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기초미적분학_복소수	<h1>복소수</h1> <ol type= start=1><li>복소수의 정의를 설명할 수 있다.</li> <li>복소수의 사칙연산을 할 수 있다.</li> <li>복소수의 극형식과 오일러의 정리를 설명할 수 있다.</li></ol> <p>12-1 복소수의 정의</p> <ul> <li>제곱해서 \( -1 \) 이 되는 수, 즉 \( \sqrt{-1} \) 을 \( i \) 로 표시하고 허수단위라 부른다.</li> <li>\( i^{2}=-1, \quad i^{3}=i^{2} \times i=-i, i^{4}=i^{2} \times i^{2}=1 \)</li> <li>\( \sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i \quad(a \geq 0) \)</li></ul> <p>연습 12-1 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( (2 i)^{2} \)</li> <li>\( (-i)^{2} \)</li> <li>\( (\sqrt{3} i)^{2} \)</li> <li>\( \sqrt{-9} \)</li></ol> <p>12-2 복소수</p></ol> <ul> <li>실수 \( a, b \) 에 대해서 \( z=a+b i \) 형태의 수를 복소수라 하고, \( a \) 를 \( z \) 의 실수부 \( (\operatorname{Re} z), b \) 를 \( z \) 의 허수부 \( (\operatorname{Im} z) \) 라 한다.</li> <li>복소수 \( z=a+b i \) 의 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 \( a-b i \) 를 \( z \) 의 켤레복소수라 하고 \( \bar{z} \) 로 쓴다.</li> <li>\( z=a+b i \) 이면 \( z \bar{z}=a^{2}+b^{2} \)</li></ul> <p>연습 12-2 다음 복소수의 실수부와 허수부를 구분하고 켤레복소수를 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 6+8 i \)</li> <li>\( -2 i \)</li> <li>\( -\sqrt{3} i+\sqrt{2} \)</li></ol> <p>12-3 복소수의 절댓값(크기)</p> <ul> <li>\( \|a+b i\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \)</li> <li>\( z \) 와 \( w \) 가 복소수일 때, \( \|z w\|=\|z\|\|w\|,\left\|\frac{z}{w}\right\|=\frac{\|z\|}{\|w\|} \)</li> <li>\( \|z\|^{2}=z \bar{z} \)</li></ul> <p>연습 12-3 다음 복소수의 절댓값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 6+8 i \)</li> <li>\( -2 i \)</li> <li>\( -\sqrt{3} i+\sqrt{2} \)</li></ol> <p>12-4 복소수의 상등, 사칙연산</p> <p>복소수 \( z=a+b i, w=c+d i \) 에 대해</p> <ol type= start=1><li>\( a+b i=c+d i \Leftrightarrow a=c, b=d \)</li> <li>\( z \pm w=(a \pm c)+(b \pm d) i \)</li> <li>\( z w=(a c-b d)+(a d+b c) i \)</li> <li>\( \frac{z}{w}=\frac{z \bar{w}}{w \bar{w}}=\frac{z \bar{w}}{\|w\|^{2}}=\frac{(a c+b d)+(-a d+b c) i}{c^{2}+d^{2}} \)</li></ol> <p>연습 12-4 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( (-2+3 i)+(3-2 i) \)</li> <li>\( (-2+3 i)-(3-2 i) \)</li> <li>\( (2-i)(2+2 i) \)</li> <li>\( \frac{1+i}{2-i} \)</li></ol> <p>12-5 복소평면</p> <ul> <li>복소수 \( z=a+b i \) 를 평면상의 점 \( (a, b) \) 에 대응하여 생각하는 평면을 복소평면이라 한다. 이때, \( x \) 축을 실수축, \( y \) 축을 허수축이라 부른다.</li> <li>복소평면에서 복소수 \( z=a+b i \) 와 원점과의 거리는 \( \|z\| \), 즉 복소수의 절댓값(크기)이다.</li></ul> <p>연습 12-5 복소평면 위에 다음 복소수에 대응하는 점을 표시하고 원점과의 거리를 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( -2+3 i \)</li> <li>\( -1-2 i \)</li></ol> <p>12-6 복소수의 극형식</p> <ul> <li>복소평면에서 원점과 \( z \) 가 이루는 각 \( \theta \) 를 \( z \) 의 편각이라 하고 \( \arg (z) \) 로 나타낸다.</li> <li>\( z=a+b i, \theta=\arg (z) \) 라 하면 \( \cos \theta=\frac{a}{\|z\|}, \sin \theta=\frac{b}{\|z\|}, \tan \theta=\frac{b}{a} \)</li> <li>\( z=a+b i \) 에서 \( r=\|z\|, \theta=\arg (z) \) 라 할 때, \( (r, \theta) \) 를 \( z \) 의 극좌표라 하고 \( z=r(\cos \theta+i \sin \theta) \) 를 \( z \) 의 극형식이라 한다. \( z=a+b i \) 는 \( z \) 의 직교좌표형식이라 한다.</li> <li>공학용 계산기에서 \( r(\cos \theta+i \sin \theta) \) 는 \( r \angle \theta \) 로 입력한다.</li></ul> <p>연습 12-6</p> <ol type= start=1><li>복소수 \( 1+\sqrt{3} i \) 의 절댓값과 편각을 구하고 극형식으로 나나태어라.</li> <li>절댓값이 \(4\) 이고 편각이 \( 60^{\circ} \) 인 복소수를 직교좌표형식으로 나타내어라.</li></ol> <p>12-7 복소수의 곱셈과 나눗셈</p> <p>복소수의 곱셈과 나눗셈에서 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \|z w\|=\|z\|\|w\|, \quad \arg (z w)=\arg (z)+\arg (w) \)</li> <li>\( \left\|\frac{z}{w}\right\|=\frac{\|z\|}{\|w\|}, \arg \left(\frac{z}{w}\right)=\arg (z)-\arg (w) \)</li></ol> <p>\( z=r_{1}\left(\cos \theta_{1}+i \sin \theta_{1}\right), w=r_{2}\left(\cos \theta_{2}+i \sin \theta_{2}\right) \) 에서</p> <ol type= start=1><li>\( z w=r_{1} r_{2}\left(\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)\right) \)</li> <li>\( \frac{z}{w}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\left(\cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+i \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)\right) \)</li></ol> <p>연습 12-7 다음을 극형식으로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>\( 2\left(\cos 60^{\circ}+i \sin 60^{\circ}\right) \times 3\left(\cos (-30)^{\circ}+i \sin (-30)^{\circ}\right) \)</li> <li>\( 2\left(\cos 60^{\circ}+i \sin 60^{\circ}\right) \div 3\left(\cos (-30)^{\circ}+i \sin (-30)^{\circ}\right) \)</li></ol> <p>12-8 오일러의 정리</p> <ul> <li>(오일러의 정리 \( ) e^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta,\left\|e^{i \theta}\right\|=1 \)</li> <li>\( r e^{i \theta}=r(\cos \theta+i \sin \theta) \)</li> <li>\( \left(r_{1} e^{i \theta_{1}}\right)\left(r_{2} e^{i \theta_{2}}\right)=r_{1} r_{2} e^{i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}, \frac{r_{1} e^{i \theta_{1}}}{r_{2} e^{i \theta_{2}}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)} \)</li></ul> <p>연습 12-8 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 4 e^{i 45^{\circ}} \times 2 e^{i 15^{\circ}} \)</li> <li>\( 4 e^{i 45^{\circ}} \div 2 e^{i 15^{\circ}} \)</li></ol> <p>12-9 드 무아브르의 정리</p> <ul> <li>(드 무아브르의 정리) \( (\cos \theta+i \sin \theta)^{n}=\cos n \theta+i \sin n \theta \)</li> <li>\( (r(\cos \theta+i \sin \theta))^{n}=r^{n}(\cos n \theta+i \sin n \theta) \)</li></ul> <p>연습 12-9 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)^{3} \)</li> <li>\( \left(2\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \sin \frac{\pi}{12}\right)\right)^{6} \)</li></ol>	자연
m794-미적분과 해석기하학	<p>예제 3</p> <p>\(g(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 4 } } { x \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \) \[ \] 으로 주어진 이변수함수 \(g \)가 연속이 되는 점을 모두 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>이변수함수 \( g(x, y) \)는 \( x \neq 0 \)인 모든 점 \( (x, y) \)에서 유리함수이므로 연속이다. 한편 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } g(x, y)=0=g(0,0) \] 이므로, \( g(x, y) \)는 \( (0,0) \)에서 연속이다. 따라서 이변수함수 \( g(x, y) \)는 \( x \neq 0 \)인 모든 점 \( (x, y) \)와 원점 \( (0,0) \)에서 연속이 된다.</p> <p>함수의 합성으로 새로운 연속함수를 얻을 수 있다.</p> <h3>(2) 삼변수 이상의 함수일 경우</h3> <p>정의 6 삼변수함수의 극한</p> <p>중심이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)인 구(sphere)에서 정의된 삼변수함수를 \( w=f(x, y, z) \)라 하자. 만일 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여, 적당한 \( \delta>0 \)가 존재해서 \[0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \] 을 만족하는 모든 \( (x, y, z) \)에 대하여 \( \|f(x, y, z)-L\|< \varepsilon \)이 성립할 때, 삼변수함수 \( w=f(x, y, z) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서 극한값 \( L \)을 갖는다고 하고 \[ \lim _ { (x, y, z) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } f(x, y, z)=L \] 로 나타낸다.</p> <h1>7.2 다변수함수의 편미분과 전미분</h1> <h2>1. 편도함수</h2> <p>일변수함수의 도함수와 마찬가지로 편도함수도 변화율로 해석된다.</p> <h3>(1) 일계편도함수</h3> <p>① 이변수함수일 경우</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)에서 \( y \)를 \( y=y_ { 0 } \)로 고정하면, \( f(x, y) \)는 단지 \( x \)만의 함수 \( g(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) \)가 된다.</p> <p>이때 \( g(x) \)가 \( x_ { 0 } \)에서 미분계수 \( g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \)를 가지면 그것을 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( x \)에 관한 \( f(x, y) \)의 편미분계수 (partial differential coefficient)라 하고, \( f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 또는 \( \frac {\partial f } {\partial x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)로 표시한다. 따라서 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta x } \] 가 된다. 마찬가지로 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( y \)에 관한 \( f(x, y) \)의 편미분계수 \( f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 는 \[f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ {\Delta y \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta y } \] 로 정의한다. 특히 임의의 점 \( (x, y) \)에서 구한 \( f_ { x } (x, y) \) (또는 \( f_ { y } (x, y) \) )를 \( x \) (또는 \( y \) )에 관한 \( f(x, y) \)의 편도함수 (partial derivative)라고 한다.</p> <p>\[d z=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial x } d y \]</p> <p>참고</p> <p>이변수 \( x, y \)의 함수 \( f, g \)가 미분가능할 때<ol type= start=1><li>\( d(f \pm g)=d f \pm d g \)</li> <li>\( d(f g)=g d f + f d g \)</li> <li>\( d \left ( \frac { g } { f } \right )= \frac { f d g-g d f } { f ^ { 2 } } ( \) 단, \( f \neq 0) \)</li></ol>가 성립한다. 이것은 삼변수 이상의 함수에 대해서도 성립한다.</p> <h3>(2) 삼변수 이상의 함수일 경우</h3> <p>삼변수함수 \( w=f(x, y, z) \)의 증분은 \[ \Delta w=f(x + \Delta x, y + \Delta y, z + \Delta z)-f(x, y, z) \] 이고, 전미분 \( d w \)는 \[d w= \frac {\partial w } {\partial x } d x + \frac {\partial w } {\partial y } d y + \frac {\partial w } {\partial z } d z \] 로 주어진다. 만약 \( d x= \Delta x, d y= \Delta y, d z= \Delta z \)가 모두 작고 \( f(x, y, z) \)가 연속인 편도 함수를 가지면, \( d w \)는 \( \Delta w \)의 근삿값으로 사용된다. 또한 미분가능은 정의 5와 비슷한 표현으로 정의된다.</p> <p>\( n \)변수 함수 \( w=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)의 전미분은 \[d z=f_ { x_ { 1 } } d x_ { 1 } + f_ { x_ { 2 } } d x_ { 2 } + \cdots + f_ { x_ { n } } d x_ { n } = \frac {\partial z } {\partial x_ { 1 } } d x_ { 1 } + \frac {\partial z } {\partial x_ { 2 } } d x_ { 2 } + \cdots + \frac {\partial z } {\partial x_ { n } } d x_ { n } \] 으로 정의한다.</p> <p>이제 임계점에서 극값의 존재 여부를 결정하는 판정법을 생각해보자. 다음 결과는 일변수함수에 대한 이계도함수 판정법의 확장으로 볼 수 있다.</p> <p>정리 5 이계편도함수 판정법</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 어떤 열린원판에서 연속인 이계편도함수를 가지고 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \] 을 만족한다고 하자. 이때 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 판별식 \( D \)를 \[D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \left [f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] ^ { 2 } -f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \] 라 할 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( D<0, f_ { x x } >0 \)이면, \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극솟값을 가진다.</li> <li>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( D<0, f_ { x x }<0 \)이면, \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극댓값을 가진다.</li> <li>\( D>0 \)이면, \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 안장점을 가진다. 이때 \( f(x, y) \)의 그래프는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 그 접평면과 교차한다.</li> <li>\( D=0 \)이면, 이 판정법을 사용할 수 없다. 이때 \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극값을 갖든지, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 안장점을 갖는다.</li></ol> <p>예 2</p> <p>일변수함수에서의 극한의 성질은 이변수함수로 확장된다.</p> <p>정리 3 이변수함수의 극한정리</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L, \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=M \)이고 \( c \)가 임의의 상수일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } (c f)(x, y)=c L \)</li> <li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } (f \pm g)(x, y)=L \pm M \)</li> <li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } (f g)(x, y)=L M \)</li> <li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } \left ( \frac { f } { g } \right )(x, y)= \frac { L } { M } ( \) 단, \( M \neq 0) \)</li></ol> <p>참고</p> <p>다항식의 극한은 값을 직접 대입하여 구한다. 예를 들면 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \left (2 x ^ { 2 } y + 3 x y \right )=14, \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \left (5 x y ^ { 2 } + 3 y \right )=13 \neq 0 \] 이므로 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \frac { 2 x ^ { 2 } y + 3 x y } { 5 x y ^ { 2 } + 3 y } = \frac { 14 } { 13 } \] 가 된다.</p> <p>일변수함수에서 \( x \)가 \( x_ { 0 } \)에 접근할 때, 두 개의 가능한 접근 방향이 있었다. 만약 \( \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } ^ { - } } f(x) \neq \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } ^ { + } } f(x) \)이면, \( \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } f(x) \)는 존재하지 않는다.</p> <p>조임정리를 일반화하여 극한에 대한 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 4</p> <p>\( z=f(x, y) \)가 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)의 근방(단, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 는 제외 가능)의 모든 점 \( (x, y) \)에 대하여 \( \|f(x, y)-L\| \leq g(x, y) \)를 만족할 때, 다음이 성립한다. \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=0 \text { 이면, } \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \]</p> <p>증명</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=0 \)으로부터, 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여 \( \delta>0 \)가 존재해서 \[0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \] 일 때는 언제나 \( \|g(x, y)-0\|< \varepsilon \), 즉 \( \|g(x, y)\|< \varepsilon \) 을 만족한다. 따라서 \[\|f(x, y)-L\| \leq g(x, y)< \varepsilon \] 가 된다. 그러므로 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \)이 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>정리 4를 이용하여 극한을 구하는 방법은 다음과 같다. 먼저 몇 개의 경로를 따라서 극한 \( L \)을 예측한다. 다음으로 \( \|f(x, y)-L\| \leq g(x, y) \)를 만족하는 간단한 \( g(x, y) \)를 찾는다. 마지막으로 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } y_ { 0 } \right ) } g(x, y)=0 \)임을 확인한다.</p> <p>예제 2</p> <p>\(f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)일 때, \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)이 성립한다.</p> <h3>(2) 삼변수 이상의 함수</h3> <p>삼변수의 실함수 \( f(x, y, z) \)는 정의역 \( D \subset R ^ { 3 } \) 내의 각 점 \( (x, y, z) \)에 \( f(x, y, z) \)로 표기된 실수를 대응시키는 규칙이다. 화살표 표시법에 의해 \( f(x, y, z) \)를 가시화할 수 있지만, 그래프로 가시화하는 것은 불가능하다. 그러나 \( f(x, y, z)=k \)에 의해서 만들어진 등위곡면(level surface)을 조사해 봄으로써, 그 구조를 살펴볼 수 있다.</p> <p>\( n \)변수 함수 \( f: D \rightarrow R \)은 \( R ^ { n } \)의 부분집합 \( D \) 내의 순서쌍 \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)에 유일한 실수값 \( z=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)을 대응시키는 규칙이다.</p> <h2>2. 다변수함수의 극한과 연속</h2> <h3>(1) 이변수함수일 경우</h3> <p>\( R ^ { 2 } \)에서, 반지름이 \( r \)이고 중심이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)인 열린원판(open disk)은 \[ \left \{ (x, y) \mid \left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 }<r ^ { 2 } \right \} \] 으로 주어진 \( R ^ { 2 } \)의 부분집합이고, 반지름이 \( r \)이고 중심이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)인 닫힌원판(closed disk)은 \[ \left \{ (x, y) \mid \left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \leq r ^ { 2 } \right \} \] 으로 주어진 \( R ^ { 2 } \)의 부분집합이다.</p> <p>\( R ^ { 2 } \)내의 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)의 근방(neighborhood)은 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 중심으로 하는 열린원판을 포함하는 임의의 집합이다. \( \Omega \subset R ^ { 2 } \)일 때, 임의의 점 \( (x, y) \in \Omega \)에 대하여, \( (x, y) \)를 중심으로 하는 하나의 열린원판 \( D \)가 \( \Omega \)에 포함될 때, \( \Omega \)를 열린집합(open set)이라고 한다.</p> <p>예 1</p> <p>이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \)에 대하여 \[f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } , \quad f_ { y } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \] 이므로, \( f_ { x } (2,1)=16, f_ { y } (2,1)=8 \)로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>일변수함수에서는 미분가능하면 연속이지만, 이변수함수의 경우에는 편도함수 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)가 존재할 때 연속이 되지 않을 수도 있다.</p> <p>예 2<p> <p>\( f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \) \[ \] 으로 정의된 이변수함수는 \( f_ { x } (0,0)=0=f_ { y } (0,0) \)이지만, \( (0,0) \)에서 연속이 아니다.</p> <p>편도함수의 기하학적 해석을 위하여 이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 곡면 \( S \)를 나타내고, 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)는 \( S \) 위에 놓인다고 하자. 이때 \( C_ { 1 } \)이 \( y=y_ { 0 } \)에서 \( S \)의 자취이고 \( C_ { 2 } \)가 \( x= \) \( x_ { 0 } \)에서 \( S \)의 자취이면, 편미분계수 \( f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)와 \( f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 기하학적으로 \( x=x_ { 0 } \)와 \( y=y_ { 0 } \)에서 \( S \)의 \( C_ { 1 } \)과 \( C_ { 2 } \) 자취에 대한 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서의 접선의 기울기로 각각 해석할 수 있다.</p> <p>\[ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } , \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \]</p> <p>연쇄법칙을 세 변수 또는 그 이상 변수의 함수로 쉽게 확장할 수 있다.</p> <h3>(2) 음함수 미분법</h3> <p>연쇄법칙은 음함수를 미분할 때 이용된다. 먼저 미분가능한 일변수함수 \( y=f(x) \)에 대한 음함수 표시가 \( F(x, y)=0 \)이라 하자. \( f \)의 정의역에 있는 모든 \( x \)에 대하여 \( F \)가 미분가능하면, 연쇄법칙을 적용하여 \[ \frac {\partial F } {\partial x } \frac { d x } { d x } + \frac {\partial F } {\partial y } \frac { d y } { d x } =0 \] 을 얻는다. 따라서 \( \frac {\partial F } {\partial y } \neq 0 \)이면 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\partial F / \partial x } {\partial F / \partial y } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } \] 가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>[음함수 정리] \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 열린원판에서 정의된 이변수함수 \( F(x, y) \)가 \[F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \neq 0 \] 을 만족하고, 일계편도함수 \( F_ { x } (x, y) \)와 \( F_ { y } (x, y) \)가 열린원판에서 연속이면, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 \( F(x, y)=0 \)은 \( x \)의 함수로써 \( y \), 즉 \( y=f(x) \)를 정의한다. 여기서 \( f(x) \)는 미분가능한 함수이다. 이 정리는 고등미적분학 과정에서 증명된다.</p> <p>이변수함수 \( f(x, y) \)가 \( (x, y) \)에서 미분가능하면, \( f \)는 \( (x, y) \)에서 연속이 된다. 그러나 연속이 미분가능함을 의미하지는 않는다. 한편 일계편도함수 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)의 존재가 이변수함수 \( f(x, y) \)의 미분가능성을 보장하지 않는다.</p> <p>정리 6</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 한 점 \( (a, b) \)에서 미분가능하면, \( f(x, y) \)는 \( (a, b) \)에서 연속이다.</p> <p>예 6</p> <p>이변수함수 \( f(x, y)=\|x\| + y \)는 \( (0,0) \)에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 한편 이변수함수 \[f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \] 은 \( (0,0) \)에서 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)가 존재하지만, \( (0,0) \)에서 연속은 아니다.</p> <p>참고</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 일계편도함수가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 존재하고 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속이면, \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 미분가능하다.</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 정의역에 있는 점 \( (x, y) \)에서 미분가능하면 \[f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \approx f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y \] 가 된다. 이때 \( f(x, y) \)의 전미분 \( d z \) \[d z=f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y \] 로 주어진다. 한편 \( z=f(x, y)=x \)인 경우 \( z_ { x } =1, z_ { y } =0 \)가 되어 \( d x= \Delta x \)가 성립하고, 또한 \( z=f(x, y)=y \)인 경우 \( d y= \Delta y \)가 성립한다. 따라서 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 전미분은 다음으로 정의된다.</p> <p>예 5</p> <p>\( \lim _ { (x, y, z) \rightarrow(0,0,0) } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -z ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \)은 존재하지 않는다. 왜냐하면 경로 \( x=y=0(z \)축 \( ) \)을 따라서 \( (x, y, z) \rightarrow(0,0,0) \)이면 \[ \lim _ { (x, y, z) \rightarrow(0,0,0) } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -z ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } = \lim _ { z \rightarrow 0 } \left (- \frac { z ^ { 2 } } { z ^ { 2 } } \right )=-1 \] 이고, 경로 \( x=z=0(y \)축 \( ) \)을 따라서 \( (x, y, z) \rightarrow(0,0,0) \)이면 \[ \lim _ { (x, y, z) \rightarrow(0,0,0) } \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -z ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } = \lim _ { y \rightarrow 0 } \frac { y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } =1 \] 이 되기 때문이다. 즉 서로 다른 경로를 따라서 \( (0,0,0) \)에 접근함에 따라 서로 다른 값에 접근하기 때문에 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>정의 7 삼변수함수의 연속</p> <p>중심이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 구에서 정의된 삼변수함수를 \( w=f(x, y, z) \)라 하자. 만일 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여, 적당한 \( \delta>0 \)가 존재해서 \[0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \] 을 만족하는 모든 \( (x, y, z) \)에 대하여 \[ \left \|f(x, y, z)-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \] 이 성립할 때, 즉 \[ \lim _ { (x, y, z) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) } f(x, y, z)=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \] 를 만족하면, 함수 \( w=f(x, y, z) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서 연속이라 한다.</p> <p>그러나 이변수함수에서는 결코 단순하지 않다. 왜나하면 \( (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)라는 개념은 평면 위의 모든 방향에서 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)로 수렴하는 것을 의미하기 때문이다. 따라서 극한이 존재한다면, \( (x, y) \)를 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에 접근시키는 경로에는 상관없이 \( f(x, y) \)는 모두 같은 극한을 가져야 한다.</p> <p>예 3</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,0) } \frac { y } { x + y-1 } \)는 존재하지 않는다. 왜냐하면 직선 \( x=1 \)을 따라서 \( (x, y) \rightarrow(1,0) \) 이면 \[ \lim _ { (1, y) \rightarrow(1,0) } \frac { y } { 1 + y-1 } =1 \] 이고, 직선 \( y=0 \)을 따라서 \( (x, y) \rightarrow(1,0) \)이면 \[ \lim _ { (x, 0) \rightarrow(1,0) } \frac { 0 } { x + 0-1 } =0 \] 이 되기 때문이다. 즉 이 함수는 서로 다른 경로를 따라서 \( (1,0) \)에 접근함에 따라 서로 다른 값에 접근하기 때문에 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>일반적으로 이변수함수의 극한을 구할 때는, \( \mathcal { E } ^ { - } \delta \)논법에 의존하지 않고 극좌표 변환을 이용한다.</p> <p>참고</p> <p>\( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \)로 변환하면 \( (x, y) \rightarrow(0,0) \)과 \( r \rightarrow 0 ^ { + } \)은 동치이므로 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \lim _ { r \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta } { r ^ { 2 } } = \lim _ { r \rightarrow 0 ^ { + } } \cos ^ { 2 } \theta r \sin \theta=0 \] 을 얻는다. 따라서 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)이 된다.</p> <p>정리 4</p> <p>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 직사각형 영역 \( R \)에서 정의된 이변수함수 \( z=f(x, y) \)에 대하여, 일계편도함수 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)가 직사각형 영역 \( R \)에서 존재하고, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속이라고 하자. 그러면 \( \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \in R \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ &=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \] 가 성립한다. 여기서 \( \varepsilon_ { 1 } \)과 \( \varepsilon_ { 2 } \)는 \( \Delta x \)와 \( \Delta y \)의 함수이고, \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \)일 때 모두 0에 수렴한다.</p> <p>예 4</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y)=x ^ { 2 } -5 x y \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \\ &=(2 x-5 y) \Delta x + (-5 x) \Delta y + ( \Delta x) \Delta x + (-5 \Delta x) \Delta y \\ &=f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \] 가 성립한다. 여기서 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \)일 때 \( \varepsilon_ { 1 } = \Delta x \)와 \( \varepsilon_ { 2 } =-5 \Delta x \)는 모두 0에 수렴한다.</p> <p>정리 13</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 미분가능할 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( f \)의 최대변화율은 \( \left \\| \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \\| \)이고, 이것은 기울기의 방향이 \( \mathbf { u } = \frac {\nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\left \\| \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \\| } \)일 때 나타난다.</li> <li>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( f \)의 최소변화율은 \( - \left \\| \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \\| \)이고, 이것은 기울기의 반대방향 \( \mathbf { u } =- \frac {\nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\left \\| \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right \\| } \)에서 나타난다.</li></ol> <p>한편, 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에 수직방향으로의 \( f \)의 변화율은 0이다. 그리고 \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 등위곡선 \( f(x, y)=c \)와 수직이다. 여기서 \( c=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)이다.</p> <p>예 7</p> <p>점 \( (1,3) \)에서 이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \)의 최대변화율과 최소변화율을 구해보자. 먼저 기울기벡터 \( \nabla f(x, y)=(2 x, 2 y) \)로부터 \( \nabla f(1,3)=(2,6) \)을 얻는다. 따라서 점 \( (1,3) \)에서 \( f \)의 최대변화율은 \( \\| \nabla f(1,3) \\|= \sqrt { 40 } \)이고, 방향 \[ \mathbf { u } = \frac {\nabla f(1,3) } {\\| \nabla f(1,3) \\| } = \frac { 1 } {\sqrt { 40 } } (2,6) \] 에서 나타난다. 마찬가지로 점 \( (1,3) \)에서 \( f \)의 최소변화율은 \( - \\| \nabla f(1,3) \\|= \) \( - \sqrt { 40 } \)이고, 방향 \[ \mathbf { u } =- \frac {\nabla f(1,3) } {\\| \nabla f(1,3) \\| } =- \frac { 1 } {\sqrt { 40 } } (2,6) \] 에서 나타난다.</p> <p>② 증분과 전미분</p> <p>\( x \)와 \( y \)의 증분을 각각 \( \Delta x \)와 \( \Delta y \)라고 할 때, 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 증분은 \[ \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \] 이고, 전미분(total differential) 또는 미분 \( d z \)는 \[d z=f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y= \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial x } \Delta y \] 로 정의된다. 특히 \( z=f(x, y)=x \)인 경우 \( z_ { x } =1, z_ { y } =0 \)이 되어 \( d x= \Delta x \)가 성립하고, 또한 \( z=f(x, y)=y \)인 경우 \( d y= \Delta y \)가 성립한다. 따라서 \[d z=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial x } d y \] 로 쓸 수 있다. 만약 \( d x=x-x_ { 0 } , d y=y-y_ { 0 } \) 를 취하면, \( z \)의 전미분은 \[d z=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \] 가 된다. 한편 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)가 연속이면, 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 곡면 \( z=f(x, y) \)에 대한 접평면의 식은 \[z-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \] 로 주어짐을 알 수 있다. 따라서 \( d z \)는 접평면의 높이의 변화를 의미하고, \( \Delta z \)는 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \)까지 \( (x, y) \)가 변할 때 곡면 \( z=f(x, y) \)의 변화를 의미한다.</p> <p>극값은 임계점에서만 생기므로 극값을 구하기 위해서는 먼저 임계점을 찾아야 한다. 그 다음 임계점을 분석해서 극값 여부를 판정한다.</p> <p>예 1</p> <p>이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -2 x-6 y + 5 \)에 대하여 \[f_ { x } (x, y)=2 x-2, f_ { y } (x, y)=2 y-6 \] 이므로, 임계점은 \( (1,3) \)으로 주어진다. 이제 \[f(x, y)=(x-1) ^ { 2 } + (y-3) ^ { 2 } -5 \] 로 변형하면 \( (x-1) ^ { 2 } \geq 0 \)이고 \( (y-3) ^ { 2 } \geq 0 \)이므로, \( x \)와 \( y \)의 모든 값에 대해 \( f(x, y) \geq-5 \)가 성립한다. 따라서 \( f(1,3)=-5 \)가 \( f(x, y) \)의 극솟값이다. 이때 \( -5 \)가 \( f(x, y) \)의 최솟값이 된다.</p> <p>정의 4 안장점</p> <p>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)가 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 임계점일 때, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 중심으로 하는 모든 열린원판이 \( f(x, y)<f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)인 점 \( (x, y) \)와 \( f(x, y)>f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)인 점 \( (x, y) \)를 모두 포함하면 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)를 \( z=f(x, y) \)의 안장점(saddle point)이라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>임계점에서 이변수함수가 반드시 극값을 갖는 것이 아니다. 쌍곡포물면 \( f(x, y)= \) \( y ^ { 2 } -x ^ { 2 } \)은 원점에서 수평의 접평면을 가지지만, \( f(0,0)=0 \)은 \( x \)축 방향에서는 최대이고 \( y \)축 방향에서는 최소가 된다. 따라서 \( f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } \)은 \( (0,0) \)에서 안장점을 가진다. 이때 원점 근방에서 말안장 모양을 하고 있음에 유의한다.</p> <p>정리 9</p> <p>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 열린원판에서 정의된 이변수함수 \( F(x, y) \)에 대하여, \( F(x, y)=0 \)이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 \( x \)의 함수로써 \( y \)를 정의할 때, \( F(x, y)=0 \)의 도함수는 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\partial F / \partial x } {\partial F / \partial y } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } \] 로 주어진다</p> <p>예제 3</p> <p>\( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -x y=0 \)일 때, \( \frac { d y } { d x } \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( F(x, y)=x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -x y=0 \)이라 두고 \( \frac { d y } { d x } \)를 구하면 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } =- \frac { 3 x ^ { 2 } -y } { 3 y ^ { 2 } -x } \left ( \text { 단, } 3 y ^ { 2 } -x \neq 0 \right ) \]</p> <p>정리 10</p> <p>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 구 안에서 정의된 삼변수함수 \( w=F(x, y, z) \)가 \[F \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )=0, F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \neq 0 \] 을 만족하고, \( F_ { x } (x, y, z), F_ { y } (x, y, z), F_ { z } (x, y, z) \)가 구 안의 모든 점에서 연속이면, 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 근방에서 \( F(x, y, z)=0 \)은 \( x \) 와 \( y \)의 함수로써 \( z \)를 정의한다. 이때 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { z } } , \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { F_ { y } } { F_ { z } } \] 로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>\( z=f(x, y) \)의 정의역의 모든 점 \( (x, y) \)에서 \[f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \quad \left ( \text { 또는 } f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \] 가 성립할 때 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 최댓값 (또는 최솟값)을 갖는다고 한다.</p> <p>정의 2 임계점</p> <p>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)가 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 정의역 내에 있고 \[f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \] 이거나, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 편도함수 \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \) 둘 중 적어도 한 개가 존재하지 않을 때, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 \( f(x, y) \)의 임계점이라고 한다.</p> <p>만일 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)가 극값 (극대 또는 극소)이면, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 \( f(x, y) \)의 임계점이다. 그러나 극값은 임계점에서만 생기지만, 모든 임계점에서 극값을 갖는 것은 아니다.</p> <p>정리 3</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극값을 가지면, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 \( f(x, y) \)의 임계점이다.</p> <p>참고</p> <p>정리 3의 기하학적인 해석은 극값을 갖는 점에서 곡면 \( f(x, y) \)가 접평면을 가지면 그 접평면은 수평이 된다는 것이다.</p> <h1>7.1 다변수함수의 극한과 연속</h1> <h2>1. 다변수함수</h2> <h3>(1) 이변수함수</h3> <p>① 함수의 그래프</p> <p>정의 1 이변수함수와 그래프</p> <p>\( D \subset R ^ { 2 } \)에 대하여 각 \( (x, y) \in D \)에 유일한 실수 \( f(x, y) \)가 대응될 때, \( f(x, y) \)를 이 변수의 실함수라 하고, \( f: D \rightarrow R \)로 표기한다. 이때 \( D \)를 \( f(x, y) \)의 정의역, \( \{ f(x, y) \mid(x, y) \in D \} \)를 \( f(x, y) \)의 치역이라 한다. \( f(x, y) \)가 정의역을 \( D \)로 갖는 이변수함수일 때, \( f(x, y) \)의 그래프는 집합 \[ \] \( S = \left \{ (x, y, z) \in R ^ { 3 } \mid z=f(x, y),(x, y) \in D \right \} \) \[ \] 로 정의한다.</p> <p>일반적으로 \( (x, y) \)에서 \( f(x, y) \)에 의해 취해지는 값을 \( z=f(x, y) \)로 표기한다. 이변수함수를 표시할 때는 화살표 표시법 (arrow diagram), 그래프, 등위곡선(level curve)을 이용한다. 일변수함수 \( f(x) \)의 그래프가 \( y=f(x) \)인 곡선 \( C \)인 것처럼, 이변수함수 \( f(x, y) \)의 그래프는 \( z=f(x, y) \)인 곡면 \( S \)가 된다.</p> <p>예 1</p> <p>\( \ln y \)는 \( y>0 \)에서만 정의되므로, 이변수함수 \( f(x, y)=x \ln y \)의 정의역은 \[ \] \( D= \{ (x, y) \mid y>0 \} \) \[ \] 즉 \( x \) 축 위 부분의 반평면이다.</p> <p>이변수 이상의 함수의 그래프를 그리는 것은 그리 간단한 일이 아니다. 그러나 이변수함수의 그래프는 컴퓨터 프로그램에 의해서 가능하다.</p> <p>예 2</p> <p>이변수함수 \( h(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \)의 그래프는 회전포물면 \( z=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \)이 된다. 이때 평면 \( z=k>0 \)과의 교선은 원이고, \( x=k \) 또는 \( y=k \)와의 교선은 포물선이 된다.</p> <p>② 등위곡선</p> <p>\( z=f(x, y) \)와 평면 \( z=k \) (단, \( k \) 는 상수)가 만나는 점 \( (x, y) \)를 \( x y \) 평면에 나타낸 곡선을 이변수함수 \( f(x, y) \)의 등위곡선이라 한다. 이것은 지도를 제작할 때, 흔히 사용하는 방법이다.</p> <p>따름정리</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 미분가능하고 \( \mathbf { u } \)가 단위벡터이면, 방향도함수 \( D_ {\mathbf { u } } f(x, y) \)는 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y)= \nabla f(x, y) \cdot \mathbf { u } \] 로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>\( x \)와 \( y \)에 관한 \( f \)의 편도함수는 방향도함수의 특별한 경우이다. 왜냐하면 \( R ^ { 2 } \)에서의 표준기저벡터 \( \mathbf { i } \)와 \( \mathbf { j } \)에 대하여, \( \nabla f \cdot \mathbf { i } =f_ { x } \)이므로 \( D_ {\mathrm { u } } f=f_ { x } \)가 되고, \( \nabla f \cdot \mathbf { j } =f_ { y } \)이므로 \( D_ {\mathrm { u } } f=f_ { y } \)로 주어지기 때문이다.</p> <p>벡터 \( \mathbf { u } \)의 방향으로 방향도함수 \( D_ {\mathbf { u } } f \)는 다양한 값을 갖는다. 만약 \[f_ { x } =0, f_ { y } =0 \] 이면, \( \nabla f=0 \)이고 \( D_ {\mathrm { u } } f=0 \)이 된다. 편도함수가 모두는 0이 아니라고 하면, \( \nabla f \neq 0 \) 이고 \[D_ {\mathbf { u } } f= \nabla f \cdot \mathbf { u } = \\| \nabla f \\| \cos \theta \text { (단, } \theta \text { 는 } \mathbf { u } \text { 와 } \nabla f \text { 의 사이각) } \] 가 된다. 이 경우에<ol type=1 start=1><li>\( \theta=0 \)일 때, 즉 \( \nabla f \)와 \( \mathbf { u } \)가 같은 방향을 가질 때 \( D_ {\mathrm { u } } f \)는 최댓값 \( \\| \nabla f \\| \)를 갖는다.</li> <li>\( \theta= \pi \)일 때, 즉 \( \nabla f \)와 \( \mathbf { u } \)가 반대 방향을 가질 때 \( D_ {\mathrm { u } } f \)는 최솟값 \( - \\| \nabla f \\| \)를 갖는다.</li></ol>는 사실로부터 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 11로부터 다음 정리를 얻는다.</p> <p>따름정리</p> <p>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 열린원판 \( D \)에서 연속인 일계편도함수를 갖는 이변수함수 \( f(x, y) \)에 대하여, \( \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) \)가 \( D \)의 점이면 \[f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ) \] 를 만족하는 \( \theta \) (단, \( 0< \theta<1 \) )가 존재한다.</p> <h2>5. 방향도함수와 기울기벡터</h2> <p>정의 12 방향도함수</p> <p>어떤 단위벡터 \( \mathbf { u } =(a, b) \) 방향으로 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 방향도함수(directional derivative)는, 극한이 존재할 때 다음으로 정의한다.</p> <p>\[ D_ {\mathbf { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \]</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 \( R ^ { 2 } \) 내의 점 \( (x, y) \)에서 미분가능하면, 어떤 단위벡터 \( \mathbf { u } =(a, b) \)의 방향으로 방향도함수 \( D_ {\mathrm { u } } f(x, y) \)를 갖고 \[D_ {\mathbf { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \] 가 된다.</p> <p>예제 4</p> <p>\( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } + x y z=1 \)일 때, \( \frac {\partial z } {\partial x } \)와 \( \frac {\partial z } {\partial y } \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( F(x, y, z)=x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } + x y z-1 \)로 놓고, 정리 10을 적용하면 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { z } } =- \frac { 3 x ^ { 2 } + y z } { 3 z ^ { 2 } + x y } \] \[ \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { F_ { y } } { F_ { z } } =- \frac { 3 y ^ { 2 } + x z } { 3 z ^ { 2 } + x y } \] 가 된다. 여기서 \( 3 z ^ { 2 } + x y \neq 0 \)이다.</p> <h2>4. 이변수함수의 평균값정리</h2> <p>미분가능한 일변수함수 \( f(x) \)에 대한 평균값정리는 이변수함수로 확장할 수 있다.</p> <p>정리 11 평균값정리</p> <p>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 열린원판 \( D \)에서 연속인 일계편도함수를 갖는 이변수함수 \( z= \) \( f(x, y) \)에 대하여, \( \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) \)가 \( D \)의 점이면 \[f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x ^ { * } , y ^ { * } \right ) \] 를 만족하는 점 \( \left (x ^ { * } , y ^ { * } \right ) \)가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)와 \( \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right ) \)를 잇는 선분 위에 존재한다.</p> <p>정의 1 일계편도함수</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)에 대하여, \( x \)에 관한 \( f(x, y) \)의 편도함수는 \[f_ { x } = \frac {\partial f } {\partial x } = \frac {\partial z } {\partial x } =z_ { x } = \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { f(x + \Delta x, y)-f(x, y) } {\Delta x } \] 로 정의되고, \( y \)에 관한 \( f(x, y) \)의 편도함수는 \[f_ { y } = \frac {\partial f } {\partial y } = \frac {\partial z } {\partial y } =z_ { y } = \lim _ {\Delta y \rightarrow 0 } \frac { f(x, y + \Delta y)-f(x, y) } {\Delta y } \] 로 정의된다. 이때 \( \frac {\partial } {\partial x } \)와 \( \frac {\partial } {\partial y } \)를 편미분작용소라고 하고, \( \frac {\partial f } {\partial x } \)와 \( \frac {\partial f } {\partial y } \)는 극한이 존재하는 \( f(x, y) \)의 정의역 내의 모든 점 \( (x, y) \)에서 정의된다. \( f_ { x } (x, y) \)와 \( f_ { y } (x, y) \)를 구하는 것을 '편미분한다(differentiate partially)'고 한다.</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 편도함수를 \[f_ { x } = \frac {\partial f } {\partial x } = \frac {\partial z } {\partial x } =z_ { x } =D_ { x } f, \quad f_ { y } = \frac {\partial f } {\partial y } = \frac {\partial z } {\partial y } =z_ { y } =D_ { y } f \] 로 표기한다. 이변수함수 \( z=f(x, y) \)에서 편도함수 \( f_ { x } (x, y) \)를 구할 때는 \( y \)를 상수로 보고 \( x \)에 관하여 미분하고, 편도함수 \( f_ { y } (x, y) \)를 구하기 위해서는 \( y \)를 상수로 보고 \( x \)에 관하여 미분하면 된다.</p> <p>예제 5</p> <p>단위벡터 \( \mathbf { u } \)와 양의 \( x \) 축과 이루는 각이 \( \theta= \pi / 6 \)일 때, \( (2,1) \)에서 이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } y-4 y ^ { 3 } \)의 방향도함수를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f_ { x } (x, y)=2 x y, f_ { y } (x, y)=x ^ { 2 } -12 y ^ { 2 } \)이고, \( \mathbf { u } = \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) \)이 주어진 단위벡터이므로 \[ \begin {aligned} D_ {\mathrm { u } } f(2,1) &=f_ { x } (2,1) \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) + f_ { y } (2,1) \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) \\&=4 \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right )-8 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right )=2 \sqrt { 3 } -4 \approx-0.5 \end {aligned} \] 이다. 이 값은 함수가 단위벡터 \( \mathrm { u } \) 방향으로 감소하고 있음을 나타낸다.</p> <p>참고</p> <p>같은 방법으로 삼변수함수에 대하여 방향도함수를 정의할 수 있다. 즉 \( D_ {\mathrm { u } } f(x, y, z) \)는 " \( R ^ { 3 } \) 내의 단위벡터 \( \mathrm { u } \)의 방향으로 함수의 변화율"로 해석할 수 있다.</p> <p>어떤 단위벡터 \( \mathbf { u } =(a, b) \)의 방향으로 방향도함수 \( D_ {\mathbf { u } } f(x, y) \)는 두 벡터의 내적 \[D_ {\mathrm { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b= \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \cdot \mathbf { u } \] 로 변형된다. 이때 벡터 \( \left (f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \)를 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 기울기벡터, 간단히 기울기 (gradiant)라 하고 \( \operatorname { grad } f \) 또는 \( \nabla f \)로 표기하며, 'del \( f \) '로 읽는다.</p> <h2>3. 합성함수의 편미분법</h2> <h3>(1) 연쇄법칙</h3> <p>정리 7 연쇄법칙 1</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 열린원판 \( D \)의 모든 점에서 미분가능하고, 열린구간 \( I \)의 모든 \( t \)에서 미분가능한 일변수함수 \[x=g(t), y=h(t) \] 에 의해 주어진 점 ( \( g(t), h(t) \))가 \( D \)에 있다고 가정하자. 그러면 합성함수 \( z= \) \( f(g(t), h(t)) \)는 \( I \)의 모든 \( t \)에 대해서 미분가능하고, 다음이 성립한다.</p> <p>\[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d y } { d t } \]</p> <p>정리 7은 이변수함수 \( z=f(x, y) \)에서 \( x \)와 \( y \)가 두 독립변수 \( r \)과 \( s \)의 이변수함수 \( x=g(r, s), y=h(r, s) \)인 경우로 쉽게 확장할 수 있다. 먼저 \( s \)를 고정시키면, 두 이변수 함수 \( x=g(r, s), y=h(r, s) \)는 \( r \)만의 함수가 된다. 따라서 연쇄법칙 1을 적용하면 \[ \frac {\partial z } {\partial r } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } \] 가 된다. 마찬가지로 \( \frac {\partial z } {\partial s } \)를 같은 방법으로 구한다. 따라서 다음과 같은 일반적인 연쇄법칙을 얻는다.</p> <p>정리 8 연쇄법칙 2</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 열린원판 \( D \)의 모든 점에서 미분가능하고, 열린원판 \( D ^ { * } \)의 모든 \( (r, s) \)에서 일계편도함수를 가지는 이변수함수 \[x=g(r, s), y=h(r, s) \] 에 의해 주어진 점 ( \( g(r, s), h(r, s) \))가 \( D \)에 있다고 가정하자. 그러면 합성함수 \( z=f(x(r, s), y(r, s)) \)는 \( D ^ { * } \)의 모든 \( r \)과 \( s \)에 관한 일계편도함수를 가지고, 다음이 성립한다.</p> <p>또한 이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 영역 \( D \subset R ^ { 2 } \)의 모든 점에서 미분가능하면, 이변수 함수 \( f(x, y) \)는 \( D \) 위에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>전미분 \( d z \)가 증분 \( \Delta z \)에 대한 근삿값이면, 이변수함수 \( z=f(x, y) \)는 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 미분가능하다고 한다. 다시 말해 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( z=f(x, y) \)는 접평면의 방정식 \[z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \] 는 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 함수 \( f(x, y) \)에 대한 근삿값이 된다. 따라서 \( (x, y) \)가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에 접근할 때, \( z=f(x, y) \)에 대한 근삿값으로 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서의 접평면을 사용한다.</p> <p>참고</p> <p>\( f_ { x } \)와 \( f_ { y } \)가 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 존재하고 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속이면, 이변수함수 \( z=f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 미분가능하다. 한편 모든 미분가능한 함수는 연속이다.</p> <p>예 5</p> <p>다항식과 유리함수는 그들의 정의역 안에서 미분가능하다. 왜나하면 그들의 편도 함수가 연속이기 때문이다.</p> <p>또한 이변수함수 \( z=f(x, y) \)에 대하여, \( \frac {\partial f } {\partial x } \)는 \( y \)가 일정할 때 \( x \)에 관한 \( z \)의 변화율로 해석되기도 한다.</p> <p>② 삼변수 이상의 함수일 경우</p> <p>편도함수는 삼변수 이상에서도 정의된다. 일반적으로 \( u=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)일 때, \( i \)번째 변수 \( x_ { i } \)에 관한 \( f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)의 편도함수는 \[ \frac {\partial u } {\partial x_ { i } } = \lim _ {\Delta x_ { i } \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { i-1 } , x_ { i } + \Delta x_ { i } , \cdots, x_ { n } \right )-f \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { i-1 } , x_ { i } , \cdots, x_ { n } \right ) } {\Delta x_ { i } } \] 으로 정의되고, 또한 \[ \frac {\partial u } {\partial x_ { i } } = \frac {\partial f } {\partial x_ { i } } =f_ { x_ { i } } =D_ { x_ { i } } f \] 로 표기한다.</p> <h3>(2) 고계편도함수</h3> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)에 대하여, 네 가지 서로 다른 이계편도함수 \[ \left (f_ { x } \right )_ { x } , \left (f_ { x } \right )_ { y } , \left (f_ { y } \right )_ { x } , \left (f_ { y } \right )_ { y } \] 가 존재한다. 이것을 \( f(x, y) \)의 이계편도함수라 한다. 이때 \[ \left (f_ { x } \right )_ { x } =f_ { x x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } \] \[ \left (f_ { x } \right )_ { y } =f_ { x y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } \] \[ \left (f_ { y } \right )_ { x } =f_ { y x } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } \] \[ \left (f_ { y } \right )_ { y } =f_ { y y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \] 로 표기한다. 특히 \( f_ { x y } (x, y) \)와 \( f_ { y x } (x, y) \)를 혼합이계편도함수라 한다. 같은 방법으로 \( n \)계 편도함수를 정의할 수 있다. 예를 들면 삼계편도함수 \( f_ { x y y } \)를 \[f_ { x y y } = \left (f_ { x y } \right )_ { y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 3 } f } {\partial y ^ { 2 } \partial x } \] 로 정의한다.</p> <p>① 이변수함수의 극한</p> <p>정의 2 이변수함수의 극한</p> <p>\( z=f(x, y) \)가 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)의 근방에서 정의된 이변수함수라 하자. 이때 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서는 정의되지 않아도 좋다. 만일 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여, 적당한 \( \delta>0 \)가 존재해서 \[0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \] 를 만족하는 모든 \( (x, y) \)에 대하여 \( \|f(x, y)-L\|< \varepsilon \)이 성립할 때, 함수 \( z=f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극한값 \( L \)을 갖는다고 하고, \( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \)로 나타낸다.</p> <p>예제 1</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)이 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여 \( \delta= \varepsilon \)으로 놓으면, \( 0< \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \delta \)를 만족하는 모든 \( (x, y) \)에 대하여 \[ \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } -0 \right \| \leq \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } }< \delta= \varepsilon \] 이 성립한다. 따라서 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)이 된다.</p> <p>증명</p> <p>먼저 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)임을 추측할 수 있다. 그런데 \[\|f(x, y)-L\| \leq\|f(x, y)-0\|= \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| \leq \left \| \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } } \right \|=\|y\| \] 이므로, \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \|y\|=0 \) 으로부터 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \] 이 성립한다.</p> <p>② 이변수함수의 연속</p> <p>이변수의 연속함수는 연속인 일변수함수의 확장이다.</p> <p>정의 5 이변수함수의 연속</p> <p>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방의 모든 점 \( (x, y) \)에서 정의된 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \] 를 만족하면, \( f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속이라 한다. 한편 연속이 아닐 때 불연속이라 한다. 이변수함수 \( f(x, y) \)의 정의역 \( D \subset R ^ { 2 } \)의 모든 점에서 연속일 때, \( f(x, y) \)는 \( D \)에서 연속이라 한다.</p> <p>참고</p> <p>모든 다항식은 \( R ^ { 2 } \)에서 연속이다. 또한 분모가 0이 되지 않는 점에서 모든 유리함수는 연속이 된다.</p> <p>예 4</p> <p>이변수함수 \( f(x, y)=x y \)는 \( (1,2) \)에서 연속이다. 왜나하면 \[x=1 + r \cos \theta, y=1 + r \sin \theta \] 로 놓을 때 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } x y= \lim _ { r \rightarrow 0 } (1 + r \cos \theta)(1 + r \sin \theta)=2, f(1,2)=2 \] 이므로, \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)=2=f(1,2) \)가 성립하기 때문이다.</p> <p>이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } -2 y ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } y \)의 모든 임계점을 구하고, 분류해보자. \[f_ { x } =3 x ^ { 2 } + 6 x y=0, f_ { y } =-4 y-8 y ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } =0 \] 으로부터, 임계점 \( (0,0), \left (-1, \frac { 1 } { 2 } \right ),(-2,1) \)을 얻는다. 한편 \[f_ { x x } =6 x + 6 y, f_ { x y } =6 x, f_ { y y } =-4-24 y ^ { 2 } \] \[D(x, y)= \left (f_ { x y } \right ) ^ { 2 } -f_ { x x } f_ { y y } =(6 x) ^ { 2 } -(6 x + 6 y) \left (-4-24 y ^ { 2 } \right ) \] 이다. 따라서<ol type= start=1><li>\( D \left (-1, \frac { 1 } { 2 } \right )>0 \)이므로, \( f(x, y) \)는 \( \left (-1, \frac { 1 } { 2 } \right ) \)에서 안장점을 가진다.</li> <li>\( D(-2,1)<0, f_ { x x } (-2,1)<0 \)이므로, \( f(x, y) \)는 \( (-2,1) \)에서 극댓값을 갖는다.</li> <li>\( D(0,0)=0 \)이므로, \( (0,0) \)에서는 이계편도함수 판정법을 적용하여 극값을 구할 수 없다. 그러나 평면 \( y=0 \)에서 \( f(x, y)=x ^ { 3 } \)이므로, 이차평면에서 곡선 \( z=x ^ { 3 } \)은 \( x=0 \)에서 변곡점이다. 이 사실로부터 \( (0,0) \)에서는 극값이 존재하지 않는다.</li></ol></p> <p>\( D \subset R ^ { 2 } \)에 대하여, \( D \)를 완전히 포함하는 원판이 존재할 때 \( D \)를 유계라고 한다.</p> <p>정리 6 최대·최솟값정리</p> <p>유계인 닫힌영역 \( D \subset R ^ { 2 } \)에서 정의된 연속인 이변수함수 \( z=f(x, y) \)는 \( D \)에서 최댓값과 최솟값를 갖는다. 이때 이 값들은 \( D \)의 임계점이거나 또는 \( D \)의 경계점에서 생긴다.</p> <p>유계인 닫힌영역 \( D \subset R ^ { 2 } \)에서 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)가 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 최댓값 또는 최솟값이고 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)가 \( D \)의 내점이면 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 역시 \( f(x, y) \)의 극값이 된다. 이 경우 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)는 임계점이 된다. 이것은 \( D \)에서 \( f(x, y) \)의 최댓값과 최솟값은 임계점 또는 \( D \)의 경계에서 생김을 의미한다. 이 사실로부터 유계인 닫힌영역에서 연속함수의 최댓값과 최솟값을 구하는 방법을 알 수 있다. 즉 경계에서 극값을 구하고, 이것을 다시 내부에서의 극값과 비교하면 된다.</p> <p>예제 6</p> <p>타원면 \( \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } =3 \) 위의 점 \( (-2,1,-3) \)에서의 접평면의 방정식과 법선의 대칭방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( F(x, y, z)= \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } -3=0 \)으로 놓으면 \[F_ { x } (-2,1,-3)=-1, F_ { y } (-2,1,-3)=2, F_ { z } (-2,1,-3)=- \frac { 2 } { 3 } \] 이므로, 점 \( (-2,1,-3) \)에서의 접평면의 방정식은 \[(-1)(x + 2) + 2(y-1)- \frac { 2 } { 3 } (z + 3)=0 \text { , 즉 } 3 x-6 y + 2 z + 18=0 \] 이 된다. 또한 법선의 대칭방정식은 \[ \frac { x + 2 } { -1 } = \frac { y-1 } { 2 } = \frac { z + 3 } { -2 / 3 } \] 으로 주어진다.</p> <p>곡면이 \( z=f(x, y) \)로 주어질 경우, \( F(x, y, z)=f(x, y)-z=0 \)이므로 \[F_ { x } =f_ { x } , F_ { y } =f_ { y } , F_ { z } =-1 \] 이고, 접평면에 대한 법선벡터는 \[ \mathbf { N } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \mathbf { i } + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \mathbf { j } - \mathbf { k } \] 가 된다. 따라서 곡면 \( z=f(x, y) \) 위의 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 접평면방정식은 \[z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (x-x_ { 0 } \right ) f_ { x } + \left (y-y_ { 0 } \right ) f_ { y } \] 로 주어진다. 특히 \( y=f(x) \)가 \( x_ { 0 } \)에서 미분가능할 때, 점 \( \left (x_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 곡선의 접선방정식은 \[y=y_ { 0 } + f ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) \] 로 주어짐에 유의한다.</p> <h1>7.3 이변수함수의 극값</h1> <p>이 절에서는 다변수함수의 최적화에 대한 수학적 기초를 소개한다. 특히 이변수함수의 극값을 구하는 방법을 알아본다. 이 절에서 서술하는 결과의 대부분은 이변수함수에 관한 테일러 정리에 의존하고 있다.</p> <h2>1. 이변수함수의 전개</h2> <p>정리 1 이변수함수에 관한 테일러 정리</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 영역에서 연속인 \( n \)계 편도함수를 갖는다면 \[ \begin {aligned} f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } + k \right )=& f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \\ & + \frac { 1 } { 2 ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { 2 } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \cdots \\ & + \frac { 1 } { (n-1) ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n-1 } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + \cdots \\ & + \frac { 1 } { n ! } \left (h \frac {\partial } {\partial x } + k \frac {\partial } {\partial y } \right ) ^ { n } f \left (x_ { 0 } + \theta h, y_ { 0 } + \theta k \right ) \end {aligned} \] 를 만족하는 \( \theta \) (단, \( 0< \theta<1 \))가 존재한다.</p> <h2>2. 이변수함수의 극값</h2> <p>중심이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)인 어떤 원판 안의 모든 점 \( (x, y) \)에서 \[f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \quad \left ( \text { 또는 } f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \] 만족하면, 이변수함수 \( z=f(x, y) \)는 극댓값 (또는 극솟값) \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 갖는다고 한다.</p> <p>\( \Delta z=d z + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \)이므로, \( \Delta z \approx d z \)가 성립한다. 이것은 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 알고 있을 때 \[f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \approx f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + d z \] 로, \( f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \)의 근삿값을 짐작할 수 있도록 한다.</p> <p>예제 2</p> <p>전미분을 이용하여, \( \sqrt { 9(1.95) ^ { 2 } + (8.1) ^ { 2 } } \)의 근삿값을 구하시오.</p> <p>풀이 I</p> <p>\( z=f(x, y)= \sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)이라 하면, \( f(2,8)=10 \)이다. 따라서 \[x_ { 0 } =2, y_ { 0 } =8, d x= \Delta x=-0.05, d y= \Delta y=0.1 \] 로 잡으면, \( f_ { x } (x, y)= \frac { 9 x } {\sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , f_ { y } (x, y)= \frac { y } {\sqrt { 9 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \)이므로 \[ \begin {aligned} \sqrt { 9(1.95) ^ { 2 } + (8.1) ^ { 2 } } &=f(1.95,8.1) \approx f(2,8) + d z \\ &=f(2,8) + f_ { x } (2,8) + f_ { y } (2,8) d y=9.99 \end {aligned} \] 를 얻는다. 이 근삿값은 소수점 이하 두 자리까지 정확하다.</p> <p>정의 5 미분가능</p> <p>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)의 근방 \( D \subset R ^ { 2 } \) 내의 모든 점 \( \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right ) \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ &=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \end {aligned} \] 이고, \( \varepsilon_ { 1 } \)과 \( \varepsilon_ { 2 } \)가 \( \Delta x \)와 \( \Delta y \)의 함수로써 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \)일 때 모두 0에 수렴하면, 이변수함수 \( z=f(x, y) \)는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 '미분가능하다'고 한다.</p> <p>예 3</p> <p>\(f(x, y)= \cos (x y)-x ^ { 3 } + y ^ { 4 } \) 에 대하여 \[f_ { x } =-y \sin (x y)-3 x ^ { 2 } , f_ { x y } =- \sin (x y)-x y \cos (x y) \] 이므로 \[f_ { x y y } =-2 x \cos (x y) + x ^ { 2 } y \sin (x y) \] 를 얻는다.</p> <p>일반적으로 대부분의 이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 경우 \( f_ { x y } (x, y) \)와 \( f_ { y x } (x, y) \)는 일치하지만, 이들이 항상 같은 것은 아니다.</p> <p>다음 정리는 클레로에 의해 처음 제시되었으나, 슈바르츠 정리로 불리운다.</p> <p>정리 2 슈바르츠 정리</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함하는 \( D \subset R ^ { 2 } \)에서 정의된 함수일 때, \( f_ { x y } (x, y) \)와 \( f_ { y x } (x, y) \)가 \( D \)에서 연속이면 \[f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { y x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \] 가 성립한다.</p> <h2>2. 접평면과 전미분</h2> <p>접점 \( x=x_ { 0 } \)의 근방에서 함수 \( y=f(x) \)의 근삿값을 구하기 위하여 접선을 이용할 수 있다. 같은 방법으로 주어진 점의 근방에서 이변수함수의 근삿값은 그 점에서 곡면의 접평면으로부터 얻을 수 있다.</p> <h3>(1) 이변수함수인 경우</h3> <p>① 접평면</p> <p>정리 3 접평면의 방정식</p> <p>\( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)의 근방에서 정의된 이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속인 일계편도함수를 가질 때, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( z=f(x, y) \)의 접평면의 법선벡터는 \( \left (f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right . \), \( \left .f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ),-1 \right ) \)이 된다. 따라서 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 접평면의 방정식은 다음으로 주어진다. \[z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]<caption>( * )</caption></p> <p>한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( z=f(x, y) \)의 접평면의 법선벡터가 \( \left (f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ),-1 \right ) \)이므로, \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)를 지나고 접평면에 수직인 직선은 \[x=x_ { 0 } + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) t, y=y_ { 0 } + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) t, z=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-t \] 로 주어진다. 이 직선을 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 곡면의 법선(normal line)이라 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>점 \( (1,2,1) \)에서 곡면 \( z=6-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \)에 대한 접평면의 방정식과 법선의 방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x, y)=6-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \)으로 놓으면 \[f_ { x } (x, y)=-2 x, f_ { y } (x, y)=-2 y, f_ { x } (1,2)=-2, f_ { y } (1,2)=-4 \] 이므로, 법선벡터는 \( (-2,-4,-1) \)이 된다. 따라서 접평면의 방정식은 \[z-1=-2(x-1)-4(y-2), \text { 즉 } 2 x + 4 y + z=11 \] 이고, 법선의 방정식은 \[x=1-2 t, y=2-4 t, z=1-t \] 로 주어진다.</p> <p>참고</p> <p>접평면의 방정식 (*)에서 \( z \)값을 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 \( f(x, y) \)의 일차근사식이라 하고, \( L(x, y) \)로 표기한다. 즉 \[L(x, y)=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \] 로 주어진다.</p>	자연
관리도에서 Markov연쇄의 적용: 복습 및 새로운 응용	<p>표본추출시점부터 \( g n + D_ { T } \) 시간까지 이상원인이 일어나지 않을 확률은 \(e ^ { - {\lambda } (gn + D_ { T } ) } \)이다. 이 확률과 Table 5.2의 \( P \left (e \left \{ B_ { j } \right \} \mid b \left \{ A_ { i } \right \} \right ) \)를 이용하면 다음 확률을 얻게 된다. \( \begin {aligned} P \left (V_ { Ⅰ } \right ) &= \frac {\alpha \left (1- \alpha_ { 3 } \right ) e ^ { - \lambda \left (h + g n + D_ { T } \right ) } } { 1- \xi_ { 1 } } , P \left (V_ { Ⅱ } \right ) &= \frac {\alpha \left (1- \alpha_ { 3 } \right ) e ^ { - \lambda h } \left (1-e ^ { - \lambda \left (g n + D_ { T } \right ) } \right ) } { 1- \xi_ { 1 } } , P \left (V_ { Ⅲ } \right ) &= \frac { 1-e ^ { - \lambda h } } { 1- \xi_ { 1 } } . \end {aligned} \) 관리상태와 이상상태에서 끝나는 공정주기 동안 추출된 평균 표본수는 각각 \( \sum_ { i=1 } ^ { 4 } V \left (A_ { i } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) + \sum_ { i=1 } ^ { 4 } V \left (A_ { i } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ), \quad \sum_ { i=1 } ^ { 4 } V \left (A_ { i } , e \left \{ B_ { 3 } \right \} \right ) + \sum_ { i=1 } ^ { 4 } V \left (A_ { i } , e \left \{ B_ { 4 } \right \} \right ) \) 이 된다. 이를 이용하면 공정주기가 관리상태와 이상상태에서 끝나는 조건하에서 공정 주기 동안 추출된 평균 표본수는 해당 확률로 나누어 각각 다음과 같이 구해진다. \( \begin {aligned} E \left (N_ { T } \mid V_ { Ⅰ } \right ) &=E \left (N_ { T } \mid V_ { Ⅱ P } \right )= \frac { 1 } { 1- \xi_ { 1 } } , E \left (N_ { T } \mid V_ { Ⅲ } \right ) &= \frac { 1 } { 1- \xi_ { 1 } } + \frac {\xi_ { 2 } } { 1- \xi_ { 2 } } . \end {aligned} \)<caption>(6.3)</caption>재조정 관리도에서와 유사한 과정을 통해 다음 결과를 얻는다.<p>\( \begin {aligned} E \left (U \mid V_ { Ⅰ } \right ) &= \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1- \xi_ { 1 } } + g n + D_ { T } , E \left (U \mid V_ { Ⅱ } \right ) &= \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1- \xi_ { 1 } } - \frac {\left (g n + D_ { T } \right ) e ^ { - \lambda \left (g n + D_ { T } \right ) } } { 1-e ^ { - \lambda \left (g n + D_ { T } \right ) } } , E \left (U \mid V_ { Ⅲ } \right ) &= \frac { 1 } {\lambda } - \frac { h \alpha \left (1- \alpha_ { 3 } \right ) e ^ { - \lambda h } } {\left (1- \xi_ { 1 } \right ) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } \end {aligned} \)<caption>(6.4)</caption>다음은 평균오경보수의 계산에 대해 알아보자. 먼저 결정오류를 고려한 관리도에서는 두 종류의 오경보가 있다. 하나는 공정이 관리상태일 때 신호를 주고 탐색과정에서 이상원인을 발견하지 못하여 오경보로 판단하는 경우로서 이는 Table 5.2의 \( \mathrm { IC } _ { 4 } \) (즉 \( A_ { 2 } \))에 해당한다. 이를 참 오경보(true false signal)라 한다. 또 다른 하나는 공정이 이상상태일 때 신호를 주었으나 탐색과정에서 이상원인을 발견하지 못하여 오경보로 판단하는 경우로서 이는 Table 5.2의 \( \mathrm { OC } _ { 4 } \) (즉 \( A_ { 4 } \) )에 해당한다. 이를 거짓 오경보(false false signal)라 한다. 이 두 가지 오경보가 공정에 미치는 영향은 서로 비슷하여 큰 차이가 나지 않지만 어느 것이나 공정관리에 심각한 부작용을 초래함은 분명하다. 각각의 평균 오경보수는 행렬 \( \left ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ^ { T } \right ) ^ { -1 } \) 의 (1, 2)와 (1, 4)번째 요소에 해당되어 \( E \left (F_ { T } \right )= \frac {\alpha \alpha_ { 3 } e ^ { - \lambda h } } { 1- \xi_ { 1 } } \), \( E \left (F_ { F } \right )= \frac { (1- \beta) \beta_ { 3 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } {\left (1- \xi_ { 1 } \right ) \left (1- \xi_ { 2 } \right ) } \)<caption>(6.5)</caption>임을 알 수 있다.</p> <h1>8. 결론</h1> <p>이 논문에서는 통계적 공정관리의 특성 연구를 위해 Markov연쇄를 사용하는 방법에 대해 알아보았다. 연속적 값을 가지는 공정통계량의 특성의 규명이 해석적으로는 불가능할 때, 이를 이산화시켜 Markov연쇄를 생성한 다음 그 특성을 근사적으로 구할 수 있도록 해주는 유용한 도구이다. 경우에 따라서는 관리통계량의 확률적 속성을 이용하여 관리도의 특성을 해석적으로 구할 수 있는 경우가 있다. 그렇다 하더라도 이런 해석적 방법은 매우 복잡하여 올바른 표현을 구하기가 어려울 뿐만 아니라, 종종 표현이 잘못될 가능성이 많아 Markov특성을 이용한 방법이 더 권장된다. 해석적 방법과 Markov특성을 이용한 방법이 모두 또는 부분적으로 가용한 경우에는 서로 보완적으로 도출한 결과를 비교 및 보완을 할 수 있어 정확한 표현을 구하는데 도움이 된다. 이렇게 Markov특성을 이용한 근사 방법은 관리도를 통한 공정탐색(process monitoring)뿐만 아니라 공정수정(process adjustment)에도 유사하게 적용될 수 있다.</p> <p>문헌에 나타나는 기존의 연구에서는 모의실험을 하여 공정관리의 특성을 규명하는 경우를 많이 볼 수가 있는데 이는 Markov연쇄를 사용한 방법보다 정도(precision)가 떨어질 뿐만 아니라 경우에 따라서는 많은 시간이 소요되어 다양한 특성연구가 어려워지는 문제점이 있다. 이러한 이유 때문에 될 수 있으면 Markov연쇄를 사용하기를 권장한다.</p> <p>끝으로, Markov연쇄가 적용되는 경우를 모두 표현하기는 어렵지만 이 논문에서 표현한 내용들을 필요에 따라 수정 적용하면 대부분의 경우에 적용할 수 있음을 밝힌다.</p> <h1>요 약</h1> <p>통계적 공정관리절차의 특성은 해석적 해를 얻기가 어려운 경우가 많이 있으나 Markov연쇄를 적용하면 가능한 경우가 많이 있다. 이 논문에서는 공정 통계량이 Markov특성을 따르는 경우, Markov연쇄를 생성하는 방법과 이를 이용한 공정관리 절차의 특성을 도출하는 방법에 대해 설명하고 있다. 관리도의 통계적 설계, 경제적 설계 및 변량표본 추출비 설계 등의 특성 규명을 위한 Markov연쇄의 적용에 대한 기존의 알려진 방법을 복습하고 또한 새로운 공정관리 분야인 재조정 관리도에의 적용방법에 대한 연구결과도 보여주고 있다. 공정관리의 특성연구에서 해석적 해가 가능한 경우에도 이 과정이 복잡하여 Markov연쇄를 병행 사용하면 특성 규명이 명확해지며, 모의실험보다는 짧은 시간에 더 정밀한 결과를 얻을 수 있어 널리 이용되고 있다.</p> <p>자주 쓰는 벡터와 행렬표현을 위해 다음을 정의한다. 기본적으로 차원은 벡터나 행렬의 오른쪽 아래 첨자로 표현한다. \[ \] \( \mathbf { 1 } _ { n } \) : 모든 요소가 1인 차원 \( n \) 벡터, \[ \] \( \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \) : 차원 \( n \)인 0(zero)벡터에서 \( i \)번째 요소만 1인 벡터, \[ \] \( \mathbf { I } _ { n } \) : 차원 \( n \)인 단위 행렬. 공정관리의 한 주기는 정의된 Markov연쇄가 시작상태에서 출발한 후 흡수상태를 방문하게 되면 끝난다. \( M_ { t } \)가 상태 \( m_ { i } \)를 방문하는 시점을 \( T \left (m_ { i } \right ) \)라 하면 이에 대한 확률함수는, \( t=0,1, \ldots \)에 대해 \( P \left (T \left (m_ { i } \right )=t \right )= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } ^ { t } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \) 이다. 단, \( \mathbf { s } _ { n } \)은 시작상태(starting state)벡터로서 시작상태 \( i_ { 0 } \)번째만 1인 0벡터이다. 위의 확률함수를 이용하면, 한 주기 동안 상태 \( m_ { i } \) 를 방문하는 평균횟수 \( V \left (m_ { i } \right ) \)는 다음과 같이 계산된다. \[ \] \( \begin {aligned} V \left (m_ { i } \right ) &= \sum_ { t=0 } ^ {\infty } 1 \cdot P \left (T \left (m_ { i } \right )=t \right ) \\ &= \sum_ { t=0 } ^ {\infty } \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } ^ { t } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } . \end {aligned} \) 한 시점에 한 상태를 방문하는 횟수는 1 회임을 고려하면 모든 일시상태에 대한 방문횟수는 평균런길이가 된다, 즉 평균신호표본수는 \( \begin {aligned} E(N) &= \sum_ { i=1 } ^ { n } V \left (m_ { i } \right ) \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { n } \end {aligned} \)<caption>(2.2)</caption>임이 됨을 알 수 있다. 이때 방문시점은 시작상태, 즉 \( t=0 \)도 포함하고 있다. 어떤 행렬 \( M \)의 \( (i, j) \)번째 요소를 \( M[i, j] \)로 표현하면, 행렬 \( ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ) ^ { -1 } \)의 \( (i, j) \)번째 요소, \( ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ) ^ { -1 } [i, j] \)는 \( i \)번째 상태에서 출발하여 \( j \)번째 상태를 방문하는 평균횟수를 의미한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>통계적 공정관리 절차는 세 가지 요소로 구성된다: 관리통계량(control statistics), 표본추출시점(sampling time)과 관리한계(control limit). 즉 공정이 진행되는 중 지정된 표본추출시점에서 표본을 추출하여 관리통계량을 계산한 다음 이 통계량이 관리한계를 벗어나면 이상신호를 주고 그렇지 않으면 공정을 계속하는 것이다. 따라서 표본추출은 연속된 시간공간에서 이산적 시간에 한하여 이루어지고 있으나, 관리 통계량은 공정관리의 목적에 따라 이산적일 수도 또는 연속적일 수도 있다. 또한 관리 통계량은 표본크기(sample size)에 따라 달라질 뿐만 아니라 그 분포도 공정상태에 따라 영향을 받게 된다. 표본추출시점과 표본크기는 사전에 일정 값으로 정해지는 경우가 일반적이지만 공정관리의 효율을 높이기 위해 각 시점의 관리통계량 값에 따라 다르게 정해질 수 도 있다. 관리통계량은 현 시점에서의 표본으로만 구성된 경우도 있고 과거와 현재의 표본으로 구성되는 경우도 있다. 후자의 경우에는 관리통계량이 시점 별로 시간 종속(time-dependent)이 되고, 현 시점의 표본으로만 구성된 경우에도 그럴 수 있다.</p> <p>이러한 공정관리의 통계적 설계에 대한 특성은 이상신호를 줄 때까지 관측된 표본수(number of samples tosignal), 소요된 시간인 신호시간(time to signal)과 관측값의 수(number of observations to signal)에 의해 결정된다. 따라서 공정관리의 효율을 표현하는데는 평균신호표본수(average number of samples to signal; ANSS), 평균신호시간(average time to signal; ATS)과 평균신호관측수(average number of observations to signal; ANOS)가 주로 사용된다. 표본추출시점과 표본크기가 사전에 정해진 경우에는 공정관리의 특성은 평균신호표본수를 통해 알 수 있으며, 이는 흔히 평균런길이(average run length; ARL)로 알려져 있다.</p> <p>공정관리의 특성을 해석적으로 규명하는 것은 지극히 단순한 경우를 제외하고는 불가능하거나 매우 복잡한 경우가 많다. 여기서 지극히 단순한 경우의 예는 공정통계량이 현시점의 표본으로만 구성되고 시간독립(time-independent)이며 표본크기와 표본추출간격이 항상 동일한 경우를 들 수 있다. 예를 들면 공정 모형이 Shewhart 모형을 따를 때이다, 즉 \( X_ { t } = \mu + \varepsilon_ { t' } \) 단, \( \mu \)는 공정 평균, \( \varepsilon_ { t } \)는 확률오차. 이 때 Shewhart 관리도를 사용하면 런길이는 기하분포를 따르게 되어 평균신호시간과 평균신호관측수를 쉽게 알 수 있다. 이렇게 특별히 단순한 경우를 제외하면 관리특성을 해석적으로 규명하기는 매우 어렵다. 그 주된 이유는 관리통계량이 시간종속이기 때문이다. 관리통계량의 시간 종속성은 실제 제조업의 환경에 주로 기인한다. 현 시점의 공정 품질이 과거, 특히 바로 전 시점의 품질에 독립일 수 없기 때문이다. 이 문제를 해결하기 위해 사용되는 시간종속에 대한 통계적 가정은 Markov특성(property)이다. 공정 통계량이 Markov특성을 만족하는 경우는 관리통계량의 경신공식(updating equation)을 통해 쉽게 알 수 있다. 시점 \( t \)에서의 표본 통계량을 \( X_ { t } \), 공정 통계량을 \( S_ { t } \)라 할 때 경신공식이, 어떤 함수 \( f \)에 대해 \( S_ { t } =S_ { t-1 } + f \left (X_ { t } \right ) \),<caption>(1.1)</caption>로 표현되면 Markov특성을 만족한다. 이런 형태의 통계량에 대한 Markov연쇄의 적용은 Woodall과 Reynolds(1983) 이후 축차적 결정론(sequential decision theory) 분야에서 특성연구를 위해 많이 사용되어 오고 있다. 가장 대표적인 예는 공정 모형이 Shewhart 모형일 때 누적합(cumulative sum; CUSUM) 관리도와 지수이동가중평균(exponentially weighted moving average; EWMA) 관리도이다.</p> <caption>\( * \alpha_ { 1 } + \alpha_ { 2 } + \alpha_ { 3 } =1, \beta_ { 1 } + \beta_ { 2 } + \beta_ { 3 } =1 \).</caption> <caption>\( * \mathrm { SC } : \) 이상원인(special cause).</caption> <p>탐지결과에서 이상원인을 찾게 되고 판단결과에서 이상원인이 발생한 것으로 판단하면 공정을 보수한다(repair). 반면에 탐지결과에서는 이상원인을 찾지 못했으나 판단결과에서 이상원인이 발생했지만 찾지 못한 것으로 판단하면 공정을 재조정한다(reset). 이러한 공정에 대한 조치(action)는 이상신호의 참, 거짓에 관계없이 취해진다. 공정에서 발생할 수 있는 오류들과 그에 따른 확률 및 조치는 Table 5.1에 정리되어 있다.</p> <p>전통적 관리도에서는 이러한 결정오류를 고려하여 관리도의 특성을 도출해야만 올바른 특성이 연구될 수 있다. 이 방식이 기존의 방식(결정오류를 무시한 관리도)과 다른 점은 이상원인이 발생하지 않아도 보수나 재조정을 할 수 있다는 점이고, 보수나 재조정을 한 후에는 새로운 관리도가 시작되므로 관리상태에서도 공정의 한 주기가 끝날 수 있다는 점이다. 기존의 방식에서는 이상상태에서만 공정의 한 주기가 끝나게 되어있다.</p> <p>전통적 관리도에서 발생하는 결정오류는 기존 방식보다 다양한 오류들이 포함되어 있어 관리도의 효율이 떨어지게 되고 공정 운영자의 신뢰도를 잃을 수 있는 위험성을 내포하고 있다. 이런 문제를 개선하기 위해 재조정 관리도(reset chart)를 제안한다. 재조정 관리도는 관리통계량이 신호영역(signal region)에 포함되어 이상신호를 주면 이상원인을 탐지하는 대신 공정을 재조정하는 것이다. 사실 이상원인의 탐지과정도 공정 재조정 과정의 일부인 경우가 허다하다. 여기서는 재조정 관리도의 특성에 필요한 성질을 Markov연쇄를 이용하여 구해보기로 한다.</p> <p>재조정 관리도에 대한 Markov연쇄의 상태는 4 가지, \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , B_ { 1 } , B_ { 2 } \)로 구분하고 Table 5.2에서 정의된 상태를 이용하여 아래와 같이 정의한다. \( A_ { 1 } = \mathrm { IC } _ { 1 } , \quad A_ { 2 } = \mathrm { OC } _ { 1 } , \quad B_ { 1 } = \mathrm { IC } _ { 2 } \cup \mathrm { IC } _ { 3 } \cup \mathrm { IC } _ { 4 } , \quad B_ { 2 } = \mathrm { OC } _ { 2 } \cup \mathrm { OC } _ { 3 } \cup \mathrm { OC } _ { 4 } \). 이 경우 일시상태는 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } \) 흡수상태는 \( B_ { 1 } , B_ { 2 } \)이다. 즉, 신호영역은 흡수영역과 동일하다. 여기서 흡수상태는 자연적으로 이미 분할된 경우이다.</p> <p>공정통계량이 Markov특성을 만족하면 Markov연쇄를 구성하기 위해 공정통계량이 취하는 연속적인 값을 이산화(make a discrete variable)한다. 공정 통계량의 이산화 작업은 공정통계량이 취할 수 있는 값의 범위를 다수의 부구간(sub-interval)으로 분할(partition)하고 부구간에 해당하는 값은 하나의 대표값(일반적으로 부구간의 가운데 값)으로 표현한다. 즉, 공정통계량의 이산화란 연속변수인 공정통계량을 이산변수로 근사(approximation)시키는 과정을 의미한다. 어떤 경우에는 공정분포의 속성상 관리통계량이 이미 이산값을 가져 이산화 할 필요 없이 Markov특성을 가지는 경우도 있다. 이런 경우에는 Markov연쇄의 적용이 용이하다. 이 논문에서는 Markov특성을 사용하여 공정관리절차의 특성이 연구되어진 대표적 내용을 복습하고, 또한 새로운 공정관리절차로 제안된 재조정관리도(reset chart)의 특성 연구에 Markov연쇄를 적용하는 방법을 제시하고 있다.</p> <h1>2. 공정관리절차의 Markov연쇄 근사</h1> <p>관리통계량이 Markov특성을 만족할 때 이를 이산화하여 Markov연쇄를 생성하고 관리절차의 특성을 구하는 과정을 알아보자. 먼저 관리통계량이 취하는 값을 일시영역(transient region; \( R_ { T } \))과 흡수영역(absorbing region; \( R_ { A } \))으로 분할한다. 이 두 지역은 일반적으로 관리한계선에 의해 구분된다. 공정관리절차는 다음과 같이 정의한다. 시점 \( t \)에서 \( S_ { t } \in R_ { A } \)이면 이상신호를 주고, 그렇지 않으면 공정을 계속한다. 일시영역을 \(n \)개의 부구간으로 분할하고 각각의 부구간을 \( I_ { 1 } , I_ { 2 } , \ldots, I_ { n } \) 이라 하고, 각 부구간의 중심점을 \( m_ { 1 } , m_ { 2 } , \ldots, m_ { n } \) 로 나타내면, 각 중심점은 바로 Markov연쇄의 일시상태를 나타내고 있다. 관리통계량의 이산화는 그 값이 어떤 구간 \( I_ { i } \)에 포함되면 \( S_ { t } =m_ { i } \)로 근사시키는 것을 의미한다. 이렇게 형성된 Markov연쇄를 \( M_ { t } \)라 한다.</p> <p>이산화된 관리통계량의 조건부 확률은 Markov연쇄의 전이확률(transient probability)에 해당되고 일시상태 내에서의 전이확률은 다음과 같이 근사된다. \( i, j=1,2, \ldots, n \)에 대해 \( \begin {aligned} p_ { i j } &=P \left (M_ { t } =m_ { j } \mid M_ { t-1 } =m_ { i } \right ) \\ & \approx P \left (S_ { t } \in I_ { j } \mid S_ { t-1 } =m_ { i } \right ) . \end {aligned} \) 일시상태의 전이행렬은 \( \mathbf { Q } = \left [p_ { i j } \right ]_ { n \times n } \)<caption>(2.1)</caption>로 표현한다.</p> <p>변량표본추출비를 사용한 관리도의 특성은 다음과 같이 표현된다. \( \begin {aligned} \mathrm { ANSS } &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } _ { V } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { n } , \\ \mathrm { ATS } &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } _ { V } \right ) ^ { -1 } \mathbf { H } _ { n } , \\ \mathrm { ANOS } &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } _ { V } \right ) ^ { -1 } \mathbf { N } _ { n } . \end {aligned} \)</p> <h1>4. 경제적 설계</h1> <p>공정관리의 경제적 설계는 하나의 공정 주기를 설정한 다음 단위시간당 평균비용(average cost per unit interval; ACU)을 구하고, 이를 통해 효율을 판단하여 가장 효율적인 관리체계를 설정하는 것을 목표로 한다. 이러한 이유로 경제적 설계로 관리도의 특성을 연구하는 것을 비용에 기초한 접근(cost-based approach)이라고도 한다. 이때에 공정 모형은 관리상태에서 시작하고 공정 진행 중 이상원인이 발생하면 이상상태로 변하는 것을 가정한다. 이를 위해 이상원인이 발생하는 시점을 확률변수 \( U \)로 나타내고 있다. 이상원인의 발생을 연속변수로 나타낼 때는 지수분포, 이산변수로 나타낼 때는 추출한 표본수를 의미하며 기하분포를 주로 사용한다. 두 변수 모두 기억불능(memoryless) 성질을 가지고 있어 공정의 어느 시점에서도 한 구간 내에 이상원인이 발생하지 않을 확률은 동일하다. 즉, 지수분포의 경우 \( \left (f(u)= \lambda e ^ { - \lambda u } , u>0 \right ) \), 단위표본추출구간이 \( h \)이면 \( P(U>t + h \mid U>t)=e ^ { - \lambda h } , \quad { } ^ {\vee } t>0 \) 기하분포의 경우 \( \left (P(U=k)=(1-p) ^ { k-1 } p, k=1,2, \ldots \right ) \), 단위 표본추출구간 내에 이상원인이 발생할 확률을 \( p \)라 가정하면 \( P(U>t + 1 \mid U>t)=1-p, \quad { } ^ {\vee } t>0 \). 기존의 많은 연구에서는 공정주기를 표본수로 나타내는 것보다는 연속 시간으로 나타내는 것이 일반적인 경향이다. 따라서 이 연구에서도 지수분포를 사용한다. 경제적 관리도에서 Markov연쇄의 사용은 Park (2007)과 Park과 Reynolds (2008)를 예로 들 수 있다.</p> <p>재조정 관리도의 Markov연쇄에 관한 특성은 식 (5.1), (5.2)와 식 (2.4)를 통해 Table 5.2에 정리되어 있다.</p> <p>재조정 관리도의 한 공정 주기동안 관측되는 표본수를 \( N_ { R } \)이라 하면, Table 5.2로부터 공정주기의 평균표본수는 \( \begin {aligned} E \left (N_ { R } \right ) &=V \left (A_ { 1 } \right ) + V \left (A_ { 2 } \right ) \\ &= \frac { 1- \beta e ^ { - \lambda h } } { (1- \beta)(1-a) } . \end {aligned} \) 흡수영역의 특정상태로 공정이 끝날 때 (표본추출시점을 기준으로 할 때) 공정주기의 평균표본수는 \( \begin {aligned} E \left (N_ { R } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) &=V \left (A_ { 1 } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) + V \left (A_ { 2 } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) \\ &= \frac {\alpha e ^ { - \lambda h } } { (1-a) ^ { 2 } } \end {aligned} \) \[ \] \( \begin {aligned} E \left (N_ { R } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) &=V \left (A_ { 1 } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) + V \left (A_ { 2 } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) \\ &= \frac {\left (1-e ^ { - \lambda h } \right )(1- \beta a) } { (1- \beta)(1-a) ^ { 2 } } . \end {aligned} \)</p> <p>재조정 관리도에서 표본추출부터 데이터 수집 및 분석에 소요되는 시간을 \( g n \), 재조정하는데소요되는 시간을 \( D_ { R } \)이라 하자. 또한, \( T_ { R } =h N_ { R } + g n + D_ { R } \)이면, 재조정 신호시간(reset signal time)은 \( h N_ { R } \), 공정주기시간(cycle length time)은 \( T_ { R } \)이 된다. 위 두 종류의 시간에 대한 다음 세가지 조건을 고려할 필요가 있다. Case \( R_ { Ⅰ } : U>T_ { R } \), Case \( R_ { Ⅱ } : h N_ { R }<U \leq T_ { R } \), Case \( R_ { Ⅲ } : U \leq h N_ { R } \). 조건 \( R_ { Ⅰ } \)은 이상원인 발생 전 공정이 끝나는 것을 의미하고, 조건 \( R_ { Ⅱ } \)와 \( R_ { Ⅲ } \)는 이상원인 발생 후 공정이 끝나는 것을 의미한다. 다만, \( R_ { Ⅱ } \)와 \( R_ { Ⅲ } \)의 차이는 이상원인이 \( h N_ { R } \)보다 후에 또는 전에 나타난다는 데에 그 차이가 있다.</p> <p>식 (6.3)-(6.5)를 이용하면 결정오류를 고려한 전통적 관리도의 단위시간당 평균비용을 계산할 수 있다.</p> <h1>7. 점근적 Markov연쇄</h1> <p>공정관리에서 관리통계량이 점근적 Markov특성(asymptotic Markov property)을 만족하는 경우가 있다. 이는 어떤 시점에서의 일시영역에 대한 전이행렬이 시간종속이지만 점근적으로는 시간독립이 되는 경우를 의미한다. 이에 대한 예를 들어보자.</p> <p>시점 \( t-1 \) 에서 시점 \( t \) 로의 전이행렬이 시간종속인 \( \mathbf { Q } _ { t } \)이고, 점근전이행렬이 \( \lim _ { x \rightarrow \infty } \mathbf { Q } _ { t } = \mathbf { Q } \)를 만족하여 점근적 시간독립이라고 가정하자. 이 때 상수 \( r \)은 어떤 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 \( \max _ { i, j } \left \|Q_ { r } [i, j]-Q_ { r-1 } [i, j] \right \|< \varepsilon \)을 만족한다고 가정한다. 이 경우 공정상태 \( m_ { i } \)를 시점 \( t \)에 방문하는 확률은 \( P \left (T \left (m_ { i } \right )=t \right )= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { t } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \)이 되고, 공정상태 \( m_ { i } \)의 평균 방문횟수는 다음과 같이 근사적으로 표현될 수 있다. \[ \] \( \begin {aligned} V \left (m_ { i } \right ) &= \sum_ { t=0 } ^ {\infty } \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { t } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \\ & \approx \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \sum_ { t=0 } ^ {\infty } \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { r } \mathbf { Q } ^ { t-r } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left [ \sum_ { k=0 } ^ { r-1 } \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { k } + \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { r } \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \mathbf { Q } ^ { k } \right ] \mathbf { 1 } _ { n,(i) } \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left [ \sum_ { k=0 } ^ { r-1 } \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { k } + \mathbf { Q } _ { 1 } \mathbf { Q } _ { 2 } \cdots \mathbf { Q } _ { r } ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ) ^ { -1 } \right ] \mathbf { 1 } _ { n,(i) } . \end {aligned} \) 위의 표현을 사용하면 공정특성 연구에 필요한 특성들을 근사적으로 구할 수 있음을 알 수 있다.</p> <p>이렇게 정의된 부전이행렬들 식 (4.1)-(4.3)으로 부터 다음 전체 전이행렬을 구한다. \[ \] \( \mathbf { Q } _ { V, \text { tot } } = \left [ \begin {array} { cc } \mathbf { Q } _ { 11 } & \mathbf { Q } _ { 22 } \\ \mathbf { 0 } & \mathbf { Q } _ { 22 } \end {array} \right ]_ { (2 n + 1) \times(2 n + 1) } \). 위의 전체 전이행렬을 사용하면 관리절차의 특성은 다음과 같이 계산됨을 알 수 있다. \[ \] \( \begin {aligned} \mathrm { ANSS } &= \mathbf { s } _ { 2 n + 1 } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { 2 n + 1 } - \mathbf { Q } _ { V, t o t } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { 2 n + 1 } , \\ \mathrm { ATS } &= \mathbf { s } _ { 2 n + 1 } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { 2 n + 1 } - \mathbf { Q } _ { V, t o t } \right ) ^ { -1 } \mathbf { H } _ { t o t } , \\ \mathrm { ANOS } &= \mathbf { s } _ { 2 n + 1 } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { 2 n + 1 } - \mathbf { Q } _ { V, t o t } \right ) ^ { -1 } \mathbf { N } _ { t o t } . \end {aligned} \) 단, \( \mathbf { H } _ { t o t } ^ {\prime } = \left ( \mathbf { H } ^ {\prime } , h_ { 2 } , \mathbf { H } ^ {\prime } \right ), \mathbf { N } _ { t o t } ^ {\prime } = \left ( \mathbf { N } ^ {\prime } , n_ { 2 } , \mathbf { N } ^ {\prime } \right ) \).</p> <p>공정주기가 상태 \( m_ { i } \)에서 시작하는 사건을 \( b \left \{ m_ { i } \right \} \), 상태 \( m_ { j } \)로 끝나는 사건을 \( e \left \{ m_ { j } \right \} \) 로 표시하자. 공정주기가 일시상태 \( m_ { i } \)에서 시작하여 흡수상태 \( m_ { A, j } \)로 끝나는 확률은 \[ \] \( \begin {aligned} P \left (e \left \{ m_ { A, j } \right \} \|\| b \left \{ m_ { i } \right \} \right ) &= \sum_ { t=1 } ^ {\infty } \mathbf { 1 } _ { n,(i) } ^ {\prime } \mathbf { Q } ^ { t-1 } \mathbf { Q } _ { A } \mathbf { 1 } _ { n_ { A } ,(j) } \\ &= \mathbf { 1 } _ { n,(i) } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \mathbf { Q } _ { A } \mathbf { 1 } _ { n_ { A } ,(j) } \\ &= \left [ \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \mathbf { Q } _ { A } \right ][i, j] \end {aligned} \) 가 됨을 알 수 있다.</p> <p>공정주기가 흡수상태 \( m_ { A, j } \)로 끝나면서 일시상태 \( m_ { i } \)를 방문하는 평균횟수는 \( V \left (m_ { i } , e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right )=V \left (m_ { i } \right ) P \left (e \left \{ m_ { A, j } \right \} \mid b \left \{ m_ { i } \right \} \right ) \)<caption>(2.4)</caption>임을 알 수 있고, 따라서 공정주기가 흡수상태 \( m_ { A, j } \)로 끝나는 조건에서 일시상태 \( m_ { i } \)를 방문하는 평균횟수는 \( V \left (m_ { i } \mid e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right )= \frac { V \left (m_ { i } , e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right ) } { P \left (e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right ) } \)<caption>(2.5)</caption>가 된다. 위 식에서 분모는 공정의 시작이 \( m_ { i_ { 0 } } \)이므로 \( P \left (e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right )=P \left (e \left \{ m_ { A, j } \right \} \mid b \left \{ m_ { i_ { 0 } } \right \} \right ) \)이다. 위의 결과로부터, 공정주기가 흡수상태 \( m_ { A, j } \)로 끝나는 조건에서의 평균신호표본수는 \( E \left (N \mid e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } V \left (m_ { i } \mid e \left \{ m_ { A, j } \right \} \right ) \)<caption>(2.6)</caption>이다.</p> <p>먼저 일시상태의 전이확률에 대해 알아보자. 한 추출구간 h에서 이상원인이 발생하지 않을 확률은 \( e ^ { - \lambda h } \)을 이용하면, 상태 \( A_ { 1 } \)에서 \( A_ { 1 } \)으로의 전이확률은 \( (1- \alpha) e ^ { - \lambda h } \), 상태 \( A_ { 1 } \)에서 \( A_ { 2 } \)로의 전이확률은 \( \beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \) 상태 \( A_ { 2 } \)에서 \( A_ { 1 } \)으로의 전이확률은 0 , 상태 \( A_ { 2 } \)에서 \( A_ { 2 } \)로의 전이확률은 \( \beta \)가 되어 재조정 관리도의 일시상태 전이행렬은 \( \mathbf { Q } ^ { R } = \left [ \begin {array} { cc } (1- \alpha) e ^ { - \lambda h } & \beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ 0 & \beta \end {array} \right ] \) 이 된다.</p> <p>다음은 일시상태에서 흡수상태로의 전이확률에 대해 알아본다. 상태 \( A_ { 1 } \)에서 \( B_ { 1 } \)으로의 전이확률은 \( \alpha e ^ { - \lambda h } \), 상태 \( A_ { 1 } \)에서 \( B_ { 2 } \)로의 전이확률은 \( (1- \beta) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \), 상태 \( A_ { 2 } \)에서 \( B_ { 1 } \)으로의 전이확률은 0 , 상태 \( A_ { 2 } \)에서 \( B_ { 2 } \)로의 전이확률은 \( 1- \beta \)가 되어 재조정 관리도의 일시상태에서 흡수상태로의 전이행렬은 \( \mathbf { Q } _ { A } ^ { R } = \left [ \begin {array} { cc } \alpha e ^ { - \lambda h } & (1- \beta) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ 0 & 1- \beta \end {array} \right ] \) 행렬계산을 통해 다음 결과를 얻는다. \( \left (I- \mathbf { Q } ^ { R } \right ) ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { cc } \frac { 1 } { 1-a } & \frac {\beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { (1- \beta)(1-a) } \\ 0 & \frac { 1 } { 1- \beta } \end {array} \right ] \),<caption>(5.1)</caption>\( \left (I- \mathbf { Q } ^ { R } \right ) ^ { -1 } \mathbf { Q } _ { A } ^ { R } = \left [ \begin {array} { cc } \frac {\alpha e ^ { - \lambda h } } { 1-a } & \frac { 1-e ^ { - \lambda h } } { 1-a } \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \).<caption>(5.2)</caption>단, \( a=(1- \alpha) e ^ { - \lambda h } \) 이다.</p> <p>평균신호표본수는 런길이, \( N \)의 확률함수를 이용하여 구할 수도 있다. 먼저 런길이의 확률함수는, \( t=1,2, \ldots \)에 대해 \( P(N=t)= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } ^ { t-1 } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) \mathbf { 1 } _ { n } \) 이 됨을 알 수 있다. 여기서 벡터 \( \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) \mathbf { 1 } _ { n } \)의 \( i \)번째 요소는 \( i \)번째 일시상태에서 흡수상태로 가는 확률을 나타낸다. 따라서 평균런길이는 \[ \] \( \begin {aligned} E(N) &= \sum_ { t=1 } ^ {\infty } t \cdot \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \mathbf { Q } ^ { t-1 } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) \mathbf { 1 } _ { n } \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \sum_ { t=1 } ^ {\infty } t \cdot \mathbf { Q } ^ { t-1 } \right ) \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) \mathbf { 1 } _ { n } \\ &= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { n } \end {aligned} \)<caption>(2.3)</caption>가 되어 동일한 표현을 얻게 됨을 알 수 있다. 식 (2.2)에서는 시작점을 한 시점으로 간주하고 끝나는 점을 고려하지 않는 방법이고, 식 (2.3)에서는 시작점은 고려하지 않으나 끝나는 점을 한 시점으로 간주하는 데에 두 방법의 차이가 있으나 평균런길이의 계산에 있어서는 동일한 결과를 얻는다. 하지만 식 (2.2)를 사용하면 특정 일시상태에 대한 평균 방문수를 알 수 있어 공정관리 특성을 구하는데 유용하다.</p> <p>직전 시점의 관리통계량이 \( k \)번째 부구간에 포함되고 이때 사용되는 변량표본비를 \( \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \)라 하면 현 시점의 관리통계량은 \( S_ { t } =S_ { t-1 } + f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right ) \) 로 표현한다. 이 Markov연쇄의 전이확률은 \( \begin {aligned} P_ { V, i j } &=P \left (S_ { t } \in \left (l_ { j } , u_ { j } \right ) \mid S_ { t-1 } =m_ { i } \right ) \\ &=P \left (l_ { j } -m_ { i }<f \left (X_ { t } \left (H_ { i } , N_ { i } \right ) \right )<u_ { j } -m_ { i } \right ) \end {aligned} \) 으로 계산할 수 있다. 위의 전이확률로 이루어진 행렬은 \( \mathbf { Q } _ { V } = \left [P_ { A, i j } \right ]_ { n \times n } \) 가 된다.</p> <p>다음은 표본추출비 벡터와 표본크기 벡터를 정의한다. \( \mathbf { H } _ { n } ^ {\prime } = \left (H_ { 1 } , \ldots, H_ { 1 } , H_ { 2 } , \ldots, H_ { 2 } , H_ { 3 } , \ldots, H_ { 3 } \right ), \) \( \mathbf { N } _ { n } ^ {\prime } = \left (N_ { 1 } , \ldots, N_ { 1 } , N_ { 2 } , \ldots, N_ { 2 } , N_ { 3 } , \ldots, N_ { 3 } \right ), \) 각 벡터에서 동일한 값의 수는 순서대로 \(n_ { 1 } , n_ { 2 } , n_ { 3 } \)개씩으로 나열되어 있다.</p> <p>다음은 흡수영역을 분할하는 경우를 알아보자. 앞에서 일시영역을 분할하는 과정과 유사하게, 흡수영역을 \( n_ { A } \)(짝수)개의 부구간으로 구분하고 (즉, \( (- \infty,-L) \)을 \( n_ { A } / 2 \)개, \( (L, \infty) \)를 \( n_ { A } / 2 \)개로 분할) 각각의 부구간을, \( d=2 L / n \)에 대해 \( \left (-L- \frac { n_ { A } } { 2 } d,-L- \left ( \frac { n_ { A } } { 2 } -1 \right ) d \right ), \ldots,(-L-2 d,-L-d),(-L-d,-L) \), \( (L, L + d),(L + d, L + 2 d), \ldots, \left (L + \left ( \frac { n_ { A } } { 2 } -1 \right ) d, L + \frac { n_ { A } } { 2 } d \right ) \) 라 한다. 각 부구간의 중심점을 \( m_ { A 1 } , m_ { A 2 } , \ldots, m_ { A n_ { A } } \) 으로 나타내면 각 중심점은 Markov연쇄의 흡수상태를 정의하고 있다. 흡수영역은 일시영역과 달리 유한구간으로 표현되지 않는 것이 일반적이다. 그러나 흡수영역 중에서 관리통계량이 포함될 확률이 0에 가까운 부분 (즉, 관리통계량이 취하는 값의 극단적 꼬리 부분(extreme tail region))을 제외하면 여전히 유한 구간으로 표현할 수 있다.</p> <p>일시상태에서 흡수상태로의 전이확률은 다음과 같이 근사된다. \( \begin {aligned} p_ { A, i j } &=P \left (M_ { t } =m_ { A j } \mid M_ { t-1 } =m_ { i } \right ) \\ & \approx P \left (S_ { t } \in I_ { A j } \mid S_ { t-1 } =m_ { i } \right ) . \end {aligned} \) 따라서 일시상태에서 흡수상태로 가는 전이행렬은 \( \mathbf { Q } _ { A } = \left [P_ { A, i j } \right ]_ { n \times n_ { A } } \), 로 표현된다.</p> <p>변량추출구간이 취하는 값을 \( h_ { 1 } , h_ { 2 } \left (h_ { 1 } \geq h_ { 2 } \right ) \)라 하고, 변량표본크기가 취하는 값을 \( \eta_ { 1 } , \eta_ { 2 } \left ( \eta_ { 1 } \leq \eta_ { 2 } \right ) \)라 하자. 고정표본추출비에서와 마찬가지로 구간 \( R_ { T } =(-L, L) \)을 구간길이가 \( d(=2 L / n) \)인 \( n \)(홀수)개의 부구간으로 균등 분할한 다음, 변량추출구간과 변량표본크기가 취하는 값에 따라 3개의 표본비 부구간그룹 \( \left (R_ { T, 1 } , R_ { T, 2 } , R_ { T, 3 } \right ) \)으로 분할하고 각 표본비 부구간그룹에 포함되는 부구간의 수를 \( n_ { 1 } , n_ { 2 } , n_ { 3 } \left (n=n_ { 1 } + n_ { 2 } + n_ { 3 } \right ) \)라 하자. 단, \( n_ { 1 } \)은 홀수, \( n_ { 2 } , n_ { 3 } \)는 짝수. 분할된 표본비 부구간그룹과 그에 해당하는 부구간의 관계 및 표본추출간격과 표본크기는 다음과 같다. \( \begin {array} { ll } R_ { T, 1 } = \left (-L_ { 1 } , L_ { 1 } \right )=I_ { 1 } \cup \cdots \cup I_ { n_ { 1 } } & \left (h_ { 1 } , \eta_ { 1 } \right ), \\ R_ { T, 2 } = \left (-L_ { 2 } ,-L_ { 1 } \right ) \cup \left (L_ { 1 } , L_ { 2 } \right )=I_ { n_ { 1 } + 1 } \cup \cdots \cup I_ { n_ { 1 } + n_ { 2 } } & \left (h_ { * } , \eta_ { * } \right ), \\ R_ { T, 3 } = \left (-L,-L_ { 2 } \right ) \cup \left (L_ { 2 } , L \right )=I_ { n_ { 1 } + n_ { 2 } + 1 } \cup \cdots \cup I_ { n } & \left (h_ { 2 } , \eta_ { 2 } \right ), \end {array} \) 여기서 \( \left (h_ { * } , \eta_ { * } \right ) \)는 \( \left (h_ { 1 } , \eta_ { 2 } \right ) \) 또는 \( \left (h_ { 2 } , \eta_ { 1 } \right ) \)일 수 도 있고 더 간단한 경우에는 \( R_ { T, 2 } \)를 고려하지 않을 수 도 있다.</p> <p>전통적 관리도의 Markov연쇄에 관한 특성은 식 (6.1), (6.2)와 식 (2.4)를 통해 Table 6.1에 정리되어 있다. Table 6.1의 결과를 이용하면 결정오류를 고려한 관리도의 주기당 평균 추출표본수는 \( \begin {aligned} E \left (N_ { T } \right ) &= \frac { 1-b_ { 3 } } { a_ { 1 } } + \frac { b_ { 3 } } { a_ { 1 } } + \frac {\beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } } + \frac { (1- \beta) \beta_ { 3 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } } \\ &= \frac { 1- \xi_ { 2 } e ^ { - \lambda h } } { a_ { 1 } a_ { 2 } } \end {aligned} \) 이 되고, 또한 특정 흡수상태로 공정이 끝날 때의 평균 추출표본수는 다음과 같다. \( \begin {aligned} E \left (N_ { T } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) &= \frac { b_ { 1 } \left (1-b_ { 3 } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { b_ { 1 } b_ { 3 } } { a_ { 1 } ^ { 2 } } + 0 + 0= \frac { b_ { 1 } } { a_ { 1 } ^ { 2 } } \\ E \left (N_ { T } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) &= \frac { b_ { 2 } \left (1-b_ { 3 } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { b_ { 2 } b_ { 3 } } { a_ { 1 } ^ { 2 } } + 0 + 0= \frac { b_ { 2 } } { a_ { 1 } ^ { 2 } } , \\ E \left (N_ { T } , e \left \{ B_ { 3 } \right \} \right ) &= \frac {\left (1-b_ { 3 } \right ) \beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac { b_ { 3 } \beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac {\beta \beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac {\beta_ { 1 } \beta_ { 3 } (1- \beta) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } \\ &= \frac {\beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } \left \{\frac { 1 } { a_ { 1 } } + \frac {\beta + (1- \beta) \beta_ { 3 } } { a_ { 2 } } \right \} , \\ E \left (N_ { T } , e \left \{ B_ { 4 } \right \} \right ) &= \frac {\left (1-b_ { 3 } \right ) \beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac { b_ { 3 } \beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } ^ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac {\beta \beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } + \frac {\beta_ { 2 } \beta_ { 3 } (1- \beta) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } a_ { 2 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } \\ &= \frac {\beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } { a_ { 1 } \left (1- \beta_ { 3 } \right ) } \left \{\frac { 1 } { a_ { 1 } } + \frac {\beta + (1- \beta) \beta_ { 3 } } { a_ { 2 } } \right \} . \end {aligned} \) 결정오류를 고려한 관리도에서 표본추출부터 데이터 수집 및 분석에 소요되는 시간을 \( g n \), 공정의 수리 또는 재조정하는 데 소요되는 시간을 \( D_ { T } \)이라 하자. 또한, \( T_ { T } =h N_ { T } + g n + D_ { T } \)이면, 이상 신호시간(OC signal time)은 \( h N_ { T } \), 공정주기시간(cycle length time)은 \( T_ { T } \)이 된다. 위 두 종류의 시간에 대한 다음 세가지 조건을 고려할 필요가 있다. Case \( V_ { Ⅰ } : U>T_ { T } \), Case \( V_ { Ⅱ } : h N_ { T }<U \leq T_ { T } \), Case \( V_ { Ⅲ } : U \leq h N_ { T } \).</p> <p>관리도의 경제적 설계에서 구해야 하는 특성은 평균오경보수, 관리 및 이상상태에서 관측된 평균표본수 등이다. 만일 변량표본추출비가 사용된다면 추가적으로 관리 및 이상상태에서 관측된 평균관측수 및 이상상태에서 관측된 평균관측수, 이상상태에서 관측된 평균신호시간 등이 필요하다. 이와 같은 특성을 계산하기 위해서는 관리상태 하에서의 전이확률과 이상상태 하에서의 전이확률을 포함한 전이행렬을 구성해야 한다. 또한 오경보(관리상태일 때 이상신호를 주는 것) 이후에는 새로운 관리도가 시작된다는 사실을 고려해야한다.</p> <p>이를 위해 먼저 공정의 상태를 나타내는 새로운 변수를 아래와 같이 정의한다. \[ \] \( V_ { t } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & \text { process in IC, } \\ 2, & \text { process is OC but no signal is given, } \\ 3, & \text { process is OC and a signal is given. } \end {array} \right . \) 제 3.1절처럼 일시영역을 분할하고 편리상 흡수영역 전체를 또 하나의 부구간 \( I_ { n + 1 } \)로 표현하자. 관리상태에서 관리통계량이 부구간 \( I_ { n + 1 } \)에 포함되면 오경보를 주는 것이 되고, 오경보 후에는 중심점 \( m_ { i_ { 0 } } \)에서 표본추출간격과 표본크기를 \( \left (H_ { i_ { 0 } } , N_ { i_ { 0 } } \right ) \)로 하여 새로 시작한다.</p> <p>공정의 상태변수 \( V_ { t } \)를 고려한 전이확률은 다음과 같이 정의한다. \( \begin {aligned} p_ { i j, k l } &=P \left (V_ { t } =j, S_ { t } \in I_ { l } \mid V_ { t-1 } =i, S_ { t-1 } =m_ { k } \right ) \\ &=P \left (V_ { t } =j, l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \mid V_ { t-1 } =i \right ) \end {aligned} \) 이 전이확률은 공정상태 변수 \( V_ { t-1 } , V_ { t } \) 에 따라 다음과 같이 구체적으로 명시된다.</p> <ul> <li>\( \left (V_ { t-1 } =1, V_ { t } =1 \right ) \) 인 경우</li> <ul> <li>\( k, l=1,2, \ldots, n \)에 대해</li> <p>\( \begin {aligned} p_ { 11, k l } &=P \left (V_ { t } =1, l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \mid V_ { t-1 } =1 \right ) \\ &=P \left (l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \right ) \cdot e ^ { - \lambda H_ { k } } . \end {aligned} \) 위의 경우에는 주어진 표본구간 \( \left (H_ { k } \right ) \) 내에서 이상원인이 발생하지 않아야 하므로 \( e ^ { - \lambda H_ { k } } \)가 곱해졌다.</p> <li>\( k=n + 1, l=1,2, \ldots, n \)에 대해</li> <p>이 경우는 오경보 후 0에서 다시 시작하므로 0이 포함된 \( k=(n + 1) / 2 \)번째 상태의 전이 확률과 동일하다. 즉, \( p_ { 11,(n + 1) l } =P \left (l_ { l } -m_ {\frac { n + 1 } { 2 } }<f \left (X_ { t } \left (H_ {\frac { n + 1 } { 2 } } , N_ {\frac { n + 1 } { 2 } } \right ) \right )<u_ { l } -m_ {\frac { n + 1 } { 2 } } \right ) \cdot e ^ { - \lambda H_ {\frac { n + 1 } { 2 } } ^ { 2 } } \).</p> <li>\( k=1,2, \ldots, n + 1, l=n + 1 \) 에 대해</li> <p>이 경우는 오경보에 해당하여 관리통계량이 흡수상태에 포함되는 경우이므로 \( p_ { 11, k(n + 1) } =P \left (f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<-L \right . \) or \( \left .f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )>L \right ) \cdot e ^ { - \lambda H_ {\frac { n + 1 } { 2 } } } \)와 같이 계산할 수 있다. 이와 같이 \( \left (V_ { t-1 } =1, V_ { t } =1 \right ) \)일 때의 부전이행렬을 \( \mathbf { Q } _ { 11 } = \left [p_ { 11, k l } \right ]_ { (n + 1) \times(n + 1) } \)<caption>(4.1)</caption>로 정의한다.</p></ul> <li>\( \left (V_ { t-1 } =1, V_ { t } =2 \right ) \) 인 경우,</li> <ul> <li>\( k=1,2, \ldots, n + 1, l=1,2, \ldots, n \) 에 대해</li> <p>\( \begin {aligned} p_ { 12, k l } &=P \left (V_ { t } =2, l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \mid V_ { t-1 } =1 \right ) \\ &=P \left (l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \right ) \cdot \left (1-e ^ { - \lambda H_ { k } } \right ) . \end {aligned} \) 위의 경우에는 주어진 표본구간 \( \left (H_ { k } \right ) \) 내에서 이상원인이 발생해야 하므로 \( \left (1-e ^ { - \lambda H_ { k } } \right ) \)가 곱해졌다. 이 경우의 부전이행렬을 \[ \] \( \mathbf { Q } _ { 12 } = \left [p_ { 12, k l } \right ]_ { (n + 1) \times n } \)<caption>(4.2)</caption>로 정의한다.</p></ul> <li>\( \left (V_ { t-1 } =2, V_ { t } =1 \right ) \) 인 경우,</li> <ul> <li>\( k=1,2, \ldots, n, l=1,2, \ldots, n + 1 \) 에 대해</li> <p>\( p_ { 21, k l } =0 \).</p></ul> <li>\( \left (V_ { t-1 } =2, V_ { t } =2 \right ) \) 인 경우,</li> <ul> <li>\( k, l=1,2, \ldots, n \) 에 대해</li> <p>\( \begin {aligned} p_ { 22, k l } &=P \left (V_ { t } =2, l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \mid V_ { t-1 } =2 \right ) \\ &=P \left (l_ { l } -m_ { k }<f \left (X_ { t } \left (H_ { k } , N_ { k } \right ) \right )<u_ { l } -m_ { k } \right ). \end {aligned} \) 이 경우의 부전이행렬을 \[ \] \( \mathbf { Q } _ { 22 } = \left [p_ { 22, k l } \right ]_ { n \times n } \)<caption>(4.3)</caption>로 정의한다.</p></ul> <h2>3.1. 고정표본추출비</h2> <p>고정표본추출비(fixed sampling rate; FSR)는 표본추출구간과 표본크기가 사전에 결정되어 항상 동일한 값을 사용하는 것을 말한다. 고정표본추출비 관리도의 평균런길이의 계산은 식 (2.2)를 이용하여 쉽게 계산할 수 있다. 관리통계량이 식 (1.1)과 같고 관리한계선이 \( \pm L \)이면 \( R_ { T } =(-L, L), \quad R_ { A } =(- \infty,-L) \cup(L, \infty) \) 이 된다. 구간 \( (-L, L) \)을 구간길이가 \( d(=2 L / n) \)인 \( n \)(홀수)개의 부구간으로 균등 분할하면, 부구간은 \( \left (l_ { 1 } , u_ { 1 } \right ), \left (l_ { 2 } , u_ { 2 } \right ), \ldots, \left (l_ { n } , u_ { n } \right ), \quad \left (l_ { 1 } =-L, u_ { n } =L \right ) \) 이 되고 중심점은 \( m_ { 1 } , m_ { 2 } , \ldots, m_ { n } \) 이 되어 전이확률은 \( \begin {aligned} P_ { i j } &=P \left (S_ { t } \in \left (l_ { j } , u_ { j } \right ) \mid S_ { t-1 } =m_ { i } \right ) \\ &=P \left (l_ { j } -m_ { i }<f \left (X_ { t } \right )<u_ { j } -m_ { i } \right ) \end {aligned} \) 로 계산할 수 있다. 이 전이확률을 식 (2.1)을 통해 식 (2.2)에 대입하면 평균런길이를 계산할 수 있다.</p> <h2>3.2. 변량표본추출비</h2> <p>다음은 공정관리 진행 중 관리통계량의 값에 따라 다음 표본추출구간과 표본크기가 결정되는 변량표본비(variable sampling rate; VSR)를 사용하는 경우를 생각해 보자. 변량표본비 설계 중 표본크기는 고정되고 표본추출구간만 변하는 경우는 변량추출구간(variable sampling interval; VSI), 표본추출구간은 고정되고 표본크기만 변하는 경우는 변량표본크기(variable sample size; VSS)라 한다. 변량추출구간이 취하는 값의 수와 변량표본크기가 취하는 값의 수는 일반적으로 2개씩만을 설정한다. 이 수가 2보다 클 때에는 이론적 효율은 증가할 수 있어도 실질적 운용이 복잡하여 소기의 효과를 발휘할 수 없게 된다. 변량추출비에 대한 연구로는 Reynolds (1996), Reynolds와 Arnolds (2001)와 Park 등 (2004) 등을 들 수 있다.</p> <p>\( \begin {aligned} E \left (N_ { R } \mid R_ { Ⅰ } \right ) &=E \left (N_ { R } \mid R_ { Ⅱ } \right )= \frac { 1 } { 1-a } , \\ E \left (N_ { R } \mid R_ { Ⅲ } \right ) &= \frac { 1- \beta(1- \alpha) e ^ { - \lambda h } } { (1- \beta)(1-a) } . \end {aligned} \)<caption>(5.4)</caption></p> <p>다음은 세 가지 경우에 따른 이상원인의 발생시점에 대해 알아보자. 이상원인의 발생시점이 지수분포를 따르므로 기억불능 성질에 의해 \( \begin {aligned} E(U \mid U>X) &=E(U) + E(X \mid U>X) \\ &= \frac { 1 } {\lambda } + E(X \mid U>X) \end {aligned} \) 이 성립한다. 따라서 \( \begin {aligned} E \left (U \mid R_ { I } \right ) &=E \left (U \mid U>h N_ { R } + g n + D_ { R } \right ) \\ &=E(U) + E \left (h N_ { R } + g n + D_ { R } \mid U>h N_ { R } + g n + D_ { R } \right ) \\ &= \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1-a } + g n + D_ { R } \end {aligned} \)<caption>(5.5)</caption>위 식에서 \( g n + D_ { R } =0 \) 을 대입하면 \( E \left (U \mid U>h N_ { R } \right )= \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1-a } \) 이 되고 또한 \( P \left (U>h N_ { R } \right )= \frac {\alpha e ^ { - \lambda h } } { 1-a } \) 을 이용하여 \( E \left (U \mid R_ { Ⅲ } \right )= \frac { E(U)-E \left (U \mid U>h N_ { R } \right ) P \left (U>h N_ { R } \right ) } { P \left (R_ { Ⅲ } \right ) } \) \( = \frac { 1-a } {\alpha e ^ { - \lambda h } } \left \{\frac { 1 } {\lambda } - \left ( \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1-a } \right ) \frac {\alpha e ^ { - \lambda h } } { 1-a } \right \} \) \( = \frac { 1 } {\lambda } - \frac { h \alpha e ^ { - \lambda h } } { (1-a) \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) } \)<caption>(5.6)</caption>을 얻는다. 이와 유사하게<p>\( \begin {aligned} E \left (U \mid R_ { Ⅱ } \right ) &= \frac { E(U)-E \left (U \mid R_ { Ⅲ } \right ) P \left (R_ { Ⅲ } \right )-E \left (U \mid R_ { Ⅰ } \right ) P \left (R_ { Ⅰ } \right ) } { P \left (R_ { Ⅱ } \right ) } \\ &= \frac { 1 } {\lambda } + \frac { h } { 1-a } - \frac { t_ { R } e ^ { - \lambda t_ { R } } } { 1-e ^ { - \lambda t_ { R } } } \end {aligned} \)<caption>(5.7)</caption>을 얻을 수 있다.</p> <p>이와 같이 연속변수 값을 이산화시켜 다수의 일시 상태를 가진 Markov연쇄로 근사시키는 경우, 그 정확도는 전이행렬 \( \mathbf { Q } \)의 차수와 계산 값의 유효숫자의 크기에 달려있다. \( \mathbf { Q } \)의 차수가 클수록 참값에 가까운 값으로 나타낼 수 있어 정확도가 상승하지만 각 행렬요소에 나타나는 확률 값은 경우에 따라(특히 이상상태일 때) 매우 작은 값을 가지게 되어 컴퓨터를 사용할 때 유효숫자의 한계에 부딪쳐 행렬 \( \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \)의 요소가 음수와 같은 불가능한 값으로 나타나 전체 값을 크게 오도하는 결과가 발생한다. 따라서 정확한 값의 계산을 위해서는 \( \mathbf { Q } \)의 차수를 크게 하면서 동시에 실수계산의 유효숫자를 크게 하기 위해 프로그램상의 정밀도(precision)을 2배정밀(double precision)이나 4배정밀(quadruple precision)을 사용하여 계산된 행렬 \( \left ( \mathbf { I } _ { n } - \mathbf { Q } \right ) ^ { -1 } \)의 각 요소가 음수나 특이한 값이 나오는지를 면밀히 검토해야 한다.</p> <p>일시 지역을 분할할 때 Gaussian 구적법(quadrature method)를 사용하면 더 적은 구간으로 정확한 근사 값을 계산할 수 있는 것으로 알려져 있으나, 실제로 별 차이가 없는 경우가 많다. 오히려 지정된 구적점과 가중치를 사용해야 하기 때문에 동일 구간으로 분할하는 것보다 방법이 까다로워 사용에 불편하며 불편함에 대한 보상은 거의 없다고 봐도 무방하다.</p> <p>표현의 단순성을 고려하여 공정통계량이 0을 중심으로 대칭인 경우만을 고려한다. 또한 관리한계는 항상 \( \pm L \)로 간주한다. 분할하는 부구간의 수는 홀수로 하면 가운데 부구간의 대표값에 0이 포함되어 대칭성을 유지할 수 있어 좋다.</p> <h1>3. 통계적 설계</h1> <p>공정관리의 통계적 설계에서는 관리(in control; IC)상태일 때의 평균런길이 \( \left ( \mathrm { ARL } _ { 0 } \right ) \)와 이상(out of control; OC) 상태일 때의 평균런길이 \( \left ( \mathrm { ARL } _ { 1 } \right ) \)를 비교한다. 이때 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \)와 \( \mathrm { ARL } _ { 1 } \)는 공정분포가 처음부터 각각 관리상태와 이상상태를 가정하고 계산하게 된다. Shewhart 관리도의 경우는 관리통계량의 분포가 동일독립이므로 가설검정의 제 1, 2종 오류를 각각 \( \alpha, \beta \)라 할 때 관리절차는 가설검정의 연속적용과 동일하여 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } = \frac { 1 } {\alpha } , \quad \mathrm { ARL } _ { 1 } = \frac { 1 } { 1- \beta } \) 의 관계가 성립한다. 이러한 이유로 통계적 설계로 관리도의 특성을 연구하는 것을 위험에 기초한 접근(risk based approach)이라고도 한다.</p> <p>오경보에 해당하는 상태는 \( (n + 1) \)번째 상태이므로 평균오경보수는 부전이행렬 \( \mathbf { Q } _ { 11 } \)만을 이용해서 \( E(F)= \mathbf { s } _ { n + 1 } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { n + 1 } - \mathbf { Q } _ { 11 } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { n + 1,(n + 1) } \) 로 표현하거나, 또는 전체 전이행렬을 이용하여 \( E(F)= \mathbf { s } _ { 2 n + 1 } ^ {\prime } \left ( \mathbf { I } _ { 2 n + 1 } - \mathbf { Q } _ { V, t o t } \right ) ^ { -1 } \mathbf { 1 } _ { 2 n + 1,(n + 1) } \) 로 구할 수 있다.</p> <p>공정관리의 특성에 따라서는 관리통계량 자체가 공정의 품질인 목표치로 부터의 편차(deviation from target)을 나타내고 공정비용은 편차제곱평균에 비례(squared error loss)하는 필요한 경우가 있다. 주기당 총 편차제곱평균은 한 주기가 끝나기 직전까지의 편차제곱평균과 끝나는 시점에서의 편차제곱평균으로 나누어 계산한다. 한 주기가 끝나기 직전까지의 편차제곱평균은 모든 일시상태의 편차제곱평균에 해당되어 다음과 같이 계산할 수 있다. \( E \left ( \sum_ { t=1 } ^ { N-1 } S_ { t } ^ { 2 } \right )= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ) ^ { -1 } \mathbf { R } _ { n } \). 단, \( R_ { n } ^ {\prime } = \left (m_ { 1 } ^ { 2 } , m_ { 2 } ^ { 2 } , \ldots, m_ { n } ^ { 2 } \right ) \). 수정시점에서의 편차제곱평균은 흡수상태의 편차제곱평균에 해당되어 다음과 같이 계산할 수 있다. \( E \left (S_ { N } ^ { 2 } \right )= \mathbf { s } _ { n } ^ {\prime } ( \mathbf { I } - \mathbf { Q } ) ^ { -1 } \mathbf { Q } _ { A } \mathbf { R } _ { n_ { A } } \). 단, \( \mathbf { R } _ { n_ { A } } ^ {\prime } = \left (m_ { A, 1 } ^ { 2 } , m_ { A, 2 } ^ { 2 } , \ldots, m_ { A, n_ { A } } ^ { 2 } \right ) \).</p> <p>위의 결과에서 식 (5.3)-(5.7)을 이용하면 재조정 관리도의 단위시간당 평균비용을 계산할 수 있다.</p> <h1>6. 결정오류를 고려한 전통적 관리도</h1> <p>다음은 결정오류를 고려한 전통적 관리도(traditional control chart; TCC)의 특성에 대해 알아보자. 이 관리도는 Table 5.2의 action이 repair 또는 reset 이면 공정의 한 주기가 끝나고, 그렇지 않으면 공정을 계속하는 것이다. 재조정 관리도에서는 이상신호가 발령되면 항상 재조정하여 공정의 한 주기가 끝남을 상기할 필요가 있다. 전통적 관리도에서 Markov연쇄는 Table 5.2의 8개 상태를 다음과 같이 재명명한다.<p>\( A_ { 1 } = \mathrm { IC } _ { 1 } , A_ { 2 } = \mathrm { IC } _ { 4 } , A_ { 3 } = \mathrm { OC } _ { 1 } , A_ { 4 } = \mathrm { OC } _ { 4 } \), \( B_ { 1 } = \mathrm { IC } _ { 2 } , B_ { 2 } = \mathrm { IC } _ { 3 } , B_ { 3 } = \mathrm { OC } _ { 2 } , B_ { 4 } = \mathrm { OC } _ { 3 } \), 여기서 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , A_ { 3 } , A_ { 4 } \)는 일시상태, \( B_ { 1 } , B_ { 2 } , B_ { 3 } , B_ { 4 } \)는 흡수상태에 해당된다. 신호오류와 이상원인의 분포를 고려하면 일시상태의 전이행렬은 다음과 같다. \( \mathbf { Q } ^ { T } = \left [ \begin {array} { cccc } (1- \alpha) e ^ { - \lambda h } & \alpha \alpha_ { 3 } e ^ { - \lambda h } & \beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) & (1- \beta) \beta_ { 3 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ (1- \alpha) e ^ { - \lambda h } & \alpha \alpha_ { 3 } e ^ { - \lambda h } & \beta \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) & (1- \beta) \beta_ { 3 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ 0 & 0 & \beta & (1- \beta) \beta_ { 3 } \\ 0 & 0 & \beta & (1- \beta) \beta_ { 3 } \end {array} \right ] \) 또한, 일시상태에서 흡수상태로의 전이행렬은 \( \mathbf { Q } _ { A } ^ { T } = \left [ \begin {array} { cccc } \alpha \alpha_ { 1 } e ^ { - \lambda h } & \alpha \alpha_ { 2 } e ^ { - \lambda h } & (1- \beta) \beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) & (1- \beta) \beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ \alpha \alpha_ { 1 } e ^ { - \lambda h } & \alpha \alpha_ { 2 } e ^ { - \lambda h } & (1- \beta) \beta_ { 1 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) & (1- \beta) \beta_ { 2 } \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) \\ 0 & 0 & (1- \beta) \beta_ { 1 } & (1- \beta) \beta_ { 2 } \\ 0 & 0 & (1- \beta) \beta_ { 1 } & (1- \beta) \beta_ { 2 } \end {array} \right ] \) 이 된다. 따라서 행렬계산을 통해 다음 두가지 표현을 얻게 된다.</p> <p>표본추출시점부터 시간 \( g n + D_ { R } \)까지 이상원인이 일어나지 않을 확률은 \( e ^ { - \lambda \left (g n + D_ { R } \right ) } \). 이 확률과 표 \( 5.2 \)의 \( P \left (e \left \{ B_ { j } \right \} \mid b \left \{ A_ { i } \right \} \right ) \)를 이용하면 다음 확률을 얻게 된다.</p> <p>\( \begin {aligned} P \left (R_ { Ⅰ } \right ) &= \frac {\alpha e ^ { - \lambda \left (h + g n + D_ { R } \right ) } } { 1-a } , \\ P \left (R_ { Ⅱ } \right ) &= \frac {\left \{ 1-e ^ { - \lambda \left (g n + D_ { R } \right ) } \right \} \alpha e ^ { - \lambda h } } { 1-a } , \\ P \left (R_ { Ⅲ } \right ) &= \frac { 1-e ^ { - \lambda h } } { 1-a } . \end {aligned} \)<caption>(5.3)</caption></p> <p>표본추출시점을 기준으로 할 때, Cases \( R_ { Ⅰ } \) 과 \( R_ { Ⅱ } \) 은 공정이 관리상태에서 끝나는 경우를 의미하고, Case \( R_ { Ⅲ } \)은 이상상태에서 끝나는 것을 의미한다. 따라서, 관리상태와 이상상태에서 끝나면서 한 공정주기에서 취한 평균표본수는 각각 \( V \left (A_ { 1 } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) + V \left (A_ { 2 } , e \left \{ B_ { 1 } \right \} \right ) \) 와 \( V \left (A_ { 1 } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) + V \left (A_ { 2 } , e \left \{ B_ { 2 } \right \} \right ) \) 가 된다. 관리상태와 이상상태에서 끝나는 조건하에서 한 공정주기에서 취한 평균표본수는 식 (2.5)와 \( (2.6) \) 처럼 각각 해당 확률 \( \alpha e ^ { - \lambda h } /(1-a) \)와 \( \left (1-e ^ { - \lambda h } \right ) /(1-a) \) 로 나누어 다음과 같이 구한다.</p>	자연
해석학_Lebesgue 적분	<p>모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( () \) 가 성립하므로 \( \inf _ { f \leq \Psi } \int_ { E } \Psi(x) d m- \sup _ {\phi \leq f } \int_ { E } \phi(x) d m=0 . \)</p> <p>즉 \( \inf _ { f \leq \psi } \int_ { E } \Psi(x) d m= \sup _ {\phi \leq f } \int_ { E } \phi(x) d m \).</p> <p>\( 2) \Rightarrow 1 \). \( \quad \inf_ { f \leq \Psi } \int_ { E } \Psi(x) d m= \sup _ {\phi \leq f } \int_ { E } \phi(x) d m \) 이라 가정하자. \( \inf \) 와 \( \sup \) 의 정의에 의하여 각 자연수 \( n=1,2, \cdots \) 에 대하여 \( \Phi_ { n } (x) \leq f(x) \leq \Psi_ { n } (x) \) 이고 \( \int_ { E } \Psi_ { n } (x) d m- \int_ { E } \Phi_ { n } (x) d m< \frac { 1 } { n } \) 인 단순가측함수 \( \Phi_ { n } \) 과 \( \Psi_ { n } \) 이 있다. \( \phi= \sup _ { n } \Phi_ { n } , \Psi= \inf _ { n } \Psi_ { n } \) 으로 정의 하면, 정리 \( 11.33 \) 에 의하여 \( \phi \) 와 \( \Psi \) 는 가측이고 \( \phi(x) \leq f(x) \leq \psi(x) \) 이다. \( \Delta= \{ x \mid \phi(x) \langle \psi(x) \} \) 라 두고, 각 자연수 \( i=1,2, \cdots \) 에 대하여 \( \Delta_ { i } = \left \{ x \mid \phi(x) \left \langle \psi(x)- \frac { 1 } { i } \right \} \right . \) 라 두면 \( \triangle= \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } \Delta_ { i } \) 이다. 각 자연수 \( n=1,2, \cdots \) 에 대하여 \( \Phi_ { n } \leq \phi \leq \psi \leq \Psi_ { n } \) 이므로 \( i \) 를 고정된 자연수라 하면 \( \Delta_ { i } \subset \left \{\left .x \right \|_ { n } (x) \left \langle \Psi_ { n } (x)- \frac { 1 } { i } \right \} \right . \) 이고 \( m \Delta_ { i } \leq \frac { i } { n } \) 이다. \( n \) 가 임의의 자연수이므로 \( m \Delta_ { i } =0 \) 이다. 따라서 \( m \Delta=0 \) 이다. 그러므로 \( \phi= \Psi \) a.e. 이므로 \( \phi=f \) a.e. 이고 정리 \( 11.32 \) 에 의하여 \( f \) 는 가측함수이다.</p> <p>앞 정리 \( 11.38 \)으로부터 다음 정의를 유도할 수 있다.</p> <h2>유계측도집합 위에서 유계함수의 Lebesgue 적분</h2> <p>정리 \( 11.38 \) \( E \) 를 가측집합, \( m E< \infty \), 함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } \) 를 유계라 하자. 다음의 \( 1) \)과 \( 2) \)는 동치이다.<ol type = 1 start=1><li>\( f \) 가 가측이다.</li> <li>\( \inf \left \{\int_ { E } \Psi(x) d m \mid \psi \right . \) 는 단순가측, \( \left .f \leq \Psi \right \} \) \( = \sup \left \{\int_ { E } \Phi(x) d m \mid \Phi \right . \) 는 단순가측, \( \left .f \geq \Phi \right \} \)</li></ol></p> <p>증명</p> <p>\( 1) \Rightarrow 2) .\|f(x)\| \leq M(M>0), f \) 를 가측함수라 하자. 각 자연수 \( n=1,2, \cdots \) 과 \( -n<k \leq n \) 인 자연수 \( k \) 에 대하여 \( E_ { k } = \left \{ x \mid \frac { (k-1) M } { n }<f(x) \leq \frac { M } { n } \right \} \) 라 두면 \( E_ { i } \cap E_ { j } = \varnothing(i \neq j), E= \bigcup_ { k=1 } ^ { n } E_ { k } \) 이다. 따라서 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } m E_ { k } =m E \). \( \Phi_ { n } \) 과 \( \Psi_ { n } \) 을 아래와 같이 정의한다.</p> <p>\( \Phi_ { n } (x)= \frac { M } { n } \sum_ { k=-n } ^ { n } (k-1)_ { X_ { E_ { k } } } (x) \)</p> <p>\( \Psi_ { n } (x)= \frac { M } { n } \sum_ { k=-n } ^ { n } k X_ { E_ { k } } (x) \)</p> <p>\( E \) 의 모든 점 \( x \) 에 대하여 \( \Phi_ { n } (x) \leq f(x) \leq \psi_ { n } (x) \). 따라서 \( \inf \left \{\int_ { E } \psi(x) d m \mid \psi \right . \) 는 단순가측, \( \left .f \leq \psi \right \} \) \( \leq \int_ { E } \Psi_ { n } (x) d m= \frac { M } { n } \sum_ { k=-n } ^ { n } k m E_ { k } , \) \( M(m E) \geq= \sup \left \{\int_ { E } \phi(x) d m \mid \phi \right . \) 는 단순가측, \( \left .f \geq \phi \right \} \) \( \geq \int_ { E } \Phi_ { n } (x) d m= \frac { M } { n } \sum_ { k=-n } ^ { n } (k-1) m E_ { k } \) 이므로 \( \begin {aligned} 0 \leq \inf \int_ { E } \Psi(x) d m &- \sup \int_ { E } \Phi(x) d m \\ & \leq \frac { M } { n } \sum_ { k=-n } ^ { n } m E_ { k } = \frac { M } { n } m E \cdots( ) \end {aligned} \)</p> <p>\( 2) \) \( F_ { 1 } =E_ { 1 } , F_ { n } =E_ { 1 } \backslash E_ { n } (n=2,3, \cdots) \) 라 두면, \( \left \{ F_ { n } \right \} \) 는 가측집합의 단조증가수열이다. \( E_ { 1 } = \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) \cup \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } F_ { n } \right ), \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) \cap \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } F_ { n } \right )= \varnothing \) 이다. \( 1) \)과 정리 \( 11.216 \) )에 의하여 \( m E_ { 1 } =m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) + \lim _ { n \rightarrow \infty } m F_ { n } =m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) + m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } F_ { n } \right ) \) 이다. 모든 자연수 \( n=1,2, \cdots \) 에 대하여 \( m E_ { n } \leq m E_ { 1 }< \infty \) 이므로, \( m F_ { n } =m \left (E_ { 1 } \backslash E_ { n } \right )=m E_ { 1 } -m E_ { n } \) 이다. 따라서 \( m E_ { 1 } =m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) + m E_ { 1 } - \lim _ { n \rightarrow \infty } m E_ { n } \) 이고 \( m E_ { 1 }< \infty \) 이므로 \( m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } m E_ { n } \) 이다.</p> <p>\( \mathbb { R } \) 위의 동상위상(usual topology)에 대하여 잘 알고있는 독자들을 위하여 Lindelöf 정리를 소개한다.</p> <p>\( a=0 \) 이면 \( \quad \left \{ x \mid \frac { 1 } { g(x) } >0 \right \} = \{ x \mid g(x)>0 \} \). 따라서 각 경우 가측집합이므로 \( \frac { 1 } { g } \) 는 가측함수이다.</p> <p>예제 \( 3.6 \)</p> <p>\( 1) \) \( f: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 가 가측함수이면 \( \mathbb { R } \) 의 임의의 개집합 \( O \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x) \in O \} \) 는 가측집합이다.</p> <p>\( 2) \) 함수 \( g: E \rightarrow \mathbb { R } , f: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \) 에 대하여 \( f \) 는 연속, \( g \) 가 가측함수이면 \( f \circ g \) 는 가측함수이다.</p> <p>\( 3) \) \( \mathbb { R } \) 의 부분집합 \( E \) 에 대하여 \( \mathrm { x } _ { E } \) 를 특성함수(characteristic function)이라 하자. 즉 \( \mathrm { x } _ { E } (x)= \left \{\begin {array} { ll } 1: & x \in E \\ 0: & x \in E ^ {\prime } \end {array} \right . \) 다음의 ⅰ)과 ⅱ)는 동치이다.</p> <ol type=i start=1><li>\( \mathrm { K } _ { E } \) 가 가측함수이다.</li> <li>\( E \) 가 가측집합이다.</li></ol> <p>풀이</p> <p>\( 1) \) \( O \) 가 개집합이므로 \( O= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \) 인 서로소인 개구간열 \( \left \{ I_ { n } \right \} \) 이 존재한다. 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( I_ { n } = \left (a_ { n } , b_ { n } \right ) \) 이라 두면 \( \begin {aligned} \{ x \mid f(x) \in O \} &=f ^ { -1 } \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \right )= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } f ^ { -1 } \left (I_ { n } \right ) \\ &= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \left \{ x \mid f(x)>a_ { n } \right \} \cap \left \{ x \mid f(x) \left \langle b_ { n } \right \} \right . \end {aligned} \) 이므로 \( \{ x \mid f(x) \in O \} \) 는 가측집합이다.</p> <p>\( 2) \) 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 \( (f \circ g) ^ { -1 } ((a, \infty))=g ^ { -1 } \left (f ^ { -1 } (a, \infty) \right ) \) 이다. \( f \) 가 연속이므로 \( f ^ { -1 } ((a, \infty)) \) 는 개집합이다. \( 1) \)에 의하여 \( g ^ { -1 } \left (f ^ { -1 } ((a, \infty)) \right . \) 는 가측집합이므로 \( f \circ g \) 는 가측함수이다.</p> <p>\( 3) \) ⅰ) \( \Rightarrow \) ⅱ). \( \left \{ x \mid \mathrm { x } _ { E } (x)=1 \right \} =E \) 이고 \( \mathrm { x } _ { E } \) 가 가측함수이므로 \( E \) 는 가측집합이다.</p> <p>ⅱ) \( \Rightarrow \) ⅰ). 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 \( a<0 \) 이면 \( \left \{ x \mid \mathrm { X } _ { E } (x)>a \right \} = \mathrm { R } , \quad 0 \leq a<1 \) 이면 \( \quad \left \{ x \mid \mathrm { X } _ { E } (x)>a \right \} =E, \quad 1 \leq a \) 이면 \( \left \{ x \mid \mathrm { X } _ { E } (x)>a \right \} = \varnothing . \varnothing, E, \mathbb { R } \) 가 가측집합이므로 \( \mathrm { X } _ { E } \) 는 가측함수이다.</p> <p>예제 \( 2.1 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( m ^ { * } \varnothing=0 \)</li> <li>임의의 실수 \( a \) 에 대하여, \( m ^ { * } \{ a \} =0 \) 이다.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( n \) 을 자연수라 하면 \( \varnothing \subset \left (- \frac { 1 } { n } , \frac { 1 } { n } \right ) \) 이고 \( \quad \left (- \frac { 1 } { n } , \frac { 1 } { n } \right )= \frac { 2 } { n } \) 이므로 \( m ^ { * } \varnothing \leq \frac { 2 } { n } \) 이다. \( n \) 이 임의의 자연수이므로 \( m ^ { * } \varnothing=0 \) 이다.</li> <li>각 자연수 \( n \) 에 대하여, \( \{ a \} \subset \left (a- \frac { 1 } { n } , a + \frac { 1 } { n } \right ) \) 이고 \( \ell \left (a- \frac { 1 } { n } , a + \frac { 1 } { n } \right )= \frac { 2 } { n } \) 이므로 \( 1) \)과 마찬가지로 \( m ^ { * } \{ a \} =0 \) 이다.</li></ol> <p>정리 \( 11.10 \) \( A, B \) 를 \( A \subset B \) 인 \( \mathbb { R } \) 의 부분집합이라 하자. \( m ^ { * } A \leq m ^ { * } B \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A, B \) 를 \( A \subset B \) 인 \( \mathbb { R } \) 의 부분집합이라 하자. \( \left \{ I_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 가 \( B \) 의 개구간의 덮개이면 \( \left \{ I_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 는 \( A \) 의 덮개이므로 \( m ^ { * } A \leq m ^ { * } B \) 이다.</p> <h1>연습문제 \( 11.4 \)</h1> <p>\( 1. \) \( E \) 는 가측집합, \( \phi \) 를 단순가측함수라 하자. \( \phi=0 \) 이면 \( \int_ { E } \Phi(x) d m=0 \).</p> <p>\( 2. \) \( f \geq 0 \) 인 가측함수이라 하자.</p> <p>\( f=0 \) 이면 \( \int_ { E } f(x) d m=0 \).</p> <p>\( 3. \) \( f: E \rightarrow \mathrm { R } ^ { * } \) 를 가측함수라 하자. \( f=0 \) 이면 \( \int_ { E } f(x) d m=0 \).</p> <p>\( 4. \) \( E \) 는 가측집합, \( f: E \rightarrow \mathrm { R } ^ { * } \) 는 음이 아닌 가측함수라 하자. 다음 \( 1) \), \( 2) \)는 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f= \begin {array} { ll } 0 & a . e \end {array} \) 이다.</li> <li>\( \int_ { E } f(x) d m=0 \)</li></ol> <p>\( 5. \) \( \quad \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { n \sqrt { x } } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } d m=0 \)</p> <h2>연습문제 풀이 및 해답</h2> <p>\( 1. \) \( \Phi=0 \mathrm { X } _ { E } \) 이므로 \( \int_ { E } \Phi(x) d m=0 m E=0 \) 이다.</p> <p>\( 2. \) \( h: E \rightarrow \mathbb { R } \) 이 유계가측함수이고, \( h \leq f, \quad m \{ x \in E \mid h(x) \neq 0 \}< \infty \) 라 하면, \( f=0 \) 이므로 \( h=0 \) 이다. 따라서 \( \int_ { E } f(x) d m=0 \) 이다.</p> <p>\( 3. \) \( f=0 \) 이면 \( f ^ { + } =0, f ^ { - } =0 \) 이다. \( 2 \) 번에 의하여 \( \quad \int_ { E } f ^ { + } = \int_ { E } f ^ { - } =0 \) 이므로 \( \int_ { E } f= \int_ { E } f ^ { + } - \int_ { E } f ^ { - } =0 \)</p> <h2>Lebesgue 가측집합과 Lebesgue 측도</h2> <p>정리 \( 11.8(5) \)에서 \( \left \{ I_ { n } \right \} \) 을 서로소인 구간열이고 \( \bigcup_ { n = 1 } ^ {\infty } I_ { n } \) 가 구간이면 \( \ell \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ell \left (I_ { n } \right ) \) 이지만 \( \left \{ A_ { n } \right \} \) 들이 서로소인 \( \mathrm { R } \) 의 부분집합의 수열이더라도 \( m ^ { * } \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } A_ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } m ^ { * } A_ { n } \) 이 성립하지 않는 집합열 \( \left \{ A_ { n } \right \} \) 이 있다. 이러한 \( \mathrm { R } \) 의 부분집합의 수열은 정리 \( 11.25 \) 후에 만들 수 있는데 학부 수준을 넘으므로 언급만 해둔다. Riemann 적분을 위하여 성립하는 이 성질이 Lebesgue 적분을 위한 측도에서도 성립되기를 요구하므로 Lebesgue 외측도의 정의역을 위 성질이 성립하는 범위로 줄일 필요가 있다. 이 작업을 위하여 가측집합을 정의한다.</p> <p>정의 \( 11.13 \) \( m ^ { * } \) 를 Lebesgue 외측도, \( E \) 를 \( \mathbb { R } \) 의 부분집합이라 하자. \( \mathbb { R } \) 의 모든 부분집합 \( A \) 에 대하여 \( m ^ { * } (A)=m ^ { * } (A \cap E) + m ^ { * } \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \) 일 때 \( E \) 를 Lebesgue 가측집합(Lebesgue measurable set)이라 부른다. Lebesgue 가측집합을 간단히 가측집합이라 부른다.</p> <p>정의 \( 11.13 \)에서 \(A=A \cap \mathbb { R } =A \cap \left (E \cup E ^ {\prime } \right )=(A \cap E) \cup \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \) 이므로 정리 \( 11.10 \)에 의하여 \( m ^ { * } A=m ^ { * } \left ((A \cap E) \cup \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \right ) \leq m ^ { * } (A \cap E) + m ^ { * } \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \) 이다 . 따라서 \( E \) 가 Lebesgue 가측집합일 필요충분조건은 \( \mathbb { R } \) 의 모든 부분집합 \( A \) 에 대하여 \( m ^ { * } A \geq m ^ { * } (A \cap E) + m ^ { * } \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \) 이다.</p> <p>\( 4. \) \( 1) \) \( \Rightarrow \) \( 2) \) \( f=0 \) a.e라 가정하자. \( E_ { 1 } = \{ x \in E \mid f(x) \neq 0 \} \) 이라 하면 \( m E_ { 1 } =0 \) 이다. \( \int_ { E } f(x) d m= \int_ { E_ { 1 } } f(x) d m + \int_ { E \backslash E_ { 1 } } f(x) d m \) 이고 \( 3 \) 번에 의하여 \( \int_ { E \backslash E_ { 1 } } f(x) d m=0 \), \( m E_ { 1 } =0 \) 이므로 \( \int_ { E_ { 1 } } f(x) d m=0 \). 따라서 \( \int_ { E } f(x) d m=0 \) 이다.</p> <p>\( 2) \) \( \Rightarrow \) 1) 집합, \( f \) 가 가측이고, \( E \) 가 가측집합이므로 집합 \( B= \{ x \mid f(x)=0 \} \) 은 가측집합이다. 따라서 \( E_ { 1 } =E \backslash B= \{ x \mid f(x)>0 \} \) 도 가측집합이다. \( f=0 \) a.e 가 아니라고 가정하면 \( m E_ { 1 } >0 \) 이다. 따라서 \( m \left \{ x \in E_ { 1 } \mid f(x)>a \right \} >0 \) 인 \( a>0 \)가 존재한다. \( G= \left \{ x \in E_ { 1 } \|f(x) \rangle_ { a } \right \} \) 라 두면 모든 \( x \in E \) 에 대하여 \( f(x) \geq aX_ { G } (x) \) 이므로 \( \int_ { E } f(x) d m \geq \int_ { E } a \times G(x) d m=a m G>0 . \) 이것은 \( \int_ { E } f(x) d m=0 \) 이라는 가정에 모순이다.</p> <p>\( 5. \) \( f_ { n } (x)= \frac { n \sqrt { x } } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } \) 은 \( (0,1] \) 에서 연속이므로 \( (0,1] \) 에서 리만적분이 가능하다. 따라서 Lebesgue 적분가능하다. 모든 \( x \in(0,1] \) 에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x)=0 \) 이고, 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( (1-n x) ^ { 2 } \geq 0 \) 이므로 \( f_ { n } (x)= \frac { n \sqrt { x } } { 1 + n ^ { 2 } x ^ { 2 } } \leq \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \) 이며, \( g(x)= \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \) 는 \( (0,1] \) 에서 연속이므로 적분가능하다. 그러므로 정리 \( 11.54 \)에 의하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { t } f_ { n } (x) d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } \lim _ { n \rightarrow \infty } f_ { n } (x) d x=0 \).</p> <p>정리 \( 11.56 \) \( E \) 는 가측집합, \( \left \{ E_ { n } \right \} \) 는 서로소인 가측집합의 수열, \( E = \bigcup_ { n-1 } ^ {\infty } E_ { n } \) 이라 하자. 함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 가 Lebesgue 적분가능이면 \( \int_ { E } f(x) d m= \int_ {\bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } } f(x) d m= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E_ { n } } f(x) d m . \)</p> <p>증명<p/><p>\( \mathrm { x } _ { E } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \mathrm { x } _ { E_ { n } } \) 이므로 Beppo Levi 정리에 의하여 \( \begin {aligned} \int_ { E } f(x) d m &= \int_ { E } \left (x_ { E } f(x) d m \right . \\ &= \int_ { E } \left (x_ { E } f \right ) ^ { + } (x) d m- \int_ { E } \left (x_ { E } f \right ) ^ { - } (x) d m \\ &= \int_ { E } \left (x_ { E } f ^ { + } \right )(x) d m- \int_ { E } \left (x_ { E } f ^ { - } \right )(x) d m \\ &= \int_ { E } \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { + } \right )(x) d m- \int_ { E } \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { - } \right )(x) d m \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { + } \right )(x) d m- \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { - } \right )(x) d m \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { + } \right )(x) d m- \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { - } \right )(x) d m \right ) \\ & \left .= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f ^ { + } -x_ { E_ { n } } f ^ { - } \right )(x) d m \right ) \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E } \left (x_ { E_ { n } } f \right )(x) d m \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \int_ { E_ { n } } f(x) d m . \end {aligned} \).</p> <p>정의 \( 11.1 \) \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 이 수열일 때, 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( A_ { n } = \sup _ { k \geq n } \left \{ a_ { k } \right \} = \sup \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} \), \( B_ { n } = \inf _ { k \geq n } \left \{ a_ { k } \right \} = \inf \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} \) 으로 나타내면 \( A_ { n } \) 과 \( B_ { n } \) 은 \( \mathbb { R } ^ { * } \) 의 원소이다. \( \inf _ { n } \left \{ A_ { n } \right \} \) 을 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 의 상극한(limit superior)이라하고 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup a_ { n } \) 또는 \( \varlimsup a_ { n } \) 라 쓴다. \( \sup _ { n } \left \{ B_ { n } \right \} \) 을 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 의 하극한(limit inferior)이라 하고 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \inf a_ { n } \) 또는 \( \underline {\lim } a_ { n } \) 라 쓴다. 즉, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup a_ { n } = \overline {\lim } a_ { n } = \inf _ { n } \sup _ { k \geq n } \left \{ a_ { k } \right \} \), \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \inf a_ { n } = \underline {\lim } a_ { n } = \sup _ { n } \inf _ { k \geq n } \left \{ a_ { k } \right \} \).</p> <p>정리 \( 11.30 \) 함수 \( f, g: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 를 가측함수라 하자.<ol type = 1 start=1><li>\( f + g, f-g \) 가 \( \infty- \infty \) 형태의 값을 취하지 않으면 \( f + g, f-g \) 는 가측함수이다.</li> <li>\( f g \) 는 가측함수이다.</li> <li>\( g \neq 0 \) 이면 \( \frac { 1 } { g } \) 은 가측함수이다. 따라서 \( 2) \) 에 의하여 \( \frac { f } { g } \) 는 가측함수이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>\( 1) \) 모든 실수 \( a \) 에 대하여, \( \begin {aligned} \{ x \mid f(x) + g(x)>a \} &= \{ x \mid f(x) \in \mathbb { R } , g(x) \in \mathbb { R } , f(x)>a-g(x) \} \\ & \cup( \{ x \mid f(x)= \infty \} \backslash \{ x \mid g(x)=- \infty \} ) \\ & \cup( \{ x \mid g(x)= \infty \} \backslash \{ x \mid f(x)=- \infty \} ) \end {aligned} \) 이므로 정리 \( 11.28 \) 과 예제 \( 3.1 \) 에 의하여 \( \{ x \mid f(x) + g(x)>a \} \)는 가측집합이다. 따라서 \( f + g \) 는 가측함수이다. \( g \) 가 가측함수이면 정리 \( 11.29 \) 에 의하여 \( -g \) 도 가측함수이다. 따라서 \( f + (-g)=f-g \) 는 가측함수이다.</p> <p>\(2) \) 모든 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x) g(x)>a \} = \{ x \mid a<f(x) g(x)< \infty \} \cup \{ x \mid f(x) g(x)= \infty \} \) \( \{ x \mid f(x) g(x)= \infty \} \) \( = \{ x \mid f(x)= \infty, g(x)= \infty \} \cup \{ x \mid f(x)>0, g(x)= \infty \} \) \( \bigcup \{ x \mid g(x)>0, f(x)= \infty \} \cup \{ x \mid f(x) \langle 0, g(x)=- \infty \} \) \( \bigcup \{ x \mid g(x) \langle 0, f(x)=- \infty \} \cup \{ x \mid f(x)=- \infty, g(x)=- \infty \} \) , \( \{ x \mid f(x)>0, g(x)= \infty \} = \{ x \mid f(x)>0 \} \cap \{ x \mid g(x)= \infty \} \) 는 \( \quad f \) 와 \( g \) 가 가측함수이므로 가측집합이다.</p> <p>정리 \( 11.37 \) \( \Phi, \psi: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \) 를 Lebesgue 적분이 정의되는 단순가측함수, \( E \) 와 \( F \) 를 가측집합이라 하자.<ol type = 1 start=1><li>\( \phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \chi_ { E_ { i } } \left (E_ { i } \cap E_ { j } = \varnothing, a_ { i } \neq a_ { j } (i \neq j), \mathbb { R } = \bigcup_ { i=1 } ^ { n } E_ { i } \right ) \) 이면 \( \int_ { E } \phi(x) d m= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left (E \cap E_ { i } \right ) . \)</li> <li>\( E \bigcap F= \varnothing \) 이면 \( \int_ { E \cup F } \Phi(x) d m= \int_ { E } \Phi(x) d m + \int_ { F } \Phi(x) d m . \)</li> <li>실수 \( c \) 에 대하여 \( \int(c \phi)(x) d m=c \int \phi(x) d m \).</li> <li>\( \int( \Phi + \Psi)(x) d m= \int \Phi(x) d m + \int \Psi(x) d m \)</li> <li>\( \phi \leq \psi \) 이면 \( \int \phi(x) d m \leq \int \Psi(x) d m . \)</li></ol></p> <p>증명</p> <p>\( 1) \) \( \int \Phi(x) d m= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m E_ { i } \) 이고 \( \mathrm { X } _ { E } \Phi= \mathrm { X } _ { E } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { X } _ { E_ { i } } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { X } _ { E } \mathrm { X } _ { E_ { i } } = \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { X } _ { E \cap E_ { i } } \) 이다. 따라서 \( \int_ { E } \Phi(x) d m= \int \left ( \mathrm { x } _ { E } \Phi \right )(x) d m= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left (E \cap E_ { i } \right ) \).</p> <h1>연습문제 11.1</h1> <ol type = 1 start=1><li>정리 11.3, 정리 11.5와 따름정리 11.6을 증명하라.</li> <li>수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} , \left \{ b_ { n } \right \} \)에 대하여 다음을 보여라. \( \begin {aligned} \overline {\lim } a_ { n } + \underline {\lim } b_ { n } & \leq \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) \\ & \leq \overline {\lim } a_ { n } + \overline {\lim } b_ { n } \end {aligned} \)</li> <li>각 \( n \)에 대하여 \( x_ { n } \geq 0, y_ { n } \geq 0 \)인 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \)과 \( \left \{ y_ { n } \right \} \)에 대하여 \( \overline {\lim } \left (x_ { n } y_ { n } \right ) \leq \left ( \overline {\lim } x_ { n } \right ) \left ( \overline {\lim } y_ { n } \right ) \)임을 보여라. (단, 우변의 곱은 \( 0 \cdot \infty \) 형이 아니다.)</li> <li>수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \)에 대하여, \( \overline {\lim } x_ { n } = \infty \)일 필요충분조건은 주어진 \( r>0 \)와 각 자연수 \( n \)에 대하여 \( r<x_ { k } \)인 \( n \)보다 큰 자연수 \( k \)가 존재하는 것임을 보여라.</li> <li>\( \zeta \)가 집합 \( X(X \neq \varnothing) \) 위의 위상일 때 \( \zeta \)를 포함하는 가장 작은 대수를 구성해 보라.</li></ol> <h2>연습문제 풀이 및 해답</h2> <p>2. 모든 \( n=1,2, \cdots \)에 대하여 \( a_ { n } + b_ { n } \leq \sup _ { k \geq n } a_ { k } + \sup _ { k \geq n } b_ { k } \)이므로 \( a_ { n } + b_ { n } \leq \overline {\lim } a_ { n } + \overline {\lim } b_ { n } \)이다. 따라서 \( \sup { } _ { k \geq n } \left (a_ { k } + b_ { k } \right ) \leq \operatorname {\operatorname {\overline { lim } } } a_ { n } + \overline {\lim } b_ { n } \)이고 \( \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } \right )= \inf \sup _ { n \geq n } \left (a_ { k } + b_ { k } \right ) \leq \overline {\lim } a_ { n } + \overline {\lim } b_ { n } \)이다. 한편, \( \begin {aligned} \overline {\lim } a_ { n } &= \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } -b_ { n } \right ) \\ & \leq \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) + \overline {\lim } \left (-b_ { n } \right ) \\ &= \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } \right )- \underline {\lim } b_ { n } \end {aligned} \)이므로 \( \overline {\lim } a_ { n } + \underline {\lim } b_ { n } \leq \overline {\lim } \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) \)이다.</p> <p>정리 \( 11.22 \) \( \left \{ E_ { n } \right \} \) 을 가측집합의 수열이라 하자.<ol type = 1 start=1><li>\( \left \{ E_ { n } \right \} \) 이 단조증가수열이면, \( m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } m E_ { n } \) 이다. 여기서 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } = \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } E_ { n } \) 이다.</li> <li>\( \left \{ E_ { n } \right \} \) 이 단조감소수열이고 \( m E_ { 1 }< \infty \) 이면, \( m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } m E_ { n } \) 이다. 여기서 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } = \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } E_ { n } \) 이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>\( 1) \) \( F_ { 1 } =E_ { 1 } , F_ { n } =E_ { n } \backslash E_ { n-1 } (n=2,3, \cdots) \) 라 두면, \( \left \{ F_ { n } \right \} \) 는 서로소인 가측집합의 수열이고 \( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } E_ { i } = \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } F_ { i } , E_ { n } = \bigcup_ { i=1 } ^ { n } F_ { i } \) 이다. 정리 \( 11.19 \) 에 의하여 \( \begin {aligned} m \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } E_ { n } \right ) &=m \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } E_ { i } \right )=m \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } F_ { i } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ {\infty } m F_ { i } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } m F_ { i } = \lim _ { n \rightarrow \infty } m \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } F_ { i } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } m E_ { n } . \end {aligned} \)</p> <p>정리 \( 11.12 \) 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( A_ { n } \subset \mathrm { R } \) 라 하면 다음이 성립한다. \( m ^ { * } \left ( \bigcup_ { n = 1 } ^ {\infty } A_ { n } \right ) \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } m ^ { * } A_ { n } \)</p> <p>증명</p> <p>\( A_ { n } \) 들 중 \( m ^ { * } A_ { n } = \infty \) 인 것이 있으면 정리의 부등식은 성립한다. 모는 자연수 \( n \) 에 대하여 \( m ^ { * } A_ { n }< \infty \) 라 가정하자. 각 자연수 \( n \) 에 대하여 다음을 만족하는 개구간들 \( \left \{ I_ { n, i } \right \} _ { i=1 } ^ {\infty } \) 가 있다. \( A_ { n } \subset \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } I_ { n, i } \) 이고 \( \quad \sum_ { i } \ell \left (I_ { n, i } \right )<m ^ { * } A_ { n } + \frac {\varepsilon } { 2 ^ { n } } \) 이다. 이때 \( \left \{ I_ { n, i } \right \} _ { i=1 } ^ {\infty } \) 은 \( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } A_ { n } \) 을 덮고 다음이 성립한다.</p> <p>\( \begin {aligned} m ^ { * } \left ( \bigcup A_ { n } \right ) \leq \sum_ { n, i } \ell \left (I_ { n, i } \right ) &= \sum_ { n } \sum_ { i } \ell \left (I_ { n, i } \right ) \\ &= \sum_ { n } \left (m ^ { * } A_ { n } + \frac {\varepsilon } { 2 ^ { n } } \right ) \\ &= \sum_ { n } m ^ { * } A_ { n } + \varepsilon \end {aligned} \)</p> <p>예제 \( 1.1 \)</p> <p>각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( a_ { n } = \left \{\begin {array} { c } -n, n \text { 이 짝수 } \\ 0, n \text { 이 홀수 } \end {array} \right . \) 으로 정의된 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup a_ { n } \) 과 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \inf a_ { n } \) 을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sup \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} =0, \quad \inf \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} =- \infty \) 이므로 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup a_ { n } =0 \) 이고 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \inf a_ { n } =- \infty \) 이나. 이 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 에 대하여 극한이 존재하지 않음을 안다.</p> <p>예제 \( 1.2 \)</p> <p>각 자연수 \( n \) 에 대해서 \( a_ { n } = \frac { 1 } { n } \) 으로 정의된 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 에 대하여 \( \overline {\lim } a_ { n } \) 과 \( \underline {\lim } a_ { n } \) 을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( \sup \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} = \frac { 1 } { n } , \quad \inf \left \{ a_ { n } , a_ { n + 1 } , \cdots \right \} =0 \)<p>이므로 \( \overline {\lim } a_ { n } =0 \) 이고 \( \underline {\lim } a_ { n } =0 \) 이다. 이 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 \) 임을 안다.</p> <p>예제 \( 4.1 \)</p> <p>함수 \( \phi: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \) 은 다음과 같이 정의되었다 하자. 제 \( 5 \) 장 예제 \( 1.4 \) 와 비교하라.)</p> <p>\( \Phi(x)= \left \{\begin {array} { l } 1: x \in \mathbb { Q } \bigcap[0,1] \\ 0: x \in( \mathbb { Q } \bigcap[0,1]) ^ {\prime } \end {array} \right . \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \phi \) 는 단순함수이다.</li> <li>\( \Phi \) 는 Lebesgue 가측함수이다.</li> <li>\( \int_ { 0 } ^ { 1 } \Phi(x) d m \) 을 구하라.</li> <li>\( \phi \) 는 \( [0,1] \) 위에서 Riemann 적분가능이 아니다.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( \mathbb { Q } \bigcap[0,1]=E_ { 1 } ,( \mathbb { Q } \cap[0,1]) ^ {\prime } =E_ { 2 } \) 라 두면 \( \phi=1_ { X_ { E_ { 1 } } } + 0_ { X_ { E_ { 2 } } } \) 이므로 \( \phi \) 는 단순함수이다.</li> <li>\( E_ { 1 } , E_ { 2 } \) 가 가측집합이므로 \( \phi \) 는 가측함수이다.</li> <li>\( m \mathbb { Q } =0 \) 이므로 \( m E_ { 1 } =0 \) 이다. 따라서 \( \int_ { 0 } ^ { 1 } \Phi(x) d m=1 \cdot m E_ { 1 } + 0 \cdot m E_ { 2 } =0 \text { 이다. } \)</li> <li>\( \left \{ 0=x_ { 0 }<x_ { 1 }<x_ { 2 }< \cdots<x_ { n-1 }<x_ { n } =1 \right \} \) 을 \( [0,1] \) 의 임의의 분할이라 하자. 각 \( i=1,2, \cdots, n \),에 대하여 \( \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] \) 에 유리수와 무리수가 포함되어 있으므로, \( M_ { i } = \sup \left \{\phi(x) \mid x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } \right \} =1 \) \( m_ { i } = \inf \left \{\phi(x) \mid x_ { i-1 } \leq x \leq x_ { i } \right \} =0 \).그러므로 \( \overline {\int } _ { 0 } ^ { 1 } \phi(x) d x=1, \underline {\int } _ { 0 } ^ { 1 } \phi(x) d x=0 \). 따라서 \( \Phi \) 는 \( [0,1] \) 에서 Riemann 적분가능이 아니다.</li></ol> <p>풀이</p> <p>각 실수 \( a \) 에 대해서 집합 \( \{ x \mid f(x)>a \} = \{ x\|x \rangle a \} =(a, \infty) \) 는 가측이므로 \( f \) 는 가측함수이다.</p> <p>예제 \( 3.4 \)</p> <p>\( E \) 를 가측집합이라 하고 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 는 모는 \( x \in E \) 에 대하여 \( f(x)=c \) 인 상수함수라 하자. \( f \) 는 가측함수이다.</p> <p>풀이</p> <p>\( c \) 가 실수인 경우 각 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} = \left \{\begin {array} { l } \varnothing: a \geq c \\ E: a<c \end {array} \right . \) 이므로 \( f \) 는 가측이다. \( c= + \infty \) 인 경우 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} =E, c=- \infty \) 인 경우 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} = \varnothing \) 이므로 \( f \) 는 가측이다.</p> <p>이 책에서 연속함수를 생각할 때 \( \mathbb { R } \) 위에서 위상은 늘 통상 위상이다.</p> <p>예제 \( 3.5 \)</p> <p>\( E \) 를 가측집합이라 하고 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } \) 가 연속이면 \( f \) 는 가측함수이다.</p> <p>풀이</p> <p>\( f \) 가 연속이므로 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} =f ^ { -1 } ((a, \infty)) \) 는 \( E \) 의 개집합이다. Lindelöf 정리에 의하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} =E \cap \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } \right )= \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \left (E \cap I_ { n } \right ) \)이다. 여기서 각 \(I_ { n } \)는 개구간이다. 따름정리 \( 11.18 \) 에 의하여 \( \{ x \mid f(x)>a \} \) 는 가측집합이므로 \( f \) 는 가측함수이다.</p> <p>정리 \( 11.5 \) 첨수집합 \( \Gamma( \Gamma \neq \varnothing) \) 의 각 원소 \( a \) 에 대하여 \( A_ { a } \) 가 집합 \( X \) 위의 대수(또는 \( \sigma \)-대수)이면 \( \bigcap_ { a } A_ { a } \) 는 \( X \) 위의 대수(또는 \( \sigma \)-대수)이다.</p> <p>위의 정리는 대수(또는 \( \sigma ^ { - } \)대수)의 정의로부터 바로 증명이 되므로 증명은 생략한다.</p> <p>따름정리 \( 11.6 \) \( X \) 를 집합, \( B \subseteq P(X)(B \neq \varnothing) \) 라 하면 \( B \) 를 포함하는 가장 작은 대수(또는 \( \sigma ^ { - } \)대수)가 존재한다.</p> <p>위 따름정리는 정리 \( 11.5 \) 에 의하여 바로 대수(또는 \( \sigma \)-대수) \( A \)를 구성할 수 있으므로 증명을 생략한다.</p> <p>정리 \( 11.7 \) \( A \) 를 집합 \( X \) 위의 대수라 하고 \( \left \{ A_ { i } \right \} \) 가 \( A \) 의 원소의 수열이라 하자. 자연수 \( n \neq m \) 에 대하여 \( B_ { n } \cap B_ { m } = \varnothing \) 이고 \( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } = \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } B_ { i } \) 인 \( A \)의 원소의 수열 \( \left \{ B_ { i } \right \} \) 가 있다.</p> <p>증명</p> <p>\( A_ { 1 } =B_ { 1 } \) 이라 둔다.</p> <p>\( 1<n \) 인 자연수 \( n \) 에 대하여, \( B_ { n } \) 을 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( B_ { n } =A_ { n } \backslash \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n-1 } A_ { i } \right )=A_ { n } \cap A_ { 1 } ^ {\prime } \cap A_ { 2 } ^ {\prime } \cap \cdots \cap A_ { n-1 } ^ {\prime } . \)</p> <p>정의 \( 11.39 \) \( E \) 를 가측집합, \( m E< \infty \), 함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } \) 를 유계가측함수라 하자. \( \inf \left \{\int_ { E } \Psi(x) d m \mid f \leq \Psi, \Psi \right . \) 는 단순가측함수 \( \} \) 를 \( E \) 위에서 \( f \) 의 Lebesgue 적분이라 부르고 \( \int_ { E } f(x) d m \) 이라 쓰고 \( \inf \left \{\int_ { E } \psi(x) d m \mid f \leq \Psi, \psi \right . \) 는 단순가측함수 \( \} \) 를 간단히 \( \inf _ { f \leq \psi } \int_ { E } \Psi(x) d m \) 으로 표시한다. 즉 \( \int_ { E } f(x) d m = \inf _ { f \leq \psi } \int_ { E } \psi(x) d m \). 여기서도 \( E=[a, b] \) 이면 \( \int_ { E } f(x) d m \) 을 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d m \) 으로 표시한다.</p> <p>다음 정리에서 Riemann 적분과 Lebesgue 적분의 관계를 밝히겠다.</p> <p>정리 \( 11.40 \) 함수 \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } \) 를 유계라 하자 \( (a<b) . f \) 가 Riemann 적분 가능이면 \( f \) 는 가측함수이고 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d m \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>제 \( 5 \)장에서 Riemann 적분을 정의할 때 계단함수(step function) 을 사용하였다. 계단함수는 단순함수이기도 하다. \( P= \left \{ a=x_ { 0 }<x_ { 1 }<x_ { 2 }< \cdots<x_ { n } =b \right \} \) 가 \( [a, b] \) 의 분할이면 상합 \( U(f, P)= \sum_ { i=1 } ^ { n } M_ { i } \Delta x_ { i } \) 는 계단함수 \( \Psi(x)= \sum_ { i=1 } ^ { n } M_ { i } x_ {\left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] } \) 의 Lebesgue 적분이고 \( f \leq \psi \) 이다. 그리고 하합 \( L(f, P)= \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i } \triangle x_ { i } \) 는 계단함수 \( \phi(x)= \sum_ { i=1 } ^ { n } m_ { i X } x_ {\left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] } \) 의 Lebesgue 적분이고 \( \phi \leq f \) 이다. 따라서 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \leq \sup _ {\phi \leq f } \int_ { a } ^ { b } \Phi(x) d m \) \( \leq \inf _ { f \leq \Psi } \int_ { a } \Psi(x) d m \) \( \leq \overline {\int_ { a } ^ { b } } f(x) d x \)</p> <p>\( f \) 가 Riemann 적분가능이므로 위의 부등식은 모두 등식이 되고 정리 \( 11.38 \) 에 의하여 \( f \) 는 가측함수이고 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) d m \).</p> <p>예제 \( 4.2 \)</p> <p>\( E \) 를 가측집합, \( \Phi \) 는 단순가측함수, 함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } \) 는 유계가측이라 하자.</p> <p>\( m E=0 \) 이면<ol type=i start=1><li>\( \int_ { E } \Phi(x) d m=0 \)</li> <li>\( \int_ { E } f(x) d m=0 \)</li></ol>임을 보여라</p> <p>증명</p> <ol type=i start=1><li>\( \phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { E_ { i } } \) 라 하면 \( X_ { E } \Phi=X_ { E } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { E_ { i } } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { E } X_ { E_ { i } } = \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { E \cap E_ { i } } . \) 각 \( i=1,2, \cdots, n \) 에 대하여 \( m \left (E \cap E_ { i } \right )=0 \) 이므로 \( \int_ { E } \Phi(x) d m= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left (E \cap E_ { i } \right )=0 \)</li> <li>\( \|f(x)\| \leq M \) 이라하면 \( M_ { E } \) 는 단순가측함수이다. \( \int \left (M_ {\mathrm { X } _ { E } } \right ) d m=0 \) 이므로 \( \int_ { E } f(x) d m= \inf _ { f \leq \Psi } \int_ { E } \Psi(x) d m=0 \).</li></ol> <p>예제 \( 2.4 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( E \subset \mathbb { R } \) 이고 \( m ^ { * } E=0 \) 이면 \( E \) 는 가측집합이다.</li> <li>\( E \subset \mathbb { R } \) 이고 \( E \) 가 가산집합이면 \( E \) 는 가측집합이다.</li> <li>\( \varnothing, \mathrm { R } \) 는 가측집합이다.</li></ol> <p>풀이</p> <p>\( 1) \) \( A \subset \mathbb { R } \) 이면 \( A \cap E \subset E \) 이므로 \( m ^ { * } (A \cap E) \leq m ^ { * } E=0 \) 이다. 따라서 \( m ^ { * } (A \cap E)=0 \) 이다. \( A \cap E ^ {\prime } \subset A \) 이므로 \( m ^ { * } \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \leq m ^ { * } A \) 이다. 따라서 \( m ^ { * } (A \cap E) + m ^ { * } \left (A \cap E ^ {\prime } \right ) \leq m ^ { * } A \) 이므로 \( E \)는 가측집합이다.</p> <p>\( 2) \) \( 1) \)과 예제 \( 2.2 \) \(1) \)에 의하여 \( E \) 가 가산집합이면 \( E \) 는 가측집합이다.</p> <p>3) \( A \subset \mathbb { R } \) 에 대하여 \( A \cap \varnothing= \varnothing \) 이고 \( A \cap \varnothing ^ {\prime } =A \cap \mathbb { R } =A \) 이므로 \( m ^ { * } (A \cap \varnothing) + m ^ { * } \left (A \cap \varnothing ^ {\prime } \right )=m ^ { * } \varnothing + m ^ { * } A=m ^ { * } A \) 이고 따라서 \( \varnothing \) 는 가측집합이다. \( \mathbb { R } ^ {\prime } = \varnothing \) 이므로 \( \varnothing \) 가 가측집합임을 증명하는 경우와 같이 \( \mathbb { R } \) 는 가측집합이다.</p> <p>\( \varepsilon \) 이 임의의 양수이므로 \( m ^ { * } \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } A_ { n } \right ) \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } m ^ { * } A_ { n } \) 이다.</p> <p>예제 \( 2.2 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( A \) 가 \( A \subset \mathbb { R } \) 이고 가산집합이면 \( m ^ { * } A=0 \) 임을 보여라.</li> <li>폐구간 \( [0,1] \) 은 가산집합이 아님을 보여라.</li> <li>\( m ^ { * } \mathbb { Q } \) 와 \( m ^ { * } [a, \infty) \) 를 구하라.</li> <li>\( m ^ { * } \mathbb { R } \) 와 \( m ^ { * } ( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } ) \) 를 구하라.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( A= \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots \right \} \subset \mathbb { R } \) 이라 하면 정리 \( 11.12 \) 에 의하여 \( 0 \leq m ^ { * } A \leq \sum_ { n=1 } ^ {\infty } m ^ { * } \left \{ a_ { n } \right \} =0 \) 이므로 \( m ^ { * } A=0 \) 이다.</li> <li>\( m ^ { * } [0,1]= \ell[0,1]=1 \) 이므로 \( 1) \) 에 의하여 가산이 아니다.</li> <li>\( \mathbb { Q } \) 는 가산집합이므로 \( 1) \)에 의하여 \( m ^ { * } \mathbb { Q } =0 \) 이다. 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( [0, n] \subset[0, \infty) \) 이므로 \( m ^ { * } [0, n]=n \leq m ^ { * } [0, \infty) \) 이다. 따라서 \( m ^ { * } [0, \infty)= \infty \) 이다.</li> <li>각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( A_ { n } =(-n, n) \) 라 두면 정리 \( 11.11 \) 에 의하여 \( A_ { n } \subset \mathbb { R } \) 이므로 \( m ^ { * } A_ { n } =2 n \leq m ^ { * } \mathrm { R } \) 이다. 따라서 \( m ^ { * } \mathrm { R } = \infty \) 이다.</li></ol> <p>\( \infty=m ^ { * } \mathbb { R } =m ^ { * } ( \mathbb { Q } \cup( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } )) \leq m ^ { * } \mathbb { Q } + m ^ { * } ( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } )=m ^ { * } ( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } ) \) 이므로 \( m ^ { * } ( \mathbb { R } \backslash \mathbb { Q } )= \infty \) 이다.</p> <p>예제 \( 2.3 \)</p> <p>각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( A_ { n } = \left [0,1- \frac { 1 } { n } \right ] \) 라 할때 다음을 보여라.</p> <p>\( m ^ { * } \left ( \cup A_ { n } \right )< \sum m ^ { * } A_ { n } . \)</p> <p>풀이</p> <p>\( \cup A_ { n } \subset[0,1] \) 이므로 \( m ^ { * } \left ( \cup A_ { n } \right ) \leq 1 \) 이다.</p> <p>\( \sum m ^ { * } A_ { n } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 2 } { 3 } + \frac { 3 } { 4 } + \frac { 4 } { 5 } + \cdots \) 이므로 \( \sum m ^ { * } A_ { n } >1 \geq m ^ { * } \left ( \cup A_ { n } \right ) \).</p> <p>\( 2) \) \( E \cap F= \varnothing \) 이므로 \( \left . \left (E \cap E_ { i } \right ) \cap \left (F \cap E_ { i } \right )= \varnothing . 1 \right ) \) 에 의하여 \[ \begin {aligned} \int_ { E \cup F } \Phi(x) d m &= \int \left ( \mathrm { X } _ { E \cup F } \Phi \right )(x) d m \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left ((E \cup F) \bigcap E_ { i } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left (E \cap E_ { i } \right ) + \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left (F \cap E_ { i } \right ) \\ &= \int_ { E } \Phi(x) d m + \int_ { F } \Phi(x) d m \end {aligned} \]</p> <p>\( 3) \) \( c \Phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } c a_ { i } \mathrm { X } E_ { i } \) 이므로 \( c \Phi \) 는 단순가측함수이다. 따라서 \( \int(c \Phi)(x) d m= \sum_ { i=1 } ^ { n } c a_ { i } m E_ { i } =c \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m E_ { i } \right )=c \int \Phi(x) d m . \)</p> <p>\( 4) \) \( \Psi= \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } \mathrm { X } _ { F_ { k } } \) 라 두면 \[ \begin {aligned} \Phi + \Psi &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { X } _ { E_ { i } } + \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } \mathrm { X } _ { F_ { k } } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { X_ {\bigcup_ { k=1 } ^ { m } \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) } } + \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } \mathrm { X_ {\bigcup_ { i=1 } ^ { n } \left (F_ { k } \cap E_ { i } \right ) } } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \left ( \sum_ { k=1 } ^ { m } \mathrm { X } _ { E_ { i } \cap F_ { k } } \right ) + \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } \mathrm { X } _ { F_ { k } \cap E_ { i } } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } \left (a_ { i } + b_ { i } \right )_ {\mathrm { X } _ { E_i \cap F_k } } \end {aligned} \]. 따라서 \( \phi + \psi \) 는 단순함수이고 \[ \begin {aligned} \int( \phi + \Psi)(x) d m &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } \left (a_ { i } + b_ { k } \right ) m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } a_ { i } m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) + \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m E_ { i } + \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } m F_ { k } \\ &= \int \phi(x) d m + \int \Psi(x) d m \end {aligned} \].</p> <p>\( 5) \) \( \Psi- \phi= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } \left (b_ { k } -a_ { i } \right ) \chi_ { E_ { i } \cap F_ { k } } . \quad \Psi- \phi \geq 0 \) 이므로 \( b_ { k } -a_ { i } \geq 0 \) 이고 \( \int( \Psi- \Phi)(x) d m \geq 0 \). \( 3) \)과 \( 4) \)에 의하여 \( \int( \Psi- \phi)(x) d m= \int \Psi(x) d m- \int \Phi(x) d m \) 이고 \( \int \Psi(x) d m- \int \phi(x) d m \geq 0 \). 따라서 \( \int \Psi(x) d m \geq \int \phi(x) d m \).</p> <p>정의 \( 11.9 \) \( A \) 를 \( \mathbb { R } \) 의 부분집합이라 하고 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( I_ { n } \) 을 개구간이라 하자. \( 1) \) \( \bigcup_ { n-1 } ^ {\infty } I_ { n } \supset A \) 일 때 \( \left \{ I_ { n } \right \} _ { n-1 } ^ {\infty } \) 을 \( A \) 의 덮개(cover)라 부른다.(정의 \( 3.18 \) 을 참고하라.) \( 2) \) \( \ell \left (I_ { n } \right ) \) 을 구간 \( I_ { n } \) 의 길이라 하면 \( A \) 의 덮개 \( \left \{ I_ { n } \right \} _ { n = 1 } ^ {\infty } \) 에 대하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ell \left (I_ { n } \right ) \) 은 확장된 실수계에서 존재한다. \( \inf \left \{\sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ell \left (I_ { n } \right ): A \subset \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } , I_ { n } \right . \) 는 개구간 \( \left .(n=1,2, \cdots) \right \} \) 을 \( A \) 의 외측도(outer measure)라 부르고 \( m ^ { * } (A) \) 로 나타낸다. \( \inf \left \{\sum_ { n=1 } ^ {\infty } \ell \left (I_ { n } \right ): A \subset \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } I_ { n } , I_ { n } \right . \) 는 개구간 \( \left .(n=1,2, \cdots) \right \} \) 을 간단히 \( \inf _ { A \subset \cup I_ { n } } \sum \ell \left (I_ { n } \right ) \) 으로 나타내겠다. \( m ^ { * } (A)= \inf _ { A \subset \cup I_ { n } } \sum \ell \left (I_ { n } \right ) \) 이다.</p> <p>정의 \( 11.27 \) 가측집합 \( E \) 와 함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 에 대하여 정리 \( 11.26 \) 에 서술된 네 가지 성질 중 하나가 만족될 때 \( f \) 를 Lebesgue 가측함수(Lebesgue measurable function) 또는 간단히 가측함수(measurable function)라 부른다.</p> <p>예제 \( 3.1 \)</p> <p>함수 \( f: E \rightarrow \mathbb { R } ^ { * } \) 가 가측이라 하자. \( \{ x \mid f(x)< \infty \} \), \( \{ x \mid f(x)>- \infty \} , \{ x \mid f(x) = \infty \} , \{ x \mid f(x)=- \infty \} \) 는 가측집합 이다.</p> <p>풀이</p> <p>\( \left \{ x \mid f(x) \langle \infty \} = \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \left \{ x \mid f(x) \langle n \} , \{ x\|f(x) \rangle- \infty \} = \bigcup_ { n=1 } ^ {\infty } \{ x\|f(x) \rangle-n \} \right . \right . \) 이므로 정리 \( 11.26 \) 에 의하여 두 집합은 가측이다.</p> <p>\( \{ x \mid f(x)= + \infty \} = \{ x \mid f(x)< \infty \} ^ {\prime } , \{ x \mid f(x)=- \infty \} = \{ x\|f(x) \rangle- \infty \} ^ {\prime } \) 이므로 이 두 집합도 가측이다.</p> <p>예제 \( 3.2 \) ( \( 1995. \) 임용고사)</p> <p>가측(measurable) 공간 \( X \) 위에서 정의된 함수 \( f \) 에 관한 다음 성질 중 동치인 것을 모두 고르면 ?</p> <ul> <li>㉠ 모든 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(a)>a \} \) 는 가측집합이다.</li> <li>㉡ 모든 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(a) \geq a \} \) 는 가측집합이다.</li> <li>㉢ 모든 실수 \( a \) 에 대하여 \( \{ x \mid f(a)<a \} \) 는 가측집합이다.</li></ul> <p>예제 \( 3.3 \)</p> <p>항등함수 \( f(x)=x, x \in \mathbb { R } \) 은 가측함수이다.</p> <p>대수의 정의에 의하여 각 자연수 \( n \) 에 대하여 \( B_ { n } \) 는 \( A \) 의 원소이고 \( B_ { n } \subseteq A_ { n } \) 이다. 두 자연수 \( n, m \) 에 대하여 \( m<n \) 이라 가정하면, \( B_ { m } \subseteq A_ { m } \) 이므로 \[ \begin {aligned} B_ { m } \cap B_ { n } & \subseteq A_ { m } \cap B_ { n } \\ &=A_ { m } \cap A_ { n } \cap A_ { 1 } ^ {\prime } \cap A_ { 2 } ^ {\prime } \cap \cdots \cap A_ { m } ^ {\prime } \cap \cdots \cap A_ { n-1 } { } ^ {\prime } \\ &= \left (A_ { m } \cap A_ { m } ^ {\prime } \right ) \cap \cdots \\ &= \varnothing \cap \cdots \\ &= \varnothing . \end {aligned} \] 각 자연수 \( i \) 에 대하여 \( B_ { i } \subseteq A_ { i } \) 이므로 \( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } B_ { i } \subseteq \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } \) 이다.</p> <p>\( x \in \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } \) 이면, \( x \) 는 \( A_ { i } \) 들 중 한 집합의 원소이다. \( n \) 을 \( x \) 를 포함하는 집합 \( A_ { i } \) 의 첨수 \( i \) 의 최소값이라 하면 \( x \in B_ { n } \) 이므로 \( x \in \bigcup_ { i-1 } ^ {\infty } B_ { i } \) 이다. 따라서 \( \bigcup_ { i-1 } ^ {\infty } A_ { i } \subseteq \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } B_ { i } \) 이다.</p> <p>그러므로 \( \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } = \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } B_ { i } \) 이다.</p> <p>주의</p> <p>수열 \( \left \{ A_ { i } \right \} \) 가 유한수열이면 마지막 항 다음의 모든 항을 \( \varnothing \) 라 두면 된다.</p> <p>\( 3. \) 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( x_ { n } y_ { n } \leq \left ( \sup _ { k \geq n } x_ { k } \right ) \left ( \sup _ { k \geq n } y_ { k } \right ) \) 이므로 \( x_ { n } y_ { n } \leq \left ( \overline {\lim } x_ { k } \right ) \left ( \overline {\lim } y_ { k } \right ) \) 이다. 따라서 \( \sup { } _ { k \geq n } x_ { n } y_ { n } \leq \left ( \overline {\lim } x_ { k } \right ) \left ( \overline {\lim } y_ { k } \right ) \) 이고 \( \varlimsup \left (x_ { n } y_ { n } \right )= \inf _ { n } \sup _ { k \geq n } x_ { k } y_ { k } \leq \left ( \overline {\lim } x_ { n } \right ) \left ( \overline {\lim } y_ { n } \right ) \) 이다.</p> <p>\( 4 . \) \( \begin {aligned} \overline {\lim } x_ { n } = \infty & \Leftrightarrow \lim _ { n \rightarrow \infty } \sup \left \{ x_ { n } , x_ { n + 1 } , \cdots \right \} = \infty \\ & \Leftrightarrow \text { 모든 자연수 } n \text { 에 대하여, } \sup \left \{ x_ { n } , x_ { n + 1 } , \cdots \right \} = \infty \\ & \Leftrightarrow \text { 모든 자연수 } n \text { 에 대하여, } \left \{ x_ { n } , x_ { n + 1 } , \cdots \right \} \text { 이 위로 유계가 아니다. } \\ & \Leftrightarrow \text { 모든 자연수 } n \text { 과 } r>0 \text { 에 대하여, } y>r \text { 인 } y \in \left \{ x_ { n } , x_ { n + 1 } , \cdots \right \} \text { 가 존재한다. } \\ & \left . \Leftrightarrow \text { 모든 자연수 } n \text { 과 } r>0 \text { 에 대하여, } x_ { k } \right \rangle r \text { 인 } k( \geq n) \text { 이 재한다. } \end {aligned} \)</p> <p>정리 \( 11.36 \) \( \phi: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \) 가 Lebesgue 적분이 정의되는 단순가측함수라 하면 \( \Phi \) 의 표현에 관계없이 \( \int \Phi(x) d m \) 은 일정하다.</p> <p>증명</p> <p>\( \Phi = \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mathrm { x } _ { E_ { i } } , \Phi= \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } \mathrm { x } _ { F_ { k } } \) 을 \( \Phi \) 의 두 표현이라 하자. 즉 \( E_ { i } \), \( F_ { k } \) 는 가측집합이고, \( E_ { i } \cap E_ { j } = \varnothing(i \neq j), F_ { k } \cap F_ { h } = \varnothing(k \neq h) \), \( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } E_ { i } = \mathbb { R } = \bigcup_ { k=1 } ^ { m } F_ { k } \). 이때 \( E_ { i } \cap F_ { k } \neq \varnothing \) 이면 \( a_ { i } =b_ { k } \) 이고 \( E_ { i } = \bigcup_ { k=1 } ^ { m } \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ), F_ { k } = \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \) 이다. \( m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right )= \infty \) 인 \( i, k \geq 1 \) 가 있으면 \( m E_ { i } =m F_ { k } = \infty \) 이므로 \( a_ { i } =0=b_ { k } \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m E_ { i } &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } m \left ( \bigcup_ { k=1 } ^ { m } \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { m } a_ { i } m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { m } \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { k } m \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } m \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \left (E_ { i } \cap F_ { k } \right ) \right ) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { m } b_ { k } m F_ { k } \end {aligned} \]</p>	자연
