdot \log x= \log x $</p> <p>\[ \Longleftrightarrow( \log x) ^ { 2 } - \log x=0 \] $ \log x=X $ 라 놓으면 $ X ^ { 2 } -X=0 $, 그러므로 $ X=0, X=1 $ 이다. $ X=0 $ 일 때, $ \log x=0 $, 그러므로 해는 $ x=1 $ $ X=1 $ 일 때, $ \log x=1 $, 그러므로 해는 $ x=10 $ $ \therefore x=1 $ 또는 $ x=10 $</p> <ul> <li>예 로그부등식 $ \log _ { 2 } (x-1)>\log _ { 2 } (3-x) $ 의 해집합을 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이 로그의 진수는 양수이다. 그러므로</li></ul> <p>\[ x-1>0,3-x>0 \Longleftrightarrow 1<x<3 \quad-- \text { (1) } \] $ \log _ { 2 } (x-1)>\log _ { 2 } (3-x) $ 에서 밑이 1 보다 크다. 그러므로 $ x-1>3-x \Longleftrightarrow x>2 \quad--(2) $ (1)과 $ (2) $ 를 만족하는 구간이 해이다 즉 $ 2<x<3 $</p> <ul> <li>예 로그부등식 $ \log _ {\frac { 1 } { 2 } } (2 x-5)< \log _ {\frac { 1 } { 2 } } (x-3) $ 의 해집합을 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>로그의 진수는 양수이다. 그러므로 $ x-3>0 $ 이고. $ 2 x-5>0 \Longleftrightarrow x>3 \quad-- $ (1) $ \log _ {\frac { 1 } { 2 } } (2 x-5)< \log _ {\frac { 1 } { 2 } } (x-3) $ 에서 밑이 1 보다 작다. 그러므로 $ 2 x-5>x-3 \Longleftrightarrow x>2 \quad---(2) $ (1)과 (2)의 공통부분이 해집합이다. 즉 $ x>3 $</p> <p>(2) $ \log _ {\frac { 1 } { 5 } } 125=x $</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) 로그의 정의에 의하여 $ x ^ { 2 } =16=4 ^ { 2 } $ 이고, $ x>0 $ 이다. 그러므로 $ x=4 $ 이다.</p> <p>(2) 로그의 정의에 의하여 $ \left ( \frac { 1 } { 5 } \right ) ^ { x } =125 \quad \therefore 5 ^ { -x } =5 ^ { 3 } $ 따라서 $ x=-3 $ 이다.</p> <ul> <li>로그의 성질</li></ul> <p>$ a>0, a \neq 1 $ 이고, $ x>0, y>0 $ 일 때</p> <p>1. $ \log _ { a } 1=0, \log _ { a } a=1 $</p> <p>2. $ \log _ { a } x y= \log _ { a } x + \log _ { a } y $</p> <p>3. $ \log _ { a } \frac { x } { y } = \log _ { a } x- \log _ { a } y $</p> <p>4. $ \log _ { a } x ^ { n } =n \log _ { a } x $ (단, $ n $ 은 입의의 실수)</p> <ul> <li>예 다음 $ \log $ 가 포함된 식을 간단히 하여보자.</li></ul> <p>(1) $ \log _ { 6 } 45 + 2 \log _ { 5 } \frac { 5 } { 3 } $</p> <p>(2) $ \log _ { 2 } 32- \log _ { 2 } 4 $</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) $ \log _ { 5 } 45 + 2 \log _ { 5 } \frac { 5 } { 3 } = \log _ { 5 } \left (5 \times 3 ^ { 2 } \right ) + 2 \left ( \log _ { 5 } 5- \log _ { 5 } 3 \right ) $ $ = \log _ { 8 } 5 + 2 \log _ { 8 } 3 + 2 \log _ { 8 } 5-2 \log _ { 8 } 3 $ $ =3 $</p> <h2>$ 3.2 $ 지수함수와 로그함수</h2> <p>$ a>0, a \neq 1 $ 일 때, 함수 $ y=a ^ { x } $ 를 밑이 $ a $ 인 지수함수(exponential function)라 한다.</p> <p>$ a>0 $ 이고 $ a \neq 1 $ 일 때, 지수함수 $ y=a ^ { x } $ 의 그래프는 $ a $ 값에 따라 다음과 같다.</p> <p>두 함수 $ y=a ^ { x } $ 와 $ y= \left ( \frac { 1 } { a } \right ) ^ { x } $ 의 그래프는 $ y $ 축에 대하여 대칭이다.</p> <p>지수함수 $ y=a ^ { x } (a>0, a \neq 1) $ 은 다음과 같은 성질을 가진다.</p> <ul> <li>(1) 정의역은 실수 전체의 집합이다. 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.</li> <li>(2) $ a>1 $ 일 때, $ x $ 의 값이 증가하면 $ y $ 의 값도 증가한다. $ 0<a<1 $ 일 때, $ x $ 의 값이 증가하면 $ y $ 의 값은 감소한다.</li> <li>(3)그래프는 점 $ (0,1) $ 을 지나고, $ x $ 축을 점근선으로 한다.</li></ul> <ul> <li>예 함수 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프를 그려보자.</li></ul> <p>실수 $ x $ 에 $ 2 ^ { x } $ 을 대웅시키면 그 값은 하나로 정해지므로 $ y=2 ^ { x } $ 은 실수 전체의 집합을 정의 역으로 하는 일대일함수이다.</p> <p>함수 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프는 그림과 같이 $ x $ 의 값이 커지면 $ y $ 의 값도 커지고, $ x $ 의 값이 작아지 면 $ y $ 의 값은 양수이면서 0 에 한없이 가까워진다.</p> <p>즉, $ x $ 축이 함수 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프의 점근선이다.</p> <ul> <li>예 지수함수 $ y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } $ 의 그래프를 그려보자.</li></ul> <p>$ y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } =2 ^ { -x } $ 이므로 지수함수 $ y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } $ 의 그래프는 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프를 $ y $ 축에 대하여 대칭이동한 것과 같다.</p> <p>(2) $ \log _ { 2 } 32- \log _ { 2 } 4= \log _ { 2 } \frac { 32 } { 4 } $ $ = \log _ { 2 } 8= \log _ { 2 } 2 ^ { 3 } =3 $</p> <p>$ \log _ { a } b $ 를 1 이 아닌 양수 $ c $ 를 밑으로 하는 로그로 바꾸는 방법을 알아보자.</p> <p>$ \log _ { a } b=x, \log _ { c } a=y $ 라고 하면 로그의 정의에 의하여 $ a ^ { x } =b, c ^ { y } =a $ 이므로 지수의 성질 에 의하여 \[ b=a ^ { x } = \left (c ^ { y } \right ) ^ { x } =c ^ { x y } \] 이고, 다시 로그의 정의에 의하여 $ x y= \log _ { c } b $, 즉 \[ \log _ { a } b \times \log _ { c } a= \log _ { c } b \quad \cdots \cdots \text { (ㄱ) } \] 그런데 $ a \neq 1 $ 일 때, $ \log _ { c } a \neq 0 $ 이므로 (ㄱ)의 양변을 $ \log _ { c } a $ 로 나누면 \[ \log _ { a } b= \frac {\log _ { c } b } {\log _ { c } a } \]</p> <ul> <li>로그의 밑 변환 공식</li></ul> <p>1) $ a, b, c $ 가 양수, $ a \neq 1, c \neq 1 $ 일 때 $ \log _ { a } b= \frac {\log _ { c } b } {\log _ { c } a } $</p> <p>2) 양수 $ a, b $ 에 대하여 $ \log _ { a } b= \frac { 1 } {\log _ { b } a } (a \neq 1, b \neq 1) $ 이다.</p> <ul> <li>예 다음 식을 밑-변환을 이용하여 간단히 하여보자.</li></ul> <p>(1) $ \log _ { 4 } 9 $</p> <p>따라서 $ 2 ^ { 4 x-2 }<2 ^ { 3 } $ 이다. 여기서 밑 2 는 1 보다 크다. 그러므로 $ 4 x-2<3 \Longleftrightarrow 4 x<5 $ \[ \therefore x< \frac { 5 } { 4 } \]</p> <ul> <li>예 지수부등식 $ 2 ^ { x } >3 $ 의 해집합을 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ 2 ^ { x } >3 $ 은 밑을 같게 할 수 없다. 그러므로, 양변의 상용로그를 취하자. \[ \begin {array} { l } \log 2 ^ { x } >\log 3 \Longleftrightarrow x \log 2>\log 3 \\ \therefore x>\frac {\log 3 } {\log 2 } \end {array} \]</p> <ul> <li>로그방정식(logarithmic equation)</li> <li>로그부등식(logarithmic inequality)</li></ul> <p>로그의 진수 또는 밑에 미지수를 포함하는 방정식을 로그방정식이라 한다.</p> <p>로그의 진수 또는 밑에 미지수를 포함한 부등식을 로그부등식이라 한다.</p> <ul> <li>예 로그방정식 $ \log _ { 2 } (x + 1)=3 $ 의 해를 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>로그의 진수는 양수이다. 그러므로 $ x>-1 $ \[ \begin {array} { l } \log _ { 2 } (x + 1)=3 \Longleftrightarrow x + 1=2 ^ { 3 } =8 \\ \therefore x=7 \end {array} \]</p> <ul> <li>예 로그방정식 $ \log _ { 5 } x + \log _ { 5 } (2 x-3)=1 $ 의 해를 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\[ \begin {array} { l } \log _ { 5 } x + \log _ { 5 } (2 x-3)=1 \Longleftrightarrow \log _ { 5 } x(2 x-3)=1 \\ \Longleftrightarrow x(2 x-3)=5 \Longleftrightarrow 2 x ^ { 2 } -3 x-5=0 \\ \Longleftrightarrow(2 x-5)(x + 1)=0 \\ \Longleftrightarrow x=-1, x= \frac { 5 } { 2 } \end {array} \] 그런데 $ x $ 는 진수이므로 $ x>0 $ 이다. 따라서 $ x= \frac { 5 } { 2 } $</p> <ul> <li>에 방정식 $ x ^ {\log x } =x $ 해를 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ x ^ {\log x } =x $ 의 양변의 로그를 취하자.</p> <p>$ f(x)= \log _ { 2 } (x + 3) $ 와 역함수 $ f ^ { -1 } (x)=g(x)=2 ^ { x } -3 $ 의 그래프를 그려보자. 지수함수와 로그함수 사이의 역함수 관계를 이용해 함수그래프를 그린다.</p> <ul> <li>지수 및 로그방정식(exponential function)</li> <li>지수 및 로그부등식(exponential inequality)</li></ul> <p>지수에 미지수를 포함하는 방정식을 지수방정식이라 한다.</p> <p>지수에 미지수를 포함하는 부등식을 지수부등식이라 한다.</p> <ul> <li>예 지수방정식 $ \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { x + 1 } =9 $ 의 해를 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ \left ( \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { x + 1 } =9 $ 에서 $ \left (3 ^ { -1 } \right ) ^ { x + 1 } =3 ^ { -x-1 } =3 ^ { 2 } $ 이다. 따라서 $ -x-1=2 \quad \therefore x=-3 $</p> <ul> <li>예 지수방정식 $ (25) ^ { x } -5 ^ { x } -6=0 $ 의 해를 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ (25) ^ { x } -5 ^ { x } -6= \left (5 ^ { 2 } \right ) ^ { x } -5 ^ { x } -6= \left (5 ^ { x } \right ) ^ { 2 } -5 ^ { x } -6 $ 이다. 여기서 $ 5 ^ { x } =X(X>0) $ 로 놓자. 그거면 $ X ^ { 2 } -X-6=0,(X-3)(X + 2)=0 $ $ X>0 $ 이므로 $ X=3 $ 이다. 즉 $ 5 ^ { x } =3 $ 이다. 여기서 로그로 변환하면 $ x= \log _ { 5 } 3 $ 이다.</p> <ul> <li>예 지수부등식 $ 4 ^ { 2 x-1 }<8 $ 의 해집합을 구해보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ 4 ^ { 2 x-1 }<8 $ 에서 $ \left (2 ^ { 2 } \right ) ^ { 2 x-1 }<2 ^ { 3 } $ 이다.</p> <p>(ii) $ a=0 $ 이면 0 의 $ n $ 제곱근은 0 하나뿐이고, 이것을 $ \sqrt[n] { 0 } =0 $ 으로 나타낸다.</p> <p>(iii) $ a<0 $ 이면 $ a $ 의 $ n $ 제곱근 중에서 실수인 것은 없다.</p> <ul> <li>로그(log)</li></ul> <p>일반적으로 $ a>0, a \neq 1 $ 일 때 입의의 양수 $ y $ 에 대하여 $ a ^ { x } =y $ 을 만족하는 실수 $ x $ 는 오직 하나 존재한다. 이와 같은 실수 $ x $ 를 $ x= \log _ { a } y $ 와 같이 쓴다. 이때 $ x $ 를 $ a $ 를 밑으로 하는 $ y $ 의 로그(logarithm)라고 부른다.</p> <ul> <li>로그 $ ( \log ) $ 의 정의</li></ul> <p>$ a>0, a \neq 1, y>0 $ 에 대하여 \[ a ^ { x } =y \Leftrightarrow x= \log _ { a } y \] $ a>0, a \neq 1 $ 일 때, $ a ^ { 0 } =1, a ^ { 1 } =a $ 이므로 로그의 정의에 의하여 다음이 성립한다. \[ \log _ { a } 1=0, \log _ { a } a=1 \]</p> <ul> <li>예 다음 로그값 $ x $ 를 구하여보자.</li></ul> <p>(1) $ x= \log _ { 2 } 32 $</p> <p>(2) $ x= \log _ { 3 } \frac { 1 } { 9 } $</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) $ \log _ { 2 } 32=5 \Leftrightarrow 2 ^ { 5 } =32 $ 이다. 그러므로 $ x=5 $</p> <p>(2) $ \log _ { 3 } \frac { 1 } { 9 } =-2 \Leftrightarrow 3 ^ { -2 } = \frac { 1 } { 9 } $ 이다. 그러므로 $ x=-2 $</p> <ul> <li>예 다음 로그 등식을 만족하는 밑수 $ x $ 를 구하시오.</li></ul> <p>(1) $ \log _ { x } 16=2 $</p> <h1>제 $3 $장 지수함수, 로그함수</h1> <h2>$ 3.1 $ 지수, 로그</h2> <ul> <li>지수, 제곱근 및 지수법칙</li></ul> <p>$ a $ 를 $ n $ 번 거듭 곱한 것을 $ a $ 의 $ n $ 제곱이라 하고 $ a ^ { n } $ 과 같이 나타낸다. $ a ^ { n } $ 에서 $ a $ 를 밑(base), $ n $ 을 지수(exponent)라 한다.</p> <p>$ n $ 제곱해서 실수 $ a $ 가 되는 수 $ x $ 를 $ a $ 의 $ n $ 제곱근이라 한다. 즉 방정식 $ x ^ { n } = a $ 의 근 $ x $ 를 $ a $ 의 $ n $ 제곱근이라 한다.</p> <ul> <li>예 1) 8 의 세제곱근을 구하시오.</li></ul> <ul> <li>풀이 $ x ^ { 3 } =8 $ 을 만족하는 근 $ x $ 를 구하자. \[ x ^ { 3 } -8=(x-2) \left (x ^ { 2 } + 2 x + 4 \right )=0 \] $ \therefore x=2, x=-1 + \sqrt { 3 } i, x=-1- \sqrt { 3 } i $ 이다. 실근은 $ x=2 $ 이며, $ 2= \sqrt[3] { 8 } $ 로 나타낸다.</li></ul> <ul> <li>2) 16 의 네제곱근을 구하시오.</li></ul> <ul> <li>풀이 $ x ^ { 4 } =16 $ 을 만족하는 $ x $ 를 구하면 \[ x ^ { 4 } -16=(x + 2)(x-2) \left (x ^ { 2 } + 4 \right )=0 \] $ \therefore x=-2,2,-2 i, 2 i $ 이다. 실근은 $ x=-2, x=2 $ 이다. 즉 $ 2= \sqrt[4] { 16 } ,-2=- \sqrt[4] { 16 } $ 이다.</li></ul> <ul> <li>정의 거듭제곱의 일반화</li></ul> <p>$ a $ 를 실수, $ m $ 을 정수, $ n $ 을 양의 정수라 할 때</p> <p>(1) $ a ^ { 0 } =1 \quad(a \neq 0) $</p> <p>(2) $ a ^ { -n } = \frac { 1 } { a ^ { n } } \quad(a \neq 0) $</p> <p>따라서 $ y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } $ 의 그래프는 그림과 같다.</p> <ul> <li>예 함수 $ y=2 ^ { x-1 } + 1 $ 의 그래프를 그려보자. $ y=2 ^ { x-1 } + 1 $ 는 지수함수 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프를 $ x $ 축의 방향으로 1 만큼, $ y $ 축의 방향으로 1 만 큼 평행이동한 것이다. 따라서 $ y=2 ^ { x-1 } + 1 $ 의 그래프는 그림과 같다.</li></ul> <p>$ y=2 ^ { x-1 } + 1 $ 는 지수함수 $ y=2 ^ { x } $ 의 그래프를 $ x $ 축의 방향으로 1 만큼, $ y $ 축의 방향으로 1 만 큼 평행이동한 것이다.</p> <p>따라서 $ y=2 ^ { x-1 } + 1 $ 의 그래프는 그림과 같다.</p> <ul> <li>예 지수함수 $ y=3 ^ { \|x\| } $ 의 그래프를 그려보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ y=3 ^ { \|x\| } $ 에 대하여 생각해보자.</p> <p>$ x \geq 0 $ 일 때, $ y=3 ^ { x } $</p> <p>$ x<0 $ 일 때, $ y=3 ^ { -x } $</p> <p>즉, 함수 $ y=3 ^ { \|x\| } $ 는 $ y $ 축에 대하여 대칭이다.</p> <ul> <li>예 함수 $ y= \frac { 1 } { 2 } \left (2 ^ { x } + 2 ^ { -x } \right ) $ 의 그래프를 그려보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ y_ { 1 } =2 ^ { x } $ 와 $ y_ { 2 } =2 ^ { -x } $ 라 놓자.</p> <p>그러면, $ y= \frac { 1 } { 2 } \left (2 ^ { x } + 2 ^ { -x } \right ) $ 는 $ y_ { 1 } $ 과 $ y_ { 2 } $ 의 중점(평균)이다.</p> <p>1) 최대 진폭이 $10000 $인 지진의 규모 $ M $ 을 구해보자.</p> <p>2) 규모가 $ 6.0 $ 인 지진의 최대 진폭 $ I $ 를 구해보자.</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>1) $ I=10000=10 ^ { 4 } $ 이므로 $ M= \log _ { 10 } 10 ^ { 4 } =4 $</p> <p>2) $ M= \log _ { 10 } I \Leftrightarrow I=10 ^ { M } $ 이므로 $ M=6.0 $ 일 때 $ I=10 ^ { 6 } $</p> <ul> <li>자연대수(네이피어상수) $ e $, 상용로그</li></ul> <p>무리수 $ e= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } =2.71828182846 \ldots $ 는 여러 명칭으로 사용된다. 오일러 수 (Euler's number) 또는 네이피어 상수(Napier's constant)로 부른다. 발견자는 야곱 베 르누이(Jacob Bernoulli)이다. $ e $ 의 명칭은 자연로그의 밑 (natural logarithm base number)을 가장 많이 사용한다. 밑이 자연로그 $ e $ 인 로그를 자연로그(natural logarithm)라 하며 $ \log _ {\varepsilon } x $ 를 간단히 $ \ln x $ 으 로 쓴다. 밑이 10 인 로그를 상용록ㄱ(common logarithm)라 하고 $ \log _ { 10 } x $ 를 간단히 $ \log x $ 로 나타낸다.</p> <ul> <li>양수 $ N=a \times 10 ^ { n } $ (단, $ 1 \leq a<10, n $ 은 정수)의 상용로그</li></ul> <p>$ \log N=n + \log a $ 에서 $ n $ 을 지표(characteristic), $ \log a $ 를 가수(mantissa)라 한다.</p> <ul> <li>예 $ \log _ { 10 } 2=0.3010 $ 일 때 $ 2 ^ { 100 } $ 의 상용로그를 구하고, 몇 자리 수인지를 구하여보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ \log _ { 10 } 2 ^ { 100 } =100 \log _ { 10 } 2=100 \times 0.3010=30.10 $ 지표는 30 , 가수는 $ 0.10 $ 이므로 31 자리의 수이다.</p> <ul> <li>예 $ \log 2=0.3010 $ 일 때, $ 2 ^ { n } $ 이 10자리의 정수라 할 때 정수 $ n $ 을 구하여보자.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>$ 2 ^ { n } $ 이 10 자리 정수이면 $ \log 2 ^ { n } $ 의 지표는 9 이다. $ \log 2 ^ { n } =9 . \times \times \times \times $ 이다. 그러므로 \[ \begin {array} { c } 9 \leq \log 2 ^ { n }<10 \quad \therefore 9 \leq n \log 2<10 \\ \frac { 9 } {\log 2 } \leq n< \frac { 10 } {\log 2 } \end {array} \] 그러므로 $ 29.9 \cdots \leq n<30.3 \cdots $ 따라서 $ n=30 $</p> <ul> <li>예 $ \log _ { 10 } 3=0.4771 $ 일 때 $ 3 ^ { -20 } $ 의 상용로그를 구하여보자. 그리고, 소수점 아래 몇 자리에서 처음으로 0 아닌 숫자가 나타나는가?</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\[ \begin {aligned} \log _ { 10 } 3 ^ { -20 } &=-20 \times \log _ { 10 } 3=-20 \times 0.4771=-9.5420 \\ &=-10 + 0.4580= \overline { 10 } .4580 \end {aligned} \] 지표는 $ -10 $, 가수는 $ 0.4580 $ 이다. 그러므로 소수점 아래 10 째 자리에서 처음으로 0 아닌 숫자가 나타난다.</p> <p>(3) $ a ^ {\frac { m } { n } } = \sqrt[n] { a ^ { m } } \quad( $ 단, $ n $ 이 짝수일 때는 $ a>0 $ )</p> <ul> <li>지수법칙</li></ul> <p>$ a>0, b>0 $ 이고, $ x, y $ 가 실수일 때</p> <p>1) $ a ^ { x } a ^ { y } =a ^ { x + y } $</p> <p>2) $ a ^ { x } \div a ^ { y } =a ^ { x-y } $</p> <p>3) $ \left (a ^ { x } \right ) ^ { y } =a ^ { x y } $</p> <p>4) $ (a b) ^ { x } =a ^ { x } b ^ { x } $</p> <ul> <li>예 $ 2 ^ { x } =3 $ 일 때 $ \left ( \frac { 1 } { 8 } \right ) ^ {\frac { x } { 2 } } $ 의 값을 구하여보자.</li></ul> <ul> <li>$ \begin {aligned} \text { 풀이 } \left ( \frac { 1 } { 8 } \right ) ^ {\frac { x } { 2 } } &= \left (2 ^ { -3 } \right ) ^ {\frac { x } { 2 } } =2 ^ { - \frac { 3 } { 2 } x } \\ &= \left (2 ^ { x } \right ) ^ { - \frac { 3 } { 2 } } =3 ^ { - \frac { 3 } { 2 } } = \frac { 1 } {\sqrt { 27 } } \end {aligned} $</li></ul> <p>일반적으로 복소수의 범위에서 실수 $ a $ 의 $ n $ 제곱근은 $ n $ 개가 있다. 여기서는 $ a $ 의 거듭게곱근 중에서 실수인 것만을 생각하기로 한다. 실수 $ a $ 의 $ n $ 제곱근 중에서 실수인 것은 함수 $ y=x ^ { n } $ 의 그래프와 직선 $ y=a $ 의 교점의 $ x $ 좌 표와 같다. 함수 $ y=x ^ { n } $ 의 그래프를 이용하여 $ a $ 의 $ n $ 게급근 중에서 실수인 것만을 생각해 보자.</p> <ul> <li>[1] $ n $ 이 홀수일 때 함수 $ y=x ^ { n } $ 의 그래프는 그림과 같이 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 실수 $ a $ 의 값에 관계없이 $ a $ 의 $ n $ 제곱근 중에서 실수인 것은 오직 하나 존재하며, 이 것을 기호 $ \sqrt[n] { a } $ 로 나타낸다. 이때, $ \sqrt[n] { a } $ 와 $ a $ 의 부호는 같다.</li> <li>[2] $ n $ 이 짝수일 때 함수 $ y=x ^ { n } $ 의 그래프는 그림과 같이 $ y $ 축에 대하여 대칭이다.</li></ul> <p>(i) $ a>0 $ 이면 $ a $ 의 $ n $ 제곱근 중에서 실수인 것은 양수와 음수 각각 한 개씩 있으며, 그 중 에서 양수인 것을 $ \sqrt[n] { a } $, 음수인 것을 $ - \sqrt[n] { a } $ 로 나타낸다.</p>	자연
s362-기하학개론	<h2>예 2.2</h2> <p>$ \triangle A B C $ 의 내부의 점 $ P $ 가 $ 3 \overrightarrow{A P}+2 \overrightarrow{B P}+\overrightarrow{C P}=0 $ 이고 $ \overrightarrow{A P} $ 의 연장선이 변 $ \overrightarrow{B C} $ 와 만나는 점을 $ D $ 라고 할 때, $ \overrightarrow{A D} $ 를 $ \overrightarrow{A B} $ 와 $ \overrightarrow{A C} $ 로 표현하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} & 3 \overrightarrow{A P}+2 \overrightarrow{B P}+\overrightarrow{C P}=0 \\ \Rightarrow & 3 \overrightarrow{A P}+(2 \overrightarrow{B A}+2 \overrightarrow{A P})+(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A P})=0 \end{aligned} $</p> <p>$ \Rightarrow 6 \overrightarrow{A P}+2 \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}=0 \Rightarrow 6 \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C} $</p> <p>$ \Rightarrow 2 \overrightarrow{A P}=\frac{\overrightarrow{A C}+2 \overrightarrow{A B}}{3} $</p> <p>이므로, $ 2 \overrightarrow{A P} $ 는 $ \overrightarrow{B C} $ 를 $ 1: 2 $ 로 나누는 벡터이다. 즉 $ 2 \overrightarrow{A P} $ 는 $ \overrightarrow{B C} $ 상에 있다. 따라서</p> <p>$ \overrightarrow{A D}=2 \overrightarrow{A P}=\frac{2 \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}}{3} $</p> <p>이다.</p> <h2>정리 2.3 라미(Lami)의 정리</h2> <p>다음에서 $ \overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}+\overrightarrow{P P_{3}}=0 $ 이면, $ \frac{\left\|P P_{1}\right\|}{\sin \theta_{1}}=\frac{\left\|P P_{2}\right\|}{\sin \theta_{2}}=\frac{\left\|P P_{3}\right\|}{\sin \theta_{3}} $ 이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ \overrightarrow{P P_{1}}+\overrightarrow{P P_{2}}+\overrightarrow{P P_{3}}=0 $ 이므로 $ \overrightarrow{P P_{1}}, \overrightarrow{P P_{2}}, \overrightarrow{P P_{3}} $ 는 다음과 같이 삼각형을 만든다.</p> <p>사인(sine) 법칙에 의하여 $ \frac{\left\|P P_{1}\right\|}{\sin \theta_{1}}=\frac{\left\|P P_{2}\right\|}{\sin \theta_{2}}=\frac{\left\|P P_{3}\right\|}{\sin \theta_{3}} $ 이다.</p> <h2>예 2.4</h2> <p>$ \triangle A B C $ 에서 $ \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} $ 의 중점을 $ P, Q $ 라고 두면 $ \overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{P Q} $ 이다.</p> <h3>풀이</h3> <p>다음 그림에서</p> <p>$ \begin{aligned} \overrightarrow{B A} &=\mathrm{u}, \overrightarrow{A C}=\mathrm{v}, \overrightarrow{B C}=\mathrm{w} \\ \Rightarrow \overrightarrow{P Q} &=\frac{1}{2} \mathrm{u}+\frac{1}{2} \mathrm{v}=\frac{1}{2}(\mathrm{u}+\mathrm{v})=\frac{1}{2} \mathrm{w} \\ \Rightarrow \overrightarrow{B C} &=2 \overrightarrow{P Q} \end{aligned} $</p> <p>기하학에서 벡터 사이의 연산에 중요하게 사용되는 내적을 소개한다.</p> <p>두 벡터 $ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right), \mathrm{w}=\left(w_{1}, w_{2}\right) $ 의 내적 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w} $ 를</p> <p>$ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2} $</p> <p>로 정의한다.</p> <h2>정리 2.5</h2> <p>벡터 $ \mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 와 실수 $ a $ 에 대해서 다음의 성질이 성립한다.</p> <p>(1) $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\mathrm{w} \cdot \mathrm{v} $</p> <p>(2) $ (\mathrm{u}+\mathrm{v}) \cdot \mathrm{w}=(\mathrm{u} \cdot \mathrm{w})+(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}) $</p> <p>(3) $ (a \mathrm{v}) \cdot \mathrm{w}=a(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}) $</p> <p>(4) $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{v}=\|\mathrm{v}\|^{2} $</p> <p>(5) $ \|a \mathrm{v}\|=\|a\|\|\mathrm{v}\| $</p> <h3>증명</h3> <p>(1) $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}=w_{1} v_{1}+w_{2} v_{2}=\mathrm{w} \cdot \mathrm{v} $</p> <p>(2) $ \begin{aligned}(\mathbf{u}+\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} &=\left(u_{1}+v_{1}\right) w_{1}+\left(u_{2}+v_{2}\right) w_{2} \\ &=\left(u_{1} w_{1}+u_{2} w_{2}\right)+\left(v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}\right)=(\mathbf{u} \cdot \mathbf{w})+(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \end{aligned} $</p> <p>(3) $ \begin{aligned}(a \mathbf{v}) \cdot \mathrm{w} &=\left(a v_{1}, a v_{2}\right) \cdot\left(w_{1}, w_{2}\right)=\left(a v_{1}\right) w_{1}+\left(a v_{2}\right) w_{2} \\ &=a\left(v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}\right)=a(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \end{aligned} $</p> <p>(4) $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{v}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}=\|\mathrm{v}\|^{2} $</p> <p>(5) $ \|a \mathrm{v}\|^{2}=(a \mathrm{v}) \cdot(a \mathrm{v})=a^{2}(\mathrm{v} \cdot \mathrm{v})=a^{2}\|\mathrm{v}\|^{2} \Rightarrow\|a \mathrm{v}\|=\|a\|\|\mathrm{v}\| $</p> <p>내적 $ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w} $ 의 정의는 계산은 간편하지만 벡터 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 에 관한 기하학적인 정보는 거의 없다. 벡터의 내적이 갖고 있는 기하학적인 의미를 살펴보면 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 가 만드는 각을 $ \theta $ 라고할 때, 다음 그림에서 보는 것과 같이 $ \mathrm{v}, \mathrm{w}, \mathrm{w}-\mathrm{v} $ 는 삼각형의 각 변을 나타낸다.</p> <p>이 삼각형에 대하여 코사인 법칙을 이용하면</p> <p>$ \|\mathrm{w}-\mathrm{v}\|^{2}=\|\mathrm{v}\|^{2}+\|\mathrm{w}\|^{2}-2\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \theta $</p> <p>이고,</p> <p>$ \begin{aligned}\|\mathrm{w}-\mathrm{v}\|^{2} &=(\mathrm{w}-\mathrm{v}) \cdot(\mathrm{w}-\mathrm{v}) \\ &=(\mathrm{w} \cdot \mathrm{w})-2(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w})+(\mathrm{v} \cdot \mathrm{v}) \\ &=\|\mathrm{v}\|^{2}+\|\mathrm{w}\|^{2}-2(\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}) \end{aligned} $</p> <p>이므로</p> <p>$ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \theta $</p> <p>이다.</p> <p>이 공식은 계산은 어렵지만 두 벡터의 사잇각과 같은 기하학적인 정보를 포함하고 있다. 예를 들어 두 벡터가 수직이면, 즉 $ \theta=\frac{\pi}{2} $ 이면</p> <p>$ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=\|\mathrm{v}\|\|\mathrm{w}\| \cos \frac{\pi}{2}=0 $</p> <p>이다. 따라서 영벡터가 아닌 두 벡터가 수직일 조건은 그들이 '내적이 0'이다. 한편 두 벡터가 평행, 즉 $ \theta=0 $, 또는 $ \pi $ 일 조건은 영벡터가 아닌 경우 한 벡터가 다른 벡터의 실수배로 나타나는 것이다.</p> <h2>주의</h2> <p>$A, B, C, D$가 조화점별일 때, 네 점의 순서에서 $C, D$ 쌍은 순서에 관계없이 하나는 내분점, 다른 하나는 외분점을 나타낸다. 그림 1.6을 보면</p> <p>조화점렬 $A, B, C, D$에서 $C$는 $ \overrightarrow{A B} $ 의 내분점, $ D $ 는 외분점</p> <p>조화점별 $C, D, A, B$에서 $A$는 $ \overrightarrow{C D} $ 의 외분점, $B$는 내분점</p> <p>이다.</p> <p>선분 $ \overline{A B} $ 를 내분하는 점 $C$는 선분 $ \overline{A C} $ 와 $ \overline{C B} $ 를 결정한다. 이때</p> <p>전체에 대한 긴 것의 비 $ = $ 긴 것에 대한 짧은 것의 비</p> <p>일 때, 즉</p> <p>$ \|A B\|:\|A C\|=\|A C\|:\|C B\|,(\|A C\|>\|C B\|) $</p> <p>일 때, $ C $ 를 $ \overline{A B} $ 의 황금분할점, 비 $ \|A C\|:\|C B\| $ 또는 $ \varphi=\frac{\|A B\|}{\|A C\|}=\frac{\|A C\|}{\|C B\|} $ 를 황금비 (golden ratio)라고 한다. 황금비를 계산하기 위해서 $ \|A C\|=1 $ 로 두면,</p> <p>$ \varphi: 1=1: \varphi-1 \Rightarrow \varphi^{2}-\varphi-1=0 $</p> <p>$ \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right. $ 는 음의 값이므로 버린다 $ ) $</p> <p>이다. 황금비는 미술, 건축 등에서 황금비의 분할 방식이 많이 쓰이고 정오각형의 작도에서도 나타난다.</p> <h2>예 1.3</h2> <p>$ A(1), B(4), C(2) $ 에 대해서</p> <p>(1) 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 를 $ 2: 1 $ 로 내분하는 점과 외분하는 점을 구하라.</p> <p>(2) $A, B, C, D$가 조화점렬이 되는 점 $D$를 구하고 $C, D, A, B$ 도 조화점렬임을 증명하라.</p> <p>(3) 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 의 황금분할점을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 내분점을 $ P(x) $, 외분점을 $ Q(y) $ 라고 두면,</p> <p>$ x=\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}=\frac{8+1}{2+1}=3 $</p> <p>이고 $ 2: 1 $ 로 외분하는 점은 $ 2:-1 $ 로 나누는 점이므로,</p> <p>$ y=\frac{m x_{2}-n x_{1}}{m-n}=\frac{8-1}{2-1}=7 $</p> <p>이다.</p> <p>(2) $D$의 좌표를 $ x $ 라고 두면</p> <p>$ \frac{1}{A C}+\frac{1}{A D}=\frac{2}{A B} \Rightarrow \frac{1}{2-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{2}{4-1} $</p> <p>이고, 이를 계산하면 $ x=-2 $ 이다. 이 경우 $ C, D $ 는 $ \overrightarrow{A B} $ 를 $ 1: 2 $ 로 내분, 외분한다.</p> <p>$ C, D, A, B $ 에 대해서</p> <p>$ \frac{1}{C A}+\frac{1}{C B}=\frac{1}{1-2}+\frac{1}{4-2}=-\frac{1}{2}=\frac{2}{-2-2}=\frac{2}{C D} $</p> <p>이므로 조화점렬이다. 이 경우 $ A, B $ 는 $ \overrightarrow{C D} $ 를 $ 1: 3 $ 으로 내분, 외분한다.(3) 황금분할점을 $ P(x) $ 라고 두면,</p> <p>$ 1+\sqrt{5}: 2=A B: A P=3: x-1 $</p> <p>이고, 이를 계산하면 $ x=\frac{-1+3 \sqrt{5}}{2} $ 이다.</p> <p>직선 위의 네 점 $ A, B, C, D $ 에 대해서</p> <p>$ (A B, C D)=\frac{A C / C B}{A D / D B}=\frac{A C \cdot D B}{A D \cdot C B} $</p> <p>를 $ A, B, C, D $ 의 복비(cross-ratio)라고 한다. 즉 복비는</p> <p>$ [C $ 가 $ \overrightarrow{A B} $ 를 나누는 비]와 $ [D $ 가 $ \overrightarrow{A B} $ 를 나누는 비]의 비</p> <p>이다. 복비가 $ -1 $ 이면</p> <p>$ \frac{A C}{C B}=-\frac{A D}{D B} $</p> <p>이므로, $ A, B, C, D $ 가 조화점렬일 조건은 $ (A B, C D)=-1 $ 이다.</p> <h1>1.3 그래프와 좌표변환</h1> <p>해석기하학은 기하학적 도형을 주어진 방정식을 만족하는 좌표의 집합으로 표현하여 여러 가지 성질을 조사한다. 이것을 방정식의 그래프라고 하는데, $ x, y $ 의 함수 $ F(x, y) $에 대해서 방정식 $ F(x, y)=0 $ 의 그래프는 집합</p> <p>$ \{(x, y) \mid F(x, y)=0\} $</p> <p>이다. 즉 방정식을 만족하는 점 $ (x, y) $ 들의 집합을 의미한다. 평면도형은 평면의 부분집합을 의미하므로 방정식의 그래프도 도형의 일종이다. 예를 들어</p> <p>$ F(x, y)=x-y+1 $</p> <p>일 때, $ F(x, y)=0 $ 의 그래프는 방정식 $ y=x+1 $ 의 그래프이고, 이는 직선을 나타낸다는 것을 잘 알고 있을 것이다. 앞으로 우리가 다루게 될 도형은 이와 같이 방정식의 그래프로 나타날 것이며, 이들 방정식은 경우에 따라 복잡하게 나타날 수도 있는데, 우리는 좌표축을 적절히 이동하여 방정식을 간단한 모양으로 바꿀 수가 있다. 이러한 과정을 좌표 변환이라고 한다. 이제부터 좌표변환에 대해 알아보자.</p> <p>원점이 $ P $, 좌표축이 $ X, Y $ 축인 좌표계를 $ P X Y $ 좌표계라고 한다.</p> <p>평면의 한 점 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에 대해서 원점 $ O $ 를 $ P_{0} $ 으로 이동한 $ P_{0} X Y $ 좌표계에서 $ x $ 축과 $ X $ 축, 그리고 $ y $ 축과 $ Y $ 축은 각각 평행이다. 평면상의 한 점 $ P $ 의</p> <p>$ O x y $ 좌표계에서 좌표를 $ (x, y) $,</p> <p>$ P_{0} X Y $ 좌표계에서 좌표를 $ (X, Y) $</p> <p>라고 하면, 이들 좌표 사이의 관계식은</p> <p>$ \left\{\begin{array}{l}X=x-x_{0} \\ Y=y-y_{0}\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=X+x_{0} \\ y=Y+y_{0}\end{array}\right.\right. $</p> <p>이다. 이와 같은 좌표축의 이동을 평행이동(translation)이라고 한다.</p> <h2>예 3.1</h2> <p>좌표축의 원점을 $ P_{0}(1,-2) $ 로 이동할 때, $ P_{0} X Y $ 좌표계에서 다음 방정식을 표현하라.</p> <p>(1) $ 3 x-y+2=0 $</p> <p>(2) $ y=-2 $</p> <p>(3) $ x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>$ x=X+1, y=Y-2 $ 를 $ x, y $ 에 대입한다.</p> <p>(1)\[\begin{aligned}& 3 x-y+2=0 \\ \Rightarrow & 3(X+1)-(Y-2)+2=0 \\\Rightarrow & 3 X-Y+7=0\end{aligned}\]</p> <p>(2) $ y=-2 \Rightarrow Y-2=-2 \Rightarrow Y=0 $</p> <p>(3)\[\begin{aligned}& x^{2}+y^{2}-2 x+4 y-4=0 \\ \Rightarrow &(x-1)^{2}+(y+2)^{2}=9 \Rightarrow X^{2}+Y^{2}=9\end{aligned}\]</p> <p>이다.</p> <p>$ O x y $ 좌표계의 두 좌표축을 양의 방향으로 $ \theta $ 회전시킨 좌표계를 $ O X Y $ 좌표계라고 하자. 평면상의 한 점 $ P $ 의</p> <p>$ O x y $ 좌표계에서 좌표를 $ (x, y) $,</p> <p>$ O X Y $ 좌표계에서 좌표를 $ (X, Y) $</p> <p>라고 할 때, 이들 좌표 사이의 관계식을 알아보자.</p> <p>위의 그림에서</p> <p>$ x=a \cos \theta_{0}, y=a \sin \theta_{0} $</p> <p>$ X=a \cos \left(\theta_{0}-\theta\right), \quad Y=a \sin \left(\theta_{0}-\theta\right) $</p> <p>가 성립함을 알 수 있다. 삼각함수의 덧셈법칙을 이용하면</p> <p>$ X=a \cos \theta_{0} \cos \theta+a \sin \theta_{0} \sin \theta=x \cos \theta+y \sin \theta $</p> <p>$ Y=a \sin \theta_{0} \cos \theta-a \cos \theta_{0} \sin \theta=-x \sin \theta+y \cos \theta $</p> <p>이다. 이를 행렬을 이용해서 표현하면</p> <p>$ \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}X \\ Y\end{array}\right) $</p> <p>이다. 역행렬 $ (\theta $ 대신 $ -\theta $ 를 대입하면 된다)을 양변에 곱해주면</p> <p>$ \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}X \\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) $</p> <p>이므로</p> <p>$ x=X \cos \theta-Y \sin \theta $</p> <p>$ y=X \sin \theta+Y \cos \theta $</p> <p>얻는다.</p> <h1>정리 1.1</h1> <p>수직선 $ l $ 위의 두 점 $ P_{1}\left(x_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}\right) $ 에 대해서 $ l $ 위의 점 $ P(x) $ 가 선분 $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ 를 $ m: n $으로 나누면 $ x $ 는 다음과 같다.</p> <p>$ x=\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n} $</p> <h2>증명</h2> <p>$ \begin{aligned} & m: n=P_{1} P: P P_{2}=x-x_{1}: x_{2}-x \\ \Rightarrow & m\left(x_{2}-x\right)=n\left(x-x_{1}\right) \\ \Rightarrow &(m+n) x=m x_{2}+n x_{1} \end{aligned} $</p> <p>이다. $ m+n \neq 0 $ 이므로</p> <p>$ x=\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n} $</p> <p>이다.</p> <p>선분 $ \overrightarrow{A B} $ 의 내분점과는 달리 외분점은 외부의 점이 $ B $ 쪽에 있는 경우와 $ A $ 쪽에 있는 경우의 두 가지가 있다. 외분점의 경우 $ \overrightarrow{A B} $ 가 양의 방향일 때, $ m, n $ 의 부호에 따라 $ \overrightarrow{A B} $의 $ B $ 쪽 혹은 $ A $ 쪽에 있는지 결정되는데, 부호는 $ m, n $ 중에서 절댓값이 작은 쪽이 음수이다.</p> <p>$ m, n>0(m \neq n) $ 일 때,</p> <p>"선분 $ \overrightarrow{A B} $ 를 $ m: n $ 으로 외분하는 점"은</p> <p>" -$ m: n(m<n $ 일 때) 혹은 $ m:-n(m>n $ 일 때)으로 나누는 점"</p> <p>으로 정의한다.</p> <h1>정의 1.2</h1> <p>$ m, n>0 $ 일 때, 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 에 대해서 점 $ C, D $ 가 선분을 $ m: n $ 으로 나누는 내분점, 외분점이면, $ C, D $ 는 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 를 '조화있게 나눈다'라고 하고, 점열 $ A, B, C, D $ 를 조화점렬, $ C, D $ 를 서로 조화공액점이라고 한다.</p> <p>$ A(a), B(b), C(c), D(d) $ 가 조화점렬이면</p> <p>$ \frac{C B}{A C}=-\frac{D B}{A D} \Rightarrow \frac{b-c}{c-a}=-\frac{b-d}{d-a} $</p> <p>이다. 이를 정리하면</p> <p>$ \Rightarrow \frac{b-c}{c-a}+\frac{b-d}{d-a}=0 \Rightarrow \frac{b-c}{c-a}+1+\frac{b-d}{d-a}+1=2 $</p> <p>$ \Rightarrow \frac{b-c}{c-a}+\frac{c-a}{c-a}+\frac{b-d}{d-a}+\frac{d-a}{d-a}=2 $</p> <p>$ \Rightarrow \frac{b-a}{c-a}+\frac{b-a}{d-a}=2 \Rightarrow \frac{1}{c-a}+\frac{1}{d-a}=\frac{2}{b-a} $$ \therefore \frac{1}{A C}+\frac{1}{A D}=\frac{2}{A B} $</p> <p>이것이 $ A, B, C, D $ 가 조화점렬이기 위한 조건이다. 한편 (*) 에서 $ A, B $ 와 $ C, D $ 를 서로 교환한 식</p> <p>$ \frac{1}{C A}+\frac{1}{C B}=\frac{2}{C D} $</p> <p>도 성립하므로 $ A, B $ 도 선분 $ \overrightarrow{C D} $ 를 조화있게 나눈다. 즉 $ A, B, C, D $ 가 조화점렬이면, $ C, D, A, B $ 도 조화점렬이다. 증명은 연습문제로 돌린다.</p> <h2>예 3.2</h2> <p>좌표축을 $ \frac{\pi}{4} $ 회전이동한 $ O X Y $ 좌표계에서 방정식 $ x y=1 $ 의 변환식을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>위의 식으로부터</p> <p>$ x=X \cos \frac{\pi}{4}-Y \sin \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X-Y) $</p> <p>$ y=X \sin \frac{\pi}{4}+Y \cos \frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}(X+Y) $</p> <p>를 얻는다. 이를 $ x y=1 $ 에 대입하면</p> <p>$ \frac{1}{2}\left(X^{2}-Y^{2}\right)=1 \Rightarrow X^{2}-Y^{2}=2 $</p> <p>이다.</p> <p>방정식의 그래프가 원점에 대칭인 경우, 점 $ (x, y) $ 가 그래프상의 점이면 $ (-x,-y) $ 도 그래프상의 점이므로 방정식에 $ (-x,-y) $ 를 대입해도 성립한다. 그리고 좌표축, 즉 $ x $ 축 또는 $ y $ 축이 대칭축이 된다면 방정식에 $ (x,-y) $ 또는 $ (-x, y) $ 를 대입해도 성립한다. 따라서 점대칭 또는 선대칭인 그래프를 평행이동과 회전이동을 이용하여 원점 또는 좌표축에 대칭이 되도록 하면 새 좌표계에서는 방정식이 보다 간단하게 표현된다.</p> <p>다음 그림에서 원의 그래프는 원점이 대칭점이 아니지만 좌표축을 평행이동하여 새로운 원점 $ P_{0} $ 가 대칭점이 되었다. 방정식은</p> <p>$ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1 \rightarrow X^{2}+Y^{2}=1 $</p> <p>로 변환되었다.</p> <p>다음 그래프에서 $ x y=1 $ 의 그래프는 좌표축이 대칭축이 아니지만 좌표축을 $ \frac{\pi}{4} $ 회전하여 새 좌표축은 대칭축이 되었다. 방정식은</p> <p>$ x y=1 \rightarrow X^{2}-Y^{2}=2 $</p> <p>로 변환되었다.</p> <p>지금까지 살펴본 것은 좌표변환이었다. 좌표변환은 도형은 그대로이면서 도형을 표현하는 방법이 변하는 것이다. 이제부터 도형의 이동에 대해서 알아보자.</p> <h2>(1) 도형 $ F(x, y)=0 $ 을 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 평행이동한 도형의 방정식</h2> <p>$ (x, y) $ 를 $ P_{0} $ 평행이동하면 $ \left(x+x_{0}, y+y_{0}\right) $ 이므로, 구하는 도형은</p> <p>$ \left\{\left(x+x_{0}, y+y_{0}\right) \mid F(x, y)=0\right\} $$ =\left\{\left(x-x_{0}+x_{0}, y-y_{0}+y_{0}\right) \mid F\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)=0\right\} $$ =\left\{(x, y) \mid F\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)=0\right\} $</p> <p>이다. 따라서 $ F(x, y)=0 $ 을 $ P_{0} $ 평행이동한 도형의 방정식은</p> <p>$ F\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)=0 $</p> <p>이다.</p> <p>예를 들어 $ y=f(x) $ 는 $ F(x, y)=f(x)-y $ 로 두면, $ F(x, y)=0 $ 와 같은 방정식이다. 따라서 $ y-y_{0}=f\left(x-x_{0}\right) $ 는 $ F\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)=0 $ 와 같은 방정식이다. 그러므로 $ y= $ $ f(x) $ 의 그래프를 $ P_{0} $ 평행이동한 방정식은 $ y-y_{0}=f\left(x-x_{0}\right) $ 이다.</p> <h2>예 3.3</h2> <p>$ x^{2}+y^{2}=1 $ 을 $ (2,1) $ 평행이동한 도형의 방정식은</p> <p>$ (x-2)^{2}+(y-1)^{2}=1 $</p> <p>이다.</p> <h2>예 2.8 피타고라스 정리</h2> <p>$ \angle B $ 를 직각으로 하는 직각삼각형 $ \triangle A B C $ 에서</p> <p>$ \|\mathrm{w}\|^{2}=\|\mathrm{u}\|^{2}+\|\mathrm{v}\|^{2} $</p> <p>이다.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \mathrm{w}=\mathrm{u}+\mathrm{v} $ 이므로,</p> <p>$ \begin{aligned}\|w\|^{2} &=\|u+v\|^{2}=(u+v) \cdot(u+v) \\ &=(u \cdot u)+(v \cdot v)+2(u \cdot v)=\|u\|^{2}+\|v\|^{2} \end{aligned} $</p> <h2>예 2.9 파포스 정리</h2> <p>$ \triangle A B C $ 에서 변 $ \overline{B C} $ 의 중점을 $ M $ 이라고 하면, 다음 등식이 성립한다.</p> <p>$ \|A B\|^{2}+\|A C\|^{2}=2\left(\|A M\|^{2}+\|B M\|^{2}\right) $</p> <h3>풀이</h3> <p>다음 그림에서</p> <p>$ \overrightarrow{A B}=\mathrm{u}, \overrightarrow{A C}=\mathrm{v}, \overrightarrow{A M}=\mathrm{w}, \overrightarrow{M B}=\mathrm{m} $</p> <p>이라고 두면</p> <p>$ \mathrm{u}=\mathrm{w}+\mathrm{m}, \mathrm{v}=\mathrm{w} $ $ \begin{aligned} \Rightarrow\|A B\|^{2}+\|A C\|^{2} &=(\mathrm{m} \cdot \mathrm{u})+(\mathrm{v} \cdot \mathrm{v}) \\ &=[(\mathrm{w}+\mathrm{m}) \cdot(\mathrm{w}+\mathrm{m})]+[(\mathrm{w}-\mathrm{m}) \cdot(\mathrm{w}-\mathrm{m})] \\ &=2(\mathrm{w} \cdot \mathrm{w})+2(\mathrm{~m} \cdot \mathrm{m})=2\left(\|\mathrm{w}\|^{2}+\|\mathrm{m}\|^{2}\right) \\ &=2\left(\|A M\|^{2}+\|B M\|^{2}\right) \end{aligned} $</p> <p>기하학은 벡터를 기본적인 도구로 다룬다. 벡터를 다루는 방법이 많이 있지만 그중에서 행렬과 행렬식은 가장 효과적이고 많이 사용되는 기하학의 도구이다. 행렬과 행렬식에 대해서 앞으로 사용할 관련 개념과 성질을 소개하려고 한다. 구체적인 증명은 선형대수학에서 다룰 내용이므로 여기서는 다루지 않고 필요한 계산 방법만 다룬다.</p> <p>실수 $ a_{i j} $ 를 $ A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) $ 처럼 나열한 것을 $ 2 \times 2 $ 행렬, 또는 그냥 행렬이라고 한다. 이 행렬에 대해서</p> <p>$ A_{1}=\left(a_{11}, a_{12}\right), A_{2}=\left(a_{21}, a_{22}\right) $</p> <p>를 $ A $ 의 1 행, 2 행이라 하고</p> <p>$ A^{1}=\left(\begin{array}{l}a_{11} \\ a_{21}\end{array}\right), A^{2}=\left(\begin{array}{l}a_{12} \\ a_{22}\end{array}\right) $</p> <p>를 $ A $ 의 1 열, 2 열이라 한다. 그리고</p> <p>$ \|A\|=\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|=a_{11} a_{22}-a_{12} a_{21} $</p> <p>을 $ A $ 의 행렬식(determinant)이라고 한다. $ 3 \times 3 $ 행렬</p> <p>$ A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right) $</p> <p>의 경우도 같은 방법으로 행 $ A_{1}, A_{2}, A_{3} $ 과 열 $ A^{1}, A^{2}, A^{3} $ 을 정의하고 행렬식은 다음 과 같이 정의된다.</p> <p>$ \left\|\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|=a_{11}\left\|\begin{array}{ll}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}\end{array}\right\|-a_{12}\left\|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}\end{array}\right\|+a_{13}\left\|\begin{array}{ll}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{array}\right\| $</p> <p>이것은 1 행 $ A_{1} $ 을 이용한 것이지만 다른 행이나 열을 이용해서 계산할 수도 있다. 4차 이상의 행렬식도 같은 방법으로 정의할 수 있다.</p> <p>두 행렬의 곱은 예를 들면 $ 2 \times 2 $ 행렬 $ A, B $ 의 곱은</p> <p>$ \begin{aligned} A B &=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}A_{1} \cdot B^{1} & A_{1} \cdot B^{2} \\ A_{2} \cdot B^{1} & A_{2} \cdot B^{2}\end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll}a_{11} b_{11}+a_{12} b_{21} & a_{11} b_{12}+a_{12} b_{22} \\ a_{21} b_{11}+a_{22} b_{21} & a_{21} b_{12}+a_{22} b_{22}\end{array}\right) \end{aligned} $</p> <p>로 정의한다. 큰 행렬의 곱도 같은 방법으로 정의한다.</p> <h1>1.1 좌표계</h1> <p>해석기하학(Analytic Geometry)은 좌표를 도입하여 기하학적인 도형을 대수적인 방정식으로 표현하여 기하학의 문제를 대수적 계산을 동해서 해결하려는 것으로서 데카르트 (Descartes, 1596-1650)에 의해 소개되었다. 따라서 해석기하학을 다루기 위해서 먼저 좌표계에 대한 이해가 필요하다.</p> <p>직선 $ l $ 위의 두 점 $ O $ 와 $ E $ 를 잡고 이를 각각 원점(origin), 단위점(unit point)이라고 하자. 이때 $ O $ 에서 $ E $ 방향을 양의 방향, 그 반대 방향을 음의 방향, 그리고 이와 같이 방향이 주어진 직선을 유향직선(directed line)이라고 한다.</p> <p>$ O $ 에서 $ E $ 까지 거리를 단위거리(unit distance)라고 하는데, 이 거리를 1 로 하고, 원점 $ O $ 에 실수 0 을, 양의 실수 $ x $ 에 대해서 직선 $ l $ 위에 양의 방향으로 거리가 $ x $ 인 점 $ P $ 를 대응시킨다. 이때 $ x $ 를 점 $ P $ 의 좌표(coordinate)라고 하고 $ P(x) $ 는 점 $ P $ 의 좌표가 $ x $ 임을 나타내는 기호로 사용한다. 음의 실수에 대해서도 같은 방법으로 음의 방향에 대응시키면 우리는 실수들의 집합과 유향직선 $ l $ 위의 점 사이에 일대일의 대응관계를 얻는다. 이렇게 얻은 유향직선을 수직선(real line)이라고 한다. 이렇게 하면 수직선 $ l $ 위의 원점 $ O $ 의 좌표는 0 , 단위점 $ E $ 의 좌표는 1 이다.</p> <p>수직선 $ l $ 위의 두 점 $ P(a), Q(b) $ 에 대해서 점 $ P, Q $ 와 그 사이에 있는 점들의 집합을 $ \overline{P Q} $ 로 적고 선분(segment) $ P, Q $ 라고 한다. 이때 선분 $ \overline{P Q} $ 의 길이 $ \|P Q\| $ 는 $ \|P Q\|=\|b-a\| $이다.</p> <p>직선의 경우와 같이 선분이나 거리에 대해서도 방향을 줄 수 있다. 선분 $ \overline{P Q} $ 에 $ P $ 에서 $ Q $ 로 방향을 준 유향선분(directed segment)을 $ \overrightarrow{P Q} $ 로 적고, $ P $ 에서 $ Q $ 까지 유향거리 (directed distance) $ P Q $ 는 $ P Q=b-a $로 정의한다. 따라서 원점 $ O $ 에서 점 $ P(x) $ 까지 유향거리 $ O P $ 는 $ x $ 이다.</p> <p>수직선 $ l $ 위의 서로 다른 두 점 $ P_{1}, P_{2} $ 에 대해서 $ l $ 위의 한 점 $ P $ 는 유향선분 $ \overrightarrow{P_{1} P} $, $ \overrightarrow{P P_{2}} $ 를 결정한다. 이들의 유향거리의 비가 $ m: n $ 일 때, 즉 $ P_{1} P: P P_{2}=m: n $을 만족할 때, 점 $ P $ 가 유향선분 $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ 를 $ m: n $ 으로 나눈다라고 한다. 이때 $ P $ 의 위치가 선분의 내부에 있으면 '내분한다'라고 하고, 점 $ P $ 를 내분점이라고 한다. 그리고 $ P $ 의 위치가 선분의 외부에 있으면 '외분한다'라고 하고, 점 $ P $ 를 외분점이라고 한다. $ P $ 의 위치는 $ m, n $ 의 부호에 따라 선분의 내부에 있을지 아니면 외부에 있을지 결정 되는데, 다음 그림에서 쉽게 알 수 있다.</p> <p>즉, $ m, n>0 $ 이면 $ P $ 는 선분 내부에 있고, $ m, n $ 의 부호가 다르면 외부에 있다.</p> <h2>주의</h2> <p>(1) $ m=0 $ 이면 $ P=P_{1} $ 이고, $ n=0 $ 이면 $ P=P_{2} $ 이다.</p> <p>(2) $ m=n=0 $ 이면, $ P_{1}=P=P_{2} $ 이다. 그러나 $ P_{1} \neq P_{2} $ 이므로, 둘 중의 하나는 0 이 아니다.</p> <p>(3) $ m+n=0 $ 이면 $ m=-n $ 이다. 그러면 $ P P_{1}=P P_{2} $ 이므로 $ P $ 에서 $ P_{1}, P_{2} $ 까지 유향거리가 같다. 이것은 $ P_{1}=P_{2} $ 를 의미하므로 $ m+n \neq 0 $ 이다.</p> <h2>예 1.9</h2> <p>(1) 세 점 $ P_{1}(2,1), P_{2}(4,3), P_{3}(-1,-2) $ 는 같은 직선 위에 있다. 왜나하면 $ \overrightarrow{P_{1} P_{3}}, \overrightarrow{P_{3} P_{2}} $ 의</p> <p>$ x $ 성분의 비는 $ x_{3}-x_{1}: x_{2}-x_{3}=-3: 5 $</p> <p>$ y $ 성분의 비는 $ y_{3}-y_{1}: y_{2}-y_{3}=-3: 5 $</p> <p>이므로 $ P_{3} $ 는 $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ 를 $ 3: 5 $ 로 외분하는 점이다. 그러므로 $ P_{1}, P_{2}, P_{3} $ 은 같은 직선 위에 있다.</p> <p>(2) 세 점 $ P_{1}(0,2), P_{2}(-2,4), P_{3}(1,3) $ 가 만드는 $ \Delta P_{1} P_{2} P_{3} $ 는 직각삼각형이다. 왜냐 하면</p> <p>$ \begin{aligned} &\left\|P_{1} P_{2}\right\|^{2}=8,\left\|P_{1} P_{3}\right\|^{2}=2,\left\|P_{2} P_{3}\right\|^{2}=10 \\ \Rightarrow &\left\|P_{1} P_{2}\right\|^{2}+\left\|P_{1} P_{3}\right\|^{2}=\left\|P_{2} P_{3}\right\|^{2} \end{aligned} $</p> <p>이므로 $ \Delta P_{1} P_{2} P_{3} $ 은 직각삼각형이다.</p> <h2>정리 1.10 파포스(Pappus) 정리</h2> <p>$ \triangle A B C $ 에서 변 $ \overline{B C} $ 의 중점을 $ D $ 라고 하면, 다음 등식이 성립한다.</p> <p>$ \|A B\|^{2}+\|A C\|^{2}=2\left(\|A D\|^{2}+\|B D\|^{2}\right) $</p> <h3>증명</h3> <p>$ D $ 를 원점으로 다음 그림처럼 $ \triangle A B C $ 를 평면에 위치시킨다.</p> <p>$ \begin{aligned}\|A B\|^{2}+\|A C\|^{2} &=\left[(a+c)^{2}+b^{2}\right]+\left[(a-c)^{2}+b^{2}\right] \\ &=2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}=2\left[\left(a^{2}+b^{2}\right)+c^{2}\right] \\ &=2\left(\|A D\|^{2}+\|B D\|^{2}\right) \end{aligned} $</p> <p>평면의 원점 $ O $ 에서 출발하는 반직선을 극축(polar axis)으로 잡는다. 원점이 아닌 점 $ P $ 에 대해서 $ O $ 에서 $ P $ 까지 거리가 $ r $, 극축의 방향과 $ \overrightarrow{O P} $ 가 만드는 각이 $ \theta $ 일 때, $ (r, \theta) $를 점 $ P $ 의 극좌표(polar coordinate)라고 한다.</p> <p>극좌표의 정의에서 $ (r, \theta)=(r, \theta \pm 2 \pi) $ 이다. 그리고 극좌표 $ (0, \theta) $ 는 $ \theta $ 와 관계없이 원점을 의미한다.</p> <p>극좌표 $ (r, \theta) $ 에서 길이 $ r $ 은 양의 값이지만, 음의 경우에 대해서도 다음 등식으로 정의한다.</p> <p>$ (-r, \theta)=(r, \theta+\pi) $</p> <p>즉 $ (r, \theta) $ 의 반대 방향에 있는 같은 길이의 점으로 $ (-r, \theta) $ 를 정의한다.</p> <h2>예 1.11</h2> <p>다음 극좌표를 평면에 표시하라.</p> <p>(1) $ \left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{3}\right) $</p> <p>(2) $ \left(-2, \frac{5 \pi}{4}\right) $</p> <p>(3) $ \left(2, \frac{7 \pi}{2}\right) $</p> <p>직교좌표와 극좌표는 평면 위의 점을 표시할 수 있으므로 서로 변환이 가능하다. 원점이 아닌 한 점 $ P $ 의 직교좌표를 $ (x, y) $, 극좌표를 $ (r, \theta) $ 라고 하자.</p> <p>위의 그림에서</p> <p>$ x=r \cos \theta, y=r \sin \theta $</p> <p>$ r^{2}=x^{2}+y^{2}, \tan \theta=\frac{y}{x} $</p> <p>이다. 그리고</p> <p>$ r \cos (\theta+\pi)=-r \cos \theta, r \sin (\theta+\pi)=-r \sin \theta $</p> <p>이므로 직교좌표와 극좌표의 관계식은 $ (-r, \theta) $ 에 대해서도 유효하다.</p> <h2>예 2.6</h2> <p>다음에서 두 벡터의 내적을 계산하고 두 벡터의 사잇각을 구하라.</p> <p>(1) $ (1,1),(0,2) $</p> <p>(2) $ (-1,3),(3,-9) $</p> <p>(3) $ (3,2),(-4,6) $</p> <h3>풀이</h3> <p>두 벡터의 사잇각을 $ \theta $ 라고 두면</p> <p>(1) $ \begin{aligned} 2 &=(1,1) \cdot(0,2) \\ &=\|(1,1)\|\|(0,2)\| \cos \theta=2 \sqrt{2} \cos \theta \\ & \Rightarrow \cos \theta=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{4} \end{aligned} $</p> <p>(2) $ -30=(-1,3) \cdot(3,-9)=\sqrt{10} \cdot 3 \sqrt{10} \cos \theta $$ \Rightarrow \cos \theta=-1 \Rightarrow \theta=\pi $</p> <p>(3) $ (3,2) \cdot(4,-6)=0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi}{2} $</p> <h2>예 2.7</h2> <p>(1) 두 벡터 $ (-1, x),(4, x) $ 가 수직일 때, $ x $ 를 구하라.</p> <p>(2) 두 벡터 $ (2,-1),(x, 7) $ 이 평행일 때, $ x $ 를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) 두 벡터가 서로 수직이므로,</p> <p>$ 0=(-1, x) \cdot(4, x)=x^{2}-4 \Rightarrow x=\pm 2 $</p> <p>(2) 두 벡터가 평행이면 적당한 실수 $ a $ 에 대해서</p> <p>$ \begin{aligned} a(2,-1)=(x, 7) & \Rightarrow(2 a,-a)=(x, 7) \\ & \Rightarrow a=-7 \Rightarrow x=-14 \end{aligned} $</p> <p>단위벡터는 다루기 편리하므로 기하학에서 많이 사용된다. 그 중에서도 다음의 두 벡터</p> <p>$ \mathrm{e}_{1}=(1,0), \mathrm{e}_{2}=(0,1) $</p> <p>이 많이 사용된다. 예를 들면, 임의의 벡터 $ \mathrm{v} $ 는 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>$ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right)=\left(v_{1}, 0\right)+\left(0, v_{2}\right)=v_{1} \mathrm{e}_{1}+v_{2} \mathrm{e}_{2} $</p> <p>그리고 영벡터가 아닌 임의의 벡터 $ \mathrm{v} $ 에 대해서 $ \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|} $ 는 $ \mathrm{v} $ 와 방향이 같은 단위벡터가 된다. 내적의 정의로부터 다음의 성질을 쉽게 알 수 있다.</p> <p>$ \mathrm{v} \cdot \mathrm{e}_{1}=v_{1}, \mathrm{v} \cdot \mathrm{e}_{2}=v_{2} $</p> <p>$ \mathrm{e}_{1} \cdot \mathrm{e}_{2}=\mathrm{e}_{2} \cdot \mathrm{e}_{1}=0 $</p> <p>벡터 $ \mathrm{v} $ 와 $ x, y $ 축의 양의 방향이 만드는 각, 즉 $ \mathrm{v} $ 와 $ \mathrm{e}_{1}, \mathrm{e}_{2} $ 가 만드는 각을 $ \alpha, \beta $ 라고 할 때 이를 $ \mathrm{v} $ 의 방향각이라 하고, $ \cos \alpha, \cos \beta $ 를 $ \mathrm{v} $ 의 방향 코사인(여현)이라고 한다.</p> <p>$ \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|} \cdot \mathrm{e}_{1}=\frac{\|\mathrm{v}\|}{\|\mathrm{v}\|} \cdot 1 \cdot \cos \alpha=\cos \alpha $</p> <p>$ \frac{\mathrm{v}}{\|\mathrm{v}\|} \cdot \mathrm{e}_{2}=\frac{\|\mathrm{v}\|}{\|\mathrm{v}\|} \cdot 1 \cdot \cos \beta=\cos \beta $</p> <p>이므로 $ \mathrm{v} $ 의 방향 코사인은 $ \mathrm{v} $ 방향 단위벡터의 성분이다. 따라서</p> <p>$ \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta=1 $</p> <p>이다. 예를 들면 $ (2,-1) $ 의 방향 코사인은 길이가 $ \sqrt{5} $ 이므로, $ \frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}} $ 이고 $ (2,-1) $ 과 $ x, y $ 축의 양의 방향이 만드는 각을 $ \alpha, \beta $ 라고 하면</p> <p>$ \cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}, \cos \beta=-\frac{1}{\sqrt{5}} $</p> <p>이다.</p> <p>영벡터가 아닌 $ \mathrm{v}=\left(v_{1}, v_{2}\right) $ 에 대해서 $ \mathrm{w}=\left(-v_{2}, v_{1}\right) $ 이면</p> <p>$ \mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=-v_{1} v_{2}+v_{2} v_{1}=0 $</p> <p>이므로 $ \mathrm{v} \perp \mathrm{w} $ 이다. 이것이 주어진 벡터에 수직인 벡터를 구하는 방법으로 앞으로 많이 사용될 것이다.</p> <h1>(1) 조화공액점의 작도</h1> <h2>정리 1</h2> <p>다음 그림에서 $ l_{1} $ 과 $ l_{2} $ 는 평행이다. $ l $ 위의 네 점 $ A, B, C, D $ 에 대해서</p> <p>$ (A B, C D)=-\frac{\|B F\|}{\|B E\|} $</p> <p>이다.</p> <h3>증명</h3> <p>$ \triangle A P D $ 와 $ \triangle B F D $ 는 닮은 삽각형이므로</p> <p>$ \frac{A D}{B D}=\frac{\|A P\|}{\|B F\|} $</p> <p>이고 $ \triangle A P C $ 와 $ \triangle B E C $ 는 닮은 삼각형이므로</p> <p>$ \frac{A C}{C B}=\frac{\|A P\|}{\|E B\|} $</p> <p>이다. 따라서</p> <p>$ (A B, C D)=\frac{A C}{C B} \frac{D B}{A D}=-\frac{\|A P\|}{\|B E\|} \frac{\|B F\|}{\|A P\|}=-\frac{\|B F\|}{\|B E\|} $</p> <p>이다.</p> <p>점 $ P $ 와 두 직선 $ l, l^{\prime} $ 이 주어졌을 때, $ l $ 위의 점 $ A $ 에 대해서 $ P $ 와 $ A $ 를 지나는 직선이 $ l^{\prime} $ 과 만나는 점 $ A^{\prime} $ 을 대응시키는 관계를 중심 $ P $ 에 대한 $ l $ 에서 $ l^{\prime} $ 으로의 배경변환 (perspectivity)이라고 한다. 직선 $ l $ 상의 네 점 $ A, B, C, D $ 의 $ P $ 에 대한 $ l $ 에서 $ l^{\prime} $ 으로의 배경점을 $ A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, D^{\prime} $ 이라고 두자.</p> <p>정리 1 에 의해서</p> <p>$ (A B, C D)=-\frac{\|B F\|}{\|B E\|}=-\frac{\left\|B^{\prime} F^{\prime}\right\|}{\left\|B^{\prime} E^{\prime}\right\|}=\left(A^{\prime} B^{\prime}, C^{\prime} D^{\prime}\right) $</p> <p>이므로 배경변환은 복비를 보존한다.</p> <p>여기서 복비의 개념을 이용하여 $ A, B $ 에 대한 $ C $ 의 조화공액점의 작도를 알아보자. 아래의 그림에서 $ A, B $ 를 지나는 직선 위에 있지 않은 $ P $ 를 잡고, 선분 $ \overline{P C} $ 의 내부에 한점 $ Q $ 를 잡는다. 선분 $ \overline{A Q} $ 의 연장선과 선분 $ \overline{B P} $ 의 교점을 $ R $, 선분 $ \overline{B Q} $ 의 연장선과 선분 $ \overline{A P} $ 의 교점을 $ S $ 라고 두자. 이때 선분 $ \overline{S R} $ 의 연장선과 선분 $ \overline{A B} $ 의 연장선의 교점 $ D $가 구하는 조화공액점이 된다. 실제로 선분 $ \overline{S R} $ 과 선분 $ \overline{P Q} $ 의 교점을 $ T $ 라고 두면, 점 $ A, B, C, D $ 의 중심 $ P $ 에 대한 배경점은 $ S, R, T, D $ 이므로</p> <p>$ (A B, C D)=(S R, T D) $</p> <p>이고, 점 $ A, B, C, D $ 의 중심 $ Q $ 에 대한 배경점은 $ R, S, T, D $ 이므로</p> <p>$ (A B, C D)=(R S, T D) $</p> <p>이다. 그런데, 복비의 정의에서</p> <p>$ (S R, T D)=\frac{1}{(R S, T D)} $</p> <p>이므로 $ (A B, C D)=\pm 1 $ 이고 네 점의 위치에서 보는 바와 같이 이 경우 복비는 음의 값이므로 $ -1 $ 이다. 따라서 $ D $ 는 $ A, B $ 에 대한 $ C $ 의 조화공액점이다.</p> <h2>(2) 대칭행렬의 고윳값</h2> <p>대칭행렬 $ \left(\begin{array}{cc}a & h \\ h & b\end{array}\right) $ 의 고윳값은 항상 실수이다. 왜나하면 고유방정식</p> <p>$ \left\|\begin{array}{cc}a-t & h \\ h & b-t\end{array}\right\|=t^{2}-(a+b) t+a b-h^{2}=0 $</p> <p>의 판별식은</p> <p>$ (a+b)^{2}-4\left(a b-h^{2}\right)=(a-b)^{2}+4 h^{2} \geq 0 $</p> <p>이기 때문이다.</p> <h2>(3) 점 $ (x, y) $ 를 $ \theta $ 만큼 회전이동할 때 좌표변화</h2> <p>다음 그림에서</p> <p>$ x=a \cos \theta_{0}, y=a \sin \theta_{0} $,</p> <p>$ X=a \cos \left(\theta_{0}+\theta\right), \quad Y=a \sin \left(\theta_{0}+\theta\right) $</p> <p>이므로 삼각함수의 덧셈법칙을 이용하면</p> <p>$ X=a \cos \theta_{0} \cos \theta-a \sin \theta_{0} \sin \theta=x \cos \theta-y \sin \theta $</p> <p>$ Y=a \sin \theta_{0} \cos \theta+a \cos \theta_{0} \sin \theta=x \sin \theta+y \cos \theta $</p> <p>이다. 그러므로 $ \theta $ 회전이동할 때, 좌표변화는</p> <p>$ \left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \cos \theta-y \sin \theta \\ x \sin \theta+y \cos \theta\end{array}\right) $</p> <p>이다.</p> <h2>(4) 도형 $ F(x, y)=0 $ 을 직선 $ l $ 에 대해서 대칭이동한 도형의 방정식</h2> <p>$ l $ 이 $ x $ 축의 양의 방향과 만드는 각을 $ \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta \leq \frac{\pi}{2}\right) $ 라고 하자.</p> <p>(i) $ l $ 이 원점을 지날 때 $ l $ 에 대한 대칭이동은</p> <p>$ -\theta $ 만큼 회전이동 $ \rightarrow x $ 축에 대한 대칭이동 $ \rightarrow \theta $ 만큼 회전이동</p> <p>의 과정을 거친 것이므로 좌표변화는</p> <p>$ \begin{aligned}(x, y) & \rightarrow(x \cos \theta+y \sin \theta,-x \sin \theta+y \cos \theta)=(X, Y) \\ & \rightarrow(X,-Y) \\ & \rightarrow(X \cos \theta-(-Y) \sin \theta, X \sin \theta+(-Y) \cos \theta) \\ &=(X \cos \theta+Y \sin \theta, X \sin \theta-Y \cos \theta) \\ &=(x \cos 2 \theta+y \sin 2 \theta, x \sin 2 \theta-y \cos 2 \theta)=(\bar{X}, \bar{Y}) \end{aligned} $</p> <p>이다. $ M_{\theta}=\left(\begin{array}{cc}\cos 2 \theta & \sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & -\cos 2 \theta\end{array}\right) $ 라고 두면 $ M_{\theta} M_{\theta}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) $ 이고, 좌표변화는</p> <p>$ \left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \rightarrow M_{\theta}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\frac{\bar{X}}{Y}\right) $</p> <p>이다. $ M_{\theta} M_{\theta}\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) $ 이므로 $ l $ 에 대한 대칭이동의 도형은</p> <p>$ \{(\bar{X}, \bar{Y}) \mid F(x, y)=0\}=\{(x, y) \mid F(\bar{X}, \bar{Y})=0\} $</p> <p>이다. 따라서 구하는 방정식은</p> <p>$ F(x \cos 2 \theta+y \sin 2 \theta, x \sin 2 \theta-y \cos 2 \theta)=0 $</p> <p>이다.</p> <p>(ii) $ l $ 이 $ P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 을 지날 때 $ l $ 에 대한 대칭이동은</p> <p>$ P_{0} $ 을 원점으로 평행이동, 즉 $ \left(-x_{0},-y_{0}\right) $ 평행이동$ \rightarrow $ (i)과 같은 이동 $ \rightarrow P_{0} $ 로 평행이동</p> <p>의 과정을 거친 것이므로 $ X=x-x_{0}, Y=y-y_{0} $ 라고 두면, 좌표의 변화는</p> <p>$ \begin{array}{rlr}(x, y) & \rightarrow\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right)=(X, Y) & {\left[-\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]} \\ & \rightarrow(X \cos 2 \theta+Y \sin 2 \theta, X \sin 2 \theta-Y \cos 2 \theta) & {\left[M_{\theta} \text { 적용] }\right.} \\ & \rightarrow\left(X \cos 2 \theta+Y \sin 2 \theta+x_{0}, X \sin 2 \theta-Y \cos 2 \theta+y_{0}\right) & {\left[+\left(x_{0} y_{0}\right)\right]}\end{array} $</p> <p>이고</p> <p>$ \left(X \cos 2 \theta+Y \sin 2 \theta+x_{0}, X \sin 2 \theta-Y \cos 2 \theta+y_{0}\right)=(A, B) $</p> <p>라고 두면</p> <p>$ \begin{array}{rlr}\left(\begin{array}{l}A \\ B\end{array}\right) & \rightarrow M_{\theta}\left(\begin{array}{l}X \\ Y\end{array}\right) & {\left[-\left(\begin{array}{l}x_{0} \\ y_{0}\end{array}\right)\right]} \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{l}X \\ Y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}x-x_{0} \\ y-y_{0}\end{array}\right) & {\left[M_{\theta} \text { 적용 }\right]} \\ & \rightarrow\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) & {\left[+\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]}\end{array} $</p> <p>이므로 $ l $ 에 대한 대칭이동의 도형은</p> <p>$ \{(A, B) \mid F(x, y)=0\}=\{(x, y) \mid F(A, B)=0\} $</p> <p>이다. 따라서 구하는 방정식은</p> <p>$ F\left(X \cos 2 \theta+Y \sin 2 \theta+x_{0}, X \sin 2 \theta-Y \cos 2 \theta+y_{0}\right)=0 $</p> <p>이다.</p> <h2>예 1</h2> <p>$ y=x $ 에 대한 대칭이동의 경우 $ \theta=\frac{\pi}{4} $ 이다.</p> <p>$ \left(x \cos \frac{\pi}{2}+y \sin \frac{\pi}{2}, x \sin \frac{\pi}{2}-y \cos \frac{\pi}{2}\right)=(y, x) $</p> <p>이므로 $ x-2 y=0 $ 을 $ y=x $ 에 대칭이동한 방정식은</p> <p>$ y-2 x=0 $</p> <p>이다.</p> <h2>예 2</h2> <p>다음 방정식의 그래프를 $ y=\frac{3}{4} x $ 에 대칭이동시킬 때, 변환식을 구하라.</p> <p>(1) $ x+4 y-1=0 $</p> <p>(2) $ x^{2}+y^{2}+6 x-8 y=0 $</p> <h3>풀이</h3> <p>$ \begin{aligned} & \cos \theta=\frac{4}{5}, \sin \theta=\frac{3}{5} \\ \Rightarrow & \cos 2 \theta=2 \cos ^{2} \theta-1=\frac{7}{25}, \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=\frac{24}{25} \\ \Rightarrow & x \cos 2 \theta+y \sin 2 \theta=\frac{7}{25} x+\frac{24}{25} y, x \sin 2 \theta-y \cos 2 \theta=\frac{24}{25} x-\frac{7}{25} y \end{aligned} $</p> <p>이므로 변환식은 다음과 같다.</p> <p>$ \begin{aligned} x+4 y-1=0 & \rightarrow\left(\frac{7}{25} x+\frac{24}{25} y\right)+4\left(\frac{24}{25} x-\frac{7}{25} y\right)-1=0 \\ & \Rightarrow 103 x-4 y-25=0 \end{aligned} $</p> <p>$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}+6 x-8 y=0 \rightarrow &\left(\frac{7}{25} x+\frac{24}{25} y\right)^{2}+\left(\frac{24}{25} x-\frac{7}{25} y\right)^{2} \\ &+6\left(\frac{7}{25} x+\frac{24}{25} y\right)-8\left(\frac{24}{25} x-\frac{7}{25} y\right)=0 \\ \Rightarrow & x^{2}+y^{2}-6 x+8 y=0 \end{aligned} $</p> <h2>예 2.10</h2> <p>(1) $ \left\|\begin{array}{rr}1 & -5 \\ -2 & 7\end{array}\right\|=7-10=-3 $</p> <p>(2) $ \left\|\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right\|=\left\|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right\|-2\left\|\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right\|+0\left\|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right\|=1 $</p> <p>(3) $ \left\|\begin{array}{rrr}2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 3\end{array}\right\|=2\left\|\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 3\end{array}\right\|-1\left\|\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 3 & 3\end{array}\right\|+1\left\|\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 2\end{array}\right\|=8-9+2=1 $</p> <p>다음 정리는 선형대수에서 잘 알려진 성질이다.</p> <h2>정리 2.11</h2> <p>연립 1 차 방정식</p> <p>$ a_{11} x+a_{12} y=b_{1} $</p> <p>$ a_{21} x+a_{22} y=b_{2} $</p> <p>가 단 하나의 해를 가질 조건은 $ \left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\| \neq0 $ 이다. 이 경우 연립방정식의 해는</p> <p>$ x=\frac{\left\|\begin{array}{ll}b_{1} & a_{12} \\ b_{2} & a_{22}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|}, y=\frac{\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & b_{1} \\ a_{21} & b_{2}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|} $</p> <p>이다.</p> <p>다음과 같이 상수항이 모두 0 인 연립 1 차 방정식</p> <p>$ a_{11} x+a_{12} y=0 $</p> <p>$ a_{21} x+a_{22} y=0 $ 을 동차(homogeneous) 연립방정식이라고 한다. 이 연립방정식은</p> <p>$ (x, y)=(0,0) $인 해를 항상 갖는다. 이러한 해를 자명해(trivial solution)라고 한다. 따라서 동차방정식이 비자명해를 가질 경우가 우리의 관심의 대상이 된다. 동차 연립방정식이 비자명해를 가질 조건은 해가 둘 이상이어야 하므로 방정식의 계수행렬식의 값이 0 이어야 한다. 즉 $ \left\|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right\|=0 $ 이다. 비자명해 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 가 있으면 $ \left(a x_{0}, a y_{0}\right),(a \neq 0) $ 도 비자명해이다. 미지수가 3 개 이상인 경우도 같은 성질이 성립한다.</p> <h2>예 2.12</h2> <p>연립방정식</p> <p>$ x-2 y+3=0 $</p> <p>$ 3 x+y-5=0 $</p> <p>$ x+a y-a=0 $</p> <p>이 해를 가질 때, $ a $ 를 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>연립방정식이 해 $ (x, y)=\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 을 가진다고 하면, 동차 연립방정식</p> <p>$ x-2 y+3 z=0 $</p> <p>$ 3 x+y-5 z=0 $</p> <p>$ x+a y-a z=0 $은 비자명해 $ (x, y, z)=\left(x_{0}, y_{0}, 1\right) $ 을 가진다. 그러므로</p> <p>$ \begin{aligned} &\left\|\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ 3 & 1 & -5 \\ 1 & a & -a\end{array}\right\|=0 \\ \Rightarrow & 7 a+7=0 \Rightarrow a=-1 \end{aligned} $</p> <p>$ 2 \times 2 $ 행렬 $ A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) $ 에 대해서 2 차 방정식</p> <p>$ \left\|\begin{array}{cc}a_{11}-t & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}-t\end{array}\right\|=0 $을 행렬 $ A $ 의 고유방정식, 이 방정식의 근을 행렬 $ A $ 의 고유값(eigenvalue)이라고 한다. 고윳값은 나중에 곡선의 성질을 조사하는데 중요한 역할을 하게 된다. 각 고윳값 $ t_{i}(i=1,2) $에 대해서 연립방정식 $ \left(t_{i}\right. $ 에 대한 고유벡터 방정식이라 부른다)</p> <p>$ \left(a_{11}-t_{i}\right) x+a_{12} y=0 $</p> <p>$ a_{21} x+\left(a_{22}-t_{i}\right) y=0 $</p> <p>은 계수행렬식이 0이다. 그러므로 비자명해를 갖는데 비자명해 $ \left(x_{i}, y_{i}\right) $ 를 고윳값 $ t_{i} $ 에 대한 행렬 $ A $ 의 고유벡터(eigenvector)라고 한다. 고유벡터에 0 이 아닌 상수를 곱해도 고유 벡터가 된다. 즉, $ a \neq 0 $ 이면 $ a\left(x_{i}, y_{i}\right) $ 도 $ t_{i} $ 에 대한 행렬 $ A $ 의 고유벡터가 된다. 그러나 앞으로 다루는 고유벡터는 방향을 구하기 위한 목적으로 사용하기 때문에 실수배 차이는 의미가 없다.</p> <p>고유값과 고유벡터는 2차 곡선의 분류에서 결정적으로 필요하게 된다. 3장에서 우리는 $ \left(\begin{array}{ll}a & h \\ h & b\end{array}\right) $ 모양의 행렬을 다루는데, 이들 행렬의 고윳값은 항상 존재한다는 것이 잘 알려져있다. 이것에 대한 설명이 2장 보충자료에 있다.</p> <h2>예 2.13</h2> <p>행렬 $ \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right) $ 의 고윳값과 고유벡터를 구하고 이들 고유벡터의 직교 여부를 조사하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>고유방정식</p> <p>$ \left\|\begin{array}{cc}1-t & 2 \\ 2 & 3-t\end{array}\right\|=t^{2}-4 t-1=0 $에서 고윳값은 $ t=2 \pm \sqrt{5} $ 이다.</p> <p>(1) $ t=2+\sqrt{5} $ 에 대한 고유벡터 방정식</p> <p>$ [1-(2+\sqrt{5})] x+2 y=0 $</p> <p>$ 2 x+[3-(2+\sqrt{5})] y=0 $에서 고유벡터</p> <p>$ a(2,1+\sqrt{5}),(a \neq 0) $</p> <p>를 얻는다.</p> <p>(2) $ t=2-\sqrt{5} $ 에 대한 고유벡터 방정식</p> <p>$ [1-(2-\sqrt{5})] x+2 y=0 $</p> <p>$ 2 x+[3-(2-\sqrt{5})] y=0 $에서 고유벡터</p> <p>$ a(2,1-\sqrt{5}),(a \neq 0) $</p> <p>를 얻는다.</p> <p>이들 고유벡터는 $ (2,1+\sqrt{5}) \cdot(2,1-\sqrt{5})=0 $ 이므로 서로 수직이다.</p> <h2>예 2.14</h2> <p>행렬 $ \left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right) $ 의 고윳값과 직교하는 두 고유벡터 한 쌍을 구하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>고유방정식</p> <p>$ \left\|\begin{array}{cc}2-t & 0 \\ 0 & 2-t\end{array}\right\|=(t-2)^{2}=0 $에서 고윳값 $ t=2 $ (중근)를 얻는다.</p> <p>$ t=2 $ 에 대한 고유벡터 방정식</p> <p>$ (2-2) x+0 y=0 $</p> <p>$ 0 x+(2-2) y=0 $에서 영벡터가 아니면 모두 고유벡터이다. 그러므로 두 벡터 $ (1,0),(0,1) $ 는 직교하는 고유벡터이다.</p> <p>일반적으로 $ \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & b\end{array}\right) $ 모양의 행렬을 대각행렬이라고 하는데, 이 행렬의 고윳값은 $ a, b $ 이고 대응되는 고유벡터는 $ (1,0),(0,1) $ 이다.</p> <h1>1.2 벡터와 행렬</h1> <p>벡터(vector)는 '크기'와 '방향'으로 구성된다. 따라서 두 벡터가 같은 벡터라는 것은 크기와 방향이 같을 때를 의미한다. 벡터는 화살표로 나타내면 이해하기 편리하다. 즉, 화살표의 길이는 벡터의 크기를 나타내고, 화살표가 지시하는 방향은 벡터의 방향을 나타내는 방법이다.</p> <p>평면 위의 점 $ P(x, y) $ 에 대해서 방향이 원점 $ O $ 에서 $ P $ 방향이고 크기가 $ \|O P\| $ 인 벡터를 점 $ P $ 의 위치벡터(position vector)라고 하고 유향선분처럼 $ \overrightarrow{O P} $ 또는 $ (x, y) $ 로 적는다. 원점 $ O $ 의 위치벡터를 영벡터라 하고, 0 으로 적는다. 즉, $ 0=(0,0) $ 이다. 크기가 1 인 벡터를 단위벡터라 한다.</p> <p>벡터를 표시하는 또 하나의 방법은 출발점과 끝점을 표시하는 것이다. 출발점이 $ P $ 이고 끝점이 $ Q $ 인 벡터는 방향이 $ P $ 에서 $ Q $ 방향이고 크기가 $ \|P Q\| $ 인 벡터를 말하고 유향선분처럼 $ \overrightarrow{P Q} $ 로 나타낸다. 그리고 $ -\overrightarrow{P Q} $ 는 $ \overrightarrow{P Q} $ 와 크기는 같고 방향이 반대인 벡터를 나타낸다.</p> <p>두 벡터 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 와 실수 $ a $ 에 대해서 $ \mathrm{v}+\mathrm{w} $ 는 $ \mathrm{v}, \mathrm{w} $ 가 만드는 평행사변형의 대각선 벡터 (같은 방향이면 길이를 더해주고, 반대 방향이면 큰 것에서 작은 것을 빼준다), $ -\mathrm{v} $ 는 $ \mathrm{v} $와 같은 크기이고 방향이 반대인 벡터를 말한다. 따라서</p> <p>$ \mathrm{v}+(-\mathrm{v})=0,-\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{Q P} $</p> <p>이고, $ (-1) v $ 는 $ v $ 와 같은 크기이고 방향이 반대이므로</p> <p>$ (-1) \mathrm{v}=-\mathrm{v} $</p> <p>이다. 벡터의 뺄셈은</p> <p>$ \mathrm{v}-\mathrm{w}=\mathrm{v}+(-\mathrm{w}) $</p> <p>로 정의한다.</p> <p>이들 연산을 위치벡터로 설명하면, 점 $ P(x, y), P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 에 대해서 위치벡터의 연산은</p> <p>$ \overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{O P_{2}}=\left(x_{1}+x_{2}, y_{1}+y_{2}\right), a \overrightarrow{O P}=(a x, a y) $</p> <p>$ \|\overrightarrow{O P}\|=\|(x, y)\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}} $</p> <p>이고, 다음 그림에서</p> <p>$ \overrightarrow{P_{1} P_{2}}=\overrightarrow{O P_{2}}-\overrightarrow{O P_{1}}=\left(x_{2}-x_{1}, y_{2}-y_{1}\right) $</p> <p>임을 알 수 있다.</p> <h2>예 2.1</h2> <p>$ P_{1}(3,1), P_{2}(-1,2) $ 에 대해서 다음을 계산하라.</p> <p>(1) 위치벡터 $ \overrightarrow{O P_{1}} $ 의 길이</p> <p>(2) $ 3 \overrightarrow{O P_{1}}-2 \overrightarrow{O P_{2}} $</p> <p>(3) 위치벡터 $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $</p> <h3>풀이</h3> <p>(1) $ \left\|O P_{1}\right\|=\sqrt{9+1}=\sqrt{10} $</p> <p>(2) $ 3 \overrightarrow{O P_{1}}-2 \overrightarrow{O P_{2}}=3(3,1)-2(-1,2)=(11,-1) $</p> <p>(3) $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}}=\overrightarrow{O P_{2}}-\overrightarrow{O P_{1}}=(-1,2)-(3,1)=(-4,1) $</p> <p>세 점 $ A, B, C $ 에 대해서</p> <p>$ \overrightarrow{A B}=-\overrightarrow{B A} \Rightarrow \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B A}=0 $,</p> <p>$ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A})+(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O B})=\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A C} $</p> <p>이므로 $ \triangle A B C $ 에서</p> <p>$ \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C A}=0 $</p> <p>이고, 일반적으로 $ n $ 각형 $ P_{1} P_{2} \cdots P_{n} $ 에 대해서도</p> <p>$ \overrightarrow{P_{1} P_{2}}+\overrightarrow{P_{2} P_{3}}+\cdots+\overrightarrow{P_{n} P_{1}}=0 $</p> <p>이 성립한다.</p> <p>선분 $ \overrightarrow{P_{1} P_{2}} $ 를 $ m: n $ 으로 나누는 점 $ P(x, y) $ 의 위치벡터는</p> <p>$ (x, y)=\left(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n}\right)=\frac{m \overrightarrow{O P_{2}}+n \overrightarrow{O P_{1}}}{m+n} $</p> <p>이다. 이를 출발점이 원점이 아닌 임의의의 점으로 옮기면 다음과 같은 결과를 얻는다. $ \triangle A B C $ 에서 변 $ \overrightarrow{B C} $ 를 $ m: n $ 으로 나누는 점을 $ D $ 라고 하면</p> <p>$ \overrightarrow{A D}=\frac{m \overrightarrow{A C}+n \overrightarrow{A B}}{m+n} $</p> <p>이다. 여기서 $ \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C} $ 의 계수의 합은 항상</p> <p>$ \frac{n}{m+n}+\frac{m}{m+n}=1 $</p> <p>이다.</p> <h2>예 1.4</h2> <p>네 점 $ A(1), B(5), C(2), D(4) $ 에 대해서 복비 $ (A B, C D) $ 와 $ (B A, C D) $ 를 계산하라.</p> <h3>풀이</h3> <p>$ (A B, C D)=\frac{(2-1)(5-4)}{(4-1)(5-2)}=\frac{1}{9} $</p> <p>$ (B A, C D)=\frac{(2-5)(1-4)}{(4-5)(1-2)}=9 $</p> <h2>예 1.5</h2> <p>$ m, n>0 $ 일 때, 선분 $ \overrightarrow{A B} $ 를 $ m: n $ 으로 내분하는 점 $ C $ 에 대해서 다음을 구하라.</p> <p>(1) $ B $ 가 $ \overrightarrow{A C} $ 를 외분하는 비</p> <p>(2) $ A $ 가 $ \overrightarrow{C B} $ 를 외분하는 비</p> <p>그림에서 $ B $ 는 $ \overrightarrow{A C} $ 를 $ m+n: n $ 으로 외분하고 $ A $ 는 $ \overrightarrow{C B} $ 를 $ m: m+n $ 으로 외분한다. 수식으로 증명하기 위해서 좌표를 $ A(0), B(m+n) $ 으로 잡으면 $ C $ 의 좌표는 $ m $ 이다.</p> <p>$ A B: B C=(m+n)-0: m-(m+n)=m+n:-n $</p> <p>이므로 $ B $ 는 $ \overrightarrow{A C} $ 를 $ m+n: n $ 으로 외분하고</p> <p>$ C A: A B=0-m:(m+n)-0=-m: m+n $</p> <p>이므로 $ A $ 는 $ \overrightarrow{C B} $ 를 $ m: m+n $ 으로 외분한다.</p> <p>평면에서도 직선처럼 좌표의 도입이 필요하다. 여러 가지 좌표계가 있지만 가장 많이 쓰이는 직교좌표계와 극좌표계를 소개한다.</p> <p>평면에서 수직으로 만나는 두 직선을 잡고 이를 $ x $ 축, $ y $ 축이라고 하자. 두 직선의 교점 $ O $ 를 원점으로 하여 $ x $ 축, $ y $ 축 위에 각각 같은 길이로 단위점을 잡아 $ x $ 축, $ y $ 축 위에 좌표를 도입한다.</p> <p>평면의 한 점 $ P $ 에서 $ x $ 축, $ y $ 축 위에 내린 수선이 만나는 점의 좌표를 각각 $ a, b $ 라고 할 때, 순서쌍 $ (a, b) $ 를 점 $ P $ 의 직교좌표(rectangular coordinate) 또는, 그냥 좌표라고 한다.</p> <p>두 점 $ P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 사이의 거리는 피타고라스(Pythagoras) 정리를 이용하여 구할 수 있다. 그림 1.8 에서 두 점 사이의 거리 $ \left\|P_{1} P_{2}\right\| $ 는</p> <p>$ \left\|P_{1} P_{2}\right\|=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} $</p> <p>이다.</p> <p>평면 위의 점 $ P(x, y) $ 의 $ x $ 축, $ y $ 축, 원점에 대한 대칭점은 각각 $ (x,-y),(-x, y) $, $ (-x,-y) $ 이다.</p>	자연
기하학 일반_유클리드 기하학	<p>정리 $ 2.4.8 $ (외각정리) 삼각형의 외각은 양 내대각보다 크다.</p> <p>증명 $ \angle A C D $가 $ \angle B $와 $ \angle A $보다 크다는 증명하기 위하여 내대각 $ \angle B A C $을 생각해보자. 만일 $ \angle B A C \equiv \angle A C D $이면, 엇각정리에 의하여 $ \overleftrightarrow { A B } $는 $ \overleftrightarrow { C D } $와 평행이다. 그것은 이 직선들 이 $ B $에서 만난다는 가정에 모순이다. 그러므로 삼분법에 의하여 $ \angle B A C< \angle A C D $라 가정 해도 좋다. 그러면 정의에 의하여 $ \angle A C D \equiv \angle C A E $인 반직선 $ \overrightarrow { A E } $가 $ \overrightarrow { A B } $와 $ \overrightarrow { A C } $ 사이에 존재한다. 횡선정리에 의하여 반직선 $ \overrightarrow { A E } $는 점 $ G $ 에서 선분 $ B C $와 교차한다. 그러나 엇각정리에 의하여 직선 $ \overleftrightarrow { A E } $와 $ \overleftrightarrow { C D } $는 평행이다. 따라서 $ \angle B A C $는 $ \angle A C D $보다 클 수가 없다. $ \angle B A C $가 $ \angle A C D $와 합동이 아니므로 삼분법에 의하여 $ \angle B A C $는 $ \angle A C D $보다 작음에 틀림이 없다.</p> <p>내대각 $ \angle A B C $에 대해서는 맞꼭지각의 정리(따름정리 $ 2.3.9 $)에 의하여 $ \angle A C D $와 합동인 외각 $ \angle B C F $에 동일한 논의를 응용하여라.</p> <p>외각정리에 대한 유클리드의 증명은 그림으로 추론했기 때문에 결함을 갖고 있다. 그는 $ B $와 선분 $ A C $의 중점 $ M $을 연결하는 직선 $ \overleftrightarrow { B M } $을 고찰했다. 그런 다음에 그 그림으로부터 $ B ^ {\prime } $가 $ \angle A C D $의 내부에 놓여있다고 가정했다.</p> <p>유클리드의 논의의 나머지 부분은 생략할 것이다. 왜나하면 우선 중점의 존재가 정당화되어야 하는 난점이 있기 때문이다. 그러나 유클리드 논의의 결함은 우리가 개발한 도구를 가지고 쉽게 보완될 수 있다. 즉, 선분 $ B B ^ {\prime } $가 $ M $에서 $ A C $와 교차하므로 정의에 의하여 $ B $와 $ B ^ {\prime } $는 $ \overleftrightarrow { A C } $에 관하여 반대쪽에 있다. 따라서 순서공리 $ 4 $에 의하여 $ B ^ {\prime } $와 $ D $는 $ \overleftrightarrow { A C } $에 관하여 같은 쪽에 있다. 다음에 선분 $ M B ^ {\prime } $가 $ \overleftrightarrow { C D } $와 만나는 점 $ B $를 포함하고 있지 않으므로 $ B ^ {\prime } $의 작도와 순서공리 $ 1 $, $ 3 $에 의하여 $ B ^ {\prime } $와 $ M $은 $ \overleftrightarrow { C D } $에 관하여 같은 쪽에 있다. 또한 선분 $ A M $은 $ \overleftrightarrow { A M } $과 $ \overleftrightarrow { C D } $ 가 만나는 점 $ C $를 포함하지 않으므로 중점의 정의와 순서공리 $ 3 $에 의하여 $ A $와 $ M $은 $ \overleftrightarrow { C D } $에 관하여 같은 쪽에 있다. 따라서 순서공리 $ 4 $ 에 의하여 $ A $와 $ B ^ {\prime } $가 $ \overleftrightarrow { C D } $에 관하여 같은 쪽에 있음을 보장해 준다. 내부의 정의에 의하여 $ B ^ {\prime } $가 $ \angle A C D $의 내부에 놓여있음을 보였다.</p> <p>명제 $ 2.4.9 $ (SAA 합동판정법) 삼각형 $ \triangle A B C, \triangle D E F $에서 \[ \overline { A C } \equiv \overline { D F } , \angle A \equiv \angle D, \angle B \equiv \angle E \]이면, $ \triangle A B C \equiv \triangle D E F $이다.</p> <p>증명 변 $ A B $가 변 $ D E $와 합동이 아니라고 가정하자. 그러면 삼분법에 의하여 $ A B<C D $이거나 $ D E<A B $이다. 만일 $ D E<A B $이면, 정의에 의하여 $ A G \equiv D E $ 인 점 $ G $가 $ A $와 $ B $ 사이에 존재한다.</p> <p>그러면 SAS 합동판정법에 의하여 $ \triangle C A G \equiv \triangle F D E $이다. 따라서 $ \angle A G C \equiv \angle E $이다. 그러나 $ \angle A G C \equiv \angle B $이다. 이것은 외각정리에 모순이다.</p> <p>만일 $ A B<C D $ 이면, $ D $와 $ E $ 사이의 한 점 $ H $와 관계되는 유사한 논의에 의하여, 모순이다. 따라서 $ A B \equiv D E $이다. 그러므로 $ \mathrm { SAS } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle A B C \equiv \triangle D E F $이다.</p> <p>명제 $ 2.6.5 $ 점 $ P $는 중심이 $ O $이고 반지름이 $ r $인 원 $ \gamma $ 위에 있지 않고, $ P \neq O $이라 하고, $ \delta $는 점 $ P $를 지나는 원이라고 하자. 그러면 $ \delta $가 $ \gamma $와 직교하기 위한 필요충분조건은 $ \delta $가 $ \gamma $에 관한 $ P $의 반점 $ P^{\prime} $를 지나는 것이다.</p> <p>증명 (⭠) $ \delta $는 $ P^{\prime} $를 지난다고 가정하자. 그러면 $ \delta $의 증심 $ C $는 선분 $ P P^{\prime} $의 수직이등분선 위에 있다. 따라서 $ \overline{O C}>\overline{C P} $이므로 $ O $는 $ \delta $의 외부에 있다. 그러므로 명제 $ 2.6.3 $ 에 의하여 $ \delta $위의 점 $ T $가 존재하여 $ T $에서 $ \delta $의 접선은 $ O $를 지난다. 그러면 예비정리 $ 2.5.19 $에 의하여 \[\overline{O T}^{2}=\overline{O P} \cdot \overline{O P}^{\prime}=r^{2}\]이다. 따라서 $ T $ 는 $ \gamma $ 위에 있다. 그러므로 $ \delta $와 $ \gamma $는 직교한다.</p> <p>(⭢) $\delta $는 점 $ T $와 $ U $에서 $ \gamma $와 직교한다고 하자. 그러면 $ T $ 와 $ U $에서의 $ \delta $의 접선은 $ O $에서 만나므로 $ O $는 $ \delta $의 외부에 있다. 따라서 $ \overrightarrow{O P} $는 점 $ Q $에서 $ \delta $ 와 교차한다. 그러므로 예비정리 $ 2.5.19 $에 의하여 \[r^{2}=\overline{O T}^{2}=\overline{O P} \cdot \overline{O Q}\]이다. 점 $ P^{\prime} $는 점 $ P $의 $ \gamma $에 관한 반점이므로, $ \overline{O P} \cdot \overline{O P^{\prime}}=r^{2} $이다. 그러므로 $ \overline{O P^{\prime}}=\overline{O Q} $이다. 따라서 $ Q=P^{\prime} $이다.</p> <p>정의 $ O $가 한 점이고 $ k $가 양수라고 하자. 중심이 $ O $이고 비가 $ k $인 팽창(dilation)은 $ O $를 고정하고 점 $ P(\neq O) $를 $ \overline{O P^{}}=k \cdot \overline{O P} $인 $ \overrightarrow{O P} $ 위의 유일한 점 $ P^{} $로 사상하는 유클리드 평면의 변환이다. 그래서 점들이 $ O $로부터 그들 본래의 거리의 $ k $배되는 거리까지 방사선 위로 움직인다.</p> <p>예비정리 $ 2.6.6 $ $ \delta $는 중심이 $ C(\neq O) $이고 반지름이 $ s $인 원이라 하자. 중심이 $ O $고 비가 $ k $인 팽창아래서 원 $ \delta $는 중심이 $ C^{} $이고 반지름이 $ k s $인 원 $ \delta^{} $위로 사상된다. 만일 $ Q $가 $ \delta $ 위의 점이면 $ Q^{} $에서의 $ \delta^{} $의 접선은 $ Q $에서의 $ \delta $의 접선과 평행이다.</p> <p>증명 $ O$가 원점인 직교좌표를 취하자. 그러면 팽창은 $ (x, y) \rightarrow(k x, k y) $ 에 의해 주어진다. 방정식 $ a x+b y=c $를 갖는 직선의 상은 방정식 $ a x+b y=k c $를 갖는 직선이다. 따라서 그 상은 본래의 직선과 평행이다. 특히, $ \overleftrightarrow{C Q} $는 $\overleftrightarrow{C^* Q^}$와 평행이고 $ Q $ 와 $ Q^{} $에서의 그들의 수선은 역시 각각 평행이다. 만일 $ \delta $ 가 방정식 $ \left(x-c_{1}\right)^{2}+\left(y-c_{2}\right)^{2}=s^{2} $을 가지면 $ \delta^{} $는 방정식 $ \left(x-k c_{1}\right)^{2}+\left(y-k c_{2}\right)=(k s)^{2} $을 가진다. 이것으로부터 결과가 나온다.</p> <p>정의 직선 $ m $ 위에 있지 않는 점 $ A $에 대하여 $ A $에서 $ m $에 내린 수선의 발을 $ M $이라 할 때, $ A^{\prime} M * A $이고 $ A^{\prime} M \equiv M A $인 유일한 점 $ A^{\prime} $으로의 변환을 $ m $에 관한 반사 (reflection) $ R_{m} $이라 한다., 즉, $ R_{m}(A)=A^{\prime} $이다.</p> <p>명제 $ 2.6.7 $ $ \gamma $는 중심이 $ O $이고 반지름이 $ r $인 원이라 하고 $ \delta $는 중심이 $ C $이고 반지름이 $ s $인 원이라고 하자. $ O $는 $ \delta $의 외부에 있다고. 가정하고 $ \omega $는 $ \delta $에 관한 $ O $의 멱이라 하자. 그리고 $ k=\frac{r^{2}}{\omega} $이라고 하자. 그러면 $ \gamma $에 관한 반전 아래서 $ \delta $의 상 $ \delta^{\prime} $는 그의 중심이 비가 $ k $인 $ O $로부터의 팽창아래서 $ C $의 상 $ C^{} $이고 반지름이 $ k s $인 원이다. 만일 $ P $가 $ \delta $ 위의 임의의 점이고, $ P^{\prime} $가 $ \gamma $에 관한 그의 반점이면, $ P^{\prime} $에서의 $ \delta^{\prime} $의 접선 $ t^{\prime} $는 $ P P^{\prime} $의 수직이등분선에 관한 $ P $에서의 $ \delta $의 접선의 반사이다.</p> <p>증명 $ O $는 $ \delta $의 외부에 있으므로, $ \overrightarrow{O P} $는 또 다른 점 $ Q $에서 $ \delta $와 교차하거나 $ P $에서의 $ \delta $의 접선이 된다. 그런 경우에는 $ Q=P $라고 하자. 그러면 \[\frac{\overline{O P}^{\prime}}{\overline{O Q}}=\frac{\overline{O P}}{\overline{O Q}} \cdot \frac{\overline{O P}}{\overline{O P}}=\frac{r^{2}}{\omega}\]이다. 이것은 $ P^{\prime} $가 $ O $로부터 비가 $ k=\frac{r^{2}}{\omega} $인 팽창 아래서의 $ Q $의 상임을 보여준다. 따라서 $ \delta^{}=\delta^{\prime} $ 이다. 예비정리 $ 2.6.6 $에 의하여 $ P^{\prime} $에서의 $ \delta^{\prime} $의 접선 $ t^{\prime} $는 $ \delta $의 접선 $ u $와 평행이다. $ t $가 $ P $에서 $ \delta $와 접한다고 하자. 명제 $ 2.6.4 $에 의하여 $ t $와 $ u $는 $ \angle R Q P \equiv \angle R P Q $인 점 $ R $ 에 서 만난다. 또한 $ t $ 와 $ t^{\prime} $는 $ \angle S P^{\prime} P \equiv \angle S P P^{\prime} $인 점 $ S $에서 만난다. $ \triangle P S P^{\prime} $는 이등변삼각형이므로 $ S $는 $ P P^{\prime} $ 의 수직이등분선 위에 있다. 따라서 $ t^{\prime} $는 이 수직이등분선에 관한 $ t $의 반사이다.</p> <p>삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 $ A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이고 $ \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이므로, $ \mathrm { SAS } $ 판정법에 의하여, $ \triangle A B C \equiv \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>따름정리 $ 2.3.7 $ 삼각형 $ \triangle A B C $에서 $ \angle A B C \equiv \angle A C B $이면, $ A B \equiv A C $이다. 즉, 두 밑각이 합동인 삼각형은 이등변삼각형이다. 이것은 정리 $ 2.3 .1 $의 역이다.</p> <p>증명 $ \triangle A B C, \triangle A C B $에서 꼭짓점을 $ A \leftrightarrow A, B \leftrightarrow C, C \leftrightarrow B $와 같이 대응시키자. 그러면 $ \mathrm { ASA } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle A B C \equiv \triangle A C B $이다. 그러므로 $ A B \equiv A C $이다.</p> <p>정리 $ 2.3.8 $ $ \angle A B C $와 $ \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $가 합동이면, 그의 보각인 $ \angle D B C $와 $ \angle D ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $도 합동이다.</p> <p>증명 직선 $ A ^ {\prime } B ^ {\prime } $ 위에서 점 $ A ^ {\prime } , D ^ {\prime } $를 점 $ B ^ {\prime } $의 양쪽에 $ A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , B D \equiv B ^ {\prime } D ^ {\prime } $가 되도록 잡고, 직선 $ B ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 위에서 점 $ C ^ {\prime } $를 $ C B \equiv C ^ {\prime } B ^ {\prime } $가 되도록 잡자. 그러면 합동공리 $3 $에 의하여 $ A D \equiv A ^ {\prime } D ^ {\prime } $이다. 삼각형 $ \triangle A B C, \Delta A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , B C \equiv B ^ {\prime } C ^ {\prime } \text { 이고 } \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이므로, $ \mathrm { SAS } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle A B C \equiv \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다. 그러므로 \[A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } , \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } \] 이다. 삼각형 $ \triangle A D C, \triangle A ^ {\prime } D ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } , A D \equiv A ^ {\prime } D ^ {\prime } \text { 이고 } \angle D A C \equiv \angle D ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이므로, $ \mathrm { SAS } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle A D C \equiv \triangle A ^ {\prime } D ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다. 그러므로 $ C D \equiv C ^ {\prime } D ^ {\prime } $이고, $ \angle A D C \equiv \angle A ^ {\prime } D ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다. 따라서 삼각형 $ \triangle B D C, \triangle B ^ {\prime } D ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[B D \equiv B ^ {\prime } B ^ {\prime } , C D \equiv C ^ {\prime } D ^ {\prime } \text { 이고 } \angle B D C \equiv \angle B ^ {\prime } D ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이므로, 결합공리 $ 6 $에 의하여 $ \angle D B C \equiv \angle D ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>정의 교차하는 두 직선에 의하여 이루어진 각 중에서 두 각이 다른 한 각과 보각을 이룰 때, 이 두 각을 맞꼭지각(vertical angles)이라 한다.</p> <p>따름정리 $ 2.3.9 $ 두 직선이 만나서 이루는 맞꼭지각은 서로 합동이다.</p> <p>증명 $ \angle B O C $의 보각은 $ \angle A O C $와 $ \angle D O B $가 있다. 정리 $ 2.3.8 $ 에 의하여 $ \angle A O C \equiv $ $ \angle D O B $이다. 마찬가지로, $ \angle A O D \equiv \angle B O C $이다.</p> <p>명제 $ 2.3.10 $ 임의의 직선 $ l $과 임의의 점 $ P $가 주어지면, $ P $를 지나는 직선 $ m $이 존재하여 $ l $과 $ m $은 수직이다.</p> <p>명제 $ 2.2.5 $ 각 $ \angle C A B $와 직선 $ \overleftrightarrow { B C } $ 위에 놓인 점 $ D $가 주어질 때, $ D $가 $ \angle C A B $의 내부에 있기 위한 필요충분조건은 $ B * D * C $이다.</p> <p>증명 각 $ \angle C A B $와 직선 $ \overleftrightarrow { B C } $ 위에 놓인 점 $ D $가 주어졌다고 하자. $ D $가 $ \angle C A B $의 내부에 있다면, $ D $가 $ \overleftrightarrow { A C } $에 관하여 $ B $와 같은 쪽에 있고 또 $ \overleftrightarrow { A B } $에 관하여 $ C $와 같은 쪽에 있다. 그러므로 $ B * D * C $이다. 그 역은 자명하다.</p> <p>[주의] 일반적으로, 한 각의 내부에 있는 모든 점이 그 각의 변 위에 있는 어떤 점과 또 다른 변 위에 있는 어떤 점을 연결한 선분 위에 있다고 가정해서는 안 된다. 사실 이 가정은 나중에 배울 쌍곡기하학에서는 거짓이다.</p> <p>명제 $ 2.2.6 $ $ D $가 각 $ \angle C A B $의 내부에 있다고 하자. 그러면<ol type = 1 start=1><li>반직선 $ \overrightarrow { A D } $ 위의 $ A $를 제외한 모든 점도 $ \angle C A B $ 의 내부에 있다.</li> <li>$ \overrightarrow { A D } $의 반향반직선 위의 어떤 점도 $ \angle C A B $의 내부에 있지 않다.</li> <li>$ C * A * E $이면, $ B $는 $ \angle D A E $의 내부에 있다.</li></ol></p> <p>증명 (1) $ P \neq A $이면서 $ P \in \overrightarrow { A D } $라고 하자. 그러면 $ P=D $ 또는 $ A * P * D $ 또는 $ A * D * P $이다. 그러므로 $ P $는 $ \angle C A B $의 내부에 있다.</p> <p>(2) $ \overrightarrow { A F } $를 $ \overrightarrow { A D } $의 반향반직선이라고 하고, 모든 $ P \in \overrightarrow { A F } $에 대하여 $ P $가 $ \angle C A B $의 내부에 있다고 가정하자. 그러면 $ P=A $ 또는 $ P=F $ 또는 $ A * P * F $ 또는 $ A * F * P $이다.</p> <p>정리 $2.5.10 $ $ \gamma $는 중심이 $ O $인 원이고. $ P, Q, R $은 원 위의 세 점이라 하자. 만일 $ P $와 $ R $이 지름 위에서 마주보고 있으면, $ \angle P Q R $은 직각이고, 그렇지 않으면, \[m( \angle P Q R)= \frac { 1 } { 2 } m( \angle P O Q) \]이다.</p> <p>증명 ( $ 1 $) $ \triangle P Q O, \triangle O Q R $는 이등변삼각형이므로, $ \angle O P Q \equiv \angle O Q P, \angle O Q R \equiv \angle O R Q $이다. 각의 외각은 양 내대각의 합과 같으므로, $ \angle P Q R $은 직각이다.</p> <p>( $ 2 $) $ \triangle P Q O $는 이등변삼각형이므로, $ \angle O P Q \equiv \angle O Q P $이다. \[ \angle P O Q= \angle O P Q + \angle O Q P=2 \angle O P Q \]</p> <p>( $ 3 $) $ \triangle O P Q, \triangle O Q R $은 이등변삼각형이므로, $ \angle O P Q \equiv \angle O Q P, \angle O Q R \equiv \angle O R Q $이다. 각의 외각은 양 내대각의 합과 같으므로, $ \angle P Q R= \frac { 1 } { 2 } \angle P O Q $이다.</p> <p>( $ 4 $) $ \angle P Q O \equiv \angle Q O P, \angle Q R O \equiv \angle R Q O $ \[ \angle P O R=2 \angle P Q O-2 \angle R Q O=2 \angle P Q R \]</p> <p>[참고] 정리 $ 2.5.10 $은 원의 한 현의 원주각은 중심각의 반이라는 것을 의미한다. 그러므로 한 현의 모든 원주각은 모두 같다.</p> <p>삼각형의 $ 5 $심(무게중심, 내심, 방심, 외심, 수심)</p> <p>정리 $2.5.11 $ (무게중심정리) 삼각형의 $3 $개의 중선은 한 점(무게중심(barycenter))에서 만나고 각 중선은 다른 중선들을 $ 2: 1 $로 내분한다.</p> <p>증명 변 $ A B, A C $의 중점을 각각 $ C ^ {\prime } , B ^ {\prime } $라 하고, $ B B ^ {\prime } \bigcap C C ^ {\prime } =G $라 하자. $ B B ^ {\prime } / / C C ^ {\prime } $이므로, 엇각정리에 의하여 $ \angle B ^ {\prime } C ^ {\prime } G \equiv \angle G C B, \angle C ^ {\prime } B ^ {\prime } G \equiv \angle G B C $이다. 그러므로 $ \triangle G B ^ {\prime } C ^ {\prime } $ $ \sim \triangle G B C $이다. $ B ^ {\prime } C ^ {\prime } : B C=1: 2 $이므로, $ G B ^ {\prime } : G B=G C ^ {\prime } : G C=1: 2 $이다. 즉, 중선 $ B B ^ {\prime } , C C ^ {\prime } $ 는 각각 서로 다른 것을 $ 1: 2 $로 내분한다. 마찬가지로, $ B B ^ {\prime } , A A ^ {\prime } $ 도 각각 서로 다른 것을 $ 1: 2 $로 내분하므로, 중선 $ A A ^ {\prime } $ 는 $ G $ 를 지난다.</p> <p>$ \frac {\overline { A C } } {\overline { C B } } = \frac {\overline { A D } } {\overline { B D } } =k $ 이다.</p> <p>만일 $ k<1 $이면, $ D * A * B $이고 $ \overline { B D } -k \cdot \overline { B D } = \overline { B D } - \overline { A D } = \overline { A B } $이므로, $ D $는 \[ \overline { D B } = \frac { 1 } { 1-k } \cdot \overline { A B } \]인 유일한 점이고, 만일 $ k>1 $ 이면, $ A * B * D $이고 $ k \cdot \overline { B D } - \overline { B D } = \overline { A D } - \overline { B D } = \overline { A B } $이므로, $ D $는 \[ \overline { D B } = \frac { 1 } { k-1 } \cdot \overline { A B } \]인 유일한 점이다.</p> <p>$ k=1 $인 경우는 생각할 수 없다. 왜나하면 $ \overline { A D } = \overline { B D } $인 점 $ D $가 선분 $ A B $의 외부에 있을 수 없기 때문이다. 따라서 $ A B $의 중점 $ M $은 어떤 조화공액도 갖지 않는다.</p> <p>이러한 경우는 유클리드 평면에 “무한원직선”을 첨가해서 유클리드 평면을 실사영평면으로 만듦으로써 제거될 수 있다. 그러면 $ M $의 조화공액은 $ \overleftrightarrow { A B } $ 위의 "무한원점"으로 정의한다.</p> <p>조화작도를 정당화하기 의하여 배경(perspectivity)의 개념을 필요로 한다. 이것은 두 직선 $ l $ 과 $ m $이 주어졌을 때, 이 직선 어느 쪽 위에도 있지 않는 점 $ P $로부터의 사영에 의하여 얻어지는 직선 $ l $에서 직선 $ n $ 위로의 사상을 말한다.</p> <p>그래서 $ l $ 위의 점 $ A $는 $ n $ 과 $ \overleftrightarrow { P A } $의 교점 $ A ^ {\prime } $ 로 대응된다. 만일 $ \overleftrightarrow { P A } $가 $ n $과 평행이었다면 $ A $의 상은 $ n $ 위의 무한원점이 된다. 이때, $ P $는 이 배경의 중심(center)이라고 한다.</p> <p>[참고] 이 공리는 주어진 한 각이 주어진 한 반직선의 주어진 쪽에 유일한 방법으로 갖다 붙일 수 있다는 것이다.</p> <p>합동공리 $ 5 $. $ \angle A \equiv \angle B $이고 $ \angle A \equiv \angle C $이면, $ \angle B \equiv \angle C $이다. 특히, 모든 각은 자기 자신과 합동이다.</p> <p>[참고] 이 공리는 한 각과 합동인 모든 각들이 서로 합동임을 말해준다. 유클리드의 공통개념 $ 1 $, $ 4 $는 이 공리를 내포한다. $ \angle A \equiv \angle A $(반사율)이다. 만일 $ \angle A \equiv \angle B $이면, $ \angle A \equiv \angle A $이므로, 합동공리 $ 5 $에 의하여 $ \angle B \equiv \angle A $이다. 그러므로 각은 대칭율을 만족한다. 만일 $ \angle A \equiv \angle B $이고 $ \angle B \equiv \angle C $이면, $ \angle B \equiv \angle A $ 이므로, $ \angle A \equiv \angle C $이다. 그러므로 각은 추이율을 만족한다. 따라서 각은 합동에 관하여 동치관계를 만족한다.</p> <p>합동공리 $ 6 $. 두 삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[ \begin {array} { r } A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } , \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } \\ \text { 이면, } \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } , \angle A C B \equiv \angle A ^ {\prime } C ^ {\prime } B ^ {\prime } \text { 이다. } \end {array} \]</p> <p>정의 $ 2 $개의 삼각형에 대하여 대응하는 변과 대응하는 각이 각각 합동일 때, 두 삼각형은 합동 (congruent)이라 한다.</p> <p>정리 $2.3.1 $ 삼각형 $ \triangle A B C $에 대하여 $ A B \equiv A C $이면, $ \angle A B C \equiv \angle A C B $이다. 즉 이등변삼각형의 밑각은 합동이다.</p> <p>증명 삼각형 $ \triangle A B C $와 $ \triangle A C B $를 생각하자.</p> <p>꼭짓점들의 대응 $ A \leftrightarrow A, B \leftrightarrow C, C \leftrightarrow B $를 생각하자. \[A B \equiv A C, A C \equiv A B, \angle B A C \equiv \angle C A B \] 이므로, 합동공리 $ 6 $에 의하여 $ \angle A B C \equiv \angle A C B $이다.</p> <p>명제 $ 2.3.2 $(선분의 뺄셈) $ A * B * C, D * E * F, A B \equiv D E, A C \equiv D F $이면, $ B C \equiv E F $이다.</p> <p>증명 $ B C \not \equiv E F $이라 가정하자. 그러면 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ B C \equiv E G $인 점 $ G $가 $ \overrightarrow { E F } $ 위에 존재한다. $ G \neq F $이다. $ A B \equiv D E $이므로, 합동공리 $ 3 $에 의하여 $ A C \equiv D G $이다. 그러나 $ A C \equiv D F $이다. 합동공리 $ 2 $에 의하여 $ D F \equiv D G $이다. 그러므로 $ G = F $이다. 이것은 모순이다.</p> <p>정의 $ A, B $가 한 직선 $ l $ 위에 있지 않은 점이라고 하자. 만일 $ A=B $이거나 선분 $ A B $가 $ l $위에 있는 어떤 점도 포함하지 않으면 $ A $와 $ B $는 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있다(lie on the same side)고 말한다. 또 $ A \neq B $이고 선분 $ A B $가 $l $과 교차하면 $ A $와 $ B $는 $ l $에 관하여 반대쪽에 있다(lie on the opposite side)고 말한다.</p> <p>순서공리 $ 4 $. (평면분리공리) 한 직선 $ l $ 위에 있지 않는 임의의 세 점 $ A, B, C $ 에 대하여<ol type=i start=1><li>$ A $와 $ B $가 직선 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있고 $ B $와 $ C $가 직선 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있으면 $ A $와 $ C $가 직선 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있다.</li> <li>$ A $와 $ B $가 직선 $ l $에 관하여 반대쪽에 있고 $ B $와 $ C $가 직선 $ l $에 관하여 반대쪽에 있으면 $ A $와 $ C $가 직선 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있다.</li></ol></p> <p>순서공리 $ 4 $ (i)은 간접적으로 기하학이 $2 $-차원적임을 보장해준다. 또한 순서공리 $ 4 $는 횡단선의 한 쪽에서 만나는 두 직선에 관한 내용을 담고 있는 유클리드의 평행공준을 이해하는 데도 필요하다.</p> <p>정의 직선 $ l $에 관하여 $ l $ 위에 있지 않은 어떤 특별한 점과 같은 쪽에 있는 모든 점들의 집합을 직선 $ l $의 한 쪽(one side)이라고 정의할 수 있다. 이러한 한 쪽에 대한 다른 표현은 $ l $을 경계로 하는 반평면(half-plane)이다.</p> <p>명제 $ 2.2.1 $ 모든 직선은 정확히 두 반평면의 경계이고 이들 두 반평면은 어떤 공유점도 갖지 않는다.</p> <p>증명 결합공리 $ 3 $에 의하여 한 직선 $ l $ 위에 있지 않은 점 $ A $가 존개한다. 결합공리 $ 2 $에 의하여 $ l $ 위에 있는 점 $ O $가 존재한다. 순서공리 $ 2 $에 의하여 $ B * O * A $인 점 $ B $가 존재한다. 그러면 $ A $와 $ B $는 $ l $에 관하여 반대쪽에 있다. 따라서 $ l $은 적어도 두 쪽을 갖는다. $ C $가 $ l $ 위에 있지 않은 점들 $ A, B $와는 다른 임의의 점이라고 하자. 만일 $ C $와 $ B $가 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있지 않다면, 순서공리 $ 4 $ (ii)에 의하여 $ C $ 와 $ A $는 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있다. 따라서 $ l $은 정확히 두 쪽을 갖는다. 만일 이들 양쪽이 공유점 $ C $를 갖는다면, 순서공리 $4 $ (i)에 의하여 $ A $와 $ B $는 $ l $에 관하여 같은 쪽에 있게 된다. 이것은 모순이다.</p> <p>증명 횡선정리에 의하여 $ G $ 를 $ A * G * C $가 되도록 택했다고 가정하자. 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ D, E, F $를 $ A B \equiv D E, B G \equiv E H, B C \equiv E F $가 되도록 택했다고 가정하자. 그러면 $ \mathrm { SAS } $합동판정법에 의하여 $ \triangle A B G \equiv \triangle D E H $이고 $ \triangle G B C \equiv \triangle H E F $이다. 따라서 \[ \angle D H E \equiv \angle A G B, \angle F H E \equiv \angle C G B \] 이고, $ \angle A G B $는 $ \angle C G B $의 보각이다. 명제 $ 2.3. 8 $과 합동공리 $ 4 $에 의하여 $ D, H, F $는 일직선 위에 있고 $ \angle D H E $는 $ \angle F H E $의 보각이다. 명제 $ 2.2.5 $에 의하여 $ D * H * F $이다. 합동공리 $3 $에 의하여 $ A C=D F $ 이다. SAS 합동판정법에 의하여 $ \triangle A B C= \triangle D E F $이다. 그러므로 $ \angle A B C \equiv \angle D E F $이다.</p> <p>명제 $ 2.3.12 $ (각의 뺄셈) $ \overrightarrow { B G } $가 $ \overrightarrow { B A } $와 $ \overrightarrow { B C } $ 사이에 있고 $ \overrightarrow { E H } $가 $ \overrightarrow { E D } $와 $ \overrightarrow { E F } $ 사이에 있고 또 $ \angle C B G \equiv \angle F E H, \angle A B C \equiv \angle D E F $이면, $ \angle G B A \equiv \angle H E D $이다.</p> <p>증명 횡선정리에 의하여 $ G $를 $ A * G * C $가 되도록 택했다고 가정하자. 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ D, E, F $를 $ A B \equiv D E, B G \equiv E H, B C \equiv E F $가 되도록 택했다고 가정하자. 그러면 $ \mathrm { SAS } $합동판정법에 의하여 $ \triangle A B C \equiv \triangle D E F $이고 $ \triangle G B C \equiv \triangle H E F $이다. 따라서 \[ \angle D F E \equiv \angle A C B, \angle F H E \equiv \angle C G B \]이고, $ \angle A G B $는 $ \angle C G B $의 보각이다. 명제 $ 2.3.8 $과 합동공리 $ 4 $에 의하여 $ D, H, F $는 일직선 위에 있고 $ \angle D H E $는 $ \angle F H E $의 보각이다. 명제 $ 2,2,5 $에 의하여 $ D * H * F $이다. 합동공리 $ 3 $에 의하여 $ A G \equiv D H $이다. SAS 합동판정법에 의하여 $ \triangle A B G \equiv \triangle D E H $이다. 그러므로 $ \angle G B A \equiv \angle H E D $이다.</p> <p>정의 $ \angle A B C< \angle D E F $라 함은 $ \angle A B C \equiv \angle G E F $인 한 반직선 $ \overrightarrow { E G } $가 $ \overrightarrow { E D } $와 $ \overrightarrow { E F } $ 사이에 존재함을 의미한다.</p> <p>명제 $2.3.13 $ (각의 삼분법)</p> <p>( $ 1 $) 다음 조건들 중 오직 하나만 성립한다. \[ \angle P< \angle Q, \angle P \equiv \angle Q, \angle Q< \angle P \]</p> <p>( $ 2 $) 만일 $ \angle P< \angle Q, \angle Q \equiv \angle R $이면, $ \angle P< \angle R $ 이다.</p> <p>( $ 3 $) 만일 $ \angle P< \angle Q, \angle P \equiv \angle R $이면, $ \angle R< \angle P $ 이다.</p> <p>( $ 4 $) (추이율) 만일 $ \angle P< \angle Q, \angle Q< \angle R $이면, $ \angle P< \angle Q $이다.</p> <p>따름정리 $ 2.3.9 $에 의하여 $ \angle A E C \equiv \angle B E D $이다. 그러므로 $ \mathrm { SAA } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle E A C \equiv \triangle E B D $이다. 따라서 $ A E \equiv B E $이므로 $ E $는 $ A B $의 중점이다.</p> <p>(ii) (유일성) 점 $ M, M ^ {\prime } $가 선분 $ A B $의 서로 다른 중점이라고 가정하자. (i)에 의하여 $ A * M * B $, $ A * M ^ {\prime } * B $이고, 정의에 의하여 $ A M \equiv M B $이다. $ A * M * M ^ {\prime } $이라 가정하자. 그러면 명제 $ 2.2.2 $에 의하여 $ M * M ^ {\prime } * B $이다. 그러므로 정의에 의하여 $ A M<A M ^ {\prime } $이고, $ M ^ {\prime } B<M B $이다. 명제 $ 2,3.4 $에 의하여 $ A M<M ^ {\prime } B $이다. 명제 $ 2.3.4 $에 의하여 $ A M<M B $이다. 이것은 모순이다. 마찬가지로, $ A * M ^ {\prime } * M $ 인 경우에도 모순을 얻는다. 그러므로 $ M=M ^ {\prime } $이다.</p> <p>명제 $2.4.12 $ (이등분선)<ol type=i start=1><li>모든 각은 유일한 이등분선을 갖는다.</li> <li>모든 선분은 유일한 수직 이등분선을 갖는다.</li></ol></p> <p>증명 (i) 직선 $ l $ 위에 있는 서로 다른 두 점 $ A, C $를 택하자. 점 $ C $를 지나는 직선 $ l ^ {\prime } $를 택하자. 그러면 합동공리 $1 $에 의하여 $ C $로부터 방사된 반직선 위에 $ C A \equiv C B $인 점 $ B \in l ^ {\prime } $가 유일하게 존재한다. 명제 $ 2.4.11 $에 의하여 선분 $ A B $의 중점 $ M $이 유일하게 존재한다. 그러면 $ \mathrm { SSS } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle A M C \equiv \triangle B M C $이다. 그러므로 $ \angle A C M \equiv \angle B C M $이다.</p> <p>따라서 $ \overleftrightarrow { C M } $은 각 $ \angle A C B $의 유일한 이등분선이다.</p> <p>(ii) 명제 $ 2.4.11 $에 의하여 선분 $ A B $의 중점 $ M $이 유일하게 존재한다. 명제 $ 2.3.10 $에 의하여 $ M $을 지나서 직선 $ \overleftrightarrow { A B } $와 수직인 직선이 존재한다. 명제 $ 2.3.15 $와 합동공리 $4 $에 의하여 $ M $을 지나서 직선 $ \overleftrightarrow { A B } $와 수직인 직선은 유일하다.</p> <p>명제 $ 2.4.13 $ 삼각형 $ \triangle A B C $에 대하여 $ A B>B C $이기 위한 필요충분조건은 $ \angle C>\angle A $이다.</p> <p>증명 $ A B>B C $ 라고 하자. 그러면 정의에 의하여 $ B D \equiv B C $인 점 $ D $가 $ A $와 $ B $ 사이에 존재한다.</p> <p>$ \triangle C B D $는 이등변삼각형이므로, 명제 $ 2.3.1 $에 의하여 $ \angle B C D \equiv \angle B D C $이다. 외각정리에 의하여 $ \angle A< \angle B D C $이다. 명제 $ 2.3.13 $에 의하여 $ \angle A< \angle B C D $이다. $ \angle A C B>\angle B C D $ 이므로 명제 $ 2.3.13 $에 의하여 $ \angle A< \angle A C B $이다.</p> <p>역으로 $ \angle A< \angle C $이라 가정하자. 삼분법에 의하여 $ A B<B C $ 또는 $ A B \equiv B C $ 또는 $ A B>B C $ 중 하나가 성립한다.</p> <p>만일 $ A B \equiv B C $이면, 명제 $ 2.3.1 $에 의하여 $ \angle A \equiv \angle C $이다. 이것은 모순이다.</p> <p>만일 $ A B<B C $이면, 정의에 의하여 $ A B \equiv B D $인 점 $ D $가 $ B $와 $ C $ 사이에 존재한다. 엇각 정리에 의하여 $ \angle C< \angle A $이다. 이것은 가정에 모순이다. 그러므로 $ A B>B C $이다.</p> <p>$ 4 \sqrt { 3 } S \leqq a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } $</p> <p>$ 5 $. 직각자와 컴퍼스를 가지고 다음을 작도하여라.</p> <p> <ol type=1 start=1><li>선분 $ A B $가 주어질 때, $ A B $의 수직이등분선을 작도하여라.</li> <li>한 직선 $ l $과 $ l $위에 있는 한 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $과 수직인 직선을 작도하여라.</li> <li>한 직선 $ l $과 $ l $위에 있지 않는 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $과 수직인 직선을 작도하여라.</li> <li>한 각의 이등분 반직선을 작도하여라.</li> <li>한 직선 $ l $과 $ l $위에 있지 않는 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $과 평행인 직선을 작도하여라.</li> <li>$ \triangle A B C $ 와 선분 $ D E \equiv A B $가 주어질 때, 직선 $ \overleftrightarrow { D E } $에 관하여 어느 한 쪽에서 $ \triangle D E F $ $ \equiv \triangle A B C $가 되는 점 $ F $를 작도하여라.</li> <li>각 $ \angle A B C $와 반직선 $ \overrightarrow { D E } $가 주어질 때, 직선 $ \overleftrightarrow { D E } $에 관하여 어느 한 쪽에서 $ \angle A B C $ $ \equiv \angle F D E $가 되는 점 $ F $를 작도하여라.</li></ol> <p/><p>$ 6 $. 그리이스인들은 수 $ \rho=(1 + \sqrt { 5 } ) / 2 $를 황금비(golden ratio)라고 불렀고, 또 그의 두 변이 이 비를 이루는 직사각형을 황금직사각형(golden rectangle)이라고 불렀다. 황급직사각형이 직각자와 컴퍼스를 가지고 다음과 같이 작도될 수 있음을 증명하여라.</p> <p> <ol type=1 start=1><li>정사각형 $ A B C D $를 작도하여라.</li> <li>선분 $ A B $ 의 증점 $ M $을 작도하여라.</li> <li>$ M C \equiv M E $ 인 점 $ E $를 작도하여라.</li> <li>$ E $ 로부터 $ \overleftrightarrow { D C } $에 내린 수선의 발 $ F $를 작도하여라.</li> <li>그러면 사변형 $ A E F D $ 는 황금사각형이다(이때 $ \triangle M B C $에 대한 피타고라스의 정리를 이용하여라).</li> <li>특히 사변형 $ B E F C $는 또 하나의 황금직사각형이다(우선 $ 1 / \rho= \rho-1 $임을 보여라).</li></ol></p> <p>$ 7 $. 직각자 위에 적당한 거리 $ d $를 나타내는 두 지점을 표시하자.</p> <p>임의의 각 $ \angle A O B $에 대하여 그 각의 꼭지점 $ O $를 중심으로 하고 반지름이 $ d $인 원 $ \gamma $를 그리자. 그러면 이 원 $ \gamma $는 이 각 $ \angle A O B $의 각 변 $ \overrightarrow { O A } , \overrightarrow { O B } $와 점 $ A, B $에서 만날 것이다. 이때 이 직각자를 직선 $ \overleftrightarrow { O A } $위에서 $ O $가 $ C $와 $ A $사이에 오게 되는 한 점 $ C $에 한 표시가 놓이고 원 $ \gamma $위의 한 점 $ D $에 또 다른 표시가 오도록 갖다 놓자. 그러면 직각자는 동시에 점 $ B $ 위에 놓이게 된다. 따라서 $ B, C, D $는 일직선 위에 있다. 이렇게 작도된 $ \angle C O D $의 크기가 $ \angle A O B $의 크기의 $ \frac { 1 } { 3 } $임을 증명하여라.</p> <p>명제 $ 2.6.16 $ $ \gamma $와 $ \delta $는 직교원이고, $ A B $는 $ \gamma $의 직경이고. $ \delta $는 점 $ C, D $에서 $ \overleftrightarrow { A B } $를 자르면 $ C $와 $ D $는 $ A B $에 관하여 조화공액이다. 역으로 한 원의 직경이 두 번째 원에 의하여 조화적으로 잘리면 두 원은 직교한다.</p> <p>증명 $ T $는 $ \gamma $와 $ \delta $의 교점이라고 하자. 그러면 두 원이 직교하기 위한 필요충분조건은 $ \overline { O C } \cdot \overline { O D } = \overline { O T } ^ { 2 } $이다(예비정리 $ 2.5.19 $ 참조). 그러므로 명제 $ 2.6,15 $에 의하여 $ C $와 $ D $는 $ A B $에 관하여 조화공액이다. $ \delta $의 중심을 $ O ^ {\prime } $라고 하면, \[ \begin {aligned} \overline { O O ^ {\prime } } &= \overline { O C } + \overline { C O ^ {\prime } } , \overline { O D } = \overline { O O ^ {\prime } } + \overline { O ^ {\prime } D } \\ \overline { O T } ^ { 2 } &= \overline { O C } \cdot \overline { O D } \\ &= \left ( \overline { O O } ,- \overline { C O } ^ {\prime } \right ) \left ( \overline { O O } , + \overline { O ^ {\prime } D } \right ) \\&= \left ( \overline { O O } { } ^ {\prime } - \overline { C O } ^ {\prime } \right ) \left ( \overline { O O } { } ^ {\prime } + \overline { C O ^ {\prime } } \right ) \\ &= \overline { O O } ^ {\prime 2 } - \overline { C O } ^ {\prime 2 } \\&= \overline { O O } ^ {\prime 2 } - \end {aligned} \]이므로 피타고라스의 정리에 의하여 $ \triangle O O ^ {\prime } T $는 $ \angle T $가 직각인 직각삼각형이다.</p> <p>명제 2.6.17 일직선 위에 있는 세 점 $ A, B, C $가 주어졌다고 하자. 이때 이들과 조화 $ 4 $원소를 이루는 점 $ D $가 $ A B $를 직경으로 갖는 원에 관한 $ C $의 반점이다.</p> <p>증명 명제 $ 2.6.16 $ 과 $ 2.6.5 $로부터 결과가 나온다.</p> <p>예비정리 $ 2.5.19 $ 원 $ \delta $ 위에 있지 않는 점 $ O $가 주어졌다고 하자.</p> <p>( $ 1 $) 만일 $ O $를 지나는 두 직선이 $ \delta $와 각각 점의 쌍 $ \left (P_ { 1 } , P_ { 2 } \right ) $와 $ \left (Q_ { 1 } , Q_ { 2 } \right ) $에서 교차하다면, \[ \overline { O P_ { 1 } } \cdot \overline { O P_ { 2 } } = \overline { O Q_ { 1 } } \cdot \overline { O Q_ { 2 } } \]이다. $ O $ 가 $ \delta $의 외부에 있을 때, 이 곱을 $ \delta $에 관한 $ O $의 멱(power)라고 하고, $ O $가 $ \delta $의 내부에 있을 때, 이 곱의 음을 $ \delta $에 관한 $ O $의 멱이라고 한다.</p> <p>( $ 2 $) 만일 $ O $가 $ \delta $의 외부에 있고, $ O $로부터의 $ \delta $의 접선이 점 $ T $에서 $ \delta $와 만나면, $ \overline { O T } ^ { 2 } $은 $ \delta $에 관한 $ O $의 멱과 같다.</p> <p>증명 ( $ 1 $) 동일한 호에 대한 원주각들은 모두 합동이므로, \[ \begin {array} { l } \angle P_ { 2 } P_ { 1 } Q_ { 2 } \equiv \angle P_ { 2 } Q_ { 1 } Q_ { 2 } \\ \angle P_ { 1 } Q_ { 2 } Q_ { 1 } \equiv \angle P_ { 1 } P_ { 2 } Q_ { 1 } \end {array} \]이다. 그래서 $ \triangle O P_ { 1 } Q_ { 2 } $ 와 $ \triangle O Q_ { 1 } P_ { 2 } $는 닮은 삼각형이다. 따라서 \[ \frac {\overline { O P_ { 1 } } } {\overline { O Q_ { 1 } } } = \frac {\overline { O Q_ { 1 } } } {\overline { O P_ { 2 } } } \]이다.</p> <p>정리 2.5.8<ol type = 1 start=1><li>(사인법칙) 삼각형 $ \triangle A B C $의 각 $ \angle A, \angle B, \angle C $의 대변의 길이를 각각 $ a, b, c $라 하면, \[ \frac { a } {\sin \angle A } = \frac { b } {\sin \angle B } = \frac { c } {\sin \angle C } \]이다.</li> <li>(코사인법칙) $ c ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -2 a b \cos \angle C $</li> <li>(피타고라스 정리의 역) 만일 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } =c ^ { 2 } $이면, $ \triangle A B C $는 각 $ \angle C $가 직각인 직각삼각형이다.</li></ol></p> <p>증명 ( $ 1 $) $ b \sin \angle A= \overline { C D } =a \sin \angle B $이므로, $ \frac { a } {\sin \angle A } = \frac { b } {\sin \angle B } $이다. 마찬가지로, $ c \sin \angle A= \overline { D E } =a \sin C $이다. 그러므로 결과가 나온다.</p> <p>(2) $ c=b \cos \angle A + a \cos \angle B $</p> <p>$ \begin {aligned} c ^ { 2 } =& a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \angle B + b ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \angle A + 2 a b \cos \angle A \cos \angle B \\ &=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - \left (a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle B + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle A \right ) + 2 a b( \cos ( \angle A + \angle B) + \sin \angle A \sin \angle B) \\ &=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - \left (a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle B + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle A \right ) + 2 a b( \cos ( \pi- \angle C) + \sin \angle A \sin \angle B) \\ &=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - \left (a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle B + b ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \angle A \right ) + 2 a b(- \cos \angle C + \sin \angle A \sin \angle B) \\ &=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -2 a b \cos \angle C-(a \sin \angle B-b \sin \angle A) ^ { 2 } \\ &=a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -2 a b \cos \angle C \end {aligned} $</p> <p>정리 $ 2.5.18 $ (Desargues) 동일한 평면에 있는 두 삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에 대하여 $ \overleftrightarrow { A A ^ {\prime } } , \overleftrightarrow { B B ^ {\prime } } , \overleftrightarrow { C C ^ {\prime } } $ 가 한 점 $ O $에서 만나면, $ \overleftrightarrow { B C } $와 $ \overleftrightarrow { B ^ {\prime } C ^ {\prime } } $의 교점 $ L, \overleftrightarrow { C A } $와 $ \overleftrightarrow { C ^ {\prime } A ^ {\prime } } $의 교점 $ M, \overleftrightarrow { A B } $와 $ \overleftrightarrow { A ^ {\prime } B ^ {\prime } } $ 의 교점 $ N $은 일직선 위에 있다. 또, 그 역도 성립한다.</p> <p>증명 $ \triangle O B C $ 를 직선 $ \overleftrightarrow { L B ^ {\prime } } $로 끊었다고 생각하면, 메넬라오스의 정리에 의하여 \[ \left ( \underline { O C ^ {\prime } } / \underline { C ^ {\prime } C } \right )( \underline { C L } / \underline { L B } ) \left ( \underline { B B ^ {\prime } } / \underline { B ^ {\prime } O } \right ) = -1 \]이다. 마찬가지로, $ \triangle O C A, \triangle O A B $를 각각 직선 $ \overleftrightarrow { M C ^ {\prime } } , \overleftrightarrow { N A ^ {\prime } } $,로 끊었다고 생각하면, \[ \left ( \underline { O C ^ {\prime } } / \underline { C ^ {\prime } C } \right )( \underline { C M } / \underline { M A } ) \left ( \underline { A A ^ {\prime } } / \underline { A ^ {\prime } O } \right )=-1 \] \[ \left ( \underline { O A ^ {\prime } } / \underline { A ^ {\prime } A } \right )( \underline { A N } / \underline { N B } ) \left ( \underline { B B ^ {\prime } } / \underline { B ^ {\prime } O } \right )=-1 \]을 얻는다. 첫 번째의 식의 역을 나머지 두 식의 곱에 곱하면, 다음을 얻는다. \[( \underline { L B } / \underline { C L } )( \underline { C M } / \underline { M A } )( \underline { A N } / \underline { N B } )=-1 \text { , } \]즉, $ \quad( \underline { A M } / \underline { M C } )( \underline { C L } / \underline { L B } )( \underline { B N } / \underline { N A } )=-1 $ 세 점 $ L, M, N $ 은 $ \triangle A B C $의 변의 연장선의 점이고, 위의 관계가 성립하므로 메넬라오스의 정리에 의하여 일직선 위에 있다.</p> <p>정리 $ 2.3.6 $ (ASA 합동판정법) $ 2 $개의 삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } \text { 이고. } \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } , \angle C B A \equiv \angle C ^ {\prime } B ^ {\prime } A ^ {\prime } \]이면, $ \triangle A B C \equiv \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 이다.</p> <p>증명 $ A C \not \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이라 가정하자. 이때 $ A C<A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이라 가정해도 무방하다. 그러면 변 $ A ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 위에 점 $ D ^ {\prime } $가 존재하여 $ A C \equiv A ^ {\prime } D ^ {\prime } $이다. $ A ^ {\prime } D ^ {\prime }<A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이므로, $ \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } D< \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } D ^ {\prime } $에서 $ A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , A C \equiv A ^ {\prime } D ^ {\prime } $이고 $ \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } D ^ {\prime } $이므로, 합당공리 $ 6 $에 의하여 $ \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } D ^ {\prime } $이다. 가정에 의하여 \[ \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이다. 이것은 모순이다. 그러므로 $ A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>명제 $ 2.1.9 $ 임의의 평면에 대하여 그 위에 있지 않는 점이 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명 결합공리 $ 8 $에 의하여 결과가 나온다.</p> <p>명제 $2.1.10 $<ol type = i start=1><li>임의의 $ 2 $ 점 $ P, Q $에 대하여 $ P, Q $를 지나는 평면은 적어도 $ 2 $개 존재한다.</li> <li>임의의 점 $ P $에 대하여 $ P $를 포함하는 평면은 적어도 $ 3 $개 존재한다.</li></ol></p> <p>증명 (i) 결합공리 $ 1 $에 의하여 점 $ P, Q $를 지나는 직선 $ l $은 오직 하나 존재한다. 결합공리 $ 3 $에 의하여 직선 $ l $ 위에 있지 않는 점 $ R $이 적어도 하나 존재한다. 결합공리 $ 4 $에 의하여 $ P, Q, R $을 지나는 평면 $ \pi $가 유일하게 존재한다. 그러면 명제 $ 1,2,9 $에 의하여 $ \pi $ 위에 있지 않는 점 $ S $가 적어도 하나 존재한다. 그러므로 결합공리 $ 5 $에 의하여 $ P, Q, S $를 지나는 평면 $ \pi ^ {\prime } $가 오직 하나 존재한다. 그러므로 결과가 나온다.</p> <p>(ii) 결합공리 8에 의하여 결과가 나온다.</p> <p>어떤 공리계가 주어졌을 때, 그의 무정의용어와 관계에 특별한 의미를 부여함으로써 공리계를 해석(interpretation)할 수 있다. 이렇게 얻어진 기하를 그 공리계의 모형(model)이라 한다. 어떤 공리계에서의 명제가 참인지 거짓인지를 알기 위해서는 그의 모형에서 해석된 명제가 참인지 거짓인지를 알면 된다. 공리계의 명제가 주어겼을 때, 그의 모형에서 해석된 명제가 거짓이면, 주어진 명제가 공리계에서 참이라는 것을 증명할 수 없다.</p> <p>예제 $ 2.1.11 $ [ $ 3 $-점 기하] 결합공리 $ 1,2,3 $을 만족하는 기하는 적어도 $ 3 $점을 가져야 한다. 이 $ 3 $개의 결합공리들을 만족하는 기하의 모형을 만들어보자. $ 3 $개의 문자로 이루어진 집합 $ \{ A, B, C \} $에 대하여 $ A, B, C $는 점(무정의용어)이라 부르고, $ 2 $개의 문자로 이루어진 부분집합 $ \{ A, B \} , \{ A, C \} , \{ B, C \} $를 직선(무정의용어)이라 부르자. 한 점이 한 직선 위에 있다(무정의 결합관계)는 것은 그것이 그 부분집합의 원소일 때라고 정하자. 그러면 점 $ A $는 직선 $ \{ A, B \} $와 $ \{ A, C \} $ 위에 있고, 직선 $ \{ B, C \} $ 위에 있지 않다. 이때 이러한 모형은 결합공리 $ 1,2,3 $을 만족한다. 그러므로 명제 $ 2.1.1 $~ 명제 $ 2.1.5 $는 $ 3 $-점 기하(3-point geometry)에서 성립한다.</p> <p>명제 $ 2.4.10 $ 두 직각삼각형에서 각각 빗변과 직각을 낀 한 변이 서로 합동이면, 두 직각삼각형은 합동이다.</p> <p>증명 명제 $ 2.3.15 $에 의하여 모든 직각은 합동이므로 $ \mathrm { SAA } $ 합동판정법에 의하여 결과가 나온다.</p> <p>명제 $ 2.4.11 $ (중점) 모든 선분은 유일한 중점을 갖는다.</p> <p>증명 (i) (존재성) 점 $ C $가 직선 $ \overleftrightarrow { A B } $ 위에 있지 않은 점이라 하자. 합동공리 $4 $에 의하여 $ \overleftrightarrow { A B } $에 관하여 $ C $와 반대쪽에 $ \angle C A B \equiv \angle A B X $인 유일한 반직선 $ \overrightarrow { B X } $가 존재한다. 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ \overrightarrow { B X } $ 위에 $ A C \equiv B D $인 점 $ D $가 존재한다. 순서공리 $ 4 $에 의하여 $ D $는 $ \overleftrightarrow { A B } $에 관하여 $ C $와 반대쪽에 있다. $ E $를 선분 $ C D $와 $ \overleftrightarrow { A B } $의 교점이라고 하자. $ E $가 $ A $와 $ B $ 사이에 있지 않다고 가정하자. 그러면 $ E = A $이거나 $ E=B $ 또는 $ E * A * B $ 또는 $ A * B * E $이다. 엇각정리에 의하여 $ \overleftrightarrow { A C } $ 는 $ \overleftrightarrow { B D } $와 평행이다. 따라서 $ E \neq A $이고 $ E \neq B $이다.</p> <p>$ E * A * B $라고 가정하자.</p> <p>Pasch의 정리에 의하여 $ \overleftrightarrow { C A } $가 $ \triangle E B D $의 변 $ E B $와 $ E $와 $ B $ 사이의 점에서 교차하므로 $ \overleftrightarrow { C A } $는 $ E D $나 $ B D $와 교차한다. $ \overleftrightarrow { C A } // \overrightarrow { B D } $이므로, 결합공리 $ 1 $에 의하여 이것은 불가능하다. 따라서 $ A $는 $ E $와 $ B $ 사이에 있지 않다. 마찬가지로, $ B $는 $ A $와 $ E $ 사이에 있지 않다. 따라서 $ A * E * B $이다.</p> <p>증명 합동공리 $ 6 $에 의하여 $ \angle A C B \equiv \angle A ^ {\prime } C ^ {\prime } B ^ {\prime } , \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다. 그러므로 $ B C \equiv B ^ {\prime } C ^ {\prime } $임을 보이면 충분하다. $ B C \not \equiv B ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 이라 가정하자. $ B C<B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이라 가정해도 무방하다. 이때 선분 $ B ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 의에 점 $ D ^ {\prime } $가 존재하여 $ B C \equiv B ^ {\prime } D ^ {\prime } $ 이다. $ B ^ {\prime } D ^ {\prime }<B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이므로 $ \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } D ^ {\prime }< \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } D ^ {\prime } $ 에서 $ A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , B C \equiv B ^ {\prime } D ^ {\prime } $이고 $ \angle A B C \equiv \angle A ^ {\prime } B ^ {\prime } D ^ {\prime } $이므로, 합동공리 $ 6 $에 의하여 $ \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } D ^ {\prime } $이다. 가정에 의하여 $ \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다. 그러므로 합동공리 $ 5 $에 의하여 $ \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } D ^ {\prime } = \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } $ 이다. 이것은 모순이다. 그러므로 $ B C \equiv B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>한 공리계를 만족하는 여러 가지 모형들을 생각해 보는 것이 좋은 점은 어떤 해석명제가 한 모형에서는 성립하고. 다른 모형에서는 성립하지 않는다는 것이다.</p> <p>예제 $ 2.1.12 $ [ $ 4 $-점 기하] $ 4 $개의 문자로 이루어진 집합 $ \{ A, B, C, D \} $에 대하여 $ A, B, C, D $는 점이라 부르고, $ 2 $개의 문자로 이루어진 부분집합 \[ \{ A, B \} , \{ A, C \} , \{ A, D \} , \{ B, C \} , \{ B, D \} , \{ C, D \} \]를 직선이라 부르자. 한 점이 한 직선 위에 있다는 것은 그것이 그 부분집합의 원소일 때라고. 정하자. $ 3 $개의 문자로 이루어진 부분집합 \[ \{ A, B, C \} , \{ A, C, D \} , \{ B, C, D \} , \{ A, B, D \} \]를 평면이라 부르자. 이러한 모형은 결합공리 $ 1 \sim $ 결합공리 $ 8 $을 만족한다. 그러므로 명제 $ 2.1.1 $~ 명제 $ 2.1 .10 $ 은 $ 4 $-점 기하( $ 4 $-point geometry)에서 성립한다.</p> <p>예제 $ 2.1.13 $ [ $ 5 $-점 기하] $ 5 $개의 문자로 이루어진 집합 $ \{ A, B, C, D, E \} $에 대하여 $ A, B, C $, $ D, E $는 점이라 부르고, $ 2 $개의 문자로 이루어진 부분집합 \[ \{ A, B \} , \{ A, C \} , \{ A, D \} , \{ A, E \} \{ B, C \} , \{ B, D \} , \{ B, E \} , \{ C, D \} , \{ C, E \} , \{ D, E \} \]를 직선이라 부르자. 한 점이 한 직선 위에 있다는 것은 그것이 그 부분집합의 원소일 때라고 정하자. $ 3 $개의 문자로 이루어진 부분집합 \[ \{ A, B, C \} , \{ A, B, D \} , \{ A, B, E \} , \{ A, C, D \} , \{ A, C, E \} , \{ A, D, E \} , \] \[ \{ B, C, D \} , \{ B, C, E \} \{ B, D, E \} , \{ C, D, E \} \]는 평면(plane)이라 하자. 이러한 모형은 결합공리 $ 1 \sim $ 결합공리 $ 8 $을 만족한다. 그러므로 명제 $ 2.1.1 $ 명제 $ 2.1.10 $은 $ 5 $-점 기하( $ 5 $-point geometry)에서 성립한다.</p> <h2>2.3 합동공리군 (group of axioms of congruence)</h2> <p>합동공리 $ 1 $. $ A, B $는 서로 다른 점이고, $ A ^ {\prime } $는 임의의 점이면, $ A ^ {\prime } $로부터 방사된 각 반직선 $ r $ 위에 유일한 점 $ B ^ {\prime } $가 존재하여 $ A ^ {\prime } \neq B ^ {\prime } , A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } $이다.</p> <p>[참고] 이 공리는 선분 $ A B $를 반직선 $ r $ 위로 옮겨 놓을 수 있음을 말해준다.</p> <p>합동공리 $ 2 $. $ A B \equiv C D $이고 $ A B \equiv E F $이면, $ C D \equiv E F $이다. 특히. 모든 선분은 자기 자신과 합동이다.</p> <p>[참고] 이 공리는 한 선분과 합동인 모든 선분들이 서로 합동임을 말해준다. 유클리드의 공통 개념 $ 1 $ , $ 4 $는 이 공리를 내포한다. 선분은 합동에 관하여 동치관계를 만족함을 알 수 있다.</p> <p>합동공리 $ 3 $. $ A * B * C, A ^ {\prime } * B ^ {\prime } * C ^ {\prime } $ 이고. $ A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , B C \equiv B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이면, \[ A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이다.</p> <p>[참고] 유클리드의 공통개념 $ 2 $는 이 공리를 내포한다.</p> <p>정의 꼭짓점이 $ A $인 각(angle with vertex A)은 점 $ A $로부터 방사된 반향이 아닌 두 반직선 $ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } $의 합집합을 말한다. 이때 $ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } $는 각의 변(side)이라 한다. 이러한 각을 $ \angle A, \angle B A C, \angle C A B $등으로 나타낸다.</p> <p>합동공리 $ 4 $. 임의의 각 $ \angle B A C $와 점 $ A ^ {\prime } $로부터 방사된 반직선 $ \overrightarrow { A ^ {\prime } B ^ {\prime } } $가 주어질 때, 직선 $ \overleftrightarrow { A ^ {\prime } B } $의 한 쪽에서 반직선 $ \overrightarrow { A ^ {\prime } C ^ {\prime } } $가 유일하게 존재하여 $ \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } \equiv \angle B A C $이다.</p> <p>( $ 3 $) $ c ^ { 2 } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } $이라 하자. 그러면 $ \cos \angle C=0 $이다. 그러므로 $ \angle C $는 직각이다.</p> <p>정리 $ 2.5.9 $ $ A * B * C $이고 점 $ D $는 $ A, B, C $와 일직선 위에 있지 않을 때 \[ \begin {array} { l } \frac {\overline { A B } } {\overline { B C } } = \frac {\overline { A D } \sin \angle \mathrm { ADB } } {\overline { C D } \sin \angle \mathrm { CDB } } \\ \overline {\frac { A C } {\overline { B C } } } = \frac {\overline { A D } \sin \angle \mathrm { ADC } } {\overline { B D } \sin \angle \mathrm { BDC } } \end {array} \]이다.</p> <p>증명 사인법칙에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>$ \frac {\overline { A B } } {\sin \angle A D B } = \frac {\overline { B D } } {\sin \angle A } = \frac {\overline { A D } } {\sin \angle B } , \overline { A B } = \frac {\overline { A D } \sin \angle A D B } {\sin \angle B } $ $ \frac {\overline { A D } } {\sin \angle C } = \frac {\overline { C D } } {\sin \angle A } = \frac {\overline { A C } } {\sin \angle D } , \overline { A C } = \frac {\overline { A D } \sin \angle A D C } {\sin \angle C } $ $ \frac {\overline { C D } } {\sin \angle C B D } = \frac {\overline { B C } } {\sin \angle B D C } = \frac {\overline { B D } } {\sin \angle C } , \overline { B C } = \frac {\overline { C D } \sin \angle C D B } {\sin \angle C B D } $, $ \overline { A B } = \frac {\overline { A D } \sin \angle A D B } {\sin \angle B } , \overline { B C } = \frac {\overline { C D } \sin \angle C D B } {\sin \angle C B D } $ 이고 $ \sin \angle B \equiv \sin \angle C B D $ 이므로, $ \frac {\overline { A B } } {\overline { B C } } = \frac {\overline { A D } \sin \angle \mathrm { ADB } } {\overline { C D } \sin \angle \mathrm { CDB } } $ 이다. $ \overline { A C } = \frac {\overline { A D } \sin \angle \mathrm { ADC } } {\sin \angle C } , \overline { B C } = \frac {\overline { B D } \sin \angle \mathrm { BDC } } {\sin \angle C } $ 이므로, $ \frac {\overline { A C } } {\overline { B C } } = \frac {\overline { A D } \sin \angle \mathrm { ADC } } {\overline { B D } \sin \angle \mathrm { BDC } } $ 이다.</p> <p>( $ 4 $)(추이율) 만일 $ A B<C D, C D<E F $ 이면, $ A B<E F $ 이다.</p> <p>증명 ( $ 1 $) $ A B \not \equiv C D $라고 가정하자. 그러면 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ A B \equiv C F $인 점 $ F \neq D $가 $ \overrightarrow { C D } $위에 존재한다. 이때, $ C * F * D $ 또는 $ C * D * F $이다. 만일 $ C * F * D $이면, 정의에 의하여 $ A B<C D $이다. 만일 $ C * D \times F $이면, 명제 $ 2.3.3 $에 의하여 $ C D \equiv A G $인 점 $ G $가 $ A $와 $ B $사이에 존재한다. 그러므로 $ C D<A B $이다.</p> <p>( $ 2 $)와 ( $ 3 $)은 명제 $ 2.3.3 $에 의하여 자명하다.</p> <p>( $ 4 $) 정의에 의하여 $ C D \equiv E H $인 점 $ H $가 $ E $와 $ F $ 사이에 존재한다. 즉, $ E * H * F $. $ A B<C D, C D \equiv E H $이므로, ( $ 2 $)에 의하여 $ A B<E H $이다. 정의에 의하여 $ A B \equiv E G $인 점 $ G $가 $ E $와 $ H $ 사이에 존재한다. 즉, $ E * G * H $. 그러므로 명제 $ 2.2.2 $에 의하여 $ E * G * F $이다. 따라서 ( $ 2 $)에 의하여 $ A B<E F $이다.</p> <p>정리 $ 2.3.5 $ (SAS 합동판정법) $ 2 $개의 삼각형 $ \triangle A B C, \triangle A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $에서 \[A B \equiv A ^ {\prime } B ^ {\prime } , A C \equiv A ^ {\prime } C ^ {\prime } \text { 이고 } \angle B A C \equiv \angle B ^ {\prime } A ^ {\prime } C ^ {\prime } \]이면, $ \triangle A B C \equiv \Delta A ^ {\prime } B ^ {\prime } C ^ {\prime } $이다.</p> <p>( $ 3 $) ( $ 2 $)의 역이므로 명백하다.</p> <p>( $4 $) 원 $ \delta $가 $ C $를 지나지 않을 때 $ C $를 지나는 임의의 직선이 $ \delta $와 점 $ P, Q $에서 만난다고 하자. $ P, Q $의 반점을 각각 $ P ^ {\prime } , Q ^ {\prime } $라고 하자. 또 $ \overrightarrow { C T } $가 원 $ \delta $ 위의 점 $ T $에서 접한다고 하고, $ T $의 반점을 $ T ^ {\prime } $라고 하자.</p> <p>원 $ \delta $의 중심이 $ B $일 때, $ P ^ {\prime } $를 지나서 선분 $ Q B $와 평행인 직선과 $ \overleftrightarrow { C B } $와 교점을 $ A $라고 하면 $ \triangle C Q B \sim \triangle C P ^ {\prime } A $임을 알 수 있다. $ \overline { C P } \cdot \overline { C P } ^ {\prime } = \overline { C Q } \cdot \overline { C Q } ^ {\prime } =r ^ { 2 } $ $ \overline { C P } \cdot \overline { C Q } = \overline { C T } ^ { 2 } $ $ \frac {\overline { C P ^ {\prime } } } {\overline { C Q } } = \frac {\overline { C A } } {\overline { C B } } = \frac {\overline { P ^ {\prime } A } } {\overline { Q B } } $ 그러므로 \[ \frac {\overline { C P ^ {\prime } } } {\overline { C Q } } = \frac {\overline { C Q } } {\overline { C P } } = \left ( \frac { r } {\overline { C T } } \right ) ^ { 2 } = \frac {\overline { C A } } {\overline { C B } } = \frac {\overline { P ^ {\prime } A } } {\overline { Q B } } \]이다. $ r, \overline { C T } , \overline { Q B } $는 일정하고 점 $ A $는 정점이므로, $ \overline { P ^ {\prime } A } $는 상수이다. 따라서 $ P ^ {\prime } $는 중심이 $ A $인 원 위에 있다.</p> <p>명제 $ 2.6.12 $ $ \delta $는 원 $ \gamma $의 중심 $ O $를 지나는 원이라고 하자. $ \gamma $에 관한 반점 아래서 $ \delta- \{ O \} $의 상은 $ O $를 지나지 않는 직선 $ l $이다. 그리고 $ l $은 $ O $에서의 $ \delta $의 접선과 평행이다.</p> <p>증명 명제 $ 2.6.10 $의 그림에서와 같이, $ A ^ {\prime } $는 $ O $와 대심점인 $ \delta $ 위의 점이라 하고 $ A $는 $ \gamma $에 관한 그의 반점이라 하고, $ l $은 $ A $에서의 $ \overleftrightarrow { O A } $의 수선이라고 하자. 명제 $ 2.6.10 $의 증명에 의하여 $ \gamma $에 관한 반전은 $ l $을 $ \delta- \{ O \} $ 위로 사상한다. 따라서 그것은 명제 $ 2.6 .1 $에 의하여 $ \delta- \{ O \} $를 $ l $ 위로 사상해야만 한다.</p> <p>유클리드 직선에 대한 반사가 각의 크기는 보존하지만 유향각의 방향을 바꾸어 놓는다는것은 명백하다. 다음 명제는 이것을 반전으로 일반화시킨다.</p> <p>명제 $ 2.6.13 $ 두 원의 유향교각은 반전에 의하여 크기는 보존되지만 방향은 거꾸로 된다. 이것은 원과 한 직선 또는 두 직선의 교각에도 적용된다.</p> <p>증명 원 $ \delta $와 $ \sigma $는 점 $ P $에서 교차하고 그 점에서 접선 $ l, m $을 갖는다고 가정하자. $ P ^ {\prime } $는 원 $ \gamma $에 관한 $ P $의 반점이고, $ \delta ^ {\prime } $와 $ \sigma ^ {\prime } $가 $ \gamma $에 관한 반전 아래서 $ \delta $ 와 $ \sigma $의 상이라 하고, $ l ^ {\prime } $와 $ m ^ {\prime } $은 각각 $ P ^ {\prime } $에서의 그들의 접선이라고 하자. 그러면 명제 $ 2.6.10 $에 의하여 첫 번째 주장은 $l ^ {\prime } $와 $ m ^ {\prime } $의 수직이등분선에 관한 $ l $과 $ m $의 반사라는 사실로부터 나온다. 또 다른 경우는 명제 $ 2.6.10 $과 $ 2.6.12 $로부터 나온다.</p> <p>따름정리 $ 2.6.8 $ 원 $ \delta $가 원 $ \gamma $와 직교하기 위한 필요충분조건은 $ \delta $가 $ \gamma $에 관한 반전에 의하여 그 자체로 사상되는 것이다.</p> <p>증명 $ \delta $가 $ \gamma $와 직교하고 $ P $가 $ \delta $ 위에 있다면, 명제 $ 2.6.5 $와 예비정리 $ 2.5.19 $에 의하여 $ \omega = \frac {\overline { O P } } {\overline { O P ^ {\prime } } } =r ^ { 2 } $이다. 따라서 $ k=1 $ 이고 $ \delta= \delta ^ {\prime } $이다.</p> <p>역으로, $ \delta= \delta ^ {\prime } $이고, $ \omega=r ^ { 2 } $이면 $ \delta $는 $ \gamma $에 관한 $ P $의 반점 $ P ^ {\prime } $를 지난다. 따라서 명제 $ 2,6,5 $에 의하여 $ \delta $는 $ \gamma $와 직교한다.</p> <p>예비정리 $ 2.6.9 $ 점 $ O $는 원 $ \gamma $의 중심이고. $ P $와 $ Q $는 $ O $와 일직선 위에 있지 않은 두 점이라 하고 $ P ^ {\prime } $와 $ Q ^ {\prime } $를 $ \gamma $에 관한 그들의 반점이라고 하면 $ \triangle P O Q $와 $ \triangle Q ^ {\prime } O P ^ {\prime } $는 닮은 삼각형이다.</p> <p>증명 두 삼각형은 공통으로 $ \angle P O Q $를 갖고 있고 \[ \overline { O P } \cdot \overline { O P ^ {\prime } } =r ^ { 2 } = \overline { O Q } \cdot \overline { O Q } ^ {\prime } \]이다. 따라서 SAS 닮음판정법에 의하여 결과가 나온다.</p> <p>명제 $ 2.6.10 $ $ l $은 원 $ \gamma $의 중심 $ O $를 지나지 않는 직선이라고 하자. $ \gamma $에 관한 반전 아래서 $ l $의 상은 중심 $ O $를 빼버린 구멍이 뜷린 원이다. 또 완전한 원 $ \delta $의 $ O $를 지나는 직경은 그것이 연장될 때 $ l $과 수직이다.</p> <p>( $ 2 $) $ C $ 가 $ \delta $ 의 중심이고 직선 $ \overleftrightarrow { O C } $ 가 $ O * P_ { 1 } * C * P_ { 2 } $인 점 $ P_ { 1 } , P_ { 2 } $ 에서 $ \delta $와 교차한다고 하자. 피타고라스의 정리에 의하여 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} \overline { O T } ^ { 2 } &= \overline { O C } ^ { 2 } - \overline { C T } ^ { 2 } \\&=( \overline { O C } - \overline { C T } ) \cdot( \overline { O C } + \overline { C T } ) \\&= \left ( \overline { O C } - \overline { C P_ { 1 } } \right ) \cdot \left ( \overline { O C } + \overline { C P_ { 2 } } \right ) \\&= \overline { O P_ { 1 } } \cdot \overline { O P_ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>정리 $2.5.20 $ (Pascal) 한 원 위에 있는 $ 6 $ 개의 점을 $ A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } , A_ { 4 } , A_ { 5 } , A_ { 6 } $이라 할 때, 직선 $ \overleftrightarrow { A_ { 1 } A_ { 2 } } $와 $ \overleftrightarrow { A_ { 4 } A_ { 5 } } $와의 교점 $ L, \overleftrightarrow { A_ { 3 } A_ { 4 } } $와 $ \overleftrightarrow { A_ { 6 } A_ { 1 } } $와의 교점 $ M, \overleftrightarrow { A_ { 5 } A_ { 6 } } $와 $ \overleftrightarrow { A_ { 2 } A_ { 3 } } $와의 교점 $ N $은 일직선 위에 있다.</p> <p>따름정리 $2.4.6 $ 동일한 직선과 수직인 두 직선은 평행이다. 따라서 $ l $ 위에 있지 않는 점 $ P $로부터 내린 수선은 유일하다(그리고 수선이 $ l $과 교차하는 점을 그의 발(foot)이라 부른다).</p> <p>증명 직선 $ l $과 $ l ^ {\prime } $가 직선 $ m $와 모두 수직이면, 엇각이 직각이므로 명제 $ 2.3.15 $에 의하여 그 엇각은 합동이다. 그러므로 명제 $ 2.4 .5 $에 의하여 $ l / / l ^ {\prime } $이다.</p> <p>점 $ P $는 직선 $ l $ 위에 있지 않는 점이라 하고, $ m, m ^ {\prime } $는 점 $ P $ 로부터 내린 수선이라 하자. 그러면 엇각이 직각이므로, 명제 $ 2.2.8 $에 의하여 그 엇각은 합동이다. 그러므로 명제 $ 2.4.5 $에 의하여 $ m / / m ^ {\prime } $이다. $ P \in m, P \in m ^ {\prime } $이므로, $ m = m ^ {\prime } $이다.</p> <p>따름정리 $ 2.4.7 $ $ l $은 임의의 직선이고 $ P $는 $ l $ 위에 있지 않는 점이면, $ P $를 지나서 $ l $과 평행인 직선 $ m $이 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명 명제 $ 2.3.10 $에 의하여 $ P $를 지나서 직선 $ l $과 수직인 직선 $ t $가 존재한다. 다시 $ P $를 지나서 직선 $ t $와 수직인 직선 $ m $이 존재한다. $ l $과 $ m $이 모두 $ t $와 수직이므로 따름정리 $ 2.4.6 $에 의하여 $ l / / m $이다.</p> <p>[주의] 유클리드 기하학에서 "두 직선이 평행이면, 횡단선에 의해 잘린 엇각이 합동이다."라고 하는 엇각정리의 역을 사용하는 데 익숙해 있다. 그러나 이 역은 아직 증명하지 않았다. 따라서 그것을 사용해서는 안 된다. 그것은 논리적으로 평행공리와 동치임이 판명된다.</p> <p>정의 삼각형의 한 내각의 보각인 각을 그 삼각형의 외각(exterior angle)이라 부른다. 이 외각과 인접하지 않은 삼각형의 두 각을 내대각(inner opposite angle)이라 부른다.</p> <p>다음 정리는 엇각정리의 한 결과이다.</p> <h1>연습문제</h1> <p>$ 1 $. 다음의 증명은 "모든 삼각형 $ \triangle A B C $는 $2 $등변삼각형이다."라는 명제에 대한 증명이다. 이 때 증명은 어디에서 잘못되었는가?</p> <p>증명 $ \angle A $의 $2 $등분선과 변 $ B C $의 수직이등분선과의 교점을 $ O $라 하고, $ O $에서 변 $ A B $, $ A C $에 내린 수선의 발을 각각 $ E, F $라 하자.</p> <p>그러면 삼각형의 합동정리에 의하여 $ \triangle A O E \equiv \triangle A O F $이다. 그러므로 \[A E \equiv A F, O E \equiv O F \]이다. 또한 $ O B \equiv O C, O E \equiv O F $이므로, 직각삼각형의 합동정리에 의하여 \[ \triangle E O B \equiv \triangle F O C \] 이다. 그러므로 $ E B \equiv F C $이다. 따라서 $ A B \equiv A C $이다. 즉, 삼각형 $ \triangle A B C $는 $ 2 $등변삼각형이다.</p> <p>$ 2 $. 다음 그림과 같이 직사각형 $ A B C D $의 밖에서 점 $ E $를 잡아서 $ A B \equiv A E $가 되도록 하자. $ \angle B A E $의 크기를 $ \epsilon $이라 하자. 두 변 $ B C, C E $의 수직이등분선의 교점을 $ O $라 하면, $ O D \equiv $ $ O A, O C \equiv O E, D C \equiv A E $이므로, $ \triangle C D O \equiv \triangle E A O $이다. 또한, $ \angle A D O \equiv \angle D A O $이므로, $ \angle C D A \equiv \angle E A D $이다. 즉, $ 90 ^ {\circ } = 90 ^ {\circ } + \epsilon $이다. 이것은 어디에서 잘못되었는가?</p> <p>$ 3 $. 사변형의 네 변의 길이가 $ a, b, c, d $이고, 그의 넓이가 $ S $일 때 다음이 성립함을 증명하여라.</p> <p>$ 4 S \leqq(a + c)(b + d) $</p> <p>$ 4 $. 삼각형의 세 변의 길이가 $ a, b, c $이고, 그의 넓이가 $ S $일 때, 다음이 성립함을 증명하여라.</p> <p>예제 $ 2. 1.14 $ [구면 기하] 한 구면 $ S ^ { 2 } $를 생각하자. 구면 위의 점을 점으로, 구면 위의 대원을 직선으로 해석하자. 결합은 "점이 구면 위에 있다"와 같은 의미로 해석하자. 그러면 어떠한 평행선도 존재하지 않는다. 이러한 해석으로는 결합공리 $ 1,2,3 $을 만족하는 기하의 모형이 되지 못한다. 왜냐하면 이 모형은 결합공리 $ 1 $을 만족하지 않는다. 즉, 북극점과 남극점을 지나는 대원은 무수히 많기 때문이다.</p> <p>다음 명제 힐베르트 평행공리에 대하여 생각해 보자.</p> <p>"한 직선 $ l $과 그 위에 있지 않은 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $ 과 평행인 직선이 유일하게 존재한다."</p> <p>이 명제는 $ 4 $-점 기하의 모형에서는 참이지만, $ 3 $-점 기하의 모형에서 거짓이다. 왜나하면 이 모형에서는 어떠한 평행선도 존재하지 않기 때문이다. 따라서 $ 3 $-점 기하에서는 다음과 같은 명제가 성립한다.</p> <p>"한 직선 $ l $과 그 위에 있지 않은 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $과 평행인 직선이 존재하지 않는다."</p> <p>이러한 성질을 갖는 모형은 타원평행성질(property of elliptic parallel)을 갖는다고 한다.</p> <p>다음 명제를 생각하자.</p> <p>"한 직선 $ l $과 그 위에 있지 않은 점 $ P $가 주어질 때, $ P $를 지나고 $ l $과 평행인 직선이 적어도 $ 2 $개 존재한다."</p> <p>이 명제는 $ 5 $-점 기하의 모형에서 성립한다. 이러한 성질을 갖는 모형은 쌍곡평행성질 (property of hyperbolic parallel)을 갖는다고 한다.</p> <p>어떤 명제가 주어진 공리군으로부터 참 - 거짓임을 증명을 할 수 없을 때, 그 명제는 주어진 공리군으로부터 독립적(independent)이라 한다. 모형은 어떤 명제가 주어진 공리들과 독립이라는 것을 보이는 데 사용될 수 있다.</p> <p>명제가 주어진 공리군으로부터 종속(dependent)이기 위한 필요충분조건은 그 공리군들로부터 얻어진 어떠한 기하 모형에서도 그 명제가 성립해야 하는 것이다. 예를 들어, 힐베르트 평행공리 평행공리는 결합공리 $ 1,2,3 $과 독립이다. 왜나하면 힐베르트 평행공리는 $ 3 $-점 기하와 $ 5 $-점 기하에서는 성립하지 않지만, $ 4 $-점 기하에서는 성립하기 때문이다. 따라서 힐베르트 평행공리는 결합공리 $ 1,2,3 $ 만으로 증명하기란 불가능하다.</p> <p>한 공리계의 언어로 된 모든 명제들이 그 공리들로부터 참 - 거짓임을 증명할 수 있으면, 그 공리계는 완비적(complete)이라 한다.</p> <p>증명 점 $ A $는 $ O $로부터 $ l $에 내린 수선의 발이라 하고 $ P $는 $ l $ 위의 또 다른 점이라 하고 $ A ^ {\prime } $와 $ P ^ {\prime } $는 $ \gamma $에 관한 그들의 반점이라고 하자. 보조정리 $ 2.6.9 $에 의하여 $ \triangle O P ^ {\prime } A ^ {\prime } $는 $ \triangle O A P $와 닮은 삼각형이다. 따라서 $ \angle O P ^ {\prime } A ^ {\prime } $는 직각이다. 그러므로 $ P ^ {\prime } $는 $ O A ^ {\prime } $를 직경으로 갖는 원 $ \delta $ 위에 있어야만 한다.</p> <p>역으로, $ \overrightarrow { O P } ^ {\prime } $가 $ P $에서 $ l $과 교차하면, 위의 논의 역에 의하여 $ P ^ {\prime } $는 $ \gamma $에 관한 $ P $의 반점이다.</p> <p>명제 $ 2.6.11 $ 원 $ \gamma $는 중심이 $ C $이고 반지름은 $ r $이라고 하자. 이때, $ \gamma $에 관한 반전에 대하여<ol type=1 start=1><li>$ C $를 지나는 직선의 반전상은 역시 $ C $를 지나는 직선이다.</li> <li>$ C $를 지나지 않는 직선의 반전상은 $ C $를 지나는 원이다.</li> <li>$ C $를 지나는 원의 반전상은 $ C $를 지나지 않는 직선이다.</li> <li>$ C $를 지나지 않는 원의 반전상은 $ C $를 지나지 않는 원이다.</li></ol></p> <p>( $ 1 $)은 정의에 의하여 명백하다.</p> <p>( $ 2 $) $ \overline { C A } \cdot \overline { C A } ^ {\prime } = \overline { C P } \cdot \overline { C P } ^ {\prime } =r ^ { 2 } $이므로 $ \triangle C P A \sim \triangle C A ^ {\prime } P ^ {\prime } $이다. 그러므로 $ \angle C P ^ {\prime } A ^ {\prime } $는 직각이므로 $ P $의 반점 $ P ^ {\prime } $는 $ \overline { C A ^ {\prime } } $을 직경으로 하는 원 위에 있다.</p> <p>증명 세 직선 $ \overleftrightarrow { A_ { 1 } A_ { 2 } } , \overleftrightarrow { A_ { 3 } A_ { 4 } } , \overleftrightarrow { A_ { 5 } A_ { 6 } } $로 이루어진 삼각형을 $ \triangle P Q R $ 이라고 하자. $ \triangle P Q R $ 각각 직선 $ \overleftrightarrow { L A_ { 5 } } , \overleftrightarrow { M A_ { 6 } } , \overleftrightarrow { N A_ { 3 } } $로 끊었을 때를 생각하면, 메넬라오스의 정리에 의하여 \[ \begin {array} { l } ( \underline { L Q } / \underline { L R } ) \left ( \underline { A_ { 4 } R } / \underline { A_ { 4 } P } \right ) \left ( \underline { A_ { 5 } P } / \underline { A_ { 5 } Q } \right )=1 \$ \underline { M R } / \underline { M P } ) \left ( \underline { A_ { 6 } P } / \underline { A_ { 6 } Q } \right ) \left ( \underline { A_ { 1 } Q } / \underline { A_ { 1 } R } \right )=1 \\ ( \underline { N P } / \underline { N Q } ) \left ( \underline { A_ { 2 } Q } / \underline { A_ { 2 } R } \right ) \left ( \underline { A_ { 3 } R } / \underline { A_ { 3 } P } \right )=1 \end {array} \]이다. 이 세 식을 변끼리 곱한 식에 예비정리 \( 2.5.19 $의 \[ \underline { P A_ { 5 } } \cdot \underline { P A_ { 6 } } = \underline { P A_ { 4 } } \cdot \underline { P A_ { 3 } } , \underline { Q A_ { 1 } } \cdot \underline { Q A_ { 2 } } = \underline { Q A_ { 6 } } \cdot \underline { Q A_ { 5 } } , \underline { R A_ { 4 } } \cdot \underline { R A_ { 3 } } = \underline { R A_ { 2 } } \cdot \underline { R A_ { 1 } } \]을 고려하면, \[( \underline { Q L } / \underline { L R } )( \underline { R M } / \underline { M P } )( \underline { P N } / \underline { N Q } )=-1 \] 그러므로 메넬라오스의 정리에 의하여 $ L, M, N $ 은 일직선 위에 있다.</p> <p>정리 $ 2.5.21 $ (Pappus) 두 직선 $ l, l ^ {\prime } $에 대하여 $ l $ 위에는 세 점 $ A, B, C $가 있고, $ l ^ {\prime } $ 위에는 세 점 $ A ^ {\prime } , B ^ {\prime } , C ^ {\prime } $가 있다고 하자. 이때, 선분 $ \overline { A B ^ {\prime } } $와 $ \overline { A ^ {\prime } B } $을 교점 $ L, \overline { B ^ {\prime } C } $와 $ \overline { B C ^ {\prime } } $을 교점 $ M, \overline { C A ^ {\prime } } $와 $ \overline { C ^ {\prime } A } $을 교점 $ N $ 이라 하면, 세 점 $ L, M, N $은 일직선 위에 있다.</p> <p>증명 세 직선 $ \overleftrightarrow { A B ^ {\prime } } , \overleftrightarrow { C A ^ {\prime } } , \overleftrightarrow { B C ^ {\prime } } $로 이루어진 삼각형을 $ \triangle P Q R $이라고 하자. $ \triangle P Q R $을 각각 직선 $ \overleftrightarrow { B L } , \overleftrightarrow { C M } , \overleftrightarrow { A N } $으로 끊었을 때 메넬라오스 정리에 의하여 얻은 세 식을 변끼리 곱하고, 이 결과에 $ \triangle P Q R $을 두 직선 $ l, l ^ {\prime } $로 끊었을 때, 메넬라오스의 정리에 의하여 얻은 두 식을 고려하면, 다음을 얻는다. \[( \underline { Q L } / \underline { L R } )( \underline { R M } / \underline { M P } )( \underline { P N } / \underline { N Q } )=-1 \] 그러므로 메넬라오스의 정리에 의하여 $ L, M, N $은 일직선 위에 있다.</p> <p>명제 $ 2.6.15 $ $ M $은 선분 $ A B $의 중점이라 하고 $ \overline { M A } = r $이고 $ \overleftrightarrow { A B } $ 위의 점 $ C, D $가 $ M $에 관하여 같은 쪽에 있고, $ A, B, C, D $는 서로 다른 점이라고 하자. 그러면 $ C $와 $ D $가 $ \overleftrightarrow { A B } $에 관하여 조화공액이기 위한 필요충분조건은 $ \overline { M D } \cdot \overline { M C } =r ^ { 2 } $이다.</p> <p>증명 $ (A B, C D)=1 $이라고 하자. 그러면 $ \frac {\overline { A C } \cdot \overline { B D } } {\overline { A D } \cdot \overline { B C } } =1 $이다. \[ \begin {aligned} \overline { A C } &=r + \overline { M C } \\ \overline { B D } &= \overline { M D } -r \\ \overline { A D } &=2 r + \overline { B D } = \overline { M D } + r \\ \overline { B C } &=r- \overline { M C } \$r + \overline { M C } )( \overline { M D } -r) &=(r + \overline { M D } )(r- \overline { M C } ) \\-r ^ { 2 } -r \cdot \overline { M C } + r \cdot \overline { M D } + \overline { M C } \cdot \overline { M D } &=r ^ { 2 } -r \cdot \overline { M C } + r \cdot \overline { M D } - \overline { M D } \cdot \overline { M C } \\ \overline { M D } \cdot \overline { M C } &=r ^ { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>명제 \( 2.6.14 $ 배경은 일직선 위에 있는 $ 4 $점의 복비를 보존한다. 즉, $ A, B, C, D $는 직선 $ l $ 위의 4 점이고 $ A ^ {\prime } , B ^ {\prime } , C ^ {\prime } , D ^ {\prime } $ 는 중심이 $ P $인 배경 아래서 직선 $ n $ 위의 그들의 상이면 $ (A B, C D)= \left (A ^ {\prime } B ^ {\prime } , C ^ {\prime } D ^ {\prime } \right ) $이다.</p> <p>증명 sine 법칙에 의하여 다음을 얻는다. \[ \begin {array} { l } \frac {\sin \angle A P C } {\overline { A C } } = \frac {\sin \angle A C P } {\overline { A P } } , \frac {\sin \angle B P C } {\overline { B C } } = \frac {\sin \angle B C P } {\overline { B P } } , \angle A C P= \angle B C P \\ \frac {\sin \angle B P D } {\overline { B D } } = \frac {\sin \angle B D P } {\overline { B P } } , \frac {\sin \angle A P D } {\overline { A D } } = \frac {\sin \angle A D P } {\overline { A P } } , \angle A D P= \angle B D P \end {array} \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {array} { l } \frac {\overline { A C } } {\overline { B C } } = \frac {\overline { A P } \sin \angle \mathrm { APC } } {\overline { B P } \sin \angle \mathrm { BPC } } \\ \frac {\overline { B D } } {\overline { A D } } = \frac {\overline { B P } \sin \angle \mathrm { BPD } } {\overline { A P } \sin \angle \mathrm { APD } } \end {array} \]따라서 \[(A B, C D)= \frac {\overline { A C } \cdot \overline { B D } } {\overline { B C } \cdot \overline { A D } } = \frac { ( \sin \angle A P C) \cdot( \sin \angle B P D) } { ( \sin \angle B P C) \cdot( \sin \angle A P D) } \]이다. 그러나 $ \sin \angle A P C= \sin \angle A ^ {\prime } P C ^ {\prime } , \sin \angle B P D= \sin \angle B ^ {\prime } P D ^ {\prime } $ 이므로 $ \left (A ^ {\prime } B ^ {\prime } , C ^ {\prime } D ^ {\prime } \right ) $에 관한 동일한 식을 얻는다.</p> <p>$ C $와 일직선 위에 있으면서 $ \overleftrightarrow { A B } $ 위에 있지 않는 임의의 두 점 $ I $와 $ J $를 취하자. $ \overleftrightarrow { A J } $가 점 $ K $에서 $ \overleftrightarrow { B I } $와 만나고, $ \overleftrightarrow { A I } $는 점 $ L $에서 $ \overleftrightarrow { B J } $와 만난다고 하자. 그러면 $ \overleftrightarrow { A B } $는 $ C $와 조화공액인 점 $ D $에서 $ \overleftrightarrow { K L } $과 만난다.</p> <p>이러한 조화작도를 정당화하기로 하자. $ \overleftrightarrow { I J } $가 점 $ M $에서 $ \overleftrightarrow { K L } $과 만난다고 하자. 중심이 $ I $인 배경을 이용하면, 명제 $ 2.6.14 $에 의하여 $ (A B, C D)=(L K, M D) $이고, 반면에 중심이 $ J $인 배경을 이용하면, \[(A B, C D)=(K L, M D) \]를 얻는다. 그러나 복비의 정의에 의하여 $ (K L, M D)=1 /(L K, M D) $이다. 따라서 \[1 /(A B, C D)=1 /(L K, M D)=(K L, M D)=(A B, C D) \] 이므로, $ (A B, C D)=1 $이다. 즉, $ A B C D $는 조화 $ 4 $원소이다. 이것은 조화작도를 정당화해 준다.</p> <p>직선 $ \overleftrightarrow { I D } $를 $ \infty $로 사영시키자. 그러면 위의 그림은 다음과 같다.</p> <p>사변형 $ A ^ {\prime } B ^ {\prime } K ^ {\prime } L ^ {\prime } $가 평행사변형이므로, $ C ^ {\prime } $가 $ A ^ {\prime } B ^ {\prime } $의 중점이고 그의 조화공액이 $ \overleftrightarrow { A ^ {\prime } B ^ {\prime } } $ 위의 “무한원점” $ D ^ {\prime } $임을 알 수 있다.</p> <h2>2.2 순서공리군 group of axioms of order</h2> <p>이제 "점 $ B $가 점 $ A $와 점 $ C $ 사이에 있다."는 말을 간단히 $ A * B * C $로 나타내기로 한다.</p> <p>순서공리 1. $ A * B * C $이면, $ A, B, C $는 한 직선 위의 서로 다른 3점이고, $ C * B * A $이다.</p> <p>[참고] "점 $ A $와 $ C $의 사이"라는 것은 " $ C $와 $ A $의 사이"와 같은 의미를 갖는다는 것이다. 이것은 $ A $와 $ C $의 순서가 문제되지 않는다는 것을 말해준다.</p> <p>순서공리 2. 2점 $ A, C $를 지나는 직선 $ \overleftrightarrow { A C } $에 대하여 점 $ B $가 직선 $ \overleftrightarrow { A C } $ 위에 적어도 한 점 $ C $가 존재하여 $ A * C * B $이다.</p> <p>[참고] 이 공리는 선분 $ A C $를 오른쪽으로 연장한 선 위에 점들이 놓여 있다는 것을 말해준다. 그러므로 결합과 순서공리를 만족하는 기하는 무수히 많은 점들을 가져야 한다.</p> <p>순서공리 3. 3점 $ A, B, C $가 한 직선 위에 있으면, 그 중 오직 한 점만이 다른 2점 사이에 있다.</p> <p>정의 선분(segment) $ A B $는 $ A $와 $ B $를 끝점으로 갖고 직선 $ \overleftrightarrow { A B } $ 위의 $ A $와 $ B $ 사이에 있는 모든 점들의 집합을 말한다.</p> <p>정의 반직선(ray) $ \overrightarrow { A C } $는 선분 $ A C $ 위의 모든 점들과 점 $ C $가 점 $ A $와 점 $ B $ 사이에 있는 모든 점 $ B $들의 집합을 말한다.</p> <p>$ \overrightarrow { A B } , \overrightarrow { A C } $는 한 점 $ A $에서 방사된 서로 다른 반직선이고 같은 직선 $ \overleftrightarrow { A B } = \overleftrightarrow { A C } $의 부분이면, 그들은 서로 반향반직선(opposite ray)이라 한다.</p> <p>명제 $ 2.3.3 $ $ A C \equiv D F $일 때, $ A $와 $ C $ 사이의 임의의 점 $ B $에 대하여 $ A B \equiv D E $인 점 $ E $가 $ D $와 $ F $사이에 유일하게 존재한다.</p> <p>증명 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ A B = D E $인 점 $ E $가 $ \overrightarrow { D F } $ 위에 유일하게 존재한다. $ E $가 $ D $와 $ F $ 사이에 있지 않다고 가정하자. 그러면 $ E=F $이거나 $ D * F * E $이다.</p> <p>만일 $ E=F $이면, $ B $와 $ C $는 $ A C \equiv D F \equiv A B $인 $ \overrightarrow { A C } $ 위의 서로 다른 두 점이다. 이것은 합동공리 $ 1 $에 모순이다.</p> <p>만일 $ D * F * E $이면, 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ F E \equiv C G $인 점 $ G $가 $ \overrightarrow { C A } $의 반향반직선 위에 존재한다. 그러면 합둥공리 $ 3 $에 의하여 $ A G \equiv D E $이다. 따라서 $ A G \equiv D E \equiv A B $인 서로 다른 두 점 $ B $와 $ G $ 가 $ \overrightarrow { A C } $ 위에 존재한다. 이것은 합동공리 $ 1 $에 모순이다. 그러므로 $ D * E * F $이다.</p> <p>정의 $ A B<C D $라 함은 $ A B \equiv C E $인 점 $ E $가 $ C $와 $ D $ 사이에 존재함을 의미한다.</p> <p>명제 $ 2.3.4 $ (선분의 삼분법)</p> <p>( $ 1 $)다음 조건들 중 오직 하나만 성립한다.</p>\[A B<C D, A B \equiv C D, A B>C D \]</p> <p>( $ 2 $)만일 $ A B<C D, C D \equiv E F $ 이면, $ A B<E F $ 이다.</p> <p>( $ 3 $)만일 $ A B>C D, C D \equiv E F $ 이면, $ A B>E F $ 이다.</p> <p>증명 ( $1 $) $ P $가 직선 $ l $ 위에 있지 않다고 가정하자. 결합공리 $ 2 $에 의하여 $ l $ 위에는 두 점 $ A, B $가 존재한다. 합동공리 $ 4 $에 의하여 $ l $에 관하여 $ P $와 반대쪽에서 $ \angle X A B \equiv \angle P A B $인 반직선 $ \overrightarrow { A X } $가 존재한다. 합동공리 $ 1 $에 의하여 $ \overrightarrow { A X } $ 위에 $ A P ^ {\prime } \equiv A P $인 점 $ P ^ {\prime } $가 존재한다. 반대쪽의 정의에 의하여 $ P P ^ {\prime } $가 점 $ Q $에서 $ l $과 교차한다. 만일 $ Q = A $이면, 수직의 정의에 의하여 $ \overleftrightarrow { P P ^ {\prime } } \perp l $이다. 만일 $ Q \neq A $이면, $ \mathrm { SAS } $ 합동판정법에 의하여 $ \triangle P Q A \equiv \triangle P ^ {\prime } Q A $이다. 따라서 $ \angle P Q A \equiv \angle P ^ {\prime } A Q $이다. 그러므로 $ \overleftrightarrow { P P ^ {\prime } } \perp l $이다.</p> <p>( $ 2 $) $ P $가 $ l $ 위에 있다고 가정하자. 결합공리 $ 3 $에 의하여 $ l $ 위에 있지 않는 점들이 존재하므로, ( $ 1 $)에 의하여 그들의 하나로부터 $ l $에 한 수선을 내릴 수 있다. 그래서 한 직각을 얻게 된다. 그러면 합동공리 $ 4 $에 의하여 $ P $를 꼭짓점으로 하고 한 변이 $ l $ 위에 있으면서 이 직각과 합동인 한 직각을 만들 수 있다. 명제 $ 2.3.8 $에 의하여 직각과 합동인 각은 직각이므로, 이 각의 다른 한 변이 $ P $를 지나서 $ l $ 에 수직인 직선의 부분이 된다.</p> <p>명제 $ 2.3.11 $ (각의 덧셈) $ \overrightarrow { B G } $가 $ \overrightarrow { B A } $ 와 $ \overrightarrow { B C } $ 사이에 있고 $ \overrightarrow { E H } $가 $ \overrightarrow { E D } $ 와 $ \overrightarrow { E F } $사이에 있고. 또 $ \angle C B G \equiv \angle F E H, \angle G B A \angle H E D $이면, $ \angle A B C \equiv \angle D E F $이다.</p> <p>명제 $ 2.6.14 $ $ \delta $는 중심이 $ C $인 원이고, $ \alpha $는 중심이 $ A $이고 $ C $를 지나지 않는 원이라고 하자. $ A ^ {\prime } $는 $ \delta $에 관한 $ A $의 반점이라 하고 원 $ \alpha ^ {\prime } $는 $ \delta $에 관한 반전 아래서 $ \alpha $의 상이라고 하자. 이때, $ A ^ {\prime } $는 $ \alpha ^ {\prime } $에 관한 $ C $의 반점이고 $ \alpha ^ {\prime } $의 중심이 아니다.</p> <p>증명 $ \alpha $ 위의 점 $ T $에서 $ \overrightarrow { C T } $가 $ \alpha $와 접하고, $ T ^ {\prime } $를 $ \delta $에 관한 $ T $의 반점이라고 하자. $ \overleftrightarrow { T A } $와 평행이면서 $ T ^ {\prime } $를 지나는 직선이 $ \overrightarrow { C A } $와의 교점을 $ B $라고 하면, 명제 $ 2.6.11 $에 의하여 $ B $는 $ \alpha ^ {\prime } $의 중심이다. 따라서 명제 $ 2.6.3 $에 의하여 $ A ^ {\prime } $는 $ \alpha ^ {\prime } $에 관한 $ C $의 반점이다.</p> <p>정의 $ A, B, C, D $는 유클리드 평면에서 일직선 위에 있지 않는 서로 다른 네 점이고 복비 \[(A B, C D): = \frac {\overline { A C } \cdot \overline { B D } } {\overline { B C } \cdot \overline { A D } } =1 \]을 만족하면 $ C $와 $ D $는 $ A B $에 관한 조화공액(harmonic conjugate)이라고 하고, $ A B C D $를 조화 $ 4 $원소(harmonic tetrad)라고 한다. 복비의 대칭성에 의하여 $ A $와 $ B $도 역시 $ C D $에 관한 조화공액이다.</p> <p>조화 $ 4 $원소에 대한 조건을 표현하는 또 다른 방법은 $ \frac {\overline { A C } } {\overline { A D } } = \frac {\overline { B C } } {\overline { B D } } $이다. $ C $와 $ D $가 서로 다른 점이므로, 하나는 선분 $ A B $의 내부에 있어야 하고 다른 하나는 그의 외부에 있어야 한다. 그러므로 $ C $와 $ D $는 동일한 비로 선분 $ A B $를 내분 또는 외분한다. 더구나 $ A B $가 주어지면 $ C $와 $ D $는 서로를 유일하게 결정한다. 예를 들어, $ A * C * B $ 이고 $ k= \frac {\overline { A C } } {\overline { C B } } $라고 하자.</p> <p>( $ 2 $) 한 반직선이 $ \triangle A B C $의 한 내점으로부터 방사되면, 그것은 삼각형의 한 변과 교차한다. 이때, 그것의 꼭짓점을 지나지만 않으면 오직 한 변과 교차한다.</p> <p>증명 ( $ 1 $) Pasch 정리에 의하여 자명하다.</p> <p>( $ 2 $) 한 반직선이 $ \triangle A B C $의 한 내점 $ D $로부터 방사된다고 하자. 그러면 횡선정리에 의하여 $ \overrightarrow { A D } $는 $ B C $와 점 $ E $에서 만난다. $ \triangle A B E $ 와 $ \triangle A E C $ 에 Pasch의 정리를 적용하면 그 결과가 나온다.</p> <p>순서공리 $1 $에 의하여 점 $ B $가 점 $ A $와 $ C $ 사이에 있으면, 점 $ A, B, C $는 한 직선 위의 서로 다른 $ 3 $점이다. 순서공리 $ 2 $에 의하여 한 직선 위에 있는 $ 2 $점 $ A, B $에 대하여 선분 $ A B $의 연장선 위에 적어도 한 점 $ C $가 존재한다. 그러나 점 $ A $와 $ B $사이에 점 $ X $가 적어도 하나 존재하는지는 명확하지 않다. 이제 이것을 증명하자.</p> <p>정리 $ 2.2.9 $ $ A, B $가 한 직선 위의 서로 다른 $ 2 $점이면, $ A $와 $ B $의 사이에 점 $ X $가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명 결합공리 $ 3 $에 의하여 한 직선 $ A B $ 위에 있지 않는 한 점 $ E $가 존재한다. 결합공리 $ 2 $에 의하여 유일한 직선 $ A E $가 존재한다. 순서공리 $ 2 $에 의하여 선분 $ A E $의 연장선 위에 한 점 $ F $가 존재하고, 선분 $ F B $의 연장선 위에 한 점 $ G $가 존재한다. 결합공리 $ 2 $에 의하여 유일한 직선 $ G E $가 존재한다.</p> <p>이때 직선 $ G E $는 점 $ A, B, F $를 지나지 못한다. 왜냐하면, 만일 직선 $ G E $가 점 $ A $를 지나면, 유일성에 의하여 $ A=E $이다. 이것은 모순이다. 만일 직선 $ G E $가 점 $ B $ 또는 점 $ F $를 지나면 유일성에 의하여 $ E=F $이다. 이것은 모순이다.</p> <p>삼각형 $ A B F $에 대하여 생각하자. 그러면 Pasch 정리에 의하여 직선 $ E G $는 선분 $ A B $와 한 점 $ X $에서 만난다.</p> <p>만일 $ P=A $이면, $ \angle C A B $의 내부에 있지 않다. 이것은 모순이다.</p> <p>만일 $ P=F $ 또는 $ A * P * F $ 또는 $ A * F * P $이면, $ P $는 $ \overleftrightarrow { A C } $에 관하여 $ D $와 반대쪽에 있으므로 $ \angle C A B $의 내부에 있지 않다. 이것은 모순이다.</p> <p>(3) $ C * A * E $이면, $ B $는 $ \overleftrightarrow { A D } $에 관하여 $ E $와 같은 쪽에 있고 $ \overleftrightarrow { A E } $에 관하여 $ D $와 같은 쪽에 있으므로 $ B $는 $ \angle D A E $의 내부에 있다.</p> <p>정의 반직선 $ \overrightarrow { A B } $와 반직선 $ \overrightarrow { A C } $가 반향이 아니고 $ D $가 $ \angle C A B $의 내부에 있으면, 반직선 $ \overrightarrow { A D } $가 $ \overrightarrow { A C } $와 $ \overrightarrow { A B } $ 사이에 있다고 한다.</p> <p>정리 $ 2.2.7 $ (횡선정리) $ \overrightarrow { A D } $가 $ \overrightarrow { A C } $와 $ \overrightarrow { A B } $ 사이에 있으면, $ \overrightarrow { A D } $는 선분 $ B C $와 교차한다.</p> <p>증명 $ \overrightarrow { A D } $는 선분 $ B C $와 교차하지 않는다고 가정하자. 그러면 $ B $와 $ C $가 $ \overleftrightarrow { A D } $에 관하여 같은 쪽에 있다. 명제 $ 2.2.6 $ ( $ 3 $에 의하여 $ C * A * E $이면, $ B $는 $ \angle D A E $의 내부에 있다. 이것은 모순이다.</p> <p>정의 삼각형의 내부(interior)는 그의 세 각의 내부의 교집합이다. 한 점이 삼각형의 내부에 있지 도 않고 또 어느 변 위에도 있지 않으면 그 점은 삼각형의 외부(exterior)에 있다고 한다.</p> <p>명제 $ 2.2 .8 $ ( $ 1 $) $ \triangle A B C $의 한 외점으로부터 방사된 반직선 $ \gamma $가 $ A $와 $ B $ 사이의 어떤 점에서 변 $ A B $ 와 교차하면, $ \gamma $는 변 $ A C + $ 변 $ B C $와 교차한다.</p>	자연
알기 쉬운 선형대수학과 응용	<p>정리 6 과 8 에 의하여 다음 따름정리 9 와 10 을 얻을 수 있다.</p> <p>따름정리 9 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $ 에 대하여 다음 사실이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ A $ 의 한 행(또는 열)을 스칼라 배하여 다른 행(또는 열)에 더하여 얻어 진 행렬을 $ B $ 라고 하면 $ \operatorname { det } (B)= \operatorname { det } (A) $ 이다.</li> <li>$ A $ 의 서로 다른 두 행(또는 두 열)의 대응하는 성분이 비례하면 $ \operatorname { det } (A)=0 $ 이나.</li></ol></p> <p>지금까지 얻어진 행렬식의 성질에 의하여, 행렬 $ A \in M a t_ { n } (F) $ 에 대하여 기본 행(또는 열)연산을 시행하였을 때, $ A $ 의 행렬식 $ \operatorname { det } (A) $ 가 어떻게 변하는지를 알아보았다. 따라서 행렬 $ A $ 에 적당한 기본행연산과 기본열연산을 취하여 $ A $ 를 상 삼각행럴 또는 하 삼각행렬로 변형하여 정리 3 과 9 를 적용하면, 행렬 $ A $ 의 행렬식 $ \operatorname { det } (A) $ 를 쉽게 구할 수 있다.</p> <p>[보기 10] 다음 행럴의 행렬식의 값을 행럴식의 성질을 이용하여 구하여 보자.</p> <p>풀이 (1) $ \quad \operatorname { det } (A)= \left \| \begin {array} { rrr } 0 & 1 & 5 \\ 3 & -6 & 9 \\ 2 & 6 & 1 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rrr } 3 & -6 & 9 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 6 & 1 \end {array} \right \| $ \[ \begin {array} { l } =-3 \left \| \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\0 & 1 & 5 \\2 & 6 & 1 \end {array} \right \|=-3 \left \| \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\0 & 1 & 5 \\0 & 10 & -5 \end {array} \right \| \\=(-3)(-5) \left \| \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\0 & 1 & 5 \\0 & -2 & 1 \end {array} \right \|=15 \left \| \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 3 \\0 & 1 & 5 \\0 & 0 & 11 \end {array} \right \| \\ =15 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 11=165 \end {array} \] (2) $ \operatorname { det } (B)= \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 8 & 7 \\ 1 & 1 & 2 \\ -3 & 5 & 1 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 2 \\ 2 & 8 & 7 \\ -3 & 5 & 1 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 8 & 7 \end {array} \right \| $ $ =-3 \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 8 & 7 \end {array} \right \|=-3 \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end {array} \right \| $ $ =(-3) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3=-18 $</p> <p>그런데 보조정리 7 에 의하여 $ \operatorname { sgn } \sigma = - \operatorname { sgn } \sigma ^ {\prime } $ 이고 가정에 의하여 $ a_ { r j_ { r } } =a_ { s j_ { r } } $, $ a_ { s j_ { s } } =a_ { r j_ { s } } $ 이므로 위의 두 항의 합은 0이다. 따라서 $ \operatorname { det } (A)=0 $ 이다. (2) $ A $ 의 제 $ r $ 행과 제 $ s $ 행 $ (1 \leq r<s \leq n) $ 을 맞바꾸어 만든 행렬을 $ B= \left [b_ { i j } \right ]_ { n \times n } $ 라고 하자. 이 때, \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (B) &= \sum_ {\sigma } ( \operatorname { sgn } \sigma) b_ { 1 j_ { 1 } } \cdots b_ { r j_ { r } } \cdots b_ { s j_ { s } } \cdots b_ { n j_ { n } } \\ &= \sum_ {\sigma } ( \operatorname { sgn } \sigma) a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { s j_ { r } } \cdots a_ { r j_ { s } } \cdots a_ { n j_ { n } } \end {aligned} \]</p> <p>한편, 위의 등식에서 각 치환 $ \sigma= \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 에 대하여 치환 $ \sigma ^ {\prime } = \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 이 대응하고 $ \operatorname { sgn } \sigma=- \operatorname { sgn } \sigma ^ {\prime } $ 이므로, \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (B) &= \sum_ {\sigma } ( \operatorname { sgn } \sigma) b_ { 1 j_ { 1 } } \cdots b_ { s j_ { r } } \cdots b_ { r j_ { s } } \cdots b_ { n j_ { n } } \\ &= \sum_ {\sigma } \left ( \operatorname { sgn } \sigma ^ {\prime } \right ) a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { r j_ { s } } \cdots a_ { s j_ { r } } \cdots a_ { n j_ { n } } =- \operatorname { det } (A) \end {aligned} \]</p> <p>정리 3 상 삼각행렬(또는 하 삼각행렬)의 행렬식의 값은 주대각성분의 곱이다.</p> <p>증명 $ A = \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ 0 & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] $ 를 상 삼각행렬이라 하고, $ A $ 의 행렬식을 $ \operatorname { det } (A)= \sum_ { 0 \in S_ { n } } \operatorname { sgn } (0) a_ { 1 j_ { 1 } } a_ { 2 j_ { 2 } } \cdots a_ { n j_ { n } } $이라고 두자. 여기서 $ \mathrm { o } = \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) \in S_ { n } $ 이다. (i) 만약 $ \sigma=1 $ (항등치환)이면, $ \operatorname { sgn } ( \sigma)=1 $ 이고 $ \sigma=(1,2, \cdots, n) $ 에 의한 $ A $ 의 기본적은 \[a_ { 11 } a_ { 22 } \cdots a_ { n n } \]이므로, 부호부 기본적은 \[a_ { 11 } a_ { 22 } \cdots a_ { n n } \]이다.</p> <p>(ii) $ \mathrm { v } = \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) \neq 1 $ 이라면, $ \mathrm { v } $ 에 적어도 하나의 전도가 일어난다. $ \left (j_ { s } , j_ { t } \right ) $ 에서 진도가 일어났다고 하자. 즉 $ 1 \leq s \leq t \leq n $ 에 대하여 $ j_ { s } >j_ { t } $ 이다. 그러면 $ A $ 의 $ \left (s, j_ { s } \right ) $ 성분 $ a_ { s j } $ 와 $ \left (t, j_ { t } \right ) $ 성분 $ a_ { t j_ { t } } $ 는 $ A $ 의 주대각성분이 아니므로 반드시 $ a_ { s j, s } =0 $ 이거나 $ a_ { t j_ { t } } =0 $ 이다. 따라서 $ G $ 에 의한 $ A $ 의 기본적은 \[a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { s j_ { i } } \cdots a_ { t j_ { i } } \cdots a_ { n j_ { n } } =0 \]이므로, 부호부 기본적은</p> <p>[예제 2] $ A $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬이라 하고 $ B = A \left (C_ { i } \leftrightarrow C_ { j } \right ) $ 라 하면 \[ \operatorname { det } (B)=- \operatorname { det } (A) \]이다.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (B) & \left .= \operatorname { det } \left (A \left (C_ { i } \leftrightarrow C_ { j } \right ) \right )= \operatorname { det } A ^ { t } \left (R_ { i } \leftrightarrow R_ { j } \right ) \right )=- \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right ) \\ &=- \operatorname { det } (A) \end {aligned} \]</p> <p>[예제 3] $ A $ 와 $ B $ 가 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행럴이라 하고, $ a $ 를 스칼라라고 하자.<ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { det } (a A)=a ^ { n } \operatorname { det } (A) $ 임을 보여라.</li> <li>$ n \geq 2 $ 일 때 $ \operatorname { det } (a A) \neq a \operatorname { det } (A), \operatorname { det } (A + B) \neq \operatorname { det } (A) + \operatorname { det } (B) $ 임을 보여라.</li></ol></p> <p>정리 $ 12 E_ { 1 } , E_ { 2 } , \cdots, E_ { t } $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 기본행렬이라 하고 $ A $ 를 $ n $ 차 정방행렬이라 하자. 그러면 아래 사실이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ \operatorname { det } \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } A \right )= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \cdots \operatorname { det } \left (E_ { t } \right ) \operatorname { det } (A) $특히, $ \operatorname { det } \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } \right )= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \cdots \operatorname { det } \left (E_ { t } \right ) $.</li> <li>$ D $ 가 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 가역행렬이면, $ \operatorname { det } (D A)= \operatorname { det } (D) \operatorname { det } (A) $.</li></ol></p> <p>[보기 1〕 $ A = \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 1 & -4 \\ 3 & 5 & 6 \\ 1 & 8 & 4 \end {array} \right ] $ 에 대하여 성분 $ a_ { 11 } $ 의 소행렬식은 \[D_ { 11 } = \left \| \begin {array} { ll } 5 & 6 \\8 & 4 \end {array} \right \|=-28 \]이고 또한, $ a_ { 11 } $ 의 여인자는 \[A_ { 11 } =(-1) ^ { 1 + 1 } D_ { 11 } =-28 \]이다. 이와 같은 방법으로 성분 $ a_ { 32 } $ 의 소행렬식은 \[ D_ { 32 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & -4 \\3 & 6 \end {array} \right \|=24 \]이고 또한, $ a_ { 32 } $ 의 여인자는 \[ A_ { 32 } =(-1) ^ { 3 + 2 } D_ { 32 } =-24 \]이 된다.</p> <p>위의 정의에서 알 수 있는 바와 같이 성분 $ a_ { i j } $ 의 소행렬식 $ D_ { i j } $ 와 여인자 $ A_ { i j } $ 는 부호가 서로 다른 것에 지나지 않는다. 즉, $ A_ { i j } = \pm D_ { i j } $ 로 되는데 이 부호가 $ + $ 인지, $ - $ 인지는 표 $ 3.3 $ 에서 $ + $ 와 $ - $ 가 반복적으로 나타남을 한눈에 알 수 있다. \[ \left [ \begin {array} { cccccc } & \langle \text { 표 3.3〉 } & & \\- & - & + & - & + & \cdots \\ + & + & - & + & - & \cdots \\- & + & + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end {array} \right ] \] 예컨대 $ A_ { 11 } =D_ { 11 } , A_ { 41 } =-D_ { 41 } , A_ { 12 } =-D_ { 12 } , A_ { 33 } =D_ { 33 } $ 등이다. 따라서 3차 정방행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] $ 의 행렬식 $ \operatorname { det } (A) $ 는 다음과 같이 나타난다. \[ \left . \begin {array} { rl } \operatorname { det } (A) & =a_ { 11 } A_ { 11 } + a_ { 12 } A_ { 12 } + a_ { 13 } A_ { 13 } \\ & =a_ { 21 } A_ { 21 } + a_ { 22 } A_ { 22 } + a_ { 23 } A_ { 23 } \\& =a_ { 31 } A_ { 31 } + a_ { 32 } A_ { 32 } + a_ { 33 } A_ { 33 } \\ & =a_ { 11 } A_ { 11 } + a_ { 21 } A_ { 21 } + a_ { 31 } A_ { 31 } \\& =a_ { 12 } A_ { 12 } + a_ { 22 } A_ { 22 } + a_ { 32 } A_ { 32 } \\ & =a_ { 13 } A_ { 13 } + a_ { 23 } A_ { 23 } + a_ { 33 } A_ { 33 } \end {array} \right \} \]</p> <p>따름정리 $ 10 \quad I $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 항등행렬이라 하고, $ I $ 의 기본행연산에 의한행렬 $ I \left (R_ { i } \leftrightarrow R_ { j } \right ), I \left (a R_ { i } \right ), I \left (a R_ { i } + R_ { j } \right ) $ 을 각각 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } $ 라고 두면 $ \operatorname { det } \left ( \mathrm { E } _ { 1 } \right ) = -1, \operatorname { det } \left ( \mathrm { E } _ { 2 } \right )=a, \operatorname { det } \left ( \mathrm { E } _ { 3 } \right )=1 $ 이다. 여기서 스칼라 $ a \neq 0 $ 이다.</p> <p>정리 $ 11 A $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬이라 하고 $ E $ 를 $ n $ 차 기본행렬이라 하면, $ \operatorname { det } (E) \neq 0 $ 이고 $ \operatorname { det } (E A)= \operatorname { det } (E) \operatorname { det } (A) $ 가 성립한다.</p> <p>증명 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 기본행렬은 세 가지 형태가 있는데, $ \operatorname { det } (E) \neq 0 $ 라는 사실은 따름정리 10 에 의하여 명백하다. 따름정리 10 에서 처럼 기본행렬 형태를 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } $ 라 두자. 그러면 정리 $ 8,9,10 $ 과 $ \S 2.2 $ 정리 1 에 의하여 다음이 성립한다.<ol type=i start=1><li>$ \begin {aligned} \operatorname { det } \left (E_ { 1 } A \right ) &= \operatorname { det } \left (A \left (R_ { i } \leftrightarrow R_ { j } \right ) \right )=- \operatorname { det } (A)=(-1) \operatorname { det } (A) \\ &= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } (A) \end {aligned} $</li> <li>$ \operatorname { det } \left (E_ { 2 } A \right )= \operatorname { det } \left (A \left (a R_ { i } \right ) \right )=a \operatorname { det } (A)= \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \operatorname { det } (A) $</li> <li>$ \begin {aligned} \operatorname { det } \left (E_ { 3 } A \right ) &= \operatorname { det } \left (A \left (a R_ { i } + R_ { j } \right ) \right )= \operatorname { det } (A)=1 \operatorname { det } (A) \\ &= \operatorname { det } \left (E_ { 3 } \right ) \operatorname { det } (A) \end {aligned} $</li></ol>따라서 $ n $ 차 정방행렬 $ A $ 와 기본행렬 $ E $ 에 대하여 $ \operatorname { det } (E A)= \operatorname { det } (E) \operatorname { det } (A) $이다.</p> <p>정리 1 치환 $ \sigma \in S_ { n } $ 에 대하여, $ \operatorname { sgn } ( \sigma) = \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) $ 이다. 여기서 $ \sigma ^ { -1 } $ 는 $ \sigma $의 역치환이다.</p> <p>증명 $ \quad \sigma= \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\ j_ { 1 } & j_ { 2 } & \cdots & j_ { n } \end {array} \right )= \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) \in S_ { n } $ 이라 하자.그러면 \[ \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cccc } j_ { 1 } & j_ { 2 } & \cdots & j_ { n } \\1 & 2 & \cdots & n \end {array} \right ) \]가 된다. 이 때 $ \sigma ^ { -1 } $ 의 정의역을 순서대로 재배열하여 \[ \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\k_ { 1 } & k_ { 2 } & \cdots & k_ { n } \end {array} \right )= \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots, k_ { n } \right ) \]이라고 둘 수 있다. $ 1 \leq s \leq t \leq n $ 인 임의의 자연수 $ s, t $ 를 생각하자. $ \sigma(s)=j_ { s } $ 를 자연수 $ e $ 라 두고, $ \sigma(t)=j_ { t } $ 를 자연수 $ f $ 라 두면, $ \sigma $ 는 전단사함수이므로 부록 $ \S 1 $ 명제 4 에 의해서 $ \sigma ^ { -1 } \cdot \sigma $ 또는 $ \sigma \sigma ^ { -1 } $ 가 항등치환임을 이용하여, $ s=k_ { e } , t=k_ { f } $ 임을 알 수 있다. 따라서 다음 사실이 성립한다. $ \left (j_ { s } , j_ { t } \right ) $ 에서 전도가 일어난다.</p> <p>[보기 9) 다음 행렬 $ A $ 에서 $ \operatorname { det } (A) = \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right ) $ 임을 보여라. \[A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & 4 \\1 & -2 & 3 \\2 & 3 & 2 \end {array} \right ] \] 풀이 $ \operatorname { det } (A)= \left \| \begin {array} { rrr } 3 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end {array} \right \|=3 \cdot(-2) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 2 $ \[-4 \cdot(-2) \cdot 2-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 1 \cdot 2=-3 \] \[ \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right )= \left \| \begin {array} { rrr } 3 & 1 & 2 \\2 & -2 & 3 \\4 & 3 & 2 \end {array} \right \|=3 \cdot(-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 \] \[ -2 \cdot(-2) \cdot 4-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 2 \cdot 1=-3 \]따라서 $ \operatorname { det } (A)=-3= \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right ) $ 이다.</p> <p>정리 $ 6 \quad A= \left [a_ { i j } \right ] $ 를 $ n $ 차 정방행렬이라 하고, $ R_ { i } = \left [ \begin {array} { l } a_ { i_ { 1 } } \\ a_ { i_ { 2 } } \cdots a_ { i_ {\varepsilon } } \end {array} \right ] $ 를 $ A $ 의 $ i $ 행이라 하자. 그러면 $ R_ { i } ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { llll } a_ { i_ { 1 } } & a_ { i_ { 2 } } ^ {\prime } & \cdots & a_ { i_ {\varepsilon } } ^ {\prime } \end {array} \right ] 1 \times n $ 행렬에 대하여 다음 두 등식이 성립한다.1) $ \operatorname { det } \left [ \begin {array} { c } R_ { 1 } \\ R_ { 2 } \\ \vdots \\ R_ { i } + R_ { i } { } ^ {\prime } \\ \vdots \\ R_ { n } \end {array} \right ]= \operatorname { det } \left [ \begin {array} { c } R_ { 1 } \\ R_ { 2 } \\ \vdots \\ R_ { i } \\ \vdots \\ _ { n } \end {array} \right ] + \operatorname { det } \left [ \begin {array} { c } R_ { 1 } \\ R_ { 2 } \\ \vdots \\ R_ { i } { } ^ {\prime } \\ \vdots \\ R_ { n } \end {array} \right ] $ 2) $ \operatorname { det } \left [ \begin {array} { c } R_ { 1 } \\ R_ { 2 } \\ \vdots \\ a R_ { i } \\ \vdots \\ R_ { n } \end {array} \right ]=a \operatorname { det } \left [ \begin {array} { c } R_ { 1 } \\ R_ { 2 } \\ \vdots \\ R_ { i } \\ \vdots \\ R_ { n } \end {array} \right ] $, 여기서 $ a \in F $</p> <p>위의 (1)을 행렬식 $ \|A\| $ 의 행에 관한 여인자 전개 (cofactor expansion)라 하고(2)를 $ \|A\| $ 의 열에 관한 여인자 전개라고 한다.여인자 전개를 실시할 때 $ \operatorname { det } (A) $ 의 계산은 어떤 한 행 또는 열의 각 성분마다 그 여인자를 곱하고 이들을 더했다. 그런데 만일 어떤 한 행 또는 열의 각 성분에 이것과는 다른 행 또는 열의 성분에서 만든 여인자를 곱하여 이들을 더하면 어떻게 되는가? 이 때 그 답은 0임을 알 수 있다.</p> <p>다음 3차 정방행렬 \[A = \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ] \]에 있어서 $ A $ 의 제 1행의 성분과 제 3행의 성분의 여인자를 곱하여 이들을 더하면, \[a_ { 11 } A_ { 31 } + a_ { 12 } A_ { 32 } + a_ { 13 } A_ { 33 } \]로 된다. 이것이 0임을 알아보기 위하여 다음과 같은 방법을 이용하자. 먼저 $ A $ 의 제 3행을 제 1행과 같은 것으로 놓아서 \[A ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \end {array} \right ] \]이라는 행렬을 만든다. $ A ^ {\prime } { } _ { 31 } , A ^ {\prime } { } _ { 32 } $ 와 $ A ^ {\prime } { } _ { 33 } $ 를 $ A ^ {\prime } $ 의 제 3 행의 성분의 여인자라 하자. $ A $ 와 $ A ^ {\prime } $ 의 처음 두 행이 일치하고 $ A_ { 31 } , A_ { 32 } , A_ { 33 } $ 와 $ A_ { 31 } ^ {\prime } , A_ { 32 } ^ {\prime } , A_ { 33 } ^ {\prime } $ 의 값은 $ A $ 와 $ A ^ {\prime } $ 의 처음 두 행의 성분에 의하여 나타나므로 \[A_ { 31 } =A ^ {\prime } { } _ { 31 } , A_ { 32 } =A ^ {\prime } { } _ { 32 } , A_ { 33 } =A ^ {\prime } { } _ { 33 } \]가 성립하고 $ A ^ {\prime } $ 는 같은 두 행을 갖기 때문에 \[ \operatorname { det } \left (A ^ {\prime } \right )=0 \]이다. 한편으로 $ \operatorname { det } \left (A ^ {\prime } \right ) $ 를 제 3행에 관해서 여인자 전개하여 계산하면, \[ \begin {aligned} \operatorname { det } \left (A ^ {\prime } \right ) &=a_ { 11 } A ^ {\prime } { } _ { 31 } + a_ { 12 } A ^ {\prime } { } _ { 32 } + a_ { 13 } A ^ {\prime } { } _ { 33 } \\&=a_ { 11 } A_ { 31 } + a_ { 12 } A_ { 32 } + a_ { 13 } A_ { 33 } \end {aligned} \]이고, (3)과 (4)로부터 \[a_ { 11 } A_ { 31 } + a_ { 12 } A_ { 32 } + a_ { 13 } A_ { 33 } =0 \] 을 얻는다. 다음 보조정리를 밝힌 후 일반적인 행렬식의 여인자 전개를 설명한다.</p> <p>보조정리 1 다음을 증명하여라. \[ \left \| \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & 0 & 0 & \cdots & 0 \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & a_ { n 3 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| = a_ { 11 } \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 22 } & a_ { 23 } & \cdots & a_ { 2 n } \\a_ { 32 } & a_ { 33 } & \cdots & a_ { 3 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { n 2 } & a_ { n 3 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \]행렬식의 정의에 의하여 \[ \begin {aligned} \text { 좌변 } &= \sum_ {\sigma } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 j_ { 1 } } a_ { 2 j_ { 2 } } \cdots a_ { n j_ { n } } \\&= \sum_ {\sigma } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 11 } a_ { 2 j_ { 2 } } \cdots a_ { n j_ { n } } \\ &=a_ { 11 } \sum_ {\tau } \operatorname { sgn } ( \tau) a_ { 2 j_ { 2 } } \cdots a_ { n j_ { n } } \\&= \text { 우변 } \end {aligned} \]여기서 $ \sigma= \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ), \tau= \left (j_ { 2 } , j_ { 3 } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 는 $ \{ 2,3, \cdots, n \} $의 치환이다.</p> <p>정리 8 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $ 에 대하여 다음 사실이 성립한다.</p> <p>(1) $ A $ 의 서로 다른 두 행(또는 두 열)의 대응하는 성분이 일치하면,<ol type= start=1><li>$ A $ 의 서로 다른 두 행(또는 두 열)의 대응하는 성분이 일치하면, $ \operatorname { det } (A)=0 $ 이다.</li> <li>$ A $ 의 서로 다른 두 행(또는 두 열)을 맞바꾸어서 만든 행렬을 $ B $ 라고 하면, $ \operatorname { det } (B)=- \operatorname { det } (A) $ 이다.</li></ol> <p>증명 (1) $ A $ 의 제 $ r $ 행과 제 $ s $ 행 $ (1 \leq r<s \leq n) $ 의 대응하는 성분이 일치한다고 하자. 이 때, $ 1,2, \cdots, n $ 의 치환 $ \sigma= \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 에 대하여 $ j_ { r } $ 과 $ j_ { s } $ 를 맞바꾸어 놓은 치환 $ \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 을 $ \sigma ^ {\prime } $ 이라고 하면, $ \operatorname { det } (A)= \sum_ { 0 } ( \operatorname { sgn } \sigma) a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { r j_ { r } } \cdots a_ { s j_ { s } } \cdots a_ { n j_ { n } } $의 우변에는 각 치환 $ G $ 에 대하여 다음 두 항이 동시에 들어 있다. \[ \begin {array} { l } ( \operatorname { sgn } \sigma) a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { r j_ { r } } \cdots a_ { s j_ { s } } \cdots a_ { n j_ { n } } \\ \left ( \operatorname { sgn } \sigma ^ {\prime } \right ) a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { r j_ { s } } \cdots a_ { s j_ { r } } \cdots a_ { n j_ { n } } \end {array} \]</p> <p>치환 $ \mathrm {\sigma } : I_ { n } \rightarrow I_ { n } $ 을 구체적으로 \[ \sigma = \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \end {array} \right ) \]으로 나타낸다. 한편 $ \sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n) $ 는 $ 1,2, \cdots, n $ 의 재배열로서 \[ \sigma=( \sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n))= \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) \]으로 나타내기도 한다. 여기서 $ \sigma(i)=j_ { i } , j=1,2, \cdots, n $ 이다. 특히 $ G $ 의 역치환 $ \sigma ^ { -1 } $ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cccc } \sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n) \\1 & 2 & \cdots & n \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cccc } j_ { 1 } & j_ { 2 } & \cdots & j_ { n } \\1 & 2 & \cdots & n \end {array} \right ) \][보기 1〕 집합 $ I_ { 3 } = \{ 1,2,3 \} $ 위에는 다음 6 종류의 서로 다른 치환이 존재한다. \[(1,2,3),(2,1,3),(3,1,2),(1,3,2),(2,3,1),(3,2,1) \]</p> <p>정의 집합 $ I_ { n } = \{ 1,2, \cdots, n \} $ 위의 치환 $ \mathrm {\sigma } = \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) $ 에 대하여 어 떤 큰 자연수가 작은 자연수보다 먼저 나타날 때 $ \sigma $ 에는 전도 (inversion) 또는 추월이 발생했다고 하고, 이러한 전도가 일어난 개수를 0 의 전도수 (numbers of inversion) 또는 추월수라 부르고 $ \mu(0) $ 로 나타낸다.</p> <ol type= start=1><caption>전도수 계산</caption> <li>첫째로 $ j_ { 1 } $ 보다 작은 자연수의 개수를 구한다.</li> <li>다음에 $ j_ { 2 } , \cdots, j_ { n-1 } $ 중에서 $ j_ { 2 } $ 보다 작은 자연수의 개수를 구한다.</li> <li>(2)의 방법을 $ j_ { n-2 } , j_ { n-1 } $ 까지 되풀이 한다.</li> <li>이상에서 구한 개수의 합이 $ \sigma $ 의 전도수 $ \mu( \sigma) $ 가 된다.</li></ol> <p>정의 치환 $ \sigma \in S_ { n } $ 이 주어졌다고 하자. 만약 $ \mu( \sigma) $ 가 짝수이면 $ \sigma $ 를 우치환 (even permutation)이라 하고 $ \mu( \sigma) $ 가 홀수이면 $ \sigma $ 를 기치환(odd permutation)이라 부른다. 그리고 다음과 같이 $ \sigma $ 의 부호 (sign of $ \sigma $ )를 결정한다: \[ \operatorname { sgn } ( \sigma)=(-1) ^ {\mu( \sigma) } = \left \{\begin {array} { cl } 1 & ( \sigma \text { is even } ) \\-1 & ( \sigma \text { is odd } ) \end {array} \right . \] 전도가 한 번도 일어나지 않은 치환을 항등치환(identity permutation)이라 하고 1 로 표시한다.</p></ol> <caption>[보기 2] 다음 치환의 전도수를 구하고 기치환인지 우치환인지 분류하여라.</caption> <ol type= start=1><li>$ (4,1,3,5,2) $</li> <li>$ (6,2,3,4,5,1) $</li> <li>$ (2,3,1) $</li> <li>$ (1,2,3,4,5) $</li> <li>$ (5,3,2,6,7,1,4) $</li></ol> <ol type= start=1><caption>풀이</caption> <li>전도수는 $ 3 + 0 + 1 + 1=5 $, 기치환</li> <li>전도수는 $ 5 + 1 + 1 + 1 + 1=9 $, 기치환</li> <li>전도수는 $ 1 + 1=2 $, 우치환</li> <li>전도수는 없다. 즉 전도수는 0 이다. 따라서 우치환</li> <li>전도수는 $ 4 + 2 + 1 + 2 + 2 + 0=11 $, 기치환</li></ol> <p>〔보기 3〕 (1) 집합 $ \{ 1,2 \} $ 위의 모든 치환은 다음과 같이 분류된다.</p> <p>(2) $ \operatorname { det } \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a a_ { 21 } & a a_ { 22 } & a a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ] = a \operatorname { det } \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ] $, 여기서 $ \mathrm { a } \in F $.</p> <p>보조정리 7 집합 $ \{ 1,2,3, \cdots, n \} $ 위의 치환 $ \sigma \in S_ { n } $ 이 다음과 같이 주어졌다고 하자. \[ \sigma= \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { n } \right ) \quad(1 \leq r<s \leq n) \] 만약 $ \sigma $ 의 성분 $ j_ { r } $ 과 $ j_ { s } $ 를 맞바꾸어 만든 치환을 $ \sigma ^ {\prime } $ 라 하면, 즉 \[ \sigma ^ {\prime } = \left (j_ { 1 } , \cdots, j_ { s } , \cdots, j_ { r } , \cdots, j_ { n } \right ), \quad \operatorname { sgn } ( \sigma)=- \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ {\prime } \right ) \]이다.</p> <p>증명 한 치환에서 이웃하는 두 성분을 서로 바꾸는 경우에 원래의 치환에 대한 전도가 한 개씩 생긴다. 이와 같은 원리를 이용하여, $ \sigma ^ {\prime } $ 로부터 $ \sigma $ 를 얻으려면 아래 표시에서 보는 바와 같이 \[j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { r-1 } , j_ { s } , j_ { r + 1 } , \cdots, j_ { s-1 } , j_ { r } , j_ { s + 1 } , \cdots, j_ { n } \] $ j_ { s } $ 을 그 오른쪽에 이웃하는 항과 차례로 바꾸어 놓는 일을 $ s-r $ 번 반복하여 $ j_ { s } $ 를 $ j_ { r } $ 와 $ j_ { s + 1 } $ 사이에 놓은 다음에 다시 $ j_ { r } $ 를 그 왼쪽에 이웃하는 항과 차례로 바꾸어 놓는 일을 $ (s-1)-r $ 번 반복하여 $ j_ { r } $ 를 $ j_ { r-1 } $ 과 $ j_ { r + 1 } $ 사이에 놓으면 된다. 결국, $ \sigma ^ {\prime } $ 에서 서로 이웃하는 두 항을 바꾸어 놓는 일을 $ 2(s-r)-1 $ 번 반복함으로써 $ \sigma $ 을 얻게 되므로, $ \mu( \sigma) $ 와 $ \mu \left ( \sigma ^ {\prime } \right ) $ 의 차이는 홀수이고 \[ \operatorname { sgn } \sigma=- \operatorname { sgn } \sigma ^ {\prime } \]이다.</p> <p>증명 (1) 정리 11을 반복하여 적용하면 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } A \right ) & = \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \left (E_ { 2 } E_ { 3 } \cdots E_ { t } A \right ) \right ) \\& \left .= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } E_ { 3 } \cdots E_ { t } A \right ) \right ) \\& \left .= \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 3 } \cdots E_ { t } A \right ) \right ) \\&= \cdots \cdots \cdots \cdots \\&= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \cdots \operatorname { det } \left (E_ { t } \right ) \operatorname { det } (A) \end {aligned} \](2) $ D $ 가 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 가역행렬이라고 가정하자. 그러면 $ \$ 2.2 $ 정리 11 에 의하여, 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 기본행렬 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } , \cdots, E_ { t } $ 가 존재하여 \[D=E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } \]로 나타난다. 따라서 $ \operatorname { det } (D A)= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } A \right )= \operatorname { det } \left (E_ { 1 } \right ) \operatorname { det } \left (E_ { 2 } \right ) \cdots \operatorname { det } \left (E_ { t } \right ) \operatorname { det } (A) $ $ \operatorname { det } \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { t } \right ) \operatorname { det } (A)= \operatorname { det } (D) \operatorname { det } (A) $ 이다.</p> <p>보기 6의 (1)은 그림 $ 3.1 $ (a)에서 우측으로 향한 화살표 위의 성분을 곱한 것에 서 좌측으로 향한 화살표 위의 성분의 곱을 빼서 얻었다. 보기 6 의 (2)식은 첫째 연과 둘째 연을 그림 $ 3.1 $ (b)에서 표시한 바와 같이 다시 쓰고 우측으로 향한 화살 표 위의 모든 성분의 곱의 합에서 좌측으로 향한 화살표 위의 성분의 곱의 합을 뺀 결과이다.여기서 (b)는 Sarrus의 법칙으로 알려져 있다.</p> <p>(보기 7) 다음 행렬의 행렬식을 계산하여라. \[A = \left [ \begin {array} { ll } 3 & -1 \\4 & -2 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 2 & 3 \\-4 & 5 & 6 \\7 & -8 & 9 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이 표 $ 3.3 $ (a)의 방법을 사용하면 \[ \operatorname { det } (A)=(3)(-2)-(-1)(4)=-2 \]이고, 표 $ 3.3 $ (b)의 방법을 사용하면, \[ \operatorname { det } (B)=(-45) + (84) + (96)-(105)-(48)-(-72)=54 \]</p> <p>【주의】 위에서 설명한 기억법은 $ 4 \times 4 $ 행렬 또는 그 이상의 크기의 행렬에 대해서는 사용될 수 없다. 왜냐 하면 그림 $ 3.1 $ (b)에 의하면 $ 4 \times 2 $ 개의 치환이 존재하나 실제로 $ 4 \times 4 $ 행럴식에는 $ 4 !=24 $ 개의 치환이 존재하기 때문이다.</p> <p>지금부터 행렬식의 성질을 공부하기 위하여, 행렬이 기본연산에 의하여 사다리꼴 행렬로 변형됨을 이용해서 주어진 행렬의 행렬식의 값을 쉽게 계산할 수 있음을 설명한다. 이 계산방법을 사용함으로써 행렬식의 정의를 직접 적용했을 때 따르는 복잡한 계산을 피할 수 있다.</p> <p>먼저 행렬식의 값을 매우 간단히 구할 수 있는 종류의 특수한 형태의 행렬에 대하여 공부하자.</p> <p>정리 2 정방행렬 $ A $ 가 영행(또는 영열)을 가지면, $ \operatorname { det } (A)=0 $ 이다.</p> <p>증명 $ A= \left [a_ { i j } \right ] $ 가 $ n $ 차 정방행렬이라 하자. 행렬식의 정의에 의하면 $ \operatorname { det } (A)= \sum_ { 0 \in S_ { n } } \operatorname { sgn } (0) a_ {\sigma(1) } a_ { 20(2) } \cdots a_ { n_ { 0 } (n) } $이고 \[( \sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n))= \sigma \in S_ { n } \]이므로 $ a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n_ { 0 } (n) } $ 중에서 한 원소는 반드시 영행의 원소이다. 따라서 $ A $ 에서 만들어진 각각의 기본적 $ a_ { 10(1) } a_ { 2 \circ(2) } \cdots a_ { n_ { 0 } (n) } =0 $ 이므로 $ \operatorname { det } (A)=0 $.</p> <h1>$ \$ 1 $ 치환과 행렬식의 성질</h1> <p>행렬식은 연립1차방정식의 해법, 1 차독립성 및 1 차종속성, 고유치 및 고유공간을 구할 때 쓰이고, 또한 역행렬에 관한 성질 및 공식을 만드는데도 유용하다. 행렬식을 정의하기에 앞서 치환에 관한 성질을 살펴보자.</p> <p>정의 $ X $ 를 공집합이 아닌 집 합이라고 할 때, 전단사함수 $ \sigma: X \rightarrow X $ 를 $ X $ 위의 순열 또는 치환 (permutation on $ X $ )이라 하고, $ X $ 위의 치환 전체의 집합을 $ S(X) $ 로 나타낸다. $ \sigma $ 와 $ \tau $ 를 $ S(X) $ 의 임의의 두 원소라 하면, $ \sigma $ 와 $ \tau $ 는 전단사함수이므로 부록 $ \S 1 $ 명제 3 과 9 에 의해서 $ \sigma $ 와 $ \tau $ 의 곱 (product) $ \sigma \tau = \tau \circ \sigma $ 는 전단사함수이다. 즉 $ \sigma \tau \in S(X) $ 이다. 한편 항등함수 $ 1_ { X } $ 는 전단사이며, $ \sigma $ 의 역함수를 $ \sigma ^ { -1 } $ 라 하면 $ \sigma \sigma ^ { -1 } =1_ { X } = \sigma ^ { -1 } \sigma $ 이고, 치환들에 대하여 결합법칙이 성립하므로 $ S(X) $ 는 곱연산에 관해서 군을 이룬다. 이 군 $ S(X) $ 를 $ X $ 위의 대칭군 (symmetric group on $ X $ )이라 부르고, $ S(X) $ 의 각 부분군을 $ X $ 위의 치환군 (permutation group on $ X $ )이라 부른다. 집합 $ I_ { n } = \{ 1,2, \cdots, n \} \quad(n \geq 2) $ 위의 대칭군 $ S \left (I_ { n } \right ) $ 을 $ S_ { n } $ 으로 나타내며 대칭군 $ S_ { n } $ 을 $ n $ 차의 대칭군 (symmetric group of degree $ n $ )이라고 부른다. $ S_ { n } $ 의 원소의 개수는 $ n $ ! 이다.</p> <p>정리 $ 13 A $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬이라고 하자. 그렇다면 $ A $ 가 가역 행럴이기 위한 필요충분조건은 $ \operatorname { det } (A) \neq 0 $ 이다.</p> <p>정리 $ 14 A $ 와 $ B $ 를 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬이라고 하면 $ \operatorname { det } (A B) = \operatorname { det } (A) \operatorname { det } (B) $즉 $ \|A B\|=\|A\|\|B\| $ 가 성립한다.</p> <p>증명 $ A $ 가 가역행렬인 경우에는 정리 12 의 (2)에 의하여 \[ \operatorname { det } (A B)= \operatorname { det } (A) \operatorname { det } (B) \]이 된다.</p> <p>다음은 $ A $ 가 비가역행렬인 경우를 생각하자. 이 경우, 정리 13 에 의하여 $ \operatorname { det } (A) $ $ =0 $ 이고, $ \S 2.2 $ 정리 12 에 의하여 $ A $ 는 영행을 포함하는 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬 $ P $ 에 행동등하다. 따라서 $ \S 2.2 $ 정리 5 에 의하여 $ F $ 위의 $ n $ 차 가역행렬 $ D $ 가 존재하여 $ A=D P $ 이다. 한편 $ P $ 는 영행을 포함하므로 $ P B $ 도 영행을 포함한다. 사실, $ P $ 의 $ i $ 행이 영행이라면 $ P B $ 의 $ i $ 행도 영행임을 알 수 있다. 그러므로 정리 2 및 정리 12 의 (2)에 의하여, \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (A B) &= \operatorname { det } ((D P) B)= \operatorname { det } (D(P B))= \operatorname { det } (D) \operatorname { det } (P B) \\&= \operatorname { det } (D) \cdot 0=0=0 \cdot \operatorname { det } (B)= \operatorname { det } (A) \operatorname { det } (B) \end {aligned} \]이다. 즉 $ \|A B\|=\|A\|\|B\| $ 이다.</p> <p>정의 체 $ F $ 위의 $ n $-정방행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $의 제 $ i j $-성분 $ a_ { i j } $ 의 여인자 $ A_ { i j } $ 를 제 $ j i $-성분으로 갖는 행렬을 $ A $ 의 수반행렬 (adjoint matrix of $ A $ ) 또는 $ A $의 여인자행렬 (cofactor matrix of $ A $ )이라 하고 $ \operatorname { adj } (A) $ 로 나타낸다. 즉, \[ \operatorname { adj } (A)= \left [A_ { i j } \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { cccc } A_ { 11 } & A_ { 21 } & \cdots & A_ { n 1 } \\A_ { 12 } & A_ { 22 } & \cdots & A_ { n 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\A_ { 1 n } & A_ { 2 n } & \cdots & A_ { n n } \end {array} \right ] \]</p> <p>[예제 2] 다음 행렬의 수반행렬을 구하여라. \[A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \\7 & 8 & 9 \end {array} \right ] \]풀이 $ A $ 의 소행렬은 다음의 9 개이다. \[ \begin {aligned} M_ { 11 } &= \left [ \begin {array} { ll } 5 & 6 \\8 & 9 \end {array} \right ], M_ { 12 } = \left [ \begin {array} { ll } 4 & 6 \\7 & 9 \end {array} \right ], M_ { 13 } = \left [ \begin {array} { ll } 4 & 5 \\ 7 & 8 \end {array} \right ] \\M_ { 21 } &= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 3 \\8 & 9 \end {array} \right ], M_ { 22 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 3 \\7 & 9 \end {array} \right ], M_ { 23 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\7 & 8 \end {array} \right ] \\M_ { 31 } &= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 3 \\5 & 6 \end {array} \right ], M_ { 32 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 3 \\4 & 6 \end {array} \right ], M_ { 33 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\4 & 5 \end {array} \right ] \end {aligned} \] $ A $의 소행렬식은 \[ \begin {array} { l } \left \|M_ { 11 } \right \|=45-48=-3, \left \|M_ { 12 } \right \|=36-42=-6, \left \|M_ { 13 } \right \|=32-35=-3 \\ \left \|M_ { 21 } \right \|=18-24=-6, \left \|M_ { 22 } \right \|=9-21=-12, \left \|M_ { 23 } \right \|=8-14=-6 \\ \left \|M_ { 13 } \right \|=12-15=-3, \left \|M_ { 32 } \right \|=6-12=-6, \left \|M_ { 33 } \right \|=5-8=-3 \end {array} \] $ A $ 의 여인수는 \[A_ { 11 } =(-1) ^ { 1 + 1 } (-3)=-3, A_ { 12 } =(-1) ^ { 1 + 2 } (-6)=6, A_ { 13 } =(-1) ^ { 1 + 3 } (-3)=-3 \] \[ \begin {array} { l } A_ { 21 } =(-1) ^ { 2 + 1 } (-6)=6, A_ { 22 } =(-1) ^ { 2 + 2 } (-12)=-12, A_ { 23 } =(-1) ^ { 2 + 3 } (-6)=6 \\ A_ { 31 } =(-1) ^ { 3 + 1 } (-3)=-3, A_ { 32 } =(-1) ^ { 3 + 2 } (-6)=6, A_ { 33 } =(-1) ^ { 3 + 3 } (-3)=-3 \end {array} \]따라서 $ A $ 의 수반행렬은 \[ \operatorname { adj } (A)= \left \| \begin {array} { rrr } -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\-3 & 6 & -3 \end {array} \right \| \]</p> <p>$ n $차 정방행렬에서 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $ 에서 $ a_ { 11 } =a_ { 11 } + 0 + 0 + \cdots + 0, a_ { 12 } =0 + a_ { 12 } + 0 + \cdots + 0, \cdots, a_ { 1 n } =0 + 0 + \cdots + a_ { 1 n } $이므로, 보조정리 1과 행렬식의 성질을 이용하면 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (A) &= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & 0 & \cdots & 0 \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| + \left \| \begin {array} { cccc } 0 & a_ { 12 } & \cdots & 0 \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| + \cdots + \\& \left \| \begin {array} { cccccc } 0 & 0 & \cdots & a_ { 1 j } & \cdots & 0 \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 j } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n j } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| + \cdots + \left \| \begin {array} { cccc } 0 & 0 & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \\&=a_ { 11 } D_ { 11 } -a_ { 12 } D_ { 12 } + \cdots + (-1) ^ { j-1 } a_ { 1 j } D_ { 1 j } + \cdots + (-1) ^ { n-1 } a_ { 1 n } D_ { 1 n } \end {aligned} \] \[ \begin {aligned} =&(-1) ^ { 1 + 1 } a_ { 11 } D_ { 11 } + (-1) ^ { 1 + 2 } a_ { 12 } D_ { 12 } \\& + \cdots + (-1) ^ { 1 + j } a_ { 1 j } D_ { 1 j } + \cdots + (-1) ^ { n + 1 } a_ { 1 n } D_ { 1 n } \\ =& a_ { 11 } A_ { 11 } + a_ { 12 } A_ { 12 } + \cdots + a_ { 1 j } A_ { 1 j } + \cdots + a_ { 1 n } A_ { 1 n } \end {aligned} \]식 (5)는 $ \operatorname { det } (A) $ 의 제 1행에 관한 여인자 전개이다. 일반적으로 $ \operatorname { det } (A) $ 를 제 $ i $행 또는 제 $ j $열에 관해서 여인자 전개하면 다음과 같이 됨을 알 수 있다. \[ \begin {array} { l } \operatorname { det } (A)=(-1) ^ { i-1 } \left \{ a_ { i 1 } D_ { i 1 } -a_ { i 2 } D_ { i 2 } + \cdots + (-1) ^ { n-1 } a_ { i n } D_ { i n } \right \} \\ \operatorname { det } (A)=(-1) ^ { j-1 } \left \{ a_ { 1 j } D_ { 1 j } -a_ { 2 j } D_ { 2 j } + \cdots + (-1) ^ { n-1 } a_ { n j } D_ { n j } \right \} \end {array} \]</p> <p>[예제 1] 다음 행렬식을 인수분해 하여라. \[D = \left \| \begin {array} { llll } 1 & x & x ^ { 2 } & x ^ { 3 } \\1 & y & y ^ { 2 } & y ^ { 3 } \\1 & z & z ^ { 2 } & z ^ { 3 } \\1 & u & u ^ { 2 } & u ^ { 3 } \end {array} \right \| \]풀이 $ D $ 의 제 1 행을 $ -1 $ 배하여 제 2행, 3 행, 4 행에 더한 다음 제 1 열에 관해서 전개하면 \[ \begin {aligned} D &= \left \| \begin {array} { cccc } 1 & x & x ^ { 2 } & x ^ { 3 } \\0 & y-x & y ^ { 2 } -x ^ { 2 } & y ^ { 3 } -x ^ { 3 } \\ 0 & z-x & z ^ { 2 } -x ^ { 2 } & z ^ { 3 } -x ^ { 3 } \\0 & u-x & u ^ { 2 } -x ^ { 2 } & u ^ { 3 } -x ^ { 3 } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } y-x & y ^ { 2 } -x ^ { 2 } & y ^ { 3 } -x ^ { 3 } \\z-x & z ^ { 2 } -x ^ { 2 } & z ^ { 3 } -x ^ { 3 } \\u-x & u ^ { 2 } -x ^ { 2 } & u ^ { 3 } -x ^ { 3 } \end {array} \right \| \\&=(y-x)(z-x)(u-x) \left \| \begin {array} { ccc } 1 & y + x & y ^ { 2 } + y x + x ^ { 2 } \\ 1 & z + x & z ^ { 2 } + z x + x ^ { 2 } \\1 & u + x & u ^ { 2 } + u x + x ^ { 2 } \end {array} \right \| \end {aligned} \]다시 제 1행을 $ -1 $ 배하여 제 2행, 3행에 더한 다음 제 1 열에 관해서 전개하면 \[ \begin {aligned} D &=(y-x)(z-x)(u-x) \left \| \begin {array} { ccc } 1 & y + x & y ^ { 2 } + y x + x ^ { 2 } \\0 & z-y & (z-y)(x + y + z) \\ 0 & u-y & (u-y)(x + y + u) \end {array} \right \| \\&=(y-x)(z-x)(u-x)(z-y)(u-y) \left \| \begin {array} { cc } 1 & x + y + z \\1 & x + y + u \end {array} \right \| \\&=(y-x)(z-x)(u-x)(z-y)(u-y)(u-z) . \end {aligned} \]</p> <p>\[ \operatorname { sgn } ( \mathrm { J } ) = a_ { 1 j_ { 1 } } \cdots a_ { s j_ { j } } \cdots a_ { t j_ { t } } \cdots a_ { n j_ { n } } =0 \]이다. 그러므로 ( i ), (ii)에 의하여 \[ \operatorname { det } (A)=a_ { 11 } a_ { 22 } \cdots a_ { n n } \]이다. 하 삼각행렬에 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p> <p>따름정리 4 항등행렬의 행럴식의 값은 1 이다. 즉 $ \operatorname { det } (I)=1 $</p> <p>증명 항등행럴 $ I $ 는 주대각성분이 모두 1 이고 상 삼각행렬이면서 동시에 하 삼각행렬이다. [보기 8] 다음 특수한 행렬의 행렬식의 값을 구하여라. \[A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 3 & 5 \\0 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 2 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\0 & 2 & 3 \\0 & 0 & 3 \end {array} \right ], \quad I= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]풀이 $ \operatorname { det } (A)=0, \operatorname { det } (B)=1 \cdot 2 \cdot 3=6, \operatorname { det } (I)=1 $.</p> <p>정리 $ 5 \quad A= \left [a_ { i j } \right ] $ 를 $ n $ 차 정방행렬이라고 하자. 그러면 $ A $ 의 행렬식과 전치행렬 $ A ^ { t } $ 의 행렬식의 값은 같다. 즉 \[ \operatorname { det } (A)= \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right ) \]</p> <p>증명 $ A= \left [a_ { i j } \right ], A ^ { t } = \left [b_ { i j } \right ] $ 라고 하자. 그러면 $ b_ { i j } =a_ { i j } $ 이다. 한편 $ S_ { n } = \left \{\sigma ^ { -1 } \mid \sigma \in S_ { n } \right \} $ 이고 정리 1 에 의하여 $ \operatorname { sgn } ( \sigma)= \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) $ 이므로 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } \left (A ^ { t } \right ) &= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) b_ { 1 \sigma(1) } b_ { 2 \sigma(2) } \cdots b_ { n_ {\sigma } (n) } \\&= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ {\sigma(1) 1 } a_ {\sigma(2) 2 } \cdots a_ {\sigma(n) n } \end {aligned} \] $ = \sum_ {\sigma ^ { -1 } \in S_ {\pi } } \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) a_ { 1 \sigma ^ { -1 } (1) } a_ { 2 \sigma ^ { -1 } (2) } \cdots a_ { n_ { 0 } ^ { -1 } (n) } $ $ = \sum_ {\tau \in S_ { * } } \operatorname { sgn } ( \tau) a_ { 1 \tau(1) } a_ { 2 \tau(2) } \cdots a_ { n_ {\tau } (n) } $ $ = \operatorname { det } (A) $</p> <h2>$ \$ $ 2 행렬식의 전개 및 수반행렬</h2> <p>이 절에서는 행렬식의 값을 계산하는데 편리하고 이론상으로 중요한 법칙을 살펴보기로 한다. 그리고 가역인 정방행렬의 역행렬을 계산하는 공식과 다음 장에서 공부할 연립1차방정식의 해를 구하는 공식에 응용됨을 이해한다.</p> <p>3차 정방행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] $ 의 행렬식 $ \operatorname { det } (A)=a_ { 11 } a_ { 22 } a_ { 33 } + a_ { 12 } a_ { 23 } a_ { 31 } + a_ { 13 } a_ { 21 } a_ { 32 } $ $ -a_ { 13 } a_ { 22 } a_ { 31 } -a_ { 12 } a_ { 21 } a_ { 33 } -a_ { 11 } a_ { 23 } a_ { 32 } $ 는 다음과 같이 2차 행렬식의 1차결합으로 표시되어진다. 즉 \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (A) &= \left \| \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \|=a_ { 11 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 22 } & a_ { 23 } \\a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \|-a_ { 12 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 21 } & a_ { 23 } \\a_ { 31 } & a_ { 33 } \end {array} \right \| + a_ { 13 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 21 } & a_ { 22 } \\a_ { 31 } & a_ { 32 } \end {array} \right \| \\ &=-a_ { 21 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \| + a_ { 22 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 31 } & a_ { 33 } \end {array} \right \|-a_ { 23 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 12 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } \end {array} \right \| \\&=a_ { 31 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right \|-a_ { 32 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 23 } \end {array} \right \| + a_ { 33 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 12 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } \end {array} \right \| \end {aligned} \]따라서 3 차 행렬식은 2 차 행렬식의 값에 의해서 구해진다. 이와 같은 생각을 4차 이상의 행렬식에 적용할 수 있음을 밝히려고 한다.</p> <p>(2) 집합 $ \{ 1,2,3 \} $ 위의 모든 치환은 다음과 같이 분류된다.</p> <p>정리 1 치환 $ \sigma \in S_ { n } $ 에 대하여, $ \operatorname { sgn } ( \sigma) = \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) $ 이다. 여기서 $ \sigma ^ { -1 } $ 는 $ \sigma $ 의 역치환이다.</p> <p>증명 $ \quad \sigma= \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\ j_ { 1 } & j_ { 2 } & \cdots & j_ { n } \end {array} \right )= \left (j_ { 1 } , j_ { 2 } , \cdots, j_ { n } \right ) \in S_ { n } $ 이라 하자. 그러면 \[ \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cccc } j_ { 1 } & j_ { 2 } & \cdots & j_ { n } \\1 & 2 & \cdots & n \end {array} \right ) \]가 된다. 이 때 $ \sigma ^ { -1 } $ 의 정의역을 순서대로 재배열하여 \[ \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\k_ { 1 } & k_ { 2 } & \cdots & k_ { n } \end {array} \right )= \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } , \cdots, k_ { n } \right ) \]이라고 둘 수 있다.</p> <p>$ 1 \leq s \leq t \leq n $ 인 임의의 자연수 $ s, t $ 를 생각하자. $ \sigma(s)=j_ { s } $ 를 자연수 $ e $ 라 두고, $ \sigma(t)=j_ { t } $ 를 자연수 $ f $ 라 두면, $ \sigma $ 는 전단사함수이므로 부록 $ \S 1 $ 명제 4 에 의해서 $ \mathrm {\sigma } ^ { -1 } \circ \mathrm {\sigma } $ 또는 $ \cup \sigma ^ { -1 } $ 가 항등치환임을 이용하여, $ s=k_ { e } , t=k_ { f } $ 임을 알 수 있다. 따라서 다음 사실이 성립한다. \[ \left (j_ { s } , j_ { t } \right ) \text { 에서 전도가 일어난다. } \]</p> <p>정의 체 $ F $ 위의 행렬 $ A = \left [a_ { i j } \right ] \in M a a_ { n \times n } $ 의 제 $ i $ 행과 제 $ j $ 열을 제외한 나머지 성분으로 이루어진 $ (n-1) $ 차 행렬을 $ i j $-성분 $ a_ { i j } $ 에 대한 소행렬 (minor matrix)이라 하고 $ M_ { i j } $ 로 나타낸다. 행렬식 $ \left \|M_ { i j } \right \| $ 를 $ a_ { i j } $ 의 소행렬식 (minor of $ \left .a_ { i j } \right ) $ 이라 하고, $ D_ { i j } $ 로 표시한다.</p> <p>체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] $ 에 대하여 제 $ i $ 행과 제 $ j $ 열을 제외한 나머지 성분으로 구성된 $ (n-1) $ 차 행렬 $ M_ { i j } $ 는 다음과 같고 $ a_ { i j } $ 의 소행렬식 $ \operatorname { det } \left (M_ { i j } \right ) $ \[ \begin {array} { l } =D_ { i j } \text { 에 의하여 } a_ { i j } \text { 의 여인자 } A_ { i j } \text { 를 다음 과 같이 정의한다. } \\ \qquad M_ { i j } = \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 j-1 } & a_ { 1 j + 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { i-11 } & \cdots & a_ { i-1 j-1 } & a_ { i-1 j + 1 } & \cdots & a_ { i-1 n } \\a_ { i + 11 } & \cdots & a_ { i + 1 j-1 } & a_ { i + 1 j + 1 } & \cdots & a_ { i + 1 n } \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { n 1 } & \cdots & a_ { n j-1 } & a_ { n j + 1 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \end {array} \] $ \ddot { i j } $-성분 $ a_ { i j } $ 의 소행렬식 $ D_ { i j } $ 에 부호를 붙인 수 \[A_ { i j } =(-1) ^ { i + j } D_ { i j } \]를 $ a_ { i j } $ 의 여인자 (cofactor of $ a_ { i j } $ )라고 한다.</p> <p>[보기 2〕 다음 3차 행렬 \[A = \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 1 & 0 \\-2 & -4 & 3 \\5 & 4 & -2 \end {array} \right ] \]에 대하여, $ A $ 의 제 1행에 관한 여인자 전개 및 제 1열에 관한 여인자 전개를 사용하여 $ \operatorname { det } (A) $ 계산하고 비교하여라. \[ \begin {aligned} \operatorname { det } (A) &= \left \| \begin {array} { rrr } 3 & 1 & 0 \\-2 & -4 & 3 \\5 & 4 & -2 \end {array} \right \|=3 \left \| \begin {array} { rr } -4 & 3 \\4 & -2 \end {array} \right \|-(1) \left \| \begin {array} { rr } -2 & 3 \\5 & -2 \end {array} \right \| + 0 \left \| \begin {array} { rr } -2 & -4 \\5 & 4 \end {array} \right \| \\&=3(-4)-(1)(-11)=-1 \\ \operatorname { det } (A) &=3 \left \| \begin {array} { rr } 3 \\ -4 & 3 \\4 & -2 \end {array} \right \|-(-2) \left \| \begin {array} { rr } 1 & 0 \\4 & -2 \end {array} \right \| + 5 \left \| \begin {array} { rr } 1 & 0 \\-4 & 3 \end {array} \right \| \\&=3(-4)-(-2)(-2) + 5(3)=-1 \end {aligned} \]결국 행렬식의 행에 관한 여인자 전개나 열에 관한 여인자 전개는 같음을 알 수 있다.</p> <p>[보기 3] 다음 행렬식의 값을 구하여라. \[D= \left \| \begin {array} { rrrr } -1 & 2 & 3 & -4 \\4 & 2 & 0 & 1 \\-1 & 1 & 2 & 3 \\-5 & 1 & 6 & 2 \end {array} \right \| \]제 1 열을 2 배, 3 배, $ -4 $ 배하여, 각각 제 2 열, 3 열, 4 열에 더하고, 제 1 행에 관해서 전개하면 \[D= \left \| \begin {array} { rrrr } -1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 10 & 12 & -15 \\-1 & -1 & -1 & 7 \\-5 & -9 & -9 & 22 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rrr } 10 & 12 & -15 \\ -1 & -1 & 7 \\-9 & -9 & 22 \end {array} \right \| \]다시 제 1열을 $ -1 $ 배, 7 배하여 각각 제 2열, 3열에 더하고, 제 2행에 관해서 전개하면 \[D=- \left \| \begin {array} { rrr } 10 & 2 & 55 \\-1 & 0 & 0 \\-9 & 0 & -41 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rr } 2 & 55 \\0 & -41 \end {array} \right \|=-(-82)=82 \]</p> <p>$ \Leftrightarrow s<t $ 에 대하여 $ j_ { s } >j_ { t } $ $ \Leftrightarrow s<t $ 에 대하여 $ e>f $ $ \Leftrightarrow f<e $ 에 대하여 $ t>s $ $ \Leftrightarrow f<e $ 에 대하여 $ k_ { f } >k_ { e } $ $ \Leftrightarrow \left (k_ { f } , k_ { e } \right ) $ 에서 전도가 일어난다.그래서 $ \mu( \sigma) = \mu \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) $ 그러므로 $ \operatorname { sgn } ( \sigma)= \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) $ 이다.</p> <p>정의 체 $ F $ 위의 $ n $ 차 정방행렬 \[A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \in \operatorname { Mat } _ { n } (F) \]에 대하여, $ n $ 개의 서로 다른 행과 서로 다른 열에서 선택한 $ n $ 개의 원소 를 곱한 \[a_ { 1 j_ { 1 } } a_ { 2 j_ { 2 } } \cdots a_ { n j_ { n } } \]을 $ A $ 의 기본적 (elementary product of $ A $ )이라 한다.</p> <ol type= start=1><caption>[보기 6)보기 5 의 결과에 의하여 다음이 성립한다.</caption> <li>$ \operatorname { det } \left [ \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 12 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } \end {array} \right ]=a_ { 11 } a_ { 22 } -a_ { 12 } a_ { 21 } $</li> <li>$ \begin {aligned} \operatorname { det } \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ]=& a_ { 11 } a_ { 22 } a_ { 33 } + a_ { 12 } a_ { 23 } a_ { 31 } + a_ { 13 } a_ { 21 } a_ { 32 } -a_ { 13 } a_ { 22 } a_ { 31 } \\ &-a_ { 12 } a_ { 21 } a_ { 33 } -a_ { 11 } a_ { 23 } a_ { 32 } \end {aligned} $</li></ol> <p>보기 6 의 (1), (2)는 유용하게 쓰이므로 잘 기억해둘 푈요가 있다. 그러나 이것을 기억하기란 숩지 않다. 따라서 전부터 이용되고 있는 기억법을 소개한다.</p>	자연
m234-(쉬운설명, 다양한 예제) 집합론의 이해	<p>참고 $ R $에서, 임의의 공집합이 아닌 위로 유계 (또는 아래로 유계)인 부분집합은 반드시 상한(또는 하한)을 갖는 것이 알려져 있다. 이것이 바로 '실수의 완비성'인 것이다.</p> <p>정리 13 $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, 다음 두 조건은 동치이다.<ol> <li>$ A $의 모든 부분집합은 상한을 갖는다.</li> <li>$ A $의 모든 부분집합은 하한을 갖는다.</li></ol></p> <p>반순서집합에 관하여 추론할 때, 쌍대개념은 매우 뜻있는 성질을 갖는다. 반순서집합에 관한 명제에 대하여 ' $ \leq $ '를 ' $ \geq $ '로, ' $ \geq $ '를 ' $ \leq $ '로, '극대'를 '극소'로, '극소'를 '극대'로, '최대'를 '최소'로, '최소'를 '최대'로, '하계'를 '상계'로, '상계'를 '하계'로, '상한'을 '하한'으로, '하한'을 '상한'으로 각각 바꾸는 개념을 순서에 대한 쌍대개념이라 한다.</p> <p>반순서집합에 관한 명제에 대하여, 그 명제 안에 나타나는 순서에 관한 개념을 각각 그 쌍대개념으로 바꾸어 놓음으로써 얻어지는 명제를 쌍대명제라고 한다. 따라서 어떤 반순서집합에 대하여 하나의 정리가 증명될 때마다 쌍대도 참임을 알 수 있다. 이와 같은 성질을 쌍대성 (duality)이라 한다.</p> <p>정리 14 쌍대성 반순서에 관한 어떤 조건 $ C $를 만족하는 임의의 순서집합에 대하여 참이 되는 하나의 명제가 주어질 때, $ C $ 안에 포함되어 있는 개념을 각각 쌍대개념으로 바꿈으로써 얻어지는 조건 $ C ^ {\prime } $을 만족하는 임의의 쌍대명제는 참이 된다.</p> <p>예제 반순서집합 $ (A, \leq) $에 대하여, 다음이 성립한다.<ol> <li>$ B \subset A $이고 $ L(B) $가 $ A $에서 상한을 갖는다면, $ B $는 $ A $에서 하한을 가지고 $ \inf B $ $ = \sup L(B) $이다.</li> <li>$ B \subset A $이고 $ U(B) $가 $ A $에서 하한을 갖는다면, $ B $는 $ A $에서 상한을 가지고 $ \sup B $ $ = \inf U(B) $이다.</li></ol></p> <p>증명 (2)는 (1)의 쌍대개념에 의하여 얻어질 수 있으므로, (1)만을 증명한다. $ a= \sup L(B) $ 라 놓고 $ b \in B $ 라 하면, $ L(B) $의 임의의 원소 $ c $에 대하여 $ c \leq b $이므로, $ b $는 $ L(B) $의 상계다. 따라서 $ a \leq b $이고, 이것은 임의의 $ b \in B $에 대하여 성립하므로 $ a $는 $ B $의 하계가 된다. 만일 $ d $가 $ B $의 임의의 하계라면 $ d \in L(B) $이므로, $ a \geq d $이다. 따라서 $ a $는 $ B $의 하한이다.<p></p>정의 15 조건부완비 (conditionally complete) $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, 위로 유계인 $ A $의 공집합이 아닌 모든 부분집합에 상한이 존재하면, $ (A, \leq) $를 조건부완비 또는 순서관계에 관하여 완비 (complete with respect to the order)라고 한다.</p> <p>참고 쌍대성에 의해, 아래로 유계인 공집합이 아닌 모든 부분집합에 상한이 존재하는 반순서집합은 조건부완비가 된다.</p> <p>예 $ R $에서 위로 유계인 모든 부분집합이 상한을 가지므로, $ (R, \leqq) $는 조건부완비이다.</p> <p>예제 유리수의 집합 $ (Q, \leqq) $는 조건부완비가 아니다.</p> <p>증명 집합 $ B= \left \{ x \in Q \mid x ^ { 2 }<2 \right \} $를 생각하면 $ B $는 위로 유계이지만 상한이 존재하지 않으므로, $ (Q, \leqq) $는 조건부완비가 아니다.</p> <p>예 $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, $ L( \varnothing)=A $이고 $ \inf \varnothing $은 $ L( \varnothing) $의 최대원이다. 따라서 $ a $가 $ A $의 최대원이면 \[ \inf \varnothing=a \] 가 된다.</p> <p>예 보통순서로 주어진 열린구간 $ A=(0,1) $에 대하여, 임의의 실수 $ x \geqq 1 $은 $ A $의 상계이고 임의의 실수 $ x \leqq 0 $은 하계이다. 또한 $ \sup A=1 $이고 $ \inf A=0 $이 된다.</p> <p>반순서집합 $ S $의 상한, 하한이 반드시 존재하는 것은 아니고, 존재해도 $ S $의 원소일 경우 그것들은 각각 $ S $의 최대원, 최소원이 되어야 한다. 상한 (또는 하한)의 개념은 최대원 (또는 최소원)의 개념보다 넓은 의미를 갖는다. 최대원 (또는 최소원)이 존재하지 않더라도 상한 (또는 하한)은 존재할 수가 있다. 그러나 상한과 하한이 존재한다면 오직 하나뿐이다.</p> <p>예 열린구간 $ B=(- \infty, 0) $에는 최대원이 존재하지 않지만, $ R $에서 $ \sup B=0 $이 된다.</p> <p>예 반순서집합 $ (R, \leqq) $의 부분순서집합 \[ S= \left \{ x \in Q \mid 2<x ^ { 2 }<5, x>0 \right \} \] 에서 \[ \inf S= \sqrt { 2 } , \sup S= \sqrt { 5 } \] 이지만, $ \sqrt { 2 } $는 $ S $의 최소원이 아니고 $ \sqrt { 5 } $ 도 $ S $의 최대원이 아니다. 한편 $ (R, \leqq) $ 대신 $ (Q, \leqq) $으로 택하면, $ S $는 공집합이 아니고 유계이지만 상한과 하한을 모두 갖지 않는다.</p> <p>예 포함관계에 의하여 순서가 주어진 집합족 $ \mathcal { F } $에 대하여 $ \mathcal { E } = \left \{ B_ { i } \right \} _ { i \in I } $가 $ \mathcal { F } $의 부분집합족이고 $ \bigcup_ { i \in I } B_ { i } $와 $ \bigcap_ { i \in I } B_ { i } $가 $ \mathscr { F } $의 원소일 때 \[ \sup \mathcal { E } = \bigcup_ { i \in I } B_ { i } , \inf \mathcal { E } = \bigcap_ { i \in I } B_ { i } \] 로 주어진다.</p> <h2>2. 분배속과 불속</h2> <p>정리 6 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, 임의의 $ x, y, z \in A $에 대하여 다음은 동치이다.<ol> <li>제1분배율: $ (x \wedge y) \vee z=(x \wedge y) \vee(x \wedge z) $</li> <li>제2분배율: $ (x \vee y) \wedge z=(x \vee y) \wedge(x \vee z) $</li></ol></p> <p>증명 제 1 분배율에서 제 2 분배율을 유도하는 방법만을 증명하고, 그 역에 대해서는 독자에게 남긴다. \[ \begin{aligned} (x \vee y) \wedge(x \vee z) &=((x \vee y) \wedge x) \vee((x \vee y) \wedge z) \\ &=(x \wedge(x \vee y)) \vee(z \wedge(x \vee y)) \\ &=((x \wedge x) \vee(x \wedge y)) \vee((z \wedge x) \vee(z \wedge y)) \\ &=(x \vee(x \wedge y)) \vee((z \wedge x) \vee(z \wedge y)) \\ &=x \vee((z \wedge x) \vee(z \wedge y))=(x \vee(z \wedge x)) \vee(z \wedge y) \\ &=(x \vee(x \wedge z)) \vee(y \wedge z)=x \vee(y \wedge z) \end{aligned} \]<p></p>정의 7 분배속(distributive lattice) 분배율 (적어도 한쪽)이 성립하는 속을 분배속 또는 분배격자라고 한다.</p> <p>예제 분배속 $ (A, \leq) $은 모듈러속이다. 그러나 역은 성립하지 않는다.</p> <p>증명 $ x \leq z $ 라 하자. 이 경우 $ x \vee z=z $이므로 분배율을 사용하여 \[ x \vee(y \wedge z)=(x \vee y) \wedge(x \vee z)=(x \vee y) \wedge z \] 가 성립한다. 역이 성립하지 않음은 독자에게 남긴다.</p> <p>정의 8 상보속 (complement lattice) 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, 임의의 $ x \in A $에 대하여 \[ x \vee x^{\prime}=1, x \wedge x^{\prime}=0 \] 으로 되는 원소 $ x^{\prime} $이 존재하면 $ x^{\prime} $을 $ x $의 보원 (complement) 또는 여원이라 한다. 이때 속의 모든 원소에 보원이 존재하면 상보속이라 한다.</p> <p>상보속이며 분배속일 때, 각 원소에 대하여 그 보원은 유일하다. 또한 상보속의 각 원소에 대하여 보원이 유일하게 존재하면, 그것은 분배속이 된다.</p> <p>정의 9 불대수 반순서집합 $ (A, \leq) $가 상보속이며 분배속일 때, $ (A, \leq) $를 불속 $ ( $ 불격자, Boolean lattice) 또는 불대수라고 한다.</p> <p>예 집합 $ X $의 멱집합 $ \wp(X) $에서 연산 $ U, \cap,- $를 생각하면, $ \wp(X) $는 상보속인 동시에 분배속이므로 불대수이다.</p> <p>예 논리식에서 논리곱과 논리합을 생각하면 \[ 0=c, 1=t, p^{\prime}=\sim p \] 등으로 주어지므로, 하나의 불대수가 된다.</p> <p>정의 10 완비속 (complete lattice) $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, $ A $의 임의의 부분집합이 상한과 하한을 가지면 $ (A, \leq) $를 완비속 또는 완비격자라고 한다.</p> <p>예 전순서집합 ( $ [0,1], \leqq) $는 완비속이다. 왜냐하면 임의의 부분집합에 대하여, 상한과 하한이 존재하기 때문이다. 그러나 전순서집합 $ (R, \leqq) $는 완비속이 아니다. 왜냐하면 부분집합 $ R $은 상한을 갖지 않기 때문이다.</p> <p>예 $ A=[0,1] \cap Q $ 일 때, $ (A, \leqq) $는 완비속이 아니다. 왜냐하면 부분집합 $ \{x \in A \mid $ $ \left.x^{2}<1 / 2\right\} $이 상한을 갖지 않기 때문이다.</p> <p>참고 반순서집합 $ (A, \leq) $가 완비속이면, $ A $의 공집합이 아닌 위로 유계인 부분집합은 상한을 가지므로, $ (A, \leq) $는 조건부완비가 된다.</p> <h2>3. 초한귀납법</h2> <p>정렬집합에 대해서는 귀납법을 사용할 수 있다는 점이 두드러진 특징의 하나다. 수학적 귀납법을 한걸음 발전시킨 초한귀납법은 여러 가지 이론에 필요한 증명법이다. 먼저 다음 정리를 증명없이 서술한다 (참고문헌 4 참조).</p> <p>정리 13 정렬집합 $ (A, \leq) $에 대하여, $ \mathcal{Z} $가 다음 조건<ol> <li>$ \mathcal{Z} $의 원소들의 임의의 합집합은 $ \mathcal{Z} $에 속한다.</li> <li>$ A_{x} \in \mathcal{Z} $이면 $ A_{x} \cup\{x\} \in \mathcal{Z} $</li></ol>를 만족하는 $ A $의 절편의 집합이면, 절편족 $ \mathscr{Z} $는 $ A $의 모든 절편을 포함한다.</p> <p>위 정리에서 가정 (1)은 $ \varnothing \in \mathscr{Z} $를 뜻한다. 왜냐하면 ' $ \varnothing \in \mathscr{Z} $ '는 가정 (1)에서 추론할 수 있는 까닭이다. 즉 $ \mathscr{Z} $의 원소들의 임의의 합은 $ \mathfrak{Z} $에 속하므로, $ \mathfrak{Z} $의 원소인 $ \varnothing $의 합을 택하면 된다. 따라서 $ \mathfrak{Z} $는 공집합이 아니다.</p> <p>정리 14 초한귀납법 (transfinite induction) $ (A, \leq) $가 정렬집합이고, $ p(x) $가 $ A $의 원소 $ x $에 관한 명제일 때 "모든 $ y<x $에 대하여 $ p(y) $가 참이면, $ p(x) $ 도 참이다." 가 성립하면, ' $ \forall x \in A, p(x) $가 참'이 된다.</p> <p>증명 결론 ' $ \forall x \in A, p(x) $가 참'을 부정하면 집합 \[ A^{\prime}=\{a \in A \mid p(a) \text { 가 거짓 }\} \] 은 $ \varnothing \neq A^{\prime} \subset A $이고, $ A $가 정렬집합이므로 $ A^{\prime} $에는 최소원 $ m $이 존재한다. 지금 $ p(x) $가 $ x<m $인 모든 원소 $ x $에 대하여 참이면, 가정으로부터 $ p(m) $ 도 참이다. 이는 $ m $이 $ A^{\prime} $의 최소원이라는 사실에 모순이다. 따라서 $ p(x) $는 모든 $ x \in A $에 대하여 참이다.</p> <p>수학적 결과를 증명하는데 있어서 초한귀납법이 어떻게 사용되는가를 이해하기 위하여 예로써 다음 정리를 생각한다.</p> <p>정리 15 두 정렬집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $에 대하여, $ f: A \rightarrow B $가 증가이고 $ f(A) $가 $ B $의 절편이며 $ g: A \rightarrow B $가 좁은 뜻에서 증가이면 \[ \forall x \in A, \quad f(x) \leq^{\prime} g(x) \] 가 성립한다.</p> <p>증명 각 $ x \in A $에 대하여 $ p(x) $를 명제 ' $ f(x) \leq{ }^{\prime} g(x) $ '라 하자. 배리법을 사용하기 위해 모든 $ x<a $에 대하여 $ p(x) $가 성립하지만 $ p(a) $는 거짓이 되는 원소 $ a \in A $가 존재한다고 가정하자. 즉 모든 $ x<a $에 대하여 \[ f(x) \leq^{\prime} g(x) \text { 이지만, } g(a)<^{\prime} f(a) \] 라고 가정하자. $ g $는 좁은 뜻에서 증가, $ f $는 증가이므로 모든 $ x<a $와 $ y \geq a $에 대하여 \[ f(x) \leq^{\prime} g(x)<^{\prime} g(a)<^{\prime} f(a) \leq^{\prime} f(y) \] 이다. 따라서 \[ g(a) \notin f(A) \] 가 성립한다. 그런데 $ g(a)<^{\prime} f(a) $이므로, 이것은 $ f(A) $가 $ B $의 절편이라는 사실에 모순이 된다. 따라서 임의의 $ x \in A $에 대하여 모든 $ y<x $에 대하여, $ f(y) \leq^{\prime} g(y) $이면 $ f(x) \leq^{\prime} g(x) $ 이다. 그러므로 초한귀납법 원리에 의하여 \[ \forall x \in A, f(x) \leq^{\prime} g(x) \] 가 성립한다.</p> <p>정의 4 직후자와 직전자 반순서집합 $ (A, \leq) $에 대하여 $ a \in A $ 라 하자. $ a<b $ 일 때 $ a<c<b $와 같은 원소 $ c $가 $ A $에 존재하지 않으면 $ b $를 $ a $의 직후자 (바로 뒤 원소; immediate successor), $ a $를 $ b $의 직전자(바로 앞 원소; immediate predecessor)라고 한다.</p> <p>예 반순서집합 $ (A, \leq) $가 정렬집합이면 최대원을 제외한 $ A $의 임의 원소는 직후자를 갖는다. 왜냐하면 $ x \in A $가 $ A $의 최대원이 아니라면 \[ T= \{ y \in A \mid y>x \} \] 는 공집합이 아니다. 따라서 $ T $는 최소원을 갖는다. 이 경우 최소원이 $ x $의 직후자이기 때문이다.</p> <p>$ A $가 전순서집합이면, $ b $가 $ a $의 직후자라는 것은 $ b $가 $ a $보다도 큰 $ A $의 원소의 집합 $ \{ x \mid x \in A, a<x \} $의 최소원이라는 것과 동치이다. 따라서 $ A $가 전순서집합일 경우, $ A $의 원소 $ a $의 직후자가 존재하면 그것은 $ a $에 대하여 일의적으로 결정된다. 마찬가지로 $ A $가 전순서집합일 때, $ a $가 $ b $의 직전자라는 것은 $ a $가 $ \{ x \mid x \in A, x<b \} $의 최대원이라는 것과 동치이다. 따라서 $ A $가 전순서집합일 경우, $ A $의 원소 $ b $의 직전자가 존재하면 그것은 $ b $에 대하여 일의적으로 결정된다.</p> <p> <ol> <li>$ \min W $가 존재한다.</li> <li>$ W $의 임의의 원소 $ a $에 대하여, $ a $보다 뒤에 있는 $ W $의 원소가 존재하면, $ a $의 직후자 $ a ^ {\prime } $이 존재한다.</li></ol>는 명백하다. 이때 (1)과 (2)는 자연수의 집합 $ N $이 갖는 두 성질<ol> <li> $ N $은 최소원 1 을 갖는다.</li> <li> $ N $의 임의의 원소 $ n $에 대하여, 그 직후자 $ n + 1 $이 존재한다.</li></ol>의 일반적인 정렬집합으로의 확장이다.</p> <p>$ N $에서 1 이외의 임의의 자연수는 반드시 직전자를 갖지만, 이 성질은 일반적인 정렬집합 $ W $에서는 성립하지 않는다. 즉 $ a $가 $ W $의 원소일 때, $ a \neq \min W $이더라도 $ a $의 직전자가 반드시 존재한다고 할 수 없다. 그러나 $ a $의 직전자가 존재할 경우에는 그것은 $ a $에 대하여 일의적으로 결정된다.</p> <p>예 정렬집합 $ W $의 원소 $ a $ (단, $ a \neq \min W $ )가 직전자를 갖지 않는 경우를 생각해 보자. 지금 $ \omega $를 자연수와 다른 하나의 기호라 하고 $ N \cup \{\omega \} =W $ 라 둔다. 이때 $ W $에서 순서 $ \leq $를 " $ N $의 원소에 대해서는 $ \leq $는 보통순서 $ \leqq $ 그대로 하고, 임의의 $ n \in N $과 $ \omega $에 대해서는 $ n< \omega $ 라 한다."로 정의하면 $ W $는 명백히 정렬집합이 되지만, 원소 $ \omega $는 직전자를 갖지 않는다.</p> <p>참고 $ (A, \leq) $가 다음 두 조건<ol> <li>$ A $가 최소원을 갖는다.</li> <li>$ A $의 임의의 쇄는 $ A $에서 상한을 갖는다.</li></ol>를 만족하는 반순서집합이면, $ A $에는 직후자를 갖지 않는 원소가 존재한다.</p> <p>정의 11 상계와 하계</p> <p>$ (A, \leq) $가 반순서집합이고, $ B \subset A $ 라 하자.<ol> <li>모든 $ x \in B $에 대하여 $ a \geq x $가 성립하는 $ a \in A $를 $ A $에서 $ B $의 상계(upper bound)라 하고, $ B $의 상계가 적어도 하나 존재할 때 $ B $는 $ A $에서 위로 유계라고 한다. 이때 $ B $의 모든 상계의 집합을 $ U(B) $로서 나타낸다.</li> <li>모든 $ x \in B $에 대하여 $ b \leq x $가 성립하는 $ b \in A $를 $ A $에서 $ B $의 하계 (lower bound)라 하고, $ B $의 하계가 적어도 하나 존재할 때 $ B $는 $ A $에서 아래로 유계라고 한다. 이때 $ B $의 모든 하계의 집합을 $ L(B) $로서 나타낸다.</li> <li>$ B $가 $ A $에서 상계와 하계를 모두 가지면, $ B $를 $ A $에서 유계 (bounded)라고 한다.</li></ol></p> <p>예 반순서집합 $ (A, \leq) $와 $ B \subset A $에 대하여, 최대원 $ \max B = b $가 $ B $에 존재하는 경우, $ b $는 $ B $의 하나의 상계이므로 $ B $는 위로 유계가 된다. 그러나 $ B $가 위로 유계라 하더라도 $ \max B $가 존재한다고는 할 수 없다. 예를 들면 $ R $의 열린구간 $ (- \infty, 0) $은 $ R $에서 유계이지만, 최대원이 존재하지 않는다.</p> <p>정의 12 최소상계와 최대하계</p> <p>$ (A, \leq) $가 반순서집합이고, $ B \subset A $ 라 하자. $ B $의 상계의 집합 $ U(B) $가 최소원을 가질 때, 최소원을 $ A $에서 $ B $의 최소상계(least upper bound) 또는 상한(supremum)이라 하고 \[ \sup B \text { 또는 1.u.b. } B \] 로 표기한다. 한편 $ B $의 하계의 집합 $ L(B) $가 최대원을 가질 때, 최대원을 $ A $에서 $ B $의 최대하계 (greatest lower bound) 또는 하한 (infimum)이라 하고 \[ \inf B \text { 또는 g.l.b. } B \] 로 표기한다.</p> <p>이 장에서는 순서관계와 순서집합에 관하여 서술하고, 순서집합에서 속과 정렬집합을 유도한다. 특히 불대수와 밀접한 관계를 가진 속론은 수학의 많은 분야에서 응용되고 있다.</p> <h1>7.1 순서집합</h1> <p>현대수학에서 수학적 구조는 집합주의적 구조와 카테고리 (category)주의적 구조로 크게 나누는데, 어느 경우에서나 순서구조, 대수구조, 위상구조가 기본적인 구조가 되고, 이들의 결합에 의한 복잡한 구성이 현대수학의 특징이다.</p> <h2>1. 순서집합</h2> <p>정의 1 반순서집합 집합 $ A $에서의 관계 $ \leq $가 다음 세 조건<ol type=1 start=1><li>반사적: 모든 $ x \in A $에 대하여, $ x \leq x $</li> <li>반대칭적 (anti-symmetric): $ x \leq y $이고 $ y \leq x $이면, $ x=y $</li> <li>추이적: $ x \leq y $이고 $ y \leq z $이면, $ x \leq z $</li></ol>를 만족할 때, $ \leq $를 반순서관계(partial order relation) 또는 간단히 순서관계(order relation)라 하고, 특히 집합 $ A $에서의 관계 $ \leq $가 (1)과 (3)만을 만족할 때 $ \leq $를 준순서관계 (preorder relation)라고 한다.</p> <p>집합 $ A $에 반순서 $ \leq $가 정의되었을 때, $ (A, \leq) $를 반순서집합(partially ordered set) 또는 간단히 순서집합 (ordered set)이라 한다. 반면에 집합 $ A $에 준순서 $ \leq $가 주어졌을 때, $ (A, \leq) $를 준순서집합이라 한다.</p> <p>참고 집합 $ A $에서 관계 $ \Re $이 반순서관계이면, 역관계 $ \Re^{-1} $ 도 반순서관계가 된다. 이때 역관계 $ \Re^{-1} $을 역순서 (inverse order)라고 한다.</p> <p>예 실수의 집합 $ R $에서, ‘작거나 같다'는 기호 '§’는 반사적, 반대칭적, 추이적이므로 순서관계이다. 그러나 $ R $에서 '보다 작다'는 관계 ' $< $ '는 반대칭적이고 추이적이지만 반사적이 아니므로 순서관계가 아니다. 특히 반대칭적이고 추이적이지만 반사적이 아닌 관계를 강한 뜻에서의 순서관계라 하기도 한다.</p> <p>참고 $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, 집합 $ A $를 $ (A, \leq) $의 토대집합 (underlying set)이라고 한다. 이때 반순서 $ \leq $의 의미가 확실한 경우는 $ (A, \leq) $를 간단히 '반순서집합 $ A $ '로 표현한다.</p> <p>예 복소수의 집합 $ C $에 관계 $ \Re $을 임의의 $ z_{1}, z_{2} \in C $에 대하여 \[ \left\|z_{1}\right\| \leqq\left\|z_{2}\right\| \text { 일 때, 그리고 그때만 } z_{1} \Re z_{2} \] 로 정의하면, 관계 $ \Re $은 준순서이다. 왜냐하면 반사적이고 추이적이지만, 반대칭적이 아니기 때문이다.</p> <p>예 자연수의 집합 $ N $의 두 원소 $ a, b $에 대하여, $ b $가 $ a $에 의하여 정제되는 ( $ a $는 $ b $의 약수) 것을 $ \leq $로 정의(이 관계를 정수론에서는 보통 $ a \mid b $로 표현)하면, '정제관계' $ \leq $는 $ N $의 반순서관계이다.</p> <p>예 공집합이 아닌 $ X $의 멱집합 $ \wp(X) $에 대하여 \[ \Re=\{(A, B) \in \wp(X) \times \wp(X) \mid A \subset B\} \] 로 주어진 관계 $ \Re $은 $ \wp(X) $에서의 반순서관계이다.</p> <p>정의 2 부분순서집합 $ M $이 반순서집합 $ (A, \leq) $의 공집합이 아닌 부분집합일 때, $ M $의 원소 $ a, b $에 대하여 \[ a \leq b \text{ 일 때, 그때에 한하여 } a \leq_{M} b \] 로 관계 $ \leq_{M} $을 정의하면, $ \leq{ }_{M} $은 $ M $에서 반순서가 된다. 이때 반순서집합 $ \left(M, \leq{ }_{M}\right) $을 $ (A, \leq) $의 부분순서집합이라 한다. 그런데 $ \leq{ }_{M} $은 $ A $에서 반순서 $ \leq $를 $ M $ 위로 제한해서 생각한 것에 지나지 않으므로, $ \leq{ }_{M} $을 보통 $ \leq $로 표현한다.</p> <p>$ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, $ A $의 임의의 두 원소 $ x $와 $ y $에 대하여 \[ x \leq y \text { 또는 } y \leq x \] 중 어느 한 쪽이 성립하면 $ x, y $는 비교가능 (comparable)이라 하고, 그렇지 않은 경우에는 비교불가능 (incomparable)이라 한다.</p> <p>정의 3 전순서집합 반순서집합 $ A $에서, 임의의 두 원소가 비교가능하면 $ A $를 전순서집합 (totally ordered set) 또는 선형순서집합 (linear ordered set)이라 한다.</p> <p>예 실수의 집합 $ R $에 대하여 \[ \Re=\{(x, y) \in R \times R \mid x \leqq y\} \] 로 주어진 관계 $ R $은 $ R $에서 전순서관계이다. 이때 $ \leqq $를 $ R $에 대한 보통순서(또는 자연순서)라고 한다.</p> <p>$ (A, \leq) $가 전순서집합이면, $ A $의 부분순서집합도 역시 전순서집합이 된다. 단, $ (A, \leq) $가 전순서집합이 아니더라도 $ A $의 적당한 부분집합이 전순서집합이 되는 경우가 있다. 예를 들면 $ A $의 오직 한 개의 원소로 이루어진 부분집합은 항상 $ A $의 전순서부분집합이 된다.</p> <p>참고 전순서는 반순서이지만, 역은 성립하지 않는다. 또한 하나의 집합 위에 순서를 정의하는 방법에는 여러 가지가 있고, 이론에 따라서는 하나의 집합 위에 동시에 여러 가지 순서가 정의되는 경우도 있다.</p> <p>예 집합 $ R^{2} $에서 \[ \left(x_{1}, x_{2}\right) \leq\left(y_{1}, y_{2}\right) \Leftrightarrow x_{1} \leqq y_{1} \wedge x_{2} \leqq y_{2} \] 로 정의하면 반순서이지만, $ (1,2) \nless(2,1) $이고 $ (2,1) \nless(1,2) $이므로 전순서는 아니다.</p> <p>예 복소수의 집합 $ C $ 위에서 관계 $ \leq $를 임의의 $ C $의 원소 \[ z_{1}=x_{1}+i y_{1}, z_{2}=x_{2}+i y_{2}\left(\text { 단, } x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} \text { 는 실수 }\right) \] 에 대하여 \[ z_{1} \leq z_{2} \text { 일 때, 그리고 그때만 } x_{1} \leqq x_{2} \wedge y_{1} \leqq y_{2} \] 으로 정의하면 $ (C, \leq) $은 반순서이지만 전순서집합은 아니다. 그러나 제한된 집합을 생각하면 \[ (R, \leqq),(Q, \leqq),(Z, \leqq) \] 들은 전순서집합이다.</p> <p>정의 5 앞절편 (initial segment) 반순서집합 $ (A, \leq) $에 대하여, $ a \in A $ 일 때 \[ A_{a}=\{x \in A \mid x<a\} \] 를 $ a $에 의해 정의되는 $ A $의 앞절편이라 한다. 특히 전순서집합 $ (A, \leq) $의 앞절편은 임의의 $ x, y $에 대하여 \[ y<x \text { 이고 } x \in B \text { 이면, } y \in B \] 인 임의의 부분집합 $ B $를 의미한다.</p> <p>예 $ A=\{a, b, c, d, e, f\} $가 그림 7.3과 같이 주어진 반순서집합일 때, $ e $에 의해 정의되는 $ A $의 앞절편은 $ A_{e}=\{b, c, f\} $이다.</p> <p>예 \[ A=(N, \leqq) \text { 에서 } A_{3}=\{1,2\} \text { 이고 } A_{1}=\varnothing \text { 이다. } \]</p> <p>예 전순서집합 $ (A, \leq) $에 대하여, $ a, b \in A $ 일 때 \[ a \leq b \Leftrightarrow A_{a} \subset A_{b} \] 가 성립한다.<p></p>참고 $ (A, \leq) $가 전순서집합일 때, $ A $가 정렬집합이기 위한 필요충분조건은 $ A $의 임의의 앞절편이 정렬집합이 되는 것이다.</p> <p>정의 6 절편 (segment)과 진절편 (proper segment) 전순서집합 $ (A, \leq) $의 부분집합 $ B $가 \[ x \in B, y \leq x \Rightarrow y \in B \] 를 만족시키면 $ B $를 $ A $의 절편이라 하고, 진부분집합이면서 절편일 경우 진절편이라 한다.</p> <p>$ (A, \leq) $가 정렬집합일 때, $ A $의 원소 $ a $에 대하여 \[ \varnothing, A, A_{a} \] 는 모두 $ A $의 절편이다.</p> <p>예 전순서집합 $ (A, \leq)=([0,2], \leqq) $에서 $ B=[0,1] $은 절편이지만 \[ [0,1]=A_{a}=\{x \in A \mid x<a\} \] 가 되는 $ a $가 존재하지 않으므로, 앞절편이 아니다.</p> <p>참고 $ A $가 정렬집합일 때 $ B $가 $ A $의 진절편이면, 그리고 그때만 $ B $는 $ A $의 앞절편이다.</p> <p>정리 7 $ (A, \leq) $가 정렬집합일 때, $ A $의 절편들의 합집합과 교집합, $ A $의 절편의 모든 절편은 또한 $ A $의 절편이 된다.</p> <p>증명 $ \mathcal{J} $가 $ A $의 절편족일 때, $ y \in \bigcup_{S \in \mathcal{y}} S $ 라 하자. $ x \in A $이고 $ x \leq y $이면 $ y $는 $ A $의 임의의 절편 $ S_{0} \in \mathcal{Z} $에 속하므로 \[ x \in S_{0} \text { 이고 } x \in \bigcup_{S \in \mathcal{Z}} S \] 로 된다. 따라서 $ \bigcup_{S \in f} S $는 $ A $의 절편이다. 같은 방법으로 $ A $의 절편족의 공통부분은 $ A $의 절편이다.</p> <p>한편 $ S $를 $ A $의 절편, $ T $를 $ S $의 절편이라 하고 $ y \in T, x \in A $, 그리고 $ x \leq y $ 라 하자. 그러면 $ y $는 절편 $ S $에 속하므로 $ x \in S $이다. 또한 $ y \in T, x \in S, x \leq y $와 $ T $가 $ S $의 절편이라는 가정으로부터 $ x \in T $가 된다. 따라서 $ T $는 $ A $의 절편이다.</p> <p>예 정렬집합 $ (A, \leq) $에 대하여, $ \mathcal{Z} $가 $ A $의 앞절편의 집합족일 때 \[ \bigcup_{S \in \mathcal{Z}} S \] 는 $ A $의 앞절편이다.</p> <p>정리 8 정렬집합 $ (A, \leq) $의 각 절편 $ S $ (단, $ S \neq A $ )에 대하여 \[ S=A_{x} \] 를 만족하는 원소 $ x \in A $가 존재한다.</p> <p>보통순서가 주어진 정수의 집합 $ Z $의 임의의 유한 부분집합과 $ - \infty $를 포함하지 않는 임의의 $ Z $의 부분집합은 정렬집합이지만, $ Z $는 정렬집합이 아니다. 또한 $ Z $를 포함하는 유리수의 집합 $ Q $ 도 정렬집합이 아니다.</p> <p>예 보통순서가 주어진 실수의 집합 $ R $은 정렬집합이 아니다. 왜냐하면 \[ A=(0,1)= \{ x \in R \mid 0<x<1 \} \] 은 최소원을 갖지 않기 때문이다.</p> <p>예제 다음에 주어진 집합에 대하여, 정렬 여부를 조사하시오.<ol> <li>$ \{ 2,4,6, \cdots ; 1,3,5, \cdots \} $</li> <li>$ A= \{\cdots, 4,3,2,1 \} $</li></ol></p> <p>풀이 (1)은 $ N $의 정렬부분집합이다. 그러나 (2)는 자신이 공집합이 아닌 부분집합이지만, 최소원을 갖지 않으므로 정렬집합이 될 수 없다.</p> <p>참고 정렬집합 $ (A, \leq) $에 대하여, $ A $의 각 부분집합이 위로 유계이면 $ \sup A $가 존재한다.</p> <p>정리 3 임의의 정렬집합 $ (A, \leq) $와 순서동형인 반순서집합 $ (B, \leq * ) $는 정렬집합이다.</p> <p>증명 함수 $ h:(A, \leq) \rightarrow(B, \leq ) $가 순서동형일 때, $ B $의 임의의 공집합이 아닌 부분집합 $ K $에 대하여, $ \min K $가 존재함을 밝히면 된다. $ S=h ^ { -1 } (K) $ 라 하면 $ S \subset A $, $ S \neq \varnothing $이므로, $ x_ { S } = \min S $가 존재한다. 그러므로 \[ h \left (x_ { S } \right )= \min K \in K \] 가 된다. 왜냐하면 임의의 $ b \in K $에 대하여 $ h ^ { -1 } (b) \in S $이므로 \[ h ^ { -1 } (b) \geq x_ { S } \] 가 되는데, 함수 $ h $는 순서를 보존하는 전단사이므로 이 양변에 $ h $를 작용하면 \[ h \left (h ^ { -1 } (b) \right )=b ^ { } \geq h \left (x_ { S } \right ) \] 를 얻는다. 즉 $ h \left (x_ { S } \right )= \min K $이다.</p> <h1>7.3 정렬집합</h1> <h2>1. 정렬집합</h2> <p>자연수의 집합 $ N $은 보통순서 $ \leqq $에 대하여 전순서집합을 이루며, 다음 성질을 갖는다</p> <p>정리 $ 1 N $의 정렬성 $ N $의 공집합이 아닌 부분집합 $ M $은 최소원을 갖는다.</p> <p>증명 $ M \neq \varnothing $이므로, $ M $은 적어도 하나의 자연수를 포함한다. 먼저 $ 1 \in M $이면 $ 1 = \min M $이 된다. 이제 $ M $이 $ n $이하의 어떤 자연수를 포함할 때 이 정리가 성립한다고 가정하고, $ n + 1 \in M $인 경우에 이 정리가 성립함을 증명한다. 이 경우에 만일 $ M $이 $ n \ 이하의 어떤 자연수를 포함하면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 \( M $은 최소원을 갖는다. 또한 $ M $이 $ n $이하의 어떤 자연수도 포함하지 않으면 당연히 $ n + 1= \min M $이 된다.</p> <p>$ N $의 정렬성을 반순서집합으로 일반화한다.</p> <p>정의 2 정렬집합 (well-ordered set) 반순서집합 $ (A, \leq) $에서, $ A $의 공집합이 아닌 모든 부분집합 $ B $가 항상 최소원을 가지면 $ (A, \leq) $를 정렬집합이라고 한다. 이때 관계 $ \leq $를 정렬관계(well-order relation) 또는 정렬순서(well-order)라고 한다.</p> <p>참고 정렬집합에서 특별한 순서를 언급하지 않을 경우, 보통순서를 생각하거나 원소가 나열된 순서를 생각한다.</p> <p>예 자연수의 집합 $ N $은 가장 전형적인 정렬집합이다. 또한 정렬집합의 임의의 부분집합과, 유한인 전순서집합도 정렬집합이 된다.</p> <p>참고 (1) $ (A, \leq) $가 정렬집합이면, $ A $는 전순서집합이다. 왜냐하면 $ A $의 임의의 두 원소 $ x, y $에 대하여 $ \{ x, y \} $가 $ A $의 부분집합이므로, 최소원 $ x $ 나 $ y $를 가진다. 따라서 $ x \leq y $이거나 $ y \leq x $이기 때문이다.</p> <p>(2) $ (A, \leq) $가 정렬집합이면, $ A $는 조건부완비가 된다. 왜냐하면 정렬집합 $ A $에 대하여 $ B $가 $ A $의 부분집합이고 $ B $의 상계집합 $ U(B) $가 공집합이 아닐 때, $ U(B) $는 정의에 의하여 $ \sup B $를 최소원소로 갖기 때문이다.</p> <h2>2. 순서집합의 내부 구조</h2> <p>이제 순서집합의 내부 구조에 관하여 알아본다.</p> <p>정의 9 극대원과 극소원 $ (A, \leq) $를 반순서집합이라고 하자.</p> <p>(1) $ a \in A $에 대하여 \[ \forall x \in A, x \geq a \Rightarrow x=a \] 즉 $ a<x $로 되는 $ A $의 원소 $ x $가 존재하지 않으면, $ a $를 $ A $의 극대원(maximal element) 또는 극대원소라고 한다.</p> <p>(2) $ b \in A $에 대하여 \[ \forall x \in A, x \leq b \Rightarrow x=b \] 즉 $ b>x $로 되는 $ A $의 원소 $ x $가 존재하지 않으면, $ b $를 $ A $의 극소원(minimal element) 또는 극소원소라고 한다.</p> <p>$ A $의 극대원이나 극소원이 항상 존재하는 것은 아니다. 그러나 임의의 유한인 반순서집합은 반드시 극대원과 극소원이 존재하고, 임의의 유한인 전순서집합은 하나씩의 극대원과 극소원이 존재한다. 극대원도 되고 극소원도 되는 원소가 있다면, 그것은 다른 원소와 순서관계가 전혀 없는 고립된 원소, 즉 고립원이다.</p> <p>예 보통순서로 주어진 열린구간 $ (a, b) $는 극대원도 없고 극소원도 없다. 마찬가지로 $ R $은 극대원도 극소원도 갖지 않는다. 그러나 반열린구간 $ (a, b] $ 혹은 $ [a, b) $의 경우는 극대원이나 극소원 중 하나만 갖게 되고, 단힌구간 $ [a, b] $는 극대원과 극소원을 모두 갖는다.</p> <p>정의 10 최대원과 최소 $ (A, \leq) $를 반순서집합이라고 하자.</p> <p>(1) $ a \in A $에 대하여 \[ \forall x \in A, a \geq x \] 이면, $ a $를 $ A $의 최대원 (greatest element) 또는 최대원소라 하고, $ \max A $로 나타낸다.</p> <p>(2) $ b \in A $에 대하여 \[ \forall x \in A, b \leq x \] 이면, $ b $를 $ A $의 최소원 (least element) 또는 최소원소라 하고, $ \min A $로 나타낸다.</p> <p>예 보통순서로 주어진 닫힌구간 $ X=[0,1] $에서 1 은 $ X $의 최대원이고 극대원이다.</p> <p>반순서집합 $ A $에서 원소 $ a $가 다른 모든 원소보다 크면 최대원이고, $ a $보다 큰 원소가 존재하지 않으면 극대원이다. $ A $에 최대원이 존재하면 그것이 유일한 극대원이지만, 최대원이 존재하지 않더라도 $ A $의 극대원이 존재하는 경우와 다수 존재하는 경우가 있다. 최소원이나 극소원의 정의도 같다. $ A $가 전순서집합이면, $ A $의 최대원과 극대원, 최소원과 극소원의 개념은 각각 일치한다.</p> <p>예 최대원 $ \max A $가 존재하면 그것은 $ A $의 유일한 극대원이다. 실제로 $ \max A=a $ 일 경우, $ a $가 $ A $의 극대원인 것은 정의로부터 명백하다. 이때 $ a^{\prime} $을 $ a $와 다른 $ A $의 임의의 원소라면, $ a^{\prime}<a $이므로 $ a^{\prime} $은 $ A $의 극대원이 아니다. 따라서 $ a $는 $ A $의 유일한 극대원이다. 마찬가지로 최소원 $ \min A $가 존재하는 경우에도 그것은 $ A $의 유일한 극소원이 된다.</p> <p>예 $ \mathfrak{F} $가 $ b-a \leqq 1 $을 만족하는 모든 닫힌구간 $ [a, b] $의 집합족일 때, $ \mathfrak{F} $의 원소 $ I $와 $ J $에 대하여 \[ I \subset J \text { 일 때, 그때에 한하여 } I \leq J \] 로 정의하면, $ (\mathfrak{F}, \leq) $는 반순서집합이 된다. 이때 단힌구간 $ [0,1] $은 $ \mathfrak{F} $의 극대원이지만 최대원은 아니다.<p></p>참고 최대원이나 최소원이 항상 존재하는 것은 아니지만, 이들이 존재하는 경우에는 어느 쪽이든 일의적으로 존재한다. 왜냐하면 $ a, a^{\prime} $이 모두 $ A $의 최대원이라면, $ a $가 최대원이므로 $ a^{\prime} \leq a $이고, 또한 $ a^{\prime} $이 최대원이므로 $ a \leq a^{\prime} $이 된다. 따라서 $ a=a^{\prime} $으로 주어지기 때문이다.</p> <p>예 $ A=\{a, b, c, d, e, f\} $가 그림 7.2와 같이 주어진 반순서집합일 때, 극대원은 $ c, f $이고, 극소원은 $ a, d $이다. 한편 $ c $와 $ f $가 비교불가능이기 때문에 최대원은 없고, $ a $와 $ d $가 비교불가능하기 때문에 최소원도 없다.</p> <p>참고 최대원과 최소원이 존재하는 집합이 모두 전순서집합은 아니다.</p> <p>예 $ A=N-\{1\} $에 '정제관계' $ \leq $가 주어진 반순서집합 $ (A, \leq) $는 최소원을 갖지 않는다. 왜냐하면 만일 $ a \in A $가 $ A $의 최소원이면 $ A $의 모든 원소 $ x $에 대하여 $ a \leq x $가 되어 $ a $ (단, $ a \geqq 2 $ )는 모든 정수 $ x $ (단, $ x \geqq 2 $ )를 정제해야 하는데, 이 같은 일은 불가능하기 때문이다. 그러나 $ (A, \leq) $의 극소원은 무수히 많이 존재하고, 그들은 소수 $ 2,3,5, \cdots $로 주어진다. 더욱 분명히 이 반순서집합 $ (A, \leq) $의 최대원과 극대원은 존재하지 않는다.</p> <h1>7.2 속</h1> <h2>1. 속</h2> <p>정의 1 속(lattice) 반순서집합 $ (A, \leq) $에서 $ A $의 임의의 두 원소 $ x, y $에 대하여 \[ x \vee y=\sup \{x, y\}, x \wedge y=\inf \{x, y\} \] 가 $ A $에 속할 때 $ A $를 속 또는 격자라 하고, $ (A, \wedge, \vee) $로 표시한다. 이때 $ x \vee y $는 ' $ x $ joint $ y $ '라 읽고, $ x \wedge y $는 ' $ x $ meet $ y $ '라 읽는다.</p> <p>예 $ x \leq y $ 일 때 \[ x \vee y=y, x \wedge y=x \] 가 성립하기 때문에, 전순서집합은 속이다. 또한 포함관계 $ \subset $를 순서로 주어진 집합 $ A $의 멱집합 $ \wp(A) $ 도 속이 된다.</p> <p>참고 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, $ A $의 원소 $ x, y, z $에 대하여<ol> <li>$ x \leq x \vee y, y \leq x \vee y, x \wedge y \leq x, x \wedge y \leq y $</li> <li>$ x \leq z, y \leq z $이면, $ x \vee y \leq z $ $ z \leq x, \quad z \leq y $이면, $ z \leq x \wedge y $</li> <li>$ x \leq y $이면, 그리고 그때만 $ x \vee y=y $ $ x \leq y $이면, 그리고 그때만 $ x \wedge y=x $</li></ol>가 성립한다.</p> <p>정리 2 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, $ A $의 원소 $ x, y, z $에 대하여 다음이 성립한다.<ol> <li>$ x \vee x=x, x \wedge x=x $ (멱등법칙)</li> <li>$ x \vee y=y \vee x, x \wedge y=y \wedge x $ (교환법칙)</li> <li>$ (x \vee y) \vee z=x \vee(y \vee z), \quad(x \wedge y) \wedge z=x \wedge(y \wedge z) $ (결합법칙)</li> <li>$ (x \vee y) \wedge x=x,(x \wedge y) \vee x=x $ (흡수법칙)</li></ol></p> <p>정리 2에서 성질 (1) (4)를 속의 공리 (axiom of lattices)라 한다.</p> <p>정리 3 집합 $ A $에 두 연산 $ \vee $과 $ \wedge $을 정의하여, 두 연산이 속의 공리를 만족할 때 $ x \leq y $이면, 그리고 그때만 $ x \vee y=y $로 정의하면, $ \leq $는 반순서관계이고 $ (A, \leq) $는 속이 된다.</p> <p>참고 속이란 반순서집합 $ (A, \leq) $에 두 연산 $ \vee $과 $ \wedge $이 정의되어 속의 공리를 만족하는 대수체계라 할 수 있다. 역으로 집합 $ A $에 이항연산 $ \vee $과 $ \wedge $이 주어지고 그것에 순서를 정의하면, $ A $는 $ \vee $과 $ \wedge $을 각각 상한과 하한으로 갖는 하나의 속이 된다.</p> <p>정의 4 부분속 (sublattice) 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, $ B \subset A $이고 임의의 $ x, y \in B $에 대하여 \[ x \vee y \in B, x \wedge y \in B \] 이면, $ B $를 $ A $의 부분속 또는 부분격자라고 한다.</p> <p>예 $ \left(Q^{+}, \leqq\right) $는 $ (Q, \leqq) $의 부분속이다.</p> <p>예 집합 $ U=\{1,2,4,6,8,12,24,48\} $이 ' $ x $는 $ y $의 약수'라는 관계 ' $ x \mid y $ '에 의하여 순서관계가 주어졌을 때, $ U $의 부분집합 \[ A=\{1,2,4,8,24,48\}, D=\{1,2,4,8,24\} \] 에 대하여, $ A $는 전순서집합이므로 속이고 $ D $는 $ A $의 부분속이다.</p> <p>정의 4에서 특히 $ x \vee y \in B $ 만 성립할 때 $ B $를 상반속 (상반격자; upper semi-lattice), $ x \wedge y \in B $ 만 성립할 때 $ B $를 하반속 (하반격자; lower semi-lattice)이라 한다. 순서집합의 부분집합은 원소의 순서집합이 됨은 분명하다. 그러나 속의 부분집합은 원소의 순서로써 반드시 속이 되지 않는다.</p> <p>예 집합 $ U=\{1,2,4,6,8,12,24,48\} $이 ' $ x $는 $ y $의 약수'라는 관계 ' $ x \mid y $ '에 의하여 순서관계가 주어졌을 때, $ U $의 부분집합 \[ E=\{2,6,8,12,24\}, F=\{2,4,6,8\} \] 에 대하여, $ (x, y) \in E \times E $ 일 때 \[ x \vee y \in E \text { 이지만, } 8 \wedge 12=4 \notin E \] 이므로 $ E $는 상반속이다. 또한 $ (x, y) \in F \times F $ 일 때 \[ x \wedge y \in F \text { 이지만, } 4 \vee 6=12 \notin F \] 이므로 $ F $는 하반속이다.</p> <p>예 집합 $ U=\{1,2,4,6,8,12,24,48\} $이 ' $ x $는 $ y $의 약수'라는 관계 ' $ x \mid y $ '에 의하여 순서관계가 주어졌을 때, $ U $의 부분집합 \[ G=\{4,6,8,12\} \] 에 대하여, $ 4\|8,4\| 12,6 \mid 12 $는 성립하지만 \[ 6 \nless 8,8 \nmid 6 \text { 이고, } 6 \vee 8=24 \notin G, 4 \wedge 6=2 \notin G \] 이므로 $ G $는 속도 아니고 부분속도 아니며, 또한 상반속, 하반속도 아니다.</p> <p>정의 5 모듈러속 (modular lattice) 반순서집합 $ (A, \leq) $가 속일 때, $ A $의 원소 $ x, y, z $에 대하여 모듈러율 (modular law)이라고 불리는 다음 조건 \[ x, y, z \in A, x \leq z \Rightarrow(x \vee y) \wedge z=x \vee(y \wedge z) \] 을 만족하는 $ A $를 모듈러속 또는 모듈러격자라고 한다.</p> <p>정의 4 쇄 반순서집합 $ (A, \leq) $의 전순서부분집합 $ B $를 $ (A, \leq) $의 쇄(사슬; chain)라고 한다.<p></p>예 $ X=\{a, b, c\} $ 일 때, 멱집합 $ \wp(X) $에 대하여 집합 \[ \{\varnothing,\{a\},\{a, b\}, X\} \] 는 $ \wp(X) $의 쇄이다. 또한 $ \{\varnothing,\{a\}\} $ 도 $ \wp(X) $의 쇄가 된다.</p> <p>정의 5 사전식순서(lexicographic order) $ A, B $가 반순서집합일 때, $ \left(a_{1}, b_{1}\right) \in A \times B, \quad\left(a_{2}, b_{2}\right) \in A \times B $에 대하여 $ \left(a_{1}, b_{1}\right) \leq\left(a_{2}, b_{2}\right) $이기 위한 필요충분조건은<ol> <li>$ a_{1}<a_{2} $이거나, 아니면</li> <li>$ a_{1}=a_{2} $이고 $ b_{1} \leq b_{2} $</li></ol>로 정의되는 순서관계를 $ A \times B $의 사전식순서라고 한다. 사전식순서는 전순서관계이다. 이때 $ a_{1}<a_{2} $는 $ a_{1} \leq a_{2} $이고 $ a_{1} \neq a_{2} $인 의미로 사용한다.</p> <p>사전식순서란 개념은 사전에서 단어를 나열하는 방법을 모방한데서 비롯된 것이다.</p> <p>정의 6 절단 (cut) $ (A, \leq) $가 반순서집합일 때, $ A $의 절단은 다음 성질을 만족하는 공집합이 아닌 부분집합의 쌍 $ (L, U) $이다.<ol> <li>$ L \cap U=\varnothing, L \cup U=A $</li> <li>$ x \in L $이고 $ y \leq x( $ 단, $ y \in A) \Rightarrow y \in L $</li> <li>$ x \in U $이고 $ y \geq x $ (단, $ y \in A) \Rightarrow y \in U $</li></ol></p> <p>예제 $ A=\{a, b, c, d, e, f\} $가 그림 7.1에서와 같이 하세 다이어그램으로 주어진 반순서 집합일 때, $ A $의 쇄와 절단을 구하시오.</p> <p>풀이 세 집합 $ \{a, b, c\},\{d, e, b, c\} $와 $ \{d, e, f\} $는 $ A $의 쇄가 되고, $ L=\{a, b, c\} $, $ U=\{d, e, f\} $로 취하면 $ (L, U) $는 $ A $의 절단이 된다.</p> <p>$ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $가 반순서집합일 때, 함수 $ f: A \rightarrow B $가 \[ \forall x, y \in A, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq^{\prime} f(y) \] 인 조건을 만족하면, $ f $를 증가(increasing) 또는 순서보존(order preserving)이라 하고, 함수 $ f $가 \[ \forall x, y \in A, x<y \Rightarrow f(x)<{ }^{\prime} f(y) \] 인 조건을 만족하면, 좁은 뜻에서의 증가 (순증가; strictly increasing)라 한다.</p> <p>참고 전순서집합 $ A $와 반순서집합 $ B $에 대하여 $ f: A \rightarrow B $가 증가함수일 때, 함수 $ f $가 단 사이기 위한 필요충분조건은 $ f $가 좁은 뜻에서의 증가함수가 되는 것이다.</p> <p>정의 7 순서동형사상 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $이 반순서집합일 때, 전단사 $ f: A \rightarrow B $가 \[ \forall x, y \in A, x \leq y \Rightarrow f(x) \leq^{\prime} f(y) \] 를 만족하면, $ f $를 순서동형사상 (order isomorphism)이라 한다. 한편 $ A $와 $ B $ 사이에 순서동형사상이 존재하면 집합 $ A $와 $ B $는 순서동형 (order isomorphic)이라 하고, $ A \approx B $로 표시한다. 또한 전단사함수 $ f: A \rightarrow B $가 \[ \forall x, y \in A, x \leq y \Rightarrow f(y) \leq^{\prime} f(x) \] 를 만족하면, $ f $를 쌍대순서동형사상 (dual order isomorphism)이라 한다.</p> <p>순서동형관계 ' $ \approx $ '는 대등관계 ' '와 같이 동치관계이다.</p> <p>예 $ R $과 $ R $의 모든 열린구간 $ (a, b) $은 순서동형이다. 왜냐하면 \[ f(x)=\frac{x-c}{(x-a)(b-x)} \text { (단, } c=\frac{a+b}{2} \text { ) } \] 로 정의되는 $ f $가 열린구간 $ (a, b) $로부터 $ R $로의 순서동형사상이기 때문이다.</p> <p>참고 보통순서가 주어진 $ (R, \leqq) $에서의 두 구간 $ (0,1] $과 $ [0,1] $은 순서동형이 아니다. $ (A, \leq) $로부터 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $로의 순서동형사상은 $ A $로부터 $ B $로의 전단사이므로, $ A \approx B $가 성립하기 위해서는 물론 $ A \sim B $인 것이 필요하다. 그러나 $ A \sim B $이더라도 $ A \approx B $가 성립하지 않는다. 예를 들면 $ N, Z, Q $는 서로 대등이지만, 반순서집합 $ N, Z, Q $는 어느 두 개도 순서동형이 아니다.</p> <p>예제 $ N, Z, Q, R $은 어느 두 개도 서로 순서동형이 아니다.</p> <p>증명 $ N $은 최소원을 가지지만 $ Z, Q, R $은 최소원을 갖지 않으므로, $ N $은 $ Z, Q, R $의 어느 것과도 순서동형이 아니다. 또한 $ R $은 $ Z, Q $의 어느 것 하고도 대등이 아니므로, 순서동형이 아니다. 마지막으로 $ Q $에서는 임의의 두 원소 사이에 반드시 제3의 원소가 존재하지만 $ Z $에는 그와 같은 성질이 없기 때문에 $ Z, Q $는 순서동형이 아니다.</p> <p>편의상 공집합 $ \varnothing $ 도 하나의 반순서집합이라고 보는 경우가 있다. 이 경우는 $ \varnothing $에 순서동형인 것은 $ \varnothing $ 자신뿐이라고 한다.</p> <p>참고 반순서집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $에 대하여, $ f: A \rightarrow B $가 순서동형사상이면 $ x<y $ 일 때, 그때에 한하여 $ f(x)<{ }^{\prime} f(y) $가 성립한다.</p> <p>정리 8 $ A, B $가 반순서집합일 때, 다음이 성립한다.<ol> <li>항등함수 $ I_{A}: A \rightarrow A $는 순서동형이다.</li> <li>$ f: A \rightarrow B $가 순서동형사상이면, 역함수 $ f^{-1}: B \rightarrow A $ 도 순서동형이다.</li> <li>함수 $ f: A \rightarrow B $가 순서동형이고 함수 $ g: B \rightarrow C $가 순서동형이면, 합성함수 $ g \circ f: A \rightarrow C $ 도 순서동형이다.</li></ol></p> <h2>2. 정렬집합의 순서동형</h2> <p>$ (A, \leq) $가 정렬집합일 때, $ A $는 자신의 임의의 앞절편과 순서동형이 될 수 없다. 또한 $ a, b $가 $ A $의 서로 다른 두 원소일 때, $ A_{a} $와 $ A_{b} $ 도 결코 순서동형이 아니다.</p> <p>보조정리 9 두 정렬집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $이 순서동형이면, $ A $의 임의의 앞절편 $ A_{a} $에 대하여 $ A_{a} $와 순서동형이 되는 $ B $의 앞절편 $ B_{a^{\prime}} $이 존재한다. 이때 $ a^{\prime} $은 $ a $에 대하여 일의적으로 결정된다.</p> <p>증명 함수 $ f $가 $ A $로부터 $ B $로의 순서동형이면 \[ f\left(A_{a}\right)=B_{f(a)} \] 이므로, $ f $의 정의역을 $ A_{a} $로 축소하고 공역을 $ B_{f(a)} $로 바꾸면 $ A_{a} $로부터 $ B_{f(a)} $로 옮기는 순서동형사상이 얻어진다. 따라서 $ f(a)=a^{\prime} $이라 두면 \[ A_{a} \approx B_{a^{\prime}} \] 이 성립한다. 한편 $ A_{a} \approx B_{a^{\prime} \text { 로 되는 }} a^{\prime} $이 $ a $에 대하여 일의적으로 결정되는 것은 명백하다.</p> <p>보조정리 9로부터 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 10 정렬집합의 순서동형 두 정렬집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $가 순서동형이면, $ A $로부터 $ B $로의 순서동형사상은 일의적으로 결정된다.</p> <p>증명 $ A \approx B $ 라 하고, 두 함수 $ f, g $가 $ A $로부터 $ B $로의 순서동형이라 하자. 그러면 보조정리 9로부터 $ A $의 임의의 원소 $ a $에 대하여 \[ A_{a} \approx B_{f(a)}, A_{a} \approx B_{g(a)} \] 이므로, 일의성에 의하여 $ f(a)=g(a) $가 된다. 따라서 $ f=g $가 성립한다.</p> <p>정리 11 함수 $ f $가 정렬집합 $ (A, \leq) $로부터 $ (A, \leq) $의 부분집합으로의 순서동형이면 \[ \forall x \in A, x \leq f(x) \] 가 성립한다.</p> <p>증명 결론을 부정하면, $ P=\{w \in A \mid x>f(x)\} $는 공집합이 아니므로 최소원을 갖는다. 이 최소원을 $ a $ 라 하자. 그러면 $ a \in P $이므로, $ f(a)<a $이다. 그러므로 \[ f(f(a))<f(a)<a \] 즉 $ f(a) \in P $가 성립한다. 이것은 $ a $가 $ P $의 최소원이라는 가정에 모순이다. 따라서 $ P=\varnothing $이다.</p> <p>따름정리 1 $ (A, \leq) $가 정렬집합일 때, $ A $로부터 $ A $의 어떠한 앞절편으로의 순서동형사상도 존재하지 않는다.</p> <p>증명 결론을 부정하고, 함수 $ f $를 $ A $로부터 $ A $의 앞절편 $ A_{a} $로의 순서동형이라고 하자. 그러면 정리 11 로부터 $ a \leq f(a) $이므로 \[ f(a) \notin A_{a} \] 가 된다. 그러나 이것은 $ f $의 치역이 $ A_{a} $의 부분집합이라는 가정에 모순이다. 따라서 정렬집합 $ (A, \leq) $로부터 $ (A, \leq) $의 어떠한 앞절편으로의 순서동형사상도 존재하지 않는다.</p> <p>따름정리 1 로부터, 자기자신의 앞절편과 순서동형인 정렬집합은 존재하지 않는다는 사실을 얻는다.</p> <p>따름정리 2 두 정렬집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq^{\prime}\right) $에 대하여, $ A $가 $ B $의 앞절편과 순서동형이면 $ B $는 $ A $의 어떤 부분집합과도 순서동형일 수 없다.</p> <p>증명 함수 $ f: A \rightarrow A_{b} $를 $ A $로부터 어떤 $ B $의 앞절편 $ A_{b} $로의 순서동형이라고 하고, 어떤 $ C \subset A $에 대하여 순서동형사상 $ g: B \rightarrow C $가 존재한다고 하자. 그러면 두 함수 $ g: B \rightarrow A $와 $ f: A \rightarrow A_{b} $는 단사이면서 증가함수이므로, 합성함수 $ f \circ g $는 $ B $로부터 어떤 $ B $의 앞절편 $ A_{b} $의 부분집합으로의 순서동형사상이 된다. 그러나 이것은 따름정리 1 에 의해 불가능하다. 따라서 $ B $는 $ A $의 어떤 부분집합과도 순서동형일 수 없다.</p> <p>다음 정리는 정렬집합에 있어서 매우 중요한 성질이다. 정리의 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>정리 12 정렬집합의 비교정리 두 정렬집합 $ (A, \leq) $와 $ \left(B, \leq{ }^{\prime}\right) $에 대하여, 다음 세 경우 중 반드시 하나만 성립한다.<ol> <li>$ A \approx B $, 즉 $ A, B $는 순서동형이다.</li> <li>$ A \approx B_{a^{\prime}} $을 만족하는 $ a^{\prime} \in B $이 존재한다. 즉 $ A $는 $ B $의 어떤 앞절편과 순서동형이다.</li> <li>$ A_{a} \approx B $를 만족하는 $ a \in A $가 존재한다. 즉 $ B $는 $ A $의 어떤 앞절편과 순서동형이다.</li></ol></p> <p>예 두 정렬집합 $ N=\{1,2,3, \cdots\} $와 $ A=\{2,4,6, \cdots ; 1,3,5, \cdots\} $를 생각할 때, $ N $은 $ A $의 앞절편 $ A_{1} $과 순서동형이다.</p> <p>정리 12 는 임의의 두 정렬집합은 크기를 제외하면, 차이점이 없음을 보여주고 있다. 이 사실은 여러 가지로 중요한 역할을 한다. 특히 기수와 순서수에서 필연적으로 중요하다.</p> <p>따름정리 $ (A, \leq) $가 정렬집합이면, $ A $의 임의의 부분집합이 $ A $와 순서동형이거나 $ A $의 어떤 앞절편과 순서동형이다.</p> <p>증명 $ B $가 $ A $의 임의의 부분집합이면, $ B $는 정렬집합이다. 그러므로 정리 12 에 의해 $ A $, $ B $는 순서동형이거나, $ B $는 $ A $의 어떤 앞절편과 순서동형이거나, $ A $는 $ B $의 어떤 앞절편과 순서동형이다. 따라서 " $ A $가 $ B $의 어떤 앞절편과 순서동형이다."가 성립하지 않음을 보이면 된다.</p> <p>" $ A $가 $ B $의 어떤 앞절편과 순서동형이다."가 성립한다고 가정하자. 그러면 따름정리 2 에 의해 $ B $는 $ A $의 어떤 부분집합과도 순서동형이 될 수 없다. 그러나 $ B \approx B $이고, $ B $는 $ A $의 부분집합이다. 그러므로 $ B $는 $ A $의 부분집합과 순서동형이다. 이것은 모순이다. 따라서 " $ A $가 $ B $의 어떤 앞절편과 순서동형이다."가 성립하지 않는다.</p> <p>참고 $ S(A) $를 정렬집합 $ A $의 원소들에 대한 모든 절편족을 나타내고 $ S(A) $를 집합의 포함관계에 의한 순서집합이라 하면, $ A $는 $ S(A) $와 순서동형이다. 특히 $ f: x \mapsto S(x) $에 의하여 정의되는 함수 $ f: A \rightarrow S(A) $는 $ A $로부터 $ S(A) $로의 전단사이다.</p>	자연
M657-(사범대생을 위한) 형대대수학	<h1>7.13 APPLICATION 5(Graph Theory)</h1> <p>4 개 공항의 노선이 옆 그림과 같을 때, 이에 대응하는 행렬 $ M = \left (a_ { i j } \right ) $ 를 $ i $ 에서 $ j $ 로 노선이 있으면 $ a_ { i j } =1 $, 노선이 없으면 $ a_ { i j } =0 $ 으로 정의하자. 따라서 \[M= \left [ \begin {array} { llll } 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] \]이다. 이와 같이 정의된 행렬 $ M $ 을 연결행렬(adjacency matrix)이라 부른다. 한편, 행렬의 곱 $ M ^ { n } $ 은 $ n-1 $ 번 갈아타서 갈 수 있는 경우의 수를 나타낸다. 예를 들어 \[M ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { llll } 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left (b_ { i j } \right ) \]에서 $ b_ { 22 } =2 $ 는 한 번 갈아타서 (2)에서 (2)로 가는 방법은 (1)이나 (3)을 경유하는 총 2가지가 존재함을 말한다. 한편 (2)에서 (4)로 가는 비행편이 없었지만(즉, $ \left .a_ { 24 } =0 \right ) $ 한 번 갈아타면 $ b_ { 24 } =1 $ 이다. 즉, (2)에서 (3)을 거쳐 (4)로 가는 방법이 1 가지가 있다.</p> <p>다음 내용은 최소제곱법으로 6장에서 내적의 용도로서 알아본 내용이다. 구체적인 예를 들어 일차, 이차함수를 결정해 보자.</p> <h1>7.15 REMARK(함수의 예의 변화)</h1> <p>(2009 개정 교육과정) 현행 교육과정에서는 제 7차 교육과정에서 정비례와 반비례를 통해 함수개념을 도입하면서 발생했던 문제점을 보완하기 위해, 정비례와 반비례를 초등학교 6학년으로 이동시키고 함수의 개념을 ‘한 양이 변함에 따라 다른 양이 하나씩 정해지는 두 양 사이의 대응 관계'로 도입하고, 실생활을 활용하여 함수개념의 효용성을 알게 하는 것이 필요하다고 하였다(교육인적자원부, 2007). 이런 점에서 볼 때 중학교 수준의 함수 영역은 현실세계의 상황을 이해하는 도구로서의 함수 개념에 초점을 맞추고, 고등학교 함수에서 여러 영역을 통합하는 아이디어로서 대응의 관점에서 정의된 형식화된 함수 개념으로 확장될 수 있는 기반이 되도록 하는 것이 바람직할 것이다. 이에 개정안에서는 함수 개념 도입 방법의 변화를 도모하고, 정의역, 치역, 공역 등의 용어를 삭제하였다.</p> <p>(1) 함수 개념 도입 방법의 변화</p> <p>다양한 상황을 표, 식으로 표현하는 활동을 충분히 한 후 이를 근거로 함수 개념을 정의할 필요가 있다. 이를 위해 2009 개정에 따른 수학과 교육과정에서는 함수 개념의 도입에서 정비례와 반비례 이외의 현상을 다룰 수 있도록 하였고 다양한 상황을 표, 식으로 나타내 보는 활동을 중시하도록 하였다.</p> <p>(2) 교수 학습 상의 유의점</p> <ul> <li>① 함수를 도입할 때 정비례와 반비례 이외의 상황을 다룰 수 있다.</li> <li>② 다양한 상황을 표, 식, 그래프로 나타내고 설명하게 한다.</li> <li>③ 다양한 상황을 이용하여 일차함수와 이차함수를 다룬다.</li> <li>④ 공학적 도구를 활용하여 함수의 그래프를 그리고 다양한 상황을 해석할 수 있게 한다.</li></ul> <p>질문 : (1) 과거의 교과서나 2009 개정 교과서 초안은 일차함수의 예를 주로<ul> <li>(1) 양초의 길이</li> <li>(2) 물을 끓일 때 온도의 변화</li> <li>(3) 산을 올라갈 때 온도의 변화</li></ul>를 다루었다. 이와 같은 예를 통하여 무엇을 설명할 수 있는가? 또는 어떤 현실 세계의 상황을 이해할 수 있는가?</p> <p>(2) 학생은 함수의 개념과 이에 대한 예, 그리고 해석을 과학시간에 배우나 수학시간에 배우나?</p> <p>2009 교육과정 “중학교 수준의 함수 영역은 현실세계의 상황을 이해하는 도구로서의 함수 개념에 초점을 맞추고."에 따른 예를 다음에서 살펴보고 우리가 수학(1)에서 사용하고 있는 교과서의 예와 비교해보자.</p> <p>EXAMPLE. 용수철의 늘어난 길이(과학 1)</p> <p>(1) Hock의 법칙</p> <p>(2) 먼저 서로 밀거나 끌어 당기는 물체 사이의 상호 작용을 힘으로 정의하고 힘의 크기를 나타내는 단위로는 $ \mathrm{N}( $ 뉴턴)을 사용한다. 이때 질량이 $ 100 \mathrm{~g} $ 인 추의 무게를 $ 1 \mathrm{~N} $으로 정의한다.</p> <p>(3) $ 100 \mathrm{~g} $ 짜리 추를 2 개, 3 개, 4 개로 증가시키면서 용수철이 늘어난 길이를 측정한다.</p> <p>특히 추의 무게가 탄성력인 것을 학생들이 이해하게 한다.</p> <p>(4) (실험 및 결과)</p> <ul> <li>① 추의 질량과 용수철의 늘어난 길이를 기록하자.</li> <li>② 탄성력과 용수철의 늘어난 길이 사이의 관계를 그래프로 그려보자.</li></ul> <p>(지도 내용) 그래프는 탄력성과 용수철의 늘어난 길이와의 관계를 알아보기 위한 것이므로 점과 점을 하나 하나 이어서 꺽은 선 그래프가 되지 않도록 하고 점들과 가장 가까운 곳을 지나도록 자를 대고 직선으로 그리도록 한다. 직선에서 약간 벗어난 점들은 실험 오차에 의한 것임을 알려준다.</p> <h1>7.24 APPLICATION 10(Graph)</h1> <p>일반이차곡선 $ x^{2}+2 x y-\hat{y}-1=0 $ 의 그래프를 다음 과정을 거치면서 그려보자.</p> <p>【과정1】</p> <p>이차형 $ q(x, y)=x^{2}+2 x y-y^{2} $ 을 행렬로 표현하면 다음과 같다. \[x^{2}+2 x y-y^{2}=[x, y]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\]</p> <p>【과정2】</p> <p>행렬 $ A:=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right] $ 을 대각화하자.</p> <p>① 행렬 $ A $ 의 고윳값을 구하자. \[\begin{aligned}\operatorname{det}(A-\lambda I) &=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\1 & -1\end{array}\right]-\lambda\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right]\right) \\ &=\operatorname{det}\left(\left[\begin{array}{cc}1-\lambda & 1 \\1 & -1-\lambda \end{array}\right]\right)=\lambda^{2}-2\end{aligned}\]이므로 고윳값 $ \lambda=\pm \sqrt{2} $ 를 얻는다.</p> <p>② 고윳값에 해당하는 고유벡터를 각각 구하자.</p> <p>$ \lambda=\sqrt{2} $ 일 때, 연립방정식 $ \left\{\begin{array}{l}x+y=\sqrt{2} x \\ x-y=\sqrt{2} y\end{array}\right. $ 으로부터 고유벡터 $ \left[\begin{array}{c}1 \\ \sqrt{2}-1\end{array}\right] $ 을 구하고 마찬가지로 $ \lambda=-\sqrt{2} $ 일 때, 고유벡터 $ \left[\begin{array}{c}-1 \\ \sqrt{2}+1\end{array}\right] $을 얻는다.</p> <p>(③ 두 고유벡터의 노름(norm, 벡터의 크기)을 1 로 만든 후 이들을 순서대로 열로 사용하자.</p> <p>$ Q:=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{4-2 \sqrt{2}}} & \frac{-1}{\sqrt{4+2 \sqrt{2}}} \\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-2 \sqrt{2}}} & \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2 \sqrt{2}}}\end{array}\right] $.</p> <p>행렬 $ A $ 의 대각화 \[Q^{T}\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right] Q=\left[\begin{array}{cc} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} \end{array}\right]\]를 얻는다(여기서 $ Q^{T} $ 란 행렬 $ Q $ 의 행과 열을 바꾼 전치행렬이다).</p> <p>【과정3】</p> <p>치환하여 보자.</p> <p>$ \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right] $로 치환하자. \[[x, y]=\left(Q\left[\begin{array}{l}u \\v\end{array}\right]\right)^{T}=\left(\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right]\right)^{T} Q^{T}=[u, v] Q^{T}\]이고 \[\begin{aligned}x^{2}+2 x y-y^{2} &=[x, y]\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\\lfloor y\end{array}\right] \\&=[u, v] Q^{T} A \left[\begin{array}{l}u \\v\end{array}\right] \\&=[u, v]\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2} & 0 \\0 & -\sqrt{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l}u \\v\end{array}\right] \\&=\sqrt{2} u^{2}-\sqrt{2} v^{2}\end{aligned}\] 그러므로 행렬을 사용한 치환 $ \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right] $ 에 의하여 \[x^{2}+2 x y-y^{2}-1=0\]은 \[\sqrt{2} u^{2}-\sqrt{2} v^{2}=1\]로 바뀌었다. 즉, 행렬 $ A $ 의 대각화 \[\left[\begin{array}{cc} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & -\sqrt{2} \end{array}\right]\]에 의하여 $ u v $ 항이 나타나지 않는다. 치환 $ \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right] $ 에 의하여 $ u $ 축의 단위 벡터 $ \left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right] $ 이 $ x y $ 좌표에서는 \[\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=Q\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{4-2 \sqrt{2}}} \\ \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{4-2 \sqrt{2}}} \end{array}\right]\]이므로 $ u v $ 축을 $ \theta( $ 여기서 $ \tan (\theta)=\sqrt{2}-1) $ 만큼 시계방향으로 회전하면 $ x y $ 축과 일치한다. 따라서 쌍곡선 $ \sqrt{2} u^{2}-\sqrt{2} v^{2}=1 $ 을 $ \theta $ 만큼 반시계방향으로 회전하면 $ x^{2}+2 x y-y^{2}-1=0 $의 그래프를 얻는다.</p> <p>다음 행렬의 용도를 끝으로 본 강의를 끝내도록 하겠다. 《고급수학 II》에서는 편미분 및 편미분을 활용한 극대-극소까지 다루고 다음 예와 같은 이중적분은 다루지 않는다.</p> <h1>7.25 APPLICATION 11(치환적분과 행렬)</h1> <p>1979년에 Apéry는 $ \zeta(2), \zeta(3) $ (4.21 REMARK 참고)이 모두 무리수임을 보이는데 중적분 \[I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y\]을 사용하였다. 이를 이용하여 $ \zeta(2)=1+\frac{1}{2^{\prime}}+\frac{1}{3^{\prime}}+\frac{1}{4^{2}}+\cdots $ 를 구해보자.</p> <p>풀이</p> <p>$ \frac{1}{1-x y}=\sum_{n=0}^{\infty} x^{n} y^{n} $ 이므로\[\begin{aligned}I &=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} x^{n} y^{n} d x d y \\ &=\int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^{n}{n+1} d y=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}(n+1)^{2}}=\zeta(2) \end{aligned}\]이다. 따라서 $ I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y $ 를 계산하자. 치환 \[ x=\frac{u-v}{\sqrt{2}}, y=\frac{u+\vartheta}{\sqrt{2}}\]를 하면 $ 1-x !^{\prime}=\frac{2-u^{2}+v^{2}}{2} $ 이다. 한편, 치환은 영역 $ [0,1 ! \times[0,1] $ 을 다음과 같이 옮겨준다.</p> <p>그 이유는 치환 $ x=\frac{u-v}{\sqrt{2}}, y=\frac{u+v}{\sqrt{2}} $ 를 행렬로 표시하면 \[T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, \quad \underline{T}\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\--\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}u \\ v\end{array}\right]\]이기 때문이다. 즉, 치환은 시계방향으로 $ 45^{\circ} $ 회전을 의미한다. 그러므로\[\begin{aligned}I &=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y \\&=2 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}}\left(\int_{0}^{u} \frac{2 d v}{2-u^{2}+v^{2}}\right) d u+2 \int_{1 / \sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\left(\int_{0}^{\sqrt{2}-u} \frac{2 d v}{2-u^{2}+v^{2}}\right) d u\end{aligned}\] 한편, $ \int_{0}^{x} \frac{d t}{a^{2}+t^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) $이므로 \[\begin{array}{l} \int_{0}^{u} \frac{d v}{2-u^{2}+v^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \tan ^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right) \\\int_{0}^{\sqrt{2}-u} \frac{d v}{2-u^{2}+v^{2}}=\frac{1}{\sqrt{2-u^{2}}} \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}-u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right)\end{array}\] 따라서 다음을 얻는다. $ \begin{aligned} I=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y=& 4 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right) \frac{d u}{\sqrt{2-u^{2}}} \\ &+4 \int_{1 / \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}-u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right) \frac{d u}{\sqrt{2-u^{2}}} \end{aligned} $</p> <p>위 식에서 $ u=\sqrt{2} \sin \theta $ 로 치환하면 \[d u=\sqrt{2} \cos \theta d \theta=\sqrt{2-u^{2}} d \theta\] 또한 $ \tan \theta=\frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}} $ 이므로 \[4 \int_{0}^{1 / \sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right) \frac{d u}{\sqrt{2-u^{2}}}=4 \int_{0}^{\pi / 6} \theta d \theta=2\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}\]</p> <p>$ u=\sqrt{2} \cos 2 \theta $ 로 치환하면 \[\begin{aligned}d u &=-2 \sqrt{2} \sin 2 \theta d \theta=-2 \sqrt{2} \sqrt{1-\cos ^{2} 2 \theta} d \theta \\&=-2 \sqrt{2} \sqrt{1-u^{2} / 2} d \theta=-2 \sqrt{2-u^{2}} d \theta\end{aligned}\]이고 \[\begin{aligned}\frac{\sqrt{2}-u}{\sqrt{2-u^{2}}} &=\frac{\sqrt{2}(1-\cos 2 \theta)}{\sqrt{2-2 \cos ^{2} 2 \theta}}=\sqrt{\frac{1-\cos 2 \theta}{1+\cos 2 \theta}}=\sqrt{\frac{2 \sin ^{2} \theta}{2 \cos ^{2} \theta}} \\&=\tan \theta\end{aligned}\]이므로 \[4 \int_{1 / \sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}-u}{\sqrt{2-u^{2}}}\right) \frac{d u}{\sqrt{2-u^{2}}}=8 \int_{0}^{\pi / 6} \theta d \theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}\] 그리고 \[\zeta(2)=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{1-x y} d x d y=6\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}=\frac{\pi^{2}}{6}\]을 얻는다. 그러므로 $ \zeta(2) $ 는 무리수이다. 그러나 $ \zeta(5) $ 는 유리수인지 무리수인지 판정하지 못하고 있다.</p> <h1>7.16 APPLICATION 7(Internet Search Engines)</h1> <p>(1) 다음 그림과 같이 10 개의 site의 검색집합에서 만들어 지는 연결행렬(adjacency matrix)은 $ A=\left[\begin{array}{llllllllll}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] $이다(여기서 [site i] 가 [site j]를 래퍼런스하면 $ a_{i j}=1 $, 그렇지 않으면 $ a_{i j}=0 $ ). 각 row 벡터의 성분을 합하여 만든 벡터를 초기hub벡터 $ \left(h_{0}\right) $ 라 하며, 각 column 벡터의 성분을 합하여 만든 벡터를 초기authority벡터 $ \left(a_{0}\right) $ 라 한다. 특히, $ a_{0} $ 를 처음부터 단위벡터로 만들면 \[a_{0}=\frac{1}{\sqrt{54}}\left[\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \\ 5 \\ 3 \\ 1 \\ 3 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right]\]이다. 이로부터, \[h_{1}=\frac{A a_{0}}{\left\\|A a_{0}\right\\|}, a_{1}=\frac{A^{T} h_{1}}{\left\\|A^{T} h_{1}\right\\|}, h_{2}=\frac{A a_{1}}{\left\\|A a_{1}\right\\|}, a_{2}=\frac{A^{T} h_{2}}{\left\\|\therefore{ }_{A} h_{2}\right\\|}, \cdots\]등으로 계산해나간다. 행렬 $ A A^{T} $ 의 성질에 의하여 이와 같은 반복은 안정화되어 $ a_{9} $와 $ a_{10} $ 은 거의 같다. 이때 $ a_{10}=\left[\begin{array}{c}0 \\ 0.41990 \\ 0.25337 \\ 0.25337 \\ 0.62957 \\ 0.00002 \\ 0.00001 \\ 0.47165 \\ 0 \\ 0.28460\end{array}\right] $ (new authority weight이며 따라서 site 1 , site 6 , site 7 , 그리고 site 9 는 본 검색에서 관계가 매우 적다고 보여지며, 인터넷 검색 엔진의 연결행렬 $ A $ 에 대한 사이트를 중요도가 높은 것부터 나열하면 (rank the sites in decrea "sin "g order of authority) site 5 , site 8 , site 2, site 10 , 그리고 동률인 site 3,4 이다.</p> <h1>7.22 EXERCISE</h1> <p>연필깎는 기계에서 얻은 다음 곡선은 무엇일까? 이를 직관적으로 결정하고 증명해보자.</p> <p>교과서에서는 분수함수 그래프 $ (x y-1=0) $ 에 관한 언급은 없지만 이 또한 이차곡선이다. 이차곡선은 분수함수의 언급 없이 학습지도상 축이 $ x $-축, $ y $-축에 평행한 것만 다루도록 되어 있다. $ x y $ 항이 없는 일반이차형만 다룬다. 그 이유는 $ x y $ 항이 살아 있으면 그래프를 그리기가 너무 어렵기 때문이다. 결론적으로 $ x y $ 항이 살아 있으면 회전이 일어난 것이고, 회전각은 대칭행렬의 대각화 과정으로부터 알 수 있다. 다음 예를 통하여 자세히 알아보자.</p> <p>7.23 APPLICATION 9(System of equations)</p> <p>(1) 평면상에 두 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right) $ 을 지나는 방정식 $ c_{1} x+c_{2} y+c_{3}=9 $ 을 결정해보자. 먼저, 두 점을 대입하면 \[\left\{\begin{array}{l} c_{1} x+c_{2} y+c_{3}=0 \\ c_{1} x_{1}+c_{2} y_{1}+c_{3}=0 \\ c_{1} x_{2}+c_{2} y_{2}+c_{3}=0 \end{array}\right.\]이고, 이를 행렬로 바꾸면 다음과 같다. $ \left[\begin{array}{lll}x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{i} & y_{2} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}c_{1} \\ c_{2} \\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] $.</p> <p>위 $ 3 \times 3 $ 행렬의 역행렬이 존재하면 계수 $ c_{i} $ 는 0 이므로 \[\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} x & y & 1 \\ x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2} & y_{2} & 1 \end{array}\right]=0\]이어야 한다. 예를 들어, 두 점을 (2,1),(3,7)로 잡으면 \[\operatorname{det}\left[\begin{array}{lll} x & y & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 1 \end{array}\right]=0,-6 x+y+11=0\]</p> <p>(2) 원으로 옮겨가 보자. 세 점 $ \left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right),\left(x_{3}, y_{3}\right) $ 을 원의 방정식 \[c_{1}\left(x^{2}+y^{2}\right)+c_{2} x+c_{3} y+c_{4}=0\]에 대입하여, 이를 행렬로 표시하고 행렬식의 값을 택하면 \[\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\ x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1 \\ x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1 \\ x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1 \end{array}\right]=0\]을 얻는다. 예를 들어, 세 점 (1,7),(3,2),(4,6)을 지나는 원의 방정식을 구하면 \[\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccc} x^{2}+y^{2} & x & y & 1 \\ 50 & 1 & 7 & 1 \\ 40 & 6 & 2 & 1 \\ 52 & 4 & 6 & 1 \end{array}\right]=0,(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=5^{2}\]이다.</p> <p>(3) 일반이차형(general quadratic form)의 방정식 \[c_{1} x^{2}+c_{2} x y+c_{3} y^{2}+c_{4} x+c_{5} y+c_{6}=0\]으로 옮겨가 보자. 태양을 돌고 있는 소행성의 궤도를 태양의 위치를 직교좌표계의 원점으로하여 그 궤적을 구해보자. 본 좌표계에서의 단위 길이(astronomical unit) 1은 태양과 지구 사이의 평균거리로 9,300 만 마일을 사용한다. 이때 Kepler의 타원궤도법칙에 의하여 관측자는 서로 다른 5개의 관측 자료가 있어야한다. 만일 관측자료가 \[\begin{array}{l} (8.025,8.310),(10.170,6.355),(11202,3212) \\ (10.736,0375),(9.092,-2.267) \end{array}\]일 때, "행렬식 $ =0 $ "을 계산하면 \[\operatorname{det}\left[\begin{array}{cccccc} x^{2} & x y & y^{2} & x & y & 1 \\ 64.401 & 66.688 & 69.056 & 8.025 & 8.310 & 1 \\ 103.429 & 64.630 & \dashv 0.386 & 10.170 & 6.355 & 1 \\ 125.485 & 35.981 & 10.317 & 11.202 & 3.212 & 1 \\ 115.262 & 4.026 & 0.141 & 10736 & 0.375 & 1 \\ 82.664 & -20.612 & 5.139 & 9.0 y 2 & -2.26 \tau & 1 \end{array}\right]=0\]으로부터 Maple 등을 이용하여 계산하면 \[386.802 x^{2}-102.895 x y+446.029 y^{2}-2476.443 x-1427.998 y-17109.357=0\]을 얻는다. 이를 그래프로 그리면 다음과 같다.</p> <h1>7.20 EXAMPLE(현수교와 포물선)</h1> <p>(1) 현수선 $ \left(\cos n x=\left(e^{x}+e^{-x}\right) / 2\right. $, catenary, hanging cable)의 역사에 대하여 알아보자(Galileo, Huygens, Leibniz, Johann Bernoulli).</p> <p>(2) 케이블의 최소 위치점을 $ P_{1}=(0, a) $ 라 하자. 임의의 점을 $ P_{2} $ 라 하고, 두 점 $ P_{1}, P_{2} $ 에서 접선으로 나타나는 장력(tension)을 $ T_{1}, T_{2} $ 라 하자. $ W $ 를 케이블 곡선 $ P_{1} P_{2} $의 수직하중이라 하자. 편의상 벡터와 스칼라를 같이 쓰자(즉, $ \left.T_{1}=\left\|T_{1}\right\|\right) $.</p> <p>이때 \[T_{1}=T_{2} \cos \theta, \quad W=T_{2} \sin \theta\]<caption>(7-6)</caption>이고 \[\frac{d y}{d x}=\tan \theta=\frac{W}{T_{1}} .\]<caption>(7-7)</caption></p> <p>한편, $ W=s \rho $ (여기서 $ s $ 는 곡선 $ P_{1} P_{2} $ 의 길이, $ \rho $ 는 단위길이에 대한 무게)에서 곡선의 길이는 다음과 같다. \[s=\int_{0}^{x} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x \text {, 또는 } \frac{d s}{d x}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}\]</p> <p>따라서, 식 \[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\rho}{T_{1}} \frac{d s}{d x} \text { 또는 } \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\rho}{T_{1}} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}\]을 얻는다. 방정식을 풀기 위하여 $ u=y^{\prime} $ 로 치환하면 \[\begin{array}{l}\frac{d u}{d x}=\frac{\rho}{T_{1}} \sqrt{1+u^{2}} \text { 또는 } \frac{d u}{\sqrt{1+u^{2}}}=\frac{\rho}{T_{1}} d x \text { (변수분리형), } \\\int \frac{d u}{\sqrt{1+u^{2}}}=\frac{\rho}{T_{1}} \int d x \text { 또는 } \sinh ^{-1} u=\frac{\rho}{T_{1}} x+c_{1} .\end{array}\]</p> <p>초기 조건 $ y^{\prime}(0)=0, u(0)=0 $ 과 $ \sinh ^{-1}(0)=0 $ 을 사용하면 $ c_{1}=0 $ 을 얻으므로 $ \sinh ^{-1} u=\frac{\rho}{T_{1}} x $ 또는 $ u=\frac{d y}{y^{-} x}=\sinh \left(\frac{\rho}{T_{1}} x\right) $. 따라서 \[y=\frac{T_{1}}{\rho} \cosh \left(\frac{\rho}{T_{1}} x\right)+c_{2} .\] $ y(0)=a, \cosh (0)=1 $ 을 이용하면 $ c_{2}=a-T_{1} / \rho $ 이다. 이제 다음을 얻는다. \[y=\frac{T_{1}}{\rho} \cosh \left(\frac{\rho}{T_{1}} x\right)+a-\frac{T_{1}}{\rho} .\]</p> <p>(3) Eero Saarinen(1965)의 작품 The Gateway Arch는 다음 식을 따른다. \[y=211.49-20.96 \cosh (0.03291765 x),\|x\|<91.20 \text { (단위 : 미터). }\]</p> <p>(4) 현수선에 어떤 조건을 주면 포물선(parabolic cable)이 되는가? 현수교인 George Washington Bridge를 가지고 설명해보자.</p> <p>위 그림에서 $ w $ 를 단위 길이에 해당하는 하중이라 하자. 이때 케이블의 무게는 무시된다. 식(7-7)에서 \[\frac{d x^{\prime}}{d x}=\frac{w_{c}}{T_{1}}\]이다. 조건 $ y(0)=0 $ 에서 이차곡선(main cable) \[y=\frac{w}{2 T_{1}} x^{2}\]을 얻는다. George Washington Bridge의 경우 $ w=11,750 $ pounds $ / $ foot, $ h=327 $ feet이고 $ d=1,75 \cup $ feet 이다.</p> <p>이차곡선 $ y=\frac{w}{2 T_{1}} x^{2} $ 는 점 $ (d, h) $ 를 만족하므로 $ h=\frac{w}{2 T_{1}} d^{2} $ 이고, 그러므로 \[y=\frac{h}{d^{2}} x^{2}=\frac{327}{1750^{2}} x^{2}\] 포물선을 그리면 다음과 같다. \[>\operatorname{plot}\left(\left(327 / 1750^{\wedge} 2\right) * x^{\wedge} 2, \quad x='-1750 \ldots 1750\right) \text {; }\]</p> <p>한편, 식(7-6)의 양변을 제곱하면 $ T_{1}^{2}=T_{2}^{2} \cos ^{2} \theta,(w x)^{2}=T_{2}^{2} \sin ^{2} \theta $ 따라서 \[T_{1}^{2}+(w x)^{2}=T_{2}^{2}, \quad T_{2}=\sqrt{T_{1}^{2}+(w x)^{2}} .\]</p> <p>이제 $ T_{1}=\frac{w}{2 h} d^{2} $ 이므로 다음을 얻는다. \[T_{2}=\sqrt{\frac{w^{2} d^{4}}{4 h^{2}}+(w x)^{2}}=w \sqrt{\frac{d^{4}}{4 h^{2}}+x^{2}}(0 \leq x \leq d) .\]</p> <p>이차곡선(main cable)에서 장력이 최소인 곳은 $ x=0 $ 이고 \[\begin{aligned}T_{x=\mathrm{l}}=& T_{1}=\frac{1}{2} \frac{w d^{2}}{h}=\frac{1}{2} \frac{(11,750)(1750)^{2}}{327} \\& \fallingdotseq 55,000,000 \text { pounds }\end{aligned}\]이다. 한편, 장력이 최대인 곳은 $ x=d $ (즉, tower와 만나는 곳)이고 \[\begin{aligned}T_{x=d} &=w d \sqrt{\left(\frac{d}{2 h}\right)^{2}+1}=(11,750)(1,750) \sqrt{\left(\frac{1750}{2 \times 327}\right)^{2}+1} \\& \fallingdotseq 58,700,000 \text { pounds } \end{aligned}\]</p> <p>우리는 현수선 \[y=\frac{T_{1}}{\rho} \cosh \left(\frac{\rho}{T_{1}} x\right)+a-\frac{T_{1}}{\rho}\]이 포물선 \[y=\frac{327}{1750^{2}} x^{2}\]으로 변형되는 과정을 정역학(Statics) 입장에서 알아보았다. 학생지도에서 필자가 사용하는 간단한 방법은 다음과 같다.</p> <ul> <li>①운동화 줄을 매달고 현수선을 확인한다.</li> <li>② 운동화 줄의 위치를 매직으로 그린다.</li> <li>③ 운동화 줄에 집게를 $ x $ 축의 폭이 같도록 찝는다</li> <li>④ 두 곡선을 비교한다.</li></ul> <h1>7.8 APPLICATION 2(행렬의 거듭제곱, Markov Chain)</h1> <p>한 렌트가 회사는 전국에 3 개의 영업장 1,2,3을 두고 운영하고 있다. 물론 고객은 렌트한 차를 어느 영업장에서도 반납이 가능하다. 메니저는 지난 2년 간의 통계에 의하여 다음과 같은 확률을 얻었다. \[R=\left[\begin{array}{lll}0.8 & 0.3 & 0.2 \\0.1 & 0.2 & 0.6 \\0.1 & 0.5 & 0.2\end{array}\right]\]</p> <p>여기서 $ a_{i j} $ 는 $ i $ 영업장에서 자동차를 렌트하여 $ j $ 영업장에 반납하는 확률이다. 만일 자동 차를 장소2에서 렌트하면 초기벡터는 $ x^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] $ 이다. 즉, $ R x^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0.3 \\ 0.2 \\ 0.5\end{array}\right] $ 으로 2에서 빌려서 1,2,3에 반납하는 확률을 보여주고 있다. 이때 $ x^{(1)}=R x^{(0)}, x^{(2)}=R x^{(1)}= $ $ R^{2} x^{(0)} $ 이며 \[x^{(11)}=R^{11} x^{(0)}=\left[\begin{array}{l}0.557 \\0.230 \\0.213\end{array}\right]\] 으로 수렴한다. 장소 2 에서 빌린 차는 약 $ 56 \% $ 가 장소 1 에 반납하는 것으로 예측가능하다.</p> <h1>7.9 APPLICATION 3(EULER SQUARE, 최석정)</h1> <p>(1) 행렬 $ E $ 와 이에 대한 전치행렬 $ E^{T} $ 는 다음과 같다. \[E=\left[\begin{array}{lllll} 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right], E^{T}=\left[\begin{array}{lllll} 3 & 2 & 1 & 5 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 5 \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ 1 & 5 & 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 5 & 4 & 3 \end{array}\right]\]</p> <p>한편, 크기가 $ 5 \times 5 $ 인 치환행렬은 $ i $ 번째 column을 $ 6-i $ 번째 column으로 보내는 행렬을 말한다. 모양으로 보면 양의 기울기 대각선이 모두 1 인 행렬이다. 즉,\[P_{5}=\left[p_{j}\right]_{5 \times 5}, p_{i, j}=\left\{\begin{array}{l}1(j=n+1-i) \\0 \text { (otherwise) }\end{array}\right.\]이다. 이와 같이, 일반적인 크기 $ n \times n $ 에 대한 치환행렬을 정의할 수 있고 이를 $ P_{n} $ 으로 표시 하자. 이때 $ E^{T} $ 에 치환행렬 $ P_{5} $ 를 곱하면 \[F=E^{T} P_{5}=\left[\begin{array}{lllll} 4 & 5 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 1 & 2 \end{array}\right]\]를 얻는다. $ E $ 와 $ F $ 를 다음과 같이, 앞자리는 $ E $ 로부터, 그리고 다음 자리는 $ F $ 로부터 놓은 (juxtaposition) 행렬을 만들자. 즉, $ E \odot\left(E^{T} P_{5}\right)=\left\|\begin{array}{lllll}34 & 45 & 51 & 12 & 23 \\ 25 & 31 & 42 & 53 & 14 \\ 11 & 22 & 33 & 44 & 55 \\ 52 & 13 & 24 & 35 & 41 \\ 43 & 54 & 15 & 21 & 32\end{array}\right\| $</p> <p>행렬에서 사용한 $ 5^{2} $ 개 의 수가 모두 다르다는 것을 알 수 있다. 이때 우리는 5 차 Latin squares $ E, F $ 를 orthogonal이라 부르며 $ E \bullet\left(E^{T} P_{5}\right) $ 를 5차 Graeco-Latin square 또는 Euler square라 부른다(Euler, 1776). 오일러의 의도는 $ E \odot\left(E^{T} P_{5}\right) $ 로부터 \[E \odot\left(E^{T} P_{3}\right) \frac{(x, y) \mapsto 5(x-1)+y}{\text { canonical mapping }}\] 인 5차 magic square를 만드는데 있다. 한편, 오일러는 6차 orthogonal Latin squares가 존재하지 않는다고 예측하였는데 1900 년에 Tarry에 의하여 증명되었다. 더 나아가 오일러는 $ n \equiv 2(\bmod 4)(n \geq 6) $ 인 정수에 대하여도 $ n $ 차 orthogonal Latin squares가 존재하지 못한다고 예측하였다. 즉, $ n=10,14,18, \cdots $. 등의 $ n \times n $ orthogonal Latin square가 존재하지 않는다고 판단하였다. 그러나 이 예측은 틀렸으며 \[n \equiv 2(\bmod 4)(n \geq 10)\]인 정수에 대한 orthogonal Latin squares는 존재한다(Bose, Shrikhande, Paker, 1959). 오일러가 예측한 데로 6차 orthogonal Latin squares는 존재하지 않는다. 이는 6차 projective plane이 존재하지 않는다는 것이다.</p> <h1>7.18 DEFINITION(이차곡선)</h1> <p>실수로 만들어진 수열 $ \left(a_{\jmath}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right) $ 에서 유한개를 제외한 모든 $ a_{i}=0 $ 인 모임을 생각하자. 예를 들면, $ (1,0,3,4,0,0, \cdot $.$ ) 처럼 1,3,4 $ 를 제외한 모들 항들이 0 인 수열들의 모임이다. 이러한 특별한 모임에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하자. \[\begin{array}{c} \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right)+\left(b_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots,=\left(a_{0}+b_{0}, a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots ;\right.\right. \\ \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right) \cdot\left(b_{0}, b_{1}, b_{2}, \cdots\right)=\left(c_{0}, c_{1}, c_{2}, \cdots\right), \\ \text { 여기서 } c_{n}=\sum_{i=0}^{n} a_{n-i} b=a_{n} b_{0}+a_{n-1} b_{1}+\cdots+a_{1} b_{n-1}+a_{0} b_{n} \end{array}\]</p> <p>특히, 수열 $ (0,1,0,0, \cdots) $ 을 문자 $ x $ 로 표시하고 수열 $ (r, 0,0,0, \cdots) $ 은 실수 $ r $ 로 표시하자. 즉, \[x:=(0,1,0,0, \cdots), r \cdot(r, 0,0,0, \cdots) .\]</p> <p>앞에서 언급한 $ x=(0,1,0,0, \cdots), r=(r, 0,0,0, \cdots) $, 그리고 음이 아닌 정수 $ n $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>① $ x^{n}=(0,0, \cdots, 0,1,0,0, \cdots) $ (여기서 1 은 $ n+1 $ 번째임)</li> <li>② $ r x^{n}=(0,0, \cdots, 0, r, 0,0, \cdots) $ (여기서 $ r $ 은 $ n+1 $ 번째임)</li></ul> <p>유한개를 제외한 모든 $ a_{i}=0 $ 인 수열 $ \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots\right) $ 의 모임을 기호 $ \mathbb{R}[x] $로 사용하고 있고, 연산에 의하여 $ \mathbb{R}[x] $ 는 정역(integral domain, UFD)이다. 우리가 중등수학에서 사용하고 있는 이차다항식 $ 3+\sqrt{2} x+x^{2} $ 이란 수열 $ (3, \sqrt{2}, 1,0,0, \cdots) $ 이고 일반적으로 $ n $ 차다항식 \[a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{n} x^{n}\]이란 수열 $ \left(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, 0,0,0, \cdots\right) $ 로 볼 수 있으며, 각 항 $ a_{0}, a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} $ 을 주어진 다항식의 계수라 부르고 특히, 계수 $ a_{0} $ 를 상수항, $ a_{n} $ 을 최고차항이라 한다.</p> <p>$ x, y $ 를 변수로 하고 실수를 계수로 하는 이변수함수의 모임을 $ \mathbb{R}[x, y] $ 로 표시하고, \[\mathbb{R}[x, u]=\mathbb{R}[x][y]\]로 정의하자. 한편, \[f=x^{2} y+x^{3} y+x^{4}+x y+y^{2}+3 \in \mathbb{R}[x, y]\]에 대하여 \[f=x^{4}+y x^{3}+y x^{2}+y x+\left(y^{2}+3\right) \in \mathbb{R}[y][x]\]이므로 \[\mathbb{R}[x, y]=\mathbb{R}[x][y]=\mathbb{R}[y][x]\]임을 쉽게 알 수 있다. 특히, 두 변수 $ x, y $ 에 대하여 \[q(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2} \in \mathbb{R}[x, y]\]를 이차형(quadratic form)이라 부른다. 예를 들어, \[q_{1}(x, y)=2 x^{2}+4 x y-3 y^{2}, q_{2}(x, y)=\frac{x^{2}}{t}+\frac{y^{2}}{9}, q_{3}(x, y)=x y\]등은 이차형이다. 한편, 이들을 행렬로 표현하면 \[\begin{array}{l} q_{1}(x, y)=2 x^{2}+4 x y-3 y^{2}=[x, y]\left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \\ q_{2}(x, y)=[x, y]\left[\begin{array}{cc} 1 / 4 & 0 \\ 0 & 1 / 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \\ q_{3}(x, y)=[x, y]\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \end{array}\]이다. 사용하는 행렬은 항상 대칭행렬(행과 열을 바꾸어도 변하지 않는)이다. 