기초미적분학_부정적분	<h1>11.2. 치환적분법</h1> <p>도함수를 구하는 것은 공식이나 미분법에 의하여 쉅게 구할 수 있지만 일반적으로 적분을 구하는 것은 도함수를 구하는 것과 달리 횔씬 복잡하다. 피적분함수가 어떤 함수인가에 따라 적분을 구하기 위해 여러 가지 기교가 필요한데 우선 치환하여 적분하는 방법에 대해 알아보자.</p> <p>정리 \(11.2.1 \) 치환적분법 \[ \begin {aligned} \int f(x) d x = F(x) \text { 이고, } x &=g(t) \text { 가 미분가능하면 } \\ & \int f(x) d x= \int f(g(t)) g ^ {\prime } (t) d t \end {aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>증명 \( \int f(x) d x=F(x) \) 이므로 \( F ^ {\prime } (x)=f(x) \) 이다. 이제 합성함수 미분법에 의하여 \[ \frac { d } { d t } F(x)= \frac { d } { d x } F(x) \frac { d x } { d t } =f(x) g ^ {\prime } (t)=f(g(t)) g ^ {\prime } (t) \] 이므로 \[ \int f(g(t)) g ^ {\prime } (t) d t=F(x) \]이다. 즉, \[ \int f(x) d x= \int f(g(t)) g ^ {\prime } (t) d t \] 가 성립한다.</p> <p>예제 \(11.2.1 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int(2 x + 1) ^ { 10 } d x \)</li> <li>\( \int x \left (x ^ { 2 } + 3 \right ) ^ { 10 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { 4 } { (x + 1) ^ { 3 } } d x \)</li> <li>\( \int \sqrt[3] { 2 x + 1 } d x \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 x + 1=t \) 로 놓으면 \( \frac { d t } { d x } =2 \), 즉 \( d x= \frac { 1 } { 2 } d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int(2 x + 1) ^ { 10 } d x &= \int t ^ { 10 } \cdot \frac { 1 } { 2 } d t= \frac { 1 } { 2 } \int t ^ { 10 } d t \\ &= \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 11 } t ^ { 11 } + C \\ &= \frac { 1 } { 22 } (2 x + 1) ^ { 11 } + C . \end {aligned} \]</li> <li>\( x ^ { 2 } + 3=t \) 로 놓으면 \( \frac { d t } { d x } =2 x \), 즉 \( x d x= \frac { 1 } { 2 } d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int x \left (x ^ { 2 } + 3 \right ) ^ { 10 } d x &= \int t ^ { 10 } \cdot \frac { 1 } { 2 } d t= \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 11 } t ^ { 11 } + C \\ &= \frac { 1 } { 22 } \left (x ^ { 2 } + 3 \right ) ^ { 11 } + C . \end {aligned} \]</li> <li>\( x + 1=t \) 로 놓으면 \( d x=d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { 4 } { (x + 1) ^ { 3 } } d x &= \int \frac { 4 } { t ^ { 3 } } d t=4 \int t ^ { -3 } d t \\ &=4 \left (- \frac { 1 } { 2 } t ^ { -2 } \right ) + C \\ &=- \frac { 2 } { t ^ { 2 } } + C \\ &=- \frac { 2 } { (x + 1) ^ { 2 } } + C \end {aligned} \]</li> <li>\( 2 x + 1=t \) 로 놓으면 \( d x= \frac { 1 } { 2 } d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \sqrt[3] { 2 x + 1 } d x &= \int \sqrt[3] { t } \cdot \frac { 1 } { 2 } d t= \frac { 1 } { 2 } \int t ^ {\frac { 1 } { 3 } } d t \\ &= \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 3 } { 4 } t ^ {\frac { 4 } { 3 } } + C \\ &= \frac { 3 } { 8 } \sqrt[3] { (2 x + 1) ^ { 4 } } + C \end {aligned} \]</li></ol> <p>유제 \(11.2.1 \) 다음 부정적분을 구하여라./<p> <ol type=1 start=1><li>\( \int(a x + b) ^ { 5 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 3 } } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x } {\sqrt { x + 1 } } d x \)</li> <li>\( \int x e ^ { x ^ { 2 } } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x } {\sqrt { 1-4 x ^ { 2 } } } d x \)</li></ol> <p>특히 분모를 미분한 것이 분자가 되는 분수식의 적분은 간단하다. \( \int \frac { f ^ {\prime } (x) } { f(x) } d x \) 의 부정적분을 구하기 위하여 \( t=f(x) \) 로 치환하면 \( d t=f ^ {\prime } (x) d x \) 이므로 \[ \int \frac { f ^ {\prime } (x) } { f(x) } d x= \int \frac { 1 } { t } d t= \ln \|t\| + C= \ln \|f(x)\| + C . \] 즉, \( \int \frac { f ^ {\prime } (x) } { f(x) } d x= \ln \|f(x)\| + C \) 임을 알 수 있다.</p> <p>예제 \(11.3.5 \) \( \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 3 } x d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \begin {aligned} \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 3 } x d x & = \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 3 } x \cdot \sin x d x \\ &= \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) \cos ^ { 3 } x \cdot \sin x d x \\ \text { 여기서 } \cos x=t \text { 로 놓으면 } - \sin x d x &=d t \text { 이므로 } \\ \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 3 } x d x &= \int \left (1-t ^ { 2 } \right ) t ^ { 3 } \cdot(-d t) \\ &=- \int \left (t ^ { 3 } -t ^ { 5 } \right ) d t \\ &= \frac { 1 } { 6 } t ^ { 6 } - \frac { 1 } { 4 } t ^ { 4 } + C \\ &= \frac { 1 } { 6 } \cos ^ { 6 } x- \frac { 1 } { 4 } \cos ^ { 4 } x + C \end {aligned} \)</p> <p>유제 \(11.3.5 \) \( \sin x=t \) 로 치환하여 \( \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 3 } x d x \) 를 구하여라.</p> <p>예제 \( 11.3 .6 \) \( \int \cos ^ { 4 } x d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 반각공식을 이용하여 \[ \begin {aligned} \cos ^ { 4 } x= \left ( \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } &= \left ( \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \right ) ^ { 2 } \\ &= \frac { 1 } { 4 } \left (1 + 2 \cos 2 x + \cos ^ { 2 } 2 x \right ) \\ &= \frac { 1 } { 4 } \left (1 + 2 \cos 2 x + \frac { 1 + \cos 4 x } { 2 } \right ) \\ &= \frac { 3 } { 8 } + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x + \frac { 1 } { 8 } \cos 4 x \end {aligned} \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int \cos ^ { 4 } x d x &= \int \left ( \frac { 3 } { 8 } + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x + \frac { 1 } { 8 } \cos 4 x \right ) d x \\ &= \frac { 3 } { 8 } x + \frac { 1 } { 4 } \sin 2 x + \frac { 1 } { 32 } \sin 4 x + C . \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.6.4 \) \( \int \frac { 2 x + 1 } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \left (x ^ { 2 } + 4 \right ) } d x \) 를 구하여라. (힌트: \( \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \), \( a>0) \)</p> <p>예제 \(11.6.5 \) \( \int \frac { (x + 1) ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x \) 를 구하여라.</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac { (x + 1) ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } &= \frac { a x + b } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { c x + d } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \\ &= \frac { (a x + b) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + c x + d } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \\ &= \frac { a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + (a + c) x + (b + d) } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \end {aligned} \] 이다. 방정식 \( a=0, b=1, a + c=2, b + d=1 \) 을 풀면 \[ a=0, b=1, c=2, d=0 \] 을 얻는다. 따라서 \[ \int \frac { (x + 1) ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x= \int \left [ \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } + \frac { 2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \right ] d x \] 여기서 \( x ^ { 2 } + 1=t \) 라고 놓으면 \( 2 x d x=d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { 2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x &= \int \frac { 1 } { t ^ { 2 } } d t=- \frac { 1 } { t } + C \\ &=- \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } + C \end {aligned} \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { (x + 1) ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x &= \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x + \int \frac { 2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x \\ &= \tan ^ { -1 } x- \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } + C. \end {aligned} \]</p> <p>유제 \( 11.6 .5 \) \( \int \frac { x ^ { 3 } -x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } d x \) 을 구하여라.</p> <p>정리 \(11.1.4 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int k f(x) d x=k \int f(x) d x \quad(k \) 는 상수 \( ) \)</li> <li>\( \int(f(x) + g(x)) d x= \int f(x) d x + \int g(x) d x \)</li> <li>\( \int(f(x)-g(x)) d x= \int f(x) d x- \int g(x) d x \)</li></ol> <p>증명 두 함수 \( f(x), g(x) \) 의 부정적분을 \( F(x), G(x) \) 라고 하면 \[ F ^ {\prime } (x)=f(x), \quad G ^ {\prime } (x)=g(x) \] 이므로 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( k \) 가 상수일 때 \( (k F(x)) ^ {\prime } =k F ^ {\prime } (x)=k f(x) \) 이므로 \[ \int k f(x) d x=k F(x)=k \int f(x) d x \]</li> <li>\( [F(x) + G(x)] ^ {\prime } =F ^ {\prime } (x) + G ^ {\prime } (x)=f(x) + g(x) \) 이므로 \[ \int(f(x) + g(x)) d x=F(x) + G(x)= \int f(x) d x + \int g(x) d x . \]</li> <li>\( [F(x)-G(x)] ^ {\prime } =F ^ {\prime } (x)-G ^ {\prime } (x)=f(x)-g(x) \) 이므로 \[ \int(f(x)-g(x)) d x=F(x)-G(x)= \int f(x) d x- \int g(x) d x \]</li></ol> <p>예제 \(11.1.2 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \pi d x= \pi \int d x= \pi x + C \)</li> <li>\( \int \left (x ^ { 3 } -2 x \right ) d x= \int x ^ { 3 } d x- \int 2 x d x= \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } -x ^ { 2 } + C \)</li> <li>\( \int(x + 1) ^ { 2 } d x- \int(x-1) ^ { 2 } d x= \int \left [(x + 1) ^ { 2 } -(x-1) ^ { 2 } \right ] d x \) \( = \int 4 x d x=2 x ^ { 2 } + C \)</li></ol> <p>유제 \(11.1.2 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \left (x ^ { 2 } -2 \right ) d x \)</li> <li>\( \int \frac { x ^ { 3 } -1 } { x-1 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { 1-2 x + x ^ { 2 } } { x } d x \)</li></ol> <p>정리 \(11.1.3 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x ^ { n } d x= \frac { 1 } { n + 1 } x ^ { n + 1 } + C(n \neq-1) \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { x } d x= \ln \|x\| + C \)</li> <li>\( \int a ^ { x } d x= \frac { a ^ { x } } {\ln a } + C \), 특히 \( \int e ^ { x } d x=e ^ { x } + C \).</li></ol> <p>증명 \[ \left ( \frac { 1 } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right ) ^ {\prime } =x ^ { n } , \quad( \ln x) ^ {\prime } = \frac { 1 } { x } , \quad \left ( \frac { 1 } {\ln a } a ^ { x } \right ) ^ {\prime } =a ^ { x } \] 이므로 정리가 성립한다.</p> <p>예제 \(11.1.1 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int 1 d x= \int x ^ { 0 } d x= \frac { 1 } { 0 + 1 } x ^ { 0 + 1 } + C=x + C \)</li> <li>\( \int \sqrt { x } d x= \int x ^ {\frac { 1 } { 2 } } d x= \frac { 1 } {\frac { 1 } { 2 } + 1 } x ^ {\frac { 1 } { 2 } + 1 } + C= \frac { 2 } { 3 } x ^ {\frac { 3 } { 2 } } + C \)</li> <li>\( \int 3 ^ { x } d x= \frac { 3 ^ { x } } {\ln 3 } + C \)</li></ol> <p>유제 \(11.1.1 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x ^ { 2 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } {\sqrt { x } } d x \)</li> <li>\( \int \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } d x \)</li></ol> <p>\( \int 1 d x \) 를 간단히 \( \int d x \) 로 나타내기로 한다. 또한 \( \int \frac { 1 } { f(x) } d x \) 롤 \( \int \frac { d x } { f(x) } \) 로 나타내기도 한다.</p> <p>\( \int \) (다항함수) · (초월함수) \( d x \) 의 적분은 다음과 같이 첫 번째 줄에 다항함수를 놓고 \(0\)이 될 때까지 반복적으로 미분한다. 그리고 두 번째 줄에 초월함수를 놓고 반복적으로 적분한다. 그리고 대각선 \((\searrow)\) 방향으로 곱한 다음 각각의 결과에 \( +,- \) 부호를 교대로 붙이면 적분의 결과를 얻는다.</p> <p>\( \int x^{2} \cos x d x \) 의 계산</p> <p>\( \int x^{3} e^{x} d x \) 의 계산</p> <p>유제\(11.5.2\) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x^{2} \sin x d x \)</li> <li>\( \int x^{3} \sin x d x \)</li></ol> <p>예제\(11.5.3\) \( \int e^{x} \cos x d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \( u^{\prime}=e^{x}, v=\cos x \) 로 놓으면 \( u=e^{x}, v^{\prime}=-\sin x \) 이므로<p>\[ \begin{aligned} \int e^{x} \cos x d x &=\cos x e^{x}-\int e^{x}(-\sin x) d x \\ &=e^{x} \cos x+\int e^{x} \sin x d x \quad \cdots \cdots \end{aligned} \]<caption>①</caption></p>이다. \( \int e^{x} \sin x d x \) 를 구하기 위해 다시 부분적분법을 사용한다. \( u^{\prime}=e^{x}, v=\sin x \) 로 놓으면 \( u=e^{x}, v^{\prime}=\cos x \) 이므로<p>\[ \int e^{x} \sin x d x=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x \quad \cdots \cdots \]<caption>②</caption></p>이다. 식 ②를 식 ①에 대입하면 \[ \int e^{x} \cos x d x=e^{x} \cos x+e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x \] 이다. 즉, \[ 2 \int e^{x} \cos x d x=e^{x} \cos x+e^{x} \sin x \text {. } \] 따라서 \[ \int e^{x} \cos x d x=\frac{1}{2} e^{x}(\cos x+\sin x)+C . \]</p> <p>유제\(11.5.3\) \( \int e^{x} \sin x d x \) 를 구하여라.</p> <p>예제\(11.5.4\)</p> <ol type=1 start=1><li>\( I_{n}=\int \cos ^{n} x d x\left(n \geq 2\right. \) 인 정수)일 때, \( I_{n}=\frac{\cos ^{n-1} x \sin x}{n}+\frac{n-1}{n} I_{n-2} \) 임을 증명하여라.</li> <li>\((1)\)의 결과를 이용하여 \( \int \cos ^{2} x d x \) 를 구하여라.</li> <li>\((1)\)과 \((2)\)를 이용하여 \( \int \cos ^{4} x d x \) 를 구하여라.</li></ol> <p>풀이 \((1)\) \( \cos ^{n} x=\cos ^{n-1} \cdot \cos x \) 라 하고 \( u^{\prime}=\cos x, v=\cos ^{n-1} x \) 로 놓으면 \[ u=\sin x, v^{\prime}=(n-1) \cos ^{n-2} x(-\sin x) \] 이므로 \( I_{n}=\int \cos ^{n} x d x=\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) \int \cos ^{n-2} x \sin ^{2} x d x \) \( =\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) \int \cos ^{n-2} x\left(1-\cos ^{2} x\right) d x \) \( =\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) \int \cos ^{n-2} x d x-(n-1) \int \cos ^{n} x d x \) \( =\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) I_{n-2}-(n-1) I_{n} \). \( n I_{n}=\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) I_{n-2} \) 그러므로 \[ n I_{n}=\sin x \cos ^{n-1} x+(n-1) I_{n-2} \] 이다. 따라서 \[ I_{n}=\frac{\sin x \cos ^{n-1} x}{n}+\frac{n-1}{n} I_{n-2} \]</p> <p>\((2)\) \((1)\)의 결과에 \( n=2 \) 를 대입하면 \[ \begin{aligned} \int \cos ^{2} x d x &=\frac{\cos x \sin x}{2}+\frac{1}{2} \int 1 d x \\ &=\frac{\sin 2 x}{4}+\frac{1}{2} x+C \end{aligned} \]</p> <p>\((3)\) \( \begin{aligned} \int \cos ^{4} x d x &=\frac{\cos ^{3} x \sin x}{4}+\frac{3}{4} I_{2} \\ &=\frac{1}{4} \cos ^{3} x \sin x+\frac{3}{16} \sin 2 x+\frac{3}{8} x+C \end{aligned} \)</p> <p>유제\(11.5.4\)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin ^{n} x d x=-\frac{1}{n} \cos x \sin ^{n-1} x+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x(n \geq 2 \) 인 정수)임을 증명하여라.</li> <li>\((1)\)을 이용하여 \( \int \sin ^{2} x d x \) 를 구하여라.</li> <li>\((1)\), \((2)\)를 이용하여 \( \int \sin ^{4} x d x \) 를 구하여라.</li></ol> <p>피적분함수가 \( \sin x, \cos x \) 로 구성되어 있을 때 \( \tan \frac { x } { 2 } =t \) 로 치환한다. 그러면 \[ \sin \frac { x } { 2 } = \frac { t } {\sqrt { t ^ { 2 } + 1 } } , \cos \frac { x } { 2 } = \frac { 1 } {\sqrt { t ^ { 2 } + 1 } } , d t= \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 2 } d x \] 이고 \[ \sin x=2 \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } = \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \] \[ \cos x= \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } = \frac { 1-t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } \] \[ d x= \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t \] 이므로 주어진 적분은 \( t \) 에 관한 유리함수 적분으로 귀착된다.</p> <p>예제 \(11.3.9 \) 부정적분 \( \int \frac { d x } { 1- \cos x } \) 을 구하여라.</p> <p>풀이 \( \tan \frac { x } { 2 } =t \) 라 하면 \( \cos x= \frac { 1-t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } , d x= \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { 1- \cos x } &= \int \frac { 1 } { 1- \frac { 1-t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } } \cdot \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t \\ &= \int t ^ { -2 } d t=- \frac { 1 } { t } + C=- \cot \frac { x } { 2 } + C \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.3.9 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { d x } { 1 + \sin x } \)</li> <li>\( \int \frac { 2 d x } { 1 + \tan x } \)</li></ol> <p>유제 \(11.3.6 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 2 } x d x \)</li> <li>\( \int \sin ^ { 4 } x d x \)</li></ol> <p>\( \int \tan ^ { n } x d x \) 또는 \( \int \cot ^ { n } x d x \) 를 계산할 때</p> <p>\( 1 + \tan ^ { 2 } x= \sec ^ { 2 } x \) 를 이용하여 \( t= \tan x \) 또는 \( t= \cot x \) 로 치환해서 반복적으로 계산하면 결국 \( \int \tan ^ { 2 } x d x \) 또는 \( \int \tan x d x \) 을 계산하는 것으로 바뀐다. \[ \begin {array} { l } \int \tan ^ { 2 } x d x= \int \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) d x= \tan x-x + C \\ \int \tan x d x= \int \frac {\sin x } {\cos x } d x=- \int \frac { ( \cos x) ^ {\prime } } {\cos x } d x=- \ln \| \cos x\| + C \end {array} \] 이므로 \( \int \tan ^ { n } x d x \) 을 구할 수 있다. 또한 \( 1 + \cot ^ { 2 } x= \csc ^ { 2 } x \) 을 이용하면 같은 방법으로 \( \int \cot ^ { n } x d x \) 을 구할 수 있다.</p> <p>예제 \(11.3.7 \) \( \int \tan ^ { 4 } x d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \tan ^ { 4 } x &= \tan ^ { 2 } x \tan ^ { 2 } x \\ &= \tan ^ { 2 } x \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) \\ &= \tan ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x- \tan ^ { 2 } x \end {aligned} \] 이므로 \[ \int \tan ^ { 4 } x d x= \int \tan ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x d x- \int \tan ^ { 2 } x d x \] 이다. \( t= \tan x \) 로 놓으면 \( d t= \sec ^ { 2 } x d x \) 이므로 \( \int \tan ^ { 4 } x d x= \int \tan ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x d x- \int \tan ^ { 2 } x d x \) \( = \int t ^ { 2 } d t-[ \tan x-x + C] \) \( = \frac { 1 } { 3 } \tan ^ { 3 } x- \tan x + x + C \)</p> <h1>11.1. 부정적분의 정의와 성질</h1> <p>지금까지 미분법에서는 주어진 함수의 도함수를 구하는 방법을 알아보았다. 이제 역으로 주어진 함수 \( f(x) \)를 도함수로 갖는 원래의 함수를 찾는 방법에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 \(11.1.1 \) \( f(x) \)를 도함수로 갖는 \( F(x) \), 즉 \[F ^ {\prime } (x) = f(x) \] 가 되는 \( F(x) \)를 \( f(x) \)의 부정적분이라 한다.</p> <p>이를테면 \( F(x)=x ^ { 2 } \)은 \( F ^ {\prime } (x)=2 x \)이므로 \( 2 x \)의 부정적분이다. 또한 \( G(x)=x ^ { 2 } + 1 \)도 \( G ^ {\prime } (x)=2 x \)이므로 \( 2 x \)의 부정적분이 된다. 따라서 함수 \( f(x) \)의 부정적분은 여러 개가 있다. 그러나 이 함수들 사이에는 다음 정리에서 알 수 있듯이 상수 차이이다.</p> <p>정리 \(11.1.2 \) 두 함수 \( F_ { 1 } (x), F_ { 2 } (x) \) 가 함수 \( f(x) \) 의 부정적분이면 \[F_ { 1 } (x)-F_ { 2 } (x)=C \quad(C \text { 는 상수 } ) \] 이다.</p> <p>증명 \[ \begin {aligned} \frac { d } { d x } \left (F_ { 1 } (x)-F_ { 2 } (x) \right ) &= \frac { d } { d x } F_ { 1 } (x)- \frac { d } { d x } F_ { 2 } (x) \\ &=f(x)-f(x)=0 \end {aligned} \] 이다. 따라서 \( F_ { 1 } (x)-F_ { 2 } (x) \) 는 상수이어야 한다. 즉 \[F_ { 1 } (x)-F_ { 2 } (x)=C \quad(C \text { 는 상수 } ) \] 이다.</p> <p>위 정리에 의하여 \( f(x) \) 의 부정적분 중 하나를 \( F(x) \) 라고 하면 \( f(x) \) 의 모든 부정적분은 \[F(x) + C \quad(C \text { 는 상수 } ) \] 로 나타낼 수 있고, 이 부정적분을 \[ \int f(x) d x \]와 같이 나타낸다. 즉 \[ \int f(x) d x=F(x) + C \quad( \text { 단, } C \text { 는 상수 } ) \] 이다. 이때 \( \int \) 를 적분기호, \( f(x) \)를 피적분함수, \( x \)를 적분변수, \( C \)를 적분상수라 하고 부정적분 \( F(x) \)를 구하는 것을 \( f(x) \)를 \( x \) 에 관하여 적분한다고 한다. 그리고 부정적분을 구하는 방법, 즉 적분하는 방법을 적분법이라 한다. 예를 들어 \( (3 x) ^ {\prime } =3 \) 이므로 \( \int 3 d x=3 x + C \) 이고 \( \left (x ^ { 3 } \right ) ^ {\prime } =3 x ^ { 2 } \)이므로 \[ \int 3 x ^ { 2 } d x=x ^ { 3 } + C \] 이다.</p> <h1>11.6. 유리함수 적분법</h1> <p>이 절에서는 유리함수 \( \frac { g(x) } { f(x) } (f(x), g(x) \) 는 다항식) 적분법에 대해 알아보자.</p> <p>분자 \( g(x) \) 의 차수가 분모 \( f(x) \) 의 차수보다 크거나 같은 경우 \( g(x) \) 를 \( f(x) \) 로 나누어 몫을 \( q(x) \), 나머지를 \( r(x) \) 라 할 때 \[ \frac { g(x) } { f(x) } = q(x) + \frac { r(x) } { f(x) } \] 로 변형하여 적분할 수 있다. 여기서 \( q(x) \) 는 다항식이고 \( r(x) \) 의 차수는 \( f(x) \) 의 차수보다 작다.</p> <p>예제 \(11.6.1 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { x ^ { 2 } -2 } { x + 1 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } + 3 x-1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x \)</li></ol> <p>풀이 ( \(1 \)) \( x ^ { 2 } -2 \) 를 \( x + 1 \) 로 나누면 몫이 \( x-1 \), 나머지가 \( -1 \) 이므로 \[ \frac { x ^ { 2 } -2 } { x + 1 } =x-1 + \frac { -1 } { x + 1 } \] 이다. 따라서 \[ \int \frac { x ^ { 2 } -2 } { x + 1 } d x= \int \left (x-1 + \frac { -1 } { x + 1 } \right ) d x= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } -x- \ln \|x + 1\| + C . \]</p> <p>( \(2 \)) \( \frac { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } + 3 x-1 } { x ^ { 2 } + 1 } =x-1 + \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \) 이므로 \[ \int \frac { x ^ { 3 } -x ^ { 2 } + 3 x-1 } { x ^ { 2 } + 1 } d x= \int \left (x-1 + \frac { 2 x } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) d x= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } -x + \ln \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + C . \]</p> <p>지수 \( n \)이 홀수이면, 즉 \( n=2 k + 1(k \) 는 정수 \( ) \)이면 \( \sin ^ { n } x= \left ( \sin ^ { 2 } x \right ) ^ { k } \cdot \sin x \)로 변형한다. 이때 \( \sin ^ { 2 } x=1- \cos ^ { 2 } x, \cos x=t \)로 치환하여 적분한다. 마찬가지로 \( \cos ^ { n } x \) 도 \( \cos ^ { 2 } x=1- \) \( \sin ^ { 2 } x, \sin x=t \)로 치환하여 적분한다. 한편 \( n \)이 짝수이면 반각공식 \[ \sin ^ { 2 } x= \frac { 1- \cos 2 x } { 2 } , \quad \cos ^ { 2 } x= \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \] 를 사용하여 일차 삼각함수로 바꾸어 적분한다. 이때 반각공식을 여러 번 사용할 수도 있다.</p> <p>예제 \(11.3.3 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \cos ^ { 3 } x d x \)</li> <li>\( \int \sin ^ { 2 } x d x \)</li></ol> <p>풀이 \((1) \) \( \int \cos ^ { 3 } x d x= \int \cos ^ { 2 } x \cdot \cos x d x= \int \left (1- \sin ^ { 2 } x \right ) \cos x d x \) 이다. 여기서 \( t= \sin x \) 로 놓으면 \( d t= \cos x d x \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \cos ^ { 3 } x d x= \int \left (1-t ^ { 2 } \right ) d t &=t- \frac { 1 } { 3 } t ^ { 3 } + C \\ &= \sin x- \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 3 } x + C \end {aligned} \]</p> <p>\((2) \) \( \int \sin ^ { 2 } x d x= \int \frac { 1- \cos 2 x } { 2 } d x= \frac { 1 } { 2 } \left [ \int 1 d x- \int \cos 2 x d x \right ] \) \[ = \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x \right ) + C= \frac { 1 } { 2 } x- \frac { 1 } { 4 } \sin 2 x + C \]</p> <p>유제 \(11.6.1 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { x ^ { 2 } + x + 1 } { x-1 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x ^ { 3 } + 1 } { x-2 } d x \)</li></ol> <p>분자 \( g(x) \) 의 차수가 분모 \( f(x) \) 의 차수보다 작은 경우</p> <p>유리함수 \( \frac { g(x) } { f(x) } \) 를 적분하기 쉬운 함수들의 합으로 바꾸어 적분하는데 분모 \( f(x) \) 의 형태에 따라 다음과 같이 변형한다.</p> <ol type=1 start=1><li>분모 \( f(x) \) 가 \( f(x)= \left (a_ { 1 } x + b_ { 1 } \right ) \left (a_ { 2 } x + b_ { 2 } \right ) \cdots \left (a_ { n } x + b_ { n } \right ) \) 과 같이 일차식의 곱으로 되어 있으면 \[ \frac { g(x) } { f(x) } = \frac { A_ { 1 } } { a_ { 1 } x + b_ { 1 } } + \frac { A_ { 2 } } { a_ { 2 } x + b_ { 2 } } + \cdots + \frac { A_ { n } } { a_ { n } x + b_ { n } } \] 으로 변형하여 적분한다(예제 \(11.6.2 \)).</li> <li>분모 \( f(x) \) 가 \( f(x)=(a x + b) ^ { k } (k \geq 2) \) 와 같이 중복된 일차식의 곱으로 되어 있으면 \[ \frac { g(x) } { f(x) } = \frac { A_ { 1 } } { a x + b } + \frac { A_ { 2 } } { (a x + b) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { A_ { k } } { (a x + b) ^ { k } } \] 으로 변형하여 적분한다(예제 \(11.6.3 \)).</li> <li>분모 \( f(x) \) 가 \( f(x)= \left (a_ { 1 } x ^ { 2 } + b_ { 1 } x + c_ { 1 } \right ) \left (a_ { 2 } x ^ { 2 } + b_ { 2 } x + c_ { 2 } \right ) \) 와 같이 서로 다른 이차식의 곱 으로 되어 있으면 \[ \frac { g(x) } { f(x) } = \frac { A_ { 1 } x + B_ { 1 } } { a_ { 1 } x ^ { 2 } + b_ { 1 } x + c_ { 1 } } + \frac { A_ { 2 } x + B_ { 2 } } { a_ { 2 } x ^ { 2 } + b_ { 2 } x + c_ { 2 } } \] 으로 변형하여 적분한다(예제 \(11.6.4 \)).</li> <li>분모 \( f(x) \) 가 \( f(x)= \left (a x ^ { 2 } + b x + c \right ) ^ { k } \quad(k \geq 2) \) 와 같이 증복된 이차식의 곱으로 되어 있으면 \[ \frac { g(x) } { f(x) } = \frac { A_ { 1 } x + B_ { 1 } } { a x ^ { 2 } + b x + c } + \frac { A_ { 2 } x + B_ { 2 } } {\left (a x ^ { 2 } + b x + c \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { A_ { k } x + B_ { k } } {\left (a x ^ { 2 } + b x + c \right ) ^ { k } } \] 으로 변형하여 적분한다(예제 \(11.6.5 \)).</li></ol> <p>예제 \(11.6.2 \) \( \int \frac { 3 } { (x + 2)(x-1) } d x \) 을 구하여라.</p> <h1>11.4. 삼각치환법</h1> <p>적분변수를 바꿀 때 치환하는 식이 삼각함수를 포함하고 있으면 그 치환을 삼각치환이라 하고, 이러한 적분법을 삼각치환법이라 한다. 이 삼각치환은 피적분함수가 \[ \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } , \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } , \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \] 을 포함하는 함수일 때 자주 사용된다. 피적분함수가 \[ \begin {array} { l } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \text { 을 포함하면 } x = a \sin \theta \left (- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \\ \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \text { 을 포함하면 } x=a \sec \theta \left (0 \leq \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \end {array} \] \[ \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \text { 을 포함하면 } x=a \tan \theta \left (- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \] 로 치환한다. 그러면 \( a>0 \) 일 때 \[ \begin {array} { l } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } -a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } =a \sqrt { 1- \sin ^ { 2 } \theta } =a \cos \theta \\ \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } \sec ^ { 2 } \theta-a ^ { 2 } } =a \sqrt {\sec ^ { 2 } \theta-1 } =a \tan \theta \\ \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } + a ^ { 2 } \tan ^ { 2 } \theta } =a \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \theta } =a \sec \theta \end {array} \] 으로 변형된다.</p> <p>유제 \(11.3.7 \) \( \int \tan ^ { 3 } x d x \) 를 구하여라.</p> <p>\( \int \sin a x \cos b x d x, \int \sin a x \sin b x d x, \int \cos a x \cos b x d x \)를 계산할 때</p> <p>\( \int \sin a x \cos b x d x, \int \sin a x \sin b x d x, \int \cos a x \cos b x d x \) 를 구할 때는 다음 삼각함수 공식을 이용하여 곱셈 형태로 되어 있는 피적분함수를 덧셈 또는 뺄셈으로 변형하여 적분한다. \[ \begin {array} { l } \sin A \cos B= \frac { 1 } { 2 } \{\sin (A + B) + \sin (A-B) \} \\ \sin A \sin B=- \frac { 1 } { 2 } \{\cos (A + B)- \cos (A-B) \} \\ \cos A \cos B= \frac { 1 } { 2 } \{\cos (A + B) + \cos (A-B) \} \end {array} \]</p> <p>예제 \(11.3.8 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \cos 7 x \cos 3 x d x \)</li> <li>\( \int \sin 7 x \sin 3 x d x \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( \begin {aligned} \int \cos 7 x \cos 3 x d x &= \frac { 1 } { 2 } \int( \cos 10 x + \cos 4 x) d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 10 } \sin 10 x + \frac { 1 } { 4 } \sin 4 x \right ) + C \\ &= \frac { 1 } { 20 } \sin 10 x + \frac { 1 } { 8 } \sin 4 x + C \end {aligned} \)</li> <li>\( \begin {aligned} \int \sin 7 x \sin 3 x d x &= \frac { 1 } { 2 } \int( \cos 4 x- \cos 10 x) d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { 4 } \sin 4 x- \frac { 1 } { 10 } \sin 10 x \right ) + C \\ &= \frac { 1 } { 8 } \sin 4 x- \frac { 1 } { 20 } \sin 10 x + C \end {aligned} \)</li></ol> <p>유제 \(11.3.8 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin 3 x \cos 2 x d x \)</li> <li>\( \int \cos 5 x \cos 3 x d x \)</li></ol> <p>\( \int f( \sin x, \cos x) d x \) 를 계산할 때</p> <p>예제 \(11.2.2 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } + 1 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { e ^ { x } } { e ^ { x } + 2 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { 4 x-1 } d x \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left (x ^ { 3 } + 1 \right ) ^ {\prime } =3 x ^ { 2 } \) 이므로 \[ \int \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } + 1 } d x= \frac { 1 } { 3 } \int \frac {\left (x ^ { 3 } + 1 \right ) ^ {\prime } } { x ^ { 3 } + 1 } d x= \frac { 1 } { 3 } \ln \left \|x ^ { 3 } + 1 \right \| + C . \]</li> <li>\( \int \frac { e ^ { x } } { e ^ { x } + 2 } d x= \int \frac {\left (e ^ { x } + 2 \right ) ^ {\prime } } { e ^ { x } + 2 } d x= \ln \left (e ^ { x } + 2 \right ) + C \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { 4 x-1 } d x= \frac { 1 } { 4 } \int \frac { (4 x-1) ^ {\prime } } { 4 x-1 } d x= \frac { 1 } { 4 } \ln \|4 x-1\| + c \)</li></ol> <p>참고 치환적분에 의하여 다음 공식이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>\( \int(a x + b) ^ { n } d x= \frac { 1 } { a(n + 1) } (a x + b) ^ { n + 1 } + C \), 단 \( n \neq-1 \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { a x + b } d x= \frac { 1 } { a } \ln \|a x + b\| + C \)</li></ol> <p>유제11.2.2</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { x } { x ^ { 2 } + 1 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { e ^ { 2 x } } { e ^ { 2 x } + 2 } d x \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { x \ln x } d x \)</li></ol> <p>유제 \(11.3.3 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin ^ { 3 } x d x \)</li> <li>\( \int \cos ^ { 2 } x d x \)</li></ol> <p>\( \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x \) 를 계산할 때</p> <p>지수 \( m \) 또는 \( n \) 이 홀수이면 앞에서와 같은 방법으로 치환적분법을 이용하고 \( m \) 과 \( n \) 이 모두 짝수이면 반각공식을 사용하여 적분할 수 있다.</p> <p>예제 \(11.3.4 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 3 } x d x \)</li> <li>\( \int \sin ^ { 5 } x \cos ^ { 2 } x d x \)</li></ol> <p>풀이 \((1) \) \( \cos ^ { 3 } x= \cos ^ { 2 } x \cdot \cos x \) 이고 \( \cos ^ { 2 } x=1- \sin ^ { 2 } x \) 이므로 \[ \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 3 } x d x= \int \sin ^ { 2 } x \left (1- \sin ^ { 2 } x \right ) \cos x d x . \] \( \sin x=t \) 로 놓으면 \( \cos x d x=d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 3 } x d x= \int t ^ { 2 } \left (1-t ^ { 2 } \right ) d t &= \int \left (t ^ { 2 } -t ^ { 4 } \right ) d t \\ &= \frac { 1 } { 3 } t ^ { 3 } - \frac { 1 } { 5 } t ^ { 5 } + C \\ &= \frac { 1 } { 3 } \sin ^ { 3 } x- \frac { 1 } { 5 } \sin ^ { 5 } x + C \end {aligned} \]</p> <p>\((2) \) \( \int \sin ^ { 5 } x \cos ^ { 2 } x d x= \int \left ( \sin ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x \cdot \sin x d x \) \[ = \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x \cdot \sin x d x \] 이고 \( t= \cos x \) 로 놓으면 \( -d t= \sin x d x \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \sin ^ { 5 } x \cos ^ { 2 } x d x &= \int \left (1-t ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } t ^ { 2 } (-d t) \\ &=- \int \left (t ^ { 6 } -2 t ^ { 4 } + t ^ { 2 } \right ) d t \\ &=- \frac { 1 } { 7 } t ^ { 7 } + \frac { 2 } { 5 } t ^ { 5 } - \frac { 1 } { 3 } t ^ { 3 } + C \\ &=- \frac { 1 } { 7 } \cos ^ { 7 } x + \frac { 2 } { 5 } \cos ^ { 5 } x- \frac { 1 } { 3 } \cos ^ { 3 } x + C \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.3.4 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 2 } x d x \)</li> <li>\( \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 5 } x d x \)</li></ol> <p>\((2) \) \( x ^ { 2 } + 4 x=(x + 2) ^ { 2 } -4 \) 이므로 \( x + 2=2 \sec \theta \) 로 치환하면 \[ \sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } = \sqrt { (x + 2) ^ { 2 } -4 } =2 \sqrt {\sec ^ { 2 } \theta-1 } =2 \tan \theta, \] \[ d x=2 \sec \theta \tan \theta d \theta \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } } d x &= \int \frac { (2 \sec \theta-2) \cdot 2 \sec \theta \tan \theta } { 2 \tan \theta } d \theta \\ &=2 \int \left ( \sec ^ { 2 } \theta- \sec \theta \right ) d \theta \\ &=2[ \tan \theta- \ln \| \sec \theta + \tan \theta\|] + C ^ {\prime } \\ &=2 \left [ \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } } { 2 } - \ln \left \| \frac { x + 2 } { 2 } + \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } } { 2 } \right \| \right ] + C ^ {\prime } \\ & \left .= \sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } -2 \ln \left \|x + 2 + \sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } \right \| + C \quad \text { (단 } C=C ^ {\prime } + 2 \ln 2 \right ). \end {aligned} \]</p> <p>\((3) \) \( x=a \tan \theta \left (- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 로 치환하면 \[ \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } \left (1 + \tan ^ { 2 } \theta \right ) } =a \sec \theta, d x=a \sec ^ { 2 } \theta d \theta \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } {\sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } &= \int \frac { a \sec ^ { 2 } \theta } { a \sec \theta } d \theta= \int \sec \theta d \theta \\ &= \ln \| \sec \theta + \tan \theta\| + C ^ {\prime } \\ &= \ln \left \| \frac {\sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } { a } + \frac { x } { a } \right \| + C ^ {\prime } \\ &= \ln \left \| \sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } + x \right \| + C \quad \left ( \text { 단 } C=C ^ {\prime } - \ln a \right ). \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.4.1 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { d x } {\sqrt { 9-4 x ^ { 2 } } } \)</li> <li>\( \int \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } -4 } } d x \)</li> <li>\( \int \frac { d x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 2 } } \)</li></ol> <p>풀이 \[ \frac { 3 } { (x + 2)(x-1) } = \frac { A } { x + 2 } + \frac { B } { x-1 } \] \[ \begin {array} { l } = \frac { A(x-1) + B(x + 2) } { (x + 2)(x-1) } \\ = \frac { (A + B) x + (-A + 2 B) } { (x + 2)(x-1) } \end {array} \] 이고 이 등식이 성립하기 위해서는 \[ A + B=0,-A + 2 B=3 \] 이다. 즉 \( A=-1, B=1 \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { 3 } { (x + 2)(x-1) } d x &= \int \left ( \frac { -1 } { x + 2 } + \frac { 1 } { x-1 } \right ) d x \\ &= \ln \|x-1\|- \ln \|x + 2\| + C \\ &= \ln \left \| \frac { x-1 } { x + 2 } \right \| + C . \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.6.2 \) \( \int \frac { 2 } { x ^ { 2 } -4 } d x \) 을 구하여라.</p> <p>예제 \(11.6.3 \) \( \int \frac { x ^ { 3 } } { (x + 1) ^ { 2 } } d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \[ \frac { x ^ { 3 } } { (x + 1) ^ { 2 } } =x-2 + \frac { 3 x + 2 } { (x + 1) ^ { 2 } } \] 이고 \[ \begin {aligned} \frac { 3 x + 2 } { (x + 1) ^ { 2 } } &= \frac { A } { x + 1 } + \frac { B } { (x + 1) ^ { 2 } } \\ &= \frac { A(x + 1) + B } { (x + 1) ^ { 2 } } \end {aligned} \] 에서 \( A=3, B=-1 \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 3 } } { (x + 1) ^ { 2 } } d x &= \int \left [x-2 + \frac { 3 } { x + 1 } + \frac { -1 } { (x + 1) ^ { 2 } } \right ] d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } -2 x + 3 \ln \|x + 1\|- \int \frac { 1 } { (x + 1) ^ { 2 } } d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } -2 x + 3 \ln \|x + 1\| + \frac { 1 } { x + 1 } + C \end {aligned} \]</p> <p>유제 \(11.5.1 \) 다음을 적분하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x e ^ { -x } d x \)</li> <li>\( \int(x + 2) \sin x d x \)</li> <li>\( \int x \ln x d x \)</li></ol> <p>예제 \(11.5.2 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x ^ { 2 } \cos x d x \)</li> <li>\( \int x ^ { 3 } e ^ { x } d x \)</li></ol> <p>풀이 \((1) \) \( u ^ {\prime } = \cos x, v=x ^ { 2 } \) 으로 놓으면 \( u= \sin x, v ^ {\prime } =2 x \) 이므로<p>\( \begin {aligned} \int x ^ { 2 } \cos x d x &=x ^ { 2 } \sin x- \int \sin x \cdot 2 x d x \\ &=x ^ { 2 } \sin x-2 \int x \sin x d x \quad \cdots \cdots \end {aligned} \)<caption>①</caption></p>이다. 여기서 \( \int x \sin x d x \) 을 계산하기 위해 다시 부분적분법을 사용한다. \( u ^ {\prime } = \sin x, v=x \) 으로 놓으면 \( u=- \cos x, v ^ {\prime } =1 \) 이므로<p>\( \begin {aligned} \int x \sin x d x &=-x \cos x- \int- \cos x \cdot 1 d x \\ &=-x \cos x + \sin x + C \quad \cdots \cdots \end {aligned} \)<caption>②</caption></p>이다. 따라서 식 ②를 식 ①에 대입하면 \[ \int x ^ { 2 } \cos x d x=x ^ { 2 } \sin x + 2 x \cos x-2 \sin x + C . \]</p> <p>\((2) \) \( u ^ {\prime } =e ^ { x } , v=x ^ { 3 } \) 으로 놓으면 \( u=e ^ { x } , v ^ {\prime } =3 x ^ { 2 } \) 이므로<p>\( \begin {aligned} \int x ^ { 3 } e ^ { x } d x &=e ^ { x } x ^ { 3 } - \int e ^ { x } \cdot 3 x ^ { 2 } d x \\ &=x ^ { 3 } e ^ { x } -3 \int x ^ { 2 } e ^ { x } d x \quad \cdots \cdots \end {aligned} \)<caption>③</caption></p>이다. 여기서 \( \int x ^ { 2 } e ^ { x } d x \) 을 계산하기 위해 다시 부분적분법을 사용한다. \( u ^ {\prime } =e ^ { x } , v=x ^ { 2 } \) 으로 놓으면 \( u=e ^ { x } , v ^ {\prime } =2 x \) 이므로<p>\( \begin {aligned} \int x ^ { 2 } e ^ { x } d x &=x ^ { 2 } e ^ { x } - \int e ^ { x } \cdot 2 x d x \\ &=x ^ { 2 } e ^ { x } -2 \int x e ^ { x } d x \quad \cdots \cdots \end {aligned} \)<caption>④</caption></p>이다. 또 \( \int x e ^ { x } d x \) 을 계산하기 위해 다시 부분적분법을 사용한다. \( u ^ {\prime } =e ^ { x } , v=x \) 로 놓으면 \( u=e ^ { x } , v ^ {\prime } =1 \) 이므로<p>\( \int x e ^ { x } d x=e ^ { x } x- \int e ^ { x } \cdot 1 d x=x e ^ { x } -e ^ { x } + C \quad \cdots \cdots \)<caption>⑤</caption></p>이다. 식 \((5) \)를 식 \((4) \)에 대입하면<p>\( \int x ^ { 2 } e ^ { x } d x=x ^ { 2 } e ^ { x } -2 x e ^ { x } + 2 e ^ { x } + C \quad \cdots \cdots \)<caption>⑥</caption></p>이므로 식 ⑥을 식 ③에 대입해서 \[ \int x ^ { 3 } e ^ { x } d x=x ^ { 3 } e ^ { x } -3 x ^ { 2 } e ^ { x } + 6 x e ^ { x } -6 e ^ { x } + C . \]</p> <h1>11.5. 부분적분법</h1> <p>두 함수의 곱으로 된 피적분함수를 적분할 때 다음 정리를 이용한다.</p> <p>정리 \(11.5.1 \) 부분적분법 \( \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x = f(x) g(x)- \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>증명 \[ \frac { d } { d x } (f(x) g(x))=f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) \] 이므로 부정적분의 정의에 의하여 \[ f(x) g(x)= \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x + \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x . \] 즉 \[ \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x=f(x) g(x)- \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x \] 이다.</p> <p>이와 같은 적분법을 부분적분법이라 하며, 다항함수와 초월함수의 곱, 또는 초월함수와 초월함수의 곱으로 된 피적분함수를 적분할 때 사용된다. 부분적분법은 \( \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x \) 를 다른 적분 \( \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x \) 로 바꾸어 적분하는 것이므로 \( \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x \) 가 \( \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x \) 보다 더 간단한 적분이 되도록 유도하여야 한다. 이를 위해 피적분함수가 다항식과 초월함수의 곱으로 구성된 경우에 다항식을 \( f(x) \) 로 초월함수를 \( g ^ {\prime } (x) \) 로 놓고 적분하여야 한다.</p> <p>위의 정리에서 \( u=f(x), v=g(x) \) 로 놓으면 부분쩍분 공식을 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \int u ^ {\prime } v d x=u v- \int u v ^ {\prime } d x \]</p> <p>예제 \(11.5.1 \) 다음을 적분하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x e ^ { 2 x } d x \)</li> <li>\( \int x \cos x d x \)</li> <li>\( \int \ln x d x \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( u ^ {\prime } =e ^ { 2 x } , v=x \) 로 놓으면 \( u= \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 x } , v ^ {\prime } =1 \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int e ^ { 2 x } \cdot x d x &= \frac { 1 } { 2 } x e ^ { 2 x } - \int \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 x } \cdot 1 d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } x e ^ { 2 x } - \frac { 1 } { 4 } e ^ { 2 x } + C. \end {aligned} \]</li> <li>\( u ^ {\prime } = \cos x, v=x \) 로 놓으면 \( u= \sin x, v ^ {\prime } =1 \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \cos x \cdot x d x &=x \sin x- \int \sin x d x \\ &=x \sin x + \cos x + C. \end {aligned} \]</li> <li>(3) \( u ^ {\prime } =1, v= \ln x \) 로 놓으면 \( u=x, v ^ {\prime } = \frac { 1 } { x } \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \ln x d x= \int 1 \cdot \ln x d x &=x \ln x- \int x \cdot \frac { 1 } { x } d x \\ &=x \ln x-x + C . \end {aligned} \]</li></ol> <p>부분적분법을 사용할 때 두 함수 중 어떤 함수를 \( u ^ {\prime } , v \) 로 선택할 것인지 결정하는 것이 중요하다. 예를 들어 \( \int x \cos x d x \) 을 구할 때 \( u ^ {\prime } = \cos x, v=x \) 로 선택하여 \( \int x \cos x d x \) 에서 시작하여 더 간단한 \( \int \sin x d x \) 로 변형했다. 그러나 만약 \( u ^ {\prime } =x, v= \cos x \) 로 바꾸어 선택하면 \[ \int x \cos x d x= \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \cos x + \frac { 1 } { 2 } \int x ^ { 2 } \sin x d x \] 로 변형되어 더 복잡한 적분으로 변형됨을 알 수 있다.</p> <p>정리 \(11.4.1 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int \frac { d x } {\sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } = \sin ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \)</li> <li>\( \int \frac { d x } { x \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { a } \sec ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \)</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>\( x=a \sin \theta \left ( \theta= \sin ^ { -1 } \frac { x } { a } \right ), \left (- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 로 치환하면 \[ \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } -a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } =a \cos \theta, d x=a \cos \theta d \theta \] 이므로 \[ \int \frac { d x } {\sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } = \int \frac { a \cos \theta } { a \cos \theta } d \theta= \int d \theta= \theta + C= \sin ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \]</li> <li>\( x=a \tan \theta \left ( \theta= \tan ^ { -1 } \frac { x } { a } \right ) \) 로 치환하면 \[ a ^ { 2 } + x ^ { 2 } =a ^ { 2 } \left (1 + \tan ^ { 2 } \theta \right )=a ^ { 2 } \sec ^ { 2 } \theta, d x=a \sec ^ { 2 } \theta d \theta \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } = \int \frac { a \sec ^ { 2 } \theta } { a ^ { 2 } \sec ^ { 2 } \theta } d \theta &= \frac { 1 } { a } \int d \theta \\ &= \frac {\theta } { a } + C \\ &= \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \end {aligned} \] 이다.</li> <li>\( x=a \sec \theta \left ( \theta= \sec ^ { -1 } \frac { x } { a } \right ), \left (0 \leq \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 로 치환하면 \[ \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } \left ( \sec ^ { 2 } \theta-1 \right ) } =a \tan \theta, d x=a \sec \theta \tan \theta d \theta \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { x \sqrt { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } } = \int \frac { a \sec \theta \tan \theta } { a \sec \theta \cdot a \tan \theta } d \theta= \frac { 1 } { a } \int d \theta &= \frac { 1 } { a } \theta + C \\ &= \frac { 1 } { a } \sec ^ { -1 } \frac { x } { a } + C \end {aligned} \] 이다.</li></ol> <p>예제 \(11.4.1 \) 다음 부정적분을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \int x \sqrt { 4-x ^ { 2 } } d x \)</li> <li>\( \int \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 x } } d x \)</li> <li>\( \int \frac { d x } {\sqrt { a ^ { 2 } + x ^ { 2 } } } \)</li></ol> <p>풀이 \((1) \) \( x=2 \sin \theta \left (- \frac {\pi } { 2 }< \theta< \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 로 치환하면 \[ \sqrt { 4-x ^ { 2 } } = \sqrt { 4 \left (1- \sin ^ { 2 } \theta \right ) } =2 \cos \theta, d x=2 \cos \theta d \theta \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int x \sqrt { 4-x ^ { 2 } } d x &= \int 2 \sin \theta \cdot 2 \cos \theta \cdot 2 \cos \theta d \theta \\ &=8 \int \sin \theta \cdot \cos ^ { 2 } \theta d \theta \\ &=8 \int t ^ { 2 } (-d t) \quad(t= \cos \theta \text { 로 치환 } ) \\ &=- \frac { 8 } { 3 } t ^ { 3 } + C=- \frac { 8 } { 3 } \cos ^ { 3 } \theta + C \end {aligned} \] 이다. 한편 \( x=2 \sin \theta \) 이므로 \( \sin \theta= \frac { x } { 2 } , \cos \theta= \frac {\sqrt { 4-x ^ { 2 } } } { 2 } \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int x \sqrt { 4-x ^ { 2 } } d x &=- \frac { 8 } { 3 } \frac {\sqrt {\left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } } { 8 } + C \\ &=- \frac { 1 } { 3 } \sqrt {\left (4-x ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } } + C . \end {aligned} \]</p>	자연
확률적 자료연계의 이론과 적용에 관한 연구	<h1>2. 자료연계방법의 종류</h1> <h2>2.1. 결정적 자료 연계(deterministic record linkage)</h2> <p>결정적 자료연계는 두 개의 레코드를 비교하여 이름, 생년월일, 주소 등과 같은 연계 변수들의 값이 정확하게 일치할 경우 매치(match) 즉, 동일한 개인으로 판정하고, 일부라도 일치하지 않을 경우 비매치(non-match)로 분류한다.</p> <p>결정적 연계에서는 일반적으로 연계변수의 중요도는 동일하다. 예를 들어, 두 개인의 레코드를 이름, 생년월일, 주소를 사용하여 비교한다고 할 때, 이름의 각 문자가 일치하고, 생년월일의 숫자가 일치하고, 주소의 각 문자가 완전히 일치할 때만 두 레코드는 같은 사람으로 연계될 수 있다. 만약, 주소 같은 연계변수에 오타가 있거나 표기가 살짝 달라서 조금이라도 일치하지 않는다면 불일치로 판정될 것이다. 따라서, 결정적 자료연계는 실제 매치인데 비매치로 판정받는 개체가 많이 발생할 가능성이 높다. 예로서 Table 1을 가정해 보자. 파일 A와 파일 B에 각 3명의 개인에 대한 레코드가 있다. 두 파일이 실제로는 같은 사람에 대한 자료이지만 두 파일을 결정적 자료 연계에 의해 매치시켰을 때, 결과는 모든 연계변수가 완벽하게 일치하는 1개의 비교 쌍만 매치로 판정된다(Table 2). 결정적 자료연계에서는 연계변수들이 부분적으로 일치하는지는 고려되지 않는다. 한편, 실제로는 동일인이 아닌데 우연히 모든 연계변수가 일치하는 경우가 발생할 수 있다. 이런 경우에도 결정적 자료연계에서는 일단 매치로 처리된다. 다만, 실제 데이터에서는 일치하는 개인이 또 있을 가능성이 매우 크다. 이 때는 다른 추가 변수들(가구원, 혼인년도 등)을 사용하여 진짜 동일인을 찾아내어 연계해야 할 것이다.</p> <h2>2.2. 확률적 자료연계(probabilistic record linkage)</h2> <p>확률적 자료연계는 잠재적 레코드쌍에 대해 두 레코드의 연계변수가 일치하는 정도에 따라 연계변수별로 점수를 매겨서 전체 점수가 높은 쌍을 동일 개체로 판단하는 방법이다. 데이터 수집과정에서 발생하는 오타나 입력오류, 입력형태 등으로 인해 동일개체라 하더라도 레코드가 완전히 일치하기는 어렵기 때문에 일치 정도를 점수화하여 확률적으로 접근하는 것이다. 확률적 자료연계 방법론은 Fellegi와 Sunter (1969)가 제시한 모형을 토대로 발전되어 왔다.</p> <h1>4. 등록센서스-인구총조사 연계 시뮬레이션</h1> <p>본 절에서는 앞에서 설명한 확률적 자료연계 모형을 적용하여 통계청의 등록센서스와 인구총조사의 표본조사를 결합하는 데 적용해 본다. 통계청의 인구주택총조사는 등록센서스(매년 행정자료를 결합하여 우리나라 인구와 주택의 전수 통계 작성)와 \( 20 \% \) 표본조사(5년 주기로 전체의 \( 20 \% \) 표본가구를 대상으로 심층항목 조사) 두 가지가 혼합되어 있다. 여기에 사용된 데이터는 등록센서스와 인구총조사 표본조사 자료로 부터 각각 1,005개 레코드를 추출하여 개인정보 보호를 위하여 가공한 것이며, 추출된 양쪽 데이터는 연계결과의 성능을 평가할 수 있도록 같은 개인들의 레코드로 구성하였다. 연계 작업에 사용된 소프트웨어 도구는 R의 reclin 패키지이다. 두 데이터는 Figure 1과 같은 형태로 되어 있다.</p> <p>여러 변수들 중 연계에 활용할 변수는 이름, 성별, 생년월일, 도로명주소, 지역코드이다. 두 데이터 연계를 위해 생성되는 비교 쌍(comparison pairs)은 총 \( 1,010,025(=1,0051,005) \)이며, 이 중 연계될 수 있는 레코드 수는 최대 1,005개이다. 위 자료를 이용하여 두 개의 자료가 연계되는 과정을 각 단계별로 살펴 보도록 한다.</p> <h2>4.1. 표준화(standardization)와 정제(cleaning)</h2> <p>연계 작업을 진행하기 전에 두 파일에 있는 변수들의 필드 내용을 표준화하거나 정제하는 일이 선행되어야 한다. 자료 출처에 따라 주소, 생년월일 등을 표기하는 양식이 각각 다른 경우가 많기 때문이다. 예를 들어, 같은 주소라도 ‘동이름' 또는 '도로명’으로 다르게 표기될 수 있고, 생년월일도 ‘0000년00월00일’ 또는 ‘0000/00/00’로 표기방식이 다를 수 있다. 영문의 경우 이름이나 주소에 축약형도 많다. 표준화를 하지 않을 경우 표기방식의 차이로 인해 매칭에 있어서 손실이 커지고 정확도가 하락하게 되므로 자료연계의 성공 확률을 높이기 위해서는 표준화가 반드시 선행되어야 한다. 또한, 결측이 있는 경우 해당 연계변수는 불일치로 판정되어 가중치가 음수가 되기 때문에 연계 가능성이 떨어질 수밖에 없다. 연계의 성공률을 높이기 위해서는 되도록 결측이 없는 변수를 연계키로 사용하거나 사전에 결측을 제거해 주는 것이 필요하다. 본 논문에서 시뮬레이션용으로 사용한 자료는 이미 정제와 표준화를 마친 것이다.</p> <h2>4.2. 비교쌍의 생성</h2> <p>자료연계의 첫 단계는 비교를 위한 레코드쌍을 생성하는 것이다. 두 파일에 속한 동일 개체를 찾아내어 연계시키기 위해서는 두 데이터 세트에 속한 모든 레코드의 조합을 비교하여야 한다. 완벽한 연계키(linkage key)가 있다면 굳이 모든 레코드 조합을 일일이 비교할 필요가 없을 것이지만, 연계키가 부정확하거나 입력 오류가 존재하기 때문에 모든 조합을 비교하여야 한다. 이를 위해 두 데이터 세트로부터 레코드의 비교쌍들(comparison pairs)을 생성한다. 두 파일이 각각 1,005개의 레코드를 담고 있으므로 생성되는 비교 쌍의 개수는 \( 10051005=1,010,025 \)이며, Table 4와 같은 형태로 비교쌍이 생성된다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>빅데이터 활용이 중요해지면서, 통계정보의 생산에 있어서도 조사자료 뿐만 아니라 행정자료 등 다양한 출처(source)의 자료들을 활용하는 것이 크게 늘어나고 있다. 여러 출처의 데이터를 연계(linkage)하거나 결합(integration)함으로써 응답 부담이나 비용은 절감하고 통계자료의 종류와 내용 및 활용성은 증대시킬 수 있다. 해외에서는 수십여 년 동안 자료 연계(record linkage)에 관한 연구가 발전해 왔으며, 정부와 민간에서 매우 광범위하게 활용되고 있다. 특히 공공분야에서 자료연계 방법론을 적용한 연구가 활발한데, 센서스 자료를 다른 표본조사 또는 행정자료와 연계하거나, 보건 분야에서 인구 자료와 질병, 사망, 진료기록 등을 연계한 사례들이 많이 소개되고 있다. 우리나라의 경우 상대적으로 자료의 접근성에 대한 제약이나 활용 수요의 부족 등으로 방법론에 대한 연구가 별로 이루어지지 못하였다. 그러나 우리도 최근 데이터 연계의 중요성이 강조되고 있으며 단일 자료만으로는 복잡한 사회 문제에 대응하는 데 한계가 있기 때문에 학술적 - 정책적 연구에 있어 데이터 연계는 점점 더 주목받게 될 것이다.</p> <p>자료를 담고 있는 각각의 데이터베이스는 어떤 기관의 특정한 목적을 위해 구축되어 있다. 이러한 각기 다른 원천의 자료를 결합한다고 할 때, 크게 두 종류의 접근 방식이 있다. 하나는, 결합시키는 대상(개인 또는 사업체)이 동일 개체는 아니지만 같은 특성을 공유하는 유사한 개체를 찾아 해당 레코드를 활용하는 것이다. 다른 하나는, 동일 개체를 대상으로 공통의 식별변수(identifier)를 매개로 레코드끼리 연계하여 결합시키는 것이다. 전자를 통계적 매칭(statistical matching)이라 하며, 후자를 정확 매칭(exact matching) 또는 자료 연계(record linkage)라고 부른다. 다시 말해서 자료연계란 여러 데이터 파일에 존재하는 동일한 개체(개인, 가구, 사업체 등)에 대한 다양한 정보를 하나의 데이터로 결합시키는 과정을 의미한다. 한 데이터베이스 내에서 중복된 기록을 찾아내거나 다수 데이터베이스의 자료를 연계하는 것을 모두 포함하는 개념이다.</p> <p>주민등록번호와 같은 고유식별번호(unique identification number)를 사용할 수 있다면 다른 데이터 파일로부터 동일 인물을 쉽게 확인할 수 있고 해당 개인의 자료를 연계시키는 것은 매우 쉬운 작업이다. 그러나 고유번호를 사용할 수 없을 때 주로 이름, 생년월일, 주소 등 간접 변수들을 활용하여 동일인인지를 판단함으로써 자료 연계를 하게 되는데, 통상 수집된 자료에 중복, 누락, 오타 등 여러 오류가 내재되어 있기 때문에 연계 과정이 그리 간단하지 않다. 따라서 자료 연계의 관건은 여러 다른 원천의 데이터 파일에서 어떻게 동일 개체를 식별해 내느냐에 달려 있다.</p> <p>자료연계에 관한 연구는 Dunn (1946)이 공공보건 연구에서 개인단위 자료 연계의 필요성을 주장하면서 발전하기 시작하였다. Dunn (1946)은 현대적 자료 연계 이론의 확률론적 기초 아이디어를 제시하였고, Fellegi와 Sunter (1969)가 그들의 선구적 논문 'A theory for record linkage'에서 Newcombe의 아이디어를 수학적 모델로 공식화한 후, Fellegi-Sunter 이론은 지금까지 자료 연계 응용연구의 토대를 형성하고 있다. Fellegi와 Sunter (1969)의 논문 이후 1970년대부터 90년대 사이에 확률적 자료연계 방법론 연구와 실제 데이터 적용이 활발하게 이루어졌다. 주요 연구주제는 최적의 비교함수 찾기 (Jaro, 1989; Winkler, 1990), 모수추정 (Winkler, 1990; Winkler 등, 1993; Winkler, 1995), 정확성 평가 (Hand와 Christen, 2018; Christen과 Goiser, 2007) 등에 관한 것이었다. 2000년대 들어서는 컴퓨터 과학분야에서 머신러닝의 분류 알고리즘을 활용한 자료연계가 발전하였다 (Christen, 2007; Elfeky 등, 2003; Feigenbaum, 2016; Goeken 등, 2011).</p> <p>본 논문의 목적은 확률적 자료연계 방법의 기초개념과 방법론, 연계과정에 대한 보다 상세한 설명을 통해 독자의 이해를 돕는 동시에, 동 방법론의 실제 활용 가능성을 가늠해 보는데 의의가 있다. 논문의 구성은 2장에서 자료연계 방법으로서 결정적 자료연계(deterministic record linkage)와 확률적 자료연계의 개념적 차이를 설명하고, 3장에서는 Fellegi-Sunter 모형을 기반으로 한 확률적 자료연계에서 다루는 비교쌍의 생성, m확률과 u확률 추정, 가중치, 연계 결정기준 등 대하여 설명한다. 4장에서는 통계청의 등록센서스와 인구총조사 자료로부터의 시뮬레이션용 데이터를 통해 확률적 자료 연계가 수행되는 과정과 수행 결과를 보여준다.</p> <h2>4.5. \( m \)-확률, \( u \)-확률, 가중치</h2> <p>각 연계변수의 \( m \)-확률과 \( u \)-확률을 얻기 위하여 EM 알고리즘을 이용하였으며 Table 8과 같은 결과가 산출되었다. \( m \)-확률은 동일 개체일 때 두 레코드의 연계변수 필드 값이 일치할 확률이다. 현실에서는 입력 오류 등이 있으므로 에러율을 반영하고 있다. 이름보다 주소의 \( m \)-확률이 낮다는 것은 주소의 에러 확률이 더 높다는 것이다. 각 연계변수의 \( m \)-확률과 \( u \)-확률이 주어지면 식(3.5)에 의해 일치 가중치와 불일치 가중치를 계산할 수 있으며, 이를 합산하여 모든 비교쌍의 종합가중치가 산출된다. Table9는 종합가중치 구간별 비교쌍 빈도수이며, Figure 2은 비교쌍들의 종합가중치 분포를 그래프로 나타낸 것이다.</p> <h2>4.6. 임계값(threshold) 선정</h2> <p>두 레코드 사이에 연계변수 필드가 서로 일치하면 가중치가 (+)값을 갖고 불일치하면 (-)값을 갖기 때문에 종합가중치가 클수록 동일 개체일 확률이 높아진다. 산출된 종합가중치를 기반으로 연계(links) 또는 비연계(non-links)로 분류하는 임계값(threshold)을 선택한다. 임계값을 어떻게 정하느냐에 따라 연계(link)나 비연계(non-link)로 분류되는 비교쌍의 개수가 달라지므로 최적의 임계값을 찾기 위한 판단이 필요하다. Table 9에서 종합가중치의 최소값은 -11.8, 최대값은 22.1로 나타나고 있으며, 최상위 두 그룹은 동일 개체일 가능성이 매우 크다. 사용한 데이터에서 연계 가능한 최대 레코드 수가 1,005개임을 감안하여 가중치별 빈도를 합하여 보면 9나 10 정도가 임계값으로 적정해 보인다. 임계값을 9 로 선택했을 때 총 1,008개가 연계로 분류되었다. 이 중에 참 연계(true links)는 1,003개이고, 거짓 연계(false links)가 6개이다(Table 10). 본 분석에서 사용한 데이터의 경우 실제 매치 상태를 이미 알고 있기 때문에 연계결과의 성과를 확인해볼 수 있었다. 그리고 임계값을 다르게 선택하여 연계 결과의 민감도(sensitivity)와 정확도(precision)를 측정해 보면 Table 11과 같이 나타났다.</p> <p>실제 적용에서는 매치 상태를 사전에 모르는 경우가 대부분이기 때문에 연계 결과를 다시 눈으로 확인하고 검증하는 작업이 이루어져야 한다. 예를 들어 한 명에 대해 여러 명이 매치되는 결과가 나올 수도 있다. 이럴 때 종합가중치가 가장 큰 한 명을 연계로 처리하는 방법이 합리적이지만, 경우에 따라 매치되는 여러명을 선택해 놓고 직접 눈으로 확인하는 추가적인 과정을 거칠 수도 있을 것이다. 확률적 자료연계 방법을 사용하더라도 clerical review 과정은 반드시 필요하다.</p> <h2>4.7. 연계변수 효과</h2> <p>자료연계를 실행할 때 어떤 연계변수를 사용하느냐에 따라 연계의 효용성이 달라질 수 있다. 연계변수의 선택에 따른 연계 결과의 비교를 위해 블로킹 변수(지역)와 문자열 비교함수(Jaro-Winkler)는 고정하고 연계변수 조합을 변경해 가면서 연계를 시도해보았다. 연계변수가 달라지면 \( m \)-확률, \( u \)-확률, 가중치가 변하기 때문에 연계/비연계 분류를 위한 최적의 임계값도 달라진다. 여기서는 false links와 false non-links의 합이 최소화되는 임계값을 설정하여 비교하였다. Table 12를 보면, '이름' '성별', '생년월일', '주소’라는 변수 중 4개를 모두 연계변수로 사용할 때 가장 효과적인 결과를 보였다. 3개 변수를 사용할 때는 '성별'이 포함되는 것이 더 효과적이었고, 2개 변수만 사용할 때도 '성별'이 연계변수로서의 효용성이 상대적으로 크게 나타났다. 아마도 성별 자료의 경우 오타, 조사 착오 등 오류 확률이 낮기 때문으로 추정된다.</p> <h2>3.3. 매치 가중치(match weight) 산출</h2> <p>산출된 \( m \)-확률과 \( u \)-확률을 이용하여 각 레코드 쌍 \( (i, j) \)에 대한 매치 가중치(match weight; R)를 계산할 수 있다. 앞에서 설명한 대로 \( R \)은 \( m \)-확률과 \( u \)-확률의 비율로 정의되는데, 계산상 편의를 위해 로그를 사용한다.</p> <p>\( w_{i j}^{(s)}=\left\{\begin{array}{ll}\log _{2}\left(\frac{m_{s}}{u_{s}}\right) & \text { if } \gamma_{i j}^{(s)}=1 \\ \log _{2}\left(\frac{1-m_{s}}{1-u_{s}}\right) & \text { if } \gamma_{i j}^{(s)}=0\end{array}\right. \)<caption>(3.5)</caption></p> <p>연계 필드가 서로 조건부 독립이라고 가정하고 로그를 사용하면, 비교 쌍에 대한 종합가중치는 각 연계 필드들이 갖는 가중치들의 합이다.</p> <p>\( W_{i j}=\sum_{s=1}^{k} w_{i j}^{(s)}=\sum_{s: \text { 일치 }} \log _{2}\left(\frac{m_{s}}{u_{s}}\right)+\sum_{s: \text { 불일치 }} \log _{2}\left(\frac{1-m_{s}}{1-u_{s}}\right) \).<caption>(3.6)</caption></p> <h2>3.4. 결정 원칙(decision rule)</h2> <p>종합가중치를 이용하여 레코드 쌍들이 연계(link), 비연계(non-link), 또는 잠재적 연계(possible link)인지를 판정한다. 일정한 컷오프값(cut-off value) 또는 임계값(threshold)을 정하여 이 값보다 큰 종합가중치를 갖는 레코드 쌍을 연계(link)로 분류한다. 임계값이 높을수록 연계되는 쌍은 적어질 것이다. Fellegi와 Sunter (1969)는 두 가지 임계값을 정하여 잠재적 연계와 비연계를 구분할 것을 제안하였는데, 두 임계값은 거짓 연계(false links)와 거짓 비연계(false non-links)의 비율을 고려하여 잠재적 연계(possible links)의 개수가 최소화 되도록 선정한다.</p> <p>연계(links) : \( W>\) 상위 임계점</p> <p>잠재적 연계(possible links) : 하위 임계점 \( \leq W \leq \) 상위 임계점</p> <p>비연계(non-links) : \( W< \) 하위 임계점</p> <p>이론적으로는 레코드 쌍 \( (i, j) \)가 연계이고 \( (j, k) \)도 연계이면, 레코드 쌍 \( (i, k) \)는 연계되어야 한다. 그러나, 실제 적용에서는 레코드 쌍 \( (i, j) \)와 \( (j, k) \)가 모두 연계인데, \( (i, k) \)가 비연계인 모순적인 경우가 발생할 수도 있는데, 이런 경우는 거의 발생하지 않을 것으로 추정된다. \( (i, j) \)와 \( (j, k) \)가 연계라면 이 쌍들의 종합가중치가 확연히 높다는 것을 의미하고, 이는 일치하는 연계변수의 개수가 더 많다는 것을 의미한다. 예를 들어 4개의 연계변수를 사용한다면, \( (i, j) \) 또는 \( (j, k) \)가 연계라는 것은 각각 3개 이상의 변수가 일치한다는 것을 뜻하며, \( (i, k) \)도 최소 2개 변수이상은 일치하게 될 것이다. 그러므로 \( (i, k) \)도 연계될 확률이 크다고 할 수 있다. 만약, 연계변수의 개수가 많고 낮은 임계치를 사용할 경우 그런 사례가 발생할 가능성도 있으나, 연계의 에러율이 높아지는 결과를 초래할 것이기 때문에 임계치를 높일수록 모순적인 경우가 발생할 가능성은 줄어들 수 밖에 없다. 본 논문에서 사용한 자료에서는 이러한 모순적인 사례는 발생하지 않았다.</p> <h2>3.5. 연계결과의 품질 평가</h2> <p>연계 결과의 품질은 실제 동일 개체가 연계되었는지에 달려 있다. 만약 실제 매치 상태(true match)를 알 수 있다면 거짓 연계(false links, 동일 개체가 아닌데 연계된 것)와 거짓 비연계(false non-links, 동일 개체인데 연계되지 않은 것)의 개수를 계산할 수 있다. 연계 오류(linkage error)의 계량적 지표로 민감도(sensitivity = True Links/Total True Matches)와 정밀도(precision = True links/ Total links obtained)를 계산함으로써 연계 결과의 품질 평가에 사용할 수 있다. 민감도가 높을수록 정밀도는 낮게 나타나고, 정밀도가 높을수록 민감도는 낮아지는 역의 관계가 존재한다. 따라서 두 지표 간에 균형을 이루는 임계값을 찾는 것이 필요하다.</p> <h2>4.3. 블로킹(blocking)</h2> <p>현실에서는 연계하고자 하는 데이터의 레코드 수가 몇 십만, 몇 백만인 경우도 많다. 그런 경우에 생성되는 비교쌍의 개수가 어마하게 많아진다. 레코드 수가 일백만이라고 하면 비교 쌍의 개수는 \( 1,000,000^{2} \)이 된다. 이럴 때 블로킹을 통해 비교 쌍의 개수를 줄여줌으로써 연계 작업의 효율을 높일 수 있다. 블로킹 변수를 설정하면 그 변수의 필드 값이 정확히 일치하는 레코드들만 비교가 이루어진다. 예를 들어, '지역'을 블로킹 변수로 사용하게 되면 같은 지역에 해당하는 레코드들끼리만 비교 쌍이 생성되는 것이다. 블로킹의 주된 목적은 연계에 부적합한 후보 쌍들을 걸러내는 것이다. 성별, 지역, 생년 등을 블로킹 변수로 사용할 수 있고, 몇 개 변수를 혼합하여 사용할 수도 있다. 중요한 것은 최대한 오류가 없는 변수를 사용하는 것이다. 등록센서스-인구총조사 데이터에 '지역'을 블로킹하면 비교 쌍의 개수는 176,821로 줄어든다. 비교쌍의 개수는 블로킹 하지 않았을 때보다 \( 1 / 6 \)로 감소한 것이다.</p> <h2>4.4. 연계변수(linking variable) 필드값 비교</h2> <p>'지역'을 블로킹한 후 비교쌍이 생성되고 나면, 비교쌍을 대상으로 각 연계변수의 필드 값끼리 비교가 시행되어 연계변수 값의 일치/불일치 결과가 산출된다. 연계변수 필드 값이 완벽히 일치하면 TRUE, 그렇지 않으면 FALSE로 나타난다(Table 5). 이것이 결정적 연계방법(deterministic linkage)의 기본 원리이다.</p> <p>한편, 실제 데이터에서는 오탈자 등으로 인해 동일 개체일지라도 필드 값이 일부만 일치할 수 있다. 따라서 단순히 일치/불일치로만 판단하면 연계에서 누락되는 동일 개체들이 다수 있을 것이다. 이를 보완하기 위해 문자열 비교함수(string comparison function)에서 산출된 유사도 점수(similarity score)를 사용함으로써 동일 개체들의 연계 확률을 높일 수 있다. 문자열 비교함수에 의해 두 필드의 similarity를 0과 1 사이로 점수화하여 similarity가 일정 점수(0.95 또는 0.9) 이상이면 일치, 아니면 불일치로 처리하는 방식이다. 문자열 비교함수로는 Jaro-Winkler, Levenshtein 등이 사용된다. Jaro-Winkler 함수는 Jaro에 의해 처음 소개되고 Winkler에 의해 수정된 것이다(Winkler, 1990). Jaro는 두 단어에서 일치하지만 순서가 다른 글자들의 위치교환(transposition) 원리를 이용하여 similarity를 계산하는 식을 제시하였으며, Winkler는 여기에다 앞 글자(prefix)가 일치할 때 높은 가중치를 주어 점수를 계산하였다. similarity score는 0과 1 사이의 값을 가지며, 두 단어가 완전히 일치 하면 1, 완전히 불일치하면 0의 값을 갖는다. Jaro-Winkler 함수를 적용했을 때 각 필드 점수는 Table 6과 같이 산출된다. 4개의 연계변수가 모두 일치하는 비교 쌍들을 연계해볼 때, 단순 완전 일치/불일치 패턴(Table 5)에 의한 연계율은 \( 41.4 \% \)이며, Jaro-Winkler similarity 점수(Table 6)를 활용하여 0.95 이상인 필드가 일치하는 것으로 처리했을 때 연계율은 \( 47.9 \% \)로 상승함을 볼 수 있다.(Table7)</p> <h2>3.2. \( m \)-확률, \( u \)-확률 추정</h2> <p>앞에서 기술한 이 모델을 적용하기 위해서는 \( m \)-확률과 \( u \)-확률을 추정하여야 한다. \( m \)-확률은 연계 변수로 사용되는 데이터의 품질과 관련되어 있다. 예를 들어, 성별(gender) 필드를 연계시키는데 비교 짝에서 \( 5 \% \)의 오타율이 있다면 \( m \)-확률은 0.95가된다. \( u \)-확률은 두 레코드가 실제로는 매치가 아닌데 우연히 일치하는 확률이다. 예를 들면, 성별이 우연히 일치할 확률은 \( 1 / 2 \)이며, 태어난 월이 우연히 일치할 확률은 \( 1 / 12 \)가 될 것이다. 이론과 달리 현실에서는 참매치 상태를 알 수 없으므로, 이전의 자료연계 경험에서 얻은 사전적인 정보를 이용하거나 기대값-최대화(Expectation-maximization, EM) 알고리즘을 이용하여 \( m \)-확률과 \( u \)-확률을 추정한다. EM 알고리즘을 사용하면 수치적으로 안정적인 추정 값을 얻을 수 있다. Jaro (1989)는 1995 센서스 자료의 연계를 위한 \( m \)과 \( u \)-확률 추정에 EM을 적용하였고, Winkler와 Thibaudeau (1991)도 센서스 자료 등의 연계에 EM 알고리즘을 사용하였다.</p> <p>모든 레코드쌍은 다음과 같이 정의된다고 하자.</p> <p>\( g_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { if record pair }(i, j) \in M, \\ 0 & \text { if record pair }(i, j) \in U.\end{array}\right. \)<caption>(3.2)</caption></p> <p>이때, 완전한 자료(complete data) 벡터는 \( G=\left(\gamma_{i j}, g_{i j}\right) \) 와 같이 정의되며, 모든 레코드 짝\( (i, j) \)에 대한 완전한 자료에 대한 우도함수(likelihood function)는 다음과 같은 식으로 표현할 수 있다.</p> <p>\( f(G \mid m, u, p)=\prod_{i<j} p P\left(\gamma_{i j} \mid M\right)^{g_{i j}} \cdot(1-p) P\left(\gamma_{i j} \mid U\right)^{1-g_{i j}} \).<caption>(3.3)</caption></p> <p>여기에서, \( p \)는 \( M \)에 속하는 레코드 쌍의 비율, \( (1-p) \)는 \( U \)에 속하는 쌍의 비율, \( \gamma_{i j}=\left(\gamma_{i j}^{(1)}, \ldots, \gamma_{i j}^{(k)}\right)^{T} \)는 레코드쌍 \( (i, j) \)의 \( k \)개 연계변수들의 일치패턴을 나타낸다. 또한,</p> <p>\( P\left(\gamma_{i j} \mid M\right)=\prod_{s=1}^{k} m_{s}^{\gamma_{i j}^{(s)}}\left(1-m_{s}\right)^{1-\gamma_{i j}^{(s)}}, \quad P\left(\gamma_{i j} \mid U\right)=\prod_{s=1}^{k} u_{s}^{\gamma_{i j}^{(s)}}\left(1-u_{s}\right)^{1-\gamma_{i j}^{(s)}} \)<caption>(3.4)</caption></p> <p>이고, \( m_{s}=P\left(\gamma^{(s)}=1 \mid M\right) \)와 \( u_{s}=P\left(\gamma^{(s)}=1 \mid U\right) \)는 \( s \)번째 연계변수의 \( m \)-확률과 \( u \)-확률을 나타낸다. 실제, 식 (3.2)의 \( g_{i j} \)를 모르기 때문에 우도함수 (3.3)을 직접 최적화 할 수 없고, EM 알고리즘을 적용하여 \( m \)과 \( u \)-확률을 추정할 수 있다. Jaro (1989)는 EM 알고리즘을 사용하여 \( g, m, u, p \)를 얻는 방법에 대해 세세하게 제공하였으며, \( m \)추정치의 초기 값이 \( u \)추정치보다 높기만 하면 EM 알고리즘은 매우 안정적인 모수추정 결과를 제공한다는 점을 논증하였다.</p> <h1>3. Fellegi-Sunter 자료연계 모형</h1> <h2>3.1. 기본모형식</h2> <p>Fellegi와 Sunter (1969)는 확률적 자료연계의 기본 개념을 수학적 모델로 제시하였다. Fellegi-Sunter 모형 하에서 연계하고자 하는 두 개의 파일은 두 모집단을 대표하며, 두 파일 간에 공통요소들이 존재한다는 것을 가정한다. 두 파일 간의 자료연계 뿐만 아니라, 한 파일 내의 중복 레코드를 찾아내는 데에도 적용된다. 기본개념은 두 파일 \( (A, B) \)로부터 비교(comparison) 가능한 레코드의 모든 쌍들(pairs)에 대해 매치 확률에 따른 가중치를 부여하고, 그 값을 바탕으로 연계(link)-비연계(non-link)-연계 가능성(possible link)을 판정한다.</p> <p>두 데이터 파일 \( A, B \)를 연계한다고 하자. \( A \)의 레코드와 \( B \)의 레코드를 순차적으로 비교해 나갈 때 생성되는 레코드 쌍들(pairs)의 집합을 비교공간(comparison space, \( A \times B \) )이라고 하며, 이 비교공간(comparison space)은 이론적으로 참 매치(true match, \( M \))와 참 비매치(true non-match, \( U \)) 두 부분집합으로 나누어진다. 어떤 쌍 \( (i, j) \)이 실제로 같은 사람(또는 개체)으로부터 얻어진 레코드이면 \( M \)에 속하고, 다른 사람으로부터 나온 레코드이면 \( U \)에 속할 것이다. Fellegi-Sunter는 비교가 이루어지는 레코드 쌍 \( (i, j) \)이 연계될 수 있는지를 판단하는 평가척도로 다음과 같은 두 조건부 확률의 비율을 제시하였다.</p> <p>\( R=\frac{P(\gamma \in \Gamma \mid r \in M)}{P(\gamma \in \Gamma \mid r \in U)} \)<caption>(3.1)</caption></p> <p>여기에서, \( r \)은 비교쌍, \( \gamma \)는 비교공간 \( \Gamma \)에서 임의의 일치 패턴을 나타낸다. 식 (3.1)의 분자는 어떤 레코드 짝 \( (r) \)이 실제로 동일 개체(true match)이면서 비교 패턴이 일치(agree)하는 확률이다. 분모는 실제로는 동일 개체가 아닌데(true non-match) 우연히 비교 패턴이 일치(agree)하는 확률이다. 전자를 \( m \)-확률 \( (m \)-probability), 후자를 \( u \)-확률(u-probability)이라 부른다.</p> <p>예를 들어, \( A \times B \)로부터 선택된 레코드 짝(record pair)을 3개의 연계 변수(예: 이름, 성별, 도로명)에 의해 비교할 때 가능한 일치 패턴(agreement pattern)들은 모두 총 8개 \( \left(=2^{3}\right) \)이다. 이때 세 필드가 모두 일치한다면 \( R \)은 다음과 같은 형태가 되며,</p> <p>\( R=\frac{P(\text { agree on name, agree on gender, agree on street name } \mid r \in M)}{P(\text { agree on name, agree on gender, agree on street name, } \mid r \in U)} \)</p> <p>이름과 도로명은 일치하고 성별이 불일치한다면 다음과 같이 될 것이다.</p> <p>\( R=\frac{P(\text { agree on name, disagree on gender, agree on street name } \mid r \in M)}{P(\text { agree on name, disagree on gender, agree on street name } \mid r \in U)} \)</p> <p>이 때, 연계변수들이 서로 조건부 독립이라면,</p> <p>\( P( \) agree on name, agree on gender, agree on street name \( \mid r \in M \) ) \( =P( \) agree on name, \( \mid M) \times P( \) agree on gender \( \mid M) \times P( \) agree on street name \( \mid M) \)</p> <p>로 변환될 수 있다 (Herzog 등, 2007).</p> <p>Fellegi-Sunter 모형에서 이론적으로 연계변수들간의 독립성 가정이 반드시 필요한 것은 아니다. 그러나 모형의 실제 적용에 있어 모수추정을 단순하고 간편하게 하는 방편으로 독립성 가정을 Fellegi-Sunter는 제시하고 있다. 독립성 가정은 얼핏 매우 강한 가정으로 보이긴 하지만 실제 적용상 크게 중요하지 않을 수 있다. 상호 연관성이 매우 큰 변수들을 연계변수로 사용하지만 않으면 추정값이 크게 왜곡되지 않을 것이다. 예를들어 주소와 우편번호의 경우 연관성이 높지만, 이름이나 출생일 등은 주소와 별로 관계가 없다. Fellegi-Sunter 모형을 적용한 다른 연구들에서 독립성 가정이 충족되지 않더라도 연계결과가 상당히 정확하다는 연구 결과가 이미 나와 있다 (Winkler 등, 1993). 한편, 최근 들어 머신러닝의 지도학습방법을 사용한 자료 연계 방법론에 관한 연구도 진행되고 있는데 이 방법에서는 독립성 가정을 필요로 하지 않는다.</p>	자연
s521-기하학개론	<h1>1.2 역삼각함수</h1> <p>삼각함수는 전단사 함수가 아니므로 삼각함수의 역함수는 존재하지 않지만 삼각함수의 정의역과 공변역을 적당히 제한하여 전단사 함수가 되게 하면 역함수가 존재하게 된다. 이렇게 얻은 삼각함수의 역함수를 역삼각함수라 한다.</p> <h2>정의 1.2 .1</h2> <p>\( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)을 정의역 \( [-1,1] \)을 공변역으로 제한한 사인함수 \( f(x)=\sin x \)는 전단사 함수이므로 역함수 \( f^{-1} \)가 존재한다. 이를</p> <p>\( f^{-1}(x)=\operatorname{Arcsin} x=\sin ^{-1} x \)</p> <p>로 정의한다. 즉 \[ y=\sin ^{-1} x,-1 \leq x \leq 1 \Leftrightarrow x=\sin y,-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \]</p> <p>를 만족하며 이처럼 제한된 \( y \) 값을 \( y=\sin ^{-1} x \)의 주치(principal value)라 한다.</p> <p>\( y=\sin ^{-1} x \)의 그래프는 \( y=\sin x \)의 그래프를 \( y=x \)에 관해 대칭시킨 그림 1-3과 같으며 다음을 만족한다.</p> <p>\( x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)이면 \( \sin ^{-1}(\sin x)=x \)</p> <p>이고</p> <p>\( x \in[-1,1] \) 이면 \( \sin \left(\sin ^{-1} x\right)=x \)</p> <p>이다.</p> <h3>예제 1.2.1</h3> <p>다음 값을 구하여라.</p> <p>(1) \( \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right) \) (2) \( \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right) \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \sin ^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)=y \)라 하면 \( \sin y=-\frac{1}{2}, y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)이므로 \( y=-\frac{\pi}{6} \)이다.</p> <p>(2) \( \sin ^{-1}\left(\sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)\right)=y \)라 하면 \( \sin \left(\frac{3 \pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \)이므로 \( \sin y=\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( y \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)가 되므로 \( y=\frac{\pi}{4} \)가 된다.</p> <p>같은 방법으로 코사인함수의 역함수를 다음과 같이 정의하자.</p> <h2>정의 1.2.2</h2> <p>\( [0, \pi] \)를 정의역으로 하고 공변역을 \( [-1,1] \)으로 제한한 코사인함수 \( f(x)=\cos x \)의 역함수 \( f^{-1} \)를</p> <p>\( f^{-1}(x)=\operatorname{Arccos} x=\cos ^{-1} x \)</p> <p>로 정의한다. 즉</p> <p>\( y=\cos ^{-1} x, \quad-1 \leq x \leq 1 \Leftrightarrow x=\cos y, 0 \leq y \leq \pi \)</p> <p>을 만족하며 \( y=\cos ^{-1} x \)의 주치는 \( [0, \pi] \)의 원소가 된다. \( y=\cos ^{-1} x \)의 그래프는 그림 1-4와 같다.</p> <h2>정의 1.2.3</h2> <p>\( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)를 정의역으로 하는 탄젠트함수 \( f(x)=\tan x \)의 역함수 \( f^{-1} \)을</p> <p>\( f^{-1}(x)=\operatorname{Arctan} x=\tan ^{-1} x \)</p> <p>로 정의한다. 즉</p> <p>\( y=\tan ^{-1} x,-\infty<x<\infty \Leftrightarrow x=\tan y,-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2} \)</p> <p>을 만족하며 \( y=\tan ^{-1} x \)의 주치는 \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)의 원소가 된다.</p> <p>\( y=\tan ^{-1} x \)의 그래프는 그림 1-5과 같다.</p> <p>앞으로 역삼각함수에서는 특별한 언급이 없는 한, 모두 주치만 생각하는 것으로 한다.</p> <h2>정의 1.1 .4</h2> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \)에 대하여 두 함수 \( f \)와 \( g \)를 결합하여 만든 함수 \( h: X \rightarrow Z \)를 \( h(x)=g(f(x)) \)라 정의하고 이 함수 \( h \) 를 \( f \) 와 \( g \)의 합성함수 (composite function)라 정의하고 \( g \circ f \)로 나타낸다.</p> <p>합성함수 \( g \circ f \)의 정의역은 함수 \( f \)의 정의역의 부분집합이다.</p> <h3>예제 1.1.4</h3> <p>\( f(x)=x^{3}-1 \)이고 \( g(x)=2 x+1 \)일 때 다음 값을 구하여라.</p> <p>(1) \( (f \circ g)(1) \) (2) \( (g \circ f)(1) \) (3) \( (f \circ f)(1) \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( g(1)=3 \)이므로 \( (f \circ g)(1)=f(g(1))=f(3)=26 \)이다.</p> <p>(2) \( f(1)=0 \)이므로 \( (g \circ f)(1)=g(f(1))=g(0)=1 \)이다.</p> <p>(3) \( (f \circ f)(1)=f(f(1))=f(0)=-1 \)이다.■</p> <h3>예제 1.1.5</h3> <p>\( f(x)=\frac{1}{x-1} \)이고 \( g(x)=x^{2} \)일 때 \( f \circ g \) 와 \( g \circ f \)의 정의역을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f \)의 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R}: x \neq 1\} \)이고 \( g \)의 정의역은 모든 실수이다. \( (f \circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{x^{2}-1} \)이므로 \( f \circ g \)의 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R}: x \neq 1 \)이고 \( x \neq-1\} \)이다. \( (g \circ f)(x)=g(f(x))=\left(\frac{1}{x-1}\right)^{2} \)이므로 \( g \circ f \)의 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R}: x \neq 1\} \)이다.■</p> <h2>정의 1.1 .5</h2> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여</p> <p>(1) \( x_{1} \neq x_{2} \)일 때 \( f\left(x_{1}\right) \neq f\left(x_{2}\right) \)가 성립하면 함수 \( f \)를 일대일 함수(one to one function) 또는 단사함수(injection)라고 한다.</p> <p>(2) \( f(X)=Y \), 즉 공변역과 치역이 같을 때 함수 \( f \)를 위로의 함수(onto function) 또는 전사함수(surjection)라고 한다.</p> <p>(3) 함수 \( f \)가 단사함수이면서 동시에 전사함수이면 함수 \( f \)를 일대일 대응(one to one correspondence) 또는 전단사함수(bijection)라고 한다.</p> <h3>예제 1.1.6</h3> <p>함수 \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)이 \( f(x)=x^{3} \)로 정의되었을 때 임의의 \( x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( x_{1} \neq x_{2} \)이면 \( x_{1}^{3} \neq x_{2}^{3} \)이므로 \( f \) 는 단사함수이다. 또한 임의의 \( y \in \mathbb{R} \)에 대하여 \( x=y^{\frac{1}{3}} \)이라 하면 \( x \in \mathbb{R} \)이고 \( f(x)=y \)이므로 \( f \)는 전사함수이다. 따라서 함수 \( f \)는 전단사함수이다.</p> <h3>예제 1.1.7</h3> <p>함수 \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)이 \( f(x)=x^{2}+1 \)로 정의되었을 때 \( f(1)=f(-1) \)이므로 \( f \)는 단사함수가 아니다. 한편 \( f \)의 치역은 \( f(R)=[1, \infty) \)이므로 \( f \)는 전사함수도 아니다. 그러나 함수 \( f \)의 정의역을 \( [0, \infty) \)로 공변역을 \( [1, \infty) \)로 제한하면 \( f:[0, \infty) \rightarrow[1, \infty) f(x)=x^{2}+1 \)는 전단사함수가 된다.</p> <h3>예제 1.5.2</h3> <p>극좌표 \( \left(3, \frac{\pi}{3}\right) \)를 직교좌표로 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>\( r=3 \)이고 \( \theta=\frac{\pi}{3} \)이므로 관계식 (1)에 의하여</p> <p>\( x=r \cos \theta=3 \cos \frac{\pi}{3}=3 \times \frac{1}{2}=\frac{3}{2} \)</p> <p>\( y=r \sin \theta=3 \sin \frac{\pi}{3}=3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2} \)</p> <p>이므로 직교좌표에서는 \( \left(\frac{3}{2}, \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right) \)이다.</p> <h3>예제 1.5 .3</h3> <p>직교좌표 \( (2,-2) \)을 극좌표로 나타내어라.</p> <p>풀이</p> <p>\( r \)을 양수라 하면 관계식 (2)로부터</p> <p>\( r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}}=2 \sqrt{2} \) \( \tan \theta=\frac{y}{x}=-1 \)</p> <p>이다. 점 \( (2,-2) \)은 제 4사분면에 있으므로 \( \theta=-\frac{\pi}{4} \) 또는 \( \theta=\frac{7}{4} \pi \)를 취할 수 있다. 그러므로 점 \( (2,-2) \)는 극좌표에서 \( \left(2 \sqrt{2},-\frac{\pi}{4}\right) \) 또는 \( \left(2 \sqrt{2}, \frac{7}{4} \pi\right) \)이다.</p> <h3>예제 1.5 .4</h3> <p>다음 방정식을 직교좌표에서 극좌표로 바꾸어라.</p> <p>(1) \( y=x \)(2) \( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \)을 대입하면 \( r \sin \theta=r \cos \theta \)이다. 즉,</p> <p>\( \tan \theta=1 \)이므로 \( \theta=\frac{\pi}{4} \)이다. 따라서 극좌표에서는 \( \theta=\frac{\pi}{4} \)이다.</p> <p>(2) \( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \)을 주어진 방정식에 대입하여 정리하면 \[ r^{2} \cos ^{2} \theta+r^{2} \sin ^{2} \theta=a^{2} \Rightarrow r^{2}=a^{2} \]따라서 \( r=a \) 또는 \( r=-a \)이다.</p> <h3>예제 1.5 .5</h3> <p>다음 방정식을 극좌표에서 직교좌표로 바꾸어라.</p> <p>(1) \( r \cos \theta=2 \)(2) \( r^{2}=a^{2} \sin 2 \theta \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( x=r \cos \theta \)를 이용하면 직교좌표에서는 \( x=2 \)이다.</p> <p>(2) 양변에 \( r^{2} \)을 곱하여 정리하면 \[ \left(r^{2}\right)^{2}=r^{2}\left(2 a^{2} \sin \theta \cos \theta\right)=2 a^{2}(r \cos \theta)(r \sin \theta) \]이다. \( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, r^{2}=x^{2}+y^{2} \)을 대입하여 정리하면 \[ \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 a^{2} x y \]이다.</p> <h1>2. 극방정식의 궤적</h1> <p>극방정식의 궤적은 일반적으로 극좌표 \( (r, \theta) \)가 만족하는 방정식의 모든 점을 지나는 하나의 곡선을 나타낸다. 극방정식을 만족하는 점을 구할 때에는 \( \theta \)에 임의의 값을 주고 이에 대응하는 \( r \)의 값을 구하면 된다. 또한 곡선을 그릴 때에는 \( \theta \)가 증가하는 차례대로 방정식을 만족하는 점들을 구하여 연결하는 것이 편리하다.</p> <p>극방정식의 곡선 그래프는 대칭성을 알면 보다 쉽게 그릴 수 있다. 즉, 극방정식 \( r=f(\theta) \) 에서</p> <p>(1) \( \theta \) 대신에 \( (-\theta) \)를 대입시켜도 극방정식이 변하지 않으면, 극방정식의 그래프는 극축(직교좌표계의 \( x \)축)에 관해서 대칭이다(그림 \( 1-19 \) 참조).</p> <p>(2) \( \theta \)대신에 \( (\pi-\theta) \)를 대입시켜도 극방정식이 변하지 않으면, 극방정식의 그래프는 \( \theta=\frac{\pi}{2} \) (직교좌표계의 \( y \)축)에 관해서 대칭이다(그림 1-20 참조).</p> <p>(3) \( r \) 대신에 \( (-r) \) 을 대입시켜도 극방정식이 변하지 않으면, 극방정식의 그래프는 극점(직교좌표계의 원점)에 관하여 대칭이다(그림 1-21 참조).</p> <h3>예제 1.5 .6</h3> <p>\( r=4(1-\cos \theta) \)의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \cos (-\theta)=\cos \theta \)이므로 곡선은 극축에 관해서 대칭이다.\( \theta \) 가 0에서 \( \pi \)까지 변할 때 이에 대응하는 \( r \)의 값을 구하여 표를 만들면</p> <p>이다. 표에서 얻은 값들을 극좌표로 표시하여 연결하면 아래의 그림 1-22와 같고 이 곡선을 극축에 관해서 대칭으로 그리면 그림 1-23이다.</p> <h3>예제 1.5.7</h3> <p>\( r=2 \cos 2 \theta \)의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \theta \)를 0 에서 \( \frac{\pi}{2} \)사이의 각으로 택하여 이에 대응하는 \( r \)의 값을 구하여 표로 만들면</p> <p>이다. 이 점들을 연결하여 그림 \( 1-24 \)의 호 \( A O B \)를 얻고 \( \cos 2 \theta \)의 주기성 때문에 이 호 \( A O B \)를 \( \theta=0, \theta=\pm \frac{\pi}{2} \)에 대칭으로 그리면 구하고자 하는 궤적이 된다.</p> <p>이 성립한다.</p> <p>(2) \[ \begin {aligned} \frac { 1- \cos x } { x } &= \frac { 1- \cos x } { x } \cdot \frac { 1 + \cos x } { 1 + \cos x } \\ &= \frac { 1- \cos ^ { 2 } x } { x(1 + \cos x) } \\ &= \frac {\sin x } { x } \cdot \frac {\sin x } { 1 + \cos x } \end {aligned} \]이므로 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x } &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \left ( \frac {\sin x } { x } \cdot \frac {\sin x } { 1 + \cos x } \right ) \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { 1 + \cos x } \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { 1 + \cos x } \\ &=1 \left ( \frac { 0 } { 1 + 1 } \right ) \\ &=0 \end {aligned} \]이다.</p> <h3>예제 1.4.7</h3> <p>\( \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } + 3 } { 2 x ^ { 2 } -1 } \)을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { x ^ { 2 } + 3 } { 2 x ^ { 2 } -1 } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac {\left (x ^ { 2 } + 3 \right ) / x ^ { 2 } } {\left (2 x ^ { 2 } -1 \right ) / x ^ { 2 } } = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 + 3 / x ^ { 2 } } { 2-1 / x ^ { 2 } } = \frac { 1 + 0 } { 2-0 } = \frac { 1 } { 2 } \]이다.</p> <h2>정의 1.1 .3</h2> <p>두 함수 \( f \)와 \( g \)의 정의역을 각각 \( X_{1} \) 와 \( X_{2} \)이고 \( X_{1} \cap X_{2} \neq \varnothing \)일 때 함수</p> <p>\( f+g, f-g, f g, \frac{f}{g} \)</p> <p>는 각각 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \)</p> <p>\( (f-g)(x)=f(x)-g(x) \)</p> <p>\( (f g)(x)=f(x) g(x) \)</p> <p>\( \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \)</p> <p>\( f+g, f-g, f g \)의 정의역은 모두 \( X_{1} \cap X_{2} \)이고 함수 \( \frac{f}{g} \)의 정의역은 \( \{x \mid x \in \) \( \left.X_{1} \cap X_{2}, \quad g(x) \neq 0\right\} \)이다. 한편 \( c \)가 실수이면 \( (c f)(x)=c f(x) \)로 정의한다.</p> <h3>예제 1.1.3</h3> <p>\( f(x)=\sqrt{x+1} \)이고 \( g(x)=\sqrt{3-x} \)일 때 함수 \( 2 f-5 g, f g, \frac{f}{g} \)를 구하고 각 함수의 정의역을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f \) 의 정의역은 \( [-1, \infty) \)이고 \( g \)의 정의역은 \( (-\infty, 3] \)이며 \( x \neq 3 \)이면 \( g(x) \neq 0 \)이다. 그러므로 구하고자 하는 함수와 정의역은 각각 다음과 같다.</p> <p>\( (2 f-5 g)(x)=2 \sqrt{x+1}-5 \sqrt{3-x} \)</p> <p>\( (f g)(x)=\sqrt{x+1} \sqrt{3-x}=\sqrt{(x+1)(3-x)} \)</p> <p>\( \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{3-x}}=\sqrt{\frac{x+1}{3-x}} \)</p> <p>이며 \( 2 f-3 g, f g \)의 정의역은 \( [-1, \infty) \cap(-\infty, 3]=[-1,3] \)이며 \( \frac{f}{g} \)의 정의역은 \( [-1, \infty) \cap(-\infty, 3)=[-1,3) \)이다.■</p> <p>두 집합 \( X \)와 \( Y \)에 대하여 \( X \)의 원소 \( x \)와 \( Y \)의 원소 \( y \)로 이루어진 순서쌍(ordered pair) \( (x, y) \) 전체의 집합을 \( X \times Y \)로 나타내고, 이것을 \( X \)와 \( Y \)의 곱집합 또는 데카르트 곱(Cartesian product)이라 한다. 일반적으로, 유한개의 집합 \( X_{1}, \cdots, X_{n} \)에 대하여 \( n \) 순서 짝(ordered \( n \)-tuple)인 \( \left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}\right) \) 전체의 집합을 \( X_{1}, \cdots, X_{n} \)의 데카르트 곱이라 하고, 이것을 \( X_{1} \times \cdots \times X_{n} \)으로 나타낸다. 즉</p> <p>\( X_{1} \times \cdots \times X_{n}=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1} \in X_{1}, \cdots, x_{n} \in X_{n}\right\} \)</p> <p>특히, \( X_{1}=\cdots=X_{n}=X \)일 때에는 \( X \times \cdots \times X \)를 간단히 \( X^{n} \)으로 나타낸다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여 집합</p> <p>\( \{(x, f(x)) \mid x \in X\} \)</p> <p>를 이 함수의 그래프 (graph)라 한다. 한편 각 순서쌍 \( (x, f(x)) \)를 좌표평면 위의 점 \( (x, f(x)) \)에 대응시켜 얻어지는 함수의 그래프는 좌표평면 위에 있는 점의 집합으로 나타낼 수 있다.</p> <p>\( f(x)=x^{2} \)의 정의역은 실수 전체이므로 \( f \)의 그래프는 그림 1.1(a)와 같으며, 함수</p> <p>\( g(x)=\sqrt{x+1} \)의 정의역은 \( [-1, \infty) \)이므로 \( g \)의 그래프는 그림 \( 1.1(\mathrm{~b}) \)와 같다.</p> <p>\( y=g(u)=u^{3} \)과 \( u=f(x)=x-1 \)라 할 때 함수 \( y=(x-1)^{3} \)은</p> <p>\( y=g(u)=g(f(x))=(x-1)^{3} \)</p> <p>로 나타낸다. 이런 표현을 다음과 같이 정의한다.</p> <h1>1.5 극좌표</h1> <h2>1. 극좌표</h2> <p>평면상의 점은 직교하는 두 좌표축으로 이루어진 직교좌표계를 이용하여 좌표로 나타낼 수 있다. 지금까지 직교좌표계 좌표를 사용해 왔지만 직교좌표와는 다른 좌표계를 사용하면 평면상의 점이나 곡선에 관한 해석이 여러 면으로 편리할 때가 있다. 이 절에서는 극좌표라 불리는 좌표계를 설명하고자 한다.</p> <p>극점(또는 원점)이라 하는 \( O \)로 붙여진 평면 내의 한 점을 잡고, 극축이라 부르는 \( O \)에서 시작하는 반직선을 그린다. 이 극축은 항상 오른쪽으로 수평하게 그리고, 직교좌표에서 양의 방향인 \( x \)축에 대응된다.</p> <p>평면 위의 임의의 점 \( P \)의 위치는 그림 1-15처럼 \( O P \)의 거리 \( r \), 극축과 직선 \( O P \) 사이의 각을 \( \theta \)라고 하면 점 \( P \)는 \( (r, \theta) \)로 표시하고 이를 극좌표라고 한다. 이때 \( r \)을 동경벡터, \( \theta \)를 편각이라 한다.</p> <p>편각 \( \theta \)가 극축으로부터 반시계방향으로 측정되면 \( \theta \)는 양이고, 시계방향으로 측정되면 \( \theta \)는 음이라는 규정을 사용한다.</p> <p>동경벡터 \( r \)은 극점 \( O \)로부터 편각을 그리는 화살표의 끝점을 향해서 재면 양이고, 그 반대방향으로 재면 음이다. 즉, 그림 1-16에서와 같이 점 \( (-r, \theta) \)와 점 \( (r, \theta) \)가 극점 \( O \)를 지나는 같은 직선상에 놓여 있고 \( O \)로부터 똑같은 거리인 \( \|r\| \)에 있으나 \( O \)의 반대편 상에 놓여 있다. \( r>0 \)이면 점 \( (r, \theta) \)는 \( \theta \)와 같은 상한에 놓여 있고, \( r<0 \)이면 극점의 반대편 상에 놓여 있다.</p> <h3>예제 1.5.1</h3> <p>다음 극좌표들의 점을 평면 위에 표시하여라.</p> <p>(1) \( \left(2, \frac{\pi}{3}\right) \)(2) \( \left(3, \frac{3}{4} \pi\right) \)(3) \( \left(-1, \frac{\pi}{3}\right) \)(4) \( \left(3,-\frac{\pi}{4}\right) \)(5) \( \left(-3,-\frac{\pi}{4}\right) \)</p> <p>풀이</p> <h3>\| 극좌표와 직교좌표 사이의 관계\|</h3> <p>극좌표와 직교좌표 사이의 관계에 대하여 알아보자. 극좌표와 직교좌표 사이의 관계는 그림 1-18처럼 극점은 직교좌표계의 원점에 대응하고 극축은 직교좌표계의 \( x \)축과 일치하게 잡으면 다음과 같은 관계식을 얻는다.</p> <p>\( x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta \) ......①</p> <p>이 방정식은 그림 \( 1-18 \)로부터 추론되고, 이 그림은 \( r>0,0<\theta<\frac{\pi}{2} \)인 경우이다. 또한 이 방정식은 \( r \)과 \( \theta \)의 모든 값들에 대해서도 유효하다.</p> <p>한 점의 극좌표를 알고 있을 때 이에 대응된 직교좌표는 식 (1)로부터 구할 수 있다. 또한 \( x \)와 \( y \)를 알고 있을 때 \( r \) 과 \( \theta \)를 구하기 위해서</p> <p>\( r^{2}=x^{2}+y^{2}, \quad \tan \theta=\frac{y}{x} \) ......②</p> <p>를 사용한다.</p> <h1>1.3 쌍곡선함수와 역함수</h1> <p>지수함수를 적절히 결합하여 삼각함수와 비슷한 성질을 가지는 쌍곡선함수 (hyperbolic function)는 다음과 같이 정의한다.</p> <h2>정의 1.3.1</h2> <p>쌍곡선 사인(hyperbolic sine)함수와 쌍곡선 코사인(hyperbolic cosine)함수는 각각 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( \sinh x=\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right), \quad \cosh x=\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right) \)</p> <p>이 함수들은 각각 하이퍼볼릭 사인함수, 하이퍼볼릭 코사인함수라고 읽고, 각각의 그래프는 그림 1-8와 같다.</p> <p>이 쌍곡선 사인, 쌍곡선 코사인함수를 이용하여 삼각함수와 유사한 다음 쌍곡선함수들을 정의한다. 각각의 그래프는 그림 1-9과 같다.</p> <p>(a) \( \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} \)</p> <p>(b) \( \operatorname{coth} x=\frac{1}{\tanh x}=\frac{\cosh x}{\sinh x}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}} \)</p> <p>(c) \( \operatorname{csch} x=\frac{1}{\sinh x}=\frac{2}{e^{x}-e^{-x}} \)</p> <p>(d) \( \operatorname{sech} x=\frac{1}{\cosh x}=\frac{2}{e^{x}+e^{-x}} \)</p> <p>쌍곡선함수의 정의로부터 각각의 쌍곡선함수는 기함수 또는 우함수가 된다.</p> <h2>정리 1.3.1</h2> <p>(1) \( \sinh (-x)=-\sinh x \)</p> <p>(2) \( \cosh (-x)=\cosh x \)</p> <p>(3) \( \tanh (-x)=-\tanh x \)</p> <p>증명</p> <p>(1) 쌍곡선 사인함수의 정의로부터</p> <p>\( \begin{aligned} \sinh (-x) &=\frac{e^{(-x)}-e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{2} \\ &=-\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=-\sinh x \end{aligned} \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>(2)와 (3)은 (1)과 유사하게 증명할 수 있다.</p> <p>쌍곡선함수들의 정의로부터 삼각함수들 사이의 항등식과 유사한 공식을 유도할 수 있다.</p> <h2>정리1.3 .2</h2> <p>(1) \( \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 \)</p> <p>(2) \( \tanh ^{2} x+\operatorname{sech}^{2} x=1 \)</p> <p>(3) \( \operatorname{coth}^{2} x-\operatorname{csch}^{2} x=1 \)</p> <p>증명</p> <p>(1) \( \begin{aligned} \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x &=\left[\frac{1}{2}\left(e^{x}+e^{-x}\right)\right]^{2}-\left[\frac{1}{2}\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]^{2} \\ &=\frac{1}{4}\left(e^{2 x}+2+e^{-2 x}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2 x}-2+e^{-2 x}\right)=1 \end{aligned} \)</p> <p>이 성립한다.</p> <h3>예제 1.3.1</h3> <p>다음 공식을 증명하여라.</p> <p>(1) \( \sinh (x+y)=\sinh x \cosh y+\cosh x \sinh y \)</p> <p>(2) \( \sinh x+\cosh x=e^{x} \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \sinh x \cosh y+\cosh x \sinh y \) \[ \begin{array}{l} =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \cdot \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \\ =\frac{2 e^{x} e^{y}-2 e^{-x} e^{-y}}{4}=\sinh (x+y) . \end{array} \]</p> <p>(2) \( \sinh x+\cosh x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=e^{x} \)</p> <p>삼각함수와 단위원 \( x^{2}+y^{2}=1 \)과 밀접한 관계가 있듯이 쌍곡선함수와 쌍곡선 \( x^{2}-y^{2}=1 \)과 밀접한 관계가 있다. 아래 그림 \( 1-10 \)에서 \( 0<t<\frac{\pi}{2} \)이고 \( A \)를 단위원의 호 \( P O B \)의 넓이라 하면 쌍곡선 위의 \( P O B \)의 영역의 넓이도 \( A \)이며 이때 \( t=2 A \)를 만족한다.</p> <p>쌍곡선 사인함수와 쌍곡선 탄젠트함수는 실수 위에서 전사 함수이므로 역함수가 존재한다. 쌍곡선 코사인함수는 역삼각함수를 구할 때와 마찬가지로 정의역을 \( [0, \infty) \)로 제한하여 역함수를 구한다.</p> <p>\( \begin{array}{lrlrl}y=\sinh ^{-1} x & x \in R & \Leftrightarrow & x=\sinh y & y \in R \\ y=\cosh ^{-1} x & x \geq 1 & \Leftrightarrow & x=\cosh y & y \geq 0 \\ y=\tanh ^{-1} x & -1<x<1 & \Leftrightarrow & x=\tanh y & y \in R\end{array} \)</p> <p>쌍곡선함수는 \( e^{x} \)와 \( e^{-x} \)에 의해 정의되므로 쌍곡선함수의 역함수는 자연로그를 써서 다음 정리와 같이 나타낼 수 있다.</p> <h1>1.1 함수</h1> <p>미분적분학 이론의 대부분은 함수를 그 대상으로 한다. 이 절에서는 함수와 관련된 기본이론을 소개하며, 여기서 다루는 집합은 모두 실수 \( \mathbb{R} \)의 부분집합임을 가정한다.</p> <h2>정의 1.1 .1</h2> <p>두 집합 \( X, Y \)에 대하여 \( X \)의 각 원소 \( x \) 에 \( Y \)의 오직 한 개의 원소 \( y \)를 대응시키는 대응규칙 \( f \) 를 \( X \) 에서 \( Y \)로의 함수(function)라 하고,</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)</p> <p>로 나타낸다. 이때 집합 \( X \)를 함수 \( f \)의 정의역(domain), \( Y \)를 함수 \( f \)의 공변역(codomain), \( f(X)=\{f(x) \mid x \in X\} \)를 함수 \( f \)의 치역(range)이라고 한다.</p> <h3>예제 1.1.1</h3> <p>함수 \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3-x, & 2<x \leq 4\end{array}\right. \)가 주어졌을 때,</p> <p>(1) 함수의 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x \leq 4\} \)이다.</p> <p>(2) 함수의 치역은 \( \{y \mid-1 \leq y \leq 3\} \)이다.</p> <p>(3) \( f(2)=3 \)이고 \( f(3)=0 \)이다.</p> <p>함수의 대응규칙이 방정식 \( y=f(x) \)인 형태이면 변수 \( x \)를 독립변수(independent variable)라 하고 \( y \)를 종속변수(dependent variable)라 한다. 함수의 정의역이 지정되지않을 경우 그 함수의 대응규칙이 정의될 수 있는 모든 실수의 집합을 그 함수의 정의역으로 가정한다.</p> <h3>예제 1.1.2</h3> <p>다음 함수의 정의역과 치역을 구하여라.</p> <p>(1) \( f(x)=\frac{1}{x-1} \) (2) \( g(x)=\sqrt{4-x^{2}} \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) 함수 \( f \) 는 \( x=1 \)에서 정의되지 않으므로 \( f \)의 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R} \) : \[ x \neq 1\} \text { 이고 치역은 }\{y \in \mathbb{R}: y \neq 0\} \text { 이다. } \]</p> <p>(2) 함수 \( g \)는 \( 4-x^{2} \geq 0 \)에서 정의되므로 정의역은 \( \{x \in \mathbb{R}:-2 \leq x \leq 2\}=[-2,2] \)이다. \( -2 \leq x \leq 2 \)가 되면 \( 0 \leq 4-x^{2} \leq 4 \) 이므로 \( g \) 의 치역은 \( [0,2] \) 이다.■</p> <h2>정의 1.1.2</h2> <p>두 함수 \( f: X \rightarrow Y, g: X \rightarrow Y \)가 있을 때 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( f(x)=g(x) \)가 성립하면 두 함수 \( f \)와 \( g \)는 같다고 하고 \( f=g \)로 나타낸다.</p> <h3>예제1.4 .6</h3> <p>다음이 성립함을 보여라.</p> <p>(1) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } = 1 \)(2) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x } =0 \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) 먼저 \( 0<x< \frac {\pi } { 2 } \)라 하자. 그림 1-14에서 \( \triangle D O B \)의 넓이 \(< \widetilde { D O A } \)의 넓이 \(< \triangle E O A \)의 넓이.....① 이고, \( \overline { O B } = \cos x, \overline { E A } = \tan x \)이므로 이것을 ①에 대입하여 정리하면 \[ \frac { 1 } { 2 } \cos x \cdot \sin x< \frac { x } { 2 }< \frac {\tan x } { 2 } \]이다. 양변에 \( \frac { 2 } {\sin x } \)를 곱하고 역수를 취하면</p> <p>\( \frac { 1 } {\cos x } >\frac {\sin x } { x } >\cos x \)</p> <p>이다. \( x \) 가 0 의 우측에서 접근할 때 극한을 취하면</p> <p>\( 1= \lim _ { x \rightarrow 0 + } \frac { 1 } {\cos x } \geq \lim _ { x \rightarrow 0 + } \frac {\sin x } { x } \geq \lim _ { x \rightarrow 0 + } \cos x=1 \)</p> <p>이 성립한다. 따라서 \( \lim _ { x \rightarrow 0 + } \frac {\sin x } { x } =1 \)이다. \( - \frac {\pi } { 2 }<x<0 \)인 경우 (1)과 같은 방법으로 \( t=-x \) 라 하면</p> <p>\( \lim _ { x \rightarrow 0- } \frac {\sin (-t) } { -t } = \lim _ { t \rightarrow 0 + } \frac { - \sin t } { -t } = \lim _ { t \rightarrow 0 + } \frac {\sin t } { t } =1 \)</p> <h2>정의 1.1 .6</h2> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사함수일 때 다음을 만족하는 함수 \( g: Y \rightarrow X \)를 함수 \( f \)의 역함수(inverse function)라 하고 \( f^{-1} \)로 나타낸다.</p> <p>\( g(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y \)</p> <p>함수 \( g \)가 함수 \( f \)의 역함수이면 모든 \( x \in X, y \in Y \)에 대하여 \( (g \circ f)(x)=x \)와 \( (f \circ g)(y)=y \)를 만족한다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사함수이면 \( f \)의 역함수 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)가 존재한다. 함수 \( f \)가 단사함수일 때도 다음과 같은 방법으로 역함수를 구한다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 단사함수일 때 함수 \( f \)의 역함수를 구하려면</p> <p>(i) \( f: X \rightarrow f(X) \)로 공변역을 함수 \( f \)의 치역으로 제한하고</p> <p>(ii) 정의역의 변수 \( x \)와 치역의 변수 \( y \)를 바꾸고</p> <p>(iii) 이 식을 \( y \)에 대하여 정리하여 역함수를 구한다.</p> <h3>예제 1.1 .8</h3> <p>함수 \( f(x)=x^{2}-4 \)의 정의역이 \( [0, \infty) \)일 때 \( f \)의 역함수를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f([0, \infty))=[-4, \infty) \)이므로 \( f:[0, \infty) \rightarrow[-4, \infty) \)에서 전단사함수이다.</p> <p>\( y=x^{2}-4 \)라 하고 \( x \) 와 \( y \)를 바꾸면 \( x=y^{2}-4 \)이고 이를 \( y \)에 관하여 정리하면 \( y^{2}=x+4 \), 즉 \( y=\sqrt{x+4} \)가 된다. 그러므로 \( f^{-1}(x)=\sqrt{x+4} \)이다.</p> <h3>예제 1.1.9</h3> <p>함수 \( y=\sin x \)는 \( R \)위에서 역함수를 갖는가?</p> <p>풀이</p> <p>함수 \( y=\sin x \)의 정의역은 \( (-\infty, \infty) \)이고 치역은 \( [-1,1] \)이다. 그리고 \( \sin (0)=\sin (\pi) \)이므로 단사함수가 아니다. 그러므로 \( y=\sin x \)는 전단사함수가 아니므로 역함수를 갖지 않는다.</p> <p>그러나 함수 \( f(x)=\sin x \) 정의역을 \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \) 공변역을 \( [-1,1] \)로 제한하면 sine 함수의 역함수를 구할 수 있다.</p> <p>또한 임의의 실수 \( x \)에 대하여 \( (-x)^{2}=x^{2} \)과 \( (-x)^{3}=-x^{3} \)이 성립하는 것을 알고있다. 이러한 성질을 함수에 적용하여, 임의의 실수 \( x \)에 대하여</p> <p>\( f(-x)=f(x) \)</p> <p>를 만족하는 함수 \( f \)를 우함수(even function)라 하고,</p> <p>\( f(-x)=-f(x) \)</p> <p>를 만족하는 함수 \( f \)를 기함수(odd function)라 한다. 그러므로 \( f(x)=x^{2} \)은 우함수, \( g(x)=x^{3} \)은 기함수이다. 특히, 우함수의 그래프는 \( y \)축에 관하여 대칭이고 기함수의 그래프는 원점에 관하여 대칭임을 알 수 있다.</p> <p>상수함수 \( y=a_{0} \)와 함수 \( y=x \)를 이용하여 유한 번의 덧셈, 뺄셈 그리고 곱셈을 반복하여</p> <p>\( f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \)</p> <p>형태의 함수를 얻을 수 있으며, 이와 같은 함수를 다항함수(polynomial function)라고 한다. 특히 \( a_{n} \neq 0 \)일 때 \( f(x) \)를 \( x \)에 관한 \( n \)차 다항함수라고 한다. 또한 두 다항함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 비로 나타낸 함수</p> <p>\( \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}}{b_{m} x^{m}+b_{m-1} x^{m-1}+\cdots+b_{1} x+b_{0}} \)</p> <p>를 유리함수(rational function), 그리고 \( x \)에 관한 무리식으로 표현되는 함수를 무리함수 (irrational function)라 한다. 일반적으로 다항함수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱근 등을 유한번 시행하여 얻는 함수 또는 \( x \)에 관한 \( n \)차 방정식</p> <p>\( y=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}, a_{n} \neq 0 \)</p> <p>의 해로 나타나는 함수를 대수함수(algebraic function)라 한다. 예를 들어</p> <p>\( y=5 x^{7}-\sqrt[3]{x^{4}}+\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{\sqrt[5]{x}+x^{3}} \)</p> <p>은 대수함수이다. 그리고 대수함수가 아닌 함수를 초월함수(transcendental function)라 하며, 대표적으로 지수함수, 로그함수, 삼각함수 그리고 쌍곡선함수 및 역삼각함수와 역쌍곡선함수 등이 초월함수의 예이다.</p> <h3>예제 1.4.2</h3> <p>다음의 극한을 구하여라</p> <p>(1) \( \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{3}+1\right)(x+5) \)(2) \( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x+1}{2 x+1} \)(3) \( \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}} \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{3}+1\right)(x+5) &=\lim _{x \rightarrow-1}\left(2 x^{3}+1\right) \lim _{x \rightarrow-1}(x+5) \\ &=\left[2 \cdot(-1)^{3}+1\right](-1+5) \\ &=-4 \end{aligned} \)</p> <p>(2) 분모의 극한이 0이 아니므로</p> <p>\( \lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-x+1}{2 x+1}=\frac{\lim _{x \rightarrow 3}\left(x^{2}-x+1\right)}{\lim _{x \rightarrow 3}(2 x+1)}=\frac{3^{2}-3+1}{(2 \cdot 3+1)}=\frac{7}{7}=1 \).</p> <p>(3) \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x+1}{x-1}=3>0 \)이므로 \( \lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}=\sqrt{3} \)이다.</p> <p>다음과 같이 분자와 분모의 극한이 모두 0 인 함수의 극한을 구하여 보자.</p> <h3>예제 1.4.3</h3> <p>다음 극한값을 구하여라.</p> <p>(1) \( \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-16}{\sqrt{x}-2} \)(2) \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+h}-2}{h} \)</p> <p>풀이</p> <p>위의 문제들은 분모의 극한이 0이 되므로 위의 정리 (3)을 이용할 수 없다.</p> <p>(1) \( x \rightarrow 4 \)이므로 \( x \neq 4 \)이고, 따라서 \( x \neq 4 \)이면 다음 등식이 성립한다. \[ \frac{x^{2}-16}{\sqrt{x}-2}=\frac{(x+4)(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}-2}=(x+4)(\sqrt{x}+2) \]그러므로 \[ \begin{aligned} \lim _{x \rightarrow 4} \frac{x^{2}-16}{\sqrt{x}-2} &=\lim _{x \rightarrow 4}(x+4)(\sqrt{x}+2) \\ &=\lim _{x \rightarrow 4}(x+4) \lim _{x \rightarrow 4}(\sqrt{x}+2)=8 \cdot 4=32 \end{aligned} \]이다.</p> <p>(2) \( h \rightarrow 0 \)이므로 \( h \neq 0 \)이고, 따라서 \( h \neq 0 \)이면 다음 등식이 성립한다. \[ \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\frac{(\sqrt{4+h}-2) \sqrt{(4+h}+2)}{h(\sqrt{4+h}+2)}=\frac{1}{\sqrt{4+h}+2} \]그러므로</p> <p>\( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sqrt{4+h}-2}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{\sqrt{4+h}+2}=\frac{1}{4} \)</p> <p>이다.</p> <h2>정리 1.4 .2</h2> <p>만일 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L\left(\right. \)단 \( L \neq 0 \) )이고 \( \lim _{x \rightarrow a} g(x)=0 \)이면 \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \)는 존재하지 않는다.</p> <p>증명</p> <p>\( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=M \)이라 가정하자.</p> <p>\( \begin{aligned} L=\lim _{x \rightarrow a} f(x) &=\lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{f(x)}{g(x)} \cdot g(x)\right] \\ &=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)=M \cdot 0=0 \end{aligned} \)</p> <p>이므로 이는 \( L \neq 0 \)이라는 가정에 모순이다. 그러므로 \( \lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} \)는 존재하지 않는다.</p> <h3>예제 1.4.1</h3> <p>\( \lim _{x \rightarrow-1}(2 x+3) \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x \) 가 \( -1 \)에 가까워질수록 \( 2 x+3 \)는 1에 가까워짐을 알 수 있다. 그러므로 \( \lim _{x \rightarrow-1}(2 x+3)=1 \)이다.</p> <p>함수</p> <p>\( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x}{\|x\|}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right. \)</p> <p>의 그래프인 그림 1-13을 보면 \( x=0 \)에서 극한이 존재하지 않는다. \( x \)축 위의 점들을 0의 근방에서 한없이 0에 가까이 접근시킬 때 \( x \)가 점 0의 우측방향에서 0에 접근할 때와 좌측방향에서 0에 접근할 때의 함숫값 \( f(x) \)의 접근하는 값이 달라짐을 알 수 있다. 실제로, \( x \)가 점 0의 우측방향에서 0에 접근하면 함숫값 \( f(x) \)는 1에 접근하고, \( x \)가 점 0의 좌측방향에서 0에 접근하면 함숫값 \( f(x) \)는 \( -1 \)에 접근한다. 이러한 뜻에서 함수 \( f \)의 \( x=0 \)에서의 우측극한값은 1이고 좌측극한값은 \( -1 \)이라 한다. 그러나 \( x \)가 0에 접근하는 방향에 따라 함숫값 \( f(x) \)가 접근하는 값이 달라지므로 함수 \( f \)의 \( x=0 \)에서의 극한값은 존재하지 않는다.</p> <p>이제 \( a \)의 왼쪽 또는 \( a \)의 오른쪽에서 \( x \)가 \( a \)에 접근하는 경우를 생각해보자. 이 방향에 따라서 두 가지 극한을 정의하면 다음과 같다.</p> <h2>정의 1.4 .2</h2> <p>\( a \)보다 작으면서 \( a \)에 충분히 가까워지는 \( x \)에 대하여 \( f(x) \)가 어떤 유한한 값 \( L \)에 충분히 가까워진다면</p> <p>\( \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=L \)</p> <p>로 나타내고, \( L \)을 \( x=a \)에서 \( f(x) \)의 좌극한(left-hand limit)이라 한다. 또한 \( a \)보다 크면서 \( a \)에 충분히 가까워지는 \( x \)에 대하여 \( f(x) \)가 어떤 유한한 값 \( L \)에 충분히 가까워진다면</p> <p>\( \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=L \)</p> <p>로 나타내고, \( L \) 을 \( x=a \) 에서 \( f(x) \) 의 우극한(right-hand limit)이라 한다. 이때 \( x \rightarrow a^{-} \)는 \( x \) 가 \( a \)의 왼쪽에서 접근하는 것을 \( x \rightarrow a^{+} \)는 \( x \) 가 \( a \)의 오른쪽에서 접근하는 것을 의미한다. 따라서 \( \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x}{\|x\|}=-1 \)이고 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{\|x\|}=1 \) 이 된다.</p> <p>함수의 극한에 관한 기본 연산 정리는 다음과 같으며 정리의 증명은 해석학에서 다룰 것이다.</p> <h2>정리 1.4 .1</h2> <p>\( k \)가 상수이고 \( n \)은 양의 정수라 하자. 극한 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x), \lim _{x \rightarrow a} g(x) \)가 존재하면 다음식을 만족한다.</p> <p>(1) (합·차의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \pm g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x) \) (복호동순)</p> <p>(2) (곱의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x) \cdot g(x)]=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x) \)</p> <p>(3) (몫의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0 \) 이면, \( \lim _{x \rightarrow a}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)} \)</p> <p>(4) (상수배의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a}[k \cdot f(x)]=k \cdot \lim _{x \rightarrow a} f(x) \)</p> <p>(5) (거듭제곱의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a}[f(x)]^{n}=\left[\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right]^{n} \)</p> <p>(6) (제곱근의 법칙) \( \lim _{x \rightarrow a} \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim _{x \rightarrow a} f(x)} \) (단 \( n \) 이 짝수이면 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)>0 \) )</p> <h3>예제 1.4.4</h3> <p>다음 극한이 존재하면 극한을 구하여라.</p> <p>(1) \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x+2}{x-2} \)(2) \( \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-3 x-4}{x+1} \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \lim _{x \rightarrow 2}\left(x^{2}+3 x+2\right)=12 \neq 0 \)이고 \( \lim _{x \rightarrow 2}(x-2)=0 \)이므로 정리 \( 1.4 .2 \)에 의하여 \( \lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}+3 x+2}{x-2} \)이 존재하지 않는다.</p> <p>(2) \( \frac{x^{2}-3 x-4}{x+1}=\frac{(x-4)(x+1)}{(x+1)}=x-4 \)이므로 \[ \lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-3 x-4}{x+1}=\lim _{x \rightarrow-1}(x-4)=-5 \]이다.</p> <h2>정리 1.4 .3</h2> <p>조임정리</p> <p>만일 \( a \)를 포함하는 개구간에 대하여 \( x \neq a \)를 만족하는 모든 개구간의 점 \( x \)에서 \[ f(x) \leq g(x) \leq h(x) \text { 이고 } \lim _{x \rightarrow a} f(x)=\lim _{x \rightarrow a} h(x)=L \text { 이면 } \lim _{x \rightarrow a} g(x)=L \text { 이다. } \]</p> <h3>예제 1.4.5</h3> <p>함수 \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x \text { 가 유리수 일 때 } \lim _{x \rightarrow 0} f(x) \text { 를 구하여라. } \\ 0, & x \text { 가 무리수 }\end{array}\right. \)</p> <p>풀이</p> <p>\( \|x\|<1 \)에 대하여 \( 0 \leq f(x) \leq x^{2} \)을 만족한다. 또한 \( \lim _{x \rightarrow 0} x^{2}=0 \)이므로 정리 \( 1.4 .3 \)에 의하여 \( \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0 \)이다.</p> <p>삼각함수의 극한값에 대하여 알아보자.</p> <h2>정리</h2> <p>다음의 극한이 성립한다.</p> <p>(1) \( \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=0 \)(2) \( \lim _{x \rightarrow 0} \cos x=1 \)</p> <p>증명</p> <p>(1)먼저 \( 0<x<\frac{\pi}{2} \)라 하자. 그림 1-14과 같이 원점이 중심이고 반지름이 1인 원에서 길이가 \( x \) 인 원호 \( D A \)를 작도한 후 \( \overline{O A} \)에 수직인 수선 \( \overline{D B} \)를 그리면 \( \overline{D B} \)의 길이는 \( \sin x \)이며 \( 0<\sin x<x \)을 만족한다. 따라서 \( \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sin x=0 \)이다.</p> <p>한편 \( -\frac{\pi}{2}<x<0 \)이면 \( t=-x \)라 놓으면 \( 0<t<\frac{\pi}{2} \)가 되며 \( 0<\sin t<t \)를 만족한다.즉, \( 0<\sin (-x)=-\sin x<-x \)가 되므로 \( x<\sin x<0 \)을 만족하며 정리 \( 1.4 .4 \)에 의하여 \( \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \sin x=0 \)이다. 그러므로 \( \lim _{x \rightarrow 0} \sin x=0 \)</p> <p>(2) \( -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2} \)라 하면 \( \cos x \geq 0 \)이므로 \( \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1 \)로부터 \( \cos x=\sqrt{1-\sin ^{2} x} \)가 된다. 따라서 정리 \( 1.4 \).1과 정리 1.4.4로부터 \[ \lim _{x \rightarrow 0} \cos x=\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt{1-\sin ^{2} x}=\sqrt{\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\sin ^{2} x\right)}=1 \]이다.</p> <h3>예제 1.2.2</h3> <p>\( [-1,1] \)에 속하는 각 \( x \)에 대하여 \( \cos \left(\sin ^{-1} x\right)=\sqrt{1-x^{2}} \)임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( t=\sin ^{-1} x \)라고 \( \quad \)놓으면 \( \quad x=\sin t \)이고 \( \quad t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)이다.</p> <p>\( \sin ^{2} t+\cos ^{2} t=1 \)에서 \( \cos ^{2} t=1-\sin ^{2} t=1-x^{2} \). 즉, \( \cos t=\pm \sqrt{1-x^{2}} \)를 만족한다. 그런데 \( t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)이면 \( \cos t \geq 0 \)이므로</p> <p>\( \cos \left(\sin ^{-1} x\right)=\cos t=\sqrt{1-x^{2}} \)</p> <p>이다.</p> <h3>예제 1.2.3</h3> <p>다음 값을 구하여라.</p> <p>\( \cos \left(\tan ^{-1} \frac{5}{12}\right) \)</p> <p>풀이</p> <p>삼각형을 이용하여 값을 구하자. \( \tan ^{-1} \frac{5}{12}=x \)라 하면 \( \tan x=\frac{5}{12} \)이고 \( \cos \left(\tan ^{-1} \frac{5}{12}\right)=\cos x \)이된다. 그러므로 그림 1-6의 삼각형에서 \( \cos x= \) \( \frac{12}{13} \) 이다.</p> <h3>예제 1.2.4</h3> <p>\( \sin ^{-1} \frac{1}{3}+\cos ^{-1} \frac{1}{3} \)의 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \sin ^{-1} \frac{1}{3}=x \)이고 \( \cos ^{-1} \frac{1}{3}=y \)라 하면 \( 0 \leq x, y \leq \frac{\pi}{2}, \sin x=\frac{1}{3} \)이고 \( \cos y=\frac{1}{3} \)이다. 한편</p> <p>\( \begin{aligned} \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{3}+\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right) &=\sin (x+y) \\ &=\sin x \cos y+\cos x \sin y \end{aligned} \)</p> <p>이므로 그림 1-7의 삼각형을 이용하면 \( \sin y=\frac{\sqrt{8}}{3} \)와 \( \cos x=\frac{\sqrt{8}}{3} \)이 된다. 그러므로</p> <p>\( \sin \left(\sin ^{-1} \frac{1}{3}+\cos ^{-1} \frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{\sqrt{8}}{3} \cdot \frac{\sqrt{8}}{3}=1 \)</p> <p>이므로 \( \sin ^{-1} \frac{1}{3}+\cos ^{-1} \frac{1}{3}=\frac{\pi}{2} \)이다.</p> <p>다른 삼각함수에 대한 역함수도 같은 방법으로 생각할 수 있다. 각 함수의 정의구역을 다음과 같이 제한하면,</p> <p>\( y=\cot x, x \in(0, \pi) \) \( y=\sec x, \quad x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right) \) \( y=\csc x, x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right] \cup\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right] \)</p> <p>이들의 역함수는 다음과 같다.</p> <p>\( y=\cot ^{-1} x, x \in(-\infty, \infty) \) \( y=\sec ^{-1} x, x \in(-\infty,-1] \cup[1, \infty) \) \( y=\csc ^{-1} x, x \in(-\infty,-1] \cup[1, \infty) \)</p> <p>secant함수의 정의역을 \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \)대신 \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right) \)로 택한 이유는</p> <p>secant함수의 역함수에 대한 미분 공식의 적용이 편리하기 때문이다.</p> <h3>예제 1.2.5</h3> <p>다음 등식이 성립함을 보여라.</p> <p>\( \tan \left(\sec ^{-1} x\right)=\sqrt{x^{2}-1} \)</p> <p>풀이</p> <p>\( \sec ^{-1} x=t \)라 하면 \( t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi, \frac{3 \pi}{2}\right) \)이므로 \( \tan \left(\sec ^{-1}(x)\right)=\tan t \geq 0 \)을 만족한다. \( \sec ^{2} t=\tan ^{2} t+1 \)이므로</p> <p>\( \tan t=\sqrt{\sec ^{2} t-1}=\sqrt{x^{2}-1} \)</p> <p>가 된다.</p> <h2>정리 1.3 .3</h2> <p>쌍곡선함수의 역함수는 다음과 같다.</p> <p>(1) \( \sinh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)</p> <p>(2) \( \cosh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right), \quad(x \geq 1) \)</p> <p>(3) \( \tanh ^{-1} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}, \quad(-1<x<1) \)</p> <p>증명</p> <p>(1) \( y=\sinh ^{-1} x \)라 하면 \[ x=\sinh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \] 가 된다. 이 식의 양변에 \( 2 e^{y} \)을 곱하여 정리하면 \[ \left(e^{y}\right)^{2}-2 x e^{y}-1=0 \] 이고 이를 \( e^{y} \)에 대하여 풀면</p> <p>\( e^{y}=x \pm \sqrt{x^{2}+1} \)</p> <p>이다. 여기서 \( e^{y} \)은 항상 양이므로 양수 \( x+\sqrt{x^{2}+1} \)에 자연로그를 취하면 \( y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)이 성립한다.</p> <h3>예제 1.3.2</h3> <p>\( 0<x \leq 1 \)일 때 \( \operatorname{sech}^{-1} x=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right) \)임을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=\operatorname{sech} x \)는 전단사 함수가 아니므로 역함수가 존재하도록 정의역은 \( [0, \infty) \) 공변역을 \( (0,1] \)로 제한하자. 그러면 \( f(x) \)의 역함수가 존재한다. \( y=\operatorname{sech}^{-1} x \)라 하면 \( y \geq 0 \)을 만족한다. 또한 \[x=\operatorname{sech} y=\frac{2}{e^{y}+e^{-y}}\] 가 된다. 이 식의 양변에 \( e^{y} \) 을 곱하여 정리하면\[x\left(e^{y}\right)^{2}-2 e^{y}+x=0\]이고, 이를 \( e^{y} \)에 대하여 풀면 \[e^{y}=\frac{1 \pm \sqrt{1-x^{2}}}{x}\]가 된다. \( 0<x \leq 1 \)일 때 \( 0<\frac{1-\sqrt{1-x^{2}}}{x} \leq 1 \)이므로 \[e^{y}=\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}\]을 만족하여\[y=\operatorname{sech}^{-1} x=\ln \left(\frac{1+\sqrt{1-x^{2}}}{x}\right)\]이다.</p> <h1>1.4 함수의 극한</h1> <p>함수의 극한의 개념은 미분적분학 이론의 토대가 되는 중요한 개념이다. 먼저 함수의 극한에 대한 정의를 직관적으로 이해하자.</p> <p>\( x=1 \)에서 정의되지 않는 두 함수 \( f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1} \)에 대하여 \( x=1 \) 근방에서의 함수 \( f \) 의 변화를 조사해 보자.</p> <p>표 1-1과 그림 1-11의 그래프로부터 \( x \)가 1에 가까워질수록(어느 쪽으로든) \( f(x) \)는 2에 가까워짐을 알 수 있다. 실제로 \( x \)를 1에 충분히 가깝게 잡으면 \( f(x) \)의 값을 원하는 만큼 1에 가깝게 잡을 수 있을 것으로 보인다. 이러한 뜻에서 " \( x \)가 1에 접근함에 따라 함수 \( f(x) \)의 극한값은 2이다"라 하고</p> <p>\( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=2 \)</p> <p>로 표기한다. 극한의 정확한 정의는 다음과 같다.</p> <h2>정의 1.4 .1</h2> <p>\( x \neq a \)이며 \( x \)가 \( a \)에 충분히 가깝게 접근할 때 \( f(x) \)의 함숫값이 유한 실수인 \( L \)에 한없이 가까워지면 함수 \( f(x) \)의 \( x=a \)에서의 극한(limit)을 \( L \)이라 하고,</p> <p>\( x \rightarrow a \)일 때 \( f(x) \rightarrow L \) 또는 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \)</p> <p>로 나타낸다.</p> <p>위의 정의에서 " \( x \)가 \( a \)에 한없이 가까워진다"는 것은 \( x \neq a \)임을 나타낸다는 것이므로 \( x=a \)는 결코 아니다. 따라서 함수 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 정의되지 않아도 무방하고, \( f(a) \neq L \)이어도 문제되지 않는다. 다음 그림 1-12(a)와 (b)는 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 정의될 때 (a)는 \( f(a) \neq L \)이고 (b)는 \( f(a)=L \)이고 (c)는 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 정의되지는 않지만 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \)인 경우를 나타낸다.</p>	자연
고차원 자료의 비지도 부분공간 이상치 탐지기법에 대한 요약 연구	<h1>1. 서론</h1> <p>이상치 탐지(outlier detection)는 자료에 포함된 이상치를 탐지하기 위한 분석 기법으로 신용카드 사기 탐지 (Fawcett과 Provost, 1997), 네트워크 침입 탐지 (Eskin 등, 2002), 의료 진단 (Penny와 Jolliffe, 2001) 등 희귀한 현상에 대한 정확한 식별이 요구되는 분야에서 주로 활용되고 있다. 정량적 정의는 각각의 활용 분야에서 관측치의 이상정도(degree of outlierness)를 어떻게 정의하는가에 따라 결정되며 보통은 '어떤 자료 안에서 다른 관측치들로부터 멀리 떨어져 있어 다른 매커니즘에 의해 생성되었다고 의심되는 관측치' (Hawkins, 1980), '다른 관측치들과 비교하여 현저히 다른 관측치' (Barnett과 Lewis, 1984)와 같이 정성적인 의미로 정의되는 경우가 많다. 이상치 탐지기법 중 이상치 여부(outlier label)를 사용하지 않는 방법을 비지도 이상치 탐지기법 (unsupervised outlier detection) 이라고 하며 이 중 전체 변수의 일부를 선별하여 이상치를 탐지하는 기법을 부분공간 이상치 탐지기법(subspace outlier detection)이라고 한다.</p> <p>부분공간 이상치 탐지기법이 필요한 이유 중 하나는 다음과 같은 집중효과(concentration effect) 현상이다.</p> <p>\( \operatorname{Var}\left(\frac{\\|X\\|}{E\\|X\\|}\right) \rightarrow_{d \rightarrow \infty} 0 \Rightarrow \frac{\max _{i \leq n}\left\\|x_{i}\right\\|}{\min _{i \leq n}\left\\|x_{i}\right\\|} \stackrel{p}{\rightarrow}{ }_{d \rightarrow \infty} 1 . \)</p> <p>위 식에서 \( X \in \mathbb{R}^{d} \) 는 자료에 포함된 \( d \) 개의 변수를 나타내는 확률벡터이고 \( x_{i}, i \leq n \) 는 \( X \) 에 대한 \( n \) 개의 임의 표본(random sample)이다. 자료에 포함된 변수의 개수가 증가하면 즉, 고차원 자료이면 모든 관측치 사이의 거리가 비슷해짐을 의미한다. 대부분의 비지도 이상치 탐지기법은 관측치 사이의 거리에 기반해 이상정도를 측정하기 때문에 집중효과가 나타날 경우 모든 관측치의 이상정도가 비슷해져 이상치와 정상치의 구분이 어려워지는 문제가 발생하게 된다. Beyer 등 (1999)는 자료에 포함된 변수가 동일 분포를 따르는 임의표본인 경우를 비롯한 다양한 상황에서 집중효과가 발생함을 증명하였다. Bennett 등 (1999)은 자료가 분리 가능한 클러스터(separable cluster) 구조를 가질 경우 서로 다른 클러스터에 속한 관측치 사이의 거리가 동일한 클러스터에 속한 관측치 사이의 거리보다 항상 크다는 것을 보임으로써 집중효과가 나타나지 않음을 입증하였다. Durrant과 Kabán (2009)은 변수들 사이에 강한 상관관계가 존재하여 내재적인 잠재구조(latent structure)를 형성하는 경우 집중효과가 나타나지 않음을 증명하였다. 또한 잠재적인 구조에 기여하지 않는 변수를 부적합한 변수(irrelevant variable)로 정의하여 전체 변수 중 부적합한 변수가 차지하는 비중이 높을수록 집중효과가 두드러짐을 경험적으로 보였다. Zimek 등 (2012)은 전체 변수 중 자료의 잠재구조에 기여하는 즉, 적합한 변수(relevant variable)의 비중이 높을수록 집중효과의 영향이 줄어들어 이상치와 정상치간 이상정도의 대비가 뚜렷해진다는 연구결과를 발표하였다.</p> <p>부분공간 이상치 탐지기법은 클러스터 구조를 가지거나 강한 상관관계를 갖는 등 특정 기준을 만족하는 부분공간을 선정하여 관측치의 이상정도를 측정함으로써 고차원 자료에서의 집중효과를 극복한다. 본 논문은 대표적인 비지도 부분공간 이상치 탐지기법을 부분공간 선정 방식에 따라 임의적 부분공간 탐색(random subspace search), 지역적 부분공간 탐색(local subspace search), 전역적 부분공간 탐색(global subspace search)의 세가지 유형으로 분류하고 각 유형에 속한 방법론을 부분공간 선정기준과 이상정도 측정 방식에 따라 개괄한다. 또한 이러한 분류기준에 따라 방법론을 요약한 표를 제공하고 방법론을 적용할 수 있는 컴퓨팅 프로그램을 소개하여 부분공간 이상치 탐지기법에 대한 연구자들의 이해도와 접근성을 높이고자 한다. 마지막으로 부분공간 이상치 탐지기법의 필요성에 대한 이해를 돕기 위해 집중효과에 대한 간단한 가상실험을 수행하며 이상치가 존재하는 실제 자료에 각 방법론을 적용한 결과를 비교한다. Figure 1은 본 논문에서 다루는 부분공간 이상치 탐지기법을 요약하여 나타낸다.</p> <h3>2.3.2. Cumulative mutual information (CMI)</h3> <p>CMI (Nguyen 등, 2013)는 HiCS의 발전된 기법으로, 부분공간에 포함된 변수 사이의 상호 상관관계를 측정하는 새로운 측도 CMI를 제안한다. CMI는 부분공간 탐색 과정에서 Contrast와 달리 계산의 임의성을 배제하며 누적분포함수 대신 누적엔트로피에 기반해 계산된다. CMI의 이상치 탐지 절차를 소개하기 전에 CMI를 부분공간에 대한 함수로 정의하면 다음과 같다.</p> <p>\( \operatorname{CMI}(\mathcal{S})= \mathrm{Average} \left(\left\{\operatorname{Diff}\left(X_{j_{k}}, X_{j_{k}} \mid\right.\right.\right. \) Clust \( \left.\left.\left.\left(X_{\mathcal{S}_{k-1}}\right)\right): 2 \leq k \leq\|\mathcal{S}\|\right\}\right), \quad \mathcal{S} \subset \mathcal{D} \),</p> <ul> <li>\( \mathcal{S}_{1}=\left\{j_{1}\right\}, \mathcal{S}_{2}=\left\{j_{1}, j_{2}\right\} \) \(- \left\{j_{1}, j_{2}\right\}=\arg \max _{s \neq t \in \mathcal{S}} \operatorname{Diff}\left(X_{s}, X_{s} \mid \operatorname{Clust}\left(X_{t}\right)\right) \) \( \quad * ~\mathrm{Clust} \left(X_{t}\right)=\left\{C_{t 1}, \ldots, C_{t m_{t}}\right\}: X_{t} \) 로 구성한 \( m_{t} \) 개의 클러스터 집합 \( - \operatorname{Diff}\left(X_{s}, X_{s} \mid \operatorname{Clust}\left(X_{t}\right)\right)=\operatorname{CumEnt}\left(X_{s}\right)-\sum_{l=1}^{m_{t}}\left(\left\|C_{t l}\right\| / n\right) \operatorname{CumEnt}\left(X_{s} \mid C_{t l}\right) \) \(\quad * ~ \operatorname{CumEnt}\left(X_{s}\right)=-\sum_{i \leq\left\|X_{s}\right\|-1}\left(x_{(i+1) s}-x_{(i) s}\right)\left(i /\left\|X_{s}\right\|\right) \log \left(i /\left\|X_{s}\right\|\right) \) \( \quad \quad \cdot ~ x_{(i) s}=\operatorname{Upper}_{i}\left(X_{s}\right) \) \( \quad * ~ \operatorname{CumEnt}\left(X_{s} \mid C_{k l}\right)=-\sum_{i \leq\left\|X_{s}\right\| C_{k l} \mid-1}\left(x_{(i+1) s}-x_{(i) s}\right)\left(i /\left\|X_{s}\right\| C_{k l} \mid\right) \log \left(i /\left\|X_{s}\right\| C_{k l} \mid\right) \) \( \quad \quad \cdot ~ X_{s} \mid C_{t l}=\left\{x_{i s}: i \in C_{t l}\right\} \)</li> <li>\( \mathcal{S}_{k+1}=\left\{j_{s}: s \leq k+1\right\}, 2 \leq k \leq\|\mathcal{S}\|-1 \) \(- j_{k+1}=\arg \max _{s \in \mathcal{S}, s \notin \mathcal{S}_{k}} \operatorname{Diff}\left(X_{s}, X_{s} \mid \operatorname{Clust}\left(X_{\mathcal{S}_{k}}\right)\right)\) \(\quad * ~ \operatorname{Clust}\left(X_{\mathcal{S}_{k}}\right)=\left\{C_{k 1}, \ldots, C_{k m_{k}}\right\}: X_{\mathcal{S}_{k}} \) 로 구성한 \( m_{k} \) 개의 클러스터 집합 \(- \operatorname{Diff}\left(X_{s}, X_{s} \mid \operatorname{Clust}\left(X_{t}, t \in \mathcal{S}_{k}\right)\right)=\operatorname{CumEnt}\left(X_{s}\right)-\sum_{l=1}^{m_{k}}\left(\left\|C_{k l}\right\| / n\right) \operatorname{CumEnt}\left(X_{s} \mid C_{k l}\right) \) \( \quad * X_{s} \mid C_{k l}=\left\{x_{i s}: i \in C_{k l}\right\} \)</li></ul> <p>위 정의에서 \( \operatorname{CumEnt}\left(X_{s}\right) \) 와 \( \operatorname{CumEnt}\left(X_{s} \mid C_{k l}\right) \) 은 변수 \( X_{s} \) 와 제한된 변수 \( X_{s} \mid C_{k l} \) 에 대한 경험적 누적엔트로피(empirical cumulative entropy) 함수이다. CMI는 임의성에 의존하지 않지만 계산에 사용되는 변수의 선택 순서에 따라 값이 달라지므로 이를 보완하기 위해 주어진 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에서 근사적으로 최대의 CMI 값을 산출한다.</p> <p>CMI에서 자료의 적합한 부분공간을 탐색하고 이상정도를 측정하는 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다. - COD: 부분공간에서 사용할 이상치 탐지기법 - Clust: 부분공간에서 사용할 클리스터링 기법 - \( t \): 각 부분공간 탐색 단계에서 선정하는 부분공간의 개수</li> <li>자료의 적합한 부분공간 집합을 선정한다. \( \quad \mathrm{SS}=\left\{\mathrm{SS}^{k}: 2 \leq k \leq d\right\} \), \( -\operatorname{SS}^{2}=\left\{\mathcal{S}: \mathrm{CMI}(\mathcal{S}) \geq \operatorname{Upper}_{t}(\{\mathrm{CMI}(\mathcal{S}):\|\mathcal{S}\|=2\}),\|\mathcal{S}\|=2\right\} \) \( -\mathrm{SS}^{k}=\left\{\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}: \mathrm{CMI}\left(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right) \geq \operatorname{Upper}_{t}\left(\left\{\mathrm{CMI}\left(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right):\left\|\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right\|=k, \mathcal{S}, \mathcal{S}^{\prime} \in \mathrm{SS}^{k-1}\right\}\right),\left\|\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right\|=k\right\}, 3 \leq k \leq d \) \(- \mathcal{S}, \mathcal{S}^{\prime} \in \mathrm{SS} \) 에 대해, \( \mathcal{S}^{\prime} \subseteq \mathcal{S} \) 그리고 \( \mathrm{CMI}\left(\mathcal{S}^{\prime}\right)<\mathrm{CMI}(\mathcal{S}) \) 에 해당하는 \( \mathcal{S}^{\prime} \) 을 제거한다.</li> <li>관측치의 최종 이상정도를 다음과 같이 계산한다. \(\quad \operatorname{CMI}\left(x_{i}\right)= \) Average \( \left(\left\{\operatorname{COD}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right): \mathcal{S} \in \mathrm{SS}\right\}\right) \), \(- \operatorname{COD}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) : 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에서 \( \mathrm{COD} \) 를 사용하여 계산한 부분공간 이상정도</li></ol> <p>위 과정에서 (A)의 COD는 기존의 이상치 탐지기법 중 어떠한 것을 사용해도 무관하다. (B)는 자료의 적합한 부분공간을 근사적으로 탐색하는 알고리즘으로 HiCS와 동일하게 빔 탐색(beam search)에 기반한 상향식 부분공간 탐색 알고리즘이 사용된다. 최종 이상정도는 (C)와 같이 정의 된다.</p> <h2>2.2. 지역적 부분공간 탐색(Local subspace search)</h2> <p>지역적 부분공간 탐색은 관측치마다 이상정도 측정에 적합한 부분공간(relevant subspace)을 선정하여 부분공간 이상정도를 측정하는 기법이다. 선정된 부분공간이 여러 개일 경우에는 적절한 결합함수를 이용해 최종 이상정도를 정의한다.</p> <h3>2.2.1. Subspace outlier degree (SOD)</h3> <p>SOD (Kriegel 등, 2009)는 관측치마다 한 개의 적합한 부분공간을 선정하여 관측치의 부분공간 이상정도를 측정한다. SOD에서 관측치 \( x_{i} \) 의 이상정도를 계산하는 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다. \(- k \) : 인접이웃의 개수 \(- l \) : 공유된 인접이웃의 개수 \(- \alpha \) : 거리제곱의 비율</li> <li>공유된 인접이웃(shared nearest neighbor) 집합을 결정한다. \( \quad \mathrm{SN}\left(x_{i}\right)=\left\{x_{t}: S_{k}\left(x_{i}, x_{t}\right) \geq \operatorname{Upper}_{\ell}\left(\left\{S_{k}\left(x_{i}, x_{s}\right): s \neq i\right\}\right)\right\} \), \( - S_{k}\left(x_{i}, x_{t}\right)=\left\|N_{k}\left(x_{i}\right) \cap N_{k}\left(x_{t}\right)\right\| \) \( - N_{k}\left(x_{i}\right)=\left\{x_{t}: \operatorname{Dist}_{\mathcal{D}}\left(x_{i}, x_{t}\right) \leq \operatorname{Lower}_{k}\left(\left\{\operatorname{Dist}_{\mathcal{D}}\left(x_{i}, x_{s}\right): s \neq i\right\}\right)\right\} \)</li> <li>\( x_{i} \) 의 적합한 부분공간을 선정한다. \( \quad \mathcal{S}_{\alpha}\left(x_{i}\right)=\left\{j: \sigma_{\|j\|}^{2}\left(x_{i}\right)<\frac{\alpha \sigma_{\mathcal{D}}^{2}\left(x_{i}\right)}{d}, j \in \mathcal{D}\right\} \) \( -\sigma_{\{j\}}^{2}\left(x_{i}\right)=\operatorname{Average}\left(\left\{\operatorname{Dist}_{\{j\}}\left(x_{t}, \mu\left(x_{i}\right)\right)^{2}: x_{t} \in \mathrm{SN}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \) \( -\sigma_{\mathcal{D}}^{2}\left(x_{i}\right)=\operatorname{Average}\left(\left\{\operatorname{Dist}_{\mathcal{D}}\left(x_{t}, \mu\left(x_{i}\right)\right)^{2}: x_{t} \in \operatorname{SN}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \) \( -\mu\left(x_{i}\right)= \) Average \( \left(\left\{x_{t}: x_{t} \in \operatorname{SN}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \)</li> <li>관측치의 이상정도를 계산한다. \( \quad \operatorname{SOD}\left(x_{i}\right)=\left\|\mathcal{S}_{\alpha}\left(x_{i}\right)\right\|^{-1} \operatorname{Dist}_{\mathcal{S}_{\alpha}\left(x_{i}\right)}\left(x_{i}, \mu\left(x_{i}\right)\right) \).</li></ol> <p>위 과정에서 (B)의 \( \mathrm{SN}\left(x_{i}\right) \) 는 \( x_{i} \) 의 \( k \) 개의 인접이웃 집합 \( N_{k}\left(x_{i}\right) \) 와 다른 관측치들의 \( k \) 개의 인접이웃 집합에 대하여 공유된 인접이웃 유사도(shared nearest neighbor similarity) \( S_{k} \) 로 결정한 \( l \) 개의 공유된 인접이웃 집합이다. 공유된 인접이웃 유사도는 유사도 측정에 관측치 사이의 거리를 직접 사용하지 않고 거리의 순위 정보를 이용하기 때문에 고차원 자료에서 집중효과가 존재할 때 유사도를 안정적으로 측정할 수 있는 장점을 가진다 (Houle 등, 2010). (C)에서 \( \mathcal{S}_{\alpha}\left(x_{i}\right) \) 는 \( x_{i} \) 의 이상정도 측정에 적합한 부분공간으로, 공유된 인접이웃 집합 \( \mathrm{SN}\left(x_{i}\right) \)에 포함된 관측치의 중심 \( \mu\left(x_{i}\right) \) 와 각 관측치 사이의 일차원 변수공간 거리의 제곱의 평균 \( \sigma_{\|j\|}^{2} \) 이 전체공간 거리의 제곱의 평균 \( \sigma_{\mathcal{D}}^{2} \) 의 \( \alpha \) 배보다 작은 변수들의 모임으로 구성된다. 이러한 부분공간 선정 원리는 공유된 인접이웃을 일차원 변수공간에 투사(projection)했을 때 대다수의 관측치들이 밀집해 있는 경우 소수의 관측치가 떨어진 정도를 잘 관측할 수 있다는 관찰에 기인한다. 최종 이상정도는(D)와 같이 정의되며 이는 부분공간 \( \mathcal{S}_{\alpha}\left(x_{i}\right) \) 에서 \( x_{i} \) 가 \( \mu\left(x_{i}\right) \) 로부터 떨어진 거리를 의미한다. SOD는 이상치 탐지에 적합한 부분공간을 관측치마다 고유하게 선정한다는 점에 의의가 있다. 하지만 부분공간 선정 단계에서 일차원 변수공간의 정보만을 이용하기 때문에 변수간의 의존도(dependency)를 고려하지 못하는 단점이 있다. 또한 한 개의 부분공간만을 선정하기 때문에 복수의 부분공간에서 높은 이상정도를 갖는 관측치를 파악하지 못하는 한계가 있다.</p> <h1>3. 가상실험 및 자료 분석</h1> <h2>3.1. 집중효과에 대한 가상실험</h2> <p>집중효과가 발생할 경우 이상정도가 어떻게 왜곡되는지 확인하기 위한 가상실험을 진행하였다. 가상실험에 사용된 자료는 \( N(0,1) \) 을 따르는 서로 독립인 \( d \) 개의 확률변수에 대하여 \( n=1000 \) 개의 임의 표본을 생성하여 구성하였다.</p> <p>먼저 이 자료에서 원점과 관측치 사이의 최대 거리와 최소 거리의 비율 \( R \) 이 차원의 크기 \( d \) 에 따라 어떻게 변화하는지 조사하였으며 그 결과를 세로 축을 \( \log R \), 가로 축을 \( d \) 로 하여 Figure 2 의 왼쪽 그래프에 도시하였다. 그림에서 \( d \) 즉, 차원이 커짐에 따라 \( \log R \) 의 값이 0 으로 수렴하는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>다음으로 자료에 이상치를 포함시켜 관측치의 이상정도가 어떻게 변화하는지 확인하였다. 앞에서 생성한 자료에서 \( x_{11}=10 \) 으로 두어 첫 번째 관측치 \( x_{1} \) 이 첫 번째 변수로 인하여 이상치가 되는 경우를 고려하였으며 LOF를 적용하여 각 관측치 \( x_{i} \) 의 이상정도 \( O_{i}, i \leq n \) 를 측정하였다. Figure 2 의 오른쪽 그래프는 차원의 크기 \( d \)에 따라 \( \log O_{1}, \min _{i \neq 1} \log O_{i}, \max _{i \neq 1} \log O_{i} , \mathrm{Average} \left.\left\{\log O_{i}: i \neq 1\right\}\right) \) 의 값이 어떻게 변화하는지 나타낸다. 그림에서 \( d \) 의 크기가 작을 때는 \( x_{1} \) 의 이상치의 이상정도가 다른 관측치의 이상정도보다 매우 크지만 \( d \) 의 크기가 커지면서 집중효과가 발생하면 \( x_{1} \) 과 다른 관측치의 이상정도가 비슷해지는 것을 확인할 수 있다.</p> <h2>3.2. 자료 분석</h2> <p>본 논문에서 소개한 이상치 탐지기법을 실제 자료에 적합하여 그 결과를 요약하였다. 분석에 사용된 자료는 Campos 등 (2016)에 소개된 이상치 탐지기법 평가용 자료이며 이상치 여부가 포함되어 있는 공개된 자료이다. Table 2는 분석에 사용한 자료를 요약하여 나타낸다.</p> <p>각 자료에 대하여 논문에서 소개한 부분공간 이상치 탐지기법을 적용하였으며 Tukey (1977)에서 소개한 방법을 이용해 이상치 결정 기준을 설정하였다. 참고로 Tukey (1977)는 관측치의 값이 다음의 범위를 벗어나면 해당 관측치를 이상치로 분류한다.</p> <p>\(\left[Q_{1}-k\left(Q_{3}-Q_{1}\right), Q_{3}+k\left(Q_{3}-Q_{1}\right)\right] .\)</p> <p>이 때, \( Q_{t}, t \leq 3 \) 는 각각 제 1,2,3사분위수이며 보통 \( k=1.5 \) 를 사용한다. 이 방법은 분포 가정을 필요로하지 않으며 극단적인 값의 영향을 적게 받아 강건(robust)하다는 장점을 가진다. 본 논문에서는 자료에 각 방법론을 적용하여 얻은 이상정도에 대해 해당 범위를 계산한 후 그 범위의 오른쪽 값보다 큰 이상정도를 갖는 관측치를 이상치로 판단하였다.</p> <p>Table 3은 이상치 탐지기법을 적용하여 결정한 이상치 여부와 자료에 포함된 실제 이상치 여부를 이용해 계산한 평가측도 \( F_{1} \) 점수를 요약한 표이다. 참고로 변수를 선택하지 않는 경우와 비교하기 위하여 LOF 기법을 사용한 결과도 포함시켰다. 또한 OUTRES의 경우 계산량이 너무 많아 24 간 이내에 계산을 마치지 못한 자료의 점수를 none으로 표기하였으며 CMI는 현재 배포된 버전의 소스코드를 원활히 활용하지 못해 분석에 포함시키지 않았다. 분석 결과를 살펴보면 차원이 낮은 두 자료 Glass와 Pima에선 LOF가 가장 높은 성능을 보이지만 나머지 자료에서는 부분공간 이상치 탐지기법이 더 우월한 성능을 보이는 것을 확인할 수 있다. 다만 부분공간 이상치 탐지기법 중 모든 상황에서 절대 우위를 갖는 방법론은 없었으며 이는 방법론과 자료의 특징에 따라 적절한 이상치 탐지기법을 선택해야 한다는 것으로 이해할 수 있다.</p> <p>마지막으로 독자의 편의를 위하여 본 논문에서 사용한 사용자 정의 요소의 값을 Table 4에 요약해 두었다. FB와 HiCS에서 이상치 탐지기법 COD는 LOF를 사용하였으며 LOF와 SOD에서 \( k \) 는 표본 크기의 \( 10 \% \) 로 설정하였고 SOD의 \( l \) 은 \( k \) 의 \( 70 \% \) 로 지정했다. SOD, OUTRES, HiCS의 \( \alpha \) 그리고 \( m \) 은 구현 프로그램의 기본값을 사용하였으며 OUTRES의 \( \epsilon \) 은 해당 논문의 권장값인 15 를 사용하였다. OutRank의 부분공간 클러스터링 기법으로는 DOC를 사용하였다. FB와 IF의 \( m \) 그리고 HiCS의 \( t \) 는 구현 프로그램의 기본값 100 을 차원 크기에 따라 적당히 조정하였다.</p> <h1>2. 부분공간 이상치 탐지기법</h1> <p>먼저 기술에 필요한 기호를 몇 가지 정의하기로 한다. 임의의 집합 혹은 벡터 \( A \) 에 대하여 \( \operatorname{Lower}_{k}(A) \) 는 \( A \) 의 원소 중 \( k \) 번째로 작은 원소, \( \operatorname{Upper}_{k}(A) \) 는 \( A \) 의 원소 중 \( k \) 번째로 큰 원소, \( \operatorname{Sum}(A) \) 는 \( A \) 의 원소의 합, \( \operatorname{Product}(A) \) 는 \( A \) 의 원소의 곱, \( \operatorname{Average}(A) \) 는 \( A \) 의 원소의 평균, \( \|A\| \) 는 \( A \) 의 원소의 개수라고 하자. \( X=\left(X_{1}, \ldots, X_{d}\right) \in \mathbb{R}^{n \times d} \) 를 \( d \)개의 변수 \( X_{j}=\left(x_{1 j}, \ldots, x_{n j}\right)^{T} \) 와 \( n \) 개의 관측치 \( x_{i}=\left(x_{i 1}, \ldots, x_{i d}\right)^{T} \) 로 구성된 자료라고 하자. 전체 변수의 인덱스 (index) 집합 \( \mathcal{D}=\{1, \ldots, d\} \) 를 전체공간, 부분집합 \( \mathcal{S} \subset \mathcal{D} \) 를 부분공간, \( \|\mathcal{S}\| \) 를 \( \mathcal{S} \) 의 차원이라고 하자. \( \operatorname{Dist}_{\mathcal{S}}\left(x_{s}, x_{t}\right) \)는 두 관측치 \( x_{s} \) 와 \( x_{t} \) 에 대하여 주어진 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에 포함된 변수만을 이용해 계산한 부분공간 거리(distance on subspace)라고 하자. 예를 들어 유클리디안 거리를 사용하는 경우 \( \operatorname{Dist}_{\mathcal{S}}\left(x_{s}, x_{t}\right)=\operatorname{Sum}\left(\left\{\left\|x_{s j}-x_{t j}\right\|^{2}: j \in \mathcal{S}\right\}\right)^{1 / 2} \)이다.</p> <h2>2.1. 임의적 부분공간 탐색(Random subspace search)</h2> <p>임의적 부분공간 탐색기법은 임의로 선정한 부분공간에서 관측치의 부분공간 이상정도(subspace degree of outlierness)를 측정하는 기법이다. 이 기법은 부분공간 선정의 임의성을 보완하기 위하여 여러 개의 부분공간에서 계산된 부분공간 이상정도를 평균과 같은 결합함수(combination function)로 요약하여 최종 이상정도를 정의한다.</p> <h3>2.1.1. Feature bagging (FB)</h3> <p>FB (Lazarevic과 Kumar, 2005)는 가장 단순한 임의적 부분공간 탐색기법으로 적당한 차원의 부분공간을 임의로 선정하고 선정된 부분공간에 대해 기존의 이상치 탐지기법(classical outlier detection)을 적용하여 부분공간 이상정도를 계산하는 과정을 반복한 후 계산된 부분공간 이상정도를 누적합(cumulative sum)등으로 요약하는 기법이다. FB에서 관측치 \( x_{i} \) 의 이상정도를 계산하는 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다.<ul> <li>COD: 부분공간에서 사용할 이상치 탐지기법</li> <li>\( m \) : 선정할 부분공간의 개수</li></ul></li> <li>부분공간 집합(set of subspaces)을 선정한다. \( \quad \mathrm{SS}=\left\{\mathcal{S}^{k}: k \leq m\right\} \), \( - \mathcal{S}^{k}: d / 2 \leq\left\|\mathcal{S}^{k}\right\| \leq d-1 \) 을 만족하는 임의의 부분공간</li> <li>관측치의 이상정도를 계산한다. \( \quad \operatorname{FB}\left(x_{i}\right)=\operatorname{Sum}\left(\left\{\operatorname{COD}_{\mathcal{S}^{k}}\left(x_{i}\right): \mathcal{S}^{k} \in \mathrm{SS}\right\}\right) \), \( - \mathrm{COD}_{\mathcal{S}^{k}}\left(x_{i}\right) \) : 부분공간 \( \mathcal{S}^{k} \) 에서 \( \mathrm{COD} \) 를 사용하여 측정한 부분공간 이상정도</li></ol> <p>위 과정에서 (A)의 COD는 기존의 이상치 탐지기법 중 어떠한 것을 사용해도 무관하며 가장 자주 사용되는 탐지기법은 Breuning 등 (2000)에 소개된 local outlier factor (LOF) 탐지기법이다. LOF는 관측치가 \( k \) 번째 인접이웃과 떨어진 거리에 기반해 추정한 지역적 밀도를 이용해 이상정도를 정의하는 방법이며 자료에 포함된 변수를 모두 사용하는 대표적인 거리기반 비지도 이상치 탐지 기법이다.</p> <h3>2.1.2. Isolation forest (IF)</h3> <p>IF (Liu, 2008)는 임의의 변수와 임의의 임계값(threshold)을 사용하여 모든 관측치가 끝마디(terminal node)에 고립되는 의사결정 나무를 만들어 부분공간 이상정도를 정의한다. IF에서 관측치 \( x_{i} \) 의 이상정도를 계산하는 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다. \( - ~m \) : 의사결정 나무의 개수</li> <li>모든 관측치를 고립시키는 의사결정 나무를 생성한다.<ol type=a start=1><li>비복원 붓스트랩 자료(bootstrapped sample without replacement) \( X^{k} \) 를 생성한다.</li> <li>다음 규칙을 적용하여 \( X^{k} \) 로부터 의사결정 나무 \( T^{k} \) 를 구성한다. * 분리규칙: 임의의 변수 \( X_{j} \) 와 임의의 임계값 \( c \in\left[\min \left(X_{j}\right), \max \left(X_{j}\right)\right] \) 를 사용한다. * 정지규칙: 모든 끝마디에 자료의 개수가 1 이하이면 정지한다.</li></ol></li> <li>관측치의 이상정도를 계산한다. \( \quad \operatorname{IF}\left(x_{i}\right)=1- \) Average \( \left(\left\{\right.\right. \) PathLength \( \left.\left.T_{T^{k}}\left(x_{i}\right): k \leq m\right\}\right) \), \(- \mathrm{PathLength}_{T^{k}}\left(x_{i}\right): T^{k} \) 에서 \( x_{i} \) 가 속한 끝마디의 깊이(depth)</li></ol> <p>위 과정에서 (C)에 표기된 끝마디의 깊이는 관측치가 고립될 때까지 사용된 분리(split)의 수를 의미한다. IF는 정상치는 밀집되어 있어 고립에 필요한 분리 개수가 많은 반면 이상치는 대부분의 관측치로부터 떨어져 있어 고립에 필요한 분리 개수가 상대적으로 적다는 가정에 기반한다.</p> <h2>2.4. 부분공간 이상치 탐지기법의 구현 도구</h2> <p>Table 1은 앞서 살펴본 부분공간 이상치 탐지기법들을 부분공간의 선정 방식, 부분공간 탐색의 결과, 이상 정도 측정함수 그리고 이를 적용할 수 있는 컴퓨팅 프로그램을 기준으로 요약하여 나타낸 표이다. 대다수의 방법론들은 오픈 소스 데이터 마이닝 소프트웨어인 environment for developing kdd-applications supported by index-structures (ELKI) (Schubert와 Zimek, 2019)를 이용해 적용할 수 있다. ELKI는 클러스터링과 이상치 탐지를 주 목적으로 개발된 Java기반의 소프트웨어로 R-tree (Beckmann, 1990)와 같은 인덱스 구조(index structure)에 기반해 인접이웃 계산 등을 효율적으로 수행하는 장점이 있다. ELKI는 소스 코드 뿐만 아니라 사용자가 손쉽게 이용할 수 있도록 graphical user interface (GUI) 소프트웨어를 배포하기 때문에 높은 접근성을 가지는 장점이 있다. IF는 R의 h2o 패키지에 포함된 h2o.isolationForest함수를 이용해 적용할 수 있으며 CMI는 CMI의 웹사이트 에서 제공하는 Java 기반의 소스코드를 사용하여 적용할 수 있다.</p> <h2>2.5. 부분공간 이상치 탐지기법의 활용과 평가</h2> <p>비지도 이상치 탐지기법은 관측치의 이상치 여부(outlier label)가 자료에 포함되어 있지 않은 경우에 사용된다. 따라서 이상치를 직접 결정하는 방법론이기 보다는 이상정도에 기반해 관측치의 순위를 제공하여 자료 전문가의 경험적 판단을 보조하는 수단으로 사용되는 경우가 많다. 이상치 여부를 결정할 수 있도록 도출된 이상정도에 대하여 일반적인 임계치(threshold)를 설정할 수도 있으나 이는 자료의 특징과 무관한 이상치 탐지 결과로 이어질 수 있기 때문에 매우 신중하게 결정되어야 한다. 또한 이상치를 결정하는 정량적인 기준이 없으므로 부분공간 탐색횟수, 거리 측도의 선택, 인접 관측치의 개수 등 각 방법론에서 사용자가 정의해야하는 요소들을 결정하는 방식도 매우 주관적이다.</p> <p>하지만 연구 논문 등에서 새로운 방법론을 소개하는 경우 방법론의 우수성을 입증할 필요가 있으므로 이상치 여부가 포함된 자료를 사용하여 receive operating characteristic (ROC) 곡선의 area under the curve (AUC)와 같은 이진 분류(binary classification) 평가 측도를 사용하여 평가하는 경우가 많다. 특히 이상치 탐지에 사용되는 자료는 이상치가 매우 적게 관측되는 불균형 자료(unbalanced sample)인 경우가 대부분이기 때문에 \( F_{1} \) 점수 (Powers, 2020) 와 같이 불균형 자료의 분류 결과를 평가하는 측도가 차용되는 경우가 많다. 분류 평가 측도를 사용하는 경우 사용자 결정 요소를 다양하게 적용할 수 있고 이 중 분류의 결과가 최적이 되는 요소를 결정하는 것이 가능하며 이러한 방식을 통하여 사용자 결정 요소의 범위나 값을 논문에 함께 추천하기도 한다.</p> <h3>2.2.3. Outlier ranking via subspace analysis (OutRank)</h3> <p>OutRank (Müller 등, 2012)는 부분공간 클러스터링(subspace clustering)기법을 이용해 관측치마다 적합한 부분공간을 선정하여 이상정도를 측정하는 기법이다. 부분공간 클러스터링은 상향식 혹은 하향식 알고리즘에 기반해 자료의 부분공간에 내재되어 있는 클러스터를 탐색하는 기법 (Parsons 등, 2004)이다. OutRank에서 관측치 \( x_{i} \) 의 적합한 부분공간을 선정하고 이상정도를 측정하는 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다. - SC: 부분공간 클러스터링 기법</li> <li>SC를 사용하여 자료의 부분공간 클러스터 집합을 생성한다. \( \quad \mathrm{SCR}=\left\{\left(C_{k}, \mathcal{S}_{k}\right): k \leq m\right\} \), \(- m \) : 부분공간의 개수 \( - C_{k} \) : 부분공간 \( \mathcal{S}_{k} \) 에서 구성한 클러스터 집합</li> <li>\( x_{i} \) 의 부분공간 정상정도를 측정한다. \( \quad \operatorname{Regular}\left(x_{i}\right)= \) Average \( \left(\left\{\operatorname{Evid}_{k}\left(x_{i}\right): k \in \operatorname{SCR}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \), \( -\operatorname{SCR}\left(x_{i}\right)=\left\{k:\left\|C_{k}\left(x_{i}\right)\right\| \neq 0, k \leq m\right\}\) \( -C_{k}\left(x_{i}\right): C_{k} \) 에 포함된 클러스터 중 \( x_{i} \) 가 속한 클러스터 \(- \operatorname{Evid}_{k}\left(x_{i}\right)=\left\|C_{k}\left(x_{i}\right)\right\| / \max _{j \leq m}\left\|C_{j}\right\|+\left\|\mathcal{S}_{k}\right\| / \max _{j \leq m}\left\|\mathcal{S}_{j}\right\| \)</li> <li>최종 이상정도를 계산한다. \( \quad \operatorname{OutRank}\left(x_{i}\right)=1-\operatorname{Regular}\left(x_{i}\right) \)</li></ol> <p>(A)에서 SC는 어떠한 부분공간 클러스터링 기법을 사용해도 무관하며 Procopiuc 등 (2002)가 개발한 density-based optimal projective clustering (DOC)가 가장 대표적인 방법 중 하나이다. (B)의 SCR은 자료에 SC를 적용하여 얻은 부분공간 클러스터 집합이다. (C)에서 \( \operatorname{Evid}_{k}\left(x_{i}\right) \) 는 부분공간 \( \mathcal{S}_{k} \) 에서의 클러스터 집합 \( C_{k} \) 에 \( x_{i} \)가 속해있는 정도(degree of cluster membership)를 나타낸다. SCR에 속한 부분공간 클러스터 집합 중 \( x_{i} \)를 포함하고 있는 클러스터에서의 \( \operatorname{Evid}_{k}\left(x_{i}\right) \) 값을 더하여 \( x_{i} \) 의 정상정도 \( \operatorname{Regular}\left(x_{i}\right) \) 를 정의한다. 이 정상정도는 \( x_{i} \)가 다수의 부분공간 클러스터에 포함되어 있고 해당 클러스터의 크기와 부분공간의 차원이 클수록 큰 값을 가진다. OutRank는 서로 다른 클러스터가 많은 수의 공통된 관측치를 공유(overlap)하는 경우 정상정도를 과대계상 하는 현상이 나타남을 지적하며 이를 보완할 수 있는 Evid \( _{k} \) 함수를 추가로 제안하였다. 이에 대한 구체적인 설명은 Müller 등 (2012)에 기재되어 있다. OutRank는 부분공간 클러스터링 알고리즘을 부분공간 이상치 탐지에 직접 적용할 수 있는 방법을 제안했다는 점에 의의가 있다. 또한 다양한 부분공간 클러스터링 기법을 선택할 수 있어 방법론 적용에 유연성을 가진다.</p> <h3>2.2.2. Outlier ranking in relevant subspaces (OUTRES)</h3> <p>OUTRES (Müller 등, 2011)는 관측치마다 이상치 탐지에 적합한 부분공간을 여러개 선정해 부분공간 이상정도를 측정하고 이를 결합하여 최종 이상정도를 정의한다. 어떤 부분공간 \( \mathcal{S} \) 를 관측치 \( x_{i} \) 의 적합한 부분공간으로 판단하는 기준은 다음의 인접이웃 집합에 기반해 정의된다.</p> <p>\( N_{\mathcal{S}, \varepsilon}\left(x_{i}\right)=\left\{x_{t}: \operatorname{Dist}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}, x_{t}\right) \leq v_{\varepsilon}(\|\mathcal{S}\|), t \neq i\right\}, \quad \mathcal{S} \subset \mathcal{D}, \varepsilon>0 \),</p> <p>단, \( v_{\varepsilon}(z)=\epsilon h(z) / h(2) I(z>2)+\varepsilon I(z \leq 2) \) 이고 \( h(z)=\left\{8(z+4)(2 \sqrt{\pi})^{2} \pi^{-z / 2} \Gamma(z / 2+1)\right\} n^{-1 / z+4} \) 이다. \( \varepsilon \) 은 인접이웃의 범위를 결정하는 상수이며 \( h(z) \) 는 \( z \) 에 대해 단조증가하는 함수로 차원이 커질수록 관측치들의 평균거리가 길어져 인접이웃 집합이 듬성듬성(sparse)해지는 문제를 조정하기 위해 사용되었다 (Silverman, 1986). OUTRES는 인접이웃 집합 \( N_{\mathcal{S}, 8} \) 에 포함된 관측치가 균등하게 분포되어 있는지에 대하여 유의수준을 \( \alpha \in \) \( (0,1) \) 로 하는 적합도 검정(goodness of fit test)을 시행하며, 귀무가설이 기각되는 경우 \( \mathcal{S} \) 를 \( x_{i} \) 의 적합한 부분공간으로 판단한다. 검정 방법으로는 콜모고로프 스미노르프 적합도 검정(Kolmogorov-Smirnov goodness-of-fit test)이 사용된다 (Stephens, 1970). 관측치 \( x_{i} \) 에 대한 적합한 부분공간이 결정되면 이 부분공간에서 커널 밀도함수 추정기법(kernel density estimation)을 사용하여 \( x_{i} \) 의 정상정도(degree of normality)를 측정한다. 이때 사용되는 커널 함수는 \( K(x)=\left(1-x^{2}\right) I(x<1) \) 이다. OUTRES에서 관측치 \( x_{i} \) 의 이상정도를 측정하는 절차는 다음과 같다. 주어진 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에 대하여 위 검정의 귀무가설이 기각되면, 즉 \( \mathcal{S} \) 가 적합한 부분공간으로 판단되면 \( \mathrm{KS}_{\mathcal{S}, \alpha}\left(x_{i}\right)=1 \) 이라고 하자.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 설정한다. \( -\varepsilon \) : 인접이웃 범위 설정 상수 \( -\alpha \in(0,1) \) : 검정의 유의수준</li> <li>\( x_{i} \) 의 적합한 부분공간 집합을 탐색한다. \( \quad \mathrm{SS}\left(x_{i}\right)=\left\{\mathrm{SS}^{k}\left(x_{i}\right): k \leq d\right\} \), \(- \operatorname{SS}^{1}\left(x_{i}\right)=\left\{\mathcal{S}: \mathrm{KS}_{\mathcal{S}, \alpha}\left(x_{i}\right)=1,\|\mathcal{S}\|=1\right\} \) \(- \mathrm{SS}^{k}\left(x_{i}\right)=\left\{\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}: \mathrm{KS}_{\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}, \alpha}\left(x_{i}\right)=1,\left\|\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right\|=k, \mathcal{S}, \mathcal{S}^{\prime} \in \mathrm{SS}^{k-1}\left(x_{i}\right)\right\}, 2 \leq k \leq d \)</li> <li>부분공간 \( \mathcal{S} \in \mathrm{SS}\left(x_{i}\right) \) 에서 관측치의 정상정도를 정의한다. \( \quad \operatorname{Score}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)}{\operatorname{Dev}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)}, & \text { if } \operatorname{Dev}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \geq 1, \\ 1, & \text { else. }\end{array}\right. \) \( -\operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)= \) Average \( \left(\left\{K\left(\operatorname{Dist}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}, x_{t}\right)\right) / v_{\varepsilon}(\|\mathcal{S}\|): x_{t} \in N_{\mathcal{S}, \varepsilon}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \) \( -\operatorname{Dev}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)=\left(\mu_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)-\operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)\right) / 2 \sigma_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) \(\quad \sigma_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)= \) Average \( \left.\left(\left\{\operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{t}\right)-\mu_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)\right)^{2}: x_{t} \in N_{\mathcal{S}, \varepsilon}\left(x_{i}\right)\right\}\right)^{1 / 2} \) \( \quad * \mu_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right)=\operatorname{Average}\left(\left\{\operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{t}\right): x_{t} \in N_{\mathcal{S}, \varepsilon}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \)</li> <li>최종 이상정도를 계산한다. \( \quad \operatorname{OUTRES}\left(x_{i}\right)=1-\operatorname{Product}\left(\left\{\operatorname{Score}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right): \mathcal{S} \in \mathrm{SS}\left(x_{i}\right)\right\}\right) \)</li></ol> <p>위 과정에서 (B)는 계산비용을 줄이기 위해 도입된 연관규칙(apriori) 알고리즘 (Agrawal와 Srikan, 1994) 기반의 상향식 부분공간 탐색 과정이다. 이러한 알고리즘이 사용되는 이유는 차원이 커짐에 따라 관측치들이 흩어지는 경향이 나타나기 때문이다 (Beyer 등, 1999). 따라서 만약 어떤 부분공간이 균등하게 분포되었다고 판단되면 더이상의 부분공간 탐색에 해당 부분공간을 고려하지 않는다. (C)는 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에서 \( x_{i} \) 의 부분공간 정상정도 \( \operatorname{Score}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) 를 정의한다. Score \( \left.\operatorname{Sc}_{\mathcal{S}}\right) \) 는 인접이웃 집합 \( N_{\mathcal{S}, \varepsilon}\left(x_{i}\right) \) 에 대해 커널 밀도함수 추정기법으로 추정한 지역적 밀도(local density) \( \operatorname{Den}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) 와 지역적 밀도의 편차 \( \operatorname{Dev}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) 의 비율로 계산된다. 커널 밀도 추정에 단조 증가하는 대역폭(bandwidth) \( v_{\varepsilon}(\|\mathcal{S}\|) \) 을 사용함으로써 차원크기가 다른 부분공간에서 추정된 밀도의 스케일을 균일하게 한다. OUTRES는 관측치마다 여러 개의 적합한 부분공간을 탐색할 수 있는 알고리즘을 제안하고 차원 크기가 다른 부분공간에서 측정된 이상정도를 통합할 때 발생할 수 있는 스케일의 문제를 보완했다는 점에 의의가 있다.</p> <h2>2.3. 전역적 부분공간 탐색(Global subspace search)</h2> <p>전역적 부분공간 탐색기법은 자료의 모든 관측치에 공통되게 적용되는 적합한 부분공간을 탐색하며 최종 이상정도는 탐색된 모든 부분공간에서의 이상정도를 결합하여 계산된다. 이 기법은 부분공간 선정 단계와 이상정도 측정 단계가 분리되어 이상정도 측정에 기존의 이상치 탐지기법을 차용할 수 있기 때문에 이상치 탐지를 위한 전처리 과정으로 생각할 수도 있다.</p> <h3>2.3.1. High contrast subspaces (HiCS)</h3> <p>HiCS (Keller 등, 2012)는 이차원 이상의 부분공간에서 변수 사이의 상호 상관관계(mutual correlation)의 정도를 측정하는 Contrast의 개념을 소개하고 이 값이 큰 고 대비 부분공간(high contrast subspace)을 이상치 탐지에 적합한 부분공간으로 선정한다. HiCS는 일차원 변수공간에서는 밀집되어 있어 이상치로 보이지 않지만 이차원 이상의 변수공간에서 이상정도를 드러내는 자명하지 않은 이상치(non-trivial outlier)를 정의하고 고 대비 부분공간에서 이러한 이상치를 탐지하기 유용함을 보인다.</p> <p>Contrast는 특정 부분공간에 속한 변수의 주변 분포함수와 해당 변수를 제외한 변수들을 특정 영역으로 제한했을 때의 조건부 분포함수와의 차이에 기반해 정의된다. 이는 다른 변수들과 상호독립(mutually independent)인 변수라면 두 값의 차이가 없을 것이라는 가정에 기반한다. HiCS의 이상치 탐지 절차를 소개하기 전에 Contrast를 부분공간에 대한 함수로 정의하면 다음과 같다.</p> <p>\( \operatorname{Contrast}(\mathcal{S})= \) Average \( \left(\left\{\operatorname{Dev}\left(X_{j}, X_{j} \mid R_{j}\right): j \in \mathcal{S}^{\prime}\right\}\right), \quad \mathcal{S} \subset \mathcal{D},\|\mathcal{S}\| \geq 2 \).</p> <ul> <li>\( \mathcal{S}^{\prime}=\left\{j_{1}, \ldots, j_{m}\right\}: \mathcal{S} \) 에서 복원 추출한 \( m \) 개의 변수 인덱스 집합.</li> <li>\( R_{j}=\prod_{l \in \mathcal{S}, l \neq j}\left[a_{l}, b_{l}\right]: \) 다음을 만족하는 임의의 구간 \( \left[a_{l}, b_{l}\right] \) 으로 구성한 격자 부분집합 \( \mathrm{.Average} \left(\left\{I\left(x_{i l} \in\left[a_{l}, b_{l}\right]\right): i \leq n\right\}\right) \geq \alpha^{-\frac{1}{\|S\|}}, \quad \alpha \in(0,1) \)</li> <li>\( \operatorname{Dev}\left(X_{j}, X_{j} \mid R_{j}\right)=\sup _{x_{i j} \in X_{j} \mid R_{j}}\left\|F_{X_{j}}\left(x_{i j}\right)-F_{X_{j} \mid R_{j}}\left(x_{i j}\right)\right\| \) \(- X_{j} \mid R_{j}=\left\{x_{i j}: x_{i l} \in\left[a_{l}, b_{l}\right], l \in \mathcal{S}, l \neq j\right\} \) \(- F_{X_{j}}\left(x_{i j}\right)=\operatorname{Average}\left(\left\{I\left(x_{s j}<x_{i j}\right): x_{s j} \in X_{j}\right\}\right) \) \(- F_{X_{j} \mid R_{j}}\left(x_{i j}\right)= \) Average \( \left(\left\{I\left(x_{s j}<x_{i j}\right): x_{s j} \in X_{j} \mid R_{j}\right\}\right) \)</li></ul> <p>위 정의에서 \( F_{X_{j}}\left(x_{i j}\right) \) 와 \( F_{X_{j} \mid R_{j}}\left(x_{i j}\right) \) 는 \( X_{j} \) 와 \( X_{j} \mid R_{j} \) 에 대한 경험적 누적분포(empirical cumulative distribution)함수의 \( x_{i j} \) 에서의 함수값이다. HiCS의 적합한 부분공간 탐색과 이상정도 측정 절차는 다음과 같다.</p> <ol type=A start=1><li>사용자 정의 요소를 결정한다. COD: 부분공간에서 사용할 이상치 탐지기법 \( -\alpha \in(0,1) \) : Contrast함수에서 구간 \( \left[a_{l}, b_{l}\right] \) 에 포함되는 자료의 비율 \( -m \) : Contrast측정에 사용하는 Dev함수의 개수 \( -t \) : 각 부분공간 탐색 단계에서 선정하는 부분공간의 개수</li> <li>자료의 적합한 부분공간 집합을 탐색한다. \( \quad \mathrm{SS}=\left\{\mathrm{SS}^{k}: 2 \leq k \leq d\right\} \), \( -\mathrm{SS}^{2}=\left\{\mathcal{S}:\right. \text{Contrast} (\mathcal{S}) \geq \operatorname{Upper}_{t}(\{ \text{Contrast} \left.(\mathcal{S}):\|\mathcal{S}\|=2\}),\|\mathcal{S}\|=2\right\} \) \( -\mathrm{SS}^{k}=\left\{\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}: \operatorname{Contrast}\left(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right) \geq \operatorname{Upper}_{t}\left(\left\{\operatorname{Contrast}\left(\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right):\left\|\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right\|=k, \mathcal{S}, \mathcal{S}^{\prime} \in \mathrm{SS}^{k-1}\right\}\right),\left\|\mathcal{S} \cup \mathcal{S}^{\prime}\right\|=k\right\} \) \( 3 \leq k \leq d \) \( - \mathcal{S}, \mathcal{S}^{\prime} \in \mathrm{SS} \) 에 대해, \( \mathcal{S}^{\prime} \subset \mathcal{S} \) 그리고 \( \text{Contrast}\left(\mathcal{S}^{\prime}\right)<\text{Contrast}(\mathcal{S}) \) 에 해당하는 \( \mathcal{S}^{\prime} \) 을 제거한다.</li> <li>관측치의 최종 이상정도를 다음과 같이 계산한다. \( \quad \operatorname{HiCS}\left(x_{i}\right)= \mathrm{Average} \left(\left\{\operatorname{COD}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right): \mathcal{S} \in \mathrm{SS}\right\}\right) \), \(- \mathrm{COD}_{\mathcal{S}}\left(x_{i}\right) \) : 부분공간 \( \mathcal{S} \) 에서 \( \mathrm{COD} \) 를 사용하여 계산한 부분공간 이상정도</li></ol> <p>위 과정에서 (A)의 COD는 기존의 이상치 탐지기법 중 어떠한 것을 사용해도 무관하다. (B)는 계산비용을 줄이기 위해 제안된 빔 탐색(beam search) (Steinbiss 등, 1994) 기반 상향식 부분공간 탐색 알고리즘이다. 이러한 알고리즘이 사용되는 이유는 어떤 부분공간이 클러스터 구조를 가질 경우 해당 부분공간의 저차원 부분공간에서도 클러스터를 이루는 경향이 나타나기 때문이다 (Agrawal 등, 1998). 최종 이상정도는 (C)와 같이 정의된다. HiCS 는 이차원 이상의 변수공간에서의 상호 상관관계를 측정하는 새로운 측도 Contrast의 개념을 제안했다는 점에 의의가 있다.</p>	자연
k714-(기초)위상수학	<p>정의</p> <p>\( (X, d) \)를 거리공간이라 하고 \( Y \subset X \)를 부분집합이라고 하자. \( Y \times Y \)상의 \( d \)의 제한을 \( d ^ {\prime } \)이라 할 때 거리공간 \( (Y, d ^ {\prime } ) \)을 \( (X, d) \)의 부분공간(metric subspact)이라고 한다.</p> <p>거리공간 \( X \)의 부분집합 \( Y \)에 \( X \)상의 거리를 그대로 사용할 때 \( Y \)를 \( X \)의 부분공간이라고 하는 것이다.</p> <p>다음은 우리가 자주 사용하는 유클리드 공간의 부분공간들이다.</p> <p>(1) the unit n-cube: \[ I ^ { n } = \left \{ x= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } \mid 0 \leq x_ { i } \leq 1, \quad i=1, \cdots, n \right \} \]</p> <p>(2) the unit n-sphere: \[ S ^ { n } = \left \{ x= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n + 1 } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n + 1 } \mid \sum_ { i=1 } ^ { n + 1 } x_ { i } ^ { 2 } =1 \right \} \]</p> <p>(3) the unit n-ball: \[ B ^ { n } = \left \{ x_ { x } = \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in \mathbb { R } ^ { n } \mid \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \leq 1 \right \} \]</p> <h2>2.2 근방, 열린집합, 닫힌집합</h2> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 한 점 \( X \)에 대하여, \( X \)에서 거리가 양의 실수 \( \varepsilon>0 \) 이내에 있는 점들의 집합 \[ \{ y \in X \mid d(x, y)< \varepsilon \} \] 을 \( x \)의 \( \varepsilon \)-근방( \( \varepsilon \)-neighborhood of \( x \), 또는 간단히 \( n b d \) of \( x \) )이라 하고 \( B(x, \varepsilon) \) 또는 \( B_ { d } (x, \varepsilon) \)으로 나타낸다. 즉, \[ B(x, \varepsilon)= \{ y \in X \mid d(x, y)< \varepsilon \} \]</p> <p>예제 2.3</p> <p>\( X \) 가 집합일 때, 함수 \( d: X \times X \rightarrow \mathbb { R } \)을 \[ d(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } 0, & (x=y \text { 일 때 } ) \\ 1, & (x \neq y \text { 일 때 } ) \end {array} \right . \] 에 의해서 정의하면 \( d \)는 분명히 \( X \)상의 거리가 되는데(연습문제), 이것을 이산거리(discrete matric)라 하고, 이산거리 \( d \)와 더불어 \( (X, d) \)를 이산거리 공간(discrete merric space)이라고 한다.</p> <p>보통거리가 주어진 \( \mathbb { R } \)이나 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)는 다음 예제에서 보는, 거리공간에서 중요한 부분을 차지하는, 유클리드 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 예이다.</p> <p>예제 2.4</p> <p>\( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 정의되는 몇 가지 거리함수의 예를 보자. \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 점 \( x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \)에 대하여 \[ \begin {aligned} & d_ { 1 } (x, y)= \sqrt {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } -y_ { i } \right ) ^ { 2 } } \\ & d_ { 2 } (x, y)= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|x_ { i } -y_ { i } \right \| \\ & d_ { 3 } (x, y)= \max \left \{\left \|x_ { 1 } -y_ { 1 } \right \|, \left \|x_ { 2 } -y_ { 2 } \right \|, \cdots, \left \|x_ { n } -y_ { n } \right \| \right \} \end {aligned} \]에 의해서 정의된 함수들 \( d_ { 1 } , d_ { 2 } , d_ { 3 } \)는 모두 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 거리이다(연습문제). \( d_ { 1 } \)을 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 보통거리 또는 유클리드 거리라 하고, 이 거리와 더불어 \( \mathbb { R } ^ { n } \)을 \( n \)차원 유클리드 공간(Euclidean \( n \)-space, \( n \)-dimensional Eudidean space)이라고 한다.</p> <p>유클리드 공간에서 보면, \( \varepsilon \)-근방은 중심이 \( x \)이고 반지름이 \( \varepsilon \)인 구면(sphere)의 내부를 뜻하므로 \( \varepsilon \)-근방을 중심이 \( x \)이고 반지름이 \( \varepsilon \)인 open ball 또는 open disk라 부르기도 한다.</p> <p>예제 2.7</p> <p>(1) 실수 공간 \( \mathbb { R } \)에서, \( x \)의 \( \varepsilon \)-근방 \( B(x, \varepsilon) \)은 open interval \( (x- \varepsilon, x + \varepsilon) \)이다.</p> <p>(2) \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \)에 대해서 \[ \begin {aligned} & d_ { 1 } \left [ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \quad \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \right ]= \sqrt {\left (x_ { 1 } -x_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left (y_ { 1 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \\ & d_ { 2 } \left [ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \quad \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \right ]= \left \|x_ { 1 } -x_ { 2 } \right \| + \left \|y_ { 1 } -y_ { 2 } \right \| \\ & d_ { 3 } \left [ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \quad \left (x_ { 2 } , \quad y_ { 2 } \right ) \right ]= \max \left \{\left \|x_ { 1 } -x_ { 2 } \right \|, \left \|y_ { 1 } -y_ { 2 } \right \| \right \} \end {aligned} \]에 의해서 정의된 거리 \( d_ { 1 } , d_ { 2 } , d_ { 3 } \)에 관한 원점 \( (0,0) \)의 1 -근방은 각각 다음과 같다. \[ \begin {aligned} & B_ { d_ { 1 } } ((0,0), 1)= \left \{\left ( \begin {array} { ll } x, y \end {array} \right ) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 }<1 \right \} \\ & B_ { d_ { 2 } } ((0,0), 1)= \{ (x, y)\|\| x\| + \| y \mid<1 \} \\ & B_ { d_ { 3 } } ((0,0), 1)= \{ (x, y)\|\| x\|<1\| y \mid,<1 \} \end {aligned} \]</p> <p>정리 2.26</p> <p>\( A \)가 \( (X, d) \)의 부분집합이고 \( X \in X \)일 때 다음이 성립한다. \( x \in \bar { A } \Leftrightarrow \) 임의의 \( \varepsilon>0 \) 에 대해서 \( B(x, \varepsilon) \cap A \neq \varnothing \)</p> <p>증명</p> <p>\( ( \Rightarrow) \) 만일 적당한 \( \varepsilon>0 \)이 존재해서 \( B(x, \varepsilon) \cap A= \varnothing \)라고 가정하면 \( X-B(x, \varepsilon) \)는 \( A \)를 포함하는 closed set이고 \[ X \notin X-B(x, \varepsilon) \] 이다. 따라서 \( x \notin \bar { A } \)이다. \( ( \Leftarrow) \quad X \notin \bar { A } \)이라 가정하면, \( A \subset F \)인 closed set \( F \)가 존재해서 \( x \notin F \) 이다. 그러면 \( F ^ { c } \)는 \( x \)를 포함하는 open set이고 \( F ^ { c } \cap A= \varnothing \)이다. \( F ^ { c } \)는 open set이므로 적당한 \( \varepsilon>0 \)이 존재해서 \( B(x, \varepsilon) \subset F ^ { c } \)이고, 따라서 \( B(x, \varepsilon) \cap A= \varnothing \)이다.</p> <p>정리 2.27</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합 \( A \)에 대해서 \[ \bar { A } = \{ x \in X \mid d(x, A)=0 \} \]</p> <p>증명</p> <p>\( d(x, A) \neq 0 \)일 때 \( \varepsilon=d(x, A) \)로 두면 \( B(x, \varepsilon) \cap A= \varnothing \)이다. 따라서 \( X \notin \bar { A } \)이다. 역으로, \( X \notin \bar { A } \)이라고 가정하면 적당한 \( \varepsilon>0 \)이 존재해서 \( B(x, \varepsilon) \cap A= \varnothing \)이므로 \( d(x, A) \geq \varepsilon \) 즉, \( \ d(x, A) \neq 0 \)이다.</p> <p>위 정리에 의하면, 거리공간 \( (X, d) \)에서 \( A \)가 closed set이고 \( x \notin A \)이면 \( d(x, A)>0 \) 이다. 이때, \( \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } d(x, A) \)을 반지름으로 하는 open ball \( U=B(x, \varepsilon) \)와 open ball들의 합 \( V= \bigcup \{ B(a, \varepsilon) \mid a \in A \} \)는 각각 \( x \)와 \( A \)를 포함하고 \( U \cap V= \varnothing \)인 open sets이다. 이 사실은 다음 정리로부터 알 수 있다.</p> <h1>2 거리공간</h1> <h2>2.1 거리공간</h2> <p>두 점 사이에 가까움의 척도를 나타내는 거리가 주어져 있는 거리공간의 개념은 유클리드 공간의 일반화이고, 이것은 다시 위상공간으로 추상화된다.</p> <p>정의</p> <p>\( X \)가 (공집합이 아닌)집합이고, 함수 \( d: X \times X \rightarrow \mathbb { R } \)가 임의의 \( x, y, z \in X \)에 대하여<ul> <ol type = 1 start=1><li>\( d(x, y) \geq 0 ; \quad d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y \)</li> <li>\( d(x, y)=d(y, x) \)</li> <li>\( d(x, z) \leq d(x, \quad y) + d(y, z) \)</li></ul>를 만족할 때 \( d \)를 \( X \) 상의 거리 또는 거리함수(metric 또는 distance function)라고 한다. 집합 \( X \)상에 거리 \( d \)가 주어질 때 \( X \)를 거리 공간(metric space)이라 하고 \( (X, d) \)로 표시한다.</p> <p>\( d(x, y) \)를 \( x \)에서 \( y \)까지 거리(distance)라고 한다.</p> <p>위의 조건 (3)은 삼각형의 두 변의 길이의 합은 다른 한 변의 길이보다 크다는 성질을 일반화한 것으로서 삼각부등식(triangle inequality)이라고 한다. 거리함수의 개념은 유클리드 공간에서의 거리의 특성을 추상화한 것이라 볼 수 있다.</p> <p>예제 2.1</p> <p>\( \mathbb { R } \)을 실수집합이라 할 때, 함수 \[ d: \mathbb { R } \times \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , \quad d(x, y)=\|x-y\| \] 는 \( \mathbb { R } \) 상의 거리임을 알 수 있는데 이것을 \( \mathbb { R } \) 상의 보통거리(usual metric)라고 한다.</p> <p>예제 2.2</p> <p>\( x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } \right ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \)에 대하여 \[ d(x, y)= \sqrt {\left (x_ { 1 } -y_ { 1 } \right ) ^ { 2 } + \left (x_ { 2 } -y_ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \] 에 의해서 정의된 함수 \( d: \mathbb { R } ^ { 2 } \times \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } \)은 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)상의 거리이고, 이것 또한 보통거리 또는 유클리드 거리(Eudidean matric)라고 한다.</p> <p>정리 2.28</p> <p>\( A, B \) 가 거리공간 \( (X, d) \)에서 \( A \cap B= \varnothing \)인 closed sets일 때 \( A \subset U, B \subset V \)이고 \( U \cap V= \varnothing \)인 open sets \( U, V \)가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>각 \( a \in A \)에 대해서 \( \varepsilon_ { a } = \frac { 1 } { 2 } d(a, B)>0 \)이라 두고, 또 각 \( b \in B \)에 대해서 \( \delta_ { b } = \frac { 1 } { 2 } d(b, A)>0 \)이라 두자. 그러면 \[ U= \bigcup \left \{ B \left (a, \varepsilon_ { a } \right ) \mid a \in A \right \} , \quad V= \bigcup \left \{ B \left (b, \delta_ { b } \right ) \mid b \in B \right \} \]는 open set이고 \( A \subset U, B \subset V \)이다. 그리고 분명히 \( U \cap V= \varnothing \)이다. 자세한 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>위 정리는 거리공간에서 서로소인 두 closed sets은 open sets에 의해서 분리될 수 있음을 말해주고 있다(다음 장에서 다룰 normal space의 조건을 만족하고 있다). 그러나 \( A, B \)를 분리할 수 있더라도 항상 \( d(A, B)>0 \)인 것은 아님을 주의해야 한다.</p> <p>예제 2.29</p> <p>\( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 부분집합 \[ A= \{ (x, y) \mid y=0 \} , B= \left \{ (x, y) \mid y= \frac { 1 } { x } , x>0 \right \} \] 는 서로소인 closed sets이다. 그런데, 임의로 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 두 점 \( p= \left ( \frac { 2 } {\varepsilon } , 0 \right ) \in A, q= \left ( \frac { 2 } {\varepsilon } , \frac {\varepsilon } { 2 } \right ) \in B \) 사이의 거리는 \( d(p, q)= \frac {\varepsilon } { 2 } \langle \varepsilon \)이다. 그러므로 \( d(A, B)= \inf \{ d(p, q) \mid p \in A, q \in B \}< \varepsilon \)이고, \( \varepsilon \)은 임의의 양수이므로, \( d(A, B)=0 \)을 얻는다.</p> <p>정리 2.30</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합 \( A \)와 점 \( x \in X \)에 대하여 다음이 성립한다. \( x \in \bar { A } \Leftrightarrow A \)에서의 점열 \( \left \langle x_ { n } \right \rangle \)이 존재해서 \( x_ { n } \rightarrow x \).</p> <p>증명</p> <p>\( x \in \bar { A } \)이면, \( x \)의 임의의 \( \varepsilon \)-근방과 \( A \)는 만나므로, 각 양의 정수 \( n \)에 대하여 점 \( x_ { n } \in B \left (x, \frac { 1 } { n } \right ) \cap A \)을 택하면, 점열 \( \left \langle x_ { n } \right \rangle \)은 \( A \)에서의 점열이고 \( X_ { n } \rightarrow X \) 이다. 역은 분명하다.</p> <p>(2) \( f \)가 각 점 \( x \in X \)에서 연속일 때 \( f \)를 연속함수(continuaus function)라고 한다. 즉, \( f \)가 연속함수이다 \( \Leftrightarrow \) 임의의 \( x \in X \)와 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 \( \varepsilon>0 \)가 존재해서 \( f[B(x, \delta)] \subset B(f(x), \varepsilon) \)</p> <p>연속함수가 될 조건은 open set을 이용하여 나타낼 수 있는데 이러한 성질은 뒤에 위상공간에서의 연속성을 정의하는 데 사용된다.</p> <p>정리 2.20</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 거리공간 \( (X, d) \)에서 \( (Y, d) \)으로의 함수일 때 다음이 성립한다. \( f \)가 연속함수이다 \( \Leftrightarrow Y \)에서의 임의의 open set \( V \)에 대하여 \( f ^ { -1 } (V) \)는 \( X \)에서 open set이다.</p> <p>증명</p> <p>\( f \)를 연속함수라 하고, \( V \subset Y \)를 임의의 open set이라 하자. \( f ^ { -1 } (V) \) 가 \( X \)에서 open임을 보이기 위하여, \( X \) 를 \( f ^ { -1 } (V) \)의 임의의 점이라 하면 \( f(x) \in V \)이고 \( V \)는 open set이므로 적당한 \( \varepsilon>0 \)이 존재해서 \( B(f(x), \varepsilon) \subset V \)이다. \( f \)가 연속함수이므로, 이 \( \varepsilon \)에 대해서 \( \delta>0 \)가 존재하여 \( f[B(x, \delta)] \subset B(f(x), \varepsilon) \). 그러므로 \( x \in B(x, \delta) \subset f ^ { -1 } (V) \)이고, 따라서 \( f ^ { -1 } (V) \)는 open set이다. 역으로, 임의의 open set \( V \subset Y \)에 대하여 \( f ^ { -1 } (V) \)가 \( X \)에서 open이라 가정하자. 임의의 점 \( x \in X \)와 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 \( B(f(x), \varepsilon) \)은 open set이므로 \( f ^ { -1 } [B(f(x), \varepsilon)] \)은 \( X \)에서 open이다. 그러므로, 적당한 \( \delta>0 \)가 존재해서 \[ x \in B(x, \delta) \subset f ^ { -1 } [B(f(x), \varepsilon)] \]이 성립한다. 즉, \( f[B(x, \delta)] \subset B(f(x), \varepsilon) \)이므로 \( f \)는 \( x \)에서 연속이다.</p> <p>예제 2.8</p> <p>\( d \)가 집합 \( X \)상의 이산(discrete)거리이면 \( x \in X \)의 \( \varepsilon \)-근방은 \[ B(x, \varepsilon)= \left \{\begin {array} { ll } \{ x \} & (0< \varepsilon \leq 1 \text { 일 때 } ) \\ X & ( \varepsilon>1 \text { 일 때 } ) \end {array} \right . \]이다.</p> <p>거리공간의 부분집합이 적당한 근방들의 합집합으로 나타날 때 그것을 open set이라 부르려고 한다.</p> <p>정의</p> <p>집합 \( U \)가 거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합일 때, \( U \)의 임의의 점 \( x \)에 대하여 \( \varepsilon>0 \)이 존재해서 \( B(x, \varepsilon) \subset U \)이면 \( U \)를 \( X \)의 열린집합(개집합, open (sub)set) 또는 \( X \)에서 open이라고 한다. 거리 \( d \)에 의해서 정의됨을 나타내기 위해서 \( d \)-open set이라고도 한다.</p> <p>예제 2.9</p> <p>실수 공간 \( \mathbb { R } \) 에서 open interval \( (a, b) \) 는 open set이다. \( x \in(a, b) \)일 때 \( \varepsilon= \min \{ \|a-x\|,\|b-x\| \} \)으로 두면 \( B(x, \varepsilon) \subset(a, b) \)이다.</p> <p>예제 2.10</p> <p>유클리드 평면 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서 open disk는 open set이다. 일반적으로, 다음 예제에서 보는 바와 같다.</p> <p>예제 2.11</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 임의의 \( \varepsilon \)-근방 \( B(x, \varepsilon) \)은 open set이다. 왜냐하면, \( y \) 가 \( B(x, \varepsilon) \)의 임의의 점일 때, \( \delta= \varepsilon-d(x, y) \)라 두면, \( \delta \)는 양수이고 \( B(y, \delta) \subset B(x, \varepsilon) \)이다. \( z \in B(y, \delta) \)이면 \( d(y, z) \)< \( \delta \)이므로 \[ d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)<d(x, y) + \varepsilon-d(x, y)= \varepsilon \] 이 성립하고, 따라서 \( z \in B(x, \varepsilon) \) 이다.</p> <p>정리 2.12</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 open set은 다음 성질을 만족한다.<ul> <ol type=i start=1><li>\( X \)와 \( \varnothing \)는 open sets이다.</li> <li>(임의의)open set들의 합집합은 open set이다.</li> <li>유한개의 open set들의 교집합은 open set이다.</li></ul></p> <p>\( d \left (a_ { n } , x \right )< \varepsilon \)은 \( a_ { n } \in B(x, \varepsilon) \)을 의미하므로 위의 정의는 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>\( a_ { n } \rightarrow X \Leftrightarrow X \)의 임의의 근방 \( B(x, \varepsilon) \)은 〈 \( \left .a_ { n } \right \rangle \)의 유한개를 제외한 모든 항을 포함한다.</p> <p>무한집합에서 '유한개를 제외한 모두(all but finite, almost all)'라는 것이 단순히 '무한’만을 의미하는 것은 아님을 이해해야 한다.</p> <p>예제 2.16</p> <p>실수 공간 \( \mathbb { R } \)에서 \( \lim \frac { 1 } { n } =0 \)임을 보이자. \( \varepsilon>0 \)을 임의로 주어진 양수라 할 때, \( \frac { 1 } {\varepsilon } \)보다 큰 자연수 \( k \)를 택한다. 이러한 \( k \)에 대해서 \[ n>k \Rightarrow \left \| \frac { 1 } { n } -0 \right \|= \frac { 1 } { n }< \frac { 1 } { k }< \varepsilon \]이므로, \( \operatorname { sim } \frac { 1 } { n } =0 \)이다.</p> <p>예제 2.17</p> <p>\( \mathbb { R } \)에서 수열 \( \left \langle \frac { 2 } { 1 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { 4 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \frac { 6 } { 5 } , \frac { 1 } { 6 } \cdots \right \rangle \)은 수렴하지 않는다. 왜냐하면, 0이나 1의 임의의 \( \varepsilon \)-근방은 수열의 무한개의 항을 포함하지만 0과 1 모두 이 수열의 극한이 될 수는 없다. 이를테면, 0의 근방인 open interval \( \left (- \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right ) \)에 속하지 않는 무한개의 항들이 있다.</p> <p>거리공간에서는 점열의 극한이 존재하면 유일하다.</p> <p>정리 2.18</p> <p>\( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 거리공간 \( (X, d) \)에서 점열일 때 다음이 성립한다. \[ a_ { n } \rightarrow X, \quad a_ { n } \rightarrow y \quad \Rightarrow \quad x=y \]</p> <p>증명</p> <p>\( a_ { n } \rightarrow x, a_ { n } \rightarrow y \)이지만 \( \quad x \neq y \)라고 가정하자. \( \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } d(x, y)>0 \)라고 두면 \( B(x, \varepsilon) \cap B(y, \varepsilon)= \varnothing \)이다. 그런데, \( a_ { n } \rightarrow X \)이므로 \( B(x, \varepsilon) \)은 유한개를 제외한 모든 항들을 포함한다. 그러면 \( B(y, \varepsilon) \)은 기껏해야 유한개의 항들만을 포함할 수 있으므로 나머지 무한개의 항들을 포함하지 못한다. 따라서 \( a_ { n } \rightarrow y \)는 불가능하고 이는 가정에 모순이다.</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 점 \( x \)를 포함하는 open set은 \( x \)의 \( \varepsilon \)-근방을 포함하고, 또 \( \varepsilon \)-근방 자신도 open set이므로 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 2.19</p> <p>\( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 거리공간 \( (X, d) \)에서 점열일 때 다음이 성립한다. \( \lim a_ { n } =X \Leftrightarrow X \)를 포함하는 임의의 open set \( U \)에 대하여 \( k \in \mathrm { N } \)가 존재해서 \( n>k \)이면 \( a_ { n } \in U \).</p> <p>점열의 수렴성과 밀접한 관계를 가지는 함수의 연속성은 '가까움'의 개념이 주어지는 거리공간에서 다뤄지게 되는데 이런 개념들은 다음 장에서 취급되는 위상공간에서 추상화된다.</p> <p>실수 공간 \( \mathbb { R } \)에서 정의된 함수 \( f: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \)가 ' \( a \)에서 연속이다'라고 하는 것은 임의로 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 \( \delta>0 \)가 존재해서 \( \|x-a\|< \delta \quad \) 이면 \( \quad\|f(x)-f(a)\|< \varepsilon \)가 성립함을 의미한다는 사실은 우리에게 익숙하다. 정의 \( f: X \rightarrow Y \)를 거리공간 \( (X, d) \)에서 \( (Y, d) \)로의 함수라고 하자.</p> <p>(1) \( f \)가 점 \( a \in X \)에서 연속(continuous)이라는 것은 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 \( \delta>0 \)가 존재해서 \( d(x, a)< \delta \Rightarrow d ^ {\prime } (f(x), \quad f(a))< \varepsilon \) \( [ \) 또는 \( f[B(a, \delta)] \subset B(f(a), \varepsilon)] \)이 성립함을 의미한다.</p> <p>\( \mathbb { R } ^ { n } \)의 점 \( x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \)에 대해서 ( \( x, y \)를 벡터로 취급하여) \[ \begin {aligned} & x \pm y = \left (x_ { 1 } \pm y_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \pm y_ { n } \right ) \\ & k x= \left (k x_ { 1 } , k x_ { 2 } , \cdots, k x_ { n } \right ), \quad k \in \mathbb { R } \\ & x \cdot y=x_ { 1 } y_ { 1 } + x_ { 2 } y_ { 2 } + \cdots + x_ { n } y_ { n } \\ & \\|x \\|= \sqrt {\sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ {\cdot } \cdot x } \end {aligned} \]와 같이 정의한다.</p> <p>\( x \cdot y \)를 \( x, y \)의 내적(inner product 또는 salar product), \( \\|x \\| \)를 \( x \)의 길이(length 또는 norm)라고 하는데 이것은 원점에서 점 \( x \)까지의 거리이다.</p> <p>원점이 아닌 두 점 \( x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \)이 주어졌을 때, 각 \( i \)에 대하여 \[ \left ( \frac {\left \|x_ { i } \right \| } {\\|x \\| } - \frac {\left \|y_ { i } \right \| } {\\|y \\| } \right ) ^ { 2 } \geq 0 \] 이므로 \[ \begin {aligned} & \frac { 2 \left \|x_ { i } y_ { i } \right \| } {\\|x \\| \\|y \\| } \leq \frac { x_ { i } ^ { 2 } } {\\|x \\| ^ { 2 } } + \frac { y_ { i } ^ { 2 } } {\\|y \\| ^ { 2 } } \\ & \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac { 2 \left \|x_ { i } y_ { i } \right \| } {\\|x \\| \\|y \\| } \leq \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { x_ { i } ^ { 2 } } {\\|x \\| ^ { 2 } } + \frac { y_ { i } ^ { 2 } } {\\|y \\| ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 이다. 따라서 \[ \underset {\\|x \\| \\|y \\| } { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|x_ { i } y_ { j } \right \| \leq \frac {\\|x \\| ^ { 2 } } {\\|x \\| ^ { 2 } } + \frac {\\|y \\| ^ { 2 } } {\\|y \\| ^ { 2 } } =2 \] 이고, 다시 정리하면 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|x_ { i } y_ { i } \right \| \leq \\|x \\| \\|y \\| \] 이다. 이 식은 \( x \) 또는 \( y \)가 원점일 때도 성립하고, \[ \|x \cdot y\| = \left \| \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } y_ { i } \right \| \leq \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|x_ { i } y_ { i } \right \| \] 이므로</p> <p>정리 2.15</p> <p>거리공간 \( X \)의 closed set들은 다음 성질을 가진다.<ul> <ol type=i start=1><li>\( X \)와 \( \varnothing \)은 closed sets이다.</li> <li>closed set들의 교집합은 항상 closed set이다.</li> <li>유한개의 closed set들의 합집합은 closed set이다.</li></ul></p> <p>증명</p> <p>closed set의 정의와 집합의 연산에 관한 De Morgan의 법칙을 이용하여 증명한다. 연습문제로 남긴다.</p> <p>\( Y \)가 거리공간 \( (X, d) \)의 부분공간일 때, \( a \in Y \subset X \)에 대해서 \( Y \)에서 \( a \)의 \( \varepsilon \)-근방을 \( B_ { Y } (a, \varepsilon), X \)에서 \( a \)의 \( \varepsilon \)-근방을 \( B(a, \varepsilon) \)이라 표시하면 \[ B_ { Y } (a, \varepsilon)= \{ y \in Y \mid d(a, y)< \varepsilon \} =B(a, \varepsilon) \cap Y \] 이다. 따라서 \( Y \)의 부분집합 \( G \)가 \( \mathrm { Y } \)에서 open set일 필요충분조건은 \( X \)의 적당한 open set \( U \)가 존재해서 \( G=U \cap Y \)인 것이다.</p> <h2>2.3 수렴과 연속성</h2> <p>정의역이 자연수 집합인 함수 \( a: \mathrm { N } \rightarrow X \)를 \( X \)에서의 점열(또는 수열, sequenct)이라 한다. 함수값 \( a(n) \)을 보통 \( a_ { n } \)으로 표시하여 점열 \( a \)를 〈 \( \left .a_ { n } \right \rangle \) 또는 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)과 같이 나타낸다.</p> <p>정의</p> <p>\( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)을 거리공간 \( (X, d) \)에서의 점열이라 하고 \( x \in X \)라고 하자. 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해서 자연수 \( k \in \mathbb { N } \)가 존재해서 \( n>k \) 이면 \[ d \left (a_ { n } , x \right )< \varepsilon \] 이 성립할 때 〈 \( \left .a_ { n } \right \rangle \)은 \( x \)로 수렴한다(converges)라고 한다. 이 때, \( a_ { n } \rightarrow X \) 또는 \( \lim a_ { n } =x \)와 같이 표시하고, \( X \)를 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)의 극한(limit) 이라고 한다.</p> <p>정리 2.13</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합 \( U \)가 open set이기 위한 필요충분조건은 \( U \)가 \( \varepsilon \)-근방들의 합집합인 것이다.</p> <p>증명</p> <p>\( U \)가 open set이면 각 \( x_ { X } \in U \)에 대해서 \( \varepsilon_ { x } \)가 존재하여 \( B \left (x, \varepsilon_ { x } \right ) \subset U \)이다. 그러므로 \( U= \bigcup_ { x \in U } B \left (x, \varepsilon_ { x } \right ) \)이다. 역으로, \( \varepsilon- \)근방은 open set이고 open set들의 합집합은 또한 open set이므로 \( U \)가 \( \varepsilon \)-근방들의 합집합이면 \( U \)는 open set이다.</p> <p>정리 2.13에 의하면, 실수공간 \( \mathbb { R } \)에서 open set은 open interval들의 합집합이다.</p> <p>정의</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합 \( F \)가 \( X \)의 닫힌집합(폐집합, dosed set) 또는 \( d \)-closed set이라는 것은 \( F \)의 여집합 \( X-F \)가 open set임을 뜻한다. 즉, \( F \) 가 closed set이다 \( \Leftrightarrow X-F \) 가 open set이다</p> <p>예제 2.14</p> <p>(1) 실수 공간 \( \mathbb { R } \)에서 closed interval \( [a, b] \)는 closed set이다. 왜냐하면, \( \mathbb { R } -[a, b]=(- \infty, a) \cup(b, \infty) \)은 open set이기 때문이다.</p> <p>(2) \( (X, d) \)가 거리공간이고 \( x \in X, \varepsilon>0 \)일 때, 집합 \[ \{ y \in X \mid d(x, y) \leq \varepsilon \} \]은 closed set이다. 이 집합을 dosed ball이라고 부르기도 한다.</p> <p>(3) \( x \)가 거리공간 \( (X, d) \)의 점일 때, 한 점 집합 \( \{ x \} \)는 \( (X, d) \)에서 closed이다. 왜냐하면, \( y \)가 \( X- \{ x \} \) 의 임의의 점일 때 \( d(x, y)= \varepsilon \)으로 두면 \( B(y, \varepsilon) \subset X- \{ x \} \)이다. 따라서 \( X- \{ x \} \)는 open set이고 \( \{ x \} \)는 closed set이다.</p> <h2>2.4 집합 사이의 거리와 폐포</h2> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 점 \( x \)와 공집합이 아닌 부분집합 \( A, B \)에 대해서 그들 사이의 거리를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( d(x, A)= \inf \{ d(x, a) \mid a \in A \} \)<caption>(distance from \( x \) to \( A \) )</caption></p> <p>\( d(A, B)= \inf \{ d(a, b) \mid a \in A, \quad b \in B \} \)<caption>(distance from \( A \) to \( B \))</caption></p> <p>또, 집합 \( A \)의 지름(diameter)을 \[ d(A)= \sup \{ d(x, y) \mid x, \quad y \in A \} \]로 정의한다.</p> <p>\( A \) 또는 \( B \)가 공집합인 경우에는 다음과 같이 약속함이 타당하다.</p> <p>\( d(x, \varnothing)= \infty, \quad d(A, \varnothing)=d( \varnothing, A)= \infty, \quad d( \varnothing)=- \infty \)</p> <p>예제 2.24</p> <p>\( (X, d) \)가 이산거리공간일 때 점 \( X \)와 공집합이 아닌 \( X \)의 부분집합 \( A, B \)에 대해서 이들 사이의 거리는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} & d(x, A)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & (x \notin A \text { 일 때 } ) \\ 0, & (x \in A \text { 일 때 } ) \end {array} \right . \\ & d(A, B)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & (A \cap B= \varnothing \text { 일 때 } ) \\ 0, & (A \cap B \neq \varnothing \text { 일 때 } ) \end {array} \right . \end {aligned} \]</p> <p>예제 2.25</p> <p>\( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서 집합 \( B= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 }<1 \right \} \)와 점 \( p=(1,0) \) 사이의 거리는 \( d(p, B)=0 \)이다.</p> <p>정의</p> <p>거리공간 \( (X, d) \)의 부분집합 \( A \)의 폐포(닫힘, dosure)는 ' \( A \)를 포함하는 가장 작은 closed set'으로 정의하고 \( \bar { A } \) 로 표시한다. 즉, \( \bar { A } = \bigcap \{ F \mid F \) 는 closed set이고 \( A \subset F \} \)</p> <p>증명</p> <p>( ⅰ ) \( x \in X \)일 때 임의의 \( \varepsilon<0 \)에 대해서 \( B(x, \varepsilon) \subset X \)이므로 \( X \)는 open set이다. \( \varnothing \)에는 점이 없으므로 "임의의 \( x \in \varnothing \)에 대해서 \( B(x, \varepsilon) \subset \varnothing \)"는 참이다. 그러므로 \( \varnothing \)는 open set이다.</p> <p>(ⅱ) \( \left \{ G_ { i } \mid i \in I \right \} \)를 open set들의 모임이라 하고 \( x \in \cup G_ { i } \)라 하자. 그러면 적당한 \( j \in I \)에 대하여 \( x \in G_ { j } \)이고 \( G_ { j } \)는 open set이므로 \( \varepsilon>0 \)이 존재하여 \( B(x, \varepsilon) \subset G_ { j } \)이다. 그러면 \( B(x, \varepsilon) \subset \bigcup G_ { i } \)이고, 따라서 \( \bigcup G_ { i } \)는 open set이다.</p> <p>(iii) \( G_ { 1 } , G_ { 2 } , \cdots, G_ { n } \)이 유한개의 open set들일 때 \( x \in \bigcap_ { i=1 } ^ { n } G_ { i } \)이면 \( x \in G_ { i } (i=1,2, \cdots, n) \)이다. 각 \( i \)에 대해서 \( B \left (x, \varepsilon_ { i } \right ) \subset G_ { i } \)인 \( \varepsilon_ { i } >0 \)가 존재하므로 \[ \varepsilon= \min \left \{\varepsilon_ { 1 } , \varepsilon_ { 2 } , \cdots, \varepsilon_ { n } \right \} \] 이라 두면 \( B(x, \varepsilon) \subset \bigcap_ { i=1 } ^ { n } G_ { i } \)이다. 따라서 \( \bigcap_ { i=1 } ^ { n } G_ { i } \)는 open set이다.</p> <p>open set들의 합집합은 항상 open set이지만, open set들의 교집합이 일반적으로 open set이 되지는 않음에 유의하자.</p> <p>자연수 \( n \)에 대하여 \( G_ { n } = \left (- \frac { 1 } { n } , \frac { 1 } { n } \right ) \)이라 두면, 각 \( G_ { n } \)은 \( \mathbb { R } \)의 open set이다. 그런데, \( \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } G_ { n } = \{ 0 \} \)이고 0의 어떠한 근방(open interval)도 \( \{ 0 \} \)의 부분집합이 될 수 없으므로 \( \{ 0 \} \)은 \( \mathbb { R } \)에서 open set이 아니다. 즉, \( \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } G_ { n } \) 은 open set이 아니다.</p> <p>\( \|x \cdot y\| \leq \\|x \\| \\|y \\| \)<caption>(Cauchy-Sdwartz 부등식)</caption></p> <p>을 얻는다.</p> <p>정리 2.5</p> <p>(Minkowski 부등식)</p> <p>\( x= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), y= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \)이 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 점일 때 \[ \\|x + y \\| \leq \\|x \\| + \\|y \\| \] 가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>(ⅰ) 양변을 각각 제곱하여 비교하면 쉽게 증명된다.</p> <p>(ⅱ) 다음과 같이 보일 수도 있다. \( \\|x + y \\|=0 \)일 때는 분명히 위 부등식이 성립하므로 \( \\|x + y \\| \neq 0 \)이라 가정하자. 실수 \( X_ { i } , y_ { i } \)에 대해서 \[ \left \|x_ { i } + y_ { i } \right \| \leq \left \|x_ { i } \right \| + \left \|y_ { i } \right \| \] 이다. 이 식과 Cauchy-Schwartz 부등식을 이용하여 계산하면 \[ \begin {aligned} \\|x + y \\| ^ { 2 } &= \sum \left \|x_ { i } + y_ { i } \right \| ^ { 2 } \leq \sum \left \|x_ { i } + y_ { i } \right \| \left ( \left \|x_ { i } \right \| + \left \|y_ { i } \right \| \right ) \\ &= \sum \left \|x_ { i } + y_ { i } \left \\|_ { X_ { i } } \left \| + \sum \right \|_ { x_ { i } } + y_ { i } \right \\| y_ { i } \right \| \\ & \leq \\|x + y \\| \\|x \\| + \\|x + y \\| \\|y \\| \\ &= \left \\|x_ { x } + y \right \\|( \\|x \\| + \\|y \\|) \end {aligned} \]이고, 이 부등식의 양변을 \( \\|x + y \\| \)로 나누면 \[ \\|x + y \\| \leq \\|x \\| + \\|y \\| \] 을 얻는다.</p>	자연
m997-위상수학	<p>을 중심이 \( p \)이고 반경이 \( r \)인 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 열린구 (open ball)라 한다. 즉 점 \( p \)로부터 거리가 \( r \) 미만인 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 점들의 집합이다.</p> <p>[예제 2.1.12] (1) \( \mathbb { R } \)상의 열린구는 열린구간이다. 즉 주어진 \( p \in \mathbb { R } \)에 대하여</p> <p>\[ B(p, r)= \{ x \in \mathbb { R } \mid d(x, p)<r \} \]</p> <p>이다(그림 2.1 참조).</p> <p>(2) \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)상의 열린구는 열린원판이다. 즉 주어진 \( p \in \mathbb { R } ^ { 2 } \)와 \( 0<r \in \mathbb { R } \)에 대하여</p> <p>\[ B(p, r)= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid d(x, p)<r \right \} \]</p> <p>이다 (그림 2.1 참조).</p> <p>(3) \( \mathbb { R } ^ { 3 } \)상에서 열린구는 (열린)구이다. 즉 주어진 \( p \in \mathbb { R } ^ { 3 } \)와 \( 0<r \in \mathbb { R } \)에 대하여</p> <p>\[ B(p, r)= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ {\prime } \mid d(x, p)<r \right \} \]</p> <p>이다 (그림 2.1 참조).</p> <p>\( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린구 \( B(p, r) \)은 다음과 같은 성질이 있다.</p> <p>성질 2.1.13 \( B \left (x, r_ { 1 } \right ) \)과 \( B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)를 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 열린구라 하자. 임의로 주어진 점 \( z \in B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)에 대하여 \( z \in B \left (z, r_ { 3 } \right ) \subset B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)를 만족하는 실수 \( r_ { 3 } \)가 존재한다.</p> <p>\( \frac { 1 } { n }<x \)인 자연수 \( n \)이 존재하므로 모순이다. 따라서 \( x=0 \)이다. 이제 실수상에서 유리수집합과 무리수집합의 조밀성을 알아본다.</p> <p>정리 2.1.9 (1) 임의의 서로 다른 두 실수 사이에는 유리수가 존재한다.</p> <p>(2) 임의의 서로 다른 두 실수 사이에는 무리수가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>(1) 서로 다른 임의의 두 실수 \( x, y( \in \mathbb { R } ) \)에 대하여, 일반성을 잃지 않고 \( x<y \)라 가정하자. 그러면 \( y-x>0 \)이므로 성질 2.1.8(1)에 의하여 \( n(y-x)>1 \)인 자연수 \( n \)이 존재한다. 더 나아가 \( k_ { 1 } >n x, k_ { 2 } >\) \( -n x \)인 자연수 \( k_ { 1 } , k_ { 2 } \)가 존재하여 \( -k_ { 2 }<n x<k_ { 1 } \)이 성립한다. 이제 정수집합 \( \mathbb { Z } \)의 부분집합 \( S= \{ l \in \mathbb { Z } \mid n x<l \} \)을 생각하자. 그러면 \( k_ { 1 } \in S \)이므로 \( S \)는 공집합이 아니고, \( -k_ { 2 } \)가 \( S \)의 하계이므로 \( S \)는 아래로 유계이다. 따라서 정렬원리 (정리 1.7.5)에 의하여 정수 \( m= \min (S) \in S \)이 존재한다. 그러면 \( m-1 \leq n x<m \)이므로 \( n x<m \leq 1 + n x<n y \)이다. 그리고 \( n \)이 자연수이므로 \( x< \frac { m } { n }<y \)이다.</p> <p>(2) 서로 다른 임의의 두 실수 \( x, y( \in \mathbb { R } ) \)에 대하여 일반성을 잃지 않고 \( x<y \)라 하자. (1)에 의하여 \( x<p<y \)를 만족하는 유리수 \( p( \in \mathbb { Q } ) \)가 존재한다. 그리고 성질 \( 2.1.8 \)에 의하여</p> <p>\[ 0< \frac { 1 } { n }< \frac { y-p } {\sqrt { 2 } } \]</p> <p>를 만족하는 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)이 존재한다. 그러면 무리수 \( r:=p + \frac {\sqrt { 2 } } { n } \) \( \left ( \in \mathbb { Q } ^ { c } \right ) \)이</p> <p>\[ q \in B(q, s)=(q-s, g + s) \subset \mathbb { Q } ^ { c } \]</p> <p>를 만족하는 양의 실수 \( s \)가 존재하지 않으므로 \( \mathbb { Q } ^ { c } \)는 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이 아니다. 더 나아가 닫힌집합의 정의하여 의하여 \( \mathbb { Q } , \mathbb { Q } ^ { c } \)는 모두 \( \mathbb { R } \)의 닫힌집합도 아니다.</p> <p>(★) 정리 2.1.17(3)과 관련하여, 일반적으로 무한개의 열린집합의 교집합은 열린집합이 아니다.</p> <p>[예제 2.1.19] 모든 자연수 \( n \in \mathbb { N } \)에 대하여 \( U_ { n } = \left (- \frac { 1 } { n } , \frac { 1 } { n } \right ) \)은 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이지만 \( \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } U_ { n } = \{ 0 \} \)이 되어서 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이 아니다.</p> <p>주의 2.1.20 열린집합의 정의에서 알 수 있듯이 열린구 \( B(x, r) \)의 선택은 전체 집합에 따라서 결정된다. 구체적으로 살펴보면 \( \mathbb { R } \)에서의 \( B(x, r) \)과 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서의 \( B(x, r) \)은 다르다 (그림 2.1 참조). 예를 들면 다음과 같다.</p> <p>(1) \( A=(-a, a)( \subset \mathbb { R } ) \)은 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이다. 왜냐하면 임의의 \( x \in A \)에 대하여 \( B(x, r)=(x-r, x + r) \) 이 존재하여 \( x \in B(x, r) \subset A \) 이기 때문이다.</p> <p>(2) \( B=(-a, a) \times \{ 0 \} \left ( \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \) (여기서 \( a \in \mathbb { R } \) 이다)은 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 열린집합이 아니다 (그림 2.4 참조). 왜냐하면 \( B \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \)이므로 임의의 점 \( p \in B \)에 대하여 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서의 \( B(x, r) \) \( \left ( \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \right ) \)이 존재하여 \( p \in B(p, r) \subset B \)이 성립해야 하는데 그렇지 못하기 때문이다.</p> <p>(2) \( C \left ( \subset \mathbb { R } ^ { n } \right ) \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합 (closed set)이란 \( C ^ {\subset } = \mathbb { R } ^ { n } -C \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이 되는 경우를 의미한다.</p> <p>[예제 2.1.15] 그림 2.2에서 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 부분집합 \( X \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 열린집합이다. 그러나 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 부분집합 \( Y \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 열린집합이 아니다. 왜냐하면 점 \( q( \in Y) \)에서 \( Y \)에 포함되는 열린구가 존재하지 않기 때문이다.</p> <p>기초정리 2.1.16 유클리드 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 임의의 열린구 \( B(p, r) \)은 열린집합이다.</p> <p>증명 임의로 주어진 \( x \in B(p, r) \)에 대하여 \( t:=d(x, p)( \in \mathbb { R } ) \)이라 하자. 이제 \( \varepsilon:=r-t( \in \mathbb { R } ) \)로 놓으면 \( B(x, \varepsilon) \subset B(p, r) \)이다 (그림 2.3 참조).</p> <p>왜냐하면 만약 \( w \in B(x, \varepsilon) \)이면 \( d(w, x)< \varepsilon \)이므로</p> <p>\[ d(w, p) \leq d(w, x) + d(x, p)< \varepsilon + t=r \]</p> <p>이 되어 \( w \in B(p, r) \)이다. 그러므로 \( x \in B(x, \varepsilon) \subset B(p, r) \)이다. 따라서 \( B(p, r) \)는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다. 열린집합의 정의로부터 다음 성질을 알 수 있다.</p> <p>정리 2.1.17 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 부분집합들에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>(1) \( \varnothing \)과 \( \mathbb { R } ^ { n } \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</li> <li>(2) 만약 \( U_ {\alpha } ( \alpha \in \Lambda) \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이면 \( \bigcup_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } \)도 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다 (여기서 \( \Lambda \)는 임의의 첨자집합이다).</li> <li>(3) \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 유한개의 열린집합 \( U_ { 1 } , U_ { 2 } , \cdots, U_ { k } \)에 대하여 \( \bigcap_ { i=1 } ^ { k } U_ { i } \)도 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</li></ul> <p>(1) (i) \( \varnothing \)은 어떠한 점도 갖지 않으므로 조건부 논리 (정의 1.1.4 참조)에 의하여 \( \varnothing \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</p> <p>이제 하계와 관련하여 다음 성질을 소개한다.</p> <p>성질 2.1.4 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)의 부분집합 \( B \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ul> <li>(a) \( \beta= \inf B( \in \mathbb { R } ) \)</li> <li>(b) (i) 모든 \( b \in B \)에 대하여 \( \beta \leq b \)이다.</li> <li>(ii) 만약 \( \beta<r \)이면 \( b<r \)인 \( B \)인 원소 \( b \)가 존재한다.</li></ul> <p>위 성질에서 조건 (b)-(i)는 \( \beta \)가 집합 \( B \)의 하계임을 의미하고, (b)-(ii)는 \( \beta \)보다 큰 실수 \( r \)은 \( B \)의 하계가 아님을 의미한다.</p> <p>정리 2.1.5 (최대하계정리) 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)에서 만약 \( B( \subset \mathbb { R } ) \)가 아래로 유계인 집합이면 \( \inf B( \in \mathbb { R } ) \)가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명 집합 \( B \)가 아래로 유계이므로 \( B \)의 하계 \( l( \in \mathbb { R } ) \)이 존재하여 모든 \( b \in B \)에 대하여 \( l \leq b \)를 만족한다. 따라서 모든 \( b \in B \)에 대하여 \( -l \geq-b \)이므로 \( u=-l \)은 집합 \( A:= \{ -b \in \mathbb { R } \mid b \in B \} \)의 상계가 된다. 따라서 \( A \)는 위로 유계인 집합이므로, 성질 2.1.2에 의하여 \( \alpha= \sup A \in \mathbb { R } \)가 존재한다. 그리고 성실 2.1.1과 성실 2.1.4에 의하여 \( \beta:=- \alpha( \in \mathbb { R } ) \)가 \( B \)의 최대하계임을 알 수 있다. 즉 \( \inf B= \beta \)이다. \( \inf B \)의 유일성은 정리 \( 2.1 .3 \)의 증명과 같은 방법으로 보일 수 있다.</p> <p>따름정리 2.1.6 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)상에서 위로 유계인 증가수열은 수렴한다.</p> <p>증명 수열 \( \left \langle x_ { n } \right \rangle \)이 위로 유계인 증가수열이라 하자. 그러면 \( A:= \left \{ x_ { n } \mid n \in \mathbb { N } \right \} \)이 위로 유계인 집합이므로 \( A \)의 상한 \( \alpha= \sup A( \in \mathbb { R } ) \)가 존재한다. 이제 수열 \( \left \langle x_ { n } \right \rangle \)이 \( \alpha \)로 수렴함을 보이자. 임의로 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대하여 \( \alpha- \varepsilon< \alpha \)이고 \( \alpha \)가 집합 \( A \)의 최소상계이므로 \( \alpha- \varepsilon<x_ { k } \leq \alpha \)를 만족하는 \( x_ { k } \in A \)가 존재한다. 이러한 \( k \)에 대하여</p> <p>\[ p \in B(p . \delta) \subset U \subset f ^ { -1 } (B(f(p), \varepsilon)) \]</p> <p>이다. 그러므로 참고 2.1.28에 의하여, \( x \in \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여</p> <p>\[ d(x, p)< \delta \Rightarrow d(f(x), f(p))< \varepsilon \]</p> <p>이 성립하므로 \( f \)는 점 \( p \)에서 연속이다. 성질 2.1.29를 활용하여 다음 성질을 얻는다.</p> <p>성질 2.1.30 함수 \( f: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ul> <li>(a) \( f \)가 연속이다.</li> <li>(b) \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 임의의 열린집합 \( V \)에 대하여 \( f ^ { -1 } (V) \)가 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합이다.</li></ul> <p>(a) \( \Rightarrow \) (b) \( f \)를 연속이라 하자. 그리고 \( V \)를 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이라 하자. 임의의 한 점 \( x \in f ^ { -1 } (V) \)에 대해 \( f(x) \in V \)이고 \( f \)가 \( x \)에서 연속이므로 성질 2.1.29에 의하여</p> <p>\[ x \in U_ { x } \subset f ^ { -1 } (V) \]</p> <p>를 만족하는 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합 \( U_ { x } \)가 존재한다. 그러면</p> <p>\[ f ^ { -1 } (V)= \bigcup_ { x \in f ^ { -1 } (V) } U_ { x } \]</p> <p>이므로 정리 2.1.17(2)에 의하여 \( f ^ { -1 } (V) \)는 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합이다. (b) \( \Rightarrow \) (a) 임의의 한 점 \( x \in \mathbb { R } ^ { m } \)에 대하여 \( f \)가 점 \( x \)에서 연속임을 보이면 된다. 이제 \( V \)를 \( f(x) \in V \)인 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 임의의 열린집합이라 하자. 그러면 (b)에 의하여 \( f ^ { -1 } (V) \)는 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합이다. 이제 \( U=f ^ { -1 } (V) \)라 하면</p> <p>\[ x \in U=f ^ { -1 } (V) \]</p> <p>이 되므로 성질 2.1.29에 의하여 \( f \)는 \( x \)에서 연속이다.</p> <p>증명 임의의 점 \( z \in B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)에 대하여</p> <p>\[ s_ { 1 } =r_ { 1 } -d(x, z), s_ { 2 } =r_ { 2 } -d(y, z) \]</p> <p>라 하면 \( s_ { 1 } , s_ { 2 } >0 \)이다. 이제 \( r_ { 3 } = \min \left \{ s_ { 1 } , s_ { 2 } \right \} \)로 놓으면</p> <p>\[ z \in B \left (z, r_ { 3 } \right ) \subset B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \]</p> <p>이다. 왜냐하면 만약 \( w \in B \left (z, r_ { 3 } \right ) \)이면 \( d(z, w)<r_ { 3 } \)이므로</p> <p>\[ d(x, w) \leq d(x, z) + d(z, w)<d(x, z) + r_ { 3 } \leq d(x, z) + s_ { 1 } =r_ { 1 } \\ d(y, w) \leq d(y, z) + d(z, w)<d(y, z) + r_ { 3 } \leq d(y, z) + s_ { 2 } =r_ { 2 } \]</p> <p>이 되어서 \( w \in B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)이다. 따라서 \( B \left (z, r_ { 3 } \right ) \subset B \left (x, r_ { 1 } \right ) \cap B \left (y, r_ { 2 } \right ) \)이다.</p> <h1>\( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린집합과 닫힌집합</h1> <p>이제 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린구를 활용하여 열린집합과 닫힌집합을 정의한다.</p> <p>정의 2.1.14 (1) \( U \subset \mathbb { R } ^ { n } \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합 (open set)이란 임의의 점 \( x \in U \)에 대하여 \( x \in B(x, r) \subset U \)를 만족하는 양의 실수 \( r \)이 존재함을 뜻한다. 여기서 \( B(x, r) \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린구이다.</p> <p>성질 2.1.8 (아르키메데스 정리) 실수 \( x, y \in \mathbb { R } \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>(1) 임의의 양의 실수 \( x>0 \)와 실수 \( y \)에 대하여 \( n x>y \)를 만족하는 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)이 존재한다.</li> <li>(2) 임의의 양의 실수 \( x>0 \)에 대하여 \( 0< \frac { 1 } { n }<x \)를 만족하는 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)이 존재한다.</li> <li>(3) 모든 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)에 대하여 \( 0 \leq x< \frac { 1 } { n } \)을 만족하는 실수 \( x \)는 0이다.</li></ul> <p>증명</p> <p>(1) 귀류법을 사용하여, \( nx>y \)를 만족하는 자연수 \( n \)이 존재하지 않는다고 가정하자. 그러면 모든 자연수 \( n \)에 대하여 \( n x \leq y \)가 되어서 \( y \)는 집합 \( A:= \{ n x \mid n \in \mathbb { N } \} \)의 상계이다. 그리고 성질 2.1.2 (최소상계성질)에 의하여 \( \alpha= \sup A( \in \mathbb { R } ) \)가 존재한다. 그런데 \( x>0 \)이므로 \( \alpha-x< \alpha \)이다. 따라서 \( \alpha-x \)는 \( A \)의 상계가 아니므로 \( \alpha-x<m x( \in A) \)인 자연수 \( m \in \mathbb { N } \)이 존재한다. 그런데 \( \alpha<(m + 1) x \in A \)이므로 \( \alpha \)가 \( A \)의 상계라는 사실에 모순이다. 따라서 \( n x>y \)를 만족하는 자연수 \( n \)이 존재한다.</p> <p>(2) (1)에 의하여, \( y=1 \)인 경우, \( nx>1 \)인 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)이 존재하고, 양변을 \( n \)으로 나누면 \( x>\frac { 1 } { n } >0 \)을 만족한다.</p> <p>(3) 귀류법을 사용하여, 모든 자연수 \( n( \in \mathbb { N } ) \)에 대하여 \( 0 \leq x< \frac { 1 } { n } \)을 만족하는 실수 \( x \)는 \( x \neq 0 \)라고 가정하자. \( x>0 \)이므로 (2)에 의하여,</p> <p>예제 2.1.24에서 알 수 있듯이 무한개의 닫힌집합들의 합집합은 닫힌집합일 필요는 없다.</p> <p>성질 2.1.25 \( \mathbb { R } \)의 열린집합인 동시에 닫힌집합은 \( \varnothing \)과 \( \mathbb { R } \)뿐이다.</p> <p>증명 (귀류법 사용) \( \varnothing \subsetneq A \subsetneq \mathbb { R } \)을 만족하는 열린집합인 동시에 닫힌집합 \( A \)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \( A ^ { c } \)도 \( \mathbb { R } \)의 열린집합인 동시에 닫힌집합이고 \( \varnothing \subsetneq A ^ { c } \subsetneq \mathbb { R } \)이다. 이제 \( a \in A \)와 \( b \in A ^ { c } \)를 택하고 \( a<b \)라 하자. 그러면 \( A \)가 열린집합이므로</p> <p>\[ a \in[a, a + \delta) \subset(a- \delta, a + \delta) \subset A \]</p> <p>를 만족하는 양수 \( \delta \)가 존재한다. 따라서 집합</p> <p>\[ C= \{ x \in \mathbb { R } \|\| a, x) \subset A \} \]</p> <p>는 공집합이 아니고 \( b \)를 상계로 갖는다 \( ( \because a + \delta \in C) \). 즉 \( C \)가 위로 유계인 집합이다 \( \left ( \because \exists ^ {\forall } x \in A, x \leq b \right ) \). 그러므로 성질 2.1.2에 의해 \( \sup C:= \beta \in \mathbb { R } \)이 존재한다. 그러면 \( \beta \in A \)이거나 \( \beta \in A ^ { c } \)이어야 한다.</p> <p>(i) 먼저 \( \beta \in A \)인 경우를 생각하자. \( A \)가 열린집합이므로 \( ( \beta- \varepsilon, \beta + \varepsilon) \) \( \subset A \)를 만족하는 양수 \( \varepsilon \)이 존재한다. 그리고 \( \beta- \varepsilon< \beta= \sup C \)이므로 \( \beta- \varepsilon<x \)인 \( x \in C \)가 존재하여 \( [a, x) \subset A \)를 만족한다. 따라서</p> <p>\[ [a, \beta + \varepsilon) \subset[a, x) \cup( \beta- \varepsilon, \beta + \varepsilon) \subset A \]</p> <p>이므로 \( \beta + \varepsilon \in C \)이다. 이는 \( \beta= \sup C \)라는 사실에 모순이다.</p> <p>(ii) 임의의 점 \( x \in \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 임의의 \( \varepsilon(0< \varepsilon \in \mathbb { R } ) \)을 택하면 \( x \in B(x, \varepsilon) \subset \mathbb { R } ^ { n } \)이므로 \( \mathbb { R } ^ { n } \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</p> <p>(2) 임의의 점 \( x \in \bigcup_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } \)에 대하여 \( x \in U_ {\alpha_ { 0 } } \)인 \( \alpha_ { 0 } \in \Lambda \)가 존재한다. 그런데 \( U_ {\alpha_ { 0 } } \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이므로 \( B(x, r) \left ( \subset U_ {\alpha_ { 0 } } \right ) \)이 존재한다. 그러므로</p> <p>\[ x \in B(x, r) \subset U_ {\alpha_ { 0 } } \subset \bigcup_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } \]</p> <p>이 성립하므로 \( \bigcup_ {\alpha \in \Lambda } U_ {\alpha } \)는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</p> <p>(3) 임의의 점 \( x \in \bigcap_ { i=1 } ^ { k } U_ { i } \)을 택하자. 그러면 임의의 \( i \in \{ 1,2, \cdots, k \} \)에 대해 \( x \in U_ { i } \)이고 \( U_ { i } \)가 열린집합이므로 \( B \left (x, r_ { i } \right ) \left ( \subset \mathbb { R } ^ { n } \right ) \)가 존재하여 \( x \in B \left (x, r_ { i } \right ) \subset U_ { i } \)이 성립한다. 이제 \( r:= \min \left \{ r_ { 1 } , r_ { 2 } , \cdots, r_ { k } \right \} \)이라 하면 \( r \)은 양의 실수이고, 모든 \( i \in \{ 1,2, \cdots, k \} \)에 대하여</p> <p>\[ x<p<r=p + \frac {\sqrt { 2 } } { n }<y \]</p> <p>를 만족한다.</p> <p>[예제 2.1.10] \( \mathbb { R } \)상에서 부분집합 \( A= \{ x \in \mathbb { Q } \mid 0<x< \sqrt { 3 } \} \)에 대하여 \( \inf A \) \( =0, \sup A= \sqrt { 3 } \)이다.</p> <h1>\( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린구(open ball)</h1> <p>이제 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린집합을 정의하고 다양한 성질을 알아보기 위하여 실공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 보통거리에 대하여 알아보자.</p> <p>\[ \mathbb { R } ^ { n } = \left \{\left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) i x_ { i } \in \mathbb { R } , i \in \{ 1,2, \cdots, n \} \right \} \]</p> <p>이다. \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 임의의 두 점 \( x:= \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), y:= \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdot \cdot, y_ { n } \right ) \)에 대하여</p> <p>\[ d(x, y):= \\|x-y \\|= \sqrt {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } -y_ { i } \right ) ^ { 2 } } \in \mathbb { R } \]</p> <p>와 같이 정의된 \( d \)를 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 보통거리 (usual metric) 또는 유클리드 거리 (Euclidean metric)라 한다. \( n=1 \)인 경우, \( d(x, y)= \\|x-y \\|=\|x-y\| \)이다. 이러한 거리 \( d \)를 갖는 실공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)을 유클리드 공간(Euclidean space)이라 한다. 이제부터 아무런 언급이 없으면 \( \mathbb { R } ^ { n } \)은 유클리드 공간을 의미한다.</p> <p>성질 2.1.11 임의의 \( x, y, z \in \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>(1) \( d(x, y) \geq 0 \)</li> <li>(2) \( d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y \)</li> <li>(3) \( d(x, y)=d(y, x) \)</li> <li>(4) \( d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \) (삼각부등식 성질)</li></ul> <p>(1), (2), (3)은 명백하므로 (4)만 보이자. 먼저 임의의 점 \( x \in \mathbb { R } ^ { n } \)을 위치벡터로 인식하여 \( \\|x \\|=x \cdot x \)임을 상기하자. 여기서 연산자 ". "은 벡터의 내적 (inner product)이다. 그리고 \( x, y \in \mathbb { R } ^ { n } \)의 내적은 \( x \cdot y= \\|x \\| \\|y \\| \cos \theta \)이므로 \( x \cdot y \leq \\|x \\| \\|y \\| \)이 성립한다. 여기서 \( \theta \)는 두 벡터 \( x \)와 \( y \)가 이루는 각이다. 이제 임의의 \( x, y, z \left ( \in \mathbb { R } ^ { n } \right ) \)에 대하여</p> <p>\[ ( \\|x-y \\| + \\|y-z \\|) ^ { 2 } \\= \\|x-y \\| ^ { 2 } + 2 \\|x-y \\| \\|y-z \\| + \\|y-z \\| ^ { 2 } \\ \geq(x-y) \cdot(x-y) + 2(x-y) \cdot(y-z) + (y-z) \cdot(y-z) \] \[ \begin {aligned} =&(x \cdot x-2 x \cdot y + y \cdot y) + 2(x \cdot y-x \cdot z-y \cdot y + y \cdot z) \\ & + (y \cdot y-2 y \cdot z + z \cdot z) \\=&(x-z) \cdot(x-z) \\=& \\|x-z \\| ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>이므로 \( d(x, y) + d(y, z) \geq { d } (x, z) \)이 성립한다.</p> <p>임의의 점 \( p \in \mathbb { R } ^ { n } \)와 양의 실수 \( r \)에 대하여</p> <p>\( B(p, r)= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \mid d(x, p)<r \right \} \)</p> <h1>2.1 \( \mathbb { R } ^ { n } \)에서 열린집합</h1> <p>임의의 집합 \( X \)상의 위상은 실공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 열린집합의 성질을 추상화 혹은 일반화하여 생성된 개념이다. 그러므로 위상수학을 공부하는 데 있어서 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상의 열린 집합의 성질을 먼저 알아야 한다. 이제 \( \mathbb { R } ^ { n } \)상에서 열린집합에 관하여 알아보자. 먼저 실수공간 \( \mathbb { R } \)의 기본성질을 알아본다. 제1장의 정의 1.5.7에서 주어진 집합의 상한과 하한의 개념을 알아보았다. 이를 바탕으로 다음 성질을 소개한다.</p> <p>성질 2.1.1 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)의 부분집합 \( A \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ul> <li>(a) \( \alpha = \sup A \in \mathbb { R } \)</li> <li>(b) (i) 모든 \( a \in A \)에 대하여 \( a \leq \alpha \)이다.</li> <li>(ii) 만약 \( r< \alpha \)이면 \( r<a \)인 \( A \)인 원소 \( a \)가 존재한다.</li></ul> <p>위 성질에서 조건 (b)-(i)는 \( \alpha \)가 \( A \)의 상계임을 의미하고 (b)-(ii)는 \( \alpha \)보다 작은 실수 \( r \)은 \( A \)의 상계가 아님을 의미한다. 이제 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)의 다양한 성질을 알아본다.</p> <p>성질 2.1.2 (죄소상계성질) 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)에서 만약 \( A( \subset \mathbb { R } ) \)가 위로 유계인 집합이면 \( \sup A \in \mathbb { R } \)이 존재한다.</p> <p>성질 2.1.3 전순서집합 \( ( \mathbb { R } , \leq) \)에서 만약 \( A( \subset \mathbb { R } ) \)의 최소상계가 존재하면 유일하다.</p> <p>증명 \( \alpha, \beta \in \mathbb { R } \)를 \( A \)의 최소상계라 하자. 그러면 \( \alpha \)가 \( A \)의 상계이고 \( \beta \)는 최소상계이므로 \( \beta \leq \alpha \)이다. 같은 방법으로 \( \beta \)는 \( A \)의 상계이고 \( \alpha \)는 최소상계이므로 \( \alpha \leq \beta \)이다. 따라서 \( \alpha= \beta \) 이다.</p> <p>\[ B(x, r) \subset B \left (x, r_ { i } \right ) \subset U_ { i } \]</p> <p>이므로 \( x \in B(x, r) \subset \bigcap_ { i=1 } ^ { k } U_ { i } \)이다. 그러므로 \( \bigcap_ { i=1 } ^ { k } U_ { i } \)는 열린집합이다.</p> <p>[예제 2.1.18] \( \mathbb { R } \)의 두 점 \( a, v \in \mathbb { R } \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>(1) 임의의 열린구간 (예, \( (a, b),(a, \infty),(- \infty, b)) \)은 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이다.</li> <li>(2) \( [a, b],[a, \infty),(- \infty, b] \)는 모두 \( \mathbb { R } \)의 닫힌집합이다.</li> <li>(3) 구간 \( [a, b) \) 혹은 \( (a, b] \)는 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아니다.</li> <li>(4) 정수집합 \( \mathbb { Z } \)는 \( \mathbb { R } \)의 닫힌집합이다.</li> <li>(5) \( \mathbb { Q } , \mathbb { Q } ^ { c } \)는 모두 \( \mathbb { R } \)의 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아니다.</li></ul> <p>풀이 (1), (2), (3)은 명백하므로 연습문제로 남긴다.</p> <p>(4) \( \mathbb { Z } ^ { c } = \bigcup_ { n \in \mathbb { Z } } (n, n + 1) \)인데, 정리 2.1.17(2)에 의하여 \( \mathbb { Z } ^ { c } \) 는 열린집합이다. 그러므로 \( \mathbb { Z } \)는 \( \mathbb { R } \)의 닫힌집합이다.</p> <p>(5) 임의의 점 \( p \in \mathbb { Q } \)에 대하여, 정리 2.1.9(2)에 의하여</p> <p>\[ p \in B(p, r)=(p-r, p + r) \subset \mathbb { Q } \]</p> <p>를 만족하는 양의 실수 \( r \)이 존재하지 않으므로 \( \mathbb { Q } \)는 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이 아니다. 이제 \( \mathbb { Q } ^ { c } \)가 \( \mathbb { R } \)의 열린집합이 아님을 보이자. 임의의 점 \( q \in \mathbb { Q } ^ { c } \)에 대하여, 정리 2.1.9(1)에 의하여</p> <p>\[ r:= \min \left \{ d \left (p, a_ { i } \right ) \mid i \in \{ 1,2, \cdots, k \} \right \} \]</p> <p>라 하면 \( B(p, r) \cap A= \varnothing \)이므로 \( p \in B(p, r) \subset A ^ { c } \)이다. 따라서 \( A ^ { c } \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이므로 \( A \)는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합이다.</p> <p>정리 2.1.23 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 부분집합들에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>(1) \( \varnothing \)과 \( \mathbb { R } ^ { n } \)은 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합이다.</p> <p>(2) 만약 \( C_ {\alpha } ( \alpha \in \Lambda) \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합이면 \( \bigcap_ {\alpha \in \Lambda } C_ {\alpha } \)도 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합이다 (여기서 \( \Lambda \)는 임의의 첨자집합이다).</p> <p>(3) \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 유한개의 닫힌집합 \( C_ { 1 } , C_ { 2 } , \cdots, C_ { k } \)에 대하여 \( \bigcup_ {\alpha=1 } ^ { k } C_ {\alpha } \)도 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합이다.</p> <p>증명 정리 2.1.17과 닫힌집합의 정의를 사용하여 증명한다.</p> <p>(1) 정리 2.1.17에 의하여 \( \mathbb { R } ^ { n } \)이 열린집합이므로 \( \varnothing ^ { c } = \mathbb { R } ^ { n } \)이므로 \( \varnothing \)는 닫힌집합이다. 같은 방법으로 \( \varnothing \)이 열린집합이고 \( \left ( \mathbb { R } ^ { n } \right ) ^ { c } = \varnothing \)이므로 \( \mathbb { R } ^ { n } \)은 닫힌집합이다.</p> <p>성질 2.1.29 함수 \( f: \mathbb { R } ^ { m } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ul> <li>(a) \( f \)가 점 \( p \in \mathbb { R } ^ { m } \)에서 연속이다.</li> <li>(b) \( f(p) \)를 원소로 갖는 임의의 열린집합 \( V \subset \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 \( p \in U \subset f ^ { -1 } (V) \)를 만족하는 열린집합 \( U \subset \mathbb { R } ^ { m } \)가 존재한다.</li></ul> <p>증명 (a) \( \Rightarrow \) (b) \( \mathbb { R } ^ { n } \)에서 \( f(p) \)를 원소로 갖는 임의의 열린집합 \( V \)를 택하자. \( V \)가 열린집합이므로 정의 2.1.14에 의해</p> <p>\[ f(p) \in B(f(p), \varepsilon) \subset V \]</p> <p>를 만족하는 양의 실수 \( \varepsilon \)이 존재한다. 그리고 \( f \)가 점 \( p \)에서 연속이므로</p> <p>\[ d(x, p)< \delta \Rightarrow d(f(x), f(p))< \varepsilon \]</p> <p>를 만족하는 양의 실수 \( \delta \)가 존재한다. 그러므로 참고 2.1.28에 의해</p> <p>\[ p \in B(p, \delta) \subset f ^ { -1 } (B(f(p), \varepsilon)) \subset f ^ { -1 } (V) \]</p> <p>이 성립하므로 \( B(p, \delta)(=U) \)가 점 \( p \)에서 \( f \)의 연속성을 보강하는 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합이다. (b) \( \Rightarrow \) (a) 임의의 양의 실수 \( \varepsilon \)에 대하여 \( B(f(p), \varepsilon)(:=V) \)이 \( f(p) \)를 원소로 갖는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이므로 가정 (b)에 의해</p> <p>\[ p \in U \subset f ^ { -1 } (B(f(p), \varepsilon)) \]</p> <p>를 만족하는 \( \mathbb { R } ^ { m } \)의 열린집합 \( U \)가 존재한다. 그리고 열린집합의 정의에 의하여 \( p \in B(p, \delta) \subset U \)를 만족하는 양의 실수 \( \delta \)가 존재하여</p> <p>성질 2.1.21 \( U \subset \mathbb { R } ^ { n } \)에 대하여 다음은 동치이다.</p> <ul> <li>(a) \( U \)는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다.</li> <li>(b) \( U \)는 적당한 열린구들의 합집합이다. 즉 \( U= \bigcup_ {\alpha \in A } B \left (x_ {\alpha } , r_ {\alpha } \right ) \) 이다.</li></ul> <p>증명 (a) \( \Rightarrow \) (b) \( U \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이면 임의의 점 \( x \in U \)에 대하여 \( x \in B(x \), \( \left .r_ { x } \right ) \subset U \)인 열린구 \( B \left (x, r_ { x } \right ) \)가 존재한다. 따라서 \( U= \bigcup_ { x \in U } B \left (x, r_ { x } \right ) \)이다.</p> <p>(b) \( \Rightarrow \) (a) \( U= \bigcup_ {\alpha \in A } B \left (x_ {\alpha } , r_ {\alpha } \right ) \)라 하자. 기초정리 2.1.16에 의하여 모든 \( B \left (x_ {\alpha } \right . \), \( \left .r_ {\alpha } \right ) \)가 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이기에 정리 2.1.17(2)에 의하여 \( U \)는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 열린집합이다. 이제 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 닫힌집합의 성질에 대해 알아보자.</p> <p>성질 2.1.22 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 모든 유한 부분집합은 닫힌집합이다:</p> <p>\( A= \left \{ a_ { 1 } , \cdots, a_ { k } \right \} \subset \mathbb { R } ^ { n } \)라 하자. 이제 \( A ^ { c } = \mathbb { R } ^ { n } -A \)가 열린집합임을 보이자. 임의로 주어진 점 \( p \in A ^ { c } \)에 대해</p>	자연