그리고 \[q(x, y)=a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f \in \mathbb{R}[x, y]\]를 일반이차형(general quadratic form)이라 부르며 방정식 \[a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0\]</p> <caption>(7-5)</caption>의 그래프를 일반이차곡선이라 부르고, 각 계수의 선택에 의하여 포물선, 타원, 쌍곡선이라 부른다. 예를 들어, 학교수학에서 사용하고 있는 \[\begin{array}{l} \text { 원 }\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}=0\right), \\ \text { 포물선 }\left(y^{2}-4 p x=0\right), \\ \text { 타원 }\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{i^{2}}-1=0\right), \\ \text { 쌍곡선 }\left(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \pm 1=0\right) \end{array}\]은 이차곡선이다.<p>다음 연이은 4개의 예에서 이 세상에서 제일 아름다운 이차곡선 \[\begin{array}{c} x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1=0, \\ y=\frac{327}{1750^{2}} x^{2}, \\ \frac{x^{2}}{((\sqrt{5}-1) / 2)^{2}}+y^{2}=1 \end{array}\]에 대하여 알아보자.</p> <h1>7.19 EXAMPLE(String Art, 포물선)</h1> <p>초등학교 5 학년에서 두 점을 연결하여 나타나는 교점의 수를 지도한다. 다음 그림에서 합이 10이 되는 두 점을 연결하여 만들어 지는 직선의 교점 수는 연속된 자연수의 합 $ 1+2+3+1+5+6+7+8 $이다. 이에 대한 덧셈지도는 반대로 수를 다시 나열하여 합산 $ \frac{9 \times 8}{2} $ 을 지도한다. 이를 디자인 지도로 옮기면 먼저, 좌표계의 각도를 예각과 둔각으로 나누어 지도할 수 있다. 이를 만들기(string art)하면 매우 아름다운 작품을 교실에 전시할 수도 있다. 수많은 직선들에 의하여 상단 부분에 만들어진 곡선이 어떤 곡선인지 알아보자.</p> <p>【모델링】</p> <p>구간 $ [0,1] $ 에서 angle design을 모델링 해보자. $ x $-축과 $ y $-축의 교점의 합이 1이 되는 직선을 생각해 보자.</p> <p>먼저 $ \alpha \in[0,1] $ 에 대하여 $ x $ 축 상의 점 $ (\alpha, 0) $ 을 $ y $ 축 상의 점 $ (0,1-\alpha) $ 에 연결한 직선을 $ l_{\alpha} $ 라 하자. 이때 직선족(family) $ \left\{l_{\alpha} \mid 0 \leq \alpha \leq 1\right\} $ 에 의하여 만들어 지는 곡선을 $ C $ 하자.</p> <p>【질문】</p> <p>$ C $ 는 어떤 곡선일까?</p> <p>이제 곡선 $ C $ 의 방정식을 구해보자. 오른쪽 그림에서 $ \alpha, \beta(\alpha \neq \beta) $ 에 대하여 서로 다른 두 직선 $ l_{\alpha}, l_{\beta} $ 가 결정되며 $ \beta $ 를 $ \beta \rightarrow \alpha $ 로 접근(limit)하면 두 직선 $ l_{\alpha}, l_{\beta} $ 의 교점은 곡선 $ C $ 상으로 수렴 접근한다. 두 점 $ (\alpha, o),(0,1-\alpha)[ $ 또는 $ (\beta, o),(0,1-\beta)] $ 을 지나는 직선의 방정식은 각각 \[l_{\alpha}: y=\frac{\alpha-1}{\alpha}(x-\alpha), l_{\beta}: y=\frac{\beta-1}{\beta}(x \quad \beta)\]이므로 교점의 좌표는 $ (\alpha \beta,(1-\alpha)(\doteqdot-\beta)) $ 이다. 이제 $ \beta \rightarrow \alpha $ 로 접근하면 두 직선의 교점은 곡선 $ C $ 상에 점 \[\left(\alpha^{2},(1-\alpha)^{2}\right)\]으로 수렴한다(위 오른쪽 그림 참고). 그러므로 곡선 $ C $ 는 \[x=\alpha^{2}, y=(1-\alpha)^{2} \quad(\text { 여기서 } \alpha \in[0,1])\]으로 매개변수(parametrization)화 된다. 이제 $ \alpha $ 를 소거하면 \[\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\]이다.) 이제 제곱근을 없앤 곡선 $ C $ 를 표현하는 방정식 \[x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1=0\]을 얻는다. 포물선(parabola)인 일반이차형 \[q(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1\]의 그래프를 그려보자. 이토록 아름다운 포물선을 본적이 있는가? >with(plots, implicitplot); >implicitplot $ \left(x^{\wedge} 2+y^{\wedge} 2-2 * x * y-2 * x-2 * y+1=0, x=0 \ldots 5, y=0 . .5\right) $;</p> <p>【초점 및 준선】</p> <p>식 $ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1=0 $ 을 우리는 포물선이라 부르고 있다. 일반적으로 곡선 $ \|a x\|^{p}+\|b y\|^{p}=c^{p},(0<p<2) $ 를 쌍곡타원(hypoellipse)이라 부른다. 여기서 우리는 $ a=b=c=1, p=1 / 2 $ 로 사용하였다.</p> <p>《기하와 벡터》에서 준선(directrix)과 초점(focus)을 사용하여 포물선을 정의하고 방정식을 구한다. 준선 $ y=-x $ 와 초점 $ F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $ 인 포물선의 방정식은 \[x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1=0\] 이다. 이를 확인해 보자.</p> <p>곡선 상의 점 $ P(x, y) $ 와 초점 $ F\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) $ 과의 거리 그리고 준선과 수직으로 만나는 점 $ A(-a, a) $ 와의 거리로부터 식 \[\sqrt{(x-1 / 2)^{2}+(y-1 / 2)^{2}}=\sqrt{(x+a)^{2}+(y-a)^{2}}\] 또는 \[-x-y+\frac{1}{2}=2 a x-2 a y+2 a^{2}\] 그리고 선분 $ A P $ 는 준선 $ y=-x $ 와 수직이므로 \[\left(\frac{y-a}{x+a}\right)(-1)=-1, y-a=x+a\]이다. 즉, $ a=\frac{-x+y}{2} $ 이다. 이를 대입하면 \[-x-y+\frac{1}{2}=2 a x-2 a y+2 a^{2}=-x^{2}+2 x y-y^{2}+\frac{x^{2}+y^{2}-2 x y}{2}\]로부터 \[x^{2}+y^{2}-2 x y-2 x-2 y+1=0\]을 얻는다.</p> <h1>7.17 APPLICATION 8(System of Differential Equation)</h1> <p>연립미분방정식 \[\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}=y_{1}-4 y_{2}+2 y_{3} . \\y_{2}^{\prime}=-4 y_{1}+y_{2}-2 y_{3}, \\y_{3}^{\prime}=2 y_{1}+2 y_{2}+3 y_{3}\end{array}\]을 행렬로 표현하면 \[Y^{\prime}=\left[\begin{array}{rrr}1 & -4 & 2 \\-\dot{4} & 1 & -2 \\2 & 2 & 3\end{array}\right] Y \quad Y=\left[\begin{array}{l}b_{1} \\y_{2} \\y_{3}\end{array}\right]\]이다. 이때부터 연립미분방정식의 문제는 단순히 행렬\[M=\left[\begin{array}{rrr}1 & -4 & 2 \\-4 & 1 & -2 \\2 & 2 & 3\end{array}\right]\]의 문제로 변형된다. 환원하면, 행렬 $ P $ 를 구하여 주어진 행렬 $ M $ 을 대각화(diagonali-zation, Jordan block) \[P^{-1} M P=J\]하는 문제이다. $ P $ 를 구하는 방법은 고윳값(eigenvalues)과 이들로부터 얻어지는 고유벡터 (eigenvectors)와 관련이 있다. Maple을 이용하면 다음과 같다. \[\begin{array}{l} >M:=\operatorname{matrix}(3,3,[1,-4,2,-4,1,-2,2,2,3]): \\ >\mathrm{J}:=\operatorname{jordan}(M, \text { ' } P \text { ' }): \\ >\operatorname{print}(P): \\ >\operatorname{evalm}\left(P^{\wedge}(-1) \& * M \& * P\right): \\ \qquad P^{-1} M P=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right], P=\left[\begin{array}{rrr} 7 / 12 & -1 / 3 & 3 / 4 \\ 5 / 12 & 1 / 3 & -3 / 4 \\ -1 / 3 & 1 / 3 & 0 \end{array}\right] . \end{array}\]</p> <p>이제, \[\left[\begin{array}{l} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{array}\right]=Z=P^{-1} Y=P^{-1}\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right] \]로 치환하면 우리는 간단한 형태의 연립미분방정식 \[Z^{\prime}=P^{-1} M P Z=J Z \text { 또는 }\left[\begin{array}{c} z^{\prime}{ }_{1}^{\prime} \\ z^{\prime} \\ z^{\prime}{ }_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} z_{1} \\ z_{2} \\ z_{3} \end{array}\right]\]을 얻으며, 우릭가 원하는 해 \[\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right] } &=P Z=P\left[\begin{array}{c} a e^{-3 x} \\ b e^{3 x} \\ e e^{5 x} \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{ccc} 7 / 12 & -1 / 3 & 3 / 4 \\ 5 / 12 & 1 / 3 & -3 / 4 \\ -1 / 3 & 1 / 3 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} a e^{-3 x} \\ b e^{3 x} \\ c e^{5 x} \end{array}\right] \end{aligned}\]를 구할 수 있다. 예를 들어 $ y_{1}=\frac{7}{12} \leadsto e^{-2 x}-\frac{1}{3} b e^{3 x}+\frac{3}{4} c e^{5 x} $.</p> <p>다음에서 이차곡선의 정의에 대하여 알아보자.</p> <h1>7.2 REMARK</h1> <p>(1) 행렬은 어떤 함수인가?</p> <p>먼저 평면(이차원 $ \mathbb{R} $-벡터공간 $ \left.\mathbb{R}^{2}\right) $ 의 원소(벡터)를 순서쌍 $ (x, y) $ 로 표시한다. 편리성을 위하여 순서쌍 $ (x, y) $ 를 $ \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] $ 로 표시하자. 즉, 순서쌍을 크기가 $ 2 \times 1 $ 인 행렬로 보자. 이때, 임의의 $ 2 \times 2 $ 행렬 $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] $ 에 대하여 다음이 성립함을 쉽게 보일 수 있다.</p> <p>(1) $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{2} \\ y_{2}\end{array}\right] $, (2) $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left(k\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=k\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ y_{1}\end{array}\right]\right) $.</p> <p>따라서 행렬 $ \left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] $ 는 평면에서 평면으로 가는 선형변환이다. 역으로 선형변환 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 은 행렬이다. 이를 자세히 살펴보자.</p> <p>선형변환 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 에 대하여 \[T\left[\begin{array}{l}1 \\0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}p \\q\end{array}\right], \quad T\left[\begin{array}{l}{[)} \\1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}r \\s\end{array}\right]\]라 하면 임의의 $ \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] $ 에 대하여\[\begin{aligned}T\left(\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]\right) &=T\left(\left[\begin{array}{l}x \\0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}0 \\y\end{array}\right]\right)=T\left(x\left[\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l} 0 \\1\end{array}\right]\right) \\&=x T\left(\left[\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right]\right)+y T\left(\left[\begin{array}{l}0 \\1\end{array}\right]\right)=x\left[\begin{array}{l}p \\G\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{l}r \\s\end{array}\right] \\&=\left[\begin{array}{l}x p \\x q\end{array}\right]+\left[\begin{array}{l}y r \\y s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x p+y r \\x q+y s \end{array}\right]\end{aligned}\]</p> <p>한편\[\left[\begin{array}{ll}p & r \\q & s\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}p x+r y \\q x+s y\end{array}\right]\] 이므로 기저(basis) $ \left\{\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\right\} $ 에서 $ T\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}p \\ q\end{array}\right], T\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}r \\ s\end{array}\right] $ 를 이용한 행렬 $ \left[\begin{array}{ll}p & r \\ q & s\end{array}\right] $와 비교하면 \[ \left[\begin{array}{ll}p & r \\q & s\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}p x+r y \\q x+s y\end{array}\right], \quad T\left(\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x p+y r \\x q+y s\end{array}\right]\] 이다. 따라서 선형변환 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 는 행렬 $ \left[\begin{array}{ll}p & r \\ q & s\end{array}\right] $이다.</p> <p>(2) 왜 선형변환인가?</p> <p>앞에서 알아본 것처럼, 선형변환이란 크기가 $ 2 \times 2 $ 인 행렬이며 역으로 크기가 $ 2 \times 2 $ 인 행렬이란 평면에서 평면으로 가는 선형변환이다. 물론 공간에서 공간으로 옮겨가면 행렬의 크기는 $ 3 \times 3 $ 이 된다. 한편, 평면에서 평면으로의 행렬 $ A $ 를 선형변환이라 부르는 이유는 함수로서 (1) $ A $ 가 사각형을 평행사변형으로 보낸다. 또한, (2) 원점을 지나는 직선을 원점을 지나는 직선으로 보낸다.</p> <p>(3) 행렬식(determinant)은 결정한다는 뜻을 가지고 있다. 무엇을 결정하는가?</p> <p>처음 면적과 $ A $ 에 의하여 변형된 면적의 비율을 $ A $ 의 행렬식(determinant of $ \mathrm{A} $ )이라 부른다. 즉 \[\operatorname{det}(A)=\|A\|=\pm \frac{(A \text { 에 의하여 변형된 면 적 })}{\text { (원래의 면적 })}\]이다. 참고로 음의 부호는 방향이 뒤틀렸음을 의미한다. 구체적 예를 만들어 확인하자.</p> <p>(4) 선형변환 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 에서 어떤 벡터가 의미가 있는가?</p> <p>선형변환에서는 각도가 보존되는 벡터가 매우 큰 일을 수행한다. 여기서 각도가 보존된다는 것은 원점의 대칭인 방향도 포함한다. 선형변환 $ T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 에서 $ T(v)=\lambda v(\lambda $은 0 이 아닌 실수)인 0 이 아닌 벡터 $ v \in \mathbb{R}^{2} $ 를 말한다. 우리는 이런 벡터를 고유벡터라 부르고 실수 $ \lambda $ 을 고윳값이라 부른다. $ v \in \mathbb{R}^{2} $ 가 영벡터가 아니므로 $ \operatorname{det}(A-\lambda I)=0 $ 이다. 특히 다항함수\[f(x)=\operatorname{det}\left[x I^{-A}\right] \]를 특성화 다항식(characteristic polynomial)이라 부르고 $ C_{A} $ 로 표시하자.</p> <p>행렬식과 특성화 다항식을 다시 정의하자.</p> <h1>7.5 APPLICATION 1(프렉탈)</h1> <p>다음 (1), (2), (3) 내용을 바탕으로 통합적 글쓰기를 지도해보자.</p> <p>(1) 행렬 $ \left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) $ 에 대하여 $ \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} $ 가 다음과 같이 주어져 있다. \[A=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right), \quad B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}1 \\0\end{array}\right), \quad C=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l} 0 \\1\end{array}\right)\] 이는 선형변환 $ \frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right) $ 은 주어진 도형을 반으로 줄이고 $ B=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right) $ 은 반으로 줄인 도형을 $ x $ 축으로 $ 1 / 2 $ 만큼 평행이동 시킨다. 마찬가지로 $ C=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right)+\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right) $은 반으로 줄인 도형을 $ y $ 축으로 $ 1 / 2 $ 만큼 평행이동 하는 것을 보여준다. 다음 그림을 해석해 보자.</p> <p>수열로 보면 면적은 0 으로 수렴하고 도형의 둘레는 무한대로 발산한다.</p> <p>(2) 생명체는 살아 있는 한 에너지 대사를 유지한다. 이것은 표피를 통하여 이루어지므로 생명에 있어서 가장 중요한 것은 표면적의 확보라고 할 수 있다. 일정한 부피 안에서 최대의 면적을 확보하는 방법을 자기닮음도형에서 찾아볼 수 있다. (1)에서 구한 도형은 넓이는 0 으로 가면서 둘레의 길이는 무한으로 커지는 도형이다. 이것을 3차원으로 확장하면 부피는 0으로 가면서 겉넓이는 무한으로 커지는 도형을 만들 수 있고 바로 이것이 생물체의 몸 안에 몸의 크기에 비해 엄청난 표면적이 구현되어 있는 원리이다. 폐포의 구조, 혈관의 구조, 소화 기관의 구조 등 몸의 내부라고 흔히 생각하는 호흡기관, 순환기관, 소화기관 등은 사실상 몸 안쪽에 들어가 있는 표피이며, 프랙털의 원리로 확보한 표면적으로 인해 생명체의 생명이 유지되고 있는 것이다.</p> <p>(3) '물질 $ 1 \mathrm{~g} $ '속에 축구장만 한 공간이 [중앙일보] 화학연, 수퍼 세공체 개발</p> <p>물질 $ 1 \mathrm{~g} $ 내부의 공간이 축구장 넓이 $ 80 \% $ 에 달하는 신물질이 국내 연구진에 의해 개발 됐다. 한국화학연구원 신화학연구단 장종산-황영규 박사팀은 이런 수퍼 세공체를 개발했다고 29일 발표했다. 연구 결과는 세계적 화학 잡지인 〈앙게반테 케미〉 국제판 5월호에 표지 논문으로 실렸다. 이 소재는 지구온난화의 주범인 이산화탄소 흡착 소재, 에너지 절약형 차세대 수분 흡탈착 제어 소재, 정밀화학용 촉매 등으로 광범위하게 사용 가능하다. 이번에 개발한 나노 세공체는 값싸고 손쉽게 구할 수 있는 유기아민 화합물을 이용한 것이다. 연구팀은 결정체 안에 극미세 구멍이 수없이 많이 만들어지도록 하는 기술도 함께 개발했다. 이에 따라 나노 세공체 $ 1 \mathrm{~g} $ 의 표면적이 축구장 넓이의 $ 80 \% $ 수준과 맞먹는 넓이와 구조 유연성을 가져 이산화탄소의 흡착량이 세계 최고 수준이다. 또한 100 도 이하에서 다량의 표면 탈수가 가능해 산업용.가정용 제습기, 건조기 등의 기존 상업용 수분 흡 착제보다 에너지 효율이 $ 1.8 $ 배 이상, 흡착량은 4 배 이상의 효율을 보이는 것으로 확인됐다. (박방주 과학전문기자).</p> <p>[논제]</p> <ul> <li>(1) 두 제시문의 공통점을 서술해 보자.</li> <li>(2) 프렉탈의 의미를 주어진 두 제시문을 사용하여 서술해보자.</li></ul> <h1>7.3 DEFINITION(행렬식, 특성화 다항식)</h1> <ul> <li>(1) $ \operatorname { det } (A) = \|A\|= \pm \frac { (A \text { 에 의하여 변형된 면적) } } {\text { (원래의 면적) } } $.</li> <li>(2) $ f(x)= \operatorname { det } [x I-A] $.</li></ul> <p>다음에서 선형변한의 의미를 다시 음미해 보자. 예를 들어, 원점이 중심인 원을 어디로 보내는지 알아보자.</p> <h1>7.4 EXAMPLE</h1> <p>행렬(선형변환) $ A= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 3 \\ 3 & 5 \end {array} \right ) $ 은 원점이 중심인 단위원을 어디로 보내는지 살펴보자.</p> <p>(1) 고윳값은 $ A \left ( \left [ \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ] \right )= \lambda \left [ \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ] $ 에서 $ \left (A- \left [ \begin {array} { ll } \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end {array} \right ] \right ) \left [ \begin {array} { l } x \rceil \\ y \end {array} = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ] \right . $ 이고 따라서 \[ \left \| \begin {array} { cc } 5- \lambda & 3 \\3 & 5- \lambda \end {array} \right \|=(5- \lambda) ^ { 2 } -9=0 \] 이므로 $ \lambda_ { 1 } =8, \lambda_ { 2 } =2 $이다.</p> <p>(2) 이때, $ T \left (v_ { 1 } \right )=8 v_ { 1 } , T \left (v_ { 2 } \right )=2 v_ { 2 } $ 를 만족하는 고유벡터 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } $ 를 구하면 \[v_ { 1 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\1 \end {array} \right ], v_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } 1 \\-1 \end {array} \right ] . \] 즉, 함수 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 3 \\ 3 & 5 \end {array} \right ) $ 는 $ v_ { 1 } $ 방향으로 8 배 늘리고, $ v_ { 2 } $ 방향으로 2배 늘리는 함수이다. 따라서 다음 그림을 얻는다.</p> <p>이제, 행렬의 응용에 대하여 다양한 분야에서 알아보자.</p> <p>(2) 9차 Euler square(구수락, 최석정(1646-1715), 1710이후)는</p> <p>\[C=\left[\begin{array}{ccccccccc} 51 & 63 & 42 & 87 & 99 & 78 & 24 & 36 & 15 \\ 43 & 52 & 61 & 79 & 88 & 97 & 16 & 25 & 34 \\ 62 & 41 & 53 & 98 & 77 & 89 & 35 & 14 & 26 \\ 27 & 39 & 18 & 54 & 66 & 45 & 81 & 93 & 71 \\ 19 & 28 & 37 & 46 & 55 & 64 & 73 & 82 & 91 \\ 38 & 17 & 29 & 65 & 44 & 56 & 92 & 71 & 83 \\ 84 & 96 & 75 & 21 & 33 & 12 & 57 & 69 & 48 \\ 76 & 35 & 94 & 13 & 22 & 31 & 49 & 58 & 67 \\ 95 & 74 & 86 & 32 & 11 & 23 & 68 & 47 & 59 \end{array}\right]\]이다. 최석정은 수의 배치를 어떻게 하였는지 그 열쇠를 문헌에서 설명하지 않았다. 최석정의 9차 Euler square $ C $ 는 다음 경로로 얻을 수 있다(송홍엽, 2008).</p> <ul> <li>① Latin square \[L=\left[\begin{array}{lllllllll} 5 & 6 & 4 & 8 & 9 & 7 & 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 1 & 2 & 3 \\ 6 & 4 & 5 & 9 & 7 & 8 & 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 & 8 & 9 & 7 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 3 & 1 & 2 & 6 & 4 & 5 & 9 & 7 & 8 \\ 8 & 9 & 7 & 2 & 3 & 1 & 5 & 6 & 4 \\ 7 & 8 & 9 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 9 & 7 & 8 & 3 & 1 & 2 & 6 & 4 & 5 \end{array}\right]\]</li> <li>② $ M=L P_{9} $</li> <li>③ $ C=L \bigcirc M $ (따라서 $ L, M $ 은 orthogonal하다.)</li></ul> <p>한편, 최석정의 9차 Euler square $ C $ 로부터 9차 magic square를 만들 수 있다.<p>$ L \odot M \frac{(x, y) \mapsto 9(x-1)+y}{\text { canonical mapping }} $</p> <p>최석정의 9차 Euler square는 오일러의 5차 Euler square보다 대략 60년 정도 앞선다고 볼 수 있다.</p> <p>최석정의 9차 Euler square $ C $ 를 얻는 데 사용한 Latin square $ L $ 을 구하는 방법에 대한 제안을 알아보자(Formal Kronecker Product, Ko-Wei Lih, 2010)).</p> <p>(3) (최석정의 Latin square 구하기) $ n \times n $ 행렬 $ A $ 에 대하여 $ n^{2} \times n^{2} $ 행렬 $ A \otimes A $ 를 다음과 같이 정의하자. \[A \otimes A=\left\|\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1 n} \\ A_{21} & A_{21} & \cdots & A_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{n 1} & A_{n 2} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right\|_{n^{2} \times n^{2}}, A_{i j}=\left[\begin{array}{c} \vdots \\ \cdots\left(a_{i j}, a_{s t}\right) \ldots \\ \vdots \end{array}\right]_{n \times n}\left(A_{i j} \text { 의 } \mathrm{s}\right. \text { 행, t열) } \]</p> <p>예를 들어 Latin square \[A=\left[\begin{array}{lll} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array}\right]\]에 대하여<p>$ A \otimes A=\left[\begin{array}{l}(2,2)(2,3)(2,1)(3,2)(3,3)(3,3)(1,2)\{1,3)(1,1) \\ (2,1)(2,2)(2,3)(3,1)\{3,2)(3,2)(1,1)\} 1,2)(1,3) \\ (2,3)\{2,1)(2,2)(3,3)(3,1)(3,1)(1,3)\{1,1)(1,2) \\ (1,1)(1,3)(1,1)(2,2)(2,3)(2,3)(3,2)\{3,3)(3,1) \\ (1,2)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,2)(3,1)(3,2)(3,3) \\ (1,3)(1,1)(1,2)(2,3)(2,1)(2,1)(3,3)(3,1)(3,2) \\ (3,2)(3,3)(3,1)(1,2)(1,3)(1,3)(2,2)(2,3)(2,1) \\ (3,1)(3,2)(3,3)(1,1)(1,2)(1,2)(2,1)(2,2)(2,3) \\ (3,3)(3,1)(3,2)(1,3)(1,1)(1,1)(2,3)(2,1)(2,2)\end{array}\right]_{9 \times 9} $를 얻는다. 최석정의 Latin square $ E $은 \[A \otimes A \stackrel{(x, y) \mapsto 3(x-1)+y}{\longrightarrow} L\]로 얻을 수 있다.</p> <h1>7.14 APPLICATION 6(Least Squares)</h1> <p>(1) 4 개의 점 (0,1),(1,3),(2,4),(3,4)을 직교좌표평면에 표시해보자.</p> <p>$ >$ data_list : $ =[[0,1],[1,3],[2,4],[3,4]] ; $ data_list $ :=[[0,1],[1,3],[2,4],[3,4]] $ $ >\operatorname{plot} $ (data_list);</p> <p>네 점은 동일직선 상에 없다. 따라서, 주어진 4개의 점을 동시에 지나는 직선은 존재하지 않는다. 주어진 4점을 이상적으로 결정하는 방법을 생각해보자. 만일 직선 $ y=a+b x $가 주어진 네 점을 지난다면 연립방정식 \[\left\{\begin{array}{l} 1=a+b \cdot 0 \\ 3=a+b=1 \\ 4=a+b=2 \\ 4=a+b \cdot 3 \end{array}\right.\]<caption>(7-1)</caption>의 해는 존재한다. 식(7-1)을 행렬을 사용하여 재구성하면 \[\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right] \text {, 또는 } a\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{l} 01 \\ 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 4 \\ 4 \end{array}\right] \]<caption>(7-2)</caption>이다. 식(7-2)를 만족하는 실수 $ a, b $ 가 존재하지 않는다는 것은 벡터 $ b=\left[\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4 \\ 4\end{array}\right] $ 가 행렬 $ A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] $ 의 두 열벡터 $ \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right] $ 로 생성된 공간에 속하지 않음을 의미한다. 따라서 최선의 방법은 벡터 $ b $ 를 두 열벡터로 생성된 공간 $ W $ 에 정사영(projection)시킨 벡터 $ \operatorname{proj}_{W} b $ 를 이용하여 식(7-2)를 \[A\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\operatorname{proj}_{W} b \]<caption>(7-3)</caption>로 변형하여 해결하는 것이다. 이제 문제는 벡터 $ \operatorname{proj}_{W} b $ 를 구하는 것인데(다음 그림 참조)</p> <p>이에 대한 기술적인 방법은 벡터 $ b-\operatorname{proj}_{W} b $ 는 정의에 의하여 공간 $ W $ 에 수직이고 따라서 $ A^{T}\left(b-\operatorname{proj}_{W} b\right)=0 $ 이다. 한편, 우리가 최선으로 선택한 식(7-3)에서 \[b-A\left[\begin{array}{l}a \\b\end{array}\right]=b-\operatorname{proj}_{W} b\]이므로 \[A^{T}\left(b-A\left[\begin{array}{l}a \\b\end{array}\right]\right)=0, A^{T} A\left[\begin{array}{l}a \\b \end{array}\right]=A^{T} b \text {, 또는 }\left[\begin{array}{l}a \\b\end{array}\right]=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b\]<caption>(7-4)</caption>를 얻는다. 따라서 우리가 구하려는 직선의 방정식은 \[\left[\begin{array}{l}a \\b\end{array}\right]=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b=\left[\begin{array}{c} 1.5 \\1\end{array}\right] .\]</p> <p>즉, $ y=1.5+x $ 이다. 독자들은 전개되는 내용 속에 내적의 역할을 재확인하자.</p> <p>일차다항식을 결정하는 예를 하나 더 들어보자.</p> <p>(2) 제약회사에서 한 신약을 개발한 후 신약의 단위 $ \mathrm{D} $ 를 0 단위부터 1 단위까지 특정 사람에게 투여하였다. 콜레스테롤의 수치 $ \mathrm{C} $ (milligrams/unit volum of blood)를 다음과 같이 얻었다.</p> <p>위 표로부터 이상적인 직선의 방정식 $ C=a+b D $ 를 결정해보자. 도표에 해당하는 식은 \[\left[\begin{array}{ll} 1 & 0.0 \\ 1 & 0.2 \\ 1 & 0.4 \\ 1 & 0.6 \\ 1 & 0.8 \\ 1 & 1.0 \end{array}\right] \quad[a]=\left[\begin{array}{l} 289 \\ 273 \\ 254 \\ 226 \\ 213 \\ 189 \end{array}\right]\]이다. 따라서 식(7-4)를 이용하면 \[\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 6 & 3.0 \\ 3 & 2.2 \end{array}\right]^{-1}\left[\begin{array}{c} 1444.0 \\ 615.2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} 291.24 \\ -101.14 \end{array}\right]\]이므로 우리가 원하는 이상적인 직선의 방정식은 $ C=291.24-(101.14) D $ 이다.</p> <p>$ >$ with(linalg): $ >B:= $ matrix $ (6,2,[0.0,289,0.2,273,0.4,254,0.6,226,0.8,213,1.0,189]) $; $ B:=\left[\begin{array}{cc}0 & 289 \\ .2 & 273 \\ .4 & 254 \\ .6 & 226 \\ .8 & 213 \\ 1.0 & 189\end{array}\right] $ $ >f:=x->1 $ $ f:=1 $ $ >v:=\operatorname{vector}(6, f) $; $ v:=[1,1,1,1,1,1] $ $ >x:=\operatorname{col}(B, 1) $; $ x:=[0, .2, .4, .6, .8,1.0] $ $ >b:=\operatorname{col}(B, 2) $; b : $ =[289,273,254,226,213,189] $ $ >A $ : =augment $ (v, x) $; $ A:=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & .2 \\ 1 & .4 \\ 1 & .6 \\ 1 & .8 \\ 1 & 1.0\end{array}\right] $ $ >L S:= $ leastsqrs $ (A, b) $; LS : $ =[291.2380951,-101.1428571] $</p> <p>이차다항식을 결정하는 예를 들어보자.</p> <p>(3) 다섯 개의 점 \[(0.1,-0.18)\left(0.2,0.3_{-}^{-}\right),(0.31 .03),(0.4,2.48)(0.5,3.73)\]을 이상적으로 만족하는 포물선 $ y=a+b t+c t^{2} $ 을 결정해보자. 이때 \[\begin{array}{c} {\left[\begin{array}{l} a \\ b \\ c \end{array}\right]=\left(A^{T} A\right)^{-1} A^{T} b=\left[\begin{array}{r} -0.40 \\ 0.35 \\ 16.1 \end{array}\right],} \\ \text { 여기서 } A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0.1 & 0.01 \\ 1 & 0.2 & 0.04 \\ 1 & 0.3 & 0.09 \\ 1 & 0.4 & 0.16 \\ 1 & 0.5 & 0.25 \end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c} -0.13 \\ 0.31 \\ 1.03 \\ 2.48 \\ 3.73 \end{array}\right] \text { 이다. 따라서 우리가 원하는 이차방정식 } \\ y(t)=-0.40+0.35 t+16.1 t^{2} \end{array} \]을 구할 수 있다.</p> <p>위 과정은 지구표면에서의 중력가속도 $ (g) $ 를 측정한 것이다. 한 실험실에서 시간(초)을 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5 로 나누어 고정점 어느 위에서 한 물체를 자유낙하 시켰을 때 0.1초 후에 고정점 위 0.18(feet), 0.2초 후 고정점 아래 0.31(feet) 등으로 나타난 데이터이다. 운동에 관한 Newton의 제 2법칙에 의하면 물체가 지구표면 상에서 수직으로 떨어질 때, 다음 방정식을 만족한다. \[y=y_{0}+v_{11} t+\frac{1}{2} g t^{2}\]</p> <p>여기서 $ y $ 는 고정점에서 아래로 향한 수직 이동거리, $ y_{0} $ 는 $ t=0 $ 에서의 초기 위치, $ v_{0} $ 는 $ t=0 $ 에서의 초기 속도이다. 따라서 중력가속도의 근삿값 \[g \simeq 2 c=2 \times 16.1=32.2\left(\text { feet } / \mathrm{src}^{2}\right)=9.821\left(\mathrm{~m} / \mathrm{sec}^{2}\right)\]을 얻는다.</p> <p>Maple을 이용하여 두 그래프를 확인하자.<p>$ >$ data_list: $ =[[0.1,-.18],[0.2,.31],[0.3,1.03],[0.4,2.48],[0.5,3.73]] ; $ <p>$ >$ data_list: $ =[[.1,-.18],[.2,.31],[.3,1.03],[.4,2.48],[.5,3.73]]; $<p><p>$ >$ plot$ \left \text({data_list, -0.4+0.35t+16.1t^2}, t=0.1 .. 0.5);\right $</p><p>우리는 실험을 통한 일, 이차다항식을 결정하는 방법을 미분(이변수함수의 미분(6.16))과 내적을 사용하여 알아보았다. 이를 개정교육과정 수학(1)에서 도입하고 있는 함수의 교수학습법과 연관하여 다시 음미해 보자.</p> <h1>7.21 EXAMPLE(피라미드, 타원)</h1> <p>밑면의 모서리의 길이를 $ 2 d $, 옆면인 삼각형의 높이를 $ l $ 이라고 하면 $ l^{2}=d^{2}+h^{2} $ 이므로 $ l=\sqrt{115^{2}+146^{2}} $ 이고 따라서 계산기를 사용하여 구하면 $ l=185.8 $ 이다. 옆면의 넓이를 계산해보면 $ \frac{1}{2} \times 230 \times 185.85=21,372.75 $ 로 이 값은 높이의 제곱인 21,31621316과 거의 같다.</p> <p>당시의 설계 도면이 전해지지 않아 구체적인 것은 알 수 없지만 앞에서의 계산에 의해 고대 이집트인들은 다음과 같은 원리로 피라미드를 건축했다고 가정할 수 있다.</p> <ul> <li>가정 1 피라미드의 밑면은 정사각형으로 건축한다.</li> <li>가정 2 피라미드 옆면의 넓이는 높이의 제곱과 같도록 건축한다.</li></ul> <p>위 [가정2]로부터 $ l / d $ 에 관한 방정식을 만들어 보자. 식 $ d l=h^{2} $ 을 식 $ l^{2}=d^{2}+h^{2} $ 에 대입하면 $ (l / d)^{2}=1+l / d $ 이므로 이차방정식의 근은 $ l / d=(1+\sqrt{5}) / 2 $이다. 황금비 $ \phi=(1+\sqrt{5}) / 2 $ 를 알고 있었을 것으로 추측된다.</p> <p>계산을 편리하게 하기 위하여 위에서 $ l / d=\phi $ 이므로 $ l=1 $ 로 놓으면 밑면의 모서리의 길이의 절반인 $ d $ 는 황금비 $ \phi $ 의 역수가 된다. 이를 $ k=(\sqrt{5}-1) / 2 $ 로 놓자. 즉, $ \dot{h}=1 / \phi $이다. 이때, 피라미드의 단면에서 높이가 $ \sqrt{k} $ 임을 보여라. 피라미드의 단면에서 높이는 $ \sqrt{1-k^{2}} $ 이다. $ \phi^{2}-\phi-1=0 $ 에서 $ \kappa=1 / \phi $ 이므로 $ 1 / \kappa^{2}-1 / \kappa-1=0 $ 즉, $ \varepsilon=1-\kappa^{2} $이므로 $ \sqrt{1-\kappa^{2}}=\sqrt{\kappa} $ 이다. 한편, 피라미드의 단면, 옆면, 밑면을 모두 한 그림에 나타내었다. 다음 그림에서 타원 \[x^{2} / \kappa^{2}+y^{2} / 1^{2}=1, \kappa=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\]의 초점의 위치를 구해보자.</p> <p>타원의 식은 $ x^{2} / \kappa^{2}+y^{2} / 1^{2}=1 $ 이므로 초점 \[\left(0, \pm \sqrt{1-\kappa^{2}}\right)=(0, \pm \sqrt{\kappa})\]은 피라미드 높이이다. 참고로 $ l=1 $ 로 놓았을 때, 반지름의 길이가 1 인 원에 내접하는 정오각형의 한 변의 길이가 피라미드 옆면의 모서리의 길이와 같다. 그 이유는 다음 어두운 삼각형에 코사인법칙을 사용하면 \[\begin{array}{l}\left.x^{2}=1+1-2 \cos (2 \pi / 5)=2-(\sqrt{5}-1) / 2=1+i 1-i\right)=1+k^{2}, \\x=\sqrt{1+k^{2}}\end{array}\]이다. 따라서 정오각형의 한 변의 길이는 $ \sqrt{1+k^{2}} $ 으로 위의 피라미드 옆면의 모서리의 길이와 같다.</p> <p>(2) 다음 기사를 행렬을 주제로 수업할 때, 활용해 보자.</p> <p>검색엔진의 메커니즘</p> <p>[Weekly BIZ] [Tech] 충무김밥을 검색했다 $ \cdots $ (1) 수집하고 (2) 언어를 색인하고 (3) 순서를(검색 모델링) 정한다(이윤식, 2011, 8월 19일).</p> <p>기술 용어도 비유인 경우가 많다. '검색엔진'도 그 중 하나다. 검색엔진은 사실 검색기능을 수행하는 소프트워어다. 배기통도 없고 시동을 걸 때(키워드를 입력할 때) '부르릉' 소리가 나지도 않는다. 하지만 '엔진이라는 비유는 이 소표트웨어에 잘 어울린다. 인터넛은 수많은 볼거리가 펼쳐진 광활한 공간이다. 검색창에 키워드를 입력하고 엔터 키를 누를 때마다 사람들은 멋진 검색결과를 기대한다. 멋진 스포츠카 운전석에 앉아 시동을 걸고 어디론가 가고 싶은 꿈과 비슷하다. 이런 기대감을 만족시키려면 검색 소표트워어는 성능 좋은 '엔진'처럼 움직여야 한다. 검색엔진은 수천만 줄의 컴퓨터 언어로 만들어진 소표트웨어다. 가까이에서 보면 스포츠카 엔진처럼 깔끔하지 않다. 수천 마리의 거미가 수십, 수백년 동안 짜놓은 거미줄처럼 어지럽다. 다만 이 거미줄들은 '알고리즘(algorithm)'이라는 논리적 연산들로 연결돼 각자 필요한 기능을 수행한다. 검색엔진을 구성하는 소프트워어들의 기능은 다양하다. 하지만 크게 보면 세 가지 기능, '수집' . '색인' . '검색 모델링(랭킹)' 가운데 일부를 담당한다고 볼 수 있다. 검색엔진의 첫 번째 기능은 웹 문서를 '수집'하는 것이다. 수집은 단번에 끝나지 않고 수시로 꾸준히 이뤄진다. 웝 문서의 양이 방대하기도 하지만 계속 바뀌기 때문이다. 좋은 검색결과를 내기 위해서는 문서의 수정 내용이 검색결과에 바로 반영되어야 한다. 네이버 서버 안의 문서는 변화가 생기면 자동으로 업데이트가 되지만 외부 문서의 경우 로봇이라고 불리는 수집 프로 그램이 돌아다니며 확인해야 한다. 물론 자주 방문하면 변화 내용을 빨리 알 수 있다. 그러나 너무 자주 방문하면 해당 사이트에 장애가 생길 수도 있다(누군가 계속 집 초인종을 누르는 것과 비슷하다). 또 '수집하지 마라'고 닫아 놓은 사이트도 적지 않다. 좋은 수집 프로그램은 인터넛 구석구석까지 찾지만 상대방에게 부담을 주지 않으면서 에티켓도 잘 따르도록 설계해야 한다. 두 번째 '색인(index)'기능은 언어 처리와 관련된 영역이다. 가령 '개봉 영화'라는 검색어를 입력했을 때 '개봉동 영화아파트'라는 결과가 나온다면 실망할 것이다. 그럼 '충무김밥'은 어떨까? 김밥의 한 종류인 '충무김밥' 관련 내용이 나가야 할까? 충무에 있는 김밥집이 나오면 틀린 것일까? 이 과정을 논리적으로 푸는 단계가 바로 색인이다. 특히 우리말은 음절로 자르느냐 형태소로 자르느냐, 띄어쓰기를 인식하느냐 마느냐 등에 따라 엄청난 차이가 생긴다. 가령 한. 일 축구 경기 다음날이면 많이 입력되는 '일본전 골'이라는 질의를 예로 들어보자. 이를 형태소로 자르면 '일본' · '전' ·골'로 분류되지만 '음절'로 분류하면 '일 · 일본 ·본 · 본전 · 전 · 전골.골'로 추출된다. 이 경우 음절 단위 색인 추출을 하면 '일본전 골'에 엉뜽하게 '일본'의 '전골' 요리를 설명하는 문서가 나올 수도 있다. 이런 색인작업은 빠른 검색을 위해서도 필요하다. 각 웹 문서가 어떤 내용과 단어를 포함하고 있는지 정리해놓지 않고 검색어가 들어올 때마다 전체 문서를 돌아다닌다면 검색시간이 길어질 수밖에 없다. 수집 · 색인이 잘 됐을 경우 남은 문제는 '어떤 문서가 검색결과 상단에 가야 하느냐이다. 현재 네이버 블로그에서 걸그룹 '소녀시대'라는 색인을 갖고 있는 문서는 약 74만건이다. 이 문서 증 사람들이 가장 원하는 문서가 무엇인지 결정하는 게 '검색 모델링’이다. 검색 서비스 초기에는 질의가 포함된 문서(즉 유사도가 높은 문서)를 찾는 것이 모델링이었다. 가령 '소녀시대'라는 질의가 오면 '소녀시대'라는 단어를 많이 포함한 문서를 보여주는 식이다. 하지만 웹 문서가 급증하면서 질의를 많이 포함한다고 해서 만족스러운 문서가 될 가능성은 점차 낮아졌다. 오히려 질의가 너무 많이 포함된 경우 문서 질이 떨어지는 경우도 있었다. 이제는 해당 질의가 문서 앞에 있는지 뒤에 있는지, 문서 전체에 얼마나 골고루 퍼져 있는지 등을 살피는 등 보다 정교한 모델을 사용한다. 유사도와 별개로 문서 자체의 고유한 특성을 반영 하기도 한다. 가령 다른 문서와 많이 링크된 문서는 품질이 좋다고 판단하고 뉴스 문서의 경우 최신 뉴스인지 여부를 평가 요소로 고려한다. 최근에는 해당 웹 문서가 얼마나 많은 클릭을 받았고 이용자들이 얼마나 오래 머물렀는지 같은 이용자 피드백도 반영하고 있다. 마지막으로 각 질의 종류별로 다양한 요소들을 어떤 비율로 조합할지 고려해야 하는데, 만약 고유의 특성 값을 너무 높게 설정해 버리면 질의와 동떨어진 검색결과가 나올 수도 있기 때문이다. 검색엔진은 이처럼 수집 - 색인 · 모델링(랭킹) 기능을 하는 소프트웨어의 집합체이다. 하지만 이 소프트웨어가 장애 없이 돌아가기 위해서는 다른 요소들도 필요하다. 검색어 입력 후 1초 이내에 결과를 내놓기 위해서는 앞서 설명한 소프트웨어가 담긴 수만 대의 서버가 쉴 새 없이 돌아가야 하는데, 이를 위해서는 안정적인 대용량 데이터 처리 시스템이 뒷받침돼야 한다. 그렇지 않으면 한 번의 검색결과를 내놓을 수 있을지는 모르나 하루 약 1 억 6000 만건(연간 580 억건)의 질의에 안정적으로 답할 수 없기 때문이다.</p> <h1>7.6 DEFINITION(Diagonalization)</h1> <p>\[A \in \operatorname { Mat } _ { 2 \times 2 } ( \mathbb { R } ) \text { 일 때, } \] \[C_ { A } = \left (x- \lambda_ { 1 } \right ) \left (x- \lambda_ { 2 } \right ), \] 여기서 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $ 은 서로 다른 실수라 하자. 먼저 고윳값 $ \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } $ 에 대응하는 고유벡터를 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $ 라 하자. $ P= \left [x_ { 1 } x_ { 2 } \right ] $ 라 하면 \[A P=P \left [ \begin {array} { cc } \lambda_ { 1 } & 0 \\0 & \lambda_ { 2 } \end {array} \right ] \text { 포는 } P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { cc } \lambda_ { 1 } & 0 \\0 & \lambda_ { 2 } \end {array} \right ] \]이다. 행렬 $ P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { cc } \lambda_ { 1 } & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } \end {array} \right ] $ 를 $ A $ 의 대각화라 부른다.</p> <p>물론 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] $ 는 $ C_ { A } :(x)=x ^ { 2 } $ 이고 대각화 불가능하다. 또 한, 고윳값이 실수가 아닌 복소수가 되어도 대각화는 가능할 수 있다. 예를 들어 $ B= \left [ \begin {array} { rr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ] $ 는 복소 고윳값 \[ \cos \theta + i \sin \theta \text { 와 } \cos \theta-i \sin \theta \]를 갖고 대각화 가능하다.</p> <h1>7.7 EXAMPLE(행렬의 거듭제곱)</h1> <p>행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rr } 4 & -2 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] $ 일 때, $ A ^ { n } $ 을 구하여 보자. 먼저 특성화다항식은 $ C_ { A } (x)= $ $ (x-2)(x-3) $ 이므로 고웃값은 $ \lambda_ { 1 } =2, \lambda_ { 2 } =3 $ 이다. 따라서, 이에 대응하는 고유백터는 $ \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] $ 이다. 이제 $ P= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] $ 이라하면 $ P ^ { -1 } A P= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 0 \\ 0 & 2 \end {array} \right ] $ 이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } \left (P ^ { -1 } A P \right ) ^ { n } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 0 \\0 & 3 \end {array} \right ] ^ { n } = \left [ \begin {array} { cc } 2 ^ { n } & 0 \\0 & 3 ^ { n } \end {array} \right ]=P ^ { -1 } A ^ { n } P, \\ \end {array} \]</p> <p>위 예에서 알아본 행렬의 거듭제곱을 Markov Chain에서 알아보자. 물론 다음 예에서 행렬의 크기를 충분히 크게하여 계산할 수 있다(MatLab, Maple, Mathematica 등).</p> <h1>7.10 EXERCISE</h1> <p>$ (A \otimes A) P_{9}=A P_{3} \otimes A P_{3} $ 임을 보여라.</p> <h1>7.11 EXERCISE(소수 Latin square)</h1> <p>소수 Latin square에 대하여 알아보자.</p> <h1>7.12 APPLICATION 4(Coding Theory)</h1> <p>갑이 을에게 행렬 $ \mathrm{B} $ 를 안전하게 보내려고 한다. 이때 행렬 $ \mathrm{B} $ 를 numeric message matrix이라 부른다. 물론 보안을 위하여 행렬 $ \mathrm{B} $ 에 다른 행렬 $ \mathrm{A} $ 를 곱하여 보낼 필요가 있다. 우리는 이 행렬 $ \mathrm{A} $ 를 encoding matrix이라 부르며, 반드시 역행렬이 존재하는 것으로 택해야 한다. 갑이 을에게 행렬 $ \mathrm{B} $ 를 안전하게 보내기 위하여 $ \mathrm{A} $ 를 $ \mathrm{B} $ 에 곱한 행렬 $ A B $를 을에게 보내면 을은 이 행렬 $ A B $ 에 갑과 약속한 $ \mathrm{A} $ 의 역행렬을 곱하여</p> <p>\[A^{-1}(A B)=B\]와 같이 안전하게 행렬 $ \mathrm{B} $ 를 받아볼 수 있다. 예로서, 갑이 을에게 MATH. TEACHER MEETING이란 극비사항(?)을 안전하게 보내는 과정을 살펴보자. 먼저 갑과 을은 encoding matrix 을 (편의상 CodeMat로 표시, \[\text { CodeMat }=\left[\begin{array}{lll} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 0 & 6 \\ 6 & 8 & 3 \end{array}\right]\]로 약속한다. 따라서 message matrix을 크기가 $ 3 \times 7 $ 인 행렬 MasgMat $ =\left[\begin{array}{llll}M A & T H & T \\ E & A & C H E & R \\ M E & E T & T & N G\end{array}\right] $로 할 수 있다. 이제 행렬의 연산을 위하여 alphabet 문자를 숫자로 다음과 같이 대응시키자. 띄어쓰기에 필요한 공간에는 $ 0, \mathrm{~A} $ 부터 $ \mathrm{Z} $ 에는 1 부터 26을 순서대로 부여하고 마침표 "."에는 27을 부여하자. 그러면 숫자로 바꾼 message matrix(numeric message matrix)은 \[\text { NMasgMat }=\left[\begin{array}{rcccccc} 13 & 1 & 20 & 8 & 27 & 0 & 20 \\ 5 & 1 & 3 & 8 & 5 & 18 & 0 \\ 13 & 5 & 5 & 20 & 9 & 14 & 7 \end{array}\right]\] 이제, 갑은 이 행렬을 을에게 안전하게 보내기 위하여 사전에 서로 약속한 encoding matrix을 곱한 후 이 (code message matrix)를 을에게 보낸다. 을이 받는 행렬은 다음과 같다. \[\text { Code MasgMat }=\left[\begin{array}{ccccccc} 36 & 8 & 31 & 44 & 46 & 50 & 27 \\ 130 & 34 & 110 & 152 & 162 & 84 & 122 \\ 157 & 29 & 159 & 172 & 229 & 186 & 141 \end{array}\right]\]</p> <p>이제, 갑은 이 행렬을 을에게 안전하게 보내기 위하여 사전에 서로 약속한 encoding matrix을 곱한 후 이 (code message matrix)를 을에게 보낸다. 을이 받는 행렬은 다음과 같다. \[\text { Code MasgMat }=\left[\begin{array}{ccccccc} 36 & 8 & 31 & 44 & 46 & 50 & 27 \\ 130 & 34 & 110 & 152 & 162 & 84 & 122 \\ 157 & 29 & 159 & 172 & 229 & 186 & 141 \end{array}\right]\]</p> <p>을은 갑으로부터 받은 행렬에 갑과 약속한 codeMat의 역행렬을 곱하면 갑이 보낸 원래의 행렬 NMasgMat를 얻게 된다. 즉 \[\text { NMasgMat }=\frac{1}{\text { CodeMat }} \text { CodeMasgMat }\]</p>	자연
미분기하학	<p>$ \Phi: U \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow M $ 이 미분가능한 사상이고 $ q \in U \subset \mathbb{R}^{2}, \mathbf{e}_{1}=(1,0), \mathbf{e}_{2}=(0,1) $ 일 때 $ c_{i}(t)=q+t e_{i} $ 로 정의하면 $ c_{i}^{\prime}(0)=e_{i} \in T_{q} \mathbb{R}^{2} $ 이고 $ \Phi \circ c_{i}: \mathbb{R} \rightarrow M $ 은 미분가능한 곡선이다. 따라서 정의에 의해 \[ \left(\Phi \circ c_{i}\right)^{\prime}(0) \in T_{\Phi(q)} M \] 이다. 이 접벡터를 \[ \left(\Phi \circ c_{i}\right)^{\prime}(0)=d \Phi_{q}\left(c_{i}^{\prime}(0)\right)=d \Phi_{q}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right) \] 로 나타내자. $ (\mathrm{x}, U) $ 가 점 $ p \in M $ 근방의 좌표함수이고 $ \mathrm{x}^{-1}(p)=q, \mathrm{x}^{-1}=\left(x_{2}, x_{2}\right) $ 로 나타낼 때<caption>(8.1.12)</caption>\[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}=d \mathbf{x}_{q}\left(e_{1}\right)=d \mathbf{x}_{q}(1,0) \]<caption>(8.1.13)</caption>\[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}=d \mathbf{x}_{q}\left(e_{2}\right)=d \mathbf{x}_{q}(0,1) \]</p> <p>로 정의하자(그림 8.8). 정의에 의해 \[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p},\left.\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p} \in T_{p} M \] 이고 이 두 벡터는 일차독립임을 알 수 있다.</p> <p>실제로, $ a, b \in \mathbb{R} $ 에 대하여 \[ \left.a \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}+\left.b \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}=(0,0) \] 이라 하면 \[ (0,0)=a d \mathbf{x}_{q}(1,0)+b d \mathbf{x}_{q}(0,1)=d \mathbf{x}_{q}(a, b) \] 이고 $ \mathrm{x} $ 가 좌표함수므로 $ (a, b)=(0,0) $ 이어야만 한다. 또한, $ f \in C^{\infty}(p) $ 에 대하여<caption>(8.1.14)</caption>\[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right\|_{p}(f)=\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p) \quad(i=1,2) \] 가 성립한다. 실제로, $ c_{i}(t)=q+t e_{i}=\mathrm{x}^{-1}(p)+t e_{i} $ 라 하면 \[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right\|_{p}=\left(\mathbf{x} \circ c_{i}\right)^{\prime}(0) \] 이므로 정의 8.1.14에 의해 \[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right\|_{p}(f)=\left(f \circ \mathrm{x} \circ c_{i}\right)^{\prime}(0) \] 한편, 도움정리 8.1.11에 의해 \[ \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(p)=\left(f \circ \mathrm{x} \circ c_{i}\right)^{\prime}(0) \] 이 성립한다. 또한 접벡터 $ \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p},\left.\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p} $ 는 라이프니츠 곱셈법칙을 만족시킨다. 즉, $ f, g \in C^{\infty}(p) $ 에 대하여<caption>(8.1.15)</caption>\[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}(f g)=\left.f(p) \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}(g)+\left.g(p) \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}(f) \]<caption>(8.1.16)</caption>\[ \left.\frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}(f g)=\left.f(p) \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}(g)+\left.g(p) \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}(f) \] 가 성립한다. $ c(t)=\mathrm{x}^{-1}(p)+t e_{1} $ 이라 놓고 $ \alpha(t)=\mathrm{x} \circ c(t) $ 로 정의하면 $ \alpha(0)=p $ 이고 $ \alpha^{\prime}(0)=\left.\frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p} $ 이므로 $ \begin{aligned}\left.\frac{d}{d t}((f g) \circ \alpha)\right\|_{t=0} &=\frac{d}{d t}(f \circ \alpha(t)) \cdot(g \circ \alpha(t)) \\ &=\left.\frac{d}{d t}(f \circ \alpha(t))\right\|_{t=0} \cdot g(\alpha(0))+\left.f(\alpha(0)) \cdot \frac{d}{d t}(g \circ \alpha(t))\right\|_{t=0} \\ &=\left.g(p) \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}(f)+\left.f(p) \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}(g) \end{aligned} $ 같은 방법으로 두 번째 식 (8.1.16)도 성립함을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 다음정리가 성립한다.</p> <p>$ v \in T_ { p } M $ 에 대하여 지수사상의 미분사상 $ d \exp _ { p } : T_ { p } M \rightarrow T_ {\exp _ { p } (v) } M $ 은 일반적으로 내적을 보존하지 않는다. 그러나 다음 정리에 의하면 원점을 지나는 직선방향에 대해서는 내적을 보존한다.</p> <p>위의 증명에서 보듯이 $ v $ 와 $ w $ 가 반드시 수직일 필요는 없다. 즉, 같은 조건에서 \[ \langle v, w \rangle = \left \langle \operatorname { dexp } _ { p } (v), \operatorname { dexp } \exp _ { p } (w) \right \rangle \] 가 항상 성립한다. 그리고 정리 8.7.7은 정규좌표함수가 정의되는 정의역에서 함수 $ r= \sqrt { x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } } $ 의 그래디언트가 $ \frac {\partial } {\partial r } $ 이 된다는 사실과 동치이다. 함수 $ f $ 의 그래디언트 $ \nabla f $ 는 임의의 벡터장 $ \mathrm { X } $ 에 대하여 다음 조건 \[ \langle \nabla f, X \rangle=d f(X)=X(f) \] 을 만족시키는 유일한 벡터장이다.</p> <p>$ T_ { p } M \equiv \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 극좌표 $ (r, \theta) $ 를 사용하면 가우스의 도움정리는 \[ \left \langle \frac {\partial } {\partial r } , \frac {\partial } {\partial \theta } \right \rangle=0 \] 임을 의미한다. 따라서 \[ X=a \frac {\partial } {\partial r } + b \frac {\partial } {\partial \theta } \] 가 임의의 벡터장이면 \[ \left \langle \frac {\partial } {\partial r } , X \right \rangle=a \left \langle \frac {\partial } {\partial r } , \frac {\partial } {\partial r } \right \rangle=a=X(r) \] 또한 $ T_ { p } S= \left \{ v \in T_ { p } M \\| \\| \\|=1 \right \} $ 이라 할 때 가우스의 도움정리는 리만계량 $ g $ 를<caption>(8.7.19)</caption>\[ g=d r ^ { 2 } + d \theta_ { r } ^ { 2 } \] 으로 나타낼 수 있음을 보여준다. 여기서 $ d \theta_ { r } ^ { 2 } $ 은 반지름의 길이가 $ r $ 인 원에 대한 지수 사상의 치역 $ \exp _ { p } \left (r T_ { p } S \right ) $ 위에 $ g $ 에 의헤 유도되는 리만계량이다. $ d \theta_ { r } ^ { 2 } $ 은 반지름의 길 이 $ r $ 에 종속되어서 변하기 때문에 식 (8.7.19)로 주어지는 리만계량 $ g $ 는 곱리만계량 (produt metric)은 아니다.</p> <p>가우스의 도움정리 8.7.7 또는 그것의 동치조건인 \[ \nabla r= \frac {\partial } {\partial r } \] 를 이용하면 다음 정리를 증명할 수 있다.</p> <p>다음에는 옹골곡면(compact surface) 중에서 수면곡률이 0 인 곡면의 예를 알아보자.</p> <p>군 $ G $ 가 집합 $ S $ 에 작용할 때 $ x \in S $ 에 대하여 다음 집합 \[ O_{x}=\{a \cdot x \mid a \in G\} \] 을 $ x $ 의 궤도(orbit)라고 하고 궤도 전체의 집합을 $ S / G $ 로 나타낸다. 즉 \[ S / G=\left\{O_{x} \mid x \in X\right\} \] $ S $ 가 위상공간이면 $ S / G $ 는 사영사상 $ \pi: X \rightarrow S / G, \pi(x)=O_{x} $ 가 연속이 되는 위상 구조를 $ S $ 로부터 얻을 수 있다. 다시 말해서, $ V \subset S / G $ 에 대하여 $ \pi^{-1}(V) $ 가 $ S $ 에서 개집합일 때 $ V $ 를 $ S / G $ 에서 개집합이라고 정의하면 $ S / G $ 도 위상공간이 된다. $ S / G $ 를 몫공간(quotient space)이라고 한다.</p> <p>한편, $ M $ 이 2 차원 미분다양체인 경우에 $ M $ 에 작용하는 군 $ G $ 가 고정점을 갖지 않 으면 $ M / G $ 도 2 차원 미분다양체가 된다. 또, $ M $ 이 옹골집합이 아닌 경우에도 군 $ G $ 의 성질에 따라 $ M / G $ 는 옹골집합이 될 수도 있다.</p> <p>$ \Phi:(Z \oplus Z) \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 을 $ \Phi((a, b),(x, y))=(a+x, b+y) $ 로 정의하면 $ \Phi $ 는 군 작용이다. $ \mathbb{R}^{2} $ 의 평면리만계량 $ g_{0}=d x \otimes d x+d y \otimes d y $ 는 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 의 리만계량이 된 다. $ \mathbb{R}^{2} $ 의 함수 $ f $ 중에서 $ f(x+a, y+b)=f(x, y), a, b \in Z $ 를 만족시키는 함수는 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 의 함수로 생각할 수 있다. 특히, $ \mathbb{R}^{2} $ 의 상수함수는 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 의 상수함수이므 로 $ g_{0} $ 은 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 의 리만계량이다. 따라서 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 은 수면곡률이 $ K=0 $ 인 리만계량 을 갖는다. 위상학적으로 $ \mathbb{R}^{2} / Z^{2} $ 은 옹골집합인 원환면 $ S^{1} \times S^{1}=T^{2} $ 과 같다.</p> <p>$ v \in T_{p} M $ 에서 $ T_{p} M $ 의 접평면 $ T_{v}\left(T_{p} M\right) $ 은 평행이동에 의해 $ T_{p} M $ 과 동일하게 볼 수 있다. 따라서 $ \exp _{p} $ 의 미분사상은 \[ \left(\operatorname{dexp}_{p}\right)_{v}: T_{p} M \rightarrow T_{\exp _{p}(v)} M \] 으로 주어지는 선형사상이다. 특히, $ v=0 \in B_{e}(0) $ 일 때, \[ \left(d \exp _{p}\right)_{v}: T_{p} M \rightarrow T_{p} M \] 은 항등사상이다. 실제로, $ w \in T_{p} M=T_{0}\left(T_{P} M\right) $ 에 대하여 $ \gamma(t)=t w $ 라 하면 $ \gamma $ 는 $ T_{p} M=\mathbb{R}^{2} $ 에서 측지선이고 $ \gamma(0)=0, \gamma^{\prime}(0)=w $ 이다. \[ \exp _{p} \circ \gamma(t)=\exp _{p}(t w) \] 이므로 \[ \left(d \exp _{p}\right)_{0}(w)=\left.\frac{d}{d t}\left(\exp _{p} \circ \gamma(t)\right)\right\|_{t=0}=\left.\frac{d}{d t}\left(\exp _{p}(t w)\right)\right\|_{t=0}=w \] 따라서 역함수의 정리에 의해 $ \exp _{p} $ 는 국소적 미분동형사상이다. 그러므로 $ \epsilon>0 $ 이 충분히 작으면 \[ \exp _{p}: B_{\epsilon}(0) \subset T_{p} M \rightarrow \exp _{p}\left(B_{\epsilon}(0)\right) \subset M \] 은 미분동형사상이므로 $ \exp _{p} $ 는 점 $ p $ 근방에서 $ M $ 의 좌표함수가 된다. $ \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right\} $ 가 $ T_{p} M $ 의 정규직교기저이면 임의의 접벡터 $ v \in T_{p} M $ 에 대하여 $ v=x_{1} e_{1}+x_{2} e_{2} $ 를 만족시키는 실수 $ x_{1}, x_{2} $ 가 존재한다. 즉, \[ \exp _{p}(v)=\exp _{p}\left(\sum_{i=1}^{2} x_{i} e_{i}\right) \] 는 좌표함수가 되고 $ \exp _{p}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 이다. 이 좌표함수를 점 $ p $ 에서 정규좌표함수 (normal coordinates)라고 한다. $ \gamma_{i}(t)=t e_{i} $ 는 접평면 $ T_{p} M $ 에서 원점 ( $ p $ 에 대응)을 지나는 직선이므로 측지선이다, 따라서 $ \exp _{p} \circ \gamma_{i}(t) $ 는 $ M $ 의 측지선이고 \[ \frac{\partial}{\partial x_{i}}=d \exp _{p}\left(\boldsymbol{e}_{i}\right)=\frac{d}{d t}\left(\exp _{p} \circ \gamma_{i}(t)\right) \]</p> <p>이므로 특히, 점 $ p $ 에서<caption>(8.7.10)</caption>\[ \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{i}}=0 \] 그러므로 점 $ p $ 근방의 (국소적) 벡터장 $ X $ 에 대하여<caption>(8.7.11)</caption>\[ \left(\nabla_{x} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\right)(p)=0 \] 또, 식 (8.7.10) 또는 (8.7.11)에 의해 크리스토펠 기호가 $ \Gamma_{j k}^{i}(p)=0 $ 이므로 정규좌표함 수는 리만곡면의 곡률텐서나 수면곡률을 계산하는데 있어서 계산과정을 매우 간단하 고 쉽게 만들어 주는 유용한 좌표함수이다.</p> <p>좌표함수 $ ( \mathrm { x } , U) $ 에 대하여 $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 로 나타낼 때, 성분함수 $ x_ { 1 }$ , $x_ { 2 } $ 의 편도함수는 \[ \frac {\partial x_ { i } } {\partial x_ { j } } (p)= \delta_ { i j } = \left \{\begin {array} { ll } 1 & i=j \\ 0 & i \neq j \end {array} \right . \] 로 주어진다. 정의 8.1.10에서 보듯이 함수 $ f: M \rightarrow \mathbb { R } $ 의 편도함수는 좌표함수 $ ( \mathbf { x } , U) $ 가 주어질 때마다 결정된다. 따라서 $ M $ 의 다른 좌표함수 $ ( \mathbf { y } , V) $, $ \mathbf { x } (U) \cap \mathbf { y } (V) \neq \varnothing $ 에 대한 편도함수를 생각할 수 있는데 연쇄법칙을 이용하면 이 두 좌표함수와 $ f $ 의 편도합수에 대한 관계식을 알 수 있다.</p> <p>식 (8.1.1)로부터 좌표함수의 편미분 연산자 $ \frac {\partial } {\partial x_ { i } } , \frac {\partial } {\partial y_ { i } } $ 에 대하여 \[ \frac {\partial } {\partial y_ { i } } = \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \] 로 나타낼 수 있다.</p> <p>유클리드 공간이나 정칙곡면에서 접벡터와 접공간 및 접평면에 관한 개념을 다루었듯이 추상곡면에서도 같은 개념을 정의할 수 있다. $ M $ 이 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 정칙곡면일 때 점 $ p \in M $ 에서의 접벡터는 $ M $ 으로 사상되는 곡선의 도함수(속도벡터)로 주어지는 벡터를 나타낸다. 그러나 $ M $ 이 추상곡면이 경우에는 이러한 접벡터의 개념이 모호해진다. 즉, 곡선 $ \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 이 미분가능할 때 도함수를 나타내는 기호 $ \alpha ^ {\prime } (0) $ 의 의미가 애매모호해진다. 이러한 문제를 해결할 수 있는 한 가지 방법은 곡선의 도함수를 함수 공간에서 정의되는 선형사상으로 이해하는 것이다.</p> <p>다음에는 $ \alpha^{\prime}(0)(f) $ 가 좌표함수의 선택에 무관하다는 사실을 보이자. 즉, 정의 8.1.14 는 좌표함수와 관계없이 잘 정의되는 기하학적 개념이다. $ \mathrm{y}: V \rightarrow M $ 이 점 $ p $ 근방의 다른 좌표함수로 $ \alpha(-\epsilon, \epsilon) \subset \mathrm{y}(V) $ 라고 하자. $ \mathrm{y}^{-1}=\left(y_{1}, y_{2}\right) $ 로 놓으면 정리 8.1.12 에 의해<caption>(8.1.8)</caption>\[ \frac{\partial f}{\partial y_{1}}=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} \]<caption>(8.1.9)</caption>\[ \frac{\partial f}{\partial y_{2}}=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} \] $ \alpha^{\prime}(0)(f) $ 를 좌표함수 $ y $ 로 나타태면 식 (8.1.7)에 의해<caption>(8.1.10)</caption>\[ (f \circ \alpha)^{\prime}(0)=\frac{\partial f}{\partial y_{1}}(p) y_{1}^{\prime}(0)+\frac{\partial f}{\partial y_{2}}(p) y_{2}^{\prime}(0) \]</p> <p>한편 $ \mathrm{x}^{-1} \circ \mathrm{y}\left(y_{1}, y_{2}\right)=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 이므로 \[ \left(x_{1}(t), x_{2}(t)\right)=\mathbf{x}^{-1} \circ \mathbf{y}\left(y_{1}(t), y_{2}(t)\right) \] 따라서 연쇄법칙에 의해<caption>(8.1.11)</caption>\[ \left(\begin{array}{l}x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}y_{1}^{\prime}(0) \\ y_{2}^{\prime}(0)\end{array}\right) \]</p> <p>식 (8.1 .11)을 식 (8.1.7)에 대입하고 식 (8.1.8)과 (8.1.9)를 이용하면 \[ \frac{\partial f}{\partial x_{1}}(p) x_{1}^{\prime}(0)+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(p) x_{2}^{\prime}(0) \] \[ \quad=\frac{\partial f}{\partial x_{1}}(p)\left(\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} y_{1}^{\prime}(0)+\frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} y_{2}^{\prime}(0)\right)+\frac{\partial f}{\partial x_{2}}(p)\left(\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} y_{1}^{\prime}(0)+\frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} y_{2}^{\prime}(0)\right) \] \[ \quad=\frac{\partial f}{\partial y_{1}}(p) y_{1}^{\prime}(0)+\frac{\partial f}{\partial y_{2}}(p) y_{2}^{\prime}(0) \]</p> <p>2 차원 미분다양체 $ M $ 의 점 $ p $ 를 지나는 모든 곡선에 대한 접벡터의 집합을 접평면 이라 하고. $ T_{p} M $ 으로 나타낸다. $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 이 미분가능한 곡선이고 $ \alpha^{\prime}(0) \in T_{p} M $ 이면 $ \alpha^{\prime}(t) $ 는 점 $ \alpha(t) $ 에서의 접벱터이다. 즉, $ \alpha^{\prime}(t) \in T_{a(t)} M $ 이다. 실제로, $ \bar{\alpha}(s)=\alpha(t+s) $ 로 정의하면 $ \bar{\alpha}(0)=\alpha(t) $ 이고 $ \bar{\alpha}^{\prime}(0)=\alpha^{\prime}(t) $ 이다.</p> <p>접평면 $ T_{P} M $ 에 덧셈과 실수곱을 다음과 같이 정의하자. $ \alpha, \beta:(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 이 $ \alpha(0)=\beta(0)=p $ 인 곡선이고 $ \mathrm{x}: U \rightarrow M $ 이 $ a(-\epsilon, \epsilon) \cup \beta(-\epsilon, \epsilon) \subset \mathrm{x}(U) $ 인 점 $ p $ 의 좌표함수라고. 하자. 이 때 $ \gamma:(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow M $을 \[ \gamma(t)=\mathbf{x}\left(t\left(\left(\mathbf{x}^{-1} \cdot \alpha\right)^{\prime}(0)+\left(\mathbf{x}^{-1} \circ \beta\right)^{\prime}(0)\right)+\mathbf{x}^{-1}(p)\right) \] 로 정의하면 $ \gamma(0)=p $ 이고 \[ \left(\mathrm{x}^{-1} \circ \gamma\right)^{\prime}(0)=\left(\mathrm{x}^{-1} \circ \alpha\right)^{\prime}(0)+\left(\mathrm{x}^{-1} \circ \beta\right)^{\prime}(0) \] 가 성립한다. 따라서 두 접벡터 $ \alpha^{\prime}(0) $ 와 $ \beta^{\prime}(0) $ 의 합을 \[ \alpha^{\prime}(0)+\beta^{\prime}(0)=\gamma^{\prime}(0) \] 로 정의한다. 또 $ \delta(t)=\left(a t\left(\mathrm{x}^{-1} \circ \alpha\right)^{\prime}(0)+\mathrm{x}^{-1}(p)\right) $ 로 정의할 때, 실수곱 $ a \alpha^{\prime}(0) $ 을 \[ a \alpha^{\prime}(0)=\delta^{\prime}(0) \] 로 정의한다. 접벡터의 정의가 좌표함수의 선택에 무퐌하다는 사실로부터 위의 덧셈 과 실수곱은 잘 정의된 개념이고, 이 연산에 대하여 접평면 $ T_{P} M $ 은 벡터공간을 이룬다.</p> <p>다음에서 텐서와 텐서곱에 대하여 알아보자.</p> <p>두 $ k $-다중선형변환 $ T, S $ 의 합 $ T+S $ 와 스칼라곱 $ a T $ 를 자명한 방법으로 정의하 면 $ k $-다중선형변환 전체의 집합은 벡터공간이 된다. 특히, $ V_{1}=\cdots=V_{k}=V $ 일 때, $ k $-다중선형변화 전체의 집합을 $ \Lambda^{k}(V) $ 로 나타내고 그것의 원소를 $ k $-텐서라고 한 다. 정의에 의해 $ \Lambda^{1}(V)=V^{} $ 임을 쉽게 알 수 있다. $ f: V \rightarrow W $ 가 선형변화일 때, $ f^{}: \Lambda^{k}(W) \rightarrow \Lambda^{k}(V) $ 를 \[ f^{} T\left(v_{1}, \cdots, v_{k}\right)=T\left(f\left(v_{1}\right), \cdots, f\left(v_{k}\right)\right), T \in \Lambda^{k}(W), v_{i} \in V \] 로 정의한다.</p> <p>일반적으로 두 텐서 $ S, T $ 에 대하여 $ T \otimes S $ 와 $ S \otimes T $ 는 같지 않다. 그러나 텐서에 대하여 \[ (S \otimes T) \otimes U=S \otimes(T \otimes U) \] 와 \[ \left(S_{1}+S_{2}\right) \otimes T=S_{1} \otimes T+S_{2} \otimes T \] 가 성립함을 쉽게 보일 수 있다.</p> <p>한편, $ v_{1}, \cdots, v_{n} $ 이 $ V $ 의 기저이고 $ v_{1}{ }^{}, \cdots, v_{n}{ }^{} $ 을 그것의 쌍대원소라 하면 \[ \left\{v_{i_{1}}{ }^{} \otimes \cdots \otimes v_{i_{k}}{ }^{} \mid 1 \leq i_{1}, \cdots, i_{k} \leq n\right\} \] 은 $ \Lambda^{k}(V) $ 의 기저이다(연습문제 2$ ) $. 따라서 벡터공간 $ V $ 의 차원이 $ n $ 일 때 $ \Lambda^{k}(V) $ 의 차 원은 $ n^{k} $ 이다.</p> <p>벡터공간의 쌍대개념을 미분다양체의 접평면에 적용하여 보자. $ (\mathbf{x}, U), \mathbf{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 가 2 차원 미분다양체 $ M $ 의 좌표함수이면 $ d x_{1}(p), d x_{2}(p) $ 는 $ T_{p} M^{} $ 의 기저이므로 $ k $-텐서곱 \[ d x_{i_{1}}(p) \otimes \cdots \otimes d x_{i_{k}}(p) \in \Lambda^{k}\left(T_{p} M\right), 1 \leq i_{1}, \cdots, i_{k} \leq 2 \] 은 $ \Lambda^{k}\left(T_{p} M\right) $ 의 기저이다. 각 점 $ p \in M $ 에 대하여 $ \Lambda^{k}\left(T_{p} M\right) $ 의 원소를 대응시키는 사 상을 $ M $ 의 $ k $-텐서라고 한다. 따라서 $ (\mathbf{x}, U), \mathbf{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 가 $ M $ 의 좌표함수이고 $ A $ 가 $ M $ 의 $ k $-텐서이면 $ U $ 에서 정의된 (국소적) 함수 $ A_{i_{1} \cdots i_{k}} $ 가 유일하게 존재하여<caption>(8.2.2)</caption>\[ \ A(p)=\sum_{1 \leq i_{1}, \cdots, i_{k} \leq 2} A_{i_{1} \cdots i_{k}}(p) d x_{i_{1}}(p) \otimes \cdots \otimes d x_{i_{k}}(p), p \in U \] 로 나타낼 수 있다. 식 (8.2.2)를 간단히 \[ A=\sum_{1 \leq i_{1}, \cdots, i_{k} \leq 2} A_{i_{1} \cdots i_{k}} d x_{i_{1}} \otimes \cdots \otimes d x_{i_{k}} \] 로 나타낸다. 이 때 함수 $ A_{i_{1} \cdots i_{k}} $ 가 미분가능하면 $ A $ 를 미분가능한 텐서라고 한다. 앞 으로 텐서를 이야기할 때에는 미분가능하다는 것을 가정하기로 한다.</p> <p>가우스의 도움정리와 정규좌표함수를 이용하면 수면곡률의 기하학적 의미를 알 수 있다. 리만곡면 $ M $ 의 점 $ p \in M $ 에서 $ \exp _{p}: B_{\epsilon}(0) \subset T_{p} M \rightarrow B_{\varepsilon}(p) \subset M $ 을 미분동형 사상이라고 하자. $ T_{p} M $ 의 정규직교기저 $ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\} $ 를 택하고 $ (r, \theta) $ 를 이 기저에 대한 극좌표라고 하자. 그리고 각 $ \theta $ 에 대하여 $ v(\theta)=\cos \theta \mathbf{e}_{1}+\sin \theta \mathbf{e}_{2} $ 라 할 때 함수 $ \mathbf{x} $ 을<caption>(8.7.20)</caption>\[ \mathbf{x}(r, \theta)=\exp _{p}(r v(\theta)) \] 로 정의하자. 이 좌표함수에 의해 얻어지는 $ M $ 의 리만계량은 \[ g=\left\langle\mathbf{x}_{r}, \mathbf{x}_{r}\right\rangle d r \otimes d r+\left\langle\mathbf{x}_{r}, \mathbf{x}_{\theta}\right\rangle d r \otimes d \theta+\left\langle\mathbf{x}_{r}, \mathbf{x}_{\theta}\right\rangle d r \otimes d \theta+\left\langle\mathbf{x}_{\theta}, \mathbf{x}_{\theta}\right\rangle d \theta \otimes d \theta \] 이고 가우스의 도움정리에 의해<caption>(8.7.21)</caption>\[ E=\left\langle\mathbf{x}_{r}, \mathbf{x}_{r}\right\rangle=1, F=\left\langle\mathbf{x}_{r}, \mathbf{x}_{\theta}\right\rangle=0, G=\left\langle\mathbf{x}_{\theta}, \mathbf{x}_{\theta}\right\rangle \] 따라서 식 (8.5.15)로부터 다음 식<caption>(8.7.22)</caption>\[ (\sqrt{G})_{r r}+K \sqrt{G}=0 \] 을 얻는다. 이 식을 야코비 방정식(Jacobi equation)이라고 한다. 더욱이 $ G $ 에 대하여 다음 식<caption>(8.7.23)</caption>\[ \lim _{r \rightarrow 0} \sqrt{G}(r, \theta)=0, \lim _{r \rightarrow 0} \frac{\partial \sqrt{G}}{\partial r}(r, \theta)=1 \] 이 성립함을 증명할 수 있다. 실제로, $ r $ 를 고정하고 곡선 \[ \alpha: \theta \rightarrow \mathbf{x}(r, \theta)=\exp _{p}(r v(\theta)) \] 을 생각하자. $ \alpha $ 는 $ T_{p} M $ 에서 중심이 원점( $ p $ 에 대응)이고 반지름의 길이가 $ r $ 인 원 \[ c_{r}(\theta)=r \cos \theta \mathbf{e}_{1}+r \sin \theta \mathbf{e}_{2} \] 를 지수사상 $ \exp _{p} $ 에 대입한 값이다. 즉, \[ \alpha(\theta)=\mathbf{x}(r, \theta)=\exp _{p}\left(c_{r}(\theta)\right) \] 따라서 \[ \mathbf{x}_{\theta}(r, \theta)=\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right) \] 그러므로<caption>(8.7.24)</caption>\[ \begin{aligned} \sqrt{G}(r, \theta) &=\left\langle\mathbf{x}_{\theta}(r, \theta), \mathbf{x}_{\theta}(r, \theta)\right\rangle^{\frac{1}{2}} \\ &=\left\langle\left(\operatorname{dexp}_{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right),\left(\operatorname{dexp}_{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right)\right\rangle^{\frac{1}{2}} \end{aligned} \] 정의에 의해 \[ \lim _{r \rightarrow 0} c_{r}(\theta)=0 \]이고 $ \left(\operatorname{dexp}_{p}\right)_{0} $ 은 항등사상이므로<caption>(8.7.25)</caption>\[ \lim _{r \rightarrow 0} \sqrt{G}(r, \theta)=\lim _{r \rightarrow 0}\left\\|c_{r}^{\prime}(\theta)\right\\|=\lim _{r \rightarrow 0} r=0 \] 한편,<caption>(8.7.25)</caption>\[ \frac{\partial \sqrt{G}}{\partial r}=\frac{\frac{\partial G}{\partial r}}{2 \sqrt{G}} \] 이고 \[ \begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial r} &=\frac{\partial}{\partial r}\left\langle\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right),\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right)\right\rangle \\ &=2\left\langle\frac{\partial}{\partial r}\left[\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right)\right],\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}\left(c_{r}^{\prime}(\theta)\right)\right\rangle \\ &=2 r\left\langle\frac{\partial}{\partial r}\left[r\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}(w(\theta))\right],\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}(w(\theta))\right\rangle \\ &=2 r\left\langle\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}(w(\theta)),\left(d \exp _{p}\right)_{c_{r}(\theta)}(w(\theta))\right\rangle \end{aligned} \]</p> <p>여기서 $ w(\theta)=-\sin \theta \mathbf{e}_{1}+\cos \theta \mathbf{e}_{2} $ 이다. 따라서 이 식과 식 (8.7.25), (8.7.26)에 의해 \[ \lim _{r \rightarrow 0} \frac{\partial \sqrt{G}}{\partial r}=\lim _{r \rightarrow 0} \frac{G_{r}}{\sqrt{G}}=\\|w(\theta)\\|^{2}=1 \]</p> <p>식 (8.7.20)에 의해 주어지는 좌표함수를 측지선 극좌표함수(geodesic polar coordinates)라고 한다. 식 (8.7.24)로부터 다음과 같은 유용한 정리를 얻는다.</p> <p>정리 8.7.4에 의하면 점 $ p \in M $ 에 대하여 $ \exp _{p} $ 는 단지 매우 작은 원판 $ B_{\epsilon}(0) \subset T_{p} M $ 에서만 정의되는 사상이다. 그러나 많은 경우에 지수사상 $ \exp _{p} $ 는 $ T_{p} M $ 전체에서 정의될 수 있다. 그리고 이 경우 리만곡면 $ M $ 의 임의의 두 점 $ p, q $ 를 연결하 는 곡선 중에서 길이가 $ \rho(p, q) $ 와 같은 것이 항상 존재한다.</p> <p>리만곡면 $ M $ 이 측지완비곡면이라는 것은 $ M $ 의 임의의 측지선이 실수 전체로 항상 확장이 가능하다는 것을 의미한다.</p> <p>거리공간(metric space)에서 코시수열이 수렴할 때 주어진 거리공간을 완비공간이라고 한다. $ (M, g) $ 가 리만곡이면 임의의 두 점 $ p, q $ 에 대하여 \[ \rho(p, q)=\inf _{\alpha} L(\alpha) \] 로 주어지는 $ \rho $ 는 곡면 $ M $ 의 거리계량(metric)이 된다는 사실을 앞에서 보았다. 이 거리계량 $ \rho $ 를 가지고 $ M $ 이 완비공간이 되기 위한 필요 충분조건은 $ M $ 이 측지완비곡면인 것이다.</p> <p>벡터장의 정의는 국소적으로도 할 수 있다. $ V \subset M $ 을 개부분집합이라 할 때, $ V $ 의 각 점 $ p \in V $ 에 대하여 $ X(p) \in T_{p} M $ 올 대옹시키는 사상을 $ V $ 에셔의 벡터장이라고 한다. 때때로 벡터 $ X(p) $ 를 $ X(p)=X_{p} $ 로 나타내기도 한다.</p> <p>식 $ (8.1 .28) $ 로부터 벡터장 $ X $ 는 $ U $ 에서 \[ \mathrm{X}=\sum_{i=1}^{2} a_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \] 로 나타낼 수 있다.</p> <p>도움정리 8.1.19로부터 정의 8.1.20은 좌표함수의 선택에 관계없이 잘 정의되는 개 념임을 앝 수 있다. 실제로, 식 (8.1.32)에서 함수 $ a_{i} $ 가 미분가능하면 식 (8.1.29)의 $ b_{i} $ 도 미분가능하고 역도 성텁한다. $ X, Y $ 가 곡면 $ M $ 의 벡터장일 매 $ X+Y $ 는 \[ (X+Y)(p)=X(p)+Y(p) \] 로 정의하고 함수 $ f: M \rightarrow \mathbb{R} $ 에 대하여 $ f X $ 는 \[ f X(p)=f(p) X(p) \] 로 정의한다.</p> <p>2 차원 미분다양체 $ M $ 의 미분가능한 백터장 전체의 집합을 $ \Gamma(M) $ 으로 나타낸다. 앞 으로 2차원 미분다양체의 백터장은 모투 미분가능하다는 것을 가정한다.</p> <p>끝으로 2 차원 미분다양체에는 미분가능한 함수가 매우 많이 존재한다는 사실과 특별한 조건을 만족시키는 함수의 존재성 그리고 단위분할에 대하여 살펴보자.</p> <p>$ \xi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 를 \[ \xi(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-\frac{1}{z^{2}}} & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{array}\right. \] 로 정의하면 $ \xi $ 는 $ C^{\infty} $ 함수이고 모든 자연수 $ n $ 에 대하여 $ \xi^{(n)}(0)=0 $ 이다 $ ([20]) $.</p> <p>따라서 $ \eta: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 를 \[ \eta(x)=\left\{\begin{array}{cc} \xi(x-1) \cdot \xi(x+1) & x \in(-1,1) \\ 0 & \alpha \notin(-1,1) \end{array}\right. \] 로 정의하면 $ \eta $ 또한 $ C^{\infty} $ 합수이다. 비숫한 방법으로 $ \xi $ 를 이용하면 $ (0, \delta) $ 에서 양수이 고 $ \mathbb{R}-(0, \delta) $ 에서 0 인 $ C^{\infty} $ 합수 $ \eta_{\delta} $ 를 만들 수 있다 $ ( $ 그림 8.10). 실제로 \[ \eta_{\delta}(x)=\left\{\begin{array}{cc} \xi(x-\delta) \cdot \xi(x) & x \in(0, \delta) \\ 0 & x \in(0, \delta) \end{array}\right. \] 로 정의하면 된다.</p> <p>좌표함수를 도입하여 곡률텐서 $ R $ 를 국소적으로 나타내보자. $ (\mathrm{x}, U) $ 가 리만곡면 $ (M, g) $ 의 좌표함수로 $ \mathrm{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 라 하자. 이때<caption>(8.4.15)</caption>\[ R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \frac{\partial}{\partial x_{k}}=\sum_{l=1}^{2} R_{k i j}^{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}} \] 로 놓으면 리만계량 $ \left(g_{i j}\right) $ 의 역행렬 $ \left(g^{i j}\right) $ 을 이용하여 \[ R_{k i j}^{l}=\sum_{m=1}^{2} g^{l m}\left\langle R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \frac{\partial}{\partial x_{k}}, \frac{\partial}{\partial x_{m}}\right\rangle \] 임을 알 수 있다. $ R_{k i j}^{l} $ 을 크리스토펠 기호 $ \Gamma_{j k}^{i} $ 로 나타내어 보자. 좌표함수에 의해 얻어지는 벡터장에 대해서는 \[ \left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right]=0 \] 이 성립하므로 $ R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \frac{\partial}{\partial x_{i}}=\nabla \underset{\frac{\partial}{\partial x_{i}}}{ } \frac{\partial}{\frac{\partial}{\partial x_{j}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\nabla \underset{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}{ } \frac{\partial}{\frac{\partial}{\partial x_{i}}} \frac{\partial}{\partial x_{k}} $ $ =\nabla \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\sum_{l=1}^{2} \Gamma_{j k}^{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\right)-\nabla \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\sum_{l=1}^{2} \Gamma_{j k}^{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\right) $ $ =\sum_{l=1}^{2}\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\Gamma_{j k}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}+\Gamma_{j k}^{l} \nabla \frac{\partial}{\partial x_{i}} \frac{\partial}{\partial x_{l}}\right]-\sum_{l=1}^{2}\left[\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\Gamma_{j k}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}+\Gamma_{i k}^{l} \nabla_{\frac{\partial}{\partial x_{j}}}^{\partial x_{l}}\right] $ $ =\sum_{l=1}^{2} \Gamma_{j k}^{l} \sum_{m=1}^{2} \Gamma_{i l}^{m} \frac{\partial}{\partial x_{m}}-\sum_{l=1}^{2} \Gamma_{i k}^{l} \sum_{m=1}^{2} \Gamma_{j l}^{m} \frac{\partial}{\partial x_{m}}+\sum_{l=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\Gamma_{j k}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}-\sum_{l=1}^{2} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\Gamma_{i k}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}} $ $ =\sum_{l=1}^{2}\left(\sum_{m=1}^{2} \Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}-\sum_{l=1}^{2}\left(\sum_{m=1}^{2} \Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right) \frac{\partial}{\partial x_{l}}+\sum_{l=1}^{2}\left[\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\Gamma_{j k}^{l}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\Gamma_{i k}^{l}\right)\right] \frac{\partial}{\partial x_{l}} $<p>이 식과 식 (8.4 .15) 를 비교해보면<caption>(8.4.16)</caption>\[ R_{k i j}^{l}=\sum_{m=1}^{2}\left(\Gamma_{j k}^{m} \Gamma_{i m}^{l}-\Gamma_{i k}^{m} \Gamma_{j m}^{l}\right)+\frac{\partial}{\partial x_{i}}\left(\Gamma_{j k}^{l}\right)-\frac{\partial}{\partial x_{j}}\left(\Gamma_{i k}^{l}\right) \] 곡률텐서 $ R $ 를 $ (4,0) $-텐서로 이해했을 때<caption>(8.4.17)</caption>\[ \left\langle R\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}, \frac{\partial}{\partial x_{j}}\right) \frac{\partial}{\partial x_{k}}, \frac{\partial}{\partial x_{m}}\right\rangle=\left\langle\sum_{l=1}^{2} R_{k i j}^{l} \frac{\partial}{\partial x_{l}}, \frac{\partial}{\partial x_{m}}\right\rangle \]<caption>(8.4.18)</caption>\[ =\sum_{l=1}^{2} R_{k i j}^{l} g_{l m}=: R_{k i j m} \] 으라 놓으면 정리 8.4.8은 다음과 같이 나타낼 수 있다. (1) $ R_{k i j l}=-R_{k j i l}=R_{l j i k} $ (2)' $ R_{k i j l}+R_{i j k l}+R_{j k i l}=0 $ (3)' $ R_{k i j l}=R_{i k l j} $</p> <p>리만곡률텐서는 국소적 벡터장에 대해서 정의되는 연산자이므로 수면곡률은 국소 적으로도 정의 할 수 있다. 다음 정리에 의하면 수면곡률 $ K $ 는 벡터장 $ X, Y $ 의 선택 과 무관하다.</p> <p>수면곡률 $ K $ 는 리만곡면 $ M $ 에서 정의된 미분가능한 함수이다. 특히, $ X, Y $ 가 일차 독립이면서 각 접평면에서 정규직교이면 수면곡률 $ K $ 는 \[ K=\langle R(X, Y) Y, X\rangle \] 로 주어진다.</p> <p>좌표함수를 도입하여 수면곡률을 국소적으로 나타내 보자. $ (\mathbf{x}, U), \mathbf{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 가 $ M $ 의 좌표함수이면 $ \frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}} $ 는 일차독립인 벡터장이므로 $ \mathbf{x}(U) \subset M $ 에서 수면곡률은 \[ K=\frac{R_{1212}}{g_{11} g_{22}-g_{12}^{2}} \] 으로 주어진다.</p> <h2>8.3 리만계량</h2> <p>유한차원 벡터공간의 내적과 앞절에서 배운 텐서를 이용하면 미분다양체의 접평면에서 정의되는 내적인 리만계량(Riemammian metric)을 정의할 수 있다.</p> <p>텐서의 정의에 의해 벡터공간 $ V $ 의 내적 $ g = \langle $, $ \rangle 는 \Lambda ^ { 2 } (V) $ 의 원소이다. 즉 $ g $ 는 2-텐서 또는 $ (2,0) $-텐서이다. 또, $ f: W \rightarrow V $ 가 두 벡터공간 사이에서 정의된 선형동형사상이면 $ \left .f ^ { * } g=f ^ { * }<, \right \rangle $ 는 $ W $ 의 내적이 된다. 즉, $ f ^ { * } g \in \Lambda ^ { 2 } (W) $ 이다. $ f $ 가 동형사상이 아니면 일반적으로 $ f ^ { * } g $ 는 내적이 되지 않는다.</p> <p>$ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \text { 이 } V $ 의 기저이고 $ v_ { 1 } ^ { * } , \cdots, v_ { n } ^ { * } $이 쌍대기저이면 $ v_ { i } ^ { * } \otimes v_ { j } ^ { * } \text { 는 } \Lambda ^ { 2 } (V) $ 의 기저이므로 임의의 내적 $ g= \langle $, $ \rangle 은 $<caption>(8.3.1)</caption>\[ g= \langle, \rangle= \sum_ { i, j=1 } ^ { n } g_ { i j } v_ { i } ^ { * } \otimes v_ { j } ^ { * } \] 로 나타낼 수 있다. 여기서 $ g_ { i j } = \left \langle v_ { i } , v_ { j } \right \rangle $ 이다. 그리고 내적의 대칭성 $ \langle v, w \rangle= \langle w, v \rangle $ 으로부터 \[ g_ { i j } =g_ { j i } \] 가 성립한다.</p> <p>$ g= \langle $, $ \rangle $ 가 벡터공간 $ V $ 의 내적일 때, 임의의 벡터 $ v $ 에 대하여 $ \\|v \\| $ 를 \[ \\|v \\|= \langle v, v \rangle ^ {\frac { 1 } { 2 } } \] 으로 정의하고 이를 벡터 $ v $ 의 크기(norm)라고 한다. 다음은 $ \\| \\| $ 의 기본적인 성질을 나타낸 것이다.</p> <p>$ X, Y \in \Gamma(M) $ 에 대하여 $ \nabla_ { X } Y \in \Gamma(M) $ 을<caption>(8.4.2)</caption>\[ \left ( \nabla_ { X } Y \right )(p)= \left ( \nabla_ { X } Y \right )_ { p } = \nabla_ { X(p) } Y \] 로 정의하면 $ \nabla_ { X } Y $ 는 정의 8.4.1의 조건을 모두 만족시키는 $ M $ 의 접속이 된다.</p> <p>식 (8.4.7)을 코줄공식(Koszul formula)이라고 한다. 코줄공식은 리만곡면 $ (M, g) $ 에서 레비-치비타 접속 $ \nabla $ 가 어떠한 형태인지 알지 못해도 $ \nabla_ { X } Y $ 를 계산할 수 있는 방법을 제공해 준다.</p> <p>식 (8.4.1) 또는 (8.4.2)에서 정의한 $ \nabla $ 는 식 (8.4.3)을 만족시키므로 리만곡면 $ (M, g) $의 레비-치비타 접속에 대한 방향도함수는 식 (8.4.1) 또는 식 (8.4.2)로 주어진다.</p> <p>레비-치비타 접속 $ \nabla_ { X } Y $ 가 $ X $ 와 $ Y $ 에 의해 어떻게 결정되는지 알아보자. 정의 8.4.1의 첫 번째 성질에 의해 각 점 $ p \in M $ 에서 $ \left ( \nabla_ { X } Y \right )(p) $ 는 $ X(p) $ 에 의존하지만 두 번째 성질에 의헤 $ \nabla_ { X } Y $ 는 $ Y(p) $ 에만 의존하지는 않는다. 다음 두 도움정리에 의하면 $ \nabla_ { X } Y $ 는 $ X(p) $ 와 $ \alpha(0) = p, \alpha ^ {\prime } (0)=X(p) $ 을 만족시키는 곡선 $ \alpha $ 에 대한 $ Y $ 의 값인 $ Y \circ \alpha $ 에 의해 결정된다.</p> <p>다음 정리는 좌표함수를 이용하여 레비-치비타 접속 $ \nabla_ { X } Y $ 을 국소적으로 나타낸 식이다.</p> <p>식 (8.4.9)에 있는 함수 $ \Gamma_ { i j } ^ { k } $ 를 크리스토펠 기호(Christoffel symbol)라고 한다.</p> <p>정의에 의해<caption>(8.4.14)</caption>\[ R(X, Y) Z=-R(Y, X) Z \] 가 성립한다. 또, 함수 $ f \in C ^ {\infty } (M) $ 에 대하여 \[ R(f X, Y) Z=R(X, f Y) Z=R(X, Y)(f Z)=f R(X, Y) Z \] 이 성립함을 알 수 있다. 따라서 곡률텐서 $ R $ 는 $ (3,1) $-텐서임을 알 수 있다. 한편, 리만 계량 $ g= \langle $, $ \rangle $를 이용하여 곡률텐서 R 를 다음과 같이<caption>(8.4.14)</caption>\[ R(X, Y, Z, W)= \langle R(X, Y) Z, W \rangle \] 정의하면 $ R $ 를 (4.0)-텐서로 이해할 수도 있다. 리만곡면의 곡률텐서 $ R $ 는 다음 성질을 만족시킨다.</p> <p>정리 8.7.6에 의해 식 (8.7.13)으로 정의된 $ \rho $ 는 $ M $ 의 거리계량(metric)이다. 더욱이 $ \rho $ 는 $ M $ 의 원래의 위상과 동치인 위상을 제공한다는 것이 알려져 있다.</p> <p>임의의 두 점 $ p, q \in M $ 에 대하여 $ p $ 와 $ q $ 를 연결하는 곡선 중에서 $ L(\alpha)=\rho(p, q) $ 를 만족시키는 곡선의 존재성에 대하여 알아보자. $ \alpha:[a, b] \rightarrow M $ 가 $ \alpha(a)=p $, $ \alpha(b)=q $ 인 정칙곡선이라고 하자. 즉, $ \alpha $ 는 미분가능하고 각점 $ a \leq t \leq b $ 에 대헤 $ \alpha^{\prime}(t) \neq 0 $ 이라고 하자. 그러면 호길이함수 \[ s(t)=\int_{a}^{t}\left\\|\alpha^{\prime}(u)\right\\| d u \] 를 이용하여 $ \alpha $ 가 단위속력을 갖는 곡선이라고 가정해도 된다. \[ h:[a, b] \times(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow M,(t, s) \rightarrow h(t, s)=h_{s}(t) \] 가 미분가능 한 사상으로 $ h_{0}(t)=h(t, 0)=\alpha(t) $ 라고 하자. 이러한 조건을 만족시키 는 사상 $ h(t, s) $ 를 곡선 $ \alpha $ 의 미분가능한 변분(variation)이라고 한다. 곡선 $ h(t, s) $ 의 $ s $ 에 대한 길이의 변화율을 구하여 보자.</p> <p>\[ T=d h\left(\frac{\partial}{\partial t}\right), V=d h\left(\frac{\partial}{\partial s}\right) \] 로 놓으면<caption>(8.7.14)</caption>$ \begin{aligned} \frac{d}{d s} L\left(h_{s}\right) &=\frac{d}{d s} \int_{a}^{b}\left\langle h_{s}^{\prime}(t), h_{s}^{\prime}(t)\right\rangle^{\frac{1}{2}} d t=\int_{a}^{b} V\langle T, T\rangle^{\frac{1}{2}} d t \\ &=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\langle T, T\rangle^{-\frac{1}{2}} V\langle T, T\rangle d t \\ &=\int_{a}^{b}\langle T, T\rangle^{-\frac{1}{2}}\langle\nabla v T, T\rangle d t \end{aligned} $ 한편, \[ [T, V]=d h_{s}\left[\frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial s}\right]=0 \] 이므로 \[ \nabla_{V} T=\nabla_{T} V+[T, V]=\nabla_{T} V \] 따라서 식 (8.7.14)는<caption>(8.7.15)</caption>\[ \frac{d}{d s} L\left(h_{s}\right)=\int_{a}^{b}\langle T, T\rangle^{-\frac{1}{2}}\left\langle\nabla_{T} V, T\right\rangle d t \] $ \left\\|\alpha^{\prime}(t)\right\\|=1 $ 이므로<caption>(8.7.16)</caption>\[ \frac{d}{d s} L\left(h_{s}\right)=\int_{a}^{b}\left\langle\nabla_{T} V, T\right\rangle d t \] \[ =\int_{a}^{b}\left(T\langle V, T\rangle-\left\langle V, \nabla_{T} T\right\rangle\right) d t \] \[ =[\langle V, T\rangle]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}\left\langle V, \nabla_{T} T\right\rangle d t \]</p> <p>식 (8.7.16)을 제1변분공식(first variational formula)이라고 한다. $ \alpha $ 가 미분가능한 곡선이고 $ h(t, s)=h(t) $ 가 $ \alpha $ 의 조각별 미분가능한 변분인 경우에도 식 (8.7.16)은 여전히 성립한다. $ h_{s} $ 가 양 끝점 $ a, b $ 에서 모두 같은 값은 갖는 변분이라면 $ V(a, 0)= $ 이므 $ V(b, 0)=0 $ 로<caption>(8.7.17)</caption>\[ \left.\frac{d}{d s} L\left(h_{s}\right)\right\|_{s=0}=\int_{a}^{b}\left\langle V, \nabla_{\mathrm{T}} T\right\rangle d t \] $ \alpha $가 점 $ p $ 와 $ q $ 를 연결하는 곡선 중에서 길이가 가장 짧은 곡선이면 임의의 변분 $ h(t, s) $ 에 대하여 \[ \left.\frac{d}{d s} L\left(h_{s}\right)\right\|_{s=0}=0 \] 을 만족시킨다. 따라서 $ V=\varphi(t) \nabla_{T} T $ (단, $ \varphi(t)>0 $ )을 만족시키는 변분을 택하면 식 (8.7.17)로부터 \[ \nabla_{T} T=\nabla_{\alpha^{\prime}(t)} \alpha^{\prime}(t)=0 \] 이어야만 한다. 즉, $ \alpha $ 는 측지선이다.</p> <p>$ (M, g) $ 가 리만곡면이고 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t) = \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) $ 일 때 식 (8.7.1)을 만족시키는 $ \alpha $ 의 벡터장 $ X $ 에 대하여 $ \frac { D } { d t } X= \frac { D X } { d t } $ 를<caption>(8.7.2)</caption>\[ \frac { D } { d t } X(t)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } \left (a_ { i } ^ {\prime } (t) + \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } \Gamma_ { j k } ^ { i } x_ { j } ^ {\prime } (t) a_ { k } (t) \right ) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } \] 로 정의한다. 식 (8.7.2)의 우변에 있는 두 번째 항을 살펴보면 $ \left . \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } $ 를 벡터장 $ \frac {\partial } {\partial x_ { i } } $ 와 곡선 $ \alpha $ 를 합성한 것으로 이해하여, 연쇄법칙을 적용하여 $ t $ 로 미분한 값으로 생각할 수 있다. 즉, \[ \begin {aligned} \frac { D } { d t } \left ( \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \mid a(t) \right ) &=x_ { 1 } ^ {\prime } (t) \nabla \frac {\partial } {\partial x_ { 1 } } \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \left \|a(t) + x_ { 2 } ^ {\prime } (t) \nabla \frac {\partial } {\partial x_ { 2 } } \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \| a(t) \\ &= \left . \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } x_ { j ^ {\prime } (t) } \Gamma_ { j i } ^ { k } ( \alpha(t)) \frac {\partial } {\partial x_ { k } } \right \|_ { a(t) } \end {aligned} \]</p> <p>곡면에서 정의된 실수값을 가지는 함수나 곡면 사이에서 정의된 사상의 미분가능성을 좌표함수를 도입하여 정의하기 때문에 다른 좌표함수를 가지고 정의하였을 때와의 차이점을 생각하여야만 한다. 그러나 다음 도움정리에 의하면 곡면에서 정의된 함수의 미분가능성은 좌표함수의 선택에 무관하게 잘 정의된 개념이다.</p> <p>함수 $ g: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } $ 에 대하여 점 $ p = \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } \right ) $ 에서의 편도함수는 \[ D_ { 1 } g(p)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g \left (p_ { 1 } + h, p_ { 2 } \right )-g(p) } { h } \] \[ D_ { 2 } g(p)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { g \left (p_ { 1 } , p_ { 2 } + k \right )-g(p) } { k } \] 로 정의되는 함수이다.</p> <p>실수의 개구간에서 $ M $ 으로 사상되는 함수 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 을 곡선이라고 한다. 또 $ a(a, b) \subset \mathbf { x } (U) $ 를 만족시키는 좌표함수 $ ( \mathbf { x } , U) $ 에 대하여 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \cdot \alpha:(a, b) \rightarrow $ $ U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이 미분가능할 때 곡선 $ a $ 가 미분가능한 곡선이라고 한다. 일반적으로 $ M $ 의 좌표함수 $ ( \mathbf { x } , U) $ 에 대하여 $ \alpha(a, b) \cap \mathbf { x } (U) \neq \varnothing $ 일 때, $ a(c, d) \subset \mathbf { x } (U) $ 를 만족시키는 임의의 $ (c, d) \subset(a, b) $ 에서 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha:(c, d) \rightarrow U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이 미분가능할 때 $ \alpha $ 를 미분가능한 곡선이라고 한다. $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 의 성분을 $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 로 나타내면 $ \mathrm { x } ^ { -1 } $ 。 $ \alpha(t)= $ $ \left (x_ { 1 } \circ \alpha(t), x_ { 2 } \circ \alpha(t) \right ) $ 이고 성분함수 $ x_ { 1 } \circ \alpha(t), x_ { 2 } \circ \alpha(t) $ 가 미분가능할 때 $ \alpha $ 가 미분가능하다고 말할 수 있다. 앞으로 $ \mathbf { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 일 때, $ \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t)= $ $ \left (x_ { 1 } \circ \alpha(t), x_ { 2 } \circ \alpha(t) \right ) $ 를 간단히 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) $ 로 나타내기로 한다. 앞으로 곡선은 항상 미분가능한 곡선을 나타내기로 한다.</p> <p>식 (8.3.2)를 만족시키는 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 를 정규직교기저라고 한다. 임의의 기저로부터 정규직교기저를 구하는 방법을 그램-슈밋트(Gram-Schmit) 직교화라고 한다.</p> <p>$ ( \mathrm { x } , U) $ 가 $ M $ 의 좌표함수이고 $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 라 하면 식 (8.3.1)에 의해 리만계량 $ g $ 는 $ U $ 에서 \[ g= \langle, \rangle= \sum_ { i j=1 } ^ { 2 } g_ { i j } d x_ { i } \otimes d x_ { j } \] 로 나타낼 수 있다. 여기서 $ g_ { i j } $ 는 각 점 $ p \in U $ 에서 \[ g_ { i j } (p)=g \left ( \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \left \|p, \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \right \|_ { p } \right ) \] 로 주어지는 (국소적) 함수이다.</p> <p>임의의 좌표함수에 대하여 $ g $ 의 성분함수 $ g_ { i j } $ 가 미분가능할 때 리만내적 $ g $ 가 미분가능하다고 말한다. 앞으로 리만내적을 이야기할 때에는 항상 미분가능하다는 것을 가정하기로 한다.</p> <p>$ \Phi: M \rightarrow N $ 이 2차원 미분다양체 사이에서 정의된 미분가능한 사상이고 $ h $ 가 $ N $ 의 접평면에서 정의된 리만계량일 때, $ \Phi ^ { * } h $ 를<caption>(8.3.4)</caption>\[ \begin {aligned} g &= \langle, \rangle= \sum_ { i, j=1 } ^ { n } g_ { i j } v_ { i } ^ { * } \otimes v_ { j } ^ { * } \\ \Phi ^ { * } h(v, w) &=h \left ( \mathrm { ~d } \Phi_ { p } (v), d \Phi_ { p } (w) \right ), v, w \in \mathrm { T } _ { p } M \end {aligned} \] 로 정의하면 $ \Phi ^ { * } h $ 는 $ M $ 의 리만계량이 된다. $ \Phi ^ { * } h $ 을 $ \Phi $ 에 의한 $ h $ 의 당김리만계량 (pull-back metric)이라고 한다.</p> <p>2 차원 미분다양체의 점 $ p \in M $ 근방에서 정의된 미분가능한 함수의 집합을 $ C ^ {\infty } (p) $ 로 나타내자. 즉, $ f $ 가 점 $ p $ 근방 $ V $ 를 정의역으로 갖는 미분가능한 함수일 때 $ f \in C ^ {\infty } (p) $ 라고 한다. 따라서 $ f \in C ^ {\infty } (M) $ 이면 임의의 점 $ p \in M $ 에 대하여 $ f \in C ^ {\infty } (p) $ 이다.</p> <p>$ f, g \in C ^ {\infty } (p) $ 이면 점 $ p $ 의 근방 $ U $ 와 $ V $ 가 존재하여 $ f: U \rightarrow \mathbb { R } , g: V \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능한 함수이다. 이 때 $ U \cap V $ 도 점 $ p $ 의 근방이고 $ q \in U \cap V $ 와 실수 $ a \in \mathbb { R } $ 에 대하여<caption>(8.1.3)</caption>$ (f + g)(q) = f(q) + (g),(a f)(q)=a f(q) $ 로 정의하자. 그러나 정의역이 각각 $ U, V $ 인 두 함수 $ f, g \in C ^ {\infty } (p) $ 에 대하여 $ U=V $ 가 성립하지 않으면 $ f + (-f) \neq g + (-g) $ 이므로 $ C ^ {\infty } (p) $ 는 벡터공간이라고 말할 수 없다. 동치관계와 동치류를 이용하면 이와 같은 현상을 배제하고 $ C ^ {\infty } (p) $ 가 벡터공간이 되도록 할 수 있다.</p> <p>두 함수 $ f, g \in C ^ {\infty } (p) $ 에 대한 관계 $ f \cong g $ 는 동치관계이다. $ f $ 의 동치류를 $ [f] $ 대 신에 $ f $ 로 나타내고 동치류의 모임 $ C ^ {\infty } (p) / \cong $ 를 $ C ^ {\infty } (p) $ 로 나타내면 연산 (8.1.3)에 대하여 $ C ^ {\infty } (p) $ 는 벡터공간이다.</p> <p>식 (8.1.4)를 좌표함수로 나타내보자. $ \mathrm { x } : U \rightarrow M $ 을 점 $ p $ 근방의 좌표함수로 $ \alpha(- \epsilon, \epsilon) \subset \mathrm { x } (U) $ 라고 하자. $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 로 놓으면<caption>(8.1.5)</caption>\[ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) \] 로 나타낼 수 있다. 그리고 $ \left (x_ { 1 } (0), x_ { 2 } (0) \right )= \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha(0)= \mathrm { x } ^ { -1 } (p) $ 를 만족시킨다.<caption>(8.1.6)</caption>\[ (f \circ \alpha)(t)=(f \circ \mathbf { x } ) \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha \right )(t)=f \circ \mathbf { x } \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) \] 이므로 연쇄법칙을 적용하면<caption>(8.1.7)</caption>\[ \begin {aligned} (f \circ \alpha) ^ {\prime } (0) &=D_ { 1 } (f \circ \mathbf { x } ) \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } (p) \right ) \frac { d x_ { 1 } } { d t } (0) + D_ { 2 } (f \circ \mathbf { x } ) \left ( \mathbf { x } ^ { -1 } (p) \right ) \frac { d x_ { 2 } } { d t } (0) \\ &= \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } (p) x_ { 1 } ^ {\prime } (0) + \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } (p) x_ { 2 } ^ {\prime } (0) \end {aligned} \]</p> <p>따라서 곡률텐서 $ R_ { 121 } ^ { 2 } $ 는<caption>(8.5.13)</caption>$ \begin {aligned} R_ { 121 } ^ { 2 } =& \sum_ { m=1 } ^ { 2 } \left ( \Gamma_ { 11 } ^ { m } \Gamma_ { 2 m } ^ { 2 } - \Gamma_ { 21 } ^ { m } \Gamma_ { 1 m } ^ { 2 } \right ) + \frac {\partial } {\partial v } \left ( \Gamma_ { 11 } ^ { 2 } \right )- \frac {\partial } {\partial u } \left ( \Gamma_ { 21 } ^ { 2 } \right ) \\=& \frac { E_ { u } } { 2 E } \frac { G_ { U } } { 2 G } - \frac { E_ { v } } { 2 E } \left (- \frac { E_ { v } } { 2 G } \right ) + \left (- \frac { E_ { v } } { 2 G } \right ) \frac { G_ { v } } { 2 G } \\ &- \frac { G_ { u } } { 2 G } \frac { G_ { u } } { 2 G } - \frac {\partial } {\partial v } \left ( \frac { E_ { v } } { 2 G } \right )- \frac {\partial } {\partial v } \left ( \frac { G_ { u } } { 2 G } \right ) \end {aligned} $</p> <p>수면곡률 $ K $ 는 \[ K= \frac { R_ { 1212 } } { E G } = \frac { R_ { 121 } ^ { 2 } } { E } \] 이므로 식 (8.5.13)에 의해<caption>(8.5.14)</caption>\[ \ -E \cdot K=-R_ { 121 } ^ { 2 } = \left ( \frac { G_ { u } } { 2 G } \right ) + \left ( \frac { E_ { v } } { 2 G } \right ) + \left ( \frac { G_ { u } } { 2 G } \right ) ^ { 2 } + \frac { E_ { v } G_ { v } } { 4 G ^ { 2 } } - \frac { E_ { u } G_ { u } } { 4 E G } - \frac { E_ { v } ^ { 2 } } { 4 E G } \]</p> <p>다음에는 유클리드 공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합인 정칙곡면 $ M $ 의 가우스곡률과 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 내적으로 주어지는 $ M $ 의 리만계량에 의해 얻어지는 수면곡률과의 관계에 대하여 알아 보자.</p> <p>$ M \subset \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이 정칙곡면이면 각 점 $ p \in M $ 근방 $ V $ 와 위상동형사상인 정칙사상 $ \mathrm { x } : U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow V $ 가 존재한다. $ (u, v) $ 을 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 좌표라 할 때, $ \mathrm { x } _ { u } , \mathrm { x } _ { v } $ 는 각각 $ M $ 의 (국소적) 접벡터장이다. 이 때 리만계량 \[ g = E d u \otimes d u + F d u \otimes d v + F d v \otimes d u + G d v \otimes d v \] 를 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 유도된 $ M $ 의 리만계량이라고 한다. 여기서 $ E, F, G $ 는 제1기본형식의 계수이다. 즉, \[ E= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle, F= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle, G= \left \langle \mathbf { x } _ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \] 다시 말해서, $ g $ 의 성분 $ g_ { i j } $ 는 \[ \left (g_ { i j } \right )= \left ( \begin {array} { ll } E & F \\ F & G \end {array} \right ) \] 이고 그것의 역행렬은 \[ \left (g ^ { i j } \right )= \frac { 1 } { E G-F ^ { 2 } } \left ( \begin {array} { rr } G & -F \\ -F & E \end {array} \right ) \] 이다. 리만계량 $ \left (g_ { i j } \right ) $ 를 이용하여 $ M $ 의 수면곡률을 직접 계산하는 것은 매우 복잡하므 로 특별한 형태의 좌표함수를 도입하여 계산할 수밖에 없다. $ \mathrm { x } $ 가 등온좌표함수이면 $ E=G, g_ { 12 } =F=0 $ 이므로 리만계량 $ g $ 는 \[ g=E(d u \otimes d u + d v \otimes d v) \] 이다.</p> <p>다음 도움정리에 의하면 미분좌표근방계를 포함하는 최대 미분좌표근방계는 항상 존재하고 유일하다.</p> <p>2 차원 미분다양체 위에 접벡터, 접공간, 벡터장, 곡선 등 앞에서 다루었던 기본적인 기하학적 개념을 정의하자. 2 차원 미분다양체가 유클리드 공간에 놓여 있지 않기 때문에 위의 모든 개념은 좌표함수를 이용하여 정의할 수밖에 없다. 미분기하학 이론이 복잡하고 어렵게 보이는 이유 중의 하나가 여기에 있다.</p> <p>$ f: M \rightarrow \mathbb { R } $ 를 2 차원 미분다양체에서 정의된 함수라 하자. 점 $ p \in M $ 근방의 좌표 함수 $ ( \mathrm { x } , U) $ 에 대하여 합성함수 $ f \circ \mathrm { x } $ 가 점 $ \mathrm { x } ^ { -1 } (p) \in U $ 에서 미분가능할 때, 함수 $ f $ 가 점 $ p $ 에서 미분가능하다고 한다(그림 8.4). 그리고 $ f $ 가 $ M $ 의 각 점에서 미분가능하면 $ f $ 를 $ M $ 위에서 미분가능한 함수라고 한다. $ M $ 에서 정의된 미분가능한 함수 전체 의 집합을 $ C ^ {\infty } (M) $ 으로 나타낸다.</p> <p>$ \Phi: M \rightarrow N $ 을 2차원 미분다양체 사이에서 정의된 사상이라 하자. 점 $ p \in M $ 근방 의 좌표함수 $ ( \mathrm { x } , U) $ 와 $ \Phi(p) $ 근방의 좌표함수 $ ( \mathrm { y } , V) $ 에 대하여 합성함수 $ \mathrm { y } ^ { -1 } \Phi \Phi \circ \mathrm { x } $ 가 점 $ \mathrm { x } ^ { -1 } (p) \in U $ 에서 미분가능할 때, $ \Phi $ 가 점 $ p $ 에서 미분가능하다고. 한다(그림 8.5). $ M $ 의 각 점에서 $ \Phi $ 가 미분가능할 때, $ \Phi $ 는 $ M $ 에서 미분가능하다고. 한 다. 또한, $ V \subset M $ 이 개부분집합이고. $ \Phi: M \rightarrow N $ 가 $ V $ 의 각 점에서 미분가능할 때 $ \Phi $ 는 $ V $ 에서 미분가능하다고 한다. 이것은 게한사상 $ \left . \Phi \right \|_ { V } : V \rightarrow N $ 가 미분가능하다는 것과 동치임을 알 수 있다.</p> <h1>제 8 장 리만기하학</h1> <p>정칙곡면은 국소적으로 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 와 모양이 같은 3 차원 유클리드 공간 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 의 부분집합을 의미한다. 그런데 4 차원 유클리드 공간에서 정의된 다음과 같은 집합 $ \left \{ M = \left \{ (x, y, 0,0) \in \mathbb { R } ^ { 4 } \mid x, y \in \mathbb { R } \right \} \right . $ 을 생각하면 이것은 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 의 $ x y $ 평면과 기하학적으로 같은 곡면임을 직관적으로 알 수 있다. 그러나 주어진 집합이 눟여 있는 전체공간이 3 차원이 아니라는 이유로 이러한 형태의 곡면은 다루지 않았다.</p> <p>한편, 5 장 1 절에 의하면 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 의 옹골정칙곡면에는 반드시 가우스곡률이 양수인 점이 존재한다 (정리 5.1.7). 따라서 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 에는 가우스곡률 $ K $ 가 $ K \leq 0 $ 인 옹골정칙곡면이 존 재하지 않는다. 그러나 가우스곡률이 상수 1 인 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 의 단위구 $ S ^ { 2 } $ 을 생각하면, 가우스 곡률이 항상 0 이거나 또는 상수 $ -1 $ 인 곡면의 존재성을 생각할 수 있다. 물론 위에서 언급했둣이 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 에는 이러한 곡면이 존재하지 않는다. 그러므로 가우스곡률이 항상 0 이거나 상수 $ -1 $ 인 곡면의 존재성에 관한 고찰을 하기 위해서는 보다 추상적인 기하학적 대상을 생각해야만 한다.</p> <p>이러한 관점에서 살펴보면, 곡면기하학에서 다루는 곡면이 집합적으로 반드시 유클리드 공간에 늫일 필요가 없다. 다시 말해서 미분을 이용한 기하학을 할 수 있도록 적당한 조건을 만족시키는 추상적인 집합이면 충분하다. 이와 같이 추상적인 집합을 기하학적 대상으로 삼아 기하학을 시작하면 그 동안 공부해 왔던 기하학을 포함하는 더욱더 일반화된 기하학을 할 수 있다. 이러한 일반화된 형태의 곡면을 추상곡면이라고 한다.</p> <p>추상곡면에서 기하학을 할 수 있도록 하는 기본 조건을 찾기 위해서 $ \mathrm { R } ^ { 3 } $ 의 정칙곡면을 생각하면 된다. $ R ^ { 3 } $ 의 정칙곡면은 국소적으로 $ \mathrm { R } ^ { 2 } $ 의 원판과 위상동형이다. 그리고 곡면의 한 점 $ \mathrm { p } $ 근방에서 서로 겹치는 두 좍표함수 $ \mathrm { x } , \mathrm { y } $ 의 합성함수 $ \mathrm { y } ^ { -1 } \circ \mathrm { x } $ 는 미분동형사상이다. 추상곡면이 이 두 가지 성질만 갖추고 있으면 앞에서 공부하였던 기하학을 같은 방법으로 할 수 있다.</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 정칙곡면에 접평면을 도입하고 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 내적으로부터 접평면에 내적을 정의하였다. 그런 다음에 내적을 이용하여 가우스곡률과 같은 기하학적 개념들을 다루었다. 추상곡면에서도 같은 작업을 할 수 있다. 다만, 접평면에 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 유클리드 내적이 아닌 추상적인 내적을 정의하여야 한다. 각 접평면에 내적이 정의된 추상곡면을 리만곡면 이라 하고 리만곡면을 다루는 기하학을 리만기하학이라고 한다.</p> <p>1 절에서는 추상곡면인 2 차원 미분다양체를 정의하고 기하학을 할 수 있는 기본단위가 되는 좌표함수의 성질을 다룬다. 그리고 접벡터와 접평면, 벡터장에 대한 기본적인 성질을 이야기한다. 2절에서는 벡터장과 3절에서 다룰 리만계량을 포함하는 추상적이고 일반적인 개념인 벡터공간의 텐서에 대하여 언급한다. 3절에서는 2차원 미분다양체의 접평면에 주어지는 리만계량의 정의와 존재성에 판하여 다룬다. 리만계량은 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 정칙곡면에서 제 1 기본형식에 대웅하는 개념이다. 4 절에서는 벡터장의 미분에 해당하는 접속(공변미분)과 톡별한 성질을 만족시키는 접속인 레비-치비타(Levi-Civita) 접속 그리고 그것으로부터 얻어지는 곡률텐서와 수면곡률을 정의한다. 5절에서는 리만 곡면의 기준이 되는 모형공간(space form)에 대하여 논하고 끝으로 7절에서는 리만곡면의 측지선과 지수사상 그리고 완비성(completeness)에 관하여 이야기한다.</p> <p>$ (M, g) $ 가 리만곡면이고 $ \alpha:[a, b] \rightarrow M $ 이 미분가능한 곡선이라 하자. 양 끝점 $ a $ 와 $ b $ 에서 $ \alpha ^ {\prime } (t) $ 의 우극한과 좌극한이 존재한다고 가정하자. 즉, \[ \lim _ { t \rightarrow a + 0 } \alpha ^ {\prime } (t) = \alpha ^ {\prime } (a), \lim _ { t \rightarrow b-0 } \alpha ^ {\prime } (t)= \alpha ^ {\prime } (b) \]</p> <p>이 때 $ a $ 에서 $ b $ 까지 곡선 $ \alpha $ 의 길이(length)를<caption>(8.7.12)</caption>$ L( \alpha)= \int_ { a } ^ { b } \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| d t $ 로 정의한다.</p> <p>$ ( \mathbf { x } , U) $ 가 $ M $ 의 좌표함수이고 $ \mathbf { x } ^ { -1 } \alpha(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) $ 라 하면 \[ \alpha ^ {\prime } (t)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } x_ { i } ^ {\prime } (t) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } \] 이고 \[ \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\|= \left \langle \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle ^ {\frac { 1 } { 2 } } = \left ( \sum_ { i, j=1 } ^ { 2 } x_ { i } ^ {\prime } (t) x_ { j } ^ {\prime } (t) g_ { i j } ( \alpha(t)) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right . \] 으로 주어진다. 연쇄법칙으로부터 곡선의 길이 $ L( \alpha) $ 는 좌표함수의 선택과는 무관하게 잘 정의되는 개념임을 알 수 있다.</p> <p>다음에 $ \alpha:[a, b] \rightarrow M $ 이 연속이고 조각별 미분가능한 곡선이라 하자. 즉, 폐구간 $ [a, b] $ 에 분할 $ a=t_ { 0 }<t_ { 1 }< \cdots t_ { m } =b $ 이 존재하여 각 $ i=1,2, \cdots, m $ 에 대하여 $ \left . \alpha \right \|_ {\left [t_ { i-1 } , t_ { i } \right ] } $ 가 미분가능하다. 특히, 분할점에서의 우극한과 좌극한 \[ \lim _ { t \rightarrow t_ { i } -0 } \alpha ^ {\prime } (t)= \alpha ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { - } \right ), \lim _ { t \rightarrow t_ { i } + 0 } \alpha ^ {\prime } (t)= \alpha ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { + } \right ) \] 가 존재한다. 이 때 $ \alpha $ 의 곡선의 길이를 \[ L( \alpha)= \sum_ { i=1 } ^ { m } \int_ { t_ { i-1 } } ^ { t_ { i } } \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| d t= \sum_ { i=1 } ^ { m } L \left ( \left . \alpha \right \|_ {\left [t_ { i-1 } , t_ { i } \right ] } \right ) \] 로 정의한다.</p> <p>두 점 $ p, q \in M $ 에 대하여 $ \rho(p, q) $ 을<caption>(8.7.13)</caption>\[ \rho(p, q)= \inf _ {\alpha } \{ L( \alpha) \} \] 로 정의한다. 여기서 $ \alpha $ 는 $ p $ 와 $ q $ 을 연결하는 연속이고 조각별 미분가능한 곡선을 나타낸다. 그러면 정의로부터 $ \rho(p, q) \geq 0 $ 이고 $ \rho(p, p)=0 $ 임을 쉽게 알 수 있다. 또한 $ p \neq q $ 이면 $ \rho(p, q)>0 $ 이 성립하고 다음 정리에 의하면 삼각부등식 \[ \rho(p, r) \leq \rho(p, q) + \rho(q, r) \] 도 성립함을 알 수 있다.</p> <p>$ M $ 이 2 차원 미분다양체이고 $ X $ 가 미분가능한 벡터장이면 각 점 $ p \in M $ 에 대하여 $ X(p) \in T_{p} M $ 이므로 $ X(p)^{} \in\left(T_{p} M\right)^{} $ 이다. 이 사상을 미분형식이라 하고 $ X^{} $ 로 나타낸다.</p> <p>$ \omega $ 가 일차미분형식이면 각 점 $ p \in M $ 에 대하여 $ \omega(p) \in T_{p} M^{} $ 이다. $ T_{p} M $ 와 $ T_{p} M^{} $ 는 2 차원 벡터공간으로 서로 동형이므로 각 점 $ p $ 에서 $ X^{}(p)=\omega(p) $ 을 만족시키는 벡터장 $ X $ 가 오직 하나 존재한다. $ X $ 가 미분가능할 때 주어진 일차미분형식 $ \omega $ 가 미분 가능한 미분형식이라고 한다. 앞으로 일차미분형식을 이야기할 때에는 항상 미분가능 하다는 것을 가정하기로 한다.</p> <p>$ \omega $ 가 2 차원 미분다양체 $ M $ 의 일차미분형식이고 $ X $ 가 벡터장일 때 $ \omega(X) $ 를 \[ \omega(X): M \rightarrow \mathrm{R}, \omega(X)(p)=\omega(p)(X(p)) \] 로 정의한다. 정의에 의해 $ \omega(X) $ 는 미분가능한 함수이다.</p> <p>$ (\mathrm{x}, U) $ 가 2차원 미분다양체 $ M $ 의 좌표함수이고 $ \mathbf{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 로 나타내면 각 점 $ p \in U $ 에 대하여 $ \frac{\partial}{\partial x_{i}} \mid p \in T_{p} M $ 이므로 그것의 쌍대원소는 $ \left(\left.\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right\|_{p}\right)^{} \in T_{p} M^{} $ 이다. 이 쌍대원소를 $ d x_{i}(p) $ 로 나타내자. 즉, $ i=1,2 $ 에 대하여 \[ d x_{i}(p)=\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}} \mid p\right) * \] 그러면 $ d x_{1}(p), d x_{2}(p) $ 는 \[ d x_{i}(p)\left(\frac{\partial}{\partial x} \mid p\right)=\delta_{i j}(1 \leq i, j \leq 2) \] 를 만족시키는 $ T_{p} M^{} $ 의 기저가 된다. 따라서 $ \omega $ 가 $ M $ 의 일차미분형식이면 각 점 $ p \in U $ 에서<caption>(8.2.1)</caption>\[ \omega(p)=\sum_{i=1}^{2} f_{i}(p) d x_{i}(p) \] 를 만족시키는 (국소적) 함수 $ f_{1}, f_{2}: U \rightarrow \mathbb{R} $ 가 존재하고 유일하다. 식 (8.2.1)을 간단히 \[ \omega=\sum_{i=1}^{2} f_{i} d x_{i} \] 로 나타낸다.</p> <p>측지선은 상수속력을 갖는다. 실제로, $ \alpha $ 가 측지선이면 \[ \frac { d } { d t } \left \langle \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle = 2 \left \langle \nabla_ { a ^ {\prime } } \alpha ^ {\prime } , \alpha ^ {\prime } \right \rangle=0 \] 이 성립한다. 좌표함수를 도입하여 측지선을 나타내 보자. $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 를 좌표함수 라 하고 곡선 $ \alpha $ 를 이 좌표함수로 나타낼 때, $ \mathbf { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) $ 라 하면 \[ \alpha ^ {\prime } (t)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } x_ { i } ^ {\prime } (t) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } \] 이므로 측지선 방정식 $ \nabla_ { a ^ {\prime } } \alpha ^ {\prime } =0 $ 을 계산하면<caption>(8.7.8)</caption>\[ \frac { d ^ { 2 } x_ { i } } { d t ^ { 2 } } + \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } \Gamma_ { j k } ^ { i } ( \alpha(t)) \frac { d x_ { j } } { d t } \frac { d x_ { k } } { d t } =0 \quad(i=1,2) \] $ \alpha $ 가 측지선이면 임의의 상수 $ c $ 에 대하여 다음과 같이 \[ \gamma(t)= \alpha(c t) \] 정의된 곡선 $ \gamma $ 도 식 (8.7.7)을 만족시키므로 다시 측지선이 된다.</p> <p>정의에 의해 측지선 $ \gamma $ 는 \[ \gamma(t)= \exp _ { p } (t v) \]로 나타낼 수 있다.</p> <p>한 점 $ p \in M $ 을 고정하면 정리 8.7.4에 의해 $ p $ 근방의 점 $ q $ 에 대하여 $ v \in T_ { q } M $, $ \\|v \\|< \epsilon $ 일 때 $ \exp _ { q } (v) $ 가 잘 정의된다. 특히, $ B_ {\epsilon } (0) $ 을 반지름의 길이가 $ \epsilon $ 이고 중심이 원점 $ \left (p \right . $ 에 대응하는)인 $ T_ { p } M $ 의 열린원판이라 하면 \[ \exp _ { p } : B_ {\epsilon } (0) \rightarrow M \] 은 잘 정의된 사상이다. $ T_ { p } M $ 은 2 차원 백터공간이므로 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 과 똑같은 자연스런 미분 구조를 갖는다. 따라서 측지선 방정식의 해는 각각의 접백터 $ v \in B_ {\epsilon } (0) $ 에 따라 매꾜 럽게 변하므로 $ \exp _ { p } $ 는 미분가능한 사상이다.</p> <p>다음에는 곡면 사이에서 정의된 미븐가능한 사상의 도합수에 대하여 알아보자.</p> <p>$\alpha:(-\epsilon, \epsilon) \rightarrow M $ 이 $ \alpha(0)=p $ 인 곡선이고 $ (\mathbf{x}, U) $ 가 $\alpha(-\epsilon, \epsilon) \subset \mathbf{x}(U) $ 를 만족시키는 점 $ p $ 근방의 좌표함수라고 하자. $ \alpha(t)=\mathbf{x}\left(x_{1}(t), x_{2}(t)\right) $ 로 놓으면</p> <p> <caption>(8.1.20)</caption>\[ \alpha^{\prime}(0)=\left.x_{1}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}+\left.x_{2}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p} \] 또, $ \mathrm{y}: V \rightarrow N $ 이 $ \Phi(\mathbf{x}(U)) \subset \mathbf{y}(V) $ 인 점 $ \Phi(p) $ 근방의 좌표함수이면<caption>(8.1.21)</caption>\[ \Phi \circ \alpha(t)=\Phi \circ \mathbf{x}\left(x_{1}(t), x_{2}(t)\right)=\mathbf{y}\left(y_{1}(t), y_{2}(t)\right) \] 로 나타낼 수 있다. 따라서<caption>(8.1.22)</caption>\[ d \Phi_{p}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)=(\Phi \circ \alpha)^{\prime}(0)=\left.y_{1}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial y_{1}}\right\|_{\Phi(p)}+\left.y_{2}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial y_{2}}\right\|_{\Phi(p)} \] 식 (8.1.21)로부터 $ \left(y_{1}, y_{2}\right)=\mathrm{y}^{-1} \circ \Phi \circ \mathrm{x}\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 이므로 연쇄법칙에 의해<caption>(8.1.23)</caption>\[ \left(\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}(0) \\ y_{2}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \end{array}\right) \] 식 (8.1.22)와 식 (8.1.23)에 의해</p> <p> <caption>(8.1.24)</caption>\[ \begin{aligned} d \Phi_{P}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)=&\left(x_{1}^{\prime}(0) \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}}+x_{2}^{\prime}(0) \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}}\right) \frac{\partial}{\partial y_{1}} \mid \Phi(p) \\ &+\left(x_{1}^{\prime}(0) \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}}+x_{2}^{\prime}(0) \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}}\right) \frac{\partial}{\partial y_{2}} \mid \Phi(p) \end{aligned} \] 여기서 \[ \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}=\frac{\partial y_{i}}{\partial x_{j}}(q), \mathbf{x}(q)=p \] 이다. 한편, 식 (8.1.20)에 의헤<caption>(8.1.25)</caption>\[ d \Phi_{p}\left(\alpha^{\prime}(0)\right)=d \Phi_{p}\left(\left.x_{1}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial x_{1}}\right\|_{p}+\left.x_{2}^{\prime}(0) \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\|_{p}\right) \] 식 (8.1.24)와 식 (8.1.25)에 의해 $ d \Phi_{p} $ 는 선형사상이다. 다시 말해서 \[ \left\{\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \frac{\partial}{\partial x_{2}}\right\},\left\{\frac{\partial}{\partial y_{1}}, \frac{\partial}{\partial y_{2}}\right\} \] 가 각각 접평면 $ T_{p} M $ 와 $ T_{\Phi(p)} N $ 의 기저이므로 식 (8.1.24)와 식 (8.1.25)로부터 $ d \Phi $ 는</p> <p> <caption>(8.1.26)</caption>\[ d \Phi_{p}\left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{1}}{\partial x_{2}} \\ \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial y_{2}}{\partial x_{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1}^{\prime}(0) \\ x_{2}^{\prime}(0) \end{array}\right) \] 로 나타낼 수 있다. 곡면에서 정의된 미분가능한 사상에 대하여 연쇄법칙이 성립한다. 즉, $ \Phi: M \rightarrow N $, $ \Psi: N \rightarrow P $ 가 미분가능하고 $ p \in M $ 이면 연쇄법칙에 의해 \[ d(\Psi \circ \Phi)=d \Psi_{\Phi(p)} \circ d \Phi_{p} \] 가 성립한다. <h2>8.5 모형공간</h2> <p>이 절에서는 리만곡면을 공부하는데 있어서 기준이 되는 모형공간(space form)에 대하여 알아보자.</p> <p>$ (x, y) = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 를 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 직교좌표라고 하고 $ \lambda= \lambda \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )>0 $ 을 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 미분가능한 양함수라 할 때, $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 리만계랑 $ g $ 를<caption>(8.5.1)</caption>\[ g= \frac { 1 } {\lambda ^ { 2 } } \left (d x_ { 1 } \otimes d x_ { 1 } + d x_ { 2 } \otimes d x_ { 2 } \right ) \] 로 정의하자. 그러면 리만계량의 행렬은 $ g_ { i j } = \frac { 1 } {\lambda ^ { 2 } } \delta_ { i j } $ 이고 그것의 역행렬은 $ g ^ { i j } = \lambda ^ { 2 } \delta_ { i j } $ 으로 주어진다.</p> <p>$ f= \log \lambda $ 라 할 때, 그것의 편미분을 각각 $ \frac {\partial f } {\partial x_ { k } } =f_ { k } , \frac {\partial \lambda } {\partial x_ { k } } = \lambda_ { k } $ 로 나타내면<caption>(8.5.2)</caption>\[ \frac {\partial f } {\partial x_ { k } } = \frac { 1 } {\lambda } \frac {\partial \lambda } {\partial x_ { k } } \quad(k=1,2) \] 이므로<caption>(8.5.3)</caption>\[ \frac {\partial g_ { i j } } {\partial x_ { k } } =- \frac { 2 } {\lambda ^ { 3 } } \frac {\partial \lambda } {\partial x_ { k } } \delta_ { i j } =-2 \frac { f_ { k } } {\lambda ^ { 2 } } \delta_ { i j } \] 따라서 크리스토펠 기호는 \[ \begin {aligned} \Gamma_ { j k } ^ { i } &= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { l=1 } ^ { 2 } g ^ { i l } \left ( \frac {\partial g_ { j l } } {\partial x_ { k } } + \frac {\partial g_ { k l } } {\partial x_ { j } } + \frac {\partial g_ { j k } } {\partial x_ { l } } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } \left ( \frac {\partial g_ { j i } } {\partial x_ { k } } + \frac {\partial g_ { k i } } {\partial x_ { j } } + \frac {\partial g_ { j k } } {\partial x_ { l } } \right ) \\ &= \frac {\lambda ^ { 2 } } { 2 } \left (-2 \frac { f_ { k } } {\lambda ^ { 2 } } \delta_ { i j } -2 \frac { f_ { j } } {\lambda ^ { 2 } } \delta_ { k i } + 2 \frac { f_ { i } } {\lambda ^ { 2 } } \delta_ { j k } \right ) \\ &=-f_ { k } \delta_ { i j } -f_ { j } \delta_ { k i } + f_ { i } \delta_ { j k } \end {aligned} \] 이다. 즉,<caption>(8.5.4)</caption>\[ \Gamma_ { i i } ^ { i } =-f_ { i } , \Gamma_ { i j } ^ { i } =-f_ { j } \]<caption>(8.5.5)</caption>\[ \Gamma_ { j i } ^ { i } =-f_ { j } , \Gamma_ { j j } ^ { i } =-f_ { i } (i \neq j) \] 이고 이 이외의 경우는 $ \Gamma_ { j k } ^ { i } =0 $ 이다. 리만곡률텐서는 식 (8.4.18)에 의해 \[ R_ { 1212 } = \sum_ { l=1 } ^ { 2 } R_ { 121 } ^ { l } g_ { l 2 } = \frac { 1 } {\lambda ^ { 2 } } R_ { 121 } ^ { 2 } \] 이고 식 (8.4.16)에 의해<caption>(8.5.6)</caption>\[ \begin {array} { c } R_ { 121 } ^ { 2 } = \sum_ { m=1 } ^ { 2 } \left ( \Gamma_ { 11 } ^ { m } \Gamma_ { 2 m } ^ { 2 } - \Gamma_ { 21 } ^ { m } \Gamma_ { 1 m } ^ { 2 } \right ) + \frac {\partial } {\partial x_ { 2 } } \left ( \Gamma_ { 11 } ^ { 2 } \right )- \frac {\partial } {\partial x_ { 1 } } \left ( \Gamma_ { 21 } ^ { 2 } \right ) \\ \frac {\partial } {\partial x_ { 2 } } \left ( \Gamma_ { 11 } ^ { 2 } \right )=f_ { 22 } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 2 } ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } \\ \frac {\partial } {\partial x_ { 1 } } \left ( \Gamma_ { 21 } ^ { 2 } \right )=-f_ { 11 } =- \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x_ { 1 } ^ { 2 } } =- \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } \end {array} \] 이다. 따라서<caption>(8.5.7)</caption>\[ R_ { 121 } ^ { 2 } =f_ { 11 } + f_ { 22 } = \Delta f \] 여기서 $ \Delta $ 는 라플라시안(Laplacian) 미분연산자이다. 그러므로 \[ R_ { 1212 } = \frac {\Delta f } {\lambda ^ { 2 } } \] 이고 수면곡률은<caption>(8.5.8)</caption>\[ K= \frac { R_ { 1212 } } { g_ { 11 } g_ { 12 } } = \lambda ^ { 2 } \Delta f \] $ f= \log \lambda $ 이므로 \[ \Delta f= \frac {\lambda \Delta \lambda- \left ( \lambda_ { x } ^ { 2 } + \lambda_ { y } ^ { 2 } \right ) } {\lambda ^ { 2 } } \] 그러므로<caption>(8.5.9)</caption>\[ K= \lambda \Delta \lambda- \left ( \lambda_ { x } ^ { 2 } + \lambda_ { y } ^ { 2 } \right ) \]</p> <p>합수 $ f: V \subset M \rightarrow \mathbb { R } $ 가 미분가능하고 $ ( \mathbf { x } , U) $ 를 $ \mathbf { x } (U) \subset V $ 인 겁 $ p \equiv M $ 근방의 좌표함수라고 하자. $ \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 라 하면 접벡터 \[ v= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { p } \in T_ { p } M \] 에 대하여 $ v(f) $ 를 \[ v(f)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } \frac {\partial f } {\partial x_ { i } } \right \|_ { p } \] 로 정의하고 이를 $ f $ 의 접 $ p $ 에서의 $ v $-방향도함수라고 한다. $ ( \mathrm { y } , V) $ 가 접 $ p $ 근방의 다 큰 좌표함수로 $ \mathrm { y } ^ { -1 } = \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } \right ) $ 라고 하자. 좌표함수 $ \mathrm { y } $ 에 대하여 삑터 $ v $ 를 \[ v= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial } {\partial y_ { i } } \right \|_ { p } , b_ { i } \in \mathbb { R } \] 로 나타내자. 그러면 식 (8.1.2)에 의해 \[ \frac {\partial } {\partial y_ { i } } = \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \] 이므로 \[ \begin {aligned} v= \sum_ { j=1 } ^ { 2 } a_ { j } \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \mid &= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial } {\partial y_ { i } } \mid \nu= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \left ( \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } (p) \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \mid \right ) \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } (p) \left \| \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \right \|_ { D } \right . \end {aligned} \] 따라서<caption>(8.1.27)</caption>\[ a_ { j } = \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } (p) \] 을 만쪽시킨다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \sum_ { j=1 } ^ { 2 } a_ { j } \frac {\partial f } {\partial x_ { j } } (p) &= \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } (p) \right ) \frac {\partial f } {\partial x_ { j } } (p) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \frac {\partial f } {\partial x_ { j } } (p) \frac {\partial x_ { j } } {\partial y_ { i } } (p) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } b_ { i } \frac {\partial f } {\partial y_ { i } } (p) \end {aligned} \] 따라서 방향도한수 $ v(f) $ 는 좌표함수의 선택과는 무관하게 잘 정의된 개녑이다. $ a:(a, b) \rightarrow M $ 이 미분가능한 꼭선이고 $ a<t_ { 0 }<b $ 이면 \[ \left . \frac { d } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } \in T_ { t_ { 0 } } \mathbb { R } \] 이고 \[ d a \left ( \left . \frac { d } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } \right ) \in T_ { 0 \left (t_ { 0 } \right ) } M \] 이다. 이 식을 간단히 \[ d a \left ( \left . \frac { d } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } \right )= \left . \frac { d a } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } \] 으로 나타낸다.</p> <p>다음 정리에 의하면 2 차원 미분다양체에는 리만계량이 항상 존재한다. 미분다양체는 항상 연결집합(path connected)임을 가정한다.</p> <p>$ g $ 가 2차원 미분다양체 $ M $ 의 리만계량일 때 $ (M, g) $ 을 2 차원 리만다양체 또는 간단히 리만곡면이라고 한다.</p> <h2>8.4 접속과 곡률텐서</h2> <p>2 차원 미분다양체 $ M $ 의 미분가능한 벡터장 전체의 집합을 $ \Gamma(M) $ 으로 나타낸다.</p> <p>임의의 두 벡터 $ X, Y \in \Gamma(M) $ 과 함수 $ f \in C ^ {\infty } (M) $ 에 대하여 $ [X, Y] $ 은 \[ [X, Y](f) = X Y(f)-Y X(f) \] 으로 정의되는 벡터장으로 $ [X, Y]=-[Y, X] $ 을 만족시킨다 (1절 연습문제). $ \nabla_ { X } Y $ 를 벡터장 $ Y $ 에 대한 $ X $-방향으로의 공변미분(covariant derivative)이라고도 한다.</p> <p>$ X \in \Gamma(M) $ 이고 $ v \in \mathrm { T } _ { p } M $ 일 때 $ \nabla_ { v } X $ 를 다음과 같이 정의하자. 점 $ p $ 근방의 좌표 함수 $ ( \mathbf { x } , U), \mathbf { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 을 택하여 \[ X= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \] 라 할 때<caption>(8.4.1)</caption>\[ \nabla_ { v } X= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } v \left (a_ { i } \right ) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { p } \] 여기서 $ v \left (a_ { i } \right )=d a_ { i } (v) $ 는 함수 $ a_ { i } $ 의 $ v $-방향 도함수이다. 그러면 $ \nabla_ { v } X $ 는 좌표함수<p>$ ( \mathrm { x } , U) $ 의 선택에 무관한 잘 정의된 개념임을 보일 수 있다(연습문제).</p> <p>$ k $-텐서 $ A $ 는 $ k $ 개의 벡터장 위에서 정의되는 작용소로 이해할 수 있다. 즉, $ X_{1}, \cdots $, $ X_{k} $ 가 벡터장일 때 $ A $ 는 \[ A\left(X_{1}, \cdots, X_{k}\right)(p)=A(p)\left(X_{1}(p), \cdots, X_{k}(p)\right) \] 로 정의되는 연산자로 이해할 수 있다. 그리고 $ \Phi: M \rightarrow N $ 이 두 다양체 사이에서 정의된 미분가능한 사상이고 $ A $ 가 $ N $ 의 접평면에서 정의된 $ k $-텐서일 때, $ \Phi $ 에 의한 $ A $ 의 당김 $ \Phi^{} A $ 를 \[ \Phi^{} A(p)\left(X_{1}(p), \cdots, X_{k}(p)\right)=A(\Phi(p))\left(d \Phi\left(X_{1}(p)\right), \cdots, d \Phi\left(X_{k}(p)\right)\right) \] 로 정의하면 $ \Phi^{} A $ 는 $ M $ 의 $ k $ 텐서가 된다.</p> <p>$ V $ 가 유한차원 벡터공간일 때, 쌍대공간 $ V^{} $ 에서 정의된 $ k $-다중선형변환 전체의 집합을 $ \Lambda_{k}(V) $ 로 나타낸다. 곡면 $ M $ 의 각 점 $ p $ 에 대하여 $ A(p) \in \Lambda_{k}\left(T_{p} M\right) $ 을 대응시키는 사상을 쌍대 $ k $-텐서라고 한다. 예를 들면, $ \Lambda_{1}\left(T_{p} M\right)=\left(T_{p} M^{}\right) * $ 이고 $ \left(T_{p} M^{}\right) $ 는 $ T_{p} M $ 과 선형동형(linear isomorphism)이므로(연습문제) 두 집합을 같은 것으로 간주할 수 있다. 따라서 각 원소 $ f \in\left(T_{p} M^{}\right)^{} $ 에 대하여 벡터 $ X(p) $ 를 대응시킬 수 있다. 그 러므로 각 점 $ p \in U $ 에 대하여 $ A(p) \in\left(T_{p} M^{}\right)^{} $ 를 대응시키는 사상은 벡터장으로 이 해할 수 있고 곡면 $ M $ 의 좌표함수 $ (\mathbf{x}, U), \mathbf{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 를 도입하면 \[ A=\sum_{i=1}^{2} A^{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}} \] 로 나타낼 수 있다. 일반적으로 2 차원 미분다양체 $ M $ 의 좌표함수 $ (\mathbf{x}, U) $, $ \mathrm{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 에서 정의된 쌍대 $ k $-텐서 $ A $ 는 다음과 같이 \[ A=\sum_{i_{1}, \cdots, i_{k}} A^{i_{1}, \cdots, i_{k}} \frac{\partial}{\partial x_{i_{1}}} \otimes \cdots \otimes \frac{\partial}{\partial x_{i_{k}}} \] 나타낼 수 있다.</p> <h2>8.2 미분형식과 텐서</h2> <p>벡터공간에서 정의되는 텐서대수(tensor algebra)는 수학의 모든 분야에서 매우 유용하고 필요한 개념이다. 특히, 기하학에서는 미분다양체의 접공간에 대한 구조를 설명하는데 있어서 텐서가 반드시 필요하다. 텐서는 여러 가지 개념을 포함하는 폭넓은 이론이지만 여기서는 앞으로 다룰 2 차원 미분다양체의 접평면에서 정의되는 리만계량(Riemannian metric)을 설명하는데 필요한 기본적인 개념과 성질에 관해서만 설명한다. 벡터공간에는 벡터와 체(field)의 원소를 곱하는 연산자인 실수곱 또는 스칼라곱이 있는데 체의 형태에 따라 벡터공간을 유한체(finite field) 위에서의 벡터공간, 유리수체 위에서의 벡터공간, 실수체 위에서의 벡터공간, 복소수체 위에서의 벡터공간 등등 여러 가지가 있다. 앞으로 벡터공간을 이야기할 때에는 실수체 위에서의 벡터공간임을 가정하기로 한다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 에서 실수의 집합 $ \mathbb{R} $ 로 사상되는 선형함수 전체의 집합을 $ V $ 의 쌍대공간(dual space)이라 하고 $ V^{} $ 로 나타낸다. 즉, \[ V^{}=\{f: V \rightarrow \mathbb{R} \mid f \text { 는 선형 함수 }\} \] $ V $ 가 $ n $ 차원 벡터공간이고 $ v_{1}, \cdots, v_{n} $ 이 $ V $ 의 기저일 때, $ v_{i}^{} \in V^{} $ 를 \[ v_{i}^{}\left(v_{j}\right)=\delta_{i j} \] 를 만족시키는 선형사상으로 정의하면 $ v_{1}^{}, \cdots, v_{n}^{} $ 는 $ V^{} $ 의 기저이다. 따라서 $ V^{} \ 또한 \( n $ 차원 벡터공간이 된다. 또한, $ v_{i} $ 와 $ v_{i}^{} $ 의 대응관계는 $ V $ 와 $ V^{} $ 가 동형 (isomorphic)임을 보여준다. $ v_{i}^{} $ 를 $ v_{i} $ 의 쌍대원소(dual element)라고 한다.</p> <p>$ f: V \rightarrow W $ 가 벡터공간 사이에서 정의된 선형변환일 때, $ f^{}: W^{} \rightarrow V^{} $ 를 \[ \left(f^{} \lambda\right)(v)=\lambda(f(v)), \lambda \in W^{}, v \in V \] 로 정의하면 $ f^{} $ 는 쌍대공간에서 정의된 선형변환이 된다. $ f^{} $ 을 $ f $ 의 수반사상(adjoint) 이라고 한다. $ I d: V \rightarrow V $ 가 항등사상이면 $ I d^{}: V^{} \rightarrow V^{} $ 또한 항등사상이다. 또, $ f: V \rightarrow W, g: U \rightarrow V $ 가 선형변환일 때, 합성함수 $ f \circ g $ 에 대하여 $ (f \circ g)^{}=g^{} \circ f^{} $ 가 성립한다.</p> <p>따라서 식 (8.7.1)로부터 \[ \begin {aligned} \frac { D } { d t } X(t) &= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } ^ {\prime } (t) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \mid a_ { (t) } + \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } (t) \left ( \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } x ^ {\prime } (t) \Gamma_ { j i } ^ { k } ( \alpha(t)) \frac {\partial } {\partial x_ { k } } \mid a(t) \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { 2 } \left [a_ { i } ^ {\prime } (t) + \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } a_ { k } (t) x_ { j } ^ {\prime } (t) \Gamma_ { j k } ^ { i } ( \alpha(t)) \right ] \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \mid a(t) \end {aligned} \]</p> <p>$ \frac { D } { d t } X $ 는 좌표함수의 선택과는 무관하게 잘 정의된 개념이다. 더욱이 레비-체비타 접속 $ \nabla_ { X } Y $ 는 각각의 점 $ p $ 에서 $ Y(p) $ 와 점 $ p $ 에서의 접벡터가 $ X(p) $ 인 곡선에만 의존하므로 \[ \frac { D } { d t } X(t)= \nabla_ { a ^ {\prime } (t) } X(t) \] 가 성립한다. 또한, $ \frac { D } { d t } X(t) $ 는 접속이 갖는 성질을 모두 만족시킨다.</p> <p>리만곡면 $ (M, g) $ 의 곡선 $ \alpha $ 을 따라 움직이는 벡터장 $ X = X(t) $ 의 도함수는 다음과 같이 \[ \left ( \nabla_ { a ^ {\prime } (t) } X \right )_ { a(t) } \] 이해한다. 여기서 $ \nabla $ 는 곡면 $ M $ 의 레비-치비타 접속이다.</p> <h2>8.7 측지선과 지수사상</h2> <p>곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 에 대하여 각 점 $ t \in(a, b) $ 에서 $ X(t) \in T_ { a(t) } M $ 을 대응시키는 사상 \[ X:(a, b) \rightarrow \bigcup_ { p \in M } T_ { p } M \] 을 곡선 $ \alpha $ 을 따라 움직이는 벡터장 또는 곡선 $ \alpha $ 의 벡터장이라고 한다. 예를 들어 $ \alpha $ 의 속도벡터 $ \alpha ^ {\prime } (t) $ 와 가속도벡터 $ \alpha ^ {\prime \prime } (t) $ 는 $ \alpha $ 을 따라 움직이는 벡터장이다. $ X $ 가 $ M $ 의 벡터장이면 $ X \circ \alpha(t) = X( \alpha(t)) $ 는 곡선 $ \alpha $ 의 벡터장이다. $ M $ 이 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 정칙곡면인 경우에는 벡터장 $ X(t) $ 를 \[ X(t)=(x(t), y(t), z(t)) \] 와 같이 성분함수로 나타낼 수 있기 때문에 미분은 $ X ^ {\prime } (t)= \left (x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t), z ^ {\prime } (t) \right ) $ 으로 주어진다. 그러나 추상곡면에서는 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서와 같은 성분으로 나타낼 수 있는 좌표가 존재하지 않기 때문에 $ X $ 의 성분함수를 나타내기 위해서는 좌표함수를 도입하여 표현 해야만 한다. 그리고 $ X $ 의 미분도 좌표함수를 이용하여 정의할 수밖에 없다.</p> <p>$ X $ 가 곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 의 벡터장이고 $ ( \mathbf { x } , U), \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 가 $ \alpha(a, b) \subset \mathbf { x } (U) $ 인 $ M $ 의 좌표함수이면 $ X $ 를<caption>(8.7.1)</caption>\[ X(t)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } (t) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } \]로 나타낼 수 있다. 그리고 성분함수 $ a_ { 1 } (t), a_ { 2 } (t) $ 가 미분가능할 때 $ X $ 가 미분가능한 벡터장이라고 한다.</p> <p>식 (8.5.10)에 있는 리만계량 $ g $ 는 단위구 $ S^{2} $ 에서 $ \mathbb{R}^{2} $ 으로 사상되는 입체사영 (stereographic projection)에 의해 만들어지는 $ S^{2} $ 의 리만계량이다. $ S^{2} $ 을 중심이 $ (0,0,1) $ 이고 반지름의 길이가 1 인 단위구 $ S^{2}: x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1 $ 이라 하자: $ \pi: S^{2}-\{(0,0,2)\} $ $ \rightarrow \mathbb{R}^{2} $ 을 \[ \pi\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\left(\frac{2 p_{1}}{2-p_{3}}, \frac{2 p_{2}}{2-p_{3}}\right) \] 로 정의하면 $ \pi $ 는 미분동형사상이고 $ \pi^{-1} $ 은 $ S^{2} $ 의 좌표함수가 된다. 따라서 $ \pi $ 에 의해 유도되는 $ S^{2} $ 의 리만계량은 $ \pi^{} g_{0} $ 이다. 유도리만계량 $ \pi^{} g_{0} $ 을 구체적으로 구하기 위해서 $ \mathbb{R}^{2} $ 의 좌표를 $ (x, y) $ 라 할 때, \[ d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right), d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial y}\right) \] 의 값만 계산하면 된다. 실제로, \[ \pi^{} g_{0}=g_{11} d x \otimes d x+g_{12} d x \otimes d y+g_{21} d y \otimes d x+g_{22} d y \otimes d y \] 로 놓으면 \[ g_{i j}=\left\langle d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right), d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x_{j}}\right)\right\rangle, x_{1}=x, x_{2}=y \] 이다. \[ \pi^{-1}(x, y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}+4}\left(4 x, 4 y, 2 x^{2}+2 y^{2}\right) \] 이므로 \[ d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)=\frac{\partial \pi^{-1}}{\partial x_{j}}=\left(\frac{-4 x^{2}+4 y^{2}+16}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}},-8 x y, \frac{16 x}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}}\right) \] \[ d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)=\frac{\partial \pi^{-1}}{\partial y}=\left(-8 x y, \frac{-4 x^{2}+4 y^{2}+16}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}}, \frac{16 y}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}}\right) \] 따라서 \[ \begin{array}{l} g_{11}=\left\langle d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right), d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)\right\rangle_{g_{0}}=\frac{16}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}} \\ g_{22}=\left\langle d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial y}\right), d \pi^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial y}\right)\right\rangle_{g_{0}}=\frac{16}{\left(x^{2}+y^{2}+4\right)^{2}} \end{array} \] 이고 $ g_{12}=g_{21}=0 $ 이다. 그러므로 \[ g=\frac{1}{\left(1+\frac{x^{2}+y^{2}}{4}\right)^{2}}(d x \otimes d x+d y \otimes d y) \] $ M $ 이 $ \mathbb{R}^{2} $ 의 개부분집합이고 $ \lambda $ 가 $ M $ 에서 정의된 미분가능한 양함수라 하자. 이때 식 (8.5.1)과 같이 $ M $ 의 리만계량 $ g $ 를 \[ g=\frac{1}{\lambda^{2}}(d x \otimes d x+d y \otimes d y) \] 로 정의하면 미분은 국소적 개념이므로 $ M $ 의 수면곡률은 공식 (8.5.9)로 주어진다.</p> <p>식 (8.5.14)는 6장 2절에 있는 정리 6.2.3의 증명에 있는 식과 같으므로 똑같은 계산을 하면<caption>(8.5.15)</caption>\[ K=- \frac { 1 } {\sqrt { E G } } \left \{\left ( \frac { ( \sqrt { G } )_ { u } } {\sqrt { E } } \right )_ { u } + \left ( \frac { ( \sqrt { E } )_ { v } } {\sqrt { G } } \right )_ { v } \right \} \]</p> <p>따라서 이 경우에도 수면곡률과 가우스곡률은 같다. 이로부터 다음 정리가 성립한 다는 것을 알 수 있다.</p> <h2>8.6 틀마당 표현</h2> <p>7장에 의하면 유클리드 공간에 놓여 있는 정칙곡면의 가우스곡률은 좌표함수를 이용하여 계산 할 수 있지만 접틀마당으로부터 얻어지는 쌍대일차미분형식과 연결형식으로부터도 가우스곡률을 계산할 수 있다. 추상적 리만곡면에서도 같은 방법으로 수면곡률을 계산할 수 있다.</p> <p>정의로부터 $ d \omega $ 는 이중선형사상이고 임의의 벡터장 $ X, Y $ 에 대하여 \[ d \omega(X, Y) = -d \omega(Y, X) \] 가 성립한다. 따라서 $ d \omega $ 는 $ M $ 의 이차미분형식이다.</p> <p>$ M $ 을 리만곡면이라 하고 $ \nabla $ 를 레비-치비타 접속이라고 하자. 또, $ E_ { 1 } , E_ { 2 } $ 가 (국소적) 접틀마당이고 $ \theta_ { 1 } , \theta_ { 2 } $ 가 각각 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } $ 의 쌍대일차미분형식일 때,<caption>(8.6.2)</caption>\[ \nabla_ { E_ { i } } E_ { j } = \sum_ { k=1 } ^ { 2 } C_ { i j } ^ { k } E_ { k } \]<caption>(8.6.3)</caption>\[ R \left (E_ { i } , E_ { j } \right ) E_ { k } = \sum_ { l=1 } ^ { 2 } R_ { k i j } ^ { l } E_ { l } \] $ \omega_ { i j } = \sum_ { k=1 } ^ { 2 } C_ { k j } ^ { i } \theta_ { k } $ 로 정의하자. 끝으로 \[ \left [E_ { i } , E_ { j } \right ]= \sum_ { k=1 } ^ { 2 } c_ { i j } ^ { k } E_ { k } \] 로 정의하면 $ \nabla_ { E_ { i } } E_ { j } - \nabla_ { E_ { j } } E_ { i } = \left [E_ { i } , E_ { j } \right ] $ 이므로<caption>(8.6.4)</caption>$ c_ { i j } ^ { k } =C_ { i j } ^ { k } -C_ { j i } ^ { k } $ 가 성립한다. 또한 리만곡률텐서의 정의로부터<caption>(8.6.5)</caption>\[ R_ { k i j } ^ { l } =-R_ { k j i } ^ { l } \]</p> <p>$ M $ 의 좌표함수 $ ( \mathrm { x } , U) $ 에 대하여 $ \mathrm { x } ^ { -1 } \circ \alpha(t)= \left (x_ { 1 } (t), x_ { 2 } (t) \right ) $ 이고 \[ X(t)= \left . \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i } (t) \frac {\partial } {\partial x_ { i } } \right \|_ { a(t) } \] 로 놓을 때, 식 (8.7.4)를 좌표함수로 나타내면 식 (8.7.2)에 의해 일차선형 상미분방정식<caption>(8.7.5)</caption>\[ \frac { d a_ { i } } { d t } + \sum_ { j, k=1 } ^ { 2 } \Gamma_ { j k } ^ { i } a_ { k } \frac { d x_ { j } } { d t } =0 \quad(i=1,2) \] 으로 주어진다. 따라서 미분방정식의 기본정리인 해의 존재성과 유일성에 의해 초기 조건, 즉 한 점에서의 접백터가 주어지고 정의역의 구간이 매우 작으면 미분방정식 (8.7.5)의 해는 존재하고 유일하다. 더욱이, 선형성질에 의해 이 방정식의 해는 곡선 $ \alpha $ 의 정의역 $ (a, b) $ 전체에서 잘 정의되는 해로 확장된다. 그러므로 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 이 미분가능한 곡선이고 $ t_ { 0 } \in(a, b) $ 에 대하여 $ v \in T_ { a \left (t_ { 0 } \right ) } M $ 이면 $ X \left (t_ { 0 } \right )=v $ 를 만족시키는 $ \alpha $ 의 평행한 벡터장 $ X $ 가 유일하게 존재한다. $ X, Y $ 가 곡선 $ \alpha:(a, b) \rightarrow M $ 의 벡터장이면 평행한 벡터장의 존재성으로부터 다음 등식<caption>(8.7.6)</caption>\[ \frac { d } { d t } \langle X, Y \rangle= \left \langle \frac { D X } { d t } , Y \right \rangle + \left \langle X, \frac { D Y } { d t } \right \rangle \] 가 성립함을 보일 수 있다. 또는 좌표함수를 도입하여 직접계산을 하면 위의 등식이 성립함을 알 수 있다. 식 (8.7.6)에 의해 $ X, Y $ 가 곡선 $ \alpha $ 의 평행한 벡터장이면 $ \langle X, X \rangle $ 와 $ \langle X, Y \rangle $ 는 상수 값을 갖는다는 것을 쉽게 알 수 있다.</p> <p>끝으로 텐서와 쌍대텐서가 같이 포함되어 있는 텐서곱에 대하여 알아보자. $ T: V \times V ^ { * } \rightarrow \mathbb { R } $ 인 이중선형변환 전체의 집합을 $ \Lambda_ { 1 } ^ { 1 } (V) $ 로 나타내고 이를 $ (1,1) $-텐서 라고 한다. 2 차원 미분다양체 $ M $ 의 좌표함수 $ ( \mathrm { x } , U), \mathrm { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 에서 정의된 $ (1,1) $-텐서 $ A $ 는<caption>(8.2.3)</caption>\[ A(p)= \left . \sum_ { i, j=1 } ^ { 2 } A_ { i } ^ { j } (p) d x_ { i } (p) \otimes \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \right \|_ { p } \] 로 나타낼 수 있다. 식 (8.2.3)을 간단히 \[ A= \sum_ { i, j=1 } ^ { 2 } A_ { i } ^ { j } d x_ { i } \otimes \frac {\partial } {\partial x_ { j } } \] 으로 나타낸다. 벡터공간 $ V $ 에 대하여 $ (k + l) $-다중선형사상 \[ T: \underbrace { V \otimes \cdots \otimes V } _ { k } \times \underbrace { V ^ { * } \otimes \cdots \otimes V ^ { * } } _ { l } \rightarrow \mathbb { R } \]</p> <p>전체의 집합을 $ \Lambda_ { l } ^ { k } (V) $ 로 나타내고 이를 $ (k, l) $-텐서라고 한다. $ A $ 가 2차원 미분다양 체 $ M $ 의 $ (k, l) $-텐서이고, $ ( \mathbf { x } , U), \mathbf { x } ^ { -1 } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) $ 가 $ M $ 의 좌표함수이면 \[ A= \sum_ {\substack { i_ { 1 } , \cdots, i_ { k } \\ j_ { 1 } , \cdots, j_ { i } } } A_ { i_ { 1 } \cdots i_ { k } } ^ { j_ { 1 } \cdots j_ { k } } d x_ { i_ { 1 } } \otimes \cdots \otimes d x_ { i_ { k } } \otimes \frac {\partial } {\partial x_ { j_ { 1 } } } \otimes \cdots \otimes \frac {\partial } {\partial x_ { j_ { 1 } } } \] 으로 나타낼 수 있다.</p> <p>이제 $ \mu: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } $ 를<caption>(8.1.33)</caption>\[ \mu(x) = \frac {\int_ { 0 } ^ { z } \eta_ {\delta(t) d t } } {\int_ { 0 } ^ {\delta } \eta_ {\delta(t) d t } } \] 로 정의하면 $ \mu $ 는 $ C ^ {\infty } $ 함수이고 증가함수이다. 그리고 $ x \leq 0 $ 이면 $ \mu=0 $ 이고 $ x \geq \delta $ 이 면 $ \mu=1 $ 을 만족시키는 것을 쉽게 알 수 있다(그릴 8.11).</p> <p>한편, $ h: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } $ 를<caption>(8.1.27)</caption>\[ h(x, y)= \eta \left ( \frac { x } {\epsilon } \right ) \cdot \eta \left ( \frac { y } {\epsilon } \right ) \] 로 정의하면 $ h \in C ^ {\infty } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) $ 이고 $ (- \epsilon, \epsilon) \times(- \epsilon, \epsilon) $ 에서 $ h>0 $ 이고 $ x \equiv(- \epsilon, \epsilon) $ $ \times(- \epsilon, \epsilon) $ 이면 $ h=0 $ 이다.</p> <p>아래 증명을 살펴보면 함수 $ f $ 가 $ M-V $ 에서 0 인 것보다 더 강한 조건을 만족시킨 다. 즉, $ \operatorname { supp } (f):= \{ x \in M: f(x) \neq 0 \} \subset V $ 이 되도록 함수 $ f $ 를 정의할 수 있다. $ h_ { p_ { 1 } } + \cdots + h_ { p_ { n } } \geq \delta $ 를 만족시킨다. 따라서 함수 $ f $ 를 \[ f= \mu \circ \left (h_ { p_ { 2 } } + \cdots + h_ { p_ { n } } \right ) \] 으로 정의하면 주어진 조견올 모두 만족시키는 미분가능한 함수이다. 여기서 $ \mu $ 는 식 $ (8.1.33) $ 에 주어진 합수이다.</p> <p>정리 8.1.23의 조건 (i), (ii)를 만족시키는 함수의 모임 $ \left \{\xi_ { V } \right \} _ { V \equiv z } $ 를 $ M $ 의 단위분활 (partition of unity)이라고 한다.</p> <h2>8.1 2차원 미분다양체</h2> <p>이 절에서는 추상곡면 또는 2 차원 미분다양체를 정의하고 그 위에서 주어지는 함수의 미분가능성에 대하여 알아보기로 하자. 그리고 유를리드 공간 $ \mathrm{R}^{3} $ 의 정칙곡면에서 다 루었던 기하학적 개념들을 추상곡면에서 유용하도록 새롭게 정의하기로 한다. 추상곡면을 정의하기 위해서는 우선 위상수학적 개념이 필요하다. 위상(topology) 및 위상공간(topological space)의 정의는 모두 아는 것으로 간주한다. 그리고 위상공간에서의 기본적인 성질, 예를 들면 열린근방(open neighborhood), 하우스도르프(Hausdorff) 공간, 연결(connected)공간, 국소적 연결(locally connected)공간, 옹골집합(compact), 거리계량을 줄 수 있는 공간(metrizable space), 위상동형사상(homeomorhism) 동도 모두 알고 있는 것으로 가정한다. 필요하면 다른 위상수학책을 참고하기로 한다.</p> <p>정의에 의해 $ \mathrm{x}(U) $ 는 점 $ p $ 의 열린근방이다. 또, $ \mathrm{x} $ 의 역함수 $ \mathrm{x}^{-1} $ 을 성분함수로 나 타내면 $ \mathrm{x}^{-1}=\left(x_{1}, x_{2}\right) $ 또는 $ \mathrm{x}^{-1}=(x, y) $ 로 표현할 수 있다. 그리고 다른 개념과 혼동하지 않고 의미가 명확한 경우에 좌표함수 $ \mathrm{x}: U \subset \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathrm{x}(U) \subset M $ 을 간단히 $ \mathrm{x}: U \rightarrow M $ 으로 나타내기로 한다.</p> <p>다음정리는 연결집합이고 국소적 유클리드 평면인 하우스도르프 공간이 2 차원 위상다양체가 되기 위한 동치조건을 열거한 것으로 증명은 생락하기로 한다.</p> <p>위상공간 $ M $ 의 열린덮개(open covering)에 대하여 항상 국소적으로 유한개(locally finite)인 열린 세분덮개(open refinement)가 존재할 때 $ M $ 을 파라컴팩트(paracompact)라 고 한다. $ \left\{O_{i}\right\}_{i \in A} $ 을 위상공간 $ M $ 의 열린덮개라 할 때, 각 점 $ p \in M $ 에 대하여 열린 근방 $ U $ 가 존재하여 집합 $ \left\{i \in \Lambda \mid U \cap O_{i} \neq \phi\right\} $ 가 유한집합이면 $ \left\{O_{i}\right\}_{i} \equiv A $ 를 국소적으로 유한개인 열린덮개라고 한다. 또, 개부분집합 의 모임 $ \left\{V_{j}\right\}_{j} \notin \Gamma $ 의 각 $ j $ 에 대하여 $ V_{j} \subset O_{i} $ 를 만족시키는 $ i \in A $ 가 존재할 때 $ \left\{V_{j}\right\}_{j \in r} $ 를 $ \left\{O_{i}\right\}_{i \in A} $ 의 열린세분이라고 한다.</p> <p>위상공간 $ M $ 에 제 2 가산기저(countable basis)가 존재할 때 $ M $ 이 제 2 가산공리를 만족 시킨다고 한다. 가산개의 개부분집합 $ \left\{O_{i}\right\} $ 가 $ M $ 의 위상구조를 생성할 때 $ \left\{O_{i}\right\} $ 를 제2 가산기저라고 한다.</p>	자연
이공계를 위한 미분적분학_적분기법의 응용	<p>$ L= \frac {\sqrt { 5 } } { 2 } + \frac {\ln ( \sqrt { 5 } + 2) } { 4 } $</p> <h3>■ 호의 길이 함수</h3> <p>주어진 곡선 위에서 특정한 점에서 다른 임의의 점까지의 호의 길이를 측정하는 함수를 알고 있으면 여러모로 유용하다. 이제 $ a \leq x \leq b $에서 매끄러운 곡선 $ C $의 방정식이 $ y=f(x) $로 주어졌을 때, 점 $ P_ { 0 } (a, f(a)) $로부터 곡선 $ C $를 따라서 점 $ Q(x, f(x)) $까지의 거리를 $ s(x) $라 하자. 이 함수 $ s $를 호의 길이 함수라고 하는데, 공식 ( $2 $)에 의하여<caption>( $5 $)</caption>\[s(x)= \int_ { a } ^ { x } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \] 이 된다. 피적분함수가 연속이므로 식 ( $5 $)에 FTC $1 $을 적용하면<caption>( $6 $)</caption>\[ \frac { d s } { d x } = \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } \] 인데, 식 ( $6 $)으로부터 $ x $에 대한 $ s $의 변화율은 최소한 $1 $이상이고 곡선의 기울기 $ f ^ {\prime } (x) $가 $0 $이면 $1 $이라는 사실을 알 수 있다. 또 식 ( $6 $)으로부터 호의 길이 함수의 미분은<caption>( $7 $)</caption>\[ d s= \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x \] 임을 알 수 있다. 이 식은 종종 다음과 같이 대칭형으로 표현된다.<caption>( $8 $)</caption>\[ (d s) ^ { 2 } =(d x) ^ { 2 } + (d y) ^ { 2 } \]</p> <p>$ L= \frac {\sqrt { 5 } } { 2 } + \frac {\ln ( \sqrt { 5 } + 2) } { 4 } $</p> <h3>■ 호의 길이 함수</h3> <p>주어진 곡선 위에서 특정한 점에서 다른 임의의 점까지의 호의 길이를 측정하는 함수를 알고 있으면 여러모로 유용하다. 이제 $ a \leq x \leq b $ 에서 매끄러운 곡선 $ C $의 방정식이 $ y=f(x) $로 주어졌을 때, 점 $ P_ { 0 } (a, f(a)) $로부터 곡선 $ C $를 따라서 점 $ Q(x, f(x)) $까지의 거리를 $ s(x) $라 하자. 이 함수 $ s $를 호의 길이 함수라고 하는데, 공식 ( $2 $)에 의하여<caption>( $5 $)</caption>\[s(x)= \int_ { a } ^ { x } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } dt \] 이 된다. 피적분함수가 연속이므로 식 ( $5 $)에 FTC $1 $을 적용하면<caption>( $6 $)</caption>\[ \frac { d s } { d x } = \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } \] 인데, 식 ( $6 $)으로부터 $ x $에 대한 $ s $의 변화율은 최소한 $1 $ 이상이고 곡선의 기울기 $ f ^ {\prime } (x) $가 $0 $이면 $1 $이라는 사실을 알 수 있다. 또 식 $ (6) $으로부터 호의 길이 함수의 미분은<caption>( $7 $)</caption>$ d s= \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x $ 임을 알 수 있다. 이 식은 종종 다음과 같이 대칭형으로 표현된다.</p> <caption>( $8 $)</caption> <p>$ (d s) ^ { 2 } =(d x) ^ { 2 } + (d y) ^ { 2 } $</p> <p>예제 $1 $ 그림 $2 $와 같이 높이가 $ 20 \mathrm { m } $, 위쪽과 아래쪽 폭이 각각 $ 50 \mathrm { m } $와 $ 30 \mathrm { m } $인 사다리꼴 댐이 있다. 물이 댐의 위쪽으로부터 $ 4 \mathrm { m } $ 아래에까지 차 있을 때, 수압에 의하여 댐에 가해지는 힘을 구하여 보자. 먼저 $ x $축을 중심으로 하고 수면을 원점에 맞추어 댐을 좌표평면에 그리면 그림 $3 $(a)와 같다. 물의 깊이가 $16 \mathrm { m } $이므로 구간 $ [0,16] $을 점 $ x_ { i } $들로 등분하고 $ x_ { i } ^ { * } \in \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $를 표본점으로 선택하자. 그러면 댐의 $ i $번째 띠는 세로가 $ \Delta x $이고 가로가 $ w_ { i } $인 직사각형으로 근사된다. 그림 $3 $(b)의 닮음삼각형의 비에 의해 $ \frac { a } { 16-x_ { i } ^ { * } } = \frac { 10 } { 20 } $, 즉 $ a=8- \frac { x_ { i } ^ { * } } { 2 } $이므로 $ w_ { i } =2(15 + a)=46-x_ { i } ^ { * } $이다. 따라서 $ i $번째 띠의 넓이를 $ A_ { i } $라고 하면 \[A_ { i } \approx w_ { i } \Delta x= \left (46-x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x \]로 근사된다. 만약 $ i $번째 띠에 미치는 물의 압력 $ P_ { i } $가 일정하다고 가정하면, 물의 밀도가 $ \rho=1000 \mathrm { ~kg } / \mathrm { m } ^ { 3 } $이므로 식 ( $1 $)에 의해 $ P_ { i } \approx 1000 \mathrm { ~g } x_ { i } ^ { * } $를 얻는다. 따라서 $ i $번째 띠에 작용하는 힘은 \[F_ { i } =P_ { i } A_ { i } \approx 1000 g x_ { i } ^ { * } \left (46-x_ { i } ^ { * } \right ) Delta x \] 로 근사되고, 이들을 모두 더한 리만합에 극한을 취하면 댐에 가해지는 전체 힘이 되므로 \[ \begin {aligned} F &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } 1000 g x_ { i } ^ { * } \left (46-x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x= \int_ { 0 } ^ { 16 } 1000 g x(46-x) d x \\&=1000(9.8) \left [23 x ^ { 2 } - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 16 } \approx 4.43 \times 10 ^ { 7 } \mathrm { ~N } \end {aligned} \] 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 $2 $ 반지름이 $ 3 \mathrm { m } $의 원통드럼이 $ 10 \mathrm { m } $ 깊이의 물에 옆으로 잠겨 있다. 드럼의 한 쪽 원판에 가해진 힘을 구하기 위해, 원판의 원점이 드럼의 중심에 놓이도록 좌표평면에 그리면 그림 $4 $와 같다.</p> <p>이제 경계가 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =9 $인 원판을 동일한 간격 $ \Delta y $을 가지는 수평 띠로 분할하고, 각 부분띠에서 표준점으로 $ y_ { i } ^ { * } $를 택하자. 그러면 $ i $번째 부분띠의 가로는 $ 2 \sqrt { 9- \left (y_ { i } ^ { * } \right ) ^ { 2 } } $로 근사되므로, 부분띠의 넓이의 근사는 \[A_ { i } \approx 2 \sqrt { 9- \left (y_ { i } ^ { * } \right ) ^ { 2 } } \Delta y \] 가 된다. 물의 무게밀도 $ \rho g $는 $ 62.5 \mathrm { ~kg } / \mathrm { m } ^ { 3 } $이므로, 부분띠에 미치는 압력은 $ \rho g d_ { i } =62.5 \left (7-y_ { i } ^ { * } \right ) $ 로 근사되고, 따라서 작용하는 힘은 \[ \rho g d_ { i } A_ { i } =62.5 \left (7-y_ { i } ^ { * } \right ) 2 \sqrt { 9- \left (y_ { i } ^ { * } \right ) ^ { 2 } } \Delta y \] 이다. 이들을 모두 합한 리만 합에 극한을 취함으로써 드럼의 한 쪽 끝 원판에 가해지는 힘을 얻으면, \[ \begin {aligned} F &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } 62.5 \left (7-y_ { i } ^ { * } \right ) 2 \sqrt { 9- \left (y_ { i } ^ { * } \right ) ^ { 2 } } \Delta y \\&=125 \int_ { -3 } ^ { 3 } (7-y) \sqrt { 9-y ^ { 2 } } d y \\&=125 \cdot 7 \int_ { -3 } ^ { 3 } \sqrt { 9-y ^ { 2 } } d y-125 \int_ { -3 } ^ { 3 } y \sqrt { 9-y ^ { 2 } } d y \end {aligned} \] 가 된다. 두 번째 적분은 피적분함수가 홀함수이므로 적분값이 $0 $ 이고, 첫 번째 적분은 반지름 $3 $인 반원의 넓이이므로 $ F=875 \cdot \frac { 1 } { 2 } \pi(3) ^ { 2 } = \frac { 7875 \pi } { 2 } \approx 12,370 \mathrm { ~kg } $이다.</p> <p>곡선의 방정식이 $ c \leq y \leq d $에서 $ x=g(y) $로 주어지고 $ g ^ {\prime } $이 연속이면 공식 ( $2 $) 또는 ( $3 $)에서 $ x $와 $ y $의 역할이 바뀌므로 다음과 같은 공식을 얻는다.</p> <p>$2 $ 곡선의 방정식이 $ c \leq y \leq d $에서 $ x=g(y) $로 주어지고 $ g ^ {\prime } $이 연속이면 곡선 $ x=g(y) $의 길이는<caption>( $4 $)</caption>$ L= \int_ { c } ^ { d } \sqrt { 1 + \left [g ^ {\prime } (y) \right ] ^ { 2 } } d y= \int_ { c } ^ { d } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y $ 이다.</p> <p>예제 $2 $ 포물선 $ y ^ { 2 } =x $ 위의 두 점 $ (0,0) $과 $ (1,1) $사이의 호의 길이를 구하여 보자. $ x=y ^ { 2 } $로부터 $ d x / d y=2 y $이므로 공식 ( $4 $)에 의하여 \[ L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + 4 y ^ { 2 } } d y \] 이다. $ y= \frac { 1 } { 2 } \tan \theta $의 삼각치환을 이용하면 $ d y= \frac { 1 } { 2 } \sec ^ { 2 } \theta $이고 $ \sqrt { 1 + 4 y ^ { 2 } } = $ $ \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } = \sec \theta $이다. 또 $ y=0 $일 때 $ \tan \theta=0 $, 즉 $ \theta=0 $이고 $ y=1 $일 때 $ \tan \theta=2 $, 즉 $ \theta= \tan ^ { -1 } 2= \alpha $이므로 \[ \begin {array} { r } L= \int_ { 0 } ^ {\alpha } \sec \theta \cdot \frac { 1 } { 2 } \sec ^ { 2 } \theta d \theta= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\alpha } \sec ^ { 3 } \theta d \theta \\= \frac { 1 } { 4 } [ \sec \theta \tan \theta + \ln \| \sec \theta + \tan \theta\|]_ { 0 } ^ {\alpha } \\= \frac { 1 } { 4 } ( \sec \alpha \tan \alpha + \ln \| \sec \alpha + \tan \alpha\|) \end {array} \] 인데, 여기서 $ \sec ^ { 3 } \theta $의 적분은 $ 7.2 $절의 예제 $7 $의 결과를 이용하였다. 그러면 $ \tan \alpha=2 $로부터 $ \sec ^ { 2 } \alpha=1 + \tan ^ { 2 } \alpha=5 $, 즉 $ \sec \alpha= \sqrt { 5 } $를 얻으므로 구하 는 호의 길이 $ L $은 다음과 같다.</p> <p>$ 5 $ $n $개 입자의 총질량의 $ m $이면 질량 중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $는 다음으로 결정된다.<caption>( $7 $)</caption>\[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } , \quad \bar { y } = \frac { M_ { x } } { m } \]</p> <p>실제로 $ m \bar { x } =M_ { y } $와 $ m \bar { y } =M_ { x } $인데, 이것은 결국 질량이 $ m $인 입자 하나가 계와 같은 모멘트를 가지는 지점이 바로 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $임을 말해준다.</p> <p>예제 $3 $ 질량 $ 3,4,8 $인 세 입자가 각각 평면에서 $ (-1,1),(2,-1),(3,2) $에 위치한 계가 있다(그림 $9 $ 참조).</p> <p>식 ( $5 $)와 ( $6 $)으로부터 계의 모멘트는 \[ \begin {array} { l } M_ { y } =3(-1) + 4(2) + 8(3)=29, \\M_ { x } =3(1) + 4(-1) + 8(2)=15 \end {array} \] 이다. $ m=3 + 4 + 8=15 $ 이므로 식 ( $7 $)에 따라서 \[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } = \frac { 29 } { 15 } , \quad \bar { y } = \frac { M_ { x } } { m } = \frac { 15 } { 15 } =1, \] 즉 질량중심은 $ \left (1 \frac { 14 } { 15 } , 1 \right ) $이다.</p> <p>다음으로 균등한 밀도 $ \rho $를 가진 얇은 막을 생각해보자. 모양이 평면 도형인 $ \Re $과 같은 얇은 막의 질량중심을 찾는데 대칭성의 원리(symmetry principle)가 요구된다. 대칭성의 원리란 만일 $ \Re $이 직선 $ l $에 대하여 대칭이면 $ \Re $의 질량중심은 $ l $ 위에 놓인다는 것이다. 이 원리에 따르면 직사각형의 질량중심은 직사각형의 중심이 된다. 평판의 모멘트를 정의할 때 유의해야 할 점은 평판의 전체 질량이 질량중심에 집중되어 있다고 해도 그 모멘트가 변하지 않아야 하고, 또 서로 겹치지 않는 두 영역을 합한 평판의 모멘트는 각 부분의 모멘트의 합과 같아야 한다는 것이다.</p> <p>$14 $. $ y=2 ^ { x } , 0 \leq x \leq 3 $</p> <p>$15 $. $ x=y + y ^ { 3 } , 1 \leq y \leq 4 $</p> <p>$16 $. $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $</p> <p>※ $(17-20) $ $ n=10 $일 때의 심프슨의 공식을 이용하여 다음 호의 길이를 근사하여라. 근사값을 실제 적분값과 비교하여 보아라.</p> <p>$17 $. $ y=x e ^ { -x } , \quad 0 \leq x \leq 5 $</p> <p>$18 $. $ x=y + \sqrt { y } , 1 \leq y \leq 2 $</p> <p>$19 $. $ y= \sec x, \quad 0 \leq x \leq \frac {\pi } { 3 } $</p> <p>$20 $. $ y=x \ln x, 1 \leq x \leq 3 $</p> <p>$21 $. 곡선 $ x ^ { 2 / 3 } + y ^ { 2 / 3 } =1 $을 그리고 대칭성을 이용하여 그 길이를 구하여라.</p> <p>$22 $. (a) 곡선 $ y ^ { 3 } =x ^ { 2 } $을 그려라. (b) 점 $ (0,0) $에서 $ (1,1) $까지의 호의 길이를 식 ( $3 $)과 ( $4 $)를 이용하여 두 가지로 표현하여라. 두 적분 중 하나는 특이적분임을 확인하고 이들을 모두 계산하여라. (c) $ (-1,1) $에서 $ (8,4) $까지의 호의 길이를 구하여라.</p> <p>$23 $. $ P_ { 0 } (1,2) $를 시작점으로 하여 곡선 $ y=2 x ^ { 3 / 2 } $의 호의 길이 함수를 구하여라.</p> <p>$24 $. $ 1 \leq x \leq 4 $에서 곡선 $ y= \int_ { 1 } ^ { x } \sqrt { t ^ { 3 } -1 } d t $의 길이를 구하여라.</p> <p>$25 $. 바람에 의해 연이 서쪽방향으로 날아가고 있다. 땅 위에서 연의 높이 $ ( \mathrm { m } ) $는 수평 위치 $ x=0( \mathrm { ~m } ) $에서 $ x=80 \mathrm { (m) } $까지 다음 식으로 주어진다. \[y=150- \frac { 1 } { 40 } (x-50) ^ { 2 } ( \mathrm { ~m } ) \] 연이 이동한 거리를 구하여라.</p> <p>정의 구간 $[a, b] $의 연속함수 $ y=f(x) $로 표현된 곡선 $C $의 길이 $L $은 곡선을 근사하는 꺽은선 길이의 극한<caption>( $1 $)</caption>\[L= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \quad \] 이다.</p> <p>실제로 호의 길이를 구하려 할 때에 식 ( $1 $)의 계산은 매우 불편하고 번거롭다. 그러나 함수 $ f $가 미분가능하고 $ f ^ {\prime } $가 연속인 경우 호의 길이 $L $은 적분으로 표현된다. 함수 $ f $가 미분가능하고 $ f ^ {\prime } $가 연속인 함수를 매끄러운 함수(smooth function)라 하는데, $x $가 미세하게 변할 때 그곳에서의 기울기 $ f ^ {\prime } (x) $도 미세하게 변하기 때문이다. 매끄러운 함수의 곡선은 매끄러운 곡선(smooth curve)이라 부른다.</p> <p>이제 매끄러운 곡선에서 $ \Delta y_ { i } =y_ { i } -y_ { i-1 } $이라고 하면 $ \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \sqrt {\left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { i } -y_ { i-1 } \right ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left ( \Delta y_ { i } \right ) ^ { 2 } } $ 이다. 그런데 구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $ 에서 함수 $ f $에 대하여 MVT를 적용하면, $ \Delta y_ { i } =f \left (x_ { i } \right )-f \left (x_ { i-1 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) $ 을 만족하는 점 $ x_ { i } ^ { * } \in \left (x_ { i-1 } , x_ { i } \right ) $가 존재하게 된다. 따라서 $ \Delta y_ { i } =f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x $를 얻으므로 $ \begin {aligned} \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| &= \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left ( \Delta y_ { i } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x \right ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \end {aligned} $ 이 된다. 그러면 정의에서의 식 ( $1 $)은 $ L= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x $ 이므로, 정적분의 정의에 따라서 $ L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x $ 가 된다. 도함수 $ f ^ {\prime } $ 가 연속일 때는 $ g(x)= \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } $도 연속이므로 이 적분은 존재한다. 그러므로 다음 정리를 얻는다.</p> <p>이제 매끄러운 곡선에서 $ \Delta y_ { i } =y_ { i } -y_ { i-1 } $이라고 하면 \[ \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \sqrt {\left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { i } -y_ { i-1 } \right ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left ( \Delta y_ { i } \right ) ^ { 2 } } \] 이다. 그런데 구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $에서 함수 $ f $에 대하여 MVT를 적용하면, \[ \Delta y_ { i } =f \left (x_ { i } \right )-f \left (x_ { i-1 } \right )=f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \left (x_ { i } -x_ { i-1 } \right ) \] 을 만족하는 점 $ x_ { i } ^ { * } \in \left (x_ { i-1 } , x_ { i } \right ) $가 존재하게 된다. 따라서 $ \Delta y_ { i } =f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x $를 얻으므로 \[ \begin {aligned} \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| &= \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left ( \Delta y_ { i } \right ) ^ { 2 } } \\&= \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x \right ] ^ { 2 } } = \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \end {aligned} \] 이 된다. 그러면 정의에서의 식 ( $1 $)은 \[L= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \] 이므로, 정적분의 정의에 따라서 \[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 가 된다. 도함수 $ f ^ {\prime } $가 연속일 때는 $ g(x)= \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } $도 연속이므로 이 적분은 존재한다. 그러므로 다음 정리를 얻는다.</p> <h1>8.2 회전곡면의 넓이</h1> <p>회전곡면은 한 곡선이 어떤 직선을 중심축으로 하여 회전할 때 생긴다. 이러한 곡면은 $ 6.2 $절 및 $ 6.3 $절에서 조사한 회전체가 가지는 옆면에 해당된다. 이 절에서는 일반적인 회전곡면의 넓이를 정의할 것인데, 이는 보통 생각하는 상식적 직관과 맞아야 하는 게 중요하다. 즉 어떤 곡면의 넓이가 $ A $라고 하면, 이 표면에 칠할 때 필요한 페인트 양이 넓이가 $ A $인 평면도형에 칠 할 페인트 양과 동일해야 한다.</p> <p>그림 $1 $과 같은 간단한 곡면부터 시작해보자. 밑면의 반지름이 $ r $이고 높이가 $ h $인 원기둥의 겉넓이는 당연히 $ A=2 \pi r h $인데, 이는 그림 $1 $에서와 같이 원기둥을 잘라서 펼치면 가로가 $ 2 \pi r $이고 세로가 $ h $인 직사각형이 되기 때문이다.</p> <p>또한 밑면의 반지름이 $ r $이고 경사면의 길이가 $ l $인 원뿔도 그림 $2 $와 같이 점선을 따라 잘라 펼치면 반지름이 $ l $이고 중심각이 $ \theta=2 \pi r / l $인 부채꼴을 얻는다. 일반적으로 반지름이 $ l $이고 중심각이 $ \theta $인 부채꼴의 넓이는 $ \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \theta $이므로 ( $7.3 $절 연습문제 $30 $ 참조) 이 원뿔의 옆면 넓이는 \[ A= \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \theta= \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \left ( \frac { 2 \pi r } { l } \right )= \pi r l \] 이다.</p> <p>그런데 좀 더 복잡한 회전곡면의 넓이는 어떻게 정의할 것인가? 호의 길이를 구할 때와 마찬가지로 먼저 회전할 곡선을 꺽은선으로 근사하여 보자. 이것을 회전축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면의 넓이는 원래 곡선에 의한 회전곡면의 넓이를 근사하게 될 것이다. 마지막으로 여기에 극한을 취함으로써 회전곡면의 넓이를 얻을 것인데, 이를 지금부터 조사해 보기로 한다.</p> <p>꺽은선의 각 선분에 의한 회전면은 그림 $3 $과 같은 원뿔대이다. 위쪽 반지름과 아래쪽 반지름이 각각 $ r_ { 1 } , r_ { 2 } $이고 경사면의 길이가 $ l $인 원뿔대의 옆면 넓이는 두 부채꼴의 차이로 얻어지므로, \[ A= \pi r_ { 2 } \left (l_ { 1 } + l \right )- \pi r_ { 1 } l_ { 1 } = \pi \left [ \left (r_ { 2 } -r_ { 1 } \right ) l_ { 1 } + r_ { 2 } l \right ] \] 이 된다. 그런데 두 삼각형의 닮음비로부터 $ \frac { l_ { 1 } } { r_ { 1 } } = \frac { l_ { 1 } + l } { r_ { 2 } } $ 즉 $ \left (r_ { 2 } -r_ { 1 } \right ) l_ { 1 } =r_ { 1 } l $이므로 $ A= \pi \left (r_ { 1 } l + r_ { 2 } l \right ) $이다. 특히 원뿔대의 평균 반지름을 $ r= \frac { 1 } { 2 } \left (r_ { 1 } + r_ { 2 } \right ) $라 두면 원뿔대의 옆면 넓이는<caption>( $1 $)</caption>\[ A=2 \pi r l \] 이다. 이제 회전곡면의 넓이를 구할 준비가 되었다.</p> <p>예제 2 포물선 $ y=x ^ { 2 } $위의 두 점 $ (1,1) $과 $ (2,4) $사이의 호를 $ y $축 중심으로 회전시켜서 얻은 회전곡면은 그림 $6 $과 같다. $ y=x ^ { 2 } $과 $ d y / d x=2 x $를 이용하면 공식 ( $3 $)에 의해 회전곡면의 넓이는 \[S= \int 2 \pi x d s= \int_ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x=2 \pi \int_ { 1 } ^ { 2 } x \sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } } d x \] 이다. 이제 $ u=1 + 4 x ^ { 2 } $로 치환하면 $ d u=8 x d x $이고 적분한계는 $5 $와 $17 $이므로 다음과 같이 계산된다.</p> <p>$ S= \frac {\pi } { 4 } \int_ { 5 } ^ { 17 } \sqrt { u } d u= \frac {\pi } { 4 } \left [ \frac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 5 } ^ { 17 } = \frac {\pi } { 6 } (17 \sqrt { 17 } -5 \sqrt { 5 } ) $</p> <p>주 $1 $ 예제 $2 $에서 $ x= \sqrt { y } $와 $ d x / d y=1 /(2 \sqrt { y } ) $를 이용하면 식 ( $4 $)에 따라 \[ \begin {aligned} S=& \int 2 \pi x d s= \int_ { 1 } ^ { 4 } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y=2 \pi \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { y } \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 y } } d y \\ &= \pi \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 4 y + 1 } d y= \frac {\pi } { 4 } \int_ { 5 } ^ { 17 } \sqrt { u } d u= \frac {\pi } { 6 } (17 \sqrt { 17 } -5 \sqrt { 5 } ) \end {aligned} \] 인데, 여기서는 $u=4 y + 1 $의 치환이 사용되었다.</p> <p> <caption>( $2 $)</caption>\[ \sum_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \]</p> <p>리만 합의 식 ( $2 $)의 오른쪽 변은 $ n $이 커질수록 점점 더 좋은 근사값이 되고, 또 $ n \rightarrow \infty $의 극한을 취하면 함수 $ g(x)=2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } $의 적분이 되므로 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 이 되어 다음과 같은 정의를 얻는다.</p> <p>$3 $ 회전곡면의 넓이 $ a \leq x \leq b $에서 양의 매끄러운 함수 $ y=f(x) $가 나타내는 곡선을 $ x $축을 중심으로 회전시켜서 얻은 회전곡면의 넓이 $ S $는<caption>( $3 $)</caption>\[ \begin {aligned} S &= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \\ &= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi y \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x= \int 2 \pi y d s \end {aligned} \] 이다.</p> <p>\[M_ { y } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \rho \overline { x_ { i } } f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x= \rho \int_ { a } ^ { b } x f(x) d x \]</p> <p>마찬가지로, $ x $축에 대한 $ R_ { i } $의 모멘트는 그 질량과 $ x $축에서 $ C_ { i } $까지의 거리인 $ \frac { 1 } { 2 } f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) $의 곱과 같으므로 \[M_ { x } \left (R_ { i } \right )= \left [ \rho f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x \right ] \frac { 1 } { 2 } f \left ( \overline { x_ { i } } \right )= \rho \frac { 1 } { 2 } \left [f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta x \] 이다. 역시 모두 합한 리만 합에 극한을 취하면 $ x $축에 대한 영역 $ \Re $의 모멘트를 얻는다.</p> <p>\[ M_ { x } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \rho \frac { 1 } { 2 } \left [f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta x= \rho \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x \]</p> <p>여러 입자들로 이루어진 계의 경우처럼 여기서도 평판 영역 $ \Re $의 질량중심은 $ m \bar { x } =M_ { y } $와 $ m \bar { y } =M_ { x } $를 만족하도록 정의하게 된다. 그런데 평판의 질량 $ m $은 그것의 밀도와 넓이의 곱이므로 \[m= \rho A= \rho \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \]이다. 따라서 영역 $ \Re $인 평판의 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $는 \[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } = \frac {\int_ { a } ^ { b } x f(x) d x } {\int_ { a } ^ { b } f(x) d x } , \quad \bar { y } = \frac { M_ { x } } { m } = \frac {\int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x } {\int_ { a } ^ { b } f(x) d x } \] 로 결정된다. 여기서 밀도 $ \rho $가 상쇄되어 사라졌는데 이것은 평판의 질량중심이 밀도에 무관함을 말해준다.</p> <p>식 ( $8 $)의 기하학적 의미는 그림 $5 $에 잘 나타나 있는데, 이로부터 식 ( $3 $)과 ( $4 $)도 쉽게 유도된다. 식 ( $8 $)에서 $ d x $를 인수로 분해해내면 식 ( $7 $)을 얻는데, 호의 길이가 $ L= \int d s $이므로 이것은 곧 식 ( $3 $)을 의미한다. 마찬가지로 식 ( $8 $)에서 $ d y $를 인수로 분해해내면 \[d s= \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y \] 를 얻을 수 있고 이것은 곧 공식 ( $4 $)를 나타낸다.</p> <p>예제 $3 $ 곡선 $ y=x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \ln x $에서 $ f(x)=x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 8 } \ln x $라고 하면 $ f ^ {\prime } (x)= 2 x- \frac { 1 } { 8 x } $ 이므로 \[1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } =1 + \left (2 x- \frac { 1 } { 8 x } \right ) ^ { 2 } =4 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 64 x ^ { 2 } } = \left (2 x + \frac { 1 } { 8 x } \right ) ^ { 2 } , \] 즉 $ \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } =2 x + \frac { 1 } { 8 x } $이다. 만약 시작점을 $ P_ { 0 } (1,1) $로 선택하면 호의 길이 함수는 \[ \begin {aligned} s(x) &= \int_ { 1 } ^ { x } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \\& \left .= \int_ { 1 } ^ { x } \left (2 t + \frac { 1 } { 8 t } \right ) d t=t ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \ln t \right ]_ { 1 } ^ { x } =x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \ln x-1 \end {aligned} \] 이다. 예를 들어 $ (1,1) $에서 $ (3, f(3)) $까지의 호의 길이는 \[s(3)=3 ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \ln 3-1=8 + \frac {\ln 3 } { 8 } \approx 8.1373 \] 이다.</p> <p> <caption>( $2 $)</caption>\[ \sum_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \]</p> <p>리만 합의 식 ( $2 $)의 오른쪽 변은 $ n $이 커질수록 점점 더 좋은 근사값이 되고, 또 $ n \rightarrow \infty $의 극한을 취하면 함수 $ g(x)=2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } $의 적분이 되므로 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 이 되어 다음과 같은 정의를 얻는다.</p> <p>$3 $ 회전곡면의 넓이 $ a \leq x \leq b $에서 양의 매끄러운 함수 $ y=f(x) $가 나타내는 곡선을 $ x $축을 중심으로 회전시켜서 얻은 회전곡면의 넓이 $ S $는<caption>(3)</caption>\[ \begin {aligned} S &= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \\ &= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi y \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x= \int 2 \pi y d s \end {aligned} \] 이다.</p> <p>영역 $ \Re $이 그림 $ 10 $(a)와 같이 구간 $ [a, b] $에서의 연속함수 $ f $의 그래프 아래와 $ x $축의 위에 놓인 부분이라고 하자. 구간 $ [a, b] $를 폭이 $ \Delta x $이고 각 끝점들이 $ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $인 $ n $개의 소구간으로 분할하고 표본점을 각 소구간의 중점, 즉 $ x_ { i } ^ { * } = \overline { x_ { i } } = \left (x_ { i-1 } + x_ { i } \right ) / 2 $로 두자. 그러면 그림 $10 $(b)에서 보듯이 영역 $ \Re $은 $ n $개의 부분직사각형들로 근사된다. $ i $번째 근사 직사각형 $ R_ { i } $의 질량중심은 그 한 가운데인 $ C_ { i } \left ( \overline { x_ { i } } , \frac { 1 } { 2 } f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \right ) $이고 넓이는 $ f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x $, 질량은 $ \rho f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x $이다. 그런데 $ y $축에 대한 $ R_ { i } $의 모멘트는 그 질량과 $ y $축에서 $ C_ { i } $까지의 거리인 $ \overline { x_ { i } } $의 곱과 같으므로 \[M_ { y } \left (R_ { i } \right )= \left [ \rho f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x \right ] \overline { x_ { i } } = \rho \overline { x_ { i } } f \left ( \overline { x_ { i } } \right ) \Delta x \] 이다. 이제 이 각각의 모멘트를 합한 리만 합에 $ n \rightarrow \infty $의 극한을 취하면, $ y $축에 대한 영역 $ \Re $의 모멘트를 얻게 된다.</p> <p>$1 $ 호의 길이 $ f, f ^ {\prime } $이 $ [a, b] $에서 연속이면 $ a \leq x \leq b $에서의 곡선 $ y=f(x) $의 길이는<caption>( $2 $)</caption>\[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 또는 라이프니츠 표기법으로<caption>( $3 $)</caption>\[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x \] 이다.</p> <p>예제 $1 $ 곡선 $ y ^ { 2 } =x ^ { 3 } $이 두 점 $ (1,1) $과 $ (4,8) $ 사이에서 이루는 호의 길이를 구하여 보자(그림 $4 $ 참조). 곡선의 그래프 중 $ x $축 위 부분은 $ y=x ^ { 3 / 2 } $이므로 $ \frac { d y } { d x } = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 1 / 2 } $이 된다. 따라서 식 ( $3 $)에 의하면 호의 길이는 \[L= \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x= \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 1 + \frac { 9 } { 4 } x } d x \] 이다. $ u=1 + \frac { 9 x } { 4 } $로 치환하면 $ d u= \frac { 9 d x } { 4 } $이고, $ x=1 $일 때 $ u= \frac { 13 } { 4, } x=4 $일 때 $ u=10 $ 이므로, 구하는 호의 길이는 다음과 같이 계산된다.</p> <p>$ \begin {aligned} L & \left .= \frac { 4 } { 9 } \int_ { 13 / 4 } ^ { 10 } \sqrt { u } d u= \frac { 4 } { 9 } \cdot \frac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 13 / 4 } ^ { 10 } \\ &= \frac { 1 } { 27 } (80 \sqrt { 10 } -13 \sqrt { 13 } ) \end {aligned} $</p> <p>7 두 곡선 $ y=f(x) $와 $ y=g(x) $ 사이의 영역이 가지는 질량 중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $는 다음과 같다.<caption>( $9 $)</caption>\[ \begin {aligned} \bar { x } &= \frac { 1 } { A } \int_ { a } ^ { b } x[f(x)-g(x)] d x \\ \bar { y } &= \frac { 1 } { A } \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } \left ([f(x)] ^ { 2 } -[g(x)] \right ) ^ { 2 } d x \end {aligned} \]</p> <p>예제 $6 $ 직선 $ y=x $와 포물선 $ y=x ^ { 2 } $에 의해 둘러싸인 영역은 그림 $14 $와 같은데, 영역의 넓이는 다음과 같다.</p> <p>\[ \left .A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (x-x ^ { 2 } \right ) d x= \frac { x ^ { 2 } } { 2 } - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 6 } \]</p> <p>이제 $ f(x)=x, g(x)=x ^ { 2 } , a=0, b=1 $이라 두고 식 ( $9 $)를 적용하면, \[ \begin {aligned} \bar { x } &= \frac { 1 } { A } \int_ { 0 } ^ { 1 } x[f(x)-g(x)] d x= \frac { 1 } { 1 / 6 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x \left (x-x ^ { 2 } \right ) d x \\&=6 \left [ \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { x ^ { 4 } } { 4 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \\ \bar { y } &= \frac { 1 } { A } \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } \left ([f(x)] ^ { 2 } -[g(x)] ^ { 2 } \right )= \frac { 1 } { 1 / 6 } \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 2 } -x ^ { 4 } \right ) d x \\&=3 \left [ \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - \frac { x ^ { 5 } } { 5 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 2 } { 5 } \end {aligned} \] 이므로, 질량중심은 $ (1 / 2,2 / 5) $이다.</p> <p>$6 $ 영역이 $ \Re $인 평판의 넓이가 $ A $이면 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $은 다음으로 결정된다.<caption>( $8 $)</caption>\[ \bar { x } = \frac { 1 } { A } \int_ { a } ^ { b } x f(x) d x, \quad \bar { y } = \frac { 1 } { A } \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x \]</p> <p>예제 $4 $ 반지름이 $ r $인 반원판을 그림 $11 $과 같이 놓으면, 대칭성의 원리에 의하여 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $은 $ y $축 위에 있으므로 $ \bar { x } =0 $이 됨을 알 수 있다. 이제 $ f(x)= \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } , a=-r, b=r $라 두면, 식 ( $8 $)에 의해 \[ \bar { y } = \frac { 1 } { A } \int_ { -r } ^ { r } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x \\ = \frac { 1 } {\pi r ^ { 2 } / 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } \int_ { -r } ^ { r } \left ( \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } d x= \frac { 1 } {\pi r ^ { 2 } } \left [r ^ { 2 } x- \frac { x ^ { 3 } } { 3 } \right ]_ { -r } ^ { r } = \frac { 4 r } { 3 \pi } \] 이 되는데, 반원의 넓이 $ A= \pi r ^ { 2 } / 2 $를 이용하였다. 따라서 질량중심은 $ \left (0, \frac { 4 r } { 3 \pi } \right ) $이다.</p> <p>$6 $장에서 적분을 이용하여 넓이, 부피, 함수의 평균값 등을 계산하는 방법을 살펴보았다. 여기서는 곡선의 길이, 입체의 겉넓이와 같은 또 다른 기하학적 양, 그리고 질량중심이라든가 유체의 압력과 같이 현실적으로 의미가 있는 어떤 역학적 양 등을 적분을 이용하여 구해 보도록 한다.</p> <h1>8.1 호의 길이</h1> <p>자를 이용해 잴 수 있는 직선과는 달리, 곡선의 길이는 어떻게 재어야 하는가? 그림 $1 $의 곡선은 이에 맞춘 실의 길이를 자로 재면 될 것이다. 그러나 이런 방법으로는 조금의 오차도 없는 정확한 길이를 얻기 불가능하다. 이제 도형의 넓이나 입체의 부피에 대한 개념을 정의하였던 것처럼 곡선의 길이에 대한 개념을 어떻게 정의해야 하는지 알아보기로 한다.</p> <p>직선에서 잘라낸 유한한 부분을 선분(segment)이라고 하고, 곡선에서 잘라낸 유한한 부분을 호(arc)라고 한다. 주어진 곡선 자체가 유한한 길이를 가진다면 그 곡선 자체는 하나의 호이다. 호의 길이를 정의하기 위하여 어떻게 접근해 가야할까? 선분의 길이는 자로 잴 수 있으므로 호를 선분으로 근사시키는 것으로 출발하여 보자. 실제로 여러 개의 선분으로 연결된 꺽은선(polygonal line)의 길이는 단순히 각 선분의 길이의 합으로 쉽게 구해진다. 따라서 호를 꺽은선으로 근사하여 얻은 길이는 꺽은선에 들어 있는 선분의 개수를 점차 무한히 늘려나감으로써 호의 길이가 될 것인데, 여기서 적분이라는 개념이 대두된다(그림 $2 $ 참조).</p> <p>구간 $[a, b] $에서 정의된 연속함수 $ y = f(x) $가 나타내는 곡선 $C $의 길이 $L $을 구해보기로 하자. 호의 길이를 정의하는 과정은 넓이나 부피를 정의하던 것과 매우 유사하다. 먼저 구간 $[a, b] $를 $n $등분하여 각 끝점들을 $ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \ldots, x_ { n } $라고 하면 각 소구간의 폭은 $ \Delta x=x_ { i } -x_ { i-1 } = \frac { b-a } { n } $ 이다. 이제 $ y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) $라 두면 점 $ P_ { i } \left (x_ { i } , y_ { i_ { i } } \right ) $는 $C $ 위에 있는데, $ P_ { 0 } , P_ { 1 } , \ldots, P_ { n } $를 이어 얻은 꺽은선은 곡선 $C $를 근사한다(그림 $3 $ 참조). 따라서 이 꺽은선의 길이는 $L $의 근사값이 되고, 이것은 $n $이 증가함에 따라 더 좋은 근사값이 된다. 이상을 정리하면 다음과 같은 정의를 얻는다.</p> <p>곡선의 방정식이 $c \leq y \leq d $에서 $ x=g(y) $로 주어지고 $ g ^ {\prime } $이 연속이면 공식( $2 $) 또는 ( $3 $)에서 $x $와 $y $의 역할이 바뀌므로 다음과 같은 공식을 얻는다.</p> <p> 곡선의 방정식이 $ c \leq y \leq d $에서 $ x=g(y) $로 주어지고 $ g ^ {\prime } $이 연속이면 곡선 $ x=g(y) $ 의 길이는<caption>(4)</caption>\[L= \int_ { c } ^ { d } \sqrt { 1 + \left [g ^ {\prime } (y) \right ] ^ { 2 } } d y= \int_ { c } ^ { d } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } dy \]이다.</p> <p>예제 $2 $ 포물선 $ y ^ { 2 } =x $ 위의 두 점 $ (0,0) $과 $ (1,1) $사이의 호의 길이를 구하여 보자. $ x=y ^ { 2 } $로부터 $ d x / d y=2 y $ 이므로 공식 ( $4 $)에 의하여 \[L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + 4 y ^ { 2 } } d y \] 이다. $ y= \frac { 1 } { 2 } \tan \theta $의 삼각치환을 이용하면 $ d y= \frac { 1 } { 2 } \sec ^ { 2 } \theta $이고 $ \sqrt { 1 + 4 y ^ { 2 } } = $ $ \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } = \sec \theta $ 이다. 또 $ y=0 $일 때 $ \tan \theta=0 $, 즉 $ \theta=0 $이고 $ y=1 $일 때 $ \tan \theta=2 $, 즉 $ \theta= \tan ^ { -1 } 2= \alpha $이므로 \[ \begin {aligned} L=& \int_ { 0 } ^ {\alpha } \sec \theta \cdot \frac { 1 } { 2 } \sec ^ { 2 } \theta d \theta= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\alpha } \sec ^ { 3 } \theta d \theta \\&= \frac { 1 } { 4 } [ \sec \theta \tan \theta + \ln \| \sec \theta + \tan \theta\|]_ { 0 } ^ {\alpha } \\&= \frac { 1 } { 4 } ( \sec \alpha \tan \alpha + \ln \| \sec \alpha + \tan \alpha\|) \end {aligned} \] 인데, 여기서 $ \sec ^ { 3 } \theta $의 적분은 $ 7.2 $절의 예제 $7 $의 결과를 이용하였다. 그러면 $ \tan \alpha=2 $로부터 $ \sec ^ { 2 } \alpha=1 + \tan ^ { 2 } \alpha=5 $, 즉 $ \sec \alpha= \sqrt { 5 } $를 얻으므로 구하는 호의 길이 $ L $은 다음과 같다.</p> <p>$14 $. $ y=2 ^ { x } , 0 \leq x \leq 3 $</p> <p>$15 $. $ x=y + y ^ { 3 } , 1 \leq y \leq 4 $</p> <p>$16 $. $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $<p>※ ( $17-20 $) $ n=10 $일 때의 심프슨의 공식을 이용하여 다음 호의 길이를 근사하여라. 근사값을 실제 적분값과 비교하여 보아라.</p> <p>$17 $. $ y=x e ^ { -x } , \quad 0 \leq x \leq 5 $</p> <p>$18 $. $ x=y + \sqrt { y } , 1 \leq y \leq 2 $</p> <p>$19 $. $ y= \sec x, \quad 0 \leq x \leq \frac {\pi } { 3 } $</p> <p>$20 $. $ y=x \ln x, \quad 1 \leq x \leq 3 $</p> <p>$21 $. 곡선 $ x ^ { 2 / 3 } + y ^ { 2 / 3 } =1 $을 그리고 대칭성을 이용하여 그 길이를 구하여라.</p> <p>$22 $. (a) 곡선 $ y ^ { 3 } =x ^ { 2 } $을 그려라. (b) 점 $ (0,0) $에서 $ (1,1) $까지의 호의 길이를 식 ( $3 $)과 ( $4 $)를 이용하여 두 가지로 표현하여라. 두 적분 중 하나는 특이적분임을 확인하고 이들을 모두 계산하여라. (c) $ (-1,1) $에서 $ (8,4) $까지의 호의 길이를 구하여라.</p> <p>$23 $. $ P_ { 0 } (1,2) $를 시작점으로 하여 곡선 $ y=2 x ^ { 3 / 2 } $의 호의 길이 함수를 구하여라.</p> <p>$24 $. $ 1 \leq x \leq 4 $에서 곡선 $ y= \int_ { 1 } ^ { x } \sqrt { t ^ { 3 } -1 } d t $의 길이를 구하여라.</p> <p>$25 $. 바람에 의해 연이 서쪽방향으로 날아가고 있다. 땅 위에서 연의 높이 $ ( \mathrm { m } ) $는 수평 위치 $ x=0( \mathrm { ~m } ) $에서 $ x=80 $ $ ( \mathrm { m } ) $까지 다음 식으로 주어진다. \[y=150- \frac { 1 } { 40 } (x-50) ^ { 2 } ( \mathrm { ~m } ) \] 연이 이동한 거리를 구하여라.</p> <p>$26 $. 연습문제 $21 $을 이용하여 $ 0 \leq x \leq 4 $에서 곡선 $ y= \sqrt { x } $를 직선 $ y=4 $에 대하여 회전한 곡면의 넓이를 적분으로 표현하여라.</p> <p>$27 $. 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } $을 직선 $ y=r $을 중심으로 회전시켜 얻은 곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>$28 $. 곡선 $ y=a x ^ { 2 } $을 $ y $축에 대하여 회전하면 위성 안테나가 만들어진다. 지름이 $ 10 \mathrm { m } $이고 가장 긴은 곳의 길이가 $ 2 \mathrm { m } $인 안테나가 되려면 $ a $를 얼마로 해야 하는가? 이 경우 안테나의 겉넓이를 구하여라.</p> <h1>8.3 역학적 응용</h1> <p>이 절에서는 물리학 및 공학에 활용되는 적분의 수많은 응용 가운데 유체압력과 질량중심에 대하여 고찰하고자 한다. 앞에서 적분을 이용하여 기하학적 도형의 넓이, 부피, 길이를 정의한 것과 마찬가지로 전략은 단순하다. 즉 대상이 되는 물리량을 계산이 단순한 작은 조각들로 쪼개어 나누고, 각각 조각들의 물리량을 모두 합하여 근사한 리만 합에 극한을 취함으로써 적분을 얻어내는 것 이다.</p> <h3>■ 유체압력과 힘</h3> <p>심해의 잠수부들은 바다 더 깊이 잠수할수록 수압이 증가함을 느끼는데, 이것은 그들 위에 있는 물의 무게가 증가하기 때문이다. 그림 $1 $과 같이 넓이가 $ \mathrm { A } \mathrm { m } ^ { 2 } $인 얇은 판이 밀도가 $ \rho \mathrm { kg } / \mathrm { m } ^ { 3 } $인 유체 안에 표면으로부터 $ d \mathrm { ~m } $ 깊이에 수평으로 잠겨 있다고 하자. 이 판의 바로 위쪽에 있는 유체의 부피는 $ V=A d $이고 질량은 $ m= \rho V= \rho A d $이므로 유체에 의하여 판에 가해지는 힘은 \[ F=m g= \rho g A d \] 인데, 이때 $ g $는 중력가속도이다. 따라서 판에 미치는 유체압력 $ P $는 단위넓이에 작용하는 힘으로서<caption>( $1 $)</caption>\[ P= \frac { F } { A } = \rho g d \] 로 정의된다. 실험적으로 확인된 유체압력에 대한 중요한 원리 하나는 유체 안의 한 지점에서의 압력은 모든 방향에서 같다는 것이다. 말하자면 잠수부는 자신의 코와 양쪽 귀에 동일한 압력을 느낀다. 식 ( $1 $)은 유체 안에 있는 수직면이나 벽, 댐 등에 미치는 유체압력을 계산하는 데에 매우 유용하다.</p> <h2>8.1 연습문제</h2> <p>$1 $. 식 ( $3 $)을 이용하여 $ -2 \leq x \leq 1 $에서의 직선 $ y=2-3 x $의 길이를 구하여라. 그리고 평면에서의 두 점 사이의 거리 공식으로 구한 답을 확인해 보아라.</p> <p>$2 $. $ 0 \leq x \leq 2 $에서의 곡선 $ y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } $의 길이를 식 ( $3 $)을 이용하여 구하여라. 주어진 곡선이 사분원임을 참작하여 답을 확인해 보아라.</p> <p>( $3-12 $) 다음에서 주어진 곡선의 길이를 구하여라.</p> <p>$3 $. $ y=1 + 6 x ^ { 3 / 2 } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$4 $. $ y ^ { 2 } =4(x + 4) ^ { 3 } , 0 \leq x \leq 2, y>0 $</p> <p>$5 $. $ y= \frac { 2 } { 3 } \left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 3 / 2 } , 1 \leq x \leq 3 $</p> <p>$6 $. $ y= \frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 x } , \frac { 1 } { 2 } \leq x \leq 1 $</p> <p>$7 $. $ x= \frac { 1 } { 3 } \sqrt { y } (y-3), 1 \leq y \leq 9 $</p> <p>$8 $. $ y= \ln ( \cos x), 0 \leq x \leq \pi / 3 $</p> <p>$9 $. $ y= \cosh x, 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$10 $. $ y ^ { 2 } =4 x, \quad 0 \leq y \leq 2 $</p> <p>$11 $. $ y=e ^ { x } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$12 $. $ y= \ln x, 1 \leq x \leq \sqrt { 3 } $</p> <p>※ ( $13-16 $) 다음 곡선의 길이를 적분식으로 표현하여라(적분을 계산할 필요는 없음).</p> <p>$13 $. $ y= \cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $</p> <p>마지막으로 소개하는 다음 정리는 질량중심과 회전체의 부피 사이의 연관성을 보여주는데, 이 흥미롭고 놀라운 사실을 음미하여 보아라.</p> <p>$8 $ 파포스의 정리(Theorem of Pappus) 평면 영역 $ \Re $을 이 영역 바깥에 놓인 직선 $ l $을 중심으로 회전시켜서 얻은 회전체의 부피 $ V $는 $ \Re $의 넓이 $ A $와 $ \Re $의 질량중심이 회전이동한 거리 $ d $의 곱이다.</p> <p>증명 영역 $ \Re $이 그림 $13 $과 같이 주어지고 회전축 $ l $이 $ y $축인 특별한 경우에 대하여 이 정리를 증명해보자. 먼저 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $이 $ y $축을 중심으로 회전하였을 때의 이동거리를 구하면 $ d=2 \pi \bar { x } $이다. 부피를 구하기 위해 $6.3 $절의 원기둥 쌓기 방법을 적용하면 \[ \begin {aligned} V &= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi x[f(x)-g(x)] d x \\&=2 \pi \int_ { a } ^ { b } x[f(x)-g(x)] d x=2 \pi( \bar { x } A)=A(2 \pi \bar { x } )=A d \end {aligned} \] 인데, 세 번째 등호에서 식 ( $9 $)가 이용되었다.</p> <p>예제 $7 $ 한 평면 위에 반지름 $ r $인 원과 원의 중심으로부터 $ R(>r) $만큼 떨어진 거리에 직선이 놓여 있다. 이 직선을 중심으로 원을 회전시키면 토러스를 얻는다. 먼저 원의 넓이는 $ A= \pi r ^ { 2 } $이고, 대칭성의 원리에 의하여 원의 질량 중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $은 원의 중심이므로 $ \bar { x } =0, \bar { y } =0 $이다. 또한 질량중심이 회전하여 이동한 거리는 $ d=2 \pi R $이므로 파포스의 정리에 의하여 이 토러스의 부피는 아래와 같다. \[V=A d= \left ( \pi r ^ { 2 } \right )(2 \pi R)=2 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } R \]</p> <p>주 예제 $7 $을 $ 6.2 $절의 연습문제 $27 $의 방법과 비교해 보아라.</p> <p>구간 $ [a, b] $에서 정의된 연속함수 $ y=f(x) $가 나타내는 곡선 $ C $의 길이 $ L $을 구해보기로 하자. 호의 길이를 정의하는 과정은 넓이나 부피를 정의하던 것과 매우 유사하다. 먼저 구간 $ [a, b] $를 $ n $등분하여 각 끝점들을 $ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \ldots, x_ { n } $라고 하면 각 소구간의 폭은 \[ \Delta x=x_ { i } -x_ { i-1 } = \frac { b-a } { n } \] 이다. 이제 $ y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) $라 두면 점 $ P_ { i } \left (x_ { i } , y_ { i_ { i } } \right ) $는 $ C $위에 있는데, $ P_ { 0 } , P_ { 1 } , \ldots, P_ { n } $를 이어 얻은 꺾은선은 곡선 $ C $를 근사한다(그림 $3 $ 참조). 따라서 이 꺾은선의 길이는 $ L $의 근사값이 되고, 이것은 $ n $이 증가함에 따라 더 좋은 근사값이 된다.</p> <p>이상을 정리하면 다음과 같은 정의를 얻는다.</p> <p>정의 구간 $ [a, b] $의 연속함수 $ y=f(x) $로 표현된 곡선 $ C $의 길이 $ L $은 곡선을 근사하는 꺾은선 길이의 극한<caption>( $1 $)</caption>\[L= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \quad \] 이다.</p> <p>실제로 호의 길이를 구하려 할 때에 식 ( $1 $)의 계산은 매우 불편하고 번거롭다. 그러나 함수 $ f $가 미분가능하고 $ f ^ {\prime } $가 연속인 경우 호의 길이 $ L $은 적분으로 표현된다. 함수 $ f $가 미분가능하고 $ f ^ {\prime } $가 연속인 함수를 매끄러운 함수(smooth function)라 하는데, $ x $가 미세하게 변할 때 그곳에서의 기울기 $ f ^ {\prime } (x) $도 미세하게 변하기 때문이다. 매끄러운 함수의 곡선은 매끄러운 곡선(smooth curve)이라 부른다.</p> <h2>8.2 연습문제</h2> <p>※ ( $1-4 $) 다음 곡선을 주어진 축을 증심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이를 적분으로 표현하여라(적분을 계산하지는 말 것).</p> <p>$1 $. $ y= \ln x, 1 \leq x \leq 3, x $축</p> <p>$2 $. $ y= \sin ^ { 2 } x, 0 \leq x \leq \pi / 2, x $축</p> <p>$3 $. $ y= \sec x, 0 \leq x \leq \pi / 4, y $축</p> <p>$4 $. $ y=e ^ { x } , 1 \leq y \leq 2, y $ 축</p> <p>※ ( $5-12 $) 다음 주어진 곡선을 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>$5 $. $ y=x ^ { 3 } , 0 \leq x \leq 2 $</p> <p>$6 $. $ 9 x=y ^ { 2 } + 18,2 \leq x \leq 6 $</p> <p>$7 $. $ y= \cosh x, 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$8 $. $ y= \cos 2 x, 0 \leq x \leq \pi / 6 $</p> <p>$9 $. $ x= \frac { 1 } { 3 } \left (y ^ { 2 } + 2 \right ) ^ { 3 / 2 } , 1 \leq y \leq 2 $</p> <p>$10 $. $ x=1 + 2 y ^ { 2 } , 1 \leq y \leq 2 $</p> <p>$11 $. $ y= \sqrt { x } , 4 \leq x \leq 9 $</p> <p>$12 $. $ y= \frac { x ^ { 3 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 x } , \frac { 1 } { 2 } \leq x \leq 1 $</p> <p>※ ( $13-16 $) 다음 주어진 곡선을 $ y $축 증심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>$13 $. $ y= \sqrt[3] { x } , 1 \leq y \leq 2 $</p> <p>$14 $. $ y=1-x ^ { 2 } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <h2>8.1 연습문제</h2> <p>1. 식 ( $3 $)을 이용하여 $ -2 \leq x \leq 1 $에서의 직선 $ y=2-3 x $의 길이를 구하여라. 그리고 평면에서의 두 점 사이의 거리 공식으로 구한 답을 확인해 보아라.</p> <p>2. $ 0 \leq x \leq 2 $ 에서의 곡선 $ y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } $의 길이를 식 ( $3 $)을 이용하여 구하여라. 주어진 곡선이 사분원임을 참작하여 답을 확인해 보아라.</p> <p>※ ( $3-12 $) 다음에서 주어진 곡선의 길이를 구하여라.</p> <p>$3 $. $ y=1 + 6 x ^ { 3 / 2 } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$4 $. $ y ^ { 2 } =4(x + 4) ^ { 3 } , 0 \leq x \leq 2, y>0 $</p> <p>$5 $. $ y= \frac { 2 } { 3 } \left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 3 / 2 } , 1 \leq x \leq 3 $</p> <p>$6 $. $ y= \frac { x ^ { 2 } } { 6 } + \frac { 1 } { 2 x } , \frac { 1 } { 2 } \leq x \leq 1 $</p> <p>$7 $. $ x= \frac { 1 } { 3 } \sqrt { y } (y-3), 1 \leq y \leq 9 $</p> <p>$8 $. $ y= \ln ( \cos x), 0 \leq x \leq \pi / 3 $</p> <p>$9 $. $ y= \cosh x, 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$10 $. $ y ^ { 2 } =4 x, 0 \leq y \leq 2 $</p> <p>$11 $. $ y=e ^ { x } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$12 $. $ y= \ln x, 1 \leq x \leq \sqrt { 3 } $</p> <p>※ $(13-16) $ 다음 곡선의 길이를 적분식으로 표현하여라(적분을 계산할 필요는 없음).</p> <p>$13 $. $ y= \cos x, 0 \leq x \leq 2 \pi $</p> <p>$15 $. $ x= \sqrt { a ^ { 2 } -y ^ { 2 } } , \quad 0 \leq y \leq \frac { a } { 2 } $</p> <p>$16 $. $ x=a \cosh (y / a),-a \leq y \leq a $</p> <p>※ ( $17-20 $) 다음 곡선을 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이를 $ n=10 $일 때의 심프슨 공식을 이용하여 근사하여라.</p> <p>$17 $. $ y= \ln x, 1 \leq x \leq 3 $</p> <p>$18 $. $ y=x + \sqrt { x } , 1 \leq x \leq 2 $</p> <p>$19 $. $ y= \sec x, 0 \leq x \leq \pi / 3 $</p> <p>$20 $. $ y= \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } , 0 \leq x \leq 1 $</p> <p>$21 $. 영역 $ R= \{ (x, y) \mid x \geq 1,0 \leq y \leq 1 / x \} $을 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 입체의 부피는 유한하다 $ (7.7 $절 연습문제 $39 $ 참조). 그러나 이 회전체의 걸넓이는 무한함을 보여라(이 회전체는 아래 그림에 나타내어 있는데, 가브리엘의 나팔이라 부른다).</p> <p>$22 $. $ x \geq 0 $에서의 무한 곡선 $ y=e ^ { -x } $를 $ x $축 중심으로 회전시켜서 얻은 회전곡면의 넓이 구하여라.</p> <p>$23 $. $ a \geq b $일 때 타원 $ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 $ 을 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 곡면을 타원곡면이라고 한다. 이 타원곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>$24 $. $7.3 $절 연습문제 $32 $에서 소개한 토러스의 겉넓이를 구하여라.</p> <p>$25 $. $ a \leq x \leq b $에서의 곡선 $ y=f(x) $를 수평선 $ y=c $를 중심으로 회전시켜 얻은 회전곡면의 넓이를 구하여라. 여기서 $ f(x) \leq c $이다.</p> <h1>Ⅰ. 서론</h1> <p>실리콘 카바이드 ($\mathrm{SiC}$)는 실리콘($\mathrm{Si}$)에 비해, 최대임계 전계가 $10 $배 높으며 에너지 밴드갭이 $3 $배 높기 때문에 높은 항복전압 ($\mathrm{BV}$)을 지니는 우수한 전력 반도체를 제작할 수 있다. $\mathrm{SiC}$가 중요한 역할을 할 수 있는 분야 중 하나가 집적회로(IC)이다. 공정이나 소자가 연구되고 개발되면서 점차 상용화 단계에 진입한 현재 시점에서 $\mathrm{SiC}$ IC에 관해 보고된 바가 많지는 않지만 다양한 개발 분야에서 필요하기 때문에 $\mathrm{SiC}$의 공정, 소자개발을 참고하여 연구가 진행되고 있다. 그 중, 횡형 소자는 평면상으로 배치가 가능하고 소자 간에 격리가 용이하므로 향후 등장하는 $\mathrm{SiC}$ IC 개발에서 필수적으로 개발되어야 하는 소자이다.</p> <p>본 논문에서는 우수한 물성으로 인하여 차세대 반도체 물질로 각광받는 $\mathrm{SiC}$를 기반으로 한 횡형 소자 중에서도 Insulated Gate Bipolar Transistor (IGBT)의 전기적 특성의 향상을 확인한다. 횡형으로 제작되는 IGBT는 구조와 동작원리가 일반적인 수직형 IGBT와 유사하지만 전류의 흐름이 평면상에서 수평으로 형성된다는 차이점이 존재한다. 뿐만 아니라, 횡형 IGBT가 $\mathrm{SiC}$로 제작될 경우, 기존의 Si에 비해서 낮은 이동도와 넓은 공핍영역으로 인한 낮은 전류량을 개선시켜야한다. 이를 해결하기 위해 $\mathrm{SiC}$ 기반의 Lateral IGBT(LIGBT)가 Dual Emitter 구조를 형성하는 소자를 설계 및 제작함으로써 동일 전압 대비 더 많은 전류가 흐르면서 Drift 영역에 따른 항복전압 특성을 확인하였다.</p> <h1>8.1 호의 길이</h1> <p>자를 이용해 잴 수 있는 직선과는 달리, 곡선의 길이는 어떻게 재어야 하는가? 그림 $1 $의 곡선은 이에 맞춘 실의 길이를 자로 재면 될 것이다. 그러나 이런 방법으로는 조금의 오차도 없는 정확한 길이를 얻기 불가능하다. 이제 도형의 넓이나 입체의 부피에 대한 개념을 정의하였던 것처럼 곡선의 길이에 대한 개념을 어떻게 정의해야 하는지 알아보기로 한다.</p> <p>직선에서 잘라낸 유한한 부분을 선분(segment)이라고 하고, 곡선에서 잘라낸 유한한 부분을 호(arc)라고 한다. 주어진 곡선 자체가 유한한 길이를 가진다면 그 곡선 자체는 하나의 호이다. 호의 길이를 정의하기 위하여 어떻게 접근해 가야할까? 선분의 길이는 자로 잴 수 있으므로 호를 선분으로 근사시키는 것으로 출발하여 보자. 실제로 여러 개의 선분으로 연결된 꺽은선(polygonal line)의 길이는 단순히 각 선분의 길이의 합으로 쉽게 구해진다. 따라서 호를 꺽은선으로 근사하여 얻은 길이는 꺽은선에 들어 있는 선분의 개수를 점차 무한히 늘려나감으로써 호의 길이가 될 것인데, 여기서 적분이라는 개념이 대두된다(그림 $2 $ 참조).</p> <p>$1 $ 호의 길이 $ f, f ^ {\prime } $이 $[a, b] $에서 연속이면 $a \leq x \leq b $에서의 곡선 $ y=f(x) $의 길이는<caption>( $2 $)</caption>\[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 또는 라이프니츠 표기법으로<caption>(3)</caption>\[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x \] 이다.</p> <p>예제 $1 $ 곡선 $ y ^ { 2 } =x ^ { 3 } $이 두 점 $ (1,1) $과 $ (4,8) $사이에서 이루는 호의 길이를 구하여 보자(그림 $4 $ 참조). 곡선의 그래프 중 $x $축 위 부분은 $ y=x ^ { 3 / 2 } $이므로 $ \frac { d y } { d x } = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 1 / 2 } $이 된다. 따라서 식 ( $3 $)에 의하면 호의 길이는 $ L= \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x= \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 1 + \frac { 9 } { 4 } x } d x $ 이다. $ u=1 + \frac { 9 x } { 4 } $로 치환하면 $ d u= \frac { 9 d x } { 4 } $이고, $x=1 $일 때 $ u= \frac { 13 } { 4 } $, $x=4 $일 때 $ u=10 $이므로, 구하는 호의 길이는 다음과 같이 계산된다.</p> <p>$ \begin {aligned} L & \left .= \frac { 4 } { 9 } \int_ { 13 / 4 } ^ { 10 } \sqrt { u } d u= \frac { 4 } { 9 } \cdot \frac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 13 / 4 } ^ { 10 } \\ &= \frac { 1 } { 27 } (80 \sqrt { 10 } -13 \sqrt { 13 } ) \end {aligned} $</p> <p>주 식 ( $3 $)의 마지막 항은 $8.1 $절의 식 ( $7 $)에 의한 것이다.</p> <p>마찬가지로 $ y $축을 중심으로 회전하는 경우도 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$4 $ 회전곡면의 넓이 $ c \leq y \leq d $에서 양의 매끄러운 함수 $ x=g(y) $가 나타내는 곡선을 $ y $축 중심으로 회전시킨 회전곡면의 넓이는<caption>( $4 $)</caption>\[ \begin {aligned} S &= \int_ { c } ^ { d } 2 \pi g(y) \sqrt { 1 + \left [g ^ {\prime } (y) \right ] ^ { 2 } } d y \\&= \int_ { c } ^ { d } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y= \int 2 \pi x d s \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 $1 $ $-1 \leq x \leq 1 $에서 곡선 $ y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } $은 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $의 일부이다. 이 호를 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 곡면은 반지름 $2 $인 구면의 일부이다(그림 $5 $ 참조). 식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $를 음함수 미분하면 \[d y / d x=(1 / 2) \left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { -1 / 2 } (-2 x)=-x / \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \] 이므로, 공식 ( $3 $)에 의하여 구하는 곡면의 넓이는 다음과 같다.</p> <p>$ S= \int_ { -1 } ^ { 1 } 2 \pi \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 4-x ^ { 2 } } } d x=2 \pi \int_ { -1 } ^ { 1 } 2 d x=8 \pi $</p> <p>※ ( $10-11 $) 입자들이 $ x $축에 아래 그림과 같이 위치해 있을 때, 원점에 대한 계의 모멘트 $ M $과 질량중심 $ \bar { x } $를 구하여라.</p> <p>※ ( $12-13 $) 점 $ P_ { i } $에 위치해 있는 질량 $ m_ { i } $의 입자들로 이루어진 계의 모멘트 $ M_ { x } , M_ { y } $와 질량중심을 구하여라.</p> <p>$12 $. $ m_ { 1 } =6, m_ { 2 } =5, m_ { 3 } =10; $ $ P_ { 1 } (1,5), P_ { 2 } (3,-2), P_ { 3 } (-2,-1) $</p> <p>$13 $. $ m_ { 1 } =6, m_ { 2 } =5, m_ { 3 } =1, m_ { 4 } =4; $ $ P_ { 1 } (1,-2), P_ { 2 } (3,4), P_ { 3 } (-3,-7), P_ { 4 } (6,-1) $</p> <p>※ ( $14-17 $) 다음 곡선에 의해 둘러싸인 영역을 그리고 질량중심의 위치를 추정해보아라. 그리고 질량중심의 정확한 좌표를 구하여라.</p> <p>$14 $. $ 3 x + 2 y=6, \quad y=0, x=0 $</p> <p>$15 $. $ y=4-x ^ { 2 } , \quad y=0 $</p> <p>$16 $. $ y=1 / x, y=0, x=1, x=2 $</p> <p>$17 $. $ y=e ^ { x } , \quad y=0, x=0, x=1 $</p> <p>( $18-21 $) 다음 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역의 질량중심을 구하여라.</p> <p>$18 $. $ y= \sqrt { x } , y=x $</p> <p>$19 $. $ y= \sin x, y= \cos x, x=0, x= \pi / 4 $</p> <p>$20 $. $ y=x, y=0, y=1 / x, x=2 $</p> <p>$21 $. $ x=5-y ^ { 2 } , x=0 $</p> <p>( $22-24 $) 아래와 같이 주어진 형태를 가지는 얇은 판이 주어진 밀도를 가질 때, 판의 모멘트 $ M_ { x } , M_ { y } $와 질량중심을 구하여라.</p> <p>주 식 ( $3 $)의 마지막 항은 $8.1 $절의 식 ( $7 $)에 의한 것이다.</p> <p>마찬가지로 $ y $축을 중심으로 회전하는 경우도 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$4 $ 회전곡면의 넓이 $ c \leq y \leq d $에서 양의 매끄러운 함수 $ x=g(y) $가 나타내는 곡선을 $ y $축 중심으로 회전시킨 회전곡면의 넓이는<caption>(4)</caption>\[ \begin {aligned} S &= \int_ { c } ^ { d } 2 \pi g(y) \sqrt { 1 + \left [g ^ {\prime } (y) \right ] ^ { 2 } } d y \\&= \int_ { c } ^ { d } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y= \int 2 \pi x d s \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 $1 $ $-1 \leq x \leq 1 $에서 곡선 $ y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } $은 원 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $의 일부이다. 이 호를 $ x $축 중심으로 회전시켜 얻은 곡면은 반지름 $2 $인 구면의 일부이다 (그림 $5 $ 참조). 식 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =4 $를 음함수 미분하면 \[d y / d x=(1 / 2) \left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { -1 / 2 } (-2 x)=-x / \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \] 이므로, 공식 ( $3 $)에 의하여 구하는 곡면의 넓이는 다음과 같다.</p> <p>$ S= \int_ { -1 } ^ { 1 } 2 \pi \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \sqrt { 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 4-x ^ { 2 } } } d x=2 \pi \int_ { -1 } ^ { 1 } 2 d x=8 \pi $</p> <h3>■ 모멘트와 질량중심</h3> <p>그림 $5 $에서와 같이 주어진 형태의 얇은 판이 수평적으로 균형을 이루는 점 $ P $를 질량중심(center of mass) 또는 무게중심이라 한다. 앞에서와 같은 방법으로 질량중심을 찾는 문제를 생각해보자.</p> <p>먼저 그림 $6 $과 같이 질량 $ m_ { 1 } $과 $ m_ { 2 } $인 두 입자가 질량을 무시할 수 있을 정도로 가볍고 가는 막대에 의하여 연결되어 있다고 하자. 질량중심에 지레 받침점을 두면 균형이 이루어지는데, 이 점으로부터 두 입자가 각각 $ d_ { 1 } , d_ { 2 } $만큼의 거리에 떨어져 있으면<caption>$ (2) $</caption>\[ m_ { 1 } d_ { 1 } =m_ { 2 } d_ { 2 } \] 이 된다. 이것은 아르키메데스(Archimedes)가 발견한 실험적 사실로 지레의 법칙(Law of the lever)이라고 한다.</p> <p>질량중심이 원점이 되도록 막대를 $ x $축에 놓고 질량 $ m_ { 1 } $과 $ m_ { 2 } $의 두 입자가 각각 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } $에 위치해 있다고 하자. 질량중심이 $ \bar { x } $이면, 그림 $7 $로부터 $ d_ { 1 } = \bar { x } -x_ { 1 } $이고 $ d_ { 2 } =x_ { 2 } - \bar { x } $임을 알 수 있다. 따라서 식 $ (2) $는 $ m_ { 1 } \left ( \bar { x } -x_ { 1 } \right ) $ $ =m_ { 2 } \left (x_ { 2 } - \bar { x } \right ) $, 즉<caption>$ (3) $</caption>\[ \bar { x } = \frac { m_ { 1 } x_ { 1 } + m_ { 2 } x_ { 2 } } { m_ { 1 } + m_ { 2 } } \] 이 된다. 이때 $ m_ { 1 } x_ { 1 } $과 $ m_ { 2 } x_ { 2 } $를 각각 질량 $ m_ { 1 } $과 $ m_ { 2 } $을 가지는 입자의 모멘트(moment)라고 한다. 따라서 식 ( $3 $)은 질량중심이 $ \bar { x } $인 각 입자의 모멘트의 합을 질량의 합 $ m=m_ { 1 } + m_ { 2 } $로 나눈 것이 된다.</p> <p>그림 $4 $와 같이 $ a \leq x \leq b $에서 양의 매끄러운 함수 $ y=f(x) $가 나타내는 곡선을 $ x $ 축을 중심으로 회전시켜 만든 회전곡면을 생각하자. 먼저 구간 $ [a, b] $를 $ n $등분하여 그 끝점들을 $ a=x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } =b $라고 하고 각 소구간의 폭을 $ \Delta x $라고 하자. $ y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) $로 두면 점 $ P_ { i } \left (x_ { i } , y_ { i } \right ) $는 곡선 위에 있게 된다. 그러면 $ x_ { i-1 } $과 $ x_ { i } $ 사이에 놓인 회전곡면은 선분 $ P_ { i-1 } P_ { i } $를 $ x $축 중심으로 회전한 원뿔대로 근사되는데, 이 근사 원뿔대의 경사면의 길이는 $ l= \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| $, 평균 반지름은 $ r= \frac { 1 } { 2 } \left (y_ { i-1 } + y_ { i } \right ) $이다. 따라서 원뿔대의 옆면 넓이 $ A_ { i } $는 식 ( $1 $)에 의하여 \[A_ { i } =2 \pi \frac { y_ { i-1 } + y_ { i } } { 2 } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \] 이다. 이제 구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $에서의 표본점을 $ x_ { i } ^ { * } $ 라 하면, $8.1 $절의 식 ( $2 $)를 유도 하는 과정에서 \[ \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \] 임을 알았다. 함수 $ f $ 가 연속이므로 $ \Delta x $ 가 작으면 \[y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) \approx f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \approx f \left (x_ { i-1 } \right )=y_ { i-1 } \] 이다. 따라서 \[A_ { i } =2 \pi \frac { y_ { i-1 } + y_ { i } } { 2 } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \approx 2 \pi \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ] ^ { 2 } \right . } \Delta x \] 이고 이들을 모두 합한 리만 합은 회전곡면의 넓이의 근사값이 된다.</p> <p>일반적으로 질량이 각각 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } , \ldots, m_ { n } $인 $ n $개의 입자가 $ x $축에서 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } $에 위치하고 있는 계(system)의 질량중심은<caption>( $4 $)</caption>\[ \bar { x } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } x_ { i } } {\sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } x_ { i } } { m } \] 인데, 여기서 $ m= \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } $은 계의 총 질량이다.</p> <p>각 입자들의 모멘트의 총합 $ M= \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } x_ { i } $를 원점에 대한 계의 모멘트라고 한다. 식 ( $4 $)로부터 $ m \bar { x } =M $ 이 되는데, 이것은 입자들의 질량이 모두 질량중심 $ \bar { x } $인 경우 입자들의 모멘트의 합이 계의 모멘트가 된다는 사실을 말해준다.</p> <p>이제 질량이 각각 $ m_ { 1 } , m_ { 2 } , \ldots, m_ { n } $인 $ n $개의 입자가 $ x y $평면의 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ), \cdots, \left (x_ { n } , y_ { n } \right ) $에 있는 계를 생각해보자(그림 $8 $ 참조). 위의 직선에서와 마찬가지로<caption>( $5 $)</caption>\[ M_ { y } = \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } x_ { i } \] 를 $ y $축에 대한 계의 모멘트라고 정의하고 또<caption>( $6 $)</caption>\[M_ { x } = \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } y_ { i } \] 를 $ x $축에 대한 계의 모멘트라고 정의한다. 그러면 $ M_ { x } $는 $ x $축을 중심으로 회전하려는 편향성, 그리고 $ M_ { y } $는 $ y $축을 중심으로 회전하려는 편향성을 나타내게 된다. 계의 총 질량을 $ m= \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } $라고 하면, 계의 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $는 다음과 같다.</p> <p>예제 $5 $ 곡선 $ y= \cos x $와 $ y=0, x=0 $로 둘러싸인 영역은 그림 $12 $에 나타나 있다.</p> <p>이 영역의 넓이는 $ \left .A= \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \cos x d x= \sin x \right ]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } =1 $이다. 그러면 공식 ( $8 $)에 의해 \[ \begin {aligned} \bar { x } &= \frac { 1 } { A } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } x f(x) d x= \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } x \cos x d x \\&=x \sin ]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } - \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \sin x d x= \frac {\pi } { 2 } -1 \\ \bar { y } &= \frac { 1 } { A } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \cos ^ { 2 } x d x \\&= \frac { 1 } { 4 } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } (1 + \cos 2 x) d x= \frac { 1 } { 4 } [x + (1 / 2) \sin 2 x]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } = \frac {\pi } { 8 } \end {aligned} \] 인데, 첫째 적분에는 부분적분을 사용하였다. 따라서 질량중심은 $ (( \pi / 2)-1, \pi / 8) $이다.</p> <p>영역 $ \Re $이 그림 $13 $과 같이 $ f(x) \geq g(x) $인 두 곡선 $ y=f(x) $와 $ y=g(x) $ 사이에 놓여 있을 때에도 앞에서와 마찬가지로 질량중심 $ ( \bar { x } , \bar { y } ) $를 구할 수 있다. 여기서 $ A= \int_ { a } ^ { b } \|f(x)-g(x)\| d x $임에 유의하자.</p> <h1>8.2 회전곡면의 넓이</h1> <p>회전곡면은 한 곡선이 어떤 직선을 중심축으로 하여 회전할 때 생긴다. 이러한 곡면은 $ 6.2 $절 및 $ 6.3 $절에서 조사한 회전체가 가지는 옆면에 해당된다. 이 절에서는 일반적인 회전곡면의 넓이를 정의할 것인데, 이는 보통 생각하는 상식적 직관과 맞아야 하는 게 중요하다. 즉 어떤 곡면의 넓이가 $ A $라고 하면, 이 표면에 칠할 때 필요한 페인트 양이 넓이가 $ A $인 평면도형에 칠 할 페인트 양과 동일해야 한다.</p> <p>그림 $1 $과 같은 간단한 곡면부터 시작해보자. 밑면의 반지름이 $ r $이고 높이가 $ h $인 원기둥의 겉넓이는 당연히 $ A=2 \pi r h $인데, 이는 그림 $1 $에서와 같이 원기둥을 잘라서 펼치면 가로가 $ 2 \pi r $이고 세로가 $ h $인 직사각형이 되기 때문이다.</p> <p>또한 밑면의 반지름이 $ r $이고 경사면의 길이가 $ l $인 원뿔도 그림 $2 $와 같이 점선을 따라 잘라 펼치면 반지름이 $ l $이고 중심각이 $ \theta=2 \pi r / l $인 부채꼴을 얻는다. 일반적으로 반지름이 $ l $이고 중심각이 $ \theta $인 부채꼴의 넓이는 $ \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \theta $이므로 ( $7.3 $절 연습문제 $30 $ 참조) 이 원뿔의 옆면 넓이는 $ A= \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \theta= \frac { 1 } { 2 } l ^ { 2 } \left ( \frac { 2 \pi r } { l } \right )= \pi r l $ 이다.</p> <p>그런데 좀 더 복잡한 회전곡면의 넓이는 어떻게 정의할 것인가? 호의 길이를 구할 때와 마찬가지로 먼저 회전할 곡선을 꺽은선으로 근사하여 보자. 이것을 회전축을 중심으로 회전시켜 얻은 회전면의 넓이는 원래 곡선에 의한 회전곡면의 넓이를 근사하게 될 것이다. 마지막으로 여기에 극한을 취함으로써 회전곡면의 넓이를 얻을 것인데, 이를 지금부터 조사해 보기로 한다.</p> <p>꺽은선의 각 선분에 의한 회전면은 그림 $3 $과 같은 원뿔대이다. 위쪽 반지름과 아래쪽 반지름이 각각 $ r_ { 1 } , r_ { 2 } $이고 경사면의 길이가 $ l $인 원뿔대의 옆면 넓이는 두 부채꼴의 차이로 얻어지므로, \[A= \pi r_ { 2 } \left (l_ { 1 } + l \right )- \pi r_ { 1 } l_ { 1 } = \pi \left [ \left (r_ { 2 } -r_ { 1 } \right ) l_ { 1 } + r_ { 2 } l \right ] \] 이 된다. 그런데 두 삼각형의 닮음비로부터 $ \frac { l_ { 1 } } { r_ { 1 } } = \frac { l_ { 1 } + l } { r_ { 2 } } $ 즉 $ \left (r_ { 2 } -r_ { 1 } \right ) l_ { 1 } =r_ { 1 } l $이므로 $ A= \pi \left (r_ { 1 } l + r_ { 2 } l \right ) $이다. 특히 원뿔대의 평균 반지름을 $ r= \frac { 1 } { 2 } \left (r_ { 1 } + r_ { 2 } \right ) $라두면 원뿔대의 옆면 넓이는<caption>( $1 $)</caption>$ A=2 \pi r l $ 이다. 이제 회전곡면의 넓이를 구할 준비가 되었다.</p> <p>주 $2 $ 예제 $2 $의 답을 확인하는 차원에서 그림 $6 $을 살펴보자. 회전체의 위와 아래 반지름의 평균 반지름을 갖고 같은 높이를 갖는 원기둥의 옆면 넓이 $ 2 \pi(1.5)(3) \approx 28.27 $는 회전곡면의 넓이와 비슷할 것이다. 예제 $2 $의 계산결과에 따르면 이 회전곡면의 넓이는 \[ \frac {\pi } { 6 } (17 \sqrt { 17 } -5 \sqrt { 5 } ) \approx 30.85 \] 로 거의 비슷하다. 한편 그림 $6 $을 보면 이 값은 위와 아래의 반지름 및 높이가 같은 원뿔대의 옆면 넓이보다 약간 더 커야 할 것인데 사실 식 ( $1 $)에서 구한 원뿔대의 옆면 넓이는 $ 2 \pi(1.5) \sqrt { 10 } \approx 29.80 $이므로 일리가 있다.</p> <p>예제 $3 $ $0 \leq x \leq 1 $에서 곡선 $ y=e ^ { x } $를 $ x $축 중심으로 회전시켜 회전체를 얻었다. 이때 $ y=e ^ { x } $와 $ d y / d x=e ^ { x } $를 식 ( $3 $)에 대입하면 회전곡면의 넓이는 $ S=2 \pi \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { x } \sqrt { 1 + e ^ { 2 x } } d x=2 \pi \int_ { 1 } ^ { e } \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } d u $ ( $ u=e ^ { x } $로 치환) $ =2 \pi \int_ {\pi / 4 } ^ {\alpha } \sec ^ { 3 } \theta d \theta $ ( $ u=t \theta $로 치환, $ \alpha= \tan ^ { -1 } e $) $ =2 \pi \cdot \frac { 1 } { 2 } [ \sec \theta \tan \theta + \ln \| \sec \theta + \tan \theta\|]_ {\pi / 4 } ^ {\alpha } $ $ = \pi[ \sec \alpha \tan \alpha + \ln ( \sec \alpha + \tan \alpha)- \sqrt { 2 } - \ln ( \sqrt { 2 } + 1)] $ 이다. $ \tan \alpha=e $로부터 $ \sec ^ { 2 } \alpha=1 + \tan ^ { 2 } \alpha=1 + e ^ { 2 } $이므로 \[ S= \pi \left [e \sqrt { 1 + e ^ { 2 } } + \ln \left (e + \sqrt { 1 + e ^ { 2 } } \right )- \sqrt { 2 } - \ln ( \sqrt { 2 } + 1) \right ] \] 을 얻을 수 있다.</p> <p>예제 $2 $ 포물선 $ y=x ^ { 2 } $위의 두 점 $ (1,1) $과 $ (2,4) $사이의 호를 $ y $축 중심으로 회전시켜서 얻은 회전곡면은 그림 $6 $과 같다. $ y=x ^ { 2 } $과 $ d y / d x=2 x $를 이용하면 공식 ( $3 $)에 의해 회전곡면의 넓이는 \[S= \int 2 \pi x d s= \int_ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x=2 \pi \int_ { 1 } ^ { 2 } x \sqrt { 1 + 4 x ^ { 2 } } d x \] 이다. 이제 $ u=1 + 4 x ^ { 2 } $로 치환하면 $ d u=8 x d x $이고 적분한계는 $5 $와 $17 $이므로 다음과 같이 계산된다.</p> <p>\[ S= \frac {\pi } { 4 } \int_ { 5 } ^ { 17 } \sqrt { u } d u= \frac {\pi } { 4 } \left [ \frac { 2 } { 3 } u ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 5 } ^ { 17 } = \frac {\pi } { 6 } (17 \sqrt { 17 } -5 \sqrt { 5 } ) \]</p> <p>주 $1 $ 예제 $2 $에서 $ x= \sqrt { y } $와 $ d x / d y=1 /(2 \sqrt { y } ) $를 이용하면 식 ( $4 $)에 따라 \[ \begin {aligned} S=& \int 2 \pi x d s= \int_ { 1 } ^ { 4 } 2 \pi x \sqrt { 1 + \left ( \frac { d x } { d y } \right ) ^ { 2 } } d y=2 \pi \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { y } \sqrt { 1 + \frac { 1 } { 4 y } } d y \\ &= \pi \int_ { 1 } ^ { 4 } \sqrt { 4 y + 1 } d y= \frac {\pi } { 4 } \int_ { 5 } ^ { 17 } \sqrt { u } d u= \frac {\pi } { 6 } (17 \sqrt { 17 } -5 \sqrt { 5 } ) \end {aligned} \] 인데, 여기서는 $u=4y + 1 $의 치환이 사용되었다.</p> <p>그림 $4 $와 같이 $ a \leq x \leq b $에서 양의 매끄러운 함수 $ y=f(x) $가 나타내는 곡선을 $ x $축을 중심으로 회전시켜 만든 회전곡면을 생각하자. 먼저 구간 $ [a, b] $를 $ n $등분하여 그 끝점들을 $ a=x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } =b $라고 하고 각 소구간의 폭을 $ \Delta x $라고 하자. $ y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) $로 두면 점 $ P_ { i } \left (x_ { i } , y_ { i } \right ) $는 곡선 위에 있게 된다. 그러면 $ x_ { i-1 } $과 $ x_ { i } $사이에 놓인 회전곡면은 선분 $ P_ { i-1 } P_ { i } $를 $ x $축 중심으로 회전한 원뿔대로 근사되는데, 이 근사 원뿔대의 경사면의 길이는 $ l= \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| $, 평균 반지름은 $ r= \frac { 1 } { 2 } \left (y_ { i-1 } + y_ { i } \right ) $이다. 따라서 원뿔대의 옆면 넓이 $ A_ { i } $는 식 ( $1 $)에 의하여 \[ A_ { i } =2 \pi \frac { y_ { i-1 } + y_ { i } } { 2 } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \] 이다. 이제 구간 $ \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] $에서의 표본점을 $ x_ { i } ^ { * } $라 하면, $8.1 $절의 식 ( $2 $)를 유도 하는 과정에서 \[ \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \|= \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \] 임을 알았다. 함수 $ f $가 연속이므로 $ \Delta x $가 작으면 \[y_ { i } =f \left (x_ { i } \right ) \approx f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \approx f \left (x_ { i-1 } \right )=y_ { i-1 } \] 이다. 따라서 \[A_ { i } =2 \pi \frac { y_ { i-1 } + y_ { i } } { 2 } \left \|P_ { i-1 } P_ { i } \right \| \approx 2 \pi \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta x \] 이고 이들을 모두 합한 리만 합은 회전곡면의 넓이의 근사값이 된다.</p>	자연
다변수미적분학	<h3>경우 Ⅲ</h3> <p>정리 $ 3.6 y=f(x), x=x(s, t) $ 가 미분가능하다고 하면, 합성함수 $ y=f(x(s, t)) $ 의 $ s $ 와 $ t $ 에 관한 편도함수는 다음과 같다. \[ \begin{aligned} \frac{\partial y}{\partial s} &=\frac{d y}{d x} \frac{\partial x}{\partial s} \\ \frac{\partial y}{\partial t} &=\frac{d y}{d x} \frac{\partial x}{\partial t} . \end{aligned} \]</p> <h3>경우 Ⅳ</h3> <p>정리 $ 3.7 w=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $ 과 $ x_{i}=x_{i}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right), 1 \leq i \leq n $, 모두 미분가능하다고 하면, 합성함수 $ w=f\left(x_{1}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right), \cdots, x_{n}\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)\right. $ 의 $ t_{j}, \quad 1 \leq j \leq m $, 에 관한 편도함수는 다음과 같다. \[ \frac{\partial w}{\partial t_{j}}=\frac{\partial w}{\partial x_{1}} \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{j}}+\frac{\partial w}{\partial x_{2}} \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{j}}+\cdots+\frac{\partial w}{\partial x_{n}} \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{j}} \]</p> <p>이것을 행렬(matrix)로 표시하면 다음과 같다. \[ \left(\begin{array}{c} \frac{\partial w}{\partial t_{1}} \\ \frac{\partial w}{\partial t_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial w}{\partial t_{m}} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{1}} & \ldots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{1}} \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{2}} & \ldots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{m}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{m}} & \ldots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{m}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \frac{\partial w}{\partial x_{1}} \\ \frac{\partial w}{\partial x_{2}} \\ \vdots \\ \frac{\partial w}{\partial x_{n}} \end{array}\right) \] 여기서 우리는 \[ \frac{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)}{\partial\left(t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{m}\right)}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{1}} & \cdots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{1}} \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{2}} & \cdots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{2}} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_{1}}{\partial t_{m}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial t_{m}} & \cdots & \frac{\partial x_{n}}{\partial t_{m}} \end{array}\right) \] 로 쓰고 $ x_{i} $ 의 $ t_{j} $ 에 대한 편미분 행렬이라 한다.</p> <p>예제 21 $ (x, y) $ 와 $ (r, \theta) $ 를 각각 직교좌표계와 극좌표계라 하자. 다음에 답하라.</p> <ol type=a start=1><li>함수 $ z=f(x, y) $ 에 대하여 $ \partial z / \partial r $ 과 $ \partial z / \partial \theta $ 를 $ \partial z / \partial x $ 과 $ \partial z / \partial y $ 의 항으로 표현하라.</li> <li>$ \partial^{2} z / \partial r^{2} $ 을 직교좌표계로 표현하라.</li></ol> <p>풀이 $ x=r \cos \theta $ 와 $ y=r \sin \theta $ 을 이용하자.</p> <ol type=a start=1><li>일반적인 연쇄법칙에 의하여 \[ \begin{aligned} \left(\begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \theta} \end{array}\right) &=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial z}{\partial x} & \frac{\partial z}{\partial y} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{array}\right) . \end{aligned} \] 이 된다. 우변을 계산하면 \[ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial r} &=\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta \\ \frac{\partial z}{\partial \theta} &=r\left(-\frac{\partial z}{\partial x} \sin \theta+\frac{\partial z}{\partial y} \cos \theta\right) \end{aligned} \] 이 된다.</li> <li>(a)에 의하여 \[ \frac{\partial z}{\partial r}=\frac{\partial z}{\partial x} \cos \theta+\frac{\partial z}{\partial y} \sin \theta \] 이 된다. 따라서 \[ \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}}=\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right) \cos \theta+\frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right) \sin \theta \] 가 된다. 이제 (5)에 $ z $ 대신 $ \partial z / \partial x $ 와 $ \partial z / \partial y $ 를 각각 적용하면 \[ \begin{aligned} \frac{\partial^{2} z}{\partial r^{2}} &=\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \cos \theta+\frac{\partial^{2} z}{\partial y \partial x} \sin \theta\right) \cos \theta+\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \cos \theta+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \sin \theta\right) \sin \theta \\ &=\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \cos ^{2} \theta+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} \sin \theta \cos \theta+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} \sin ^{2} \theta \end{aligned} \] 를 얻는다.</li></ol> <h3>유계인 영역과 유계가 아닌 영역의 정의</h3> <p>어떤 영역이 한 디스크 안에 놓이게 되면 그 영역은 유계(bounded)라고 하고 그렇지 않을 때 그 영역은 유계가 아니다(unbounded)라고 한다.</p> <h3>이변수 함수의 등위선, 그래프의 정의</h3> <p>이변수 함수 $ f(x, y) $ 에 대하여 동일한 함수값, 즉 $ f(x, y) = c $ 인 정의역 안의 점들의 집합을 $ f $ 의 등위선(level curve)이라고 한다. 또한 \[ \{ (x, y, z) \mid z=f(x, y), \quad(x, y) \in R \text { 의 정의역 } \} \] 을 함수 $ f $ 의 그래프(graph)라 한다. 함수 $ f $ 의 그래프를 곡면(surface) $ z= $ $ f(x, y) $ 라고도 한다.</p> <p>이변수 함수의 그래프나 등위선 등은 손으로 그리기가 매우 어렵다. 다음 몇 가지 예를 컴퓨터를 이용하여 구하여보자.</p> <p>예제 2 다음 함수들의 등위선들을 컴퓨터를 이용하여 그려보아라.</p> <ol type=a start=1><li>$ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $</li> <li>$ z= \left (x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \right ) e ^ { 1- \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } $</li> <li>$ z= \sin x + 2 \sin y $</li> <li>$ z=x y e ^ { -y ^ { 2 } } $</li></ol> <p>풀이 Maple을 이용하여 다음과 같이 등위선들을 그릴 수 있다. 특별히 Saint Michacl's College의 Colin Kriwox에 의해 만들어진 Maplet을 이용하면 편리하게 그래프와 등위선들을 살펴볼 수 있다.</p> <ol type=a start=1><li>$ z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } $ 의 등위선들:</li> <li>$ z= \left (x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } \right ) e ^ { 1- \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } $ 의 등위선들:</li> <li>$ z= \sin x + 2 \sin y $ 의 등위선들:</li> <li>$ z=x y e ^ { -y ^ { 2 } } $ 의 등위선들:</li></ol> <p>삼변수 함수 경우도 이변수 함수의 경우와 비슷하게 정의역, 치역, 내부, 외부, 경계, 영역 등이 정의 되고, 등위선 대신 우리는 등위 곡면을 갖는다.</p> <h3>등위면의 정의</h3> <p>삼변수 함수 $ f(x, y, z) $ 에서 동일한 함수값, 즉 $ f(x, y, z)=c $ 가 되는 정의 역 안의 모든 점들의 집합을 $ f $ 의 등위면(level surfaces)이라 한다.</p> <h2>3 편도함수</h2> <p>이 절에서는 일변수 함수의 도함수에 해당하는 다변수 함수의 편도함수를 정의하고 그 성질을 알아 본다.</p> <p>일변수 함수 $ f(x) $ 의 도함수의 정의는 \[ \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=f^{\prime}(x) \] 이다. 이변수 함수 $ f(x, y) $ 의 경우는 점 $ (x, y) $ 가 주어진 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에 가까이 간다는 것이 간단하지 않기 때문에 먼저 우리는 각 좌표축과 평행으로 주어진 점에 접근하는 경우를 살펴보기로 하자. 함수 $ z=f(x, y) $ 에 대하여 $ x $-축과 나란히 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에 가까이 간다는 것은 $ y=y_{0} $ 를 유지하기 때문에 주어진 함수는 $ z=f\left(x, y_{0}\right) $ 와 같이 일변수 함수가 되고 따라서 일변수 함수의 도함수 정의를 이용할 수 있다. 즉 \[ \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f\left(x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{x-x_{0}} \] 가 존재하면 그 값을 $ \frac{\partial f}{\partial x} $ 라 쓴다. 같은 방법으로 우리는 $ \partial f / \partial y $ 도 구할 수 있다.</p> <h3>편도함수의 정의</h3> <p>이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 가 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 \[ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\left.f\left(x_{0}+h, y_{0}\right)\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}=\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} \] 이 존재하면 이 값을 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 $ f(x, y) $ 의 $ x $ 에 관한 편도함수(partial derivative with respect to $ \mathrm{x}) $ 라고 한다. 또한 \[ \lim _{k \rightarrow 0} \frac{\left.f\left(x_{0}, y_{0}+k\right)\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{k}=\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} \] 이 존재하면 이 값을 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 $ f(x, y) $ 의 $ y $ 에 관한 편도함수(partial derivative with respect to y)라고 한다. 우리는 각 편도함수의 기호로 다음과 같이 사용한다. \[ \begin{array}{l} \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}, \\ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right\|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)} . \end{array} \] 임의 점 $ (x, y) $ 에서의 $ x $ 에 관한 편도함수와 $ y $ 에 관한 편도함수는 각각 기호로 $ \frac{\partial f}{\partial x}, f_{x}, \frac{\partial z}{\partial x}, z_{x} $ 와 $ \frac{\partial f}{\partial y}, f_{y}, \frac{\partial z}{\partial y}, z_{y} $ 로 쓴다.</p> <p>각 편도함수의 기하학적인 의미는 다음과 같다. $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 $ f(x, y) $ 의 $ x $ 에 관한 편도함수는 함수의 그래프를 $ y=y_{0} $ 의 평면을 자를 때 나타나는 절단면이 되는 곡선에 대하여 $ x=x_{0} $ 에서의 접선의 기울기가 된다. 같은 방법으로 $ y $ 에 관한 편도함수는 함수의 그래프를 $ x=x_{0} $ 의 평면을 자를 때 나타나는 절단면이 되는 곡선에 대하여 $ y=y_{0} $ 에서의 접선의 기울기가 된다. 그림 $ 3.5 $ 참고.</p> <h3>이변수 함수의 미분가능성의 정의</h3> <p>이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 에 대하여 $ \triangle z=f(x+\triangle x, y+\triangle y)-f(x, y) $ 를 $ z $ 의 증분(increment)이라 한다. 또한 $ (\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_{1} \rightarrow 0 $ 이고 $ \varepsilon_{2} \rightarrow 0 $ 가 되는 $ \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2} $ 에 대하여 \[ \triangle z=f_{x}(x, y) \triangle x+f_{y}(x, y) \triangle y+\varepsilon_{1} \triangle x+\varepsilon_{2} \triangle y \] 을 만족하면 $ f(x, y) $ 는 $ (x, y) $ 에서 미분가능하다(differentiable)고 한다. 특별히 \[ f_{x}(x, y) \triangle x+f_{y}(x, y) \triangle y=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y \] 를 $ z $ 의 미분(differential)이라 하고 $ d z $ 로 나타낸다. 즉 \[ d z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y \] 이다.</p> <p>여기서 보듯이 위에서 설명한 접평면의 식은 매우 바람직한 일차 근사식이 된다는 것을 볼 수 있다. 또한 우리는 다음의 두 정리를 갖는다. 이 정리들의 증명은 일변수 함수의 증명과 유사하다.</p> <p>정리 $ 3.2 $ 함수 $ f(x, y) $ 의 편도함수 $ f_{x} $ 와 $ f_{y} $ 가 열린영역 $ R $ 안에서 연속이면 $ f(x, y) $ 는 $ R $ 의 모든 점에서 미분가능하다.</p> <p>정리 $ 3.3 $ 정리: 함수 $ f(x, y) $ 가 $ (a, b) $ 에서 미분가능하면 $ (a, b) $ 에서 연속이다.</p> <p>함수 $ z=f(x, y) $ 의 미분은 근사값을 구하는데 유효하다. 다음의 예를 보자.</p> <p>예제 18 두 실수 $ x, y $ 의 곱으로 이루어진 함수 $ x y $ 가 있다. 한 값에서 일정한 양 $ h $ 을 떼어서 다른 쪽에 합할 때 함수 $ x y $ 가 증가하는지 감소하는지를 알아보아라.</p> <p>풀이 $ z=f(x, y)=x y $ 라 하자. $ x $ 에서 $ h $ 만큼 떼어서 $ y $ 에 합하면 $ d x=-h, d y=h $ 가 된다. 또한 $ f_{x}=y $ 이고 $ f_{y}=x $ 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \Delta z &=f(x-h, x+h)-f(x, y) \\ & \approx d z=f_{x}(x, y) d x+f_{y}(x, y) d y=y d x+x d y=-y h+x h=h(x-y) \end{aligned} \] 가 된다. $ h>0 $ 이므로 $ x>y $ 이면 함수값이 증가하고 $ x<y $ 이면 함수값이 감소한다는 것을 알 수 있다.</p> <h2>4 접평면과 일차근사</h2> <h3>(1) 접평면</h3> <p>미분가능한 일변수 함수 $ f(x) $ 의 $ x_{0} $ 에서의 접선의 식은 $ y=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) $ 로 주어진다. 이를 이변수 함수의 경우로 확장을 하려고 한다. 이변수 함수 $ z=f(x, y) $ 의 그래프는 공간위의 곡면을 이룬다. 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 두 평면 $ x=x_{0}, y=y_{0} $ 과 함수의 그래프에 의하여 만들어진 두 단면을 생각하면 각 단면은 평면위의 곡선이 된다. 따라서 이들은 각각 일변수 함수의 그래프와 대응하기 때문에 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 각 축의 방향으로 접선을 구할 수 있다. 이들을 각각 $ \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2} $ 라 하자.</p> <h3>접평면의 정의</h3> <p>함수 $ z=f(x, y) $ 의 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 주어진 두 접선 $ \mathrm{T}_{1} $ 과 $ \mathrm{T}_{2} $ 를 포함하는 평면을 접평면(tangent plane)이라 한다.</p> <p>이제 함수 $ z=f(x, y) $ 의 그래프 위에 주어진 점 $ P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 에서 접평면의 방정식을 구하고자 한다. 여기서 $ z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이다. 먼저 일변수 함수 $ y=f(x) $ 의 그래프 위의 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 접선의 방정식은 $ y-y_{0}=f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) $ 가 된다. 우선 $ P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 를 지나는 평면 $ \mathrm{T} $ 의 방정식은 \[ A\left(x-x_{0}\right)+B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \]<caption>(3.1)</caption>이다. 여기서 $ C \neq 0 $ 이다. 이제 $ A, B, C $ 를 찾아 내자. 점 $ P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) $ 에서 평면 $ x=x_{0} $ 와 함수의 그래프가 만나는 곡선의 식은 $ z=f\left(x_{0}, y\right) $ 가 된다. 즉, $ y $ 에 관한 함수가 된다. 이제 $ y=y_{0} $ 에서의 접선의 방정식은 \[ z-z_{0}=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) \]<caption>(3.1)</caption>가 된다. 이 접선이 평면 $ \mathrm{T} $ 에 놓이고 이것은 두 평면 $ x=x_{0} $ 와 $ \mathrm{T} $ 의 교선이 된다. 따라서 두 방정식 \[ B\left(y-y_{0}\right)+C\left(z-z_{0}\right)=0 \] 과 (3.2)은 일치한다. 따라서 우리는 $ -B / C=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 또는 $ B=-C f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 를 얻는다. 같은 방법으로 평면 $ y=y_{0} $ 의 경우에도 $ A=-C f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 를 얻는다. 이것을 식 (3.1)에 대입하면 \[ -f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)-f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right)=0 \] 또는 \[ z-z_{0}=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) \] 가 된다. 이것을 접평면의 방정식(tangent equation)이라고 한다.</p> <p>예제 16 $ f(x, y)=2 x^{2}+y^{2} $ 의 $ (1,1) $ 에서의 접평면의 방정식을 구하라.</p> <p>풀이 먼저 $ f_{x}(1,1) $ 과 $ f_{y}(1,1) $ 을 구해보자. $ f_{x}=4 x, f_{y}=2 y $ 이므로 $ f_{x}(1,1)=4 $, $ f_{y}(1,1)=2 $ 가 된다. $ f(1,1)=3 $ 이므로 구하고자 하는 접평면의 방정식은 \[ z-3=4(x-1)+2(y-1) \quad \text { 또는 } \quad z=4 x+2 y-3 \] 이 된다.</p> <h2>2 함수의 연속성</h2> <p>이 절에서는 이변수 함수와 다변수 함수의 극한과 연속성을 알아 보고자 한다.</p> <h3>(1) 이변수 함수의 극한</h3> <h3>이변수 함수의 극한의 정의</h3> <p>주어진 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 를 포함하는 영역 $ R $ 에서 정의된 함수 $ f(x, y) $ 가 있다고 하자. 주어진 임의의 양수 $ \varepsilon $ 에 대하여 $ \delta>0 $ 가 존재하여 $ R $ 에 있는 모든 점 $ (x, y) $ 가 $ 0<\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta $ 일 때 $ \|f(x, y)-L\|<\varepsilon $ 을 만족하면,함수 $ f(x, y) $ 는 $ (x, y) $ 가 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에 가까이 갈 때 극한값(limit) $ L $ 에 가까이 간다라고 하고 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=L \] 일 쓴다. 이변수 함수의 극한의 성질은 일변수 함수의 극한의 성질인 합, 상수 곱, 차, 곱, 몫의 법칙을 따른다. 더우기 우리는 멱의 법칙(power rule)도 성립한다.</p> <p>극한의 멱의 법칙</p> <p>\[ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=L \] 이고, $ r $ 과 $ s $ 를 공인수가 없는 정수라 하고, 또한 $ s \neq 0 $ 라 하면, $ L^{r / s}(s $ 가 짝수이면 $ L>0) $ 가 실수이면 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)}(f(x, y))^{r / s}=L^{r / s} \] 가 된다. 증명은 하지 않기로 한다. 이 정의에서 어려운 점은 경우에 따라서 $ 0<\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta $ 일 때 $ \|f(x, y)-L\|<\varepsilon $ 을 만족하는 결과를 얻어 내기가 어렵다는 것이다. 여기에 몇 가지 간단한 예제를 살펴보자.</p> <p>예제 4 $ f(x, y)=x $ 일 때 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=x_{0} \] 임을 보여라. 풀이 먼저 $ \left\|f(x, y)-x_{0}\right\|=\left\|x-x_{0}\right\|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}} $ 이므로 \[ 0<\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta=\varepsilon \] 라면 $ \left\|f(x, y)-x_{0}\right\|=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}} \leq \sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}}<\delta=\varepsilon $ 이 된다. 따라서 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=x_{0} \] 이다.</p> <p>예제 5 다음 극한값을 계산하라. \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \] 풀이 먼저 $ f(x, y) $ 의 정의역은 직선 $ y=x $ 를 제외한 모든 평면 위의 점이다. 따라서 $ f(x, y) $ 의 분모는 0 이 아니다. \[ \begin{aligned} \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} &=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\left(x^{2}-x y\right)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})} \\ &=\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x(x-y)(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{x-y} \\ =& \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x(\sqrt{x}+\sqrt{y}) \\ =& 0(\sqrt{0}+\sqrt{0})=0 . \end{aligned} \] 여기서 세번 째 줄에 멱의 법칙을 사용하였다.</p> <p>예제 6 다음 극한값을 계산하라. \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \] 풀이 $ y=0 $ 이나 $ x=0 $ 을 따라서 원점에 접근하면 함수는 0 에 가까이 가는 것을 알 수 있다. 따라서 극한값이 0 이 아닐까 추측해 본다. 이것을 정의를 이용하여 증명하여보자. \[ \left\|\frac{4 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-0\right\|<\varepsilon \Longleftrightarrow \frac{4\|x\| y^{2}}{x^{2}+y^{2}}<\varepsilon \] 이고, $ y^{2} \leq x^{2}+y^{2} $ 이기 때문에 \[ \frac{4\|x\| y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \leq 4\|x\|=4 \sqrt{x^{2}} \leq 4 \sqrt{x^{2}+y^{2}} \] 이 된다. 따라서 $ \delta=\varepsilon / 4 $ 라 하면, $ 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta $ 일 때 \[ \left\|\frac{4 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-0\right\| \leq 4 \sqrt{x^{2}+y^{2}}<4 \delta=4\left(\frac{\varepsilon}{4}\right)=\varepsilon \] 이 된다. 따라서 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{4 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=0 \] 이다.</p> <h3>고계 편도함수</h3> <p>함수 $ f(x, y) $ 의 각 변수에 대한 편도함수 $ f_{x}(x, y) $ 와 $ f_{y}(x, y) $ 에 대하여 다시 한번 각 변수에 대한 편도함수를 생각할 수 있다. 그 값이 존재하면 우리는 이를 각각 $ \left(f_{x}\right)_{x}=f_{x x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, \quad\left(f_{x}\right)_{y}=f_{x y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $, $ \left(f_{y}\right)_{x}=f_{y x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, \quad\left(f_{y}\right)_{y}=f_{y y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $ 로 나타낸다. 이들을 이계 편도함수라 부른다. 같은 방법으로 우리는 고계 편도함수를 정의할 수 있으며, 그 기호도 같은 방법을 사용한다.</p> <p>예제 14 $ f(x, y)=x^{3} y+\sin \left(x^{2}+y^{2}\right) $ 일 때, $ f_{x x}, f_{x y}, f_{y x}, f_{y y} $ 의 값을 구하라.</p> <p>풀이 먼저 \[ f_{x}(x, y)=\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y+2 x \cos \left(x^{2}+y^{2}\right), \quad f_{y}(x, y)=\frac{\partial f}{\partial y}=x^{3}+2 y \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} f_{x x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=6 x y+2 \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)-4 x^{2} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ f_{x y} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=3 x^{2}-4 x y \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ f_{y x} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=3 x^{2}-4 x y \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ f_{y y} &=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=2 \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)-4 y^{2} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) \end{aligned} \] 가 된다. 이 예제에서 보면 $ f_{x y}=f_{y x} $ 가 되는 것을 볼 수 있다. 이러한 사실은 다음 정리에서 확인할 수 있다. 정리 $ 3.1 $ (클레로의 정리) (Clairaut's theorem):함수 $ f(x, y) $ 가 주어진 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 를 포함하는 원판에서 정의되고 $ f_{x y} $ 와 $ f_{y, x} $ 가 연속이면 \[ f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \] 이다.</p> <p>예제 15 $ f(x, y, z)=1-2 x z^{2}+\sin (3 x+y z) $ 일 때, $ f_{y x y z} $ 의 값을 구하라.</p> <p>풀이 $ f $ 를 $ y, x, y, z $ 의 순서 대로 미분하여 그 값을 얻는다. \[ \begin{aligned} f_{y} &=z \cos (3 x+y z) \\ f_{y x} &=-3 z \sin (3 x+y z) \\ f_{y x y} &=-3 z^{2} \cos (3 x+y z) \\ f_{y x y z} &=-6 z \cos (3 x+y z)+3 z^{2} y \sin (3 x+y z) \end{aligned} \] 가 된다.</p> <p>예제 22 $ (s, t)=(f(x, y), g(x, y)), x=u-2 v, y=u+3 v $ 라 하자. 편미분 행렬 $ \partial(s, t) / \partial(u, v) $ 를 $ \partial(s, t) / \partial(x, y) $ 의 항으로 표현하라.</p> <p>풀이 연쇄법칙에 의하여 \[ \frac{\partial(s, t)}{\partial(u, v)}=\frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)} \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} \] 이다. \[ \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \] 이므로 \[ \begin{aligned} \frac{\partial(s, t)}{\partial(u, v)} &=\frac{\partial(s, t)}{\partial(x, y)}\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} \frac{\partial s}{\partial x} & \frac{\partial s}{\partial y} \\ \frac{\partial t}{\partial x} & \frac{\partial t}{\partial y} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\ 1 & 3 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial s}{\partial x} \frac{\partial s}{\partial y} & -2 \frac{\partial s}{\partial x}+3 \frac{\partial s}{\partial y} \\ \frac{\partial t}{\partial x} \frac{\partial t}{\partial y} & -2 \frac{\partial t}{\partial x}+3 \frac{\partial t}{\partial y} \end{array}\right) \end{aligned} \] 가 된다.</p> <h3>음함수 미분법</h3> <p>함수 $ F(x, y) $ 가 미분가능하고 방정식 $ F(x, y)=0 $ 가 음적으로 $ y $ 를 $ x $ 의 미분가능한 함수로 정의한다고 하자. 즉, $ y=h(x) $. 이제 도함수 $ \frac{d y}{d x} $ 를 구해보자. $ z=F(x, y)= $ $ F(x, h(x))=0 $ 이므로 $ \frac{d z}{d x}=0 $ 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} 0 &=\frac{d z}{d x}=F_{x} \frac{d x}{d x}+F_{y} \frac{d y}{d x} \\ &=1 \frac{d x}{d x}+F_{y} \frac{d y}{d x} . \end{aligned} \] 가 된다. $ F_{y}=\partial z / \partial y=\neq 0 $ 이면, 우리는 \[ \frac{d y}{d x}=-\frac{F_{x}}{F_{y}} \] 를 얻는다. 이를 가르켜 음함수 미분법(implicit differentiation)이라 한다.</p> <p>예제 23 $ x^{3}+y^{3}=6 x y $ 일 때 $ y^{\prime}=\frac{d y}{d x} $ 를 구하라.</p> <p>풀이 $ F(x, y)=x^{3}+y^{3}-6 x y $ 라 하자. 음함수 미분법에 의하여 \[ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=-\frac{F_{x}}{F_{y}}=-\frac{3 x^{2}-6 y}{3 y^{2}-6 x} \\ &=-\frac{x^{2}-2 y}{y^{2}-2 x} \end{aligned} \] 가 된다. 비슷한 방법으로 삼변수 함수 $ F(x, y, z) $ 가 미분가능하고 방정식 $ F(x, y, z)=0 $ 가 음적으로 $ z $ 를 $ x $ 와 $ y $ 의 미분가능한 함수로 정의한다고 하자. 즉, $ z=h(x, y) $. 이제 $ z $ 의 편도함수 $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 와 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 는 각각 다음과 같다. \[ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}} \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}}{F_{z}} \]</p> <p>예제 $ 19 \quad z = f(x, y)=x ^ { 2 } y + x y $ 이고 $ x= \cos t $ 와 $ y= \sin 2 t $ 로 주어졌을 때, $ \frac { d z } { d t } $ 를 구하라.</p> <p>풀이 연쇄법칙을 이용하자. \[ \begin {aligned} \frac { d z } { d t } &= \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } \\ &=(2 x y + y)(- \sin t) + \left (x ^ { 2 } + x \right )(2 \cos 2 t) \\ &=(2 \cos t \sin 2 t + \sin 2 t)(- \sin t) + \left ( \cos ^ { 2 } t + \cos t \right )(2 \cos 2 t) \\ &=- \sin 2 t \sin t(1 + 2 \cos t) + 2 \cos 2 t \cos t(1 + \cos t) \end {aligned} \]<caption>(3.3)</caption>가 된다. 또 다른 방법으로 직접 $ x= \cos t $ 와 $ y= \sin 2 t $ 를 $ z=f(x, y)=x ^ { 2 } y + x y $ 에 대입하여 $ t $ 에 대입하면 \[ z=x ^ { 2 } y + x y= \cos ^ { 2 } t \sin 2 t + \cos t \sin 2 t \] 가 된다 합의 법칙을 이용하여 도함수를 구하면 \[ \begin {aligned} \frac { d z } { d t } &=2 \cos t(- \sin t) \sin 2 t + \cos ^ { 2 } t(2 \cos 2 t) + (- \sin t) \sin 2 t + \cos t(2 \cos 2 t) \\ &=- \sin 2 t \sin t(1 + 2 \cos t) + 2 \cos 2 t \cos t(1 + \cos t) \end {aligned} \] 가 된다. 따라서 두 값은 같음을 볼 수 있다.</p> <h2>5 연쇄법칙</h2> <p>이 절에서는 다변수 함수들의 다양한 형태의 합성함수에 대한 연쇄법칙을 소개하고자 한다.</p> <p>$ x $ 에 대하여 미분가능한 일변수 함수 $ w=f(x) $ 와 $ t $ 에 대하여 미분가능한 일변수 함수 $ x=g(t) $ 의 합성함수 $ w=f\left(g(t)\right. $ 는 미분가능하고 도함수 $ \frac{d w}{d t} $ 는 \[ \frac{d w}{d t}=\frac{d w}{d x} \frac{d x}{d t}=f^{\prime}(g(t)) g^{\prime}(t) \] 가 된다. 이것을 연쇄법칙이라 한다. 이것을 다변수 함수로 확장시켜보자.</p> <h3>경우 Ⅰ</h3> <p>미분가능한 함수 $ x=x(t) $ 와 $ y=y(t) $ 에 대하여 미분가능한 함수 $ z=f(x, y) $ 의 연쇄법칙(chain rule)을 알아 보자.</p> <p>정리 3.4 함수 $ z=f(x, y) $ 가 연속인 편도함수 $ f_{x} $ 와 $ f_{y} $ 를 갖고, $ x=x(t) $ 와 $ y= $ $ y(t) $ 가 $ t $ 에 관하여 미분가능하다고 하면, 합성함수 $ z=f(x(t), y(t)) $ 는 $ t $ 에 관하여 미분가능하고 \[ \frac{d f}{d t}=f_{x}(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+f_{y}(x(t), y(t)) y^{\prime}(t) \] 또는 \[ \frac{d z}{d t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \] 가 된다.</p> <p>증명 $ \quad z=f(x, y)=f(x(t), y(t)) \equiv F(t) $ 라고 하자. 구하고자 하는 것은 $ \frac{d w}{d t}=\frac{d F}{d t} $ 이다. 도함수의 정의를 이용하면 $ \frac{d F}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta t} $ 를 구하면 된다. \[ \frac{\Delta F}{\Delta t}=\frac{f(x(t+\Delta t), y(t+\Delta t))-f(x(t), y(t))}{\Delta t}=\frac{\Delta z}{\Delta t} \] 가 된다. $ z=f(x, y) $ 가 미분가능함으로 \[ \triangle z=f_{x}(x, y) \triangle x+f_{y}(x, y) \triangle y+\varepsilon_{1} \triangle x+\varepsilon_{2} \triangle y \] 된다. 여기서 $ (\triangle x, \triangle y) \rightarrow(0,0) $ 일 때 $ \varepsilon_{1} \rightarrow 0 $ 이고 $ \varepsilon_{2} \rightarrow 0 $ 이다. 양변을 $ \triangle t $ 로 나누면 \[ \frac{\Delta z}{\Delta t}=f_{x}(x, y) \frac{\Delta x}{\Delta t}+f_{y}(x, y) \frac{\Delta y}{\Delta t}+\varepsilon_{1} \frac{\Delta x}{\Delta t}+\varepsilon_{2} \frac{\Delta y}{\Delta t} \] 가 된다. \[ \triangle x=x(t+\triangle t)-x(t) \text { 이고 } \triangle y=y(t+\Delta t)-y(t) \] 이며, 또한 $ x=x(t) $ 와 $ y=y(t) $ 가 $ t $ 에 대하여 미분가능하기 때문에 $ \triangle t \rightarrow 0 $ 일 때 $ \triangle x $ 와 $ \triangle y $ 는 0 에 수렴한다. 따라서 $ \triangle t \rightarrow 0 $ 일 때 $ \varepsilon_{1} \rightarrow 0 $ 이고 $ \varepsilon_{2} \rightarrow 0 $ 이다. 결과적으로 $ \Delta t \rightarrow 0 $ 일 때 \[ \frac{d z}{d t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta z}{\Delta t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t} \] 가 된다.</p> <p>예제 $ 10 f(x, y)=x^{3}+3 x y-y+1 $ 일 때, $ f_{x}(2,1) $ 과 $ f_{y}(2,1) $ 의 값을 구하라. 풀이 위에서 설명하였듯이 $ x $ 에 관한 편도함수는 $ y $ 를 상수로 생각하고 $ x $ 에 관하여 미분하면 된다. \[ \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}+3 x y-y+1\right)=3 x^{2}+3 y \] 따라서 $ f_{x}(2,1)=3(2)^{2}+3(1)=15 $ 가 된다. 같은 방법으로 \[ \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{3}+3 x y-y+1\right)=3 x-1 \] 따라서 $ f_{y}(2,1)=3(2)-1=5 $ 가 된다.</p> <p>예제 11 $ z=2 x y^{2}+3 x^{3} y^{2}+e^{x^{2} y} $ 일 때, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 와 $ \frac{\partial z}{\partial y} $ 의 값을 구하라. 풀이 위 예제와 같은 방법으로 \[ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(2 x y^{2}+3 x^{3} y^{2}+e^{x^{2} y}\right)=2 y^{2}+9 x^{2} y^{2}+2 x y e^{x^{2} y} \] 가 된다. 또한 \[ \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(2 x y^{2}+3 x^{3} y^{2}+e^{x^{2} y}\right)=4 x y+6 x^{3} y+x^{2} e^{x^{2} y} \] 이다.</p> <p>예제 12 $ z=x y^{2} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) $ 일 때, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 의 값을 구하라.</p> <p>풀이 위 예제와 같은 방법으로 \[ \begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{2} y \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)\right) \\ &=2 x y \sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2} y(2 x) \cos \left(x^{2}+y^{2}\right) \\ &=2 x y\left[\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)+x^{2} \cos \left(x^{2}+y^{2}\right)\right] \end{aligned} \] 이 된다.</p> <p>예제 13 (음함수 미분) 방정식 $ x^{3}+y^{3}+z^{3}+6 x y z=1 $ 이 $ z $ 를 $ x $ 와 $ y $ 의 함수로 정의될 때, $ \frac{\partial z}{\partial x} $ 의 값을 구하라. 풀이 일변수 함수의 음함수 미분법과 같은 방법으로 다음을 얻는다. \[ \begin{aligned} 3 x^{2}+3 z^{2} \frac{\partial z}{\partial x}+6 y z+6 x y \frac{\partial z}{\partial x} &=\frac{\partial z}{\partial x}\left(3 z^{2}+6 x y\right)+\left(3 x^{2}+6 y z\right) \\ &=0 \end{aligned} \] 따라서 \[ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x^{2}+2 y z}{z^{2}+2 x y} \] 이 된다. 다변수 함수의 각 독립변수에 관한 편도함수도 비슷한 방법으로 정의된다. 삼변수 함수 $ f(x, y, z) $ 의 경우에 $ f_{x}(x, y, z), f_{y}(x, y, z), f_{z}(x, y, z) $ 등이 정의된다. 예를 들어, $ f(x, y, z)=e^{x y} \ln z $ 의 $ f_{x}(x, y, z), \quad f_{y}(x, y, z), \quad f_{z}(x, y, z) $ 는 각각 $ y e^{x y} \ln z, x e^{x y} \ln z $, $ e^{x y} / z $ 가 된다.</p> <h3>(2) 이변수 함수의 연속</h3> <h3>이변수 함수의 연속의 정의</h3> <p>이변수 함수 $ f(x, y) $ 가 다음의 세 가지를 만족하면 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 연속(continuous)이라 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f(x, y) $ 는 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 정의된다.</li> <li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y) $ 는 존재 한다.</li> <li>$ \lim _{(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right)} f(x, y)=f\left(x_{0}, y_{0}\right) $ 이다.</li></ol> <p>함수가 연속이 아니면 불연속(discontinuous)이라 한다. 또한 함수의 정의역에 있는 모든 점에서 연속이면 함수는 연속이라고 한다.</p> <p>예제 7 다음 극한이 존재하지 않음을 보여라. \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \] 풀이 점 $ (x, y) $ 가 $ x=0 $ 을 따라서 원점에 접근한다면 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{-y^{2}}{y^{2}}=-1 \] 이 되고, $ y=0 $ 을 따라서 원점에 접근하게 되면 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{2}}=1 \] 이 된다. 이 두 값이 다르므로 극한값이 존재하지 않는다.</p> <p>예제 8 (한 점에서 불연속) 다음 함수는 $ (0,0) $ 에서 극한값이 존재하지 않음을 보여라. 따라서 $ (0,0) $ 에서 연속이 아니다. \[ f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \] 풀이 위의 예제와 비슷하게 $ (x, y) $ 가 직선 $ y=m x $ 를 따라서 $ (0,0) $ 에 접근하게 되면 \[ \left.\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)\right\|_{y=m x}=\left.\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}\right\|_{y=m x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x(m x)}{x^{2}+(m x)^{2}}=\frac{2 m}{1+m^{2}} \] 가 된다. 따라서 다른 $ m $ 의 값에 따라 극한값이 다르게 나타나기 때문에 이 함수는 $ (0,0) $ 에서 극한값이 존재하지 않는다.</p> <p>예제 9 (다른 두 곡선) 다음 극한값이 존재하지 않음을 보여라. \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} \] 풀이 먼저 점 $ (x, y) $ 가 $ x=0 $ 을 따라서 원 점에 접근한다면 \[ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}=0 \] 이고, 곡선 $ x=y^{2} $ 를 따라서 $ (0,0) $ 에 접근하게 되면 \[ \left.\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}\right\|_{x=y^{2}}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^{2} y^{2}}{\left(y^{2}\right)^{2}+y^{4}}=\lim _{y \rightarrow 0} \frac{y^{4}}{2 y^{4}}=\frac{1}{2} \] 가 된다. 따라서 두 개의 극한값이 다르게 나타나기 때문에 이 함수는 $ (0,0) $ 에서 극한값이 존재하지 않는다.</p> <p>일변수 함수에서와 같이 연속인 이변수 함수들의 합성함수 함수도 연속이며, 삼변수 이상의 연속함수인 경우에도 연속함수의 성질을 만족한다. 또한 닫힌 영역을 정의역으로 하는 연속인 함수는 그 정의역 안에서 최대값과 최소값을 갖는다.</p> <h1>편도함수</h1> <p>이 장에서는 다변수 함수의 연속과 편도함수를 다루고 다변수 함수의 연쇄법칙을 다루고자 한다.</p> <h2>1 다변수 함수</h2> <p>우리가 일상 생활에서 보는 지도에서 산의 모양을 나타내는데 등고선을 이용하여 나타내기도 하며, 날씨를 다루는데도 공기의 압력을 나타내는 등압선이나 온도를 표시하는 등온선 등을 가지고 다루기도 한다. 이와 같은 경우 각 곡선은 평면위의 위치 즉, 점 $ (x, y) $ 에 의존하게 된다. 실제로 우리는 두 개 이상의 변수에 의하여 의존하는 값을 다룰 때가 있는데 이를 다루기 위해서 우리는 다변수 함수를 정의하고 이 함수를 이해해야만 한다.</p> <h3>다변수 함수의 정의</h3> <p>$ D $ 를 $ \mathbb{R}^{n} $ 의 부분집합이라 하자. 즉, \[ D \subseteq \mathbb{R}^{n}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in \mathbb{R}, \quad 1 \leq i \leq n\right\} . \] $ D $ 위에서 정의된 실수값 함수 $ f $ 는 모든 $ D $ 의 원소에 유일한 실수 \[ w=f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \] 을 대응하는 관계를 말한다. 이 때 집합 $ D $ 를 함수 $ f $ 의 정의역(domain)이라 한다. $ f $ 에 의하여 대응하는 값 $ w $ 들의 집합을 치역(range)이라 한다. 또한 이 함수 $ f $ 를 $ n $ 변수 함수라 하고, 일반적으로 다변수 함수(functions of several variables)라고 한다.</p> <p>주어진 다변수 함수가 수식으로 되어 있는 경우에는 그 함수의 정의역은 그 수식이 성립하는 모든 점들의 집합을 뜻한다. 예를 들어, 함수 $ f(x, y)=\sqrt{x-y^{2}} $ 의 경우 정의역은 $ \left\{(x, y) \mid x-y^{2} \geq 0\right\} $ 가 되고 치역은 구간 $ [0, \infty) $ 가 된다.</p> <p>예제 1 함수 $ f(x, y)=x /\left(x^{2}+y^{2}\right) $ 의 정의역을 구하고, $ f(1,0) $ 과 $ f(1,1) $ 의 값을 구하라. 풀이 정의역은 $ x^{2}+y^{2} \neq 0 $ 가 되는 모든 점들의 집합이다. 즉, 정의역은 \[ \left\{(x, y) \mid(x, y) \neq(0,0),(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\right\} \] 이다. 또한 \[ f(1,0)=\frac{1}{1^{2}+0^{2}}=1 \quad \text { 이고 } \quad f(1,1)=\frac{1}{1^{2}+1^{2}}=\frac{1}{2} \] 가 된다.</p> <h3>내부점, 외부점, 경계점, 열린 집합, 닫힌집합의 정의</h3> <p>먼저 평면 위의 한 부분집합을 $ R $ 이라 하자. 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) \in R $ 에 대하여 이 점을 중심으로 하고 양의 반지름을 갖는 원판(disk)이 완전히 $ R $ 안에 놓이게 될 때 이 점을 $ R $ 의 내부점(interior point)이라 한다. 여기서 반지름이 $ r $ 인 원판은 \[ \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq r\right\} \] 로 정의된다. 또한 점이 $ R $ 의 여집합의 대하여 내부점일 때, 그 점을 외부점(exterior point)이라 한다. 내부점이나 외부점이 아닌 점을 $ R $ 의 경계점(boundary point)라 한다. 따라서 경계점을 중심으로 하는 어떠한 원판도 $ R $ 안에 속하는 점과 $ R $ 의 밖에 속하는 점을 반드시 포함한다.</p> <p>$ R $ 의 내부점들의 집합을 $ R $ 의 내부(interior), 외부점들의 집합을 $ R $ 의 외부(exterior), 경계점들의 집합을 $ R $ 의 경계(boundary)라 한다. $ R $ 의 모든 점들이 자신의 내부점일 때, $ R $ 을 열린집합(open set) 또는 열려있다(open)고 하고, $ R $ 의 여집합이 열린 집합일 때 $ R $ 을 닫힌집합(closed set) 또는 닫혔다(closed)고 한다. 한 열린 집합을 포함하는 집합을 영역(region)이라고 한다.</p> <h3>(2) 일차근사식</h3> <p>일변수 함수의 경우 일차 함수 $ y=m x+b $ 가 가장 단순한 함수였다. 또한 함수의 도함수의 값은 그 함수의 그래프의 그 점에서의 접선의 기울기를 말해주고 있다. 따라서 도함수는 주어진 함수를 일차 함수로 근사시키는 것 임을 알 수 있다. $ f(x) $ 가 $ x_{0} $ 에서 미분가능할 때 $ x $ 에서의 값은 \[ f(x) \approx f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) \] 이 된다. 여기서 일차식 $ f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right) $ 을 일차 근사식이라 한다.</p> <p>우리는 이 생각을 이변수 함수로 확장하고자 한다. 이변수 함수의 일차 근사식은 접평면에 의하여 구하게 된다. 즉, $ f(x, y) \approx f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)(y- $ $ \left.y_{0}\right) $ 가 된다. 따라서 함수 $ f(x, y) $ 의 점 $ \left(x_{0}, y_{0}\right) $ 에서 일차근사식(linear approximation)은 \[ f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) \] 으로 주어진다. 접평면이 일차근사식이 되는 것은 아래에서 증명없이 보여지게 된다.</p> <p>예제 17 $ \left(0.99 e^{0.02}\right)^{8} $ 의 일차근사값을 구하고, 이 값과 컴퓨터를 이용한 값을 비교하여 보아라.</p> <p>풀이 $ f(x, y)=\left(x e^{y}\right)^{8} $ 이라 하고, $ x_{0}=1, x=0.99, y_{0}=0, y=0.002 $ 라 하고 일차근사값을 구하자. $ x-x_{0}=-0.01, y-y_{0}=0.02 $ 이고, $ f_{x}=8 e^{y}\left(x e^{y}\right)^{7}=8 x^{7} e^{8 y} $, $ f_{y}=8 x e^{y}\left(x e^{y}\right)^{7}=8 x^{8} e^{8 y} $ 이므로 일차근사값은 \[ f(1,0)+f_{x}(1,0)(-0.01)+f_{y}(1,0)(0.02)=1+8(-0.01)+8(0.02)=1.08 \] 이 된다. Maple을 이용하여 소수점 15 자리 까지 구하면 $ \left[>\operatorname{evalf}\left(\left(0.99^{*} \exp (0.02)\right)^{\wedge} 8,15\right)\right. $ $ 1.08285093002845 $ 이 된다. 여기서 보듯이 일차근사값은 어느 정도 함수값에 가까운 것을 알 수 있다. 일변수 함수 $ y=f(x) $ 에서 \[ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \] 이 존재하면 $ x $ 에서의 미분가능하다고 그 극한값을 $ f^{\prime}(x) $ 라 한다. 함수 $ f(x) $ 가 미분가능할 때 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \lim _{\triangle x \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}-f^{\prime}(x)\right]=0 . \] $ \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0 $ 는 $ \triangle x \rightarrow 0 $ 일 때 $ \varepsilon \rightarrow 0 $ 이 되는 $ \varepsilon $ 에 대하여 $ f(x)=\varepsilon $ 으로 쓸 수 있다. 따라서 우리는 $ \triangle x \rightarrow 0 $ 일 때 $ \varepsilon \rightarrow 0 $ 이 되는 $ \varepsilon $ 에 대하여 \[ \frac{f(x+\triangle x)-f(x)}{\triangle x}-f^{\prime}(x)=\varepsilon, \quad \text { 즉 } \quad f(x+\triangle x)-f(x)=f^{\prime}(x) \triangle x+\varepsilon \triangle x \] 로 쓸 수 있다. 이 때 $ f(x+\triangle x)-f(x)=\triangle y $ 라 쓰고 이를 $ y $ 의 증분이라 하였다. 이를 이변수 함수로 확장을 시켜보자.</p>	자연
대학기초수학_점과 직선	<h1>10-6 직선의 방정식 $(1) $</h1> <ul> <li>좌표평면 위의 도형의 방정식이란 도형 위의 각 점 $ (x, y) $ 가 만족하는 방정식 $ P(x, y) = 0 $ 을 말한다.</li> <li>기울기가 $ m $ 이고 한 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 을 지나는 직선의 방정식은 $ y=m \left (x-x_ { 1 } \right ) + y_ { 1 } $ 이다.</li> <li>$ (a, b) $ 를 지나고 $ y $ 축에 평행한 직선의 방정식은 $ x=a $ 이고, $ x $ 축에 평행한 직선의 방정식은 $ y=b $ 이다.</li></ul> <p>연습 $10-6 $ 다음 도형의 방정식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (1,2) $ 를 지나고 기울기가 $3 $ 인 직선</li> <li>$ (1,2) $ 를 지나고 $ x $ 축에 수직인 직선</li> <li>$ (1,2) $ 를 지나고 $ y $ 축에 수직인 직선</li> <li>두 점 $ A(1,2), B(3,6) $ 를 지나는 직선</li></ol> <h1>10-7 직선의 방정식 $(2) $</h1> <p>도형이 $ x $ 축 $ (y=0) $ 을 지나는 점을 $ x $ 절편, $ y $ 축 $ (x=0) $ 을 지나는 점을 $ y $ 절편이라고 한다.</p> <p>$ x $ 절편이 $ a, y $ 절편이 $ b $ 인 직선의 방정식은 $ \frac { x } { a } + \frac { y } { b } =1 $ 이다.</p> <p>일반적인 직선의 방정식은 $ A x + B y + C=0 $ 의 형태이다. 이 때, $ x $ 절편은 $ - \frac { C } { A } , y $ 절편은 $ - \frac { C } { B } $, 기울기는 $ m=- \frac { A } { B } $ 이다.</p> <p>연습 $10-7 $ 다음을 풀어라.</p> <ol type=1 start=1><li>직선 $ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 2 } =1 $ 의 $ x $ 절편과 $ y $ 절편을 구하고 그래프를 그려라.</li> <li>직선 $ 6 x + 3 y=12 $ 의 $ x $ 절편, $ y $ 절편, 기울기를 구하여라.</li></ol> <h1>10-8 두 직선의 위치관계</h1> <p>두 직선 $ y=m x + b $ 와 $ y=m ^ {\prime } x + b ^ {\prime } $ 에 대해</p> <ol type=1 start=1><li>$ m \neq m ^ {\prime } $ 이면 두 직선은 한 점에서 만난다.</li> <li>$ m=m ^ {\prime } $ 이고 $ b=b ^ {\prime } $ 이면 두 직선은 일치한다.</li> <li>$ m=m ^ {\prime } $ 이고 $ b \neq b ^ {\prime } $ 이면 두 직선은 평행하다.</li> <li>$ \mathrm { mm } ^ {\prime } =-1 $ 이면 두 직선은 수직으로 만난다.</li></ol> <p>두 직선 $ a x + b y=c $ 와 $ a ^ {\prime } x + b ^ {\prime } y=c ^ {\prime } $ 의 교점은 연립방정식 $ \left \{\begin {array} { l } a x + b y=c \\ a ^ {\prime } x + b ^ {\prime } y=c ^ {\prime } \end {array} \right . $ 의 해이다.</p> <p>연습 $10-8 $ 두 직선 $ y=-x + 5, y=m x-4 $ 가 수직으로 만날 때의 $ m $ 과 그 교점을 구하여라.</p> <h1>10-9 점과 직선과의 거리</h1> <p>직선 $ A x + B y + C=0 $ 과 점 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 과의 거리는 $ d= \frac {\left \|A x_ { 1 } + B y_ { 1 } + C \right \| } {\sqrt { A ^ { 2 } + B ^ { 2 } } } $ 이다.</p> <p>연습 $10-9 $ 점 $ (1,2) $ 에서 직선 $ 2 x-3 y + 6=0 $ 에 내린 수선의 길이를 구하여라.</p> <p>확인 문제를 풀어봅시다!</p> <p>확인 $10-1 $ 다음 점을 좌표평면위에 표시하고, 각 점이 놓인 사분면을 말하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A(4,2) $</li> <li>$ B(2,-4) $</li> <li>$ C(-2,-4) $</li> <li>$ D(-4,2) $</li></ol> <p>확인 $10-2 $ 다음 점과 원점과의 거리를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A(1,1) $</li> <li>$ B( \sqrt { 2 } , \sqrt { 2 } ) $</li> <li>$ C(-4,-2) $</li> <li>$ D(-3,3) $</li></ol> <p>확인 $10-3 $ 다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A(6,1), B(9,1) $</li> <li>$ A(2,1), B(2,4) $</li> <li>$ A(2,5), B(6,8) $</li> <li>$ A(-3,2), B(9,-3) $</li></ol> <p>확인 $10-4 $ 다음 두 점의 중점의 좌표를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A(1,-1), B(3,5) $</li> <li>$ A(-4,-2), B(1,1) $</li></ol> <p>확인 $10-5 $ 다음 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A(0,-2), B(-8,0) $</li> <li>$ A(3,4), B(7,6) $</li> <li>$ A(-1,-2), B(3,-5) $</li></ol> <p>확인 $10-6 $ 다음 도형의 방정식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (2,1) $ 를 지나고 기울기가 $ \frac { 1 } { 2 } $ 인 직선</li> <li>$ (-2,-1) $ 를 지나고 기울기가 $ -3 $ 인 직선</li> <li>두 점 $ A(-1,2), B(3,8) $ 을 지나는 직선</li></ol> <p>확인 $10-7 $ 다음 도형의 방정식을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (3,-2) $ 를 지나고 $ x $ 축에 수직인 직선</li> <li>$ (3,-2) $ 를 지나고 $ y $ 축에 수직인 직선</li> <li>$ (-4,4) $ 를 지나고 $ x $ 축에 평행인 직선</li> <li>$ (-4,4) $ 를 지나고 $ y $ 축에 평행인 직선</li></ol> <p>확인 $10-8 $ 다음을 풀어라.</p> <ol type=1 start=1><li>직선 $ \frac { x } { 3 } - \frac { y } { 2 } =1 $ 의 $ x $ 절편과 $ y $ 절편을 구하고 그래프를 그려라.</li> <li>직선 $ -2 x + 4 y=-6 $ 의 기울기, $ x $ 절편, $ y $ 절편을 구하여라.</li></ol> <p>확인 $10-9 $ 다음 두 점을 지나는 직선과 수직인 직선의 기울기를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ (-1,2) $ 과 $ (5,-2) $</li> <li>$ (-3,-2) $ 과 $ (3,5) $</li></ol></p> <p>확인 $10-10 $ 다음을 풀어라.</p> <ol type=1 start=1><li>점 $ (1,2) $ 와 직선 $ 2 x-3 y + 6=0 $ 과의 거리를 구하여라.</li> <li>점 $ (-1,2) $ 와 직선 $ y=3 x-2 $ 와의 거리를 구하여라.</li></ol> <p>확인 $10-11 $ 다음 두 직선의 교점을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left \{\begin {array} { l } y=2 x + 1 \\ y=3 x-2 \end {array} \right . $</li> <li>$ \left \{\begin {array} { l } y=2 x + 1 \\ 2 x + 3 y=19 \end {array} \right . $</li> <li>$ \left \{\begin {array} { l } 2 x + 3 y=-4 \\ 3 x-2 y=12 \end {array} \right . $</li></ol> <p>확인 $10-12 $ 두 직선 $ y=2 x + 2, y=m x + 3 $ 이 수직으로 만날 때의 교점을 구하여라.</p>	자연
위상수학	<p>정의 3.2.2 (1) 집합 $ X $ 와 위상공간 $ (Y, \mathfrak { T } ) $ 사이의 함수 \[ f: X \rightarrow Y \] 에 대하여 $ X $ 의 부분집합족 $ \mathfrak { T } _ { X } = \left \{ f ^ { -1 } (V) \mid V \in \mathfrak { T } \right \} $ 를 $ X $ 상의 $ f $ 에 의하여 유도된 위상(induced topology)이라고 한다.</p> <p>(2) 위상공간 $ (X, \mathfrak { T } ) $ 와 집합 $ Y $ 사이의 함수 \[ f: X \rightarrow Y \] 에 대하여 $ Y $ 의 부분집합족 $ \mathfrak { T } _ { Y } = \left \{ V \in Y \mid f ^ { -1 } (V) \in \mathfrak { T } \right \} $ 를 $ Y $ 상의 $ f $ 에 의한 등화위상(identification topology)이라고 한다.</p> <p>주의 정의 3.2.2 의 (1)에서 $ \mathfrak { T } _ { X } $ 는 $ X $ 에서 위상이고 $ f $ 가 연속이기 위한 $ X $ 의 최소의 위상이다. (2)에서 $ \mathfrak { T } _ { Y } $ 는 $ Y $ 에서 위상이고 $ f $ 가 연속이기 위한 최대의 위상이다.</p> <p>정리 3.2.2<ol type=1 start=1><li>위상공간 사이의 함수 $ X \stackrel { f } {\rightarrow } Y \stackrel { g } {\rightarrow } Z $ 에서 $ Y $ 의 위상이 $ g $ 에 의하여 유도된 위상일 때 $ f $ 가 연속일 필요충분조건은 $ g \circ f $ 가 연속이다.</li> <li>연속이고 전사인 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 열린함수이면 $ Y $ 의 위상은 $ f $ 에 의한 등화위상이다.</li> <li>위상공간 사이의 함수 $ X \stackrel { f } {\rightarrow } Y \stackrel { g } {\rightarrow } Z $ 에서 $ f $ 는 전사이고 $ Y $ 의 위상은 $ f $ 에 의한 등화위상일 때, $ g $ 가 연속일 필요충분조건은 $ g \circ f $ 가 연속이다.</li></ol></p> <p>(5) $ f(A) \subset \overline { f(A) } $ 이므로 $ A \subset f ^ { -1 } (f(A)) \subset f ^ { -1 } ( \overline { f(A) } ) $ 이다. $ f $ 가 연속이면 $ f ^ { -1 } ( \overline { f(A) } ) $ 는 닫힌집합이므로 $ \bar { A } \subset f ^ { -1 } ( \overline { f(A) } ) $ 이다. 또한</p> <p>\[ f( \bar { A } ) \subset f f ^ { -1 } ( \overline { f(A) } ) \subset \overline { f(A) } \] 이다.</p> <p>역으로 $ B $ 를 $ Y $ 의 닫힌집합이고 $ A=f ^ { -1 } (B) $ 라 하자. 가정에서 $ f( \bar { A } ) \subset \overline { f(A) } = \overline { f \left (f ^ { -1 } (B) \right ) } \subset \bar { B } =B $ 이다.</p> <p>따라서 $ \bar { A } \subset f ^ { -1 } f( \bar { A } ) \subset f ^ { -1 } (B)=A $ 이므로 \[ \bar { A } =A=f ^ { -1 } (B) \]는 닫힌집합이다.</p> <p>(6) $ f $ 가 연속이고, $ x $ 는 $ X $ 의 임의의 점이라 하자.</p> <p>$ V $ 가 $ f(x) $ 의 $ Y $ 에서 근방이라면 $ f ^ { -1 } (V) $ 는 $ X $ 에서 열린집합이고, $ x $ 의 근방이다. 역으로 $ f $ 가 $ X $ 의 모든 점 $ x $ 에서 연속이라 하자.</p> <p>$ V $ 를 $ Y $ 의 임의의 열린집합이고 $ x \in f ^ { -1 } (V) $ 라 하면 $ f(x) \in V $ 이다. $ V $ 가 열린집합이므로 $ f(x) $ 의 근방이다.</p> <p>$ f $ 가 $ x $ 에서 연속이므로 $ f ^ { -1 } (V) $ 는 $ x $ 의 근방이고 열린집합이다. 따라서 $ f $ 는 연속이다.</p> <h1>3.1 연속함수(Continuous Function)</h1> <p>실수상의 함수 $ f: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } $ 이 $ x = a $ 에서 연속을 $ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a) $ 로 정의하였으며, 해석학에서는 임의의 양수 $ \varepsilon>0 $ 에 대하여 양수 $ \delta>0 $ 가 존재하여 만일 $ \|x-a\|< \delta $ 이면 $ \|f(x)-f(a)\|< \varepsilon $ 로 정의하였다. 연속의 정의를 위상공간 사이의 함수로 확장하자.</p> <p>정의 3.1.1 (1) 두 위상공간 사이의 함수 $ f: X \rightarrow Y $ 가 연속(continuous)이라 함은 $ Y $ 에서 임의의 열린집합 $ V $ 에 대하여 $ f ^ { -1 } (V) $ 가 $ X $ 에서 열린집합일 때이다.</p> <p>(2) 점 $ x \in X $ 와 임의의 $ f(x) $ 의 근방 $ V \subset Y $ 에 대하여 $ f ^ { -1 } (V) $ 가 $ x $ 의 근방이면 $ f $ 는 $ x $ 에서 연속이라 한다.</p> <p>정리 3.1.1 함수 $ f: \left (X, \mathfrak { T } _ { 1 } \right ) \rightarrow \left (Y, \mathfrak { T } _ { 2 } \right ) $ 에 대하여 다음 조건은 동치이다.<ol type=1 start=1><li>$ f $ 가 연속이다.</li> <li>$ B $ 가 $ Y $ 에서 닫힌집합이면 $ f ^ { -1 } (B) $ 는 $ X $ 에서 닫힌집합이다.</li> <li>$ B $ 가 $ Y $ 에서 기저열린집합이면 $ f ^ { -1 } (B) $ 는 $ X $ 에서 열린집합이다.</li> <li>$ S $ 가 $ Y $ 에서 부분기저열린집합이면 $ f ^ { -1 } (S) $ 는 $ X $ 에서 열린집합이다.</li> <li>$ A \subset X $ 에 대하여 $ f( \bar { A } ) \subset \overline { f(A) } $ 이다.</li> <li>$ f $ 가 $ X $ 의 모든 점에서 연속이다.</li></ol></p> <p>증명 (1) $ \sim $(4)는 연속 정의로부터 자명하므로 이를 이용하여 (5)와 (6)을 증명하자.</p>	자연
s374-미적분학	<h1>7.2 삼각함수 및 역삼각함수: 미분과 도함수</h1> <h2>삼각함수의 미분과 도함수</h2> <h3>[1] 삼각함수 $ y=\sin x $의 도함수</h3> <p>도함수의 정의에 의하여 $ y=\sin x $ 의 도함수를 구해보자.</p> <p>\[ y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \]</p> <p>삼각함수의 치를 곱으로 고치는 공식에 의하여 $\sin (x+h)-\sin x=2 \cos (x+\frac{h}{2}) \sin \frac{h}{2} $이다. 그러므로</p> <p>\[ \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}=\cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \]</p> <p>또한, $ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=1 $ 이고 $ \lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{h}{2}\right)=\cos x $ 이다. 그러므로</p> <p>\[ y^{\prime}=\lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \frac{\sin \frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}=\cos x \]</p> <p>따라서 $ (\sin x)^{\prime}=\cos x $ ]이다.</p> <h3>[2] 삼각함수 $ y=\cos x $ 의 도함수</h3> <p>$ \cos x=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right) $이므로 합성합수의 미분법에 의해 구해보자.</p> <p>\[ y^{\prime}=\frac{d}{d x}\left\{\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right\}=\left\{\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)\right\}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^{\prime}=-\sin x \]</p> <p>따라서 $ (\cos x)^{\prime}=-\sin x $ 이다.</p> <h3>[3] 삼각함수 $ y=\tan x $ 의 도함수</h3> <p>$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} $ 이므로 몫의 미분법에 의해 구해보자.</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime} &=\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-\sin x(\cos x)^{\prime}}{\cos ^{2} x} \\ &=\frac{(\sin x)^{\prime} \cos x-\sin x(\cos x)^{\prime}}{\cos ^{2} x}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=\sec ^{2} x \end{aligned} \]</p> <p>따라서 $ (\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x $이다.</p> <p>정리 삼각함수의 도함수(1)</p> <p>1) $ (\sin x)^{\prime}=\cos x $</p> <p>2) $ (\cos x)^{\prime}=-\sin x $</p> <p>3) $ (\tan x)^{\prime}=\sec ^{2} x $</p> <p>다음 함수를 미분하여보자.</p> <p>(1) $ y=\sin (2 x-3) $ (2) $ y=x^{2} \cos x $</p> <p>풀이 (1) $ u=2 x-3 $이라고 하자. 그러면 $ y=\sin u $ $ \frac{d y}{d u}, \frac{d u}{d x} $를 구하면 $ \frac{d y}{d u}=\cos u, \frac{d u}{d x}=2 $ 합성함수의 미분법에 의하여</p> <p>\[ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=\cos u \cdot 2=2 \cos (2 x-3) \]</p> <p>(2) $ y=x^{2} \cos x $의 도함수를 곱의 미분법에 의해 구해보자.</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime} &=\left(x^{2}\right)^{\prime} \cos x+x^{2}(\cos x)^{\prime} \\ &=2 x \cos x-x^{2} \sin x \end{aligned} \]</p> <p>함수 $ y=\sec x $의 도함수를 구해보자.</p> <p>$ y=\sec x=\frac{1}{\cos x} $이다. 그러므로 몫-미분법에 의해 구해보자.</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime} &=\frac{-(\cos x)^{\prime}}{\cos ^{2} x}=\frac{\sin x}{\cos ^{2} x} \\ &=\frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}=\sec x \tan x \end{aligned} \]</p> <p>따라서 $ (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $이다.</p> <p>마찬가지 방법으로 $ (\operatorname{cosec} x)^{\prime}=-\operatorname{cosec} x \cot x $, $ (\cot x)^{\prime}=-\operatorname{cosec}^{2} x $임을 알 수 있다.</p> <p>정리 삼각함수의 도함수(2)</p> <p>1) $ (\sec x)^{\prime}=\sec x \tan x $</p> <p>2) $ (\operatorname{cosec} x)^{\prime}=-\operatorname{cosec} x \cot x $</p> <p>3) $ (\cot x)^{\prime}=-\operatorname{cosec}^{2} x $</p> <p>다음 함수를 미분하여라.</p> <p>(1) $ y=\sec x \tan x $ (2) $ y=\frac{1}{x} \cot 2 x $</p> <p>풀이 (1) 곱의 미분법에 의해 구하자.</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime} &=(\sec x)^{\prime} \tan x+\sec x(\tan x)^{\prime} \\ &=\sec x \tan ^{2} x+\sec ^{3} x \end{aligned} \]</p> <p>(2) 몫의 미분법에 의해 구하자.</p> <p>\[\begin{aligned} y^{\prime} &=\frac{(\cot 2 x)^{\prime} x-\cot 2 x}{x^{2}} \\ &=\frac{-2 x \operatorname{cosec}^{2} 2 x-\cot 2 x}{x^{2}} \end{aligned} \]</p> <p>예 $ y=\ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}} $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ y=\frac{1}{2}(\ln \|1+\sin x\|-\ln \|1-\sin x\|) $ 이다. 그러므로</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime} &=\frac{1}{2}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}+\frac{\cos x}{1-\sin x}\right) \\ &=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cos x}{1-\sin ^{2} x}=\frac{1}{\cos x} \end{aligned} \]</p> <p>예 $ y=e ^ { -x } \ln x $ 의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 함수-곱의 미분법을 사용하자. \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } &= \left (e ^ { -x } \right ) ^ {\prime } \ln x + e ^ { -x } ( \ln x) ^ {\prime } \\ &=-e ^ { -x } \ln x + \frac { e ^ { -x } } { x } =e ^ { -x } \left ( \frac { 1 } { x } - \ln x \right ) \end {aligned} \]</p> <p>예 $ y=e ^ { x } \ln x $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &=e ^ { x } \frac { d } { d x } ( \ln x) + \ln x \frac { d } { d x } \left (e ^ { x } \right ) \\ &= \frac { e ^ { x } } { x } + e ^ { x } \ln x=e ^ { x } \left ( \frac { 1 } { x } + \ln x \right ) \end {aligned} \]</p> <H3>지수함수와 맬서스의 인구 성장 모델</h3> <p>영국의 경제학자 맬서스는 세계 인구 성장 모델에 대한 논문에서 '인구 증가율은 항상 현재의 인구에 비례한다.'는 가설을 제안하였다.</p> <p>현재의 인구 수를 $ P_ { 0 } $ 그리고, $ t $년 후 인구를 $ P(t) $라고 하면 $ P(t) $를 다음과 같은 지수함수를 제안하였다.</p> <p>$ P(t) = P_ { 0 } e ^ { k t } $, ($P(0)=P_ { 0 } $, $ k $ 는 비례상수)</p> <p>맬서스의 인구 성장 모델은 지수 성장 모델의 한 예라고 볼 수 있다. 그러나 맬서스의 인구 성장 모델은 개체의 생태계가 먹이와 공간에 제약이 없는 생태계의 항상성을 갖추고 있을 때, 박테리아의 배양 등과 같은 이상적인 조건에서는 적합하다. 그러나 자연 생태계는 여러 복합적인 자연적인 제약조건이 따른다.</p> <p>맬서스의 모형은 일반적인 개체의 인구 모형으로는 적합하지 않다.</p> <p>일반적인 인구 모형에서는 인구가 적은 초기에는 지수 성장을 한다. 하지만, 먹이의 양, 거주 공간 크기, 포식자 등 다른 자원의 영향을 받기 때문에 인구는 지수적으로 성장할 수는 없다. 따라서 개체의 인구 수는 어떤 임계치와 관련해 변동하게 된다.</p> <p>맬서스와 다른 이런 요인들을 고려한 인구변동모형을 벨기에의 수학자인 베르휼스트는 다음과 같은 수정 모델을 제안하였다.</p> <p>현재의 인구를 $ P_ { 0 } $ 이라고 할 때, 시각 $ t $ 에서의 인구는 다음과 같다.</p> <p>$P(t)= \frac { b P_ { 0 } } { P_ { 0 } + a e ^ { -r t } } $ (단, $ a, b, r $ 는 상수)</p> <p>이러한 인구모형을 로지스틱(logistic) 모델이라고 한다.</p> <h2>역삼각함수의 미분 및 도함수</h2> <p>로그함수의 미분법과 음함수의 미분법을 이용하여 지수함수의 도함수를 구하였다. 같은 방법으로, 삼각함수의 미분법과 음함수의 미분법을 이용하여 역삼각함수의 도함수를 구하여보자.</p> <p>예 역삼각함수인 아크사인함수 $ y=\sin ^{-1} x $ 의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 정의에 의하여 $ y=\sin ^{-1} x $ 이면, $ x=\sin y $이다. $ x=\sin y $ 의 양변을 음함수의 미분법을 이용하여 $ x $에 대하여 미분하자.</p> <p>\[ 1=\frac{d}{d y}(\sin y) \frac{d y}{d x}=\cos y \cdot \frac{d y}{d x} \]</p> <p>따라서 $ y^{\prime}=\frac{1}{\cos y} $</p> <p>그런데 $ y $는 폐구간 $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $에서 값을 가진다. 그러므로 $ \cos y \geqq 0 $이다. 따라서 $ \cos y=\sqrt{1-\sin ^{2} y}=\sqrt{1-x^{2}} $ 그러므로 $ y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} $이다.</p> <p>예 아크탄젠트함수 $ y=\tan ^{-1} x $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 정의에 의하여 $ y=\tan ^{-1} x $ 이면, $ x=\tan y $ 이다. $ x=\tan y $ 의 양변을 음함수의 미분법으로 $ x $ 에 관하여 미분하자.</p> <p>\[ 1=\frac{d}{d y}(\tan y) \frac{d y}{d x}=\left(1+\tan ^{2} y\right) \frac{d y}{d x} \]</p> <p>따라서, $ \quad y^{\prime}=\frac{1}{1+\tan ^{2} y} $ 그런데 $ \tan y=x $이므로 $ y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} $이다.</p> <p>예 아크시컨트함수 $ y=\sec ^{-1} x $ 의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 정의에 의하여 $ y=\sec ^{-1} x $이면, $ x=\sec y $이다. $ x= $ secy의 양변을 음함수의 미분법으로 $ x $에 관하여 미분하자.</p> <p>\[ 1=(\tan y \cdot \sec y) \frac{d y}{d x} \]</p> <p>그런데 $ 1+\tan ^{2} y=\sec ^{2} y $이고, $ 0<y<\pi $ 일 때 $ \tan y \cdot \sec y>0 $이다.</p> <p>그러므로 $ \tan y \cdot \sec y=\|\sec y\| \sqrt{\sec ^{2} y-1}=\|x\| \sqrt{x^{2}-1} $ 따라서 $ y^{\prime}=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}} $</p> <p>정리 역삼각함수의 도함수</p></ol> <ol type=1 start=1><li>$ \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1) $</li> <li>$ \frac{d}{d x} \cos ^{-1} x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}(-1<x<1) $</li> <li>$ \frac{d}{d x} \tan ^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}}(-\infty<x<\infty) $</li> <li>$ \frac{d}{d x} \operatorname{cosec}^{-1} x=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}}(\|x\|>1) $</li> <li>$ \frac{d}{d x} \sec ^{-1} x=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}}(\|x\|>1) $</li> <li>$ \frac{d}{d x} \cot ^{-1} x=-\frac{1}{1+x^{2}}(-\infty<x<\infty) $</p> <ol type=1 start=1></li></ol> <p>예 다음 역삼각함수의 도함수를 구하여보자.</p> <p>1) $ y=\sin ^{-1} 2 x $의 도함수</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\sqrt{1-(2 x)^{2}}} \cdot 2=\frac{2}{\sqrt{1-4 x^{2}}} \end{aligned} $</p> <p>2) $ y=\cos ^{-1} x^{2} $의 도함수</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}=\frac{-1}{\sqrt{1-\left(x^{2}\right)^{2}}}(2 x)=-\frac{2 x}{\sqrt{1-x^{4}}} \end{aligned} $</p> <p>3) $ y=\cot ^{-1}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) $의 도함수</p> <p>풀이<p>$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\frac{1}{1+\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{2}} \frac{d}{d x}\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \\ &=-\frac{(1-x)^{2}}{2\left(x^{2}+1\right)} \cdot \frac{2}{(1-x)^{2}} \\ &=-\frac{1}{x^{2}+1} \end{aligned} $</p> <p>예 열풍선기구가 관측자로부터 $ 100 \mathrm{~m} $ 떨어진 곳에서 지면에서 분속 $ 50 \mathrm{~m} $의 속도로 수직으로 상승하고 있다. 이 기구가 지상에서 $ 100 \mathrm{~m} $의 높이를 지날 때, 관측자가 기구를 올려 본 각의 속도는 분속 몇 라디안인가?</p> <p>풀이 그림과 같이 열기구의 높이를 $ y $, 수평면과 열기구가 이루는 각이 $ \theta $라고 하자. 그러면 $ \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{y}{100}\right) $이다.</p> <p>따라서 $ \frac{d \theta}{d y}=\frac{1}{1+\left(\frac{y}{100}\right)^{2}} \cdot \frac{1}{100} $. 합성함수의 미분법에 의하여 $ \frac{d \theta}{d t}=\frac{d \theta}{d y} \cdot \frac{d y}{d t} $이다. 그런데 $ \frac{d y}{d t}=50 $이고 $ y=100 $이다. 그러므로</p> <p>\[ \frac{d \theta}{d t}=\frac{1}{1+1^{2}} \cdot \frac{1}{100} \cdot 50=\frac{1}{4} \]</p> <p>따라서 구하는 속도는 $ \frac{1}{4} $ (라디안/분)이다.</p> <h2>탄성운동과 미분-도함수</h2> <p>자연 현상이나 사회 현상에는 일정한 주기가 반복하여 나타나는 현상이 많다. 이때 주기함수인 사인함수나 코사인함수를 이용하면 이러한 현상을 수학적으로 설명할 수 있다.</p> <p>예를 들어, 추가 달린 용수철을 생각해 보자. 평형 상태의 용수철을 아래쪽으로 적당히 잡아당겼다 놓으면 추는 일정한 주기로 위, 아래로 진동하며 움직인다. 이러한 운동을 물리학에서는 단진동 운동이라고 한다. 용수철에 추를 매달았을 때, 평형 상태의 추의 위치를 5 , 추를 잡아당겼다 놓은 지 $ t $초 후의 위치를 $ f(t) $라고 하자.</p> <p>그러면 함수 $ y=f(t) $ 는 $ t $ 에 대한 코사인함수로 나타낼 수 있다.</p> <p>그림과 같이 용수철의 끝에 매달려 있는 물체를 아래쪽으로 $ 2 \mathrm{~cm} $ 잡아당겼다 놓은 후 $ t $초 후의 천정으로부터 물체까지의 거리 $ f(t) \mathrm{cm} $는</p> <p>\[ f(t)=5+2 \cos \pi t \]</p> <p>가 성립한다고 한다고 하자. 이때, $ f^{\prime}(1) $의 값을 구하여보자.</p> <p>함수 $ f(t) $가 $ f(t)=5+2 \cos \pi t $로 주어지면 $ f^{\prime}(t)=-2 \pi \sin \pi t $이다. 그러므로 $ \left\|f^{\prime}(t)\right\| \leq 2 \pi $임을 알 수 있다. $t=\frac{1}{2}$ (초)일 때, $f(\frac{1}{2})=5$, $f^{\prime}(\frac{1}{2})=-2 \pi $이다.</p> <p>그러므로 $ t=\frac{1}{2} $일 때, 추는 용수철의 평형 상태인 지점에 순간적으로 있게 된다. 그 때 추가 움직이는 순간변화율은 $ -2 \pi $ 로 용수철이 매달린 천장으로 향한다. 또, $ f(1)=3$, $f^{\prime}(1)=0 $이다. 그러므로 $ t=1 $ 일 때, 추는 위치가 3인 최고점에 순간적으로 있게 된다. 이때 순간변화율은 0이다.</p> <p>따라서 추의 운동은 변화율의 크기 $ \left\|f^{\prime}(t)\right\| $와 방향 $ f^{\prime}(t) $으로 결정된다. 따라서 추가 평형 상태로 용수철 길이가 5에 있을 때 크기 $ \left\|f^{\prime}(t)\right\| $가 가장 크다. 그리고 최저점 또는 최고점에 도달했을 때 $ \left\|f^{\prime}(t)\right\| $의 값이 가장 작다.</p> <h3>이계 미분, 고계미분 그리고 $ n $ 계도함수 $ f^{(n)}(x) $</h3> <p>미분가능한 함수 $ y=f(x) $의 도함수 $ f^{\prime}(x) $가 미분가능한 함수라고 하자. 그러면 다시 $ f^{\prime}(x) $의 도함수를 생각할 수 있다.</p> <p>\[ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x+\Delta x)-f^{\prime}(x)}{\Delta x} \]</p> <p>이 극한을 함수 $ f(x) $의 이계도함수라 하고, 기호로 다음과 같이 쓴다.</p> <p>\[ f^{\prime \prime}(x), y^{\prime \prime}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}, \frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x) \]</p> <p>또한 $ f^{\prime \prime}(x) $의 도함수 $ f^{\prime \prime \prime}(x) $를 $ f(x) $의 삼계도함수라 한다. 이와 같이 세 번 이상의 도함수를 고계도함수라 한다. 즉 귀납적으로 $ y=f(x) $ 의 $ n-1 $ 계도함수 $ f^{(n-1)}(x) $가 미분가능할 때, 도함수 $ \frac{d}{d x}\left[f^{(n-1)}(x)\right] $를 $ f(x) $의 $ n $ 계도함수라고 부른다.</p> <p>예 함수 $ y=e ^ { x ^ { 2 } } $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 합성함수의 미분법으로 구해보자.</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac { d } { d x } e ^ { x ^ { 2 } } &=e ^ { x ^ { 2 } } \cdot \frac { d } { d x } \left (x ^ { 2 } \right ) \\ &=2 x e ^ { x ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>정의 지수함수 $ y=a ^ { x } $의 정의</p> <p>임의의 양수 $ a $와 임의의 실수 $ x $에 대하여</p> <p>\[ a ^ { x } =e ^ { x \ln a } \]</p> <p>예 $ f(x)= \frac { 4 ^ { x } -4 ^ { -x } } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } $의 미분계수 $ f ^ {\prime } (1) $ 값을 구하여보자.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} f(x) &= \frac { 4 ^ { x } -4 ^ { -x } } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } = \frac { 2 ^ { 2 x } -2 ^ { -2 x } } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } \\ &= \frac {\left (2 ^ { x } -2 ^ { -x } \right ) \left (2 ^ { x } + 2 ^ { -x } \right ) } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } =2 ^ { x } + 2 ^ { -x } \end {aligned} \]</p> <p>그러므로 $ f ^ {\prime } (x)=2 ^ { x } \ln 2-2 ^ { -x } \ln 2= \left (2 ^ { x } -2 ^ { -x } \right ) \ln 2 $이다. 따라서 $ f ^ {\prime } (1)= \left (2- \frac { 1 } { 2 } \right ) \ln 2= \frac { 3 } { 2 } \ln 2 $</p> <h2>지수함수의 미분 및 도함수</h2> <p>$ \alpha $가 실수일 때, 함수 $ y = x ^ {\alpha } $의 도함수를 구해보자. 함수 $ y=x ^ {\alpha } $ 에서 $ \|y\|= \left \|x ^ {\alpha } \right \|=\|x\| ^ {\alpha } $ 이다. 따라서 양변에 자연로그를 취하자.</p> <p>즉 $ \ln \|y\|= \alpha \ln \|x\| $. 양변을 $ x $ 에 대하여 미분하면 $ \frac { y ^ {\prime } } { y } = \frac {\alpha } { x } $ 이다.</p> <p>그러므로 $ y ^ {\prime } = \frac {\alpha y } { x } = \frac {\alpha x ^ {\alpha } } { x } = \alpha x ^ {\alpha-1 } $</p> <p>정리 $ \alpha $가 실수일 때, $ y=x ^ {\alpha } $의 도함수는 $ y= \alpha x ^ {\alpha-1 } $</p> <h2>지수함수의 도함수</h2> <p>극한 $ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { e ^ { h } -1 } { h } =1 $을 이용하여 $ f(x)=e ^ { x } $를 정의에 의하여 미분하여보자.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x + h } -e ^ { x } } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } \left (e ^ { h } -1 \right ) } { h } \\&=e ^ { x } \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { e ^ { h } -1 } { h } =e ^ { x } \end {aligned} $</p></p> <p>그러므로 지수함수 $ f(x)=e ^ { x } $의 도함수는 $ f ^ {\prime } (x)=e ^ { x } $이다.</p> <p>지수함수 $ y=a ^ { x } \quad(a>0, a \neq 1) $의 도함수를 구해보자.</p> <h3>기호 \| $ n $ 계도함수</h3> <p>함수 $ y=f(x) $ 가 $ x $ 에 대해 $ n $ 번 미분가능할 때, $ x $ 에 대하여 $ n $ 번 계속 미분한 제 $ n $ 계도 함수는 다음 기호로 표현한다.</p> <p>\[ f^{(n)}(x), y^{(n)}, \frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x), \frac{d^{n} y}{d x^{n}} \]</p> <p>함수 $ y=5 x^{4}+4 x^{3}+2 x $ 의 도함수가 $ y^{\prime}=20 x^{3}+12 x^{2}+2 $ 이다.</p> <p>그러므로 이계도함수는 $ y^{\prime \prime}=60 x^{2}+24 x $</p> <p>다음 함수의 이계도함수를 구하여라.</p> <p>(1) $ y=\cos 2 x $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ (2) $ y=\ln 3 x $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ y^{\prime}=-(-\sin 2 x) \cdot 2=-2 \sin 2 x $이다. 그러므로 $ y^{\prime \prime}=-(\cos 2 x) \cdot 2=-4 \cos 2 x $</p> <p>(2) $ y^{\prime}=\frac{1}{3 x} \cdot 3=\frac{1}{x} $ 이므로 $ y^{\prime \prime}=-\frac{1}{x^{2}} $</p> <p>예 다음 함수의 이계도함수를 구하여라.</p> <p>(1) $ y=x^{2} \ln x $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ (2) $ y=e^{x} \cos x $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ y^{\prime}=2 x \cdot \ln x+x^{2} \cdot \frac{1}{x}=2 x \ln x+x $ 이므로 \[y^{\prime \prime}=2 \cdot \ln x+2 x \cdot \frac{1}{x}+1=2 \ln x+3\]</p> <p>(2) $ y^{\prime}=e^{x} \cos x-e^{x} \sin x =e^{x}(\cos x-\sin x)$ 이므로 \[ y^{\prime \prime} =\left(e^{x}\right)^{\prime}(\cos x-\sin x)+e^{x}(\cos x-\sin x)^{\prime} =-2 e^{x} \sin x \]</p> <p>참고 미분방정식</p> <p>$ y=e^{x} \cos x$, $y^{\prime}=e^{x} \cos x-e^{x} \sin x$, $y^{\prime \prime}=-2 e^{x} \sin x $이다. $ y$, $ y^{\prime}$, $y^{\prime \prime} $은 방정식 $ y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0 $을 만족한다. 이렇게 도함수들이 포함된 방정식을 미분방정식이라고 부른다.</p> <p>예 다음 함수의 도함수 $ y^{\prime} $ 및 이계도함수 $ y^{\prime \prime} $을 구해서 $ F\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 $이 되는 미분방정식을 구해보자.</p> <p>(1) $ y=\sin 2 x $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ (2) $ y=e^{-3 x} $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ $ \quad $ (3) $ y=\ln x $</p> <p>풀이</p> <p>(1) $ y^{\prime}=\cos 2 x \cdot(2 x)^{\prime}=2 \cos 2 x $ 이다. 그러므로</p> <p>\[ y^{\prime}=2 \cdot(-\sin 2 x)(2 x)^{\prime}=-4 \sin 2 x \]</p> <p>$ \quad $그러므로 구하는 미분방정식은 $ y^{\prime \prime}+4 y=0 $ 이다.</p> <p>(2) $ y^{\prime}=e^{-3 x} \cdot(-3 x)^{\prime}=-3 e^{-3 x} $ 이다. 그러므로 $ y^{\prime \prime}=-3 \cdot e^{-3 x}(-3)=9 e^{-3 x} $ 구하는 미분방정식은 $ y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0 $ 이다.</p> <p>(3) $ y^{\prime}=\frac{1}{x} $ 이다. 그러므로 $ y^{\prime \prime}=-\frac{1}{x^{2}} $ 그러므로 구하는 미분방정식은 $ y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}=0 $ 이다.</p> <p>예 1) $ f(x)=x^{2} e^{x} $ 에 대하여 $ f^{\prime \prime}(0) $ 의 값을 구해보자.</p> <p>풀이 $ f(x)=x^{2} e^{x} $ 에서 $ f^{\prime}(x)=2 x e^{x}+x^{2} e^{x}=\left(x^{2}+2 x\right) e^{x} $ \[f^{\prime \prime}(x)=(2 x+2) e^{x}+\left(x^{2}+2 x\right) e^{x}=\left(x^{2}+4 x+2\right) e^{x}\]</p> <p>$ \quad $그러므로 $ f^{\prime \prime}(0)=2 $</p> <p>2) $ y=e^{x} \sin x $의 이계도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 $ y^{\prime}=e^{x} \sin x+e^{x} \cos x=e^{x}(\sin x+\cos x) $</p> <p>$ y^{\prime \prime}=e^{x}(\sin x+\cos x)+e^{x}(\cos x-\sin x)=2 e^{x} \cos x $</p> <p>예 $ y=e^{x} \sin 2 x $ 는 미분방정식 $ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+5 y=0 $을 만족한다. 이때, 상수 $ a $의 값을 구해보자.</p> <p>풀이 $ y=e^{x} \sin 2 x $ 의 양변을 $ x $ 에 관하여 미분하자. $y^{\prime}=e^{x} \sin 2 x+2 e^{x} \cos 2 x$ 이다. 이 식을 $ x $ 에 관하여 미분하면 이계도함수는 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin{aligned} y^{\prime \prime} &=e^{x} \sin 2 x+2 e^{x} \cos 2 x+2 e^{x} \cos 2 x-4 e^{x} \sin 2 x \\ &=-3 e^{x} \sin 2 x+4 e^{x} \cos 2 x \end{aligned} \]</p> <p>$ \quad $따라서. $ y^{\prime \prime}+5 y=2 e^{x} \sin 2 x+4 e^{x} \cos 2 x $ $=2\left(e^{x} \sin 2 x+2 e^{x} \cos 2 x\right)=2 y^{\prime}$</p> <p>$ \quad $그러므로 $ y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+5 y=y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y $ 이다.</p> <p>$ \quad $그러므로 $ a=-2 $ 이다.</p> <p>예 함수 $ y=\sin x \cos x $ 가 모든 실수 $ x $ 에 대하여 미분방정식 $ y^{\prime \prime}+a y=0 $ 을 만족하는 상수 $ a $ 의 값을 구해보자.</p> <p>풀이 $ y=\sin x \cos x=\frac{1}{2} \sin 2 x $ 이므로 $ y^{\prime}=\cos 2 x, y^{\prime \prime}=-2 \sin 2 x $이다.</p> <p>$ \quad $따라서 $ y^{\prime \prime}=-2 \sin 2 x=-4\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)=-4 y $이다. 즉 $ y^{\prime \prime}+4 y=0 $. 그러므로 $ a=4 $</p> <p>예 함수 $ f(x)=x \ln x $ 의 이계미분계수 $ f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right) $ 의 값을 구해보자.</p> <p>$f(x)=x \ln x \text { 에서 } f^{\prime}(x)=\ln x+1, f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x}$</p> <p>$ \quad $그러므로 $ f^{\prime \prime}\left(\frac{1}{2}\right)=2 $</p> <h1>7.1 로그함수, 지수함수: 미분과 도함수</h1> <p>생각하기 로그함수 $ f(x)=\ln x $에 대하여 $ x=1 $에서의 미분계수를 구해보자.</p> <p>$ \begin{aligned} f^{\prime}(1) &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (1+h)-\ln 1}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\ln (1+h)}{h} \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \ln (1+h) \\ &=\lim _{h \rightarrow 0} \ln (1+h)^{\frac{1}{h}}=\ln e=1 \end{aligned} $</p> <p>그러므로 $ f(x)=\ln x $의 $ x=1 $에서 미분계수는 $ f^{\prime}(1)=1 $ 이다.</p> <p>$ a>0, a \neq 1 $일 때, $ \log _{a} x=\frac{\log _{e} x}{\log _{e} a}=\frac{\ln x}{\ln a} $이다</p> <p>그러므로 $ \left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a} \cdot(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x \ln a} $</p> <p>정리 로그함수의 도함수</p> <p>1) $ y=\ln x $이면 $ y^{\prime}=\frac{1}{x} $</p> <p>2) $ y=\log _{a} x $이면 $ y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \quad( $ 단, $ a>0, a \neq 1 $ )</p> <p>예 다음 함수를 미분하여보자.</p> <p>(1) $ y=\ln \left(x^{2}+x\right), x>0 $</p> <p>풀이 $ u=x^{2}+x $이라고 하자. 그러면 $ y=\ln u $</p> <p>$\frac{d y}{d u}, \frac{d u}{d x}$를 구하자. $ \frac{d y}{d u}=\frac{1}{u}, \frac{d u}{d x}=2 x+1$ 합성함수의 미분법에 의하여</p> <p>\[y^{\prime}=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=\frac{1}{u} \cdot(2 x+1)=\frac{2 x+1}{x^{2}+1} \]</p> <p>(2) $ y=\log _{2}(4 x-2) $를 미분하여보자.</p> <p>풀이 $ u=4 x-2 $라고 하자. 그러면 $ y=\log _{2} u $<p>$\frac{d y}{d u}, \frac{d u}{d x}$를 각각 구하자. 그러면 \[ \frac{d y}{d u}=\frac{1}{u \ln 2}, \frac{d u}{d x}=4 \]</p> <p>합성함수의 미분법에 의하여 \[\begin{aligned} y^{\prime} &=\frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}=\frac{1}{u \ln 2} \cdot 4 \\ &=\frac{4}{(4 x-2) \ln 2}=\frac{2}{(2 x-1) \ln 3}\end{aligned}\]</p> <p>생각하기 로그함수 $ y=\ln \|x\| $의 도함수를 구해보자.</p> <p>(i) $ x>0 $ 일 때, $ y=\ln \|x\|=\ln x $ 이므로 \[y^{\prime}=\frac{1}{x}\]</p> <p>(ii) $ x<0 $ 일 때, $ y=\ln \|x\|=\ln (-x) $ 이므로 \[y^{\prime}=\frac{(-x)^{\prime}}{-x}=\frac{1}{x}\]</p> <p>( i ), (ii)에 의하여, $ (\ln \|x\|)^{\prime}=\frac{1}{x} $ 이다.</p> <p>한편, $ y=\log _{a}\|x\|(a>0, a \neq 1) $의 도함수는 \[\begin{aligned}y^{\prime} &=\left(\frac{\ln \|x\|}{\ln a}\right)^{\prime}=\frac{1}{\ln a}(\ln \|x\|)^{\prime} \\ &=\frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x \ln a}\end{aligned}\]</p> <p>정리</p> <p>1) $ y=\ln \|x\| $이면 $ y^{\prime}=\frac{1}{x} $</p> <p>2) $ y=\log _{a}\|x\| $ 이면 $ y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} $ (단, $ a>0, a \neq 1 $ )</p> <p>따름정리</p> <p>함수 $ f(x) $가 미분가능하고, $ f(x) \neq 0 $일 때, 로그함수의 도함수와 합성함수의 미분법을 이용하면 함수 $ y=\ln \|f(x)\| $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>\[ y^{\prime}=(\ln \|f(x)\|)^{\prime}=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \]</p> <p>예 함수 $ f(x)=\ln x \sqrt{x-2} $의 정의역과 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 함수 $ f(x)=\ln x \sqrt{x-2} $는 $ x \sqrt{x-2}>0 $인 모든 $ x $ 에 대하여 정의된다.</p> <p>따라서, $ x \sqrt{x-2}>0 \Leftrightarrow x>2 $이다.</p> <p>그러므로 함수 $ f(x)=\ln x \sqrt{x-2} $의 정의역은 $ (2, \infty) $ 이다. \[\ln x \sqrt{x-2}=\ln x+\ln \sqrt{x-2}=\ln x+\frac{1}{2} \ln (x-2)\]</p> <p>그러므로</p> <p>$\begin{aligned} (\ln x \sqrt{x-2})^{\prime} &=(\ln x)^{\prime}+(\ln \sqrt{x-2})^{\prime} \\&=(\ln x)^{\prime}+\left\{\frac{1}{2} \ln (x-2)\right\}^{\prime} \\&=\frac{1}{x}+\frac{1}{2(x-2)}=\frac{3 x-4}{2 x(x-2)}\end{aligned}$</p> <p>예 $ y=\ln \frac{x}{1-x} $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ y=\ln x-\ln (1-x) $ 이다.</p> <p>그러므로 $y^{\prime}=\frac{1}{x}-\frac{-1}{1-x}=\frac{1}{x(1-x)}$ 이다.</p> <p>예 $ y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right) $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} &=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \frac{d}{d x}\left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right) \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\left(1+\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right) \\ &=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}-1}}\left(\frac{\sqrt{x^{2}-1}+x}{\sqrt{x^{2}-1}}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} \end{aligned} $</p> <p>예 $ f(x)=\ln x $일 때, $ g(x)=(f \circ f)(x) $에 대하여 $ g^{\prime}(e) $ 의 값을 구하여보자.</p> <p>풀이 $ g(x)=(f \circ f)(x)=f(f(x))=\ln (\ln x) $이다.</p> <p>그러므로 양변을 $ x $ 에 대하여 미분하면 \[g^{\prime}(x)=\frac{(\ln x)^{\prime}}{\ln x}=\frac{1}{x \ln x}\]</p> <p>그러므로 $\ g^{\prime}(e)=\frac{1}{e \ln e}=\frac{1}{e} $</p> <p>풀이 $ y ^ {\prime } =e ^ { 3 x + 1 } + 3 x e ^ { 3 x + 1 } =e ^ { 3 x + 1 } (3 x + 1) $</p> <h3>지수함수-로그함수 역함수 관계에 따른 미분</h3> <p>지수함수 $ y = e ^ { x } $ 은 $ y= \ln x $의 역함수이다.</p> <p>즉, $ y=e ^ { x } \Leftrightarrow x= \ln y $</p> <p>따라서 함수와 역함수왁의 관계에 의하여 다음 식이 성립함을 곧 알 수 있다.</p> <p>$ \ln e ^ { x } = \ln ( \exp (x))=x $ ( $x $는 임의의 실수)</p> <p>$ e ^ {\ln x } = \exp ( \ln x)=x $ ( $x $는 임의의 양의 실수)</p> <p>$ y=e ^ { x } $와 $ y= \ln x $은 서로 역함수이다. 그러므로 두 그래프는 직선 $ y=x $에 대하여 대칭이다. 그리고 $ y=e ^ { x } $는 점 $ (0,1) $과 $ (1, e) $를 지나고 아래로 볼록하다. 역함수의 도함수를 이용하여 지수함수 $ y=e ^ { x } $의 도함수를 구하여보자.</p> <p>\[ y=e ^ { x } \Leftrightarrow x= \ln y \]</p> <p>그러므로 $ x= \ln y $의 양변을 $ x $ 에 대하여 음함수의 미분법으로 미분하자.</p> <p>\[ 1= \frac { 1 } { y } \cdot \frac { d y } { d x } \quad 즉, \frac { d y } { d x } =y \]</p> <p>그러므로 $ y=e ^ { x } $의 도함수는 $ \frac { d y } { d x } = \frac { d } { d x } e ^ { x } =e ^ { x } $다.</p> <p>정리 $ y=e ^ { x } $의 도함수</p> <p>\[ \frac { d } { d x } e ^ { x } =e ^ { x } \]</p> <p>로그함수의 미분법을 이용하자. 즉 $ y=a ^ { x } $ 의 양변에 자연로그를 취하자.</p> <p>그러면 $ \ln y=x \ln a $.</p> <p>양변을 $ x $ 에 대하여 미분하자. 그러면 $ \frac { y ^ {\prime } } { y } = \ln a $</p> <p>그러므로 지수함수 $ y=a ^ { x } $의 도함수는 $ y ^ {\prime } =y \ln a=a ^ { x } \ln a $이다.</p> <p>특히, 자연대수의 지수함수 $ y=e ^ { x } $ 의 도함수는 $ y ^ {\prime } =e ^ { x } \ln e=e ^ { x } $이다.</p> <p>정리 지수함수의 도함수</p> <p>1) $ y=a ^ { x } $일 때, $ y ^ {\prime } =a ^ { x } \ln a $ (단, $ a>0, a \neq 1 $ )</p> <p>2) $ y=e ^ { x } $일 때, $ y ^ {\prime } =e ^ { x } $</p> <p>예 $ y=3 ^ { 2 x + 1 } $의 도함수를 구해보자.</p> <p>풀이 $ u=2 x + 1 $ 이라고 하자. 그러면 $ y=3 ^ { u } $이다. $ \frac { d y } { d u } , \frac { d u } { d x } $를 각각 구하면 $ \frac { d y } { d u } =3 ^ { u } \ln 3, \frac { d u } { d x } =2 $이다.</p> <p>따라서 합성함수의 미분법에 의하여 \[ \begin {aligned} y ^ {\prime } = \frac { d y } { d u } \cdot \frac { d u } { d x } &=3 ^ { u } \ln 3 \cdot 2 \\ &=2 \cdot 3 ^ { 2 x + 1 } \ln 3 \end {aligned} \]</p> <p>예 $ y=x e ^ { 3 x + 1 } $ 의 도함수를 구해보자</p>	자연