s374-미적분학	<p>복잡한 연쇄법칙과 나뭇가지 도표</p> <p>다변수함수에는 여러 유형의 합성함수가 가능하다. 그러므로 여러 유형의 연쇄법칙이 있을 수 있다. 모든 유형의 연쇄법칙 공식을 소개하는 것보다 필요한 상황에서 연쇄법칙을 유도하는 일반적 방법을 알아보자.</p> <p>예 \( z=z(x, y), x=x(s, t), y=y(s, t) \)이라고 하자. 그러면 합성함수 \( z \)는 실제로 두 변수 \( \mathrm{s} \)와 t의 함수이다. 그리고 각각의 편미분은 다음과 같다. \[\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}, \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}\]</p> <p>나뭇가지 도표 그리기</p> <p>아래 나뭇가지 도표는 합성함수 \( z \)의 편도함수를 구하는 과정을 쉽게 보여준다. 즉 어떤 독립변수에 대한 \( z \)의 편도함수는 \( z \)에서 그 독립변수로 향하는 각각의 경로를 따르는 도함수 또는 편미분의 곱들을 모두 합하는 것이다.</p> <p>예 다변수함수 \( u=u(x, y, z) \)의 각 성분함수들의 독립 변수들의 구조에 따라 나뭇가지 도표를 이용한 연쇄법칙을 알아보자. 예로서 \( x=x(s, t), y=y(s, t), z=z(s, t) \) 이변수함수이다. 그러면 \( u(x, y, z) \)는 두 독립변수 \( s \)와 \( t \)를 갖는 이변수함수이다. 따라서 합성함수 \( u(x, y, z) \)의 두 변수 \( s, t \)의 편도함수를 구하기 위한 나뭇가지 도표는 아래와 같다. 따라서 구하는 편도함수는 다음과 같다.</p> <p>\[ \frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial s} ,\] \[ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}+\frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial t} \]</p> <p>예 원뿔대의 윗면의 반지름이 \( 10 \mathrm{~cm} \), 밑면의 반지름이 \( 12 \mathrm{~cm} \)이고 높이는 \( 18 \mathrm{~cm} \)이다. 윗면의 반지름이 1분에 \( 2 \mathrm{~cm} \) 씩 줄어든다. 밑면의 반지름은 1분에 \( 3 \mathrm{~cm} \) 씩 커진다. 그리고 높이는 1분에 \( 4 \mathrm{~cm} \) 씩 낮아진다. 이때 원뿔대의 부피는 어떻게 변하는지 알아보자.</p> <p>원뿔대에서 \( x \)를 윗면의 반지름 \( y \)를 밑면의 반지름 그리고 \( z \)를 높이라고 하자. 그러면 원뿔대의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[V(x, y, z)=\frac{1}{3} \pi z\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\] 각 변수의 편도함수는 \[\frac{\partial V}{\partial x}=\frac{1}{3} \pi z(2 x+y), \quad \frac{\partial V}{\partial y}=\frac{1}{3} \pi z(x+2 y), \quad \frac{\partial V}{\partial z}=\frac{1}{3} \pi\left(x^{2}+x y+y^{2}\right)\] 이때 연쇄법칙에 의하여 \[\frac{d V}{d t}=\frac{\partial V}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial V}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial V}{\partial z} \frac{d z}{d t} .\] 따라서 이 문제에서는 \[\frac{d V}{d t}=\frac{1}{3} \pi z(2 x+y) \frac{d x}{d t}+\frac{1}{3} \pi z(x+2 y) \frac{d y}{d t}+\frac{1}{3} \pi\left(x^{2}+x y+y^{2}\right) \frac{d z}{d t} .\] 문제의 조건은 \( x=10, y=12, z=18 \)이다. 그리고 \( \frac{d x}{d t}=-2, \frac{d y}{d t}=3, \frac{d z}{d t}=-4 \)이다. 따라서 이 값을 대입하여 계산하면, \( \frac{d V}{d t}=-\frac{772 \pi}{3} \)이다. 즉, 1 분에 \( \frac{772 \pi}{3} \mathrm{~cm}^{3} \)씩 부피가 감소한다.</p> <p>정리 이변수 음함수의 미분법</p> <p>\( y \)가 독립변수 \( x \)에 관한 함수로서, 음함수 식 \( f(x, y)=0 \)으로 정의되어 있다. 그러면 도함수 \( y^{\prime}=\frac{d y}{d x} \)는 다음과 같다. \[\frac{d y}{d x}=-\frac{f_{x}(x, y)}{f_{y}(x, y)} \text {, 단 여기서 } f_{y}(x, y) \neq 0 \text { 이다. }\]</p> <p>증명 \( f(x, y)=0 \)에서는 독립변수가 \( x \)이므로 \( x=x, y=\psi(x) \)라 놓자. 그리고 연쇄법칙을 적용하면 \( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d x}=0 \) 이다. 그러므로 \( \frac{d y}{d x}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}=-\frac{f_{x}(x, y)}{f_{y}(x, y)} \)이다.</p> <p>예 \( x \sin y+y \cos x=0 \)일 때 \( \frac{d y}{d x} \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( f(x, y)=x \sin y+y \cos x \)으로 놓자. \( \frac{\partial f}{\partial x}=\sin y-y \sin x, \frac{\partial f}{\partial y}=x \cos y+\cos x \)이다. 그러므로 \( \frac{d y}{d x}=-\frac{\partial f / \partial x}{\partial f / \partial y}=-\frac{\sin y-y \sin x}{x \cos y+\cos x}=\frac{y \sin x-\sin y}{x \cos y+\cos x} \)이다.</p> <p>정리 세변수 음함수의 미분법</p> <p>\( z \)가 두 독립변수로 \( x \)와 \( y \)를 갖는 음함수 \( f(x, y, z)=0 \) 식으로 정의되어 있다. 이때 다변수함수 \( z \)의 편도함수 \( \frac{\partial z}{\partial x} \)와 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)는 다음과 같다. \( f_{z}(x, y, z) \neq 0 \)일 때, \[\begin{array}{c}\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{f_{x}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}, \\\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{f_{y}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}\end{array} \]</p> <p>증명 \( f(x, y, z)=0 \)에서는 독립변수가 \( x, y \)이다. 그러므로 \( x=x, y=y, z=\psi(x, y) \)으로 놓고, 연쇄법칙을 적용하자.</p> <p>(1) \( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=0 \) 에서 \( \frac{\partial y}{\partial x}=0 \). 따라서 \[f_{x}(x, y, z)+f_{y}(x, y, z) \frac{\partial z}{\partial x}=0 \quad \therefore \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{f_{x}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}\]</p> <p>(2) \( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}=0 \) 에서 \( \frac{\partial x}{\partial y}=0 \). 따라서\[f_{y}(x, y, z)+f_{z}(x, y, z) \frac{\partial z}{\partial y}=0 \quad \therefore \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{f_{y}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}\]</p> <p>예 \( x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z=0 \)에서 \( \frac{\partial z}{\partial x} \) 와 \( \frac{\partial z}{\partial y} \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3 x y z \) 라고 놓자. 1계 편도함수: \( \frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2}+3 y z, \frac{\partial f}{\partial y}=3 y^{2}+3 x z, \frac{\partial f}{\partial z}=3 z^{2}+3 x y \). 따라서 \( \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{f_{x}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}=-\frac{3 x^{2}+3 y z}{3 z^{2}+3 x y}=-\frac{x^{2}+y z}{z^{2}+x y} \) \[\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{f_{y}(x, y, z)}{f_{z}(x, y, z)}=-\frac{3 y^{2}+3 x z}{3 z^{2}+3 x y}=-\frac{y^{2}+x z}{z^{2}+x y} .\]</p> <h1>16.1 편미분, 편도함수</h1> <p>다변수함수의 미분과 도함수</p> <p>\( f(x, y)=3 x^{2} y+x \sin 2 y \)에서 \( x \)를 변수로 \( y \)를 상수로 놓고 \( x \)에 관하여 미분한 함수를 \( f_{x} \)로 표기하고 편도함수라고 부른다. 같은 방법으로 \( f(x, y) \)에서 \( y \)를 변수로 \( x \)를 상수로 놓고 \( y \)에 관하여 미분한 함수를 \( f_{y} \)로 쓴다.</p> <p>즉 편도함수는 \( f_{x}(x, y)=6 x y+\sin 2 y \)이고 \( f_{y}(x, y)=3 x^{2}+2 x \cos 2 y \)이다.</p> <p>정의 이변수함수의 편미분계수</p> <p>\( f(x, y) \)에서 변수 \( y \)를 상수 \( b \)로 고정시키면, \( f(x, b) \)는 변수 \( x \)만의 일변수함수이다. 이때 \( x=a \)에서 미분계수는 일변수함수에서 사용한 미분계수의 정의와 같다. 즉 \[f_{x}(a, b)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h, b)-f(a, b)}{h}\] \( f_{x}(a, b) \)을 점 \( (a, b) \)에서 \( x \)에 관한 \( f \)의 편미분계수라고 부른다. \( f(x, y) \) 위의 점 \( (a, b) \)에서 \( x \)에 관한 편미분계수가 존재할 때, \( f \)는 \( (a, b) \)에서 \( x \)에 관하여 편미분가능하다고 한다. 같은 방식으로 \( f(x, y) \)에서 상수 \( x=a \)로 고정시키면, \( f(a, y) \)는 변수 \( y \)만의 함수이다. \( f(x, y) \) 위의 점 \( (a, b) \)에서 \( y \)에 관한 편미분계수 \( f_{y}(a, b) \)의 정의: \[f_{y}(a, b)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a, b+h)-f(a, b)}{h} .\] \( f(x, y) \) 위의 점 \( (a, b) \)에서 \( f \)의 \( y \)에 관한 편미분계수가 존재할 때, \( f \)는 \( (a, b) \)에서 \( y \)에관하여 편미분가능하다고 한다.</p> <p>정의 이변수함수의 편도함수</p> <p>\[ f_{x}(x, y)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h, y)-f(x, y)}{h} \] \[ f_{y}(x, y)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y+h)-f(x, y)}{h} \]</p> <p>정의 3변수함수의 편도함수</p> <p>독립변수가 3개인 삼변수함수 \( f(x, y, z) \)의 경우에는 다른 2개의 변수를 고정된 상수로 보고, 일변수함수로 보아서 도함수를 생각할 수 있다. 각 변수 \( x, y, z \)에 대한 편도함수의 정의는 아래와 같다. 그리고 편도함수 기호를 \( f_{x}(x, y, z), f_{y}(x, y, z), f_{z}(x, y, z) \)으로 표기한다.</p> <p>\( y, z \)를 상수로 볼 때: \( f_{x}(x, y, z)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h, y, z)-f(x, y, z)}{h} \)</p> <p>\( x, z \)를 상수로 볼 때: \( f_{y}(x, y, z)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y+h, z)-f(x, y, z)}{h} \)</p> <p>\( x, y \)를 상수로 볼 때: \( f_{z}(x, y, z)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x, y, z+h)-f(x, y, z)}{h} \)</p> <p>편도함수의 기하적 의미</p> <p>위 그림은 \( f(x, y) \)의 그래프의 일부분을 나타내고 있다. 곡면의 가운데로 \( x z \)-평면에 평행한 평면 \( y=y_{0} \)가 지나가고 있다. 평면 \( y=y_{0} \)와 곡면의 교적인 \( y_{0} \)-절선은, \( y=y_{0} \)에서 \( g(x)=f\left(x, y_{0}\right) \)의 그래프이다. \( y=y_{0} \)의 교적 \( g(x) \)를 변수 \( x \)에 대하여 미분한 도함수는 \( g^{\prime}(x)=f_{x}\left(x, y_{0}\right) \)이다. 그리고 미분계수는 \( g^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right) \)이다.</p> <p>편도함수 \( f_{y} \)에 대하여도 같은 기하적 의미로 해석한다. 즉 \( y z \)평면에 평행한 평면 \( x=x_{0} \)이 곡면과 교선인 \( x_{0} \)-절선과 만난다. 그리고 \( x_{0} \)절선은 평면 \( x=x_{0} \)에 그려진 \( h(x)=f\left(x_{0}, y\right) \)의 그래프이다. 이때 \( h(x) \)를 \( x \)에 대하여 미분한 도함수는 \( h^{\prime}(y)=f_{y}\left(x_{0}, y\right) \)이다. 그리고 미분계수는 \( h^{\prime}\left(y_{0}\right)=f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \)이다.</p> <p>예 \( f(x, y)=e^{x y}+\ln \left(x^{2}+y\right) \) 의 편도함수는 각각 \( f_{x}(x, y)=y e^{x y}+\frac{2 x}{x^{2}+y}, f_{y}(x, y) \) \( =x e^{x y}+\frac{1}{x^{2}+y} \)이다. 이때 점 \( (2,1) \)에서 \( x \)에 관한 편미분계수는 \( f_{x}(2,1)=e^{2}+\frac{4}{5} \)이다. 이것은 일변수함수 \( f(x, 1)=e^{x}+\ln \left(x^{2}+1\right) \) 의 \( x=2 \)에서의 변화율을 뜻한다. 점 \( (2,1) \)에서 \( y \)에 관한 편미분계수는 \( f_{y}(2,1)=2 e^{2}+\frac{1}{5} \)이다. 이것은 일변수함수 \( f(2, y)=e^{2 y}+\ln (4+y) \)의 \( y=1 \)에서의 변화율을 뜻한다.</p> <p>예 \( f(x, y)=4-x^{2}-2 y^{2} \)의 점 \( (1,1) \)에서 편미분 계수를 구하자. 그리고 기하적 의미를 그래프 그림으로 살펴보자.</p> <p>풀이 \( f \)의 그래프는 \( z=4-x^{2}-2 y^{2} \)을 만족하는 점 \( (x, y, z) \)로서 포물면을 이룬다. \[z=f(1,1)=4-1^{2}-2 \cdot 1^{2}=1 \text { 이다. }\]</p> <p>포물면의 점 \( (1,1,1) \)에서 접선의 기울기:</p> <p>평면 \( y=1 \)에서 \( f \)의 자취 곡선은 \( C_{1} \)이다. 이때 \( C_{1} \) 위의 점 \( (1,1,1) \)에서 접하는 접선의 기울기는 \( x \)에 대한 \( f \)의 편미분계수 \( f_{x}(1,1) \)이다. 즉 \( f_{x}(x, y)=-2 x \)이므로 \( f_{x}(1,1)=-2 \)이다. 같은 방법으로 평면 \( x=1 \)에서 \( f \)의 자취 곡선 \( C_{2} \)에 접하는 접선의 기울기는 \( y \)에 대한 \( f \)의 편미분계수 \( f_{y}(1,1) \)이다. 즉 \( f_{y}(x, y)=-4 y \)이므로 \( f_{y}(1,1)=-4 \)이다.</p> <p>예 삼변수함수 \( f(x, y, z)=x y^{2} z^{3} \) 의 편도함수를 구해보자. 그리고 \( (1,-2,-1) \) 에서의 \( x \) \( (y \), 또는 \( z) \)에 관한 편미분계수를 각각 구하여 보자.</p> <p>편도함수를 구하자.</p> <p>\( f_{x}(x, y, z)=y^{2} z^{3}, f_{y}(x, y, z)=2 x y z^{3}, f_{z}(x, y, z)=3 x y^{2} z^{2} \)</p> <p>\( (1,-2,-1) \)에서의 \( x(y \), 또는 \( z) \)에 관한 미분계수는 각각 다음과 같다.</p> <p>\( f_{x}(1,-2,-1)=-4, f_{y}(1,-2,-1)=4, f_{z}(1,-2,-1)=12 \).</p> <p>따라서 \( f_{x}(1,-2,-1)=-4 \)은 함수 \( f(x,-2,-1)=-4 x \)의 \( x=1 \)에서의 변화율이다. \( f_{y}(1,-2,-1)=4 \) 은 함수 \( f(1, y,-1)=-y^{2} \) 의 \( y=-2 \) 에서의 변화율이다. \( f_{z}(1,-2,-1)=12 \) 은 함수 \( f(1,-2, z)=4 z^{3} \) 의 \( z=-1 \) 에서의 변화율이다.</p> <p>예 \( g(x, y, z)=x^{2} e^{y / z} \) 의 편도함수 \( g_{x}, g_{y}, g_{z} \) 를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( g_{x}(x, y, z)=2 x e^{y / z}, g_{y}(x, y, z)=\frac{x^{2}}{z} e^{y / z}, g_{z}(x, y, z)=\frac{-x^{2} y}{z^{2}} e^{y / z} \)</p> <p>예 점 \( (1,2,3) \) 에서 \( f(x, y, z)=x y^{2}-y z^{2} \) 의 편미분계수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \[f_{x}(x, y, z)=y^{2}, f_{y}(x, y, z)=2 x y-z^{2}, f_{z}(x, y, z)=-2 y z\] 점 \( (1,2,3) \)에서 \( f \)의 편미분계수; \[f_{x}(1,2,3)=4, f_{y}(1,2,3)=2(1)(2)-3^{2}=-5, f_{z}(1,2,3)=-2(2)(3)=-12\]</p> <h1>16.4 등위와 경도</h1> <p>앞 절에서, 경도벡터가 0벡터가 아닌 미분가능한 점에서, 함수 \( f \)가 가장 빠르게 증가하는 방향이 경도의 방향과 일치한다는 사실을 소개하였다. 이 사실의 기하적 의미는 다음 정리로 표현된다.</p> <p>정리 등위선과 경도벡터의 수직성</p> <p>0 벡터가 아닌 경도를 갖는 이변수 함수 \( f(x, y) \)의 정의역의 각 내점에서, 이 점을 지나는 등위곡선과 경도벡터는 수직을 이룬다.</p> <p>증명 정의역의 내점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 경도는 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 \)라고 하자. 이 점을 지나는 등위선의 방정식은 \( f(x, y)=c=f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)이다. 이때, \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)의 적당한 근방 안에 놓여있는 등위선은 매개변수 \( t \)의 곡선 \( r(t)=(x(t), y(t)), t \in I \)로 나타낼 수 있다. 그리고 \( r^{\prime}(t) \neq 0 \)(벡터) 이도록 할 수 있다. (음함수 정리)이 등위선을 따라 함수 \( f \)는 상수값을 갖는다. 그러므로, \( t \in I \)인 모든 \( t \)에 대하여 \( f(r(t))=c \)이다. 따라서 \( \frac{d}{d t}\left[f(r(t)]=\nabla f(r(t)) \cdot r^{\prime}(t)=0\right. \)이다. 특히, \( r\left(t_{0}\right)=\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right)\right) \)인 \( t_{0} \in I \)에서 택하면, \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \cdot r^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 \)이다. 따라서 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \perp r^{\prime}\left(t_{0}\right) \), 즉 수직이다.</p> <p>생각하기 삼변수함수의 경우에 경도벡터와 등위면이 수직이 된다.</p> <p>예 함수 \( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \)의 등위선은 동심원 \( x^{2}+y^{2}=c, c>0 \)들이다. 점 \( (x, y) \neq(0,0) \)에서 경도는 \( \nabla f(x, y)=2(x, y) \)이다. 그러므로 경도의 방향은 원점에서 점 \( (x, y) \)으로 멀어지는 방향이다. 한편 동심원의 점 \( (x, y) \)에서 \( \frac{d y}{d x}=-\frac{2 x}{2 y} \)이므로, 접선벡터는 \( 2(y,-x) \)이다. 따라서 점 \( (x, y) \)에서 동심원과 경도는 수직을 이룬다.</p> <p>정리 등위면과 경도벡터의 수직성</p> <p>상수가 아닌 연속미분가능한 삼변수함수 \( F=F(x, y, z) \)에 대하여, 0 벡터가 아닌 경도 벡터를 갖는 영역의 각 내점에서 이 점을 지나는 등위면은 경도 벡터와 수직이다.</p> <p>증명 2변수 함수의 증명과 같은 논법으로 하면 된다. \( F(x, y, z)=k, k \)는 상수를 만족하는 곡면 \( (F=k \)인 등위면 \( ) \)을 \( S \)라고 하자. \( S \)에 놓여 있는 점 \( P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 택하자. 그리고 곡선 \( C \)는 \( P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 지난다고 하자. 곡선 \( C \)는 미분가능한 함수 \( x(t), y(t), z(t) \)에 의하여 \( r(t)=(x(t), y(t), z(t)) \)로 표현되고, \( t_{0} \)에서는 \( r\left(t_{0}\right)=\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right), z\left(t_{0}\right)\right)=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)되게 할 수 있다. 곡선 \( C \)가 곡면 \( S \)에 놓여 있다. 그러므로 \( r(t)=(x(t), y(t), z(t)) \)은 \( F(x(t), y(t), z(t))=k \)을 만족한다. 또한 \( x(t), y(t), z(t) \)가 미분가능한 함수이기 때문에 연쇄법칙에 의하여 \( \frac{d F}{d t}=\frac{\partial F}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial F}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial F}{\partial z} \frac{d z}{d t}=0 \)이다. \( \nabla F=\left(F_{x}, F_{y}, F_{z}\right) \)이고 \( r^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) \) 이다. 그러므로 \( \nabla F \cdot r^{\prime}(t)=0 \)이다. 특히 \( r\left(t_{0}\right)=\left(x\left(t_{0}\right), y\left(t_{0}\right), z\left(t_{0}\right)\right)=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) 이다. 그러므로 \( \quad t=t_{0} \)에서 \( \nabla F\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \cdot r^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 \)이다.</p> <h1>16.7 라그랑주 미정계수법</h1> <h2>들어가기</h2> <p>\( x+y-1=0 \)일 때, \( x y \)의 최대값을 구해보자.</p> <p>풀이 \( x+y-1=0 \)이므로 \( y=1-x \)이다. 따라서 식 \( x y \)를 일변수함수 \( h(x)=x(1-x) \)로 생각하고 최대값을 찾으면 된다. 미분을 이용하면, \( h^{\prime}(x)=1-2 x \)이고 \( h^{\prime \prime}(x)=-2 \)이다. 그러므로 \( x=\frac{1}{2} \)에서 최대값 \( h\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4} \)이다.</p> <p>예 직육면체의 모서리의 길이의 합은 12a이다. 이때 직육면체가 가질 수 있는 부피의 최대값을 구해보자.</p> <p>풀이 직육면체의 세 모서리 길이를 \( x, y, z \)라고 하면, 부피 \( V \)는 \( V=x y z \)이다. 그리고 모서리 길이에 대한 조건식은 \( 4(x+y+z)=12 a \)이다. 그러므로 \( z=3 a-(x+y) \)이고 \( V \)는 이변수함수 \( V(x, y)=x y[3 a-(x+y)] \)가 된다. 따라서 \( V(x, y) \)의 최대값을 구하면 된다. 이때 모서리 길이에 대한 제약조건을 고려하자. 그러면 \( 0 \leqq x<3 a, 0 \leqq y \leqq 3 a, x+y=3 a \)를 경계로 하는 삼각형 영역에서 \( V(x, y) \)의 최대값을 찾는 문제가 된다.</p> <p>편도함수를 이용하여 이 문제를 풀어보자. \[\begin{array}{l}V_{x}=-x y+y[3 a-(x+y)]=3 a y-2 x y-y^{2} \\V_{y}=-x y+x[3 a-(x+y)]=3 a x-2 x y-x^{2}\end{array}\] 방정식 \( 0=V_{x}=V_{y} \Leftrightarrow(3 a-2 x-y) y=0,(3 a-x-2 y) x=0, x, y>0 \)이다. 그러므로 \( 3 a-2 x-y=0,3 a-x-2 y=0 \)이다. 따라서 구하는 해는 \( x=y=a \)이다. 점 \( (a, a) \)는 삼각형의 내부 점이므로 부피 함수 \( V \)의 유일한 정류점이다. 그리고 \( V(a, a)=a^{3} \)은 최대값이다. 여기서 이러한 최대최소 문제가 어떻게 풀렸는지 살펴보자. 푸는 과정에서 연립방정식 \( 3 a-2 x-y=0,3 a-x-2 y=0 \)은 \( 3 a=2 x+y, 3 a=x+2 y \)이다. 이때 미지수 하나가 소거될 수 있었기 때문이다. 이와 유사한 방식으로 일반화하여 다변수함수의 최대-최소 문제를 해결하는 핵심 키가 되는 미지수를 소거하여 미지수의 개수를 줄이는 보다 세련된 방법을 알아보자.</p> <p>[보조정리] 최대점, 최소점에서 경도</p> <p>함수 \( f \)는 열린집합 \( U \)에서 연속 미분가능한 이변수 또는 삼변수 함수라고 하자. \( U \)안에 완전히 포함되는 곡선 \( C: r=r(t), t \in I \)가 다음 조건을 갖는다고 가정하자.</p> <ol type=1 start=1><li>모든 \( t \in I \)에서 \( r^{\prime}(t) \neq 0 \)이고,</li> <li>곡선 \( C \)위의 점 \( x_{0} \)에서 함수 \( f \)가 최대값 또는 최소값을 갖는다.</li></ol> <p>그러면 \( \nabla f\left(x_{0}\right) \)는 \( x_{0} \)에서 곡선 \( C \)에 수직이다.</p> <p>\( t_{0} \) 를 \( r\left(t_{0}\right)=x_{0} \) 되도록 택하자. 정리의 가정으로부터 합성함수 \( f(r(t)) \)는 \( t_{0} \)에서 최대값 또는 최소값을 갖는다. 따라서 \( \frac{d}{d t} f(r(t))=\nabla f(r(t)) \cdot r^{\prime}(t) \)이다. 그리고 \[\begin{aligned}0=\frac{d}{d t} f\left(r\left(t_{0}\right)\right) &=\nabla f\left(r\left(t_{0}\right)\right) \cdot r^{\prime}\left(t_{0}\right) . \\&=\nabla f\left(x_{0}\right) \cdot r^{\prime}\left(t_{0}\right)\end{aligned}\] \( r^{\prime}\left(t_{0}\right) \)는 곡선 \( C \)에 접하는 접선벡터이다. 그러므로, \( \nabla f\left(x_{0}\right) \)는 점 \( x_{0} \)에서 \( C \)에 수직이다.</p> <p>정의 연속미분가능</p> <p>열린영역 \( U \)에서 다변수함수 \( f(x, y, z) \)가 미분가능하고, \( \nabla f(x, y, z) \)가 \( U \)에서 연속일 때, 즉 편도함수 \( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z), \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \) 모두가 \( U \)에서 연속일 때, \( f \)를 \( U \)에서 연속미분가능하다고 말한다.</p> <p>정리 연쇄법칙 \|</p> <p>함수 \( x(t) \) 와 \( y(t) \) 가 실수 \( t \) 에서 미분가능하고, 다변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 \( r(t)=(x(t) \), \( y(t)) \) 에서 미분 가능하면, 함수 \( z(t)=f(r(t))=f(x(t), y(t)) \) 는 \( t \) 에서 미분가능하다. 그리고 그 도함수는 다음과 같다. \[\frac{d z}{d t}=\frac{d}{d t} f(r(t))=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t}=\nabla f(r(t)) \cdot r^{\prime}(t)\]</p> <p>예 \( z=x y, x=\sin t, y=\cos t \)일 때 \( \frac{d z}{d t} \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 연쇄법칙을 이용하면 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>\( \begin{aligned} \frac{d z}{d t} &=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t} \\ &=y \cos t-x \sin t=\cos ^{2} t-\sin ^{2} t=\cos 2 t \end{aligned} \)</p> <p>정리 연쇄법칙 II</p> <p>두 이변수함수 \( x=\phi(s, t), y=\psi(s, t) \) 가 점 \( (s, t) \) 에서 미분가능하고, 이변수함수 \( z= f(x, y) \)가 점 \( (\phi(s, t), \psi(s, t)) \)에서 미분가능하면, 합성함수인 이변수함수 \( z=f(\phi(s, t) \), \( \psi(s, t)) \)는 점 \( (s, t) \)에서 미분가능하다. 그리고 각 변수 \( s, t \)의 편도함수들은 다음과 같다. \[\begin{array}{l}\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \\ \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t} \end{array}\]</p> <p>예 \( z=x^{3}+y^{3}, x=s \sin t, y=s \cos t \)이다. 이때 편미분계수 \( \frac{\partial z}{\partial s}\left(3, \frac{\pi}{2}\right) \)의 값을 구하여 보자.</p> <p>풀이 \( \frac{\partial x}{\partial s}=\sin t, \frac{\partial y}{\partial s}=\cos t\) 이고 \( \frac{\partial z}{\partial x}=3 x^{2}, \frac{\partial z}{\partial y}=3 y^{2} \)이다. 그러므로 \( \frac{\partial z}{\partial s} \)는 연쇄법칙을 적용하면, 다음과 같이 계산된다. \[\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial s} &=\frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s} \\&=3 x^{2} \sin t+3 y^{2} \cos t \\&=3 s^{2} \sin ^{3} t+3 s^{2} \cos ^{3} t\end{aligned}\] 그러므로 구하는 편미분계수는 \( \frac{\partial z}{\partial s}\left(3, \frac{\pi}{2}\right)=27 \)이다.</p> <p>예 \( z=f(x, y), x(s, t)=s+t, y(s, t)=s-t \) 는 다음 등식이 성립한다. \[\frac{\partial z}{\partial s} \frac{\partial z}{\partial t}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}\]</p> <p>풀이 \[\frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial t}=1, \frac{\partial y}{\partial s}=1, \frac{\partial y}{\partial t}=-1 \text { 이다. }\] 따라서 연쇄법칙을 적용하여 계산하면 다음 등식을 얻는다. \[\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}\]</p> <p>\[ \frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}-\frac{\partial z}{\partial y} \] 그러므로 \( \frac{\partial z}{\partial s} \frac{\partial z}{\partial t}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}-\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2} \)</p> <h1>16.2 방향미분과 경도</h1> <p>생각하기 일변수함수와는 다르게 다변수함수의 미분가능성의 문제는 편미분만으로는 충분하지 못하다. 앞장의 예제를 통하여 이미 알고 있다. 편도함수는 정해진 한 점에 접근하는 특정한 방향에 대하여 다변수함수의 행동 변화를 반영하기 때문이다.</p> <p>일변수함수에서 \( y=f(x) \)가 \( x=a \)에서 미분가능하다는 것은 \( f \)의 그래프에 놓여있는 점 \( (a, f(a)) \)에서 국소적으로 선형인 것을 의미하였다.</p> <p>같은 의미를 이변수함수 \( z=f(x, y) \)가 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 \( f \)가 미분가능하다는 의미를 유추해 본다면, \( f \)의 그래프에 놓여있는 점 \( \left.\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)\right) \)에서 국소적으로 모든 방향에서 선형 함수(접평면)로 한없이 근사시킬 수 있다는 것을 의미한다.</p> <p>일변수함수 \( f(x) \)가 점 \( x \)에서 미분가능하다의 정의: \[\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right]=f^{\prime}(x)\]</p> <p>이 표준적인 정의는 극한과 관련한 다음 식들과 동치이다; \[\begin{array}{l}\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)-h f^{\prime}(x)}{h}\right]=0, \\\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)-h f^{\prime}(x)}{\|h\|}\right]=0\end{array}\]</p> <p>이제 일변수함수의 미분가능의 정의를 일반화하여 다변수함수의 미분가능을 정의하여보자. 편의상 일반적인 \( n \)변수함수 대신에 이변수함수 또는 삼변수함수만을 다룬다. 대부분의 내용들은 자동적으로 일반적인 \( n \)변수함수로 확장될 수 있다.</p> <p>정의 다변수함수의 극한</p> <p>다변수함수 \( g(h) \)의 극한 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(h)}{\\|h\\|}=0 \)의 의미를 \( g(h)=o(h) \)으로 표기한다. 여기서 \( h \)는 벡터이고 0는 영벡터이다.</p> <p>벡터의 내적</p> <p>\( v=\left(v_{1}, \cdots, v_{n}\right), h=\left(h_{1}, \cdots, h_{n}\right) \)일 때, \( v \cdot h=y_{1} h_{1}+\cdots+y_{n} h_{n} \)으로 정의한다. 이를 두 벡터 \( v \)와 \( h \)의 내적이라 부른다.</p> <p>정의 다변수함수의 미분가능성, 경도(기울기, 경사, gradient)</p> <p>어떤 벡터 \( w \)에 대하여 \( f(x+h)-f(x)=w \cdot h+o(h) \)이 성립할 때, 다변수함수 \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하다고 말한다. 그리고 식을 만족하는 벡터 \( w \)를 점 \( x \)에서 다변수함수 \( f \)의 경도라고 부른다. 더불어 기호로 \( \nabla f(x) \)으로 표시한다. 즉, \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하면, 점 \( x \)에서 \( f \)의 경도 \( \nabla f(x) \)는 \( f(x+h)-f(x)=\nabla f(x) \cdot h+o(h) \)가 성립하는 유일한 벡터이다.</p> <p>예 이변수함수 \( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \)가 점 \( (x, y) \)에서 미분가능한지 알아보자.</p> <p>풀이 \[ f(x+h)-f(x)=f\left(x+h_{1}, y+h_{2}\right)-f(x, y) \] \[ =\left(x+h_{1}\right)^{2}+\left(y+h_{2}\right)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right) \] \[ =2 x h_{1}+2 y h_{2}+h_{1}^{2}+h_{2}^{2} \] \[ =(2 x, 2 y) \cdot\left(h_{1}, h_{2}\right)+\\|h\\|^{2} \] \( \\|h\\|^{2} \)은 \( o(h) \)이다.</p> <p>따라서 함수 \( f(x, y)=x^{2}+y^{2} \)에 대하여 임의의 \( (x, y) \)에서 벡터 \( w=(2 x, 2 y) \)는 \( f(x+h) \) \( -f(x)=w \cdot h+o(h) \)을 만족하는 벡터이다. 그러므로 \( f(x, y) \)는 미분가능하다. 따라서 \( (x, y) \)에서 \( f \)의 경도는 \( w=\nabla f(x)=\nabla f(x, y)=(2 x, 2 y) \)이다.</p> <p>정리 미분가능성과 연속</p> <p>다변수함수 \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하면, \( f \)는 \( x \)에서 연속이다.</p> <p>증명 \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하다. 그러므로, \[f(x+h)-f(x)=\nabla f(x) \cdot h+o(h) .\] 따라서 \( \|f(x+h)-f(x)\|=\|\nabla f(x) \cdot h+o(h)\| \)\[\begin{array}{l}\leq\|\nabla f(x) \cdot h\|+\|o(h)\| \\\leq\\|\nabla f(x)\\|\\|h\\|+\|o(h)\| .\end{array}\] 여기서 \( \\|\nabla f(x)\\| \) 는 \( h \) 와 무관한 고정된 실수이다. 따라서 \( \\|h\\| \rightarrow 0 \)이면, \( f(x+h) \rightarrow f(x) \)이다.</p> <p>아래에 정의하는 방향미분은 편미분을 일반화한 정의이다.</p> <p>정의 방향미분</p> <p>\( u \)가 단위 벡터이고 실수 \( h \rightarrow 0 \)일 때, \[D_{u} f(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h u)-f(x)}{h}\] 여기서 극한이 존재하면, 이를 \( x \)에서 \( u \) 방향으로의 방향미분 또는 \( u \)-방향미분계수라고 부른다, 그리고 \( D_{u} f(x) \)로 표기한다.</p> <p>또한 \( D_{u} f(x) \) 이 \( x \) 의 함수일 경우에, 이를 함수 \( f \) 의 \( u \)-방향도함수라 한다. 특히 단위벡터 \( i, j, k \)의 방향미분(또는 방향도함수)는 편미분계수(또는 편도함수)이다. 즉 \[ D_{i} f(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x), D_{j} f(x)=\frac{\partial f}{\partial y}(x), D_{k} f(x)=\frac{\partial f}{\partial z}(x) \]</p> <p>정의 벡터함수의 극한</p> <p>벡터함수 \( r(t)=(f(t), g(t), h(t))=f(t) i+g(t) j+h(t) k \)에 대하여 \( r(t) \)의 세 성분함수 \( f(t), g(t), h(t) \)가 점 \( t_{0} \)에서 극한이 존재할 때, \( r(t) \)는 \( t_{0} \)에서 극한이 존재한다고 말한다. 이때 각 성분의 극한이 \[\lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=l_{1}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} g(t)=l_{2}, \lim _{t \rightarrow t_{0}} h(t)=l_{3}\] 이면, \( r \)의 \( t_{0} \)에서의 극한은 \( l=\left(l_{1}, l_{2}, l_{3}\right) \)이다. \( r \)의 \( t_{0} \)에서의 극한을 기호로 \( \lim _{t \rightarrow t_{0}} r(t)=l \) 표기한다.</p> <p>참고 \( \lim _{t \rightarrow t} r(t)=l \)일 필요충분 조건은 \( \lim _{t \rightarrow t_{0}}\\|r(t)-l\\|=0 \)이다.</p> <p>예 \( r(t)=\cos (t+\pi) i+\sin (t+\pi) j+e^{-t^{2}} k \)이다. 이때 극한 \( \lim _{t \rightarrow 0} r(t) \)을 구해보자.</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} \lim _{t \rightarrow 0} r(t) &=\lim _{t \rightarrow 0}\left[\cos (t+\pi) i+\sin (t+\pi) j+e^{-t^{2}} k\right] \\ &=\left(\lim _{t \rightarrow 0} \cos (t+\pi), \lim _{t \rightarrow 0} \sin (t+\pi), \lim _{t \rightarrow 0} e^{-t^{2}}\right) \\ &=(-1,0,0) \end{aligned} \)</p> <p>정의 벡터함수의 연속</p> <p>벡터함수 \( r(t)=(f(t), g(t), h(t))=f(t) i+g(t) j+h(t) k \)에 대하여 \( r(t) \) 세 성분함수 \( f(t), g(t), h(t) \)가 점 \( t_{0} \)에서 연속일 때, \( r(t) \)는 \( t_{0} \)에서 연속이라고 한다. 이를 기호로 \( \lim _{t \rightarrow t_{0}} r(t)=r\left(t_{0}\right) \) 표기한다.</p> <p>벡터함수의 미분가능</p> <p>벡터함수 \( r(t)=(f(t), g(t), h(t))=f(t) i+g(t) j+h(t) k \)에 대하여, \( r(t) \)의 세 성분함수 \( f(t), g(t), h(t) \)가 점 \( t \)에서 미분가능할 때, 벡터함수 \( r(t) \)는 \( t \)에서 미분가능하다고 한다. 그리고 기호로 \[r^{\prime}(t)=\left(f^{\prime}(t), g^{\prime}(t), h^{\prime}(t)\right)=\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{r(t+h)-r(t)}{h}\right]\] 표시하고,\( r^{\prime}(t) \)를 \( r \)의 \( t \)에서 미분이라고 한다.</p> <p>생각하기 \( r(t) \)와 \( r^{\prime}(t) \)에 대한 그래프</p> <p>곡선 상의 점 \( P(f(t), g(t), h(t)) \)에서 접선에 대한 방향벡터로서 \( r^{\prime}(t) \)</p> <p>예 \( r(t)=t i+\sqrt{t+1} j-e^{t} k \) 에서 정의역은 \( [-1, \infty) \) 이다. 그리고 \( r(0)=j-k \), \( r^{\prime}(t)=i+\frac{1}{2}(t+1)^{-1 / 2} j-e^{t} k \), \( \\|r(t)\\|=\sqrt{t^{2}+t+1+e^{2 t}} \) \( r^{\prime}(0)=i+\frac{1}{2} j-k, \quad r(t) \cdot r^{\prime}(t)=t+\frac{1}{2}+e^{2 t} \)이다.</p> <p>예 \( r(t)=t \sin t i+e^{-t} j+t k \), 에서, \( r^{\prime}(t)=(t \cos t+\sin t) i-e^{-t} j+k \), \( r^{\prime \prime}(t)=(2 \cos t-t \sin t) i+e^{-t} j \)이다.</p> <p>예 나선을 이루는 벡터함수는 \( r(t)=(2 \cos t, \sin t, t) \)이다. 점 \( \left(0,1, \frac{\pi}{2}\right) \)에서 접선방정식을 구해보자.</p> <p>풀이 \( r(t)=(2 \cos t, \sin t, t)=\left(0,1, \frac{\pi}{2}\right) \)에서 \( t=\frac{\pi}{2} \)이다. 벡터함수 \( r(t) \)의 매개변수방정식은 \( x=2 \cos t, y=\sin t, z=t \)이다. 그리고 \( r^{\prime}(t)=(-2 \sin t, \cos t, 1) \)이다. 그러므로 접선의 방향벡터는 \( \left.r^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=(-2 \sin t, \cos t, 1)\right]_{t=2} \frac{\pi}{2}=(-2,0,1) \) 이다. 그러므로 점 \( \left(0,1, \frac{\pi}{2}\right) \) 에서 접선의 매개변수방정식은 다음과 같다. \[x=-2 t, \quad y=1, \quad z=\frac{\pi}{2}+t\]</p> <h2>전미분과 근사값</h2> <p>정의 증분, 전미분</p> <p>다변수함수 \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하다고 하자. 이때 \( f \) 의 증분: \( \quad \Delta f=f(x+h)-f(x) \) \( f \) 의 전미분; \( \quad d f=\nabla f(x) \cdot h \) 으로 정의한다. \( \\|h\\| \)가 작을 때, \( \Delta f \cong d f \)이다. 즉 \( \Delta f-d f=o(h) \)이다. 전미분 \( d f \)이 증분 \( \triangle f \)의 유효한 근사값이 되려면, \( \\|h\\| \rightarrow 0 \)에 따라 \( \frac{d f-\nabla f}{\\|h\\|} \rightarrow 0 \)으로 수렴하는 사실을 보여야한다. 앞 절에서 \( \Delta f=f(x+h)-f(x)=\nabla f(x) \cdot h+o(h) \)임을 알고 있다. 따라서 \( \Delta f-d f=f(x+h)-f(x)-\nabla f(x) \cdot h=o(h) \)이다. 즉 \( \\|h\\| \rightarrow 0 \)이면, \( \frac{d f-\nabla f}{\\|h\\|} \rightarrow 0 \)이다.</p> <p>생각하기 이변수함수 \( f(x, y) \) 에 대하여, \( x=(a, b), h=(\Delta x, \Delta y) \) 라고 놓자. \( f \) 의 증분: \( \Delta f=f(x+h)-f(x)=f(a+\Delta x, b+\Delta y)-f(a, b) \) \( f \) 의 전미분: \( d f=\nabla f(x) \cdot h=\frac{\partial f}{\partial x}(a, b) \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(a, b) \triangle y \) 즉 \( d f=f_{x}(a, b) \triangle x+f_{y}(a, b) \triangle y \).</p> <p>같은 방법으로 삼변수함수 \( f(x, y, z), x=(a, b, c), h=(\triangle x, \Delta y, \Delta z) \)일 때 전미분 \( d f: d f=\frac{\partial f}{\partial x}(a, b, c) \Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}(a, b, c) \Delta y+\frac{\partial f}{\partial z}(a, b, c) \Delta z \)</p> <p>그래프를 통한 전미분의 이해</p> <p>전미분과 증분의 차 \( d f-\Delta f \)를 그래프 그림으로 알아보자. 점 \( P\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) \)에서의 접평면과 곡면 \( z=f(x, y) \)은 점 \( \left(x_{0}+\Delta x, y_{0}+\Delta y\right) \) 위에서 떨어져있는 거리이다.</p> <p>예 \[f(x, y)=y x^{2 / 5}+x \sqrt{y} \text { 이다. }\] 점 \( (32,16) \), 점 \( (35,18) \)에서 함수값의 차를 전미분을 이용하여 근사적으로 구하자.</p> <p>풀이 \[\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2}{5} x^{-3 / 5} y+\sqrt{y}, \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2 / 5}+\frac{x}{2 \sqrt{y}} \\ d f=\left[\frac{2}{5} x^{-3 / 5} y+\sqrt{y}\right] \Delta x+\left[x^{2 / 5}+\frac{x}{2 \sqrt{y}}\right] \Delta y \\ x=32, y=16, \Delta x=3, \Delta y=2 \text { 를 대입하면, } \\ d f=\left[\frac{2}{5} 32^{-3 / 5} 16+\sqrt{16}\right] 3+\left[32^{2 / 5}+\frac{32}{2 \sqrt{16}}\right] 2=30.4 .\end{array}\] 따라서 두 점 \( (32,16) \) 과 \( (35,18) \) 에서 함수값의 차이는 근사적으로 약 \( 30.4 \) 이다. 즉 \( \Delta f=f(35,18)-f(32,16) \approx 30.4 \)</p> <p>예 전미분을 사용하여 \( \sqrt{27}(1021)^{\frac{1}{3}} \)의 근사값을 구해보자.</p> <p>풀이 \(\sqrt{25}=5,(1000)^{\frac{1}{3}}=10\)이다. 이 문제에 적합한 다변수함수는 \( f(x, y)=\sqrt{x} y^{\frac{1}{3}}=x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}} \)이다. 그리고 \( x=25, y=1000 \)에서 \( f\left(5^{2}, 10^{3}\right)=50 \) 이다. \( x=25, y=1000 \) 에서 \( x=27, y=1021 \) 까지의 전미분의 값을 구하자. 전미분 \( d f=\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{3}} \Delta x+\frac{1}{3} x^{\frac{1}{2}} y^{-\frac{2}{3}} \Delta y \) 따라서 \( x=25, y=1000, \Delta x=2, \Delta y=21 \) 을 대입하여 계산하면, \( d f=2.35 \) 이다. 따라서 구하는 근사값은 \( \sqrt{27}(1021)^{\frac{1}{3}} \approx 50+2.35=52.35 \).</p> <p>최대 또는 최소 문제</p> <p>1변수함수이론에서 유계한 폐구간에서 정의된 연속함수는 최대값과 최소값을 갖는다. 이를 다변수함수로 확장하면 유계한 폐집합에서 정의된 다변수 연속함수는 최대값과 최소값을 갖는다. 하지만 다변수함수의 유계한 폐집합에서 최대값 또는 최소값을 구하는 방법은 일변수함수보다 복잡하다. 최대값 또는 최소값을 구하기 위하여, 함수 \( f \)의 영역 내부의 임계점들을 찾아야 한다. 뿐만 아니라 영역의 경계에서도 함수값을 조사하여야 한다. 영역의 경계를 곡선으로 볼 수 있다. 이때 영역의 경계 곡선을 매개변수에 의한 벡터함수 \( r=r(t) \)로 표현할 수 있다면 문제는 해결된다. 즉 영역의 경계에서 함수값은 \( f(r(t)) \)으로 일변수함수가된다. 따라서 \( f(r(t)) \)의 극값, 최대값, 최소값 등을 구한다. 마지막으로 영역 내부의 극값들과 경계에서의 극값들을 최종적으로 종합하여 최대값, 최소 값을 정한다. 다변수함수가 연속이 아니거나, 영역이 유계하지 않거나 또는 폐집합이 아닌 경우에는 기하 또는 물리적인 고찰을 통하여 함수의 최대값, 최소값을 찾는 방법을 생각해 볼 수 있다.</p> <p>예 영역 \( \Omega=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 2 x\} \)에서 \( f(x, y)=x y-2 x-3 y \)의 최대값 또는 최소값을 구하여보자.</p> <p>풀이 영역 \( \Omega=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 4,0 \leq y \leq 2 x\} \)는 삼각형으로서 유계한 폐집합이다. 그리고 삼각형 영역 \( \Omega \)에서 \( f(x, y)=x y-2 x-3 y \)는 연속이다. 따라서 \( f \)는 \( \Omega \)에서 최대값 및 최소값을 갖는다. 그리고 \( f \) 는 \( \Omega \) 내부의 모든 점에서 미분가능하다. 그러므로 \( \nabla f(x, y)=0 \)를 만족하는 임계점을 찾아보자. 즉 \[\nabla f(x, y)=((y-2),(x-3))=(0,0)\] 해 \( (x, y)=(3,2) \) 영역 \( \Omega \)에 있는 놓여 있다. 그러므로 임계점은 \( (3,2) \) 오직 하나이다. 임계점 \( (3,2) \)가 극대점 또는 극소점인지를 판정하자. 임계점 \( (3,2) \)의 근방에서 함수값은 \( f(3+h, 2+k)-f(3,2)=h k \)으로 행동한다. 따라서 \( h \)와 \( k \)의 선택에 따라 \( h k \)는 음수 또는 양수가 된다. 그러므로 점 \( (3,2) \)는 \( f \)의 안장점이다. 이제 \( \Omega \)의 경계인 삼각형의 각 변을 매개변수 방정식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\( \begin{array}{ll}C_{1}: & r_{1}(t)=t i+2 t j, \quad 0 \leq t \leq 4 \\ C_{2}: & r_{2}(t)=4 i+t j, \quad 0 \leq t \leq 8 \\ C_{3}: & r_{3}(t)=t i, \quad 0 \leq t \leq 4\end{array} \)</p> <p>이들 세 변 위에서 함수 \( f \)는 다음과 같이 표현할 수 있다. \[\begin{array}{l}f_{1}(t)=f\left(r_{1}(t)\right)=t(2 t)-2 t-3(2 t)=2 t^{2}-8 t, \\f_{2}(t)=f\left(r_{2}(t)\right)=t-8, \quad 0 \leq t \leq 8 \\f_{3}(t)=f\left(r_{3}(t)\right)=-2 t, \quad 0 \leq t \leq 4\end{array}\]</p> <p>\( f_{1}, f_{2}, f_{3} \) 의 최대값과 최소값을 구하자. \( f_{1}(t)=2 t(t-4), 0 \leqq t \leqq 4 \) 의 최소값 -8, 최대값 0 \( f_{2}(t)=t-8,0 \leq t \leq 8 \) 의 최소값 -8, 최대값 0 \( f_{3}(t)=-2 t, 0 \leq t \leq 4 \) 의 최소값 -8, 최대값 0. 따라서 삼각형 영역 \( \Omega \)에서 \( f \)의 최대값은 0이고 최소값은 -8이다.</p> <h1>16.5 접평면, 전미분, 근사값</h1> <p>정의 접평면방정식</p> <p>정리에 따르면 점 \( x_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)에서 곡면 \( f(x, y, z)=c=f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)에 접하는 평면 (즉 접평면)은 \( \nabla f\left(x_{0}\right) \)를 법(선)벡터로 갖는다. 기하적 의미로서 접평면은 \( x_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)가 놓여있는 평면들 중에서 \( \mathrm{x}_{0}=\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)의 근방에서 이 곡면에 가장 가까이 접근하는 평면이다.</p> <p>3 차원 공간의 점 \( x \) 가 접평면 위에 놓여 있는 점일 필요충분조건은 \[\left(\mathrm{x}-\mathrm{x}_{0}\right) \cdot \nabla f\left(\mathrm{x}_{0}\right)=0 .\] \( f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=c \) 인 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) 에서 \( f \) 의 접평면방정식은 \[\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)+\left(z-z_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial z}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=0 .\]</p> <p>예 점 \( (1,2,3) \)에서 곡면 \( x y+y z+z x=11 \)의 접평면의 방정식을 구하여라.</p> <p>풀이 \( f(x, y, z)=x y+y z+z x=11=f(1,2,3) \)라고 하자. \( f \)의 경도는 \( \nabla f(x, y, z)=(y+z, x+z, x+y) \). 점 \( (1,2,3) \)에서 경도벡터는 \( \nabla f(1,2,3)=(5,4,3) \).</p> <p>그러므로 접평면의 방정식은 \[(x-1, y-2, z-3) \cdot \nabla f(1,2,3)=5(x-1)+4(y-2)+3(z-3)=0 .\] 이 방정식을 정리하면, \( 5 x+4 y+3 z-22=0 \)이다.</p> <p>예 이변수함수 \( z=g(x, y) \)의 그래프는 곡면을 이룬다. 이때 \( f(x, y, z)=g(x, y)-z=0 \)인 음함수 방정식으로 생각할 수 있다. 이변수함수 \( g \)가 미분가능하면, 삼변수함수인 \( f \)도 미분가능하다. 그리고 \[\nabla f(x, y, z)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x, y), \frac{\partial g}{\partial y}(x, y),-1\right) .\] 따라서 \( g \)의 그래프에 놓여 있는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \) (즉 \( \left.z_{0}=g\left(x_{0}, y_{0}\right)\right) \) 에서 접평면의 방정식은, \[\begin{array}{l}\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \cdot \nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \\ =\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right) \cdot\left(\frac{\partial g}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right), \frac{\partial g}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-1\right)=0 .\end{array}\] 즉 \( z-z_{0}=\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial g}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial g}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \). 특히 \( \nabla g\left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,0) \)일 때, 접평면방정식은 \( z=z_{0} \)이다. 그러므로 접평면은 \( x y \)평면과 평행한 평면이다.</p> <p>예 점 \( (1,1,3) \)에서, 곡면 \( z=2 x^{2}+y^{2} \)의 접평면방정식을 구해보자.</p> <p>풀이 \( f(x, y)=2 x^{2}+y^{2} \)으로 놓자. 1 계편도함수는 \( \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)=4 x, \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=2 y \). 이다. 그러므로 점 \( x=1, y=1 \) 에서 \[\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=4, \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2 .\] 따라서 점 \( (1,1,3) \) 에서 구하는 접평면방정식: \[\begin{aligned}z-3 &=(x-1) \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)+(y-1) \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) \\&=4(x-1)+2(y-1)=4 x+2 y-3 .\end{aligned}\] 식을 정리하면, 접평면방정식은 \(z=4 x+2 y-3\)이다.</p> <p>예 곡면 \( z=f(x, y)=5-x^{2}-2 y^{2} \)은 \( (1,1) \)에서 접평면의 방정식을 구해보자.</p> <p>풀이 편도함수들이 \( f_{x}(x, y)=-2 x \)이고 \( f_{y}(x, y)=-4 y \)이므로 연속이다. 따라서 정리에 의하여 \( f \)는 \( (1,1) \)에서 미분가능하다. 그리고 \( z=f(1,1)=5-1^{2}-2 \cdot 1^{2}=2 \)이다. 그리고 \( f_{x}(1,1)=-2, f_{y}(1,1)=-4 \)이다. 따라서 곡면에 놓여있는 점 \( (1,1,2) \)에 접하는 평면의 방정식은 \[\begin{aligned}z &=f\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(y-y_{0}\right) \\ &=2-2(x-1)-4(y-1)=-2 x-4 y+8 \text { 이다. }\end{aligned}\]</p> <p>예 곡면 \( z=3 x y-x^{3}-y^{3} \) 의 접평면이 수평을 이루는 곡면의 점을 조사해보자.</p> <p>풀이 곡면 \( z=3 x y-x^{3}-y^{3} \) 그래프 및 등위선 그래프</p> <p>이변수함수 \( g(x, y)=3 x y-x^{3}-y^{3} \) 의 1 계-편도함수는 \[\frac{\partial g}{\partial x}(x, y)=3 y-3 x^{2}, \frac{\partial g}{\partial y}(x, y)=3 x-3 y^{2} .\] 따라서 두 연립방정식의 해는 점 \( (x, y) \) 에서 곡면의 접평면이 수평을 이룬다. \[\frac{\partial g}{\partial x}(x, y)=3 y-3 x^{2}=0, \frac{\partial g}{\partial y}(x, y)=3 x-3 y^{2}=0\] 연립방정식 \( 3 y-3 x^{2}=0,3 x-3 y^{2}=0 \)의 해는 \( (0,0) \)과 \( (1,1) \)이다. \( g(0,0)=0, g(1,1)=1 \)이므로, 접평면이 수평인 곡면 위의 점은 \( (0,0,0) \)와 \( (1,1,1) \)이다.</p> <p>단위방향벡터</p> <p>\( u=(\cos \theta, \sin \theta) \)</p> <p>[참조] 방향미분의 정의</p> <p>이변수함수 \( f(x, y) \)의 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 \( v=(a, b) \)일 때, \( v \)-방향미분계수의 정의: \[D_{v} f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h a, y_{0}+h b\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h}\]</p> <p>생각하기 방향미분의 기하적 이해</p> <p>곡면 \( f(x, y) \)에 놓여있는 점 \( P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right), z_{0}=f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 방향(벡터) \( v=(a, b) \quad(\neq 0) \)으로의 방향미분계수 \( D_{v} f\left(x_{0}, y_{0}\right) \) :</p> <p>[중요] 일반 벡터 \( v(\neq 0) \) 에 대하여 \( v \)-방향미분계수 \( D_{v} f(x)=D_{u} f(x) \) 이다.</p> <p>여기서 \( u=\frac{v}{\\|v\\|} \) 는 단위벡터.</p> <p>다변수함수 \( f \)의 방향도함수와 경도 \( \nabla f \)의 관계는 다음 정리에 의해 기술된다.</p> <p>정리 방향도함수와 경도</p> <p>다변수함수 \( f \)가 점 \( x \)에서 미분가능하다고 가정하자. 그러면 \( f \)는 점 \( x \)에서 모든 단위벡터 \( u \)방향으로 \( u \)-방향미분계수를 가진다. 그리고 방향미분계수는, 경도와 벡터 \( u \)의 내적으로 다음 등식이 성립한다.</p> <p>\[ D_{u} f(x)=\nabla f(x) \cdot u \]</p> <p>\( u \)를 단위방향벡터, \( f \)는 점 \( x \)에서 미분가능하다 하자. 그러면 \( f \)는 \( x \)에서 경도 \( \nabla f(x) \)를 갖는다. 그리고 실수 \( h \neq 0 \)에 대하여, 다음 등식이 성립한다.</p> <p>\[ f(x+h u)-f(x)=\nabla f(x) \cdot h u+o(h u) \].</p> <p>따라서 \( \frac{f(x+h u)-f(x)}{h}=\frac{\nabla f(x) \cdot h u+o(h u)}{h} \). 여기서 \( h \rightarrow 0 \) 이면, \[\left\|\frac{o(h u)}{h}\right\|=\frac{\|o(h u)\|}{\|h\|}=\frac{\|o(h u)\|}{\\|h u\\|} \rightarrow 0 .\] 그러므로 \( D_{u} f(x)=\nabla f(x) \cdot u \)이다.</p> <p>참고 단위벡터 \( i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1) \)를 사용하면, \( f \)의 경도는 점 \( x \)에서 다음과 같이 표현된다.</p> <p>\[ \nabla f(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x) i+\frac{\partial f}{\partial y}(x) j+\frac{\partial f}{\partial z}(x) k \]</p> <p>예 \( f(x, y)=x^{3}-3 x y+4 y^{2} \) 일 때, \( D_{u} f(x, y) \)를 구하자. 그리고 \( u=\left(\cos \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{6}\right) \)일 때, 방향미분계수 \( D_{u} f(1,2) \)을 구하여보자.</p> <p>풀이 \( D_{u} f(x, y)=f_{x}(x, y) \cos \theta+f_{y}(x, y) \sin \theta \), 여기서 \( f_{x}(x, y)=3 x^{2}-3 y, f_{y}(x, y)=-3 x+8 y \)이다. 그러므로 \( D_{u} f(x, y)=\left(3 x^{2}-3 y\right) \cos \theta+(-3 x+8 y) \sin \theta \) \( D_{u} f(1,2)=\left(3 x^{2}-3 y\right) \cos \theta+(-3 x+8 y) \sin \theta \), 여기서 \( u=\left(\cos \frac{\pi}{6}, \sin \frac{\pi}{6}\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right) \)이므로 \( =\left(3 \cdot 1^{2}-3 \cdot 2\right) \frac{\sqrt{3}}{2}+(-3 \cdot 1+8 \cdot 2) \frac{1}{2} \) \( =\frac{13-3 \sqrt{3}}{2} \). 그러므로 \( D_{u} f(1,2)=\frac{13-3 \sqrt{3}}{2} \)</p> <p>예 \(f(x, y)=x^{2}+y^{2}\)이다. 점 \( (1,2) \)에서 벡터 \( v=(2,-2) \) 방향으로 \( f \)의 방향미분계수를 구하여보자.</p> <p>풀이\[\nabla f(x, y)=\left(\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}\right)=(2 x, 2 y) \text { 이다. }\] 그러므로 \( \nabla f(1,2)=(2,4) \). 그리고 \( v=(2,-2) \)의 단위방향벡터는 \( u=\frac{v}{\\|v\\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) \)이다. 따라서 정리를 이용하면, \( f \)의 \( v \)-방향미분계수는 \[\begin{array}{l}D_{v} f(x)=D_{u} f(1,2)=\nabla f(1,2) \cdot u \\=\nabla f(1,2) \cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) . \\=-\frac{2}{\sqrt{2}} \end{array}\]</p> <p>예 \( f(x, y, z)=x \cos y \sin z \)이다. 점 \( (1, \pi, \pi / 4) \)에서 \( v=(2,-1,4) \) 방향으로 \( f \)의 방향 미분계수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( f \)의 경도: \( \nabla f(x)=\left(\frac{\partial f(x)}{\partial x}, \frac{\partial f(x)}{\partial y}, \frac{\partial f(x)}{\partial z}\right) \) \( =(\cos y \sin z,-x \sin y \sin z, x \cos y \cos z) \) 그러므로 \( \nabla f\left(1, \pi, \frac{\pi}{4}\right)=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \). \( v=(2,-1,4) \)의 단위방향벡터: \( u=\frac{v}{\\|v\\|}=\frac{1}{\sqrt{21}}(2,-1,4) \). 따라서 정리를 이용하면, \( f \)의 \( v \)-방향미분계수는 \[ \begin{aligned} D_{u} f\left(1, \pi, \frac{\pi}{4}\right) &=\nabla f\left(1, \pi, \frac{\pi}{4}\right) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{21}},-\frac{1}{\sqrt{21}}, \frac{4}{\sqrt{21}}\right) \\ &=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot\left(\frac{2}{\sqrt{21}},-\frac{1}{\sqrt{21}}, \frac{4}{\sqrt{21}}\right) \\ &=-\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{21}} \end{aligned} \]</p> <p>정의 곡선 위의 한 점에서 접선벡터, 접선방정식</p> <p>\( f(x, y) \)를 상수함수가 아닌 연속미분가능한 이변수함수로 가정하자. 그리고 \( x y \)평면 위의 곡선 \( \mathrm{C}: f(x, y)=c \)을 생각해보자. 곡선 \( C \) 위의 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 \)이면, \( x y \)평면에서 곡선 \( C \)는 등위곡선으로 간주할 수 있다. 한편 경도 벡터는 다음과 같다.</p> <p>\[ \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) i+\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) j \]</p> <p>따라서 정리에 의하여, 경도벡터는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 곡선 \( C \)와 수직이다. 이 경도벡터를 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 곡선 \( C \)의 수선벡터(normal vector)라고 부른다. 위의 경도벡터와 다음 벡터는 수직을 이룬다.</p> <p>\[ T\left(x_{0}, y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) i-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right) j \]</p> <p>이 벡터를 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) 에서 곡선 \( C \) 의 접선벡터(tangent vector)라고 부른다. 이때 \( x y \) 평면 위의 점 \( (x, y) \) 가 접선 위에 있을 필요충분조건: \[\left(x-x_{0}, y-y_{0}\right) \cdot \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .\] 따라서 곡선 \( C \) 위의 한 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 곡선 \( C \)의 접선방정식: \[\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 .\]</p> <p>예 쌍곡선 \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \) 위의 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) 에서 접선방향벡터, 접선방정식을 구하자.</p> <p>풀이 쌍곡선 식을 변형하면 \( \quad b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \) 이다. 그러므로 \( f(x, y)=b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} \). \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 경도: \( \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=2 b^{2} x_{0}, \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=-2 a^{2} y_{0} \) 따라서 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) 에서 접선방향벡터는 \[T\left(x_{0}, y_{0}\right)=\left(\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right),-\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)=\left(-2 a^{2} y_{0},-2 b^{2} x_{0}\right) .\] 따라서 주어진 쌍곡선의 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) 에서 접선방정식은 \[\begin{array}{l}\left(x-x_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+\left(y-y_{0}\right) \frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \\=\left(x-x_{0}\right) 2 b^{2} x_{0}+\left(y-y_{0}\right)\left(-2 a^{2} y_{0}\right)=0\end{array}\] 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)가 쌍곡선 위의 점이다. 그러므로 \( b^{2} x_{0}^{2}-a^{2} y_{0}^{2}=a^{2} b^{2} \)를 적용하여, 간단히 정리하자. 그러면 접선방정식은 \( \left(b^{2} x_{0}\right) x-\left(a^{2} y_{0}\right) y=a^{2} b^{2} \)이다.</p> <p>정리 라그랑주 정리</p> <p>다변수함수 \( g \)가 \( f \)의 정의역의 부분집합에서 연속미분 가능한 함수라고 하자. \( g(x)=0 \)인 조건을 만족하는 점 \( x \)들의 집합을 \( \{g=0\} \subset \operatorname{Dom}(f) \)으로 표시하자. \( f(x) \)가 \( x_{0} \in\{g=0\} \)에서 최대값 또는 최소값을 가지면, \( \nabla f\left(x_{0}\right) \)와 \( \nabla g\left(x_{0}\right) \)는 평행하다. 따라서 \( \nabla g\left(x_{0}\right) \neq 0 \)이면, 적당한 상수 \( \lambda \)가 있어서, \( \nabla f\left(x_{0}\right)=\lambda \nabla g\left(x_{0}\right) \)가 성립한다. 이 상수 \( \lambda \)를 라그랑주의 미정계수(또는 승수)라고 부른다.</p> <p>증명 \( g(x)=0 \) 를 만족하는 \( x_{0} \) 에서 \( f \) 가 최대값 또는 최소값을 갖는다고 하자. \( \nabla g\left(x_{0}\right)=0 \) 이면, 모든 벡터가 0 벡터와는 평행이므로 증명되었다.</p> <p>따라서 \( \nabla g\left(x_{0}\right) \neq 0 \)이라 가정하자.</p> <p>( 2 변수 함수인 경우): \( g(x)=g(x, y)=0 \)인 조건은, \( x_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 접선벡터가 영벡터 0가 아닌 곡선 \( C: g(x, y)=0 \)를 \( f \)의 정의역 안에서 정의할 수 있다. 가정에서 곡선 \( C \)위에서 \( f(x, y) \)가 \( x_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 최대값 또는 최소값을 가진다, 그러므로, 보조정리에 의해, \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 곡선 \( C \)와 수직이다. 곡선 \( C \)가 \( g(x, y)=0 \)인 등위선이므로, 곡선 \( C \)는 \( \nabla g\left(x_{0}, y_{0}\right) \)와 수직이다. 따라서 곡선 \( C: g(x, y)=0 \)와 수직인 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right) \)와 \( \nabla g\left(x_{0}, y_{0}\right) \)는 서로 평행하다.</p> <p>(3변수함수의 경우): \( g(x, y, z)=0 \)인 조건은, \( f \)의 정의역 안에서 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)을 포함하는 곡면 \( S \)를 정의한다. 그리고 곡면 \( S \) 위의 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)에서 접선벡터가 영벡터 0가 아닌 곡선 \( C \)가 곡면 \( S \)위에 놓여있다. 가정에서 곡선 \( C \)에서 \( f(x, y, z) \)는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)에서 최대값 또는 최소값을 갖는다. 그러므로 앞의 보조정리를 따르면, \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)에서 곡선 \( C \)와 수직이다. \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)는 이러한 모든 곡선과 수직이므로 곡면 \( S \)에도 수직이다. 한편 곡면 \( S \)가 \( g(x, y, z)=0 \) 인 등위면이므로, \( \nabla g\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)와 \( S \)와 수직이다. 그러므로 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)와 \( \nabla g\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \)는 서로 평행하다.</p> <p>예 원 \( x^{2}+y^{2}=1 \) 위에서 함수 \( f(x, y)=x y \)의 최대값과 최소값을 구해보자.</p> <p>풀이 \( f \)는 연속함수이며, 원은 유계한 폐집합이므로 최대값과 최소값을 갖는다. 그리고 \( g(x, y)=x^{2}+y^{2}-1 \)으로 놓자. 이러한 조건들은 라그랑주 정리의 조건들을 만족한다. \( f \)와 \( g \)의 경도: \( \quad \nabla f(x, y)=(y, x), \quad \nabla g(x, y)=(2 x, 2 y) \). \( \nabla f(x, y)=\lambda \nabla g(x, y) \) 와 \( g(x, y)=0 \) 의 조건에서 다음 3 개의 방정식이 성립한다. \[y=2 \lambda x, x=2 \lambda y, x^{2}+y^{2}=1 ()\] 방정식 ()의 해는 \( f \) 의 최대값 또는 최소값을 갖도록 하는 점들이다. \[\begin{array}{l}y=2 \lambda x, x=2 \lambda y \\\Rightarrow y^{2}=2 \lambda x y, x^{2}=2 \lambda x y \\\Rightarrow x^{2}=y^{2} .\end{array}\] \[x^{2}=y^{2}, x^{2}+y^{2}=1 \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \text { 이다. }\] 따라서 구하는 해는 모두 다음과 같은 점들이다. \[\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right),\left(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2}\right)\] 이들 점에서 \( f(x, y) \) 값을 계산하면 최대값 \( 1 / 2 \)이고 최소값은 \( -1 / 2 \)이다. 따라서 원 \( x^{2}+y^{2}=1 \) 위에서 \( f(x, y)=x y \)의 최대값은 \( 1 / 2 \)이고 최소값은 \( -1 / 2 \)이다.</p> <p>예 \( x^{3}+y^{3}+z^{3}=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \)인 조건에서, 함수 \( f(x, y, z)=x y z \)의 최대값을 구하여라.</p> <p>풀이 \( D: x^{3}+y^{3}+z^{3}=1, \quad x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \) 영역 \( D \)은 유계한 폐집합이므로 \( f \)는 \( D \) 위에서 최대값을 갖는다. \( g(x, y)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-1 \)으로 놓자. 그러면 \( f \)와 \( g \)의 경도는 \[\nabla f(x, y, z)=(y z, z x, x y), \nabla g(x, y, z)=\left(3 x^{2}, 3 y^{2}, 3 z^{2}\right)\] 라그랑주 정리를 적용하여, \( \nabla f(x, y, z)=\lambda \nabla g(x, y, z) \)와 \( g(x, y, z)=0 \)으로부터 다음 네 연립방정식이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y z=3 \lambda x^{2}\), \(x z=3 \lambda y^{2}\) ,</li> <li>\( x y=3 \lambda z^{2} \)</li> <li>\( x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \).</li> <li>\( x y z=3 \lambda x^{3}=3 \lambda y^{3}=3 \lambda z^{3} \).</li></ol> <p>여기서 \( \lambda \neq 0 \)인 경우에는, \( x^{3}=y^{3}=z^{3} \Rightarrow x=y=z \)이다. 이를 구면방정식 \( x^{3}+y^{3}+z^{3}=1 \)에 대입하면 해는 \( x=y=z=\frac{1}{3^{1 / 3}} \)이다. 따라서 구면 \( x^{3}+y^{3}+z^{3}=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \) 위에서 \( f(x, y, z)=x y z \)의 최대값은 \( 1 / 3 \)이다.</p> <p>예 반지름이 \( R \)인 원에 내접하는 삼각형 중에서 둘레의 길이가 가장 긴 삼각형은 정삼각형임을 보이자.</p> <p>풀이 둘레길이의 최대값이 존재한다는 사실은 직관적으로 명백하다. (이유를 설명하여 보시오) 그리고 둘레길이가 최대가 되는 삼각형은 원의 중심을 삼각형 내부에 포함한다. 둘레길이가 최대인 삼각형의 원점에서 세 꼭지점을 잇는 변으로 분할되는 중심각의 크기를 \( x, y, z \)라고 놓자. 그러면 삼각형의 둘레길이는 \[f(x, y, z)=2 R\left(\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{y}{2}+\sin \frac{z}{2}\right) .\] 중심각의 갖는 제약 조건은 \( g(x, y, z)=x+y+z-2 \pi=0 \)이다. 함수 \( f, g \)는 라그랑주 승수 정리의 전제 조건을 충족한다. \( f \)와 \( g \)의 경도: \[\begin{array}{l}\nabla f(x, y, z)=R\left[\cos \frac{x}{2} i+\cos \frac{y}{2} j+\cos \frac{z}{2} k\right] \\\nabla g(x, y, z)=i+j+k\end{array}\]</p> <p>라그랑주 조건 \( \nabla f=\lambda \nabla g \) 에서 연립방정식을 수립하고 풀기: \[\lambda=R \cos \frac{x}{2}, \quad \lambda=R \cos \frac{y}{2}, \quad \lambda=R \cos \frac{z}{2} .\] 따라서 \( \cos \frac{x}{2}=\cos \frac{y}{2}=\cos \frac{z}{2} \)이고 \( x, y, z \in[0, \pi] \)이므로 \( x=y=z \)이다. 중심각이 \( \frac{2 \pi}{3} \)으로 모두 같으므로 세 변의 길이가 같은 정삼각형이다. 따라서 최대 둘레길이는 \( f\left(\frac{2 \pi}{3} \frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=2 R\left(3 \sin \frac{\pi}{3}\right)=3 \sqrt{3} R \)이다.</p> <p>정리 정류점에서 극대-극소 판별법</p> <p>이변수함수 \( f(x, y) \)는 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)의 근방에서, 2계-편도함수가 연속이고 \( \nabla f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \)이라고 하자. 그리고 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 2계-편도함수의 값들이 다음과 같다고 하자. \[A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(x_{0}, y_{0}\right), B=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right), C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(x_{0}, y_{0}\right)\] 이때 점 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \) 에서 \( f \) 의 정류점 판별식 \( D \) 는 다음과 같이 정의한다. 그리고 판별식과 \( A \)의 조건에 따라 극값의 유형을 다음과 같이 판별한다. \[D=B^{2}-A C\]</p> <p>(1) \( D>0 \)이면 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)는 안장점이다.</p> <p>(2) \( D<0 \)이고 \( A>0 \) 이면 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 \( f \)는 극소값을 갖는다.</p> <p>(3) \( D<0 \)이고 \( A>0 \) 이면 \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \)에서 \( f \)는 극대값을 갖는다</p> <p>예 \( f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-x y-7 y \)의 정류점에서 극대 또는 극소를 판정하여보자.</p> <p>풀이 \[\nabla f(x, y)=(4 x-y, 2 y-x-7)=(0,0) \text { 이다. }\] 그리고 \( 4 x-y=0,2 y-x-7=0 \)을 만족하는 해는 \( x=1, y=4 \)이다. 그러므로 \( f \)의 유일한 정류점은 \( (1,4) \)이다. 점 \( (1,4) \)에서 2 계-편도함수의 값을 구하자. \[A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(1,4)=4, B=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(1,4)=-1, C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(1,4)=2\] 그러므로, 판별식 값은 \( D=B^{2}-A C=-7<0 \)이다. 그리고 \( A>0 \)이므로 점 \( (1,4) \)는 주어진 다변수수함수 \( f \)의 극소값이다.</p> <p>예 \( f(x, y)=\frac{x}{y^{2}}+x y \)의 정류점에서 극대 또는 극소를 판정하여보자.</p> <p>풀이 \[\nabla f(x, y)=\left(y^{-2}+y,-2 x y^{-3}+x\right)=(0,0) \text { 이다. }\] 연립방정의 \( y^{-2}+y=0,-2 x y^{-3}+x=0 \) 에서 유일한 해는 \( x=0, y=-1 \) 이다. 따라서 정류점은 \( (0,-1) \)이다. 점 \( (0,-1) \)에서 2계-편도함수의 값을 구하자. \[A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(0,-1)=0, B=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,-1)=3, C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(0,-1)=0 \text {. }\] 그러므로, 판별식 값은 \( D=B^{2}-A C=9>0 \)이다. 따라서 점 \( (0,-1) \)은 \( f \)의 안장점이다.</p> <p>예 \( f(x, y)=\sin x+\sin y+\sin (x+y) \)의 정의역은 \( 0<x<\pi, 0<y<\pi \)이다. 정의역에서 정류점을 구하고 극대 또는 극소를 판정하여보자.</p> <p>풀이 \(\frac{\partial f}{\partial x}=\cos x+\cos (x+y), \frac{\partial f}{\partial y}=\cos y+\cos (x+y)\)이다. 따라서 연립방정식 \[0=\cos x+\cos (x+y), 0=\cos y+\cos (x+y) ()\]을 만족하는 해 \( (x, y) \)는 방정식 \( \cos x=\cos y \)을 만족하는 정의역의 점이다. 즉 \( x=y, 0<x<\pi, 0<y<\pi \). 따라서 \[\cos x+\cos (x+x)=\cos x+\cos 2 x=0, \quad \cos 2 x=2 \cos ^{2} x-1\] 그러므로 \( \cos x+\cos 2 x=2 \cos ^{2} x+\cos x-1=0 \). 이 방정식을 풀면 \( \cos x=-1 \) 또는 \( \cos x=\frac{1}{2} \)이다. \( 0<x<\pi \)이므로 \( \cos x \neq-1 \)이다. 그러므로 연립방정식 ()의 해는 \( \cos x=\frac{1}{2} \), 즉 \( x=\frac{1}{3} \pi=y \)이다. \( f \) 의 2 계-편도함수를 구하자. \[\begin{array}{l}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\sin x-\sin (x+y), \\\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=-\sin (x+y),\end{array}\] \[\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=-\sin y-\sin (x+y)\] 따라서 점 \( \left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right) \) 에서 \( f \)의 2계-편도함수의 값을 계산하자. \[\begin{array}{l} A=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}\left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right)=-\sin \frac{1}{3} \pi-\sin \left(\frac{2}{3} \pi\right)=-\sqrt{3}, \\ B=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right)=-\sin \left(\frac{2}{3} \pi\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ C=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right)=-\sin \frac{1}{3} \pi-\sin \left(\frac{2}{3} \pi\right)=-\sqrt{3}, \end{array}\] 그러므로 판별식의 값은 \( D=B^{2}-A C=\frac{3}{4}-3<0 \)이다. 그리고 \( A<0 \)이므로 점 \( \left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right) \)에서 \( f \)는 극대값을 갖는다. \[f\left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right)=\sin \frac{1}{3} \pi+\sin \frac{1}{3} \pi+\sin \left(\frac{2}{3} \pi\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{2}\] 그러므로 정류점 \( \left(\frac{1}{3} \pi, \frac{1}{3} \pi\right) \)에서 \( f \)의 극대값은 \( \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)이다.</p> <p>예 반지름 \( r \)인 원에 내접하는 삼각형의 최대 넓이를 구해보자.</p> <p>풀이 원의 중심을 \( O \), 그리고 원에 내접하는 삼각형의 세 꼭지점을 \( A, B, C \)라고 하자. 중심과 세 꼭지점에 이르는 반지름이 만드는 세 중심각을 \( x, y, z \)라고 하자. 그러면 \( x+y+z=2 \pi \)이다. 이때 삼각형 \( \triangle A B C \)의 면적은 \[\frac{r^{2}}{2}(\sin x+\sin y+\sin z)=\frac{r^{2}}{2}(\sin x+\sin y-\sin (x+y)) .\] \( \triangle A B C \)의 면적을 이변수함수 \( f(x, y)=\frac{r^{2}}{2}(\sin x+\sin y-\sin (x+y)) \)로 놓자. 그리고 최대값을 구하여 보자. \( f(x, y) \)의 1계 편도함수: \[f_{x}=\frac{r^{2}}{2}(\cos x-\cos (x+y)), f_{y}=\frac{r^{2}}{2}(\cos y-\cos (x+y))\] 정류점을 구하기 위해 \( f_{x}=f_{y}=0 \)의 해를 구하자. \[\begin{array}{c}\cos x-\cos (x+y)=0, \cos y-\cos (x+y)=0 \\\Leftrightarrow \cos x=\cos y\end{array}\] 내접하는 조건을 고려하면 \( x=y=\frac{2 \pi}{3} \)만이 해이다. 2계-편도함수 그리고 점 \( \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right) \) 에서 2 계-편도함수 값을 구하자. \[\begin{array}{l}f_{x x}=-\sin x+\sin (x+y), \quad f_{x x}\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3} \\ f_{x y}=\sin (x+y), f_{x y}\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \\ f_{y y}=-\sin y+\sin (x+y), f_{y y}\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3} \end{array}\]</p> <p>판별식 값 구하기: \[\begin{array}{l}D=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}-(-\sqrt{3})(-\sqrt{3})=-\frac{9}{4}<0, \\f_{x x}\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3}<0 .\end{array}\] 그러므로, \( f \)는 정류점 \( \left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right) \)에서 최대값 \( f\left(\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)=\frac{3 \sqrt{3}}{4} r^{2} \) 을 갖는다. 이때 세 중심각 \( x, y, z \)는 \( x=y=z=\frac{2 \pi}{3} \)이다. 그러므로 내접 삼각형은 정삼각형이다.</p> <h1>16.3 연쇄법칙, 음함수 미분법</h1> <p>벡터함수</p> <p>구간 \( I=[a, b] \)에서 정의된 세 함수 \( f(t), g(t), h(t) \)를 생각해보자. 모든 \( t \in I \)에 대하여, \[r(t)=(f(t), g(t), h(t))=f(t) i+g(t) j+h(t) k\] 로 정의되는 함수 \( r(t) \)는 함수 값으로 삼차원 공간의 점 \( P(f(t), g(t), h(t)) \)을 대응시킨다. 이러한 함수 \( r(t) \)를 벡터함수라 부른다. 그리고 \( x=f(t), y=g(t), z=h(t) \)를 \( r \)의 성분 함수 그리고 \( t \)를 매개변수라고 부른다. \( r(t) \)의 공간상에서 자취는 곡선 \( C_{r} \)을 생성한다. \( r(t) \)의 성분함수에 의한 세 방정식 \( x=f(t), y=g(t), z=h(t) \)을 곡선 \( C_{r} \)의 매개변수방정식이라고 부른다.</p> <p>예 구간 \( [a, b] \)에서 정의된 함수 \( f(t) \)는 \( f_{1}(t)=t, f_{2}(t)=f(t), f_{3}(t)=0 \)을 성분함수로 갖는 벡터함수 \( f(t)=t i+f(t) j \)가 된다. 기하적 의미로 \( (t, f(t)), t \in[a, b] \)이므로 벡터함수 \( f(t) \)는 \( f(t) \)의 그래프이다.</p> <p>예 성분함수가 \( f(t)=\sin t, g(t)=\cos t, h(t)=0 \)라고 하자. 그러면 벡터함수는 \( r(t)=\sin t i+\cos t j \) 구간 \( 0 \leqq t \leqq 2 \pi \)의 모든 \( t \)에 대하여 \( \\|r(t)\\|=\left(\sin ^{2} t+\cos ^{2} t\right)^{1 / 2}=1 \)이 성립한다. 그러므로 \( r(t) \)의 그래프는 \( x y \)평면의 반지름이 1인 원이다.</p> <p>예 벡터함수 \( r(t)=(\cos t, \sin t, t) \)의 자취 곡선을 알아보자. 이 곡선에 대한 매개변수방정식은 \( x=\cos t, y=\sin t, z=t \)이다. \[\sqrt{\sin ^{2} t+\cos ^{2} t}=1 \text { 이다. }\] 그러므로 곡선의 모든 점은 반지름이 1이고 중심이 원점인 원기둥에 놓여있다. 그리고 \( (x, y, z) \)의 \( x y \)평면에 사영한 점은 \( (x, y, 0) \)이다. 따라서 \( (\cos t, \sin t, t) \)의 \( x y \)평면에 사영한 점은 \( (\cos t, \sin t, 0) \)이다. \( z=t \) 임으로 매개변수 \( t \) 값이 커지면 \( z \)축으로 곡선이 상승한다.</p> <p>예 원통(실린더) \( x^{2}+y^{2}=1 \)와 평면 \( y+z=2 \)가 만나는 교적은 곡선 \( C \)을 이룬다. 곡선 \( C \)에 대한 벡터함수를 구해보자.</p> <p>\( x, y \) 성분함수는 \( x^{2}+y^{2}=1 \)을 만족한다. 그러므로 곡선 \( C \)를 \( x y \)-평면에 사영시킨 곡선은 중심이 원점이고 반지름이 1인 원이다. 따라서 \( x, y \) 성분함수의 매개변수방정식을 \( x=\cos t \quad y=\sin t, 0 \leqq t \leqq 2 \pi \)으로 택하자. 평면방정식 \( y+z=2 \)에서 \( z=2-y=2-\sin t \)이다. 그러므로 구하는 매개변수방정식은 \[x=\cos t \quad y=\sin t \quad z=2-\sin t \quad 0 \leqq t \leqq 2 \pi .\] 따라서 \( r(t)=(\cos t, \sin t, 2-\sin t) \)이다.</p> <p>예 벡터함수 \( r(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right) \) 이 그리는 곡선 \( C \) 에 대해 알아보자. 매개변수방정식은 \( x=t, y=t^{2}, z=t^{3} \)이다. 그러므로 곡선 \( C \)를 \( x y \)평면에 사영시킨 곡선은 \( y=x^{2} \)를 만족하는 포물선이다. 그리고 곡선 \( C \)를 \( x z \)평면에 사영시킨 곡선은 \( z=x^{3} \)를 만족하는 곡선이다.</p> <h1>16.6 편미분의 응용: 극값, 최대값, 최소값</h1> <p>일변수함수의 극대, 극소, 최대, 최소 등의 극값을 다변수함수 상황에서 다룬다.</p> <p>정의 극대, 극소</p> <p>(1) \( f \)는 다변수함수이고, \( x_{0} \)는 \( f \)의 영역 안에 놓여 있는 내점일 때, " \( f \)가 점 \( x_{0} \)에서 극대이다"의 정의: \( x_{0} \)의 적당한 근방 안의 모든 점 \( x \)에 대하여 \( f\left(x_{0}\right) \geq f(x) \).</p> <p>(2) " \( f \)가 \( x_{0} \)에서 극소이다”의 정의: \( x_{0} \)의 적당한 근방 안의 모든 점 \( x \)에 대하여 \( f\left(x_{0}\right) \leq f(x) \).</p> <p>극대값, 극소값을 극값이라 부른다.</p> <p>정리 극값과 경도</p> <p>다변수함수 \( f \)의 영역 안에 놓여있는 점 \( x_{0} \)에서 극값을 가지면, \( \nabla f\left(x_{0}\right)=0 \)이거나 \( \nabla f\left(x_{0}\right) \)가 존재하지 않는다.</p> <p>증명 다변수함수 \( f \)가 영역 안에 있는 점 \( x_{0} \)에서 극값을 가지며 미분가능하다고 하자. 다음과 같이 가정하여도 일반성을 잃지 않으면서 증명된다. 즉 \( f \)를 이변수함수라고 하고, \( \mathbf{x}_{0}=\left(x_{0}, y_{0}\right) \)라 하자. \( f \)가 점 \( x_{0} \)에서 극값을 가진다. 그러므로, 일변수함수 \( g(x)=f\left(x, y_{0}\right) \)는 \( x_{0} \)에서 극 값을 가진다. 그리고 \( f \)가 미분가능하기 때문에 \( g(x)=f\left(x, y_{0}\right) \)도 \( x=x_{0} \)에서 미분가능하다. 따라서 \( g^{\prime}\left(x_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \). 같은 논법으로 \( h(y)=f\left(x_{0}, y\right) \)에 대하여서도, \( h^{\prime}\left(y_{0}\right)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 \). 이 논법은 변수의 개수에 관계없이 성립한다. 따라서 \( f(x) \)가 \( n \)변수함수일 때, 같은 논법으로, \( \nabla f\left(x_{0}\right)=0 \) 벡터이다.</p> <p>정의 임계점(critical point), 정류점(stationary point), 안장점(saddle point)</p> <p>1) 다변수함수 \( f \)의 영역 안에 놓여있는 내점 \( x \)의 경도 벡터가 \( \nabla f(x)=0 \)이거나 또는 경도가 존재하지 않는 점을 임계점이라고 한다.</p> <p>2) 경도가 \( \nabla f(x)=0 \)벡터인 임계점 \( x \)를 정류점이라고 한다.</p> <p>3) 정류점이면서 극값을 갖지 않는 점을 안장점이라고 한다.</p> <p>생각하기 이변수함수 \( f(x, y) \)가 \( x y \)-평면의 어떤 열린집합에서 연속미분가능하면, \( z=f(x, y) \)를 만족하는 점 \( (x, y, z) \)들은 \( f \)의 그래프로서 곡면을 이룬다. 따라서 \( f(x, y) \)가 극대가 되는 곳은, \( f \)의 그래프가 주변보다 높이 솟은 점이다. 반면에 \( f(x, y) \)가 극소가 되는 곳은, \( f \)의 그래프가 주변 보다 낮게 들어간 곳이다. 따라서 함수 \( f \)가 극값을 갖는 곳은 경도 벡터가 \( \nabla f(x, y)=(0,0) \)인 점이다. 따라서 이러한 점에서 \( z=f(x, y) \) 그래프의 접평면은 수평을 이룬다.</p> <p>생각하기 극값 정리의 역은 성립하지 않는다.</p> <p>예로서, 아래 그림처럼 말안장 모양의 곡면에서 중앙점은 안장점이다. 따라서 중앙점에서는 수평인 접평면을 가진다. 그러므로 함수의 경도가 0벡터이다. 하지만 이 안장점은 극대도 극소도 아니다.</p> <p>예 함수 \( f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-x y-7 y \) 정류점을 구하고 극점 여부를 판정하자.</p> <p>풀이 \( 0=\nabla f(x, y)=(4 x-y, 2 y-x-7) \) 에서, 다음 연립방정식을 얻는다; \[4 x-y=0, \quad 2 y-x-7=0\] 이 연립 방정식의 해는 \( (x, y)=(1,4) \)이고 정류점이다. 점 \( (1,4) \)가 극점인지를 판정하기 위하여, 점 \( (1,4) \) 근방에서 함수값을 비교해보자. \[f(1,4)=-14, f(1+h, 4+k)=2 h^{2}+k^{2}-h k-14\] 따라서 이 두 값의 차이는, \( f(1+h, 4+k)-f(1,4)=2 h^{2}+k^{2}-h k \). 즉 모든 실수 \( h, k \) 에 대하여 식 \[2 h^{2}+k^{2}-h k=\frac{3}{2} h^{2}+\frac{k^{2}}{2}+\frac{1}{2}(h-k)^{2} \geq 0\] 이 성립한다. 그러므로 \( f \)는 점 \( (1,4) \)에서 극소값 -14를 갖는다.</p> <p>예 함수 \( f(x, y)=y^{2}-x y+2 x+y+1 \) 정류점을 구하고 극점을 판정하여보자.</p> <p>풀이 \( 0=\nabla f(x, y)=(2-y, 2 y-x+1) \)에서, 다음 연립방정식을 얻는다 ; \[2-y=0, \quad 2 y-x+1=0\]이 연립 방정식의 해는 \( (x, y)=(5,2) \)으로 정류점이다.점 \( (5,2) \)가 극점인지를 판정하기 위하여, 점 \( (1,4) \) 근방에서 함수값을 비교해보자. \[f(5,2)=7 \text { 이고 } f(5+h, 2+k)=k^{2}-h k+7 \text {. }\] 따라서 이 두 값의 차이는, \[f(5+h, 2+k)-f(5,2)=k^{2}-h k=k(k-h) .\] 식 \( k(k-h) \)은 실수 \( h, k \)에 따라 양과 음의 값을 갖는다. 따라서 점 \( (5,2) \)는 이변수함수 \( f \)의 안장점이다.</p> <p>예 \( f(x, y)=1+\sqrt{x^{2}+y^{2}} \) 는 전평면에서 정의되어 있고, 전평면에서 연속이며, \( f \)의 그래프는 원뿔의 위 부분이다. \( f \)의 경도: \( \nabla f(x, y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) \) \( \nabla f(x, y) \)는 점 \( (0,0) \)에서는 정의되지 않는다. 즉 점 \( (0,0) \)은 \( f \)의 임계점이나 정류점은 아니다. 그러나 주어진 이변수함수 \( f \)는 점 \( (0,0) \)에서 극소이고 극소값 1을 갖는다.</p> <p>편도함수 기호 표현</p> <p>편도함수 기호 \( f_{x}, f_{y}, f_{z} \)는, 라이브니츠의 도함수 기호 \( \frac{d f}{d x} \)를 변형시켜 \( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \)으로 표시한다.</p> <p>예 \( f(x, y, z)=x^{3} y^{2} z+\sin x y \)의 편도함수들은 다음과 같다.</p> <p>\[ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)=3 x^{2} y^{2} z+y \cos x y \] \[ \frac{\partial f}{\partial y}(x, y, z)=2 x^{3} y z+x \cos x y \] \[ \frac{\partial f}{\partial z}(x, y, z)=x^{3} y^{2} \]</p> <p>예 원뿔대의 부피는 \( V(R, r, h)=\frac{1}{3} \pi h\left(R^{2}+R r+r^{2}\right) \)이다.</p> <p>\( R=8, r=4, h=6 \) 일 때, 각 변수 \( R, r, h \)에 대한 부피의 변화율을 구하여보자.</p> <p>풀이 \( V \)의 편도함수: \[ V_{R}(R, r, h)=\frac{1}{3} \pi h(2 R+r), \] \[ V_{r}(R, r, h)=\frac{1}{3} \pi h(R+2 r), \] \[ V_{h}(R, r, h)=\frac{1}{3} \pi\left(R^{2}+R r+r^{2}\right) \]</p> <p>고계 편도함수</p> <p>미분 가능한 다변수함수 \( f(x) \) 의 편도함수는 다시 다변수함수이다. 따라서 편도함수의 편도 함수를 똑같이 정의할 수 있다. 편도함수의 편도함수 즉 고계편도함수를 기호로 다음과 같이 표시한다.</p> <p>\[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=f_{x x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=f_{x y} \] \[ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=f_{y x}, \quad \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=f_{y y} \]</p> <p>이들을 다변수함수 \( f \)의 2계 편도함수라고 한다.</p> <p>같은 방법으로 3계 이상의 고계 편도함수를 정의한다.</p> <p>예 \( f(x, y)=\sin x^{2} y \) 라고 하자.</p> <p>1 계 편도함수: \[f_{x}(x, y)=2 x y \cos x^{2} y, f_{y}(x, y)=x^{2} \cos x^{2} y\] 2 계 편도함수: \[\begin{array}{l} f_{x x}(x, y)=-4 x^{2} y^{2} \sin x^{2} y+2 y \cos x^{2} y \\ f_{x y}(x, y)=-2 x^{3} y \sin x^{2} y+2 x \cos x^{2} y \\ f_{y x}(x, y)=-2 x^{3} y \sin x^{2} y+2 x \cos x^{2} y \\ f_{y y}(x, y)=-x^{4} \sin x^{2} y \end{array} \]</p> <p>예 \( f(x, y)=\ln \left(x^{2}+y^{3}\right) \)의 1계, 2계 편도함수를 구해보자.</p> <p>1계 편도함수: \[f_{x}(x, y)=\frac{2 x}{x^{2}+y^{3}}, f_{y}(x, y)=\frac{3 y^{2}}{x^{2}+y^{3}}\]</p> <p>2계 편도함수: \[\begin{array}{l}f_{x x}(x, y)=\frac{2\left(y^{3}-x^{2}\right)}{\left(x^{2}+y^{3}\right)^{2}}, \quad f_{x y}(x, y)=\frac{-6 x y^{2}}{\left(x^{2}+y^{3}\right)^{2}}, \\f_{y x}(x, y)=\frac{-6 x y^{2}}{\left(x^{2}+y^{3}\right)^{2}}, \quad f_{y y}(x, y)=\frac{3 y\left(2 x^{2}-y^{3}\right)}{\left(x^{2}+y^{3}\right)^{2}}\end{array}\]</p> <p>정리 이변수함수 \( f \)와 1계 편도함수 \( f_{x}, f_{y} \), 그리고 2계편도함수 \( f_{x y}, f_{y x} \)들이 열린집합 \( U \)에서 연속이면, 열린집합 \( U \)에서 \( f_{x y}=f_{y x} \)이다. 즉 \[\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}.\]</p> <p>예 다변수함수 \( f(x, y, z)=x e^{y} \sin \pi z \)에 대하여 조사해보자.</p> <p>1 계 편도함수: \[ f_{x}(x, y, z)=e^{y} \sin \pi z, f_{y}(x, y, z)=x e^{y} \sin \pi z, f_{z}(x, y, z)=\pi x e^{y} \cos \pi z \] 이들 1계 편도함수들은 열린집합인 3차원 공간 전체에서 연속이다.</p> <p>2계 편도함수: \[ \begin{array}{l} f_{x x}(x, y, z)=0, f_{y y}(x, y, z)=x e^{y} \sin \pi z, f_{z z}(x, y, z)=-\pi^{2} x e^{y} \sin \pi z \\ f_{x y}(x, y, z)=f_{y x}(x, y, z)=e^{y} \sin \pi z \\ f_{x z}(x, y, z)=f_{z x}(x, y, z)=\pi e^{y} \cos \pi z \\ f_{y z}(x, y, z)=f_{z y}(x, y, z)=\pi x e^{y} \cos \pi z \end{array} \]</p> <p>이들 2계 편도함수들은 열린집합인 3 차원 공간 전체에서 연속이다. 따라서 3차원 공간 전체에서 \( f_{x y}=f_{y x}, f_{x z}=f_{z x}, f_{y z}=f_{z y} \) 가 성립한다.</p> <p>방향미분의 크기</p> <p>\( \nabla f(x) \neq 0 \)일 때, \( \nabla f(x) \)와 단위벡터 \( u \) 사이각이 \( \theta \)이면, 다음 관계식을 얻는다. \[D_{u} f(x)=\nabla f(x) \cdot u=\\|\nabla f(x)\\|\\|u\\| \cos \theta=\\|\nabla f(x)\\| \cos \theta .\] \( -1 \leqq \cos \theta \leqq 1 \)이므로 방향미분계수 \( D_{u} f(x) \)는 단위방향벡터 \( u \)에 대하여, \( -\\|\nabla f(x)\\| \leq D_{u} f(x) \leq\\|\nabla f(x)\\| \)을 만족한다.</p> <p>특히 \( \theta=0 \)일 때, 즉 \( u \)가 \( \nabla f(x) \)와 같은 방향일 때, 함수 \( f \)는 경도 벡터의 방향으로 가장 급격하게 증가한다. 즉 최대 방향미분계수는 \( D_{u} f(x)=\\|\nabla f(x)\\| \).</p> <p>반대로, \( \theta=\pi \)일 경우, 즉 \( u \)가 \( \nabla f(x) \)와 반대 방향일 때, 함수 \( f \)는 경도벡터의 반대방향으로 가장 급격하게 감소한다. 즉 최소 방향미분계수는 \( D_{u} f(x)=-\\|\nabla f(x)\\| \)</p> <p>참고 이변수함수 \( f(x, y) \) 의 기울기벡터(경도)와 등위선은 수직을 이룬다. 삼변수함수 \( f(x, y, z) \) 의 기울기벡터(경도)와 등위면은 수직을 이룬다.</p> <p>증명 등위선 \( c=f(x, y) \)에 대하여 음함수미분법으로 미분하자. 그러면 \( 0=f_{x}(x, y)+f_{y}(x, y) y^{\prime} \)이다. 따라서 \( c \)-등위선의 \( x y \)평면의 점 \( (x, y) \)에서 기울기는 \( y^{\prime}=-\frac{f_{x}(x, y)}{f_{y}(x, y)} \)이다. 함수 \( f(x, y) \)의 점 \( (x, y) \)에서 경도는 \( \left(f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)\right) \)이다. 그러므로 경도의 기울기는 \( \frac{f_{x}(x, y)}{f_{y}(x, y)} \)이다. 따라서 \( y^{\prime}=-\frac{f_{x}(x, y)}{f_{y}(x, y)} \)과 수직이다.</p> <p>철판 위의 각 점에서의 온도 함수는 아래와 같다. \[T(x, y)=e^{x} \cos y+e^{y} \cos x\]</p> <p>(1) 점 \( (0,0) \) 에서 온도가 가장 빠르게 오르는 방향은? 이때 온도의 증가율은?</p> <p>(2) 점 \( (0,0) \) 에서 온도가 가장 빠르게 내리는 방향은?</p> <p>풀이 먼저 이변수함수 \( T \)의 경도함수를 구하자. \[\nabla T(x, y)=\left(e^{x} \cos y-e^{y} \sin x, e^{y} \cos x-e^{x} \sin y\right)\]</p> <p>(1) \( \nabla T(0,0)=(1,1) \)이다. 그러므로 점 \( (0,0) \)에서 철판의 온도는 벡터 \( (1,1) \) 방향으로 가장 빠르게 오른다. 이 방향으로의 온도 증가율은 \( \\|\nabla T(0,0)\\|=\sqrt{2} \)이다.</p> <p>(2) \( -\nabla T(0,0)=(-1,-1) \)이다. 그러므로 점 \( (0,0) \)에서 철판의 온도가 가장 빠르게 감소하는 방향은 벡터 \( (-1,-1) \)이다.</p> <p>예 이변수함수 \( f(x, y)=x e^{y}-y e^{x} \)의 미분가능 영역을 구하자. 그리고 그 영역의 각 점에서 경도를 구해보자.</p> <p>풀이 1계 편도함수 \( \frac{\partial f}{\partial x}=e^{y}-y e^{x}, \frac{\partial f}{\partial y}=x e^{y}-e^{x} \)는 \( x y \)평면에서 연속이다. 그러므로 위 정리에 의하여 \( f \)는 평면의 어느 점에서나 미분가능하다. 그리고 점 \( (x, y) \)에서 \( f \)의 경도 \( \nabla f(x, y) \)는 다음과 같다. \[\nabla f(x, y)=\left(e^{y}-y e^{x}, x e^{y}-e^{x}\right)\]</p> <p>예 \( f(x, y, z)=x \sin \pi y+y \cos \pi z \)의 점 \( (0,1,2) \)에서 \( \nabla f(0,1,2) \)을 계산하여 보자.</p> <p>풀이 1 계 편도함수: \[\frac{\partial f}{\partial x}=\sin \pi y, \frac{\partial f}{\partial y}=\pi x \cos \pi y+\cos \pi z, \frac{\partial f}{\partial z}=-\pi y \sin \pi z\] 편미분계수: \[\begin{array}{l}\frac{\partial f}{\partial x}(0,1,2)=\sin \pi=0, \\\frac{\partial f}{\partial y}(0,1,2)=\pi 0 \cos \pi+\cos 2 \pi=1, \\\frac{\partial f}{\partial z}(0,1,2)=-\pi \sin 2 \pi=0 .\end{array}\] 그러므로 점 \( (0,1,2) \) 에서 경도는 \( \nabla f(0,1,2)=(0,1,0) \)</p> <p>예 삼변수함수 \( f(x, y, z)=\sin x y^{2} z^{3} \)의 미분가능 영역을 구하자. 그리고 미분가능 영역의 각 점에서 경도(벡터)를 구해보자.</p> <p>풀이 1계-편도함수: \[\frac{\partial f}{\partial x}=y^{2} z^{3} \cos \left(x y^{2} z^{3}\right), \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2 x y z^{3} \cos \left(x y^{2} z^{3}\right), \frac{\partial f}{\partial z}=3 x y^{2} z^{2} \cos \left(x y^{2} z^{3}\right)\] 위 1 계-편도함수들은 전평면에서 연속이므로, \( f \) 는 전평면에서 미분가능하다. 그리고 각 점 \( (x, y, z) \)에서 \( f \)의 경도는 \[\nabla f(x, y, z)=\left(y^{2} z^{3} \cos x y^{2} z^{3}, 2 x y z^{3} \cos x y^{2} z^{3}, 3 x y^{2} z^{2} \cos x y^{2} z^{3}\right)\]</p> <p>정리 다변수함수의 연산과 경도벡터</p> <p>점 \( x \)에서 \( f, g \)가 미분가능하고 \( \nabla f(x), \nabla g(x) \)가 존재하면, 다음 등식이 성립한다.</p> <p>(1) \( \nabla[f+g](x)=\nabla f(x)+\nabla g(x) \)</p> <p>(2) \( \nabla[a f](x)=a \nabla f(x), a \)는 실수</p> <p>(3) \( \nabla[f g](x)=f(x) \nabla g(x)+g(x) \nabla f(x) \), 여기서 \( (f g)(x)=f(x) g(x) \)</p>	자연
행렬과 대수_부록1(선형대수 & 해석)	<p>즉, 모든 \( X \in R ^ { n } \)에 대하여 \( A ^ { T } A X=X \)이므로 \( A ^ { T } A=I \) 역으로 \( A ^ { T } A=I \)이라면 모든 \( X \in R ^ { n } \)에 대하여</p> <p>\( \begin {aligned} \\|X \\| ^ { 2 } &=X \circ X= \left (A ^ { T } A \right ) X \circ X \\ &=A X \circ A X= \\|A X \\| ^ { 2 } \end {aligned} \)</p> <p>즉, \( \\|X \\|= \\|A X \\| \). 따라서</p> <p>\( \begin {aligned} \\|T(X)-T(Y) \\| &= \\|A X-A Y \\|= \\|A(X-Y) \\| \\ &= \\|X-Y \\| \end {aligned} \)</p> <h1>선형변환의 연속성 부등식</h1> <p>선형변환 \( L: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } : L(X)=A X= \left ( \begin {array} { ll } a_ { 11 } &a_ { 12 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x \\ y \end {array} \right ) \)에 대하여</p> <p>\( \begin {aligned} \\|L(X) \\| &= \sqrt {\left (a_ { 11 } x + a_ { 12 } y \right ) ^ { 2 } + \left (a_ { 21 } x + a_ { 22 } y \right ) ^ { 2 } } \\ & \leq \sqrt {\left (a_ { 11 } ^ { 2 } + a_ { 12 } ^ { 2 } \right ) \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) + \left (a_ { 21 } ^ { 2 } + a_ { 22 } ^ { 2 } \right ) \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) } \\ &= \sqrt {\left ( \sum_ { j=1 } ^ { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { 2 } a_ { i j } ^ { 2 } \right ) } \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \end {aligned} \)</p> <p>이를테면 \( \\| \cdot \\| \)는 유클리드 크기일 때, 선형변환 \( T: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } \) ,</p> <p>\( T(X)=A X: A= \left ( \begin {array} { cc } \sqrt { 2 } + 1 & 1 \\ 0 & \sqrt { 2 } \end {array} \right ) \)</p> <p>로 주어진 선형변환 \( T \)에 대하여</p> <p>\( \\|T(X) \\| \leq M \\|X \\|, M= \sqrt { 6 + 2 \sqrt { 2 } } \)</p> <p>일반화하면, 선형변환 \( T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { m } \)의 연속성을 포함하는 부등식은 다음과 같다.</p> <p>정리 Peano, \(1888 \)</p> <p>\( \begin {aligned} X \in R ^ { n } : A= \left (a_ { i j } \right ) \subseteq M_ { m, n } \text { 에 대하여 } \\ & \\|A X \\| \leq M \\|X \\|, \text { 여기서 } M= \sqrt {\sum_ { j=1 i=1 } ^ { m } \sum_ { i j } ^ { n } a_ { i j } { } ^ { 2 } } \end {aligned} \)</p> <p>선형변환 \( T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { m } \)</p> <ol type=1 start=1><li>원점 \(O \) 에서 연속</li> <li>모든 점 \( X \in R ^ { n } \) 에서 연속</li></ol> <p>임을 형식화하기 편리한 부등식이라 할 수 있다.</p> <h1>등장변환 iso-metry</h1> <p>일반적으로 \( n \)차원 공간 속에서 (초평면에 대한) 반사변환, 회전변환, 그리고 평행이 등으로 주어지는 변환들은 모두 두 점 사이의 거리를 보존하는 변환들이다. 이러한 변환들을 등장변환 iso-metry이라 한다. 즉, \( T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { n } \) 이</p> <p>\( \\|T(X)-T(Y) \\| = \\|X-Y \\|: X, Y \in R ^ { n } \)</p> <caption>\( ( * ) \)</caption> <p>이 성립하는 \( T \)를 등장변환이라 한다.</p> <p>정리 \( T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { n } \) 이 \( T(O)=O \)이 등장변환이면</p> <ol type=1 start=1><li>\( \\|T(X) \\|= \\|X \\| \)</li> <li>\( T(X) \circ T(Y)=X \circ Y \)</li> <li>\( T(a X + b Y)=a T(X) + b T(Y) \)</li></ol> <p>즉, 원점을 보존하는 등장변환은 선형변환이 된다.</p> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>등장변환의 정의 \( () \)에 \( Y=O \)를 대입하면 \((1) \)을 얻는다.</li> <li>또, 등장변환 정의 \( () \)의 양변을 제곱하면 \[ \\|T(X) \\| ^ { 2 } -2 T(X) \circ T(Y) + \\|T(Y) \\| ^ { 2 } = \\|X \\| ^ { 2 } -2 X \circ Y + \\|Y \\| ^ { 2 } \] 따라서 \((1) \)이 성립한다면, \((2) \)를 얻는다.</li> <li>모든 \( Z \subseteq R ^ { n } \) 에 대하여 (좌변)을 앞과 같이 계산하면 \((1) \)과 \((2) \)에 따라 \[ \\|T(Z)-[a T(X) + b T(Y)] \\| ^ { 2 } = \\|Z-[a X + b Y] \\| ^ { 2 } \] (계산 생략). 여기에 \( Z \mapsto a X + b Y \) 를 대입하면 \((3) \)을 얻는다.</li></ol> <p>정리</p> <p>\( T: R ^ { n } \rightarrow R ^ { n } \) 가 \( T(X)=A X \)</p> <p>로 주어진 변환이 등장변환일 필요충분조건은</p> <p>\( A ^ { T } A=I \) (즉: \( A \) 직교행렬)</p> <p>증명 \( T \)가 등장변환이면,</p> <p>\( \begin {aligned} X \circ Y &=T(X) \circ T(Y)=A X \circ A Y \\ &=A ^ { T } A X \circ Y \end {aligned} \)</p>	자연
조선시대 역사지진자료를 이용한 경주와 포항의 최근 지진규모 예측	<h1>1. 서론</h1> <p>지진(earthquake)은 단층 면에서 순간적으로 변위가 발생하여 지각 내 저장되어 있던 응력이 탄성 진동 에너지로 바뀌어 에너지가 갑자기 방출되어 지진파로 인해 지진 등이 발생하는 현상을 말한다. 이러한 현상으로 인해 규모가 큰 지진이 발생하면 사회, 경제 전반에 장기적으로 부정적 영향을 미칠 수 있다. 최근 국내에서 2016년 경주에서 5.8 규모의 지진과 2017년 포항에서 5.4 규모의 지진이 발생하여 지역 사회의 경제에 직·간접적으로 큰 피해를 입혔다. 이와 같은 규모가 큰 두 지진은 조선시대(\(1392 \sim 1896\)년)에서 자료의 밀집도가 상대적으로 높은 \(1392 \sim 1771\)년을 고려한 경우 1771년(조선시대)으로 부터 약 245년 후 발생하였고, 이러한 사실에 입각하여 역사 지진 자료를 토대로 지진규모를 예측하는 것은 통계적 분석 및 예측문제에서 매우 중요할 것이다.</p> <p>지진은 관측된 상황에 따라 역사지진과 계기지진으로 구분되며, 그 중 역사지진은 경험 또는 전문을 통해서 기록되어왔다. 한국은 1978년 이후로 계기지진 정보가 축적되기 시작해왔지만, 큰 규모의 지진은 재발주기가 상대적으로 길기 때문에 계기지진만으로는 지진의 발생빈도나 규모를 예측하기 어려우므로 역사지진에 대한 연구가 진행 중이며 그 결과로 인하여 역사지진 자료의 정리, 진앙의 추정, 발생빈도의 확인 등 다양한 성과를 거두었다 (KMA, 2012). 삼국사기, 고려사, 조선왕조실록 등의 전문(傳聞)을 통해 역사지진은 시점, 위치(위도/경도 추후 환산), 피해 등을 서술한 내용을 통하여 진도/규모로 환산한다. 지진을 포함한 자연현상의 위험성(홍수, 최대풍속, 최대기온 등)을 평가하는데 일반화 극단값(generalized extreme value, GEV) 분포가 유용하게 사용되어 왔다 (Nadarajah와 Choi, 2007; Ryu 등, 2016; Heo, 2016; Ha 등, 2020). 이러한 극단 값 이론에 근거한 지진의 위험성에 대한 선행연구가 또한 진행되어 왔다 (Pisarenko 등, 2010; Bae 등, 2018). 특히 최근에 Ha 등 (2020)은 한국을 비롯한 주변국 (일본, 중국, 대만)에서 계측된 지진규모 자료를 이용하여 각 국가별로 앞으로 100년 이내 재현기간별 지진규모를 예측하기 위해 GEV 분포의 적절성을 제시하였다.</p> <p>본 논문에서는 GEV 분포를 사용하여 한국의 조선 시대(\(1392 \sim 1896\)년)에 대한 재현기간별 지진규모 예측 및 분석을 제시하고자 한다. 이를 위해 기상청 (KMA, 2012)에서 구축한 한국의 1392년부터 1771년까지의 역사지진 자료를 사용한다. 특히 본 논문에서는 GEV 분포를 사용하기 위하여 블록 최댓값(block maxima) 즉 5년별 최댓값 자료를 사용한다. GEV 분포의 모수 추정을 위해 최대 가능도(maximum likelihood, ML) 추정 법과 순서통계량들의 선형결합으로 이루어진 하나의 확률가중적률법인 L-적률(L-moments; Hosking, 1990) 추정법을 사용한다. 이러한 두 가지 추정법의 결과를 비교하고, 이를 바탕으로 적합도 검정(goodness-of-fit test)을 통해 GEV 분포 사용의 타당성을 보인다. 최종 분석결과, 조선시대의 재현기간에 따른 재현 수준에 근거하여 최근의 규모가 큰 경주와 포항지역의 두 지진규모를 예측하였으며, 이는 다소 과대추정되었지만 역사지진자료를 토대로 두 지진을 예측한 것은 매우 새로운 발견으로 사료된다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 제 2절에서는 본 연구방법을 위한 배경지식인 GEV 분포 및 적합도 검정법을 간략히 설명하고, 제 3절에서는 역사지진 자료소개 및 기초분석을 제시한다. 제 4절에서는 최종 분석 결과를 제시하고, 마지막으로 제 5절에서는 결론 및 향후 연구과제를 제시한다.</p> <h1>4. 분석 결과</h1> <h2>4.1. 정상성 경향 검토</h2> <p>본 논문에서는 분석 자료로 조선시대의 \(1392 \sim 1771\)년 동안의 5년 최대 규모 자료를 사용하였고, 총 빈도수는 76개이다. 먼저, 최대 규모 자료는 시계열 자료이므로 시간에 따른 경향성 분석을 위해 Kendall의 tau 통계량을 이용한 만-켄달 검정법(Mann-Kendall test)을 실시하였다. 일반적으로 사용되는 유의수준 0.05를 기준으로 검정(\( H_{0} \) : 단조 추세가 존재하지 않는다)한 결과, 만-켄달의 검정통계량 값은 \(0.038(p-value=0.631)\)로 단조 추세가 존재하지 않았다. 더욱이 자기상관함수(autocorrelation function, ACF)를 분석한 결과(not shown), 자료의 각 시차간 유의한 차이가 없어서 시계열적인 자기상관(autocorrelation)이 존재하지 않는 것으로 나타났다. 따라서 본 논문에서는 시간(time)과 같은 특별한 공변량(covariate)을 확률분포에 반영하지 않고 정상성에 기초한 자료 분석을 실시하고자 한다(Heo, 2016 ; Ha 등, 2020).</p> <h2>4.2. 모수 추정 및 적합도 검정</h2> <p>조선시대의 5 년 최대 규모 자료가 GEV 분포를 만족하는지 검정하기 위하여 2.3절에서 언급한 KS test, AD test, CVM test를 통하여 유의수준 0.05를 기준으로 모형 적합도 검정을 실시한 결과는 Table 1과 같다. 즉, 연구 대상이 되는 지진 규모 자료는 모두 GEV 분포를 따른다고 할 수 있다. Figure 5와 Figure 6의 분위수 그래프(quantile plot)를 통해서도 그 적합성을 확인할 수 있다. Table 2는 GEV 분포에 대한 ML-추정법과 L-적률 추정법을 이용한 5년간 블록의 모수 추정값과 신뢰구간을 나타낸 것이다. 전반적으로 두 추정 결과는 유사하게 나타났다. 여기서 위치모수 \( \mu \), 척도모수 \( \sigma \) 그리고 형상모수 \( \xi \)에 대해 두 방법 모두 유의수준 \(5\%\)에서 통계적으로 유의하게 나타나지만, 이러한 세 추정값들은 (2.1)식에 있는 재현수준의 추정에 중요한 영향을 줄 수 있다. 이를 부연 설명하면 다음과 같다.</p> <ol type=i start=1><li>위치모수 \( \mu \)는 분포의 위치 변화를 나타내며, Table 2에서 \( \mu \)의 추정값은 유의하게 양의 큰 값이므로 재현 수준의 증가에 크게 영향을 미침을 알 수 있다.</li> <li>척도모수 \( \sigma \)와 형상모수 \( \xi \)는 각각 분포의 퍼짐성과 형태 변화를 나타내며, 이러한 두 추정값은 재현수준 의 산포에 영향을 미칠 수 있다.</li> <li>특히 형상모수 \( \xi \)의 추정값이 음수이므로, 본 연구자료에 대해 GEV 분포를 적합하는 경우 Weibull 분포 형태로 나타남을 알 수 있다.</li></ol> <p>Table 3은 조선시대의 재현기간에 따른 재현 수준을 (2.1)의 추정식을 이용하여 예측한 결과이다. 예측은 최소 10년(2블록)에서 최대 250년(50블록)까지 실시하였다. ML 추정법의 분석 결과에 따르면, 1771년으로 부터 10년 내에 적어도 한번은 규모 5.075 이상의 지진이 발생할 것으로 예측되며 대응하는 신뢰구간은(4.841, 5.309)이다. L-moments 추정법의 결과는 1771년으로 부터 10년 내에 적어도 한번은 규모 5.043 이상의 지진이 발생할 것으로 예측되며 대응하는 신뢰구간은(4.813, 5.278)이다. 따라서 Table 2와 같이 Table 3에서도 두 추정법의 예측 결과는 전반적으로 유사한 것으로 나타났다. 또한 Figure 7과 Figure 8은 Table 3의 ML 추정법과 L-moments 추정법의 결과를 각각 시각화한 것이다.</p> <p>2016년 경주에서 발생한 5.8 규모 지진과 2017년 포항에서 발생한 5.4 규모 지진은 1771년으로 부터 약 245년(49블록) 후 발생했다. Table 3의 두 방법의 결과에 따르면 다소 과대추정 되는 것으로 나타났지만 이러한 결과는 매우 새로운 발견으로 사료된다.</p> <h1>2. Generalized extreme value 분포를 이용한 통계적 분석 방법</h1> <h2>2.1. Generalized extreme value 분포</h2> <p>극단치를 모형화하는 대표적인 방법은 블록 최댓값 모형이며, 블록 최댓값은 일정 단위 기간 동안의 최댓값, 즉 동일하게 독립적으로 분포하는 최댓값들이 나타내는 확률분포를 이용하는 방법이다. 극단치 이론에 따르면 표본이 증가할수록 최댓값의 분포는 점근적으로 GEV 분포로 수렴한다 (Fisher와 Tippet, 1928). 단위 기간 동안의 최댓값을 이용한 GEV 분포는 Jenkinson (1955)에 의해 제안되었다. GEV 분포의 누적분포함수 \( G(z) \)는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( G(z)=\exp \left[-\left\{1+\xi\left(\frac{z-\mu}{\sigma}\right)\right\}^{-\frac{1}{\xi}}\right], \quad Z=1+\xi\left(\frac{z_{i}-\mu}{\sigma}\right)>0 \).</p> <p>여기서 \( \mu \)는 위치모수(location parameter), \( \sigma \)는 척도모수(scale parameter), \( \xi \)는 형상모수(shape parameter)이다. Jenkinson (1955)에 의하면, GEV 분포는 형상모수의 크기에 따라 \( \xi>0 \)일 때 Frechet 분포, \( \xi<0 \)일 때 Weibull 분포 그리고 \( \xi=0 \)일 때 Gumbel 분포가 된다. 본 논문에서 GEV 분포 모수 추정에 대해 먼저 ML 추정법을 사용하였고, 블록의 개수가 \( m \)일 때 \( \xi \neq 0 \)인 경우 GEV 분포의 로그가능도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( \ell(\mu, \sigma, \xi)=-m \log \sigma-\left(1+\frac{1}{\xi}\right) \sum_{i=1}^{m} \log \left[1+\xi\left(\frac{z_{i}-\mu}{\sigma}\right)\right]-\sum_{i=1}^{m}\left[1+\xi\left(\frac{z_{i}-\mu}{\sigma}\right)\right]^{\frac{-1}{\xi}} \).</p> <p>여기서 \( i=1,2, \ldots, m \) 에 대해 \( 1+\xi\left(z_{i}-\mu\right) / \sigma>0 \) 이다. 또한 \( \xi=0 \) 인 경우 GEV 분포의 로그가능도함수는 다음과 같이 주어진다.</p> <p>\( \ell(\mu, \sigma)=-m \log \sigma-\sum_{i=1}^{m} \log \left(\frac{z_{i}-\mu}{\sigma}\right)-\sum_{i=1}^{m} \exp \left[-\left(\frac{z_{i}-\mu}{\sigma}\right)\right] \).</p> <h2>2.2. 재현수준</h2> <p>극단 사건의 분석에 있어서, 언제 그 사건이 발생하는지(재현주기, return period)와 그 사건이 얼마나 크게 나타나는지(재현수준, return level)가 매우 중요하다. 특히 지진과 같이 극단적인 사건이 일어난다면 앞으로 얼마나 큰 사건이 일어날지에 대한 문제는 재현수준(return level)을 통해 평가할 수 있다 (Ryu 등, 2016). 일반적으로 어떤 지진 규모의 크기가 평균 \( T \)년 동안 한 번 이상 발생하면 재현기간(return period) \( T \)년을 가진다고 한다. 어떤 확률변수 \( Z \)에 대해 재현기간이 \( T \)년인 재현수준은 \( P\left(Z \geq z_{T}\right)=p=(1 / T) \)를 만족하는 분위수 (quantile) \( z_{T} \)이다. 확률변수 \( Z \)가 \( \operatorname{GEV}(\mu, \sigma, \xi) \)분포를 따르는 경우, 재현수준 \( z_{T} \)는 다음과 같이 추정된다 (Coles 등, 2001).</p> <p>\( \hat{z}_{T}=\left\{\begin{array}{ll}\hat{\mu}-\frac{\hat{\sigma}}{\hat{\xi}}\left[1-\left\{-\log \left(1-\frac{1}{T}\right)\right\}^{-\hat{\xi}}\right], & \text { if } \xi \neq 0 \\ \hat{\mu}-\hat{\sigma} \log \left\{-\log \left(1-\frac{1}{T}\right)\right\}, & \text { if } \xi=0\end{array}\right. \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>재현수준에 대한 신뢰구간은 델타방법(delta method)으로 \( \hat{z}_{T} \)의 근사적 분산을 계산하여 구할 수 있다 (Ha 등, 2020).</p> <h2>2.3. 모형의 적합도 검정</h2> <p>본 논문에서는 대상 지진자료로부터 얻어지는 경험적 분포(empirical distribution)와 우리가 가정한 GEV 확률분포가 얼마나 잘 일치하는가를 검정하기 위해 다음과 같은 세 가지 적합도 검정법들(goodness-of-fit tests)을 실시하였다.</p> <ol type=i start=1><li>Kolmogorov-Smirnov 검정(KS test; Smirnov, 1939)</li> <li>Anderson-Darling 검정(AD test; Anderson과 Darling, 1952)</li> <li>Cramer-Von Mises 검정(CVM test; Anderson, 1962)</li></ol>	자연
s521-기하학개론	<p>이변수의 함수 \( z=f(x, y) \) 에 있어서 \( y \) 를 일정한 값 \( y_ { 1 } \) 으로 고정하면 \( f \) 는 \( x \) 만의 함수 즉, \( g(x)=f \left (x, y_ { 1 } \right ) \) 인 \( x \) 만의 일변수함수가 된다. 만일 \( g \) 가 \( x_ { 1 } \) 에서 도함수를 가지면 그 도함수를 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 에서 \( x \) 에 관한 \( f \) 의 편도함수라 하며 기호 \( f_ { x } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 으로 나타낸다.</p> <p>\( f_ { x } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )=g ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right ), \quad g(x)=f \left (x, y_ { 1 } \right ) \)</p> <p>도함수의 정의에 의하여</p> <p>\( g ^ {\prime } \left (x_ { 1 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g \left (x_ { 1 } + h \right )-g \left (x_ { 1 } \right ) } { h } \)</p> <p>이므로</p> <p>\( f_ { x } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 1 } + h, y_ { 1 } \right )-f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) } { h } \).</p> <p>같은 방법으로 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 에서 \( y \) 에 관한 \( f \) 의 편도함수 \( f_ { y } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 은</p> <h2>예제 6.2.2</h2> <p>함수 \( f(x, y)=\|x + y\| \) 는 점 \( (0,0) \) 에서 \( x \) 에 관하여 편미분가능한가?</p> <caption>풀이</caption> <p>\( f_ { x } (0,0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(0 + h, 0)-f(0,0) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { \|h\| } { h } \) 이고, 우변의 극한이 존재하지 않으므로 주어진 함수는 \( (0,0) \) 에서 \( x \) 에 관하여 편미분가능하지 않다.</p> <h2>예제 6.2.3</h2> <p>\( f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \) 일 때, \( f_ { x } , f_ { y } , f_ { x } (1,2), f_ { y } (1,2) \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( y \) 를 상수로 보고 \( f \) 를 \( x \) 에 관하여 미분하면</p> <p>\( f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \)</p> <p>이고,</p> <p>\( f_ { x } (1,2)=3 + 16=19 \)</p> <p>\( x \) 를 상수로 보고 \( f \) 를 \( y \) 에 관하여 미분하면</p> <p>\( f_ { y } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \)</p> <p>이고,</p> <p>\( f_ { y } (1,2)=12-8=4 \).</p> <p>이변수함수에 대한 편도함수의 개념을 3변수 이상의 함수로 확장할 수 있다. 예를 들어 \( w=f(x, y, z) \) 에 대하여 \( x \) 에 관한 편도함수는</p> <p>\( f_ { x } (x, y, z)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h, y, z)-f(x, y, z) } { h } \)</p> <p>으로 정의하며, 또한 \( y \) 와 \( z \) 에 관한 편도함수도 동일한 방법으로 정의한다. 따라서 3변수함수 \( f(x, y, z) \) 의 \( x \) 에 대한 편도함수를 구하기 위하여 다른 변수들은 상수로 취급하고 오로지 변수 \( x \) 에 대한 도함수만 구하면 된다. 그리고 이것은 \( n \) 변수함수에도 동일하게 적용할 수 있다.</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [ \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } f(x, y) d y \right ] d x= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left [ \int_ { y / 2 } ^ {\sqrt { y } } f(x, y) d x \right ] d y \)</p> <p>가 성립하게 된다.</p> <h2>예제 7.1.6</h2> <p>\( R \) 이 직선 \( y=x-1 \) 과 포물선 \( y ^ { 2 } =2 x + 6 \) 으로 둘러싸인 영역일 때 \( \iint_ { R } x y d A \) 의 값을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>영역 \( R \) 을 그림에 두 가지 형태로 표시하면 I형 영역으로 나타낸 \( R \) 은 아래 경계가 두 부분으로 이루어져 있기 때문에 복잡하다. 그러므로 \( R \) 을 다음과 같이 Ⅱ형 영역으로 표현하는 것이 더 편하다.</p> <p>\( R= \left \{ -2 \leq y \leq 4, \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } -3 \leq x \leq y + 1 \right \} \)</p> <p>그러므로</p> <p>\( \begin {aligned} \iint_ { R } x y d A &= \int_ { -2 } ^ { 4 } \int_ {\frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } -3 } ^ { y + 1 } x y d x d y \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { -2 } ^ { 4 } y \left \{ (y + 1) ^ { 2 } - \left ( \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } -3 \right ) ^ { 2 } \right \} d y \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { -2 } ^ { 4 } \left (- \frac { y ^ { 5 } } { 4 } + 4 y ^ { 3 } + 2 y ^ { 2 } -8 y \right ) d y \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left [- \frac { y ^ { 6 } } { 24 } + y ^ { 4 } + 2 \frac { y ^ { 3 } } { 3 } -4 y ^ { 2 } \right ]_ { -2 } ^ { 4 } =36 \end {aligned} \)</p> <p>\( \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial y } &= \frac { a } { 2 } \left ( \frac { y } { x } \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left ( \frac { 1 } { x } \right ) \\ &= \frac { a } { 2 } \left ( \frac { y } { x } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \left ( \frac { 1 } { y } \right ) \\ &= \frac { z } { 2 } \left ( \frac { 1 } { y } \right ) \end {aligned} \)</p> <p>이므로</p> <p>\( d z=- \frac { z } { 2 } \frac { d x } { x } + \frac { z } { 2 } \frac { d y } { y } = \frac { z } { 2 } \left ( \frac { d y } { y } - \frac { d x } { x } \right ) \)</p> <p>을 얻는다.</p> <h2>예제 6.4.2</h2> <p>한 직원기둥의 지름과 높이를 재어서 각각 5,8 을 얻었다. 이 값에는 각각 \( \pm 0.1 \) 의 오차가 있다고 할 때, 이 직원기둥의 부피에 미치는 최대상대오차와 백분율오차를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>지름이 \( x \), 높이가 \( y \) 인 직원기둥의 부피 \( V \) 는 \( V= \frac { 1 } { 4 } \pi x ^ { 2 } y \) 다. 지금 양변의 대수를 취하고 미분을 취하면</p> <p>\( \ln V= \ln \frac {\pi } { 4 } + 2 \ln x + \ln y \)</p> <p>\( \frac { d V } { V } = \frac { 2 d x } { x } + \frac { d y } { y } \)</p> <p>이다. 한편 \( d x, d y \) 가 모두 양수일 때 \( \frac { d V } { V } \) 가 최대가 되므로 \( x=5, y=8, d x=0.1, d y=0.1 \) 을 대입하면 최대상대오차</p> <p>\( f_ { y } \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } + h \right )-f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) } { h } \)</p> <p>이 된다.</p> <p>일반적으로 \( f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \) 가 동시에 존재할 때 \( f(x, y) \) 는 편미분가능(partial differentiable)이라고 한다. \( z=f(x, y) \) 의 \( x \) 및 \( y \) 의 편도함수(partial derivative)를 다음과 같이 표시한다.</p> <p>\( x \) 에 관한 \( f \) 의 편도함수: \( f_ { x } (x, y), z_ { x } , \frac {\partial f } {\partial x } , \frac {\partial z } {\partial x } , \frac {\partial } {\partial x } f(x, y) \)</p> <p>\( y \) 에 관한 \( f \) 의 편도함수: \( f_ { y } (x, y), z_ { y } , \frac {\partial f } {\partial y } , \frac {\partial z } {\partial y } , \frac {\partial } {\partial y } f(x, y) \)</p> <p>편도함수를 구하는 것을 편미분(patrial differentialtion)한다고 한다.</p> <p>\( z=f(x, y) \) 의 편도함수를 구하는 방법:</p> <ol type= start=1><li>\( f_ { x } \) 를 구하기 위해 \( y \) 를 상수로 보고 \( f(x, y) \) 를 \( x \) 에 관하여 미분한다.</li> <li>\( f_ { y } \) 를 구하기 위해 \( x \) 를 상수로 보고 \( f(x, y) \) 를 \( y \) 에 관하여 미분한다.</li></ol> <h2>예제 6.2.1</h2> <p>함수 \( f(x, y)=4-x ^ { 2 } -2 y ^ { 2 } \) 일 때, 편도함수의 정의를 사용하여 \( f_ { x } (1,1), f_ { y } (1,1) \) 를 각각 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( f_ { x } (1,1)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\left \{ 4-(1 + h) ^ { 2 } -2 \right \} -(4-1-2) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { -2 h-h ^ { 2 } } { h } =-2, \\ f_ { y } (1,1)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac {\left \{ 4-1-2(1 + k) ^ { 2 } \right \} -(4-1-2) } { k } = \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { -4 k-2 k ^ { 2 } } { k } =-4 \)</p> <h2>예제 7.1 1</h2> <p>예제 7.1.1 영역 \( R \) 이 그림 7-2의 사각형이고, \( f(P)= \overline { A P } ^ { 2 } \) 일 때 정적분 \( \int_ { R } f(P) d A \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( f(x, y)= \overline { A P } ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int_ { R } f(P) d A &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d y \right ] d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left [ \left . \left (x ^ { 2 } y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } \right ) \right \|_ { y=0 } ^ { y=2 } \right ] d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left (2 x ^ { 2 } + \frac { 8 } { 3 } \right ) d x \\ &= \left . \left ( \frac { 2 x ^ { 3 } } { 3 } + \frac { 8 x } { 3 } \right ) \right \|_ { 0 } ^ { 4 } = \frac { 160 } { 3 } \end {aligned} \)</p> <h2>예제 7.1.2</h2> <p>반복적분 \( \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x y d x d y \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } x y d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left \{\int_ { 0 } ^ { 1 } x y d x \right \} d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } y \right ]_ { 0 } ^ { 1 } d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } y d y \\ &= \left [ \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } \\ &= \frac { 1 } { 4 } \end {aligned} \)</p> <h2>예제 6.1.2</h2> <p>\( f(x, y)=x ^ { 2 } \) 의 그래프가 어떤 형태인지를 설명하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>모든 \( y \) 에 대하여 \( z=f(x, y)=x ^ { 2 } \) 이므로 \( x z \) 평면에 평행한 임의의 평면으로 주어진 곡면을 잘라도 그 단면은 \( z=x ^ { 2 } \) 인 포물선이 된다. 따라서 곡면의 그래프는 그림 6-2와 같다.</p> <p>위 예제에서와 같이 이변수함수 \( f(x, y) \) 의 그래프의 형태를 알기 위해서는 단면의 형태를 파악하는 것이 도움이 될 때가 있다. 특히, 주어진 함수의 식에 \( x=0 \) 을 대입함으로써 \( y z \) 평면상에 나타난 단면의 식을 알 수 있고, \( y=0 \) 을 대입함으로써 \( x z \) 평면상에 나타난 단면의 식을 알 수 있으며, 이들을 조합하여 \( f(x, y) \) 의 그래프를 짐작 할 수 있다.</p> <h2>예제 6.1.3</h2> <p>이변수함수 \( z=8-2 x-4 y \) 의 그래프를 그려라.</p> <caption>풀이</caption> <p>임의의 \( z=c \)(c는 상수)에 대하여 \( 2 x + 4 y=8-c \)이므로 직선이고 이러한 직선들을 품는 것은 평면이다. 따라서 주어진 함수의 그래프는 \( x \) 절편이 4, \( y \)절편이 2, \( z \)절편이 8인 평면이고, 제 1팔분공간에 있는 평면의 일부는 그림 6-3과 같다.</p> <p>일변수함수 \( f(x) \) 에서 함수의 극한</p> <p>\( \lim _ { x \rightarrow x_ { 0 } } f(x)=L \)</p> <p>은 \( x \neq x_ { 0 } \) 이면서 \( x \) 가 \( x_ { 0 } \) 에 한없이 가까이 갈 때, \( f(x) \) 의 값이 \( L \) 의 값에 임의로 한없이 가까이 간다는 것을 의미한다. 같은 관점에서, 이변수함수 \( f(x, y) \) 에서도</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } f(x, y)=L \)</p> <p>은 \( (x, y) \neq \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 이면서 \( (x, y) \) 가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에 한없이 가까이 갈 때, \( f(x, y) \) 의 값이 \( L \) 의 값에 임의로 한없이 가까이 간다는 것을 의미한다.</p> <p>\( D= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \right \} \)</p> <p>이다. 즉, 중심이 (0,0)이고 반지름이 1인 원이다. 함수 \( f \)의 치역은 \( \left \{ z \mid z= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } ,(x, y) \in D \right \} \)인데, 여기서 \( z \)는 양의 제곱근이므로 \( z \geq 0 \)이다. 또한</p> <p>\( 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \leq 1 \Rightarrow \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \leq 1 \)</p> <p>이므로 치역은 \( \{ z \mid 0 \leq z \leq 1 \} \)이 된다. 한편, \( z= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \) 의 양변을 제곱하여 정리하면 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 \) 이므로 구면인데, \( z \geq 0 \) 이므로 주어진 함수의 그래프는 \( x y \) 평면과 그 윗부분에 있는 반구면이다.</p> <p>곡면 \( z=f(x, y) \)를 \( x y \)평면에 평행인 평면 \( z=k \)로 잘랐을 때 생기는 공간곡선을 \( x y \)평면에 투영시키면 하나의 평면곡선을 얻게 되는데 이러한 곡선을 높이 \( k \)의 등고선 (level curve)이라고 한다. 예를 들어 지도상에서의 등고선은 평균해면(sea level) 위로 일정한 높이를 갖는 곡선들이다. 등고선은 3 차원 표면 \( z=f(x, y) \)를 2차원적 방법으로 나타낼 수 있게 한다.</p> <p>3변수함수 \( f(x, y, z) \)의 그래프는 3차원 공간에 그릴 수는 없지만 \( f(x, y, z)=k \) 형태의 등고면(level surface)으로 눈에 보이게 나타낼 수 있다.</p> <p>예를 들어 \( f(x, y, z)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \)에 대하여 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =k( \) 단, \( k>0) \)는 중심이 원점인 구이므로 공간에 있는 이들 구들이 \( f \)의 등고면이다. 실생활에서 등고선이나 등고면은 등온선, 등고선, 등압선 등에 널리 쓰이고 있다.</p> <h2>예제 6.2.4</h2> <p>\( f(x, y, z)=e ^ { x y } \ln z \) 일 때, \( f_ { x } , f_ { y } , f_ { z } \) 을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( y \) 와 \( z \) 을 상수로 보고 \( x \) 에 관하여 미분하면</p> <p>\( f_ { x } =y e ^ { x y } \ln z \)</p> <p>이고, 마찬가지 방법으로</p> <p>\( f_ { y } =x e ^ { x y } \ln z, \quad f_ { z } = \frac { e ^ { x y } } { z } \)</p> <p>을 얻는다.</p> <p>이제 편도함수의 기하학적인 의미에 대하여 알아보자.</p> <p>함수 \( z=f(x, y) \) 의 그래프가 다음 그림 6-5와 같다고 하자.</p> <p>곡면 위의 한 점 \( P(a, b, c) \) 를 지나고 \( z x \) 평면과 평행인 평면으로 곡면을 자르면 곡선 \( A P B \) 를 얻는다. 한 점이 이 곡선을 따라 움직이면 \( z \) 와 \( x \) 는 변하지만 \( y \) 는 변하지 않을 것이다. 따라서 점 \( P(a, b, c) \) 에서의 함수 \( z=f(x, y) \) 의 \( x \) 에 관한 편미분계수 \( f_ { x } (a, b) \) 는 곡선 \( A P B \) 의 점 \( P \) 에서의 접선의 기울기를 의미한다. 곡선 \( C P D \) 에 대해서도 같은 방법으로 생각하여 다음과 같은 편미분계수의 기하학적 의미를 얻는다.</p> <p>\( f_ { x } (a, b)= \tan \alpha= \) 점 \( P \) 에서의 \( z x \) 평면에 평행인 접선</p> <p>\( f_ { y } (a, b)= \tan \beta= \) 점 \( P \) 에서의 \( y z \) 평면에 평행인 접선</p> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 편도함수 \( f_ { x } , f_ { y } \) 또한 이변수함수이다. 따라서 이것들의 편도함수 \( \left (f_ { x } \right )_ { x } , \left (f_ { x } \right )_ { y } , \left (f_ { y } \right )_ { x } , \left (f_ { y } \right )_ { y } \) 를 생각할 수 있는데, 이들을 \( f \) 의 이계편도함수라 하고 다음과 같이 표기한다.</p> <p>이다.</p> <p>따라서 극좌표계에서 반복적분을 계산하고자 하는 경우에는 상수 \( r \) 이 피적분 함수에 추가되어야 함을 알 수 있다.</p> <h2>예제 7.2.1</h2> <p>\( R \) 이 반지름이 \( a \) 인 반원이고 \( f(P) \) 가 점 \( P \) 에서 \( x \) 축까지의 거리라고 하자. 극좌표계에서 반복적분을 이용하여 \( \int_ { B } f(P) d A \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( R= \{ (r, \theta) \mid 0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq r \leq a \} \) 이고 점 \( P \) 에서 \( x \) 축까지의 거리는 \( y \) 이다. \( y=r \sin \theta \) 이므로 \( f(P)=r \sin \theta \) 이다. 그러므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int_ { R } f(P) d A &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \left [ \int_ { 0 } ^ { a } (r \sin \theta) r d r \right ] d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin \theta \int_ { 0 } ^ { a } r ^ { 2 } d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\pi } \frac { a ^ { 3 } \sin \theta } { 3 } d \theta \\ &= \left . \frac { a ^ { 3 } } { 3 } (- \cos \theta) \right \|_ { 0 } ^ {\pi } \\ &= \frac { 2 a ^ { 3 } } { 3 } \end {aligned} \)</p> <h2>예제 7.2.2</h2> <p>\( R= \left \{ (x, y) \mid 1 \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4,0 \leq y \leq \sqrt { 3 } x \right \} \) 일 때 \( \iint_ { R } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } d x d y \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( R= \left \{ (r, \theta) \mid 1 \leq r \leq 2, \quad 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 3 } \right \} , \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } = \left (r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } =r ^ { 3 } \) 이므로</p> <h2>정의 6.1.2</h2> <p>점 \( (x, y) \) 를 임의의 경로를 따라 \( (a, b) \) 에 한없이 가깝게 할 때 함수 \( f(x, y) \) 를 \( L \) 에 충분히 가깝게 할 수 있다면, \( (a, b) \) 에서 \( f(x, y) \) 의 극한(limit)을 \( L \) 이라 하고</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=L \)</p> <p>로 나타낸다.</p> <p>위의 정의에서 " \( (x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에 한없이 가까워진다"는 것은 \( (x, y) \neq(a, b) \) 을 나타내며, 위의 극한을</p> <p>\( x \rightarrow a, y \rightarrow b \Rightarrow f(x, y) \rightarrow L \)</p> <p>와 같이 표현하기도 한다. 한편 일변수의 경우에 \( x \) 가 \( a \) 에 한없이 가까워지는 방법은 흔히 왼쪽에서 가까워지는 방법과 오른쪽에서 가까워지는 방법으로 두 방법에 따른 극한이 동일한 경우에 극한이 존재한다고 정의하였다. 그러나 이변수의 경우에 한 정점 \( (a, b) \) 를 포함하는 어떤 영역 안의 임의의 점 \( (x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에 한없이 가까워지는 방법이</p> <ol type= start=1><li>직선 \( y=m x \) 에 따라 접근하는 경우</li> <li>\( y \rightarrow b \) 와 \( x \rightarrow a \) 인 경로 또는 \( x \rightarrow a \) 와 \( y \rightarrow b \) 인 경로에 따라 접근하는 경우</li> <li>임의의 곡선 \( C \) 를 따라 접근하는 경우</li></ol> <p>등 그림 6-4와 같이 무수히 많다는 것에 유의해야 한다. 한편 각 경로에 대한 극한이 항상 동일한 것은 아니며, 이 모든 경우에 대한 극한이 동일한 값 \( L \) 이 되는 경우에 한하여 \( (x, y) \rightarrow(a, b) \) 일 때, 함수 \( f(x, y) \) 는 \( L \) 에 가까워진다고 한다.</p> <p>이변수함수의 합, 차, 곱 및 몫의 극한은 일변수의 경우에서와 동일하며, 3변수함수에 대해서도 같은 결과를 얻을 수 있다. 따라서 다음 극한에 대한 기본정리가 성립한다.</p> <h2>정리 6.1.1</h2> <p>\( \lim_ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=L \) 이고 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } g(x, y)=M \) 이면, 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } [f(x, y) \pm g(x, y)]=L \pm M \) (복호동순)</li> <li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } [f(x, y) \cdot g(x, y)]=L \cdot M \)</li> <li>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } \frac { f(x, y) } { g(x, y) } = \frac { L } { M } ( \) 단, \( M \neq 0) \)</li></ol> <p>를 얻는다.</p> <h1>7.1 직교좌표계에서 이중적분</h1> <p>우선 영역 \( R= \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, c \leq y \leq d \} \) 에서 정적분을 구하는 방법부터 구해 보자. 만일 \( R \) 안의 모든 점 \( P \) 에 대해 \( f(P) \geq 0 \) 이면 적분 \( \int_ { R } f(P) d A \) 는 밑면이 \( R \) 이고 높이가 \( f(P) \) 인 입체의 부피가 된다. \( A(x) \) 를 \( x \) 축 위의 점 \( x \) 에서 \( x \) 축과 수직이 되도록 잘랐을 때 잘린 평면의 단면적이라고 하자(그림 7-1). 분명히,</p> <p>\( V= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x \)</p> <p>가 성립한다. \( x y \) 평면의 영역 \( R \) 위에 세워진 입체를 잘랐을 때 단면적은 그 입체의 윗면을 덮은 곡면 \( f(x, y) \) 와 평면 \( x=x ^ {\prime } \) 의 교선 아래에 나타난 넓이와 같으므로 단면 적은 다음의 적분으로 표시할 수 있다.</p> <p>\( A \left (x ^ {\prime } \right )= \int_ { c } ^ { d } f \left (x ^ {\prime } , y \right ) d y \)</p> <p>그러므로</p> <p>\( \int_ { R } f(P) d A=V= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \left [ \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y \right ] d x \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>같은 논리를 \( y \) 축에 적용하면</p> <p>\( \int_ { R } f(P) d A= \int_ { c } ^ { d } \left [ \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x \right ] d y \)</p> <p>가 성립한다. 이러한 이유로 위 적분을 이중적분(double integral) 또는 반복적분 (iterated integral)이라고 하며 \( \int_ { a } ^ { b } \int_ { c } ^ { d } f(x, y) d y d x, \int_ { c } ^ { d } \int_ { a } ^ { b } f(x, y) d x d y \) 로 표시한다.</p> <p>\( \int_ { R } 3 x y d A= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [ \int_ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } 3 x y d y \right ] d x \)</p> <p>이다.</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { x ^ { 2 } } 3 x y d y= \left . \left (3 x \frac { y ^ { 2 } } { 2 } \right ) \right \|_ { y=0 } ^ { y=x ^ { 2 } } = \frac { 3 x ^ { 5 } } { 2 } \)</p> <p>이므로 구하고자하는 부피는 \( \int_ { 0 } ^ { 2 } \frac { 3 x ^ { 5 } } { 2 } d x=16 \) 이다. 적분 순서를 바꾸기 위해 \( R \) 을 \( R= \{ (x, y) \mid 0 \leq y \leq 4, \sqrt { y } \leq x \leq 2 \} \) 로 표시하면</p> <p>\( \int_ { R } 3 x y d A= \int_ { 0 } ^ { 4 } \left [ \int_ {\sqrt { y } } ^ { 2 } 3 x y d x \right ] d y \)</p> <p>가 성립하고 결과는 마찬가지로 16이다.</p> <h2>예제 7.1.9</h2> <p>곡선 \( x y=2,4 y=x ^ { 2 } \) 과 직선 \( y=4 \) 로 둘러싸인 평면도형의 넓이를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( x y=2,4 y=x ^ { 2 } \) 의 교점의 좌표는 \( (2,1) \) 이다. 그러므로 영역 \( R \) 은</p> <p>\( R= \left \{ (x, y) \mid 1 \leq y \leq 4, \frac { 2 } { y } \leq x \leq 2 \sqrt { y } \right \} \)</p> <p>로 표시할 수 있고 따라서 구하고자 하는 넓이는</p> <p>\( \int_ { R } 1 d A= \int_ { 1 } ^ { 4 } \int_ {\frac { 2 } { y } } ^ { 2 \sqrt { y } } d x d y= \int_ { 1 } ^ { 4 } \left (2 \sqrt { y } - \frac { 2 } { y } \right ) d y= \frac { 28 } { 3 } -2 \ln 4 \)</p> <p>(1) \( \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \)</p> <p>(2) \( \frac {\partial z } {\partial t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } \)</p> <p>이다.</p> <caption>증명</caption> <p>(1)에서는 함수 \( g, h \) 에서 \( t \) 를 상수로 보고, (2)에서는 \( s \) 를 상수로 생각하면 앞의 정리에 의해 명백하다.</p> <h2>예제 6.3.2</h2> <p>\( z=e ^ { x } \sin y, x=s t ^ { 2 } , y=s ^ { 2 } t \) 일 때, \( \frac {\partial z } {\partial s } , \frac {\partial z } {\partial t } \) 을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial s } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \\ &= \left (e ^ { x } \sin y \right ) \left (t ^ { 2 } \right ) + \left (e ^ { x } \cos y \right )(2 s t) \\ &=t ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + 2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \end {aligned} \)</p> <p>\( \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial t } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } \\ &= \left (e ^ { x } \sin y \right )(2 s t) + \left (e ^ { x } \cos y \right ) \left (s ^ { 2 } \right ) \\ &=2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + s ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \end {aligned} \)</p> <h3>정리</h3> <p>\( z=f(x, y) \) 가 \( x, y \) 에 관하여 편미분가능하고, \( x=g(t), y=h(t) \) 이며 \( x, y \) 가 \( t \) 에 관하여 미분가능하면 \( z \) 는 \( t \) 에 관하여 미분가능한 함수이고</p> <p>\( \frac { d z } { d t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \)</p> <p>이다.</p> <caption>증명</caption> <p>\( t \) 의 증분 \( \Delta t \) 에 대한 \( x, y, z \) 의 증분을 각각 \( \Delta x, \Delta y, \Delta z \) 라 할 때 이들 사이에는 다음 관계식이 성립한다.</p> <p>\( \Delta z= \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial y } \Delta y + \epsilon_ { 1 } \Delta x + \epsilon_ { 2 } \Delta y \).</p> <p>양변을 \( \Delta t \) 로 나누면</p> <p>\( \frac {\Delta z } {\Delta t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\Delta y } {\Delta t } + \epsilon_ { 1 } \frac {\Delta x } {\Delta t } + \epsilon_ { 2 } \frac {\Delta y } {\Delta t } \)</p> <p>여기서 \( \Delta t \rightarrow 0 \) 일 때 \( \Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0 \) 이고, 따라서 \( \epsilon_ { 1 } \rightarrow 0, \epsilon_ { 2 } \rightarrow 0 \) 이므로 다음 결과를 얻는다.</p> <p>\( \frac { d z } { d t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \)</p> <p>\( \begin {aligned} \iint_ { R } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } d x d y &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \int_ { 1 } ^ { 2 } r ^ { 3 } \cdot r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \left [ \frac { 1 } { 5 } r ^ { 5 } \right ]_ { 1 } ^ { 2 } d \theta \\ &= \left [ \frac { 31 } { 5 } \theta \right ]_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \\ &= \frac { 31 } { 15 } \pi \end {aligned} \)</p> <p>이다.</p> <p>우리는 평면도형의 넓이를 이중적분을 이용하여 구할 수 있음을 알고 있다. 극좌표계에서도 유사한 성질을 얻을 수 있다. 영역 \( R \) 이 \( R= \left \{ (r, \theta) \mid \alpha \leq \theta \leq \beta, r_ { 1 } ( \theta) \leq r \leq r_ { 2 } ( \theta) \right \} \) 이면 \( R \) 의 넓이는</p> <p>\( R \) 의 넓이 \( = \int_ {\alpha } ^ {\beta } \left [ \int_ { r_ { 1 } ( \theta) } ^ { r_ { 2 } ( \theta) } r d r \right ] d \theta \)</p> <p>로 구할 수 있다.</p> <h2>예제 7.2.3</h2> <p>원 \( r=2 a \cos \theta \) 의 내부와 원 \( r=a \) 의 외부로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( r=2 a \cos \theta \) 와 \( r=a \) 의 교점의 좌표는 \( \left (a, \frac {\pi } { 3 } \right ), \left (a,- \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 이므로 영역 \( R \) 은</p> <p>\( \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } =z_ { x x } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } =f_ { x x } , \\ \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } =z_ { y x } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } =f_ { y x } , \\ \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial z } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } =z_ { x y } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } =f_ { x y } , \\ \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial z } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } =z_ { y y } = \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } =f_ { y y } \).</p> <p>따라서 \( f_ { x y } \) 는 먼저 \( x \) 에 관하여 편미분하고 다음에 \( y \) 에 관하여 편미분한 것이고, 반면에 \( f_ { y x } \) 는 먼저 \( y \) 에 관하여 편미분하고 다음에 \( x \) 에 관하여 편미분한 것이다.</p> <h2>예제 6.2.5</h2> <p>\( f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \) 의 이계편도함수를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>먼저 일계편도함수는</p> <h1>7.2 극좌표계에서 이중적분</h1> <p>직교좌표계에서의 영역 \( R ^ {\prime } \) 이 극좌표계에서의 영역 \( R= \left \{ (r, \theta) \mid r_ { 1 } ( \theta) \leq r \leq r_ { 2 } ( \theta), \alpha \leq \theta \leq \beta \} \right . \) 로 변환된다고 하자. 그러면 영역 \( R ^ {\prime } \) 에서 정의된 함수 \( \phi(x, y) \) 는 변환식</p> <p>\( x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta \)</p> <p>에 의해 \( R \) 에서 정의된 새로운 \( r, \theta \) 의 함수</p> <p>\( \phi(x, y)= \phi(r \cos \theta, r \sin \theta)=f(r, \theta) \)</p> <p>로 표시할 수 있으며, 이 경우 이중적분은 \( \iint_ { R } f(r, \theta) d A \) 로 표시된다. 영역 \( R \) 을 원점 \( O \) 를 지나는 반직선군(동경군)과 원점 \( O \) 를 중심으로 하는 동심원군으로 분할하고 부분영역 \( R_ { i j } \) 의 넓이를 \( \Delta A_ { i j } \) 라고 하면</p> <p>\( \left . \Delta A_ { i j } = \frac { 1 } { 2 } \left \{\left (r_ { i } + \Delta r_ { i } \right ) ^ { 2 } -r_ { i } ^ { 2 } \right ) \right \} \Delta \theta_ { j } = \left (r_ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Delta r_ { i } \right ) \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } \)</p> <p>이다. 그러므로 극좌표계에서의 적분은 부분영역 \( R_ { i j } \) 내의 임의의 점 \( \left (r_ { i } ^ {\prime } , \theta_ { j } ^ {\prime } \right ) \) 에 대하여</p> <p>\( \begin {aligned} \iint_ { R } f(r, \theta) d A &= \lim _ { m, n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { m } f \left (r_ { i } , \theta_ { j } ^ {\prime } \right ) \Delta A_ { i j } \\ &= \lim _ { m, n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { m } f \left (r_ { i } ^ {\prime } , \theta_ { j } ^ {\prime } \right ) \left (r_ { i } + \frac { 1 } { 2 } \Delta r_ { i } \right ) \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } \\ &= \lim _ { m, n \rightarrow \infty } \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { j=1 } ^ { m } f \left (r_ { i } ^ {\prime } , \theta_ { j } ^ {\prime } \right ) r_ { i } \Delta r_ { i } \Delta \theta_ { j } = \iint_ { R } f(r, \theta) r d r d \theta \end {aligned} \)</p> <p>임을 알 수 있다. 2개 이상의 독립변수의 함수, 예컨대 \( u=f(x, y, z) \) 에 대해서도 그 전미분을 다음과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>\( d u= \frac {\partial u } {\partial x } d x + \frac {\partial u } {\partial y } d y + \frac {\partial u } {\partial z } d z \)</p> <p>함수 \( u=f(x, y, z, \cdots) \) 에 있어서 독립변수의 작은 변화에 대하여 전미분 \( d u \) 는 증분 \( \Delta u \) 의 근삿값이므로 이 \( d u \) 를 \( u \) 의 오차로 볼 수 있다. 여기서 \( d u \) 를 \( u \) 의 오차라 할 때 비(율) \( \frac { d u } { u } \) 를 \( u \) 의 상대오차라 하고 \( \frac { d u } { u } \times 100 \) 을 백분율오차(percentage error)라 한다.</p> <h2>예제 6.4.1</h2> <p>\( z=a \left ( \frac { y } { x } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \) 일 때 \( z \) 의 전미분을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>전미분의 정의에 의하면</p> <p>\( d z= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \)</p> <p>이고</p> <p>\( \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial x } &= \frac { a } { 2 } \left ( \frac { y } { x } \right ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \left ( \frac { -y } { x ^ { 2 } } \right ) \\ &=- \frac { a } { 2 } \left ( \frac { y } { x } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \left ( \frac { 1 } { x } \right ) \\ &=- \frac { z } { 2 } \left ( \frac { 1 } { x } \right ) \end {aligned} \)</p> <h2>예제 6.1.4</h2> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (1, \frac {\pi } { 2 } \right ) } x ^ { 2 } \sin y \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (1, \frac {\pi } { 2 } \right ) } x ^ { 2 } \sin y= \left ( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (1, \frac {\pi } { 2 } \right ) } x ^ { 2 } \right ) \left ( \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (1, \frac {\pi } { 2 } \right ) } \sin y \right )=1 \cdot 1=1 \)</p> <h2>예제 6.1.5</h2> <p>다음 극한값을 구하여라.</p> <p>(1) \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(-2,4) } \frac { x + y } {\sqrt { y } -x } \) (2) \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } \sin y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <caption>풀이</caption> <p>(1) \( \begin {aligned} \lim _ { (x, y) \rightarrow(-2,4) } \frac { x + y } {\sqrt { y } -x } &= \frac {\lim _ { (x, y) \rightarrow(-2 \cdot 4) } (x + y) } {\lim _ { (x, y) \rightarrow(-2,4) } ( \sqrt { y } -x) } \\ &= \frac { 2 } { 2-(-2) } = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \)</p> <p>(2) 이 극한은 \( \frac { 0 } { 0 } \) 의 부정형인데 이 극한을 구하기 위해서</p> <p>\( 0 \leq \left \| \frac { x ^ { 2 } \sin y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \|= \left \| \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \|\| \sin y\| \leq\| \sin y\| \)</p> <h1>6.1 다변수함수</h1> <p>실생활에서는 많은 함수들이 이변수 또는 그 이상의 변수를 사용하여 나타난다. 예를 들어 밑변의 반지름이 \( x \)이고 높이가 \( y \)인 원뿔의 부피는 \( V = \frac { 1 } { 3 } \pi x ^ { 2 } y \) 이고, 가로, 세로, 높이가 각각 \( x, y, z \) 인 수족관에 담을 수 있는 물의 최대의 양은 \( V=x y z \) 이다.</p> <h2>정의 6.1.1</h2> <p>집합 \( D \) 를 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 부분집합이라 하자. \( D \) 의 각 원소 \( (x, y) \)에 \( R \)의 원소 \( z \)를 단 하나씩 대응시키는 규칙 \( f \)를 \( D \)에서 \( R \)로의 이변수함수(function of two variables)라 하고</p> <p>\( f: D \rightarrow R, \quad z=f(x, y) \)</p> <p>로 나타낸다. 이때, \( D \)를 함수 \( f \)의 정의역(domain)이라 한다.</p> <p>위의 정의에서 \( x, y \)를 독립변수라 하고 \( z \)를 종속변수라 한다. 또, 3 차원 공간의 부분 집합</p> <p>\( \{ (x, y, z) \mid(x, y) \in D, \quad z=f(x, y) \} \)</p> <p>을 \( z=f(x, y) \)의 그래프라 하며, 이것은 일반적으로 공간에서 한 곡면(surface)이 된다. 일반적으로 독립적으로 변하는 \( n \)개의 독립변수 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \)에 대하여 단 하나의 실수값 \( u \)를 대응시키는 대응규칙을 \( n \) 변수함수라 하고</p> <p>\( u=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)</p> <p>으로 나타내며, 두 개 이상의 독립변수를 갖는 함수를 통틀어 다변수함수(function of many variables)라 한다.</p> <h2>예제 6.1.1</h2> <p>함수 \( f(x, y)= \sqrt { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \) 의 정의역과 치역을 구하고 그래프의 개형을 그려라.</p> <caption>풀이</caption> <p>함수 \( f \)의 정의역은 근호 안의 값이 0 이상이어야 하므로</p> <h3>클레로의 정리</h3> <p>\( f \) 가 이변수함수이고 \( f_ { x y } \) 와 \( f_ { y x } \) 가 점 \( (x, y) \) 의 근방에서 연속이면</p> <p>\( f_ { x y } (x, y)=f_ { y x } (x, y) \)</p> <p>이다.</p> <h1>6.3 합성함수의 편미분법</h1> <p>편미분가능인 함수 \( z=f(x, y) \) 에서 \( x \) 및 \( y \) 가 동시에 변화할 때 \( z \) 의 변화량을 조사하여 보자.</p> <p>\( x \) 의 증분을 \( \Delta x, y \) 의 증분을 \( \Delta y \) 라 하고 이때 \( z \) 의 증분을 \( \Delta z \) 라 하면</p> <p>\( z + \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y) \)</p> <p>에서</p> <p>\( \begin {aligned} \Delta z &=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \\ &=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y)-f(x, y) \end {aligned} \)</p> <p>이고 \( f(x, y + \Delta y) \) 를 \( x \) 의 함수로 보고, 평균값의 정리를 적용하면 위 식의 처음 두 항은</p> <p>\( f(x, y + \Delta y)-f(x, y)=f_ { y } \left (x, y + \theta_ { 2 } \Delta y \right ) \Delta y, \quad \left (0< \theta_ { 2 }<1 \right ) \)</p> <p>가 된다. 따라서</p> <p>\( \Delta z=f_ { x } \left (x + \theta_ { 1 } \Delta x, y + \Delta y \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x, y + \theta_ { 2 } \Delta y \right ) \Delta y \)</p> <p>이 됨을 알 수 있다.</p> <p>함수 \( z=f(x, y) \) 에 있어서 \( x, y \) 가 다같이 다른 변수 \( t \) 의 함수일 때에는 \( z \) 는 \( t \) 만의 함수가 된다. 따라서 \( t \) 에 관한 \( z \) 의 도함수를 생각할 수가 있다.</p> <p>을 얻는다. 가정에 의하여 \( f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \) 는 연속이므로</p> <p>\( f_ { x } \left (x + \theta_ { 1 } \Delta x, y + \Delta y \right )=f_ { x } (x, y) + \epsilon_ { 1 } \)</p> <p>\( f_ { y } \left (x, y + \theta_ { 2 } \Delta y \right )=f_ { y } (x, y) + \epsilon_ { 2 } \)</p> <p>라 하면</p> <p>\( \lim _ {\substack {\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 } } \epsilon_ { 1 } =0, \quad \lim _ {\substack {\Delta x \rightarrow 0 \\ \Delta y \rightarrow 0 } } \epsilon_ { 2 } =0 \)</p> <p>이 된다. 즉</p> <p>\( \Delta z=f_ { x } (x, y) \Delta x + f_ { y } (x, y) \Delta y + \epsilon_ { 1 } \Delta x + \epsilon_ { 2 } \Delta y \)</p> <p>앞의 정리에 의하여 \( \Delta x \) 와 \( \Delta y \) 가 충분히 작을 때 \( \epsilon_ { 1 } \Delta_ { x } + \epsilon_ { 2 } \Delta y \) 는 훨씬 작은 수이므로 \( \Delta z \) 의 근삿값으로 \( \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial y } \Delta y \) 를 취할 수 있다. 이를 \( z \) 의 전미분(total derivation)이라 하고 \( d z \) 로 나타낸다. 즉,</p> <p>\( d z= \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial y } \Delta y \)</p> <p>이다. 특히, 각 독립변수의 미분은 그 증분과 같으므로</p> <p>\( d z=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \)</p> <p>을 이용한다. 즉,</p> <p>\( 0 \leq \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \left \| \frac { x ^ { 2 } \sin y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right \| \leq \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \| \sin y\|=0 \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } \sin y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \)</p> <p>이다.</p> <h2>예제 6.1.6</h2> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 3 x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \) 을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta \) 라고 놓으면 \( r \rightarrow 0 \) 과 \( (x, y) \rightarrow(0,0) \) 은 서로 동치이다. 따라서</p> <p>\( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 3 x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } = \lim _ { r \rightarrow 0 } \frac { 3 r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta + 5 r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } { r } =0 \)</p> <h1>6.2 편도함수</h1> <p>\( z=f(x, y) \) 에 대하여 \( y \) 가 고정되어 있고 \( x \) 가 움직일 때의 \( z \) 의 변화, 또는 \( x \) 가 고정되어 있고 \( y \) 가 움직일 때의 \( z \) 의 변화를 생각할 수 있다. 예를 들면 이상적인 상황에서의 기체의 압력은 기체의 온도와 부피에 의해서 결정된다. 따라서 기체의 부피가 일정할 때 온도의 변화에 따른 기체의 압력, 또는 기체의 온도가 일정할 때 부피의 변화에 따른 기체의 압력을 생각할 수 있다.</p> <p>\( \frac { d V } { V } = \frac { 2(0.1) } { 5 } + \frac { 0.1 } { 8 } =0.0525 \)</p> <p>를 얻는다. 따라서 최대의 백분율오차는 \( 5.25 \% \) 이다.</p> <h2>예제 6.4.3</h2> <p>\( \sqrt { (4)(1.97) ^ { 2 } + (3.02) ^ { 2 } } \) 의 근삿값을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( f(x, y)= \sqrt { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 이라고 하자. 그러면</p> <p>\( \frac {\partial f } {\partial x } = \frac { 4 x } {\sqrt { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , \quad \frac {\partial f } {\partial y } = \frac { y } {\sqrt { 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \)</p> <p>이다. 이제 \( a=2, b=3, \Delta x=-0.03, \Delta y=0.02 \) 라고 하면 \( f(2,3)=5 \) 이고</p> <p>\( f_ { x } (2,3)= \frac { 8 } { 5 } , \quad f_ { y } (2,3)= \frac { 3 } { 5 } \)</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\( \begin {aligned} \sqrt { (4)(1.97) ^ { 2 } + (3.02) ^ { 2 } } &=f(1.97,3.02) \\ & \approx f(2,3) + f_ { x } (2,3) \cdot(-0.03) + f_ { y } (2,3) \cdot(0.02) \\ &=5 + \frac { 8 } { 5 } (-0.03) + \frac { 3 } { 5 } (0.02) \\ &=5-0.048 + 0.012=4.964 \end {aligned} \)</p> <p>위의 실제값은 \( \sqrt { 24.644 } \) 로 소수 다섯째 자리까지 정확한 값은 \( 4.96427 \) 이다.</p> <p>지금까지는 \( z=f(x, y) \) 가 주어졌을 때 전미분 \( d z \) 를 구하는 방법에 대하여 알아보았다. 이제는 \( d z= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \) 로부터 \( z \) 를 구하여 보기로 하자.</p> <h2>예제 6.3.3</h2> <p>\( x=r s e ^ { t } , y=r s ^ { 2 } e ^ { -t } , z=r ^ { 2 } s \sin t \) 이고 \( u=x ^ { 4 } y + y ^ { 2 } z ^ { 3 } \) 일 때, \( r=2, s=1, t=0 \) 에서 \( \frac {\partial u } {\partial s } \) 을 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \begin {aligned} \frac {\partial u } {\partial s } &= \frac {\partial u } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial u } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } + \frac {\partial u } {\partial z } \frac {\partial z } {\partial s } \\ &= \left (4 x ^ { 3 } y \right ) \left (r e ^ { t } \right ) + \left (x ^ { 4 } + 2 y z ^ { 3 } \right ) \left (2 r s e ^ { -t } \right ) + \left (3 y ^ { 2 } z ^ { 2 } \right ) \left (r ^ { 2 } \sin t \right ) \end {aligned} \)</p> <p>이고, \( r=2, s=1, t=0 \) 일 때 \( x=2, y=2, z=0 \) 이므로</p> <p>\( \frac {\partial u } {\partial s } (2,1,0)=(64)(2) + (16)(4) + (0)(0)=192 \)</p> <h1>6.4 전미분</h1> <p>이변수의 함수 \( z=f(x, y) \) 에서 변수 \( x, y \) 가 각각 \( x + \Delta x, y + \Delta y \) 로 변할 때 함수의 값은</p> <p>\( \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \)</p> <p>만큼 변한다. 이 양을 주어진 함수의 증분이라 한다.</p> <h3>정리</h3> <p>함수 \( z=f(x, y) \) 에서 세 함수 \( f, f_ { x } , f_ { y } \) 가 모든 점 \( (x, y) \) 의 근방에서 연속이면 다음이 성립한다.</p> <h2>예제 6.3.1</h2> <p>\( z= \sqrt { x y + y } , x= \cos \theta, y= \sin \theta \) 일 때, \( \theta= \frac {\pi } { 2 } \) 에서 \( \frac { d z } { d \theta } \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \begin {aligned} \frac { d z } { d \theta } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d \theta } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d \theta } \\ &= \frac { 1 } { 2 } (x y + y) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } (y)(- \sin \theta) + \frac { 1 } { 2 } (x y + y) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } (x + 1)( \cos \theta) \end {aligned} \)</p> <p>이고, 따라서</p> <p>\( \left . \frac { d z } { d \theta } \right \|_ {\theta= \frac {\pi } { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } (1)(1)(-1) + \frac { 1 } { 2 } (1)(1)(0)=- \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>\( w=f(x, y) \) 이고 \( x=g(t), y=h(t) \) 일 때, \( t \) 를 독립변수(independent variable)라 하고, \( x \) 와 \( y \) 를 중간변수(intermediate variable), \( w \) 를 종속변수(dependent variable)라고 한다.</p> <p>이제 여러 개의 중간변수와 독립변수를 갖는 경우를 생각해 보자. 예를 들어, \( w=f(x, y, z) \) 이고 \( x=l(s, t), y=m(s, t), z=n(s, t) \) 일 때는 세 개의 중간변수 \( x, y, z \) 와 두 개의 독립변수 \( s, t \) 를 갖는 경우를 생각한다. 두 개의 중간변수, 두 개의 독립변수를 갖는 합성함수의 편도함수는 각각 다음과 같다.</p> <h3>정리</h3> <p>함수 \( z=f(x, y) \) 가 연속인 일계편도함수를 갖고 \( x=g(s, t), y=h(s, t) \) 이고 \( x, y \) 또한 연속인 일계편도함수를 가지면</p> <p>연속곡선 \( y= \phi_ { 1 } (x), y= \phi_ { 2 } (x) \) 에 대해서 \( z=f(x, y) \) 가 \( R= \{ (x, y) \mid a \leq x \leq b, \left . \phi_ { 1 } (x) \leq y \leq \phi_ { 2 } (x) \right \} \) 에서 연속이면</p> <p>\( \iint_ { R } f(x, y) d x d y= \int_ { a } ^ { b } \left \{\int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right \} d x \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>\( \int_ { a } ^ { b } \left \{\int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y \right \} d x \) 를 \( \int_ { a } ^ { b } \int_ {\phi_ { 1 } (x) } ^ {\phi_ { 2 } (x) } f(x, y) d y d x \) 로 나타낸다.</p> <p>마찬가지로 연속곡선 \( x= \psi_ { 1 } (y), x= \psi_ { 2 } (y) \) 에 대해서 \( z=f(x, y) \) 가 \( R= \left \{ (x, y) \mid \psi_ { 1 } (y) \leq x \leq \psi_ { 2 } (y), c \leq y \leq d \right \} \) 에서 연속이면</p> <p>\( \iint_ { R } f(x, y) d x d y= \int_ { c } ^ { d } \left \{\int_ {\psi_ { 1 } (y) } ^ {\psi_ { 2 } (y) } f(x, y) d x \right \} d y \)</p> <p>가 성립한다.</p> <h2>예제 7.1.3</h2> <p>\( R= \left \{ (x, y) \mid \frac { 2 } { y } \leq x \leq 2 \sqrt { y } , 1 \leq y \leq 4 \right \} \) 일 때 \( \iint_ { R } x d x d y \) 를 구하여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( \begin {aligned} \iint_ { R } x d x d y &= \int_ { 1 } ^ { 4 } \left \{\int_ {\frac { 2 } { y } } ^ { 2 \sqrt { y } } x d x \right \} d y \\ &= \int_ { 1 } ^ { 4 } \left [ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right ]_ {\frac { 2 } { y } } ^ { 2 \sqrt { y } } d y \\ &= \int_ { 1 } ^ { 4 } \left (2 y- \frac { 2 } { y ^ { 2 } } \right ) d y \\ &= \left [y ^ { 2 } + \frac { 2 } { y } \right ]_ { 1 } ^ { 4 } \\ &= \frac { 27 } { 2 } \end {aligned} \)</p> <p>\( \Delta z= \frac {\partial z } {\partial x } \Delta x + \frac {\partial z } {\partial y } \Delta y + \epsilon_ { 1 } \Delta x + \epsilon_ { 2 } \Delta y \)</p> <p>여기서 \( \epsilon_ { 1 } \) 과 \( \epsilon_ { 2 } \) 는 \( x, y \) 에 관한 이변수함수이고 다음 성질을 가진다.</p> <p>\( \lim _ {\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0 } \epsilon_ { 1 } =0, \lim _ {\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0 } \epsilon_ { 2 } =0 \)</p> <caption>증명</caption> <p>\( z=f(x, y) \) 에 있어서 \( x, y \) 의 증분 \( \Delta x, \Delta y \) 에 대응하는 \( z \) 의 증분을 \( \Delta z \) 라 하면</p> <p>\( \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y) \)</p> <p>이다. 지금 함수 \( z=f(x, y) \) 가 점 \( (x, y) \) 의 근방에서 연속이고 또 이 점에서 편도함수 \( f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \) 가 연속이라고 하자.</p> <p>\( \Delta z=f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f(x, y + \Delta y) + f(x, y + \Delta y)-f(x, y) \)</p> <p>이고 여기에 평균값의 정리를 적용하면</p> <p>\( \begin {aligned} f(x + \Delta x, y + \Delta y)-f &(x, y + \Delta y) \\ &= \Delta x f_ { x } \left (x + \theta_ { 1 } \Delta x, y + \Delta y \right ), \left (0< \theta_ { 1 }<1 \right ) \end {aligned} \)</p> <p>\( f(x, y + \Delta y)-f(x, y)= \Delta y f_ { y } \left (x, y + \theta_ { 2 } \Delta y \right ), \left (0< \theta_ { 2 }<1 \right ) \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \Delta z=f_ { x } \left (x + \theta_ { 1 } \Delta x, y + \Delta y \right ) \Delta x + f_ { y } \left (x, y + \theta_ { 2 } \Delta y \right ) \Delta y \)</p> <p>\( f_ { x } =3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } , \quad f_ { y } =3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \)</p> <p>이고, 이것의 편도함수를 구하면 다음의 이계편도함수를 언는다.</p> <p>\( f_ { x x } = \frac {\partial } {\partial x } \left (3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \right )=6 x + 2 y ^ { 3 } , f_ { x y } = \frac {\partial } {\partial y } \left (3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \right )=6 x y ^ { 2 } \)</p> <p>\( f_ { y x } = \frac {\partial } {\partial x } \left (3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \right )=6 x y ^ { 2 } , f_ { y y } = \frac {\partial } {\partial y } \left (3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \right )=6 x ^ { 2 } y-4 \).</p> <h2>예제 6.2.6</h2> <p>\( f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } \frac { x y \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } & , \ (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & , \ (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \) 일 때, \( f_ { x y } (0,0) \neq f_ { y x } (0,0) \)임을 보여라.</p> <caption>풀이</caption> <p>\( y \neq 0 \) 일 때 \( f(0, y)=0 \) 이므로</p> <p>\( f_ { x } (0, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(h, y)-f(0, y) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { y \left (h ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) } { h ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =-y \)</p>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<p>보기 \(5 \) \( w=f(x, y, z)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } \) 의 등위면 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 z ^ { 2 } =17 \) 위의 점 \( P=(0,3,2) \)에서의 \( \nabla_ { P } f \) 와 접평면의 식을 구하고 이들이 서로 수직인지 살펴보아라.</p> <p>풀이 등위면 \( z=g(x, y) \) 로 두고 접평면 \( z=g_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + g_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + z_ { 0 } \)을 \( z_ { x } = \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { z } } \) 와 \( z_ { y } = \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { f_ { y } } { f_ { z } } \)를 이용해서 구한다. \( z_ { x } =0, z_ { y } =- \frac { 3 } { 4 } \)이므로 접평면의 식은 \( z=- \frac { 3 } { 4 } (y-3) + 2 \) 이고 이 평면은 \( \left (0,- \frac { 3 } { 4 } ,-1 \right ) \) 과 수직이다. \( \nabla_ { p } f=(0,6,8)=-8 \left (0,- \frac { 3 } { 4 } ,-1 \right ) \) 이므로 접평면과 수직이다.</p> <p>도입문제 \(1 \) [풀이] 곡선 \( y=x ^ { 2 } \) 을 따라 \( P=(2,4) \) 로 다가가는 경우 \( P \) 에서의 \( z=f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 의 순간변화율은 \( X(t)= \left (t, t ^ { 2 } \right ) \) 일 때 \( f(X(t)) \) 의 \( t=2 \) 에서의 미분과 같다. 따라서 연쇄법칙에 의해 \[ \left . \frac { d } { d t } f(X(t)) \right ) \left . \right \|_ { t=2 } = \nabla_ { P } f \cdot X ^ {\prime } (2)=(4,8) \cdot(1,4)=36 \]이다.</p> <p>보기 \(2 \) \( f(x, y, z)=x ^ { 2 } -y \ln z \) 이고 \( x= \cos t, y= \sin t, z=t ^ { 2 } + 1 \) 일 때 연쇄법칙을 이용하여 \( \frac { d f } { d t } \)를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \frac { d f } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } + \frac {\partial f } {\partial z } \frac { d z } { d t } =-2 \cos t \sin t- \cos t \ln \left (t ^ { 2 } + 1 \right )- \frac { 2 t \sin t } { t ^ { 2 } + 1 } \)</p> <p>\( x_ { i } =x_ { i } (s, t) \)로서 \( X \)가 이변수함수 \( X(s, t) \) 이면 연쇄법칙은 \[ \frac {\partial(f(X(t, s)) } {\partial t } = \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial t } + \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } \frac {\partial x_ { 2 } } {\partial t } + \cdots + \frac {\partial f } {\partial x_ { n } } \frac {\partial x_ { n } } {\partial t } \]이 된다.</p> <p>보기 \(4 \)에서 기울기벡터는 \( \nabla_ { P } f=(2,4) \) 로서 접선과 수직임을 알 수 있다.</p> <p>도입문제 \(2 \) [풀이] 등위선 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =8 \) 의 한 점 \( P=(2,2) \)에서 접선의 기울기는 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { y } } =- \frac { 2 x } { 2 y } =- \frac { x } { y } \]이고 \( P \) 에서의 값은 \( -1 \) 이다. \( \nabla_ { P } f=(4,4) \)로서 등위선(접선)과 수직이다.</p> <p>함수의 등위선과 기울기벡터가 서로 수직이듯이 독립변수가 세 개 이상인 함수 \( f \) 의 등위면의 한 점 \( P \) 에서의 접평면과 기울기벡터 \( \nabla_ { P } f \) 도 서로 수직이다. 이 사실을 확인하기 위해 먼저 변수가 세 개일 때의 음함수 정리를 살펴본다.</p> <p>정리 \(3 \) \| 음함수 정리(삼변수의 경우) Implicit Function Theorem 삼변수함수 \( w=f(x, y, z) \) 의 한 등위면 \( f(x, y, z)=c \) 에서 \( z \) 가 \( x \) 와 \( y \) 의 함수로서 미분가능하면 \( z_ { x } = \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { z } } , z_ { y } = \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { f_ { y } } { f_ { z } } \) 이다.</p> <p>증명 \( z=g(x, y) \) 라고 하자. 등위면 \( f(x, y, z)=c \) 를 \( z=g(x, y) \) 의 그래프로 보면 점 \( P= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 에서 \( z_ { 0 } =g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 이고 그래프의 접평면의 식은 \[z=g_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + g_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + z_ { 0 } \]이다. 이변수함수의 경우처럼 \( g_ { x } \) 를 구하기 위해 \( X(x, y)=(x, y, g(x, y)) \)로 두면 \[ \frac {\partial f(X(x, y)) } {\partial x } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial x } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial x } + \frac {\partial f } {\partial z } \frac {\partial z } {\partial x } = \frac {\partial f } {\partial x } + \frac {\partial f } {\partial z } \frac {\partial z } {\partial x } =0 \]이므로 \( z_ { x } = \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { z } } \) 이고, 같은 방법으로 \( z_ { y } = \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { f_ { y } } { f_ { z } } \) 임을 보일 수 있다.</p> <p>위 증명에서 나온 것처럼 \( z_ { 0 } =g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 일 때 점 \( P= \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 에서 등위면 \( f(x, y, z) \) \( =c \) 의 접평면의 식은 \[z=g_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + g_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + z_ { 0 } \]로서 벡터 \( \left (g_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), g_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ),-1 \right )= \left (- \frac { f_ { x } (P) } { f_ { z } (P) } ,- \frac { f_ { y } (P) } { f_ { z } (P) } ,-1 \right ) \)과 수직인 평면이다. 이 벡터는 \( \nabla_ { P } f= \left (f_ { x } , f_ { y } , f_ { z } \right )_ { P } \)와 평행하므로 \( f(x, y, z)=c \) 의 접평면이 기울기벡터 \( \nabla_ { p } f= \left (f_ { x } , f_ { y } , f_ { z } \right ) \)와 수직임을 볼 수 있다.</p> <p>음함수 정리는 위의 정리 \(3 \)의 내용 이외에도 더 많은 내용이 있다. 유용하게 쓰이는 한 가지 내용은 \( f(x, y, z)=c \) 에서 \( f_ { z } (P) \neq 0 \) 이면 \( P \) 를 중심으로 하는 한 열린 공이 있어서 거기서 \( z \) 는 \( x \) 와 \( y \) 의 함수가 된다는 것이다.</p> <p>증명 \( \left . \frac { d f(X(t)) } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (X \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )-f \left (X \left (t_ { 0 } \right ) \right ) } { h } \)를 계산하기 위해 \( f \left (X \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )- \) \( f \left (X \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \)를 \[f \left (x \left (t_ { 0 } + h \right ), y \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )-f \left (x \left (t_ { 0 } \right ), y \left (t_ { 0 } + h \right ) \right ) + f \left (x \left (t_ { 0 } \right ), y \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )-f \left (x \left (t_ { 0 } \right ), y \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \]로 나타내고, \( x \left (t_ { 0 } + h \right )-x \left (t_ { 0 } \right )=k_ { 1 } , y \left (t_ { 0 } + h \right )-y \left (t_ { 0 } \right )=k_ { 2 } , x \left (t_ { 0 } \right )=x_ { 0 } , y \left (t_ { 0 } \right )=y_ { 0 } \) 로 두면 \[f \left (X \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )-f \left (X \left (t_ { 0 } \right ) \right )=f \left (x_ { 0 } + k_ { 1 } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right ) + f \left (x_ { o } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]이다. 우변에 평균값 정리를 적용하면 어떤 \( x ^ { * } \) 와 \( y ^ { * } \) 에 대해 \[f \left (x_ { 0 } + k_ { 1 } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right )=k_ { 1 } f_ { x } \left (x ^ { * } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right ) \]이고 \[f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=k_ { 2 } f_ { y } \left (x_ { 0 } , y ^ { * } \right ) \]이다. 따라서 \[ \left . \frac { d f(X(t)) } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (X \left (t_ { 0 } + h \right ) \right )-f \left (X \left (t_ { 0 } \right ) \right ) } { h } = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { k_ { 1 } f_ { x } \left (x ^ { * } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right ) + k_ { 2 } f_ { y } \left (x_ { 0 } , y ^ { * } \right ) } { h } \]이다. \( f_ { x } \) 와 \( f_ { y } \) 가 연속이므로 \[ \begin {aligned} \left . \frac { d f(X(t)) } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { k_ { 1 } f_ { x } \left (x ^ { * } , y_ { 0 } + k_ { 2 } \right ) + k_ { 2 } f_ { y } \left (x_ { 0 } , y ^ { * } \right ) } { h } \\&=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \\&= \nabla_ { P } f \cdot X ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \end {aligned} \]이다.</p> <p>한편 위 식으로부터 함수의 등위선과 기울기벡터가 서로 수직임을 볼 수 있다. 어떤 곡선과 벡터가 수직이란 말은 그 곡선의 접선과 벡터가 수직이란 뜻이다. 기울기벡터 \( \left (f_ { x } , f_ { y } \right ) \) 의 기울기는 \( \frac { f_ { y } } { f_ { x } } \) 이므로 등위선의 접선의 기울기 \( \frac { d y } { d x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { y } } \) 와의 곱은 \( -1 \)로 서로 수직임을 볼 수 있다. 즉, 등위선 \( f(x, y)=c \) 위의 한 점 \( P=(x, y) \) 에서 이 등위선의 접선은 기울기벡터 \( \nabla_ { P } f= \left (f_ { x } , f_ { y } \right )_ { P } \)와 서로 수직임을 볼 수 있다.</p> <p>보기 \(4 \) 함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \)의 등위선 중 하나인 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } =3 \) 위의 한 점 \( (1,1) \)에서 접선의 기울기를 편미분을 이용하여 구하여라.</p> <p>구하고자 하는 접선의 기울기는 \( \left . \frac { d y } { d x } \right \|_ { x=1 } =- \left . \frac { f_ { x } } { f_ { y } } \right \|_ { (x, y)=(1,1) } =- \frac { 2 } { 4 } =- \frac { 1 } { 2 } \) 이다.</p> <p>보기 \(4 \)에서 \( y \) 를 \( x \) 의 함수로 나타내면 \( y= \sqrt {\frac { 3-x ^ { 2 } } { 2 } } \) 로서 \( \frac { d y } { d x } \) 를 계산하면 \( y ^ {\prime } (1)=- \frac { 1 } { 2 } \) 임을 확인할 수 있다.</p> <p>정리 \(2 \) \| 음함수 정리 Implicit Function Theorem 미분가능한 함수 \( f \) 의 등위선 \( f(x, y)=c \) 위의 한 점 \( P=(x, y) \) 에서 \( f_ { y } \neq 0 \) 이면 \( P \)를 포함하는 열린 원판이 있어 \( y \) 가 \( x \) 의 함수로서 미분가능하고 \( \frac { d y } { d x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { y } } \) 이다.</p> <p>증명 \( \frac { d y } { d x } =- \frac { f_ { x } } { f_ { y } } \) 만 증명하고 나머지 부분은 해석개론책을 참고하게 남겨둔다. \( X(x)= \) \( (x, y(x)) \) 로 두면 \( f(x, y)=f(x, y(x))=f(X(x)) \) 의 \( x \) 에 대한 미분은 연쇄법칙에 의해 \[ \frac { d f(X(x)) } { d x } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d x } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d x } = \frac {\partial f } {\partial x } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d x } \]이다. 한편 \( f(X(x))=c \) 로서 상수함수이므로 그 미분은 항상 0 이다. 따라서 \( \frac { d f(X(x)) } { d x } = \) \( \frac {\partial f } {\partial x } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d x } =0 \) 이 되고 이 식으로부터 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\frac {\partial f } {\partial x } } {\frac {\partial f } {\partial y } } =- \frac { f_ { x } } { f_ { y } } \]를 얻는다.</p> <p>보기 \(3 \) \( x_ { 1 } (r, \theta)=r \cos \theta, x_ { 2 } (r, \theta)=r \sin \theta, f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )=x_ { 1 } ^ { 3 } + 2 x_ { 1 } x_ { 2 } \)일 때, \( \frac {\partial f } {\partial r } \) 과 \( \frac {\partial f } {\partial \theta } \)를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \begin {aligned} \frac {\partial f } {\partial r } &= \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial r } + \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } \frac {\partial x_ { 2 } } {\partial r } = \cos \theta \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } + \sin \theta \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } \\ &=3 r ^ { 2 } \cos ^ { 3 } \theta + 4 r \sin \theta \cos \theta, \\ \frac {\partial f } {\partial \theta } &= \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial \theta } + \frac {\partial f } {\partial x_ { 2 } } \frac {\partial x_ { 2 } } {\partial \theta } =-r \sin \theta \left (3 x_ { 1 } ^ { 2 } + 2 x_ { 2 } \right ) + r \cos \theta \left (2 x_ { 1 } \right ) \\ &=-3 r ^ { 3 } \cos ^ { 2 } \theta \sin \theta-2 r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + 2 r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \end {aligned} \)</p> <p>합성함수 미분법을 이용하면 단위벡터 \( v \) 에 대해 함수 \( f \) 의 정의역의 한 점 \( P \) 에서 \( v- \)방향의 방향미분은 기울기벡터와 \( v \) 와의 내적임을 알 수 있다. \( X(0)=P \) 를 지나고 \( X ^ {\prime } (0)=v \) 와 평행한 직선의 매개변수식을 \( X(t) \) 라고 할 때 \( f(X(t)) \) 의 \( t=0 \) 일 때의 미분이 \( v- \) 방향미분과 같으므로 \[D_ { v } f(P)= \left . \frac { d f(X(t)) } { d t } \right \|_ { t=0 } = \nabla_ { P } f \cdot X ^ {\prime } (0)= \nabla_ { P } f \cdot v \]이다. 합성함수 미분법(연쇄법칙)을 쓰면 음함수의 미분을 편미분을 이용하여 구할 수 있다.</p> <p>\(X(t)=(x(t), y(t)) \)가 어떤 곡선의 매개변수식이고 \( X \left (t_ { 0 } \right )=P \) 라면 \( \left . \frac { d f(X(t)) } { d t } \right \|_ { t_ { 0 } } = \) \( \nabla_ { P } f \cdot X ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \) 이다. 이처럼 연쇄법칙은 곡선을 따라 변수가 움직일 때 함수의 순간변화율을 구하는 방법을 제공한다.</p> <p>\(n \) 변수인 경우 \( U \subseteq R ^ { n } \) 이고 \( X(t)= \left (x_ { 1 } (t), \cdots, x_ { n } (t) \right ) \) 이면 연쇄법칙은 \[ \frac { d } { d t } f(X(t))= \nabla f(X(t)) \cdot X ^ {\prime } (t)= \frac {\partial f } {\partial x_ { 1 } } \frac { d x_ { 1 } } { d t } + \cdots + \frac {\partial f } {\partial x_ { n } } \frac { d x_ { n } } { d t } \]이다.</p> <p>보기 \(1 \) \( X(t)= \left (t ^ { 2 } , t ^ { 3 } \right ) \) 이고 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + x y + 4 y ^ { 2 } \) 일 때 \( \frac { d f(X(t)) } { d t } \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \[ \frac { d f(X(t)) } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } = \left (2 t ^ { 2 } + t ^ { 3 } \right ) 2 t + \left (t ^ { 2 } + 8 t ^ { 3 } \right ) 3 t ^ { 2 } =4 t ^ { 3 } + 5 t ^ { 4 } + 24 t ^ { 5 } \]으로써 \( f(X(t))= \left (t ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } t ^ { 3 } + 4 \left (t ^ { 3 } \right ) ^ { 2 } =t ^ { 4 } + t ^ { 3 } + 4 t ^ { 6 } \)을 직접 \( t \) 로 미분한 것과 같음을 볼 수 있다.</p>	자연
s374-미적분학	<p>점, 함수 그래프의 평행이동</p> <p>(1) 점 \( \mathrm { P } (x, y) \)를 \( x \)축의 방향으로 \( m, y \)축의 방향으로 \( n \)민큼 평행이동한 점 \( \mathrm { P } ^ {\prime } (x + m, y + n) \)</p> <p>(2) 함수 \( f(x, y)=0 \)의 그래프를 \( x \)축의 방향으로 \( m, y \)축의 방향으로 \( n \)만큼 평행이동한 그래프의 함수는 \( f(x-m, y-n)=0 \)이다.</p> <p>\( x \)축, \( y \)축, 원점에 대한 도형의 대칭이동</p> <p>방정식 \( f(x, y)=0 \)이 나타내는 도형을 \( x \)축, \( y \)축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.</p> <p>① \( x \)축에 대하여 대칭이동 : \( f(x,-y)=0 \)</p> <p>② \( y \)축에 대하여 대칭이동 : \( f(-x, y)=0 \)</p> <p>③ 원점에 대하여 대칭이동 : \( f(-x,-y)=0 \)</p> <p>\( f(x, y)=0 \)이 나타내는 도형을 \( x \)축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식.</p> <p>도형 (1), (2), (3)을 평행이동하여 각각 도형 (가), (나), (다) 를 얻었다. 도형 (1), (2), (3)의 방정식을 \( f(x, y)=0 \)이라고 하자. 이때, 도형 (가), (나), (다)의 방정식을 구하면 다음과 같다.</p> <p>함수 \( y=f(x) \)가 절대값으로 이동 변환된 그래프</p> <p>(1) \( y=f(\|x\|) \) : \( f(x) \) 그래프의 \( x \geqq 0 \) 부분을 \( y \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(2) \( \|y\|=f(x): f(x) \) 그래프의 \( y \geqq 0 \) 부분을 \( x \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(3) \( \|y\|=f(\|x\|): f(x) \) 그래프의 1사분면 영역 부분 즉 \( x \geqq 0, y \geqq 0 \)인 부분을 \( x \)축, \( y \)축, 원점에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(4) \( y=\|f(x)\| \) : \( y=f(x) \) 그래프의 \( x \)축 윗부분과 \( x \)축 아랫부분을 \( x \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>예 그림 1의 도형의 방정식을 \( f(x, y)=0 \)이라고 하자. 이때, 그림 2의 도형의 방정식을 구해보자.</p> <p>기함수(odd function), 우함수(even function)</p> <p>함수 \( f \)는 정의역과 공역이 실수집합 \( R \)인 함수하고 하자. 즉 \( f: R \rightarrow R \). 모든 실수 \( x \)에 대하여 \( f(-x)=-f(x) \) 일 때, \( f \)를 기함수라고 부른다. 모든 실수 \( x \)에 대하여 \( f(-x)=f(x) \) 일 때, \( f \)를 우함수라고 부른다. 기함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 우함수의 그래프는 \( y \)축에 대하여 대칭이다.</p> <p>예 \( f(x)=x ^ { 3 } \) 에서는 \( f(-x)=(-x) ^ { 3 } =-x ^ { 3 } =-f(x) \)이다. 즉, \( f(-x)=-f(x) \)이므로 기함수이다.</p> <p>\( f(x)=x ^ { 2 } \)에서는 \( f(-x)=(-x) ^ { 2 } =x ^ { 2 } =f(x) \)이다. 즉, \( f(-x)=f(x) \)이므로 우함수이다.</p> <p>예 다음 함수가 기함수인지 우함수인지를 판정하시오.</p> <p>(1) \( f(x)=x ^ { 2 } \) (2) \( f(x)=2 x + 5 \) (3) \( f(x)=x ^ { 3 } + 2 x \) (4) \( f(x)=\|x\| \)</p> <p>풀이 (1) \( f(-x)=(-x) ^ { 2 } =x ^ { 2 } =f(x) \quad \therefore \) 우함수</p> <p>(2) \( f(-x)=2(-x) + 5=-2 x + 5 \)는 기함수도, 우함수도 아니다.</p> <p>(3) \( f(-x)=(-x) ^ { 3 } + 2(-x) \) \[ =-x ^ { 3 } -2 x=- \left (x ^ { 3 } + 2 x \right )=-f(x) \quad \therefore \text { 기함수 } \]</p> <p>(4) \( f(-x)=\|-x\|=\|x\|=f(x) \quad \therefore \) 우함수</p> <p>예 함수 \( f(x) \)가 우함수, \( g(x) \)가 기함수이다. 함수의 곱 \( f(x) \cdot g(x) \)는 우함수인가, 기함수인가?</p> <p>풀이 \( F(x)=f(x) \cdot g(x) \)라 놓자. 그러면 \[ \begin {aligned} F(-x) &=f(-x) \cdot g(-x) \\ &=f(x) \cdot- \mathrm { g } ( \mathrm { x } ) \\ &=-f(x) \cdot g(x)=-F(x) \quad \therefore \text { 기함수 } \end {aligned} \]</p> <p>참고 기함수 \( \times \) 기함수 \( = \) 우함수</p> <p>기함수 \( \times \) 우함수 \( = \) 기함수</p> <p>우함수 \( \times \) 우함수 \( = \) 우함수</p> <h3>수열의 순환적 정의</h3> <p>수열의 순환적(귀납적) 정의</p> <p>(i) 첫 항 \( a_{1} \)</p> <p>(ii) 이웃하는 항들 \( a_{n} \) 과 \( a_{n+1} \) 사이의 관계식 \( (n \geq 1) \)으로 수열 \( a_{n} \)을 정의하는 방법을 귀납적 정의하고 한다. 이때 서로 연속하는 항들 사이의 관계식을 순환관계 또는 점화관계라고 한다.</p> <p>순환관계에 의한 수열의 정의 예</p> <p>(1) \( a_{n+1}-a_{n}=d \) (일정) \( \Rightarrow \) 공차 \( d \)인 등차수열</p> <p>(2) \( a_{n+1} \div a_{n}=r \) (일정) \( \Rightarrow \) 공비 \( r \)인 등비수열</p> <p>(3) \( \frac{2}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+2}} \Rightarrow \) 조회수열</p> <p>예 \( a_{1}=2, a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n},(n=1,2,3, \cdots) \)으로 귀납적으로 정의된 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \의 일반항 \( a_{n} \)을 구하여보자.</p> <p>풀이 \( a_{1}=2, \quad \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2} \), 즉 \( a_{n+1}=\frac{1}{2} a_{n}(n=1,2,3, \cdots) \) 따라서 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)은 첫째 항이 2 , 공비가 \( \frac{1}{2} \)인 등비수열이다. 그러므로 \[ a_{n}=2 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-2} \]</p> <p>피보나치 수열</p> <p>\( a_{1}=1, a_{2}=1, a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}(n \geqq 2) \)으로 정된 수열은 다음과 같다. \[ 1,1,2,3,5,8, \cdots \]</p> <p>즉 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)은 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이다. 피보나치 수열의 일반항을 구해보자.</p> <p>\( a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}(n \geqq 2) \) 이므로 \( a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta\left(a_{n}-\alpha a_{n-1}\right) \)로 가정하자. 그러면 \( a_{n+1}-(\alpha+\beta) a_{n}+\alpha \beta a_{n-1}=0 \) \( \Longleftrightarrow a_{n+1}-a_{n}-a_{n-1}=0 \) 따라서 모든 \( n=1,2,3, \ldots \)에 대하여 성립해야 한다. 그러므로 \[ \alpha+\beta=1, \alpha \beta=-1 \] 따라서 \( \alpha, \beta \) 는 이차방정식 \( x^{2}-x-1=0 \)의 두 근이다. 이때 두 근은 \( x=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \) 이다. 그러므로 \( \alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \beta=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \)으로 놓자.</p> <p>한편, \( a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta\left(a_{n}-\alpha a_{n-1}\right) \)에서</p> <p>\(a_{n+1}-\alpha a_{n}=\beta^{n-1}\left(a_{2}-\alpha a_{1}\right)\)<caption>①</caption></p> <p>또, \( a_{n+1}-\beta a_{n}=\alpha\left(a_{n}-\beta a_{n-1}\right) \)로 쓸 수 있다. 그러므로 귀납적으로</p> <p>\( a_{n+1}-\beta a_{n}=\alpha^{n-1}\left(a_{2}-\beta a_{1}\right) \)<caption>②</caption></p> <p>①-②를 하면, \( (\beta-\alpha) a_{n}=\beta^{n-1}\left(a_{2}-\alpha a_{1}\right)-\alpha^{n-1}\left(a_{2}-\beta a_{1}\right) \) 따라서 \( \beta-\alpha=\sqrt{5}, a_{2}-\alpha a_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, a_{2}-\beta a_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \)</p> <p>\( \therefore a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right\} \)</p> <p>수학적 귀납법 원리</p> <p>모든 자연수 \( n \)에 대하여 \( p(n) \)이 성립한다는 것은 다음 두 경우가 성립한다는 것과 수학적으로 동치이다.</p> <p>(i) \( n=1 \)일 때, 명제 \( p(n) \)이 성립한다.</p> <p>(ii) \( n=k \)일 때, 명제 \( p(k) \)이 성립한다고 가정했을 때 \( n=k+1 \)일 때도 명제 \( p(k+1) \)이 성립한다.</p> <p>이와 같은 방법으로 모든 자연수 \( n \)에 대하여 \( p(n) \)이 성립함을 증명하는 방법을 수학적 귀납법(Mathematical Induction)이라 한다.</p> <p>다음은 임의의 자연수 \( n \)에 대하여 \( 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2} \)이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여 보자.</p> <p>(i) \( n=1 \)일 때, \[(\text { 좌변 })=2-1=1 \quad(\text { 우변 })=1^{2}=1\] 그러므로 주어진 등식이 \( n=1 \)일 때 성립한다.</p> <p>(ii) \( n=k \)일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하자. 즉 \[1+3+5+\cdots+(2 k-1)=k^{2}\] 위 식의 좌변에 \( 2(k+1)-1=2 k+1 \)을 더하자. 그러면 \[1+3+5+\cdots+(2 k-1)+2 k+1=k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2}\]</p> <p>따라서 \( n=k+1 \)일 때 주어진 등식이 성립한다. ( i ), (ii)에 의하여 수학적 귀납법에 필요한 증명이 완성되었다. 따라서 주어진 등식은 모든 자연수 \( n \)에 대하여 성립한다. 즉 모든 자연수 \( n \)에 대하여 \( \sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=n^{2} \).</p> <p>무리함수</p> <p>함수 \( y=f(x) \)에서 \( f(x) \)가 \( x \)에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수(irrational function)라 한다.</p> <p>무리함수 그래프의 평행이동</p> <p>\( y=\sqrt{a(x-p)}+q(a \neq 0) \)의 그래프는 \( y=\sqrt{a x}(a \neq 0) \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 \( p \)만큼, \( y \)축의 양의 방향으로 \( q \)만큼 평행이동시킨 곡선이다.</p> <p>예 무리함수 \( y=\sqrt{2 x-4}+3 \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y=\sqrt{2 x-4}+3=\sqrt{2(x-2)}+3 \) 이므로 \( y=\sqrt{2 x} \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 2, \(y \)축의 양의 방향으로 3만큼 평행이동시킨 그래프이다.</p> <p>예 무리함수 \( y=\sqrt{4-x^{2}} \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y=\sqrt{4-x^{2}} \)의 양변을 제곱하면 \( y^{2}=4-x^{2} \). 그러므로 \( x^{2}+y^{2}=2^{2} \). \( y \geq 0 \)이므로 원점을 중심, 반지름 2인 원의 위 부분의 반원이다.</p> <p>점, 함수 그래프의 평행이동</p> <p>(1) 점 \( \mathrm{P}(x, y) \)를 \( x \)축의 방향으로 \( m, y \)축의 방향으로 \( n \)민큼 평행이동한 점 \( \mathrm{P}^{\prime}(x+m, y+n) \)</p> <p>(2) 함수 \( f(x, y)=0 \)의 그래프를 \( x \)축의 방향으로 \( m, y \)축의 방향으로 \( n \)만큼 평행이동한 그래프의 함수는 \( f(x-m, y-n)=0 \)이다.</p> <p>\( x \)축, \( y \)축, 원점에 대한 도형의 대칭이동</p> <p>방정식 \( f(x, y)=0 \)이 나타내는 도형을 \( x \)축, \( y \)축, 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 다음과 같다.</p> <p>① \( x \)축에 대하여 대칭이동 : \( f(x,-y)=0 \)</p> <p>② \( y \)축에 대하여 대칭이동 : \( f(-x, y)=0 \)</p> <p>③ 원점에 대하여 대칭이동 : \( f(-x,-y)=0 \)</p> <p>\( f(x, y)=0 \)이 나타내는 도형을 \( x \)축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식.</p> <p>도형 (1), (2), (3)을 평행이동하여 각각 도형 (가), (나), (다) 를 얻었다. 도형 (1), (2), (3)의 방정식을 \( f(x, y)=0 \)이라고 하자. 이때, 도형 (가), (나), (다)의 방정식을 구하면 다음과 같다.</p> <p>함수 \( y=f(x) \)가 절대값으로 이동 변환된 그래프</p> <p>(1) \( y=f(\|x\|) \) : \( f(x) \) 그래프의 \( x \geqq 0 \) 부분을 \( y \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(2) \( \|y\|=f(x): f(x) \) 그래프의 \( y \geqq 0 \) 부분을 \( x \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(3) \( \|y\|=f(\|x\|): f(x) \) 그래프의 1사분면 영역 부분 즉 \( x \geqq 0, y \geqq 0 \)인 부분을 \( x \)축, \( y \)축, 원점에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>(4) \( y=\|f(x)\| \) : \( y=f(x) \) 그래프의 \( x \)축 윗부분과 \( x \)축 아랫부분을 \( x \)축에 대하여 대칭 이동시킨 그래프</p> <p>예 그림 1의 도형의 방정식을 \( f(x, y)=0 \)이라고 하자. 이때, 그림 2의 도형의 방정식을 구해보자.</p> <p>기함수(odd function), 우함수(even function)</p> <p>함수 \( f \)는 정의역과 공역이 실수집합 \( R \)인 함수하고 하자. 즉 \( f: R \rightarrow R \). 모든 실수 \( x \)에 대하여 \( f(-x)=-f(x) \) 일 때, \( f \)를 기함수라고 부른다. 모든 실수 \( x \)에 대하여 \( f(-x)=f(x) \) 일 때, \( f \)를 우함수라고 부른다. 기함수의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 우함수의 그래프는 \( y \)축에 대하여 대칭이다.</p> <p>예 \( f(x)=x^{3} \) 에서는 \( f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x) \)이다. 즉, \( f(-x)=-f(x) \)이므로 기함수이다.</p> <p>\( f(x)=x^{2} \)에서는 \( f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) \)이다. 즉, \( f(-x)=f(x) \)이므로 우함수이다.</p> <p>예 다음 함수가 기함수인지 우함수인지를 판정하시오.</p> <p>(1) \( f(x)=x^{2} \) (2) \( f(x)=2 x+5 \) (3) \( f(x)=x^{3}+2 x \) (4) \( f(x)=\|x\| \)</p> <p>풀이 (1) \( f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x) \quad \therefore \) 우함수</p> <p>(2) \( f(-x)=2(-x)+5=-2 x+5 \)는 기함수도, 우함수도 아니다.</p> <p>(3) \( f(-x)=(-x)^{3}+2(-x) \) \[ =-x^{3}-2 x=-\left(x^{3}+2 x\right)=-f(x) \quad \therefore \text { 기함수 } \]</p> <p>(4) \( f(-x)=\|-x\|=\|x\|=f(x) \quad \therefore \) 우함수</p> <p>예 함수 \( f(x) \)가 우함수, \( g(x) \)가 기함수이다. 함수의 곱 \( f(x) \cdot g(x) \)는 우함수인가, 기함수인가?</p> <p>풀이 \( F(x)=f(x) \cdot g(x) \)라 놓자. 그러면 \[ \begin{aligned} F(-x) &=f(-x) \cdot g(-x) \\ &=f(x) \cdot-\mathrm{g}(\mathrm{x}) \\ &=-f(x) \cdot g(x)=-F(x) \quad \therefore \text { 기함수 } \end{aligned} \]</p> <p>참고 기함수 \( \times \) 기함수 \( = \) 우함수</p> <p>기함수 \( \times \) 우함수 \( = \) 기함수</p> <p>우함수 \( \times \) 우함수 \( = \) 우함수</p> <p>예 이차함수 \( y=x ^ { 2 } -4 x + 3 \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \[ y=x ^ { 2 } -4 x + 3=(x-2) ^ { 2 } -1 \] 따라서 대칭축이 \( x=2 \), 꼭짓점이 \( (2,-1) \), 아래로 볼록한 포물선이다.</p> <p>분수(유리)함수의 정의</p> <p>\( P(x) \)와 \( Q(x)(Q(x) \neq 0) \)를 다항식이라 하자. 이때 다음과 같이 정의된 함수 \( f(x)= \) \( \frac { P(x) } { Q(x) } \)를 유리함수(rational function)라 한다.</p> <p>분수함수의 그래프</p> <p>\( y= \frac { k } { x-m } + n(k \neq 0) \)의 그래프</p> <p>1) \( y= \frac { k } { x } \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 \( m \)만큼, \( y \)축의 양의 방향으로 \( n \)만큼 평행이동 시킨 것이다. 곧, 점 \( (m, n) \)에 대하여 대칭이다.</p> <p>2) 점근선은 \( x=m, y=n \)이다.</p> <p>3) \( y= \frac { c x + d } { a x + b } (a d-b c \neq 0, a \neq 0) \)의 그래프는 \( y= \frac { k } { x-p } + q(k \neq 0) \)의 꼴로 변형하여 그린다.</p> <p>예 함수 \( y= \frac { 2 x-1 } { x + 2 } \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y= \frac { 2 x-1 } { x + 2 } = \frac { 2(x + 2)-5 } { x + 2 } \quad \therefore y= \frac { -5 } { x + 2 } + 2 \) 점근선은 \( x=-2, y=2 \)이고, \( x \) 절편 \( \frac { 1 } { 2 } , y \) 절편 \( - \frac { 1 } { 2 } \)이다. 그래프는 점 (−2, 2)에 대하여 대칭인 직각 쌍곡선이다.</p> <p>예 함수 \( y=x + \frac { 1 } { x } \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( f(x)=x, g(x)= \frac { 1 } { x } \)이라 하자. 그러면 \( y=f(x) + g(x) \)이다. 따라서 실수인 각 점 \( x \)에서의 두 함수 값 \( f(x), g(x) \)을 더한 값으로 그래프를 개략적으로 그릴 수 있다. 이때 점근선은 \( x=0, y=x \)이다.</p> <h3>기초 함수들</h3> <p>다항식함수</p> <p>음이 아닌 정수 \( n \), 실수 \( a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \)에 대하여 \[ f(x) = a_ { 0 } x ^ { n } + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { n-1 } x + a_ { n } \] 인 함수를 다항함수(polynomial function)라 한다.</p> <p>일차함수와 직선</p> <p>실수 \( a(a \neq 0), b \)에 대하여, \( y=f(x)=a x + b \)인 함수를 일차함수(linear function)라 하며, \( a \)를 기울기(slope), \( b \)를 \( y \)절편(intercept)이라 한다.</p> <p>1) 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \)을 지나고 기울기가 \( m \)인 직선의 방정식은 다음과 같다. \[ y-y_ { 1 } =m \left (x-x_ { 1 } \right ) \]</p> <p>2) 두 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \)를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다. \[ y-y_ { 1 } = \frac { y_ { 2 } -y_ { 1 } } { x_ { 2 } -x_ { 1 } } \left (x-x_ { 1 } \right ) \]</p> <p>예 점 (2, 3)을 지나고 기울기가 2인 직선의 방정식과 그래프를 그려보자.</p> <p>\( y-y_ { 1 } =m \left (x-x_ { 1 } \right ) \)에서 \( y-3=2(x-2) \)이다. 식을 정리하자. 그러므로 \( y=2 x-1 \)</p> <p>두 직선 \( f(x)=a x + b, g(x)=c x + d,(a \neq 0, c \neq 0) \)</p> <p>1) 두 직선이 평행(parallel)할 필요충분조건은 기울기가 같을 때이다. 즉 \( a=c \)</p> <p>2) 두 직선이 직교(orthogonality)할 필요충분조건은 기울기의 곱이 \( -1 \)이다. 즉 \( a \cdot c=-1 \)</p> <p>예 직선 \( y=3 x-2 \)에 직교하고 점 (−6, 4)를 지나는 직선의 방정식을 구하여보자.</p> <p>정의 역함수(inverse function)</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사함수이면, \( Y \)의 임의의 원소 \( y \)에 대하여 \( y=f(x) \)인 \( X \)의 원소 \( x \)가 유일하게 존재한다. 따라서 임의의 원소 \( y \in Y \)를 \( y=f(x) \)를 만족하는 \( x \in X \)에 대응시켜 \( Y \)를 정의역, \( X \)를 치역으로 하는 함수를 \( f \)의 역함수라 한다. 그리고 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)으로 쓴다.그러므로 합성함수 \( f^{-1} \circ f \)는 \( X \)에서의 항등함수이다. 그리고 \( f \circ f^{-1} \)는 \( Y \)에서의 항등함수이다. 즉 \( f^{-1} \circ f=I_{X}, f \circ f^{-1}=I_{Y} \)이다.</p> <p>정리 역함수의 기본 성질</p> <ol type= start=1><li>\( \left(f^{-1}\right)^{-1}=f \)</li> <li>\( (g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1},(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1} \)</li> <li>\( (f \circ g)(x)=x \Leftrightarrow f^{-1}=g \) 이고 \( g^{-1}=f \)</li> <li>\( f^{-1} \circ f=I_{X}, \quad f \circ f^{-1}=I_{Y} \)</li></ol> <p>역함수 구하기</p> <ol type= start=1><li>함수 \( y=f(x) \) 가 전단사함수인지를 확인한다.</li> <li>\( y=f(x) \)를 \( x \)에 대하여 풀어 \( x=g(y) \) 로 바꾼다.</li> <li>\( x=g(y) \)에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸어서 \( y=g(x) \)로 바꾼다.</li> <li>\( f^{-1} \)의 정의역은 \( f \)의 치역, \( f^{-1} \)의 치역은 \( f \)의 정의역으로 한다.</li></ol> <p>예 함수 \( y=\frac{x-1}{2 x+1} \)의 역함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( y=\frac{x-1}{2 x+1} \)를 \( x \)와 \( y \) 서로 바꾼 식을 구하자. \( (2 x+1) y=x-1 \)이므로 \( (2 y-1) x=-y-1 \)이다. 따라서 \( x=\frac{-y-1}{2 y-1} \), 이 식에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 역함수가 된다. \[ y=\frac{-x-1}{2 x-1} \]</p> <p>풀이 \( y=\frac{x-1}{2 x+1} \)를 \( x \)와 \( y \) 서로 바꾼 식을 구하자. \( (2 x+1) y=x-1 \) 이므로 \( (2 y-1) x=-y-1 \)이다. 따라서 \( x=\frac{-y-1}{2 y-1} \), 이 식에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 역함수가 된다. \[ y=\frac{-x-1}{2 x-1} \]</p> <p>함수-역함수 그래프의 성질</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사함수이면, \( Y \)의 임의의 원소 \( y \)에 대하여 \( y=f(x) \)인 \( X \)의 원소 \( x \)가 유일하게 존재한다. 따라서 임의의 원소 \( y \in Y \)를 \( y=f(x) \)를 만족하는 \( x \in X \)에 대응시켜 \( Y \)를 정의역, \( X \)를 치역으로 하는 함수를 \( f \)의 역함수라 한다. 그리고 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)으로 쓴다.</p> <p>정리 함수 \( y=f(x) \)의 역함수가 존재하면 다음이 성립한다.</p> <p>\( y=f(x) \Leftrightarrow x=f^{-1}(y) \\ \left(f^{-1} \circ f\right)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{-1}(y)=x \\ \left(f \circ f^{-1}\right)(y)=f\left(f^{-1}(y)\right)=f(x)=y \)</p> <p>그러므로 합성함수 \( f^{-1} \circ f \)는 \( X \)에서의 항등함수이다. 그리고 \( f \circ f^{-1} \)는 \( Y \)에서의 항등함수이다. 즉 \( f^{-1} \circ f=I_{X}, f \circ f^{-1}=I_{Y} \)이다.</p> <p>정리 역함수의 기본 성질</p> <ol type= start=1><li>\( \left(f^{-1}\right)^{-1}=f \)</li> <li>\( (g \circ f)^{-1}=f^{-1} \circ g^{-1},(f \circ g)^{-1}=g^{-1} \circ f^{-1} \)</li> <li>\( (f \circ g)(x)=x \Leftrightarrow f^{-1}=g \) 이고 \( g^{-1}=f \)</li> <li>\( f^{-1} \circ f=I_{X}, \quad f \circ f^{-1}=I_{Y} \)</li></ol> <p>역함수 구하기</p> <ol type= start=1><li>함수 \( y=f(x) \)가 전단사함수인지를 확인한다.</li> <li>\( y=f(x) \)를 \( x \)에 대하여 풀어 \( x=g(y) \)로 바꾼다.</li> <li>\( x=g(y) \)에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸어서 \( y=g(x) \)로 바꾼다.</li> <li>\( f^{-1} \)의 정의역은 \( f \)의 치역, \( f^{-1} \)의 치역은 \( f \)의 정의역으로 한다.</li></ol> <p>예 함수 \( y=\frac{x-1}{2 x+1} \)의 역함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( y=\frac{x-1}{2 x+1} \)를 \( x \)와 \( y \)서로 바꾼 식을 구하자. \( (2 x+1) y=x-1 \)이므로 \( (2 y-1) x=-y-1 \)이다. 따라서 \( x=\frac{-y-1}{2 y-1} \), 이 식에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 역함수가 된다. \[ y=\frac{-x-1}{2 x-1} \]</p> <p>이것은 (1)에서 \( x \)와 \( y \)를 비꾼 것이다. 따라서 함수 \( y=f(x) \)의 그래프와 그 역함수 \( y=f^{-1}(x) \)의 그래프는 직선 \( y=x \)에 대하여 대칭이다.</p> <p>예 함수 \( y=\sqrt{x}, x \geqq 0 \)의 역함수의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y=\sqrt{x}(x \geq 0, y \geq 0) \)의 양변을 제곱하면 \( y^{2}=x(x \geq 0, y \geq 0) \)이다. \( x \)와 \( y \) 를 바꾸면 구하는 역함수는 \( y=x^{2}(x \geq 0, y \geq 0) \)이다. 그리고, 그래프는 다음과 같다.</p> <p>예 두 함수 \( y=f(x), y=g(x) \)의 그래프가 그림과 같다. 이때, \( (g \circ f)(5) \)의 값을 구해보자.</p> <p>풀이 \( y=x \) 그래프와 \( x \)축과 점선이 만나는 점의 \( x \)좌표를 표시해보자. 이 그래프를 이용하여 \( (g \circ f)(5) \)의 값을 구하여보자. \( (g \circ f)(5)=g(f(5)) \)이고, \( f(5)=7 \)이다. 그러므로 \( (g \circ f)(5)=g(7)=5 \)이다.</p> <h1>제2장 수열, 함수</h1> <h2>2.1 수열</h2> <h3>수열의 정의</h3> <p>자연수 집합 \( N \)에서 실수 집합 \( R \)로의 함수 \( f: N \rightarrow R \)를 수열이라고 한다. \( f(n)=a_{n} \)이라고 하면 수열 \( f(1), f(2), f(3), \cdots, f(n), \cdots \)을 \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \cdots \), \( a_{n}, \cdots \)으로 표시할 수 있다.</p> <p>수열의 일반항</p> <p>\( a_{1} \)을 첫째 항(제1항), \( a_{2} \)를 두 번째 항(제2항), \( \cdots, a_{n} \)을 \( n \) 번째 항(제 \( n \) 항)이라고 말한다. 특히 \( n \)번째항 \( a_{n} \)을 일반항이라고 한다.</p> <p>일반항 \( a_{n} \)을 사용하여 수열을 간단히 \( \left\{a_{n}\right\} \) 또는 \( \{f(n)\} \)으로 쓴다.</p> <p>수열의 합</p> <p>수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)의 첫째 항에서 제 \( n \)항까지의 합 \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n} \)을 합의 기호 \( \sum \)를 써서 \( a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \)와 같이 쓴다.</p> <p>유한수열, 무한수열</p> <p>(1) 유한수열 : 항의 개수가 유한개인 수열을 유한수열이라 한다.</p> <p>(2) 무한수열: 항의 개수가 무한개인 수열을 무한수열이라 한다.</p> <p>등차수열</p> <p>인접한 두 항의 차가 일정한 수열을 등차수열(Arithmetic sequence)이라고 한다. 즉 \[a_{1}=a, a_{n+1}-a_{n}=d, n=1,2,3, \cdots\] 첫째 항이 \( a \). 공차 \( d \)인 등차수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)의 일반항 \( a_{n} \)은 \( a_{n}=a+(n-1) d \)이다.</p> <p>조화수열</p> <p>각 항의 역수가 등차수열을 이룰 때 그 수열을 조화수열(harmonic progression)이라 한다. 즉, \( \frac{1}{a_{1}}, \frac{1}{a_{2}}, \frac{1}{a_{3}}, \cdots, \frac{1}{a_{n}}, \cdots \) 이 등차수열을 이룰 때, 수열 \( a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}, \cdots \) 을 조화수열이라 한다.</p> <p>예 다음 수열의 일반항 \( a_{n} \)은 다음과 같다.</p> <p>(1) \( 1,3,5,7,9, \cdots \) \(a_{n}=2 n-1\)</p> <p>(2) \( 1,-1,1,-1,1, \cdots \quad a_{n}=(-1)^{n+1} \)</p> <p>(3) \( \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \cdots \quad a_{n}=\frac{1}{n+1} \)</p> <p>(4) \( 11,101,1001,10001, \cdots a_{n}=10^{n}+1 \)</p> <p>다음 등비수열의 일반항 \( a_{n} \)을 구해보자.</p> <p>(1) \( 1,-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27} \), \( a_{n}=\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-1} \)</p> <p>(2) \( 0.1,0.01,0.001,0.0001, \cdots \quad a_{n}=0.1^{n} \)</p> <p>(3) \( \sqrt{2}-1,1, \quad \sqrt{2}+1,3+2 \sqrt{2}, \cdots \quad a_{n}=(\sqrt{2}+1)^{n-2} \)</p> <p>\( \sum \) 기호와 합-연산의 기본성질</p> <p>(1) \( \sum_{k=1}^{n} c a_{k}=c \sum_{k=1}^{n} a_{k} \) (단, \( c \)는 \( k \)와 관계없는 상수)</p> <p>(2) \( \sum_{k=1}^{n}\left(a_{k} \pm b_{k}\right)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k=1}^{n} b_{k} \) (복호동순)</p> <p>(3) \( \sum_{k=1}^{n} c=c n \) (단, \( c \)는 \( k \)와 관계없는 상수)</p> <p>등차수열의 합</p> <p>첫째 항이 \( a \), 공차가 \( d \), 끝 항이 \( l \)인 등차수열 \( \left\{a_{n}\right\} \)을 생각해보자. 등차수열의 첫째 항부터 제 \( n \)항까지의 합 \( S_{n} \)을 구해보자. 첫째 항이 \( a \), 공차가 \( d \), 제\( n \)항이 \( l \)인 등차수열에서 제\( n \)항까지의 합을 \( S_{n} \)이라 하자.</p> <p>\( \begin{aligned} & S_{n}=a+(a+d)+(a+2 d)+\cdots+(l-d)+l \\+) & \frac{S_{n}}{}=l+(l-d)+(l-2 d)+\cdots+(a+d)+a \\ 2 S_{n} &=(a+l)+(a+l)+(a+l)+\cdots+(a+l)+(a+l)=n \times(a+l) \\ \therefore S_{n} &=\frac{n(a+l)}{2} \end{aligned} \)<caption>①</caption></p> <p>여기서, \( l \)은 제 \( n \)항이므로 \( l=a+(n-1) d \)</p> <p>\( l \)을 ①에 대입하면 \( S_{n}=\frac{n}{2}\{2 a+(n-1) d\} \)<caption>②</caption></p> <p>등차수열의 합 공식</p> <p>(1) 첫째 항과 공차를 알 때 \( S_{n}=\frac{n[2 a+(n-1) d]}{2} \)</p> <p>(2) 첫째 항과 끝 항을 알 때 \( S_{n}=\frac{n(a+l)}{2} \)</p> <p>예 수열 \( 2,6,10, \cdots, 42 \) 은 첫째 항이 2 , 공차가 4 인 등차수열이다. 그러므로 일반항은 \( a_{n}=2+(n-1) \cdot 4=4 n-2 \) 이다. 그리고 끝 항 42 은 11 번째 항이다. 그러므로 \( 2+6+10+\cdots+42=\frac{11(2+42)}{2}=242 \)</p> <p>예 다음 유한수열의 합을 구해보자.</p> <p>(1) \( 1+2+3+\cdots+200 \)</p> <p>(2) \( 1+3+5+\cdots+(2 n-1) \)</p> <p>풀이 (1) 첫째 항이 1 , 제 200 항이 200 인 등차수열이다. 그러므로 \[ 1+2+3+\cdots+200=\frac{200(1+200)}{2}=20100 \]</p> <p>(2) 첫째 항이 1 , 제 \( n \) 항이 \( (2 n-1) \)인 등차수열이다. 그러므로 첫째 항부터 제 \( n \)항까지의 합은 \( S_{n}=\frac{n\{1+(2 n-1)\}}{2}=n^{2} \)</p> <p>등비수열의 합</p> <p>등비수열의 첫째 항을 \( a \), 공비를 \( r \) 라고 하자. 이때, 첫째 항부터 제 \( n \) 항까지의 합을 \( S_{n} \) 이라 하자. 그러면</p> <p>\(S_{n}=a+a r+a r^{2}+\cdots+a r^{n-1}\)<caption>①</caption></p> <p>(1)의 양변에 \( r \ 을 곱하면</p> <p>\( r S_{n}=a r+a r^{2}+a r^{3}+\cdots+a r^{n-1}+a r^{n} \)<caption>②</caption></p> <p>(1)에서 (2)를 빼면 \( S_{n}-r S_{n}=a-a r^{n} \). 그러므로 \( (1-r) S_{n}=a\left(1-r^{n}\right) \) \( r \neq 1 \) 일 때 \( S_{n}=\frac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \) \( r=1 \) 일 때 \( S_{n}=a+a+a+\cdots+a=n a \)</p> <p>예 다음 등비수열의 \( n \) 항까지 합의 공식을 구해보자.</p> <p>풀이 첫째 항이 1 , 공비가 \( -\frac{1}{3} \) 인 등비수열의 첫째 항부터 제 \( n \) 항까지의 합이므로 \[ (\text { 주어진 식 })=\frac{1 \cdot\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\right\}}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{4}\left\{1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{n}\right\} \]</p> <p>자연수 수열의 합</p> <p>(1) \( \sum_{k=1}^{n} k=1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} \)</p> <p>(2) \( \sum_{k=1}^{n} k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \)</p> <p>(3) \( \sum_{k=1}^{n} k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2} \)</p> <p>분수수열의 합</p> <p>(1) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1-\frac{1}{n+1} \)</p> <p>(2) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)}\right) \)</p> <p>(3) \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{n+1}-1 \)</p> <p>풀이 \( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+d)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{d}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+d}\right) \)</p> <p>예 다음 수열의 합을 구하여보자. \[ 1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+4 \cdot 6 \cdots+12 \cdot 14 \]</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} & 1 \cdot 3+2 \cdot 4+3 \cdot 5+4 \cdot 6 \cdots+12 \cdot 14 \\=& \sum_{k=1}^{12} k(k+2)=\sum_{k=1}^{12}\left(k^{2}+2 k\right)=\sum_{k=1}^{12} k^{2}+2 \sum_{k=1}^{12} k \\=& \frac{12(12+1)(2 \cdot 12+1)}{6}+2 \cdot \frac{12(12+1)}{2}=806 \end{aligned} \)</p> <p>예 수열의 합 \( \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \) 을 구하여보자.</p> <p>풀이 이 수열의 \( k \) 항을 \( a_{k} \) 라 하고 합을 \( S_{n} \) 이라 하면 \[ \begin{array}{l} a_{k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \\ S_{n}=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} \end{array} \] \[ =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \\ =\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ =1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1} \]</p> <p>유리함수의 역함수</p> <p>예 함수 \( f(x)= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \)의 역함수를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( y= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \)를 \( x \)와 \( y \) 서로 바꾼 식을 구해서 \( x=g(y) \) 식으로 정리하자. \( 2 x + 1=y(x-1) \)이므로 \( y + 1=x(y-2) \)이다. 따라서 \[ x= \frac { y + 1 } { y-2 } \] 이 식에서 \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 역함수 \( f ^ { -1 } (x) \)가 된다. 즉 \[ f ^ { -1 } (x)=y= \frac { x + 1 } { x-2 } \]</p> <p>무리함수</p> <p>함수 \( y=f(x) \)에서 \( f(x) \)가 \( x \)에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수(irrational function)라 한다.</p> <p>무리함수 그래프의 평행이동</p> <p>\( y= \sqrt { a(x-p) } + q(a \neq 0) \)의 그래프는 \( y= \sqrt { a x } (a \neq 0) \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 \( p \)만큼, \( y \)축의 양의 방향으로 \( q \)만큼 평행이동시킨 곡선이다.</p> <p>예 무리함수 \( y= \sqrt { 2 x-4 } + 3 \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y= \sqrt { 2 x-4 } + 3= \sqrt { 2(x-2) } + 3 \) 이므로 \( y= \sqrt { 2 x } \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 2, \(y \)축의 양의 방향으로 3만큼 평행이동시킨 그래프이다.</p> <p>예 무리함수 \( y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 \( y= \sqrt { 4-x ^ { 2 } } \)의 양변을 제곱하면 \( y ^ { 2 } =4-x ^ { 2 } \). 그러므로 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =2 ^ { 2 } \). \( y \geq 0 \)이므로 원점을 중심, 반지름 2인 원의 위 부분의 반원이다.</p> <h2>2.2 함수</h2> <h3>직교 조표계</h3> <p>한 평면에서 두 개의 실수 직선이 직교할 때 교점 (0, 0)을 원점 \( O \)라 하고 수평선을 \( x \)축, 수직선을 \( y \)축이라 한다. 이와 같은 좌표평면 위의 각 점 \( P \)에 실수의 순서쌍 \( (x, y) \)를 대응시키고 점 \( P \) 의 좌표라 한다. 이와 같이 점의 좌표를 나타내는 방법을 직교좌표계(orthogonal coordinate system)라고 부른다.</p> <p>예 점 \( A(1,2), B(0,-2), C(-2,3), D(-3,0) \)을 직교좌표평면 상에 나타내시오.</p> <p>풀이</p> <p>두 점 \( A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right) \) 사이의 거리는 \( \overline{A B}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \) 특히, 원점 \( O(0,0) \)와 \( P\left(x_{1}, y_{1}\right) \) 사이의 거리는 \( \overline{O P}=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}} \)</p> <h3>함수</h3> <p>공집합이 아닌 두 집합 \( X, Y \)에 대하여 \( X \)의 각 원소 \( x \)에 대하여 \( Y \)의 원소 \( y \)가 오직 하나씩 대응할 때, 이 대응을 \( X \)에서 \( Y \)로의 함수(function)라 한다.</p> <p>\( X \)에서 \( Y \)로의 함수를 기호로 다음과 같이 나타낸다. \[f: X \rightarrow Y \text { 또는 } X \stackrel{f}{\rightarrow} Y\]</p> <p>이때 \( X \)를 정의역(domain), \( Y \)를 공변역(codomain)이라 한다. 그리고 \( x \)를 독립변수(independent variable), \( y \)를 종속변수(dependent variable)라 한다. 또한 \( X \)의 원소 \( x \)에 대응하는 \( Y \)의 원소 \( y \)를 \( f \)에 의한 \( x \)의 상(image) 또는 \( x \)의 함수값이라 하고, \( y=f(x) \)로 나타낸다.</p> <p>\( X \)에 대응하는 원소로만 이루어진 \( Y \)의 부분집합 \[f(X)=\{f(x) \mid x \in X\}\] 를 치역(range)이라 한다.</p> <p>함수 그래프</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 정의역 \( X \)의 각 원소 \( x \)와 함수값 \( f(x) \)의 순서쌍 \( (x, f(x)) \) 전체로 구성된 집합 \( G(x)=\{(x, y) \mid y=f(x), x \in X\} \) 를 함수 \( f \)의 그래프(graph)라 한다.</p> <p>정의 함수의 상등</p> <p>두 함수 \( f, g \)의 정의역이 같고, 정의역의 각 원소에서의 두 함수 값이 같으면, 두 함수는 서로 같다고 하며, 기호로 \( f=g \)로 나타낸다.</p> <p>정의 항등함수</p> <p>집합 \( X \)에 속하는 모든 원소 \( x \)에 대하여 \( f(x)=x \)를 만족하는 함수 \( f: X \rightarrow X \)를 \( X \) 위의 항등함수(identity function)라 한다.</p> <p>정의 상수함수</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( f(x)=c \) ( \( c \)는 상수)일 때, 이 함수 \( f \)를 상수함수(constant function)라 한다.</p> <p>그래프의 함수 판정법</p> <p>다음에서 함수의 그래프인 것은 어느 것인가?</p> <p>정의 전사함수</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 공변역과 치역이 일치할 때, 곧, \( Y=f(X) \)일 때, 함수 \( f \)를 전사함수(surjective function) 또는 위로의 함수(onto function)라 한다.</p> <p>정의 일대일대응함수(one-to-one correspondence, bijective function)</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 전사이고 단사인 함수를 전단사함수 또는 일대일대응함수라 한다.</p> <p>예 함수 \( f(x)=x^{2} \)은 전사함수도, 단사함수도 아님을 보이자.</p> <p>풀이 ( i ) \( 1 \neq-1 \)인데 \( f(1)=f(-1) \)이므로 \( f \)는 단사함수가 아니다.</p> <p>(ii) \( y<0 \)인 \( y \)에 대하여 \( y=x^{2} \)을 만족하는 \( x \)가 존재하지 않는다. 따라서 전사함수도 아니다.</p> <p>함수의 사칙 연산</p> <p>두 함수 \( f \)와 \( g \)의 합 \( f+g \), 차 \( f-g \), 곱 \( f g \), 몫 \( \frac{f}{g} \)는 다음과 같이 정의한다.</p> <ol type= start=1><li>[합] \( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \)</li> <li>[차] \( (f-g)(x)=f(x)-g(x) \)</li> <li>[곱 \( ](f g)(x)=f(x) g(x) \)</li> <li>[상 또는 몫] \( \quad\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} \quad \) (단, \( g(x) \neq 0 \) )</li></ol> <p>예 두 함수 \( f(x)=x^{2}+1 \)과 \( g(x)=x+3 \)에 대하여 \( (f-g)(x)=0 \)가 되는 정의역의 원소 \( x \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( (f-g)(x)=0=\left(x^{2}+1\right)-(x+3) \)이다. 따라서 \( x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)=0 \). 그러므로 \( x=-1 \) 또는 \( x=2 \).</p> <p>예 두 함수 \( f(x)=2 x^{2}+1 \)과 \( g(x)=x+4 \)의 곱함수 \( (f \cdot g)(x) \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)=\left(2 x^{2}+1\right)(x+4) \). 그러므로 \[ f(x) \cdot g(x)=2 x^{3}+8 x^{2}+x+4 \]</p> <p>예 두 함수 \( f(x)=\frac{1}{x}(x \neq 0), g(x)=\frac{1}{x+1}(x \neq-1) \)일 때, \( f \)와 \( g \)의 몫함수 \( \left(\frac{f}{g}\right)(x) \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( \left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x+1}}=\frac{x+1}{x}, \quad(x \neq 0,1) \)</p> <p>합성함수</p> <p>두 함수 \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \)에 대하여 \( (g \circ f)(x)=g(f(x)) \)를 \( f \)와 \( g \)의 합성함수(composition function)라 한다.</p> <p>정리 합성함수의 성질</p> <p>세 함수 \( f, g, h \)가 \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z, h: Z \rightarrow W \)일 때, 합성함수 \( f \circ g \circ h \)는 결합법칙 \( (f \circ g) \circ h=f \circ(g \circ h) \)이 성립한다. 일반적으로 합성함수는 교환법칙 \( f \circ g=g \circ f \)이 항상 성립하는 것은 아니다. 항등함수 \( I: X \rightarrow X \) 즉 \( I(x)=x \)에 대하여 \( f \circ I=I \circ f=f \) 성립한다.</p> <p>예 두 함수는 \( f(x)=x+1 \)과 \( g(x)=2 x+3 \)라 하자. 이때 합성함수 \( (f \circ g)(x) \)와 \( (g \circ f)(x) \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 (1) \( (f \circ g)(x)=f(g(x))=(2 x+3)+1=2 x+4 \)</p> <p>(2) \( (g \circ f)(x)=g(f(x))=2(x+1)+3=2 x+5 \)</p> <p>예 \( f(x)=x^{2}, g(x)=x+1 \)라고 하자. 이때 합성함수 \( h(x)=(g \circ f)(x) \)를 구하고 \( h(3) \)의 값을 구하여보자.</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} h(x) &=(g \circ f)(x)=g(f(x)) \\ &=g\left(x^{2}\right)=x^{2}+1 \\ h(3) &=(g \circ f)(3)=g(f(3)) \\ &=g\left(3^{2}\right)=3^{2}+1=10 \end{aligned} \)</p> <p>예 두 함수는 \( f(x)=x^{2}-1, g(x)=\sin x \)라고 하자. 이때 합성함수 \( (g \circ f)(x) \)와 \( (f \circ g)(x) \)를 구하여보자.</p> <p>풀이 (1) \( (g \circ f)(x)=g(f(x))=\sin \left(x^{2}+1\right) \)</p> <p>(2) \( (f \circ g)(x)=f(g(x))=(\sin x)^{2}-1=\sin ^{2} x-1 \)</p> <p>풀이 직선 \( y=3 x-2 \)에 직교한다. 그러므로 구하는 직선의 방정식의 기울기 \( m \)은 \( 3 m=-1 \), 곧 \( m=- \frac { 1 } { 3 } \)이다. 따라서 구하는 직선의 방정식은 \[ y-4=- \frac { 1 } { 3 } (x + 6) \]</p> <p>예 \( y=\|x-2\| + 2 \)의 그래프를 그려보자.</p> <p>풀이 ( i ) \( x \geq 2 \)일 때, \( y=(x-2) + 2=x \)</p> <p>(ii) \( x<2 \)일 때, \( y=-(x-2) + 2=-x + 4 \)</p> <p>이차함수의 정의</p> <p>실수 \( a(a \neq 0), b, c \)에 대하여, \( f(x)=a x ^ { 2 } + b x + c \)으로 정의되는 함수 \( f \)를 이차함수(quadratic function)라 한다.</p> <p>이차함수의 그래프 특성</p> <p>이차함수 \( y=a x ^ { 2 } (a \neq 0) \)의 그래프는 원점을 꼭짓점으로 하고, \( y \)축을 대칭축으로 하는 포물선이다. \( a>0 \)이면 아래로 볼록하고, \( a<0 \)이면 위로 볼록하고, \( \|a\| \)가 클수록 폭이 좁아진다. \( y=a x ^ { 2 } (a \neq 0) \)의 그래프를 \( x \)축의 양의 방향으로 \( m \)만큼, \( y \)축의 양의 방향으로 \( n \)만큼 평행 이동한 그래프다. 또한 대칭축이 \( x=m \)이고, 꼭짓점이 \( (m, n) \)인 포물선이다.</p> <p>이차함수 \( y=a x ^ { 2 } + b x + c(a \neq 0) \)의 그래프는 \( y=a \left (x + \frac { b } { 2 a } \right ) ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } -4 a c } { 4 a } \)이다. 그러므로 \( y=a x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( x \) 축의 양의 방향으로 \( - \frac { b } { 2 a } \)만큼, \( y \)축의 양의 방향으로 \( - \frac { b ^ { 2 } -4 a c } { 4 a } \)만큼 평행이동한 것과 같다. 이때 꼭짓점의 좌표는 \( \left (- \frac { b } { 2 a } ,- \frac { b ^ { 2 } -4 a c } { 4 a } \right ) \), 대칭축은 \( x=- \frac { b } { 2 a } , y \)절편은 \( c \)이다</p>	자연