m794-미적분과 해석기하학	<p>정의 3 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\infty( $ 또는 $ -\infty $ )라 함은 임의의 $ M>0 $에 대하여 적당한 자연수 $ K $가 존재하여 \[n \geq K \text { 이면, } a_{n}>M \text { (또는 } a_{n}<-M \text { ) }\]이 성립하는 것이다. 이때 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 $ \infty $ (또는 $ -\infty $ )로 발산한다고 한다.</p> <p>수열의 극한을 구할 때, 간접적인 방법으로 수렴성을 조사해야만 할 경우가 있다.</p> <p>정리 4 수열에 대한 조임정리 적당한 자연수 $ n_{1} $에 대하여 $ n \geq n_{1} $일 때 $ a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n} $이고, $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=L $이면 \[\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=L\]이 성립한다.</p> <p>예 $ 3 \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}}=0 $이다. 왜냐하면 $ 0<\frac{n !}{n^{n}} \leq \frac{1}{n} $이고 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} 0=0\]이므로, 조임정리를 적용하면 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n !}{n^{n}}=0 $을 얻는다.</p> <p>따름정리 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|a_{n}\right\|=0 \text { 이면, } \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \text {이다. }\]</p> <p>예 4 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{n} $은 직접 계산할 수 없으나, $ \left\|\frac{(-1)^{n}}{n}\right\|=\frac{1}{n} $이고 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $이기 때문에 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^{n}}{n}=0 $이 된다.</p> <p>정의 5 단조수열 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $에 있어서, 모든 $ n \in N $에 대하여 $ a_{n} \leq a_{n+1} $ (또는 $ a_{n} \geq a_{n+1} $ )을 만족하면 $ \left\{a_{n}\right\} $을 증가 (또는 감소)수열이라 하고, 증가 또는 감소인 수열을 단조수열 (monotone sequence)이라고 한다.<p>수열 $ \left\{a_{n}\right\} $에 있어서, 모든 $ n \in N $에 대하여 $ a_{n}<a_{n+1} $ (또는 $ a_{n}>a_{n+1} $ )을 만족하면 $ \left\{a_{n}\right\} $을 순증가 (또는 순감소)수열이라 하고, 순증가이거나 순감소일 때 순단조수열(strictly monotone sequence)이라고 한다.</p></p> <p>참고 처음 몇 개의 항만을 조사하는 것으로 수열의 단조 여부를 알 수 없다. 그러나 연속인 두 개의 항 $ a_{n} $과 $ a_{n+1} $의 비를 이용하여 단조 여부를 판정할 수 있다. 이때 $ a_{n}>0 $ (단, $ \left.n=1,2,3, \cdots\right) $인 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $에 있어서, $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}>1 $이면 $ \left\{a_{n}\right\} $은 증가 수열이고, $ \frac{a_{n+1}}{a_{n}}<1 $ 이면 $ \left\{a_{n}\right\} $은 감소수열이 된다.</p> <p>예제 2 수열 $ \left\{\frac{n !}{e^{n}}\right\} $의 단조 여부를 판정하시오.</p> <p>풀이 I $ a_{n}=\frac{n}{n+1} $이라 놓으면, 모든 $ n \geq 2 $에 대하여 $ a_{n}>0 $이고 \[\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1+\frac{1}{n^{2}+2 n}>1\]이 성립한다. 따라서 이 수열은 모든 자연수 $ n $에 대하여 증가수열은 아니지만 $ n \geq 2 $일 때는 증가수열이다.</p> <p>모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_{n} \leq M $ (또는 $ L \leq a_{n} $ )을 만족하는 실수 $ M $ (또는 $ L $ )이 존재하면, 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 위로 유계 (또는 아래로 유계)라 한다. 특히 위로 유계이고 아래로 유계인 수열을 유계 (bounded)라고 한다. 이때 $ M $과 $ L $을 각각 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $의 상계 (upper bound)와 하계 (lower bound)라 한다.</p> <p>정의 6 상한과 하한 상계의 집합 중 최솟값을 최소상계 또는 상한(supremum)이라고 하고, 하계의 집합 중 최댓값을 최대하계 또는 하한 (infimum)이라고 한다.</p> <p>수렴하는 수열은 유계이지만, 유계인 수열이 반드시 수렴하는 것은 아니다. 또한 단조수열이 반드시 수렴한다고도 할 수 없다.</p> <p>예 $ 5 a_{n}=(-1)^{n} $으로 주어진 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 유계이지만 발산한다. 또한 $ a_{n}=n $으로 주어진 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 단조이지만 발산한다.</p> <p>다음 단조수렴정리에 대한 증명은 실수 집합 $ R $의 완비성공리 (completeness axiom)를 이용한다.</p> <p>정리 7 단조수렴정리 (monotone convergence theorem) 유계이고 단조인 수열은 수렴한다. 이때<ol type=1 start=1><li>$ \left\{a_{n}\right\} $이 증가수열일 때, $ \left\{a_{n}\right\} $이 위로 유계이면 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\sup \left\{a_{n}\right\} $</li> <li>$ \left\{b_{n}\right\} $이 감소수열일 때, $ \left\{b_{n}\right\} $이 아래로 유계이면 $ \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=\inf \left\{b_{n}\right\} $</li></ol>으로 주어진다.</p> <p>③ 절대수렴과 조건수렴</p> <p>이제 양항과 음항을 모두 갖고 있는 무한급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $에 대하여 서술한다. 무한급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 절대급수를 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| $으로 정의한다.</p> <p>정의 14 절대수렴과 조건수렴 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| $이 수렴할 때 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ 은 절대수렴 (absolute convergence)이라 하고, 수렴급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 절대수렴하지 않으면 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 조건수렴 (conditional convergence)이라고 한다.</p> <p>예 8 교대조화급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} $은 절대수렴하지 않고 조건수렴한다. 이 급수의 합은 $ \ln n $이다.</p> <p>참고 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 절대수렴하면, 그 급수는 수렴한다.</p> <p>비교판정법은 양항급수에만 적용할 수 있지만, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 음인 항을 포함하면 절대급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| $에 비교판정법을 적용하면 된다.</p> <p>예제 6 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{3}} $의 수렴 여부를 판정하시오.</p> <p>풀이 모든 $ n \in N $에 대하여 $ \|\sin n\| \leq 1 $이므로 \[\left\|\frac{\sin n}{n^{3}}\right\|=\frac{\|\sin n\|}{n^{3}} \leq \frac{1}{n^{3}}\]이고, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} $은 수렴하기 때문에, 비교판정법에 의하여 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|\frac{\sin n}{n^{3}}\right\| $은 수렴한다. 따라서 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{3}} $도 수렴한다.</p> <p>(i) 비판정법</p> <p>달랑베르(D'Alembert)의 비판정법은 주어진 급수의 절대수렴 여부를 결정하는데 매우 유용하다. 비판정법은 급수의 일반항이 지수항을 포함하거나 계승(factorial)을 포함할 때 사용할 수 있다. 그러나 비판정법으로는 $ p $ - 급수의 수렴 또는 발산을 판정할 수 없다.</p> <p>정리 15 비판정법 (ratio test) 모든 $ n \in N $에 대하여 $ a_{n} \neq 0 $인 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $에 대하여 \[L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\|\]일 때, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ L<1 $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 절대수렴한다.</li> <li>$ L>1 $ (또는 $ L=\infty) $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 발산한다.</li> <li>$ L=1 $이면, 이 판정법으로는 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 수렴, 발산을 판정할 수 없다.</li></ol></p> <p>참고 두 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $과 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $은 모두 \[L=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\|=1\]이지만, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $은 발산하고 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $은 수렴한다. 따라서 $ L=1 $일 때, 비판정법은 수렴, 발산에 대하여 어떠한 판정도 제공하지 못한다.</p> <p>예 9 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n}{2^{n}} $은 수렴한다. 왜냐하면 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\|=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=\frac{1}{2}<1\]이기 때문이다.</p> <p>참고 코시의 근호판정법은 $ n $ 제곱이 나오는 경우에 적용하면 편리하지만, 여기서는 생략하기로 한다. 다만 주어진 급수가 비판정법에 의해 수렴하면, 그 급수는 또한 근호판정법에 의해서도 수렴함에 유의한다.</p> <p>(ii) 재배열급수</p> <p>재배열급수(rearrangement series)는 급수의 항의 순서를 임의로 바꾸어 얻은 새로운 급수이다.</p> <p>정리 16 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 절대수렴하면, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 임의의 재배열도 동일한 값으로 절대수렴한다.</p> <p>참고 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 조건수렴하면, 임의로 정한 수 $ c $에 수렴하는 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 재배열급수가 존재함을 리만이 발견하였다. 또한 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 조건수렴하면, 발산하는 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 재배열급수를 만들 수 있다는 사실도 알려져 있다.</p> <h3>(2) 무한급수의 수렴판정법</h3> <p>여기서는 급수가 주어졌을 때, 수렴과 발산을 판정할 수 있는 여러 가지 판정법에 대하여 살펴본다. 이때 주의할 것은 두 급수가 수렴한다는 것만 판정하는 것일 뿐, 두 급수가 같은 값으로 수렴하는 것이 아니라는 사실이다.</p> <p>① 양항급수</p> <p>모든 $ n \in N $에 대하여 $ a_{n} \geq 0 $일 때, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $을 양항급수 (series of positive terms)라 한다. $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 양항급수일 때, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 수렴할 필요충분조건은 부분합의 수열 $ \left\{S_{n}\right\} $이 유계인 것이다. 이 경우에 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\sup \left\{S_{n}\right\}\]이 성립한다.</p> <p>(i) 적분판정법</p> <p>수렴에 대한 적분판정법은 이상적분의 개념을 이용한다. 적분판정법에서 무한급수의 합과 이상적분이 같다는 의미가 아님에 유의한다.</p> <p>정리 11 적분판정법 (integral test) 함수 $ f(t) $가 $ \left\{t \mid t \geq n_{0}, n_{0} \in N\right\} $에서 정의된 연속인 감소함수이고, $ f(t)>0 $이라 하자. 그러면 $ f(n)=a_{n} $일 때, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 수렴할 필요충분조건은 이상적분 \[\int_{n_{0}}^{\infty} f(t) d t=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{n_{0}}^{n} f(t) d t\]가 수렴하는 것이다.</p> <p>예제 3 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1} $의 수렴 여부를 판정하시오.</p> <p>풀이 $ f(x)=\frac{1}{x^{2}+1} $로 놓으면, 함수 $ f(x) $는 양의 값을 갖는 연속함수이다. 또한 $ x \in(1, \infty) $일 때 \[f^{\prime}(x)=-\frac{2 x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}<0\]이므로, $ f(x) $는 감소함수이다. 따라서 적분판정법을 적용하면 \[\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}+1} d x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\tan ^{-1} x\right]_{1}^{t}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(\tan ^{-1} t-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\]가 된다. 따라서 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1} $은 수렴한다.</p> <p>참고 [ $ p $ - 급수 판정법] $ p>0 $일 때, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} $을 $ p $ - 급수라 한다. $ p $ - 급수에 적분판정법을 적용해보자. $ f(t)=\frac{1}{t^{p}} $일 때<ol type=1 start=1><li>$ p=1 $이면 $ \int_{1}^{\cdot n} \frac{1}{t} d t=\ln n-\ln 1 $</li> <li>$ p \neq 1 $이면 $ \int_{1}^{n} \frac{1}{t^{p}} d t=\frac{1}{1-p}\left(n^{1-p}-1\right) $</li></ol>을 얻는다. 따라서 $ p>1 $이면 $ p $ - 급수는 수렴하고, $ p \leq 1 $이면 발산함을 알 수 있다.</p> <p>예 7 조화급수(harmonic series) $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $은 발산하지만, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $은 수렴한다. 오일러 (Euler)는 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $의 합이 $ \frac{\pi^{2}}{6} $임을 밝혔다.</p> <p>(ii) 비교판정법</p> <p>비교판정법에서 대개의 경우 비교대상으로 선택되는 급수는 $ p $ - 급수와 기하급수이다.</p> <p>정리 12 비교판정법 (comparison test) 두 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $ 과 $ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $이 양항급수일 때, 적당한 자연수 $ K $가 존재해서 $ n \geq K $인 모든 $ n \in N $에 대하여 \[a_{n} \leq c b_{n}(\text { 단, } c>0)\]을 만족하면, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $이 수렴하면, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $도 수렴한다.</li> <li>$ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 발산하면, $ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $도 발산한다.</li></ol></p> <p>예제 4 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(n^{2}+5\right)} $의 수렴 여부를 판정하시오.</p> <p>풀이 $ n \geq 1 $인 자연수 $ n $에 대하여 \[\frac{1}{n\left(n^{2}+5\right)}=\frac{1}{n^{3}+5 n} \leq \frac{1}{n^{3}}\]이고, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} $이 수렴하므로, 비교판정법에 의하여 주어진 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n\left(n^{2}+5\right)} $도 수렴한다.</p> <p>따름정리 극한비교판정법 (limit comparison test) 두 양항급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $과 $ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $에 대하여 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=c $일 때, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ c>0 $이면, 두 급수는 동시에 수렴하거나, 동시에 발산한다.</li> <li>$ c=0 $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $이 수렴할 때 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 수렴한다.</li> <li>$ c=\infty $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $이 발산할 때 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 발산한다.</li></ol></p> <p>예제 5 극한비교판정법을 이용하여, $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\left(n^{2}-5\right)} $의 수렴 여부를 판정하시오.</p> <p>풀이 $ a_{n}=\frac{1}{n\left(n^{2}-5\right)}$, $b_{n}=\frac{1}{n^{3}} $이라면, $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1>0 $이고 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} $이 수렴하므로, $ \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n\left(n^{2}-5\right)} $은 수렴한다.</p> <p>따름정리 다항식 판정법 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} $에 대하여 $ P(n) $과 $ Q(n) $이 각각 차수가 $ p $와 $ q $인 다항식일 때, 다음이성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ q>p+1 $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} $은 수렴한다.</li> <li>$ q \leq p+1 $이면, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{P(n)}{Q(n)} $은 발산한다.</li></ol></p> <p>② 교대급수</p> <p>양항과 음항이 교대로 나타나는 급수를 교대급수 (alternating series)라고 한다. 교대급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $에 있어서는 \[a_{n}=(-1)^{n-1} z_{n}\left(\text { 단, } z_{n}>0\right)\]이라 두는 것이 편리하다. 교대급수의 수렴판정은 라이프니츠에 의해 증명된 교대급수 판정법을 적용한다.</p> <p>정리 13 교대급수 판정법 (alternating series test) $ Z=\left(z_{n}\right) $ 이 $ \lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=0 $ (단, $ z_{n}>0 $ )을 만족하는 감소수열이면, 교대급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} z_{n} $은 수렴한다.</p> <p>증명 $ S_{2 n}=\left(z_{1}-z_{2}\right)+\left(z_{3}-z_{4}\right)+\cdots+\left(z_{2 n-1}-z_{2 n}\right) $이고 $ z_{k}-z_{k+1} \geq 0 $이므로, 부분합의 부분수열 $ \left\{S_{2 n}\right\} $은 증가수열이다. 또한 \[S_{2 n}=z_{1}-\left(z_{2}-z_{3}\right)-\cdots-\left(z_{2 n-2}-z_{2 n-1}\right)-z_{2 n}\]이므로, 모든 $ n \in N $에 대하여 $ S_{2 n} \leq z_{1} $이다. 단조수렴정리에 의하여 부분수열 $ \left\{S_{2 n}\right\} $은 어떤 수 $ S \in R $로 수렴한다. $ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=S $라 하면 \[\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(S_{2 n}+a_{2 n+1}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}+\lim _{n \rightarrow \infty} a_{2 n+1}=S+0=S\]이므로, $ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{2 n}=S $가 성립한다. 따라서 $ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=S $를 얻는다. 그러므로 $ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} z_{n} $은 $ S $로 수렴한다.</p> <h2>3. 이항급수</h2> <p>이항정리 (binomial theorem)는 임의의 두 실수 $ a$, $b $와 자연수 $ n $에 대하여 \[(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) a^{n-k} b^{k}\]으로 주어진다. 여기서 기호 $ \left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) $는 \[\left(\begin{array}{l}n \\0\end{array}\right)=1,\left(\begin{array}{l}n \\1\end{array}\right)=n,\left(\begin{array}{l}n \\2\end{array}\right)=\frac{n(n-1)}{2}\]이고, $ k \geq 3 $일 때 \[\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right)=\frac{n(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !}\]인 이항계수이다. 특히 $ a=1$, $b=x $이면 \[(1+x)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}n \\k\end{array}\right) x^{k}\]이다. 뉴턴은 $ n $이 실수일 때도 이 식이 성립함을 발견하였다. 이 경우 함수 $ (1+x)^{n} $의 매클로린 급수, 즉 이항급수 $ \sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}n \\ k\end{array}\right) x^{k} $을 얻는다.</p> <p>정리 5 이항급수 (binomial series) 임의의 실수 $ r $에 대하여, $ -1<x<1 $일 때 \[(1+x)^{r}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{l}r \\k\end{array}\right) x^{k}\]이 성립한다. 또한 $ x=-1 $ 또는 $ x=1 $에서 이항급수가 수렴하는 $ r $이 존재한다.</p> <p>예제 7 함수 $ f(x)=\sqrt{1+x} $의 이항급수 전개식을 이용하여, $ f(x) $의 매클로린 급수 전개식을 구하시오.</p> <p>풀이 I $ r=\frac{1}{2} $일 때, 이항급수는 $ -1<x<1 $에서 \[\begin{aligned}\sqrt{1+x} &=(1+x)^{1 / 2}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\begin{array}{c}1 / 2 \\k\end{array}\right) x^{k} \\ &=1+\frac{1}{2} x+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)}{2} x^{2}+\frac{\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)}{3 !} x^{3}+\cdots \\ &=1+\frac{1}{2} x-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{1}{16} x^{3}-\frac{5}{128} x^{4}+\cdots\end{aligned}\]</p> <h2>4. 함수항급수</h2> <h3>(1) 함수열</h3> <p>$ A \subset R $와 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_{n}: A \rightarrow R $이 존재할 때, $ A $에서 $ R $로의 함수열(sequence of functions) 을 $ \left\{f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} $ 또는 간단히 $ \left\{f_{n}\right\} $으로 나타낸다. 일반적으로 집합 $ A $에서 정의된 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $이 주어졌을 때, 각 $ x \in A $에 함숫값 $ f_{n}(x) $를 제$ n $항으로 하는 수열 $ \left\{f_{n}(x)\right\} $를 대응시킬 수 있다.</p> <p>정의 6 함수열의 점별수렴 $ A \subset R $에서 $ R $로의 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $에 대하여, $ f: A \rightarrow R $이라고 하자. 각 $ x \in A $에 대하여 \[f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)\]이면, 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $은 $ f $로 점별수렴 (pointwise convergence) 한다고 한다. 이때 $ f $를 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $의 $ A $에서의 극한함수 (limit function)라 하고, $ f=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n} $ 또는 $ f_{n} \rightarrow f $, 때로는 \[f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)\ \text { 또는 } f_{n}(x) \rightarrow f(x)\]로 표기한다.</p> <p>예 6 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_{n}:[0,1] \rightarrow R $을 $ f_{n}(x)=x^{n} $으로 정의하면, 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $은 닫힌구간 $ [0,1] $에서 점별수렴하고 극한함수 $ f:[0,1] \rightarrow R $은 \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \in[0,1) \\1, & x=1\end{array}\right.\]로 주어진다. 그러나 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_{n}:[-1,0] \rightarrow R $을 $ f_{n}(x)=x^{2} $으로 정의하면, $ x=-1 $에 대응된 수열 $ \left\{f_{n}(x)\right\}=\left\{(-1)^{n}\right\} $이 수렴하지 않으므로, 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $은 $ [-1,0] $에서 점별수렴하지 않는다.</p> <p>참고 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_{n}:[0,1] \rightarrow R $을 $ f_{n}(x)=x^{n} $으로 정의하자. 그러면 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $은 닫힌구간 $ [0,1] $에서 \[f(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x \in[0,1) \\1, & x=1\end{array}\right.\]로 정의된 함수 $ f:[0,1] \rightarrow R $에 점별수렴한다. 그런데 모든 $ f_{n} $이 $ x=1 $에서 연속이지만, 극한함수 $ f $는 $ x=1 $에서 불연속이고 미분가능하지 않다.</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 적분가능 함수열 $ \left\{f_{n}\right\} $ 이 $ [a, b] $ 에서 극한함수 $ f $ 에 점별수 렴할 때, 다음 두 문제<ol type=I start=1><li>함수 $ f $가 $ [a, b] $에서 적분가능인가?</li> <li>함수 $ f $가 $ [a, b] $에서 적분가능이면, $ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n} d x=\int_{a}^{b} f d x $인가?</li></ol>에 대한 답은 모두 부정적이다.</p> <h3>(2) 함수항급수</h3> <p>$ \left\{f_{n}\right\} $이 $ D \subset R $에서 정의된 함수열일 때 \[f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{n}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}\]을 $ D $에서 정의된 함수항급수(series of functions)라 하고, 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $S_{n}: D \rightarrow R$을 \[S_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} f_{k}(x)\]로 정의하였을 때, 함수열 $ \left\{S_{n}\right\} $을 $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $의 부분합의 함수열이라고 한다.</p> <p>정의 7 함수항급수의 점별수렴 $ D \subset R $에서 정의된 함수항급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $의 부분합의 함수열을 $ \left\{S_{n}\right\} $이라 할 때 $ \left\{S_{n}\right\} $이 $ D $에서 함수 $ f $에 점별수렴하면, $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $은 $ D $에서 $ f $로 점별수렴한다고 한다. 이때 함수 $ f $를 $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $의 합이라고 하고, 기호로는 $ f=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $으로 나타낸다.</p> <p>참고 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left\|f_{n}(x)\right\| $이 $ D $에서 수렴할 때, $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $ 은 $ D $에서 절대수렴한다고 한다.</p> <p>예 7 $ f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}} $ (단, $ x \in R, n=0,1,2, \cdots $ )에 대하여 \[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}\]을 생각하면 $ f_{n}(0)=0 $이므로, $ f(0)=0 $이고 $ x \neq 0 $에 대해서는 $ f(x)=1+x^{2} $이다. 따라서 연속함수의 수렴급수가 불연속인 합을 가질 수 있다.</p> <p>정의 8 $ D \subset R $에서 정의된 함수항급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $의 부분합의 함수열을 $ \left\{S_{n}\right\} $이라 할 때 $ \left\{S_{n}\right\} $이 $ D $에서 $ f $에 균등수렴하면, $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $은 $ D $에서 $ f $로 균등수렴한다고 한다.</p> <p>참고 [바이어슈트라스 M-판정법] $ \left\{f_{n}\right\} $이 $ D \subset R $에서 정의된 함수열이라 하자. 만일 양수들의 수열 $ \left\{M_{n}\right\} $이 존재하여, 모든 $ x \in D $와 모든 $ n \in N $에 대하여 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} M_{n} $이 수렴하고 $ \left\|f_{n}(x)\right\| \leq M_{n} $이면, 함수항급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} f_{n} $은 $ D $에서 균등수렴한다.</p> <h1>6.2 멱급수와 테일러 급수</h1> <h2>1. 멱급수</h2> <p>급수가 특히 \[\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}+\cdots\]인 형태로 주어질 때 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $ 을 $ x $에 대한 멱급수 (power series)라 하고, 상수 $ a_{n} $을 멱급수의 계수 (coefficient)라 한다.</p> <p>멱급수가 수렴하는 모든 $ x $의 값으로 구성된 구간을 수렴구간 (interval of convergence)이라 하고, 그 구간은 비판정법으로 구한다. 멱급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $의 합은 주어진 급수가 수렴하는 모든 $ x $의 집합을 정의역으로 하는 함수이다.</p> <p>예제 1 멱급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} n ! x^{n} $은 $ x=0 $일 때만 수렴한다.</p> <p>증명 주어진 급수의 $ n $번째 항을 $ a_{n}=n ! x^{n} $으로 놓으면, $ x \neq 0 $일 때 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{(n+1) ! x^{n+1}}{n !x^{n}}\right\|=\|x\| \lim _{n \rightarrow \infty}(n+1)=\infty\]이므로 주어진 급수는 발산한다. 따라서 주어진 급수는 $ x=0 $일 때만 수렴하게 된다.</p> <p>일반적으로 \[\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)+a_{2}(x-c)^{2}+\cdots\] 형태의 급수를 $ x-c $에 관한 멱급수라고 한다.</p> <p>참고 멱급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n} $은 반드시 다음 세 가지<ol type=1 start=1><li>$ x=c $에서만 수렴한다.</li> <li>모든 실수 $ x $에서 수렴한다.</li> <li>적당한 양수 $ R $이 존재해서 $ \|x-c\|<R $이면 수렴하고, $ \|x-c\|>R $이면 발 산한다.</li></ol>중 어느 하나만 만족한다. (3)의 경우에 $ R $ (단, $ R>0 $ )을 멱급수의 수렴반지름 또는 수렴반경이라 한다. 편의상 (1)의 경우는 $ R=0 $, (2)의 경우는 $ R=\infty $라 한다.</p> <p>예제 2 멱급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 4^{n}} $의 수렴반지름과 수렴구간을 구하시오.</p> <p>풀이 비판정법으로부터, $ u_{n}=\frac{x^{n}}{n 4^{n}} $이라 놓으면 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right\|=\frac{\|x\|}{4} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=\frac{\|x\|}{4}<1\]이므로, $ \|x\|<4 $이면 절대수렴하고, $ \|x\|>4 $이면 발산한다. 그러므로 수렴반지름 $ R $은 4이다. 한편 $ \|x\|=4 $일 때는 비판정법을 사용할 수 없으므로, $ x=-4 $와 $ x=4 $일 때는 별도로 생각해야 한다. $ x=4 $일 때 주어진 멱급수는 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]이므로 발산하고, $ x=-4 $일 때 주어진 멱급수는 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n 4^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\]이므로 수렴한다. 따라서 주어진 급수의 수렴구간은 $ [-4,4) $로 주어진다.</p> <p>멱급수의 합은 정의역이 멱급수의 수렴반지름인 함수로 나타낼 수 있다.</p> <p>예 1 함수 $ f(x)=\frac{1}{x+2} $을 멱급수의 합으로 나타내고, 그 수렴구간을 구해보자. 주어진 함수를 변형하면 \[ f(x)=\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2\left(1+\frac{x}{2}\right)}=\frac{1}{2\left[1-\left(-\frac{x}{2}\right)\right]}=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac{x}{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}} x^{n}\]이므로, 이 급수는 $ \left\|-\frac{x}{2}\right\|<1 $일 때, 즉 $ \|x\|<2 $일 때 수렴한다. 따라서 수렴구간은 $ (-2,2) $이다.</p> <p>멱급수에서는, 멱급수의 각 항들을 개별적으로 미분하거나 적분함으로써 멱급수의 미분과 적분을 시행할 수 있다. 이러한 방법을 항별미분 (term by term differentiation)과 항별적분 (term by term integration)이라고 한다.</p> <p>정리 1 멱급수의 미분과 적분 멱급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n} $의 수렴반지름이 $ R $ (단, $ R>0 $ )일 때<ol type=1 start=1><li>$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n} $은 열린구간 $ (c-R, c+R) $에서 미분가능하고 \[ f^{\prime}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} n a_{n}(x-c)^{n-1} \]</li> <li>$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n} $이면, 열린구간 $ (c-R, c+R) $에 포함된 닫힌구간에서 \[ \int f(x) d x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_{n}}{n+1}(x-c)^{n+1}+K\]</li></ol>가 성립한다. 이때 (1), (2)에서 얻어진 멱급수의 수렴반지름도 $ R $이다.</p> <p>멱급수를 미분하거나 적분해도 수렴반지름은 변하지 않는다. 그러나 수렴구간조차 변하지 않는다는 의미는 아니다.</p> <p>예 2 멱급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}} $은 끝점 $ x=-1$, $x=1 $에서 모두 수렴한다. 그러나 미분된 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{x^{m}}{m+1} $는 $ x=-1 $ 에서 수렴하지만, $ x=1 $에서는 발산한다.</p> <p>정리 1은 멱급수에서만 성립하고 일반적인 함수항급수에서는 성립하지 않는다.</p> <p>예제 3 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(n^{3} x\right)}{n^{2}} $는 모든 실수 $ x $에 대하여 수렴하지만, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(n^{3} x\right)}{n^{2}} $를 항별로 미분하여 얻은 급수는 발산한다.</p> <p>증명 $ \left\|\sin \left(n^{3} x\right)\right\| \leq 1 $이므로, 모든 실수 $ x $에 대하여 \[\left\|\frac{\sin \left(n^{3} x\right)}{n^{2}}\right\| \leq \frac{1}{n^{2}}\]이고, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} $은 수렴하므로 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \left(n^{3} x\right)}{n^{2}} $는 절대수렴한다. 한편 항별로 미분하여 얻은 급수 \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{d}{d x}\left[\frac{\sin \left(n^{3} x\right)}{n^{2}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{n^{3} \cos \left(n^{3} x\right)}{n^{2}}\right]=\sum_{n=1}^{\infty}\left[n \cos \left(n^{3} x\right)\right]\]는, 급수의 일반항이 0으로 수렴하지 않음으로 모든 실수 $ x $에 대하여 발산한다.</p> <p>함수 $ f(x) $의 수렴하는 멱급수가 주어질 때, 대입이나 항별미분 또는 항별적분을 이용하여, $ f(x) $ 이외의 다른 함수에 대한 멱급수를 구할 수 있다.</p> <p>예제 4 멱급수 \[\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{n} \quad(\text { 단, }-1<x<1)\]<caption>($$)</caption>을 이용하여, $ \tan ^{-1} x $의 멱급수를 구하시오.</p> <p>풀이 $ () $에서 $ x $ 대신 $ x^{2} $을 대입하면 $ -1<x<1 $일 때 \[\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(x^{2}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n}\]이므로, 양변을 적분하여 \[ \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}+C\]를 얻는다. 이때 좌변은 $ \tan ^{-1} x $이다. 따라서 $ \tan ^{-1} x $의 멱급수는 $ -1<x<1 $일 때 \[\tan ^{-1} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}+C\]이고, $ C $를 결정하기 위해 $ x=0 $을 대입하면 $ C=0 $이 된다. 즉 $ \tan ^{-1} x $의 멱급수는 $ -1<x<1 $일 때 \[\tan ^{-1} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{2 n+1}=x-\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{5} x^{5}-\frac{1}{7} x^{7}+\cdots\]로 주어진다.</p> <h2>2. 테일러 급수</h2> <h3>(1) 테일러 급수와 매클로린 급수</h3> <p>참고 [테일러 정리] 함수 $ f(x) $가 점 $ c $를 포함하는 열린구간 $ I $에서 $ n+1 $번 미분가능하면, 구간 $ I $의 각 $ x $에 대하여 \[\begin{array}{l}f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(c)}{k !}(x-c)^{k}+R_{n}(x) \\\text { 단, } R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}\right)}{(n+1) !}(x-c)^{n+1}\end{array}\]이 성립하는 $ x_{0} $ (단, $ x<x_{0}<c $ )가 존재한다. 이때 오차 $ R_{n}(x) $를 라그랑주의 나머지식 (Lagrange's remainder form)이라 부른다.</p> <p>정의 2 테일러 급수와 매클로린 급수함수 $ f(x) $가 점 $ c $를 포함하는 열린구간 $ I $에서 무한 번 미분가능할 때\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-c)^{n}\]을 $ x=c $에서 $ f(x) $의 테일러 급수 (Taylor series)라고 한다. 특히 $ c=0 $일 때, $ f(x) $의 테일러 급수 \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}\]을 매클로린 급수 (Maclaurin series)라고 한다.</p> <p>예 3 함수 $ f(x)=e^{x} $의 $ x=0 $에서의 테일러 급수를 구해보자. \[f^{(n)}(x)=e^{x} \quad(\text { 단, } n=0,1,2, \cdots\]이므로, 테일러 급수는 \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\]으로 주어진다. 이때 $ u_{n}=\frac{x^{n}}{n !} $이라 놓으면 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right\|=\|x\| \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n+1}=0<1\]이므로, 비판정법으로부터 $ e^{x} $의 테일러 급수 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} $은 모든 실수 $ x $에서 수렴한다. 그러나 이 급수가 모든 실수 $ x $에서 $ e^{x} $에 수렴하는지는 아직 알 수가 없다.</p> <p>함수 $ f(x) $가 점 $ c \in R $에서 모든 계수의 도함수를 갖는다면, $ n \in N $에 대하여 테일러 계수 $ a_{n}=f^{(n)}(c) / n !$ 를 구할 수 있고, 또한 이들 계수를 갖는 멱급수를 얻을 수 있다. 이때 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-c)^{n} \quad(\text { 단, }\|x-c\|<R)\]을 만족하면, 테일러 급수를 $ x=c $에서의 $ f(x) $의 테일러 급수 전개식, 또는 간단히 테일러 전개식 (Taylor's expansion)이라고 한다.</p> <p>참고 $ f(x) $가 한 점 $ c $ 근방에서 정의된 실가함수일 때, $ x=c $에서의 테일러 급수가 $ c $ 근방의 모든 $ x $에 대하여 $ f(x) $에 수렴 (함수 $ f(x) $를 테일러 급수의 합으로 나타낼 수 있음)하면, 즉 $ f(x) $가 테일러 급수로 전개될 수 있다면, 함수 $ f(x) $를 $ x=c $에서 해석적 (analytic)이라 한다.</p> <p>정리 3 함수 $ f(x) $가 $ x=c $에서 멱급수로 전개되면, 즉 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}(x-c)^{n}(\text { 단, }\|x-c\|<R)\]이면, 주어진 멱급수의 계수는 $ a_{n}=\frac{f^{(n)}(c)}{n !} $로 주어진다.</p> <p>$ x=c $에서 해석적이면 함수 $ f(x) $는 무한 번 미분가능하지만, 무한 번 미분가능한 함수일지라도 해석적이 아닌 함수가 있다.</p> <p>정리 4 구간 $ I $에서 정의된 함수 $ f(x) $가 무한 번 미분가능하고 $ c \in I $일 때, 모든 $ x \in I $에 대하여 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-c)^{n}\]이 성립할 필요충분조건은 모든 $ x \in I $에 대하여 $ \lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0 $이 성립하는 것이다.</p> <p>예제 5 함수 $ f(x)=e^{x} $의 매클로린 급수 전개식을 구하시오.</p> <p>풀이 $ f^{(n)}(x)=e^{x} $이므로, 모든 $ n \in N $에 대하여 $ f^{(n)}(0)=1 $이 된다. 그러므로 $ f $의 매클로린 급수는 \[1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\]이 된다. 이때 수렴반지름을 구하기 위하여 $ u_{n}=\frac{x^{n}}{n !} $이라 놓으면 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right\|=0<1\]이므로, 비판정법에 의하여 주어진 급수는 모든 $ x $에 대하여 수렴하며 수렴반지름은 $ R=\infty $가 된다.</p> <p>한편 나머지식은 $ x $와 0 사이의 적당한 $ x_{0} $에 대하여 \[R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(x_{0}\right)}{(n+1) !} x^{n+1}=\frac{e^{x_{0}}}{(n+1) !} x^{n+1}\]으로 주어지므로, $ M=\max \left\{e^{x}, 1\right\} $이라 하면, 임의의 $ x $와 $ n $에 대하여 $ e^{x_{0}} \leq M $이 된다. 따라서 \[\left\|R_{n}(x)\right\|=\frac{e^{z}}{(n+1) !}\|x\|^{n+1} \leq M \frac{\|x\|^{n+1}}{(n+1) !}\]이다. 그런데 비판정법에 의하여 모든 실수 $ x $에 대하여 $ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\|x\|^{n+1}}{(n+1) !} $이 수렴하므로 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\|x\|^{n+1}}{(n+1) !}=0\]이다. 결국 모든 실수 $ x $에 대하여 $ \lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0 $이므로, 모든 실수 $ x $에 대하여 $ e^{x} $의 매클로린 급수는 $ e^{x} $에 수렴한다. 즉 함수 $ f(x)=e^{x} $의 매클로린 급수 전개식은 모든 $ x $에 대하여 \[e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots\]로 주어진다.</p> <p>매클로린 급수 전개식을 구할 때는 치환을 이용하거나, 항별미분 또는 항별적분을 이용할 수 있다.</p> <p>참고 [매클로린 급수의 수렴성]</p> <ol type=1 start=1><li>$ e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots \quad( $ 단, $ x \in R) $</li> <li>$ \sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}=x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}-\frac{x^{7}}{7 !}+\cdots \quad( $ 단, $ x \in R) $</li> <li>$ \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n) !}=1-\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{4}}{4 !}-\frac{x^{6}}{6 !}+\cdots \quad $ (단, $ \left.x \in R\right) $</li> <li>$ \tan ^{-1} x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots \quad( $ 단, $ -1 \leq x \leq 1) $</li> <li>$ \ln (x+1)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+1}}{n+1}=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}+\cdots \quad( $ 단, $ -1<x \leq 1) $</li></ol> <h3>(2) 테일러 급수의 응용</h3> <p>멱급수의 곱 및 나눗셈도 다항식들의 곱 및 나눗셈과 마찬가지로 할 수 있다. 실제 계산에서는 멱급수의 처음 몇 개의 항만 계산해본다.</p> <p>예 4 함수 $ e^{x} \sin x $의 매클로린 급수 전개식을 셋째 항까지 구하면 \[\begin{aligned} e^{x} \sin x &=\left(1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots\right)\left(x-\frac{x^{3}}{3!}+\cdots\right) \\&=x+x^{2}+\frac{1}{3} x^{3}+\cdots\end{aligned}\] 쉽게 구할 수 없는 극한값을 추정하기 위해 멱급수를 이용할 수 있다.</p> <p>예제 6 매클로린 급수 전개식을 이용하여, 다음 극한값을 추정하시오.</p> <p>$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^{3}-x^{3}}{x^{9}} $</p> <p>풀이I $ \sin x^{3} $의 매클로린 급수 전개식은 \[\sin x^{3}=x^{3}-\frac{x^{9}}{3 !}+\frac{x^{15}}{5 !}-\cdots+\frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) !}\left(x^{3}\right)^{2 n+1}+\cdots\]이고, 이 급수의 수렴구간은 $ (-\infty, \infty) $이다. 따라서 \[\frac{\sin x^{3}-x^{3}}{x^{9}}=\frac{\left(x^{3}-\frac{x^{9}}{3 !}+\frac{x^{15}}{5 !}-\cdots\right)-x^{3}}{x^{9}}=-\frac{1}{3 !}+\frac{x^{6}}{5 !}+\cdots\]이므로, 구하는 극한을 \[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x^{3}-x^{3}}{x^{9}}=-\frac{1}{3 !}=-\frac{1}{6}\]로 추정할 수 있다. 로피탈 정리를 이용하면 이 극한값이 참임을 확인할 수 있다.</p> <p>멱급수를 이용하면, 적분할 수 없는 함수를 적분할 수 있다. 실제로 뉴턴은 적분이 어려운 함수를 멱급수로 전개한 후, 항별적분을 이용하여 적분하였다.</p> <p>예 $ 5 f(x)=\sin x $의 5차 매클로린 다항식이 \[\sin x \approx x-\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{5}}{5 !}\]으로 주어지므로, $ \frac{\sin x}{x} \approx 1-\frac{x^{2}}{3 !}+\frac{x^{4}}{5 !} $을 얻는다. 따라서 $ \begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{\sin x}{x} d x & \approx \int_{-1}^{1}\left(1-\frac{x^{2}}{3 !}+\frac{x^{4}}{120}\right) d x \\ &=\left[\left(x-\frac{x^{3}}{18}+\frac{x^{5}}{600}\right)\right]_{x=-1}^{x=1} \\ &=\frac{1703}{900} \approx 1.89222 \end{aligned} $</p> <h1>6.1 수열과 급수</h1> <h2>1. 수열</h2> <p>함수 $ f: N \rightarrow R $을 무한수열 (infinite sequence) 또는 간단히 수열 (sequence)이라고 한다. 이때 수열 $ \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots\right\} $을 $ \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} $, 간단히 $ \left\{a_{n}\right\} $ 으로 표시한다.</p> <p>예 1 13세기 이탈리아 수학자 피보나치 (Fibonacci)는 토끼의 번식에 관계된 문제를 해결하는 과정에서 단순한 모델을 제시했다. 이때 유명한 피보나치 수열이 소개되었다. 피보나치 수열 $ \left\{f_{n}\right\} $은 \[\left.f_{1}=1, f_{2}=1, f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2} \text { (단, } n \geq 3\right)\]으로 정의된 수열이다. 이 수열의 각 항을 나열해보면 \[\{1,~1,~2,~3,~5,~8,~13,~21,~ \cdots\}\]가 된다. 피보나치 수열은 조개의 나선형 모양과 같은 자연현상에서도 찾아볼 수 있다.</p> <p>정의 1 수열의 극한 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여 적당한 자연수 $ K $가 존재하여 \[n \geq K \text { 일 때, }\left\|a_{n}-L\right\|<\varepsilon\]을 만족하면, 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 극한값 (극한) $ L $ (단, $ L \in R $ )을 갖는다고 하고, 이것을 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L $로 표기한다. 이때 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $은 $ L $로 수렴한다 (converge)고 한다. 한편 수렴하지 않는 수열은 발산한다 (diverge)고 한다.</p> <p>예제 1 수열 $ \left\{\frac{1}{n^{2}}\right\} $은 0에 수렴한다.</p> <p>증명 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여, $ K>\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}} $인 자연수 $ K $를 잡는다. 그러면 $ n \geq K $인 모든 자연수 $ n $에 대하여 \[\left\|\frac{1}{n^{2}}-0\right\|=\frac{1}{n^{2}} \leq \frac{1}{K^{2}}<\varepsilon\]을 만족한다. 따라서 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}=0 $이 성립한다.</p> <p>참고 무한등비수열 $ \left\{r^{n}\right\} $은 $ -1<r \leq 1 $인 경우에 수렴한다. 즉 \[\lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}=\left\{\begin{array}{ll}0, & -1<r<1 \\1, & r=1\end{array}\right.\]이 된다. 한편 $ -1<r \leq 1 $ 이외의 경우에 무한등비수열 $ \left\{r^{n}\right\} $은 발산한다.</p> <p>수열의 극한을 구하는 것은 함수의 극한을 구하는 것과 매우 유사하다. 유일한 차이점은 수열은 자연수에서 정의된다는 것이다.</p> <p>정리 2 수열의 극한정리 수열 $ \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\} $이 수렴하고 $ c $가 임의의 상수일 때, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} c a_{n}=c \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} $</li> <li>$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \pm \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} $</li> <li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} b_{n}=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}\right)\left(\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\right) $</li> <li>$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}}{\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}}\left(\right. $ 단, $ \left.\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n} \neq 0\right) $</li></ol></p> <p>참고 $ \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L $이면, 자연수 $ n $에 대하여 \[\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=L\]을 만족한다. 그러나 역은 성립하지 않는다. 왜냐하면 모든 정수 $ n $에 대하여 $ \cos (2 \pi n)=1 $이므로 수열의 극한은 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \cos (2 \pi n)=1 $로 주어지지만, $ x \rightarrow \infty $일 때 $ \cos (2 \pi x) $는 - 1과 1 사이를 진동하므로 함수의 극한 $ \lim _{x \rightarrow \infty} \cos (2 \pi x) $는 존재하지 않기 때문이다.</p> <p>예 2 극한 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{e^{n}} $을 구해보자. 분모와 분자의 각 항이 $ \infty $로 발산하는 경우이지만, 로피탈 정리를 직접 적용할 수는 없다. 이 경우 수열의 극한 계산은 로피탈의 법칙을 적용할 수 있도록 $ f(x)=\frac{x+1}{e^{x}} $로 놓으면 \[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{e^{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\frac{d}{d x}(x+1)}{\frac{d}{d x} e^{x}}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{e^{x}}=0\]이므로, $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{e^{n}}=0 $이 된다.</p> <p>참고 [수열의 극한과 함수의 극한과의 관계] $ \lim _{x \rightarrow a} f(x)=A $일 필요충분조건은 $ a $에 수렴하는 모든 수열 $ \left\{a_{n}\right\} $ (단, $ a_{n} \neq a $)에 대하여, 수열 $ \left\{f\left(a_{n}\right)\right\} $이 $ A $에 수렴하는 것이다.</p> <h2>2. 무한급수</h2> <h3>(1) 무한급수</h3> <p>수열 $ \left\{a_{n}\right\} $에 대하여 $ a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}+\cdots $를 무한급수 (infinite series) 또는 간단히 급수(series)라고 하고, 이것을 기호로 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $으로 나타낸다 (경우에 따라서 $ \sum_{n=k}^{\infty} a_{n} $ 인 형태의 급수를 생각할 수 있고 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} a_{i} $임에 유의 ). 이때 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $의 제$ n $부분합 ( $ n $th partial sum) \[S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\]으로 주어진 수열 $ \left\{S_{n}\right\} $을 부분합의 수열이라고 한다.</p> <p>정의 8 무한급수의 합 부분합의 수열 $ \left\{S_{n}\right\} $이 극한 $ s $를 가질 때 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 $ s $에 수렴한다고 한다. 이때 극한값 $ s $를 그 급수의 합 (sum of series)이라고 하며, $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=s $로 표기한다. 한편 부분합의 수열 $ \left\{S_{n}\right\} $ 이 발산할 때, 주어진 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 발산한다고 한다.</p> <p>참고 무한등비급수 \[a+a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots+a r^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} \text { (단, } a \neq 0 \text { ) }\]을 기하급수 (geometric series)라 한다. 이때 (1) $ r=1 $이면, 주어진 기하급수는 발산한다. (2) $ r \neq 1 $이면, $ n $번째 부분합 $ S_{n} $은 \[S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\]이므로<ol type=1 start=1><li>$ -1<r<1 $일 경우, 기하급수는 $ \frac{a}{1-r} $로 수렴한다.</li> <li>$ r \leq-1 $이거나 $ r>1 $일 경우, 기하급수는 발산한다.</li></ol></p> <p>따라서 무한등비급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a r^{n-1} $ (단, $ a \neq 0 $ )은 $ \|r\|<1 $이면 $ \frac{a}{1-r} $로 수렴하고, $ \|r\| \geq 1 $이면 발산한다.</p> <p>정리 9 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 수렴하면, $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 $이다.</p> <p>정리 9의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 $이지만, $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $은 발산한다.</p> <p>따름정리 발산판정법 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} $이 존재하지 않거나, 존재하여도 $ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0 $이면 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $은 발산한다.</p> <p>예 6 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{n !} $은 발산한다. 왜냐하면 \[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n}}{n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n~ •~ n ~ •~ \cdots ~ •~ n}{1 ~ •~ 2~ •~ \cdots ~ •~ n} \geq \lim _{n \rightarrow \infty} n \neq 0\]이기 때문이다.</p> <p>정리 10 급수의 합, 차, 스칼라곱<ol type=1 start=1><li>(1) 두 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} $ 이 수렴하면, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right) $도 수렴하고 그 합은\[\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \pm b_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \pm \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}\]</li> <li>급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} $이 수렴하고 $ c $가 실수이면, 급수 $ \sum_{n=1}^{\infty}\left(c a_{n}\right) $도 수렴하고 \[\sum_{n=1}^{\infty}\left(c a_{n}\right)=c \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\]</li></ol></p> <p>급수의 수렴성은 여러 가지 판정법을 이용하여 비교적 쉽게 해결할 수 있지만, 그 급수의 합을 구하는 것은 결코 쉬운 일이 아니다.</p>	자연
선형대수학	<h2>예제 1.1.1</h2> <p>집합 $ X=\{a, b, c, d, e, f\}, A=\{a, b, c, d, e\}, B=\{f\} $ 에서 다음을 구하여라.</p> <p>(1) $ A \cup B $, (2) $ A \cap B $, (3) $ A^{C}=X-A $, (4) $ A-B $, (5) $ A \triangle B $</p> <p>[풀이] $ A \cup B=A \triangle B=X, A \cap B=\varnothing, A^{C}=B, A-B=A $.</p> <h2>예제 1.1.2</h2> <p>주어진 집합 $ X $ 의 부분집합 $ A, B $ 에서 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ (A \cup B)^{C}=A^{C} \cap B^{C} $, (2) $ (A \cap B)^{C}=A^{C} \cup B^{C} $</p> <p>[풀이] $ \quad(A \cup B)^{C}=\left\{x \subset X \mid x \subset(A \cup B)^{C}\right\}=\{x \subset X \mid x \not \subset A \cup B\} $ $ =\{x \subset X \mid x \not \subset A, x \not \subset B\}=\left\{x \subset X \mid x \subset A^{C}, x \subset B^{C}\right\} $ $ =\left\{x \subset X \mid x \subset A^{C} \cap B^{C}\right\}=A^{C} \cap B^{C} $.</p> <h2>예제 1.1.3</h2> <p>공집합의 기호 $ \varnothing $ 에서 $ \varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing $,$ \{\varnothing\}\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}, \cdots $ 등을 각각 $ 0,1,2 $, $ 3,4, \cdots $ 라 한다. 이들의 원소 관계를 살펴보아라.</p> <p>[풀이] $ 1=\{0\}, 2=\{0,1\}, 3=\{0,1,2\}, 4=\{0,1,2,3\}, \cdots $ 이므로 모든 $ n \subset n^{}, n^{} $ $ =n+1 $ 이다. 속한다는 기호 $ \subset $ 을<로 놓으면 $ n<n+1 $ 이다. $ n \not \subset n $ 이므로 $ n $ 은 $ n $ 보다 작지 않다. 정수 $ n $ 은 자신을 자신의 원소로 갖지 않는 집합이다.</p> <h2>예제 1.1.4</h2> <p>집합 $ A $ 에서 $ x \in A, x \notin x $ 인 모든 $ x $ 의 집합 $ S=\{x \in A \mid x \notin x\} $ 는 $ S $ 의 원소가 아님을 보여라.<p>[풀이] $ S=\{x \in A \mid x \notin x\} $ 에서 $ S \in S $ 라 하자. 그러면 $ S \in A $ 이고 $ S \notin S $ 이다. 역으로 $ S \in A $ 이고 $ S \notin S $ 이면 $ S \in S $ 이다. 이는 모순이다.</p> <h2>예제 1.1.5</h2>집합 $ \{x \mid x $는 $ x=x $ 인 원소 $ \} $ 을 전집합(universal set)이라 하고 $ U $로 나타낸다. 모든 원소에서 $ x=x $ 이므로 $ x \neq x $ 인 원소는 존재하지 않는다. 집합 $ \{x \mid x \neq x $ 인 원소 $ \} $ 를 공집합이라 하고 $ \varnothing $ 로 나타낸다. 임의의 집합 $ A $ 에서 다음이 성립함을 보여라.<p>(1) $ \varnothing \subseteq A $, (2) $ A \subseteq U $</p> <p>[풀이] (1) $ x \notin A $ 이면 $ x \notin \varnothing $ 이다. 모든 원소에 대하여 $ x=x $ 이기 때문에 $ \varnothing $ 의 원소는 존재하지 않는다. 그러므로 $ x \notin \varnothing $ 는 항상 참이다. 이 명제의 대우는 항상 참이다. 즉 $ x \in \varnothing $ 이면 $ x \in A $ 이다. 이는 $ \varnothing \subseteq A $ 임을 뜻한다. (2) $ x \in A $ 이면 $ x $ 는 원소이고 $ x=x $ 이다. 즉 $ x \in U $ 이므로 $ A \subseteq U $ 이다. <h2>예제 1.3.8</h2> <p>집합 $ A $의 멱집합 $ P(A) $는 포함관계 $ \subseteq $에 의하여 반순서집합을 이룬다. 부분집합족 $ B=\left\{B_{j}\right\} $가 전순서 부분집합이면 $ \sup B=\cup B_{j} $이고 $ \inf B= $ $ \cap B_{j} $이다.</p> <p>[풀이] 모든 $ B_{j} \subseteq \cup B_{j} $이므로 $ \cup B_{j} $는 $ B $의 상계이다. $ C \in P(A) $가 $ B $의 상계이면 모든 $ B_{j} \subseteq C $이다. 그러므로 $ \cup B_{j} \subseteq C $이다. 이는 $ \cup B_{j} $가 상한임을 뜻한다. 같은 이유에서 $ \cap B_{j} $는 $ B $의 하한이다.</p> <p>반순서집합 $ S $의 부분집합 $ A, B, A \subseteq B $의 상계집합을 $ \mu(A), \mu(B) $라 하자. $ \mu(A) \supseteq \mu(B) $이므로 $ \sup A \leq \sup B $이다. 하계집합을 $ \lambda(A), \lambda(B) $라 하면 $ \lambda(B) \subseteq $ $ \lambda(A) $이므로 $ \inf A \geq \inf B $이다. 상계를 갖는 모든 부분집합이 상한을 가지면 반순서집합 $ S $를 조건부완비집합(conditional complete set)이라 한다. 상계를 갖는 공이 아닌 모든 부분집합이 상한을 갖는다고 하자. 하계를 갖는 공이 아닌 부분집합을 $ A $라 하면 $ \lambda(B) \neq \varnothing, B $의 원소는 $ \lambda(B) $의 상계이므로 $ \lambda(B) $는 상계를 갖는다. $ B $가 공집합이 아니기 때문이다. $ \lambda(B) $의 상한이 바로 $ B $의 하한이다. 위 사실의 역도 성립한다. 반순서집합 $ S $의 공이 아닌 모든 부분집합이 최소원을 가질 때 이를 정렬순서집합(well ordered set)이라 한다. 반순서집합 $ S $의 두 원소 $ a<b $에서 $ a<c $ $<b $인 원소 $ c \in S $가 존재하지 않으면 $ a $를 $ b $의 직전자(immediate predecessor), $ b $를 $ a $의 직후자(immediate successor)라 한다. 자연수집합 $ N $은 정렬순서집합이다. 정수집합 $ \mathbb{Z} $, 실수집합 $ \mathbb{R} $ 등은 정렬집합이 아니다.</p> <h2>정리 1.3.3</h2> <p>정렬집합 $ (S, \leq) $에서 명제 $ \ulcorner y<x $인 모든 $ y $에 대하여 $ P(y) $가 참이면 $ P(x) $도 참이다가 항상 성립하면 $ S $의 모든 원소에서 $ P $는 참이다. 이를 초한적귀납법의 원리라 한다.</p> <p>[증명] $ P(x) $가 거짓인 원소 $ x \in S $가 있다고 하자. 집합 $ \{x \in S \mid P(x): F\} $는 공집합이 아니다. $ S $는 $ \varnothing $가 아닌 부분집합이므로 최소원 $ y $를 갖는다. $ y>x $인 모든 $ x $에 대하여 $ P(x) $는 참이다. $ P(x) $가 참이면 $ P(y) $도 참이어야 하므로 $ y $는 $ \{x \in S \mid P(x): F\} $의 원소라는 것에 어긋난다. 따라서 $ \{x \in S \mid P(x): F\}=\varnothing $이다. 이는 모든 $ S $ 의 원소에 대하여 명제 $ P(x) $가 참임을 뜻한다.</p> <h2>정리 1.3.4</h2> <p>자연수에 관한 명제 $ P $에서 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ P(1) $이 참이고 $ P(n) $이 참이면 $ P(n+1) $도 참이라 하자. 그러면 모든 자연수에 대하여 $ P $는 참이다.</p> <p>(2) $ P(1) $이 참이고 모든 자연수 $ k, 1 \leq k \leq n $에 대하여 $ P(k) $가 참이라 하자. 그러면 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ P(n) $은 참이다.</p> <h2>예제 1.3.2</h2> <p>집합 $ S=\{a, b, c, d, e\} $ 위의 관계 $ R=\{(a, a),(b, b),(c, c) $,$ (d, d),(e, e),(a, b),(b, a),(c, d),(d, c)\} $는 동치관계이다.</p> <p>[풀이] 모든 대각선상의 점은 $ R $의 원소이다. $ a \sim b $이면 $ b \sim a $이고, $ c \sim d $이면 $ d \sim c $이다. 또한 $ a \sim b, b \sim a $이면 $ a \sim a $이고 $ c \sim d, d \sim c $이면 $ c \sim c $이다. $ b \sim a, a \sim b $이면 $ b \sim b $이고 $ d \sim c, c \sim d $이면 $ d \sim d $이다.</p> <p>집합 $ S $ 위의 동치관계에서 원소 $ a \in S $와 동치관계에 있는 $ S $의 원소 전체의 집합 $ \bar{a}=\{x \in S \mid x \sim a\} $를 $ a $의 동치류 equivalence class)라 한다. $ a \sim a $이므로 $ \bar{a} $는 공집합이 아니다.</p> <h2>예제 1.3.3</h2> <p>동치관계 $ (S, \sim) $에서 $ a \sim b $일 필요충분조건은 $ \bar{a}=\bar{b} $이다.</p> <p>[풀이] $ x \in \bar{a} $이면 $ x \sim a $이다. $ x \sim a, a \sim b $이므로 $ x \sim b $, 즉 $ x \in \bar{b} $이다. 이는 $ \bar{a} \subseteq \bar{b} $임을 뜻한다. 같은 이유에서 $ \bar{b} \subseteq \bar{a} $임을 알 수 있다. 따라서 $ \bar{a}=\bar{b} $이다. $ x \in \bar{a}=\bar{b} $이면 $ x \sim a, x \sim b $이다. $ a \sim x, x \sim b $에서 $ a \sim b $를 얻는다.</p> <p>$ A=\bigcup_{i \in I} A_{i}, A_{i} \cap A_{j}=\phi $이고 $ i \neq j $인 $ A $의 부분집합족 $ \left\{A_{i} \mid i \in I\right\} $를 $ A $의 분할(partition)이라 한다.</p> <h2>정리 1.3.1</h2> <p>집합 $ S $ 위의 동치관계 에 관한 동치류 전체의 집합은 $ S $의 분할이다.</p> <p>[증명] 모든 $ a \in A $에서 $ a \sim a $이므로 $ a \in \bar{a} $이다. 그러므로 $ a \in \cup\{\bar{a} \mid a \in S\} $이다. $ a, b \in S, \bar{a} \cap \bar{b} \neq \varnothing $라 하자. $ x \in \bar{a} \cap \bar{b} $이면 $ x \in \bar{a}, x \in \bar{b} $에서 $ x \sim a, x \sim b $이다. $ a \sim x $, $ x \sim b $가 되어 $ a \sim b $를 얻는다. 예제 1.3.3에 의하면 $ \bar{a}=\bar{b} $이다. 따라서 $ \bar{a}=\bar{b} $이거나 $ \bar{a} \cap \bar{b}=\varnothing $이다.</p> <h2>예제 1.3.5</h2> <p>$ 10^{n} \equiv 1(\bmod 9) $임을 보여라.</p> <p>[풀이] $ 10^{n}-1=999 \cdots 99 $이므로 $ 10^{n}-1 $은 9의 배수이다. 따라서 $ 10^{n}-1 \equiv 0 $ $ (\bmod 9), 10^{n} \equiv 1(\bmod 9) $이다.</p> <h2>예제 1.3.6</h2> <p>$ 18 x \equiv 30(\bmod 42) $를 만족하는 정수 $ x $를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ -42=(-3) \cdot 18+12,18=1 \cdot 12+6,12=2 \cdot 6 $에서 $ 6=18-12=18-(-42 $$ +3 \cdot 18)=(-2) \cdot 18+42=(-2) \cdot 18-42 \cdot(-1) $이다. 양변에 5를 곱하면 $ 30=18 \cdot $$ (-10)-42 \cdot(-5) $이다. $ 18 \cdot(-10) \equiv 30(\bmod 42) $이므로 $ x=-10 $이다. $ x=4,11 $, $ 18,25,32,39 $도 해이다.</p> <p>집합 $ S $ 위의 관계 $ \leq $이 다음 조건을 만족하면 $ S $를 반순서집합(partially ordered set)이라 한다.</p> <p>(1) 모든 $ a \in S $ 에서 $ a \leq a $ (반사률)</p> <p>(2) $ a \leq b, b \leq a $ 이면 $ a=b $ (반대칭률)</p> <p>(3) $ a \leq b, b \leq c $ 이면 $ a \leq c $ (추이률)</p> <p>$ a \leq b, a \neq b $이면 $ a<b $라 한다. 반순서집합의 모든 원소가 순서를 가질 때, 즉 $ a<b, a=b, a>b $ 중 적어도 하나가 꼭 성립할 때 $ (S, \leq) $를 전순서집합(totally ordered set)이라 한다.</p> <h2>예제 1.3.7</h2> <p>반순서집합 $ A, B $의 곱 $ A \times B $에 순서를 주어 보자. $ a<c $이거나 $ a $$ =c, b \leq d $이면 $ (a, b) \leq(c, d) $로 정의한다. 이를 사전식 순서라 한다. $ b<d $ 이거나 $ b=d, a \leq c $일 때 $ (a, b) \leq(c, d) $로 주어진 관계를 반사적식 순서라 한다. 다음에서 사전식 순서는 어느 것인가?</p> <p>(1) $ (1,2)<(0,4) $ (2) $ (1,2)<(2,1) $ (3) $ (3,14)<(3,5) $ (4) $ (1,2)<(1,1) $</p> <p>반순서집합 $ S $의 부분집합 $ B $에서 $ B $의 모든 원소가 비교가능(comparable)하면 $ B $를 쇄(chain)라 한다. 쇄는 전순서 부분집합이다. 집합 $ A $의 멱집합 $ P(A) $는 포함관계 $ \subseteq $에 의하여 반순서집합을 이룬다. $ A_{i} \subseteq A_{i+1}, i=1,2, \cdots $인 부분집합족 $ \left\{A_{i} \mid i \in Z\right\} $ 는 하나의 쇄이다. 반순서집합 $ S $의 어떤 원소 $ x $에 대해서도 $ m<x $가 되지 않는 원소 $ m $을 극대원 (maximal element)이라 한다. $ x \geq m $인 원소 $ x $는 $ m $ 자신뿐일 때 $ m $은 극대원이다. $ S $의 어떤 원소 $ x $도 $ n>x $가 아닐 때 $ n $을 극소원(minimal element)이라 한다. $ x \leq n $인 원소 $ x $ 는 $ n $ 뿐일 때 $ n $은 극소원이다. $ S $의 모든 원소 $ x $에 대하여 $ a \geq x $이면 $ a $를 최대원 (greatest element), 모든 원소 $ x $에 대하여 $ b \leq x $일 때 $ b $를 최소원(least element)이라 한다. 반순서집합 $ S $의 부분집합 $ A $에서 $ A $의 모든 원소 $ x $에 대하여 $ x \leq a $인 원소 $ a $를 집합 $ A $ 의 상계(upper bound), 상계집합의 최소원이 있으면 이를 상한이라 한다. $ A $의 모든 원소 $ x $에 대하여 $ a $ $ \leq x $인 원소 $ a $를 $ b $의 하계(lower bound)라 하고, 하계의 최대원이 있으면 이를 하한이라 한다. 집합 $ A $의 상한을 $ \sup A $, 하한을 $ \inf A $로 나타낸다.</p> <h2>정리 1.2.2</h2> <p>사상 $ f: A \rightarrow B $가 일대일대응이기 위한 필요충분조건은 $ g \circ f=I_{A} $, $ f \circ g=I_{B} $인 사상 $ g: B \rightarrow A $가 오직 하나 존재한다.</p> <p>[증명] 정리 1.2.1에 의하면 $ g \circ f=I_{A}, f \circ h=I_{B} $인 사상 $ g, h: B \rightarrow A $가 존재한다. $ f $가 전사이므로 모든 $ b \in B $에 대하여 $ f(a)=b $인 $ a \in A $가 오직 하나 있다. 합성함수의 정의에 의하여 $ g: B \rightarrow A $는 $ g(b)=a $인 사상이고, $ f(h(b))=(f \circ h)(b) $ $ =I_{B}(b)=b $이다. $ f $가 단사이면 $ f(a)=f(h(b)) $에서 $ h(b)=a $이다. 따라서 $ g=h $이다. $ g^{\prime} \circ f=I_{A}, f \circ g^{\prime}=I_{B} $인 사상 $ g^{\prime}: B \rightarrow A $가 있다고 가정하자. 모든 $ b \in B $에 대하여 $ \begin{aligned} g^{\prime}(b) &=\left(I_{A} \circ g^{\prime}\right)(b)=\left[(g \circ f) \circ g^{\prime}\right](b)=\left[g \circ\left(f \circ g^{\prime}\right)\right](b) =\left(g \circ I_{B}\right)(b)=g(b) \end{aligned} $</p> <p>따라서 $ g=g^{\prime} $이다. $ g \circ f=I_{A}, f \circ g=I_{B} $라 하면 $ I_{A}, I_{B} $는 전단사이므로 $ f $는 전사인 동시에 단사이다. 이로써 역이 증명되었다.</p> <p>정리 1.2.2의 사상 $ g: B \rightarrow A $를 사상 $ f: A \rightarrow B $의 역사상(inverse mapping)이라 하고 $ f^{-1} $로 나타낸다. 그러면 $ f^{-1} \circ f=I_{A}, f \circ f^{-1}=I_{B} $이다. 사상 $ f: A \rightarrow B $, $ g: B \rightarrow C $가 일대일대응이면 $ g \circ f $도 일대일대응이고 $ g \circ f $의 역사상은 $ f^{-1} \circ g^{-1} $ 이다. 실제로 모든 $ a \in A $에서 다음이 성립한다.</p> <p>$ \left[\left(f^{-1} \circ g^{-1}\right) \circ(g \circ f)\right](a)=\left[f^{-1} \circ\left(g^{-1} \circ g\right) \circ f\right](a)=\left(f^{-1} \circ f\right)(a)=a $</p> <p>집합 $ X $의 부분집합으로 이루어진 집합 $ \mathscr{F} $를 $ X $의 부분집합족이라 한다. 집합 $ I $와 집합족 $ \mathscr{F} $에서 일대일대응사상 $ \sigma: I \rightarrow \mathscr{F} $가 존재할 때 $ I $를 첨자집합이라 한다. $ \alpha \in I, \sigma(\alpha) \in \mathscr{F} $ 이므로 $ \sigma(\alpha)=A_{\alpha} \in \mathscr{F} $로 나타낼 수 있다. 집합족의 합집합과 교집합은 다음으로 주어진다.</p> <p>$ \bigcup_{\alpha \in I} A_{\alpha}=\left\{x \in X \mid \exists \alpha \in I, x \in A_{\alpha}\right\} $</p> <p>$ \bigcap_{\alpha \in I} A_{\alpha}=\left\{x \in X \mid \forall \alpha \in I, x \in A_{\alpha}\right\} $</p> <h2>예제 1.2.4</h2> <p>집합 $ A $의 멱집합을 $ P(A) $라 하자. 이 때 $ P(A) $와 $ 2^{A} $은 일대일 대응임을 보여라. $ 2^{A} $은 $ A $에 $ 2=\{0,1\} $로의 함수 전체의 집합이다.</p> <p>[풀이] 임의의 $ B \in P(A) $에서 다음으로 정의된 사상 $ \chi_{B} $를 생각하자.</p> <p>$ \chi_{B}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in B \\ 0, & x \in A-B\end{array}\right. $</p> <p>특성함수 전체의 집합 $ T=\left\{\chi_{B} \mid B \in P(A)\right\} \subseteq 2^{A} $에 대하여 $ \chi: P(A) \rightarrow T, \chi(B)= $ $ \chi_{B} $는 사상이다. $ \chi_{B} \in 2^{A} $임은 분명하므로 $ B=C $이면 $ \chi_{B}=\chi_{C} $임을 보이자. $ \chi_{B}(x) $와 $ \chi_{c}(x) $는 $ \chi_{B}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in B \\ 0, & x \in A-B\end{array}, \quad \chi_{C}=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in C \\ 0, & x \in A-C\end{array}\right.\right. $이므로 $ B=C $이면 $ \chi_{B}(x)=\chi_{C}(x) $이다. $ \chi_{B}=\chi_{C} $라 하면 $ A-B=\left\{x \in A \mid \chi_{B}(x)=0\right\}=\left\{x \in A \mid \chi_{C}(x)=0\right\}=A-C $이므로 $ B=C $이다. 이는 $ \chi $가 단사임을 뜻한다. $ f \in 2^{A} $이면 집합 $ B=\{x \in A \mid $ $ f(x)=1\} $에 대하여 $ \chi_{B}=f $이다. 따라서 $ \chi: P(A) \rightarrow 2^{A} $은 전사이다. 이로써 $ \chi $ : $ P(A) \rightarrow 2^{A} $은 전단사임이 증명되었다.</p> <h2>예제 1.1.6</h2> <p>집합 $ A=\left\{x \mid x\right. $ 는 $ x^{2}=4 $ 인 홀수 $ \}=\varnothing $ 임을 보여라.</p> <p>[풀이] 모든 홀수 $ x $ 에서 $ x^{2} $ 은 홀수이므로 $ x^{2} \neq 2^{2} $ 이다. $ A $ 의 원소 $ x $ 가 있다면 $ x^{2}=2^{2} $ 이므로 모순이다. 따라서 집합 $ A $ 는 공집합이다. $ x=a $ 인 원소들의 집합 $ \{x \mid x=a\} $ 를 단집합(singleton set)이라 하고 $ \{a\} $ 로 나타낸다. $ x=a $ 또는 $ x=b $ 인 원소 $ x $ 들의 집합 $ \{x \mid x=a $ 또는 $ x=b\} $ 를 $ \{a, b\} $ 로 나타낸다. 집합 $ \{a, b\} $ 는 순서가 없는 쌍(unordered pair)이다. 원소 $ a, b $ 에서 집합 $ \{\{a\},\{a, b\}\} $ 를 $ a $ 와 $ b $ 의 순서쌍(ordered)이라 한다. 원소 $ b, a $ 의 순서쌍 $ (b, a) $$ =\{\{b\},\{a, b\}\} $ 는 $ (a, b) $ 와 같다고 볼 수 없다. $ \{a\} \notin\{\{b\},\{a, b\}\}=(b, a) $ 이고 $ \{b\} \notin\{\{a\},\{a, b\}\} $ 이므로 집합 $ (a, b) $ 와 $ (b, a) $ 는 다를 수 있기 때문이다. 집합 $ A, B $ 에서 $ A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\} $ 를 $ A, B $ 의 카테시언 곱(cartesian product)이라 한다.</p> <h2>예제 1.1.7</h2> <p>집합 $ A, B, C $에서 다음이 성립함을 보여라.</p> <p>(1) $ A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) $ (2) $ A \times(B \cap C)=(A \times B) \cap(A \times C) $</p> <p>[풀이] 모든 $ (x, y) \in A \times(B \cup C) $에서 $ x \in A $이고 $ y \in B \cup C $이다. $ y \in B \cup C $는 $ y \in B $ 또는 $ y \in C $이다. 이는 $ \ulcorner x \in A $이고 $ y \in B $이다」 또는 $ \ulcorner x \in A $이고 $ y \in C $」이다 와 동치이다. 따라서 $ (x, y) \in(A \times B) \cup(A \times C) $이다. 즉 $ A \times(B \cup C) \subseteq(A \times B) $ $ U(A \times C) $ 이다.</p> <p>역으로 $ (x, y) \in(A \times B) \cup(A \times C) $이면 $ (x, y) \in A \times B $ 또는 $ (x, y) \in A \times C $이다. $ \ulcorner x \in A $이고 $ y \in B $이다」또는 $ \ulcorner x \in A $이고 $ y \in C $이다」는 $ x \in A $이고 $ \ulcorner y \in B $ 또는 $ y \in C $이다」와 동치이다. 이는 $ (x, y) \in A \times(B \cup C) $를 뜻한다. 따라서 $ (A \times B) \cup $ $ (A \times C) \subseteq A \times(B \cup C) $이다.</p> <p>이로써 $ A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C) $ 가 증명되었다.</p> <h2>예제 1.1.8</h2> <p>집합 $ A, B $에서 $ A \times B=\varnothing $일 필요충분조건은 $ A=\varnothing $이거나 $ B=\varnothing $ 임을 밝혀라.</p> <p>[풀이] $ A \times B \neq \varnothing $이면 순서쌍 $ (x, y) \in A \times B $가 존재한다. $ x \in A $이고 $ y \in B $이므로 $ A \neq \varnothing $이고 $ B \neq \varnothing $이다. 역으로 $ A \neq \varnothing $이고 $ B \neq \varnothing $이면 $ x \in A, y \in B $인 원소가 존재하여 $ (x, y) \in A \times B $이다. 이는 $ A \times B \neq \varnothing $임을 뜻한다.</p> <h2>예제 1.4.6</h2> <p>공이 아닌 부분집합 $ H $가 유한군 $ G $의 부분집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $ a, b \in H $에서 $ a b \in H $이다.</p> <p>[풀이] $ H=\left\{a_{1}, \cdots, a_{r}\right\}, r \geq 1, a \in H $라 하자. 집합 $ a H=\left\{a a_{1}, \cdots, a a_{r}\right\} $에서 $ a H \subseteq H $이고 $ a H $의 원소의 개수는 $ r $이다. $ a a_{i}=a a_{j}, i, j=1, \cdots, r $이면 양변에 $ a^{-1} $을 곱하면 $ a_{i}=a_{j}, i=j $이다. 이는 $ a H $의 원소는 서로 다르며 개수가 $ r $임을 뜻한다. 집합 $ a H $는 $ H $의 부분집합이고 원소의 개수가 같다는 것은 $ a H $와 $ H $가 같은 집합임을 의미한다. $ 1 \in H=a H $이므로 $ 1=a a_{i} $인 $ a_{i} $가 존재한다. $ a_{i}=a^{-1} \in H $이다.</p> <h2>예제 1.4.7</h2> <p>덧셈군 $ (\mathbb{Z},+) $의 부분군은 어떤 정수 $ n $의 배수들의 집합 $ n \mathbb{Z} $ 뿐이다.</p> <p>[풀이] 집합 $ n \mathbb{Z}=\{n k \mid k \in \mathbb{Z}\} $는 $ (\mathbb{Z},+) $의 부분군이다. $ k, l \in \mathbb{Z} $에서 $ n k+n l=n(k+l)=n m, m=k+l $$ 0=n \cdot 0,-n k=n(-k) $$ \mathbb{Z} $의 부분집합 $ H=\{0\} $이면 $ H=0 \mathbb{Z} $이다. $ H \neq\{0\} $이면 이의 최소양의 정수 $ n $에서 $ H=n \mathbb{Z} $이다.</p> <p>군 $ G, G^{\prime} $에서 $ f(a b)=f(a) f(b), a, b \in G $인 사상 $ f $를 군준동형사상 (group homomorphism)이라 한다. 전단사인 군준동형사상을 군동형사상(group isomorphism)이라 한다. 군동형사상이 존재하면 $ G $와 $ G^{\prime} $는 동형관계에 있다고 하고 $ G \approx G^{\prime} $로 나타낸다.</p> <h2>예제 1.4.8</h2> <p>군 $ (\mathbb{Z},+) $와 $ (2 \mathbb{Z},+) $는 동형이다.</p> <p>[풀이] 사상 $ f: \mathbb{Z} \longrightarrow 2 \mathbb{Z}, f(n)=2 n, n \in \mathbb{Z} $가 동형사상임을 보이자. $ m, n \in \mathbb{Z} $에서 $ f(m+n)=2(m+n)=2 m+2 n=f(m)+f(n) . f(m)=f(n) $이면 $ 2 m=2 n, m= $ $ n $이므로 $ f $는 일대일이다. 임의의 $ n \in 2 \mathbb{Z} $에서 $ n=2 m $인 $ m $이 존재한다. $ m \in \mathbb{Z} $이고 $ f(m)=2 m=n $이다. 이는 $ m $이 $ n $의 원상임을 의미한다. 즉 $ f $는 전사이다.</p> <h2>예제 1.4.1</h2> <p>법 $ n $에 관한 잉여류계 $ \overline{\mathbb{Z}}_{n}=\{\overline{0}, \cdots, \overline{n-1}\} $ 위의 연산 $ + $를 $ \bar{a}+\bar{b} $ $ =\overline{a+b} $로 주면 $ \overline{\mathbb{Z}}_{n} $은 덧셈군을 이룬다. $ \overline{\mathbb{Z}}_{4} $의 연산표를 만들어라.</p> <h2>예제 1.4.2</h2> <p>소수 $ p $에 관한 기약잉여계(reduced residue system) $ \overline{\mathbb{Z}}_{P}^{} $는 $ \bar{a} \cdot \bar{b}=\overline{a b} $에 의하여 군을 이룬다. $ \bar{Z}_{5}^{} $의 연산표를 구하여라.</p> <h2>예제 1.4.3</h2> <p>군 $ G $의 원 $ a, b, c $에서 $ a b=a c, b a=c a $이면 $ b=c $이다. 이를 소약법칙 (cancellation law)이라 한다.</p> <p>[풀이] $ \quad b=e b=\left(a^{-1} a\right) b=a^{-1}(a b)=a^{-1}(a c)=\left(a^{-1} a\right) c=e c=c $$ b=b e=b\left(a a^{-1}\right)=(b a) a^{-1}=(c a) a^{-1}=c\left(a a^{-1}\right)=c e=c $</p> <h2>예제 1.4.4</h2> <p>모든 $ a \in G $에서 $ a^{2}=e $인 군 $ G $는 가환이다.</p> <p>[풀이] $ a a=e=a a^{-1} $이므로 소거의 법칙에 의하면 $ a=a^{-1} $이다. 모든 $ a, b \in G $에서 $ a b=(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}=b a $이다.</p> <p>덧셈군 $ (G,+) $의 조건을 다시 써보자.</p> <p>(1) $ a, b, c \in G,(a+b)+c=a+(b+c) $</p> <p>(2) $ a \in G, 0 \in G, a+0=0+a=a $</p> <p>(3) $ a \in G,-a \in G, a+(-a)=(-a)+a=0 $</p> <p>(4) $ a, b \in G, a+b=b+a $</p> <p>덧셈군의 원 $ a $를 $ n $번 더한 것을 $ n a $라 한다. 즉 $ n a=a+\cdots+a \cdot 0 a=0 $, $ (-a)+\cdots+(-a)=-n a $라 한다. 곱셈군의 원 $ a $에서 $ a^{n}=a \cdots \cdots a, a^{-n}=\left(a^{-1}\right)^{n}, a^{0}=1 $</p> <h2>예제 1.4.5</h2> <p>양의 유리수 전체의 집합 $ \mathbb{Q}^{+} $위의 연산 $ a * b=\frac{a b}{2} $는 $ \left(\mathbb{Q}^{+}, \right) $를 군으로 만든다.</p> <p>[풀이] $ a, b \in \mathbb{Q}^{+} $이면 $ a b=\frac{a b}{2} \in \mathbb{Q}^{+} $이므로 $ * $는 이항연산이다. $ a, b, c \in \mathbb{Q}^{+} $에서 $ a (b c)=(a * b) * c $가 성립한다.</p> <p>$ a (b c)=a * \frac{b c}{2}=\frac{a(b c)}{4}=\frac{a b c}{4} $</p> <p>$ (a * b) * c=\frac{a b}{2} * c=\frac{(a b)_{c}}{4}=\frac{a b c}{4} $</p> <p>모든 $ a \in \mathbb{Q}^{+} $에서 다음이 성립하므로 수 2는 항등원이다.</p> <p>$ a * 2=\frac{a \cdot 2}{2}=\frac{2 a}{2}=a $</p> <p>$ 2 * a=\frac{2 a}{2}=a $</p> <p>모든 $ a \in \mathbb{Q}^{+} $에서 $ a * \frac{4}{a}=2 $이므로 $ a $의 역원은 $ \frac{4}{a} $이다. 모든 $ a, b \in \mathbb{Q}^{+} $에서 $ a * b $ $ =\frac{a b}{2}=\frac{b a}{2}=b * a $가 성립한다. 따라서 $ \left(\mathbb{Q}^{+}, \right) $는 가환인 환이다.</p> <p>군 $ G $의 공이 아닌 부분집합 $ H $가 $ G $의 연산에 의하여 또 하나의 군을 이루면, 이를 $ G $의 부분군(subgroup)이라 한다. 항등원으로 이루어진 부분군을 자명한 부분군(trivial subgroup), $ G $ 자신이 아닌 부분군을 진부분군(proper subgroup)이라 한다. $ H $가 $ G $의 부분군이면 모든 $ a, b \in H $에서 $ a b \in H, 1 \in H, a^{-1} \in H $이다. 역으로 $ a b \in H, a^{-1} \in H $라 하자. $ b=a $이면 $ 1=a a^{-1} \in H $이므로 $ H $는 부분군이다. $ H $가 $ G $의 부분군일 필요충분조건은 모든 $ a, b \in H $에서 $ a b \in H, a^{-1} \in H $이다.</p> <h1>1.1 집합</h1> <p>어떤 대상(object)들의 모임(collection)을 집합(set)이라 하고, 집합을 이루는 각 대상을 집합의 원소(element)라 한다. 집합을 대문자 $ A, B, C, \cdots, X, Y, Z $ 등으로 나타내고 원소를 소문자 $ a, b, c, \cdots, x, y, z $ 등으로 표시한다. $ x \subset A $는 $ x $가 집합 $ A $의 원소, $ x \not \subset A $는 $ x $가 집합 $ A $의 원소가 아님을 의미한다. 주어진 집합 $ A $의 원소 중에서 어떤 성질(property) $ P $를 만족하는 원소 전체의 집합을 다음으로 나타낸다.</p> <p>$ \{x \subset A \mid P(x): $ 진(True) $ \} $</p> < p>두 개의 집합 $ A, B $ 에서 $ A $ 의 모든 원소가 $ B $ 의 원소가 될 때 $ A $ 는 $ B $ 의 부분 집합(subset)이라 한다. 다음 명제가 항상 진일 때 $ A $ 는 $ B $ 의 부분집합이다.</p> <p>$ x \subset A \Rightarrow x \subset B $</p> <p>이 때 $ A \subset B $ 로 나타낸다. 집합 $ A, B $ 가 $ A \subset B $ 인 동시에 $ B \subset A $ 일 때 $ A $ 와 $ B $ 는 같다(equal)고 하고 $ A=B $ 로 나타낸다. $ A $ 와 $ B $ 가 같은 집합이면 다음 명제는 항상 진이다.</p> <p>$ x \subset A \Longleftrightarrow x \subset B $</p> <p>어떤 집합 $ A, B $ 에서 $ A \subset B $ 이고 $ A \neq B $ 이면 $ A $ 는 $ B $ 의 진부분집합(proper subset)이라 한다. 집합 $ A $ 가 집합 $ B $ 의 부분집합이고 같을 수 있으면 $ A \subseteq B $ 로 나타내기도 한다.</p> <p>주어진 집합 $ X $ 의 부분집합들의 집합연산(set operation)을 생각하자. $ X $ 의 부분집합 $ A, B $ 에서 다음을 차례로 $ A $ 와 $ B $ 의 합집합(union), 교집합(intersection), 차집합(difference), 대칭차집합(symmetric difference)이라 한다.</p> <p>$ A \cup B=\{x \subset X \mid x \subset A $ 또는 $ x \subset B\} $, $ A \cap B=\{x \subset X \mid x \subset A $ 그리고 $ x \subset B\} $, $ A-B=\{x \subset X \mid x \subset A $, 그러나 $ x \not \subset B\} $, $ A \triangle B=(A-B) \cup(B-A) $</p> <p>원소를 갖지 않는 집합을 공집합(empty set, null set)이라 하고 $ \varnothing $ 로 나타낸다. 집합 $ A, B $ 에서 $ A \cap B=\varnothing $ 이면 $ A $ 와 $ B $ 는 서로 소(disjont)라 한다. 주어진 집합 $ X $ 의 부분집합 $ A $ 에서 다음 집합을 집합 $ X $ 에 관한 $ A $ 의 여집합(complement)이라 한다.</p> <p>$ A^{C}=X-A=\{x \subset X \mid x \not \subset A\} $</p> <h2>정리 1.3.2</h2> <p>$ \left\{A_{i} \mid i \in I\right\} $가 집합 $ A $의 분할이면 $ a \sim b \Longleftrightarrow a, b \in A_{i}, i \in I $로 주어진 관계 $ \sim $은 동치관계이다.</p> <p>[증명] $ A=\bigcup_{i \in I} A_{i}, a \in A $이면 $ a \in A_{i} $인 $ i \in I $가 존재한다. $ a \in A_{i} $이고 $ a \in A_{i} $이므로 $ a \sim a $이다. $ a \sim b $이면 $ a, b \in A_{i}, i \in I $인 $ A_{i} $가 있으므로 $ b, a \in A_{i} $가 되어 $ b \sim a $이다. $ a \sim b, b \sim c $이면 $ a, b \in A_{i}, b, c \in A_{j} $인 $ i, j $가 존재한다. $ i \neq j $이면 $ b \in A_{i} \cap A_{j}=\varnothing $이므로 모순이다. $ i=j $이므로 $ a, c \in A_{i} $, 즉 $ a \sim c $이다.</p> <h2>예제 1.3.4</h2> <p>집합 $ A=\{0,1,2,3,4\} $의 분할 $ A_{1}=\{0,1\}, A_{2}=\{2,3\}, A_{3}= $$ \{4\} $에 관한 동치관계를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ 0 \sim 0,0 \sim 1,1 \sim 0,1 \sim 1,2 \sim 2,3 \sim 3,2 \sim 3,3 \sim 2,4 \sim 4 $이므로 $ R=\{(0 $, $ 0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(0,1),(1,0),(2,3),(3,2)\} $이다. $ \overline{0}=\overline{1}, \overline{2} $ $ =\overline{3} $이므로 $ \{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\} $는 동치류 집합이다.</p> <p>양의 정수 $ n $에서 $ a-b $가 $ n $의 배수인 정수 $ a, b $를 법 $ n $에 관하여 합동(congruent)이라 하고 $ a \equiv b(\bmod n) $로 나타낸다. $ a \equiv b(\bmod n) $이면 $ a-b=n k $인 정수 $ k $가 존재한다. 정수의 나눗셈 정리에 의하면 $ a=n q+r, 0 \leq r<n $인 정수 $ q, r $가 오직 한 쌍 존재한다. $ a \equiv r(\bmod n), r=0, \cdots, n-1 $이다. $ \{0,1,2, \cdots, n-1\} $을 $ n $을 법으로 하는 최소양잉여계 (system of least positive residue modulo $ n $ )라 한다. 모든 정수가 집합 $ \left\{a_{0}, \cdots, a_{n-1}\right\} $의 어떤 한 원소와 합동일 때 $ \left\{a_{0}, \cdots, a_{n-1}\right\} $을 법 $ n $에 관한 완전잉여계(complete residue system)라 한다. 정수 $ \mathbb{Z} $ 위의 합동 $ \equiv $은 동치관계이다. 모든 정수 $ a \in \mathbb{Z} $에서 $ a \equiv a(\bmod n) $이다. 정수 $ a, b $에서 $ a \equiv b $ $ (\bmod n) $이면 $ b \equiv a(\bmod n) $이다. 정수 $ a, b, c $에서 $ a \equiv b(\bmod n), b \equiv c(\bmod n) $이면 $ a=b+n k, b=c+n l, k, l \in \mathbb{Z} $이므로 $ a=c+n(l+k)=c+n m $, 즉 $ a \equiv c(\bmod n) $이다. 법 $ n $에 관한 동치류 $ \bar{a}=\{m \in \mathbb{Z} \mid m \equiv a(\bmod n)\}, a=0, \cdots, n-1 $ 전체의 집합 $ \{\bar{a} \mid a \in Z, a=0,1, \cdots, n\}=\{\overline{0}, \overline{1}, \cdots, \overline{n-1}\} $을 $ \overline{\mathbb{Z}}_{n} $으로 나타낸다.</p> <h2>예제 1.2. 1</h2> <p>구간 $ [-1,1] $ 위의 함수 $ f(x)=x^{2}, g(x)=x^{3}, h(x)=\cos x $는 어떤 함수인가?</p> <p>사상들의 합성(composition)에 관하여 살펴보자. 사상 $ f: A \longrightarrow B, g: B \longrightarrow C $에서 임의의 $ a \in A $에 대하여 $ f(a) \in B $는 오직 하나 있다. $ b=f(a) $에 대하여 $ g(b) $ $ =g(f(a)) $인 $ g(b) \in C $가 오직 하나 있다. 이러한 명제는 $ f $와 $ g $가 사상이라는 정의에서 나온다. 따라서 모든 $ a \in A $에 대하여 $ c=g(b)=g(f(a)) $가 오직 하나만 존재한다. 이는 $ h: A \rightarrow C, h(a)=c $가 사상임을 뜻한다. 사상 $ h $를 $ f $와 $ g $의 합성 사상(composite mapping)이라 하고 $ h=g \circ f $로 나타낸다. 이 때 아래 그림을 순환적 (commutative)이라 한다.</p> <h2>예제 1.2.2</h2> <p>집합 $ A, B $에서 사상 $ f: A \rightarrow B $와 항등사상 $ I_{A}, I_{B} $에 대하여 $ f \circ $ $ I_{A}=I_{B} \circ f $ 임을 보여라.</p> <p>[풀이] 임의의 $ a \in A $에서 $ \left(f \circ I_{A}\right)(a)=f\left(I_{A}(a)\right)=f(a), \quad\left(I_{B} \circ f\right)(a)=I_{B}(f(a))=f(a) $.</p> <p>사상 $ f: A \longrightarrow B, g: B \longrightarrow C $와 합성 $ g \circ f $의 전사, 단사 관계를 살펴보자. $ f $와 $ g $가 단사이면 $ g \circ f $도 단사이고, $ f $와 $ g $가 전사이면 $ g \circ f $도 전사이다. 실제로 모든 $ a, b \in A $에서 $ (g \circ f)(a)=(g \circ f)(b) $ 이면 $ g(f(a))=g(f(b)) $ 이다. $ g $가 단사이므로 $ f(a)=g(b) $이고 $ f $가 단사이므로 $ a=b $이다. 이는 합성사상 $ g \circ f: A \longrightarrow C $가 단사임을 뜻한다. 사상 $ g: B \rightarrow C $가 전사이면 임의의 $ c \in C $에 대하여 $ g(b)=c $인 $ b \in B $가 있다. $ f: A \rightarrow B $가 전사이면 $ f(a)=b $인 $ a \in A $가 있다. 임의의 $ c \in C $에 대하여 $ (g \circ f)(a)=g(f(a))=g(b)=c $인 $ a \in A $가 존재한다. 이는 $ g \circ f: A \longrightarrow C $가 전사임을 뜻한다.</p> <h1>1.4 대수적 구조</h1> <p>공이 아닌 집합 $ S $에서 사상 $ \varnothing: S^{n} \rightarrow S $를 $ n $ 항연산 $ (n $-ary operation)이라 하고 2항연산(binary operation)을 $ +, \times, \circ, \cdot, , \cdots $ 등으로 표시한다. 모든 $ a $, $ b \in S $에서 $ a \circ b \in S $ 임을 뜻한다. 모든 $ a, b \in A $에서 $ a \circ b \in A $인 $ S $ 의 부분집합을 이항연산 에 의하여 닫혀있다(closed)고 한다. 2항연산을 간단히 연산이라 하자.</p> <p>집합 $ G $ 위 이항연산 $\circ $이 다음을 만족하면 쌍 $ (G, \circ) $을 군(group)이라 한다.</p> <p>(1) 모든 $ a, b, c \in G $에서 $ (a \circ b) \circ c=a \circ(b \circ c) $ 결합법칙(associative laws)]</p> <p>(2) 임의의 $ a \in G $에 대해 $ e \in G $가 존재하여 $a \circ e=e \circ a=a $[항등원 (identity) 의 존재]</p> <p>(3) 임의의 원 $ a \in A $에서 원 $ b \in A $가 존재하여 $ a \circ b=b \circ a=e $[역원 (inverse)의 존재]</p> <p>다음을 만족하는 군을 가환군(commutative group) 또는 Abel군(abelian group)이라 한다.</p> <p>(4) 모든 $ a, b \in G $에서 $ a \circ b=b \circ a $</p> <p>덧셈 $ + $로 표시된 군 $ (G,+) $를 덧셈군(additive group), 곱셈 $\circ $로 표시된 군 $ (G $, - ))을 곱셈군 (mulitiplicative group)이라 한다. 덧셈군은 조건 $ (4) $를 항상 만족하는 것으로 약속한다. 집합 $ G $가 유한집합이면 유한군(finite group), 무한집합이면 무한군(infinite group)이라 한다.</p> <h2>정리 1.4.1</h2> <p>군 $ G $에서 다음이 성립한다.</p> <p>(1) 항등원은 오직 하나뿐이다.</p> <p>(2) 역원은 오직 하나뿐이다.</p> <p>(3) $ a x=b, x a=b $인 $ x \in G $는 오직 하나뿐이다.</p> <p>[증명] (1) $ e, f \in G $가 항등원이라 하자. 모든 $ a, b \in G $에서 $ a e=e a=a, b f=f b= $ $ b $이다. $ a=f, b=e $이면 $ f e=e f=f, e f=f e=e $. 따라서 $ e=f e=f $.</p> <p>(2) $ b, c $가 $ a $의 역원이면 $ a b=b a=e, a c=c a=e $이다. 그러면 $ b=b e=b(a c)= $ $ (b a) c=e c=c $, 즉 $ b=c $ 이다.</p> <p>(3) $ a $의 유일한 역원을 $ a^{-1} $이라 하자. $ a\left(a^{-1} b\right)=\left(a a^{-1}\right) b=e b=b $이므로 $ x= $ $ a^{-1} b \in G $는 $ a x=b $의 해이다. $ a x=b $의 양변에 $ a^{-1} $을 곱하면 $ x=a^{-1}(a x)=a^{-1} b $이다.</p> <p>곱셈군 $ (G, \cdot) $의 항등원을 1, 역원을 $ a^{-1} $로 나타내고 덧셈군 $ (G,+) $의 항등원을 0, 역원을 $ -a $로 나타낸다. 0을 영원(zero element), $ -a $를 $ a $의 음원(negative element)이라 한다.</p> <h2>예제 1.4.9</h2> <p>동형사상 $ f: G \rightarrow G^{\prime} $의 역사상 $ f^{-1}: G^{\prime} \rightarrow G $는 동형사상이다.</p> <p>[풀이] 임의의 $ a^{\prime}, b^{\prime} \in G^{\prime} $에서 $ f(a)=a^{\prime}, f(b)=b^{\prime} $인 $ a, b \in G $가 존재한다. $ f(a b) $ $ =f(a) f(b)=a^{\prime} b^{\prime}, a b=f^{-1}\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) $이다. $ a=f^{-1}\left(a^{\prime}\right), b=f^{-1}\left(b^{\prime}\right) $이므로 $ f^{-1}\left(a^{\prime}\right) f^{-1}\left(b^{\prime}\right)=f^{-1}\left(a^{\prime} b^{\prime}\right) $</p> <h2>예제 1.4.10</h2> <p>함수 $ \phi(x)=e^{x} $은 실수집합 $ \mathbb{R} $에서 양의 실수집합 $ \mathbb{R}^{+} $로의 동형사상이다.</p> <p>[풀이] $ x, y \in \mathbb{R} $에서 $ \phi(x+y)=e^{x+y}=e^{x} e^{y}=\phi(x) \phi(y) $이다. 이는 $ \phi $가 덧셈군 $ \mathbb{R} $에서 곱셈군 $ \mathbb{R}^{+} $로의 군준동형임을 뜻한다. $ \phi(x)=\phi(y) $이면 $ e^{x}=e^{y} $이다. 양변에 $ \log $를 취하면 $ x=y $이다. $ x \in \mathbb{R}^{+}, y=\log x $이면 $ \phi(y)=e^{\log x}=x $이다. 이는 $ y \in $ $ \mathbb{R} $가 $ x $의 원상임을 의미한다. 함수 $ y=e^{x} $은 전단사인 군준동형사상, 즉 군동형사상이다.</p> <p>군준동형사상 $ f: G \rightarrow G^{\prime} $에서 집합 $ \left\{a \in G \mid f(a)=e^{\prime}\right\} $을 $ f $의 핵 (kernel)이라 하고 $ \operatorname{ker} f $로 나타낸다. 군준동형사상의 정의에 의하여 $ f(e)=f(e e)=f(e) f(e) $이므로 $ f(e)=e^{\prime} $이다. $ e \in \operatorname{ker} f $이므로 $ \operatorname{Ker} f \neq \varnothing $이다. 집합 $ \{f(a) \mid a \in G\} $를 $ f $의 상(image)이라 하고 $ \operatorname{Im} f $로 나타낸다.</p> <h2>정리 1.4.2</h2> <p>군준동형사상 $ f: G \rightarrow G^{\prime} $에서 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ \operatorname{Ker} f, \operatorname{Im} f $는 부분군이다.</p> <p>(2) $ f $ 가 일대일일 필요충분조건은 $ \operatorname{Ker} f=\{e\} $ 이다.</p> <p>[증명] (1) $ a, b \in \operatorname{Ker} f $이면 $ f(a)=e^{\prime}, f(b)=e^{\prime} $이다. $ e^{\prime}=e^{\prime} e^{\prime}=f(a) f(b)= $ $ f(a b) $ 이므로 $ a b \in \operatorname{Ker} f $이다. $ f\left(a^{-1}\right)=f(a)^{-1}=e^{\prime} $이므로 $ a^{-1} \in \operatorname{Ker} f $. 따라서 $ \operatorname{Ker} f $는 $ G $의 부분군이다.</p> <p>(2) $ a \in \operatorname{Ker} f $이면 $ f(a)=e^{\prime} $이다. $ f(e)=e^{\prime} $이므로 $ f(a)=f(e), f $가 일대일이면 $ a=e $이다. 따라서 $ \operatorname{Ker} f=\{e\} $. 핵의 원소가 $ e $ 하나뿐이라 하자. $ f(a)=f(b) $이면 $ f\left(a b^{-1}\right)=f(a) f\left(b^{-1}\right)=f(b) f\left(b^{-1}\right)=e $</p> <p>그러므로 $ a b^{-1} \in \operatorname{Ker} f, a b^{-1}=e, a=b $이다.</p> <h2>예저 1.4.11</h2> <p>$ \mathbb{R}^{}=\mathbb{R}-\{0\} $ 위의 사상 $ f: \mathbb{R}^{} \rightarrow \mathbb{R}^{}, f(x)=x^{2} $의 핵과 상을 구하여라.</p> <p>[풀이] $ f(x y)=(x y)^{2}=x^{2} y^{2}=f(x) f(y) $이므로 준동형이다. $ \operatorname{Im} f=\{f(x) \mid x \in $ $ \left.\mathbb{R}^{}\right\}=\left\{x^{2} \mid x \in \mathbb{R}^{*}\right\} $, Ker $ f=\varnothing $</p> <p>공인 아닌 집합 $ R $ 위의 이항연산 덧셈(addition) $ + $와 곱셈(multiplication) $ \cdot $이 다음의 조건을 만족하면 $ (R,+, \cdot) $을 환(ring)이라 한다.</p> <p>(1) $ (R,+) $이 덧셈군이다.</p> <p>(2) $ a, b, c \in R,(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) $</p> <p>(3) $ a, b, c \in R,(a+b) \cdot c=a \cdot c+b \cdot c, a \cdot(b+c)=a \cdot b+a \cdot c $</p> <p>환 $ R $의 영원을 $ 0, a \in R $의 음원을 $ -a $로 나타낸다. $ (R $, - )이 가환인 환을 가환환(commutative ring), ( $ R, \cdot $ - )이 단위원(unity element)을 갖는 환을 단위원을 갖는 환(ring with unity)이라 한다. 일반적으로 $ a \cdot b $를 $ a b $로 나타낸다.</p> <h2>예제 1.4.12</h2> <p>법 $ n $에 관한 잉여류 전체의 집합 $ \overline{\mathbb{Z}}_{n}=\{\overline{0}, \overline{1}, \cdots, \overline{n-1}\} $은 덧셈 $ \bar{a}+\bar{b}=\overline{a+b}, \overline{a \cdot b}=\overline{a b} $에 의하여 환을 이룬다. 영원과 단위원을 구하여라.</p> <p>[풀이] 모든 $ \bar{a} \in \overline{\mathbb{Z}}_{n} $에서 $ \overline{1} \cdot \bar{a}=\bar{a}, \overline{0}+\bar{a}=\bar{a} $이므로 $ \overline{1} $는 단위원, $ \overline{0} $은 영원이다.</p> <h2>예제 1.4.13</h2> <p>집합 $ \mathbb{Q}[n]=\{a+b \sqrt{n} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} $는 다음 연산에 의하여 환을 이룬다. 단 $ n $은 완전제곱수가 아니다.</p> <p>$ (a+b \sqrt{n})+(c+d \sqrt{n})=(a+c)+(b+d) \sqrt{n} $$ (a+b \sqrt{n}) \cdot(c+d \sqrt{n})=(a c+b d n)+(a d+b c) \sqrt{n} $</p> <p>[풀이] $ 0=0+0 \sqrt{n} $이고 $ -a-b \sqrt{n} $은 $ a+b \sqrt{n} $의 음원이다. $ 1=1+0 \sqrt{n} $은 단위원이다.</p> <p>단위원 1을 갖는 환 $ R $에서 $ 1=0 $이면 $ a=1 a=0 a=0 $이므로 $ R=\{0\} $이다. 이것은 별 의미를 갖지 못하므로 $ 1 \neq 0 $라고 약속한다. 영이 아닌 원 $ a \in R $에서 $ a b= $ 0인 원 $ b \neq 0 $이 존재하면 $ a $를 좌영인자(left zero divisor)라 하고, $ b a=0 $인 원 $ b \neq $ 0이 존재하면 $ a $를 우영인자(right zero divisor)라 한다. 영인자를 갖지 않는 환을 정역(integral domain)이라 한다. 정역의 모든 원 $ a, b $에서 $ a b=0 $이면 $ a=0 $ 또는 $ b=0 $이다.</p> <h2>예제 1.2.3</h2> <p>사상 $ f: A \rightarrow B, g: B \rightarrow C $에서 다음이 성립함을 보여라.</p> <p>(1) $ g \circ f $가 단사이면 $ f $는 단사이다. (2) $ g \circ f $가 전사이면 $ g $는 전사이다.</p> <p>[풀이] $ a, b \in A, f(a)=f(b) $의 양변에 $ g $를 시행하면 $ g(f(a))=g(f(b)) $, $ (g \circ f)(a)=(g \circ f)(b) $이다. $ g \circ f $가 단사이면 $ a=b $이다. 이는 $ f $가 단사임을 뜻한다. $ g \circ f: A \rightarrow C $가 전사이면 임의의 $ c \in C $에 대하여 $ (g \circ f)(a)=c $인 $ a \in A $가 존재한다. $ (g \circ f)(a)=g(f(a)) $이므로 $ f(a)=b $라 놓으면 $ g(b)=c $이다. 이는 $ g $가 전사임을 의미한다.</p> <h2>정리 1.2.1</h2> <p>사상 $ f: A \rightarrow B $에서 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ f $가 단사이기 위한 필요충분조건은 $ g \circ f=I_{A} $인 사상 $ g: B \rightarrow A $가 존재하는 것이다.</p> <p>(2) $ f $가 전사이기 위한 필요충분조건은 $ f \circ h=I_{B} $인 $ h: B \rightarrow A $가 존재하는 것이다.</p> <p>[증명] 항등사상 $ I_{A}, I_{B} $는 전단사이므로 (1), (2)의 역은 예제 1.2.3에 의하여 분명히 성립한다. $ f: A \rightarrow B $가 단사이면 $ f(A) $의 원소 $ b $에서 $ f(a)=b $인 $ a \in A $가 오직 하나 있다. 고정된 원소 $ q \in A $에 대하여 $ g(b)=\left\{\begin{array}{ll}a, & b \in f(A) \\ q, & b \notin f(A)\end{array}\right. $로 정의된 사상 $ g: B \rightarrow A $를 생각한다. 임의의 $ a \in A $에 대하여 $ (g \circ f)(a)= $ $ g(f(a))=g(b)=a $이다. 이는 $ g \circ f=I_{A} $ 임을 뜻한다. $ f $가 전사이면 $ f(A)=B $이다. 임의의 $ b \in B $에 대하여 $ f(a)=b $인 $ a \in A $가 존재하므로 $ \{a \in A \mid f(a)=b\} \neq \varnothing $이다. 이 집합의 특정한 원소 하나를 택하여 $ a_{b} $라 하자. $ h(b)=a_{b} $로 주어진 사상 $ h: B \rightarrow A $에서 $ (f \circ h)(b)=f(h(b))=f\left(a_{b}\right)=b $</p> <p>이는 $ f \circ h=I_{B} $ 임을 뜻한다.</p> <p>정리 1.2.1의 사상 $ g: B \rightarrow A $를 $ f $의 좌역사상(left inverse mapping), $ h: B \rightarrow $ $ A $를 $ f $의 우역사상(right inverse mapping)이라 한다.</p> <h2>예제 1.4.14</h2> <p>잉여류계 $ \overline{\mathbb{Z}}_{3}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}, \overline{\mathbb{Z}}_{4}=\{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}\} $의 영인자를 구하여라.</p> <p>[풀이] $ \overline{\mathbb{Z}}_{3} $은 영인자를 갖지 않는다. $ \overline{2} \cdot \overline{2}=\overline{0} $이므로 $ \overline{2} $는 $ \overline{\mathbb{Z}}_{4} $의 영인자이다.</p> <p>$ R \ni 1 $의 원 $ a $에서 $ a a^{-1}=a^{-1} a=1 $인 $ a^{-1} \in R $가 존재하면 $ a $를 단원(unit)이라 한다. 영이 아닌 모든 원이 단원인 환 $ R \ni 1 $을 나눗셈환(division ring)이라 한다. 가환인 나눗셈환(commutative division ring)을 체(field)라 한다. 집합 $ F $가 체이기 위해서는 다음 조건을 만족해야 한다.</p> <p>(1) 모든 $ a, b \in F $에서 $ a+b \in F $ 이고, (i) $ a, b, c \in F,(a+b)+c=a+(b+c) $, (ii) $ a \in F, a+0=0+a=a $인 0이 존재한다. (iii) $ a \in F, a+(-a)=(-a)+a=0 $인 $ -a $가 존재한다. (iv) $ a, b \in F, a+b=b+a $</p> <p>(2) 모든 $ a, b \in F $에서 $ a b \in F $이고, (v) $ (a b) c=a(b c) $, (vi) $ a, b, c \in F,(a+b) c=a b+b c, a(b+c)=a b+a c $, (vii) $ a \in F, 1 \in R, a 1=1 a=a $, (viii) $ a \in F, a \neq 0 $이면 $ a^{-1} a=a^{-1} a=1 $인 $ a^{-1} \in F $.</p> <p>유리수 전체의 집합 $ \mathbb{Q} $, 실수 전체의 집합 $ \mathbb{R} $, 복소수 전체의 집합 $ \mathbb{C} $는 덧셈과 곱셈에 의하여 체를 이룬다.</p> <h2>예제 1.4.15</h2> <p>다음 집합은 체인가?</p> <p>(1) $ K=\{a+b \sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q}\} $ (2) $ F=\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{Z}, i=\sqrt{-1}\} $</p> <p>[풀이] $ 1=1+0 \sqrt{2} $는 단위원이다. $ a+b \sqrt{2} \neq 0 $ 일 때 $ (a+b \sqrt{2})^{-1}=\frac{1}{a^{2}-2 b^{2}}(a-b \sqrt{2}) $ 라 놓으면 $ (a+b \sqrt{2})(a+b \sqrt{2})^{-1}=(a+b \sqrt{2}) \cdot \frac{1}{a^{2}-2 b^{2}}(a-b \sqrt{2})=1 $</p> <p>$ K $ 는 체이다. 그러나 $ (1+i)^{-1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i \notin F $ 이므로 $ F $ 는 체가 아니다.</p> <h1>1.3 동치관계</h1> <p>공이 아닌 집합 $ S_{1}, \cdots, S_{n} $의 순서 $ n $조(ordered $ n $-tuple) $ \left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), x_{i} \in $ $ S_{i}, i=1, \cdots, n $들 전체의 집합 $ S_{1} \times \cdots \times S_{n} $을 $ S_{i} $들의 적집합(product set) 또는 카테시언 곱이라 한다. 즉 $ S_{1} \times \cdots \times S_{n}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in S_{i}, i=1, \cdots, n\right\} $. 순서조 $ \left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) $과 $ \left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $은 모든 $ i $에 대하여 $ x_{i}=y_{i} $일 때 한하여 같다고 하며 $ \left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(y_{1}, \cdots, y_{n}\right) $으로 나타낸다. 모든 $ S_{i}=S $이면 $ S \times \cdots \times S=S^{n} $으로 표시한다.</p> <p>집합 $ S $ 위의 카테시언 곱 $ S \times S $의 부분집합 $ R $를 $ S $ 위의 관계(ralation)라 한다. 이러한 부분집합은 여러 개가 있을 수 있으므로 $ S $ 위의 관계는 다양할 수 있다. 관계 $ R $의 원소 $ (a, b) \in R $는 $ a $와 $ b $는 $ R $의 관계를 갖는다고 하고 $ a \widetilde{R} b $로 나타낸다. $ R $를 특별히 언급할 필요가 없을 때 간단히 $ a \sim b $로 표시한다. $ R $의 원소가 아닌 순서쌍 $ (a, b) $를 $ a $와 $ b $는 $ R $의 관계를 갖지 않는다 하고, $ a \chi b $로 나타낸다. 집합 $ S $ 위의 관계 $ \sim $이 다음 조건을 만족할 때 이 관계를 동치관계(equivalent relation)라 한다.</p> <p>(1) 반사률(reflexive laws): 모든 $ a \in S $에서 $ a \sim a $</p> <p>(2) 대칭률 (symmetric laws): $ a \sim b $ 이면 $ b \sim a $</p> <p>(3) 추이률 (transitive laws): $ a \sim b, b \sim_{c} $이면 $ a \sim c $</p> <h2>예제 1.3.1</h2> <p>집합 $ S=\{1,2,3,4\} $ 위의 다음 관계를 판별하여라.</p> <p>(1) $ R_{1}=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)\} $</p> <p>(2) $ R_{2}=\{(1,1),(2,3),(3,2)\} $</p> <p>(3) $ R_{3}=\{(1,3),(3,4),(1,4)\} $</p> <p>[풀이] $ R_{1} $은 반사율, $ R_{2} $는 대칭률, $ R_{3} $은 추이율을 만족한다.</p> <h1>1.2 사 상</h1> <p>집합 $ A, B $의 카테시언 곱 $ A \times B $의 부분집합 $ f $에서 (1) 모든 $ x \in A $에 대하여 $ (x, y) \in f $인 $ y \in B $가 존재하며, (2) $ \left(x, y_{1}\right) \in f,\left(x, y_{2}\right) \in f $이면 $ y_{1}=y_{2} $일 때 $ f $를 $ A $에서 $ B $로의 함수(function) 또는 사상(mapping)이라 하고 $ f: A \rightarrow B $로 나타낸다. $ (x, y) \in f $이면 $ y=f(x) $라 하고 $ f $에 관한 $ x $의 상(image)이라 한다. (1)은 $ A $의 각 원소 $ x $가 반드시 상을 가짐을 뜻하고, (2)는 상은 오직 하나만이 있음을 의미한다. 모든 $ A $의 원소에서 $ y=f(x) $가 존재하고 오직 하나 뿐일 때 $ f: A \rightarrow B $는 사상이다. 집합 $ A $를 정의역(domain), 집합 $ B $를 공의역(codomain)이라 한다. 사상 $ f $에 관한 정의역 $ A $의 상들 전체의 집합 $ f(A)=\{f(x) \mid x \in A\} $를 $ f $의 치역(range)이라 한다. 함수 $ f: A \rightarrow B, b \in B $에서 $ f^{-1}(b)=\{a \in A \mid f(a)=b\} $를 $ b $의 원상(inverse image)이라 한다.</p> <p>두 개의 사상 $ f, g: A \rightarrow B $가 모든 $ x \in A $에 대하여 $ f(x)=g(x) $이면 $ f $와 $ g $는 같다 하고 $ f=g $로 나타낸다. 사상 $ f $와 $ g $가 같기 위해서는 정의역과 공의역이 같고 대응값이 같아야 한다. 모든 원소 $ a \in A $에 대하여 $ I(a)=a $인 사상 $ I: A \rightarrow $ $ A $를 $ A $ 위의 항등사상(identity mapping, unity mapping)이라 한다. 항등사상은 두 가지의 중요한 의미를 갖는다. $ I $의 상 $ \{I(a) \mid a \in A\}=\{a \mid a \in A\}=A $이고, $ I(a)= $ $ I(b), a, b \in A $이면 $ a=b $이다. 이러한 현상을 일반화하여 보자. 사상 $ f: A \rightarrow B $에서 $ \operatorname{Im} f=f(A) $가 $ B $와 같을 때 $ f $는 위로의 사상(onto mapping) 또는 전사적사상(surjective mapping)이라 한다. 항등사상은 전사이다. 사상 $ f: A \rightarrow B $가 전사일 필요충분조건은 임의의 $ b \in B $에 대하여 $ f(a)=b $인 $ a \in A $가 존재하는 것이다.</p> <p>$ \forall b \in B, \quad \exists a \in A ; f(a)=b $.</p> <p>즉, 사상의 정의에 의하여 $ a=b $이면 $ f(a)=f(b) $이다. 그러나 역이 항상 성립하지는 않는다. $ f(a)=f(b) $이면 $ a=b $라는 명제가 항상 성립하면 $ f: A \rightarrow B $는 1 대 1 사상(one-to-one mapping) 또는 단사적사상(injective mapping)이라 한다. 항등사상은 일대일사상이다. 전사인 동시에 단사인 사상을 1 대 1 대응사상(one-to-one corespondence) 또는 전단사적사상(bijective mapping)이라 한다. 항등사상은 전단사이다.</p>	자연
m821-위상수학입문	<p>(2) $ 0<a<1 $이라 가정하고, 양변에 $ a $를 곱하면 \[ 0=0 \cdot a<a \cdot a=a ^ { 2 }<1 \cdot a=a \]</p> <p>(3) $ a>1 $이면 $ a>0 $이므로, $ a>1 $의 양변에 $ a $를 곱하면 \[ a ^ { 2 } =a \cdot a>1 \cdot a=a \]</p> <p>예 모든 실수의 집합 $ R $에 대하여, $ -1<0<1 $이 성립한다. 왜나하면 $ 1 \neq 0 $이므로 $ 1>0 $이고, 이때 양변에 -1을 더하면 \[ 0=1-1>0-1=-1 \]이므로, 따라서 $ -1<0<1 $이 성립한다.</p> <p>모든 실수의 집합 $ R $은 관계 $ a \leq b $에 의하여 전순서를 이룬다.</p> <p>③ 절댓값과 $ \varepsilon $-근방</p> <p>임의의 $ a \in R $에 대하여 $ \|a\| $를 \[ \|a\|= \left \\begin {array} { rr } a, & a \geq 0 \\ -a, & a<0 \end {array} \right . \]로 정의하고, 이것을 $ a $의 절댓값 (absolute value)이라고 한다.</p> <p>정리 14 $ a, b, c \in R $에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <p>(1) $ \|a\| \geq 0 $이고, $ \|a\|=0 \Leftrightarrow a=0 $</p> <p>(2) $ \|-a\|=\|a\| $</p> <p>(3) $ \|a b\|=\|a\|\|b\| $</p> <p>(4) $ -\|a\| \leq a \leq\|a\| $</p> <p>(5) $ \|a + b\| \leq\|a\| + \|b\| $</p> <p>(6) \|\| $ a\|-\| b\|\| \leq\|a-b\| $</p> <p>(7) $ c>0 $에 대하여, $ \|a\|<c $이기 위한 필요충분조건은 $ -c<a<c $이다. 또한 $ \|a\| \leq c $이기 위한 필요충분조건은 $ -c \leq a \leq c $이다.</p> <p>실직선에서 $ R $의 임의의 두 원소 $ a, b $ 사이의 거리는 보통거리 $ \|a-b\| $로 정의한다.</p> <p>정의 15 $ \varepsilon $-근방과 근방 $ a \in R $라고 하자. $ \varepsilon>0 $에 대하여 $ a $의 $ \varepsilon $-근방( $ \varepsilon $-neighborhood)은 집합 \[ N_ {\varepsilon } (a)= \{ x \in R:\|x-a\|< \varepsilon \} \]이고, 집합 $ A $에 포함되는 $ \varepsilon $-근방이 존재하면 $ A $를 $ a $의 근방(neighborhood)이라고 한다.</p> <p>참고 $ a \in R $에 대하여 아무리 작은 $ \varepsilon $을 잡더라도, $ a $의 $ \varepsilon $-근방 $ N_ {\varepsilon } (x) $가 $ A $의 점과 $ A $에 속하지 않는 점을 동시에 가질 때 $ a $를 $ A $의 경계점(boundary point)이라 하고, $ A $의 모든 경계점의 집합을 $ A $의 경계(boundary)라 하며, $ \operatorname { Bd } (A) $로 나타낸다. 따라서 \[ \operatorname { int } (A)=A \backslash \mathrm { Bd } (A) \]가 된다. 특히 $ O \subset R $에 대하여 $ \operatorname { int } (O)=O $를 만족할 때, $ O $는 $ R $에서 열린집합이다.</p> <p>정리 3</p> <ol type=1 start=1><li>$ R $에서, 유한개의 열린집합족 $ \left \{ O_ { 1 } , O_ { 2 } , \cdots, O_ { n } \right \} $의 교집합 $ \bigcap_ { i=1 } ^ { n } O_ { i } $는 열린집합이다.</li> <li>$ R $의 임의의 열린집합족 $ \left \{ O_ {\lambda } \mid \lambda \in \Lambda \right \} $의 합집합 $ \bigcup_ {\lambda \in \Lambda } O_ {\lambda } $는 열린집합이다.</li></ol> <p>증명 여기서는 (2)만 증명하고, (1)은 독자에게 남긴다. $ O= \bigcup_ {\lambda \in A } O_ {\lambda } $라 하고, 임의의 점 $ x \in O $에 대하여 생각하자. 그러면 합집합의 정의로부터, 직당한 $ \lambda \in \Lambda $가 존재하여 $ x \in O_ {\lambda } $이다. 그런데 $ O_ {\lambda } $가 열린집합이므로, 적당한 $ \varepsilon>0 $이 존재하여 $ N_ {\varepsilon } (x) \subset O_ {\lambda } $가 된다. 따라서 \[ N_ {\varepsilon } (x) \subset O_ {\lambda } \subset O \]이므로, 합집합 $ O $는 열린집합이다.</p> <p>예 열린집합 $ G_ { n } = \left ( \frac { 1 } { n } , 1- \frac { 1 } { n } \right ) $ (단, $ n=3,4,5, \cdots $)으로 주어진 열린집합족 $ \left \{ G_ { n } \right \} $에 대하여, 그 합집합 $ \bigcup_ { n=3 } ^ {\infty } G_ { n } =(0,1) $은 열린집합이다. 그러나 $ \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } \left (- \frac { 1 } { n } , \frac { 1 } { n } \right )= \{ 0 \} $에서 알 수 있듯이 열린집합의 임의의 교집합은 열린집합이라 할 수 없다.</p> <p>풀이 (1) 집합 $ S= \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in N \right \} $은 유일한 집적점 0을 갖는다. 이때 $ S $의 유도집합은 단원집합 $ \{ 0 \} $, 즉 $ S ^ {\prime } = \{ 0 \} $이다. 따라서 $ S \cap S ^ {\prime } = \varnothing $가 된다.</p> <p>(2) 반열린구간 $ S=(a, b] $의 유도집합은 $ S ^ {\prime } =[a, b] $이다. 따라서 $ S \subsetneq S ^ {\prime } $이 된다.</p> <p>(3) $ S= \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in N \right \} \cup \{ 0 \} $이라 하면, $ S $에 속하는 0은 유일한 $ S $의 집적점이다. 이때 $ S $의 유도집합은 $ S ^ {\prime } = \{ 0 \} $이다. 따라서 $ S ^ {\prime } \subsetneq S $가 된다.</p> <p>(4) 닫힌구간 $ S=[a, b] $의 유도집합은 $ S ^ {\prime } =[a, b] $이다. 따라서 $ S=S ^ {\prime } $이 된다.</p> <p>참고 $ S \subset R $에 대하여, 점 $ x \in R $를 포함하는 모든 열린집합 $ G $가 $ x $와 서로 다른 $ S $의 점을 적어도 하나 포함할 때, 즉 $ x \in R $를 포함하는 모든 열린집합 $ G $에 대하여 \[ S \cap(G \backslash \{ x \} ) \neq \varnothing \]를 만족할 때, $ x $를 $ S $의 집적점이라 한다.</p> <p>예 $ A \subset R $가 유한이면, $ A $의 유도집합은 공집합 $ \varnothing $이다.</p> <p>예제 $ R $의 두 부분집합 $ A, B $에 대하여 $ A \subset B $이면 $ A ^ {\prime } \subset B ^ {\prime } $이다.</p> <p>증명 $ x \in A ^ {\prime } $이면 $ x $를 포함하는 임의의 열린집합 $ G $에 대하여 \[ \varnothing \neq A \cap(G \backslash \{ x \} ) \subset B \cap(G \backslash \{ x \} ) \]이므로 $ x \in B ^ {\prime } $이다. 따라서 $ A ^ {\prime } \subset B ^ {\prime } $이 성립한다.</p> <p>참고 $ \left \{ K_ {\alpha } \right \} $가 $ K_ { n } \supset K_ { n + 1 } $ (단, $ n=1,2, \cdots $)을 만족하는 공집합이 아닌 $ R $의 콤팩트 부분집합열이면, $ \cap K_ {\alpha } \neq \varnothing $이다.</p> <h2>3. 칸토어 집합</h2> <p>칸토어 집합은 반례로 자주 인용되는 집합이다. 단위 닫힌구간 $ [0,1] $을 세 등분하여 가운데 열린구간을 제거하고 남는 두 닫힌구간을 다시 각각 세 등분하여 가운데 두 열린구간을 제거한다. 이와 같은 일을 무한히 반복하였을 때 남는 집합을 칸토어 집합 (Cantor ternary set)이라고 한다. 이때 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 제거된 열린구간들의 길이의 합은 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 ^ { n-1 } } { 3 ^ { n } } =1 \]이 된다. 칸토어 집합은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 공집합이 아닌 닫힌집합이지만, 가산집합은 아니다.</p> <h2>4. 연결집합</h2> <p>정의 16 연결집합 두 집합 $ A, B \subset R $가 $ A \cap \bar { B } = \varnothing $, $ \bar { A } \cap B= \varnothing $를 만족할 때, $ A $와 $ B $는 분리되어 있다고 한다. 집합 $ E \subset R $가 공집합이 아닌 두 분리집합의 합집합이 아닌 경우, $ E $를 연결집합(connected set)이라고 한다.</p> <p>예 공집합 $ \varnothing $와 단원집합 $ \{ x \} $(단, $ x \in R $)는 연결집합이다.</p> <p>다음 정리는 $ R $에서의 어떤 부분집합이 연결집합이 되는가를 판단해 주는 매우 중요한 정리이다.</p> <p>정리 17 $ E \subset R $가 연결집합일 필요충분조건은 $ a, b \in E $에 대하여 $ a<c<b $일 때, $ c \in E $를 만족하는 것이다.</p> <p>참고 공집합이 아닌 $ E \subset R $가 $ E \neq \{ x \} $(단, $ x \in R $)일 때, $ E $가 구간일 필요충분조건은 $ x, y \in E $이고 $ x<z<y $이면 $ z \in E $인 것이다.</p> <h2>5. 수열</h2> <p>모든 자연수의 집합 $ N $으로부터 어떤 집합 $ X $로의 함수 $ s: N \rightarrow X $를 수열(sequence) 또는 점렬이라 하고 \[ \left \langle s_ { 1 } , s_ { 2 } , \cdots \right \rangle, \left \langle s_ { n } \mid n \in N \right \rangle \text { 또는 간단히 } \left \langle s_ { n } \right \rangle \]으로 표시한다. 즉 수열은 각 $ n \in N $에 점 $ s_ { n } $을 대응시킨다. 이때 $ n \in N $의 상 $ s(n) $, 즉 $ s_ { n } $을 그 수열의 제 $ n $항( $ n $th term)이라고 하고, $ s $ 의 치역을 \[ \left \{ s_ { n } \mid n \in N \right \} \text { 또는 간단히 } \left \{ s_ { n } \right \} \]으로 나타낸다. 특히 모든 자연수의 집합 $ N $으로부터 모든 실수의 집합 $ R $로의 함수 $ s: N \rightarrow R $를 실수열(real sequence)이라 한다. 그러나 앞으로 특별한 언급이 없는 한, 이 책에서는 수열이라는 일반적인 용어로 서술될 것이다.</p> <h3>(1) 수열의 극한</h3> <p>수학뿐만 아니라 모든 자연과학과 사회과학에서 수열의 극한은 매우 큰 의미를 갖는다. 수열의 극한을 구체적으로 구할 수 없는 경우라도 그 존재 여부를 알 수 있다면 실제로 많은 도움을 준다.</p> <p>정의 18 수열의 극한 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $을 어떤 집합 $ X $에서의 수열이라고 하자. 이때 $ x \in X $를 포함하는 임의의 열린집합 $ V $에 대하여 \[ n \geq K \Rightarrow x_ { n } \in V \]를 만족하는 자연수 $ K $가 존재하면 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 $ x $로 수렴한다(converge)고 하고, $ x $를 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 극한(limit)이라고 한다. 이때 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =x, \lim x_ { n } =x \text { 또는 간단히 } x_ { n } \rightarrow x \]로 표기한다. 수렴하지 않을 때 발산한다(diverge)고 한다.</p> <p>어떤 집합 $ X $에서의 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $에 대하여 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x \in X $로 수렴한다는 것은, 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 유한개를 제외한 나머지 모든(almost all 또는 all but finite) 항이 $ x $를 포함하는 임의의 열린집합 $ V $의 원소가 된다는 것을 의미한다.</p> <p>예 다음 각 수열 $ \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \rangle $, $ \left \langle 1,0, \frac { 1 } { 2 } , 0, \frac { 1 } { 3 } , 0, \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \rangle $, $ \left \langle 1,- \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } ,- \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \rangle $는 어느 것이나 0을 포함하는 임의의 열린구간이 각 수열의 거의 모든 항을 포함하므로 0으로 수렴한다.</p> <p>정의 3 집적점 $ A \subset R ^ { 2 } $일 때, $ p \in R ^ { 2 } $에 대하여 $ p $를 포함하는 모든 열린집합 $ G $가 $ p $와 서로 다른 $ A $의 점을 포함할 때, $ p $를 $ A $의 집적점 또는 극한점이라 한다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $의 부분집합 $ A= \{\langle x, y \rangle\|y= \sin (1 / x), x \rangle 0 \} $에서, 점 $ p= \left \langle 0, \frac { 1 } { 2 } \right \rangle $은 $ A $의 집적점이다. 왜냐하면 $ p $를 포함하는 임의의 열린원판이 $ p $ 이외의 $ A $ 점을 포함하기 때문이다. 실제로 $ B= \{\langle x, y \rangle \mid x=0,-1 \leq y \leq 1 \} $의 모든 점은 $ A $의 집적점이다.</p> <p>정의 4 닫힌집합 $ R ^ { 2 } $의 부분집합 $ F $의 여집합 $ F ^ { c } $가 열린집합일 때, $ F $를 닫힌집합이라 한다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $에서 단원집합 $ A $는 닫힌집합이다. 왜냐하면 $ A ^ { c } $가 열린집합이기 때문이다. 또한 $ R ^ { 2 } $에서 전 평면 $ R ^ { 2 } $과 공집합 $ \varnothing $는 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $에서 선분, 원과 포물선, 그리고 쌍곡선 등도 닫힌집합이다. 그러나 양 끝점을 포함하지 않는 선분 $ A $는 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이 아니다. 왜냐하면 $ A $의 여집합 $ A ^ { c } $는 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이 아니기 때문이다.</p> <p>정리 5</p> <ol type=1 start=1><li>$ F_ { 1 } $과 $ F_ { 2 } $가 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이면, $ F_ { 1 } \cup F_ { 2 } $도 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이다.</li> <li>$ \left \{ F_ {\lambda } \right \} _ {\lambda \in \Lambda } $가 $ R ^ { 2 } $에서 임의의 닫힌집합족이면, $ \bigcap_ {\lambda \in \Lambda } F_ {\lambda } $도 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이다.</li></ol> <p>참고 $ R ^ { 2 } $의 부분집합 $ A $가 닫힌집합이 되기 위한 필요충분조건은 $ A $의 모든 집적점이 $ A $에 속하는 것, 즉 $ A ^ {\prime } \subset A $이다. 또한 점 $ p \in X $와 공집합이 아닌 $ X $의 부분집합 $ A $사이의 거리를 \[ d(p, A)= \inf \{ d(p, a) \mid a \in A \} \]로 정의할 때, $ R ^ { 2 } $의 부분집합 $ A $가 닫힌집합이 되기 위한 필요충분조건은 \[ d(p, A)=0 \Rightarrow p \in B \]이다.</p> <p>증명 $( \Rightarrow ) $ $ K \subset R $가 콤팩트이므로, $ K $는 닫힌집합이다. 따라서 $ K $가 유계임을 보이면 된다. 이를 보이기 위하여 각 $ n \in N $에 대하여 $ G_ { n } = (-n, n) $으로 놓으면 $ \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } G_ { n } =R $이므로, $ \mathscr { A } = \left \{ G_ { n } \right \} $은 $ K $의 열린덮개가 된다. 따라서 $ \mathscr { A } $의 유한부분덮개 $ \mathscr { P } $가 존재하고, $ \mathscr { P } $의 원소 중 첨자가 가장 큰 것을 $ M $이라 하면 $ K \subset G_ { M } = (-M, M) $이 된다. 따라서 $ K $는 유계이다.</p> <p>$ ( \Leftarrow ) $ $ K $가 유계이면, $ K $는 적당한 닫힌구간 $ [a, b] $에 포함된다. 또한 $ K $가 닫힌집합 이므로, $ K $는 콤팩트이다.</p> <p>예 집합 $ A= \left \{ 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots, \frac { 1 } { n } , \cdots \right \} $는 $ R $에서 유계이지만 닫힌집합이 아니기 때문에 콤팩트가 아니다. 그러나 \[ B = \left \{ 0,1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots, \frac { 1 } { n } , \cdots \right \} \]는 콤팩트가 된다.</p> <p>정리 15 $ \left \{ K_ {\alpha } \right \} $가 $ R $의 콤팩트 부분집합의 집합족이고, $ \left \{ K_ {\alpha } \right \} $의 임의의 유한부분집합족의 교집합이 공집합이 아니면, $ \cap K_ {\alpha } \neq \varnothing $이다.</p> <p>증명 $ \left \{ K_ {\alpha } \right \} $에서 한 원소 $ K_ { 1 } $을 고정하고, $ G_ {\alpha } =K_ {\alpha } { } ^ { c } $라 놓자. $ K_ { 1 } $의 어느 점도 모든 $ K_ {\alpha } $에 속하지 않는다고 하면, $ \left \{ G_ {\alpha } \right \} $는 $ K_ { 1 } $의 열린덮개이다. 그런데 $ K_ { 1 } $이 콤팩트이므로 \[ K_ { 1 } \subset G_ {\alpha_ { 1 } } \cup \cdots \cup G_ {\alpha_ { n } } \]을 만족하는 유한개의 $ \alpha_ { 1 } , \cdots, \alpha_ { n } $이 존재하는데, 이때 $ K_ { 1 } \cap K_ {\alpha_ { 1 } } \cap \cdots \cap K_ {\alpha_ { n } } = \varnothing $가 되므로 가정에 모순이 된다.</p> <p>정리 4 린델뢰프 정리 (Lindelöf's theorem) $ \mathscr { Z } $가 $ R $의 임의의 열린집합족이면 \[ \cup \{ O \mid O \in \mathscr { Z } \} = \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } O_ { n } \]을 만족하는 $ \mathscr { Z } $의 가산부분집합 $ \left \{ O_ { n } \right \} $이 존재한다.</p> <p>임의의 열린집합은 열린구간들의 합집합으로 표시할 수 있다. 실제로 $ R $의 임의의 열린집합은 가산개의 서로소인 열린구간들의 합집합으로 표시할 수 있다.</p> <h3>(2) 집적점</h3> <p>① 집적점</p> <p>정의 5 집적점과 유도집합 $ x \in R $의 임의의 $ \varepsilon $-근방 $ N_ {\varepsilon } (x)=(x- \varepsilon, x + \varepsilon) $이 $ x \neq p $를 만족하는 $ S \subset R $의 적어도 한 점 $ p $를 포함할 때, $ x $를 $ S $의 집적점(cluster point, accumulation point) 또는 극한점(limit point)이라고 한다. 이때 $ S $의 모든 집적점의 집합을 $ S ^ {\prime } $으로 표현하고, 이것을 $ S $의 유도집합(derived set)이라 한다.</p> <p>예 모든 유리수의 집합 $ Q $와 모든 무리수의 집합 $ Q ^ { c } $에 대하여, 모든 실수는 $ Q $와 $ Q ^ { c } $의 집적점이다. 왜냐하면 $ x \in Q $(또는 $ x \in Q ^ { c } ) $를 포함하는 모든 열린집합이 $ x $와 상이한 유리수(또는 무리수)를 포함하기 때문이다. 따라서 $ Q $와 $ Q ^ { c } $의 유도집합은 모두 $ R $이다.</p> <p>예 모든 자연수의 집합 $ N $은 집적점을 갖지 않는다. 왜냐하면 $ a $가 임의의 자연수이면 열린집합 $ (a- \delta, a + \delta) $에 $ a $ 이외의 다른 $ N $의 점을 포함하지 않도록 $ \delta>0 $를 택할 수 있기 때문이다. 따라서 $ N $의 유도집합은 $ \varnothing $이다.</p> <p>예제 $ S ^ {\prime } $이 집합 $ S $의 유도집합을 나타낼 때<ol type=1 start=1><li>$ S \cap S ^ {\prime } = \varnothing $</li> <li>$ S \subsetneq S ^ {\prime } $</li> <li>$ S ^ {\prime } \subsetneq S $</li> <li>$ S=S ^ {\prime } $</li></ol>로 되는 집합 $ S $를 각각 구하시오.</p> <p>예 닫힌구간 $ [a, b] $에 대하여 함수 $ f:[a, b] \rightarrow R $가 연속이고 $ f(a) f(b)<0 $이면, $ f(c)=0 $을 만족하는 $ c $(단, $ a<c<b $)가 존재한다.</p> <p>예제 유계인 닫힌구간 $ I $에 대하여 함수 $ f: I \rightarrow R $가 연속이면, 집합 \[ f[I]= \{ f(x) \mid x \in I \} \]는 유계인 닫힌구간이다.</p> <p>증명 $ m= \inf f[I] $, $ M= \sup f[I] $라 하면, 최대-최솟값 정리에 의하여 $ m $, $ M $은 $ f[I] $에 속하고, 또한 $ f[I] \subset[m, M] $이다. 한편 $ k $가 $ [m, M] $의 임의의 원소이면 중간값 정리로부터 $ f(c)=k $를 만족하는 $ c \in I $가 존재하므로, $ k \in f[I] $이고 $ [m, M] \subset f[I] $이다. 따라서 $ f[I]=[m, M] $이므로, $ f[I] $는 유계인 닫힌구간이다.</p> <p>연속함수의 개념은 다음 대역적 연속성의 정리로 특징화된다.</p> <p>정리 35 대역적 연속성 정리(global continuity theorem) 함수 $ f: R \rightarrow R $에 대하여, 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ f $는 $ R $에서 연속이다.</li> <li>닫힌집합 $ F \subset R $에 대하여, 역상 $ f ^ { -1 } [F] $는 $ R $에서 닫힌집합이다.</li> <li>열린집합 $ G \subset R $에 대하여, 역상 $ f ^ { -1 } [G] $는 $ R $에서 열린집합이다.</li></ol> <p>예 함수 $ f: R \rightarrow R $가 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } x-1 & , x \leq 3 \\ \frac { 1 } { 2 } (x + 5) & , x>3 \end {array} \right . \]로 주어질 때, 열린구간 $ (1,3) $의 역상이 반열린구간 $ (2,3] $, 즉 열린집합이 아니므로, $ f: R \rightarrow R $는 연속이 아니다.</p> <p>③ 균등연속</p> <p>함수의 연속과 균등연속과의 관계를 설명하고, 또한 균등연속에 관한 성질을 알아본다.</p> <p>정의 36 균등연속 $ A \subset R, f: A \rightarrow R $라고 하자. 이때 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ \|x-u\|< \delta, x, u \in A \Rightarrow\|f(x)-f(u)\|< \varepsilon \]을 만족하는 $ \delta>0 $가 존재하면, 함수 $ f $를 $ A $에서 균등연속(uniformly continuous) 또는 평등연속이라고 한다.</p> <p>예 공집합 $ \varnothing $와 $ R $은 그 여집합인 $ R $과 $ \varnothing $가 각각 열린집합이므로 닫힌집합이다.</p> <p>예 닫힌구간 $ [a, b] $는 닫힌집합이다. 왜냐하면 닫힌구간 $ [a, b] $의 여집합은 \[ (- \infty, a) \cup(b, \infty) \]이고, 두 개의 무한열린구간의 합집합은 열린집합이기 때문이다.</p> <p>참고 공집합 $ \varnothing $와 $ R $은 $ R $에서 열린집합이며 동시에 닫힌집합이다. 또한 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아닌 $ R $의 부분집합이 존재한다. 따라서 열린집합과 닫힌집합은 반의어가 아니다. 즉 어떤 집합이 열린집합이 아니라고 하여 닫힌집합이 되는 것은 아니다.</p> <p>예 집합 $ B=(0,1) \cap Q $는 열린집합도 아니고, $ \bar { B } =[0,1] $이므로 $ B $는 닫힌집합도 아니다. 또한 반열린구간 $ A=(a, b] $에 대하여, $ b \in A $는 $ A $의 내점이 아니므로 $ A $는 열린집합이 아니고, 또한 $ a \notin A $이지만 $ A $의 집적점이므로 $ A $는 닫힌집합도 아니다.</p> <p>정리 3과 드모르간 법칙을 사용하면 다음 정리가 주어진다.</p> <p>정리 11 $ R $에서, 닫힌집합의 유한족의 합집합은 닫힌집합이고, 임의의 닫힌집합족의 교집합은 닫힌집합이다.</p> <p>예 $ n \in N $에 대하여 $ F_ { n } = \left [ \frac { 1 } { n } , \frac { n } { n + 1 } \right ] $이라고 하면, 각 $ n \in N $에 대하여 $ F_ { n } $은 닫힌집합이지만, 합집합 $ F= \bigcup_ { n=2 } ^ {\infty } F_ { n } $은 닫힌집합이 아닌 단위 열린구간 $ (0,1) $이다. 따라서 $ R $에서 임의의 닫힌집합의 합집합은 닫힌집합이 아니다.</p> <p>참고 $ \left (F_ {\sigma } \right . $-집합과 $ G_ {\delta } $-집합): $ E \subset R $에 대하여, $ E= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } F_ { n } $인 닫힌집합열 $ \left \langle F_ { n } \right \rangle $이 존재할 때 집합 $ E $를 $ F_ {\sigma } $-집합이라 하고, $ E= \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } O_ { n } $인 열린집합열 $ \left \langle O_ { n } \right \rangle $이 존재할 때 집합 $ E $를 $ G_ {\delta } $-집합이라고 한다.</p> <p>정리 31 유계성 정리 $ A \subset R $가 유계인 닫힌집합이면, 연속함수 $ f: A \rightarrow R $는 유계이다.</p> <p>$ A \subset R $, $ f: A \rightarrow R $에 대하여 $ f \left (x ^ { * } \right ) \geq f(x) $(단, $ x \in A $)를 만족하는 $ x ^ { * } \in A $가 존재하면, $ f $는 $ A $에서 최댓값(absolute maximum)을 갖는다고 한다. 또한 $ f(x ) \leq f(x) $(단, $ x \in A $)를 만족하는 $ x \in A $가 존재하면, $ f $는 $ A $에서 최솟값(absolute minimum)을 갖는다고 한다.</p> <p>참고 $ A \subset R $에 대하여, 연속인 함수 $ f: A \rightarrow R $가 $ A $에서 반드시 최댓값이나 최솟값을 가질 필요는 없다. 예를 들면 함수 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $은 $ A= \{ x \in R \mid x>0 \} $에서 연속이지만 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다.</p> <p>정리 32 최대-최솟값 정리 $ A \subset R $가 유계인 닫힌집합이면, 연속함수 $ f: A \rightarrow R $는 최댓값과 최솟값을 갖는다.</p> <p>$ A \subset R $에 대하여 함수 $ f: A \rightarrow R $가 연속이면, $ A $가 연결집합일 때 $ f[A] $는 연결집합이다. 따라서 실가 연속함수의 중요한 성질로 볼차노에 의해 제기된 중간값정리를 얻는다.</p> <p>보조정리 33 $ f: R \rightarrow R $가 닫힌구간 $ [a, b] $의 모든 점에서 연속이고 $ f(a)<0<f(b) $일 때, $ f(p)=0 $을 만족하는 점 $ p \in[a, b] $가 존재한다.</p> <p>바이어슈트라스의 중간값정리로 알려진 다음 정리는 유계인 닫힌구간에서 연속인 실가함수는 그 구간에서 중간값을 갖는다는 것을 의미한다.</p> <p>정리 34 중간값정리(intermediate value theorem) $ f:[a, b] \rightarrow R $가 연속함수일 때, $ f(a)<f(b) $(또는 $ f(a)>f(b) $)이면 \[ f(a)<k<f(b) \text { (또는 } f(a)>k>f(b)) \]인 모든 $ k \in R $에 대하여 $ f(c)=k $를 만족하는 $ c $(단, $ a<c<b $)가 존재한다.</p> <p>증명 $ f(a)<f(b) $인 경우, $ y_ { 0 } $를 $ f(a)<y_ { 0 }<f(b) $를 만족하는 실수라고 가정하고, 이때 $ f(p)=y_ { 0 } $를 만족하는 점 $ p $가 존재함을 밝힌다. 이제 $ g(x)=f(x)-y_ { 0 } $라 하면, 함수 $ g(x) $에 대하여 $ g(a)<0<g(b) $가 성립한다. 따라서 보조정리 33에 의하여 \[ g(p)=f(p)-y_ { 0 } =0 \]을 만족하는 점 $ p $가 존재한다. 그러므로 $ f(p)=y_ { 0 } $이다. $ f(a)>f(b) $인 경우도 같은 방법으로 증명한다.</p> <p>정리 12 $ X $가 순서체일 때, 임의의 $ a, b \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a b>0 $이면, (ⅰ) $ a>0, b>0 $ 또는 (ⅱ) $ a<0, b<0 $</li> <li>$ a b<0 $이면, (ⅰ) $ a<0, b>0 $ 또는 (ⅱ) $ a>0, b<0 $</li></ol> <p>증명 여기서는 (1)만을 증명하고, (2)의 증명은 독자에게 남긴다. $ a b>0 $이므로, $ a \neq 0 $이고 $ b \neq 0 $이다. 따라서 $ a>0 $과 $ a<0 $ 중에서 반드시 하나가 성립한다. $ a>0 $이면 $ \frac { 1 } { a } >0 $이므로 \[ b=1 \cdot b= \left [ \left ( \frac { 1 } { a } \right ) a \right ] b= \left ( \frac { 1 } { a } \right )(a b)>0 \]이다. 같은 방법으로, $ a<0 $이면 $ \frac { 1 } { a }<0 $이므로, $ b= \frac { 1 } { a } (a b)<0 $이 성립한다.</p> <p>② $ R $에 있어서 순서</p> <p>모든 실수의 집합 $ R $은 양수의 집합으로 불리는 부분집합 $ P $를 갖는다. 이때 $ \{ -a \mid a \in P \} $를 음수의 집합이라 한다.</p> <p>참고 다음 $ R $의 순서공리에 의하여 양수의 집합 $ P $를 특징화한다.</p> <p>$ \left [P_ { 1 } \right ] a \in R $이면, 다음 중 하나가 성립한다. \[ a \text { 는 양수, } a=0,-a \text { 는 양수 } \]</p> <p>$ \left [P_ { 2 } \right ] a, b \in R $가 양수이면, $ a + b $와 $ a \cdot b $도 양수이다.</p> <p>예 $ \left [P_ { 1 } \right ] $과 $ \left [P_ { 2 } \right ] $ 만을 사용하여 실수 1은 양수임을 밝혀보자. $ \left [P_ { 1 } \right ] $에 의하여 1과 -1 둘 중의 하나만 양수이다. -1을 양수라 가정하면 $ \left [P_ { 2 } \right ] $에 의하여 곱 $ (-1)(-1)=1 $은 양수가 된다. 이것은 $ \left [P_ { 2 } \right ] $에 모순이다. 따라서 1은 양수이다.</p> <p>참고 점 $ x \in R $가 집합 $ S \subset R $의 집적점일 필요충분조건은 각 $ n \in N $에 대하여 \[ 0< \left \|x-s_ { n } \right \|< \frac { 1 } { n } \]을 만족하는 $ s_ { n } \in S $이 존재하는 것이다.</p> <p>어떤 점 $ x \in R $가 집합 $ S \subset R $의 내점이면 반드시 $ S $의 점이어야 하지만, 점 $ x $가 $ S $의 집적점이면 반드시 $ S $의 점일 필요는 없다는 사실에 유의한다.</p> <p>정의 6 고립점 $ S \subset R $에 대하여 $ x \in S $이지만 점 $ x $가 $ S $의 집적점이 아닐 때, 점 $ x $를 $ S $의 고립점(isolated point)이라 한다.</p> <p>② 집합에 관한 볼차노-바이어슈트라스 정리</p> <p>주어진 집합이 집적점을 갖느냐, 갖지 않느냐를 결정함은 위상수학에서 매우 중요한 문제이다. 집합에 관한 볼차노-바이어슈트라스 정리(Bolzano-Weierstrass theorem)는 집적점을 갖기 위한 충분조건으로 축소구간정리를 이용하여 증명된다.</p> <p>정리 7 집합에 관한 볼차노- 바이어슈트라스 정리 $ R $의 모든 유계인 무한부분집합 $ S $는 적어도 하나의 집적점을 갖는다.</p> <p>증명 집합 $ S $가 유계이므로, $ S $를 포함하는 닫힌구간 $ I_ { 1 } = \left [a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ] $이 존재한다. 여기서 $ a_ { 1 } { } ^ {\prime } = \frac { a_ { 1 } + b_ { 1 } } { 2 } $이라고 하면, 부분구간 $ \left [a_ { 1 } , a_ { 1 } { } ^ {\prime } \right ] $ 또는 $ \left [a_ { 1 } { } ^ {\prime } , b_ { 1 } \right ] $ 중 적어도 하나는 $ S $의 무한히 많은 점을 포함한다. 이들 구간 중에서 $ S \cap I_ { 2 } $가 무한집합이 되는 그 하나를 $ I_ { 2 } $로 표시하자. 이제 $ I_ { 2 } $를 앞에서와 같이 이등분하여 그 중 $ S \cap I_ { 3 } $가 무한집합이 되는 부분구간 $ I_ { 3 } $를 택하자. 이와 같은 방법을 반복하여, 모든 $ n \in N $에 대하여 \[ I_ { n } \supset I_ { n + 1 } , \quad b_ { n } -a_ { n } = \frac { b_ { 1 } -a_ { 1 } } { 2 ^ { n-1 } } \]을 만족하는 $ S \cap I_ { n } $이 무한집합이 되는 축소된 유계인 닫힌구간열을 얻는다. 따라서 축소구간정리로부터, 점 $ x \in \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } $가 존재한다. 이제 $ x $가 $ S $의 집적점임을 밝힌다. $ \varepsilon>0 $이 주어지고 $ B_ {\varepsilon } (x) $를 $ x $의 $ \varepsilon $-근방이라 하고, $ \frac { b_ { 1 } -a_ { 1 } } { 2 ^ { n-1 } }< \varepsilon $인 $ n \in N $을 택하자. 그러면 $ I_ { n } \subset N_ {\varepsilon } (x) $이다. 그런데 $ I_ { n } $이 $ S $의 무한히 많은 점을 포함하므로, 근방 $ N_ {\varepsilon } (x) $는 $ x $와 서로 다른 $ S $의 점을 포함한다. 따라서 $ x $는 $ S $의 집적점이 된다.</p> <p>증명 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ \|x-u\|< \delta, x, u \in A \Rightarrow\|f(x)-f(u)\|< \varepsilon \]을 만족하는 $ \delta>0 $를 잡는다. 이때 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 코시수열이므로 \[ m, n \geq K \Rightarrow \left \|x_ { n } -x_ { m } \right \|< \delta \]를 만족하는 자연수 $ K $가 존재한다. 따라서 $ \left \|f \left (x_ { n } \right ) -f \left (x_ { m } \right ) \right \|< \varepsilon $이 성립한다.</p> <p>일반적으로 연속함수 $ f: A \rightarrow R $에 대하여 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 코시수열이지만, $ \left \langle f \left (x_ { n } \right ) \right \rangle $은 $ R $에서 코시수열이 아니다.</p> <p>예 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $로 주어진 함수 $ f:(0,1) \rightarrow R $는 단위 열린구간 $ (0,1) $에서 연속이다. 이때 $ x_ { n } = \frac { 1 } { n } $으로 주어진 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 코시수열이지만, $ \left \langle f \left (x_ { n } \right ) \right \rangle= \langle n \rangle $은 $ R $에서 코시수열이 아니다. 따라서 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $로 주어진 함수 $ f:(0,1) \rightarrow R $는 단위 열린구간 $ (0,1) $에서 균등연속이 아니다.</p> <p>정리 38 콤팩트의 보존 $ K \subset R $가 콤팩트이고 $ f: K \rightarrow R $가 $ K $에서 연속이면, 집합 $ f[K] $는 콤팩트이다.</p> <p>증명 $ \left \{ G_ {\alpha } \right \} $를 $ f[K] $의 열린덮개라고 하자. 그러면 $ f $가 연속이므로 $ f ^ { -1 } \left [G_ {\alpha } \right ] $는 열린집합이고, $ K $가 콤팩트이므로 \[ K \subset f ^ { -1 } \left [G_ {\alpha_ { 1 } } \right ] \cup f ^ { -1 } \left [G_ {\alpha_ { 2 } } \right ] \cup \cdots \cup f ^ { -1 } \left [G_ {\alpha_ { n } } \right ] \]을 만족하는 유한개의 집합 $ G_ {\alpha_ { 1 } } , G_ {\alpha_ { 2 } } , \cdots, G_ {\alpha_ { n } } $이 존재한다. 그런데 임의의 $ E \subset R $에 대하여 $ f \left [f ^ { -1 } [E] \right ] \subset E $이므로 $ f[K] \subset G_ {\alpha_ { 1 } } \cup \cdots \cup G_ {\alpha_ { n } } $이 성립한다. 따라서 $ f[K] $는 콤팩트이다.</p> <p>예 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_ { n } :[0,1] \rightarrow R $을 $ f_ { n } (x)=x ^ { n } $으로 정의하자. 그러면 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { l } 0, x \in[0,1) \\ 1, x=1 \end {array} \right . \]로 정의된 함수 $ f:[0,1] \rightarrow R $에 점별수렴한다. 그런데 모든 $ f_ { n } $이 $ x=1 $에서 연속이지만, 함수 $ f $는 $ x=1 $에서 불연속이고 미분가능하지 않다. 여기서 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 $ f $로 균등수렴하지 않음에 유의한다.</p> <p>연속인 함수열의 균등수렴이 그 균등극한함수의 연속성을 보장하는 충분조건은 되지만 필요조건은 아니다.</p> <p>예 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } (x)= \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } $로 정의된 함수 $ f_ { n } : R \rightarrow R $과, $ f(x)=0 $으로 정의된 함수 $ f: R \rightarrow R $를 생각하자. 이때 연속인 함수열 〈f $ \left .f_ { n } \right \rangle $은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 연속함수 $ f $에 점별수렴하지만 균등수렴하지는 않는다.</p> <p>② 균등수렴과 미분가능성</p> <p>$ A \subset R $에서 정의된 미분가능한 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 함수 $ f $에 점별수렴하거나 또는 균등수렴한다고 할 때, 다음 두 문제<ol type=I start=1><li>함수 $ f $가 $ A $에서 미분가능한가?</li> <li>함수 $ f $가 미분가능하면, 각 $ x \in A $에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } ^ {\prime } (x) = f ^ {\prime } (x) $인가?</li></ol>에 대한 답은 모두 부정적이다.</p> <p>$ A \subset R $에서 정의된 미분가능한 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 $ f $에 점별수렴하거나 또는 균등수렴한다고 할지라도 함수 $ f $는 미분가능하지 않을 수 있다. 또한 미분가능한 함수 $ f $에 점별수렴하거나 또는 균등수렴한다고 할지라도 $ \left \langle f_ { n } { } ^ {\prime } \right \rangle $이 $ A $에서 $ f ^ {\prime } $에 수렴하지 않을 수 있다.</p> <p>예제 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } (x)= \frac {\sin (n x + n) } { n } $으로 정의된 함수 $ f_ { n } : R \rightarrow R $과 $ f(x)=0 $으로 정의된 함수 $ f: R \rightarrow R $를 생각하자. 이때 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 함수 $ f $에 균등수렴한다.</p> <p>증명 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여, $ \frac { 1 } { K }< \varepsilon $을 만족하는 $ K \in N $를 선택하자. 그러면 $ n \geq K $인 모든 $ n \in N $과 모든 $ x \in R $에 대하여 \[ \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|= \left \| \frac { 1 } { n } \sin (n x + n) \right \| \leq \frac { 1 } { n } \leq \frac { 1 } { K }< \varepsilon \]이 성립하므로, 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 함수 $ f $에 균등수렴한다.</p> <p>함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 함수 $ f $에 균등수렴하면, 이 함수열은 $ A $에서 $ f $에 점별수렴함을 알 수 있다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.</p> <p>참고 $ A \subset R $에서 $ R $로의 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 함수 $ f: A \rightarrow R $에 균등수렴하지 않을 필요충분조건은 어떤 실수 $ \varepsilon_ { 0 } >0 $에 대하여, $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $의 부분함수열 $ \left \langle f_ { n_ { k } } \right \rangle $와 $ A $에서의 수열 $ \left \langle x_ { k } \right \rangle $가 존재하여 \[ k \in N \Rightarrow \left \|f_ { n_ { k } } \left (x_ { k } \right )-f \left (x_ { k } \right ) \right \| \geq \varepsilon_ { 0 } \]를 만족하는 것이다.</p> <p>$ R $에서 정의된 연속인 두 실가함수 $ f, g $와 $ c \in R $에 대하여 \[ \|f\|, f + g, c f, f-g, f g \]는 $ R $에서 연속이다. 또한 $ g(x) \neq 0 $ (단, $ x \in R $)이면, $ \frac { f } { g } $도 $ R $에서 연속이다.</p> <p>예 $ R $에서 정의된 두 실가함수 $ f, g $를 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x \text { 는 유리수 } \\ 1, & x \text { 는 무리수 } \end {array} , g(x)= \left \{\begin {array} { l } 1, x \text { 는 유리수 } \\ 0, x \text { 는 무리수 } \end {array} \right . \right . \]라 하면, $ f $와 $ g $는 모든 점에서 연속이 아니지만 $ f + g $는 모든 점에서 연속이다.</p> <p>정리 30 연속함수의 합성 $ A, B \subset R $이고 $ f: A \rightarrow R $와 $ g: B \rightarrow R $가 $ f[A] \subset B $인 함수일 때, $ f $가 $ p \in A $에서 연속이고, $ g $가 $ b=f(p) \in B $에서 연속이면, 합성함수 $ g \circ f: A \rightarrow R $도 $ p $에서 연속이다. 따라서 $ f $가 $ A $에서 연속이고 $ g $가 $ B $에서 연속이면, 합성함수 $ g \circ f: A \rightarrow R $도 $ A $에서 연속이다.</p> <p>$ A \subset R $, $ f: A \rightarrow R $에 대하여 $ \|f(x)\| \leq M $(단, $ x \in A $)을 만족하는 상수 $ M>0 $이 존재할 때, 함수 $ f $는 $ A $에서 유계라고 한다.</p> <p>참고 연속함수가 반드시 유계일 필요는 없다. 그러나 함수 $ f $가 한 점 $ c $에서 연속이면, $ f $는 $ c $를 포함하는 적당한 열린구간에서 유계이다.</p> <p>예 함수 $ f:(0,1) \rightarrow R $가 $ f(x)= \frac { 1 } { x } $로 정의되었을 때, $ f $는 단위 열린구간 $ (0,1) $에서 연속이지만 $ f[(0,1)]=(1, \infty) $이므로 $ f $는 $ (0,1) $에서 유계가 아니다.</p> <h1>2.1 실수의 성질</h1> <p>위상에 사용되는 여러 가지 개념은 실수계 $ R $의 성질을 추상화한 것이다. 실수계 $ R $은 위상공간의 중요한 예로써 다루어진다. 실수계 $ R $을 도입하는 방법에는 실수계를 직접 구성하는 구성적 방법(constructive method)과, 그 존재성을 공리적으로 인정하는 공리론적 방법(axiomatic method)이 있다. 이 절에서는 공리론적 방법을 이용하여, 완비순서체로써 실수계 $ R $을 도입한다. 집합이론을 이용하여 이러한 공리를 만족하는 실수계를 만들 수 있음을 켈리(Kelly)와 란다우(Landau)가 증명하였다. 실제로 보통위상이 주어진 실수계 $ R $은 완비인 아르키메데스 순서체(Archimedian ordered field)로써 특징화할 수 있다.</p> <h2>1. 완비순서체</h2> <h3>(1) 체의 공리</h3> <p>① 체의 공리</p> <p>정의 1 체의 공리 공집합이 아닌 집합 $ X $에 두 이항연산 덧셈 (addition) + 과 곱셈 (multiplication) $ \cdot $ 이 정의되어 닫혀있고, 다음 공리를 만족할 때, $ A $, $ M $과 $ D $를 체의 공리(field axiom)라 하고 집합 $ X $를 체(field)라 한다.</p> <p>$ A $. 덧셈의 공리<ul> <li>$ \left [A_ { 1 } \right ] $ 교환법칙 : 임의의 $ a, b \in X $에 대하여, $ a + b = b + a $</li> <li>$ \left [A_ { 2 } \right ] $ 결합법칙 : 임의의 $ a, b, c \in X $에 대하여, $ (a + b) + c=a + (b + c) $</li> <li>$ \left [A_ { 3 } \right ] $ 항등원의 존재성 : 모든 $ a \in X $에 대하여, $ 0 + a=a + 0=a $를 만족하는 $ 0 \in X $이 존재한다.</li> <li>$ \left [A_ { 4 } \right ] $ 역원의 존재성 : 각 $ a \in X $에 대하여, $ a + (-a)=(-a) + a=0 $을 만족하는 $ -a \in X $가 존재한다.</li></ul></p> <p>$ M $. 곱셈의 공리<ul> <li>$ \left [M_ { 1 } \right ] $ 교환법칙 : 임의의 $ a, b \in X $에 대하여, $ a \cdot b=b \cdot a $</li> <li>$ \left [M_ { 2 } \right ] $ 결합법칙 : 임의의 $ a, b, c \in X $에 대하여, $ (a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) $</li> <li>$ \left [M_ { 3 } \right ] $ 단위원의 존재성 : 모든 $ a \in X $에 대하여, $ 1 \cdot a=a \cdot 1=a $를 만족하는 0이 아닌 $ 1 \in X $이 존재한다.</li> <li>$ \left [M_ { 4 } \right ] $ 역원의 존재성 : 각 $ a \in X $ (단, $ a \neq 0 $)에 대하여, $ a \cdot \frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { a } \cdot a=1 $ 을 만족하는 $ \frac { 1 } { a } \in X $이 존재한다.</li></ul></p> <p>예 디리클레 (Dirichlet)의 불연속 함수라고 불리는 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { l } 1, x \text { 는 유리수 } \\ 0, x \text { 는 무리수 } \end {array} \right . \]으로 정의된 $ f: R \rightarrow R $는 $ R $의 모든 점에서 불연속이다.</p> <p>$ A \subset R, f: A \rightarrow R $이고 $ p \in R $가 $ A $의 집적점일 때 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ \|x-p\|< \delta, x \in A \Rightarrow\|f(x)-f(p)\|< \varepsilon \]을 만족하는 $ \delta>0 $가 존재하면, $ f $는 $ p $에서 연속이다.</p> <p>예제 닫힌구간 $ [0,2] $에서 정의된 함수 $ f $가 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { l } x, x \text { 가 } [0,2] \text { 에서 유리수 } \\ x ^ { 2 } , x \text { 가 } [0,2] \text { 에서 무리수 } \end {array} \right . \]으로 주어질 때, $ f $는 $ x=1 $에서 연속이다.</p> <p>증명 $ x \in[0,2] $가 유리수일 때 $ \|f(x)-f(1)\|=\|x-1\| $이고, 무리수일 때 \[ \|f(x)-f(1)\|= \left \|x ^ { 2 } -1 \right \|=\|x + 1\|\|x-1\| \leq 3\|x-1\| \]이므로, 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여 $ \delta= \frac {\varepsilon } { 3 } $이라 두면 \[ \|x-1\|< \delta \text { 일 때, } \|f(x)-f(1)\| \leq 3\|x-1\|<3 \delta= \varepsilon \]이 된다. 따라서 $ \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)=f(1) $이므로 $ f $는 $ x=1 $에서 연속이다.</p> <p>예제 $ f: R \rightarrow R $가 연속함수일 때 모든 유리수 $ q \in Q $에서 $ f(q)=0 $이면, 모든 실수 $ x \in R $에 대하여 $ f(x)=0 $이 된다.</p> <p>증명 $ f(p) $가 어떤 실수 $ p \in R $에 대하여 0이 아니라고 하자. 즉 \[ f(p)= \gamma( \text { 단, } \| \gamma\|>0) \]를 만족하는 $ p \in R $가 존재한다고 가정하고, $ \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } \| \gamma\| $를 택하자. 그러면 $ f $가 연속이므로 \[ \|x-p\|< \delta \Rightarrow\|f(x)-f(p)\|< \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } \| \gamma\| \]를 만족하는 $ \delta>0 $가 존재한다. 그런데 모든 열린구간에 속하는 유리점이 존재하므로 \[ q \in \{ x:\|x-p\|< \delta \} \]를 만족하는 $ q \in Q $가 존재하고, 이것은 \[ \|f(q)-f(p)\|=\|f(p)\|=\| \gamma\|< \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } \| \gamma\| \]를 만족한다. 이것은 불가능하다. 따라서 모든 실수 $ x \in R $에 대하여 $ f(x)=0 $이다.</p> <p>$ D $. 분배법칙 $ [D] $ 임의의 $ a, b, c \in X $에 대하여 \[ a \cdot(b + c)=a \cdot b + a \cdot c,(b + c) \cdot a=b \cdot a + c \cdot a \]</p> <p>$ a, b \in X $일 때, $ a-b=a + (-b) $로 정의하고 $ a \cdot b $ 대신 $ a b $로 정의한다. 또한 $ a, b \in X $(단, $ b \neq 0 $)에 대한 나눗셈 (division)을 $ a \div b=a \cdot \frac { 1 } { b } $로 정의한다.</p> <p>$ \left [A_ { 3 } \right ] $와 $ \left [A_ { 4 } \right ] $, $ \left [M_ { 3 } \right ] $와 $ \left [M_ { 4 } \right ] $, 그리고 $ D $의 두 번째 주장은 $ \left [A_ { 1 } \right ] $과 $ \left [M_ { 1 } \right ] $을 이용하면 첫 번째 주장으로부터 유도될 수 있으나, 편의상 나열한 것에 불과하다. $ \left [A_ { 3 } \right ] $와 $ \left [M_ { 3 } \right ] $에서 그 존재성이 주장된 항등원(identity) 0과 단위원(unit) 1은 유일하고, $ \left [A_ { 4 } \right ] $와 $ \left [M_ { 4 } \right ] $에서 $ a \in X $에 대하여 역원(inverse) $ -a $와 $ 1 / a $(단, $ a \neq 0 $)이 일의적으로 결정됨을 보일 수 있다.</p> <p>참고 공집합이 아닌 집합 $ X $가 덧셈에 관하여 가환군 (additive commutative group)이고, $ X- \{ 0 \} $이 곱셈에 관하여 가환군이며 분배법칙을 만족하면, $ X $를 체라고 한다. 특히 공집합이 아닌 집합 $ X $에 두 이항연산 덧셈과 곱셈이 정의되어 닫혀있고, $ \left [M_ { 1 } \right ] $, $ \left [M_ { 3 } \right ] $, $ \left [M_ { 4 } \right ] $를 제외한 모든 체의 공리를 만족할 때, 집합 $ X $를 환(ring)이라 한다.</p> <p>예 함수 $ f: R \rightarrow R $가 $ f(x)=x $로 정의되었을 때, $ f $는 $ R $에서 균등연속이다. 왜나하면 임의의 $ \varepsilon>0 $에 대하여 $ \delta= \varepsilon $을 잡으면 \[ \|x-y\|< \delta, x, y \in R \Rightarrow\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|< \delta= \varepsilon \]이 성립하기 때문이다.</p> <p>함수 $ f $가 $ A $에서 균등연속이면, $ f $는 $ A $에서 연속이지만 그 역은 성립하지 않는다.</p> <p>예제 $ f(x)=x ^ { 2 } $으로 정의된 함수 $ f: R \rightarrow R $는 연속이지만, 균등연속은 아니다.</p> <p>증명 함수 $ f: R \rightarrow R $가 연속임은 자명하다. 이제 $ f $가 $ R $에서 균등연속이 아님을 밝히기 위해, $ \varepsilon=1 $에 대하여 \[ \|x-y\|< \delta \Rightarrow\|f(x)-f(y)\|<1 \]을 만족하는 $ \delta>0 $가 존재하지 않음을 보인다. 사실 그러한 $ \delta $가 존재한다고 가정하고 \[ n \geq \frac {\frac { 2 } {\delta } - \frac {\delta } { 2 } } { 2 } \]인 자연수 $ n $을 택하자. 그리고 $ x=n + \frac {\delta } { 2 } $, $ y=n $이라 하자. 그러면 \[ \|x-y\|= \frac {\delta } { 2 }< \delta \text { 이지만, } \left \|x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right \|=\|x + y\|\|x-y\|= \frac {\delta } { 2 } \left (2 n + \frac {\delta } { 2 } \right ) \geq 1 \]이 되어 모순이 된다. 따라서 $ f $는 $ R $에서 균등연속이 아니다.</p> <p>다음 균등연속정리는 유계인 닫힌구간에서 연속함수는 균등연속임을 보장한다. 그러나 함수 $ f $가 균등연속이라고 해서 반드시 $ f $의 정의역이 유계인 닫힌구간은 아니다.</p> <p>정리 37 균등연속정리(uniform continuity theorem) $ I \subset R $가 유계인 닫힌구간이고 함수 $ f: I \rightarrow R $가 연속이면, $ f $는 균등연속이다.</p> <p>예제 $ A \subset R $에 대하여 함수 $ f: A \rightarrow R $가 균등연속이라 하자. 이때 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 코시 수열이면 $ \left \langle f \left (x_ { n } \right ) \right \rangle $도 $ R $에서 코시수열이다.</p> <h2>6. 함수열</h2> <p>$ A \subset R $와 각 $ n \in N $에 대하여 함수 $ f_ { n } : A \rightarrow R $이 존재할 때, $ A $에서 $ R $로의 함수열(sequence of functions)을 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle_ { n=1 } ^ {\infty } $ 또는 간단히 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $으로 나타낸다. 일반적으로 집합 $ A $에서 정의된 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 주어졌을 때, 각 $ x \in A $에 함숫값 $ f_ { n } (x) $를 제 $ n $항으로 하는 수열 $ \left \langle f_ { n } (x) \right \rangle $를 대응시킬 수 있다.</p> <h3>(1) 점별수렴</h3> <p>함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $의 수렴성은 각 점 $ x \in A $에 대응된 수열 $ \left \langle f_ { n } (x) \right \rangle $의 수렴성을 통하여 정의된다. 점별수렴(점마다 수렴)은 함수열의 극한을 계산하는 데 있어서 매우 제한적이다.</p> <p>정의 39 점별수렴 $ A \subset R $에서 $ R $로의 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $에 대하여, $ f: A \rightarrow R $라고 하자. 이때 각 $ x \in A $에 대하여 \[ f(x)= \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x) \]이면, 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ f $로 점별수렴(pointwise convergence)한다고 한다. 이때 $ f $를 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $의 $ A $에서의 점별극한(pointwise limit), 점별극한함수(pointwise limit function) 또는 간단히 극한함수(limit function)라 하고, $ f= \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } $ 또는 $ f_ { n } \rightarrow f $, 때로는 \[ f(x)= \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x) \text { 또는 } f_ { n } (x) \rightarrow f(x) \]로 표기한다.</p> <p>예 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } (x)= \frac {\sin (n x + n) } { n } $으로 정의된 함수 $ f_ { n } : R \rightarrow R $과, $ f(x)=0 $으로 정의된 함수 $ f: R \rightarrow R $를 생각하자. 이때 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 유계이고 \[ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { R } = \sup \left \{\left \| \frac { 1 } { n } \sin (n x + n)-0 \right \|: x \in R \right \} = \frac { 1 } { n } \]이므로 $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { R } \rightarrow 0 $이 된다. 따라서 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 함수 $ f $에 균등수렴한다.</p> <p>예 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } :[0,1] \rightarrow R $을 $ f_ { n } (x)=x ^ { n } $이라 하고, $ f:[0,1] \rightarrow R $를 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & x \in[0,1) \\ 1, & x=1 \end {array} \right . \]로 정의하자. 그러면 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } (x)-f(x) $는 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 유계이고, 임의의 $ n \in N $에 대하여 $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { [0,1] } =1 $이므로, $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { [0,1] } $은 0으로 수렴하지 않는다. 따라서 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 함수 $ f $에 균등수렴하지 않는다.</p> <h3>(3) 극한의 교환</h3> <p>① 균등수렴과 연속성</p> <p>정리 42 균등수렴과 연속성 $ A \subset R $에서 정의된 연속인 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 함수 $ f: A \rightarrow R $로 균등수렴하면, 함수 $ f $는 $ A $에서 연속이다.</p> <p>정의 7 정수의 집합 집합 $ \{ 0 \} \cup N \cup-N $을 모든 정수(integer)들의 집합이라고 하고, $ Z $로 표기한다. 여기서 $ -N= \{ -n \mid n \in N \} $이다. $ Z $에 속하는 원소를 유리정수(rational integer)라고도 한다.</p> <p>정수로부터 유리수를 정의한다.</p> <p>정의 8 유리수의 집합 $ \frac { b } { a } $(단, $ a, b \in Z, a \neq 0 $) 형태인 수를 유리수(rational numbers)라 하고, 모든 유리수의 집합을 $ Q $로 나타낸다. 따라서 $ Z $는 $ Q $의 부분집합이다.</p> <p>참고 $ r ^ { 2 } =2 $를 만족하는 유리수 $ r $은 존재하지 않지만, 실수는 존재하므로 모든 유리수의 집합 $ Q $가 모든 실수의 집합 $ R $의 진부분집합임을 알 수 있다. 유리수가 아닌 실수를 무리수 (irrational number)라고 한다.</p> <p>고대 그리스의 피타고라스학파는 한 변이 1인 정사각형의 대각선이 정수의 비로 표시할 수 없음을 발견하였는데, 그 결과 $ Q $ 안에 있지 않은 $ R $의 원소가 무리수로써 알려지게 되었다. 무리수란 유리수가 아닌 실수이다. 따라서 $ Q $의 $ R $에 대한 여집합 $ Q ^ { c } $는 모든 무리수의 집합을 나타낸다.</p> <p>참고 직선상의 각 점은 유일한 실수를 나타내고 각 실수는 유일한 점으로 표현되므로, $ R $을 실직선 (real line)이라 한다. 이때 점과 수를 서로 같은 뜻으로 사용함에 유의한다.</p> <h3>(2) 순서공리</h3> <p>① 순서공리</p> <p>정의 9 순서공리 임의의 체 $ X $에 대하여, 다음 두 성질<p>임의의 $ a, b \in P $ 에 대하여, $ a + b \in P $ 이고 $ a b \in P $ 이다.</p> <p>각 $ a \in X $ 는 다음 중에서 반드시 하나만 성립한다. \[ a \in P, a=0,-a \in P \quad \text { 삼분성질(trichotomy property) } \]</p>를 만족하는 공집합이 아닌 $ P \subset X $가 존재할 때, (1)과 (2)를 순서공리(axiom of order)라 하고, 이때 $ P $를 양원의 집합이라고 한다.</p> <p>양원 (positive element)의 집합 $ P $가 존재하는 체를 순서체(ordered field)라 한다. 이때 $ -P $를 음원(negative element)의 집합이라 한다.</p> <p>예 각 $ n \in N $에 대하여, 함수 $ f_ { n } :[0,1] \rightarrow R $을 $ f_ { n } (x)=x ^ { n } $으로 정의하자. 그러면 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 \[ f(x)= \left \{\begin {array} { l } 0, x \in[0,1) \\ 1, x=1 \end {array} \right . \]로 정의된 함수 $ f:[0,1] \rightarrow R $에 점별수렴한다. 그러나 \[ n_ { k } =k, x_ { k } = \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { k } } \]로 택하면 $ \left \|f_ { n_ { k } } \left (x_ { k } \right )-f \left (x_ { k } \right ) \right \|= \frac { 1 } { 2 } $이므로, 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 단위 닫힌구간 $ [0,1] $에서 함수 $ f $에 균등수렴하지 않는다.</p> <p>균등수렴을 논의할 때, 유계인 함수들의 집합에서 균등노름의 개념을 사용하는 것이 편리하다. 함수 $ f: A \rightarrow R $가 $ A \subset R $에서 유계일 때, $ A $ 에서 함수 $ f $의 균등노름(uniform norm)을 \[ \\|f \\|_ { A } = \sup \{ \|f(x)\|: x \in A \} \]로 정의한다.</p> <p>정리 41 $ A \subset R $에서 $ R $로의 유계인 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 함수 $ f $에 균등수렴할 필요충분조건은 $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { A } \rightarrow 0 $이다.</p> <p>증명 $ A \subset R $에서 $ R $로의 유계인 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A $에서 함수 $ f $로 균등수렴하면, 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ n \geq K, x \in A \Rightarrow \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \varepsilon \]을 만족하는 자연수 $ K $가 존재한다. 따라서 $ f $는 유계이고 $ n \geq K $일 때 $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { A } \leq \varepsilon $이므로, $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { A } \rightarrow 0 $이 된다. 이제 역이 성립함을 보이자. $ \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { A } \rightarrow 0 $이 성립하면 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ n \geq K \Rightarrow \left \\|f_ { n } -f \right \\|_ { A } \leq \varepsilon \]을 만족하는 자연수 $ K $가 존재한다. 그러므로 \[ n \geq K, x \in A \Rightarrow \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \| \leq \varepsilon \]이 성립한다. 따라서 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ A $에서 함수 $ f $로 균등수렴한다.</p> <p>완비성공리에 의해 다음을 증명한다.</p> <p>정리 18 $ a $가 음이 아닌 실수이고 $ n $이 자연수일 때, $ b ^ { n } =a $를 만족하는 실수 $ b \geq 0 $가 일의적으로 존재한다.</p> <p>참고 완비성공리는 " $ R $의 공집합이 아닌 부분집합 $ S $가 아래로 유계이면, 반드시 $ S $의 하한이 $ R $에 존재한다(최대하계공리).”로 표현될 수 있다.</p> <h2>2. 실수계</h2> <p>정의 19 실수계 두 연산 $ + $과 $ \cdot $이 정의되어, 체의 공리, 순서공리, 그리고 완비성공리를 만족하는 공집합이 아닌 집합, 즉 완비순서체를 실수계(real number system) $ R $이라 하고, $ R $의 원소를 실수 (real number)라 한다.</p> <p>참고 실수계 $ R $은 완비순서체이므로, $ R $은 대수적 구조와 순서구조를 갖는다. 따라서 실수계는 구조를 갖는 모든 실수의 집합이지만, 편의상 실수계 $ R $을 모든 실수의 집합이라고 한다.</p> <p>완비성공리는 중요한 정리의 기본이 된다. 모든 자연수의 집합 $ N $이 모든 실수의 집합 $ R $에서 위로 유계가 아니라는 것, 즉 아르키메데스 성질과, 축소구간정리 등이 그것이요, 평균값 정리, 중간값정리, 롤의 정리, 최대-최솟값 정리 등도 모두 완비성공리에 근거를 두고 있다.</p> <h3>(1) 아르키메데스 성질</h3> <p>$ R $의 완비성공리로부터 다음 아르키메데스 성질을 유도한다.</p> <p>정리 20 아르키메데스 성질(Archimedean property) $ x \in R $이면, $ x<n $을 만족하는 $ n \in N $이 존재한다.</p> <p>증명 결론을 부정하면 $ x $는 $ N $의 상계가 되고, 완비성공리에 의하여 $ N $은 상한 $ u \in R $를 갖는다. 그런데 $ u-1<u $이므로, $ u-1 $은 $ N $의 상계가 아니다. 즉 $ u-1<m $을 만족하는 $ m \in N $이 존재한다. 따라서 $ u<m + 1 $이고, $ m + 1 \in N $이 된다. 이것은 $ u $가 $ N $의 상계라는 가정에 모순이다.</p> <p>예 $ \varepsilon>0 $이 임의의 실수이면, $ \frac { 1 } { K }< \varepsilon $을 만족하는 자연수 $ K $가 존재한다.</p> <p>예제 모든 자연수의 집합 $ N $은 위로 유계가 아니다. 즉 모든 자연수보다 큰 실수는 존재하지 않는다.</p> <p>예 임의의 닫힌구간 $ [a, b] $는 \[ [a, b] = \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a- \frac { 1 } { n } , b + \frac { 1 } { n } \right ) \]이므로 $ G_ {\delta } $-집합이고, 임의의 열린구간 $ (a, b) $는 부등식 $ a + \frac { 1 } { k }<b- \frac { 1 } { k } $을 만족하는 적당한 $ k \in N $에 대하여 \[ (a, b) = \bigcup_ { n=k } ^ {\infty } \left [a + \frac { 1 } { n } , b- \frac { 1 } { n } \right ] \]이므로 $ F_ {\sigma } $-집합이다.</p> <p>참고 열린집합이라는 용어는 “ $ \cdots $에서 열린집합이다.”라는 접두어가 필요하다. 또한 닫힌집합에 대해서도 이와 같은 주의가 필요하다.</p> <h2>2. 콤팩트 집합</h2> <p>$ K \subset R $에 대하여, $ R $의 열린집합의 집합족 $ \mathscr { A } = \left \{ G_ {\alpha } \mid \alpha \in I \right \} $가 $ K \subset \bigcup_ {\alpha \in I } G_ {\alpha } $를 만족할 때, $ \mathscr { A } $를 $ K \subset R $의 열린덮개(open cover) 또는 열린피복이라 한다. 특히 $ \mathscr { A } $의 유한부분집합족 $ \mathscr { P } $가 $ K $의 덮개가 되면 $ \mathscr { P } $를 $ \mathscr { A } $의 유한부분덮개(finite subcover) 또는 유한부분피복이라고 한다.</p> <p>예 단위 열린구간 $ K=(0,1) $에 대하여, $ O_ { k } = \left ( \frac { 1 } { k } , 1- \frac { 1 } { k } \right . $) (단, $ k=3,4, \cdots $)일 때, $ R $에서의 열린구간들의 집합족 \[ \mathscr { A } = \left \{ O_ { k } \mid k=3,4, \cdots \right \} \]는 $ K $의 열린덮개가 된다. 그러나 $ \mathscr { A } $는 유한부분덮개를 갖지 않는다.</p> <p>예제 각 $ n \in N $에 대하여 $ f_ { n } (x)= \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } $로 정의된 함수 $ f_ { n } : R \rightarrow R $과 $ f(x)=0 $으로 정의된 함수 $ f: R \rightarrow R $를 생각하자. 이때 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 함수 $ f $에 점별수렴한다.</p> <p>증명 $ x=0 $이면 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (0)=0 $이다. 한편 $ x \neq 0 $일 때, 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 $ \frac { 1 } { K }< \varepsilon\|x\| $을 만족하는 자연수 $ K $를 택하면, $ n \geq K $인 모든 $ n \in N $에 대하여 \[ \left \| \frac { n x } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } \right \|< \left \| \frac { n x } { n ^ { 2 } x ^ { 2 } } \right \|= \frac { 1 } { n\|x\| } \leq \frac { 1 } { K\|x\| }< \varepsilon \]이 성립하므로 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=0 $이 된다. 따라서 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ R $에서 $ f(x)=0 $으로 정의된 함수 $ f $에 점별수렴한다.</p> <h3>(2) 균등수렴</h3> <p>균등수렴이란 개념은 1850년 경에 스토크스, 코시, 바이어슈트라스 등에 의하여 독립적으로 정의되었다.</p> <p>정의 40 균등수렴 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ A \subset R $에서 $ R $로의 함수열이고, $ f: A \rightarrow R $라고 하자. 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여, 이에 대응하는( $ \varepsilon $에는 종속이지만 $ x \in A $에는 독립) 자연수 $ K $가 존재하여 $ n \geq K $을 만족하는 모든 $ n \in N $과 모든 $ x \in A $에 대하여 \[ \left \|f_ { n } (x)-f(x) \right \|< \varepsilon \]이 성립하면, 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $은 $ A $에서 $ f $로 균등수렴(uniform covergence) 또는 평등수렴한다고 한다. 이때 $ f $를 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $의 $ A $에서의 균등극한(uniform limit) 또는 균등극한 함수(uniform limit function)라고 한다.</p> <p>참고 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 실수열이고 $ x \in R $라 하자. 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 \[ n \geq K \Rightarrow \left \|x_ { n } -x \right \|< \varepsilon \]을 만족하는 자연수 $ K $가 존재할 때, $ x $는 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 극한이다.</p> <p>예 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle= \left \langle \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { 8 } , \frac { 7 } { 8 } , \frac { 1 } { 16 } , \frac { 15 } { 16 } , \cdots \right \rangle $, 즉 \[ a_ { n } = \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { 2 ^ { (n + 2) / 2 } } & ,n \text { 이 짝수 } \\ 1- \frac { 1 } { 2 ^ { (n + 1) / 2 } } &, n \text { 이 홀수 } \end {array} \right . \]로 주어진 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $에 대하여, 0 또는 1을 포함하는 임의의 열린구간은 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 무한개의 항을 포함한다. 그러나 0이나 1은 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 극한이 아니다.</p> <p>예제 실수열이 수렴하면, 극한은 유일하다. 즉 $ \lim x_ { n } =x $, $ \lim x_ { n } =y $일 때, $ x=y $가 성립한다.</p> <p>증명 $ x \neq y $라 하자. 이때 $ \delta=\|x-y\| $라고 하면, 각각 $ x $와 $ y $를 포함하는 열린구간 \[ B= \left (x- \frac { 1 } { 2 } \delta, x + \frac { 1 } { 2 } \delta \right ), C= \left (y- \frac { 1 } { 2 } \delta, y + \frac { 1 } { 2 } \delta \right ) \]는 서로소이다. 그런데 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x $로 수렴하므로, $ B $는 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 유한개 항을 제외한 모든 항을 포함해야 한다. 따라서 $ C $는 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 유한개 항만을 포함할 수 있다. 그러나 이것은 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ y $로 수렴한다는 사실에 모순된다. 따라서 $ x=y $가 성립한다.</p> <h2>2. $ R ^ { 3 } $의 위상</h2> <p>3차원공간 $ R ^ { 3 } $에 위상을 도입하는 방법도 $ R $과 $ R ^ { 2 } $인 경우와 비슷하다. $ R ^ { 3 } $에서, 중심을 $ p = \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right \rangle $에 두고 반지름이 $ \delta >0 $인 열린구(open ball) $ B_ { p } $는 \[ B_ { p } = \left \{\langle x, y, z \rangle \mid \left ( x - a_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left ( y - a_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( z - a_ { 3 } \right )< \delta ^ { 2 } \right \} = \left \{ q \in R ^ { 3 } \mid d(p, q)< \delta \right \} \]로 주어진 $ R ^ { 3 } $의 부분집합이다. $ A \subset R ^ { 3 } $에 대하여 집합 $ A $의 내부라든가, $ A $가 $ R ^ { 3 } $에서 열린집합 또는 닫힌집합, 수열의 수렴과 연속함수에 대한 정의는 $ R $과 $ R ^ { 2 } $에서와 유사하다.</p> <p>예 선분, 원과 포물선, 그리고 쌍곡선 등은 어느 것이나 $ R $에서 닫힌집합이므로, $ R ^ { 2 } $과 $ R ^ { 3 } $에서도 닫힌집합이 된다.</p> <p>참고 $ R $과 $ R ^ { 2 } $은 $ R ^ { 3 } $에서 닫힌집합이다. 따라서 평면도형 $ F $가 $ R $ 또는 $ R ^ { 2 } $에서 닫힌집합이면, $ R ^ { 3 } $에서도 닫힌집합이 된다. 그러나 열린집합에 대해서는 이와 같은 성질이 성립하지 않는다. 왜나하면 $ R $이 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이 아니고, 또한 $ R ^ { 2 } $이 $ R ^ { 3 } $에서 열린집합이 아니기 때문이다.</p> <p>정리 8 $ A $가 $ R ^ { n } $ (단, $ n = 1, 2, 3 $)에서 콤팩트일 필요충분조건은 $ A $가 유계인 닫힌집합일 경우이다.</p> <p>예 단원집합은 $ R ^ { n } $(단, $ n = 1, 2, 3 $)에서 유계이고 닫힌집합이므로 콤팩트가 된다. 또한 $ R ^ { n } $에서 유한개의 점으로 주어진 집합도 콤팩트이다. 그러나 $ R $과 포물선, 그리고 쌍곡선은 콤팩트가 아니다. 왜나하면 이들은 닫힌집합이지만 유계가 아니기 때문이다. 같은 이유로 $ R ^ { 2 } $와 $ R ^ { 3 } $도 콤팩트가 아니다.</p> <p>(1) $ a \neq 0 $이므로, $ \frac { 1 } { a } $이 존재한다. $ \frac { 1 } { a } =0 $이면 \[ 1=a \cdot \frac { 1 } { a } =a \cdot 0=0 \]이 성립하여야 하지만 이것은 $ \left [M_ { 3 } \right ] $에 모순이므로, $ \frac { 1 } { a } \neq 0 $이 성립한다. 또한 $ \frac { 1 } { a } \cdot a=1 $이므로, $ 1 / \frac { 1 } { a } =a $이다.</p> <p>(2) $ a \neq 0 $이므로, $ \frac { 1 } { a } $이 존재한다. 이때 $ a \cdot b=a \cdot c $의 양변에 $ \frac { 1 } { a } $를 곱하고 $ \left [M_ { 3 } \right ] $를 적용하면 \[ \left ( \frac { 1 } { a } \cdot a \right ) \cdot b= \left ( \frac { 1 } { a } \cdot a \right ) \cdot c \]이므로, $ 1 \cdot b=1 \cdot c $로부터 $ b=c $를 얻는다.</p> <p>② $ R $의 부분집합</p> <p>정의 5 바로 뒤의 원소집합 $ R $이 모든 실수의 집합일 때, 다음 두 성질<ol type=1 start=1><li>$ 1 \in X $</li> <li>$ n \in X $이면, $ n + 1 \in X $</li></ol>를 만족하는 $ R $의 부분집합 $ X $를 바로 뒤의 원소집합(successor set)이라고 한다.</p> <p>예 모든 실수의 집합 $ R $은 바로 뒤의 원소집합이다. 또한 $ f $가 공집합이 아닌 바로 뒤의 원소집합이면, $ \cap f $도 바로 뒤의 원소집합이다.</p> <p>정의 6 자연수의 집합 모든 바로 뒤의 원소집합족의 교집합을 모든 자연수(natural number)의 집합이라 하고, $ N $으로 표기한다. 따라서 $ N $은 가장 작은 바로 뒤의 원소집합이다. $ N $에 속하는 원소를 양의 정수 (positive integer)라고도 한다.</p> <p>기호 $ Z $와 $ N $은 $ R $의 부분집합을 나타내는 데 사용된다.</p> <p>예 모든 순서체는 모든 유리수의 집합 $ Q $(실제로 $ Q $와 동형인 순서체)를 포함하므로, $ Q $는 최소의 순서체이다.</p> <p>정리 10 $ X $가 순서체일 때, 임의의 $ a, b \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a>b $, $ b>c $이면, $ a>c $</li> <li>$ a>b $, $ a=b $, $ a<b $ 중 단 하나만 성립한다.</li> <li>$ a \geq b $, $ b \geq a $이면, $ a=b $</li></ol> <p>증명 (2)는 삼분성질에 의하여 당연하므로, 여기서는 (1)과 (3)만 증명하기로 한다.</p> <p>(1) $ a-b \in P $이고 $ b-c \in P $이면 $ R $의 순서공리에 의하여 \[ (a-b) + (b-c)=a-c \in P \]이므로, $ a>c $이다.</p> <p>(3) $ a \neq b $이면 $ a-b \neq 0 $이므로, $ a-b \in P $와 $ b-a \in P $ 중에서 반드시 하나만 성립하여야 하는데, 이는 가정에 모순이다. 따라서 $ a=b $이다.</p> <p>정리 11 $ X $가 순서체일 때, $ a, b, c, d \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a>b $이면, $ a + c>b + c $</li> <li>$ a>b, c>d $이면, $ a + c>b + d $</li> <li>$ a>b, c>0 $이면, $ c a>c b $</li> <li>$ a>b, c<0 $이면, $ c a<c b $</li> <li>$ a>0 $이면, $ \frac { 1 } { a } >0 $</li> <li>$ a<0 $이면, $ \frac { 1 } { a }<0 $</li></ol> <p>증명 여기서는 (3)과 (5)만 증명하고, 나머지는 독자에게 남긴다.</p> <p>(3) $ a-b \in P $이고 $ c \in P $이므로, $ c a-c b=c(a-b) \in P $이다. 따라서 $ a>b $이고 $ c>0 $이면, $ c a>c b $가 성립한다.</p> <p>(5) $ a>0 $이면 $ a \neq 0 $이므로, $ \frac { 1 } { a } \neq 0 $이다. 그런데 $ \frac { 1 } { a }<0 $이면 $ 1=a \cdot \frac { 1 } { a }<0 $이므로, 모순이 되어 $ \frac { 1 } { a } >0 $이 성립한다.</p> <p>예 모든 유리수의 집합 $ Q $, 모든 실수의 집합 $ R $과 모든 복소수의 집합 $ C $는 체의 공리를 만족한다. 그러나 모든 정수의 집합 $ Z $는 환이지만 체는 아니다.</p> <p>정리 2 $ X $가 체일 때, 임의의 $ a, b, c \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a + b=a + c $이면, $ b=c $이다.</li> <li>$ a + b=a $이면, $ b=0 $이다.</li> <li>$ a + b=0 $이면, $ b=-a $이다.</li></ol> <p>증명 (2)와 (3)은 (1)로부터 얻어지므로, 여기서는 (1)만을 증명한다. $ a + b=a + c $라면 덧셈의 공리로부터 \[ \begin {aligned} b &=0 + b=(-a + a) + b=-a + (a + b) \\ &=-a + (a + c)=(-a + a) + c=0 + c=c \end {aligned} \]가 성립한다.</p> <p>정리 3 $ X $가 체일 때, 임의의 $ a, b \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a \cdot 0=0 $</li> <li>$ a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-(a \cdot b) $</li> <li>$ -(-a)=a $</li> <li>$ (-a) \cdot(-b)=a \cdot b $</li></ol> <p>증명 (1)과 (2)만 증명하고, (3)과 (4)의 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>(1) $ 0 \cdot a + 0 \cdot a=(0 + 0) \cdot a=0 \cdot a $이므로, $ 0 \cdot a=0 $이 성립한다.</p> <p>(2) $ a + (-a)=0 $이므로 \[ \begin {aligned} a b + (-a) b &=[a + (-a)] \cdot b \\ &=0 \cdot b=0=a b + [-(a b)] \end {aligned} \]이다. 따라서 $ (-a) \cdot b=-a b $이다.</p> <p>정리 4 $ X $가 체일 때, 임의의 $ a, b, c \in X $에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ a \neq 0 $이면, $ \frac { 1 } { a } \neq 0 $이고 $ 1 / \frac { 1 } { a } =a $이다.</li> <li>$ a \cdot b=a \cdot c $이고 $ a \neq 0 $이면, $ b=c $이다.</li> <li>$ a \cdot b=0 $이면, $ a=0 $ 또는 $ b=0 $이다.</li></ol> <p>증명 (1)과 (2)만 증명하고, (3)의 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>임의의 $ x \in R $에 대하여<ul> <li>$ x + \infty= \infty= \infty + x, x + (- \infty)=- \infty=- \infty + x $</li> <li>$ x>0 $이면, $ x \cdot \infty= \infty= \infty \cdot x, x \cdot(- \infty)=- \infty=(- \infty) \cdot x $</li> <li>$ x<0 $이면, $ x \cdot \infty= \infty= \infty \cdot x, x \cdot(- \infty)=- \infty=(- \infty) \cdot x $</li> <li>$ x=0 $이면, $ 0 \cdot \infty=0= \infty \cdot 0,0 \cdot(- \infty)=0=(- \infty) \cdot 0 $</li> <li>$ \frac { x } {\infty } = \frac { x } { - \infty } =0 $</li></ul>으로 정의하고, $ \infty $와 $ - \infty $ 사이의 연산은<ul> <li>$ \infty + \infty= \infty, \quad- \infty + (- \infty)=- \infty $</li> <li>$ \infty \cdot( \pm \infty)= \pm \infty, \quad- \infty \cdot( \pm \infty)= \mp \infty $ (복호동순)</li></ul>로 정의한다. 그러나 $ \infty + (- \infty) $와 $ (- \infty) + \infty $는 정의하지 않는다.</p> <p>이와 같이 정의된 순서와 연산이 주어진 집합 $ R \cup \{\infty \} \cup \{ - \infty \} $를 확장된 실수계(extended real number system)라 하고, $ R ^ { * } $로 표기한다.</p> <h1>2.2 직선의 위상</h1> <h2>1. 열린집합과 닫힌집합</h2> <p>완비순서체로 특징화되는 실수계 $ R $을 편의상 모든 실수의 집합이라고 한다. 여기서는 열린구간과 닫힌구간의 개념을 일반화하여 열린집합과 닫힌집합을 정의하고, 이러한 집합들의 성질을 조사한다.</p> <h3>(1) 열린집합</h3> <p>정의 1 내점 $ O \subset R $일 때, 점 $ x \in O $에 대하여 $ x \in N_ {\varepsilon } (x) \subset O $를 만족하는 $ x $의 $ \varepsilon $-근방 $ N_ {\varepsilon } (x) $가 존재하면 $ x $를 $ O $의 내점(interior point)이라 한다.</p> <p>$ O $의 모든 내점의 집합을 $ O $의 내부(interior)라 하며, $ \mathrm { int } (O) $로 나타낸다.</p> <p>참고 $ O \subset R $에 대하여, 점 $ x \in O $가 $ O $의 내점이란 $ x \in S_ { x } \subset O $를 만족하는 열린구간 $ S_ { x } $가 존재하는 것이다.</p> <p>정의 2 열린집합 $ O \subset R $에 대하여 $ O $의 모든 점이 $ O $의 내점일 때, $ O $를 열린집합(open set) 또는 $ \mathscr { U } $-열린집합 ( $ \mathscr { U } $-open set)이라고 한다.</p> <p>$ O \subset R $의 각 점 $ x \in O $에 대하여 $ x \in N_ {\varepsilon } (x) \subset O $를 만족하는 $ x $의 $ \varepsilon $-근방 $ N_ {\varepsilon } (x) $가 존재하면, 집합 $ O $를 열린집합이라고 한다. 사실 집합 $ O \subset R $가 열린집합임을 보이기 위하여, $ O $의 각 점이 $ O $에 포함되는 $ \varepsilon $-근방을 가짐을 보인다.</p> <p>참고 $ O \subset R $에 대하여, 각 점 $ x \in O $가 $ O $에 포함되는 열린구간 $ S_ { x } $를 가질 때 $ O $는 열린집합이 된다.</p> <p>예 열린구간 $ A=(a, b) $는 각 $ x \in A $에 대하여 $ S_ { x } =A $로 택할 수 있으므로 열린집합이다. 그러므로 모든 $ \varepsilon $-근방은 열린집합이다.</p> <p>예 $ R $ 자신은 열린집합이다. 실제로 임의의 열린구간 $ S_ { x } $는 $ R $의 부분집합, 즉 $ x \in S_ { x } \subset R $이다.</p> <p>어떤 집합에 내점이 아닌 점이 존재할 때, 그 집합은 열린집합이 아니다.</p> <p>예 내점이 아닌 점이 공집합 $ \varnothing $에 존재하지 않기 때문에 공집합 $ \varnothing $는 열린집합이다. 그러나 닫힌구간 $ [a, b] $는 $ a $ 또는 $ b $를 포함하는 어떠한 열린구간도 $ B $ 이외의 점을 포함하므로 열린집합이 아니다. 따라서 $ a $와 $ b $는 내점이 아니다.</p> <p>예 무한열린구간 $ (a, \infty) $와 $ (- \infty, a) $는 열린집합이다. 그러나 무한닫힌구간 $ [a, \infty) $와 $ (- \infty, a] $는 열린집합이 아니다. 왜냐하면 $ a \in R $는 $ [a, \infty) $와 $ (- \infty, a] $의 내점이 아니기 때문이다.</p> <h3>(3) 닫힌집합</h3> <p>정의 8 폐포와 완전집합 $ S \subset R $에 대하여 $ S ^ {\prime } $이 $ S $의 유도집합일 때, 집합 $ S $와 $ S ^ {\prime } $의 합집합 $ S \cup S ^ {\prime } $을 $ S $의 폐포(closure)라 하며 $ \bar { S } $로 나타낸다. 이때 $ x \in \bar { S } $이면, $ R $의 점 $ x $를 $ S $의 폐포점 (closure point) 또는 밀착점(adherent point)이라고 한다. 또한 $ S \subset R $가 완전집합(perfect set)이라는 것은 $ S= \{ x \mid x $가 $ S $의 직접점 $ \} $일 때이다.</p> <p>집합 $ S \subset R $와 $ x \in R $에 있어서, $ x \in \bar { S } $일 필요충분조건은 $ x $를 포함하는 모든 열린집합 $ G $에 대하여 $ G \cap S \neq \varnothing $가 성립하는 것이다.</p> <p>예 임의의 $ A, B \subset R $ 에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ A \subset B $이면, $ \bar { A } \subset \bar { B } $</li> <li>$ \overline { A \cup B } = \bar { A } \cup \bar { B } $</li></ol> <p>정의 9 닫힌집합 $ F \subset R $일 때, $ \bar { F } \subset F $, 즉 $ F= \bar { F } $이면 $ F $를 닫힌집합(closed set)이라고 한다.</p> <p>참고 집합 $ F \subset R $가 닫힌집합이기 위한 필요충분조건은 모든 $ F $의 집적점이 $ F $에 포함되는 것이다. 따라서 $ F \subset R $가 닫힌집합임을 보이기 위해서는, 각 점 $ y \notin F $가 $ F $와 서로소인 $ \varepsilon $-근방을 가짐을 보이면 충분하다.</p> <p>예 집합 $ S= \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in N \right \} $은 닫힌집합이 아니다. 왜냐하면 0은 $ S $의 유일한 집적점이지만, $ S $의 원소가 아니기 때문이다. 이때 $ S \cup \{ 0 \} =B $라 두면 $ B $는 $ R $에서 닫힌집합이 된다.</p> <p>참고 '집합의 극한점'과 '수열의 극한'은 별개의 개념이다. 두 개념은 서로 같을 수도 있고 다를 수도 있음에 유의하여야 한다.</p> <p>예 집합 $ \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in N \right \} $의 집적점, 즉 극한점과 수열 $ \left \langle \frac { 1 } { n } \right \rangle $의 극한은 모두 0이다. 그러나 집합 $ \left \{ 1, \frac { 1 } { 2 } , 1, \frac { 1 } { 3 } , 1, \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \} $의 극한점은 0이지만, 수열 $ \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , 1, \frac { 1 } { 3 } , 1, \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \rangle $는 수렴하지 않으므로 극한이 존재하지 않는다.</p> <p>정의 19 유계수열 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 치역 $ \left \{ x_ { n } \right \} $이 위로 유계(또는 아래로 유계)인 집합이면, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 위로 유계(또는 아래로 유계)라고 한다. 또한 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 위로 유계이고 동시에 아래로 유계이면, 즉 모든 $ n \in N $에 대하여 \[ \left \|x_ { n } \right \| \leq M \]을 만족하는 실수 $ M>0 $이 존재할 때, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $을 유계수열(bounded sequence)이라고 한다.</p> <h3>(2) 부분수열</h3> <p>① 부분수열</p> <p>부분수열에 대한 개념은 수열의 발산을 입증하는 데 매우 유용하다.</p> <p>정의 20 부분수열 수열 $ X= \left \langle x_ { n } \right \rangle $에 대하여 $ N $에서의 수열 $ \left \langle r_ { n } \right \rangle $이 \[ r_ { 1 }<r_ { 2 }< \cdots<r_ { n }< \cdots \]를 만족할 때, 수열 $ X ^ {\prime } = \left \langle x_ { r_ { n } } \right \rangle $을 $ X $의 부분수열(subsequence)이라고 한다.</p> <p>참고 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x_ { n + 1 } -x_ { n } \rightarrow 0 $을 만족한다고 해서 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 반드시 코시수열은 아니다. 예를 들면 $ x_ { n } = \ln n $으로 주어진 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 \[ x_ { n + 1 } -x_ { n } = \ln \frac { n + 1 } { n } \rightarrow 0 \]이지만, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 수렴하지 않으므로 코시수열이 아니다.</p> <p>임의의 공간에서 수렴하는 수열은 모두 코시수열이다.</p> <h3>(4) 완비집합</h3> <p>$ R $에서는 코시수열이 수렴하지만, 모든 공간에서 코시수열이 수렴하는 것은 아니다. 그러나 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 수렴할 필요충분조건은 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 코시수열인 것이다.</p> <p>정의 25 완비집합 $ A \subset R $에 대하여, $ A $의 원소로 이루어진 모든 코시수열이 $ A $에 속하는 점으로 수렴할 때, $ A $를 완비집합(complete set)이라고 한다.</p> <p>예 모든 자연수의 집합 $ N $과 모든 정수의 집합 $ Z $는 완비이다. 왜냐하면 $ N $(또는 $ Z $)에서 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 형식은 \[ \left \langle x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n_ { 0 } } , b, b, \cdots \right \rangle \]이고, 이것은 $ b \in N $(또는 $ b \in Z $)로 수렴하기 때문이다.</p> <p>예 모든 유리수의 집합 $ Q $는 완비가 아니다. 왜냐하면 유리수열 \[ \langle 1,1.4,1.41,1.412, \cdots \rangle \]는 코시수열이지만, $ Q $의 어떠한 점으로도 수렴하지 않기 때문이다. 이때 $ Q $의 원소가 아닌 실수 $ \sqrt { 2 } $로 수렴함에 유의한다.</p> <p>모든 실수의 집합 $ R $은 완비임을 다음 정리에서 밝힌다.</p> <p>정리 26 코시 정리(Cauchy's theorem) 모든 실수의 집합 $ R $은 완비이다. 즉 실수로 이루어진 모든 코시수열은 반드시 실수로 수렴한다.</p> <p>증명 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $을 $ R $에서 코시수열이라고 하자. 그러면 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 유계이므로, 실수열에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 어떤 실수 $ x $로 수렴하는 부분수열 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $를 가진다. 이제 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x $에 수렴함을 보인다. $ \varepsilon>0 $을 임의의 실수라고 하면, $ m, n \geq H $인 모든 $ m, n \in N $에 대하여 $ \left \|x_ { n } -x_ { m } \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $이고 $ k \geq K_ { 1 } $ 일 때 $ \left \|x_ { n_ { k } } -x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } $을 만족하는 자연수 $ K_ { 1 } $이 존재한다. 여기서 $ K \geq K_ { 1 } $이고 $ n_ { K } \geq H $인 $ K \in N $를 택하면 모든 $ n \geq H $에 대하여 \[ \left \|x_ { n } -x \right \| \leq \left \|x_ { n } -x_ { n_ { K } } \right \| + \left \|x_ { n_ { K } } -x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \]이므로, 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 $ x $에 수렴한다.</p> <h3>(5) 연속함수</h3> <p>① 함수의 극한</p> <p>한 점 $ c \in R $에서의 함수 $ f $에 대한 극한개념을 서술할 때, $ f $의 정의역 안에서 $ c $에 접근하는 점들의 존재성을 보장하기 위하여 항상 $ c $를 $ f $의 정의역의 한 집적점이라고 가정한다.</p> <p>예 $ U= \{ x \mid 0<x<1 \} $에 대하여, $ a \in U $일 때 $ \varepsilon= \min \{ a, 1-a \} $라 하면, $ N_ {\varepsilon } (a) $는 $ U $에 포함되는 $ a $의 한 $ \varepsilon $-근방이다.</p> <p>참고 $ R $의 순서관계를 이용하여 $ R $의 보통위상(usual topology) $ \mathscr { U } $를 정의한다.</p> <h3>(3) 완비성공리</h3> <p>정의 16 완비순서체 순서체 $ X $에서, 공집합이 아닌 $ X $의 부분집합 $ S $가 상계(또는 하계)를 가질 때, 반드시 $ S $의 상한(또는 하한)이 $ X $에 존재하면 $ X $를 완비순서체 (complete ordered field)라고 한다.</p> <p>예 집합 $ S= \{ x \in R \mid 0 \leq x \leq 1 \} $는 하나의 상계로써 1을 갖는다. $ 1 \in S $이므로, $ S $의 어떤 다른 상계 $ v $도 $ 1<v $를 만족한다. 따라서 $ \sup S=1 $이고, $ S $는 그의 상한을 포함한다. 마찬가지로, $ \mathrm { inf } S=0 $은 $ S $에 포함된다.</p> <p>실수계를 특성화하기 위해서는 '완비성공리'라는 $ R $의 본질적 특성이 필요하다. 완비성공리에는 다양한 해석이 있으며, 완비성공리는 실수의 집합 $ R $이 수직선과 일대일 대응임을 의미한다. 완비성공리를 최소상계공리라고도 한다.</p> <p>정의 17 완비성공리(completeness axiom) $ R $의 공집합이 아닌 부분집합 $ S $가 위로 유계이면, 반드시 $ S $의 상한이 $ R $에 존재한다.</p> <p>예제 모든 유리수의 집합 $ Q $는 완비성공리를 만족하지 않는다.</p> <p>증명 $ A $를 0보다 크고 $ \sqrt { 2 } $보다 작은 모든 유리수의 집합, 즉 \[ A= \left \{ q \in Q \mid q>0, q ^ { 2 }<2 \right \} \]라 하자. 그러면 $ A $는 위로 유계이지만, 상한을 갖지 않는다. 즉 $ m= \sup (A) $를 만족하는 유리수 $ m $은 존재하지 않는다. 왜냐하면 $ \sqrt { 2 } $는 $ Q $의 원소가 아니므로, $ m $은 $ \sqrt { 2 } $가 될 수 없기 때문이다.</p> <p>예 부호함수(signum function) $ { sgn } (x) $를 \[ { sgn } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end {array} \right . \]로 정의할 때, $ \lim _ { x \rightarrow 0 } { sgn } (x) $는 존재하지 않는다. 왜냐하면 \[ \lim _ { x \rightarrow + 0 } { sgn } (x)=1, \lim _ { x \rightarrow-0 } { sgn } (x)=-1 \]이므로, $ f(x)= \operatorname { sgn } (x) $는 0에서 극한을 갖지 않는다.</p> <p>② 함수의 연속</p> <p>1821년 코시에 의하여 처음으로 정의된 함수의 연속성은 실직선의 위상개념과 함수에 대한 극한개념을 토대로 하여 설명되는 개념이다.</p> <p>정의 29 연속함수 $ A \subset R, f: A \rightarrow R $이고 $ p \in A $라고 하자. $ f(p) $를 포함하는 임의의 열린집합 $ V_ { f(p) } $에 대하여 \[ x \in A \cap U_ { f(p) } \Rightarrow f(x) \in V_ { f(p) } \]를 만족하는 $ p $를 포함하는 열린집합 $ U_ { f(p) } $가 존재할 때, 함수 $ f: A \rightarrow R $는 $ p $에서 연속(continuous)이라고 하고, $ A $의 모든 점에서 연속이면 $ f $는 집합 $ A $에서 연속이라고 한다.</p> <p>함수 $ f $가 $ A $의 집적점 $ p $에서 연속일 필요충분조건은 함수기호 $ f $와 극한기호 $ \lim _ { x \rightarrow p } $가 서로 교환가능한 것이라고 말할 수 있다.</p> <p>참고 $ A \subset R $일 때, 함수 $ f: A \rightarrow R $가 $ a \in A $에서 연속일 필요충분조건은 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =a $를 만족하는 $ A $의 수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $에 대하여 $ \lim _ { n \rightarrow \infty } f \left (x_ { n } \right )=f(a) $가 성립하는 것이다.</p> <p>실직선 $ R $의 위상에서 열린구간이 중심 역할을 하는 것처럼, 열린원판은 평면 $ R ^ { 2 } $의 위상에서 중심 역할을 한다.</p> <p>$ A \subset R ^ { 2 } $일 때, $ p \in A $에 대하여 $ p \in D_ { p } \subset A $를 만족하는 어떤 열린원판 $ D_ { p } $가 존재할 때, 점 $ p $를 $ A $의 내점이라 하고, $ A $의 모든 내점의 집합을 $ A $의 내부라 하며, $ \mathrm { int } (A) $로 나타낸다. 또한 $ R ^ { 2 } $에서 경계점과 경계에 대한 정의는 $ R $에서와 유사하다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $에서 선분의 내부, 그리고 한 점과 원주의 내부도 어느 것이나 공집합 $ \varnothing $가 된다. 한편 $ R ^ { 2 } $의 내부는 $ R ^ { 2 } $ 자체이고, 공집합 $ \varnothing $의 내부도 $ \varnothing $ 자체가 된다. 또한 한 점 $ p $의 열린원판 $ D_ { p } $의 내부도 $ D_ { p } $ 자체가 된다.</p> <p>정의 1 열린집합 $ O \subset R ^ { 2 } $에 대하여 $ \mathrm { int } (O)=O $를 만족할 때, $ O $를 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합 또는 $ \mathscr { U } $-열린집합이라 한다.</p> <p>$ O $가 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이라 함은 $ O $의 모든 점이 $ O $의 내점인 경우이다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $에서 한 점 $ p $의 열린원판 $ D_ { p } $, 전 평면 $ R ^ { 2 } $과 공집합 $ \varnothing $는 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이다. 또한 $ R ^ { 2 } $에서 유한개의 점을 제거한 집합도 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이 된다.</p> <p>정의 6 수열의 극한 $ \left \langle p_ { n } \right \rangle $이 $ R ^ { 2 } $의 수열일 때 $ q \in R ^ { 2 } $를 포함하는 임의의 열린집합 $ V $에 대하여 \[ n \geq K \Rightarrow p_ { n } \in V \]를 만족하는 자연수 $ K $가 존재하면, 수열 $ \left \langle p_ { n } \right \rangle $은 $ q $로 수렴한다고 한다. 이때 $ q $를 수열 $ \left \langle p_ { n } \right \rangle $의 극한이라고 한다.</p> <p>$ R ^ { 2 } $에서 수렴의 개념은 $ R $에 있어서 수렴의 개념을 사용하여 특징화한다.</p> <p>예 $ R ^ { 2 } $에서 $ p_ { n } = \left \langle a_ { n } , b_ { n } \right \rangle $으로 주어진 수열 $ \left \langle p_ { n } \right \rangle $과 $ q= \langle a, b \rangle \in R ^ { 2 } $에 대하여 $ p_ { n } \rightarrow q $이기 위한 필요충분조건은 $ a_ { n } \rightarrow a $이고 $ b_ { n } \rightarrow b $이다.</p> <p>정의 7 연속함수 함수 $ f: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } $에 대하여 $ p \in R ^ { 2 } $일 때, $ f(p) $를 포함하는 임의의 열린집합 $ V_ { f(p) } $에 대하여 \[ f \left [U_ { p } \right ] \subset V_ { f(p) } \]를 만족하는 $ p $를 포함하는 열린집합 $ U_ { p } $가 존재하면 $ f $는 $ p $에서 연속이라고 하고, $ R ^ { 2 } $의 모든 점에서 연속이면 $ f $는 $ R ^ { 2 } $에서 연속이라고 한다.</p> <p>참고 함수 $ f: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } $가 연속이기 위한 필요충분조건은 모든 열린집합의 $ f $에 의한 역상이 열린집합으로 되는 것이다.</p> <p>예제 유계인 닫힌집합 $ A \subset R $에 대하여 $ \sup (A)=p $일 때, $ p \in A $가 성립한다.</p> <p>증명 $ p \notin A $라고 가정하고, $ p $가 $ A $의 집적점임을 밝힌다. 이제 $ p $를 포함하는 열린집합을 $ G $라 하면, $ G $는 $ p $를 포함하는 열린구간 $ (b, c) $를 포함한다. 즉 $ b<p<c $를 만족한다. 그런데 $ \sup (A)=p $이고 $ p \notin A $이므로, $ b<a<p<c $를 만족하는 $ a \in A $가 존재한다. 따라서 $ a \in(b, c) \subset G $이므로, $ p $를 포함하는 각 열린집합은 $ p $ 이외의 $ A $의 점을 포함한다. 그러므로 $ p $는 $ A $의 집적점이다. 그런데 $ A $가 닫힌집합이므로, $ p \in A $가 성립한다.</p> <p>정리 10 $ R $에서, 열린집합의 여집합은 닫힌집합이고, 닫힌집합의 여집합은 열린집합이다.</p> <p>증명 $ O $를 열린집합이라 하고 $ x \in O $라고 하자. 그러면 적당한 $ \varepsilon>0 $이 존재하여 \[ B_ {\varepsilon } (x) \subset O, \text { 즉 } O ^ { c } \cap B_ {\varepsilon } (x)= \varnothing \]가 된다. 그러므로 $ x \notin \overline { O ^ { c } } $이다. 따라서 $ x \in \overline { O ^ { c } } $이면 $ x \in O ^ { c } $로 되어, $ O ^ { c } $는 단힌집합이다. 한편 $ F $를 닫힌집합이라 하고 $ x \in F ^ { c } $라고 하면 $ F= \bar { F } $이므로, $ x $는 $ F $의 폐포점이 아니다. 그러므로 $ \varepsilon>0 $이 존재하여 $ F \cap B_ {\varepsilon } (x)= \varnothing $, 즉 $ B_ {\varepsilon } (x) \subset F ^ { c } $로 되어 $ F ^ { c } $는 열린집합이다.</p> <p>집합 $ F \subset R $에 대하여 $ F $의 여집합 $ F ^ { c } $가 열린집합일 때, $ F $를 닫힌집합이라 정의하기도 한다.</p> <p>예제 $ R ^ { 2 } $에서 임의의 두 열린원판 \[ D_ { 1 } = \left \{ q \in R ^ { 2 } \mid d \left (p_ { 1 } , q \right )< \delta_ { 1 } \right \} , D_ { 2 } = \left \{ q \in R ^ { 2 } \mid d \left (p_ { 2 } , q \right )< \delta_ { 2 } \right \} \]의 교집합은 또한 열린집합이다.</p> <p>증명 임의의 $ p_ { 0 } \in D_ { 1 } \cap D_ { 2 } $에 대하여 \[ d \left (p_ { 1 } , p_ { 0 } \right )< \delta_ { 1 } , d \left (p_ { 2 } , p_ { 0 } \right )< \delta_ { 2 } \]이다. 이때 \[ \delta= \min \left \{\delta_ { 1 } -d \left (p_ { 1 } , p_ { 0 } \right ), \delta_ { 2 } -d \left (p_ { 2 } , p_ { 0 } \right ) \right \} >0 \]라 놓고 $ D= \left \{ q \in R ^ { 2 } \mid d \left (p_ { 0 } , q \right )< \frac { 1 } { 2 } \delta \right \} $라 하면 $ p_ { 0 } \in D \subset D_ { 1 } \cap D_ { 2 } $, 즉 $ p_ { 0 } $는 $ D_ { 1 } \cap D_ { 2 } $의 내점이다.</p> <p>$ R ^ { 2 } $에서 열린집합을 정의하는 것을 $ R ^ { 2 } $에 '위상'을 부여한다고 한다. 즉 $ R ^ { 2 } $에 하나의 위상을 준다는 것은 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합을 정의하는 것과 같은 의미이다.</p> <p>정리 2</p> <ol type=1 start=1><li>$ O_ { 1 } $과 $ O_ { 2 } $가 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이면, $ O_ { 1 } \cap O_ { 2 } $도 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이다.</li> <li>$ \left \{ O_ {\lambda } \right \} _ {\lambda \in \Lambda } $가 $ R ^ { 2 } $에서 임의의 열린집합족이면, $ \bigcup_ {\lambda \in \Lambda } O_ {\lambda } $도 $ R ^ { 2 } $에서 열린집합이다.</li></ol> <p>참고 $ R ^ { 2 } $에서 한 점 $ p $의 무한히 많은 열린원판의 교집합은 열린집합이 아님에 유의한다.</p> <p>예 수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle= \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \rangle $에 대하여, $ \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 5 } , \frac { 1 } { 8 } , \cdots \right \rangle $는 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $의 부분수열이지만, $ \left \langle \frac { 1 } { 2 } , 1, \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots \right \rangle $는 1이 $ \frac { 1 } { 2 } $ 앞에 나타나므로 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $의 부분수열이 아니다.</p> <p>예 수열 $ \left \langle a_ { n } \right \rangle= \left \langle \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 1 } { 8 } , \frac { 7 } { 8 } , \cdots \right \rangle $는 수렴하지 않으나, $ \left \langle a_ { n } \right \rangle $은 수렴하는 부분수열 \[ \left \langle \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 8 } , \frac { 1 } { 16 } , \cdots \right \rangle, \left \langle \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 7 } { 8 } , \cdots \right \rangle \]를 갖는다. 그러나 수열 $ \langle 1,2,3, \cdots \rangle $는 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다.</p> <p>참고 유계인 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $에 대하여, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x \in R $에 수렴하기 위한 필요충분조건은 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 모든 수렴하는 부분수열이 $ x $에 수렴하는 것이다.</p> <p>예 무한닫힌구간 $ A=[1, \infty) $에 대하여, 열린구간족 \[ \mathscr { G } = \{ (0,2),(1,3),(2,4), \cdots \} \]는 $ A $의 열린덮개가 된다. 그러나 $ \mathscr { G } $는 유한부분덮개를 갖지 않는다.</p> <p>정의 12 콤팩트 집합 $ K \subset R $에 대하여, $ K $의 임의의 열린덮개가 유한부분덮개를 가질 때, $ K $를 콤팩트 집합(compact set) 또는 옹골집합이라고 한다.</p> <p>예 $ R $의 유한부분집합 $ K= \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right \} $은 콤팩트이다. 또한 닫힌구간 $ [a, b] $는 $ R $에서 콤팩트이다(정리 14 참조).</p> <p>참고 집합 $ H $가 콤팩트가 아님을 보이기 위해서는, 특별한 열린집합족 $ \mathscr { A } $의 합집합이 $ H $를 포함할 때, $ \mathscr { A } $의 어떤 유한개의 집합의 합집합도 $ H $를 포함하지 않는다는 것을 보이면 충분하다.</p> <p>정리 13 $ R $의 부분집합 $ K $가 콤팩트일 때, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ K $의 닫힌부분집합 $ F $는 콤팩트이다.</li> <li>$ K $는 단힌집합이다.</li></ol></p> <p>증명 (1)만 증명하고, (2)의 증명은 독자에게 남긴다. $ \mathscr { A } = \left \{ G_ {\alpha } \mid \alpha \in I \right \} $를 $ F $의 열린덮개라 하자. 이때 $ F $가 닫힌집합이므로, $ F ^ { c } $는 열린집합이 된다. 따라서 집합족 \[ \Gamma = \left \{ F ^ { c } \right \} \cup \left \{ G_ {\alpha } \mid \alpha \in I \right \} \]는 $ K $의 열린덮개가 된다. 그런데 $ K $가 콤팩트이므로, $ F $는 유한부분덮개를 가진다.</p> <p>예 $ F \subset R $가 닫힌집합이고 $ K \subset R $가콤팩트이면 $ F \cap K $는 닫힌집합이고, 또한 $ F \cap K \subset K $이므로 $ F \cap K $는 콤팩트이다.</p> <p>정리 14 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem) 집합 $ K \subset R $가 콤팩트일 필요충분조건은 $ K $가 유계인 닫힌집합이다.</p> <p>증명 어떠한 $ M $을 잡아도 아르키메데스 성질에 의하여 $ M<n $을 만족하는 자연수 $ n $이 존재하기 때문이다.</p> <p>아르키메데스 성질은 임의의 두 실수 사이에 무한히 많은 유리수가 존재함을 보장하여 준다. 이때 $ Q $가 $ R $에서 조밀하다(dense)고 한다.</p> <p>정리 21 조밀성 정리(density theorem) $ x, y $가 $ x<y $인 실수이면, $ x< r< y $를 만족하는 유리수 $ r $이 존재한다.</p> <h3>(2) 축소구간정리</h3> <p>$ R $의 완비성공리를 이용하여 축소구간정리를 증명한다. 실제로 완비성공리와 축소구간정리는 동치이다.</p> <p>정리 22 축소구간정리(nested interval theorem) 유계인 닫힌구간 $ I_ { n } = \left [a_ { n } , b_ { n } \right ] $으로 주어진 구간열 $ \left \langle I_ { n } \right \rangle $이 모든 $ n \in N $에 대하여 $ I_ { n } \supset I_ { n + 1 } $, 즉 축소구간열이면 \[ \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \neq \varnothing \]가 성립한다. 특히 $ I_ { n } $의 길이 $ b_ { n } -a_ { n } $이 \[ inf \left \{ b_ { n } -a_ { n } \mid n \in N \right \} =0 \]을 만족하면, 공통원소는 유일하다.</p> <p>참고 축소구간정리에서 '유계인 닫힌구간'이란 조건이 없으면, 결과가 성립하지 않는다.</p> <p>예 모든 $ n \in N $에 대하여 $ I_ { n } =(0,1 / n] $로 주어진 유계인 반열린구간열 $ \left \langle I_ { n } \right \rangle $은 축소구간열이지만, 모든 구간에 공통인 점은 존재하지 않는다. 또한 모든 $ n \in N $에 대하여 $ I_ { n } =[n, \infty) $로 주어진 무한닫힌구간열 $ \left \langle I_ { n } \right \rangle $은 축소구간열이지만, 모든 구간에 공통인 점은 존재하지 않는다. 즉 $ \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } = \varnothing $이다.</p> <h2>3. 확장된 실수계</h2> <p>실수계 $ R $에 $ \infty $와 $ - \infty $를 첨가하여 집합 $ R \cup \{\infty \} \cup \{ - \infty \} $를 만들고, $ R $의 순서와 연산을 확장하여 실수계를 확장한다. 이때 $ R $의 순서 $ \leq $는 $ R \cup \{\infty \} \cup \{ - \infty \} $상의 전순서로 확장된다.</p> <p>예 수열 $ \left \langle(-1) ^ { n } \right \rangle $은 발산한다. 왜냐하면 부분수열 $ \left \langle(-1) ^ { 2 n } \right \rangle $은 1로 수렴하고, 부분수열 $ \left \langle(-1) ^ { 2 n-1 } \right \rangle $은 -1로 수렴하기 때문이다.</p> <p>수열 $ X= \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 부분수열 $ X ^ {\prime } = \left \langle x_ { r_ { n } } \right \rangle $의 극한은 집합 $ \left \{ x_ { n } \right \} $의 집적점에 불과하다.</p> <p>② 실수열에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리</p> <p>수렴하는 수열은 유계이지만, 그 역은 참이 아니다. 그러나 실수열에 대하여 다음 볼차노-바이어슈트라스 정리가 성립한다.</p> <p>정리 21 실수열에 대한 볼차노- 바이어슈트라스 정리 모든 유계인 실수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다.</p> <p>증명 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $을 유계라 하고, $ S= \left \{ x_ { n } \mid n \in N \right \} $이 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 치역이라고 하자. 먼저 $ S $가 유한집합이면, 무한히 많은 $ n $에 대하여 $ x_ { n } $의 값이 되는 원소가 적어도 하나 $ S $ 안에 존재해야 한다. 이러한 수를 $ x $라고 하면 모든 $ k \in N $에 대하여 $ x_ { n_ { k } } =x $를 만족하는 $ n_ { 1 }<n_ { 2 }< \cdots<n_ { k }< \cdots $가 존재하게 되므로, $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $는 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 부분수열이 되고 $ x $에 수렴한다.</p> <p>다음으로 $ S $가 무한집합일 경우는 집합에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 $ S $의 집적점 $ x \in R $가 존재한다. 이제 $ x $로 수렴하는 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 부분수열을 찾을 것이다. $ x $가 $ S $의 집적점이므로, $ 0< \left \|x_ { n_ { 1 } } -x \right \|<1 $을 만족하는 $ x_ { n_ { 1 } } $을 $ S $에서 택할 수 있다. 그 다음에 $ n_ { 2 } >n_ { 1 } $이면서 $ 0< \left \|x_ { n_ { 2 } } -x \right \|< \frac { 1 } { 2 } $인 $ x_ { n_ { 2 } } $를 $ S $에서 택한다. 이와 같은 과정을 반복하여, 모든 $ k \in N $에 대하여 \[ n_ { k } >n_ { k-1 } , 0< \left \|x_ { n_ { k } } -x \right \|< \frac { 1 } { k } \]을 만족하는 $ x_ { n_ { k } } $를 $ S $에서 택할 수 있다. 따라서 $ \left \langle x_ { n_ { k } } \right \rangle $는 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 부분수열이 되며, $ x $에 수렴한다.</p> <p>예 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 치역 $ \left \{ x_ { n } \right \} $이 집적점 $ b $를 갖는다면, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 $ b $로 수렴하는 부분수열 $ \left \langle x_ { i_ { n } } \right \rangle $을 갖는다.</p> <p>참고 볼차노-바이어슈트라스 정리의 가정에서 '유계성’을 제거할 수 없다. 그러나 모든 실수열이 단조인 부분수열을 가짐에 유의한다.</p> <p>예 실수열 $ \left \langle 1,2, \frac { 1 } { 2 } , 3, \cdots, n, \frac { 1 } { n } , \cdots \right \rangle $는 유계수열이 아니지만, 부분수열 $ \left \langle \frac { 1 } { n } \right \rangle $은 수렴한다.</p> <p>정리 22 $ F \subset R $일 때, 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ F $는 $ R $의 닫힌부분집합이다.</li> <li>$ F $ 안에 있는 원소들로 이루어진 수열 $ X $의 $ \lim X $는 $ F $의 원소이다.</li></ol> <h3>(3) 코시수열</h3> <p>정의 23 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 실수열일 때, 임의의 실수 $ \varepsilon>0 $에 대하여 적당한 자연수 $ K $가 존재하여 \[ n, m \geq K \Rightarrow \left \|x_ { n } -x_ { m } \right \|< \varepsilon \]을 만족하면, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $을 코시수열(Cauchy sequence)이라고 한다.</p> <p>예 모든 정수의 집합 $ Z $에서 코시수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $의 형식은 \[ \left \langle x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n_ { 0 } } , b, b, \cdots \right \rangle \]로 주어진다. 즉 유한개를 제외한 수열의 모든 항이 같다.</p> <p>참고 $ R $에서, 코시수열은 유계이다.</p> <p>정리 24 $ R $에서, 모든 수렴하는 수열은 코시수열이다.</p> <p>증명 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x $에 수렴한다고 하자. 이때 $ \varepsilon>0 $을 임의의 실수라고 하면 \[ n \geq K \Rightarrow \left \|x_ { n } -x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } \]을 만족하는 적당한 자연수 $ K $가 존재한다. 따라서 $ n, m \in N $이면 \[ \left \|x_ { n } -x_ { m } \right \|= \left \|x_ { n } -x + x-x_ { m } \right \| \leq \left \|x_ { n } -x \right \| + \left \|x_ { m } -x \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \]을 만족한다. 그러므로 실수열 $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $이 $ x $에 수렴하면, $ \left \langle x_ { n } \right \rangle $은 코시수열이다.</p> <p>③ 균등수렴과 적분가능성</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $에서 정의된 적분가능한 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ [a, b] $에서 함수 $ f $에 점별수렴 하거나 또는 균등수렴한다고 할 때, 다음 두 문제에 대한 답을 생각해 보자.</p> <ol type=I start=1><li>함수 $ f $가 $ [a, b] $에서 적분가능한가?</li> <li>함수 $ f $가 $ [a, b] $에서 적분가능하면, $ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } d x= \int_ { a } ^ { b } f d x $인가?</li></ol> <p>적분가능한 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 닫힌구간 $ [a, b] $에서 함수 $ f $에 점별수렴할 경우는 문제 (Ⅰ)과 (Ⅱ)에 대한 답은 모두 부정적이다. 그러나 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 닫힌구간 $ [a, b] $에서 함수 $ f $에 균등수렴할 경우는 문제 (Ⅰ)과 (Ⅱ)에 대한 답은 모두 긍정적이다.</p> <p>정리 44 균등수렴과 적분가능성 닫힌구간 $ [a, b] $에서 정의된 적분가능한 함수열 $ \left \langle f_ { n } \right \rangle $이 $ [a, b] $에서 함수 $ f $로 균등수렴하면, $ f $도 $ [a, b] $에서 적분가능하고 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f_ { n } (x) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \]가 성립한다.</p> <h1>2.3 공간의 위상</h1> <h2>1. 평면의 위상</h2> <p>평면 $ R ^ { 2 } $에서, 중심을 $ p= \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } \right \rangle $에 두고 반지름이 $ \delta>0 $인 열린원판(open disk) $ D_ { p } $는 \[ D_ { p } = \left \{\langle x, y \rangle \mid \left (x-a_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-a_ { 2 } \right ) ^ { 2 }< \delta ^ { 2 } \right \} = \left \{ q \in R ^ { 2 } \mid d(p, q)< \delta \right \} \]로 주어진 $ R ^ { 2 } $의 부분집합이다. 여기서 $ d(p, q) $는 $ R ^ { 2 } $의 임의의 두 점 $ p= \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } \right \rangle $와 $ q= \left \langle b_ { 1 } , b_ { 2 } \right \rangle $ 사이의 보통거리, 즉 \[ d(p, q)= \sqrt {\left (b_ { 1 } -a_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (b_ { 2 } -a_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \]을 나타낸다.</p>	자연
m749-선형대수학과 응용	<p>\[ \begin {array} { l } v_ { 1 } \cdot v_ { 2 } =(0)(1) + (1)(0) + (0)(1)=0 \\ v_ { 1 } \cdot v_ { 3 } =(0)(-1) + (1)(0) + (0)(1)=0 \\ v_ { 2 } \cdot v_ { 3 } =(1)(-1) + (0)(0) + (1)(1)=0 \end {array} \] 이므로 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} $ 는 직교집합이다. $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } $ 를 정규직교집합으로 전환하기 위해서 각 벡터를 자신의 노름으로 나누어 다음과 같이 단위벡터로 조정하면 $ \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right \} $ 가 정규직교집합이다. \[ \begin {array} { l } u_ { 1 } = \frac { v_ { 1 } } {\left \\|v_ { 1 } \right \\| } =(0,1,0) \\ u_ { 2 } = \frac { v_ { 2 } } {\left \\|v_ { 2 } \right \\| } = \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \\ u_ { 3 } = \frac { v_ { 3 } } {\left \\|v_ { 3 } \right \\| } = \left (- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , 0, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \right ) \end {array} \]</p> <p>정리 5.8</p> <p>$ S= \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 를 내적공간의 정규직교집합이라 하자.<ol type=1 start=1><li>$ x= \sum_ { j=1 } ^ { n } c_ { j } e_ { j } $ 이면 각 $ k $ 에 대해 $ c_ { k } = \left \langle x, e_ { k } \right \rangle $ 이다.</li> <li>$ S $ 는 일차독립이다.</li></ol></p> <p>예제 5.15</p> <p>다음 과결정시스템에 대한 최소제곱해를 구하라. \[ \begin {array} { r } x_ { 1 } + x_ { 2 } =2 \\ -x_ { 1 } + x_ { 2 } =1 \\ 2 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } =3 \end {array} \]</p> <p>풀이</p> <p>$ A= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ 2 & 3 \end {array} \right ], x= \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ], b= \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \\ 3 \end {array} \right ] $ 에 대해서 시스템은 $ A x=b $ 이고, 이에 대한 정규방정식 $ A ^ { t } A x=A ^ { t } b $ 는 \[ \left [ \begin {array} { cc } 6 & 6 \\ 6 & 11 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 7 \\ 12 \end {array} \right ] \] 이다. 이를 풀면 최소제곱문제에 대한 최적해는 $ x ^ { * } = \left [ \begin {array} { c } \frac { 1 } { 6 } \\ 1 \end {array} \right ] $ 이다.</p> <p>예제 5.16</p> <p>예제 5.14의 데이터에 대한 2 차 최소제곱해를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>최적 2 차 다항식을 $ p_ { 2 } (x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + c_ { 2 } x ^ { 2 } $ 라고 하면 \[ p_ { 2 } \left (x_ { j } \right )=y_ { j } , \quad(j=0,1, \cdots, 4) \] 로부터 과결정시스템 \[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \\ c_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -3 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end {array} \right ] \] 를 얻고, 이에 대한 정규방정식은 \[ \left [ \begin {array} { rrr } 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 9 \\ 7 & 9 & 19 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \\ c_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 3 \\ 12 \\ 10 \end {array} \right ] \] 이다. 이를 풀면 $ c_ { 0 } =0.06452, c_ { 1 } =2.66129, c_ { 2 } =-0.75806 $ 이므로 구하고자 하는 최적 2 차 다항식은 \[ p_ { 2 } (x)=0.06452 + 2.66129 x-0.75806 x ^ { 2 } \] 이다. 데이터와 2 차 최적곡선을 예시하면 그림 5.6과 같다.</p> <p>풀이</p> <p>$ x ^ { 3 } $ 은 홀함수이므로 $ \left \langle x, x ^ { 2 } \right \rangle= \int_ { -1 } ^ { 1 } x ^ { 3 } d x=0 $ 이다. 따라서 $ x $ 와 $ x ^ { 2 } $ 은 내적에 대해 서로 직교한다.</p> <p>한편 $ \\|x \\| ^ { 2 } = \int_ { -1 } ^ { 1 } x ^ { 2 } d x= \frac { 2 } { 3 } , \left \\|x ^ { 2 } \right \\| ^ { 2 } = \int_ { -1 } ^ { 1 } x ^ { 4 } d x= \frac { 2 } { 5 } $ 이고 $ x $ 와 $ x ^ { 2 } $ 이 서로 직교하므로 피타고라스 정리에 의해 \[ \left \\|x + x ^ { 2 } \right \\| ^ { 2 } = \\|x \\| ^ { 2 } + \left \\|x ^ { 2 } \right \\| ^ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } + \frac { 2 } { 5 } = \frac { 16 } { 15 } \] 이다. 따라서 $ \left \\|x + x ^ { 2 } \right \\|= \frac { 4 } {\sqrt { 15 } } $ 이다.</p> <p>$ W $ 를 내적공간 $ V $ 의 임의의 부분집합이라 할 때 $ W $ 의 각 원소와 직교하는 $ V $ 의 원소의 집합을 $ W $ 의 직교여집합 (orthogonal complement)이라 하고 $ W ^ {\perp } $ 로 정의한다. \[ W ^ {\perp } = \{ v \in V \mid \langle v, w \rangle=0, \forall w \in W \} \]</p> <p>정리 5.3</p> <p>내적공간 $ V $ 의 임의의 부분집합 $ W $ 에 대해서 $ W ^ {\perp } $ 는 $ V $ 의 부분공간을 이루며 $ W \cap W ^ {\perp } = \{ 0 \} $ 이다.</p> <p>역으로 $ Q R $ 이 위와 같은 형식으로 주어지면 각 $ k=1,2, \cdots, n $ 에 대해 \[ \begin {aligned} (Q R) ^ { (k) } &=Q R ^ { (k) } =Q \left [ \begin {array} { c } r_ { 1 k } \\ \vdots \\ r_ { k k } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ]=Q \left ( \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j k } e_ { j } \right ), e_ { j } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \leftarrow j \text { 째 } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j k } Q e_ { j } = \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j k } Q ^ { (j) } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j k } e_ { j } =A ^ { (k) } \end {aligned} \] 가 되어 $ A=Q R $ 이 성립한다. 한편, \[ \left (Q ^ { t } Q \right )_ { (i j) } = \left (Q ^ { t } \right )_ { (i) } Q ^ { (j) } = \left \langle Q ^ { (i) } , Q ^ { (j) } \right \rangle= \left \langle e_ { i } , e_ { j } \right \rangle= \delta_ { i j } \] 이므로 $ Q= \left [ \begin {array} { lll } e_ { 1 } e_ { 2 } \cdots & e_ { n } \end {array} \right ] $ 은 직교행렬이다.</p> <p>예제 5.11</p> <p>그람-슈미트 직교화 과정을 이용하여 다음 행렬의 $ Q R $ 분해를 구하라. \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ] \]</p> <p>한편, 이 문제를 방정식의 문제로 전환하면 $ m>1 $ 일 때 \[ p_ { 1 } \left (x_ { j } \right )=y_ { j } , \quad(j=0,1, \cdots, m) \] 로부터 다음과 같은 과결정시스템이 얻어진다. 이때 \[ A ^ { t } A x=A ^ { t } b \]</p> <p>\[ \begin {array} { l } \Rightarrow \left [ \begin {array} { cccc } 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_ { 0 } & x_ { 1 } & \cdots & x_ { m } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } 1 & x_ { 0 } \\ 1 & x_ { 1 } \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_ { m } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cccc } 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_ { 0 } & x_ { 1 } & \cdots & x_ { m } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } y_ { 0 } \\ y_ { 1 } \\ \vdots \\ y_ { m } \end {array} \right ] \\ \Rightarrow \left [ \begin {array} { ll } \sum_ { j=0 } ^ { m } 1 & \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } \\ \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } & \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } ^ { 2 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } \sum_ { j=0 } ^ { m } y_ { j } \\ \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } y_ { j } \end {array} \right ] \end {array} \] 이를 풀어서 데이터에 가장 근접한 직선 $ p_ { 1 } (x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x $ 를 구할 수 있다. 여기서 과결정시스템 $ A x=b $ 에 대해 방정식 \[ A ^ { t } A x=A ^ { t } b \] 이 데이터의 최소화를 위한 목적함수 $ E \left (c_ { 0 } , c_ { 1 } \right ) $ 의 임계조건과 일치함에 주목하라. 방정식 \[ A ^ { t } A x=A ^ { t } b \] 를 과결정시스템 $ A x=b $ 에 대한 정깜정ㅅ(normal equation)이라고 한다.</p> <p>귀납적으로 $ m \geq n $ 일 때 $ k=2,3, \cdots, n $ 에 대해 $ \alpha_ { k } = \operatorname { sgn } \left (a_ { k k } ^ { (k) } \right ) \sqrt {\sum_ { j=k } ^ { m } \left \|a_ { j k } ^ { (k) } \right \| ^ { 2 } } $, $ u_ { k } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ a_ { k k } ^ { (k) } \\ \vdots \\ a_ { m k } ^ { (k) } \end {array} \right ] + \alpha_ { k } e_ { k } $ 로 택해 $ P_ { k } =I_ { m } -2 \frac { u_ { k } u_ { k } ^ { t } } {\left \\|u_ { k } \right \\| ^ { 2 } } $ 를 설정하면 이와 같은 과정을 반복 적용하면 아래와 같이 직교행렬 $ Q $ 를 얻을 수 있다.</p> <p>$ P_ { n } P_ { n-1 } \cdots P_ { 1 } A= \left [ \begin {array} { ccc } - \alpha_ { 1 } & & * \\ & \ddots & \\ O & & - \alpha_ { n } \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ & O & \end {array} \right ]=R $ (상부삼각행렬) $ \Rightarrow \left (P_ { n } P_ { n-1 } \cdots P_ { 1 } \right ) ^ { t } \left (P_ { n } P_ { n-1 } \cdots P_ { 1 } A \right )= \left (P_ { n } P_ { n-1 } \cdots P_ { 1 } \right ) ^ { t } R=A $ $ \Rightarrow Q=P_ { 1 } ^ { t } P_ { 2 } ^ { t } \cdots P_ { n } ^ { t } =P_ { 1 } P_ { 2 } \cdots P_ { n } ( $ 직교행렬) $ \Rightarrow A= \left (P_ { n } P_ { n-1 } \cdots P_ { 1 } \right ) ^ { t } R=Q R $.</p> <p>$ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $ 을 서로 다른 $ n + 1 $ 개의 실수라 하자. $ n $ 차 다항식의 공간 $ P_ { n } $ 에서 다음과 같이 정의된 값이 내적을 이룸을 보여라. \[ \langle p, q \rangle:= \sum_ { i=0 } ^ { n } p \left (x_ { i } \right ) q \left (x_ { i } \right ) \]</p> <p>풀이</p> <p>(1) 모든 $ p \in P_ { n } $ 에 대해 $ \langle p, p \rangle= \sum_ { i=0 } ^ { n } p \left (x_ { i } \right ) ^ { 2 } \geq 0 $ 임은 명백하고, $ \langle p, p \rangle=0 $ 이면 $ p \left (x_ { 0 } \right )=p \left (x_ { 1 } \right )= \cdots=p \left (x_ { n } \right )=0 $ 이 되어 $ x_ { 0 } , x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } $ 은 $ n $ 차 다 항식 $ p(x) $ 의 서로 다른 $ n + 1 $ 개의 근이므로 $ p=0 $ 이다. (2), (3), (4)는 정의로부터 직접 얻어진다.</p> <p>정리 3.2에 의해 두 $ n $-벡터 $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $ 와 $ v= \left (v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right ) $ 의 유클리드 내적 \[ u \cdot v=u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } \] 은 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 내적을 이룬다. 이를 행렬벡터로 표현하면 유클리드 내적은 행렬의 곱으로 \[ u \cdot v=u_ { 1 } v_ { 1 } + u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + u_ { n } v_ { n } = \left [ \begin {array} { lll } v_ { 1 } v_ { 2 } \cdots & v_ { n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } u_ { 1 } \\ u_ { 2 } \\ \vdots \\ u_ { n } \end {array} \right ]=v ^ { t } u \] 와 같이 표시할 수 있다.</p> <p>예제 5.8</p> <p>점 $ (1,1,-2) $ 를 지나고 $ (-1,-3,2) $ 의 방향과 수직을 이루는 평면의 방정식을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>평면을 $ \Pi $ 라 하면 점 $ a=(1,1,-2) \in \Pi $ 이고 법선벡터가 $ n=(-1,-3,2) $ 이므로 평면은 $ x=(x, y, z) \in \Pi $ 일 때 유클리드 내적에 대해 \[ (x-a) \cdot n=0 \] 으로 주어진다. 따라서 평면의 방정식은 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } (x-1, y-1, z + 2) \cdot(-1,-3,2)=0 \\ \Rightarrow-(x-1)-3(y-1) + 2(z + 2)=0 \\ \Rightarrow x + 3 y-2 z=8 \end {array} \]</p> <h1>5.3 그람-슈미트 직교화 과정과 QR 분해</h1> <p>정리 5.10에 의해 내적공간에 대한 정규직교기저가 존재한다. 이제 유한차원 내적공간에서 주어진 기저를 가지고 정규직교기저를 생성하는 방법에 대해 알아보자.</p> <p>$ V $ 를 $ n $ 차원 내적공간이라 하고 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 을 $ V $ 의 임의의 기저라고 하자. $ V $ 의 기저를 다음과 같이 정규직교기저로 전환하는 과정을 (Gram-Schmidt orthogonalization process)이라고 한다.</p> <p>먼저 독립인 두 벡터 $ u$, $v $ 에 대해 $ u $ 와 $ v $ 에 의해 만들어지는 공간을 생성하는 두 정규직교 벡터를 구하는 간단한 예시를 통해 직교화 과정의 원리를 살펴보자.</p> <p>$ u $ 와 평행한 단위벡터를 $ e_ { 1 } $ 이라고 하면, $ e_ { 1 } = \frac { u } {\\|u \\| } $ 이고, $ v $ 를 $ u $ 위로 정사영시킨 벡터를 $ \operatorname { Pr } _ { u } (v) $ 라고 하면 그림 5.2 에서와 같이 \[ \operatorname { Pr } _ { u } (v)= \left \langle v, e_ { 1 } \right \rangle e_ { 1 } = \left \langle v, \frac { u } {\\|u \\| } \right \rangle \frac { u } {\\|u \\| } \] 이다. 이때 $ v- \operatorname { Pr } _ { u } (v) $ 는 $ u $ 에 수직인 벡터이므로 이를 정규화시키면 \[ e_ { 2 } = \frac { v- \operatorname { Pr } _ { u } (v) } {\left \\|v- \operatorname { Pr } _ { u } (v) \right \\| } \] 가 되어 $ \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } \right \} $ 는 $ u $ 와 $ v $ 에 의해 생성된 벡터공간의 정규직교벡터를 이룬다.</p> <p>예제 5.9</p> <p>$ u=(1,1), v=(-1,2) $ 에 대해 $ u $ 와 $ v $ 에 의해 생성되는 벡터공간에 대한 정규직교기저를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ u $ 방향의 단위벡터를 $ e_ { 1 } $ 이라고 하면 \[ e_ { 1 } = \frac { u } {\\|u \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1,1) \] 이고, $ v $ 의 $ u $ 위로의 정사영은 \[ \operatorname { Pr } _ { u } (v)= \left \langle v, e_ { 1 } \right \rangle e_ { 1 } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } e_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } (1,1) \] 이므로 \[ v- \operatorname { Pr } _ { u } (v)=(-1,2)- \frac { 1 } { 2 } (1,1)= \left (- \frac { 3 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } \right ) . \] 따라서 \[ e_ { 2 } = \frac { v- \operatorname { Pr } _ { u } (v) } {\left \\|v- \operatorname { Pr } _ { u } (v) \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (-1,1) \] 이고, $ e_ { 1 } $ 과 $ e_ { 2 } $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 를 생성하는 정규직교벡터를 이룬다.</p> <p>정리 5.14 그람-슈미트 직교화 과정(Gram-Schmidt orthogonalization process)</p> <p>$ V $ 를 $ n $ 차원 내적공간이라 하자. $ V $ 의 임의의 기저 $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} $ 으로부터 다음과 같이 생성된 벡터 $ \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 정규직교기저를 이룬다. \[ \begin {array} { l } u_ { 1 } =v_ { 1 } ; e_ { 1 } = \frac { u_ { 1 } } {\left \\|u_ { 1 } \right \\| } ; \\ u_ { k } =v_ { k } - \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle v_ { k } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } ; e_ { k } = \frac { u_ { k } } {\left \\|u_ { k } \right \\| } \end {array} \]</p> <p>$ A= \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1 \\ 0.5 & 0.5 \end {array} \right ] $ 에 대해 $ A $ 의 유사역원 $ A ^ {\prime } $ 을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>(일단계) $ R(A)= \left [ \begin {array} { c } 1 \\ 0.5 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] $ 로 한정된 1 차원 공간 $ b= \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에 대해 $ b $ 의 $ R(A) $ 로의 성분 $ b_ { r } $ 을 구하면 $ v= \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] $ 이 라 할 때 \[ b_ { r } = \left \langle b, \frac { v } {\\|v \\| } \right \rangle \frac { v } {\\|v \\| } = \langle b, v \rangle \frac { v } {\\|v \\| ^ { 2 } } = \frac { 2 b_ { 1 } + b_ { 2 } } { 5 } \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] . \] (이단계) $ R \left (A ^ { t } \right )= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ] $ 로 생성된 1 차원 공간 \[ x ^ { * } \in R \left (A ^ { t } \right ) \text { 이므로 } x ^ { * } =k \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ],(k \in \mathbb { R } ) \]</p> <p>이때 $ A \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right ] $ 이므로 $ A x ^ { * } =b_ { r } $ 로부터 \[ A x ^ { * } = \frac { 2 b_ { 1 } + b_ { 2 } } { 5 } A \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ]=A \left ( \frac { 2 b_ { 1 } + b_ { 2 } } { 5 } \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ] \right ) \] 따라서 \[ x ^ { * } =A ^ {\prime } b= \frac { 2 b_ { 1 } + b_ { 2 } } { 5 } \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ]= \frac { 1 } { 5 } \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \end {array} \right ] \] 로부터 $ A $ 의 최소제곱유사역원 \[ A ^ {\prime } = \frac { 1 } { 5 } \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \] 을 얻는다. (삼단계) 검증을 위해 \[ A ^ { t } A A ^ {\prime } =A ^ { t } \] 이 성립함을 확인한다.</p> <p>앞의 4 장에서 다룬 평면에서의 직교변환을 일반화하여 $ Q \in M_ { m, n } $ 일 때 모든 $ x \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대 해 $ \\|Q x \\|= \\|x \\| $ 이면, 즉 $ Q $ 가 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 $ \mathbb { R } ^ { m } $ 으로의 벡터의 길이를 보존하는 선형변환에 대응 하는 행렬이면 $ Q $ 를 직교행렬이라고 정의할 수 있다. $ Q \in M_ { m, n } $ 가 직교행렬이면 \[ \\|Q x \\| ^ { 2 } = \langle Q x, Q x \rangle= \left \langle x, Q ^ { t } Q x \right \rangle= \\|x \\| ^ { 2 } = \langle x, x \rangle \] 이므로 $ Q ^ { t } Q=I_ { n } $ 을 만족한다. 특히 $ m=n $ 일 경우 $ Q $ 가 정사각행렬인 직교행렬이면 정리 $ 1.7 $ 에 의해 $ Q ^ { -1 } =Q ^ { t } $ 이고 이에 따라 직교행렬은 $ Q ^ { t } Q=I_ { n } =Q Q ^ { t } $ 를 만족한다. 행렬의 열공간을 직교화하는 것은 직교행렬과 연계한 행렬의 분해로 연결된다. 행렬 $ A \in M_ { m, n } $ 에 대해 그림 5.3과 같이 $ A $ 를 직교행렬 $ Q \in M_ { m, n } $ 와 상부삼각행렬 $ R \in M_ { n, n } $ 의 곱으로 표현한 것을 $ A $ 의 QR 분해(QR decomposition)라고 한다.</p> <p>직교화 과정을 적용하여 행렬 $ A $ 의 $ \mathrm { QR } $ 분해를 유도할 수 있다.</p> <p>정리 5.15 그람-슈미트 QR 분해(Gram-Schmidt QR decomposition)</p> <p>$ m \geq n $ 일 때 $ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이고 $ \operatorname { rank } (A)=n $ 이면 $ A $ 는 직교행렬 $ Q $ 와 상부삼각행 렬 $ R $ 의 곱으로 분해된다. 이때 $ R $ 의 대각원소는 모든 양수로 이루어진다. \[ A=Q R, \quad \left (Q \in M_ { m, n } , R \in M_ { n, n } \right ) \]</p> <p>의해 $ R(T) ^ {\perp } + R(T) $ 이므로 \[ R(T)=R(T) ^ {\perp \perp } =N \left (T ^ { * } \right ) ^ {\perp } \] 을 얻는다. 따라서 $ T ^ { * * } =T $ 이므로 여기에 $ T $ 대신 $ T ^ { * } $ 를 적용하면 \[ R \left (T ^ { * } \right )=N \left (T ^ { * * } \right ) ^ {\perp } =N(T) ^ {\perp } \] 가 되어 정리가 증명된다.</p> <p>정리 5.6</p> <p>선형사상 $ T: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 와 수반사상 $ T ^ { * } : \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해서 다음이 성립한다. \[ \operatorname { dim } (R(T))= \operatorname { dim } \left (R \left (T ^ { * } \right ) \right ) \]</p> <p>증명</p> <p>$ \operatorname { dim } (N(T)) + \operatorname { dim } \left (N(T) ^ {\perp } \right )=m $ 이고, 정리 $ 5.5 $ 에 의해 $ N(T) ^ {\perp } =R \left (T ^ { * } \right ) $ 이므로 \[ \operatorname { dim } (N(T)) + \operatorname { dim } \left (R \left (T ^ { * } \right ) \right )=m \] 이다. 한편, 정리 $ 4.3 $ 의 (3)에 의해서 \[ \operatorname { dim } (N(T)) + \operatorname { dim } (R(T))=m \] 이므로 이 둘을 비교하여 결과를 얻는다.</p> <p>$ A \in M_ { n, m } $ 를 선형사상 $ T: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대응하는 행렬이라 하면 $ T ^ { * } $ 에 대응하는 행렬은 $ A ^ { t } $ 이다. 마찬가지로, 행렬 $ A \in M_ { n, m } $ 에 대해서 $ A $ 에 대응하는 선형사상 $ T_ { A } $ 의 수반사상 $ T_ { A } ^ { * } $ 의 행렬은 $ A ^ { t } $ 이다. 따라서 정리 $ 5.5 $ 와 정리 $ 5.6 $ 을 행렬에 적용하면 다음 결과를 유도할 수 있다. \[ \begin {array} { l } N \left (A ^ { t } \right )=R(A) ^ {\perp } , R \left (A ^ { t } \right )=N(A) ^ {\perp } ; \\ \operatorname { dim } (R(A))= \operatorname { dim } \left (R \left (A ^ { t } \right ) \right ) ; \end {array} \]</p> <p>으로부터 자유변수를 $ x_ { 3 } =s, x_ { 4 } =t $ 로 두면 \[ x_ { 1 } =-2 t, x_ { 2 } =-s-3 t \] 이므로 해공간은 두 벡터 $ w_ { 1 } =(0,-1,1,0), w_ { 2 } =(-2,-3,0,1) $ 에 의해 생성된다. 따라서 $ W ^ {\perp } $ 의 기저는 $ \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } \right \} $ 이다.</p> <p>벡터공간에서 노름은 내적과 독립적으로 정의할 수 있다. 벡터공간 $ V $ 에서 각 벡터 $ v \in V $ 에 다음 성질을 갖는 양의 실수 $ \\|v \\| $ 를 배정하는 함수를 $ V $ 위에서 정의된 노름(norm)이라고 하고 이러한 노름을 반영한 벡터공간을 노름공간(normed space)이라고 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>$ \\|v \\| \geq 0, \forall v \in V ; \\|v \\|=0 \Leftrightarrow v=0 $ (양성)</li> <li>$ \\|k v \\|=\|k\| \\|v \\|, \quad \forall k \in \mathbb { R } , v \in V $ (동차성)</li> <li>$ \\|u + v \\| \leq \\|u \\| + \\|v \\|, \quad \forall u, v \in V $ (삼각부등식)</li></ol> <p>벡터공간에서 목적에 따라 다양한 노름을 부여하는 것이 가능하다. 예를 들면, $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 벡터 $ u= \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { n } \right ) $ 에 대해서 \[ \\|u \\|_ { 1 } = \left \|u_ { 1 } \right \| + \left \|u_ { 2 } \right \| + \cdots + \left \|u_ { n } \right \| \] 는 노름의 모든 성질을 만족함을 쉽게 확인할 수 있다. 이를 $ l_ { 1 } - $ 노름이라고 한다.</p> <p>다른 중요한 경우로는 \[ \\|u \\|_ {\infty } = \max _ { 1 \leq i \leq n } ^ {\left \|u_ { i } \right \| } \] 로서 이를 $ \ell_ {\infty } - $ 노름, 또는 평등노름(uniform norm)이라고 한다. 유클리드 내적에 의해 유도된노름은 다음과 같이 $ l_ { 2 } - $ 노름으로 나타난다. \[ \\|u \\|_ { 2 } = \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|u_ { i } \right \| ^ { 2 } \right ) ^ { 1 / 2 } = \sqrt { u \cdot u } \]</p> <p>풀이</p> <p>$ \begin {aligned} \langle u, v \rangle_ { A } &=A u \cdot A v=v ^ { t } A ^ { t } A u \\ &= \left [v_ { 1 } v_ { 2 } \cdots v_ { n } \right ] \left [ \begin {array} { cccc } \sqrt {\omega_ { 1 } } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt {\omega_ { 2 } } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sqrt {\omega_ { n } } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cccc } \sqrt {\omega_ { 1 } } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt {\omega_ { 2 } } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sqrt {\omega_ { n } } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } u_ { 1 } \\ u_ { 2 } \\ \vdots \\ u_ { n } \end {array} \right ] \\ &= \omega_ { 1 } u_ { 1 } v_ { 1 } + \omega_ { 2 } u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + \omega_ { n } u_ { n } v_ { n } = \langle u, v \rangle_ {\omega } . \end {aligned} $</p> <p>내적공간 $ V $ 상에서 정의된 내적 $<,>$ 에 대해서 $ \\|v \\|= \sqrt {\langle v, v \rangle } $ 로 정의하면 $ \\|v \\| $ 는 벡터 $ v $의 길이(length), 또는 크기 (size)를 나타내는 장치자로 쓰이며 다음 성질에 의해 벡터 $ V $ 상에서 노름을 이룸을 알 수 있다. 이를 내적에 의해 유도된 자연노름(natural norm)이라고 한다.</p> <p>정리 5.1</p> <p>$ V $ 가 $<,>$을 내적으로 하는 내적공간일 때 $ \\|v \\|= \sqrt {\langle v, v \rangle } $ 로 정의된 양의 실수에 대해 다음 부등식이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>(코시-슈바르츠 부등식 : Cauchy-Schwarz inequality) $ \| \langle u, v \rangle\| \leq \\|u \\| \\|v \\|, \quad \forall u, v \in V $</li> <li>(삼각부등식 : triangle inequality) $ \\|u + v \\| \leq \\|u \\| + \\|v \\|, \quad \forall u, v \in V $</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>임의의 실수 $ t $ 에 대해 \[ \begin {aligned} 0 \leq \\|u-t v \\| ^ { 2 } &= \langle u-t v, u-t v \rangle \\ &= \langle u, u \rangle-2 t \langle u, v \rangle + t ^ { 2 } \langle v, v \rangle \end {aligned} \] 가 성립하므로 $ t $ 에 관한 2 차식의 판별식에 의해 \[ \langle u, v \rangle ^ { 2 } - \\|u \\| ^ { 2 } \\|v \\| ^ { 2 } \leq 0 \] 이고, 이항하여 제곱근을 취하면 (1)의 결과가 얻어진다.</li> <li>코시-슈바르츠 부등식을 이용하면 \[ \begin {aligned} \\|u + v \\| ^ { 2 } =& \langle u + v, u + v \rangle \\ =& \langle u, u \rangle + 2 \langle u, v \rangle + \langle v, v \rangle \\ & \leq \\|u \\| ^ { 2 } + 2 \\|u \\| \\|v \\| + \\|v \\| ^ { 2 } \\ =&( \\|u \\| + \\|v \\|) ^ { 2 } \end {aligned} \] 으로부터 삼각부등식이 성립한다.</li></ol> <p>코시-슈바르츠 부등식에 의하면 영이 아닌 두 벡터 $ u $ 와 $ v $ 에 대하여 \[ -1 \leq \frac {\langle u, v \rangle } {\\|u \\| \\|v \\| } \leq 1 \] 이므로 다음 조건을 만족하는 실수 $ \theta $ 가 단 하나 존재한다. \[ \cos \theta= \frac {\langle u, v \rangle } {\\|u \\| \\|v \\| } , 0 \leq \theta \leq \pi \] 이와 같이 정의한 $ \theta $ 는 벡터의 사잇각(intersection angle)을 정의하기 위해 사용할 수 있다.</p> <p>정리 5.19에 의해 $ A \in M_ { m, n } $ 에서 $ \operatorname { rank } (A)<n $ 이면 과결정시스템에 대한 최소제곱해는 유일하지 않다. 이때 $ \operatorname { rank } (A)<n $ 일 때에도 (LSP)의 유의미한 해를 유일하게 고정하기 위하여 해에 다음의 부가적인 조건을 첨가한다. \[ x \in N(A) ^ {\perp } =R \left (A ^ { t } \right ) \] 그러면 정리 5.19 의 증명과정에서 $ A x=0 $ 이면 \[ x \in N(A) \cap N(A) ^ {\perp } = \{ 0 \} \Rightarrow x=0 \] 이 되어 해의 유일성을 확보할 수 있게 된다.</p> <p>주어진 행렬 $ A $ 에 대해 $ x=A ^ {\prime } b $ 가 다음을 만족할 때, $ A ^ {\prime } $ 을 행렬 $ A $ 의 최소제곱유사역원(the least squares pseudo inverse), 또는 간략히 유사역원(pseudo inverse)이라고 한다.</p> <ol type= start=1><li>$ A ^ { t } A x=A ^ { t } b \left (x=A ^ {\prime } b \right . $ 가 정규방정식의 해 $ ) $</li> <li>$ x=A ^ {\prime } b \in R \left (A ^ { t } \right ) $ (해의 유일성을 위한 추가 조건)</li></ol> <p>만일 $ A $ 가 가역이면 $ \left (A ^ { t } A \right ) $ 는 가역이고 이에 따라 \[ A ^ {\prime } = \left (A ^ { t } A \right ) ^ { -1 } A ^ { t } =A ^ { -1 } A ^ { -t } A ^ { t } =A ^ { -1 } \] 이므로 행렬의 유사역원은 역행렬 $ A ^ { -1 } $ 의 일반화로 간주할 수 있다. 한편, 유사역원 조건 (1) 과 (2)에 따라 추정한 $ A ^ {\prime } $ 이 $ A $ 의 유사역원임을 \[ A ^ { t } A A ^ {\prime } =A ^ { t } \] 를 통해 검증할 수 있다. 정의에 따라 행렬 $ A \in M_ { m, n } $ 의 유사역원 $ A ^ {\prime } $ 을 구하는 기본적인 과정을 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>일단계 : $ b \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해 $ b $ 의 $ R(A) $ 로의 성분 $ b_ { r } $ 을 구한다.</li> <li>이단계 : $ A x ^ { * } =b_ { r } $ 인 $ x ^ { * } \in R \left (A ^ { t } \right ) $ 를 구한다. $ \Rightarrow x ^ { * } =A ^ {\prime } b $ 로부터 유사역원 $ A ^ {\prime } $ 을 도출한다.</li> <li>삼단계 : (검증) $ A ^ { t } A A ^ {\prime } =A ^ { t } $ 이 성립함을 확인한다.</li></ol> <p>예제 5.17</p> <p>일반적으로 각 성분에 가중값을 두어 유클리드 내적을 다음과 같이 확장할 수 있다. 주어진 양의 실수 $ \omega_ { 1 } , \omega_ { 2 } , \cdots, \omega_ { n } $ 에 대해서 $ u= \left (u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right ), v= \left (v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } $ 일 때 \[ \langle u, v \rangle_ {\omega } = \omega_ { 1 } u_ { 1 } v_ { 1 } + \omega_ { 2 } u_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + \omega_ { n } u_ { n } v_ { n } \] 은 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 내적을 이룸을 쉽게 확인할 수 있다. 이를 기증 우르리드 내즈 (weighted Euclidean inner product)이라 하고 각 $ j $ 에 대해 $ \omega_ { j } $ 를 $ j $-성분에 대한 기족 (weight)이라 한다. 또한 $ n \times n $ 정사각행렬 $ A= \left [a_ { i j } \right ] $ 가 가역이면 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 유클리드 내적에 의해 다음과 같이 정의된 값은 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서 내적을 이룬다. 이를 \[ \langle u, v \rangle_ { A } :=A u \cdot A v=v ^ { t } A ^ { t } A u \] 이때 단위행렬 $ I_ { n } $ 에 의해 생성된 내적이 유클리드 내적임은 자명하다.</p> <p>예제 5.3</p> <p>가중 유클리드 내적은 대각행렬 $ A= \left [ \begin {array} { cccc } \sqrt {\omega_ { 1 } } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sqrt {\omega_ { 2 } } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sqrt {\omega_ { n } } \end {array} \right ] $ 에 의해 생성된 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에서의 내적임을 보여라.</p> <p>증명</p> <p>\[ x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { k-1 } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ x_ { k } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ]:= \widetilde { x_ { 1 } } + \widetilde { x_ { 2 } } \] 이라 두면, $ u_ { k } ^ { t } \widetilde { x_ { 1 } } =0 $ 이고 $ 2 \frac { u_ { k } ^ { t } \widetilde { x_ { 2 } } } {\left \\|u_ { k } \right \\| ^ { 2 } } =1 $ 이므로 \[ P_ { k } \left ( \widetilde { x_ { 1 } } \right )= \widetilde { x_ { 1 } } -2 \frac { u_ { k } \left (u_ { k } ^ { t } \widetilde { x_ { 1 } } \right ) } {\left \\|u_ { k } \right \\| ^ { 2 } } = \widetilde { x_ { 1 } } , \quad P_ { k } \left ( \widetilde { x_ { 2 } } \right )=- \alpha_ { k } e_ { k } \] 따라서 \[ P_ { k } (x)=P_ { k } \left ( \tilde { x_ { 1 } } + \widetilde { x_ { 2 } } \right )=P_ { k } \left ( \tilde { x_ { 1 } } \right ) + P_ { k } \left ( \tilde { x_ { 2 } } \right )= \widetilde { x_ { 1 } } - \alpha_ { k } e_ { k } \] 로부터 결과가 얻어진다.</p> <p>정리 5.16의 (4)에서 변환에 따른 수치계산의 안정성을 위해 $ P $ 를 구성하기 위한 벡터 $ u=x + \alpha e_ { 1 } , \quad( \alpha= \pm \\|x \\|) $ 의 선정에서 $ \alpha $ 의 부호를 $ \operatorname { sgn } \left (x_ { 1 } \right ) $ 과 일치하도록 표준화하면 대응 하는 하우스홀더 변환은 \[ x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ] \stackrel { P=I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } } {\longrightarrow } P x= \left [ \begin {array} { c } - \alpha \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \] 로 구현된다. 이때 이와 같은 $ P x=x-2 \frac { u \left (u ^ { t } x \right ) } {\\|u \\| ^ { 2 } } $ 의 계산을 수행하기 위해 행렬을 생성하는 대신 두 내적 $ u ^ { t } x= \langle u, x \rangle $ 와 $ \\|u \\| ^ { 2 } = \langle u, u \rangle $ 의 계산이 요구됨에 유의한다.</p> <p>정리 5.17 $ x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { m } $ 을 $ k $ 째 성분이 $ x_ { k } \neq 0 $ 인 벡터라 하면 \[ u_ { k } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ \vdots \\ 0 \\ x_ { k } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ] + \alpha_ { k } e_ { k } , \left ( \alpha_ { k } = \operatorname { sgn } \left (x_ { k } \right ) \sqrt {\sum_ { j=k } ^ { m } x_ { j } ^ { 2 } } \right ) \] 에 대해 $ P_ { k } =I_ { m } -2 \frac { u_ { k } u_ { k } ^ { t } } {\left \\|u_ { k } \right \\| ^ { 2 } } $ 에 의한 $ x $ 의 변환은 다음과 같이 구현된다. \[ x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { k-1 } \\ x_ { k } \\ x_ { k + 1 } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ] \stackrel { P_ { k } =I_ { m } -2 \frac { u_ { k } u_ { k } ^ { t } } {\left \\|u_ { k } \right \\| ^ { 2 } } } {\longrightarrow } \quad P_ { k } x= \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \vdots \\ x_ { k-1 } \\ - \alpha_ { k } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \]</p> <p>예제 5.10</p> <p>유클리드 내적공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 벡터 $ v_ { 1 } =(1,1,1), v_ { 2 } =(0,1,1), v_ { 3 } =(0,0,1) $ 에 의해 생성되는 정규직교기저를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>$ \left \| \left [v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right ] \right \|= \left \| \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end {array} \right \|=1 \neq 0 $ 이므로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } $ 는 일차독립이고 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 기저를 이룬다. $ \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} $ 에 의해 생성되는 정규직교기저 $ \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \right \} $ 를 구하기 위해 직교화 과정을 아래와 같이 순차적으로 적용한다. \[ \begin {aligned} u_ { 1 } &=v_ { 1 } =(1,1,1) ; e_ { 1 } = \frac { u_ { 1 } } {\left \\|u_ { 1 } \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } (1,1,1), \\ u_ { 2 } &=v_ { 2 } - \left (v_ { 2 } \cdot e_ { 1 } \right ) e_ { 1 } \\ &=(0,1,1)- \frac { 2 } { 3 } (1,1,1)= \frac { 1 } { 3 } (-2,1,1) ; \\ e_ { 2 } &= \frac { u_ { 2 } } {\left \\|u_ { 2 } \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 6 } } (-2,1,1), \end {aligned} \]</p> <p>$ \begin {aligned} u_ { 3 } &=v_ { 3 } - \left (v_ { 3 } \cdot e_ { 1 } \right ) e_ { 1 } - \left (v_ { 3 } \cdot e_ { 2 } \right ) e_ { 2 } \\ &=(0,0,1)- \frac { 1 } { 3 } (1,1,1)- \frac { 1 } { 6 } (-2,1,1) \\ &= \frac { 1 } { 2 } (0,-1,1) \\ e_ { 3 } &= \frac { u_ { 3 } } {\left \\|u_ { 3 } \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (0,-1,1) . \end {aligned} $ $ \begin {aligned} u_ { 3 } &=v_ { 3 } - \left (v_ { 3 } \cdot e_ { 1 } \right ) e_ { 1 } - \left (v_ { 3 } \cdot e_ { 2 } \right ) e_ { 2 } \\ &=(0,0,1)- \frac { 1 } { 3 } (1,1,1)- \frac { 1 } { 6 } (-2,1,1) \\ &= \frac { 1 } { 2 } (0,-1,1) \\ e_ { 3 } &= \frac { u_ { 3 } } {\left \\|u_ { 3 } \right \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (0,-1,1) . \end {aligned} $</p> <p>수반사상의 정의로부터 $ T ^ { * * } := \left (T ^ { * } \right ) ^ { * } $ 에 대해 $ T ^ { * * } =T $ 임은 자명하다.</p> <p>정리 5.5 부분공간의 기본정리(Fundamental subspaces theorem)</p> <p>선형사상 $ T: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 과 수반사상 $ T ^ { * } : \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해서 다음이 성립한다. \[ N \left (T ^ { * } \right )=R(T) ^ {\perp } , R \left (T ^ { * } \right )=N(T) ^ {\perp } \]</p> <p>증명</p> <p>$ y \in N \left (T ^ { * } \right ) $ 이면 $ T ^ { * } y=0 $ 이고 $ \left \langle x, T ^ { * } y \right \rangle=0, \forall x \in \mathbb { R } ^ { m } $. 따라서 \[ 0= \left \langle x, T ^ { * } y \right \rangle= \langle T x, y \rangle, \forall x \in \mathbb { R } ^ { m } \] 이고, $ y \in R(T) ^ {\perp } $ 이므로 $ N \left (T ^ { * } \right ) \subset R(T) ^ {\perp } $ 가 성립한다. 한편, $ y \in R(T) ^ {\perp } $ 이면 $ \langle T x, y \rangle=0, \forall x \in \mathbb { R } ^ { m } $. 따라서 \[ 0= \langle T x, y \rangle= \left \langle x, T ^ { * } y \right \rangle, \forall x \in \mathbb { R } ^ { m } \] 이 성립하므로 \[ \left \\|T ^ { * } y \right \\| ^ { 2 } = \left \langle T ^ { * } y, T ^ { * } y \right \rangle=0 \Rightarrow T ^ { * } y=0 \] 이고, $ y \in N \left (T ^ { * } \right ) $ 이므로 $ R(T) ^ {\perp } \subset N \left (T ^ { * } \right ) $ 이다. 이 두 결과를 종합하여 \[ N \left (T ^ { * } \right )=R(T) ^ {\perp } \] 를 얻는다. 두 번째 결과는 첫 번째 결과에 직교여집합을 취하면 정리 5.12에</p> <p>$ \ell_ { 1 } $ 이나 $ \ell_ {\infty } $-노름은 내적에 의해 유도되지 않음에 주목하라. 따라서 수직성에 대한 피타고라스 정리가 성립하지 않는다. 예를 들어, $ u=(2,1), v=(-2,4) $ 는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서 서로 수직이다. 그러나</p> <p>\[ \\|u \\|_ { 1 } ^ { 2 } + \\|v \\|_ { 1 } ^ { 2 } =3 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } =45 \] 이지만 \[ \\|u + v \\|_ { 1 } ^ { 2 } =5 ^ { 2 } =25 \] 이므로 $ \\|u + v \\|_ { 1 } ^ { 2 } \neq \\|u \\|_ { 1 } ^ { 2 } + \\|v \\|_ { 1 } ^ { 2 } $ 이다. 한편, 내적에 의해 유도되는 $ \ell_ { 2 } $-노름에서는 \[ \\|u \\|_ { 2 } ^ { 2 } + \\|v \\|_ { 2 } ^ { 2 } =5 + 20=25= \\|u + v \\|_ { 2 } ^ { 2 } \] 로서 피타고라스 정리가 성립한다.</p> <p>$ T: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 이 선형사상일 때 다음과 같이 내적 관계에 의해 정의된 사상 $ T ^ { * } $ : $ \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } $ 를 $ T $ 의 수반사상(adjoint mapping)이라고 한다. \[ \langle T x, y \rangle= \left \langle x, T ^ { * } y \right \rangle, \quad \forall x \in \mathbb { R } ^ { m } , y \in \mathbb { R } ^ { n } \]</p> <p>보조정리 5.4</p> <p>선형사상 $ T: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 의 수반사상 $ T ^ { * } : \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } $ 는 선형사상이다.</p> <h1>5.1 내적공간</h1> <p>벡터공간을 다루는데 있어서 내적은 벡터의 크기뿐만 아니라 벡터의 사잇각 등 벡터사이의 위치관계를 나타내는 주요한 소재이다.</p> <p>$ V $를 벡터공간이라 하자. $ V \times V $에 다음과 같은 성질을 갖는 실수 $<,>$를 배정하는 함수를 $ V $ 위에서 정의된 내 (inner product)이라고 하고, 이러한 내적을 반영한 벡터공간을 (inner product space)이라고 한다. 복소내적공간은 제7장에서 따로 다루고 별도의 언급이 없는 한 내적공간을 실수내적공간으로 간주한다.</p> <ol type = 1 start=1><li>$ \langle v, v \rangle \geq 0, \forall v \in V ; \langle v, v \rangle=0 \Leftrightarrow v=0 $ (양성)</li> <li>$ \langle u, v \rangle= \langle v, u \rangle, \forall u, v \in V $ (가환성)</li> <li>$ \langle k u, v \rangle=k \langle u, v \rangle= \langle u, k v \rangle,(k \in \mathbb { R } , u, v \in V) $ (동차성)</li> <li>$ \langle u + v, w \rangle= \langle u, w \rangle + \langle v, w \rangle, \forall u, v, w \in V $ (분배성)</li></ol> <p>예제 5.1</p> <p>$ 2 \times 2 $ 대칭행렬 $ A= \left [ \begin {array} { ll } 3 & 2 \\ 2 & 4 \end {array} \right ] $ 와 $ u= \left [ \begin {array} { l } u_ { 1 } \\ u_ { 2 } \end {array} \right ], v= \left [ \begin {array} { l } v_ { 1 } \\ v_ { 2 } \end {array} \right ] \in \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에 대해서 다음과 같 이 정의된 함수는 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 상에서 내적을 이룸을 보여라. \[ \langle u, v \rangle=u ^ { t } A v=3 u_ { 1 } v_ { 1 } + 2 u_ { 1 } v_ { 2 } + 2 u_ { 2 } v_ { 1 } + 4 u_ { 2 } v_ { 2 } \]</p> <p>내적공간의 주요 특징 중의 하나는 직교성을 부여할 수 있다는 데 있다. 내적공간 $ V $의 두 원소 $ u $와 $ v $는 $ \langle u, v \rangle=0 $이면 내적 $<,>$에 대해 서로 직교(orthogonal)한다고 말한다. 벡터의 직교성은 두 벡터를 직각을 이루는 변으로 하는 직각삼각형에 대한 다음의 피타고라스 정리로부터 쉽게 확인할 수 있다.</p> <p>정리 5.2 피타고라스 정리</p> <p>$ V $ 가 $<,>$ 을 내적으로 하는 내적공간일 때, 영이 아닌 두 벡터 $ u, v \in V $ 가 서로 직교 할 필요충분조건은 $ \\|u + v \\| ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } + \\|v \\| ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>그림 5.1에서처럼 $ u $와 $ v $가 서로 수직인 변을 이루는 벡터라면 $ u + v $는 직각삼각형의 빗변에 해당한다. 따라서 직각삼각형에 대한 피타고라스 정리로부터 \[ \\|u + v \\| ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } + \\|v \\| ^ { 2 } \]을 얻는다. 이때 \[ \begin {aligned} \\|u + v \\| ^ { 2 } &= \langle u + v, u + v \rangle \\ &= \\|u \\| ^ { 2 } + 2 \langle u, v \rangle + \\|v \\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 이므로 $ u $와 $ v $가 서로 수직인 벡터이면 $ u $와 $ v $가 서로 수직인 변을 이루는 벡터의 내적은 $ \langle u, v \rangle=0 $이다. 역으로 $ \langle u, v \rangle=0 $이면 $ \\|u + v \\| ^ { 2 } = \\|u \\| ^ { 2 } + \\|v \\| ^ { 2 } $ 이므로 $ u $와 $ v $는 직교한다.</p> <p>예제 5.4</p> <p>구간 $ [-1,1] $ 에서 연속인 함수의 공간 $ C([-1,1]) $ 에서 내적이 다음과 같이 정의되어 있다. \[ \langle f, g \rangle= \int_ { -1 } ^ { 1 } f(x) g(x) d x \] $ x $ 와 $ x ^ { 2 } $ 가 서로 직교함을 보이고 $ x + x ^ { 2 } $ 의 노름을 구하라.</p> <p>다음 행렬 $ A $ 의 $ Q R $ 분해를 이용하여 행렬의 유사역원을 구하라. \[ A= \left [ \begin {array} { rr } 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이</p> <ul> <li>(일단계) $ A $ 의 $ Q R $ 분해 : 예제 $ 5.13 $ 의 결과에 의해 $ A $ 의 $ Q R $ 분해는 다음과 같다. \[ A=Q R:: Q= \left [ \begin {array} { rr } - \frac { 2 } { 3 } - \frac { 1 } { 3 } & \frac { 2 } { 3 } \\ - \frac { 1 } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } & - \frac { 2 } { 3 } \\ \frac { 2 } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right ], R= \left [ \begin {array} { rr } -3 & 1 \\ 0 & -2 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \]</li> <li>(이단계) $ R x ^ { * } =Q ^ { t } b $ 풀기 : 주어진 $ b= \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ b_ { 3 } \end {array} \right ] $ 에 대해서 \[ \begin {array} { l } R x ^ { * } =Q ^ { t } b \Rightarrow \left \{\begin {array} { r } -3 x_ { 1 } + x_ { 2 } =- \frac { 2 } { 3 } b_ { 1 } - \frac { 1 } { 3 } b_ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } b_ { 3 } \\ -2 x_ { 2 } =- \frac { 1 } { 3 } b_ { 1 } - \frac { 2 } { 3 } b_ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } b_ { 3 } \end {array} \right . \\ \Rightarrow x ^ { * } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } \frac { 5 } { 18 } & \frac { 2 } { 9 } - \frac { 1 } { 9 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ b_ { 3 } \end {array} \right ]:=R ^ {\prime } Q ^ { t } b \end {array} \]</li> <li>(삼단계) $ A ^ {\prime } $ 의 도출 : 이단계의 결과로부터 \[ x ^ { * } = \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 5 } { 18 } & \frac { 2 } { 9 } & - \frac { 1 } { 9 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ b_ { 3 } \end {array} \right ]=A ^ {\prime } b \]</li></ul> <p>$ \Rightarrow A ^ {\prime } =R ^ {\prime } Q ^ { t } = \left [ \begin {array} { ccc } \frac { 5 } { 18 } & \frac { 2 } { 9 } & - \frac { 1 } { 9 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right ] $.</p> <h1>최소제곱문제와 최적화</h1> <p>2차원 데이터를 해석하는 방법으로 최소제곱에 의한 최적해를 구하는 방법을 생각할 수 있다.최소제곱문제는 일반적으로 과결정인 연립일차방정식으로 형식화 할 수 있다. 과결정시스템(over-determined system of linear equations)은 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많은연립일차방정식을 뜻한다.</p> <p>과결정시스템 $ A x=b ; A \in M_ { m, n } ,(m>n) $ 에서 $ A $ 와 $ b $ 가 주어질 때 이 시스템을 의미 있게 하기 위해 $ A x $ 와 $ b $ 가 $ m $-벡터이므로 아래와 같이 이 두 벡터 간의 거리를 최소로 하는 벡터 $ x ^ { * } $ 를 구하는 추시무눈 (the least squares problem : 간단히 LSP)로 환원해서 생각할 수 있다. 이러한 방식을 데이터의 해석에 대한 (the least squares method)이라고 한다.</p> <p>(LSP) $ \quad \min _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \\|A x-b \\|= \left \\|A x ^ { * } -b \right \\| $ 를 만족하는 $ x ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 을 구하라.</p> <p>최소제곱방법에 대한 전형적인 활용 사례로는 2차원 데이터에 가장 근접한 곡선을 구하는 문제를 들 수 있다. 이 곡선을 데이터 점으로부터 거리가 최소인 자묵(itting curve)이라고 한다. 예를 들어, 평면상에 $ m + 1 $ 개의 데이터 $ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \cdots, \left (x_ { m } , y_ { m } \right ) $ 가 주어져 있을 때 주어진 $ y $-데이터와 거리가 가장 가까운 직선 \[ y=p_ { 1 } (x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x \] 를 구하는 문제를 생각해 보자.</p> <p>이 문제의 경우 목적함수 $ \sum_ { j=0 } ^ { m } \left (y_ { j } -p_ { 1 } \left (x_ { j } \right ) \right ) ^ { 2 } $ 가 최소인 $ p_ { 1 } (x) $ 를 구하기 위해 \[ E \left (c_ { 0 } , c_ { 1 } \right ):= \sum_ { j=0 } ^ { m } \left (y_ { j } -p_ { 1 } \left (x_ { j } \right ) \right ) ^ { 2 } = \sum_ { j=0 } ^ { m } \left (y_ { j } -c_ { 0 } -c_ { 1 } x_ { j } \right ) ^ { 2 } \] 가 $ c_ { 0 } $ 와 $ c_ { 1 } $ 에 대한 함수로서 최소가 될 필요조건은 임계점이어야 하므로 각각 $ c_ { 0 } $ 와 $ c_ { 1 } $ 에 대해 미분을 취해서 0 으로 두면 \[ \begin {array} { l } \left \{\begin {array} { l } c_ { 0 } \text { 에 대해 미분 : } 2 \sum_ { j=0 } ^ { m } \left (y_ { j } -c_ { 0 } -c_ { 1 } x_ { j } \right )(-1)=0 \\ c_ { 1 } \text { 에 대해 미분 : } 2 \sum_ { j=0 } ^ { m } \left (y_ { j } -c_ { 0 } -c_ { 1 } x_ { j } \right ) \left (-x_ { j } \right )=0 \\ \Rightarrow \left \{\begin {array} { cc } c_ { 0 } \sum_ { j=0 } ^ { m } 1 + c_ { 1 } \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } = \sum_ { j=0 } ^ { m } y_ { j } \\ c_ { 0 } \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } + c_ { 1 } \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } ^ { 2 } = \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } y_ { j } \end {array} \right . \\ \Rightarrow \left [ \begin {array} { ll } \sum_ { j=0 } ^ { m } 1 & \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } \\ \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } & \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } ^ { 2 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } \sum_ { j=0 } ^ { m } y_ { j } \\ \sum_ { j=0 } ^ { m } x_ { j } y_ { j } \end {array} \right ] \end {array} \right . \end {array} \] 인 연립일차방정식을 얻는다. 이 연립방정식을 풀어 적합직선을 구할 수 있다.</p> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>$ \left \langle x, e_ { k } \right \rangle= \sum_ { j=1 } ^ { n } c_ { j } \left \langle e_ { j } , e_ { k } \right \rangle= \sum_ { j=1 } ^ { n } c_ { j } \delta_ { j k } =c_ { k } $.</li> <li>$ x= \sum_ { j=1 } ^ { n } c_ { j } e_ { j } =0 $ 으로 두면 각 $ c_ { j } = \left \langle 0, e_ { j } \right \rangle=0 $ 이므로 $ S $ 는 일차독립이다.</li></ol> <p>정리 5.9</p> <p>$ V $ 가 내적공간이고 $ S= \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { m } \right \} $ 를 $ V $ 내에서 정규직교집합이라 하자. $ W=S P \langle S \rangle $ 를 $ S $ 에 의해 생성된 $ V $ 의 부분공간이라 하면 각 벡터 $ v \in V $ 는</p> <p>\[ v=v ^ {\prime } + v ^ {\prime \prime } , \quad \left (v ^ {\prime } \in W, v ^ {\prime \prime } \in W ^ {\perp } \right ) \] 으로 유일하게 표현할 수 있다. 이때 \[ v ^ {\prime } = \sum_ { j=1 } ^ { m } \left \langle v, e_ { j } \right \rangle e_ { j } \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ v ^ {\prime } = \sum_ { j=1 } ^ { m } \left \langle v, e_ { j } \right \rangle e_ { j } $ 은 명백히 $ W $ 의 원소이다. 이제 $ v ^ {\prime \prime } =v-v ^ {\prime } $ 이 $ W $ 와 직교 함을 보이자. 정리 $ 5.8 $ 에 의해 각 $ k $ 에 대해 $ \left \langle v ^ {\prime } , e_ { k } \right \rangle= \left \langle v, e_ { k } \right \rangle $ 이므로 \[ \left \langle v ^ {\prime \prime } , e_ { k } \right \rangle= \left \langle v, e_ { k } \right \rangle- \left \langle v ^ {\prime } , e_ { k } \right \rangle=0 . \] $ w \in W $ 이면 $ w $ 는 $ S $ 의 일차결합으로서 $ w= \sum_ { k=1 } ^ { m } c_ { k } e_ { k } $ 의 형태로 쓸 수 있다. 따 라서 \[ \left \langle v ^ {\prime \prime } , w \right \rangle= \sum_ { k=1 } ^ { m } c_ { k } \left \langle v ^ {\prime \prime } , e_ { k } \right \rangle=0 \] 이고 $ v ^ {\prime \prime } \in W ^ {\perp } $ 이다. 이제 $ v $ 가 $ W $ 와 $ W ^ {\perp } $ 의 원소의 합으로 유일하게 표현됨을 보이자. 이를 위해 \[ v=v_ { 1 } { } ^ {\prime } + v_ { 1 } { } ^ {\prime \prime } =v_ { 2 } { } ^ {\prime } + v_ { 2 } { } ^ {\prime \prime } , \quad \left (v_ { 1 } { } ^ {\prime } , v_ { 2 } { } ^ {\prime } \in W, v_ { 1 } { } ^ {\prime \prime } , v_ { 2 } { } ^ {\prime \prime } \in W ^ {\perp } \right ) \] 이라고 하면 \[ v_ { 1 } { } ^ {\prime } -v_ { 2 } { } ^ {\prime } =v_ { 2 } { } ^ {\prime \prime } -v_ { 1 } { } ^ {\prime \prime } \in W \cap W ^ {\perp } \] 이다. 이때 정리 $ 5.3 $ 에 의해 $ W \cap W ^ {\perp } = \{ 0 \} $ 이므로 $ v_ { 1 } { } ^ {\prime } =v_ { 2 } { } ^ {\prime } , v_ { 1 } { } ^ {\prime \prime } =v_ { 2 } { } ^ {\prime \prime } $ 이 되어 유일성이 증명된다.</p> <p>따라서 부분공간의 기본정리의 직접적인 결과로서 행렬의 행계수와 열계수가 서로 일치한 다는 정리 3.17을 확인할 수 있다.</p> <p>정리 5.7</p> <p>선형사상 $ T: \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대해서 다음 동치관계가 성립한다.<ol type=1 start=1><li>$ T $ 는 일대일이다.</li> <li>$ T $ 는 전사이다.</li> <li>$ T ^ { * } $ 는 일대일이다.</li> <li>$ T ^ { * } $ 는 전사이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <ul> <li>(1)$ \Leftrightarrow$(2) : 정리 4.3의 (3)에 의해서 \[ \operatorname { dim } (N(T)) + \operatorname { dim } (R(T))=n \] 이 성립한다. 따라서 $ T $ 가 일대일이면 $ N(T)= \{ 0 \} $ 이고 $ \operatorname { dim } (N(T))=0 $ 이므로 $ \operatorname { dim } (R(T))=n $ 이 되어 $ R(T)= \mathbb { R } ^ { n } $ 이다. 역으로 $ T $ 가 전사이면 $ \operatorname { dim } (R(T))=n $ 이므로 $ \operatorname { dim } (N(T))=0 $ 이 되어 $ T $ 는 일대일이다.</li> <li>(3)$\Leftrightarrow$(4) : 선형인 수반사상 $ T: \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대해서 역시 \[ \operatorname { dim } \left (N \left (T ^ { * } \right ) \right ) + \operatorname { dim } \left (R \left (T ^ { * } \right ) \right )=n \] 이 성립하므로 위의 경우와 같이 동치관계가 성립한다.</li> <li>(2)$ \Leftrightarrow$(4) : 정리 5.6의 직접적인 결과이다.</li></ul> <p>규직교기저(orthonormal basis)라고 한다.</p> <p>예제 5.6</p> <p>$ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 정의된 벡터 $ v_ { 1 } =(0,1,0)$, $v_ { 2 } =(1,0,1)$, $v_ { 3 } =(-1,0,1) $ 은 서로 직교함을 보이고 이를 정규직교집합으로 전환하라.</p> <p>풀이</p> <p>증명</p> <p>$ V $ 가 $ n $ 차원 벡터공간이고 $ W $ 를 $ \operatorname { dim } (W)=m $ 인 $ V $ 의 부분공간이라 하면 정리 5.10에 의해 $ e_ { m + 1 } , \cdots, e_ { n } $ 이 $ W ^ { + } $의 기저가 되는 직교집합이 존재한다.</p> <p>이때 \[ T_ { j } : V \rightarrow \mathbb { R } ; T_ { j } (x)= \left \langle x, e_ { j } \right \rangle,(j=m + 1, \cdots, n) \] 은 선형사상으로서 각 $ j=m + 1, \cdots, n $ 에 대해서 \[ V_ { j } = \left \{ e_ { j } \right \} ^ {\perp } =N \left (T_ { j } \right ) \] 는 $ (n-1) $ 차원인 $ V $ 의 부분공간을 이룬다. 따라서 \[ \begin {aligned} W &=W ^ {\perp + } =S P \left \langle e_ { m + 1 } , \cdots, e_ { n } \right \rangle ^ {\perp } \\ &= \bigcap_ { j=m + 1 } ^ { n } S P \left \langle e_ { j } \right \rangle ^ {\perp } = \bigcap_ { j=m + 1 } ^ { n } V_ { j } \end {aligned} \] 가 되어 정리가 성립한다.</p> <p>정리 $ 5.13 $ 에 의해 $ \Pi $ 가 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 에 놓이는 $ m $ 차원 평면이면 $ \Pi $ 상의 한 점 $ a $ 에 대해서 평면 $ \Pi $ 는 \[ \left \langle x-a, n_ { j } \right \rangle=0,(j=1,2, \cdots, n-m) \] 을 만족하는 $ n-m $ 개의 일차독립인 방향벡터 $ n_ { j } $ 에 의해 결정된다. 이 벡터를 평면 $ \Pi $ 에 법선벡터(normal vector)라고 한다.</p> <p>정리 5.11에 의해 내적공간 $ V $ 는 부분공간 $ W $ 에 대해서 직교여집합 $ W ^ {\perp } $ 의 직합 \[ V=W \oplus W ^ {\perp } \] 으로 나타낼 수 있다.</p> <p>예제 5.7</p> <p>$ A $ 가 $ m \times n $ 행렬일 때 제차 연립일차방정식 $ A x=0 $ 의 해공간의 차원은 $ n- \operatorname { rank } (A) $ 임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>해공간을 $ W $ 라고 하면 $ W $ 는 $ \mathbb { R } ^ { n } $ 의 부분공간이고, $ x \in W $ 이면 각 $ i=1, \cdots $, $ m $ 에 대해 $ (A x)_ { (i) } =A_ { (i) } x=0 $ 이므로 $ W $ 는 $ A $ 의 행공간의 직교여집합이다. 따라서 \[ n= \operatorname { dim } (W) + \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp } \right )= \operatorname { dim } (W) + \operatorname { rank } (A) \] 로부터 \[ \operatorname { dim } (W)=n- \operatorname { rank } (A) \] 이다.</p> <p>정리 5.12</p> <p>내적공간 $ V $ 의 임의의 부분공간 $ W $ 에 대해서 다음이 성립한다. \[ W ^ {\perp \perp } =W \]</p> <p>증명</p> <p>직교여집합의 정의에 의해 $ W \subset W ^ {\perp + } $ 임은 자명하다. 이때 정리 $ 5.11 $ 에 의해 \[ V=W \oplus W ^ {\perp } =W ^ {\perp } \oplus W ^ {\perp \perp } \] 이므로 $ \operatorname { dim } (W)= \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp \perp } \right ) $ 이 되어 $ W ^ {\perp \perp } =W $ 가 성립한다.</p> <p>정리 5.12는 벡터공간의 부분공간을 해석하는 다른 수단을 제공한다.</p> <p>정리 5.13</p> <p>$ V $ 를 $ n $ 차원 내적공간이라 하자. $ V $ 의 모든 $ m $ 차원 부분공간 $ W $ 는 $ n-m $ 개의 $ n-1 $ 차 원 부분공간의 교집합으로 나타낼 수 있다.</p> <p>따라서 \[ Q= \left [e_ { 1 } e_ { 2 } e_ { 3 } \right ]= \left [ \begin {array} { rcc } \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 6 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \\ - \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } & \frac { 2 } {\sqrt { 6 } } & 0 \\ \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } & \frac { 1 } {\sqrt { 6 } } - \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ], R= \left [ \begin {array} { ccc } \sqrt { 3 } & \frac { 2 } {\sqrt { 3 } } & 0 \\ 0 & \frac {\sqrt { 6 } } { 3 } & \frac { 3 } {\sqrt { 6 } } \\ 0 & 0 & \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \end {array} \right ] . \]</p> <h1>5.4 하우스홀더 변환과 $ Q R $ 분해</h1> <p>직교화 과정을 이용한 $ Q R $ 분해는 아이디어가 단순하고 이해하기 쉽지만 계산량이 과다하여 큰 시스템의 분해를 위한 계산도구로서는 다소 적합하지 않은 면이 있다. 이에 따라 각 과정 에서 계수(rank)가 1 인 복사연산자를 시스템의 분해를 위한 직교변환으로 활용할 수 있다.</p> <p>0 이 아닌 주어진 벡터 $ u \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해서 \[ P=I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \] 를 하우스홀더 변환(Householder transformation)이라고 한다.</p> <p>정리 5.16</p> <p>하우스홀더 변환의 주요 특징은 다음과 같다.</p> <ol type= start=1><li>$ P $ 는 단위행렬 $ I_ { m } $ 의 계수가 1 인 변경을 나타낸다.</li> <li>$ x \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해서 $ x ^ {\prime } =P x $ 는 초평면 $ (S P \langle u \rangle) ^ {\perp } $ 에 대한 $ x $ 의 복사를 나타낸다.</li> <li>$ P $ 는 직교행렬이고 $ P ^ { t } =P $ 이다.</li> <li>$ x \neq 0 \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해 $ u=x \pm \\|x \\| e_ { 1 } $ 을 택하면 복사 $ P=I_ { m } -2 \frac { u u ^ { v } } {\\|u \\| ^ { 2 } } $ 에 대해 $ P x= \mp \\|x \\| e_ { 1 } $ 이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type= start=1><li>$ u \neq 0 \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해 $ u u ^ { t } $ 는 계수가 1 인 $ m \times m $ 행렬이므로 자명하다.</li> <li>$ x ^ {\prime } \in \mathbb { R } ^ { m } $ 을 $ (S P \langle u \rangle) ^ {\perp } $ 에 대한 $ x $ 의 복사인 벡터라 하면 \[ \begin {aligned} \frac { x + x ^ {\prime } } { 2 } =& x- \operatorname { Pr } _ { u } (x)=x- \left \langle x, \frac { u } {\\|u \\| } \right \rangle \frac { u } {\\|u \\| } \\ & \Rightarrow x + x ^ {\prime } =2 x-2 \left \langle x, \frac { u } {\\|u \\| } \right \rangle \frac { u } {\\|u \\| } =2 x-2 \frac { u \left (u ^ { t } x \right ) } {\\|u \\| ^ { 2 } } \\ & \Rightarrow x ^ {\prime } =x-2 \frac { u u ^ { t } x } {\\|u \\| ^ { 2 } } = \left (I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \right ) x=P x \end {aligned} \]</li> <li>$ P ^ { t } = \left (I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \right ) ^ { t } =I_ { m } -2 \frac {\left (u u ^ { t } \right ) ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } $ \[ =I_ { m } -2 \frac { u ^ { t t } u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } =I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } =P \] 한편, $ P ^ { t } =P $ 에서 \[ \begin {aligned} P ^ { t } P &=P ^ { 2 } = \left (I_ { m } -2 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } =I_ { m } -4 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } + 4 \frac { u \left (u ^ { t } u \right ) u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 4 } } \\ &=I_ { m } -4 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } + 4 \frac { u u ^ { t } } {\\|u \\| ^ { 2 } } =I_ { m } . \end {aligned} \] 마찬가지로, $ P P ^ { t } =I_ { m } $ 이므로 $ P $ 는 직교행렬이다.</li> <li>$ P x \in S P \left \langle e_ { 1 } \right \rangle $ 이 되도록 $ u $ 를 택하려면 \[ P x=x-2 \frac { u \left (u ^ { t } x \right ) } {\\|u \\| ^ { 2 } } \in S P \left \langle e_ { 1 } \right \rangle \] 이므로 $ u \in S P \left \langle x, e_ { 1 } \right \rangle $. 따라서 $ u=x + \alpha e_ { 1 } $ 이라 두면 \[ \begin {aligned} P x &=x-2 \frac { u u ^ { t } x } {\\|u \\| ^ { 2 } } =x-2 \frac {\left (x + \alpha e_ { 1 } \right ) \left ( \\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } \right ) } {\\|u \\| ^ { 2 } } \\ &= \left (1-2 \frac {\\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \right ) x-2 \alpha \frac { u ^ { t } x } {\\|u \\| ^ { 2 } } e_ { 1 } . \end {aligned} \] 이때 $ P x \in S P \left \langle e_ { 1 } \right \rangle $ 일 필요충분조건은 $ \left (1-2 \frac {\\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } } {\\|u \\| ^ { 2 } } \right ) x=0 $ 이므로 $ x \neq 0 $ 으로부터 $ 1-2 \frac {\\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } } {\\|u \\| ^ { 2 } } =0 $. $ \\|u \\| ^ { 2 } = \\|x \\| ^ { 2 } + 2 \alpha x_ { 1 } + \alpha ^ { 2 } $ 이므로 \[ \begin {aligned} 1-2 \frac {\\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } } {\\|u \\| ^ { 2 } } =0 & \Rightarrow \\|u \\| ^ { 2 } -2 \left ( \\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } \right )=0 \\ & \Rightarrow \\|x \\| ^ { 2 } + 2 \alpha x_ { 1 } + \alpha ^ { 2 } -2 \left ( \\|x \\| ^ { 2 } + \alpha x_ { 1 } \right )=0 \\ & \Rightarrow- \\|x \\| ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } =0 \\ & \Rightarrow \alpha= \pm \\|x \\| \end {aligned} \] 따라서 \[ P x \in S P \left \langle e_ { 1 } \right \rangle \Leftrightarrow \alpha= \pm \\|x \\| \Leftrightarrow u=x \pm \\|x \\| e_ { 1 } \] 이므로 \[ u=x \pm \\|x \\| e_ { 1 } \Rightarrow P x=-2 \alpha \frac { u ^ { t } x } {\\|u \\| ^ { 2 } } e_ { 1 } = \mp \\|x \\| e_ { 1 } . \]</li></ol> <p>정리 $ 5.16 $ 의 (2)에 의해 하우스홀더 변환을 그림 $ 5.4 $ 와 같이 주어지는 하우스홀더 복사(Householder reflector)라고 하기도 한다.</p> <p>시스템행렬의 $ Q R $ 분해에 정리 $ 5.17 $ 을 적용할 수 있다. $ A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m, n } , \left (a_ { 11 } \neq 0 \right ) $ 을 주어진 시스템 행렬이라 하자. $ \alpha_ { 1 } = \operatorname { sgn } \left (a_ { 11 } \right ) \left \\|A ^ { (1) } \right \\| $ 에 대해 $ u_ { 1 } =A ^ { (1) } + \alpha_ { 1 } e_ { 1 } $ 으로 택하면 $ P_ { 1 } =I_ { m } -2 \frac { u_ { 1 } u_ { 1 } ^ { t } } {\left \\|u_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } $ 에 의해 \[ \begin {array} { c } A ^ { (1) } \stackrel { P_ { 1 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { c } - \alpha_ { 1 } \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \\ \Rightarrow \widehat { A } _ { 1 } =P_ { 1 } A= \left [ \begin {array} { cccc } - \alpha_ { 1 } & a_ { 12 } ^ { (2) } & \cdots & a_ { 1 n } ^ { (2) } \\ 0 & a_ { 22 } ^ { (2) } & \cdots & a_ { 2 n } ^ { (2) } \\ 0 & a_ { 32 } ^ { (2) } & \cdots & a_ { 3 n } ^ { (2) } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_ { m 2 } ^ { (2) } & \cdots & a_ { m n } ^ { (2) } \end {array} \right ] . \end {array} \] 다음 $ a_ { 22 } ^ { (2) } \neq 0 $ 이라 할 때, $ \alpha_ { 2 } = \operatorname { sgn } \left (a_ { 22 } ^ { (2) } \right ) \sqrt {\sum_ { j=2 } ^ { m } \left (a_ { j 2 } ^ { (2) } \right ) ^ { 2 } } $ 에 대해 $ u_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ a_ { 22 } ^ { (2) } \\ \vdots \\ a_ { m 2 } ^ { (2) } \end {array} \right ] + \alpha_ { 2 } e_ { 2 } $ 로 택하면 $ P_ { 2 } =I_ { m } -2 \frac { u_ { 2 } u_ { 2 } ^ { t } } {\left \\|u_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } $ 에 의해 $ \begin {aligned} \hat { A } _ { 1 } ^ { (2) } &= \left [ \begin {array} { c } a_ { 12 } ^ { (2) } \\ a_ { 22 } ^ { (2) } \\ a_ { 32 } ^ { (2) } \\ \vdots \\ a_ { m 2 } ^ { (2) } \end {array} \right ] \stackrel { P_ { 2 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { c } a_ { 12 } ^ { (2) } \\ - \alpha_ { 2 } \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right ] \\ \Rightarrow & \widehat { A_ { 2 } } =P_ { 2 } \widehat { A_ { 1 } } =P_ { 2 } P_ { 1 } A= \left [ \begin {array} { ccccc } - \alpha_ { 1 } & a_ { 12 } ^ { (2) } & a_ { 13 } ^ { (3) } & \cdots & a_ { 1 n } ^ { (3) } \\ 0 & - \alpha_ { 2 } & a_ { 23 } ^ { (3) } & \cdots & a_ { 2 n } ^ { (3) } \\ 0 & 0 & a_ { 33 } ^ { (3) } & \cdots & a_ { 3 n } ^ { (3) } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & a_ { m 3 } ^ { (3) } & \cdots & a_ { m n } ^ { (3) } \end {array} \right ] . \end {aligned} $</p> <p>위 예시자료를 토대로 $ b= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 3 \end {array} \right ] $ 에 대해 2 차원 평면에서 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { cc } 1 & 1 \\ 0.5 & 0.5 \end {array} \right ] $ 의 유사역원을 구하는 과정을 그래픽으로 표현하면 그림 5.7과 같다.</p> <p>$ \mathrm { QR } $ 분해에 의한 유사역원</p> <p>행렬의 유사역원은 역행렬을 확장한 개념으로서 이차원의 데이터에 대한 최적 근사모델로서 합당한 의미를 가진다. 아울러 주어진 시스템행렬의 계수(rank)에 관계없이 $ A $ 가 완전한 계수를 가지는 경우에도 $ \left (A ^ { t } A \right ) ^ { -1 } $ 의 직접적인 계산에 따른 연산처리가 과다할 수 있고 역행 렬의 직접적인 계산이 데이터의 변동에 매우 민감한 문제가 발생할 수 있어 시스템행렬의 유 사역원을 구하기 위한 효율적이고도 안정적인 알고리즘의 모색이 필연적이다. 이러한 문제를 해결하기 위한 방안으로 행렬의 $ Q R $ 분해와 특이값분해를 고려할 수 있다. 특이값분해와 이 를 이용한 유사역원의 구현은 7.5절에서 다루고 여기에서는 $ Q R $ 분해를 이용한 최소제곱해를 통해 $ A \in M_ { m, n } $ 의 유사역원을 구하는 과정을 살펴보자.</p> <p>주어진 $ b \in \mathbb { R } ^ { m } $ 에 대해 $ A=Q R $ 이면 \[ \\|A x-b \\|= \left \\|Q ^ { t } (A x-b) \right \\|= \left \\| \left (Q ^ { t } Q \right ) R x-Q ^ { t } b \right \\|= \left \\|R x-Q ^ { t } b \right \\| \] 이므로 $ Q ^ { t } b= \left [ \begin {array} { l } b_ { 1 } \\ \cdots \\ b_ { 2 } \end {array} \right ], \quad \left (b_ { 1 } \in \mathbb { R } ^ { n } , \quad b_ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { m-n } \right ) $ 에 대해 \[ \\|A x-b \\| ^ { 2 } = \left \\|R x-Q ^ { t } b \right \\| ^ { 2 } = \left \\|R x-b_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } + \left \\|b_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } . \] 따라서 $ \\|A x-b \\| ^ { 2 } $ 을 최소로하는 최적해 $ x ^ { * } $ 는 $ \left \\|R x-b_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } $ 이 최소가 되는 해와 일치하므로 \[ x ^ { * } =R ^ {\prime } b_ { 1 } =R ^ {\prime } Q ^ { t } b \] 이고 이것으로부터 $ A $ 의 유사역원은 \[ A ^ {\prime } =R ^ {\prime } Q ^ { t } \] 으로 주어진다. 이때 \[ x ^ { * } =R ^ {\prime } b_ { 1 } =R ^ {\prime } Q ^ { t } b \] 는 $ R $ 이 상부삼각행렬이라는 구조를 이용하여 쉽게 계산할 수 있다. 또한 $ R $ 의 유사역원 $ R ^ {\prime } $ 을 직접 계산하는 대신에 상부삼각행렬로 표현되는 연립방정식 \[ R x ^ { * } =Q ^ { t } b \] 을 거꾸로 풀어 $ x ^ { * } $ 의 정보를 $ b $ 의 항으로 나타냄으로서 $ A ^ {\prime } $ 의 정보를 유추하는 방법을 택하는 것이 계산량을 줄이고 연산의 정확성을 유지할 수 있는 효율적인 방법이다. 이에 따라 $ Q R $ 분해를 이용해서 시스템행렬 $ A $ 의 유사역원을 구하는 과정을 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>일단계 : 적절한 직교변환 $ Q $ 를 써서 $ A $ 의 $ Q R $ 분해를 구한다 : $ A=Q R $</li> <li>이단계 : 연립방정식 $ R x ^ { * } =Q ^ { t } b $ 의 해를 구한다.</li> <li>삼단계 : 이단계의 $ x ^ { * } =A ^ {\prime } b=R ^ {\prime } Q ^ { t } b $ 로부터 유사역원 $ A ^ {\prime } $ 을 도출한다.</li></ol> <p>예제 5.18</p> <p>풀이</p> <p>최소제곱문제에 대한 최적직선을 $ p_ { 1 } (x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x $ 라 두면 $ p_ { 1 } \left (x_ { j } \right )=y_ { j } ,(j=0,1, \cdots, 4) $ 로부터 과결정시스템 \[ \left [ \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 2 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -3 \\ -1 \\ 2 \\ 3 \\ 2 \end {array} \right ] \] 을 얻는다. 이에 대한 정규방정식은 \[ \left [ \begin {array} { ll } 5 & 3 \\ 3 & 7 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } c_ { 0 } \\ c_ { 1 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 3 \\ 12 \end {array} \right ] \] 이고 이를 풀어 $ c_ { 0 } =- \frac { 15 } { 26 } , c_ { 1 } = \frac { 51 } { 26 } $ 을 얻는다. 따라서 최적직선은 \[ p_ { 1 } (x)=- \frac { 15 } { 26 } + \frac { 51 } { 26 } x \] 이다. 데이터와 최적직선을 예시하면 그림 $ 5.5 $ 와 같다.</p> <p>최소제곱문제의 최적해의 존재와 유일성에 대한 결과는 다음과 같다.</p> <p>정리 5.18</p> <p>최소제곱문제 (LSP)에 대해 해 $ x ^ { * } $ 가 존재하면 $ x ^ { * } $ 는 정규방정식 \[ A ^ { t } A x ^ { * } =A ^ { t } b \] 를 만족한다.</p> <p>증명</p> <p>부분공간의 기본정리(정리 5.5)에 의해 \[ b \in \mathbb { R } ^ { m } =R(A) + R(A) ^ {\perp } =R(A) + N \left (A ^ { t } \right ) \] 이므로 $ b $ 를 다음과 같이 분해할 수 있다. \[ b=b_ { r } + b_ { 0 } , \left (b_ { r } \in R(A), b_ { 0 } \in N \left (A ^ { t } \right )=R(A) ^ {\perp } \right ) \]</p> <p>모든 $ x \in \mathbb { R } ^ { n } $ 에 대해 $ A x \in R(A) $ 이므로 $ A x-b_ { r } \in R(A) $ 이다. 반면에 $ b_ { 0 } \in $ $ R(A) ^ {\perp } $ 이므로 $ \left \langle A x-b_ { r } , b_ { 0 } \right \rangle=0 $ 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \\|A x-b \\| ^ { 2 } &= \left \\| \left (A x-b_ { r } \right )-b_ { 0 } \right \\| ^ { 2 } \\ &= \left \langle \left (A x-b_ { r } \right )-b_ { 0 } , \left (A x-b_ { r } \right )-b_ { 0 } \right \rangle \\ &= \left \langle A x-b_ { r } , A x-b_ { r } \right \rangle-2 \left \langle A x-b_ { r } , b_ { 0 } \right \rangle + \left \langle b_ { 0 } , b_ { 0 } \right \rangle \\ &= \left \\|A x-b_ { r } \right \\| ^ { 2 } + \left \\|b_ { 0 } \right \\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 이므로 $ \\|A x-b \\| $ 의 최소값은 $ \left \\|A x-b_ { r } \right \\| $ 의 최소값을 택하는 점에서 구해진다. 이때 $ b_ { r } \in R(A) $ 이므로 $ A x ^ { * } =b_ { r } =b-b_ { 0 } $ 를 만족하는 $ x ^ { * } \in \mathbb { R } ^ { n } $ 이 존재한다. 따 라서 \[ A x ^ { * } -b=-b_ { 0 } \in N \left (A ^ { t } \right ) \Rightarrow A ^ { t } \left (A x ^ { * } -b \right )=0 \] 이 되어 $ x ^ { * } $ 는 방정식 \[ A ^ { t } A x ^ { * } =A ^ { t } b \] 를 만족한다.</p> <p>예제 5.13</p> <p>하우스홀더 변환을 이용하여 다음 행렬 $ A $ 의 $ Q R $ 분해를 구하라. \[ A= \left [ \begin {array} { rr } 2 & 0 \\ 1 & 1 \\ -2 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이</p> <p>$ \alpha_ { 1 } = \operatorname { sgn } \left (a_ { 11 } \right ) \left \\|A ^ { (1) } \right \\|=3 ; u_ { 1 } =A ^ { (1) } + \alpha_ { 1 } e_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } 5 \\ 1 \\ -2 \end {array} \right ] ; $ $ P_ { 1 } =I_ { 3 } -2 \frac { u_ { 1 } u_ { 1 } ^ { t } } {\left \\|u_ { 1 } \right \\| ^ { 2 } } = \left [ \begin {array} { rrr } - \frac { 2 } { 3 } & - \frac { 1 } { 3 } & \frac { 2 } { 3 } \\ - \frac { 1 } { 3 } & \frac { 14 } { 15 } & \frac { 2 } { 15 } \\ \frac { 2 } { 3 } & \frac { 2 } { 15 } & \frac { 11 } { 15 } \end {array} \right ] $; $ \widehat { A_ { 1 } } =P_ { 1 } A= \left [ \begin {array} { rr } -3 & 1 \\ 0 & \frac { 6 } { 5 } \\ 0 & \frac { 8 } { 5 } \end {array} \right ] $; $ \alpha_ { 2 } = \operatorname { sgn } \left (a_ { 22 } ^ { (2) } \right ) \left \\| \widehat { A } _ { 1 } ^ { (2) } (2: 3) \right \\|=2 ; u_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ \frac { 6 } { 5 } \\ \frac { 8 } { 5 } \end {array} \right ] + \alpha_ { 2 } e_ { 2 } = \left [ \begin {array} { c } 0 \\ \frac { 16 } { 5 } \\ \frac { 8 } { 5 } \end {array} \right ] $; $ P_ { 2 } =I_ { 3 } -2 \frac { u_ { 2 } u_ { 2 } ^ { t } } {\left \\|u_ { 2 } \right \\| ^ { 2 } } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 0 & - \frac { 3 } { 5 } & - \frac { 4 } { 5 } \\ 0 & - \frac { 4 } { 5 } & \frac { 3 } { 5 } \end {array} \right ] $;</p> <p>정리 5.19</p> <p>$ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이고 정규방정식 \[ A ^ { t } A x=A ^ { t } b \] 이 유일한 해를 가질 필요충분조건은 $ \operatorname { rank } (A)=n $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ A ^ { t } A x=A ^ { t } b $ 가 유일한 해를 가질 필요충분조건은 $ A ^ { t } A x=0 $ 이 오직 자명한 해 $ x=0 $ 을 가질 때이다. 이때 $ A ^ { t } A x=0 $ 이면 $ A x \in N \left (A ^ { t } \right )=R(A) ^ {\perp } $ 이고, 명백히 $ A x \in R(A) $ 이므로 $ A x \in R(A) \cap R(A) ^ {\perp } = \{ 0 \} $ 이다. 따라서 $ A x=0 $ 이다. 여기서 $ A ^ { t } A x=0 $ 이 오직 자명한 해 $ x=0 $ 을 가지려면 \[ 0=A x=x_ { 1 } A ^ { (1) } + x_ { 2 } A ^ { (2) } + \cdots + x_ { n } A ^ { (n) } \] 에서 $ A $ 의 열 $ A ^ { (1) } , \cdots, A ^ { (n) } $ 이 일차독립이어야 한다. 따라서 $ \operatorname { rank } (A)=n $ 이다.</p> <p>정리 5.19로부터 $ A \in M_ { m, n } $ 에서 $ A $ 의 계수가 $ n $ 이면 $ A ^ { t } A $ 의 역이 존재하고 최소제곱문제의 해는 정규방정식 $ A ^ { t } A x ^ { * } =A ^ { t } b $ 로부터 $ x ^ { * } = \left (A ^ { t } A \right ) ^ { -1 } A ^ { t } b $ 로 주어진다. 이때 \[ \left (A ^ { t } A \right ) ^ { -1 } A ^ { t } \] 를 $ A $ 의 무어-펜로즈 역(Moore-Penrose inverse)이라고 한다.</p> <p>정리 5.11</p> <p>유한차원 내적공간 $ V $ 의 부분공간 $ W $ 에 대해서 다음이 성립한다. \[ \operatorname { dim } (W) + \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp } \right )= \operatorname { dim } (V) \]</p> <p>증명</p> <p>$ V $ 를 $ n $ 차원 벡터공간이라 하자. 정리 $ 5.10 $ 에 의해 $ W $ 의 정규직교기저 $ e_ { 1 } , e_ { 2 } $, $ \cdots, e_ { k } $ 를 구한 후 이를 $ V $ 의 정규직교기저 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $ 으로 확장할 수 있다. 이 때 $ e_ { k + 1 } , \cdots, e_ { n } $ 이 $ W ^ {\perp } $ 의 기저를 이룸을 보이면 $ \operatorname { dim } \left (W ^ {\perp } \right )=n-k $ 가 되어 정리가 증명된다. 명백히 $ e_ { k + 1 } , \cdots, e_ { n } $ 은 $ W ^ {\perp } $ 에 놓인다. 한편, 임의의 $ v \in V $ 에 대해 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } $ 이 $ V $ 의 정규직교기저이므로 정리 $ 5.8 $ 에 의해 \[ v= \sum_ { j=1 } ^ { n } \left \langle v, e_ { j } \right \rangle e_ { j } \] 로 쓸 수 있다. $ v \in W ^ {\perp } $ 이면 처음 $ k $ 개의 항이 0 이 되며 따라서 $ e_ { k + 1 } , \cdots, e_ { n } $ 은 $ W ^ {\perp } $ 를 생성하고, 아울러 일차독립이므로 $ e_ { k + 1 } , \cdots, e_ { n } $ 은 $ W ^ {\perp } $ 의 기저를 이룬다.</p> <p>정리 5.10</p> <p>내적공간 $ V $ 의 임의의 정규직교집합은 $ V $ 의 정규직교기저로 확장될 수 있다. 또한 영이 아닌 모든 내적공간은 정규직교기저를 갖는다.</p> <p>증명</p> <p>$ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { k } $ 를 내적공간 $ V $ 의 임의의 정규직교집합이라 하자.</p> <p>$ W=S P \left \langle e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { k } \right \rangle $ 가 $ W \neq V $ 인 $ V $ 의 부분공간이라고 할 때 $ e_ { 1 } , \cdots $, $ e_ { k + 1 } $ 이 정규직교집합이 되는 벡터 $ e_ { k + 1 } \in V $ 가 존재함을 보이면 충분하다. $ W \neq V $ 일 때 $ v \in V-W $ 인 임의의 벡터 $ v $ 를 택하여 정리 $ 5.9 $ 를 적용하면 \[ v=v ^ {\prime } + v ^ {\prime \prime } , \quad \left (v ^ {\prime } \in W, v ^ {\prime \prime } \in W ^ {\perp } \right ) \] 이고 $ v ^ {\prime \prime } \neq 0 $ 이다. 이때 $ e_ { k + 1 } = \frac { v ^ {\prime \prime } } {\left \\|v ^ {\prime \prime } \right \\| } $ 로 택하면 $ e_ { k + 1 } $ 은 $ W $ 에 수직인 단위벡 터이므로 $ e_ { 1 } , \cdots, e_ { k + 1 } $ 는 $ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { k } $ 를 확장한 $ V $ 의 정규직교집합이다. 아울러 $ V $ 를 영이 아닌 내적공간이라 하면 $ v \neq 0 $ 인 $ V $ 의 임의의 원소를 택해 정규직교집합 $ e_ { 1 } = \frac { v } {\\|v \\| } $ 를 설정한 후 첫 번째 명제와 같이 이를 $ V $ 의 정규직 교기저로 확장할 수 있다.</p> <p>증명</p> <p>$ A \in M_ { m, n } $에 대해 $ A $의 $ j $ 번째 열을 $ A ^ { (j) } $라 하면 $ A= \left [A ^ { (1) } A ^ { (2) } \cdots A ^ { (n) } \right ] $이고 $ A $의 계수가 $ n $이므로 열벡터는 일차독립이다. $ A $의 열에 순차적으로 그람슈미트 직교화 과정을 적용하면 \[ \begin {array} { l } u_ { 1 } =A ^ { (1) } ; e_ { 1 } = \frac { u_ { 1 } } {\left \\|u_ { 1 } \right \\| } , \\ u_ { k } =A ^ { (k) } - \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle A ^ { (k) } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } ; e_ { k } = \frac { u_ { k } } {\left \\|u_ { k } \right \\| } ,(k=2, \cdots, n) \end {array} \] 이때 $ \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , \cdots, e_ { n } \right \} $은 $ A $의 열공간과 같은 공간을 생성하는 정규직교기저를 이룬다. 여기서 \[ r_ { j k } = \left \langle A ^ { (k) } , e_ { j } \right \rangle,(j=1, \cdots, k-1), r_ { k k } = \left \\|u_ { k } \right \\| \] 라 두면 모든 $ k $에 대해 $ r_ { k k } >0 $이고, \[ \begin {aligned} A ^ { (k) } &= \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle A ^ { (k) } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } + u_ { k } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle A ^ { (k) } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } + \left \\|u_ { k } \right \\| e_ { k } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } r_ { j k } e_ { j } + r_ { k k } e_ { k } \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j k } e_ { j } , \quad(k=1,2, \cdots, n) \end {aligned} \] 이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } A= \left [A ^ { (1) } A ^ { (2) } \cdots A ^ { (n) } \right ] \\ = \left [r_ { 11 } e_ { 1 } \vdots r_ { 12 } e_ { 1 } + r_ { 22 } e_ { 2 } \vdots \cdots \quad \vdots r_ { 1 n } e_ { 1 } + \cdots + r_ { n n } e_ { n } \right ] \\ = \left [ \begin {array} { llll } e_ { 1 } & e_ { 2 } & \cdots & e_ { n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ccccc } r_ { 11 } & r_ { 12 } & r_ { 13 } & \cdots & r_ { 1 n } \\ 0 & r_ { 22 } & r_ { 23 } & \cdots & r_ { 2 n } \\ 0 & 0 & r_ { 33 } & \cdots & r_ { 3 n } \\ 0 & \cdots & 0 & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & r_ { n n } \end {array} \right ] \\ =Q R \\ \end {array} \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle v_ { k } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } $ 는 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k-1 } $ 에 의해 생성되고, $ u_ { k } \neq 0 $ 이므로 $ \left \\|u_ { k } \right \\| \neq 0 $ 이고 $ \left \\|e_ { k } \right \\|=1,(k=1, \cdots, n) $ 이다. 따라서 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $ 이 직교기저가 됨을 보이면 충분하다. 이를 위해 $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { k-1 } $ 이 직교인 벡터라 가정하고 수학적 귀납법을 적용한다. $ u_ { k } =v_ { k } - \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle v_ { k } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } $ 에 의해 명백히 $ u_ { k } \in S P \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \rangle $ 이다. 또한, $ r<k $ 에 대해</p> <p>\[ \begin {aligned} \left \langle u_ { k } , u_ { r } \right \rangle &= \left \langle v_ { k } - \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle v_ { k } , e_ { j } \right \rangle e_ { j } , u_ { r } \right \rangle \\ &= \left \langle v_ { k } , u_ { r } \right \rangle- \sum_ { j=1 } ^ { k-1 } \left \langle v_ { k } , e_ { j } \right \rangle \left \langle e_ { j } , u_ { r } \right \rangle \end {aligned} \] 이고, 정의에 의해 $ u_ { r } = \left \\|u_ { r } \right \\| e_ { r } $, \[ \left \langle e_ { j } , u_ { r } \right \rangle= \left \\|u_ { r } \right \\| \left \langle e_ { j } , e_ { r } \right \rangle= \left \\|u_ { r } \right \\| \delta_ { j r } \] 이므로 위 식은 \[ \begin {aligned} \left \langle u_ { k } , u_ { r } \right \rangle &= \left \langle v_ { k } , u_ { r } \right \rangle- \left \langle v_ { k } , e_ { r } \right \rangle \left \\|u_ { r } \right \\| \\ &= \left \langle v_ { k } , u_ { r } \right \rangle- \left \langle v_ { k } , u_ { r } \right \rangle \\ &=0 \end {aligned} \] 이 되어 모든 $ r<k $ 에 대해 $ u_ { k } $ 가 $ u_ { r } $ 에 직교인 벡터임을 말해준다. 따라서 수학적 귀납법에 의해 $ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } $ 은 직교인 벡터로서 일차독립이고 \[ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} \subset S P \left \langle v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \rangle=V \Rightarrow S P \left \langle u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \rangle=V \] 가 되어 $ \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} $ 은 $ V $ 의 직교기저이다.</p> <p>예제 5.12</p> <p>다음을 만족하는 하우스홀더 변환 $ P_ { 3 } $ 를 구하라. \[ x= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end {array} \right ] \stackrel { P_ { 3 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { c } 1 \\ 2 \\ - \alpha_ { 3 } \\ 0 \end {array} \right ], \quad \left ( \alpha_ { 3 } = \operatorname { sgn } \left (x_ { 3 } \right ) \sqrt { x_ { 3 } ^ { 2 } + x_ { 4 } ^ { 2 } } = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } =5 \right ) \]</p> <p>풀이</p> <p>\[ P_ { 3 } =I_ { 4 } -2 \frac { u_ { 3 } u_ { 3 } ^ { t } } {\left \\|u_ { 3 } \right \\| ^ { 2 } } , u_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end {array} \right ] + \alpha_ { 3 } e_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 3 \\ 4 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 8 \\ 4 \end {array} \right ] \text { . } \] 이때 $ P_ { 3 } x $ 를 직접 계산해서 점검해보면 \[ \begin {aligned} P_ { 3 } x &=x-2 \frac {\left \langle u_ { 3 } , x \right \rangle u_ { 3 } } {\left \\|u_ { 3 } \right \\| ^ { 2 } } =x-2 \frac { 40 u_ { 3 } } {\left \\|u_ { 3 } \right \\| ^ { 2 } } \\ &=x-2 \frac { 40 u_ { 3 } } { 80 } =x-u_ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 8 \\ 4 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ 2 \\ -5 \\ 0 \end {array} \right ] . \end {aligned} \]</p> <p>정리 5.3 내적공간 $V$의 임의의 부분집합 $W$에 대해서 $W^{\perp}$는 $V$의 부분공간을 이루며 $W \cap W^{\perp}=\{0\}$이다.</p><p>증명 명백히 $ 0 \in W ^ {\perp } $ 이다. 또한 $ u, v \in W ^ {\perp } $ 이면 임의의 스칼라 $ k, \ell $ 과 $ w \in W $ 에 대해 \[ \langle k u + \ell v, w \rangle=k \langle u, w \rangle + \ell \langle v, w \rangle=k 0 + \ell 0=0 \] 이므로 $ k u + \ell v \in W ^ {\perp } $ 이다. 따라서 $ W ^ {\perp } $ 는 $ V $ 의 부분공간이다. 한편, $ w \in W \cap W ^ {\perp } $ 이면 $ \langle w, w \rangle= \\|w \\| ^ { 2 } =0 $ 이다. 따라서 $ w=0 $ 이다.</p> <p>예제 5.5 $ W $ 를 $ u_ { 1 } =(-1,1,1,1) $ 과 $ u_ { 2 } =(2,-1,-1,1) $ 에 의해 생성된 $ \mathbb { R } ^ { 4 } $ 의 부분 공간이라 할 때 $ W ^ {\perp } $ 의 기저를 구하라.</p> <p>풀이 $ \begin {aligned} w= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \right ) \in W ^ {\perp } \end{aligned} $이면 \[ \begin{aligned} \left \langle w, u_ { 1 } \right \rangle &=-x_ { 1 } + x_ { 2 } + x_ { 3 } + x_ { 4 } =0, \\ \left \langle w, u_ { 2 } \right \rangle &=2 x_ { 1 } -x_ { 2 } -x_ { 3 } + x_ { 4 } =0 \end {aligned} \] 이므로 제차 연립방정식을 만족하는 해를 구하면 첨가행렬에 대해</p> <p>$ \left [ \begin {array} { rrrr\|cc } -1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & \vdots & 0 \end {array} \right ] \sim { } _ { r } \left [ \begin {array} { rrrrrr } -1 & 1 & 1 & 1 & \vdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 3 & \vdots & 0 \end {array} \right ] $</p>	자연