s374-미적분학	<h3>접선기울기 공식</h3> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 곡선에서 [1] 점 \( (r, \theta) \) 에서 \( f ^ {\prime } ( \theta) \cos \theta-f( \theta) \sin \theta \neq 0 \) 인 경우 접선기울기:</p> <p>\[ \left .m( \theta)= \frac { r ^ {\prime } \sin \theta + r \cos \theta } { r ^ {\prime } \cos \theta-r \sin \theta } , \text { (여기서 } r ^ {\prime } =f ^ {\prime } ( \theta) \right ) \]</p> <p>[2] \( f \left ( \theta_ { 0 } \right )=0, f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 인 경우, 극점 \( \left (0, \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 접선기울기:</p> <p>\[m \left ( \theta_ { 0 } \right )= \tan \theta_ { 0 } \]</p> <p>예제 곡선 \( r=f( \theta)= \sin ^ { 2 } \theta \) 위의 점 \( (0,0) \) 에서 접선기울기를 구해보자.</p> <p>풀이 \( f ^ {\prime } ( \theta)=2 \sin \theta \cos \theta, f(0)=f ^ {\prime } (0)=0, \quad \frac { d x } { d \theta } =2 \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta- \sin ^ { 3 } \theta, \quad \frac { d y } { d \theta } =3 \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta \) 이다.</p> <p>그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \lim _ {\theta \rightarrow 0 } \frac { f ^ {\prime } ( \theta) \sin \theta + f( \theta) \cos \theta } { f ^ {\prime } ( \theta) \cos \theta-f( \theta) \sin \theta } &= \lim _ {\theta \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin ^ { 2 } \theta \cos \theta } { 2 \sin \theta \cos ^ { 2 } \theta- \sin ^ { 3 } \theta } \\ &= \lim _ {\theta \rightarrow 0 } \frac { 3 \sin \theta \cos \theta } { 2 \cos ^ { 2 } \theta- \sin ^ { 2 } \theta } =0 \end {aligned} \]</p> <h3>극방정식 곡선의 길이</h3> <p>극방정식이 \( r=f( \theta) \quad( \alpha \leq \theta \leq \beta) \) 으로 주어진 곡선의 길이:</p> <p>매개변수방정식으로 변환하면 \( x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta( \alpha \leq \theta \leq \beta) \) 이다.</p> <p>따라서 \( \frac { d x } { d \theta } =-r \sin \theta + \frac { d r } { d \theta } \cos \theta, \frac { d y } { d \theta } =r \cos \theta + \frac { d r } { d \theta } \sin \theta \).</p> <p>극방정식이 \( r=f( \theta) \) 인 곡선 길이의 정적분 공식:</p> <p>\[ \begin {aligned} L &= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \sqrt {\left ( \frac { d x } { d \theta } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta \\ &= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \sqrt {\left ( \frac { d r } { d \theta } \cos \theta-r \sin \theta \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \sin \theta + r \cos \theta \right ) ^ { 2 } } d \theta \\ &= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta . \end {aligned} \]</p> <p>예제 심장형 곡선 \( r=a(1 + \cos \theta) \quad(a>0) \) 의 길이를 구하여보자.</p> <p>(심장형 곡선 안에 있는 원의 지름은 \( a \) 이다.)</p> <p>풀이 \( r=a(1 + \cos \theta) \) 이므로 \( \frac { d r } { d \theta } =-a \sin \theta \).</p> <p>\( \begin {aligned} r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } &=a ^ { 2 } (1 + \cos \theta) ^ { 2 } + a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \\ &=2 a ^ { 2 } (1 + \cos \theta) \\ &=4 a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left ( \frac {\theta } { 2 } \right ) \end {aligned} \)</p> <p>심장형 곡선 \( r=2(1 + \cos \theta) \) 에 의하여 둘러싸인 영역의 면적을 구하여보자.</p> <p>\( \begin {aligned} A &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } r ^ { 2 } d \theta=2 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } (1 + \cos \theta) ^ { 2 } d \theta \\ &=2 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left (1 + 2 \cos \theta + \cos ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\ &=2 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left (1 + 2 \cos \theta + \frac { 1 + \cos 2 \theta } { 2 } \right ) d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } (3 + 4 \cos \theta + \cos 2 \theta) d \theta \\ &= \left [3 \theta + 4 \sin \theta + \frac { 1 } { 2 } \sin 2 \theta \right ]_ { 0 } ^ { 2 \pi } =6 \pi \end {aligned} \)</p> <p>예제 원 \( r=3 \cos \theta \) 의 내부, 심장형 \( r=1 + \cos \theta \) 의 외부인 영역의 면적을 구하여보자.</p> <p>먼저 두 곡선의 교점을 구하면, \( 2 \cos \theta=1 \) 에서 \( \theta= \frac {\pi } { 3 } ,- \frac {\pi } { 3 } \) 이다.</p> <p>영역을 구성하는 편각 \( \theta \) 의 범위: \( - \frac {\pi } { 3 } \leq \theta \leq \frac {\pi } { 3 } \) (또는 \( 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 3 } , \frac { 5 \pi } { 3 } \leq \theta \leq 2 \pi \) ) 따라서 구하는 면적 \( A \) :</p> <p>\[A= \frac { 1 } { 2 } \int_ { - \frac {\pi } { 3 } } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \left [(3 \cos \theta) ^ { 2 } -(1 + \cos \theta) ^ { 2 } \right ] d \theta \]</p> <p>따라서 극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 곡선 위의 점 \( \left (r_ { 0 } , \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 접선의 기울기 \( m \left ( \theta_ { 0 } \right ) \) 를 나타내는 식을 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>1) \( ( \) 분모 \( )=0 \neq( \) 분자)일 때, \[ \begin {array} { l } \text { 즉, } f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \sin \theta_ { 0 } + f \left ( \theta_ { 0 } \right ) \cos \theta_ { 0 } \neq 0, \\ f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \cos \theta_ { 0 } -f \left ( \theta_ { 0 } \right ) \sin \theta_ { 0 } =0 \text { 이면 접선은 } y \text { 축에 평행이다 } \end {array} \]</li> <li>2) \( ( \) 분모) \( =0= \) (분자)일 때, 즉, \( f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \sin \theta_ { 0 } + f \left ( \theta_ { 0 } \right ) \cos \theta_ { 0 } =0 \), \( f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \cos \theta_ { 0 } -f \left ( \theta_ { 0 } \right ) \sin \theta_ { 0 } =0 \) 이면 극한값을 계산하여 기울기를 구한다.</li></ol> <p>특히, 극방정식의 그래프가 원점을 지나는 경우, 즉 \( f \left ( \theta_ { 0 } \right )=0, f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 인 경우, 극점 \( \left (0, \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 접선의 기울기는 다음과 같다.</p> <p>\[m \left ( \theta_ { 0 } \right )= \frac { f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right )_ {\sin } \theta_ { 0 } } { f ^ {\prime } \left ( \theta_ { 0 } \right ) \cos \theta_ { 0 } } = \tan \theta_ { 0 } \]</p> <p>에 사이클로이드(Cycloid)에 의한 회전체의 표면적</p> <p>사이클로이드 곡선: \( x=a(t- \sin t), y=a(1- \cos t)(0 \leq t \leq 2 \pi) \)</p> <p>이 곡선을 \( x \) 축으로 회전하여 생성된 회전체의 표면적 \( S \) 를 구하여보자.</p> <p>(여기서 구르는 원의 반지름은 \( a \) )</p> <p>풀이 \( x=a(t- \sin t), y=a(1- \cos t) \) 이므로 \( \frac { d x } { d t } =a(1- \cos t), \frac { d y } { d t } =a \sin t \) 이다.</p> <p>그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } &= \sqrt { a ^ { 2 } \left (1-2 \cos t + \cos ^ { 2 } t \right ) + a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t } \\ &= \sqrt { 2 a ^ { 2 } (1- \cos t) } =2 a \sin \frac { t } { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>또 \( y=a(1- \cos t)=2 a \sin ^ { 2 } \frac { t } { 2 } \) 이다.</p> <p>그러므로 구하려는 표면적 \( S \) 의 정적분 식과 계산은 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} S &=2 \pi \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } y \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } d t \\ &=2 \pi \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 2 a \sin ^ { 2 } \frac { t } { 2 } 2 a \sin \frac { t } { 2 } d t \\ &=8 \pi a ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin ^ { 3 } \frac { t } { 2 } d t=8 \pi a ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin \frac { t } { 2 } \left (1- \cos ^ { 2 } \frac { t } { 2 } \right ) d t \\ &=8 \pi a ^ { 2 } \left \{\left [-2 \cos \frac { t } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 \pi } + \left [ \frac { 2 } { 3 } \cos ^ { 3 } \frac { t } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 \pi } \right \} \\ &=8 \pi a ^ { 2 } \left \{ [-2 \cos \pi + 2 \cos (0)] + \left [ \frac { 2 } { 3 } \cos ^ { 3 } \pi- \frac { 2 } { 3 } \cos (0) \right ] \right \} \\ &=8 \pi a ^ { 2 } \left ([2 + 2] + \left [- \frac { 2 } { 3 } - \frac { 2 } { 3 } \right ] \right ) \\ &=8 \pi a ^ { 2 } \left ( \frac { 8 } { 3 } \right )= \frac { 64 } { 3 } \pi a ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>\( = \frac { 1 } { 2 } \int_ { - \frac {\pi } { 3 } } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \left (8 \cos ^ { 2 } \theta-2 \cos \theta-1 \right ) d \theta \)</p> <p>\( = \frac { 1 } { 2 } \int_ { - \frac {\pi } { 3 } } ^ {\frac {\pi } { 3 } } [4(1 + \cos 2 \theta)-2 \cos \theta-1] d \theta \)</p> <p>\( = \frac { 1 } { 2 } [3 \theta + 2 \sin 2 \theta-2 \sin \theta]_ { - \frac {\pi } { 3 } } ^ {\frac {\pi } { 3 } } = \pi \).</p> <p>예제 \( r=3 + 2 \sin \theta \) 의 안쪽과 \( r=2 \) 바깥으로 둘러싸인 도형의 면적을 구해보자</p> <p>풀이 먼저 \( r=3 + 2 \sin \theta \) 과 \( r=2 \) 의 교점을 구하자.</p> <p>\[3 + 2 \sin \theta=2 \text { 이므로 } \sin \theta=- \frac { 1 } { 2 } \text { . } \]</p> <p>따라서 \( \theta= \frac { 7 \pi } { 6 } , \frac { 11 \pi } { 6 } =- \frac {\pi } { 6 } \) 이다.</p> <p>\( \begin {aligned} A &= \int_ { - \frac {\pi } { 6 } } ^ {\frac { 7 \pi } { 6 } } \frac { 1 } { 2 } \left ((3 + 2 \sin \theta) ^ { 2 } -2 ^ { 2 } \right ) d \theta \\ &= \int_ { - \frac {\pi } { 6 } } ^ {\frac { 7 \pi } { 6 } } \frac { 1 } { 2 } \left (5 + 12 \sin \theta + 4 \sin ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\ &= \int_ { - \frac {\pi } { 6 } } ^ {\frac { 7 \pi } { 6 } } \frac { 1 } { 2 } (7 + 12 \sin \theta-2 \cos 2 \theta) d \theta \\ & \left .= \frac { 1 } { 2 } (7 \theta-12 \cos \theta- \sin 2 \theta) \right ]_ { - \frac {\pi } { 6 } } ^ {\frac { 7 \pi } { 6 } } \\ &= \frac { 11 \sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 14 \pi } { 3 } \approx 24.187 \end {aligned} \)</p> <p>따라서 점 \( (0,0) \) 근방에서 접선기울기의 극한은 \( \lim _ {\theta \rightarrow 0 } m( \theta)=0 \) 이다.</p> <p>심장형 곡선 \( r=2 + 2 \cos \theta \) 에서 \( \theta= \frac {\pi } { 6 } \) 일 때, 접선기울기를 구하여보자.</p> <p>\( f( \theta)=2 + 2 \cos \theta, f ^ {\prime } ( \theta)=-2 \sin \theta \) 를 \( m( \theta) \) 의 식에 대입하여 정리하여보자.</p> <p>\[m( \theta)=- \frac {\left ( \cos ^ { 2 } \theta- \sin ^ { 2 } \theta \right ) + \cos \theta } { 2 \sin \theta \cos \theta + \sin \theta } =- \frac {\cos 2 \theta + \cos \theta } {\sin 2 \theta + \sin \theta } \]</p> <p>따라서 \( m \left ( \frac {\pi } { 6 } \right )=- \frac { 1 + \sqrt { 3 } } {\sqrt { 3 } + 1 } =-1 \) 이다.</p> <h3>곡선의 교각</h3> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 곡선과 직선 \( \theta= \theta_ { 0 } \) 이 점 \( \mathrm { P } \left (f \left ( \theta_ { 0 } \right ), \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 만난다고 하자.</p> <p>이때 점 \( \mathrm { P } \) 에서 접선이 직선 \( \theta= \theta_ { 0 } \) 과 이루는 각 \( \psi \) 을 점 \( \mathrm { P } \) 에서의 교각이라고 부른다.</p> <p>그림에서 \( \theta, \psi, \phi \) 사이의 관계는 \( \psi + \theta= \phi \) 이다.</p> <h3>교각의 크기</h3> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 곡선과 직선 \( \theta= \theta_ { 0 } \) 이 이루는 교각 \( \psi \left ( \theta_ { 0 } \right ) \) :</p> <p>\( \tan \left ( \theta_ { 1 } \right )=m \left ( \theta_ { 0 } \right ) \) 인 \( \theta_ { 1 } \) 에 대하여 \( \tan \psi \left ( \theta_ { 0 } \right )= \tan \left ( \theta_ { 1 } - \theta_ { 0 } \right ) \) 이다.</p> <p>한편 함수 \( \sqrt { f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + g ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } \) 은 \( [a, b] \) 에서 연속함수이므로 적분가능하다. 그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left ( \underline { t } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime \prime } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k } =1 \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left ( \overline { t_ { k } } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left ( \overline { t_ { k } } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } \text { 이다. } \end {aligned} \]</p> <p>그러므로 매개변수 곡선 길이의 정적분 공식은 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} L &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \overline { P_ { k-1 } P_ { k } } \\ &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime \prime } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } \end {aligned} \]</p> <p>미분가능한 함수의 평균값정리에 의하여</p> <p>\[ \begin {array} { l } x_ { k } -x_ { k-1 } =f \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { k-1 } \right )=f ^ {\prime } \left (t ^ {\prime } { } _ { k } \right ) \Delta t_ { k } , \left (t_ { k-1 } \leq t ^ {\prime } { } _ { k } \leq t_ { k } \right ) \\ y_ { k } -y_ { k-1 } =g \left (t_ { k } \right )-g \left (t_ { k-1 } \right )=g ^ {\prime } \left (t ^ {\prime \prime } { } _ { k } \right ) \Delta t_ { k } , \left (t_ { k-1 } \leq t ^ {\prime \prime } { } _ { k } \leq t_ { k } \right ) \end {array} \]</p> <p>따라서 \( \Delta L_ { k } = \sqrt {\left [f \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { k-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g \left (t_ { k } \right )-g \left (t_ { k-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } } \)</p> <p>\[= \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left (t ^ {\prime } { } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t ^ {\prime \prime } { } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } .= \overline { P_ { k-1 } P_ { k } } \]</p> <p>그러므로 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } \overline { P_ { k-1 } P_ { k } } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left (t ^ {\prime } { } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t ^ {\prime \prime } { } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { k } \).</p> <p>\( \begin {aligned} \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } &= \sqrt { (1- \cos \theta) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta } \\ &= \sqrt { 2-2 \cos \theta } \\ &= \sqrt { 2 } \sqrt { 1- \cos \theta } \end {aligned} \)</p> <p>그러므로 구하는 회전체의 표면적은,</p> <p>\( \begin {aligned} S &=2 \pi \int_ { 0 } ^ {\pi } r \sin \theta \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta \\ &=2 \pi \int_ { 0 } ^ {\pi } (1- \cos \theta) \sin \theta \sqrt { 2 } \sqrt { 1- \cos \theta } d \theta \\ &=2 \sqrt { 2 } \pi \int_ { 0 } ^ {\pi } (1- \cos \theta) ^ { 3 / 2 } \sin \theta d \theta \\ &=2 \sqrt { 2 } \pi \left [ \frac { 2 } { 5 } (1- \cos \theta) ^ { 5 / 2 } \right ]_ { 0 } ^ {\pi } \\ &=2 \sqrt { 2 } \pi \left [ \frac { 2 } { 5 } \left (2 ^ { 5 / 2 } \right ) \right ]= \frac { 32 } { 5 } \pi \end {aligned} \)</p> <h1>12.2 매개변수 곡선의 미분 · 적분 응용</h1> <p>매개변수방정식 \( x=f(t), y=g(t) \) 의 \( \frac { d y } { d x } \) :</p> <p>매개변수방정식 \( x=f(t), y=g(t) \) 가 구간 \( [a, b] \) 에서 미분가능하고 \( f(t) \neq 0 \) 이면 \( \frac { d y } { d x } = \frac {\frac { d y } { d t } } {\frac { d x } { d t } } = \frac { g ^ {\prime } (t) } { f ^ {\prime } (t) } \) 가 성립한다. 1계도함수를 \( \frac { d y } { d x } =h_ { 1 } (t) \) 라고 하자.</p> <p>또는 \( y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right )-x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right )=0 \).</p> <p>\( x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )=0 \) 인 경우 접선방정식:</p> <p>이 경우에는 \( y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right )=0 \) 이다. 그리고 \( \left [x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \right ] ^ { 2 } \neq 0 \) 이다. 그러므로 \( y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이다. 즉 \( x=x_ { 0 } \) 이고 이 경우의 의미는 \( x \) 축에 수직인 접선을 갖는다.</p> <p>예제 곡선 \( x=3 t ^ { 2 } , y=t ^ { 3 } -3 t \) 에서 \( t=1 \) 와 \( t= \sqrt { 2 } \) 에서 접선방정식을 구해보자.</p> <p>풀이 매개변수 곡선 그리기</p> <p>1] \( t=1 \) 에서 접선의 기울기:</p> <p>\[ \frac { d y } { d x } = \frac {\frac { d y } { d t } } {\frac { d x } { d t } } = \frac { 3 t ^ { 2 } -3 } { 6 t } = \frac { t ^ { 2 } -1 } { 2 t } \]</p> <p>그러므로 접선의 기울기는 \( \left . \frac { d y } { d x } = \frac { t ^ { 2 } -1 } { 2 t } \right ]_ { t=1 } =0 \) 이다.</p> <p>그리고 \( x(1)=3, y(1)=-2 \) 이므로 접선은 \( y=-2 \) 이다.</p> <p>\[ \tan \beta= \left [- \frac { 1- \cos \theta } {\sin \theta } \right ]_ {\theta= \frac {\pi } { 4 } } =1- \sqrt { 2 } \]</p> <p>따라서 이 결과들을 (1)에 대입하여 정리하면 \( \tan \gamma=1 \) 이다.</p> <p>따라서 구하는 교각은 \( \gamma= \frac {\pi } { 4 } \) 이다.</p> <h2>극방정식의 면적</h2> <h3>극방정식의 영역 및 면적</h3> <p>극방정식으로 주어진 함수에 의하여 결정되는 영역의 면적을 구하여보자.</p> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \) 이 구간 \( [ \alpha, \beta],(0 \leq \beta- \alpha \leq 2 \pi) \) 에서 연속이라고 하자.</p> <p>두 동경선 \( \theta= \alpha, \theta= \beta \) 과 곡선 \( r=f( \theta) \) 로 둘러싸인 영역의 면적 \( A \) 를 생각하여 보자.</p> <p>\( P= \left \{\theta_ { 0 } , \theta_ { 1 } , \cdots, \theta_ { n } \right \} \) 를 편각 변수의 구간 \( [ \alpha, \beta] \) 의 임의의 분할이라 하자. 그리고 \( \Delta \theta_ { k } = \) \( \theta_ { k } - \theta_ { k-1 } \) 라고 하자. \( r=f( \theta) \) 이 연속함수이다. 그러므로 \( k \) 번째 소구간 \( \left [ \theta_ { k-1 } , \theta_ { k } \right ] \) 에서 \( f( \theta) \) 는 최소값과 최대값이 존재한다. 이를 각각 \( m_ { k } , M_ { k } \) 이라 하자.</p> <p>그리고 \( \theta= \theta_ { k-1 } , \theta= \theta_ { k } \) 와 곡선 \( r=f( \theta) \) 로 둘러싸인 영역의 면적을 \( A_ { k } \) 라고 하자.</p> <p>호의 면적과 \( A_ { k } \) 를 비교하면 다음 부등식이 성립한다.</p> <p>\[ \frac { 1 } { 2 } m_ { k } ^ { 2 } \Delta \theta_ { k } \leq A_ { k } \leq \frac { 1 } { 2 } M_ { k } ^ { 2 } \Delta \theta_ { k } \]</p> <p>\( x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 인 경우 접선방정식:</p> <p>\( x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이라고 가정하자. 그러면 충분히 작은 모든 실수 \( h \) 에 대하여 \( x \left (t_ { 0 } + h \right )-x \left (t_ { 0 } \right ) \) \( \neq 0 \) 이다. 따라서 \( h \rightarrow 0 \) 일 때,</p> <p>\[ \frac { y \left (t_ { 0 } + h \right )-y \left (t_ { 0 } \right ) } { x \left (t_ { 0 } + h \right )-x \left (t_ { 0 } \right ) } = \frac {\frac { 1 } { h } \left (y \left (t_ { 0 } + h \right )-y \left (t_ { 0 } \right ) \right ) } {\frac { 1 } { h } \left (x \left (t_ { 0 } + h \right )-x \left (t_ { 0 } \right ) \right ) } \rightarrow \frac { y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } { x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } \]</p> <p>에 수렴한다. 즉 접선의 기울기는 \( \frac { y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } { x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } \) 이다.</p> <p>곡선 \( C: \left \{\begin {array} { l } x=x(t) \\ y=y(t) \end {array} \right . \) 위의 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 접선방정식:</p> <p>\[y-y \left (t_ { 0 } \right )= \frac { y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } { x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) } \left (x-x \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \]</p> <p>그러므로 곡선 둘레의 전체 길이는</p> <p>\( \begin {aligned} L &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta=2 a \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt {\cos ^ { 2 } \frac {\theta } { 2 } } d \theta \\ &=2 a \left ( \int_ { 0 } ^ {\pi } \cos \frac {\theta } { 2 } d \theta + \int_ {\pi } ^ { 2 \pi } \left (- \cos \frac {\theta } { 2 } \right ) d \theta \right ) \\ &=2 a \left ( \left [2 \sin \frac {\theta } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ {\pi } + \left [-2 \sin \frac {\theta } { 2 } \right ]_ {\pi } ^ { 2 \pi } \right )=8 a . \end {aligned} \)</p> <p>아르키메데스 나선 곡선의 길이</p> <p>곡선 \( r= \theta,(0 \leqq \theta \leqq 1) \) 의 길이를 구해보자.</p> <p>풀이 곡선 길이는 \( L= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta \) 이다. \( r= \theta \) 이므로 \( \frac { d r } { d \theta } =1 \) 이다.</p> <p>그러므로 \( L= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt {\theta ^ { 2 } + 1 } d \theta \) 이다. 삼각치환법을 사용해서 정적분식을 바꾸자.</p> <p>\( \theta= \tan x \) 로 놓으면, \( d \theta= \sec ^ { 2 } x d x \).</p> <p>\[ \theta=0= \tan x \Rightarrow x=0, \quad \theta=1= \tan x \Rightarrow x= \frac {\pi } { 4 } \]</p> <p>2] \( t= \sqrt { 2 } \) 일 때, \( x( \sqrt { 2 } )=6, y( \sqrt { 2 } )=- \sqrt { 2 } \) 이다.</p> <p>그리고 \( t= \sqrt { 2 } \) 에서 접선의 기울기:</p> <p>\[ \left . \frac { d y } { d x } = \frac { t ^ { 2 } -1 } { 2 t } \right ]_ { t= \sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \]</p> <p>그러므로 구하는 접선방정식은 \( y + \sqrt { 2 } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } (x-6) \) 이다.</p> <p>따라서 \( y= \frac {\sqrt { 2 } } { 4 } x- \frac { 5 \sqrt { 2 } } { 2 } \).</p> <h2>매개변수 곡선의 길이</h2> <p>곡선의 매개방정식은 \( x=f(t), y=g(t),(c \leq t \leq d) \) 이라고 하자. \( \frac { d x } { d t } =f ^ {\prime } (t) \) 과 \( \frac { d y } { d t } =g ^ {\prime } (t) \) 가 구간 \( [a, b] \) 에서 연속이라 가정하자. \( t=a \) 에서 \( t=b \) 까지 곡선의 길이 \( L \) 의 정적분 공식: \[ \begin {aligned} L &= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left [ \frac { d x } { d t } \right ] ^ { 2 } + \left [ \frac { d y } { d t } \right ] ^ { 2 } } d t \end {aligned} \]</p> <p>그런데 \( f ^ {\prime } (t) \) 과 \( g ^ {\prime } (t) \) 은 구간 \( [a, b] \) 에서 연속이다.</p> <p>그러므로 \( \sqrt { f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + g ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } \) 도 구간[ \( [a, b] \) 에서 연속이다.</p> <p>따라서 \( \sqrt { f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + g ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } \) 는 각 구간 \( \left [t_ { k-1 } , t_ { k } \right ] \) 에서 최소값을 갖는 \( t= \underline { t_ { k } } \) 와 최대값을 갖는</p> <p>\( t= \overline { t_ { k } } \) 가 존재한다. 즉 모든 \( t ^ {\prime } { } _ { k } \in \left [t_ { k-1 } , t_ { k } \right ] \) 에 대하여,</p> <p>\[ \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left ( \underline { t } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left ( \underline { t } _ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } } \leq \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left (t_ { k } ^ {\prime } \right ) \right ] ^ { 2 } } \leq \sqrt {\left [f ^ {\prime } \left ( \overline { t_ { k } } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } \left ( \overline { t_ { k } } \right ) \right ] ^ { 2 } } \]</p> <h3>곡선의 길이 공식 유도하기:</h3> <p>매개변수 곡선 \( x=f(t), y=g(t)(a \leq t \leq b) \)의 길이 \( L \)은 \( t \)에서의 위치가 \( x \)좌표는 \( x=f(t) \)이고 \( y \)좌표는 \( y=g(t) \)인 점 \( \mathrm { P } (x, y) \)가 좌표평면 위에서 \( t=a \)부터 \( t=b \)까지 움직인 거리로 볼 수 있다.</p> <p>변수 \( t \)의 구간 \( [a, b] \)의 분할 \( a=t_ { 0 }<t_ { 1 }< \cdots<t_ { n } =b \)을 택하자. 여기서 \( \Delta t_ { k } = \) \( t_ { k } -t_ { k-1 } , P_ { k } = \left (f \left (t_ { k } \right ), g \left (t_ { k } \right ) \right )= \left (x_ { k } , y_ { k } \right ) \)이라고 하자. 그림과 같이 \( t \)부터 \( t + \Delta t \)까지 변할 때, 점 \( \mathrm { P } (x, y) \)는 점 \( \mathrm { Q } (x + \Delta x, y + \Delta y) \)까지 움직인다고 하자. \( \Delta t_ { k } \rightarrow 0 \) 이면, 곡선 \( P_ { k-1 } P_ { k } \)의 길이를 선분 \( P_ { k-1 } P_ { k } \)의 길이로 근사시킬 수 있다. 선분 \( P_ { k-1 } P_ { k } \)의 길이는 다음과 같다.</p> <p>\[ \overline { P_ { k-1 } P_ { k } } = \Delta L_ { k } = \sqrt {\left [f \left (t_ { k } \right )-f \left (t_ { k-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [g \left (t_ { k } \right )-g \left (t_ { k-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } } \]</p> <p>한편, \( \frac {\sin \theta_ { 1 } } {\cos \theta_ { 1 } } = \frac { r ^ {\prime } \sin \theta_ { 0 } + r \cos \theta_ { 0 } } { r ^ {\prime } \cos \theta_ { 0 } -r \sin \theta_ { 0 } } \) 이다. 따라서 이 식을 \( r, r ^ {\prime } \) 에 대하여 정리하자.</p> <p>그러면 \( r \left ( \cos \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 0 } + \sin \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 0 } \right )=r ^ {\prime } \left ( \sin \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 0 } - \cos \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 0 } \right ) \) 이다.</p> <p>따라서 \( r \cos \left ( \theta_ { 1 } - \theta_ { 0 } \right )=r ^ {\prime } \sin \left ( \theta_ { 1 } - \theta_ { 0 } \right ) \) 이다. 그러므로 교각 \( \psi \left ( \theta_ { 0 } \right ) \) 공식은 다음과 같다.</p> <p>\( \tan \psi \left ( \theta_ { 0 } \right )= \tan \left ( \theta_ { 1 } - \theta_ { 0 } \right )= \frac { r } { r ^ {\prime } } \). 또는 \( \cot \psi \left ( \theta_ { 0 } \right )= \frac { r ^ {\prime } } { r } \) 이다.</p> <h3>교각 공식</h3> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 그래프 위의 점 \( (r, \theta) \) 에서의 교각 \( \psi \) :</p> <p>\( \tan \psi= \frac { f( \theta) } { f ^ {\prime } ( \theta) } \) 또는 \( \cot \psi= \frac { f ^ {\prime } ( \theta) } { f( \theta) } \) 이다.</p> <p>[교각공식의 그림] \( \tan \psi= \frac { r } { d r / d \theta } \quad \) (여기서 \( \left .r=f( \theta) \right ) \)</p> <p>\( n \rightarrow \infty \) 이면, 모든 \( \Delta \theta_ { k } \rightarrow 0 \) 이다. 그리고 \( f( \theta) \) 가 연속이므로, 모든 \( k \) 에 대하여 \( M_ { k } -m_ { k } \) \( \rightarrow 0 \) 이다. \( t_ { k } \) 를 \( k \) 번째 소구간 \( \left [ \theta_ { k-1 } , \theta_ { k } \right ] \) 에 놓여 있는 임의의 점이라고 하자. 그러면 다음 각 극한이 존재하고 등식이 성립한다.</p> <p>그러므로 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } M_ { k } ^ { 2 } \Delta \theta_ { k } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \left [f \left (t_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta \theta_ { k } \).</p> <p>한편, \( \sum_ { k=1 } ^ { n } A_ { k } =A \) 이므로, \( A= \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { 2 } \left [f \left (t_ { k } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta \theta_ { k } \). 따라서 극방정식 곡선에 의한 영역에 대한 정적분 면적 공식은 다음과 같다.</p> <p>\[A= \frac { 1 } { 2 } \int_ {\alpha } ^ {\beta } [f( \theta)] ^ { 2 } d \theta= \frac { 1 } { 2 } \int_ {\alpha } ^ {\beta } r ^ { 2 } d \theta \]</p> <p>\[ \sqrt {\theta ^ { 2 } + 1 } = \sqrt {\tan ^ { 2 } x + 1 } = \sqrt {\sec ^ { 2 } x } =\| \sec x\|= \sec x \]</p> <p>그러므로 구하는 나선의 길이 \( L \) :</p> <p>\[ \begin {aligned} L &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt {\theta ^ { 2 } + 1 } d \theta= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 4 } } \sec x \cdot \sec ^ { 2 } x d x= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 4 } } \sec ^ { 3 } x d x \\ &= \left . \frac { 1 } { 2 } ( \sec x \cdot \tan x + \ln \| \sec x + \tan x\|) \right \|_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 4 } } \\ &= \frac { 1 } { 2 } (( \sqrt { 2 } + \ln (1 + \sqrt { 2 } )) \end {aligned} \]</p> <h3>극방정식으로 생성된 회전체의 표면적:</h3> <p>극방정식 \( r=f( \theta) \quad( \alpha \leq \theta \leq \beta) \) 의 곡선에 의한 도형을 생각해보자. 그리고 이 도형을 극축 \( \theta=0 \) 을 중심으로 회전하여 생성되는 회전체가 있다고 하자. 회전체의 표면적 \( S \) 의 정적 분 공식은 다음과 같다.</p> <p>\[S=2 \pi \int_ {\alpha } ^ {\beta } r \sin \theta \sqrt { r ^ { 2 } + \left ( \frac { d r } { d \theta } \right ) ^ { 2 } } d \theta . \]</p> <p>예 심장형 \( r=1- \cos \theta(0 \leq \theta \leq \pi) \) 곡선으로 만들어지는 도형을 극축(직선 \( \theta=0) \) 으로 회전한 회전체의 표면적 \( S \) 를 구하여보자.</p> <p>풀이 \( r=1- \cos \theta \) 이므로 \( \frac { d r } { d \theta } = \sin \theta \) 이다. 그리고 \( r \sin \theta=(1- \cos \theta) \sin \theta \) 이다. 따라서</p> <h2>매개변수 곡선에 의한 회전체 표면적</h2> <h3>매개변수 곡선으로 생성된 회전체의 표면적:</h3> <p>곡선의 매개변수 방정식이 \( x=f(t), y=g(t)(c \leq t \leq d) \) 이라고 하자. 이때 회전축이 \( x \) 축이라 가정하자. 이때 이 곡선에 의해 만들어지는 도형의 회전체의 표면적 \( S \) 는</p> <p>\[ \begin {aligned} S &=2 \pi \int_ { c } ^ { d } g(t) \sqrt {\left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \\ &=2 \pi \int_ { c } ^ { d } y \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } d t . \end {aligned} \]</p> <p>예 구의 표면적</p> <p>반지름이 \( r \) 인 구의 표면적이 \( 4 \pi r ^ { 2 } \) 임을 보여보자.</p> <p>반지름 \( r \) 인 구는 반원 \( y= \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \) 을 \( x \) 축을 중심으로 회전한 회전체이다.</p> <p>원 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =r ^ { 2 } \) 의 매개변수 방정식은 \( x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, 0 \leq \theta \leq \pi \) 이다.</p> <p>그러므로 구의 표면적은</p> <p>\[ \begin {aligned} S &= \int_ { 0 } ^ {\pi } 2 \pi r \sin \theta \sqrt { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } d \theta \\ &=2 \pi r ^ { 2 } \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin \theta d \theta \\ &=-2 \pi r ^ { 2 } [ \cos \theta]_ {\theta=0 } ^ {\theta= \pi } =4 \pi r ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <h1>\( 12.1 \) 극방정식의 미분·적분 응용</h1> <h2>극방정식 곡선의 접선기울기</h2> <p>\( r = f( \theta)=a \) 경우 중심이 원점이고 반지름이 \( a \) 인 원이다. 원주에 있는 각 점에서의 기울 기를 알아보자.</p> <p>극방정식 \( r=f( \theta)=a \) 에서 편각 \( \theta \) 를 매개변수로 보면 \( \left \{\begin {array} { l } x=f( \theta) \cos \theta \\ y=f( \theta) \sin \theta \end {array} \right . \) 이다.</p> <p>그러므로, \( \frac { d x } { d \theta } \neq 0 \) 인 경우에 \( \theta \) 에서 기울기는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} m( \theta) &= \frac { d y } { d x } = \frac { f ^ {\prime } ( \theta) \sin \theta + f( \theta) \cos \theta } { f ^ {\prime } ( \theta) \cos \theta-f( \theta) \sin \theta } \\ &=- \frac { a \cos \theta } { a \sin \theta } \\ &=- \cot \theta \end {aligned} \)</p> <p>극방정식의 곡선에 대한 접선의 기울기는 좀 더 정확한 곡선을 그리고 곡선의 행동 패턴을 이해하는데 많은 도움이 된다. 그러한 접선의 기울기에 대하여 알아보자. 함수 \( f( \theta) \) 가 미분가능하다고 가정하자. 이때 극방정식 \( r=f( \theta) \) 의 곡선 위의 점 \( (r, \theta) \) 에 서 접선의 기울기를 \( m( \theta) \) 라 하자. 극방정식의 그래프를 매개변수 \( \theta \) 로 나타내어지는 방정 식은 다음과 같다.</p> <p>\[ \left \{\begin {array} { l } x=f( \theta) \cos \theta \\y=f( \theta) \sin \theta \end {array} \right . \]</p> <p>그러므로 \( \frac { d x } { d \theta } \neq 0 \) 이면 \( m( \theta) \) 는 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} m( \theta) &= \frac { d y } { d x } = \frac {\frac { d y } { d \theta } } {\frac { d x } { d \theta } } \\ &= \frac { f ^ {\prime } ( \theta) \sin \theta \theta + f( \theta) \cos \theta } { f ^ {\prime } ( \theta) \cos \theta-f( \theta) \sin \theta } \\ &= \frac { r ^ {\prime } \sin \theta + r \cos \theta } { r ^ {\prime } \cos \theta-r \sin \theta } \end {aligned} \]</p> <p>예제 \( x=e ^ {\theta } \cos \theta, y=e ^ {\theta } \sin \theta \) 에서 \( \frac { d y } { d x } \) 와 \( \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } \) 을 구하여보자.</p></p>\[ \text { 풀이 } \begin {aligned} \frac { d y } { d x } &= \frac {\sin \theta + \cos \theta } {\cos \theta- \sin \theta } . \\ \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } &= \frac { d } { d \theta } \left ( \frac {\sin \theta + \cos \theta } {\cos \theta- \sin \theta } \right )= \frac { 2 } { e ^ {\theta } ( \cos \theta- \sin \theta) ^ { 3 } } \end {aligned} \]</p> <h3>매개변수 곡선의 접선</h3> <p>매개변수방정식 \( x=x(t), y=y(t) \) 의 접선은 다음 그림처럼 세 가지 경우가 있다.</p> <p>예로써 \( x(t)=t ^ { 3 } , y(t)=t ^ { 2 } \) 이면, \( x ^ { 2 } =y ^ { 3 } \), 즉 \( y= { } ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } } \) 이다. 그러므로 이 경우에는 점 \( (0,0) \) 에서 접선이 존재하지 않는다. 이 예에서 알 수 있듯이 매개변수곡선의 접선은 \( x ^ {\prime } (t) \) 와 \( y ^ {\prime } (t) \) 가 존재하는 것만으로는 충분하지 못하다.</p> <p>매개변수 곡선의 접선이 존재할 조건:</p> <p>접선이 존재하기 위하여 다음 조건을 갖추어야 한다.</p> <p>\[ \left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } \neq 0 \]</p> <p>매개변수 곡선의 접선방정식</p> <p>매개변수 곡선 \( C \) 위의 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \left (x \left (t_ { 0 } \right ), y \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \) 을 택하자.</p> <p>\[= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left [f ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [g ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t . \]</p> <p>반지름이 \( r \) 인 원이 수평선에 접하여 회전한다.</p> <p>이때 그 원주 위에 고정된 한 점이 그리는 곡선의 길이 \( L \) 를 구하여보자.</p> <p>풀이 반지름이 \( r \) 인 원의 매개변수 방정식:</p> <p>\[x=r(t- \sin t) \quad y=r(1- \cos t) \quad 0 \leq t \leq 2 \pi . \]</p> <p>그러므로 \( \frac { d x } { d t } =r(1- \cos t) \frac { d y } { d t } =r \sin t \) 이다. 그리고</p> <p>\[ \begin {aligned} \left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } &=r ^ { 2 } (1- \cos t) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t \\ &=r ^ { 2 } \left (1-2 \cos t + \cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t \right ) \\ &=2 r ^ { 2 } (1- \cos t)=4 r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { t } { 2 } . \end {aligned} \]</p> <p>따라서 곡선 길이의 정적분 식과 계산은 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} L &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } d t \\ &=2 r \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sin \frac { t } { 2 } d t \\ &=2 r \left [-2 \cos \frac { t } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 \pi } =8 r \end {aligned} \]</p>	자연
가계동향조사 지출부문 시계열 연계 방안에 관한 연구	<h1>5. 시계열 연계 분석결과</h1> <p>각 지출항목마다 시계열적 특성, 타지출항목과의 관계, 외생변수와의 관련성이 다를 수 있으므로, 하나의 특정한 모형만으로 모든 항목의 지출액을 분석하는 것은 적절하지 않을 수 있다. 따라서 이 논문에서는 모든 지출 항목에 대해 3 절에서 살펴본 8 개 분석모형을 적용하여 예측력을 비교하고 예측력이 높은 분석모형들을 지출항목별로 선정한다. 지출항목별로 두 개 이상의 모형이 예측가능모형으로 선정될 때에는 해당 모형들의 결과를 합성하여 지출액 예측값을 잠정적으로 도출한다. 위의 작업을 통해 도출된 잠정 지출액 예측값들은 지출액 항목 간 계층적 구조를 만족하지 못하기 때문에 Wickramasuriya 등 (2019)의 optimal combination(이하 MinT) 방법을 적용하여 계층적 구조를 만족시키는 예측값을 도출하였다. 모형 참조를 간단하게 하기 위해 로지스틱 회귀모형 \& 로그변환 회귀모형을 LM, 로지스틱 회귀모형 \& 감마 일반화선형모형을 \( \mathrm{GLM} \), 랜덤포레스트를 RF라고 표시하고 나머지 모형은 모형설명에서 사용한 약자를 사용한다.</p> <h2>5.1. 분석 자료 및 프로그램</h2> <p>가구별 자료를 사용하는 LM, GLM, AutoML, RF에서는 2009년부터 2016년까지의 자료로 모형을 적합하였으며 연도, 월(요인), 가구원 수와 같은 인구학적 특성, 소득, 혜당 월에 명절이나 국제 이벤트가 있었는지 여부를 설명변수로 사용하였다. LM과 GLM에서 step0) 함수는 후향제거(backward elimination)법을 적용하여 변수선택을 진행하였다. ETS와 ARIMA 모형에서는 항목별로 가구의 지출액에 가구의 가중치을 반영한 가중평균을 전체 가구의 월 평균 지출액으로 사용했다. ARIMAX의 경우 ETS와 ARIMA 분석에 사용된 월 평균 지출액과 더불어 소득에 대한 월 가중평균자료를 구하고 지출부분의 최상위에 있는 가계지출에 대한 외생변수로 설정하고 나머지 지출액은 상위 지출액을 외생변수로 설정했다. AEM의 경우 ARIMAX에서 사용한 소득자료를 세분화하여 가구주 소득, 배우자 소득, 기타 가구원 소득, 사업소득, 재산소득, 이전소득, 공적연금으로 나누어 가중평균한 값을 설명변수에 추가했으며 월을 요인으로 처리하고 혜당 월에 설과 명절 포함되어 있는지를 나타내는 가변수를 추가했다. 이넣게 구성된 자료에 대헤 Table 3과 같은 분석 프로그램과 함수 또는 프로시저를 사용하여 분석하였다.</p> <h2>5.2. 적합 모형 선택 및 합성 예측값</h2> <p>항목별 지출액에 대해 3절에서 살펴 본 8 개 모형을 적합하고 각 모형별로 해당 기간의 월 지출액을 예측한다. 각 추정 모형에 대해 2016년까지의 예측값을 구하고 2017년부터 2019년까지의 예측값을 다음과 같이 구한다. LM, GLM, AutoML, RF의 경우 2017 2019년의 다목적 표본 소득자료와 월별 요인 및 명절 여부 등을 추정 모형에 적용하여 예측값을 유도한다. 외생변수가 없는 ETS나 ARIMA에서는 추정모형을 통해 36개월치 예측값을 유도하고 ARIMAX 경우 가장 상위 계층인 가계지출을 예측할 때 2017 2019년의 다목적 표본 월평균 소득을 외생변수로, 나머지 하위 지출의 예측에서는 상위 지출에서의 예측값을 외생변수로 처리하여 예측값을 유도한다. AEM의 경우에는 2017 2019년의 가구주 소득 등 7가지 소득자료와 월별 요인, 명절 여부를 설명변수로 설정하여 예측값을 구한다.</p> <p>적합모형을 선택하기 위한 예측력 비교에는 2013년부터 2016년까지의 자료에 2019년 자료를 포함한 총 5년(60개월)치 자료를 이용했다. 2013 2016년 자료는 적합모형이 얼마나 기존 자료를 잘 설명하는지를 확인하기 위함으로 2016년 기준으로 최근자료 중심으로 비교하는 것이 적절하다는 판단 하에 2013년 자료부터 비교에 포함하였다. 본 연구의 목적은 2016년 이전의 시계열 특성을 반영하여 이후의 시계열을 예측하는 것으로 2016년 조사와 비교해 2017년과 2018년에 비해 오히려 2019년 조사 요 소의 개편 정도가 덜하기 때문에 2019년 이후의 비교 결과를 예측력 비교에 포함시키는 것이 적절한 것으로 판단하였다. 다만, 2020년 이후의 지출 자료는 COVID-19라는 초유의 사태로 인해 지출 패턴이 기존과 달라졌음을 감안하여, 예측력 비교에 사용하지 않았다. 추가적으로, 2017년과 2018년 조사에서는 다른 가구를 대상으로 소득(다목적 표본)과 지출 (전용표본)조사가 이루어졌고 2019년 소득의 경우 전용표본과 다목적 표본 대상으로 병행조사가 이루어졌음에 주의할 필요가 있다. 소득자료를 설명변수로 포함한 모형에서 2019년 지출의 예측값을 계산할 때는 다목적 표본의 소득만을 활용했는데 이는 소득 변수를 포함하지 않은 모형에서는 모든 예측결과가 다목적 표본을 기반으로 이루어지고 있으므로 모형비교의 형평성을 고려한 것이다.</p> <h1>3. 분석모형</h1> <h2>3.1. 로지스틱 회귀모형 + 로그변환 회귀모형</h2> <p>가계동향조사의 마이크로 데이터에는 각 조사 가구의 지출, 소득 및 가구 특성을 알 수 있는 정보가 포함되어 있다. 2016년까지 조사에서는 어떤 조사가구가 표본으로 선정되면 36개월 간 유지되었기 때문에 가구의 정보가 제공된다면 패널 또는 경시적 분석을 할 수 있다. 하지만 개인정보 유출을 우려하여 이를 공개하지 않고 있으며 이사 등으로 조사 가구가 변경되는 경우도 있어, 이 연구에서는 가구별 자료는 서로 독립이라는 가정 하에서 분석한다. 특정 항목에 대한 가구의 월 지출액이 0 인 부분을 고려하여 지출액 \( Y \) 의 분포는 다음과 같은 혼합분포(mixture distribution)를 가정한다.</p> <p>\( f_{Y}(y)=(1-\delta) I(Y=0)+\delta f_{Y+}(y), \quad y \geq 0 \),<caption>(3.1)</caption></p> <p>여기서 \( \delta \) 는 지출액이 0 보다 클 확률을 의미하며, \( I(\cdot) \) 는 지시함수(indicator function)를 의미한다. 또한 \( f_{Y+} \) 는 지출액이 0보다 큰 지출액 \( Y^{+} \)의 확률밀도함수를 의미한다. 결론적으로 개별 가구의 지출액 \( Y \) 의 기댓값은 다음과 같다.</p> <p>\( E(Y)=(1-\delta) \times 0+\delta \int_{0}^{\infty} y f_{Y+}(y) d y=\delta E\left(Y^{+}\right) \)</p> <p>지출액이 0 보다 클 확률인 \( \delta \) 는 가구의 소득 및 특성과 시기에 따라 다르기 때문에 로지스틱 회귀분석을 통해 가구별 \( \delta \) 를 추정한다. 즉, \( \delta_{i t} \) 를 어떤 항목의 \( t \) 시점에서 \( i \)-번째 가구 지출액이 0 보다 클 확률이라고 하고, 이</p> <p>가구의 소득 및 특성과 시기 등 \( \delta_{i t} \) 에 영향을 줄 수 있는 변수를 \( x_{i t}=\left(x_{i t 1}, x_{i t 2}, \ldots, x_{i t p}\right) \) 라고 하면 다음과 같은 모형을 가정한다.</p> <p>\( \log \left(\frac{\delta_{i t}}{1-\delta_{i t}}\right)=\alpha_{0}+\alpha_{1} x_{i t 1}+\cdots+\alpha_{p} x_{i t p} \)</p> <p>각 항목별로 회귀계수 \( \alpha=\left(\alpha_{0}, \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{p}\right) \) 를 최대가능도법으로 추정하고 위 식에 대입하여 \( \delta_{i t} \) 의 추정값 \( \hat{\delta}_{i t} \) 를 유도한다.</p> <p>\( E\left(Y^{+}\right) \)를 계산하기 위하여 일반적으로 \( Y^{+} \)의 분포는 양의 왜도를 가지는 경향이 있으므로 원자료 대신 로그변환을 한 후에 다음과 같은 모형으로 로그변환 회귀모형을 사용할 수 있다.</p> <p>\( \log \left(Y_{i t}^{+}\right)=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i t 1}+\cdots+\beta_{p} x_{i t p}+\varepsilon_{i t}, \quad \varepsilon_{i t} \sim N\left(0, \sigma^{2}\right) \)</p> <p>여기서 \( \hat{\beta}=\left(\hat{\beta}_{0}, \hat{\beta}_{1}, \ldots, \hat{\beta}_{p}\right) \) 를 최소제곱추정값이라고 하면 로그칙도 하에서의 평균지출액에 대한 예측값은 \( \widehat{\log \left(Y_{i t}^{+}\right)}=\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{i t 1}+\cdots+\hat{\beta}_{p} x_{i t p} \)가 된다. 하지만 우리가 사용해야 할 지출액은 로그척도가 아닌 원자료의 척도로 표시해야 하기 때문에 역변환을 이용해야 하며 이 과정에서 편향을 줄이기 위해서 다음의 식을 이용한다 (Duan, 1983).</p> <p>\( \hat{\mu}_{i t R}^{+}=\widehat{E\left(Y_{i t}^{+}\right)}=\exp \left(\widehat{\log \left(Y_{i t}^{+}\right)}+\frac{\hat{\sigma}_{R}^{2}}{2}\right) \)<caption>(3.2)</caption></p> <p>여기서 \( \hat{\sigma}_{R}^{2} \) 은 로그변환 회귀분석의 오차항에 대한 분산 추정값을 의미한다. 최종적으로 \( t \) 시점에 \( i \)-번째 가구에 부여된 가중치를 \( w_{i t} \) 라고 하면 \( t \) 시점의 해당 지출 항목에 대한 월 지출액은 다음과 같다.</p> <p>\( \hat{\mu}_{t R}=\frac{1}{W_{t}} \sum_{i} w_{i t} \hat{\delta}_{i t} \hat{\mu}_{i t R}^{+}, \quad W_{t}=\sum_{i} w_{i t} \).<caption>(3.3)</caption></p> <h2>3.2. 로지스틱 회귀모형 \( + \) 일반화 선형모형</h2> <p>앞의 3.1절에서는 \( Y^{+} \)에 대한 분석에서 로그변환한 변수에 대해 회귀분석을 실시하였다. 분산안정화변환(vari-ance stabilizing transformation)의 관점에서 로그변환은 평균과 표준편차가 비례 관계, 즉 변동계수가 상수인 경우에 적용하는 방식으로 감마분포가 이러한 속성을 가지고 있다. 두 번째 분석모형에서는 가구 자료에 대해 식 (3.1)과 같은 혼합분포에서 \( Y^{+} \)의 감마분포를 가정하고 일반화선형모형(generalized linear model; GLM)을 적용한다. \( E\left(Y_{i t}^{+}\right)=\mu_{i G}^{+} \)라고 표시하면 Gamma-GLM에서 로그연결함수(log link function)를 가정했을 때 다음과 같은 관계식이 성립하고 최대가능도 추정법으로 \( \beta \) 를 추정할 수 있다. 3.1절에서와 같이 로지스틱 회귀분석을 통해 추정한 \( \hat{\delta}_{i t} \) 와 GLM을 통해 \( \mu_{i G}^{+} \)를 다음과 같이 추정한다.</p> <p>\( \log \left(\mu_{i t G}^{+}\right)=\beta_{0}+\beta_{1} x_{i t 1}+\cdots+\beta_{p} x_{i t p} \)</p> <p>\( \hat{\mu}_{i t G}^{+}=\operatorname{cxp}\left(\hat{\beta}_{0}+\hat{\beta}_{1} x_{i t 1}+\cdots+\hat{\beta}_{p} x_{i t p}\right) \)</p> <p>최종적으로 식 (3.3)의 \( \hat{\mu}_{i t R}^{+} \)을 \( \hat{\mu}_{i t G}^{+} \)로 대체한 후 계산된 가중평균 \( \hat{\mu}_{t G} \) 로 \( t \) 시점에서의 해당 항목에 대한 월 지출액을 추정한다.</p> <h2>3.3. AutoML \& 랜덤 포레스트</h2> <p>AutoML(automatic machine learning)은 넓은 의미로 전처리, 모델학습 및 평가 등을 되풀이하면서 발생하는 비효율적인 작업을 자동화하여 효율을 높이는 프로세스이다. 좁은 의미에서의 AutoML은 반응변수와 독립 변수가 정의된 문제에서 다양한 기계학습 기법의 구동, 성능비교, 모형선택을 자동으로 구동하여 모델 개발자의 개입을 최소화하는 소프트웨어를 일컫는다. AutoML을 구현하는 라이브러리의 종류에 따라 지원되는 기법들과 성능지표가 다르며 \( \mathrm{H} 2 \mathrm{O} \) AutoML 라이브러리는 언어의 호환성, 사용의 간단함, 실시간 서비스로의 이식성에 장점이 있어 널리 사용되고 있다. \( \mathrm{H} 2 \mathrm{O} \) AutoML 라이브러리의 기본 옵션에서는 입력된 분석자료를 K-fold로 분할하여, Lasso 회귀, 랜덤 포레스트, 부스팅, 기본 신경망과 같은 모형에 적용하여 교차검증 기반의 예측오차를 최소화하는 모형을 제한시간 동안 탐색 후 자동으로 선택한다.</p> <p>AutoML를 사용하여 3.1절과 같이 각 가구별로 항목별 지출이 0보다 클 확률과 0 보다 큰 지출액 자료를 로그변환하여 지출액 추정 작업을 하였다. 설명변수는 앞에서 다루었던 변수를 그대로 사용했으며 AutoML에서의 최적 모형을 통해 \( t \) 시점에서 \( i \) 번째 가구의 지출액이 0 보다 클 확률에 대한 추정값 \( \hat{\delta}_{i m} \) 를 구하고 로그칙도 하에서 지출액의 추정값 \( \log \left(Y_{i M}^{+}\right) \)를 구한다. 추정값은 식 (3.2)와 같은 방식으로 구하는데 여기서 \( \hat{\sigma}_{M}^{2} \) 은 로그칙도 하에서의 AutoML에 의해 나온 예측값과 관측값의 평균제곱오차로 추정한다. 나머지 과정은 3.1절의 식 (3.3)에 \( \hat{\delta}_{i t} \) 대신 \( \hat{\delta}_{i t M} \) 를 \( \hat{\mu}_{i t R}^{+} \)대신 \( \hat{\mu}_{i t M}^{+} \)를 대입하는 것으로 이렇게 계산된 가중평균 \( \hat{\mu}_{t M} \) 으로 월 지출액을 추정한다.</p> <p>\( \left.\hat{\mu}_{i t M}^{+}=\exp \left(\widehat{\log \left(Y_{i L M}^{+}\right.}\right)+\frac{\hat{\sigma}_{M}^{2}}{2}\right) \)</p> <p>Breiman (2001)이 제안한 랜덤 포레스트는 표본을 재표집하여 의사결정나무를 여러개 만들어 예측값을 조합하는 앙상블(ensemble) 기법이다. 랜덤 포레스트에서는 분기과정에서 분류기준의 변수를 무작위로 선택하는데 이를 통해 다양한 설명변수의 영향력이 반영되고 예측 성능을 높이는 효과를 얻을 수 있다.</p> <p>랜덤 포레스트에서도 AutoML과 동일하게 지출액이 0보다 클 확률과 0 보다 큰 지출액 자료에 대해 로그 지출액을 추정하였다. 시점 \( t \) 에서 \( i \) 번째 가구의 설명변수를 랜덤 포레스트에서 만들어진 1000 개 분류나무에 대입하여 0 보다 큰 범주에 속한 비율 \( \hat{\delta}_{i f F} \) 로 0 보다 클 확률을 추정하고 1000 개의 회귀나무에서 유도된 로그 지출액의 평균 \( \log \left(Y_{i t F}^{+}\right) \)를 계산하고 식 \( (3.2) \) 와 같은 방식으로 \( E\left(Y_{i t}^{+}\right) \)를 추정한다.</p> <p>\( \left.\hat{\mu}_{i t F}^{+}=\exp \left(\widehat{\log \left(Y_{i t F}^{+}\right.}\right)+\frac{\hat{\sigma}_{F}^{2}}{2}\right) \),</p> <p>여기서 \( \hat{\sigma}_{F}^{2} \) 은 로그칙도 하에서의 랜덤 포레스트에 의혜 나온 예측값과 관측값의 평균제곱오차로 추정한다. AutoML에서와 같이 \( \hat{\delta}_{i t F} \) 와 \( \hat{\mu}_{i t F}^{+} \)를 식 (3.3)에 대입하여 가중평균 \( \hat{\mu}_{t F} \) 를 구하고 이를 통해 월 지출액을 추정한다.</p> <h2>3.5. ARIMA 모형, ARIMAX 모형 \& 자기회귀오차모형</h2> <p>자기회귀누적이동평균(ARIMA) 모형은 Box and Jenkins (1970)의 이름을 따서 Box-Jenkins ARIMA 모형이라고도 하며 시계열분석에서 가장 핵심이 되는 모형이다. 이 모형에서는 시계열 자료의 종속 구조를 나타내는 자기상관함수(autocorrelation function)를 바탕으로 시계열 자료를 모형화한다. 지수평활모형이 비정상성 모형인 반면에, ARIMA 모형은 정상성(stationarity)을 기반으로 하는 모형으로 정상성을 만족하지 않는 경우 정상화를 위한 차분(differencing)이 중요한 역할을 한다.</p> <p>\( \mathrm{ARIMA} \) 모형은 \( \mathrm{ARIMA}(p, d, q) \times(P, D, Q)_{s} \) 와 같이 자기회귀항과 이동평균항의 차수를 모형식에 같이 표시하는데 여기서 \( s \) 는 계절 주기를 의미하며 다음과 같은 모형식을 가진다.</p> <p>\( \phi_{p}(B) \Phi_{P}\left(B^{s}\right)(1-B)^{d}\left(1-B^{s}\right)^{D} Y_{t}=\mu+\theta_{q}(B) \Theta_{Q}\left(B^{s}\right) \varepsilon_{t} \)</p> <p>여기서 \(d\)는 비계절차분의 차수, \(D\)는 계절차분의 차수를 의미하며, \( \phi_{p}(B) \) 와 \( \Phi_{P}\left(B^{s}\right) \) 는 \( \mathrm{AR} \) 연산자, \( \theta_{q}(B) \) 와 \( \Theta_{Q}\left(B^{s}\right) \) 는 MA 연산자로 다음과 같이 정의되고 \( \varepsilon_{t} \) 는 백색잡음을 의미한다.</p> <p>\( \begin{array}{cc}\phi_{p}(B)=1-\phi_{1} B-\cdots-\phi_{p} B^{p}, & \Phi_{P}\left(B^{s}\right)=1-\Phi_{1} B^{s}-\cdots-\Phi_{P} B^{P_{s}} \\ \theta_{q}(B)=1-\theta_{1} B-\cdots-\theta_{q} B^{q}, & \Theta_{Q}\left(B^{s}\right)=1-\Theta_{1} B^{s}-\cdots-\Theta_{Q} B^{Q s}\end{array} \)</p> <p>확장된 형태의 ARIMA 모형 중 하나로, 외생변수(exogenous variables) \( x_{t}=\left(x_{t 1}, \ldots, x_{t k}\right) \) 를 모형에 포함시킨 것을 ARIMAX 모형이라고 하며 다음과 같은 모형식을 가진다.</p> <p>\( Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{t 1}+\cdots+\beta_{k} x_{t k}+\eta_{t} \)</p> <p>여기서 \( \eta_{t} \) 는 \( \mathrm{ARIMA}(p, d, q) \times(P, D, Q)_{s} \) 를 따르는 오차항을 의미한다. 소득이나 지출 관련 항목들 간에는 관련성이 있어 개별 항목에 대한 분석보다는 종합적으로 분석하는 것이 더 적절하다. 한편, 이러한 목적으로 사용할 수 있는 다변량 시계열 모형으로 VAR(Vector AR) 모형이 있지만 추정해야 할 모수가 많고 시계열 길이가 상대적으로 짧아 이 모형을 적용하는데 무리가 있다는 판단하였으며 대신 ARIMAX의 설명변수에 상위 항목의 지출액을 대입하는 방법을 고려하였다.</p> <p>마지막으로 고려되는 모형은, 자기회귀오차모형(autoregressive error model; AEM)이다. 일반적 회귀모형은 오차항들 간의 독립이라는 가정 하에서 분석이 이루어지나 자기회귀오차모형에서는 오차항들 간 상관관계가 존재한다는 가정 하에 분석이 이루어진다. 본 모형은 위의 ARIMAX에서 \( p, d, P, D \) 가 모두 0 인 모형으로 생각할 수 있으며 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>\( Y_{t}=\beta_{0}+\beta_{1} x_{t 1}+\cdots+\beta_{p} x_{i p}+\varepsilon_{t}, \quad \varepsilon_{t}=\phi_{1} \varepsilon_{t-1}+\cdots+\phi_{k} \varepsilon_{t-k}+\epsilon_{t} \)</p> <p>본 연구에서는 설명변수 \( x_{t} \) 에 조사가구 전체의 월평균 소득자료와 월, 해당 월에 설과 추석이 포함되어 있는지와 같은 정보를 대입하였다.</p> <p>모형의 식별 및 추정에서 무엇보다 중요한 것이 분석할 시계열이 정상시계열인지 비정상시계인지를 판단하는 것으로 이는 차분의 차수와 연계되어 있다. 차분 차수 또는 비정상성의 판단은 시계열 그림, \( \mathrm{ACF} \) (자기상관함수) 및 단위근 검정(unit root test)이 사용되며 단위근 검정은 디키-풀러 검정(ADF test) (Hamilton, 1994)과 KPSS (Kwiatkowski 등, 1992) 검정이 널리 사용되고 있다. AR, MA의 차수 결정을 위하여 ACF 및 PACF(부분자기상관함수)가 자주 사용되고 대용량 시계열 자료의 모형 적합을 위해서는 지수평활에서 사용했던 \( \mathrm{AIC} \), \( \mathrm{AICc}, \mathrm{BIC} \) 와 같은 정보량 기준을 사용하는 것이 더욱 편리하다.</p> <p>항목별 지출액은 어떤 항목인지에 따라 모형식 즉 차수가 다르기 때문에 상당수의 항목에 대해 모형선택을 효과적으로 수행해야 하는데 분석에서는 \( \mathrm{R} \) 에서 제공하는 auto.arima()함수를 이용하여 자동적으로 모형을 선택하도록 하였다. 실제분석에서는 3.4절에서와 같이 \( Y_{t} \) 대신 \( \log \left(Y_{t}\right) \) 로 분석하였으며 식 (3.4)과 같은 방법으로 월 지출액을 추정하였다. 이렇게 추정된 값을 ARIMA의 경우 \( \hat{\mu}_{t B J}, \mathrm{ARIMAX} \) 의 경우 \( \hat{\mu}_{t X}, \mathrm{AEM} \) 의 경우 \( \hat{\mu}_{t A} \)로 표시한다.</p> <h2>5.3. 시계열 계층 구조 보정</h2> <p>각 항목에 대한 합성예측값은 하위 항목의 합이 해당 상위 항목과 일치해야 하는 계층적 구조를 만족하지 않기 때문에 시계열 전체에 대해 계층구조를 만족시키는 작업이 이루어져야 하며, 이 과정에서 시계열의 예측값 특성을 훼손시키는 부분을 최소화해야 한다. 이 논문에서는 4절에서 설명한 MinT 방법을 적용하여 시계열 예측에 대한 보정 작업을 진행하였다. 계층 및 그룹 시계열의 적합 및 예측을 위해 \( \mathrm{R} \) 패키지 'hts'를 사용했으며 이 패키지에 있는 hts() 및 forecast.gts()함수를 이용하여 예측값을 구하였다.</p> <p>Figure 1은 관측값과 더불어 MinT 방법을 적용하여 월별로 예측값의 보정 전과 후의 시계열을 그린 것으로 검은 선은 조사자료를, 빨간 선은 계층구조를 반영하지 않는 합성예측값, 파란 선은 계층구조를 반영한 합성예측값을 나타낸다. 가계지출, 소비지출, 비소비지출에서의 선들을 비교해 보면 모형 추정 과정에서 사용되었던 2016년까지의 예측에서는 조사자료인 검은 선과 예측값인 파란 선과 빨간 선이 모두 거의 일치하나 2019년의 예측값에서는 예측값이 실제값보다 낮은 경향을 확인할 수 있다. 이 결과는 예상된 차이로, 조사방식의 차이에서 기인한 것으로 추측된다. 실제로 2016년까지는 다목적표본을 대상으로, 2019년에는 전용표본을 대상으로 지출 조사가 이루어졌으며, 2019년 전용표본과 다목적표본의 소득을 비교한 결과 1 인 이상가구의 경우 전용표본의 소득이 다목적표본보다 약 \( 9 \% \) 정도 높은 것으로 나타났다. Table 4 에서 가계지출에 대한 적합모형으로 소득 자료를 유의한 설명변수로 포함한 \( \mathrm{AEM} \) 가 선택되었고, \( \mathrm{AEM} \) 에서는 다목적표본 소득을 설명변수로 사용하였으므로, 2019년의 예측지출액은 다목적표본 소득에 기반한 추측이다. 따라서 소득이 상대적으로 적은 다목적 표본 기반의 예측액이 전용표본의 지출보다 적게 나올 것이라는 것은 어렵지 않게 예상할 수 있다.</p> <p>Figure 2는 2019년에 병행 조사되었던 전용표본을 기반으로 AEM 모형으로 가계지출, 소비지출, 비소비지출의 예측값을 구하고 3 개 항목에 대해 MinT를 적용한 결과를 표시한 것으로 실선은 가계지출, 점선은 소비지출을 의미한다. 상대적으로 금액 차이가 커 그림에 표시하지 않은 비소비지출을 포함하여, 지출 항목에서 전용표본에 의한 예측값(주황)이 다목적 표본의 예측값(파랑)보다 높은 것으로 나타났고 조사자료에 더 근접한 것을 확인하였다.</p> <p>2017년부터 2019년까지의 자료에 대한 예측을 보면 가계지출은 파란 선과 빨간 선이 거의 일치하고 있으며 일부 아래·위 뾰족점에서 약간의 차이를 보이고 있다. 소비지출에서는 앞부분에서 조정 전의 빨간 선이, 뒤부분에서 조정 후의 파란 선이 부분적으로 높았으며 비소비지출에서 조정 후의 파란 선이 빨간 선에 비해 전반적으로 조금 위에 있는 것으로 나타났다. 가계지출, 소비지출, 비소비지출의 경우 상대적으로 큰 범주로 전체 시계열의 조정과정에서 큰 변화를 보이기 힘든 항목이기 때문에 시계열 조정의 효과가 확연히 드러나지 않고 있지만 ‘통신'과 같은 일부 항목에서는 Figure 1의 (d)에서 보는 것과 같이 계층구조를 반영했을 때와 하지 않았을 때의 차이가 큰 경우도 있었다. '통신' 항목은 대분류에 속하는 부분이며 적합모형으로 AEM, ETS, ARIMA, ARIMAX가 선택되었다. 순수 시계열 정보만 사용하는 ETS와 ARIMA의 예측값이 사용되고 있어서 2019년도와 같은 급격한 상승을 반영하지 못하고 있으며 소득 또한 급격한 상승추세를 가지고 있지 않기 때문에 조정 전의 합성예측값이 거의 횡보를 하고 있으며 다른 대분류의 예측값보다 상대적으로 예측력이 떨어진 경향이 있었다. 통신의 경우 새로운 서비스 제공이나 통신료에 대한 정부 개입에 따라 변동하는 경향이 있어 상대적으로 예측이 어려운 것으로 알려져 있는데 다행히 계층적 시계열 조정과정에서 다른 시계열에 의한 조정에 대폭 반영되어 2019년 기준으로 볼 때 계층조정 후의 예측값이 조사자료에 보다 근접한 결과를 만들어 낸 것으로 해석된다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>가계동향조사는 가구에 대한 가계수지 실태를 파악하여, 국민의 소득과 소비 수준 변화를 즉정하고 분석하기 위한 자료를 제공한다. 통계청 통계실명자료에 의하면 소비자 물가 지수 작성에 필요한 가중치 기초 자료, 소득 수준 즉정 및 소득 동향 파악을 위한 정색 수립의 기초 자료, 가계 수지 및 가구의 후생 수준 분석과 국민 소득 추계 등 경제-사회 통계 작성에 필요한 기초 자료, 주거 이전비 산정 및 취약 계층 지원 사업 그리고 근로자 임금 기준의 결정 등의 기준을 제공한다. 이 조사는 1942년 일제강점기에 처음 시작되었으며, 1950년부터 1962년까지 한국은행이 실시하다가 1963년부터 통계청의 진신인 경제기획원 조사통계국으로 이관되어 현재까지 통계청에서 조사하고 있다. 2021년 현재, 작성 주기와 공표 주기는 분기별로 되어 있으며, 전국 단위로 공표되고 있다.</p> <p>가계동향조사는 2017년과 2019년에 큰 개편이 이루어졌다. 개편된 조사체계는 2016년 이전의 조사와 차이가 커, 시계열 구조의 일관성에 문제가 발생하였다. 이러한 이유로 KOSIS(Korean Statistical Information Service) 국가통계포털에서는 2017년과 2018년의 지출부문 자료를 별도로 구분하여 제공하고 있다. 가계동향 조사가 정책수립의 기초자료 및 기준이 되는 조사임을 감안할 때, 해당 지출 자료의 시계열 단절 문제는 사후 분석 및 정책 수립 과정에 문제를 야기할 가능성이 있다.</p> <p>가계동향조사 시계열 단절의 문제를 헤결하기 위한 연구는 Kwon과 Hong (2019), Hong과 Park (2019)에 의해 부분적으로 수행되었다. Kwon과 Hong (2019)는 가계동향조사와 유사한 타국가 지출조사 현황과 시사점을 살펴 보았으며 특히 해당 국가 조사들에서의 개편의 목적, 그로 인해 발생하는 시계열 단절과 그 대처방안 및 주정량 생산 방식 등을 소개하였다. Hong과 Park (2019)는 2006년부터 2016년까지의 분기별 자료를 이용하여 ARIMA(autoregressive integrated moving average) 모형을 기반으로 소득, 가계지출, 소비지출, 비소비지출 밎 12 개 대분류 항목별 지출에 대한 예측값과 신뢰구간을 구하고 공표된 결과와 비교하였다. 이 사진연구 검토를 통해 다음과 같은 두 시사점을 도출하였다:</p> <ol type=1 start=1><li>가계동향조사 세부항목마다 특성이 다양하여 소수의 모형족 기반의 예측으로는 예측력에 한계가 있고, 다양한 모형을 고려하여 설명력과 예측력을 제고할 여지가 있음.</li> <li>분석모형이 적절하다는 가정하에서 많은 공표값이 예측구간 내에 있지 않은 것은 표본설계 및 조사방법의 개편에 의해 시계열 단절이 발생하였다는 뜻이므로, 개편의 영향을 조정하는 방안이 필요함.</li></ol> <p>이 논문에서는 가계동향조사 지출자료의 시계열 단절 문제 극복에 있어 예측력과 설명력이 더 높은 연계 방안을 제시하고자 한다. 이를 위해 먼저 가계동향 조사 자료의 구조와 주요 개편 연혁을 살펴본다. 가계동향조사 지출부분에서는 총 121 개 항목에 대한 지출액을 매월 조사하고 있는데 지출 항목별로 시계열 특성에 차이가 있어 하나의 모형으로 분석하는 것은 무리가 있다고 판단하였다. 이 논문에서는 각 항목별로 8 개 모형을 적용하여 예측력이 가장 높은 모형과 그 모형과 유사한 예측력을 가진 모형의 결과를 가중평균한 값으로 1 차 시계열 연계 자료를 구한다. 또한 가계동향조사의 계층구조를 반영해 중분류 예측값의 합이 대분류의 값과 일치하도록 예측값을 조정하였다. 하위 시계열의 합이 상위 시계열과 같아야 하는 제약조건을 만족시키는 계층적 시계열 조정 방법인 optimal combination 방법을 적용하여 최종 시계열 연계 작업을 수행한다.</p> <p>이들 기간의 조사값과 k번째 분석모형에시 예측된 값을 비교하여 잔차를 유도하고 이 잔차의 제곱 평균인 MSE를 계산한다.</p> <p>\( \operatorname{MSE}=\frac{1}{60} \sum_{t}\left(Y_{t}-\hat{\mu}_{t k}\right)^{2} \)</p> <p>여기서 \( \hat{\mu}_{t k} \) 는 모형별로 \( \hat{\mu}_{t R}, \hat{\mu}_{t G}, \hat{\mu}_{t M}, \hat{\mu}_{t F}, \hat{\mu}_{t B J}, \hat{\mu}_{t X}, \hat{\mu}_{t A} \) 를 의미한다.</p> <p>MSE가 작다는 것은 조사값과 예측값의 차이가 평균적으로 작다는 것을 의미하며 걸과적으로 예측력이 좋은 모형인지를 판정하는 기준이 된다. 각 모형별로 MSE를 계산하고 이넣게 계산된 8개 MSE 중 가장 작은 값을 가지는 모형을 우선적합모형으로 선정한다. 이 논문에서는 하나의 우선적합모형으로 결과를 도출하는 것보다 유사한 예측력을 가지는 모형의 결과를 합성하여 보다 안정적인 예측값을 유도하였다. 이를 위하여 우선적합모형과 예측력에 유의한 차이가 없는 모형 선정 방법을 고려하였다. 적정 모형 하에서의 오차는 일종의 백색잡음으로 독립성을 만족한다고 가정하며 서로 다른 모형에서의 오차들 간에도 독립성이 만족된다고 볼 수 있다. 위의 MSE는 분산추정량이기 때문에 분산과 분산의 비를 이용하여 두 분산 간 유의한 차이가 있는지를 검정하는 \( F \)-검정을 고려하였다. 비록 분석과정에서 로그 변환과 역변환인 지수변환을 실시하여 예측값을 구하고 조사값과 비교하는 것이라 분포적으로 정규분포를 가정하기 어려울 수 있으나 특별한 대안이 없어 다음과 같은 방법으로 적합모형을 선정하였다. 우선적합모형의 MSE를 MSE \( \mathrm{MS}_{0} \) 아고 하고 \( i \) 번째 모형의 MSE를 \( \mathrm{MSE}_{i} \) 라고 하면 다음과 같은 기준에서 비교를 진행한다.</p> <p>\( F_{i}=\frac{\mathrm{MSE}_{i}}{\mathrm{MSE}_{0}} \backsim F_{59,59} \),</p> <p>여기서 \( F_{59.59} \) 는 자유도 59,59 인 \( F \) 분포를 의미하며 만약 \( F_{i} \) 가 \( 1.54 \) (자유도가 59,59 인 \( F \) 분포의 95분위수) 보다 크면 \( i \) 번째 모형의 예측력이 우선적합모형에 비해 현저히 떨어지고 크지 않다면 예측력이 우선적합모형에 비해 유의한 차이가 없다고 판정한다. Table 4는 1 인 이상 가구에 대해 가장 상위에 있는 가계지출과 바로 하위에 있는 소비지출과 비소비지출에 대해 어떤 모형이 선택되었는지를 나타낸 것으로, 모든 항목에서 자기회귀오차모형(AEM)이 선택되었으며 비소비지출의 경우 ARIMAX 모형이 추가로 선택되었다.</p> <p>이들 항목의 하위 항목인 대분류 및 중분류 항목에서는 항목별로 다양한 모형이 선택되었으며 1 인 이상 가구에서 '실내장식', '기록매체', '오락문화내구재', '오락문화내구재 유지 및 수리' 항목의 경우 8 개 모형이 모두 선택되었다. 각 분석모형에 대해 예측모형으로 선택된 빈도를 정리하면 Table 5 와 같다. 가장 많은 항목에서 선택된 모형은 AEM이었으며 그 다음으로 ARIMAX, ETS, ARIMA 순으로 시계열적 요소를 반영한 모형이 자주 선택되었으며 AutoML과 GLM 기반 모형도 적지 않게 선택된 것을 볼 수 있다.</p> <p>적합모형이 선택되면 이들 결과를 합성하여 하나의 예측값을 만들며, 선택된 적합모형이 하나 밖에 없으면 그 적합모형의 결과를 그대로 이용하여 해당 항목의 지출액을 예측한다. 적합모형이 2개 이상인 경우에는 예측력 기준으로 사용된 MSE의 제곱근인 RMSE(root MSE)의 역수를 다음과 같이 가중치로 반영하면 조금이라도 예측력이 높은 모형의 결과에 가중치를 더 많이 반영할 수 있다.</p> <p>\( w_{i k}^{}=\frac{1}{\operatorname{RMSE}_{i k}} I\left(M_{i k} \in\right. \) 선택모형 \( ), \quad W_{i}^{}=\sum_{k=1}^{8} w_{i k} \),</p> <p>여기서 \( \operatorname{RMSE}_{i k} \) 는 \( i \) 번째 항목에서의 \( k \) 번째 모형의 RMSE 값이고 \( I\left(M_{i k} \in\right. \) 선택모형 \( ) \) 은 \( i \) 번째 항목에서 \( k \) 번째 모형이 적합모형으로 선택되었는지를 표시한 지시함수이다. RMSE가 작다는 것은 예측력이 높다는 것을 의 미하고 해당 결과에 대한 가중치를 크게 반영한다. 이 가중치를 반영한 합성예측값은 5.2절에서 언급했던 각 모형의 예측값 \( \hat{\mu}_{i k} \) 와 결합하여 다음과 같이 계산한다. \[ \bar{\mu}_{i t}=\frac{1}{W_{i}^{}} \sum_{k=1}^{8} w_{i k}^{} \hat{\mu}_{i t k} \]</p> <h2>3.4. 지수평활모형</h2> <p>앞의 3.1부터 3.3절까지의 분석자료는 개별 가구의 자료를 이용했는데 지금부터는 각 가구의 자료를 미리 가중평균한 월 지출액 자료를 분석하는 방법에 대해 알아본다. 칫 번째 분석방법인 지수평활법(exponential smoothing method)은 시계열이 생성되는 시스템이 시점에 따라 변화될 수 있는 부분을 반영하여 최근에 생성된 시계열 자료에 더 비중을 크게 주어 시계열 변화를 예측하는 방법으로 이동평균법과 더불어 예측 및 평활에 사용되는 주요 방법이다. 지수평활모형은 계열 분해 기법에서 흔히 사용되는 시계열 성분들의 조합으로 시계열 자료를 모형화하는 방법으로 상태공간모형(innovations state space models)과 결합하여 최근 다양한 형태의 모형으로 발전하고 있다. 시계열 자료에 대한 지수평활모형에서는 기본적으로 시계열 성분은 다음과 같은 형태를 가진다고 가정한다.</p> <p>\( Y_{t}=f\left(L_{t}, T_{t}, S_{t}, \varepsilon_{t}\right) \)</p> <p>여기서 \( L_{t} \) 은 \( Y_{t} \) 의 단기적 절편 또는 수준 성분(level component), \( T_{t} \) 는 단기적 기울기 또는 추세 성분(trend component), \( S_{t} \) 는 계절 성분(scasonal component), 그리고 \( \varepsilon_{t} \) 는 불규칙 성분(irregular component)으로 가우시안 백색잡음으로 가정한다.</p> <p>가법 지수평활모형에서는 각 성분들은 오차항 \( \varepsilon_{1} \) 와 평활상수 \( \alpha, \beta, \gamma \) 에 의하여 다음과 같은 방정식에 따라서 움직인다.</p> <p>\( L_{t}=L_{t-1}+T_{t-1}+\alpha \varepsilon_{t}, \quad T_{t}=T_{t-1}+\beta \varepsilon_{t}, \quad S_{t}=S_{t-m}+\gamma \varepsilon_{t} \),</p> <ul> <li>가법모형: \( Y_{t}=L_{t-1}+T_{t-1}+S_{t-m}+\varepsilon_{t} \)</li> <li>승법모형: \( Y_{t}=\left(L_{t-1}+T_{t-1}+S_{t-m}\right)\left(1+\varepsilon_{t}\right) \)</li> <li>주세완화모형: \( T_{t} \) 를 \( \phi T_{t} \) 로 대체 \( (0<\phi<1) \)</li></ul> <p>\( Y_{t}=L_{t-1}+\phi T_{t-1}+S_{t-m}+\varepsilon_{t} \quad \) 또는 \( \quad Y_{t}=\left(L_{t-1}+\phi T_{t-1}+S_{t-m}\right)\left(1+\varepsilon_{t}\right) \)</p> <p>지수평활법에서는 평활상수 \( \alpha, \beta, \gamma \) 및 추세완화모형에 추가되는 완화모수 \( \phi \) 와 더불어 각 성분들의 초기값, \( L_{0}, T_{0}, S_{0}, S_{-1}, \ldots, S_{-m+1} \) 를 추정해야 하며 최대가능도 추정법을 흔히 사용한다. 다양한 지수평활모형 중 최적의 모형 선택을 하기 위해 \( \mathrm{AIC}, \mathrm{AICc}, \mathrm{BIC} \) 와 같은 정보량 기준을 사용하며, 최적 모형을 이용하여 예측값과 상태공간모형을 사용하여 예측값의 신뢰구간을 계산한다. 실제분석에서는 \( Y_{t} \) 대신 \( \log \left(Y_{t}\right) \) 를 사용했고 로그 척도 하에서 예측값 \( \widehat{\log \left(Y_{t}\right)} \) 과 분산 추정량 \( \hat{\sigma}_{E}^{2} \) 구한 후 식 (3.2)과 같이 \( t \) 시점에서의 월 지출액을 다음과 같이 추정한다.</p> <p>\( \hat{\mu}_{t E}=\exp \left(\widehat{\log \left(Y_{t}\right)}+\frac{\hat{\sigma}_{E}^{2}}{2}\right) \).</p> <h1>4. 계층 간 시계열 조정</h1> <p>시계열들이 소분류, 중분류 및 대분류로 계층적 구조를 가지는 경우, 이들 간의 관계, 즉 하위 항목의 지출액 합이 상위 항목의 지출액과 같아야 하는 조건을 만족시키면서 예측하는 방법이 필요하다. 이러한 관계를 만족시키며 시계열 분석을 하는 것을 계층 시계열 예측(forecasting hierarchical time series) 또는 그릅 시계열 예측(forecasting grouped time series)라고 한다 (Hyndman과 Athanasopoulos, 2018). 계층적 또는 그릅화된 시계열 구조에서의 문제를 해결하기 위한 연구가 오래 전부터 진행되어 왔다. 간단한 방법으로 하위 시계열을 예측하고 이를 더해 가면서 상위 시계열을 예측하는 bottom-up 방식이 있는데 대표적인 연구로는 Orcutt 등 (1968), Dunn 등 (1976), Shlifer와 Wolff (1979) 등이 있다. 이와 반대로 가장 상위 시계열을 예측하고 하위로 분할해 가는 top-down 방식이 있으며 Park과 Nassar (2014)는 베이지안 프레임에서 계층적 시계열을 예측하는 Top-down 방식을 소개하였다.</p> <p>통계적 관점에서 Bottom-up 및 Top-down 방식 모두 문제가 있다. Bottom-up 방식에서는 독립적으로 추정된 하위 시계열의 합을 더해 상위 시계열을 유도하는데 이 과정에서 상위 시계열과 연계된 하위 시계열들 간에 있을 수 있는 연관성 및 종속성을 반영하지 못한다. Top-down 방식의 경우 Hyndman 등 (2011)은 전체 예측값이 비편향인데도 불구하고 분할하는 과정에서 조정된 예측값에 편향이 발생하는 것을 밝혔다. 이런 문제를 해결하기 위해 본 연구에서는 Wickramasuriya 등 (2019)이 제안한 optimal combination 방법을 사용한다. Optimal combination에서는 계층구조가 반영된 \( h \)-시점 미래 예측값 \( (h \)-step-ahead coherent or reconciled forecasts) \( \tilde{y}_{h} \) 을 구성하기 위해서 다음과 같은 관계식을 이용하여 계층구조조정을 한다.</p> <p>\( \tilde{y}_{h}=\mathbf{S P} \hat{y}_{h} \)</p> <p>여기서 \( \mathbf{P} \) 는 \( \hat{y}_{h} \) 를 최하위 계층의 예측값으로 변환해 주는 행렬, \( \mathbf{S} \) 는 \( \mathbf{P} \) 행렬에 의하여 만들어진 최하위 예측값 에 계층구조를 반영하여 최종 예측값 \( \tilde{y}_{h} \) 를 만들어 내는 행렬을 의미한다. 예측값 \( \hat{y}_{h} \) 가 비편향성을 만족하고 \( \mathbf{S P S}=\mathbf{S} \) 를 만족할 경우, \( \tilde{y}_{h} \) 도 비편향 추정량이 된다(Hyndman 등, 2011). 또한, \( h \)-시점 미래 예측 오차의 분산-공분산 행렬은 다음과 같이 유도된다.</p> <p>\( \mathbf{V}_{h}=\operatorname{Cov}\left(\boldsymbol{y}_{T+h}-\tilde{\boldsymbol{y}}_{h}\right)=\mathbf{S P W_h} \mathbf{P}_{}^{T} \mathbf{S}^{T} \),</p> <p>여기서 \( \mathbf{W}_{h}=\operatorname{Cov}\left(\boldsymbol{y}_{T+h}-\hat{y}_{h}\right) \) 를 의미한다. 행렬 \( \mathrm{S} \) 의 구조는 계층의 형태에 의하여 결정되므로, 예측 오차의 변동성을 최소화하는 행렬 P를 구하는 것이 optimal combination의 목적이다. Wickramasuriya 등 (2019)은 \( \mathrm{SPS}=\mathrm{S} \) 조건 하에서 오차의 분산-공분산 행렬 \( \mathrm{V}_{h} \) 의 tracc를 최소화하는 방안을 제안하였다. 이 때, 최소화 조건을 만족시키는 행렬 \( \mathbf{P} \) 는 다음과 같다.</p> <p>\( \mathbf{P}=\left(\mathbf{S}^{T} \mathbf{W}_{h}^{-1} \mathbf{S}\right)^{-1} \mathbf{S}^{T} \mathbf{W}_{h}^{-1} \)</p> <p>따라서, optimal combination을 위한 \( h \)-시점 미래 예측값 \( \tilde{\boldsymbol{y}}_{h} \) 는 다음과 같이 계산된다.</p> <p>\( \tilde{y}_{h}=\mathbf{S}\left(\mathbf{S}^{T} \mathbf{W}_{h}^{-1} \mathbf{S}\right)^{-1} \mathbf{S}^{T} \mathbf{W}_{h}^{-1} \hat{y}_{h} \),</p> <p>이 추정량을 'MinT'(Minimum Trace) 추정량이라고 부른다. 여기서 \( \mathbf{W}_{h} \) 는 OLS(ordinary least squares)나 WLS (weighted least squares)와 같은 방법을 이용하여 추정할 수 있으며 자세한 과정은 Wickramasuriya 등 (2019)를 참조하기 바란다.</p> <p>계층 및 그룹구조가 있는 시계열의 예측을 위한 R 패키지로는 'hts' 패키지가 있다. 이 패키지에 있는 hts0 함수와 forecast.gts() 함수를 사용하여 예측이 가능하다. 다만 R에서 제공되지 않거나 외생적으로 만들어진 예측값을 계층구조로 조정할 경우, Wickramasuriya 등 (2019)의 알고리즘의 구현이 필요하다.</p> <h1>2. 가계동향조사 자료의 특성과 개편내용</h1> <h2>2.1. 가계동향조사 자료의 특성</h2> <p>가계동향조사는 매월 조사 가구별로 소득과 지출 내역을 조사하고 분기별로 자료를 공표한다. 이 조사의 마이크로데이터에는 소득과 지출 관련 자료와 더불어 가구원 수 및 구성 형태, 주거 관련 정보, 해당 가구의 가중치 등 가구와 관련된 다양한 정보가 포함되어 있다. 전체 가구의 월별 소득 및 지출은 가구의 가중치를 반영하여 가중평균으로 계산한다.</p> <p>이 논문에서 관심을 가지는 지출 부문 자료는 계층 구조로 이루어져 있다. 가계지출은 크게 소비지출과 비소비지출로 나뉜다. 소비지출은 12 개의 대분류 항목으로 나뉘고, 각 대분류는 여러 중분류로 나뉜다. 소비지출도 7 개의 중분류로 나뉜다. 소비지출의 각 중분류는 다수의 소분류로 나뉘며 중분류까지의 자세한 분류명들을 아래 Table 1 에서 확인할 수 있다.</p> <h2>2.2. 가계동향조사 개편내용</h2> <p>가계동향조사의 조사체계는 시간이 흐르면서 여러 차례 개편이 되었으며 크게 조사 대상자, 표본 설계 자료 수집 기간, 자료 수집 방법, 공표 주기의 관점에서 어떤 개편들이 있었는지 정리하였다.</p> <p>- 조사 대상자 2003년 전에는 도시 가구가 대상이었으나 2003년 이후 섬 가구를 제외한 비도시지역 가구를 포함한 전국 단위 조사로 확대되었다. 2005년부터는 1 인 가구도 조사 대상에 포함되었으나 2016년까지 농림어가를 제외한 2인 이상 가구에 대해서만 공표하였다. 2017년과 2018년에는 소득과 지출의 조사 대상 및 공표 주기가 다르게 설정되었으며 2019년부터 농림어가를 포함 분기별로 2 인 이상 가구, 연간 1 인 이상 가구 결과를 공표하고 있다.</p> <p>- 표본 설계 방식 2016년까지 조사에서는 표본추출틀로 경제활동인구조사의 조사구가 사용되었다. 가구수에 비례한 확률 비례 추출을 이용하되 조사구 내 농림어업 비중이 \( 40 \% \) 미만인 조사구만 표본으로 선정하였으며 표본규모는 월별로 약 8,700 가구이다. 이를 다목적 표본이라고 하는데 다목적 표본 추출과정에서 농림어업의 비중이 높은 조사구를 제외한 이유는 농림어업 가구의 지출에는 순수한 가계지출과 사업 관련 지출의 혼재되어 있기 때문이다. 이로 인해 다목적 표본에 대한 대표성 문제가 제기되었고 이를 해결하기 위한 개편 연구와 시범조사 등이 진행되었으며 2017년부터 지출부분에서 농어업 가구를 포함하고 대표성을 향상시킨 전용 표본을 사용하게 된다. 이 기간 동안 표본추출은 권역, 주택 유형, 가구 구성 등을 이용한 집락추출 방식을 이용하였고, 표본 규모는 월별 약 1,000 가구이다. 2019년부터는 소득과 지출조사 모두 전용표본을 대상으로 조사가 이루어졌으며 표본규모는 월별 약 7,200가구이다. 2019년에는 전용표본과의 비교 연구를 위해 추가적으로 다목적 표본을 대상으로 소득 조사를 병행하였다.</p> <p>-자료 수집 기간 자료 수집 기간은 한 조사구가 표본으로 선정되면 지속되는 조사 기간을 의미하며 연도에 따라 상이하다. 2004년까지는 5년 고정 표본으로 조사가 이루어졌는데, 이는 응답 부담을 키우고 표본 변경시 시계열 단절 문제를 발생시킬 여지가 있다. 따라서 2005년부터 표본으로 선정된 가구를 대상으로, 표본 규모(8,700가구)가 유지되도록 매달 표본 일부를 교체하면서 36개월간 조사를 진행하는 연동표본제를 도입하였다. 하지만, 해당 방식 또한 응답 부담의 문제가 발생하여 2017년과 2018년 지출 부문 조사에는 매월 1,000가구씩 순환 조사하는 1개월 고정 표본 방식이 이용되었다. 2019년부터는 6-6-6 연동 방식이 도입되었다. 구체적으로는, 표본 규모(7,200가구)가 유지되도록 응답 가구를 교체하며 12 개월간 조사를 진행하되 응답 부담을 줄이기위해 6 개월 조사, 6개월 휴식, 6개월 조사로 기간을 설정하였다.</p> <p>- 자료 수집 방법 2016년까지는 가계부 기입 방식으로 소득과 지출을 파악하였다. 2017년과 2018년의 경우에는 면접 조사표로 소득을, 가계부 및 면접 조사표로 지출을 파악하였다. 가계부는 월 단위로 수집하지만, 면접 조사표는 1 년 간의 소득 및 지출 내역을 회상하는 방식으로 자료를 수집한다. 2019년부터는 다시 가계부 기입 방식으로 변경되었다.</p> <p>- 공표 주기 2016년까지는 분기별로 소득과 지출의 조사 결과를 공표하였지만, 2017년과 2018년의 경우 지출부문은 연간 결과만 공표하였다. 2019부터는 공표 주기가 다시 분기로 개편되었다.</p> <p>위에서 설명한 가계동향조사 개편 내용을 정리하면 다음의 Table 2와 같으며 단기간(2017년과 2019년)에 걸쳐 큰 개편이 두 번 이루어졌음을 확인할 수 있다.</p>	자연
초저출산율에 따른 시도별 출산율 변동을 반영한 예측 연구	<h1>2. 시도별출산율 예측 모형</h1> <h2>2.1. 예측 모형의 구조적 문제 진단</h2> <p>앞장에서 지적한 바와 같이 식 (1.1)과 (1.2)는 최근 10년간의 전국의 평균 ASFR}과 ASCFR을 시도에 반영하는 방법으로 연도별 시계열 변동 효과가 반영되지 못하는 구조적 문제가 있다. 그리고 Figure 1처럼 시도별 TFR을 살펴보면 시도별로 전국과 동일한 추세를 보인다. 이런 추세 경향을 식 (1.1)과 (1.2)의 ASFR과 ASCFR의 수년간의 평균으로 접근하여 도출된 선형회귀식에 2017~2047년 전국자료를 대입하여 미래의 시도별 ASFR을 예측하는 것은 시도별 출산율의 하강추세를 감안할 때 합리적이지 않다고 판단된다.</p> <p>더불어 자료의 대푯값과 변동을 다루는 평균과 분산 측면에서 살펴볼 때, 10년간의 평균연령별 출산율은 10년간의 하나의 대폿값에 불과하며 시도별 ASFR의 변동을 고려하지 않은 접근방법으로 볼 수 있다. 즉, 식 (1.1)과 (1.2)는 10년간의 평균으로 변동이 상쇄된 결과가 반영된 모형식이다. 그리고 식 (1.2)의 \( g_{x}=\ln (-\ln (F(x) / \mathrm{TF})) \)는 시도, 전국의 모 연령 \( x \)세까지의 누적출산율을 Gompit변환한 값으로 정의하고 있다. Gompit모형은 Complementary Log-Log (CLL)와 동일한 링크함수(link dunction)으로 사건, 결점수, 찬성수 등에 대한 zero나 하나 이상의 이벤트 횟수에 대한 포아송분포를 가정한다. 줄생 이벤트를 사건으로 간주하여 출생확률 \( (p) \)를 Gompit모형에 적합시겨보면, 식 (2.1)과 같다.</p> <p>\(\begin{aligned} & { P(X=0)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^{0}}{0 !}=e^{-\lambda}, } \\ & if { \lambda=\mu, 1-p=P(X=0)=e^{-\lambda}, \quad \log (\mu)=\log [-\log (1-p)]. }\end{aligned}\)<caption>(2.1)</caption></p> <p>동계청에서 제안하는 Gompit 모형 정의에 따르면 출산확률이 라고 했을 때 된다. 따라서 출산하지 않을 확률이 최대 합계출산율에 대한 \( x \)세까지의 누적출산율의 비와 같다는 등식으로 표현된다. 따라서 식 (1.2)의 우변을 \( \ln [-\ln (1-F(x)) / \mathrm{TF}] \)로 수정되어야 한다. 추가적으로 식 (1.2)는 \( \log -\log \)모형( \( \ln [-\ln (F(x) / \mathrm{TF})]) \)을 CLL모형(Gompit 모형)로 잘못 표기한 것으로 판단된다. 또한 누적 출산율에 대한 Gompit 적용으로 기간 출산율이 아닌 코호트 출산율의 규칙성(regularity)을 살펴본 연구 (Goldstein, 2010; Sobotka와 Lutz, 2011)가 있다. Figure 2는 KOSIS의 시도별 연령별 출산율 자료(1993~2018년)를 다운로드하여 Log-Log와 Gompit 변환을 그려본 것이며, 최대합계출산율에 대한 누적출산율의 비를 살펴보는 합리적 그림은 Log-Log보다는 Gompit 변환임을 알 수 있다.</p> <h2>2.2. 최대 합계출산율에 대한 근거</h2> <p>이번 절은 식 (1.2)의 최대 합계 출산율(TF)을 다루고자 한다. 식 (1.2)의 TF는 McDonald (2007)의 인구대체율 (replacement level fertility) 2.1명, 안전지역(safety zone) 1.5명, 그리고 1.3명 아래의 초저출산율(ultra-low 또는 lowest-low TFR below 1.3) (Lee와 Choi, 2012; Yoo와 Sobotka, 2018) 등과 같은 이론적 근거를 찾을 수가 없다. \( F(X) / \mathrm{TF} \)로서 최대합계출산율의 연령별 누적출산율 비를 고안한 부분은 분명히 평균 ASFR을 대입한 식 (1.1)을 개선한 부분은 있지만, \( \mathrm{TF}=2 \)를 지정한 학술적 근거와 타당한 이유가 있어야 할 것으로 판단된다. 현 시점의 \( \mathrm{TF}=2 \)는 시도별 출산율 기준으로 누적출산율이 2.0을 넘지는 않지만, 출생아수와 가임연령인구가 동시에 감소되고 있으므로 미래의 가임연령 진입세대가 반영되는 시도별출산율은 자연히 1.5명 미만으로 나타날 가능성이 높다. 따라서 2.0을 고정상수로 지정해서 2047년까지 도출한 방식은 합리적이지 않으며, 2030~2035년 이후는 2.0보다 낮은 수치로 변경되어야 할 것으로 판단된다. 이진 반응변수에 대한 통계 모형으로 log, logit, probit, log-Log, CLL모형 등이 있다. 만약 TF가 경험적 수치이고 TF \( =2 \)로 고정한 후, 시도별 ASCFR 자료를 이들 변환에 대입한 결과는 Figure 3처럼 유사한 패턴을 나타내고 있어 변환을 식 (1.2)를 log , logit, probit 모형을 대입한 변환과 비교해 \( F(X) / \mathrm{TF} \)의 근거와 상대적 우수성을 확인해 볼 필요가 있다.</p> <h1>3. 시도별 출산율 추계</h1> <h2>3.1. 연결함수와 반응변수</h2> <p>일반화선형모형(generalized linear model; GLM)은 일반선형회귀를 유연하게 일반화한 방법으로 오차항에 대해 정규분포를 가정하는 일반선형모형에 비해 오차항의 분포로 정규분포 이외의 지수족(exponential family) 분포도 가능하도록 한 회귀모형이다 (Na, 2017). GLM의 일반적인 구조는 \(g(\mu)=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\cdots+\beta_{p} x_{p} \)이고 \( \mu=E(Y \mid x) \)이며, \( g(\cdot) \)는 연결함수(link function)이다. 연결함수는 반응변수의 형태에 따라 다양하게 선택되는데 반응변수가 이항분포를 따르는 경우 로직(logit) 또는 프로벳(probit)함수, 사건, 결점수, 찬성수 등에 대한 zero나 하나 이상의 이벤트 횟수에 대한 포아송분포를 따르는 경우 로그(log), 로그-로그(log-log), Gompit(complementary log-log; CLL) 함수가 사용된다.</p> <p>\( \begin{aligned} Y \mid x \sim B(1, p): g(\mu) &=\log \left(\frac{\mu}{1-\mu}\right) \equiv \operatorname{logit}(\mu)=\beta_{0}+\beta_{1} x \\ g(\mu) &=\phi^{-1}(\mu)=\beta_{0}+\beta_{1} x, \quad \text { probit } \\ Y \mid x \sim \operatorname{Poisson}(\mu): g(\mu) &=\log (\mu)=\beta_{0}+\beta_{1} x, \quad \log \\ g(\mu) &=\log [-\log (\mu)]=\beta_{0}+\beta_{1} x, \quad \log -\log \\ g(\mu) &=\log [-\log (1-\mu)]=\beta_{0}+\beta_{1} x, \quad \text { complementary log-log, } \end{aligned} \)<caption>(3.1)</caption></p> <p>출생확률 \( (p, Y=1 \mid x) \)에 대한 평균에 대해 위 5개의 모형에 적합이 가능하다. 즉, 출산확률과 출산사건을 다양한 연결함수에 의해 선형으로 표현이 가능하다. 이와 같은 유사성을 가지고 있으므로 Gompit 변환과 Logit, Probit 변환과의 결과비교를 통해 Gompit의 적절성을 논하고자 한다. 즉, 를 \( \operatorname{Logit}[\log ((F(X) / \mathrm{TF}) /(1-F(X) / \) \( \mathrm{TF}))] \), Probit \( \left[\phi^{-1}(F(X) / \mathrm{TF})\right] \), Gompit[ \( [\ln (-\ln (1-F(x) / \mathrm{TF}))] \)변환으로 치환하여 전국과 시도의 식 (3.2)와 같은 관계모형을 살펴본다.</p> <p>\( \begin{array}{ll}g_{x, i}^{1}=\alpha+\beta \times g_{x, \text { nation }}^{1}+e_{x, i}, & i=\text { provinces } \\ g_{x, i}^{2}=\alpha+\beta \times g_{x, \text { nation }}^{2}+e_{x, i}, & i=\text { provinces } \\ g_{x, i}^{3}=\alpha+\beta \times g_{x, \text { nation }}^{3}+e_{x, i}, & i=\text { provinces }\end{array} \)<caption>(3.2)</caption></p> <p>식 (3.2)의 \( g_{x, i}^{1}, g_{x, i}^{2}, g_{x, i}^{3} \)는 시도의 모연령 \( x \)세까지의 ASCFR을 Logit, Probit, Gompit 변환을 각각 의미하며, \( g_{x, \text { nation }}^{1}, g_{x, \text { nation }}^{2}, g_{x, \text { nation }}^{3} \)은 전국의 모연령 \( x \)세까지의 ASCFR을 Logit, Probit, Gompit 변환을 각각 의미한다. 따라서 본 논문은 식 (1.1)과 (1.2)에서 언급한 10년간의 평균 접근방식과 시도별 출산율 연도별 변동을 살펴볼 수 있는 원자료에 대해 3가지 변환으로 도출된 결과를 비교해 볼 것이다. 먼저 10년간의 평균접근방식의 결과이다. Figure 4는 식 (3.2)의 3가지 모형에 대한 시도별 TFR 추이를 보여주고 있으며, Table 1과 Table 2 는 식 (3.2)의 3가지 변환에 대한 적합 결과를 정리한 것이다.</p> <p>모형적합과 모형평가를 위한 지표로는 mean square error (MSE)와 mean absolute percentage error (MAPE), 모형적합기간 1993~2014년, 검증기간 2015~2018년(단, KOSIS에 제공하고 있는 단기 시계열 세종지역은 2012~2016, 2017~2018, 울산지역은 1997~2014년, 2015~2018년)을 채택하기로 한다. MSE는 모형 적합 후 실측값과 적합값의 차이로 이 값이 작을수록 좋고, MAPE는 전반적으로 \( 10 \% \) 미만이면 예측력이 우수한 모형으로 판단한다.</p> <p>Figure 4는 Gompit, Probit은 유사한 패턴을 보이는 반면 Logit은 시도별 출산율 변동이 상대적으로 낮고 세종과 서울을 제외하고는 시도별로 매우 유사한 수치와 궤적을 보인다. 그리고 Figure 1과 2016~2018년도 추이를 참고할 때 Logit 보다는 Gompit, Probit이 더 합리적인 접근이다. 이를 확인하기 위해 Table 1, 2를 살펴보면 MSE 기준에 따른 적합력은 소수 둘째 자리까지 동일해 이들 변환에 대한 우열을 판단하기는 어렵지만, MAFE 기준으로는 적합 시계열이 짧은 세종을 제외하고는 Gompit, Probit, Logit 순서임을 알 수 있다. 따라서 통계청에서 제시한 모 연령 \( x \)세까지의 ASCFR의 Gompit 변환은 타당하다고 볼 수 있으며, 시도별 출산율 추이와 예즉은 ASCFR을 Gompit 변환 후 전국과 시도별 출산율 관계모형으로 살펴보는 것은 합리적인 접근이라 볼 수 있다. Gompit변환 기준의 시도별 TFR 수준이 높은 시도는 세종, 전남, 중남, 제주이며, 낮은 시도는 인천, 대구, 부산, 서울로 나타났다. 특히 경기, 대전, 광주, 인천, 대구, 부산, 서울은 2030년까지 TFR 1명이하의 시도로 예측되어 출산율 제고정책과 방안이 조속히 마련되어야 할 것으로 보인다.</p> <p>Tables 3-5은 Table 1과 Table 2의 시도별 TFR을 연령 그룹별로 살펴본 것이다. 평균출산연령이 32세(KOSIS, 2019)이고, 그룹별 ASCFR은 30~34세, 35~39세 연령층에서 큰 변화가 있음으로 판단되므로 타 연령층에 비해 출산비중과 연령대가 높음을 알 수 있다.</p> <h2>3.3. 공적분 검정과 시도별 출산율 추계</h2> <p>이번 절은 전국과 시도별 출산율 추이를 정상, 비정상 시계열 판정과 원 시계열의 비정상성을 수용할 수 있는 모형을 제안한다. 일반적으로 TFR, ASFR는 대부분 비정상 시계열이다. 일반적으로 정상화를 위해 원자료를 차분하지만 경제 시계열의 경우 비정상성은 차분에 의한 변화율보다 원자료 또는 로그변환된 자료에 관심이 많고 원시계열의 비정상성을 수용할 수 있는 모형이 필요하다 (Jo 등, 2019). 따라서 본 논문은 경제시계열처럼 전국, 시도별 TFR, ASFR이 확률과정(stochastic process)관점에서 유사한지 여부를 판단하고, 전국과 시도별 관계에 대한 모형화 여부를 공적분 검정으로 살펴보고자 한다. 이런 일련의 분석을 위해 R의 urca 패키지 (Bernhard Pfaff, 2016)를 활용하였음을 밝힌다. 공적분 검정이란 비정상적인 시계열들끼리 회귀분석할 수 있는 방법중의 하나이며, 공적분 관계가 도출된다면 이를 모형식으로 표현해 2047년까지 TFR(ASFR)을 예측할 수 있을 것이다.</p> <p>본 논문은 이를 위한 세부적인 과정으로 먼저 전국, 시도별 TFR(ASFR)의 시계열 관찰과 자료의 안전성에 관한 단위근 검정(unit root test)으로 차분 제거 유무와 정상화를 살펴본다. 다음으로 차분 전의 원자료로 공적분 검정을 실시한다. 끝으로 도출된 공적분 모형에 KOSIS의 2047년까지의 전국 TFR(ASFR)을 대입하여 시도별 TFR(ASFR)을 예측한다. 부록에 단위근 검정 결과를 제시하였으며, 단위근 검정결과 전국과 시도별 출산 시계열이 가성회귀(spurious regression)의 문제를 갖는 불안정적인 시계열로 판명된다. 이런 단위근을 갖는 시계열들이 공적분되어 있다면 일치성을 갖는 회귀계수들의 추정값을 도출할 수 있다. 이를 위해 이 절에서는 식 (3.3)을 차용해 공적분 회귀라 명명하고 기울기를 공적분 모수로 간주한다. Tables 9-12는 공적분 검정 결과와 이들의 관계식을 보여주고 있다.</p> <p>이 표들은 R의 urca 패키지를 활용하여 선형추세가 있고 공적분 모형에 절편항이 있는 경우를 가정한 후 최대 고유치(max-eigenvalue)에 대한 결과와 통계량(max-eigenvalue statistics), 정규화된 공적분 관계(coeffi-cient of cointegration realtions by normalized), 그리고 2047년까지 ASFR 예측값을 정리한 것이다. 이들 결과는 통계량을 기준으로 \( 10 \%, 5 \%, 1 \% \) 유의수준 하에서 공적분 관계가 존재하지 않는다는 귀무가설에 대한 검정을 실시하고, 시도별로 1개의 공적분 관계에 대한 분석 결과이다. 예를 들어 서울의 경우 25~29세 ASFR의 전국과 서울은 공적분 관계가 존재하고 정규화된 공적분 모형은 예를 들어 서울의 경우 25~29세 ASFR의 전국과 서울은 공적분 관계가 존재하고 정규화된 공적분 모형은 \( g_{25-29, s}^{4}=-0.068+0.804 \times g_{25-29, \text { nation }}^{4} \)이다. 경기의 30~34세 경우 이 둘의 공적분 관계가 존재하고 모형은 \( g_{30-34,0}^{4}=-0.076+1.186 \times g_{30-34, \text { nation }}^{4} \), 전남의 \( 35 ~ 39 \)세, 제주의 45~49세도 전국과 시도의 공적분 관계가 존재하고 모형은 \( g_{35-39, \Xi}^{4}=0.016+0.985 \times g_{35-39, \text { nation }}^{4} \), \( g_{45-49,9}^{4}=1.644 \times g_{45-49, \text { nation }}^{4} \)이다. 이들 모형식에 2047년까지 전국의 \( 25 \sim 29,30 \sim 34,35 \sim 39,45 \sim 49 \)세 ASFR을 대입하면 2047년까지의 서울 25~29세 ASFR, 경기 30~34세, 전남 35~39세, 제주 45~49세의 ASFR값이 예측된다. 유의한 공적분 관계를 보이는 다른 시도들도 동일 방식으로 ASFR을 예측한다. 전국과 시도별 TFR에 대한 공적분 관계를 살펴보면 서울, 인천, 경기, 강원, 충남, 전북, 전남, 경북, 제주지역의 출산율은 전국과 공적분 관계가 유의하며 그 외 지역은 유의하지 않게 분석되었다. 이는 전국의 TFR의 패턴과 경향이 공적분 관계가 있는 지역과 그렇지 않은 시도로 분리할 때 용이하게 활용될 수 있을 것이다.</p> <p>TFR을 7개 ASFR 그룹의 관점에서 전국, 시도별의 공적분 검정을 실시하면, 분석결과 7개 ASFR 그룹 중에서 대구는 5개, 부산, 대구, 광주, 강원, 경북, 경남은 4개 그룹이 전국 ASFR 그룹과는 공적분 관계가 성립하지 않았지만 서울, 경기, 충북, 충남, 전남지역은 1, 2개 ASFR 그룹을 제외하고는 공적분 관계가 성립하는 것으로 분석되었다. 특히 시계열이 짧은 세종과, 출산율이 거의 0에 근접하는 그룹인 45~49세 연령층으로 고유치 계산시 singular 가 될 가능성이 높아 공적분검정이 유의하지 않았다. 지금까지 설명한 시도별 공적분 검정 결과를 지역별로 Table 9~12에 정리하였으매, 서울, 경기, 충북, 충남, 전남지역은 전국의 ASFR과 공적분 관계가 뚜렷하고, 특히 서울, 경기, 충남, 전남지역은 전국의 TFR과 공적분 관계를 보였다. 공적분 관계를 간주하고 도출한 ASFR, 원자료를 대입해 식 (3.3)을 적용한 회귀분석, 그리고 Gompit 변환과 전국과 시도의 ASCFR의 관계식으로 접근한 결과를 비교해보면 공적분 관계와 원자료를 활용한 예측결과가 유사하고 시도별 변동을 잘 반영하는 결과임을 알 수 있다. 이들 결과는 Figure 6에 잘 나타나 있으매, Figure 6은 전국과 9개 시도 공적분관계, 공적분 관계가 유의하지 않는 8개 시도에 대한 전국과 원자료를 활용한 회귀모형, 그리고 통계청 Gompit변환과 ASCFR을 적용한 결과를 비교하고 있다. 이 결과에서도 알 수 있듯이 17개 시도를 단일 방식으로 ASFR을 추이나 예측을 살펴보는 것보다는 공적분관계, 원자료를 적용한 방식이 과거의 시도별 출산율 패턴을 잘 반영하고 있음을 알 수 있다. 지금까지 분석될 결과를 토대로 전국과 시도별 출산율 관계를 규명하고자 할 때 다음과 같은 단계적 접근을 제시할 수 있다. 먼저 전국과 시도별 출산율과 같은 불안정한 시계열을 적합할 경우 공적분 관계를 선행적으로 도출하고, 다음으로 이 관계가 유의하지 않으면 원자료를 활용한 회귀모형 접근이 전국과 시도별 출산율 관계를 살펴보는 합리적인 방법으로 판단된다. 결론적으로 초저출산 시대에 시도별 출산율 변동을 반영한 예측 방법은 전국과 시도별 출산율의 공적분관계 모형을 이용하거나 자료변환 없는 원자료를 활용한 회귀모형 접근이다. 부가적으로 첫 번째 모형방식인 ASCFR이나 Gompit 변환 자료를 평균방식의 회귀모형으로 접근하는 것은 최근 출산율의 하강 추세을 상쇄시켜 출산율을 과대추정하는 오류를 범할 수 있으므로 주의를 요한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>통계청 (KOSIS, 2019) 장래인구특별추계의 출산율에 따르면 합계출산율(total fertility rate; TFR)은 2005년 1.08명에서 우상향 증가추세로 2015년 1.24명을 찍은 후, 하강기조를 보이면서 2018년 0.98명, 2019년은 0.92명으로 1명 보다 낮은 수준을 보인다. 1명 이하의 한국의 출산율 수준은 OECD 가입국 중 최하위이며, '인구구조 붕괴, 어려운 인구문제에 직면 등'이라는 매체 보도 (GEFIRA, 2018; BBC, 2019)와 Lutz 등 (2006)의 저출산의 텃(trap of low-fertility), Yoo와 Soborka (2018)의 초저출산율(ultra-low fertility)로 비유되고 있다.</p> <p>장래인구추계는 시도별 장래인구추계에 반영되며, 특히 전국 출산율은 시도별 출산율로 분해되는 구조이고, 현재의 1명 이하의 출산율은 시도별 출산율에 영향을 미치고 전반적인 하강 추세가 형성되게 한다. 시도별 장래인구추계는 전국 장래인구추계와 동일하게 세종시를 포함한 17개 지방자치단체에서 지역발전계획, 교육, 건강과 복지 등과 같은 지역정책을 마련하기 위한 필수자료로 활용되고 있으므로, 사망률, 국내이동보다 상대적으로 영향력이 높은 시도별 출산율에 대한 추이가 중요하다 (Kim과 Oh, 2019). 최근 통계청 (KOSIS, 2019) 자료에 따르면 시도별 TFR은 일정 격차를 유지하고 있으며, 2015년 이후 격차가 커졌으나 이후 점차 감소하며 전국의 TFR과 동일한 추세를 보이고, 서울, 부산, 대구 등 특.광역시는 전국에 비해 낮고, 세종, 제주, 전남 등은 상위수준을 유지하고 있다.</p> <p>통계청의 시도별 출산율 추계방법은 다음과 같다. 2017년은 최근 10년간(2007~2016) 전국 및 시도별 연령별 출산율(age-specific fertility rate; ASFR) 관계에 대한 식 (1.1)과 같은 선형회귀모형을 적용하였다. 추정된 선형회귀모형에 전국 추계의 2015~2045년 ASFR을 대입하여 시도별 ASFR을 추계한다.</p> <p>\( f_{x, i}=\alpha+\beta \times f_{x, \text { national }}+e_{x, i}, \quad i= \) provinces, \( \left\{\begin{array}{l}f_{x, i}: \text { (province) mean of ASFR for 2007-2016 at mother age } x, \\ f_{x, \text { national }} \text { : (national) mean of ASFR for 2007-2016 at mother age } x .\end{array}\right. \)<caption>\( (1.1) \)</caption></p> <p>2019년은 최근 10년간(2009~2018)의 전국 및 시도별 연령별 누적출산율(age-specific cumulative fertility rate; ASCFR)관계에 대한 식 (1.2)와 같은 선형회귀모형을 적용하였다. 적합된 선형회귀모형에 전국 추계의 2017~2047년 ASFR을 적용하여 시도별 ASFR을 예즉한다.</p> <p>\( g_{x, i}=\alpha+\beta \times g_{x, \text { nation }}+e_{x, i}, \quad i= \) provinces \( \left\{\begin{array}{l}g_{x, i} \text { : (province) mean of ASFR from } 2007 \text { to } 2016 \text { up to mother age } x, \\ g_{x, \text { nation }} \text { : (nation) mean of ASFR from } 2007 \text { to } 2016 \text { up to mother age } x,\end{array}\right. \) where, \( \quad g_{x}=\ln \left(-\ln \left(\frac{F(x)}{\mathrm{TF}}\right)\right) \) \( \left\{\begin{array}{l}F(x) \text { : province or nation mean of } \mathrm{ASCFR} \text { from } 2007 \text { to } 2016 \text { up to mother age } x, \\ \mathrm{TF}: \text { max of total fertility rate }(\mathrm{TF}=2)\end{array}\right. \)<caption>\( (1.2) \)</caption></p> <p>식 (1.1)과 (1.2)는 최근 10년간의 ASFR과 ASCFR을 활용하여 전국과 시도와의 출산율 관계를 모색하는 것이며, 이런 적합된 모형식에 전국 추계의 ASFR을 적용하여 시도별 ASFR을 예측한다. 특히 식 (1.1)의 \( f_{x, i}\left(10\right. \)년간의 평균연령별 출산율)에서 식 (1.2)의 \( g_{x, i}( \)누적출산율을 Gompit변환)으로 변환하여 최대합계출산율(TF)에 대한 상대적 연령별 누적출산비(ratio)을 살펴보는 것은 개선된 부분으로 평가할 수 있다. 출산율에 대한 선행연구 분야는 다양한데 출산율 저하원인 (Lee, 2012; Jeon, 1997; Jeon 등, 2002; Lee와 Choi, 2012), 출산율 변동요인 분해 (Bongaarts, 1978; Kim 등, 2016; Oh, 2019), 모수적, 비모수적, 그리고 베이지안 모형 접근의 출산율 예즉 (Park 등, 2013; Kim과 Jeon, 2015; Ramsay와 Silverman, 2005; Hyndman과 Ullah, 2007; Hyndman과 Booth, 2008; Hyndman 등, 2013; Oh, 2018; Alkema 등, 2011; Sevcikova 등, 2011; Raftery 등, 2012, 2014)으로 분류된다. 이런 선행연구들은 TFR, ASFR의 추이나 패턴 변화 분석에 초점이 맞춰져 있다.</p> <p>그러나 전국 장래추계의 인구변동요인인 출산율에 대한 선행연구에 비해 시도별 출산율 예측에 대한 연구 (Kim과 Oh, 2019)는 상대적으로 많지 않다. Kim과 Oh (2019)는 연도별 ASFR의 시계열 자료를 활용함으로써 전국과 시도별 관계를 모형화하는 방법과 출산율 수준 변화가 미비한 연령대를 그룹화하여 모형하는 방법으로 구분하는 연구를 소개하였다. 이들은 전국추계와 다르게 시도별 출산력 추계시 주요하게 고려해야 할 사항으로 예즉된 미래의 시도별 출산율 수준이 연도별로 안정적(stable)인 패턴을 유지하는 것과 과거 시도별 출산율 수준과 추이 차이가 미래에도 지속될 수 있는가의 차별성을 강조하고 있다.</p> <p>하지만 식 (1.1)과 (1.2)는 최근 10년간의 전국의 평균 ASFR과 ASCFR을 시도에 반영하는 방법이므로, 연도별 시계열 변동 효과가 반영되기 어려운 구조적 문제점이 있으며 10년간의 평균 ASFR과 ASCFR의 전국과 시도의 적합된 관계모형으로 미래의 ASFR 을 1년 단위로 예측하는 것은 합리적이지 못하다. 또한 통계청은 식 (1.2)의 Gompit 변환과 \( \mathrm{TF}=2 \)에 대한 학술적 근거를 밝히지 않고 있다. 이런 상황에서 본 논문은 전국과 시도의 출산율 모형의 구조적 문제와 근거를 진단하고 개선하는 것이 주요 내용으로 볼 수 있다. 이런 차별적 연구 수행을 위해 본 논문은 4개의 장으로 구성한다. 2장은 구조적 문제와 근거에 대한 부분을 다루고자 한다. 3장은 Gompit 모형과 유사한 이진 반응변수(binary response variable)를 다루는 Logit, Probit 모형간의 변환 비교를 살펴보고, 전국과 시도별 출산율 변동을 동시에 살펴볼 수 있는 공적분검정(cointegration test) (Johansen, 1988) 등과 같이 다양한 통계적 변환과 검정을 제시하여 구조적 문제를 해결할 수 있는 방안을 모색해 본다. 4장은 3장의 결과를 동해 시사점과 요약과 함께 향후연구과제를 제안한다.</p> <h1>4. 결론 및 제언</h1> <p>본 논문은 전국과 시도별 출산율의 관계를 규명하는 Gompit변환과 10년간의 평균 연령별 누적출산율을 활용한 회귀모형, 출산율 자료 변환 없이 원자료를 회귀모형에 적용하는 방법, 그리고 확률과정 관점에서 비정상 성인 출산율과 같은 불안정한 시계열을 적합할 경우에 고려할 수 있는 공적분 모형을 소개하고 비교하였다. 분석 결과 우리나라 전국과 시도별 출산율은 거의 대부분이 비정상성으로, 단위근 검정결과 가성회귀의 문제를 보인다. 따라서 공적분 검정으로 시도별을 구분한 후, 공적분 모형과 원자료를 이용한 회귀모형 두 방식을 제안하였다. 이들 방법은 시도별 출산력 추계시 고려할 점인 안정적 패턴과 차별성 관점에서 Gompit변환과 10년간의 평균 연령별 누적출산율을 활용한 회귀모형보다 우수한 방법으로 평가된다. 또한 시도별 출산율 경우 통계청의 Gompit변환과 평균 접근방식으로 예측할 경우 과대추정하는 결과가 도출되며, 평균으로 출산율의 변동을 상쇄하는 결과를 초래한다. 더불어 이 방식은 최근 출산율의 하락추세를 반영하지 못하는 결과를 보임을 파악하였다.</p> <p>하지만 본 연구를 수행하면서 몇 가지 한계점과 향후 연구과제는 여전히 남아있다. 첫째 본 연구는 TFR과 ASFR을 살펴본 결과는 17개 지방자치별에 따른 전국과의 모형을 살펴본 것이다. 우리나라는 종 226시군구으로 17개 시도 아래 75개 시, 82개 군, 69개 구가 존재한다. 본 논문은 17개 시도별 TFR, ARFR를 규명한 것으로 이를 확대하여 시, 군, 구 또는 지역적 시도별로 살펴보는 출산율 추계 로직 연구가 필요하다. 둘째, 전국 출산율은 시도별 출산율로 분해되는 구조이지만 시도별 출산율을 산정한 후 총합을 구하면 전국 출산율과 상이한 결과가 도출되는 결과가 일반적이다. 이는 전국 출산율 추계방식과 시도별 출산방식이 상이하기 때문에 발생하는 문제이다. 따라서 전국과 시도별 출산율을 동시에 살펴보고 관계를 규명하는 전국 \( \rightarrow \) 시도별 (top-down), 시도별 ←전국(bottom-up), 혼합 출산율 예측방법(hybrid fertility rate projection method)을 고려할 필요가 있다. 셋째, 본 논문의 초점은 서로다른 모형을 비교하는 것이지만, 관점을 전환하여 지역의 MSE합계, MAFE합계로 지역별 출산율을 비교하는 추가 연구도 고려할 수 있다. 이상 언급한 3가지는 향후 연구과제로 다루고자 한다.</p> <p>지금까지 전국과 시도별 출산율을 통계적 모형으로 살펴볼 수 있는 방법에 대해 장단점을 비교하였다. 우리나라의 경우 1.00명 이하로 당분간 지속될 것으로 예상되고 동시에 17개 지방차지별로 상이한 출산율이 존재하므로, 보다 객관적인 추계는 전국과 시도별 출산율을 살펴보는 단일 모형보다는 공적분 모형 또는 원자료를 활용한 회귀모형 등과 같은 다양한 방식을 적용해 산출하는 방법이 합리적으로 판단된다. 그리고 서울, 부산, 대구, 인천, 광주, 대전, 경기는 2025~2030년까지 타 지역과 다르게 합계출산율이 1.0명 이하로 예측되므로 시급하고 효율성 있는 출산율 제고정책이 필요하고, 만약 정책적 준비가 늦어진다면 광역시의 출산율 저하현상, 세종, 강원, 전남, 제주의 완만히 상승하는 출산율 추세로 판단할 때 2025년 이후는 시도별 출산율 양극화가 심화될 가능성도 있다.</p> <h2>3.2. 원자료를 활용한 시도별 출산율 추계</h2> <p>이번 절은 전국과 시도별 출산율 추이를 살펴보는데 있어, ASCFR를 Gompit로 변환하지 않고 원자료를 식 (3.3)에 대입하여 분석한다. 앞 절의 결과를 살펴본 바와같이 시도별, 연도별 출산율이 같지 않고, 최근 10년간의 평균 \ASFR과 ASCFR을 전국과 시도에 반영하는 방법은 연도별 시계열 변동 효과가 반영되기 어려울 뿐만 아니라 10년간의 평균 ASFR과 ASCFR의 전국과 시도의 적합된 관계모형으로 미래의 1년 단위의 ASFR을 예즉하는 것은 합리적이지 못하므로, 식 (3.3)은 이런 부분을 개선한 모형으로 평가할 수 있다. 이와 유사한 선행연구인 Kim과 Oh (2019)는 연도별 출산율이 안정적인 연령대를 그룹화한 후 회귀모형으로 가정해 추정 모수의 수를 간소화하였다. 하지만 본 연구는 KOSIS의 시도별 가임연령(15~49세) 출산율 자료가 5세 자료로 제공되고 있으므로 15~19세, 20~24세, 25~29세, 30~34세, 35~39세, 40~44세, 45~49세의 7개로 나누어 식 (3.3)에 대입해 전국과 시도의 출산율 관계를 도출하고자 한다.</p> <p>\( g_{x, i}^{4}=\alpha+\beta \times g_{x, \text { nation }}^{4}+e_{x, i}, \quad i= \) provinces, \( \left\{\begin{array}{l}g_{x, i}^{4}: \text { (province) The fertility rate of mother age 5-year-old interval, } \\ g_{x, \text { nation }}^{4} \text { : (nation) The fertility rate of mother age 5-year-old interval. }\end{array}\right. \)<caption>(3.3)</caption></p> <p>Tables 6-8은 식 (3.3)의 모형적합과 평가 그리고 연도별 ASFR추이를 보여주고 있다.</p> <p>시도별 MSE 값이 낮고 MAFE 값이 전반적으로 0 근방에 분포되어 있어 적합과 예측에 별다른 문제가 없음을 알 수 있다. 전국과 시도별의 회귀모형식으로 시도별 출산율 변동을 살펴보기 위해 이 두 지표를 기준으로 Gompit변환과 10년간의 평균 모형 접근방식과 원자료를 활용한 회귀모형을 비교할 때, 식 (3.3)을 적용한 방법이 우수함을 알 수 있다. 두 방법의 예즉 결과를 비교하면 변환과 평균의 접근 방식은 원자료의 적합 결과와 다르게 서울, 부산, 세종, 제주지역은 출산율을 과소추정, 그 외 지역은 과대추정되는 결과가 도출되었다. 따라서 17개 지역 중, 단 4개 지역만 과소추정 결과이므로 Gompit변환과 평균의 접근방식이상대적으로 시도별 출산율을 높게 예즉한 결과임을 알 수 있다. 따라서 변환과 평균의 방식은 시도별 출산율 변동 반영을 원자료로 적합하여 접근하는 것보다 시도별 출산율을 과대추정한 결과이며, 이런 결과는 평균의 개념으로 접근해 시도별 하강 추세의 출산율 변동을 상쇄한 것임을 알 수 있다. 더불어 최근 3년간(2016~2018년)의 시도별 출산율 추세를 참고할 때 변환과 평균 방식보다는 원자료를 사용하여 식 (3.3)의 모형식으로 접근하는 것이 상대적으로 시도별 출산율 변동을 반영한 방법으로 판단된다. 그리고 ASFR을 합친 TFR에 대한 전국과 지역별 회귀분석의 신뢰구간은 Figure 5와 같다. 세종을 제외한 16개 지역 모두 \(95\%\) 신뢰구간은 비슷한 양상을 보이며, 울산을 제외한 5대 광역시와 서울특별시는 낮은 출산율이 전망되며, 세종, 울산, 충북, 중남, 전남, 경북, 경남은 1.5미만의 상대적으로 높은 출산율이 예상된다.</p> <p>그런데 출산율 자료는 비정상(non-stationary) 시계열인 경우가 많으며, 시계열이 짧은 출산율의 경우 차분에 의한 정상화(stationary)보다는 차분하지 않고 변동을 살피는 것이 적절한 사례가 많다 (Oh, 2014). 다음 절에서는 이 부분에 대한 논의와 통계적 검정과 모형을 다루고자 한다.</p>	자연
M897-대학일반수학	<p>앞의 항에 일정한 수를 더하여 다음 항이 얻어지는 수열, 즉, \( \ a_ { n + 1 } =a_ { n } + d, \quad n=1,2, \cdots \)인 수열을 등차수열(arithmetic sequence)이라 하고 더하는 일정한 수 \( d \)를 공차라 한다.</p> <p>예제 2.2</p> <p>수열 \( 7,11, x, 19, \cdots \)가 등차수열이 되도록 공차와 \( x \) 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( d=a_ { 2 } -a_ { 1 } =11-7=4 \) 이고 \( x=a_ { 2 } + d=11 + 4=15 \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>첫째항이 \( a \)이고 공차가 \( d \)인 등차수열의 각 항을 계산해보자.</p> <p>\( a_ { 1 } =a \)</p> <p>\( a_ { 2 } =a_ { 1 } + d=a + d \)</p> <p>\( a_ { 3 } =a_ { 2 } + d=(a + d) + d=a + 2 d \)</p> <p>\( a_ { 4 } =a_ { 3 } + d=(a + 2 d) + d=a + 3 d \)</p> <p>\( \vdots \)</p> <p>따라서 일반항은 \( \ a_ { n } =a + (n-1) d \) 이다.</p> <p>예제 2.3</p> <p>다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>첫째항이 -5이고 공차가 3인 등차수열의 제10항</li> <li>제4항이 20이고 제13항이 65인 등차수열의 공차와 일반항</li></ol> <p>풀이</p> <p>1. \( a_ { 10 } =a + 9 d=-5 + 9 \cdot 3=22 \)</p> <p>2. \( a_ { 4 } =20, a_ { 13 } =65 \)이고 \( a_ { 13 } =a_ { 4 } + 9 d \)이므로 \( 65=20 + 9 d, d=5 \)</p> <p>\( a_ { 4 } =a_ { 1 } + 3 d \) 이므로 \( 20=a_ { 1 } + 3 \cdot 5, a_ { 1 } =5 \)</p> <p>따라서 일반항은 \( a_ { n } =5 + (n-1) \cdot 5=5 n \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>첫째항이 \( a \)이고 공차가 \( d \)인 등차수열에서 첫째항부터 제 \( n \)항까지의 합을 구하는 공식을 알아보자. 첫째항부터 제 \( n \)항까지의 합을 \( S_ { n } \)이라 하면 \( S_ { n } =a + (a + d) + \cdots + \left (a_ { n } -d \right ) + a_ { n } \) 이고 \( S_ { n } \)의 우변을 역순으로 쓰면 \( S_ { n } =a_ { n } + \left (a_ { n } -d \right ) + \cdots + (a + d) + a \)</p> <p>\( r=1 \) 일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =1 \)</p> <p>\( r>1 \) 일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } = \infty \)</p> <p>\( r \leq-1 \) 일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } \) 은 진동한다.</p> <p>예제 2.14</p> <p>다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } (1.01) ^ { n } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n } + 100 } { 3 ^ { n } + 1 } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 ^ { n } + 2 ^ { n } } { 3 ^ { n } -2 ^ { n } } \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } =0 \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } (1.01) ^ { n } = \infty \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { n } + 100 } { 3 ^ { n } + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n } + \frac { 100 } { 3 ^ { n } } } { 1 + \frac { 1 } { 3 ^ { n } } } = \frac { 0 + 0 } { 1 + 0 } =0 \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 ^ { n } + 2 ^ { n } } { 3 ^ { n } -2 ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 + \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n } } { 1- \left ( \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { n } } =1 \)</li></ol> <h1>2.1 등차수열과 등비수열</h1> <p>어떤 종류의 토끼는 태어난 지 두 달 후부터 매달 한 쌍의 새끼를 낳는다고 하자. 기르는 동안 죽는 토끼가 없다고 할 때, 1월 1일에 태어난 한 쌍의 토끼가 번식하여 매달 몇 쌍이 되는지 알아보자.</p> <ol type = start=1><li>1월 1일에는 1쌍</li> <li>2월 1일에도 1쌍</li> <li>3월 1일에는 새끼를 1쌍 낳으므로 모두 2쌍</li> <li>4월 1일에는 다시 새끼를 1쌍 낳으므로 모두 3쌍</li> <li>5월 1일에는 어미가 새끼를 1쌍 낳고 3월 1일에 태어난 토끼도 새끼를 1쌍 낳는다. 즉, 3월 1일에 있었던 2쌍의 토끼가 각각 1쌍씩 낳는다. 따라서 모두 5쌍</li> <li>6월 1일에는 4월 1일에 있었던 3쌍의 토끼가 각각 1쌍씩 낳으므로 모두 8쌍</li></ol> <p>이다. 7월 1일에는 토끼가 몇 쌍이 되겠는가? 매월 1일의 토끼의 쌍 수를 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, ···이다. 이렇게 수를 어떤 규칙에 따라 나열한 것을 수열(sequence)이라 한다. 수열을 이루는 각 수를 그 수열의 항이라 하고 \( \ a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } , \cdots, a_ { n } , \cdots \)이라 나타내며 간단히 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 또는 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이라 나타낸다. 또 \( a_ { n } \)을 일반항이라 한다. 예를 들어, 짝수들의 수열에서 \( a_ { 1 } =2, a_ { 2 } =4, a_ { 3 } =6, \cdots, a_ { n } =2 n, \cdots \) 이다.</p> <p>예제 2.1</p> <p>다음 수열의 처음 네 항을 나열하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( a_ { n } =3 n-2 \)</li> <li>\( a_ { n } = \frac { (-1) ^ { n } } { 2 n-1 } \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \begin {array} { ll } a_ { 1 } =3 \cdot 1-2=1, & a_ { 2 } =3 \cdot 2-2=4 \\ a_ { 3 } =3 \cdot 3-2=7, & a_ { 4 } =3 \cdot 4-2=10 \end {array} \)</li> <li>\( \begin {array} { ll } a_ { 1 } = \frac { (-1) ^ { 1 } } { 2 \cdot 1-1 } =-1, & a_ { 2 } = \frac { (-1) ^ { 2 } } { 2 \cdot 2-1 } = \frac { 1 } { 3 } \\ a_ { 3 } = \frac { (-1) ^ { 3 } } { 2 \cdot 3-1 } =- \frac { 1 } { 5 } , & a_ { 4 } = \frac { (-1) ^ { 4 } } { 2 \cdot 4-1 } = \frac { 1 } { 7 } \end {array} \)</li></ol> <p>\( \\ \\)</p> <p>예제 2.9</p> <ol type= start=1><li>\( 1 + 3 + 5 + \cdots + (2 n-1) \)</li> <li>\( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \cdots + 100 ^ { 2 } \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( 1 + 3 + 5 + \cdots + (2 n-1)= \sum_ { k=1 } ^ { n } (2 k-1) \)</li> <li>\( 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \cdots + 100 ^ { 2 } = \sum_ { k=1 } ^ { 100 } k ^ { 2 } \)</li></ol> <p>\( \\ \\)</p> <p>합의 기호 \( \sum \) 의 성질을 알아보자.</p> <p>\( \sum_ { k=1 } ^ { n } \left (a_ { k } + b_ { k } \right )= \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) + \left (a_ { 2 } + b_ { 2 } \right ) + \cdots + \left (a_ { n } + b_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { n } \right ) + \left (b_ { 1 } + b_ { 2 } + \cdots + b_ { n } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } + \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { k } \) 이다. 아래 정리의 다른 성질들도 비슷한 방법으로 쉽게 보일 수 있다.</p> <p>정리 2.3</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { k=1 } ^ { n } \left (a_ { k } + b_ { k } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } + \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { k } \)</li> <li>\( \sum_ { k=1 } ^ { n } \left (a_ { k } -b_ { k } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } - \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { k } \)</li> <li>\( \sum_ { k=1 } ^ { n } c a_ { k } =c \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } , \ c \) 는 상수</li> <li>\( \sum_ { k=1 } ^ { n } c=c n, \ c \) 는 상수</li></ol> <p>예제 2.10</p> <p>예제 2.5</p> <p>수열 \( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 9 } , x, \frac { 1 } { 81 } , \cdots \) 이 등비수열이 되도록 공비와 \( x \) 값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( a_ { 2 } =r a_ { 1 } \) 이므로 \( \frac { 1 } { 9 } =r \left (- \frac { 1 } { 3 } \right ) \). 따라서 \( r=- \frac { 1 } { 3 } \) 이고 \( x=r \frac { 1 } { 9 } =- \frac { 1 } { 3 } \cdot \frac { 1 } { 9 } =- \frac { 1 } { 27 } \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>첫째항이 \( a \) 이고 공비가 \( r \) 인 등차수열의 각 항을 계산해보자.</p> <p>\( a_ { 1 } =a \)</p> <p>\( a_ { 2 } =a_ { 1 } r= \tau a \)</p> <p>\( a_ { 3 } =a_ { 2 } r=(a r) r=a r ^ { 2 } \)</p> <p>\( a_ { 4 } =a_ { a } r= \left (a r ^ { 2 } \right ) r=a r ^ { 3 } \)</p> <p>\( \vdots \)</p> <p>따라서 일반항은 \( a_ { n } =a r ^ { n-1 } \) 이다.</p> <p>예제 2.6</p> <p>다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>첫째항이 3 이고 공비가 2 인 등비수열의 제 10 항</li> <li>제4항이 125 , 제 10 항이 \( \frac { 125 } { 64 } \) 인 등비수열의 공비와 일반항</li></ol> <p>풀이</p> <p>1. \( a_ { 10 } =a r ^ { 9 } =3 \cdot 2 ^ { 9 } =1536 \)</p> <p>2. \( a_ { 4 } =a r ^ { 3 } =125 \) 이고 \( a_ { 10 } =a r ^ { 9 } = \frac { 125 } { 64 } \) 이므로 \( 125 r ^ { 6 } = \frac { 125 } { 64 } \) \( \quad r ^ { 6 } = \frac { 1 } { 64 } , \quad r= \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>무한급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 의 부분합 \( S_ { n } \) 을 항으로 하는 수열 \( S_ { 1 } , S_ { 2 } , S_ { 3 } , \cdots, S_ { n } , \cdots \) 이 일정한 값 \( S \) 에 수렴하면 무한급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 도 \( S \) 에 수렴한다(converge)고 하고 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } =S \) 라 나타낸다. 또 수열 \( \left \langle S_ { n } \right \rangle \) 이 발산할 때 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 도 발산한다(diverge)고 한다. 특히 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } = \infty \) 일 때 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } = \infty \), \( \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } =- \infty \) 일 때 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } =- \infty \) 라 나타낸다.</p> <p>예제 2.16</p> <p>다음 무한급수의 수렴, 발산을 조사하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { (n + 1)(n + 2) } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } ) \)</li></ol> <p>풀이</p> <p>1. 부분합을 구하면 \( S_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { (k + 1)(k + 2) } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } { k + 1 } - \frac { 1 } { k + 2 } \right )= \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { n + 2 } \) 이므로 \( \lim S_ { n } = \lim \left ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { n + 2 } \right )= \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>두 식을 더하면 \( 2 S_ { n } = \left (a + a_ { n } \right ) + \left (a + a_ { n } \right ) + \cdots + \left (a + a_ { n } \right ) + \left (a + a_ { n } \right )=n \left (a + a_ { n } \right ) \) 이므로 \( S_ { n } = \frac { n \left (a + a_ { n } \right ) } { 2 } \) 이다. \( a_ { n } =a_ { 1 } + (n-1) d \) 이므로 \( S_ { n } = \frac { n[2 a + (n-1) d] } { 2 } \)</p> <p>이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 2.1</p> <p>첫째항이 \( a_ { 1 } \)이고 공차가 \( d \)인 등차수열에서 첫째항부터 제 \( n \)항까지의 합 \( S_ { n } \)은 \( S_ { n } = \frac { n \left (a + a_ { n } \right ) } { 2 } \) 또는 \( S_ { n } = \frac { n[2 a + (n-1) d] } { 2 } \)</p> <p>예제 2.4</p> <p>다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열에서 \( S_ { 8 } \)</li> <li>1에서 100까지의 자연수의 합</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( S_ { 8 } = \frac { 8[2 \cdot 3 + (8-1) \cdot 4] } { 2 } = \frac { 8(6 + 28) } { 2 } =136 \)</li> <li>첫째항이 1 이고 제 100 항이 100 인 등차수열이므로 \( A_ { 100 } = \frac { 100(1 + 100) } { 2 } =50 \cdot 101=5050 \)</li></ol> <p>앞의 항에 일정한 수를 곱하여 다음 항이 얻어지는 수열, 즉, \( a_ { n + 1 } =r a_ { n } , \quad n=1,2, \cdots \)인 수열을 등비수열(geometric sequence)이라 하고 곱하는 일정한 수 \( r \)를 공비라 한다.</p> <p>3. 분모, 분자를 \( n ^ { 2 } \)으로 나누면 \( { } ^ { 2 } \)으로 나누면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 3 } + n ^ { 2 } -1 } { n ^ { 2 } + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n + 1- \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = \infty \)</p> <p>4. 분모, 분자에 \( \sqrt { n ^ { 2 } + n } + n \)을 곱하면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } + n \right ) } {\sqrt { n ^ { 2 } + n } + n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } {\sqrt { n ^ { 2 } + n } + n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n } } + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>무한수열이 등비수열일 때 무한등비수열이라 한다. 즉, \( a, a r, a r ^ { 2 } , \cdots, a r ^ { n-1 } , \cdots \)을 무한등비수열이라 한다.</p> <p>다음 정리는 쉽게 이해할 수 있다.</p> <p>정리 2.6</p> <p>\( -1<r<1 \)일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =0 \)</p> <h1>2.3 수열의 극한</h1> <p>수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 에서 \( n \) 이 한없이 커질 때 일반항 \( a_ { n } \) 이 어떻게 변하는지 알아보자. 예를 들어 수열 \( 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots, \frac { 1 } { n } , \cdots \)에서 \( n \) 이 한없이 커지면 \( a_ { n } = \frac { 1 } { n } \) 은 0 에 한없이 가까워질 것이라고 쉽게 예측할 수 있다. 또 수열 \( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } , \frac { 3 } { 4 } , \frac { 4 } { 5 } , \cdots, \frac { n } { n + 1 } , \cdots \)에서 \( n \) 이 한없이 커지면 \( a_ { n } = \frac { n } { n + 1 } \) 은 1 에 한없이 가까워진다. 일반적으로 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 에서 \( n \) 이 한없이 커질 때 \( a_ { n } \) 이 어떤 일정한 값 \( l \) 에 한없이 가까워지면 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 은 \( l \) 로 수렴한다(converge)고 하고 \( l \) 을 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 의 극한값(limit)이라 하며 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =l \) 이라 나타낸다.</p> <p>다음 세 수열을 생각해 보자.</p> <p>\[ 1 ^ { 2 } , 2 ^ { 2 } , 3 ^ { 2 } , 4 ^ { 2 } , \cdots, n ^ { 2 } , \cdots \]</p> <p>\( \sum_ { k=1 } ^ { 10 } a_ { k } =22, \sum_ { k=1 } ^ { 10 } b_ { k } =8 \) 일 때 다음 값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { k=1 } ^ { 10 } \left (2 a_ { k } + b_ { k } \right ) \)</li> <li>\( \sum_ { k=1 } ^ { 10 } \left (5 b_ { k } -2 \right ) \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { k=1 } ^ { 10 } \left (2 a_ { k } + b_ { k } \right )=2 \sum_ { k=1 } ^ { 10 } a_ { k } + \sum_ { k=1 } ^ { 10 } b_ { k } =2 \cdot 22 + 8=52 \)</li> <li>\( \sum_ { k=1 } ^ { 10 } \left (5 b_ { k } -2 \right )=5 \sum_ { k=1 } ^ { 10 } b_ { k } - \sum_ { k=1 } ^ { 10 } 2=5 \cdot 8-2 \cdot 10=20 \)</li></ol> <p>\( \\ \\)</p> <p>자연수의 거듭제곱의 합을 구해보자. 먼저 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k=1 + 2 + 3 + \cdots + n \) 은 첫째항이 1이고 공차가 1인 등차수열의 합이므로 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k= \frac { n(n + 1) } { 2 } \) 이다. 다음에는 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k ^ { 2 } =1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } + \cdots + n ^ { 2 } \) 을 구하는 방법을 생각해보자. 항등식 \( (x + 1) ^ { 3 } -x ^ { 3 } =3 x ^ { 2 } + 3 x + 1 \) 의 \( x \) 에 \( 1,2, \cdots \), 을 각각 대입하면</p> <p>첫째항을 구하면 \( a_ { 4 } =a \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 3 } =125 \) 이므로 \( \\frac { a } { 8 } =125, \quad a=8 \cdot 125=1000 \)</p> <p>따라서 일반항은 \( a_ { n } =1000 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n-1 } = \frac { 1000 } { 2 ^ { n-1 } } = \frac { 2 ^ { 3 } \cdot 125 } { 2 ^ { n-1 } } = \frac { 125 } { 2 ^ { n-4 } } \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>첫째항이 \( a \) 이고 공비가 \( r \) 인 등비수열에서 첫째항부터 제 \( n \) 항까지의 합을 구하는 공식을 알아보자. 첫째항부터 제 \( n \) 항까지의 합을 \( S_ { n } \) 이라 하면 \( S_ { n } =a + a r + a r ^ { 2 } + \cdots + a r ^ { n-2 } + a r ^ { n-1 } \) 이고 양변에 \( r \) 을 곱하면 \( r S_ { n } =a r + a r ^ { 2 } + a r ^ { 3 } + \cdots + a r ^ { n-1 } + a r ^ { n } \)</p> <p>두 식을 빼면 \( (1-r) S_ { n } =a-a r ^ { n } \) 이므로 \( r \neq 1 \) 일 때는 \( S_ { n } = \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } \) 이고 \( r=1 \) 일 때는 \( S_ { n } =a + a + \cdots + a=n a \)</p> <p>이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 2.2</p> <p>첫째항이 \( a \) 이고 공비가 \( r \) 인 등비수열에서 첫째항부터 제 \( n \) 항까지의 합 \( S_ { n } \) 은</p> <p>무한급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 + 2 ^ { n } } { 4 ^ { n } } \) 의 합을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \frac { 1 + 2 ^ { n } } { 4 ^ { n } } = \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { n } + \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \) 이고 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { n } \) 과 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \) 이 수렴하므로 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 + 2 ^ { n } } { 4 ^ { n } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { n } + \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \right ) = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } = \frac {\frac { 1 } { 4 } } { 1- \frac { 1 } { 4 } } + \frac {\frac { 1 } { 2 } } { 1- \frac { 1 } { 2 } } = \frac { 4 } { 3 } \)</p> <p>이것은 첫째항이 \( a(1 + r) \) 이고 공비가 \( 1 + r \) 인 등비수열의 첫째항부터 제 \( n \) 항까지의 합이므로 \( S_ { n } = \frac { a(1 + r) \left [(1 + r) ^ { n } -1 \right ] } { (1 + r)-1 } = \frac { a(1 + r) \left [(1 + r) ^ { n } -1 \right ] } { r } \)이다.</p> <h1>2.2 합의 기호 \( \sum \)</h1> <p>일정한 규칙을 가진 수를 여러 개 더할 때에는 기호 \( \sum \) 를 이용하여 다음과 같이 나타내면 편리하다.</p> <p>\[ a_ { 1 } + a_ { 2 } + \cdots + a_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } \]</p> <p>즉, \( \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } \) 는 \( a_ { k } \) 의 \( k \) 에 \( 1,2, \cdots, n \) 을 대입하여 얻은 항 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \) 의 합을 의미한다. 따라서 \( k \) 대신 다른 문자를 써도 된다. 예를 들면 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } = \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } = \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { j } \) 이다.</p> <p>\( \sum \) 는 '합'을 뜻하는 영어 'Summation'의 S에 해당하는 그리스 문자의 대문자로 시그마(Sigma)라고 읽는다. 합을 나타내는 기호로는 \( \sum \) 외에 적분을 나타내는 \( \int \) 도 있다. \( \int \) 은 영어 \( \mathrm { S } \) 를 아래위로 길게 늘인 것이다. 두 기호의 차이는 \( \sum \) 는 이산적인 양을 더할 때 이용되고 \( \int \) 는 주로 연속적인 양을 더할 때 이용된다는 것이다.</p> <p>예제 2.13</p> <p>다음 극한값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n-10 } { 3 n + 2 } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n ^ { 2 } -n + 2 } { n ^ { 2 } + 1 } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ^ { 3 } + n ^ { 2 } -1 } { n ^ { 2 } + 1 } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) \)</li></ol> <p>풀이</p> <p>1. 분모, 분자를 \( n \) 으로 나누면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n-10 } { 3 n + 2 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1- \frac { 10 } { n } } { 3 + \frac { 2 } { n } } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } 1-10 \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } } {\lim _ { n \rightarrow \infty } 3 + 2 \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } } = \frac { 1-10 \cdot 0 } { 3 + 2 \cdot 0 } = \frac { 1 } { 3 } \)</p> <p>2. 분모, 분자를 \( n ^ { 2 } \) 으로 나누면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 n ^ { 2 } -n + 2 } { n ^ { 2 } + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2- \frac { 1 } { n } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } } } { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } 2- \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } + 2 \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } {\lim _ { n \rightarrow \infty } 1 + \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } = \frac { 2-0 + 2 \cdot 0 } { 1 + 0 } =2 \)</p> <p>따라서 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { (n + 1)(n + 2) } = \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>2. 부분합을 구하면 \( S_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } ( \sqrt { k + 1 } - \sqrt { k } )= \sqrt { n + 1 } -1 \) 이므로 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } ( \sqrt { n + 1 } -1)= \infty \)</p> <p>따라서 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } ( \sqrt { n + 1 } - \sqrt { n } )= \infty \)</p> <p>\( \\ \\)</p> <p>첫째항이 \( a \) 이고 공비가 \( r \) 인 무한등비급수 \( \left \langle a r ^ { n-1 } \right \rangle \) 에서 얻은 무한 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a r ^ { n-1 } =a + a r + a r ^ { 2 } + \cdots \) 를 무한등비급수라 한다. 무한등비급수의 부분합은 \( S_ { n } =a + a r + a r ^ { 2 } + \cdots + a r ^ { n-1 } \) \( = \left \{\begin {array} { ll } \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } , & r \neq 1 \\ n a, & r=1 \end {array} \right . \) 이다. \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } = \left \{\begin {array} { ll } 0, & \|r\|<1 \\ \text { 발산, } , & r>1 \text { 또는 } r \leq-1 \end {array} \right . \) 이므로 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } S_ { n } = \left \{\begin {array} { ll } \frac { a } { 1-r } , & \|r\|<1 \\ \text { 발산, } & r=1 \\ \text { 발산, } & r>1 \text { 또는 } r \leq-1 \end {array} \right . \) 이다. 이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>\( r \neq 1 \) 일 때 \( S_ { n } = \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } = \frac { a \left (r ^ { n } -1 \right ) } { r-1 } \)</p> <p>\( r=1 \) 일 때 \( S_ { n } =n a \)</p> <p>예제 2.7</p> <p>첫째항이 9 이고 공비가 \( - \frac { 2 } { 3 } \) 인 등비수열의 처음 4 개항의 합을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( S_ { 4 } = \frac { a \left (1-r ^ { n } \right ) } { 1-r } = \frac { 9 \left [1- \left (- \frac { 2 } { 3 } \right ) ^ { 4 } \right ] } { 1- \left (- \frac { 2 } { 3 } \right ) } = \frac { 9 \left (1- \frac { 16 } { 81 } \right ) } {\frac { 5 } { 3 } } = \frac { 13 } { 3 } \)</p> <p>예제 2.8</p> <p>연이율이 \( r \) 이고 1 년마다 복리로 매년 초에 \( a \) 원을 적립할 때 \( n \) 년째 연말의 원리합계를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( a \) 원을 저금하여 1년 후에는 \( \text { 원금 } + 1 \text { 년간의 이자 } =a + a r=a(1 + r) \) 이고 2 년 후에는 \( \text { 1년 후의 원리합계 } + \text { 1년간의 이자 } =a(1 + r) + a(1 + r) r=a(1 + r) ^ { 2 } \) 이며 3년 후에는 \( \text { 2년 후의 원리합계 } + \text { 1년간의 이자 } =a(1 + r) ^ { 2 } + a(1 + r) ^ { 2 } r=a(1 + r) ^ { 3 } \) 이다. 따라서 첫해에 저금한 \( a \) 원은 \( n \) 년째 연말에는 \( a(1 + r) ^ { n } \)이 된다. 마찬가지 방법으로 두 번째 해에 저금한 \( a \) 원은 \( n-1 \) 년 동안 저금한 것이므로 \( a(1 + r) ^ { n-1 } \)이 되며 마지막 해 초에 저금한 \( a \) 원은 1 년 동안 저금한 것이므로 \( a(1 + r) \)이 된다. 따라서 원리합계는 \( S_ { n } =a(1 + r) + a(1 + r) ^ { 2 } + \cdots + a(1 + r) ^ { n-1 } + a(1 + r) ^ { n } \)</p> <h1>2.4 무한급수</h1> <p>수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 의 각 항을 더한 \( a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } + \cdots \) 을 급수(series) 또는 무한급수(infinite series)라 한다. 위의 급수를 \( \sum \) 을 이용하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 이라 나타낸다. 무한급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 에서 처음 \( n \) 개 항의 합 \( S_ { n } =a_ { 1 } + a_ { 2 } + a_ { 3 } + \cdots + a_ { n } \) 을 이 급수의 부분합(partial sum)이라 한다.</p> <p>예제 2.15</p> <p>다음 무한급수의 부분합을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n(n + 1) } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 3 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \)</li></ol> <p>풀이</p> <p>1. 부분분수로 변형하여 계산하면 \( S_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \frac { 1 } { k(k + 1) } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \left ( \frac { 1 } { k } - \frac { 1 } { k + 1 } \right ) =1- \frac { 1 } { n + 1 } = \frac { n } { n + 1 } \)</p> <p>2. 첫째항이 \( \frac { 3 } { 2 } \) 이고 공비가 \( \frac { 1 } { 2 } \) 인 등비수열의 제 \( n \) 항까지의 합이므로 \( S_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } 3 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { k } = \frac {\frac { 3 } { 2 } \left (1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \right ) } { 1- \frac { 1 } { 2 } } =3-3 \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } \)</p> <p>\( 2 ^ { 3 } -1 ^ { 3 } =3 \cdot 1 ^ { 2 } + 3 \cdot 1 + 1 \)</p> <p>\( 3 ^ { 3 } -2 ^ { 3 } =3 \cdot 2 ^ { 2 } + 3 \cdot 2 + 1 \)</p> <p>\( \quad \vdots \)</p> <p>\( (n + 1) ^ { 3 } -n ^ { 3 } =3 \cdot n ^ { 2 } + 3 \cdot n + 1 \)</p> <p>이다. 이 \( n \) 개의 식을 더하면 \( (n + 1) ^ { 3 } -1 ^ { 3 } =3 \sum_ { k=1 } ^ { n } k ^ { 2 } + 3 \sum_ { k=1 } ^ { n } k + \sum_ { k=1 } ^ { n } 1 \)</p> <p>그런데 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k= \frac { n(n + 1) } { 2 } \) 이고 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } 1=n \) 이므로 \( 3 \sum_ { k=1 } ^ { n } k ^ { 2 } =(n + 1) ^ { 3 } -1- \frac { 3 n(n + 1) } { 2 } -n= \frac { n(n + 1)(2 n + 1) } { 2 } \)</p> <p>따라서 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k ^ { 2 } = \frac { n(n + 1)(2 n + 1) } { 6 } \)</p> <p>같은 방법으로 항등식 \( (x + 1) ^ { 4 } -x ^ { 4 } =4 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 4 x + 1 \) 의 \( x \) 에 \( 1,2, \cdots, n \) 을 각각 대입하여 얻은 \( n \) 개의 식을 더하고 정리하면 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } k ^ { 3 } = \left ( \frac { n(n + 1) } { 2 } \right ) ^ { 2 } \) 을 얻는다. 이상을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 2.7</p> <p>무한등비급수의 합은</p> <p>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a r ^ { n-1 } = \left \{\begin {array} { ll } \frac { a } { 1-r } , & \|r\|<1 \\ \text { 발산, } , & \|r\| \geq 1 \end {array} \right . \)</p> <p>예제 2.17</p> <p>다음 무한등비급수의 수렴, 발산을 조사하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 2 } { 3 ^ { n } } \)</li> <li>\( 1- \sqrt { 2 } + 2-2 \sqrt { 2 } + - \cdots \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>첫째항이 \( \frac { 2 } { 3 } \) 이고 공비가 \( \frac { 1 } { 3 } \) 인 무한등비급수이므로 \( S= \frac {\frac { 2 } { 3 } } { 1- \frac { 1 } { 3 } } =1 \)</li> <li>공비가 \( - \sqrt { 2 } \) 이고 \( \|- \sqrt { 2 } \| \geq 1 \) 이므로 발산한다.</li></ol> <p>\( \\ \\)</p> <p>앞 절에서 \( \sum \) 기호는 \( \sum_ { k=1 } ^ { n } \left (a_ { k } + b_ { k } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k } + \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { k } \) 를 만족함을 알았다. 또, 두 수열의 합의 극한은 각 극한의 합과 같음을 알고 있다. 따 라서 수렴하는 무한급수에 대해서는 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>정리 2.8</p> <p>두 무한급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \) 과 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } \) 이 수렴하면</p> <ol type= start=1><li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } + b_ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left (a_ { n } -b_ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } - \sum_ { n=1 } ^ {\infty } b_ { n } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } c a_ { n } =c \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } , c \) 는 상수</li></ol> <p>예제 2.18</p>	자연
집합론_관계와 함수	<p>정의 \(4 \) 집합 \( \mathrm { X } \)에서 관계집합 \( (X ; R) \)에 관하여<ol type=1 start=1><li>임의의 \( x \in X, { } _ { x } R_ { x } \) (반사율; reflexive law)</li> <li>\( { } _ { x } R_ { y } \Rightarrow { } _ { y } R_ { x } \) (대칭률; symmetric law)</li> <li>\( { } _ { x } R_ { y } , { } _ { y } R_ { z } \Rightarrow { } _ { x } R_ { z } \) (추이율; transitive law)</li></ol>이 만족되면 \( \mathrm { X } \) 위의 관계 \( R \)를 \( \mathrm { X } \) 위에서 동치관계(equivalence relation)라 하고 \( (X ; R) \)를 동치관계집합이라 한다. 더 나아가 \( x( \in X) \)에 대하여 \( R_ { x } = \left \{\left .y \in X \right \| { } _ { x } R_ { y } \right \} \)를 \( (X ; R) \)에서 \( x \)의 동치류(equivalence class)라고 한다. 여기서 \( R_ { x } \)의 원 \( x \)를 \( R_ { x } \)의 대표원(representative element)이라고 한다.</p> <p>예제 \(7 \) 예제 \(6 \)에서 언급했듯이 임의의 고정된 자연수 \( m \)에 대하여 정수의 집합 \( \mathbb { Z } \) 위의 합동관계(congruence relation) \( " \equiv \) 법(modulo) \( m " \)을 적당한 \( k \in \mathbb { Z } \)가 존재하여 \( x-y=k m \)이면 " \( x \equiv y( \bmod m) \)"으로 다시 정의해보면 그 합동관계집합 \( ( \mathbb { Z } , \equiv( \bmod m)) \)는 집합 \( \mathbb { Z } \) 위에서 동치관계집합이다.</p> <h1>\( 3.2 \) 분할과 동치관계</h1> <p>여기서 소개하는 분할 개념은 수학, 공학뿐만 아니라 인문, 사회과학에서도 매우 유용하게 사용되는 개념이다.</p> <p>정의 \(3 \) 집합 \( X( \neq \phi) \)에 대하여 그 공집합이 아닌 부분집합족 \[ \left \{ X_ {\alpha } ( \neq \phi) \mid \alpha \in M, X_ {\alpha } \subset X, X_ {\alpha } \neq \varnothing \right \} \] 을 \( X \)의 분할(partition)이라 함은<ol type = a start=1><li>\( \bigcup_ {\alpha \in M } X_ {\alpha } =X \)</li> <li>\( X_ {\alpha } \neq X_ {\beta } \) 이면 \( X_ {\alpha } \bigcap X_ {\beta } = \phi \)</li></ol>이 성립함을 뜻한다.</p> <p>예제 \(5 \) 집합 \( X= \{ 1,2,3, \cdots, 10 \} \)이고 그 부분집합이 \( X_ { 1 } = \{ 1,3 \} , X_ { 2 } = \{ 7,8,10 \} \), \( X_ { 3 } = \{ 2,5,6 \} , X_ { 4 } = \{ 4,9 \} \)일 때 \( \left \{ X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , X_ { 4 } \right \} \)는 \( X \)의 한 분할이다.</p> <p>예제 \(6 \) \( m \)이 임의의 고정된 자연수일 때 각 정수 \( j, 0 \leq j<m \)에 대하여 \[ \mathbb { Z } _ { j } = \{ x \in \mathbb { Z } \mid \exists k \in \mathbb { Z } \text { s.t. } x-j=k m \} \] 이라 눟으면 집합족 \( \left \{\mathbb { Z } _ { 0 } , \mathbb { Z } _ { 1 } , \mathbb { Z } _ { 2 } , \cdots, \mathbb { Z } _ { m-1 } \right \} \)은 집합 \( Z \)의 하나의 분할이다.</p> <p>특히 \( m=2 \) 인 경우 두 집합 \[ \mathbb { Z } _ { 0 } = \{ x \in \mathbb { Z } \mid x \text { 는 짝수이다 } \} , \mathbb { Z } _ { 1 } = \{ x \in \mathbb { Z } \mid x \text { 는 홀수이다 } \} \] 는 집합 \( \mathbb { Z } \)의 한 분할이다.</p> <h1>3.1 관계</h1> <p>수학은 관계와 순서를 다루는 학문이라 할 정도로 관계는 수학 전반에 걸쳐서 적용되는 개념이다.</p> <p>두 집합 \( X, Y \) 에 대하여 \( X \) 의 원소 \( x \) 와 \( Y \) 의 원소 \( y \) 에 대하여 \( R \) 라는 관계(relation)가 있음을 \( { } _ { x } R_ { y } ( \) 혹은 \( (x, y) \in R) \)로 표시한다. 여기서 \( { } _ { x } R_ { y } \) 는 \( x \) 와 \( y \)를 사용한 명제이다. 또 \( { } _ { x } R_ { y } \)의 부정은 \( { } _ { x } \overline { R_ { y } } \) (혹은 \( (x, y) \notin R \) )로 표시한다. 여기서 \( X \) 와 \( Y \)는 같아도 상관없다. 관계 \( R \)를 데카르트 곱과 연관지어 다음과 같이 정확히 정의한다.</p> <p>정의 \(1 \) 집합 \( X \)에서 \( Y \)로의 관계 \( R \)는 데카르트 곱 \( X \times Y \)의 부분집합이다. 관례상 \( (x, y) \in R \)를 \( { } _ { x } R_ { y } \)로 나타내고 “ \( x \) 는 명제 \( R \)에 의하여 \( y \)에 관계가 있다"라고 읽는다. \( X \)에서 \( Y \)로의 관계를 \( (X, Y ; R) \)로 표현하고, \( (X, Y ; R) \)를 관계집합이라 한다. 또 관계를 \( R = \left \{\left .(x, y) \right \| { } _ { x } R_ { y } \right \} \)로 표시하기도 한다. 만약 \( X \)와 \( Y \)가 같으면 \( X \)에서 \( X \)로의 관계를 \( (X ; R) \)로 표현하고 \( (X ; R) \)를 \( X \) 위에서 관계집합(relation set)이라 한다.</p> <p>예제 \(1 \) 집합 \( X \)에서 관계집합 \( \{ (x, x) \mid x \in X \} \subset X \times X \)를 특히 항등관계(identity relation) 또는 대각선(diagonal)이라 하고 \( \Delta \) 또는 \( \Delta_ { X } \)로 표시한다.</p> <p>예제 4 예제 2에서 \( \operatorname { Dom } (R)= \{ 1,2,3 \} \)이고 \( \operatorname { Im } (R)= \{ 3,4 \} \)이다. 두 관계집합 \( (X ; R), \left (Y ; R ^ {\prime } \right ) \)에 대하여 사상 \( f: X \rightarrow Y \)가 조건 “ \( \exists { } ^ {\forall } { } _ { x } R_ { y } \Rightarrow { } _ { f(x) } R_ { f(y) } ^ {\prime } \)" 를 만족하면 \( f \)를 관계를 유지하는 사상(relation preserving map)이라고 한다.</p> <p>연습문제 3.1 1. \( X= \{ a, b, c, d \} \)이고 \( R= \{ (a, c),(b, d),(c, b),(d, a) \} \)라 할 때 \( X \)에서의 관계 \( R \)의 정의역과 그 상을 구하여라.</p> <p>2. \( X \)에서 \( Y \)로의 관계 \( (X, Y ; R) \)와 역관계 \( \left (Y, X ; R ^ { -1 } \right ) \)는 \( \left (R ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =R \)임을 증명하여라.</p> <p>3. \( X \)에서 \( Y \)로의 관계 \( (X, Y ; R) \)에서 다음을 증명하여라.<ol type = 1 start=1><li>\( \operatorname { Dom } \left (R ^ { -1 } \right )= \operatorname { Im } (R) \)</li> <li>\( \operatorname { Im } \left (R ^ { -1 } \right )= \operatorname { Dom } (R) \)</li></ol></p> <p>4. 다음 관계 \( ( \mathbb { N } ; R) \)에서 ( \(1 \)) \( \operatorname { Dom } (R) \), ( \(2 \)) \( \operatorname { Im } (R) \)과 \( R ^ { -1 } \)을 구하여라. 관계 \( R= \{ (x, y) \mid x \in \mathbb { N } , y \in \mathbb { N } , 2 x + y=10 \} \)이다.</p>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<h2>보기3</h2> <p>곡선 \( C \)가 원기둥 \( x^{2}+y^{2}=4 \)를 평면 \( z=5-x-y \)로 자른 단면의 경계선으로서 위에서 보아 반시계방향일 때 \( F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k \)에 대하여 \( \oint_{C} F \cdot d s \)를 계산하여라.</p> <h2>풀이</h2> <p>curlF \( =(0,0,0) \)이므로 스톡스의 정리에 의하여 \( \oint_{C} \cdot d s=0 \)이다. 보기 3에서와 같이 \( \operatorname{curl} F=(0,0,0) \)이면 단순폐곡선 위에서의 적분이 0이 되어 \( F \)는 보 존장임을 알 수 있다. 그러나 이때 \( F \)의 정의역이 단순연결영역(simply connected region)이라고 불리는 영역이어야 한다. 예를 들어 두 원기둥 사이에 있는 영역 \( D=\left\{(x, y, z): \frac{1}{4} \leq x^{2}+y^{2} \leq 9\right\} \)은 단순연결영역이 아니며 이 영역이 \( F \)의 정의역이면 폐곡선 \( C=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}\right. \) \( =1, z=4\} \)은 정의역에 들어있는 어떤 유한한 넓이를 갖는 곡면의 경계선으로 볼 수 없기에 스톡스의 정리를 적용할 수 없다.</p> <h2>보기4</h2> <p>벡터장 \( F(x, y, z)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}} i+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} j+4 k \)의 정의역을 살펴보고 curlF와 \( \oint_{C} F \cdot d s \)를 구하여라. 여기서 \( C: r(t)=(\cos t, \sin t, 4), t \in[0,2 \pi] \)이다.<h2>풀이</h2> <p>\( F \)가 정의될 수 있는 영역은 \( \{(x, y, z):(x, y) \neq(0,0)\} \), 즉 \( \mathbb{R}^{3}-\{z \) 축 \( \} \)이다. curlF \( =(0,0,0) \)이고 \( \oint_{C} F \cdot d s=2 \pi \)이다.</p> <h2>도입문제 1 [풀이]</h2> <p>이 선적분 계산은 거의 불가능하나 스톡스의 정리를 써서 곡면적분을 계산하면 curlF \( =(0,0,0) \)이므로 \( \oint_{C} F \cdot d s=0 \)이다.</p> <ul> <li>\( \mathrm{curl} \)의 의미</li></ul> <p>곡면 \( S \)가 한 점 \( P \)를 중심으로 갖는 아주 작은 원판 혹은 직사각형이면 대략 \[ \iint_{S} \operatorname{curl} F \cdot \mathrm{n} d S \approx \operatorname{curl} F(P) \cdot \mathrm{n}(P) \Delta S \] 라고 할 수 있다. 여기서 \( \Delta S \)는 \( S \)의 면적이다. 혹은 그린의 정리에서 설명한 것처럼 이 중적분의 중간값 정리를 이용하여 \[ \iint_{S} c u r l F \cdot \mathrm{n} d S=c u r l F(P) \cdot \mathrm{n}(P) \Delta S \] 라고 할 수 있고, 이때 점 \( P \)는 중심에 있는 점은 아닐 수 있다. 스톡스의 정리에 의해 \[ \oint_{\partial S} F \cdot d s=\iint_{S} c u r l F \cdot \mathrm{n} d S \text { 이므로 } \] \[ \operatorname{curl} F(P) \cdot \mathrm{n}(P) \approx \frac{1}{\Delta S} \oint_{\partial S} F \cdot d s \text { 혹은 } \operatorname{curl} F(P) \cdot \mathrm{n}(P)=\lim _{\Delta S \rightarrow 0} \frac{1}{\Delta S} \oint_{\partial S} F \cdot d s \] 로서 curl이 순환(circulation)과 관계가 있음을 볼 수 있다. (13장 토론문제 참고)</p> <h1>19 스톡스의 정리</h1> <h2>도입문제 1</h2> <p>곡선 \( C \)는 원기둥 표면 \( x^{2}+y^{2}=16 \)과 평면 \( z=x+2 y \) \( +4 \)의 교선으로서 위에서 보아 반시계방향이라고 할 때 \( F(x, y, z) \) \( =\left(e^{x} \sin y-x^{2}\right) i+\left(e^{x} \cos y+y^{3}\right) j+\left(e^{z} \sin z+z^{4}\right) k \)의 \( C \)에서의 선적분을 어떻게 계산할 것인가?</p> <p>그린의 정리는 평면에 놓인 폐곡선 위에서의 벡터장의 선적분을폐곡선에 의해 둘러싸인 면 위에서의 이중적분으로 나타낼 수 있는경우를 보여 주었다 다음의 스톡스의 정리는 그린의 정리를. (Stokes)차원 공간 속의 폐곡선 위에서의 선적분에 관한 것으로 좀 더 일반적인 경우를 다룬다.</p> <h2>정리 1 \| 스톡스의 정리</h2> <p>곡면 \( S \)가 함수 \( g: D \rightarrow \mathbb{R}, z=g(x, y) \)의 그래프이고 \( g(x, y) \)는 두 번 미분가능하며 모든 2 계 편미분이 연속이고 \( D \)는 \( x y \) 평면의 영역으로서 경계선 \( \partial D \) 이 단순폐곡선이 라고 하자. 곡면 \( S \) 의 경계선 \( C \)는 단순폐곡선으로서 구분적으로 매끈한 곡선 (piecewise smooth curve)이며 \( S \)의 단위법벡터 n과 \( C \)의 방향은 그림과 같이 오른손 의 법칙(오른손으로 \( C \)의 방향을 따라 네 손가락을 감을 때 곡면은 손바닥 쪽에 위치하고 \( \mathrm{n} \)은 엄지손가락이 가리키는 방향을 가리킴)을 만족하는 방향일 때 이 곡면 위에 서 일급 벡터장 \( F(x, y, z)=\left(F_{1}(x, y, z), F_{2}(x, y, z), F_{3}(x, y, z)\right) \)에 대하여 \[ \oint_{C} F \cdot d s=\iint_{S} c u r l F \cdot \mathbf{n} d \sigma \] 이다.</p> <h2>증명 *</h2> <p>곡선 \( \partial D=\{(x(t), y(t)) \mid t \in[a, b]\} \)는 위(양의 \( z \) 축)에서 보아 반시계방향이라고 하자. 그러면 곡선 \[ C=\{r(t)=(x(t), y(t), z(t)) \mid z(t)=g(x(t), y(t)), t \in[a, b]\} \] 도 반시계방향이고 \[ n=\frac{\left(-g_{x},-g_{y}, 1\right)}{\sqrt{\left(-g_{x}\right)^{2}+\left(-g_{y}\right)^{2}+1}} \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \iint_{S} c u r l F \cdot \mathrm{n} d \sigma &=\iint_{D}\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}, \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}, \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right) \cdot\left(-g_{x},-g_{y}, 1\right) d A \\ &=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)\left(-g_{x}\right)+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\left(-g_{y}\right)+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\right] d A \end{aligned} \] 이다. 또한, \[ \oint_{C} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left(F_{1}, F_{2}, F_{3}\right) \cdot\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) d t, z^{\prime}=\frac{d g}{d t}=g_{x} \frac{d x}{d t}+g_{y} \frac{d y}{d t}=g_{x} x^{\prime}+g_{y} y^{\prime} \] 이므로 \[ \oint_{C} F \cdot d s=\int_{a}^{b}\left[\left(F_{1}+F_{3} g_{x}\right) x^{\prime}+\left(F_{2}+F_{3} g_{y}\right) y^{\prime}\right] d t=\int_{\partial D}\left(F_{1}+F_{3} g_{x}\right) d x+\left(F_{2}+F_{3} g_{y}\right) d y \] 이다. 그린의 정리를 적용하면 \[ \int_{\partial D}\left(F_{1}+F_{3} g_{x}\right) d x+\left(F_{2}+F_{3} g_{y}\right) d y=\iint_{D}\left[\frac{\partial\left(F_{2}+F_{3} g_{y}\right)}{\partial x}-\frac{\partial\left(F_{1}+F_{3} g_{x}\right)}{\partial y}\right] d A \] 이다. 이 적분에서 \[ \begin{array}{l} F_{1}(x, y, z)=F_{1}(x, y, g(x, y)), \\ F_{2}(x, y, z)=F_{2}(x, y, g(x, y)), \\ F_{3}(x, y, z)=F_{3}(x, y, g(x, y)) \end{array} \] 이므로 합성함수 미분법(연쇄법칙)에 의하여 \[ \begin{aligned} \frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial x} &=\frac{\partial F_{2}(x, y, g(x, y))}{\partial x} \\ &=\frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} \\ &=\frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}(x, y, z)}{\partial z} g_{x} \end{aligned} \] 이고 다른 편미분도 합성함수 미분법을 써서 계산하면 다음 결과를 얻는다. \[ \begin{aligned} \oint_{C} F \cdot d s=& \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}+\frac{\partial F_{2}}{\partial z} g_{x}+\frac{\partial F_{3}}{\partial x} g_{y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z} g_{x} g_{y}+F_{3} \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}\right)\right.\\ &\left.-\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial y}+\frac{\partial F_{1}}{\partial z} g_{y}+\frac{\partial F_{3}}{\partial y} g_{x}+\frac{\partial F_{3}}{\partial z} g_{y} g_{x}+F_{3} \frac{\partial^{2} g}{\partial y \partial x}\right)\right] d A \\ =& \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}\right)\left(-g_{x}\right)+\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}\right)\left(-g_{y}\right)+\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right)\right] d A \\ =& \iint_{S} \operatorname{curlF} \cdot \mathrm{n} d \sigma \end{aligned} \]</p> <ul> <li>스톡스의 정리는 \( S \)가 함수의 그래프인 경우뿐 아니라 다양한 곡면에 대해 성립함이 잘 알려져 있다.</li> <li>스톡스의 정리에서 \( S \)가 \( x y \) 평면에 있는 곡면이면 그린의 정리와 같은 결론을 얻는다. 경계선 \( C \)가 반시계방향일 때, \( n=k=(0,0,1) \)이므로 \( F=F_{1} i+F_{2} j+F_{3} k \)에 대하여 \( \operatorname{curlF} \cdot \mathrm{n}=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} \)이고 \( C \)의 매개변수식 \( X(t)=(x(t), y(t), z(t)) \)에서 \( z(t)=0 \)이므로 \( X^{\prime}(t)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}, 0\right) \) 이고 \( \oint_{C} F \cdot d s=\oint_{C} F_{1} d x+F_{2} d y \)이기 때문이다.</li></ul>	자연
사범대생을 위한 대수학_환과 다항식환	<p>따름정리 \( 5.2 .5 p \) 가 소수이면 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { p } \right )= \varnothing \text { . 즉, } \mathbb { Z } _ { p } \text { 는 영인자가 없다. } \]</li></ul></p> <p>\( ※ \mathbb { Z } _ { p } \) 는 정역이다.</p> <p>(증명) 정리 \(5.2.4 \)에 의하여 성립한다.</p> <p>문제 \(5.2.6 \) 체 \( R \) 은 영인자를 갖지 않음을 보여라. 그러므로 체는 정역이다.</p> <p>정의 \(5.2.7 \) [소거법칙(cancellation law, 消土法則)] 환 \( R \) 의 원소 \( a, b, c \in R \) 에 대하여</p> <p>환 \( R \) 이 소거법칙(소약율)을 만족 \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \quad \left \{\begin {array} { lll } a b=a c(a \neq 0) & \Longrightarrow & b=c \\ b a=c a(a \neq 0) & \Longrightarrow & b=c \end {array} \right . \)</p> <p>※ 덧셈에 대한 소거법칙은 군의 성질(정리 \(2.1.10 \))에 의해 항상 성립한다.</p> <p>정리 \(5.2.8 \) 환R에 대하여 다음은 동치명제이다.<ul> <li>\( R \) 이 소거법칙 만족 \( \quad \Longleftrightarrow \quad \operatorname { Zero } (R)= \varnothing \)</li></ul></p> <p>(증명) \( ( \Rightarrow) \operatorname { Zero } (R) \neq \varnothing \) 이라 하자. 그러면 \( a( \neq 0) \in \operatorname { Zero } (R) \) 와 \( b( \neq 0) \in R \) 가 존재하여 \[ a b=0=a 0 \] 이다. 소거법칙에 의해 \( b=0 \) 이 되어 모순이다. 따라서 \( \operatorname { Zero } (R)= \varnothing \) 이다. \( ( \Leftarrow) a, b, c \in R \) 에 대하여 \[ a b=a c, \quad a \neq 0 \] 라 하자. 그러면 \[ 0=a b-a c=a(b-c) \] 영인자가 없으므로 \( b-c=0 \) 이어야 한다. 따라서 \( b=c \) 이다. 또한 \( b a=c a, a \neq 0 \) 이면 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p> <p>예 \(5.5.9 \) \( \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } = \{ 1,2,3,4 \} \) 는 정리 \(5.5.8 \)에 의하여 곱셈 순환군이므로 생성원을 찾아보자. 따름정리 \(2.3.12(2) \)에 의하여 \( \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } \) 의 생성원 수는 \( \varphi( \varphi(5))= \varphi(4)=2 \) 개이다. 실제로 계산하여 생성원을 찾아 보면 \[ \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } = \langle 2 \rangle= \left \{ 2,2 ^ { 2 } , 2 ^ { 3 } , 2 ^ { 4 } \right \} \] 이어서 \(2 \) 가 \( \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } \) 의 생성원이다. 다른 생성원을 찾기 위해서 따름정리 \(2.3.12(1) \)을 이용하면 \( 2 ^ { r } \) 에서 \( r \) 이 \( \|2\|=4 \) 와 서로소인 \( r=3 \) 에서 생성원이 된다. 즉, \( 2 ^ { 3 } =3 \) 도 \( \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } \) 의 생성원이다. 계산해보면 \[ \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } = \langle 3 \rangle= \left \{ 3,3 ^ { 2 } , 3 ^ { 3 } , 3 ^ { 4 } \right \} \] 이다. 따라서 \( \mathbb { Z } _ { 5 } ^ { * } \) 의 생성원은 \(2 \) 와 \(3 \) 이다.</p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.5 \))</h3> <ol type= start=1><li>다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>\( n \) 이 홀수이면, \( x ^ { n } + 1 \) 은 \( x + 1 \) 의 배수임을 보여라.</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 \( x + 2 \) 는 \( x ^ { m } + 2 \) 의 약수임을 보여라.</li></ol></li> <li>주어진 환 안에서 각 다항식의 모든 근을 구하라. [참조: 원소 직접 대입]<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 에서 \( x ^ { 2 } + 1 \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 5 } \) 에서 \( x ^ { 5 } + 3 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 x \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 10 } \) 에서 \( x ^ { 2 } -x \)</li></ol></li> <li>체 \( \mathbb { Z } _ { 5 } \) 에서 \( 2 x ^ { 219 } + 3 x ^ { 74 } + 2 x ^ { 57 } + 3 x ^ { 44 } \) 의 모든 근을 구하라. [참조: Fermat 정리 이용]</li> <li>곱셈순환군 \( \mathbb { Z } _ { 11 } ^ { * } = \{ 1,2, \cdots, 10 \} \) 의 생성원을 모두 찾아라.</li> <li>\( p \) 는 소수이다. \( x ^ { p } -x \in \mathbb { Z } _ { p } [x] \) 는 \( p \) 개의 근을 가짐을 보여라.</li> <li>\( f(x) \) 를 \( g(x) \) 로 나누었을 때, 몫과 나머지를 구하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 \( f(x)=x ^ { 4 } + 2 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 x + 1, g(x)=x + 2 \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 7 } [x] \) 에서 \( f(x)=x ^ { 6 } + 3 x ^ { 5 } + 4 x ^ { 2 } -3 x + 2, g(x)=x ^ { 2 } + 2 x-3 \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 11 } [x] \) 에서 \( f(x)=x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } , g(x)=5 x ^ { 2 } -x + 2 \)</li></ol></li></ol> <p>정리 5.4.11 환 \( R \) 위의 다항식환 \( R[x] \)에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( R \)이 단위원을 가진 가환환 \( \Longrightarrow R[x] \)도 단위원을 가진 가환환</li> <li>\( D \)가 정역 \( \Longrightarrow D[x] \)도 정역이고 \( U(D[x])=U(D) \)</li> <li>\( F \)가 체 \( \Longrightarrow F[x] \)는 정역(체가 아님)</li></ol></p> <p>(증명)</p> <ol type= start=1><li>다항식환 \( R[x] \)의 원소 \[ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , \quad g(x)=b_ { 0 } + b_ { 1 } x + \cdots + b_ { m } x ^ { m } \]에 대하여, \( n \leq m \)이라 할 때, \[ f(x) g(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + \cdots + c_ { n + m } x ^ { n + m } , \quad c_ { i } = \sum_ { k=0 } ^ { i } a_ { k } b_ { i-k } =a_ { 0 } b_ { i } + a_ { 1 } b_ { i-1 } + \cdots + a_ { i } b_ { 0 } \]에서 \( R \)이 가환환이므로 \[ c_ { i } = \Sigma_ { k=0 } ^ { i } a_ { k } b_ { i-k } =a_ { 0 } b_ { i } + a_ { 1 } b_ { i-1 } + \cdots + a_ { i } b_ { 0 } =b_ { 0 } a_ { i } + \cdots + b_ { i-1 } a_ { 1 } + b_ { i } a_ { 0 } = \Sigma_ { k=0 } ^ { i } b_ { k } a_ { i-k } \] 이다. 따라서 \[ f(x) g(x)=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + \cdots + c_ { n + m } x ^ { n + m } =g(x) f(x) \]이다. 또한 \( R \)의 단위원 \(1 \)은 \[ 1_ { R(x) } =1 + 0 \cdot x + 0 \cdot x ^ { 2 } + \cdots + 0 \cdot x ^ { n } + \cdots=1_ { R } \] 이므로 \(1 \)은 \( R[x] \)의 단위원이다. 그러므로 \( R[x] \)는 단위원을 가진 가환환이다.</li> <li>임의의 영이 아닌 다항식 \( f(x), g(x) \in D[x] \)에 대하여 \( \operatorname { deg } (f(x))=n \geq 0, \operatorname { deg } (g(x))=m \geq 0\)이라 하자. 또 \( f(x) \)와 \( g(x) \)의 최고차항의 계수를 \( a_ { n } ( \neq 0) \in D \)과 \( b_ { m } ( \neq 0) \in D \)라 하자. \( D \)가 정역이므로 \( a_ { n } b_ { m } \neq 0 \)이다. 따라서 \( f(x) g(x) \)의 최고차항의 계수 \( a_ { n } b_ { m } \neq 0 \)이므로 \( f(x) g(x) \neq 0 \)이다. 그러므로 \( D[x] \)는 정역이다. 한편 \( f(x) \in D[x] \)가 단원이라 하자. 그러면 \[ 1=f(x) g(x) \]인 다항식 \( g(x) \in D[x] \)가 존재한다. 그러면 \( D[x] \)는 정역이므로 \[ 0= \operatorname { deg } (1)= \operatorname { deg } (f(x) g(x))= \operatorname { deg } f(x) + \operatorname { deg } g(x) \] 이므로 \( \operatorname { deg } f(x)= \operatorname { deg } g(x)=0 \)이어야 한다. 따라서 \( f(x), g(x) \in D \)이고 \( D \)의 단원이 된다. 역으로 \( D \)의 단원은 분명히 \( D[x] \)의 단원이다.</li> <li>체 \( F \)는 정역이므로 ( \(2 \))에 의하여 \( F[x] \)는 정역이다. ※ 참고로 \( F[x] \)는 체가 아니다. \( x \in F[x] \)는 단원(가역원)이 아니다. \( x \)의 역원 \( x ^ { -1 } =f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \in F[x] \)이 존재한다고 하자. 그러면 \[ 1=x \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } x + a_ { 1 } x ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } x ^ { n + 1 } \] 다항식의 상등에 의하여 \( 1=0 \)이 되어 모순이다. 따라서 \( x ^ { -1 } \notin R[x] \)</li></ol> <p>정의 5.4.12 \( [n \)개의 부정원의 다항식환(polynomial ring, 多項式環)] 환 \( R \)과 부정원 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \)에 대하여 순차적으로 정의된 다항식환 \[ R \left [x_ { 1 } \right ], \quad \left (R \left [x_ { 1 } \right ] \right ) \left [x_ { 2 } \right ], \quad \cdots, \quad \left ( \cdots \left ( \left (R \left [x_ { 1 } \right ] \right ) \left [x_ { 2 } \right ] \right ) \cdots \right ) \left [x_ { n } \right ] \]을 각각 \[ R \left [x_ { 1 } \right ], \quad R \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } \right ], \quad \cdots, \quad R \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ] \]으로 나타내고, 다항식환 \( R \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ] \)을 \( R \) 위의 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \)에 관한 다항식환 (polyno-mial ring, 多項式環)이라 한다. 또한 \( R \left [x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ] \)의 원소를 \( R \) 위의 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \)에 관한 다항식(polynomial)이라 한다. \[ \text { ※ } R[x, y]=(R[x])[y]=(R[y])[x] \]</p> <p>예 \(5.1.12 \) [예 \( 2.1 .5 \) 참조] 유한환(finite ring)의 예를 살펴 보자. 양의 정수 \( n \) 으로 나눈 나머지 집합 \[ \mathbb { Z } _ { n } = \{ 0,1,2, \cdots, n-1 \} \] 위의 덧셈과 곱셈 연산 \( + _ { n } , \cdot n \) 을 다음과 같이 정의한다. 임의의 원소 \( a, b \in \mathbb { Z } _ { n } \) 에 대하여 \[ a + { } _ { n } b=[a + b]_ { n } , \quad a \cdot { } _ { n } b=[a \cdot b]_ { n } \] 즉, \( [a + b]_ { n } ,[a \cdot b]_ { n } \) 은 각각 \( a + b, a \cdot b \) 를 \( n \) 으로 나눈 나머지이다. 문맥상 \( n \) 으로 나눈 나머지를 분명히 알면 \( n \) 을 생략하여 \[ a + { } _ { n } b=a + b, \quad a \cdot { } _ { n } b=a \cdot b \] 라 쓴다. 그러면 대수적 구조 \( \left ( \mathbb { Z } _ { n } , + , \cdot \right ) \) 은 단위원 \(1 \) 을 가진 가환환이다.</p> <p>예 \(5.1.13 \) [예 \(2.2.20 \) 참조] 비가환 나눗셈환에 대해 알아 보자. 복소수를 포함하는 다음과 같은 대수적 구조 \( \mathbb { H } \) 를 생각하자. \[ \mathbb { H } = \left \{ a + b i + c j + d k \mid a, b, c, d \in \mathbb { R } , \quad i ^ { 2 } =j ^ { 2 } =k ^ { 2 } =-1, \quad i j k=-1 \right \} \] 이 구조는 복소수를 확장하는 구조에 대해 연구하던 해밀턴(영: W. R. Hamilton, \(1805-1865 \))이 \(1843 \)년 \(10 \)월 \(16 \)일 그의 아내와 더블린의 로열 운하(Royal Canal)를 산책하면서 브로엄 다리(Brougham Bridge)를 건널 때, 번찍이는 아이디어(연산 규칙: \( \left .i ^ { 2 } =j ^ { 2 } =k ^ { 2 } =i j k=-1 \right ) \) 가 떠올라 이것을 다리 난간에 칼로 새겨 놓은 것으로 유명하다. \( \mathbb { H } \) 에서 덧셈 \( ( + ) \) 과 곱셈 \( ( \cdot) \) 연산을 다음과 같이 정의하자. 즉, \[ (a + b i + c j + d k) + \left (a ^ {\prime } + b ^ {\prime } i + c ^ {\prime } j + d ^ {\prime } k \right )= \left (a + a ^ {\prime } \right ) + \left (b + b ^ {\prime } \right ) i + \left (c + c ^ {\prime } \right ) j + \left (d + d ^ {\prime } \right ) k \] 이고, 곱셈은 \( i ^ { 2 } =j ^ { 2 } =k ^ { 2 } =-1 \) 과 \( i j k=-1 \) 에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. \[ i j=k=-j i, \quad j k=i=-k j, \quad k i=j=-i k \] 따라서 곱셈은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} (a + b i + c j + d k) \left (a ^ {\prime } + b ^ {\prime } i + c ^ {\prime } j + d ^ {\prime } k \right )=& \left (a a ^ {\prime } -b b ^ {\prime } -c c ^ {\prime } -d d ^ {\prime } \right ) + \left (a b ^ {\prime } + b a ^ {\prime } + c d ^ {\prime } -d c ^ {\prime } \right ) i \\ & + \left (a c ^ {\prime } -b d ^ {\prime } + c a ^ {\prime } + d b ^ {\prime } \right ) j + \left (a d ^ {\prime } + b c ^ {\prime } -c b ^ {\prime } + d a ^ {\prime } \right ) k \end {aligned} \] 그러면, 대수적 구조 \( ( \mathbb { H I } , + , \cdot) \) 은 비가환 나눗셈환이 된다. 또한 \( \alpha=a + b i + c j + d k \in \mathbb { H } \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} \bar {\alpha } &=a-b i-c j-d k \\ N( \alpha) &= \alpha \bar {\alpha } =a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } \end {aligned} \] 를 각각 \( \alpha \) 의 켤레(conjugate) 또는 노름(norm)이라 한다. 임의의 원소 \( a + b i + c j + d k \in \mathbb { H } \) 의 덧셈과 곱셈 역원은 다음과 같다. \[ \left \{\begin {array} { l } -(a + b i + c j + d k)=-a-b i-c j-d k \\ (a + b i + c j + d k) ^ { -1 } = \frac {\overline { a + b i + c j + d k } } { N(a + b i + c j + d k) } = \frac { a-b i-c j-d k } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } , \text { 단, } a + b i + c j + d k \neq 0 \end {array} \right . \] 이 비가환 나눗셈환 \( \mathbb { 1 } \) 를 사원수환(quaternion ring, 四元數環)이라 한다. 그리고 0 이 아닌 원소들로 이루어진 ( \( \left . \mathbb { H } ^ { * } , \cdot \right ) \) )은 비가환 곱셈군이 되고 사원수군 \[ Q_ { 8 } = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \} \] 은 \( \mathbb { H } ^ { * } \) 의 부분군이다.</p> <h2>\( 5.6 \) 체 위의 다항식환의 기약다항식과 인수분해</h2> <p>정수론에서 소수에 해당하는 성질을 갖고 있는 체 \( F \) 위에서 다항식환 \( F[x] \) 에서의 기약다항식을 정의한다. 이 다항식은 앞으로 체론을 연구할 때 아주 중요하게 사용된다.</p> <p>정의 \(5.6.1 \) [기약다항식(irreducible polynomial, 篓紈多項式)] 체 \( F \) 위에서 다항식환 \( F[x] \) 에서 \(1 \) 차 이상의 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 에 대하여</p> <p>\( f(x) \) 가 \( F \) 위에서 기약, \( f(x) \) 가 \( F[x] \) 의 기약다항식 \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( f(x)=g(x) h(x), \quad g(x), h(x) \in F[x] \) 이면, \[g(x) \text { 또는 } h(x) \text { 가 단원 } \] 즉, \( \operatorname { deg } (g(x))=0 \quad \) 또는 \( \quad \operatorname { deg } (h(x))=0 \)</p> <p>\( ※ f(x) \) 가 \( F \) 위에서 기약이 아니면 가약(reducible, 可約) 또는 \( F[x] \) 의 가약다항식(reducible polynomial, 可約多項式)이라 한다.</p> <p>\( F[x] \) 의 기약다항식 \( f(x) \in F[x] \) 의 정의를 여러가지 방법으로 정의해 보면 다음과 같다. 다항식 \( g(x), h(x) \in F[x] \) 에 대하여 \( f(x)=g(x) h(x) \) 이면, \[ \begin {aligned} & g(x) \text { 가 단원 또는 } h(x) \text { 가 단원 } \\ \Longleftrightarrow & g(x) \in F ^ { * } \text { 또는 } h(x) \in F ^ { * } \\ \Longleftrightarrow & \operatorname { deg } (g(x))=0 \text { 또는 } \operatorname { deg } (h(x))=0 \\ \Longleftrightarrow & \operatorname { deg } (f(x))= \operatorname { deg } (g(x)) \text { 또는 } \operatorname { deg } (f(x))= \operatorname { deg } (h(x)) \end {aligned} \] 기약에 대한 일반적인 정의인 기약원은 정역에서 정의된다(정의 \(7.1.1 \)).</p> <p>예 \(5.6.2 \) 기약과 가약에 대한 예를 살펴보자.<ol type= start=1><li>\( 4 x + 2 \in \mathbb { Z } [x] \) 는 \( \mathbb { Z } \) 위에서 가약(reducible)이다.</li> <li>\( 4 x + 2 \in \mathbb { Q } [x] \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약(irreducible)이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 \in \mathbb { Q } [x] \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약(irreducible)이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 \in \mathbb { R } [x] \) 는 \( \mathbb { R } \) 위에서 가약(reducible)이다.</li></ol> <ol type= start=1>(풀이)<li>\( 4 x + 2=2(2 x + 1) \) 이고 \(2 \) 와 \( 2 x + 1 \) 은 \( \mathbb { Z } \) 위에서 가역원(단원)이 아니므로, \( 4 x + 2 \) 는 \( \mathbb { Z } \) 위에서 기약이 아니다.</li> <li>\( 4 x-2=a \left (4 a ^ { -1 } x-2 a ^ { -1 } \right ) \) 이고 \( a \) 는 \( \mathbb { Q } \) 에서 단원(가역원)이므로, \( 4 x-2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 가약이라 하자. 그러면 \[ x ^ { 2 } -2=(a x + b)(c x + d), \quad a, b, c, d \in \mathbb { Q } \] 이다. 양변 계수 비교하면 \( a c=1, a d + b c=0, b d=-2 \) 이다. 그러므로 \[ 0=a c d ^ { 2 } + b d c ^ { 2 } =d ^ { 2 } -2 c ^ { 2 } \quad \Longrightarrow \quad \sqrt { 2 } = \pm \frac { d } { c } \in \mathbb { Q } \] 이 되어 모순이다(예 \(5.4.9 \)). 그러므로 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2=(x + \sqrt { 2 } )(x- \sqrt { 2 } ) \) 이므로 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 \( \mathbb { R } \) 위에서 가약(reducible)이다.</li></ol> <p>예 \(5.6.3 \) \( f(x)=x ^ { 3 } + 3 x + 2 \in \mathbb { Z } _ { 5 } [x] \) 가 \( \mathbb { Z } _ { 5 } \) 위에서 기약임을 보이자. (풀이) \( \operatorname { deg } (f(x))=3 \) 이므로 \( f(x) \) 가 가약이면 반드시 \(1 \)차 인수를 갖는다. 그러면 인수정리에 의하여 \( f(a)=0 \) 인 \( a \in \mathbb { Z } _ { 5 } \) 가 존재한다. 하지만 \[ f(0)=2 \neq 0, \quad f(1)=1 \neq 0, \quad f(2)=1 \neq 0, \quad f(-2)=3 \neq 0, \quad f(-1)=3 \neq 0 \] 그러므로 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Z } _ { 5 } [x] \) 에서 \(1 \) 차 인수가 없다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Z } _ { 5 } \) 위에서 기약이다. 기약다항식은 체론에서 아주 중요한 역할을 한다. 하지만 체 \( F \) 위에서 주어진 다항식 \( f(x) \in \) \( F[x] \) 가 \( F \) 위에서 기약인지를 결정하는 문제는 일반적으로 어려운 문제이다. 이 절에서 기약을 판정하는 몇 가지 경우에 대하여 알아본다. 특히 \(2 \) 차와 \(3 \) 차 다항식인 경우 인수정리를 이용하면 비교적 쉽게 기약인지를 판정할 수 있다.</p> <p>※ 주의: \(0 \)과 \(1 \)은 수(number)에서 숫자 \(0,1 \) 을 빌려온 것임을 주의해야 한다.</p> <p>정의 \(5.1.6 \) [정역(Integral domain, 整域)] 단위원 \( 1( \neq 0) \) 을 갖는 가환환 \( R \) 에 대하여</p> <p>\( R \) 이 정역(integral domain, 整域) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \ a b=0 \quad \Longrightarrow \quad a=0 \) 또는 \( b=0 \)</p> <p>정의 \(5.1.7 \) [단원(unit, 單元), 가역원(invertible element, 可逆元)] 단위원 \( 1( \neq 0) \) 을 갖는 환 \( R \) 의 원소 \( u \in R \) 에 대하여</p> <p>\( u \) 가 단원(unit) 또는 가역원(invertible element) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \exists u ^ { -1 } \in R, u u ^ { -1 } =1 \)</p> <p>\( ※ \) 환 \( R \) 의 단원 전체집합을 \( U(R)= \{ u \in R \mid u \) 는 단원 \( \} \) 이라 표기한다. \( R \) 이 단위원을 가지면 \( U(R) \) 은 곱셈에 관하여 군이 된다(연습문제 \(7 \)번). 이 \( U(R) \) 을 단원군(unit group)이라 한다.</p> <p>\( ※ \) 환 \( R \) 의 0이 아닌 원소 전체 집합을 \( R ^ { * } =R- \{ 0 \} \) 라 표기. 즉, \( R \) 이 체이면 \( U(R)=R ^ { * } \)</p> <p>예 \(5.1.8 \) [여러가지 환] 다음 환에 대한 예를 살펴 보자.</p> <ol type= start=1><li>짝수 성분 \( 2 \times 2 \) 행렬 집합 \( M_ { 2 } (2 \mathbb { Z } )= \left \{\left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) \mid a, b, c, d \in 2 \mathbb { Z } \right \} \) 은 단위원이 없는 비가환이고, 단위원이 없으므로 역원을 정의할 수 없어 \( U \left (M_ { 2 } (2 \mathbb { Z } ) \right )= \varnothing \) 이다.</li> <li>유리수 성분 \( 2 \times 2 \) 행렬 집합 \( M_ { 2 } ( \mathbb { Q } )= \left \{\left ( \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ) \mid a, b, c, d \in \mathbb { Q } \right \} \) 은 단위원을 갖는 비가환이고, \( U \left (M_ { 2 } ( \mathbb { Q } ) \right )= \left \{ A \in M_ { 2 } ( \mathbb { Q } )\|\| A \mid \neq 0 \right \} \) 이다.</li> <li>짝수 전체 집합 \( (2 \mathbb { Z } , + , \cdot) \) 은 단위원이 없는 가환환이고, 단위원이 없으므로 역원을 정의할 수 없어 \( U(2 \mathbb { Z } )= \varnothing \) 이다.</li> <li>정수 전체 집합 \( ( \mathbb { Z } , + , \cdot) \) 은 단위원을 갖는 가환환(정역)이고, \( U( \mathbb { Z } )= \{ 1,-1 \} \) 이다. \( ( \mathbb { Z } , + , \cdot) \) 은 환의 정의 \( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 8 } \right ) \) 은 만족하나 정의 \( \left (R_ { 9 } \right ) \) 를 만족하지 않으므로 체가 아니다. 반례로, \( 2 ^ { -1 } = \frac { 1 } { 2 } \notin \mathbb { Z } \) 이므로, 정수는 \( 1,-1 \) 이외의 정수는 곱셈에 대한 역원을 갖지 않는다.</li> <li>나눗셈환에 대해서는 예 5.1.13에서 다룬다.</li> <li>\( ( \mathbb { Q } , + , \cdot),( \mathbb { R } , + , \cdot),( \mathbb { C } , + , \cdot) \) 은 체이고, 체에서 단원은 0 이 아닌 원소 전체이다. 즉, \( U( \mathbb { Q } )= \mathbb { Q } ^ { * } , U( \mathbb { R } )= \mathbb { R } ^ { * } , U( \mathbb { C } )= \mathbb { C } ^ { * } \) 이다.</li></ol> <p>예 \(5.1.9 \) [예 \( 2.1 .7 \) 참조] 실수 \( \mathbb { R } \) 위의 실가함수 집합 \( F \) 의 대수적 구조에 대해 알아보자. \[ F= \{ f \mid f: \mathbb { R } \longrightarrow \mathbb { R } \text { 는 실가함수 } \} \] \( (F, + , \cdot) \) 은 단위원 \( (f(x)=1) \) 을 갖는 가환환(·은 함수의 곱)이다(연습문제 \(9 \)번). 그리고 단원군 전체의 집합은 \( U(F)= \{ f \in F \mid \forall x \in \mathbb { R } , f(x) \neq 0 \} \) 이다. 한편 \( F \) 의 부분집합중에서 군 \( (F, + ) \) 에 대한 군 준동형사상의 집합을 \[ S= \{ f \in F \mid f: \mathbb { R } \longrightarrow \mathbb { R } \text { 는 군 준동형사상 } \} \] 라 하면, \( (S, + , \circ) \) 은 단위원 \( (f(x)=x) \) 을 갖는 정리 \(5.1.10 \)에 의하여 비가환(ㅇ은 함수의 합성)이다(정리 \(5.1.10 \)). 그리고 단원군 전체의 집합은 \( U(S)= \{ f \in S \mid f \) 는 역함수 존재 \( \} \) 이다.</p> <p>예 \( 5.4 .8 \) [다항식의 해] 중고등학교에서 다항식 \( f(x)=x ^ { 2 } -x-6 \) 의 모든 실근 \( \alpha \in \mathbb { R } \) 을 찾는 방법은 \( f(x) \) 를 \(1 \) 차인수로 인수분해 하여 해를 구하였다. 하지만 인수분해는 다항식이 \(3 \) 차 이상이면 일반적으로 매우 어렵다. 따라서 해를 구하는 문제를 대입 준동형사상 \( \phi_ {\alpha } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { R } \) 에서 \[ \phi_ {\alpha } \left (x ^ { 2 } -x-6 \right )=0 \] 인 모든 \( \alpha \in \mathbb { R } \) 를 찾는 문제로 바꿀 수 있다. 실제로 \[ \left \{\alpha \in \mathbb { R } \mid \phi_ {\alpha } \left (x ^ { 2 } -x-6 \right )=0 \right \} = \left \{ r \in \mathbb { R } \mid r ^ { 2 } -r-6=(r + 2)(r-3)=0 \right \} = \{ -2,3 \} \] 이므로 두 방법의 해는 같다. 여기서 \( x \) 는 부정원이고 \( r \) 은 변수이다. 이처럼 함수(대입 준동형사상)를 이용하여 해를 구하는 방법을 찾을 수 있다. 이에 대해서는 뒤( \(8 \)장)에서 다룬다.</p> <p>예 \(5.4.9 \) [다항식의 해의 존재성] \( \sqrt { 2 } \) 는 무리수임을 증명하라. 이는 다음 명제와 동치이다. 다항식 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 유리수 해를 가지지 않는다</p> <ol type= start=1><li>(증명 \(1 \)) \( \sqrt { 2 } \) 가 유리수라고 하자. 그러면 유리수 \( a / b \in \mathbb { Q } , b \neq 0, \operatorname { gcd } (a, b)=1 \) 가 존재하여 다항식 \( x ^ { 2 } -2 \) 의 해가 된다. 즉, \( (a / b) ^ { 2 } =2 \) 라 하자. 그러면 \[ a ^ { 2 } =2 n ^ { 2 } \] 이다. 여기서 \( 2 n ^ { 2 } \) 은 짝수이므로 \( a ^ { 2 } \) 도 짝수이다. 홀수의 제곱은 홀수이므로 \( a \) 는 짝수이어야 한다. 즉, \( a=2 c \) 인 정수 \( c \in \mathbb { Z } \) 가 존재한다. 그러므로 \[ 2 b ^ { 2 } =a ^ { 2 } =(2 c) ^ { 2 } =4 c ^ { 2 } \Longrightarrow b ^ { 2 } =2 c ^ { 2 } \] 이 되어 \( b \) 도 짝수이다. 이는 \( a \) 와 \( b \) 의 최대공약수가 \(1 \) 이라는데 모순이다. 따라서 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 유리수 해를 가지지 않으므로 \( \sqrt { 2 } \) 는 무리수이다.</li> <li>(증명 \(2 \)) \( \sqrt { 2 } \) 가 유리수라고 하자. 그러면 유리수 \( a / b \in \mathbb { Q } , b \neq 0 \) 가 존재하여 다항식 \( x ^ { 2 } -2 \) 의 해가 된다. 즉, \( (a / b) ^ { 2 } =2 \) 라 하자. 그러면 \[ a ^ { 2 } =2 b ^ { 2 } \] 이다. 여기서 \( a \) 와 \( b \) 를 표준분해하여 \(2 \) 의 인수의 개수를 비교하면 \( a ^ { 2 } \) 에서 \(2 \) 의 개수는 짝수이지만 \( 2 b ^ { 2 } \) 에서 \(2 \) 의 개수는 홀수가 되어 소인수분해의 유일성에 모순이다. 따라서 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 유리수 해를 가지지 않으므로 \( \sqrt { 2 } \) 는 무리수이다.</li></ol> <p>예 \(5.4.10 \) 다항식의 연산에서 차수에 대한 성질을 알아보자. 정역 \( D \) 위의 다항식환의 원소 \( f(x) \cdot g(x) \in D[x] \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { c } \operatorname { deg } (f(x) + g(x)) \leq \max \{\operatorname { deg } (f(x)), \operatorname { deg } (g(x)) \} \\ \operatorname { deg } (f(x) \cdot g(x))= \operatorname { deg } (f(x)) + \operatorname { deg } (g(x)) \end {array} \] 영인자를 갖는 환 \( R \) 위의 다항식환의 원소 \( f(x) \cdot g(x) \in R[x] \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { c } \operatorname { deg } (f(x) + g(x)) \leq \max \{\operatorname { deg } (f(x)), \operatorname { deg } (g(x)) \} \\ \operatorname { deg } (f(x) \cdot g(x)) \leq \operatorname { deg } (f(x)) + \operatorname { deg } (g(x)) \end {array} \] 예를 들어 정역 \( \mathbb { Z } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 \( f(x)=1 + x, g(x)=1-x \) 를 생각하자. \[ \operatorname { deg } (f(x) + g(x))= \operatorname { deg } (1 + x + 1-x)=0 \leq \max \{\operatorname { deg } (1 + x), \operatorname { deg } (1-x) \} =1, \] \[ \operatorname { deg } (f(x) \cdot g(x))= \operatorname { deg } (1 + x)(1-x)= \operatorname { deg } \left (1-x ^ { 2 } \right )=2= \operatorname { deg } (1 + x) + \operatorname { deg } (1-x)=2 \] 영인자를 갖는 환 \( \mathbb { Z } _ { 6 } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Z } _ { 6 } [x] \) 에서 \( f(x)=1 + 4 x, g(x)=1 + 3 x \) 를 생각하자. \[ \begin {aligned} \operatorname { deg } (f(x) + g(x)) &= \operatorname { deg } (1 + 4 x + 1 + 3 x)= \operatorname { deg } (2 + x)=1= \max \{\operatorname { deg } (1 + 4 x), \operatorname { deg } (1 + 3 x) \} =1, \\ \operatorname { deg } (f(x) \cdot g(x)) &= \operatorname { deg } (1 + 4 x)(1 + 3 x)= \operatorname { deg } \left (1 + x + 4 \cdot 3 x ^ { 2 } \right )= \operatorname { deg } (1 + x)=1 \\ & \leq \operatorname { deg } (1 + 4 x) + \operatorname { deg } (1 + 3 x)=2 \end {aligned} \]</p> <p>※ 이와 같이 정의된 체 \( Q(D) \) 를 정역 \( D \) 의 분수체(field of fractions, 分數體) 또는 상체(field of quotient, 商體)라 한다. 상체는 상환(잉여환)과 용어가 비슷하지만 개념이 달라 잘 사용하지 않는다.</p> <p>※ ( \(3 \))에 의하여 \( D \) 의 각 원소 \( a \) 와 \( \phi(D) \) 의 원소 \( \frac { a } { 1 } \) 를 동일시하여 \( D \) 와 \( \phi(D) \) 를 같다고 생각한다. 따라서 정역 \( D \) 를 분수체 \( Q(D) \) 의 부분환으로 간주한다.</p> <ol type= start=1>증명<li>\( Q(D)= \left \{\frac { a } { b } \mid a, b( \neq 0) \in D \right \} \) 에서 \( \frac { a } { b } = \frac { c } { d } \Longleftrightarrow(a, b) \sim(c, d) \Longleftrightarrow a d=b c \) 이다. 덧셈 \( ( + ) \) 이 잘 정의됨을 보이자. \( \frac { a } { b } = \frac { a ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } , \frac { c } { d } = \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 일 때, \( \frac { a } { b } + \frac { c } { d } = \frac { a ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } + \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 임을 보이자. 가정에서 \( (a, b) \sim \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ),(c, d) \sim \left (c ^ {\prime } , d ^ {\prime } \right ) \) 이므로 \[ a b ^ {\prime } =b a ^ {\prime } , \quad c d ^ {\prime } =d c ^ {\prime } \quad \Longrightarrow \quad a b ^ {\prime } d d ^ {\prime } =b a ^ {\prime } d d ^ {\prime } , \quad b b ^ {\prime } c d ^ {\prime } =b b ^ {\prime } d c ^ {\prime } \] 그러므로 \( \frac { a d + b c } { b d } = \frac { a ^ {\prime } d ^ {\prime } + b ^ {\prime } c ^ {\prime } } { b ^ {\prime } d ^ {\prime } } \) 이다. 따라서 \( \frac { a } { b } + \frac { c } { d } = \frac { a ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } + \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 이므로 덧셈 \( ( + ) \) 은 잘 정의된다. 곱셈 \( ( \cdot) \) 에 대해 잘 정의됨을 보이자. \( \frac { a } { b } = \frac { a ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } , \frac { c } { d } = \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 일 때, \( \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } = \frac { a ^ {\prime } } { b ^ {\prime } } \cdot \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 임을 보이자. \[ a b ^ {\prime } =b a ^ {\prime } , \quad c d ^ {\prime } =d c ^ {\prime } \quad \Longrightarrow \quad a b ^ {\prime } c d ^ {\prime } =b a ^ {\prime } d c ^ {\prime } \quad \Longrightarrow \quad a c b ^ {\prime } d ^ {\prime } =b d a ^ {\prime } c ^ {\prime } \] 이다. 그러면 \[ \frac { a c } { b d } = \frac { a ^ {\prime } c ^ {\prime } } { b ^ {\prime } d ^ {\prime } } \] 이다. 따라서 \( \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } = \frac { a ^ {\prime } } { h ^ {\prime } } \cdot \frac { c ^ {\prime } } { d ^ {\prime } } \) 이 되어 곱셈이 잘 정의된다.</li> <li>\( (Q(D), + , \cdot) \) 가 체임을 보이자. 두 연산 \( + \), 에 관하여 체의 정의 \( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 9 } \right ) \) 가 성립함을 증명할 수 있다. \( \left (R_ { 1 } \right ) \left ( \frac { a } { b } + \frac { c } { d } \right ) + \frac { e } { f } = \frac { a } { b } + \left ( \frac { c } { d } + \frac { e } { f } \right ) \), \( \left (R_ { 2 } \right ) \frac { a } { b } + \frac { 0 } { 1 } = \frac { 0 } { 1 } + \frac { a } { b } = \frac { a } { b } \), (R \( \left .R_ { 3 } \right ) \frac { a } { b } + \frac { -a } { b } = \frac { -a } { b } + \frac { a } { b } = \frac { 0 } { 1 } \) 즉 \( - \frac { a } { b } = \frac { -a } { b } \), (R \( \left .R_ { 4 } \right ) \frac { a } { b } + \frac { c } { d } = \frac { c } { d } + \frac { a } { b } \) (R \( \left .R_ { 5 } \right ) \frac { a } { b } \cdot \left ( \frac { c } { d } + \frac { e } { f } \right )= \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } + \frac { a } { b } \cdot \frac { e } { f } \), \( \left (R_ { 6 } \right ) \left ( \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } \right ) \cdot \frac { e } { f } = \frac { a } { b } \cdot \left ( \frac { c } { d } \cdot \frac { e } { f } \right ) \), \( \left (R_ { 7 } \right ) \frac { a } { b } \cdot \frac { 1 } { 1 } = \frac { 1 } { 1 } \cdot \frac { a } { b } = \frac { a } { b } \), \( \left (R_ { 8 } \right ) \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } = \frac { c } { d } \cdot \frac { a } { b } \), \( \left (R_ { 9 } \right ) \frac { a } { b } \neq \frac { 0 } { 1 } \) 일 때, \( \frac { a } { b } \cdot \frac { b } { a } = \frac { b } { a } \cdot \frac { a } { b } = \frac { 1 } { 1 } \) 즉 \( \left ( \frac { a } { b } \right ) ^ { -1 } = \frac { b } { a } \). 따라서 \( (Q(D), + \cdot) \) 은 체이다.</li> <li>임의의 원소 \( a, b \in D \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { c } \phi(a + b)= \frac { a + b } { 1 } = \frac { a } { 1 } + \frac { b } { 1 } = \phi(a) + \phi(b) \\ \phi(a b)= \frac { a b } { 1 } = \frac { a } { 1 } \cdot \frac { b } { 1 } = \phi(a) \cdot \phi(b) \end {array} \] 이므로 \( \phi \) 는 환 준동형사상이다. 마지막으로 단사임을 보이자. \[ \phi(a)= \phi(b) \quad \Longleftrightarrow \quad \frac { a } { 1 } = \frac { b } { 1 } \Longleftrightarrow a=b \] 이므로 \( \phi \) 는 단사함수이다. 따라서 \( \phi \) 는 단사 환 준동형사상이므로 \( D \cong \phi(D)= \left \{\frac { a } { 1 } \mid a \in D \right \} \) 이다.</li></ol> <p>예 \(5.7.4 \) 정수환 \( \mathbb { Z } \) 의 분수체는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 이고 다음이 성립한다. \[ \mathbb { Q } = \left \{\frac { a } { b } \mid a, b( \neq 0) \in \mathbb { Z } \right \} \] \[ \begin {aligned} \frac { a } { b } &= \frac { c } { d } \quad \Longleftrightarrow \quad a d=b c \\ \frac { a } { b } + \frac { c } { d } &= \frac { a d + b c } { b d } , \quad \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } = \frac { a c } { b d } , \\- \frac { a } { b } &= \frac { -a } { b } = \frac { a } { -b } \end {aligned} \]</p> <p>임용시험 출제 \( 5.6 .27 \) [ \(2014 \)학년도] 다항식 환 \( \mathbb { Z } _ { 2014 } [x] \) 에서 \( f(x)=x ^ { 2 } -14 \) 를 두 일차식의 곱 \[ f(x)=(a x + b)(c x + d) \] 로 나타낼 수 없음을 증명하라.</p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.6 \))</h3> <ol type= start=1><li>다항식 \( f(x)=4 x ^ { 3 } -2 x ^ { 2 } -x-1 \) 의 근 중에서 정수인 근을 구하라.</li> <li>다음 다항식을 일차식의 곱으로 분해하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 5 } [x] \) 에서 \( x ^ { 4 } + 4 \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 7 } [x] \) 에서 \( x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 11 } [x] \) 에서 \( 4 x ^ { 2 } + 7 x + 8 \)</li></ol></li> <li>\( x ^ { 4 } -4 \) 를 \( \mathbb { Q } [x], \mathbb { R } [x], \mathbb { C } [x] \) 에서 각각 인수분해하라.</li> <li>다음 다항식을 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약다항식의 곱으로 인수분해하라.<ol type= start=1><li>\( 2 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } -x-2 \)</li> <li>\( x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 \)</li></ol></li> <li>다음을 기약다항식의 곱으로 써라.<ol type= start=1><li>\( 2 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 \in \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \)</li> <li>\( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x + 2 \in \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \)</li> <li>\( x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + x + 4 \in \mathbb { Z } _ { 5 } [x] \)</li> <li>\( x ^ { 2 } + 5 \in \mathbb { Z } _ { 7 } [x] \)</li></ol></li> <li>다음 다항식은 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약인지를 판정하라.<ol type= start=1><li>\( x ^ { 3 } -2 x-15 \)</li> <li>\( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } -x + \frac { 1 } { 2 } \)</li> <li>\( 4 x ^ { 3 } -2 x ^ { 2 } + x + 1 \)</li> <li>\( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 2 x + 1 \)</li></ol></li> <li>다음 다항식 \( f(x) \) 가 다항식환 \( D \) 에서 기약다항식인지를 판정하라.<ol type= start=1><li>\( f(x)=3 x-5, D= \mathbb { Z } [x] \)</li> <li>\( f(x)=3 x-6, D= \mathbb { Z } [x] \)</li> <li>\( f(x)=3 x-6, D= \mathbb { Q } [x] \)</li> <li>\( f(x)=3 x-6, D= \mathbb { Z } _ { 7 } [x] \)</li></ol></li> <li>다음 다항식이 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 기약임을 보여라.<ol type= start=1><li>\( x ^ { 4 } + 1 \)</li> <li>\( x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -8 \)</li> <li>\( x ^ { 10 } - \frac { 25 } { 2 } x ^ { 2 } + 5 x-15 \)</li> <li>\( x ^ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } x + \frac { 6 } { 5 } \)</li></ol></li> <li>\( f(x)=x ^ { 3 } + 8 x-2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보여라. \( f(x) \) 는 \( \mathbb { R } \) 위에서도 기약인가?</li> <li>양의 정수 \( n \) 에 대하여 다항식 \( f(x)=x ^ { n } -1 \) 를 실수체 \( \mathbb { R } \) 위에서 기약다항식의 곱으로 인수 분해하라.</li> <li>서로 다른 소수 \( p, q \) 와 양의 정수 \( n \geq 2 \) 에 대하여 다항식 \( f(x)=x ^ { n } -p q, g(x)=x ^ { n } + p q \) 는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 밝히고, \( \sqrt[n] { p q } \) 는 무리수임을 보여라.</li> <li>정수 \( p \) 가 소수일 때, 체 \( \mathbb { Z } _ { p } \) 위의 모닉 이차 다항식 \( f(x)=x ^ { 2 } + a x + b \) 중에서 기약인 다항식 전체의 개수는 \( \frac { p(p-1) } { 2 } \) 임을 보여라.</li> <li>주어진 환에서 주어진 차수를 가지는 모든 기약 다항식을 구하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } [x] \) 의 \(2 \) 차 기약 다항식</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 의 \(2 \) 차 기약 다항식</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } [x] \) 의 \(3 \) 차 기약다항식</li></ol></li> <li>\( p \) 가 소수일 때, \( x ^ { p } + a \in \mathbb { Z } _ { p } [x] \) 는 가약임을 보여라.</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { p } [x] \) 에서 \( x + 2 \) 가 \( x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } -x + 1 \) 의 인수가 되는 모든 소수 \( p \) 를 구하라.</li> <li>\( F \) 가 체이고 \( a \neq 0 \) 이 \( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \in F[x] \) 의 해이면, \( \frac { 1 } { a } \) 은 \( a_ { n } + a_ { n-1 } x + \cdots + \) \( a_ { 0 } x ^ { n } \) 의 해가 됨을 보여라.</li> <li>정수 \( a \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 \( [a]_ { m } \) 을 \( a \) 를 자연수 \( m \) 으로 나눈 나머지로 정의하면 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>함수 \[ \sigma_ { m } : \mathbb { Z } [x] \rightarrow \mathbb { Z } _ { m } [x], \quad \sigma_ { m } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )= \left [a_ { 0 } \right ]_ { m } + \left [a_ { 1 } \right ]_ { m } x + \cdots + \left [a_ { n } \right ]_ { m } x ^ { n } \] 은 환 준동형사상임을 증명하라.</li> <li>\( f(x) \in \mathbb { Z } [x] \) 와 \( \sigma_ { m } (f(x)) \) 의 차수가 모두 \( n \) 이고 \( \sigma_ { m } (f(x)) \) 가 \( \mathbb { Z } _ { m } [x] \) 에서 차수가 더 낮은 다항식의 곱으로 표현되지 않으면, \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보여라.</li> <li>( \(2 \))를 이용하여 \( x ^ { 3 } + 17 x + 36 \) 은 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 기약임을 보여라. [참조: 주어진 다항식을 간단하게 만드는 소수를 선택하여 ( \(2 \))를 이용한다.]</li></ol></li></ol> <p>정리 \(5.2.23 \) (Euler 정리) 양의 정수 \( n \in \mathbb { N } \) 과 정수 \( a \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \operatorname { gcd } (a, n)=1 \quad \Longrightarrow \quad a ^ {\varphi(n) } \equiv 1( \bmod n) \]</li></ul></p> <p>(증명) \( \operatorname { gcd } (a, n)=1 \) 이면, \( [a]_ { n } (a \) 를 \( n \) 으로 나눈 나머지 \( ) \) 는 \( \operatorname { gcd } \left ([a]_ { n } , p \right )=1 \) 이다. 그러므로 \( [a]_ { n } \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 이다. Lagrange 정리(정리 \(3.1.16 \))와 정리 \(5.2.22 \)에 의해 \[ \left \|[a]_ { n } \right \| \mid \varphi(n) \quad \Longrightarrow \quad[a]_ { n } ^ {\varphi(n) } =1 \text { in } \mathbb { Z } _ { n } \quad \Longrightarrow \quad a ^ {\varphi(n) } \equiv[a]_ { n } ^ {\varphi(n) } \equiv 1( \bmod n) \] 이므로 정리가 성립한다.</p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.2 \))</h3> <ol type= start=1><li>다음 가환환의 단원군과 영인자를 모두 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \overline {\mathbb { Z } _ { 18 } } = \{\overline { 0 } , \overline { 1 } , \overline { 2 } , \cdots, \overline { 17 } \} \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 18 } = \{ 0,1,2, \cdots, 17 \} \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } ^ { 2 } = \{ (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) \} \)</li></ol></li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 3 } \) 에서 단원, 영인자, 멱등원, 멱영원을 모두 구하라.</li> <li>가환환 \( \mathbb { Z } ^ { 2 } = \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb { Z } \} \) 에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } ^ { 2 } \) 의 단원군 \( U \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) \) 와 영인자 전체의 집합 \( \mathrm { Zero } \left ( \mathbb { Z } ^ { 2 } \right ) \) 를 구하라.</li> <li>\( \mathbb { Z } ^ { 2 } \) 의 단원도 아니고 영인자도 아닌 원소를 둘만 들어라.</li></ol></li> <li>환 \( R \) 의 원소 \( a, b \) 에 대하여 \( a b \) 가 영인자이면, \( a \) 또는 \( b \) 가 영인자임을 보여라.</li> <li>( \(2013 \)학년도 임용시험 출제) 단위원 \(1 \)을 가진 환 \( R \) 의 영인자는 단원이 아님을 보여라.</li> <li>환 \( R \) 의 원소 \( a \) 에 대하여 \( I_ { a } = \{ x \in R \mid a x=0 \} \) 는 \( R \) 의 부분환임을 보여라.</li> <li>환 \( R \) 이 단위원 \(1 \) 을 가지고, \( r( \neq 0,1) \) 이 멱등원일 때, 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>\( 1-r \) 도 멱등원이다.</li> <li>\( r \) 과 \( 1-r \) 은 영인자이다.</li></ol></li> <li>정역 \( D \) 의 부분정역들의 공통집합은 \( D \) 의 부분정역임을 보여라.</li> <li>단위원 \( 1( \neq 0) \) 을 갖고 영인자가 없는 유한환은 나눗셈환(division ring)임을 보여라.[참조: \( a \neq 0 \) 의 '왼쪽곱셈역원'이 '오른쪽곱셈역원'이 됨을 보여라.]</li> <li>단위원 \( 1( \neq 0) \) 을 가지는 환 중에서 부분환의 단위원 \( 1 ^ {\prime } ( \neq 0) \) 이 \(1 \) 과 다른 환의 예를 들라. [참조: 직접곱이나 \( \mathbb { Z } _ { 6 } \) 의 부분환을 생각하라.]</li> <li>정역 \( D \) 의 부분정역 \( D ^ {\prime } \) 의 단위원 \( 1_ { D ^ {\prime } } \) 은 정역 \( D \) 의 단위원 \( 1_ { D } \) 임을 보여라.</li> <li>12. 다음 가환환의 부분환을 모두 구하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 14 } = \{ 0,1,2,3, \cdots, 13 \} \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 18 } = \{ 0,1,2,3, \cdots, 17 \} \)</li></ol></li> <li>다음 집합은 \( 2 \times 2 \) 행렬환 \( M_ { 2 } ( \mathbb { Z } ) \) 의 부분환임을 보여라.<ol type= start=1><li>\( R= \left \{\left ( \begin {array} { ll } a & b \\ 0 & c \end {array} \right ) \mid a, b, c \in \mathbb { Z } \right \} \)</li> <li>\( R= \left \{\left ( \begin {array} { cc } a & 2 b \\ b & a \end {array} \right ) \mid a, b \in \mathbb { Z } \right \} \)</li></ol></li> <li>정수 \( b( \geq 2) \) 에 대하여 \[ R_ { b } = \left \{\frac { a } { b ^ { n } } \mid a \in \mathbb { Z } , n=0,1,2, \cdots \right \} \] 이라고 할 때, 다음이 성립함을 보여라.<ol type= start=1><li>\( R_ { b } \) 는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 의 부분환이지만 부분체는 아니다.</li> <li>\( \mathbb { Z } \subsetneq R_ { b } \subsetneq \mathbb { Q } \) 이다.</li></ol></li> <li>환 \( R \) 의 모든 원소 \( a \) 가 \( a ^ { 2 } =a \) (멱등원)를 만족하는 환은 Boole 환(Boolean ring)이다. 이때 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>임의의 \( r \in R \) 에 대해서 \( r + r=0 \) 이다.</li> <li>\( R \) 은 가환환이다.</li></ol></li> <li>Boole 환 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } \) 의 덧셈표와 곱셈표를 구하라.</li> <li>환 \( R \) 이 단위원 \(1 \) 을 가진 Boole 환일 때, 다음이 성립함을 보여라.<ol type= start=1><li>\( R \) 의 단원은 \(1 \) 뿐이다.</li> <li>\( R \) 에서 \(0,1 \) 이외의 원소가 존재하는 경우에 이러한 원소는 모두 \( R \) 의 영인자이다.</li></ol></li></ol> <p>예 \(5.6.19 \) 따름정리 \(5.6.17 \)에서 \( p \) 가 소수가 아니면 \( \Phi_ { p } (x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이 아니다. 예를들어 \( f(x)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \) 은 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이 아니다. 실제로 \[ f(x)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1=x ^ { 2 } (x + 1) + (x + 1)= \left (x ^ { 2 } + 1 \right )(x + 1) \] 이므로 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이 아니다.</p> <p>예 \(5.6.20 \) 정리 \(5.6.18 \)에 의하여 다음은 모두 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</p> <ol type= start=1><li>\( \Phi_ { 2 ^ { 2 } } (x)= \frac { x ^ { 4 } -1 } { x ^ { 2 } -1 } =x ^ { 2 } + 1 \)</li> <li>\( \Phi_ { 2 ^ { 3 } } (x)= \frac { x ^ { 8 } -1 } { x ^ { 4 } -1 } =x ^ { 4 } + 1 \)</li> <li>\( \Phi_ { 3 } (x)= \frac { x ^ { 3 } -1 } { x-1 } =x ^ { 2 } + x + 1 \)</li> <li>\( \Phi_ { 3 ^ { 2 } } (x)= \frac { x ^ { 9 } -1 } { x ^ { 3 } -1 } =x ^ { 6 } + x ^ { 3 } + 1 \)</li> <li>\( \Phi_ { 5 } (x)= \frac { x ^ { 5 } -1 } { x-1 } =x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \)</li></ol> <p>정의 \(5.6.21 \) [인수(factor, 사數, 紂數), 배수(multiple, 倍數)] 체 \( F \) 위의 다항식 \( f(x), g(x), h(x) \in F[x] \) 에 대하여</p> <p>예 \(5.3.4 \) 예 \(5.1.9 \)의 단위원을 갖는 가환환 \( F= \{ f \mid f: \mathbb { R } \longrightarrow \mathbb { R } \) 는 실가함수 \( \} \) 를 생각하자. 실수 \( a \in \mathbb { R } \) 와 \( (F, + , \cdot) \) 의 임의의 원소 \( f \in F \) 에 대하여 \[ \phi_ { a } : F \longrightarrow \mathbb { R } , \quad \phi_ { a } (f)=f(a) \] 라 정의하면 환준동형사상이 된다. 이 사상을 대입 준동형사상(evaluation homomorphism, 代入準同型烏像)이라 한다. 이 함수는 다항식의 근을 구하는데 중요한 역할을 한다. 사실 \( f(x)= \) \(0 \) 를 만족하는 실수해는 \( \phi_ { a } (f)=0 \) 인 \( a \in \mathbb { R } \) 를 구하는 것과 같다. 특히 대입 준동형사상은 체론(field theory, 體論)에서 자주 사용된다.</p> <p>정리 \( 5.3 .5 \) 환 \( R, R ^ {\prime } , R ^ {\prime \prime } \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>항등함수 \( 1_ { R } : R \longrightarrow R, 1_ { R } (a)=a \) 는 환 동형사상</li> <li>\( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } \) 가 환 동형사상 \( \Longrightarrow f \) 의 역사상 \( f ^ { -1 } : R ^ {\prime } \longrightarrow R \) 도 환 동형사상</li> <li>\( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } , g: R ^ {\prime } \longrightarrow R ^ {\prime \prime } \) 가 환 준동형사상 \( \Longrightarrow g \circ f: R \longrightarrow R ^ {\prime \prime } \) 는 환 준동형사상 특히, \( f, g \) 가 환 동형사상 \( \Longrightarrow g \circ f \) 는 환 동형사상</li></ol></p> <p>(증명) 가환군 \( R, R ^ {\prime } , R ^ {\prime \prime } \) 에 대해서는 정리 \(3.2.19 \)에 의하여 성립하므로 환 준동형의 곱셈 보존에 대해서만 증명하면 된다.</p> <ol type= start=1><li>분명히 성립한다.</li> <li>정리 \( 1.4 .10 \) 에 의하여 역함수는 전단사 함수이다. 역함수 \( f ^ { -1 } \) 가 환 준동형사상임을 보이자. 임의의 \( a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \in R ^ {\prime } \) 에 대하여 \( f ^ { -1 } \left (a ^ {\prime } \right )=a, f ^ { -1 } \left (b ^ {\prime } \right )=b \) 라 하면, \( f(a)=a ^ {\prime } , f(b)=b ^ {\prime } \) 이다. 그러므로 \[ f(a b)=f(a) f(b)=a ^ {\prime } b ^ {\prime } \] 이다. 따라서 \[ f ^ { -1 } \left (a ^ {\prime } b ^ {\prime } \right )=a b=f ^ { -1 } \left (a ^ {\prime } \right ) f ^ { -1 } \left (b ^ {\prime } \right ) \] 이므로, \( f ^ { -1 } \) 는 환 준동형사상이다. 그러므로 \( f ^ { -1 } \) 는 환 동형사상이다.</li> <li>연습문제 \((1.4) 5 \) 번에 의해 합성함수는 전단사함수이다. \( g \circ f \) 가 환 준동형사상임을 보이자. 임의의 \( a, b \in R \) 에 대하여 \[ (g \circ f)(a b)=g(f(a b))=g(f(a) f(b))=g(f(a)) g(f(b))=(g \circ f)(a)(g \circ f)(b) \] 이므로, \( g \circ f \) 는 환 준동형사상이다. 따라서 \( g \circ f \) 는 환 동형사상이다.</li></ol></p> <p>정리 \(5.7.5 \) 정역 \( D \) 의 분수체를 \( Q(D) \) 라 하면 \( D \) 를 포함하는 모든 체 \( F \) 와 함수 \[ \phi: Q(D) \longrightarrow F, \quad \phi \left ( \frac { a } { b } \right )=a b ^ { -1 } \] 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>\( \phi \) 는 \( D \) 의 원소를 보존하는 단사 환 준동형사상이다. 즉, \( a \in D \) 이면 \( \phi(a)=a \) 이고, \( Q(D) \cong \phi(Q(D))<F \) 이다.</li></ul>※ 정역 \( D \) 의 분수체 \( Q(D) \) 는 \( D \) 를 포함하는 체중에서 최소이다.</p> <p>(증명) 두 원소 \( \frac { a } { b } , \frac { c } { d } \in Q(D) \) 에 대하여 \( b \neq 0, d \neq 0 \) 이므로 \[ \begin {aligned} \frac { a } { b } = \frac { c } { d } (Q(D) \text { 에서 } ) & \Longleftrightarrow a d=b c(D \text { 에서 } ) \\ & \Longleftrightarrow a b ^ { -1 } =c d ^ { -1 } (F \text { 에서 } ) \\ & \Longleftrightarrow \phi \left ( \frac { a } { b } \right )= \phi \left ( \frac { c } { d } \right )(F \text { 에서 } ) \end {aligned} \] 가 성립하여 \( \phi \) 는 잘 정의된 단사함수이다. \( \phi \) 가 환 준동형사상임을 보이자. \[ \begin {array} { c } \phi \left ( \frac { a } { b } + \frac { c } { d } \right )= \phi \left ( \frac { a d + b c } { b d } \right )=(a d + b c)(b d) ^ { -1 } =a b ^ { -1 } + c d ^ { -1 } = \phi \left ( \frac { a } { b } \right ) + \phi \left ( \frac { c } { d } \right ), \\ \phi \left ( \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } \right )= \phi \left ( \frac { a c } { b d } \right )=(a c)(b d) ^ { -1 } =a b ^ { -1 } c d ^ { -1 } = \phi \left ( \frac { a } { b } \right ) \cdot \phi \left ( \frac { c } { d } \right ) \end {array} \] 이므로 \( \phi \) 는 환준동형 사상이다. 