m309-선형대수학 입문	<p>정리 1.5.3 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서,$ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 와 $ B^{\prime}=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} $ 가 $ V $ 의 기저 이면 $ n=m $이다.</p> <p>증 명</p> <p>만일 $ n>m $ 이면 정리 $ 1.5 .2 $ 에 의해서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차종속이다. 이것은 $ B $ 가 $ V $ 의 기저라는 사실에 모순이다. 따라서 $ n \leq m $. 같은 방법으로 $ m \leq n $ 이다. 그러므로 $ n=m $ 이다.</p> <p>집합 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 이 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 기저이면 $ c(\neq 0) \in K $에 대하여 $ \left\{c v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 도 $ V $ 의 기저이다. 일반적으로 벡터공간은 서로 다른 많은 기저를 갖는다. 그러나 벡터공간 $ V $가 비록 서로 다른 기저를 갖는다고 하더라도 정리 $ 1.5 .3 $ 에 의하여 각 기저에 속하는 벡터의 개수는 항상 같다. 이와 같은 결과에 근거하여 다음과 같은 정의를 내릴 수 있다.</p> <p>정 의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V(\neq \varnothing) $ 가 $ n(n \geq 1) $ 개의 벡터로 이루어진 기저$ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 을 가질 때, $ V $ 를 체 $ K $ 위의 $ n $ 차원 벡터공간 $ (n $-dimensional vector space)이라하고 $ n $ 을 $ V $ 의 차원(dimension)이라하며 \[ n=\operatorname{dim}_{K} V \text { 또는 } n=\operatorname{dim} V \] 로 나타낸다. 특히, $ V=\{0\} $ 인 경우에는 $ \operatorname{dim} V=0 $ 으로 정의한다.</p> <p>체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 가 유한개의 원소로 구성된 기저를 가지거나 영벡터 공간일 때, $ V $ 를 체 $ K $ 위의 유한차원 벡터공간(finite dimensional vector space)이라고 한다. 그렇지 않은 경우에 $ V $ 를 체 $ K $ 위의 무한차원 벡터공간(infinite dimensional vector space)이라고 한다. \[ \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^{n}=n, \quad \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} \mathbb{C}^{n}=n \] 일반적으로 $ K $ 가 임의의 체일 때 \[ \operatorname{dim}_{K} K^{n}=n \text { 이다. } \] 실제로, $ n $ 개의 벡터, \[ e^{1}=(1,0, \cdots, 0), e^{2}=(0,1,0, \cdots, 0), \cdots, e^{n}=(0,0, \cdots, 0,1) \in K^{n} \] 은 $ K $ 위의 $ K^{n} $ 의 기저를 이룬다. 이때, $ B=\left\{e^{1}, e^{2}, \cdots, e^{n}\right\} $ 를 $ K^{n} $ 의 표준기저(standard basis)라고 한다.</p> <p>보기 1.5.5 체 $ K $ 는 $ K $ 자신위에서 벡터공간이 되고 그 차원은 1 이다. 실제로, 각 원소 $ x \in K $ 는 $ x=x \cdot 1 $ 로 유일하게 표시되므로 $ \{1\} $ 은 $ K $ 의 기저이다.</p> <p>한편, 복소수체 $ \mathbb{C} $ 를 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간으로 볼 때, 각 원소 $ \alpha \in \mathbb{C} $ 는 \[ \alpha=a 1+b i \quad(a, b \in \mathbb{R}) \] 로 유일하게 표시되므로 $ \{1, i\} $ 는 $ \mathbb{R} $ 위의 $ \mathbb{C} $ 의 기저이다. 즉 $ \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} \mathbb{C}=1, \quad \operatorname{dim}_{\mathbb{R}} \mathbb{C}=2 $ 이다.</p> <p>보기 1.5.6 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ K[x] $ 는 무한차원벡터공간이다. 실제로, 임의의 유한부분집합 $ S=\left\{f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)\right\} \subset K[x] $ 에 대하여 $ S $ 에 속하는 다항식의 차수 중에서 가장 큰 차수를 $ k $ 라고 하면, 다항식 $ x^{k+1}, x^{k+2}, \cdots $ 은 모두 $ f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) $ 에 의해서 생성되는 벡터공간 $ \left\langle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)\right\rangle $ 에 속하지 않는다. 따라서 임의의 원소 $ f(x) \in K[x] $ 는 유한개의 원소 $ f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x) $의 일차결합으로 표시 할 수 없다.</p> <p>주의. 이 책에서는 앞으로 벡터공간의 차원에 대하여 이야기 할 때는 유한차 원인 것으로 가정한다.</p> <p>정의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서</p> <ol type=i start=1><li>$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 가 일차독립이고</li> <li>임의의 $ v \in V $ 에 대하여, $ v, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 가 일차종속 일 때 집합 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 을 벡터공간 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합 (maximal set of linearly independent elements)이라고 한다.</li></ol> <p>정 리 1.5.4 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>집합 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 가 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이다.</li> <li>$ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 는 $ V $ 의 기저이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>(1) $ \Rightarrow $ (2) : $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 가 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집 합이라 하면, 임의의 원소 $ v \in V $ 에 대해서 $ v, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차종속이다.모두는 영 아닌 $ x, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in K $ 가 존재하여 \[ x v+x_{1} v_{1}+\cdots+x_{n} v_{n}=0 . \] 여기서, 만약 $ x=0 $ 이면 $ x_{1} v_{1}+\cdots+x_{n} v_{n}=0 $ $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차독립성에 의하여 $ x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{n}=0 $ 이다. 즉 \[ x=0, x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{n}=0 \text { 이다. } \] 이것은 $ v, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 가 일차종속이라는 사실에 모순이므로 $ x \neq 0 $ 이다. 따라서 \[ \begin{array}{c} v=\left(-\frac{x_{1}}{x}\right) v_{1}+\left(-\frac{x_{2}}{x}\right) v_{2}+\cdots+\left(-\frac{x_{n}}{x}\right) v_{n} . \text { 즉 } \\ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \text { 은 } V \text { 를 생성한다. } \end{array} \] 가정에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차독립이므로 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 기저이다.</li> <li>(2) $ \Rightarrow(1): B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 가 $ V $ 의 기저이면 임의의 $ v \in V $ 에 대하여 $ v=c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{n} v_{n} \quad\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n} \in K\right) $ 이다. 따라서 $ v, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차종속이다. 그러므로 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이다.</li></ol> <p>정 리 1.2 .1 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서, 임의의 $ u, v, w \in V $ 와 $ a \in K $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ v+u=w+u \Rightarrow v=w $</li> <li>$ -(-v)=v $</li> <li>$ 0 v=0, \quad(-1) v=-v $</li> <li>$ a v=0 \Rightarrow a=0 $ 또는 $ v=0 $</li></ol> <p>증명.</p> <ol type= start=1><li>$ v+u=w+u $ 의 양변에 $ -u \in V $ 를 더하면 다음이 성립한다. \[\begin{array}{ll} (v+u)+(-u)=(w+u)+(-u) & \\ v+(u+(-u))=w+(u+(-u)) & \text { [A1] } \\ v+0=w+0 & \text { [A4 ] } \\ \text { 따라서 } v=w . & \text { [A3] } \end{array} \]</li> <li>$ v+(-v)=0=(-v)+v $ 이므로 $ v $ 는 $ (-v) $ 의 덧셈에 대한 역원이므로 역원의 유일성에 의하여 \[-(-v)=v .\]</li> <li>$ \mathrm{SM} 1 $ 과 $ \mathrm{A} 3 $ 에 의하여 \[\begin{array}{l} 0 v=(0+0) v=0 v+0 v \Rightarrow 0 v=0 \\ (-1) v+v=(-1+1) v=0 v=0 \Rightarrow(-1) v=-v \end{array}\]</li> <li>$ a v=0 $ 일 때, $ a \neq 0 $ 이라고 가정하면 $ a^{-1} \in K $ 가 존재하고 \[a^{-1}(a v)=a^{-1} 0 \Rightarrow\left(a^{-1} a\right) v=0 \Rightarrow 1 v=0\] 따라서 $ v=0 $</li></ol> <p>보기 1.2.1 임의의 체 $ K $ 와 양의정수 $ n $ 에 대하여, \[K^{n}=K \times K \times \cdots \times K=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \mid a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right\}\] 으로 정의하면 다음과 같이 정의되는 덧셈과 스칼라배에 관하여 $ K^{n} $ 은 $ K $ 위의 벡터공간을 이룬다. \[ \begin{array}{l} \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)+\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)=\left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n}\right) \\ c\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=\left(c a_{1}, c a_{2}, \cdots, c a_{n}\right) \quad(c \in K) \end{array} \]</p> <p>실제로, 벡터공간 $ K^{n} $ 에서, 영벡터 $ 0=(0,0, \cdots, 0) $ 이고, $ -\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=\left(-a_{1},-a_{2}, \cdots,-a_{n}\right) $ 이다. 따라서 $ \mathbb{R}^{n} $ 과 $ \mathbb{C}^{n} $ 을 각각 $ \mathbb{R} $ 과 $ \mathbb{C} $ 위에서 벡터공간이다.</p> <p>보기 1.2.2 0 으로 표시된 단하나의 벡터로 이루어진 집합 $ V $, 즉 $ V=\{0\} $ 이라 하고, 덧셈과 스칼라배를 \[ \begin{array}{l} 0+0=0 \\ k 0=0 \quad(k \in K) \end{array} \]으로 정의하면 $ V $ 는 체 $ K $ 위의 벡터공간이 된다. 이와 같은 공간을 영 벡터공간(zero vector space)이라고 한다.</p> <p>보기 1.2.3 체 $ K $ 는 $ K $ 자신위의 벡터공간으로 볼 수 있다. 실제로, 임의의 원소 $ a, b \in K $ 와 $ c \in K $ 에 대하여 \[a+b \in K \text { 이고, } \quad c a \in K\] 이므로 체 $ K $ 위의 덧셈과 곱셈에 관하여 $ K $ 는 $ K $ 위의 벡터공간이다. 한편, 복소수체 $ \mathbb{C} $ 는 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간이라고도 할 수 있다. 실제로, 임의의 복소수 $ \alpha, \beta \in \mathbb{C} $ 와 $ a \in \mathbb{R} $ 에 대하여 \[\alpha+\beta \in \mathbb{C} \text { 이고, } a \alpha \in \mathbb{C}\] 이므로 복소수체 $ \mathbb{C} $ 는 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 벡터공간이다.</p> <p>보기 1.2.4 체 $ K $ 의 원소와 부정원(indeterminate) $ x $ 로 이루어진 식 \[f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \quad\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in K\right)\] 을 체 $ K $ 위의 ( $ x $ 에 관한) 다항식(polynomial)이라하고 이때, $ a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} $ 을 다항식 $ f(x) $ 의 계수(coefficient)라고 한다.</p> <p>위의 다항식 $ f(x) $ 에서 $ a_{1}=0, a_{2}=0, \cdots, a_{n}=0 $ 일 때 이 다항식 $ f(x)=a_{0} $을 상수다항식(constant polynomial)이라하고, $ a_{0}=0, a_{1}=0, \cdots, a_{n}=0 $ 일 때,이 다항식 $ f(x)=0 $ 을 영다항식(zero polynomial)이라고 한다.</p> <p>체 $ K $ 위의 ( $ x $ 에 관한) 다항식 전체의 집합을 $ K[x] $, 즉 \[K[x]=\left\{f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in K\right\}\]로 나타낸다.</p> <p>임의의 두 원소 $ f(x), g(x) \in K[x] $ 는 \[ f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}, \quad g(x)=b_{0}+b_{1} x+\cdots+b_{n} x^{n} \] 으로 나타낼 수 있다. 이때 다음과 같이 정의한다. \[ \begin{array}{l} f(x)=g(x) \Leftrightarrow a_{0}=b_{0}, a_{1}=b_{1}, \cdots, a_{n}=b_{n} \\ f(x)+g(x)=\left(a_{0}+b_{0}\right)+\left(a_{1}+b_{1}\right) x+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right) x^{n} \\ a f(x)=a a_{0}+a a_{1} x+\cdots+a a_{n} x^{n} \quad(a \in K) \end{array} \]</p> <p>그러면, 집합 $ K[x] $ 는 이와 같이 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 체 $ K $ 위의 벡터 공간을 이룬다.</p> <p>실제로, 벡터공간 $ K[x] $ 에서 영벡터는 영다항식 $ f(x)=0 $ 이고 다항식 \[ \begin{array}{c} f(x)=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n} \in K[x] \text { 에 대하여 } \\ -f(x)=-a_{0}-a_{1} x-\cdots-a_{n} x^{n} \text { 이다. } \end{array} \]</p> <p>보기⒈2.5 체 $ K $ 와 임의의 집합 $ S $ 에 대하여, 집합 $ V $ 를 $ S $ 에서 $ K $ 로의 함수 전체의 집합이라 하자. 즉, \[ V=\{f \mid f: S \rightarrow K\} . \] 임의의 원소 $ f, g \in V $ 와 $ k \in K $ 에 대하여 덧셈과 스칼라배를 각각, \[ \begin{array}{l} (f+g)(x)=f(x)+g(x), \\ (k f)(x)=k f(x) \quad(x \in S) \end{array} \]</p> <p>와 같이 정의하면 $ V $ 는 $ K $ 위의 벡터공간을 이룬다. 이때, $ V $ 를 함수공간(function space)이라 한다. 실제로, 영벡터는 $ 0(x)=0,{ }^{\forall} x \in S $ 인 영함수이고, 각 $ f \in V $ 에 대하여 $ -f $ 는 $ (-f)(x)=-f(x),{ }^{\vee} x \in S $ 로 정의된 함수이다.</p> <p>일반적으로, 벡터공간의 부분공간의 합에 대해서는 다음정리가 성립한다.</p> <p>정리 $ 1.5 .10 $ 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V(\neq\{0\}) $ 가 유한차원 벡터공간 일 때, $ V $ 의 두 부분공간 $ U, W $ 에 대하여, \[ \operatorname{dim}(U+W)=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W) \] 이다.</p> <p>증명</p> <p>먼저 $ U, W<V $ 이므로 $ U, W, U \cap W $ 는 모두 유한차원 벡터공간이고, $ U \cap W<U, W $ 이다. 이제, $ B=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} $ 를 $ U \cap W $ 의 기저라고 하자. 그리고 \[ \begin{array}{l} B_{1}=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\}, \\ B_{2}=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s}\right\} \end{array} \] 를 각각 $ U $ 와 $ W $ 의 기저라고 하자. 여기서 $ U \cap W=\{0\}, U \cap W=U, U \cap W=W $ 인 경우에는 각각 \[ B=\varnothing, \quad\left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\}=\varnothing, \quad\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s}\right\}=\varnothing \] 으로 생각한다. 지금부터 $ B_{1} \cup B_{2}=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s}\right\} $ 가 $ U+W $ 의 기저임을 증명하자. 임의의 원소 $ v \in U+W $ 이면 $ u \in U, w \in W $ 가 존재하여 $ v=u+w $ 이다. 여기서 $ B_{1} $ 과 $ B_{2} $ 가 각각 $ U $ 와 $ W $ 의 기저이므로 $ u $ 는 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} $ 의 일차결합, $ w $ 는 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} $ 의 일차결합이므로 $ v=u+w $ 는 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} $ 의 일차결합이다. 따라서, $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} $ 는 $ U+W $ 를 생성한다. 다음, $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} $ 가 일차독립임을 증명하기 위하여 \[ \begin{array}{r} a_{1} w_{1}+a_{2} w_{2}+\cdots+a_{m} w_{m}+b_{1} u_{1}+b_{2} u_{2}+\cdots+b_{r} u_{r} \\ +c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{s} v_{s}=0 \end{array} \] $ \cdots() $ 이라고 가정하자.</p> <p>그러면, \[ \begin{aligned} a_{1} w_{1}+a_{2} w_{2}+\cdots+a_{m} w_{m}+b_{1} u_{1}+b_{2} u_{2}+\cdots+b_{r} u_{r} \\ &=-c_{1} v_{1}-c_{2} v_{2}-\cdots-c_{s} v_{s} \text { 이다. } \end{aligned} \] 여기서 이 등식의 좌변은 $ U $ 의 벡터, 우변은 $ W $ 의 벡터이고, 또 이들이 서로 같으므로 우변의 벡터는 $ U \cap W $ 에 속한다. 따라서, \[ \begin{array}{l} -c_{1} v_{1}-c_{2} v_{2}-\cdots-c_{s} v_{s}=d_{1} w_{1}+d_{2} w_{2}+\cdots+d_{m} w_{m} \\ \left(d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{m} \in K\right) \text { 이다. 즉 } \\ d_{1} w_{1}+d_{2} w_{2}+\cdots+d_{m} w_{m}+c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{s} v_{s}=0 \text { 이고, } \\ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s}\right\} \text { 는 } W \text { 의 기저, 즉 } \\ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} \text { 는 일차독립이므로 } \\ d_{1}=0, d_{2}=0, \cdots, d_{m}=0, c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{s}=0 \text { 이다. } \\ \end{array} \]</p> <p>그러므로 ()에 대하여, \[ \begin{array}{l} a_{1} w_{1}+a_{2} w_{2}+\cdots+a_{m} w_{m}+b_{1} u_{1}+b_{2} u_{2}+\cdots+b_{r} u_{r}=0 \text { 이고, } \\ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\} \text { 는 } U \text { 의 기저이므로 } \\ a_{1}=0, a_{2}=0, \cdots, a_{m}=0, \cdots, b_{1}=0, b_{2}=0, \cdots, b_{r}=0 \text { 이다. } \\ \text { 이로써 } \\ a_{1}=0, \quad a_{2}=0, \cdots, a_{m}=0, \cdots, b_{1}=0, b_{2}=0, \cdots, b_{r}=0, \\ c_{1}=0, c_{2}=0, \cdots, c_{s}=0 \text {. 즉 } \\ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s} \text { 는 일차독립이다. } \\ \text { 따라서 }\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}, u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{s}\right\} \text { 는 } U+W \text { 의 } \\ \text { 기저이다. } \\ \text { 그러므로 } \\ \end{array} \]</p> <p>$ \begin{aligned} \operatorname{dim}(U+W) &=m+r+s \\ &=(m+r)+(m+s)-m \\ &=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W-\operatorname{dim}(U \cap W) \end{aligned} $</p> <p>보기 1.5.4 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 에서, \[ v_{1}=(2,3,4), v_{2}=(6,9,12), v_{3}=(1,0,1), v_{4}=(0,2,-1), v_{5}=(4,1,7) \] 이라하면 $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right\} $ 는 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 생성원의 집합이다. 여기서 $ v_{1}=(2,3,4), v_{3}=(1,0,1), v_{4}=(0,2,-1) $ 는 일차독립이다.</p> <p>한편 $ v_{2}=(6,9,12)=3(2,3,4)=3 v_{1} $ 이므로 $ v_{1}, v_{2} $ 는 일차종속,또한 \[ \begin{aligned} v_{5} &=(4,1,7)=(2,3,4)+2(1,0,1)-(0,2,-1) \\ &=v_{1}+2 v_{3}-v_{4} \end{aligned} \] 이므로 $ v_{1}, v_{3}, v_{4}, v_{5} $ 는 일차종속이다. 즉, $ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} $ 는 일차종속이다(정리 1.4.4-(1)).따라서 $ \left\{v_{1}, v_{3}, v_{4}\right\} $ 는 일차독립인 원소의 극대부분집합이다.그러므로 $ \left\{v_{1}, v_{3}, v_{4}\right\} $ 는 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 기저이다.</p> <p>정 리 $ 1.5 .2 $ 집합 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}\right\} $ 가 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 기저일 때, $ n $ 개의 원소 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} \in V $ 에 대하여 $ n>m $ 이면 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 은 일차종속이다.</p> <p>증명</p> <p>먼저 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 중에서 영벡터가 있으면 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 은 일차종속이므로 정리가 성립한다(정리1.4.2). 그래서 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 모두가 영 벡터가 아니라고 가정하자.먼저, $ w_{1} \in V $ 이고 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}\right\} $ 가 $ V $ 의 기저이므로 \[ w_{1}=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{m} v_{m} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m} \in K\right) . \] $ w_{1} \neq 0 $ 이므로 $ a_{i} $ 들 중에서 적어도 하나는 0 이 아니다. 필요하면 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 의 번호를 다시 붙여 $ a_{1} \neq 0 $ 이라 해도 일반성을 잃지 않는다.그러면 $ v_{1} $ 에 대하여 정리하면, \[ v_{1}=\left(\frac{1}{a_{1}}\right) w_{1}+\left(-\frac{a_{2}}{a_{1}}\right) v_{2}+\cdots+\left(-\frac{a_{m}}{a_{1}}\right) v_{m} \text { 이 다. } \] 여기서 $ w_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 에 의해서 생성된 부분공간을 $ W_{1} $ 이라하면 $ v_{1} $ 은 $ w_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 의 일차결합이므로 $ v_{1} \in W_{1} $,또한 $ v_{2}, v_{3}, \cdots, v_{m} \in W_{1} $ 이므로 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} \in W_{1} $ 이다. 한편, $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 은 $ V $ 를 생성하므로 $ V \subset W_{1} $, 즉, \[ W_{1}=V \text { 이다. } \] 따라서 $ \left\{w_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m}\right\} $ 은 $ V $ 의 생성원의 집합이다. 같은 방 법으로 $ w_{2} \in V $ 이므로, \[ w_{2}=b_{1} w_{1}+b_{2} v_{2}+\cdots+b_{m} v_{m} \quad\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m} \in K\right) . \] $ w_{2} \neq 0 $ 이므로, $ b_{2} \neq 0 $ 이라고 가정해도 일반성을 잃지 않는다. 그러면 \[ v_{2}=\left(-\frac{b_{1}}{b_{2}}\right) w_{1}+\frac{1}{b_{2}} w_{2}+\left(-\frac{b_{3}}{b_{2}}\right) v_{3}+\cdots+\left(-\frac{b_{m}}{b_{2}}\right) v_{m} \] 여기서 $ W_{2} $ 를 $ w_{1}, w_{2}, v_{3}, \cdots, v_{m} $ 에 의해서 생성된 $ V $ 의 부분공간이라 하면 $ v_{2} $ 는 $ w_{1}, w_{2}, v_{3}, \cdots, v_{m} $ 의 일차결합이므로 \[ v_{2} \in W_{2} \text { 이고, } w_{1}, v_{3}, \cdots, v_{m} \in W_{2} \text { 이다. } \] 한편, $ w_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 은 $ W_{1}=V $ 를 생성하므로 $ V=W_{1} \subset W_{2} $. 즉 \[ V=W_{2} \text { 이다 } \] 그러므로 $ \left\{w_{1}, w_{2}, v_{3}, \cdots, v_{m}\right\} $ 은 $ V $ 의 생성원의 집합이다. 이와 같은 방법을 계속하여 $ v_{3}, v_{4}, \cdots $ 를 $ w_{2}, w_{3}, \cdots $ 로 차례대로 바꾸어 가면 결국에는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{m} $ 은 없어지고 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m} $ 이$ V $ 를 생성한다. 가정에서 $ w_{n} \in V $ 이고 $ n>m $ 이므로 \[ w_{n}=c_{1} w_{1}+c_{2} w_{2}+\cdots+c_{m} w_{m} \quad\left(c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{m} \in K\right) \]그러므로 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 은 일차종속이다.</p> <p>두 조건 $ p, q $ 에 대하여, 조건문 " $ p $ 이면 $ q $ 이다." 가 참일 때 $ p \Rightarrow q $로 나타내고 " $ p $ 는 $ q $ 의 ( $ q $ 이기 위한) 충분조건(sufficient condition)", " $ q $ 는 $ p $ 의 ( $ p $ 이기위한) 필요조건(necessary condition)" 이라 하고 또, $ p \Rightarrow q $ 인 동시에 $ q \Rightarrow p $ 일 때 $ p \Leftrightarrow q $ 로 나타내고 이때 " $ p $ 는 $ q $ 의 $ (q $ 이기위한) 필요충분조건", " $ q $ 는 $ p $ 의 ( $ p $ 이기위한 $ ) $ 필요충분조건"이라 하고 $ p $ 와 $ q $ 는 서로 동치 인 (equivalent)조건이라고 한다.</p> <p>집합 $ A( \neq \varnothing) $ 에서 $ A $ 의 임의의 두 원소 $ a $ 와 $ b $ 에 대하여, $ A $ 의 단하나의 원소 $ c $ 를 대응시키는 함수 $ \circ: A \times A \rightarrow A, \quad \circ(a, b)=c $ 를 집합 $ A $ 위의 이항연산(binary operation) 또는 간단히 연산이라 하고, 이때에 "A위에 연산。이 정의 되어있다(defined)" 라고 말한다.<p>연산을 나타내는 기호로는 $ \circ, + , \times $, - 등이 사용된다.</p> <p>특히, $ a \circ b=a + b $ 일 때 + 을 덧셈(addition), $ a \circ b=a \cdot b $ 일 때 $ \cdot $ 을 곱셈 (multiplication)이라고 각각 말하고 $ a \cdot b $ 를 간단히 $ a b $ 로 나타낸다.</p> <p>집합 $ A $ 위에 연산 이 정의되어 있을 때, $ A $ 의 부분집합 $ B $ 에 대하여 \[ a, b \in B \Rightarrow a \circ b \in B \] 인 경우에 " $ B $ 는 연산 。에 관해서 닫혀있다.(closed)" 라고 말한다.</p> <p>우리가 사용하고 있는 실수 또는 복소수에서는 덧셈 $ ( + ) $ 과 곱셈 $ ( \times) $, 그리고 그들의 역셈(뺄셈 $ (-) $, 나눗셈 $ ( \div)) $ 이 자유로움을 알 수 있다. 이와 같은 성질을 바탕으로 추상적인 개념인 체(field)의 정의에 대해서 알아보자.</p> <p>보기 1.4.3 벡터공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서, 두 벡터 $ v = (2,1), w=(1,3) $ 에 대하여 \[ \langle v \rangle= \{ a(2,1) \mid a \in \mathbb { R } \} , \langle w \rangle= \{ b(1,3) \mid b \in \mathbb { R } \} \] 이고, 이 두 부분공간은 좌표평면에서 각각 원점을 지나는 직선을 나타낸다. 또, 임의의 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ) \in K ^ { 2 } $ 에 대하여 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )=a(2,1) + b(1,3) $ 이라고 하면 \[ \begin {array} { c } \left \{\begin {array} { l } 2 a + b=x_ { 1 } \\ a + 3 b=x_ { 2 } \end {array} \right . \text { 이므로 } \\ a= \frac { 3 x_ { 1 } -x_ { 2 } } { 5 } , \quad b= \frac { -x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } } { 5 } \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )= \frac { 3 x_ { 1 } -x_ { 2 } } { 5 } (2,1) + \frac { -x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } } { 5 } (1,3) $ 이므로 두 벡터 $ v=(2,1), w=(1,3) $ 은 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 을 생성한다. 즉, $ \langle v, w \rangle= \mathbb { R } ^ { 2 } $ 이다.</p> <p>보기 1.4.4 벡터공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 의 기본단위벡터 \[ e_ { 1 } =(1,0,0), e_ { 2 } =(0,1,0) e_ { 3 } =(0,0,1) \] 에 대하여, 임의의 $ v= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } $ 는 \[ \begin {aligned} v &= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } \right )=x_ { 1 } (1,0,0) + x_ { 2 } (0,1,0) + x_ { 3 } (0,0,1) \\ &=x_ { 1 } e_ { 1 } + x_ { 2 } e_ { 2 } + x_ { 3 } e_ { 3 } \end {aligned} \] 이므로 $ \left \langle e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \right \rangle= \mathbb { R } ^ { 3 } $ 이다.</p> <p>보기 1.3.4. 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U, W $ 에 대하여 \[ U+W=\{u+w \mid u \in U, w \in W\} \] 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>실제로, $ w, w^{\prime} \in U+W, a \in K $ 라고하면 $ w=u_{1}+w_{1}, w^{\prime}=u_{2}+w_{2} $ \[ \begin{array}{cl} \left(u_{1}, u_{2} \in U, w_{1}, w_{2} \in W\right) \text { 이고 } & \\ w+w^{\prime}=\left(u_{1}+u_{2}\right)+\left(w_{1}+w_{2}\right) \in U+W & \left(u_{1}+u_{2} \in U, w_{1}+w_{2} \in W\right) \\ a w=a u_{1}+a w_{1} \in U+W & \left(a u_{1} \in U, a w_{1} \in W\right) \end{array} \] 따라서 $ U+W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>정의 $ U $ 와 $ W $ 를 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분공간이라 하자. $ V $ 의 모든 원소 $ v \in V $ 에 대해서 유일한 원소 $ u \in U $ 와 $ w \in W $ 가 존재해서 \[ v=u+w \] 로 표시할 수 있을 때 $ V $ 를 $ U $ 와 $ W $ 의 직합(direct sum)이라한다. 이 때, \[ V=U \oplus W \] 로 표시한다.</p> <p>정 리 1.3.2 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분공간 $ U, W $ 에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$ V $ 는 $ U $ 와 $ W $ 의 직합이다. 즉, $ V=U \oplus W $.</li> <li>$ V=U+W $ 이고 $ U \cap W=\{0\} $.</li></ol> <p>증명</p> <p>(1) $ \Rightarrow $ (2) : $ V=U \oplus W $ 이라하자.임의의 원소 $ v \in V $ 에 대하여 $ v=u+w \quad(u \in U, w \in W) $ 로 유일하게 표시할 수 있으므로, $ v=u+w \in U+W $ 이다. 따라서 $ V \subset U+W $ 이다. 한편, $ U<V, W<V $ 이므로 $ U+W \subset V $ 이다. 그러므로 $ V=U+W $ 이다. 다음, $ v \in U \cap W $ 라 하면 $ v \in U,-v \in W $ 이고 $ v+(-v)=0=0+0 $이므로 표시법의 유일성에 의하여, $ v=0,-v=0 $ 이다. 즉 $ v=0 $. 따라서 $ U \cap W=\{0\} $ 이다.</p> <p>(2) $ \Rightarrow $ (1) : $ V=U+W $ 이고 $ U \cap W=\{0\} $ 이라 하자. $ V=U+W $ 이므로 모든 원소 $ v \in V $ 에 대하여 $ v=u+w \quad(u \in U, w \in W) $ 로 표시할 수 있다. 만약 $ v=u^{\prime}+w^{\prime} \quad\left(u^{\prime} \in U, w^{\prime} \in W\right) $ 로 표시되었다면 $ u+w=u^{\prime}+w^{\prime} $. 즉 $ u-u^{\prime}=w^{\prime}-w $. 여기서, $ u-u^{\prime} \in U $ 이고 $ w^{\prime}-w \in W $ 이므로 $ u-u^{\prime}, w^{\prime}-w \in U \cap W $ 이다. 가정에서 $ U \cap W=\{0\} $ 이므로, $ u-u^{\prime}=0, w^{\prime}-w=0 $ 이다. 따라서 $ u=u^{\prime}, w=w^{\prime} $ 이다. 그러므로 모든 원소 $ v \in V $ 는 $ v=u+w \quad(u \in U, w \in W) $ 로 유일하게 표시할 수 있다. 즉 $ V=U \oplus W $</p> <p>보기1.3.5 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 에서, 두 부분공간 $ U=\{(a, b, c) \mid a=b=c \in \mathbb{R}\} $, $ W=\{(0, b, c) \mid b, c \in \mathbb{R}\} $ 일 때 \[ \mathbb{R}^{3}=U \oplus W \text { 이다. } \] 실제로, $ U<\mathbb{R}^{3}, W<\mathbb{R}^{3} $ 이므로 $ U+W<\mathbb{R}^{3} $ 이다. 임의의 원소 $ v=(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} $ 에 대하여 $ v=(a, a, a)+(0, b-a, c-a) $ 이고, $ (a, a, a) \in U,(0, b-a, c-a) \in W $ 이므로 \[ v \in U+W, \mathbb{R}^{3} \subset U+W \text { 이다. } \] 따라서 $ \mathbb{R}^{3}=U+W $... ( i )</p> <p>다음 $ U \cap W=\{0\} $ 임을 보이기 위하여,$ (a, b, c) \in U \cap W $ 이라하면 $ a=b=c $ 이고 $ a=0 $ 이다. 따라서 $ a=b=c=0 $ 이다. 그러므로 $ U \cap W=\{(0,0,0)\}=\{0\} $.$ \cdots( $ ii $ ) $ ( i ), (ii)에 의하여, $ \mathbb{R}^{3}=U \oplus W $ 이다.</p> <p>정 리 1.5.5) 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 를 $ n $ 차원 벡터공간이라 하고 $ V $ 의 $ n $ 개의 벡터 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 가 일차독립이면, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>증 명.</p> <p>$ \operatorname{dim} V=n $ 이므로 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이다. 따라서, 정리 $ 1.5 .4 $ 에 의해서, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>따름정리1.5.6 $W $ 가 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분공간이고, $ \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} V $ 이면, \[ W=V \]이다.</p> <p>증명</p> <p>$ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right\} $ 을 $ W $ 의 기저라고 하면 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 은 $ W $ 의 일차독립인 원소이다. $ W<V $ 이므로 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n} $ 은 $ V $ 의 일차독립인 원소이다. \[ n=\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} V \text { 이므로 } \] $ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합 이다. 따라서, $ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 기저이다. 그러므로 $ W=V $ 이다.</p> <p>정 리1.5.7 $V$ 를 체 $ K $ 위의 $ n $ 차원 벡터공간이고, $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} \quad(r<n) $ 가 $ V $ 의 일차독립인 원소이면, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r-1}, v_{r}, v_{r+1}, \cdots, v_{n}\right\} $ 이 $ V $ 의 기저가 되는 $ V $ 의 $ n-r $ 개의 원소 $ v_{r+1}, v_{r+2}, \cdots, v_{n} $ 가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>$ r<n=\operatorname{dim} V $ 이므로 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} $ 는 $ V $ 의 기저가 될 수 없다. 따라서 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} $ 는 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이 될 수 없다. 따라서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}, v_{r+1} $ 이 일차독립이 되도록 원소 $ v_{r+1} \in V $ 이 존재한다. 만약 $ r+1<n $ 이면 위의 과정을 반복한다. 이렇게 하여 $ n $ 개의 일차독립인 원소들의 집합 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 을 얻을 때 까지 한단계식 진행할 수 있다.따라서, $ \operatorname{dim} V=n $ 이므로 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이다.정리 1.5.4에 의하여 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 은 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>보기 1.5.7 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 은 실수체 $ \mathbb{R} $ 위의 3 차원 벡터공간이다. 따라서 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 네 벡터 $ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,2,-3) $ 은 일차종속이다. 실제로, $ (1,2,-3)=1(1,0,0)+2(0,1,0)+(-3)(0,0,1) $. 한편, $ (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) $ 은 일차독립이고, $ \operatorname{dim} \mathbb{R}^{3}=3 $ 이므로 $ \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $ 은 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이다. 그러므로 $ \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} $ 은 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 기저이다. 이제, 유한차원 벡터공간의 부분공간의 차원에 대해서 논해보자.</p> <p>정 리 $ 1.4 .4 $ 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \in V $ 에 대하여<ol type= start=1><li>적당한 정수 $ k(1 \leq k \leq n) $ 에 대하여 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $ 가 일차종속이면, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k-1 } , v_ { k } , v_ { k + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 가 일차종속이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k-1 } , v_ { k } , v_ { k + 1 } , \cdots, v_ { n } $ 가 일차독립이면,적당한 정수 $ k(1 \leq k \leq n) $ 에 대하여 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } $ 는 일차독립이다.</li></ol> <p>증 명</p> <ol type= start=1><li>$ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { k } (1 \leq k \leq n) $ 가 일차종속이면 모두는 영 아닌 스칼라 $ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { k } \in K $가 존재하여 \[ \begin {array} { c } a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { k } v_ { k } =0 \text { 이므로 } \\ a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { k-1 } v_ { k-1 } + a_ { k } v_ { k } + 0 v_ { k + 1 } + \cdots + 0 v_ { n } =0 \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다.</li> <li>명제 (1) 의 대우명제도 참이므로, (2)도 성립한다.</li></ol> <p>보기 1.4.6 벡터공간 $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 다음 벡터를 생각해 보자. \[ v_ { 1 } =(1,1,0), v_ { 2 } =(0,1,1), v_ { 3 } =(1,0,1), v_ { 4 } =(1,2,1) \] 먼저, 세 벡터 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } $ 에 대하여 \[ \begin {aligned} a v_ { 1 } + b v_ { 2 } + c v_ { 3 } &=a(1,1,0) + b(0,1,1) + c(1,0,1) \\ &=(0,0,0) \end {aligned} \] 이라고 하면 \[ \begin {array} { l } \left \{\begin {array} { l } a + c=0 \\ a + b=0 \\ b + c=0 \end {array} \quad \right . \text { 이므로 } \\ a=0, b=0, c=0 \text { 이다. } \\ \end {array} \] 따라서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } $ 는 일차독립이다. 정리 1.4.4-(2)에 의하여, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } $ 는 일차독립이다. 한편, $ v_ { 4 } =v_ { 1 } + v_ { 2 } $ 이므로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 4 } $ 는 일차종속이다(정리 1.4.3). 따라서 정리 $ 1.4 .4-(1) $ 에 의하여 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } , v_ { 4 } $ 는 일차종속이다.</p> <h1>1.2 벡터공간</h1> <p>정 의 $ K $ 를 체라 하고, 임의의 집합 $ V(\neq \varnothing) $ 위에 두 연산 덧셈 $ (+) $ 과 스칼라배(scalar multiplication)가 정의되어 있고, 즉 \[ \begin{array}{l} u, v \in V \Rightarrow u+v \in V \\ k \in K, v \in V \Rightarrow k v \in V \end{array} \] 이고, 모든 원소 $ u, v, w \in V $ 와 모든 원소 $ a, b \in K $ 에 대하여 다음 조건을 만족할 때, $ V $ 를 체 $ K $ 위의 벡터공간(vector space over $ K $ )이라고 한다.</p> <p>A1. $ (u+v)+w=u+(v+w) $ A2. $ v+w=w+v $ A3. 모든 원소 $ v \in V $ 에 대하여, 등식 \[ v+0=v=v+0 \] 이 성립하는 특정한 원소 $ 0 \in V $ 가 (단 하나) 존재한다.</p> <p>A4. 각 원소 $ v \in V $ 에 대하여, 등식 \[ v+(-v)=0=(-v)+v \] 가 성립하는 원소 $ -v \in V $ 가 (단 하나) 존재한다.</p> <p>SM1. $ a(v+w)=a v+a w $ SM2. $ (a+b) v=a v+b v $ SM3. $ (a b) v=a(b v) $ SM4. $ 1 v=v $</p> <p>여기서, 벡터공간 $ V $ 의 각 원소를 벡터(vector)라 하고 체 $ K $ 의 각 원소를 스칼라 (scalar) 또는 수(number)라 한다.</p> <p>특히, 조건 $ \mathrm{A} 3 $ 을 만족시키는 벡터 0 을 영벡터(zero vector)라 하고 조건 $ \mathrm{A} 4 $ 를 만족시키는 $ -v $ 를 $ v $ 의 음벡터(negative vector)라 한다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 두 원소 $ v, w $ 에 대하여 $ v+w $ 를 $ v $ 와 $ w $ 의 합이라 하고, $ v \in V $ 와 $ a \in K $ 에 대하여 $ a v $ 를 $ a $ 에 의한 $ v $ 의 스칼라배(scalar multiple)라고 한다.</p> <p>벡터공간 $ V $ 의 원소 $ v, w $ 에 대하여, $ v-w=v+(-w) $ 로 정의한다.</p> <p>주의. 응용에 따라서는 체 $ K $ 는 실수체 또는 복소수체 일수도 있다. 여기서는 각 경우를 모두 동시에 다루고자 하므로 중립적인 문자 $ K $ 를 택하 기로 하였다.</p> <p>특히, $ K $ 가 실수체 $ \mathbb{R} $ 인 경우의 벡터공간을 실벡터공간(real vector space)이라고 하고 $ K $ 가 복소수체 $ \mathbb{C} $ 인 경우의 벡터공간을 복소벡터공간(complex vector space)이라고 한다.</p> <h1>1.1 집합과 체</h1> <p>집합 $ A $ 에 대하여 $ a $ 가 $ A $ 의 원소(element)일 때 $ a \in A $ 또는 $ A \ni a $ 로 나타내고 $ a $ 가 $ A $ 의 원소가 아닌 때 $ a \notin A $ 또는 $ A \not \supset a $ 로 나타낸다.</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여 $ A $ 가 $ B $ 의 부분집합(subset)일 때 $ A \subset B $ 또는 $ B \supset A $ 로 나타내고, 특히, $ A $ 가 $ B $ 의 진부분집합(proper subset)일 때 $ A \subsetneq B $ 또는 $ B \supsetneq A $ 로 나타낸다. 그리고 기호 $ \varnothing $ 는 공집합 (empty set)을 나타낸다.</p> <p>하나의 조건 $ P(x) $ 를 만족시키는 원소 $ x $ 전체로 이루어지는 집합을 $ \{ x \mid P(x) \} $로 나타내고, 주어진 집합 $ A $ 의 원소 중에서 조건 $ P(x) $ 를 만족시키는 원소 $ x $ 전체로 이루어진 집합을 $ \{ x \in A \mid P(x) \} $ 로 나타낸다.</p> <p>두 집합 $ A, B $ 에 대하여 $ A \cup B, A \cap B, A-B, A \times B $ 를 각각 $ A $ 와 $ B $의 합집합(union), 공통집합(intersection), 차집합(difference), 곱집합 또는 데카르트 곱 (cartesian product)을 나타낸다. 즉, \[ \begin {array} { l } A \cup B = \{ x \mid x \in A \text { 또는 } x \in B \} \\ A \cap B= \{ x \mid x \in A \text { 그리고 } x \in B \} \\ A-B= \{ x \mid x \in A \text { 그리고 } x \notin B \} \\ A \times B= \{ (a, b) \mid a \in A \text { 그리고 } b \in B \} \end {array} \]</p> <p>특히, $ A \times B $ 의 원소 $ (a, b) $ 를 $ A $ 의 원소 $ a $ 와 $ B $ 의 원소 $ b $ 의 순서쌍(ordered pair)이라한다. 즉 일반적으로 $ (a, b) \neq(b, a) $ 이고, $ (a, b)=(c, d) \Leftrightarrow a=c $ 그리고 $ b=d $ 이다.</p> <p>정리 1.5.8 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V(\neq\{0\}) $ 가 유한차원 벡터공간이면, $ V $ 의 부분공간 $ W $ 는 유한차원 벡터공간이고, $ 0 \leq \operatorname{dim} W \leq \operatorname{dim} V $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>분명히 $ W=\{0\} \quad \Leftrightarrow \operatorname{dim} W=0 $ 이다. 이제, $ \operatorname{dim} V=n \quad(n \geq 1) $ 이고 $ W(\neq\{0\}) $ 가 $ V $ 의 부분공간이라고 하자. $ W \neq\{0\} $ 이므로 $ w_{1}(\neq 0) \in W $ 가 존재하고 $ w_{1} $ 은 일차독립이다. 집합 $ \left\{w_{1}\right\} $ 이 $ W $ 의 일차독립인 원소의 극대집합이 아니라면 $ w_{1}, w_{2} $가 일차독립이 되는 $ w_{2} \in W $ 가 존재한다. 한 번에 한 원소씩 이와 같은 방법을 계속하여 나아가면, $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m} $ 이 $ W $ 의 일차독립인 원소이고, $ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} $ 이 $ W $의 일차독립인 원소의 극대집합이 되는 어떤 양의 정수 $ m \leq n $ 이 존재한다.( $ \operatorname{dim} V=n $ 이므로 이와 같은 원소는 많아야 $ n $ 이다.) 따라서, 정리1.5.4에 의하여, \[ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\} \text { 은 } W \text { 의 기저이다. } \] 그러므로 $ \operatorname{dim} W=m \leq n=\operatorname{dim} V $ 이다.</p> <p>정리 1.5.9 $V$ 가 체 $ K $ 위의 유한차원 벡터공간이고, $ V $ 가 부분공간 $ U $ 와 $ W $ 의 직합(direct sum), 즉 $ V=U \oplus W $ 이면 $ \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W $ 이다.</p> <p>증명</p> <p>먼저, 정리 $ 1.3 .2 $ 에 의해서, \[ V=U \oplus W \Leftrightarrow V=U+W, U \cap W=\{0\} . \] 먼저, $ U=\{0\} $ 또는 $ W=\{0\} $ 일 때도 정리가 분명히 성립한다. 이제 $ \left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}\right\} $ 을 $ U $ 의 기저, $ \left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{s}\right\} $ 를 $ W $ 의 기저라고 하자. 임의의 원소 $ v \in V $ 에 대해서 $ V=U \oplus W $ 이므로 $ u \in U, w \in W $ 가 존재하여 $ v=u+w $ 으로 유일하게 표시된다.</p> <p>여기서, \[ \begin{aligned} u=x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r} \in U, \quad w=& y_{1} w_{1}+y_{2} w_{2}+\cdots+y_{s} w_{s} \in W \\ &\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{s} \in K\right) \end{aligned} \] 으로 유일하게 표시된다. 따라서 \[ \begin{aligned} v &=u+w \\ &=x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r}+y_{1} w_{1}+y_{2} w_{2}+\cdots+y_{s} w_{s} \end{aligned} \] 이므로 \[ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{s} \text { 는 } V \text { 를 생성한다. } \] 다음에 $ x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r}+y_{1} w_{1}+y_{2} w_{2}+\cdots+y_{s} w_{s}=0 $ 이라고 하면 \[ \begin{array}{l} x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r}=-y_{1} w_{1}-y_{2} w_{2}-\cdots-y_{s} w_{s} \text { 이고, } \\ x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r} \in U,-y_{1} w_{1}-y_{2} w_{2}-\cdots-y_{s} w_{s} \in W \text { 이므로 } \\ \left(x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r}\right)=\left(-y_{1} w_{1}-y_{2} w_{2}-\cdots-y_{s} w_{s}\right) \in U \cap W=\{0\} \end{array} \] 이다. 따라서 \[ x_{1} u_{1}+x_{2} u_{2}+\cdots+x_{r} u_{r}=0 \text { 이고, }-y_{1} w_{1}-y_{2} w_{2}-\cdots-y_{s} w_{s}=0 \text { 이다. } \] 여기서 $ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r} $ 과 $ w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{s} $ 는 각각 일차독립이므로 \[ x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{r}=0, y_{1}=0, y_{2}=0, \cdots, y_{s}=0 \text {. } \] 따라서, $ u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{s} $ 는 일차독립이다. 그러므로 $ \left\{u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{r}, w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{s}\right\} $ 는 $ V $ 의 기저이다. 따라서, $ \operatorname{dim} V=r+s=\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W $ 이다.</p> <h1>1.5 벡터공간의 기저와 차원</h1> <p>이 절에서는 벡터공간 $ V $ 를 생성하는 벡터의 최소의 집합을 결정함으로서 벡터공간 $ V $ 의 구조에 대해서 알아본다.</p> <p>정 의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $ 에 대해서 다음 두 조건을 만족하는 $ V $ 의 부분집합 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 를 벡터공간 $ V $ 의 기저(basis)라고 한다.</p> <ol type= start=1><li>$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 $ V $ 를 생성한다. 즉 각 벡터 $ v \in V $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합 \[ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right) \] 의 꼴로 표시된다.</li> <li>$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 일차독립이다. 즉 \[ a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n}=0 \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right) \] $ \quad \Rightarrow a_{1}=0, a_{2}=0, \cdots, a_{n}=0 $</li></ol> <p>주의. $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 가 벡터공간 $ V $ 의 기저일 때, $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 모두 영벡터가 아니고 또 서로 다르므로 $ V \neq\{0\} $ 이고, $ \|B\|=n $ 이다. 특히, $ V=\{0\} $ 일 때는 0 은 일차독립이 아니므로 기저(basis)가 없다. 이때에는 공집합 $ \varnothing $ 를 $ V $ 의 기저로 생각한다.</p> <p>보기1.5.1 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ K^{n} $ 에서, $ n $ 개의 벡터 \[ e_{1}=(1,0,0, \cdots, 0), e_{2}=(0,1,0, \cdots, 0), \cdots, e_{n}=(0,0, \cdots, 0,1) \] 은 $ K^{n} $ 의 기저를 이룬다.</p> <p>실제로, 임의의 $ \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \in K^{n} $ 에 대하여 \[ \begin{aligned} \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)=\left(a_{1}, 0, \cdots, 0\right) &+\left(0, a_{2}, 0, \cdots, 0\right) \\ &+\cdots+\left(0,0, \cdots, 0, a_{n}\right) \\ =& a_{1}(1,0,0, \cdots, 0)+a_{2}(0,1,0, \cdots, 0) \end{aligned} \] $ \quad+\cdots+a_{n}(0,0, \cdots, 0,1) $ $ =a_{1} e_{1}+a_{2} e_{2}+\cdots+a_{n} e_{n} $</p> <p>따라서 $ e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n} $ 은 일차독립이다. 그러므로 $ \left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\} $ 은 $ K^{n} $ 의 기저이다. 이 때, 기저 $ B=\left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\} $ 를 $ K $ 위의 벡터공간 $ K^{n} $ 의 표준기저 (standard basis)라고 한다.</p> <p>주의. $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 가 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 기저이면$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 $ V $ 를 생성하고, 이들은 일차독립이므로 정리 $ 1.4 .5 $ 에 의해서 각 벡터 $ v \in V $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합 \[ v=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+\cdots+x_{n} v_{n} \quad\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in K\right) \] 의 꼴로 유일하게 표시된다. 즉 $ n $-순서조(ordered $ n $-tuple) $ \left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $ 가 유일하게 결정된다. 이때, \[ [v]_{B}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in K^{n} \quad \text { 또는 } \quad[v]_{B}=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \in K^{n} \]을 기저 $ B $ 에 관한 $ v \in V $ 의 좌표벡터(coordinate vector)라고 한다.</p> <p>보기 1.5.2 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 벡터, $ v_{1}=(1,1,0), v_{2}=(1,1,1), v_{3}=(0,1,-1) $ 에 대하여 기저 $ B=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} $ 에 관한 $ v=(1,2,3) $ 의 좌표벡터 $ [v]_{B} $ 를 구하여보자. 만일 $ v=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+x_{3} v_{3} \quad\left(x_{i} \in \mathbb{R}\right) $ 이라고 하면 \[ \begin{aligned} (1,2,3) &=x_{1}(1,1,0)+x_{2}(1,1,1)+x_{3}(0,1,-1) \\ &=\left(x_{1}+x_{2}, x_{1}+x_{2}+x_{3}, x_{2}-x_{3}\right) \text { 이므로 } \end{aligned} \]</p> <p>\[ \left\{\begin{aligned} x_{1}+x_{2} &=1 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} &=2 \\ x_{2}-x_{3} &=3 \end{aligned}\right. \text { 이다. } \] 이 연립방정식을 풀면 \[ x_{1}=-3, x_{2}=4, x_{3}=1 \text { 이므로 } v=-3 v_{1}+4 v_{2}+1 v_{3} \text { 이다. } \] 따라서 $ [v]_{B}=(-3,4,1) $ 또는 $ [v]_{B}=\left(\begin{array}{r}-3 \\ 4 \\ 1\end{array}\right) $ 이다.</p> <p>보기 1.5.3 $ K $ 를 체라 하고 집합 $ K_{n}[x] $ 를 $ K $ 위의 $ n-1 $ 차 이하의 다항식 전체의 집합, 즉 \[ K_{n}[x]=\left\{f(x)=a_{0} 1+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1} \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in K\right\} \] 이라하면 $ K_{n}[x] $ 는 $ K $ 위의 벡터공간이다(보기 $ 1.2.4 $ ).임의의 원소 $ f(x) \in K_{n}[x] $ 는 $ f(x)=a_{0} 1+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1} $ 으로 표시되므로 $ 1, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1} $ 은 $ K_{n}[x] $ 를 생성한다. 또한, $ a_{0} 1+a_{1} x+\cdots+a_{n-1} x^{n-1}=0 $ (영 다항식)이라하면$ a_{0}=0, a_{1}=0, \cdots, a_{n-1}=0 $ 이므로 $ 1, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1} $ 은 일차독립이다. 따라서 $ B=\left\{1, x, x^{2}, \cdots, x^{n-1}\right\} $ 은 벡터공간 $ K_{n}[x] $ 의 기저이다.이 때, $ B $ 를 $ K_{n}[x] $ 의 표준기저라 한다.</p> <p>정의. 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $ 에 대하여</p> <ol type= start=1><li>$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} \in V \quad(r \leq n) $ 가 일차독립이고,</li> <li>임의의 $ v_{i}(i>r) $ 에 대하여, $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}, v_{i} $ 가 일차종속일 때, 집합 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} $ 를 일차독립인 원소의 극대부분집합(maximal subset of linearly independent elements)이라고 한다.</li></ol> <p>다음 정리는 벡터공간의 원소들의 집합이 언제 기저가 되는지를 결정하는 유용한 판단기준을 제공한다.</p> <p>정 리1.5.1 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 을 $ V $ 의 생성원의 집합이고, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} \quad(r \leq n) $ 를 일차독립인 원소의 극대부분집합이면, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} $ 는 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>증 명.</p> <p>$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 가 $ V $ 를 생성함을 보이면 된다. 우선 각 $ v_{i}(i>r) $ 에 대하여 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}, v_{i} $ 는 일차종속이므로 모두는 영 아닌 $ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{r}, y \in K $ 가 존재하여 \[ x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+\cdots+x_{r} v_{r}+y v_{i}=0 \text { 이다. } \] 여기서 만약 $ y=0 $ 이면 $ x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+\cdots+x_{r} v_{r}=0 $.$ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 는 일차독립이므로 $ x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{r}=0 $ 이다. 따라서, $ y=0, x_{1}=0, x_{2}=0, \cdots, x_{r}=0 $ 이다. 이것은, " $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}, v_{i} $ 가 일차종속이다."라는 사실에 모순이다. 따라서 $ y \neq 0 $ 이다. 그러므로 \[ v_{i}=\left(-\frac{x_{1}}{y}\right) v_{1}+\left(-\frac{x_{2}}{y}\right) v_{2}+\cdots+\left(-\frac{x_{r}}{y}\right) v_{r} \text { 이다. } \] 따라서 모든 $ v_{i}(i>r) $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 의 일차결합으로 나타낼 수 있다. 다음으로, $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 이 $ V $ 의 생성원의 집합이므로 임의의 원소 $ v \in V $ 는 \[ v=c_{1} v_{1}+c_{2} v_{2}+\cdots+c_{r} v_{r}+\cdots+c_{n} v_{n} \] 으로 표시된다. 이 관계식에서 각 $ v_{i}(i>r) $ 를 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 의 일차결합으로 바꾸어 대입하여 정리하면 $ v $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 의 일차결합으로 표시된다. 따라서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r} $ 는 $ V $ 를 생성한다. 그러므로 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{r}\right\} $ 는 $ V $ 의 기저이다.</p> <p>보기1.5.4 벡터공간 $ \mathbb{R}^{3} $ 에서, \[ v_{1}=(2,3,4), v_{2}=(6,9,12), v_{3}=(1,0,1), v_{4}=(0,2,-1), v_{5}=(4,1,7) \] 이라하면 $ \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5}\right\} $ 는 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 생성원의 집합이다.여기서 $ v_{1}=(2,3,4), v_{3}=(1,0,1), v_{4}=(0,2,-1) $ 는 일차독립이다.</p> <p>한편 $ v_{2}=(6,9,12)=3(2,3,4)=3 v_{1} $ 이므로 $ v_{1}, v_{2} $ 는 일차종속, 또한 \[ \begin{aligned} v_{5} &=(4,1,7)=(2,3,4)+2(1,0,1)-(0,2,-1) \\ &=v_{1}+2 v_{3}-v_{4} \end{aligned} \] 이므로 $ v_{1}, v_{3}, v_{4}, v_{5} $ 는 일차종속이다. 즉, $ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}, v_{5} $ 는 일차종속이다(정리 1.4.4-(1)). 따라서 $ \left\{v_{1}, v_{3}, v_{4}\right\} $ 는 일차독립인 원소의 극대부분집합이다. 그러므로 $ \left\{v_{1}, v_{3}, v_{4}\right\} $ 는 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 기저이다.</p> <h1>1.4 일차독립과 일차종속</h1> <p>이 절에서는 벡터공간의 구조를 이해하는데 필요한 기본적인 개념을 소개한다.</p> <p>정의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $ 일 때 \[ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \quad\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right) \] 의 형태로 표시되어지는 벡터 $ v \in V $ 를 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합(linear combination)이라하고, 이러한 일차결합 전체의 집합을 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 으로 나타낸다. 즉 \[ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle=\left\{a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \mid a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right\} . \]</p> <p>보기 1.4.1 $ \mathbb{R}^{2} $ 의 벡터 $ v_{1}=(1,0), v_{2}=(0,1) $ 에 대하여 \[ v=(4,-2)=4(1,0)+(-2)(0,1)=4 v_{1}+(-2) v_{2} \] 이므로 $ v \in \mathbb{R}^{2} $ 는 $ v_{1} $ 과 $ v_{2} $ 의 일차결합이다.</p> <p>보기 1.4.2 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 벡터 $ v_{1}=(1,-2,-1), v_{2}=(3,-5,4) $ 에 대하여 $ v=(2,-6,3) $ 이 $ v_{1} $ 과 $ v_{2} $ 의 일차결합으로 표시할 수 있음과 표시할 수 없음은 방정식 $ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2} $ 을 만족하는 실수 $ a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R} $ 가 존재하는가에 의해서 결정 된다.따라서 위의 식으로부터 다음을 얻는다. \[ \begin{aligned} (2,-6,3) &=a_{1}(1,-2,-1)+a_{2}(3,-5,4) \\ & \Rightarrow\left\{\begin{aligned} a_{1}+3 a_{2}=2 \\ -2 a_{1}-5 a_{2}=-6 \\ -a_{1}+4 a_{2} &=3 \end{aligned}\right. \end{aligned} \] 그런데, 이 연립방정식을 동시에 만족하는 실수 $ a_{1}, a_{2} $ 는 존재하지 않으므로 $ v $ 는 $ v_{1} $ 과 $ v_{2} $ 의 일차결합으로 표시할 수 없다.</p> <p>정리 1.4 .1 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합 전체의 집합 \[ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle=\left\{a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \mid a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K\right\} \] 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>$ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 은 $ V $ 의 부분공간이고, 또 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 은 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 을 포함한다.</li> <li>$ V $ 의 부분공간 $ W $ 가 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 을 포함하면, $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle \subset W $ 이다. 즉, $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 은 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 을 포함하는 부분공간 중에서 가장 작은 부분공간이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type= start=1><li>$ v, w \in\left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle, a \in K $ 라고하면, $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n} \in K $ 에 대하여 $ v=a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n}, w=b_{1} v_{1}+b_{2} v_{2}+\cdots+b_{n} v_{n} $ 이다. 이 때, $ v+w=\left(a_{1}+b_{1}\right) v_{1}+\left(a_{2}+b_{2}\right) v_{2}+\cdots+\left(a_{n}+b_{n}\right) v_{n} $, \[ \begin{array}{l} \left(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}, \cdots, a_{n}+b_{n} \in K\right) \\ a v=a a_{1} v_{1}+\cdots+a a_{n} v_{v} \quad\left(a a_{1}, a a_{2}, \cdots, a a_{n} \in K\right) \end{array} \] 이므로 \[ v+w, a v \in\left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle \text { 이다. } \] 따라서 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 은 $ V $ 의 부분공간이다. 그리고, 각 $ i(1 \leq i \leq n) $ 에 대하여 \[ v_{i}=0 v_{1}+0 v_{2}+\cdots+0 v_{i-1}+1 v_{i}+0 v_{i+1}+\cdots+0 v_{n} \] 이므로 각 $ v_{i} $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합이다. 따라서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in\left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $.</li> <li>$ V $ 의 부분공간 $ W $ 가 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in W $ 이면 임의의 $ a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n} \in K $ 에 대하여 $ a_{1} v_{1}+a_{2} v_{2}+\cdots+a_{n} v_{n} \in W $ 이므 로 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle \subset W $ 이다.</li></ol> <p>정 의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V $ 일 때, 부분공간 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 을 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 에 의해서 생성된(generated 또는 spanned) $ V $ 의 부분공간이라고 한다. 특히, $ V=\left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 일 때, 즉, $ V $ 의 모든 원소가 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 일차결합으로 표시될 때," $ V $ 는 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 에 의해서 생성된다." 또는" $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 은 $ V $ 를 생 성한다(generate)."라고 말한다. 이때 $ \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} $ 를 $ V $ 의 생성원의 집합(set of generators)이라고 하자.</p> <p>주의. 위의 정의에서 부분공간 $ \left\langle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\rangle $ 은 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 의 순서에 관계없다. 또한 $ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} $ 중에 같은 것이 중복될 때는 하나만 쓴다. 예를 들면, \[ \begin{array}{l} \left\langle v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\rangle=\left\langle v_{2}, v_{1}, v_{3}\right\rangle=\left\langle v_{1}, v_{3}, v_{2}\right\rangle, \\ \left\langle v_{1}, v_{2}, v_{2}\right\rangle=\left\langle v_{1}, v_{2}\right\rangle \text { 이다. } \end{array} \]</p> <h1>1.3 부분공간</h1> <p>한 집합에 대하여 그 부분집합의 성질을 조사할 수 있다. 마찬가지로 벡터공간에 대해서도 그 부분집합 중에서 벡터공간이 되는 특수한 부분집합에 관련된 중요한 개념에 대해서 상세히 알아보자.</p> <p>정의 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분집합 $ W(\neq \varnothing) $ 가 $ V $ 에서 정의된 덧셈과 스칼라배에 관하여 $ W $ 가 그 자체로서 $ K $ 위의 벡터공간을 이룰 때, $ W $ 를 $ V $ 의 부분공간(subspace)이라하고, 때로는 \[ W<V \] 로 나타낸다.</p> <p>보기 1.3.1 $ V $ 가 체 $ K $ 위의 벡터공간일 때, $ \{0\} $ 과 $ V $ 는 $ V $ 의 부분공간이다. 특히, $ \{0\} $ 을 $ V $ 의 영부분공간(zero subspace)이라한다.</p> <p>일반적으로 벡터공간 $ V $ 의 부분집합 $ W(\neq \varnothing) $ 가 부분공간임을 밝히기 위해서는 $ W $ 가 벡터공간이 될 모든 공리를 만족해야 하지만 이미, $ W $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분집합이고, $ W $ 위의 연산은 $ V $ 위의 연산과 같으므로 다음 두개의 조건만 만족하면 $ W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>정 리 1.3.1 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 부분집합 $ W(\neq \varnothing) $ 에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type= start=1><li>$ W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</li> <li>( i ) $ w_{1}, w_{2} \in W \Rightarrow w_{1}+w_{2} \in W \quad $ (덧셈에 관하여 닫혀있다.) (ii) $ a \in K, w \in W \Rightarrow a w \in W \quad $ (스칼라배에 관하여 닫혀있다.)</li></ol> <p>증명.<p>(1) $ \Rightarrow(2): W $ 가 체 $ K $ 위의 벡터공간이므로 (i), (ii)는 만족한다.<p>(2) $ \Rightarrow $ (1) : 조건 ( i ), (ii)가 성립한다고 가정하자. $ W $ 가 벡터공간 $ V $ 의 부분집합이므로 $ W $ 의 모든 원소는 $ V $ 의 원소이다.</p> <p>따라서, 조건 ( i ), (ii)에 의해서 $ \mathrm{A} 1, \mathrm{~A} 2 $ 가 $ \mathrm{SM} 1 $ $ \mathrm{SM} 4 $ 가 성립한다.임의의 원소 $ w \in W $ 에 대하여, 조건 (ii)에 의해서 \[ 0=0 w \in W, \quad-w=(-1) w \in W \] 이므로 $ \mathrm{A} 3, \mathrm{~A} 4 $ 가 성립한다. 그러므로, $ W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>보기 1.3.2 $ W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\} $ 는 체 $ \mathbb{R} $ 위의 $ \mathbb{R}^{3} $ 의 부분공간이다.</p> <p>풀이. $ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in W $ 이라고 하면 \[ \begin{aligned} x_{1}+x_{2}+x_{3}=0, y_{1}+y_{2}+y_{3} &=0 \text { 이다. } \\ x+y &=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)+\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \\ &=\left(x_{1}+y_{1}, x_{2}+y_{2}, x_{3}+y_{3}\right) \text { 이고, } \\ \left(x_{1}+y_{1}\right)+\left(x_{2}+y_{2}\right)+\left(x_{3}+y_{3}\right) &=\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)+\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}\right) \\ &=0+0=0 \text { 이다. } \end{aligned} \]</p> <p>따라서 $ x+y \in W $ 이다. 임의의 원소 $ a \in \mathbb{R} $ 이고 $ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in W $ 에 대하여 \[ \begin{array}{c} a x=a\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(a x_{1}, a x_{2}, a x_{3}\right) \text { 이고 } x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \text { 이다. } \\ a x_{1}+a x_{2}+a x_{3}=a\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}\right)=a 0=0 \text { 이므로 } \\ a x \in W . \end{array} \] 그러므로 $ W<V $ 이다.</p> <p>보기 1.3.3 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 의 두 부분공간 $ U, W $ 에 대하여 $ U \cap W $ 는 $ V $ 의 부분공간이다.</p> <p>실제로, \[ \begin{aligned} u, v \in U \cap W & \Rightarrow u, v \in U, u, v \in W \\ & \Rightarrow u+v \in U, u+v \in W \\ & \Rightarrow u+v \in U \cap W \\ c \in K, v \in U \cap W & \Rightarrow c v \in U, c v \in W \\ & \Rightarrow c v \in U \cap W . \end{aligned} \]</p> <p>그러나 $ U \cup W $ 는 일반적으로 $ V $ 의 부분공간이 아니다. 예를 들면, $ U=\{(x, 0) \mid x \in \mathbb{R}\}, W=\{(0, y) \mid y \in \mathbb{R}\}<\mathbb{R}^{2} $ 이라 할 때, $ U \cup W=\{(x, y) \mid x=0 $ 또는 $ y=0\} $. 즉 $ x $ 축과 $ y $ 축에 놓여있는 벡터들의 집합이다.</p> <p>그 예로 $ e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1) \in U \cup W $ 이지만 \[ e_{1}+e_{2}=(1,1) \notin U \cup W \text { 이다. } \] 따라서 $ U \cup W $ 는 $ \mathbb{R}^{2} $ 의 부분공간이 아니다.</p> <p>정 리 1.4 .2 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서, 벡터 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } , v \in V $ 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>$ v \neq 0 \Leftrightarrow v $ 는 일차독립이다. 즉, 영 아닌 벡터는 일차독립이다.</li> <li>$ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 중에서 한 벡터가 영벡터이거나 또는, 이들 중에서 두 벡터가 서로 같으면 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다.</li></ol> <p>증명. (1) $ v \neq 0 $ 일 때 $ a v=0 \quad(a \in K) $ 이면 $ a=0 $ 이므로 $ v $ 는 일차독립이다. 역으로 $ v=0 $ 이면 $ 1 v=1 \cdot 0=0,1 \neq 0 $ 이므로 $ v=0 $ 은 일차종속이다. (2) 먼저, $ v_ { 1 } =0 $ 이라고 하면 $ 1 v_ { 1 } + 0 v_ { 2 } + \cdots + 0 v_ { n } =0,(1 \neq 0) $ 이므로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다. 다음, $ v_ { 1 } =v_ { 2 } $ 이라고 하면 $ 1 v_ { 1 } + (-1) v_ { 2 } + 0 v_ { 3 } + \cdots + 0 v_ { n } =0, \quad(1 \neq 0,-1 \neq 0) $ 이므로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차종속이다.</p> <p>정 리1.4.3 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \in V $ 에 대하여, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 가 일차종속이다. $ \Leftrightarrow v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 중 한 벡터가 나머지 벡터의 일차결합으로 표시된다.</p> <p>정의 집합 $ K( \neq \varnothing) $ 위에 덧셈 $ ( + ) $ 과 곱셈 $ ( \cdot) $ 이 정의되어 있고, 즉, \[ a, b \in K \Rightarrow a + b \in K, a b \in K \] 이고 또, 모든 $ a, b, c \in K $ 에 대하여 다음조건을 만족할 때, $ K $ 를 체(field)라 한다.</p><p> A1. $ (a + b) + c=a + (b + c) $ (덧셈에 관한 결합법칙)</p> <p>A2. $ a + b=b + a $ (덧셈에 관한 교환법칙)</p> <p>A3. 모든 원소 $ a \in K $ 에 대하여 등식 $ a + 0=a=0 + a $ 가 성립하는 특정한 원소 $ 0 \in K $ 가 (단 하나) 존재한다. (0 : 덧셈에 관한 항등원, 영(zero)이라고 말한다.)</p> <p>A4. 각 원소 $ a \in K $ 에 대하여 등식 $ a + (-a)=0=(-a) + a $ 가 성립하는 원소 $ -a \in K $ 가 (단 하나) 존재한다. ( $ -a: a $ 의 덧셈에 관한 역원이라고 말한다.)</p> <p>M1. $ (a b) c=a(b c) $ (곱셈에 관한 결합법칙)</p> <p>M2. $ a b=b a $(곱셈에 관한 교환법칙)</p> <p>M3. 모든 원소 $ a \in K $ 에 대하여 등식 $ a 1=a=1 a $ 가 성립하는 특정한 원소 $ 1 \in K $ 가 (단 하나) 존재한다. (1 : 곱셈에 관한 항등원 이라고 말한다.)</p> <p>M4. 각 원소 $ a \in K \quad(a \neq 0) $ 에 대하여 등식 $ a a ^ { -1 } =1=a ^ { -1 } a $ 가 성립하는 원소 $ a ^ { -1 } \in K $ 이 (단 하나) 존재한다. $ \left (a ^ { -1 } : a \right . $ 의 곱셈에 관한 역원)</p> <p>D. $ a(b + c)=a b + a c, \quad(a + b) c=a c + b c $ (배분법칙)</p> <p>체 $ F $ 위에서의 뺄셈과 나눗셈은 다음과 같이 정의한다. \[ a-b=a + (-b), a \div b= \frac { a } { b } =a b ^ { -1 } \quad(b \neq 0) \]</p> <p>보기1.1.1 유리수 전체의 집합 $ \mathbb { Q } $, 실수전체의 집합 $ \mathbb { R } $, 복소수 전체의 집합 $ \mathrm { C } $ 는 보통의미의 덧셈과 곱셈에 관하여 체를 이룬다. 이러한 의미에서 $ \mathbb { Q } , \mathbb { R } , \mathbb { C } $ 를 각각 유리수체(rational number field), 실수체(real number field), 복소수체(complex number field)라고 한다.</p> <p>주의. 체 $ K $ 에서,<ol type= start=1><li>모든 원소 $ a \in K $ 에 대하여 $ a 0=0=0 a $ $( \because) a 0=a(0 + 0)=a 0 + a 0 \Rightarrow a 0=0 $</li> <li>$ 0 \neq 1 $ $ ( \because) $ 만약 $ 0=1 $ 이면 모든 원소 $ a( \neq 0) \in K $ 에 대하여 $ 0=0 a=1 a=a $. 이것은 $ a \neq 0 $ 인 사실에 모순이다. 따라서 $ 0 \neq 1 $</li></ol> <p>보기 1.4.7 벡터공간 $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 에서, 평행한 두 벡터는 일차종속이다. 즉 평행하지 않는 두 벡터는 일차독립이다. 실제로, $ \mathbb { R } ^ { 2 } $ 의 두 벡터 $ v, w $ 가 서로 평행이면 적당한 실수 $ a $ 에 대하여 \[ \begin {array} { c } v=a w \text { 이다. } \quad \text { 즉 } \\ 1 v + (-a) w=0, \quad(1 \neq 0) \end {array} \] 따라서 $ v, w $ 는 일차종속이다. 또한, $ \mathbb { R } ^ { 3 } $ 에서 동일평면 위에 있는 세 벡터는 일차종속이다. 즉 동일평면 위에 있지 않는 세 벡터는 일차독립이다. 실제로, 세 벡터가 동일평면 위에 있으면, 한 벡터는 나머지 두 벡터의 일차 결합으로 표시할 수 있다.</p> <p>정 리 1.4.5 체 $ K $ 위의 벡터공간 $ V $ 에서, $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \in V $ 가 일차독립이면, 이들의 일차결합 $ a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { n } v_ { n } $ 은 유일하게 표시된다.</p> <p>증명</p> <p>만약 $ a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { n } v_ { n } =b_ { 1 } v_ { 1 } + b_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + b_ { n } v_ { n } $ 이면 $ \left (a_ { 1 } -b_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (a_ { 2 } -b_ { 2 } \right ) v_ { 2 } + \cdots + \left (a_ { n } -b_ { n } \right ) v_ { n } =0 $ 이다. 여기서 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 은 일차독립이므로, $ a_ { 1 } -b_ { 1 } =0, a_ { 2 } -b_ { 2 } =0, \cdots, a_ { n } -b_ { n } =0 $ 이다. 따라서, $ a_ { i } =b_ { i } \quad(i=1,2, \cdots, n) $ 그러므로 $ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } $ 의 일차결합은 유일하다.</p>	자연
s097-(R과 함께하는) 기초통계학	<p>이제 평균으로부터의 편차들을 제곱한 값들의 평균이라 정의되는 분산은(대상집단이 모집단으로 간주될 때) 일반적으로 $ \sigma ^ { 2 } $ 으로 표기되며 다음과 같이 정의한다(여기서 $ \sigma ^ { 2 } $ 은 그리스문자 '시그마'의 제곱이다).</p> <p>모집단의 분산 $ \sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } \left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } $</p> <p>분산은 주어진 자료단위를 제곱한 상태로 계산되므로 사용된 자료와 같은 단위로 표시하려면 분산의 제곱근을 구해야 할 것이다. 분산의 제곱근, 즉 $ \sqrt {\sigma ^ { 2 } } $ 또는 $ \sigma $ 를 표준편차라 한다. 표준편차는 분산을 대신하여 자료의 산포도를 묘사하기 위해 사용된다. 모집단의 표준편차는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>$ \sigma= \sqrt {\frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } \left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } $</p> <p>앞의 평균편차를 구한 자료를 이용하여 모분산과 표준편차를 구하면 다음과 같다.</p> <p>모분산 $ \sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { 10 } \left \{ 36 \cdot 5 ^ { 2 } + 7.5 ^ { 2 } + 6.5 ^ { 2 } + 4.5 ^ { 2 } + 3.5 ^ { 2 } + 6.5 ^ { 2 } + 7.5 ^ { 2 } + 9.5 ^ { 2 } \right . $ $ \left . + 12.5 ^ { 2 } + 15.5 ^ { 2 } \right \} \times 1000 ^ { 2 } =204.85 \times 1000 ^ { 2 } ( $ 원 $ ) $ 표준편차 $ \sigma \fallingdotseq 14.3 \times 1000=14300 $ (원)</p> <p>일반적으로 분산 $ \sigma ^ { 2 } $ 의 값에 대한 정확한 해석은 평균편차에 비해 어렵다. 왜냐하면 분산의 정도가 측정단위에 따라 달리 나타나기 때문이다. 예컨대 위의 모분산 및 표준편차의 계산 예에서는 1 원 단위로 측정한 결과였지만 이를 천원 단위로 계산해보면 모분산 $ \sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { 10 } \left \{ 36.5 ^ { 2 } + 7.5 ^ { 2 } + 6.5 ^ { 2 } + 4.5 ^ { 2 } + 3.5 ^ { 2 } + 6.5 ^ { 2 } + 7.5 ^ { 2 } + 9.5 ^ { 2 } \right . $ $ \left . + 12.5 ^ { 2 } + 15.5 ^ { 2 } \right \} =204.85 $ (천원) 표준편차 $ \sigma \fallingdotseq 14.3 $ (천원)이므로, 따라서 이 두 쌍의 값을 비교해보면 1 원 단위로 측정하였을 경우의 분산이 천원 단위로 측정한 결과를 사용할 때보다 더 커짐을 알 수 있다. 물론 표준편차의 값은 원래 측정단위와 같은 단위로 표현되므로 변동이 없다.</p> <p>최빈값(mode)은 도수분포에서 정상점(peak)을 말하는데 분포가 오직 하나의 정상점을 가질 경우를 단봉(unimodal)분포라 하고 이때 정상점에 해당하는 자료값을 최빈값이라 한다. 경우에 따라서 최빈값은 2개 이상 존재할 수도 있고 측정된 자료의 수가 적어 반복되는 자료가 없을 경우 최빈값이 없을 수도 있다. 2 개의 서로 다른 자료가 동일한 최대빈도를 가지면 그 분포는 쌍봉형(bimodal)이 되고, 또한 동일한 최대빈도가 많으면 다봉형(multimodal)이라고 한다.</p> <p>수량적 자료의 경우 자료들이 그륩화되지 않은, 즉 동일 간격을 가지는 구간으로 구분하여 정리되지 않은 상태로 제시되었다. 그러나 자료의 양이 많을수록 이와 같은 기초적 방법에 의해 대푯값을 계산하는 과정은 점차 비효율적이 된다. 따라서 자료를 일단 크기에 따라 구간별로 정리한 도수분포표를 작성한 다음, 추가적인 가정을 통해 계산하는 방법이 필요하다.</p> <p>최빈값은 가장 여러 번 발생한 수치이며, 따라서 원 자료를 같은 수치별로 발생 도수를 정리하면 저절로 확인된다. 그러나 일단 자료가 [표 3]처럼 구간별 도수분포표 형태로 정리되어 제시되면 이러한 방법으로는 최빈값을 찾을 길이 없다.</p> <p>따라서 구간별도수가 가장 큰 $ 249.5 \sim 259.5 $ 구간(이 구간을 최빈구간이라 함)에 속하는 어떤 값이 아마 가장 여러 번 관측되었을 것이라고 가정하는 방법을 택할 수밖에 없다. 이 경우 우선 해당 구간(class)의 중간값(mid-point of the class 또는 class mark라 함)을 편의상 최빈수로 택하는 방법이 있을 것이다. 그러나 [표 3]에서처럼 자료의 분포가 최빈구간의 중앙값을 중심으로 대칭관계에 있지 않을 경우 $ 254.5 $를 최빈값으로 삼기에는 석연치 않은 점이 있다. 최빈구간 아래 구간도수가 8, 위 구간도수가 10인 점을 감안하면 최빈값은 최빈구간의 중앙으로부터 위쪽에 있다고 보는 것이 합리적일 것이다. 이러한 점을 감안하여 일반적으로 최빈값은 다음 공식을 통해 계산된다.</p> <p>$ M_ { 0 } =L_ { i } + \left ( \frac {\Delta l } {\Delta l + \Delta h } \right ) \cdot c $</p> <p>단<ul> <li>$ L_ { i } $ : 최빈구간의 하한값(lower limit of the model class)</li> <li>$ \Delta l $ : 최빈구간의 도수와 아래 구간도수와의 차이</li> <li>$ \Delta h $ : 최빈구간의 도수와 위 구간도수와의 차이</li> <li>$ c $ : 구간폭(class interval)</li></ul></p> <p>따라서 최빈값은 \[ \begin {aligned} M_ { 0 } &=L_ { i } + X=L_ { i } + \frac {\Delta l } {\Delta l + \Delta h } \cdot c \\ &=249.5 + \frac { 4 } { 4 + 2 } \cdot 10 \end {aligned} \] 과 같이 산출된다.</p> <p>앞의 모 대학 통계학과 졸업생 중 취업자들 가운데 뽑은 10 명의 초임에서 평균은 255,500 원이므로 각각의 편차는 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\[D_ { i } = \{ -36.5,-7.5,-6.5,-4.5,3.5,6.5,7.5,9.5,12.5,15.5 \} \](단위: 천원)</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (x_ { i } - \mu \right ) &=-36.5-7.5-6.54.5 + 3.5 + 6.5 + 7.5 + 9.5 + 12.5 + 15.5 \\&=0 \end {aligned} \]이 됨을 알 수 있다.</p> <p>일단 이와 같이 평균으로부터의 편차가 계산되면 이 숫자들을 통하여 자료가 퍼져 있는 정도를 나타낼 수 있는 단일계수를 찾는 작업이 필요하다. 가장 손쉬운 이론적 방안은 편차들의 절댓값의 평균을 구하는 것이다. 이를 평균편차(mean deviation)라 하며 다음과 같이 정의한다.</p> <p>평균편차 $ M . D .= \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } \left \|X_ { i } - \mu \right \| $</p> <p>앞에서 구한 편차들을 토대로 평균편차를 구해보면,</p> <caption>$ \begin {aligned} M \cdot D \cdot &= \frac { 1 } { 10 } (36.5 + 7.5 + 6.5 + 4.5 + 3.5 + 6.5 + 7.5 + 9.5 + 12.5 + 15.5) \\ &=11 \text { (천원) } \end {aligned} $</caption>이 된다. 따라서 이 집단의 각 값은 산술평균으로부터 떨어져 있는 거리가 평균적으로 11,000 원임을 알 수 있다.</p> <p>이와 같이 편차의 절댓값을 이용하여 산포도를 측정하는 방안은 좋은 산포도 측정방법에 요구되는 대부분의 특성을 만족시킨다. 단 평균편차의 공식이 절댓값 부호를 포함하고 있어 수학적으로 조작하기 불편한 점이 있음을 지적할 수 있다.</p> <h2>1.2.5 표준편차와 분산</h2> <p>평균편차의 평균은 0 이 되므로 편차의 절댓값이 수학적 조작이 곤란함에도 불구하고 평균편차를 사용하게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위한 하나의 방안으로 편차를 제곱한 값들의 평균을 구할 수 있다. 편차 제곱의 평균을 우리는 분산(variance)이라 일컫는다. 이렇게 계산된 분산은 자료가 흩어져 있는 정도를 측정하는 데 요구되는 여러 조건을 충족시키는 전형적인 산포도 측정방안이다. 즉 분산은 평균으로부터의 편차값을 이용하여 계산되므로 평균값과는 독립적으로 산정되며, 주어진 자료의 모든 값을 이용할 뿐만 아니라 조작이 상당히 쉽다(예컨대 미분할 수도 있다). 또한 분산값은 자료의 조그만 변화에도 아주 민감하여 예컨대 100 개의 숫자로 형성된 집단의 자료 중 어느 하나만의 값이 변해도 분산값이 달라질 정도의 정밀성을 갖추고 있다.</p> <p>$ m $ 개 구간으로 구분된 자료의 평균 \[ \mu= \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } X_ { i } ^ { c } f_ { i } ^ { c } = \left (f_ { 1 } ^ { c } X_ { 1 } ^ { c } + f_ { 2 } ^ { c } X_ { 2 } ^ { c } + \cdots + f_ { m } ^ { c } X_ { m } ^ { c } \right ) \cdot \frac { 1 } { N } \] 위 식은 간단히 다음과 같이 표기하기도 한다. \[ \mu= \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } X_ { i } f_ { i } \]</p> <p>이제 1.1절에서 다룬 대졸 초임에 대한 실제 자료를 이 식에 대입하여 평균을 구하면 $ \begin {aligned} \mu=& \frac { 1 } { 50 } (214.5 \times 1 + 224.5 \times 2 + 234.5 \times 4 + 244.5 \times 8 + 254.5 \times 12 \\ & + 264.5 \times 10 + 274.5 \times 8 + 284.5 \times 4 + 294.5 \times 1) \\=& \frac { 12885 } { 50 } =257.7 \end {aligned} $이 되며 이는 원 자료가 알려져 있을 때 $ \mu= \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } X_ { i } $ 에 의하여 구한 값 $ 257.72 $와 거의 같으므로 간편 계산법으로서 충분한 가치가 있다.</p> <p>그러나 위 식에 의한 평균의 계산도 구간수가 많아지거나 구간 대푯값이나 또는 도수가 커질수록 계산하는 데 어려움이 있다. 이러한 점을 감안하여 고안된 것을 가평균법이라 한다. 가평균은 일반적으로 전체 분포의 중간 위치에 있는 구간의 대푯값으로 정하나 이론상으로는 어느 구간의 대푯값(class mark)을 선정하여도 무방하다. 일단 가평균(assumed mean)이 선정되면 각 구간의 대푯값 $ \left (X_ { i } \right ) $과 가평균 $ \left (M_ { a } \right ) $과의 차이(deviation of $ X_ { i } $ from the assumed mean) $ d_ { i } =X_ { i } -M_ { a } $ 가 산출될 수 있으며, 이때 평균은 다음 식과 같이 정의된다.</p> <p>예제 3 다음은 학생 100명의 영어 성적을 나열한 자료이다. 이 자료를 도수분포표로 나타내어라.</p> <p>$ \begin {array} { llllllllll } 63 &73 &52 &76& 67 &68& 70 &64 &54& 40 &80&65 &49& 83& 65& 51& 54& 79& 78& 88 \\ 55 &58& 57& 43& 96& 85& 55& 66& 65& 78& 62& 82& 60& 52& 45& 61& 71& 72& 81& 83 \\ 62& 58& 72& 86& 50& 65& 78& 59& 61& 56& 65& 69& 55& 76& 68& 45& 64& 66& 67& 70 \\ 83& 71& 70& 74& 59& 60 &77& 69& 80& 50& 60& 54& 85& 42& 90& 66& 42& 67& 66& 78 \\72& 30& 79& 75& 75& 35& 51& 65& 47& 56&85& 63& 78& 53& 75&75& 68& 70&38&64 \end {array} $</p> <p>풀이 최저점이 30 점, 최고점이 96점이므로 30점대, 40점대, $ \cdots $, 80점대, 90점대로 도수분포표를 만들기 위하여 계급을 $ 29.5 \sim 39.5,39.5 \sim 49.5, \cdots, 89.5 \sim 99.5 $로 하면 다음과 같은 도수분포표를 얻는다. 만일 계급을 $ 30 \sim 40,40 \sim 50, \cdots, 90 \sim 100 $으로 하여 이것을 30 이상 40 미만으로 보고 계급값을 $ 35,45, \cdots $로 하면 실게 실측값과 차이가 생긴다. 30 이상 40 미만이라 해도 사실은 $ 30,31, \cdots, 39 $가 되는 값이 이 구간에 들어가므로 이 계급의 계급값은 $ \frac { (30 + 39) } { 2 } =34.5 $가 되고 35 가 되지 않는다. 법위 $ =96-35=61 $ 이므로, 계급의 크기를 10으로 하면 계급수 $ k=7 $이 된다.</p> <p>R-풀이</p> <p># read.csv()를 이용하여 ex1_1_3.csv 데이터를 불러와 ex1_1_3 객체에 할당함</p> <p># 데이터에 변수이름인 Eng가 있으므로 header를 지정하지 않아도 됨 ex1_1_3 〈- read.csv("ex1_1_3.csv")</p> <p># $ \min () $ 과 $ \max () $ 를 사용하여 최소값과 최대값을 구함</p> <p># 값을 객체에 할당하는 명령문을 소괄호로 감싸서 '(명령문)'과 같이 표현하면 그 값을 출력함(min1_3<- min(ex1_1_3)) [1] 30 (max 1_3<- max(ex1_1_3))[1] 96</p> <p># seq()를 사용하여 $ 29.5 $ 부터 10 의 간격으로 7 개의 구간을 설정함 (mint $ \langle- $ seq (from=29.5, by=10, length.out=7))[1] $ 29.5 $ $39 .5 $ $49 .5 $ $59 .5 $ $69 .5 $ $79.5 $ $89.5 $</p> <p>전국체육대회를 비롯한 각종 국제경기대회에서도 운동 경기의 결과를 대표하는 채점방법이 다양하며 평가된 결과에 따라 순위가 정해지게 된다. 예를 들어 2008년 대회기준으로 하계 올림픽의 경기 종목은 야구와 소프트볼의 정식종목 제외가 결정됨에 따라 총 36종이다.</p> <p>각각은 육상, 조정(노로 보트를 저어서 그 속도로 승부를 겨루는 경기), 배드민턴, 농구, 복싱, 카누, 사이클, 승마, 펜싱, 축구, 체조, 역도, 핸드볼, 하키, 유도, 레슬링, 수영, 수구, 비치발리볼, 다이빙, 싱크로나이즈, 근대 5 종(승마, 펜싱, 사격, 수영, 크로스컨트리 등 전혀 다른 5 개 종목을 1 명이 1 일 1 종목씩 5 일간에 각기 다른 장소에서 실시하여 각 종목의 득점을 합하여 순위를 겨루는 경기), 태권도, 테니스, 탁구, 사격, 양궁, 트라이애슬론(한 사람이 연속 3 종목 경기를 하는 것), 요트, 배구가 해당된다. 이 중 역도, 체조, 양궁, 볼링, 축구 그리고 달리기에 대해 채점하는 방법을 살펴보면 [그림 1]과 같다.</p> <p>경기결과를 대표하는 채점처럼 자료 전체를 하나의 수로 요약하여 대표하는 값으로는 평균, 중앙값, 최빈값 등이 있다. 이와 같은 대푯값들은 자료의 중심 경향성을 값 하나로 측정하며 각각 다음과 같이 설명한다.</p> <h2>1.2.1 평균</h2> <p>가장 일반적으로 사용되는 대푯값으로 산술평균이 있다. 자료 전체의 개별수치를 전부 더한 다음 자료집단에 속한 숫자들의 개수로 나누어 준 값으로, 평균이라고 부른다.</p> <p>연구대상이 되는 집단의 규모를 $ N $, 그리고 집단 내에 속한 $ N $개의 수치를 변수 $ X_ { i } $ 에 의해 표시하자. 이때 평균은 다음 방법으로 구한다.</p> <p>$ \mu= \frac { X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { N } } { N } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } X_ { i } $</p> <p>산술평균은 자료값을 전부 더한 다음 사용된 자료의 개수로 나누어 계산하는데, 이것도 자료가 구간별로 그룹화된 형태로 제시되면 원래 자료값들이 정확히 얼마였는지 확인할 길이 없다. 따라서 일정한 가정에 의해 다른 방법으로 계산할 수밖에 없다. 즉 구간의 중간값이 각 구간에 속한 값들을 대표할 수 있다고 가정한 뒤 이 대표적 수치를 해당 도수만큼씩 여러 번 더함으로써 실제 수치의 합산에 대신하는 것이다. 따라서 원래 $ \mu= \frac { 1 } { N } \sum X_ { i } $로 정의된 평균 계산공식은 다소의 수정이 필요하다. 각 구간의 대푯값을 $ X_ { i } ^ { c } $라 하고 이에 대응하는 도수를 $ f_ { i } ^ { c } $라 하면 평균은 다음 식과 같이 정의될 수 있다(단 이때 구간수는 $ m $개라 가정함).</p> <p>예를 들어 모 대학교 통계학과 졸업생 가운데 취업된 50 명의 일주일 간의 초임을 조사한 결과가 다음과 같다.</p> <p>$ \begin {array} { lllllllllllll } 219 & 228 & 236 & 254 & 247 & 259 & 276 & 248 & 286 & 243 & 265 & 254 & 248 \\ 298 & 257 & 271 & 282 & 234 & 253 & 276 & 263 & 224 & 262 & 261 & 258 & 251 \\ 266 & 253 & 234 & 257 & 249 & 271 & 277 & 254 & 265 & 262 & 281 & 283 & 269 \\ 275 & 268 & 273 & 264 & 273 & 248 & 243 & 258 & 245 & 236 & 256 & & \end {array} $</p> <p>얼핏 보기에 위와 같은 자료는 대상집단의 크기가 불과 50 인데도 그 특성을 파악하기가 쉽지 않다. 이러한 자료를 좀 더 쉽게 이해하기 위해 각 측정값을 크기의 순서대로 나열하는 방안을 생각할 수 있다. 그러나 그보다는 적당한 수의 일정한 구간을 설정하여 각 구간에 속하는 값의 개수를 파악하여 제시하는 것이 더 효과적인 정리방안이 된다. 정리과정에서 작성자는 구간수를 몇 개로 할 것인지 또 구간의 간격, 즉 구간폭을 어느 정도로 할 것인지 결정해야 한다.</p> <p>일반적으로 각 구간폭은 모든 구간에 대하여 동일하도록 선택된다. 그리고 구간 수가 지나치게 많으면 자료를 요약하는 기능이 떨어질 것이고 또 지나치게 적으면 정보의 특성을 잃게 되므로 보통 6 개 이상 20 개 이하로 잡는 것이 일반적이다. 일단 구간수가 결정되면 관측값 가운데 최댓값에서 최솟값을 뺀 숫자를 결정된 구간 수로 나누어 구간폭을 산정할 수 있다. 즉 \[ \text { 구간폭 } = \frac {\text { 최대측정 값 } - \text { 최소측정 값 } } {\text { 구간수 } } \] 이다.</p> <p>앞에서 제시한 대졸 초임에 대한 자료는 전부 정수로 표현되어 있어 이산적인 자료처럼 보인다. 그러나 자료를 더 간편하게 제시하기 위해 편의상 천원 단위로 측정된 것이므로 실제 임금은 천원 이하의 단위에서 반올림한 것이다. 따라서 자료를 천원 단위로 정확히 표현하면 소수점 이하 자리 숫자가 생기게 되어 연속형 자료로 이 해되어야 할 것이다. 이러한 점을 감안하면, 각 구간을 표시하는 경계값은 원래 자료보다 하나 더 많은 소수점을 가지는 숫자로 표기할 필요가 있으며 또한 모든 관측값을 반드시 한 구간에만 속하도록 책정하여야 할 것이다. 앞 자료의 경우는 최댓값이 298 , 최솟값이 219 이므로 계산의 편의상 구간폭을 10 으로 잡아 9 개 구간으로 정리하는 것이 적당할 것이다. 이상을 바탕으로 하여 도수분포표를 작성하면 [표 1]과 같다.</p> <p># class()를 이용하여 히스토그램을 hist로 반환함 class(hist)<- "histogram"</p> <p># plot()를 이용하여 히스토그램을 그림 plot(hist, xlab="신장(cm)", ylab="인", main="신장분포의 히스토그램", col="skyblue")</p> <p>막대그림표(bar chart)와 히스토그램과의 차이는 히스토그램은 도수분포 자료와 항상 연관되는 반면 막대그림표는 어떤 범주의 자료든 전체적인 것을 표현하는 것이다.</p> <p>예를 들면 앞의 그림은 국내 자동차 제조공장의 연간 승용차 판매량을 나타낸 막대그림표이다.</p> <p>[그림 10]의 자료를 근거로 하여 시간의 구분으로 자료를 표현하고자 하면 이 자료를 선 그래프(line graph)로 나타낼 수 있다. 선 그래프는 부분적인 선의 연속으로서 시간에 따른 자료의 총 변화를 나타내는 것으로 그림의 자료를 사용하여 선 그래프를 그리면 다음과 같다.</p> <p>원형 그림표(pie chart)는 전체적인 분포의 파악과 전체 합계의 분할로서 표현하기에 가장 적합한 그림표이다. 그리고 퍼센트 원형 그림표는 각 자료들의 비교를 쉽게 하기 위하여 각 자료들을 퍼센트로 바꾸어 표현한 것이다. 예를 들어 [그림 12]는 A 자동차 회사의 2010년도 차종별 판매에 대한 분포를 퍼센트 원형 그림표로 나타낸 것이다.</p> <p>예제 6 다음은 어느 대학교 졸업생의 2010년도 취업자 수를 나타낸 표이다. 이를 퍼센트 원형 그림표로 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>풀이 대학원에 진학한 학생 300 명을 원형 그림표상에 표현할 때 \[5000: 300=360: x \]를 계산하면 $ x=21.6 $, 즉 원형 그림표의 $ 21.6 ^ {\circ } $ 를 차지해야 한다. 마찬가지 방법에 의하여, \[ \begin {array} { lll } \text { 대기업 } =108 ^ {\circ } & \text { 중소기업 } =144 ^ {\circ } & \text { 공무원 } =36 ^ {\circ } \\ \text { 군대 } =36 ^ {\circ } & \text { 미취업 } =14.4 ^ {\circ } & \end {array} \]이다. 그러므로 다음 퍼센트 원형 그림표를 얻는다.</p> <p>R-풀이</p> <p># read.csv()를 이용하여 ex1_1_6.csv 데이터를 불러와 ex1_1_6 객체에 할당함 ex1_1_6 $<- $ read.csv("ex1_1_6.csv")</p> <p># pie()를 사용하여 ex1_1_6의 데이터에 grad_num 변수에 대한 원그래프를 그리고, label을 ex1_1_6의 데이터에 job 변수로 줌 pie(ex1_1_6 \$grad_num, lab=ex1_1_6 \$job)</p> <h1>1.2 특성값을 이용한 자료의 정리</h1> <p>영재가 다니는 중학교에서 $ 100 \mathrm { ~m } $ 달리기 대회에 출전하기 위해서는 달리기 보유기록이 17초 이하여야 한다고 한다. 영재는 5번을 뛰어서 1회는 18 초, 2회는 15초, 3회는 16초, 4회는 16초, 5회는 21초의 기록이 나왔다. 과연 영재는 대회에 출전할 수 있을까? 어떤 값이 영재의 기록을 대표하는지에 따라 그 결과는 달라질 것이다.</p> <p>\# pareto에 저장된 pareto.chart의 결과를 출력함 pareto</p> <p>Pareto chart analysis for freq $ \begin {array} { lrrrr } & \text { Frequency } & \text { Cum.Freq. } & \text { Percentage } & \text { Cum.Percent. } \\ \text { SNS } & 700223 & 700223 & 66.7786601 & 66.77866 \\ \text { BLOG } & 219837 & 920060 & 20.9653501 & 87.74401 \\ \text { NEWS } & 70485 & 990545 & 6.7219927 & 94.46600 \\ \text { CAFE } & 55921 & 1046466 & 5.3330574 & 99.79906 \\ \text { BOARD } & 2107 & 1048573 & 0.2009398 & 100.00000 \end {array} $</p> <p>예제1 1.3절에서 소개한 빅데이터 개념을 워드 클라우드로 나타내어라. 워드 클라우드란 텍스트에서 빈번히 사용되는 키워드 및 개념을 직관적으로 파악할 수 있도록 핵심 단어를 시각적으로 돋보이게 하는 기법을 말한다. 즉, 워드 클라우드는 사용빈도가 높은 단어일수록 큰 글씨로 표현함으로써 문서에서 강조하고자 하는 말을 한눈에 볼 수 있게 하는 유용한 비주얼 기법이다.</p> <p>R-풀이</p> <p># 한글 텍스트 처리를 위한 패키지를 설치함. 단, KoNLP 패키지를 사용하기 위해서는 자바(Java)가 먼저 설치되어 있어야 함. 자바 사이트(https://www.java.com/ko/download/manual.jsp)에 접속해서 사용 중인 OS에 맞는 파일을 다운로드해 설치함 install.packages("KoNLP")</p> <p># library()를 이용하여 'KoNLP'와 'wordcloud'를 로딩함library(KoNLP) library(wordcloud)</p> <p># useSejongDic()를 이용하여 텍스트로부터 단어를 추출하는데 세종 사전을 사용하도록 함 useSejongDic()# 빅데이터 개념을 text 객체에 할당함 text<- "위키피디아 (Wikipedia)에 따르면 빅데이터는 기존 데이터베이스 관리도구로 데이터를 수집 저장 관리 분석하는 역량을 넘어서는 대량의 정형 또는 비정형 데이터 세트 및 이러한 데이터로부터 가치를 추출하고 결과를 분석하는 기술로 정의하고 있다. 가트너는 더 나은 의사결정, 시사점 발견 및 프로세스 최적화를 위해 사용되는 새로운 형태의 정보처리가 필요한 대용량, 초고속 및 다양성의 특성을 지닌 정보자산'으로 정의하고 있으며, 맥킨지는 일반적인 데이터베이스 소프트웨어 도구가 수집 저장 분석하기 어려운 대규모의 데이터로 정의하고 있다. 이와 같은 정의를 살펴볼 때 빅데이터란 엄청나게 많은 데이터로 양적인 의미를 벗어나 데이터 분석과 활용을 포괄하는 개념으로 이해할 수 있다." # extractNoun()을 이용하여 텍스트로부터 명사만을 추출하여 nouns 객체에 할당함 (nouns $ \langle- $ extractNoun(text))</p> <p>예제 4 다음 도수분포표를 지시된 도표로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>히스토그램</li> <li>도수분포다각형</li> <li>누적도수분포다각형</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>계급의 폭을 가로로, 그 계급의 도수를 세로로 하는 직사각형군의 히스토그램이다.</li> <li>도수분포다각형은 히스토그램의 각 직사각형 윗변의 중점을 차례로 선분으로 맺은 도수분포다각형이다.</li> <li>도수분포표에서 도수를 누적도수로 나타낸 표, 즉 계급값 $ x_ { i } $ 에 누적도수 \[F_ { i } =f_ { 1 } + f_ { 2 } + \cdots + f_ { i \]를 대응시킨 표를 누적도수분포표라 하고 이것을 그림으로 나타낸 것을 누적도수분포표도, 직사각형 윗변의 오른쪽 끝, 즉 상한점을 차례로 선분으로 맺은 도형을 누적도수분포다각형이라 한다.</li></ol> <p>R-풀이</p> <p>(1) # seq()를 이용하여 히스토그램의 $ x $ 축에 표시될 신장 벡터를 생성함 interv<-seq(0, 100, by =10)</p> <p># C()를 이용하여 도수를 히스토그램의 y축에 표시될 도수 벡터를 생성함 freq c ,<-(2,6,9,14,15,22,15,12,4,1)</p> <p># list()를 이용하여 신장 벡터와 도수 벡터를 결합함 hist<- list(breaks=interv, counts=freq)</p> <p># class()를 이용하여 히스토그램을 hist로 반환함 class(hist)<- "histogram"</p> <p># plot()를 이용하여 히스토그램을 그림 plot(hist, xlab="계급구간", ylab="도수", main="히스토그램", col="skyblue")</p> <p>(2) # c()를 이용하여 도수분포다각형의 $ x $ 축에 표시될 계급의 중앙값을 벡터로 생성함 minterv<-c(-5,5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,105) \)</p> <p># c()를 이용하여 도수분포다각형의 y축에 표시될 도수를 벡터로 생성함 freq<-c(0,2,6,9,14,15,22,15,12,4,1,0) \)</p> <p># plot()의 type을 "o"로 지정하여 선과 점이 함께 표시된 도수분포다각형을 그림 plot(minterv, freq, type="o", xlab="계급구간', ylab="도수", main="도수다각형")</p> <p>(3) # (2)와 동일하게 작성하되, $ x $ 축에 표시될 최솟값과 최댓값을 0과 100으로 정함 minterv<-c(0,5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,100) \) freq $ \langle-c(0,2,6,9,14,15,22,15,12,4,1,0) $</p> <p># cumsum()을 이용하여 누적도수를 구하고, 누적도수분포다각형을 그림 plot(minterv, cumsum(freq), type="o", xlab="계급구간", ylab="누적도수", main="누적도수다각형")</p> <p>도수분포형에는 다음 몇 가지가 있다.</p> <p>이외에 L자형, 쌍봉형, 다봉형 등이 있다.</p> <p>예제 5 다음 도수분포표는 어느 학교 40명의 신장 분포이다. 이 자료를 히스토그램으로 나타내고, 이어서 도수분포다각형으로 나타내어보자.</p> <p>풀이 (1)</p> <p>(2) 도수분포다각형은 점 (147,0),(153, 1),(159, 2),(165, 10),(171, 16),(177, 8),(183,2),(189,1),(195,0)을 차례로 선분으로 연결하여 얻는다.</p> <p>R-풀이</p> <p>(1) # sea()를 이용하여 히스토그램의 x축에 표시될 신장 벡터를 생성함 height<-seq(150,192, by =6)</p> <p># c()를 이용하여 도수를 히스토그램의 y축에 표시될 도수 벡터를 생성함 freq<-c(1,2,10,16,8,2,1)</p> <p># list()를 이용하여 신장 벡터와 도수 벡터를 결합함 hist<- list(breaks=height, counts=freq)</p> <p>자료가 구간별 도수분포표 형태로 제시되면, 위의 방법으로 중앙값을 쉽사리 찾을 수 없게 된다. 따라서 그룹화된 자료로부터 중앙값을 계산하기 위해 다음의 공식을 사용하게 된다.</p> <p>그룹화된 자료의 중앙값 \[ M_ { d } =M_ { i } + \frac {\frac { N + 1 } { 2 } -F } { f_ {\text { med } } } \cdot c \]</p> <p>단 $ M_ { i } $ : 중앙값 구간의 하한값, $ F $ : 중앙값 구간 이전까지의 누적도수, $ f_ {\text { med } } $ : 중앙값 구간의 도수, $ c $ : 구간폭</p> <p>총 자료수 $ (N) $ 가 50 이므로 중간 위치는 $ \frac { N + 1 } { 2 } =25.5 $ 번째가 된다. 한편 $ 239.5 \sim 249.5 $ 구간까지의 누적도수는 15이고, $249.5 \sim 259.5 $ 구간까지 포함한 누적도수는 27이므로, $ 25.5 $번째 위치는 후자 구간에 속하는 것임을 알 수 있다. 이를 중앙값 구간이라 한다. 이 구간에 속하는 인원수는 12명이고 이 구간의 간격은 10명이다. 그리고 중앙 위치(25.5)는 중앙값 구간 이전까지의 누적인원수 15 로부터 $ 25.5-15=10.5 $ 거리에 있다. 따라서 중앙값은 중앙값 구간의 값 가운데 오히려 상한값에 가까운 값이 될 것임을 알 수 있다.</p> <p>주어진 자료를 이용하면 다음과 같이 중앙값이 산출된다.</p> <p>$ M_ { d } =249.5 + \frac { 25.5-15 } { 12 } \cdot 10=258.25 $</p> <h2>1.2.3 최빈값</h2> <p>최빈값은 자료 중 가장 여러 번 측정된 값이나 항목, 즉 가장 빈도수가 많은 수치나 범주를 말한다. 예를 들어 한 건설회사가 서울과 안양 두 지역에 아파트를 지어 분양하고자 하는데 18 평, 25 평, 36 평과 42 평의 네 가지 모형을 적절히 배합하여 건축할 계획을 가지고 있다고 하자. 분양신청접수에 앞서 서울과 안양의 분양대상자를 각각 100 명씩 적절한 절차에 따라 선정하여 희망하는 아파트의 규모를 조사한 결과 다음과 같은 표를 얻었다.</p> <p>서울의 경우 가장 빈도가 높은 모델은 36평형의 C모델로서 이것이 최빈값이 된다. 이와 같은 결과는 건설회사가 서울 지역에 아파트를 건설하는 데 있어서 4개의 서로 다른 규모의 아파트 중 어느 규모를 가장 많이 짓는 것이 유리한지에 관한 의사결정에 좋은 참고가 된다.</p> <h1>1.1 도표를 통한 자료의 정리</h1> <p>통계자료는 수치적 자료와 범주형 자료로 구분된다. 수치적 자료는 관측된 값이 수치로 측정되는 자료를 말한다. 수치적 자료에서 우리가 관심이 있는 것은 관측된 값의 크기이므로 수치적 자료를 양적자료라고도 한다. 수치적 자료는 셀 수 있는지 없는지에 따라서 이산형 자료(discrete data)와 연속형 자료(continuous data)로 구분된다. 연속형 자료는 다시 구간 척도형 자료(속성이 전혀 없는 절대적 원점이 존재하지 않는 자료)와 비율 척도형 자료(절대적 원점이 존재하여 비율의 의미가 존재 하는 자료)로 구분할 수 있다. 범주형 자료는 관측 결과가 몇 개의 범주 또는 항목의 형태로 나타나는 자료를 말한다. 범주형 자료에서 우리의 관심은 수치가 아니라 내용이므로 이를 양적자료에 대응하여 질적자료라고 한다. 따라서 각 범주에 속한 관측값의 개수가 우리의 관심 대상이 되는 것이다. 범주형 자료는 각 범주간의 순서에 의미가 있는지 없는지에 따라서 다시 순위형 자료와 명목형 자료로 나눌 수 있다.</p> <p>사회현상에서 얻은 통계자료를 분석하며 판단한다든가 다른 통계자료와 비교하기 위해서는 얻은 통계자료를 정리하여야 하며, 그러기 위하여 우선 자료를 분류하여야 한다.</p> <p>우리가 수집한 자료는 그 양이 많을수록 원래 자료를 그대로 나열해놓아서는 일목요연하게 그 자료의 성격을 파악하기 힘들다. 따라서 자료를 어떤 방법으로든 일단 정리해야 할 필요가 있다. 단순하게 자료를 크기 순서로만 배열하기로 한다면 줄기-잎 그래프를 이용할 수 있다. 예를 들어 다음 자료가 어느 학교 학생 50명의 수학성적이라고 하자.</p> <p>예제 1 다음은 통계학 과목을 수강한 학생들의 학점 자료이다.<p>$ \begin {array} { lllll } 2.1 & 3.8 & 3.3 & 4.1 & 2.8 \\ 4.1 & 3.5 & 3.6 & 3.4 & 2.6 \\ 1.0 & 3.2 & 1.8 & 3.5 & 4.3 \\ 2.0 & 2.4 & 2.6 & 3.4 & 3.0 \end {array} $</p> <p>풀이 여기서 1 의 자릿수를 줄기로 늫고 소수점 첫째자리를 잎으로 하여 차례로 쓰면 다음과 같이 나온다.</p> <p>R-풀이</p> <p>\# c()를 이용하여 데이터를 벡터 형태로 ex1_1_1 객체에 할당함</p> <p>ex1_1_1〈-c( $2.1, 3.8, 3.3, 4.1, 2.8, 4.1, 3.5, 3.6, 3.4, 2.6, 1.0, 3.2, 1.8, 3.5, 4.3, 2.0, 2.4, 2.6, 3.4, 3.0 $)</p> <p>\# stem()을 입력하여 줄기-잎 그림으로 나타냄</p> <p>$ \mu=M_ { a } + \bar { d } =M_ { a } + \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } d_ { i } f_ { i } \quad $ (단 $ \bar { d } $ 는 $ d_ { i } $ 의 평균)</p> <p>이 식을 이용한 평균의 계산과정을 보이고자 원 자료를 [표 1]과 같이 정리하였다.</p> <p>표에서처럼 가평균을 $ 254.5 $ 로 선정하면 평균은 다음과 같이 계산된다. \[ \mu=M_ { a } + \bar { d } =M_ { a } + \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } d_ { i } f_ { i } =254.5 + \frac { 1 } { 50 } \times 160=257.7 \] 이 계산결과는 가평균법을 이용하지 않았을 경우와 정확히 동일함을 알 수 있다.</p> <h2>1.2.2 중앙값</h2> <p>자료의 대표적 수치로서 자료의 중심 위치를 찾아내는 데 사용되는 또 하나의 개념으로 중앙값이 있다. 이것은 크기순서에 따라 배열된 숫자들 가운데 중앙에 위치하는 값으로 정의된다. 따라서 자료를 동일한 규모의 두 집단으로 나누는 작업이 필요할 때 적당한 대푯값 산출방안이 된다.</p> <p>한 집단 숫자들의 중앙값을 찾아내는 작업은 일단 숫자들을 크기에 따라 배열하면 어려울 것이 없다. 만일 자료들의 집합에 포함된 수치의 개수가 홀수이면 그 중앙값은 가장 작거나 큰 값으로부터 중앙에, 즉 $ \frac { N + 1 } { 2 } $번째 위치한 수치를 찾으면 된다. 그러나 자료 전체의 개수가 짝수이면 정확히 중앙에 위치하는 숫자는 없다. 대신 두 개의 숫자가 중앙 위치 양쪽에 있게 된다. 따라서 일반적으로 이들 두 숫자 가운데 값을 구하여 중앙값으로 정한다. 예를 들어 모 대학 통계학과 졸업생 중 취업된 50 명의 초임을 조사한 자료에서 임의로 10 명만을 추출하여 임금을 살펴보았더니 다음과 같았다.</p> <p>\[219,259,265,271,263,251,249,262,268,248 \]</p> <p>중앙값을 계산하기 위해서는 자료를 작은 값부터 큰 값으로 배열한다. 항목수가 10 이므로 중앙값은 $ \frac { N + 1 } { 2 } =5.5 $번째에 위치한다. 이는 5 번째와 6 번째의 중간을 의미하며 구하려는 중앙값은 $ (259 + 262) / 2=260.5 $(천원)이 된다.</p> <p>앞에서 사용한 예에서 볼 수 있듯이 모집단의 크기가 상당히 작음에도 불구하고 분산이나 표준편차는 계산하는 과정이 지루하다. 이러한 계산상의 짐을 덜고자 통계학자들은 간편계산법을 고안해냈다. 아래 공식이 바로 간편계산용 $ \sigma ^ { 2 } $의 정의이다. 아래 식은 $ X_ { i } ^ { 2 } $ 의 평균에서 $ X_ { i } $ 의 평균 $ ( \mu) $ 의 제곱을 차감한 것이 분산과 같아짐을 의미하고 있다.</p> <p>모집단의 분산 \[ \sigma ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { N } X_ { i } ^ { 2 } \right )-( \mu) ^ { 2 } \]</p> <p>지금까지 제시된 분산에 관한 공식은 자료들이 구간별로 분류되어 정리되지 않은 상태를 전제로 한 것이다. 그러나 특히 자료의 양이 많아질수록 우리는 일반적으로 동일 간격을 가지는 몇 개의 구간을 설정하고 각 구간에 속하는 자료의 개수를 헤아려 정리하여 이른바 도수분포표를 작성하게 된다. 구간수 그리고 각 구간의 대푯값(각 구간의 중앙값 또는 중간 위치의 값)을 선정하는 방법은 이미 대푯값 계산방법을 설명할 때 다루었으므로 생략하기로 한다. 일단 자료가 도수분포표 형태로 정리되면 분산은 다음 공식에 의해 계산된다.</p> <p>$ \sigma ^ { 2 } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { m } \left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } f_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { m } \left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } \left ( \frac { f_ { i } } { N } \right ) $</p> <p>즉 각 구간별 대푯값 편차를 제곱하고 해당 구간의 도수를 곱하여 얻은 숫자들의 평균을 구하는 것이다. 이는 각 구간에 속한 여러 개의 숫자들을 일일이 평균으로부터 차감하여 편차를 계산하는 대신 각 구간의 대푯값으로부터의 편차에 이 구간에 속하는 자료의 개수를 곱함으로써 계산을 단순화하는 어림셈 방법이다. 앞에서 사용한 표에 근거하여 위의 공식을 이용하면 $ \sigma ^ { 2 } =293 $이 된다.</p> <p>$ \begin {array} { cccc } [1] "위키피디아"& \text { "Wikipedia" } & \text { "빅데이터는" } & \text { "기존" } & \text { "데이터베이스" } \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [6] "관리" & \text { "도구" } & \text { "데이터" } & \text { "수집" } & \text { "저장" } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [66]"의미" & \text { "데이터" } & \text { "분석" } & \text { "활용" } & \text { "포괄" } \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [71] { "개념" } & \text { "이해" } & \text { "수" } \end {array} $</p> <p># nchar()을 이용하여 단어의 글자 수를 세고, nouns에 있는 단어의 글자 수가 2자 이상인 단어만을 추출하여 nouns2 객체에 할당함(nouns2 $ \langle- $ nouns $ [ $ nchar $ ( $ nouns $ ) \rangle=2]) $</p> <p>$ \begin {array} { cccc } [1] "위키피디아"& \text { "Wikipedia" } & \text { "빅데이터는" } & \text { "기존" } & \text { "데이터베이스" } \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [6] "관리" & \text { "도구" } & \text { "데이터" } & \text { "수집" } & \text { "저장" } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [56]"빅데이터란" & \text { "데이터" } & \text { "양적" } & \text { "의미" } & \text { "데이터" } \end {array} $ $ \begin {array} { llll } [61] { "분석" } & \text { "활용" } & \text { "포괄" } & \text { '개념" } & \text { "이해" } \end {array} $</p> <p>\# table()을 이용하여 단어의 도수를 셈 (wordFreq $ \langle- $ table(nouns2))</p> <p>예제 1 에어컨 제작회사에서 지난 여름 8명의 판매원이 7월 한 달 동안 판매한 에어컨 수가 다음과 같을 때 판매원 1 명의 실적을 이용하여 최빈수를 구하여라.</p> <p>\[8,11,5,14,9,11,17,11 \]</p> <p>풀이 최빈수는 가장 많은 관찰도수를 가지는 값이다. 그러므로 Mode $ =11 $ 이다.</p> <p>R-풀이</p> <p># R에서 mode()는 데이터의 형식을 나타내며, 최빈값을 직접 구하는 함수가 내장되어 있지 않음. 따라서 사용자 정의 함수인 MODE를 활용하여 최빈값을 구함</p> <p># MODE 함수를 입력함 MODE $<- $ function(x) {</p> <p>uniqx $ \langle- $ unique $ ( \mathrm { x } ) $ uniax $ [ $ which.max $ ( $ tabulate $ ( $ match $ (x $, uniqx $ )))] $ \}</p> <p># C()를 이용하여 데이터를 벡터형태로 ex1_2_1 객체에 할당함 ex1_2_1<- c(8,11,5,14,9,11,17,11) \)</p> <p># MODE()를 사용하여 최빈값을 구함 MODE(ex1_2_1) 1 1</p> <p># 또는 table()을 이용하여 도수를 구함 $ ( $ tab_ex $<- $ table(ex1_2_1))ex1_2_1 $ \begin {array} { llllll } 5 & 8 & 9 & 11 & 14 & 17 \\ 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 \end {array} $</p> <p># names()를 이용하여 최대 빈도를 갖는 값의 이름을 추출함 (Mode $ \left \langle- \right . $ names(tab_ex[tab_ex $ == $ max $ \left . \left . \left . \left (t a b_ { - } ex \right ) \right ] \right ) \right ) $[1] "11"</p> <p>예제 2 다음은 어느 학급의 학생의 인기도를 조사한 자료이다. 세 후보 $ \mathrm { K } $, $ \mathrm { L } , \mathrm { J } $ 를 대상으로 20 명이 인기도 조사에 참가하였다. 최빈수를 구하여라. \[ \begin {array} { llllllllll } K, & K, & L, & L, & K, & J, & K, & K, & L, & J \\J, & K, & L, & J, & L, & K, & K, & L, & K, & J \end {array} \]</p> <p>풀이 K가 9 번, L이 6 번, J가 5 번 반복되었다. 그러므로 K는 최빈수이며, 즉 인기가 가장 많은 학생으로 대표된다.</p> <h1>1.3 R을 이용한 빅데이터 분석</h1> <p>위키피디아(Wikipedia)에 따르면 빅데이터는 "기존 데이터베이스 관리도구로 데이터를 수집 · 저장 · 관리 · 분석하는 역량을 넘어서는 대량의 정형 또는 비정형 데이터 세트 및 이러한 데이터로부터 가치를 추출하고 결과를 분석하는 기술”로 정의하고 있다. 가트너는 "더 나은 의사결정, 시사점 발견 및 프로세스 최적화를 위해 사용되는 새로운 형태의 정보처리가 필요한 대용량, 초고속 및 다양성의 특성을 지닌 정보자산"으로 정의하고 있으며, 맥킨지는 “일반적인 데이터베이스 소프트웨어 도구가 수집 · 저장 · 분석하기 어려운 대규모의 데이터"로 정의하고 있다. 이와 같은 정의를 살펴볼 때 빅데이터란 엄청나게 많은 데이터로 양적인 의미를 벗어나 데이터 분석과 활용을 포괄하는 개념으로 이해할 수 있다.</p> <p>예제 1 Diebetes.csv는 2011년 1월 1일부터 2013년 12월 31일까지 3년 동안 블로그, 카페, 게시판 및 주요 커뮤니티, SNS(트위터), 인터넷 뉴스 및 미디어 사이트 채널 등에서 '비만'과 '다이어트' 키워드로 수집(120만 7,531건)된 소셜 빅데이터 자료의 일부이다. 여기에는 엑셀의 Power Pivot을 이용하지 않고 데이터를 처리할 수 있는 104 만 8,573개의 행에 6개의 변수(Onespread, Twospread, Account, Attitude, Type, Channel)가 포합되어 있다. 이 중 Channel 변수에 대한 도수, 누정도수, 상대도수, 누적상대도수를 구하여라. 또한 빈도수의 크기가 큰 값부터 작은 값으로 정렬된 막대그래프와 그 누적비율의 꺾은선 그래프로 구성된 파레토 차트를 그려라. 여기서 1은 SNS, 2는 BLOG, 3은 CAFE, 4는 BOARD, 그리고 5 는 NEWS를 나타낸다.</p> <p>R-풀이</p> <p># 분석에 사용되는 파레토 차트를 생성할 수 있는 패키지를 설치함 install.packages("qcc")</p> <p># library()를 이용하여 'qcc'를 로딩함 library(qcc)</p> <p# read.csv()를 이용하여 Diebetes.csv 데이터를 불러와 Diebetes에 할당함 Diebetes<- read.csv("Diebetes.csv")</p> <p># table()을 적용하여 도수분포표를 구함 freq $<- $ table(Diebetes $ \$ $ Channel)</p> <p># names()를 적용하여 이름을 붙임 names(freq)<- c("SNS", "BLOG", "CAFE", "BOARD", "NEWS") freq</p> <p>$ \begin {array} { lrrrr } \text { SNS } & \text { BLOG } & \text { CAFE } & \text { BOARD } & \text { NEWS } \\ 700223 & 219837 & 55921 & 2107 & 70485 \end {array} $</p> <p># pareto.chart()를 적용하여 파레토 차트를 그림 pareto 〈- pareto.chart(x=freq, ylab="빈도", ylab2="누적상대도수", main="온라인 문서 종류에 따른 파레토 차트")</p> <p>stem(ex1_1_1) \[1 \mid 08 \] \[2 \mid 04668 \] \[ 3 \mid 023445568 \] \[ 4 \mid 113 \]</p> <p>한편 상자그림은 자료의 특징을 잘 요약해주는 사분위수(제 1사분위수, 중앙값, 제 3사분위수), 최댓값 및 최솟값인 다섯 수치요약을 그래프로 표현한 것이다. 다섯 수치요약에서 중앙값은 중심위치에 대한 측도이고, 사분위수 범위와 전체 자료의 범위는 자료의 퍼짐 정도를 나타내준다. 이때 중앙값과 사분위수(제 1 사분위수에서 제 3사분위수까지) 사이의 거리로 자료의 치우침을 알 수 있다. 상자그림에서 자료의 이상점을 파악할 수 있도록 그림에 표시해주면 자료를 이해하는데 매우 유용하다. 이상점은 안울타리 바깥쪽에 있는 자료를 나타내며, 안울타리는 제 1 사분위수와 제 3 사분위수에서 각각 사분위수 범위의 1.5배 한 값만큼 떨어진 값을 뜻한다.</p> <p>상자그림을 그리는 순서는 다음과 같다.</p> <ol type = start=1><li>수집한 자료의 제 1 사분위수와 제 3 사분위수를 이용해서 상자를 그린다.</li> <li>중앙값을 상자의 중앙에 표시한다.</li> <li>수염이라고 불리는 선을 상자 끝으로부터 안울타리 경계값까지 긋는다.제 1 사분위수- $ 1.5 \times( $ 제 3 사분위수- 제 1 사분위수 $ ) $, 제 3 사분위수 $ + 1.5 \times( $ 제 3 사분위수- 제 1 사분위수 $ ) $</li> <li>안울타리 바깥쪽에 있는 자료에 * 기호로 나타낸다.</li> <li>상자그림에 알맞은 제목을 붙인다.</li></ol> <p>예제 2 다음은 어느 병원의 고혈압환자 20명의 나이를 조사한 자료이다. 위의 순서에 따라 이 자료에 대한 상자그림을 그려보아라.</p> <p>$ \begin {array} { llllllllll } 32 & 37 & 39 & 40 & 41 & 41 & 41 & 42 & 42 & 43 \\ 44 & 45 & 45 & 45 & 46 & 47 & 47 & 49 & 50 & 51 \end {array} $</p> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>수집한 자료의 제 1 사분위수와 제 3 사분위수를 이용해서 상자를 그린다. \[ \text { 제 } 1 \text { 사분위수 } = \frac { x_ { (5) } + x_ { (6) } } { 2 } =41 \text { , 제 } 3 \text { 사분위수 } = \frac { x_ { (15) } + x_ { (16) } } { 2 } =46.5 \]</li> <li>중앙값을 상자의 중앙에 표시한다. \[ \text { 중앙값 } = \frac { x_ { (10) } + x_ { (11) } } { 2 } =43.5 \]</p></li> <li>수염이라고 불리는 선을 상자 끝으로부터 안울타리 경계값까지 긋는다. 제 1 사분위수 $ -1.5 \times( $ 제 3 사분위수 $ - $ 제 1 사분위수) \[=41-1.5 \times(46.5-41)=32.75 \] 제 3 사분위수 $ + 1.5 \times( $ 제 3 사분위수 $ - $ 제 1 사분위수 $ ) $ \[=46.5 + 1.5 \times(46.5-41)=54.75 \]</li> <li>안울타리 바깥쪽에 있는 자료에 ◦ 기호로 나타낸다.</li> <li>상자그림에 알맞은 제목을 붙인다.</li></ol> <p>줄기-잎 그림, 상자그림과 유사하게 자료 정리를 위해 가장 손쉽게 사용하는 초기단계방법이 도수분포표이다. 이 방법은 원래 자료에 대한 본질적인 특성을 왜곡하거나 손상시키지 않으면서 원래 자료를 요약할 수 있을 뿐 아니라 자료를 더 간편하게 제시할 수 있는 것이다. 일반적으로 도수분포표를 작성할 때 제일 먼저 자료를 제한된 수효의 범주나 구간으로 나눈 다음 각 범주나 구간에 속하는 관측값들의 개수 또는 빈도수를 기록한다.</p> <p>R-풀이 # 예제 1에서 제시한 MODE 함수를 사용함</p> <p># c()를 이용하여 데이터를 벡터형태로 X1_2_2 객체에 할당함</p><p>ex1_2_2<- c("K","K","L","L","K","J","K","K","L","J","J","K","L","J","L","K","K", "L","K","J")</p> <p# MODE()를 사용하여 최빈값을 구함</p><p>MODE(ex1_2_2)</p><p>"K"</p> <p># 또는 table()을 이용하여 도수를 구함</p><p>(tab_ex2 〈- table(ex1_2_2))</p><p>ex1_2_2</p><p>J K L</p><p>5 9 6</p> <p># names()를 이용하여 최대 빈도를 갖는 값의 이름을 추출함</p><p>(Mode $ \langle- $ names(tab_ex[tab_ex $ == $ max(tab_ex)]))</p><p>[1] "K"</p> <p>지금까지 우리는 여러 가지 대푯값을 비교·검토하였다. 자료의 중심위치를 측정하는 대푯값들로 평균, 중앙값, 최빈값 등이 유용하지만, 이들 값만으로는 자료의 분포특징을 나타내 주지 못한다. 다음은 어느 두 반의 수학성적을 표와 점그림으로 나타낸 것이다. 이처럼 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 같은 두 종류의 자료에 대하여 분명히 다른 특성, 즉 자료의 퍼짐 정도를 나타내는 통계량이 더 필요한 것이다. A반은 B반에 비하여 60 이라는 값을 중심으로 좀 더 조밀하게 모여 있고, B반은 60을 중심으로 넓게 퍼져 있다는 것을 알 수 있다.</p> <p>자료가 얼마나 넓게 퍼져 있고 분포되어 있는가는 변동의 측도 또는 산포의 측도를 구하여 알 수 있다. 자료의 변동을 나타내는 통계량에는 평균편차, 분산과 표준편차 등이 있다. 이러한 산포에 대한 통계량은 그 값이 클수록 변동이 크고 광범위하게 퍼져 있다는 것을 나타낸다.</p> <h2>1.2.4 평균편차(mean deviation)</h2> <p>수집된 자료의 어떤 값도 무시하지 않으면서, 그리고 평균값의 영향을 제거시킨 상태하에서 자료들이 분포되어 있는 정도를 측정하는 방법이 있다. 이 방법은 원래 자료를 일단 새로운 숫자로 전환시키는 과정을 수반한다. 즉 모든 자료값으로부터 평균을 빼는데, 이 결과 산출된 일련의 숫자를 우리는 편차(deviation)라 한다. 이렇게 계산된 편차는 자료집단 내의 각 숫자가 평균으로부터 어느 방향으로 얼마나 멀리 떨어져 있는지를 나타내준다.</p> <p>이 과정을 공식화하기 위해 $ N $개의 값, $ X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { N } $이 각각 평균 $ ( \mu) $으로부터의 편차 $ \left (D_ { i } \right ) $로 전환되었다고 하자. 이제 이 새로운 변수값, 즉 편차들을 $ D_ { i } =X_ { i } - \mu(i=1,2,3, \cdots, N) $과 같이 나타낼 수 있으며, 이때 그 평균은 영(zero)이 된다. 즉 $ \sum_ { i=1 } ^ { N } \left (X_ { i } - \mu \right )= \sum D_ { i } =0 $이다.</p> <p># cut()과 factor()를 사용하여 ex1_1_3의 데이터에 Eng 변수에 대한 계급을 생성함 mgroup $ \langle- $ factor(cut(ex1_1_3 \$Eng, breaks=mint))levels(mgroup) [1] "(29.5,39.5]" "(39.5,49.5]" "(49.5,59.5]" "(59.5,69.5]" "(69.5,79.5]"[6] "(79.5,89.5]"</p> <p># table()을 사용하여 도수들 구함 (mfreq<- table(mgroup)) mgroup (29.5,39.5] (39.5,49.5] (49.5,59.5](59.5,69.5] (69.5,79.5] (79.5,89.5]//3 8 20 30 25 12</p> <p># 계급의 대푯값으로 계급값을 구함 (middle<- (mint)[-7] + mint[-1]) / 2) [1] 34.5 44.5 54.5 64.5 74.5 84.5</p> <p># cumsum()을 사용하여 계급 구간별 누적도수들 구함</p> <p>(mcfreq 〈- cumsum(mfreq))(29.5,39.5] (39.5,49.5] (49.5,59.5] (59.5,69.5] (69.5,79.5] (79.5,89.5] \\ 3 11 31 61 86 98</p> <p># cbind()를 사용하여 열별로 묶음 mtable 〈- cbind(middle, mfreq, mcfreq)</p> <p>\# colnames()를 사용하여 열 이름을 지정함 colnames(mtable) 〈- c("계급값", "도수", "누적도수")</p> <p>\# print()를 사용하여 화면에 도수분포표들 출력함 print(mtable)</p> <p>도수분포표는 어떤 의사결정문제의 해결을 돕도록 설계된 통계분석의 첫 단계에 불과하다. 도수분포표를 이용하여 도표 형태로 자료를 표현함으로써 더 효율적이고 시각적인 효과를 도모하는 경우를 흔히 볼 수 있다. 이를 위해 자주 사용되는 것이 히스토그램(histogram)인데 히스토그램은 도수분포를 이용하여 작성된 막대그래프(bar graph)이다. 이것은 각 범주나 구간의 값을 가로축에 나열하고 각 범주나 구간에 속하는 도수를 서로 다른 높이의 기둥에 의해 표시하는 방법이다.</p> <p>이산적 자료의 경우는 각 구간의 값이 하나이므로 이러한 값들을 크기대로 나열한 뒤 해당 도수를 기둥의 높이로 표시하면 된다. 그러나 연속적 자료의 경우는 각 구간의 값이 일정한 범위로 표현되므로 임계값으로 각 구간의 경계를 표현하거나 또는 각 구간의 값들을 대표하는 수치를 선정하여 표시한다. 이 경우에는 일반적으로 각 구간의 중앙에 위치한 값을 선정한다. 앞의 대졸 초임에 대한 자료를 막대그래프로 표시하면 다음과 같다.</p> <p>[그림 2]에 나타난 바와 같이 각 구간은 임계값으로 구분하거나 각 구간의 대푯값, 즉 중앙값인 $ 204.5,214.5, \cdots, 294.5 $에 의해 대변되도록 표기한다. 그리고 각 구간폭을 동일하게 책정하여야만 막대그래프 작성시 동일 간격을 책정할 수 있다. 기둥의 높이는 도수, 상대도수 또는 필요에 따라서는 누적상대도수 가운데 어느 것을 사용하여 나타내어도 상관없다. 이와 같이 막대그래프가 작성되면 각 구간의 비중을 시각적으로 쉽게 파악할 수 있고, 특히 구간수가 많아질수록 효율적으로 시각적인 설명을 제공할 수 있게 된다.</p> <p>그러나 구간수가 많을 경우 막대그래프는 기둥을 일일이 그려야 하는 번거로운 점이 있다. 이러한 점에 착안하여 제시된 것이 도수분포다각형 또는 누적도수분포다각형이다. [그림 3]은 대졸 초임자의 자료에 대한 도수분포다각형과 누적도수분포다각형의 그림이다. 이것은 막대그래프에서 각 기둥의 중간점을 잡아서 이를 단순히 연결시킨 것에 불과하다. 이렇게 함으로써 그림표 작성상의 번잡스러움을 덜 수 있으며, 더 중요한 장점은 두 개 이상의 서로 다른 집단의 도수분포다각형을 동시에 한 그림에 나타낼 수 있어 상호 비교가 용이해진다는 것이다. 특히 누적도수분포다각형을 이용할 경우에는 대상 집단 관측값의 중간값, 즉 작은 값부터 시작하여 중간에 위치한 값을 찾는다든지 또는 서로 다른 두 집단을 비교할 때 관측값들의 변화율 등을 쉽게 비교할 수 있다. 위 누적도수분포다각형의 그림에서 보듯이 $ 50 \% $에 위치한 사람의 임금 수준은 누적백분율에 해당하는 거리만큼 세로축의 위치를 선정한 뒤 누적도수분포다각형을 이용하여 가로축에서 확인할 수 있다.</p>	자연
M657-(사범대생을 위한) 형대대수학	<p>(3) $ (1+i)^{i} $ 의 정의.</p> <p>드 무와브르의 식에서 사용되는 식 $ \cos \theta+i \sin \theta $ 가 복소지수함수 $ \exp (i \theta) $ 이다. 학교 수학에서 다루고 있는 지수함수는 먼저 정적분 $ \int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t(x>0) $ 를 자연로그 $ \ln x $ 로 정의하고, 자연로그함수의 역함수를 실변수 지수함수 $ e^{x} $ 로 정의한 것이다. 그리고 일반적인 지수함수는 \[a^{x}=e^{x \ln a}(a>0, x \in \mathbb{R})\]로 정의한다. 예를 들어 $ \pi^{\pi}=e^{\pi \ln \pi}, 2^{\sqrt{3}}=e^{\sqrt{3} \ln 2} $ 이다. 지수함수 $ e^{x} $ 가 가지고 있는 성질 $ \frac{d}{d x} e^{x}=e^{x} $ 를 기본으로 하여 복소수 범위로 확대한 복소지수함수 $ e^{z}=e^{x}(\cos y+i \sin y) $를 정의하고 최종적으로 복소 $ \log $ 함수를 도입하여 복소지수함수 $ z^{\alpha}=e^{\alpha \log z} $ 를 정의한다. 몇 개를 살펴보면, \[ \begin{aligned}(i)^{-2 i} &=e^{-2 i \log i}=e^{(4 n+1) \pi}(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \$1+i)^{i} &=e^{i \log (1+i)}=e^{i \ln \sqrt{2}+i[(\pi / 4)+2 n \pi]} \\ &=e^{-[(\pi / 4)+2 n \pi]} e^{i \ln \sqrt{2}} \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \end{aligned} \]</p> <p>(4) \( -2=(-8)^{\frac{1}{3}}=(-8)^{\frac{2}{6}}=\left[(-8)^{2}\right]^{\frac{1}{6}}=(64)^{\frac{1}{6}}=2 $ 의 오해.</p> <p>기호 $ (-8)^{1 / 3} $ 은 세제곱근의 집합을 의미한다. $ -8<0 $ 이므로 이는 실변수지수함수와 관계가 없다. 한편, \[(-8)^{\frac{1}{3}}=e^{\frac{1}{3} \log (-8)}\]이고 \[\log (-8)=\ln 8+i(\pi+2 n \pi) \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) .\] 이제 \[\begin{aligned}(-8)^{\frac{1}{3}} &=e^{\frac{1}{3} \log (-8)}=e^{\frac{1}{3} \ln 8} e^{i\left(\frac{2 n+1}{3}\right) \pi} \\&=2\left(\cos \left(\frac{2 n+1}{3} \pi\right)+i \sin \left(\frac{2 n+1}{3} \pi\right)\right)(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)\end{aligned}\] 이므로 집합으로 나타내면 \[(-8)^{1 / 3}=\{-2,1+i \sqrt{3}, 1-i \sqrt{3}\} .\] 한편, 두 등식 $ (-8)^{2 / 6}=\left((-8)^{2}\right)^{1 / 6}=(64)^{1 / 6} $ 의 성립여부를 생각해보자. 첫 번째 등식은 식(5-8)에 위배됨을 십게 알 수 있다. $ (64)^{\frac{1}{6}}=e^{\frac{1}{6} \log (64)} $ 에서 \[\frac{1}{6} \log (64)=\ln 2+i\left(\frac{n}{3} \pi\right)(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)\] 이므로 $ (64)^{1 / 6} $ 은 6 개의 근을 갖는다. 즉, 집합으로서 \[(-8)^{1 / 3} \neq\left((-8)^{2}\right)^{1 / 6}\] 이다. 그러나 $ (-8)^{1 / 3}=(-8)^{2 / 6}=\left[(-8)^{1 / 6}\right]^{2} $ 은 참이다. 실제 집합 $ (-8)^{1 / 6} $ 은 6개로 이루어졌지만 드 무와브르의 식을 써서 $ \left[(-8)^{1 / 6}\right]^{2} $ 을 구하면 서로 다른 것은 3개밖에 없고 집합 $ (-8)^{1 / 3} $ 과 일치한다. 한편, 두 집합 $ \left[(-8)^{1 / 6}\right]^{2},\left[(-8)^{2}\right]^{1 / 6} $ 은 서로 다르며, 일반적으로 두 집합 $ \left(z^{1 / n}\right)^{m},\left(z^{m}\right)^{1 / n} $ 이 일치할 필요충분조건은 $ \operatorname{gcd}(n, m)=1 $ 이다. 이제 다음 세 개의 집합을 음미해보자. \[(-8)^{1 / 3},\left[(-8)^{2}\right]^{1 / 6},\left[(-8)^{1 / 6}\right]^{2} .\] 실변수지수함수 $ a^{x}=e^{x \ln a}(a>0, x \in \mathbb{R}) $ 는 일대일 대응이지만 복소지수함수는 일대일이 아닌 주기함수이기 때문에 이와 같은 혼란이 오는 것이다.</p> <p>우리가 사용하고 있는 드 무와브르의 식의 원래의 형태(the origin of de Moivre's formular)에 대하여 다시 알아보자.</p> <h2>5.6 CAUTION</h2> <p>회전의 합성이 성립하므로 삼각함수의 덧셈정리가 성립한다고 말하면 안된다. Hamilton은 이와 같은 상황(회전의 합성)을 공간에서 시도하였다. 이 시도는 실패하였고 실수체의 네 짝을 생각하다가 (5.5)에서 언급한 사차원수를 정의하게 되었다(1843년). $ { }^{108)} $ 물론 두 사차원수 $ \left(a_{0}, a_{1}, 0,0\right) $와 $ \left(b_{0}, b_{1}, 0,0\right) $ 의 곱 \[\left(a_{0}, a_{1}, 0,0\right)\left(b_{0}, b_{1}, 0,0\right)=\left(a_{0} b_{0}-a_{1} b_{1}, a_{0} b_{1}+a_{1} b_{0}, 0,0\right)\] 은 복소수의 곱을 보존한다. 이를 계기로 1890년대에 Car tan, Molien, Frobenius, 그리고 1907년 Wedderburn에 의하여 행렬이 최종 정립되었다. 즉 실수, 복소수, 사차원수는 행렬이라는 것이다. 예를들면, 복소수체 \[\mathbb{C}=\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{R}\}\] 는 실수에서 정의된 행렬환 $ M a t_{2 \times 2}(\mathbb{R}) $ 의 부분체(subfield) \[\left\{\left[\begin{array}{rr}a & -b \\b & a\end{array}\right] \mid a, b \text { 는실수 }\right\}\] 이다. 그 이유는 함수 \[\psi: \mathbb{C}=\{a+b i \mid a, b \in \mathbb{R}\} \rightarrow M a t_{2 \times 2}(\mathbb{R}), \psi(a+b i)=\left[\begin{array}{rr}a & -b \\b & a\end{array}\right]\]<caption>(5-3)</caption>는 환(ring)에의 일대일 준동형사상(homomorphism)이기 때문이다. 특히 \[1 \equiv\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right], i \equiv\left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\1 & 0\end{array}\right], \cos \theta+i \sin \theta \equiv\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]\] 로 동질회(identify)되며, 우리가 사용하는 공액복소수는 행렬의 세계에서 표현하면 전치 행렬이다. 따라서 우리는 다음 줄 세우기 \[\{1,2,3, \cdots\} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \operatorname{Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R})\]<caption>(5-4)</caption>을 얻으며, 위에서 언급한 사차원수 \[\mathbb{H}=\{a+b i+c j+d k \mid a, b, c, d \in \mathbb{R}\}\] 에서 함수 \[\psi: \mathbb{H} \rightarrow \operatorname{Mat}_{4 \times 4}(\mathbb{R}), \psi(a+b i+c j+d k)=\left[\begin{array}{rrrr}a & -b & -c & -d \\b & a & -d & c \\c & d & a & -b \\d & -c & b & a\end{array}\right]\] 는 환에서의 일대일 준동형사상이다. 그러므로 $ i, j, k $ 는 \[i \equiv\left[\begin{array}{rrrr}0 & -1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right], j \equiv\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \\1 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 & 0\end{array}\right], k \equiv\left[\begin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & -1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]\] 로 동질화된다. 즉, 사차원수 $ \mathbb{H} $ 는 행렬환 $ M a t_{4 \times 4}(\mathbb{R}) $ 에 부분환이다.</p> <p>한편, 식(5-4)를 따라서 \[e^{2}, e^{\frac{1}{2}} e^{\sqrt{2}}, e^{1+2 i}, e^{\left\|\begin{array}{ll}1 & 2 \\3 & 4\end{array}\right\|}\] 등의 정의가 요구된다. 행렬의 지수에 대하여는 다음에서 알아보고 다시 복소수로 돌아오자.</p> <h2>5.14 REMARK(드 무아브르의 식의 원래형태)</h2> <p>(1) 우리가 흔히 부르고 있는 “드 무와브르의 식” $ ( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { n } = ( \cos n \theta + i \sin n \theta) $은 오일러의 업적이다(1748).</p> <p>(2) 드 무와브르의 식의 원래의 형태(1730)는 REMARK(1.24)에서 함수 \[f_ { n } (x)= \sum_ { k=0 } ^ { [n / 2] } (-1) ^ { k } \frac { n } { n-k } \left ( \begin {array} { c } n-k \\k \end {array} \right ) x ^ { n-2 k } , \] (여기서 $ [n / 2] $ 는 $ n / 2 $ 를 넘지 않는 최대 정수, 그리고 $ \left . \left ( \begin {array} { c } n-k \\ k \end {array} \right )= \frac { (n-k) ! } { k !(n-2 k) } \right ) $와 관련하여 \[ \sqrt[n] {\cos n \alpha \pm \sqrt { -1 } \sin n \alpha } = \cos \alpha \pm \sqrt { -1 } \sin \alpha \]로 설명하였다.</p> <h2>5.15 TEAM PROJECT</h2> <p>(1) 독자들은 수학(3)(제곱근의 성질)에서 " $ a \geq 0 $ 일 때, $ \left ( { } ^ { n } \sqrt { a } \right ) ^ { n } =a $ 가 성립한다"를 음미해보자.</p> <p>(2) 이차방정식 \[a z ^ { 2 } + b z + c=0(a \neq 0) \]의 계수 $ a, b, c $ 가 복소수일 때, 근의 공식 \[z= \frac { -b + \left (b ^ { 2 } -4 a c \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } } { 2 a } \]을 유도하고 실계수 방정식일 때와 표현의 차이를 확인하기 바란다. $ \pm $ 기호를 사용 안 한 이유를 설명해 보자.</p> <h2>5.16 TEAM PROJECT</h2> <p>(1) $ 3 ^ { 2 } =9 $ 일 때, 3 을 9 의 거듭제곱근이라 한다. 마찬가지로 행렬에서 \[S= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -1 \\0 & 2 \end {array} \right ), \quad W= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -3 \\0 & 4 \end {array} \right ) \]에 대하여 $ S ^ { 2 } =W $ 이므로 $ S $ 는 $ W $ 의 제곱근이다(S is the square root of W). 만일 $ S ^ { n } =A $ 를 만족하는 자연수 $ n \geq 2 $ 이 존재하지 않을 때, $ A $ 는 거듭제곱근을 갖지 못한다(rootless)고 말한다. 115) 행렬 $ A= \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) $ 가 rootless임을 보이자.</p> <p>(2) $ 3 ^ {\sqrt { 2 } } $ 를 현행 교과서에서 어떻게 정의하고 지도하는지 알아보자. 대학 수준(실해석학 개론)에서 $ 3 ^ {\sqrt { 2 } } $ 의 정의를 자세히 알아보자.</p> <h2>5.17 IN YOUR OWN WORDS</h2> <p>고1 수업 중에 학생이 복소수가 왜 필요한가를 물었을 때, 어떻게 설명할 것인가?</p> <p>다음 장에서 교과서 2009 개정 수학과 교육과정 《미적분 $ \mathrm { II } 》 $ 에서 다루는 적분에 대하여 그 의미와 취지를 여러 예를 통하여 일아 보자.</p> <h2>5.2 EFFICIENCY 1. 함수 선택의 수월성</h2> <h3>설명</h3> <p>실변수지수함수 $ e^{x} $ 를 복소지수함수 $ f(z) $ 로 확장하는 출발점은 \[f(x+i 0)=e^{x}\] 이고, 복소미분 $ f^{\prime}(z)=f(z), z=x+i y $ 에 두고 있다. 따라서 \[f(z)=u(x, y)+i v(x, y)\]에서 복소미분법 \[f^{\prime}(z)=u_{x}(x, y)+i v_{x}(x, y)=-i u_{y}(x, y)+v_{y}(x, y)\] 를 감안하면 \[f(z)=e^{x}(\cos y+i \sin y)\] 로 정의할 수 있다. 이를 $ e^{z} $ 또는 $ \exp (z) $ 로 나타내자. 따라서 임의의 복소수 $ z=x+i y $에 대하여 $ e^{z}=e^{x}(\cos y+i \sin y) $ 로 정의된다. 특히, 실수부분이 없는 복소수 $ z=i \theta $ 에 대하여 \[e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta\] (오일러식, Euler's formula)이고(Euler, 1737년 (고급수학 $ \mathrm{II} 》), z=e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta $ 일 때,)<p>$(\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=\cos n \theta+i \sin n \theta(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$<caption>(5-1)</caption></p>를 드 무아브르의 식(de Moivre's formula)이라 부른다(《고급수학 II》). 좀 더 자세한 내용은 Remark(5.13)에서 다시 다룬다. 제6차 교육과정에서 수학적 귀납법과 복소수 유리화를 사용하여 드 무아브르의 식을 증명한다. 복소수 $ i $ 가 무리수 $ \sqrt{2} $ 처럼 대수적수(algebraic number)이기 때문이다.</p> <p>실변수 세계에서 삼각함수와 지수함수는 완전히 성격이 다르다. 전자는 진동이나 주기적인 움직임과 관계가 있고, 후자는 개체수의 증감과 관계가 있다. 그러나 복소지수함수로 오면 식 $ e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta $ 에서 $ e^{-i \theta}=\cos \theta-i \sin \theta $ 이므로</p>\[ \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}, \quad \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i} \] 이 되어 삼각함수는 복소지수함수의 특별한 형태가 된다. 환 원하면, 복소벡터공간( $ \mathrm{C} $-vector space)에서는 복소지수함수 $ e^{i \theta} $ 와 $ e^{-i \theta} $ 에 의하여 $ \sin \theta $ 와 $ \cos \theta $ 가 만들어진다. 따라서, 우 리 눈앞에 일어나는 어떤 현상을 표현하는 함수가 다항함수가 아니라는 확신이 있으면 그 현상을 복소지수함수로 접근하면 된다. 예를 들면, 공기저항을 무시한 용수철의 상하운동에서 만들어지는 미분방정식(《고급수학 II》) \[y^{\prime \prime}+y=0\] (추의 질량 $ m=1 $, 용수철상수 $ k=1 $ ) 의 해를 구하려면, 추의 운동이 다항함수를 따르지 않기 때문에, 공식처럼 $ y(t)=e^{\lambda t} $ 를 미분방정식에 대입하면 된다. 이 방정식을 풀면 \[\lambda^{2} e^{\lambda t}+e^{\lambda t}=0 \text { 또는 }\left(\lambda^{2}+1\right) e^{\lambda t}=0\]에서 $ \lambda=\pm i $ 를 얻는다. 그러므로 이차미분방정식 $ y^{\prime \prime}+y=0 $ 을 만족하는 함수 $ y_{1}=e^{i t} $,</p> <p>$ y_{2}=e^{-i t} $ 를 구할 수 있다. 앞에서 알아본 바와 같이 일반해 \[y(t)=a \sin t+b \cos t(a, b \in \mathbb{R})\] 를 구할 수 있다. 언급한 내용을 간략히 정리하면 다음과 같다.</p> <h1>제5장 복소수체(Complex Field)</h1> <p>교육과정이 개편되면서 복소수를 다루는 범위도 달라졌다. 6차 교육과정에서는 《공통 수학》에서 복소수의 기본성질, 그리고《수학 II》에서 복소평면, 복소수의 극형식, 드 무와브르의 식을 다룬다. 특히 복소수는《수학 II》에서 삼각함수와 같은 단원에 위치하는데, 그 이유는 복소수를 극형식으로 나타내어 곱을 시행할 때, 삼각함수의 덧셈정리를 사용하기 때문이다. 제 7 차 교육과정에서는 《10-가》의 수와 연산 단원에서 복소수의 뜻, 연산, 기본성질을 다루고, 그리고 문자와 식 단원에서 복소수를 다룬다. 《10-나》를 보면, 원과 직선의 위치관계, 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계에서 복소수를 응용하게 된다. 방정식의 실근은 방정식을 함수로 보아 수직선 위에 근을 표시할 수 있고, 이로부터 부등식의 해를 십게 구할 수 있다. 그러나 복소근의 표시는 다루지 않는다. 한편, 개정교육과정에서는 7차와 같이 10학년《수학》에서 같은 내용을 다루며, 2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에서는《수학 I》에서 복소수와 이차방정식, 그리고《고급수학 II》에서 복소수와 극좌표(극형식, 극좌표, 극방정식)을 다룬다. 한편,《고급수학 II》에서 다루는 미분방장식은 $ y^{\prime}=k y, y^{\prime \prime}=-y $ 의 꼴의 미분방정식을 다루는데 이는 이차방정식 $ \lambda^{2}+1=0 $ 의 복소근과 관계가 있다.</p> <p>다음 질문을 바탕으로 복소수에 대하여 생각해 보자. 특히 첫 번째 질문은 (1.17) 삼차 방정식(카르다노, 봄벨리)을 다시 참고하여 보자.</p> <p>질문 17 복소수는 수인가? 언제부터 수로 자리 잡았나?</p> <p>질문 18 복소수의 가치는 무엇인가?</p> <p>질문 19 복소수체보다 더 큰 수체계는 있는가?</p> <p>다음을 참고하여 복소근을 갖는 이차함수를 지도하여 보자(《고급수학 II》).</p> <h2>5.1 IN YOUR OWN WORDS(Shaun Pieper, 1997)</h2> <p>이차함수의 일반형 $ y=a(x-b)^{2}+c(a>0) $ 이 복소근을 가질 때, 두 복소근 $ x=b \pm i \sqrt{\frac{c}{a}} $을 직교좌표에 표시하자.</p> <p>【1단계】 함수 $ y=a(x-b)^{2}+c $ 의 그래프를 꼭짓점에서 $ x $ 축에 수평으로 만든 직선 $ y=c $ 에 대칭시킨다.</p> <p>【2단계】 대칭이동한 그래프의 식은 $ y=-a(x-b)^{2}+c $ 이다. 이 그래프와 $ x $ 축과의 교점의 $ x $ 좌표는 $ -a(x-b)^{2}+c=0 $ 으로부터 $ x=b+\sqrt{\frac{c}{a}} $, $ x=b-\sqrt{\frac{c}{a}} $ 이다.</p> <p>【3단계】 이제, 두 점 $ \left(b+\sqrt{\frac{c}{a}}, 0\right) $ 과 $ \left(b-\sqrt{\frac{c}{a}}, 0\right) $의 중점을 중심으로 $ 90^{\circ} $ 회전하면 복소근 $ b \pm i \sqrt{\frac{c}{a}} $ 가 표시된다. 이를 그림으로 그리면 오른쪽과 같다.</p> <p>복소수가 왜 필요한지 필자의 시각에서 4 가지를 제시하였다. 시각은 사람마다 다소 차이는 있겠지만, 중등교육과정과 대학수학과정을 고려하여 복소수의 필요성을</p> <ul> <li>① 함수 선택의 수월성,</li> <li>② 미적분의 수월성,</li> <li>③ 삼각비의 수월성,</li> <li>④ 행렬의 도입</li></ul> <p>으로 보았다. 이를 자세히 알아보자.</p> <h2>5.5 EFFICIENCY 4. 행렬의 도입</h2> <h3>설명</h3> <p>설명 행렬환은 대표적인 비가환이며, 행렬환의 태동은 1843년 Hamilton이 비가환체(division algebra)의 예로 처음 고안한 사차원수(the quaternions) \[ \begin {array} { c } \mathbb { H } = \{ a + b i + c j + d k \mid a, b, c, d \in \mathbb { R } \} , \\ \text { (여기서 } i ^ { 2 } =j ^ { 2 } =k ^ { 2 } =-1, \quad i j=k, j k=i, k i=j, j i=-k, k j=-i, i k=-j \text { )에서 } \end {array} \] 찾을 수 있다. 이때 사차원수의 합과 곱의 연산을 살펴보면 \[p=a_ { 0 } + a_ { 1 } i + a_ { 2 } j + a_ { 3 } k, q=b_ { 0 } + b_ { 1 } i + b_ { 2 } j + b_ { 3 } k \in \mathbb { H } \] 에 대하여 \[ \begin {aligned} p + q=& \left (a_ { 0 } + b_ { 0 } \right ) + \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) i + \left (a_ { 2 } + b_ { 2 } \right ) j + \left (a_ { 3 } + b_ { 3 } \right ) k \\p q=& \left (a_ { 0 } b_ { 0 } -a_ { 1 } b_ { 1 } -a_ { 2 } b_ { 2 } -a_ { 3 } b_ { 3 } \right ) + \left (a_ { 0 } b_ { 1 } + a_ { 1 } b_ { 0 } + a_ { 2 } b_ { 3 } -a_ { 3 } b_ { 2 } \right ) i \\& + \left (a_ { 0 } b_ { 2 } + a_ { 2 } b_ { 0 } + a_ { 3 } b_ { 1 } -a_ { 1 } b_ { 3 } \right ) j + \left (a_ { 0 } b_ { 3 } + a_ { 3 } b_ { 0 } + a_ { 1 } b_ { 2 } -a_ { 2 } b_ { 1 } \right ) k \end {aligned} \] 이다. 처음 Hamilton의 의도는 무엇이었을까? 두 복소수의 곱 \[z_ { 1 } \cdot z_ { 2 } =(a, b) \cdot(x, y)=(a x-b y, a y + b x) \] 은 평면상에서 회전의 합성이다. 즉, \[ \arg \left (z_ { 1 } \cdot z_ { 2 } \right )= \arg \left (z_ { 1 } \right ) + \arg \left (z_ { 2 } \right ) \] 이다. 예를 들면, 단위원 상의 두 복소수 \[z_ { 1 } = \left ( \cos \theta_ { 1 } , \sin \theta_ { 1 } \right ), z_ { 2 } = \left ( \cos \theta_ { 2 } , \sin \theta_ { 2 } \right ) \]의 곱은 \[z_ { 1 } \cdot z_ { 2 } = \left ( \cos \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 2 } - \sin \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 2 } , \cos \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 2 } + \sin \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 2 } \right ) \]이고 삼각함수의 덧셈정리를 사용하면 \[z_ { 1 } \cdot z_ { 2 } = \left ( \cos \left ( \theta_ { 1 } + \theta_ { 2 } \right ), \sin \left ( \theta_ { 1 } + \theta_ { 2 } \right ) \right ) \] 이므로 복소수의 곱은 평면상에서 회전의 합성을 의미한다.</p> <h2>5.12 TEAM PROJECT</h2> <p>$ m y ^ {\prime \prime } + c y ^ {\prime } + k y = 0, y(0)=0.15, y ^ {\prime } (0)=0, m=9.082, c, k=890 $ 을 해석하고 다음 을 확인하자.<p>(1) $ c=200 $ 일 때는 $ y(t)=0.2463 e ^ { -6.190 t } -0.0963 e ^ { -15.83 t } $</p> <p>(2) $ c=100 $ 로 줄이면 $ y(t)=e ^ { -5.50611 t } (0.1500 \cos 8.227 t + 0.1004 \sin 8.227 t) $</p> <p>(3) 중근을 갖게 하기 위해 $ c=179.8 $ 로 설정하고 초기조건을 이용하면 해 \[y(t)=(0.150 + 1.485 t) e ^ { -9.899 t } \]를 얻는다. 이들의 그래프를 함께 그려보기 바란다.</p> <p>다음 질문을 토대로 중등수학과 관련된 복소수의 이론을 즐겨보자.</p> <h3>질문 20</h3> <p>$ 3 ^ {\frac { 1 } { 2 } } $ 과 $ \sqrt { 3 } $ 는 같은가? $ (-3) ^ {\frac { 1 } { 2 } } $ 과 $ \sqrt { -3 } $ 은 같은가? 기호의 차이점은 무엇인가?</p> <h3>질문 21</h3> <p>학생이 다음 풀이를 가져와 질문한다면 어떻게 답변하겠는가? \[-2=(-8) ^ {\frac { 1 } { 3 } } =(-8) ^ {\frac { 2 } { 6 } } = \left [(-8) ^ { 2 } \right ] ^ {\frac { 1 } { 6 } } =(64) ^ {\frac { 1 } { 6 } } =2 \]</p> <h3>질문 22</h3> <p>(제6차 교육과정) 드 무와브르의 식에서 \[( \cos \theta + i \sin \theta) ^ {\frac { 1 } { 3 } } = \left ( \cos \frac { 1 } { 3 } \theta + i \sin \frac { 1 } { 3 } \theta \right ) \]이 성립하는가(《수학 II》, 6차 교과서, (교학사) p. 87)</p> <h3>질문 23</h3> <p>(개정교육과정) 대학 선형대수 시간이 아닌 상황에서 일차변환 $ f, g, f \circ g $를 나타내는 행렬을 이용하여 삼각함수의 덧셈정리를 증명할 수 있는가? (《기하와 벡터》 익힘책 (두산동아, 지학사))</p> <h2>5.10 REMARK</h2> <p>복소수의 교수학습의 장점은 다음 두 가지로 말할 수 있다.<ul> <li>(1) 복소수를 벡터로 인식할 수 있다.</li> <li>(2) 회전을 잘 표현한다.</li></ul> <p>지금까지 복소수의 효용성에 대하여 4가지로 알아보았다.</p> <h2>5.11 REMARK</h2> <p>(1) $ 2+3 i, 2-3 i $ 를 켤레복소수라한다. 일반적인 대수적 확대체(algebraic extension)에서 켤레(conjugacy)의 정의와 의미에 대하여 알아보자. 먼저 체 $ F $ 그리고 $ \alpha, \beta $ 를 $ F $ 상에서 대수적이라 하자. 만일 $ \alpha, \beta $ 가 동일한 기약다항식의 근일 때, 두 원소 $ \alpha, \beta $ 를 켤레(conjugacy)라 부른다. 중등교과서에서 사용하는 켤레복소수란 "conjugate over $ \mathbb{R} $ "을 뜻한다. 예를 들어 체 $ \mathbb{Q} $ 에서 기약다항식 $ x^{2}-2 $ 의 두 근 $ \sqrt{2},-\sqrt{2} $ 는 켤레이다.</p> <p>(2) 체 $ F $ 그리고 $ \alpha, \beta $ 를 $ F $ 상에서 대수적이라 하고 $ \alpha $ 가 $ n $ 차 기약다항식의 근이라 하자. 두 원소 $ \alpha, \beta $ 가 켤레수이면 \[\begin{array}{l}\Psi_{\alpha, \beta}: F(\alpha) \rightarrow F(\beta), \\\Psi_{\alpha, \beta}\left(c_{0}+c_{1} \alpha+\cdots+c_{n-1} \alpha^{n-1}\right)=c_{0}+c_{1} \beta+\cdots+c_{n-1} \beta^{n-1},\end{array}\]는 체에서 정의된 동형사상(isomorphism)이다. 이를 기반으로 예를 들면 \[\operatorname{Gal}_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{1, \sigma\}\] 여기서 $ \sigma: \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2}), \sigma(a+b \sqrt{2})=a-b \sqrt{2} $ 이다.</p> <p>(3) 켤레복소수의 용도에 대하여 좀 더 복잡한 다른 예를 살펴보자. 기약다항식 $ x^{3}-2 \in \mathbb{Q}[x] $ 의 근은 $ \sqrt[3]{2}, \rho \sqrt[3]{2}, \rho^{2} \sqrt[3]{2} $ (여기서 $ \left.\rho=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\right) $ 이고 따라서 이들은 켤레이다. 다시 말하면 $ \sqrt[3]{2} $ 와 $ \rho \sqrt[3]{2} $ 는 켤레복소수이다. 중등수학에서처럼 단순히 부호를 바꾸는 것이 아니다. 갈루아 군을 구하려면 이들 켤레의 대응을 생각하면 된다. 한편 분해체(Splitting field)는 $ \mathbb{Q}(\sqrt[2]{3}, \rho) $ 이고 $ G_{a l} \mathbb{Q} \mathbb{Q}(\sqrt[2]{3}, \rho) $ 를 구하려면 켤레복소수들 간의 대응 \[ \left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2} \rightarrow \sqrt[3]{2} \\ \rho \rightarrow \rho\end{array},\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2} \rightarrow \rho^{2} \sqrt[3]{2} \\ \rho \rightarrow \rho\end{array},\left\{\begin{array}{l}\sqrt[3]{2} \rightarrow \rho^{2} \sqrt[2]{3} \\ \rho \rightarrow \rho^{2}\end{array},\left\{\begin{array}{l}\sqrt[2]{3} \rightarrow \rho \sqrt[2]{3} \\ \rho \quad \rightarrow \rho^{2}\end{array}\right.\right.\right.\right. \]을 기반으로 \[\text { Gal }_{\mathbb{Q}} \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \rho) \simeq S_{3}\]을 보일 수 있다.</p> <p>다음 문제는 1.21에서 만났다. 복소지수함수와 켤레의 개념을 음미하면서 문제를 해결해 보자.</p> <h2>5.4 EFFICIENCY 3. 삼각비의 수월성(계산기 활용 교수법)(《고급수학 II》)</h2> <h3>설명</h3> <p>(1) 가우스(Gauss)가 시작한 복소수를 이용한 수치해석 방법(Birch, 1946)에 대하여 알아보자. 임의의 정수 $ a, b, c, d\left(c^{2}+d^{2} \neq 0\right) $ 에 대하여</p> <p>\[a+b i=(c+d i) \times(\mathrm{a}+\mathrm{bi})(\mathrm{c}-\mathrm{di}) \times \frac{1}{\mathrm{c}^{2}+\mathrm{d}^{2}}\]이고 복소수의 편각은 \[\arg \left(z_{1} \cdot z_{2}\right)=\arg \left(z_{1}\right)+\arg \left(z_{2}\right)\]를 만족함으로 \[\arg (a+b i)=\arg (c+d i)+\arg ((a+b i)(c-d i)) .\] $ a=b=1, c=10, d=1 $ 로 택하면 다음과 같다. \[\begin{aligned}\arg (1+i) &=\arg (10+i)+\arg ((1+i)(10-i)) \\&=\arg (10+i)+\arg (11+9 i) .\end{aligned}\] 한편 $ \arg (11+9 i) $ 에서 $ a=11, b=9 $ 인데 이 때, $ c=10, d=1 $ 로 택하면 \[\begin{aligned}\arg (11+9 i) &=\arg (10+i)+\arg ((11+9 i)(10-i)) \\&=\arg (10+i)+\arg (119+79 i)\end{aligned}\] 따라서 \[\arg (1+i)=2 \arg (10+i)+\arg (119+79 i)\] 을 얻는다. $ \arg (119+79 i) $ 에 위 과정을 다시 적용하면 \[\arg (1+i)=3 \arg (10+i)+\arg (1269+671 i)\] 연속하여 다음을 얻는다. \[\begin{aligned}\arg (1+i) &=3 \arg (10+i)+\arg (1269+671 i) \\&=4 \arg (10+i)+\arg (13361+5441 i) \\&=5 \arg (10+i)+\arg (139051+41049 i) \\&=6 \arg (10+i)+\arg (1431559+271439 i) \\&=7 \arg (10+i)+\arg (14587029+1282831 i) \\&=8 \arg (10+i)+\arg (147153121-1758719 i)\end{aligned}\] 한편 $ \arg (147153121-1758719 i) $ 에서 $ c=10^{2}, d=-1 $ 로 택하면 \[\begin{aligned}\arg &(147153121-1758719 i) \\\quad=& \arg (100-i)+\arg ((147153121-1758719 i)(100+i)) \\\quad=& \arg (100-i)+\arg (14717070819-28718779 i)\end{aligned}\] 이므로 다음을 얻는다. \[\arg (1+i)=8 \arg (10+i)+\arg (100-i)+\arg (14717070819-28718779 i)\] 이번에는 $ c=10^{3}, d=-1 $ 로 택하면 \[\begin{aligned}\arg (1+i) &=8 \arg (10+i)+\arg (100-i)+\arg (1000-i) \\&+\arg (14717099537779-14001708181 i)\end{aligned}\] 다시 $ \arg (1471709953779-14001708181 i) $ 에서 $ c=10^{3}, d=-1 $ 로 택하면\[\begin{array}{l}\arg (1471709953779-14001708181 i) \\\quad=\arg (1000-i)+\arg ((14717099537779-14001708181 i)(1000+i)) \end{array}\] 이므로 \[\begin{aligned}\arg (1+i)=& 8 \arg (10+i)+\arg (100-i)+2 \arg (1000-i) \\&+\arg (14717113539487181+715391356779 i)\end{aligned}\] 이제 이 식을 각으로 옮겨 표현하면 다음 등식을 얻는다. \[\begin{aligned}\frac{1}{4} \pi=& 8 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{10}\right)-\tan ^{-1}\left(\frac{1}{100}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1000}\right) \\&+\tan ^{-1}(0.00004860948819)\end{aligned}\] 결과적으로 식 \[\tan ^{-1} x=x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{7}}{7}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+R_{2 n+1}(x)\] 에서 $ n=4 $ 로 하여 풀면 \[0.785398163404660027096019304592\] 을 얻는다. 실제 $ \frac{1}{4} \pi $ 의 값은 \[0.785398163397448309615660845820 \quad \cdots\] 이므로 우리는 소수점 아래 9째 자리까지 정확한 값을 구할 수 있다. (2) 2009 개정 수학과 교육과정《수학I》(복소수의 덧셈과 곱셈)에서 \[\text { " }(2+i)(3+i) \text { 를 계산하여 } a+b i \text { 로 나타내어라" }\] 를 (1)의 내용을 사용하여 여러 각도로 조명하면 다음과 같다(《고급수학 II》).</p> <ul> <li>① $ (2+i)(3+i)=5+5 i $.</li> <li>② $ \arg (2+i)+\arg (3+i)=\arg (5+5 i) $.</li> <li>③ $ \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{\pi}{4} $.</li> <li>④ $ \frac{\pi}{4} \risingdotseq\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\frac{1}{5}\left(\frac{1}{2}\right)^{5}\right]+\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+\frac{1}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^{5}\right] $.</li> <li>⑤ $ \pi \risingdotseq 3.14557613169 $.</li></ul> <p>(3) 피보나치 수열 $ f_{0}=1, f_{1}=1,2,3,5,8,13, \cdots $ 에 복소수의 곱을 적용해 보자. ① 먼저, 등식 \[f_{n-1} f_{n+2}=f_{n} f_{n+1}+(-1)^{n+1}(n=1,2,3, \cdots)\]이 성립함을 독자는 보이기 바란다. 특히, $ n $ 이 홀수인 경우는 \[f_{n-1} f_{n+2}=f_{n} f_{n+1}+1\]<caption>(5-2)</caption></p> <p>특히, $ n=1,3,5, . $. 로 $ n $ 이 홀수일 때, $ \left(f_{n}, f_{n+1}, f_{n+2}\right) $ 로 세 개씩 묶으면 $ (1,2,3),(3,5,8),(8,13,21), \cdots $ 이다. 이를 $ (a, b, a+b=c) $ 로 나타내자. 예를 들면 $ n=1 $ 이면 $ a=1 $ 이고, 세 피보나치수 $ 1,2,3 $ 에서 \[(2+i)(3+i)=5+5 i\] 이므로 이를 편각으로 옮겨가면 \[\tan ^{-1}(1)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)\] 이다(독자는 세 피보나치수 $ 1,2,3 $ 이 어디에 숨어 있는지 찾아보자). 일반적으로 \[(b+i)(c+i)=\left(a b+b^{2}-1\right)+(a+2 b) i .\] 이를 편각으로 다시 쓰면, \[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{c}\right)=\arg ((b+i)(c+i))=\tan ^{-1}\left(\frac{a+2 b}{a b+b^{2}-1}\right) .\] 한편, $ \frac{a+2 b}{a b+b^{2}-1}=\frac{1}{a} $ 일 필요충분조건은 $ (b-a)(a+b)=a b+1 $ 이다. 따라서 식(5-2)에 의하여 $ n $ 이 홀수인 경우, 즉 $ a $ 가 $ f_{1}, f_{3}, f_{5}, \cdots $ 일 때, \[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{c}\right)=\arg ((b+i)(c+i))=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)\] 예를 들어 $ a=f_{1}=1 $ 이면 \[\frac{\pi}{4}=\tan ^{-1}(1)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right) .\] 연이어서 $ a=f_{3}=3 $ 이면 \[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{8}\right) .\] 따라서 $ a $ 가 $ 1,3,8,34, \cdots $ 일 때, 끝말 이어가기를 하면 다음을 얻는다. \[\frac{\pi}{4}=\tan ^{-1}(1)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{13}\right)+\cdots .\] ② $ a $ 가 $ f_{1}, f_{3}, f_{5}, \cdots $ 일 때, $ (b-a)(a+b)=a b+1 $ 이 성립하므로 분수식 \[\frac{1}{a}=\frac{(1 / b)+(1 / c)}{1-(1 / b)(1 / c)}\] 을 얻는다. 따라서 탄제트함수의 덧셈정리에 의하여 다음이 성립한다. \[\tan ^{-1}\left(\frac{1}{a}\right)=\tan ^{-1}\left(\frac{1}{b}\right)+\tan ^{-1}\left(\frac{1}{c}\right) .\] ③ 등식 $ f_{n-1} f_{n+2}=f_{n} f_{n+1}+(-1)^{n+1}(n=1,2,3, \cdots) $ 을 퍼즐로 접근한 교수법에 대하여 알아보자. $ \left.{ }^{106}\right)(\mathrm{H} $. Langman, P. Curry)</p> <h2>5.7 EXAMPLE</h2> <p>정사각형 행렬 $ A $ 와 변수 $ x $ 에 대하여 행렬 $ x A $ 가 정의된다. 따라서 \[e ^ { x A } = I + x A + \frac { x ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } A ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \]<caption>(5-5)</caption>이다. 물론 독자들은 등식 \[e ^ { (x + y) A } =e ^ { x A } e ^ { y A } \] 를 예측하고 증명할 수 있다. 한편, $ A ^ { n } =0(n>1 $ 인 정수)를 만족하는 행렬 $ A $ (우리는 이와 같은 행렬을 nilpotent라 부른다)를 사용하면 식(5-5)의 항을 유한개로 할 수 있다. 예를 들어보자. (1) $ A= \left [ \begin {array} { ccc } a-b & -2 a & a + b \\ -b & 0 & b \\ -a-b & 2 a & -a + b \end {array} \right ] $ 라 하자. 이때 \[A ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { lll } -2 a b & 4 a b & -2 a b \\-2 a b & 4 a b & -2 a b \\-2 a b & 4 a b & -2 a b \end {array} \right ], A ^ { 3 } =0 . \] 이므로 \[e ^ { x \cdot A } =I + x A + \frac { x ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 ! } . \] 구체적인 예로 $ a=b=1 $ 로 택하면</p> <p>\[e ^ { x A } =I + x A + \frac { x ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 ! } = \left [ \begin {array} { ccc } 1-x ^ { 2 } & 2 x(x-1) & x(2-x) \\-x(x + 1) & 2 x ^ { 2 } + 1 & x(1-x) \\-x(x + 2) & 2 x(x + 1) & 1-x ^ { 2 } \end {array} \right ] . \] 이는 행렬의 곱으로 등식 $ e ^ { (x + y) A } =e ^ { x A } e ^ { y A } $ 을 만족한다. 한편, \[e ^ { 3 A } = \left [ \begin {array} { ccc } -8 & 12 & -3 \\-12 & 19 & -6 \\-15 & 24 & -8 \end {array} \right ] \] 이고 $ e ^ { 0 A } =I $ 이므로 행렬 $ e ^ { 3 A } $ 의 역행렬은 다음과 같다. \[ \left (e ^ { 3 A } \right ) ^ { -1 } =e ^ { -3 A } = \left [ \begin {array} { ccc } -8 & 24 & -15 \\-6 & 19 & -12 \\-3 & 12 & -8 \end {array} \right ] \] (2) 행렬 $ B= \left [ \begin {array} { rrrr } 7 & -10 & 7 & -4 \\ 4 & -1 & -8 & 5 \\ 1 & -4 & 1 & 2 \\ 4 & -13 & 16 & -7 \end {array} \right ] $ 는 $ B ^ { 4 } =0 $ 인 nilpotent이다. 따라서 \[e ^ { x B } =I + x B + \frac { x ^ { 2 } B ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } B ^ { 3 } } { 3 ! } . \] 한편, $ e ^ { (x + y) B } =e ^ { x B } e ^ { y B } $ 이므로 특히, $ \left (e ^ { x B } \right ) ^ { -1 } =e ^ { -x B } $ 를 얻는다.</p> <h2>5.13 REMARK(드 무아브르의 식과 복소수의 $ n $ 차근)</h2> <p>복소지수함수는 실변수지수함수의 확장이지만 실변수에서는 상상할 수 없던 일들이 벌어진다. 예를 들면 지수함수 $ \exp (z) $ 는 $ e^{z+2 \pi i}=e^{z} e^{2 \pi i} $ 이고 $ e^{2 \pi i}=1 $ 이므로 \[\exp (z+2 \pi i)=\exp (z)\]인 주기가 $ 2 \pi i $ 인 주기함수이다. 또, $ e^{z}=-1 $ 과 같이 음의 값을 갖기도 한다. 이를 주기 함수와 관련하여 해석하면 덧셈군 $ (\mathbb{R},+) $ 에서 곱셈군 $ G=\{z \in \mathbb{C}\|\| z \mid=1\}) $ 으로의 함수 \[g: \mathbb{R} \rightarrow G, g(t)=\cos t+i \sin t\]는 group epimorphism이다. 좀 더 자세히 표현하면, $ g $ 는 준동형(homomorphism) 즉, 임의의 $ t_{1}, t_{2} \in \mathbb{R} $ 에 대하여 \[g\left(t_{1}+t_{2}\right)=\cos \left(t_{1}+t_{2}\right)+i \sin \left(t_{1}+t_{2}\right)=g\left(t_{1}\right) g\left(t_{2}\right)\]을 만족하고 전사(onto map)이다. 이때 $ (\mathbb{R},+) $ 의 부분군 \[\operatorname{ker}(g)=\{t \in \mathbb{R} \mid g(t)=\cos t+i \sin t=1\}=\{2 \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\]이 주기를 결정하며 제 1 동형정리(First Isomorphism Theorem)에 의하여 \[\mathbb{R} / \operatorname{ker}(g) \simeq G\]이다.</p> <p>(1) 드 무와브르의 식 $ (\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=(\cos n \theta+i \sin n \theta) $ 에서 정수 $ n $ 을 유리수나 실수로 확장할 수 있는가?</p> <p>복소수 $ z=r(\cos \theta+i \sin \theta) $ 에서 $ w^{n}=z $ 를 만족하는 $ w $ 를 $ z $ 의 $ n $ 차근 $ (n t h $ root of $ z $ )이라 부르고 이러한 $ n $ 차근들의 모임을 $ z^{1 / n} $ 로 표시한다. $ z $ 의 한 $ n $ 차근을 \[w=R(\cos \phi+i \sin \phi)\]라 하면</p> <p>\[w^{n}=z, R^{n}(\cos n \phi+i \sin n \phi)=r(\cos \theta+i \sin \theta)\] 이므로 $ R^{n}=r, n \phi=\theta+2 k \pi(k=0,1,2, \cdots, n-1) $ 이다. 즉, 집합 $ z^{1 / n} $ 은 $ n $ 개의 모임 \[z^{1 / n}=\left\{r^{1 / n}\left(\cos \frac{\theta+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\theta+2 k \pi}{n}\right) \mid k=0,1,2, \cdots, n-1\right\}\]이다. 예를 들어 기호 $ (\cos \theta+i \sin \theta)^{1 / n} $ 는 $ n $ 개의 원소로 이루어진 해집합 \[(\cos \theta+i \sin \theta)^{1 / n}=\left\{\cos \frac{\theta+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\theta+2 k \pi}{n} \mid k=0,1,2, \cdots, n-1\right\} .\] 따라서 드 무아브르의 식에서 $ n $ 은 정수에만 국한되며 유리수 또는 실수로 확장한다는 말을 사용하면 안 된다. 일반적으로 두 서로소(relative prime) $ p $ 와 $ q>0 $ 에 대하여 \[z^{\frac{p}{q}}=\left(z^{\frac{1}{q}}\right)^{p}\]<caption>(5-8)</caption>로 정의한다. 즉, \[z^{\frac{p}{q}}=r^{\frac{p}{q}}\left[\cos \frac{p}{q}(\theta+2 k \pi)+i \sin \frac{p}{q}(\theta+2 k \pi)\right] \quad(k=0,1,2, \cdots, q-1)\] 이다. 두 정수 $ m, n $ 이 서로소가 아니면 $ z^{\frac{m}{n}}=\left(z^{\frac{1}{n}}\right)^{m} $ 은 서로 다른 $ \frac{n}{\operatorname{gcd}(m, n)} $ 개의 원소로 이루어진다.</p> <p>(2) 2009 개정 수학과 교육과정에서 본 드 무와브르의 식의 올바른 이해.<p>현행 교과서에서 행렬의 곱을 회전의 합성이라고 설명한 후 이를 토대로 삼각함수의 덧셈정리를 증명(《기하와 벡터》 익힘책(두산동아 p. 24 , 지학사 p. 25))하고 있다. 독자들은 교과서의 부족한 설명을 보완하여 학생들을 지도해야 한다. 복소수 $ A=\cos \theta+i \sin \theta $를 행렬로 말하면 $ A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] $ 이다(식(4-4) 참고). 선형변환으로 말하면 함수 \[A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, A\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x \cos \theta-y \sin \theta \\x \sin \theta+y \cos \theta\end{array}\right]\] 이다.</p> <p>① 이때 직접계산에 의하여 독자는 \[A^{2}\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left(\begin{array}{lll}A & \circ\end{array}\right)\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=A\left(A\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]\right)\]<caption>(5-9)</caption>을 보일 수 있다. 식(5-11)에서 직접 계산으로부터 두 함수 $ A^{2} $ 과 $ A \circ A $ 가 같다. 이를 거듭 시행하면 \[A^{n}=A \circ A \circ \cdots \circ A(n \text { 번 시행 })\]을 얻는다. 즉, 행렬의 곱은 함수로서 합성함수이다.</p> <p>② 함수\[A=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, A\left[\begin{array}{l}x \\y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}x \cos \theta-y \sin \theta \\x \sin \theta+y \cos \theta\end{array}\right]\]는 원점을 중심으로 $ \theta $ 만큼 회전하는 선형변환임을 보여야한다. 그러므로 $ A= $ $ \left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] $ 에 대하여 $ A $ 。 는 원점을 중심으로 $ 2 \theta $ 만큼 회전한 변환이므로 $ A \circ A=\left[\begin{array}{rr}\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\ \sin 2 \theta & \cos 2 \theta\end{array}\right] $ 이다.</p> <p>③ 결론적으로 $ A^{2} $ 과 $ A \circ A $ 이 같으므로 \[\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right]^{2}=\left[\begin{array}{rr}\cos 2 \theta & -\sin 2 \theta \\\sin 2 \theta & \cos 2 \theta\end{array}\right]\]을 얻고 행렬의 상등조건에서 삼각함수의 덧셈정리를 얻는다. <h2>5.3 EFFICIENCY 2. 미적분의 수월성</h2> <h3>설명</h3> <p>(1) RLC-회로에서 외부기전력(external force)이 $ E_ { 0 } \sin \omega t $ 로 주어진 미분방정식 \[L I ^ {\prime \prime } + R I ^ {\prime } + \frac { 1 } { C } I = E_ { 0 } w \cos \omega t \]에서 특이해(particular solution) $ I_ { p } $ 를 \[I_ { p } =K_ { 1 } \cos w t + K_ { 2 } \sin w t \]로 하면, 우리는 두 상수 $ K_ { 1 } K_ { 2 } $ 를 결정해야 한다. 이제 미분방정식을 복소수 범위로 옮겨가면 \[L I ^ {\prime } + R I ^ {\prime } + \frac { 1 } { C } I=E_ { 0 } w e ^ { i w t } . \]</p> <p>이때 특이해는 $ I_ { p } =K e ^ { i w t } $ 로 우리는 상수 $ K $ 하나만 결정하면 된다. 실제 \[ \left (-w ^ { 2 } L + i w R + \frac { 1 } { C } \right ) K e ^ { i w t } =E_ { 0 } w e ^ { i w t } \]이고 따라서</p> <p>\[K= \frac { E_ { 0 } } { - \left (w L- \frac { 1 } { w C } \right ) + i R } \] 를 손쉽게 구할 수 있다. (2) 적분의 경우를 예로 들어 보자. \[ \int e ^ { x } \sin (x) d x \] 와 같은 꼴의 적분은 부분적분법(integration by part)을 두 번 사용해야 그 결과를 얻을 수 있다. 그러나 복소지수함수를 이용하면 \[ \begin {aligned} \int e ^ { x } e ^ { i x } d x &= \int e ^ { (1 + i) x } d x \\&= \frac { 1 } { 1 + i } e ^ { (1 + i) x } \\&= \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } \right ) e ^ { x } ( \cos x + i \sin x) \end {aligned} \] 이다. 따라서 복소부분(imaginary part)을 택하면 다음과 같이 간단하게 $ \int e ^ { x } \sin (x) d x $와 같은 꼴의 적분을 얻을 수 있다. \[ \begin {aligned} \int e ^ { x } \sin (x) d x &= \left [ \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { i } { 2 } \right ) e ^ { x } ( \cos x + i \sin x) \right ] \\&= \frac { 1 } { 2 } e ^ { x } ( \sin (x)- \cos (x)) \end {aligned} \]</p>	자연