다음에 \( a \in D \) 이면 \[ \phi(a)= \phi \left ( \frac { a } { 1 } \right )=a 1 ^ { -1 } =a \] 이고, \( \phi \) 가 단사 환 준동형사상이므로 \( Q(D) \cong \phi(Q(D))<F \) 이다.</p> <p>문제 \(5.6.13 \) 체 \( F \) 위의 다항식 \( f(x) \in F[x], \operatorname { deg } (f(x))=n \geq 1 \) 와 \( F \) 의 원소 \( a \in F \) 에 대하여 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>\( f(x + a) \) 가 \( F \) 위에서 기약이면, \( f(x) \) 도 \( F \) 위에서 기약이다.</li> <li>\( a \) 가 단원이고 \( a f(x) \) 가 \( F \) 위에서 기약이면, \( f(x) \) 도 \( F \) 위에서 기약이다.</li> <li>\( x ^ { n } f \left ( \frac { 1 } { x } \right ) \) 가 \( F \) 위에서 기약이면, \( f(x) \) 도 \( F \) 위에서 기약이다.</li></ol></p> <p>예 \(5.6.14 \) 임의의 소수 \( p \) 와 양의 정수 \( n \) 에 대하여 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서의 다항식 \[ x ^ { n } + p, \quad x ^ { n } -p, \quad x ^ { n } + p x + p \] 은 Eisenstein 기약 판정(정리 \(5.6.12 \))에 의하여 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. 그러므로 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다(예 \(5.4.9 \)와 예 \(5.6.10 \) 참조).</p> <p>예 \(5.6.15 \) 다항식 \( f(x)= \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } -5 x ^ { 2 } + 2 x + 4 \) 은 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. (풀이) \(3 \) 이 \( \mathbb { Q } \) 에서 단원이므로 \( 3 f(x)=x ^ { 3 } -15 x ^ { 2 } + 6 x + 12 \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이면, \( f(x) \) 도 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다(문제 \(5.6.13 \)). \( p=3 \) 에 대하여 \[ 3 \rangle 1, \quad 3\|(-15), \quad 3\| 6, \quad 3 \mid 12, \quad 3 ^ { 2 } \times 12 \] 이므로 Eisenstein 기약 판정에 의해 \( 3 f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</p> <p>예 \(5.4.6 \) [대입 준동형사상(정리 \(5.4.4 \)) ] \( F= \mathbb { Q } , E= \mathbb { C } \) 이라 하자.<ol type= start=1><li>대입 준동형사상 \( \phi_ { i } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { C } , \quad \phi_ { i } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } i + \cdots + a_ { n } i ^ { n } \) 이고 \( \phi_ { i } (x)=i \) 이다. 특히 \[ \phi_ { i } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )=i ^ { 2 } + 1=0 \] 이므로 \( x ^ { 2 } + 1 \in \operatorname { ker } \left ( \phi_ { i } \right ) \) 이다.</li></ol></p> <p>정의 \( 5.4 .7 \) [다항식의 해(zero, 解)] 체 \( F \) 는 체 \( E \) 의 부분체이고 \( \alpha \in E \) 라 하자. \( \alpha \) 에 대한 대입 준동형사상 \( \phi_ {\alpha } : F[x] \longrightarrow E \) 와 \(1 \) 차 이상의 다항식 \( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \in F[x] \) 에 대하여</p> <p>\( \alpha \) 가 \( f(x) \) 의 해(zero, 解) 또는 근(root, 根) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( {\Longrightarrow } \phi_ {\alpha } (f(x))=a_ { 0 } + a_ { 1 } \alpha + \cdots + a_ { n } \alpha ^ { n } =0 \)</p> <p>다항식의 해의 정의를 위 정의 \(5.4.7 \)처럼 \( x \) 에 직접 대입하지 않고 대입 준동형사상을 이용하는 이유는 다항식환에서 \( x \) 는 변수가 아니라 부정원이라서 직접 대입할 수 없다. 이는 \( x \) 를 변수라 하면 다항식환을 구성할 수 없기 때문이다. 일반적으로 다항식의 해를 구하는 것이 매우 어렵기 때문에 대수적 구조인 체를 이용하여 다항식의 해의 구조에 대한 아름다운 이론을 체론에서 경험하게 될 것이다.</p> <p>예 \(5.4.13 \) [다항식환] 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Q } [x, y] \) 에서 다항식 \[ f(x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 x ^ { 2 } y + 4 x y-3 x ^ { 3 } -2 y + 1 \in \mathbb { Q } [x, y] \] 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { l } f(x, y)=-3 x ^ { 3 } + \left (y ^ { 3 } -2 y \right ) x ^ { 2 } + 4 y x + (-2 y + 1) \in( \mathbb { Q } [y])[x] \\ f(x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } + \left (-2 x ^ { 2 } + 4 x-2 \right ) y + \left (-3 x ^ { 3 } + 1 \right ) \in( \mathbb { Q } [x])[y] \end {array} \]</p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.4 \))</h3> <ol type= start=1><li>다항식환 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 다음 다항식을 간단히 하라.<ol type= start=1><li>\( (2 x + 1) + (x + 2) \)</li> <li>\( (x + 1)-(2 x + 2) \)</li> <li>\( (2 x + 1)(x + 2) \)</li> <li>\( \left (2 x ^ { 2 } + x + 1 \right )(2 x + 1) \)</li></ol></li> <li>다음 다항식환의 모든 단원을 구하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } [x] \)</li> <li>\( \mathbb { Q } [x] \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 7 } [x] \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 12 } [x] \)</li></ol></li> <li>(정리 \(5.4.3 \)) 환 \( R \) 위의 다항식 전체 집합 \( (R[x], + , \cdot) \) 은 환임을 증명하라.</li> <li>\( ( \mathbb { Q } [x])[y] \) 의 원소 \[ f(x, y)= \left (3 x ^ { 3 } + 2 x \right ) y ^ { 3 } + \left (x ^ { 2 } -6 x + 1 \right ) y ^ { 2 } + \left (x ^ { 4 } -2 x \right ) y + \left (x ^ { 4 } -3 x ^ { 2 } + 2 \right ) \] 를 \( ( \mathbb { Q } [y])[x] \) 의 원소인 것처럼 표현하라.</li> <li>\( F \) 가 체이고 \( F ^ { F } = \{\phi \mid \phi: F \rightarrow F \) 는 함수 \( \} \) 라고 하자. 이 때 \( \phi \in F ^ { F } \) 가 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 가 존재하여 \( F \) 의 모든 원소 \( a \) 에 대하여 \( \phi(a)=f(a) \) 이면 \( \phi \) 를 다항 함수(polynomial func-tion)라고 한다. ( \(5.1 \))의 연습문제 \(9 \) 번을 참조하여 다음 문제를 풀어라.<ol type= start=1><li>다항함수들의 집합 \( P_ { F } = \left \{ a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \mid a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \in F \right \} \left (x \right . \) 는 변수)는 \( F ^ { F } \) 의 부분환임을 보여라.</li> <li>\( P_ { F } \) 는 \( F[x] \) 와 동형일 필요는 없음을 보여라. [도움말: \( F \) 가 유한체이면, \( P_ { F } \) 와 \( F[x] \) 의 원소의 개수가 다름을 보이면 된다.]</li></ol></li></ol> <p>예 \(5.2.18 \) [부분환]가환환 \( \mathbb { Z } _ { n } ( \geq 2) \) 의 부분환은 모두 \( d \) 가 \(0 \) 또는 \( n(=d m) \) 의 약수일 때, \[ d \mathbb { Z } _ { n } = \{ 0, d, 2 d, \cdots,(m-1) d \} \] 인 형태로 나타난다(따름정리 \(2.3.13 \)).</p> <p>특히, \( 2 \leq d<n \) 이면 부분환 \( d \mathbb { Z } _ { n } \) 은 단위원이 존재하지 않는다.</p> <p>정리 \(5.2.19 \) 환 \( R \) 과 체 \( F \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>환 \( R \) 의 부분환 \( A, B \) 에 대하여 \( A \cap B \) 도 부분환이다.</li> <li>체 \( F \) 의 부분체 \( A, B \) 에 대하여 \( A \cap B \) 도 부분체이다</li></ol></p> <p>(증명)</p> <ol type= start=1><li>A, B가 환 \( R \) 의 부분환이라 하자. 그러면, \( 0 \in A, 0 \in B \) 이므로 \( 0 \in A \cap B \) 이다. 다음에, \( a, b \in A \cap B \) 이라고 하자. 그러면 \( a, b \in A \) 이고 \( a, b \in B \) 이므로 \[ a-b, a b \in A, \quad a-b, a b \in B \] 이다. 따라서 \( a-b, a b \in A \cap B \) 이므로 \( A \cap B \) 는 \( R \) 의 부분환이다(정리 \(5.2.12 \)).</li> <li>( \(1 \))과 같은 방법으로 증명할 수 있다.</li></ol> <p>예 \( 5.2 .20 \) 가환환 \( \mathbb { Z } \) 의 부분환 \( 2 \mathbb { Z } \) 와 \( 3 \mathbb { Z } \) 에 대하여 \[ 2 \mathbb { Z } \cup 3 \mathbb { Z } \] 은 \( \mathbb { Z } \) 의 부분환이 아니다. 실제로 \[ 2 \in 2 \mathbb { Z } , 3 \in 3 \mathbb { Z } \quad \Longrightarrow \quad 2 + 3=5 \notin 2 \mathbb { Z } \cup 3 \mathbb { Z } \] 이 되어 \( 2 \mathbb { Z } \cup 3 \mathbb { Z } \) 은 \( \mathbb { Z } \) 의 부분환이 아니다. 정수론에서 증명한 페르마(프: Pierre de Fermat, \(1601-1665 \)) 정리(정리 \( 1.2.19 \))와 Euler(스: Leonhard Euler, \(1707-1783 \)) 정리(정리 \(1.2.18 \))를 대수학에서 증명해보자.</p> <p>예 \(5.7.2 \) 정수환 \( \mathbb { Z } \) 에서 \( S= \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } ^ { * } = \{ (a, b) \mid a, b( \neq 0) \in \mathbb { Z } \} \) 라 하자. \( S \) 위에서의 관계 \( \sim \) 를 정리 \(5.7.1 \)와 같이 정의하자. 그러면 \[ Q( \mathbb { Z } )=S / \sim= \left \{\frac { a } { b } \mid a, b( \neq 0) \in \mathbb { Z } \right \} , \quad \frac { a } { b } = \left \{ (c, d) \in \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } ^ { * } \mid a d=b c \right \} \]이다. 그리고 \( (0,1),(1,1),(1,2) \in \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } ^ { * } \) 를 각각 포함하는 동치류 \( \frac { 0 } { 1 } , \frac { 1 } { 1 } , \frac { 1 } { 2 } \) 은 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } \frac { 0 } { 1 } = \left \{ (0, a) \mid a \in \mathbb { Z } ^ { * } \right \} = \{ (0,1),(0,2),(0,-1), \cdots,(0, a), \cdots \} \\ \frac { 1 } { 1 } = \left \{ (a, a) \mid a \in \mathbb { Z } ^ { * } \right \} = \{ (1,1),(2,2),(-1,-1), \cdots,(a, a), \cdots \} \\ \frac { 1 } { 2 } = \left \{ (a, 2 a) \mid a \in \mathbb { Z } ^ { * } \right \} = \{ (1,2),(2,4),(-1,-2), \cdots,(a, 2 a), \cdots \} \end {array} \]</p> <p>정리 \(5.7.3 \) 정역 \( D \) 에 대하여 \( Q(D)= \left \{\frac { a } { b } \mid a, b( \neq 0) \in D \right \} \) 라 하고, \( Q(D) \) 위에서 덧셈과 곱셈을 아래와 같이 정의하면 다음이 성립한다. \[ \frac { a } { b } + \frac { c } { d } = \frac { a d + b c } { b d } , \quad \frac { a } { b } \cdot \frac { c } { d } = \frac { a c } { b d } \]<ol type= start=1><li>\( Q(D) \) 위에서 덧셈과 곱셈은 잘 정의된다.</li> <li>\( (Q(D), + , \cdot) \) 은 체이다.</li> <li>함수 \[ \phi: D \longrightarrow Q(D), \quad \phi(a)= \frac { a } { 1 } \] 은 단사 환 준동형사상이다. 따라서 \( D \cong \phi(D)= \left \{\frac { a } { 1 } \mid a \in D \right \} \) 이다.</li></ol></p> <p>예 \(5.3.11 \) 정수환 \( \mathbb { Z } \) 위의 환 준동형사상의 개수를 구하자. 함수 \( f: \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } \) 가 환 준동형사상이라 하자. 임의의 \( a \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 \[ f(a)=a f(1) \] 이므로 \( f \) 는 \(1 \) 의 상 \( f(1) \) 에 의하여 결정된다. 또한 \( f(1)=f \left (1 ^ { 2 } \right )=f(1) ^ { 2 } \) 에서 \( f(1)=0 \) 또는 \( f(1)=1 \) 이어야 한다. 그러므로 정수환 \( \mathbb { Z } \) 위의 환 준동형사상은 다음 \(2 \) 가지만 존재한다. \[ \left \{\begin {array} { ll } f_ { 0 } : \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } , & f_ { 0 } (a)=0 \\ f_ { 1 } : \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } , & f_ { 1 } (a)=a \end {array} \right . \]</p> <p>예 \(5.3.12 \) 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위의 환 준동형사상의 개수를 구하자. 함수 \( f: \mathbb { Q } \longrightarrow \mathbb { Q } \) 가 환 준동형사상이라 하자. 임의의 \( a \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 \[ f(a)=a f(1) \] 이다. 또한 임의의 유리수 \( \frac { a } { b } \in \mathbb { Q } , a, b(>0) \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 \[ b f \left ( \frac { a } { b } \right )=f \left ( \frac { a b } { b } \right )=f(a)=a f(1) \] 이므로 다음이 성립한다. \[ f \left ( \frac { a } { b } \right )= \frac { a } { b } f(1) \] 따라서 \( f \) 는 \(1 \) 의 상 \( f(1) \) 에 의하여 결정된다. 또한 \( f(1)=f \left (1 ^ { 2 } \right )=f(1) ^ { 2 } \) 에서 \( f(1)=0 \) 또는 \( f(1)=1 \) 이어야 한다. 그러므로 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위의 환 준동형사상은 다음 \(2 \) 가지만 존재한다. \[ \left \{\begin {array} { ll } f_ { 0 } : \mathbb { Q } \longrightarrow \mathbb { Q } , & f_ { 0 } (x)=0 \\ f_ { 1 } : \mathbb { Q } \longrightarrow \mathbb { Q } , & f_ { 1 } (x)=x \end {array} \right . \]</p> <p>정리 \( 5.2 .9 \) ( \(1999 \)학년도 임용시험 출제) 정역 \( D \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>유한정역 \( D \) 는 체이다</li></ul></p> <p>(증명) 유한정역 \( D \) 는 단위원을 가진 가환환이므로, 임의의 0 이 아닌 원소 \( (0 \neq) a \in D \) 의 역원 \( a ^ { -1 } \in D \) 이 존재함을 보이면 된다. \( \|D\|=n \) 이라 하자. 즉, \( D= \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \} \) 이라 하면, \[ a D= \left \{ a a_ { 1 } , a a_ { 2 } , \cdots, a a_ { n } \right \} \subset D \] 이다. 또한 \( D \) 는 소거법칙을 만족하므로 \( a a_ { i } =a a_ { j } \) 이면, \( a_ { i } =a_ { j } \) 이 성립하여 \( \|a D\|=n \) 이다. 즉, \( \|a D\|=n=\|D\| \) 이고, 따라서 \( a D=D \) 이다. 그러므로 \[ \left \{ a a_ { 1 } , a a_ { 2 } , \cdots, a a_ { n } \right \} = \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \right \} =D \] \( 1 \in D \) 이므로 \( 1=a a_ { i } \) 인 원소 \( a_ { i } \in D \) 가 존재한다. 그러므로 \( a ^ { -1 } =a_ { i } \) 이다. 따라서 \( D \) 는 체이다.</p> <p>정의 \(5.2.11 \) [부분환(subring, 部分環)] 환 \( (R, + , \cdot) \) 의 공이 아닌 부분집합 \( ( \varnothing \neq) S \) 에 대해서</p> <p>\( (S, + , \cdot) \) 가 환. 즉, 다음을 만족한다. \( S \) 가 \( R \) 의 부분환, 기호는 \( S<R \) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \left \{\begin {array} { l } \text { (1) } a, b \in S, a + b \in S \\ \text { (2) } a, b \in S, a b \in S \\ \text { (3) } \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 6 } \right ) \text { 환의 성질 만족 } \end {array} \right . \)</p> <p>문제 \(5.6.6 \) 체 \( \mathbb { Z } _ { 3 } \) 위의 \(2 \) 차 모닉기약다항식( \(3 \)개)과 \(3 \) 차 모닉기약다항식( \(8 \)개)을 구하라.</p> <p>정리 \(5.6.7 \) \( f(x) \in \mathbb { Z } [x], \operatorname { deg } (f(x))=n \geq 1,0 \leq r, s \leq n \) 에 대해 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} & \exists g(x), h(x) \in \mathbb { Q } [x], \operatorname { deg } (g(x))=r, \operatorname { deg } (h(x))=s, f(x)=g(x) h(x) \\ \Rightarrow & \exists g_ { 1 } (x), h_ { 1 } (x) \in \mathbb { Z } [x], \operatorname { deg } \left (g_ { 1 } (x) \right )=r, \operatorname { deg } \left (h_ { 1 } (x) \right )=s, f(x)=g_ { 1 } (x) h_ { 1 } (x) \end {aligned} \] ※유리수 계수 인수분해는 항상 정수 계수 인수분해로 나타낼 수 있다.</p> <p>(증명) 정리 \(7.1.20 \)와 정리 \(7.1.21 \)에서 증명한다.</p> <p>예 \(5.6.8 \) \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 다항식 \( x + 2 \) 와 \( x ^ { 2 } -1 \) 에 대하여 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 인수분해를 생각하자.</p> <p>\[ \begin {aligned} x + 2 &= \frac { 1 } { 3 } \cdot(3 x + 6)=1 \cdot(x + 2) \\ x ^ { 2 } -1 &= \left ( \frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } \right )(2 x-2)=(x + 1)(x-1) \end {aligned} \] 이다. 이처럼 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 인수분해는 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서의 인수분해로 변환 가능하지만, \( \mathbb { R } [x] \) 에서는 변환 가능하지 않다. 예를 들면, \[ x ^ { 2 } -2=(x + \sqrt { 2 } )(x- \sqrt { 2 } ) \] 로 \( \mathbb { R } [x] \) 에서 인수분해되지만 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서는 인수분해되지 않는다. 이는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 와 유리수환 \( \mathbb { Q } \) 의 특수한 관계(분수체: 예 \(5.7.4 \))에서 비롯된다. 즉, 유리수환 \( \mathbb { Q } \) 는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 의 분수체이지만, 실수환 \( \mathbb { R } \) 은 정수환 \( \mathbb { Z } \) 의 분수체가 아니다.</p> <h2>\( 5.2 \) 환의 기본 성질, 부분환과 부분체</h2> <p>이 절에서는 환의 기본 성질에 대한 것을 알아 본다.</p> <p>예 \(5.2.1 \) 다음 방정식의 해를 구해 보자.<ol type= start=1><li>\( (x-2)(x-3)=0 \) 의 \( \mathbb { Z } \) 에서 해는 \( x=2,3 \) 으로 \(2 \) 개이다.</li> <li>\( (x-2)(x-3)=0 \) 의 \( \mathbb { Z } _ { 6 } \) 에서 해는 \( x=0,2,3,5 \) 로 \(4 \) 개이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } + 5=0 \) 의 해는 \( \mathbb { Z } \) 에서 \(0 \) 개이고, \( \mathbb { Z } _ { 6 } \) 에서는 \( x=1,5 \) 로 \(2 \) 개이다.</li></ol>위와 같은 해의 개수의 차이는 어디서 오는 걸까? 이는 \(0 \) 이 아닌 원소들의 곱이 \(0 \) 이 되는 성질을 갖느냐 아니냐 하는 환의 성질의 차이에서 온다.</p> <p>정의 \( 5.2 .2 \) [영인자(zero divisor, 悹 서了)] 환 \( R \) 의 원소 \( a( \neq 0), b( \neq 0) \) 에 대하여</p> <p>\( a \) 와 \( b \) 가 \( R \) 의 영인자(zero divisor) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( a b=0 \)</p> <p>※ \( a \) 를 좌영인자, \( b \) 를 우영인자라고 한다.</p> <p>\( ※ R \) 의 영인자 전체 집합을 \( \operatorname { Zero } (R)= \{ a \in R \mid a \) 는 \( R \) 의 영인자 \( \} \) 로 나타낸다.</p> <p>※ 단위원을 가진 가환환 \( R \) 이 정역일 필요충분조건은 Zero \( (R)= \varnothing \) 이다.</p> <p>예 \( 5.2 .3 \) 다음 영인자의 예를 살펴보자.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } \) 의 영인자 전체 집합은 \( \operatorname { Zero } ( \mathbb { Z } )= \varnothing \) 이다.</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 6 } \) 의 영인자 전체 집합은 \( \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { 6 } \right )= \{ 2,3,4 \} \) 이다.</li> <li>\(2 \)차 행렬 전체 집합 \( M_ { 2 } ( \mathbb { R } ) \) 에서 \[ \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \] 이므로 \( \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \) 는 \( M_ { 2 } ( \mathbb { R } ) \) 의 (좌)영인자이고 \( \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \) 는 \( M_ { 2 } ( \mathbb { R } ) \) 의 (우)영인자이다.</p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>정리 \(5.2.13 \)에 따른다.</li> <li>\( \|G\|=n \) 이라 하자. 그러면 유한생성가환군 정리에 의해 다음이 성립한다. \[ G \cong \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } } \times \mathbb { Z } _ { d_ { 2 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { d_ { r } } , \quad d_ { i } =p_ { i } ^ { a_ { i } } \left (p_ { i } \text { 는 소수, } a_ { i } \text { 는 자연수 } \right ) \] 이때 \( n=d_ { 1 } d_ { 2 } \cdots d_ { r } \) 이다. 또한 \( d_ { i } \) 들의 최소공배수를 \(m= \operatorname { lcm } \left (d_ { 1 } , d_ { 2 } , \cdots, d_ { r } \right ) \) 이라 할 때, \( m=n \) 임을 보이면 \( d_ { i } \) 는 쌍마다 서로소이다. 그러면 정리 \(3.4.6 \)에 의하여 \[ G \cong \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } } \times \mathbb { Z } _ { d_ { 2 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { d_ { r } } \cong \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } d_ { 2 } \cdots d_ { r } } \] 이 되어 \( G \) 는 순환군이다. 따라서 \( m=n \) 임을 보이면 정리가 성립한다. 정의에 의해 \( n \geq m \) 임을 자명하다. 다음에 임의의 \( \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { r } \right ) \in \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } } \times \mathbb { Z } _ { d_ { 2 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { d_ { r } } \) 에 대하여 \( \left \|a_ { i } \right \| \) 는 \( d_ { i } \) 의 약수(Lagrange 정리)이므로 \( m \) 의 약수가 된다. 따라서 \[ \left \| \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { r } \right ) \right \| \mid m \] 이다. 즉, 임의의 \( a \in G \) 에 대하여 \( \|a\| \mid m \) 이다. 따라서 \[ a ^ { m } =1 \] 이다. 한편 \( A= \left \{ a \in F \mid a \right . \) 는 \( x ^ { m } -1=0 \) 의 해 \( \} \) 라 하면, \( G \subset A \) 이다. 따라서 따름정리 \(5.5.6 \)에 의하여 \[ n=\|G\| \leq\|A\| \leq m \] 이므로 \( n \leq m \) 이고 \( n=m \) 이다. 따라서 \( d_ { i } \) 는 쌍마다 서로소이므로 \( G \cong \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } } \times \mathbb { Z } _ { d_ { 2 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { d_ { r } } \cong \mathbb { Z } _ { d_ { 1 } d_ { 2 } \cdots d_ { r } } = \mathbb { Z } _ { n } \) 는 순환군이다(정리 \(3.4.6 \)).</li></ol></p> <p>예 \(5.5.2 \) \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 다항식 \( f(x)=x ^ { 4 } -x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x-1 \) 를 \( g(x)=x ^ { 2 } -2 x + 1 \) 로 나눌 때 정리 \(5.5.1 \)에서의 몫과 나머지를 구하자. \[ \begin {aligned} x ^ { 2 } -2 x + 1 & \frac { x ^ { 2 } + x } { x ^ { 4 } -x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x-1 } \\ & \frac { x ^ { 4 } -2 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } } { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x } \\ \frac { x ^ { 3 } -2 x ^ { 2 } + x } { -1 } \end {aligned} \] 따라서 몫은 \( x ^ { 2 } + x \) 이고 나머지는 \( -1 \) 이다. 그러므로 \[ x ^ { 4 } -x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + x-1= \left (x ^ { 2 } -2 x + 1 \right ) \left (x ^ { 2 } + x \right )-1 \] 이다.</p> <p>예 \(5.5.3 \) 다항식환 \( F[x] \) 에서의 \( F \) 가 체가 아니면 나늣셈 알고리즘이 성립하지 않는다. 예를 들어, 정수환(정역) \( \mathbb { Z } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 다항식 \[ f(x)=x ^ { 2 } + x + 1 \] 을 \( 2 x + 1 \) 로 나눈 몫과 나머지는 존재하지 않는다. 만약 몫과 나머지가 존재한다고 하고 각각 \( a x + b, c \in \mathbb { Z } [x] \) 라 하자. 그러면 \[ f(x)=x ^ { 2 } + x + 1=(2 x + 1)(a x + b) + c=2 a x ^ { 2 } + (a + 2 b) x + b + c \] 이다. 따라서 다항식의 상등에 의하여 \[ 2 a=1, \quad a + 2 b=1, \quad b + c=1 \] 이어야 하는데 \( a \) 는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 에서 구할 수 없다.</p> <p>정의 \(5.4.1 \) [다항식(polynomial, 多項式)] 환 \( R \) 과 부정원 \( x \) 에 대하여</p> <p>\( f(x) \) 는 \( R \) 위의 다항식(polynomial) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \[ \begin {aligned} f(x) &=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } + \cdots \quad \left (a_ { i } \in R \right ) \\ &=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \quad \left (a_ { i } =0, i>n \right ) \end {aligned} \] (유한 개를 제외한 모든 \( i \) 에 대하여 \( a_ { i } =0 \) ) \[ \left ( \text { 단, } x ^ { 0 } =1,0 \cdot x ^ { i } =0,1 \cdot x ^ { i } =x ^ { i } \right ) \]</p> <p>\( R[x] \) 는 \( R \) 위의 다항식 전체 집합 \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( R[x]= \left \{ a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \mid a_ { 0 } , \cdots, a_ { n } \in R, n \geq 0 \right \} \)</p> <p>※ \( R \) 위의 \( x \) 에 관한 다항식 \( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } + \cdots \in R[x] \) 에 대하여 \[ \left \{\begin {array} { ll } a_ { 0 } , a_ { 1 } x, \cdots, a_ { n } x ^ { n } , \cdots & : f(x) \text { 의 항(term, 項) } \\ a_ { 0 } & : f(x) \text { 의 상수항(constant term, 常數項) } \\ a_ { 0 } , a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } , \cdots & : f(x) \text { 의 계수(coefficient, 俬數) } \\ f(x)=a_ { 0 } & : f(x) \text { 는 상수다항식(constant polynoial) } \\ f(x)=0 & : f(x) \text { 는 영다항식(zero polynomial) } \end {array} \right . \]</p> <p>정리 \(5.2.12 \) 환 \( (R, + , \cdot) \) 의 공이 아닌 부분집합 \( ( \varnothing \neq) S \) 에 대해서 다음은 동치명제이다.<ul> <li>\( S \) 가 \( R \) 의 부분환 \( \Longleftrightarrow \left \{\begin {array} { l } \text { (1) } 0 \in S \\ \text { (2) 임의의 원소 } a, b \in S \text { 에 대하여 } a-b \in S \\ \text { (3) 임의의 원소 } a, b \in S \text { 에 대하여 } a b \in S \end {array} \right . \)</li></ul></p> <p>(증명) \( ( \Rightarrow) \) 부분환의 정의에 의하여 ( \(1 \)), ( \(2 \)), ( \(3 \))이 성립한다.</p> <p>\( ( \Leftarrow) \) 조건 ( \(1 \)), ( \(2 \)), ( \(3 \))이 성립한다고 하자. 정리 \( 2.2 .3 \) 에 의하여 \( (S, + ) \) 는 \( (R, + ) \) 의 부분군이다. 또한 덧셈과 곱셈에 관하여 닫혀 있으므로 \( S \) 에서 덧셈 교환법칙과 곱셈에 관한 결합법칙과 분배법칙이 성립한다. 따라서 \( S \) 는 \( R \) 의 부분환이다.</p> <p>정리 \(5.2.13 \) 환 \( (F, + , \cdot) \) 에 대하여 다음은 동치이다.<ul> <li>\[ (F, + , \cdot) \text { 가 체 } \Longleftrightarrow \left \{\begin {array} { l } \text { (1) } (F, + ) \text { 가 가환군 } \\ \text { (2) } (F- \{ 0 \} , \cdot) \text { 가 가환군 } \end {array} \right . \]</li></ul>(증명) 정의에 의해 성립한다.</p> <p>정의 \(5.2.14 \) [부분체(subfield, 部分䁗)] 체 \( (F, + , \cdot) \) 의 공이 아닌 부분집합 \( ( \varnothing \neq) S \) 에 대해서</p> <p>\( S \) 가 \( F \) 의 부분체, 기호는 \( S<F \) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \left \{\begin {array} { l } (S, + , \cdot) \text { 가 체. 즉, 다음을 만족한다. } \\ \text { (1) } a, b \in S, a + b \in S \\ \text { (2) } a, b \in S, a b \in S \\ \text { (3) } \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 9 } \right ) \text { 체의 성질 만족 } \end {array} \right . \)</p> <p>따름정리 \(5.6.9 \) \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 다항식 \( f(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } \in \mathbb { Z } [x] \) 이 유리수 해 \( m \in \mathbb { Q } (f(m)=0) \) 을 가질 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( m= \frac { b } { a } , a \left \|a_ { n } , b \right \| a_ { 0 } \) 인 정수 \( a, b \in \mathbb { Z } \) 가 존재한다.</li> <li>\( f(x) \) 가 모닉다항식 \( \left (a_ { n } =1 \right ) \) 이면 \( \quad \Longrightarrow \quad m \in \mathbb { Z } , m \mid a_ { 0 } \)</li></ol></p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>\( f(x) \) 가 유리수 해 \( m= \frac { b } { a } \in \mathbb { Q } \) 을 가진다고 하자. 그러면 인수정리(정리 \(5.5.4 \))와 정리 \(5.6.7 \)에 의하여 \[ f(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } =(a x-b) \left (b_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + b_ { 0 } \right ) \] 인 다항식 \( a x-b, b_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + b_ { 0 } \in \mathbb { Z } [x] \) 가 존재한다. 따라서 \[ a b_ { n-1 } =a_ { n } , \quad-b b_ { 0 } =a_ { 0 } \] 이다. 그러므로 \( a \mid a_ { n } \) 이고 \( b \mid a_ { 0 } \) 이다.</li> <li>\( f(x) \) 가 모닉다항식이므로 \( a_ { n } =1 \) 이다. 따라서 ( \(1 \))에서 \( a \) 를 양수로 선택하면 \( a=1 \) 이어야 하므로 \( m=b \in \mathbb { Z } \) 이고 \( m \mid a_ { 0 } \) 이다.</li></ol></p> <h2>\( 5.7 \) 정역과 분수체</h2> <p>분수체는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 에서 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 로 만드는 과정을 일반화한 것으로 정역 \( D \) 를 이용하여 (분수)체로 확장해 보자. 이 절에서는 정역(Integral Domain)에 관한 성질을 다룬다.</p> <p>※ 정역 \( D \) 를 다음 단계를 거쳐 분수체 \( F \) 로 확장한다.<ol type= start=1><li>\( F \) 의 원소 정의</li> <li>\( (F, + , \cdot) \) 에서 덧셈 \( ( + ) \), 곱셈 \( ( \cdot) \) 정의</li> <li>\( (F, + , \cdot) \) 가 체임을 확인</li> <li>\( D \) 는 체 \( (F, + , \cdot) \) 의 부분 정역임을 확인</li></ol></p> <h2>\( 5.7 \) 정역과 분수체</h2> <p>분수체는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 에서 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 로 만드는 과정을 일반화한 것으로 정역 \( D \) 를 이용하여 (분수)체로 확장해 보자.이 절에서는 정역(Integral Domain)에 관한 성질을 다룬다. ※ 정역 \( D \) 를 다음 단계를 거쳐 분수체 \( F \) 로 확장한다.<ol type= start=1><li>\( F \) 의 원소 정의</li> <li>\( (F, + , \cdot) \) 에서 덧셈 \( ( + ) \), 곱셈 \( ( \cdot) \) 정의</li> <li>\( (F, + , \cdot) \) 가 체임을 확인</li> <li>\( D \) 는 체 \( (F, + , \cdot) \) 의 부분 정역임을 확인</li></ol></p> <p>정리 \(5.7.1 \) 정역 \( D \) 에 대하여 \( S=D \times D ^ { * } = \{ (a, b) \mid a, b( \neq 0) \in D \} \) 라 하고, \( S \) 위에서의 관계를 다음과 같이 정의하면 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \begin {array} { l } (a, b) \sim(c, d) \Longleftrightarrow a d=b c \\ \text { 관계 } \sim \text { 은 } S \text { 위에서 동치관계이다. } \end {array} \]</li></ul></p> <p>\[ \begin {array} { c } ( \text { 증명) } (a, b) \sim(a, b) \Leftrightarrow a b=b a \Leftrightarrow(a, b) \sim(a, b) \text { (반사관계). } \\ (a, b) \sim(c, d) \Leftrightarrow a d=b c \Leftrightarrow d a=c b \Leftrightarrow(c, d) \sim(a, b) \text { (대칭관계). } \\ (a, b) \sim(c, d),(c, d) \sim(e, f) \text { 이라면, } a d=b c, c f=d e \text { 이다. } d \neq 0 \text { 이므로 } \\ a d f=b c f=b d e \Longrightarrow a f=b e \end {array} \] 이다. 따라서 \( (a, b) \sim(e, f) \) 이다(추이관계). 그러므로 관계 \( \sim \) 는 \( S \) 위에서 동치관계이다. \( S \) 위에서 동치관계에 관하여 \( (a, b) \in S \) 를 포함하는 동치류를 \( \frac { a } { b } \) 로 나타내고 동치류 전체집합을 \( Q(D) \) 로 나타내면, \[ Q(D)=S / \sim= \left \{\frac { a } { b } \mid a, b( \neq 0) \in D \right \} , \quad \frac { a } { b } = \left \{ (c, d) \in D \times D ^ { * } \mid a d=b c \right \} \] 이다. 또한 \( \frac { a } { b } = \frac { c } { d } \Longleftrightarrow a d=b c \) 이다.</p> <p>(증명) \( \operatorname { deg } (f(x))=n \) 에 관한 귀납법을 이용하자. \( \operatorname { deg } (f(x))=0 \) 이면, \( f(x)=c \in F \) 의 해는 없으므로 \(0 \) 개의 해가 존재한다. \( \operatorname { deg } (f(x))=1 \) 인 경우 \( f(x)=a x + b \in F[x](a \neq 0) \) 이라 하면, \( a x + b=0 \) 의 해는 \( - \frac { b } { a } \) 로 \(1 \) 개의 해가 존재한다. \( \operatorname { deg } (f(x))=n \) 이하인 경우 \( n \) 개 이하의 해가 존재한다고 하자. \( \operatorname { deg } (f(x))=n + 1 \) 이라 하자. \( f(x) \) 의 해가 없으면 정리가 성립한다. 다음에 \( f(x) \) 의 해 \( a \in F \) 가 존재한다고 하자. 그러면 인수 정리에 의해 적당한 \( g(x) \in F[x] \) 에 대하여 \[ f(x)=(x-a) g(x), \quad \operatorname { deg } (g(x))=n \] 이다. 귀납가정에 의해 \( g(x) \) 는 \( F \) 에서 많아야 \( n \) 개의 해가 존재한다. 한편 \( a \) 와 다른 \( f(x) \) 의 해 \( b \in F \) 에 대하여 \[ 0=f(b)=(b-a) g(b) \in F \] 이다. \( b-a \neq 0 \) 이므로 \( g(b)=0 \). 즉, \( b \) 는 \( g(x) \) 의 해이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( F \) 에서 \( n + 1 \) 개 이하의 해가 존재한다.</p> <p>예 \(5.5.7 \) 따름정리 \(5.5.6 \)에서 \( F \) 가 체가 아니면 성립하지 않는다. 예를 들어, 단위원 \(1 \) 을 가진 가환환 \( \mathbb { Z } _ { 4 } \) 위의 \(1 \) 차 다항식환 \( f(x)=2 x \in \mathbb { Z } _ { 4 } [x] \) 의 해는 \(0,2 \) 로 \(2 \) 개 존재한다.</p> <p>정리 \( 5.5 .8 \) 체 \( F \) 에 대하여 \( F ^ { * } =F- \{ 0 \} \) 라 할 때, 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( \left (F ^ { * } , \cdot \right ) \) 는 가환군 곱셈군이다.</li> <li>\( G \) 가 \( F ^ { * } \) 의 유한부분군이면, \( G \) 는 순환 부분군이다. 특히, \( F \) 가 유한체이면, \( \left (F ^ { * } , \cdot \right ) \) 는 순환군이다.</li></ol></p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 단위원을 갖는 환(ring with unity)<ul>\( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \)<li>\( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 6 } \right ) \) 이 성립, 즉, \( R \) 이 환이고,</li> <li>\( \left (R_ { 7 } \right ) \exists 1 \in R, \forall a \in R, \quad a \cdot 1=1 \cdot a=a \) ( \( \cdot \)에 대한 항등원 \(1 \) 존재)</li></ul></p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 가환환(commutative ring, 可换環)<ul>\( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \)<li>\( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 6 } \right ) \) 이 성립, 즉, \( R \) 이 환이고,</li> <li>\( \left (R_ { 8 } \right ) \forall a, b \in R, \quad a \cdot b=b \cdot a \) ( \( \cdot \)에 대한 교환법칙)</li></ul></p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 단위원을 갖는 가환환 \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 8 } \right ) \) 이 성립하는 환</p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 나눗셈 환(division ring, skew field)<ul>\( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \)<li>\( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 7 } \right ) \) 이 성립, 즉, \( R \) 이 단위원을 갖는 환이고,</li> <li>\( \left (R_ { 9 } \right ) \forall a( \neq 0) \in R, \exists a ^ { -1 } \in R, \quad a \cdot a ^ { -1 } =a ^ { -1 } \cdot a=1 \quad \) (·에 대한 역원 \( a ^ { -1 } \) 존재)</li></ul></p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 체(field, 䪆 \() \) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( \left (R_ { 1 } \right ) \sim \left (R_ { 9 } \right ) \) 가 성립하는 환, 즉, 가환인 나늣셈환.</p> <p>정리 \(5.3.6 \) 환 준동형사상 \( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } \) 과 임의의 원소 \( a, b \in R \) 에 대하여 다음이 성립한다. 단, \( 0,0 ^ {\prime } \) 은 \( R, R ^ {\prime } \) 의 덧셈 \( ( + ) \) 에 대한 항등원이다.<ol type= start=1><li>\( f(0)=0 ^ {\prime } , \quad f(-a)=-f(a), \quad f(a-b)=f(a)-f(b) \)</li> <li>모든 정수 \( n \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 \( f(n a)=n f(a) \)</li> <li>모든 양의 정수 \( n \in \mathbb { N } \) 에 대하여 \( f \left (a ^ { n } \right )=f(a) ^ { n } \)</li></ol></p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>\((R, + ) \) 과 \( \left (R ^ {\prime } , + \right ) \) 은 덧셈군이므로, 정리 \( 3.2 .14 \) 에 의하여 성립한다.</li> <li>\((R, + ) \) 과 \( \left (R ^ {\prime } , + \right ) \) 은 덧셈군이므로, 정리 \( 3.2 .14 \) 에 의하여 성립한다</li> <li>환 준동형의 정의에 의하여 성립한다.</li></ol></p> <p>정리 \(5.3.7 \) 환 준동형사상 \( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( S \) 가 \( R \) 의 부분환이면, \( S \) 의 상 \( f(S)= \{ f(a) \mid a \in S \} \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 부분환 이다. 특히, \( \operatorname { Im } (f)=f(R)= \{ f(a) \mid a \in R \}<R ^ {\prime } \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 부분환이다.</li> <li>\( S ^ {\prime } \) 가 \( R ^ {\prime } \) 의 부분환이면,</li> <li>\( \operatorname { ker } (f)= \left \{ a \in R \mid f(a)=0 ^ {\prime } \right \}<R \)</li> <li>\( R \) 이 가환환이면 \( \operatorname { Im } (f) \) 도 가환환이다.</li></ol>※ \( \operatorname { Im } (f) \) 를 \( f \) 에 의한 \( R \) 의 상(image, 像)이라 하고, \( \operatorname { ker } (f) \) 를 \( f \) 의 핵(kernel, 核)이라 한다.</p> <p>\[ \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x)= \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } \left (b_ { m } x ^ { m } + b_ { m-1 } x ^ { m-1 } + \cdots + b_ { 1 } x + b_ { 0 } \right )=c_ { t } x ^ { t } + \ulcorner(t-1) \text { 차 이하의 항」 } \] 이라 하면 \[ \operatorname { deg } \left (r(x)- \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x) \right )<t \] 이다. 이때 \[ f(x)=g(x) h(x) + r(x)=g(x) h(x) + \frac { c ^ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x) + r(x)- \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x) \] 이므로 \[ r(x)- \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x)=f(x)-g(x) \left (h(x)- \frac { c ^ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } \right ) \in S \] 이다. 따라서 \( r(x)- \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x) \in S \) 이다. 한편 \( \operatorname { deg } \left (r(x)- \frac { c_ { t } } { b_ { m } } x ^ { t-m } g(x) \right )<t \) 이므로 이는 \( S \) 에서 다항식의 차수의 최소성 \( t \) 에 모순이다. 따라서 \( \operatorname { deg } (g(x))>\operatorname { deg } (r(x)) \) 이어야 한다. 마지막으로 유일성을 보이자. 적당한 다항식 \( h(x)\), \(h ^ {\prime } (x)\), \(r(x)\), \(r ^ {\prime } (x) \in F[x] \) 에 대하여 \[ f(x)=g(x) h(x) + r(x), \quad \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (g(x)) \] 과 \[ f(x)=g(x) h ^ {\prime } (x) + r ^ {\prime } (x), \quad \operatorname { deg } \left (r ^ {\prime } (x) \right )< \operatorname { deg } (g(x)) \] 이라 하자. 그러면 \[ g(x)(h(x)-h(x))=r ^ {\prime } (x)-r(x) \] 이다. 이때 \( h(x)-h ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이면 \( \operatorname { deg } \left (r ^ {\prime } (x) \right ) + \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (g(x)) \) 이므로 \[ \operatorname { deg } (g(x)) + \operatorname { deg } \left ( \left (h ^ {\prime } (x)-h(x) \right )= \operatorname { deg } \left (g(x)(h(x)-h(x))= \operatorname { deg } \left (r ^ {\prime } (x) \right ) + \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (g(x)) \right . \right . \] 이다. 여기서 \( g(x) \neq 0 \) 이므로 모순이다. 따라서 \( h(x)-h ^ {\prime } (x)=0 \) 이어야만 한다. 그러므로 \( h(x)=h ^ {\prime } (x) \) 이고 \( r(x)=r ^ {\prime } (x) \) 를 얻는다.</p> <p>정리 5.6.18 소수 \( p \) 와 양의 \( n \) 에 대하여 다음이 성립한다(예 9.5.8 참조).<ul> <li>\[ \Phi_ { p ^ { n } } (x)= \frac { x ^ { p ^ { n } } -1 } { x ^ { p ^ { n-1 } } -1 } =x ^ { p ^ { n-1 } (p-1) } + x ^ { p ^ { n-1 } (p-2) } + \cdots + x ^ { p ^ { n ^ { n } } } + 1 \text { 은 } \mathbb { Q } \text { 위에서 기약. } \]</li></ul></p> <p>(증명) 따름정리 5.6.17에 의하여 \( n=1 \) 일 때 정리가 성립한다.</p> <p>이제 \( n \geq 2 \) 일 때 문제 5.6.13에 의해서 \( \Phi_ { p ^ { n } } (x + 1) \) 이 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보이면 충분하다. \( () \cdots f(x)= \Phi_ { p ^ { n } } (x + 1)=x ^ { q } + a_ { 1 } x ^ { q-1 } + \cdots + a_ { q-1 } x + a_ { q } , \quad q=p ^ { n-1 } (p-1), a_ { i } \in \mathbb { Z } \) 이라 하자. 그러면 \( a_ { q } =f(0)= \Phi_ { p ^ { n } } (1)=p \) 이므로 \( p \mid a_ { q } , p ^ { 2 } \backslash a_ { q } \) 이다. 한편 \[ f(x)= \Phi_ { p ^ { n } } (x + 1)= \frac { (x + 1) ^ { p ^ { n } } -1 } { (x + 1) ^ { p ^ { n-1 } } -1 } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { p ^ { n } } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } \\ i \end {array} \right ) x ^ { i } } {\sum_ { j=1 } ^ { p ^ { n } -1 } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } \\ j \end {array} \right ) x ^ { j } } \] 이다. 여기서 \( 1 \leq i<p ^ { n }\) , \(1 \leq j<p ^ { n-1 } \) 일 때, \[ \frac { i } { p ^ { n } } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } \\ i \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } -1 \\ i-1 \end {array} \right ), \quad \frac { j } { p ^ { n-1 } } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } \\ j \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } -1 \\ j-1 \end {array} \right ) \] 이므로 \[ i \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } \\ i \end {array} \right )=p ^ { n } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } -1 \\ i-1 \end {array} \right ), \quad j \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } \\ j \end {array} \right )=p ^ { n-1 } \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } -1 \\ j-1 \end {array} \right ) \] 이다. 따라서 \( \left ( \begin {array} { c } p ^ { n } \\ i \end {array} \right ) \) 와 \( \left ( \begin {array} { c } p ^ { n-1 } \\ j \end {array} \right ) \) 은 \( p \) 의 배수이다.</p> <p>(증명) \( f \) 가 환 준동형사상이면 군 준동형사상이다.<ol type= start=1><li>전사함수의 정의에 의하여 성립한다.</li> <li>정리 3.2 .15에 의하여 성립한다.</li> <li>정리 5.3.7에 의하여 \( f(S)<R ^ {\prime } \) 이다. 또한 \( f \) 가 단사 준동형사상이므로, 함수 \[ g: S \longrightarrow f(S), \quad g(a)=f(a) \] 은 환 동형사상이다. 따라서 \( S \cong f(S) \) 이다.</li></ol></p> <p>정리 5.3 .9 환 준동형사상 \( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } \) 에 대하여 다음이 성립한다. 단, \(1 \) 은 \( R \) 의 단위원이다.<ol type= start=1><li>\( f(1) \) 은 \( R ^ {\prime } \) 의 멱등원이다. 즉, \( f(1)=f(1) ^ { 2 } \)</li> <li>\( f(1) \neq 0 \) 이면, \( f(1) \) 은 \( \operatorname { Im } (f) \) 의 단위원이다. \( f \) 가 전사이면, \( f(1) \) 은 \( R ^ {\prime } \) 의 단위원</li> <li>\( f(1)=1 ^ {\prime } \left (R ^ {\prime } \right . \) 의 단위원)일 때, \( R \) 의 단원 \( u \in R \) 에 대하여, \( f(u) \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 단원이고 \( f \left (u ^ { -1 } \right )=f(u) ^ { -1 } \) 이다.</li></ol>※ 일반적으로 \( f(1) \neq 1 ^ {\prime } \) 이다(예 5.3.10).</p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>\( f(1)=f \left (1 ^ { 2 } \right )=f(1) f(1)=f(1) ^ { 2 } \) 이므로 \( f(1) \) 은 \( R ^ {\prime } \) 의 멱등원이다.</li> <li>임의의 원소 \( f(a) \in f(R) \) 에 대하여 \[ f(a)=f(a \cdot 1)=f(a) f(1), \quad f(a)=f(1 \cdot a)=f(1) f(a) \] 이므로 \( f(1) \) 은 \( f(R) \) 의 단위원이다.</li> <li>\( u \) 가 \( R \) 의 단원이고 \( f(1)=1 ^ {\prime } \) 이므로 \[ 1 ^ {\prime } =f(1)=f \left (u u ^ { -1 } \right )=f(u) f \left (u ^ { -1 } \right ), \quad 1 ^ {\prime } =f(1)=f \left (u ^ { -1 } u \right )=f \left (u ^ { -1 } \right ) f(u) \] 이다. 따라서 \( f(u) \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 단원이고 \( f \left (u ^ { -1 } \right )=f(u) ^ { -1 } \) 이다.</li></ol> <p>예 5.3.10 [단위원] 단위원 \( (1,1) \) 을 갖는 가환환 \( \mathbb { Z } ^ { 2 } = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb { Z } \} \) 위의 함수 \[ f: \mathbb { Z } ^ { 2 } \longrightarrow \mathbb { Z } ^ { 2 } , \quad f(a, b)=(a, 0) \] 은 환 준동형사상이다. 이때 \( f(1,1)=(1,0) \neq(1,1) \) 이다. \( \operatorname { Im } (f)= \{ (a, 0) \mid a \in \mathbb { Z } \} \) 는 단위원 \( (1,0) \) 을 가진 정역이고, \( \mathbb { Z } ^ { 2 } \) 의 단위원 \( (1,1) \) 을 포함하지 않는다.</p> <p>정리 \(5.1.4 \) 환 \( (R, + , \cdot) \) 의 임의의 원소 \( a, b \in R \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( a \cdot 0=0 \cdot a=0 \)</li> <li>\( a \cdot(-b)=(-a) \cdot b=-(a b) \)</li> <li>\( (-a)(-b)=a b \)</li></ol>※ ( \(3 \))은 중학교에서 음수를 배울 때, 음수와 음수의 곱이 양수가 되는 이유를 설명하고 있다.</p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>환의 정의 \( \left (R_ { 2 } \right ), \left (R_ { 5 } \right ) \) 를 이용하면 \[ 0 + a \cdot 0=a \cdot 0=a \cdot(0 + 0)=a \cdot 0 + a \cdot 0 \] 이고, 군의 소거법칙(정리 \(2.1.10 \))을 이용(즉, 양변에 \( -a \cdot 0 \) 을 더함)하면 다음과 같다. \[ a \cdot 0=0 \]</li> <li>덧셈에 대한 항등원의 정의에 의해 \( a \cdot(-b) \) 와 \( (-a) \cdot b \) 가 \( a b \) 의 역원임을 보이면 된다. 따라서 환의 분배법칙 \( \left (R_ { 5 } \right ) \) 와 ( \(1 \))을 이용하면, \[ a \cdot(-b) + a b=a((-b) + b)=a \cdot 0=0 \] 과 \[ (-a) \cdot b + a b=((-a) + a) b=0 \cdot b=0 \] 이 되어, \( -(a b)=a \cdot(-b)=(-a) \cdot b \) 임을 알 수 있다.</li> <li>위 ( \(2 \))의 성질을 두 번 이용하면 된다. 즉, \[ (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(a b)) \] 이다. 또한 \( a b + (-a b)=0 \) 이므로 \( a b \) 는 \( (-a b) \) 의 덧셈 역원이다. 따라서 \[ a b=-(-a b)=(-a)(-b) \] 이다.</li></ol></p> <p>문제 \( 5.1 .5 \) 단위원 \(1 \) 을 갖는 환에서 \( 0=1 \), 즉, (덧셈 항등원)=(곱셈 항등원)이면, \( R= \{ 0 \} \) 임을 보여라. 이런 환을 영환(zero ring, 雫環)이라 한다.</p> <p>※ 단위원을 가진 환 \( R \) 에서 \( 0=1 \) 이면, \( R= \{ 0 \} \) 이 되어 별로 의미가 없어, 앞으로 단위원을 가진 환을 논할 때는 \( 0 \neq 1 \) 이라 간주한다. 그러므로 단위원을 가진 환은 적어도 \(2 \) 개의 원소 \( \{ 0,1 \} \) 을 포함하는 것으로 생각한다.</p> <h1>제 \(5 \) 장 환과 다항식환</h1> <p>환(ring, 環)의 연구는 다항식환 및 수체의 대수적 정수의 이론으로부터 출발했다. 환의 개념은 데데킨트(독: J. W. R. Dedekind, \(1831-1916 \))가 \(1879 \)년 그의 저서 〈Vorlesungen über Zahlentheorie〉(영어: Lectures on Number Theory)에서 도입했으며, \(1897 \)년에 현대 수학의 아버지로 불리는 힐베르트(독: D. Hilbert, \(1862-1943 \))가 수체의 대수적 정수환을 다루는 동안 처음으로 "수환"(독일어: Zahlring = Zahl(數) + Ring (環))이라는 용어를 사용하였다. 오늘날과 같은 엄밀한 환의 정의는 \(1914 \)년에 프렝켈 (독: A. Fraenkel, \(1891-1965 \))이 쓴 글에 처음 나타난다. \(20 \)세기 초에 ‘추상’이라는 개념은 수학, 미술, 음악, 무용, 건축, 물리, 문학 등 거의 모든 분야를 휩쓸고 있었다. 당시의 지식인들은 자연세계와 인간세계를 포괄적으로 설명할 수 있는 추상적인 법칙이 존재하며, 이 법칙이 곧 진리를 가리킨다고 믿었다. 수학에서는 군(groups), 환(rings), 이데알(ideal), 체(fields) 등과 같은 수학적 구조의 추상적 특징이 본격적으로 논의되기 시작했다. 추상대수학의 황금시대를 연 수학자는 여성으로 '여자 아인슈타인'이란 별명을 가진 뇌터(독: A. E. Noether, \(1882-1935 \))는 \(1921 \) 년의 논문에서 가환환의 이론을 공리적으로 전개하였다. 또한 그녀의 연구는 일반 상대성이론의 수학적 기초를 제공하였다. 가환환은 비가환환보다 횔씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. \(1980 \) 년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다.</p> <h2>\( 5.1 \) 환과 체</h2> <p>정의 \(5.1.1 \) [환(ring, 環), 체(field, 澧)] 공이 아닌 집합 \( R \) 이 연산 \( 2 \) 개 덧셈( + ) 과 곱셈(·)을 가진 대수적 구조이고, 덧셈항등원을 \(0 \), 곱셈항등원을 단위원(unity, 單位元)이라 하며 \(1 \) 이라 표기할 때,</p> <p>\( (R, + , \cdot) \) 이 환<ul>\( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \)<li>\( \left (R_ { 1 } \right ) \forall a, b, c \in R, \quad(a + b) + c=a + (b + c) \) ( + 에 대한 결합법칙)</li> <li>\( \left (R_ { 2 } \right ) \exists 0 \in R, \forall a \in R, \quad a + 0=0 + a=a \quad \) ( + 에 대한 항등원 \(0 \) 존재)</li> <li>\( \left (R_ { 3 } \right ) \forall a \in R, \exists-a \in R, \quad a + (-a)=(-a) + a=0 \quad \) ( + 에 대한 역원 \( -a \) 존재)</li> <li>\( \left (R_ { 4 } \right ) \forall a, b \in R, \quad a + b=b + a \quad \) ( + 에 대한 교환법칙)</li> <li>\( \left (R_ { 5 } \right ) \forall a, b, c \in R, \quad \left \{\begin {array} { l } a \cdot(b + c)=a \cdot b + a \cdot c \\ (a + b) \cdot c=a \cdot c + b \cdot c \end {array} \right . \) ( \( \cdot \)에 대한 분배법칙)</li> <li>\( \left (R_ { 6 } \right ) \forall a, b, c \in R, \quad(a \cdot b) \cdot c=a \cdot(b \cdot c) \) ( \( \cdot \)에 대한 결합법칙)</li></ul></p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.7 \))</h3> <ol type= start=1><li>체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } = \{ 0,1 \} \) 위의 유리식체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } (x) \) 에서 다음을 간단히 하라.<ol type= start=1><li>\( \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x + 1 } \)</li> <li>\( \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x + 1 } + \frac { x ^ { 2 } + 1 } { x + 1 } \)</li> <li>\( \frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } \)</li></ol></li> <li>소수 \( p \) 에 대하여 \( S= \mathbb { Z } -p \mathbb { Z } \) 일 때, 다음 집합 \( \mathbb { Q } _ { p } \) 에 대하여 물음에 답하라. \[ \mathbb { Q } _ { p } = \left \{\frac { a } { s } \in \mathbb { Q } \mid a \in \mathbb { Z } , s \in S \right \} \]<ol type= start=1><li>\( S \) 는 정수환 \( \mathbb { Z } \) 의 곱셈집합임을 보여라.</li> <li>\( \mathbb { Q } _ { p } \) 는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 의 부분환이지만 부분체는 아니고 \( \mathbb { Z } \subsetneq \mathbb { Q } _ { p } \subsetneq \mathbb { Q } \) 임을 보여라.</li> <li>\( \mathbb { Q } _ { p } \) 의 분수체는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 임을 보여라.</li> <li>복소수체 \( \mathbb { C } \) 의 부분정역 \[ D= \{ a + b i \mid a, b \in \mathbb { Z } \} \] 의 분수체 \( F \) 를 구성하는 모든 원소들을 찾아라. ( \( D \) 의 원소를 Gauss 정수(Gaussian inte-gers)라고 부른다.)</li> <li>영이 아닌 가환환 \( R \) 의 부분집합 \( T( \neq \varnothing) \) 는 영도 영인자도 포함하지 않고 곱셈에 의해 닫힌 집합이다. \( R \times T \) 로 시작해서 이 절의 분수체의 구성 방법을 그대로 따라함으로써 \( R \) 을 분수부분환(partial ring of quotients) \( Q(R, T) \) 로 확장시킬 수 있다. 이때 다음을 증명하라.<ol type= start=1><li>환 \( R \) 이 곱셈항등원을 가지지 않더라도 \( Q(R, T) \) 는 곱셈항등원을 가진다.</li> <li>\( Q(R, T) \) 에서 \( T \) 의 모든 원소는 가역원이다.</li></ol></li> <li>연습문제 \(4 \) 번을 이용하여 영과 영인자가 아닌 원소를 포함하는 모든 가환환은 곱셈항등원을 가진 가환환으로 확장가능하다는 것을 증명하라.</li> <li>연습문제 \(4 \) 번을 참고하면서 환 \( Q \left ( \mathbb { Z } _ { 6 } , \{ 1,5 \} \right ) \) 의 원소의 개수를 구하여라.</li></ol> <h2>\( 5.5 \) 체 위의 다항식환</h2> <p>다항식의 인수분해를 하는 이유는 다항식의 해를 구하는데 도움을 받는데 있다. 체 \( F \) 가 체 \( E \) 의 부분체 \( (F<E) \) 일 때, \( F \) 위의 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 가 \( F[x] \) 에서 인수분해된다고 하자. 즉, \( g(x), h(x) \in F(x) \) 가 존재하여 \( f(x)=g(x) h(x) \) 라 하자. 그러면 \( \alpha \in E \) 에 관한 대입 준동형사상 \( \phi_ {\alpha } : F[x] \longrightarrow E \) 를 이용하면 \[ f( \alpha)= \phi_ {\alpha } (f(x))= \phi_ {\alpha } (g(x) h(x))= \phi_ {\alpha } (g(x)) \phi_ {\alpha } (h(x))=g( \alpha) h( \alpha) \] 이다. 따라서 \[ f( \alpha)=0 \Longleftrightarrow g( \alpha)=0 \text { 또는 } h( \alpha)=0 \] 이다. 따라서 \( f(x) \) 의 해를 구하는 문제는 \( f(x) \) 의 차수보다 작은 차수의 다항식 \( g(x) \) 또는 \( h(x) \) 의 해를 구하는 문제로 귀착할 수 있다. 정수의 나눗셈 알고리즘(정리 \(1.2.3 \))과 같은 성질을 가진 체 \( F \) 위의 다항식환 \( F[x] \) 에서의 나눗셈 알고리즘에 대해 알아보자.</p> <p>정리 \( 5.5 .1 \) (다항식의 나늣셈 알고리즘) 체 \( F \) 위의 다항식 \( f(x), g(x) \in F[x] \) 에 대하여 \[ \begin {array} { l } f(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } , \quad a_ { n } \neq 0 \\ g(x)=b_ { m } x ^ { m } + b_ { m-1 } x ^ { m-1 } + \cdots + b_ { 1 } x + b_ { 0 } , \quad b_ { m } \neq 0, \operatorname { deg } (g(x))=m \geq 1 \end {array} \] 이라 하면 다음이 성립한다.</p> <ul> <li>\[ f(x)=g(x) h(x) + r(x), \quad r(x)=0 \text { 또는 } 0 \leq \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (g(x)) \] 인 \( F \) 위의 다항식 \( h(x), r(x) \in F[x] \) 가 유일하게 존재한다.</li></ul> <p>(증명) \( S= \{ f(x)-g(x) s(x) \mid s(x) \in F[x] \} \subset F[x] \) 라 하자. 먼저 \( 0 \in S \) 인 경우에는 \( s(x) \in F[x] \) 가 존재해서 \[ f(x)-g(x) s(x)=0 \] 이므로 \( f(x)=g(x) s(x) + 0 \) 이다. 따라서 \( h(x)=s(x), r(x)=0 \) 이라 하면 정리가 성립한다. 다음에 \( 0 \notin S \) 인 경우에는 \( f(x)=f(x)-g(x) 0 \in S \) 이므로 \( S \neq \varnothing \) 이다. \( S \) 에서 최소 차수 다항식 \( r(x) \in S \) 를 선택하자. 그러면 \( r(x) \neq 0 \) 이고 적당한 다항식 \( h(x) \in F[x] \) 에 대하여 \[ f(x)-g(x) h(x)=r(x) \quad \Longrightarrow \quad f(x)=g(x) h(x) + r(x) \] 이다. \( \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (g(x)) \) 임을 보이자. \( \operatorname { deg } (g(x)) \leq \operatorname { deg } (r(x)) \) 라 하고 \[ r(x)=c_ { t } x ^ { t } + c_ { t-1 } x ^ { t-1 } + \cdots + c_ { 1 } x + c_ { 0 } \left (c_ { t } \neq 0 \right ) \in F[x] \] 라 하자.</p> <p>정의 \( 5.1 .2 \) [반복 연산] 환 \( (R, + , \cdot) \) 의 원소 \( a \in R \) 와 정수 \( n \in \mathbb { Z } \) 에 대하여</p> <p>\( n \cdot a= \left \{\begin {array} { ll } \overbrace { a + a + \cdots + a } ^ { n } , & n>0 \\ 0, & n=0 \\ (-a) + (-a) + \cdots + (-a), & n<0 \end {array} , \quad a ^ { n } = \left \{\begin {array} { ll } \overbrace { a \cdot a \cdot \cdots \cdot a } , & n>0 \\ 1( \exists 1 \in R), & n=0 \\ a ^ { -1 } \cdot a ^ { -1 } \cdots a ^ { -1 } (a \neq 0), & n<0 \end {array} \right . \right . \)</p> <p>\( ※ n \cdot a \) 에서 ( \( ) \) 은 \( n \) 과 \( a \) 의 (R에서 ) 곱이 아니라 기호임을 유의해야 한다.</p> <p>\( ※ 0 \cdot a=0 \) 에서 왼쪽 \(0 \) 은 정수(또는 \( R \) 의 원소)이고, 오른쪽 \(0 \) 은 \( R \) 의 원소(덧셈 항등원)이다.</p> <p>예 \(5.1.3 \) 환 \( R \) 의 원소 \( a \) 에 대하여 다음과 같이 표기한다. \[ \left \{\begin {array} { l } { 2 \cdot a = a + a } \\{ 0 \cdot a = 0 } \\{ - 2 \cdot a = ( - a ) + ( - a ) = 2 \cdot ( - a ) } \end {array} \quad \left \{\begin {array} { l } a ^ { 2 } =a \cdot a \\ a ^ { 0 } =1( \exists 1 \in R) \\ a ^ { -2 } =a ^ { -1 } \cdot a ^ { -1 } = \left (a ^ { -1 } \right ) ^ { 2 } (a \neq 0) \end {array} \right . \right . \] 앞으로 환 \( (R, + , \cdot) \) 의 두 원소 \( a, b \in R \) 의 곱 \( a \cdot b \) 를 간단히 \( a b \) 로 나타내기로 한다. 특히 환 \( R \) 에서 \( (R, + ) \) 는 덧셈 가환군이므로 연산 \( + \) 에 대한 군의 성질을 모두 만족한다.</p> <p>※ 다항식 \( (x \) 가 부정원)과 다항함수 \( (x \) 가 변수)는 표기는 같지만 성질은 전혀 다르다.</p> <p>정의 \(5.4.2 \) [다항식(polynomial, 多項式)] 환 \( R \) 위의 다항식 \[ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , \quad g(x)=b_ { 0 } + b_ { 1 } x + \cdots + b_ { n } x ^ { n } \] 에 대하여 (필요하면 계수가 \(0 \) 인 항을 첨가하여 항의 개수 \( n + 1 \) 을 맞춤)</p> <p>\( f(x)=g(x) \) \( \quad \stackrel {\text { 정의 } } {\Leftrightarrow } \) \( a_ { 0 } =b_ { 0 } , \quad a_ { 1 } =b_ { 1 } , \quad \cdots, \quad a_ { n } =b_ { n } \)</p> <p>\( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , a_ { n } \neq 0 \) 일 때,<ul> <li>\( n \) 을 \( f(x) \) 의 차수(degree, 次數)라 하고, \( \operatorname { deg } (f(x))=n \) 라 표기</li> <li>\( f(x) \) 는 \( n \) 차 다항식 ( \( n \)-th degree polynomial \( ) \)</li> <li>\( a_ { n } \) 은 \( f(x) \) 의 최고차 항의 계수(leading coefficient)</li> <li>최고차 항의 계수 \( a_ { n } =1 \) 이면, \( f(x) \) 는 모닉 다항식(monic polynomial)이라고 한다.</li></ul></p> <p>※ 영다항식의 차수 \( \operatorname { deg } (0)=- \infty \) 라 정의한다.</p> <p>영이 아닌 상수다항식 \( a( \neq 0) \) 의 차수는 \( \operatorname { deg } (a)=0 \) 이다.</p> <p>정리 \( 5.4 .3 \) 환 \( R \) 위의 다항식 \[ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , \quad g(x)=b_ { 0 } + b_ { 1 } x + \cdots + b_ { m } x ^ { m } \] 에 대하여, \( n \leq m \) 이라 할 때, 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하자. \[ \begin {aligned} f(x) + g(x) &= \left (a_ { 0 } + b_ { 0 } \right ) + \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) x + \cdots + \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) x ^ { n } + b_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } + \cdots + b_ { m } x ^ { m } \\ f(x) g(x) &=c_ { 0 } + c_ { 1 } x + \cdots + c_ { n + m } x ^ { n + m } , \quad c_ { i } = \sum_ { k=0 } ^ { i } a_ { k } b_ { i-k } =a_ { 0 } b_ { i } + a_ { 1 } b_ { i-1 } + \cdots + a_ { i } b_ { 0 } \end {aligned} \] 그러면 다음이 성립한다.<ul> <li>\( (R[x], + , \cdot) \) 은 환이다. 이 환을 \( R \) 위의 다항식환(polynomial ring, 多項式環)이라 한다.</li></ul>※ 환 \( R \) 은 다항식환 \( R[x] \) 의 부분환이다.</p> <p>따름정리 \(5.6.17 \) (Gauss) 소수 \( p \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \Phi_ { p } (x)= \frac { x ^ { p } -1 } { x-1 } =x ^ { p-1 } + x ^ { p-2 } + \cdots + x + 1 \text { 은 } \mathbb { Q } \text { 위에서 기약. } \]</li></ul>\( ※ \Phi_ { p } (x) \) 를 제 \( p \) 원분다항식( \( p \)-th cyclotomic polynomial, 圓分多項式)이라 한다(정리 \(9.5.4 \)).</p> <p>(증명) 문제 \(5.6.13 \)에 의해서 \( \Phi_ { p } (x + 1) \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보이면 충분하다.</p> <p>\[ \Phi_ { p } (x + 1)= \frac { (x + 1) ^ { p } -1 } { (x + 1)-1 } \] \[ = \frac { 1 } { x } \left (x ^ { p } + \left ( \begin {array} { l } p \\ 1 \end {array} \right ) x ^ { p-1 } + \cdots + \left ( \begin {array} { c } p \\ p-1 \end {array} \right ) x + \left ( \begin {array} { l } p \\ p \end {array} \right )-1 \right ) \] \[ =x ^ { p-1 } + \left ( \begin {array} { l } p \\ 1 \end {array} \right ) x ^ { p-2 } + \cdots + \left ( \begin {array} { c } p \\ p-2 \end {array} \right ) x + \left ( \begin {array} { c } p \\ p-1 \end {array} \right ) \] \( \begin {aligned} \text { 여기서 } \left ( \begin {array} { c } p \\ i \end {array} \right )= \frac { p ! } { i !(p-i) ! } , i=1,2, \cdots, p-1 \text { 이므로, } \\ p != \left ( \begin {array} { c } p \\ i \end {array} \right ) i !(p-i) !, \quad p \mid p !, \quad p \chi i !, \quad p \chi(p-i) ! \end {aligned} \) 이므로 \( p \mid \left ( \begin {array} { c } p \\ i \end {array} \right ) \) 이다. 또한 \( \left ( \begin {array} { c } p \\ p-1 \end {array} \right )=p \) 이므로 \( \left .p ^ { 2 } \right \rangle \left ( \begin {array} { c } p \\ p-1 \end {array} \right ) \) 이다. 그러므로 Eisenstein 기약 판정에 의해서 \( \Phi_ { p } (x + 1) \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. 따라서 \( \Phi_ { p } (x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</p> <p>\( ※ \) 환에서 두 연산기호를 \( + \) 와 -라 하는 이유는 아무리 추상화된 수학이라 하더라도 덧셈과 곱셈으로 대응하여 정의할 수 있기 때문이다.</p> <p>\( ※ \)대수적 구조 \( (S, + , \cdot) \) 에서 \( b \in S \) 의 덧셈과 곱셈에 대한 역원 \( -b, b ^ { -1 } \) 가 존재하는 경우에는 뺄셈과 나눗셈은 각각 다음과 같이 정의한다. \[ a-b=a + (-b), \quad a \div b=a \cdot b ^ { -1 } (b \neq 0) \]</p> <p>※ 곱셈에 대해 가환법칙이 성립하고 \( b \in S \) 의 곱셈에 대한 역원 \( b ^ { -1 } \) 를 가지면, \[ a \cdot b ^ { -1 } = \frac { a } { b } \] 라 쓰고, 일반적으로 곱셈 기호는 생략하여 \( a \cdot b=a b \) 라 쓴다. ※ 참고: 일반적으로 \( a \) 의 곱셈역원 \( a ^ { -1 } \) 은 \( \frac { 1 } { a } \) 이 아니다. \( \frac { 1 } { a } \) 은 수의 표현 형태이다. 정수 \(2 \) 의 '곱셈에 대한 역원, \( 2 ^ { -1 } \) 은 \( \frac { 1 } { 2 } \) 은 '유리수' 인데 수에서는 이들이 일치 \( \left (2 ^ { -1 } = \frac { 1 } { 2 } \right ) \) 하여, 곱셈역원에서 \( a ^ { -1 } \) 과 \( \frac { 1 } { a } \) 은 같은 개념이란 오류를 범하기 쉽다. 예를 들면 가역행렬에서 \[ \left ( \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) ^ { -1 } \neq \frac { 1 } {\left ( \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) } \] 이다. 하지만 곱셈에 대한 가환법칙이 성립할 때, \( a \) 의 곱셈에 대한 역원을 \( a ^ { -1 } = \frac { 1 } { a } \) 이라 표기(정의)하기도 한다. 또한 덧셈 \( + \) 에서도 정수 \( -2 \) 는 자연수(양의 정수) \(2 \) 의 덧셈에 대한 역원인데 수에서는 이를 음수라 특별히 부른다. 그리고 \( -(-2)=2 \) 는 \( -2 \) 의 덧셈에 대한 역원인데 음수라 하지 않는다.</p> <p>정리 \(5.6.4 \) 체 \( F \) 위의 \(2 \) 차 이상의 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( f(x) \) 가 \( F \) 안에서 근이 존재하면, \( f(x) \) 는 \( F \) 위에서 가약(reducible)이다.</li> <li>\( \operatorname { deg } f(x)=2 \) 또는 \(3 \) 이면, 다음은 동치이다. \[ \forall a \in F, f(a) \neq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad f(x) \text { 가 } F \text { 위에서 기약(irreducible) } \]</li></ol></p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>\( \exists a \in F, f(a)=0 \) 이라 하자. 인수정리(정리 \(5.5.4 \))에 의해 \[ f(x)=(x-a) g(x), \exists g(x) \in F[x], \operatorname { deg } (g(x)) \geq 1 \] 이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( F \) 위에서 가약이다.</li> <li>\( ( \Leftarrow) \) ( \(1 \))의 대우에 의하여 성립한다. \( ( \Rightarrow) f(x) \) 가 \( F \) 위에서 가약이면, \( \operatorname { deg } (f(x))=2 \) 또는 \(3 \) 이므로, \( f(x) \) 는 반드시 \(1 \) 차 인수를 갖는다. 그러면 인수정리에 의하여 \( \exists a \in F, f(a)=0 \) 이다.</li></ol></p> <p>예 \(5.6.5 \) [기약다항식] 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 \( 4 \) 차까지의 기약다항식을 구해보자. 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 \(1 \) 차 다항식은 \( x, x + 1 \) ( \(2 \)개)뿐인데 모두 기약다항식이다. 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 \(2 \) 차 다항식은 \( x ^ { 2 } , x ^ { 2 } + 1, x ^ { 2 } + x, x ^ { 2 } + x + 1 \left (2 ^ { 2 } \right . \) 개)뿐인데 이중 \(0 \) 과 \(1 \) 을 근으로 갖지 않으면 기약다항식이므로(정리 \(5.6.4 \)) 상수항이 \(0 \)이 아니고 홀수개의 항을 가지는 다음과 같은 \(2 \)차 다항식 \(1 \) 개만 기약다항식이다. \[ x ^ { 2 } + x + 1 \]</p> <p>정리 \(5.2.15 \) 체 \( (F, + , \cdot) \) 의 공이 아닌 부분집합 \( ( \varnothing \neq) S \) 에 대해서 다음은 동치명제이다.</p> <p>\( S \) 가 \( F \) 의 부분체 \( \Longleftrightarrow \left \{\begin {array} { l } \text { (1) } 0 \in S, \quad 1 \in S \\ \text { (2) 임의의 원소 } a, b \in S \text { 에 대하여 } a-b \in S \\ \text { (3) 임의의 원소 } a, b( \neq 0) \in S \text { 에 대하여 } a b ^ { -1 } \in S \end {array} \right . \)</p> <p>(증명) 정리 \( 2.2 .3 \) 와 정리 \(5.2.13 \)에 의해 성립한다.</p> <p>예 \(5.2.16 \) [부분환] 정수환 \( \mathbb { Z } \) 의 부분환은 모두 \[ n \mathbb { Z } = \{ n x \mid x \in \mathbb { Z } \} , \quad n \geq 0 \] 인 형태로 나타난다(따름정리 \(2.3.6 \)). 특히, \( n \geq 2 \) 이면 부분환 \( n \mathbb { Z } \) 는 단위원이 존재하지 않는다.</p> <p>예 \(5.2.17 \) [단위원]가환환 \( \mathbb { Z } ^ { 2 } = \{ (a, b) \mid a, b \in \mathbb { Z } \} \) 의 부분환 \[ A= \{ (a, 0) \mid a \in \mathbb { Z } \} , \quad B= \{ (0, b) \mid b \in \mathbb { Z } \} \] 는 \( \mathbb { Z } ^ { 2 } \) 의 단위원 \( (1,1) \) 을 포함하지 않으나, \( A \) 는 단위원 \( (1,0) \) 을 가진 정역이고, \( B \) 는 단위원 \( (0,1) \) 을 가진 정역이다. ※ 단위원을 가진 환 \( R \) 의 부분환 \( S \) 는 단위원이 없을 수도 있고, 부분환 \( S \) 의 단위원은 \( R \) 의 단위원과 다를 수도 있다.</p> <p>(증명) 연습문제로 남긴다.</p> <p>정리 \( 5.4 .4 \) (체론을 위한 대입 준동형사상) 체 \( F \) 는 체 \( E \) 의 부분체 \( (F<E) \) 이고 \( \alpha \in E, x \) 는 부정원이다. 이때 \( F[x] \) 에서 \( E \) 로의 함수 \[ \phi_ {\alpha } : F[x] \longrightarrow E, \quad \phi_ {\alpha } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } \alpha + \cdots + a_ { n } \alpha ^ { n } \] 이라 정의하면 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \phi_ {\alpha } \) 는 환 준동형사상이다.</li> <li>\( \left . \phi_ {\alpha } \right \|_ { F } : F \longrightarrow E, \left . \phi_ {\alpha } \right \|_ { F } \left (a_ { 0 } \right )= \phi_ {\alpha } \left (a_ { 0 } \right )=a_ { 0 } \) 는 단사 준동형사상이고 \( F= \operatorname { Im } \left ( \left . \phi_ {\alpha } \right \|_ { F } \right ) \) 이다.</li></ol> <p>\( ※ \phi_ {\alpha } \) 는 부정원 \( x \) 자리에 원소 \( \alpha \) 를 대입하는 함수이다. 이때 \( \phi_ {\alpha } \) 를 \( \alpha \) 에서 대입 준동형사상(evaluation homomorphism, 代入準\|司型寫像)이라 한다.</p> <p>(증명)<ol type= start=1><li>환 \( R \) 위의 다항식 \[ f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } , \quad g(x)=b_ { 0 } + b_ { 1 } x + \cdots + b_ { m } x ^ { m } \] 에 대하여, \( n \leq m \) 이라 할 때, \( \phi_ {\alpha } \) 가 환 준동형사상임을 보이자. \[ \begin {aligned} \phi_ {\alpha } (f(x) + g(x)) &= \phi_ {\alpha } \left ( \left (a_ { 0 } + b_ { 0 } \right ) + \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) x + \cdots + \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) x ^ { n } + b_ { n + 1 } x ^ { n + 1 } + \cdots + b_ { m } x ^ { m } \right ) \\ &= \left (a_ { 0 } + b_ { 0 } \right ) + \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } \right ) \alpha + \cdots + \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) \alpha ^ { n } + b_ { n + 1 } \alpha ^ { n + 1 } + \cdots + b_ { m } \alpha ^ { m } \\ &= \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } \alpha + \cdots + a_ { n } \alpha ^ { n } \right ) + \left (b_ { 0 } + b_ { 1 } \alpha + \cdots + b_ { n } \alpha ^ { n } + b_ { n + 1 } \alpha ^ { n + 1 } + \cdots + b_ { m } \alpha ^ { m } \right ) \\ &= \phi_ {\alpha } (f(x)) + \phi_ {\alpha } (g(x)) \end {aligned} \] \[ \begin {aligned} \phi_ {\alpha } (f(x) g(x)) &= \phi_ {\alpha } \left (c_ { 0 } + c_ { 1 } x + \cdots + c_ { n + m } x ^ { n + m } \right ), \quad c_ { i } = \sum_ { k=0 } ^ { i } a_ { k } b_ { i-k } =a_ { 0 } b_ { i } + a_ { 1 } b_ { i-1 } + \cdots + a_ { i } b_ { 0 } \\ &=c_ { 0 } + c_ { 1 } \alpha + \cdots + c_ { n + m } \alpha ^ { n + m } =f( \alpha) g( \alpha)= \phi_ {\alpha } (f(x)) \phi_ {\alpha } (g(x)) \end {aligned} \] 이므로 \( \phi_ {\alpha } \) 가 환 준동형사상이다.</li> <li>( \(1 \))에 의해 성립한다.</li></ol></p> <p>정리 \( 5.2 .22 \) 양의 정수 \( n \geq 2 \) 과 \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { } = \left \{ a \in \mathbb { Z } _ { n } \mid \operatorname { gcd } (a, n)=1 \right \} \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>\( \left ( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } , \cdot \right ) \) 는 위수 \( \varphi(n) \) 인 법 \( n \) 에 관한 곱셈군이다. 단, \( \varphi(n) \) 은 Euler 함수값이다.</li></ul>\( ※ \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } = \mathbb { Z } _ { n } - \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right )- \{ 0 \} \) 이다. 즉, \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 의 원소 \( a( \neq 0) \) 는 영인자가 아니다(정리 \(5.2.4 \)).</p> <p>(증명) ( \(1 \)) 분명히 \( 1 \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 이다. 다음에 \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 곱셈에 관하여 닫혀있음을 보이자. 임의의 원소 \( a, b \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 \( \operatorname { gcd } (a, n)= \) \( \operatorname { gcd } (b, n)=1 \) 이므로 영인자가 아니다(정리 \(5.2.4 \)). 그러므로 \( a b \neq 0 \) 이다. \( a b \) 가 영인자가 아님을 보이면, \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 곱셈에 관하여 닫혀있다. 적당한 \( c \in \mathbb { Z } _ { n } \) 가 존재하여 \[ 0=(a b) c=a(b c) \] 이라 하면, \( a \) 가 영인자가 아니므로 \[ b c=0 \] 이다. 또한 \( b \) 가 영인자가 아니므로 \( c=0 \) 이어야 한다. 즉, \( a b \) 는 영인자가 아니다. 따라서 \( \operatorname { gcd } (a b, n)=1 \) 이고 \( a b \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 이다. 마지막으로 곱셈에 대한 역원이 존재함을 보이자. \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 유한집합이므로 \( \varphi(n) \) 개의 원소를 \[ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ {\varphi(n) } \] 라 하자. 임의의 원소 \( a( \neq 0) \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 에 대하여 \[ a \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } = \left \{ a a_ { 1 } , a a_ { 2 } , \cdots, a a_ {\varphi(n) } \right \} \subset \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \] 이다. 또한 \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 소거법칙을 만족(정리 \(5.2.8 \))하므로 \( a a_ { i } =a a_ { j } \) 이면, \( a_ { i } =a_ { j } \) 이 성립하여 \( \left \|a \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \right \|= \varphi(n) \) 이다. 즉, \( \left \|a \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \right \|= \varphi(n)= \left \| \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \right \| \) 이고, 따라서 \( a \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } = \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 이다. 그러므로 \[ \left \{ a a_ { 1 } , a a_ { 2 } , \cdots, a a_ {\varphi(n) } \right \} = \left \{ a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ {\varphi(n) } \right \} = \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \] \( 1 \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 이므로 \( 1=a a_ { i } \) 인 원소 \( a_ { i } \in \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 가 존재한다. 그러므로 \( a \) 는 곱셈역원을 가진다. 따라서 \( \mathbb { Z } _ { n } ^ { * } \) 는 군이다.</p> <p>하지만 \( \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \neq \left ( \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \) 이다. 그리고 \( \left ( \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \) 이므로 \( \left ( \begin {array} { ll } 0 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ) \) 는 \( M_ { 2 } ( \mathbb { R } ) \) 의 (우)영인자가 된다.</li></ol></p> <p>정리 \(5.2.4 \) 자연수 \( n>1 \) 에 대해 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right )= \left \{ a \in \mathbb { Z } _ { n } \mid \operatorname { gcd } (a, n) \neq 1, a \neq 0 \right \} \]</li></ul></p> <p>(증명) \( B= \left \{ a \in \mathbb { Z } _ { n } \mid \operatorname { gcd } (a, n) \neq 1, a \neq 0 \right \} \) 라 하고, Zero \( \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right )=B \) 임을 보이자. \( ( \subset) a \in \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right ) \) 이라 하자. 그러면 \( a \neq 0 \) 이고 \( a b=0 \) 인 원소 \( (0 \neq) b \in \mathbb { Z } _ { n } \) 가 존재한다. 만약 \( \operatorname { gcd } (n, a)=1 \) 이면 \[ 1=a x + n y \] 인 정수 \( x, y \in \mathbb { Z } \) 가 존재(정리 \(1.2.7 \)) 하고, \( \mathbb { Z } _ { n } \) 에서 \[ 1=a x \] 이다. 따라서 \( \mathbb { Z } _ { n } \) 에서 \[ b=1 b=(a x) b=(a b) x=0 x=0 \] 이므로 모순이다. 따라서 \( \operatorname { gcd } (n, a) \neq 1 \) 이다. 그러므로 \( \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right ) \subset B \) 이다. () \( a \in B \) 라 하고 \( d= \operatorname { gcd } (n, a) \) 라 하자. 그러면 \( a \neq 0 \) 이고, \( d \neq 1 \) 이다. 그러면 \( a=d a ^ {\prime } \) 이고 \( n=d n ^ {\prime } \) 인 자연수 \( n ^ {\prime } , a ^ {\prime } \in \mathbb { N } \) 이 존재한다. 또한 \( 1<d<n \) 이므로 \( \mathbb { Z } _ { n } \) 에서 \( n ^ {\prime } \neq 0 \) 이다. 그리고 \( \mathbb { Z } _ { n } \) 에서 \[ a n ^ {\prime } =d a ^ {\prime } n ^ {\prime } =a ^ {\prime } \left (d n ^ {\prime } \right )=a ^ {\prime } n=0 \] 따라서 \( a \in \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right ) \) 이다. 즉, \( B \subset \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right ) \) 이다. 그러므로 \( \operatorname { Zero } \left ( \mathbb { Z } _ { n } \right )=B \) 이다.</p> <p>정리 \( 5.5 .4 \) (인수정리, 나머지정리) 체 \( F \) 위의 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 와 \( a \in F \) 에 대하여 다음은 동치이다.<ul> <li>\( a \) 가 \( f(x) \) 의 해 \( \quad \Longleftrightarrow \quad \) 적당한 다항식 \( g(x) \in F[x] \) 에 대하여 \( f(x)=(x-a) g(x) \)</li></ul>※ 인수정리는 단위원 \(1 \)을 가진 가환환 \( R \) 위의 다항식환 \( R[x] \) 에서도 예 \(5.5.2 \)의 방법으로 직접 나누면 인수정리가 성립함을 알 수 있다.</p> <p>(증명) \( ( \Rightarrow) a \in F \) 가 \( f(a)=0 \) 이라 하자. 정리 \(5.5.1 \)에 의하여 \[ f(x)=(x-a) g(x) + r(x), \quad r(x)=0 \text { 또는 } 0 \leq \operatorname { deg } (r(x))< \operatorname { deg } (x-a)=1 \] 이다. 그러므로 \( r(x)=c \in F \) 이다. 따라서 \[ f(x)=(x-a) g(x) + c \] 이다. 이제 정리 \(5.4.4 \)의 대입 준동형사상 \( \phi_ { a } : F[x] \longrightarrow F \) 를 적용하면 \[ \phi_ { a } (f(x))=f(a)=0 \quad \Longrightarrow \quad 0=f(a)=(a-a) g(a) + c=0 g(a) + c=c \] 이므로 \( c=0 \) 이다. 따라서 \( f(x)=(x-a) g(x) \) 이다. \( ( \Leftarrow) f(x)=(x-a) g(x) \) 이라 하자. 그러면 \[ f(a)=(a-a) g(a)=0 g(a)=0 \] 이다.</p> <p>예 \(5.5.5 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 다항식 \[ f(x)=x ^ { 4 } -x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } -x + 1 \] 에 대하여 \[ f(2)=f(-1)=1 + 1 + 2 + 1 + 1=0 \] 이므로 \( f(2)=0 \) 이다. 즉, \(2 \) 는 \( f(x) \) 의 해이다. 그러므로 인수정리(정리 \(5.5.4 \))에 의하여 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 \( f(x)=x ^ { 4 } -x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } -x + 1 \) 은 \( (x-2) g(x) \) 인 형태로 표현된다. 실제 나눗셈을 하면 다음을 얻는다.</p> <p>같은 방법으로 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 3차 다항식은 \( 2 ^ { 3 } \) 개인데 이중 0과 1을 근으로 갖지 않으면 기약다항식이므로(정리 5.6.4) 다음과 같은 상수항이 0이 아니고 홀수개의 항을 가지는 2개의 3차 기약다항식이 존재한다. \[ x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 1, \quad x ^ { 3 } + x + 1 \] 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 4차 다항식은 \( 2 ^ { 4 } \) 개인데 이중 0과 1을 근으로 가지면 1차 다항식으로 인수분해되므로(정리 5.6.4) 다음과 같은 상수항이 0이 아니고 홀수개의 항을 가진 4개의 다항식중에서 4차 기약다항식이 존재한다. \[ x ^ { 4 } + x + 1, \quad x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1, \quad x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 1, \quad x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \] 이 중에서 2차 다항식으로 인수분해되는 경우는 2차 기약다항식은 \( x ^ { 2 } + x + 1 \) 뿐이므로 \[ \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) ^ { 2 } =x ^ { 4 } + x ^ { 2 } + 1 \] 이 가약이다. 따라서 4차 기약다항식은 다음과 같은 3개가 존재한다. \[ x ^ { 4 } + x + 1, \quad x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + 1, \quad x ^ { 4 } + x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \]</p> <p>정리 5.2.21 (Fermat 소정리) 소수 \( p \) 와 정수 \( a \in \mathbb { Z } \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( \operatorname { gcd } (a, p)=1 \Longrightarrow a ^ { p-1 } \equiv 1( \bmod p) \)</li> <li>\( \forall a \in \mathbb { Z } \Longrightarrow a ^ { p } \equiv a( \bmod p) \)</li></ol>(증명)<ol type= start=1><li>\( p \) 가 소수이므로 \( \mathbb { Z } _ { p } = \{ 0,1,2, \cdots, p-1 \} \) 는 체이다(따름정리 5.2.10). 그러면 \( \mathbb { Z } _ { p } ^ { * } = \{ 1,2, \cdots, p-1 \} \) 는 위수가 \( p-1 \) 인 곱셈에 대한 가환군이다(정리 5.2.13). 또한 \( [a]_ { p } (a \) 를 \( p \) 로 나눈 나머지)는 \( \operatorname { gcd } (a, p)=1 \) 이므로 \( [a]_ { p } \in \mathbb { Z } _ { p } ^ { * } \) 이다. Lagrange 정리(정리 3.1.16)에 의해 \[ \left \|[a]_ { p } \right \| \mid p-1 \quad \Longrightarrow \quad[a]_ { p } ^ { p-1 } =1 \text { in } \mathbb { Z } _ { p } \quad \Longrightarrow \quad a ^ { p-1 } \equiv[a]_ { p } ^ { p-1 } \equiv 1( \bmod p) \]</li> <li>\( \operatorname { gcd } (a, p)=1 \) 이면 (1)에 의하여 \[ a ^ { p-1 } \equiv 1( \bmod p) \quad \Longrightarrow \quad a ^ { p } \equiv a( \bmod p) \] 이다. \( \operatorname { gcd } (a, p)=p \) 이면 \[ a \equiv 0( \bmod p) \quad \Longrightarrow \quad a ^ { p } \equiv 0 \equiv a( \bmod p) \] 이므로 \( a ^ { p } \equiv a( \bmod p) \) 이다.</li></ol></p> <p>정리 \(5.6.12 \) (Eisenstein 기약 판정) 정수환 \( \mathbb { Z } \) 위의 \( n \) 차 다항식 \[ f(x)=a_ { n } x ^ { n } + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } , \quad n \geq 2 \] 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>적당한 소수 \( p \) 에 대하여 \( p \nmid a_ { n } , \quad p \left \|a_ { n-1 } , \quad \cdots, \quad p \right \| a_ { 1 } , \quad p \mid a_ { 0 } , \quad p ^ { 2 } \backslash a_ { 0 } \) 이면, \( f(x) \) 는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</li> <li>적당한 소수 \( p \) 에 대하여 \( p ^ { 2 } \backslash a_ { n } , \quad p \left \|a_ { n } , \quad p \right \| a_ { n-1 } , \quad \cdots, \quad p \mid a_ { 1 } , \quad p \nmid a_ { 0 } \) 이면, \( f(x) \) 는 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</li></ol> <p>(증명)<ol type= start=1><li>정리 \(5.6.7 \)에 의하여 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 차수가 \( n \) 보다 작은 두 다항식의 곱으로 표현할 수 없음을 보이면 된다. 이제 \( \mathbb { Z } [x] \) 에서 \( 0<r, s<n \) 이면서 \[ f(x)= \left (b_ { r } x ^ { r } + b_ { r-1 } x ^ { r-1 } + \cdots + b_ { 1 } x + b_ { 0 } \right ) \left (c_ { s } x ^ { s } + c_ { s-1 } x ^ { s-1 } + \cdots + c_ { 1 } x + c_ { 0 } \right ), b_ { i } , c_ { j } \in \mathbb { Z } \] 라 하자. 그러면 \( b_ { r } c_ { s } \equiv a_ { n } \not \equiv 0( \bmod p) \) 이고 \( p \) 가 소수이므로 \[ b_ { r } \not \equiv 0( \bmod p), \quad c_ { s } \not \equiv 0( \bmod p) \] 이다. 한편 \( b_ { 0 } c_ { 0 } \equiv a_ { 0 } \equiv 0( \bmod p), a_ { 0 } \not \equiv 0 \left ( \bmod p ^ { 2 } \right ) \) 이므로 \[ b_ { 0 } \not \equiv 0( \bmod p), \quad c_ { 0 } \equiv 0( \bmod p) \] 이라 해도 좋다. 이때 \( c_ { j } \not \equiv 0( \bmod p) \) 인 \( j \) 중에서 최소인 자연수를 \( m \) 이라 하자. 그러면 법 \( p \) 에 관하여 \[ c_ { 0 } \equiv 0, \quad \cdots, \quad c_ { m-1 } \equiv 0, \quad c_ { m } \not \equiv 0, \quad 1 \leq m \leq s<n \] 이다. 따라서 양변의 \( x ^ { m } \) 항의 계수를 비교하면 \[ a_ { m } =b_ { 0 } c_ { m } + b_ { 1 } c_ { m-1 } + \cdots + \left \{\begin {array} { ll } b_ { m } c_ { 0 } & \text { if } r \geq m \\ b_ { r } c_ { m-r } & \text { if } r<m \end {array} \right . \] 이다. 여기서 법 \( p \) 에 관하여 \[ b_ { 0 } c_ { m } \not \equiv 0, \quad b_ { 1 } c_ { m-1 } \equiv 0, \quad \cdots, \quad b_ { r } c_ { m-r } \equiv 0, \quad \cdots, \quad b_ { m } c_ { 0 } \equiv 0 \] 이므로 \( a_ { m } \not \equiv 0( \bmod p) \) 이다. 따라서 \( m=n \) 이어야 한다. 그러면 \[ n=m \leq s<n \] 이 되어 모순이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</li></ol></p> <p>예 \(5.3.13 \) 가환환 \( \mathbb { Z } _ { n } = \{ 0,1, \cdots, n-1 \} \) 위의 환 준동형사상의 개수를 구하자. 함수 \( f \) : \( \mathbb { Z } _ { n } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { n } \) 가 환 준동형사상이라 하자. 임의의 \( a \in \mathbb { Z } _ { n } \) 에 대하여 \[ f(a)=a f(1) \] 이므로 \( f \) 는 \(1 \) 의 상 \( f(1) \) 에 의하여 결정된다. 또한 \( f(1)=f \left (1 ^ { 2 } \right )=f(1) ^ { 2 } \) 이므로 \( f(1) \) 은 멱등원이어야 한다. 한편 \( \mathbb { Z } _ { n } \) 의 멱등원을 \( a \) 라 하면 \( a=a ^ { 2 } \) 이다. \( \mathbb { Z } _ { n } \) 위의 함수 \[ f_ { a } : \mathbb { Z } _ { n } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { n } , \quad f_ { a } (x)=x a \] 를 생각하자. 그러면 임의의 원소 \( x, y \in \mathbb { Z } _ { n } \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} f_ { a } (x + y) &=(x + y) a=x a + y a=f_ { a } (x) + f_ { a } (y) \\ f_ { a } (x y) &=(x y) a=x y a ^ { 2 } =(x a)(y a)=f_ { a } (x) f_ { a } (y) \end {aligned} \] 이므로 \( f_ { a } \) 는 환 준동형사상이다. 그러므로 가환환 \( \mathbb { Z } _ { n } \) 위의 환 준동형사상은 멱등원의 개수와 같다. 예를 들어, 가환환 \( \mathbb { Z } _ { 12 } = \{ 0,1, \cdots, 11 \} \) 위의 환 준동형사상 \[ f: \mathbb { Z } _ { 12 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } \] 의 개수를 구하자. 위의 풀이에 의해 \( \mathbb { Z } _ { 12 } \) 에서 멱등원을 찾으면 된다. \[ \begin {array} { l } 0 ^ { 2 } =0, \quad 1 ^ { 2 } =1, \quad 2 ^ { 2 } =4, \quad 3 ^ { 2 } =9, \quad 4 ^ { 2 } =4, \quad 5 ^ { 2 } =1 \\ 6 ^ { 2 } =0, \quad 7 ^ { 2 } =1, \quad 8 ^ { 2 } =4, \quad 9 ^ { 2 } =9, \quad 10 ^ { 2 } =4, \quad 11 ^ { 2 } =1 \end {array} \] 이므로 \( \mathbb { Z } _ { 12 } \) 의 멱등원은 \( 0,1,4,9 \) 로 \(4 \) 개가 되어 환 준동형사상은 다음과 같은 \(4 \) 개가 존재한다. \[ \left \{\begin {array} { lll } f_ { 0 } : \mathbb { Z } _ { 12 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } , & f_ { 0 } (x)=0, & \operatorname { Im } \left (f_ { 0 } \right )= \{ 0 \} \\ f_ { 1 } : \mathbb { Z } _ { 12 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } , & f_ { 1 } (x)=x, & \operatorname { Im } \left (f_ { 1 } \right )= \mathbb { Z } _ { 12 } \\ f_ { 4 } : \mathbb { Z } _ { 12 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } , & f_ { 4 } (x)=4 x, & \operatorname { Im } \left (f_ { 4 } \right )= \{ 0,4,8 \} \\ f_ { 9 } : \mathbb { Z } _ { 12 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } , & f_ { 9 } (x)=9 x, & \operatorname { Im } \left (f_ { 9 } \right )= \{ 0,9,6,3 \} \end {array} \right . \] 이 중에서 환 동형사상은 \( f_ { 1 } \) 뿐이다.</p> <h3>연 습 문 제 ( \(5.3 \))</h3> <ol type= start=1><li>\( \phi: \mathbb { Z } _ { 3 } \rightarrow \mathbb { Z } _ { 6 } , \phi(x)=x + x \) 는 환준동형사상이 되느냐? 또 \( \phi: \mathbb { Z } _ { 3 } \rightarrow \mathbb { Z } _ { 6 } , \phi(x)=4 x \) 는 환준동형사상이 되느냐?</li> <li>대입 준동형사상 \[ \phi_ { 5 } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { Q } , \quad \phi_ { 5 } (f(x))=f(5) \] 의 핵(kernel)에 속하는 \(6 \) 개의 원소를 구하라.</li> <li>\( a, b \in \mathbb { R } \) 일 때, 함수 \[ \phi: \mathbb { C } \longrightarrow M_ { 2 } ( \mathbb { R } ), \quad \phi(a + b i)= \left ( \begin {array} { cc } a & b \\ -b & a \end {array} \right ) \] 는 단사 환준동형사상임을 보여라.</li> <li>가환환 \( \mathbb { Z } _ { 9 } = \{ 0,1,2, \cdots, 8 \} \) 에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 9 } \) 의 모든 멱등원을 구하라.</li> <li>모든 환준동형사상 \( f: \mathbb { Z } _ { 9 } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 9 } \) 를 구하여라.</li></ol></li> <li>환 \( \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \) 에서 \( \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \) 로의 모든 환준동형사상을 구하라. [참고: \( \phi(1,0)= \phi(1,0) \cdot \phi(1,0) \), \( \phi(0,1)= \phi(0,1) \cdot \phi(0,1), \quad \phi((1,0) \cdot(0,1))=(0,0) \) 를 이용하라.]</li> <li>정수환 \( \mathbb { Z } \) 과 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 에서 다음 함수에서 모든 준동형사상을 구하라.<ol type= start=1><li>\( f: \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 7 } \)</li> <li>\( f: \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } _ { 12 } \)</li> <li>\( f: \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \)</li> <li>\( f: \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Z } \)</li> <li>\( f: \mathbb { Z } \longrightarrow \mathbb { Q } \)</li> <li>\( f: \mathbb { Q } \longrightarrow \mathbb { Z } \)</li></ol></li> <li>\( \phi: R \rightarrow S( \neq \{ 0 \} ) \) 는 전사인 환준동형사상이고 \( R \) 은 \(1 \) 을 가진 환이다. \( u \) 가 \( R \) 의 단원일 때 \( \phi(u) \) 가 \( S \) 의 단원일 필요충분조건은 \( u \notin \operatorname { ker } ( \phi) \) 임을 보여라.</li> <li>체 \( F \) 에 대하여 함수 \( \phi: F \longrightarrow F \) 가 환준동형사상이면, \( \phi=0 \) 이거나 단사임을 보여라.</li> <li>체 \( F \) 에서 단위원 \(1 \) 을 가진 환 \( R( \neq \{ 0 \} ) \) 로의 환준동형사상 \( f: F \rightarrow R \) 이 전사이면, \( f \) 는 동형사상임을 보여라.</li> <li>환준동형사상 \( \sigma: R \rightarrow S \) 와 다항식 \( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \in R[x] \) 에 대하여 \[ \phi_ {\sigma } : R[x] \longrightarrow S[x], \quad \phi_ {\sigma } (f(x))= \sigma \left (a_ { 0 } \right ) + \sigma \left (a_ { 1 } \right ) x + \cdots + \sigma \left (a_ { n } \right ) x ^ { n } \] 라 정의하면, 함수 \( \phi_ {\sigma } \) 는 환 준동형사상임을 보여라.</li> <li>체 \( F \) 위의 다항식환 \( F[x] \) 의 다항식 \( f(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \) 에 대하여 형식적 미분사상(formal differentiation map) \( D \) 를 아래와 같이 정의할 때, 다음 물음에 답하라. \[ D: F[x] \longrightarrow F[x], \quad D(f(x))=f ^ {\prime } (x)=a_ { 1 } + 2 \cdot a_ { 2 } x + \cdots + n \cdot a_ { n } x ^ { n-1 } \]<ol type= start=1><li>임의의 다항식 \( f(x), g(x) \in F[x] \) 와 \( a \in F \) 에 대하여 다음이 성립함을 증명하라. \[ (f(x) + g(x)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) + g ^ {\prime } (x), \quad(a f(x)) ^ {\prime } =a f ^ {\prime } (x), \quad(f(x) g(x)) ^ {\prime } =f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) \] 즉, \( D \) 는 군 준동형사상이지만 환 준동형사상이 아니다.</li> <li>사상 \( D \) 에 의한 \( F[x] \) 의 상 \( D(F[x]) \) 를 구하라.</li></ol></li> <li>함수 \( \phi: \mathbb { I } \rightarrow M_ { 2 } ( \mathbb { C } ) \) 를 \[ \phi(a + b i + c j + d k)=a \left ( \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) + b \left ( \begin {array} { cc } 0 & 1 \\ -1 & 0 \end {array} \right ) + c \left ( \begin {array} { ll } 0 & i \\ i & 0 \end {array} \right ) + d K \] 로 정의하면 \( \phi \) 가 환동형사상이 되는 행렬 \( K \in M_ { 2 } ( \mathbb { C } ) \) 가 존재한다.<ol type= start=1><li>행렬 \( K \) 를 구하라.</li> <li>\( \phi \) 가 환준동형사상임을 보이기 위하여 꼭 확인해야 할 \(8 \) 개의 식을 찾아라.</li> <li>\( \phi \) 가 \( \mathbb { H } \) 와 \( \phi( \mathbb { H } ) \) 사이의 동형사상임을 보이기 위하여 ( \(2 \))에서 확인한 사실 외의 어떤 것을 더 확인해야 하나?</li></ol></li> <li>\( R \) 이 단위원을 갖는 환에 대하여 군 \( (R, + ) \) 의 자기준동형사상 전체집합 \( \operatorname { End } (R) \) 은 환이다. 이때 원소 \( a \in R \) 에 대하여, 함수 \( \lambda_ { a } \) 를 \[ \lambda_ { a } : R \longrightarrow R, \quad \lambda_ { a } (x)=a x, x \in R \] 이라 정의할 때, 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>\( \lambda_ { a } \in \operatorname { End } (R) \) 임을 보여라.</li> <li>\( R ^ {\prime } = \left \{\lambda_ { a } \mid a \in R \right \} \) 은 \( \operatorname { End } (R) \) 의 부분환임을 보여라.</li> <li>( \(2 \))의 \( R ^ {\prime } \) 이 \( R \) 과 환동형임을 보임으로써, 군에 대한 Cayley의 정리와 유사한 정리를 환 \( R \) 에 대하여 기술하고 증명하라.</li></ol></li> <li>가환환 \( ( \mathbb { Z } , + , \cdot), \left ( \mathbb { Z } _ { n } , + , \cdot \right ), \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , + , \cdot \right ) \) 에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type= start=1><li>\( \operatorname { End } ( \mathbb { Z } , + ) \) 는 \( ( \mathbb { Z } , + , \cdot) \) 와 환동형임을 보여라.</li> <li>\( \operatorname { End } \left ( \mathbb { Z } _ { n } , + \right ) \) 는 \( \left ( \mathbb { Z } _ { n } , + , \cdot \right ) \) 와 환동형임을 보여라.</li> <li>\( \operatorname { End } \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , + \right ) \) 는 \( \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , + , \cdot \right ) \) 와 환동형이 아님을 보여라.</li></ol></li></ol> <p>오른쪽의 조립제법(synthetic division, 組飒除法)은 고등학교 과정에서 이미 배운 방법으로 \(1 \)차인수로 나눌 때, 몫과 나머지를 구하는 편리한 방법이다. 첫번째 조립제법에서 네모 박스 부분이 \( f(x) \) 를 \( x-2 \) 로 나눈 몫 \( g(x)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \) 이고 'ㄴ' 부분이 나머지 \(0 \) 이다. 그러므로 \[ f(x)=(x-2) \left (x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \right ) \] 이다. 그리고 \[ g(2)=g(-1)=-1 + 1-1 + 1=0 \] 이므로, 두번째 조립제법에서 \( g(x)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \) 을 \( x-2 \) 로 나눈 몫 \( x ^ { 2 } + 1 \) 과 나머지 \(0 \) 을 구할 수 있다. 따라서 \( g(x) \) 는 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 다음과 같이 인수분해된다. \[ g(x)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1=(x-2) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \]</p> <p>그리고 \( h(x)=x ^ { 2 } + 1 \) 은 \[ h(0)=1 \neq 0, \quad h(1)=2 \neq 0, \quad h(2)=2 \neq 0 \] 이므로 인수정리에 의해 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 \(1 \) 차인수를 갖지 않는다. 그러므로 \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] \) 에서 다음과 같이 인수분해된다. \[ f(x)=(x-2) \left (x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 \right )=(x-2)(x-2) \left (x ^ { 2 } + 1 \right )=(x-2) ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \]</p> <p>다름정리 \( 5.5 .6 \) 체 \( F \) 위의 \(0 \) 이 아닌 \( n \) 차 다항식 \( f(x) \in F[x] \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ul> <li>\[ f(x) \text { 는 } F \text { 에서 많아야 } n \text { 개의 해가 존재한다. } \]</li></ul></p> <p>정리 \(5.1.10 \) 가환군 \( (A, + ) \) 위의 자기준동형사상 전체 집합 \[ \operatorname { End } (A)= \{ f \mid f: A \longrightarrow A \text { 는 군 자기준동형사상 } \} \] 의 원소 \( f, g \in \operatorname { End } (A) \) 와 원소 \( x \in A \) 에 대하여 \[ (f + g)(x)=f(x) + g(x), \quad(f \circ g)(x)=f(g(x)) \] 라 정의하면 다음이 성립한다.<ul> <li>\( ( \operatorname { End } (A), + , \circ) \) 은 단위원을 가진 비가환환이다.</li></ul> <p>(증명) 연습문제로 남긴다.</p> <p>예 \(5.1.11 환 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \) 의 Cartesian 곱 \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \) 의 원소 \( \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ), \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) \) 에 관한 연산을 다음과 같이 정의하자. \[ \begin {array} { c } \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) + \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } , \cdots, a_ { n } + b_ { n } \right ) \\ \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } b_ { 1 } , \cdots, a_ { n } b_ { n } \right ) \end {array} \] 그러면, Cartesian 곱(직접곱) \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \) 은 환이다. [참조: 정리 \(6.4.1 \)] \( n \) 개의 환 \( R \) 의 직접곱은 \( R ^ { n } =R \times \cdots \times R \) 이라 표기한다.</p> <p>그러므로 적당한 다항식 \( g(x), h(x) \in \mathbb { Z } [x] \) 에 대하여 \[ f(x)= \frac { (x + 1) ^ { p ^ { n } } -1 } { (x + 1) ^ { p ^ { n-1 } } -1 } = \frac { x ^ { p ^ { n } } + p \cdot h(x) } { x ^ { p ^ { n-1 } } + p \cdot g(x) } \Longrightarrow x ^ { p ^ { n } } + p \cdot h(x)=f(x) x ^ { p ^ { n-1 } } + p \cdot f(x) g(x) \] 이므로 \( (*) \) 에 의하여 \[ \begin {aligned} p \cdot(h(x)-f(x) g(x)) &=f(x) x ^ { p ^ { n-1 } } -x ^ { p ^ { n } } = \left (f(x)-x ^ { p ^ { n } -p ^ { n-1 } } \right ) x ^ { p ^ { n-1 } } \\ &= \left (x ^ { q } + a_ { 1 } x ^ { q-1 } + \cdots + a_ { q-1 } x + a_ { q } -x ^ { q } \right ) x ^ { p ^ { n-1 } } \\ &= \left (a_ { 1 } x ^ { q-1 } + \cdots + a_ { q-1 } x + a_ { q } \right ) x ^ { p ^ { n-1 } } \end {aligned} \] 이고 따라서 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { q } \) 는 모두 \( p \) 의 배수이다. 그러므로 Eisenstein 기약 판정에 의해서 \( \Phi_ { p ^ { n } } (x + 1) \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. 따라서 \( \Phi_ { p ^ { n } } (x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</p> <p>예 \(5.4.5 \) [대입 준동형사상(정리 \(5.4.4 \))] \( F= \mathbb { Q } , E= \mathbb { R } \) 이라 하자.<ol type= start=1><li>대입 준동형사상 \[ \phi_ { 0 } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { R } , \quad \phi_ { 0 } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } 0 + \cdots + a_ { n } 0 ^ { n } =a_ { 0 } \] 은 다항식의 상수항으로 사상한다.</li> <li>대입 준동형사상 \[ \phi_ { 1 } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { R } , \quad \phi_ { 1 } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } + \cdots + a_ { n } \] 에서 \( x ^ { 2 } -3 x + 2 \) 은 \( \operatorname { ker } \left ( \phi_ { 1 } \right ) \) 의 원소이다. 이때 \[ x ^ { 2 } -3 x + 2=(x-1)(x-2) \] 로 \( x-1 \) 을 인수로 갖는 인수분해가 된다. 특히, \( \phi_ { 1 } (x-1)=1-1=0 \) 이다. 따라서 \( x-1 \) 을 인수로 갖는 다항식은 모두 \( \operatorname { ker } \left ( \phi_ { 1 } \right ) \) 의 원소이다. 즉, \[ \phi_ { 1 } ((x-1) g(x))=(1-1) g(1)=0 \] 이다. 역으로 인수정리(정리 \(5.5.4 \))에 의하면, \( \operatorname { ker } \left ( \phi_ { 1 } \right ) \) 의 원소는 모두 \( x-1 \) 을 인수로 갖는 다항식이 된다.</li> <li>대입 준동형사상 \[ \phi_ {\pi } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { R } , \quad \phi_ {\pi } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } \pi + \cdots + a_ { n } \pi ^ { n } \] 에서 \( \operatorname { ker } \left ( \phi_ {\pi } \right ) \) 는 다음과 같이 알려진 \( \pi \) 의 성질(유리수 계수 다항식 형태의 성질) \[ a_ { 0 } + a_ { 1 } \pi + \cdots + a_ { n } \pi ^ { n } =0 \Longleftrightarrow a_ { 0 } =a_ { 1 } = \cdots=a_ { n } =0 \] 에서 \( \operatorname { ker } \left ( \phi_ {\pi } \right )= \{ 0 \} \) 임을 알 수 있다. 따라서 \( \phi_ {\pi } \) 는 단사함수이다. 그러므로 다음과 같은 \( \pi \) 에 관한 형식적 다항식(formal polynomial, 形式的多項式) 전체 집합 \[ \mathbb { Q } [ \pi]= \left \{ f( \pi) \mid f( \pi)=a_ { 0 } + a_ { 1 } \pi + \cdots + a_ { n } \pi ^ { n } , a_ { i } \in \mathbb { Q } \right \} \subset \mathbb { R } \] 는 대입 준동형사상 \[ \phi_ {\pi } : \mathbb { Q } [x] \longrightarrow \mathbb { Q } [ \pi], \quad \phi_ {\pi } \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } \right )=a_ { 0 } + a_ { 1 } \pi + \cdots + a_ { n } \pi ^ { n } \] 에 의하여 \( \mathbb { Q } [x] \) 와 동형인 환이 된다. 즉, \( \mathbb { Q } [x] \cong \mathbb { Q } [ \pi] \) 이다.</li></ol></p> <p>(증명) 정리 \(3.2.14 \)에 의하여 \( f(S) \) 와 \( \operatorname { Im } (f) \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 부분군이고, \( \operatorname { ker } (f) \) 는 \( R \) 의 부분군이다. 그러므로 곱셈에 대해서만 증명하면 된다.<ol type= start=1><li>임의의 \( a, b \in S \) 에 대하여 \( a b \in S \) 이므로 \[ f(a) f(b)=f(a b) \in f(S) \] 이므로 \( f(S) \) 와 \( \operatorname { Im } (f) \) 는 \( R ^ {\prime } \) 의 부분환이다.</li> <li>\( f(0)=0 ^ {\prime } \) 이므로 \( 0 \in f ^ { -1 } \left (S ^ {\prime } \right ) \) 이다. 한편 임의의 원소 \( a, b \in f ^ { -1 } \left (S ^ {\prime } \right ) \) 에 대하여 \( f(a), f(b) \in S ^ {\prime } \) 이므로 \[ f(a-b)=f(a)-f(b) \in S ^ {\prime } , \quad f(a b)=f(a) f(b) \in S ^ {\prime } \] 이다. 그러므로 \( a-b, a b \in f ^ { -1 } \left (S ^ {\prime } \right ) \) 이다. 따라서 \( f ^ { -1 } \left (S ^ {\prime } \right )<R \) 이다.</li> <li>임의의 \( a, b \in \operatorname { ker } (f) \) 에 대하여 \[ f(a b)=f(a) f(b)=0 ^ {\prime } 0 ^ {\prime } =0 ^ {\prime } \] 이므로 \( a b \in \operatorname { ker } (f) \) 이다. 따라서 \( \operatorname { ker } (f) \) 는 \( R \) 의 부분환이다.</li> <li>임의의 원소 \( f(a), f(b) \in \operatorname { Im } (f) \) 에 대하여 \[ f(a) f(b)=f(a b)=f(b a)=f(b) f(a) \] 이므로 \( \operatorname { Im } (f) \) 은 가환환이다.</li></ol></p> <p>정리 \( 5.3 .8 \) 환 준동형사상 \( f: R \longrightarrow R ^ {\prime } \) 에 대하여 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( f \) 가 전사함수 \( \Longleftrightarrow \operatorname { Im } (f)=R ^ {\prime } \)</li> <li>\( f \) 가 단사함수 \( \Longleftrightarrow \operatorname { ker } (f)= \{ 0 \} \)</li> <li>\( f \) 가 단사함수이고 \( S<R \quad \Longrightarrow \quad S \cong f(S) \) 이고, 특히, \( R \cong f(R)= \operatorname { Im } (f) \)</li></ol></p> <p>예 \(5.6.10 \) (예 \( 5.4 .9 \) 참조) \( x ^ { 2 } -2 \in \mathbb { Q } [x] \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보여라. (풀이) \( x ^ { 2 } -2 \) 가 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약을 보이려면 정리 \(5.6.4 \)에 의하여 \( \mathbb { Q } \) 에서 해가 없음을 보이면 된다. 그러면 \( x ^ { 2 } -2 \) 가 모닉다항식이므로 따름정리 \(5.6.9 \)에 의하여 정수해가 없음을 보이면 된다.</p> <p>따름정리 \(5.6.9 \)에 의하여 \( x ^ { 2 } -2 \) 의 해가 정수에서 존재하면, 해는 \( -2 \) 의 약수이다. 즉, \( \pm 1 \) 또는 \( \pm 2 \) 에서 해가 존재한다. 하지만 \[ f( \pm 1)=-1 \neq 0, \quad f( \pm 2)=2 \neq 0 \] 이므로 \( x ^ { 2 } -2 \) 의 정수해는 없다. 그러므로 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 에서 해가 없으므로 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 \(1 \) 차인수가 없다. 따라서 \( x ^ { 2 } -2 \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다.</p> <p>예 \(5.6.11 \) \( f(x)=x ^ { 4 } -2 x ^ { 2 } + 8 x + 1 \) 은 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약임을 보여라. (풀이) \( f(x) \) 가 \( \mathbb { Q } [x] \) 에서 \(1 \) 차인수가 있으면, 따름정리 \(5.6.9 \)에 의하여 \( f(x) \) 는 정수해를 가져야 한다. 또한 정수해는 \(1 \) 의 약수에서 존재한다. 하지만 \[ f(1)=8 \neq 0, \quad f(-1)=-8 \neq 0 \] 이므로 \( f(x) \) 는 \(1 \) 차인수가 없다. 다음에 \( f(x) \) 가 두 \(2 \) 차 다항식의 곱으로 인수분해된다면, 정리 \(5.6.7 \)에 의하여 \[ f(x)= \left (x ^ { 2 } + a x + b \right ) \left (x ^ { 2 } + c x + d \right ), \quad a, b, c, d \in \mathbb { Z } \] 가 되어야 한다. 양변의 각 항의 계수를 비교하면 \[ a + c=0, \quad b + a c + d=-2, \quad a d + b c=8, \quad b d=1 \] 이다. \( b d=1 \) 에서 \( b=d=1 \) 과 \( b=d=-1 \) 을 얻는다. \( b=d=1 \) 인 경우 \( a + c=0, a + c=8 \) 이므로 모순이다. \( b=d=-1 \) 인 경우 역시 \( a + c=0, a + c=-8 \) 이므로 모순이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \(2 \) 차인수가 없으므로, \( f(x) \) 는 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약이다. 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위에서 기약판정법을 만든 아이젠슈타인(독: F. G. M. Eisenstein, \(1823-1852 \))은 수학과 음악에 재능이 뛰어났으며, 디리클레(독: J. P. G. L. Dirichlet, \(1805-1859 \))의 제자이고 해밀턴(영: W. R. Hamilton, \(1805-1865 \))과도 교류하였으며, 특히 피아노를 탁월하게 연주하였다.</p>	자연
SIR 모형을 이용한 한국의 코로나19 확산에 대한 개입 효과 분석	<h1>4. 결론 및 토의</h1> <p>2021년 1월 현재 코로나19 바이러스의 전 세계적 유행이 지속되고 있고 여전히 심각한 상황이다. 이에 본 연구에서는 한국에서 발생한 집단감염과 이에 대한 정부의 방역정책과 같은 사건들이 코로나19의 전파에 유효한 영향을 미쳤는지 통계적으로 살펴보기 위해 계단형 시간변이 감염률 함수를 가정한 확률적 SIR 모형을 적용하여 분석을 시도하였다. 그 결과 전국 단위의 분석에서 수도권의 집단감염 사태가 유의미한 감염률의 증가를 가져왔고, 정부의 방역대책인 '사회적 거리두기'가 감염률을 낮추는데 기여를 하였음을 확인하였다.</p> <p>그러나, 본 연구의 분석은 몇 가지 한계점을 갖는다. 첫째, 본 연구는 해외로 부터 유입된 코로나19 확진자를 고려하지 않았다. 이는 한국 내에서의 전파 양상에 초점을 맞추기 위해 제외한 것이나, 확진자의 해외 유입으로 인한 감염률 증가를 배제할 근거가 없다는 문제가 존재한다. 둘째, 코로나19는 완치가 되어 격리 해제가 되었다 하더라도 일정 시간이 지나면 면역력을 잃어 코로나19에 재감염될 우려가 있다. 이를 고려한 모형이 SIRS 모형이다. 그러나, 재감염자 수에 대한 자료가 없는 관계로 본 연구에서는 재감염에 대한 부분을 고려하지 않았다. 마지막으로 코로나 19 의 감염률과 전파 속도는 계절적 요인에 대한 의존성이 높다. 일반적으로 코로나 바이러스는 습하고 더운 여름에 확산 속도가 떨어지는 반면, 춥고 건조한 겨울에 확산 속도가 증가하는 양상을 보인다. 그러나, 본 연구에서는 계절적인 요인을 고려하지 않았다. 만일 계절적인 요인까지 포함한 모형을 고려한다면 좀 더 정교한 예측과 분석이 가능할 것이다.</p> <p>본 연구에서는 외부적인 사건이 감염률에 영향을 미치는 개입 효과에 집중하여 분석을 진행하였고, 이를 위해 계단형 시간변이 감염률 함수를 고려하였다. 그러나, 감염병 기간동안 전반적인 감염률 변화의 패턴을 추정하기 위해서는 계단형 감염률 함수를 고려하기 보다는 평활 스플라인(smoothing spline)과 같은 부드러운 비선형 함수의 형태를 갖는 감염률 함수를 고려하는 것이 예측력을 높이는데 더 유리할 것이다.</p> <h1>요 약</h1> <p>코로나19 바이러스는 2020년에 전세계적으로 심각하게 확산되었고, 우리의 일상생활 전체에 상당한 영향을 미치고 있다. 현재 전세계는 이 유행병 사태 아래에 여전히 있고 한국 또한 이 상황에 대해 예외가 아니다. 이 유행병 기간동안 한국에서는 이 바이러스 확산을 방지하기 위한 또는 가속화시킨 몇 가지 사건들이 있었다. 감염병에 대한 방역 정책을 세우기 위해 이러한 사건들의 감염병 확산에 대한 개입 효과를 조사하는 것은 매우 중요하다. SIR 모형은 미분방정식을 통해 감염병 확산의 동적 행태를 파악하기 위해 자주 사용되는 방법이다. 그러나, SIR 모형은 관찰된 데이터의 불확실성을 고려하지 않는 결정적인 모형이다. 따라서 SIR 모형에서 데이터의 불확실성을 고려하기 위해 베이지안 접근법이 사용될 수 있고, 이러한 접근법은 SIR 모형에서 감염률에 대한 시간변이함수에 근거한 개입효과분석을 가능하게 한다. 본 연구에서는 베이지안 접근법에 근거한 확률적 SIR 모형을 이용하여 한국에서의 코로나19 바이러스의 확산 추세를 설명하고 그러한 사건들에 대한 개입효과를 조사한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>2019년말 발생한 코로나 19 바이러스가 전 세계적으로 확산되어 2021년 1월 현재 총 9,500만여 명이 넘는 확진자 수와 200 만여 명이 넘는 사망자 수를 기록하고 있다. 이와 같은 코로나 19 의 유행은 전 세계의 정치, 경제, 문화 등의 패러다임을 바꿀 정도로 인간 사회에 미치는 영향이 지대하고, 한국 역시 이 감염병에 대해 예외가 아니다.</p> <p>코로나19 바이러스와 같은 감염병의 선제적인 방역대책 수립에 있어 감염률의 추정은 매우 중요하며 이를 통해 질병의 확산 정도를 가늠할 수 있다. 감염률의 추정은 감염병 모형의 가정 하에서 가능한데 이를 위해 Kermack과 McKendrick (1927)은 감염률과 제거율(혹은 회복률)의 두 개의 모수를 갖는 확정적 SIR 모형(deterministic sir model)을 제안하였다. SIR 모형은 기본적으로 각 개체가 특정한 감염병에 대해 몇 가지 상태를 거칠 수 있으며, 각 상태들 사이의 상호작용으로 인해 질병의 확산과 소멸의 정도가 결정될 수 있다는 가정 하에 성립한다. 구체적으로 SIR 모형은 전체 인구를 아직 감염되지는 않았지만 그 위험성이 있는 집단 \( S \) (susceptible), 이미 감염되어 다른 개체들에게 전염시킬 수 있는 집단 \( I \) (infected), 그리고 증세가 호전되어 면역력이 생기거나 혹은 사망하여 더 이상 다른 개체들과 상호작용이 이루어질 수 없는 집단 \( R \) (removed 또는 recovered)로 분류한다. 그리고 각 그룹에 속하는 인구수의 동태적인 변화를 상미분방정식(ordinary differential equation)을 이용해 묘사하고, 그 해를 구하여 감염률과 제거율을 계산한다. SIR 모형은 다양한 상태를 갖는 감염병에 적용될 수 있다. 그 중 자주 쓰이는 모형 중 SEIR과 SIRS 모형이 있다. SEIR은 바이러스에 노출되어 감염되었지만 겉으로 증세가 나타나지 않고 있는 상태인 \( E \) (exposed)가 추가된 모형이고, SIRS는 한 번 회복되었지만 다시 감염될 수 있는 전염병을 분석하기 위한 모형으로 \( R \) 그룹에 속한 개체가 다시 \( S \) 그룹으로 이동한다는 가정이 추가된 모형이다.</p> <p>한편 확정적 SIR 모형에 불확실성을 반영하기 위해 확률적 SIR 모형(stochastic sir model)이 개발되었다. 확률적 SIR 모형은 집단들의 동태적인 변화가 어떻게 측정되는지에 따라 연속적(continuous)인 경우와 이산적(discrete)인 경우로 나뉘는데, 후자의 경우 Bailey (1975)는 현재 시점의 감염자 수는 직전 시점의 감염 정보에 영향을 받는다고 가정하는 연쇄-이항 모형(chain-binomial model)을 제안하였다. 이것이 반영된 SIR 모형의 분석은 첫째, 전염병 자료가 정부나 특정한 조사 기관 등에 의해 이산적으로 수집될 수밖에 없는 점과, 둘째, 마코프 연쇄(Markov chain)와 유사한 단순화된 가정으로 인해 가능도 함수(likelihood function)를 도출하기 쉽다는 점에서 현실적으로 용이하다. 그리고 최근에는 컴퓨터의 발달과 더불어 베이지안(Bayesian) 방법을 통한 마코프 연쇄 몬테 카를로(Markov-chain Monte Carlo; MCMC) 기법을 도입해 이들 모형을 적합하려는 시도들이 이어져 왔다. Lekone과 Finkenstadt (2006)는 1995년 콩고민주공화국에서 발생한 에볼라바이러스의 전파 양상을, Kucharski 등 (2016)은 프랑스에서 유행한 지카바이러스를 확률적 SEIR 모형으로 수립하고 감염률 등의 모수를 MCMC를 통해 추정하였다. 또한 최근의 코로나 19와 관련해서는 He 등 (2020)이 중국의 봉쇄 정책이 코로나 19 확산에 얼마나 영향을 미쳤는가를 확률적 SEIR 모형과 MCMC를 이용하여 분석하였다. 이러한 베이지안 접근법은 자료가 갖는 불확실성을 고려하여 감염률을 추정하는데 이점을 갖는다.</p> <p>본 연구에서는 베이지안 기법에 기반한 SIR 모형을 이용하여 한국에서 확산되고 있는 코로나19의 전파 양상을 전국과 코로나19가 심각했던 주요 5개 지역에 집중하여 분석한다. 또한, 코로나19가 진행되는 동안 있었던 집단 감염 사태나 정부의 대응 정책과 같은 사건들이 감염률의 증가 또는 감소에 얼마나 기여했는가를 통계적으로 검증해보고자 한다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다: 2절에서는 외부 개입효과를 고려한 확률적 SIR 모형을 소개하고, 3절에서는 대한민국의 전국 및 각 지역 단위의 코로나 19 전파 양상을 베이지안 기법에 기반한 확률적 SIR 모형에 적합하고, 그러한 사건들의 개입효과를 베이지안 관점에서 설명한다.</p> <h2>2.2. 베이지안 추정 방법</h2> <p>본 연구에서는 계단형 시간변이 감염률 함수를 갖는 확률적 SIR 모형을 고려한다. 이 모형의 추정을 위해 자료의 불확실성(uncertainty)을 고려하기 용이한 베이지안(Bayesian) 방법을 사용한다.</p> <p>시점 \( t \)에서 상태 \( S \)인 개체수와 상태 \( I \)인 개체수를 각각 \( S(t)=s_{t} \)와 \( I(t)=i_{t}, t=1, \ldots, T \)라고 하자. 또한, 상태 \( S \)에서 \( I \)로 이동한 개체수 (즉, 시점 \( t \)에 감염병에 걸린 개체수) \( B(t)=b_{t} \), 상태 \( I \)에서 \( R \)로 이동한 개체수 (즉, 시점 \( t \)에 회복 또는 사망한 개체수) \( C(t)=c_{t}, t=1, \ldots, T \)가 \( t \)시점에서 관찰된다고 하자. 식 (2.2)의 확률적 SIR모형에서 확률변수 \( B(t) \)와 \( C(t) \)는 이항분포를 따르고 서로 독립이라고 가정된다. 식 (2.4)의 계단형 감염률 함수에 대해 모수벡터는 \( \boldsymbol{\theta}=\left(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{K}, \gamma\right)^{\top} \)가 되고, 이때 가능도 함수(likelihood function) 는 다음과 같이 정의될 수 있다.</p> <p>\( L(\boldsymbol{\theta})=\prod_{t=1}^{T}\left[\left(\begin{array}{l}s_{t} \\ b_{t}\end{array}\right) p_{\beta(t)}^{b_{t}}\left(1-p_{\beta(t)}\right)^{s_{t}-b_{t}}\left(\begin{array}{c}i_{t} \\ c_{t}\end{array}\right) p_{\gamma}^{c_{t}}\left(1-p_{\gamma}\right)^{i_{t}-c_{t}}\right] \),<caption>(2.5)</caption></p> <p>여기서 \( p_{\beta(t)} \) 는 식 (2.4)의 계단형 감염률 함수 하에서 개별 개체가 상태 \( S \) 에서 \( I \) 로 이동할 확률을 의미하고, \( p_{\gamma} \)는 개별 개체가 상태 \( I \) 에서 \( R \) 로 이동할 확률로 전체 시간에 대해 고정이다.</p> <p>시간변이 감염률 함수 \( \beta(t) \)가 계단 함수의 형태일 때, 모수 \( \beta_{k}, k=0,1, \ldots, K \)의 사전분포로서 Dehning 등 (2020)은 감염률이 양인 조건을 만족하는 로그-정규분포(log-normal distribution)를 사용하였고, 제거율 \( \gamma \)의 사전분포 역시 로그-정규분포를 고려하였다. 따라서, 본 연구에서도 \( \beta_{k}, k=0,1, \ldots, K \)와 \( \gamma \) 의 사전분포로서 로그-정규분포를 사용하고, 계단형 시간-변이 감염률 함수를 갖는 확률적 SIR 모형의 사후분포(posterior distribution)는 다음과 같이 표현될 수 있다.</p> <p>\( \begin{aligned} p(\boldsymbol{\theta} \mid \mathbf{b}, \mathbf{c}) & \propto L(\boldsymbol{\theta}) \pi(\boldsymbol{\beta}) \pi(\gamma), \\ & \propto \prod_{t=1}^{T}\left[\left(\begin{array}{l}s_{t} \\ b_{t}\end{array}\right) p_{\beta(t)}^{b_{t}}\left(1-p_{\beta(t)}\right)^{s_{t}-b_{t}}\left(\begin{array}{c}i_{t} \\ c_{t}\end{array}\right) p_{\gamma}^{c_{t}}\left(1-p_{\gamma}\right)^{i_{t}-c_{t}}\right]\left[\prod_{k=0}^{K} \pi\left(\beta_{k}\right)\right] \pi(\gamma), \\ & \propto \prod_{t=1}^{T}\left[p_{\beta(t)}^{b_{t}}\left(1-p_{\beta(t)}\right)^{s_{t}-b_{t}} p_{\gamma}^{c_{t}}\left(1-p_{\gamma}\right)^{i_{t}-c_{t}}\right]\left[\prod_{k=0}^{K} \pi\left(\beta_{k}\right)\right] \pi(\gamma), \end{aligned} \)<caption>(2.6)</caption></p> <p>여기서 \( \mathbf{b}=\left(b_{1}, \ldots, b_{T}\right)^{\top}, \mathbf{c}=\left(c_{1}, \ldots, c_{T}\right)^{\top}, \beta=\left(\beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{K}\right)^{\top} \)이다. \( \pi\left(\beta_{k}\right), k=0,1, \ldots, K \) 는 \( k \)번째 사건 이후의 감염률 \( \beta_{k} \)의 사전분포이고 모수 \( \mu_{k} \)와 \( \sigma^{2} \)를 갖는 로그-정규분포이다 \( \left(\right. \) 즉, \( \left.\beta_{k} \sim L N\left(\mu_{k}, \sigma^{2}\right)\right) \). 또한, \( \beta_{0}, \beta_{1}, \ldots, \beta_{K} \)들은 독립으로 가정한다. 마찬가지로 \( \pi(\gamma) \)는 제거율 \( \gamma \)의 사전분포로 모수가 \( \tau \)와 \( \delta^{2} \)인 로그-정규분포이다 (즉, \( \left.\gamma \sim L N\left(\tau, \delta^{2}\right)\right) \). Dehning 등 (2020)은 감염률과 제거율이 주어진 자료에 의존적일 수 있도록 로그-정규 사전분포의 분산을 충분히 크게 줄 것을 제안하였다. 이에 따라 본 연구에서도 충분히 큰 값의 분산을 갖는 감염률과 제거율의 사전분포를 고려한다. 식 (2.6)의 사후분포를 구하기 위해 MCMC 방법의 하나인 Metropolis-Hastings 알고리즘을 이용한다.</p> <h2>2.3. 모형선택과 개입효과의 유효성 판단</h2> <p>연구의 관심이 되는 감염병의 기간동안 감염률에 영향을 미치는 외부 개입에 해당하는 사건들이 \( K \)개 있다고 가정하자. 주어진 자료에 대해 이 \( K \) 개의 사건들의 전체 혹은 부분집합이 식 (2.4)의 시간변이 감염률 함수에 적용되어 확률적 SIR 모형을 적합한다면 우리는 총 \( 2^{K} \)개의 후보 모형들(candidate models)을 고려할 수 있다. 이 \( 2^{K} \)개의 후보 모형 중 주어진 자료에 대해 최소의 모수로 감염병의 전파 양상을 가장 잘 설명할 수 있는 모형이 최적의 모형(optimal model)이라 할 수 있다. 그러한 최적의 모형을 찾기 위해서는 모형선택의 기준이 필요한데 본 연구에서는 deviance information criterion (DIC)를 사용한다. DIC는 다음과 같이 정의된다:</p> <p>\( \mathrm{DIC}=D(E[\boldsymbol{\theta}])+2 \lambda \).<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 \( D(\boldsymbol{\theta})=-2 \log L(\boldsymbol{\theta}) \) 이고, \( \lambda=E[D(\boldsymbol{\theta})]-D(E[\boldsymbol{\theta}]) \) 이다. DIC 값이 작을수록 주어진 자료에 대해 더 좋은 모형으로 판단된다. MCMC 방법으로 부터 추출된 표본을 이용하면 식 (2.7)의 기댓값 계산이 용이하므로 베이지안 모형의 비교에 있어 DIC가 자주 사용된다.</p> <p>그러나, DIC를 기준으로 최적의 모형을 찾기 위해 \( 2^{K} \)개의 후보 모형 모두를 적합하는 것은 계산적으로 비효율적이며, 만일 \( K \)가 큰 경우 계산적으로 실행 불가능하다. 따라서, 본 연구에서는 효율적으로 DIC가 가장 작은 최적의 모형을 찾기 위해 다음과 같은 전진 선택법(forward selection method)을 제안한다:</p> <p>1. 외부 개입 사건들의 인덱스(index)들의 집합 \( \mathcal{A}=\{1, \ldots, K\} \)로 놓는다.</p> <p>2. 외부 개입 사건들의 초기 인덱스들의 집합 \( \mathcal{A}_{0} \)를 공집합으로 놓고, 주어진 자료에 대해 외부 개입의 사건이 전혀 없는 모형 \( \mathcal{M}_{0} \)를 적합한다 (고정된 감염률 \( \beta \) 가정).</p> <p>3. \( j=1, \ldots, K \) 에 대해,</p> <p>3-1. 여집합 \( \mathcal{A}_{j-1}^{c} \)에서 사건 인덱스를 하나씩 \( \mathcal{A}_{j-1} \)에 추가하여 모형을 적합하고 각 모형에 대해 DIC 값을 계산한다.</p> <p>3-2. 3-1로 부터 구한 \( \mathcal{A}_{j-1}^{c} \)의 원소의 갯수 만큼의 모형 중 가장 작은 DIC 값을 갖는 모형을 \( \mathcal{M}_{j} \)라 하고, 그 모형의 사건 인덱스 집합을 \( \mathcal{A}_{j} \)로 놓는다.</p> <p>4. \( \mathcal{M}_{0}, \ldots, \mathcal{M}_{K} \)의 모형 중 가장 작은 DIC 값을 갖는 모형을 최적의 모형으로 판단한다.</p> <p>만일 외부 개입에 해당하는 어떤 사건이 DIC 기준에서 최적의 모형에 포함되지 않았다고 가정하자. 이 경우 그 사건이 감염률에 미치는 영향은 DIC 기준에서 최적의 모형에 포함될 만큼의 효과가 분명하지 않았다고 간주할 수 있다. 이는 그 사건의 감염률에 대한 개입 효과가 유효한지 여부를 판단하는 간접적인 기준이 될 수 있다. 또 다른 방법으로 사건 전후의 감염률의 유효한 변화를 \( \beta_{k-1} \)과 \( \beta_{k} \)의 credible 구간들을 비교함으로써 판단할 수 있다. Credible 구간은 사후분포를 기반으로 모수가 그 안에 있을 것이라고 믿어지는 구간을 의미 한다. 만일 \( \beta_{k-1} \)과 \( \beta_{k} \)의 \( (1-\alpha)(100) \% \) credible 구간들이 서로 겹치지 않는다면 \( k \)번째 사건의 외부 개입효과가 존재한다고 믿을 수 있다.</p> <h1>3. 코로나19 자료분석</h1> <h2>3.1. 한국 코로나19 자료 소개</h2> <p>한국에서는 2020년 1월 20일에 코로나 19 확진자가 처음 발생하였고 이에 질병관리본부(현 질병관리청)에서 중앙방역대책본부가 가동되기 시작했다. 이후 코로나19 관련 자료 수집은 각 지방자치단체에서 이루어졌으며, 중앙방역대책본부는 각 지역에서 수집된 자료를 종합하여 매일 정례 브리핑을 실시하였다. 중앙방역대책 본부에서 발표하는 코로나 19 국내 발생동향 자료는 매일 0 시 기준으로 집계된 신규 확진자 수, 격리해제자 수, 사망자 수, 그리고 검사자 수가 지역별, 감염 유형별 등으로 구분되어 제공된다. 본 연구에서는 2020년 1월 20일부터 2020년 10월 20일까지 9개월여 간 전국에서 집계된 일일 확진자 수, 격리해제자 수, 사망자 수를 분석 대상으로 고려한다. 다만, 본 연구는 국내에서 발생한 코로나19 전파와 외부 개입 효과에 관심이 있으므로 분석 대상에서 해외유입 확진자와 관련한 정보는 제외하였다. 또한 크게 전국 단위 분석과 5개 주요 지역들에 대한 분석으로 나뉜다. 5개 주요 지역들은 위 분석 기간 동안 코로나19 확산이 심각했던 서울, 경기, 인천, 대구, 경북을 대상으로 하였다.</p> <p>첫 확진자가 발생한 2020년 1월 20일을 \( t=1 \)로 설정하였고, 분석 기간의 마지막 날에 해당하는 2020년 10월 20일은 \( t=275 \)이다. 시점 \( t \)에서의 일일 확진자 수는 \( B(t)=b_{t} \)가 되고, 일일 격리해제자 수와 사망자 수의 합을 \( C(t)=c_{t} \)로 정의하였다. \( S(t)=s_{t} \)와 \( I(t)=i_{t}, t=1, \ldots, 275 \)는 식 (2.2)에 의해 계산될 수 있고, 초기 시점에서의 분석 단위별 인구수 \( S(0)=s_{0} \)는 2020년 1 월20일에 시기적으로 가장 가깝게 이용 가능한 2020년 6월 행정안전부에서 발표한 시도별 주민등록 인구수를 기준으로 하였다.</p> <p>분석의 기간 중 감염률에 영향을 미칠만한 외부 개입에 해당하는 사건으로 Table 1 에 제시된 5 개의 사건을 고려하였다. ‘신천지 교회', '이태원 클럽', '사랑제일 교회'는 집단감염사태로 코로나19의 확산을 가속화하여 감염률이 사건 이전보다 증가했을 것으로 추측되고, 반대로 '사회적 거리두기'와 같은 정부의 방역정책은 감염률을 감소시킨 외부 개입으로 추측될 수 있다. 본 연구에서는 앞서 언급한 집단감염 사태들이 감염률을 유의미하게 증가시킨 사건들이었는지 그리고 사회적 거리두기 정책이 방역대책으로 감염률을 감소시키는데 효과적이었는지에 집중하여 분석을 진행하였다. 또한, 이러한 집단감염 사태와 방역대책이 5개 주요 지역에서 감염률의 변화를 유발시켰는지 아니면 어느 특정 지역에 유효한 영향을 미쳤는지 여부 역시 분석하였다.</p> <h2>3.2. 한국 코로나 19 자료 분석</h2> <p>먼저 전국 단위 자료를 계단형 시간변이 감염률 함수를 갖는 확률적 SIR 모형들에 적용하였다. 2.3절에서 설명한 전진 선택법을 이용하여 구한 모형 \( \mathcal{M}_{0}, \ldots, \mathcal{M}_{5} \)에 대한 각 모수들의 사후평균(posterior mean)과 \( 95 \% \) credible 구간, DIC 값들이 Table 2에 나타나 있다.</p> <p>Table 2를 보면 모형 \( \mathcal{M}_{1}(D I C=37311.1) \)과 '사회적 거리두기'를 외부 개입으로 넣은 모형 \( \mathcal{M}_{2}(D I C= 33847.6)\) 의 DIC 값 차이가 가장 컸다. 즉, '사회적 거리두기'를 모형에 추가했을 때 DIC 값이 가장 크게 감소하였다. 이는 정부의 사회적 거리두기 방역대책이 시행 이전의 높은 감염률을 낮추는데 효과가 있었음을 의미한다. 두 번째로 DIC 값이 크게 감소한 부분은 \( \mathcal{M}_{2} \)에 '사회적 거리두기(2.5단계)'의 외부 개입을 추가한 \( \mathcal{M}_{3} \)였다. 이 또한, 2020년 8월 30일 이전 상대적으로 높았던 감염률이 ‘사회적 거리두기(2.5단계)' 시행 이후 크게 낮아졌음을 의미한다.</p> <p>가장 DIC 값이 낮은 모형은 \( \mathcal{M}_{4} \)로 ‘신천지 교회' 집단감염을 제외한 모든 외부 개입이 들어간 모형이었다. 이는 DIC의 기준에서 ‘이태원 클럽'과 ‘사랑제일교회' 집단감염 사태가 최적의 모형에 반영될 정도로 효과가 있었던 반면, '신천지 교회' 집단감염은 최적의 모형에 반영될 정도는 아닌 것으로 보인다. 그러나, '신천지 교회' 사건이 감염병의 초기에 일어난 사건임을 상기할 필요가 있다. 감염병 초기에는 감염자의 수가 상대적으로 적기 때문에 고정된 감염률 하에서도 전체 감염자 수의 증가 속도가 느려보인다. 그러나 감염자 수가 증가할수록 똑같은 감염률이라 하더라도 전체 감염자 수는 급격하게 증가하게 된다. 이러한 감염병의 특성으로 인해 코로나19의 초기 사건인 ‘신천지 교회’ 집단감염은 유효한 외부 개입 효과로 보이지 않는 것으로 판단된다.</p> <p>Figure 2는 Table 2에서 DIC 값이 가장 작았던 모형 \( \mathcal{M}_{4} \)의 적합선, 실제 전국 단위 자료, 추정된 계단형 시간변이 감염률 함수를 나타낸 그림표이다. 더불어, MCMC를 통해 구한 사후분포의 표본들의 \( 2.5 \% \)와 \( 97.5 \% \) 표본 분위수(sample quantile)를 이용하여 구한 적합선과 추정된 감염률 함수에 대한 \( 95 \% \) credible band들을 보여준다. 전국 단위 자료로 전체 인구수 \( N \)이 매우 크기 때문에 \(95\%\) credible band의 폭이 매우 좁음을 알 수 있다. Figure 2를 통해 일일 확진자 수와 일일 격리해제자 및 사망자 수의 양상을 모형 \( \mathcal{M}_{4} \)가 잘 설명하고 있는 것으로 보인다. 계단형 감염률 함수를 보면 '신천지 교회' 사건을 제외한 나머지 4개의 사건에서 명백하게 감염률이 변했음을 알 수 있고 그 4개의 변화하는 지점에서 \(95\%\) credible band가 겹치지 않고 구분됨을 알 수 있다. 이를 통해 우리는 2020년 3월 20일에 시행된 '사회적 거리두기'가 감염률을 낮추는 외부 개입 효과가 있었으며, '이태원 클럽'과 ‘사랑제일 교회' 집단감염이 감염률 상승에 영향을 미쳤음을 알 수 있다. 특히 2020년 8월 30일에 시행된 '사회적 거리두기(2.5단계)'는 '사랑제일 교회' 집단감염으로 급격히 상승된 감염률을 거의 '사랑제일 교회' 사건 이전 수준으로 낮출 만큼 큰 효과가 있었던 것으로 보인다.</p> <p>추가적으로 Figure 2는 분석 기간인 2020년 10월 20일 이후의 예측선 또한 보여준다. 이 예측선은 8월 30일에서 10월 20일까지의 감염률인 \( \beta_{5} \)의 추정값이 10월 20일 이후에도 유지된다는 가정 하에서 구한 일일 확진자 수와 일일 격리해제자 및 사망자 수이다. 만일 10월 20일까지의 감염률이 그 이후에도 유지된다면 일일 확진자 수가 서서히 감소하는 것으로 예측된다는 것을 알 수 있다. 그러나, 2021년 1월 현재 코로나 바이러스의 전파가 용이해지는 조건인 춥고 건조한 날씨로 인해 확진자 수가 다시 증가하는 양상을 보이고 있다.</p> <p>본 연구에서는 코로나 19가 상대적으로 심각했던 서울, 경기, 인천, 대구, 경상북도의 5개 지역을 선정하여 확률적 SIR 모형을 적용해 보았다. 각 지역별로 DIC 기준으로 전진 선택법을 이용하여 최적의 모형을 선정한 결과를 Table 3이 보여주고 있다. Table 3으로 부터 서울과 경기도가 비슷한 감염률 양상을 보여주고 있고, 이 양상은 전국 단위 감염률의 변화와 매우 유사하다는 것을 알 수 있다. 서울, 경기 수도권에 인구가 집중 되어 있는 탓에 전국 단위의 감염률의 변화가 수도권의 변화에 의존하고 있는 듯한 인상을 준다. Figure 3과 Figure 4는 서울과 경기도 지역의 일일 확진자 수, 일일 격리해제자 및 사망자 수, 추정된 감염률 함수의 추세와 양상을 보여준다. 이 그림표로 부터 서울과 경기도의 일일 확진자 수와 일일 격리해제자 및 사망자 수의 추세가 매우 유사하고, 그에 따른 감염률 함수의 양상 또한 매우 비슷하다는 것을 알 수 있다. Figure 5는 인천 지역의 코로나19 추세를 보여주고 있고, 인천 역시 서울, 경기와 비슷한 추세와 감염률 함수를 가지고 있음을 알 수 있다. 다만, DIC 기준으로 인천 지역에 대한 최적의 모형은 '신천지 교회' 사건의 외부 개입 효과를 포함하나 Figure 5 의 추정된 감염률 함수를 보면 \(95\%\) credible band가 '신천지 교회' 사건 전후로 겹쳐져 있음을 알 수 있다. 따라서, 인천 지역 역시 서울, 경기 지역과 비슷한 감염 양상을 보이고 있는 것으로 판단된다.</p> <p>대구와 경북 지역은 서울, 경기, 인천의 수도권 지역과는 매우 다른 감염 양상을 보인다. 수도권 지역은 초반에 상대적으로 적은 코로나19 확진자가 발생했고, '이태원 클럽'과 '사랑제일 교회'와 같은 사건 이후 급격히 증가하는 감염 양상을 보인다. 이에 반해 대구와 경북 지역은 코로나 19 초기에 확진자 수가 급격히 증가한 이후 '사회적 거리두기'에 의해 확진자 수가 감소한 이후 급격한 변화를 보이고 있지 않다. 이는 '신천지 교회' 집단감염이 대구와 경북을 중심으로 발생한데 기인한 것으로 보인다.</p> <h1>2. 모형</h1> <h2>2.1. 확률적 SIR 모형</h2> <p>본 절에서는 확정적 SIR 모형과 확률적 SIR 모형을 소개하고, 확률적 SIR 모형 하에서 개입효과를 고려하기 위한 시간변이함수(time-varying function)로 표현되는 감염률을 소개한다. 먼저 확정적 SIR 모형은 감염병의 확산과 소멸을 설명하는 수학적 모형으로 다음과 같은 가정 하에서 성립한다:</p> <p>첫째, 전체 인구는 개별적으로 반드시 \( S \) (susceptible), \( I \) (infected), 또는 \( R \) (removed) 상태 중 하나에 속해야 한다. 둘째, 감염병 이전의 전체 인구는 모두 \( S \) 상태에 있다고 가정하고, \( I \)와 \( R \)의 순서로 이동할 가능성이 존재한다. 셋째, 전체 인구수는 고정되어있고, 개개의 구성원들은 각 상태로 변할 가능성이 동일하다. 이 가정들을 기반으로 다음과 같은 상미분방정식을 세울 수 있고, 이 방정식이 확정적 SIR 모형이다.</p> <p>\( \begin{aligned} \frac{d S(t)}{d t} &=-\beta \frac{S(t)}{N} I(t), \\ \frac{d I(t)}{d t} &=\beta \frac{S(t)}{N} I(t)-\gamma I(t), \\ \frac{d R(t)}{d t} &=\gamma I(t) . \end{aligned} \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 \( S(t), I(t), R(t) \)는 시점 \( t \)에서 아직 감염되지 않은 개체수, 감염된 개체수, 회복 또는 사망한 개체수를 각각 나타내고, \( N \)은 관찰의 대상이 되는 전체 모집단의 개체수를 의미한다. 또한, \( \beta, \gamma>0 \)는 각각 감염률과 제거율을 의미하고, \( 1 / \beta \)과 \( 1 / \gamma \)은 각각 한 개체가 감염까지 걸리는 시간과 회복 또는 사망까지 걸리는 시간을 각각 의미한다. \( \beta / \gamma \)를 기초감염 재생산수(basic reproduction number)라고 하는데 감염병의 심각성 여부를 판단할 때 사용하는 중요한 지표 중 하나 이다. 만일 이 값이 1보다 크면 감염병이 빠르게 확산되고 있음을 의미하고, 1보다 작으면 감염병이 빠르게 진정되는 양상을 보인다고 할 수 있다.</p> <p>확률적 SIR 모형은 식 (2.1)의 확정적 SIR 모형에 각 상태의 개체수를 확률변수로 고려함으로써 임의성을 부여한다. Mode와 Sleeman (2000)은 충분히 작은 시간의 구간 내에서 상태가 변하는 개체의 수가 이산확률분포(discrete probability distribution)를 따른다고 가정하는 SIR 모형을 제안하였다. 구체적인 모형을 설명하기 위해 먼저 단위시간 \( h \)에 대해 각 상태의 개체 수 변화량을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( \begin{aligned} S(t+h)-S(t) &=-B(t), \\ I(t+h)-I(t) &=B(t)-C(t), \\ R(t+h)-R(t) &=C(t) . \end{aligned} \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>식 (2.2)에서 \( B(t) \)는 시점 \( t \)에서 단위시간 \( h \)동안 상태 \( S \)에서 상태 \( I \)로 이동한 개체수를 나타내고, \( C(t) \)는 상태 \( I \)에서 상태 \( R \)로 이동한 개체수를 나타낸다. 개별 개체는 서로 독립이고 개별 개체가 상태 \( S \)와 \( I \)에서 \( I \)와 \( R \)로 각각 이동할 확률이 동일하다고 가정하면, \( B(t) \)와 \( C(t) \)는 각각 다음과 같은 이항분포(binomial distribution)를 따르는 확률변수로 정의될 수 있다.</p> <p>\( B(t) \sim \operatorname{Bin}\left(S(t), p_{\beta}\right) \), \( C(t) \sim \operatorname{Bin}\left(I(t), p_{\gamma}\right) \).<caption>(2.3)</caption></p> <p>여기서 이항분포의 모수 \( p_{\beta} \) 와 \( p_{\gamma} \) 는 한 개체가 상태 \( S \) 와 \( I \) 에서 \( I \) 와 \( R \) 로 각각 이동하는데 걸리는 시간이 지수 분포를 따른다는 가정 하에서 \( p_{\beta}=1-\exp (-\beta I(t) / N h) \)와 \( p_{\gamma}=1-\exp (-\gamma h) \)로 도출될 수 있다. 단위시간 \( h \)가 충분히 작을 때, 테일러 전개(Taylor expansion)에 의해 \( p_{\beta} \approx \beta I(t) / N h \)가 되고 \( p_{\gamma} \approx \gamma h \)가 된다. 이때 두 확률변수 \( B(t) \)와 \( C(t) \)의 기댓값은 각각 \( E[B(t)] \approx \beta S(t) I(t) / N h \)와 \( E[C(t)] \approx \gamma I(t) h \)가 되고, \( h \)에 대한 두 기댓값의 기울기는 식 (2.1)의 \( d S(t) / d t \)와 \( d R(t) / d t \)와 각각 일치한다.</p> <p>일반적인 SIR 모형에서는 감열률 \( \beta \)와 제거율 \( \gamma \)가 시간에 따라 변하지 않는 고정된 상수로 가정한다. 대부분의 감염병 모형에서 고정된 제거율을 가정하는 것은 감염병에서 회복 또는 사망하는 것이 시기와 상황에 따라 크게 변하는 것이 아니므로 자연스러운 가정이다. 그러나, 코로나19와 같이 장기간 지속되는 감염병으로부터 나온 자료에 고정된 감염률을 갖는 SIR 모형을 적용하면 감염병의 전파 양상을 표현하는데 적절치 않을 수 있다. 그 이유는 감염병 초기의 감염률이 감염병의 전파가 진행되는 전체 기간 동안 일정하지 않은 것이 일반적이기 때문이다. 예를 들어 정부의 적절한 방역정책에 의해 감염율이 떨어질 수도 있고, 반대로 예상치 못한 사건으로 인해 감염병의 확산이 가속화될 수도 있다. 이렇듯 장기간 유행하는 감염병에 대해 시간에 따라 변하는 감염률을 가정하는 것은 일반적으로 주어진 자료를 더 잘 설명할 가능성이 높다. 이 경우 감염률은 시간의 함수인 시간변이 감염률 함수(time-varying infection rate function) \( \beta(t) \)로 표현될 수 있다.</p> <p>이러한 시간변이 감염률 함수는 감염병 기간 동안 정부의 방역정책이나 어떠한 사건들이 감염병의 전파에 미친 영향을 분석하는 개입효과 분석(intervention effect analysis)에 활용될 수 있다. 사건들의 개입효과 분석을 위해 본 연구에서는 일정한 형태의 감염률이 사건의 전후로 변하는 양상을 나타내는 계단함수(step function) 형태의 시간변이 감염률 함수를 가정한다.</p> <p>계단 형태의 시간변이 감염률 함수를 정의하기 위해 우선 전체 감염병의 기간 동안 감염률에 영향을 미칠 만한 \( K \)개의 사건들이 있었다고 가정하자. 또한, 분석의 대상이 되는 감염병 기간을 [\( 0, T \)]라 하고, 그 사건들의 발생시간을 \( t_{1}, \ldots, t_{K}\left(0=t_{0}<t_{1} \leq \cdots \leq t_{K}<t_{K+1}=T\right) \)라고 하자. 이때 계단 형태의 시간변이 감염률 함수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( \beta(t)=\sum_{k=0}^{K} \beta_{k} I\left(t_{k} \leq t \leq t_{k+1}\right), \quad 0<t<T \),<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 \( \beta_{k}>0 \)는 \( k \)번째 사건 이후의 감염률이고, \( I(\cdot) \)은 지시함수(indicator function)이다. \( k \)번째 사건이 감염률의 변화에 영향을 미쳤는가 여부는 \( \beta_{k-1} \)과 \( \beta_{k} \)를 비교함으로써 가능하다.</p>	자연
수학교재연구:이산수학_생성함수	<h3>예제 4 .</h3> <p>집합 \( \{ 1,2, \cdots, n \} \) 에서 \( k(0 \leqq k \leqq n) \) 개를 뽑는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>(풀이 \(1 \)) \( k \) 개를 뽑아 나열하는 방법의 수가 \( n(n-1) \cdots(n-k + 1) \) 이므로 구하는 방법의 수는 \[ \frac { n(n-1) \cdots(n-k + 1) } { k ! } = \frac { n ! } { k !(n-k) ! } = \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) \] (풀이 \(2 \)) 생성함수를 이용하여 구해보자. 집합 \( \{ 1,2, \ldots, n \} \) 에서 \( k \) 개의 원소로 이루어진 부분집합의 수를 \( f(n, k) \) 라 하자. 이 중에 \( n \) 을 포함하지 않는 부분집합의 수는 \( f(n-1, k) \)이고 \( n \) 을 포함하는 부분집합의 수는 \( f(n-1, k-1) \) 이므로 \[ f(n, k)=f(n-1, k) + f(n-1, k-1) \quad(f(n, 0)=1) \quad \cdots( * ) \] \( B_ { n } (x)= \sum_ { k \geq 0 } f(n, k) x ^ { k } \) 로 놓고 \( ( \left . { } ^ { * } \right ) \) 의 양변에 \( x ^ { k } \) 을 곱하고 \( k \geqq 1 \) 인 \( k \) 에 대하여 더하면 \[ B_ { n } (x)-1= \left (B_ { n-1 } (x)-1 \right ) + x B_ { n-1 } (x) \quad \left (n \geqq 1, B_ { 0 } (x)=1 \right ) \] 따라서 \( B_ { n } (x)=(1 + x) B_ { n-1 } (x) \left (n \geqq 1, B_ { 0 } (x)=1 \right ) \) 즉 \( B_ { n } (x)=(1 + x) ^ { n } (n \geqq 0) \) 이항정리에 의해 \( f(n, k)= \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) \) 테일러 정리에 의해 \( f(n, k) \) 는 \( (1 + x) ^ { n } \) 의 \( k \) 계 도함수의 \( x=0 \) 에서의 값을 \( k \) 로 나눈 것이다. 즉 \( \frac { n(n-1) \cdots(n-k + 1) } { k ! } = \frac { n ! } { k !(n-k) ! } = \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) \)</p> <h3>예제 \( 5 . \)</h3> <p>\( [n] \) 의 부분집합 중 어떤 이웃한 두 원소도 없는 부분집합의 개수를 구하시오.<p>(풀이) \( [n] \) 의 부분집합 중 어떤 이웃한 두 원소도 없는 부분집합의 개수를 \( f(n) \) 이라 하자. 만약 \( n \) 을 포함하면 \( f(n-2) \) 이고 \( n \) 을 포함하지 않으면 \( f(n-1) \) 이므로 \[ f(n)=f(n-1) + f(n-2), \quad f(1)=2, f(2)=3 \] 따라서 \( f(n)=F_ { n + 2 } \)</p> <h3>예제 \( 6 . \)</h3> <p>\( \left (1 + x + x ^ { 2 } \right ) ^ { 8 } \) 을 전개했을 때, \( x ^ { 5 } \) 의 계수를 구하시오.</p> <p>(풀이 \(1 \)) 다항정리를 이용하자. 항 \( 1 ^ { 3 } x ^ { 5 } \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 0 } \) 에서 가능한 경우의 수는 \( \left ( \begin {array} { c } 8 \\ 3&5 \end {array} \right )=56 \) 항 \( 1 ^ { 2 } x ^ { 3 } \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 1 } \) 에서 가능한 경우의 수는 \( \left ( \begin {array} { ccc } 8 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right )=280 \) 항 \( 1 ^ { 5 } x ^ { 1 } \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \) 에서 가능한 경우의 수는 \( \left ( \begin {array} { ccc } 8 \\ 5 & 1 & 2 \end {array} \right )=168 \) 따라서 구하는 \( x ^ { 5 } \) 의 계수는 \( 56 + 280 + 168=504 \)</p> <p>(풀이 \(2 \)) 이항정리를 두 번 적용하자. \[ \begin {array} { l } \left (1 + x + x ^ { 2 } \right ) ^ { 8 } = \sum_ { k=0 } ^ { 8 } \left ( \begin {array} { l } 8 \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } (1 + x) ^ { k } \text { 에서 } \\ k=5 \text { 일 때 } \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 5 \end {array} \right )=56 \\ k=4 \text { 일 때, } \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 4 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 1 \end {array} \right )=280 \\ k=3 \text { 일 때, } \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 3 \\ 2 \end {array} \right )=168 \end {array} \] 따라서 구하는 \( x ^ { 5 } \) 의 계수는 \( 56 + 280 + 168=504 \)</p> <h3>예제 \( 3 . \)</h3> <p>점화식 \( F_ { n + 1 } =F_ { n } + F_ { n-1 } \quad \left (n \geq 1, F_ { 0 } =0, F_ { 1 } =1 \right ) \) 을 만족시키는 수열 \( \left \{ F_ { n } \right \} \) 의 일반 항을 구하시오.</p> <p>(풀이) \( F(x)= \sum_ { n \geq 0 } F_ { n } x ^ { n } \) 로 놓으면 \[ \sum_ { n \geqq 1 } F_ { n + 1 } x ^ { n } =F_ { 2 } x + F_ { 3 } x ^ { 2 } + F_ { 4 } x ^ { 3 } + \cdots= \frac { F(x)-x } { x } \] 한편 \[ \sum_ { n \geq 1 } \left (F_ { n } + F_ { n-1 } \right ) x ^ { n } = \left \{ F_ { 1 } x + F_ { 2 } x ^ { 2 } + F_ { 3 } x ^ { 3 } + \cdots \right \} - \left \{ F_ { 0 } x + F_ { 1 } x ^ { 2 } + F_ { 2 } x ^ { 3 } + \cdots \right \} =F(x)-x F(x) \]</p> <p>따라서 \( \frac { F(x)-x } { x } =F(x)-x F(x) \) 즉 \( F(x)= \frac { x } { 1-x-x ^ { 2 } } \) 그런데 \( 1-x-x ^ { 2 } = \left (1-x r_ { + } \right ) \left (1-x r_ { - } \right ) \quad \left [r_ {\pm } =(1 \pm \sqrt { 5 } ) / 2 \right ] \) \[ \frac { x } { 1-x-x ^ { 2 } } = \frac { x } {\left (1-x r_ { + } \right ) \left (1-x r_ { - } \right ) } = \frac { 1 } {\left (r_ { + } -r_ { - } \right ) } \left ( \frac { 1 } { 1-x r_ { + } } - \frac { 1 } { 1-x r_ { - } } \right ) \] \[ = \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \left \{\sum_ { n \geqq 0 } r_ { + } ^ { n } x ^ { n } - \sum_ { n \geqq 0 } r_ { - } ^ { n } x ^ { n } \right \} \] 이므로 \( F_ { n } = \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \left \{ r_ { + } ^ { n } -r_ { - } ^ { n } \right \} = \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \left \{\left ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { n } - \left ( \frac { 1- \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { n } \right \} \quad(n \geqq 0) \) 참고로, \( F_ { n } \sim \frac { 1 } {\sqrt { 5 } } \left ( \frac { 1 + \sqrt { 5 } } { 2 } \right ) ^ { n } \quad \left ( \because r_ { + } >1, \left \|r_ { - } \right \|<1 \right ) \)</p> <p>여기서, \( r \) 는 실수이고 일반화된 이항계수는 다음과 같다. \[ \left ( \begin {array} { l } r \\ n \end {array} \right )= \frac { r(r-1)(r-2) \cdots[r-(n-1)] } { n ! } , \left ( \begin {array} { l } r \\ 0 \end {array} \right )=1 \] 그러므로 식 (1)을 이용하여 \( (1-4 x) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \) 을 전개하면 \( x ^ { n } \) 의 계수는 \[ \left ( \frac { 1 } { 2 } \right )(-4) ^ { n } = \frac {\left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) \left (- \frac { 3 } { 2 } \right ) \cdots \left (- \frac { 1 } { 2 } (2 n-3) \right ) } { n ! } (-4) ^ { n } \] \[ \begin {array} { l } = \frac { -1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots \cdots(2 n-3) } { n ! } 2 ^ { n } \\ =- \frac { 2 } { n } \left ( \begin {array} { c } 2 n-2 \\ n-1 \end {array} \right ) \end {array} \] 따라서 \( g(x)= \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } (1-4 x) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \) 에서 \( x ^ { n } \) 의 계수는 \[ a_ { n } = \frac { 1 } { n } \left ( \begin {array} { c } 2 n-2 \\ n-1 \end {array} \right ), \quad(n \geqq 1) \]</p> <p>위에서 구한 \( C_ { n } = \frac { 1 } { n + 1 } \left ( \begin {array} { l } 2 n \\ n \end {array} \right ) \) 은 조합수학 여러 곳에서 등장하는 유명한 카탈란수(Catalan number)이다.</p> <h3>예제 \(11 \).</h3> <p>\(1,2 \)를 써서 만들 수 있는 \( n \) 자리의 정수 중 \(1 \)이 짝수 개, \(2 \)가 \(1 \)개 이상 들어 있는 수의 개수를 \( n \) 에 관한 식으로 나타내시오.</p> <p>(풀이) 중복순열에 관한 문제이므로 \( a_ { n } \) 의 지수생성함수를 생각하자. 구하는 수를 \( a_ { n } \) 이라 하면 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots \) 의 지수생성함수는 \( g(x)= \left (1 + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \cdots \right ) \left (x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ) \) \[ \begin {array} { l } = \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { x } + e ^ { -x } \right ) \cdot \left (e ^ { x } -1 \right ) \\ = \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { 2 x } + 1-e ^ { x } -e ^ { -x } \right ) \\ = \frac { 1 } { 2 } \left (1 + \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 2 ^ { n } x ^ { n } } { n ! } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } x ^ { n } } { n ! } \right ) \end {array} \] 따라서 \( a_ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left [2 ^ { n } -1-(-1) ^ { n } \right ](n \geq 1) \)</p> <p>이들 \(6 \)개의 집합에 대한 나열 방법의 수는 각각 다음과 같다. \[ \frac { 4 ! } { 4 ! 0 ! 0 ! } \quad \frac { 4 ! } { 3 ! 1 ! 0 ! } \quad \frac { 4 ! } { 3 ! 0 ! 1 ! } \quad \frac { 4 ! } { 2 ! 2 ! 0 ! } \quad \frac { 4 ! } { 2 ! 1 ! 1 ! } \quad \frac { 4 ! } { 2 ! 0 ! 2 ! } \] 따라서 구하는 단어 전체의 수는 이들 \(6 \)개의 항의 합일 것이다. 즉 \[ 1 + 4 + 4 + 6 + 12 + 6=33 \]</p> <p>\( r \) 개의 서로 다른 물건들의 나열의 개수 \( a_ { r } \) 에 대한 지수생성함수 \( g(x) \) 는 다음과 같은 멱급수 전개를 갖는 함수이다. \[ g(x)=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + a_ { 3 } \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots + a_ { r } \frac { x ^ { r } } { r ! } + \cdots \]</p> <p>무한히 많은 \( a, b, c \) 로부터 적어도 \(2 \)개의 \( a \) 를 포함하여 \( r \) 개의 문자로 된 단어를 만드는 방법의 수에 대한 지수생성함수는 다음과 같다. \[ g(x)= \left ( \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \cdots \right ) \left (1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ) ^ { 2 } \]<caption>(1)</caption>\( x ^ { r } \) 의 계수는 \( e_ { 1 } + e_ { 2 } + e_ { 3 } =r \), (단, \( \left .2 \leqq e_ { 1,0 } 0 \leqq e_ { 2 } , e_ { 3 } \right ) \) 를 만족하는 모든 곱 \( \left (x ^ { e_ { 1 } } / e_ { 1 } ! \right ) \left (x ^ { e_ { 2 } } / e_ { 2 } ! \right ) \left (x ^ {\varepsilon_ { 3 } } / e_ { 3 } ! \right ) \) 의 합과 같을 것이다. 더욱 중요한 것은, \( x ^ { r } \) 을 \( r ! \) 로 나누고, 다시 계수에 \( r ! \) 을 곱한다면 \( g(x) \) 의 \( \frac { x ^ { r } } { r ! } \) 항은 다음과 같이 될 것이다. \[ \left ( \sum_ {\substack { e_ { 1 } + e_ { 2 } + e_ { 3 } =r \\ 2 \leq e_ { 1 } , 0 \leq e_ { 2 } , e_ { 3 } } } \frac { r ! } { e_ { 1 } ! e_ { 2 } ! e_ { 3 } ! } \right ) \frac { x ^ { r } } { r ! } \]</p> <p>수열 \[ a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } , \cdots \] 의 일반항 \( a_ { n } \) 이 \[ e_ { 1 } + e_ { 2 } + \cdots + e_ { k } =n \] 을 만족하는 음이 아닌 정수해의 개수일 때, \[ a_ { n } = \left ( \begin {array} { c } n + k-1 \\ n \end {array} \right ) \] 이고, 그 수열에 대한 생성함수는 \[ g(x)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { c } n + k-1 \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } = \frac { 1 } { (1-x) ^ { k } } \]</p> <p>이제 생성함수에 다양한 대수적 성질을 적용하여 우리가 원하는 계수를 찾는 방법을 살펴보자. 먼저 자주 사용되는 전개식은 등비급수, 무한등비급수, 이항정리, 중복 조합 공식과 코시 곱(Cauchy product) 등이 있는데 열거하면 다음과 같다.</p> <p>다항전개식(Polynomial Expansions) (1) \( \frac { 1-x ^ { n + 1 } } { 1-x } =1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { n } = \sum_ { k=0 } ^ { n } x ^ { k } \) (2) \( \frac { 1 } { 1-x } =1 + x + x ^ { 2 } + \cdots= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } x ^ { k } \) (3) \( (1 + x) ^ { n } =1 + \left ( \begin {array} { l } n \\ 1 \end {array} \right ) x + \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) x ^ { 2 } + \cdots + \left ( \begin {array} { l } n \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } = \sum_ { k=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } \) (4) \( \left (1-x ^ { m } \right ) ^ { n } =1- \left ( \begin {array} { l } n \\ 1 \end {array} \right ) x ^ { m } + \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ) x ^ { 2 m } - \cdots + (-1) ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ n \end {array} \right ) x ^ { n m } \) \[ = \sum_ { k=0 } ^ { n } (-1) ^ { k } \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) x ^ { k m } \] (5) \( \frac { 1 } { (1-x) ^ { n } } =1 + \left ( \begin {array} { c } 1 + n-1 \\ 1 \end {array} \right ) x + \left ( \begin {array} { c } 2 + n-1 \\ 2 \end {array} \right ) x ^ { 2 } + \cdots + \left ( \begin {array} { c } k + n-1 \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } + \cdots \) \[ = \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { c } k + n-1 \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } \]</p> <p>(풀이 \(1 \)) 이 문제에 대한 지수생성함수는 다음과 같다. \[ \left (x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ) ^ { 3 } = \left (e ^ { x } -1 \right ) ^ { 3 } \] \( \left (e ^ { x } -1 \right ) ^ { 3 } \) 에서 \( \frac { x ^ { r } } { r ! } \) 의 계수를 찾기 위하여, 우리는 먼저 \( e ^ { x } \) 에 대한 이항전개를 해야만 한다.</p>\[ \left (e ^ { x } -1 \right ) ^ { 3 } =e ^ { 3 x } -3 e ^ { 2 x } + 3 e ^ { x } -1 \] 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다. \[ \begin {array} { l } e ^ { 3 x } -3 e ^ { 2 x } + 3 e ^ { x } -1= \sum_ { r=0 } ^ {\infty } 3 ^ { r } \frac { x ^ { r } } { r ! } -3 \sum_ { r=0 } ^ {\infty } 2 ^ { r } \frac { x ^ { r } } { r ! } + 3 \sum_ { r=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { r } } { r ! } -1 \\ = \sum_ { r=0 } ^ {\infty } \left (3 ^ { r } -3 \cdot 2 ^ { r } + 3 \right ) \frac { x ^ { r } } { r ! } -1 \end {array} \] 따라서 \( \frac { x ^ { 10 } } { 10 ! } \) 의 계수는 \( 3 ^ { 10 } -3 \cdot 2 ^ { 10 } + 3 \) 이다.</p> <p>(풀이) 먼저 \( t_ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } t_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \) 일반생성함수 \( G(x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } t_ { k } x ^ { k } \) 로 놓자. \( t_ { k + 1 } x ^ { k } =2 t_ { k } x ^ { k } \) 에서 \( \sum_ { k=0 } ^ {\infty } t_ { k + 1 } x ^ { k } =2 \sum_ { k=0 } ^ {\infty } t_ { k } x ^ { k } \) 그런데 \( \sum_ { k=0 } ^ {\infty } t_ { k + 1 } x ^ { k } =t_ { 1 } + t_ { 2 } x + t_ { 3 } x ^ { 2 } + \cdots= \frac { 1 } { x } \left [t_ { 1 } x + t_ { 2 } x ^ { 2 } + t_ { 3 } x ^ { 3 } + \cdots \right ]= \frac { 1 } { x } \left [G(x)-t_ { 0 } \right ] \) 이므로 \( \frac { 1 } { x } \left [G(x)-t_ { 0 } \right ]=2 G(x) \) 즉 \( G(x)= \frac { t_ { 0 } } { 1-2 x } = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { 1 } { 1-2 x } = \frac { 1 } { 2 } \left [1 + (2 x) + (2 x) ^ { 2 } + \cdots + (2 x) ^ { n } + \cdots \right ] \) \[ = \frac { 1 } { 2 } + x + 2 x ^ { 2 } + \cdots + 2 ^ { n-1 } x ^ { n } + \cdots \] 따라서 \( t_ { k } =2 ^ { k-1 } \)</p> <h3>예제 \(2. \)</h3> <p>점화식 \( a_ { k + 1 } =2 a_ { k } + 4 ^ { k } \) 의 일반항 \( a_ { k } \) 를 구하시오.</p> <p>(풀이) 일반생성함수를 \( G(x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } x ^ { k } \) 로 놓자. \( a_ { 1 } =3 \) 이므로 \[ a_ { 1 } =2 a_ { 0 } + 4 ^ { 0 } 즉 3=2 a_ { 0 } + 1 에서 a_ { 0 } =1 \] 그러면 \( \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k + 1 } x ^ { k } =2 \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k } x ^ { k } + \sum_ { k=0 } ^ {\infty } 4 ^ { k } x ^ { k } \) 에서 \[ \frac { 1 } { x } \sum_ { k=0 } ^ {\infty } a_ { k + 1 } x ^ { k + 1 } = \frac { 1 } { x } \left [G(x)-a_ { 0 } \right ]= \frac { 1 } { x } [G(x)-1] \] 이므로 \( \frac { 1 } { x } G(x)- \frac { 1 } { x } =2 G(x) + \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (4 x) ^ { k } =2 G(x) + \frac { 1 } { 1-4 x } \) 즉 \( G(x)-1=2 x G(x) + \frac { x } { 1-4 x } \Leftrightarrow G(x)(1-2 x)=1 + \frac { x } { 1-4 x } \) \( \Leftrightarrow G(x)= \frac { 1 } { 1-2 x } + \frac { x } { (1-2 x)(1-4 x) } = \frac { 1 } { 1-2 x } + \frac {\frac { -1 } { 2 } } { 1-2 x } + \frac {\frac { 1 } { 2 } } { 1-4 x } = \frac {\frac { 1 } { 2 } } { 1-2 x } + \frac {\frac { 1 } { 2 } } { 1-4 x } \) 따라서 \( G(x)= \frac { 1 } { 2 } \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (2 x) ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \sum_ { k=0 } ^ {\infty } (4 x) ^ { k } \) 이므로 \[ a_ { k } = \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \cdot 4 ^ { k } \]</p> <p>(증명) 코시 곱에 의해 \[ \left ( \sum_ { i=0 } ^ { a } \left ( \begin {array} { l } a \\ i \end {array} \right ) x ^ { i } \right ) \left ( \sum_ { j=0 } ^ { b } \left ( \begin {array} { l } b \\ j \end {array} \right ) x ^ { j } \right )= \sum_ { n=0 } ^ { a + b } \left [ \sum_ { i=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } a \\ i \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } b \\ n-i \end {array} \right ) \right ] x ^ { n } \] 이항정리에 의해 \( \begin {aligned} \left ( \sum_ { i=0 } ^ { a } \left ( \begin {array} { l } a \\ i \end {array} \right ) x ^ { i } \right ) \left ( \sum_ { j=0 } ^ { b } \left ( \begin {array} { l } b \\ j \end {array} \right ) x ^ { j } \right )=&(1 + x) ^ { a } (1 + x) ^ { b } \\ &=(1 + x) ^ { a + b } \\ &= \sum_ { n=0 } ^ { a + b } \left ( \begin {array} { c } a + b \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } \end {aligned} \) 이다. 양변에서 \( x ^ { n } \) 의 계수를 비교하면 된다.</p> <p>이제 지수생성함수를 생각하자. 지수생성함수는 서로 다른 물건의 나열 혹은 분배를 포함한 문제를 해결하기 위하여 사용되어진다.</p> <p>무한히 많은 \( a, b, c \) 로부터 적어도 \(2 \)개의 \( a \) 를 포함해서 \(4 \)개를 선택하여 만든 문자열의 수를 구하는 문제를 생각해 보자. 그러면, 단어를 만들 \(4 \)개의 문자를 갖는 집합은 다음과 같다. \[ \{ a, a, a, a \} , \{ a, a, a, b \} , \{ a, a, a, c \} , \{ a, a, b, b \} , \{ a, a, b, c \} , \{ a, a, c, c \} \]</p> <p>(풀이) \( a_ { n } =2 ^ { n + 1 } -n-1 \quad(n \geq 0) \)</p> <p>13. \( [n]= \{ 1,2, \cdots, n \} \) 을 \( k \) 부분으로 나누는 분할의 개수를 구하시오.</p> <p>(풀이) \( S(n, k)= \sum_ { j=1 } ^ { k } (-1) ^ { k-j } \frac { j ^ { n } } { j !(k-j) ! } \quad(n, k \geqq 0) \)</p> <p>14. \( f(x)= \frac { 1 } {\left (1-x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \) 의 멱급수에서 \( x ^ { n } \) 의 계수를 구하시오.</p> <p>(풀이) \( n \) 이 홀수일 때 0 이고, \( n \) 이 짝수일 때 \( \frac { n + 2 } { 2 } \)</p> <p>15. \([n]\)의 \( k-\)부분집합 중 어떤 이웃한 두 원소도 없는 부분집합의 개수를 구하시오.</p> <p>(풀이) \( \left ( \begin {array} { c } n-k + 1 \\ k \end {array} \right ) \)</p> <p>16. \( \left (1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { 10 } \right ) ^ { 3 } \) 을 전개했을 때, 항 \( x ^ { 8 } \) 의 계수를 구하시오.</p> <p>(풀이) 45</p> <p>17. 서로 다른 주사위 5개를 던졌을 때, 합이 17인 경우의 수를 구하시오.</p> <p>(풀이) 780</p> <p>18. \( \left (1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { 5 } \right ) ^ { 4 } \) 을 전개했을 때, 다음을 구하시오. (1) \( x ^ { 8 } \) 의 계수 (2) \( x ^ { 14 } \) 의 계수</p> <p>(풀이) (1) 140 (2) 80</p> <p>19. \( \left (x ^ { 3 } + x ^ { 4 } + x ^ { 5 } + \cdots \right ) ^ { 3 } \) 을 전개했을 때, \( x ^ { 20 } \) 의 계수를 구하시오.</p> <h2>연습문제 \(8 \)</h2> <p>1. 점화식 \( D_ { n + 1 } =n \left (D_ { n-1 } + D_ { n } \right ), D_ { 1 } =0, D_ { 2 } =1 \) 의 일반항 \( D_ { n } \) 을 생정함수를 이용하여 구하시오.</p> <p>\( \text { (풀이) } D_ { n } =n ! \left [1- \frac { 1 } { 1 ! } + \frac { 1 } { 2 ! } - \frac { 1 } { 3 ! } + \cdots + (-1) ^ { n } \frac { 1 } { n ! } \right ] \)</p> <p>2. 연립점화식 \[ \begin {array} { l } a_ { k + 1 } =2 a_ { k } + b_ { k } + c_ { k } \\ b_ { k + 1 } =b_ { k } -c_ { k } + 4 ^ { k } \\ c_ { k + 1 } =c_ { k } -b_ { k } + 4 ^ { k } \end {array} \] 에서 일반항 \( a_ { k } , b_ { k } , c_ { k } \) 를 구하시오.</p> <p>\( \begin {aligned} \text { (풀이) } a_ { k } =4 ^ { k-1 } + 2 ^ { k-1 } (k \geq 1) \text { 이고 } a_ { 0 } =1 \\ b_ { k } =c_ { k } =4 ^ { k-1 } (k \geq 1) \text { 이고 } b_ { 0 } =c_ { 0 } =0 \end {aligned} \)</p> <p>3. (1) 센트, 너클, 다임, 쿼터르 60 센트를 만드는 경우의 수를 구하시오 (2) 센트, 너를, 다임, 쿼터르 1 달러를 만드는 경우의 수를 구하시오</p> <p>(풀이) (1) \(49 \) (2) \(242 \)</p> <p>4. \(10 \) 원, \(50 \) 원, \(100 \)원, \(600 \)원의 \(4 \)종류의 동전을 이용하여 \(1000 \)원을 지불하는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>따라서 \( r=4 \) 일 때, \( 3 ^ { 4 } -2 ^ { 4 } -4 \cdot 2 ^ { 3 } =33 \)</p> <p>지수생성함수와 관련하여 사용할 수 있는 몇 가지 전개식 또는 항등식이 있다.<ol type=1 start=1><li>\( e ^ { x } =1 + x + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots= \sum_ { r=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { r } } { r ! } \)</li> <li>\( e ^ { n x } =1 + n x + n ^ { 2 } \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + n ^ { 3 } \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots= \sum_ { r=0 } ^ {\infty } n ^ { r } \frac { x ^ { r } } { r ! } \)</li> <li>\( 1 + \frac { x ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 4 } } { 4 ! } + \cdots= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { x } + e ^ { -x } \right ) \)</li> <li>\( x + \frac { x ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { x ^ { 5 } } { 5 ! } + \frac { x ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { x } -e ^ { -x } \right ) \)</li></ol></p> <h3>예제 \( 9 . \)</h3> <p>\(3 \)개의 서로 다른 방에 \(10 \)명을 배치하려고 한다. 각 방에 적어도 \(1 \)명 이상 들어가도록 배치하는 방법의 수를 구하시오.</p> <h1>제8장 생성함수(Generating function)</h1> <p>이 장에서는 \( a_ { n } \) 을 멱급수를 이용하여 표현하는 생성함수에 대해 알아보고 이를 이용하여 해결할 수 있는 문제에 대해 살펴본다.</p> <p>수열 \[ a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } , \cdots \] 이 주어졌을 때, 그 수열에 대한 (일반)생성함수는 \[ g(x) = a_ { 0 } + a_ { 1 } x + a_ { 2 } x ^ { 2 } + \cdots + a_ { r } x ^ { r } + \cdots \] 으로 정의한다.</p> <p>유한 개의 항을 제외하고 모두 \(0 \)인 수열에 대한 생성함수 \( g(x) \) 는 다항식(polynomial)이 되고, \(0 \)이 아닌 항이 무한히 많을 때 이를 멱급수(power series)라 한다.</p> <p>무한 수열 \[ 1,1,1, \cdots, 1, \cdots \] 에 대한 생성함수는 \[ g(x)=1 + x + x ^ { 2 } + \cdots + x ^ { n } + \cdots= \frac { 1 } { 1-x } \]</p> <p>앞에서 살펴본 이항정리는 대표적인 생성함수의 예이다. 즉, 수열 \[ \left ( \begin {array} { l } n \\ 0 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } n \\ 1 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } n \\ 2 \end {array} \right ), \cdots, \left ( \begin {array} { l } n \\ n \end {array} \right ) \] 에 대한 생성함수는 \[ g(x)= \sum_ { k=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } =(1 + x) ^ { n } \]</p> <p>뉴턴의 이항정리도 생성함수의 예가 된다. \( \alpha \) 가 실수일 때, 수열 \[ \left ( \begin {array} { l } \alpha \\ 0 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } \alpha \\ 1 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { l } \alpha \\ 2 \end {array} \right ), \cdots, \left ( \begin {array} { l } \alpha \\ n \end {array} \right ), \cdots \] 에 대한 생성함수는 \[ g(x)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { l } \alpha \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } =(1 + x) ^ { a } \]</p> <p>(풀이 \(3 \)) 생성함수를 이용하자. \[ \left (1 + x + x ^ { 2 } \right ) ^ { 8 } = \left ( \frac { 1-x ^ { 3 } } { 1-x } \right ) ^ { 8 } = \left (1-x ^ { 3 } \right ) ^ { 8 } \cdot \frac { 1 } { (1-x) ^ { 8 } } = \sum_ { k=0 } ^ { 8 } \left ( \begin {array} { l } 8 \\ k \end {array} \right ) \left (-x ^ { 3 } \right ) ^ { k } \cdot \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { c } 8 + k-1 \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } \] 이므로 구하는 답은 \[ \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } 12 \\ 5 \end {array} \right )- \left ( \begin {array} { l } 8 \\ 1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 9 \\ 2 \end {array} \right )=792-288=504 \]</p> <h3>예제 \( 7 . \)</h3> <p>\(3 \)개의 녹색 공, \(3 \)개의 흰색 공, \(3 \)개의 파란색 공, \(3 \)개의 노란색 공 중에서 \(6 \)개를 선택하는 방법의 수를 구하시오.</p> <p>(풀이 \(1 \)) 구하는 방법의 수는 다음 방정식의 정수해의 개수와 같다. \[ e_ { 1 } + e_ { 2 } + e_ { 3 } + e_ { 4 } =6 \text { (단, } 0 \leqq e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } , e_ { 4 } \leqq 3 \text { ) } \] 이 식에서 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \), 그리고 \( e_ { 4 } \) 는 각각 선택된 녹색 공, 흰색 공, 파란색 공, 그리고 노란색 공의 개수을 나타낸다. 따라서 구하는 생성함수는 \[ g(x)= \left (x ^ { 0 } + x ^ { 1 } + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } \right ) ^ { 4 } = \left (1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } \right ) ^ { 4 } \] 이다. 구하는 방법의 수는 생성함수 \( g(x) \) 의 \( x ^ { r } \) 의 계수이다. 따라서 전개한 \( g(x) \) 의 계수를 다음과 같이 직접 계산할 수 있다. \[ 1,1,1,1 \] \[ \rightarrow 1,2,3,4,3,2,1 \] \[ \rightarrow 1,3,6,10,12,12,10,6,3,1 \] \[ \rightarrow 1,4,10,20,31,40,44,40,31,20,10,4,1 \] 구하는 방법의 수는 \(44 \)</p> <p>(풀이 \(2 \)) 제 \(7 \)장 포함-배제의 원리 예제 \(1 \)(전사함수의 개수)을 이용하면 구하는 답은 \[ 3 ^ { 10 } -3 \cdot 2 ^ { 10 } + 3 \]</p> <h3>예제 \( 10 . \)</h3> <p>\( n \) 개의 수의 곱 \( k_ { 1 } \cdot k_ { 2 } \cdot \cdots \cdot k_ { n } \) 을 계산기로 곱할 때 괄호를 치는 방법의 수 \( a_ { n } \) 에 대한 점화식을 구하고, 생성함수를 이용하여 일반항 \( a_ { n } \) 을 구하시오.</p> <p>(풀이) 먼저 \( n=2,3 \) 에 대해서는 섭게 구할 수 있다. 즉 \( a_ { 2 } =1, a_ { 3 } =2 \). 그리고 \( a_ { 0 } , a_ { 1 } \) 의 경우는 명확하지 않으나, 편의상 \( a_ { 0 } =0, a_ { 1 } =1 \) 라 놓자. 이제 주어진 \( n \) 개의 수를 곱할 때 마지막 곱셈은 다음과 같은 두 괄호의 곱으로 표현된다. \[ \left (k_ { 1 } \cdot k_ { 2 } \cdot \cdots \cdots \cdot k_ { i } \right ) \cdot \left (k_ { i + 1 } \cdot k_ { i + 2 } \cdot \cdots \cdots \cdot k_ { n } \right ) \] 여기서 \( i \) 는 1 부터 \( n-1 \) 까지의 범위이다. 따라서 구하는 점화식은 \[ a_ { n } =a_ { 1 } a_ { n-1 } + a_ { 2 } a_ { n-2 } + \cdots + a_ { i } a_ { n-i } + \cdots + a_ { n-1 } a_ { 1 } \] 만약 \[ \begin {aligned} g(x) &=a_ { 0 } + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } + \cdots \\ &=0 + 1 x + a_ { 2 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } + \cdots \end {aligned} \] 라 놓으면 \[ g(x) g(x)= \left (0 + a_ { 1 } x + \cdots + a_ { n } x ^ { n } + \cdots \right ) ^ { 2 } \] 그리고 \( g(x)-x= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } a_ { n } x ^ { n } \) \[ \begin {array} { l } = \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left (a_ { 1 } a_ { n-1 } + a_ { 2 } a_ { n-2 } + \cdots + a_ { n-1 } a_ { 1 } \right ) x ^ { n } \\ =(g(x)) ^ { 2 } \end {array} \] 함수방정식 \( [g(x)] ^ { 2 } -g(x) + x=0 \) 을 풀면, \[ g(x)= \frac { 1 } { 2 } (1 \pm \sqrt { 1-4 x } ) \] 그런데 \( a_ { 0 } =0 \) 즉 \( g(0)=0 \) 이므로 \[ g(x)= \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1-4 x } \] 일반화된 이항계수를 이용한 이항정리에서 \[ (1 + x) ^ { r } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { l } r \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } = \left ( \begin {array} { l } r \\ 0 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { l } r \\ 1 \end {array} \right ) x + \left ( \begin {array} { l } r \\ 2 \end {array} \right ) x ^ { 2 } + \cdots + \left ( \begin {array} { l } r \\ n \end {array} \right ) x ^ { n } + \cdots \]<caption>(1)</caption></p> <p>(풀이 \(2 \)) \( \left (1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } \right ) ^ { 4 } = \left ( \frac { 1-x ^ { 4 } } { 1-x } \right ) ^ { 4 } = \frac {\left (1-x ^ { 4 } \right ) ^ { 4 } } { (1-x) ^ { 4 } } \) \[ = \left [1- \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 1 \end {array} \right ) x ^ { 4 } + \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 2 \end {array} \right ) x ^ { 3 } - \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 3 \end {array} \right ) x ^ { 12 } + x ^ { 16 } \right ] \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \left ( \begin {array} { c } 4 + k-1 \\ k \end {array} \right ) x ^ { k } \] 구하는 방법의 수는 \( \left ( \begin {array} { l } 9 \\ 6 \end {array} \right )- \left ( \begin {array} { l } 4 \\ 1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 5 \\ 2 \end {array} \right )=44 \).</p> <p>(풀이 \(3 \)) 생성함수를 이용하지 않고 고등학교에서 배운 방법으로도 구할 수 있다. 구하는 방법의 수는 \( { } _ { 4 } \mathrm { H } _ { 6 } -4 \times { } _ { 4 } \mathrm { H } _ { 2 } =84-4 \times 10=44 \)</p> <p>다음 예제의 등식을 "Vandermonde convolution"이라 부른다.</p> <h3>예제 \( 8 . \)</h3> <p>음이 아닌 정수 \( a, b, n \) 에 대해 \[ \sum_ { i=0 } ^ { n } \left ( \begin {array} { c } a \\ i \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } b \\ n-i \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } a + b \\ n \end {array} \right ) \]</p>	자연
s097-(R과 함께하는) 기초통계학	<p>풀이 우선 귀무가설 \( H_ { 0 } : \rho=0.65 \) 에 대한 대립가설 \( H_ { 1 } : \rho \neq 0.65 \) 를 설정한다. 그러면 \( r=0.6, \rho_ { 0 } =0.65 \), 그리고 \( n=39 \) 이므로 검정통계량의 측정값은 \[ \begin {aligned} Z_ { 0 } &= \sqrt { n-3 } \left [ \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r } { 1-r } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ) \right ] \\ &= \sqrt { 39-3 } \left [ \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + 0.6 } { 1-0.6 } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + 0.65 } { 1-0.65 } \right ) \right ] \\ &=6 \left ( \frac { 1 } { 2 } \ln 4- \frac { 1 } { 2 } \ln 4.71 \right ) \\ &=-0.490181 \end {aligned} \] 이고, \( z_ { 0.025 } =1.96 \) 이므로 \( \left \|Z_ { 0 } \right \|=0.490181<z_ { 0.025 } =1.96 \) 이다. 따라서 귀무가설 \( H_ { 0 } \) 를 기각할 수 없다.</p> <p>예제 7 쌍으로 이루어진 두 모집단에서 각각 크기 30,36 인 표본을 임의로 추출하여 각각의 상관계수를 구한 결과 \( 0.35 \) 와 \( 0.3 \) 을 얻었다. 두 모집단의 상관계 수가 동일하다고 할 수 있는지 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 우선 귀무가설 \( H_ { 0 } : \rho_ { 1 } = \rho_ { 2 } \) 에 대한 대립가설 \( H_ { 1 } : \rho_ { 1 } \neq \rho_ { 2 } \) 를 설정한다. 그러면 앞에서 살펴본 바와 같이 검정통계량 \( Z_ { r } \) 은 근사적으로 \[ Z_ { r } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r } { 1-r } \right ) \approx N \left ( \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ), \frac { 1 } { n-3 } \right ) \] 이므로 \[ \begin {array} { l } Z_ { r_ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 1 } } { 1-r_ { 1 } } \right ) \approx N \left ( \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ), \frac { 1 } { n_ { 1 } -3 } \right ) \\ Z_ { r_ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 2 } } { 1-r_ { 2 } } \right ) \approx N \left ( \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ), \frac { 1 } { n_ { 2 } -3 } \right ) \end {array} \] 이고 따라서 \[ Z_ { r_ { 1 } } -Z_ { r_ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 1 } } { 1-r_ { 1 } } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 2 } } { 1-r_ { 2 } } \right ) \]</p>이 성립한다. 그러므로 이 통계량을 표준화하면</p> <h1>9.1 상관분석</h1> <p>보편적으로 통계적으로 다루는 많은 자료들에 있어서 어떤 단일 변량을 다루기도 하지만 둘 또는 그 이상의 변량을 다루는 경우가 무수히 많다. 예를 들어 유류값 상승과 자동차 운행거리, IQ와 학업성취도, 흡연량과 폐암발병률 또는 인기 있는 연예인을 이용한 광고와 판매량 등이다. 그리고 이들 사이의 관계를 연구함으로써 가장 경제적이면서도 최고의 효과를 내는 경영을 유도한다든지 또는 어떠한 새로운 정책에 대한 국민의 호응도를 예측하기도 한다. 이와 같이 둘 또는 그 이상의 변량 사이에 존재하는 어떤 상호 종속적인 관계나 그 관계의 강도를 통계적으로 분석하는 방법을 상관분석(correlation analysis)이라 한다. 이러한 상관분석은 두 변수 사이에 상호의존적인 관계가 있는지에 대한 추론이 주된 목적이고, 그들 사이에 구체적인 어떤 함수관계가 있는가를 파악하고자 하는 것은 아니다.</p> <p>우선 두 변량 사이의 관계를 가장 쉽게 알아보는 방법으로 서로 대응하는 자료들을 좌표평면 위의 점들로 나타내는 것을 생각할 수 있다. 대응하는 두 자료를 좌표 평면 위에 점으로 나타냄으로써 두 변량 사이의 관계를 대략적으로 파악할 수 있으며, 이와 같은 좌표점에 의한 그래프를 상관도(correlation diagram) 또는 산점도(scatter diagram)라고 한다. 예를 들어 고등학교 3 학년 학생들의 영어와 수학, 그리고 물리성적에 대한 다음 자료를 생각해보자.</p> <p>이제 영어점수와 수학점수 그리고 수학점수와 물리점수의 상호관계를 알아보기 위하여 다음과 같이 산점도를 그리면, 수학을 잘하는 학생은 물리를 잘 하지만 영어를 못한다.</p> <p>이와 같이 서로 비교되는 두 자료를 좌표평면 위에 점으로 나타냄으로써 그들 사이의 관계를 분석한다. 그리고 좀 더 정밀한 분석을 하기 위해서는 상관관계를 하나의 수치로 나타내는 통계량이 필요하다. 상관도의 양상이 위의 [그림 2]와 같이 대체로 직선인 경우에는 단순상관계수(simple correlation coefficient)를 사용하며, 상관도의 모양이 곡선인 경우에는 상관비를 사용한다. 그리고 3 변량 또는 그 이상의 변량 간의 상관관계를 측정하기 위해서는 편상관계수 및 중상관계수를 계산하여야 한다. 이 절에서는 두 변량 사이에 직선적인 관계를 나타내는 단순상관계수만을 다루고자 한다.</p> <h2>9.1.1 표본상관계수</h2> <p>\( X=(X, Y) \) 를 확률벡터라 하고, \[ \begin{array}{l} -\infty<x, y, \mu_{X}, \mu_{Y}<\infty, \sigma_{X}, \sigma_{Y}>0,-1<\rho<1 \text { 와 } \\ q=\frac{1}{1-\rho^{2}}\left[\left(\frac{x-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\right)^{2}-2 \rho\left(\frac{x-\mu_{X}}{\sigma_{X}}\right)\left(\frac{y-\mu_{Y}}{\sigma_{Y}}\right)+\left(\frac{y-\mu_{Y}}{\sigma_{Y}}\right)^{2}\right] \end{array} \] 에 대하여 \( X, Y \) 의 결합확률밀도함수가 \[ f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left(-\frac{q}{2}\right) \] 일 때, 확률벡터 \( X=(X, Y) \) 는 모수 \( \mu_{X}, \mu_{Y}, \sigma_{X}, \sigma_{Y}, \rho \) 를 갖는 이변량정규분포(bivariate normal distribution)를 이룬다 하고, \( X \sim N\left(\mu_{X}, \mu_{Y}, \sigma_{X}^{2}, \sigma_{Y}^{2}, \rho\right) \) 로 나타낸다. 이때, 상수 \( \rho \) 는 \( X, Y \) 사이의 상관계수를 나타낸다. 모상관계수(population correlation coefficient)가 \( \rho \) 인 이변량 모집단으로부터 얻은 크기 \( n \) 의 확률표본을\( \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right) \) 이라 할 때 \( X \) 와 \( Y \) 의 분산에 대한 불편추정량은 각각<p>\[ S_{X}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \quad S_{Y}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} \] 이고 마찬가지로 \( X \) 와 \( Y \) 의 공분산에 대한 불편추정량은 \[ S_{X Y}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right) \] 이다. 또한 모상관계수는 모공분산 \( \sigma_{X Y}=\operatorname{Cov}(X, Y) \) 와 모표준편차들 \( \sigma_{X}, \sigma_{Y} \) 에 대하여 \( \rho=\sigma_{X Y} / \sigma_{X} \sigma_{Y} \) 이므로 \( \rho \) 를 추정하기 위한 표본상관계수(sample correlation coefficient) \( r \) 을 다음과 같이 정의한다. \[ r=\frac{S_{X Y}}{S_{X} S_{Y}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}} \] 여기서 \( S_{X Y} \) 는 표본으로부터 얻어진 \( X \) 와 \( Y \) 의 공분산이며, \( S_{X} \) 는 \( X \) 의 표본표준편차, \( S_{Y} \) 는 \( Y \) 의 표본표준편차이다.</p> <p>표본상관계수는 다음과 같은 방법으로 유도된다.</p> <ol type= start=1><li>두 변수의 편차를 곱해 본다. 두 변수 \( X, Y \) 에 대해서, \( n \) 개의 관측치들이 \( \left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right), \cdots,\left(X_{n}, Y_{n}\right) \) 와 같은 방식으로 주어져 있다고 하자. 그리고 \( X \) 와 \( Y \) 의 평균을 각각 \( \bar{X}, \bar{Y} \) 라고 하자. 관측치를 하나 잡고 그 관 측치의 두 편차를 곱하는 \( \left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right) \) 는 무엇을 의미할까? 다음 그림에서 중앙의 점은 평균점이다. 이 평균점을 원점으로 해서, 좌표평면처럼 사분면을 생각해보자. 1 사분면의 점 (A)의 경우, \( X, Y \) 값이 둘 다 평균보다 크다. 다시 말해 \( X \) 편차와 \( Y \) 편차가 둘다 양수가 되므로, 편차의 곱도 양수가 된다. 3 사분면의 점 (B)의 경우, \( X, Y \) 값이 둘다 평균보다 작다. 다시 말해 \( X \) 편차와 \( Y \) 편차가 둘다 음수가 되므로, 편차의 곱은 양수가 된다. 2 사분면의 점 \( (\mathrm{C}) \) 의 경 우, \( X \) 값은 평균보다 작고 \( Y \) 값은 평균보다 크다. 곧 \( X \) 편차는 음수이고 \( Y \) 편차는 양수이므로, 편차의 곱은 음수가 된다. 4 사분면의 점 (D)의 경우, \( X \) 값은 평균보다 크고 \( Y \) 값은 평균보다 작다. 곧 \( X \) 편차는 양수이고 \( Y \) 편차는 음수이므로, 편차의 곱은 음수가 된다.</li> <li>모든 관측치에 대해 (1)번과 같이 편차들을 곱하고, 이들의 평균을 구한다. \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{n-1} \] 수식으로 표현하면 위와 같다.이 값은 평균점을 원점으로 한 사분면에서, 1,3 사분면에 있는 점이 2,4 사분 면에 있는 점보다 충분히 많으면 양수가 될 것이고, 반대로 2,4 사분면에 점 이 충분히 더 많으면 음수가 될 것이다. 그리고 1,3 사분면, 혹은 2,4 사분면 둘 중 한쪽이 우월하면 우월할수록 절대값은 더 커진다. 이렇게 구한 값을 '공분산'이라 한다. 공분산의 부호는 곧 두 변수간의 관계가 양의 관계인지 음의 관계인지를 바로 말해주고, 그 강도도 일단은 수치로 표현해준다. 그렇 다면 의문이 생긴다. 공분산만으로 상관관계의 방향과 강도를 알 수 있다면, 상관계수는 무엇 때문에 만들었을까? 한번 키와 몸무게의 관계를 생각해보자.관측치의 평균점이 키 \( 170 \mathrm{~cm} \), 몸무게 \( 65 \mathrm{~kg} \) 이고, 공분산을 계산해보니 대강 10 으로 나타났다고 가정하자. 공분산이 양수이므로 키와 몸무게 간에는 양의 상관관계가 있다고 할 수 있다. 그런데 같은 관측치에 대해서 키를 \( \mathrm{mm} \) 단위 로, 몸무게를 \( \mathrm{g} \) 단위로 바꿔보면, 각 관측치는 수치상으로 엄청나게 불어난다. 가령 평균점은 무려 키 \( 1700 \mathrm{~mm} \), 몸무게 \( 65,000 \mathrm{~g} \) 이다. 물론 그 관측치가 실제로 의미하는 바는 같지만, 공분산은 1 만 배로 불어나게 된다. 똑같은 관 측치인데 단위만 바꾸면 상관관계가 1 만 배로 강해진다는 건 어불성설이다. 공분산을 그대로 사용할 수 없는 이유는 바로 여기 있다.</li> <li>(2)번에서 구한 값을, \( x \) 와 \( y \) 의 표준편차로 나누어준다. \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right) / n-1}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} / n-1} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2} / n-1}} \] 단위 때문에 아무리 수치가 커져도, 이렇게 \( x \) 와 \( y \) 의 표준편차로 나누어주면 이것이 훌륭하게 보정된다. 표준편차는 분산이 증가할 때 그 제곱근만큼 따 라서 증가하기 때문이다. 이것으로 단위까지 보정되는 상관계수가 완성된다. 맨 처음에 제시되었던 계 산식과 달라보이지만 분모와 분자의 \( (n-1) \) 은 상쇄되어 없어지므로 와 같다. \[ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}} \] 표본상관계수 \( r \) 은 \( X \) 와 \( Y \) 사이의 직선적인 관계가 어느 정도 있는가를 나 타내는 특성값으로 \( -1 \leq r \leq 1 \) 이다. 그리고 \( r=0 \) 이면 두 변량 \( X \) 와 \( Y \) 는 무상관이라 하고, \( 0<r<1 \) 일 때 두 변량은 양의 상관이 있다고 한다. 또한 \( -1<r<0 \) 이면 두 변량은 음의 상관이 있다고 하고, 상관계수가 1 에 가까 울수록 깊은 양의 상관관계를 가지며, \( -1 \) 에 가까울수록 깊은 음의 상관관계 를 갖는다. 특히 \( r=1 \) 이면 두 변량 \( X \) 와 \( Y \) 는 양의 완전상관이 있다고 하고 \( r=-1 \) 이면 음의 완전상관이라고 한다.</li></ol> <h2>9.1.3 상관계수의 검정</h2> <h3>(1) 무상관 \( \rho=0 \) 의 검정</h3> <p>귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 을 검정한다고 할 때, 이 검정을 무상관의 검정(test of no correlation)이라고 한다. 무상관의 검정에는 \( Z \) 검정과 \( t \) 검정 그리고 \( \chi^{2} \) 검정 이 외에 백분위수를 이용한 검정 등이 있으며, 각각의 검정은 통계집단의 종류 및 그 크기에 따라서 달리 사용된다. 그러므로 여러 가지 경우에 대한 무상관의 검정을 다루도록 한다.</p> <p>1) \( Z \) 검정</p> <p>모상관계수 \( \rho \) 의 검정에 대한 검정통계량으로 추정에서와 동일하게 표본상관계수 \( r \) 을 이용하며, 특히 \( \rho=0 \) 인 이변량 정규모집단으로부터 얻은 임의의 표본에 대한 표본상관계수는 \[ r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \] 와 같이 정의한다. 특히 표본크기 \( n \) 이 크면 표본상관계수 \( r \) 은 근사적으로 정규분포 \( N\left(0, \frac{1}{n-1}\right) \) 에 따른다. 따라서 이것을 표준화한 \( Z \) 통계량 \[ Z=\frac{r}{1 / \sqrt{n-1}} \] 은 근사적으로 \( N(0,1) \) 에 따른다. 그러므로 이미 8 장에서 살펴본 바와 같이 귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 이 참이라는 가설에 대한 검정은 \( Z \) 검정방법에 따르며, 다음과 같은 순서로 검정을 실시한다.</p> <p>정규분포를 이용한 상관관계에 대한 검정</p> <ol type= start=1><li>귀무가설 설정 \( -H_{0}: \rho=0 \)</li> <li>검정통계량 \( -Z_{0}=\frac{r}{1 / \sqrt{n-1}} \)</li> <li>가설검정 \( -H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( Z_{0} \geq z_{\alpha} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( Z_{0} \leq-z_{\alpha} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|Z_{0}\right\| \geq z_{\alpha / 2} \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol> <p>예제 4 크기 37 인 표본의 표본상관계수가 0.2 일 때 모집단은 무상관이라 할 수 있는지 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 위 검정방법을 따라 하면 다음과 같이 요약할 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>가설 설정 \( -H_{0}: \rho=0, H_{1}: \rho \neq 0 \)</li> <li>검정통계량 \( -Z_{0}=\frac{0.2}{1 / \sqrt{37-1}}=1.2 \)</li> <li>\( \alpha=0.05 \) 이므로 \( z_{0.025}=1.96 \) 이다.</li> <li>\( Z_{0}=1.2<z_{0.025}=1.96 \) 이므로 \( H_{0} \) 를 기각하지 못한다. 따라서 모집단이 무상관이라 할 수 있다.</li></ol> <p>2) 백분위수를 이용한 검정</p> <p>모집단의 분포가 이변량 정규분포라는 가정 아래서 백분위수를 이용한 상관관계의 유무에 관한 가설검정을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>백분위수를 이용한 상관관계에 관한 검정법</p> <ol type= start=1><li>귀무가설 설정 \( -H_{0}: \rho=0 \)</li> <li>검정통계량 \( -r_{0}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}} \)</li> <li>가설검정 \( -H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( r_{0} \geq r_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( r_{0} \leq-r_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|r_{0}\right\| \geq r_{\alpha / 2}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol> <p>여기서 \( r_{\alpha}(n-2) \) 는 모상관계수 \( \rho=0 \) 일 때 표본상관계수 \( r \) 의 표본분포의 백분위수를 나타내며, 부록의 [표 9]에 주어져 있다.</p> <p>3) \( t \) 검정</p> <p>\( \rho=0 \) 인 이변량 정규모집단으로부터 임의의 표본상관계수 \( r \) 을 변환한 \( t \) 통계량 \[ T=\frac{r \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^{2}}} \] 는 표본크기 \( n \) 에 관계없이 자유도가 \( n-2 \) 인 \( t \) 분포에 따른다. 그러므로 귀무가설 \( H_{0}: \rho=0 \) 이 참이라는 가설 아래서 \( T \) 검정통계량을 이용하여 무상관에 대한 검정을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>\( t \) 분포를 이용한 상관관계에 대한 검정법</p> <ol type= start=1><li>귀무가설 설정 \( -H_{0}: \rho=0 \)</li> <li>검정통계량 \( -T_{0}=\frac{r_{0} \sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r_{0}^{2}}} \)</li> <li>가설검정 \( -H_{1}: \rho>0 \) 일 때 \( T_{0} \geq t_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho<0 \) 일 때 \( T_{0} \leq-t_{\alpha}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.<p>\( H_{1}: \rho \neq 0 \) 일 때 \( \left\|T_{0}\right\| \geq t_{\alpha / 2}(n-2) \) 이면 \( H_{0} \) 를 기각한다.</li></ol> <p>예제 1 앨라배마 대학교의 수리과학부에서는 204가족으로부터 898명의 부모와 자녀의 키를 조사한 Galton.csv 자료를 공개하고 있다. 변수로는 가족의 ID를 나타내는 Family, 아버지의 키(인치)를 나타내는 Father, 어머니의 키(인치)를 나타내는 Mother, 자녀의 성을 나타내는 Gender, 자녀의 키(인치)를 나타내는 Height, 그리고 가족의 자녀 수를 나타내는 Kids가 포함되어 있다.</p> <ol type= start=1><li>Galton.csv로부터 아버지와 아들의 키로 구성된 새로운 데이터를 생성하고, 아 버지와 아들의 키에 대한 산점도를 그려라.</li> <li>(1)에서 생성한 자료를 이용하여 아버지의 키와 아들의 키 사이의 상관계수를 구하고, 상관관계가 있는지를 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</li> <li>(1)에서 생성한 자료를 이용하여 단순선형회귀모형을 가정하고, 아들의 키에 대한 아버지의 키의 추정된 회귀직선을 구하여라.</li> <li>회귀분석을 수행하기 위해서는 기본적인 가정들을 만족해야 한다. (3)의 결과 를 이용하여 회귀모형을 진단하여라.</li></ol> <p>타이타닉호(RMS Titanic)는 영국의 화이트 스타 라인이 운영한 북대서양 횡단 여객선이다. 1912년 4월 10 일 영국의 사우샘프턴을 떠나 미국의 뉴욕으로 향하던 첫 항해 중에 4월 15 일 빙산과 충돌하여 침몰하였다. 타이타닉호의 침몰로 1,514 명이 사망하였으며, 이는 평화시에 발생한 해난 사고 가운데 가장 큰 인명 피해 가운데 하나이다.</p> <p>예제 2 밴더빌트 대학교의 의학통계학부에서는 1,309명의 타이타닉호의 승객에 대한 titanic3.csv 자료를 공개하고 있다. 변수로는 \( 1,2,3 \) 등석 정보를 나타내는 pclass, 생존 여부를 나타내는 survived, 이름을 나타내는 name, 성별을 나타내는 female, 나이를 나타내는 age, 함께 탑승한 형제자매 또는 배우자의 수를 나타내는 sibsp, 함께 탑승한 부모 또는 자녀의 수를 나타내는 parch, 티켓 번호를 나타내는 ticket, 티켓 요금을 나타내는 fare, 선실 번호를 나타내는 cabin, 그리고 탑승한 곳을 나타내는 embarked 등이 포함되어 있다.</p> <ol type= start=1><li>titanic3.csv로부터 생존 여부, 성별, 나이, 함께 탑승한 형제자매 또는 배우자 의 수, 함께 탑승한 부모 또는 자녀의 수, 그리고 티켓 요금으로 구성된 새로 운 데이터를 생성하고, 나이, 함께 탑승한 형제자매 또는 배우자의 수, 함께 탑승한 부모 또는 자녀의 수, 그리고 티켓 요금에 대해 산점도를 작성하고 네 변수 간의 대략적인 관계를 설명하여라. 단, \( \mathrm{R} \) 에서 na.omit()를 이용하여 결측 값이 있는 행을 삭제한다.</li> <li>(1)에서 산점도를 작성한 네 변수 간에 상관관계가 있다고 할 수 있는지를 유 의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</li> <li>(1)에서 생성한 자료 중 나이를 독립변수 \( (X) \), 티켓 요금을 종속변수 \( (Y) \) 로 놓 는다. 이 자료에 단순선형회귀모형을 가정하여 추정회귀직선을 구하여라.</li> <li>(3)에서 구한 추정회귀직선의 기울기와 절편이 각각 0 과 다르다고 할 수 있는 지 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</li></ol> <p>풀이 \( X \) 와 \( Y \) 의 합과 제곱합은 [표 6]과 같다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \bar { x } = \frac { 1 } { 10 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } x_ { i } =555 \\ \bar { y } = \frac { 1 } { 10 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } y_ { i } =3.15 \\ S_ { X Y } = \frac { 1 } { 9 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) \left (Y_ { i } - \bar { Y } \right )= \frac { 102.5 } { 9 } \\ S_ { X } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } = \frac { 8250 } { 9 } \\ S_ { Y } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 9 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (Y_ { i } - \bar { Y } \right ) ^ { 2 } = \frac { 2.085 } { 9 } \\ S_ { X } = \frac {\sqrt { 8250 } } { 3 } , \quad S_ { Y } = \frac {\sqrt { 2.085 } } { 3 } \end {array} \] 그러므로 구하고자 하는 \( X \) 와 \( Y \) 의 표본상관계수는 다음과 같다. \[ r_ { 0 } = \frac { S_ { X Y } } { S_ { X } S_ { Y } } = \frac { 102.5 } {\sqrt { 8250 } \sqrt { 2.085 } } =0.782 \] 따라서 \( T \) 통계량 값은 \[ T_ { 0 } = \frac { 0.782 \sqrt { 8 } } {\sqrt { 1-0.782 ^ { 2 } } } =3.54 . \] \[ T_ { 0 } =3.58 \geq t_ { 0.05 } (8)=1.86 \text { 이므로 } H_ { 0 } : \rho= \rho_ { 0 } \text { 를 기각한다. } \]</p> <p>이제 정규방정식으로 해 \( \hat {\alpha } \) 와 \( \hat {\beta } \) 를 구하면 다음 결과를 얻을 수 있다. \[ \begin {array} { l } \hat {\beta } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) \left (y_ { i } - \bar { y } \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } } = \frac { S_ { X Y } } { S_ { X } ^ { 2 } } , \\ \hat {\alpha } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } y_ { i } - \hat {\beta } \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } = \bar { y } - \hat {\beta } \bar { x } \end {array} \] 따라서 최소제곱법에 의하여 얻은 최소제곱추정량을 이용하여 구한 추정회귀직선은 다음과 같이 표현되며, 이 직선을 \( X \) 에 관한 \( Y \) 의 표본회귀직선(regression line of \( Y \) on \( X \) ) 또는 최소제곱회귀직선(least squares regression line)이라고 한다.</p> <p>\[ \widehat { Y } = \hat {\alpha } + \hat {\beta } x= \bar { y } + \hat {\beta } (x- \bar { x } ) \] 같은 방법으로 \( Y \) 에 관한 \( X \) 의 표본회귀직선을 구하면 다음과 같다. \[ \widehat { X } = \bar { x } + \hat {\beta } (y- \bar { y } ) \] 이때 \( \hat {\beta } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) \left (y_ { i } - \bar { y } \right ) / \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (y_ { i } - \bar { y } \right ) ^ { 2 } =S_ { X Y } / S_ { Y } ^ { 2 } \) 이다. 그리고 이러한 최소제곱추정량 \( \hat {\alpha } \) 와 \( \hat {\beta } \) 는 모든 불편추정량 가운데 최소분산을 갖는 최량선형불편추 정량(BLUE; best linear unbiased estimator)이다.</p> <p>(2) 상관계수 \( \rho= \rho_ { 0 } \) 의 검정</p> <p>\( \rho_ { 0 } \neq 0 \) 이 아닌 경우에 귀무가설 \[ H_ { 0 } : \rho= \rho_ { 0 } \] 의 검정방법을 살펴보자. 이때 상관계수 \( \rho( \neq 0) \) 의 검정에서는 이변량 정규모집 단으로부터 표본상관계수 \( r \) 을 \( z \) 변환한 통계량 \( Z_ { r } = \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r } { 1-r } \right ) \) 을 이용하며, 이 통계량 \( Z_ { r } \) 은 근사적으로 \( N \left ( \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ), \frac { 1 } { n-3 } \right ) \) 에 따른다는 사실을 알고 있다. 따라서 이것을 표준화한 \( Z \) 통계량 \[ Z= \sqrt { n-3 } \left [ \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r } { 1-r } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ) \right ] \] 는 근사적으로 \( N(0,1) \) 에 따른다. 그러므로 귀무가설 \( H_ { 0 } : \rho= \rho_ { 0 } \) 가 참이라는 가설 아래서 얻은 검정통계량을 이용하여 상관계수의 검정을 요약하면 다음과 같다.</p> <p>상관계수 \( \rho= \rho_ { 0 } \) 의 검정</p> <ol type= start=1><li>귀무가설 설정 \( -H_ { 0 } : \rho= \rho_ { 0 } \)</li> <li>검정통계량 \( -Z_ { 0 } = \sqrt { n-3 } \left [ \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 + r } { 1-r } - \frac { 1 } { 2 } \ln \frac { 1 + \rho_ { 0 } } { 1- \rho_ { 0 } } \right ] \)</li> <li>가설검정 \( -H_ { 1 } : \rho>\rho_ { 0 } \) 일 때 \( Z_ { 0 } \geq z_ {\alpha } \) 이면 \( H_ { 0 } \) 를 기각한다.<p>\( H_ { 1 } : \rho< \rho_ { 0 } \) 일 때 \( Z_ { 0 } \leq-z_ {\alpha } \) 이면 \( H_ { 0 } \) 를 기각한다.<p>\( H_ { 1 } : \rho \neq \rho_ { 0 } \) 일 때 \( \left \|Z_ { 0 } \right \| \geq z_ {\alpha / 2 } \) 이면 \( H_ { 0 } \) 를 기각한다.</li></ol> <p>예제 6 크기 39인 표본을 조사한 결과 표본상관계수가 0.6 이었다. 이때 모상관계수가 \( \rho=0.65 \) 라 할 수 있는지 유의수준 \( 5 \% \) 에서 검정하여라.</p> <p>풀이 우선 \( X \) 와 \( Y \) 의 평균과 분산, 그리고 공분산을 구하기 위하여 [표 3]을 작성한다. \[ \bar { x } = \frac { 1 } { 14 } \sum_ { i=1 } ^ { 14 } x_ { i } =42.5 \]</p>\[ \begin {array} { l } \bar { y } = \frac { 1 } { 14 } \sum_ { i=1 } ^ { 14 } y_ { i } =72.857 \\ S_ { X Y } = \frac { 1 } { 13 } \sum_ { i=1 } ^ { 14 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) \left (y_ { i } - \bar { y } \right )= \frac { 7520 } { 13 } =578.46 \\ S_ { X } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 13 } \sum_ { i=1 } ^ { 14 } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } = \frac { 5687.5 } { 13 } =437.5 \end {array} \] 따라서 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 대한 최소제곱추정값은 \[ \begin {array} { l } \hat {\beta } = \frac { S_ { X Y } } { S_ { X } ^ { 2 } } = \frac { 578.46 } { 437.5 } =1.32, \\ \hat {\alpha } = \bar { Y } - \hat {\beta } \bar { x } =72.857-1.32 \times 42.5=16.757 \end {array} \] 이고, 최소제곱회귀직선은 \[ \widehat { Y } = \bar { y } + \hat {\beta } (x- \bar { x } )=1.32 x + 16.757 \] 이다. 그러므로 직선의 방정식에 대한 추정방정식은 \[ y=1.32 x + 16.757 \] 이다.<h1>9.3 R을 이용한 빅데이터 분석</h1> <p>밴더빌트 대학교, 앨라배마 대학교, 그리고 캘리포니아 대학교 등 외국의 여러 대학교의 수학 및 통계학부에서는 데이터의 출처를 밝히기만 하면 누구나 사용할 수 있는 자료들을 무료로 제공하고 있다. 이 자료들 중 일부를 이용하여 앞 절에서 다룬 내용들을 살펴보자. 상관분석과 하위분석은 찰스 다윈의 조카였던 19세기 영국의 과학자 골턴 경(Sir Francis Galton)이 인간특질들의 유전성을 검증하는 과정에서 발전하게 되었다. 그는 1885 년 〈Regression toward mediocrity in hereditary stature>라는 논문에서 아버지의 키가 크면 아들의 키는 아들 또래집단의 평균 키보다는 크지만 아버지의 키보다는 작으며, 반대로 아버지의 키가 작으면 아들의 키는 또래집단의 평균 키보다는 작지만 아버지의 키보다는 크다는 것을 밝혔다. 결국 세대가 지날수록 자손의 키는 평균 키로 '회귀'하게 된다는 결론을 유도한 데서 '회귀'라는 용어를 사용하게 되었다. 골턴은 또한 회귀분석에서 일종의 부산물로 만들어진 상관계수를 소개하였고, 이것을 'co-relation'이라고 하였다. 골턴이 소개한 이상관계수는 그 후, 그의 제자였던 피어슨(Karl Pearson)에 의해서 현재 많이 사용되는 형태로 발전하였고, 용어도 'correlation coefficient'로 바뀌었다. 골턴에 의해 개발된 회귀분석은 그 이후에 나타난 많은 분석기법들의 토대가 되었고, 모든 학문분야를 통틀어 가장 널리 활용되는 자료 분석방법 중의 하나이다.</p> <p>회귀분석에서 독립변수가 하나인 경우를 단순회귀분석이라고 한다. 단순회귀분석은 일반적으로 한 개의 종속변수와 한 개의 독립변수 사이의 선형관계를 파악하기 위해, 또는 한 개의 독립변수에 대해 주어진 값을 이용하여 종속변수의 측정값을 예측하기 위해 이용된다. 두 변수의 관계가 밀접하면 그 중 독립변수의 값으로 종속변수의 값을 정확하게 예측할 수 있고, 예측의 정확성이 높으면 그 두 변수는 밀접한 관계를 가진 것으로 정의된다. 따라서 단순회귀분석의 두 가지 목적은 서로 별개의 분석과정에 의해 구분되는 것이 아니라 동일한 분석의 결과를 놓고 연구자가 어떤 측면에 더 주목하는가에 의해 구분된다.</p> <p>온도에 따른 반응속도를 좌표점으로 나타내면</p> <p>\( (10,24),(15,29),(20,50),(25,60),(30,55),(35,68),(40,70),(45,80) \), \( (50,77),(55,81),(60,90),(65,104),(70,120),(75,112) \)이고, 따라서 이들 관찰값에 대한 상관도는 다음 그림과 같다.</p> <h2>9.2.2회귀직선의 추정</h2> <p>단순회귀모형 \( Y = \alpha + \beta x + \varepsilon \) 에 대한 추론을 위해서 회귀계수 \( \alpha, \beta \) 를 추정하는 것이 최우선적인 순서이며, 이러한 회귀계수를 주어진 측정값으로부터 추정하는 방법으로는 여러 가지가 있으나 그 가운데 널리 사용하는 방법이 최소제곱법(least squares method)이다. 이로부터 얻어진 직선 \( \hat { y } = \hat {\alpha } + \hat {\beta } x \) 를 추정회귀직선(estimated regression line) 또는 최소제곱회귀직선이라고 한다. 한편 최소제곱법이란 단순회귀 모형 \( Y_ { i } = \alpha + \beta x_ { i } + \varepsilon_ { i } (i=1,2, \cdots, n) \) 에서 오차항의 제곱들의 합이 최소가 되도록 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 추정하는 방법을 말하며, 이 방법에 의한 추정량을 최소제곱추정량 (least squares estimator)이라 한다. 이제부터 오차제곱합을 최소화하는 최소제곱법을 이용하여 추정회귀직선을 구체적으로 구해보기로 하자. 단순선형회귀모형에서 \( y_ { i } = \alpha + \beta x_ { i } + \varepsilon_ { i } \) 이므로 오차제곱합 \[ S= \sum_ { i=1 } ^ { n } \varepsilon_ { i } ^ { 2 } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (y_ { i } - \alpha- \beta x_ { i } \right ) ^ { 2 } \] 을 최소로 하는 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 구하기 위하여 \( S \) 를 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 로 각각 편미분하여 다음과 같은 결과를 얻는다.</p>\[ \begin {array} { l } \frac {\partial S } {\partial a } =-2 \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (y_ { i } - \alpha- \beta x_ { i } \right ) \\ \frac {\partial S } {\partial b } =-2 \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \left (y_ { i } - \alpha- \beta x_ { i } \right ) \end {array} \] 그리고 편미분한 값을 0 으로 만드는 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 관한 방정식의 해를 구하여 각각 \( \hat {\alpha } \) 와 \( \hat {\beta } \) 로 나타낸다. 다시 말해서 \( \partial S / \partial \alpha=0, \partial S / \partial \beta=0 \) 을 만족하는 방정식을 정리하면 \[ \begin {array} { l } \sum_ { i=1 } ^ { n } y_ { i } =n \alpha + \beta \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } , \\ \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } y_ { i } = \alpha \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } + \beta \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \end {array} \] 이며, 이 방정식을 정규방정식(normal equation)이라고 한다.</p> <p>특히 앞에서 정의된 상관계수는 이미 살펴본 바와 같이 다음과 같은 성질을 갖는다.</p> <p>성질 1</p> <p>두 확률변수 \( X \) 와 \( Y \) 사이의 상관계수 \( \rho_ { X Y } = \rho(X, Y) \) 는 다음 성질을 만족한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \rho_ { X Y } = \rho_ { Y X } \)</li> <li>\( \rho(X, Y)= \left \{\begin {array} { l } \rho(a X + b, c Y + d), a, c \text { 가 같은 부호 } \\ - \rho(a X + b, c Y + d), a, c \text { 가 다른 부호 } \end {array} \right . \)</li> <li>\( \rho_ { X Y } =1 \) 일 필요충분조건은 \( Y=a X + b(a \neq 0) \) 이다.</li> <li>\( X, Y \) 가 독립이면 \( \rho_ { X Y } =0 \) 이지만 역은 성립하지 않는다.</li></ol> <p>예제 2 예제 1 에 주어진 자료에 대한 \( \rho(X-10,2 Y + 5) \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \rho_ { X Y } =0.742 \) 이므로 \( \rho(X-10,2 Y + 5)= \rho_ { X Y } =0.742 \) 이다.</p> <h2>9.1.2 상관계수의 추정</h2> <p>이제 이변량 정규분포의 모상관계수 \( \rho \) 에 대하여 추론하는 방법을 살펴보자. 모상관계수 \( \rho \) 를 추정하기 위하여 표본상관계수 \( r \) 을 이용하며, 특히 \( \rho=0 \) 인 경우 표본상관계수 \( r \) 의 분포곡선은 0 에 대하여 대칭적이지만 정규분포는 아니다. 그러나 \( \rho \neq 0 \) 인 경우 표본상관계수 \( r \) 의 분포는 표본크기 \( n \) 이 클수록 대칭적이며 근사적으로 정규분포를 따른다. 즉 이변량 정규모집단으로부터 크기 \( n \) 인 확률표본을 취하면 다음의 성질을 갖는다.</p> <p>성질 2</p> <p>모수 \( \left ( \mu_ { X } , \mu_ { Y } , \sigma_ { X } ^ { 2 } , \sigma_ { Y } ^ { 2 } , \rho \right ) \) 인 이변량 정규모집단으로부터 확률표본 \( \left (X_ { 1 } , Y_ { 1 } \right ) \), \( \left (X_ { 2 } , Y_ { 2 } \right ), \cdots, \left (X_ { n } , Y_ { n } \right ) \) 을 취할 경우 \( \rho_ { X Y } =0 \) 이면 다음 통계량 \[ T= \frac { r \sqrt { n-2 } } {\sqrt { 1-r ^ { 2 } } } \] 은 자유도 \( n-2 \) 인 \( t \) 분포에 따른다.</p> <p>\[ Z= \frac {\frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 1 } } { 1-r_ { 1 } } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r_ { 2 } } { 1-r_ { 2 } } \right ) } {\sqrt {\frac { 1 } { n_ { 1 } -3 } + \frac { 1 } { n_ { 2 } -3 } } } \sim N(0,1) \] 이다. 한편 \( n_ { 1 } =30\), \(n_ { 2 } =36\), \(r_ { 1 } =0.35\), \(r_ { 2 } =0.3 \) 이므로 검정통계량의 관찰값은 \[ \begin {aligned} Z_ { 0 } &= \frac {\frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + 0.35 } { 1-0.35 } \right )- \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + 0.3 } { 1-0.3 } \right ) } {\sqrt {\frac { 1 } { 30-3 } + \frac { 1 } { 36-3 } } } \\ &=- \frac { 0.61943 } { 0.2595 } =-2.387 \end {aligned} \] 이다. 따라서 \( \left \|Z_ { 0 } \right \|=2.387>z_ { 0.025 } =1.96 \) 이므로 \( H_ { 0 } \) 를 기각한다.</p> <h1>9.2 회귀분석</h1> <p>두 개 이상의 변수들 사이의 관련성을 우리가 얻은 자료를 통하여 알 수 있다면 한 변수의 변화에 따른 다른 변수의 변화를 예측할 수 있을 것이다. 이와 같이 두 변수 사이의 관계를 함수관계식으로 나타내고, 이 관계식의 정도(precision) 등을 비롯한 여러 가지 통계적인 사실을 검토하는 통계적 분석방법을 회귀분석(regression analysis)이라고 한다. 이때 두 변수들 가운데 다른 변수에 영향을 주는 변수를 독립변수(independent variable) 또는 설명변수(explanatory variable)라고 하며, 영향을 받는 변수를 종속변수(dependent variable) 또는 반응변수(response variable)라고 한다. 예를 들어 상품판매에서 광고액수(설명변수)에 따른 판매고(반응변수)의 변화 또는 숙성기간(설명변수)에 따른 포도주 질(반응변수)의 변화들을 생각할 수 있다.</p> <p>이때 고장난 부품 수와 그 소요시간에 대한 모상관계수 \( \rho \) 의 \( 95 \% \) 신뢰구간을 구하여라.</p> <p>풀이 \( X \) 와 \( Y \) 의 합과 제곱합은 [표 4]와 같다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \bar { x } = \frac { 1 } { 25 } \sum_ { i=1 } ^ { 25 } x_ { i } =4 \\ \bar { y } = \frac { 1 } { 25 } \sum_ { i=1 } ^ { 25 } y_ { i } =20 \\ S_ { X Y } = \frac { 1 } { 24 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) \left (Y_ { i } - \bar { Y } \right )= \frac { 561 } { 24 } \\ S_ { X } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 24 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } = \frac { 114 } { 24 } \\ S_ { Y } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 24 } \sum_ { i=1 } ^ { 10 } \left (Y_ { i } - \bar { Y } \right ) ^ { 2 } = \frac { 2934 } { 24 } \\ S_ { X } = \sqrt {\frac { 114 } { 24 } } , \quad S_ { Y } = \sqrt {\frac { 2934 } { 24 } } \end {array} \] 그러므로 구하고자 하는 \( X \) 와 \( Y \) 의 표본상관계수는 다음과 같다. \[ r= \frac { S_ { X Y } } { S_ { X } S_ { Y } } = \frac { 2561 } {\sqrt { 114 } \sqrt { 2934 } } =0.97 \] 따라서 이 상관계수 \( r \) 을 \( z \) 변환한 통계량의 측정값은 \[ \begin {aligned} Z_ { r } &= \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + r } { 1-r } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + 0.97 } { 1-0.97 } \right )=2.0922 \end {aligned} \] 이며, \( 95 \% \) 신뢰구간의 신뢰상 하한은 \( \pm z_ {\alpha / 2 } = \pm z_ { 0.025 } = \pm 1.96 \) 이다. 한편 \( Z_ { r } \) 의 분산은 \[ \operatorname { Var } \left (Z_ { r } \right )= \frac { 1 } { n-3 } = \frac { 1 } { 22 } =0.045 \] 이므로 \( Z_ {\rho } \) 의 신뢰구간은 다음과 같이 구해진다. \[ \left (Z_ { r } -z_ { 0.025 } \times \sqrt {\operatorname { Var } } \left (Z_ { r } \right ), Z_ { r } + z_ { 0.025 } \times \sqrt {\operatorname { Var } } \left (Z_ { r } \right ) \right ) \]</p> <p>\[ \begin {array} { l } =(2.0922-1.96 \times \sqrt { 0.045 } , 2.0922 + 1.96 \times \sqrt { 0.045 } ) \\ =(1.674,2.51) \end {array} \] 따라서 \[ \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho } { 1- \rho } \right )=1.674 \Rightarrow \frac { 1 + \rho } { 1- \rho } =e ^ { 2 \times 1.674 } \text { 에서 } \rho=0.93 \] 이고, \[ \frac { 1 } { 2 } \ln \left ( \frac { 1 + \rho } { 1- \rho } \right )=2.51 \Rightarrow \frac { 1 + \rho } { 1- \rho } =e ^ { 2 \times 2.51 } \text { 에서 } \rho=0.99 \] 이므로 모상관계수 \( \rho \) 의 \( 95 \% \) 신뢰구간은 \( (0.93,0.99) \) 이다.</p>	자연
m867-미분적분학	<h1>9.5 교대급수와 절대수렴급수</h1> <p>지금부터 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 에서 \( a_{n} \geq 0 \) 인 조건이 없는 일반적인 급수에 대하여 생각한다. 반약 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 에서의 각 항이 양수와 읍수가 교대로 되어 있는 경우 이 급수를 교대급수라고. 부른다. 예를 들면\[\begin{array}{l}1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\cdots \\1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\cdots\end{array}\] 은 교대급수이다. 이러한 교대급수에 적용되는 수렴판정법이 다음과 같다.</p> <p>정리 9.14(교대급수판정법)교대급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이\[\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0\]이고, 또 모든 \( n \) 에 대하여 \( \left\|a_{n+1}\right\| \leq\left\|a_{n}\right\| \) 이면 이 교대급수는 수렴한다. 더욱이 교대급수의 값 \( L \) 과 부분합 \( s_{j} \) 에 대하여\[\left\|L-s_{j}\right\| \leq\left\|a_{j+1}\right\|\]이 성립한다.</p> <p>예제 9.24 \( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots \) 은 수렴한다.</p> <p>풀이 \( \left\|a_{n}\right\|=\frac{1}{n} \) 이므로 \( \left\|a_{n}\right\| \) 은 감소수열이고 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) 이므로 교대급수 판정법에 의하여 수렴한다.</p> <p>예제 9.25 \( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n-2}}{(2 n-2) !} \) 은 수렴한다.</p> <p>\( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n} \) 으로 놓으면 \( a_{n}=\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n-2}}{(2 n-2) !} \) 이다.\[\begin{aligned}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n} /(2 n) !}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n-2} /(2 n-2) !} &=\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n}}{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2 n-2}} \cdot \frac{(2 n-2) !}{(2 n) !} \\&=\frac{\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2}}{(2 n)(2 n-1)}=\frac{\pi^{2}}{8\left(2 n^{2}-n\right)}\end{aligned}\]이고 \( \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\pi^{2}}{8}>1 \) 이고 \( n \geq 2 \) 이면 \[\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\pi^{2}}{8\left(2 n^{2}-n\right)} \leq \frac{\pi^{2}}{8(2 \cdot 4-2)}=\frac{\pi^{2}}{48}<\frac{1}{3} .\] 그러므로 \( \left\{a_{n}\right\}_{n=2}^{\infty} \) 는 감소수열이고. \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) 이다. 고 대급수 판정법에 의하여 \( \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n} \) 은 수렴하고 \( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} a_{n} \) 도 수렴한다.</p> <p>예제 9.26\( \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{n^{3}}\right) \) 의 값을 오차 0.001 이내로 근사시켜라.</p> <p>\( \left\|\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{k^{3}}\right)-s_{n}\right\| \leq\left\|a_{n+1}\right\| \) 이므로 \( \left\|a_{n+1}\right\|<0.001 \) 이 되도록 \( n \) 을 잡자. \( \frac{1}{(n+1)^{3}}< \) \( \frac{1}{10^{3}} \) 이므로 \( 10^{3}<(n+1)^{3} \) 이고 \( 10<n+1 \) 이므로 \( n=10 \) 으로 잡으면 된다. 즉 근삿\[\sum_{n=1}^{10}(-1)^{n+1} \frac{1}{n^{3}}\]이다.급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이 주어겼을 때 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| \) 이 수렴하면 절대수렴한다고 한다.</p> <p>정리 9.15 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 에 대하여 \( \sum\left\|a_{n}\right\| \) 이 수렴하면 \( \sum a_{n} \) 이 수렴한다.</p> <p>[증명] 모든 \( n \) 에 대하여\[-\left\|a_{n}\right\| \leq a_{n} \leq\left\|a_{n}\right\|\]이므로 \( 0 \leq a_{n}+\left\|a_{n}\right\| \leq 2\left\|a_{n}\right\| \) 이다. \( \sum\left\|a_{n}\right\| \) 이 수렴하므로 \( \sum 2\left\|a_{n}\right\|=2 \sum\left\|a_{n}\right\| \) 도 수렴하고, 따라서 \( \sum\left(a_{n}+\left\|a_{n}\right\|\right) \) 도 수렴한다. 그런데 \( a_{n}=a_{n}+\left\|a_{n}\right\|-\left\|a_{n}\right\| \) 이므로 \( \sum a_{n} \) 도 수렴한다.</p> <p>예제 \( 9.27 \sum^{\infty} \frac{(\sin n)}{n^{3}} \) 이 수렴함을 보여라.</p> <p>풀이 모든 \( n \geq 0 \) 에 대하여 \[\begin{array}{l}\qquad\left\|\frac{\sin n}{n^{3}}\right\| \leq \frac{1}{n^{3}} \\\text { 이고 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \text { 은 수렴하므로 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{3}} \text { 은 절대수렴하고 정리 } 9.15 \text { 에 의하여 } \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^{3}} \\\text { 은 수렴한다. }\end{array}\]절대수렴하는 급수는 수렴하지만 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{n}\] 은 예제 9.24에 의해 수렴하지만 절대수렴하지 않는다. 이렁게 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 수렴하지만 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left\|a_{n}\right\| \)은 발산하는 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 을 조건수렴한다고 한다.</p> <h1>\( 9.3 \) 양항급수: 적분판정법과 비교판정법</h1> <p>이제까지는 급수 \( \sum_{n=m}^{\infty} a_{n} \) 의 정확한 값을 구함으로써 급수가 수렴함을 보였다. 그러나 대부분의 수렴하는 급수는 그 정확한 값을 구하기가 어렵거나 불가능하다. 그런 경우에는 급수의 수렴성만을 알아보는 것으로도 층분하다. 9.3절에서 9.5절까지는 급수의 수렴성을 알아보는 방법을 살펴보겠다. 수열 \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \) 이 모든 \( n \) 에 대하여 \( a_{n} \geq 0 \) 일 때 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 을 양항급수라 한다.</p> <p>정리 \( 9.8 \) \( s_{n} \) 을 양항급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 의 부분합이라고 하자. (i) 수열 \( \left\{s_{n}\right\} \) 이 유계이면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 수렴한다. (ii) 수열 \( \left\{s_{n}\right\} \) 이 유계가 아니면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 발산한다.</p> <p>[증명] 수열 \( \left\{s_{n}\right\} \) 이 증가수열이므로 정리 9.3과 정려 9.4에 의하여 쉽게 알 수 있다.</p> <p>적분판정법 이 방법은 양항급수를 이상 (특이)적분과 비교하는 방법이다.</p> <p>정리 9.9 (적분판정법) \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 을 양항급수라고 하자. 함수 \( f \) 가 \( [1, \infty) \) 에서 정의된 감소하는 연속함수이고. 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x)>0 \) 이고. \( f(n)=a_{n} \) 이라고. 하자. 이때 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 가 수렴하기 위한 필요충분조건은 이상적분 \( \int_{1}^{\infty} f(x) d x \) 가 수렴하는 것이다.</p> <p>[증명] \( f(x) \) 의 그래프를 다읍과 같이 생각하자 (그림 9.1).먼저 이상적분이 수렴한다고 하자. 가정에 의해\[f(2) \leq \int_{1}^{2} f(x) d x, f(3) \leq \int_{2}^{3} f(x) d x, \cdots\]이므로\[f(2)+f(3)+\cdots+f(n) \leq \int_{1}^{n} f(x) d x \leq \int_{1}^{\infty} f(x) d x=M .\] 따라서 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) 의 부분합은 유계이고, 양항급수이므로 수렴한다. 역으로 \( \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) 이 수렴한다고. 하자. 가정에서\[\int_{1}^{2} f(x) d x \leq f(1), \int_{2}^{3} f(x) d x \leq f(2), \cdots\]이므로\[\int_{1}^{n} f(x) d x \leq f(1)+f(2)+\cdots+f(n-1) \leq \sum_{n=1}^{\infty} f(n)=L\]이다. 임의의 \( b>1 \) 에 대하여 \( b \leq N \) 인 \( N \) 을 택하면\[\int_{1}^{b} f(x) d x \leq \int_{1}^{N} f(x) d x \leq L\] 이므로 \( \lim _{b \rightarrow \infty} \int_{1}^{b} f(x) d x \) 는 수렴한다.</p> <p>예제 9.12 ( \( p \)-급수 퐌정법) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \) 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( p>1 \) 이다.</p> <p>풀이 \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{p}} d x \) 가 수렴하기 위한 필요총분조건은 \( 7.6 \) 절의 연습문게 2 의 (2)에 의하여 \( p>1 \)이다. 임의의 \( x \geq 1 \) 에 대하여 \( f(x)=\frac{1}{x^{p}} \) 은 연속이고 감소함수이다. 그려므로 적분 판정법에 의하여\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} \text { 은 } p>1 \text { 이면 수렴하고 } p \leq 1 \text { 이면 발산한다. }\]</p> <p>예제 \( 9.13 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n} \) 이 발산함을 보여라.</p> <p>\( f(x)=\frac{1}{x \ln x} \) 라 하면 \( f \) 는 \( [2, \infty) \) 에서 연속이고 감소하므로 \( \int_{2}^{\infty} f(x) d x \) 가 발산함을 보이면 된다. 임의의 \( b>1 \) 에 대하여\[\int_{2}^{b} \frac{1}{x \ln x} d x=\left.\ln (\ln x)\right\|_{2} ^{b}=\ln (\ln b)-\ln (\ln 2)\]이고. \[\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{2}^{b} \frac{1}{x \ln x} d x=\infty\] 이므로 \( \int_{2}^{\infty} f(x) d x \) 는 발산한다.</p> <p>주의 \( 9.1 \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( j \geq 1 \) 에 대하여 \( \sum_{n=j}^{\infty} a_{n} \) 이 수렴하는 것이다.</p> <h1>9.6 테일러 다항식과 테일러 정리</h1> <p>함수 \( f \) 가 0 에서 가장 근사인 값을 갖는 상수다항식 \( P_{0} \) 는 \( P_{0}(x)=f(0) \) 라고 주어질 수 있다. 또한 \( f \) 가 0 에서 미분가능할 때는 0 근방에서 가장 가까운 1 차 식 \( P_{1} \) 은 \( P_{1}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x \) 라고 놓을 수 있다. 그러면 \( P_{1} \) 은 0 에서 함수값과 도함수의 값이 \( f \) 와 일치하는 1 차 식이다. 일반적으로 \( f \) 가 \( x=0 \) 에서 \( n \) 차 도함수를 가질 때 \( P_{n}(x) \) 를\[P_{n}(0)=f(0), P_{n}^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), \cdots, P_{n}^{(n)}(0)=f^{(n)}(0)\]인 \( n \) 차 다항식이라 하면\[P_{n}(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}\]라고 주어질 수 있고 이 근사다항식을 \( f \) 의 \( n \) 차 테일러 다항식이라고 부른다.</p> <p>예제 \( 9.28 f(x)=e^{x} \) 라고 할 때 \( f \) 의 \( n \) 차 테일러 다항식을 구하고 \( P_{5}(1) \) 을 계산하여라.</p> <p>우선 임의의 읍이 아닌 정수 \( k \) 에 대하여 \( f^{(k)}(0) \) 를 구해야 한다. \( f^{(k)}(x)=e^{x} \) 이므로 \( f^{(k)}(0)=e^{0}=1 \) 이다. 따라서\[\begin{aligned}P_{n}(x) &=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \\&=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}\end{aligned}\]그리고.\[P_{5}(1)=1+1+\frac{1}{2 !}+\cdots+\frac{1}{5 !}=\frac{163}{60} \cong 2.71667 .\]</p> <p>예제 \( 9.29 f(x)=\ln (1+x) \) 라고 할 때, \( f \) 의 \( n \) 차 테일러 다항식을 구하고 \( P_{6}(1) \) 을 계산하여라.</p> <p>풀이 우선 \( f \) 의 미분을 계산하면 다음과 같다.\[\begin{array}{ll}f(x)=\ln (1+x) & f(0)=0 \\f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x} & f^{\prime}(0)=1 \\f^{\prime \prime}(x)=\frac{-1}{(1+x)^{2}} & f^{\prime \prime}(0)=-1 \\f^{(k)}(x)=\frac{(-1)^{k-1}(k-1) !}{(1+x)^{k}} & f^{(k)}(0)=(-1)^{k-1}(k-1) !\end{array}\] 따라서\[\begin{aligned}P_{n}(x) &=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2 !} x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \\ &=x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}\end{aligned}\]이고.\[P_{6}(1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{37}{60}=0.616667 \text {. }\]</p> <p>테일려 다항식은 주어진 함수의 근사치를 제공해 주지만 때로는 좋은 근사가 되지 않을 때도 있다. 함수 \( f(x) \) 의 좋은 근사를 얻기 위하여 오차 \( \left\|f(x)-P_{n}(x)\right\| \) 를 고려해야만 한다. 이때 오차 \( \left\|f(x)-P_{n}(x)\right\| \) 를 \( f \) 의 \( n \) 차 테일러 나머지 \( R_{n} \) 이라고 부른다.</p> <p>정리 9.16 (테일러 정리)\( n \) 이 음이 아닌 정수이고. 0 을 포함하는 열린구간 \( I \) 의 각 점 \( x \) 에서 \( f^{(n+1)}(x) \) 가 존재한다고 하자. 임의의 \( x \neq 0 \) 에 대하여 실수 \( t_{x} \) 가 0 과 \( x \) 사이에 존재하여\[f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}+R_{n}(x)\]<caption>(9.1)</cation>이고 \[R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)}{(n+1) !} x^{n+1}\]이다.<caption>(9.2)</cation></p> <p>예제 \( 9.30 \) 실수 \( e \) 를 오차 0.001 이내로 근사시켜라.</p> <p>풀이 \( f(x)=e^{x} \) 라고 놓자. \( e=f(1) \) 이므로 \( P_{n}(1) \) 에 의하여 근사시키면 오차가 \( \mid f(1)- \) \( P_{n}(1)\|=\| R_{n}(1) \mid<0.001 \) 을 만족해야 한다. \( \left\|R_{n}(1)\right\|<0.001 \) 을 반족시키는 최소의 \( n \) 을 구하면 \( P_{n}(1) \) 이 \( e \) 의 근삿값이다. 테일러 정리에 의하여 \[R_{n}(1)=\frac{f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)}{(n+1) !}\]인 \( t_{x} \) 가 0 과 1 사이에 존재한다. \( f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)=e^{t_{x}} \) 이고. \( e^{t_{x}}<4 \) 이므로\[R_{n}(1)=\frac{e^{t_{x}}}{(n+1) !}<\frac{4}{(n+1) !}\]이다. 따라서 \( \left\|R_{n}(1)\right\|<0.001 \) 이기 위해서는 \( n \geq 6 \) 이다. 그러므로 \( e \) 의 근삿값은 \[P_{6}(1)=1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\frac{1}{4 !}+\frac{1}{5 !}+\frac{1}{6 !}=\frac{1957}{720} \approx 2.71866 \text {. }\]</p> <p>예제 \( 9.31 \ln 2 \) 의 근삿값을 오차 \( 0.1 \) 이하로 구하여라.</p> <p>\( f(x)=\ln (1+x) \) 라고 놓자. \( \ln 2=f(1) \) 이므로 \( P_{n}(1) \) 에 의하여 근사시키자. 가정에 의하여 \[\left\|R_{n}(1)\right\|=\frac{\left\|f^{(n+1)}\left(t_{n}\right)\right\|}{(n+1) !} \leq 0.1을 만족해야 한다. 여기서 \( t_{n} \) 은 0 과 1 사이에 있다\[f^{(n+1)}(x)=\frac{(-1)^{n} n !}{(1+x)^{n+1}}\]이므로\[\left\|R_{n}(1)\right\|=\left\|\frac{f^{(n+1)}\left(t_{n}\right)}{(n+1) !}\right\|=\left\|\frac{(-1)^{n} n !}{\left(1+t_{n}\right)^{(n+1)}(n+1)!}\right\|=\frac{1}{\left(1+t_{n}\right)^{n}(n+1)} \leq \frac{1}{(n+1)}\]이다. \( n \geq 9 \) 이면 \( \left\|R_{n}(1)\right\| \leq 0.1 \) 이므로 \( P_{9}(1) \) 이 오차를 \( 0.1 \) 이하로 하는 \( \ln 2 \) 의 근삿값이 된다.\[P_{9}(1)=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{9} \cong 0.745635 .\]</p> <p>정리 9.2</p> <p>\( \left \{ a_ { n } \right \} , \left \{ b_ { n } \right \} \) 및 \( \left \{ c_ { n } \right \} \) 은 수열이라 하자. \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( a_ { n } \leq c_ { n } \leq b_ { n } \) 이고 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =L \) 이면 \( \left \{ c_ { n } \right \} \) 도 수렴하고 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } =L \) 이다.</p> <p>예제 9.7 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\ln n } { n } =0 \) 임을 보여라.</p> <p>풀이 먼저 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( 0 \leq \frac {\ln n } { n } \leq \frac { 2 } {\sqrt { n } } \) 임을 보이자. 임의의 \( t \geq 1 \) 에 대하여 \( \frac { 1 } { t } \leq \frac { 1 } {\sqrt { t } } \)이므로 \[ \ln n= \int_ { 1 } ^ { n } \frac { 1 } { t } d t \leq \int_ { 1 } ^ { n } \frac { 1 } {\sqrt { t } } , d t= \left .2 \sqrt { t } \right \|_ { 1 } ^ { n } =2( \sqrt { n } -1) \leq 2 \sqrt { n } \]그러므로 \( 0 \leq \frac {\ln n } { n } \leq \frac { 2 \sqrt { n } } { n } = \frac { 2 } {\sqrt { n } } \) 이다. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } 0= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 2 } {\sqrt { n } } =0 \] 이므로 정리 9.2에 의하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\ln n } { n } =0 \] 이다.</p> <p>비교판정법</p> <p>정리 9.10 (비교판정법)\( \sum a_{k} \) 을 양항급수라고 하자.<ol type=i start=1><li>수렴하는 양항급수 \( \sum c_{k} \) 가 존재하여 충분히 큰 모든 \( k \) 에 대하여 \( a_{k} \leq c_{k} \) 가 되면 \( \sum a_{k} \) 는 수렴한다.</li> <li>발산하는 양항급수 \( \sum c_{k} \) 가 존재하여 충분히 큰 모든 \( k \) 에 대하여 \( a_{k} \geq c_{k} \) 가 되면 \( \sum a_{k} \) 는 발산한다.</li></ol> <p>[증명] (i) \( s_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \) 라 하면\[s_{n} \leq \sum_{k=1}^{n} c_{k} \leq \sum_{k=1}^{\infty} c_{k}<\infty\]이므로 수열 \( \left\{s_{n}\right\} \) 은 증가하는 유계이므로 수렴한다. (ii) (i)의 대우 명제이므로 성립한다.</p> <p>예제 9.14 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+1} \) 이 수렴함을 보여라.</p> <p>풀이 기하급수에 의하여 급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \) 이 수렴함을 알고 있다. 그리고 모든 \( n \geq 1 \) 에 대하여\[\frac{1}{2^{n}+1} \leq \frac{1}{2^{n}}\]이므로 비교판정법에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+1} \) 은 수렴한다.</p> <p>예제 9.15 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}+1} \) 의 수렴 · 발산을 판정하여라.</p> <p>풀이 \( \frac{1}{2 n^{3}+1} \leq \frac{1}{n^{3}} \) 이고, 예제 9.12에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3}} \) 은 수렴하므로 비교판정법에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{3}+1} \) 은 수렴한다.</p> <p>예제 \( 9.16 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \) 이 발산함을 보여라.</p> <p>풀이 모든 \( n \geq 1 \) 에 대하여\[\frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \geq \frac{1}{2 \sqrt{n}}\] 이고. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}} \) 은 발산하므로 비교판정법에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 \sqrt{n}-1} \) 은 발산한다.</p> <p>정리 9.11 (극한비교정리) \( \sum a_{k}, \sum b_{k} \) 가 모든 \( k \) 에 대하여 \( a_{k}>0, b_{k}>0 \) 이고 \( \lim _{k \rightarrow \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}}=L>0 \) 이라 하자.</p> <ol type=i start=1><li>\( \sum b_{k} \) 가 수렴하면 \( \sum a_{k} \) 가 수렴한다.</li> <li>\( \sum b_{k} \) 가 발산하뎐 \( \sum a_{k} \) 가 발산한다.</p></li></ol> <p>[증명] \( \varepsilon=\frac{L}{2}>0 \) 라고 놓자. \( \lim _{b \rightarrow \infty} \frac{a_{k}}{b_{k}}=L \) 이므로 어떤 정수 \( N \) 이 있어서 \( n \geq N \) 인 모든 \( n \) 에 대하여 \( \frac{1}{2} L \leq \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq 2 L \). 따라서 \( n \geq N \) 인 모든 \( n \) 에 대하여 \( a_{n} \leq 2 L b_{n} \) 이고 \( a_{n} \geq \frac{1}{2} L b_{n} \) 이다. 비교퐌정법에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \) 이 수렴하면 \( \sum_{n=N}^{\infty} 2 L b_{n} \) 은 수렴하고 \( \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} \) 도 수렴한다. 따라서\[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{N-1} a_{n}+\sum_{n=N}^{\infty} a_{n}\] 이므로 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 도 수렴한다. 비숫하게 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \) 이 발산하면 \( \sum_{n=N}^{\infty} \frac{1}{2} L b_{n} \) 이 발산하고. \( \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} \) 도 발산한다. 따라서\[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \geq \sum_{n=N}^{\infty} a_{n}\]이므로 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 도 발산한다.</p> <p>예제 9.17 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4 n-3}{n^{3}-5 n-7} \) 이 수렴한다.</p> <p>풀이 급수의 항이 \( n \) 에 관한 유려함수일 때는 비교할 급수를 찾기 위하여 분모와 분자의 각 최고차의 항만을 고려하면 된다. 그러므로 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}} \) 를 주어진 급수와 비교하게 된다. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \) 이 수렴하기 때문에 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}} \) 도 수렴한다. 또한\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(4 n-3) /\left(n^{3}-5 n-7\right)}{4 / n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n^{3}-3 n^{2}}{4 n^{3}-20 n28}=1\]이므로 극한비교정리에 의하여 주어진 급수는 수렴한다.</p> <p>예제 \( 9.18 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{8 n^{2}-5 n}} \) 은 발산한다.</p> <p>풀이 분자와 분모의 최고차의 항을 나누면\[\frac{1}{\sqrt[3]{8 n^{2}}}=\frac{1}{2 n^{2 / 3}}\]이다. 따라서 주어진 급수를 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{2 / 3}} \) 과 비교하자. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{2 / 3}} \) 은 발산하고.\[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{8 n^{2}-5 n}}{\sqrt[3]{8 n^{2}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[3]{\frac{8 n^{2}}{8 n^{2}-5 n}}=1\]이므로 극한비교정리에 의하여 주어진 급수는 발산한다.</p> <h1>9.2 무한급수</h1> <p>실수의 유한 합은 잘 앝고 있기 때문에 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 의 모든 합의 겅의는 첨자의 순서대로 더해 나가는 합들로부터 시작된다.</p> <p>\( s_{1}=a_{1}, \quad s_{2}=a_{1}+a_{2}, \quad \cdots, \quad s_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}, \quad \cdots \)</p> <p>정의 \( 9.2 \) 수열 \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \) 이 주어졌을 때 임의의 양의 겅수 \( j \) 에 대하여 \( j \) 번째 부분합 \( s_{j} \) 는 \[s_{j}=a_{1}+\cdots+a_{j}\]이다. 만약 \( \lim _{j \rightarrow \infty} s_{j} \) 가 존재하면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이 수렴한다고 하고 \[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\lim _{j \rightarrow \infty} s_{j}\] 로 나타낸다. 만약 \( \lim _{j \rightarrow \infty} s_{j} \) 가 존재하지 않으면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 발산한다고 한다.</p> <p>\( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이 수렴하면 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) 이다.</p> <p>[증명] \( a_{n+1}=s_{n+1}-s_{n} \) 이고 \( \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 이므로\( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(s_{n+1}-s_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n+1}-\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=0 \)이다.</p> <p>위 정리로부터 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \neq 0 \) 이면 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 발산함을 쉽게 알 수 있다. 그러나 정리 9.5 의 역은 성립하지 않는다.</p> <p>예제 9.9 조화급수 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 이 발산함을 보여라.</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} s_{2}=1+\frac{1}{2}, s_{4} &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{2} \cdot 2 \text { 이고. 일반적으로 } \\ s_{2^{j}} &=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2^{j-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}\right) \\ & \geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\cdots+\underbrace{\frac{1}{2^{j}}+\cdots+\frac{1}{2^{j}}}_{2^{j-1}} \\ &=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2} \\ &=1+\frac{j}{2} \end{aligned} \)</p> <p>이다. \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=\lim _{j \rightarrow \infty} s_{2^{j}} \geq \lim _{j \rightarrow \infty}\left(1+\frac{j}{2}\right)=\infty \) 이므로 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 발산한다. 그러나\( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0 \) 이다.</p> <p>정리 9.6 (기하급수 판정법)\( r \) 은 실수이고 \( c \neq 0 \) 이라고 하자.기하급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c r^{n} \) 은 \( \|r\|<1 \) 이면 수렴하고. \( \|r\| \geq 1 \) 이면 발산한다.</p> <p>[증명] \( r \neq 1 \) 이면 \( s_{n}=\sum_{k=0}^{n-1} c r^{k}=c \frac{1-r^{n}}{1-r} \) 이다. 이때 \( \|r\|>1 \) 이면 \( \lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}=\pm \infty \) 이고. \( \|r\|<1 \) 이면 \( \lim _{n \rightarrow \infty} r^{n}=0 \) 이다. \( \|r\|<1 \) 이면 \( \sum_{n=0}^{\infty} c r^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c \frac{1-r^{n}}{1-r}= \) \( \frac{c}{1-r} \) 이고 \( \|r\|>1 \) 이면 \( \sum_{n=0}^{\infty} c r^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \) 은 발산한다. 또한 \( r=1 \) 이면 \( s_{n}=c n \) 이고 \( \sum_{n=0}^{\infty} c r^{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} c n \) 이므로 발산한다.</p> <p>정리 9.7 \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 과 \( \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \) 은 수렴하는 급수이고 \( c \) 는 실수일 때 다음이 성립한다.<\p> <li>\( \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}+\sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \)</li> <li>\( \sum_{n=1}^{\infty} c a_{n}=c \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \)</p> <ol type=i start=1></li></ol> <p>[증명] 위의 정리는 정리 2.1로부터 쉽게 증명된다.</p> <p>예제 9.10 \( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n} \) 이 수렴함을 보여라.</p> <ol type=i start=1><p>풀이 \( r=\frac{1}{10} \) 인 기하급수이므로 정리 9.6에 의하여 \[\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{10}\right)^{n}=\frac{\frac{1}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{1}{9}\]이다.</p> <p>예제 9.11\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 의 수렴성을 알아보아라.</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} &=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) \\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ \text { 이므로 } s_{n}=1-\frac{1}{n+1} \text { 이다. } \end{aligned} \)그러므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} s_{n} \) 이 수렴하므로 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \) 은 수렴하고.\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=1\]</p> <h1>9.1 함수와 수열</h1> <p>이 절에서는 수열의 특별한 성질을 다룬다. 먼저 단조수열과 유계수열에 관하여 정의하고. 그 성질을 살펴보기로 한다.</p> <p>정의 9.1 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 이 모든 \( n \) 에 대하여 \( a_{n} \leq a_{n+1} \) 을 만족할 때 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 은 증가한다고, 하고, \( a_{n} \geq a_{n+1} \) 을 만족할 때 감소한다고, 한다. 증가 또는 감소수열을 단조수열이라고 한다. 또한 모든 \( n \) 에 대하여 \( a_{n} \leq M\left(a_{n} \geq M\right) \) 인 상수 \( M \) 이 존재하면 \( \left\{a_{n}\right\} \) 은 위로(아래로) 유계라고 한다.</p> <p>예제 9.1 \( a_{n}=\frac{n}{n+1} \) 인 수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 은 \(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{n+1}{n+2} \cdot \frac{n+1}{n}=\frac{n^{2}+2 n+1}{n^{2}+2 n}>1\) 이므로 중가수열이다.</p> <p>수열 \( \left\{a_{n}\right\} \) 은 자연수를 정의역으로 갖는 함수 \( f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}, f(n)=a_{n} \) 을 실수에서 정의된 확장함수 \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) 로 생각하여 주어진 수열의 성질을 구하는 것이 편리하다.</p> <p>예제 9.2 \( a_{n}=n^{\frac{1}{n}} \) 로 주어진 수열 \( \left\{a_{n}\right\}(n \geq 3) \) 은 감소수열이다. 풀이 \( f(x)=x^{\frac{1}{x}} \) 이라 하면 \( f(n)=a_{n} \) 이고.\(f^{\prime}(x)=x^{\frac{1}{x}}\left(\frac{1-\ln x}{x^{2}}\right)\)이므로 \( x>e \) 이면 \( f^{\prime}(x)<0 \) 이다. 따라서 \( f(x) \) 는 \( x \geq 3 \) 에서 감소한다. 즉 \( \left\{a_{n}\right\} \) 은 \( n \geq 3 \) 에서 감소한다.</p> <p>다음 정리는 함수의 극한과 수열의 극한 사이의 관계를 말해주고 있다. 이것은 수열의 수렴에 대하여 유용할 것이다.</p> <p>정리 9.1 수열 \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \) 에 대하여 \( f \) 는 \( [1, \infty) \) 위에서 임의의 \( n \) 에 대하여 \( f(n)=a_{n} \) 으로 정의된 함수라고 하자.<ol type=i start=1><li>만일 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=L \) 이면, \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \) 은 수렴하고. \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=L \) 이다.</p></li> <li>\( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\infty \) (또는 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=-\infty \) )이면, \( \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty} \) 는 발산하고, \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}= \) \( \infty\left(\right. \) 또는 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=-\infty \) )이다</li></ol> <p>따라서 \( \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \).</p> <p>예제 9.3 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{r}}=0(r>0) \) 임을 보여라. 풀이 \( f(x)=\frac{1}{x^{r}}(x \geq 1) \) 이라고 놓자. 그려면 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( f(n)=\frac{1}{n^{r}} \) 이고 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)= \) 0 이다. 정리 \( 9.1 \) 로부터 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{r}}=0 \).</p> <p>예제 9.4 \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \) 임을 보여라. 풀이 \( x \geq 1 \) 에 대하여 \( f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \) 라고 놓으면 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( f(n)=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \)이다. 6.5 절 예제 \( 6.36 \) 에서 보였듯이 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=e \) 이므로 정리 9.1에 의하여 \(\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e .\)</p> <p>예제 9.5 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c}=1(c>0) \) 임을 보여라.<p>풀이 \( \sqrt[n]{c}=e^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n} \ln c} \) 임에 유의하자. \( x \geq 1 \) 에 대하여 \( f(x)=e^{\frac{1}{x} \ln c} \) 라고 놓으면 \( f \) 는 연속이고 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( f(n)=e^{\left(\frac{1}{n}\right) \ln c} \) 이다. \( \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{x}\right) \ln c=0 \) 이므로 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{\left(\frac{1}{x}\right) \ln c}=e^{0}=1 \) 이다. 따라서 정리 ㅁ.1에 의하여 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{c}=1 \)이다.</p> <p>예제 9.6 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 \) 임을 보여라.</p> <p>풀이 \( x \geq 1 \) 에 대하여 \( f(x)=e^{\left(\frac{1}{x}\right) \log x} \) 라기 놓으면 \( f \) 는 연속이고 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( f(n)= \) \( e^{\left(\frac{1}{n}\right) \log n} \) 이다. 로피탈 법칙에 의하여\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln x}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x}=0\]이므로 \( \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=1 \) 이다. 정리 ․1에 의하여 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1 \) 이다.</p> <h1>9.4 양항급수: 비율판정법과 거듭제곱근판정법</h1> <p>이 절에서 소개되는 비율판정법과 거듭제곱근판정법은 앞의 판정법보다 쉽게 쓰이는 판정법이지만 둥비급수 \( \sum x^{n} \) 이나 \( p \)-급수 \( \sum \frac{1}{n^{p}} \) 둥과의 비교판정법에 의해 얻을 수 있다.</p> <p>정리 9.12 (비율판정법) \( \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \) 은 모든 \( n \) 에 대하여 \( a_{n}>0 \) 이고 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=r \) 라 하자.</p> <ol type=i start=1><li>\( 0 \leq r<1 \) 이면 \( \sum a_{n} \) 은 수렴한다.</li> <li>\( r>1 \) 이면 \( \sum a_{n} \) 은 발산한다.</li> <li>\( r=1 \) 이면 이 방법으로는 판정불가능하다.</li></ol> <p>[증명] (i) \( r<\mu<1 \) 인 \( \mu \) 를 잡으면 어떤 정수 \( N \) 이 있어서 \( n \geq N \) 인 모든 \( n \) 에 대하여 \[\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \mu\]이다. 따라서\[\begin{aligned}a_{N+1} & \leq \mu a_{N} \\a_{N+2} & \leq \mu a_{N+1} \leq \mu^{2} a_{N} \\& \vdots \\a_{N+k} & \leq \mu^{k} a_{N}\end{aligned}\]이고. \[\sum_{n=N}^{N+k} a_{n}=a_{N}\left(1+\mu+\cdots+\mu^{k}\right) \leq a_{N} \frac{1-\mu^{k}}{1-\mu}<a_{N} \frac{1}{1-\mu}\]이다. 그러므로 주어진 급수의 부분합이 유계이므로 수렴한다.(ii) (i)의 증명과 비슷하다. (iii) 적부판정법에 의하여 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 발산하고 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \) 은 수렴한다. 그런데\[\begin{array}{c}\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 /(n+1)}{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1}=1, \\\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 /(n+1)^{2}}{1 / n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}=1\end{array} \]이다.</p> <p>예제 \( 9.19 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n !} \) 이 수렴함을 보여라.</p> <p>\( \begin{aligned} \text { 풀이 } r &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} /(n+1) !}{2^{n} / n !}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2}{n+1}=0 \\ r &<1 \text { 이므로 이 급수는 수렴한다. } \end{aligned} \)</p> <p>예제 \( 9.20 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n^{2}} \) 이 발산함을 보여라.</p> <p>풀이 \( \begin{aligned} r &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} /(n+1)^{2}}{2^{n} / n^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} 2\left(\frac{n}{n+1}\right)^{2}=2 \\ r >1 이므로 급수는 발산한다. \end{aligned} \)</p> <p>예제 \( 9.21 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n !}{n^{n}} \) 은 수렴한다.</p> <p>풀이\[\begin{aligned}r &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) ! /(n+1)^{n+1}}{n ! / n^{n}} \\ &=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1) !}{n !} \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} \\&=\lim _{n \rightarrow \infty}(n+1) \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}} \\&=\frac{1}{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}}=\frac{1}{e} \end{aligned}\]\( r<1 \) 이므로 급수는 수렴한다.</p> <p>정리 9.13 (거듭제곱근판정법) \[\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \text { 이 양항급수이고 } \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}\right)^{1 / n}=\rho \text { 라고 하자. }\]</p> <ol type=i start=1><li>\( \rho<1 \) 이면 \( \sum a_{n} \) 은 수렴한다.</li> <li>\( \rho>1 \) 이면 \( \sum a_{n} \) 은 발산한다.</li> <li>\( \rho=1 \) 이면 이 방법으로는 판정 불가능하다.</li></ol> <p>[증명] (i) \( \rho<1 \) 이므로 \( \rho<\mu<1 \) 인 \( \mu \) 를 잡으면 \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n}\right)^{1 / n}=\rho \) 이므로 어떤 정수 \( N \) 이 있어서 \( n \geq N \) 인 모든 \( n \) 에 대하여\[\left(a_{n}\right)^{1 / n}<\mu\]가 된다. 즉 \( n \geq N \) 에 대하여 \( a_{n}<\mu^{n} \) 이다. \( \sum_{n=1}^{\infty} \mu^{n} \) 은 수렴하므로 비교판정법에 의하여 \( \sum a_{n} \) 은 수렴한다. \( \rho>\mu>1 \) 인 \( \mu \) 를 백하고 (i) 과 비숫하게 중명하면 된다. 비율판정법에서와 같이 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) 은 발산하고 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} \) 은 수렴한다. 그려나 \[\begin{array}{l}\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}\right)^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}}=1, \\\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^{2}}\right)^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt[n]{n}}\right)^{2}=1\end{array}\]이다.</p> <p>예제 9.22\( \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\ln n}{1000}\right)^{n} \) 은 발산함을 보여라.</p> <p>풀이 \( r=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{\ln n}{1000}\right)^{n}\right]^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{1000}=\infty \) 이므로 거듭제곱근판정법에 의하여 발산한다.</p> <p>예제 \( 9.23 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} \) 이 수렴한다. 풀이 \( r=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n}{2^{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n}}{2}=\frac{1}{2} \) 이므로 거듭제곱근판정법에 의하여 수렴한다.</p> <p>정리 9.3</p> <ol type=i start=1><li>\( \left \{ a_ { n } \right \} \) 이 수렴하면 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 유계이다.</li> <li>\( \left \{ a_ { n } \right \} \) 이 유계가 아니면 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 발산한다.</li></ol> <ol type=i start=1><li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L \) 임을 가정하자. 그러면 정의에 의하여 \( n \geq N \) 이면 \( \left \|a_ { n } -L \right \| \leq 1 \) 인 \( N \) 이 존재한다. 그러므로 \( n \geq N \) 이면 \[ \left \|a_ { n } \right \|= \left \|a_ { n } -L + L \right \| \leq \left \|a_ { n } -L \right \| + \|L\| \leq 1 + \|L\| \]이다. \( M= \max \left \{\left \|a_ { 1 } \right \|, \left \|a_ { 2 } \right \|, \cdots, \left \|a_ { N-1 } \right \|, 1 + \|L\| \right \} \) 이라고 놓으면 모든 \( n \geq 1 \) 에 대하여 \( \left \|a_ { n } \right \| \leq M \) 이고 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 유계이다.</li> <li>(i) 과 동치이다</li></ol> <p>정리 9.4</p> <p>위로 (아래로) 유계이고 증가(감소)하는 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 수렴하고 그 극한은 집합 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 의 상한(하한)이다.</p> <p>예제 \( 9.8 a_ { n } = \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } \) 은 수렴한다.</p> <p>풀이 \( 3= \left (3 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } }< \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } \leq \left (2 \cdot 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } =2 ^ {\frac { 1 } { n } } \cdot 4 \leq 8 \) 이므로 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 유계이다. 또한 \[ \begin {aligned} \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { n + 1 } { n } } &= \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } \\&=3 ^ { n } \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } + 4 ^ { n } \left (3 ^ { n } + 4 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } >3 ^ { n } 3 + 4 ^ { n } 4 \\&=3 ^ { n + 1 } + 4 ^ { n + 1 } \end {aligned} \] 이므로 감소수열이다. 그러므로 정리 9.4에 의하여 수렴한다.</p> <h1>9.8 테일러 급수</h1> <p>함수 \( f \) 가 0 을 포함하는 열린구간에서 계속 미분가능한 함수라고 할 때, 모든 \( n \) 에 대하여 \[f(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k !} x^{k}+R_{n}(x)\]로 쓸 수 있다. 한편 정리 9.21로부터 함수 \( f \) 가 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n}(x \in I) \) 인 멱급수 형태이면 열린 구간 \( I \) 위에서 무한번 미분이 가능하다. 역으로 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 무한번 미분가능하면 \( f \) 가 멱급수 형태로 표현될 수 있는지를 생각해보자. 테일러 정리의 \( n \) 차 테일려다항식 \( P_{n}(x) \) 를 이용하면 \[f(x)-P_{n}(x)=R_{n}(x)\]이고. 다음이 성립한다. \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \Longleftrightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} R_{n}(x)=0\]<caption>\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(9.5)\]</caption>이때 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n} \) 을 \( f \) 의 Maclaurin 급수라고. 부른다.</p> <p>정리 \( 9.23 \) \(~ c \) 가 임의의 실수일 때 \[\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{c^{n}}{n !}=0\]</p> <p>[증명] \( n_{0}>2\|c\| \) 인 \( n_{0} \) 틀 잡으면 모든 \( n>n_{0} \) 에 대하여 \[\left\|\frac{c^{n}}{n !}\right\|=\frac{\|c\|^{n_{0}}}{n_{0} !} \cdot \frac{n_{0} !}{n !} \cdot\|c\|^{n-n_{0}}=\frac{\|c\|^{n_{0}}}{n_{0} !} \frac{\|c\|^{n-n_{0}}}{\left(n_{0}+1\right) \cdots n}<\frac{\|c\|^{n_{0}}}{n_{0} !}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_{0}}\]이고. \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{c^{n}}{n !}\right\|<\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\|c\|^{n_{0}}}{n_{0} !}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-n_{0}}=0 . \]</p> <p>예제 9.39 다음이 성립함을 보여라.</p> <ol type= start=1><li>\( e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} \quad(x \in \mathbb{R}) \)</li> <li>\( \sin x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k+1}}{(2 k+1) !} \quad(x \in \mathbb{R}) \)</li> <li>\( \cos x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k} x^{2 k}}{(2 k) !} \quad(x \in \mathbb{R}) \)</li></ol> <p>(i) \( e^{x} \) 의 \( n \) 차 테일려 다항식은 \( \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k !} \) 이고 \( n \) 차 나머지 \( R_{n}(x) \) 는 \[\left\|R_{n}(x)\right\|=\frac{e^{t_{x}}}{(n+1) !} \cdot\|x\|^{n+1}\]이므로 정리 9.23에 의하여 모든 \( x \in \mathbb{R} \) 에 대하여 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|R_{n}(x)\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{e^{t_{x}}}{(n+1) !}\|x\|^{n+1}=e^{t_{x}} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\|c\|^{n+1}}{(n+1) !}=0\]이다. 식 (9.5) 에 의하여 \( e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} x^{n} \) 이다. (ii) \( f(x)=\sin x \) 라고 놓자. 우선 \( f(x) \) 의 \( n \) 차 테일러 다항식을 구하자. 임의의 \( k \geq 0 \)에 대하여 \( f^{(2 k)}(0)=0 \) 이고 \( f^{(2 k+1)}(0)=(-1)^{k} \) 이다. 따라서\[P_{2 n}(x)=P_{2 n+1}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}\] 이다. 다음 나머지인 \( R_{n}(x) \) 는 모든 실수 \( x \) 에 대하여\[\left\|R_{n}(x)\right\|=\frac{\left\|f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)\right\|}{(n+1) !}\|c\|^{n+1} \leq \frac{1}{(n+1) !}\|x\|^{n+1}\]이므로 정리 9.23에 의하여 모든 \( x \in \mathbb{R} \) 에 대하여 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|R_{n}(x)\right\| \leq \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\|c\|^{n+1}}{(n+1) !}=0\]이다. 식 (9.5)에 의하여 모든 실수에 대하여\[\sin x=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{(2 k+1) !} x^{2 k+1}\]이다. (iii) (ii)와 비슷한 방법으로 보일 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>\( f \) 가 \( a \) 에서 무한번 미분가능하면\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}\]을 \( a \) 에 대한 \( f \) 의 테일러 급수라고 부른다.</li> <li>\( f \) 가 \( a \) 에서 \( n \) 번 미분가능하면\[P_{n}(x)=f(a)+f^{\prime}(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2 !}(x-a)^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n !}(x-a)^{n}\]을 \( a \) 에 대한 \( f \) 의 \( n \) 차 테일러 다항식이라고, 하고 \( n \) 차 테일러 나머지 \( R_{n}(x) \) 은 \( x \) 와 \( a \) 사이에 \( t_{x} \) 가 존재하여\[R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)}{(n+1) !}(x-a)^{n+1}\]</p></li></ol> <p>예제 9.40 다항식 \( f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+11 x-1 \) 을 \( (x-2) \) 의 급수로 나타내어라.</p> <p>\( f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+11 x-1, f(2)=1 \) \( f^{\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+11, f^{\prime}(2)=-1 \) \( f^{\prime \prime}(x)=12 x-18, f^{\prime \prime}(2)=6 \) \( f^{\prime \prime \prime}(x)=12, f^{\prime \prime \prime}(2)=12 \) 그리고 \( n \geq 4 \) 이면 \( f^{(n)}(2)=0 \) 이다. 그러므로\[f(x)=1-(x-2)+3(x-2)^{2}+2(x-2)^{3} .\]</p> <p>예제 9.41\( \frac{\pi}{6} \) 에 대한 \( \sin x \) 의 테일러 급수를 구하여라.</p> <p>풀이 \( f(x)=\sin x \) 라고 놓자. \( x=\frac{\pi}{6} \) 에서 \( f \) 의 미분계수를 구하면 \[\begin{array}{ll}f(x)=\sin x, & f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}=f^{(4 k)}\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ f^{\prime}(x)=\cos x, & f^{\prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}=f^{(4 k+1)}\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ f^{\prime \prime}(x)=-\sin x, & f^{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}=f^{(4 k+2)}\left(\frac{\pi}{6}\right) \\ f^{(3)}(x)=-\cos x, & f^{(3)}\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}=f^{(4 k+3)}\left(\frac{\pi}{6}\right) \end{array}\]이다. 그러므로 모든 \( x \in \mathbb{R} \) 에 대하여 \( \left\|f^{(n+1)}(x)\right\| \leq 1 \) 이다. \[\left\|R_{n}(x)\right\|=\left\|\frac{f^{(n+1)}\left(t_{x}\right)}{(n+1) !}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}\right\| \leq\left\|\frac{\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}}{(n+1) !}\right\|\]이므로 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|R_{n}(x)\right\| \leq \lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{n+1}}{(n+1) !}\right\|=0\]이다. \( f \) 는 테일러 급수로 표현이 가능하고. \[f(x)=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{(2 n) !}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{2 n}+\frac{\sqrt{3}}{(2 n+1) !}\left(x-\frac{\pi}{6}\right)^{2 n+1}\right) \text {. }\]</p> <p>예제 9.42\( g(x)=e^{x / 2} \) 을 \( (x-3) \) 의 멱급수로 전개하여라.</p> <p>풀이 \( t=x-3 \) 이라 하면 \[\begin{aligned}g(t+3) &=e^{\frac{3}{2}} e^{\frac{t}{2}} \\&=e^{\frac{3}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\frac{t}{2}\right)^{n} \quad(t \in \mathbb{R}) \\&=e^{\frac{3}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n !} t^{n} \\ g(x) &=e^{\frac{3}{2}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} n !}(x-3)^{n} \quad(x \in \mathbb{R}) .\end{aligned}\]</p> <p>예제 9.43\( a \neq b \) 일 때 \( g(x)=\frac{1}{b-x} \) 을 \( (x-a) \) 의 멱급수로 전개하여라.</p> <p>풀이 \( x=t+a \) 라고 하면 \[g(t+a)=\frac{1}{b-a}\left(\frac{1}{1-\frac{t}{b-a}}\right)=\frac{1}{b-a} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{t}{b-a}\right)^{n}, \quad\|t\|<\|b-a\| .\] 따라서\[g(x)=\frac{1}{b-a} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(b-a)^{n}}(x-a)^{n}, \quad\|x-a\|<\|b-a\| .\]</p> <h1>9.7 멱급수</h1> <p>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n}(x-a)^{n} \) 형태의 급수를 멱급수라고 부른다. 변수의 평행이동에 의하여 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 형태만을 다룬다.</p> <p>이때 어떤 자연수 \( N \) 이 있어서 모든 \( n>N \) 에 대하여 \( c_{n}=0 \) 이면 이 멱급수는 많아야 계수 \( n \) 인 다항식이다. 주어진 급수 \( \sum c_{n} x^{n} \) 이 의미가 있기 위해서는 이 급수가 수렴해야 한다. 따라서 \( \sum c_{n} x^{n} \) 이 수렴하는 \( x \) 의 값의 집합을 구하면 이 칩합 위에서 급수 \( \sum c_{n} x^{n} \) 은 함수로 정의될 수 있다. 모든 멱급수는 \( x=0 \) 에서는 항상 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>보조정리 9.17</p> <ol type=i start=1><li>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} s^{n} \) 이 수렴하면 \( \|x\|<\|s\| \) 인 모든 \( x \) 에 대하여 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 절대수렴 한다.</li> <li>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} s^{n} \) 이 발산하면 \( \|x\|>\|s\| \) 인 모든 \( x \) 에 대하여 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 발산한다</li></ol> <p>[증명] (i) \( \sum c_{n} s^{n} \) 이 수렴하면 \( \lim _{n \rightarrow \infty} c_{n} s^{n}=0 \) 이다. 자연수 \( N \) 이 있어서 모든 \( n>N \) 에 대하여 \( \left\|c_{n} s^{n}\right\|<1 \) 이다. 따라서 \( n \geq N \) 인 \( n \) 과 \( \|x\|<\|s\| \) 인 \( x \) 에 대하여 \[\left\|c_{n} x^{n}\right\|=\left\|c_{n} s^{n}\right\|\left\|\frac{x}{s}\right\|^{n} \leq\left\|\frac{x}{s}\right\|^{n}<1\]이므로 비교판정법에 의하여 \( \sum\left\|c_{n} x^{n}\right\| \) 은 수렴한다. 위의 보조정리로부터 다음 정리가 나온다.</p> <p>정리 9.18 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 다음 세 가지 경우 중 하나가 된다.</p> <ol type=i start=1><li>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 \( x=0 \) 에서만 수렴한다.</li> <li>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 모든 실수 \( x \) 에 대하여 수렴한다.</li> <li>\( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 이 주어졌을 때 다음 성질을 만족하는 실수 \( R>0 \) 이 존재한다.</li> <ol type=1 start=1><li>\( \|x\|<R \) 인 모든 \( x \) 에서 절대수렴한다.</li> <li>\( \|x\|>R \) 인 모든 \( x \) 에서 발산한다.</li></ol></ol> <p>멱급수가 (iii)의 경우에 해당될 때 \( R \) 를 멱급수의 수렴반경이라고 한다. (i)의 경우 \( R=0 \) 이라고 늫고 (ii)의 경우는 \( R=\infty \) 라고 눟자. 그러므로 모든 멱급수는 수렴반경 \( R \) 을 갖는다. 그리고 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 이 수렵하는 \( x \) 의 집합을 \( \sum c_{n} x^{n} \) 의 수렴구간이라고 하고 다음과 같은 형태 중 하나를 취할 것이다. \[[0,0], \quad(-R, R), \quad[-R, R), \quad(-R, R], \quad[-R, R], \quad(-\infty, \infty)\]</p> <p>수렵반경 \( R \) 는 잍반적으롱 다을 두 가지 방법으로 구할 수 있다. 우선 급수의 거듭제곱근판 정법에 의하여 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 이 수렴하는 필요충분조건은 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|c_{n} x^{n}\right\|^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|c_{n}\right\|^{1 / n}\|x\|<1, \text { 족 }\|x\|<\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left\|c_{n}\right\|^{1 / n}}\]이다. 그러므로 수렵반경\[R=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\left\|c_{n}\right\|^{1 / n}}\] 이다. 또한 급수의 비율판정법에 의하여 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 이 수렴하는 필요총분조건은 \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{c_{n+1} x^{n+1}}{c_{n} x^{n}}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right\|\|x\|<1, \text { 족 }\|x\|<\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\|\]이다. 그러므로 수렴반경은\[R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{c_{n}}{c_{n+1}}\right\|\]이다.</p> <p>예제 9.32\( \sum_{n=0}^{\infty} n ! x^{n} \) 의 수렴반경이 0 임을 보여라.</p> <p>풀이 수렴반경은 \[R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{n !}{(n+1) !}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{1}{n+1}\right\|=0\]</p> <p>예제 \( 9.33 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \) 의 수렴구간을 구하여라.</p> <p>풀이 수렴반경은 \[R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{1}{n !} / \frac{1}{(n+1) !}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{(n+1) !}{n !}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty}\|n+1\|=\infty\]이므로 수렴구간은 \( (-\infty, \infty) \) 이다.</p> <p>예제 \( 9.34 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{2^{n}} \) 의 수렴구간을 구하여라.</p> <p>풀이 수렴반경은 \[R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{\frac{1}{2^{n}}}{\frac{1}{2^{n+1}}}\right\|=\lim _{n \rightarrow \infty} 2=2\]이다. 이 경우 수렴구간은 \( (-2,2),[-2,2),(-2,2] \) 또는 \( [-2,2] \) 중 한 가지이다. \( x=-2 \) 이면 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \) 은 발산한다. 그리고 \( x=2 \) 이면 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{2^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} 1 \)이므로 발산한다. 따라서 수렴구간은 \( (-2,2) \) 이다.</p> <p>예제 9.35 \( \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} \) 의 수렴구간올 구하여라.</p> <p>풀이 수렴반경은 \[R=\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|\frac{n}{n+1}\right\|=1\]이다. \( x=\pm 1 \) 에 대해서 주어진 급수의 일반항은 \( n \rightarrow \infty \) 일 때 0 으로 수렴하지 않으므로 발산한다. 따라서 수렴구간은 \( (-1,1) \) 이다.</p> <p>멱급수의 미분과 적분 수렴반경 \( R>0 \) 을 갖는 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 의 미분과 적분에 대해서 알아보고자 한다.</p> <p>정리 9.19 멱급수 \( \sum c_{n} x^{n} \) 이 \( \|x\|<R \) 에서 절대수렴하면\[\sum n c_{n} x^{n-1} \text { 과 } \sum \frac{c_{n}}{n+1} x^{n+1}\]도 \( \|x\|<R \) 에서 절대수렴한다.</p> <p>[증명] \( 0<\|x\|<R \) 에 대하여 \[\sum\left\|n c_{n} x^{n-1}\right\|=\frac{1}{\|x\|} \sum\left\|n c_{n} x^{n}\right\|\]이므로 \( \sum\left\|n c_{n} x^{n}\right\| \) 이 수렴함을 보이면 된다. \( \|x\|<c<R \) 인 실수 \( c \) 를 잡자. \[\lim _{n \rightarrow \infty}\left\|n c_{n} x^{n}\right\|^{1 / n}=\lim _{n \rightarrow \infty}\|n\|^{1 / n}\left\|c_{n}\right\|^{1 / n}\|x\|\]이고. \( \lim _{n \rightarrow \infty}\|n\|^{1 / n}=1 \) 이므로 자연수 \( N \) 이 있어서 \( n \geq N \) 인 모든 \( n \) 에 대하여 \( n^{1 / n} \cdot\|x\|<c \) 이다. 즉, \( n \geq N \) 에 대하여\[n\left\|c_{n} \\| x\right\|^{n}<\left\|c_{n}\right\| c^{n}\]이다. 그런데 \( c<R \) 이므로 은 수렴하고, 비교판정법에 의하여\[\sum n\left\|c_{n} \\| x\right\|^{n}\]도 수렴한다.\( \|x\|<R \) 에 대하여 \[\sum\left\|\frac{c_{n}}{n+1} x^{n+1}\right\|=\|x\| \sum \frac{\left\|c_{n}\right\|}{n+1}\|x\|^{n}\]이므로 \( \sum \frac{\left\|c_{n}\right\|}{n+1}\|x\|^{n} \) 이 수렴함을 보이면 층분하다. 이것도 위와 같은 방법으로 증명 된다.</p> <p>정리 9.20 (멱급수의 미분정리) \( f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 수렴반경이 \( R>0 \) 인 멱급수라 할 때, \( f \) 는 \( \|x\|<R \) 에서 미분가능 하고. \[f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(x^{n}\right)^{\prime}\]이다.</p> <p>정리9.21 멱급수 \( \sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \) 은 수렴반경 \( R>0 \) 을 갖는다고 하자. \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} x^{n} \quad(-R<x<R)\]이라고 놓으면 \( f \) 는 \( (-R, R) \) 에서 모든 계수의 미분이 존재하고.<caption>\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(9.3)\]</caption>\[f^{(n)}(0)=n ! c_{n}(n \geq 0)\]이다. 따라서 \( -R<x<R \) 에 대하여 \[f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n !} x^{n}\]이다.</p> <p>정리 \( 9.20 \) 에 의하여 \( f \) 는 모든 계수의 미분을 갖는다. \( x=0 \) 을 대입하면 \( f(0)=c_{0}= \) \( 0 ! \cdot c_{0} \) 이고. 식 (9.3)의 양변을 미분하면\[f^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n c_{n} x^{n-1}\]<caption>\[\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(9.4)\]<\caption>이고 \( x=0 \) 을 대입하면 \[f^{\prime}(0)=c_{1} \cdot 1 !\]이다. 식 (9.4)의 양변을 미분하면\[f^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n(n-1) c_{n} x^{n-2}\]이고 \( x=0 \) 을 대입하면\[f^{\prime \prime}(0)=2 \cdot 1 \cdot c_{2}=2 ! c_{2}\]이다. 이와 같은 방법으로 식 (9.3)을 \( n \) 넌 미분하고 \( x=0 \) 을 대입하면 \[f^{(n)}=n ! c_{n}\]이다.</p> <p>정리 9.22 (멱급수의 적분정리) \( f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} c_{k} x^{k} \) 는 수렴반경 \( R>0 \) 인 멱급수라 하면 \( \|x\|<R \) 에서 \[\int_{0}^{x} f(t) d t=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{c_{k}}{k+1} x^{k+1}\]이다.</p> <p>[증명] 정리 9.20에 의하면 우변의 멱급수는 수렴반경이 \( R \) 임을 알 수 있다. 따라서 정리 9.21을 적용하면 우변은 도함수가 \( f(x) \) 임을 알 수 있다. 즉 양변의 도함수가 같으므로 \( x=0 \) 일 때 값을 비교하여 유일성에 의해 정리가 중명된다.</p> <p>예제 9.36\( \frac{d}{d x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \) 임을 보여라.</p> <p>풀이 예제 9.33에서 \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} \) 의 모든 실수에서 수렴함을 보였다. 그리고 정리 9.20 에 의하여 \[\frac{d}{d x}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x^{n-1}}{n !}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{(n-1) !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !} .\]</p> <p>예제 9.37\( \ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n}(\|x\|<1) \) 임을 보여라.</p> <p>풀이 \( \|x\|<1 \) 에 대하여 \( \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x} \) 이므로 \( x=-t \) 로 치환하면 모든 \( \|t\|<1 \) 에 대하여 \[\frac{1}{1+t}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} t^{n}\]이다. 양변을 적분하면 모든 \( \|x\|<1 \) 에 대하여 \[\ln (1+x)=\left.\ln (1+t)\right\|_{0} ^{x}=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t} d t\]\[ =\int_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} t^{n}\right) d t=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1} x^{n+1} \].</p>	자연
머신러닝을 사용한 서리 예측 연구	<p>위에서 언급한 모형들과 같이 최근 연구에서는 서리발생 예측 정확도를 향상시키기 위해 다양한 방법이 적용되고 있다. 본 논문에서는 위의 논문에서 자주 사용되었던 SVM, Random Forest, MLP 모형과 최근 다양한 분야에 자주 사용되는 XGB 모형의 결과를 비교해보려 한다. 사용한 데이터는 2000년 1월 1일부터 2021년 4월 30일까지 대한민국 53 개 지점의 서리발생이력데이터와 지상관측자료를 활용하였다. 하이펴파라미터(Hyper parameter) 선정을 위해 정확도(accuracy)를, ROC(Receiver operating characteristic)를 참조하여 모델을 선정하였고, 최종 모델 성능은 재현율(recall), F-score, 임계성공지수(CSI) 등의 다양한 모델 평가기준으로 종합적으로 모델을 평가하였다.</p> <p>다음 2장에서는 서리 발생 예측을 위해 사용한 SVM, Random Forest, MLP, XGB 모형에 대하여 소개한다. 3장에서는 본 연구에 활용된 서리발생이력 데이터, 기상 데이터와 전처리 방법에 대하여 설명하고, 4장에서는 위에서 언급한 모형을 적용한 예측 결과를 비교, 분석한다. 5장에서는 결론 및 향후 연구 방향에 대하여 제안할 예정이다.</p> <h1>2. 예측 모형</h1> <h2>2.1. Support vector Machine (SVM) 모형</h2> <p>Support vector machine (SVM)은 기계 학습의 분야 중 하나로 패턴 인식, 자료 분석을 위한 지도 학습 모델이며, SVM은 오류 데이터에 대한 영향이 없으며, 과적합되는 경우가 적다. SVM은 예측하고자 하는 종속변수의 형태에 따라 2개 그룹을 분류하는 기본모형인 support vector classification (SVC)과 support vector regression (SVR) 두 가지로 나누어진다. 본 논문의 목적은 서리 발생 여부를 분류하기 위함이므로 SVC 를 이용한다. SVM에서는 최적화된 SVM 함수를 찾기 위해 비용함수와 라그랑주 함수, 제약조건을 통해 마진을 크게 하는 것과 에러에 대한 페널티를 작게 하는 것의 균형을 맞춘다. 이때 제약조건으로 C 와 gamma 매개변수를 지정하는데, C 는 데이터 샘플들이 다른 클래스에 놓이는 것을 허용하는 정도를 결정하고, gamma는 결정 경계의 곡률을 결정한다. 두 값 모두 커질수록 알고리즘의 복잡도는 증가하고, 작아질수록 복잡도는 낮아진다. 본 논문에서는 \( \mathrm { C } = 1, \mathrm { C } =3 \) 두 가지 값을 사용하였고, gamma는 scale 값으로 지정하였다. 또한 SVM 모형은 결정경계인 커널함수를 지정할 수 있는데, 본 논문에서는 기본 선형 커널과 비선형에서 주로 사용되는 radial basis function (RBF) 커널을 사용한다.</p> <h2>2.2. Random Forest 모형</h2> <p>Random Forest (RF) 모형은 검출, 분류 그리고 회귀분석 등에 활용되는 의사 결정 트리 기반의 알고리즘으로, 앙상블 학습(ensemble learning)방법의 일종이다. 훈련 과정에서 부트스트랩(bootstrap)방식을 이용해 개별 의사결정트리(decision tree)를 구축한다. 다수의 의사 결정 트리로부터 나온 결과를 범주형 데이터인 경우는 다수결(voting)로, 연속형 데이터의 경우는 평균으로 최종 값을 결정한다. Random Forest 모형은 설명변수 간의 상호작용 및 비선형성을 다루기 용이하고 이상치에 강해 회귀 문제에서 광범위하게 사용되고 있다. Random Forest의 주요 파라미터는 트리의 갯수와 트리의 허용 깊이로 연구자가 지정해야 한다. 트리의 갯수를 늘리면 연산량이 증가해 속도가 느려지지만 데이터에 대한 과적합을 피할 수 있다. 반면, 트리의 최대 깊이를 늘리면 과적합이 발생한다. 과적합을 해결하기 위해 적정수준의 파라미터를 결정하게 된다. 본 논문에서는 트리의 갯수(n estimator)를 100 과 1000 , 트리 허용 깊이(max depth)를 3 과 7 로 총 4가지 경우로 파라미터를 조정하는 과정을 거쳐 예측력이 우수한 모형을 선정하였다.</p> <p>가장 좋은 성능을 보였던 XGB 모델로 변수 중요도 우선순위는 다음 Figure 2와 같다. 선형상관관계와 비교해봤을때, 최저기온은 XGB에서도 가장 중요도가 높은 변수임을 보였다. 그 다음으로는 최소풍속, 기온표준편차, 최대습도, 평균풍속, 평균 강수량, 평균운량, 평균 습도, 총 일사시간, 최대운량, 3 일 누적 강수량이었다. 선형상관관계 분석에서 기온 관련 변수만 상관계수가 높았던 것에 비해, XGB 에서는 다양한 기상 요소가 중요한 변수로 선정됨을 볼 수 있다.</p> <h2>3.3. 모형 성능 평가</h2> <p>본 논문에서 모형의 성능을 파악하기 위하여 정확도(Accuracy)와 정밀도(Precision), 재현율(Recall), F1, 임계성공지수(CSI) 와 같은 다양한 성능평가지표를 사용했다. 정확도는 검증에서 사용한 개념과 같으며, 정밀도, 재현율, F1, 임계성공지수는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( \begin {aligned} \text { Precision } &= \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FP } } , \\ \text { Recall } &= \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FN } } , \\ \mathrm { F } 1 &= \frac { 2 \times \text { Precision } \times \text { Recall } } {\text { Precision } + \text { Recall } } , \\ \mathrm { CSI } &= \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FP } + \mathrm { FN } } . \end {aligned} \)<caption>(3.2)</caption></p> <p>정밀도는 서리로 예측된 것들 중 실제로도 서리인 경우의 비율이며, 재현율은 실제 서리가 관측되었을 때, 예측이 서리가 발생할 것으로 된 경우의 비율이다. F1 점수는 정밀도와 재현율의 조화평균으로 주로 분류 클래스 간의 데이터가 불균형이 심각할때 주로 사용한다. 임계성공지수는 예측과 관측에서 서리 발생에 관련된 모든 경우의 총합에서 옳은 예측의 비율을 의미하는데, 틀림(False Alarms)과 놓침(Misses) 모든 경우에 민감해서 기상학적 빈도수를 같는 경우에 실질적인 정보를 제공할 수 있다. 정확도, 정밀도, 재현율, F1, 임계성공지수가 1 에 가까울수록 모형의 예측 성능이 우수하다.</p> <p>본 논문에서는 교차검증을 이용해 훈련 데이터로 하이펴파라미터 값을 선정하였고, 적합한 모형으로 테스트 데이터 값들을 예측하여 모형의 성능을 비교하고자 한다. 모형에 따른 평가지표 비교결과는 다음 Table 5 와 같다. SVM, 랜덤포레스트, MLP, XGB 모든 모형의 독립변수는 기상요소(풍향, 풍속, 습도, 기온, 일사) 파생변수로 모두 동일하게 일치시켜 예측하였다. 예측 결과 정확도면에서는 XGB가 0.904 로 가장 높은 점수를 가지고 있으나, 모든 모델이 약 0.9 정도로 비슷한 점수를 유지하고 있다. 정밀도는 랜덤포레스트가 0.836 으로 제일 높았으며, 재현율에서는 XGB가 타 모형에 비해 상당히 높은 수치를 보여짔다. 하지만 XGB 모형이 정밀도와 재현율의 조화평균인 F1과 CSI에도 가장 높은 점수를 보였다. 또한 테스트 데이터 예측결과를 가지고 계산한 ROC 그래프인 Figure 3을 살펴보면 모든 모델들이 서리를 구별하는데 있어 안정적인 것으로 보여지나, 그 중에서도 XGB 의 AUC 가 0.948 로 가장 높았다. XGB 모형이 정확도, 재현율, F1, CSI, AUC 여러 지표에서 높은 점수를 가지면서 가장 안정적인 모형으로 나타난다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>본 논문에서는 최근 기후 문제로 잦은 피해를 야기하는 서리발생 예측을 하고자 하였다. 서리 발생에 가장 기본적인 기상요소만을 이용하여 다양한 모델(SVM, 랜덤포레스트, MLP, XGB)을 적용하여 예측결과를 비교해 보았다. 예측결과 XGB 모형의 정확도가 0.904, CSI 0.645 로 가장 좋은 성능을 보여주었다.</p> <p>본 연구에서는 오직 기상변수로 모델을 비교하고, 가장 성능이 좋았던 XGB에서 서리발생에 주요한 변수를 확인했다. 추후 해당 연구를 확장하여 서리예측 정확도 향상을 위하여 서리 예측에 중요한 다른 변수들을 모색하는 등 다각적인 접근이 필요할 것으로 예상된다. 또한 전처리 과정에서 서리 발생과 서리 미발생의 빈도가 불균형한것을 고려하여 SMOTE(Synthetic Minority Over-sampling Technique)나 ADASYN(Adaptive Synthetic Sampling) 등을 통해 학습률을 높여 정확도 비교 연구도 미래 서리발생 예측 정확도 향상에 보탬이 될 것으로 사료된다. 더 나아가 모델 운영에 있어서 독립변수들간의 관계를 살펴 주성분분석 등을 진행하거나 중요도가 높은 특정 변수들만을 추출하여 모델을 단순화하는 방법도 서리발생 예측 알고리즘 운영에 유의미한 접근이 될 것으로 예상된다.</p> <h2>2.3. Multi-Layer Perceptron 모형</h2> <p>인공신경망(뉴럴네트워크)은 기계학습과 인지과학에서 생물학의 신경망(perceptron)에서 영감을 얻은 통계학적 학습 알고리즘이다. MLP모형은 인공신경망의 기본형으로 여러 개의 퍼셉트론을 연결해 여러 층을 만들고, 이 층들을 중첩시켜 다층(Multi layer)으로 만든다. MLP는 형성한 네트워크에서 인공뉴런(노드)이 학습을 통해 시냅스의 결합 세기를 변화시켜가며 복잡한 계산과정을 통해 모형의 정확도를 높인다. MLP는 입력층(input layer), 은넉층(hidden layer), 출력층(output layer)으로 구성되며, 입력층과 출력층 사이에 하나 이상의 중간층이 존재한다. MLP 하이퍼 파라미터로 은넉층 사이즈(hidden layer sizes), 반복횟수(max iteration)를 조정했으며, 활성화 함수는 'relu', 옵티마이저는 'adam'으로 지정하였다.</p> <h2>2.4. XGB 모형</h2> <p>Extreme Gradient Boosting (XGB) 모형은 의사결정나무 기반의 알고리즘으로써 그래디언트 부스팅(Gradient Boosting)을 개량한 알고리즘이다. 그래디언트 부스팅은 기울기 하강법을 이용하여 연속되는 트리가 이전 트리의 예측 오차를 기울기 하강법으로 보완하여 순차적으로 모형을 생성해 나가면서 예측력을 높이는 기계학습 기법이다. 제대로 예측되지 못한 개체들에 집중하여 새로운 예측모델을 만드는 반복과 정을 거치며 여러 약한 학습기의 조합으로 강한 학습기를 생성한다. XGB 모형은 그래디언트 부스팅 모형을 병렬학습이 지원되도록 분산처리하여 빠르게 변수를 발견하는 기법이다. 메모리에 맞지 않는 데이터 처리를 위한 병렬연산을 지원하여 빠르며, 매우 큰 모델에 사용가능하며, 과적합이 잘 일어나지 않는 장점이 있다. 하지만 파라미터의 개수가 많아 복잡하다는 단점이 있다. 본 논문에서는 그 중 트리 허용 깊이(max depth)와 학습률(learning rate), 2 개의 파라미터를 조정하여 예측력이 우수하도록 모형을 적합하였다.</p> <h1>3. 데이터 및 자료 분석</h1> <h2>3.1. 데이터 및 분석 방법</h2> <p>본 연구 주제인 서리는 지표 부근 공기의 이슬점 온도가 어는점 이하일 때 발생하므로, 기온의 연속성을 고려하여 매 정오를 기준으로 24 시간(기준일 정오부터 다음날 정오까지) 서리발생여부를 예측하였다. 2000년 1월부터 2021년 4월까지 데이터에서 사계절의 영향으로 서리가 발생하기 시작하는 10월부터 4월까지 데이터만 추출했으며, 기준년도 10 월부터 다음년도 4월에 서리가 한번도 발생하지 않은 지점의 데이터는 해당 기간 제거했다. 제거하는 과정에서 대한민국 총 53 개 지점의 서리발생이력데이터를 수집하였고, 해당 지점의 시간별 기상요소(기온, 풍속, 습도, 운량, 강수량, 일사량)를 수집하여 기준일 정오부터 다음날 정오까지 평균, 총합, 최대, 최소, 분산값을 계산하여 서리발생시점과 시간 간격을 일치시켰다. 추가로 분석의 정확성을 향상시키고, 유의미한 정보를 얻기 위해 원시데이터로부터 여러 변수의 조합 · 조정을 통해 Table 1 과 같이 파생변수를 생성하였다. Rajaei 등 (2015)에 따르면 모든 토양 유형의 열전도율은 토양 입도 분포 곡선, 수분 함량 및 건조 밀도에 따라 달라질 수 있기때문에 토지상황을 반영하기 위해 예측일 포함 3 일, 7 일, 10 일동안의 강수량의 평균과 총합을 계산했다. 이때 변수명 뒤에 특정 숫자가 없으면 서리를 예측하는 날의 24 시간 날씨 통계값을, 뒤에 숫자 1 이 붙으면 전날 24 시간의 통계값을, 3 이나 7,10 은 예측일을 포함한 3 일동안의 통계값을 의미한다.</p> <p>데이터에서 무작위로 \( 70 \% \) 를 추출하여 교차검증을 통해 훈련 및 검증자료(training and validation data)로 사용했고, 나머지 \( 30 \% \) 의 데이터는 테스트데이터(test data)로 모형의 성능을 평가하였다. 훈련 및 테스트 데이터에서 서리 발생과 미발생의 비율은 Table 2 와 같으며, 훈련 및 테스트 데이터에서 모두 서리발생과 미발생 비율은 \( 1: 3 \) 정도이다.</p> <p>본 논문에서 서리발생 예측을 위해 통계 프로그래밍 언어인 R과 Python을 모두 사용하였으며, 모형 적합 및 예측을 위해 주로 Python의 sklearn 패키지를 사용하였다.</p> <h2>3.2. 모형 적합 결과</h2> <p>훈련 데이터에서 과적합과 과소적합을 방지하도록 아래 Figure 1과 같이 K-Fold 교차검증을 사용해 5 개 Fold로 분할하여 정확도(Acc)와 AUC (Area Under the Curve)를 계산했다. 평균 Acc 와 AUC 를 참조하여 하이펴 파라미터를 선택했다. 정확도는 예측결과와 실제 관측결과를 Table 3과 같이 혼동행렬로 표현했을때, 아래의 식과 같이 정의 되며, AUC 는 모든 임계값에서 분류 모델의 성능을 보여주는 ROC(Receiver Operating Characteristic)그래프 곡선 아래영역이다. 정확도는 전체의 경우에서 얼마나 잘 맞춰는지를 의미하며, AUC 는 값이 클수록 서리를 구별하는 모델의 성능이 좋음을 의미한다.</p> <p>Accuracy \( = \frac {\mathrm { TP } + \mathrm { TN } } {\mathrm { TP } + \mathrm { TN } + \mathrm { FP } + \mathrm { FN } } \).<caption>(3.1)</caption></p> <p>모형별 다양한 하이펴 파라미터로 검증한 결과는 Table 4와 같다. 모형별로 비슷한 수준의 성능을 보였다. 모형별로 살펴보면, SVM 모형은 하이펴 파라미터 C에 대한 영향보다 커널에 대한 영향을 크게 받는것으로 나타났다. 커널이 'rbf'이고, C 가 3인 모형의 정확도와 AUC 가 각각 0.89,0.931 로 가장 높았다. 랜덤포레스트 모형은 트리의 갯수보다는 트리 깊이에 대한 영향을 크게 받았다. 트리 깊이가 7인 경우 AUC는 동일하나, 정확도 면에서 트리갯수가 100 인 경우가 정확도가 0.892 로 조금 더 높아 최종 파라미터로 선정하였다. MLP 모형은 최대 반복횟수보다는 은닉층의 개수에 대한 영향이 큰 것으로 보여진다. 정확도는 반복최대횟수가 1000 , 은닉층의 개수가 7 일때, 0.895 로 가장 높은 수치를 보였다. XGB 모형은 하이펴 파라미터에 상관없이 비슷하게 좋은 성능을 보였다. 하지만 트리 깊이 7, 학습률 0.1 로 최적화했을때, 정확도와 AUC가 0.901, 0.944 로 모형들보다 가장 높은 수치를 보였다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>최근 지구 평균기온이 상승하면서 작물의 개화 시기가 빨라지는 반면, 기온 변동성이 커지면서 갑작스런 한파가 발생하면서 농작물 피해가 발생하고 있다. 농작물이 저온에 접하면 조직이 동결되는데, 이로 인하여 세포막이나 엽록체의 막이 경화되어 파괴되거나, 세포가 말라 죽는다. 농작물의 직접적인 큰 피해를 야기하는 서리는 습한 공기가 물의 3중점과 공기 이슬점보다 낮은 차가운 표면에 노출될때 발생한다. 이러한 서리로 인한 피해는 최근 세계 곳곳에 발생하며 서리 예측에 대한 관심이 증가하고 있다.</p> <p>2021년 7월 세계 최대 커피 생산국인 브라질의 미나스 제라이스 주 일대에 갑작스러운 영하의 날씨와 서리가 덮쳐 지역 커피나무의 약 \( 30 \% \) 가 피해를 보았다. 커피 피해로 인한 커피 가격이 6개월만에 파운드당 1.26 달러에서 1.94 달러로 상승했다. 그뿐 아니라 피해가 심한 농장은 작황이 회복되기까지 3년은 걸려 2024년에나 커피를 생산할 수 있어 장기간 막대한 피해가 예상된다. 또한 프랑스는 21 년 4월에 이어 22년 프랑스에서 역대 가장 추운 4월을 기록하며 2 년 연속 봄서리로 피해를 겪고있다. 21 년 엄청난 서리로 인해 전체 피해금액은 20 억 달러(약 2 조 2,746 억 원)에 달하며, 포도밭은 약 \( 80 \% \) 로 전년대비 와인 생산량이 \( 27 \% \) 감소하였다. 22 년은 프랑스 북부 지방에서는 영하 9도까지 내려가며 한겨울 맹추위를 재현하며 포도뿐 아니라 복숭아, 살구 등 다른 과수에도 큰 영향을 미칠것으로 예상된다. 이렇듯 최근 지구온난화로 계절에 맞지 않는 따뜻한 날씨가 이어지며 식물의 성장을 가속했는데, 기온 변동성이 커지면서 갑작스런 한파가 발생하면서 서리 발생 예측이 점점 어려워지고 있다. 이로 인해 시기에 맞지 않게 빨리 자란 식물이 한파에 더욱 취약한 상태가 되어 수십만 헥타르에 달하는 피해가 이어지고 있다. 이에 따라, 서리 발생을 정확히 예측하기 위한 시도들이 계속되고 있다.</p> <p>서리 발생 예측을 위하여 Sallis 등은 SOM(Self-organizing Map)을 사용하여 기온, 습도, 풍속, 강 수, 기압 변수들의 데이터 간의 종속성(상관 관계)를 연구하였다. 연구를 통해 서리가 내릴 때의 풍향은 주로 남동쪽, 즉 칠레 오히긴스 지역의 계곡에 있는 로스 안데스산맥의 영향을 받기 때문에 지리 공간적 요인들에 대한 분석이 필요함을 확인하였다. Lee 등은 한반도 6 개 관측소 데이터로 로직스틱 회귀분석보다 결정 트리기법이 POD(Probability of Detection)가 높음에 따라 결정트리 기법을 서리 예측 모델로 선택했다. Casta ??neda-Miranda 등은 ARX(Autoregressive models with external input)와 MLP(Multi-Layer Perceptron) 모형으로 외부 공기 온도, 외부 공기 상대 습도, 풍속, 지구 일사량 플럭스, 내부 공기 상대 습도변수를 사용해 온실 내부 온도를 예측했다. MLP모형이 \( R ^ { 2 } \) 가 여름, 겨울 각각 0.9549,0.9590 으로 더 높은 성능을 보임을 밝혔다. Zendehboudi 등은 수평 및 평면에서 서리 두께와 밀도를 예측하였다. Hybrid ANFIS(Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System), GA-LSSVM(Least Square Support Vector Machine with Genetic Algorithm), GA-RBF(Radial Basis Function neural network based on genetic algorithm), MLP모델을 비교하였으며, 4가지 경우 모두 MLP모형에서 \( R ^ { 2 } \) 가 약 0.99 를 가지며 가장 우수한 성능을 보임을 보였다. Diedrichs 등은 SMOTE(Synthetic Minority Over-sampling Technique)를 적용하면 Random Forest 및 로지스틱 회귀 모델 모두에서 재현율을 높임으로써 향상된 성능을 보여주었다. Ding 등은 온도, 습도 및 방사선의 과거 값을 취하여 SVM 모형으로 서리 발생 가능성을 예측했다. 기온은 서리 예측 모델에 관여하는 핵심 요소며, 습도는 2 시간 또는 3 시간 이내와 같이 상대적으로 긴 시간 동안 조기 경보를 발생시키는 데 도움이 되며, 방사선은 단기간에 일부 지역에 대한 변화를 반영하여 민감도를 향상시킴을 보여짔다. 최종적으로 SVM 모형으로 다음 1 시간, 2 시간 및 3 시간 서리발생을 예측할 때, 재현율은 각각 \( 100 \%, 99.3 \%, 99.8 \% \) 로 달성함을 보였다. Tamura 등은 온도와 증기압 변수의 과거값으로 단순 이동 평균과 지수 이동 평균을 사용하여 SVM (Support Vector Machine) 결과를 비교했다. 지수 이동 평균을 사용한 모델은 \( \mathrm { F1 } \) 측정 측면에서 단순 이동평균을 사용한 모델보다 몇 퍼센트 더 성능이 우수함을 밝혔다. Rozante 등은 지역 일기 예보 모델에 의해 수치적으로 계산된 변수의 가중치를 보정하여 서리 지수(IG)를 교정했다. 이때 가중치는 온도가 가장 큰 기여도를 가지며 압력과 바람이 그 뒤를 이으며, 다른 변수는 가중치의 합이 1 이라는 제한을 따르도록 조정했다. Wassan 등은 CNN 모델로 서리 현상 예측했다. 1차원 데이터 분석을 위해 conv1d를 사용했으며, 반복횟수가 30,000 회일 때 정확도가 \( 97.6 \% \) , 50,000회일 때 정확도가 \( 98.6 \% \) 임을 보였다.</p>	자연
다변수미적분학	<p>일차 편도함수 판정법</p> <p>\( f(x, y) \) 가 정의역의 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극값을 갖고 편도함수를 갖는다면, \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \quad \]이고 \( \quad f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \)이 된다.</p> <p>이것의 증명은 다음과 같다. \( g(x)=f \left (x, y_ { 0 } \right ) \)라 하면 \( f(x, y) \) 가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 극값을 가지므로 \( g \) 도 \( x=x_ { 0 } \) 에서 극값을 가지므로 \( g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )=0 \)이 된다. 따라서 \[ g ^ {\prime } \left (x_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x, y_ { 0 } \right ) \frac { d x } { d x } + \left .f_ { y } \left (x, y_ { 0 } \right ) \frac { d y_ { 0 } } { d x } \right \|_ { x=x_ { 0 } } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]이 된다. 같은 방법으로 \( f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \)를 얻는다.</p> <p>함수 \( f(x, y) \)에서 동시에 \( f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \)이거나, 편미분이 존재하지 않는 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 을 임계점(critical point)이라고 한다. 임계점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 \( f(x, y)>f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)이 되고, 또한 \( f(x, y)<f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)이 되는 점들이 존재하면 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 말안장점(saddle point)이라고 한다.</p> <p>등위면의 접평면의 방정식</p> <p>\( f(x, y, z)=c \) 에 의하여 주어진 등위면의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서의 접평면의 방정식을 구하자. 우리는 3장 4.1절에서 점과 법선벡터가 주어진 평면의 방정식을 구하는 방법을 알고 있다. 위에서 우리는 기울기벡터가 접평면의 법선벡터임을 안다. 따라서 접평면의 방정식은 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + f_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \]로 주어진다.</p> <p>\( z=f(x, y) \) 의 그래프로 주어진 곡면은 \( F(x, y, z)=z-f(x, y)=0 \) 로 주어진 등위면으로 생각할 수 있으므로 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 접 평면의 방정식은 \[ \begin {aligned} 0 &=F_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + F_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) + F_ { z } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) \\ &=-f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right )-f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + \left (z-z_ { 0 } \right ) \end {aligned} \]로 주어진다. 이 식은 3장 4.1절에서 다루었던 식과 일치하는 것을 알 수 있다.</p> <p>명제 4.4 \(A, B, C \)가 상수라 하고, \( g(x, y)=A x ^ { 2 } + 2 B x y + C y ^ { 2 } \)라 하자. 그러면<ol type= start=1><li>\( A C-B ^ { 2 } >0 \) 이고 \( A<0 \)이면, \( g(x, y) \) 는 \( (0,0) \)에서 극대값을 갖는다.</li> <li>\( A C-B ^ { 2 } >0 \) 이고 \( A>0 \)이면, \( g(x, y) \) 는 \( (0,0) \)에서 극소값을 갖는다.</li> <li>\( A C-B ^ { 2 }<0 \) 이면, \( g(x, y) \)는 \( (0,0) \) 근방에서 \( (x, y) \)에 대하여 양의 값도 가지고 음의 값도 갖는다.</li></ol>이 성립한다.</p> <p>이 증명은 여기서 하지 않기로 한다.</p> <p>예제 7 \( f(x, y)=x y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -4 x \)의 극점을 찾고 극값을 구하라.</p> <p>풀이 먼저 극점을 찾기 위해서 연립방정식 \[f_ { x } (x, y)=y-2 x-4=0, \quad f_ { y } (x, y)=x-2 y=0 \]을 풀자. 우리는 해 \( x=-8 / 3, y=-4 / 3 \) 을 얻는다. 이제 판별식을 구하자. \[f_ { x x } =-2, \quad f_ { x y } =1, \quad f_ { y y } =-2 \]이므로 \[D(-8 / 3,-4 / 3)=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } =(-2)(-2)-1) ^ { 2 } =3>0 \]이 된다. \( f_ { x x } =-2<0 \) 이므로 \( f \) 는 \( (-8 / 3,-4 / 3) \) 에서 극대값 \( f(-8 / 3,-4 / 3)=16 / 3 \) 을 갖는다.</p> <p>예제 9 점 \( (1,0,-2) \) 에서 평 면 \( f(x, y)=x + 2 y + z=4 \) 까지의 거리를 구하라.</p> <p>풀이 먼저 평면 밖의 점과 평면 사이의 거리는 그 점과 평면 위의 임의의 점과의 거리 중에서 최소값을 의미한다. 또한 실제로 최소거리는 극소가 되기 때문에 우리는 극소값을 찾으면 된다. 또한 거리의 극소점은 거리의 제곱에 대한 극소점과 같기 문에 거리의 제곱의 극점을 찾아도 된다. \( d \)를 두 점 사이의 거리라 하고 \( f=d ^ { 2 } \) 이라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} f(x, y) &=d ^ { 2 } (x, y)=(x-1) ^ { 2 } + (y-0) ^ { 2 } + \left .(z + 2) ^ { 2 } \right \|_ { z=4-x-2 y } \\ &=(x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + (6-x-2 y) ^ { 2 } \end {aligned} \]이 된다. 극점을 찾기 위해서 연립방정식 \[ f_ { x } (x, y)=2(x-1)-2(6-x-2 y)=0, \quad f_ { y } (x, y)=2 y-4(6-x-2 y)=0 \]을 풀면 \( x=11 / 6, y=5 / 3 \) 을 얻는다. 이제 판별식을 구하자. \[f_ { x x } =4, \quad f_ { x y } =4, \quad f_ { y y } =10 \]이므로 \[ D(-8 / 3,-4 / 3)=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } =(4)(10)-(4) ^ { 2 } =24>0 \]이 된다. \( f_ { x x } =4>0 \) 이므로 \( f \) 는 \( (11 / 6,5 / 3) \) 에서 극소값 \( f(11 / 6,5 / 3)=25 / 6 \) 을 갖는다. 따라서 구하는 거리는 \( \frac { 5 \sqrt { 6 } } { 6 } \) 이 된다.</p> <p>예제 5 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -x + 4 y + 6 \) 의 극값을 구하라.</p> <p>풀이 연립방정식 \[ f_ { x } (x, y)=2 x-1=0, \quad f_ { y } (x, y)=2 y + 4=0 \]을 풀면, \( x=1 / 2, y=-2 \) 를 얻는다. \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -x + 4 y + 6=(x-1 / 2) ^ { 2 } + (y + \) \( 2) ^ { 2 } + 5 / 4 \geq 5 / 4 \)이기 때문에 점 \( (1 / 2,-2) \)에서 극소값 \( 5 / 4 \) 를 갖는다. 다음 그림 4.4을 참고하자.</p> <p>예제 \( 6 f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } \) 은 \( (0,0) \) 이 임계점임을 보여라. 이 점에서 함수는 극값을 갖는지를 알아 보아라.</p> <p>풀이 \( (0,0) \) 에서 \( f_ { x } (x, y)=2 y=0 \)이고 \( f_ { y } (x, y)=-2 x=0 \)이기 때문에 임계점이다. 직선 \( x=0 \)을 따라서 함수는 \( f(x, y)=y ^ { 2 } \)의 형태를 갖는다. 따라서 직선 \( x=0 \)을 따라 \( y=0 \) 근방에서 극소가 된다는 것을 알 수 있다. 그러나 직선 \( y=0 \)을 따라서 함수는 \( f(x, y)=-x ^ { 2 } \)의 형태를 갖게 되므로 직선 \( y=0 \)을 따라 \( x=0 \) 근방에서는 극대가 된다. 즉, \( (0,0) \)에서 함수는 극대값도 극소값도 되지 않는다. 이차곡면 중 쌍곡포물면의 그래프에서 본 것과 같이 이 점은 말안장점이 된다. 다음 그림 4.5을 참고하자.</p> <p>이계 편도함수 판정법</p> <p>\( f(x, y) \) 가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 포함한 열린영역에서 연속인 일계 및 이계 편도함수를 가진다고 하고, \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0, \quad f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \]라 하자. 또한 \[ D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-f_ { x y } ^ { 2 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]라 하자. 그러면<ol type=1 start=1><li>\( D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 \)이고 \( f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 \)이면, \( f \) 는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극대값을 갖는다.</li> <li>\( D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 \)이고 \( f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 \)이면, \( f \) 는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극소값을 갖는다.</li> <li>\( D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 \)이면, \( f \)는 말안장점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)을 갖는다.</li> <li>\( D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \)이면, 이 판정법은 아무런 결론을 내릴 수 없다.</li></ol></p> <p>풀이 먼저 우리는 주어진 방향의 단위벡터가 필요하다. 이를 \( \mathrm { u } \) 라 하면 \[ \mathbf { u } = \frac {\mathbf { v } } { \| \mathbf { v } \| } = \frac { (2,3) } {\sqrt { 13 } } \]이 된다. 또한 기울기벡터는 \( \left . \nabla f \right \|_ { (2,1) } = \left . \left (2 x y ^ { 3 } + y, 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x \right ) \right \|_ { (2,1) } =(5,14) \) 가 된다. 따라서 구하고자 하는 방향도함수는 \[ \frac { (2,3) } {\sqrt { 13 } } \cdot(5,14)= \frac { 52 } {\sqrt { 13 } } \]이다.</p> <p>삼차원 함수 \( f(x, y, z) \) 의 기울기벡터도 같은 방법으로 \( \nabla f= \left (f_ { x } (x, y, z), f_ { y } (x, y, z), f_ { z } (x, y, z) \right ) \) 로 정의 한다.</p> <p>정리 4.2 \( f \)가 정의역에서 미분가능하다고 하자. 방향도함수의 최대값은 \( \| \nabla f\| \) 이고 이때 방향은 \( \nabla f \) 방향이며, 최소값은 \( -\| \nabla f\| \) 이고 방향은 \( - \nabla f \) 방향이 된다.</p> <p>증명 \( \mathbf { u } \) 를 단위벡터라 하자. \( f \) 의 방향도함수는 \( \nabla f \cdot \mathbf { u } =\| \nabla f \\| \mathbf { u } \| \cos \theta \) 가 된다. 여기서 \( \theta \) 는 두 벡터 \( \nabla f \) 와 \( \mathbf { u } \) 사이의 각이다. \( \| \mathbf { u } \|=1 \) 이기 때문에 \( \nabla f \cdot \mathbf { u } =\| \nabla f\| \cos \theta \) 가 된다. 즉, 방향도함수의 최대값과 최소값은 \( \theta \) 에 의존한다. 따라서 최대값은 \( \theta=0 \) 일 때 나타나므로 최대값은 \( \| \nabla f\| \) 이고 방향은 \( \nabla f \) 방향이다. 같은 방법으로 최소값은 \( \theta= \pi \) 일 때 나타나므로 최소값은 \( -\| \nabla f\| \) 이고 방향은 \( \nabla f \) 과 반대 방향인 \( - \nabla f \) 방향이 된다.</p> <p>\( f(x, y) \) 와 \( g(x, y) \) 가 미분가능하고, 곡선 \( g(x, y)=c \) 에 있는 점 \( P_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 극대값 또는 극소값을 갖는다고 하자. 등위곡선 \( f(x, y)=k \) 는 \( k \) 가 변함에 따라서 곡선 \( g(x, y)=c \) 와 만나거나 만나지 않는다. 점 \( P_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 극대값 또는 극소값을 갖기 때문에 기하학적으로 살펴보면 두 곡선이 \( k \) 가 증가함에 따라 \( P_ { 0 } \) 에서 가장 처음으로 만나거나 마지막으로 만나게 된다. 즉, \( P_ { 0 } \) 에서 두 곡선은 접하게 된다. \( P_ { 0 } \) 에서 각 곡선의 기울기벡터는 접선벡터에 수직이기 때문에 두 곡선의 기울기벡터는 \[ \nabla f= \lambda \nabla g \]의 관계를 가지게 된다. 이것이 라그랑쥐 승수법의 내용이다.</p> <p>라그랑쥐 승수법(Method of Lagrange multipliers)</p> <p>\( g(x, y)=c \) 의 제약 조건에서 \( f(x, y) \) 의 극값을 찾기 위해서는<ol type=1 start=1><li>\( \nabla f= \lambda \nabla g \) 와 \( g(x, y)=c \) 를 만족하는 \( (x, y) \) 와 \( \lambda \)를 찾는다.</li> <li>1 에서 찾은 해 \( (x, y) \) 에 대한 함수값 \( f(x, y) \) 들 중에서 최대인 것이 최대값이 되고, 최소인 것이 최소값이 된다.</li></ol>\( g(x, y, z)=c \)를 제약 조건으로 갖는 삼변수 함수 \( f(x, y, z) \)의 극값을 찾는 라그랑쥐 승수법도 이와 같다.</p> <p>예제 12 예제 11에서 다루었던 문제를 라그랑쥐 승수법으로 다루어 보자.</p> <p>풀이 예제 11의 풀이와 같이 \( V(x, y, z)=x y z \) 라 하고 \( g(x, y, z)=x y + 2 x z + 2 y z \)라하면, 우리가 구하는 문제는 \( g(x, y, z)=12 \)의 조건에서 \( V(x, y, z) \) 의 극값을 찾는 것이다. \( \nabla V=(y z, x z, x y), \nabla g=(y + 2 z, x + 2 z, 2 x + 2 y) \) 이므로 라그랑쥐 승수법을 이용하자. 우선 다음 연립방정식을 풀자. \[ \begin {aligned} y z &= \lambda(y + 2 z) \\ x z &= \lambda(x + 2 z) \\ x y &= \lambda(2 x + 2 y) \\ 12 &=x y + 2 x z + 2 y z \end {aligned} \] 양변에 각각 \( x, y, z \) 를 곱하면 \[ \begin {aligned} x y z &= \lambda(x y + 2 x z) \\ x y z &= \lambda(x y + 2 y z) \\ x y z &= \lambda(2 x z + 2 y z) \end {aligned} \]이 된다. \( \lambda=0 \) 이면 \( x=y=z=0 \) 이므로 원하는 값이 아니다. 따라서 \( \lambda \neq 0 \) 이다. (4.1)과 (4.2)로부터 \( x y + 2 x z=x y + 2 y z \) 혹은 \( x z=y z \) 를 얻는다. \( z \neq 0 \) 이므로 \( x=y \) 가 된다. 또한 (4.2)와 (4.3)에 의하여 \( 2 x z=x y \) 즉, \( y=2 z \) 를 얻는다. 이제 \( x=y=2 z \) 를 \( g(x, y, z)=x y + 2 x z + 2 y z \) 대입하면 \( x=2, y=2, z=1 \) 을 얻는다. 이것은 위에서 얻은 결과와 같다.</p> <p>일상에서 최대값및 최소값의 문제는 유계인 영역 안에서 구하는 경우가 많다. 일변수 함수와 비슷한 방법으로 우리는 최대최소 정리를 얻는다. 즉, 닫힌 영역에서 연속인 함수 \( f(x, y) \) 는 그 영역 안에서 최대값과 최소값을 갖는다. 그러나 이 정리는 최대값 및 최소값을 어디서 갖는지 또한 그 값이 무엇인지는 말해주지 않는다. 함수 \( f(x, y) \) 가 유계이고 닫힌 정의역 \( R \) 에서 일 때, 최대값 및 최소값 방법을 다음 세 단계로 알아보자.</p> <p>1단계 \( R \) 의 내부에서 \( f \) 가 극값을 갖는 점들을 찾는다. 즉, \( f \) 의 극점을 찾는다.</p> <p>2단계 \( R \) 의 경계에서 \( f \) 의 극값을 찾는다.</p> <p>3단계 위의 1,2 단계에서 찾은 값들 중에서 최대인 것이 최대값이 되고, 최소인 것이 최소값이 된다.</p> <p>예제 10 직선 \( x=0, y=0, y=9-x \) 에 의하여 닫혀진 영역에서 함수 \[ f(x, y)=2 + 2 x + 2 y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \]의 최대값과 최소값을 구하라.</p> <p>풀이 1 단계. 주어진 영역 내부의 극점을 찾아 보자. 연립방정식 \[ f_ { x } (x, y)=2-2 x=0, \quad f_ { y } (x, y)=2-2 y=0 \]을 풀면 \( x=1, y=1 \)을 얻고 이 때의 값은 \( f(1,1)=4 \) 가 된다.</p> <p>2단계. 영역의 경계는 세 직선으로 구분된다. 따라서 이들을 각각 다루어 보자.<p>(1) 직선 \( x=0,0 \leq x \leq 9 \). 이 경계에서의 함수는 \[ f(x, y)=f(0, y)=2 + 2 y-y ^ { 2 } =3-(y-1) ^ { 2 } \]이 된다. 이것은 \( y \)에 대한 이차함수이므로 극대점 \( y=1 \)과 경계점인 \( y=0, y=9 \)에서의 값은 \[ f(0,0)=2 \quad f(0,9)=-61, \quad f(0,1)=3 \]이 된다.</p> <p>(2) 직선 \( y=0,0 \leq y \leq 9 \). 이 경계에서의 함수는 \[ f(x, y)=f(x, 0)=2 + 2 x-x ^ { 2 } =3-(x-1) ^ { 2 } \]이 된다. (1)에서와 같이 극대점 \( x=1 \) 과 경계점인 \( x=0, x=9 \) 에서의 값은 \[ f(0,0)=2 \quad f(9,0)=-61, \quad f(1,0)=3 \]이 된다.</p> <p>벡터의 내적을 이용하여 \( f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b= \left (f_ { x } (x, y), f_ { x } (x, y) \right ) \cdot(a, b) \) 로 쓸 수 있다. 이 때 벡터 \( \left (f_ { x } (x, y), f_ { x } (x, y) \right ) \) 를 함수의 기울기벡터라 부른다.</p> <p>기울기벡터의 정의</p> <p>점 \( P(x, y) \)에서 함수 \( f(x, y) \) 의 기울기벡터(gradient)는 벡터 \[ \left .f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right ) \]로 정의하고 이를 \( \nabla f \) 또는 \( \operatorname { grad } f \) 로 쓴다.</p> <p>기울기벡터는 다음과 같이 설명된다. 함수 \( f(x, y) \) 와 \( x=x(t), y=y(t) \) 의 합성함수에 대한 연쇄법칙은 \[ \frac { d f } { d t } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } = \left ( \frac {\partial f } {\partial x } , \frac {\partial f } {\partial y } \right ) \cdot \left ( \frac { d x } { d t } , \frac { d y } { d t } \right ) \]가 된다. 처음 벡터는 함수 \( f \) 의 기울기 벡터이고, 두번 째 벡터는 속도 \( \mathbf { v } (t) \) 가 된다. 즉, 곡선의 매개방정식이 \( x=x(t), y=y(t) \) 으로 주어 졌을 때, 이 곡선을 따라서 함수의 순간 변화량은 \( \nabla f \cdot \mathrm { v } \) 가 된다.</p> <p>예제 \( 1 \mathrm { f } (x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } + x y \) 의 점 \( (2,1) \) 에서 벡터 \( \mathbf { v } =2 \mathbf { i } + 3 \mathbf { j } \) 방향으로의 방향도 함수를 구하라.</p> <p>여기서 \( D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 \( f \)의 판별식(discriminant) 또는 헤지안(Hessian)이라 하고, 이를 행렬식으로 다음과 같이 나타낸다. \[ D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \left \| \begin {array} { ll } f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) & f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ f_ { x y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) & f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \end {array} \right \| \] 이것을 증명하여보자. \( f \)의 정의역에 있는 두 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)과 \( (x, y) \)를 잇는 직선을 생각하자. 직선이 \( x \)-축과 이루는 각을 \( \theta \in[0,2 \pi] \)라 하고 두 점 사이의 거리를 \( r \)이라 하자. 이제 \( \theta \)를 고정하면 \( x=x_ { 0 } + r \cos \theta, y=y_ { 0 } + r \sin \theta \)로 쓸 수 있다. \( f(x, y)=f \left (x_ { 0 } + r \cos \theta, y=y_ { 0 } + r \sin \theta \right )=h(r) \)로 나타내면, 각 \( \theta \) 에 대하여 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)이 임계점이므로, \( r=0 \) 는 일변수 함수 \( h(r) \)의 임계점이 된다. 함수 \( h(r) \)의 극값을 구하기 위해서 이차 도함수 판별법을 이용하자. 연쇄법칙에 의하여 \[ h ^ {\prime } (r)=f_ { x } (x, y) \frac { d x } { d r } + f_ { y } (x, y) \frac { d y } { d r } =f_ { x } (x, y) \cos \theta + f_ { x } (x, y) \sin \theta \]가 된다. 이를 다시 한번 더 미분하고 연쇄법칙을 이용하면 \[ \begin {aligned} h ^ {\prime \prime } (r)=& f_ { x x } (x, y) \cos \theta \frac { d x } { d r } + f_ { x y } (x, y) \cos \theta \frac { d y } { d r } \\ & \quad + f_ { y x } (x, y) \sin \theta \frac { d x } { d r } + f_ { y y } (x, y) \sin \theta \frac { d y } { d r } \\=& f_ { x x } (x, y) \cos ^ { 2 } \theta + 2 f_ { x y } (x, y) \cos \theta \sin \theta + f_ { y y } (x, y) \sin ^ { 2 } \theta \end {aligned} \]이 된다. 여기서 두 번째 줄에서 \( f_ { x y } =f_ { y x } \)를 이용하였다. \( x=x_ { 0 } + r \cos \theta, y= \) \( y_ { 0 } + r \sin \theta \)를 대입하면 \[ \begin {aligned} h ^ {\prime \prime } (r)=& f_ { x x } \left (x_ { 0 } + r \cos \theta, y_ { 0 } + r \sin \theta \right ) \cos ^ { 2 } \theta \\ & + 2 f_ { x y } \left (x_ { 0 } + r \cos \theta, y_ { 0 } + r \sin \theta \right ) \cos \theta \sin \theta \\ & + f_ { y y } \left (x_ { 0 } + r \cos \theta, y_ { 0 } + r \sin \theta \right ) \sin ^ { 2 } \theta \end {aligned} \]가 된다. \( A=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), B=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), C=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)라 하고 명제 4.4를 적용하면 된다.</p> <p>예제 13 원 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 위에서 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \) 의 최대값과 최소값을 찾아라.</p> <p>풀이 \( g(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 라 하고, 라그랑쥐 승수법을 이용하자. \( \nabla f= \lambda \nabla g \) 를 이용하여 연립방정식 \[ \begin {aligned} 2 x &= \lambda(2 x) \\ 4 y &= \lambda(2 y) \\ 1 &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \end {aligned} \]을 풀어보면, \( x=0, y= \pm 1 \) 과 \( \lambda=1, x= \pm 1, y=0 \) 를 얻는다. 따라서 우리가 얻은 해 \( (x, y) \) 는 \( (0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) \) 이다. 그리고 함수값은 각각 \( f(0,1)=2 \), \( f(0,-1)=2, f(1,0)=1, f(-1,0)=1 \) 이 된다. 따라서 \( (0,1),(0,-1) \) 에서 최대값 2를, \( (0,-1),(1,0) \) 에서 최소값 1 을 갖는다. 그림 4.9참고.</p> <p>두 개의 조건이 주어진 함수의 극값을 구하는 라그랑쥐 승수법</p> <p>\( g_ { 1 } (x, y, z)=c_ { 1 } \) 과 \( g_ { 2 } (x, y, z)=c_ { 2 } \) 의 조건에서 \( f(x, y, z) \) 의 극값을 찾기 위해서는<ol type=1 start=1><li>\( \nabla f= \lambda \nabla g_ { 1 } + \mu \nabla g_ { 2 } \) 와 \( g_ { 1 } (x, y, z)=c_ { 1 } \) 과 \( g_ { 2 } (x, y, z)=c_ { 2 } \) 를 만족하는 \( (x, y, z) \) 와 \( \lambda \), \( \mu \) 를 찾는다.</li> <li>1에서 찾은 해 \( (x, y, z) \) 에 대한 함수값 \( f(x, y, z) \) 들 중에서 최대인 것이 최대값이 되고, 최소인 것이 최소값이 된다.</li></ol></p> <p>예제 \( 2 f(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \) 의 점 \( (1,2) \) 에서 어떤 방향으로 함수값이 가장 빠르게 증가하고, 가장 빠르게 감소하는지를 구하라.</p> <p>풀이 함수의 증가하는 속도와 감소하는 속도는 방향도함수의 값에 의하여 결정된다. 위의 정리에서 \( \nabla f \) 의 값을 알면 된다. \( \nabla f= \left (f_ { x } , f_ { y } \right )=(2 x,-2 y) \) 이므로 점 \( (1,2) \) 에서 벡터 \( (2,-4) \) 의 방향으로 가장 빠르게 증가하고, 벡터 \( (-2,4) \) 의 방향으로 가장 빠르게 감소한다.</p> <h2>2 등위면과 접평면</h2> <p>이 절에서는 등위면과 접평면에 대하여 다룬다.</p> <p>3 장 4.1절에서 접평면은 주어진 점을 지나고 곡면위에 놓인 곡선에 대한 접선들을 포함하는 평면으로 정의하였다. 일반적으로 평면의 기본요소는 점과 그 평면에 수직인 법선벡터이기 때문에 이 절에서는 여기에 촛점을 맞추려고 한다.</p> <p>등위면의 정의</p> <p>삼변수 함수 \( f(x, y, z) \)와 상수 \( c \)에 대하여 집합 \( \{ (x, y, z) \mid f(x, y, z)=c \} \)을 \( (c \)에 대한) \( f \)의 등위면(level surface)이라고 한다.</p> <p>정리 4.3 \(S \)를 \( f(x, y, z)=c \)에 의하여 주어진 등위면이라고 하고, \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)가 영벡터가 아니라고 하자. 그러면 \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)는 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \)에서의 \( S \)의 접평면의 법선벡터가 된다.</p> <p>증명 \( C: x=x(t), y=y(t), z=z(t) \) 를 등위면 \( S \) 위의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 를 지나는 한 곡선이라 하자. \( \mathbf { r } (t)=(x(t), y(t), z(t)) \) 라 하면 \( C \) 가 등위면 \( S \) 위에 놓이므로 \( f(x(t), y(t), z(t))=c \) 를 만족한다. \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right )= \mathbf { r } \left (t_ { 0 } \right )= \left (x \left (t_ { 0 } \right ), y \left (t_ { 0 } \right ), z \left (t_ { 0 } \right ) \right ) \) 라 하자. 양변을 \( t \) 에 대하여 미분하면, 연쇄법칙을 이용하여 \[ \begin {aligned} 0= \frac { d f } { d t } &= \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d t } + \frac {\partial f } {\partial z } \frac { d z } { d t } \\ &= \left (f_ { x } , f_ { y } , f_ { z } \right ) \cdot \left ( \frac { d x } { d t } , \frac { d y } { d t } , \frac { d z } { d t } \right )= \nabla f \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t) \end {aligned} \]을 얻는다. 따라서 \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 은 곡선의 접선벡터 \( \mathbf { r } ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \) 와 수직이 된다. 이것은 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 를 지나는 모든 곡선에 대하여 성립하므로 \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 은 접평면의 법선벡터가 된다.</p> <p>같은 방법으로 이차원 평면에서는 다음이 성립한다. \( f(x, y)=c \) 로 주어진 등위곡선의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서의 접선의 방정식은 \[ f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right )=0 \]로 주어진다.</p> <p>예제 3 아래의 방정식으로 주어진 이차곡면의 점 \( (-2,1,-3) \) 에서 접평면의 방정식과 법선의 방정식을 구하라. \[ \frac { x ^ { 3 } } { 4 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } =3 \]</p> <p>풀이 \[ f(x, y, z)= \frac { x ^ { 3 } } { 4 } + y ^ { 2 } + \frac { z ^ { 2 } } { 9 } \]라 하자. 주어진 이차곡면은 등위면 \( f(x, y, z)=3 \)이 된다. \( \nabla f(-2,1,-3) \)은 접평면의 법선벡터가 된다. 이를 구하자. \[ f_ { x } (x, y, z)= \frac { x } { 2 } , \quad f_ { y } (x, y, z)=2 y, \quad f_ { z } (x, y, z)= \frac { 9 } { 2 } z \]이므로, \( \nabla f(-2,1,-3)=(-1,2,-2 / 3) \)가 된다. 따라서 접평면의 방정식은 \( (-1)(x + 2) + 2(y-1)- \frac { 2 } { 3 } (z + 3)=0 \)이고 법선의 방정식의 대칭형은 \[ \frac { x + 2 } { -1 } = \frac { y-1 } { 2 } = \frac { z + 3 } { -2 / 3 } \]이다.</p> <p>\( z=f(x, y) \)의 그래프의 등위곡선 \( f(x, y)=c \) 위의 점을 \( \mathbf { r } (t)=(x(t), y(t)) \)로 나타내면 \( f(x(t), y(t))=c \)를 만족한다. 양변을 \( t \)에 대하여 미분하면 \[ f_ { x } x ^ {\prime } (t) + f_ { y } y ^ {\prime } (t)= \left (f_ { x } , f_ { y } \right ) \cdot \left (x ^ {\prime } (t), y ^ {\prime } (t) \right )= \nabla f \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t)=0 \]이 되는 것을 알 수 있다. 따라서 그래프 위에 주어진 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서 가장 빠르게 함수가 변하는 방향은 등위선의 접선 \( \mathrm { r } ^ {\prime } (t) \) 과 수직인 방향임을 알 수 있다. 이 사실은 등고선이 있는 지도 위의 등산객이 있는 위치에서 가장 빠르게 정상에 오르는 방법은 접선의 수직인 방향으로 움직이면 된다는 것이다. 따라서 이 방법은 측지선을 구하는데도 쓰인다.</p> <h2>3 최대값과 최소값</h2> <p>일변수 함수의 최대값과 최소값의 존재성은 최대값과 최소값 정리-폐구간에서 연속인 함수는 최대값과 최소값을 갖는다-에 의존한다. 또한 최대값과 최소값을 구하기 위해서 우리는 일차도함수 판정법과 이차도함수 판정법 등을 이용하였다. 이 절에서는 이것을 확장하여 사용하려고 한다.</p> <p>극값의 정의</p> <p>\( f(x, y) \) 가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 를 포함한 영역에서 정의되었다고 하자. 만약 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방의 모든 점 \( (x, y) \)에 대하여 \( f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 만족하면 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 극대점(local maximum point), 또 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 극대값(local maximum)이라 하고, \( f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 만족하면 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 극소점(local minimum point)이라 한다. 극대점 또는 극소점을 극점(local extremum), 또 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 극소값(local minimum)이라 한다. 또한 정의역의 모든 점 \( (x, y) \)에 대하여 \( f(x, y) \leq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 만족하면 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 최대값(absolute maximum)이라 하고, \( f(x, y) \geq f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 만족하면 \( f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)를 최소값(absolute minimum)이라 한다.</p> <p>위의 그래프에서 볼 수 있듯이 극값들은 원 모양을 따라서 정상 부분이 나타나고 가운데에서 파인 곳이 나타나므로, \( (0,0) \) 과 원(실제로 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) )에서 극점을 갖는다는 것을 알 수 있다.</p> <p>(3) 직선 \( y=9-x, 0 \leq y \leq 9 \). 이 경계에서의 함수는 \[ f(x, y)=f(x, 9-x)=2 + 2 x + 2(9-x) ^ { 2 } -x ^ { 2 } -(9-x) ^ { 2 } =-61 + 18 x-2 x ^ { 2 } \]이 된다. 이 함수를 \( x \) 에 대하여 미분하고 극점을 구하면, \( f ^ {\prime } (x, 9-x)=18-4 x=0 \) 로 부터 \( x=9 / 2 \) 가 된다. (1)에서와 같이 극대점 \( x=9 / 2 \) 과 경계점인 \( x=0, x=9 \) 에서의 값은 \[ f(0,9)=-61 \quad f(9 / 2,9 / 2)=-(41 / 2), \quad f(9,0)=-61 \]이 된다.</p></p> <p>3 단계. 위의 두 단계에서 구한 값은 \( 4,2,-61,3,-(41 / 2) \)이다. 그중에서 최대값은 4 이고 최소값은 \( -61 \)이다.</p> <h2>4 제약을 갖는 극값과 라그랑쥐 승수법</h2> <p>위 절의 예제 10에서 정의역의 경계에서 함수의 극값을 다루는 것과 같이 함수의 정의역 안에서 어떤 특정한 제약을 만족하는 경우에 한하여 극값을 구하는 문제가 있다. 이 경우에는 일반적으로 라그랑쥐 승수법을 사용하는데 먼저 그 방법을 쓰지 않고 구하는 문제를 살펴보자.</p> <p>예제 11 뚜껑이 없는 상자의 겉넓이가 \( 12 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } \) 으로 일정할 때, 최대 부피를 갖도록하는 가로, 세로, 높이를 구하라.</p> <p>풀이 상자의 가로, 세로, 높이를 각각 \( x, y, z \)라고 하자. 상자의 부피 \( V \) 는 \( V=x y z \)가 된다. 겉넓이가 일정한 조건이 있으므로 우리는 다음 식을 얻는다. \[ x y + 2 x z + 2 y z=12 \] 따라서 \[ V=V(x, y)=x y \frac { 12-x y } { 2(x + y) } . \] 이제 극점을 구하기 위해서 연립방정식 \[ V_ { x } (x, y)= \frac { y ^ { 2 } \left (12-2 x y-x ^ { 2 } \right ) } { 2(x + y) ^ { 2 } } =0, \quad V_ { y } (x, y)= \frac { x ^ { 2 } \left (12-2 x y-y ^ { 2 } \right ) } { 2(x + y) ^ { 2 } } =0 \]을 풀면 \( x ^ { 2 } =y ^ { 2 } \)을 얻는다. \( x, y>0 \)이기 때문에 \( x=y \)가 된다. 이것을 \( 12-2 x y-x ^ { 2 } = \) 0 에 대입하면 \( x=2=y \)를 얻고, \( x y + 2 x z + 2 y z=12 \)로부터 \( z=1 \)를 얻는다. 이 문제의 특성상 이 값이 우리가 찾는 값이 되고 그 때의 최대부피는 \( V(2,2,1)=4 \)가 된다. 실제로 \[ \begin {array} { l } V_ { x, x } (x, y)=- \frac { y ^ { 2 } \left (y ^ { 2 } + 12 \right ) } { (x + y) ^ { 3 } } \\ V_ { x, y } (x, y)=- \frac { x y \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 3 x y-12 \right ) } { (x + y) ^ { 3 } } \\ V_ { y, y } (x, y)=- \frac { x ^ { 2 } \left (x ^ { 2 } + 12 \right ) } { (x + y) ^ { 3 } } \end {array} \]이므로 이차 편도함수 판별식을 이용하면 \[ D=V_ { x, x } (x, y) V_ { y, y } (x, y)- \left . \left (V_ { x, y } (x, y) \right ) ^ { 2 } \right \|_ { x=2, y=2, z=1 } =(-1)(-1)- \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 } >0 \]이고 \( V_ { x, x } (2,2)=-1<0 \)이므로 극대값이 됨을 알 수 있다.</p> <h1>4 기울기벡터와 최대값 및 최소값</h1> <p>이 장에서는 방향도함수와 기울기 벡터를 정의하고 이를 이요하여 함수의 최대값 및 최소값 문제를 다루고자 한다.</p> <h2>1 방향도함수와 기울기벡터</h2> <p>방향도함수의 정의</p> <p>\( \mathbf { u } = (a, b) \)를 단위벡터라 하자. 이변수 함수 \( f(x, y) \)에 대하여 정의역 안의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 극한값 \[ \mathbf { D } _ {\mathbf { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \]이 존재할 때 \( f(x, y) \) 의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 \( \mathbf { u } =(a, b) \) 방향의 방향도함수라 한다. 이것의 의미는 \( \mathbf { u } =(a, b) \) 방향으로 함수값의 순간 변화량이라고 할 수 있다.</p> <p>이제 주어진 함수의 방향도함수를 계산하여 보자.</p> <p>정리4.1 \( f(x, y) \) 가 미분가능한 함수라 하고 \( \mathbf { u } =(a, b) \) 를 단위벡터라 하자. \( f \) 의 \( \mathbf { u } \) 방향으로의 방향도함수는 다음과 같다. \[ \mathbf { D } _ {\mathbf { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \]</p> <p>증명 정의역 안의 주어진 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에 대하여 \( g(h)=f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right ) \) 라 하자. 그러면 \( g(0)=f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 가 된다. 따라서 \[ \begin {aligned} \mathbf { D } _ {\mathrm { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\left .f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right ) \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \\ &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(h)-g(0) } { h } =g ^ {\prime } (0) \\ &= \left . \frac { d g } { d h } \right \|_ { h=0 } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \frac { d } { d h } \left (x_ { 0 } + h a \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \frac { d } { d h } \left (y_ { 0 } + h b \right ) \\ &=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) a + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) b \end {aligned} \]가 된다. 여기서 세번 째 줄은 연쇄법칙을 사용하였다.</p>	자연
m925-일반수학	<h2>5. 합성함수</h2> <p>두 함수 \( f: A \rightarrow B \)와 \( g: B \rightarrow C \)의 합성함수를 구해보자. \( f \)와 \( g \)의 합성함수를 \( g \circ f \)로 나타내고, \( g \circ f \) 도 역시 함수이므로 \( g \circ f \)의 정의역과 사상을 구해보자.</p> <p>정의</p> <p>\( g \circ f \)의 정의역은 다음과 같이 정의한다. \[ \operatorname { Dom } (g \circ f)= \{ a \in \operatorname { Dom } (f) \mid f(a) \in \operatorname { Dom } (g) \} \] \( g \circ f \)의 사상은 다음과 같이 정의한다. \[ (g \circ f)(x)=g(f(x)) \]</p> <p>예제 1</p> <p>\( f(x)=x + 1, g(x)= \sqrt { x } \) 일 때 \( g \circ f \) 와 \( f \circ g \)를 구해보자.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)=R, \operatorname { Dom } (g)= \{ x \mid x \geq 0 \} \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Dom } (g \circ f) &= \{ x \in(- \infty, \infty) \mid f(x)=x + 1 \in[0, \infty) \} \\ &= \{ x \in[-1, \infty) \} \end {aligned} \] 다음과 같다. \[ (g \circ f)(x)=g(f(x))=g(x + 1)= \sqrt { (x + 1) } \] 또한 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Dom } (f \circ g) &= \{ x \in[0, \infty) \mid g(x)= \sqrt { x } \in(- \infty, \infty) \} \\ &= \{ x \in[0, \infty) \} \end {aligned} \] 그리고 사상은 다음과 같다. \[ (f \circ g)(x)=f(g(x))=f( \sqrt { x } )= \sqrt { x } + 1 \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( f(x)= \frac { x } { x ^ { 2 } -1 } , g(x)= \sqrt { x + 5 } \) 일 때 \( (f \circ g) \)의 정의역을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)=(- \infty, \infty)- \{ -1,1 \} \] 또한 다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (g)=[-5, \infty) \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Dom } (f \circ g) &= \{ x \in[-5, \infty) \mid \sqrt { x } \in(- \infty, \infty)- \{ -1,1 \} \} \\ &= \{ x \in[-5,-1) \cup(-1,1) \cup(1, \infty) \} \end {aligned} \]</p> <p>예제 4</p> <p>\( f: R \rightarrow[0, \infty] \)이고 \( f(x)=x ^ { 2 } \) 일 때 \( f \)는 단사함수가 아니다.</p> <p>풀이</p> <p>\( 2 \neq-2 \in R \)을 만족하지만 다음이 성립한다. \[ f(2)=f(-2)=4 \in[0, \infty) \] 그러므로 \( f \)는 단사함수가 아니다.</p> <p>정의</p> <p>\( f \)가 단사함수이고 동시에 전사함수일 경우 \( f \)를 전단사함수(one-to-one correspondence, bijective) 또는 일대일 대응이라 한다.</p> <p>예제 7</p> <p>\( f: R \rightarrow R \)이고 \( f(x)=2 x \)는 전단사함수임을 증명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(a)=f(b) \)를 가정하면 다음이 성립한다. \[ 2 a=2 b \Rightarrow a=b \] 그러므로 \( f(x) \)는 단사함수이다. 또한 임의의 \( t \in R \)에 대해서 \( \frac { t } { 2 } \in R \)이 존재하여 다음을 만족한다. \[ t=2 \cdot \left ( \frac { t } { 2 } \right ) \] 그 결과 \( f(x) \)는 전사함수이다.</p> <p>예제 10</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 " \( f \) 가 전단사함수일 필요충분조건은 \( f \)의 역함수가 존재한다"를 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f \)가 단사함수이면 다음을 만족하는 \( g \) 가 존재한다. \[ g \circ f=i \] 또한 \( f \)가 전사함수이면 다음을 만족하는 \( h \) 가 존재한다. \[ f \circ h=i \] 그러므로 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} g=& g \circ i \\ &=g \circ(f \circ h) \\ &=(g \circ f) \circ h \\ &=i \circ h \\ &=h \end {aligned} \] 그 결과 \( g=h=f ^ { -1 } \)가 존재한다. 역으로, \( f(a)=f(b) \)에서 \( f ^ { -1 } \)가 존재하므로 다음을 알 수 있다. \[ f ^ { -1 } f(a)=f ^ { -1 } f(b) \Rightarrow a=b \] 그 결과 \( f \)는 단사함수임을 알 수 있다. 또한 임의의 \( y \in Y \)에 대해서 \( f ^ { -1 } \) 가 존재하므로 다음이 성립한다. \[ f ^ { -1 } (y) \in X \] 그리고 다음을 만족한다. \[ f \left (f ^ { -1 } (y) \right )=y \] 그 결과 \( f \)는 전사함수임을 알 수 있다.</p> <p>정의</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 \( A \subseteq X \)에 대해서 \( g: A \rightarrow Y \)가 \( g(a)=f(a), \forall a \in A \)를 만족하면 \( g \)를 \( f \)의 축소함수라 하고 \( g= \left .f \right \|_ { A } \)로 나타낸다.</p> <p>이제까지 소개한 집합들의 관계에 대해서 알아보자.</p> <p>\( \mathbb { N } \)은 자연수 전체의 집합, \( \mathbb { Z } \)는 정수 전체의 집합, \( \mathbb { Q } \)는 유리수 전체의 집합, \( \mathbb { R } \)은 실수 전체의 집합을 표시한다. 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \mathrm { N } \subset \mathrm { Z } \subset \mathbb { Q } \subset \mathbb { R } \]</p> <p>먼저 실수의 대수적 공리에 대해서 알아보자.</p> <p>주어진 세 개의 실수 \( a, b, c \in R \) 와 두 개의 연산 \( + , \cdot \)에 대해서 다음을 만족한다.</p> <p>(a) \( a + b \in R \), 덧셈에 대해서 닫혀있다.</p> <p>(b) \( a \cdot b \in R \), 곱셈에 대해서 닫혀있다.</p> <p>(c) \( a + b=b + a \), 덧셈의 교환법칙(commutative law)</p> <p>(d) \( a + (b + c)=(a + b) + c \), 덧셈의 결합법칙(associative law)</p> <p>(e) \( a \cdot b=b \cdot a \), 곱셈의 교환법칙</p> <p>(f) \( a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \), 곱셈의 결합법칙</p> <p>(g) \( a \cdot(b + c)=a \cdot b + a \cdot c \), 배분법칙(distributive law)</p> <p>(h) \( a + 0=a=0 + a \)를 만족하는 0 이 존재한다. 즉, 덧셈의 항등원(identity)이 존재한다.</p> <p>(i) \( a \cdot 1=a=1 \cdot a \)를 만족하는 1 이 존재한다. 즉, 곱셈의 항등원이 존재한다.</p> <p>(j) \( x + a=0=a + x \)를 만족하는 \( x=-a \) 가 존재한다. 즉, 덧셈의 역원(inverse)이 존재한다.</p> <p>(k) \( x \cdot a=1=a \cdot x \)를 만족하는 \( x=a ^ { -1 } = \frac { 1 } { a } \) 이 존재한다. 즉, 곱셈의 역원이 존재한다.</p> <p>다음은 실수의 순서공리에 대해서 알아보자.</p> <p>양의 실수의 집합 \( P \)는 다음 성질을 만족한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( a, b \in P \Rightarrow a + b \in P \)</li> <li>\( a, b \in P \Rightarrow a \cdot b \in P \)</li> <li>\( a \in P \Rightarrow-a \notin P \)</li> <li>\( a \in R \) 인 경우 다음중 하나가 성립한다. \[ a \in P \text { 또는 } a=0 \text { 또는 } -a \in P \]</li></ol> <p>이 성질을 실수의 삼분법이라 한다.</p> <p>다음은 퍼지 집합의 함수에 대해서 알아보자.</p> <p>\( f: A \rightarrow B \)는 다음과 갈이 정의한다. 단, \[ \begin {array} { l } A= \{ (p, 0.9),(q, 0.2),(x, 1),(y, 0.5),(z, 0.8) \} \text { 그리고 } \\ B= \{ (a, 0.8),(b, 0.5),(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.7) \} \end {array} \] 다음과 같이 소속정도가 크거나 같은 원소로만 대응한다. \[ \begin {array} { l } f(p)=c \\ f(q) \in \{ a, b, c, d, e \} \\ f(x)=c \\ f(y) \in \{ a, b, c, d, e \} \\ f(z) \in \{ a, c, d \} \end {array} \]</p> <h2>5. 실수</h2> <p>우리가 공부하는 내용이 실수를 바탕으로 전개되기 때문에 실수의 성질을 이해하는 것은 매우 중요하다. 자연수, 정수, 유리수 그리고 실수의 특성에 대해서 알아본다.</p> <p>자연수(natural number)는 \( 1,2,3,4,5, \cdots \)를 말하며, 자연적으로 생겨난 "수"이다. 또는 양의 정수(positive integer)라고도 한다. 자연수의 집합을 다음과 같이 나타낸다. \[ \mathrm { N } = \{ 1,2,3, \cdots \} \]</p> <p>또한 자연수의 집합은 셀 수 있는 무한개의 원소를 가지고 있다.</p> <p>임의의 두 자연수 \( a \)와 \( b \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>합(sum) \( a + b \)는 자연수 집합의 원소이다.</li> <li>곱(product) \( a \cdot b \)는 자연수 집합의 원소이다.</li></ol> <p>이러한 사실을 자연수의 집합은 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)에 대해서 닫혀있다 (closed)고 말한다.</p> <p>정의</p> <p>임의의 \( n \in M \)에 대해서 \( m \in M \) 그리고 \( m \leq n \) 이면 \( m \)은 집합 \( M \)의 최소원(least element)이라 한다.</p> <p>정리 1</p> <p>\( M \)을 공집합이 아닌 자연수의 부분집합이라 하면 \( M \)은 최소원을 갖는다.</p> <p>예제</p> <p>\( 1 M= \{ 2,4,6,8 \} \) 인 경우, \( M \)의 최소원을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( M \) 은 공집합이 아니고 자연수의 부분집합이므로 최소원 2를 갖는다.</p> <p>정리 2</p> <p>자연수 \( n \in N \)에 대한 명제 \( P(n) \)에 대해서 다음을 만족한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( P(1) \)은 참이다.</li> <li>\( k \in N \)에 대해서 \( P(k) \)이 참을 가정하면 \( P(k + 1) \)도 참이다.</li></ol> <p>그러면 모든 자연수 \( n \in N \)에 대해서 명제 \( P(n) \)은 참이다.</p> <h1>1.1 집합</h1> <p>수학의 모든 분야에서 기본이 되는 개념은 집합이며 수학의 모든 사물과 구성이 집합 위에서 만들어진다. 집합의 중요하므로 가장 먼저 집합의 성질과 특성에 대해서 알아본다. 그리고 집합보다 넓은 의미를 가지고 있는 퍼지집합의 성질과 집합과 퍼지집합의 차이점에 대해서 알아본다. 또한 정수에서 합동 성질을 이용하여 암호이론에 대해서 공부한다.</p> <h2>1. 집합</h2> <p>집합(set)은 명확하고 확실하게 정의되는 사물의 모임을 의미하고, 집합에 속한 사물을 그 집합의 원소(element)라 하고 다음과 같이 표시한다.</p> <p>집합 : 알파벳의 대문자 \( (A, B, C, \cdots) \) 원소 : 알파벳의 소문자 \( (a, b, c, \cdots) \)</p> <p>주어진 집합에 속하는 원소를 나타내는 방법에는 다음과 같이 두 가지 방법이 있다.</p> <p>1) 원소나열법 그리고 2) 조건제시법</p> <p>정의</p> <p>원소나열법은 집합의 원소를 나열하여 집합을 나타내는 방법을 의미한다.</p> <p>예제 1</p> <p>집합 \( A \)가 알파벳의 모음으로 이루어졌을 때 집합 \( A \)를 원소나열법으로 나타내시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( A = \{\mathrm { a } , \mathrm { e } , \mathrm { i } , \mathrm { o } , \mathrm { u } \} \)</p> <p>정의</p> <p>조건제시법은 집합의 원소가 만족하는 성질에 의하여 집합을 나타내는 방법을 의미한다.</p> <p>예제 2</p> <p>집합 \( B \) 가 3 이 배수로 이루어졌을 때 집합 \( B \)를 조건제시법으로 나타내시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( B= \{\cdots,-3,0,3,6, \cdots \} \)</p> <p>예제 4</p> <p>예제 1의 집합 \( A \) 를 조건제시법으로 나타내시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( A= \{ x: x \) 는 알파벳의 모음 \( \} \)</p> <p>정의</p> <p>원소 \( x \) 가 집합 \( A \) 에 속할 때 \( x \in A \) 로 나타내고, 원소 \( x \) 가 집합 \( A \) 에 속하지 않을 때 \( x \notin A \) 로 나타낸다.</p> <p>정의</p> <p>집합 \( A \) 에 속하는 모든 원소가 집합 \( B \) 에 속할 때 \( A \subseteq B \) 로 표시한다. 이때 \( A \) 는 \( B \) 의 부분집합(subset)이라 하고 \( B \) 는 \( A \) 의 초월집합(superset)이라 한다. 특히 \( A \subseteq B \) 이고 \( A \) 에 속하지 않는 \( B \) 의 원소가 적어도 하나 존재할 때 \( A \) 는 \( B \) 의 진부분집합(proper subset)이라 하고 \( A \subset B \) 로 표시한다.</p> <p>예제 3</p> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x } , g(x)=x ^ { 2 } + 1 \)일 때 \( \operatorname { Dom } (f \circ g) \)와 \( \operatorname { Dom } (g \circ f) \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)=(- \infty, \infty)- \{ 0 \} \] 또한 다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (g)=(- \infty, \infty) \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ \operatorname { Dom } (g \circ f)=(- \infty, \infty)- \{ 0 \} \] 그리고 \( g \circ f \)의 사상은 다음과 같다. \[ (g \circ f)(x)=g \left ( \frac { 1 } { x } \right )= \left ( \frac { 1 } { x } \right ) ^ { 2 } + 1 \] 또한 다음을 알 수 있다. \[ \operatorname { Dom } (f \circ g)=(- \infty, \infty) \] 그리고 \( f \circ g \)의 사상은 다음과 같다. \[ (f \circ g)(x)=f \left (x ^ { 2 } + 1 \right )= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \]</p> <h2>6. 전단사함수</h2> <p>정의</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 \( f[X]=Y \)인 경우 함수 \( f \)를 전사함수(onto function, surjective) 또는 위로의 함수라 한다. 또는 모든 \( y \in Y \)에 대해서 \( x \in X \) 가 존재하여 \( y=f(x) \)를 만족하는 함수 \( f \)를 전사함수(onto function, surjective) 또는 위로의 함수라 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>\( f: R \rightarrow[0, \infty] \)이고 \( f(x)=x ^ { 2 } \) 일 때 \( f \)는 전사함수이다.</p> <p>풀이</p> <p>임의의 \( b \in[0, \infty] \)에 대해서 \( \pm \sqrt { b } \in R \) 가 항상 존재하므로 전사함수이다.</p> <p>정의</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 \( f(a)=f(b) \) 이면 \( a=b \) 일 때 함수 \( f \)를 단사함수(one-to-one function, injective) 또는 일대일 함수라 한다. 또는 \( a \neq b \) 이면 \( f(a) \neq f(b) \) 일 때 함수 \( f \)를 단사함수(one-to-one function, injective) 또는 일대일 함수라 한다.</p> <p>예제 3</p> <p>다음 함수의 자연 정의역을 구하시오.</p> <ol type=a start=1><li>\( f(x)= \frac { 1 } { x } \)</li> <li>\( h(x)= \sqrt { x ^ { 2 } -25 } \)</li></ol> <p>풀이</p> <p>(a) 다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)= \{ x \in \mathbb { R } \mid x \neq 0 \} \] 왜나하면 \( x=0 \) 인 경우 \( f(0)= \frac { 4 } { 0 } \) 가 되어 \( f(0) \) 이 존재하지 않는다. 그러므로 \( x=0 \) 은 정의역에서 제외되어야 한다.</p> <p>(b) 다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (h)= \{ x \in \mathbb { R } \mid x \leq-5 \text { 또는 } x \geq 5 \} \] 왜나하면 \( h(x) \)의 값이 실수가 되기 위해서 다음을 만족해야 한다. \[ x ^ { 2 } -25 \geq 0 \] 이 부등식의 해를 구하면 다음과 같다. \[ (- \infty,-5] \cup[5, \infty) \]</p> <p>정의</p> <p>\( g: X \rightarrow Y \) 그리고 \( C \subseteq X, D \subseteq Y \)에 대하여 \( C \)에 대한 \( f \)의 순상을 다음과 같이 나타낸다. \[ f[C]= \{ f(c) \mid c \in C \} \] 그리고 \( D \)에 대한 \( f \)의 역상을 다음과 같이 나타낸다. \[ f ^ { -1 } [D]= \{ c \in X \mid f(c) \in D \} \]</p> <p>예제 4</p> <p>함수 \( f: \{ 1,2,3 \} \rightarrow \{ a, b, c \} \)는 다음과 같이 정의한다. \[ f(1)=a, \quad f(2)=f(3)=b \] \( C= \{ 1,2 \} \) 인 경우 다음이 성립한다. \[ f[C]= \{ a, b \} \text { 그리고 } f ^ { -1 } [f[C]]= \{ 1,2,3 \} \] 그러므로 다음과 같다. \[ C \subseteq f ^ { -1 } [f[C]] \] \( D= \{ b, c \} \) 인 경우 다음이 성립한다. \[ f ^ { -1 } [D]= \{ 2,3 \} \text { 그리고 } f \left [f ^ { -1 } [D] \right ]= \{ b \} \] 그러므로 다음과 같다. \[ f \left [f ^ { -1 } [D] \right ] \subseteq D \] 또한 \( f: X \rightarrow Y \) 가 단사함수인 경우 다음이 성립한다. \[ A=f ^ { -1 } [f[A]] \text { 그리고 } f \left [f ^ { -1 } [B] \right ] \subseteq B( \text { 단, } A \subseteq X, B \subseteq Y) \] 그리고 \( f: X \rightarrow Y \) 가 전사함수인 경우 다음이 성립한다. \[ A \subseteq f ^ { -1 } [f[A]] \text { 그리고 } f \left [f ^ { -1 } [B] \right ]=B( \text { 단, } A \subseteq X, B \subseteq Y) \] \( f: X \rightarrow Y \) 가 전단사함수인 경우 다음이 성립한다. \[ A=f ^ { -1 } [f[A]] \text { 그리고 } f \left [f ^ { -1 } [B] \right ]=B( \text { 단, } A \subseteq X, B \subseteq Y) \]</p> <p>\( S= \{ * \} \) 인 경우 다음을 알 수 있다. \[ \|S\|=1 \]</p> <p>정리 1</p> <p>\( \|A\|=n \) 인 경우, \( P(A) \) 의 원소의 개수는 \( 2 ^ { n } \) 개다.</p> <p>증명</p> <p>수학적 귀납법 또는 일대일 대응함수를 이용하여 다음을 증명할 수 있다. \[ \|P(A)\|=2 ^ { \|A\| } \]</p> <p>원소 \( x \)가 집합 \( A \)에 속할 때, 즉 \( x \in A \)는 다음과 같이 정의역이 한원소 집합인 함수의 형태로 나타낼 수 있다. \[ x \in A \quad \Leftrightarrow \quad x: \{ * \} \rightarrow A \]</p> <h2>2. 집합의 연산</h2> <p>다음은 집합의 연산 즉, 합집합, 교집합, 여집합 그리고 차집합에 대해서 알아보자.</p> <p>정의</p> <p>\( A \)와 \( B \)의 합집합 \( A \cup B \)는 다음과 같이 정의한다. \[ A \cup B= \{ x: x \in A \text { 또는 } x \in B \} \] 또한 합집합 \( A \cup B \)는 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.</p> <p>두 수의 최소공배수 (least common multiple) 는 두 수의 공배수 중에서 최소인 공배수를 의미한다. 그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>두 집합의 합집합은 두 집합의 공통 초월집합 중에서 최소인 공통 초월집합 즉, 최소공 초월집합(least common superset)을 의미한다.</p> <p>정리 1</p> <p>집합 \( A, B, C \) 에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cup B = B \cup A \)</li> <li>\( A \cup A = A \)</li> <li>\( (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) \)</li> <li>\( A \subseteq A \cup B \)</li> <li>\( B \subseteq A \cup B \)</li></ol> <p>\( n \) 개의 집합 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } \) 의 합집합은 다음과 같이 나타낸다. \[ A_ { 1 } \bigcup A_ { 2 } \bigcup \cdots \bigcup A_ { n } \equiv \bigcup_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } \] 무한개의 집합 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } , \cdots \) 의 합집합은 다음과 같이 나타낸다. \[ A_ { 1 } \bigcup A_ { 2 } \bigcup \cdots \bigcup A_ { n } \bigcup \cdots \equiv \bigcup_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } \]</p> <p>예제 1</p> <p>\( f(x)=7 x ^ { 2 } -3 \) 은 우함수임을 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=7 x ^ { 2 } -3 \)는 다음을 만족한다. \[ \begin {aligned} f(-x) &=7(-x) ^ { 2 } -3 \\ &=7 x ^ { 2 } -3 \\ &=f(x) \end {aligned} \]</p> <p>\( x \)의 짝수제곱들의 합인 함수가 우함수이므로 even이라는 말을 사용했다.</p> <p>정의</p> <p>원점 대칭인 함수를 원점 대칭 함수 또는 기함수(odd function)라고 한다. \( y=f(x) \)에서 다음의 관계를 만족하는 함수이다. \[ -f(x)=f(-x) \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( f(x)=x ^ { 5 } + 4 x \)는 기함수임을 설명하시오</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=x ^ { 5 } + 4 x \)에 대해서 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} -f(x) &=- \left (x ^ { 5 } + 4 x \right ) \\ &=-x ^ { 5 } -4 x \end {aligned} \] 또한 다음과 같다. \[ \begin {aligned} f(-x) &=(-x) ^ { 5 } + 4(-x) \\ &=-x ^ { 5 } -4 x \end {aligned} \] 그 결과 \( f(x)=x ^ { 5 } + 4 x \)는 다음을 만족한다. \[ -f(x)=f(-x) \]</p> <p>\( x \)의 홀수제곱들의 합인 함수가 기함수이므로 odd라는 말을 사용했다.</p> <p>예제 3</p> <p>절댓값 함수 \( f(x)=\|x\| \), 즉 \[ \|x\|= \left \{\begin {array} { r } x, x \geq 0 \\ -x, x<0 \end {array} \right . \] 는 우함수임을 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=\|x\| \)는 아래의 그림과 같이 \( Y \)축 대칭함수이므로 우함수이다.</p> <p>예제 4</p> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x } \)는 기함수임을 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x } \)는 아래의 그림과 같이 원점 대칭 함수이므로 기함수이다.</p> <p>정의</p> <p>최대정수함수(또는 Gauss function)는 다음과 같이 정의한다. \( f(x)=[[x]]=x \) 와 같거나 \( x \)보다 작은 최대의 정수</p> <p>예제 6</p> <p>\( h(x)=4 x ^ { 3 } + 2 x \) 는 기함수이고 \( k(x)=3 x ^ { 4 } -x ^ { 2 } -5 \) 는 우함수이다. 이때 다음이 우함수인지 기함수인지 알아보자. \[ f(x)= \frac { k(x) } { h(x) } = \frac { 3 x ^ { 4 } -x ^ { 2 } -5 } { 4 x ^ { 3 } + 2 x } \]</p> <p>정의</p> <p>집합 \( A \) 에서 집합 \( B \) 로의 함수 \( f: A \rightarrow B \) 는 다음을 만족하는 \( R \subseteq A \times B \) 을 의미한다.</p> <ol type=a start=1><li>모든 \( a \in A \) 에 대해서 \( (a, b) \in R \) 를 만족한다.</li> <li>(b) \( (a, b),(a, c) \in R \Rightarrow b=c \)</li></ol> <p>정의</p> <p>함수 \( f: A \rightarrow B \)에서 \( A \)를 함수 \( f \)의 정의역(domain)이라 하고 \( \operatorname { Dom } (f) \)로 나타낸다. 또한 \( B \)를 함수 \( f \)의 공변역(codomain)이라 하고 \( \operatorname { Cod } (f) \)로 나타낸다.</p> <p>정의역의 한 원소를 공변역의 한 원소로 대응시키는 것을 사상(mapping)이라 한다. 함수 \( f \)의 치역(range)은 \( \operatorname { Ran } (f) \)로 나타내고 다음과 같다. \[ f[A]= \{ f(a) \mid a \in A \} \]</p> <p>예제 1</p> <p>정의역이 구간 \( [-10,10] \)이고, \( f(x)=x ^ { 2 } + 2 \) 인 경우 다음의 값을 구하시오.</p> <ol type=a start=1><li>\( f(- \pi) \)</li> <li>\( f(0) \)</li> <li>\( f( \sqrt { 3 } ) \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( f(- \pi)=(- \pi) ^ { 2 } + 2 \\ = \pi ^ { 2 } + 2 \)</li> <li>\( f(0)=2 \)</li> <li>\( f( \sqrt { 3 } )=( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 2=5 \)</li></ol> <p>예제 2</p> <p>\( h(x)=x ^ { 2 } -4 x-1 \)일 때 다음을 구하시오.</p> <ol type=a start=1><li>\( h(1) \)</li> <li>\( h(1 + a) \)</li> <li>\( h(1 + a)-h(1) \)</li> <li>\( \{ h(1 + a)-h(1) \} \cdot \frac { 1 } { a } \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( h(1)=1 ^ { 2 } -4 \cdot 1-1=-4 \)</li> <li>\[ \begin {aligned} h(1 + a) &=(1 + a) ^ { 2 } -4(1 + a)-1 \\ &=(1 + a)(1 + a-4)-1 \\ &=(a + 1)(a-3)-1 \\ &=a ^ { 2 } -2 a-4 \end {aligned} \]</li> <li>\( h(1 + a)-h(1)=a ^ { 2 } -2 a \)</li> <li>\( \{ h(1 + a)-h(1) \} \cdot \frac { 1 } { a } =a-2 \)</li></ol> <p>함수에서 사상이 중요하지만 정의역에 따라서 사상 자체가 무의미할 수도 있다. 그래서 정의역이 정의되지 않은 함수에서 사상이 의미 있도록 만드는 실수의 부분집합을 자연 정의역(natural domain)이라 한다.</p> <p>풀이</p> <p>다음을 알 수 있다. \[ A \cup B= \{ (a, 0.9),(b, 0.5),(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.8) \} \]</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 \( A \cap B \)는 다음과 같다. \[ \mu_ { A \cap B } (x)= \min \left \{\mu_ { A } (x), \mu_ { B } (x) \right \} , \quad \forall x \in U \]</p> <p>예제 2</p> <p>다음과 같은 경우 \( A \cap B \)를 구하시오. \[ \begin {array} { l } A= \{ (a, 0.9),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} , \\ B= \{ (a, 0.8),(b, 0.5),(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.7) \} \end {array} \]</p> <p>풀이</p> <p>다음을 알 수 있다. \[ A \cap B= \{ (a, 0.8),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.7) \} \]</p> <p>정리 1</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cap B \subseteq A, \quad A \cap B \subseteq B \)</li> <li>\( A \subseteq A \cup B, \quad B \subseteq A \cup B \)</li> <li>\( A \subseteq B \Rightarrow A \cup B=B, A \cap B=A \)</li></ol> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 퍼지 집합 \( A \)에 대해서 \( A ^ { c } \)는 다음과 같다. \[ \mu_ { A } (x)=1- \mu_ { A } (x), \quad \forall x \in U \]</p> <p>예제 3</p> <p>다음과 같은 경우 \( A ^ { c } \)와 \( B ^ { c } \)를 구하시오. \[ \begin {array} { l } A= \{ (a, 0.9),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} \text { 그리고 } \\ B= \{ (a, 0.8),(b, 0.5), \quad(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.7) \} \end {array} \]</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} A ^ { c } &= \{ (a, 0.1),(b, 0.8),(c, 0),(d, 0.5),(e, 0.2) \} \\ B ^ { c } &= \{ (a, 0.2),(b, 0.5),(c, 0),(d, 0.2),(e, 0.3) \} \end {aligned} \]</p> <p>\( \|x-4\|<3 \)의 해를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>부등식의 성질에 의해서 다음과 같다. \[ -3<x-4<3 \] 각 항에 4를 더하면 다음의 해를 구할 수 있다. \[ 1<x<7 \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( \|x-c\|< \delta \)의 해를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>부등식의 성질에 의해서 다음과 같다. \[ - \delta<x-c< \delta \] 각 항에 \( c \)를 더하면 다음과 같은 해를 구할 수 있다. \[ c- \delta<x<c + \delta \]</p> <p>예제 3</p> <p>\( 0<\|x-c\|< \delta \)의 해를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>부등식의 성질에 의해서 다음과 같다. \[ - \delta<x-c< \delta \text { 그리고 } x \neq c \] 각 항에 \( c \)를 더하면 다음과 같은 해를 구할 수 있다. \[ c- \delta<x<c + \delta \text { 그리고 } x \neq c \]</p> <p>예제 4</p> <p>\( \|4 x + 1\| \geq 3 \)의 해를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>부등식의 성질에 의해서 다음과 같다. \[ 4 x + 1 \geq 3 \text { 또는 } 4 x + 1 \leq-3 \] 양변에 \( (-1) \)을 더하면 다음이 성립한다. \[ 4 x \geq 2 \text { 또는 } 4 x \leq-4 \] 양변에 \( \frac { 1 } { 4 } \)을 곱하면 다음과 같은 해를 구할 수 있다. \[ x \geq \frac { 1 } { 2 } \text { 또는 } x \leq-1 \]</p> <h1>1.2 함수</h1> <p>함수를 두 집합의 곱집합의 부분집합인 관계의 특수한 개념으로 나타낼 수도 있고, 두 집합 사이의 대응규칙으로 나타낼 수도 있다. 또한 함수의 개념은 수학의 여러 분야에 적용되고 있고 활용도가 많은 분야이다.</p> <h2>1. 함수</h2> <p>정의</p> <p>집합 \( A \)에서 집합 \( B \)로의 함수 \( f: A \rightarrow B \)는 다음을 만족한다.</p> <ol type=a start=1><li>모든 \( a \in A \) 에 대해서 \( f(a)=b \) 를 만족하는 \( b \in B \)가 존재한다.</li> <li>\( a_ { 1 } =a_ { 2 } \) 이면 \( f \left (a_ { 1 } \right )=f \left (a_ { 2 } \right ) \)이다.</li></ol> <p>함수의 또 다른 정의는 다음과 같다.</p> <p>\( -1,-2,-3,-4,-5, \cdots \)를 음의 정수(negative integer)라 하며, 임의의 자연수 \( a \) 와 \( b \)에 대하여 방정식 \( x + b=a \)의 해를 위해서 생겨난 "수"이다. 또한 이것은 덧셈의 역인 뺄셈을 가능하게 하고 \( x=a-b \)로 나타낸다.</p> <p>양의 정수(자연수)의 집합, 음의 정수의 집합과 0을 정수(integer)의 집합이라 한다. 정수의 집합을 다음과 같이 나타낸다. \[ \mathbb { Z } = \{\cdots,-2,-1,0,1,2, \cdots \} \]</p> <p>또한 정수의 집합은 셀 수 있는 무한개의 원소를 가지고 있고 다음을 알 수 있다. 우리는 다음과 같이 나타낸다.</p> <ol type=a start=1><li>\( 5 \mathbb { Z } = \{\cdots,-10,-5,0,5,10, \cdots \} \)</li> <li>\( \mathbb { Z } / 5 \mathbb { Z } = \{ 0,1,2,3,4 \} = \mathrm { Z } _ { 5 } \)</li></ol> <p>정리 3</p> <p>주어진 세 개의 정수 \( a, b, c \in Z \)와 두 개의 연산 \( + \), ◦ 에 대해서 다음이 성립한다.</p> <p>(a) \( a + b \in R \), 덧셈에 대해서 닫혀있다.</p> <p>(b) \( a \cdot b \in R \), 곱셈에 대해서 닫혀있다.</p> <p>(c) \( a + b=b + a \), 덧셈의 교환법칙(commutative law)</p> <p>(d) \( a + (b + c)=(a + b) + c \), 덧셈의 결합법칙(associative law)</p> <p>(e) \( a \cdot b=b \cdot a \), 곱셈의 교환법칙</p> <p>(f) \( a \cdot(b \cdot c)=(a \cdot b) \cdot c \), 곱셈의 결합법칙</p> <p>(g) \( a \cdot(b + c)=a \cdot b + a \cdot c \), 배분법칙(distributive law)</p> <p>(h) \( a + 0=a=0 + a \) 를 만족하는 0 이 존재한다. 즉, 덧셈의 항등원(identity)이 존재한다.</p> <p>(i) \( a \cdot 1=a=1 \cdot a \)를 만족하는 1 이 존재한다. 즉, 곱셈의 항등원이 존재한다.</p> <p>(j) \( x + a=0=a + x \) 를 만족하는 \( x=-a \) 가 존재한다. 즉, 덧셈의 역원(inverse)이 존재한다.</p> <p>예제 2</p> <p>\( S \)는 다음과 같다. \[ S= \{ x \mid x=5 n + 1, n \in Z \} \subseteq Z \] \( S \)는 덧셈과 곱셈에 대해서 닫힘 여부를 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} f(-x) &= \frac { 3(-x) ^ { 4 } -(-x) ^ { 2 } -5 } { 4(-x) ^ { 3 } + 2(-x) } \\ &= \frac { 3 x ^ { 4 } -x ^ { 2 } -5 } { -4 x ^ { 3 } -2 x } \\ &=-f(x) \end {aligned} \] 그러므로 \( f(x) \)는 기함수이다.</p> <h2>3. 함수의 그래프</h2> <p>주어진 함수 \( y=f(x) \)에서 모든 순서쌍의 집합 \( (x, f(x)) \)를 평면 위에 그린 그림을 함수 \( y=f(x) \)의 그래프라 한다.</p> <h2>4. 함수의 연산</h2> <p>두 함수 \( f, g \)에 대해서 새로운 함수 \( f + g \)에 대해서 알아보자. 먼저 \( f + g \) 가 함수이기 때문에 \( f + g \)의 정의역과 \( f + g \)의 사상이 필요하다.</p> <p>정의</p> <p>\( f + g \)의 정의역과 사상은 다음과 같다.</p> <ol type=a start=1><li>\( \operatorname { Dom } (f + g)= \operatorname { Dom } (f) \cap \operatorname { Dom } (g) \)</li> <li>\( (f + g)(x)=f(x) + g(x) \)</li></ol> <p>예제 1</p> <p>\( f(x)= \frac { x } { 3 } , g(x)= \sqrt { x } \) 인 경우 \( \operatorname { Dom } (f + g),(f + g)(x) \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)=R \text { 그리고 } \operatorname { Dom } (g)= \{ x \mid x \geq 0 \} \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Dom } (f + g) &= \operatorname { Dom } (f) \cap \operatorname { Dom } (g) \\ &= \{ x \mid x \geq 0 \} \end {aligned} \] 또한 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} (f + g)(x) &=f(x) + g(x) \\ &= \frac { x } { 3 } + \sqrt { x } \end {aligned} \] \( f-g, f \cdot g, \frac { f } { g } \)도 역시 같은 방법으로 정의한다.</p> <p>정의</p> <p>\( A \)와 \( B \)의 교집합 \( A \cap B \)는 다음과 같이 정의한다. \[ A \cap B= \{ x: x \in A \text { 그리고 } x \in B \} \] 또한 교집합 \( A \cap B \) 는 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.</p> <p>두 수의 최대공약수 (greatest common divisor)는 두 수의 공약수 중에서 최대인 공약수를 의미한다. 그 결과 다음을 알 수 있다.</p> <p>두 집합의 교집합은 두 집합의 공통 부분집합 중에서 최대인 공통 부분집합 즉, 최대공 부분집합(greatest common subset)을 의미한다.</p> <p>정리 2</p> <p>집합 \( A, B, C \) 에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cap B = B \cap A \)</li> <li>\( A \cap A = A \)</li> <li>\( ( A \cap B ) \cap C = A \cap ( B \cap C ) \)</li> <li>\( A \cap B \subseteq A \)</li> <li>\( A \cap B \subseteq B \)</li></ol> <p>\( n \) 개의 집합 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } \) 의 교집합은 다음과 같이 나타낸다. \[ A_ { 1 } \bigcap A_ { 2 } \bigcap \cdots \bigcap A_ { n } \equiv \bigcap_ { i=1 } ^ { n } A_ { i } \] 무한개의 집합 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } , \cdots \) 의 교집합은 다음과 같이 나타낸다. \[ A_ { 1 } \cap A_ { 2 } \cap \cdots \bigcap A_ { n } \cap \cdots \equiv \bigcap_ { i=1 } ^ {\infty } A_ { i } \] 배분법칙(distributive law)은 다음과 같다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cap ( B \cup C) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) \)</li> <li>\( A \cup ( B \cap C) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \)</li></ol> <p>정의</p> <p>이 함수를 \( U \)에서 \( A \)의 특성함수(characteristic function of \( A \) in \( U \) )라고 한다.</p> <p>퍼지 집합 \( A \)는 전체 집합 \( U \)의 임의의 각 원소가 \( A \)에 소속하는 정도를 \( [0,1] \)의 값으로 나타내는 다음과 같은 함수를 의미한다. \[ \mu_ { A } : U \rightarrow[0,1] \]</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)의 임의의 부분집합 \( A \)에 대해서 함수 \( \mu_ { A } : U \rightarrow[0,1] \) 가 존재하는 경우 \( A \)를 \( U \)에서의 퍼지 집합이라 한다. 또한 다음을 퍼지 집합 \( A \)의 소속정도 함수라 한다. \[ \mu_ { A } : U \rightarrow[0,1] \]</p> <p>임의의 집합은 퍼지 집합임을 알 수 있다. 즉 퍼지 집합은 집합의 일반화이다.</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 \( \mu_ { A } (x)= \mu_ { B } (x) \forall x \in U \) 이 성립되는 경우 \( A=B \)로 정의한다.</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 \( \mu_ { A } (x) \leqq \mu_ { B } (x) \forall x \in U \) 이 성립되는 경우 \( A \subseteq B \)로 정의한다.</p> <h2>4. 퍼지 집합의 연산</h2> <p>퍼지 집합에서의 연산은 경우에 따라 다르게 정의된다. 우리는 표준 퍼지연산에 대해서 공부한다.</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 \( A \cup B \)는 다음과 같다. \[ \mu_ { A \cup B } (x)= \max \left \{\mu_ { A } (x), \mu_ { B } (x) \right \} , \quad \forall x \in U \]</p> <p>예제 1</p> <p>다음과 같은 경우 \( A \cup B \)를 구하시오. \[ \begin {array} { l } A= \{ (a, 0.9),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} , \\ B= \{ (a, 0.8),(b, 0.5),(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.7) \} \end {array} \]</p> <p>두 집합 \( A, B \)의 곱집합 \( A \times B \)는 다음과 같이 정의한다. \[ A \times B= \{ (a, b) \mid a \in A, b \in B \} \]</p> <p>또한 다음을 알 수 있다. \[ \|A \times B\|=\|A\| \times\|B\| \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( A= \{ 1,2,3 \} , B= \{ a, b \} \) 인 경우 \( A \times B, A \times A, B \times B, B \times A \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin {aligned} A \times B &= \{ (1, a),(1, b),(2, a),(2, b),(3, a),(3, b) \} \\ A \times A &= \{ (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)(3,1),(3,2),(3,3) \} \\ B \times B &= \{ (a, a),(a, b),(b, a),(b, b) \} \\ B \times A &= \{ (a, 1),(b, 1),(a, 2),(b, 2),(a, 3),(b, 3) \} \end {aligned} \)</p> <p>또한 다음을 알 수 있다. \[ A \times B \neq B \times A \] 그러나 다음이 성립한다. \[ \|A \times B\|=\|B \times A\|=6 \] 또한 다음을 알 수 있다. \[ \|A \times A\|=9, \|B \times B\|=4 \]</p> <p>정의</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대해서 \( B ^ { A } \)는 다음과 같이 정의한다. \[ B ^ { A } = \{ f \mid f: A \rightarrow B \} \]</p> <p>또한 다음을 알 수 있다. \[ \left \|A ^ { B } \right \|=\|A\| ^ { \|B\| } \]</p> <h2>3. 퍼지 집합</h2> <p>전체 집합 \( U \)의 임의의 부분집합 \( A \)에 대해서 \( x \in U \)는 \( x \in A \) 또는 \( x \notin A \) 임을 알 수 있다. 이 결과 우리는 부분집합 \( A \)에 대해서 다음의 함수가 존재함을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} \mu_ { A } : U & \rightarrow \quad \{ 0,1 \} \\ \text { 단, } \mu_ { A } (x)=1 & \text { 만약 } \quad x \in A \\ \mu_ { A } (x)=0 & \text { 만약 } \quad x \notin A \end {aligned} \]</p> <p>\( A \)의 여집합 \( A ^ { c } \) 또는 \( \bar { A } \)는 다음과 같이 정의한다. \[ A ^ { c } = \{ x: x \notin A \} \] 또한 여집합 \( A ^ { c } \) 는 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.</p> <p>정리 3</p> <p>집합 \( A, B \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <p>\( A \cup A ^ { c } =U \), 단 \( U \) 는 전체집합</p> <p>\[A \subseteq B \Rightarrow B ^ { c } \subseteq A ^ { c } \]</p> <p>정의</p> <p>\( A, B \)의 차집합 \( A-B \)는 다음과 같이 정의한다. \[ A-B= \{ x: x \in A \text { 그리고 } x \notin B \} \] 또는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ A-B=A \cap B ^ { c } \]</p> <p>정의</p> <p>원소를 가지고 있지 않은 집합을 공집합(empty set)이라 정의하고 \( \{ ~ \} \) 또는 \( \varnothing \) 으로 나타낸다. 또는 다음과 같이 정의한다. \[ \varnothing= \{ x \mid x \neq x \} \]</p> <p>공집합은 모든 집합의 부분집합이고 또한 다음을 알 수 있다. \[ \| \varnothing\|=0 \]</p> <p>정리 4</p> <p>집합 \( A, \varnothing, U \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cap A ^ { c } = \varnothing \)</li> <li>\( A \cup A ^ { c } = U \)</li> <li>\( A \cup \varnothing = A \)</li> <li>\( A \cap \varnothing = \varnothing \)</li> <li>\( A \cup U = U \)</li> <li>\( A \cap U = A \)</li> <li>\( ( A ^ { c } ) ^ { c } = A \)</li> <li>\( U ^ { c } = \varnothing \)</li> <li>\( \varnothing ^ { c } = U \)</li></ol> <p>예제 1</p> <p>전체집합 \( U= \{ a, b, c, d, e \} , A= \{ a, c, e \} , B= \{ a, b, c \} \) 일 때 다음을 구하시오.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cup B \)</li> <li>\( A \cap B \)</li> <li>\( A ^ { c } \)</li> <li>\( B ^ { c } \)</li> <li>\( A-B \)</li> <li>\( B-A \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cup B= \{ a, b, c, e \} \)</li> <li>\( A \cap B= \{ a, c \} \)</li> <li>\( A ^ { c } = \{ b, d \} \)</li> <li>\( B ^ { c } = \{ d, e \} \)</li> <li>\( A-B= \{ e \} \)</li> <li>\( B-A= \{ b \} \)</li></ol> <p>정의</p> <p>예제 5</p> <p>\( A= \{ 1,2,3 \} , B= \{ 1,2,2 \} , \mathrm { C } = \{ 1,1,1 \} \) 일 때 포함관계를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( C \subset B \subset A \) 또는 \( C \subseteq B \subseteq A \)</p> <p>모든 집합의 초월집합을 전체집합 (universal set)이라 하고 집합 \( U \)로 나타낸다.</p> <p>정의</p> <p>집합 \( A \) 의 모든 부분집합의 집합을 \( A \) 의 멱집합(power set)이라 하고 \( P(A) \) 로 나타낸다.</p> <p>특히 다음을 알 수 있다. \[ X \subseteq A \Leftrightarrow X \in P(A) \]</p> <p>예제 6</p> <p>\( A= \{ a, b, c \} \) 일 때 \( A \) 의 멱집합을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( P(A)= \{\varnothing, \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ a, c \} , \{ a, b, c \} \} \)</p> <p>정의</p> <p>집합 \( A \)에 속하는 모든 원소가 집합 \( B \)에 속하고 또 집합 \( B \)에 속하는 모든 원소가 집합 \( A \)에 속할 때 \( A=B \)로 정의한다.</p> <p>집합의 상등에 대한 또 다른 정의는 다음과 같다. \[ A=B \quad \Leftrightarrow \quad A \subseteq B \text { 그리고 } B \subseteq A \]</p> <p>예제 7</p> <p>\( A= \left \{ x \mid x ^ { 2 } -5 x + 6=0 \right \} \) 이고 \( B= \{ 2,3,3,3 \} \) 일 때 \( A=B \) 가 성립한다.</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 원소 2, 3는 모두 \( B \)의 원소이므로 다음과 같다. \[ A \subseteq B \] \( B \)의 원소 \( 2,3,3,3 \) 역시 \( A \)의 원소이므로 다음과 같다. \[ B \subseteq A \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ A=B \]</p> <p>정의</p> <p>집합 \( A \) 의 원소의 개수를 \( \|A\| \)으로 나타내고, 원소의 개수가 1 인 집합을 한원소 집합 (singleton set)이라 한다.</p> <p>정의</p> <p>두 함수 \( f, g \)에 대해서 다음을 만족하면 \( f=g \)라고 한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( \operatorname { Dom } (f)= \operatorname { Dom } (g) \)</li> <li>\( \operatorname { Cod } (f)= \operatorname { Cod } (g) \)</li> <li>\( f(a)=g(a), \quad \forall a \in \operatorname { Dom } (f)= \operatorname { Dom } (g) \)</li></ol> <p>예제 5</p> <p>\( f: N \rightarrow N \)이고 \( f(x)=x, g: R \rightarrow R \)이고 \( g(x)=x \) 인 경우 \( f(x)=g(x) \)를 만족하지만 \( f \neq g \) 임을 설명하시오.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f) \neq \operatorname { Dom } (g) \text { 그리고 } \operatorname { Cod } (f) \neq \operatorname { Cod } (g) \] 그러므로 다음이 성립한다. \[f \neq g \] 다음은 \( y=f(x) \)를 \( X \)축으로 \( \alpha \)만큼 그리고 \( Y \)축으로 \( \beta \)만큼 평행이동한 함수를 의미한다. \[ y- \beta=f(x- \alpha) \] 또한 \( y=f(x) \)를 \( Y \)축으로 \( c \)배 확대한 함수는 다음과 같다. \[ y=c f(x) \] 그리고 다음은 \( y=f(x) \)를 \( Y \) 축으로 \( c \) 배 축소한 함수이다. \[ y= \frac { 1 } { c } f(x) \] 또한 \( y=f(x) \)를 \( X \) 축으로 \( d \) 배 축소한 함수는 다음과 같다. \[ y=f(d x) \] 그리고 다음은 \( y=f(x) \)를 \( X \)축으로 \( d \)배 확대한 함수이다. \[ y=f \left ( \frac { 1 } { d } x \right ) \]</p> <p>정의</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \) 그리고 \( A \subseteq X \)에 대해서 다음을 \( A \)에서 \( f \)의 축소함수라고 한다. \[ f_ {\mid A } : A \rightarrow Y \]</p> <h2>2. 우함수와 기함수</h2> <p>우함수와 기함수는 정적분의 계산에 많이 적용된다. 우함수와 기함수의 특징에 대해서 알아보자.</p> <p>정의</p> <p>\( Y \)축에 대칭인 함수를 \( Y \)축 대칭 함수 또는 우함수(even function)라고 한다. 즉, \( y=f(x) \)에서 다음의 관계를 만족하는 함수이다. \[ f(x)=f(-x) \]</p> <p>정의</p> <p>\( a, b \in R \)이고 \( a-b \in P \) 이면 \( a>b \)로 나타내고 \( a-b \in P \cup \{ 0 \} \) 이면 \( a \geq b \)로 나타낸다.</p> <p>정리 5</p> <p>\( a, b, c \in R \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( a>b \) 그리고 \( b>c \) 이면 \( a>c \) 이다.</li> <li>\( a \geq b \) 그리고 \( b \geq a \) 이면 \( a=b \) 이다.</li> <li>\( 1>0 \)</li> <li>\( a>b \) 이면 \( a + c>b + c \)이다.</li> <li>\( a>b \)이고 \( c<0 \) 이면 \( a \cdot c<b \cdot c \)이다.</li> <li>\( a>b \) 이면 \( -a<-b \)이다.</li> <li>\( a>b>0 \) 이면 \( \frac { 1 } { b } >\frac { 1 } { a } >0 \)이다.</li></ol> <p>또한 \( a<b \)이고 \( b<c \)인 경우 다음과 같이 나타낸다. \[ a<b<c \] 특히 \( a<x<b \)는 \( a \) 와 \( b \) 사이의 모든 수로, 개구간(open interval)이라 하며 다음과 같이 표시한다. \[ (a, b) \]</p> <p>반면에 \( a \leq x \leq b \)는 개구간 \( (a, b) \)에 양 끝점 \( a \) 와 \( b \)를 포함한 모든 수로, 폐구간 (closed interval)이라 하며 다음과 같이 표시한다. \( [a, b] \)</p> <h2>6. 절댓값</h2> <p>실수 \( a \)의 절댓값은 \( \|a\| \)로 표시하고 다음과 같이 정의한다. \[ \|a\|= \left \{\begin {array} { ll } a, & a \geq 0 \\ -a, & a<0 \end {array} \right . \]</p> <p>정리 1</p> <p>\( a, b \in R \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( \|-a\|=\|a\| \)</li> <li>\( \|a\| \cdot\|b\|=\|a b\| \)</li> <li>\( \|x\|<a \Leftrightarrow-a<x<a, \quad \forall a>0 \)</li> <li>\( -\|x\| \leq x \leq\|x\| \)</li> <li>\( \frac { \|a\| } { \|b\| } = \left \| \frac { a } { b } \right \| \), 단 \( b \neq 0 \)</li> <li>\( \|a + b\| \leqq\|a\| + \|b\| \)</li> <li>\( \|a\|-\|b\| \leqq\|a-b\| \)</li></ol> <p>예제 1</p> <p>유리수(rational number)는 임의의 정수 \( p \)와 \( q \)에 대해서, \( \frac { q } { p } \) (단, \( p \neq 0 \) ) 형태로 나타나는 수를 말하며, 방정식 \( p x=q \)의 해를 위한 수이다.</p> <p>또한 이것은 곱셈의 역인 나눗셈을 가능하게 하고 \( x= \frac { q } { p } \)로 나타낸다.</p> <p>유리수의 집합은 다음과 같이 나타낸다. \[ \mathbb { Q } = \left \{\frac { q } { p } \mid p, q \text { 는 정수, } p \neq 0 \right \} \]</p> <p>또한 유리수의 집합은 셀 수 있는 무한개의 원소를 가지고 있고 다음을 알 수 있다.</p> <p>정리 4</p> <p>\( r ^ { 2 } =2 \)인 유리수 \( r \)은 존재하지 않는다.</p> <p>증명</p> <p>\( r ^ { 2 } =2 \)인 유리수 \( r \)이 존재한다고 가정하자. 다음과 같이 놓자. \[ r= \frac { q } { p } , \quad p \text { 와 } q \text { 는 서로소 } \] \( r ^ { 2 } =2 \)에서 다음이 성립한다. \[ p ^ { 2 } =2 q ^ { 2 } \] \( p ^ { 2 } \) 은 짝수이고 \( p \) 역시 짝수이므로 다음과 같다. \[ p=2 t \] \( p ^ { 2 } =2 q ^ { 2 } \)에서 다음을 얻는다. \[ q ^ { 2 } =2 t ^ { 2 } \] 그 결과 다음과 같다 \( q ^ { 2 } \) : 짝수 그리고 \( q \) : 짝수 이는 ' \( p \) 와 \( q \)는 서로소'라는 가정에 모순이므로 다음을 알 수 있다. \( r ^ { 2 } =2 \) 인 유리수 \( r \)은 존재하지 않는다.</p> <p>무리수(irrational number)는 \( \sqrt { 5 } \)와 \( \pi \)와 같이 두 정수 \( p \) 와 \( q \)에 대해서 \( \frac { q } { p } \) (단, \( p \neq 0 \) ) 형태로 나타낼 수 없는 수를 말한다. 유리수의 집합과 무리수의 집합을 합해서 실수(real number)의 집합이라고 한다. 또한 양의 실수의 집합을 양수의 집합, 음의 실수의 집합을 음수의 집합이라고 한다. 또한 실수의 집합은 셀 수 없는 무한개의 원소를 가지고 있고 다음을 알 수 있다.</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 \( A-B \)는 다음과 같다. \[ \mu_ { A-B } (x)= \min \left \{\mu_ { A } (x), 1- \mu_ { B } (x) \right \} , \quad \forall x \in U \]</p> <p>예제 4</p> <p>다음과 같은 경우 \( A-B \)를 구하시오. \[ \begin {array} { l } A= \{ (a, 0.9),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} \text { 그리고 } \\ B= \{ (a, 0.8),(b, 0.5),(c, 1),(d, 0.8),(e, 0.7) \} \end {array} \]</p> <p>풀이</p> <p>\( \quad A-B= \{ (a, 0.2),(b, 0.2),(c, 0),(d, 0.2),(e, 0.3) \} \)</p> <p>정의</p> <p>전체 집합 \( U \)는 \( \mu_ { U } (x)=1, \forall x \in U \) 그리고 공집합 \( \varnothing \)는 \( \mu_ {\varnothing } (x)=0, \forall x \in U \) 을 만족하는 퍼지 집합이다.</p> <p>정리 2</p> <p>전체 집합 \( U \)와 공집합 \( \varnothing \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( U ^ { c } = \varnothing \)</li> <li>\( \varnothing ^ { c } =U \)</li></ol> <p>정리 3</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 두 퍼지 집합 \( A, B \)에 대해서 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( A \cup U=U, \quad A \cap U=A \)</li> <li>\( A \cup \varnothing=A, \quad A \cap \varnothing= \varnothing \)</li></ol> <p>예제 5</p> <p>전체 집합 \( U \)에서 정의된 퍼지 집합 \( A \)에 대해서 다음과 같다. \[ A \cap A ^ { c } \neq \varnothing, \quad A \cup A ^ { c } \neq U \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A= \{ (a, 0.9),(b, 0.2),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} \) 인 경우 \( A ^ { c } \)는 다음과 같다.</p> <p>\[ A ^ { c } = \{ (a, 0.1),(b, 0.8), \quad(c, 0),(d, 0.5),(e, 0.2) \} \] 그리고 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} A \cap A ^ { c } &= \{ (a, 0.1),(b, 0.2),(c, 0),(d, 0.5),(e, 0.2) \} , \\ \varnothing &= \{ (a, 0),(b, 0),(c, 0),(d, 0),(e, 0) \} \end {aligned} \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ A \cap A ^ { c } \neq \varnothing \] 또한 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} A \cup A ^ { c } &= \{ (a, 0.9),(b, 0.8),(c, 1),(d, 0.5),(e, 0.8) \} , \\ U &= \{ (a, 1),(b, 1),(c, 1),(d, 1),(e, 1) \} \end {aligned} \] 그 결과 다음을 알 수 있다. \[ A \cup A ^ { c } \neq U \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( f(x)= \frac { x } { 3 } , g(x)= \sqrt { x } \) 인 경우 다음을 구하시오. \[ \operatorname { Dom } (f-g), \quad \operatorname { Dom } (f \cdot g), \quad \operatorname { Dom } \left ( \frac { f } { g } \right ) \]</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } \operatorname { Dom } (f-g)=[0, \infty) \\ \operatorname { Dom } (f \cdot g)=[0, \infty) \\ \operatorname { Dom } \left ( \frac { f } { g } \right )=(0, \infty) \end {array} \]</p> <p>예제 3</p> <p>\( f(x)= \frac { x } { 3 } , g(x)= \sqrt { x } \) 인 경우 다음을 구하시오. \[(f-g)(x), \quad(f \cdot g)(x), \quad \left ( \frac { f } { g } \right )(x) \]</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } (f-g)(x)=f(x)-g(x)= \frac { x } { 3 } - \sqrt { x } \\ (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)= \frac { x } { 3 } \cdot \sqrt { x } \\ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { x } { 3 \sqrt { x } } \end {array} \]</p> <p>예제 4</p> <p>\( f(x)= \sqrt { x-3 } , g(x)= \sqrt { 25-x ^ { 2 } } \)일 때, \( f + g, f-g, f \cdot g, \frac { f } { g } , \frac { g } { f } \)를 구하고 정의역을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같다. \[ \operatorname { Dom } (f)=[3, \infty) \text { 그리고 } \operatorname { Dom } (g)=[-5,5] \] 그러므로 다음을 알 수 있다. \[ \begin {array} { l } \operatorname { Dom } (f + g)=[3,5] \\ \begin {aligned} (f + g)(x) &=f(x) + g(x) \\ &= \sqrt { x-3 } + \sqrt { 25-x ^ { 2 } } \end {aligned} \end {array} \] \[ \begin {array} { l } \operatorname { Dom } (f-g)=[3,5] \\ \begin {aligned} (f-g)(x) &=f(x)-g(x) \\ &= \sqrt { x-3 } - \sqrt { 25-x ^ { 2 } } \end {aligned} \end {array} \] \[ \begin {array} { l } \operatorname { Dom } (f \cdot g)=[3,5] \\ \begin {aligned} (f \cdot g)(x) &=f(x) \cdot g(x) \\ &= \sqrt { x-3 } \cdot \sqrt { 25-x ^ { 2 } } \end {aligned} \end {array} \] \[ \begin {array} { l } \operatorname { Dom } \left ( \frac { f } { g } \right )=[3,5) \\ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { f(x) } { g(x) } = \frac {\sqrt { x-3 } } {\sqrt { 25-x ^ { 2 } } } \end {array} \] \[ \operatorname { Dom } \left ( \frac { g } { f } \right )=(3,5] \\ \left ( \frac { g } { f } \right )(x)= \frac { g(x) } { f(x) } = \frac {\sqrt { 25-x ^ { 2 } } } {\sqrt { x-3 } } \]</p> <p>풀이</p> <p>\( S \)의 임의의 두 원소 \( x, y \)는 다음과 같다. \[ x=5 p + 1, y=5 q + 1 \text { 단, } p, q \in Z \] 다음이 성립한다. \[ x + y=(5 p + 1) + (5 q + 1)=5(p + q) + 2 \] 그러므로 \( S \)는 덧셈에 대해서 닫혀있지 않다. 또한 다음이 성립한다. \[ x \cdot y=(5 p + 1) \cdot(5 q + 1)=5(5 p q + p + q) + 1 \] 그러므로 \( S \)는 곱셈에 대해서 닫혀있다.</p> <p>정의</p> <p>고정된 양의 정수 \( m \)과 두 정수 \( a, b \)에 대해서 다음을 만족하는 경우 \( a \equiv b( \bmod m) \)으로 나타내고, 법 \( m \)에 대해서 \( a \) 와 \( b \)는 합동이라 한다. \[ a-b=m k \] 즉, 두 정수 \( a \) 와 \( b \)의 차가 \( m \)의 배수이다.</p> <p>예제 7</p> <p>평문 BUS, 암호화함수 \( f(x)=x + 10 \)인 경우 암호문을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>평문 BUS는 012018로 나타낼 수 있고 암호화함수 \( f(x)=x + 10 \)인 경우 012018은 다음과 같이 변환한다. 113028 즉, 110402 그 결과 다음의 암호문을 얻을 수 있다. LEC</p> <p>예제 8</p> <p>암호화함수 \( f(x)=x + 10 \)인 경우 복호화함수를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>복호화함수는 역함수이므로 다음과 같다. \[ f ^ { -1 } (x)=x-10 \] 또한 다음을 알 수 있다. \[ f ^ { -1 } (x)=x + 16 \] 110402 는 다음과 같이 변환한다. 272018 즉, 012018 그 결과 다음의 평문을 얻을 수 있다. BUS</p> <p>예제 9</p> <p>암호화함수 \( f(x)=3 x + 5 \)인 경우 복호화함수를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>복호화함수는 다음과 같다. \[ f ^ { -1 } (x)= \frac { 1 } { 3 } (x-5) \] 그러나 \( Z_ { 26 } \) 에서 \( \frac { 1 } { 3 } \) 은 9 를 의미하므로 다음이 성립한다. \[ f ^ { -1 } (x)=9(x-5) \] 또한 다음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} f ^ { -1 } (x) &=9(x-5) \\ &=9 x-45 + 52 \\ &=9 x + 7 \end {aligned} \]</p>	자연
s351-(공학과정을 위한) 미적분학 1.6	<h1>모듈 3. 삼각함수의 적분</h1> <h2>목표</h2> <p>\( \int \sin ^{n} x d x, \int \cos ^{n} x d x \), 또는 \( \int \sin m x \cos n x d x \) 형태의 적분 계산하기.</p> <h2>들어가기</h2> <p>\( \int \sin ^{2} x d x \)를 계산하는 법을 생각해보자.</p> <h3>1. \( \int \sin ^{n} x d x \)와 \( \int \cos ^{n} x d x \)를 계산하여 보자.</h3> <p>\( n \)이 홀수인 경우와 짝수인 경우 각각 다른 방법을 적용해야 한다.</p> <p>(1) \( n \)이 홀수인 경우 \( n=2 k+1 \)로 두고 \( \sin ^{2} x=1-\cos ^{2} x \)임을 이용하여 치환적분을 한다. \[ \int \sin ^{2 k+1} x d x=\int \sin ^{2 k} x \cdot \sin x d x=\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{k} \sin x d x \]</p> <p>\( u=\cos x \)로, \( d u=-\sin x d x \)로 치환하면 \[ \int\left(1-u^{2}\right)^{k}(-1) d u \] 이 되고 이는 \( u \)에 대한 다항식의 적분이므로 쉽게 구할 수 있다.</p> <p>보기 1</p> <p>\( \int \cos ^{5} x d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin{aligned} \int \cos ^{5} x d x &=\int \cos ^{4} x(\cos x) d x=\int\left(1-\sin ^{2} x\right)^{2} \cos x d x \\ &=\int\left(1-u^{2}\right)^{2} d u=\int\left(1-2 u^{2}+u^{4}\right) d u=u-\frac{2}{3} u^{3}+\frac{1}{5} u^{5}+C \\ &=\sin x-\frac{2}{3} \sin ^{3} x+\frac{1}{5} \sin ^{5} x+C \end{aligned} \)</p> <p>(2) \( n \)이 짝수인 경우 \( n=2 k \)로 두고 \( \cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2}, \sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2} \)를 이용한다.</p> <p>\( \begin{aligned} \int \cos ^{2 k} x d x &=\int\left(\cos ^{2} x\right)^{k} d x=\int\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right)^{k} d x \\ &=\frac{1}{2^{k}} \int\left(1+k \cos 2 x+\frac{k(k-1)}{2} \cos ^{2} 2 x+\cdots+\cos ^{k} 2 x\right) d x \end{aligned} \)</p> <p>원래 적분 함수의 차수는 \( 2 k \)였으나 각이 두 배가 되는 대신 차수가 \( k \)를 넘지 않는 함수의 적분의 합으로 표현되었다. 각각의 적분은 \( \cos 2 x \)의 지수가 짝수인 경우와 홀수인 경우에 따라서 위의 방법을 다시 적용하면 된다.</p> <h2>2. 서로 다른 삼각함수들의 곱의 적분</h2> <p>보기 2</p> <p>\( \int \sin m x \cos n x d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>삼각함수의 합의 법칙 \( \sin (A \pm B)=\sin A \cos B \pm \cos A \sin B \)을 이용하면 \[ \sin m x \cos n x=\frac{1}{2}[\sin (m-n) x+\sin (m+n) x] \] 를 얻는다. 이를 대입하여 적분하면 그 결과는 다음 중 하나가 된다.</p> <p>\( \left\{\begin{array}{ll}(-1 / 2)\left[\frac{\cos (m-n) x}{m-n}+\frac{\cos (m+n) x}{m+n}\right], & m^{2} \neq n^{2} \\ -\frac{\cos (m+n) x}{2(m+n)}, & m=n \neq 0 \\ -\frac{\cos (m-n) x}{2(m-n)}, & m=-n \neq 0\end{array}\right. \)</p> <h2>3. 그 외 삼각함수 적분</h2> <p>보기 3</p> <p>\( \int \tan ^{2} x d x=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) d x=\tan x-x+C \)</p> <p>보기 4</p> <p>\( \int \tan ^{3} x d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin{aligned} 1+\tan ^{2} x=\sec ^{2} x \text { 를 이용하면 } \\ \int \tan ^{3} x d x &=\int\left(\tan ^{2} x \tan x\right) d x=\int\left(\sec ^{2} x-1\right) \tan x d x \\=& \int \sec ^{2} x \tan x d x-\int \tan x d x \\ &(u=\tan x, v=\cos x \text { 로 치환) }\\ &=\int u d u-\int \frac{\sin x}{\cos x} d x \\ &=\frac{1}{2} u^{2}+\int \frac{1}{v} d v \\ &=\frac{1}{2} u^{2}+\ln \|v\|+C \\ &=\frac{1}{2} \tan ^{2} x+\ln \|\cos x\|+C \end{aligned} \)</p> <p>보기 5</p> <p>\( \int \sec x d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin{aligned} \int \sec x d x &=\int \frac{\sec x(\sec x+\tan x)}{\sec x+\tan x} d x(\sec x+\tan x=u \text { 로 치환) }\\ &=\int \frac{1}{u} d u=\ln \|u\|+C=\ln \|\sec x+\tan x\|+C \end{aligned} \)</p> <p>이 적분을 계산하는 다른 하나의 기법으로 알려져 있는 것은 다음과 같이 치환하는 것이다.</p> <p>\( u=\tan \frac{x}{2}, x=2 \tan ^{-1} u, d x=\frac{2}{1+u^{2}} d u \) \[\] \( \sin x=\frac{2 u}{1+u^{2}}, \cos x=\frac{1-u^{2}}{1+u^{2}} \) \[\] \( \tan x=\frac{2 u}{1-u^{2}} \)</p> <h1>모듈 4. 유리함수의 적분</h1> <h2>목표</h2> <p>\( P(x) \)와 \( Q(x) \)가 다항식일 때 \( \int \frac{P(x)}{Q(x)} d x \) 형태의 적분을 하는 방법을 알아보자.</p> <h2>들어가기</h2> <p>\( \int \frac{5 x-3}{x^{2}-2 x-3} d x \)를 어떻게 계산할 것인가?</p> <p>\( P(x) \)와 \( Q(x) \)가 다항식일 때 \( \frac{P(x)}{Q(x)} \)를 유리함수(rational function)라고 한다. 유리함수를 적분하는 한 방법은 부분분수를 이용하는 것으로서 부분분수법(integration by parts)이라고 하며 아래와 같이 세 단계로 진행할 수 있다.</p> <h3>1단계</h3> <p>먼저 분자의 차수가 분모의 차수보다 작은지를 확인한다. 그렇지 않은 경우 먼저 나눗셈을 하여 차수를 낮춘다. 즉, \( P(x)=Q(x) P_{1}(x)+R(x) \)이고 \( R(x) \)와 \( P_{1}(x) \)는 다항식으로서 \( R(x) \)의 차수는 \( Q(x) \)의 차수보다 작다.</p> <p>\( \frac{P(x)}{Q(x)}=P_{1}(x)+\frac{R(x)}{Q(x)} \Rightarrow \int \frac{P(x)}{Q(x)} d x=\int P_{1}(x) d x+\int \frac{R(x)}{Q(x)} d x \) \[\] 가 되므로 두 번째 항을 어떻게 계산하는지 살펴보면 된다.<p> <h3>2단계</h3> <p>먼저 \( Q(x) \)를 인수분해하여 1차식과 2차식의 곱으로 나타낸 다음 \( \frac{P(x)}{Q(x)} \)를 부분분수로 나타낸다. 그 결과는 다음의 네 가지 유형으로 나눌 수 있다.</p> <h3>1) \( Q(x) \)가 서로 다른 일차식의 인수만 가질 때</h3> <p>보기 1</p> <p>\( \frac{5 x-3}{(x+1)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-3} \)</p> <p>풀이</p> <p>이때 \( 5 x-3=a(x-3)+b(x+1) \) 이어야 하므로 \( a=2, b=3 \)을 얻는다.</p> <h3>2) 동일한 일차의 인수가 여러 번 나타날 때</h3> <p>보기 2</p> <p>\( \frac{6 x+7}{(x+2)^{2}}=\frac{a}{x+2}+\frac{b}{(x+2)^{2}} \)</p> <p>풀이</p> <p>\( 6 x+7=a(x+2)+b \)가 되어야 하므로 \( a=6, b=-5 \)이다.</p> <h3>3) 이차식을 인수로 포함할 때</h3> <p>보기 3</p> <p>\( \frac{-2 x+4}{\left(x^{2}+1\right)(x-1)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c}{x-1}+\frac{d}{(x-1)^{2}} \)</p> <p>풀이</p> <p>이때 \( -2 x+4=(a x+b)(x-1)^{2}+c(x-1)\left(x^{2}+1\right)+d\left(x^{2}+1\right) \)이므로 \( a=2, b=1, c=-2, d=1 \) 이다.</p> <h3>4) 동일한 이차식이 여러 번 나타날 때</h3> <p>보기 4</p> <p>\( \frac{x^{3}+1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{a x+b}{x^{2}+1}+\frac{c x+d}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \). 이때 \( a, b, c, d \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin{aligned}(a x+b)\left(x^{2}+1\right)+c x+d=x^{3}+1 & \Rightarrow a=1, b=0, a+c=0, b+d=1 \\ & \Rightarrow a=1, b=0, c=-1, d=1 \end{aligned} \)</p> <h3>3단계</h3> <p>부분분수의 각 항을 적분하여 다 더한다.</p> <p>보기 5</p> <p>(1) \( \begin{aligned} \int \frac{5 x-3}{(x+1)(x-3)} d x &=\int \frac{2}{x+1} d x+\int \frac{3}{x-3} d x \\ &=2 \ln \|x+1\|+3 \ln \|x-3\|+C \end{aligned} \)</p> <p>(2) \( \int \frac{6 x+7}{(x+2)^{2}} d x=\int \frac{6}{x+2} d x-\int \frac{5}{(x+2)^{2}} d x \) \( =6 \ln \|x+2\|+5(x+2)^{-1}+C \)</p> <p>(3) \[ \begin{aligned} \int \frac{x+1}{x^{2}+4} d x &=\int \frac{x}{x^{2}+4} d x+\int \frac{1}{x^{2}+4} d x \\ &=\frac{1}{2} \ln \left\|x^{2}+4\right\|+\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}+C \end{aligned} \]</p> <h1>모듈7. 1 계 선형 미분방정식</h1> <h2>목표</h2> <p>1 계 선형 미분방정식의 해를 구하기</p> <h2>들어가기</h2> <p>도함수가 자기 자신과 비례하는 함수가 존재하는가?</p> <h3>1. 미분방정식이란 무엇인가?</h3> <p>자연현상을 설명하기 위해서 과학자들은 적절한 모델을 사용한다. 보통 관심이 있는 양이 시간에 따라 변하는 것을 설명해야 하는 경우가 많다. 관찰로부터 얻어진 데이터를 이용하여 시간에 따라 변하는 이 함수를 찾아내기도 하지만 특정 법칙에 근거하여 해당 함수의 시간에 따른 변화율을 설명하는 것이 가능한 경우가 많다. 이는 자연스럽게 함수의 시간에 대한 미분과 함수 사이의 관계식을 제공하게 되며 이를 모델로 사용하여 관심 있는 현상을 설명하는 것이 일반적이다.</p> <p>보기 1</p> <p>어떤 국가의 인구 변화를 설명하기 위해 인구 조사를 실시한 해를 기준으로 \( t \) 년 후 인구를 \( y=y(t) \)라고 하자. 가장 간단한 인구 변화 모델은 인구의 증가율 \( \frac{d y}{d t} \)가 현재의 인구 \( y(t) \)에 비례한다는 가정에 기반 한다. 수식으로 표현하면 \( \frac{d y}{d t}=k y \)가 된다. 여기서 \( k \)는 비례상수이다. 미지의 함수 \( y=y(t) \)는 인구 변화를 설명하는 함수로 우리가 찾아내고 싶은 함수이다. 이 함수는 그 도함수가 자신과 비례하는 함수이다. 이와 같이 미지의 함수의 도함수를 포함하는 방정식을 가리켜 미분방정식(differential equation)이라고 한다.</p> <p>보기 2</p> <p>오븐에서 구운 감자를 막 식탁 위에 올려놓았다. 감자는 시간이 지나면서 식게 될 것이다. 먹기에 알맞게 식을 때까지 얼마나 기다려야 할까? 여기서 주된 관심은 감자의 온도이다. 감자의 온도는 시간에 따라 변하는 함수로 \( u=u(t) \)라고 놓자. 이 함수는 어떤 미분방정식을 만족할까? 가장 간단한 모델은 뉴턴의 냉각법칙이라는 것에 기반한다. 뉴턴의 냉각법칙은 물체의 온도 변화율이 물체의 온도와 물체가 놓여 있는 공간의 온도 차이에 비례한다는 것이다. 여기서 물체가 놓여 있는 공간은 아주 넓기 때문에 일정한 온도를 유지한다고 가정한다. 구운 감자의 문제에서 감자는 식당이라는 넓은 공간에 놓여 있고 식당의 온도는 일정하다고 가정한다. 뉴턴의 냉각법칙을 적용해 보면 \[ \frac{d u}{d t}=-k(u-T) \] 이다. 여기서 \( T \)는 식당의 온도이고 \( k \)는 양의 비례상수이다. 감자의 온도가 감소하기 때문에 \( -k \)를 우변에 곱하였다.</p> <p>보기 3</p> <p>미분방정식 \( 10+t^{2} \sin t+e^{t} \frac{d y}{d t}=0 \)은 어떤 미지의 함수 \( y=y(t) \)를 미분했을 때 \( -e^{-t}\left(10+t^{2} \sin t\right) \)가 되는 미지의 함수가 무엇인지를 묻는 것이다. 이 함수의 1 계 도함수만을 포함하고 있기 때문에 1 계 미분방정식(first order differential equation)이라고 부른다.</p> <p>보기 4</p> <p>미분방정식 \( (\ln t)^{2} y+\frac{d y}{d t}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=3 \)은 미지의 함수 \( y=y(t) \)의 1 계 도함수와 2 계 도함수, 미지의 함수 자신 사이에 만족하는 관계식을 표현하고 있다. 이 방정식은 2 계 미분방정식이라고 부른다. 여기서 한 가지 주목할 점은 식에 등장하는 함수 \( (\ln t)^{2} \)은 양의 실수에 대해서 정의된 함수이기 때문에 미분방정식의 해도 기본적으로 양의 실수 위에서 정의된 함수가 된다.</p> <p>보기 5</p> <p>인구 증가 모델에서 등장했던 미분방정식 \( \frac{d y}{d t}=3 y \)을 만족하는 함수는 무엇일까? \( y=e^{3 t} \)를 식에 대입해보면 \( \frac{d}{d t} e^{3 t}=3 e^{3 t} \)이 되는 것을 확인할 수 있다. 즉 \( y=e^{3 t} \)는 미분방정식의 해(solution)가 된다. 이 함수 뿐 아니라 임의의 상수 \( C \)에 대해서 \( y=C e^{3 t} \)도 해가 된다. 이를 미분방정식의 일반해(general solution)라고 한다. 일반 해 중에서 만약 특정한 함수를 해로 선택하려고 한다면 조건을 추가해야 한다. 만약 \( y(0)=10 \)이면 \( C=10 \)이 된다. 즉 \( \frac{d y}{d t}=3 y \)의 해가 되는 함수로서 \( y(0)=10 \)를 만족하는 함수는 \( y=10 e^{3 t} \)가 된다. 이와 같이 시간이 0 일 때의 함숫값을 초기조건이라고 한다. 초기조건을 만족하는 미분방정식의 해를 찾는 문제를 초깃값문제(Initial Value Problem)라고 한다. 시간이 0 일 때의 함숫값(조건?)을 초기조건이라고 한다.</p> <h1>모듈 5. 쌍곡함수</h1> <h2>목표</h2> <p>쌍곡함수의 정의를 살펴보고 그 역함수를 이용하여 적분올 계산하기.</p> <h2>들어가기</h2> <p>\( \int \sqrt{x^{2}+1} d x \) 를 어떻게 계산할 것인가?</p> <h3>1. 쌍곡함수의 정의</h3> <p>쌍곡함수(hyperbolic function)는 마치 삼각함수처럼 다음과 같이 정의한다.</p> <p>쌍곡사인함수(hyperbolic sine) \[ \sinh u=\frac{e^{u}-e^{-u}}{2} \]</p> <p>쌍곡코사인함수(hyperbolic cosine) \[ \cosh u=\frac{e^{u}+e^{-u}}{2} \]</p> <p>쌍곡탄젠트함수(hyperbolic tangent) \[ \tanh u=\frac{\sinh u}{\cosh u}=\frac{e^{u}-e^{-u}}{e^{u}+e^{-u}} \]</p> <p>쌍곡코시컨트함수(hyperbolic cosecant) \[ \operatorname{csch} u=\frac{1}{\sinh u}=\frac{2}{e^{u}-e^{-u}} \]</p> <p>쌍곡시컨트함수(hyperbolic secant) \[ \operatorname{sech} u=\frac{1}{\cosh u}=\frac{2}{e^{u}+e^{-u}} \]</p> <p>쌍곡코탄젠트함수(hyperbolic cotangent) \[ \operatorname{coth} u=\frac{\cosh u}{\sinh u}=\frac{e^{u}+e^{-u}}{e^{u}-e^{-u}} \]</p> <p>쌍곡함수를 \( x=\cosh u \) 와 \( y=\sinh u \) 로 두면 \[ x^{2}-y^{2}=\cosh ^{2} u-\sinh ^{2} u=\frac{1}{4}\left(e^{2 u}+2+e^{-2 u}\right)-\frac{1}{4}\left(e^{2 u}-2+e^{-2 u}\right)=1 \]</p> <p>이 되어 쌍곡선에 대한 적절한 매개화(parametrization)의 역할을 하여 이런 이름이 붙게 되었다.</p> <h3>2. 쌍곡함수의 성질</h3> <p>쌍곡함수에 관해 다음이 성립함을 볼 수 있다.</p> <p>(1) \( \cosh ^{2} x-\sinh ^{2} x=1 \)</p> <p>(2) \( 1-\tanh ^{2} x=\operatorname{sech}^{2} x \)</p> <p>(3) \( \operatorname{coth}^{2} x-1=\operatorname{csch}^{2} x \)</p> <p>(4) \( \cosh x \)는 짝함수이다. \[ \text { 즉, } \cosh (-x)=\frac{e^{-x}+e^{-(-x)}}{2}=\frac{e^{-x}+e^{x}}{2}=\cosh x \]</p> <p>(5) \( \sinh x \)는 홀함수이다. \[ \sinh (-x)=\frac{e^{-x}-e^{-(-x)}}{2}=-\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)=-\sinh x \]</p> <p>(6) \( \sinh (x+y)=\sinh x \cosh y+\cosh x \sinh y \) \( (\Rightarrow \sinh 2 x=2 \sinh x \cosh x) \) \( \cosh (x+y)=\cosh x \cosh y+\sinh x \sinh y \) \( \left(\Rightarrow \cosh 2 x=\cosh ^{2} x+\sinh ^{2} x\right) \)</p> <p>왜냐하면 \( \sinh x \cosh y+\cosh x \sinh y \) \[ =\frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \frac{e^{y}+e^{-y}}{2}+\frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \frac{e^{y}-e^{-y}}{2} \] \( =\frac{1}{4}\left(e^{x+y}+e^{x-y}-e^{-x+y}-e^{-x-y}+e^{x+y}-e^{x-y}+e^{-x+y}-e^{-x-y}\right) \) \( =\frac{2}{4}\left(e^{x+y}-e^{-(x+y)}\right)=\sinh (x+y) \)</p> <p>나머지도 같은 방법으로 보일 수 있다.</p> <h3>3. 쌍곡함수의 미분과 적분</h3> <p>(1) \( \frac{d}{d x} \sinh x=\frac{d}{d x} \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\cosh x \)</p> <p>(2) \( \frac{d}{d x} \cosh x=\frac{d}{d x} \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}=\sinh x \)</p> <p>(3) \( \frac{d}{d x} \tanh x=\frac{d}{d x} \frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{\cosh x \cosh x-\sinh x \sinh x}{\cosh ^{2} x}=\operatorname{sech}^{2} x \)</p> <p>(4) \( \int \sinh x d x=\cosh x+C \)</p> <p>(5) \( \int \cosh x d x=\sinh x+C \)</p> <p>(6) \( \int \operatorname{sech}^{2} x d x=\tanh x+C \)</p> <p>보기 1</p> <p>\( \int \operatorname{coth} x d x=\int \frac{\cosh x}{\sinh x} d x \)이므로 \( u=\sinh x, d u=\cosh x d x \)로 치환하면 \[ \int \frac{d u}{u}=\ln \|u\|+C=\ln \|\sinh x\|+C \] 를 얻는다.</p> <p>보기 2</p> <p>\( \begin{aligned} \int \sinh ^{2} x d x &=\int\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)^{2} d x=\int \frac{e^{2 x}+e^{-2 x}-2}{4} d x \\ &=\frac{1}{8}\left(e^{2 x}-e^{-2 x}\right)-\frac{1}{2} x+C=\frac{\sinh 2 x}{4}-\frac{x}{2}+C \end{aligned} \)</p> <h1>모듈 1. 역삼각함수</h1> <h2>목표</h2> <p>삼각함수의 역함수, 즉 역삼각함수가 어떻게 생겼는지 알아본다.</p> <p>\( y=f(x)=\sin x \) 의 역함수를 어떻게 정의할 것인가?</p> <h2>들어가기</h2> <p>1. 배가 섬 A에서 섬 C까지 가는 항로가 그림과 같다. 지점 B에서 얼마의 각도로 항로를 조정하여야 하는가?</p> <p>2. 영화관에서 자리에 앉아 스크린올 보고 있는 각도 \( \theta \) 를 구하여라.</p> <h2>1. 먼저 역함수의 정의를 상기해 보자.</h2> <p>함수 \( f: A \rightarrow B \)에 대해 어떤 함수 \( g: B \rightarrow A \)가 있어서 모든 \( a \in A \)에 대해 \( g(f(a))=a \)이고 모든 \( b \in B \)에 대해 \( f(g(b))=b \)이면 \( g \)는 \( f \)의 역함수라고 한다. 이 역함수는 하나밖에 없으므로(왜 그런지 확인하여 보자!) \( f \)의 역함수를 \( f^{-1} \)로 표시한다. 이때 \( f \)가 \( g \)의 역함수가 됨은 명백할 것이다.</p> <p>어떤 함수가 역함수를 가지려면 일대일 대응이 되어야하므로 삼각함수의 역함수를 생각할 때 삼각함수의 정의역을 실수 전체로 하지 않고 일대일 대응이 되는 구간으로 한정하여야 한다.</p> <h2>2. 어떤 구간에서 삼각함수가 역함수를 갖는가?</h2> <p>사인함수가 일대일 대응이 되는 여러 가지 다른 구간을 잡을 수 있으나 특별한 언급이 없으면 정의역을 \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)로 한다. \( f:\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow[-1,1], y=f(x)=\sin x \)일 때 그 역함수 \( f^{-1}(x) \)를 역사인함수라고 하고 \[\] \( y=f^{-1}(x)=\sin ^{-1} x \) 혹은 \( y=\arcsin x \) \[\] 로 나타낸다. \( \sin ^{-1} x \)와 \( (\sin x)^{-1}=\frac{1}{\sin x}=\csc x \)을 혼동하지 않도록 주의하여야 한다.</p> <p>보기</p> <p>\( \arcsin 1=\frac{\pi}{2}, \sin ^{-1} \frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \)</p> <p>코사인함수의 역함수를 생각할 때에는 정의역을 \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] \)로 제한한다. 역코사인함수는 \( \cos ^{-1} x \) 혹은 \( \arccos x \)로 표시한다.</p> <p>연습</p> <p>\( \arccos (-1) \)의 값과 \( \cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{2}} \)의 값을 구하여라.</p> <p>나머지 삼각함수 탄젠트함수, 코시컨트함수, 시컨트함수, 코탄젠트함수 등의 역함수도 같은 방법으로 일대일 대응이 되는 구간을 정의역으로 하고 역함수의 이름은 같은 방식으로 표기하고 부른다. 예를 들어 역탄젠트함수 \( \arctan x \)는 정의역이 실수전체이고 치역이 \( \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)이다.</p> <h3>2. 1계 선형 미분방정식의 해 구하기</h3> <p>1 계 미분방정식 \( F\left(t, y, y^{\prime}\right)=0 \) 중에서 \( F \)가 \( y \)와 \( y^{\prime} \)에 대해 1 차식으로 주어지는 경우 이를 1 계 선형 미분방정식이라고 한다. 즉 \( F\left(t, y, y^{\prime}\right)=a(t)+b(t) y+c(t) y^{\prime}=0 \) 형태로 주어지는 경우이다. 여기서 식을 \( y^{\prime} \)의 계수 \( c(t) \)로 나누면 \[ \frac{d y}{d t}+P(t) y=Q(t) \] 형태로 쓸 수 있는데 이를 1 계 선형 미분방정식의 표준형이라고 한다. 앞에서 소개하였던 인구증가 모델이나 뉴턴의 냉각법칙에 등장했던 미분방정식들은 모두 1 계 선형 미분방정식이다. 일반적인 1 계 선형 미분방정식의 해를 구하는 방법에 대한 힌트를 얻기 위해 다음의 보기를 살펴보자.</p> <p>보기 6</p> <p>미분방정식 \( \frac{d y}{d t}+\frac{1}{t} y=t,(t>0) \)의 일반해를 구해보자. 먼저 양변에 \( t \)를 곱하면 \[ t \frac{d y}{d t}+y=t^{2} \] 가 된다. 이때 좌변은 한 개의 함수의 미분으로 쓸 수 있다. 즉 \[ \frac{d}{d t}(t y)=(t)^{\prime} y+t(y)^{\prime}=y+t \frac{d y}{d t} \] 이 성립한다. 이를 이용하면 처음의 미분방정식은 \[ \frac{d}{d t}(t y)=t^{2} \] 의 형태가 된다. 이제 해를 쉽게 찾을 수 있다. 양변을 \( t \)에 대해 각각 적분하면 \[ \begin{array}{c} \int \frac{d}{d t}(t y) d t=\int t^{2} d t \\ t y=\frac{1}{3} t^{3}+C \end{array} \] 가 되므로 일반해는\[ y=\frac{1}{3} t^{2}+\frac{C}{t}, \quad(t>0) \] 가 된다.</p> <p>이제 일반적으로 \( \frac{d y}{d t}+P(t) y=Q(t) \)의 해를 구하는 방법을 살펴보자. 위의 보기가 시사하는 바는 만약 적당한 함수 \( \mu(t) \)를 양변에 곱해서 좌변이 어떤 함수의 미분 꼴이 되면 양변을 적분해서 간단히 해를 구할 수 있다는 것이다. 이를 식으로 표현을 해보면 \[ \mu(t)\left(\frac{d y}{d t}+P(t) y\right)=\mu(t) Q(t) \] 이다. 우리가 원하는 것은 \( \mu(t) \)가 \[ \mu(t)\left(\frac{d y}{d t}+P(t) y\right)=\frac{d}{d t}(\mu(t) y) \] 를 만족하는 것이다. 식을 전개해서 정리하면 \[ \begin{array}{l} \mu y^{\prime}+\mu^{\prime} y=\mu y^{\prime}+\mu P(t) y \\ \mu^{\prime} y=\mu P(t) y \\ \mu^{\prime}=P(t) \mu \end{array} \] 최종적으로 1 계 미분방정식을 얻게 된다. 이는 변수분리형이라고 불리는 유형의 1 계 미분방정식이다. 이 방정식의 해는 다음과 같이 구할 수 있다. \[ \begin{array}{c} \int \frac{1}{\mu} d \mu=\int P(t) d t \\ \ln \|\mu\|=\int P(t) d t \\ \mu=\pm e^{\int P(t) d t} \end{array} \]</p> <p>1 계 선형 미분방정식의 표준형에서 \( y \)의 계수인 함수 \( P(t) \)를 적분하여 지수함수에 올린 형태, 즉 \( \mu=\exp \left(\int P(t) d t\right) \)를 곱하면 우리가 바라던 바를 얻을 수 있다. 이 함수를 적분인자(integrating factor)라고 한다.</p> <p>보기 7</p> <p>미분방정식 \( t \frac{d y}{d t}=t^{2}+3 y,(t>0) \)의 일반해를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>먼저 방정식을 다음과 같이 표준형으로 쓴다. 즉 \( y \)의 도함수의 계수가 1 이 되도록 정리한다. \( \frac{d y}{d t}-\frac{3}{t} y=t \) (여기서 \( t>0 \)인 영역을 생각하므로 \( t \)로 주어진 방정식을 나누는 것이 가능하다). 두 번째로 적분인자를 찾는다. 적분인자는 \[ e^{-\int \frac{3}{t} d t}=e^{-3 \ln t}=e^{\ln t^{-3}}=t^{-3}(t>0) \] 가 된다. 마지막으로 적분인자를 주어진 미분방정식의 표준형의 양변에 곱하면 \[ \begin{array}{c} t^{-3}\left(y^{\prime}-\frac{3}{t} y\right)=t^{-2} \\ \frac{d}{d t}\left(t^{-3} y\right)=t^{-2} \end{array} \] 을 얻는다. 양변을 적분하면 일반해는 \[ \begin{array}{c} t^{-3} y=\int t^{-2} d t=-\frac{1}{t}+C \\ y=-t^{2}+C t^{3},(t>0) \end{array} \] 가 된다.</p> <p>보기 8</p> <p>보기 7 의 미분방정식에 초기조건 \( y(1)=1 \)이 주어진 초깃값문제의 해를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>일반해 \( y=-t^{2}+C t^{3} \)를 이용한다. 초기조건 \( y(1)=1 \)로 부터 \( C=2 \)를 얻는다. 초깃 값문제의 해는 \( y=2 t^{3}-t^{2} \)이다.</p> <h3>3. 1계 선형 미분방정식의 응용</h3> <p>1 계 선형 미분방정식의 응용으로 간단한 전기회로를 다루어 보자. RL-회로라고 불리는 전기회로는 저항과 코일로 이루어져 있고 전압을 공급하는 전원이 있다. 전원을 켰을 때 회로의 전류가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 살펴보고자 한다.</p> <p>저항 값을 상수 \( R \), 코일의 용량 즉 인덕턴스라 불리는 양을 상수 \( L \), 회로에 공급되는 전원을 상수 \( V \)로 표시한다. 이들과 전류 \( I=I(t) \) 사이의 관계식은 키르히호프(Kirchhoff)의 법칙을 이용하여 얻을 수 있다. 키르히호프의 법칙이란 닫힌회로에서 공급되는 전원의 전압이 회로의 각 장치에서의 강하되는 전압의 총합과 같다는 것이다. 저항에서 강하되는 전압은 옴(Ohm)의 법칙에 따라 \( R I \)가 된다. 코일에서 강하되는 전압은 \( L \frac{d I}{d t} \)이다. 따라서 \[ L \frac{d I}{d t}+R I=V \] 를 얻게 된다. 이는 전류함수 \( I(t) \)에 대한 1 계 선형 미분방정식이다. 초기조건은 \( I(0)=I_{0} \)로 둔다. 앞서 배운 방법을 사용하여 해를 구해보자. 먼저 적분인자를 구해보면 \[ \mu=e^{\int \frac{R}{L} d t}=e^{\frac{R}{L} t} \] 가 되고 이를 미분방정식 양변에 곱하면 \[ \begin{array}{l} e^{\frac{R}{L} t}\left(\frac{d I}{d t}+\frac{R}{L} I\right)=\frac{1}{L} e^{\frac{R}{L} t} V \\ \frac{d}{d t}\left(e^{\frac{R}{L} t} I\right)=\frac{1}{L} e^{\frac{R}{L} t} V \\ e^{\frac{R}{L} t} I=\frac{1}{L} \int e^{\frac{R}{L} t} V d t=\frac{V}{L} \frac{L}{R} e^{\frac{R}{L} t}+C \end{array} \] 이다. 따라서 일반해는 \( I(t)=\frac{V}{R}+C e^{-\frac{R}{L} t} \) 이 된다. 초기조건을 이용하면 초깃값문제에 대한 해는 \[ I(t)=\frac{V}{R}+\left(I_{0}-\frac{V}{R}\right) e^{-\frac{R}{L} t} \] 이다. 이 해의 흥미로운 점은 초기전류와 \( V / R \) 사이의 관계에 따라 전류의 변화가 다른 패턴을 보여준다는 것이다.</p> <p>(1) \( I_{0}<\frac{V}{R} \) 인 경우</p> <p>\( I(t)=\frac{V}{R}+\left(I_{0}-\frac{V}{R}\right) e^{-\frac{R}{L} t} \)는 증가함수로서 그래프는 다음 그림 2와 같다. 여기서 수평축은 시간을 나타내며 수직축은 전류를 나타낸다. 특별히 전류가 궁극적으로 \( V / R \)를 향해 점점 증가하는 것을 알 수 있다.</p> <p>(2) \( I_{0}>\frac{V}{R} \)인 경우</p> <p>\( I(t)=\frac{V}{R}+\left(I_{0}-\frac{V}{R}\right) e^{-\frac{R}{L} t} \)는 감소함수이다. 그래프는 그림 3과 같다. 전류는 시간이 지남에 따라서 \( V / R \)를 향해 점점 감소하는 것을 알 수 있다. 해가 지수함수로 표현되어 있기 때문에 초기에 전류가 급격히 감소하는 것을 알 수 있다.</p> <h1>모듈 6. 쌍곡함수의 역함수와 그 미분</h1> <h2>목표</h2> <p>역 쌍곡함수의 미분올 이용하여 적분올 계산한다.</p> <h2>들어가기</h2> <p>\( \int \frac{d x}{x \sqrt{1-x^{2}}} \)를 어떻게 계산할 것인지 생각하여 보아라.</p> <h3>1. 쌍곡함수의 역함수 구하기</h3> <p>먼저 \( y=\sinh x \)의 역함수를 생각하여 보자. 이는 일대일 대응 함수이므로 역함수를 갖는다. 그 역함수를 \( y=\sinh ^{-1} x \)로 표시한다.</p> <p>\( y=\cosh x \)의 경우는 정의역을 \( x \geq 0 \)로 제한하면 치역이 \( \{y: y \geq 1\} \)이 되고 역함수를 갖는다. 이를 \( y=\cosh ^{-1} x \)로 표기한다. 이들 역함수들은 로그함수로 나타낼 수 있다.</p> <p>(1) \( \sinh { }^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)</p> <p>(2) \( \cosh ^{-1} x=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-1}\right), x \geq 1 \)</p> <p>(3) \( \tanh ^{-1} x=\frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x},\|x\|<1 \)</p> <p>먼저 (1)을 구해보자. 먼저 \( y=\sinh ^{-1} x \)에서 \( \sinh y=\sinh \left(\sinh ^{-1} x\right)=x \) 이므로 \( \sinh y= \frac{e^{y}-e^{-y}}{2}=x \)를 얻고 양변에 \( 2 e^{y} \)를 곱하여 \[ e^{2 y}-2 x e^{y}-1=0 \] 를 얻는다. 이로부터 \[ e^{y}=\frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2}+4}}{2}=x \pm \sqrt{x^{2}+1} \] 를 얻고 \( e^{y} \)가 항상 양수이므로 \( e^{y}=x+\sqrt{x^{2}+1} \)이 되고 따라서 \( y=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \)이다.</p> <p>(2)도 같은 방법으로 구할 수 있다. \[ \cosh y=\frac{e^{y}+e^{-\psi}}{2}=x \text { 로부터 } \] \[ e^{2 y}-2 x e^{y}+1=0 \text { 을 얻어 } e^{y}=\frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2}-4}}{2}=x \pm \sqrt{x^{2}-1} \quad(x \geq 1) \] 이 되고 \( y \geq 0 \)이므로 \( e^{y} \geq 1 \)이고, \( x>1 \)일 때 \( x-\sqrt{x^{2}-1}<1 \)이므로 \( e^{y}=x+\sqrt{x^{2}-1} \)로서 위의 식(2)를 얻는다.</p> <p>(3)의 경우 \( -1<\tanh y<1 \)이므로 \( \|x\|<1 \)이다. \( \tanh y=\frac{e^{y}-e^{-y}}{e^{y}+e^{-y}}=x \)에서 분모와 분자에 \( e^{y} \)를 곱하여 \( \frac{e^{2 y}-1}{e^{2 y}+1}=x \) 를 얻는다. 이로부터 \[ \begin{aligned} e^{2 y}-1=x e^{2 y}+x & \Rightarrow(1-x) e^{2 y}=x+1 \Rightarrow e^{2 y}=\frac{1+x}{1-x} \\ & \Rightarrow y=\frac{1}{2} \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \quad(\|x\|<1) \end{aligned} \] 을 얻는다.</p> <h3>2. 역 쌍곡함수의 미분과 적분에의 응용</h3> <p>\( \int \frac{d u}{\sqrt{1+u^{2}}} \)을 어떻게 계산할 것인가 생각해보자.</p> <p>한 가지 방법은 \( \cosh ^{2} x=1+\sinh ^{2} x \)을 이용하여 치환적분을 하는 것이다. \( u=\sinh x, d u=\cosh x d x \)로 두면 \[ \begin{aligned} \int \frac{d u}{\sqrt{1+u^{2}}} &=\int \frac{\cosh x d x}{\sqrt{\cosh ^{2} x}}=\int \frac{\cosh x}{\cosh x} d x=x+C \\ &=\sinh ^{-1} u+C=\ln \left(u+\sqrt{u^{2}+1}\right)+C \end{aligned} \]</p> <p>보기 1</p> <p>\( \int \frac{d u}{\sqrt{u^{2}-1}}(u>1) \)을 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( u=\cosh x, d u=\sinh x d x \)로 치환하면 \( u^{2}-1=\cosh ^{2} x-1=\sinh ^{2} x \)이므로 \( \iint \frac{d u}{\sqrt{u^{2}-1}}=\int \frac{\sinh x d x}{\|\sinh x\|}=x+C=\cosh ^{-1} u+C=\ln \left(u+\sqrt{u^{2}-1}\right)+C \)</p> <p>이때 \( \cosh x \)의 역함수가 정의되기 위해서는 \( x>0 \)이어야 하고 따라서 \( \sinh x>0 \)이므로 \( \|\sinh x\|=\sinh x \)이다.</p> <p>역 쌍곡함수의 미분은 다음과 같다.</p> <p>(1) \( \frac{d}{d x}\left(\sinh ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} \)</p> <p>(2) \( \frac{d}{d x}\left(\cosh ^{-1} x\right)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}}(x>1) \)</p> <p>(3) \( \frac{d}{d x}\left(\tanh ^{-1} x\right)=\frac{1}{1-x^{2}} \quad(\|x\|<1) \)</p> <p>(4) \( \frac{d}{d x}\left(\operatorname{coth}^{-1} x\right)=\frac{1}{1-x^{2}}(\|x\|>1) \)</p> <p>(5) \( \frac{d}{d x}\left(\operatorname{sech}^{-1} x\right)=-\frac{1}{x \sqrt{1-x^{2}}}(0<x<1) \)</p> <p>(6) \( \frac{d}{d x}\left(\operatorname{csch}^{-1} x\right)=-\frac{1}{\|x\| \sqrt{1+x^{2}}}(x \neq 0) \)</p> <p>위의 공식들은 로그함수를 이용한 역함수의 표현법을 이용하면 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 위의 (3)번의 경우 다음과 같이 얻을 수 있다. \[ \begin{aligned} \frac{d}{d x}\left(\tanh ^{-1} x\right) &=\frac{1}{2} \frac{d}{d x}(\ln (1+x)-\ln (1-x))=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1-x^{2}}\right)=\frac{1}{1-x^{2}} \end{aligned} \]</p> <p>보기 2</p> <p>\( \int x \tanh ^{-1} x d x \) 을 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>먼저 부분적분을 한다. \[ \begin{aligned} \int x \tanh ^{-1} x d x &=\frac{x^{2}}{2} \tanh ^{-1} x-\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{d}{d x} \tanh ^{-1} x d x \\ &=\frac{x^{2}}{2} \tanh ^{-1} x-\frac{1}{2} \int \frac{x^{2}}{1-x^{2}} d x \end{aligned} \] 두 번째 항을 부분분수로 나타내어 적분을 한다.</p> <p>\( \begin{aligned} \int \frac{x^{2}}{1-x^{2}} d x &=\int\left(-1-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\right) d x \\ &=-x-\frac{1}{2} \ln \left\|\frac{x-1}{x+1}\right\|+C \end{aligned} \)</p> <p>따라서 \[ \begin{aligned} \int x \tanh ^{-1} x d x &=\frac{x^{2} \tanh ^{-1} x}{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \ln \left\|\frac{x-1}{x+1}\right\|+C \\ &=\left(\frac{x^{2}}{4}-\frac{1}{4}\right) \ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{x}{2}+C \end{aligned} \] \( \tanh ^{-1} x \) 는 \( \|x\|<1 \) 일 때 정의되므로 위 식에서 절댓값 기호는 생략할 수 있다.</p> <p>보기 3</p> <p>\( \int \sqrt{x^{2}+1} d x \) 를 계산하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x=\sinh u, d x=\cosh u d u \) 로 치환한다.</p> <p>\( \begin{aligned} x^{2}+1=\sinh ^{2} u+1=& \cosh ^{2} u \text { 이므로 } \\ \int \sqrt{x^{2}+1} d x &=\int\|\cosh u\| \cosh u d u=\int \cosh ^{2} u d u \\ &=\int \frac{1}{2}(1+\cosh 2 u) d u=\frac{1}{2} u+\frac{1}{4} \sinh 2 u+C \\ &=\frac{1}{2} \sinh ^{-1} x+\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+1}+C \\ &=\frac{1}{2} \ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right)+\frac{x}{2} \sqrt{x^{2}+1}+C . \end{aligned} \)</p> <p>여기서 \( \cosh (2 u)=\cosh ^{2} u+\sinh ^{2} u=2 \cosh ^{2} u-1 \) 와 \( \sinh (2 u)=2 \sinh u \cosh u \) 를 이용하였다.</p> <h1>모듈 2. 역삼각함수의 미분</h1> <h2>목표</h2> <p>역삼각함수의 도함수를 구한다.</p> <h2>들어가기</h2> <p>\( \arcsin x \)의 도함수를 구하여라.</p> <p>위 도함수를 구하기 위해 \( y = \arcsin x \)라고 하자. 그러면 \( \sin y= \sin ( \arcsin x)=x \)이다. 양변을 \( x \)로 미분해보자. 여기서 \( y \)는 \( x \)의 함수이므로 합성함수의 미분법(chain rule)을 사용하면 \( \cos y \frac { d y } { d x } =1 \)이다. 그러므로 \( \cos y \neq 0 \)일 때 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\cos y } = \frac { 1 } {\pm \sqrt { 1- \sin ^ { 2 } y } } = \frac { 1 } {\pm \sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \] 이 된다. \( y= \arcsin x \)의 치역이 \( - \pi / 2 \leq y \leq \pi / 2 \)이므로 \( \cos y \geq 0 \)이다. 따라서 \[ \frac { d } { d x } \arcsin x= \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } ,\|x\|<1 \]</p> <p>보기 1</p> <p>\( \arctan x \)의 도함수를 구하여 보자.</p> <p>풀이</p> <p>\( y= \arctan x \Rightarrow \tan y=x \) \( \Rightarrow \frac { d \tan y } { d x } = \sec ^ { 2 } y \frac { d y } { d x } =1 \)이므로 \( \Rightarrow \frac { d y } { d x } = \frac { 1 } {\sec ^ { 2 } y } = \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } } \)</p> <p>역삼각함수의 미분을 이용하면 다음 함수의 부정적분을 얻을 수 있다.</p> <p>(1) \( \frac { d } { d x } \left ( \sin ^ { -1 } x \right )= \frac { 1 } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } (\|x\|<1), \int \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } = \arcsin x + C \)</p>	자연
m812-논리와 사고	<h2>3) 부분환질환위</h2> <p>명제를 부분환질환위하는 방법은 먼저 환질한 다음 환위하는 것이다. 부분환질환위를 한 후에도 명제의 진리값은 동일해야 한다. 항상 환질은 진리값이 변하지 않지만 환위하는 경우에는 진리값의 변화가 있을 수 있다. 그러므로 먼저 환질을 한다는 의미는 환위를 위해서이며 그 이유는 주어진 명제의 두 개념의 외연이 다르기 때문이다. 부분환질환위를 할 수 있는 명제는 원래 환위가 불가능한 명제인 A명제와 O명제이다. 즉 환질을 해서 외연을 같게 만든 다음, 환질된 명제를 환위하는 방법이 부분환질환위이다.</p> <h3>(1) A명제</h3> <p>“모든 S는 P이다.” (S A P) 환질된 명제 : "모든 S는 P가 아닌 것이 아니다." (S E ~P) 환위된 명제 : "모든 P가 아닌 것은 S가 아니다." (~P E S)</p> <p>예제 다음 A명제를 부분환질환위하시오. "모든 장미는 꽃이다." (T)</p> <p>풀이 환질된 명게 : "모든 장미는 꽃이 아닌 것이 아니다." (T) 환위된 명게 : “모든 꽃이 아닌 것은 장미가 아니다." (T) 즉 “꽃이 아닌 모든 것은 장미가 아니다."</p> <h3>(2) O명제</h3> <p>"약간의 S는 P가 아니다." (S O P) 환질된 명제 : "약간의 S는 P가 아닌 것이다." (S I ~P) 환위된 명제 : "약간의 P가 아닌 것은 S이다." (~P I S)</p> <p>예제 다음 O명제를 부분환질환위하시오. "약간의 바다 생물은 어류가 아니다." (T)</p> <p>풀이 환질된 명게 : “약간의 바다생물은 어류가 아닌 것이다." (T) 환위된 명게 : “약간의 어류가 아닌 것은 바다생물이다.” (T) 즉 "어류가 아니 것 중에서 바다생물인 것이 있다."</p> <h2>4) 완전환질환위</h2> <p>명제를 완전환질환위하는 방법은 부분환질환위를 한 다음 환질하는 것이다. 환질은 처음 명제의 빈개념의 외연(긍정 또는 부정)만을 바꾸는 데 그 의미는 같게 만드는 것이다. 그래서 진리값에 영향을 주지 않는다. 변형한 후 진리값에 영향을 주는 것은 단지 환위이다. 완전환질환위하는 데 있어서 처음 환질은 환위를 위해서이며, 마지막 환질은 다시 처음 명제와 동일한 형식을 가지기 위해서이다. 즉 부분환질환위를 하면 처음 명제와 다른 명제의 형식이 되지만, 완전환질환위를 하게 되면 환질을 두 번하기 때문에 처음과 같은 명제의 형식을 가지게 된다. 그러므로 완전환질환위나 부분환질환위 모두 A와 O명제에 대해 가능하다.</p> <h3>(1) A명제</h3> <p>"모든 S는 P이다." (S A P) 환질된 명제 : "모든 S는 비 P가 아니다." (S E ~P) 환위된 명제 : "모든 비 P는 S가 아니다." (~P E S) 환질된 명제 : "모든 비 P는 비 S이다." (~P A ~S)</p> <p>예제 다음 명제를 완전환질환위 하시오. "모든 인간은 죄인이다." (T)</p> <p>풀이 환질된 명제 : "모든 인간은 죄인이 아닌 사람이 아니다." (T) 환위된 명제 : "모든 죄인이 아닌 사람은 인간이 아니다." (T) 환질된 명제 : "모든 죄인이 아닌 사람은 인간이 아닌 것이다." (T) 즉 "모든 죄 없는 사람은 인간이 아니다."</p> <h3>(2) O명제</h3> <p>"약간의 S는 P가 아니다." (S O P) 환질된 명제 : “약간의 S는 비P이다.” (S I ~P) 환위된 명제 : “약간의 비 P는 S이다." (~P I S) 환질된 명제 : "약간의 비 P는 비 S가 아니다." (~P O ~S)</p> <p>예제 다음 명제를 완전환질환위 하시오. "약간의 인간은 바보가 아니다."</p> <p>풀이 환질된 명게 : “약간의 인간은 바보가 아닌 사람이다." (T) 환위된 명제 : “약간의 바보가 아넌 사람은 인간이다." (T) 환질된 명제 : "약간의 바보가 아닌 사람은 인간이 아닌 것이 아니다." (T)</p>	자연