M237-선형대수학	<p>행렬 곱에 대해 다읍과 같은 행렬의 연산법칙이 성립한다.</p> <p>정리 $ 1.16 $<p>행렬 곱의 성질<p>임의의 스칼라 $ \alpha $ 와 행렬 $ A, B, C $ 에 대하여 다음 성질이 성립한다. 단, 주어진 연산은 정의된다고 가정한다.<p>(a) $ (A B) C=A(B C) $(결합법칙)</p> <p>(b) $ A(B + C)=A B + A C \quad $ (분배법칙)<p>(c) $ (A + B) C=A C + B C \quad $ (분배법치)<p>(d) $ \alpha(A B)=( \alpha A) B=A( \alpha B) $</p> <p>증명 등식 (b)만 증명하고 나머지는 연습으로 남긴다.<p>$ A= \left [a_ { i j } \right ]_ { m \times p } , B= \left [ \left .b_ { i j } \right \|_ { p \times n } , C= \left \|a_ { i j } \right \|_ { p \times n } \right . $ 이라 하면<p>\[ \begin {aligned} A(B + C) &= \left [a_ { i j } \right ] \left [b_ { i j } + c_ { i j } \right ] \\ &- \left [ \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } \left (b_ { k j } + c_ { k j } \right ) \right ] \\ &- \left [ \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } b_ { k j } + \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } c_ { k j } \right ] \\ &- \left [ \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } b_ { k j } \right ] + \left [ \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } c_ { k j } \right ] \\ &-A B + A C \end {aligned} \]</p> <p>예제 1 다음 혱렬에 대하여 곱에 대한 결합법칙을 확인하여라.<p>\[A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\3 & 4 \\0 & 1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } 4 & 3 \\2 & 1 \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\2 & 3 \end {array} \right ] \]<p>풀이 $ A B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 4 & 3 \\ 2 & 1 \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { rr } 8 & 5 \\ 20 & 13 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] $ 이므로<p>\[(A B) C= \left [ \begin {array} { rr } 8 & 5 \\20 & 13 \\2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\2 & 3 \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { rr } 18 & 15 \\46 & 39 \\4 & 3 \end {array} \right ] \]<p>또<p>\[B C= \left [ \begin {array} { ll } 4 & 3 \\2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\2 & 3 \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { cc } 10 & 9 \\4 & 3 \end {array} \right ] \]<p>이므로<p>\[A(B C)= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\3 & 4 \\0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 10 & 9 \\4 & 3 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } 18 & 15 \\46 & 39 \\4 & 3 \end {array} \right ] \]<p>따라서 $ (A B) C=A(B C) $<p>실수의 곱셈연산에 대한 항등원 1 이 있듯이 행렬 곱 연산에 대하여 항등원 역할을 하는 행렬이 존재한다. 이를 위해 다음 정의가 필요하다.<p>정의 $ 1.17 $ $ n \times n $ 행렬을 $ n $ 차 정사각행렬이라 하며, $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 의 대각선상에 위치해 있는 성분들 $ a_ { 11 } , a_ { 22 } , \cdots a_ { n n } $ 을 $ A $ 의 주대각성분이라고 한다.<p>이제 행렬의 곱에 관한 항등원 역할을 하는 행렬을 소개한다.</p> <p>일차방정식에서 각 미지수 $ x_ { i } $ 의 차수는 기깻해야 1 이고, 각 미지수는 다른 어떤 미지수에 의해서 곱하거나 나누어지지 않아야 하므로, $ \cos x_ { i } $ 또는 $ \sin x_ { i } $ 와 같은 미지수의 함수를 포함하는 방정식은 일차방정식이 아니다. 예를 들어, 방정식<p>\[3 x_ { 1 } -4 x_ { 2 } + 1.5 x_ { 3 } = \cos \frac { 2 \pi } { 5 } , 2 x-3 y + 1.5 z=2 \]는 모두 일차방정식이다. 그러나 방정식<p>\[ \begin {array} { l } x_ { 1 } + \cos x_ { 2 } =2 \\2 x_ { 1 } x_ { 2 } + 3 x_ { 2 } -x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } =10, \quad 2 x- \sqrt { y } =0, \\x + x y-7 z=3, \quad x_ { 1 } ^ { 2 } -2 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } -5 x_ { 4 } =-1 \end {array} \]은 모두 일차방정식이 아니다.<p>미지수가 $ n $ 개이며 방정식이 $ m $ 개인 일반직인 일차연립방정식에 대하여 문자를 이용하여 표기하면 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } &=b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } &=b_ { 2 } \\ \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } &=b_ { m } \end {aligned} \]<p>일반적인 일차연립방정식을 기술하기 위하여 사용한 표기법을 주의 깊게 관찰하자. 계수들이 두 개의 첨자를 가지고 있는데 처읍 것은 방정식을 지직하며 둘째 것은 변수를 지직한다. 예를 들면 $ a_ { i j } $ 는 $ i $ 번째 방정식에 있는 $ x_ { j } $ 의 계수이다. $ m=2 $ 이고 $ n=3 $ 인 경우에 (2)는 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + a_ { 13 } x_ { 3 } =b_ { 1 } \\a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + a_ { 23 } x_ { 3 } =b_ { 2 } \end {array} \]<p>행렬은 수의 직사각형 배열이다. 우리는 두 개의 중요한 행렬을 (2)와 연관시킬 것이다. 연립방정식 (2)의 계수행렬은 다음 배열이다. \[A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \]<p>첫 첨자는 원소가 속한 행을 나타내며 반면 둘째 첨자는 열을 표시함에 유의하여라. 따라서 $ a_ { 21 } $ 은 2행 1 열에 있는 원소이고, $ a_ { 47 } $ 은 4행 7열에 있는 원소이다. 반면 $ a_ { r e } $ 는 $ r $ 행 $ c $ 열에 있는 원소이다. 행렬 $ A $ 를 $ m \times n $ 행렬이라 한다. 또는 행렬 $ A $ 의 크기는 $ m \times n $ 이다. 여기서 $ m $ 은 행의 개수이고 $ n $ 은 열의 개수이다.<p>첨가행렬은 계수행렬에 하나의 열을 추가시킨 행렬이다. 여기서 추가시키는 열의 원소들을 연립방정식의 오른 쪽에 있는 상수들이며 행렬 $ B $ 이다. 따라서 연립방정식 (2)의 첨가행렬은<p>\[[A \mid B]= \left [ \begin {array} { cccc:c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & b_ { 1 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } & b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } & b_ { m } \end {array} \right ] \]</p> <p>평형온도를 조정하는 이산인 경우와 유사한 평균온도를 구하는 방법을 아래와 같이 기술된다.</p><p>각 내점 $ P $의 온도는 $ P $에 인접한 점들에서의 온도의 평균이다.</p><p>위의 그림에 보여준 예에서 내점은 3개이고 각각은 4개의 다른 점에 인접해있다. 내점의 평균온도를 $ t_ { 1 } , t_ { 2 } $와 $ t_ { 3 } $라 하자. 그러면 평균온도 성질에 의해</p><p>$ t_{1}=\frac{1}{4}\left(100+100+t_{2}+50\right) $ 또는 $ 4 t_{1}-t_{2}=250 \\ t_{2}=\frac{1}{4}\left(t_{1}+0+t_{3}+50\right) \quad \quad \quad -t_{1}+4 t_{2}-t_{3}=50 \\ t_{3}=\frac{1}{4}\left(100+100+0+t_{2}\right) \quad \quad -t_{2}+4 t_{3}=200 $ <caption>(2)</caption></p><p>이 연립방정식은 순대각지배이다. 또한 식 (2)는 야코비방법이나 가우스-자이델 방법을 적용할 수 있는 형태이다. 초기의 근사가 $ t_ { 1 } =0, t_ { 2 } =0 $ 라면 가우스-자이델 방법에 의하면</p> <p>반복1 : $ \begin{aligned} t_{1} & =\frac{1}{4}(100+100+0+50)=62.5 \\ t_{2} & =\frac{1}{4}(62.5+0+0+50)=28.125 \\ t_{3} & =\frac{1}{4}(100+100+0+28.125)=57.031\end{aligned} $</p><p>반복 2: $ \begin{aligned}t_{1}=\frac{1}{4}(100+100+28.125+50)=69.531 \\ t_{2}=\frac{1}{4}(69.531+57.031+0+50)=44.141 \\ t_{3}=\frac{1}{4}(100+100+0+44.141)=61.035\end{aligned} $</p><p>이러한 형태로 계속하면 표에 나열된 반복벡터들을 얻는다. 5개의 유효숫자까지 정확히 작업하였으며 두 개의 연이은 반복이 모든 변수에서 차가 0.001보다 작을 때 멈췄다.</p> <p>따라서 내점들에서 평형온도(0.001까지 정확한) $ t_ { 1 } =74.107, t_ { 2 } =46.429 $ 이고 $ t_ { 3 } =61.607 $ 이다. 더 많은 내점들을 사용하여, 판위의 우리가 원하는 다양한 지점에서 평형온도에 대한 정확한 정보를 얻을 수 있다.</p> <p>예제 2 아래 그림에 보여준 것처럼 온도가 일정한 금속판의 각 모서리에 열을 가한다고 가정하자.</p> <p>시간이 충분히 지나면 결국 내부 온도는 일정한 온도에 도달할 것이다. 이 러한 일정한 온도를 평형온도라 한다. 즉 다음 성질들이 성립할 수 있다.</p> <p>이 성질을 실제적인 예에 적용하기 위해서 미적분학과 같은 기법이 필요하다. 대안으로 판을 격자 판(mesh 또는 grid)으로 덮어서 근사할 수 있다. 격자 판은 아래 그림에서처럼 유한개의 내점을 가지고 있다.</p> <p>$ x_ { 5 } $ 를 임의로 놓고 이 동차연립방정식의 일반해를 얻는다. $ x_ { 5 } =c $ 라 하자. 그러면 $ x_ { 1 } =c, x_ { 2 } =c, x_ { 3 } =5 c / 3, x_ { 4 } =c / 3 $ 이고 $ x_ { 5 } =c $ 이다. $ x_ { i } $ 가 정수가 되기를 원하므로 $ c $ 를 3 의 배수로 선택할 필요가 있다. $ c=3 $ 으로 선택한다면 \[3 \mathrm { NaCO } _ { 3 } + 3 \mathrm { Br } _ { 2 } =5 \mathrm { NaBr } + \mathrm { NaBrO } _ { 3 } + 3 \mathrm { CO } _ { 2 } \]</p> <p>전자회로에 대한 응용</p>전자회로에서 두 점 사이의 전위차를 이 점들 사이의 전압강하라 한다. 전압강하는 $ V $, 전류는 $ I $, 그리고 저항은 $ R $ 로 표기된다. 전류의 흐른은 다음 3 가지 기본 법치에 따른다.<p>1. 옵의 법칙: 저항기를 지나는 전압강하는 그곳을 지나는 전류와 그의 저항의 곱이다. 즉, $ V=I R $<p>2. 키르히호프의 전류법치(kirchhoff's current Law): 모든 점으로 흘러들어가는 전류의 합은 그 점에서 나가는 전류의 합과 같다.<p>3. 키르히호프의 전압법치(kirchhoff's voltage Law): 폐회로 주위에서 모든 전압강하의 합은 0 이다.</p> <p>예제 6 다음의 전자회로를 고려하자. 30 볼트와 50 볼트의 배터리가 5 옵(ohm)의 저항기와 1옵의 저항기와 연결되어 있다. (저항기는 지그재그로 표시되며 배터리는 평행선의 쌍으로 표시된다. 기호 $ \Omega $ 는 '옵'을 뜻한다) 저항기에 흐르는 전류를 구하라.<p>풀이 3가지 기본법칙을 사용하여 미지의 전류 $ I_ { 1 } , I_ { 2 } $ 와 $ I_ { 3 } $ (암페어(amps)로 측성됨)의 일차연립방정식을 설정한다. 점 $ X $ 에서 전류의 법칙을 사용하면 \[I_ { 1 } =I_ { 2 } + I_ { 3 } \]<p>두 개의 작은 폐회로 $ A X Y D $ 와 $ X B C Y $ 에서 전압법칙과 옴의 법칙을 적용하면 \[ \begin {array} { c } I_ { 1 } + 5 I_ { 3 } -30=0 \\ -5 I_ { 3 } + 5 I_ { 2 } -50=0 \end {array} \] (큰 폐회로 $ A B C D $ 를 사용하면 방정식은 $ I_ { 1 } + 5 I_ { 2 } -50-30-0 $. 이것은 위의 두방정식을 더하면 얻을 수 있으므로 필요없다. 사실 3개의 회로 $ A X Y D, X B C Y $와 $ A B C D $ 어느 두 개만 키르히호프 법칙에 적용하는 것으로 충분하다.) 세 방정식을 재정리하면<p>\[ \begin {array} { r } I_ { 1 } -I_ { 2 } -I_ { 3 } =0 \\I_ { 1 } + 5 I_ { 3 } =30 \\5 I_ { 2 } -5 I_ { 3 } =50 \end {array} \]<p>첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\1 & 0 & 5 & 30 \\0 & 5 & -5 & 50 \end {array} \right ] \]<p>이므로 이 행렬에 적당한 기본 행연산을 적용하면<p>\[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\1 & 0 & 5 & 30 \\0 & 5 & -5 & 50 \end {array} \right ] \stackrel { R_ { 2 } -R_ { 1 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 6 & 30 \\0 & 5 & -5 & 50 \end {array} \right ] } \\ \stackrel {\frac { 1 } { 5 } R_ { 3 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 6 & 30 \\ 0 & 1 & -1 & 10 \end {array} \right ] \stackrel { R_ { 3 } -R_ { 2 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 30 \\0 & 0 & -7 & -20 \end {array} \right ] \\ \stackrel { - \frac { 1 } { 7 } R_ { 3 } } {\longrightarrow } \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -1 & -1 & 0 \\0 & 1 & 6 & 30 \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 20 } { 7 } \end {array} \right ] \end {array} \]<p>이제 역대입법에 의해 해를 구할 수 있다. 마지막 방정식을(또는 행) 대입하면<p>$ I_ { 3 } = \frac { 20 } { 7 } $이므로 \[I_ { 2 } =30-6 I_ { 3 } =30- \frac { 120 } { 7 } = \frac { 90 } { 7 } \]이고, \[I_ { 3 } =I_ { 2 } + I_ { 3 } = \frac { 90 } { 7 } + \frac { 20 } { 7 } = \frac { 110 } { 7 } \]<p>그러므로 각 저항기에 흐르는 전류는 $ \frac { 110 } { 7 } $ amps, $ \frac { 90 } { 7 } $ amps 와 $ \frac { 20 } { 7 } a m p s $ 이다.</p> <p>증명 $ A $ 가 가역이라 가성하자. 그리면 각 $ B $ 에 대하여 방정식 $ A X=B $ 는 해를 가지고 있으므로 $ A $ 는 모든 행에서 선행원소를 가지고 있다. $ A $ 는 정사각행렬이므로 $ n $ 개의 선행원소가 대각선위에 있어야 한다. 그것은 $ A $ 의 감소된 사다리꼴은 $ I_ { n } $ 임을 뜻한다. 즉 $ A \sim I_ { n } $.<p>이제 역으로 $ A \sim I_ { n } $ 라 가정하자. 그러면 $ A $ 의 행감소의 각 단계는 기본행렬에 의한 왼쪽 곱에 대응하므로 다음을 만족하는 기본행렬 $ E_ { 1 } , \cdots, E_ {\mathrm { p } } $ 가 존재한다.<p>\[A \sim E_ { 1 } A \sim E_ { 2 } E_ { 1 } A \sim \cdots \sim E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } A=I_ { n } \]<p>가역행렬의 곱 $ E_ { p } \cdots E_ { 1 } $ 은 가역이므로 (1)의 끝에 있는 방정식을 다음 식으로 이끈다.<p>\[ \begin {aligned} \left (E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } \left (E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } \right ) A &= \left (E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } L_ { n } \\A &= \left (E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } \end {aligned} \]<p>따라서 $ A $ 는 가역행렬의 역이므로 가역이다. 또한<p>\[A ^ { -1 } = \left [ \left (E_ { p } \cdots E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } \right ] ^ { -1 } =E_ { p } \cdots E_ { 1 } \]<p>그러면 $ A ^ { -1 } =E_ {\mathrm { p } } \cdots E_ { 1 } \cdot I_ { n } $. 따라서 $ A ^ { -1 } $ 은 $ L_ { n } $ 에 $ E_ { 1 } , \cdots, E_ {\mathrm { p } } $ 를 연이어 적용하여 얻어진 결과임을 말한다. 이것은 $ A $ 를 $ L_ { n } $ 으로 유도한 (1)에서와 같은 결과이다.<p>$ A $ 와 $ I $ 을 옆에 놓고 첨가행렬 $ [A I] $ 을 만들어 이 행렬에 대하여 행연산을 실행하면 $ A $ 와 $ I $ 에 대하여 같은 연산을 하게 된다. 정리 $ 1.12 $ 에 의하면 $ A $ 를 $ I_ { n } $ 으로 바꾸고 $ I_ { n } $ 을 $ A ^ { -1 } $ 으로 변환하는 행연산이 존재하지 않으면 $ A $ 는 가역이 아니다. 정리하여 다시 쓰면 다음과 같다.<p>1 단계: 첨가헹렬 $ [A \mid I] $ 를 만든다.<p>2단계: 행렬 $ [A \mid I] $ 의 기약행사다리꼴 $ [C \mid D] $ 를 구한다.<p>3단계: $ C=I $ 이면 $ D=A ^ { -1 } $.<p>$ C \neq I $ 이면 $ A $ 는 가역행렬이 아니다. 따라서 $ A ^ { -1 } $ 는 존재하지 않는다.<p>예제 7 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.<p>\[A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\1 & 0 & 8 \end {array} \right ] \]<p>풀이 $ \left .\|A\| I_ { 3 } \right ] $ 를 만들면<p>\[ \left [A \mid I_ { 3 } \right ]= \left [ \begin {array} { lllllll } 1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\2 & 5 & 3 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 8 & 1 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]<p>이 행렬의 기약행사다리꼴을 구하면<p>\[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rrr:rrr } 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -3 & -2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { lll:rrr } 1 & 2 & 0 & -14 & 6 & 3 \\0 & 1 & 0 & 13 & -5 & -3 \\0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \end {array} \right ] \rightarrow } \\{\left [ \begin {array} { lll:rcc } 1 & 0 & 0 & -40 & 16 & 9 \\ 0 & 1 & 0 & 13 & -5 & -3 \\0 & 0 & 1 & 5 & -2 & -1 \end {array} \right ] } \\ \end {array} \] 따라서<p>$ A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } -40 & 16 & 9 \\ 13 & -5 & -3 \\ 5 & -2 & -1 \end {array} \right ] $</p> <p>정리 $ 1.14 $<p>$ A B $ 의 열행 확장<p>$ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이고 $ B $ 가 $ n \times p $ 행렬이면<p>\[ \begin {aligned} A B &= \left [ \operatorname { Col } _ { 1 } ( \mathrm { ~A } ) \operatorname { Col } _ { 2 } (A) \cdots \operatorname { Col } _ { n } (A) \right ] \left [ \begin {array} { c } \operatorname { Row } _ { 1 } (B) \\ \operatorname { Row } _ { 2 } (B) \\ \vdots \\ \operatorname { Row } _ { n } (B) \end {array} \right ] \\ &= \operatorname { Col } _ { 1 } (A) \operatorname { Row } _ { 1 } (B) + \cdots + \operatorname { Col } _ { n } (A) \operatorname { Row } _ { n } (B) \end {aligned} \]</p> <h2>1.6 행렬연산의 성질</h2> <p>$ 1.5 $ 절에서 행렬에 대한 대수직인 연산을 소개하였으며 일차연립방징식이 어떻게 하나의 행렬방정식으로 표현될 수 있는지를 보았다. 우리는 그러한 연산을 이용하여 행렬을 서로 더하거나 뻬거나 스칼라 곱을 계산한다. 이제 그러한 연산에 관한 여러 성질에 대하여 알아본다.<p>우리가 잘 알고 있는 대부분의 실수에 관한 연산규칙들이 행렬연산에 대해서도 성립한다. 물론 몇몇 예외는 있다. 예를 들어, 행렬 곱의 교환법칙 $ A B=B A $ 는 성립하지 않음을 앞에서 보았다. 실수의 덧셈연산에 대한 항등원 0 이 있듯이 행렬의 덧셈연산에 대하여 항등원의 역할을 하는 행렬이 있다.<p>행렬의 합과 스칼라 곱에 대해 다음과 같은 행렬의 연산법칙이 성립한다.</p> <p>정리 $ 1.15 $<p>행렬의 덧셈과 스칼라 곱의 성질<p>임의의 스칼라 $ \alpha, \beta $ 와 $ m \times n $ 행렬 $ A, B, C $ 에 대하여 다음 성질이 성립한다.<p>(a) $ A + B=B + A $(교환법칙)<p>(b) $ (A + B) + C=A + (B + C) \quad $ (결합법치)<p>(c) $ A + O=O + A=A $(항등원의 존재)<p>(d) $ A + (-A)=O $(역원의 존재)<p>(c) $ ( \alpha + \beta) A= \alpha A + \beta A \quad $ (스칼라 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배법칙)<p>(f) $ \alpha(A + B)= \alpha A + \alpha B \quad $ (행렬 덧셈에 대한 스칼라 곱의 분배법칙)<p>(g) $ ( \alpha \beta) A= \alpha( \beta A) $(스칼라 곱의 결합법칙)<p>(h) $ 1 A=A $</p> <p>정의 $ 1.5 $</p> <p>행렬 $ B $ 가 유한 번의 기본 행연산에 의해 행렬 $ A $ 로부터 얻을 수있다면 $ A $ 와 $ B $ 를 행동치라 한다.</p> <p>행렬 $ A $ 가 정사각행렬이면 $ A $ 와 관련된 기약사다리꼴은 대각행렬<p>\[I_ { n } = \left [ \begin {array} { ccccc } 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right ] \]일 것이다. 이러한 특수한 대각행렬을 항등행렬(identity matrix)이라 한다. $ I_ { n } $ 의 첨자 $ n $ 은 혱렬이 $ n \times n $ 임을 암시한다. 행렬의 크기가 내용으로부터 명백하면 첨자는 생략 된다.<p>미지수가 $ n $ 개이며 방정식이 $ n $ 개인 연립방정식의 첨가행렬은 $ n \times(n + 1) $ 이다. 그와 같은 연립방정식의 기약사다리꼴은 다은 형태이다.</p> <p>\[[I \mid B]= \left [ \begin {array} { cccccc } 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & b_ { 1 } \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & b_ { 2 } \\0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & b_ { 3 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & b_ { n } \end {array} \right ] \]</p> <p>이것은 연립방정식의 해가 유일한 경우이다. 축약하는 과정에서 첨가행렬에 0 의 행이 나타난다면 그와 같은 연립방정식에 대한 기약행사다리꼴은 위와 같은 형태가 되지 않을 것이다.</p> <p>다음 정리로 이 논의를 결론짓는다. 증명은 생략한다.</p> <p>정리 $ 1.6 $<p>모든 행렬은 유일한 기약행사다리꼴과 행동치이다.<p>축약을 하기 위하여 다른 일련의 연산을 할지라도 항상 같은 기약헹사다리꼴에 도달할것이다. 따라서 원래의 연립방정식의 해는 사용한 연산에 의해 바뀌지 않는다.<p>GPS(Global Positioning System)<p>GPS는 다양한 상황에서 지리직인 위치를 결정하기 위하여 사용된다. 군대, 측량사, 항공기, 선직회사와 도보 여행자 모두 그것을 사용한다. GPS기술은 너무 흔해셔서 대부분의 자동차, 이동전화기와 다양한 소형기기에 장착되어 있다. GPS의 기본아이디어는 3 차원 삼각측량의 변형이다. 지구표면위의 한 점은 3 개의 다른 점으로부터 거리를 인지하여 유일하게 결정된다. 결정하고자 하는 점은 GPS 수신기의 위치이고 3 개의 다른 점들은 위성들이며 거리는 위성에서 수신자까지 라디오 신호의 전송시간을 사용하여 계산된다.<p>지구는 원점을 지구의 중심으로 하고 양의 $ z $-축이 북극을 관통하도록 지구에 관해 고정된 $ x y z $-좌표계가 부여된 구면이다.<p>간단하게 지구의 반경을 1 이라 하자. 따라서 지구의 표면은 방정식이 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 $인 단위구면이다. 시간은 $ 1 / 100 $ 초로 측정된다. GPS는 라디오 신호가 한 지점에서 다른 지점까지 도달하는데 걸리는 시간을 측정하여 거리를 구한다. 이를 위해 빛의 속도가 필요한데 그것은 $ 0.47 $ (100분의 1 초당 지구반경)이다. 여러분이 어느 시각 $ t $ 에 숲속의 한 점 $ (x, y, z) $ 에서 길을 잃은 도보여행자라 상상하자. 어디 있는 지도 모르고 더구나 시계도 없어 몇 시 인지도 모른다. 그러나 GPS장치가 있어서 4 개의 위성에서 동시에 신호를 반는다. 그것은 표 $ 2.6 $ 에 보인 것처럼 그들의 위치와 시간을 준다. (거리는 지구 반경으로 측정되고 시간은 100 분의 1 초로 측정된다.)</p> <p>열이고 두 번째 선행원소를 1 로 만든다. 이 경우에 남아있는 행이 0 이므로 끝 났다. 따라서 $ A=L U $ 여기서 \[ L= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 6 & 1 \end {array} \right ] \] 이 항등행렬의 1 열과 2 열을 행감소에서 직사각형의 둘러싼 선행 열들로 바뀌 서 이 행렬 $ L $ 을 얻었다. 이 과정을 기술하면 다음과 같다. $ L U $ - 알고리즘 행감소에 의해 혱렬 $ A $ 를 행사다리꼴 $ U $ 로 바꼴 수 있다고 가정하자. 그러면 $ L=A U $. 여기서 아래삼각혱렬이며 가역혱렬인 $ L $ 은 다음과 같이 구한다. 1. $ A=O $ 이라면 $ L=I_ { m } $ 이고 $ U=O $ 이다. 2. $ A \neq O $ 이라면 $ C_ { 1 } $ 을 $ A $ 의 선행 열이라 하자. $ C_ { 1 } $ 을 이용하여 첫 선행원소를 1 로 만들고 그 열의 나머지 원소들을 0 으로 만든다. $ A_ { 2 } $ 를 첫 행을 제거한 행렬로 표 기하자. 3. $ A_ { 2 } \neq O $ 면 $ C_ { 2 } $ 를 그의 선행 열로 표기하고 $ A_ { 2 } $ 에 대하여 (2)를 반복하여 $ A_ { 3 } $ 을 만 든다. 4. $ U $ 에 도달할 때까지 이러한 방법을 계속한다. 여기서 마지막 선혱원소 1 아래의 모든 혱들이 0 들로 구성된다. 5. $ I_ { m } $ 의 처음 $ r $ 열의 밑에 $ C_ { 1 } , C_ { 2 } , \cdots, C_ { r } $ 를 놓아서 $ L $ 을 만든다.</p> <p>$ L U $ 알고리즙에서 $ L U=A $ 라는 증명은 귀납법과 블록 곱을 포함하므로 생략한다. (예제 2 A $ A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 5 & -5 & 10 & 0 & 5 \\ -3 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 10 & 2 & 5 \end {array} \right ] $ 에 대한 $ L U $ - 분해를 구하여라. 풀이 행사다리꼴로의 행감소는 다음과 같다.</p> <p>일련의 벡터 $ \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ] $ 을 반복벡터라 한다. 예를 들면, $ n=4 $ 일 때 4 번째 반복베ㅌㅓㅓ는 $ \left [ \begin {array} { l } 0.993 \\ 1.985 \end {array} \right ] $ 이다. 이 예제에서 반복벡터들은 주어진 연립방정식의 해 $ \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ] $ 에 접근하고 있 다. 이 경우에 야코비방법은 수렴한다고 한다. 야코비방법은 아래 표에 보여준 크로스 패턴에 따라 두 변수 시스템에서 일련의 반복베터들을 계산한다.</p> <p>일반직인 연립방정식에 대하여 야코비방법을 고려하기 전에 종종 해에 더 빨리 수렴하 도록, 수정한 방법을 보자. 가능한 새로운 값을 사용한다는 것을 제외하면 가우스-자이 델 방법은 야코비방법과 같다. 위의 예에서와 같이 $ x_ { 1 } =(5 + 0) / 7= \frac { 5 } { 7 } \approx 0.714 $. 그러 나 이제 이 값을 $ x_ { 2 } $ 의 다음 값을 계산하기 위하여 사용한다. 즉 \[ x_ { 2 } = \frac { 7 + 3 \cdot \frac { 5 } { 7 } } { 5 } \approx 1.829 \] 그 다음 $ x_ { 2 } $ 를 사용하여 $ x_ { 1 } $ 을 구한다. 이러한 방법으로 계속한 결과는</p> <p>가우스-자이델 방법은 더욱 더 쁄리 해에 수렴함을 관찰하라. 이러한 계산의 패턴은 지 그재그이다. 즉</p> <p>또한 가우스-자이델 방법은 두 변수인 경우에 기하학직으로 다르게 해석할 수 있다. $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 2 } $ 를 평면위 점들의 좌표로 생각할 수 있다. 시작점은 초기 근사 해에 대응하는 점 $ (0,0) $ 이다. 첫 계산은 $ x_ { 1 } = \frac { 5 } { 7 } $ 이므로 점 $ \left ( \frac { 5 } { 7 } , 0 \right ) $ 으로 움직인다. 그 다음 $ x_ { 2 } = \frac { 64 } { 35 } \approx 1.829 $ 을 계산하고 점 $ \left ( \frac { 5 } { 7 } , \frac { 64 } { 35 } \right ) \approx(0.714,1.829) $ 으로 움직인다. 이러한 형태로 계속한다면 가 우스-자이델 방법으로 계산된 점들의 수열이 생기는데, 각 점들은 앞의 점과 정확히 한 점에서만 다르다. 두개의 직선 $ 7 x_ { 1 } -x_ { 2 } =5 $ 와 $ 3 x_ { 1 } -5 x_ { 2 } =-7 $ 을 그리면, 위에서 계산 된 점들은 아래 그림처럼 두 직선에 번갈아 교차한다. 더구나 그들은 연립방정식의 해 에 대응하는 직선들의 교점으로 접근한다. 이러한 접근을 수렴이라는 개념으로 정립 한다.</p> <p>예제 4 첨가행렬이 다음과 같은 연립방정식을 풀어라. \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 3 & -1 & 2 & 1 \\2 & 1 & 1 & 1 \\1 & -3 & 0 & 2 \end {array} \right ] \]<p>풀이 정상적인 첫 단계는 첫 행을 3 으로 나누어 첫 행의 선행원소를 1 로 만드는 것일 것이다. 그러나 두 개의 대안이 있는데 하나는 첫 행과 셋째 행을 바꾸는것이고 다른 하나는 둘째 행에 $ (-1) $ 을 곱하여 첫째 행에 더하는 것이다. 우리는 첫째 방법을 선택하고 연산 $ R_ { 2 } -2 R_ { 1 } $ 과 $ R_ { 3 } -3 R_ { 1 } $ 을 시행하여 첫 열의 축약을 완싱한다.</p> <p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -3 & 0 & 2 \\0 & 7 & 1 & -3 \\0 & 8 & 2 & -5 \end {array} \right ] \]<p>2행에서 선행원소를 1 로 하기 위해 7 로 나눌 수 있지만 소수를 만드는 것을 피하기 위해 연산 $ R_ { 2 } -R_ { 3 } $ 와 $ -R_ { 2 } $ 를 시행한다.<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -3 & 0 & 2 \\0 & 1 & 1 & -2 \\0 & 8 & 2 & -5 \end {array} \right ] \]<p>이제 연산 $ R_ { 1 } + 3 R_ { 2 } $ 와 $ R_ { 3 } -8 R_ { 2 } $ 을 시행하여 둘째 열을 축약하면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 3 & -4 \\0 & 1 & 1 & -2 \\0 & 0 & -6 & 11 \end {array} \right ] \]<p>소수를 사용하지 않고 셋째 열을 축약하기 위해 연산 $ 6 R_ { 1 } $ 과 $ 6 R_ { 2 } $ 을 시행하여 $ (1,3) $ 과 $ (2,3) $ 에 있는 원소를 6 의 배수로 만든다. 또한 $ -R_ { 3 } $ 를 시행한다.<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 6 & 0 & 18 & -24 \\0 & 6 & 6 & -12 \\0 & 0 & 6 & -11 \end {array} \right ] \]<p>연산 $ R_ { 1 } -R_ { 3 } $ 과 $ R_ { 2 } -R_ { 3 } $ 을 시행하고<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 6 & 0 & 0 & 9 \\0 & 6 & 0 & -1 \\0 & 0 & 6 & -11 \end {array} \right ] \]<p>마지막으로 각 행을 6 으로 나누면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 9 / 6 \\0 & 1 & 0 & -1 / 6 \\0 & 0 & 1 & -11 / 6 \end {array} \right ] \]<p>이 마지막 행렬은 기약사다리꼴이며 소수를 가지고 연산을 하지 않고 해를 얻었다.</p> <p>가우스-조르당 소거법 알고리즘<p>1. 맨 왼쪽의 0 이 아닌 열을 찾아라.<p>2. 필요하다면 행을 바뀌서 0이 아닌 원소를 단계 1 에 있는 열의 꼭대기 위치로 옮겨라.<p>3. 첫째 행을 0 이 아닌 상수로 곱하여 단계 2 에 있는 선행원소를 1 로 바뀌라.<p>4. 행의 선행원소 아래에 있는 모든 원소들이 0이 되도록 꼭대기 행의 직당한 상수곱을 아래 행들에 더하여라.<p>5. 맨 위의 행과 방금 축약한 열을 고려의 대상에서 제외시키고 행렬이 행사다리꼴이 될 때까지 단계 1-4를 반복하여라.<p>6. 마지막 행에서 시작하여 위쪽으로 다은 작업을 하여라. 행의 선행원소 위의 원소들을 0 으로 만들기 위해 각 행의 직당한 상수 곱을 각행에 더하여라.<p>7. 축약된 연립방정식을 풀어라.</p> <p>가우스-조르당 소거법 알고리즘을 직용하였을 때 축약된 행렬에서 어느 행의 선행원소가 마지막 열에 나타난다면, 원래의 연립방정식의 해는 생성될 수 없다. 그와 같은 행은 다음 방정식과 연관이 있을 것이다. \[0 x_ { 1 } + 0 x_ { 2 } + \cdots + 0 x_ { n } =1 \] 이것은 명백히 해가 없다.</p> <p>정리 $ 1.4 $<p>미지수가 $ n $ 개이며 방정식이 $ m $ 개인 해를 갖는 연립방정식을 고려하자. 그리고 그의 첨가행렬이 0 이 아닌 행이 $ r $ 개인 기약행사다리꼴로 축약되었다 하자. $ r=n $ 이면 연립방정식의 해는 유일하다. $ r<n $ 이라면 해는 유일하지 않다.<p>예제 1 그의 첨가혱렬이 다은과 같이 축약된 연립방정식의 모든 해를 구하여라.<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrrrrr } 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 5 \\0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & k \end {array} \right ] \]<p>풀이 i) $ k \neq 0 $ 이면 위에 기술한 바와 같이 해가 없다.<p>ii) $ k=0 $ 라면 관련된 해를 가지며 연립방정식은<p>\[ \begin {array} { l } x_ { 1 } + x_ { 2 } \quad + 2 x_ { 4 } =5 \\x_ { 3 } + 2 x_ { 4 } =-1 \\x_ { 5 } =1 \\ x_ { 6 } =3 \\ \end {array} \]<p>6 개의 미지수를 갖고 있는 이 4 개의 방정식에서 두 개의 미지수 $ \left (x_ { 2 } \right . $ 와 $ \left .x_ { 4 } \right ) $ 에 의 해 4 개의 미지수(행 선행원소와 연관된 미지수)가 결정된다. 이 네 변수들을 기본변수라 하며 다른 두 변수들을 자유변수라 한다. 자유변수의 수를 자유도 (degree of freedom)라 한다. 자유변수를 $ x_ { 2 } -c_ { 1 } $ 와 $ x_ { 4 } -c_ { 2 } $ 라 놓으면 연립방성식의 일반해는<p>$ x_ { 1 } =5-c_ { 1 } -2 c_ { 2 } $<p>$ x_ { 2 } =c_ { 1 } $<p>$ x_ { 3 } =-1-2 c_ { 2 } $<p>$ x_ { 4 } =c_ { 2 } $<p>$ x_ { 5 } =1 $<p>$ x_ { 6 } =3 $</p> <p>해 $ A $ 를 행사다리꼴 $ U $ 로 바꾸고, $ L $ 을 구하는 방법을 찾는 것이다. $ k $ 번의 행연산이 필요하다고 가정하자. 이에 대응하는 행연산은 $ E_ { 1 } , E_ { 2 } , \cdots, E_ { k } $ 이다. 그러면 행감소는 다음 형태의 과정을 취한다. \[ A \rightarrow E_ { 1 } A \rightarrow E_ { 2 } E_ { 1 } A \rightarrow \cdots \rightarrow E_ { k } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A=U \]</p> <p>따라서 $ P A=U $. 여기서 $ P=E_ { k } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } $ 은 가역이다. 왜냐하면 각 $ E_ { i } (i=1, \cdots, k) $ 가 가역이기 때문이다. $ U $ 가 기약사다리꼴로 축약되지 않았다면 한 행의 상수 곱을 그 아래 행에 더하고 필요하다면 행 교환을 시행하여 행감소를 시행할 수 있다. 핵심은 $ A $ 의 어떤 행도 그 위의 행에 더할 필요가 없다는 것이다. 따라서 행 교환 이외에 필요한 유일한 행연산은 대응 하는 기본행렬 $ E_ { i } $ 가 아래삼각행렬인 행연산이다. 특히 어떤 행 교환도 필요가 없다면 행렬 $ P $ 는 아래삼각행렬이다. $ P A=U $ 이므로 $ A=P ^ { -1 } U $ 이고 $ P ^ { -1 } $ 또한 아래삼각행렬이다.(이유는?) $ L=P ^ { -1 } $ 이라 놓으면 이것이 다음 정리를 증명한다. 행교환을 하지 않고 행렬 $ A $ 를 행사다리꼴 행렬로 바꿀 수 있다면 그 행렬 $ A $ 를 아래로 축약할 수 있다고 말한다.</p> <p>정리 $ 1.28 $ 행렬 $ A $ 를 행사다리꼴로 축약할 수 있다고 가정하자. 그러면 \[ A=L U \] 여기서 $ L $ 은 아래삼각행렬이며 가역이고, $ U $ 는 위삼각행렬이고 행사다리꼴이다. 인수분해 $ A=L U $ 는 $ A $ 의 $ L U $-인수분해라 한다. $ L U $ 인수분해 $ A=L U $ 가 존재한다면 $ U $ 는 $ A $ 에 대한 어떤 행사다리꼴이고 $ L $ 은 $ A $ 를 $ U $ 로 바꾸기 위해 필요한 기본행렬들의 곱의 역이다. 어쨌든 $ L $ 을 구하는 단순한 방법이 있는데 그것은 하나하나씩 얻는 것이다. 다음 예제는 그러한 기법을 보여준다. 편의상 행렬 $ A $ 의 왼쪽부터 처음 0 이 아닌 열을 $ A $ 의 선행열이라 한다. 예제 $ 1 A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 0 & 2 & -6 & -2 & 4 \\ 0 & -1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & 7 & 10 \end {array} \right ] $ 의 $ L U $ - 인수분해를 구하여라. ₹ 풀이 아래와 같이 행사다리꼴로 축약한다. undefined 직사각형으로 둘러싼 열들을 다음과 같이 결정한다. 첫 번째 것은 $ A $ 의 선행 열이고 행감소를 사용하여 처음 선행원소를 1 로 만들기 위해 사용한다. 이 단계에서 첫 행을 끝냈다면, 남아있는 행으로 구성되는 행렬에 대하여 이 과정을 반복한다. 따라서 두 번째 직사각형으로 둘러싼 열이 이 더 작은 행렬의 선행</p> <p>이것은 이차방정식으로 간단히 할 수 있다.<p>\[0.54 t ^ { 2 } -6.65 t + 20.32=0 \]<p>이를 풀면 $ t=6.74 $ 와 $ t=5.60 $ 이다. 이들을 (2)에 대입하면 첫 해는 $ (x, y, z)=(0.55 $, $ 0.61,0.56) $ 에 대응하고 둘째 해는 $ (x, y, z)=(0.96,0.05,1.46) $ 에 대응한다. 둘째 해는 명백히 단위구면에 없으므로(각자확인) 그것을 제거한다. 첫 해를 대입하면 $ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + $ $ z ^ { 2 } =0.99 $ 이고, 수용할 수 있는 반올림 오차 안에서 만족하므로 여러분의 좌표는 $ (0.55,0.61,0.56) $ 이다.<p>실제적으로 GPS는 고려해야할 더 많은 요인이 있다. 지구의 표면은 정확히 구면이 아니므로 최소제곱근사와 같은 기법을 수반하는 부가직인 정제가 필요하다.<p>부가적으로 GPS 계산의 결과들을 직교좌표에서의 경도와 위도로 바꾸는 것이다. 흥미 있는 주제지만 다른 수학분야를 수반한다.</p> <h2>$ 1.4 $ 동차연립방정식</h2> <p>일반직인 일차연립방정식 \[ \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \end {array} \]에서 방정식의 오른쪽에 있는 모든 상수 $ b_ { i } $ 가 0 이라면 그 연립방정식을 동차(homo-geneous)연립방정식이라고 말한다. 따라서 일반직인 동차연립방정식은 다음과 같다. \[ \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =0 \\a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =0 \\ \vdots \vdots \quad \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =0 \end {array} \]<p>일반적으로 연립방정식은 해가 없음, 유일한 해 또는 무수히 많은 해가 있음의 세 가지 가능성이 있다. 동차연립방정식은 모든 $ x_ { i } =0 $ 에 대해 성립하므로 첫 경우인 해가 없음이 발생하지 않는다. 모든 $ x_ { i } =0 $ 인 해를 영의 해(zero solution) 또는 자명한 해(trivial solution)라고 한다. 해가 유일하다면 자명한 해가 되어야 한다. 유일한 해를 갖지 않을 다른 한 경우는 무수히 많은 해를 가질 때이다. 이때 무수히 많은 해는 영의 해를 포함한다. 많은 중요한 응용에서 이러한 상황이 발생한다.<p>푸는 방법은 일반직인 연립방정식을 푸는 방법과 다르지 않으나, 가우스 소거법을 적용할 때 첨가행렬의 마지막 열은 0 이고 축약과정을 통해서도 0 으로 남아있다. 그래서 동차인 경우에 마지막 열을 뻬고 싶은 유혹이 있지만 동차연립방정식의 특성을 강조하기 위하여 항상 포함할 것이다.<p>동차연립방정식의 해에 대한 중요한 사실들은 다음 정리로 요약된다.<p>정리 $ 1.7 $<p>동차연립방정식 (2)는 미지수의 개수 $ n $ 보다 방정식 개수 $ m $ 이 더 직을 때, 즉 $ m<n $ 이면, 무한히 많은 해를 갖는다. 동차연립방정식 (2)는 그의 첨가행렬에 대한 행사다리꼴에서 0 이 아닌 행의 수가 미지수의 수보다 직기만 하면 무한 히 많은 해를 가질 것이다.</p> <p>블록행렬의 곱에 대한 행-열 규치은 두 행렬의 곱에 관한 가장 일반직인 방법을 제공한다. 곱에 관한 다음 관점은 이미 단순한 행렬의 분할을 사용하여 기술되어 왔다.<p>(1) $ A $ 를 사용한 $ A B $ 의 정의<p>(2) $ A B $ 의 열의 정의<p>(3) $ A B $ 계산을 위한 행-열 규칙<p>(4) $ A B $ 의 곱을 $ A $ 의 행과 $ B $ 의 열의 곱으로 봄분할을 다시 사용하는 $ A B $ 의 네 번째 관점은 정리 $ 1.14 $ 에 있다.</p> <p>다음 예제는 분할된 행렬을 수반하는 계산을 입증한다. 여기서 $ \mathrm { Col } _ { k } (A) $ 은 $ A $ 의 $ k $ 번째 열이고 $ \operatorname { Row } _ { k } (A) $ 는 $ A $ 의 $ k $ 번째 행이다.<p>따라서 $ A B $ 에 대한 위의 블록은<p>\[A_ { 11 } B_ { 1 } + A_ { 12 } B_ { 2 } = \left [ \begin {array} { cc } 15 & 12 \\2 & -5 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rr } -20 & -8 \\-8 & 7 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } -5 & 4 \\-6 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>블록행렬의 곱에 대한 행-열 규치은 두 행렬의 곱에 관한 가장 일반직인 방법을 제공한다. 곱에 관한 다음 관점은 이미 단순한 행렬의 분할을 사용하여 기술되어 왔다.<p>(1) $ A $ 를 사용한 $ A B $ 의 정의<p>(2) $ A B $ 의 열의 정의<p>(3) $ A B $ 계산을 위한 행-열 규칙<p>(4) $ A B $ 의 곱을 $ A $ 의 행과 $ B $ 의 열의 곱으로 봄분할을 다시 사용하는 $ A B $ 의 네 번째 관점은 정리 $ 1.14 $ 에 있다.</p> <p>예제 $ 6 A= \left [ \begin {array} { rrr } -3 & 1 & 2 \\ 1 & -4 & 5 \end {array} \right ] $ 이고 $ B= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \\ e & f \end {array} \right ] $ 라 하자.<p>\[A B= \operatorname { Col } _ { 1 } (A) \operatorname { Row } _ { 1 } (B) + \operatorname { Col } _ { 2 } (A) \operatorname { Row } _ { 2 } (B) + \operatorname { Col } _ { 3 } (A) \operatorname { Row } _ { 3 } (B) \]임을 중명하여라.<p>풀이 위의 각 항은 외저(outer product)이다. 통상적인 행-열 규칙에 의해<p>\[ \begin {array} { l } \operatorname { Col } _ { 1 } (A) \operatorname { Row } _ { 1 } (B)= \left [ \begin {array} { r } -3 \\1 \end {array} \right ][a b]= \left [ \begin {array} { rr } -3 a & -3 b \\a & b \end {array} \right ] \\ \operatorname { Col } _ { 3 } (A) \operatorname { Row } _ { 3 } (B)= \left [ \begin {array} { l } 2 \\5 \end {array} \right ][e r f]= \left [ \begin {array} { ll } 2 e & 2 f \\5 e & 5 f \end {array} \right ] \\ \end {array} \]<p>따라서<p>\[ \sum_ { k=1 } ^ { 3 } \operatorname { Col } _ { k } (A) \operatorname { Row } _ { k } (B)= \left [ \begin {array} { cr } -3 a + c + 2 e & -3 b + d + 2 f \\a-4 c + 5 e & b-4 d + 5 f \end {array} \right ] \]<p>이 행렬은 명백히 $ A B $ 이다. $ A B $ 에 있는 $ (1,1) $ 원소는 세 개의 외적에 있는 $ (1,1) $ 원소의 합임에 유의하여라.</p> <p>이 기호를 사용하면 연립방정식 \[ \begin {aligned} x + y + z &=0 \\2 x + y-2 z &=4 \\x-3 y &=0 \end {aligned} \]의 첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { rrr:r } 1 & 1 & 1 & 0 \\2 & 1 & -2 & 4 \\1 & -3 & 0 & 0 \end {array} \right ] \] 또한 첨가헹렬 \[ \left [ \begin {array} { rrr\|r } 1 & -2 & 2 & -2 \\0 & 1 & -1 & 3 \\0 & 0 & 1 & 2 \end {array} \right ] \]에 대한 다음 연립방정식은 \[ \begin {aligned} x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + 2 x_ { 3 } &=-2 \\x_ { 2 } -x_ { 3 } &=3 \\x_ { 3 } &=2 \end {aligned} \]</p> <h2>$ 1.2 $ 가우스(조르당) 소거법</h2> <p>단순하고 체계직인 알고리즘을 제공하는 가우스 소거법은 첨가행렬에 기본 행연산을 적용하여 행사다리꼴로 바뀌서 해를 구하는 방법이다.<p>두 개의 연립방정식이 정확히 같은 해집합을 가지고 있다면 그들을 동치라 한다. 일차연립방정식을 푸는 최선의 방법은 주어진 시스템을 풀기 쉬운 동치인 연립방정식으로 바꾸는 것이다. 이러한 푸는 기법을 실행하기 위하여 다음 질문이 필요할 것이다.<p>1. 연립방정식은 언제 풀기 쉬운가?<p>2. 연립방정식을 동치인 연립방정식으로 바꾸기 위해 무엇을 할 수 있는가?<p>우선 첫 번째 질문에 대하여 생각하여 보자. 계수행렬이 대각헹렬이면 연립방정식은 확실히 풀기 쉽다. 대각행렬이란 정사각행렬에 대하여 $ i \neq j $ 에 대하여 $ a_ { i j } =0 $ 인 행렬을 말한다. 정사각행렬이란 행과 열의 개수가 같은 행렬이다. 방징식이 4 개이고 미지수가 4개인 연립방정식의 깅우에 첨가행렬은 아래와 같다. \[ \left [ \begin {array} { cclll } a_ { 11 } & 0 & 0 & 0 & b_ { 1 } \\0 & a_ { 22 } & 0 & 0 & b_ { 2 } \\0 & 0 & a_ { 33 } & 0 & b_ { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & a_ { 44 } & b_ { 4 } \end {array} \right ] \] 대응하는 연립방정식은 4 개의 방정식 \[a_ { i i } x_ { i } =b_ { i } , \quad i=1,2,3,4 \]이며 풀기가 아주 쉽다. 이 경우에 방정식들은 서로 연관이 없다(uncoupled)라고 한다. $ b_ { i } \neq 0 $ 인 반면 어느 하나가 $ a_ { i i } =0 $ 인 $ i $ 가 존재하면 연립방징식은 해가 없음에 유의하여라.<p>연립방정식의 계수행렬이 위삼각행렬일 때 그것 또한 폴기 쉽다. 위삼각행렬(upper triangular matrix)이란 $ j<i $ 에 대하여 $ a_ { i j } =0 $ 인 행렬이다. 방정식이 4 개이고 미지수가 4 개인 연립방정식의 경우에 위삼각헹렬은 아래와 같다.<p>\[ \left [ \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & a_ { 14 } & b_ { 1 } \\0 & a_ { 22 } & a_ { 23 } & a_ { 24 } & b_ { 2 } \\ 0 & 0 & a_ { 33 } & a_ { 34 } & b_ { 3 } \end {array} \right ] \]</p> <p>$ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 27 & 9 & 3 & 1 & -7 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & -5 \\ 27 & 6 & 1 & 0 & -1 \end {array} \right ] \begin {array} { c } R_ { 2 } + (-27) R_ { 1 } \\ R_ { 3 } + (-3) R_ { 4 } \\ R_ { 4 } -27 R_ { 4 } \end {array} \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & -18 & -24 & -26 & -88 \\ 0 & -1 & -2 & -3 & -14 \\ 0 & -21 & -26 & -27 & -82 \end {array} \right ] $ $ \underset { 1 / 12 R_ { 3 } } {\rightarrow } \underset { -3 / 4 R_ { 4 } } {\rightarrow } \left [ \begin {array} { lllrr } 1 & 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 14 \\ 0 & 0 & 1 & 7 / 3 & 41 / 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end {array} \right ] $</p> <p>이제 역대입법을 사용하면 $ d=5, c=41 / 3-35 / 3-2, b=-5 $ 이고 $ a=1 $ 이다. 따라서 구하는 삼차다항식은<p>\[y=x ^ { 3 } -5 x ^ { 2 } + 2 x + 5 \]<p>주어진 행렬 $ A $ 에 대응하는 연립방정식을 풀기 위해 소거법을 사용할 때 성공하기 위한 열쇠는 단계직으로 축약을 시행하는 것이다. 행렬은 왼쪽에서 오른쪽으로 한 번 에 한 열씩 축약된다.<p>일단 기본적인 기법에 익숙하기만 하면 기본 알고리즌을 수정하여 사용할 수 있다. 특히 문제가 오직 정수들만을 포함하고 있고 손으로 작업하고 있다면 소수를 가지고 작업하는 것을 최소로 하는 것이 바람직하다. 우리 모두에게 소수보다는 정수의 연산이 더 빠르고 더 정확하다. 다음 예제는 원래의 행렬에 소수가 없다면 소수를 갖고 하는 연산을 완전히 피할 수 있다는 것을 보여준다.</p> <p>두 방법들의 일반직인 경우는 유사하다. 변수가 $ n $ 개이며 방정식이 $ n $ 개인 연립방정식 을 고려하자. \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \vdots \\ a_ { n 1 } x_ { 1 } + a_ { n 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n n } x_ { n } =b_ { n } \end {array} \] 첫 방정식을 $ x_ { 1 } $ 에 대하여, 둘째 방정식은 $ x_ { 2 } $ 에 대하여, 이러한 형태로 $ x_ { n } $ 까지 푼다. 초 기의 근사를 시작으로, 이 새로운 방정식을 사용하여 각 변수의 값을 반복직으로 갱신 한다. 야코비방법은 $ k $ 번째 반복벡터들의 모든 값을 사용하여 $ k + 1 $ 번째 반복벡터를 계 산하는 반면 가우스-자이델 방법은 모든 계산에서 각 계산의 가장 최근의 값을 사용한 다. 이 시점에서 이러한 반복직인 방법들에 대하여 몇 개의 의문을 가져볼 만하다. 몇</p> <p>개만 생각해보자. 이 방법은 항상 수렴하는가? 아니라면 언제 수렴하는가? 수렴한다면 그들은 해에 수렴할까? 첫 질문의 답은 '아니다'이다. 다음 예제가 이를 설명한다. (예제 1 초기 근삿값으로 $ \left [ \begin {array} { l } 0 \\ 0 \end {array} \right ] $ 을 가지고 다읍 연립방정식에 가우스-자이델 방법을 직용하라. \[ \begin {array} { r } x_ { 1 } -x_ { 2 } =1 \\ 2 x_ { 1 } + x_ { 2 } =5 \end {array} \] 추풀이 방성식을 다시 성리하면 \[ \begin {array} { l } x_ { 1 } =1 + x_ { 2 } \\ x_ { 2 } =5-2 x_ { 1 } \end {array} \] 치음 몇 개의 반복벡터는 \begin { tabular } { \|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\| } \hline $ n $ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline $ x_ { 1 } $ & 1 & 1 & 4 & $ -2 $ & 10 & $ -14 $ \\ \hline $ x_ { 2 } $ & 0 & 3 & $ -3 $ & 9 & $ -15 $ & 33 \\ \hline \end { tabular } 주어진 연립방정식의 정확한 해는 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )=(2,1) $ 이다. 그러나 표의 반복벡터들 은 이 점에 접근하지 않는다. 그래프를 보면 더욱 명백혜진다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { rrrrr } 5 & -5 & 10 & 0 & 5 \\ -3 & 3 & 2 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 10 & 2 & 5 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 8 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 4 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & 2 & 4 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] } \\ \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ]-U \\ \text { 따라서 } A=L U \text { . 여기서 } L= \left [ \begin {array} { rrrr } 5 & 0 & 0 & 0 \\ -3 & 8 & 0 & 0 \\ -2 & 4 & -2 & 0 \\ 1 & 8 & 0 & 1 \end {array} \right ] \text { 이다. } \end {array} \] 예제 3 가역행렬 $ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end {array} \right ] $ 에 대한 $ L U $-분해를 구하여라. 추룰이 행사다리꼴로써 행감소는 \[ \begin {array} { l } A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { lrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & -5 \\ 0 & 5 \\ -1 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]-U . \\ L= \left [ \begin {array} { lrl } 1 & 0 & 0 \\ 2 & -5 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end {array} \right ] \end {array} \]</p> <p>두 직선의 교점을 구하는 것은 두 개의 $ y $ 값을 같게 하는 하나의 $ x $ 의 값을 구하는 것과 같다. 따라서 $ y $ 에 대하여 각 방정식을 풀어서<p>\[y=-3 + \frac { 3 x } { 4 } \text { 와 } y=- \frac { 3 x } { 4 } \]를 얻는다.<p>\[-3 + \frac { 3 x } { 4 } =- \frac { 3 x } { 4 } \text { 또는 } \frac { 3 x } { 4 } + \frac { 3 x } { 4 } = \frac { 6 x } { 4 } =3 \]라면 $ y $ 의 값은 같을 것이다. 즉 $ x=2 $ 이고 $ y=-3 / 2 $ 이다. 따라서 두 직선의 교점은 좌표 $ (2,-3 / 2) $ 이다.</p> <p>2 개의 미지수를 갖는 2 개의 일차방정식을 푸는 것은 두 직선의 교점을 구하는 것과 같으므로 그와 같은 연립방징식은 다음 3 가지 중 하나를 만족해야 한다.<p>(1) 두 직선이 평행이다.<p>(2) 두 직선이 교차한다.<p>(3) 두 직선이 같다.<p>그림 $ 1.2 $ 는 이 세 가지의 경우를 기하학직으로 설명한다.</p> <p>2 개의 미지수를 갖는 $ m(>2) $ 개의 방정식에 대하여도 세 가지의 가능성이 존재한다. 그림 $ 1.3 $ 은 $ m=3 $ 인 경우를 설명한다. 첫 경우에는 어느 직선도 평행일 수 없음에 유의하여라. $ m>2 $ 에 대하여 직어도 임의로 직선들이 선택되었다면 해가 없을 가능성이 많다. 그러나 방정식이 어떤 물리직인 현상을 묘사한다면 해가 존재할 가능성이 더 많다.<p>일반적으로 미지수의 수보다 방정식의 수가 더 많으면 해가 존재하지 않을 가능성이 더 높다.</p> <p>미분직분학에서 3 차원의 해석기하학을 학습했다면<p>\[a x + b y + c z=d \]와 같은 세 개의 변수를 갖는 일차방정식이 그림 $ 1.4 $ 에 보여준 3 차원 공간에서 평면을 나타낸다는 것을 알 것이다.</p> <p>이러한 관찰을 통해 3 개의 미지수를 갖는 $ m $ 개의 방정식을 푸는 문제를 기하직으로 해석할 수 있다. 각 경우에 $ m $ 개의 평면이 갖는 교점을 찾는다. $ m=2 $ 이면 두 평면은 평행이거나 교차한다. 그러므로 그들은 해가 없거나 무수히 많다. 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 직을 때 유일한 해가 없음에 유의하여라. $ m=3 $ 이라면 다음 세 가지 중 하나를 만족한다.<p>(1) 교점이 없다. 즉, 셋째 평면이 처음 두 평면의 교선에 평행이다.<p>(2) 세 평면이 유일한 점에서 만난다. 즉 셋째 평면이 처음 두 평면의 교선과 교차한다.<p>(3) 세 평면은 직어도 한 직선을 공유(함께 묶여 있는 책의 페이지처럼)한다.<p>그림 $ 1.5 $ 는 이 세 가지 경우를 설명한다. $ m>3 $ 일 때에도 동일하게 세 가지 경우가 발생하는데 대부분 해가 없는 경우(평면이 임의로 선택되었다면)이다.</p> <p>정리 1.24<p>스칼라 곱의 역행렬<p>만일 $ n \times n $ 인 행렬 $ A $ 가 가역행렬이고 $ \alpha $ 가 영이 아닌 스칼라이면 $ \alpha A $ 는 가역행렬이고,<p>\[( \alpha A) ^ { -1 } = \left ( \frac { 1 } {\alpha } \right ) A ^ { -1 } \]<p>증명 정리 1.23의 증명에서와 같이<p>\[( \alpha A) \left ((1 / \alpha) A ^ { -1 } \right )= \left ((1 / \alpha) A ^ { -1 } \right )( \alpha A)=I \]를 보이는 것으로 충분하다. 행렬대수의 기본성질에 관한 정리 1.15에 의해<p>\[( \alpha A) \left ((1 / \alpha) A ^ { -1 } \right )=( \alpha(1 / \alpha)) A A ^ { -1 } =1 I=I \]이고<p>\[ \left ((1 / \alpha) A ^ { -1 } \right )( \alpha A)=((1 / \alpha) \alpha) A ^ { -1 } A=1 I=I \]이다.<p>가역행렬과 역행렬을 계산하는 방법으로 이그는 행연산 사이에는 중요한 관계가 있다. 가역행렬 $ A $ 는 항등행렬과 행동치이며 $ I $ 로의 $ A $ 의 행감소를 실행하는 과정에서 $ A ^ { -1 } $을 구할 수 있음을 보게 될 것이다.<p>기본행렬은 항등행렬에 한 번의 기본행연산으로 얻어지는 행렬이다. 다은 예제는 세 종류의 기본행렬을 입증한다.</p> <p>예제 5 $ E_ { 1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end {array} \right ], E_ { 2 } = \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], E_ { 3 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end {array} \right ] $ 이고 $ A= \left [ \begin {array} { lll } a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end {array} \right ] $ 라 하자.<p>$ E_ { 1 } A, E_ { 2 } A $ 와 $ E_ { 3 } A $ 을 계산하고 이 혱렬의 곱이 어떻게 $ A $ 에 대한 기본행연산으로 얻어질 수 있는지를 기술하여라.<p>풀이 우선 곱을 실행하면<p \[E_ { 1 } A= \left [ \begin {array} { ccc } a & b & c \\ d & e & f \\g-4 a & h-4 b & i-4 c \end {array} \right ], E_ { 2 } A= \left [ \begin {array} { lll } d & e & f \\ a & b & c \\g & h & i \end {array} \right ], E_ { 3 } A= \left [ \begin {array} { ccc } a & b & c \\d & e & f \\5 g & 5 h & 5 i \end {array} \right ] \]<p>$ E_ { 1 } A $ 는 $ A $ 의 1 행에 $ -4 $ 를 곱한 깃을 3행에 더하여 앋었다. (이것이 행교환 연산이다.) $ A $ 의 1행과 2행을 교체하여 $ E_ { 2 } A $ 를 언었으며 3행에 5 를 곱하여 $ E_ { 3 } A $를 구했다.<p>예제 5 에서 $ E_ { 1 } $ 에 의한 왼쪽 곱은 모든 $ 3 \times 3 $ 행렬에 대하여 같은 효과를 가지고 있다. 특히 $ E_ { 1 } I=E_ { 1 } $ 이므로 $ E_ { 1 } $ 그 자체는 항등에 대한 이러한 같은 행연산에 의하여 얻어진다. 따라서 예제 4는 기본행렬에 대한 다음의 일반직인 사실을 입증한다.</p> <p>예제 4 단 한 번의 행감소로 다은 3 개의 연립방정식을 풀어라.<p>\[ \begin {array} { l }<p>x + 2 y=4 \quad x + 2 y=1 \quad x + 2 y=2 \\<p>2 x + 3 y=7 \quad 2 x + 3 y=1 \quad 2 x + 3 y=9 \\<p>x + 4 y=6 \quad x + 4 y=3 \quad x + 4 y=5 \\ \end {array} \]<p>풀이 세 겹의 첨가행렬에 대하여 통상적인 행감소를 시행하면 \[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 4 & 1 & 2 \\2 & 3 & 7 & 1 & 9 \\ 1 & 4 & 6 & 3 & 5 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & 4 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 & 5 \\0 & 2 & 2 & 2 & 3 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 2 & -1 & 12 \\0 & 1 & 1 & 1 & -5 \\0 & 0 & 0 & 0 & 13 \end {array} \right ] \]<p>이 계산에서 셋째 열을 사용하여 첫 연립방정식은 유일한 해 $ x-2 $ 와 $ y-1 $ 를 구한다. 또한 넷째 열로부터 둘째 연립방정식의 유일한 해는 $ x=-1 $ 이고 $ y=1 $ 임을 안다. 다섯째 열에서 $ 13 \neq 0 $ 이므로 셋째 연립방정식은 해가 없다.<p>다음 예제는 동차연립방정식이 화학반응을 기술하는 방정식의 균형을 맞추는데 어떻게 사용될 수 있는지 보여준다.</p> <p>예제 5 탄산나트륨 $ \left ( \mathrm { Na } _ { 2 } \mathrm { CO } _ { 3 } \right ) $ 이 취소증기 $ \left ( \mathrm { Br } _ { 2 } \right ) $ 와 결합할 때, 부산물은 브롬화물 나트륨 $ ( \mathrm { NaBr } ) $, 브롬산염 나트륨 $ \left ( \mathrm { NaBrO } _ { 3 } \right ) $ 과 이산화탄소 $ \left ( \mathrm { CO } _ { 2 } \right ) $ 이다. 반응을 기술하는 다음 방정식의 군형을 잡아라.<p>\[ \mathrm { Na } _ { 2 } \mathrm { CO } _ { 3 } + \mathrm { Br } _ { 2 } \rightarrow \mathrm { NaBr } + \mathrm { NaBrO } + \mathrm { CO } _ { 2 } \]</p> <p>예제 2 일반적인 $ 2 \times 2 $ 행렬 $ \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] $ 의 역행렬 $ X= \left [ \begin {array} { ll } x & y \\ z & w \end {array} \right ] $ 를 계산하여라.<p>풀이 정의와 오른쪽 역 조건<p>\[A X= \left [ \begin {array} { cc } a x + b z & a y + b w \\c x + d z & c y + d w \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ]=I \]이 성립할 필요충분조건은 $ x, y, z, w $ 에 다음의 일차연립방정식을 만족하는 것이다.<p>\[a x + b z=1, a y + b w=0, c x + d z=0, c y + d w=1 \]<p>가우스 소거법으로 이를 풀면<p>\[x= \frac { d } { a d-b c } , y=- \frac { b } { a d-b c } , z=- \frac { c } { a d-b c } , w= \frac { a } { a d-b c } \]<p>단, $ a d-b c f 0 $. 그러므로 행렬 $ X= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { rr } d-b \\ -c & a \end {array} \right ] $ 은 $ A $ 에 대한 오른쪽 행렬을 할 수 있다. 따라서 $ X=A ^ { -1 } $ 는 $ A $ 의 역행렬이다.<p>이 예제를 다시 정리하여 쓰면 다음 정리가 된다.</p> <p>정리 $ 1.21 $<p>$ A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] $ 라 하자. $ a d-b c \neq 0 $ 이면 $ A $ 는 가역행렬이고<p>\[A ^ { -1 } = \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\-c & a \end {array} \right ] \]이다. $ a d-b c=0 $ 이면 $ A $ 는 가역행렬이 아니다.</p> <p>분할행렬의 곱<p>분할된 행렬은 곱 $ A B $ 에 대하여 $ A $ 의 열 분할이 $ B $ 의 행 분할과 조화를 이룬다면 볼록원소들이 스칼라인 것처럼 통상직인 행과 열의 법치으로 곱할 수 있다.<p>예제 5 $ A= \left [ \begin {array} { rrr\|rr } 2 & -3 & 1 & 0 & -4 \\ 1 & 5 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & -4 & -2 & 7 & -1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } A_ { 11 } & A_ { 12 } \\ A_ { 21 } & A_ { 22 } \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 6 & 4 \\ -2 & 1 \\ -3 & 7 \\ \hline-1 & 3 \\ 5 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } B_ { 1 } \\ B_ { 2 } \end {array} \right ] $ 라 하자.<p>5 열로 이루어진 $ A $ 는 3 열의 집합과 2열의 집합으로 분할되었다. 5 행으로 이루어진 $ B $ 도 같은 방법으로 3 행의 집합과 2 행의 집합으로 분할되었다. $ A $ 와 $ B $ 의 분할은 블록 곱에 대하여 직합하다. 통상직인 곱 $ A B $ 는<p>\[A B= \left [ \begin {array} { l } A_ { 11 } A_ { 12 } \\A_ { 21 } A_ { 22 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } B_ { 1 } \\B_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } A_ { 11 } B_ { 1 } + A_ { 12 } B_ { 2 } \\A_ { 21 } B_ { 1 } + A_ { 22 } B_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } -5 & 4 \\-6 & 2 \\2 & 1 \end {array} \right ] \]로 쓴다.<p>$ A B $ 에 대한 표현의 각각 작은 곱들에서 $ A $ 의 부분행렬을 왼쪽에 쓰는 것은 중요하다. 왜나하면 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않기 때문이다. 예를 들면<p>\[ \begin {array} { l } A_ { 11 } B_ { 1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 2 & -3 & 1 \\1 & 5 & -2 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 6 & 4 \\-2 & 1 \\-3 & 7 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } 15 & 12 \\2 & -5 \end {array} \right ] \\A_ { 12 } B_ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } 0 & -4 \\3 & -1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } -1 & 3 \\5 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } -20 & -8 \\-8 & 7 \end {array} \right ] \\ \end {array} \]<p>따라서 $ A B $ 에 대한 위의 블록은<p>\[A_ { 11 } B_ { 1 } + A_ { 12 } B_ { 2 } = \left [ \begin {array} { cc } 15 & 12 \\2 & -5 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rr } -20 & -8 \\-8 & 7 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } -5 & 4 \\-6 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>예제 4 행렬 $ \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] $ 이 혱렬 $ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right ] $ 의 역행렬임을 이용하여 다음 연립방정식을 풀어라.<p>\[ \begin {array} { l } x + 2 y + 2 z=3 \\ x + 3 y + z=1 \\ x + 3 y + 2 z=2 \end {array} \]</p> <p>풀이 주어진 연립방정식은 행럴방정식 $ A X-B $ 와 동치이다. 여기서<p>\[A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 2 \\1 & 3 & 1 \\1 & 3 & 2 \end {array} \right ], \quad X= \left [ \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { l } 3 \\1 \\2 \end {array} \right ] \]<p>행렬 $ \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end {array} \right ] $ 은 $ A $ 의 역행렬이므로, 주어진 연립방정식의 유일한 해는 \[ \left [ \begin {array} { l } x \\y \\z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & -4 \\-1 & 0 & 1 \\0 & -1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 3 \\1 \\2 \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { r } 3 \\-1 \\1 \end {array} \right ] \]에 의해 $ x=3, y=-1 $ 이고, $ z=1 $ 이다.<p>연립방정식을 풀기 위해서는 역행렬을 이용할 수가 있음을 보았다. 이제 일반적인 행렬에 대한 역행렬을 구하는 문제에 대해서 생각해 보자. 우선 역행렬에 대한 성질을 살펴본다. 다음 정리는 가역행렬이 정확히 하나의 역행렬을 갖는다는 것을 보여준다. 이것은 연립방정식의 해의 유일성을 확립하는 데 중요한 역할을 한다.</p> <p>예제 $ 3 A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end {array} \right ] $ 이고 $ C= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 1 & 1 \\ -4 & 3 & -2 & 1 \end {array} \right ] $ 이라 하면<p>\[A ^ { T } = \left [ \begin {array} { ll } a & c \\b & d \end {array} \right ], B ^ { T } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 3 & 5 \\2 & 4 & 6 \end {array} \right ] \text { 이고 } C ^ { T } = \left [ \begin {array} { rr } 1 & -4 \\1 & 3 \\1 & -2 \\1 & 1 \end {array} \right ] \text { 이다. } \]</p> <p>정리 $ 1.19 $<p>전치행렬의 성질<p>$ A $ 와 $ B $ 는 다은 곱과 합에 정당한 차원의 행렬이라 하자.<p>1. $ \left (A ^ { T } \right ) ^ { T } =A $<p>2. $ (A + B) ^ { T } =A ^ { T } + B ^ { T } $<p>3. 스칼라 $ r $ 에 대하여, $ (r A) ^ { T } =r A ^ { T } $<p>4. $ (A B) ^ { T } =B ^ { T } A ^ { T } $<p>예제 4 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { ll } 4 & 9 \\ 0 & 2 \\ 1 & 6 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } 3 & 7 \\ 2 & 8 \end {array} \right ] $ 에 대하여 $ (A B) ^ { T } =B ^ { T } A ^ { T } $ 임을 보여라.<p>풀이<p>\[(A B) ^ { T } - \left ( \left [ \begin {array} { ll } 4 & 9 \\0 & 2 \\1 & 6 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 3 & 7 \\2 & 8 \end {array} \right ] \right ) ^ { T } = \left [ \begin {array} { rr } 30 & 100 \\4 & 16 \\15 & 55 \end {array} \right ] ^ { T } = \left [ \begin {array} { rrr } 30 & 4 & 15 \\100 & 16 & 55 \end {array} \right ] \]이고<p>\[B ^ { T } A ^ { T } = \left [ \begin {array} { ll } 3 & 2 \\7 & 8 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 4 & 0 & 1 \\ 9 & 2 & 6 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 30 & 4 & 15 \\100 & 16 & 55 \end {array} \right ] \]이므로 $ (A B) ^ { T } -B ^ { T } A ^ { T } $ 가 성립한다.</p> <h1>1 선형방정식과 행렬</h1> <p>공학 및 응용의 모든 분야에서 발생하는 많은 문제들은 이론직으로나 수치직 방법에 의해서 직당한 연립방정식 문제로 바뀌므로 연립방징식의 해를 구하는 것은 매우 중요하다. 연립방정식의 해를 구하는 과정은 연립방정식의 규모(연립방정식을 구성하는 미지수의 개수와 방정식의 수)에 따라 달라지며, 그 규모가 작은 경우는 간단한 계산을 통하여 해를 구할 수 있지만, 규모가 큰 경우는 그렇지 않다. 대부분의 경우 컴퓨터의 사용이 필수불가결하지만, 때로는 빠른 계산능력을 가진 컴퓨터로도 많은 시간이 걸릴 수 있다. 그러나 이 장에서 배울 행렬이론을 이용하면 이를 훨씬 더 효과직으로 해결할 수 있다. 행렬이론을 다루는 선형대수학은 수학의 거의 모든 응용분야(예를 들어, 전자 네트워크, 교통의 흐른, 생산과 소비, 인구의 성장, 통계학, 미분방정식의 수치직 방법의 결과 등)에서 필수직으로 이용되고 있는 현대수학의 가장 중요한 분야 중 하나이다.</p> <h2>1.1 일차방정식의 기하적인 관점</h2>3 개의 변수를 갖는 일반직인 일차방정식은 $ a x + b y + c z = k $ 형태의 방정식이다. 여 기서 $ a, b, c $ 와 $ k $ 는 상수이다. 연립방정식이 3 개 이상의 변수를 가지고 있다면 $ x_ { i } , y_ { j } $ 와 $ z_ { k } $ 와 같은 첨자가 있는 변수(미지수라고도 함)를 사용하며 방정식에 있는 상수를 $ a_ { i } , b_ { j } $와 $ c_ { k } $ 로 표기한다. 따라서 미지수가 $ n $ 개인 일반직인 일차방정식은 다음 형태의 방정식이다. \[a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =b \] 여기서 $ b $ 와 $ a_ { i } $ 는 상수이다. 이 방정식을 만족하는 변수 $ x_ { i } $ 의 값들을 해라고 하며, 해들의 집합을 해집합이라 한다. 해집합을 일반해라고 한다. 편의상 해를 $ n $ 순서쌍 $ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) $으로 구성한다. 일차방정식의 해를 구하려면 미지수 $ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } $ 중에서 임의의 $ n-1 $개를 선택하여, 그 선택된 각각의 미지수에 대하여 임의의 수를 부여한다. 그 다음 선택되지 않은 나머지 미지수에 대하여 방정식을 풀면 된다. 예를 들어, 일차방정식<p>\[2 x + 3 y=5 \]에 대하여 $ x $ 를 선택한 다음 $ y $ 를 계산할 수 있다. 또한 $ y $ 를 선택한 다은 $ x $ 를 계산할 수도 있다. $ x=1 $ 로 선택하면 $ 3 y=5-2(1)=3 $ 이므로 $ y=1 $ 이다. 또는 $ y $ 를 4 로 선택하였다면 $ 2 x=5-3(4)=-7 $ 이므로 $ x=-7 / 2 $ 이다. 따라서 $ (1,1) $ 과 $ (-7 / 2,4) $ 는 $ 2 x + 3 y=5 $ 의 해집합의 두 원소이다(실제 해집합은 무한개의 원소로 구성되어 있다). 일반직인 경우를 위하여 다음과 같이 정의한다.</p> <h2>1.9 연립방정식을 풀기 위한 반복적인 방법</h2> <p>기본 행연산을 사용하는 직접직인 방법은 많은 경우에 정확한 해를 얻을 수 있지만 소 수로 계산할 경우 반올림과 다른 요인으로 인한 오차를 범하기 쉽다. 이 절에서는 연립 방정식의 해를 구하기 위해 수열을 이용하여 반복직으로 구하는 방법을 조사한다. 해 에 근접하는 생성한 벡터들의 수열을 반복직으로 진행하는 방법을 조사한다. 많은 경 우 (계수행렬이 거의 0 을 포함하지 않을 때는) 반복직인 방법이 직접직인 방법보다 더 빠르고 효과직이다. 연립방징식을 풀기위한 두 개의 반복직인 방법을 조사한다. 하나는 야코비(Jacob)방법 이고, 또 하나는 그것을 개선한 가우스-자이델(Gauss-Seidal)방법이다. 아래에서 다룰 예제에서 변수의 수는 방정식의 수와 같고 유일한 해를 갖는다고 가정한다. 우리의 관 심은 반복직인 방법을 사용하여 근사해를 찾는 것이다. 다음 연립방정식을 고려하자. \[ \begin {array} { l } 7 x_ { 1 } -x_ { 2 } =5 \\ 3 x_ { 1 } -5 x_ { 2 } =-7 \end {array} \] 첫 방정식을 $ x_ { 1 } $ 에 대해 풀고 둘째 방정식을 $ x_ { 2 } $ 에 대하여 풀면 \[ \begin {array} { l } x_ { 1 } = \frac { 5 + x_ { 2 } } { 7 } \\ x_ { 2 } = \frac { 7 + 3 x_ { 1 } } { 5 } \end {array} \] undefined 이것이 야코비방법의 시작이다. 이제 해에 대한 초기값이 필요하다. 초기값은 중요하지 않으므로 편의상 $ x_ { 1 } =0 $ 과 $ x_ { 2 } =0 $ 으로 시작한다. 이 값들은 식(1)에 대입하여 $ x_ { 1 } $ 과 $ x_ { 2 } $ 의 새로운 값을 얻는다.</p> <p>\[ x_ { 1 } = \frac { 5 + 0 } { 7 } = \frac { 5 } { 7 } \approx 0.714, \quad x_ { 2 } = \frac { 7 + 30 } { 5 } = \frac { 7 } { 5 } =1.400 \] 이제 이 값들을 식 (1)에 대입하면 \[ x_ { 1 } = \frac { 5 + \frac { 5 } { 7 } } { 7 } \approx 0.914, x_ { 2 } = \frac { 7 + 3 \cdot \frac { 5 } { 7 } } { 5 } \approx 1.829 \] 이 과정을 반복하면 아래 표에 주어진 수열을 얻는다.</p> <p>혱렬 $ A $ 의 인수분해는 $ A $ 를 2 개 이상의 혱렬의 곱으로 표현하는 것을 말한다. 혱렬의 곱은 자료의 합성( 2 개 이상의 선형변환을 단일 행렬로 결합)을 수반하는 반면, 행렬의 인수분해는 자료의 분석과 관련이 있다. 컴퓨터과학의 언어로, $ A $ 를 곱으로 표현하는 것은 $ A $ 에 있는 자료를 그의 구조가 어느 면에서는 더 유용한, 아마도 계산이 더 용이 한, 두 개 이상의 부분으로 조직하는 자료들의 사전처리와 같다. 행렬인수분해와 뒤에 논의할 선형변환의 인수분해는 이 책에서 중요한 부분의 하나 로 나타날 것이다. 이절은 응용에서 폭넓게 사용되는 몇 개의 중요한 컴퓨터 프로그램 의 중심에 놓여있는 인수분해에 초점을 맞춘다. 전자공학에서 행렬인수분해 혱렬인수분해는 특정한 성질을 갖는 전기회로망을 구상하는 문제에 밀접하게 연관되어 있다. 다음 논의는 인수분해와 회로디자인 사이의 연관성에 관한 것이다. 그림 $ 1.8 $ 에 있는 상자는 입력과 출력을 갖는 일종의 전자회로를 나타낸다. $ \left [ \begin {array} { l } v_ { 1 } \\ i_ { 1 } \end {array} \right ] $ 으로 입력볼트와</p> <p>전류를 기록하고 $ \left [ \begin {array} { l } v_ { 2 } \\ i_ { 2 } \end {array} \right ] $ 로 출력볼트와 전류를 기록한다. 종종 변환 $ \left [ \begin {array} { l } v_ { 1 } \\ i_ { 1 } \end {array} \right ] \mapsto \left [ \begin {array} { l } v_ { 2 } \\ i_ { 2 } \end {array} \right ] $ 은 선형이 다. 즉 전달행렬(transfer matrix)이라 하는 다읍 식을 만족하는 행렬 $ A $ 가 있다. 선형변 환은 4장에서 자세히 다룬다. \[ \left [ \begin {array} { l } v_ { 2 } \\ i_ { 2 } \end {array} \right ]=A \left [ \begin {array} { l } v_ { 1 } \\ i_ { 1 } \end {array} \right ] \] 입력단자 undefined \| 그림 $ 1.8 $ \| 입력과 출력 단자를 갖는 회로 그림 1.9는 사닥다리 회로망(ladder network)인 두 회로는 한 회로의 출력이 다은 회로 의 입력이 되도록 직렬로 연결되어 있다. 그림 $ 1.9 $ 의 왼쪽 회로를 저항이 $ R_ { 1 } $ 인 직렬회 로라 부르며, 오른쪽 회로를 저항이 $ R_ { 2 } $ 인 분로회로(shunt circuit)라 한다. undefined 직렬희로 분로회로<p>옵의 법칙과 키르히호프 법칙을 사용하여 직렬과 분로회로의 전달혱렬이 다음과 같음 을 볼 수 있다. \[ \left [ \begin {array} { cc } 1 & -R_ { 1 } \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \text { 와 } \left [ \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ -1 / R_ { 2 } & 1 \end {array} \right ] \] (예제 4 (a) 그림 $ 1.9 $ 에서 사닥다리 회로망의 전달행렬을 구하여라. (b) 전달행렬이 $ \left [ \begin {array} { cr } 1 & -8 \\ -0.5 & 5 \end {array} \right ] $ 인 사닥다리 회로망을 설계하여라.</p> <p>예제 3 다음 연립방정식이 0 이외의 해를 갖게 하는 모든 $ \lambda $ 값을 구하여라. \[ \begin {array} { l }<p>2 x + y= \lambda x \\<p>4 x-y= \lambda y \end {array} \]<p>풀이 이 식은 동차연립방정식이 아닌 것치럽 보이지만 오른쪽 항들이 미지수를 포함하고 있으므로 그들을 왼쪽으로 옮기면 동차연립방성식이 된다. \[ \begin {aligned} (2- \lambda) x + y &=0 \\4 x-(1 + \lambda) y &=0 \end {aligned} \]<p>기본 행연산 $ -1 / 4 R_ { 2 } , R_ { 12 } $ 와 $ R_ { 2 } -(2- \lambda) R_ { 1 } $ 를 실행하면 첨가행렬은 다음과 같이 축약된다.<p>\[ \left [ \begin {array} { ccc } 2- \lambda & 1 & 0 \\4 & -(1 + \lambda) & 0 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { ccc } 1 & \frac { -(1 + \lambda) } { 4 } & 0 \\0 & 1 + \frac { (2- \lambda)(1 + \lambda) } { 4 } & 0 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { ccc } 1 & \frac { -(1 + \lambda) } { 4 } & 0 \\ 0 & \frac { - \left ( \lambda ^ { 2 } - \lambda-6 \right ) } { 4 } & 0 \end {array} \right ] \]<p>이 연립방정식은 마지막 행의 둘째 열의 원소가 0 일 때 0 이외의 해를 갖는다. 이것은 $ \lambda ^ { 2 } - \lambda-6=0 $ 일 때 발생한다. 이 이차방정식의 해는 $ \lambda=3 $ 이고 $ \lambda=-2 $이다.<p>이 절에서 다룰 두 번째 주제는 각 연립방정식의 계수혱렬은 같지만, 등호 오른쪽의 값들이 다른 몇 개의 연립방정식이 있는 경우에 해를 구하는 것이다.</p> <p>각각 같은 계수헹렬 $ A $ 를 갖지만 오른쪽이 $ B, C $ 와 $ D $ 인 예제 4 와 같은 3 개의 연립방정식의 경우를 고려하자. 여기서<p>\[B= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\b_ { 2 } \\ \vdots \\b_ { m } \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 } \\c_ { 2 } \\ \vdots \\c_ { m } \end {array} \right ] \text { 와 } D= \left [ \begin {array} { c } d_ { 1 } \\d_ { 2 } \\ \vdots \\d_ { m } \end {array} \right ] \]<p>이러한 상황은 물리직인 시스템을 대수직인 시스템으로 모델링하는 과정에서 종종 발생한다. 물리직인 시스템에서 방정식의 오른쪽 상수는 시스템에 대한 입력이고 미지수는 그 입력에 반응하는 시스템의 반응을 나타낸다. 이 경우에 문제는 몇 개의 다른 입력에 대한 시스템의 반응이다. 물론 이장의 기법을 사용하여 각 연립방정식을 따로따로 풀 수 있다. 각 경우에 대부분의 작업은 계수행렬 $ A $ 에 대한 사다리꼴로의 축약이될 것이다. 각 경우에 같은 연산이 사용되므로 같은 일을 세 번 반복하는 것은 비효율적이다. 이런 문제에 대한 접근법은 다음 예제에서 보여준다.</p> <p>이것이 이 네트워크를 지나는 가능한 흐름의 완전한 기술이다.</p> <h2>$ 1.3 $ 행동치와 사다리꼴 행렬</h2> <p>$ 1.2 $ 절에서 주어진 연립방정식의 첨가행렬에 일련의 기본 행연산을 시행하여 연립방정식의 해를 구하는 과정을 보았다. 그런데 다음과 같은 의문이 생길 것이다. 첨가행렬에 일련의 기본 행연산을 시행하여 좀 더 간단한 형태의 행렬로 바꾸어 가는 과정을 언제 멈추고 어떻게 그에 대응되는 해를 구하는가? 일반직으로 행렬이 다음에 정의되는 행사다리꼴 또는 기약행사다리꼴의 특수한 모양이 될 때 기본 행연산의 실행을 멈춘다.<p>정의 1.3 다음 세 조건을 만족하는 직사각형 행렬을 사다리꼴(echelon form) (또는 행사다리꼴)이라 한다.<p>(a) 모든 원소가 0 은 아닌 모든 행은 모든 원소가 0 인 행보다 위에 있다.<p>(b) 한 행의 각 선행원소는 열을 중심으로 그 위에 있는 행의 선행원소의 오른쪽에 있다(선행원소란 한 행의 0 이 아닌 첫 원소를 말한다.).<p>(c) 열에서 선행원소의 밑에 있는 모든 원소들은 0 이다. 사다리꼴의 행렬이 다음의 부가직인 두 조긴을 만족한다면 그것을 기약사다리꼴(또는 기약행사다리꼴)이라 한다.<p>(d) 모든 원소가 0 이 아닌 각 행에서 선행원소는 1 이다.<p>(c) 선행원소가 1 인 열에서 다른 원소들은 0 이다.</p> <p>간단한 예제 다은 행렬은 모두 행사다리꼴이다.<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 5 & 0 & 2 \\0 & 1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \quad \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\0 & 1 & 4 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>간단한 예제 다음 행렬은 모두 기약행사다리꼴이다.<p>\[ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 0 & 4 \\0 & 1 & 0 & 5 \\0 & 0 & 1 & 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { llll } 1 & 2 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]<p>연립방정식을 폴기 위한 가우스 소거법 과정은 첨가행렬을 행사다리꼴로 축약시키는것과 같으며, 가우스-조르당 소거법 과정은 첨가행렬을 기약행사다리꼴로 축약시키는것과 같다. 가우스-조르당 소거법은 가우스 소거법의 역대입법을 계수행렬의 그 이상의 축약으로 대신한다. 연산의 수를 고려할 때 가우스 소거법과 역대입법의 조합이 적당히 실행될 때 가우스-조르당 소거법보다 조금 더 효율직이다. 이 때문에 컴퓨터에서는 가우스 소거법을 선호한다. 작은 규모의 문제를 손으로 작업할 때 학생들은 가우스-조르당 소거법을 선호한다. 이 두 방법들은 컴퓨터를 사용할 때 프로그래밍이 쉽다. 아래에 주어진 가우스-조르당 알고리즘은 프로그래밍 언어와 독립직으로 기술되어 있다. 단계 3 과 6 을 제거하면 가우스 소거법 알고리즘을 얻을 수 있다.</p> <p>정리 $ 1.11 $ 모든 성분이 0 인 행렬을 영행렬이라 하고, $ Z $ 또는 $ O $ 으로 나타낸다. 간단한 예제 다음 행렬은 모두 영행렬이다. \[ \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { l } 0 \\0 \\0 \\0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \end {array} \right ],[0] \]<p>행렬의 곱 행렬의 곱은 조금 더 복잡하다. 행렬의 덧셈과 스칼라 곱과 같이 행렬의 곱을 생각하는 것은 당연하지만 그벟게 간단히 정의되지 않는다. 이절에서 혱렬의 곱을 정의한다. 행렬의 곱을 정의하기 전에 먼저 벡터의 곱을 정의하자.</p> <p>정의 $ 1.121 \times n $ 행렬 $ R $ 과 $ n \times 1 $ 행렬 $ C $ 의 곱은 다음과 같이 정의된다.<p>\[ \begin {array} { l } R C= \left [r_ { 1 } r_ { 2 } \cdots r_ { n } \right ] \left [ \begin {array} { c } c_ { 1 } \\c_ { 2 } \\ \vdots \\c_ { n } \end {array} \right ] \\=r_ { 1 } c_ { 1 } + r_ { 2 } c_ { 2 } + \cdots + r_ { n } c_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } r_ { i } c_ { i } \\ \end {array} \]</p> <p>참고 정의 $ 1.12 $ 는 $ n $ 차원 벡터 $ \mathrm { a } - \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right ) $ 와 $ \mathrm { b } - \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right ) $ 의 내적 $ \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } =a_ { 1 } b_ { 1 } + \cdots + a_ { n } b_ { n } $ 의 정의를 행렬기호를 사용하여 다시 쓴 것이다. 행렬의 각 행은 이리한 벡터들로 구성되므로 행렬의 곱은 위 성의의 일반화된 형태로 정의된다.<p>간단한 예제<p>1) $ \left [ \begin {array} { lll } 1 & -2 & 2 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { r } 3 \\ 1 \\ -2 \end {array} \right ]=1 \times 3 + (-2) \times 1 + 2 \times(-2)=-3 $<p>2) 일반직인 일차방징식 $ a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } =b $ 은 행렬방징식<p>\[ \left [ \begin {array} { llll } a_ { 1 } & a_ { 2 } & \cdots & a_ { n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\x_ { 2 } \\ \vdots \\x_ { n } \end {array} \right ]=b \]으로 표시할 수 있다.<p>이제 행렬 곱의 일반직인 정의를 준다. 일반직으로 두 행렬의 곱 $ A B $ 는 $ A $ 의 열의 개수와 $ B $ 의 행의 개수가 같을 때만 정의된다.</p> <p>종종 주어진 행렬 $ A $ 의 부분행렬을 고려해야 할 필요가 있다. 부분행렬이란 $ A $ 의 일부행과 열들을 제거하여 얻어진 행렬을 뜻한다. 특별히 관심을 갖는 것은 행렬을 다른 부분행렬들로 분할하여 얻어진 부분행렬이다.</p> <p>간단한 예제<p>행렬 여기서 $ A_ { 11 } = \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 0 & 2 \\ -5 & 2 & 4 \end {array} \right ] $ 은 $ A $ 의 $ 2 \times 3 $ 부분행렬이고 $ A_ { 12 } = \left [ \begin {array} { ll } 5 & 4 \\ 0 & 2 \end {array} \right ] $ 는<p>$ A $ 의 $ 2 \times 2 $ 부분행렬이다. $ A $ 의 3 행과 2 열을 제거하여 얻은 $ A $ 의 부분행렬도 있다. \[B= \left [ \begin {array} { rrrrr } 3 & 2 & 5 & 4 & -2 \\-5 & 4 & 0 & 2 & 2 \end {array} \right ] \]<p>예제 1 혱렬 $ A $ 가 전자회로와 같은 물리직인 시스템, 이동시스템 또는 큰 회사에 대한 수학직인 모델에 나타났을 때 행렬 $ A $ 의 크기가 크므로 $ A $ 를 분할된 행렬로 보는 것은 자연스럽다. 예를 들면, 마이크로컴퓨터의 회로보드가 주로 VLSI(Very Large Scale Integrated, 초대형집직회로) 마이크로 칩으로 구성된다면 회로보드에 대한 행렬의 일반형은<p>\[A= \left [ \begin {array} { lll } A_ { 11 } & A_ { 12 } & A_ { 13 } \\A_ { 21 } & A_ { 22 } & A_ { 23 } \\A_ { 31 } & A_ { 32 } & A_ { 33 } \end {array} \right ] \]이다. $ A $ 의 대각선에 있는 부분행렬들, 즉, $ A_ { 11 } , A_ { 22 } $ 와 $ A_ { 33 } $ 은 3 개의 VLSI 칩에 관계되고 다른 부분행렬들은 마이크로 칩들 사이의 상호관계에 의존한다.<p>앞으로 유용하게 사용할 부분행렬에 대하여 다음 표기법을 사용할 것이다.<p>\[ \operatorname { Col } _ { j } (A)= \left [ \begin {array} { c } a_ { i j } \\a_ { 2 j } \\ \vdots \\a_ { m j } \end {array} \right ] \text { 는 } A \text { 의 } j \text { 번째 열이고 } \]<p>$ \operatorname { Row } _ { i } (A)= \left [a_ { i 1 } a_ { i 2 } \cdots a_ { i n } \right ] $ 는 $ A $ 의 $ i $ 번째 행이다.<p>경우에 따라서 $ A $ 를 그의 행들로 또는 열들로 나눌 것이다.<p>\[A= \left [ \begin {array} { c } \operatorname { Row } _ { 1 } (A) \\ \operatorname { Row } _ { 2 } (A) \\ \vdots \\ \operatorname { Row } _ { m } (A) \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ]= \left [ \operatorname { Col } _ { 1 } (A) \cdots \operatorname { Col } _ { n } (A) \right ] \]<p>두 행렬의 덧셈을 정의하면서 행렬대수에 대한 논의를 시작한다.</p> <p>풀이 내부 온도에 대한 주어진 가정은 다음의 세 개의 일차방정식을 갖는 연립방정식으로 이끈다. \[ \begin {array} { l } t_ { 1 } = \frac { 50 + t_ { 2 } } { 2 } \\t_ { 2 } = \frac { t_ { 1 } + t_ { 3 } } { 2 } \\t_ { 3 } = \frac { t_ { 2 } + 100 } { 2 } \end {array} \]<p>이 방정식들을 일반적인 형태로 다시 쓰면<p>\[ \begin {aligned} 2 t_ { 1 } -t_ { 2 } &=50 \\-t_ { 1 } + 2 t_ { 2 } -t_ { 3 } &=0 \\-t_ { 2 } + 2 t_ { 3 } &=100 \end {aligned} \]<p>이 연립방정식의 첨가행렬은<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 2 & -1 & 0 & 50 \\-1 & 2 & -1 & 0 \\0 & -1 & 2 & 100 \end {array} \right ] \]<p>일련의 연산 $ \left (R_ { 12 } \right ), \left (-R_ { 1 } \right ), \left (R_ { 2 } -2 R_ { 1 } \right ), \left (R_ { 23 } \right ), \left (R_ { 3 } \right ), \left (R_ { 3 } -3 R_ { 2 } \right ) $ 을 실행하면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 1 & 0 \\0 & 1 & -2 & -100 \\0 & 0 & 4 & 350 \end {array} \right ] \]<p>따라서 원래의 연립방정식은 다음 연립방성식과 동치이다.<p>\[ \begin {aligned} t_ { 1 } -2 t_ { 2 } + t_ { 3 } &=0 \\t_ { 2 } -2 t_ { 3 } &=-100 \\4 t_ { 3 } &=350 \end {aligned} \]<p>이것을 역대입법으로 풀면 $ t_ { 1 } =62.5, t_ { 2 } =75 $ 이고 $ t_ { 3 } =87.5 $ 이다.</p> <p>이와 같은 연립방정식은 역대입법(back substitution)이라는 기법에 의하여 풀 수 있다.<p>이 기법을 $ 3 \times 3 $ 연립방정식 \[ \begin {array} { r } x + 2 y + 3 z=5 \\y-2 z=6 \\2 z=4 \end {array} \]를 통하여 설명한다. 첨가행렬은 \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & 3 & 5 \\0 & 1 & -2 & 6 \\0 & 0 & 2 & 4 \end {array} \right ] \]<p>마지막 방정식은 $ z $ 에 대하여 풀기 쉬우며 $ z=2 $ 이다. 그 다음 이 $ z $ 값을 둘째 방정식에 대입하면 $ y-2(2)=6 $ 이므로 $ y=10 $ 이다. 마지막으로 우리가 이미 구한 $ y $ 와 $ z $ 의 값을 첫째 방정식에 대입하면 $ x + 2(10) + 3(2)=5 $ 이므로 $ x=-21 $ 이다. 대각행렬이나 위 삼각행렬인 경우에 풀이 과정은 $ a x=b $ 형태의 일련의 방정식을 푸는 것과 같다. 그것은 $ b \neq 0 $ 이고 $ a=0 $ 일 때만 해가 없다.<p>이제 이 절의 초기에 제기했던 둘째 질문을 고려하자. 주어진 연립방정식을 조작하여 원래의 연립방정식과 동치인 연립방정식을 생성할 수 있다. 다음 연산은 동치인 연립방정식으로 이끌 것이다.<p>(1) 한 방정식에 0 이 아닌 상수를 곱하여라.<p>(2) 필요하다면 두 방정식의 순서를 바뀌라.<p>(3) 그 자신과 다른 방정식의 상수 곱을 더하여 주어진 방정식을 대체하여라.<p>예제 1 에서 미지수가 3 개이고 방정식이 3 개인 연립방정식을 풀기 위하여 어떻게 이연산들을 사용하는지 보게 될 것이다.</p> <p>예제 1 다음 연립방정식을 풀어라. \[ \begin {aligned} x + y + z &=0 \\2 x + y-2 z &=4 \\x-3 y &=0 \end {aligned} \] 풀이 연립방정식의 첨가행렬은 다음과 같다. \[ \left [ \begin {array} { rrrrrr } 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\2 & 1 & -2 & 4 \\1 & -3 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]</p> <p>둘째 방정식에서 $ x $ 를 소거하기 위해 첫째 방정식에 (-2)를 곱하여 둘째 방정 식에 더한 다음 그 결과를 둘째 방정식과 바꾼다. 따라서 결과는 \[ \begin {aligned} x + y + z &=0 \\-y-4 z &=4 \\x-3 y &=0 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & -1 & -4 & 4 \\1 & -3 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]<p>셋째 방정식에서 $ x $ 를 소거하기 위해 칫째 방성식에 (-1)을 곱하여 셋째 방정식에 더한 다음 그 결과를 셋째 방정식과 바꾼다.<p>\[ \begin {aligned} x + y + z &=0 \\-y-4 z &=4 \\-4 y-z &=0 \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { rrr:r } 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & -1 & -4 & 4 \\0 & -4 & -1 & 0 \end {array} \right ] \]<p>둘째 방정식에 (-1)을 곱하여라. 그러면<p>\[ \begin {array} { r } x + y + z=0 \\y + 4 z=-4 \\-4 y-z=0 \end {array} \quad \left [ \begin {array} { rrr:r } 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 4 & -4 \\0 & -4 & -1 & 0 \end {array} \right ] \]<p>이제 셋째 방성식에서 $ y $ 를 소거하기 위해 둘째 방정식에 4 를 곱하여 셋째 방정식에 더한 다읍 그 결과를 셋째 방정식과 바꾼다.<p>\[x + \begin {array} { rl } x + z & 0 \\y + 4 z & =-4 \\15 z & =-16 \end {array} \quad \left [ \begin {array} { lcc:r } 1 & 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 4 & -4 \\0 & 0 & 15 & -16 \end {array} \right ] \]<p>셋째 방정식의 양변을 $ 1 / 15 $ 으로 곱한다.<p>이제 $ z $ 를 소거한다. 셋째 방정식에 -4를 곱하여 둘째 방정식에 더하며 또한 셋째 방정식에 (-1)을 곱하여 칫째 방정식에 더하여 $ z $ 를 소거한다. \[ \begin {aligned} x + y &= \frac { 16 } { 15 } \\y &= \frac { 4 } { 15 } \\z &=- \frac { 16 } { 15 } \end {aligned} \quad \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 1 & 0 & 1 & \frac { 16 } { 15 } \\0 & 1 & 0 & 1 & \frac { 4 } { 15 } \\ 0 & 0 & 1 & 1 & - \frac { 16 } { 15 } \end {array} \right ] \]<p>마지막으로 둘째 방정식에 (-1)을 곱하여 첫째 방정식에 더한 결과늘 칫째 방정식과 바꾸어 $ y $ 를 소거한다. 모든 연립방정식이 동치이므로 원래 방정식의 해는 다음과 같다.</p> <p>정의 $ 1.18 $ 주대각성분만 1 이고 나머지 성분이 모두 0 인 $ n \times n $ 행렬을 항등행렬(또는 항등행렬)이라 하고, $ I $ 또는 (행렬의 크기를 강조할 필요가 있다면) $ I_ { n } $ 으로 나타낸다. 즉,<p>\[I_ { n } = \left [ \begin {array} { cccc } 1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>간단한 예제 \[[1], \quad \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ], \quad \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad \left [ \begin {array} { llll } 1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] 은 모두 항등행렬이다.<p>예제 2 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right ] $ 에 대하여<p>\[ \begin {array} { l } I_ { 2 } A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right ]=A \\A I_ { 3 } = \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right ]=A \\ \end {array} \]<p>예제 2 의 결과는 임의의 $ m \times n $ 행렬 $ A $ 에 대해서도 똑같이 성립한다. 즉, 항등헹렬 $ I_ { m } , I_ { n } $ 에 대하여<p>\[I_ { m } A=A I_ { n } =A \]가 성립함을 섭게 확인할 수 있다.<p>행렬의 멱<p>$ A $ 가 $ n \times n $ 행렬이고 $ k $ 가 양의 정수라면 $ A ^ { k } $ 는 $ A $ 의 $ k $ 번 곱을 표시한다.<p>\[A ^ { k } =A \underset { k ㅂ ㄴ ㄴ } {\cdots } A \]<p>또한, $ A ^ { 0 } $ 를 $ I $ 로 정의한다.<p>전치행렬<p>행렬에 대한 다른 기본직인 연산은 그들의 열과 행을 교환하는 것이다. $ A $ 가 $ n \times m $ 행렬이라면 $ A ^ { T } $ 로 표기되는 그의 전치행렬은, 그의 $ (i, j) $ 원소가 $ \mathrm { A } $ 의 $ (j, i) $ 원소와 같은, $ m \times n $ 행렬이다. 따라서 $ B=A ^ { T } $ 는 $ b_ { i j } =a_ { j i } $ 임을 뜻한다.<p>예를 들면 $ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end {array} \right ] $ 이면 $ A ^ { T } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end {array} \right ] $ 이다. $ A $ 의 행들-이 $ A ^ { T } $ 의 열들이 됨에 유의하여라. 열벡터의 전치는 행벡터인 반면, 행벡터의 전치는 열베터이다. $ \mathbf { v } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 3 \end {array} \right ] $ 이면<p>$ \mathbf { v } ^ {\mathrm { T } } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right ] .1 \times 1 $ 행렬로 고려되는 스칼라의 전치는 그 자신이다. 즉 $ c ^ { T } =c $.<p>참고 응용수학에 나타나는 대부분의 벡터들은 열벡터들이다. 정사각행렬의 전치행렬은 주대각에 대해 행렬의 원소들을 반사하는 것으로 볼 수 있다. 에를 들면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\3 & 0 & 5 \\-2 & -4 & 8 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 3 & -2 \\2 & 0 & -4 \\-1 & 5 & 8 \end {array} \right ] \]</p> <p>예제 8 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.<p>\[A= \left [ \begin {array} { rcr } 1 & 6 & 4 \\2 & 4 & -1 \\-1 & 2 & 5 \end {array} \right ] \]<p>풀이 $ \left [A \mid I_ { 3 } \right ] $ 를 만들면 \[\left [A \mid I_ { 3 } \right ]= \left [ \begin {array} { rrr:rrrr } 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\2 & 5 & 3 & 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 8 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]<p>이고, 이 행렬의 기약행사다리꼴을 구하면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrr:rrrr } 1 & 6 & 4 & 1 & 0 & 0 \\2 & 4 & -1 & 0 & 1 & 0 \\-1 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrr:rrr } 1 & 6 & 4 & 1 & 0 & 0 \\0 & -8 & -9 & -2 & 1 & 0 \\0 & 8 & 9 & 1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrr:rrr } 1 & 6 & 4 & 1 & 0 & 0 \\0 & -8 & -9 & -2 & 1 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \end {array} \right ] \]<p>기약행사다리꼴의 칫 부분이 항등행렬이 아니므로 $ A ^ { -1 } $ 는 존재하지 않는다.<p>다음은 $ n \times n $ 행렬과 미지수가 $ n $ 개인 일차연립방정식 사이의 관계에 대하여 알아보자. 다음 정리와 따름정리는 주어진 정사각행렬이 가역행렬인지 아닌지 판정하는 방법을 보여준다.</p> <p>정리 $ 1.26 $<p>$ A $ 가 $ n \times n $ 행렬일 때 다음은 동치이다.<p>(a) $ A $ 는 가역행렬이다<p>(b) $ A X=O $ 은 자명한 해 만 갖는다.<p>증명 먼저 (a)가 성립할 때 (b)가 성립함을 보이자. $ A $ 가 가역행렬이고 $ X_ { 0 } $ 가 $ A X=O $의 해라면<p>\[X_ { 0 } =L X_ { 0 } = \left (A ^ { -1 } A \right ) X_ { 0 } =A ^ { -1 } \left (A X_ { 0 } \right )=A ^ { -1 } O=O \]<p>따라서 $ A X=O $ 는 자명한 해 만을 갖는다.<p>이제 (b)가 성립할 때 (a)가 성립합을 보인다. $ A X=O $ 는 연립방정식<p>\[ \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots a_ { 1 n } x_ { n } =0 \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots a_ { 2 n } x_ { n } =0 \\ \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots a_ { n n } x_ { n } =0 \end {array} \]을 나타내고 자명한 혜만을 갖는다고 가성하자. 행감소법으로 풀면 다음과 같은 연립방정식을 얻는다.<p>따라서 (2)에 대한 첨가행렬<p>\[ \left [ \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & 0 \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } & 0 \end {array} \right ] \]은 기본행연산에 의하여 첨가행렬<p>\[ \left [ \begin {array} { cccccc } 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end {array} \right ] \]로 변형될 수 있다. 이들 행렬에서 마지막 열을 제거하면 행렬 $ A $ 는 기본행연산에 의하여 항등행렬 $ I_ { n } $ 으로 변형될 수 있음을 뜻한다. 이것은 첨가행렬 $ [A \mid I] $ 는 기약행사다리꼴 $ [I \mid D] $ 로 변형될 수 있음을 뜻한다. 이때 $ D=A ^ { -1 } $이므로 $ A $ 는 가역행렬이다.</p> <p>$ n \times n $ 행렬 $ A $ 에 기본행연산을 시행하면 결과직인 행렬은 $ E A $ 로 쓸 수 있다. 여기서 $ n \times n $ 행렬 $ E $ 는 $ I_ { n } $ 에 대한 같은 행연산을 시행하여 만들어진다.</p> <p>행연산을 거꾸로 할 수 있으므로 기본행렬은 역이 가능하다. $ E $ 가 $ I $ 에 대한 행연산으로 만들어진다면 $ E $ 를 다시 $ I $ 로 바꾸는 것과 같은 형태의 다른 행연산이 있다. 따라서 $ F E=I $ 인 기본행렬 $ F $ 가 있다. $ E $ 와 $ F $ 는 연산들의 역에 대응하므로 또한 $ E F=I $ 이다.기본행렬 $ E $ 는 가역이다. $ E $ 의 역은 $ E $ 를 다시 1 로 바꾸는 것과 같은 형태의 기본 행렬이다.<p>예제 $ 6 E_ { 1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end {array} \right ] $ 의 역을 구하여라.<p>풀이 $ E_ { 1 } $ 을 $ I $ 로 변환하기 위해 1 행에 4 를 곱하여 3행에 더하여라. 이 일을 실행하는 기본행렬은<p>\[E_ { 1 } ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\4 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]<p>다음 정리는 가역행렬을 머리에 그릴 수 있게 하는 최선의 방법으로 행렬의 역을 구하는 방법으로 이끈다.</p> <p>정리 $ 1.25 $ $ n \times n $ 행렬 $ A $ 가 가역일 필요충분조건은 $ A $ 가 $ I_ { n } $ 과 행동치인 것이다. 이 경우에 $ A $ 에서 $ I_ { n } $ 으로 변환되는 일련의 기본행연산은 또한 $ I_ { n } $ 을 $ A ^ { -1 } $ 으로 변환시킨다.</p> <p>아래 삼각원소가 모두 0 인 행렬은 위삼각행렬(upper triangular)이라 한다. 즉 그의 0이 아닌 원소들은 대각선원소이거나 위삼각원소들이다. 위삼각원소들이 모두 0 인 행렬을 아래삼각행렬(lower triangular)이라 한다. 행렬이 정사각혱렬이고 모든 비대각선원소들이 0 이라면, 즉 $ i \neq j $ 에 대하여 $ a_ { i j } =0 $라면, 그 행렬은 대각행렬(diagonal matrix)이다.</p> <p>간단한 예제 아래 행렬에 대하여<p>\[D= \left [ \begin {array} { lll } 4 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 \end {array} \right ], L= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\2 & 0 & 0 \\4 & 3 & 2 \end {array} \right ], U= \left [ \begin {array} { llll } 2 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & 2 & 1 \\0 & 0 & 4 & 3 \end {array} \right ], R= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right ], \]</p> <p>\[C= \left [ \begin {array} { l } 2 \\4 \\3 \end {array} \right ], \quad A= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\2 & 1 & 0 \end {array} \right ], \quad Z= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]<p>1) $ D $ 와 $ Z $ 는 대각행렬이다.<p>2) $ L, D $ 와 $ Z $ 는 아래삼각행렬이고 $ U, D $ 와 $ Z $ 는 위삼각행렬이다.<p>3) $ R $ 은 행 행렬 $ (m=1) $ 이고 $ C $ 는 열 행렬 $ (n=1) $ 이다.<p>4) $ D, L, A $ 와 $ Z $ 는 정사각행렬이지만 $ U, R $ 과 $ C $ 는 아니다.</p> <p>정리 1.22<p>역행렬의 유일성<p>두 행렬 $ B, C $ 가 행렬 $ A $ 의 역행렬이라면<p>\[B=C \]<p>증명 행렬 $ B $ 가 $ A $ 의 역행렬이므로 $ B A=1 $ 이다. 양변의 오른쪽에 $ C $ 를 곱하면 $ (B A) C=I C=C $ 이다. 그런데 $ (B A) C=B(A C)=B I=B $ 이므로 $ B=C $ 이다.<p>다음 정리에서 행렬 곱 $ C D $ 의 역행렬은 행렬 $ C, D $ 의 각 역행렬을 이용하여 계산할 수 있음을 보인다.<p>정리 1.23<p>행렬 곱의 역행렬<p>행렬 $ C $ 와 $ D $ 가 각각 역행렬 $ C ^ { -1 } $ 와 $ D ^ { -1 } $ 를 갖는다면 행렬 $ C D $ 는 가역행렬이고, $ (C D) ^ { -1 } =D ^ { -1 } C ^ { -1 } $.<p>증명</p> <p>$ (C D) \left (D ^ { -1 } C ^ { -1 } \right )- \left (D ^ { -1 } C ^ { -1 } \right )(C D)-I $ 가 성립합을 보이면 된다. 셜합법칙에 의해 \[ \begin {aligned} (C D) \left (D ^ { -1 } C ^ { -1 } \right ) &=C \left (D D ^ { -1 } \right ) C ^ { -1 } \\&=C I C ^ { -1 } =C C ^ { -1 } =I \end {aligned} \]이고<p>\[ \begin {aligned} \left (D ^ { -1 } C ^ { -1 } \right )(C D) &=D ^ { -1 } \left (C ^ { -1 } C \right ) D \\ &=D ^ { -1 } I D=D ^ { -1 } D=I \end {aligned} \]이다. 따라서 $ C D $ 는 가역행렬이고 $ D ^ { -1 } C ^ { -1 } $ 은 $ C D $ 의 역행렬이다. 역행렬은 유일하므로 $ (C D) ^ { -1 } =D ^ { -1 } C ^ { -1 } $ 가 성립한다.</p> <h2>$ 1.8 $ 행렬인수분해</h2> <p>행렬 $ A $ 를 $ A=L U $ 의 형태로 인수분해 할 수 있다면 연립방정식 $ A X=B $ 의 해를 훨씬 더 빠르게 계산할 수 있다. 여기서 $ L $ 과 $ U $ 는 특정한 형태의 행렬이다. 그와 같은 인수 분해를 구하기 위해 가우스 소거법을 사용한다.<p>삼각행렬<p>정사각행렬 $ n \times n $ 행렬 $ A $ 에 대하여 주대각선 원소의 아래와 왼쪽의 각 원소들이 0 이 라면 행렬 $ A $ 를 위삼각행렬이라 한다고 이미 언급했다. 따라서 모든 행사다리꼴 행렬은 위삼각행렬이다. 예를 들면 \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 2 & -3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { rrrrr } 0 & -1 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 4 \\ 0 & -2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \] 유사하게 대각선의 오른쪽과 위의 각 원소들이 0 인 행렬이 있다면 그 행렬을 아래삼각 행렬이라 한다. 위삼각행렬이나 아래삼각행렬을 삼각행렬이라 한다. 삼각행렬이 중요한 이유는 계수헹렬 $ A $ 가 삼각행렬일 때 연립방정식 $ A X=B $ 의 해를 십게 구할 수 있기 때문이다. 연립방정식 $ A X=B $ 를 고려하자. 여기서 $ A $ 는 임의의 행렬이다. $ A $ 를 $ L U $ 로 인수분해할 수 있다면 아래의 두 단계로 연립방징식을 풀 수 있다. 이 절에서 언급이 없는 한 $ L $ 은 가역인 아래삼각혱렬이고 $ U $ 는 위삼각행렬이라 가정한다. 1. 우선 역대입법을 사용하여 $ L Y=B $ 를 $ Y $ 에 대하여 풀어라. 2. 그 다음 전진대입법을 사용하여 $ U X=Y $ 를 $ X $ 에 대하여 풀어라. 그러면 $ X $ 는 $ A X=B $ 에 대한 해이다. $ A=L U $ 이므로 $ A X=L U X=L Y=B $ 이기 때문 이다. $ L U $ 인수분해 $ A $ 가 $ m \times n $ 행렬이라면 $ A $ 를 $ L U $ 로 인수분해하려 시도한다. 아이디어는 행연산에 의</p> <p>따름정리 $ 1.27 $<p>따라서 (2)에 대한 첨가행렬 $ A $ 가 $ n \times n $ 헹렬이라면 모든 $ n \times 1 $ 행렬 $ B $ 에 대하여 연립방정식 $ A X=B $ 가 유일한 해를 가질 필요충분조긴은 $ A $ 가 가역행렬이다.<p>증명 $ A $ 가 가역행렬이면 $ A ^ { -1 } B $ 는 $ A X=B $ 의 유일한 헤이다. 역으로, $ A X=B $ 가 유일한 해 $ X_ { 0 } $ 을 갖는다고 가정하자. $ A $ 가 가역행렬이 아니라면 $ A X=O $ 은 자명하지 않는 해 $ Z $ 를 갖는다. $ Y=X_ { 0 } + Z $ 라 놓으면 $ \mathrm { Y } \neq X_ { 0 } $ 이고<p>\[A Y=A \left (X_ { 0 } + Z \right )=A X_ { 0 } + A Z=B + O=B \]이다. 따라서 $ Y $ 도 $ A X=B $ 의 해이다. 이것은 모순이므로 $ A $ 는 가역행렬이어야 한다.<p>이제 부분행렬로 이루어진 행렬의 역행렬을 구하는 문제를 예제를 통해서 학습한다.</p> <p>예제 9 행렬형태<p>\[A= \left [ \begin {array} { cc } A_ { 11 } & A_ { 12 } \\ O & A_ { 22 } \end {array} \right ] \]을 위블록삼각행렬(block upper triangular)이라 한다. $ A_ { 11 } $ 은 $ p \times p, A_ { 22 } $ 는 $ q \times q $ 이고 $ A $ 는 가역행렬이라 가정하자. $ A ^ { -1 } $ 에 대한 공식을 구하여라.<p>풀이 $ A ^ { -1 } $ 을 $ B $ 와 분할된 $ B $ 로 다음과 같이 표시하자.</p> <p>\[ \left [ \begin {array} { cc } A_ { 11 } & A_ { 12 } \\O & A_ { 22 } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } B_ { 11 } & B_ { 12 } \\B_ { 21 } & B_ { 22 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cc } I_ { p } & O \\0 & I_ { q } \end {array} \right ] \]<p>이 행렬방정식은 미지의 부분행렬 $ B_ { 11 } , \cdots, B_ { 22 } $ 로 이끌 네 개의 방정식을 제공한다. (2)의 왼쪽에 있는 곱을 계산하여 다음을 얻는다.<p>\[ \begin {array} { ll } A_ { 11 } B_ { 11 } + A_ { 12 } B_ { 21 } & =I_ {\mathrm { p } } \\A_ { 11 } B_ { 12 } + A_ { 12 } B_ { 22 } & =O \\A_ { 22 } B_ { 21 } & =O \\A_ { 22 } B_ { 22 } & =I_ { q } \end {array} \]<p>가역행렬정리와 $ A_ { 22 } $ 가 정사각행렬이라는 사실을 사용하면 $ A_ { 22 } $ 는 가역행렬이므로 (6)에서 $ B_ { 22 } =A_ { 22 } ^ { -1 } $. 이제 (5)를 사용하여<p>\[B_ { 21 } =A_ { 22 } ^ { -1 } O=O \]<p>이를 이용하여 (3)을 간단히 하면<p>\[A_ { 11 } B_ { 11 } + O=I_ { p } \]<p>$ A_ { 11 } $ 은 가역행렬이므로 $ B_ { 11 } =A_ { 11 } ^ { -1 } $. 마지막으로 (4)에서<p>\[ \begin {array} { c } A_ { 11 } B_ { 12 } =-A_ { 12 } B_ { 22 } =-A_ { 12 } A_ { 22 } ^ { -1 } \\B_ { 12 } =-A_ { 11 } ^ { -1 } A_ { 12 } A_ { 22 } ^ { -1 } \end {array} \]<p>따라서<p>\[A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { ll } A_ { 11 } & A_ { 12 } \\A_ { 21 } & A_ { 22 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cc } A_ { 11 } ^ { -1 } & -A_ { 11 } ^ { -1 } A_ { 12 } A_ { 22 } ^ { -1 } \\O & A_ { 22 } ^ { -1 } \end {array} \right ] \]<p>블록대각행렬은 블록들의 주 대각 블록들을 제외한 다른 블록들이 $ O $ 행렬인 분할행렬이다. 그와 같은 행렬이 가역행렬일 필요충분조건은 대각에 있는 각블록이 가역행렬이다.</p> <p>네트워크 분석</p> <p>많은 실제적인 상황들은 통신네트워크, 경제네트워크, 운송네트워크 같은 네트워크들이 발생한다. 여기서 특녈히 관심을 갖는 것은 네트워크를 지나는 가능한 흐른(flow)이다. 예를 들면 도로망을 지나는 교통흐른, 자료 네트워크를 지나는 정보의 흐른, 경제 네트워크를 지나는 흐름, 용역과 서비스 등이 있다. 네트워크는 유한개의 노드(접점 또는 꼭짓점이라 부른다.)로 구성된다.<p>노드들은 호 또는 가지(branch)로 알려진 일련의 유향모서리에 의해 연결되어 있다. 각 모서리는 지시된 방향으로 그 가지를 지나거나 또는 따라서 흐를 수 있는 어떤 물품의 양을 나타내는 흐름으로 표시되어 있다. (일방통행인 도로를 지나가는 자동차를 생각해보자.) 네트워크를 지나는 흐릅에 대한 기본규치은 흐름의 보존법칙이다.<p>각 노드에서 유입량과 유출량은 같다.<p>아래 그림은 이 네트워크의 한 부분을 보여준다. 그것은 들어오는 두 개의 가지와 나가는 2 개의 가지가 있다. 흐릅의 보존법칙에 따르면 유입량 $ f_ { 1 } + f_ { 2 } $ 단위는 유출량 $ 20 + 30 $ 단위와 같아야 한다. 따라서 그와 같은 방정식을 구축하고 초래되는 연립방정식을 풀어서 노드 네트워크를 지나는 흐릅을 분석할 수 있다.<p>예제 5 아래 그림에 보여준 수도 네트워크를 지나는 가능한 흐름을 기술하자. 여기서 흐름은 분당 리터 $ ( \ell) $ 로 측정된다.</p> <p>풀이 각 노드에서 흐름의 보존법칙을 나타내는 방정식을 쓴다. 그 다음 방정식을 쪽에 변수 그리고 오른쪽에는 상수를 갖는 방정식으로 다시 쓴다.<p>$ \begin {array} { lllr } \text { 느드 } A: 15=f_ { 1 } + f_ { 4 } & \rightarrow & f_ { 1 } & + f_ { 4 } =15 \\ \text { 노드 } B: f_ { 1 } =f_ { 2 } + 10 & f_ { 1 } -f_ { 2 } & =10 \\ \text { ㄴㄷㄷㅡ } C: f_ { 2 } + f_ { 3 } + 5=30 & & f_ { 2 } + f_ { 3 } -25 \\ \text { 느드 } D: f_ { 4 } + 20=f_ { 3 } & & f_ { 3 } -f_ { 4 } =20 \end {array} $<p>가우스 소거법을 사용하여 첨가행렬을 행감소한다. (각자 확인)<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 0 & 1 & 15 \\1 & -1 & 0 & 0 & 10 \\0 & 1 & 1 & 0 & 25 \\0 & 0 & 1 & -1 & 20 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 0 & 0 & 1 & 15 \\0 & 1 & 0 & 1 & 5 \\0 & 0 & 1 & -1 & 20 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]<p>다른 변수들은 하나의 자유변수 $ f_ { 4 } $ 가 있으므로 무한히 많은 해를 갖는다. $ f_ { 4 } =t $ 라 놓고 다른 변수들을 $ f_ { 4 } $ 의 항으로 표현하면<p>\[ \begin {array} { l } f_ { 1 } =15-t \\f_ { 2 } =5-t \\f_ { 3 } =20 + t \\f_ { 4 } = \quad t \end {array} \]<p>이 방정식들은 모든 가능한 흐름을 기술하며 네트워크를 분석할 수 있게 한다. 예를 들면 가지 $ A D $ 에 대한 흐름 $ t=5 \ell / \mathrm { min } $ 로 제한한다면 다른 흐름은 $ f_ { 1 } =10 $, $ f_ { 2 } =0 $ 이고 $ f_ { 3 } =25 $ 이다.<p>각 가지에서 최대(또는 최소) 가능한 흐름을 구할 수 있다. 각 흐름은 음이 될 수 없다. 첫째와 둘째 방정식을 교대로 조사하면 $ t \leq 15 $ 임을 본다.(그렇지 않으면 $ f_ { 1 } $ 은 음이 될 것이다.) 그리고 $ t \leq 5 $ (그렇지 않다면 $ f_ { 2 } $ 도 음이 될 것이다.). 두 번째 부등식이 첫 번째보다 더 제한적이다. 따라서 그것을 사용하여야 한다. 세 번째 방정식은 매개변수에 대하여 그 이상의 제한을 하지 않으므로 $ 0 \leq t \leq 5 $ 로 추론한다. 이 결과와 4 개의 방정식을 결합하면<p>\[ \begin {aligned} 10 & \leq f_ { 1 } \leq 15 \\0 & \leq f_ { 2 } \leq 5 \\20 & \leq f_ { 3 } \leq 25 \\0 & \leq f_ { 4 } \leq 5 \end {aligned} \]</p> <p>동차방정식의 계수가 정수라면 예제 5 에서 증명한 것처럼 정수해를 구하는 것은 항상 가능하다. 어떤 응용에서는 해가 정수가 되는 것은 중요하다.</p> <h2>$ 1.5 $ 행렬 대수</h2> <p>이미 $ 1.1 $ 절에서 첨가행렬을 구하기 위하여 혱렬에 대하여 간단히 소개하였다. 혱렬을 사용하면 응용방정식을 다루기 쉬울 것이다. 행렬을 다룰 때 사용되는 기본적인 정의와 표기법이 반복될 것이다.</p> <p>정의 $ 1.8 $</p> <p>행렬은 수의 직사각형 배열이다. $ m $ 행과 $ n $ 열을 가진 행렬을 기술하는 정상적인 방법은 </p> <p>$ A=\left[\begin{array}{cccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 j} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 j} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{i 1} & a_{i 2} & \cdots & a_{i j} & \cdots & a_{i n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m j} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right] $</p> <p>행렬 $ A $ 의 크기를 $ m \times n $ (행의 크기를 항상 처음에 나열한다)이라 하며 원소 $ a_ { i j } $ 는 행 $ i $ 와 열 $ j $ 에 나타난다. $ m $ 과 $ n $ 이 같은 행렬을 정사각행렬(또는 정방행렬)이라 한다. 두 행렬의 크기가 같고, 대응하는 원소가 모두 같을 때, 두 행렬은 서로 같다고 한다.</p> <p>행렬 $ A $ 의 대각(선)원소는 행과 열의 첨자가 같은 $ a_ { 11 } , a_ { 22 } , a_ { 33 } , \cdots $ 이다. $ A $ 의 위삼각원소는 $ i<j $ 인 원소 $ a_ { i j } $ 들이며, 반면 행렬 $ A $ 의 아래삼각원소는 $ j<i $ 인 원소 $ a_ { i j } $ 들이다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } x= \frac { 12 } { 15 } \\y= \frac { 4 } { 15 } \\z=- \frac { 16 } { 15 } \end {array} \quad \left [ \begin {array} { llllr } 1 & 0 & 0 & 1 & \frac { 12 } { 15 } \\0 & 1 & 0 & 1 & \frac { 4 } { 15 } \\0 & 0 & 1 & 1 & - \frac { 16 } { 15 } \end {array} \right ] \]<p>연립방정식에 대하여 앞에서 행한 연산은 첨가행렬의 행에 대하여 행한 연산과 동등하다. 이제 이 연산들을 공식직으로 정의하자.</p> <p>정의 $ 1.2 $ 기본 행연산</p> <p>행렬 $ A $ 에 대한 기본 행연산은 다음 중 하나이다.<p>형태 I : 행렬의 $ i $ 행을 $ i $ 행에 영이 아닌 상수 $ k $ 를 곱한 결과로 바꾼다. $ \left (k R_ { i } \right ) $<p>형태 II : 행렬의 두 행 $ i $ 행과 $ j $ 행을 서로 바꾼다. $ \left (R_ { i j } \right ) $<p>형태 III : 행렬의 $ i $ 행을 $ j $ 행에 $ k $ 배하여 $ i $ 행과 더한 결과로 바꾼다. $ \left (R_ { i } + k R_ { j } \right ) $</p> <p>괄호 안의 약자는 특정한 행감소를 기술하기 위해 종종 사용된다. 기본 행연산에 의하여 한 행렬을 다른 행렬로 바꾸는 과정을 행감소(row reduction)라 한다. 이것은 선형대수학의 가장 기본직인 계산과정이다. 계수행렬이 처은 위삼각행렬이 되었을 때 행감소를 멈추고 해를 구하는 과정을 가우스 소거(Gaussian elimination)라 한다. 손으로 계산할 때는 대각선 원소를 1 로 바꾸는 것이 편하지만 계산도구를 사용하는 계산에서는 보통 대각선 원소를 1 로 바꾸지 않는다. 예제 1 에서와 같이 계수행렬이 대각행렬이 되도록 행감소가 실행되었다면 그 과정을 가우스-조르당(Gauss-Jordan) 소거라 한다. 가우스-조르당 소거의 일반직인 경우는 $ 1.3 $ 절에서 자세히 다룰 것이다.</p> <p>정의 $ 1.9 $ 행렬의 합 $ A $ 와 $ B $ 가 같은 크기의 행렬이면 합 $ A + B $ 는 $ A $ 와 $ B $ 의 대응하는 원소를 더하여 얻어지는 행렬이다. 즉, $ A $ 와 $ B $ 가 둘 다 $ m \times n $ 행렬이라면 $ C=A + B $ 는 그의 원소들이 다음을 만족하는 행렬이다.<p>\[c_ { i j } =a_ { i j } + b_ { i j } , \quad i=1,2, \cdots, m, j=1,2, \cdots, n \] $ A $ 와 $ B $ 가 같은 크기의 행렬이 아니라면 그들의 합은 정의되지 않는다.</p> <p>간단한 예제<p>\[A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -2 & 4 \\0 & -3 & -1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { lll } 2 & 4 & 6 \\0 & 1 & 3 \end {array} \right ], C= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\3 & 4 \end {array} \right ] \]에 대하여<p>\[A + B= \left [ \begin {array} { lr } 3 + 2-2 + 4 & 4 + 6 \\0 + 0-3 + 1 & -1 + 3 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 5 & 2 & 10 \\0 & -2 & 2 \end {array} \right ] \]이지만 $ A + C $ 와 $ B + C $ 는 정의되지 않는다.</p> <p>정의 $ 1.10 $ 스칼라 곱 $ A $ 가 행렬이고 $ k $ 가 실수라면 스칼라 곱 $ k A $ 는 $ A $ 의 각 원소에 $ k $ 를 곱하여 얻어진 행렬이다. $ A $ 의 덧셈 역원을 $ -A=(-1) A $ 로 정의한다. 간단한 예제 행렬<p>\[A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -2 & 4 \\0 & -3 & -1 \end {array} \right ] \]에 대하여<p>\[2 A= \left [ \begin {array} { rrr } 6 & -4 & 8 \\0 & -6 & -2 \end {array} \right ],(-1) A= \left [ \begin {array} { rrr } -3 & 2 & -4 \\0 & 3 & 1 \end {array} \right ] \]<p>$ A $ 와 $ B $ 가 같은 크기이고 정확히 같은 방법으로 분할되었다면 통상직인 행렬의 합 $ A + B $ 에 같은 분할을 직용하는 것은 당연하다. 이 경우에 $ A + B $ 의 각 블록은 $ A $ 와 $ B $의 대응하는 블록의 합이다. 분할된 혱렬의 스칼라 곱은 또한 블록별로 계산된다.</p> <p>캘 풀이 (a) $ A_ { 1 } $ 과 $ A_ { 2 } $ 를 각각 직렬회로와 분로회로의 전달행렬이라 하자. 그러면 입력 벡터 $ \mathrm { x } $ 는 우선 $ A_ { 1 } \mathrm { x } $ 로 그 다음 $ A_ { 2 } \left (A_ { 1 } \mathrm { x } \right ) $ 로 변환된다. 회로의 직렬연결은 선 형변환의 합성에 대응한다. 그리고 사닥다리 회로망의 전달행렬은 \[ A_ { 2 } A_ { 1 } = \left [ \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ -1 / R_ { 2 } & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } 1 & -R_ { 1 } \\ 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cc } 1 & -R_ { 1 } \\ -1 / R_ { 2 } & 1 + R_ { 1 } / R_ { 2 } \end {array} \right ] \] undefined (b) 행렬 $ \left [ \begin {array} { rr } 1 & -8 \\ -0.5 & 5 \end {array} \right ] $ 을 (6)에서와 같이 전달행렬의 곱으로 인수분해하려 한다. 따라서 그림 $ 1.9 $ 에서 \[ \left [ \begin {array} { cc } 1 & -R_ { 1 } \\ -1 / R_ { 2 } & 1 + R_ { 1 } / R_ { 2 } \end {array} \right ]- \left [ \begin {array} { rr } 1 & -8 \\ -0.5 & 5 \end {array} \right ] \] 을 만족하는 $ R_ { 1 } $ 과 $ R_ { 2 } $ 를 찾고 있다. 두 행렬이 같으므로 $ R_ { 1 } =8 \Omega $ 이고 $ R_ { 2 } =2 \Omega $ 이다. 이 값으로 그림 $ 1.9 $ 의 회로망은 바람직한 전달행렬이다. 회로망 전달행렬은 내부회로에 대한 언급이 회로망의 입출력 행동을 요약한다. 특정 한 성질을 갖는 회로망을 물리직으로 구축하기 위하여 공학자들은 그와 같은 회로망이 구축될(또는 현실직) 수 있는지를 결정한다. 그 다은 엔지니어는 전달행렬을 아마도 이 미 제조되었고 조립할 준비가 된 더 작은 회로에 대응하는 행혈로 인수분해하려 시도 한다. 교류의 깅우에는 전달행렬의 원소는 보통 복소수 값 함수이다. 표준문제는 가장 작은 전자부품을 사용하는 최소의 구조를 찾는 것이다.</p> <p>거리는 시간 곱하기 속력이므로 $ d=0.47(t-1.29) $ 이다. 거리공식<p>\[d= \sqrt { (x-1.11) ^ { 2 } + (y-2.55) ^ { 2 } + (z-2.14) ^ { 2 } } \]을 사용하여 $ d $ 를 $ (x, y, z) $ 와 위성위치 $ (1.11,2.55,2.14) $ 의 항으로 표현할 수 있다. 이 결과들을 결합하면 \[(x-1.11) ^ { 2 } + (y-2.55) ^ { 2 } + (z-2.14) ^ { 2 } =(0.47) ^ { 2 } (t-1.29) ^ { 2 } \]<p>이를 정리하면 \[2.22 x + 5.10 y + 4.28 z-0.57 t=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -0.22 t ^ { 2 } + 11.95 \]<p>유사하게 각각 다른 3 개의 위성에 대응하는 방정식을 유도할 수 있다. 따라서 변수가 $ x, y, z, t $ 인 다음 연립방정식이 된다..<p>\[ \begin {aligned} 2.22 x + 5.10 y + 4.28 z-0.57 t &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -0.22 t ^ { 2 } + 11.95 \\ 5.74 x + 2.86 z-0.58 t &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -0.22 t ^ { 2 } + 9.90 \\ + 2.16 y + 4.58 z-1.21 t &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -0.22 t ^ { 2 } + 4.74 \\3.08 x + 2.02 y + 2.46 z-1.79 t &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -0.22 t ^ { 2 } + 1.26 \end {aligned} \]<p>이 들은 일차방정식이 아니지만 비선형 항들은 각 방정식에서 같으므로 다른 세 방정식 각각에서 첫 방정식을 뼤면 연립방정식을 얻는다.<p>\[ \begin {aligned} 3.52 x-5.10 y-1.42 y-0.01 t &=-2.05 \\-2.22 x-2.94 y + 0.30 y-0.64 t &=-7.21 \\ 0.86 x-3.08 y-1.82 z-1.22 t &=-10.69 \end {aligned} \]<p>첨가행렬에 행감소를 실행하면<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrrr } 3.52 & -5.1 & -1.42 & -0.01 & -2.05 \\-2.22 & -2.94 & 0.30 & -0.64 & -7.21 \\ 0.86 & -3.08 & -1.82 & -1.22 & -10.69 \end {array} \right ] \rightarrow \left [ \begin {array} { llllll } 1 & 0 & 0 & 0 & 0.36 & 2.97 \\0 & 1 & 0 & 0 & 0.03 & 0.81 \\0 & 0 & 0 & 1 & 0.79 & 5.91 \end {array} \right ] \]<p>따라서<p>\[ \begin {array} { l }<p>x=2.97-0.36 t \\<p>y=0.81-0.03 t \\<p>z=5.91-0.79 t \end {array} \]<p>이들을 (1)에 대입하면<p>\[ \begin {aligned} (2.97-0.36 t-1.11) ^ { 2 } & + (0.81-0.03 t-2.55) ^ { 2 } + (5.91-0.79 t-2.14) ^ { 2 } \\ &=0.47 ^ { 2 } (t-1.29) ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>정의 $ 1.13 A= \left [a_ { i k } \right ] $ 가 $ m \times p $ 행렬이고, $ B= \left [b_ { k j } \right ] $ 가 $ p \times n $ 행렬이면 곱 $ C=A B $ 는 $ m \times n $ 행렬이다. $ C $ 의 $ (i, j) $ 성분은 $ A $ 의 $ i $ 행과 $ B $ 의 $ j $ 열을 택해서 대응하는 성분을 서로 곱하여 모두 더한 것이다. 기호로 나타내면<p>정의 1.13 $ A= \left [a_ { i k } \right ] $ 가 $ m \times p $ 행렬이고, $ B= \left [b_ { k j } \right ] $ 가 $ p \times n $ 행렬이면 곱 $ C=A B $ 는 $ m \times n $ 행렬이다. $ C $ 의 $ (i, j) $ 성분은 $ A $ 의 $ i $ 행과 $ B $ 의 $ j $ 열을 택해서 대응하는 성분을 서로 곱하여 모두 더한 것이다. 기호로 나타내면 \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 p } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 p } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { i 1 } & a_ { i 2 } & \cdots & a_ { i p } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m p } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cccccc } b_ { 11 } & b_ { 12 } & \cdots & b_ { 1 j } & \cdots & b_ { 1 n } \\ b_ { 21 } & b_ { 22 } & \cdots & b_ { 2 j } & \cdots & b_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ b_ { p 1 } & b_ { p 2 } & \cdots & b_ { p j } & \cdots & b_ { p n } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cccccc } c_ { 11 } & c_ { 12 } & \cdots & c_ { 1 j } & \cdots & c_ { 1 n } \\ c_ { 21 } & c_ { 22 } & \cdots & c_ { 2 j } & \cdots & c_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ c_ { i 1 } & c_ { i 2 } & \cdots & c_ { i j } & \cdots & c_ { i n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ c_ { m 1 } & c_ { m 2 } & \cdots & c_ { m j } & \cdots & c_ { m n } \end {array} \right ] } \\ \text { 여기서 } c_ { i j } =a_ { i 1 } b_ { 1 j } + a_ { i 2 } b_ { 2 j } + \cdots + a_ { i p } b_ { p j } = \sum_ { k=1 } ^ { p } a_ { i k } b_ { k j } \text { 이다. } \\ \end {array} \]</p> <p>이 연립방정식의 일반해는 두 개의 임의의 상수를 가지고 있다. 이 연립방정식에서 자유도는 2 이다.</p> <p>첨가행렬이나 계수행렬이 사다리꼴인 연립방정식은 예제 1 에서 본바와 같이 풀기 쉽다. 사실상 거의 사다리꼴인 다은 예제를 보자.</p> <p>예제 2 그의 첨가행렬이 아래와 같이 축약된 연립방정식을 풀어라.<p>\[ \left [ \begin {array} { rrrr } 2 & -1 & 3 & 0 \\0 & 0 & 2 & 4 \\0 & 5 & 1 & 17 \end {array} \right ] \]<p>풀이 순서가 잘못되었고 행 선행원소가 1 이 아니기 때문에 이 행렬은 행사다리꼴이아니지만 대응하는 연립방정식은 여전히 풀기 쉽다. 관련된 연립방정식은<p>\[ \begin {array} { r } 2 x_ { 1 } -x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } =0 \\2 x_ { 3 } =4 \\5 x_ { 2 } + x_ { 3 } =17 \end {array} \]이고 둘째 방정식에서 $ x_ { 3 } -2 $ 를 얻는다. 이 값을 셋째 방정식에 대입하면 $ 5 x_ { 2 } + 2-17 $ 이므로 $ x_ { 2 } -3 $ 이다. 마지막으로 이 값들을 칫째 방정식에 대입하면 $ x_ { 1 } --3 / 2 $ 를 얻는다.<p>다음 예제는 함수를 삼차스플라인(cubic-spline) 근사로 맞추는 점퓨터 그래픽 문제에서 나타나는 곡선맞추기(curve-fitting) 문제이다.</p> <p>예제 3 점 $ (1,3) $ 에서 접선의 기울기가 5 이고 점 $ (3,-7) $ 에서 접선의 기울기가 $ -1 $인 삼차다항식 $ y=a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d $ 를 구하여라.<p>풀이 점 $ (1,3) $ 과 $ (3,-7) $ 이 곡선 위에 있으므로<p>\[a + b + c + d=3 \text { 와 } \quad 27 a + 9 b + 3 c + d=-7 \]이다. 미분적분학에서 곡선 위의 섬 $ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) $ 에서 기울기는 $ x=x_ { 1 } $ 에서 미분 값인 $ y ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ) $ 이다. $ y=a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d $ 에 대한 미분은 $ y ^ {\prime } -3 a x ^ { 2 } + 2 b x + c $ 이고 점 $ (1,3) $ 에서 기울기는 $ -5 $ 이므로<p>\[3 a + 2 b + c=-5 \]<p>또한 점 $ (3,-7) $ 에서 기울기는 $ -1 $ 이므로<p>\[27 a + 6 b + c=-1 \]<p>따라서 $ a, b, c $ 와 $ d $ 는 다음 연립방정식을 만족해야 한다.<p>\[ \begin {array} { r } a + b + c + d=3 \\27 a + 9 b + 3 c + d=-7 \\3 a + 2 b + c=-5 \\27 a + 6 b + c=-1 \end {array} \]<p>첨가행렬을 쓰고 행감소를 시행하면 다음과 같다.</p> <p>정의 $ 1.1 $ 일차연립방정식</p>$ m \times n $ 일차연립방정식은 $ n $ 개의 미지수를 갖는 $ m $ 개의 일차방정식의 집합이다.이 연립방정식의 해집합은 연립방정식에서 각 방정식을 모두 만족하는 변수들에 대한 값들의 모든 $ n $-순서쌍이다.</p> <p>주어진 연립방정식에 대하여 다음 질문들을 생각하여 보자.<p>(1) 해는 존재하는가?<p>(2) 존재한다면 몇 개의 해가 있는가?<p>(3) 존재한다면 모든 해를 어떻게 구할 수 있을까?<p>변수가 2 개인 2 개의 방정식으로 시작한다. \[ \begin {array} { l } 3 x-4 y=12 \\ 3 x + 4 y=0 \end {array} \]<p>$ (4,0) $ 은 첫째 방정식의 해이지만 둘째 방정식의 해는 아니다. 반면 $ (4,-3) $ 은 둘째 방정식의 해이지만 첫째 방정식의 해가 아니다(각자확인). $ \left (2,- \frac { 3 } { 2 } \right ) $ 이 두 방정식의 해이므로 연립방정식 (1)의 해이다. 이제, 간단히 해를 구하는 방법을 살펴보자.</p> <p>두 변수의 깅우에 유용한 일차방정식의 기하직인 해석이 있다.</p> <p>방정식 $ a x + b y=c $ 는 $ x y $-평면에 있는 직선들을 나타낸다.</p> <p>일차방정식 $ a x + b y=c $ 의 해는 직선 위에 놓여있는 점들의 좌표들이다. 해집합은 직선 위에 놓여있는 모든 점들의 집합이다. 연립방정식 (1)에서 첫째 방정식의 해집합을 쉽게 구할 수 있다.<p>\[3 x-4 y=12 \text { 와 } y=-3 + \frac { 3 x } { 4 } \text { 동등 } \]이므로 $ x $ 에 대하여 임의의 실수를 택할 수 있다. $ x=t $ 하자. 그 다음 $ y=-3 + (3 / 4) t $ 을계산한다. 따라서 $ x=t $ 와 $ y=-3 + (3 / 4) t $ 는 $ t $ 의 선택에 의존하는 연립방정식의 해이다. 이 때 $ t $ 를 매개변수라고 한다. 이 방정식에 대한 해집합을 다음과 같이 기술할 수 있다.<p>\[ \left \{\left (t,-3 + \frac { 3 t } { 4 } \right ) \mid t \text { 는 실수 } \right \} \text { 또는 } \left \{\left (x,-3 + \frac { 3 x } { 4 } \right ) \mid x \text { 는 실수 } \right \} \]<p>이것은 방정식이 $ 3 x-4 y=12 $ 이고 $ x=t $ 인 직선의 매개적인 설명을 주는 것과 같다.<p>그러므로 연립방정식 (1)을 푸는 것은 두 직선의 교점을 구하는 것과 같다. 그림 $ 1.1 $을 보라.</p> <h2>1.7 역행렬</h2> <p>행렬의 역은 실수들의 역수(reciprocal)인 $ a ^ { -1 } =1 / a $ 와 유사하다. 여기서 $ a ^ { -1 } $ 은 $ a x=1 $을 만족하는 유일한 수이다. 이절에서 일반직인 정사각행렬의 역행렬에 대하여 학습할 것이다. 공식직인 정의로 시작한다.</p> <p>정의 1.20 $ n $ 차 정사각행렬 $ A $ 을 크기가 $ n \times n $ 인 행렬이라 하자.<p>\[X A=I=A X \]을 만족하는 $ n \times n $ 행렬 $ X $ 가 존재하면 $ A $ 를 가역행렬(invertible matrix) 또는 정칙행렬(nonsingular)이라 한다. 이때 $ X $ 를 $ A $ 의 역행렬이라고 하고 $ A ^ { -1 } $ 로 표기한다. 그와 같은 $ X $ 가 존재하지 않는 행렬을 득이행렬(singular matrix 또는 비정칙행렬)이라 한다.</p> <p>참고 만일 $ a $ 와 $ b $ 가 실수라면 $ a $ 와 $ b $ 의 역수의 곱은 $ a / b $ 으로 나타내거나 $ a b ^ { -1 } $ 또는 $ b ^ { -1 } a $ 로 쓴다. 그러나 행렬 $ A $ 와 $ X $ 의 역행렬 $ X ^ { -1 } $ 의 곱은 $ A / X $ 로는 결코 쓰지는 않는다. 그 이유는 행렬 곱은 교환법칙이 성립하지 않기 때문에 $ A / X $ 를 $ A X ^ { -1 } $ 또는 $ X ^ { -1 } A $ 중 어느 것으로 해석을 해야 할지 분명하지 않기 때문이다. 특히, 행렬 $ A $ 의 역행렬을 나타내는데 결코 $ 1 / A $ 나 $ 1 / A $ 로 쓰지 않고, 오직 기호 $ A ^ { -1 } $ 만을 사용한다.<p>정의 1.20은 행렬 $ A ^ { -1 } $ 가 헹렬 $ A $ 의 역행렬이라는 사실도 말하고 있다. 따라서 $ \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =A $ 가 성립한다. 정사각행렬만이 역행렬을 가질 수 있다.<p>예제 1 두 행렬 $ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] $ 와 $ B= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] $ 가 서로 역행렬임을 보여라.<p>풀이<p>\[ \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]- \mathrm { I } \]이고<p>\[ \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -1 & 1 \\0 & 1 & -1 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & \end {array} \right ]= \mathbf { I } \]이다.</p>	자연
s059-(이공계 학생을 위한) 미분적분학	<h3>(2) 곡선이 매개변수방정식으로 주어진 경우</h3> <p>곡선 $ C $ 가 $ x=f(t), y=g(t) $ (단, $ \alpha \leq t \leq \beta $ )로 주어지고, $ f^{\prime}(t), g^{\prime}(t) $ 가 닫힌구간 $ [\alpha, \beta] $ 에서 연속이면, 호의 길이함수의 미분은 \[d s=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}=\sqrt{\left\{f^{\prime}(t)\right\}^{2}+\left\{g^{\prime}(t)\right\}^{2}}\]으로 주어진다. 따라서 다음이 성립한다.</p> <p>정리 3</p> <p>매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $ (단, $ \alpha \leq t \leq \beta $ )로 주어진 곡선 $ C $에 대해서, $ f^{\prime}(t), g^{\prime}(t) $ 가 닫힌구간 $ [\alpha, \beta] $ 에서 연속이고 $ t $가 $ \alpha $에서 $ \beta $로 증가할 때 $ C $가 한번 회전하면, 곡선 $ C $ 의 길이 $ s $는 \[s=\int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>다음 매개변수방정식으로 주어진 곡선에 대해서, 호의 길이 $ s $ 를 구하시오.</p> <ul> <li>(1) $ x=\cos t, y=\sin t( $ 단, $ 0 \leq t \leq 2 \pi) $</li> <li>(2) $ x=r(\theta-\sin \theta), y=r(1-\cos \theta)( $ 단, $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi) $</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) 주어진 단위원의 길이는 $ s=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t=\int_{0}^{2 \pi} d t=2 \pi $</p> <p>(2) $ \begin{aligned} \frac{d x}{d \theta} &=r(1-\cos \theta), \frac{d y}{d \theta}=r \sin \theta \text { 이므로, 호의 길이 } s \text { 는 } \\ s &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta \\ &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}(1-\cos \theta)^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta} d \theta \\ &=r \int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2(1-\cos \theta)} d \theta \\ &=2 r \int_{0}^{2 \pi} \sin \left(\frac{\theta}{2}\right) d \theta=2 r\left[-2 \cos \left(\frac{\theta}{2}\right)\right]_{0}^{2 \pi}=8 r \end{aligned} $</p> <h3>(3) 곡선이 극방정식으로 주어진 경우</h3> <p>연속인 도함수를 갖는 극방정식 $ r=f(\theta) $ (단, $ a \leq \theta \leq b $ )로 주어진 호의 길이를 구하기 위해서는, 먼저 $ \theta $ 를 매개변수로 하여 \[x=r \cos \theta=f(\theta) \cos \theta, \quad y=r \sin \theta=f(\theta) \sin \theta\]로 변형한다. 그러면 \[\frac{d x}{d \theta}=\frac{d r}{d \theta} \cos \theta-r \sin \theta, \quad \frac{d y}{d \theta}=\frac{d r}{d \theta} \sin \theta+r \cos \theta\]이므로, $ \left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}=\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}+r^{2} $ 이 된다. 이때 $ f^{\prime}(\theta) $ 가 연속이므로, 극방정식 \[\begin{array}{l} r=f(\theta)(\text { 단, } a \leq \theta \leq b) \text { 로 주어진 호의 길이 } s \text { 는 } \\s=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d \theta}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d \theta}\right)^{2}} d \theta, \text { 즉 } s=\int_{a}^{b} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta\end{array}\]이다.</p> <p>예제</p> <p>다음 극방정식으로 주어진 곡선에 대해서, 호의 길이 $ s $ 를 구하시오.</p> <ul> <li>(1) $ r=\cos ^{2} \frac{1}{2} \theta( $ 단, $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi) $</li> <li>(2) $ r=1-\cos \theta( $ 단, $ 0 \leq \theta \leq 2 \pi) $</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) $ \frac{d r}{d \theta}=-\sin \frac{1}{2} \theta \cos \frac{1}{2} \theta $ 이므로 \[\begin{aligned} s &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\cos ^{2} \frac{1}{2} \theta} d \theta \\&=\int_{0}^{\pi} \cos \frac{1}{2} \theta d \theta+\int_{n}^{2 \pi}\left(-\cos \frac{1}{2} \theta\right) d \theta=4\end{aligned}\]</p> <p>(2)\[\begin{aligned}s &=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{r^{2}+\left(\frac{d r}{d \theta}\right)^{2}} d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{2(1-\cos \theta)} d \theta \\&=\int_{0}^{2 \pi} 2 \sin \frac{1}{2} \theta d \theta=4\left[-\cos \frac{1}{2} \theta\right]_{0}^{2 \pi}=8\end{aligned}\]</p> <h3>(3) 곡선이 극방정식으로 주어진 경우</h3> <p>극방정식 $ r=f(\mathrm{~A}) $ 가 $ a \leq \theta \leq b $ (단, $ 0<b-a \leq 2 \pi $ )에서 정의된 양의 연속함수일때, 곡선 $ r=f(\theta) $ 와 두 직선 $ \theta=a, \theta=b $ 로 둘러싸인 영역 $ R $ 의 넓이 $ A $ 를 구해보자.</p> <p>닫힌구간 $ [a, b] $ 의 분할 $ P=\left\{\theta_{0}, \theta_{1}, \cdots, \theta_{n}\right\} $ 을 $ a=\theta_{0}<\theta_{1}<\cdots<\theta_{n}=b $ 라 하면, $ \theta=\theta_{i} $ 는 $ R $ 을 $ n $ 개의 작은 영역으로 나누고, 중심각은 $ \Delta \theta_{i}=\theta_{i}-\theta_{i-1} $ 이 된다. 따라서 $ i $ 번째 부분구간 $ \left[\theta_{i-1}, \theta_{i}\right] $ 에서 $ \theta_{i}^{} $ 를 취하면, 넓이 $ \Delta A_{i} $ 는 중심각이 $ \Delta \theta_{i} $ 이고 반지름이 $ f\left(\theta_{i}^{}\right) $ 인 부채꼴의 넓이 $ \frac{1}{2}\left[f\left(\theta_{i}^{}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} $ 로 근사된다.</p> <p>따라서 $ R $ 의 전체 넓이 $ A $ 에 대한 근사값은 $ \left.\sum_{i=1}^{r} \frac{1}{2} i f\left(\theta_{l}^{}\right)\right]^{2} \Delta \theta_{i} $ 이므로, 영역 $ R $의 넓이 $ A $ 는 \[A=\lim _{\\|P\\| \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2}\left[f\left(\theta_{i}^{}\right)\right]^{\prime \prime} \Delta \theta_{i}=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}[f(\theta)]^{2} d \theta\]로 주어진다.</p> <p>정리 8</p> <p>$ f(\theta) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ ( 단, $ 0<b-a \leq 2 \pi $ )에서 주어진 양의 연속함수일 때, 곡선 $ r=f(\theta) $ 와 반직선 $ \theta=a, \theta=b $ 로 둘러싸인 닫힌영역 $ R $ 의 넓이 $ A $ 는 \[A=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}[f(\theta)]^{2} d \theta\]</p> <p>예제</p> <p>세 잎 장미형 $ r=\sin 3 \theta $ 의 한 잎의 넓이 $ A $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>한 잎은 $ \theta=0 $ 에서 $ \theta=\frac{\pi}{3} $ 로 둘러싸인 영역이다. 따라서 \[\begin{aligned} A &=\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} 3 \theta d \theta \\&=\frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(1-\cos 6 \theta) d \theta=\frac{\pi}{12}\end{aligned}\]</p> <p>일반적으로 $ R $ 을 극방정식 \[r=f(\theta), r=g(\theta)(\text { 단, } \theta=a, \theta=b, f(\theta) \geq g(\theta), 0<b-a \leq 2 \pi \text { ) }\]로 둘러싸인 영역이라 할 때, $ R $의 넓이 $ A $는 \[\begin{aligned} A &=\int_{a}^{b} \frac{1}{2}\{f(\theta)\}^{2} d \theta-\int_{a}^{b} \frac{1}{2}\{g(\theta)\}^{2} d \theta \\ &=\frac{1}{2} \int_{a}^{b}\left[\{f(\theta)\}^{2}-\{g(\theta)\}^{2}\right] d \theta\end{aligned}\]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>심장형 $ r=4+4 \cos \theta $ 의 내부와, 원 $ r=6 $ 의 외부에 공통인 부분의 넓이 $ A $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ r=4+4 \cos \theta $ 와 $ r=6 $ 의 교점은 $ \theta=\frac{\pi}{3} $ 와 $ \theta=-\frac{\pi}{3} $ 이고, 주어진 도형은 $ x $ 축에 관하여 대칭이므로 \[\begin{aligned}A &=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2}\left\{(4+4 \cos \theta)^{2}-36\right\} d \theta \\&=2(9 \sqrt{3}-2 \pi)=18 \sqrt{3}-4 \pi \end{aligned}\]</p> <h2>2. 회전체의 겉넓이</h2> <h3>(1) 곡선이 직교방정식으로 주어진 경우</h3> <p>정리 4</p> <p>회전체의 겉넓이 1</p> <p>매끄러운 곡선 $ C $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 함수 $ y=f(x) $ (단, $ f(x) \geq 0 $ )에 의해 주어질 때, $ f(x) $ 를 $ x $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 겉넓이 (회전곡면의 넓이, 곡면적) $ S $ 는 \[S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]로 주어진다.</p> <p>라이프니츠 기호로 표현하면 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 \[S=2 \pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]가 된다.</p> <p>예</p> <p>반지름이 $ r $ 인 구의 겉넓이를 구해보자. 원점을 중심으로 반지름이 $ r $ 인 원을 생각하면, $ x $ 축 윗부분의 원은 $ y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} $ (단, $ -r \leq x \leq r $ )으로 주어진다. 따라서 \[y^{\prime}=-\frac{x}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}, \quad \sqrt{1+\left(y^{\prime}\right)^{2}}=\frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\]이므로, $ x $ 축 주위로 회전해서 얻어지는 구의 겉넓이 $ S $는 \[S=\int_{-r}^{r} 2 \pi \sqrt{r^{2}-x^{2}} \frac{r}{\sqrt{r^{2}-x^{2}}} d x=4 \pi r^{2}\]</p> <p>예제</p> <p>함수 $ y=\sin x $ (단, $ 0 \leq x \leq \pi $ )로 주어진 곡선을 $ x $ 축 둘레로 회전시켰을 때 얻어지는 회전체의 겉넓이를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ y^{\prime}=\cos x $ 이므로, 치환 $ \cos x=t $ 에 의해</p> <p>$ \begin{aligned} 4 \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x &=-4 \pi \int_{1}^{0} \sqrt{1+t^{2}} d t \\ &=4 \pi\left[\frac{1}{2} t \sqrt{1+t^{2}}+\frac{1}{2} \ln \left(t+\sqrt{1+t^{2}}\right)\right]_{0}^{1} \\ &=2 \pi[\sqrt{2}+\ln (1+\sqrt{2})] \end{aligned} $</p> <p>매끄러운 곡선이 $ x=g(y) $ (단, $ c \leq x \leq d $ )로 주어지면, $ y $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 \[S=2 \pi \int_{c}^{d} x \sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}} d y\]가 된다.</p> <p>참고</p> <p>[정리 4]를 이용하여 정확한 회전곡면의 겉넓이를 구할 수 있는 함수는 별로 없다. 그러므로 수치적분법으로 회전곡면의 겉넓이를 구하는 방법을 익혀야 한다.</p> <p>예</p> <p>구간 $ 0 \leq x \leq 1 $ 에서 곡선 $ y=x^{4} $ 을 $ x $ 축으로 회전시켰을 때 생기는 회전곡면의 겉넓이는 $ S=\int_{0}^{1} 2 \pi x^{4} \sqrt{1+\left(4 x^{3}\right)^{2}} d x $ 로 주어진다. 그러나 피적분함수의 원시함수를 찾는 일이 쉽지 않으므로, 정적분의 근사계산을 사용한다. \[\begin{aligned}S &=\int_{0}^{1} 2 \pi x^{4} \sqrt{1+\left(4 x^{3}\right)^{2}} d x \\&=\int_{0}^{1} 2 \pi x^{4} \sqrt{1+16 x^{6}} d x \approx 3.4365 \end{aligned}\]</p> <h3>(2) 곡선이 매개변수방정식으로 주어진 경우</h3> <p>정리 5</p> <p>회전체의 겉넓이 2</p> <p>곡선이 매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $ (단, $ \alpha \leq t \leq \beta $ )로 주어지고, $ f^{\prime}(t) $ 와 $ g^{\prime}(t) $ 가 연속일 때</p> <p>(1) 이 곡선을 $ x $ 축 주위로 회전하여 얻어지는 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 $ S=\int_{\alpha}^{\beta} 2 \pi\|g(t)\| \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t $</p> <p>(2) 이 곡선을 $ y $ 축 주위로 회전하여 얻어지는 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 \[S=\int_{\alpha}^{\beta} 2 \pi\|f(t)\| \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]</p> <p>예</p> <p>반지름이 $ r $ 인 구의 겉넓이를 구해보자. 구는 반원 \[x=r \cos t, y=r \sin t \text { (단, } 0 \leq t \leq \pi \text { ) }\]를 $ x $ 축 둘레로 회전시킴으로써 얻어지므로, 구의 겉넓이 $ S $ 는 \[\begin{aligned}S &=\int_{u}^{\pi} 2 \pi r \sin t \sqrt{(-r \sin t)^{2}+(r \cos t)^{2}} d t \\&=2 \pi r^{2} \int_{0}^{\pi} \sin t d t=4 \pi r^{2}\end{aligned}\]</p> <p>참고</p> <p>곡선이 매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $ (단, $ \alpha \leq t \leq \beta $ )로 주어지고 $ f^{\prime}(t) $ 와 $ g^{\prime}(t) $ 가 연속이라고 하자. 이때 이 곡선을 직선 $ x=c $ 주위로 회전하여 얻어지는 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 \[S=\int_{\alpha}^{\beta} 2 \pi ! g(t)-c ! \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]이고, 이 곡선을 직선 $ y=d $ 주위로 회전하여 얻어지는 회전체의 겉넓이 $ S $ 는 \[ S=\int_{\alpha}^{\beta} 2 \pi\|f(t)-d\| \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]이다.</p> <h1>6.1 호의 길이와 두 곡선 사이의 넓이</h1> <h2>1. 호의 길이</h2> <h3>(1) 곡선이 직교방정식으로 주어진 경우</h3> <p>호의 길이를 구하는 기본적인 개념은 곡선을 잘게 쪼갠 다음, 인접한 두 점을 잇는 선분들의 길이의 합에 대한 극한으로서 정의한다. 즉 호의 길이는 다각선분 (polygonal line)의 길이를 근삿값으로 구한 후, 극한을 취함으로써 얻어진다.</p> <p>정리 1</p> <p>호의 길이</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속인 도함수를 가질 때, $ y=f(x) $ (단, $ a \leq x \leq b) $ 로 주어진 호의 길이 $ s $ 는\[s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}} d x\]로 주어진다.</p> <p>라이프니츠 기호로 표현하면 호의 길이 $ s $는\[s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x\]가 된다. 연속인 도함수를 갖는 함수 $ f(x) $ 에 의해 주어진 곡선 $ C $ 를 매끄러운 곡선(smooth curve) 또는 원활한 곡선이라고 한다.</p> <p>예제</p> <p>다음 곡선에 대해서, 호의 길이 $ s $ 를 구하시오.</p> <ul> <li>(1) $ y=2 x^{3 / 2} $ (단, $ 0 \leq x \leq 1 $ )</li> <li>(2) $ 4 x^{3}=9 y^{2}( $ 단, $ 0 \leq x \leq 1) $</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) $ \frac{d y}{d x}=3 x^{1 / 2} $ 이므로 \[s=\int_{0}^{1} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x=\int_{0}^{1} \sqrt{1+9 x} d x\]이다. 이때 $ u=1+9 x $ 라 놓으면, $ d u=9 d x $ 이므로 \[s=\int_{1}^{10} \frac{1}{9} \sqrt{u} d u=\left[\frac{z}{3} \cdot \frac{1}{9} u^{\varepsilon / 2}\right]_{1}^{10}=\frac{2}{27}(10 \sqrt{10}-1)\]</p> <p>(2) $ 4 x^{3}=9 y^{2} $ 의 도함수를 구하면, $ \frac{d y}{d x}=\sqrt{x} $ 이므로 \[s=\int_{0}^{1} \sqrt{1+(\sqrt{x})^{2}} d x=\int_{0}^{1} \sqrt{1+x} d x\]이다. 이때 $ u=\sqrt{1+x} $ 라 놓으면, $ 2 u d u=d x $ 이므로 \[\begin{aligned}s &=\int_{1}^{\sqrt{2}} u(2 u d u)=2 \int_{1}^{\sqrt{ } 2} u^{2} d u \\ &=2\left[\frac{1}{3} u^{3}\right]_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{4 \sqrt{2}-1}{3}\end{aligned}\] 함수 $ x=g(y) $ (단, $ c \leq y \leq d $ )로 주어진 매끄러운 곡선의 길이 $ s $ 는 \[s=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left[g^{\prime}(y)\right]^{2}} d y=\int_{c}^{d} \sqrt{1+\left(\frac{d x}{d y}\right)^{2}} d y\]로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>호의 길이를 구할 때, 근호 때문에 계산이 어렵거나 불가능할 경우는 계산기나 컴퓨터를 사용하여 수치적분 (정적분의 근사계산)을 취한다.</p> <p>예</p> <p>구간 $ 0 \leq x \leq \pi $ 에서 곡선 $ y=\sin x $ 의 길이는 $ s=\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x $ 로 주어진다. 그러나 피적분함수의 원시함수를 찾는 일이 쉽지 않으므로, 수치적분법을 사용하면 \[ s=\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos ^{2} x} d x \approx 3.8202\]를 구할 수 있다.</p> <p>정의 2</p> <p>호의 길이함수</p> <p>함수 $ y=f(x) $ (단, $ a \leq x \leq b $ )로 주어진 매끄러운 곡선 $ C $에 대해서 $ s(x) $를 $ P(a, f(a)) $ 에서 출발하여 $ Q(x, f(x)) $ 까지 $ C $ 를 따라 움직인 거리라고 할 때, $ s(x) $ 를 호의 길이함수 (arc length function)라고 한다. 이때 \[s(x)=\int_{a}^{x} \sqrt{1+\left[f^{\prime}(t)\right]^{2}} d t\]로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>피적분함수가 연속이므로 \[\frac{d s}{d x}=\sqrt{1+\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}}\]을 얻는다. 따라서 호의 길이함수의 미분은 \[d s=\sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x=\sqrt{(d x)^{2}+(d y)^{2}}\]이 된다.</p> <h1>6.2 입체의 부피와 겉넓이</h1> <h2>1. 입체의 부피</h2> <p>입체의 부피를 구할 때는 절단면을 이용하거나 원판법을 이용한다.</p> <h3>(1) 곡선이 직교방정식으로 주어진 경우</h3> <p>① 절단면을 이용하여 부피 구하기</p> <p>정리 1</p> <p>절단면을 이용하여 부피 구하기</p> <p>$ S $ 가 평면 $ P_{a} $ 와 $ P_{b} $ 사이에 놓인 입체일 때, 평면 $ P_{x} $ 에 놓인 $ S $ 의 절단면의 넓이 $ A(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속함수이면, 입체도형 $ S $ 의 부피 $ V $는 \[V=\int_{a}^{b} A(x) d x\]로 주어진다. 여기서 $ P_{x} $ 는 $ x $ 축에 수직이며, 닫힌구간 $ [a, b] $ 에 있는 임의의 $ x $ 를 지나는 평면을 의미한다.</p> <p>예</p> <p>절단면을 이용하여, 반지름이 $ r $ 인 구의 부피를 구해보자. 구의 중심이 원점이 되게 택하면, 평면 $ P_{x} $ 에 의해 절단된 구의 절단면은 반지름이 $ y $ 인 원판이 되고, $ y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} $ 이다. 따라서 절단면의 넓이가 $ A(x)=\pi y^{2}=\pi\left(r^{2}-x^{2}\right) $ 이므로, 반지름이 $ r $ 인 구의 부피 $ V $는 \[\begin{aligned}V &=\int_{-r}^{r} A(x) d x=\int_{-r}^{r} \pi\left(r^{2}-x^{2}\right) d x \\&=2 \pi \int_{u}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right) d x=\frac{4}{3} \pi r^{3}\end{aligned}\]으로 주어진다.</p> <p>$ y $ 축의 구간 $ [c, d] $ 의 임의의 점 $ y $ 에서 $ y $ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $ A(y) $ 인 입체의 부피는 $ \int_{c}^{d} A(y) d y $가 된다.</p> <p>② 원판법으로 부피 구하기</p> <p>구는 원의 지름을 회전축으로 회전하여 얻을 수 있기 때문에 회전체의 한 예가 된다. 회전체의 부피는 먼저 절단면의 넓이를 구한 후, 정적분을 이용하면 쉽게 구할 수 있다.</p> <p>정리 2</p> <p>원판법으로 부피 구하기</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속일 때, 곡선 $ y=f(x) $ 와 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 둘레로 회전하여 만든 회전체 (solid of revolution) $ S $ 의 부피 $ V $ 는 \[V=\int_{a}^{b} \pi\{f(x)\}^{2} d x\]로 주어진다.</p> <p>증명</p> <p>점 $ x $ 를 지나면서 $ x $ 축에 수직인 절단면은 반지름이 $ \|y\|=\|f(x)\| $ 인 원판(disk)이므로, 절단면의 넓이는 $ A(x)=\pi y^{2}=\pi\{f(x)\}^{2} $ 이 된다. 따라서 $ S $의 부피 $ V $는 \[V=\int_{a}^{b} A(x) d x=\int_{a}^{b} \pi\{f(x)\}^{2} d x\]로 주어진다. 모든 회전체의 단면은 원형판이 되므로, 이러한 방법을 원판법 (method of disks)이라고 한다.</p> <p>에제</p> <p>다음 물음에 답하시오.</p> <ul> <li>(1) 원판법을 이용하여, 반지름이 $ r $ 인 구의 부피를 구하시오</li> <li>(2) 닫힌구간 $ [0,1] $ 에서 $ f(x)=5 x $ 와 $ g(x)=x^{2} $ 으로 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) 반지름이 $ r $ 인 구는 닫힌구간 $ [-r, r] $ 과 $ y=\sqrt{r^{2}-x^{2}} $ 으로 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체이므로, 반지름이 $ r $인 구의 부피 $ V $는 \[\begin{aligned}V &=\pi \int_{-r}^{r} y^{2} d x=\pi \int_{-r}^{r}\left(r^{2}-x^{2}\right) d x \\&=\pi\left[r^{2} x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{-,}^{r}=\frac{4}{3} \pi r^{3}\end{aligned}\]</p> <p>(2) 회전체의 부피 $ V $ 는 \[\begin{aligned}V &=\pi \int_{0}^{1}\left(25 x^{2}-x^{4}\right) d x=\left[\pi\left(\frac{25}{3} x^{3}-\frac{1}{5} x^{5}\right)\right]_{0}^{1} \\&=\pi\left(\frac{25}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{122}{15} \pi\end{aligned}\]</p> <p>함수 $ x=y(y) $ 가 닫힌구간 $ [c, d] $ 에서 연속일 때, 곡선 $ x=g(y) $ 와 $ y $ 축, 그리고 두 직선 $ y=c, y=d $ 로 둘러싸인 영역을 $ y $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피는 \[\int_{c}^{d} \pi[g(y)]^{2} d y \]가 된다.</p> <p>예제</p> <p>다음 물음에 답하시오.</p> <ul> <li>(1) 직선 $ 2 x+y=2 $ 와 좌표축으로 둘러싸인 영역을 $ y $ 축 둘레로 회전하여 생기는 원뿔의 부피를 구하시오.</li> <li>(2) $ x=0 $ 와 $ x=\sqrt{3} $ 사이에서 곡선 $ y=4-x^{2} $ 으로 둘러싸인 영역을 $ y $ 축 에 관하여 회전할 때 생기는 회전체의 부피를 구하시오.</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) 원뿔의 부피 $ V $ 는 \[V=\pi \int_{0}^{2}\left(\frac{2-y}{2}\right)^{2} d y=\frac{2 \pi}{3}\]</p> <p>(2) 회전체의 절단면은 반지름이 $ x $ 에 의해 주어진 함수 $ x=\sqrt{4-y} $ 로 주어지고 $ y=1 $ 과 $ y=4 $ 사이에 위치하므로, 회전체의 부피 $ V $ 는 \[V=\pi \int_{1}^{4}(\sqrt{4-y})^{2} d y=\pi\left[4 y-\frac{y^{2}}{2}\right]_{1}^{4}=\frac{9 \pi}{2}\]</p> <p>정리 3</p> <p>두 함수 $ f(x), g(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속일 때, 두 곡선 $ y=f(x) $, $ y=g(x) $ (단, $ f(x) \geq g(x)) $ 와 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피 $ V $ 는 \[\left.V=\pi \int_{a}^{b}\left[\{f(x)\}^{2}-\therefore g(x)\right\}^{2}\right] d x\]로 주어진다.</p> <h3>(2) 곡선이 매개변수방정식으로 주어진 경우</h3> <p>매개변수방정식 $ x=f(t), y=g(t) $ (단, $ \alpha \leq t \leq \beta $ )로 주어진 곡선에 대해서, $ f^{\prime}(t), g(t) $ 가 연속이고 $ a=f(\alpha), b=g(\beta) $ 라고 하자. 이때 주어진 곡선과 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역을 $ x $ 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체의 부피 $ V $ 는 \[V=\pi \int_{\alpha}^{\beta}[g(t)]^{2} f^{\prime}(t) d t\]로 주어진다.</p> <h2>2. 두 곡선 사이의 넓이</h2> <p>이탈리아의 수학자 카발리에리(Cavalieri)는 넓이는 “폭이 없는 선의 모임”이고, 부피는 “두께가 없는 면의 모임"이라고 생각하였다.</p> <h3>(1) 곡선이 직교방정식으로 주어진 경우</h3> <p>정리 4</p> <p>곡선과 $ x $ 축 사이의 넓이</p> <p>함수 $ f(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 $ f(x) \geq 0 $ 일 때, 곡선 $ y=f(x) $ 와 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=a, x=b $로 둘러싸인 영역 $ S $ 의 넓이 $ A $는 \[A=\int_{a}^{b} f(x) d x\]로 주어진다.</p> <p>특히 $ f(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 내에서 부호를 바꾸는 경우, 예를 들면 닫힌구간 $ [a, c] $ 에서 $ f(x) \geq 0 $, 닫힌구간 $ [c, b] $ 에서 $ f(x) \leq 0 $ 인 경우는 \[A=\int_{a}^{c} f(x) d x-\int_{c}^{b} f(x) d x\]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>곡선 $ y=x^{2}-2 x $ 와 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=0, x=4 $ 로 둘러싸인 영역의 넓이 $ A $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>닫힌구간 $ [0,2] $ 에서 $ y \leq 0 $ 이고 $ [2,4] $ 에서 $ y \geq 0 $ 이므로, 구하는 넓이는 \[ \begin{aligned}A &=-\int_{0}^{2}\left(x^{2}-2 x\right) d x+\int_{2}^{4}\left(x^{2}-2 x\right) d x \\ &=\frac{4}{3}+\left(\frac{56}{3}-12\right)=8\end{aligned}\]</p> <p>일반적으로 함수 $ f(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속일 때, 곡선 $ y=f(x) $ 과 $ x $ 축, 그리고 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역의 넓이는 \[\int_{a}^{b}\|f(x)\| d x\]로 주어진다.</p> <p>정리 5</p> <p>두 곡선 사이의 넓이</p> <p>두 함수 $ f(x) $ 와 $ g(x) $ 가 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속이고 \[f(x) \geq g(x) \text { (단, } a \leq x \leq b \text { ) }\]일 때, 두 곡선 $ y=f(x), y=g(x) $ 와 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역의 넓이 $ A $ 는 \[A=\int_{x}^{b}\{f(x)-g(x)\} d x\]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>다음 주어진 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.</p> <ul> <li>(1) $ y=x^{2}, y=2-x^{2}, x=0, x=2 $</li> <li>(2) $ y=\sin x, y=\cos x, x=0, x=\frac{\pi}{2} $</li></ul> <p>풀이</p> <p>(1) 교점은 $ (1,1) $ 이다. 이때 닫힌구간 $ [0,1] $ 에서는 $ 2-x^{2} \geq x^{2} $ 이고, 닫힌구간 $ [1,2] $ 에서는 $ x^{2} \geq 2-x^{2} $ 이므로 구하는 넓이는 $ A $ 는 \[\begin{aligned}A &=\int_{0}^{1}\left[\left(2-x^{2}\right)-x^{2}\right] d x+\int_{1}^{2}\left[x^{2}-\left(2-x^{2}\right)\right] d x \\&=\int_{0}^{1}\left(2-2 x^{2}\right) d x+\int_{1}^{2}\left(2 x^{2}-2\right) d x=4\end{aligned}\]</p> <p>(2) 곡선은 교점 $ \left(\frac{\pi}{4}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $ 을 갖고, $ 0 \leq x \leq \frac{\pi}{4} $ 일 때 $ \cos x \geq \sin x $이고 $ \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{2} $ 일 때 $ \cos x \leq \sin x $ 이다. 따라서 구하는 넓이 $ A $는 \[\begin{aligned}A &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\|\cos x-\sin x\| d x \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}(\cos x-\sin x) d x+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin x-\cos x) d x \\&=2 \sqrt{2}-2\end{aligned}\]</p> <p>일반적으로 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 연속함수 $ y=f(x), y=g(x) $ 로 주어진 두 곡선과 두 직선 $ x=a, x=b $ 로 둘러싸인 영역의 넓이는 \[A=\int_{a}^{b}\|f(x)-g(x)\| d x\]로 주어진다.</p> <p>정리 6</p> <p>곡선과 $ y $ 축 사이의 넓이</p> <p>함수 $ g(y) $ 가 닫힌구간 $ [c, d] $ 에서 연속일 때, 곡선 $ x=g(y) $ 와 $ y $ 축, 그리고 두 직선 $ y=c, y=d $ 로 둘러싸인 영역의 넓이 $ A $는 \[A=\int_{c}^{d}\|g(y)\| d y\]로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>곡선 $ y=\ln x $ 와 $ y $ 축, 그리고 두 직선 $ y=0 $ 과 $ y=2 $ 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>$ y=\ln x $ 는 $ x=e^{y} $ 이고, $ e^{y}>0 $ 이므로, 구하는 넓이 $ A $는 \[A=\int_{0}^{2} e^{y} d y=\left[e^{y}\right]_{0}^{2}=e^{2}-1\]</p> <p>닫힌구간 $ [c, d] $ 에서 연속인 두 곡선 $ x=\varphi(y), x=\psi(y) $ (단, $ \varphi(y) \geq \psi(y) $ )와 직선 $ y=c, y=d $로 둘러싸인 영역의 넓이는 \[\int_{c}^{d}\{\varphi(y)-\psi(y)\} d y\]가 된다.</p> <p>예제</p> <p>두 곡선 $ x=y^{2} $ 과 $ x=2-y^{2} $ 으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>두 곡선은 교점 $ (1,-1),(1,1) $ 을 갖고 $ -1 \leq y \leq 1 $ 일 때 $ y^{2} \leq 2-y^{2} $이므로, 구하는 넓이 $ A $는 \[\begin{aligned}A &=\int_{-1}^{1}\left[\left(2-y^{2}\right)-y^{2}\right] d y=\int_{-1}^{1}\left(2-2 y^{2}\right) d y \\&=\left[2 y-\frac{2}{3} y^{3}\right]_{-1}^{1}=\frac{8}{3}\end{aligned}\]</p> <h3>(2) 곡선이 매개변수방정식으로 주어진 경우</h3> <p>매개변수방정식으로 표현된 넓이의 계산은 이미 알고 있는 적분의 확장에 불과하다. 닫힌구간 $ [a, b] $ 에서 정의된 연속함수 $ y=F(x) $에 대해서 $ F(x) \geq 0 $ 기면 $ a $에서 $ b $까지의 곡선 $ y=F(x) $ 아래에 있는 부분의 넓이는 \[A=\int_{a}^{b} F(x) d x=\int_{a}^{b} y d x\]가 된다 이때 곡선 $ y=F(x) $ 가 매개변수방정식 \[x=f(t), y=g(t)(\text { 단, } \alpha \leq t \leq \beta)\]로 주어지고, $ \alpha \leq t \leq \beta $ 에 대해 한 번 그려진다면 넓이는 정적분에 대한 치환법을 이용하여 \[A=\int_{a}^{b} y d x=\int_{u}^{\beta} y(t) x^{\prime}(t) d t\]로 변형시킬 수 있다.</p> <p>정리 7</p> <p>곡선 $ y=F(x) $ 가 매개변수방정식 \[x=f(t), y=g(t)(\text { 단, } \alpha \leq t \leq \beta)\]<caption>()</caption>로 주어지면 ( 단, $ t $ 가 $ \alpha $ 에서 $ \beta $ 로 증가하는 동안 (*)는 시계방향으로 정확하게 한 번 그려지는 곡선을 나타내며, 곡선은 시점과 종점이 같고 그 자신과 교차하는 점이 없다고 한다), 곡선으로 둘러싸인 넓이 $ A $는 \[A=\int_{\alpha}^{\beta} g(t) f^{\prime}(t) d t=-\int_{\alpha}^{\beta} f(t) g^{\prime}(t) d t\]로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>곡선이 시계반대방향으로 그려지면, 곡선으로 둘러싸인 넓이는 \[A=-\int_{\alpha}^{\beta} g(t) f^{\prime}(t) d t=\int_{\alpha}^{\beta} f(t) g^{\prime}(t) d t\]로 주어진다.</p> <p>다음 예에서 타원의 넓이를 구할 때 매개변수방정식을 이용하는 것이 직교방정식을 이용하는 것보다 횔씬 쉬움을 알 수 있다.</p> <p>예</p> <p>타원 $ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $ 로 둘러싸인 부분의 넓이 $ A $ 를 구해보자. 이때 타원은 매개변수방정식 \[x=a \cos t, y=b \sin t(\text { 단, } 0 \leq t \leq 2 \pi)\]로 표현된다. 이 타원은 $ 0 \leq t \leq 2 \pi $ 에서 반시계방향으로 한 번 그려지므로 \[\begin{aligned}A &=-\int_{0}^{2 \pi} y(t) x^{\prime}(t) d t=-\int_{0}^{2 \pi}(b \sin t)(-a \sin t) d t \\&=a b \int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} t d t=a b \pi\end{aligned}\]가 된다. 이때 적분은 반각공식 $ \sin ^{2} t=\frac{1-\cos 2 t}{2} $ 를 이용하여 계산한다.</p> <p>예제</p> <p>스크램블러의 경로 $ x=2 \cos t+\sin 2 t, y=2 \sin t+\cos 2 t $ 로 둘러싸인 넓이 $ A $ 를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>곡선은 $ 0 \leq t \leq 2 \pi $ 에서 반시계방향으로 한 번 그려진다. 그러므로 \[\begin{aligned} A &=\int_{0}^{2 \pi} x(t) y^{\prime}(t) d t=\int_{0}^{2 \pi}(2 \cos t+\sin 2 t)(2 \cos t-2 \sin 2 t) d t \\ &=\int_{0}^{2 \pi}\left(4 \operatorname{os}^{2} t-2 \cos t \sin 2 t-2 \sin ^{2} 2 t\right) d t=2 \pi \end{aligned}\]</p>	자연

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