M897-대학일반수학	<p>복소수에 대한 사칙연산은 실수에 정의된 사칙연산을 확장하여 얻은 것이다. 그리고 덧셈에 관한 교환법칙, 결합법칙이 성립하고, 덧셈에 대한 항등원, 역원이 존재한다. 그리고 곱셈에 대해서도 교환법칙, 결합법칙이 성립하고 항등원과 역원이 존재한다.</p> <h2>다항식과 그 연산</h2> <p>이제 다항식과 그 연산을 살펴보자. \( x,-3 x y, 4 ^ { 2 } y \)와 같이 수 및 문자들의 곱으로만 나타낸 식을 단항식이라 한다. 단항식에서 어느 특정한 문자에 대하여 그 문자가 곱해진 개수를 그 문자에 대한 차수라 하고 그 외의 부분을 계수라 한다. 그리고 단항식 또는 단항식들의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 하고 다항식을 이루고 있는 각 단항식을 그 다항식의 항이라고 한다. 다항식에서 어느 특정한 문자에 대하여 생각할때, 그 문자를 포함하지 않은 항을 상수항이라 하고, 각 항의 차수 중에서 가장 높은 것을 그 다항식의 차수라 한다. 다항식 전체의 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있다. 그러나 나눗셈에 대하여는 닫혀 있지 않다.</p> <p>다항식의 곱셈, 나눗셈에서는 다음의 지수법칙과 이용된다.</p> <p>\( m, n \) 이 양의 정수일 때, \[ \begin {array} { c } a ^ { m } a ^ { n } =a ^ { m + n } , \left (a ^ { m } \right ) ^ { n } =a ^ { m n } ,(a b) ^ { n } =a ^ { n } b ^ { n } \\ \frac { a ^ { m } } { a ^ { n } } = \left \{\begin {array} { ll } a ^ { m-n } & (m>n) \\ 1 & (m=n) \\ \frac { 1 } { a ^ { n-m } } & (m<n) \end {array} \right . \end {array} \] 다음은 곱셈 공식이다.</p> <ul> <li>[1] \( (a \pm b) ^ { 2 } =a ^ { 2 } \pm 2 a b + b ^ { 2 } \)</li> <li>[2] \( (a + b)(a-b)=a ^ { 2 } -b ^ { 2 } \)</li> <li>[3] \( (x + a)(x + b)=x ^ { 2 } + (a + b) x + a b \)</li> <li>[4] \( (a x + b)(c x + d)=a c x ^ { 2 } + (a d + b c) x + b d \)</li> <li>[5] \( (a \pm b) ^ { 3 } =a ^ { 3 } \pm 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } \pm b ^ { 3 } \)</li> <li>[6] \( (a \pm b) \left (a ^ { 2 } \mp a b + b ^ { 2 } \right )=a ^ { 3 } \pm b ^ { 3 } \)</li></ul> <p>다항식 \( A \) 를 다항식 \( B(B \neq 0) \)로 나누었을 때 몫을 \( Q \), 나머지를 \( R \)이라고 하면 \[A=B Q + R \] 가 성립한다.(단 \( R \)의 차수는 \( B \)의 차수보다 낮다.)</p> <p>\( x \) 에 대한 다항식 \( f(x) \)를 일차식 \( x- \alpha \)로 나누었을 때의 몫을 \( Q(x) \), 나머지를 \( R \)이라고 하면 \[f(x)=(x- \alpha) Q(x) + R(R \text { 는 상수 } ) \]이다. 이 등식은 \( x \)에 대한 항등식이므로 양변에 \( x= \alpha \)를 대입하면 \( f( \alpha)=( \alpha- \alpha) Q( \alpha) + R \) 즉, \( f( \alpha)=R \)이다. 따라서 다음과 같은 나머지 정리와 인수정리를 얻는다.</p> <p>정리 \(1.2 \) 나머지정리: \( x \)에 대한 다항식 \( f(x) \)를 일차식 \( x- \alpha \)로 나누었을 때의 나머지를 \( R \)이라고 하면 \[R=f( \alpha) \]인수정리 : \( x \)에 대한 다항식 \( f(x) \)가 \( x- \alpha \)로 나누어 떨어지기 위한 필요충분조건은 \[f( \alpha)=0 \]</p> <p>나머지정리를 이용하면 다항식 \( f(x) \)를 일차식 \( x- \alpha \)로 나누었을 때의 나머지를 쉽게 구할 수 있다. 그러나 그 몫은 알 수 없다. 다항식 \( f(x) \)를 \( x- \alpha \)로 나누었을 때의 몫과 나머지를 쉽게 구하는 방법을 알아보자. 예를 들면 \( x \)에 대한 삼차 다항식 \( f(x)=a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d \)를 \( x- \alpha \)로 나누었을 때의 몫을 \( p x ^ { 2 } + q x + r \), 나머지를 \( R \)이라고 하면 \[ \begin {aligned} a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d &=(x- \alpha) \left (p x ^ { 2 } -q x + r \right ) + R \\ &=p x ^ { 3 } + (q- \alpha p) x ^ { 2 } + (r- \alpha q) x + (R- \alpha r) \end {aligned} \] 이 등식은 \( x \)에 대한 항등식이므로 \[ \begin {array} { l } a=p \\ b=q- \alpha p \\ c=r- \alpha q \\ d=R- \alpha r \end {array} \] 즉 \( p=a \), \(q=b + \alpha q \), \(r=c + \alpha q \), \(R=d + \alpha r \).</p> <p>위의 결과를 일반화하면 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>\( y=f(\|x\|) \)의 그래프는 \( x \geq 0 \)에서 \( y=f(x) \)의 그래프를 그리고 \( x<0 \)에서는 \( y \)축에 대하여 대칭이동시킨다.</li> <li>\( y=\|f(x)\| \)의 그래프는 \( y=f(x) \)의 그래프를 그리고 \( y<0 \)인 부분은 \( x \)축 위로 꺾어 올린다.</li> <li>\( \|y\|=f(x) \)의 그래프는 \( y \geq 0 \)에서 \( y=f(x) \)의 그래프를 그리고 \( y<0 \)에서는 \( x \)축에 대하여 대칭이동시킨다.</li> <li>\( \|y\|=f(\|x\|) \)의 그래프는 \( x \geq 0 \), \(y \geq 0 \)에서 \( y=f(x) \)의 그래프를 그리고 \( x \)축과 \( y \)축에 대하여 대칭이동시킨다.</li></ol> <p>예제 \( 1.22 \) 다음 식의 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y=-x + 1 \)</li> <li> <p>(2) \( y=-\|x\| + 1 \)</li> <li>(3) \( y=\|-x + 1\| \)</li></ul> <p>풀이</p> <p>함수 \( y=f(x) \)의 역함수 \( y=f ^ { -1 } (x) \)는 \( y=f(x) \)에서 \( x \)와 \( y \)를 뒤바꾸어 얻을 수 있음을 앞 절에서 알았다. 또 평면에서 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)와 점 \( \left (y_ { 0 } , x_ { 0 } \right ) \)는 직선 \( y=x \) 에 대칭이다.</p> <p>따라서 \( y=f ^ { -1 } (x) \)의 그래프는 \( y=f(x) \)의 그래프와 직선 \( y=x \)에 대칭이 됨을 알 수 있다.</p> <p>예제 \( 1.23 \) 함수 \( y= \sqrt { x } \)와 역함수의 그래프를 그려라. 풀이</p> <h1>\( 1.6 \) 이차함수</h1> <p>앞 절에서 간단한 이차함수의 그래프에 대해 알아보았다. 이 절에서는 좀 더 다양한 이차함수의 그래프와 성질에 대하여 알아보자.</p> <p>\( y=a x ^ { 2 } \), \(a>0 \)의 그래프는 위로 오목하고 \( y=a x ^ { 2 } \), \(a<0 \)의 그래프는 아래로 오목한 포물선이라는 것을 쉽게 알 수 있다.</p> <p>또 \( y=a(x-m) ^ { 2 } + n \)의 그래프는 \( y=a x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \( m \)만큼, \( y \)축으로 \( n \)만큼 평행이동한 것임을 알고 있다. 이때 점 \( (m, n) \)을 이 포물선의 꼭지점이라 하고 직선 \( x=m \)을 축이라 한다.</p> <p>부등식의 해를 구할 때 그래프를 이용하면 편리하다.</p> <p>예제 \(1.27 \) 다음 부등식의 해를 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -2 x>0 \)</li> <li>(2) \( -x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } -25 x \geq 0 \)</li></ul> <p>풀이 (1) \( y=x ^ { 3 } -x ^ { 2 } -2 x=x(x-2)(x + 1) \)이므로 그래프는 그림 \( 1.42 \)와 같다. 그래프에서 \( y>0 \)인 범위를 찾으면 \( -1<x<0 \) 또는 \( x>2 \)</p> <p>(2) \( y=-x ^ { 3 } + 10 x ^ { 2 } -25 x=-x(x-5) ^ { 2 } \)이므로 그래프는 그림 \( 1.43 \)과 같다. 그래프에서 \( y \geq 0 \)인 범위를 찾으면 \( x \leq 0 \) 또는 \( x=5 \)</p> <h1>\( 1.7 \) 유리함수와 무리함수</h1> <p>지금까지는 다항함수의 성질과 그래프에 관하여 공부하였다. 이 절에서는 유리함수와 무리함수의 성질과 그래프에 관하여 알아보자.</p> <p>두 함수 \( y= \frac { 1 } { x } \)과 \( y=- \frac { 1 } { x } \)의 그래프를 그려보자. 두 함수 모두 \( x=0 \)에서는 정의되지 않는다. 몇 개의 값을 대입하여 그래프를 그려보면 다음과 같다.</p> <p>일반적으로 함수 \( y= \frac { k } { x } \)에서 \( k>0 \)이면 그림 \( 1.44 \)와 같이 \(1 \)사분면과 \(3 \)사분면을 지나고, \( k<0 \)이면 그림 \( 1.45 \)와 같이 \(2 \)사분면과 \(4 \)사분면을 지나는 직각 쌍곡선(hyperbola)이다. 이때 직선 \( x=0 \)과 \( y=0 \)을 이 쌍곡선의 점근선(asymptote)이라 한다. 또 \( y= \frac { k } { x-p } + q \)의 그래프는 \( y= \frac { k } { x } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \( p \)만큼, \( y \)축으로 \( q \)만큼 평행 이동 시킨 것이다(그림 \( 1.46,1.47 \) ). 이때 직선 \( x=p \)와 \( y=q \)을 점근선이라 한다.</p> <p>예제 \( 1.28 \) 다음 함수의 점근선을 구하고 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y= \frac { x + 1 } { x } \)</li> <li>(2) \( y= \frac { 2 x + 1 } { x + 1 } \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) \( y= \frac { 1 } { x } + 1 \) 이므로 점근선은 \( x=0 \), \(y=1 \)이고 그래프는 그림 \( 1.48 \)과 같다.</li> <li>(2) 식을 변형하면 \[y= \frac { 2(x + 1)-1 } { x + 1 } =- \frac { 1 } { x + 1 } + 2 \]이므로 점근선은 \( x=-1 \), \(y=2 \)이고 그래프는 그림 \( 1.49 \)와 같다.</li></ul> <p>함수 \( y= \sqrt { x } \)와 \( y=- \sqrt { x } \)의 그래프를 그려보자. 두 함수의 정의역은 \( x \geq 0 \)이고 \( x \)축에 대하여 대칭이다. 몇 개의 값을 대입하여 그래프를 그려보면 다음과 같다.</p> <p>풀이 \( f(1-x)=2 x \)에서 독립변수 \( x \)를 \( s \)로 바꾸면 \[ f(1-s)=2 s \]이다. \( 1-s=3 x \)라 하면 \( s=1-3 x \)이므로 \[f(3 x)=f(1-s)=2 s=2(1-3 x)=-6 x + 2 \]</p> <p>정의역의 모든 원소가 공역의 한 원소에 대응하는 함수를 상수함수(constant function)라 한다. 예를 들면 \[f(x)=3, \quad g(x)=0 \] 은 상수함수이다. 또 정의역과 치역이 같고 \( f(x)=x \)인 함수를 항등함수(identity function)라 하고 \( I \)라 나타낸다. 즉, \( I(x)=x \)이다.</p> <h1>1.3 함수의 연산</h1> <p>기존의 함수를 연산하여 새로운 함수를 만드는 방법에는 몇 가지가 있다. 먼저 두 함수의 합, 차, 곱, 몫에 대하여 알아보자.</p> <p>정의 \(1.5 \) 두 함수 \( f, g \)에 대하여 합 \( f + g \), 차 \( f-g \), 곱 \( f g \), 몫 \( \frac { f } { g } \) 는 다음과 같이 정의된다. \[(f + g)(x)=f(x) + g(x) \] \[ (f-g)(x)=f(x)-g(x) \] \[ (f g)(x)=f(x) g(x) \] \[ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { f(x) } { g(x) } \] 이 함수들의 정의역은 \( f \)의 정의역과 \( g \)의 정의역의 교집합이고, 특히 \( \frac { f } { g } \)의 정의역은 \( g(x)=0 \)인 \( x \)는 제외하여야 한다.</p> <p>예제 \( 1.9 \) \( f(x)=2 x + 1 \), \(g(x)= \sqrt { x } \)일 때 다음을 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( (f + g)(4) \), \((f-g)(4) \), \((f g)(2) \), \( \left ( \frac { f } { g } \right )(2) \)</li> <li>(2) 함수 \( f + g \), \(f-g \), \(f g \), \( \frac { f } { g } \) 와 정의역</li></ul> <p>풀이</p> <li>(1) \( (f + g)(4)=f(4) + g(4)=9 + 2=11 \) \[ (f-g)(4)=f(4)-g(4)=9-2=7 \] \[ (f g)(2)=f(2) g(2)=5 \sqrt { 2 } \] \[ \left ( \frac { f } { g } \right )(2)= \frac { f(2) } { g(2) } = \frac { 5 } {\sqrt { 2 } } \]</li> <li>(2) \( f \)의 정의역은 \( R \)이고 \( g \)의 정의역은 \( x \geq 0 \)이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } (f + g)(x)=f(x) + g(x)=2 x + 1 + \sqrt { x } , x \geq 0 \\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)=2 x + 1- \sqrt { x } , x \geq 0 \\ (f g)(x)=f(x) g(x)=(2 x + 1) \sqrt { x } , x \geq 0 \\ \left ( \frac { f } { g } \right )(x)= \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { 2 x + 1 } {\sqrt { x } } , x>0 \end {array} \]</li></ul> <p>앞 절에서 함수란 자동판매기와 같은 것이라고 했다. 때로는 먼저 지폐를 동전으로 바꾸는 교환기를 이용한 후 동전으로 자동판매기를 이용하는 경우도 있다. 이와같이 두 관계를 연속으로 적용하는 것을 합성이라 한다.</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a>0) \) 이 허근을 가질 때</p> <ul> <li>[1] \( a x ^ { 2 } + b x + c>0 \) 의 해는 모든 실수이다.</li> <li>[2] \( a x ^ { 2 } + b x + c<0 \) 의 해는 없다.</li></ul> <p> <h1>\( 1.2 \) 함수</h1> <p>수학에서는 두 집합 사이의 관계를 다룰 때가 많다. 예를 들면, 여름에 기온이 올라가면 에어컨을 사용하므로 전기 사용량이 늘어나게 되는데 이것은 기온과 전기 사용량의 관계이다. 이렇게 두 집합 사이의 관계를 나타내는 수학적 표현이 함수이다.</p> <p>\( 정의 1.4 \) 두 집합 \( X, Y \)가 있을 때 \( X \)의 각 원소 \( x \)에 대하여 \( Y \)의 단 하나의 원소 \( y \)를 대응시키는 규칙을 함수(function)라 하고 \[ \begin {array} { l } f: X \rightarrow Y \\ x \mapsto y=f(x) \end {array} \] 라 나타낸다. 또 \{ X \)를 정의역(domain) \( Y \)를 공역(codomain) \( f(x) \)를 \( x \in X \)의 함수값(image) \( f(X)= \{ f(x): x \in X \} \) 를 치역(range)이라 한다. 함수 \( f \)의 정의역을 \( D(f) \)라 나타낸다. 함수를 앞의 그림으로 나타낼 수 있다.</p> <p>쉽게 설명하면 함수란 각각의 입력에 대해서 단 하나씩의 출력이 나오는 규칙이다. 예를 들면 동전을 넣으면 물건이 반드시 하나씩 나오는 자동판매기와 같은 것이다.</p> <p>예제 \( 1.5 \) \( f(x)=x ^ { 2 } -2 \)일 때 다음을 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( f(1) \)</li> <li>(2) \( f(6) \)</li> <li>(3) \( f \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) \)</li> <li>(4) \( f(f(3)) \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) \( f(1)=1 ^ { 2 } -2=-1 \)</li> <li>(2) \( f(6)=6 ^ { 2 } -2=34 \)</li> <li>(3) \( f \left (- \frac { 1 } { 2 } \right )= \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } -2=- \frac { 7 } { 4 } \)</li> <li>(4) \( f(f(3))=f \left (3 ^ { 2 } -2 \right )=f(7)=7 ^ { 2 } -2=47 \)</li></ul> <p>함수를 나타낼 때는 정의역, 공역, 대응규칙을 모두 나타내 주어야 하는 것이 원칙이지만, 간단히 대응규칙 \( y=f(x) \)만으로 함수를 나타내기도 한다. 이때 정의역은 \( f(x) \)를 나타내는 식이나 문장이 의미를 갖는 모든 \( x \)들의 집합으로 약속하고 공역은 \( f(x) \) 값들의 집합으로 약속한다. 함수 \( y=f(x) \)에서 \( x \)를 독립변수(independent variable), \( y \)를 종속변수(dependent variable)라 한다.</p> <p>예를 들어 \[2 + i, 1 / 2 + \sqrt { 2 } i, 0 + 5 i,-2 + 0 i \] 들은 모두 복소수이다. 두 복소수 \( a + b i \), \(c + d i \)가 같으려면, 각 복소수의 실수부와 허수부가 서로 같아야 한다.</p> <p>예제 \( 1.4 \) 다음에서 실수 \( a, b \)를 구하여라. (1) \( a + b i=-3 + 4 i \) (2) \( \sqrt { 2 } + b i=a + 2 + 3 i \) 풀이 (1) \( a=-3, b=4 \) (2) \( a= \sqrt { 2 } -2, b=3 \)</p> <p>복소수 \( a + b i \)에 대하여 허수부의 부호만 다른 복소수 \( a-b i \)를 그 복소수의 켤레 복소수라고 하고 \[ \overrightarrow { a + b i } =a-b i \]와 같이 나타낸다.</p> <p>복소수 집합에는 실수와 마찬가지로 사칙연산이 다음과 같이 정의된다.</p> <p>정의 \(1.1 \) \( a \), \(b \), \(c \), \(d \)를 임의의 실수라고 할 때, 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 다음과 같이 정의된다.</p> <ul> <li>(1) \( (a + b i) \pm(c + d i)=(a \pm c) + (b \pm d) i \)</li> <li>(2) \( (a + b i)(c + d i)=(a c-b d) + (a d + b c) i \)</li> <li>(3) \( \frac { a + b i } { c + d i } = \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } + \frac { b c-a d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } i \quad( \) 단, \( c + d i \neq 0) \)</li></ul> <p>위의 정의에서 복소수의 곱셈과 나눗셈은 \( i \)를 문자로 생각하고 계산한 것과 같다.</p> <p>예제 \( 1.5 \) 다음을 계산하여라. (1) \( (2 + 3 i) + (3-2 i) \) (2) \( (1 + i)(2-i) \) (3) \( \frac { 1 + i } { 1-i } \) 풀이 (1) \( 5 + i \) (2) \( 3 + i \) (3) \( i \)</p> <p>\( f ^ { -1 } \)은 \( f \)의 역함수를 의미하고 \( (f(x)) ^ { -1 } \)은 \( \frac { 1 } { f(x) } \)를 의미한다. 즉, \( -1 \)이 함수를 표현하는 문자의 지수처럼 쓰일 때는 역함수를 의미하고 숫자의 지수로 쓰일 때는 역수를 의미한다.</p> <p>예제 \( 1.13 \) \( f(1)=3 \), \(f(2)=-8 \) 일 때 \( f ^ { -1 } (3) \), \(f ^ { -1 } (-8) \) 의 값을 구하여라.</p> <p>풀이 \( \quad f ^ { -1 } (3)=1 \), \(f ^ { -1 } (-8)=2 \)</p> <p>함수 \( f \)가 \( x \)를 \( y \)에 대응시켜주는 관계라면 \( f ^ { -1 } \)는 \( y \)를 \( x \)에 대응시켜주는 관계이다. 즉, \( x \)와 \( y \)의 역할이 뒤바뀌었다고 생각할 수 있다. 따라서 역함수를 구할 때는 다음 순서대로 하면 편리하다.</p> <ol type=1 start=1><li>함수를 \( y=f(x) \) 형태로 쓴다.</li> <li>이 식을 \( x \)에 대해서 풀어서 \( x=g(y) \) 형태로 나타낸다.</li> <li>\( x \)와 \( y \)를 바꾸면 \( y=g(x) \)가 \( f(x) \)의 역함수이다. 즉 \( g(x)=f ^ { -1 } (x) \)이다.</li></ol> <p>예제 \( 1.14 \) 다음 함수의 역함수를 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( f(x)=3 x-2 \)</li> <li>(2) \( f(x)= \frac { x } { x + 2 } \)</li></ul> <p>풀이 (1) \( y=3 x-2 \)라 하고 \( x \)에 대해서 풀면 \[ \begin {array} { l } 3 x=y + 2 \\ x= \frac { 1 } { 3 } (y + 2) \end {array} \] \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 \[y= \frac { 1 } { 3 } (x + 2) \] 따라서 \( f ^ { -1 } (x)= \frac { 1 } { 3 } (x + 2) \)</p> <p>(2) \( y= \frac { x } { x + 2 } \)라 하고 \( x \)에 대해서 풀면 \[ \begin {array} { l } (x + 2) y=x \\ (1-y) x=2 y \\ x= \frac { 2 y } { 1-y } \end {array} \] \( x \)와 \( y \)를 바꾸면 \[y= \frac { 2 x } { 1-x } \] 따라서 \( f ^ { -1 } (x)= \frac { 2 x } { 1-x } \)</p> <h2>부등식</h2> <p>수나 식의 값에 관한 대소관계를 부등호 \(<,>, \leq, \geq \)로 나타낸 식이 부등식이다. 이를테면 \( x-5<0 \)은 미지수 \( x \)에 관한 부등식이다. 또 부등식을 만족하는 미지수의 값의 범위가 그 부등식의 해이다. 허수는 대소 관계를 생각할 수 없다. 그러므로 부등식에서의 모든 수나 문자는 실수이다.</p> <p>부등식의 기본성질</p> <ul> <li>[1] \( a>b, b>c \) 이면, \( a>c \) 이다.</li> <li>[2] \( a>b \) 이면, \( a + c>b + c, a-c>b-c \) 이다.</li> <li>[3] \( a>b, c>0 \) 이면, \( a c>b c, \frac { a } { c } >\frac { b } { c } \) 이다.</li> <li>[4] \( a>b, c<0 \) 이면, \( a c<b c, \frac { a } { c }< \frac { b } { c } \) 이다.</li></ul> <p>예제 \( 1.11 \) 일차부등식 \( \|2 x-4\|>5 \)을 풀어라. 풀이 절대값을 풀면 \( 2 x-4<-5 \) 또는 \( 2 x-4>5 \)이다. 따라서 \( 2 x<-1 \) 또는 \( 2 x >9 \)이고, 정리하면 \( x<- \frac { 1 } { 2 } \) 또는 \( x>\frac { 9 } { 2 } \)</p> <p>\( a x ^ { 2 } + b x + c=a(x- \alpha)(x- \beta) \) 이므로 이차부등식의 해는 \( D \) 에 따라 다음과 같은 결과를 얻는다.</p> <p>(a) 이차부등식의 해 \( (D>0) \)</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a>0) \) 이 서로 다른 두 실근 \( \alpha, \beta( \alpha< \beta) \) 를 가질 때</p> <ul> <li>[1] \( a x ^ { 2 } + b x + c>0 \) 의 해는 \( x< \alpha \) 또는 \( x>\beta \)</li> <li>[2] \( a x ^ { 2 } + b x + c<0 \) 의 해는 \( \alpha<x< \beta \)</li></ul> <p>(b) 이차부등식의 해 \( (D=0) \)</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a>0) \) 이 중근 \( x= \alpha \) 를 가질 때</p> <ul> <li>[1] \( a x ^ { 2 } + b x + c>0 \) 의 해는 \( x \neq \alpha \) 인 모든 실수이다.</li> <li>[2] \( a x ^ { 2 } + b x-c<0 \) 의 해는 존재하지 않는다.</li></ul> <p>(c) 이차부등식의 해 \( (D<0) \)</p> <p>예제 \( 1.19 \) 다음 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y=x ^ { 2 } -2 x-1 \)</li> <li>(2) \( y= \sqrt { x-1 } + 1 \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) 완전제곱으로 만들면 \( y=(x-1) ^ { 2 } -2 \)이므로 \( y=x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \(1 \)만큼, \( y \)축으로 \( -2 \)만큼 평행이동한 것이다(그림 \(1.18 \)).</li> <li>(2) \( y= \sqrt { x } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \(1 \)만큼, \( y \)축으로 \(1 \)만큼 평행 이동한 것이다(그림 \(1.19 \)).</li></ul> <p>정의 \(1.12 \) 함수 \( f \)가 정의역의 모든 \( x \)에 대하여 \[ f(-x)=f(x) \text { 이면 우함수(even function) } \] \[ f(-x)=-f(x) \text { 이면 기함수(odd function) } \]라 한다.</p> <p>우함수는 \( x \)에서의 함수값과 \( -x \)에서의 함수값이 항상 같으므로 우함수의 그래프는 \( y \)축에 대칭이 됨을 알 수 있다. 또 기함수는 \( -x \)에서의 함수값은 \( x \)에서의 함수값의 부호를 바꾼 것이므로 기함수의 그래프는 원점에 대칭이다.</p> <p>예제 \( 1.20 \) 다음 함수가 우함수인지 기함수인지 판별하여라.</p> <ul> <li>(1) \( f(x)=\|x\|-1 \)</li> <li>(2) \( f(x)=x ^ { 3 } + x \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) \( f(-x)=\|-x\|-1=\|x\|-1=f(x) \)이므로 우함수</li> <li>(2) \( f(-x)=(-x) ^ { 3 } + (-x)=-x ^ { 3 } -x=- \left (x ^ { 3 } + x \right )=-f(x) \)이므로 기함수</li></ul> <p>예제 \( 1.21 \) \( f \)가 우함수이고 \( g \)가 기함수이면 \( f g \)는 기함수임을 보여라.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} (f g)(-x) &=f(-x) g(-x)=f(x)(-g(x)) \\ &=-f(x) g(x)=-(f g)(x) \end {aligned} \]이므로 기함수이다.</p> <p>\( y=x-1 \)의 그래프와 \( y=\|x\|-1 \)의 그래프를 비교해보자. \( x \geq 0 \)일 때는 두 함수가 같으므로 그래프는 같다. 또 \( \|-x\|-1=\|x\|-1 \)이므로 \( y=\|x\|-1 \)의 그래프는 \( y \)축에 대칭이다. 따라서 그래프는 그림 \( 1.21 \)과 같다.</p> <p>이번에는 \( y=\|x-1\| \)의 그래프를 생각해보자. \( \|x-1\| \)은 \( x-1 \)의 값을 부호만 양수로 바꾼 것이므로 그림 \( 1.22 \)와 같다. 또 \( \|y\|=x-1 \)의 그래프는 \( y \geq 0 \)일 때는 \( y=x-1 \)의 그래프와 같고, \( \|-y\|=\|y\| \)이므로 \( x \)축에 대칭임을 알 수 있다. 따라서 그래프는 그림 \( 1.23 \)과 같다. 마지막으로 \( \|y\|=\|x\|-1 \)의 그래프는 \( x \geq 0 \), \(y \geq 0 \)일 때는 \( y=x-1 \)의 그래프와 같고 \( x \)축과 \( y \)축에 대칭이므로 그림 \( 1.24 \)와 같음을 알 수 있다.</p> <h1>\( 1.4 \) 역함수</h1> <p>\( a \) 가 실수일 때 \[a + (-a)=(-a) + a=0 \]이고 \( -a \)를 \( a \)의 덧셈에 대한 역원이라 한다. 또 \( a \)가 \(0 \)아닌 실수일 때 \[a a ^ { -1 } =a ^ { -1 } a=1 \]이고 \( a ^ { -1 } \)를 \( a \)의 곱셈에 대한 역원이라 한다. \( f \)가 적당한 조건을 만족하는 함수이면 \( f \)에 대해서도 역원과 비슷한 관계를 만족하는 함수가 있다. 이 절에서는 이러한 함수가 존재하기 위한 조건과 그 성질에 대해서 알아보자.</p> <p>정의 \(1.7 \) 함수 \( f \)가 모든 \( a \), \(b \in D(f) \)에 대하여 \[f(a)=f(b) \Rightarrow a=b \]또는 \[ a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b) \]를 만족하면 일대일 함수(one to one function)라 한다.</p> <p>예제 \( 1.12 \) 함수 \( f(x)= \frac { x + 1 } { x-1 } \)은 일대일 함수임을 보여라.</p> <p>풀이 \( f(a)=f(b) \) 라 하면 \( \frac { a + 1 } { a-1 } = \frac { b + 1 } { b-1 } \) 이므로 \[(a + 1)(b-1)=(a-1)(b + 1) \]양변을 전개하면 \[ \begin {array} { l } a b-a + b-1=a b + a-b-1 \\2 a=2 b \end {array} \]따라서 \( a=b \)이므로 일대일 함수이다.</p> <p>몇 개의 함수를 다음 그림에서 살펴보자.</p> <p>함수 \( f \)는 \( f(2)=f(3) \)이므로 일대일 함수가 아니다. 함수 \( g \)는 공역과 치역이 같지 않다. 마지막으로 함수 \( h \)는 일대일 함수이고 공역과 치역이 같다. 각 함수에서 화살표의 방향을 반대로 해보자. 그러면 \( f \)와 \( g \)의 경우는 함수가 되지 않고 \( h \)의 경우는 함수가 됨을 십게 알 수 있다. 이렇게 대응관계를 역으로 한 함수를 원래 함수의 역함수라 한다.</p> <p>정의 \( 1.8 \) \( f \)가 정의역이 \( X \)이고 치역이 \( Y \)인 함수라 하자. \( f \)의 역함수(inverse function) \( f ^ { -1 } \)은 정의역이 \( Y \)이고 치역이 \( X \)인 함수로서 다음과 같이 정의된다. \[f ^ { -1 } (y)=x \Leftrightarrow f(x)=y \]</p> <p>역함수는 다음과 같은 성질을 갖는다.</p> <p>정리 \(1.9 \) 함수 \( f: X \rightarrow Y \)의 역함수가 \( f ^ { -1 } \)일 때 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( \left (f ^ { -1 } \circ f \right )(x)=x \), 즉, \( f ^ { -1 } \circ f=I \) 모든 \( y \in Y \)에 대하여 \( \left (f \circ f ^ { -1 } \right )(y)=y \), 즉, \( f \circ f ^ { -1 } =I \)를 만족한다. 역으로 위의 관계식을 만족하는 함수 \( f ^ { -1 } \)은 \( f \)의 역함수이다. 즉, \[g \circ f=I, \quad f \circ g=I \]를 만족하면 \( g=f ^ { -1 } \)이다.</p> <p>예제 \( 1.15 \) 두 함수 \( f \), \(g \)의 역함수가 존재할 때 \( (f \circ g) ^ { -1 } =g ^ { -1 } \circ f ^ { -1 } \)임을 보여라.</p> <p>풀이 함수의 합성은 결합법칙이 성립하므로 \[ \begin {aligned} \left (g ^ { -1 } \circ f ^ { -1 } \right ) \circ(f \circ g) &=g ^ { -1 } \circ \left (f ^ { -1 } \circ f \right ) \circ g \\ &=g ^ { -1 } \circ I \circ g=g ^ { -1 } \circ g=I \\ (f \circ g) \circ \left (g ^ { -1 } \circ f ^ { -1 } \right ) &=f \circ \left (g \circ g ^ { -1 } \right ) \circ f ^ { -1 } \\ &=f \circ I \circ f ^ { -1 } =f \circ f ^ { -1 } =I \end {aligned} \] 이므로 정리 \( 1.9 \)에 의해서 \( (f \circ g) ^ { -1 } =g ^ { -1 } \circ f ^ { -1 } \)이다.</p> <h1>\( 1.5 \) 함수의 그래프</h1> <p>함수를 그림으로 나타내면 편리할 때가 많은데 이 그림을 그래프라 한다.</p> <p>예제 \( 1.25 \) 포물선 \( y=x ^ { 2 } + 3 x-5 \)와 직선 \( y=x + b \)가 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 \( b \)의 값의 범위를 구하여라.</p> <p>풀이 \( x ^ { 2 } + 3 x-5=x + b \)라 하면 \[x ^ { 2 } + 2 x-5-b=0 \]이므로 \[D=4-4(-5-b)>0 \]이어야 한다. 따라서 \( b>-6 \).</p> <p>삼차함수 \( y=x ^ { 3 } \) 과 \( y=-x ^ { 3 } \) 의 \( x \) 에 몇 개의 값을 대입하여 그래프의 개형을 그려보면 그림 \( 1.38 \), \(1.39 \)와 같다.</p> <p>일반적으로 삼차함수 \( y=a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d \)의 그래프는 \( a>0 \)일 때는 오른쪽 위로 올라가는 모양이고 \( a<0 \)일 때는 오른쪽 아래로 내려라가는 모양이다. 삼차함수는 이차함수처럼 완전제곱을 만들 수는 없으므로 인수분해하면 그래프를 그릴 수 있다.</p> <p>예제 \( 1.26 \) 다음 삼차함수의 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y=-x ^ { 3 } + 5 x ^ { 2 } -6 x \)</li> <li>(2) \( y=x ^ { 3 } -2 x ^ { 2 } -4 x + 8 \)</li></ul> <p>풀이 (1) 인수분해하면 \[y=-x \left (x ^ { 2 } -5 x + 6 \right )=-x(x-2)(x-3) \] 이므로 \( x \)절편은 \( 0 \), \(2 \), \(3 \)이다. 또 \( x ^ { 3 } \)의 계수가 음수이므로 오른쪽 아래로 내려가는 그래프이다. 따라서 그래프는 그림 \( 1.40 \) 과 같다.</p> <p>(2) 인수분해하면 \[ \begin {aligned} y &=x ^ { 2 } (x-2)-4(x-2)=(x-2) \left (x ^ { 2 } -4 \right ) \\ &=(x-2) ^ { 2 } (x + 2) \end {aligned} \] 이므로 \( x \)절편은 \( 2 \), \(-2 \)이며 특히 \(2 \)에서는 접한다. \( x ^ { 3 } \)의 계수가 양수이므로 오른쪽 위로 올라가는 그래프이다. 따라서 그래프는 그림 \( 1.41 \) 과 같다.</p> <p>이 결과로부터 몫 \( p x ^ { 2 } + q x + r \)의 계수 \(p\), \(q\), \(r \)과, 나머지 \( R \)를 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 이와 같이 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 몫과 나머지를 구하는 방법을 조립제법이라고 한다.</p> <p>예제 1.6 \( A=x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 \), \(B=2 x-1 \)일 때 \( A B \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin {aligned} A B &= \left (x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 \right )(2 x-1) \\ &= \left (x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 \right ) 2 x + \left (x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 \right )(-1) \\ &= \left (2 x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } -4 x \right ) + \left (-x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 2 \right ) \\ &=2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -4 x + 2 \end {aligned} \]</p> <p>예제 1.7 \( x \)에 대한 다항식 \( f(x) \)를 일차식 \( a x-b \)로 나눈 나머지를 구하여라. 풀이 \( f(x) \)를 \( a x-b \)로 나누었을 때의 몫을 \( Q(x) \) 나머지 \( R \) 이라고 하면 \[ f(x)=(a x-b) Q(x) + R \]이다. 이 식의 \( x \)에 \( \frac { b } { a } \)를 대입하면 \[f \left ( \frac { b } { a } \right )= \left (a \cdot \frac { b } { a } -b \right ) Q \left ( \frac { b } { a } \right ) + R=R . \] 이다. 따라서, \( f(x) \)를 \( a x-b \)로 나눈 나머지는 \( f \left ( \frac { b } { a } \right ) \)이다.</p> <p>임의의 실수 \( a \), \(b \), \(c \) 에 대하여</p> <ul> <li>[1] \(a + b \in \mathbb { R } \), \(a b \in \mathbb { R } \) (닫혀있다)</li> <li>[2] \(a + b=b + a \), \(a b=b a \)(교환법칙)</li> <li>[3] \( (a + b) + c=a + (b + c) \), \((a b) c=a(b c) \) (결합법칙)</li> <li>[4] \( a(b + c)=a b + a c \), \((a + b) c=a c + b c \) (분배법칙)</li> <li>[5] \( a + 0=0 + a=a \) (덧셈에 대한 항등원)</li> <li>[6] \( a \cdot 1=1 \cdot a=a \) (곱셈에 대한 항등원)</li> <li>[7] \( a + (-a)=(-a) + a=0 \) (덧셈에 대한 역원)</li> <li>[8] \( a \cdot \frac { 1 } { a } = \frac { 1 } { a } \cdot a=1 \quad( \) 단, \( a \neq 0) \)(곱셈에 대한 역원)</li></ul> <p>예제 \( 1.1 \) 집합 \( S= \{ x \mid x=a \sqrt { 2 } , a \in \mathbb { Q } \} \)는 덧셈에 대하여 닫혀있음을 보여라.</p> <p>풀이 집합 \( S \)의 임의의 두 원소를 \( x \), \(y \)라고 하면, \[x=a \sqrt { 2 } , y=b \sqrt { 2 } \quad(a, b \text { 는 유리수) } \]로 놓을 수 있다. \[x + y=a \sqrt { 2 } + b \sqrt { 2 } =(a + b) \sqrt { 2 } \] 여기서 \( a + b \in \mathbb { Q } \)이므로 \( x + y \in S \)이다. 따라서 \( S \)는 덧셈에 대하여 닫혀있다.</p> <h2>실수의 대소 관계와 절대값</h2> <p>실수의 연속성에 의하여 모든 실수를 하나의 수직선 위의 점에 대응시킬 수 있으므로 수직선 위에서의 두 점의 위치 관계에 따라 임의의 두 실수 \( a \), \(b \) 사이의 대소 관계는 (i) \( a>0 \) (ii) \( a=b \) (iii) \( a<b \) 중 반드시 어느 하나만 성립한다. 또 \( a \), \(b \)의 대소 관계와 \( a-b \)의 부호 사이에는 \[a>b \Leftrightarrow a-b>0, \quad a=b \Leftrightarrow a-b=0, \quad a<b \Leftrightarrow a-b<0 \]와 같은 관계가 성립하며 실수의 대소관계의 기본 성질은 다음과 같다.</p> <ul> <li>[1] \( a>b, b>c \) 이면 \( a>c \) 이다.</li> <li>[2] \( a>b \) 이면 \( a + c>b + c \) 이다.</li> <li>[3] \( a>b, c>0 \) 이면 \( a c>b c \) 이다.</li> <li>[4] \( a>b, c>0 \) 이면 \( a c>b c \) 이다.</li></ul> <p>다음은 실수의 절대값에 관한 정의이다. 임의의 실수 \( a \)에 대하여 \[ \|a\|= \left \{\begin {array} { ll } a, & a \geq 0 \\ -a, & a<0 \end {array} \right . \]</p> <h1>1.1 실수</h><h1>1.2 함수</h><h1>1.3 함수의 연산</h><h1>1.4 역함수</h><h1>1.5 함수의 그래프</h><h1>1.6 이차함수</h1> <h1>1.7 유리함수와 무리함수</h><h1>1.1 실수</h1> <p>수직선에서 점의 집합과 실수의 집합은 일대일 대응이 된다. 수직선에서 점의 집합과 같이, 실수의 집합은 빈틈없이 이어져 있는데 이를 실수의 연속성이라 한다. 이러한 실수의 성질은 미적분학에서의 여러 가지 개념을 이해하는데 도움을 줄 것이다. 자연수, 정수, 유리수 그리고 실수, 복소수를 집합기호로 다음과 같이 표시한다.</p> <ul> <li>\( \mathbb { N } = \{ 1,2, n, \cdots \} \) : 모든 자연수들의 집합</li> <li>\( \mathbb { Z } = \{\cdots,-2,-1,0,1,2 \cdots \} \) : 모든 정수들의 집합</li> <li>\( \mathbb { Q } = \left \{ x \mid x \frac { b } { a } , a, b \in \mathbb { Z } , b \neq 0 \right \} : \) 모든 유리수들의 집합</li> <li>\( \mathbb { R } \) : 모든 실수들의 집합</li> <li>\( \mathbb { C } = \left \{ z \mid z=a + b i, a, b \in \mathbb { R } , i ^ { 2 } =-1 \right \} \) : 모든 복소수들의 집합</li></ul> <h2>실수의 연산</h2> <p>집합 \( S \) 에 연산 \( \circ \)이 주어져 있을 때, \( S \)의 임의의 원소 \( a \)에 대하여 \( a \circ e=e \circ a=a \)를 만족하는 \( S \)의 원소 \( e \)를 연산 \( \circ \)에 대한 항등원이라고 한다. 또 \( e \)가 항등원일 때, \( a \circ x=x \circ a=e \)가 성립되는 \( S \)의 원소 \( x \)를 연산 에 대한 \( a \)의 역원이라고 한다. 예를 들어 실수의 집합에서 덧셈, 곱셈에 대한 항등원은 각각 \(0 \), \(1 \) 이고 덧셈, 곱셈에 대한 \( a \)의 역원은 각각 \( -a \), \( \frac { 1 } { a } (a \neq 0) \)이다.</p> <p>일반적으로, 실수의 집합 \( \mathbb { R } \)은 덧셈과 곱셈에 대하여 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙이 성립한다. 따라서 실수의 연산에 대한 성질을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>예제 \( 1.2 \) 대소관계의 기본 성질 [1], [2]를 증명하여라. 풀이 [1] \( a-c \)를 \( a-c=(a-b) + (b-c) \)로 나타낼 수 있다. \( a>b \), \(b>c \) 이므로 \( a-b >0 \), \(b-c>0 \)이다. 따라서 \( (a-b) + (b-c)>0 \), 즉 \( a-c>0 \)이다. 그러므로 \( a>c \)이다. [2] \( a-b=(a + c)-(b + c) \)이고 \( a>b \)이므로 \( a-b>0 \)이다. 즉 \( a-b=(a + c)-(b + c)>0 \)이다. 따라서 \( a + c>b + c \) 이다.</p> <p>예제 \(1.3 \) 다음 등식을 만족시키는 \( x \)의 값을 구하여라. (1) \( \|x\|=3 \) (2) \( \|x-2\|=3 \) 풀이 (1) \( x \geq 0 \)일 때, \( x=3 \)이고, \( x<0 \)일 때, \( x=-3 \)이다. 그러므로 \( x= \pm 3 \) 이다. (2) \( x \geq 2 \)일 때, \( x-2=3 \) 즉 \( x=5 \) 이고, \( x<2 \)일 때, \( -(x-2)=3 \), 즉 \( x=-1 \)이다. 따라서 \( x=5 \) 또는 \( x=-1 \) 이다.</p> <h2>복소수</h2> <p>실수를 제곱하면 양수 또는 \(0 \)이 되므로, 방정식 \( x ^ { 2 } =-1 \)은 실수 범위에서는 근 을 갖지 않는다. 방정식 \( x ^ { 2 } =2 \)의 근을 \( x= \pm \sqrt { 2 } \)와 같이 무리수를 도입하여 얻었듯이, 방정식 \( x ^ { 2 } =-1 \)의 근을 실수에 확장하여 새로운 수를 도입하여 얻으려고 한다.</p> <p>제곱하여 \( -1 \)이 되는 새로운 수 하나를 생각하고, 이것을 \( i \)로 나타내자. 즉 \[i ^ { 2 } =-1, \quad i= \sqrt { -1 } \] 이러한 수 \( i \)를 허수 단위라고 한다. 예를 들어 \( -2 \)의 제곱근은 \( \pm \sqrt { 2 } i= \pm \sqrt { -2 } \)이다. 임의의 실수 \( a, b \)에 대하여 \[a + b i \] 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라고 부른다. 이 때 \( a \)를 실수부, \( b \)를 허수부라고 한다.</p> <p>근의 공식에서 근호 안의 값 \( b ^ { 2 } -4 a c \)은 경우에 따라 양수, 음수, \(0 \)이 될 수 있기 때문에 근은 실수값(실근) 또는 복소수값(허근)을 가지게 된다. 이차방정식의 근의 판별식은 다음과 같다. 계수가 실수인 이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \)에서</p> <ul> <li>[1] \( D=b ^ { 2 } -4 a c>0 \Leftrightarrow \) 서로 다른 두 실근을 갖는다.</li> <li>[2] \( D=b ^ { 2 } -4 a c=0 \Leftrightarrow \) 중근(같은 두 실근)을 갖는다.</li> <li>[3] \( D=b ^ { 2 } -4 a c<0 \Leftrightarrow \) 서로 다른 두 허근을 갖는다.</li></ul> <p>이차방정식의 두 근을 \[ \alpha= \frac { -b + \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } , \quad \beta= \frac { -b- \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } \] 이라 하면, 다음과 같은 근과 계수와의 관계를 얻을 수 있다.</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a \neq 0) \)의 두 근을 \( \alpha, \beta \)라 하면 \[ \alpha + \beta=- \frac { b } { a } , \quad \alpha \beta= \frac { c } { a } \]</p> <p>두 수를 근으로 하는 이차방정식은 두 수 \( \alpha \), \( \beta \)를 근으로 하고, \( x ^ { 2 } \)의 계수가 \(1 \)인 이차방정식은 \[ x ^ { 2 } -( \alpha + \beta) x + \alpha \beta=0 \]</p> <p>참고로 근의 공식에서 \( \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } \)는 실수이거나 허수이므로, 계수가 실수인 이차방정식은 복소수의 범위 내에서 반드시 근을 갖는다.</p> <p>예제 \( 1.10 \) 방정식 \( x ^ { 3 } + 1=0 \)을 풀어라. 풀이 왼쪽항을 인수분해 하면, \( (x + 1) \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right )=0 \)이다. 그러므로 \( x + 1=0 \) 또는 \( x ^ { 2 } -x + 1=0 \)이고, 따라서 \( x=-1 \) 또는 \( x= \frac { 1 \pm \sqrt { 3 } i } { 2 } \)이다.</p> <p>정의 \(1.9 \) 함수 \( f \)의 정의역이 \( X \)일 때 \[ \{ (x, f(x): x \in X \} \] 를 \( f \)의 그래프(graph)라 한다.</p> <p>예를 들어 함수 \( f: \{ 1,2,3 \} \rightarrow \{ 0,1,2 \} , f(x)=x-1 \) 의 그래프는 \[ \{ (1,0),(2,1),(3,2) \} \]이다. 하지만 함수의 그래프를 이렇게 집합으로 표현하기보다는 평면위에 그림으로 다음과 같이 나타내는 것이 편리하다.</p> <p>우리가 다루는 대부분의 함수는 정의역이 유한개의 원소로 이루어진 집합이 아니라 정의역이 실수 전체이거나 구간의 형태로 주어진 함수이다. 따라서 이러한 함수의 그래프는 평면 위에서 점들이 연결된 직선이나 곡선으로 나타나게 된다. 함수의 그래프는 다음 방법으로 그릴 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>\( y=f(x) \)에서 \( x \)에 몇 개의 값을 대입하여 얻은 \( (x, f(x)) \)를 평면 위에 표시한다.</li> <li>표시된 점을 \( x \)축이 정의역에 포함된 영역에서 연결한다.</li></ol> <p>예제 \( 1.16 \) 다음 함수의 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y=x-1 \)</li> <li>(2) \( y=x ^ { 2 } \)</li></ul> <p>풀이 (1) \( f(0)=-1 \), \(f(1)=0 \), \(f(2)=1 \), \(f(3)=2 \)이므로 \( (0,-1) \), \((1,0) \), \((3,2) \)를 지난다. 이 점들을 연결하면 아래 그림 \( 1.12 \)와 같은 직선이 된다.</p> <p>(2) \( f(-2)=4 \), \(f(-1)=1 \), \(f(0)=0 \), \(f(1)=1 \), \(f(2)=4 \)이므로 \( (-2,4) \), \((-1 \), \( 1) \), \((0,0) \), \((1,1) \), \((2,4) \)를 지난다. 이 점들을 연결하면 아래 그림 \( 1.13 \)과 같은 포물선이다.</p> <p>가우스 함수는 다음과 같이 정의되는 함수이다. \( [x]=x \)를 넘지 않는 최대정수 예를 들면 \( [3]=3 \), \([3.2]=3 \), \([1.99]=1 \), \([-2,35]=-3 \)이다.</p> <p>예제 \( 1.17 \) 가우스 함수 \( y=[x] \)의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>그래프가 \( x \)축과 만나는 점을 \( x \)절편이라 하고 \( y \)축과 만나는 점을 \( y \)절편이라 한다. 즉, \( y=f(x) \)에서 \( y=0 \)일 때의 \( x \)값이 \( x \)절편이고 \( x=0 \)일 때의 \( y \)값이 \( y \)절편이다. 절편을 알면 그래프를 그릴 때 매우 편리하다.</p> <p>예제 \( 1.18 \) 곡선 \( y=x ^ { 2 } + 2 x-3 \)의 \( x \)절편과 \( y \)절편을 구하여라.</p> <p>풀이 \( y=0 \)이라 하면 \[ \begin {array} { l } x ^ { 2 } + 2 x-3=0 \\ (x + 3)(x-1)=0 \\ x=-3,1 \end {array} \] 따라서 \( x \)절편은 \( -3 \), \(1 \)이다. \( x=0 \)이라 하면 \( y=-3 \)이므로 \( y \)절편은 \( -3 \)이다.</p> <p>\( y=x ^ { 2 } \)의 그래프(그림 \( 1.15 \) 를 이용하여 \( y=(x-1) ^ { 2 } \)의 그래프를 그려보자. \( y=x ^ { 2 } \)의 \( x=a \)에서의 함수값은 \( y=(x-1) ^ { 2 } \)의 \( x=a + 1 \)에서의 함수값과 같다. 따라서 \( y=x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \(1 \)만큼 평행이동하면 \( y=(x-1) ^ { 2 } \)의 그래프가 됨을 알 수 있다(그림 \(1.16 \)). 또 \( y=x ^ { 2 } + 2 \)의 그래프를 생각해보자. \( x=a \)에서 \( y=x ^ { 2 } \)의 함수값은 \( a ^ { 2 } \)이고 \( y=x ^ { 2 } + 2 \) 의 함수값은 \( a ^ { 2 } + 2 \)이다. 즉, \( y=x ^ { 2 } + 2 \)의 함수값은 \( y=x ^ { 2 } \)의 함수값 보다 항상 \(2 \)만큼 크다. 따라서 \( y=x ^ { 2 } + 2 \)의 그래프는 \( y=x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( y \)축으로 \(2 \)만큼 평행 이동한 것이다(그림 \(1.17 \)).</p> <p>위의 두 가지를 한꺼번에 생각하면 \( y=(x-1) ^ { 2 } + 2 \)의 그래프는 \( y=x ^ { 2 } \)의 그래프를 \( x \)축으로 \(1 \) 만큼, \( y \)축으로 \(2 \)만큼 평행 이동한 것임을 알 수 있다.</p> <p>일반적으로 다음 사실이 성립한다.</p> <p>정리 \(1.11 \) 함수 \( y=f(x-a) + b \)의 그래프는 \( y=f(x) \)의 그래프를 \( x \)축으로 \( a \)만큼, \( y \)축으로 \( b \)만큼 평행이동한 것이다.</p> <p>제곱근에 대한 성질과 이중근호의 공식을 이용하여 문제를 좀더 쉽게 해결할 수 있다. \[a>0, b>0 \text { 일 때 } \]</p> <ul> <li>[1] \( \sqrt { a } \sqrt { b } = \sqrt { a b } \)</li> <li>[2] \( \sqrt { a ^ { 2 } b } =a \sqrt { b } \)</li> <li>[3] \( \frac {\sqrt { a } } {\sqrt { b } } = \sqrt {\frac { a } { b } } \)</li> <li>[4] \( \frac {\sqrt { a } } {\sqrt { b ^ { 2 } } } \equiv \frac {\sqrt { a } } { b } \)</li> <li>[5] \( a>b>0 \) 일 때 \( \sqrt { a + b \pm 2 \sqrt { a b } } = \sqrt { a } \pm \sqrt { b } \)</li></ul> <p>예제 \( 1.9 \) \( \sqrt { 7-2 \sqrt { 10 } } \)을 이중근호가 없는 식으로 나타내어라. 풀이 \( \sqrt { 7-2 \sqrt { 10 } } = \sqrt { a + b \pm 2 \sqrt { a b } } \)이므로 여기서 \( a + b=7, a b=10 \)을 만족하는 \( a \), \( b \)를 구하면 \( a=5 \), \(b=2 \) 또는 \( a=2 \), \(b=5 \)이다. 그런데 \( a>b \)이어야 하므로 \( a=5 \), \(b=2 \)이다. 따라서 \( \sqrt { 7-2 \sqrt { 10 } } = \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } \)이다.</p> <h2>방정식</h2> <p>이차방정식의 근은 인수분해에 의한 방법, 완전제곱식에 의한 방법 그리고 근의공식을 이용한 방법으로 구한다. 이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a \neq 0) \)의 근은 구하기 위하여, 다음과 같은 이차방정식의 근의 공식을 이용할 수 있다.</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0(a \neq 0) \)의 근의 공식은 \[x= \frac { -b \pm \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } \]</p> <p>따라서 이차함수의 그래프는 \( x \)에 관해 완전제곱을 만들거나 인수분해하여 \( x \)절편을 알면 쉽게 그릴 수 있다.</p> <p>예제 \(1.24 \) 다음 이차함수의 그래프를 그려라.</p> <ul> <li>(1) \( y=2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 \)</li> <li>(2) \( y=-3 x ^ { 2 } + 3 x + 6 \)</li></ul> <p>풀이 (1) \( x \)에 관해 완전제곱을 만들면 \[y=2 \left (x ^ { 2 } + 2 x + 1-1 \right ) + 1=2(x + 1) ^ { 2 } -1 \] 이므로 꼭지점이 \( (-1,-1) \)이고 축이 \( x=-1 \)인 위로 오목한 포물선이다(그림 \(1.33 \)).</p> <p>(2) \( y=-3(x-2)(x + 1) \)이므로 \( x \)절편이 \( -1,2 \)이고 아래로 오목한 포물선이다</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \)에서 \( D=b ^ { 2 } -4 a c \)라 할 때 \[ \begin {array} { l } D>0 \text { 이면 서로 다른 두 실근 } \\ D=0 \text { 이면 중근 } \\ D<0 \text { 이면 허근 } \end {array} \] 을 가짐을 알고 있다. 이것을 그래프의 관점에서는 다음과 같이 말할 수 있다. 이차방정식 \( y=a x ^ { 2 } + b x + c \)의 그래프에서 \[ \begin {array} { l } D>0 \text { 이면 \( x \)축과 서로 다른 두 점에서 만나고 } \\ D=0 \text { 이면 \( x \)축과 접하고 } \\ D<0 \text { 이면 \( x \)축과 만나지 않는다. } \end {array} \]</p> <p>또 이차함수 \( y=a x ^ { 2 } + b x + c \)와 직선 \( y=m x + n \)에 대하여 \[ \begin {array} { l } a x ^ { 2 } + b x + c=m x + n \\ a x ^ { 2 } + (b-m) x + c-n=0 \end {array} \] 의 판별식을 \( D \)라 할 때 \( D>0 \)이면 포물선과 직선은 서로 다른 두 점에서 만나고 \( D=0 \)이면 포물선과 직선은 접하고 \( D<0 \)이면 포물선과 직선은 만나지 않는다.</p> <p>예제 \( 1.6 \) 다음 함수의 정의역을 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( f(x)=x + 1 \)</li> <li>(2) \( f(x)= \frac { 1 } { x-3 } \)</li> <li>(3) \( f(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } -2 x } \)</li> <li>(4) \( f(x)= \frac { 1 } {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) 모든 실수 \( x \) 에 대하여 정의되므로 정의역은 \( \mathbb { R } \)</li> <li>(2) \( x=3 \) 에서 정의되지 않으므로 정의역은 \( \mathbb { R } - \{ 3 \} \)</li> <li>(3) \( x ^ { 2 } -2 x \neq 0 \)이어야 하므로 \( x \neq 0,2 \). 따라서 정의역은 \( \mathbb { R } - \{ 0,2 \} \)</li> <li>(4) \( 9-x ^ { 2 } >0 \) 이어야 하므로 \( -3<x<3 \)</li></ul> <p>예제 \( 1.7 \) \( f(x)=2 x ^ { 2 } + x-1 \)일 때 다음을 구하여라.</p> <ul> <li>(1) \( f(a) \)</li> <li>(2) \( f(-a) \)</li> <li>(3) \( f(a + h) \)</li> <li>(4) \( \frac { f(a + h)-f(a) } { h } \)</li></ul> <p>풀이</p> <ul> <li>(1) \( f(a)=2 a ^ { 2 } + a-1 \)</li> <li>(2) \( f(-a)=2(-a) ^ { 2 } + (-a)-1=2 a ^ { 2 } -a-1 \)</li> <li>(3) \( \begin {aligned} f(a + h) &=2(a + h) ^ { 2 } + (a + h)-1 \\ &=2 a ^ { 2 } + 4 a h + 2 h ^ { 2 } + a + h-1 \end {aligned} \)</li> <li>(4) \[ \begin {aligned} \frac { f(a + h)-f(a) } { h } &= \frac {\left (2 a ^ { 2 } + 4 a h + 2 h ^ { 2 } + a + h-1 \right )- \left (2 a ^ { 2 } + a-1 \right ) } { h } \\ &= \frac { 4 a h + 2 h ^ { 2 } + h } { h } =4 a + 2 h + 1 \end {aligned} \]</li></ul> <p>예제 \( 1.8 \) 함수 \( f \)가 \( f(1-x)=2 x \)를 만족할 때 \( f(3 x) \)를 구하여라.</p> <h2>인수분해</h2> <p>하나의 다항식을 몇 개의 일차 이상의 다항식의 곱의 꼴로 나타내는 것이 인수분 해이다. 다음은 인수분해 공식이다.</p> <ul> <li>[1] \( a ^ { 2 } \pm 2 a b + b ^ { 2 } =(a \pm b) ^ { 2 } \)</li> <li>[2] \( a ^ { 2 } -b ^ { 2 } =(a + b)(a-b) \)</li> <li>[3] \( x ^ { 2 } + (a + b) x + a b=(x + a)(x + b) \)</li> <li>[4] \( a c x ^ { 2 } + (a d + b c) x + b d=(a x + b)(c x + d) \)</li> <li>[5] \( a ^ { 3 } \pm 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } \pm b ^ { 3 } =(a \pm b) ^ { 3 } \)</li> <li>[6] \( a ^ { 3 } \pm b ^ { 3 } =(a + b) \left (a ^ { 2 } \mp a b + b ^ { 2 } \right ) \)</li></ul> <h2>유리식과 무리식</h2> <p>정수 \( a, b(b \neq 0) \)에 대하여 \( \frac { b } { a } \)의 꼴로 나타내어지는 수는 정수 \( a, b(b \neq 0) \)에 대하여 \( \frac { 1 } { b } \)의 꼴로 나타내어지는 수는 유리수라 하듯이 다항식 \( A, B(B \neq 0) \)에 대하여 \( \frac { A } { B } \)와 같은 식을 유리식이라고 한다. 또 근호 속에 문자가 들어 있는 식 중에서 \[ \sqrt { x + 1 } , \sqrt { x ^ { 2 } + x + 1 } , \sqrt { x } + \sqrt { y } \] 등과 같이 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라고 한다. 무리식이 실수값을 가지려면 그 근호 속의 값이 양수 또는 \(0 \)이어야 한다. 따라서 무리식을 계산할 때에는 \[ \](근호 속의 값) \( \geq 0, \quad( \) 분모 \( ) \neq 0 \) \[ \] 인 경우만 생각한다.</p>	자연
m072-미분기하학 개론	<h2>예 7.2</h2> <p>\( F(x, y)=(x+y, x y, x-y), G(x, y, z)=\left(\frac{x+z}{2}, \frac{x-z}{2}\right) \)이면 \[\Rightarrow J_{F}=\left(\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ y & x \\ 1 & -1 \end{array}\right), J_{G}=\left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \Rightarrow J_{G} J_{F}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)\] 이고 \[(G \circ F)(x, y)=G(x+y, x y, x-y)=(x, y)\] 는 항등함수이다. 따라서 \( J_{G \circ F}=J_{G} J_{F} \)가 성립한다.</p> <p>\( D \subset \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)는 개집합, 미분가능 함수 \( F: D \rightarrow \mathrm{R}^{\mathrm{m}} \)가 모든 \( p \in D \)에서 \( \left(F_{}\right)_{p} \)가 단사함수일 때, \( F \)를 정칙(regular)이라고 한다. 이는 Jacobi 행렬 \( J_{F}(p) \)의 계수(rank)가 \( n \)인 것과 동치임이 잘 알려져 있다. 예 7.1에서 \[J_{F}(0,0)=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array}\right)\] 의 계수는 1이므로 정칙이 아니다.</p> <p>연속인 전단사 함수가 역함수도 연속일 때, 함수를 위상동형이라고 하는데, \( m=n \) 이고, 미분가능인 전단사 함수 \( F: D \rightarrow F(D) \)의 역함수가 미분가능일때, \( F \)를 미분동형(diffeomorphism)이라고 한다. \( F \)가 미분동형이면</p> <p>\[\begin{aligned} & F \circ F^{-1}=\text { 항등함수 } \\ \Rightarrow & J_{F} J_{F^{-1}}=J_{F \cdot F^{-1}}=\text { 단위행렬 } \Rightarrow\left(J_{F}\right)^{-1}=J_{F^{-1}} \end{aligned}\] 이다. 즉 미분동형 \( F \)의 Jacobi 행렬은 정칙행렬이고 역행렬은 \( F^{-1} \)의 Jacobi 행렬 \( J_{F^{-1}} \) 이다.</p> <p>다음 정리의 증명은 이 책의 범위를 넘으므로 생략한다.</p> <h2>정리 7.3</h2> <p>[역함수 정리]</p> <p>개집합 \( D \subset \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)상의 미분가능함수 \( F: D \rightarrow \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)가 \( p \)에서 \( \left(F_{}\right)_{p} \)가 전단사이면 즉, \( \operatorname{det}\left(J_{F}(p)\right) \neq 0 \)이면 \( p, F(p) \)의 근방 \( U, V \)가 존재해서 \( F: U \rightarrow V \)는 미분동형이다.</p> <h2>예 7.4</h2> <p>\[\begin{aligned} & F: \mathrm{R}^{2} \rightarrow \mathrm{R}^{2}, F(x, y)=\left(e^{x} \cos y, e^{x} \sin y\right) \\ \Rightarrow & f_{1}=e^{x} \cos y, f_{2}=e^{x} \sin y \\ \Rightarrow & J_{F}=\left(\begin{array}{ll} e^{x} \cos y & -e^{x} \sin y \\ e^{x} \sin y & e^{x} \cos y \end{array}\right) \\ \Rightarrow & \operatorname{det}\left(J_{F}\right)=\left\|\begin{array}{ll} e^{x} \cos y & -e^{x} \sin y \\ e^{x} \sin y & e^{x} \cos y \end{array}\right\|=e^{2 x}>0 \forall(x, y) \end{aligned}\] 이므로 \( F \)는 각 점의 근방에서 미분동형이다. 그러나 \[F(x, y)=F(x, y+2 \pi)\] 이므로 단사함수가 아니다. 따라서 전체에서 정의된 역함수는 없다.</p> <p>곡선 \[\alpha:(-\varepsilon, \varepsilon) \rightarrow \mathrm{R}^{\mathrm{n}}, \alpha(0)=p, \alpha^{\prime}(0)=\mathrm{v}\] 에 대해서 \[\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} F(\alpha(t))=\left(F_{}\right)_{p}(\mathrm{v})\] 이다. 왜냐하면 \[\begin{array}{l} F\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), \cdots, f_{m}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\right) \\ \alpha(t)=\left(\alpha_{1}(t), \cdots, \alpha_{n}(t)\right) \end{array}\] 로 적으면 \[\begin{array}{c} F(\alpha(t))=\left(f_{1}(\alpha(t)), \cdots, f_{m}(\alpha(t))\right), \alpha_{i}^{\prime}(0)=v_{i} \\ \left.\Rightarrow \frac{d}{d t}\right\|_{t=0} F(\alpha(t))=\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}(p) v_{i}, \cdots, \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}(p) v_{i}\right)=\left(F_{}\right)_{p}(\mathrm{v}) \end{array}\] 이다.</p> <h2>정리 4.2</h2> <p>\( \phi, \psi \) 가 1차형식이면 \[\phi \wedge \psi=-\psi \wedge \phi\] 이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( \phi, \psi \) 가 1차 형식이므로 \[\phi=\sum_{i=1}^{3} f_{i} d x_{i}, \psi=\sum_{i=1}^{3} g_{i} d x_{i}\] 라고 두면 \[\phi \wedge \psi=\sum_{i, j=1}^{3} f_{i} g_{j} d x_{i} d x_{j}=-\sum_{i, j=1}^{3} g_{j} f_{i} d x_{j} d x_{i}=-\psi \wedge \phi\] 이다.</p> <p>0차형식 \( f \)에서 1차형식 \( d f \)를 정의하였다. 이를 확장하여 \( p \)차형식 \( \omega \)에서 \( (p+1) \)차형식 \( d \omega \)를 만들려고 한다.</p> <h2>정의 4.3</h2> <p>1차형식 \( \phi=\sum_{i=1}^{3} f_{i} d x_{i} \)와 2차형식 \( \omega=\sum_{i<j} s_{i j} d x_{i} d x_{j} \)에 대해서 이들의 외도함수(exterior derivative) \( d \phi, d \omega \)를 다음과 같이 정의한다. \[d \phi=\sum_{i=1}^{3} d f_{i} \wedge d x_{i}, \quad d \omega=\sum_{i<j} d s_{i j} \wedge d x_{i} d x_{j}\]</p> <p>그리고 \( \mathrm{R}^{3} \)상의 3차 이상의 미분형식의 외도함수는 0으로 정의하고 미분형식의 외도함수는 선형성질을 이용하여 정의한다. \( d \phi, d \omega \)를 구체적으로 계산하면 \[\begin{aligned} d \phi=& \sum_{i=1}^{3}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{i} \\ =&\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{1} \\ &+\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{2} \\ &+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{3} \\ =&\left(\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}}\right) d x_{1} d x_{3}+\left(\frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\right) d x_{2} d x_{3} \\ d \omega=& \sum_{i<j}\left(\frac{\partial s_{i j}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial s_{i j}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial s_{i j}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{i} d x_{j} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} =&\left(\frac{\partial s_{12}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial s_{12}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial s_{12}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{1} d x_{2} \\ &+\left(\frac{\partial s_{13}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial s_{13}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial s_{13}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{1} d x_{3} \\ &+\left(\frac{\partial s_{23}}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial s_{23}}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial s_{23}}{\partial x_{3}} d x_{3}\right) \wedge d x_{2} d x_{3} \\ =& \frac{\partial s_{12}}{\partial x_{3}} d x_{3} d x_{1} d x_{2}+\frac{\partial s_{13}}{\partial x_{2}} d x_{2} d x_{1} d x_{3}+\frac{\partial s_{23}}{\partial x_{1}} d x_{1} d x_{2} d x_{3} \\ =&\left(\frac{\partial s_{12}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial s_{13}}{\partial x_{2}}+\frac{\partial s_{23}}{\partial x_{1}}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \end{aligned}\] 이다.</p> <h2>예 1.5</h2> <p>다음을 계산하라.<p>(1) \( \operatorname{div}(\operatorname{curl} F) \)</p> <p>(2) \( \operatorname{curl}(\nabla f) \)</p> <p>(3) \( \operatorname{div}(\nabla f) \)</p> <p>(4) \( \nabla(\operatorname{div} F) \)</p> <p>(5) \( \operatorname{curl}(\operatorname{curl} F) \)</p> <h2>풀이</h2> <p>(1) \( \begin{aligned} \operatorname{div}(\operatorname{curl} F) &=\operatorname{div}\left(h_{y}-g_{z}, f_{z}-h_{x}, g_{x}-f_{y}\right) \\ &=\left(h_{y}-g_{z}\right)_{x}+\left(f_{z}-h_{x}\right)_{y}+\left(g_{x}-f_{y}\right)_{z} \\ &=\left(h_{y x}-g_{z x}\right)+\left(f_{z y}-h_{x y}\right)+\left(g_{x z}-f_{y z}\right)=0 \end{aligned} \)</p> <p>(2) \( \begin{aligned} \operatorname{curl}(\nabla f) &=\operatorname{curl}\left(f_{x}, f_{y}, f_{z}\right) \\ &=\left(f_{z y}-f_{y z}, f_{x z}-f_{z x}, f_{y x}-f_{x y}\right)=(0,0,0) \end{aligned} \)</p> <p>(3) \( \operatorname{div}(\nabla f)=\operatorname{div}\left(f_{x}, f_{y}, f_{z}\right)=f_{x x}+f_{y y}+f_{z z} \)</p> <p>(4) \( \begin{aligned} \nabla(\operatorname{div} F) &=\left(\left(f_{x}+g_{y}+h_{z}\right)_{x},\left(f_{x}+g_{y}+h_{z}\right)_{y},\left(f_{x}+g_{y}+h_{z}\right)_{z}\right) \\ &=\left(f_{x x}+g_{y x}+h_{z x}, f_{x y}+g_{y y}+h_{z y}, f_{x z}+g_{y z}+h_{z z}\right) \end{aligned} \)</p> <p>\( \begin{aligned} & \text { (5) } \operatorname{curl}(\operatorname{curl} F)=\operatorname{curl}\left(h_{y}-g_{z}, f_{z}-h_{x}, g_{x}-f_{y}\right) \\=&\left(\left(g_{x}-f_{y}\right)_{y}-\left(f_{z}-h_{x}\right)_{z}\left(h_{y}-g_{z}\right)_{z}-\left(g_{x}-f_{y}\right)_{x},\left(f_{z}-h_{x}\right)_{x}-\left(h_{y}-g_{z}\right)_{y}\right) \\=&\left(g_{x y}-f_{y y}-f_{z z}+h_{x z}, h_{y z}-g_{z z}-g_{x x}+f_{y x}, f_{z x}-h_{x x}-h_{y y}+g_{z y}\right) \end{aligned} \)</p> <h2>정의 1.6</h2> <p>(1) \( f_{x x}+f_{y y}+f_{z z} \) 을 \( \nabla^{2} f \)로 적고 \( f \)의 Laplacian이라고 한다. 방정식 \( \nabla^{2} f=0 \)를 Laplace 방정식이라고 하고 이방정식을 만족하는 함수를 조화함수라고 한다.</p> <p>(2) \( \nabla f=F \)일 때, \( f \)를 \( F \)의 potential 함수라고 한다.</p> <p>2변수 함수 \( f(x, y), F(x, y)=(f(x, y), g(x, y)) \) 의 경우는 gradient, 발산, 회전, Laplacian을 다음과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>\( \nabla f=\left(f_{x}, f_{y}\right), \operatorname{div} F=f_{x}+g_{y} \) \( \operatorname{curl} F=\left(0,0, g_{x}-f_{y}\right), \quad \nabla^{2} f=f_{x x}+f_{y y} \)</p> <p>발산, 회전의 경우 \( F(x, y, z)=(f(x, y), g(x, y), 0) \) 으로 두고 3변수 함수처럼 계산한 것과 같다.</p> <h2>예 1.7</h2> <p>(1) \( f(x, y)=x^{2}-y^{2} \)\(\Rightarrow \nabla^{2} f=f_{x x}+f_{y y}=2-2=0\)이므로 \( f \)는 조화함수이다.</p> <p>(2) \( f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 z^{2} \)\(\Rightarrow \nabla^{2} f=f_{x x}+f_{y y}+f_{z z}=2+2-4=0\)이므로 \( f \)는 조화함수이다.</p> <h2>예 1.8</h2> <p>다음 함수의 potential 함수를 구하라.</p> <p>(1) \( F(x, y)=\left(3 x^{2} y, x^{3}\right) \)</p> <p>(2) \( F(x, y, z)=\left(2 x y+z^{3}, x^{2}, 3 x z^{2}+\cos z\right) \)</p> <h2>풀이</h2> <p>\( f \)를 \( F \)의 potential 함수라고 두자</p> <p>(1)\(\begin{aligned}& \nabla f(x, y)=\left(3 x^{2} y, x^{3}\right) \\\Rightarrow & f_{x}=3 x^{2} y, f_{y}=x^{3} \Rightarrow f(x, y)=x^{3} y+g(y) \\\Rightarrow & x^{3}=f_{y}=x^{3}+g^{\prime}(y) \Rightarrow g(y)=c(\text { 상수 })\end{aligned}\)</p> <p>이므로 \( F \) 의 potential 함수는 \( f(x, y)=x^{3} y+c \) 이다.</p> <p>(2) \( \begin{aligned} & \nabla f(x, y, z)=\left(2 x y+z^{3}, x^{2}, 3 x z^{2}+\cos z\right) \\ \Rightarrow & f_{x}=2 x y+z^{3}, f_{y}=x^{2}, f_{z}=3 x z^{2}+\cos z \\ \Rightarrow & f(x, y, z)=x^{2} y+x z^{3}+g(y, z) \\ \Rightarrow & f_{y}=x^{2}+g_{y}=x^{2} \Rightarrow g_{y}=0 \Rightarrow g(y, z)=h(z) \end{aligned} \)</p> <p>\( \Rightarrow f(x, y, z)=x^{2} y+x z^{3}+h(z) \) \( \Rightarrow f_{z}=3 x z^{2}+h^{\prime}(z)=3 x z^{2}+\cos z \) \( \Rightarrow h^{\prime}(z)=\cos z \Rightarrow h(z)=\sin z+c \)</p> <p>이므로 \( F \)의 potential 함수는\( f(x, y, z)=x^{2} y+x z^{3}+\sin z+c \text { 이다. } \)</p> <p>벡터장 \( F=(f, g, h) \)가 potential 함수 \( k \)를 갖는다면</p> <p>\( \operatorname{curl} F=\operatorname{curl}(\nabla k)=(0,0,0) \)</p> <p>즉, \( F \)의 potential 함수의 존재는 \( \operatorname{curl} F=(0,0,0) \)이기 위한 충분조건이다. 그러나 \( \operatorname{curl} F=(0,0,0) \)이면서 potential 함수가 존재하지 않는 경우도 있지만 \( F \)의 정의역에 특정조건을 추가하면 필요조건이 된다. 이에 관한 사항은 이 책의 범위를 넘으므로 다루지 않는다.</p> <h1>4.2 접벡터</h1> <p>우리는 2장에서 벡터장을 설명하면서 접벡터에 대해서 언급하였다. 이제 이와 관련된 개념들에 대해서 상세히 다루어 본다. 점 \( p \in \mathrm{R}^{3} \)에서 시작하는 벡터 \( \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{3} \)를 \( p \)에서 \( \mathrm{R}^{3} \)의 접벡터(tangent vector)라고 하고 \( \mathrm{v}_{p} \)로 적는다. 이를 그림으로 표현하면 아래와 같이 \( p \)에서 \( p+\mathrm{v} \)로 향하는 화살표로 표현할 수 있다.</p> <p>점 \( p \)에서 \( \mathrm{R}^{3} \)의 접벡터의 집합을 \( T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right)=\left\{\mathrm{v}_{p} \mid \mathrm{v} \in \mathrm{R}^{3}\right\} \)로 적고 이를 점 \( p \)에서 \( \mathrm{R}^{3} \)의 접공간(tangent space)이라고 한다. 여기서 접벡터의 연산을</p> <p>\( \mathrm{v}_{p}+\mathrm{w}_{p}=(\mathrm{v}+\mathrm{w})_{p}, a\left(\mathrm{v}_{p}\right)=(a \mathrm{v})_{p} \)</p> <p>로 정의하면 \( T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right) \)는 3차원 벡터공간이 됨을 알 수 있다. 이들의 내적과 외적도 같은 방법으로 정의한다.</p> <p>\( \mathrm{v}_{p} \cdot \mathrm{w}_{p}=\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}, \mathrm{v}_{p} \times \mathrm{w}_{p}=(\mathbf{v} \times \mathrm{w})_{p} \)</p> <h2>정의 2.1</h2> <p>미분가능 함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)과 접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대해서</p> <p>\( \begin{aligned} \mathbf{v}_{p}[f] &=\left.\frac{d}{d t} f(p+t \mathbf{v})\right\|_{t=0} \\ &=\lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t}[f(p+t \mathbf{v})-f(p)] \end{aligned} \)</p> <p>\( \mathrm{v}_{p} \)에 대한 \( f \)의 방향도함수(directional derivative)라고 한다.</p> <p>접벡터 ' \( \mathrm{v}_{p} \)에 대한 \( f \) 의 방향도함수'의 정의는 기초 미적분학에서 다루는 ' \( p \)에서 방향 \( \mathrm{v} \)에 대한 \( f \) 의 방향도함수'인 \( D_{\mathrm{v}} f(p) \)의 정의와 비교하면 방향 \( \mathrm{v} \)가 단위벡터인 것을 제외하면 같다.</p> <h2>예 2.2</h2> <p>(1) \( f(x, y, z)=x y+z^{2}, \mathrm{v}=(1,0,1), p=(1,-3,2) \) 이면\(\begin{array}{l}p+t \mathrm{v}=(1,-3,2)+t(1,0,1)=(1+t,-3,2+t) \\f(p+t \mathrm{v})=(1+t)(-3)+(2+t)^{2}=t^{2}+t+1\end{array}\)</p> <p>이므로</p> <p>\( \mathrm{v}_{p}[f]=\left.\frac{d}{d t} f(p+t \mathrm{v})\right\|_{t=0}=2 t+\left.1\right\|_{t=0}=1 \)</p> <p>이다.</p> <p>(2) \( f(x, y, z)=y \ln x+e^{z}, \mathrm{v}=(1,1,-2), p=(1,0,2) \) 이면\( p+t \mathrm{v}=(1,0,2)+t(1,1,-2)=(1+t, t, 2-2 t) \)\( f(p+t \mathrm{v})=t \ln (t+1)+e^{2-2 t} \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \mathrm{v}_{p}[f]=\left.\frac{d}{d t} f(p+t \mathrm{v})\right\|_{t=0}=\ln (t+1)+\frac{t}{t+1}-\left.2 e^{2-2 t}\right\|_{t=0}=-2 e^{2} \)</p> <p>이다.</p> <p>미적분학의 방향도함수 계산공식</p> <p>\( D_{\mathrm{v}} f(p)=\nabla f(p) \cdot \mathrm{v} \)</p> <p>는 접벡터에 대한 방향도함수 \( \mathrm{v}_{p}[f] \) 에도 적용된다.</p> <h2>정리 2.3</h2> <p>미분가능 함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)과 접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대해서</p> <p>\( \begin{aligned} \mathbf{v}_{p}[f] &=v_{1} \frac{\partial f}{\partial x}(p)+v_{2} \frac{\partial f}{\partial y}(p)+v_{3} \frac{\partial f}{\partial z}(p) \\ &=\nabla f(p) \cdot \mathbf{v} \end{aligned} \)</p> <p>이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( p+t \mathrm{v}=\left(p_{1}+t v_{1}, p_{2}+t v_{2}, p_{3}+t v_{3}\right) \)</p> <p>이므로 연쇄법칙을 사용하면</p> <p>\( \begin{aligned} \mathrm{v}_{p}[f]=&\left.\frac{d}{d t} f(p+t \mathrm{v})\right\|_{t=0} \\=& {\left[\frac{\partial f}{\partial x}(p+t \mathrm{v})\left(p_{1}+t v_{1}\right)^{\prime}+\frac{\partial f}{\partial y}(p+t \mathrm{v})\left(p_{2}+t v_{2}\right)^{\prime}\right.} \\ &\left.\quad+\frac{\partial f}{\partial z}(p+t \mathrm{v})\left(p_{3}+t v_{3}\right)^{\prime}\right]_{t=0} \\=& v_{1} \frac{\partial f}{\partial x}(p)+v_{2} \frac{\partial f}{\partial y}(p)+v_{3} \frac{\partial f}{\partial z}(p) \end{aligned} \)</p> <p>이다.</p> <p>위의 예 2.2(1)에서 \( f(x, y, z)=x y+z^{2}, \mathrm{v}=(1,0,1), p=(1,-3,2) \)이면</p> <p>\( \frac{\partial f}{\partial x}=y, \frac{\partial f}{\partial y}=x, \frac{\partial f}{\partial z}=2 z \)</p> <p>\( \frac{\partial f}{\partial x}(1,-3,2)=-3, \frac{\partial f}{\partial y}(1,-3,2)=1, \frac{\partial f}{\partial z}(1,-3,2)=4 \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \mathbf{v}_{p}[f]=-3 \cdot 1+1 \cdot 0+4 \cdot 1=1 \)</p> <p>이 되고 예 2.2(1)에서 계산한 것과 같음을 볼 수 있다.</p> <h1>4.5 공변도함수</h1> <p>접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대한 함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)의 방향도함수를 앞에서 다루었다. 이제 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대한 벡터장 \( W \)의 방향도함수 개념을 설명한다.</p> <h2>정리 5.1</h2> <p>접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)와 벡터장 \( W \)에 대해서 \[\nabla_{\mathbf{v}} W=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} W(p+t \mathrm{v})\] 를 접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대한 \( W \)의 공변도함수(covariant derivative)라고 한다.</p> <h2>예 5.2</h2> <p>\[\begin{array}{l} p=(1,0,-2), \mathrm{v}=(2,1,1) \text { 이고, } W=\left(x y, z^{2}, e^{2 y}\right) \text { 이면 } \\ p+t \mathrm{v}=(1,0,-2)+t(2,1,1)=(1+2 t, t,-2+t) \\ \Rightarrow W(p+t \mathrm{v})=\left(t+2 t^{2},(t-2)^{2}, e^{2 t}\right) \\ \Rightarrow \nabla_{\mathrm{v}} W=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} W(p+t \mathrm{v}) \\ =\left.\left(1+4 t, 2(t-2), 2 e^{2 t}\right)\right\|_{t=0}=(1,-4,2) \end{array}\] 이다.</p> <h2>정리 5.3</h2> <p>접벡터 \( \mathbf{v}_{p} \)와 벡터장 \( W=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \)에 대해서 \[\nabla_{\mathbf{v}} W=\left(\mathrm{v}\left[w_{1}\right], \mathrm{v}\left[w_{2}\right], \mathrm{v}\left[w_{3}\right]\right)\] 이다.</p> <h2>\| 증명 I</h2> <p>\[W(p+t \mathbf{v})=\left(w_{1}(p+t \mathbf{v}), w_{2}(p+t \mathbf{v}), w_{3}(p+t \mathbf{v})\right)\] 이므로 \[\nabla_{\mathbf{v}} W=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} W(p+t \mathbf{v})=\left(\mathrm{v}\left[w_{1}\right], \mathrm{v}\left[w_{2}\right], \mathrm{v}\left[w_{3}\right]\right)\] 이다.</p> <h2>예 5.4</h2> <p>(1) \( W=\left(x y, z^{2}, e^{2 y}\right) \)이면 \[\begin{aligned} \nabla_{\mathrm{v}} W &=\left(\mathrm{v}\left[w_{1}\right], \mathrm{v}\left[w_{2}\right], \mathrm{v}\left[w_{3}\right]\right) \\ &=\left(\mathrm{v}[x y], \mathrm{v}\left[z^{2}\right], \mathrm{v}\left[e^{2 y}\right]\right) \\ &=\left(y v_{1}+x v_{2}, 2 z v_{3}, 2 e^{2 y} v_{2}\right) \end{aligned}\] 이고, \( p=(1,0,-2), \mathbf{v}=(2,1,1) \)일 때, \( \nabla_{\mathbf{v}} W=(1,-4,2) \)이다. (2) 자연틀장 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \)는 상수벡터장이므로 모든 접벡터 \( \mathrm{v}_{p} \)에 대해서 \[\nabla_{\mathrm{v}} E_{1}=\nabla_{\mathrm{v}} E_{2}=\nabla_{\mathrm{v}} E_{3}=(0,0,0)\] 이다.</p> <h2>정리 5.5</h2> <p>\( p \)에서 접벡터 \( \mathrm{v}, \mathrm{w} \), 벡터장 \( Y, Z \), 실수 \( a \), 함수 \( f \)에 대해서 다음 성질이 성립한다.</p> <p>(1) \( \nabla_{\mathrm{v}+\mathrm{w}} Y=\nabla_{\mathrm{v}} Y+\nabla_{\mathrm{w}} Y, \nabla_{a \mathrm{v}} Y=a \nabla_{\mathrm{v}} Y \)</p> <p>(2) \( \nabla_{\mathrm{v}}(Y+Z)=\nabla_{\mathrm{v}} Y+\nabla_{\mathrm{v}} Z, \nabla_{\mathrm{v}}(a Y)=a \nabla_{\mathrm{v}} Y \)</p> <p>(3) \( \nabla_{\mathrm{v}}(f Y)=\mathrm{v}[f] Y(p)+f(p) \nabla_{\mathrm{v}} Y \)</p> <p>(4) \( \mathrm{v}[Y \cdot Z]=\nabla_{\mathrm{v}} Y \cdot Z(p)+Y(p) \cdot \nabla_{\mathrm{v}} Z \)</p> <h2>\| 증명 I</h2> <p>\( Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right), Z=\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}\right) \) 라고 두자.</p> <p>(1) \( \begin{aligned} \nabla_{\mathrm{v}+\mathrm{w}} Y &=\left(\left((\mathrm{v}+\mathrm{w})\left[y_{1}\right],(\mathrm{v}+\mathrm{w})\left[y_{2}\right],(\mathrm{v}+\mathrm{w})\left[y_{3}\right]\right)\right.\\ &=\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right],\left(\mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right)+\left(\mathrm{w}\left[y_{1}\right], \mathrm{w}\left[y_{2}\right], \mathrm{w}\left[y_{3}\right]\right)\right.\\ &=\nabla_{\mathrm{v}} Y+\nabla_{\mathrm{w}} Y \\ \nabla_{a \mathrm{v}} Y &=\left((a \mathrm{v})\left[y_{1}\right],(a \mathbf{v})\left[y_{2}\right],(a \mathrm{v})\left[y_{3}\right]\right) \\ &=a\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right)=a \nabla_{\mathrm{v}} Y \end{aligned} \)</p> <p>(2) \( \begin{aligned} \nabla_{\mathrm{v}}(Y+Z) &=\left(\mathrm{v}\left[y_{1}+z_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}+z_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}+z_{3}\right]\right) \\=&\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right)+\left(\mathrm{v}\left[z_{1}\right], \mathrm{v}\left[z_{2}\right], \mathrm{v}\left[z_{3}\right]\right) \\ &=\nabla_{\mathrm{v}} Y+\nabla_{\mathrm{v}} Z \\ \nabla_{\mathrm{v}}(a Y)=&\left(\mathrm{v}\left[a y_{1}\right], \mathrm{v}\left[a y_{2}\right], \mathrm{v}\left[a y_{3}\right]\right) \\=& a\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right)=a \nabla_{\mathrm{v}} Y \end{aligned} \)</p> <p>(3) \( \begin{aligned} \nabla_{\mathrm{v}}(f Y) &=\left(\mathrm{v}\left[f y_{1}\right], \mathrm{v}\left[f y_{2}\right], \mathrm{v}\left[f y_{3}\right]\right) \\=\left(f(p) \mathrm{v}\left[y_{1}\right]\right.&\left.+\mathrm{v}[f] y_{1}(p), f(p) \mathrm{v}\left[y_{2}\right]+\mathrm{v}[f] y_{2}(p), f(p) \mathrm{v}\left[y_{3}\right]+\mathrm{v}[f] y_{3}(p)\right) \\ &=f(p)\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right)+\mathrm{v}[f]\left(y_{1}(p), y_{2}(p), y_{3}(p)\right) \\ &=f(p) \nabla_{\mathrm{v}} Y+\mathrm{v}[f] Y(p) \end{aligned} \)</p> <p>(4) \( \begin{aligned} \mathrm{v}[Y \cdot Z]=& \mathrm{v}\left[y_{1} z_{1}+y_{2} z_{2}+y_{3} z_{3}\right] \\=& y_{1}(p)_{\mathrm{v}}\left[z_{1}\right]+\mathrm{v}\left[y_{1}\right] z_{1}(p)+y_{2}(p)_{\mathrm{v}}\left[z_{2}\right]+\mathrm{v}\left[y_{2}\right] z_{2}(p) \\ &+y_{3}(p) \mathrm{v}\left[z_{3}\right]+\mathrm{v}\left[y_{3}\right] z_{3}(p) \\=&\left(y_{1}(p), y_{2}(p), y_{3}(p)\right) \cdot\left(\mathrm{v}\left[z_{1}\right], \mathrm{v}\left[z_{2}\right], \mathrm{v}\left[z_{3}\right]\right) \\ & \quad+\left(\mathrm{v}\left[y_{1}\right], \mathrm{v}\left[y_{2}\right], \mathrm{v}\left[y_{3}\right]\right) \cdot\left(z_{1}(p), z_{2}(p), z_{3}(p)\right) \\ &=Y(p) \cdot \nabla_{\mathrm{v}} Z+\nabla_{\mathrm{v}} Y \cdot Z(p) \end{aligned} \)</p> <p>벡터장 \( V, W \)에 대해서 벡터장 \( \nabla_{V} W \)를 \( \left(\nabla_{V} W\right)(p)=\nabla_{V(p)} W \)로 정의하면 정리 5.5로부터 다음 성질을 증명할 수 있다.</p> <h2>따름정리 5.6</h2> <p>벡터장 \( V, W, X, Y \), 실수 \( a \), 함수 \( f \) 에 대해서 다음 성질이 성립한다.</p> <p>(1) \( \nabla_{V+W} Y=\nabla_{V} Y+\nabla_{W} Y, \nabla_{f V} Y=f \nabla_{V} Y \)</p> <p>(2) \( \nabla_{V}(Y+Z)=\nabla_{V} Y+\nabla_{V} Z, \nabla_{V}(a Y)=a \nabla_{V} Y \)</p> <p>(3) \( \nabla_{V}(f Y)=V[f] Y+f \nabla_{V} Y \)</p> <p>(4) \( V[Y \cdot Z]=\nabla_{V} Y \cdot Z+Y \cdot \nabla_{V} Z \)</p> <h2>예 5.7</h2> <p>\[\begin{array}{l} V=y E_{1}+x E_{3}, W=\ln x E_{1}-z E_{2}+e^{y} E_{3} \text { 이면 } \\ \begin{aligned} \nabla_{V} W &=\nabla_{y E_{1}+x E_{3}}\left(\ln x E_{1}-z E_{2}+e^{y} E_{3}\right) \\ &=y \nabla_{E_{1}}\left(\ln x E_{1}-z E_{2}+e^{y} E_{3}\right)+x \nabla_{E_{3}}\left(\ln x E_{1}-z E_{2}+e^{y} E_{3}\right) \\ &=y\left(E_{1}[\ln x],-E_{1}[z], E_{1}\left[e^{y}\right]\right)+x\left(E_{3}[\ln x],-E_{3}[z], E_{3}\left[e^{y}\right]\right) \\ &=y\left(\frac{1}{x}, 0,0\right)+x(0,-1,0)=\left(\frac{y}{x},-x, 0\right) \end{aligned} \end{array}\] 이다.</p> <h2>정리 4.5</h2> <p>\( f, \phi \)는 각각 0차형식, 1차형식이면 \[d^{2} f=0, d^{2} \phi=0\] 이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( \begin{aligned} d^{2} f=& d(d f)=d\left(f_{x} d x+f_{y} d y+f_{z} d z\right) \\=& d f_{x} \wedge d x+d f_{y} \wedge d y+d f_{z} \wedge d z \\=&\left(f_{x x} d x+f_{x y} d y+f_{x z} d z\right) \wedge d x \\ &+\left(f_{y x} d x+f_{y y} d y+f_{y z} d z\right) \wedge d y \\ &+\left(f_{z x} d x+f_{z y} d y+f_{z z} d z\right) \wedge d z \\=&\left(f_{y x}-f_{x y}\right) d x d y+\left(f_{z x}-f_{x z}\right) d x d z+\left(f_{z y}-f_{y z}\right) d y d z=0 \\ d^{2} \phi=& d(d \phi)=\sum_{i=1}^{3} d\left(d f_{i} \wedge d x_{i}\right) \\=& \sum_{i=1}^{3}\left[\left(d^{2} f_{i} \wedge d x_{i}\right)-\left(d f_{i} \wedge d^{2} x_{i}\right)\right]=0 \end{aligned} \)</p> <h2>예 4.6</h2> <p>\[\begin{array}{r} f=x e^{z}+y, \phi=y z d x-d z, \psi=y d x-x d y \\ \omega=x d x d y+y d x d z+z d y d z \end{array}\] 일 때, 정리 4.4를 이용하여 다음을 직접 계산하라. (1) \( d f \) (2) \( d \phi \) (3) \( d \omega \) (4) \( d^{2} f \) (5) \( d^{2} \phi \) (6) \( d^{2} \omega \) (7) \( f \phi \) (8) \( f \omega \) (9) \( \phi \wedge \psi \) (10) \( \phi \wedge \omega \)</p> <h2>풀이</h2> <p>\[\text { (1) } \begin{aligned} d f &=d\left(x e^{z}+y\right)=d\left(x e^{z}\right)+d y \\ &=e^{z} d x+x d\left(e^{z}\right)+d y=e^{z} d x+d y+x e^{z} d z \end{aligned}\] \[\text { (2) } \begin{aligned} d \phi &=d(y z d x-d z)=d(y z) \wedge d x-d 1 \wedge d z \\ &=(z d y+y d z) \wedge d x=-z d x d y-y d x d z \end{aligned}\] (3) \( d \omega=d x d x d y+d y d x d z+d z d y d z=-d x d y d z \) (4) \( d^{2} f=d\left(e^{z} d x+d y+x e^{z} d z\right) \) \[\begin{array}{l} =\left(d e^{z} \wedge d x\right)+d 1 \wedge d y+\left(d\left(x e^{z}\right) \wedge d z\right) \\ =e^{z} d z d x+e^{z} d x d z=0 \end{array}\] (5) \( d^{2} \phi=d(-z d x d y-y d x d z)=-d z d x d y-d y d x d z=0 \) (6) \( d^{2} \omega=d(-d x d y d z)=0 \) (7) \( f \phi=\left(x e^{z}+y\right)(y z d x-d z) \) \[=y z\left(x e^{z}+y\right) d x-\left(x e^{z}+y\right) d z\] (8) \( f \omega=\left(x e^{z}+y\right)(x d x d y+y d x d z+z d y d z) \) \[=x\left(x e^{z}+y\right) d x d y+y\left(x e^{z}+y\right) d x d z+z\left(x e^{z}+y\right) d y d z\] (9) \( \phi \wedge \psi=(y z d x-d z) \wedge(y d x-x d y) \) \[\begin{array}{l} =y^{2} z d x d x-x y z d x d y-y d z d x+x d z d y \\ =-x y z d x d y+y d x d z-x d y d z \end{array}\] (10) \[\begin{aligned} \phi \wedge \omega &=(y z d x-d z) \wedge(x d x d y+y d x d z+z d y d z) \\ &=y z^{2} d x d y d z-x d z d x d y \\ &=\left(y z^{2}-x\right) d x d y d z \end{aligned}\]</p> <h2>정리 6.2</h2> <p>틀장 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)의 연결형식 \( \omega=\left(\omega_{i j}\right) \)와 자세행렬 \( A=\left(a_{i j}\right) \)에 대해서 \[\omega=d A\left(A^{t}\right)\] 이다. 단 \( d A=\left(d a_{i j}\right), A^{t} \)는 \( A \)의 전치행렬이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( \begin{aligned} \nabla_{\mathrm{v}} V_{i} &=\nabla_{\mathrm{v}}\left(a_{i 1} E_{1}+a_{i 2} E_{2}+a_{i 3} E_{3}\right) \\ &=\mathrm{v}\left[a_{i 1}\right] E_{1}+\mathrm{v}\left[a_{i 2}\right] E_{2}+\mathrm{v}\left[a_{i 3}\right] E_{3} \end{aligned} \)</p> <p>\( \Rightarrow \omega_{i j}\left(\mathrm{v}_{p}\right)=\nabla_{\mathrm{v}} V_{i} \cdot V_{j}(p)=\left[\sum_{k=1}^{3} \mathrm{v}\left[a_{i k}\right] E_{k}(p)\right] \cdot\left[\sum_{k=1}^{3} a_{j k}(p) E_{k}(p)\right] \)</p> <p>\( \begin{aligned} \quad &=\sum_{k=1}^{3} \mathrm{v}\left[a_{i k}\right] a_{j k}(p)=\sum_{k=1}^{3} d a_{i k}(\mathrm{v}) a_{j k}(p)=\left[\sum_{k=1}^{3}\left(d a_{i k}\right) a_{j k}\right]\left(\mathrm{v}_{p}\right) \\ \Rightarrow \omega &=d A\left(A^{t}\right) \end{aligned} \)</p> <h2>예 6.3</h2> <p>(1) 원주틀장</p> <p>\[F_{1}=\cos \theta E_{1}+\sin \theta E_{2}, \quad F_{2}=-\sin \theta E_{1}+\cos \theta E_{2}, \quad F_{3}=E_{3}\] 의 자세행렬은 \[A=\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\] 이므로 연결형식은 \[\begin{aligned} \omega=d A\left(A^{t}\right) &=\left(\begin{array}{crr} -\sin \theta d \theta & \cos \theta d \theta & 0 \\ -\cos \theta d \theta & -\sin \theta d \theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc} 0 & d \theta & 0 \\ -d \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \end{aligned}\] 이다. 즉 \( \omega_{12}=d \theta, \omega_{21}=-d \theta \)이고 나머지는 0이다.</p> <p>(2) 구면틀장</p> <p>\[\begin{array}{l} G_{1}=\cos \varphi \cos \theta E_{1}+\cos \varphi \sin \theta E_{2}+\sin \varphi E_{3} \\ G_{2}=-\sin \theta E_{1}+\cos \theta E_{2} \\ G_{3}=-\sin \varphi \cos \theta E_{1}-\sin \varphi \sin \theta E_{2}+\cos \varphi E_{3} \end{array}\] 의 자세행렬은 \[A=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \cos \theta & \cos \varphi \sin \theta & \sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\sin \varphi \cos \theta & -\sin \varphi \sin \theta \cos \varphi \end{array}\right)\] 이고 \[\begin{array}{l} d a_{11}=-\sin \varphi \cos \theta d \varphi-\cos \varphi \sin \theta d \theta \\ d a_{12}=-\sin \varphi \sin \theta d \varphi+\cos \varphi \cos \theta d \theta, d a_{13}=\cos \varphi d \varphi \end{array}\]</p> <p>\[\begin{array}{l} d a_{21}=-\cos \theta d \theta, d a_{22}=-\sin \theta d \theta, d a_{23}=0 \\ d a_{31}=-\cos \varphi \cos \theta d \varphi+\sin \varphi \sin \theta d \theta \\ d a_{32}=-\cos \varphi \sin \theta d \varphi-\sin \varphi \cos \theta d \theta, d a_{33}=-\sin \varphi d \varphi \end{array}\] 이다. 그러므로</p> <p>\[\begin{array}{l} \omega_{12}=a_{21} d a_{11}+a_{22} d a_{12}+a_{23} d a_{13}=\cos \varphi d \theta, \omega_{21}=-\cos \varphi d \theta \\ \omega_{13}=a_{31} d a_{11}+a_{32} d a_{12}+a_{33} d a_{33}=d \varphi, \omega_{31}=-d \varphi \\ \omega_{23}=a_{31} d a_{21}+a_{32} d a_{22}+a_{33} d a_{23}=\sin \varphi d \theta, \omega_{32}=-\sin \varphi d \theta \\ \omega_{11}=\omega_{22}=\omega_{33}=0 \\ \omega=\left(\begin{array}{ccc} 0 & \cos \varphi d \theta & d \varphi \\ -\cos \varphi d \theta & 0 & \sin \varphi d \theta \\ -d \varphi & -\sin \varphi d \theta & 0 \end{array}\right) \end{array}\] 이다.</p> <h1>4.3 1차형식</h1> <p>점 \( p \)에서 \( \mathrm{R}^{3} \)의 접공간 \( T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right) \)은 벡터공간이다. 이 벡터공간의 쌍대공간 (dual space)을 \( T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right)^{} \)로 적는다. 즉, \[T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right)^{}=\left\{\phi: T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right) \rightarrow \mathrm{R} \mid \phi \text { 는 선형함수 }\right\}\] 이다.</p> <h2>정의 3.1</h2> <p>\( \mathrm{R}^{3} \)상의 1차형식( 1 -form) \( \phi \)는 \( p \in \mathrm{R}^{3} \)에 \( \phi_{p} \in T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right)^{} \)를 대응시키는 관계이다. 즉, \( \phi_{p}: T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right) \rightarrow \mathrm{R} \)이고 \( \mathrm{v}_{p}, \mathrm{w}_{p} \in T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right), a \in \mathrm{R} \)에 대해서 \[\begin{array}{l}\phi_{p}\left(\mathrm{v}_{p}+\mathrm{w}_{p}\right)=\phi_{p}\left(\mathrm{v}_{p}\right)+\phi_{p}\left(\mathrm{w}_{p}\right), \\ \phi_{p}\left(a \mathrm{v}_{p}\right)=a \phi_{p}\left(\mathrm{v}_{p}\right) \end{array} \] 이다.</p> <p>이제부터 접벡터와 1차형식에서 아래 첨자로 쓰이는 점 \( p \)는 분명한 경우에 생략한다. 1차형식 \( \phi, \psi \)와 함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \), 벡터장 \( V, W \)에 대해서 이들의 연산 \( \phi+\psi, f \phi, \phi V \)를 다음과 같이 점별원리를 이용하여 정의한다. \[ \begin{array}{l} (\phi+\psi)(\mathbf{v})=\phi(\mathbf{v})+\psi(\mathbf{v}) \\ (f \phi)\left(\mathbf{v}_{p}\right)=f(p) \phi(\mathbf{v}) \\ (\phi V)(p)=\phi(V(p)) \end{array} \] 따라서 \( \phi+\psi, f \phi \)는 1차형식, \( \phi V \)는 실수값을 갖는 함수이다. 이들 연산은 다음과 같은 성질을 만족한다.</p> <p>\[\begin{array}{l} \phi(V+W)=\phi(V)+\phi(W), \phi(f V)=f \phi(V) \\ (\phi+\psi)(V)=\phi(V)+\psi(V),(f \phi)(V)=f \phi(V) \end{array}\] 벡터장 \( V \)가 미분가능이라는 것은 각 좌표함수가 미분가능임을 의미하고 1차형식 \( \phi \)가 미분가능이라는 것은 모든 미분가능 벡터장 \( V \)에 대해서 \( \phi V \)가 미분가능임을 의미한다.</p> <h2>정의 3.2</h2> <p>함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)에 대해서 \[d f(\mathrm{v})=\mathrm{v}[f]\] 로 정의된 \( d f \)를 \( f \)의 미분(differential)이라고 한다.</p> <h2>예 3.3</h2> <p>\( f=x+e^{2 y+3 z}, \mathrm{v}=(2,1,3), p=(1,1,0) \) 이면 \[f_{x}=1, f_{y}=2 e^{2 y+3 z}, f_{z}=3 e^{2 y+3 z}\] 이므로 \[\begin{aligned} d f\left[\mathbf{v}_{p}\right] &=\mathrm{v}_{p}[f]=2 f_{x}(1,1,0)+f_{y}(1,1,0)+3 f_{z}(1,1,0) \\ &=2+2 e^{2}+9 e^{2}=2+11 e^{2} \end{aligned}\] 이다.</p> <p>\( d f \)의 정의와 방향도함수의 성질에 의해서 \[\begin{array}{l} d f(\mathrm{v}+\mathrm{w})=(\mathrm{v}+\mathrm{w})[f]=\mathrm{v}[f]+\mathrm{w}[f]=d f(\mathrm{v})+d f(\mathrm{w}) \\ d f(a \mathrm{v})=(a \mathrm{v})[f]=a(\mathrm{v}[f])=a d f(\mathrm{v}) \end{array}\] 이므로 \( d f \)는 1차형식이다. \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \)가 미분가능이면 \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \)는 미분가능함수이므로</p> <p>\[d f(V)=V[f]=v_{1} f_{x}+v_{2} f_{y}+v_{3} f_{z}\] 도 미분가능이다. 따라서 \( d f \)는 미분가능 1차형식이다.</p> <h2>예 3.4</h2> <p>(1) 함수값이 \[f(x, y, z)=x, g(x, y, z)=y, h(x, y, z)=z\] 인 함수 \( f, g, h: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)를 자연좌표함수(natural coordinate functions)라고 하고 이들의 미분을 \( d x, d y, d z \)로 적는다. 벡터장 \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \)에 대한 이들의 값을 계산해보면 \( \nabla f=E_{1}, \nabla g=E_{2}, \quad \nabla h=E_{3} \)이므로 \[\begin{aligned} \\ & d x(V)=V[x]=\nabla f \cdot V=v_{1} \\ & d y(V)=V[y]=\nabla g \cdot V=v_{2} \\ & d z(V)=V[z]=\nabla h \cdot V=v_{3} \end{aligned}\] 이다.</p> <p>(2) 자연틀장 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \) 에 대한 \( d x, d y, d z \)의 값을 계산하면 \[\begin{array}{l} d x\left(E_{1}\right)=1, d x\left(E_{2}\right)=0, d x\left(E_{3}\right)=0 \\ d y\left(E_{1}\right)=0, d y\left(E_{2}\right)=1, d y\left(E_{3}\right)=0 \\ d z\left(E_{1}\right)=0, d z\left(E_{2}\right)=0, d z\left(E_{3}\right)=1 \end{array}\] 이다.</p> <h1>4.6 연결형식과 구조방정식</h1> <p>\( \mathrm{R}^{3} \)의 틀장은 각 점에서 정규직교기저를 이룬다고 하였고 예로서 간단한 틀장인 자연틀장 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \)가 있었다. 이들 외에 몇 가지 틀장의 예를 살펴보자.</p> <h2>예 6.1</h2> <p>(1) 원주틀장(cylindrical frame fields)</p> <p>직교좌표 \( (x, y, z) \)의 원주좌표롤 \( (r, \theta, z) \)라고 하면 \[x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z\] 의 관계가 있다. 점 \( p \in \mathrm{R}^{3}-\{(0,0, z) \mid z \in \mathrm{R}\} \)에 대해서 \( F_{1}(p): p \)에서 \( r \)이 증가하는 방향의 단위벡터 \( F_{2}(p): p \) 에서 \( \theta \)가 증가하는 방향의 단위벡터 \( F_{3}(p): p \) 에서 \( z \)가 증가하는 방향의 단위벡터 라고 두면 \[\begin{array}{l} F_{1}: \frac{\partial}{\partial r}(r \cos \theta, r \sin \theta, z)=(\cos \theta, \sin \theta, 0) \text { 방향 } \\ F_{2}: \frac{\partial}{\partial \theta}(r \cos \theta, r \sin \theta, z)=(-r \sin \theta, r \cos \theta, 0) \text { 방향 } \\ F_{3}: \frac{\partial}{\partial z}(r \cos \theta, r \sin \theta, z)=(0,0,1) \text { 방향 } \end{array}\] 이므로 \[\begin{array}{l} F_{1}=\cos \theta E_{1}+\sin \theta E_{2} \\ F_{2}=-\sin \theta E_{1}+\cos \theta E_{2} \\ F_{3}=E_{3} \end{array}\] 이다. 그리고 이들은 서로 수직이므로 \( F_{1}, F_{2}, F_{3} \)는 \( \mathrm{R}^{3}-\{(0,0, z) \mid z \in \mathrm{R}\} \) 상의 틀장이다. 이를 원주틀장이라고. 한다.</p> <p>(2) 구면틀장(spherical frame fields)</p> <p>직교좌표 \( (x, y, z) \) 의 구면좌표롤 \( (\rho, \theta, \varphi) \)라고 하면 \[x=\rho \cos \varphi \cos \theta, y=\rho \cos \varphi \sin \theta, z=\rho \sin \varphi\] 의 관계가 있다. 점 \( p \in \mathrm{R}^{3}-\{0\} \)에 대해서 \( G_{1}(p): p \) 에서 \( \rho \) 가 증가하는 방향의 단위벡터 \( G_{2}(p): p \) 에서 \( \theta \) 가 증가하는 방향의 단위벡터 \( G_{3}(p): p \) 에서 \( \varphi \) 가 증가하는 방향의 단위벡터 라고 두면 \[\begin{array}{l} G_{1}: \frac{\partial}{\partial \rho}(\rho \cos \varphi \cos \theta, \rho \cos \varphi \sin \theta, \rho \sin \varphi) \\ \quad=(\cos \varphi \cos \theta, \cos \varphi \sin \theta, \sin \varphi) \text { 방향 } \\ G_{2}: \frac{\partial}{\partial \theta}(\rho \cos \varphi \cos \theta, \rho \cos \varphi \sin \theta, \rho \sin \varphi) \\ =(-\rho \cos \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi \cos \theta, 0) \text { 방향 } \\ G_{3}: \frac{\partial}{\partial \varphi}(\rho \cos \varphi \cos \theta, \rho \cos \varphi \sin \theta, \rho \sin \varphi) \\ =(-\rho \sin \varphi \cos \theta,-\rho \sin \varphi \sin \theta, \rho \cos \varphi) \text { 방향 } \end{array}\] 이므로 \[\begin{array}{l} G_{1}=\cos \varphi \cos \theta E_{1}+\cos \varphi \sin \theta E_{2}+\sin \varphi E_{3} \\ G_{2}=-\sin \theta E_{1}+\cos \theta E_{2} \\ G_{3}=-\sin \varphi \cos \theta E_{1}-\sin \varphi \sin \theta E_{2}+\cos \varphi E_{3} \end{array}\] 이다. 그리고 이들은 서로 수직이므로 \( G_{1}, G_{2}, G_{3} \)는 \( \mathrm{R}^{3}-\{0\} \)상의 틀장이다. 이를 구면틀장이라고 한다.</p> <p>곡선 \( \alpha \)의 성질을 조사할 때, \( \alpha \)상에서 정의된 Frenet 틀장 \( T, N, B \)의 도함수 \( T^{\prime}, N^{\prime}, B^{\prime} \)을 \( T, N, B \)으로 나타내는 Frenet 방정식이 결정적인 역할을 하였다. 이제 이 개념을 일반화하여 보자.</p> <p>함수 \( f \)에 대해서 \( f \)의 미분 \( d f \)를 정의한 것처럼 벡터장 \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \)에 대해서도 \( V \)의 미분 \( d V \)를 다음과 같이 겅의한다. \[d V=\left(d v_{1}, d v_{2}, d v_{3}\right)\]</p> <p>이를 구체적으로 계산해 보면 \[\begin{aligned} d V &=\left(\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial v_{1}}{\partial x_{i}} d x_{i}, \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial v_{2}}{\partial x_{i}} d x_{i}, \sum_{i=1}^{3} \frac{\partial v_{3}}{\partial x_{i}} d x_{i}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{3} \frac{\partial V}{\partial x_{i}} d x_{i} \end{aligned}\] 이다. 그리고 벡터장 \( V, W \)에 대해서 \[\begin{array}{l} V \times d W=\sum_{i=1}^{3}\left(V \times \frac{\partial W}{\partial x_{i}}\right) d x_{i} \\ d V \times d W=\sum_{i, j=1}^{3}\left(\frac{\partial V}{\partial x_{i}} \times \frac{\partial W}{\partial x_{j}}\right) d x_{i} d x_{j} \end{array}\] 로 정의한다.</p> <p>벡터장으로 표현되는 내용과 미분형식으로 표현되는 내용은 서로 바꾸어서 표현 가능한 경우가 많이 있다. 이 때 이들 사이의 대응관계는 다음 대응을 바탕으로 하고 있다. (1) 벡터장과 1 차형식 : \[f_{1} E_{1}+f_{2} E_{2}+f_{3} E_{3} \stackrel{(1)}{\longleftrightarrow} f_{1} d x_{1}+f_{2} d x_{2}+f_{3} d x_{3}\] (2) 벡터장과 2차형식 : \[f_{1} E_{1}+f_{2} E_{2}+f_{3} E_{3} \stackrel{(2)}{\longleftrightarrow} f_{1} d x_{2} d x_{3}+f_{2} d x_{3} d x_{1}+f_{3} d x_{1} d x_{2}\] (3) 함수와 3차형식 : \( f \stackrel{(3)}{\longleftrightarrow} f d x_{1} d x_{2} d x_{3} \) 이러한 대응관계에서 gradient, divergence, curl을 표현해 보면 다음과 같다. \[\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} E_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} E_{2}+\frac{\partial f}{\partial x_{3}} E_{3}\]</p> <p>\[d f=\frac{\partial f}{\partial x_{1}} d x_{1}+\frac{\partial f}{\partial x_{2}} d x_{2}+\frac{\partial f}{\partial x_{3}} d x_{3}\] 이므로 \( \nabla f \stackrel{(1)}{\longleftrightarrow} d f \)이고, \[\begin{array}{c} V=v_{1} E_{1}+v_{2} E_{2}+v_{3} E_{3} \stackrel{\leftrightarrow}{\longleftrightarrow} \quad \phi=v_{1} d x_{1}+v_{2} d x_{2}+v_{3} d x_{3} \\ \operatorname{curl} V=\left(\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{3}}\right) E_{1}+\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{1}}\right) E_{2}+\left(\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}\right) E_{3} \\ d \phi=\left(\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{2}}-\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{3}}\right) d x_{2} d x_{3}+\left(\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{3}}-\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{1}}\right) d x_{3} d x_{1}+\left(\frac{\partial v_{2}}{\partial x_{1}}-\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{2}}\right) d x_{1} d x_{2} \\ \end{array}\] 이므로 \( \operatorname{curl} V \stackrel{(2)}{\longleftrightarrow} d \phi \) 이다. \[\begin{aligned} V &=v_{1} E_{1}+v_{2} E_{2}+v_{3} E_{3} \stackrel{(2)}{\longrightarrow} \omega=v_{1} d x_{2} d x_{3}+v_{2} d x_{3} d x_{1}+v_{3} d x_{1} d x_{2} \\ d \omega &=d v_{3} \wedge d x_{1} d x_{2}+d v_{2} \wedge d x_{3} d x_{1}+d v_{1} \wedge d x_{2} d x_{3} \\ &=\frac{\partial v_{3}}{d x_{3}} d x_{3} d x_{1} d x_{2}+\frac{\partial v_{2}}{d x_{2}} d x_{2} d x_{3} d x_{1}+\frac{\partial v_{1}}{\partial x_{1}} d x_{1} d x_{2} d x_{3} \\ &=\left(\frac{\partial v_{1}}{d x_{1}}+\frac{\partial v_{2}}{d x_{2}}+\frac{\partial v_{3}}{\partial x_{3}}\right) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \\ &=(\operatorname{div} V) d x_{1} d x_{2} d x_{3} \end{aligned}\] 이므로 \( \operatorname{div} V \stackrel{(3)}{\longleftrightarrow} d \omega \) 이다.</p> <h1>4.7 다변수 벡터함수의 도함수</h1> <p>\( D \subset \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)는 개집합이고, \( F: D \rightarrow \mathrm{R}^{\mathrm{m}} \)이 미분가능일 때, 즉 \( F \)의 모든 좌표함수가 모든 차수의 연속인 편도함수를 가질 때, 각 점 \( p \in D \)에 대해서 \[\left(F_{}\right)_{p}: T_{p}\left(\mathrm{R}^{\mathrm{n}}\right) \rightarrow T_{F(p)}\left(\mathrm{R}^{\mathrm{m}}\right), F_{}(\mathrm{v})=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} F(p+t \mathrm{v})\] 로 정의한다.</p> <p>\[F\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\left(f_{1}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right), \cdots, f_{m}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\right)\] 라고 두면 \[\begin{aligned} F_{}(\mathrm{v}) &=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0} F(p+t \mathrm{v})=\left.\frac{d}{d t}\right\|_{t=0}\left(f_{1}(p+t \mathrm{v}), \cdots, f_{m}(p+t \mathrm{v})\right) \\ &=\left.\left(\frac{d}{d t} f_{1}(p+t \mathrm{v}), \cdots, \frac{d}{d t} f_{m}(p+t \mathrm{v})\right)\right\|_{t=0} \\ &=\left(\mathrm{v}\left[f_{1}\right], \cdots, \mathrm{v}\left[f_{m}\right]\right)=\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{i}}(p) v_{i}, \cdots, \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{i}}(p) v_{i}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(p) & \cdots & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{n}}(p) \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{1}}(p) \cdots \frac{\partial f_{m}}{\partial x_{n}}(p) \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ v_{n} \end{array}\right) \text { 의 전치행렬 } \end{aligned}\] 이다. 행렬 또는 방향도함수의 선형성에 의해서 \[\left(F_{}\right)_{p}: T_{p}\left(\mathrm{R}^{\mathrm{n}}\right) \rightarrow T_{F(p)}\left(\mathrm{R}^{\mathrm{m}}\right)\] 는 선형함수이다. 이를 \( p \)에서 \( F \)의 도함수라고 하고, \( m \times n \) 행렬</p> <p>\[J_{F}(p)=\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}(p)\right)\] 를 \( p \)에서 \( F \)의 Jacobi 행렬이라고 부른다. 예를 들어 항등함수의 Jacobi 행렬은 \( \left(\frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}}\right) \)이므로 단위행렬이다. 행벡터와 열벡터를 구분 않는다면 \( F_{}(\mathrm{v})=J_{F} \mathrm{v} \)로 적을 수 있다.</p> <h2>예 7.1</h2> <p>\( F(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, x y, e^{x}\right), p=(1,1), \mathrm{v}=(1,3) \) 이면 \( \quad f_{1}=x^{2}+y^{2}, f_{2}=x y, f_{3}=e^{x} \) \( \Rightarrow J_{F}=\left(\begin{array}{cc}2 x & 2 y \\ y & x \\ e^{x} & 0\end{array}\right), F(1,1)=(2,1, e), J_{F}(1,1)\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 1 \\ e & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}8 \\ 4 \\ e\end{array}\right) \)\( \Rightarrow\left(F_{x}\right)_{p}\left(\mathrm{v}_{p}\right)=(8,4, e)_{(2,1, e)} \)이다.</p> <p>\( D \subset \mathrm{R}^{\mathrm{n}} \)는 개집합이고, \( F: D \rightarrow \mathrm{R}^{\mathrm{m}}, G: \mathrm{R}^{\mathrm{m}} \rightarrow \mathrm{R}^{l} \)가 미분가능이면 합성함수 \( G \circ F: D \rightarrow \mathrm{R}^{l} \)는 미분가능이다. 이때 \( G \circ F \)의 도함수를 구하여 보자. \[F=\left(f_{1}, \cdots, f_{m}\right), G=\left(g_{1}, \cdots, g_{l}\right), G \circ F=\left(h_{1}, \cdots, h_{l}\right)\] 라고 두면 \[\begin{array}{c} h_{k}=g_{k}\left(f_{1}\left(x_{1}, \cdots x_{n}\right), \cdots, f_{m}\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)\right) \\ \Rightarrow \frac{\partial h_{k}}{\partial x_{i}}=\sum_{j=1}^{m} \frac{\partial g_{k}}{\partial y_{j}} \frac{\partial y_{j}}{\partial x_{i}},(G \circ F)_{}(\mathrm{v})=\left(\mathbf{v}\left[h_{1}\right], \cdots, \mathrm{v}\left[h_{l}\right]\right) \\ \Rightarrow \mathrm{v}\left[h_{k}\right]=\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial h_{k}}{\partial x_{i}} v_{i}=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} \frac{\partial g_{k}}{\partial y_{j}} \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}} v_{i} \end{array}\]</p> <p>\[(G \circ F)_{}(\mathrm{v})=\left(\mathrm{v}\left[h_{1}\right], \cdots, \mathrm{v}\left[h_{l}\right]\right)=\left(\frac{\partial g_{k}}{\partial y_{j}}\right)\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\right)(\mathrm{v})=G_{}\left(F_{}(\mathrm{v})\right)\] 이다. 따라서 우리는 다음과 같은 사실을 알 수 있다.</p> <p>(1) \( (G \circ F)_{}=G_{} \circ F_{*} \)</p> <p>(2) \( J_{G \circ F}=J_{G} J_{F} \) (Jacobi 행렬의 곱)</p> <h2>정리 3.5</h2> <p>1차형식 \( \phi \)에 대해서 \[\phi\left(E_{1}\right)=f_{1}, \phi\left(E_{2}\right)=f_{2}, \phi\left(E_{3}\right)=f_{3}\] 라고 두면 \[\phi=f_{1} d x+f_{2} d y+f_{3} d z\] 이다. 이 때, \( \phi \)가 미분가능일 필요충분조건은 \( f_{1}, f_{2}, f_{3} \)가 미분가능이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>임의의 벡터장 \( V=v_{1} E_{1}+v_{2} E_{2}+v_{3} E_{3} \)에 대해서 \[\begin{aligned} \phi(V) &=v_{1} \phi\left(E_{1}\right)+v_{2} \phi\left(E_{2}\right)+v_{3} \phi\left(E_{3}\right)=v_{1} f_{1}+v_{2} f_{2}+v_{3} f_{3} \\ \left(f_{1} d x\right.&\left.+f_{2} d y+f_{3} d z\right)(V)=f_{1} d x(V)+f_{2} d y(V)+f_{3} d z(V) \\ &=v_{1} f_{1}+v_{2} f_{2}+v_{3} f_{3} \end{aligned}\] 이므로 \[\phi=f_{1} d x+f_{2} d y+f_{3} d z\] 이다. 만약 \( \phi \)가 미분가능이면 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \)는 미분가능 벡터장이므로 \[\phi\left(E_{1}\right)=f_{1}, \phi\left(E_{2}\right)=f_{2}, \phi\left(E_{3}\right)=f_{3}\] 는 미분가능이다. 역으로 \( f_{1}, f_{2}, f_{3} \)가 미분가능이고 벡터장 \( V \)가 미분가능이면 \( \phi(V)=v_{1} f_{1}+v_{2} f_{2}+v_{3} f_{3} \)도 미분가능이므로 \( \phi \)는 미분가능이다.</p> <p>미분가능 함수 \( f \)에 대해서 \[d f\left(E_{1}\right)=f_{x}, d f\left(E_{2}\right)=f_{y}, d f\left(E_{3}\right)=f_{z}\] 이므로</p> <p>\[d f=f_{x} d x+f_{y} d y+f_{z} d z\] 임을 알 수 있다.</p> <h2>정리 3.6</h2> <p>미분가능 함수 \( f, g \) 에 대해서 다음 성질이 성립한다. (1) \( d(f+g)=d f+d g \) (2) \( d(f g)=g d f+f d g \)</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>(1) \( d(f+g)=(f+g)_{x} d x+(f+g)_{y} d y+(f+g)_{z} d z \) \( =\left(f_{x}+g_{x}\right) d x+\left(f_{y}+g_{y}\right) d y+\left(f_{z}+g_{z}\right) d z \) \( =\left(f_{x} d x+f_{y} d y+f_{z} d z\right)+\left(g_{x} d x+g_{y} d y+g_{z} d z\right)=d f+d g \)</p> <p>(2) \( d(f g)=(f g)_{x} d x+(f g)_{y} d y+(f g)_{z} d z \) \( =\left(f_{x} g+f g_{x}\right) d x+\left(f_{y} g+f g_{y}\right) d y+\left(f_{z} g+f g_{z}\right) d z \) \( =g\left(f_{x} d x+f_{y} d y+f_{z} d z\right)+f\left(g_{x} d x+g_{y} d y+g_{z} d z\right)=g d f+f d g \)</p> <h2>정리 3.7</h2> <p>함수 \( f: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)과 \( h: \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{R} \)에 대해서 \[d(h \circ f)=\left(h^{\prime} \circ f\right) d f\] 이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( d(h \circ f)=(h \circ f)_{x} d x+(h \circ f)_{y} d y+(h \circ f)_{z} d z \)\( =\left(h^{\prime} \circ f\right) f_{x} d x+\left(h^{\prime} \circ f\right) f_{y} d y+\left(h^{\prime} \circ f\right) f_{z} d z \)\( =\left(h^{\prime} \circ f\right)\left(f_{x} d x+f_{y} d y+f_{z} d z\right)=\left(h^{\prime} \circ f\right) d f \)</p> <p>예를 들면 \[d\left(f^{5}\right)=5 f^{4} d f, d(\sqrt{f})=\frac{1}{2 \sqrt{f}} d f, d(\ln f)=\frac{1}{f} d f\] 이다.</p> <h2>예 3.8</h2> <p>(1) \( f=\left(1+y^{2}\right) x+x \ln z \) 이면 \[\begin{aligned} d f &=d\left(\left(1+y^{2}\right) x\right)+d(x \ln z) \\ &=x d\left(1+y^{2}\right)+\left(1+y^{2}\right) d x+\ln z d x+x d(\ln z) \\ &=x(2 y d y)+\left(1+y^{2}\right) d x+\ln z d x+x \frac{1}{z} d z \\ &=\left(1+y^{2}+\ln z\right) d x+2 x y d y+\frac{x}{z} d z \end{aligned}\] 이고 직접계산하면 \[\begin{aligned} d f=&\left(\left(1+y^{2}\right) x+x \ln z\right)_{x} d x+\left(\left(1+y^{2}\right) x+x \ln z\right)_{y} d y \\ &+\left(\left(1+y^{2}\right) x+x \ln z\right)_{z} d z \\ =&\left(1+y^{2}+\ln z\right) d x+2 x y d y+\frac{x}{z} d z \end{aligned}\] 이다.</p> <p>(2) \( \begin{aligned} f &=\sin ^{4}(x y z) \text { 이면 } \\ d f &=4 \sin ^{3}(x y z) d(\sin (x y z)) \\ &=4 \sin ^{3}(x y z) \cos (x y z) d(x y z) \\ &=4 \sin ^{3}(x y z) \cos (x y z)(y z d x+x z d y+x y d z) \\ \text { 이다. } \end{aligned} \)</p> <p>벡터장의 dual 개념으로서 1차형식을 소개하였다, 이제 틀장의 dual 개념을 소개한다.</p> <p>\( \mathrm{R}^{3} \)상의 틀장 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)와 벡터장 \( W \)에 대해서 \[\theta_{i}(W)=W \cdot V_{i}\] 라고 정의 하면 내적의 선형성질에 의해서 \( \theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \)는 1차형식이다. 이를 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \) 의 쌍대(dual) 1차형식이라고 한다. \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)는 각 점에서 기저이므로 쌍대 1차형식은 \[\theta_{i}\left(V_{j}\right)=V_{j} \cdot V_{i}=\delta_{i j}\] 로 정의하면 충분하다. 자연틀장의 경우 \[d x_{i}\left(E_{j}\right)=E_{j}\left[x_{i}\right]=\delta_{i j}\]</p> <p>이므로 쌍대 1차형식은 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \)이다. 임의의 1차형식 \( \phi \)와 벡터장 \( V \)에 대해서 \[\begin{array}{c} \phi(W)=\phi\left(\sum_{i=1}^{3}\left(W \cdot V_{i}\right) V_{i}\right)=\sum_{i=1}^{3}\left(W \cdot V_{i}\right) \phi\left(V_{i}\right) \\ =\sum_{i=1}^{3} \theta_{i}(W) \phi\left(V_{i}\right)=\left[\sum_{i=1}^{3} \phi\left(V_{i}\right) \theta_{i}\right](W) \\ \Rightarrow \phi=\sum_{i=1}^{3} \phi\left(V_{i}\right) \theta_{i} \end{array}\] 이므로 \[\begin{aligned} V_{i} &=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} E_{j} \Rightarrow \theta_{i}\left(E_{j}\right)=V_{i} \cdot E_{j}=a_{i j} \\ \Rightarrow \theta_{i} &=\sum_{j=1}^{3} \theta_{i}\left(E_{j}\right) d x_{j}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} d x_{j} \end{aligned}\]</p> <h2>정리 6.2</h2> <p>(Cartan의 구조방정식)</p> <p>\( \mathrm{R}^{3} \) (또는 \( \mathrm{R}^{3} \) 의 open set)상의 틀장 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)의 쌍대형식을 \( \theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3} \), 연결형식을 \( \omega \)라고 하면 다음이 성립한다. \[d \theta=\omega \wedge \theta, \quad d \omega=\omega \wedge \omega\] 단, \( \theta \) 는 \( \left(\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\right) \)의 전치행렬이다. 위의 두 방정식을 각각 제1, 제2 구조방정식이라고 한다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>\( \omega=d A\left(A^{t}\right) \Rightarrow d A=\omega A \Rightarrow d a_{i j}=\sum_{k=1}^{3} w_{i k} a_{k j} \)이다. \( \theta_{i}=\sum_{j=1}^{3} a_{i j} d x_{j} \)이므로</p> <p>\( \begin{aligned} d \theta_{i} &=\sum_{j=1}^{3} d a_{i j} \wedge d x_{j}=\sum_{j=1}^{3}\left[\sum_{k=1}^{3} \omega_{i k} a_{k j}\right] \wedge d x_{j} \\ &=\sum_{k=1}^{3}\left[\omega_{i k} \wedge\left[\sum_{j=1}^{3} a_{k j} d x_{j}\right]\right]=\sum_{k=1}^{3} \omega_{i k} \wedge \theta_{k} \end{aligned} \)</p> <p>에서 \( d \theta=\omega \wedge \theta \) 이다. \(\omega=d A\left(A^{t}\right) \)이므로</p> <p>\( \begin{aligned} \omega_{i j} &=\sum_{k=1}^{3} d a_{i k} a_{j k} \Rightarrow d \omega_{i j}=-\sum_{k=1}^{3} d a_{i k} \wedge d a_{j k} \\ \Rightarrow d \omega &=-(d A) \wedge(d A)^{t}=-(\omega A) \wedge(\omega A)^{t} \\ &=-(\omega A) \wedge\left(A^{t} \omega^{t}\right)=-\omega \wedge \omega^{t}=\omega \wedge \omega \end{aligned} \)</p> <p>이다.</p> <p>\( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)는 \( \mathrm{R}^{3} \) (또는 \( \mathrm{R}^{3} \)의 open set)상의 틀장, \( \mathrm{v} \)는 \( p \)에서 접벡터일 때, 공변도함수 \( \nabla_{v} V_{i} \)를 \( V_{1}(p), V_{2}(p), V_{3}(p) \)의 1차결합으로 표현할 수 있다. \[\begin{array}{l} \nabla_{v} V_{1}=c_{11} V_{1}(p)+c_{12} V_{2}(p)+c_{13} V_{3}(p) \\ \nabla_{v} V_{2}=c_{21} V_{1}(p)+c_{22} V_{2}(p)+c_{23} V_{3}(p) \\ \nabla_{v} V_{3}=c_{31} V_{1}(p)+c_{32} V_{2}(p)+c_{33} V_{3}(p) \end{array}\] 일 때, \( \omega_{i j}(\mathrm{v})=c_{i j} \) 라고. 두면 \[\omega: T_{p}\left(\mathrm{R}^{3}\right) \rightarrow \mathrm{R}, \omega_{i j}(\mathrm{v})=\nabla_{\mathrm{v}} V_{i} \cdot V_{j}(p)\] 이고 \[\begin{array}{l} \omega_{i j}(a \mathbf{v})=\nabla_{a v} V_{i} \cdot V_{j}(p)=a \nabla_{\mathrm{v}} V_{i} \cdot V_{j}(p)=a \omega_{i j}(\mathrm{v}) \\ \begin{aligned} \omega_{i j}(\mathrm{v}+\mathrm{w}) &=\nabla_{\mathrm{v}+\mathrm{w}} V_{i} \cdot V_{j}(p) \\ &=\nabla_{\mathrm{v}} V_{i} \cdot V_{j}(p)+\nabla_{w} V_{i} \cdot V_{j}(p)=\omega_{i j}(\mathrm{v})+\omega_{i j}(\mathrm{w}) \end{aligned} \end{array}\] 이므로 \( \omega_{i j} \)는 1차형식이다. 이를 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)의 연결형식(connection form)이라고 한다. \[\begin{aligned} 0 &=\mathrm{v}\left[V_{i} \cdot V_{j}\right]=\nabla_{\mathrm{v}} V_{i} \cdot V_{j}(p)+\nabla_{\mathrm{v}} V_{j} \cdot V_{i}(p) \\ &=\omega_{i j}(\mathrm{v})+\omega_{j i}(\mathrm{v}) \\ \Rightarrow & \omega_{i j}(\mathrm{v})=-\omega_{j i}(\mathrm{v}), \omega_{11}(\mathrm{v})=\omega_{22}(\mathrm{v})=\omega_{33}(\mathrm{v})=0 \end{aligned}\] 이다. \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)를 자연틀장 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \)로 표현한 식 \[\begin{array}{l} V_{1}=a_{11} E_{1}+a_{12} E_{2}+a_{13} E_{3} \\ V_{2}=a_{21} E_{1}+a_{22} E_{2}+a_{23} E_{3} \\ V_{3}=a_{31} E_{1}+a_{32} E_{2}+a_{33} E_{3} \end{array}\]</p> <p>에서 계수함수 \( a_{i j}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \)로 만든 행렬 \[A=\left(\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right)\] 를 \( V_{1}, V_{2}, V_{3} \)의 자세행렬(attitude matrix)이라고, 한다. 행렬 \( A \)와 전치행렬 \( A^{t} \)의 곱은 \[\begin{aligned} A A^{t} &=\left(\begin{array}{l} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\ a_{31} a_{32} a_{33} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} a_{11} a_{21} a_{31} \\ a_{12} a_{22} a_{32} \\ a_{13} a_{23} a_{33} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{l} \left(V_{1} \cdot V_{1}\right)\left(V_{1} \cdot V_{2}\right)\left(V_{1} \cdot V_{3}\right) \\ \left(V_{2} \cdot V_{1}\right)\left(V_{2} \cdot V_{2}\right)\left(V_{2} \cdot V_{3}\right) \\ \left(V_{3} \cdot V_{1}\right)\left(V_{3} \cdot V_{2}\right)\left(V_{3} \cdot V_{3}\right) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 100 \\ 010 \\ 001 \end{array}\right) \end{aligned}\] 이므로 \( A^{t}=A^{-1} \)이다. 이러한 행렬을 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다. 직교행렬은 기하학적으로 중요한 의미를 갖는 행렬이다.</p> <h1>4.1 벡터장</h1> <p>우리는 2 장에서 \( D \subset \mathrm{R}^{3} \)에 대해서 함수 \( F: D \rightarrow \mathrm{R}^{3} \)를 \( D \)상의 벡터장으로 정의하고 곡선상의 벡터장만 다루었다. 이 장에서는 일반 벡터장과 이들의 미분에 대해서 알아본다. 2변수 함수의 벡터장도 같은 방법으로 다루면 되므로 여기에서는 3변수 함수의 벡터장 위주로 다룬다. 3변수 함수의 벡터장은 함수 값이 \( \mathrm{R}^{3} \)의 원소이므로 실수 값을 갖는 3개의 성분함수로 표현된다.</p> <h2>정의 1.1</h2> <p>함수 \( f: D \rightarrow \mathrm{R} \) 에 대해서 \( \nabla f=\left(f_{x}, f_{y}, f_{z}\right) \) 를 함수 \( f \) 의 그래디언트(gradient)라고 한다.</p> <p>편도함수의 성질에 의해서 gradient는 다음 성질이 성립한다.</p> <h2>정리 1.2</h2> <p>함수 \( f, g: D \rightarrow \mathrm{R} \) 와 실수 \( a, b \) 에 대해서 (1) \( \nabla(a f+b g)=a \nabla f+b \nabla g \) (2) \( \nabla(f g)=g \nabla f+f \nabla g \)</p> <p>벡터장의 도함수는 다음의 두 종류가 있는데 이는 물리학적으로 중요한 의미를 갖는 도함수이다.</p> <h2>정의 1.3</h2> <p>벡터장 \( F=(f, g, h) \) 에 대해서 \( f, g, h \)의 1차 편도함수가 존재할 때,</p> <p>(1) \( \operatorname{div} F=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z} \)를 \( F \)의 발산(divergence)이라고 한다.</p> <p>(2) \( \operatorname{curl} F=\left\|\begin{array}{ccc}\mathrm{e}_{1} & \mathrm{e}_{2} & \mathrm{e}_{3} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ f & g & h\end{array}\right\|=\left(h_{y}-g_{z}, f_{z}-h_{x}, g_{x}-f_{y}\right) \)를 \( F \)의 회전(curl)이라고 한다.</p> <p>벡터의 곱에서 내적은 실수이고 외적은 벡터인 것과 같이 벡터장의 도함수 발산 \( \operatorname{div} F \)는 실수 값을 갖는 함수이고, 회전 \( \operatorname{curl} F \)는 벡터 값을 갖는 벡터장이다. 다음 기호</p> <p>\( \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) \)</p> <p>를 사용하면</p> <p>\( \operatorname{div} F=\nabla \cdot F, \operatorname{curl} F=\nabla \times F \)</p> <p>로 간편하게 적을 수 있다.</p> <h2>예 \( 1.4 \)</h2> <p>다음 벡터장의 divergence와 curl을 구하라. (1) \( F(x, y, z)=(x y, y z, z x) \) (2) \( G(x, y, z)=\left(x^{2}, y^{2}, z^{2}\right) \)</p> <h2>풀이</h2> <p>(1) \( \operatorname{div} F=f_{x}+g_{y}+h_{z}=y+z+x \) \( \operatorname{curl} F=\left(h_{y}-g_{z}, f_{z}-h_{x}, g_{x}-f_{y}\right)=(-y,-z,-x) \) (2) \( \operatorname{div} F=f_{x}+g_{y}+h_{z}=2 x+2 y+2 z \) \( \operatorname{curl} F=\left(h_{y}-g_{z}, f_{z}-h_{x}, g_{x}-f_{y}\right)=(0,0,0) \)</p> <h2>정리 4.4</h2> <p>\( f, g \)는 0차형식, \( \phi, \psi \)는 1차형식, \( \omega \)는 2차형식일 때 다음 성질이 성립한다. (1) \( d(f g)=g d f+f d g \) (2) \( d(\phi \wedge \psi)=(d \phi \wedge \psi)-(\phi \wedge d \psi) \) (3) \( d(f \phi)=(d f \wedge \phi)+f d \phi \) (4) \( d(f \omega)=(d f \wedge \omega)+f d \omega \)</p> <h2>I 증명 I</h2> <p>(1) 4.3 절에서 다루었다. \[\phi=\sum_{i=1}^{3} f_{i} d x_{i}, \psi=\sum_{i=1}^{3} g_{i} d x_{i}, \omega=\sum_{i<j} s_{i j} d x_{i} d x_{j}\] 라고 두면 \[d \phi=\sum_{i=1}^{3} d f_{i} \wedge d x_{i}, \quad d \psi=\sum_{i=1}^{3} d g_{i} \wedge d x_{i} \quad d \omega=\sum_{i<j} d s_{i j} \wedge d x_{i} d x_{j}\] 이다. (2) \( d(\phi \wedge \psi)=\sum_{i, j=1}^{3} d\left(f_{i} g_{j}\right) \wedge d x_{i} d x_{j} \) \[\begin{array}{l} =\sum_{i, j=1}^{3}\left(g_{j} d f_{i}+f_{i} d g_{j}\right) \wedge d x_{i} d x_{j} \\ =\sum_{i, j=1}^{3}\left[\left(g_{j} d f_{i} \wedge d x_{i} d x_{j}\right)+\left(f_{i} d g_{j} \wedge d x_{i} d x_{j}\right)\right] \\ =\left[\sum_{j=1}^{3} \sum_{i=1}^{3} d f_{i} \wedge d x_{i} \wedge g_{j} d x_{j}-\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} f_{i} d x_{i} \wedge\left(d g_{j} \wedge d x_{j}\right)\right] \\ =\sum_{j=1}^{3}\left[\sum_{i=1}^{3} d f_{i} \wedge d x_{i}\right] \wedge g_{j} d x_{j}-\sum_{i=1}^{3}\left[f_{i} d x_{i} \wedge\left(\sum_{j=1}^{3} d g_{j} \wedge d x_{j}\right)\right] \\ =\sum_{j=1}^{3}\left(d \phi \wedge g_{j} d x_{j}\right)-\sum_{i=1}^{3}\left(f_{i} d x_{i} \wedge d \psi\right) \\ =d \phi \wedge\left(\sum_{j=1}^{3} g_{j} d x_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{3} f_{i} d x_{i}\right) \wedge d \psi \\ =d \phi \wedge \psi-\phi \wedge d \psi \end{array}\] \[\text { (3) } \begin{aligned} d(f \phi) &=\sum_{i=1}^{3} d\left(f f_{i}\right) \wedge d x_{i}=\sum_{i=1}^{3}\left(f_{i} d f+f d f_{i}\right) \wedge d x_{i} \\ &=\sum_{i=1}^{3}\left[\left(d f \wedge f_{i} d x_{i}\right)+\left(f d f_{i} \wedge d x_{i}\right)\right]=d f \wedge \phi+f d \phi \end{aligned}\] (4) \[\begin{aligned} d(f \omega) &=\sum_{i<j} d\left(f s_{i j}\right) \wedge d x_{i} d x_{j} \\ &=\sum_{i<j}\left(s_{i j} d f+f d s_{i j}\right) \wedge d x_{i} d x_{j} \\ &=\sum_{i<j}\left[\left(d f \wedge s_{i j} d x_{i} d x_{j}\right)+\left(f d s_{i j} \wedge d x_{i} d x_{j}\right)\right] \\ &=d f \wedge \omega+f d \omega \end{aligned} \]</p> <h2>예 6.5</h2> <p>(1) 원주틀장의 자세행렬과 연결형식은 \[A=\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta \sin \theta & 0 \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \omega=\left(\begin{array}{ccc} 0 & d \theta & 0 \\ -d \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\] 이다. 그러므로 쌍대형식을 \( \mu \)라고 두면 \[\begin{aligned} & x_{1}=r \cos \theta, x_{2}=r \sin \theta, x_{3}=z \\ \Rightarrow & d x_{1}=\cos \theta d r-r \sin \theta d \theta, d x_{2}=\sin \theta d r+r \cos \theta d \theta, d x_{3}=d z \\ \therefore & \mu=\left(\begin{array}{c} \cos \theta d x_{1}+\sin \theta d x_{2} \\ -\sin \theta d x_{1}+\cos \theta d x_{2} \\ d x_{3} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} d r \\ r d \theta \\ d z \end{array}\right) \\ \Rightarrow & d \mu=\left(\begin{array}{c} 0 \\ d r d \theta \\ 0 \end{array}\right), \omega \wedge \mu=\left(\begin{array}{ccc} 0 & d \theta & 0 \\ -d \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} d r \\ r d \theta \\ d z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -d \theta d r \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ d r d \theta \\ 0 \end{array}\right) \end{aligned}\] 이므로 제1 구조방정식 \( d \mu=\omega \wedge \mu \)을 확인할 수 있다. 그리고</p> <p>\[\omega \wedge \omega=\left(\begin{array}{ccc} 0 & d \theta & 0 \\ -d \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{ccc} 0 & d \theta & 0 \\ -d \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)=d \omega\] 에서 제2 구조방정식을 확인할 수 있다.</p> <p>(2) 구면틀장의 자세행렬과 연결형식은 \[\begin{array}{l} A=\left(\begin{array}{ccc} \cos \varphi \cos \theta & \cos \varphi \sin \theta & \sin \varphi \\ -\sin \theta & \cos \theta & 0 \\ -\sin \varphi \cos \theta & -\sin \varphi \sin \theta \cos \varphi \end{array}\right) ; \\ \omega=\left(\begin{array}{ccc} 0 & \cos \varphi d \theta & d \varphi \\ -\cos \varphi d \theta & 0 & \sin \varphi d \theta \\ -d \varphi & -\sin \varphi d \theta & 0 \end{array}\right) \\ \end{array}\] 이다. 그러므로 쌍대형식을 \( \nu \)라고, 두면 \[\begin{aligned} x_{1} &=\rho \cos \varphi \cos \theta, x_{2}=\rho \cos \varphi \sin \theta, x_{3}=\rho \sin \varphi \\ \Rightarrow d x_{1} &=\cos \varphi \cos \theta d \rho-\rho \sin \varphi \cos \theta d \varphi-\rho \cos \varphi \sin \theta d \theta \\ d x_{2} &=\cos \varphi \sin \theta d \rho-\rho \sin \varphi \sin \theta d \varphi+\rho \cos \varphi \cos \theta d \theta \\ d x_{3} &=\sin \varphi d \rho+\rho \cos \varphi d \varphi \end{aligned}\] 이므로 \[\begin{array}{l} \nu=\left(\begin{array}{c} \cos \varphi \cos \theta d x_{1}+\cos \varphi \sin \theta d x_{2}+\sin \varphi d x_{3} \\ -\sin \theta d x_{1}+\cos \theta d x_{2} \\ -\sin \varphi \cos \theta d x_{1}-\sin \varphi \sin \theta d x_{2}+\cos \varphi d x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} d \rho \\ \rho \cos \varphi d \theta \\ \rho d \varphi \end{array}\right) \\ \Rightarrow d \nu=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \cos \varphi d \rho d \theta-\rho \sin \varphi d \varphi d \theta \\ d \rho d \varphi \end{array}\right) \\ \omega \wedge \nu=\left(\begin{array}{ccc} 0 & \cos \varphi d \theta & d \varphi \\ -\cos \varphi d \theta & 0 & \sin \varphi d \theta \\ -d \varphi & -\sin \varphi d \theta & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} d \rho \\ \rho \cos \varphi d \theta \\ \rho d \varphi \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{c} 0 \\ -\cos \varphi d \theta d \rho+\rho \sin \varphi d \theta d \varphi \\ -d \varphi d \rho \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \cos \varphi d \rho d \theta-\rho \sin \varphi d \varphi d \theta \\ d \rho d \varphi \end{array}\right) \\ \end{array}\] 이므로 제1 구조방정식 \( d \nu=\omega \wedge \nu \)을 확인할 수 있다. 그리고</p> <p>\( \omega \wedge \omega \) \[\begin{array}{l} =\left(\begin{array}{ccc} 0 & \cos \varphi d \theta & d \varphi \\ -\cos \varphi d \theta & 0 & \sin \varphi d \theta \\ -d \varphi & -\sin \varphi d \theta & 0 \end{array}\right) \wedge\left(\begin{array}{ccc} 0 & \cos \varphi d \theta & d \varphi \\ -\cos \varphi d \theta & 0 & \sin \varphi d \theta \\ -d \varphi & -\sin \varphi d \theta & 0 \end{array}\right) \\ =\left(\begin{array}{ccc} 0 & -\sin \varphi d \varphi d \theta & 0 \\ \sin \varphi d \varphi d \theta & 0 & \cos \varphi d \varphi d \theta \\ 0 & -\cos \varphi d \varphi d \theta & 0 \end{array}\right)=d \omega \end{array}\] 에서 제2 구조방정식을 확인할 수 있다.</p> <h2>정리 2.4</h2> <p>\( \mathrm{R}^{3} \) 상의 미분가능함수 \( f, g \) 와 접벡터 \( \mathrm{v}_{p}, \mathrm{w}_{p} \), 실수 \( a, b \) 에 대해서 다음 성질이 성립한다.</p> <p>(1) \( \left(a \mathbf{v}_{p}+b \mathbf{w}_{p}\right)[f]=a \mathbf{v}_{p}[f]+b \mathbf{w}_{p}[f] \)</p> <p>(2) \( \mathrm{v}_{p}[a f+b g]=a \mathrm{v}_{p}[f]+b \mathrm{v}_{p}[g] \)</p> <p>(3) \( \mathrm{v}_{p}[f g]=\mathrm{v}_{p}[f] g(p)+f(p) \mathbf{v}_{p}[g] \)</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>(1) \( \begin{aligned}\left(a \mathrm{v}_{p}+b \mathrm{w}_{p}\right)[f] &=\nabla f(p) \cdot(a \mathrm{v}+b \mathrm{w}) \\ &=a \nabla f(p) \cdot \mathrm{v}+b \nabla f(p) \cdot \mathrm{w} \\ &=a \mathrm{v}_{p}[f]+b \mathrm{w}_{p}[f] \end{aligned} \)</p> <p>(2) \( \mathrm{v}_{p}[a f+b g]=\nabla(a f+b g)(p) \cdot \mathrm{v} \) \( \quad=(a \nabla f(p)+b \nabla g(p)) \cdot \mathrm{v}=(a \nabla f(p) \cdot \mathrm{v})+(b \nabla g(p) \cdot \mathrm{v}) \) \( \quad=a \mathbf{v}_{p}[f]+b \mathbf{v}_{p}[g] \)</p> <p>(3) \( \begin{aligned} & \mathrm{v}_{p}[f g]=\nabla(f g)(p) \cdot \mathrm{v}=(g(p) \nabla f(p)) \cdot \mathrm{v}+(f(p) \nabla g(p)) \cdot \mathrm{v} \\=& g(p)(\nabla f(p) \cdot \mathrm{v})+f(p)(\nabla g(p) \cdot \mathrm{v})=\mathrm{v}_{p}[f] g(p)+f(p) \mathbf{v}_{p}[g] \end{aligned} \)</p> <p>벡터장 \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \)에 대해서 \( V(p) \) 는 \( p \)에서 접벡터이므로 \( V(p)[f] \)가 정의된다. 이를 이용하여</p> <p>\( V[f]: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R}, \quad(V[f])(p)=V(p)[f] \)</p> <p>로 정의한다. 이와 같이 정의하는 방법을 점별원리(pointwise principle)라고 한다.</p> <p>\( V(p)=\left(v_{1}(p), v_{2}(p), v_{3}(p)\right) \)</p> <p>이므로</p> <p>\( (V[f])(p)=V(p)[f]=v_{1}(p) f_{x}(p)+v_{2}(p) f_{y}(p)+v_{3}(p) f_{z}(p) \) \( =\left[v_{1} f_{x}+v_{2} f_{y}+v_{3} f_{z}\right](p) \) \( \Rightarrow V[f]=v_{1} f_{x}+v_{2} f_{y}+v_{3} f_{z}=\nabla f \cdot V \)</p> <p>이다. 2장에서 정의한 자연틀장 \( E_{1}, E_{2}, E_{3} \) 에 대해서</p> <p>\( E_{1}[f]=\frac{\partial f}{\partial x}, E_{2}[f]=\frac{\partial f}{\partial y}, E_{3}[f]=\frac{\partial f}{\partial z} \)</p> <p>이므로 자연틀장을</p> <p>\( E_{1}=\frac{\partial}{\partial x}, E_{2}=\frac{\partial}{\partial y}, E_{3}=\frac{\partial}{\partial z} \)</p> <p>로 적기도 한다. 그리고 벡터장 \( V \)와 함수 \( f \)의 곱 \( f V \)는</p> <p>\( (f V)(p)=f(p) V(p) \)</p> <p>인 벡터장으로 정의한다. 그러면 벡터장 \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \)는</p> <p>\( \begin{aligned} V(p) &=\left(v_{1}(p), v_{2}(p), v_{3}(p)\right)=v_{1}(p) \mathbf{e}_{1}+v_{2}(p) \mathbf{e}_{2}+v_{3}(p) \mathbf{e}_{3} \\ &=v_{1}(p) E_{1}(p)+v_{2}(p) E_{2}(p)+v_{3}(p) E_{3}(p) \\ &=\left(v_{1} E_{1}\right)(p)+\left(v_{2} E_{2}\right)(p)+\left(v_{3} E_{3}\right)(p) \\ &=\left(v_{1} E_{1}+v_{2} E_{2}+v_{3} E_{3}\right)(p) \end{aligned} \)</p> <p>이므로 \( V \)를 자연틀장을 이용하여</p> <p>\( V=v_{1} E_{1}+v_{2} E_{2}+v_{3} E_{3} \)</p> <p>로 표현할 수 있다.</p> <p>정리 2.4의 성질은 다음과 같이 벡터장에 대해서도 성립한다.</p> <h2>정리 2.5</h2> <p>\( \mathrm{R}^{3} \)상의 미분가능함수 \( f, g, h \)와 벡터장 \( V, W \), 실수 \( a, b \)에 대해서 다음 성질이 성립한다.</p> <p>(1) \( (f V+g W)[h]=f V[h]+g W[h] \) (2) \( V[a f+b g]=a V[f]+b V[g] \) (3) \( V[f g]=V[f] g+f V[g] \) (4) 모든 미분가능함수 \( f \) 에 대해서 \( V[f]=W[f] \) 이면 \( V=W \) 이다.</p> <h2>\| 증명 \|</h2> <p>(1), (2), (3)은 점별원리와 정리 2.4에 의해서 명백하다.</p> <p>(4) \( V=\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right), W=\left(w_{1}, w_{2}, w_{3}\right) \)라고 두면</p> <p>\( v_{1}=V[x]=W[x]=w_{1} \) \( v_{2}=V[y]=W[y]=w_{2} \) \( v_{3}=V[z]=W[z]=w_{3} \)</p> <p>이므로 \(V=W\) 이다.</p> <h2>예 2.6</h2> <p>(1) 벡터장 \( V=\left(x^{2}, x+y, x z\right) \) 는 \[V=x^{2} E_{1}+(x+y) E_{2}+x z E_{3}\] 로 표현할 수 있다. 그리고 \[f(x, y, z)=\ln (x y)+y \sin z\] 이면 \[\begin{aligned} V[f] &=x^{2} E_{1}[f]+(x+y) E_{2}[f]+x z E_{3}[f] \\ &=x^{2} f_{x}+(x+y) f_{y}+x z f_{z} \\ &=x+(x+y)\left(\frac{1}{y}+\sin z\right)+x y z \cos z \end{aligned}\] (2) 벡터장 \( V=(y, x y, x \cos z) \)는 \[V=y E_{1}+x y E_{2}+x \cos z E_{3}\]로 표현할 수 있다. 그리고 \[f(x, y, z)=e^{x y}+\ln z\]이면 \[\begin{aligned} V[f] &=y E_{1}[f]+x y E_{2}[f]+x \cos z E_{3}[f] \\ &=y f_{x}+x y f_{y}+x \cos z f_{z}=y^{2} e^{x y}+x^{2} y e^{x y}+\frac{x \cos z}{z} \end{aligned}\]</p> <h1>4.4 미분형식</h1> <p>앞으로 별다른 말이 없으면 함수, 벡터장, 1차형식 둥은 미분가눙임을 가정한다. 그리고 \( x, y, z \)를 표현의 간편성을 위해 \( x_{1}, x_{2}, x_{3} \)로 사용하고 때에 따라서는 \( x, y, z \)를 그대로 사용할 것이다. 이제 1차형식을 고차형식으로 확장하여 보자. 이롤 위하여 1차형식 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \) 사이의 곱 \( \wedge \) (wedge 곱)을 결합법칙, 분배법칙, 반교환법칙이 성립하는 곱으로 정의한다. 즉 \[\begin{array}{l} \left(d x_{i} \wedge d x_{j}\right) \wedge d x_{k}=d x_{i} \wedge\left(d x_{j} \wedge d x_{k}\right)=d x_{i} \wedge d x_{j} \wedge d x_{k} \\ \left(d x_{i}+d x_{j}\right) \wedge d x_{k}=\left(d x_{i} \wedge d x_{k}\right)+\left(d x_{j} \wedge d x_{k}\right) \\ d x_{i} \wedge d x_{j}=-\left(d x_{j} \wedge d x_{i}\right) \end{array}\] 함수 \( f \) 와 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \) 사이의 wedge 곱은 교환법칙이 성립하도록 정의한다. 즉 \[\begin{array}{l} f \wedge d x_{i}=d x_{i} \wedge f=f d x_{i} \\ d x_{i} \wedge f d x_{j}=f d x_{i} \wedge d x_{j} \end{array}\] 이다. 따라서 \( f \)와 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \)사이의 wedge 곱은 함수와 1차형식의 곱으로 정의하였다. 앞으로 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \)사이의 wedge 곱에서는 wedge 기호 \( \wedge \)를 생략한다. 예를 들어 \[d x_{1} \wedge d x_{2} \wedge d x_{3}=d x_{1} d x_{2} d x_{3}\] 로 적는다.</p> <h2>정의 4.1</h2> <p>합수 \( f, f_{i}, s_{i j}: \mathrm{R}^{3} \rightarrow \mathrm{R} \) 일 때, \( \mathrm{R}^{3} \)상의 \( p \)차형식을 다옵과 같이 정의한다.</p> <p>(1) \( f \) 를 0차형식(0-form)이라고 한다.</p> <p>(2) \( f_{1} d x_{1}+f_{2} d x_{2}+f_{3} d x_{3} \) 를 1차형식(1-form)이라고 한다.</p> <p>(3) \( s_{12} d x_{1} d x_{2}+s_{13} d x_{1} d x_{3}+s_{23} d x_{2} d x_{3} \) 를 2차형식(2-form)이라고 한다.</p> <p>(4) \( f d x_{1} d x_{2} d x_{3} \) 를 3 차형식(3-form)이라고 한다.</p> <p>(5) \( p \) 차형식이 0 이라는 것은 계수함수가 모두 0 일 때를 말한다.</p> <p>(6) 이런 형식들의 합을 미분형식(differential form)이라고 한다.</p> <p>(7) 두 미분형식이 같다는 것은 대응되는 계수함수가 같을 때를 말한다.</p> <p>위의 정의에서 (2)는 4.3절에서 정의한 1차형식과 같다. 그리고 반교환법칙에 의해서 \( d x_{i} \wedge d x_{i}=0 \) 이고, 4개 이상의 \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \) 들의 wedge곱은 0이므로 \( \mathrm{R}^{3} \) 상의 4차 이상의 미분형식은 0이다. 1차형식이 \( \mathrm{R}^{3} \) 상의 각 점에 쌍대공간의 원소를 대응시키는 것을 확장하여 고차형식을 설명하는 것이 가능하지만 여기서는 다루지 않는다.</p> <p>\( p \)차형식의 예를 들면 0 차형식 : \( x y+z^{2} \) 1 차형식 : \( y d x+x z d y-z^{2} d z \) 2차형식 : \( z d x d y+x^{2} y d x d z+y d y d z \) 3 차형식 : \( x z d x d y d z \) 등이 있다.</p> <p>두 미분형식의 합은 대응되는 계수함수의 합으로 정의한다. 예를 들어 \[\begin{array}{l} \phi=\sum_{i=1}^{3} f_{i} d x_{i}, \psi=\sum_{i=1}^{3} g_{i} d x_{i} \Rightarrow \phi+\psi=\sum_{i=1}^{3}\left(f_{i}+g_{i}\right) d x_{i} \\ \omega_{1}=\sum_{i<j} s_{i j} d x_{i} d x_{j}, \omega_{2}=\sum_{i<j} t_{i j} d x_{i} d x_{j} \Rightarrow \omega_{1}+\omega_{2}=\sum_{i<j}\left(s_{i j}+t_{i j}\right) d x_{i} d x_{j} \end{array}\] 등으로 정의한다. \( d x_{1}, d x_{2}, d x_{3} \)의 wedge 곱을 자연스럽게 확장하면 \( p \)차형식과 \( q \)차형식의 wedge 곱은 \( (p+q) \) 차형식이 된다. 예를 들면 1차형식과 2차형식의 곱 \[(x d y+y d x) \wedge z d x d z=x z d y d x d z+y z d x d x d z=-x z d x d y d z\] 은 3차형식이다.</p>	자연
m831-표본추출방법론	<p>\( \| \bar { y } - \mu\| \) 를 \( d \) 로 표시하면 다음과 같은 관계식이 얻어진다.</p> <p>즉 정도 \( = \) 신뢰계수 \( \times \) 표준오차이다. 이 식은 앞으로 자주 쓰인다. 일반적으로 표본조사에서는 표본을 크게 하면 얼마든지 표본오차를 줄이는 것이 가능하다. 극단적인 예로 모집단 전체를 표본으로 추출한다면 표본오차는 0이 된다. 그러나 주어진 예산과 비용 때문에 표본조사 전에 미리 주어진 예산의 범위 내에서 조사의 정도를 얼마로 할 것인가를 결정하게 된다.</p> <h1>2.6 표본의 크기</h1> <p>앞 절에서 정도와 신뢰계수 그리고 표준오차와의 관계는 다음과 같다고 하였다.</p> <p>\( d=Z \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \)</p> <p>여기서 \( d=\| \bar { y } - \mu\| \) 이므로 \( n \) 이 클수록 \( d \) 가 적게, 즉 모수와 통계량 간에 차이가 적어짐을 알 수 있다. 따라서 \( d \) 와 \( Z \) 그리고 \( \sigma \) 가 주어졌을 경우 \( n \) 을 구하므로 표본의 크기를 구할 수 있다. 따라서 \( n \) 에 관하여 전개하면 다음과 같다.</p> <p>\( n= \left ( \frac { Z \sigma } { d } \right ) ^ { 2 } \)</p> <p>예제 \( 2.6 \) 5,000 명의 대학생이 있다. 표본을 뽑아서 평균 체중을 조사하려고 한다. 정도를 \( 5 \mathrm { ~kg } \) 이내로 하고 신뢰도를 \( 95 \% \) 가 되게 하려면 얼마나 큰 표본이 필요한가? 지난번 조사에 의하면 대학생의 몸무게의 표준편차는 \( \sigma=21 \mathrm { ~kg } \) 이었다.</p> <p>\( d=5, Z=1.96, \sigma=21 \) 이므로 \( n= \left ( \frac { 1.96 \times 21 } { 5 } \right ) ^ { 2 } =67.8 \fallingdotseq 68 \)</p> <p>따라서 68 명 이상을 뽑아야 한다.</p> <p>\( y \) 에 대한 표본의 변이계수 \( =C_ { y } = \frac { s } {\bar { y } } \)</p> <p>이는 주로 측정단위가 다르거나, 두 집단 간에 평균의 차이가 큰 경우 두 집단 간의 평균을 중심으로 퍼짐 정도를 비교할 때 사용된다.</p> <p>예제 2.3 소와 돼지의 두 집단이 있다 하자. 소의 평균은 \( 230 \mathrm { ~kg } \) 이고 표준편차가 \( 78 \mathrm { ~kg } \) 이다. 또 돼지의 평균은 \( 147 \mathrm { ~kg } \) 이고 표준편차가 \( 34 \mathrm { ~kg } \) 이라 하자. 이 두 집단 중 어디가 더 평균을 중심으로 흘어져 있나?</p> <p>풀이<ul> <li>소 무게의 변이계수: \( C_ { ( \text { 소 } ) } = \frac { s } {\bar { y } } = \frac { 78 } { 230 } =0.34 \)</li> <li>돼지 무게의 변이계수 : \( C_ {\text { (돼지) } } = \frac { s } {\bar { y } } = \frac { 34 } { 147 } =0.23 \)</li></ul>따라서 소집단 보다 돼지집단이 더 평균에 가까이 몰려 있음을 알 수 있다.</p> <p>변이계수의 일반적인 정의를 해보자. \( \hat {\theta } \) 를 통계량이라 하면 다음과 같이 변이계수를 정의할 수 있을 것이다.</p> <p>\( C_ {\theta } = \frac {\sqrt { V( \hat {\theta } ) } } { E( \hat {\theta } ) } = \frac {\sigma_ {\hat {\theta } } } {\mu_ {\hat {\theta } } } \)</p> <p>평균의 경우 \( ( \hat {\theta } = \bar { y } ) \) \[C_ {\bar { y } } = \frac {\sqrt { V( } \bar { y } ) } { E( \bar { y } ) } = \frac {\sigma_ {\bar { y } } } {\mu_ {\bar { y } } ^ { - } } = \frac {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } {\mu } = \frac {\sigma } {\mu } \frac { 1 } {\sqrt { n } } = \frac { C } {\sqrt { n } } \]</p> <p>비복원의 경우 \[ \begin {array} { l } \sigma_ { y } ^ { 2 } = \frac { N-n } { N-1 } \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } = \frac { 8-2 } { 8-1 } \frac { 5.25 } { 2 } = \frac { 31.5 } { 14 } =2.25 \\ \sigma_ {\bar { y } } = \sqrt { 2.25 } =1.5 \\z \sigma_ {\bar { y } } =1.64 \times 1.5=2.46 \end {array} \]</p> <p>위의 표에서 계산한 신뢰구간들 중 모평균 4.5를 걸치지 않는 경우가 모두 4 개( * 표시한 것들)로 진체의 \( \frac { 4 } { 28 } =0.143 \) 로 약 \( 14 \% \) 이다.</p> <h2>2.3.2 모집단의 표준편차가 알려져 있지 않은 경우</h2> <p>모집단의 모분산과 모표준편차가 알려져 있지 않다면 표본을 통해 추정값을 이용해야하는데 이 과정에서 다수의 오류를 범할 가능성이 있으므로 이를 이용해 설정한 신뢰구간의 오차한계는 모집단의 표준편차가 알려져 있는 경우보다 넓어야 한다. 신뢰구간의 오차한계는 추정과정에서 정규분포가 아넌 \( t \)-분포를 사용하므로 증가가 된다. 같은 신뢰수준에서는 \( t \)-값은 \( z \)-값보다 키지게 되는 데 \( t \) 분포곡선은 \( z \) 분포곡선보다 끝부분이 통통하게 된다.</p> <p>평균이 \( \mu \) 이고 정규분포인 모집단에서 추출한 크기가 \( n \) 인 표본의 평균을 \( \bar { y } \) 라 하고 표본표준편차를 \( s \) 라 하면 \( t= \frac {\bar { y } - \mu } {\frac { s } {\sqrt { n } } } \)은 자유도 \( (n-1) \) 인 \( t \) 분포를 따른다.</p> <h1>2.4 변이계수</h1> <p>변이계수(Coefficient of Variation)는 평균 \( ( \mu) \) 에 대한 표본편차 \( ( \sigma) \) 의 비율로 계산되는 값이다. 즉 \( C= \frac {\sigma } {\mu } \)</p> <p>변이계수는 일반적으로 백분율로 나타낸다. 또 변이계수의 제곱인 \( C ^ { 2 } = \frac {\sigma ^ { 2 } } {\mu ^ { 2 } } \) 를 상대분산(relative variance)이라 부른다. 또 위의 변이계수를 모집단의 변이계수라 한다면 통계량의 변이계수도 있다. 변이계수의 값이 작을 때 추정량의 정도가 높다고 하며 그러한 값들은 믿을 만한 값으로 받아들여진다.</p> <p>\( P \{ \|y- \mu\| \geq \epsilon \} \leq \frac {\sigma ^ { 2 } } {\epsilon ^ { 2 } } \)</p> <p>표본분산이나 표본표준편차의 공식에서 분모의 \( n \) 대신에 \( n-1 \) 을 사용한다. 이는 \( n-1 \)을 분모로 하는 표본평균 \( s ^ { 2 } \) 이 복원인 경우 모평균 \( \sigma ^ { 2 } \) 에 대해 불편추정량 \( \left (E \left (s ^ { 2 } \right )= \sigma ^ { 2 } \right ) \) 이면서 일치성이 있다. 그러나 분모가 \( n \) 인 경우에는 일치성은 있으나 불편추정량은 되지 못한다. 즉 \( n \) 이든 \( n-1 \) 이든 표본이 큰 경우에는 같다고 보아 일치성은 가지나 불편성은 달라질 수 있다.</p> <p>여기서 \( n-1 \) 을 자유도(degree of freedom)라 하는데 이는 다음과 같은 예에서 개념을 이해할 수 있다. 5 개의 숫자를 더해서 10 을 얻었다 하자. 또 이 경우에 5 개의 숫자 중 4개의 숫자 즉, 2,3,1,1을 알고 있다고 하면 당연히 나머지 한 숫자는 3 이다. 이 말은 어떤 합계의 값을 알고 있을 경우 모든 숫자를 다 알지 못해도 나머지 하나는 자동적으로 결정이 된다. 따라서 이 경우는 마음대로 결정할 수 있는 값은 4 개가 된다. 따라서 자유도는 4가 된다.</p> <p>일반적으로 불편추정량은 일치성이 있다. 그러나 일치성이 있다고 반드시 불편성이 있는 것은 아니다. 간단히 정리하면 표본의 크기가 커지면 추정량이 추정하고자 하는 모수의 참값으로 수렴하는 성질을 일치성이라 한다.</p> <h2>2.1.3 효율성</h2> <p>평균이 가지고 있는 세 번째 성질인 효율성은 모집단 모수의 추정치로서 표본통계량의 정도(precision)를 나타내는 것이다. 정규분포의 경우의 산술평균은 중심을 나타내는 어떠한 척도보다 ‘더 효율적이다’라고 말할 수 있다. 즉 어떠한 크기의 표본을 갖던 간에 산술평균은 다른 중심을 나타내는 척도보다 더 모평균에 가깝다고 할 수 있다. 그러므로 다른 중심을 나타내는 척도보다 산술평균이 모평균을 나타내는데 더 ‘좋다’라고 할 수 있다. 그러면 여기서 더 ‘좋다’라는 의미는 무얼 갖고 판단하나? 앞에서 언급했듯이 효율성은 모집단 모수의 추정치로서 표본통계량의 정도를 나타내는 것이다. 이 정도를 나타내는데는 분산 또는 표준오차가 필요하다. 즉 '적은 분산을 가질수록 정도가 높으므로 더 좋다'라고 이야기할 수 있다. 즉 다음과 같은 경우에 더 적은 분산을 가지는 \( \widehat {\theta_ { 1 } } \) 을 더 효율적인 추정량이라 한다.</p> <p>총합의 경우 \( ( \hat {\theta } = \hat {\tau } =N \bar { y } ) \) \[C_ {\hat {\tau } } = \frac {\sigma_ {\hat {\tau } } } {\hat {\tau } } \]</p> <p>여기서 \[ \begin {array} { c } \sigma_ {\hat {\tau } } = \sqrt { V( \hat {\tau } ) } = \sqrt { V(N \bar { y } ) } = \sqrt { N ^ { 2 } V( \bar { y } ) } =N \sigma_ {\bar { y } } , \tau=N \mu \\C_ {\hat {\tau } } = \frac { N \sigma_ {\hat {\tau } } } { N \mu } = \frac {\sigma_ {\bar { y } } } {\mu } = \frac {\sigma } {\mu } \frac { 1 } {\sqrt { n } } = \frac { C } {\sqrt { n } } \end {array} \]</p> <p>따라서 \[C_ {\bar { y } } =C_ {\hat {\tau } } = \frac { C } {\sqrt { n } } \]이다. 위의 식을 \( n \) 에 관하여 정리하면 \[n= \left ( \frac { C } { C_ {\bar { y } } } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { C } { C_ {\hat {\tau } } } \right ) ^ { 2 } \]이다.</p> <p>예제 2.5 \( y \) 의 표준편차 \( (s) \) 가 \( \bar { y } \) 의 \( 44.5 \% \) 와 같다. 또 \( \bar { y } \) 의 표준편차가 \( \bar { y } \) 의 \( 5 \% \) 와 같게 하려면 필 요한 표본의 크기는 얼마인가?</p> <p>풀이 \( C=0.445 \) 이고 \( C_ { y } =0.05 \) 이므로 \( n= \left ( \frac { C_ { y } } { C_ {\bar { y } } } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 0.445 } { 0.05 } \right ) ^ { 2 } \fallingdotseq 79 \)이다.</p> <h1>2.5 표본오차와 정도</h1> <p>표본오차(sampling error)는 표본에서 얻어진 결과, 통계량 \( ( \hat {\theta } ) \) 과 모수 \( ( \theta) \) 의 차이를 말한다. 표본조사는 모집단의 일부분에 대한 조사이므로 표본추출에서 발생하는 우연적 오차이다. 즉, \(표본오차=모집단의 참값(모수)-모수 \)에 대한 추정치(통계량)이다.</p> <p>그러나 여기서 모집단의 참값을 알 수 없다. 그렇다면 모수의 값을 알 수 없다면 표본조사의 결과에 대한 신뢰성(정도)은 어떻게 평가할까? 평가방법으로는 통계량의 표본오차이다. 뒤에 자세히 언급할 것이다.</p> <p>또 정도(precision)는 표본의 크기와 신뢰도가 주어졌을 때 반복 측정하는 경우 추정량과 모수 사이의 최대변동이다. 즉 \( \| \hat {\theta } - \theta\| \) 의 변동량이 최대일 경우 추정량의 정도(또는 추정오차의 한계)라 한다. 앞의 \( 95 \% \) 신뢰구간을 다음과 같이 정의하였다.</p> <p>\( P \left (-1.96< \frac {\bar { y } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } }<1.96 \right )=0.95 \)</p> <p>이를 다시 쓰면 \( P \left ( \bar { y } -1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } }< \mu< \bar { y } + 1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right )=0.95 \), 이를 또 다시 쓰면 \( P \left (\| \bar { y } - \mu\|<1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right )=0.95 \)이다.</p> <p>따라서 \( \| \bar { y } - \mu\| \) 가 취할 수 있는 최대값은 \( \| \bar { y } - \mu\|=1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \) 이 된다. 다시 정의하자면 \( \bar { y } - \mu \) 는 주어진 표본에 대한 표본오차가 되고 \( \| \bar { y } - \mu\| \) 는 표본의 크기 \( n \) 과 신뢰도가 주어졌을 때 반복 추출할 경우의 추정량과 모수 사이의 최대 변동이다. 이 최대 변이를 추정량의 정도, 또는 최대허용오차라 한다. 정도보다는 최대허용오차가 더 많이 쓰인다.</p> <p>따라서 주의해야 할 것은 표본오차의 개념은 주어진 표본에 대한 것이고 정도의 개념은 신뢰구간에 관계되고 반복 추출에 의해 수행될 때 정의되는 것이다. 따라서 추정량의 정도를 결정하기 위해서는 모수는 알 필요가 없으나 분산은 알아야 한다. 이 분산은 표본으로부터 추정되는 것이다. 따라서 다음과 같은 식에서 \( \| \bar { y } - \mu\|=1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \)</p> <p>뒤에 자세히 언급하겠지만 표본평균의 분산 \( \left ( \sigma_ {\bar { y } } ^ { 2 } \right ) \) 이 있다. 복원추출인 경우에 평균의 분산은 모분산에 표본크기를 나눈 것과 같다.</p> <p>\( \sigma_ {\frac { 2 } { y } } ^ { 2 } = \frac {\sigma_ { y } ^ { 2 } } { n } \)</p> <p>그러므로, 표본이 클 경우에는 평균의 분산은 표본크기만큼 줄어든다.</p> <h2>2.2.1 정규분모를 하는 모집단에서의 표본분모</h2> <p>평균들의 평균, 즉 기대치를 보았고 또 평균의 분산에 대해 알아보았다. 이제는 모집단이 정규분포를 하는 경우에 표본의 평균, \( \bar { y } \) 가 어떤 분포를 따르는지를 알아볼 필요가 있다. \( y \) 의 모평균이 \( \mu_ { y } \) 이고 모표준편차가 \( \sigma_ { y } \) 인 경우 \( \bar { y } \) 는 평균의 표본분포는 표본의 크기와 관계없이 \( \mu_ {\bar { y } } = \mu_ { y } \) 인 정규분포를 한다. 그러나 평균의 표본오차는 표본이 클수록 감소하고 이로 인해 표본의 크기가 클수록 표본평균이 모평균에 가깝다는 것을 알 수 있다. [그림 2.7]은 크기가 \( 5,15,30 \) 개인 표본을 100번 반복한 결과이다. [그림 2.7]을 통해 알 수 있듯이 평균의 표본분포가 정규근사를 한다고 볼 수 있으며 특히 표본의 크기가 클수록 표본평균의 값들이 모평균을 중심으로 모이는 것을 알 수 있다.</p> <p>[예제 2.1]을 통하여 평균의 표본분포의 개념을 더 자세히 알아보자. [예제 2.1]에서 음료수 병 25개를 임의로 뽑았다고 가정하자. \( \left ( \mu_ { y } =2.0, \sigma_ { y } =0.05 \right ) \) 이 음료수 병 25 개에서의 음료수의 표본평균이 1.99와 2.0 사이에 올 확률이 얼마인가를 구하여 보자.</p> <p>[예제 2.1]에서 언급했듯이 모집단이 모평균과 모집단의 표준편차가 각각 \( \mu_ { y } =2.0 \), \( \sigma_ { y } =0.05 \) 임을 알고 있으므로 값 \( y \) 가 있을 범위를 알기 위하여 일단 표준화하기로 한다.</p> <p>\( Z= \frac { y- \mu_ { y } } {\sigma_ { y } } \)</p> <p>이를 체비셰프 부등식(Chebyshev 부등식)으로 증명할 수가 있다. 모평균이 \( \mu \) 이고 모표준편차가 \( \sigma \) 인 임의의 모집단으로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본 \( y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \) 에 대하여 표본평균 \( \bar { y } \) 에 대하여 \( E( \bar { y } )= \mu, S E( \bar { y } )= \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \) 이므로 Chebyshev 부등식에 의해 다음 식이 성립한다.</p> <p>\( P \{ \| \bar { y } - \mu\| \geq \epsilon \} \leq \frac {\operatorname { Var } ( \bar { y } ) } {\epsilon ^ { 2 } } = \frac {\sigma ^ { 2 } } { n \epsilon ^ { 2 } } \)</p> <p>또는 \( P \{ \| \bar { y } - \mu\|< \epsilon \} \leq 1- \frac {\operatorname { Var } ( \bar { y } ) } {\epsilon ^ { 2 } } =1- \frac {\sigma ^ { 2 } } { n \epsilon ^ { 2 } } \)이다. 따라서 표본이 크면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } P \{ \| \bar { y } - \mu\| \geq \epsilon \} = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \{\frac {\sigma ^ { 2 } } { n \epsilon ^ { 2 } } \right \} =0 \)</p> <p>또 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } P \{ \| \bar { y } - \mu\|< \epsilon \} \leq \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \{ 1- \frac {\sigma ^ { 2 } } {\epsilon ^ { 2 } } \right \} =1 \)이다.</p> <h3>체비셰프 부등식(Chebyshev 부등식)</h3> <p>확률변수 \( y \) 의 평균을 \( \mu \), 분산을 \( \sigma ^ { 2 } \) 이라 하면, 임의의 양수 \( \epsilon \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>이러한 정리가 가능한 이유는 표본의 특성으로부터 표본의 크기가 점점 커지면서 표본 평균들은 점차 표본분포의 평균값 \( (E( \bar { y } )) \) 근처에 밀집된다는 것을 알 수 있다. 물론 때에 따라 표본분포의 평균값으로부터 멀어질 수도 있다. 그러나 대부분은 표본분포의 평균값에 위치하게 되므로 막대그림을 그리면 종모양을 하게 된다.</p> <p>그러면 여기서 표본이 충분히 크다는 것은 표본의 크기가 얼마란 말인가? 많은 통계학자들이 이 문제를 들고 나온다. 일반적으로 대부분의 통계학자들은 최소한 표본의 크기가 30 이면 평균의 표본분포가 정규근사를 한다고 말한다. 그러나 만일 모집단의 특성을 조금이라도 알고 있다면(예를 들어 대칭분포를 하는 경우와 같은) 비록 적은 크기의 표본이라도 중심극한정리를 적용할 수 있다.</p> <h1>\( 2.3 \) 구간추정</h1> <h2>2.3.1 모집단의 분산이 알려져 있는 경우</h2> <p>평균이 \( \mu \) 이고 분산이 \( \sigma ^ { 2 } \) 인 모집단으로부터 크기가 \( n \) 인 임의 표본을 뽑아서 모평균 \( \mu \)를 구간추정 해보자. 중심극한정리에 의해 \( \bar { y } \) 는 다음과 같은 분포를 따른다.</p> <p>\( Z= \frac {\bar { y } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } \sim N(0,1) \)</p> <p>따라서 정규분포표로 부터 \( 95 \% \) 의 확률은 \( P \left (-1.96< \frac {\bar { y } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } }<1.96 \right )=0.95 \)이다. 다시 쓰면 \( P \left ( \bar { y } -1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } }< \mu< \bar { y } + 1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right )=0.95 \)이다. 이는 표본을 추출하는 여러 개의 \( \bar { y } \) 가 존재한다고 할 때 100 개중 95 개가 \( \mu \) 를 포함 한다는 이야기이다. 윗 식에서 \( \bar { y } \pm 1.96 \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \) 을 신뢰구간(confidence interval)이라 하고 \( 0.95 \times 100 \% \) 를 신뢰수준(confidence level)이라 한다. 일반적으로 신뢰구간을 다음과 같이 표현한다.</p> <p>이해를 돕기 위해 5 명의 몸무게가 우리는 모집단이라 가정하자. 이에 대한 모평균과 모분산은 다음과 같다.</p> <ul> <li>\( \mu_ { y } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { 5 } y_ { i } } { 5 } = \frac { (78 + 63 + 72 + 73 + 69) } { 5 } = \frac { 355 } { 5 } =71 \)</li> <li>\( \sigma_ { y } ^ { 2 } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { 5 } \left (y_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } { N } = \frac { (78-71) ^ { 2 } + \cdots + (69-71) ^ { 2 } } { 5 } =24.4 \)</li></ul> <p>불편성의 성질을 알아보기 위해서 이 5 명(모집단)에서 비복원으로 \( n=2 \) 명씩 가능한 모든 경우를 추출해 보기로 하자. 5 명에서 2 명씩 추출한다면 10 가지의 경우의 수가 나타난다. \( \left ( \frac { N ! } { n !(N-n) ! } = \frac { 5 ! } { 2 !(5-2) ! } =10 \right ) \). 이 10 가지의 모든 가능한 평균들의 평균은 다음과 같다.</p> <p>\( \mu_ { y } =E( \bar { y } )= \frac { 1 } { 10 } (70.5 + 67.5 + \cdots + 66.0)=71.0 \)</p> <p>이 모든 10 가지 경우의 표본평균의 평균이 71 이고 이것은 모평균의 값과 같다. 이를 우리는 표본평균이 모평균에 대해 불편성을 갖고 있다고 한다. [그림 2.1]는 두 개의 표본을 뽑을 경우의 분포이다.</p> <p>또 다시 5 명에서 비복원으로 이번에는 \( n=3 \) 명씩 가능한 모든 경우를 추출해 보도록하자. 5 명에서 3 명씩을 추출한다면 이 역시 10개의 경우의 수가 나타난다.</p> <p>3 명씩 추출한 경우도 10개의 표본평균들의 평균은 71로서 모평균과 동일하였다. 따라서 표본 산술평균 역시 불편성을 갖고 있다. 이 경우 표본을 2개씩 뽑았을 경우와 비교해보면 2 명씩 뽑았을 때보다 표본 평균의 최소, 최대의 폭이 줄어들었다는 것이다. 이는 2명씩 표본을 뽑을 때보다 3명씩 표본을 뽑을 때가 표본들의 평균이 좀 더 모평균에 가까워진다는 의미다.</p> <p>그 다음 정규분포표를 이용, 적당한 값을 찾는다. 단일값 \( y \) 에 대한 분포는 평균 \( \bar { y } \) 의 분포와 다르기 때문에 위에서 언급한 \( \bar { y } \) 의 평균과 표준오차에 대해 다음과 같이 표준화를 할 수 있다.</p> <p>\( Z= \frac {\bar { y } - \mu_ { y } } {\sigma_ {\bar { y } } } = \frac {\bar { y } - \mu_ { y } } {\frac {\sigma_ { y } } {\sqrt { n } } } \)</p> <p>따라서, 1.99와 2.0 사이에 확륙은 다음과 같이 계산된다.</p> <p>\[Z= \frac {\bar { y } - \mu_ {\bar { y } } } {\sigma_ {\bar { y } } } = \frac {\bar { y } - \mu_ {\bar { y } } ^ { - } } {\underline {\sigma_ { y } } } = \frac { 1.99-2.0 } {\underline { 0.05 } } = \frac { -0.01 } { 0.01 } =-1.0 \]</p> <p>평균이 \( \mu_ { y } =2.0 \) 이고 표준편차가 \( \sigma_ { y } =0.05 \) 인 경우 1.99는 표준화를 하였을 경우 -1 과 동일한 값을 갖는다. 따라서 1.99와 2.0 사이의 값은 표준화된 -1 과 0 사이의 값과 그러면 표본을 하나 추출했을 경우에 그 확률이 얼마인지를 알고 싶을 때가 있다. 즉 단일 표본을 추출했을 때 1.99에서 2.00 사이의 확률은 얼마인가? 물론 단일표본을 추출했을 경우의 1.99와 2.0 사이에 있다는 의미는 앞선 평균의 의미와 다르다는 것을 알아야 한다. 단일 추출을 했을 때의 확률은 다음과 같이 계산할 수 있다.</p> <p>\( Z= \frac { y- \mu_ { y } } {\sigma_ { y } } = \frac { 1.99-2.0 } { 0.05 } = \frac { -0.1 } { 0.05 } =-0.2 \)이다.</p> <p>[부록 2]에서 표준정규분포의 평균에서 \( z=-0.2 \) 사이의 확률은 0.0793이다. 그러므로 단일표본이 1.99와 2.0 사이에 있게 될 확률은 \( 7.93 \% \) 가 된다.</p> <p>이 결과를 비교해보면 단일의 표본값보다 표본의 크기가 큰 경우의 표본평균이 1.99와 2.0 사이에 있게 될 확률이 높은 것을 알 수 있다. 이 이유는 표본 개개의 값들이 적던 크던 간에 서로 다른 값의 25 개로 구성되었기 때문이다. 이는 평균화되는 과정에서 어떤 극단적인 값이 다른 값에 의해 희석된다는 의미를 말한다. 특히 표본이 크면 클수록 더 극단값을 희석시킨다. 그러므로 25 개의 표본의 평균이 모집단의 평균과 가까울 가능성이 단일 표본을 뽑는 것보다 높다는 것을 알 수 있다.</p> <p>표본의 크기가 다를 경우의 결과는 또 어떻게 달라질수 있을까? 표본의 크기가 25 대신 100 을 뽑아보자. 다음과 같은 계산이 가능하다.</p> <p>\( Z= \frac {\bar { y } - \mu_ {\bar { y } } } {\sigma_ {\bar { y } } } = \frac {\bar { y } - \mu_ {\bar { y } } } {\frac {\sigma_ { y } } {\sqrt { n } } } = \frac { 1.99-2.0 } {\frac { 0.05 } {\sqrt { 100 } } } =- \frac { 0.1 } { 0.005 } =-2.0 \)</p> <p>[부록 2]에서부터 표준 정규분포의 경우 평균에서 -2.0 까지의 정규곡선 사이의 영역은 0.4772이다. 그러므로 표본의 크기가 100 인 경우의 표본평균이 1.99에서 2.0 사이에 포함될 확률은 \( 47.72 \% \) 이다. 이는 단일표본을 뽑는 경우의 확률 \( 7.93 \% \) 와 25 개의 표본을 뽑았을 경우의 확률 \( 34.22 \% \) 와 비교가 된다.</p> <h2>2.2.2 모집단이 정규분포를 하지 않는 경우의 평균의 표본분포</h2> <p>앞에서 모집단이 정규분포를 한다는 가정 하에 평균의 표본분포를 알아보았다. 그러나 대부분의 경우는 모집단의 분포가 모르는 경우이다. 또 어떤 분포는 누가 보더라도 정규 분포가 아닌 모집단이 있을 수 있다. 따라서 모집단이 정규분포를 하지 않는 경우의 평균의 표본분포를 알아보자. 이 문제를 해결하기 위해서 다음에 언급한 중요한 정리를 알아야 한다.</p> <h3>중심극한정리(central limit theorem)</h3> <p>평균이 \( \mu \) 표준편차가 \( \sigma \) 인 임의모집단으로부터 추출된 \( n \) 개의 표본들의 평균을 \( \bar { y } \) 라할 때 표본이 충분히 큰 경우에는 표본평균 \( \bar { y } \) 분포는 평균 \( \mu \) 표준편차가 \( \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \) 인 정규분포에 접근한다. 즉, \( \bar { y } \sim N \left ( \mu, \frac {\sigma } { n } \right ) \). 이를 표준화하면 \( Z= \frac {\bar { y } - \mu } {\sigma / \sqrt { n } } \) 은 평균이 0이고 분산이 1 인 정규분포를 한다.</p> <p>마지막으로 이번에는 5명에서 4명씩 비복원으로 추출하도록 하자. 이는 5가지 경우가 있다.</p> <p>이 경우도 평균들의 평균은 모평균과 같으며 2명씩, 3명씩 뽑았을 경우보다도 더 표본들의 평균이 모평균에 더 가깝다는 것을 알 수 있다.</p> <p>위의 예를 통해 알 수 있는 것은 표본이 많이 뽑히면 뽑힐수록 표본평균이 모평균에 가까운 분포를 한다는 것을 알 수 있다. 그러나 대부분의 경우에 표본평균이 모평균과 차이가 남을 볼 수 있다. 이 경우를 우리는 표본오차(sampling error)라 부른다.</p> <p>정리하면 추정량이 추정하고자 하는 모수의 참값을 중심으로 분포하는 성질을 말하며, \( \hat {\theta } \) 은 \( \theta \) 에 대한 불편추정량이라 하며, 다음과 같이 표현한다.</p> <p>\( E( \hat {\theta } )= \theta \)</p> <p>여기서 \( \theta \) 는 모집단의 특성을 나타내는 모수이며 \( \hat {\theta } \) 은 표본으로부터 얻어진 특성치, 즉 모집단의 추정량이다. 불편추정량이 아니면 편의(偏倚: biased) 추정량이라 한다.</p> <h2>2.1.2 일치성</h2> <p>두 번째 성질은 일치성으로 이는 표본의 크기가 클수록 모수와 추정량의 차이가 0에 가까운 경우를 말한다. 일반적인 기호를 사용하면 다음과 같다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } P(\| \hat {\theta } - \theta\|< \epsilon)=1 \)</p> <p>여기서 \( \theta \) 는 모집단의 특성을 나타내는 모수이며 \( \hat {\theta } \) 은 표본으로부터 얻어진 특성치, 즉 모집단의 추정량이다. 또한 \( \epsilon \) 은 임의의 적은 값을 말한다. 좀 더 구체적으로 모평균, 모총계, 모비율로 수식을 나타내면 다음과 같다.</p> <p>모평균의 경위 \( ( \hat {\mu } \) 은 \( \mu \) 의 추정량: 일반적으로 \( \bar { y } ) \)<ul> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } P(\| \hat {\mu } - \mu\|< \epsilon)=1 \)</li></ul></p> <p>모총계의 경우 \( ( \hat {\tau } \) 은 \( \tau \) 의 추정량: 일반적으로 \( N \bar { y } ) \)<ul> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } P(\| \hat {\tau } - \tau\|< \epsilon)=1 \)</li></ul></p> <p>모비율의 경위 \( ( \hat { p } \) 은 \( p \) 의 추정량: \( \hat { p } \) 은 특성치의 표본 개수/표본의 크기 \( ) \)<ul> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } P(\| \hat { p } -p\|< \epsilon)=1 \)</li></ul></p> <p>\( P \left ( \bar { y } -Z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } }< \mu< \bar { y } -Z_ {\alpha / 2 } \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \right )=1- \alpha \)</p> <p>여기서 \( \bar { y } \) 는 표본평균 \( (1- \alpha) \times 100 \% \) 는 신뢰수준 \( Z_ {\alpha / 2 } \) 는 정규분포표에서 얻어지는 \( 1- \alpha \) 에 대응되는 신뢰계수, \( \frac {\sigma } {\sqrt { n } } \) 은 \( \bar { y } \) 의 표준오차이다.</p> <p>예제 2.2 어느 소지역에 가구의 수가 \( N=8 \) 인 모집단을 생각해보자. 이 지역에 각 가구별 세대 수는 다음과 같다고 하자.</p> <p>\( y_ { 1 } =8, y_ { 2 } =5, y_ { 3 } =6, y_ { 4 } =7, y_ { 5 } =3, y_ { 6 } =4, y_ { 7 } =2, y_ { 8 } =1 \)</p> <ol type= start=1><li>이 모집단에서 \( \mu, \sigma ^ { 2 } \) 을 구하라.</li> <li>이 모집단으로부터 크기가 \( n=2 \) 인 임의표본을 뽑아서 표본평균 \( \bar { y } \) 를 구하고 \( Z=1.64 \) (신뢰수준이 \( 90 \% \) 일 때) 각 표본마다 신뢰구간을 구하라.(비복원인 경우)</li></ol> <p>풀이 \[ \begin {array} { l } \mu= \frac { (8 + 5 + 6 + 7 + 3 + 4 + 2 + 1) } { 8 } =4.5 \\ \sigma ^ { 2 } = \frac { (8-4.5) ^ { 2 } + (5-4.5) ^ { 2 } + \cdots + (2-4.5) ^ { 2 } + (1-4.5) ^ { 2 } } { 8 } =5.25 \end {array} \]</p> <p>\( \sigma= \sqrt { 5.25 } =2.29 \)</p> <p>복원인 경우 \[ \begin {array} { l } \\ \sigma_ {\bar { y } } ^ { 2 } = \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } = \frac { 5.25 } { 2 } =2.625 \\ \sigma_ {\bar { y } } = \sqrt { 2.625 } =1.62 \end {array} \]</p>	자연
m812-논리와 사고	<h2>3) 명확한 정의</h2> <p>명확한 정의는 피정의항이 이미 확립된 의미를 가지고 있지만 적용되는 영역에 따라 보다 엄밀성을 증대시키기 위해 개량적 정의가 요구되는 경우에 사용된다. 그래서 명확한 정의는 낱말의 모호성을 감소시킨다. 모호성이 감소하면 그 낱말을 특수한 상황에 적용할 수 있게 된다. 여기서 모호하다는 말은 너무 적은 의미를 가진 낱말을 의미한다.</p> <p>예를 들어, 「멋지다」라고 했을 때 그 말은 거의 아무 것도 의미하는 것이 없을 만큼 아무런 정보를 주지 않는다. 이 말은 그저 막연하게 그 대상을 승인한다거나 찬성한다는 똣을 그렇게 표현할 뿐이다. “식사는 아주 멋졌지만 나는 별로 좋아하지 않아!"라고 어떤 사람이 말했다면 일반적으로 식사 자체는 만족할 만큼 준비가 잘되어 훌륭하다고 생각하지만, 그런 식사에 대해 개인적으로는 별로 좋아하지 않음을 표현한 말이라 하겠다. 만약에 어떤 사람이 "오늘은 멋진 날이다!"라고 말했다면 다른 사람에게도 멋진 날일 수도 있겠지만, 꼭 그렇게 멋진 날이 아닐 수도 있다. 비가 오는 날이 농부에겐 농사짓기에 멋진 날이 되겠지만, 소풍 계획이 잡힌 아이들에게는 결코 멋진 날이 될 수 없다.</p> <p>예제 「중산층」을 명확한 정의에 의해 정의하시오.</p> <p>풀이 경제협력개발기구(OECD)에 따르면 “중산층은 소득이 중위소득의 \(50\sim150\%\)인 계층을 말한다." 여기서 중위소득이란 전체 가구를 소득 순으로 나열했을 때 가운데 소득을 말한다.</p> <p>「중산층」의 명확한 정의는 정의하는 사람마다 모두 다를 수 있다. 그러나 만일 정부에서 중산층 미만의 사람들에게 복지차원으로 한 달에 쌀 한 가마씩을 보조한다면 「중산층」의 의미를 명확히 정의할 필요가 있을 것이다.</p> <p>예제 「1 마력」의 사전적 정의와 명확한 정의를 말해보시오.</p> <p>풀이 「1 마력」의 사전적 정의는 “통상 말 한 마리가 낼 수 있는 힘"이다. 그러나 자동차의 파워를 명시할 때는 그 보다 더 정확한 기준이 필요하게 된다. 그래서 「1 마력」의 명확한 정의는 "550파운드(약 \( 250 \mathrm{kg}) \)의 무게를 1분에 1피트 들어 올리는 힘"이다.</p> <h2>4) 설득적 정의</h2> <p>설득적 정의는 피정의항에 가치가 포함된 의미를 낱말에 부여하는 것이다. 여기서 가치가 포함된 의미란 호의적 혹은 비호의적 태도를 말한다. 정의항에 가치가 포함된 의미를 낱말에 부여하므로 청중들로 하여금 감정의 변화를 일으키게 만든다. 즉 설득적 정의는 독자나 청중들에게 설득적으로 논쟁을 해결하기 위해 주로 사용된다.</p> <p>예를 들어, 「낙태」는 천진난만한 아이를 무자비하게 살인하는 것으로 정의한다면 비호의적인 감정을 유발시킬 것이다. 그러나 「인공유산」은 원치 않은 짐을 진 여성을 자유롭게 해주는 안전하고 확실한 외과적 절차라고 정의했을 때 호의적 반응을 불러일으킬 것이다.</p> <p>예제 「안락사」의 설득적 정의를 말해보시오.</p> <p>풀이 (가) 호의적 정의는 "안락사는 살아날 가망이 없는 병자의 고통을 덜어 주기 위하여 인위적으로 죽음에 이르게 하는 일"이다. (나) 비호의적 설득적 정의는 "안락사는 인간이 인간의 생명을 빼앗는 것은 신의 뜻에 위배되는 것으로 살인의 일종"이다.</p> <p>예제 다음 글에 대해 비판적 사고를 가져보고 명확한 개념이 필요한 낱말을 정의해보시오. 인간의 행위를 평가하는 원칙은 개별행위가 결과적으로 최대의 유용성 또는 다른 행위보다 더 많은 유용성을 산출해야 한다는 것이다. 내가 영수의 요청대로 10점을 더 준다면 최대의 유용성이 산출될 것이다. 우선 영수는 졸업할 수 있을 것이고 약속된 직장을 얻어 남편, 아버지로서의 역할을 제대로 할 수 있을 것이다. 그러므로 영수와 그의 가족에게는 당연히 이익이 될 것이다. 한편 다른 학생들의 점수에는 아무 변화도 없을 것이므로 영수가 발설하지 않는 한 아무도 나를 비난하지 않을 것이다. 또 행위의 도덕성은 최대의 유용성에 있으므로 나는 양심의 가책을 느낄 필요가 없다. 따라서 영수에게 10점을 더 주는 것은 옳은 일이다.</p> <p>풀이 위의 글에서 유용성과 도덕성의 개념들을 먼저 명확히 정의해보고 위의 글에 대한 비판적 사고를 개진해보겠다. 유용성은 소용에 닿고 이용할 만한 특성을 말한다. 사용되는 예를 몇 가지 들면, (가) "그는 전문가라 이 사업에는 유용성이 있다." (나) "의사소통에 있어 언어의 유용성을 의심하는 사람은 없다." 도덕성은 선악의 견지에서 본 인격, 판단, 행위 따위에 관한 가치를 말한다. 교수는 도덕성을 최대 유용성에 있다고 주관적으로 정의를 내리고 있다. 자신의 불의를 합리화 하려는 의도가 있는 것이다. 다른 사람에게 피해롤 주지 않는다고 해서 도덕성에 문제가 되지 않는다는 논리는 위에서 정의한 도덕성에 위배된다고 할 수 있다. 도덕성의 기준은 선악이 기준이지 다른 사람의 피해 유무에 달려 있는 것이 아니라는 것이다. 교수가 학생의 최대 유용성을 위해 10점을 더 준다고 했는데 10점을 더 준 것과 학생이 그 결과로 학교, 사회, 가정 등에서 자신의 몫 이상의 효과를 발휘하는 것과는 논리적 상관성이 없다.</p> <p>예제 다음 교수와 종업원 사이에 나눈 대화 내용 중에 어떤 문제가 있는지를 찾아보시오. 어느 회사원이 서울로 출장을 가서 모텔에 묵게 되었다. 여러 모텔이 있었으나 그는 기왕이면<독탕완비>라는 간판이 있는 모텔을 선택했다. 그러나 안으로 들어가 보니 탕 안에는 여러 명이 함께 목욕하고 있었다. "이게 독탕이야?" 하고 항의하자 종업원은 귀찮다는 듯이 “혼자 목욕하면 독탕이지, 누가 여럿이 함께 하라고 했어요?"라고 말했다.</p> <p>풀이 종업원은 독탕에 대해 정의를 잘못 내리고 있다. 그는 독탕은 혼자 목역하는 곳이고 대중탕은 여럿이 함께 복욕하는 곳이라고 말한다. 그러나 혼자 목욕한다고 해서 독탕이 되는 것은 아니다. 독탕과 대중탕은 목욕하는 사람의 수에 의해 결정되는 것이 아니라 어떤 용도로 그것을 만틀었는가에 달려 있는 것이다.</p> <p>정의는 새로운 사실이나 특정한 대상을 지칭하기 위해 새로운 어휘를 만들고자 할 때 사용할 수 있다. 일본 강점기 때는 「도시락」을 「벤또」라고 불렀다. 오늘날에도 일본잔재가 아직도 남아 그렇게 부르는 사람들이 있다. 해방을 맞고 얼마 되지 않았을 때는 「벤또」를 대신할 우리말이 없었기 때문에 오랫동안 사용해왔었다. 그래서 누군가가 「벤또」를 대신해서 「도시락」이란 단어를 만들어 지금까지 사용하게 된 것이다. 시대의 변화에 따라 언어가 새롭게 생겨나며 또한 소멸되기도 한다. 그러므로 언어는 그 시대의 문화를 반영하는 척도가 되어 언어연구를 통해 시대적 변천사를 알게 된다.</p> <h2>2) 외연적, 내포적 정의</h2> <h3>(1) 외연적 정의</h3> <p>피정의항이 지칭하는 부류의 구성원을 지적함으로써 의미를 용어에 지칭하는 방법이다. 즉 피정의항의 구성원을 가지고도 정의할 수 있다. 외연적 정의방법에는 지시적 정의, 매거적 정의, 하위부류에 의한 정의가 있다.</p> <p>(가) 지시적 정의 지시적 정의는 가장 원시적인 방법으로 피정의항이 되는 사물을 손으로 지적하는 행위로 정의하는 방법이다. 예를 들어, 하늘에 떠 있는 태양을 손가락으로 가리키면서 "이것이 바로 태양이야!"라고 「태양」을 정의할 수 있다. 그러나 지금 당장 지적할 수 있는 대상이 없는 경우, 지시적 정의방법은 한계 를 가진다. 만일 「캥거루」를 이 방법으로 정의하려고 할 때, 만일 캥거루가 동물원에 있지 않다면 우리는 캥거루를 정의하기 위해 호주로 가야만 할 것이다. 그러나 지시적 정의방법이 어떤 사람에게는 유일한 개념습득방법이 되기도 한다. 시각, 청각 그리고 언어장애를 앓고 있었던 헬렌 켈러는 스승 설리번의 지시적 정의방법에 의해 훌륭한 사회복지사로 성장할 수 있었다.</p> <p>"시작하고 실패하는 것을 계속하라. 실패할 때마다 무엇인가 성취할 것이다. 내가 원하는 것을 성취하지 못할지라도 무엇인가 가치 있는 것을 얻게 될 것이다." (Anne Sullivan)</p> <p>(나) 매거적 정의 매거적 정의는 해당되는 개념(피정의항)의 외연을 열거하는 방법이다. 피정의항이 지칭하는 부류의 구성원의 이름을 들면서 의미를 지정한다. 예를 들어, 책상, 의자, 식탁, \( \cdots \) 등을 말하면 이것들이 지칭하는 개념이 가구라는 것을 알게 된다. 또한 베어스, 와이번즈, 트윈스, 라이온스, 자이언츠, 이글스, 타이거즈, 히어로즈, 다이노스를 말하면 이것은 한국 프로야구팀이라는 것을 알게 된다.</p> <p>예제 징, 꽹과리(쇠), 장구, 북으로 연주하는 음악형식을 무엇이라고 하는가?</p> <p>풀이 1978년에 처음으로 국악 타악기 4종으로 연주하기 시작하였으며, 「사물놀이」라는 이름이 그때 붙여졌다.</p> <p>(다) 하위부류에 의한 정의 하위부류에 의한 정의는 용어가 지칭하는 하위부류(하위개념)의 이름을 열거하면서 의미를 지정하는 방법이다. 예를 들어, "잣나무, 소나무, 삼나무, \( \cdots \) "라고 열거하면 침엽수에 대해 말하고 있음을 알게 된다. 그리고 "돌, 향유, 범, 블루, 밍크, 그레이, \( \cdots \) "이라고 하면 고래에 대한 것임을 알게 된다.</p> <h3>(2) 내포적 정의</h3> <p>내포적 정의는 낱말이 내포하는 성질이나 속성을 지시함으로써 의미를 낱말에 지정하는 방법이다. 내포적 정의방법에는 동의어적 정의, 실험적 정의, 유개념과 종차에 의한 정의가 있다.</p> <p>(가) 동의어적 정의 동의어적 정의는 피정의항과 동의어인 정의항으로 나타내는 방법이다. 예를 들어, Physician을 대신하여 Doctor라고 정의한다거나, Liberty를 대신하여 Freedom으로 정의하는 방법이다. 동의어적 방법은 좀 더 쉽고 이해하기 쉬운 용어로 대신하여 설명하는 것이다.</p> <p>(나) 실험적 정의 실험적 정의는 특정한 실험적 절차를 구체화해서 의미를 낱말에 지정하는 방법이다. 예를 들어, 어떤 용액이 산성인지를 정의하기 위해 맛을 볼 수는 없을 것이다. 보통 산성하면 신맛이 난다고 생각하기 때문이다. 그러나 황산과 같은 화학물질의 맛을 보다간 큰 피해를 입게된다. 그래서 용액의 산성과 염기성을 증명하기 위해 리트머스 종이로 테스트한다. 산성용액인 경우 푸른 리트머스 종이가 붉게 변하고, 염기성 용액은 붉은 리트머스 종이를 파랗게 변화시킨다. 이와 같은 방법을 실험적 정의라고 한다.</p> <h1>3.1 정의 규칙</h1> <h2>1) 규칙 I</h2> <p>정의항은 피정의항에 가장 가까운 상위개념이어야 한다. 즉 피정의항을 설명하는 상위개념이 피정의항보다 지나치게 좁거나 넓어서는 안 된다(정확성).</p> <p>예를 들어, 「새」를 정의할 때 "새는 하늘을 나는 조류이다."라고 정의한다면 닭이나 타조와 같은 동물들은 하늘을 날지 못하기 때문에 조류에서 제외된다. 이것은 「새」를 너무 좁게 정의했기 때문이다. 반대로 “새는 날개가 있는 조류이다."라고 정의한다면 「새」를 너무 넓게 정의했기 때문에 조류가 아닌 박쥐가 새에 포함된다. 그러므로 피정의항을 정의할 때 너무 좁거나 넓지 않도록 정확하게 정의해야 한다. 새의 사전적 정의는 "척추동물인 날짐승을 통틀어 이르는 말"로 정의하고 있다. 그러나 이와 같은 사전적 정의는 앞에서도 언급했듯이 너무 넓게 정의한 것으로 정확한 정의라고 말할 수 없다.</p> <p>만일 새를 난생이라고 정의한다면 어떤 문제가 발생하겠는가? 난생은 알을 낳는 동물을 말하는 것으로 조류이외에도 파충류와 심지어 포유류 가운데서도 알을 낳는 동물(오리너구리)이 있다. 그러므로 조류를 알을 낳는 동물이라고 정의하는 것은 적당하지 않다. 그렇다면 부리가 있는 동물이라고 정의한다면 또 어떤 문제가 발생하겠는지 생각해보자. 보통 부리가 있는 동물은 조류이다. 그러나 오리너구리나 시조새는 부리가 있는 조류가 아닌 동물이다.</p> <h2>2) 규칙 Ⅱ</h2> <p>모호하거나 비유적인 표현이나 묘사를 사용해서는 안 된다(명확성).</p> <p>예를 들어, "석탄은 공업의 양식이다." 라든가 "독재는 필요한 악이다."라고 정의한다면 이것은 정의의 명확성을 위반한 것이다. 「석탄」을 명확하게 정의하면 “석탄은 태고 때의 식물이 땅속 깊이 묻히어 오랫동안 지압과 지열을 받아 차츰 분해하여 생긴 타기 쉬운 퇴적암"이다.</p> <h2>3) 규칙 III</h2> <p>피정의항이 정의항 중에 되풀이 되어서는 안 된다(비순환성).</p> <p>예를 들어, “독재자는 독재를 하는 사람이다.”라든가 “과학자는 과학을 하는 사람이다.”라고 정의한다면 이것은 정의의 비순환성을 위반한 것이다. 독재자에 대한 어떤 정보도 주지 않고 있다. 단지 독재라는 단어가 정의항에서 되풀이해서 나타나고 있다.</p> <p>「독재자」를 올바르게 정의하면, "독재자란 개인 또는 집단이 모든 권력을 쥐고 독단적으로 지배하는 사람"이다.</p> <h2>4) 규칙 IV</h2> <p>피정의항이 부정이 아니면 정의항이 부정적이어서는 안 된다(긍정성).</p> <p>예를 들어, "아가씨는 결혼을 하지 않은 여자이다."라든가 "연필은 지우개가 아니다."라고 정의한다면 이것은 정의 규칙의 긍정성을 위반한 것이다. 아가씨를 긍정적으로 정의하면 “시집갈 나이의 여자를 이르거나 부르는 여자"이다. 연필은 “흑연과 점토의 혼합물을 구워 만든 가느다란 심을 속에 넣고 겉은 나무로 둘러싸서 만든 필기도구"이다.</p> <p>그러나 「고아」나 「과부」는 그 자체에 부정적인 의미를 포함하고 있기 때문에 긍정적으로 정의해야 한다는 규칙에서 예외가 된다. 그래서 고아는 "부모가 없는 아이"라고 정의할 수 있다. 물론 부모가 없는 경우라는 것이 부모가 사망했거나 부모로부터 버림받아 함께 살지 않는 경우 등이 있을 것이다. 그래서 「고아」를 좀 더 구체적으로 정의해보면, "친부모로부터 버림받았거나 친부모가 사망 혹은 행방불명되어 부모가 없이 살아야 하는 어린아이"이다.</p> <p>플라톤의 「사람」에 대한 정의 플라톤은 “사람이란 두 발로 서서 걸어 다니는 털 없는 동물이다."라고 정의했다. 철학자 디오게네스는 털 뽑은 닭을 가지고 플라톤에게 와서 “이것이 당신이 말하는 사람이요."라고 화를 내었다고 한다. 개념의 명확화는 비판적 사고의 시작이며 오해의 소지를 없애주고 더 나아가 성공적인 논쟁을 할 수 있도록 만든다.</p> <h1>3.2 정의 방법</h1> <h2>1) 유개념과 종차에 의한 정의</h2> <p>\( \mathrm{A} \)를 " \( \mathrm{A} \)는 \( \mathrm{C} \)라는 성질을 갖는 \( \mathrm{B} \)이다."라고 정의했다고 하자. 여기서 \( \mathrm{B} \)는 \( \mathrm{A} \)의 유개념이며 \( \mathrm{A} \)는 \( \mathrm{B} \)의 종개념이다. 주의할 점은 \( \mathrm{A} \)의 유개념으로서 \( \mathrm{B} \)를 말할 때 가장 가까운 유개념 \( \mathrm{B} \)를 말해야 한다. \( \mathrm{C} \)는 \( \mathrm{A} \)를 포함하는 \( \mathrm{B} \)의 모든 종개념들 가운데 \( \mathrm{A} \)만이 가지고 있는 특징을 말한다. 즉 \( \mathrm{C} \)는 \( \mathrm{A} \)의 특징이며 변별적 요소들을 말하며 \( \mathrm{C} \)를 종차라고 말한다. 그러므로 정의의 형식을 다시 세분화하면 \( \mathrm{B} \)의 종개념으로서 \( \mathrm{A} \)와 \( \mathrm{B} \)의 다른 종개념들과 구별되는 \( \mathrm{A} \)만의 특징인 종차 \( \mathrm{C} \), 그리고 \( \mathrm{A} \)와 가장 가까운 유개념인 \( \mathrm{B} \)로 이루어진다.</p> <p>예를 들어, "호랑이는 인도와 아시아의 숲 속에서 토착하는 크고 얼룩무늬가 있으며 몸집이 큰 고양잇과의 동물이다."라고 정의했을 때 「호랑이」는 피정의항이고 이것을 제외한 모든 서술부는 정의항이 된다. 호랑이의 유개념으로서 동물이나 생물 등이 있을 수 있으나 가장 가까운 유개념은 고양잇과 동물이 될 것이다. 또한 고양잇과 동물의 여러 종개념들(사자, 호랑이, 살쾡이, 표범, 치타, 고양이, \( \cdots \) ) 가운데 하나인 「호랑이」를 다른 고양잇과 동물들과 구별하기 위해서 숲 속에 살며, 얼룩무늬가 있으며 몸집이 큰 동물로 구별하였다. 이것은 호랑이가 다른 고양잇과 동물과 구별되는 종차이다.</p> <p>예제 정사각형을 피정의항(종개념)과 정의항(종차와 유개념)으로 정의하시오.</p> <p>풀이 「정사각형」의 가장 가까운 유개념은 사각형이다. 사각형의 종개념틀은 정사각형, 직사각형, 평행사변형, 마름모꼴 등이 있다. 이들 가운데 정사각형이 가지고 있는 특징을 살펴보면 평행사변형이나 마름모꼴과 구별하기 위해 네 각이 직각이라고 하면 될 것이다. 그러나 네 각이 직각이라고 정의하면 직사각형과 구별이 안 된다. 그래서 직사각형과 구별하기 위해 네 변의 길이가 동일하다고 정의하면 될 것이다. 이것을 정리하여 겅의하면 "정사각형은 네 변의 길이가 동일한 사각형이다."이다. 이때 네 변의 길이가 동일한 것이 종차가 되며, 사각형이 정사각형의 유개념이 된다.</p> <p>예제 「문학」을 유개념과 종차에 의해 정의하시오.</p> <p>풀이 아름다움을 표현하고 창조하는 일에 목적을 두고 작품을 제작하는 모든 인간 활동과 그 산물들 가운데 하나로써 「문학」이란 장르가 있다. 그러므로 문학의 유개념은 「예술」이다. 그 다음으로 예술의 종개념들을 살펴보면 다음과 같은 것들이 있다. 음악, 뮤지컬, 연극, 팬터마임, 무용, 미술, 영화, 행위예술, 사진, 만화, \( \cdots \)</p> <ul> <li>「음악」은 인간의 사상과 감정을 주고 음으로 나타내는 예술이다.</li> <li>「연극」은 무대에서 연기를 통해 전달하는 예술이다.</li> <li>「팬터마임」은 배우가 대사 없이 몸짓과 표정만으로 내용을 전달하는 예술이다.</li> <li>「무용」은 사람의 몸을 소재로 하여 육체의 내적, 외적 행동을 통해 감정과 상황 등을 표현하는 예술이다.</li> <li>「미술」은 미를 표현하기 위해 시각에 호소하는 예술이다.</li> <li>「영화」는 어떤 사실이나 극적 내용을 연속 촬영한 필름에 담아 영상으로 보여줌으로써 감동을 주는 예술이다.</li> <li>「행위예술」은 미술의 개념을 육체적인 행위로 표현하는 예술이다.</li> <li>「사진」은 광학적 방법으로 감광 재료 면에 박아 낸 물체의 영상으로 표현한 예술이다.</li></ul> <p>그렇다면 「문학」이 다른 예술과 구별되는 것이 무엇인가를 찾아내는 것이 종차이다. 그것은 언어로 예술을 표현하는 것이다. 그러므로 "문학은 사상이나 감정을 상상의 힘을 빌려 언어로 표현한 예술이다."라고 정의된다.</p> <h1>3.3 정의의 종류</h1> <h2>1) 약정적 정의</h2> <p>약정적 정의는 새로운 용어를 도입하는 사람이 그 용어의 의미를 적절하게 지정하거나 오래된 의미에 새로운 의미를 부여하는 것이다. 새로운 낱말을 창안하거나 오래된 의미에 새로운 의미를 부여하는 것이다.</p> <p>예를 들어, 「Tigon」이란 낱말은 수컷 호랑이와 암컷 사자 사이에서 태어난 새끼를 말하고, 「Homo Telephonicus」는 휴대폰 중독 증세를 보이는 현대인들을 지칭한다. 그 이외에도 e-mail이나 CEO와 같은 용어도 약정적 정의에 해당된다. 또한 새로운 용어로 다시 정의되거나 그 의미가 확장된 경우도 있다.</p> <p>예를 들어, 「콘셉트」(concept)는 개념이나 관념이란 의미를 가진 외국어다. 그러나 지금은 어떤 작품이나 제품, 공연, 행사 따위에서 드러내려고 하는 주된 주제로 사용되는 외래어가 되었다. 「컨턴츠」(contents)는 내용이나 목차의 의미를 가진 용어였지만 지금은 유무선 통신망을 통해 제공되는 디지털 정보나 내용물의 총칭으로 그 의미가 확장되었다.</p> <h2>2) 사전적 정의</h2> <p>사전적 정의는 한 낱말이 언어 속에서 이미 가지고 있는 의미를 알려주는 데 사용된다. 이미 확립된 의미를 가지고 사용되고 있는 용어이며 피정의항이 이미 가지고 있는 의미를 보고하는 정의이다. 그러나 사전적 정의가 그 사물에 대한 모든 것을 설명해 주지는 못한다. 이 정의는 모두가 사전에 정의되어 있는 것으로 애매성을 제거해준다. 여기서 애매하다고 말하는 것은 어떤 낱말의 가능한 의미가 둘 이상이 있는데 그 중 어떤 의미로 사용하고 있는지 불명확한 경우를 말한다. 이 경우 애매한 판단을 피하기 위해 각주나 한자를 달아주면 된다. 또는 문장 속에서 용어나 어구를 이해하므로 애매한 판단을 피할 수 있다.</p> <p>예를 들어, 간단한 식삭가 의미하는 여러 가지 해석이 있을 수 있겠다. 먼저, 준비하기 쉬운 식사를 뜻할 수 있겠고, 값이 비싸지 않는 검소한 식사를 의미하기도 한다. 그리고 여러 가지 재료를 섞어서 만든 것이 아니라 간단한 재료 몇 가지로 만든 식사를 뜻할 수도 있다. 그러므로 말하는 사람이 무슨 뜻으로 사용하고 있는지를 앞뒤 문장의 정황을 통해 짐작하여 올바르게 이해할 수 있다.</p> <p>예제 어떤 사람을 「Nice」하다고 표현할 때 그 낱말이 의미하는 여러 가지 것들을 살펴보자.</p> <p>풀이 부정적 의미로는 '까다롭다', '음탕하다'로, 긍정적 의미로는 '유쾌하다', '매력적이다', '정숙하다', '세련됐다'등으로 해석된다.</p> <p>사전적 정의는 보통 우리들이 사용하는 단어들의 일반적인 용법을 명확하게 하는데 사용된다. 예를 들어, 도둑질』을 “빈부의 격차를 없애는 일"이라고 하지 않는다. 또는 “귀금속 이동판매 방법”이라든지 “생계유지 수단”이라고도 말하지도 않는다. 일반적으로 “남의 물건을 훔치는 일”로 「도둑질」을 정의한다. 이와 같이 사전적 정의는 우리가 사용하는 말들이 객관적으로 어떤 경우에 사용되는지를 설명해준다.</p> <p>예제 「대머리」에 대한 사전적 정의를 내려보고, 그 정의의 한계점을 말해보시오.</p> <p>풀이 "대머리는 정상적으로 존재해야 할 머리카락이 있는 두부나 안면에 모발이 결여되거나 또는 그 크기 수가 감소하여 성기게 되는 상태"이다. 간단하게 말하자면 “대머리는 머리카락이 정상적인 사람보다 없는 상태"롤 말한다. 대머리 자체에 부정적인 의미를 가지고 있기 때문에 정의할 때 그 한계를 벗어나지 못한다.</p> <p>사전적 정의는 일반적인 의미를 우리들에게 말해주지만 때론 명확하게 수치적으로 정의해야 할 때가 종종 있게 된다. 「중산층」의 사전적 정의는 "경제적 수준이나 사회문화적 수준이 중간 정도되면서 스스로 중산층 의식이 있는 사회집단'이다. 과거에는 중산층을 사전적 정의 이상을 요구하지 않았다. 중산층이란 단어가 우리의 이권에 영향을 주지 않았기 때문이다. 즉 우리가 상류층이든 중산층이든 또는 그 이하이든 그것이 그렇게 중요하지 않았다. 보통 사람들은 대부분 자신들이 중산층이라고 생각한다. 그러나 시대가 변화하면서 계층의 정확한 구분이 필요하게 되었다.</p> <p>예를 들어, 「기초생활수급자」의 사전적 정의는 "생활유지 능력이 없거나 생활이 어려운 자들에게 최저생활을 보장하고 자활능력을 조성하기 위하여 공적 부조의 일환으로 시행되는 제도에 혜택을 받는 사람'이다. 기초생활수급자에 해당되는 사람들은 정부로부터 일정한 생계 유지비를 지원 받는다. 따라서 정부는 기초생활수급자에 대한 명확한 정의가 필요하게 된다. 일반 국민들이 스스로 느끼고 있는 생활능력이 아닌 객관적인 수치로 나타나는 기준을 마련할 필요가 있는 것이다. 이와 같이 사전적 정의는 한계를 가지고 있다.</p>	자연
m342-위상수학의 이해	<p>구면 \( S ^ { 2 } \) 상의 연결 그래프의 꼭지점의 수 \( v \), 모서리의 수 \( e \), 면의 수 \( f \) 사이의 관계식은 \( v-e + f = 2 \)임을 오일러(Euler)가 증명하였다. 이 정리는 오일러가 증명하기 횔씬 전부터 추축되어온 위상수학의 기원에 속하는 문제이다. 이 장에서, 복합체의 호몰로지군을 계산하고 다면체의 오일러 표수와 오일러의 다면체 정리, \( S ^ { 1 } \)의 기본군 등에 대하여 알아본다.</p> <p>대수적 위상수학은 위상적 대상 \( X \)에 대수구조 \( G(X) \)를 대옹시켜 \( X \)의 위상적 성질을 연구하는 위상수학의 한 분야이다. \( X\), \(I\)가 위상동형이면 \( G \left ( X ^ { * } \right ), G \left ( I ^ {\prime } \right ) \)는 동형인 구조가 될 것이다. 이 책에서 다루는 \( G( \mathbb { N } ) \)는 기하복합체 호몰로지군과 기본군 동이 되지만, 복잡하고 어려운 여러 가지 이론은 이 책의 정도를 벗어나므로, 여기에서는 아주 기초적인 내용을 소개한다.</p> <h2>\( 10.1 \) 기하복합체</h2> <p>유클리드 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 \( k + 1 \)개의 점 \( v_ { 0 } , v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \)에 대하여, \( k \)개의 벡터 \( v_ { 1 } -v_ { 0 } \), \( v_ { 2 } -v_ { 0 } , \cdots, v_ { k } -v_ { 0 } \)가 일차독립(linearly independent)일 때 \( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \)는 기하적 독립(geometrically independent) 또는 간단히 독립이라고 한다. \( n \)차원 벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 \( k \)개의 벡터가 일차독립이기 위해서는 \( k \leq n \)이다. 한 점은 기하적 독립이고, 두 점 \( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } \right \} \)이 독립일 필요충분조건은 \( v_ { 0 } \neq v_ { 1 } \)이며, \( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } , v_ { 2 } \right \} \)가 독립일 조건은 어떠한 직선도 \( v_ { 0 } , v_ { 1 } , v_ { 2 } \) 모두를 포합하지 않는 것이다(그림 10.1). 또 \( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} \)가 독립이기 위한 조건은 어떠한 2차원 평면도 \( v_ { 0 } , v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \) 모두를 포함하지 않는 것이다.</p> <p>예제 \( 10.24 \) 원점을 제거한 구멍뚫린 \( n \) 차원 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } - \{ 0 \} \) 는 \( S ^ { n-1 } \) 과 동일호모토피형이다. \[i: S ^ { n-1 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } - \{ 0 \} \text { 와 } r: \mathbb { R } ^ { n } - \{ 0 \} \rightarrow S ^ { n-1 } , r(x)= \frac { x } {\\|x \\| } \]는 모두 호모토피 동치합수이다. 연속합수 \( f: X \rightarrow I \) 가 어떤 상수합수 \( c_ {\nu_ { 0 } } : X \rightarrow I, c_ { y_ { 0 } } (x)=y_ { 0 } \forall x \in X \) 와 호모토픽할 때 \( f \) 는 영호모토픽(null-homotopic)하다고 말한다. 위상공간 \( X \) 에 대해, \( 1_ { X } \simeq c_ { x_ { 0 } } \left (x_ { 0 } \in X \right ) \) 가 성립할 때 \( X \) 를 축약가능공간(contractible space)이라 하고 호모토피 \( H: 1_ { X } \simeq c_ { x_ { 0 } } \) 를 \( x_ { 0 } \) 로의 \( X \) 의 축약함수(contraction)라고 한다. 예를 들면, 유클리드 공간 \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 모든 볼록부분집합은 축약가능공간이다. 축약가 능공간은 한 점과 호모토피 동치가 됩을 의미하고, \( \mathrm { I } \) 가 축약가능공간이면 임의의 두 연속함수 \( f, g: X \rightarrow I \) 는 호모토픽하다는 것을 쉽게 증명할 수 있다.<p>\( A \) 를 위상공간 \( \mathrm { X } \) 의 부분공간이라 하고 \( i: A \rightarrow \mathrm { X } \) 를 포함함수라고 하자. 연속함수 \( r: \mathrm { X } \rightarrow A \) 가 \( r \circ i=1_ { A } \) 를 만족시킬 때 \( r \) 을 \( \mathrm { N } \) 의 ( \( A \) 로의) 수축함수 또는 끓어당김 (retraction)이라 하고 \( A \) 를 \( \mathrm { Y } \) 의 수축(retract)이라고 한다. 특히, \( i \circ r \simeq 1_ { X } \) 이 되는 수축함수 \( r: X \rightarrow A \) 이 존재하면 \( A \) 를 \( X \) 의 변형수축(deformation retract)이라고 한다. 더욱이, \( i \circ r \simeq 1_ { X } \) rel \( A \) 가 되는 수축함수 \( r: X \rightarrow A \) 가 존재할 때 \( A \) 를 \( X \) 의 강변형수축(strong deformation retract)이라 한다. 이것은 호모토픽 \( H: X \times[0,1] \rightarrow X \) 가 존재해서 \[H(x, 0)=x, \quad H(x, 1) \in A, \quad H(a, t)=a \quad(x \in \mathrm { S } , a \in A, t \in[0,1]) \]가 만족됨을 말한다. 이때 \( H \) 를 강변형수축함수(strong deformation retraction)라고 한다.<p>예를 들면, \( H: \left ( \mathrm { R } ^ { n } - \{ 0 \} \right ) \times[0,1] \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } - \{ 0 \} \) 를 \[H(x, t)=(1-t) x + t \frac { x } {\\|x \\| } \]으로 정의하면 \( H \) 는 강변형수축함수이고 \( S ^ { n-1 } \) 은 \( \mathrm { R } ^ { n } - \{ 0 \} \) 의 강변형수축이다.</p> <p>종명 여기서 다면체 \( P \) 의 면들이 삼각형으로만 이루어진 것은 아니므로 다음과 같이 삼각분할의 과정을 거쳐서 계산하자. \( n_ { 0 } \) 개의 꼭지점과 \( n_ { 1 } \) 개의 모서리를 가지는 면(볼록다각형) \( \sigma \) 를 그림 \( 10.13 \) 과 같이 삼각분할한 것을 \( \tau \) 라고 하면, \( \tau \) 에서 꼭지점의 수-모서리의 수 \( + \) 면의 수 \[= \left (n_ { 0 } + 1 \right )- \left (n_ { 1 } + n_ { 0 } \right ) + n_ { 0 } =n_ { 0 } -n_ { 1 } + 1 \]이므로, \( V-E + F \) 는 삼각할과정에서도 변합이 없다. 따라서 \( \alpha_ { i } \) 를 \( P \) 의 triangulation의 \( i \)-simplex의 수라고 두면, \[V-E + F= \alpha_ { 0 } - \alpha_ { 1 } + \alpha_ { 2 } \]이다. 결과적으로, Euler-Poincaré 정리에 의해서 \[ \begin {aligned} V-E + F &= \alpha_ { 0 } - \alpha_ { 1 } + \alpha_ { 2 } \\&=R_ { 0 } \left (S ^ { 2 } \right )-R_ { 1 } \left (S ^ { 2 } \right ) + R_ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right ) \\&=2 \end {aligned} \]이다.</p> <p>정리 \( 10.13 \)</p>정다면체(regular simple polyhedra)는 오직 다섯 개만 존재한다.</p> <p>\( P \) 를 꼭지점의 수가 \( V \), 모서리의 수가 \( E \), 면의 수가 \( F \) 인 정다면체라고 하자. \( m= \) 한 꼭지점에서 만나는 모서리의 수, \( n= \) 한 면의 모서리의 수라고 하면 \( (m \geq 3, n \geq 3) \) \[m V=2 E=n F, V-E + F=2 \]가 성립한다. 이 두 식으로부터 \[ \frac { n } { m } F- \frac { n } { 2 } F + F=2 \]을 얻고, 정리하면 \[F(2 n-m n + 2 m)=4 m \]이다. \( F \) 와 \( 4 m \) 은 모두 양수이므로 \[2 n-m n + 2 m>0 \]이고, \( m \geq 3, n \geq 3 \) 이므로 \[2 m>n(m-2) \geq 3(m-2)=3 m-6 \]이다. 따라서 \( m<6 \) 이고 가능한 양의 정수 \( m \) 의 값은 3,4 , 또는 5 이다.<p>(i) \( m=3 \) 일 때: \[F(2 n-m n + 2 m)=4 m \]으로부터 \[ F(6-n)=12 \]를 얻고, 이것으로부터 가능한 양의 정수 \( n, F \) 의 값은 \[n=3, F=4 ; n=4, F=6 ; n=5, F=12 \] \이다.<p>(ii) \( m=4 \) 일 때 \( () \) 에 대입하면<p>\[F(8-2 n)=16 \]을 얻고, 여기서 가능한 값은 \( n=3, F=8 \) 이다.<p>(iii) \( m=5 \) 일 때: ()에 대입하면<p>\[F(10-3 n)=20 \] 이고, 이 식을 만족시키는 값은 \( n=3, F=20 \) 이다. 이상에서 가능한 \( (m, n, F) \) 의 값은 \[(3,3,4),(3,4,6),(4,3,8),(3,5,12),(5,3,20) \]뿐이다. 결과적으로, 정다면체는 정사면체(tetrahedron), 정육면제(cube), 정 팔면체(octahedron), 정십이면체(dodecahedron), 정이십면체(icosahedron)등 다섯 종류가 있다.</p> <p>정리 \( 10.34 \)</p> <p>\( \mathrm { Y } \) 를 위상공간이라 하고 \( f: S ^ { n } \rightarrow \mathrm { I } \) 를 연속합수라고 하자. 그러면 다음이 성립 한다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } f \text { 가 영호모토픽(null-homotopic)하다. } \\ \Leftrightarrow f \text { 의 연속확대 } g: B ^ { n + 1 } \rightarrow I \text { 가 존재한다. } \end {array} \]</p> <p>종영 \( ( \Rightarrow) c_ {\nu_ { 0 } } : S ^ { n } \rightarrow I ^ {\prime } \) 를 상수합수라 하고 \( F: f \simeq c_ { y_ { 0 } } \) 라고 하자. 함수 \( g: B ^ { n + 1 } \rightarrow I ^ {\prime } \) 를 \[g(x)= \left \{\begin {array} { ll } y_ { 0 } , & 0 \leq \\|x \\| \leq \frac { 1 } { 2 } \\F \left ( \frac { x } {\\|x \\| } , 2-2 \\|x \\| \right ), & \frac { 1 } { 2 } \leq \\|x \\| \leq 1 \end {array} \right . \] 에 의해 정의하면, \( g \) 는 \( f \) 의 연속확대이다.<p>\( \Leftrightarrow g: B ^ { n + 1 } \rightarrow \mathrm { I } \) 를 \( f \) 의 연속확대라고 하자.<p>\( F: S ^ { n } \times[0,1] \rightarrow \mathrm { I } ^ {\prime } \) 를 \( F(x, t)=g(t x) \) 에 의해 정의하면 \( F: c_ { y_ { 0 } } \simeq f \)이다(단, \( \left .y_ { 0 } =g(0) \right ) \).</p> <p>예제 \( 10.35 \)<p>\( \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } \right ) \cong \mathrm { Z } \) 이므로 \( S ^ { 1 } \) 은 축약가능공간(contractible)이 아니다. 즉 항등함수 id: \( S ^ { 1 } \rightarrow S ^ { 1 } \) 은 영호모토픽(null-homotopic)하지 않다. 그러므로 (항등합수의 연속확대가 되는) 수축합수(retraction) \( r: B ^ { 2 } \rightarrow S ^ { 1 } \) 는 존재하지 않는다. (이것을 Brouwer No Retraction Theorem이라고 한다.)</p> <p>\( \left \{ z_ { 1 } , \cdots, z_ { r } \right \} \) 를 유향복합체 \( K \) 의 \( p \)-cycle들의 집합이라 하자. 모두는 0 이 아닌 임 의의 정수 \( n_ { 1 } , \cdots, n_ { r } \) 에 대해서 \( p \)-cycle \( \sum_ { i=1 } ^ { r } n_ { i } z_ { i } \) 가 0과 homologous하지 않을 때 \( \left \{ z_ { 1 } , \cdots, z_ { r } \right \} \) 은 호몰로지에 관하여 일차독립(linearly independent with respect to homology)이라 한다. 호몰로지에 관한 일차독팁인 \( p \)-cycle들의 최대의 수를 \( K \) 의 \( p \)-th Betti number라 하고 \( R_ { p } (K) \) 로 쓴다. 그러면 \[H_ { p } (K) \cong G \oplus T_ { 1 } \oplus \cdots \oplus T_ { m } \]으로 나타낼 때 \( G \cong \mathrm { Z } \oplus \cdots \oplus \mathrm { Z } \) (direct sum of \( R_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \) copies of \( \mathrm { Z } \) )이다. 다음 중요한 정리의 증명은 생락한다.</p> <p>정리 10.11 The Euler-Poincaré Theorem \( K \) 를 \( n \) 차원 복합체라 하고 \( \alpha_ { p } \) 를 \( K \) 의 \( p \)-simplex들의 수라고 하면 \[ \sum_ { p=0 } ^ { n } (-1) ^ { p } \alpha_ { p } = \sum_ { p=0 } ^ { n } (-1) ^ { p } R_ { p } (K) \]이다. 단, \( R_ { p } (K) \) 는 \( K \) 의 \( p \) th Betti number이다.</p> <p>정의 \( K \) 가 \( n \) 차원 복합체일 때, \[ \chi(K)= \sum_ { p=0 } ^ { n } (-1) ^ { p } R_ { p } (K) \]를 \( K \) 의 오일러 표수(Euler characteristic) 또는 오일러 특성수라고 한다.</p> <p>예제 \( 10.17 \)</p> <p>(1) \( \mathrm { Y } \) 가 2-manifold일 때, \( \mathrm { X } \) 와 2-sphere \( S ^ { 2 } \) 의 connected sum은 \( \mathrm { Y } \) 와 동형이다. 즉 \( X \# S ^ { 2 } \cong \mathrm { Y } ^ {\text { 이다. } } \).</p> <p>(2) Möbius strip \( M \) 의 경계 \( b(M) \) 은 원(circle)과 위상동형이다. \( D \) 를 \( S ^ { 2 } \) 의 closed disk라 하고 \( X=S ^ { 2 } - \operatorname { int } (D) \) 라 하자. \( f: b(M) \rightarrow b(D) \) 를 위상동형사상이라 할때, 상굥간 \( X \cup M / x \sim f(x) \) 는 사영명면 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 와 위상동형이다.</p> <p>(3) \( M_ { 1 } , M_ { 2 } \) 를 두 개의 Möbius 때라 하고, \( f: b \left (M_ { 1 } \right ) \rightarrow b \left (M_ { 2 } \right ) \) 를 위상동형사상이라하면 \( M_ { 1 } \cup M_ { 2 } / x \sim f(x) \) 는 Klein병 \( K \) 와 위상동형이다.</p> <p>(4) \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 에서 open disk를 제거하면, (2)에 의해서, Möbius strip \( M \) 과 동형이다. 그러므로 (3)에 의해서 \[ \mathbb { P } ^ { 2 } \# \mathbb { P } ^ { 2 } \cong K \]이다.</p> <p>\( \mathrm { X } , \mathrm { Y } \) 가 surfaces일 때 \( \mathrm { X } \) \# I도 surface임을 보일 수 있다. \( \mathrm { X } , \mathrm { Y } \) 가 compact surfaces일 때, \( X, Y \) 각각의 삼각분할에서 한 면(2-simplex)의 내부를 제거하고 꼭지점끼리,모서리끼리 붙이면 \( \mathrm { X } \) \# \( \mathrm { Y } \) 의 삼각분할을 얻는다. 그러면 각각에서 한 면씩 모두 두 개의 면과 모서리 3 개, 꼭지점 3 개가 없어진 셈이므로, connected sum \( X \) \# \( Y \) 의 오일러표수는 \[ \chi( \mathrm { X } \# \mathrm { Y } )= \chi( \mathrm { X } ) + \chi( \mathrm { I } )-2 \]이다.</p> <p>\[= \partial \left (n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 3 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } v_ { 3 } \right \rangle \right ) \]이다. 즉, 1-cycle은 모두 bounding cycle이다. 그러므로 \[H_ { 1 } \left (S ^ { 2 } \right )=0 . \] \( n \)차원 구면 \( S ^ { n } \)의 호몰로지군은 다음과 같다(연습문제). \[H_ { p } \left (S ^ { n } \right )= \left \{\begin {array} { ll } Z, & (p=0, n \text { 일 때 } ) \\0, & (0<p<n \text { 일 때 } ) \end {array} \right . \]</p> <h2>10.3 오일러 표수</h2> <p>\( P \)가 \( V \)개의 꼭지점, \( E \)개의 모서리, \( F \)개의 면을 가지는 다면체로서 경계(2차원 면들의 합집합)가 구면 \( S ^ { 2 } \)와 위상동형이면 \[V-E + F=2 \]이다. 이 결과는 Euler에 의해서 증명되었고 Poincaré는 호몰로지 이론을 적응하여 이 정리를 일반 다면체에 일반화하였다.</p> <p>기하복합체 \( K \)에 대해서 \( p \)-chain group \( C_ { p } (K) \)는 \( p \)-simplexes 개수만큼의 정수군 \( \mathrm { Z } \)의 direct sum이므로 자유아벨군이다. 그리고 이들의 부분군 \( Z_ { p } (K), B_ { p } (K) \)도 모두 자유아벨군이다. 그런데 호몰로지군 \( H_ { p } (K)=Z_ { p } (K) / B_ { p } \left (K ^ {\prime } \right ) \)는 일반정으로 자유아벨군이 아니고 free abelian group \( G \)와 finite cyclic groups \( T_ { i } \) 의 direct sum으로 분해된다. 즉 \[H_ { p } (K) \cong G \oplus T_ { 1 } \oplus \cdots \oplus T_ { m } \]여기서 \( T_ { 1 } \oplus \cdots \oplus T_ { m } \)을 \( H_ { p } (K) \)의 꼬임부분군(torsion subgroup)이라고 한다. 예를 들면, 사영평면 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 의 first homology group \( H_ { 1 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) \cong Z_ { 2 } \)는 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \)의 '꼬임'을 말해주고 있다.</p> <p>정리 \( 10.32 \) 위상공간 \( \mathrm { X } , \mathrm { Y } \) 의 적공간 \( \mathrm { X } \times \mathrm { Y } \) 의 기분군은 다음과 같다. \[ \pi_ { 1 } \left (X \times I ; \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \cong \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \oplus \pi_ { 1 } \left (I,y_ { 0 } \right ) \]</p> <p>증명 \( p: X \times I \rightarrow X, q: X \times Y \rightarrow I \) 를 사영합수(projection)라 하고, 함수 \( \varphi: \pi_ { 1 } \left (X \times I ; \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \oplus \pi_ { 1 } \left (I, y_ { 0 } \right ) \) 를 \[ \varphi([ \alpha])= \left (p_ { * } ([ \alpha]), q_ { * } ([ \alpha]) \right ) \]에 의해 정의하면, \( \varphi \) 는 동형합수(isomorphism)이다. 자세한 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>예제 \( 10.33 \)</p>윤환면(torus) \( T ^ { 2 } \) 는 \( S ^ { 1 } \times S ^ { 1 } \) 과 위상동형이다. 따라서<p>\[ \pi_ { 1 } \left (T ^ { 2 } \right ) \cong \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } \right ) \oplus \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } \right )= \mathbf { Z } \oplus \mathrm { Z } \]위상공간 \( X \) 의 기본군은 일반적으로 아벨군이 아니다. 연결복합체(connected simplicial complex) \( K \) 에 대해 \( \pi_ { 1 } (\|K\|) \) 가 아벨군이면 \( \pi_ { 1 } \left ( \left \|K ^ { - } \right \| \right ) \cong H_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) \) 이다. 사실, \( \pi_ { 1 } \left ( \left \|K ^ { - } \right \| \right ) \)의 교환자 부분군(commutator subgroup)을 \( N \)이라고 할 때 \( \pi_ { 1 } (\|K\|) / N \cong H_ { 1 } (K) \) 가 성립합을 보일 수 있다.</p> <p>정리 \( 10.21 \) \( \mathrm { X } \) 를 위상공간이라 하고 \( \pi( \mathrm { X } ) \) 를 \( \mathrm { X } \) 에서의 경로호모토피동치류들의 집합이라고 하자. \( \pi( \mathrm { S } ) \) 에서 다음이 성립한다.<p>(1) \( ([f] \circ[g]) \circ[h] \) 가 정의되면 \( [f] \circ([g] \circ[h]) \) 도 정의되고 이들은 같다.<p>(2) \( f \) 가 \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 으로의 경로일 때, \[[f] \circ \left [e_ { x_ { 1 } } \right ]=[f], \quad \left [e_ { x_ { 0 } } \right ] \circ[f]=[f] \]이다(단, \( x \in \mathrm { X } ^ { 2 } \) 에 대해 \( e_ { x } :[0,1] \rightarrow \mathrm { X } ^ { 2 } \) 는 \( e_ { x } (s)=x \) 인 상수경로(constant path)이다).<p>(3) \( f \) 가 \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 으로의 경로일 때, \[[f] \cdot[ \bar { f } ]= \left [e_ { x_ { 0 } } \right ], \quad[ \bar { f } ] \cdot[f]= \left [e_ { x_ { 1 } } \right ] \]이다(단, \( \bar { f } :[0,1] \rightarrow X \) 는 \( \bar { f } (s)=f(1-s) \) 인 \( f \) 의 역경로(reverse)이다).</p> <p>증명 (1) \( H:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 를 \[H(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } f(4 s / 1 + s), & s \in[0,(1 + s) / 4] \\g(4 s-t-1), & s \in[(1 + s) / 4,(2 + s) / 4] \\ h((4 s-t-2) /(2-s)), & s \in[(2 + s) / 4,1] \end {array} \right . \]에 의해 정의하면 \( H:(f * g) * h \simeq f (g h) \) 가 된다.<p>(2) \( F:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 를 \[F(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } f(2 s /(2-t)), & s \in[0,(2-t) / 2] \\x_ { 1 } , & s \in[(2-t) / 2,1] \end {array} \right . \]으로 정의하면 \( F: f \simeq f * e_ { x_ { 1 } } \) 이다. 또, \( G:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 를 \[G(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } x_ { 0 } , & s \in[0,(1-t) / 2] \\f((2 s + t-1) /(t + 1)), & s \in[(1-t) / 2,1] \end {array} \right . \]으로 정의하면 \( G: e_ { x_ { 0 } } * f \simeq f \) 이다.<p>(3) \( H:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 를 \[H(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } f(2 t s), & s \in \left [0, \frac { 1 } { 2 } \right ] \\f(2 t(1-s)), s \in \left [ \frac { 1 } { 2 } , 1 \right ] \end {array} \right . \]으로 정의하면 \( H: e_ { x_ { 0 } } \simeq f * \bar { f } \) 임을 알 수 있다. 또, 이것을 이용하면, \( e_ { x_ { 1 } } \simeq \overline {\bar { p } } * \overline {\bar { f } } \) 이다. \( \overline {\bar { f } } =f \) 이므로 \( e_ { x_ { 1 } } \simeq \overline {\bar { p } } * f \) 가 성립한다.</p> <p>만족시키는 \( p \)-chain \( c \) 를 기본 \( p \)-사슬(elementary \( p \)-chain \( ) \) 이라 하고, 같은 기호 \( \sigma ^ { p } \) 로 표시한다. 그러면 \( K \) 의 임의의 \( p \)-chain \( c_ { p } \) 는(적당한 정수 \( n_ { i } \) 가 존재해서) \[c_ { p } = \sum n_ { i } \sigma_ { i } \left ( \sigma_ { i } \text { 는 } K \text { 의 p-simplex } \right ) \]로 나타낼 수 있다.</p> <p>주의</p> <p>(1) \( C_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \) 의 \( p \)-chains \( c_ { 1 } , c_ { 2 } \) 가 \[c_ { 1 } = \sum n_ { i } \sigma_ { i } , \quad c_ { 2 } = \sum m_ { i } \sigma_ { i } \]이면 \[c_ { 1 } + c_ { 2 } = \sum \left (n_ { i } + m_ { i } \right ) \sigma_ { i } \]이다.<p>(2) \( c_ { p } = \sum n_ { i } \sigma_ { i } \in C_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \) 의 역원(inverse)온 \[-c_ { p } = \sum \left (-n_ { i } \right ) \sigma_ { i } \]이다.<p>(3) \( K \) 의 p-simplex들의 개수를 \( \alpha_ { p } \) 라고 하면 \[C_ { p } (K) \cong Z \oplus \cdots \oplus Z \text { (direct sum of } \alpha_ { p } \text { copies of } Z \text { ) } \]이다. \[f \left ( \sum_ { i=1 } ^ {\alpha_ { 2 } } n_ { i } \sigma_ { i } \right )= \left (n_ { 1 } , \cdots, n_ { a_ { i } } \right ) \]에 의해서 정의된 합수 \( f: C_ { P } (K) \rightarrow \mathrm { Z } \oplus \cdots \oplus \mathrm { Z } \) 는 군동형합수(isomor-phism)이다.<p>(4) \( p>\operatorname { dim } K \) 이면 \( C_ { p } (K)= \mathrm { O } \) (trivial group)이다.</p> <p>예제 \( 10.18 \)</p> <p>Klein병 \( K \) 와 사영평면 \( \mathrm { P } ^ { 2 } \) 의 관계로부티 \[ \begin {aligned} \chi( \boldsymbol { K } )= \chi \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \# \mathbb { P } ^ { 2 } \right )&= \chi \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) + \chi \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )-2 \\&=1 + 1-2 \\&=0 \end {aligned} \]올 얻는다.</p> <h2>\( 10.4 \) I 호모토피</h2> <p>\( X, Y \) 를 위상공간이라 하고 \( f, g \) 를 \( X \) 에서 \( Y \) 로의 연속함수라고 하자. 연속함수 \( H: \mathrm { X } \times[0,1] \rightarrow \mathrm { I } \) 가 존재해서 \[H(x, 0)=f(x), \quad H(x, 1)=g(x) \quad \forall x \in X \]를 만족시킬 때, \( f \) 와 \( g \) 는 호모토픽(homotopic)하다고 말하고 \( f \simeq g \) 또는 \( H: f \simeq g \) 로 쓴다. 이때 \( H \) 를 \( f \) 에서 \( g \) 로의 호모토피(homotopy)라고 한다.<p>\( H \) 가 \( f \) 에서 \( g \) 로의 호모토피일 때, \( H_ { t } (x)=H(x, t) \) 로 정의하면 \( H_ { t } \) 는 \( H_ { 0 } (x)=f(x) \), \( H_ { 1 } (x)=g(x) \) 를 만족시키는 연속함수 \( H_ { t } : X \rightarrow I \) 를 나타낸다.</p> <p>예제 10.19</p>\( \mathrm { X } \) 를 위상공간, \( \mathrm { R } ^ { 2 } \) 를 유클리드 평면이라고 하자. 주어진 연속함수 \( f, g: X \rightarrow \mathrm { R } ^ { 2 } \) 에 대해 \( H: X \times[0,1] \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \) 을 \[H(x, t)=(1-t) f(x) + \operatorname { tg } (x) \]에 의해 정의하면 \( H \) 는 \( f \) 에서 \( g \) 로의 호모토피이다. straigh-line homotopy라고 부른다.</p> <p>\( = \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle + \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } v_ { 3 } \right \rangle + \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 3 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } v_ { 0 } v_ { 2 } \right \rangle \)이다.</p> <p>유향 \( p \)-단체 \( \sigma ^ { p } \) 의 경계 \( \partial \left ( \sigma ^ { p } \right ) \) 의 정의를 확장하여서, 준동형합수(homomorphism) \[ \partial_ { p } : C_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \rightarrow C_ { p-1 } \left (K ^ { * } \right ) \]가 만들어지는 셈인데, 이 준동형합수 \( \partial_ { p } \) 를 경계작용소(boundary operator)라고 한다.</p> <p>정리 10.6</p>\( K \) 가 유향복합체이고 \( p \geq 2 \) 일 때, 두 경계작용소의 합성 \[ \partial_ { p-1 } \partial_ { p } : C_ { p } (K) \rightarrow C_ { p-2 } (K) \]는 zero homomorphism이다. 즉, \( \partial \partial \left ( \sigma ^ { p } \right )=0 \) 이다.</p> <p>증명 \[ \begin {aligned} \partial \partial \left \langle v_ { 0 } \cdots v_ { p } \right \rangle=& \partial \left ( \sum_ { i=0 } ^ { p } (-1) ^ { i } \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots v_ { p } \right \rangle \right ) \\ =& \sum_ { i } (-1) ^ { i } \partial \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots v_ { p } \right \rangle \\ =& \sum_ { i } (-1) ^ { i } \left [ \sum_ { j<i } (-1) ^ { j } \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { j } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots v_ { p } \right \rangle \right . \\ & \left . + \sum_ { j>i } (-1) ^ { j-1 } \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots \widehat { v_ { j } } \cdots v_ { p } \right \rangle \right ] \\ =& \sum_ { j<i } (-1) ^ { i + j } \left \langle v_ { 0 } \cdots \widehat { v } _ { j } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots v_ { p } \right \rangle \\ & + \sum_ { j>i } (-1) ^ { i + j-1 } \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots \widehat { v_ { j } } \cdots v_ { p } \right \rangle \\ =& 0 \end {aligned} \]</p> <p>증명</p> <p>\( h: \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } , e \right ) \rightarrow \mathrm { Z } \) 를 \( h([ \alpha])= \operatorname { deg } ( \alpha) \) 로 정의하면, 앞 정리에 의해서 \( h \) 는 단사합수이다.<p>\( m \) 을 정수라고 하자. \( u_ { m } :[0,1] \rightarrow S ^ { 1 } \) 을 \( u_ { m } (s)=p(m s) \) 에 의해 정의하면 \( u_ { m } \) 의 덮개경로는 \( \tilde { u } _ { m } (s)=m s \) 가 되고 \( \tilde { u } _ { m } (1)=m \) 이므로 \( h \left ( \left [u_ { m } \right ] \right )=m \) 이다.</p> <p>그러므로 \( h \) 는 전사합수이다.</p> <p>\( h \) 가 준동형합수임을 보이기 위해, \( [ \alpha],[ \beta] \) 를 \( \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } , e \right ) \) 의 원소라고 하고, \( \tilde {\alpha } , \tilde {\beta } \) 를 각각 \( \tilde {\alpha } (0)=0, \tilde {\beta } (0)=0 \) 인 \( \alpha, \beta \) 의 덮개경로라고 하자. \( \gamma:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } \) 을 \[ \gamma(s)= \left \{\begin {array} { ll } \tilde {\alpha } (2 s), & s \in \left [0, \frac { 1 } { 2 } \right ] \\ \tilde {\alpha } (1) + \tilde {\beta } (2 s-1), & s \in \left [ \frac { 1 } { 2 } , 1 \right ] \end {array} \right . \]</p> <p>으로 정의하면 \( \gamma(0)=0 \) 이고 \( \gamma \) 는 \( \alpha * \beta \) 의 멒개경로이다. 이리하여 \[ \operatorname { deg } ( \alpha * \beta)= \gamma(1)= \tilde {\alpha } (1) + \tilde {\beta } (1)= \operatorname { deg } ( \alpha) + \operatorname { deg } ( \beta) \] 이고, 따라서 \[ \begin {aligned} h([ \alpha] \cdot[ \beta]) &=h([ \alpha * \beta])= \operatorname { deg } ( \alpha * \beta) \\ &= \operatorname { deg } ( \alpha) + \operatorname { deg } ( \beta)=h([ \alpha]) + h([ \beta]) \end {aligned} \]이다. 위 정리에 의하면, annulus \( \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 1 \leq \\|x \\| \leq 2 \right \} \), cylinder \( S ^ { 1 } \times[0,1] \), punctured plane \( \mathrm { R } ^ { 2 } - \{ 0 \} \) 동은 모두 \( S ^ { 1 } \) 와 동일호모토피형(same homotopy type)이므로 이들의 기본군은 정수군 \( \mathrm { Z } \) 이다.</p> <p>이고, 이때 \( S ^ { 1 } =U_ { 1 } \cup U_ { 2 } , p ^ { -1 } \left (U_ { i } \right ) \) 의 각 성분은 \( U_ { i } \) 와 \( p \) 에 의해 위상동형 이다.</p> <p>\( \varepsilon>0 \) 을 컴팩트 공간 \( [0,1] \) 의 열린덮개 \( \left \{\alpha ^ { -1 } \left (U_ { 1 } \right ), \alpha ^ { -1 } \left (U_ { 2 } \right ) \right \} \) 의 Lebesgue수라고 하자. \( s_ { k + 1 } -s_ { k }< \varepsilon \) 이 되도록 \( [0,1] \) 의 분할<p>\( 0=s_ { 0 }<s_ { 1 }< \cdots<s_ { n } =1 \)을 잡으면 각 \( \alpha \left ( \left [s_ { k } , s_ { k + 1 } \right ] \right ) \) 온 \( U_ { 1 } , U_ { 2 } \) 중 어느 하나에만 포함된다.<p>\( \alpha \left (s_ { 0 } \right )=e \notin U_ { 2 } \) 이므로 \( \alpha \left ( \left [s_ { 0 } , s_ { 1 } \right ] \right ) \subset U_ { 1 } \) 이다. \( A_ { 1 } = \left (- \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 4 } \right ) \) 으로 잡고 \( \tilde {\alpha } : \left [s_ { 0 } , s_ { 1 } \right ] \rightarrow R \) 을 \( \tilde { a } (s)= \left ( \left .p \right \|_ { A_ { 1 } } \right ) ^ { -1 } \alpha(s) \) 에 의해 정의하면, 이것은 \( \left [s_ { 0 } , s_ { 1 } \right ] \)에서의 \( \alpha \) 의 덮개경로이다. \( \tilde {\alpha } \) 가 \( \left [s_ { 0 } , s_ { k } \right ] \) 에서 정의되었다고 하자.</p> <p>정의</p>\( \mathrm { X } \) 가 제 2 가산공간이고, \( \mathrm { X } \) 의 입의의 점 \( x \) 에 대해서 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 의 open ball(또는 \( \mathbb { R } ^ { n } \)자신)과 위상동형인 \( x \) 의 근방 \( U \) 가 존재할 때, \( \mathrm { X } \) 를 \( n \) 차원 다양체(n-dimensional topological manifold, n-manifold)라고 한다. 2차원 다양체를 곡면(surface), 1 차원 다양체를 곡선(curve)이라고 부른다. compact, connected \( n \)-manifold를 closed \( n \)-manifold라고 한다.</p> <p>\( m \neq n \) 일 때 \( \mathbb { R } ^ { m } \) 의 open ball과 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 의 open ball은 위상동형이 아님을 보일 수 있다(Invariance of Domain Theorem). 그러므로 다양체의 차원은 의미가 있다.</p> <p>예제 \( 10.14 \)<p>(1) \( \mathrm { R } ^ { n } \) 은 \( n \)-manifold이다.<p>(2) \( S ^ { n } \) 은 \( n \)-manifold이다.<p>(3) \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 열린부분공간는 \( n \)-manifold이다.<p>(4) \( f: \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } \) 가 연속합수일 때, \( f \) 의 그래프 \( \{ (x, f(x) \mid x \in \mathbb { R } \} \) 는 1-manifold이다.<p>예제 \( 10.15 \) 구면 \( S ^ { 2 } \), 윤환면 \( T ^ { 2 } \), 사영평면 \( \mathrm { P } ^ { 2 } \), Klein병 \( K \) 동은 2-manifolds의 예이다. 이것은 모두 closed surfaces(compact connected 2-manifolds)이다.<p>\( \mathrm { X } \) 가 compact surface일 때 \( \mathrm { Y } \) 의 triangulation인 복합체 \( K( \) 즉, \( \|K\| \cong X \) )가 존재함이 알려셔 있다. 이때, \( K \) 의 꼭지점(0-simplexes), 모서리(1-simplexes), 면(2-simplexes)을 각각 \( \mathrm { Y } \) 의 꼭지점, 모서리, 면이라고 한다. compact surface \( X \) 의 오일러 특성수(Euler characteristic)는 \( X \) 의 triangulation \( K \)의 오일러 특성수로 정의한다.<p>예제 \( 10.16 \)<p>(1) \( \chi \left (S ^ { 2 } \right )=2 \) 이다(오일러 정리).<p>(2) torus \( T ^ { 2 } \) 의 삼각분할(그릴 10.5)에서<p>\[ \alpha_ { 0 } =9, \alpha_ { 1 } =27, \alpha_ { 2 } =18 \]이므로 \[ \chi \left (T ^ { 2 } \right )=9-27 + 18=0 \]이다. 그런데 \( H_ { 0 } \left (T ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } , H_ { 1 } \left (T ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } , H_ { 2 } \left (T ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } \) 임을 보일 수 있다. 따라서 이것은<p>\[ \begin {aligned} \chi \left (T ^ { 2 } \right ) &=R_ { 0 } \left (T ^ { 2 } \right )-R_ { 1 } \left (T ^ { 2 } \right ) + R_ { 2 } \left (T ^ { 2 } \right ) \\ &=1-2 + 1 \\&=0 \end {aligned} \]임을 확인하고 있다.<p>(3) Klein병 \( K \) 의 삼각분할에서<p>\[ \alpha_ { 0 } =9, \alpha_ { 1 } =27, \alpha_ { 2 } =18 \] 이므로 \[ \chi(K)=9-27 + 18=0 \] 이다.</p> <p>(1) \( \mathrm { X } \) 가 축약가능공간(contractible space)이면 한 점 \( \left \{ x_ { 0 } \right \} \) 와 호모토피 동치이다. 그러므로 \( \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right )= \mathrm { O } \) 이다.<p>(2) \( \mathbb { R } ^ { 2 } - \{ 0 \} \simeq S ^ { 1 } \) 이므로 \( \pi_ { 1 } \left ( \mathbb { R } ^ { 2 } - \{ 0 \} , x_ { 0 } \right ) \cong \pi_ { 1 } \left (S ^ { 1 } , y_ { 0 } \right ) \) 이다.</p> <h2>\( 10.5 \) I \( S ^ { 1 } \) 의 기본군</h2> <p>이 절에서, \( p: \mathrm { R } \rightarrow S ^ { 1 } \) 은 \( p(x)=( \cos 2 \pi x, \sin 2 \pi x) \) 에 의해 정의된 덮개사영함수 (covering projection)를 나타내고, \( e=(1,0) \in S ^ { 1 } \) 이라 하자. 이 사영합수 \( p \) 는 각 정수 \( n \) 에 대해 \( [n, n + 1] \) 로서 \( S ^ { 1 } \) 을 한 바퀴 감싸는 연속전사합수이다.</p> <p>정리 10.28</p>Covering Path Property \( \alpha:[0,1] \rightarrow S ^ { 1 } \) 가 \( \alpha(0)=e \) 인 경로이면 \( \tilde {\alpha } (0)=0 \) 인 경로 \( \tilde {\alpha } :[0,1] \rightarrow \mathbb { R } \) 가 유일하게 존재한다. ( \( \tilde {\alpha } \) 는 \( p \) 。 \( \tilde {\alpha } = \alpha \) 가 되는 \( \mathbb { R } \) 에서의 경로로서 \( \alpha \) 의 올림(lifting)또는 덮개경로(covering path)라고 한다.)</p> <p>증명<p>\( U_ { 1 } \) 을 \( S ^ { 1 } \) 에서 2 사분면의 부분을 게외한 열린호(open arc), \( U_ { 2 } \) 를 \( S ^ { 1 } \) 에서 4 사분면의 부분을 제외한 열린호라고 두면,<p>\( p ^ { -1 } \left (U_ { 1 } \right )= \bigcup_ { k \in Z } \left (k- \frac { 1 } { 2 } , k + \frac { 1 } { 4 } \right ), \quad p ^ { -1 } \left (U_ { 2 } \right )= \bigcup_ { k \in Z } \left (k, k + \frac { 3 } { 4 } \right ) \)</p> <p>예제 10.4 (1) 1-simplex \( \left (v_ { 0 } v_ { 1 } \right ) \) 에 \( v_ { 0 }<v_ { 1 } \) 의 순서를 택하면 \[ \sigma ^ { 1 } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle,- \sigma ^ { 1 } =- \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } v_ { 0 } \right \rangle \]이다. \( + \sigma ^ { 1 } = + \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle \) 으로 쓰기도 한다.<p>(2) 2-simplex \( \left (v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right ) \) 에 \( v_ { 0 }<v_ { 1 }<v_ { 2 } \) 의 순서를 주면 \[ \sigma ^ { 2 } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle= \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle \]</p> <p>\( - \sigma ^ { 2 } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 2 } v_ { 1 } \right \rangle= \left \langle v_ { 2 } v_ { 1 } v_ { 0 } \right \rangle= \left \langle v_ { 1 } v_ { 0 } v_ { 2 } \right \rangle \)이다.</p> <p>기하복합체 \( K \) 의 모든 simplex가 유향일 때 \( K \) 를 유향복합체(oriented complex)라고한다.</p> <h2>10.2 기하복합체의 호몰로지군</h2> <p>정의</p>\( K \) 를 유향복합체, \( \mathrm { Z } \) 를 정수군(group of integers)이라 하자. \( K \) 의 모든 유향단체들의 집합족에서 \( \mathrm { Z } \) 로의 함수 \( c: \{\sigma \mid \sigma \) 는 \( K \) 의 oriented \( p \)-simplex \( \} \rightarrow Z \)가 임의의 \( \sigma ^ { p } \in K \) 에 대하여 \[c \left (- \sigma ^ { p } \right )=-c \left ( + \sigma ^ { p } \right ) \]를 만족시킬 때, \( c \) 를 \( K \) 의 \( p \)-사슬 \( (p \)-chain \( ) \) 이라 한다. \( c_ { 1 } , c_ { 2 } \) 가 \( K \) 의 \( p \)-chain일 때 \[ \left (c_ { 1 } + c_ { 2 } \right ) \left ( \sigma ^ { p } \right )=c_ { 1 } \left ( \sigma ^ { p } \right ) + c_ { 2 } \left ( \sigma ^ { p } \right ) \]에 의해서 합(addition)을 정의하면 모든 \( p \)-chain들의 집합 \[C_ { p } (K)= \{ c \mid c \text { 는 } K \text { 의 } p \text { -chain } \} \]은 군의 구조를 가지는데, \( C_ { p } (K) \) 를 \( K \) 의 \( p \)-사슬군( \( p \)-chain group \( ) \) 이라 한다. \( K \)의 \( p \)-simplex \( \sigma ^ { p } \) 에 대하여<p>\( c( \tau)= \left \{\begin {array} { ll } \pm 1, & \left ( \tau= \pm \sigma ^ { p } \text { 일 때 } \right ) \\ 0, & \left ( \tau \neq \sigma ^ { p } \text { 일 때 } \right ) \end {array} \right . \)</p> <p>\( K \) 가 연결복합체일 때, \( \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \in K \) 를 0-simplex라 하면(고정시키고), 임의의 0-simplex \( \langle v \rangle \in K \) 에 대하여 1-simplex \( e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \) 이 존재해서 이들에 의하여 \( \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \) 와 \( \langle v \rangle \) 는 연결된다. 그러면 모든 elementary 0-chain(0-cycle)은 \( \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \) 와 homologous하고, 따라서 0-chain은 (적당한 정수 \( n \) 에 대하여) \( n \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \) 와 homologous하다. 그러므로 \[H_ { 0 } \left (K ^ { * } \right )= \left \{ n \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + B_ { 0 } \left (K ^ { * } \right ) \mid n \in \mathbf { Z } \right \} \cong \mathbf { Z } \]이다.<p>이러한 사실을 각 성분(component)에 적응하여 보면, 복합체 \( K \) 의 0차 호몰로지군 \( H_ { 0 } (K) \) 는 \( K \) 의 성분의 수를 알려주는 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 \( 10.8 \) 복합체 \( K \) 의 성분의 수가 \( r \) 이면 \[H_ { 0 } (K) \cong Z \oplus \cdots \oplus Z \text { (direct sum of } r \text { copies of } Z \text { ) } \]</p> <p>예제 \( 10.9 \) 사영평면 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 의 호몰로지군을 계산하자. 다음 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 의 triangulation에서, 6개의 0-simplexes, 15개의 1-simplexes, 10개의 2-simplexes가 있다.</p> <p>(i) \( \mathbb { P } ^ { 2 } \) 는 연결공간이므로 \( H_ { 0 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )=Z \) 이다.<p>(ii) \( H_ { 2 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ): \mathbb { P } ^ { 2 } \) 의 각 1-simplex는 정확히 2개의 2-simplexes의 공통면이다. 그러므로 2-chain \( c= \sum_ { i=1 } ^ { 10 } n_ { i } \sigma_ { i } \left ( \sigma_ { i } \right . \) 는 2-simplex)에 대해서 \[ \partial(c)=0 \Rightarrow n_ { 1 } = \cdots=n_ { 10 } \]이 성립한다. 이때, \( n_ { 1 } = \cdots=n_ { 10 } \equiv m \) 이라 두면 \[ \partial(c)=2 m \left ( \left \langle v_ { 3 } v_ { 4 } \right \rangle + \left \langle v_ { 4 } v_ { 5 } \right \rangle + \left \langle v_ { 5 } v_ { 3 } \right \rangle \right ) \]이므로, 2-chain \( c= \sum n_ { i } \sigma_ { i } \) 가 2-cycle이기 위한 조건은<p>\[n_ { i } =m=0 \]이다. 그러므로 \( Z_ { 2 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )=0 \) 이고, 따라서 \( H_ { 2 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) \cong 0 \) 이다.</p> <p>(iii) \( H_ { 1 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ): \) 1-chain \( c= \sum_ { i=1 } ^ { 15 } n_ { i } \sigma_ { i } \left ( \sigma_ { i } \right . \) 는 1-simplex)가 1-cycle이면 (적당한 \( n \in \mathrm { Z } \) 이 있어서) \( n \left ( \left \langle v_ { 3 } v_ { 4 } \right \rangle + \left \langle v_ { 4 } v_ { 6 } \right \rangle + \left \langle v_ { 5 } v_ { 3 } \right \rangle \right ) \) 와 homologous하다(연습문제). 식 ()에 의해서, \( n \) 이 짝수이면 \( n \left ( \left \langle v_ { 3 } v_ { 4 } \right \rangle + \left \langle v_ { 4 } v_ { 5 } \right \rangle + \left \langle v_ { 5 } v_ { 3 } \right \rangle \right ) \) 는 1-boundary이다. 그러므로 \( H_ { 1 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) \cong \mathrm { Z } _ { 2 } \) 이다.</p> <p>복합체 \( K_ { 1 } , K_ { 2 } \) 에 대해서, 다면체 \( \left \|K_ { 1 } \right \| \) 과 \( \left \|K_ { 2 } \right \| \) 가 위상동형이면, 당연히 \( H_ { p } \left (K_ { 1 } \right ) \cong \) \( H_ { p } \left (K_ { 2 } \right )(p=0,1,2, \cdots) \) 가 성팁한다(증명은 생탁한다).</p> <p>정리 \( 10.10 \) 2차원 구면 \( S ^ { 2 } \) 의 호몰로지군은 다음과 같다. \[H_ { 0 } \left (S ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } , \quad H_ { 1 } \left (S ^ { 2 } \right )=0, \quad H_ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } \]</p> <p>기하복합체 \( K, L \) 에 대해서 \[\|K\| \cong\|L\| \text { (homeomorphic)이면 } H_ { p } (K) \cong H_ { p } (L) \text { (isomorphic) } \]이라는 당연히 성립해야 하는 사실은 Oswald Veblen에 의해서 중명되었다. 이러한 이유로, \( H_ { p } \left (K ^ { } \right ), R_ { p } \left (K ^ { * } \right ), \chi \left (K ^ {\prime } \right ) \) 대신에 \[H_ { p } \left ( \left \|K ^ { * } \right \| \right ), R_ { p } \left ( \left \|K ^ { * } \right \| \right ), \chi \left ( \left \|K ^ { * } \right \| \right ) \]로 표시해도 좋다.</p> <p>정의</p>유클리드 공간 \( \mathrm { R } ^ { 3 } \) 에서, 다면체(rectilinear polyhedron)는 properly joined된 평면볼록다각형(convex polygon)들에 의해서 둘러싸인 입체이다. 이때 둘러싸는 볼록다각형들을 면(faces), 면들이 만나는 부분을 모서리(edges), 모서리들이 만나는 부분을 꼭지점(vertices)이라고 한다. 그리고 면들의 합집합을 다면체의 경계 (boundary)라고 한다. 단순다면체(simple polyhedron)란 경계가 구면 \( S ^ { 2 } \) 와 위상동형인 다면체를 말한다. 정다면체(regular simple polyhedron)는 모든 면이 합동인 평면정다각형으로 이루어진 볼록단순다면체이다.</p> <p>정리 10.10에 의하면, 구면 \( S ^ { 2 } \) 의 Betti numbers는 \[R_ { 0 } \left (S ^ { 2 } \right )=1, R_ { 1 } \left (S ^ { 2 } \right )=0, R_ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right )=1 \]이다. 그러므로 \[ \chi \left (S ^ { 2 } \right )= \sum_ { p=0 } ^ { 2 } (-1) ^ { p } R_ { p } \left (S ^ { 2 } \right )=1-0 + 1=2 \]이다.</p> <p>정리 10.12 Euler의 정리</p>단순다면체(simple polyhedron) \( P \) 의 꼭지점의 수를 \( V \), 모서리의 수를 \( E \), 면의수를 \( F \) 라고 하면 \[V-E + F=2 \]</p> <p>\( A_ { k + 1 } \) 을 \( \tilde { a } \left (s_ { k } \right ) \) 가 속하는 \( p ^ { -1 } (U) \) 의 성분이라고 하면(단, \( U \) 는 \( U_ { 1 } \) 또는 \( U_ { 2 } \) 이다) \( p: A_ { k + 1 } \rightarrow U \) 는 위상동형이므로 \( \tilde {\alpha } (s)= \left ( \left .p \right \|_ { A_ { k + 1 } } \right ) ^ { -1 } \alpha(s), s \in \left [s_ { k } , s_ { k + 1 } \right ] \) 으로 정의한다.</p> <p>이러한 방법으로 계속하여 \( p \circ \tilde {\alpha } = \alpha \) 가 되는 \( \tilde {\alpha } :[0,1] \rightarrow \mathbb { R } \)을 정의할 수 있다. 이러한 \( \alpha \) 의 덮개경로 \( \tilde {\alpha } \) 가 유일하게 존재합온 분명하다.</p> <p>Covering Homotopy property \( H:[0,1] \times[0,1] \rightarrow S ^ { 1 } \) 가 \( H(0,0)=e \) 인 호모토피이면 \( \widetilde { H } (0,0)=0 \) 이고 \( p \circ \widetilde { H } =H \) 인 \( H \) 의 덮개호모토피 \( \widetilde { H } :[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathrm { R } \) 가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명</p>덮개경로성질(Covering Path property)을 설명하는 앞 정리의 증명과 같은 방법으로 증명한다(연습문게제).<p>\( \alpha:[0,1] \rightarrow S ^ { 1 } \) 을 기점이 \( e=(1,0) \) 인 루프(loop)라고 하면 \( \tilde {\alpha } (0)=0 \) 이고 \( p \circ \tilde {\alpha } = \alpha \) 인 덮개루프 \( \tilde {\alpha } :[0,1] \rightarrow \mathbb { R } \) 가 유일하게 존재하는데, 이때 \( p( \tilde {\alpha } (1))= \) \( \alpha(1)=e \) 이므로 \( \tilde {\alpha } (1) \) 은 정수이다. 이 정수 \( \tilde {\alpha } (1) \) 을 \( \alpha \) 의 차수(degree)라 하고 \( \operatorname { deg } ( \alpha) \)로 표시한다.</p> <p>예제10.7<p>유향 2-단체 \( \sigma= \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \) 의 모든 면들로 구성된 기하복합체 \( K \) 의 호몰로지군을 계산하자. \( K \) 의 \[ \begin {array} { l } \text { 0-simplex는 } \left \langle v_ { 0 } \right \rangle, \left \langle v_ { 1 } \right \rangle, \left \langle v_ { 2 } \right \rangle \text { 이고 } \\ \text { 1-simplex는 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle, \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle, \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \\ \text { 2-simplex는 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \end {array} \]이다. 그러면 \[ \begin {array} { l } C_ { 0 } \left (K ^ { * } \right ) \cong \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } , C_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) \cong \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } , \\C_ { 2 } \left (K ^ { * } \right ) \cong \mathrm { Z } , C_ { p } \left (K ^ { * } \right )=0 \quad(p>2) \end {array} \]</p> <p>(i) \( H_ { 2 } (K): \) 2-chain \( c=n \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \) 에 대해서 \[ \partial(c)=n \left ( \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \right ) \]이므로 \[ \partial(c)=0 \Leftrightarrow n=0 \]이다. 따라서 \( Z_ { 2 } \left (K ^ { * } \right )= \mathrm { O } \) 이다. \( C_ { 3 } (K)= \mathrm { O } \) 이므로 \( B_ { 2 } (K)=0 \) 이다. 그러므로 \[H_ { 2 } \left (K ^ { * } \right )=Z_ { 2 } \left (K ^ { * } \right ) / B_ { 2 } \left (K ^ { * } \right ) \cong 0 . \] (ii) \( H_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) \) : 1-chain \( c=n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \) 에 대해서 \[ \partial(c)= \left (n_ { 3 } -n_ { 1 } \right ) \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + \left (n_ { 1 } -n_ { 2 } \right ) \left \langlev_ { 1 } \right \rangle + \left (n_ { 2 } -n_ { 3 } \right ) \left \langle v_ { 2 } \right \rangle \]이므로 \[ \partial(c)=0 \Leftrightarrow n_ { 1 } =n_ { 2 } =n_ { 3 } \]이다. 따라서 \[Z_ { 1 } \left ( \Pi ^ { * } \right )= \left \{ n \left ( \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \right ) \mid n \in \mathbf { Z } \right \} \cong \mathbf { Z } \]이다. 그런데 \[ \begin {aligned} B_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) &= \left \{\partial(c) \mid c \in C_ { 2 } \left ( \Pi ^ { * } \right ) \right \} \\ &= \left \{\partial \left (m \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \right ) \mid m \in \mathbf { Z } \right \} \\ &= \left \{ m \left ( \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \mid m \in \mathbf { Z } \right \} \right . \\&=Z_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) \end {aligned} \]이다. 그러므로 \( H_ { 1 } \left (K ^ { * } \right )=Z_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) / B_ { 1 } \left (K ^ { * } \right ) \cong 0 \) 이다.</p> <p>\( f, g:[0,1] \rightarrow X \) 가 \( f(0)=x_ { 0 } , f(1)=x_ { 1 } =g(0), g(1)=x_ { 2 } \) 인 두 경로일 때, \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 을 거쳐 \( x_ { 2 } \) 까지의 경로 \( f * g:[0,1] \rightarrow X \) 를 \[(f * g)(s)= \left \{\begin {array} { ll } f(2 s), & 0 \leq s \leq \frac { 1 } { 2 } \\g(2 s-1), & \frac { 1 } { 2 } \leq s \leq 1 \end {array} \right . \]에 의해 정의하고, 이것을 \( f \) 와 \( g \) 의 경로곱(path product)이라고 한다(7장 참조). \( X \) 에서의 경로 \( f, f ^ {\prime } , g, g ^ {\prime } \) 에 대해 \( f \simeq f ^ {\prime } , g \simeq g ^ {\prime } \) 이고 \( f * g \) 가 정의된다고 하자. \( F: f \simeq f ^ {\prime } \), \( G: g \simeq g ^ {\prime } \) 이라고 할 때, \[H(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } F(2 s, t), & 0 \leq s \leq \frac { 1 } { 2 } \\G(2 s-1, t), & \frac { 1 } { 2 } \leq s \leq 1 \end {array} \right . \]</p> <p>이라고 정의하면 \( H:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X ^ {\prime } \) 는 \( f * g \) 와 \( f ^ {\prime } * g ^ {\prime } \) 사이의 경로호모토피가 된다. 즉, \( H: f * f ^ {\prime } \approx g * g ^ {\prime } \) 이다.</p> <p>위상공간 \( \mathrm { X } \) 에서의 두 경로 \( f, g \) 에 대해, \( f(1)=g(0) \) 일 때 \[[f] \circ[g]=[f * g] \]에 의해서 을 정의하면 경로호모토피동치류들의 모입에서 은 다음 성질을 만족시킨다.</p> <p>(iii) \( H_ { 0 } \left (K ^ { - } \right ): Z_ { 0 } (K)= \) kernel of \( \partial: C_ { 0 } (K) \rightarrow 0 \) 이므로 \[Z_ { 0 } (K)=C_ { 0 } (K) \cong Z \oplus \mathbb { Z } \oplus \mathbb { Z } \]이다. 1-chain \( c=n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \) 의 boundary는 \[ \partial(c)= \left (n_ { 3 } -n_ { 1 } \right ) \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + \left (n_ { 1 } -n_ { 2 } \right ) \left \langlev_ { 1 } \right \rangle + \left (n_ { 2 } -n_ { 3 } \right ) \left \langle v_ { 2 } \right \rangle \]이므로 \[ \begin {aligned} B_ { 0 } (K) &= \left \{\partial(c) \mid c \in C_ { 1 } (K) \right \} \\ &= \left \{ a \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + b \left \langle v_ { 1 } \right \rangle-(a + b) \left \langle v_ { 2 } \right \rangle \mid a, b \in \mathbf { Z } \right \} \\& \cong \mathbb { Z } \oplus \mathbb { Z } \end {aligned} \]이다. 그러면 \( H_ { 0 } (K)=Z_ { 0 } (K) / B_ { 0 } (K) \cong \mathrm { Z } \) 인가?<p>사실, 임의의 0-cycle \( a \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + b \left \langle v_ { 1 } \right \rangle + c \left \langle v_ { 2 } \right \rangle \) 에 대해서<p>\[ a \left \langle v_ { 0 } \right \rangle + b \left \langle v_ { 1 } \right \rangle + c \left \langle v_ { 2 } \right \rangle= \partial \left (b \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle-c \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \right ) + (a + b + c) \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \] 이므로, 0-cycle은 \( k \left \langle v_ { 0 } \right \rangle(k \in Z) \) 와 homologous하다. 그러므로 \[H_ { 0 } (K) \cong Z \]를 얻는다.<p>기하복합체 \( K \) 의 simplexes \( \sigma \) 와 \( \tau \) 가 연결되어 있다(connected)라는 것은<p>(i) \( \sigma \cap \tau \neq \varnothing \) 이거나<p>(ii) 1 -simplex들 \( e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \in K \) 이 존재해서 \( \sigma \cap e_ { 1 } \) 는 \( e_ { 1 } \) 의 꼭지점, \( \tau \cap e_ { n } \) 는 \( \tau \) 의 꼭지점, \( e_ { i } \cap e_ { i + 1 } \) 는 \( e_ { i } \) 와 \( e_ { i + 1 } \) 의 공통 꼭지점임을 의미한다.<p>이러한 연결 관계는 \( K \) 에서 등치관계임이 분명하다. 이때의 동치류를 \( K \) 의 (combinatorial) component라고 한다. \( K \) 의 component가 오지 \( K \) 뿐이면 \( K \) 를 연결복합체(connected complex)라고 한다. 이는 \( K \) 의 polyhedron \( \|K\| \) 가 \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 경로연결부 분공간(path connected subspace)임을 뜻한다.</p> <p>\( A \) 가 \( \mathrm { X } \) 의 강변형수축일 때 \( A \) 와 \( \mathrm { X } \) 는 동일호모토피형(호모토피 동치공간)이다.</p> <p>정리 10.25 두 연속함수 \(f, g: \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (Y, y_ { 0 } \right )\)에 대해 \(f \simeq g \text { rel } x_ { 0 }\)이면 \(f_ { * } =g_\)이다.</p> <p>증명 \( [ \alpha] \in \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \) 라고 하자. 함수 \( G:[0,1] \times[0,1] \rightarrow \mathrm { Y } \) 를 \[G(s, t)=F( \alpha(s), t) \]에 의해 정의하면 \( G: f \circ \alpha \sim g \circ \alpha \) 이다. 즉, \( f \times([ \alpha])=[f \circ \alpha]=[g \circ \alpha] \) \( =g_([ \alpha]) \) 이다.</p> <p>정리 10.26 \(f: \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left ( \mathrm { Y } , y_ { 0 } \right )\)가 호모토피 동치함수이면 \(f_ { * } : \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { Y } , y_ { 0 } \right ) \)는 군동형함수(isomorphism)이다. 즉, \( \mathrm { X } \simeq \mathrm { Y } \) 이면 \( \mathrm { X } \) 와 \( \mathrm { Y } \) 의 기본군은 동형이다.</p> <p>증명 \( g: I \rightarrow X \) 를 \( f \) 의 호모토피 역(homotopy inverse)이라 하고 \( g \left (y_ { 0 } \right )=x_ { 1 } \) 이라 하자. 연속함수열 \( \left (X, x_ { 0 } \right ) \stackrel { f } {\rightarrow } \left (Y, y_ { 0 } \right ) \stackrel { g } {\rightarrow } \left (X, x_ { 1 } \right ) \stackrel { f } {\rightarrow } \left (Y, f \left (x_ { 1 } \right ) \right ) \) 로부터 준동형함수열 \[ \begin {aligned} \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \stackrel {\left (f_ { 0 } \right )_ { * } } {\longrightarrow } \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { Y } , y_ { 0 } \right ) \\ \hat { p } \searrow & \swarrow g_* \\ & \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 1 } \right ) \stackrel {\left (f_ { 1 } \right )_ { * } } {\longrightarrow } \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { Y } , f \left (x_ { 1 } \right ) \right ) \end {aligned} \] 를 얻는다. (여기서 \( f_ { 0 } \) 와 \( f_ { 1 } \) 은 모두 \( f \) 로서 기점을 구분하기 위한 것이다.) \( g \circ f: \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (X, x_ { 1 } \right ) \) 은 \( 1_ { X } \) 와 호모토픽하므로 경로 \( p:[0,1] \rightarrow N \) 가 존재해서 \( \left ( \right . \) 단, \( \left .p(0)=x_ { 0 } , p(1)=x_ { 1 } \right )(g \circ f)_ { * } = \hat { p } \circ \left (1_ { X } \right )_ { * } = \hat { p } \) 이다.</p><p>그러므로 \( (g \circ f)_ { * } =g_ { * } \circ \left (f_ { 0 } \right )_ { * } \) 는 동형함수이다. 같은 방법에 의해, \( (f \circ g)_ { * } = \left (f_ { 1 } \right )_ { * } \circ g_ { * } \) 는 동형함수임을 알 수 있다. 따라서 \( g * \) 는 전단사 함수이다. 결과적으로, \( g_ { * } \circ \left (f_ { 0 } \right )_ { * } = \hat { p } \) 로부터 \( \left (f_ { 0 } \right )_ { * } = \left (g_ { * } \right ) ^ { -1 } \circ \hat { p } \) 는 동형함수이다.</p> <p>정의</p>위상공간 \( X \) 의 점 \( x_ { 0 } \in X \) 에 대해, \( \alpha(0)= \alpha(1)=x_ { 0 } \) 가 되는 경로 \( \alpha:[0,1] \rightarrow X \)를 \( x_ { 0 } \) 를 기점(base point)으로 하는 닫힌경로(루프, loop)라고 한다. \( x_ { 0 } \) 가 기점인 모든 루프들의 경로호모토피 동치류들의 집합을 \( \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \) 라고 두면 위 정리에 의해 \( \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \) 는 연산 \( [ \alpha] \circ[ \beta]=[ \alpha * \beta] \) 에 의해서 군(group)이 됨을 알 수 있다. \( \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \) 를 기점이 \( x_ { 0 } \) 인 \( X \) 의 기본군(fundamental group of \( X \) based at \( x_ { 0 } \) )이라고 한다.</p> <p>예제 10.22 유콜리드 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 의 부분공간으로서 \( X \) 를 볼록집합(convex set)이라 하고 \( x_ { 0 } \in X \)라고 하자. 임의의 \( [ \alpha] \in \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \) 에 대해, \( F:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 를 \[F(s, t)=(1-t) \alpha(s) + t x_ { 0 } \]에 의해 정의하면 \( F: \alpha \approx e_ { x_ { 0 } } \) 이다. 그러므로 \( \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right )= \left \{\left [e_ { x_ { 0 } } \right ] \right \} \) (자명군, trivial group)이다. (trivial group을 0 으로 쓰기도 한다.) \( f:[0,1] \rightarrow X \) 를 \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 으로의 경로(path)라고 할 때, 함수 \( \hat { f } : \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 1 } \right ) \) 를 \( \hat { f } ([ \alpha])=[ \bar {\alpha } ] \circ[f] \circ[ \alpha] \) 에 의해 정의하면 \( \hat { f } \) 는 군동형합수(group isomorphism)가 됨을 증명할 수 있다. 따라서 \( \mathrm { X } \) 가 경로연결공간이면 임의의 점 \( x_ { 0 } , x_ { 1 } \) 에 대해 \( \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \cong \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 1 } \right ) \) 이다.<p>위상공간 \( X \) 가 경로연결(path connected)이고 \( \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \) 가 자명군(trivial group)일 때, \( X \) 를 단순연결공간(simply connected space)이라고 한다.<p>\( \mathrm { X } \) 가 단순연결공간일 때, \( f, g \) 를 \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 으로의 두 경로라고 하면 \( f * \bar { g } \) 는 \( x_ { 0 } \) 가 기점인 루프(loop)이므로 \( f * \bar { g } \simeq e_ { x_ { 0 } } \) 이다. 따라서 \( f \simeq \bar { p } g \) 이다. 즉, 단순연결공간 \( X \) 에서 \( f(0)=g(0), f(1)=g(1) \) 인 두 경로는 항상 경로호모토픽하다.<p>\( h: X \rightarrow I \) 가 \( h \left (x_ { 0 } \right )=y_ { 0 } \) 인 연속합수일 때(이때 \( h: \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (I, y_ { 0 } \right ) \) 로 쓴다), \( \alpha \)가 \( x_ { 0 } \) 를 기점으로 하는 \( X \) 에서의 루프이면 \( h \circ \alpha \) 는 \( y_ { 0 } \) 를 기점으로 하는 \( I \) 에서의 루프가 된다. 이때, \( h_ { * } : \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { I } , y_ { 0 } \right ) \) 를<p>\( h_ { * } ([ \alpha])=[h \circ \alpha] \)에 의해 정의하면, \( h \) * 는 준동형합수가 됨을 쉽게 증명할 수 있다. \( (h * \) 는 \( h \) 에 의해서 유도되는 준동형합수(homomorphism induced by \( h \) )라고 한다.)<p>\( f: \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (I, y_ { 0 } \right ) \) 와 \( g: \left (I, y_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (Z, z_ { 0 } \right ) \) 가 연속합수이면 \[(g \circ f) =g \circ * \]가 되고, 항등함수 \( i d: \left (x, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (X, x_ { 0 } \right ) \) 에 대해 \( i d \times \) 는 항등함수 id \( : \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left (X, x_ { 0 } \right ) \) 가 된다.</p> <p>이리하여, \( h: \left (X, x_ { 0 } \right ) \rightarrow \left (I, y_ { 0 } \right ) \) 가 위상동형합수(homeomorphism)이면 \( h_ {\Omega } : \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { X } , x_ { 0 } \right ) \rightarrow \pi_ { 1 } \left ( \mathrm { Y } , y_ { 0 } \right ) \) 는 군동형합수(group isomorphism)가 됨을 알 수 있다.위상공간 \( \mathrm { X } , \mathrm { Y } \) 사이의 두 연속합수 \( f, g: X \rightarrow I \) 가 \[g \circ f \simeq 1_ { X } , \quad f \circ g \simeq 1_ { Y } \]를 만족시킬 때, \( f \) 와 \( g \) 를 모두 호모토피 동치(homotopy equivalence)라 하고 \( f \) 와 \( g \) 를 서로 호모토피 역함수(homotopy inverse)라고 한다. 이때, \( X, Y \) 는 동일호모토피형 (same homotopy type) 또는 호모토피 동치공간(homotopy equivalent)이라 하고 \( X \simeq I \) 로 표시한다. \( X \cong Y \) 이면 당연히 \( X \simeq Y \) 이다.</p> <p>예제 \( 10.23 \)</p><p>환형(annulus) \( A= \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid 1 \leq \\|x \\| \leq 2 \right \} \) 와 단위원 \( S ^ { 1 } \) 은 호모토피 동치이다. 왜냐하면, \( F: A \times[0,1] \rightarrow S ^ { 1 } \) 을 \[H(x, t)=(1-t) \frac { x } {\\|x \\| } + t x \]에 의해 정의하면 \( H: i \circ r \simeq 1_ { A } \) 이다. \( r \circ i=1_ { S ^ { 1 } } \) 이므로 포함함수 \( i: S ^ { 1 } \hookrightarrow A \) 와 \( r: A \rightarrow S ^ { 1 } , r(x)= \frac { x } {\\|x \\| } \) 는 호모토피 동치함수이다.</p> <p>그런데 \( H_ { 0 } (K)= \mathrm { Z } , H_ { 1 } (K)= \mathrm { Z } \oplus \mathrm { Z } _ { 2 } , H_ { 2 } (K)=0 \)임을 보일 수 있다. 그러면 다음과 같이 확인된다. \[ \begin {aligned} \chi(K) &=R_ { 0 } (K)-R_ { 1 } (K) + R_ { 2 } (K) \\&=1-1 + 0 \\&=0 \end {aligned} \]<p>(4) 사영평면 \( \mathbb { P } ^ { 2 } \)의 삼각분할(그림 10.6)에서 \[ \alpha_ { 0 } =6, \alpha_ { 1 } =15, \alpha_ { 2 } =10 \]이므로 \[ \chi \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )=6-15 + 10=1 \] 이다. 그런데, \( H_ { 0 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )= \mathrm { Z } , H_ { 1 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )=Z_ { 2 } ,H_ { 2 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )=0 \)이므로(예제 10.9) \[ \begin {aligned} \chi \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) &=R_ { 0 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right )R_ { 1 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) + R_ { 2 } \left ( \mathbb { P } ^ { 2 } \right ) \\&=1-0 + 0 \\&=1 \end {aligned} \]이다.</p> <p>정의</p><p>\( \mathrm { X } _ { 1 } , \mathrm { X } _ { 2 } \) 를 2-manifolds라 하고 \( D_ { i } \) 를 \( X_ { i } \) 의 closed disk라고 하자. 즉 \[ \begin {array} { l } D_ { i } \cong \left \{ x \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid \\|x \\| \leq 1 \right \} \text { 이다. } \\I_ { 1 } =X_ { 1 } - \operatorname { int } \left (D_ { 1 } \right ), I_ { 2 } =X_ { 2 } - \operatorname { int } \left (D_ { 2 } \right ) \end {array} \]라 두고 \( f: b \left (D_ { 1 } \right ) \rightarrow b \left (D_ { 2 } \right ) \)를 위상동형사상이라 할 때, 상공간 \( I_ { 1 } \cup I_ { 2 } / x \sim f(x) \) \( \mathrm { X } _ { 1 } \)과 \( \mathrm { X } _ { 2 } \)의 연결합(connected sum)이라 하고, \( \mathrm { X } _ { 1 } \# \mathrm { X } _ { 2 } \)와 같이 표시한다.</p> <p>증명 \( S ^ { 2 } \) 의 triangulation으로서 3-simplex \( \left (v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right ) \) 의 proper face들의 기하복합체 \( K \) 를 이용하자.</p> <p>(i) \( S ^ { 2 } \) (또는 \( K \) )는 연결복합체이므로, \( H_ { 0 } \left (S ^ { 2 } \right )=Z \) 이다.<p>(ii) \( \mathrm { H } _ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right ): \) 2-chain \[c=n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 3 } v_ { 1 } \right \rangle + n_ { 4 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 3 } v_ { 2 } \right \rangle \]에 대해서 \[ \partial(c)=0 \Leftrightarrow n_ { 1 } =n_ { 2 } =n_ { 3 } =n_ { 4 } \]이 성립한다. 그러면 \( Z_ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right ) \cong \mathrm { Z } \) 이다. \( \operatorname { dim } \left (S ^ { 2 } \right )=2 \) 이므로 \[B_ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right )=0 \] 이다. 그러므로 \( \mathrm { H } _ { 2 } \left (S ^ { 2 } \right ) \cong \mathrm { Z } \) 이다.<p>(iii) \( H_ { 1 } \left (S ^ { 2 } \right ) \) : \[ \begin {aligned} z=& n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \\& + n_ { 4 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 3 } \right \rangle + n_ { 5 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 3 } \right \rangle + n_ { 6 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle \end {aligned} \] 가 1-cycle이면, \( \partial(z)=0 \) 로부터 \[ \left \{\begin {array} { l } n_ { 4 } =n_ { 3 } -n_ { 1 } \\n_ { 6 } =n_ { 1 } -n_ { 2 } \\n_ { 6 } =n_ { 2 } -n_ { 3 } \end {array} \right . \] 을 얻는다. 계산하면 \[ \begin {aligned} z=& n_ { 1 } \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + n_ { 2 } \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + n_ { 3 } \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle + \left (n_ { 3 } -n_ { 1 } \right ) \left \langle v_ { 0 } v_ { 3 } \right \rangle \\ & + \left (n_ { 1 } -n_ { 2 } \right ) \left \langle v_ { 1 } v_ { 3 } \right \rangle + \left (n_ { 2 } -n_ { 3 } \right ) \left \langle v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle \end {aligned} \]</p> <p>두 단체 \( \sigma ^ { p } \) 와 \( \sigma ^ { q } \) 가 properly joined 되었다라고 합은 \( \sigma ^ { p } \cap \sigma ^ { q } = \varnothing \) 이거나 \( \sigma ^ { p } \cap \sigma ^ { q } \) 가 \( \sigma ^ { p } , \sigma ^ {\ell } \) 모두의 공통면(common face)임을 의미한다(그림 10.3).</p> <p>정의</p>유한개의 simplex들의 집합 \( K \) 가 다을 조건을 만족시킬 때 \( K \) 를 기하복합체 (geometric complex) 또는 단체복합체(simplicial complex)라고 한다.<p>(i) \( \sigma \in K, \tau< \sigma \Rightarrow \tau \in K \)<p>(ii) \( \sigma, \tau \in K \Rightarrow \sigma \cap \tau= \varnothing \) 또는 \( \sigma \cap \tau \) 는 \( \sigma, \tau \) 모두의 공통면이다.</p> <p>기하복합체 \( K \) 는 서로 properly joined 되어 있는 유한개의 simplex들의 집합으로서 자신에게 속해 있는 simplex의 face는 모두 포합하고 있다.(일반적으로는 '유한'으로 제한하지 않지만 여기서는 유한복합체만을 다루기로 한다.)<p>\( K \) 에 속하는 simplex들의 차원 중에서 최대 정수를 \( K \) 의 차원(dimension)이라 하고 \( \operatorname { dim } K \) 로 쓴다.<p>기하복합체 \( K \) 의 부분복합체(subcomplex) \[K ^ { -(p) } = \left \{\sigma \in K ^ {\prime } \mid \operatorname { dim } \sigma \leq p \right \} \] \( K \) 의 \( p \)-골격(skeleton)이라 한다.<p>단체 \( \sigma \) 는 \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 부분집합이므로 부분공간위상에 의해서 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 의 부분공간이다. 기하 복합체 \( K \) 에 대해서 \[\|K\|= \bigcup \left \{\sigma \mid \sigma \in K ^ { - } \right \} \]는 \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 부분집합이다. \( \|K\| \) 를 \( \mathrm { R } ^ { n } \) 의 부분공간으로 간주하여 \( K \) 의 다면체(polyhedron 또는 geometric carrier)라고 부른다.<p>위상공간 \( X \) 에 대하여 기하복합체 \( K \) 가 존재해서 \( \|K\| \cong X \) (위상동형)일 때, \( X \) 를 삼각분할가능 공간(triangulable space)이라 한다. 이러한 \( K \) 를 \( X \) 의 삼각분할(triangulation)이라 부른다.</p> <p>예제 \( 10.3 \) (1) \( \sigma= \left (v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right ) \) 가 3 -simplex일 때, 기하복합체 \[K= \{\tau \mid \tau \text { 는 } \sigma ㅇ ㅢ \text { face } \} \text { ( } \sigma \text { 의 closure라고 한다) } \]의 2-skeleton \( K ^ { (2) } \) 는 \( \sigma \) 의 proper face들의 집합이다. 그러면 \( \left \|K ^ { (2) } \right \| \) 는 사면체 (tetraheron)의 경계이고, 분명히 구면 \( S ^ { 2 } \) 와 위상동형이다. 그러므로 \( S ^ { 2 } \) 는 triangulable이고 \( K ^ { (2) } \) 는 \( S ^ { 2 } \) 의 한 triangulation이다(그림 \( 10.12 \) 참조). 마찬가지로, \( (n + 1) \)-simplex의 proper face로 구성된 복합체는 \( n \) 차원 구면 \( S ^ { n } \) 의 triangulation이다. (2) Möbius 띠 \( M \) 의 triangulation의 예(그림 10.4)</p> <p>(3) 윤환면(torus) \( T ^ { 2 } \) 의 triangulation의 예(그림 10.5)</p> <p>(4) 사영평면(projective plane) \( P ^ { 2 } \) 의 triangulation의 예(그림 10.6)</p> <p>\( k \)-simplex \( \sigma ^ { k } = \left (v_ { 0 } v_ { 1 } \cdots v_ { k } \right ) \) 의 꼭지점 \( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \) 에 순서를 주어서 \( \sigma ^ { k } \) 에 방항을 정하는 것에 대해서 알아보자.</p> <p>\( \left \{ v_ { 0 } , v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \) 의 두 순서가 우순열(even permutation)만큼의 차이일 때 두 순서는 동치라고 한다. \( k \geq 1 \) 이면 \( \sigma ^ { k } \) 의 꼭지점에 정의된 순서 관계에 의한 동치류는 꼭 두 개 있다. 이 동치류를 \( \sigma ^ { k } \) 의 방향(orientation)이라고 한다. \( \sigma ^ { k } = \left (v_ { 0 } v_ { 1 } \cdots v_ { k } \right ) \) 에 방향이 주어겼을 때 이를 유향 \( k \)-단체(oriented \( k \)-simplex)라고 한다. \( v_ { 0 } \left \langle v_ { 1 }< \cdots<v_ { k } \right . \) 의 순서를 선택한 유향 \( k \) 단체를 \( \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \cdots v_ { k } \right \rangle \) 로 쓰고, 이 순서의 동치류와 다른 동치류를 택한 유향 \( k \)-단체를 \( - \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \cdots v_ { k } \right \rangle \) 로 표시한다.</p> <p>정의 \( \sigma ^ { p } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \cdots v_ { p } \right \rangle \) 가 유형복합체 \( K \) 의 멤버일 때, \( \sigma ^ { p } \) 의 경계(boundary) \( \partial \left ( \sigma ^ { p } \right ) \) 를 \( C_ { p-1 } (K) \) 의 원소로서 다음과 같이 정의한다. \[ \partial \left ( \sigma ^ { p } \right )= \sum_ { i=0 } ^ { p } (-1) ^ { i } \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v } _ { i } \cdots v_ { p } \right \rangle \] 단, \( \left \langle v_ { 0 } \cdots \hat { v_ { i } } \cdots v_ { p } \right \rangle \) 는 \( \hat { v_ { i } } \) 를 게거한 \( \sigma ^ { p } \) 의 \( (p-1) \)-face이다.</p> <p>예제 10.5<p>(1) 0 -simplex \( \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \) 의 boundary는 \( \partial \left ( \left \langle v_ { 0 } \right \rangle \right )=0 \) 이다.<p>(2) 1-simplex \( \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle \) 의 boundary는 \[ \partial\left(\left\langle v_{0} v_{1}\right\rangle\right)=\left\langle v_{1}\right\rangle-\left\langle v_{0}\right\rangle \]이다.<p>(3) 2-simplex \( \sigma ^ { 2 } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \) 의 boundary는 \[ \begin {aligned} \partial \left ( \sigma ^ { 2 } \right ) &= \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle- \left \langle v_ { 0 } v_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle \\&= \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } \right \rangle + \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle + \left \langle v_ { 2 } v_ { 0 } \right \rangle \end {aligned} \]이다.<p>(4) 3-simplex \( \sigma ^ { 3 } = \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle \) 의 boundary는 \[ \partial \left ( \sigma ^ { 3 } \right )= \left \langle v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle- \left \langle v_ { 0 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right \rangle + \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 3 } \right \rangle- \left \langle v_ { 0 } v_ { 1 } v_ { 2 } \right \rangle \]</p> <p>정의<p>\( K \) 가 유향복합체일 때 사슬군과 경계작용소의 열<p>\[ \left \{\left (C_ { p } \left (K ^ { * } \right ), \partial_ { p } \right ) \mid p=0,1,2, \cdots \right \} \]을 \( K ^ {\circ } \) 의 사슬복합체(chain complex)라고 한다. \( \partial_ { p } : C_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \rightarrow C_ { p-1 } \left (K ^ { * } \right ) \) 의 핵 (kernel) \( \operatorname { Ker } \left ( \partial_ { p } \right ) \) 를 \( p \)-윤체군(group of \( p \)-cycles)이라 하고 \( Z_ { p } \left (K ^ {\prime } \right ) \) 로 쓴다. 또, \( \partial_ { p + 1 } : C_ { p + 1 } \left (K ^ { * } \right ) \rightarrow C_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \) 의 상 \( \operatorname { Im } \left ( \partial_ { p + 1 } \right ) \) 를 \( p \)-경계군(group of \( p \)-boundaries)이라 하고 \( B_ { p } (K) \) 로 쓴다. 정리 \( 10.6 \) 에 의해서, \( B_ { p } (K) \) 는 \( Z_ { p } (K) \) 의 정규부분군이다. \( Z_ { p } \left ( \Pi ^ { * } \right ) \) 의 상군(quotient group) \[H_ { p } \left (K ^ { * } \right )=Z_ { p } \left (K ^ { * } \right ) / B_ { p } \left ( \Pi ^ { * } \right ) \] \( K \) 의 \( p \) 차 호몰로지군 ( \( p \)-th homology group \( ) \) 이라고 한다.</p> <p>복합체 \( K \) 의 두 \( p \)-chain \( c_ { 1 } , c_ { 2 } \in C_ { p } (K) \) 에 대하여 \( c_ { 1 } -c_ { 2 } \in B_ { p } (K) \) 일 때 \( c_ { 1 } \) 과 \( c_ { 2 } \) 는 'homologous하다'라 하고 \( c_ { 1 } \sim c_ { 2 } \) 로 쓴다. 특히 \( c \in B_ { p } (K) \) 이면 \( c \) 는 0와 homologous 하다(또는 \( c \) 는 bounding cycle이다)라고 한다. 그러면 \( z_ { p } \in z_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \) 에 대하여 \( H_ { p } (K) \) 의 멤버로서 호몰로지 동치류는 \( B_ { p } (K) \) 의 잉여류(coset \( ) \)</p>\[ \begin {array} { c } {\left [z_ { p } \right ]= \left \{ w_ { p } \in z_ { p } (K) \mid w_ { p } \sim z_ { p } \right \} } \\ \\z_ { p } + B_ { p } (K)= \left \{ z_ { p } + \partial \left (c_ { p + 1 } \right ) \mid \partial \left (c_ { p + 1 } \right ) \in B_ { p } \left (K ^ { * } \right ) \right \} \end {array} \]와 같다.</p> <p>\( f, g \) 를 위상공간 \( X \) 에서 \( x_ { 0 } \) 와 \( x_ { 1 } \) 을 잇는 두 경로(path)라고 하자. 연속함수 \( F:[0,1] \times[0,1] \rightarrow X \) 가 존재해서 \[ \begin {array} { ll } F(s, 0)=f(s), & F(s, 1)=g(s), \\F(0, t)=x_ { 0 } , & F(1, t)=x_ { 1 } , \quad \forall s, t \in[0,1] \end {array} \] 를 만족시킬 때, \( F \) 를 \( f \) 에서 \( g \) 로의 경로호모토피(path homotopy)라 하고 \( f \) 와 \( g \) 는 경로호모토픽(path homotopic)하다고 말한다. 이때 \( f \simeq \frac {\bar { p } } { } g \) 또는 \( F: f \simeq g \) 로 쓴다. 이것은 \( F \) 는 호모토피이면서 각 고정된 \( t \in[0,1] \) 에 대해 \( F_ { t } (s)=F(s, t) \) 는 \( x_ { 0 } \) 에서 \( x_ { 1 } \) 까지의 경로가 됨을 뜻한다.</p> <p>예제 \( 10.20 \)<p>(1) \( f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } >\mathrm { r } \) \[f(s)=( \cos \pi s, \sin \pi s), \quad g(s)=( \cos \pi s,- \sin \pi s) \] 일 때, \( F(s, t)=(1-t) f(s) + \operatorname { tg } (s) \) 에 의하여 \( f \simeq g \) 임을 알 수 있다.<p>(2) \( f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } - \{ (0,0) \} >f \) \[f(s)=( \cos \pi s, \sin \pi s), \quad g(s)=( \cos \pi s,- \sin \pi s) \] 일 때, 위의 함수 \( F \) 는 \( f \) 와 \( g \) 사이의 호모토피가 될 수 없다.<p>사실, \( \mathbb { R } ^ { 2 } - \{ (0,0) \} \) 에서 \( f \) 와 \( g \) 는 호모토픽하지 않음을 뒤에서 알게 된다.<p>\( f, g: \mathrm { X } \rightarrow \mathrm { I } 7 \) 가 연속함수이고 \( A \subset \mathrm { X } \) 에 대해 \( f(a)=g(a) \forall a \in A \) 라고 하자.<p>\[H(a, t)=f(a)=g(a) \forall a \in A \forall t \in[0,1] \]을 만족시키는 \( f \) 와 \( g \) 사이의 호모토피 \( H: X \times[0,1] \rightarrow I \) 가 존재할 때 \( f \simeq g \) rel \( A \)로 쓰고 \( f \) 와 \( g \) 는 \( A \) 를 고정하여 호모토픽(homotopic relative to \( A \) )하다고 말한다. 두경로 \( f, g \) 에 대해 \( f \simeq g \) 는 \( f \simeq g \) rel \( \{ 0,1 \} \) 임을 말하는 것이다.<p>연속함수나 경로들의 모임에서 \( \simeq, \simeq \widetilde { p } , \simeq \mathrm { rel } A \) 는 모두 동치관계임을 증명할 수있다. 이를테면, 임의의 \( f \) 에 대해 \( F(s, t)=f(s) \) 로 정의하면 \( F: f \sim f \) 이다. \( F: f \sim g \) 일 때 \( G(s, t)=H(s, 1-t) \) 로 정의하면 \( G: g \sim f \) 이다.<p>또 \( F: f \simeq g \) 이고 \( G: g \sim h \) 일 때 \[H(s, t)= \left \{\begin {array} { ll } F(s, 2 t), & 0 \leq t \leq \frac { 1 } { 2 } \\G(s, 2 t-1), & \frac { 1 } { 2 } \leq t \leq 1 \end {array} \right . \]이라 정의하면 \( H: f \simeq h \) 이다.<p>위상공간 \( X \) 에서의 경로 \( f \) 에 대해 \[[f]= \{ g \mid g:[0,1] \rightarrow X, f \simeq g \} \] \( f \) 의 경로호모토피동치류(path homotopy class)라고 한다.</p>	자연
미분적분을 위한 기초수학의 이해	<p>그런데, 15 세기부터 16 세기에 걸처서 항해술의 개선뿐만 아니라 상업 규모가 급격히 발달하는 한편, 갈릴레오는 망원경을 발명하여 천체 연구에 몰두하는 등, 그 때까지 세상 사람들이 생각하지 못했던 커다란 수를 취급할 필요가 생기게 되었다.</p> <p>이즈음 세계 수학사상 3대 발견 중의 하나로 일컬어지는 로그 계산의 발견이 영국 Napier에 의해 이루어 졌다. 나폴레옹 시대의 프랑스의 유명한 수학자이자 천문학자인 Laplace 로그표의 발명은 실로 천문학자의 수명을 적어도 2 배로 늘였다라고 할 수 있다. 이와 같은 계산상의 혁명을 가져 온 로그표의 제작은 어떻게 해서 발명된 것일까?</p> <p>그러기 위헤서는 먼저 지수에 관한 이야기부터 하지 않으면 안 된다. 지수의 기호 및 그 법칙 \[a ^ { m } \cdot a ^ { n } =a ^ { m + n } , \left (a ^ { m } \right ) ^ { n } =a ^ { m n } , a ^ { m } b ^ { m } =(a b) ^ { m } \]은 이미 14 세기경 프랑스 Oresme(1323-1382)에 의헤 발견 되었다.</p> <p>다음에 이 역함수인 로그에 대한 관심을 둔 사람은 족일 최대의 수학자로 일컬어지는 \( \operatorname { Stifel(1487-1567) } \) 이다. 그는 지수에 관하여 일반적으로 다음과 같은 관계가 있음을 알아내었다.</p> <ol type=1 start=1><li>거듭제곱의 지수가 등차수열이면, 수는 등비수열이다.</li> <li>지수의 합의 수의 곱에, 지수의 차는 수의 못에, 지수의 곱은 수의 거듭제곱에, 지수의 못은 수의 거늡제곱근에 각각 대응한다.</li></ol> <p>그러나, 그는 로그의 게넘까지 발전하지 못한 것이 아쉽다. 다만 음의 지수까지 확인한 것은 주목할 일이다.</p> <p>이러한 시기에 로그를 자력으로 만드는 데 성공한 수학자가 두 사람이 있다. 한 사람은 유명한 Napier(1550 - 1617)이고 또 한사람은 Burgi(1552 - 1632)이다.</p> <p>오늘날 우리가 사용하고 있는 로그, 즉 \( \mathrm { e } \) 를 밑으로 한 자연로그나 10 을 밑으로 한 상용 로그사람은 원래 스위스의 한 궁중 시계사였다가 후에 프라하로 가서 Kepler로부터 사사 하고 천문학과 수학을 연구한 Burgi로서, 1620 년 로그표를 포함한 대수책을 출판하였다.</p> <p>그는 Napier와 거의 동시에 족자적인 방법으로 이것을 발전시켰다는 것은 수학사상에 기적의 하나로 꼽히고 있다. Burgi는 로그를 실용계산에 이용되도록 여러 방법으로 연구를 하였으나.</p> <p>그 저서가 그다지 세상에 환영을 받지 못했기 때문에 그 업적이 전헤지고 있지 않음은 퍽 아쉬운 일이 아닐 수 없다.</p> <p>로그함수 \( y= \log _ { a } x \) 는 지수함수 \( y=a ^ { x } \) 의 역으로 정의되었다. 즉, \( f(x)=a ^ { x } \) 면, \( f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x \). 역함수에 대한 주어진 논의에 근거하여, 함수 \( f \) 와 그 역함수 \( f ^ { -1 } \) 에 대하여 다음의 사실을 안다. \( f ^ { -1 } \) 의 정의역 \( =f \) 의 치역이고 \( \quad f ^ { -1 } \) 의 치역 \( =f \) 의 정의역. 따라서 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>\( y= \log _ { a } x(a>0, a \neq 1) \) 는 임의의 로그함수라 하자. 그러면 정의역 \( :(0, \infty) ; \) 치역 : \( (- \infty, \infty) \).</p> <p>로그함수의 정의역은 양의 실수로 이루어짐에 주목하라. 이것은 로그함수의 독립변 수는 0보다 더 커야만 한다는 것을 의미한다.</p> <h3>보기 8.2.5 로그함수의 정의역을 구하기</h3> <p>다음 각 함수의 정의역을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( f(x)= \log _ { 2 } (x + 5) \)</li> <li>\( g(x)= \log _ { 5 } \left ( \frac { 1-x } { 1 + x } \right ) \)</li> <li>\( h(x)= \log _ { 1 / 2 } \|x\| \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( f \) 의 정의역은 \( x + 5>0 \) 인 모든 실수 \( x \) 로 이루어진다. 따라서 \( f \) 의 정의역은 \( \{ x: x>-5 \} \) 또는 \( (-5, \infty) \) 이다.</li> <li>\( g \) 의 정의역은 \[ \frac { 1-x } { 1 + x } >0 \]로 제한된다. 이 부등식을 풀면, \( -1<x<1 \).로 제한된다. 이 부등식을 풀면, \( -1<x<1 \). 따라서 \( g \) 의 정의역은 \( \{ x:-1<x<1 \} \) 또는 구간 \( (-1,1) \) 이다.</li> <li>\( h \) 의 정의역은 \( \|x\|>0 \) 인 모든 실수 \( x \) 로 이루어진다. 그런데 \( x \neq 0 \) 이면 \( \|x\|>0 \). 따라서 \( h \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq 0 \} \) 또는 \( (- \infty, 0) \) 또는 \( (0, \infty) \) 이다.</li></ol> <p>이제 로그함수의 그래프에 대하여 살펴보기로 하자.</p> <p>표 8.1.3은 \( n \) 이 증가하는 큰 값을 취할 때 식 (8.1.1)에 어떤 일이 발생하는가를 설명한다. 밑이 무리수 \( e \) 인 지수함수 \( f(x)=e ^ { x } \) 은 응용에서 흔히 발생한다.</p> <p>이제 지수방정식에 대하여 알아보자.</p> <p>\( a ^ { x } ,(a>0, a \neq 1) \) 꼴의 항을 포함하는 방정식을 지수방정식(exponential equation)이라 한다. 이와 같은 방정식을 때때로 지수법칙과 다음의 성질 (8.1.2)를 적당히 적용함으로 풀 수 있다. 성질 (8.1.2)는 지수함수가 1대1이라는 사실의 결과다. 성질 (8.1.2)를 사용하기 위하여, 등식의 각 변은 같은 밑을 가져야만 한다.</p> <p>\( a ^ { u } =a ^ { v } \Leftrightarrow u=v \)<caption>(8.1.2)</caption></p> <h3>보기 \( 8.1 .5 \) 지수방정식의 풀이</h3> <p>\( 3 ^ { 2 x + 1 } =81 \) 을 풀어라.</p> <p>풀이 \( 81=3 ^ { 4 } \) 이므로, 주어진 방정식은 각 변에 사용된 밑은 3으로 같으므로, 성질 (8.1.2)에 의하여, 따라서 \( \frac { 3 } { 2 } \) 은 주어진 방정식의 해다.</p> <p>\[ \begin {array} { r } 3 ^ { 2 x + 1 } =81=3 ^ { 4 } . \\ 2 x + 1=4 \\ 2 x=3 \\ x= \frac { 3 } { 2 } \end {array} \]</p> <h3>보기 \( 8.1 .6 \) 지수방정식의 풀이</h3> <p>방정식 \( e ^ { -x ^ { 2 } } = \left (e ^ { x } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { e ^ { 3 } } \) 을 풀어라.</p> <p>풀이 지수법칙을 사용하여 주어진 방정식의 우변을 밑 \( e \) 를 갖는 지수함수로 고친다. 즉, 그러면 성질 \( (8.1 .2) \) 를 적용한다.</p> <p>\( \left (e ^ { x } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { e ^ { 3 } } =e ^ { 2 x } \cdot e ^ { -3 } =e ^ { 2 x-3 } \). \( e ^ { -x ^ { 2 } } =e ^ { 2 x-3 } \) \( -x ^ { 2 } =2 x-3 \quad \)</p> <p>또한 상용로그에 대하여 살펴보면, 밑이 10 인 로그함수 \( y= \log _ { 10 } x \) 를 상용로그함수(common logarithmic function)라 하고 보통 밑 10 을 생략하여 \( y= \log x \) 로 쓴다. 따라서 \[y= \log x \Leftrightarrow \quad x=10 ^ { y } . \]</p> <p>\( y= \log x \) 와 지수함수 \( y=10 ^ { x } \) 은 서로 역함수이므로, 직선 \( y=x \) 에 관하여 \( y=10 ^ { x } \)의 그래프를 반사함으로써 \( y= \log x \) 의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 8.2.4를 보라.</p> <h3>보기 8.2.7 변환을 사용하여 로그함수의 그래프를 그리기</h3> <p>\( f(x)=3 \log (x-1) \) 의 그래프를 그려라. \( f \) 의 정의역, 치역과 세로점근선을 구하여라.</p> <p>풀이 \( f \) 의 정의역은 \[x-1>0 \text { 모는 } x>1 \]인 모든 실수 \( x \) 로 이루어진다. 따라서 \( f \) 의 정의역은 구간 \( (1, \infty) \) 이다. \( y=3 \log (x-1) \) 의 그래프를 얻기 위하여, 그림 8.2.5에서 설명된 단계를 사용한다. 그림 8.2.5(c)로부터, \( f \) 의 치역은 구간 \( (- \infty, \infty) \) 이고 세로점근선은 \( x=1 \) 이다.</p> <ol type=a start=1><li>\( v= \log x \)</li> <li>\( y= \log (x-1) \)</li> <li>\( u=3 \log (x-1) \)</li></ol> <p>이제 로그방정식에 대하여 살펴보기로 하자.</p> <p>로그를 포함하는 방정식을 로그 방정식(logarithmic equation)이라 한다. 로그 방정식을 풀 때 주의하지 않으면 안 된다. 반드시 원래 방정식에 나타나는 각 해를 확인하여 관계없는 해를 버려야 한다.</p> <p>식 \( \log _ { a } M \) 에서, \( a \) 와 \( M \) 은 양이고 \( a \neq 1 \) 임을 기억하라. 로그 식을 지수 식으로 바꾸어 줌으로써 어떠한 로그 방정식도 풀 수 있다.</p> <h3>보기 8.2.8 로그 방정식의 풀이</h3> <p>다음 각 방정식을 풀어라 :</p> <ol type=a start=1><li>\( \log _ { 3 } (4 x-7)=2 \)</li> <li>\( \log _ { x } 64=2 \)</li></ol> <p>풀이 정의에 의하여, 로그 꼴을 지수 꼴로 바꾼다.</p> <ol type=a start=1><li>\[ \begin {aligned} \log _ { 3 } (4 x-7) &=2 . \\ 4 x-7 &=3 ^ { 2 } \quad \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ 4 x-7 &=9 \\ 4 x &=16 \\ x &=4 . \end {aligned} \] 이제 \( x=4 \) 에 대하여, \( 4 x-7>0 \) 임을 확인하자. 그러면 \[ 4 x-7=4(4)-7=16-7=9>0 . \] 따라서 해는 4 이다.</li> <li>\[ \begin {array} { rlr } \log _ { x } 64 & =2 . \\ x ^ { 2 } & =64 \quad \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ x & = \pm \sqrt { 64 } = \pm 8 . & \end {array} \] 로그의 정의에 의하여, \( x>0 \) 이고 \( x \neq 1 \) 이다. 그래서 \( x=-8 \) 을 버린다. 따라서 해는 8이다.</li></ol> <p>\[ \begin {array} { cc } x ^ { 2 } + 2 x-3=0 & \text { 표준 꼴의 2차 방정식으로 고친다. } \\(x + 3)(x-1)=0 & \text { 인수분해 한다. } \\x=-3 \text { 또는 } x=1 & \text { 영-곱 성질을 사용한다. } \end {array} \] 따라서 해집합은 \( \{ -3,1 \} \).</p> <h2>\( 8.2 \) 로그함수</h2> <p>1 대 1 함수 \( y=f(x) \) 는 방정식 \( x=f(y) \) 에 의하여 정의되는 역함수를 가짐을 상기하라. 특히, 지수함수 \( y=f(x)=a ^ { x } (a>0, a \neq 1) \) 은 1 대1이고 방정식에 의하여 정의되는 역함수를 갖는다. 이 역함수는 매우 중요하고 이 함수의 이름을 로그함수라 한다.</p> <p>\[x=a ^ { y } (a>0, a \neq 1) \]</p> <p>밑 \( a \) 의 로그함수(logarithmic function to the base \( a) \) 는 기호 \( y= \log _ { a } x \) (“ \( y \) 는 밑 \( a \) 에 대한 \( x \) 의 로그이다"라고 읽음)로 쓰고 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\[y= \log _ { a } x \Leftrightarrow x=a ^ { y } . \]</p> <p>여기서 \( a>0, a \neq 1 \) 이다. 로그함수 \( y= \log _ { a } x \) 의 정의역은 집합 \( \{ x: x>0 \} \) 이다.</p> <h3>보기 8.2.2 지수 식을 로그 식으로 바꾸기</h3> <p>각 지수 식을 로그를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸어라.</p> <ol type=a start=1><li>\( 1.2 ^ { 4 } =m \)</li> <li>\( e ^ { a } =9 \)</li> <li>\( a ^ { 5 } =24 \)</li></ol> <p>풀이 우리는 정의를 사용한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( 1.2 ^ { 4 } =m \) 이면, \( 4= \log _ { 1.2 } m \)</li> <li>\( e ^ { a } =9 \) 이면, \( a= \log _ { e } 9 \)</li> <li>\( a ^ { 5 } =24 \) 이면, \( 5= \log _ { a } 24 \)</li></ol> <p>우리는 변환을 사용하여 \( y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \) 의 그래프를 \( y=2 ^ { x } \) 의 그래프로부터 얻을 수 있다. \( f(x)=2 ^ { x } \) 이면, \( f(-x)=2 ^ { -x } = \frac { 1 } { 2 ^ { x } } = \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \). 그래서 \( y= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } =2 ^ { -x } \) 의 그래프는 \( y ^ { - } \) 축에 대한 \( y=2 ^ { x } \) 의 그래프의 반사다. 그림 8.1.1과 그림 8.1.3을 비교하라.</p> <p>그림 8.1.3에 있는 \( f(x)= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \) 의 그래프는 0과 1 사이에 있는 밑을 갖는 모든 지수함수를 대표한다. 그들의 그래프는 \( x \) 축 위쪽에 있고, 점 \( (0,1) \) 을 지난다.</p> <p>이 그래프들은 \( x \rightarrow- \infty \) 일 때 급속히 증가한다. \( x \rightarrow \infty \) 일 때, \( x \)-축 \( (y=0) \) 은 가로 점근선이다. 세로점근선은 존재하지 않는다. 마지막으로, 이 그래프들은 돌출부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다. 따라서 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>\( f(x)=a ^ { x } , 0<a<1 \) 는 임의의 함수라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>정의역은 모든 실수들의 집합이고; 치역은 양의 실수들의 집합이다.</li> <li>\( x \)-절편은 존재하지 않고; \( y \)-절편은 1 이다.</li> <li>\( x- \) 축 \( (y=0) \) 은 \( x \rightarrow \infty \) 일 때 가로점근선이다.</li> <li>\( f \) 는 감소함수이고 1 대 1 이다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 점 \( (0,1),(1, a) \) 와 \( \left (-1, \frac { 1 } { a } \right ) \) 을 포함한다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 돌출부분도 끊어짐도 없는 매끄럽고 연속이다. 그림 8.1.4를 보라.</li></ol> <h3>보기 8.2.3 로그 식을 지수 식으로 바꾸기</h3> <p>각 로그 식을 지수를 포함하는 논리적으로 같은 식으로 바꾸어라.</p> <ol type=a start=1><li>\( \log _ { a } 5=7 \)</li> <li>\( \log _ { e } a=-4 \)</li> <li>\( \log _ { 3 } 7=b \)</li></ol> <p>풀이 정의를 사용한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( \log _ { a } 5=7 \) 이면, \( a ^ { 7 } =5 \)</li> <li>\( \log _ { e } a=-4 \) 이면, \( e ^ { -4 } =a \).</li> <li>\( \log _ { 3 } 7=b \) 이면, \( 3 ^ { b } =7 \).</li></ol> <p>이제 로그의 정확한 값을 구하기 위하여, 로그를 지수표시로 쓰고 \( a ^ { u } =a ^ { v } \) 면 \( u=v \) 인 사실을 사용한다.</p> <h3>보기 8.2.4 로그 식의 정확한 값을 구하기</h3> <p>다음 각각의 정확한 값을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( \begin {array} { ll } y= \log _ { 2 } 16 & \\ 2 ^ { y } =16 & & \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ 2 ^ { y } =2 ^ { 4 } & & 16=2 ^ { 4 } \\y=4 & \\ \{ 따라서 } \log _ { 2 } 16=4. & & \end {array} \)</li> <li>\( \begin {array} { ll } y= \log _ { 3 } \frac { 1 } { 27 } & \\ 3 ^ { y } = \frac { 1 } { 27 } & \text { 지수 꼴로 바꾼다. } \\ 3 ^ { y } =3 ^ { -3 } & \frac { 1 } { 27 } = \frac { 1 } { 3 ^ { 3 } } =3 ^ { -3 } \\ y=-3 & \\ \text { 따라서 } \log _ { 3 } \frac { 1 } { 27 } =-3 . & \end {array} \)</li></ol> <p>이제 로그함수의 정의역과 치역에 대하여 살펴보기로 하자.</p> <p>위의 결과들은 어떤 형태의 미분적분의 문제 해결에 유용하게 사용된다.</p> <h3>보기 8.3.3 로그 식을 로그의 합으로 쓰기</h3> <p>\( \log _ { a } \left (x \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) \) 을 로그의 합으로 씨라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내어라.</p> <p>풀이 \( \begin {aligned} \log _ { a } \left (x \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right ) &= \log _ { a } x + \log _ { a } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \\ &= \log _ { a } x + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 1 / 2 } \\ &= \log _ { a } x + \frac { 1 } { 2 } \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \end {aligned} \)<caption>\( (8.3 .3) \)</caption> <caption>\( (8.3 .5) \)</caption></p> <h3>보기 \( 8.3 .4 \) 로그 식을 로그의 차로 쓰기</h3> <p>\( \ln \frac { x ^ { 2 } } { (x-1) ^ { 3 } } \) 을 로그의 차로 써라. 모든 거듭제곱은 인수로 나타내어라.</p> <p>풀이 \[ \ln \frac { x ^ { 2 } } { (x-1) ^ { 3 } } = \ln x ^ { 2 } - \ln (x-1) ^ { 3 } =2 \ln x-3 \ln (x-1) \]</p> <h3>보기 \( 8.3 .5 \) 로그 식을 로그의 합과 차로 쓰기</h3> <p>\[ \log _ { a } \frac { x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } { (x + 1) ^ { 4 } } \]을 로그의 합과 차로 써라. 모든 거듭제곱을 인수로 나타내어라.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \log _ { a } \frac { x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } } { (x + 1) ^ { 4 } } &= \log _ { a } \left (x ^ { 3 } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \right )- \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } \\ &= \log _ { a } x ^ { 3 } + \log _ { a } \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } \\&= \log _ { a } x ^ { 3 } + \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 1 / 2 } - \log _ { a } (x + 1) ^ { 4 } \\ &=3 \log _ { a } x + \frac { 1 } { 2 } \log _ { a } \left (x ^ { 2 } + 1 \right )-4 \log _ { a } (x + 1) \end {aligned} \]<caption>\((8.3.4) \)</caption> <caption>\( (8.3 .3) \)</caption> <caption>\( (8.3 .5) \)</caption></p> <p>증명 \( y= \log _ { a } M \) 이라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { cc } a ^ { y } =M & \text { 정의에 의해서 } \\ \log _ { b } a ^ { y } = \log _ { b } M & \\y \log _ { b } a= \log _ { b } M & \\y= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } & y \text { 에 대하여 푼다 } \\ \log _ { a } M= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } . & y= \log _ { a } M \end {array} \]</p> <h3>보기 8.3.8 밑변환공식의 사용</h3> <p>근사 값을 구하여라. 답을 소수 넷째자리까지 써라.</p> <ol type=a start=1><li>\( \log _ { 5 } 89 \)</li> <li>\( \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( \log _ { 5 } 89= \frac {\log 89 } {\log 5 } \approx \frac { 1.94939 } { 0.69897 } =2.7889 \) 또는 \( \log _ { 5 } 89= \frac {\ln 89 } {\ln 5 } \approx \frac { 4.4886 } { 1.6094 } =2.7889 \)</li> <li>\( \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } = \frac {\log \sqrt { 5 } } {\log \sqrt { 2 } } \approx 2.3219 \) 또는 \( \log _ {\sqrt { 2 } } \sqrt { 5 } = \frac {\ln \sqrt { 5 } } {\ln \sqrt { 2 } } \approx 2.3219 \).</li></ol> <p>로그 계산의 발견 이집트, 바빌로니아 수학은 그리스 시대를 거처 인도의 수학과 합류되어, 천 수백 년간 유럽에서 발전되어 왔지만, 그 때까지의 수학은 칠학전인 요소가 다분히 포함되어 있어서 실용적인 면에서는 다소 거리가 멀었다.</p> <p>\[ \log _ { a } 1=0, \quad \log _ { a } a=1 \]</p> <p>그리고 \( M \) 과 \( a \) 는 임의의 양의 실수, \( a \neq 1 \) 이고 \( r \) 은 임의의 실수라 하자.</p> <p>\( a ^ {\log _ { a } M } =M \)<caption>\( (8.3 .1) \)</caption></p> <p>\( \log _ { a } a ^ { r } =r \)<caption>\( (8.3 .2) \)</caption></p> <p>(8.3.1)의 증명 \( y=a ^ { x } \) 과 \( y= \log _ { a } x \) 은 서로 역인 사실을 사용한다. \( f(x)=a ^ { x } \) 라 하자. 그러면 \( f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x \). 그래서 \[f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=f \left ( \log _ { a } x \right )=a ^ {\log _ { a } x } =x . \]이제 \( x=M \) 이라 하자. 그러면 \( a ^ {\log _ { M } M } =M \).</p> <p>(8.3.2)의 증명 \( f(x)=a ^ { x } \) 라 하자. 그러면 \( f ^ { -1 } (x)= \log _ { a } x \). 그래서 \[f ^ { -1 } (f(x))=f ^ { -1 } \left (a ^ { x } \right )= \log _ { a } a ^ { x } =x . \] 이제 \( x=r \) 라 하자. 그러면 \( \log _ { a } a ^ { r } =r \).</p> <h3>보기 8.3.2 성질 (8.3.1)과 (8.3.2)를 사용하기</h3> <ol type=a start=1><li>\( 3 ^ {\log _ { 3 } \pi } = \pi \)</li> <li>\( \log _ { 0.5 } 0.5 ^ { - \sqrt { 3 } } =- \sqrt { 3 } \)</li> <li>\( \ln e ^ { k t } =k t \)</li></ol> <p>다음은 로그에 대한 또 다른 성질들이다.</p> <p>그림 8.1.1에 있는 그래프와 같이 보이는 그래프들은 다양한 상태로 매우 자주 발생한다.</p> <p>그림8.1.1에 있는 \( f(x)=2 ^ { x } \) 의 그래프는 1 보다 큰 밑을 갖는 모든 지수함수를 대표한다. 이와 같은 함수는 증가하고 따라서 1 대 1 이다. 그들의 그래프는 \( x ^ {\text { - } } \)축 위쪽에 있 고, 점 \( (0,1) \) 을 지나고, \( x \rightarrow \infty \) 일 때 급속히 증가한다. \( x \rightarrow- \infty \) 일 때, \( x \) 축 \( (y=0) \) 은 가로점근선이다. 세로점근선은 존재하지 않는다.</p> <p>마지막으로, 이 그래프들은 돌출부분(corner)도 틈(gap)도 없는 매그럽고 연속이다. 따라서 다음의 결과를 갖는다.</p> <p>\( f(x)=a ^ { x } , a>1 \) 은 임의의 지수함수라 하자.</p> <ol type=1 start=1><li>정의역은 모든 실수들의 집합이고; 치역은 양의 실수들의 집합이다.</li> <li>\( x \)-절편은 존재하지 않고; \( y \)-절편은 1 이다.</li> <li>\( x \) 축 \( (y=0) ㅇ ㅡ ㄴ x- \infty \) 일 때 가로 점근선이다.</li> <li>\( f \) 는 증가함수이고 1대1이다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 점 \( (0,1),(1, a) \) 와 \( \left (-1, \frac { 1 } { a } \right ) \) 을 포함한다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 돌출부분도 끊어짐도 없는 매끄럽고 연속이다. 그림 8.1.2를 보라.</li></ol> <p>이제 \( 0<a<1 \) 일 때 \( f(x)=a ^ { x } \) 을 생각하자.</p> <h3>보기 8.1.3 지수함수의 그래프를 그리기</h3> <p>지수함수 \( f(x)= \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } \) 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 \( f \) 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다. 보기 8.1.2에서처럼, \( f \) 의 그래프 위의 몇개의 점들을 정한다. 표 8.1.2를 보라. 모든 \( x \) 에 대하여 \( \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { x } >0 \) 이므로, \( f \) 의 치역은 구간 \( (0, \infty) \) 다. 이 그래프는 \( x ^ { - } \)축 위쪽에 있다.</p> <h1>제8장 지수함수와 로그함수</h1> <h2>\( 8.1 \) 지수함수</h2> <p>실수 \( a \) 의 유리수 거듭제곱에 대한 정의에 근거하여, \( a ^ { r } \) 꼴의 식에 의미를 주었다. 여기서 밑 \( a \) 는 양수이기 지수 \( r \) 은 유리수이다.</p> <p>그러나 \( a ^ { x } \) 의 의미는 무엇인가? 여기서 밑 \( a \) 는 양수이기 지수 \( x \) 는 무리수이나. 무 뇌수 \( x \) 로부터 유한개의 슷자를 제외한 모든 끝수른 비림으로써 구성되는 유녀수 \( r \) 을 선택한다. 그러먼 \[a ^ { x } \approx a ^ { r } \]을 기대한다는 것은 온당하다.</p> <p>예로써, 무리수 \( \pi = 3.14159 \cdots \) 를 취하자. 그러면 \( a ^ {\pi } \) 의 근사값(approximation)은 \[a ^ {\pi } \approx a ^ { 3.14 } \]이다. 100 번째 위치 이후의 숫자는 \( \pi \) 에 대한 값으로부터 제거되었다. 더 좋은 근사값은 \( a ^ {\pi } \approx a ^ { 3.14159 } \)일 것이다. 여기서 10 만 번째 위치 이후의 숫자는 제거 되었다. 이 방빕을 계속하여, 바라는 정확도에 따라서 \( a ^ {\pi } \) 의 근사값을 얻을 수 있다.</p> <h3>보기 8.1.1 2의 거듭제곱 값을 구하기 위하여 계산기를 사용하기</h3> <p>계산기를 사용하여 다음의 각 값을 구하여라.<p> <ol type=a start=1><li>\( 2 ^ { 1 \cdot 4 } \)</li> <li>\( 2 ^ { 1.41 } \)</li> <li>\( 2 ^ { 1.414 } \)</li> <li>\( 2 ^ { 1.4142 } \)</li> <li>\( 2 ^ {\sqrt { 2 } } \)</li></ol></p>풀이</p> <ol type=a start=1><li>\( 2 ^ { 1 \cdot 4 } \approx 2.639015822 \).</li> <li>\( 2 ^ { 1.41 } \approx 2.657371628 \).</li> <li>\( 2 ^ { 1.414 } \approx 2.66474965 \).</li> <li>\( 2 ^ { 1.4142 } \approx 2.665119089 \).</li> <li>\( 2 ^ {\sqrt { 2 } } \approx 2.665144143 \).</li></ol> <p>유리수지수에 대한 잘 아는 법칙들이 실수지수에 대하여 다음이 성립한다는 것을 증명할 수 있다. \( s, t, a \) 와 \( b \) 는 임의의 실수이고 \( a>0, b>0 \) 라 하자. 그러면 \[ \begin {array} { ccc } a ^ { s } \cdot a ^ { t } =a ^ { s + t } , & \left (a ^ { s } \right ) ^ { t } =a ^ { s t } , & (a b) ^ { b } =a ^ { 5 } \cdot b ^ { s } , \\1 ^ { s } =1, & a ^ { -s } = \frac { 1 } { a ^ { s } } = \left ( \frac { 1 } { a } \right ) ^ { s } , & a ^ { 0 } =1 . \end {array} \] 지수함수(exponential function)란 다음과 같은 꼴의 함수를 말한다. \[ f(x)=a ^ { x } . \] 여기서 \( a>0 \) 이고 \( a \neq 1 . f \) 의 정의역은 모든 실수들의 집합이다. 밑 \( a=1 \) 을 제외한다. 왜나면, 이 함수는 단순히 상수함수 \( f(x)=1 ^ { x } =1 \) 이기 때문이다.</p> <p>지수함수와 로그함수는 서로 역이므로, 로그함수 \( y= \log _ { a } x \)의 그래프는 직선 \( y=x \) 에 대한 지수함수 \( y=a ^ { x } \) 의 그래프의 반사이다.</p> <p>그림 8.2.1을 보라. 로그함수 \( f(x)= \log _ { a } x \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>정의역은 양의 실수집합이고, 치역은 모든 실수들의 집합이다.</li> <li>이 그래프의 \( x \)-절편은 1 이고, \( y \)-절편은 존재하지 않는다.</li> <li>\( y \)-축 \( (x=0) \) 은 이 그래프의 세로점근선이다.</li> <li>\( f \) 는 \( 0<a<1 \) 이면 감소하고 \( a>1 \) 이면 증가한다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 점 \( (1,0),(a, 1) \) 과 \( \left ( \frac { 1 } { a } ,-1 \right ) \) 을 포함한다.</li> <li>\( f \) 의 그래프는 돌출부분도 틈도 없는 매끄럽고 연속이다.</li></ol> <p>이제 자연로그함수에 대하여 생각해 보기로 하자.</p> <p>밑이 수 \( e \) 인 로그함수 \( y= \log _ { e } x \) 를 자연로그함수(natural logarithm function)라 하고 \( \log _ { e } \) 를 기호 \( \ln \) (라틴어 logarithmus naturalis에서 따옴)으로 쓴다. 따라서 \[y= \ln x \Leftrightarrow \quad x=e ^ { y } . \]</p> <p>자연로그함수는 응용에서 매우 자주 발생한다. \( y= \ln x \) 와 지수함수 \( y=e ^ { x } \) 은 서로 역함수이므로, 직선 \( y=x \) 에 대하여 \( y=e ^ { x } \) 을 반사함으로써 \( y= \ln x \) 의 그래프를 얻을 수 있다. 그림 8.2.2를 보라.</p> <h3>보기 8.2.6 변환을 사용하여 로그함수의 그래프를 그리기</h3> <p>\( y= \ln x \) 의 그래프에서 출발함으로써 \( f(x)=- \ln (x + 2) \) 의 그래프를 그려라. \( f \) 의 정의역 치역과 세로점근서을 격정하여라.</p> <p>풀이 \( f \) 의 정의역은 \( x + 2>0 \) 또는 \( x>-2 \) 인 모든 실수 \( x \) 로 이루어진다. 따라서 \( f \) 의 정의역은 구간 \( (-2, \infty) \) 다. \( y=- \ln (x + 2) \) 의 그래프를 얻기 위하여, 그림 8.2.3에 설명된 단계를 사용한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( y= \ln x \)</li> <li>\( y=- \ln x \)</li> <li>\( y=- \ln (x + 2) \)</li></ol> <p>\( f \) 의 치역은 구간 \( (- \infty, \infty) \) 이고 세로점근선은 \( x=-2 \) 이다.</p> <p>로그에 대한 또 다른 성질을 살펴보도록 하자.</p> <p>\( M, N \) 과 \( a \) 는 임의의 실수고 \( a \neq 1 \) 라 하자.</p> <p>\( M=N \Leftrightarrow \log _ { a } M= \log _ { a } N \).<caption>\( (8.3 .6) \)</caption></p> <p>성질 (8.3.6)은 다음 절에서 논의되는 지수와 로그 방정식을 푸는데 사용된다.</p> <p>밑이 10 인 로그, 즉, 상용로그는 계산기가 널리 사용되기 전에 산수계산을 쉽게 하기 위하여 사용되었다. 밑이 \( e \) 인 로그, 즉, 자연로그는 여전히 매우 중요하다. 왜냐면 자연로그는 자연현상의 연구에 자주 발생하기 때문이다.보통 사용로그 \( \log _ { 10 } x \) 는 밑 10 을 생략하고 \( \log x \) 로 쓴다.</p> <h3>보기 8.3.7 밑이 10 도 \( e \) 도 아닌 로그의 근사 값을 구하기</h3> <p>\( \log _ { 2 } 7 \) 의 근사값을 구하여라. 답을 소수 넷째자리까지 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( y= \log _ { 2 } 7 \) 이라 하자. 그러면 \( 2 ^ { y } =7 \). 그래서 \[ \begin {aligned} \ln 2 ^ { y } &= \ln 7 \\ y \ln 2 &= \ln 7 \\ y &= \frac {\ln 7 } {\ln 2 } & \text { 정확한 해 } \\ & \approx 2.8074. & \text { 소수 넷째자리까지의 근사 해 } \end {aligned} \]<caption>\( (8.3 .6) \)</caption> <caption>\( (8.3 .5) \)</caption></p> <p>보기 8.3.7은 밑 \( e \) 를 포함하는 로그로 바꾸어 줌으로써 밑 2 인 로그의 근사값을 구하는 방법을 보여준다. 이와 같이, 밑을 바꾸는 것을 밑 변환공식(change-of-base formula)이라 한다.</p> <p>이제 밑 변환 공식에 대하여 살펴보자.</p> <p>\( a \neq 1, b \neq 1 \) 과 \( M \) 은 임의의 양수라 하자. 그러면 \[ \log _ { a } M= \frac {\log _ { b } M } {\log _ { b } a } \]<caption>\( (8.3 .7) \)</caption></p> <p>특히, \[ \log _ { a } M= \frac {\log _ { e } M } {\log _ { e } a } \text { 이고 } \log _ { a } M= \frac {\ln M } {\ln a } \text { . } \]<caption>\( (8.3 .8) \)</caption></p>	자연
미분기하학	<p>정의 4.1.7 접벡터 \( \mathrm { v } \in T_ {\mathrm { p } } M \)에 대하여 \[ \Pi_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } )=- \left \langle d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ), \mathrm { v } \right \rangle \]로 정의된 이차형식 \( \mathrm { II } _ {\mathrm { p } } \)를 점 \( \mathrm { p } \)에서 곡면 \( M \)의 제2기본형식(second fundamental form)이라고 한다.</p> <p>도움정리 4.1.8 \( \quad \mathbf { x } = \mathbf { x } (u, v) \)가 점 \( \mathrm { p } \in M \)근방의 좌표함수이고 \( \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) \)가 \( \alpha(0)= \mathrm { p } \)인 \( M \)의 단위속력곡선이면<caption>(4.1.9)</caption>\[ \begin {aligned} II_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )=& \left (u ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } \left \langle \mathbf { x } _ { u u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ), Z( \mathbf { p } ) \right \rangle \\& + 2 u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) \left \langle \mathbf { x } _ { u v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ), Z( \mathbf { p } ) \right \rangle \\ & + \left (v ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } \left \langle \mathbf { x } _ { v v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ), Z( \mathbf { p } ) \right \rangle \end {aligned} \] (단, \( \left .u_ { 0 } =u(0), v_ { 0 } =v(0) \right ) \)</p> <p>증명 연쇄법칙에 의해 \[ \alpha ^ {\prime } (0)=u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } \left (u_ { 0 } , v_ { 0 } \right ) \]이므로 도움정리 4.1.5로부터 \[ \begin {aligned} I_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )=&- \left \langle d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right ), \alpha ^ {\prime } (0) \right \rangle \\ =&- \left \langle u ^ {\prime } (0) Z_ { u } + v ^ {\prime } (0) Z_ { v } , u ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { u } + v ^ {\prime } (0) \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \\ =&- \left (u ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle-u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \\&-u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) \left \langle Z_ { v } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle- \left (v ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } \left \langle Z_ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \end {aligned} \]<caption>(4.1.10)</caption>한편, 정리 4.1.6의 증명에 의해 \[ \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle=- \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u v } \right \rangle \] 또 \( \left \langle Z, \mathrm { x } _ { v } \right \rangle=0 \) 을 \( v \)에 대하여 미분하면 \[ \left \langle Z_ { v } , \mathrm { x } _ { v } \right \rangle=- \left \langle Z, \mathrm { x } _ { v v } \right \rangle \] 위의 식을 식 (4.1.10)에 대입하면 \[ \mathrm { II } _ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )= \left (u ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u u } \right \rangle + 2 u ^ {\prime } v ^ {\prime } \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u v } \right \rangle + \left (v ^ {\prime } \right ) ^ { 2 } \left \langle Z, \mathbf { x } _ { v v } \right \rangle \]</p> <p>\( \alpha(s) \)가 호길이함수 \( s \)로 표현된 곡선, 즉 단위속력곡선이면 \( T ^ {\prime } = \alpha ^ {\prime \prime } = \kappa N \)이고 \( \left \\|T ^ {\prime } \right \\|= \left \\| \alpha ^ {\prime \prime } \right \\|= \kappa \)이다. 따라서 \( Z \)가 단위법벡터장이므로 법곡률 \( k_ { n } \)는 곡률벡터 \( \kappa N \)을 \( Z \)-방향으로 정사영시킨 벡터의 크기를 나타낸다(그림 4.5).</p> <p>도움정리 4.1.12 \( \quad \alpha:(a, b) \rightarrow M \)을 정칙곡선이라 하고 \( Z(t)=Z \circ \alpha(t) \)로 정의하면 \( \left \langle \alpha ^ {\prime \prime } (t), Z(t) \right \rangle=- \left \langle \mathrm { d } Z \left ( \alpha ^ {\prime } (t) \right ), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle \)</p> <p>증명 \( Z \)는 법벡터장이고 \( \alpha ^ {\prime } (t) \)는 접벡터이므로 \( \left \langle \alpha ^ {\prime } (t), Z(t) \right \rangle=0 \)이다. 양변을 \( t \)에 관하여 미분하면 \[ \left \langle \alpha ^ {\prime \prime } (t), Z(t) \right \rangle=- \left \langle Z ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle=- \left \langle \mathrm { d } Z \left ( \alpha ^ {\prime } (t) \right ), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle \]</p> <p>정리 4.1 .13 \( \quad \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \in T_ {\mathrm { p } } M, \\| \mathrm { v } \\|=1 \)이면 \[ \kappa_ { n } \left ( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \right )=- \langle d Z( \mathrm { v } ), \mathrm { v } \rangle= \mathrm { I } _ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) \]</p> <p>증명 \( \alpha:(- \epsilon, \epsilon) \rightarrow M \)이 \( \alpha(0)= \mathrm { p } , \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } \)인 단위속력곡선이면 정의 4.1.11과 도움정리 4.1.12에 의해 \( \kappa_ { n } \left ( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \right )= \langle \kappa(0) N(0), Z( \mathrm { p } ) \rangle \)</p> <p>\( = \left \langle \alpha ^ {\prime \prime } (0), Z(0) \right \rangle=- \left \langle d Z \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right ), \alpha ^ {\prime } (0) \right \rangle \)</p> <p>\( =- \langle d Z( \mathrm { v } ), \mathrm { v } \rangle= \Pi_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) \)</p> <p>여기서 \( Z(0)=Z( \alpha(0))=Z( \mathrm { p } ) \) 이다.</p> <p>정리 4.1.13에 의하면 곡면 위에 놓여 있는 단위속력곡선 \( \alpha \)에 대하여 \( \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \) 방향으로의 법곡률은 \( \mathrm { II } _ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right ) \)으로 주어짐을 알 수 있다. 다시 말해서, \( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \)-방향의 법곡률은 곡선 \( \alpha \)의 선택에는 무관하고, 오직 점 \( \mathrm { p } \)와 벡터 \( \mathrm { v } \)에 의존하는 값이므로 법곡률은 잘 정의된 개념이다. 즉, 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 4.1.14</p> <p>Muesnier \( \alpha \) 와 \( \beta \) 가 곡면 \( M \) 의 단위속력곡선으로 \( \alpha(0) = \beta(0)= \mathrm { p } \) 이고 \( \alpha ^ {\prime } (0)= \beta ^ {\prime } (0) \)이면 \[ \left \langle \kappa_ {\alpha } (0) N_ {\alpha } (0), Z( \mathrm { p } ) \right \rangle= \left \langle \kappa_ {\beta } (0) N_ {\beta } (0), Z( \mathrm { p } ) \right \rangle \] 여기서 \( \kappa_ {\alpha } , \kappa_ {\beta } \)는 각각 \( \alpha \)와 \( \beta \)의 곡률을 나타내고, \( N_ {\alpha } , N_ {\beta } \) 는 각각 \( \alpha \)와 \( \beta \)의 단위법벡터장을 나타낸다.</p> <p>증명</p> <p>정리 4.1.13에 의해 \( \Pi_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )= \left \langle Z(0), \kappa_ {\alpha } (0) N_ {\alpha } (0) \right \rangle \) 여기서 \( Z(0)=Z( \alpha(0))=Z( \mathrm { p } ) \) 이다. \( \alpha(0)= \beta(0)= \mathrm { p } \)이므로 같은 이유에 의하여 \( _ {\mathrm { p } } \left ( \beta ^ {\prime } (0) \right )= \left \langle Z(0), \kappa_ {\beta } (0) N_ {\beta } (0) \right \rangle \)이 성립한다. \( \alpha ^ {\prime } (0)= \beta ^ {\prime } (0) \)이므로 \( \Pi_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )= \Pi_ {\mathrm { p } } \left ( \beta ^ {\prime } (0) \right ) \)이고 따라서 정리가 성립 한다.</p> <p>정의 4.1.15</p> <p>곡면 \( M \) 의 점 \( \mathrm { p } \)에서 법곡률 중 최대 법곡률과 최소 법곡률을 점 \( \mathrm { p } \)에서의 주곡률(principal curvature)이라고 하고, 이를 각각 \( \kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) \)와 \( \kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } ) \)로 나타낸다. 그리고 대응하는 방향 \( \mathrm { e } _ { 1 } \)과 \( \mathrm { e } _ { 2 } \) 를 주곡률방향(principal direction)이라고 한다.</p> <p>법곡률은 접평면의 단위원 \( \left \{\mathbf { v } \in T_ {\mathrm { p } } M \mid \\| \mathbf { v } \\|=1 \right \} \)에서 정의된 연속함수이고 이 단위원은 옹골집합(compact)이므로 항상 최댓값과 최솟값을 갖는다. 그리고 정의에 의해 주곡률 \( \kappa_ { 1 } \)과 \( \kappa_ { 2 } \)는 접벡터의 방향과는 무관하고 점 \( \mathrm { p } \)에만 의존한다. \( \mathrm { e } _ { 1 } \)과 \( \mathrm { e } _ { 2 } \)가 주곡 률방향이면 \( - \mathrm { e } _ { 1 } ,- \mathrm { e } _ { 2 } \) 또한 주곡률방향이다. 실제로 \( \kappa_ { n } \left ( \mathbf { e } _ { i } \right )= \kappa_ { i } ( \mathrm { p } ) \)이면 정리 4.1.13에 의해 \[ \kappa_ { n } \left (- \mathbf { e } _ { i } \right )=- \left \langle d Z \left (- \mathbf { e } _ { i } \right ),- \mathbf { e } _ { i } \right \rangle=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { e } _ { i } \right ), \mathbf { e } _ { i } \right \rangle= \kappa_ { n } \left ( \mathbf { e } _ { i } \right ) \]이다. 앞으로 주곡률방향이 \( \mathrm { e } _ { 1 } , \mathrm { e } _ { 2 } \) 라는 것은 \( \pm \mathrm { e } _ { 1 } , \pm \mathrm { e } _ { 2 } \) 를 의미하는 것으로 간주한다.</p> <p>지금부터는 주곡률방향의 직교성과 유일성에 대하여 알아보자. 아래에서 증명할 정리 4.1.17에 의하면 각 접평면 \( T_ {\mathrm { p } } M \)에서 정규직교기저 \( \left \{\mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } \right \} \)가 존재하여<caption>(4.1.12)</caption>\[d Z_ {\mathbf { p } } \left ( \mathbf { e } _ { 1 } \right )=- \kappa_ { 1 } ( \mathbf { p } ) \mathbf { e } _ { 1 } , d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { e } _ { 2 } \right )=- \kappa_ { 2 } ( \mathbf { p } ) \mathbf { e } _ { 2 } \]이 성립한다. 이 사실은 \( d Z_ {\mathrm { p } } \)가 자기수반 선형사상이라는 사실과 선형대수학의 이론(내 적공간과 이차형식)을 적용하여 증명할 수도 있다(부록 \( \mathrm { A } \) 참고). 더욱이 정리 4.1.13에 의해 \( \kappa_ { 1 } \)과 \( \kappa_ { 2 } \left ( \kappa_ { 1 } \geq \kappa_ { 2 } \right ) \)는 제2기본형식 \( \mathrm { II } _ {\mathrm { p } } \)를 접평면의 단위원 \( \left \{\mathbf { v } \in T_ {\mathrm { p } } M \mid \\| \mathbf { v } \\|=1 \right \} \)에 제한했을 때의 최댓값과 최솟값이다. 실제로, \[ \operatorname { IIp } \left ( \mathbf { e } _ { i } \right )=- \left \langle d Z \mathbf { p } \left ( \mathbf { e } _ { i } \right ), \mathbf { e } _ { i } \right \rangle= \left \langle \kappa_ { i } ( \mathbf { p } ) \mathbf { e } _ { i } , \mathbf { e } _ { i } \right \rangle= \kappa_ { i } ( \mathbf { p } ) \quad(i=1,2) \]</p> <p>정의 4.3 .4</p> <p>\( \mathrm { p } \in M \) 이고 \( \mathrm { v } \in T_ {\mathrm { p } } M, \\| \mathrm { v } \\| = 1 \) 이라 하자. \( \mathrm { v } \) 방향의 법곡률이 0 일 때, 즉 \( \kappa_ { n } ( \mathrm { v } )=0 \) 일 때 \( \mathrm { v } \) 를 점 \( \mathrm { p } \) 에서 곡면 \( M \) 의 점근방향(asymptotic direction)이라고 한다.</p> <p>정리 4.3 .5</p> <p>점 \( \mathrm { p } \in M \) 에 대하여 (1) \( K( \mathrm { p } )>0 \) 이면 점 \( \mathrm { p } \) 에서의 점근방향은 존재하지 않는다.</p> <p>(2) \( K( \mathrm { p } )<0 \) 이면 점 \( \mathrm { p } \) 에서 오직 두 점근방향이 존재하고 이 두 방향은 주곡률방향에 의하여 이등분된다. 또 점근방향과 주곡률방향 사이의 각을 \( \theta \) 라 하면 \[ \tan ^ { 2 } \theta=- \frac {\kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) } {\kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } ) } \]를 만족시킨다.</p> <p>(3)<ol type=i start=1><li>(i) \( K( \mathrm { p } )=0 \) 이고 \( \mathrm { p } \) 가 평면점이면 모든 방향이 점근방향이다.</li> <li>\( K( \mathrm { p } )=0 \) 이고 \( \mathrm { p } \) 가 평면점이 아니면 오직 한 점근방향만이 존재하고 이 점근방향은 동시에 주곡률방향이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>세 가지 경우 모두 오일러 공식 \[ \kappa_ { n } ( \mathbf { v } )= \kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) \cos ^ { 2 } \theta + \kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } ) \sin ^ { 2 } \theta \]으로부터 얻을 수 있다. 여기서 \( \theta= \angle \left ( \mathrm { v } , \mathrm { e } _ { 1 } \right ) \) 이고, \( \left \{\mathrm { e } _ { 1 } , \mathrm { e } _ { 2 } \right \} \) 는 주곡률방향이다.</p> <p>(1) \( K( \mathrm { p } )>0 \) 이면 \( \kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) \) 와 \( \kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } ) \) 는 \( \mathrm { O } \) 이 아니고 같은 부호를 갖는다. 따라서 모든 접벡터 \( \mathbf { v } \in T_ {\mathrm { p } } M, \\| \mathbf { v } \\|=1 \) 에 대하여 법곡률은 \( \kappa_ { n } ( \mathbf { v } ) \neq 0 \) 이다.</p> <p>\( \kappa_ { 1 } ( \mathbf { p } )>0 \) 이고 \( \kappa_ { 2 } ( \mathbf { p } )<0 \) 이다. 방정식 \[0= \kappa_ { n } ( \mathbf { v } )= \kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) \sin ^ { 2 } \theta \]가 정확하게 두 개의 해 \( \theta_ { 1 } , \theta_ { 2 } =- \theta_ { 1 } \) 을 가지므로 대응하는 방향이 점근방향이 되 고 이 두 방향은 주곡률방향에 의해 이등분된다. 더욱이, 위의 식으로부터 \[ \tan ^ { 2 } \theta=- \frac {\kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } ) } {\kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } ) } \]이 성립한다.</p> <p>(3) 점 \( \mathbf { p } \) 가 평면점이면 \( \kappa_ { 1 } ( \mathbf { p } )= \kappa_ { 2 } ( \mathbf { p } )=0 \) 이므로 모든 접벡터 \( \mathbf { v } \in T_ {\mathrm { p } } M, \\| \mathbf { v } \\|=1 \) 에 대하여 \( \kappa_ { n } ( \mathrm { v } )=0 \) 이다. \( \mathrm { p } \) 가 평면점이 아니고 \( \kappa_ { 1 } ( \mathrm { p } )>\kappa_ { 2 } ( \mathrm { p } )=0 \) 이면 방정식 \[0= \kappa_ { n } ( \mathbf { v } )= \kappa_ { 1 } ( \mathbf { p } ) \cos ^ { 2 } \theta \]의 해는 \( \theta= \pm \frac {\pi } { 2 } \) 이고 이에 대응하는 방향은 주곡률방향인 \( \mathrm { v } = \pm \mathrm { e } _ { 2 } \) 이다.</p> <p>식 (4.2.11)의 양변에 \( \mathbf { v } \times \mathbf { w } \) 를 내적하고 식 (1.5.4)를 이용하면<caption>(4.2.13)</caption>\[ \begin {aligned} K( \mathbf { p } ) & = \frac { d Z_ {\mathbf { p } } ( \mathbf { v } ) \times d Z_ {\mathbf { p } } ( \mathbf { w } ) \cdot \mathbf { v } \times \mathbf { w } } {\\| \mathbf { v } \times \mathbf { w } \\| ^ { 2 } } \\ &= \frac {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { v } ) \cdot \mathrm { v } & d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) \cdot \mathbf { w } \\ d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { w } ) \cdot \mathbf { v } & d Z_ {\mathbf { p } } ( \mathbf { w } ) \cdot \mathbf { w } \end {array} \right ) } {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } \mathbf { v } \cdot \mathrm { v } & \mathbf { v } \cdot \mathbf { w } \\ \mathbf { w } \cdot \mathbf { v } & \mathbf { w } \cdot \mathbf { w } \end {array} \right ) } \end {aligned} \]<caption>(4.2.14)</caption>로 나타낼 수 있다. 마찬가지로 식 (4.2.12)로부터 평균곡률에 관한 공식<caption>(4.2.15)</caption>\[ \begin {aligned} H( \mathrm { p } )=&- \operatorname { det } \frac {\left ( \begin {array} { cc } d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) \cdot \mathrm { v } & d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ) \cdot \mathrm { w } \\ d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { w } ) \cdot \mathrm { v } & d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { w } ) \cdot \mathrm { w } \end {array} \right ) } { 2 \operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } \mathrm { v } \cdot \mathrm { v } & \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } \\ \mathrm { w } \cdot \mathrm { v } & \mathrm { w } \cdot \mathrm { w } \end {array} \right ) } \\ &- \frac {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } \mathrm { v } \cdot \mathrm { v } & \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } \\ d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { w } ) \cdot \mathrm { v } & d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { w } ) \cdot \mathrm { w } \end {array} \right ) } { 2 \operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } \mathrm { v } \cdot \mathrm { v } & \mathrm { v } \cdot \mathrm { w } \\ \mathrm { w } \cdot \mathrm { v } & \mathbf { w } \cdot \mathrm { w } \end {array} \right ) } \end {aligned} \] 을 얻을 수 있다.</p> <p>다음 도움정리는 가우스사상 \( Z \) 의 미분사상 \( d Z \)와 좌표함수 \( \mathrm { x } \)의 편도함수와의 관계를 나타낸다.</p> <p>도움정리 4.1.5 \( \quad \mathbf { x } = \mathbf { x } (u, v) \)가 점 \( \mathbf { p } \in M \) 근방의 좌표함수일 때, \( Z( \mathbf { x } (u, v))=Z(u, v) \)로 놓으면 \[d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { u } \right )=Z_ { u } , d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { v } \right )=Z_ { v } \]</p> <p>증명 곡면 \( M \)의 곡선 \( \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) \) 가 \( \alpha(0)= \mathrm { p } \)이면 \( \alpha ^ {\prime } (t)=u ^ {\prime } \mathbf { x } _ { u } + v ^ {\prime } \mathbf { x } _ { v } \)이므로<caption>4.1.6</caption>\[ d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )=u ^ {\prime } (0) \mathrm { d } Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ) + v ^ {\prime } (0) \mathrm { d } Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { v } \right ) \] 한편,<caption>4.1.7</caption>\[ \begin {aligned} d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right ) &= \left . \frac { d } { d t } Z( \alpha(t)) \right \|_ { t=0 } = \left . \frac { d } { d t } Z(u(t), v(t)) \right \|_ { t=0 } \\ &=u ^ {\prime } (0) Z_ { u } + v ^ {\prime } (0) Z_ { v } \end {aligned} \] \( u ^ {\prime } (0) \) 과 \( v ^ {\prime } (0) \)은 임의의 실수를 나타내므로 식 (4.1.6)과 (4.1.7)로부터 \[d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { u } \right )=Z_ { u } , d Z_ {\mathrm { p } } \left ( \mathbf { x } _ { v } \right )=Z_ { v } \]</p> <p>\( f=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } \right \rangle=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { v } \right ), \mathbf { x } _ { u } \right \rangle= \left \langle \mathbf { x } _ { v u } , Z \right \rangle \)</p> <p>\( g=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { v } \right ), \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \)</p> <p>증명 도움정리 4.1.5와 4.1.8에 의해 성립한다. 예를 들면, \[ e= \left \langle \mathbf { x } _ { u u } , Z \right \rangle=- \left \langle \mathbf { x } _ { u } , Z_ { u } \right \rangle=- \left \langle \mathbf { x } _ { u } , d Z \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ) \right \rangle \] \( f \) 와 \( g \)도 같은 방법으로 보일 수 있다.</p> <p>정의 4.1.11 \( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \in T_ {\mathrm { p } } M, \\| \mathrm { v } \\|=1 \)이고 \( \alpha:(a, b) \rightarrow M \)이 \( \alpha(0)= \mathrm { p } , \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } \)인 단위속력 곡선이라고 하자. 이때 \( \langle \kappa(0) N(0), Z( \mathbf { p } ) \rangle \)을 \( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \)-방향의 법곡률(normal curvature)이라고 하고, \( \kappa_ { n } \left ( \mathrm { v } _ {\mathrm { p } } \right ) \)로 나타낸다. 여기서 \( \kappa(0) \)은 \( s=0 \)에서 곡선 \( \alpha \)의 곡률이고, \( N(0) \)는 \( s=0 \)에서 곡선 \( \alpha \)의 단위법벡터장이다.</p> <p>가우스곡률과 평균곡률에 대한 위의 식들은 한 점에서만이 아니라 함수형태로 나타낼 수 있다. \( V \) 가 곡면 \( M \) 에서 정의된 접벡터장일 때, 가우스사상의 미분사상 \( d Z(V) \) 를 \[d Z(V)( \mathbf { p } )=d Z \mathbf { p } (V( \mathbf { p } )) \]로 정의하면 \( d Z(V) \) 는 곡면 \( M \) 의 접벡터장이다. 따라서 \( W \) 가 또 다른 접벡터로 각각의 점에서 \( V \) 와 일차독립이면 식 (4.2.13)과 식 (4.2.14)는<caption>(4.2.16)</caption>\[K= \frac { d Z(V) \times d Z(W) \cdot V \times W } {\\|V \times W \\| ^ { 2 } } \]<caption>(4.2.17)</caption>\[= \frac {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { lc } d Z(V) \cdot V & d Z(V) \cdot W \\ d Z(W) \cdot V & d Z(W) \cdot W \end {array} \right ) } {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } V \cdot V & V \cdot W \\ W \cdot V & W \cdot W \end {array} \right ) } \] 로 나타낼 수 있고, 식 (4.2.15)는<caption>(4.2.18)</caption>\[ \begin {aligned} H=&- \frac { (d Z(V) \times W + V \times d Z(W)) \cdot(V \times W) } { 2 \\|V \times W \\| ^ { 2 } } \\ =&- \frac {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } d Z(V) \cdot V & d Z(V) \cdot W \\ d Z(W) \cdot V & d Z(W) \cdot W \end {array} \right ) } { 2 \operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } V \cdot V & V \cdot W \\ W \cdot V & W \cdot W \end {array} \right ) } \\ &- \frac {\operatorname { det } \left ( \begin {array} { cc } V \cdot V \\ d Z(W) \cdot V & d Z(W) \cdot W \end {array} \right ) } { 2 \operatorname { det } \left ( \begin {array} { lc } V \cdot V & V \cdot W \\ W \cdot V & W \cdot W \end {array} \right ) } \end {aligned} \]<caption>(4.2.19)</caption>으로 나타낼 수 있다.</p> <p>식 (4.2.17)과 (4.2.19)로부터 정리 4.2.1을 쉽게 이끌어 낼 수 있다. 좌표함수 \( \mathbf { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M \) 에 대하여 \[V= \mathrm { x } _ { u } , W= \mathbf { x } _ { v } \]로 놓으면 공식 (4.2.1)을 얻을 수 있다.</p> <p>식 (4.2.17)과 (4.2.19)는 곡면이 세변수함수의 등위면(level set)으로 주어지는 경우, 즉, \( M: g(x, y, z)=c \) 의 형태로 주어지는 곡면의 가우스곡률과 평균곡률을 효과적으로 계산하는 방법을 제공해 준다. 이와 같은 방법을 알아보기 위하여 우선 가우스사상의 미분사상에 접벡터장을 대입한 값은 공변미분과 같다는 사실을 증명하자.</p> <h2>4.2 곡률공식</h2> <p>가우스곡률은 주어진 점을 지나는 곡선의 법곡률 중 가장 큰 값과 가장 작은 값을 곱한 값이고, 평균곡률은 이 두 값의 평균값이다. 그러나 실제로 가우스곡률과 평균곡률을 구하는데 있어서 이 방법은 효과적이지 못할 뿐만 아니라, 일반적으로 계산하기가 용이하지 않다. 한편, 곡면은 국소적으로 항상 좌표함수 \( \mathrm { x } \) 가 존재하고 좌표함수의 편미분벡터인 \( \mathrm { x } _ { u } , \mathrm { x } _ { v } \) 가 대응하는 점에서 접평면의 기저가 되므로 좌표함수를 이용하여 가우스곡률과 평균곡률을 계산할 수 있다.</p> <p>\( \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M \) 이 좌표함수일 때, \( \mathrm { x } \) 에 대한 제 1 기본형식의 계수는 \[ E = \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle, F= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle, G= \left \langle \mathbf { x } _ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \]이고 제2기본형식의 계수는 \[ \begin {array} { l } e=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ), \mathbf { x } _ { u } \right \rangle=- \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle \\ f=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } \right \rangle=- \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \\ g=- \left \langle d Z \left ( \mathbf { x } _ { v } \right ), \mathbf { x } _ { v } \right \rangle=- \left \langle Z_ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle \end {array} \] 이다. 더욱이 \( \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u } \right \rangle= \left \langle Z, \mathbf { x } _ { v } \right \rangle=0 \) 로부터 \[ \begin {array} { l } e=- \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle= \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u u } \right \rangle \\ f=- \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle= \left \langle Z, \mathbf { x } _ { v u } \right \rangle= \left \langle Z, \mathbf { x } _ { u v } \right \rangle=- \left \langle Z_ { v } , \mathbf { x } _ { u } \right \rangle \\ g=- \left \langle Z_ { v } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle= \left \langle Z, \mathbf { x } _ { v v } \right \rangle \end {array} \] 이 성립한다.</p> <p>정리 4.1.6 가우스사상의 미분사상 \( d Z_ {\mathrm { p } } : T_ {\mathrm { p } } M \rightarrow T_ {\mathrm { p } } M \)은 자기수반(self-adjoint) 선형사상 이다. 즉, 임의의 접벡터 \( \mathrm { v } , \mathrm { w } \in T_ {\mathrm { p } } M \)에 대하여 \[ \left \langle d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathrm { v } ), \mathbf { w } \right \rangle= \left \langle \mathrm { v } , d Z_ {\mathrm { p } } ( \mathbf { w } ) \right \rangle \]</p> <p>증명 미분사상 \( d Z_ {\mathrm { p } } \)가 선형사상이고 \( \left \{\mathrm { x } _ { u } , \mathrm { x } _ { v } \right \} \)가 각각의 접평면에서 기저이므로<caption>(4.1.8)</caption>\[ \left \langle d Z_ {\mathbf { p } } \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ), \mathbf { x } _ { v } \right \rangle= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , d Z_ {\mathbf { p } } \left ( \mathbf { x } _ { v } \right ) \right \rangle \]를 보이면 충분하다. 도움정리 4.1.5에 의해 식 (4.1.8)은 \( \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle= \left \langle \mathbf { x } _ { u } , Z_ { v } \right \rangle \)와 동치이다. \( \left \langle Z, \mathrm { x } _ { u } \right \rangle=0 \)이므로 \( v \)에 관해 편미분하면 \[0= \frac {\partial } {\partial v } \left \langle Z, \mathrm { x } _ { u } \right \rangle= \left \langle Z_ { v } , \mathrm { x } _ { u } \right \rangle + \left \langle Z, \mathrm { x } _ { u v } \right \rangle \] 또 \( \left \langle Z, \mathrm { x } _ { v } \right \rangle=0 \)이므로 \( u \)에 관해 편미분하면 \[0= \left \langle Z_ { u } , \mathbf { x } _ { v } \right \rangle + \left \langle Z, \mathbf { x } _ { v u } \right \rangle \] 따라서 \[ \left \langle Z_ { v } , \mathrm { x } _ { u } \right \rangle=- \left \langle Z, \mathrm { x } _ { u v } \right \rangle=- \left \langle Z, \mathrm { x } _ { v u } \right \rangle= \left \langle Z_ { u } , \mathrm { x } _ { v } \right \rangle \]</p> <p>식 (4.1.9)는 제1기본형식에 관한 성질 (3.4.1)과 비슷한 형태를 갖고 있다. 따라서 그 계수에 해당하는 값을 제2기본형식 II의 계수라고 한다.</p> <p>정의 4.1.9 정칙곡면 \( M \)의 좌표함수 \( \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M \)에 대하여<caption>(4.1.11)</caption>\[ e = \left \langle \mathbf { x } _ { u u } , Z \right \rangle, f= \left \langle \mathbf { x } _ { u v } , Z \right \rangle, g= \left \langle \mathbf { x } _ { v v } , Z \right \rangle \]를 \( M \)의 제2기본형식 \( \mathrm { II } \)의 계수라고 한다.</p> <p>\( \alpha(t)= \mathbf { x } (u(t), v(t)) \)가 \( \alpha(0)= \mathrm { p } , \alpha ^ {\prime } (0)= \mathrm { v } \)인 곡면 \( M \)의 곡선일 때, 제 2 기본형식의 계수 \( e, f, g \)를 이용하여 제2기본형식의 값 \( \mathrm { II } _ {\mathrm { p } } \left ( \alpha ^ {\prime } (0) \right )= \mathrm { II } ( \mathrm { v } ) \)를 나타내면 도움정리 4.1.8에 의해 \[ \operatorname { IIp } ( \mathbf { v } )=e \left (u ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } + 2 f u ^ {\prime } (0) v ^ {\prime } (0) + g \left (v ^ {\prime } (0) \right ) ^ { 2 } \]이 된다. 따라서 제2기본형식 II는 그것의 계수 \( e, f, g \) 와 접벡터 \( \mathrm { v } \) 에 의해서만 결정된다.</p> <p>도움정리 4.1.10 \( \quad \mathrm { x } : D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow M \)이 좌표함수이면</p> <p>\( e=- \left \langle dZ \left ( \mathbf { x } _ { u } \right ), \mathbf { x } _ { u } \right \rangle \)</p>	자연
복소해석학개론_해석접속과 반사원리	<p>\( v_ { 1 } \) 을 \( \gamma \) 에서의 값이 \( w \) 인 원반 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \) 에서의 조화함수라 놓자. \( v_ { 1 } \) 은 근사계산에 의해 푸아송 적분을 이용하면 찾을 수 있다. 그러면 \( v_ { 1 } \) 은 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \) 이면 \( v_ { 1 } (z)=-v_ { 1 } ( \bar { z } ) \) 를 만족한다. (또한 연습문제 \( 6.2 \) 의 \( 7 \) 을 보라.) 따라서 \( v_ { 1 } \) 은 실선분 \( x_ { 0 } -r \leq x \leq x_ { 0 } + r \) 에서 0 이 된다. 그러면 함수 \( v-v_ { 1 } \) 은 반원반 \[ \mathcal { U } = \left \{ z: \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \text { 이고 } \Im z>0 \right \} \] 에서 조화적이고, 반원 \( z=x_ { 0 } + r e ^ { i \vartheta } \quad(0 \leq \vartheta \leq \pi) \) 에서 \( v=v_ { 1 } =w \) 이고, 선분 \( x_ { 0 } -r \leq x \leq x_ { 0 } + r \) 에서 \( v=v_ { 1 } =0 \) 이므로 함수 \( v-v_ { 1 } \) 은 \( \mathcal { U } \) 의 경계에서 0 이 된다. 따라서 조화함수에 관한 최대값 원리(정리 \( 6.3 \))에 의해 \( \mathcal { U } \)의 모든 점에서 \( v=v_ { 1 } \) 이다. 마찬가지로, \( \mathcal { U } ^ { * } = \{ z: \bar { z } \in \mathcal { U } \} \) 의 모든 점에서 \( v=v_ { 1 } \) 이다.따라서 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \) 에서 \( v=v_ { 1 } \) 이다. 그러나 \( v_ { 1 } \) 은 이 원반 전체에서 조화함수이고 따라서 \( v \) 도 그렇다. 함수 \( u \) 는 \( \mathcal { U } \) 와 \( \mathcal { U } ^ { * } \) 에서 \( v \) 의 조화공액이다. \( v \) 가 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \) 전체에서 조화적이므로 \( v \) 는 \( \mathcal { U } \cup \mathcal { U } ^ { * } \) 에서 \( u \) 와 상수만큼 다른 조화공액을 이 원반 전체에서 갖는다. 그러므로 \( u \) 역시 원반 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<r \) 에서 조화적이고 따라서 \( F \) 는 실제로 이 원반에서 해석적이다.</p> <p>증명 \( f \) 와 \( g \) 가 해석적이므로 \( h \) 는 해석적이다. \( h \) 의 유일성은 정리 \( 7.1 \) 과 \( D \cup G \) 가 영역이고 \( D \cap G \neq \emptyset \) 이라는 것으로부터 즉시 나온다.</p> <p>해석접속은 해석함수의 영역을 가능한 한 크게 할 수 있는 방법을 제공하기 때문에 중요하다. 그러나 다음과 같은 경우도 생긴다. \( f \) 가 \( D \) 에서 정의되고 영역 \( D_ { 1 } \) 로 접속(또는 확장)되었다 하자. \( \mathrm { D } _ { 2 } \) 를 그림 \( 7.2 \) 에 있는 영역이라 하자.</p> <p>\( f \) 가 \( D_ { 1 } \) 에서 해석적이도록 접속하면 이 새로운 함수를 \( D_ { 1 } \) 에서 \( D_ { 2 } \) 로 접속한다. 결과는 \( D \) 에서 원함수 \( f \) 와 일치할 필요가 없다. 예를 들면 확실하게 알 수 있다. 함수 \( \log z \) 를 생각하자. 영역 \( D \) 에서 주분지 \( (- \pi< \arg z< \pi) \) 는 우반평면과 아래 반평면의 합이 된다. \( \log \) 함수는 그것의 정의역에 \( D_ { 1 } = \) 위반평면을 포함하도록 유일하게 접속될 수 있다. 비슷하게, 분지 \( 0< \arg z<2 \pi \) 를 택함으로써 그것의 정의역에 \( D_ { 2 } = \) 좌반평면 을 포함하도록 \( \log \) 함수를 우반평면으로부터 다시 접속할 수 있다. 그러나, 이들 분지는 3 사분면에서 일치하지 않는다. 그들은 \( 2 \pi i \) 만큼 다르다. 따라서 함수를 접속시키는데 확장된 영역 \( G \) 에서의 함수가 공통부분 \( D \cap G \) 의 일부가 아닌 전부분에서 원함수와 일치하도록 해야만 한다.</p> <h3>7.1.2 곡선을 따른 멱급수에 의한 접속(확장)</h3> <p>\( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( U \) 에서 해석적이고 \( \gamma \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 다른 점 \( z ^ {\prime } \) 을 연결하는 곡선이라 하자. \( f \) 를 \( z ^ {\prime } \) 에 접속시키기 위해서는 다음과 같이 한다. \( U \) 안의 \( \gamma \) 에 놓여있는 \( z_ { 1 } \) 에 관한 \( f \) 의 테일러 급수전개를 생각한다.</p> <p>[따름정리 \( 7.1 \)] 해석접속은 유일하다.</p> <p>증명 \( g_ { 1 } (z) \) 와 \( g_ { 2 } (z) \) 가 \( D \) 에서 \( G \) 로의 \( f(z) \) 의 해석접속이라 하자. 그러면 \( D \cap G \) 에서 \( g_ { 1 } (z) \equiv g_ { 2 } (z) \) 이므로 항등정리 \( 7.1 \) 에 의해 \( G \) 전체에서 그들은 같다.</p> <p>따라서 이와같은 상황하에서 결과를 단일 함수, 예를 들어 \( F(z) \) 라 생각하는 것이 가능하다. 여기서 \( F(z) \) 는 \( D \cup G \) 에서 해석적이고 \( D \) 에서는 \( F(z)=f(z) \) 이고 \( G \) 에서는 \( F(z)=g(z) \) 이다.</p> <p>[예제 \( 7.1 \)] \( f(z) \) 를 다음과 같이 정의하자. \[f(z)= \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -z t } d t \] \( f(z) \) 는 \( \Re z>0 \) 에서 해석적임을 관찰하라. 적분을 계산하면 \[f(z)= \frac { 1 } { z } \quad( \Re z>0) \] 이다. \( g(z)= \frac { 1 } { z } \) 로 택하자. \( g(z) \) 는 전평면에서 원점을 뺀 영역에서 해석적이고, 따라서 우반평면에서 구멍뚫린 평면으로의 \( f(z) \) 의 해석접속을 제공한다.</p> <p>정리 \( 7.1 \) 의 흥미로운 응용은 다음과 같다. 실축 \( (x- \) 축 \( ) \) 위에서 정의된 \( e ^ { x } \) 와 일치하는 \( \mathbb { C } \) 에서 해석적인 유일한 함수가 존재한다. 이것은 \( x \)-축이 서로 다른 점, 예를 들어 \( \frac { 1 } { n } \)들의 수렴하는 수열을 포함하고 있으므로 정리 \( 7.1 \) 의 즉각적인 결과이다. 따라서 \( e ^ { z } \) 을 정의하는 유일한 가능한 방법이 존재했었고 아직도 해석함수가 된다. 다음에 정리 \( 7.1 \) 의 중요한 결과를 살펴 보자.</p> <p>[정리 \( 7.2 \)] 함수 \( f: D \rightarrow \mathbb { C } \) 와 \( g: G \rightarrow \mathbb { C } \) 를 각각 영역 \( D \) 와 \( G \) 에서 해석함수라 하자. \( D \cap G \neq \emptyset \) 이고 \( D \cap G \) 에서 \( f=g \) 라 가정하자. \[h(z)= \left \{\begin {array} { lll } f(z) & : & z \in D \\ g(z) & : & z \in G \end {array} \right . \] 라 정의하면, \( h \) 는 \( D \cup G \) 에서 해석적이고 \( D \) 에서 \( f \) 와 같고 \( G \) 에서 \( g \) 와 같은 \( D \cup G \) 에서의 유일한 해석함수이다. \( h \) 를 \( f( \) 또는 \( g) \) 의 해석접속이라 부른다.</p> <h2>7.2 슈바르츠 반사원리</h2> <p>\( D \) 가 \( \mathbb { C } \) 일 때 함수 \( f(z)=z + 1 \) 과 \( f(z)=z ^ { 2 } \) 은 \( \mathbb { C } \) 의 모든 점 \( z \) 에 대해 \( \overline { f(z) } =f( \bar { z } ) \) 를 만족한다. 그러나 \( g(z)=z + i \) 나 \( g(z)=i z ^ { 2 } \) 은 그렇지 않다.</p> <p>해석접속의 특별한 경우인 다음 정리를 다루어 보자. 이 정리는 기술된 것으로부터 확실히 알겠지만 슈바르츠 반사원리라 부른다. 이것을 증명하는 데는 원반에서의 푸아송 적분공식 ( \( 6.12 \))를 이용할 수도 있고 모레라의 정리 \( 3.16 \) 를 이용할 수도 있다. 여기서는 전자를 유용하게 사용할 것이며 후자의 경우는 연습문제로 남긴다.</p> <p>[정리 \(7.4 \)] (슈바르츠 반사원리) \( D \) 를 그의 경계에 실축의 선분 \( (a, b) \) 를 포함하는 위반평면 \( \{ x + i y: y>0 \} \) 에 있는 영역이라 가정하자. \( f=u + i v \) 는 \( D \) 에서 해석적이고, 더욱이, \( (a, b) \) 의 각 점에서 연속이라고 가정하자. 구간 \( (a, b) \) 에 있는 모든 점 \( x \) 에서 \( v(x)=0 \) 이라면 \( f \) 는 영역 \( \Omega=D \cup(a, b) \cup D ^ { * } \) 에서 연속(해석적)이 되도록 (유일하게) 확장된다. 여기서 \( D ^ { * } \) 는 실축을 중심으로 한 \( D \) 의 반사 \[D ^ { * } = \{ z: \bar { z } \in D \} \] 이다. 더욱이, \( f \) 는 관계식 \[f(z)= \overline { f( \bar { z } ) } , \quad z \in \Omega \] 를 만족한다.</p> <p>증명 집합 \( D, D ^ { * } \) 와 \( \Omega \) 는 그림 \( 7.6 \) 에 표시되어 있다. 먼저 \( D ^ { * } \) 에서 함수 \( f ^ { * } \) 를 \[f ^ { * } (z)= \overline { f( \bar { z } ) } , \quad z \in D ^ { * } \] 로 정의하자.</p> <p>다음의 간단한 논의에 의해 \( f ^ { * } \) 는 \( D ^ { * } \) 에서 해석적임을 보일 것이다. \( z_ { 0 } \in D ^ { * } \) 이면 \( \bar { z } _ { 0 } \in D \) 이다. \( f \) 는 \( \bar { z } _ { 0 } \) 에 중심을 둔 어떤 원반 \( \left \|z- \bar { z } _ { 0 } \right \|< \delta \) 에서 해석적이다. 따라서, \( f \) 는 이 원반에서 성립하는 멱급수를 갖는다.</p> <p>\( f(z)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } A_ { k } \left (z- \bar { z } _ { 0 } \right ) ^ { k } , \quad \left \|z- \bar { z } _ { 0 } \right \|< \delta \)</p> <p>따라서 원반 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 에서 \[ \begin {aligned} f ^ { * } (z)= \overline { f( \bar { z } ) } &= \overline {\sum_ { k=0 } ^ {\infty } { A } _ { k } \left ( \bar { z } - \bar { z } _ { 0 } \right ) ^ { k } } \\ &= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } \bar { A } _ { k } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k } \end {aligned} \] 이다. 결과적으로 \( f ^ { * } \) 는 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 에서 해석적인데 이는 \( f ^ { * } \) 가 거기서 수렴 멱급수의 합으로써의 표현될 수 있기 때문이다.</p> <p>다음에, \( \Omega \) 에서 함수 \( F \) 를 \[F(z)= \left \{\begin {array} { ll } f(z), & z \in D \cup(a, b) \\ f ^ { * } (z), & z \in D ^ { * } \end {array} \right . \] 로 정의하자. \( a<x<b \) 에서 \( v(x)=0 \) 이라는 가정은 \( F \) 가 \( \Omega \) 에서 연속임을 유도한다. 함수 \( u \) 와 \( v \) 는 법칙 \( u(z)=u( \bar { z } ), v(z)=-v( \bar { z } ) \left (z \in D ^ { * } \right ) \) 에 의해 \( D ^ { * } \) 로 확장된다. 증명의 기술적인 부분은 \( F=u + i v \) 가 선분 \( (a, b) \) 를 넘어 해석적임을 보이는 것이다. 이것을 보이기 위해, \( x_ { 0 } \in(a, b) \) 라 하고 \( r \) 을 원반 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|<2 r \) 이 \( \Omega \) 안에 머물 수 있도록 만드는 작은 양수라 하자. \( \gamma \) 를 양의 방향으로 도는 원 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|=r \) 이라 하자. 이 원에서 함수 \[w( \vartheta)= \left \{\begin {array} { rr } v \left (x_ { 0 } + r e ^ { i \vartheta } \right ), & 0 \leq \vartheta \leq \pi \\ -v \left (x_ { 0 } + r e ^ { -i \vartheta } \right ), & - \pi \leq \vartheta \leq 0 \end {array} \right . \] 은 연속이고 기함수이다. 즉, \( w( \vartheta)=-w(- \vartheta) \) 이다.</p> <p>슈바르츠 반사원리는 그 역도 성립한다. 다음에서 위의 정리 \( 7.4 \) 를 좀 더 쉽게 증명한 후 그 역을 증명해 보자.</p> <p>[정리 \( 7.5 \)] \( D \) 를 \( x \)-축의 선분을 포함하는 \( x \)-축에 대칭인 영역이라 하자. \( f \) 가 \( D \) 에서 해석적이라면, \( D \) 의 각각의 점 \( z \) 에 대해 \[ \overline { f(z) } =f( \bar { z } ) \]<caption>( \(7.1 \))</caption>일 필요충분조건은 \( f(x) \) 가 선분 위의 각각의 점 \( x \) 에서 실수인 것이다.</p> <p>증명 먼저 정리 \( 7.4 \) (즉 이 정리의 중분조건)의 쉬운 증명부터 해보자. \( f(x) \) 가 선분 위의 각각의 점 \( x \) 에서 실수값을 갖는다고 하자. \[F(z)= \overline { f( \bar { z } ) } \]<caption>( \(7.2 \))</caption>가 \( D \) 에서 해석적임을 밝히고 가정을 이용해 식 ( \(7.1 \))을 얻는다. \( F(z) \) 의 해석성을 보이기 위해 \[f(z)=u(x, y) + i v(x, y), \quad F(z)=U(x, y) + i V(x, y) \]라 쓰자.</p> <p>\[ \overline { f( \bar { z } ) } =u(x,-y)-i v(x,-y) \]<caption>( \(7.3 \))</caption>이므로 \( F(z) \) 와 \( f(z) \) 의 성분들은, \( t=-y \) 일 때 \[U(x, y)=u(x, t) \text { 이고 } V(x, y)=-v(x, t) \]<caption>( \(7.4 \))</caption>를 만족한다. 이제 \( f(x + i t) \) 는 \( x + i t \) 의 해석함수이므로, 함수 \( u(x, t) \) 와 \( v(x, t) \) 의 1 계 편도함수들은 \( D \) 에서 연속이고 코시-리만 방정식 \[u_ { x } =v_ { t } , \quad u_ { t } =-v_ { x } \]<caption>( \(7.5 \))</caption>를 만족한다. 더욱이, 식 ( \(7.4 \))에 의하면, \[U_ { x } =u_ { x } , \quad V_ { y } =-v_ { t } \frac { d t } { d y } =v_ { t } \] 이고, 이 식과 ( \(7.5 \))의 첫 번째로부터 \( U_ { x } =V_ { y } \) 를 얻는다. 비슷하게 \[U_ { y } =u_ { t } \frac { d t } { d y } =-u_ { t } , \quad V_ { x } =-v_ { x } \] 와 식 ( \(7.5 \))의 두 번째로부터 \( U_ { y } =-V_ { x } \) 를 언는다. \( U(x, y) \) 와 \( V(x, y) \) 의 1 계 편도함수들은 코시-리만 방정식을 만족하고, 이 도함수들이 연속이므로 함수 \( F(z) \) 는 \( D \) 에서 해석적이다. 또한 \( f(x) \) 가 \( D \) 에 머무는 \( x \)-축의 선분에서 실수값을 취하므로 그 선분에서 \( v(x, 0)=0 \) 이고, 식 \( (7.4) \) 에 비춰, 이는 \[F(x)=U(x, 0) + i V(x, 0)=u(x, 0)-i v(x, 0)=u(x, 0) \] 을 뜻한다. 즉 선분 위의 각 점 \( z=x \) 에서 \[F(z)=f(z) \]<caption>( \(7.6 \))</caption>이다. 이제 \( 5.1 .2 \) 절에서 얻은 결과(따름정리 \( 5.3 \) )를 참고하자. 즉 영역 \( D \) 에서 해석적인 함수는 \( D \) 에 머무는 임의의 선분에서 주어진 \( f \) 의 값에 의해 유일하게 결정된다. 따라서 식 \( (7.6) \) 은 \( D \) 전체에서 성립한다. 그러면 함수 \( F(z) \) 의 정의 \( (7.2) \) 에 의해 \[ \overline { f( \bar { z } ) } =f(z) \]<caption>( \(7.7 \))</caption>가 성립하고 이것은 식 \( (7.1) \)과 같다.</p> <p>\[F(z)= \left \{\begin {array} { ll } f(z), & \Im z \geq 0 \\ \overline { f( \bar { z } ) } , & \Im ; z<0 \end {array} \right . \] 이라 놓자. 반사원리(정리 \( 7.4 \))에 의해 곧바로 위반평면과 아래반평면, 또 구간 \( (a, b) \) 로 이루어진 영역 \( \Omega \) 에서 \( F \) 는 해석적임을 알 수 있다. 더욱이, \( f \) 자신은 물론 \( \Omega \) 에서 해석적이고 \( \Im z>0 \) 이면 \( F \) 와 같다. 그러므로 \( \Omega \) 전체에서 \( f=F \) 이다. 특히 \[f(z)= \overline { f( \bar { z } ) } , \Im z \neq 0 \] \( f \) 가 전평면에서 실제로 연속이므로 임의의 실수 \( x \) 에 대해 \[f(x)= \lim _ { y \rightarrow 0 } f(x + i y)= \lim _ { y \rightarrow 0 } \overline { f(x-i y) } = \overline { f(x) } \] 이고 이것은 실축에서 \( f \) 가 실수라는 것을 정확히 말해 준다.</p> <p>이 결과(반사원리)는 \( f \) 가 열린구간 \( (a, b) \) 에서 연속이고 실수값을 갖기만 하면 된다는 점에서 주목할 만하다. 그러면 실축을 지나 접속될 때 \( f \) 는 열린구간 \( (a, b) \) 에서 해석적이 된다. \( f ^ { * } \) (따라서 \( F \) )가 \( D ^ { * } \) 에서 해석적임을 보는 가시적인 직관적인 방법은 사상을 다음의 세 단계로 고려하는 것이다.</p> <p>\[z \mapsto \bar { z } ; \quad \bar { z } \mapsto f( \bar { z } ) ; \quad f( \bar { z } ) \mapsto \overline { f( \bar { z } ) } \] 중간 사상은 등각사상이다. 첫 번째와 세 번째는 그들이 각을 반전시킨다는 의미에서 반등각사상이다. 각이 두 번 반전되므로 순수한 결과는 각을 보존한다. 따라서 전체사상은 등각사상이다.</p> <p>비슷한 반전원리가 원 \( \gamma \) 에 그의 경계의 일부가 있는 원 \( \gamma \) 의 내부(또는 외부)에 있는 \( D \) 에 대해서도 구성될 수 있다. \( f \) 가 \( D \) 에서 해석적이고 \( D \cup \gamma \) 에서 연속이고 \( f( \gamma) \) 가 다른 원 \( \Gamma \) 의 호라면, 위에 적은 과정은 복소공액의 역할이 원 \( \gamma \) 와 \( \Gamma \) 에의 반전으로 바뀜으로 완성될 수 있다.</p> <p>분명히 (iv) \( \Rightarrow \) (iii)이다. 이제 [(i)과 (ii)] \( \Rightarrow \) (iv)를 보이면 증명은 끝난다. \( G= \) \( \{ z \in D: h \) 는 \( z \) 의 근방에서 0 이다 \( \} \) 라 하자. 정의에 의해 \( G \) 는 열린집합이고 가정에 의해 공집합이 아니다. \( z_ { k } \rightarrow z \left (z_ { k } \in G \right ) \) 라면 \( z \in G \) 가 됨을 증명하여 \( G \) 가 \( D \) 에서 역시 닫혀 있음을 보일 것이다. (i)에 의해 모든 \( n \) 에 대해 \( h ^ { (n) } (z)=0 \) 임을 밝히기만 하면 된다. 그러나 \( h ^ { (n) } (z)= \lim _ { k \rightarrow \infty } h ^ { (n) } \left (z_ { k } \right )=0 \) 이다. 따라서 \( G \) 는 닫혀 있고, 열려 있으며, 공집합이 아니다. 그러므로 \( D \) 가 연결되어 있으므로 \( G=D \) 이다.</p> <p>참고 : 앞의 정리 \( 7.1 \) 에서 \( \left \{ z_ { n } \right \} \) 의 극한점 \( z_ { 0 } \) 이 \( D \) 의 점이어야 한다는 가정은 필수적이다. 예를 들어, \[f(x)=e ^ {\frac { 1 } { 1-x } } \] 이라 하면, \( f \) 는 \( D= \{ z:\|z\|<1 \} \) 에서 해석적이다. \( z_ { n } =1- \frac { 1 } { 2 n \pi i } (n=1,2, \cdots) \) 이라 하면 \( z_ { n } \in D \) 이고 \( e ^ {\frac { 1 } { 1-x_ { n } } } =e ^ { 2 n \pi i } =1 \) 이지만 \( D \) 에서 \( f(z) \not \equiv 1 \) 이다. 이때 1 은 \( \left \{ z_ { n } \right \} \) 의 극한점이지만 \( 1 \notin D \) 이다.</p> <p>이제 이 함수가 일가함수이고, \( 1-1 \) 이며 \( \mathbb { C } \) 위로의 전사함수임을 밝힐 수 있다. 더욱이, \( \exp : \mathbb { C } \rightarrow X( \mathbb { C } \rightarrow \mathbb { C } - \{ 0 \} \) 의 함수이기 보다는 \( ) \) 를 정의할 수 있고 따라서 \( \log \) 에 대한 역함수를 얻는다.</p> <p>마지막으로, 함수 \( \log \) 가 ' \( X \) 에서 해석적'이라 부를만 하다. 왜냐하면 \( X \) 의 각 점 \( (r, \vartheta) \) 는 \( \log \) 함수가 보통의 복소로그함수의 어떤 분지 \( \left ((r, \vartheta) \right . \) 가 \( X_ { k } \) 와 \( X_ { k + 1 } \) 을 연결하는 연결 부위에 있다면 함께 붙여진 두 분지)와 일치하는 열린 근방을 갖기 때문이다. 따라서 곡면 \( X \) 위에서 복소계산을 할 수 있다.</p> <p>방금 우리가 구성한 \( \log z \) 에 대한 리만 곡면은 우리가 논의한 방법에 의해 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에 등각적으로 매장될 수 있다.</p> <h3>7.3 .2 \( \sqrt { z } \) 에 대한 리만 곡면</h3> <p>이 경우는 로그함수의 경우와는 그 상황이 약간 다르다. 만약 원점을 한 번 감싼다면, \( \sqrt { z } \)는 다른 값을 갖게 되지만 두 번 감싼다면 \( ( \vartheta \) 가 \( 4 \pi \) 만큼 증가한다), 같은 값으로 돌아온다. 따라서 리만 곡면의 같은 점에 있기를 원한다. 곡면은 그림 \( 7.10 \) 에 주어져 있다. (실제로 이것은 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에 가시화할 수 없긴 하지만.)</p> <p>두 장이 교차하지만 실제로는 그렇게 허용되지 않는다. 이것은 우리가 그것을 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서 가시화하려는 시도 때문에 생긴 오류이다. 차라리 면을 추상적으로 구성해야만 한다. 0 을 한 번 감쌀 때 첫 장에서 다음 장으로 건너간다. 그리고 두 번 감쌀 때 처음 장으로 되돌아 온다. 추상적 구성은 여러분들에게 남긴다.</p> <h1>\( 7 \) 해석접속과 반사원리 *</h1> <p>해석함수는 극한점을 갖는 점열에서의 그 함수의 행동에 의해 결정된다는 것을 앞에서 보았다. 그러나 다음 질문에 대해서는 생락해 보지 않았다. \( f(z) \) 가 영역 \( D_ { 1 } \) 에서 해석적이면 다른 영역 \( D_ { 2 } \) 에 대해 공집합이 아닌 \( D_ { 1 } \cap D_ { 2 } \) 에서는 \( f(z) \) 와 일치하고 \( D_ { 2 } \) 에서 해석적인 함수가 존재하는가? 해석접속(또는 해석적 확장)(analytic continuation)은 해석함수의 해석영역의 확장의 문제를 다룬다. 실제 확장의 한 방법이 슈바르츠의 반사원리이다. 해석접속의 논리를 이용해 리만 곡면을 구성한다.</p> <h2>7.1 해석접속</h2> <h3>7.1.1 해석영역의 확장</h3> <p>테일러 급수의 경우에서 만약 함수 \( f(z) \) 가 영역 \( D \) 에서 해석적이고 \( \alpha \) 가 \( D \) 의 점이라면 \( f(z) \) 를 반지름이 \( r = \operatorname { dist } ( \alpha, \partial D) \) 인 원반 \( D ^ {\prime } \) 에서 멱급수로 나타낼 수 있음을 보았다. 이것은 통상적으로 \( f(z) \) 의 영역 \( D \) 를 우리가 고려하고 있는 작은 영역 \( D ^ {\prime } \) 으로 줄이는 결과이다. 이 절에서는 어떤 의미로는 역의 문제인 것을 생각하고자 한다. 함수가 해석적인 영역 \( D \) 에서 \( f(z) \) 를 안다면, 해석영역을 확장할 수 있을까?</p> <p>[정의 \( 7.1 \)] \( D \) 와 \( G \) 가 \( D \cap G \neq \emptyset \) 인 영역이라 하자. 즉, 영역이 실제로 겹친다고 하자. \( f(z) \) 가 \( D \) 에서 해석적이고 \( g(z) \) 는 \( G \) 에서 해석적이며 \( D \cap G \) 에서 \( f(z) \equiv g(z) \) 라면, \( g(z) \) 는 \( f(z) \) 의 \( G \) 로의 해석접속(또는 해석적 확장)이라 한다.</p> <p>참고 : 정의가 대칭적이기 때문에 \( f(z) \) 는 \( g(z) \) 의 \( D \) 로의 해석접속이다.</p> <p>두 해석함수가 영역의 작은 부분에서 일치하면 그들은 모두가 해석적인 전체 영역에서 일치한다. 이것은 정확히 다음 정리 \( 7.1 \) 이다.</p> <p>그러나 단순연결영역이 아닌 영역에 대해서 두 개의 서로 다른 노선을 따라 움직이면 \( f \) 의 접속에 대해 서로 다른 값을 얻을 수 있다. 이 사실은 앞서 \( \log z \) 와 관련해서 이미 이야기헸다. 예를 들어 그림 \( 7.5 \) 에서 1 의 근방에서 정의된 \( \log \) 로 시작하여 \( \gamma_ { 1 } \) 을 따라 접속하면 \( \log (-1)= \pi i \) 를 얻고, 반면에 \( \gamma_ { 2 } \) 를 따라 접속하면 \( \log (-1)=- \pi i \) 를 얻는다. 이러한 결과에 대한 이유는 우리가 고려하고 있는 영역 \( \mathbb { C } \backslash \{ 0 \} \) 은 단순연결되어 있지 않기 때문이다.</p> <p>방금 서술한 현상은 '임의의 인위적인 (결국은 인위적으로 선택될 수 있는) 분지절단을 도입하지 않는 \( \log \) 의 정의가 있는가?'라는 질문을 하게 한다. 그 해답은 1951 년에 리만에 의해 그의 박사학위 논문에 홀룽한 아이디어로 주어졌다. 그것은 리만 곡면이라는 새로운 물체를 도입하는 것인데 \(7.3 \)절에서 다루겠다.</p> <p>연습문제 \( 7.1 \)</p> <ol type=1 start=1><li>\( f(z) \) 가 \( \alpha \) 에서 해석적이면, \( \overline { f( \bar { z } ) } \) 는 \( \bar {\alpha } \) 에서 해석적임을 중명하라.</li> <li>함수 \[f(z)= \sum_ { 1 } ^ {\infty } \left ( \frac { z } { 1 + z } \right ) ^ { k } \]는 \( \Re z>- \frac { 1 } { 2 } \) 에서 해석적이다. 급수의 합을 구하고 \( f(z) \) 를 전평면으로 해석적으로 접속(확장)하라.</li> <li>\( f(z) \) 가 \( \|z\|<r \) 에서 해석적이고 \[f(2 z)=2 f(z) f ^ {\prime } (z) \quad \left (\|z\|< \frac { r } { 2 } \right ) \]를 만족한다고 가정하자. \( f \) 는 전평면 \( \mathbb { C } \) 로 해석접속이 가능함을 보여라.</li> <li> <ol type=a start=1><li>\( f(z)=e ^ {\frac { 1 } { z } } -1 \) 이라 하자. \( z_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi n i } \) 이면 \( z_ { n } \rightarrow 0 \) 이고 \( f \left (z_ { n } \right )=0 \) 이다. \( f \) 는 아직 항등적으로 0 이 아니다. 이것은 정리 \( 7.1 \) 에 어긋나는가? 왜 또는 왜 아닌가?</li> <li>항등정리 \( 7.1 \)은 조화함수에 대해서 유효한가?</li></ol></li></ol> <p>\( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 1 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 1 } \right ) ^ { n } \)</p> <p>이 멱급수는 \( U \) 안에 있는 \( \gamma \) 의 부분보다 더 멀리 \( \gamma \) 를 따라 해석적일 수 있는 수렴 반지름을 가질 수 있다. 그렇게 얻어진 멱급수는 \( f \) 의 해석접속을 정의한다. 이 과정을 \( \gamma \) 를 따라 계속하여 \( z ^ {\prime } \) 에 다다르기를 바라는데 이는 연속하는 수렴 반지름들이 \( z ^ {\prime } \) 에 도달하기 전에 0 으로 꺼지지 않으면 가능하다. 성공한다면 \( f \) 는 \( \gamma \) 를 따라 해석적으로 접속될 수 있다고 한다. 그러나 그렇게 정의된 \( f \) 의 해석접속은 \( \gamma \) 가 자신과 만난다면 단일값이 아닐 수 있으므로 조심해야 한다(그림 \(7.4 \)). 따라서 중복된 부분에서 반드시 일치하지는 않는 원반들에서 정의된 국소함수만을 얻을 수 있다. 이 구성이 다값함수가 나타나는 하나의 기본적인 방법이다. \( f \) 가 \( \gamma \) 를 따라 해석적으로 접속(확장)될 수 있다면 \( f \) 를 유한 단계에서 멱급수에 의해 항상 해석접속을 할 수 있다는 것은 분명하다.</p> <p>다음의 기초결과는 다가함수는 단순연결영역에서는 결코 일어나지 않음을 말해준다.</p> <p>[정리 \(7.3 \)] (모노드로미(Monodromy) 정리) \( D \) 가 단순연결영역이고 \( z_ { 0 } \in D \) 이라 하자. \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 의 근방에서 해석적이라 놓자. \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 과 다른 점 \( z \in D \) 를 연결하는 임의의 곡선을 따라 해석접속이 가능하다고 가정하자. 그러면 이 접속은 \( f \) 의 \( D \) 에서의 (단일값) 해석접속을 정의한다.</p> <p>증명 증명은 현재로서는 필요하지 않으므로 생략하겠다. 관심 있는 독자들은 참고문헌, 예를 들어 [ \(19 \)], [ \(20 \)]과 [ \(28 \)] 등을 이용하여 스스로 완성해 보기 바란다.</p> <p>[정리 \( 7.1 \)] (해석접속의 원리 또는 항등정리) \( f \) 와 \( g \) 를 영역 \( D \) 에서 해석적이라 하자. 모든 \( n=1,2,3 \cdots \) 에 대해 조건 \( f \left (z_ { n } \right )=g \left (z_ { n } \right ) \) 을 만족하는 \( z_ { 0 } \in D \) 으로 수렴하는 \( D \) 의 서로 다른 점들의 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 이 존재한다고 가정하면, \( D \) 의 모든 점에 대해 \( f=g \) 이다. 특히 \( D \) 의 어떤 점의 임의의 근방에서 \( f=g \) 이더라도 결론은 성립한다.</p> <p>위의 정리 \( 7.1 \) 은 앞서 다룬 정리 \( 5.3 \) 과 그 내용이 근본적으로 같지만 여기서는 해석접속의 관점에서 증명을 해보겠다.</p> <p>증명 \( D \) 에서 \( f-g=0 \) 임을 증명해야 한다. 이것을 다음에 의해 증명한다. \( D \) 에서 주어진 해석함수 \( h \) 에 대해, 다음의 네 주장은 동치이다.<ol type=i start=1><li>\( z_ { 0 } \) 에 대해, \( h ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right )=0 \quad(n=0,1,2, \cdots) \) 이다.</li> <li>\( z_ { 0 } \) 의 근방에서 \( h=0 \) 이다.</li> <li>\( \left \{ z_ { k } \right \} \) 가 \( z_ { 0 } \) 으로 수렴하는 서로 다른 점들의 수열일 때 \( h \left (z_ { k } \right )=0 \) 이다.</li> <li>\( D \) 의 모든 점에서 \( h=0 \) 이다.</li></ol>이 동치관계가 모두 증명된 후 \( f-g=h \) 로 놓고 (ⅳ)를 적용해 정리를 증명한다.</p> <p>먼저, (i) \( \leftrightarrow \) (ii)는 테일러 정리에 의해 분명하다. 다음에 \( z_ { 0 } \) 의 근방에서 \( h=0 \) 이 아니기만 하면 해석함수 \( h \) 의 영점들은 고립되어 있다는 것을 보임으로써 (iii) \( \Rightarrow \) (ii)를 증명한다. \( h \) 가 \( z_ { 0 } \) 을 감싸는 원반에서 항등적으로 0 이 아니면, \( h(z)= \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k } \varphi(z) \) 로 쓸 수 있는데, 여기서 \( \varphi \left (z_ { 0 } \right ) \neq0 \) 이고 \( k \) 는 1 보다 크거나 같은 정수이다. 연속성에 의해 \( z_ { 0 } \) 의 근방에서 \( \varphi(z) \neq0 \) 이다. 따라서 같은 근방에서 \( z \neq z_ { 0 } \) 이면 \( h(z) \neq0 \) 이다. 여기서는 \( n \) 이 충분히 클 때, \( z_ { n } \) 이 \( z_ { 0 } \) 의 근방에 머물고 \( z_ { n } \neq z_ { 0 } \) 라 가정할 수 있으므로 \( h \left (z_ { n } \right )=0 \) 이라는 것에 모순이 된다</p> <h2>7.3 리만 곡면</h2> <p>앞에서 다가함수를 다루는데 있어서 고립된 일가함수 분지의 유용성을 보았다. 이제 어떻게 이 분지들을 연결하여 소위 말하는 리만 곡면(Ricmann Surface)을 만드는가를 논의하겠다. 이것은 함수를 '곡면' 위의 일가함수로 보는 한 방법이다. 이 ‘붙이고 가위질하는' 접근법을 이해하려면 종이를 준비하여 다음에 설명한 대로 해보기를 바란다.</p> <h3>7.3 .1 \( \log z \) 에 대한 리만 곡면</h3> <p>앞에서도 이야기하였지만 식 \( \log z= \ln r + i \vartheta \) 는 \( z \neq 0 \) 인 각각의 \( z \) 에 대해 \( \vartheta= \arg z \) 가 무수히 많은 값을 가지므로 모호한 값을 갖는다. 이것은 로그함수의 분지를 정의함으로써 해결하였다. 그러나 이때 불행하게도 \( \log z \) 의 연속성을 유지하기 위해 음의 실축을 제거해야 했다. 이것은 어떤 점에서는 부자연스럽다.</p> <p>리만의 사고는 역방향을 생각한다. 즉, 점들을 제거하기보다 새로운 점들을 더하여 그 위에서 \( \log z \) 의 분지가 동시에 존재한 수 있는 소위 말하는 거대한 '리만 곡면'을 만든다. 이것은 복소함수론을 평면 \( \mathbb { C } \) 에 제한시키는 것으로부터 영원히 자유롭게 해준다.</p> <p>함수 \( f(z)= \log z \) 에 대한 리만 곡면을 다음과 같이 구성한다.</p> <ol type=i start=1><li>\( X_ { k } (k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \) 를 극좌표 \( r, \vartheta \) 를 가진 구멍뜷린 평면 \( \mathbb { C } \backslash \{ 0 \} \) 이라 놓 자. \( X_ { k } \) 위에서 \( \vartheta \) 는 \( (2 k-1) \pi< \vartheta \leq(2 k + 1) \pi \) 를 만족한다.</li> <li>평면들 \( X_ { k } \) 는 ( \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서) \( X_ { k } \) 위에 \( X_ { k + 1 } \) 이 쌓여 있다고 하자(그림 \( 7.8 \) ).</li> <li>각각의 평면 \( X_ { k } \) 를 음의 실축 \( (- \infty<x<0) \) 을 따라 자른다.</li> <li>\( X_ { k } \) 로부터 \( X_ { k + 1 } \) 로의 붙임을 다음처럼 하자: \( x \)-축 \( ( \vartheta=(2 k + 1) \pi) \) 을 \( X_ { k + 1 } \) 의 제 3 사분면 \( \left ((2 k + 1) \pi< \vartheta \leq \left (2 k + \frac { 3 } { 2 } \right ) \pi \right ) \) 의 위모서리와 불인다(그림 \( \left .7.9 \right ) \).</li> <li>이러한 평면 \( X_ { k } \) 들의 합을 \( X \) 라 놓자. \( X \) 를 \( \log z \) 에 대한 '리만 곡면'이라 한다.</li></ol> <p>\( X \) 는 표제 '곡면'이라 불릴 수 있음을 유의하라. 국소적으로 \( X \) 위의 열린 원반은 \( z \) -평면의 열린 원반과 위상학적으로 같다. 그러나, 서로 다른 좌표쌍 \( (r, \vartheta),(r, \vartheta \pm 2 \pi) \), \( (r, \vartheta \pm 4 \pi), \cdots \) 등은 곡면 \( X \) 위의 서로 다른 점들에 대응한다. 점 \( (r, \vartheta) \) 의 로그함수 \( \log z \) 를 잘 아는 \( \ln r + i \vartheta \) 로 정의한다. 이것이 바로 일가함수 \( \log : X \rightarrow \mathbb { C } \) 이다.</p>	자연
m821-위상수학입문	<h2>2. 함수</h2> <p>함수는 관계의 특별한 경우로 정의한다. 함수에 대한 개념은 수학의 모든 분야에서 중심이 되는 부분이다.</p> <h3>(1) 함수와 그래프</h3> <p>정의 11 함수</p> <p>두 집합 \( X, Y \)에 대하여, 다음 두 조건</p> <ol type=1 start=1><li>모든 \( x \in X \)에 대하여, \( \langle x, y\rangle \in f \)를 만족하는 \( y \in Y \) 가 존재한다.</li> <li>\( \langle x, y\rangle \in f \)이고 \( \langle x, z\rangle \in f \)이면, \( y=z \)이다.</li></ol> <p>만족하는 \( f \subset X \times Y \)를 \( X \)에서 \( Y \)로의 함수(function) 또는 사상(mapping)이라 하고, \( f: X \rightarrow Y \)로 나타낸다.</p> <p>\( X \)에서 \( Y \)로의 함수 \( f: X \rightarrow Y \)는 \( X \)의 각 원소에 \( Y \)의 원소가 유일하게 대응됨을 의미한다. 이때 \( X \)를 함수 \( f \)의 정의역이라 하고 \( D(f) \)로 표시하며, \( Y \)를 \( f \)의 공역 (codomain) 또는 공변역이라 한다. 만약 \( \langle x, y\rangle \in f \)이면 \( y=f(x) \)로 표기하고, \( y \)를 함수 \( f \)에 의한 \( x \)의 함숫값 (value of function) 또는 \( x \)의 상 (image)이라 한다. 함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 \( y \in Y \)가 \( x \in X \)의 상, 즉 \( y=f(x) \)일 때, \( x \)를 \( y \)의 역상 (inverse image) 또는 원상이라 하고 \( x=f^{-1}(y) \)로 정의한다.</p> <p>참고</p> <p>역함수의 기호와 역상의 기호를 혼동해서는 안 된다. 역상의 기호는 모든 함수에 대하여 사용할 수 있지만, 역함수의 기호는 전단사함수일 경우에만 사용할 수 있음에 유의한다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 정의역과 공역을 명시하지 않아도 혼동을 일으킬 우려가 없을 때는 \( f: X \rightarrow Y \)를 \( y=f(x) \) 또는 간단히 함수 \( f \)로 표기한다.</p> <p>예</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)에 대하여 \( I_{X}: X \rightarrow X \)를</p> <p>\( { }^{\forall} x \in X, I_{X}(x)=x \)</p> <p>로 정의할 때, \( I_{X} \)를 \( X \)에서 항등함수(identity function)라고 한다.</p> <p>예</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( A \subset X \)에 대하여</p> <p>\( \chi_{A}(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & x \in A \\ 0, & x \notin A\end{array}\right. \)</p> <p>으로 주어지는 함수 \( \chi_{A}: X \rightarrow\{0,1\} \)를 집합 \( A \)의 \( X \)에 관한 특성함수 (characteristic function)라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>두 집합 \( X, Y \)에 대하여, \( X=\varnothing \)이면 \( X \)에서 \( Y \)로의 함수는 오직 하나 존재한다. 이때 공집합 함수(emptyset function)라고 한다. 한편 \( X \neq \varnothing \)이고 \( Y=\varnothing \)이면 \( X \)에서 \( Y \)로의 함수는 존재하지 않는다.</p> <p>정의역이 \( X \)인 함수 \( f \)의 그래프(graph)는 순서쌍들의 집합 \( \{\langle x, f(x)\rangle \mid x \in X\} \)로 주어진다. 또한 \( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( A \subset X \)일 때, \( f \)에 \( A \)의 상을</p> <p>\( f[A]=\{f(x) \mid x \in A\} \)</p> <p>로 정의한다. 특히 \( f[X]=\{f(x) \mid x \in X\} \)를 \( f \) 의 치역이라고 하고, \( R(f) \)로 표시한다. 한편 \( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( B \subset Y \)일 때, \( f \)에 의한 \( B \)의 역상은</p> <p>\( f^{-1}[B]=\{x \in X \mid f(x) \in B\} \)</p> <p>로 정의한다. 여기서 \( f[A] \)와 \( f^{-1}[B] \)는 관련된 집합함수의 값을 나타낸다.</p> <p>예</p> <p>공집합이 아닌 두 집합 \( X, Y \)와 고정된 원소 \( b \in Y \)에 대하여, \( f: X \rightarrow Y \)를</p> <p>\( { }^{\forall} x \in X, f(x)=b \)</p> <p>로 정의할 때, \( f \)를 상수함수(constant function)라고 한다. 따라서 임의의 상수함수 \( f \)의 치역 \( f[A] \)는 단원집합, 즉 \( f[A]=\{b\} \)이다.</p> <p>참고</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)는 \( X \)의 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)에서 \( Y \) 의 멱집합 \( \mathscr{P}(Y) \)로의 함수 \( f \)와 \( \mathscr{P}(Y) \)에서 \( \mathscr{P}(X) \)로의 함수 \( f^{-1} \)를 유도한다. 이때 유도함수 \( f \)와 \( f^{-1} \) 를 처음 주어진 함수 \( f \)의 관련된 집합함수 (associated set function)라 한다.</p> <p>관련된 집합함수에는 여러 가지 성질이 있다.</p> <p>정리 12</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A \subset B \subset X \)이면, \( f[A] \subset f[B] \)</li> <li>\( C \subset D \subset Y \)이면, \( f^{-1}[C] \subset f^{-1}[D] \)</li></ol> <p>참고</p> <p>임의의 \( x \in X \)에 대하여 \( f(x)=g(x) \)일 때, 그때에 한하여 두 함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 \( g: X \rightarrow Y \)는 같다. 이때 \( f=g \)로 표기한다.</p> <p>정의 3 첨자집합족</p> <p>집합의 모든 원소들이 모두 집합들로 구성된 집합, 즉 '집합들의 집합'을 집합족이라 한다. 특히 집합 \( \Gamma \)의 각 원소 \( \gamma \in \Gamma \)에 대하여 집합 \( A_{\gamma} \)가 대응될 때, 모든 \( A_{\gamma} \)를 모아 놓은 집합족</p> <p>\( \left\{A_{\gamma} \mid \gamma \in \Gamma\right\} \)</p> <p>를 \( \Gamma \)에 의해 첨자가 주어진 첨자집합족 (indexed family of sets)이라 하고, 이때 집합 \( \Gamma \)를 첨자집합 (index set)이라 한다.</p> <p>특히 첨자집합 \( \Gamma \)가 모든 자연수의 집합일 때, 집합족 \( \left\{A_{1}, A_{2}, \cdots\right\} \)을 집합열(sequence of sets)이라 한다.</p> <p>이제 합집합 \( \cup \)과 교집합 \( \cap \)의 개념을 임의의 집합족으로 확장한다.</p> <p>정의 4 집합족의 합집합과 교집합</p> <p>\( X \)의 부분집합으로 주어진 집합족 \( \mathscr{Z} \)에 대하여</p> <ol type=1 start=1><li>합집합 : \( \bigcup_{A \in \mathscr{Z}} A=\{x \mid \exists A \in \mathscr{Z}, x \in A\} \)</li> <li>교집합 : \( \bigcap_{A \in \mathscr{Z}} A=\left\{\left.x\right\|^{\forall} A \in \mathscr{Z}, x \in A\right\} \)</li></ol> <p>로 정의한다.</p> <p>참고</p> <p>집합족 \( \left\{A_{\gamma}\right\}_{\gamma \in \Gamma} \)에 대하여, 합집합과 교집합을 각각 \( \bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}=\left\{x \mid \exists \gamma \in \Gamma, x \in A_{\gamma}\right\}, \bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}=\left\{\left.x\right\|^{\forall} \gamma \in \Gamma, x \in A_{\gamma}\right\} \)로 정의한다. 이때 \( \mathscr{Z}=\left\{A_{n} \mid n \in N\right\} \) 이면 \( \bigcup_{A \in \mathscr{Z}} A \)를 \( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \) 으로, \( \bigcap_{A \in \mathscr{Z}} A \)를 \( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \)으로 각각 나타낸다.</p> <p>집합의 연산에 관한 정리는 임의의 집합족의 연산에 관한 정리로 일반화한다.</p> <p>예 집합 \( A \)와 임의의 집합족 \( \left\{B_{\gamma} \subset X \mid \gamma \in \Gamma\right\} \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left(\bigcup_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right)^{c}=\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}{ }^{c} \)</li> <li>\( \left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right)^{c}=\bigcup_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}^{c} \)</li> <li>\( A \cap\left(\bigcup_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right)=\bigcup_{\gamma \in \Gamma}\left(A \cap B_{\gamma}\right) \)</li> <li>\( A \cup\left(\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right)=\bigcap_{\gamma \in \Gamma}\left(A \cup B_{\gamma}\right) \)</li></ol> <p>예제</p> <p>\( A \)가 임의의 집합일 때, 각 \( p \in A \)에 대하여 \( G_{p} \)를 \( p \in G_{p} \subset A \)를 만족하는 \( A \)의 부분집합이라 하면 \( A=\cup\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \)가 성립한다.</p> <p>증명</p> <p>\( x \in \cup\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \)라 하자. 그러면 \( x \in G_{p_{0}} \subset A \)를 만족하는 \( p_{0} \in A \)가 존재한다. 따라서 \( x \in A \) 이므로, \( \cup\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \subset A \)가 성립한다. 한편 \( y \in A \)라 하면 \( y \in G_{p} \)이므로, \( y \in \cup\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \), 즉 \( A \subset U\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \)이다. 그러므로</p> <p>\( A=\cup\left\{G_{p} \mid p \in A\right\} \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>집합과 관련된 여러 분야에서 전체집합을 고려할 때, 첨자집합이 공집합 \( \varnothing \)인 경우에도 합집합 \( \bigcup_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma} \)와 교집합 \( \bigcap_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma} \)는 의미를 갖는다.</p> <p>정리 5</p> <p>공집합족 \( \left\{A_{\gamma} \mid \gamma \in \varnothing\right\} \)에 대하여, 다음이 성립한다. 이때 \( U \)는 전체집합이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \bigcup_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma}=\varnothing \)</li> <li>\( \bigcap_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma}=U \)</li></ol> <p>증명</p> <p>여기서는 (2)만을 증명하고 (1)의 증명은 독자에게 남긴다.</p> <p>\( \begin{aligned} x \in \bigcap_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma} & \Leftrightarrow\left({ }^{\forall} \gamma \in \varnothing, x \in A_{\gamma}\right) \\ & \Leftrightarrow\left(\gamma \in \varnothing \rightarrow x \in A_{\gamma}\right) \end{aligned} \)</p> <p>이다. 그런데 마지막 부분이 항상 참이므로, 모든 \( x \in U \)에 대하여 \( x \in \bigcap_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma} =U \)가 참이다. 따라서 \( \bigcap_{\gamma \in \varnothing} A_{\gamma}=U \)가 성립한다.</p> <h3>(2) 집합의 연산</h3> <p>집합 \( X \)의 부분집합들 사이에 몇 가지 집합연산(set-theoretic operation)을 정의한다. 이 집합연산은 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)에서 정의되는 연산이다.</p> <p>정의 1 합집합과 교집합</p> <p>\( X \)의 부분집합 \( A, B \)에 대하여</p> <ol type=1 start=1><li>합집합 (union) : \( A \cup B=\{x \mid x \in A \) 또는 \( x \in B\} \)</li> <li>교집합 (intersection) : \( A \cap B=\{x \mid x \in A \)이고 \( x \in B\} \)</li></ol> <p>로 정의한다. 두 집합 \( A, B \)에 대하여, \( A \cap B=\varnothing \)일 때 \( A \)와 \( B \)는 서로소(disjoint)라고 한다.</p> <p>집합 \( A \)에 관한 집합 \( B \)의 차집합(difference)을 \( A-B \), 즉</p> <p>\( A-B=\{x \mid x \in A \)이고 \( x \notin B\} \)</p> <p>로 정의한다. 앞으로 특별한 언급이 없는 한, \( A-B \)를 \( A \backslash B \)로 표기하기로 한다. 특히 \( X \)가 전체집합이고 \( A \subset X \)일 때, \( X \) 에 관한 \( A \)의 차집합 \( X \backslash A \)를 \( A \)의 여집합 (complement)이라 하고 \( A^{c} \)로 나타낸다.</p> <p>정리 2 집합의 대수법칙 (laws of the algebra of sets)</p> <p>전체집합 \( X \)의 부분집합 \( A, B, C \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>항등법칙 (identity law) : \( A \cup \varnothing=A, A \cap X=A, A \cup X=X, A \cap \varnothing=\varnothing \)</li> <li>멱등법칙 (idempotent law) : \( A \cup A=A, A \cap A=A \)</li> <li>교환법칙 (commutative law) : \( A \cup B=B \cup A, A \cap B=B \cap A \)</li> <li>결합법칙 (associative law) : \( A \cup(B \cup C)=(A \cup B) \cup C, A \cap(B \cap C)=(A \cap B) \cap C \)</li> <li>분배법칙 (distributive law) : \( A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C), A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C) \)</li> <li>여집합법칙 (complementary law) : \( A \cup A^{c}=U, A \cap A^{c}=\varnothing,\left(A^{c}\right)^{c}=A, X^{c}=\varnothing, \varnothing^{c}=X \)</li> <li>드모르간 법칙(De Morgan's law) : \( (A \cup B)^{c}=A^{c} \cap B^{c},(A \cap B)^{c}=A^{c} \cup B^{c} \)</li></ol> <p>집합에 관한 명제에서 합집합 \( U \)과 교집합 \( \cap \), 전체집합 \( U \)와 공집합 \( \varnothing \)는 서로 쌍대관계를 이룬다. 따라서 집합에 관한 임의의 참명제에 대한 쌍대명제는 항상 참이 된다.</p> <p>참고</p> <p>두 집합 \( A \) 와 \( B \) 의 대칭차 (symmetric difference)를 \(\\ A \wedge B=\left(A \cap B^{c}\right) \cup\left(A^{c} \cap B\right) \) 로 정의한다.</p> <p>집합연산은 임의의 집합족에 대해서도 확장하여 정의할 수 있다.</p> <h3>(3) 합성함수</h3> <p>정의 17 합성함수</p> <p>임의의 두 함수 \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \)에 대하여</p> <p>\( { }^{\forall} x \in X,(g \circ f)(x)=g(f(x)) \)</p> <p>로 정의되는 함수 \( g \circ f: X \rightarrow Z \)를 \( f \)와 \( g \)의 합성함수(composite function)라고 한다.</p> <p>두 함수 \( f \)와 \( g \)의 합성함수 \( g \circ f \)가 정의되려면, \( f \)의 공역과 \( g \)의 정의역이 같아야 함에 유의한다.</p> <p>참고</p> <p>두 함수 \( f: X \rightarrow Y, g: Y \rightarrow Z \)의 합성함수 \( g \circ f: X \rightarrow Z \)에서</p> <ol type=1 start=1><li>\( g \circ f \)가 단사이면, \( f \) 는 단사</li> <li>\( g \circ f \)가 전사이면, \( g \) 는 전사</li></ol> <p>가 성립한다.</p> <p>정리 18</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( g \circ f=I_{X} \)를 만족하는 함수 \( g: Y \rightarrow X \)가 존재할 때, 그때에 한하여 \( f: X \rightarrow Y \)는 단사이다.</li> <li>\( f \circ h=I_{Y} \)를 만족하는 함수 \( h: Y \rightarrow X \)가 존재할 때, 그때에 한하여 \( f: X \rightarrow Y \)는 전사이다.</li></ol> <p>참고</p> <p>두 함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 \( g: Y \rightarrow X \)에 대하여</p> <p>\( g \circ f=I_{X}, \quad f \circ g=I_{Y} \)</p> <p>이면, \( f \)는 전단사이고 \( g=f^{-1} \)가 된다. 따라서 전단사함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 그 역함수 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)에 대하여</p> <p>\( f^{-1} \circ f=I_{X}, \quad f \circ f^{-1}=I_{Y} \)</p> <p>가 성립한다.</p> <h3>(4) 실가함수의 대수</h3> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)상에서 정의된 모든 실가함수족 (실숫값 함수족)을 \( \mathscr{Z}(X, R) \)로 나타낼 때, 임의의 \( k \in R \)와 \( f, g \in \mathscr{Z}(X, R) \) 에 대하여 연산</p> <p>\( f+g, k f, f+k, f g, f \circ g,\|f\| \)</p> <p>를 정의할 수 있다. 이때 \( k \in R \)와 \( f, g \in \mathscr{Z}(X, R) \)에 대하여, 덧셈 \( f+g \)와 스칼라배 \( k f \)를 각각 모든 \( x \in X \)에 대하여</p> <p>\( (f+g)(x)=f(x)+g(x),(k f)(x)=k f(x) \)</p> <p>로 정의하면, 실가함수족 \(\mathscr{Z}(X, R) \)은 벡터공간(vector space)이 된다 (4.2절 참조).</p> <p>정의 19 유계함수</p> <p>\( f \in \mathscr{Z}(X, R) \)일 때, 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( \|f(x)\| \leq M \)을 만족하는 \( M \in R \)이 존재하면 함수 \( f \)를 유계(bounded)라 한다.</p> <p>참고</p> <p>벡터공간 \( \mathscr{Z}(X, R) \)에 포함되는 모든 유계인 실가함수족을 \( \mathscr{B}(X, R) \)로 나타내면 \( \mathscr{B}(X, R) \)은 다음 두 성질</p> <ol type=1 start=1><li>\( f, g \in \mathscr{B}(X, R) \)이면, \( f+g \in \mathscr{B}(X, R) \)</li> <li>\( f g \in \mathscr{B}(X, R) \)이고 \( k \in R \)이면, \( k f \in R \)</li></ol> <p>를 갖는다. 이때 \( \mathscr{B}(X, R) \)을 벡터공간 \( \mathscr{Z}(X, R) \) 의 부분공간 (subspace)이라 한다.</p> <h2>3. 집합의 기수</h2> <h3>(1) 집합의 기수</h3> <p>집합의 기수란 ‘대등한 모든 집합이 공통으로 갖는 성질'이다. 모든 집합 \( A \)는 기수 \(\#(A) \)를 갖는다.</p> <p>정의 8 집합의 기수</p> <p>집합의 기수(cardinal number)란 다음 네 성질, 즉 기수의 공리 (axiom of cardinality)</p> <ol type=1 start=1><li>각 집합 \( A \) 에는 \(\# (A) \)로써 표시되는 하나의 기수가 대응되고, 각 기수 \( a \)에 대해서는 \( \#(A)=a \)인 집합 \( A \)가 존재한다.</li> <li>\( A=\varnothing \)일 때, 그때에 한하여 \( \#(A)=0 \)</li> <li>임의의 \( k \in N \)에 대해서 \( A \sim N_{k} \)일 때, 그때에 한하여 \( \#(A)=k \)</li> <li>임의의 집합 \( A, B \)에 대하여 \( A \sim B \)일 때, 그때에 한하여 \( \#(A)=\#(B) \)</li></ol> <p>갖는 개념이다.</p> <p>참고</p> <p>\( A \sim N \)이면 \( \#(A)=\aleph_{0} \)로 나타내고, \( A \sim R \)이면 \( \#(A)=c \)로 나타낸다. 따라서 만일 \( I \)가 구간이면, \( \#(I)=c \)이다.</p> <p>정의 9</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여, \( A \)가 \( B \)의 적당한 부분집합과 대등, 즉 단사함수 \( f: A \rightarrow B \)가 존재할 때, \(\#(A) \)는 \(\# (B) \)보다 작거나 같다고 하고</p> <p>\( \#(A) \leq \#(B) \)</p> <p>로 나타낸다.</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여, \(\# (A) \leq \#(B) \)가 성립하는 것과 \( B \)에서 \( A \)로의 전사가 존재한다는 것과는 동치이다.</p> <p>예</p> <p>임의의 세 집합 \( A, B, C \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \#(A) \leq \#(A) \)</li> <li>\( A \subset B \)이면, \(\# (A) \leq \#(B) \)</li> <li>\( \#(A) \leq \#(B) \)이고 \( \#(B) \leq \#(C) \)이면, \# \( (A) \leq \#(C) \)</li></ol> <p>참고</p> <p>\( A \)가 \( B \)의 진부분집합이라 하더라도, \(\# (A)<\#(B) \)가 성립하지 않음에 유의한다. 실제로 모든 짝수의 집합 \( N_{e} \)는 모든 자연수의 집합 \( N \)의 진부분집합이지만</p> <p>\( \#\left(N_{e}\right)=\#(N) \)</p> <p>이 성립한다.</p> <p>임의의 두 기수 \( a, b \)에 대하여, \( a \leq b \)이고 \( a \neq b \)일 때 \( a<b \) 로 표기하고, "\( a \)는 \( b \) 보다 작다." 또는 "\( b \)는 \( a \)보다 크다."라고 한다.</p> <p>정의 10</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여, \( A \)가 \( B \)의 적당한 부분집합과 대등하지만, \( B \)가 \( A \)의 임의의 부분집합과 대등하지 않을 때, \(\# (A) \)는 \(\# (B) \)보다 작다고 하고</p> <p>\( \#(A)<\#(B) \)</p> <p>로 나타낸다.</p> <p>정의 10은 무한기수를 비교할 수 있도록 정의되었으나, 이것은 또한 유한기수에 대해서도 그대로 적용될 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>\( \#(A) \leq \#(B) \)이지만 \( \#(A) \neq \#(B) \)일 때, \(\# (A)<\#(B) \)로 나타낸다.</p> <p>예</p> <p>모든 자연수의 집합 \( N \)이 모든 실수의 집합 \( R \)의 부분집합이므로 \( \#(N) \leq \#(R) \)로 주어진다. 한편 모든 실수의 집합 \( R \)은 가부번집합이 아니므로 \(\# (N) \neq \#(R) \)이다. 따라서 \(\# (N)<\#(R) \)이 성립한다.</p> <p>예제</p> <p>임의의 무한기수 \( a \)에 대하여, \( \#(N) \leq a \)가 성립한다. 따라서 \( \#(N) \)은 가장 작은 무한기수이다.</p> <p>증명</p> <p>집합 \( A \)에 대하여 \( \#(A)=a \)라고 하면, 무한집합 \( A \)는 가부번부분집합 \( B \)를 포함한다. 그러므로 \( N \sim B \subset A \)이다. 따라서 \( \#(N) \leq a \)가 성립한다.</p> <h3>(3) 관계</h3> <p>(1) 관계</p> <p>원소 \( a \)와 \( b \)의 순서쌍 (ordered pair) \( \langle a, b\rangle \)의 개념은 \( \langle a, b\rangle=\{\{a\},\{a, b\}\} \)로 정의된다. 이 정의로부터</p> <p>\( \langle a, b\rangle=\langle c, d\rangle \)이면, \( a=c \)이고 \( b=d \)</p> <p>가 성립함을 증명한다. 이때 \( a \)와 \( b \)를 각각 순서쌍 \( \langle a, b\rangle \)의 첫째 원소 (first element), 둘째 원소(second element)라고 한다.</p> <p>정의 6 카테시안 곱</p> <p>두 집합 \( A \)와 \( B \)의 카테시안 곱 (cartesian product) 또는 데카르트 곱 \( A \times B \)는</p> <p>\( A \times B=\{\langle a, b\rangle \mid a \in A, b \in B\} \)</p> <p>로 정의된다. 보통 \( A \times B \)를 \( A \)와 \( B \)의 적집합 (product set) 또는 곱집합이라고 한다. 특히 \( A \times A \)를 \( A^{2} \)으로 표현한다.</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여, \( A \times B \)의 부분집합을 \( A \)로부터 \( B \)로의 관계(relation)라 한다. 이 때 \( \Re \subset A \times B \)이 \( A \)로부터 \( B \)로의 관계이면 \( \langle a, b\rangle \in \Re \)를</p> <p>\( a \Re b \)</p> <p>표기하고, 기호 \( a \Re b \)는 “\( a \)는 \( \Re \)에 의하여 \( b \)와 관계된다."고 읽는다. 특히 \( A=B=X \)일 때, "\( \Re \)을 \( X \)에서의 관계", 즉 \( X \)에 대하여 \( X^{2}=X \times X \)의 부분집합 \( \Re \)을 \( X \)에서의 관계라고 한다.</p> <p>집합 \( A \)로부터 집합 \( B \)로의 임의의 관계 \( \Re \)의 정의역 (domain)은 \( \Re \)에 속하는 순서쌍의 첫째 원소의 집합이고, 그 치역 (range)은 둘째 원소의 집합이다. 즉 집합</p> <p>\( \operatorname{Dom}(\Re)=\{a \in A \mid \exists b \in B,\langle a, b\rangle \in \Re\} \)</p> <p>는 \( \Re \)의 정의역이고, 집합</p> <p>\( \operatorname{Im}(\Re)=\{b \in B \mid \exists a \in A,\langle a, b\rangle \in \Re\} \)</p> <p>는 \( R \)의 치역이다. 관계 \( R \)에 대한 역관계 (inverse relation) \(\Re^{-1} \)은</p> <p>\( \Re^{-1}=\{\langle b, a\rangle \mid\langle a, b\rangle \in \Re\} \)</p> <p>로 정의되는 \( B \)로부터 \( A \)로의 관계이다. 따라서 \( a \Re b \Leftrightarrow b \Re^{-1} a \)가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>임의의 집합 \( A \)에 대하여, \( A \)상의 항등관계(identity relation) \( \triangle \) 또는 \( \triangle_{A} \)는 \( \\\triangle_{A}=\{\langle a, a\rangle \mid a \in A\} \\\) 로 정의된다. 때로는 항등관계를 대각집합 (diagonal)이라고 한다.</p> <h2>4. 집합의 순서</h2> <h3>(1) 순서집합</h3> <p>정의 15 반순서집합</p> <p>집합 \( X \)상의 관계 \( \lesssim \)가 모든 \( x, y, z \in X \)에 대하여, 다음 세 조건</p> <ol type=1 start=1><li>\( x \lesssim x \quad\) 반사적</li> <li>\( x \precsim y \)이고 \( y \lesssim x \)이면, \( x=y \quad\) 반대칭적(anti-symmetric)</li> <li>\( x \precsim y \)이고 \( y \precsim z \)이면, \( x \precsim z \quad\) 추이적</li></ol> <p>을 만족할 때 관계 \(\lesssim \) 를 반순서(partial order) 또는 간단히 순서(order)라 하고, 집합 \( X \)에 반순서가 정의될 때 \( (X, \lesssim) \)를 반순서집합 (partially ordered set)이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>집합의 포함관계는 공집합이 아닌 집합 \( X \)의 멱집합상의 반순서이다. 따라서 공집합이 아닌 집합 \( X \)의 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)는 포함관계 \( \subset \)에 의한 반순서집합이다.</p> <p>반순서집합에서 \( x \precsim y \)일 때, \( x \)는 \( y \)보다 앞선다 (precedes) 또는 " \( y \)보다 작다."고 하고, 또한 \( y \)는 \( x \)보다 뒤선다 (follows) 또는 " \( x \)보다 크다.”라고 한다. 한편 \( x<y \)는 \( x \lesssim y \)이 \( x \neq y \)이고 의미로 사용된다.</p> <p>정의 16 전순서집합</p> <p>\( (X, \lesssim) \)가 반순서집합일 때, 임의의 두 원소 \( x, y \in X \)가</p> <p>\( x \lesssim y \) 또는 \( y \gtrsim x \)</p> <p>중 반드시 하나를 만족하면 이 두 원소는 비교가능 (comparable)이라 한다. 반순서집합 \( X \)에서, 임의의 두 원소가 비교가능하면 \( X \)를 전순서집합 (totally ordered set) 또는 선형순서집합 (linearly ordered set)이라고 한다.</p> <p>집합 \( A \)상의 관계 \( \Re \)이 반순서이면, 역관계 \( \Re^{-1} \)도 반순서이다. 이것을 역순서 (inverse order)라 한다. 또한 반순서집합 \( (X, \lesssim) \)에 있어서, \( S \subset X \)가 \( X \)에 주어진 반순서에 대하여 전순서집합이면 \( S \)를 \( X \)의 전순서부분집합 (totally ordered subset)이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>임의의 \( x, y \in R \)에 대하여, \( x \leq y \)에 의하여 정의된 \( R \)상의 대소관계 \( \leq \)는 전순서이다. 이것을 \( R \)에 있어서 자연순서(natural order) 또는 보통순서 (usual order)라 한다.</p> <p>예</p> <p>그림 1.2의 도표에 의해 정의되는 \( W=\{a, b, c, d, e\} \)상의 반순서를 생각할 때, 집합 \( \{a, c, d\} \)와 \( \{b, c\} \)는 전순서집합이지만, 집합 \( \{a, b, c\} \)와 \( \{d, e\} \)는 전순서집합이 아니다.</p> <p>참고</p> <p>두 집합 \( A, B \)가 반순서집합일 때, \( \left\langle a_{1}, b_{1}\right\rangle \in A \times B,\left\langle a_{2}, b_{2}\right\rangle \in A \times B \)에 대하여 \( \left\langle a_{1}, b_{1}\right\rangle<\left\langle a_{2}, b_{2}\right\rangle \)이기 위한 필요충분조건이</p> <ol type=1 start=1><li>\( a_{1}< a_{2} \) 이거나, 아니면</li> <li>\( a_{1}=a_{2} \) 이고 \( b_{1}<b_{2} \)</li></ol> <p>로 정의되는 순서관계를 \( A \times B \)의 사전식순서(lexicographic order)라고 한다. 사전식순서는 전순서관계이다.</p> <p>전순서는 반순서이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 한편 이론에 따라서는 하나의 집합 위에 여러 가지 순서가 정의되는 경우도 있다.</p> <p>정의 17 부분순서집합</p> <p>반순서집합 \( (X, \esssim) \)의 공집합이 아닌 부분집합 \( M \)의 원소 \( a, b \) 에 대하여</p> <p>\( a \lesssim b \) 일 때, 그때에 한하여 \( a \lesssim_{M} b \)</p> <p>로 관계 \( \lesssim_{M} \)을 정의하면, \( \lesssim _{M} \)은 \( M \)에서 반순서가 된다. 이때 반순서집합 \( \left(M, \Im_{M}\right) \)을 \( (X, \lesssim ) \)의 부분순서집합이라 한다. 그런데 \( \lesssim _{M} \)은 \( X \)에서 반순서 \( \lesssim \ 를 \( M \)위로 제한해서 생각한 것에 지나지 않으므로, \( \lesssim _{M} \)을 보통 \( \lesssim \) 로 표현한다.</p> <p>반순서집합 \( X \)의 어떤 부분집합은 실제로 전순서로 될 수 있다. 분명히 \( X \) 자신이 전순서이면, \( X \)의 모든 부분집합은 또한 전순서이다.</p> <h3>(2) 단사, 전사와 전단사</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 \( f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right) \)인 모든 \( x_{1}, x_{2} \in X \)에 대하여 \( x_{1}=x_{2} \)를 만족할 때, \( f \)를 일대일 (one-to-one) 또는 단사 (injective)라고 한다.</p> <p>예</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 단사일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left\{A_{\gamma} \mid \gamma \in \Gamma\right\} \)가 \( X \)의 부분집합족이면, \( f\left[\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}\right]=\bigcap_{\gamma \in \Gamma} f\left[A_{\gamma}\right] \)</li> <li>\( A, B \)가 \( X \)의 부분집합이면, \( f[A \backslash B]=f[A] \backslash f[B] \)</li></ol> <p>예제</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 단사이면, 관련된 집합함수 \( f: \mathscr{P}(X) \rightarrow \mathscr{P}(Y) \)는 단사이다.</p> <p>증명</p> <p>먼저 \( X=\varnothing \)라 하면 \( \mathscr{P}(X)=\{\varnothing\} \)이므로, 관련된 집합함수 \( f: \mathscr{P}(X) \rightarrow \mathscr{P}(Y) \)는 단사이다. 왜냐하면 \( \mathscr{P}(X) \)의 서로 다른 원소는 같은 상을 가질 수 없고, \( \mathscr{P}(X) \)에 속하는 두 서로 다른 원소는 존재하지 않기 때문이다. 이제 \( X \neq \varnothing \)라 하자. 그러면 \( \mathscr{P}(X) \)는 적어도 두 개의 원소를 갖는다. 이때 \( A \neq B \) (단, \( A, B \in \mathscr{P}(X)) \)라 하면</p> <p>\( p \in A, p \notin B \) (또는 \( p \in B, p \notin A \) )</p> <p>를 만족하는 \( p \in X \)가 존재한다. 그런데 \( f: X \rightarrow Y \)가 단사이므로</p> <p>\( f(p) \in f[A], f(p) \notin f[B]( \) 또는 \( f(p) \in f[B], f(p) \notin f[A]) \)</p> <p>이다. 따라서 \( f[A] \neq f[B] \)이므로, 관련된 집합함수 \( f: \mathscr{P}(X) \rightarrow \mathscr{P}(Y) \)는 단사이다.</p> <p>참고</p> <p>\( X \neq \varnothing \)일 때, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \)는 단사이다.</li> <li>\( g \circ f=I_{X} \)를 만족하는 함수 \( g: Y \rightarrow X \)가 존재한다.</li></ol> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에서 임의의 \( y \in Y \)에 대하여 \( y=f(x) \)를 만족하는 \( x \in X \)가 존재하면, \( f \)를 위로 (onto) 또는 전사(surjective)라고 한다. 즉 \( f[X]=Y \)일 때, 그때에 한하여 \( f \)는 전사이다.</p> <p>예</p> <p>적집합 \( \Pi\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)가 공집합이 아니면, 사영함수</p> <p>\( \pi_{i_{0}}: \Pi\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \rightarrow A_{i_{0}}\left(\right. \) 단, \( \left.A_{i_{0}} \neq \varnothing\right) \)</p> <p>는 위로의 함수, 즉 전사이다.</p> <p>참고</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여, 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \)는 전사이다.</li> <li>\( f \circ g=I_{Y} \)를 만족하는 함수 \( g: Y \rightarrow X \)가 존재한다.</li></ol> <p>정리 16</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 임의의 함수일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \)가 단사일 때, 그때에 한하여 \( { }^{\forall} A \subset X, f^{-1}[f[A]]=A \)</li> <li>\( f \)가 전사일 때, 그때에 한하여 \( { }^{\forall} B \subset Y, f\left[f^{-1}[B]\right]=B \)</li></ol> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 단사이고 전사일 때, \( f \)를 전단사(bijective) 또는 일대일 대응 (one- to-one correspondence)이라고 한다.</p> <p>예</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 모든 \( A \subset X \)에 대하여 \( f\left[A^{c}\right]=(f[A])^{c} \)일 때, 그때에 한하여 함수 \( f \)는 전단사가 된다.</p> <p>참고</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( A \subset X \)일 때, \( x \in A \)이면 \( f(x) \in f[A] \)이지만, 그 역은 성립하지 않는다. 그러나 \( f \)가 전단사이면</p> <p>\( x \in A \Leftrightarrow f(x) \in f[A] \)</p> <p>이다. 또한 \( f: X \rightarrow Y \)가 전단사이고, \( B \subset Y \)일 때</p> <p>\( y \in B \Leftrightarrow f^{-1}(y) \in f^{-1}[B] \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>일반적으로 함수 \( f: X \rightarrow Y \)의 역관계 \( f^{-1} \)는 함수가 아니다. 그러나 함수 \( f \)가 전단사이면, 역관계 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)도 함수가 된다. 더욱이 \( f^{-1} \)는 전단사이다. 이때 \( f^{-1}: Y \rightarrow X \)를 \( f \)의 역함수(inverse function)라 하고</p> <p>\( f^{-1}(y)=x \Leftrightarrow f(x)=y \)</p> <p>로 정의한다.</p> <h3>(2) 슈뢰더-베른슈타인 정리</h3> <p>지금까지 집합 \( A \)가 집합 \( B \)의 부분집합과 대등하고 집합 \( B \)가 집합 \( A \)의 부분집합과 대등할 때, \(\# (A) \)와 \(\# (B) \)의 두 기수를 어떻게 비교하는가에 대해서는 밝히지 않았다. 이와같은 경우, 칸토어는 \(\# (A) \)와 \(\# (B) \)는 같을 것이라고 추측하였다. 이 추측은 베른슈타인(Bernstein)과 슈뢰더 (Schröder)에 의하여 각자 독립적으로 증명되었는데, 이 결과는 오늘날 슈뢰더-베른슈타인 정리로 알려져 있다.</p> <p>보조정리 11</p> <p>\( B \)가 \( A \)의 부분집합일 때, 단사함수 \( f: A \rightarrow B \)가 존재하면 전단사함수 \( h: A \rightarrow B \)가 존재한다.</p> <p>집합 \( A \)를 모든 실수의 집합이라 하고, 집합 \( B \)를 단위 열린구간이라 하면</p> <p>\( \#(A)=\#(B) \)</p> <p>이므로, 임의의 집합 \( B \subset A \)에 대하여 \( h: A \rightarrow B \)인 전단사가 존재함을 안다.</p> <p>정리 12 슈뢰더- 베른슈타인 정리(Schröder-Bernstein theorem)</p> <p>임의의 두 집합 \( A, B \)에 대하여, \( A \)가 \( B \)의 부분집합과 대등하고 \( B \)가 \( A \)의 부분집합과 대등하면, \( A \)와 \( B \)는 대등하다.</p> <p>증명</p> <p>\( f_{0}: A \sim B_{0} \subset B, g_{0}: B \sim A_{0} \subset A \)라 하고, 함수 \( f: A \rightarrow A_{0} \)를</p> <p>\( f(x)=g_{0}\left(f_{0}(x)\right) \)</p> <p>로 정의하면, \( f \)는 단사이다. 그러므로 보조정리 11에 의하여, 전단사함수 \( h: A \sim A_{0} \)가 존재한다.</p> <p>따라서 두 전단사함수</p> <p>\( h: A \sim A_{0}, g_{0}{ }^{-1}: A_{0} \sim B \)</p> <p>의 합성함수</p> <p>\( g_{0}{ }^{-1} \circ h: A \sim B \)</p> <p>는 전단사이다. 결국 \( A \)와 \( B \)는 대등하다.</p> <p>따름정리</p> <p>\( \#(A) \leq \#(B) \)이고 \( \#(B) \leq \#(A) \)이면</p> <p>\( \#(A)=\#(B) \)</p> <p>가 성립한다.</p> <p>따름정리로부터 두 기수 사이의 관계 '\( \leq \)'는 반대칭임을 보였다. 또한</p> <p>\( \#(A)<\#(B) \)</p> <p>가 성립하기 위한 필요충분조건은 단사 \( f: A \rightarrow B \)가 존재하지만, 단사 \( f: B \rightarrow A \)가 존재하지 않는 것이다.</p> <p>예</p> <p>공집합 \( \varnothing \)에 대하여, 다음 각 집합</p> <p>\( \varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\},\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}, \cdots \)</p> <p>는 각각 유한기수 \( 0,1,2,3, \cdots \)를 갖는다. 한편 \( \#(N)=\aleph_{0} \)이고 \( \#(R)=c \)이다. 따라서 \( 0<1<2<3<\cdots<{\aleph}_{0}<{c} \)임을 알 수 있다.</p> <p>예</p> <p>실수의 임의의 닫힌구간 \( [a, b] \)는 모든 실수의 집합 \( R \)과 대등하다. 왜나하면 닫힌구간 \( [a, b] \)는 \( R \)의 부분집합인 자기 자신과 대등하고, 또한 \( R \)은 \( [a, b] \)의 부분집합인 열린 구간 \( (a, b) \)와 대등하므로, \( [a, b] \)와 \( R \)은 대등하다.</p> <p>참고</p> <p>기수 사이의 관계 '\( \leq \)'는 반순서관계이다(정의 15 참조).</p> <p>임의의 두 기수 \( a, b \)에 대하여</p> <p>\( a<b, \quad a=b, \quad a>b \)</p> <p>라는 세 관계(삼분성질)는 어느 경우도 동시에 성립하지 않고, 어느 한 경우만 만족한다. 즉 임의의 두 기수는 반드시 '비교가능’이다.</p> <p>정리 13</p> <p>기수들의 임의의 집합에는 최소원이 존재한다.</p> <h3>(2) 극대원과 극소원</h3> <p>정의 18 극대원과 극소원</p> <p>반순서집합 \( (X, \lesssim ) \)에서, \( a \in X \)에 대하여 \( a< x \)이고 \( a< x \)인 \( x \in X \)가 존재하지 않을 때, 즉 \( a \) 자신을 제외하고 \( a \)에 뒤서는 원소가 없을 때 \( a \)를 \( X \)의 극대원 (maximal element)이라 한다. 마찬가지로 \( a \neq x \)이고 \( x>a \)인 \( x \in X \)가 존재하지 않을 때, 즉 \( a \) 자신을 제외하고 \( a \)에 앞서는 원소가 없을 때 \( a \)를 \( X \)의 극소원 (minimal element)이라 한다.</p> <p>예</p> <p>자연순서 ' \( \leq \) '가 주어진 모든 실수의 집합 \( R \)은 전순서집합이지만, 극대원과 극소원을 갖지 않는다.</p> <p>임의의 유한인 반순서집합은 반드시 극대원과 극소원을 갖고, 이것이 전순서집합이면 정확히 하나씩의 극대원과 극소원을 갖는다. 극대원도 되고 극소원도 되는 원소가 있다면, 그것은 다른 원소와 순서관계가 전혀 없는 고립된 원소이다.</p> <p>예</p> <p>유한집합 \( A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\} \)이 전순서집합일 때, \( A \)는 하나씩의 극대원과 극소원을 갖는다. 이때 극대원과 극소원은 각각</p> <p>\( \max \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}, \min \left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\} \)</p> <p>으로 표시된다.</p> <h3>(3) 최대원과 최소원</h3> <p>정의 19 최대원과 최소원</p> <p>반순서집합 \( (X, \lessem) \)에서, 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( x \lessem a \)를 만족하는 \( a \in X \)가 존재하면 \( a \)를 \( X \)의 최대원 (greatest element)이라 하고, 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( a \lesssim x \)를 만족하는 \( a \in X \)가 존재하면 \( a \)를 \( X \)의 최소원(least element)이라 한다.</p> <p>예</p> <p>자연순서 ' \( \leq \) '가 주어진 모든 자연수의 집합 \( N \)은 최소원으로 1을 갖는다. 그러나 모든 정수의 집합 \( Z \)는 최소원과 최대원을 갖지 않는다.</p> <p>반순서집합 \( X \)에 최대원 (또는 최소원)이 존재하면 그것이 유일한 극대원 (또는 극소원)이지만, 최대원 (또는 최소원)이 없으면 극대원 (또는 극소원)은 많이 있을 수도 있고 하나도 없을 수도 있다. 최대원 (또는 최소원)이 존재하면 그것은 오직 하나뿐이다.</p> <p>정의 20 정렬집합</p> <p>반순서집합 \( (X, \lesssim) \) 에 있어서 공집합이 아닌 모든 \( S \subset X \)가 항상 최소원을 가지면 \( (X, \lesssim) \) 를 정렬집합 (well-ordered set)이라 하고, \( (X, \lesssim) \)가 정렬집합일 때 관계 \(\lesssim \)를 정렬관계(well-order relation)라 한다.</p> <p>참고</p> <p>(정렬정리) : 모든 자연수의 집합 \( N \)의 공집합이 아닌 부분집합은 항상 하나의 최소원을 갖는다.</p> <p>예</p> <p>자연순서 ' \( \leq \) '가 주어진 모든 자연수의 집합 \( N \)은 정렬집합이다. 그러나 모든 정수의 집합 \( Z \)에 자연순서 ' \( \leq \) '를 준 전순서집합은 정렬집합이 아니다.</p> <p>\( X \)가 정렬집합이면, \( X \)는 전순서집합이다. 왜냐하면 임의의 \( x, y \in X \)에 대하여 \( \{x, y\} \)가 \( X \)의 부분집합이므로 최소원 \( x \) 또는 \( y \)를 가지기 때문이다.</p> <p>정리 13</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( \left\{A_{\gamma} \mid \gamma \in \Gamma\right\} \)가 \( X \)의 부분집합족일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f\left[\bigcup_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}\right]=\bigcup_{\gamma \in \Gamma} f\left[A_{\gamma}\right] \)</li> <li>\( f\left[\bigcap_{\gamma \in \Gamma} A_{\gamma}\right] \subset \bigcap_{\gamma \in \Gamma} f\left[A_{\gamma}\right] \)</li></ol> <p>참고</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( A, B \subset X \)일 때</p> <ol type=1 start=1><li>\( f[A] \backslash f[B] \subset f[A \backslash B] \)</li> <li>\( f[A \cap B] \subset f[A] \cap f[B] \)</li></ol> <p>가 된다. 이때 포함관계는 일반적으로 등호로 대치될 수 없다.</p> <p>예</p> <p>평면 \( R^{2} \)의 부분집합 \( A=[1,2] \times[1,2] \)와 \( B=[1,2] \times[3,4] \)에 대하여, \( x \)축으로의 사영 \( \pi: R^{2} \rightarrow R \)를 생각하면 \( \pi[A]=[1,2], \pi[B]=[1,2] \)이므로</p> <p>\( \pi[A] \cap \pi[B]=[1,2], \pi[A]-\pi[B]=\varnothing \)</p> <p>이다. 이때 \( A \backslash B=A \)이므로 \( \pi[A \backslash B]=[1,2] \)이고, \( A \cap B=\varnothing \)이므로 \( \pi[A \cap B] =\varnothing \)이다. 따라서</p> <p>\( \pi[A \cap B] \neq \pi[A] \cap \pi[B] \)</p> <p>이고, 또한 \( \pi[A \backslash B] \neq \pi[A] \backslash \pi[B] \)가 된다.</p> <p>정리 14</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 함수이고 \( \left\{B_{\gamma} \mid \gamma \in \Gamma\right\} \)가 \( Y \)의 부분집합족일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f^{-1}\left[\bigcup_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right]=\bigcup_{\gamma \in \Gamma} f^{-1}\left[B_{\gamma}\right] \)</li> <li>\( f^{-1}\left[\bigcap_{\gamma \in \Gamma} B_{\gamma}\right]=\bigcap_{\gamma \in \Gamma} f^{-1}\left[B_{\gamma}\right] \)</li></ol> <p>참고</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여 \( A \subset X, B \subset Y \)일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A \subset f^{-1}[f[A]] \)</li> <li>\( f\left[f^{-1}[B]\right] \subset B \)</li></ol> <p>정리 15</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 함수일 때, \( Y \)의 부분집합 \( B, C \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>\( f^{-1}[B \backslash C]=f^{-1}[B] \backslash f^{-1}[C] \)</p> <p>예</p> <p>\( f: X \rightarrow Y \)이고 \( B \subset Y \)일 때</p> <p>\( f^{-1}\left[B^{c}\right]=\left(f^{-1}[B]\right)^{c} \)</p> <p>가 성립한다. 왜나하면 정리 15의 특수한 경우로, \( f^{-1}[Y]=X \)이기 때문이다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 \( A \subset X \)에 대하여 \( A \)를 정의역으로 하는 함수, 즉</p> <p>\( \left.f\right\|_{A}: A \rightarrow Y \)</p> <p>를 \( f \)의 \( A \)로의 제한(restriction) 또는 축소함수라고 한다. 역으로 \( \left.f\right\|_{A} \)에 대하여, \( f \)를 \( X \)로의확장 (extension) 또는 확대함수라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)에 대하여, \( X \times X \)에서 \( X \)로의 함수를 \( X \)에서의 이항연산(binary operation)이라고 한다. 이때 집합 \( X \)상에서 이항연산 \( * \)가 정의되어</p> <p>모든 \( x, y \in X \)에 대하여, \( x * y \in X \)</p> <p>를 만족하면, 집합 \( X \)는 \( * \)에 대하여 '닫혀있다.'고 한다.</p> <p>(3) 분할</p> <p>정의 9 분할</p> <p>\( X \)가 공집합이 아닌 집합일 때, 다음 두 조건</p> <ol type=1 start=1><li>\( A_{i} \neq A_{j} \) 이면, \( A_{i} \cap A_{j}=\varnothing \)</li> <li>\( \bigcup_{A_{i} \in \mathscr{A}} A_{i}=X \)</li></ol> <p>를 만족하는 \( X \)의 공집합이 아닌 부분집합족 \( \mathscr{\mathscr { A }}=\left\{A_{i}\right\}_{i \in I} \)를 \( X \)의 분할 (partition)이라 한다. \( \mathscr{\mathscr { A }}=\left\{A_{i}\right\}_{i \in I} \)가 \( X \)의 분할일 때, 각 \( A_{i} \)를 분할 \(\mathscr{\mathscr { A }}\)의 류(class)라 한다.</p> <p>예</p> <p>\( m \)이 임의의 고정된 자연수일 때, 각 정수 \( j \) (단, \( 0 \leq j<m \) )에 대하여</p> <p>\( Z_{j}=\{x \in Z \mid \) 적당한 \( k \in Z \)에 대하여, \( x-j=k m\} \)</p> <p>로 주어진 집합 \( \left\{Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{m-1}\right\} \)은 \( Z \)의 분할이 된다. 이때 동치류 \( Z_{i} \)를 잉여류 (residue class)라 한다.</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)에서의 모든 동치관계는 반드시 \( X \)의 하나의 분할에 대응된다. 역으로 \( X \)의 분할은 \( X \)에서의 하나의 동치관계를 형성한다.</p> <p>참고</p> <p>동치관계의 기본정리 (fundamental theorem of equivalence relation) : 공집합이 아닌 집합 \( X \)에 대하여 \( \Re \)이 \( X \)에서의 동치관계일 때, 상집합 \( X / \Re \)은 \( X \)의 분할이 된다.</p> <p>(4) 관계의 합성</p> <p>정의 10 관계의 합성</p> <p>\( U \)가 \( A \)에서 \( B \)로의 관계이고, \( V \)가 \( B \)에서 \( C \)로의 관계일 때, 즉 \( U \subset A \times B \)이고 \( V \subset B \times C \)일 때, \( U \)와 \( V \)의 합성(composition) \( V \circ U \)를</p> <p>\( V \circ U=\{\langle a, c\rangle \in A \times C \mid \exists b \in B,\langle a, b\rangle \in U,\langle b, c\rangle \in V\} \)</p> <p>로 정의한다.</p> <p>\( G, H, J \)가 \( A \)에서의 관계일 때, \( (G \circ H) \circ J=G \circ(H \circ J) \)가 성립한다.</p> <p>예</p> <p>모든 자연수의 집합 \( N \)에서의 관계 \( \Re \)이</p> <p>\( \Re=\{\langle x, y\rangle \mid x+2 y=12\} \)</p> <p>로 정의될 때, \( \Re \circ \Re \)과 \( \Re^{-1} \circ \Re \)은 각각</p> <p>\( \Re \circ \Re=\{\langle 8,5\rangle,\langle 4,4\rangle\} \\\) \( R^{-1} \circ \Re=\{\langle 10,10\rangle,\langle 8,8\rangle,\langle 6,6\rangle,\langle 4,4\rangle,\langle 2,2\rangle\} \)</p> <p>로 주어진다.</p> <p>예제</p> <p>\( \Re \)이 집합 \( X \)에서의 관계일 때, \( R \)이 추이적일 필요충분조건은 \( \Re \circ \Re \subset \Re \)이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \langle x, z\rangle \in \Re \circ \Re \)라 하면, \( \langle x, y\rangle \in \Re \)이고 \( \langle y, z\rangle \in \Re \)로 되는 \( y \in X \)가 존재한다. 그런데 \( \Re \)이 추이적이므로, \( \langle x, y\rangle \in \Re \)이고 \( \langle y, z\rangle \in \Re \)이면 \( \langle x, z\rangle \in \Re \)가 된다. 따라서 \( \Re \circ \Re \subset \Re \)이 성립한다. 역으로 \( \Re \circ \Re \subset \Re \)이라 가정하자. 이때 \( \langle x, y\rangle \in \Re \)이고 \( \langle y, z\rangle \in \Re \)이면 \( \langle x, z\rangle \in \Re \circ \Re \subset \Re \)이다. 그러므로 \( \Re \)은 추이적이다.</p> <h3>(4) 수학적 증명</h3> <p>수학에서는 어떤 구체적 사실로부터 귀납적 추론을 거쳐 수학적 문제를 제기하고, 그 문제를 연역적 추론을 통한 엄밀한 수학직 논리 전개 과정을 거쳐 해결하게 된다. 이러한 수학적 방법론이 다른 과학에서도 이용되고 있는 것이다.</p> <p>수학에서 정리의 타당성을 밝히는 일을 증명 (proof)이라 한다. 즉 참인 전제로부터 타당한 추론을 이용하여 결론을 유도하는 것을 증명이라 한다. 수학적 증명에는 연역법, 배리법, 대우증명법과 수학적 귀납법 등이 있다. 특히 수학적 귀납법 (mathematical induction)은 자연수로써 만들어진 명제의 타당성을 보이는 데 사용되는 방법이다. 수학적 귀납법은 자연수에 관한 페아노 공리 중의 하나의 결과로써, 수학과 논리학에서 매우 중요한 역할을 한다.</p> <h3>(3) 멱집합의 기수</h3> <p>\( \aleph_{0} \)와 \( c \) 이외의 무한기수가 존재하느냐 하는 의문은 당연히 나타난다. 이 해답은 긍정적이다. 실제로 \( X \)가 임의의 집합일 때, 칸토어는</p> <p>\( \#(X)<\#(\mathscr{P}(X)) \)</p> <p>즉 임의의 기수보다 큰 기수가 존재함을 밝혔다. 따라서 무한히 많은 새로운 무한기수가 존재한다.</p> <p>정리 14 칸토어 정리 (Cantor's theorem)</p> <p>임의의 집합 \( X \)에 대하여</p> <p>\( \#(X)<\#(\mathscr{P}(X)) \)</p> <p>가 성립한다. 즉 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)의 기수는 집합 \( X \)의 기수보다 크다.</p> <p>예제</p> <p>임의의 가부번집합 \( A \)에 대하여, \( A \)의 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)는 비가부번집합이다.</p> <p>증명</p> <p>멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)를 가부번이라고 가정하면, \( \#(A)=\#(\mathscr{P}(X)) \)가 된다. 그런데 이것은 칸토어 정리에 모순이다. 따라서 \( \mathscr{P}(X) \)는 비가부번집합이다.</p> <p>칸토어 정리의 의의는 무한히 많은 새로운 무한기수를 구성할 수 있음을 보이는 데 있다. 이를테면</p> <p>\( \#(R)<\#(\mathscr{P}(R))<\#(\mathscr{P}(\mathscr{P}(R)))<\cdots \)</p> <p>와 같이 무한기수들을 얼마든지 생각할 수 있음을 의미한다.</p> <p>따름정리</p> <p>임의의 기수보다 큰 기수가 반드시 존재한다. 따라서 최대 기수는 존재하지 않는다.</p> <h3>(4) 연속체 가설</h3> <p>칸토어 정리를 적용하면 주어진 무한집합보다 큰 집합이 언제든지 존재한다. 따라서 무한히 많은 초월수가 존재함을 알 수 있다. 그러나 집합 \( A \)의 기수가 \( a \)라면, \( A \)의 멱집합의 기수가 \( a \) 바로 다음의 기수인지는 알 수 없다. 연속체 문제(continuum problem)로 알려진</p> <p>"\( \aleph_{0} \)와 \(2^{\aleph_{0}} \) 사이에 어떤 다른 기수의 존재성?"</p> <p>에 대한 의문이 칸토어에 의해 제기되었고, 칸토어를 비롯한 많은 수학자들이 이 문제를 해결하려고 많은 노력을 기울였으나 모두 무위로 끝났다. 실제의 집합에서 그런 기수는 찾을 수가 없었다. 1878년에 칸토어는 다음 연속체 가설을 제안했다.</p> <p>연속체 가설 (continuum hypothesis) : 두 무한기수 \( \aleph_{0} \)와 \( c\left(=2^{\aleph_{0}}\right) \)에 대하여</p> <p>\( \aleph_{0}<x<c \)</p> <p>를 만족하는 기수 \( x \)는 존재하지 않는다.</p> <p>연속체 문제와 밀접하게 관계된</p> <p>"무한기수 \( a \)와 \( 2^{a} \) 사이에 놓이는 임의의 기수가 존재하느냐?"</p> <p>하는 의문도 역시 해결될 수가 없어 “이와 같은 기수도 존재하지 않는다.”는 추측이 곧 일반 연속체 가설이다.</p> <p>일반 연속체 가설 (generalized continuum hypothesis) : 임의의 무한기수 \( a \)에 대하여</p> <p>\( a<x<2^{a} \)</p> <p>를 만족하는 기수 \( x \)는 존재하지 않는다.</p> <p>참고</p> <p>1938년에 괴델(Gödel)이 연속체 가설은 집합론의 공리와 모순되지 않음을 밝혔다. 또한 1963년에 코헨(Cohen)은</p> <p>"일반 연속체 가설은 집합론의 공리 안에서는 증명이 불가능하다."</p> <p>는 것을 증명하였다. 이들은 평행선에 관한 유클리드 제5공준이 1~4공준들과 독립이라는 것과 같은 뜻에서, 연속체 가설도 공리론적 집합론의 다른 공리들과 독립적이라는 것을 밝힌 것이다. 따라서 집합론에 있어서 연속체 가설은 기하학에 있어서 유클리드의 평행선 공리와 성질이 비슷하다.</p> <p>(2) 동치관계</p> <p>정의 7 동치관계</p> <p>\( \Re \) 이 집합 \( X \) 에서의 관계일 때, 다음 세 조건</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left[E_{1}\right] \) 모든 \( x \in X \)에 대하여, \( x \Re x \quad \) 반사적(reflexive)</li> <li>\( \left[E_{2}\right] x \Re y \)이면, \( y \Re x \quad \) 대칭적 (symmetric)</li> <li>\( \left[E_{3}\right] x \Re y \)이고 \( y \Re z \)이면, \( x \Re z \quad \) 추이적 (transitive)</li></ol> <p>를 만족하면 \( \Re \)을 동치관계(equivalence relation)라 한다.</p> <p>예</p> <p>모든 실수의 집합 \( R \)에서 상등관계 '='는 동치관계이다. 또한 유클리드 기하에서 삼각형의 닮음은 동치관계이다. 그러나 \( x \leq y \nRightarrow y \leq x \)이므로, 부등호 '\( \leq \) '는 동치관계가 아니다. 또한 집합의 포함관계 '\( \subset \)'는 반사적이고 추이적이지만 대칭적이 아니므로, 동치관계가 아니다.</p> <p>예제</p> <p>\( N \times N \)상의 관계 \(\Re \)을</p> <p>\( \langle a, b\rangle \simeq\langle c, d\rangle \Leftrightarrow a d=b c \)</p> <p>로 정의되는 관계 \( \simeq \)라 할 때, \(\Re \)은 동치관계이다.</p> <p>증명</p> <p>모든 \( \langle a, b\rangle \in N \times N \)에 대하여 \( a b=b a \)이다. 따라서 \( \langle a, b\rangle \simeq\langle a, b\rangle \)이므로, \( \Re \)은 반사적이다. 이제 \( \langle a, b\rangle \simeq\langle c, d\rangle \)라 가정하자. 이때 \( a d=b c \)이므로, \( c b=d a \)가 성립한다. 따라서 \( \langle c, d\rangle \simeq\langle a, b\rangle \)이다. 그러므로 \( \Re \)은 대칭적이다. 마지막으로 \( \langle a, b\rangle \simeq\langle c, d\rangle,\langle c, d\rangle \simeq\langle e, f\rangle \)라 가정하면 \( a d=b c \)이고 \( c f=d e \)이므로</p> <p>\( (a d)(c f)=(b c)(d e) \)</p> <p>이다. 따라서 \( a f=b e \)이다. 즉 \( \langle a, b\rangle \simeq\langle e, f\rangle \)이므로, \( \Re \) 은 추이적이다. 그러므로 \( \Re \)은 동치관계이다.</p> <p>예제</p> <p>\( \Re \)이 집합 \( X \)에서의 관계일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \Re \)이 반사적일 필요충분조건은 \( \triangle_{X} \subset \Re \)이다.</li> <li>\( \Re \)이 대칭적일 필요충분조건은 \( \Re=\Re^{-1} \)이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>\( \triangle_{X}=\{\langle x, x\rangle \mid x \in X\} \)이므로, 모든 \( x \in X \)에 대하여 \( \Re \)이 반사적일 필요충분조건은 \( \langle x, x\rangle \in \Re \), 즉 \( \triangle_{A} \subset \Re \)이다.</li> <li>\( \Re^{-1} \)의 정의와 \( \Re \)의 대칭성으로부터 성립한다.</li></ol> <p>정의 8 동치류와 상집합</p> <p>\( \Re \)이 공집합이 아닌 집합 \( X \)에서의 동치관계일 때, 각 \( x \in X \)에 대하여 \( \Re \)에 관한 \( x \)의 동치류 (equivalence class) \( [x] \)를</p> <p>\( [x]=\{y \in X \mid y \Re x\} \)</p> <p>로 정의한다. 때로는 \( [x] \)를 \( x / \Re \)로 표기한다. 한편 동치류의 집합족</p> <p>\( X / \Re=\{[x] \mid x \in X\} \)</p> <p>를 ' \( X \)의 \(\Re \)에 대한 상집합 (quotient set)'이라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>\( \Re \)이 공집합이 아닌 집합 \( X \)에서의 동치관계일 때, \( [x] \) 를 각 \( x \in X \)에 대하여 \( \Re \)에 관한 \( x \)의 동치류라 하면 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>모든 \( x \in X \)에 대하여, \( x \in[x] \)</li> <li>\( y \Re x \)이면, 그때에 한하여 \( [x]=[y] \)</li> <li>\( [x] \neq[y] \)이면, \( [x] \) 와 \( [y] \)는 서로소이다.</li></ol> <h1>1.1 집합과 함수</h1> <p>집합론은 19세기 말 칸토어 (Cantor)에 의해 본격적으로 연구되기 시작하였지만, 오늘날 수학의 모든 분야는 집합론에 기초를 두고 이론을 전개한다. 여기서는 집합과 함수에 대한 기본적인 내용을 간략하게 서술한다.</p> <h2>1. 집합</h2> <p>모든 수학적 대상과 구성은 집합론에 기반을 두고 있기 때문에, 집합의 개념은 수학의 모든 분야에서 기초가 된다. '집합'을 엄밀하게 정의하려면 공리론적 방법을 따라야 하지만, 집합의 간단한 활용이 목적이므로 칸토어가 1895년 그의 저서에서 기술한 다음 집합론의 정의로써 만족하기로 한다.</p> <p>"집합(set)이란 우리들의 직관 또는 사고의 대상으로써 확정되어 있고, 서로 명확히 구별되는 것들의 모임이다."</p> <h3>(1) 집합과 원소</h3> <p>집합은 수학의 모든 분야에서 나타나는 중요한 개념으로 대문자 \( A, B, X, Y, \cdots \)로 나타낸다. 또한 집합을 구성하는 대상을 원소(element)라 하고 소문자 \( a, b, x, y, \cdots \)로 나타낸다. 이때 '\( x \)가 집합 \( X \)의 원소이다.' 또는 '\( x \)가 집합 \( X \)에 속한다.'를 \( x \in X \)로 표기하고, \( x \in X \)의 부정, 즉 \( x \)가 \( X \)의 원소가 아니면 \( x \notin X \)로 표기한다.</p> <p>집합을 표기하는 표시법에는 원소나열법 (tabular form)과 조건제시법 (set-builder form)이 있다.</p> <p>참고</p> <p>어떤 성질 \( p(x) \)가 참이 되는 모든 \( x \in A \)의 집합, 즉 \( p(x) \)가 참이 되는 \( A \)의 부분집합을 \( \{x \in A \mid p(x)\} \) 또는 \( \{x \in A: p(x)\} \)로 표시한다.</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여 \( A \)의 각 원소가 또한 \( B \)에 속할 때, 즉 모든 \( x \in A \)에 대하여 \( x \in B \)일 때 \( A \)를 \( B \)의 부분집합 (subset)이라 하고, 이 경우 \( B \)를 \( A \)의 초집합(superset) 또는 포함집합이라 하며 기호 \( A \subset B \)로 나타낸다. 이때 기호 '\( \subset \)'를 포함관계라 한다. 특히 \( A \subset B \)이고 \( A \neq B \)일 때, \( A \)는 \( B \)의 진부분집합 (proper subset) 또는 \( B \)는 \( A \)의 진초집합(proper superset)이라 하고, \( A \subsetneq B \)로 표기한다.</p> <p>한편 두 집합 \( A, B \)에 대하여 \( A \subset B \)이고 \( B \subset A \)일 때, \( A \)와 \( B \)는 같다(equal) 또는 상등이라 하고 \( A=B \)로 나타낸다.</p> <p>예 \( A, B, C \)가 임의의 집합일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A \subset A \)</li> <li>\( A \subset B \)이고 \( B \subset C \)이면, \( A \subset C \)</li></ol> <p>수학에서 이론을 전개할 때, 연구대상의 모든 집합은 특정한 집합의 부분집합이다. 이 특정한 집합을 전체집합(universal set)이라 한다. 공집합(empty set 또는 null set)은 원소를 하나도 갖지 않는 집합으로 \( \varnothing \) 또는 { }로 표시하고, 유한집합으로 생각한다. 공집합 \( \varnothing \)는 다른 모든 집합의 부분집합이다. 한편 단 하나의 원소만으로 이루어진 한 원소 집합을 단원집합(singleton set)이라 한다.</p> <p>예 \( B=\{\varnothing\} \)일 때, \( B \)는 공집합 \( \varnothing \)를 하나의 원소로 갖기 때문에 \( B \neq \varnothing \)이다.</p> <p>집합 \( X \)의 모든 부분집합을 원소로 하는 집합을 \( X \)의 멱집합(power set)이라 하고, \( \mathscr{P}(X) \) 또는 \( 2^{X} \), 즉</p> <p>\( \mathscr{P}(X)=2^{X}=\{A \mid A \subset X\} \)</p> <p>로 표현한다. 이와 같이 집합을 원소로 하는 집합을 집합족 (family of sets)이라 한다. \( X \)가 유한이고 \( n \)개의 원소를 가지면 멱집합 \( \mathscr{P}(X) \)는 \( 2^{n} \)개의 원소를 갖는다.</p> <p>공간(space)이라는 용어는 어떤 형태의 수학적 구조를 갖는 공집합이 아닌 집합을 의미한다. 예를 들면 벡터공간, 거리공간, 위상공간 등이다.</p> <p>이 책을 기술함에 있어 다음 기호를 미리 정의해 둔다 (2.1절 참조).</p> <p>\( R=\{x \mid x \)는 실수\( \}, \quad Z=\{x \mid x \)는 정수\( \}, \quad Q=\{x \mid x \)는 유리수\( \} \\\) \( N=\{n \mid n \)은 자연수\( \}, N_{k}=\{1,2, \cdots, k\} \)</p> <p>참고</p> <p>실직선 \( R \)( 2.1절 참조)상의 구간(interval)은 수학에서 매우 유용한 개념이다. \( R \)의 임의의 두 원소 \( a, b \) (단, \( a<b \) )에 대하여 \( \{x \in R \mid a<x<b\} \)를 열린구간(open interval)이라 하고 \( (a, b) \)로 나타내며, \( \{x \in R \mid a \leq x \leq b\} \)를 닫힌구간(closed interval)이라 하고 \( [a, b] \)로 표기한다. 또한 \( \{x \in R \mid a \leq x<b\} \)와 \( \{x \in R \mid a<x \leq b\} \)를 반열린구간(half open interval)이라 하고 \( [a, b) \)와 \( (a, b] \)로 나타낸다. 이때 각 구간의 길이는 \( b-a \) 로 정의한다. 한편 두 열린구간 \( \{x \in R \mid x>a\} \)와 \( \{x \in R \mid x<b\} \)를 각각 \( (a, \infty),(-\infty, b) \)로 표기하고, 무한열린구간 (infinite open interval)이라 한다. 마찬가지로 두 닫힌구간 \( [a, \infty) \), \( (-\infty, b] \)를 무한닫힌구간 (infinite closed interval)이라 한다.</p> <h1>1.2 기수와 순서</h1> <p>‘부분이 전체와 원소가 같은 경우’라는 성질이 칸토어를 포함해서 많은 수학자들을 놀라게 했다. 데데킨트(Dedekind)는 이와 같은 성질로부터 무한집합을 정의하였다.</p> <h2>1. 유한집합과 무한집합</h2> <p>정의 1 집합의 대등</p> <p>두 집합 \( X, Y \)에 대하여 일대일 대응인 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 존재할 때, \( X \)와 \( Y \)를 대등(equipotent) 또는 동치 (equivalent)라고 하고 \( X \sim Y \)로 나타낸다. 이때 일대일 대응인 함수 \( f: X \rightarrow Y \)를 \( f: X \sim Y \)로 정의한다.</p> <p>두 집합 \( X, Y \)가 대등할 때, \( X \)와 \( Y \)는 농도(cardinality)가 같다고 한다.</p> <p>참고</p> <p>집합족 \( \mathscr{Z} \)에 대하여 \( \Re \)을 " \( X, Y \in \mathscr{Z} \)이고 \( X \sim Y \)일 때, 그때에 한하여 \( { }_{X} R_{Y} \)"로 주어지는 \( \mathscr{Z} \)에서의 관계이면, \( \Re \)은 \( \mathscr{Z} \)에서 동치관계가 된다. 즉 “두 집합의 농도가 같다."는 관계는 동치관계이다.</p> <p>예</p> <p>모든 짝수의 집합 \( E=\{2,4,6, \cdots\} \)에 대하여 \( f(x)=2 x \)로 정의된 함수 \( f: N \rightarrow E \)는 일대일 대응이므로, \( N \sim E \)이다. 또한 열린구간 \( (-1,1) \)에 대하여</p> <p>\( f(x)=\frac{x}{1-\|x\|} \)</p> <p>로 정의된 함수 \( f:(-1,1) \rightarrow R \)는 일대일 대응이므로, \( (-1,1) \sim R \)이다.</p> <p>정의 2 유한집합과 무한집합</p> <p>\( Y \subsetneq X \)에 대하여, \( X \sim Y \)일 때 집합 \( X \)를 무한집합 (infinite set)이라 하고, 무한이 아닌 집합을 유한집합(finite set)이라 한다.</p> <p>참고</p> <p>집합 \( X \)가 공집합이거나 또는 어떤 \( N_{k} \)와 일대일 대응일 때 \( X \)를 유한집합이라고 하고, \( X \)가 유한집합이 아닐 때 \( X \)를 무한집합이라고 정의하기도 한다.</p> <h2>2. 가부번집합과 가산집합</h2> <p>정의 3 가부번집합과 가산집합</p> <p>집합 \( X \)가 \( X \sim N \)일 때 \( X \)를 가부번집합 (denumerable set)이라 하고, \( X \)는 기수 \({\aleph}_{0} \)(aleph zero 또는 aleph null)를 갖는다고 한다. 또한 유한이거나 가부번이면 가산집합(countable set)이라 하고, 가산이 아닐 때 비가부번집합 (nondenumerable set) 또는 비가산집합 (uncountable set)이라고 한다.</p> <p>가산집합의 모든 부분집합은 가산이고, 또한 모든 무한집합은 가부번부분집합을 부분집합으로 갖는다.</p> <p>예</p> <p>모든 정수의 집합 \( Z \)는 가부번이다. 왜냐하면</p> <p>으로 정의된 함수 \( f: N \rightarrow Z \)는 일대일 대응이기 때문이다.</p> <p>\( f(n)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{n-1}{2} & , n \text { 이 홀수 } \\ \frac{n}{2} & n \text { 이 짝수 }\end{array}\right. \)</p> <p>으로 정의된 함수 \( f: N \rightarrow Z \)는 일대일 대응이기 때문이다.</p> <p>예</p> <p>두 집합 \( A, B \)에 대하여 \( A \cup B \)가 무한집합이면 \( A \)와 \( B \) 중에 적어도 하나는 무한집합이 되고, 가부번집합의 모든 무한부분집합은 가부번이다. 또한 \( A \)가 무한집합이고 \( B \)가 가부번집합일 때, \( A \sim(A \cup B) \)가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>집합 \( B \)가 가산집합일 필요충분조건은 정의역이 \( B \)이고 치역이 \( N \)에 포함되는 단사함수가 존재하는 것이다.</p> <p>정리 4</p> <p>\( N \)이 모든 자연수의 집합일 때, \( N \times N \)은 가부번이다.</p> <p>참고</p> <p>두 집합 \( A \)와 \( B \)가 가부번이면 \( A \times B \)는 가부번이다. 따라서 \( n \)개의 집합 \( A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n} \)이 모두 가부번이면, \( A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{n} \)도 가부번이다.</p> <p>모든 자연수의 집합 \( N \)에서 모든 짝수의 집합 \( N_{e} \)와 모든 홀수의 집합 \( N_{0} \)는 \( N \)과 대등하므로 가부번집합이고, 이들 두 가부번집합의 합 \( N_{e} \cup N_{0} \)도 가부번임을 알 수 있다.</p> <p>정리 5</p> <p>\( \left\{A_{k}\right\} \)가 가부번집합의 가부번집합족이면, \( \bigcup_{k \in N} A_{k} \)는 가부번집합이다.</p> <p>참고</p> <p>유한집합의 유한족의 합집합은 유한이고, 가산집합의 가산족의 합집합은 가산이다.</p> <p>정리 6</p> <p>모든 유리수의 집합 \( Q \)는 가부번집합이다.</p> <p>집합 \( A \)가 비가부번임을 보이기 위해서는 \( N \)에서 \( A \)로의 일대일 대응이 존재하지 않음을 보여야 한다. 일반적인 방법은 그러한 함수의 존재를 가정하고 모순을 유도한다. 1891년에 칸토어는 대각선논법(diagonal method)에 의해 단위 열린구간 \( (0,1) \)이 비가부번임을 증명하였다.</p> <p>정리 7</p> <p>실수의 단위 열린구간 \( (0,1) \)은 가산이 아니다.</p> <p>집합 \( A \)가 비가부번일 때 집합 \( A \)와 집합 \( B \) 사이에 일대일 대응이 있으면, \( B \)도 비가부번이 된다.</p> <p>참고</p> <p>모든 실수의 집합 \( R \)은 단위 열린구간 \( (0,1) \)과 대등하므로 비가부번이다. 이때 \( R \)은 연속체농도(power of continuum) 또는 기수 \( c \) ('체'라고 읽음)를 갖는다고 한다. 일반적으로 모든 구간은 기수 \( c \)를 갖는다.</p> <p>예제</p> <p>모든 무리수의 집합 \( R \backslash Q \)는 비가부번이다.</p> <p>증명</p> <p>\( R \backslash Q \)가 가부번이면, \( (R \backslash Q) \cup Q=R \)은 가부번이 된다. 그러나 이것은 모순이다. 따라서 모든 무리수의 집합 \( R \backslash Q \)는 비가부번이다.</p> <h3>(4) 상계와 하계</h3> <p>정의 21 상계와 하계</p> <p>\( S \) 를 반순서집합 \( (X, \lesssim) \)의 부분집합이라 하자. 이때 모든 \( s \in S \)에 대하여 \( u \gtrsim s \)를 만족하는 \( u \in X \)가 존재하면 \( S \)는 위로 유계(bounded above)라 하고, \( u \)를 \( X \)에서 \( S \)의 상계(upper bound)라 한다. 또한 모든 \( t \in S \)에 대하여 \( b \lesssim t \)를 만족하는 \( b \in X \)가 존재하면 \( S \)는 아래로 유계(bounded below)라 하고, \( b \)를 \( X \)에서 \( S \)의 하계(lower bound)라 한다.</p> <p>\( S \)가 상계와 하계 모두를 가질 때 \( S \)를 유계(bounded)라 한다.</p> <p>정의 22 최소상계와 최대하계</p> <p>반순서집합 \( (X, \lesssim) \)의 부분집합 \( S \)에 대하여, \( S \)의 상계의 집합 \( U(S) \)가 최소원을 가질 때, 이 원소를 \( X \)에서 \( S \)의 최소상계(least upper bound) 또는 상한 (supremum)이라 하고 sup \( S \)로 표기한다. 또한 \( S \)의 하계의 집합 \( L(S) \)가 최대원을 가질 때, 이 원소를 \( X \)에서 \( S \)의 최대하계(greatest lower bound) 또는 하한 (infimum)이라 하고, inf \( S \)로 표기한다.</p> <p>예</p> <p>공집합 \( \varnothing \)는 유계이지만, \( \varnothing \)의 상한과 하한은 존재하지 않는다. 왜나하면 모든 \( a \in R \)는 공집합 \( \varnothing \)의 상계이고 하계이기 때문이다. 그러나 모든 유계인 \( R \)의 부분집합은 자연순서에 관하여 상한과 하한을 갖는다.</p> <p>예</p> <p>모든 유리수의 집합 \( Q \)에 대하여 \( B=\left\{x \in Q \mid x>0,2<x^{2}<3\right\} \)라 하면, \( B \)는 상한과 하한을 갖지 않는다. 이때 \( \sqrt{2} \)와 \( \sqrt{3} \)은 \( Q \)에 속하지 않으므로, \( B \)의 상한, 하한이 될 수 없다.</p> <p>반순서집합에서 상계 (또는 하계)를 갖는 모든 부분집합의 상한 (또는 하한)이 존재하는 것은 아니며, 최대원이 존재하지 않더라도 상한은 존재할 수가 있다. 그러나 상한과 하한이 존재한다면 오직 하나뿐이다.</p> <p>참고</p> <p>(완비) : 반순서집합 \( X \)에 대하여 \( X \) (단, \( X \neq \varnothing \) )의 부분집합이 상계(또는 하계)를 가질 때, 이 부분집합의 상한 (또는 하한)이 존재하면 \( X \)를 주어진 반순서에 대하여 완비 (complete)라고 한다.</p> <p>정리 23</p> <p>\( S \)가 모든 실수의 집합 \( R \)의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 다음 (1), (2)는 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( S \)의 한 상계 \( u \)가 \( S \)의 상한이다.</li> <li>임의의 실수 \( \varepsilon>0 \)에 대하여, \( u-\varepsilon<s_{\varepsilon} \)을 만족하는 \( s_{\varepsilon} \in S \)이 존재한다.</li></ol> <p>증명</p> <p>\( u=\sup S \)라 하고 \( \varepsilon>0 \)을 임의의 실수라 하자. \( u-\varepsilon<u \)이므로, \( u-\varepsilon \)은 \( S \)의 상계가 아니다. 따라서 \( S \)의 어떤 원소 \( s_{\varepsilon} \)이 \( u-\varepsilon \)보다 커야 한다. 즉 \( u-\varepsilon<s_{\varepsilon} \)이다.</p> <p>역으로 \( u \)가 (2)를 만족한다고 가정하고, \( v \)가 \( v \neq u \)인 \( S \)의 임의의 상계라 하자. 그러면 \( v<u \)라고 가정하고 \( \varepsilon=u-v>0 \)을 취할 때, \( v=u-\varepsilon<s_{\varepsilon} \)을 만족하는 \( s_{\varepsilon} \in S \)이 존재한다. 이것은 \( v \)가 \( S \)의 상계인 것에 모순이므로, \( u<v \)가 되어야 한다. 따라서 \( u=\sup S \)가 성립한다.</p> <p>참고</p> <p>\( S \)가 모든 실수의 집합 \( R \)의 공집합이 아닌 부분집합일 때, 다음 (1), (2)는 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( S \)의 한 하계 \( v \)가 \( S \)의 하한이다.</li> <li>임의의 실수 \( \varepsilon>0 \)에 대하여, \( s_{\varepsilon}<v+\varepsilon \)을 만족하는 \( s_{\epsilon} \in S \)이 존재한다.</li></ol> <p>참고</p> <p>반순서집합에 관한 명제를 추론하는 데 있어 '\(\lesssim \)' 를 '\( \gtrsim \)'로, '\( \gtrsim \)'를 '\( \lesssim\)'로, '극대'를 '극소'로, ‘극소’를 ‘극대'로, ‘최대’를 ‘최소’로, ‘최소’를 ‘최대'로, '하계’를 ‘상계'로, '상계’를 ‘하계'로, '상한’을 ‘하한’으로, '하한’을 ‘상한’으로 각각 바꾸어서 얻어진 명제를 쌍대명제라 한다. 정리가 증명될 때마다 쌍대도 참이 되므로 반순서집합에 관한 명제를 추론하는 데 있어 쌍대개념은 매우 유용하다.</p> <h3>(5) 선택공리</h3> <p>집합론을 전개하기 위하여 공리로 받아들여야 하는 중요한 원리 중의 하나가 선택공리이다.</p> <p>정의 24 선택공리 (axiom of choice)</p> <p>공집합이 아닌 집합을 원소로 갖는 임의의 공집합이 아닌 집합족 \( \mathscr{Z} \)에 대해서, 각 \( A_{\alpha} \in \mathscr{Z} \)에 \( A_{\alpha} \)의 한 원소를 대응시키는 함수, 즉</p> <p>\( { }^{\forall} A_{\alpha} \in \mathcal{Z}, f\left[A_{\alpha}\right] \in A_{\alpha} \)</p> <p>를 만족하는 함수 \( f: \mathcal{Z} \rightarrow \bigcup_{A_{\alpha} \in \mathcal{Y}} A_{\alpha} \)가 존재한다. 이때 함수 \( f \)를 선택함수(choice function)라 하고, \( f\left[A_{\alpha}\right]=x_{\alpha} \)를 \( A_{\alpha} \)의 대표원이라 한다.</p> <p>이 선택공리는 \( \mathscr{Z} \)가 비가산인 집합족이라 하더라도 모든 \( A_{\alpha} \in \mathscr{Z} \)에서 한 원소씩을 선택할 수 있음을 공리로써 보장해 주는 것이다.</p> <p>수학의 여러 분야에서, 많은 어려운 문제들이 선택공리로부터 손쉽게 해결될 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>다음 세 정리는 수학적 증명에 있어서 광범위하게 활용되는데, 이들은 모두 선택공리와 동치이다.</p> <p>(1) 하우스도르프의 극대원리 (Hausdorff's maximal principle) : 임의의 반순서집 합 \( (A, \lesssim) \) 에는 극대인 전순서 부분집합이 존재한다. 즉 \( A \)의 모든 전순서부분집합의 집합을 \( \mathscr{Z} \)라고 할 때, 포함관계 \( \subset \)에 의한 반순서집합 \( (\mathscr{Z}, \subset) \)는 극대원을 갖는다.</p> <p>(2) 조른의 보조정리(Zorn's Lemma) : \( (A, \lesssim) \)가 모든 전순서부분집합이 상계를 갖는 반순서부분집합이면, \( A \)는 적어도 하나의 극대원을 갖는다.</p> <p>(3) 정렬원리(well-ordering principle) : 모든 집합은 적당한 순서를 주어 정렬집합이 되게 할 수 있다.</p>	자연
곡선과 곡면의 미분기하학_선형대수의 기본	<p>정의 \( 1.8 \) 벡터공간 \( V \)상에서 \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)이 다음 두 조건<ol type=1 start=1><li>\( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)은 일차독립,</li> <li>\( V= \operatorname { span } \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)</li></ol>를 만족할 때, \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)를 벡터공간 \( V \)의 기저(basis)라고 한다. 이때 \( n \)을 \( V \)의 차원(dimension)이라 하고 \( n= \operatorname { dim } V \)로 나타낸다.</p> <p>문제 \( 1.9 \) \(R ^ { 2 } \)상의 두 벡터 \( v=(1,2) \)와 \( w=(3,-2) \)가 기저임을 보여라. 또한 \( R ^ { 3 } \)상에서의 기저를 찾아보아라.</p> <p>예제 \( 1.10 \) \(R ^ { n } \)상에서 \( e_ { 1 } =(1,0, \cdots, 0), \cdots, e_ { n } =(0, \cdots, 0,1) \)이라 둘 때, \( \left \{ e_ { 1 } , \cdots, \right . \), \( \left .e_ { n } \right \} \)은 \( R ^ { n } \)의 기저이다. 이 기저를 표준기저(standard basis)라 한다.</p> <p>기호 행렬 \( A \)에 대하여 \( s g n \operatorname { det } A \)는 \( \operatorname { det } A \)의 부호를 나타낸다. 즉, \( s g n \operatorname { det } A= \pm 1 \)이다. 여기서 \( \operatorname { det } A \)는 행렬 \( A \)의 행렬식의 값이다.</p> <p>정의 \( 1.11 \) 벡터공간 \( V \)의 차원이 \( n \) 일 때, 두 기저 \( \left \{ u_ { 1 } , \cdots, u_ { n } \right \} \)과 \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)에 대하여 \( v_ { j } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k j } u_ { j } \)이다. 이때 \( \operatorname { det } \left (a_ { k j } \right )>0 \) 이면 두 기저는 같은방향(same orientation)이라 하고 \( \operatorname { det } \left (a_ { k j } \right )<0 \)이면 반대방향(opposite orientation)이라 한다.</p> <p>예제 \( 1.12 \) \( R ^ { 3 } \)상의 기저 \( \left \{ v_ { 1 } =(1,1,0), v_ { 2 } =(1,0,-1), v_ { 3 } =(1,1,2) \right \} \)와 표준기저 \( \left \{ e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \right \} \)는 서로 반대방향이다. 왜나하면, \( \operatorname { det } \left (e_ { 1 } e_ { 2 } e_ { 3 } \right )>0 \)이고. \( \operatorname { det } \left (v_ { 1 } v_ { 2 } v_ { 3 } \right )=-2<0 \)이기 때문이다.</p> <p>정의 \( 1.5 \) 임의의 실수 \( a_ { 1 } , \cdots, a_ { k } \in R \)에 대하여, \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \subset V \) 가 다음 조건 \[ " a_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + a_ { k } v_ { k } = 0 \text { 일 때, } a_ { 1 } = \cdots=a_ { k } =0 " \] 을 만족하면 \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \)를 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 또한 \( a_ { i } \neq 0 \)가 존재하여 \( a_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + a_ { k } v_ { k } =0 \)를 만족할 때, \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \)를 일차종속 (linearly dependent)이라고 한다.</p> <p>예제 \( 1.6 \) \( R ^ { 2 } \)상의 두 벡터 \( v=(1,2) \)와 \( w=(3,-1) \)는 일차독립이고 세 벡터 \( u=(1,1), v=(-1,2), w=(3,5) \)는 일차중속이다. 실제로 \( R ^ { 2 } \)상에서 임의의 세 벡터는 반드시 일차종속이다.</p> <p>정의 \( 1.7 \) 임의의 벡터 \( v \in V \)가 벡터 \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \)와 어떤 실수 \( a_ { i } \neq 0 \)에 의해 \[v=a_ { 1 } v_ { 1 } + \cdots + a_ { k } v_ { k } \] 으로 표현될 때, \( v \) 는 \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \)의 일차결합(linear combination)이라 하고, \( \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { k } \right \} \) 는 \( V \)를 생성(span)한다고 하며 \[V= \operatorname { span } \left \{ v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right \} \]로 표시한다.</p> <h1>1.2 내적과 선형사상</h1> <p>벡터공간 \( V \)상에서 정의된 함수 \( \langle, \rangle: V \times V \rightarrow R \)가 임의의 벡터 \( u, v, w \) 와 실수 \( a, b \)에 대하여 다음 세 조건<ol type = 1 start=1><li>\( \langle u, v \rangle= \langle v, u \rangle \) (대칭성)</li> <li>\( \langle u, a v + b w \rangle=a \langle u, v \rangle + b \langle u, w \rangle \) (선형성)</li> <li>\( \langle v, v \rangle \geq 0,"=" \Leftrightarrow v=0 \) (양의 정부호)</li></ol>을 만족할 때,<, >을 \( V \)상에서의 내적(inner product)이라고 한다. 내적을 가진 벡터공간 \( V \)를 내적공간(inner product space)이라 한다.</p> <p>정의 \( 1.14 \) 내적공간 \( V \)의 임의의 벡터 \( v \in V \)의 길이(norm, or length) \( \\|v \\| \)는 \[ \\|v \\|= \sqrt {\langle v, v \rangle } \]으로 정의된다.</p> <p>예제 \( 1.15 \) \( R ^ { n } \)상에서 두 벡터 \( v= \left (v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right ), w= \left (w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right ) \)에 대해서 \[ \langle v, w \rangle_ { R } = \sum_ { j=1 } ^ { n } v_ { j } w_ { j } \]은 내적이다. 그리고 \( R ^ { n } \) 상에서의 벡터 \( v= \left (v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right ) \)의 길이는 \[ \\|v \\|= \sqrt {\sum_ { j=1 } ^ { n } v_ { j } ^ { 2 } } \]이다.</p> <p>정리 \( 1.16 \) (Cauchy - Schwarz 부등식) 임의의 \( v, w \in V \)에 대하여, 다음 부등식 \[\| \langle v, w \rangle\| \leq \\|v \\| \\|w \\| \]이 항상 성립한다. 여기서 등호가 성립할 필요충분조건은 \( v \)와 \( w \)가 일차종속일 때이다.</p> <p>증명 임의의 실수 \( t \in R \)에 대하여 \[0 \leq \\|v + t w \\| ^ { 2 } = \\|w \\| ^ { 2 } t ^ { 2 } + 2 \langle v, w \rangle t + \\|v \\| ^ { 2 } \]<caption>( \(1.1 \))</caption>이다. 따라서 이차부등식의 해의 판별식에 의해 \[ \langle v, w \rangle ^ { 2 } - \\|v \\| ^ { 2 } \\|w \\| ^ { 2 } \leq 0 \]이므로 부등식이 증명된다. 그리고 부등식 ( \(1.1 \))로부터 등식이 성립할 필요충분조건은 \( v + t w=0 \)이므로 \( v \)와 \( w \)는 일차종속이다.</p> <p>문제 \( 1.17 \) \( R ^ { n } \) 상에서의 두 벡터 \( v= \left (v_ { 1 } , \cdots, v_ { n } \right ), w= \left (w_ { 1 } , \cdots, w_ { n } \right ) \)에 대하여 \[ \langle v, w \rangle_ { R } = \\|v \\| \\|w \\| \cos \theta \]<caption>( \(1.2 \))</caption>임을 증명하여라. 여기서 \( \theta \)는 \( v \)와 \( w \)의 사이각이다. 따라서 \( R ^ { n } \)상에서 \[ \\|v \\| \\|w \\| \cos \theta=v_ { 1 } w_ { 1 } + \cdots + v_ { n } w_ { n } \]이 성립한다.</p> <p>문제 \( 1.18 \) \( R ^ { n } \)상에서 두 벡터 \( v, w \)가 직교할 필요충분조건은 \[ \langle v, w \rangle_ { R } =0 \]임을 보여라.</p> <p>정의 \( 1.19 \) 크로네커 심벌(Kronecker delta)은 다음과 같이 정의된다. 즉, \[ \delta_ { i j } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & i=j \\0, & i \neq j \end {array} \right . \]</p> <p>정의 \( 1.20 \) 내적공간 \( V \)의 기저 \( \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} \)가 다음 조건 \[ \left \langle e_ { i } , e_ { j } \right \rangle= \delta_ { i j } \] 을 만족할 때 \( \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} \)를 정규직교기저(orthonormal basis)라 한다.</p> <p>정리 \( 1.21 \) 내적공간상에서는 반드시 정규직교기저가 존재한다.</p> <p>증명 Gram-Schmidt 직교화(orthogonalization)에 의해 증명된다.</p> <p>정리 \( 1.22 \) 내적공간 \( V \)상의 정규직교기저 \( \left \{ e_ { 1 } , \cdots, e_ { n } \right \} \)에 대하여, 임의의 벡터 \( v \in V \)는 \[v= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \langle v, e_ { i } \right \rangle e_ { i } \]으로 표현된다.</p> <p>증명 연습문제.</p>	자연
m673-복소해석학	<p>을 얻는다. 고립특이점 \( z=0 \) 에서 피적분함수의 유수는 \( 0 \)이므로 (6.5)의 값은 \( 0 \)이다.</p> <p>참고 6.1 보기 6.5는 단순닫힌등심선 \( C \) 위와 내부에서 피적분함수의 해석적 성질은 \( C \) 위에서의 등심선 적분값이 0이기 위한 충분조건이지 필요조건은 아님을 보여주고 있다.</p> <p>지금까지는 단순등심선 \( C \) 내부에 함수 \( f \)의 고립특이점이 1개가 있을 경우에만 생각하였다. 만일 고립특이점이 여러 개가 있을 때 \( \int_ { C } f(z) d z \)의 값을 어떻게 구할 것인가? 다음 정리는 이에 대한 답을 제시한다.</p> <p>정리 6.1 (유수정리) \( C \)는 양의 방향의 단순 닫힌등심선이라 하자. 만일 함수 \( f \)가 \( C \)의 내부에 유한개의 특이점 \( z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \)을 제외한 \( C \) 위와 내부에서 해석적이면</p> <p>\( \int_ { C } f(z) d z=2 \pi i \sum_ { k=1 } ^ { n } \operatorname { Res } \left (f ; z=z_ { k } \right ) \)<caption>(6.6)</caption></p> <p>증명 점 \( z_ { k } (k=1, \ldots, n) \)을 \( C \)의 내부에 속하고 작게 그려서 서로 만나지 않는 양의 방향의 원 \( C_ { k } \)의 중심이라 하자(그림 6.1). 그러면 \( C_ { 1 } , \cdots C_ { n } \) 및 \( C \)로 둘러싸인 구역에서 해석적이고 그 내부은 다중연결구역이다. Cauchy-Goursat 정리를 적용하면</p> <p>\( \int_ { C } f(z) d z- \sum_ { k=1 } ^ { n } \int_ { C_ { k } } f(z) d z=0 \).</p> <p>그런데</p> <p>\( \int_ { C_ { k } } f(z) d z=2 \pi i \sum_ { k=1 } ^ { n } \operatorname { Res } \left (f ; z=z_ { k } \right ) \)</p> <p>여기서 \[ F(z)=1 + \frac { g(z) } { f(z) } . \] 따라서 \[ \|F(z)-1\|= \frac { \|g(z)\| } { \|f(z)\| }<1. \]</p> <p>이것은 변환 \( w=F(z) \) 에 의한 \( C \) 의 상이 열린 원판 \( \|w-1\|<1 \) 의 안쪽에 포함된다는 사실을 뜻한다. 따라서 식 (6.82) 은 \( Z_ { f + g } =Z_ { f } \) 가 되므로 정리가 증명된다.</p> <p>보기 \( 6.30 \) 원 \( \|z\|=1 \) 의 안쪽에 속한 다음 방정식의 근의 개수를 알아보자.</p> <p>\( z ^ { 6 } -5 z ^ { 3 } + 2 z-1=0 \)<caption>(6.83)</caption></p> <p>이를 위해 다음과 같이 나타내자. \[ f(z)=-5 z ^ { 3 } , \quad g(z)=z ^ { 6 } + 2 z-1 \]</p> <p>그리고 \( \|z\|=1 \) 일 때 \( \|f(z)\|=5\|z\| ^ { 3 } =5 \) 이고 \( \|g(z)\| \leq \left \|z ^ { 6 } \right \| + 2\|z\| + 1=4 \) 임을 확인하자. 그러면 Rouché 정리의 조건을 만족시킨다. 따라서 원 \( \|z\|=1 \) 의 안쪽에 \( f(z) \) 의 영점이 위수까지 세었을 때 3 개 있으므로 \( f(z) + g(z) \) 의 영점도 그만큼 있다. 즉, 방정식 (6.83)의 3 근이 원 \( \|z\|=1 \) 의 안쪽에 있다.</p> <p>정리 \( 6.10 \) (Hurwitz 정리) \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \) 가 단순닫힌등심선 \( C \) 와 그 내부에서 해석함수열이라고 하자. 또 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \) 가 단순닫힌등심선 \( C \) 와 그 내부에서 고르게 \( f(z) \) 로 수렴한다고 하자. 만일 \( f(z) \) 가 \( C \) 상에서 영점을 갖지 않는다면 충분히 큰 \( n \) 에 대하여 \( C \) 안에서 함수 \( f(z) \) 의 영점의 갯수는 \( f_ { n } (z) \) 의 영점의 갯수와 같다.</p> <p>증명 우선 Morera정리에 의하여 극한함수 \( f(z) \) 가 해석적임을 관찰하라. \( m= \min _ { C } \|f(z)\| \) 라 하면 \( m>0 \) 이다. \( C \) 위에서 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \) 가 고르게 \( f(z) \) 로 수렴하므로 자연수 \( N(m) \) 이 존재하여 모든 \( n \geq N \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|<m \leq f(z) \]</p> <p>따라서 Rouché 정리에 의하여 모든 \( n \geq N \) 에 대하여 \( C \) 의 내부에 있는 \( f(z) \)의 영점의 갯수는 \[ f(z) + \left (f_ { n } (z)-f(z) \right )=f_ { n } (z) \] 의 영점의 갯수와 같다.</p> <p>Rouché 정리의 응용으로 다음 정리를 증명할 수 있다. 자세한 증명은 [12]을 참고하기 바란다.</p> <p>함수 \( f: D \rightarrow \mathbb { C } \) 가 열린사상이라 함은 모든 \( U \subset D \) 에 대해서 \( f(U) \) 가 열린사상이다. 즉, 임의의 \( \varepsilon>0 \) 에 대해서 \( \delta>0 \) 가 존재하여 \( \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \delta \) 이 \( w=f(z) \) 인 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 를 만족하는 \( z \) 가 존재함을 함의한다.</p> <p>정리 \( 6.11 \) (열린사상정리) 상수가 아닌 해석함수는 열린사상이다.</p> <p>보기 6.12 함수 \[ f(z)=\frac{z^{2}+1}{z^{2}+4} \]은 \( z=2 i \) 에서 고립 특이점을 가지고</p> <p>\( f(z)= \frac {\phi(z) } { z-2 i } \)</p> <p>으로 쓸 수 있다. 여기서</p> <p>\( \phi(z)= \frac { z ^ { 2 } + 1 } { z + 2 i } \)</p> <p>이다. \( \phi(z) \) 은 \( z=2 i \) 에서 해석적이고 \( \phi(3 i)=3 i / 4 \neq 0 \) 이므로 점 \( z=2 i \) 이 단순극점이다. 따라서 \( \operatorname { Res } (f ; z=2 i)=3 i / 4 \) 이다. 점 \( z=-2 i \) 도 \( f \) 의 단순 극점이고 유수는 \( -3 i / 4 \) 이다.</p> <p>보기 6.13 함수</p> <p>\( f(z)= \frac { z ^ { 2 } + 2 } { (z-i) ^ { 2 } } \)</p> <p>은 \( z=i \) 에서 고립 특이점을 가지고</p> <p>\( f(z)= \frac {\phi(z) } { (z-i) ^ { 2 } } \)</p> <p>으로 쓸 수 있다. 여기서</p> <p>\( \phi(z)=z ^ { 2 } + 2 \)</p> <p>이다. \( \phi(z) \) 은 전함수이고 \( \phi(i)=1 \neq 0 \) 이므로 정리 6.6에 의하여 \( f \) 는 점 \( z=i \) 에서 위수 2 인 극점을 가진다. 공식 (6.23) 에 의하여 유수</p> <p>\( \operatorname { Res } (f ; z=i)= \phi ^ {\prime } (i)=2 i \)</p> <p>이다.</p> <p>공식 (6.23)을 사용하는 것이 매우 효과적이지만 때로는 주의하여 적용하여야 한다.</p> <p>보기 6.14 함수</p> <p>\( f(z)= \frac {\sin z } { z ^ { 4 } } \)</p> <p>의 \( z=0 \) 에서 유수는 정리 6.6을 사용할 수 없다. 만일</p> <p>\( f(z)= \frac {\phi(z) } { z ^ { 4 } } \) 여기서 \( \phi(z)= \sin z \)</p> <p>으로 생각하여 \( m=4 \) 인 경우에 공식 (6.23)을 적용하면 틀리게 된다. 왜냐하면 공식 (6.23)을 사용하기 위해서는 \( \phi \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이라는 조건이 반드시 필요하다. 그런데 \( \phi(0)= \sin 0=0 \) 이므로 공식 (6.23)을 적용할 수 없다. 실제로 \( z=0 \) 은 위수 3 인 극점이고 유수는 \( -1 / 6 \) 이다.</p> <p>2. 위의 선적분을 유수정리를 이용하여 다른 방법으로 구해 보자. 먼저, 피적분함수 \( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } \) 가 곡선 \( C \) 의 안쪽에서 \( f \) 의 영점과 극점을 제외하고 해석적임을 알 수 있다. 만일 점 \( z_ { 0 } \) 이 \( f \) 의 \( m_ { 0 } \) 차 영점이면, \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 \( 0 \) 이 아닌 \( g(z) \) 가 존재해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:</p> <p>\( f(z)= \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m_ { 0 } } g(z) \)<caption>(6.79)</caption></p> <p>따라서 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=m_ { 0 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m_ { 0 } -1 } g(z) + \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m_ { 0 } } g ^ {\prime } (z) \]</p> <p>또는 \[ \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } = \frac { m_ { 0 } } { z-z_ { 0 } } + \frac { g ^ {\prime } (z) } { g(z) } \]</p> <p>\( \frac { g ^ {\prime } (z) } { g(z) } \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이므로 이 점에 관한 테일러 급수가 존재하고, 이에 따라 식 (6.78)에 의해 \( z_ { 0 } \) 은 \( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } \) 의 단순극점이고 \( \operatorname { Res } \left ( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } ; z=z_ { 0 } \right )=m_ { 0 } \) 이다. 한편, \( z_ { 1 } \) 이 \( f \) 의 \( m_ { p } \) 차 극점이면, \( z_ { 1 } \) 에서 해석적이고 0 이 아닌 \( \phi(z) \) 이 존재해서 다음과 같이 나타낼 수 있다:</p> <p>을 사용하여</p> <p>\( \begin {aligned} \frac { 1 } { z(z-2) ^ { 2 } } &= \frac { 1 } { (z-2) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { 2 + (z-2) } \\ &= \frac { 1 } { 2(z-2) ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { 1- \left (- \frac { z-2 } { 2 } \right ) } \\ &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { 2 ^ { n + 1 } } (z-2) ^ { n-2 } \quad(0<\|z-2\|<2) \end {aligned} \)</p> <p>위의 Laurent 급수에서 \( 1 /(z-2) \) 의 계수를 찾으면 원하는 유수, 즉 \( -1 / 4 \) 이다. 따라서</p> <p>\( \int_ { C } \frac { d z } { z(z-2) ^ { 2 } } =2 \pi i \left (- \frac { 1 } { 4 } \right )=- \frac {\pi i } { 2 } \)<caption>(6.4)</caption></p> <p>보기 \( 6.5 \) \( C \) 가 단위원일 때</p> <p>\( \int_ { C } \sin \left ( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \right ) d z=0 \)<caption>(6.5)</caption></p> <p>임을 보여라.</p> <p>풀이 \( 1 / z ^ { 2 } \) 은 원점을 제외한 모든 곳에서 해석함수이므로 피적분함수도 원점을 제외한 모든 곳에서 해석함수이다. 고립특이점 \( z=0 \) 은 \( C \) 의 내부에 있고 Maclaurin 급수</p> <p>\( \sin z= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } \quad(\|z\|< \infty) \),</p> <p>를 사용하면 Laurent 급수</p> <p>\( \sin \left ( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { 1 } { (2 n + 1) ! z ^ { 4 n + 2 } } \quad(0<\|z\|< \infty) \)</p> <p>증명 피적분함수가 우함수이므로 적분의 Cauchy 주요값이 존재하고 원하는 값임을 보이면 된다. 함수</p> <p>\( f(z)= \frac { 1 } {\left (z ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \)</p> <p>을 도입하고 함수곱 \( f(z) e ^ { i a z } \) 은 점 \( z=b i \) 를 제외한 실수축과 상반평면의 모든 곳에서 해석적이다. 특이점 \( z=b i \) 는 실축위의 선분 \( z=x(-R \leq x \leq R) \)와 \( z=R \) 에서 \( z=-R \) 까지 원 \( \|z\|=R(R>b) \) 의 상반원 \( C_ { R } \) 에 의해 둘러싸인 반원구역 의 내부에 놓여있다(그림 \( 6.5 \)). 이 반원구역의 경계를 따라 시계반대방향으로 \( f(z) e ^ { i a z } \) 를 적분하면 유수정리에 의하여</p> <p>\( \int_ { -R } ^ { R } \frac { e ^ { i a x } } {\left (x ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d x=2 \pi i B_ { 1 } - \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i a z } d z \)<caption>(6.43)</caption></p> <p>여기서 \[ B_ { 1 } = \operatorname { Res } \left [f(z) e ^ { i a z } ; z=b i \right ]. \]</p> <p>이제 유수를 구하자. 그런데 \[ f(z) e ^ { i a z } = \frac {\phi(z) } { (z-b i) ^ { 2 } } \text { 여기서 } \phi(z)= \frac { e ^ { i a z } } { (z + b i) ^ { 2 } } \]</p> <p>이므로 점 \( z=b i \) 은 \( f(z) e ^ { i a z } \) 의 위수 2 인 극점이다. 따라서 \[ B_ { 1 } = \phi ^ {\prime } (b i)= \frac { (a b + 1) } { 4 e ^ { a b } b ^ { 3 } i } \]</p> <p>\( f(z)= \frac {\phi(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } \)<caption>(6.21)</caption></p> <p>인 형식으로 쓸 수 있다. \( \phi(z) \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 \( \phi \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이다.</p> <p>역으로 \( f(z) \) 를 (6.21)으로 쓸 수 있다고 가정하자. \( \phi(z) \) 은 해석함수이므로 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 이면 Taylor 급수 전개</p> <p>\( \begin {aligned} \phi(z)= \phi \left (z_ { 0 } \right ) & + \phi ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac {\phi ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \\ & + \frac {\phi ^ { (m-1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m-1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m-1 } + \sum_ { n=m } ^ {\infty } \frac {\phi ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \end {aligned} \)</p> <p>가 가능하다. 등식 (6.21)로부터 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 일 때</p> <p>\( \begin {aligned} f(z)= \frac {\phi \left (z_ { 0 } \right ) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } & + \frac {\phi ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m-1 } } + \frac {\phi ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) / 2 ! } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m-2 } } + \cdots \\ & + \frac {\phi ^ { (m-1) } \left (z_ { 0 } \right ) /(m-1) ! } { z-z_ { 0 } } + \sum_ { n=m } ^ {\infty } \frac {\phi ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n-m } \end {aligned} \)<caption>(6.22)</caption></p> <p>이므로 \( b_ { 1 } =-1 / 2 \) 이다.</p> <p>유수는 \( z \left (e ^ { z } -1 \right ) \) 의 급수표현을 1 과 직접나눗셈을 하여 구할 수 있거나 \( 1 / \left (e ^ { z } -1 \right ) \) 의 Laurent 급수에 \( 1 / z \) 를 곱하여 얻을 수 있다.</p> <h3>Ⅱ. 영점에 의한 방법</h3> <p>점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적인 함수 \( f \) 를 생각하자. 모든 도함수 \( f ^ { (n) } (z)(n= \) \( 1,2, \ldots) \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 존재한다. 만일 \( f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right )=0(k=0,1,2, \ldots, m-1) \) 이고 \( f ^ { (m) } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 을 만족하는 양의 정수 \( m \) 이 존재하면 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 위수 \( m \) 의 영점을 갖는다고 한다.</p> <p>보조정리 \( 6.1 \) 점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적인 함수 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 위수 \( m \) 인 영점을 가지기 위한 필요충분조건은 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 0 이 아닌 함수 \( g \) 가 존재하여</p> <p>\( f(z)= \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } g(z) \)<caption>(6.26)</caption></p> <p>을 만족한다.</p> <p>증명 식 (6.26) 이 성립한다고 가정하자. \( g(z) \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이므로 \( z_ { 0 } \) 의 어떤 근방 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서 Taylor 급수전개</p> <p>\( g(z)=g \left (z_ { 0 } \right ) + g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { g ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \)</p> <p>유수정리에 의하여</p> <p>\( \int_ {\rho } ^ { R } \frac { r ^ { -a } } { r + 1 } d r + \int_ { C_ { R } } f(z) d z- \int_ {\rho } ^ { R } \frac { r ^ { -a } e ^ { -i 2 a \pi } } { r + 1 } d r + \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \) \( =2 \pi i \operatorname { Res } (f(z) ; z=-1) \).<caption>(6.71)</caption></p> <p>\( f(z) \) 가 가지절단을 포함하는 곳에서 (정의되지 않으므로)해석적이 아니므로 등식 (6.71)의 유도는 형식적인 계산이다. 그럼에도 불구하고 이것은 성립한다.</p> <p>등식 (6.71)의 유수는 함수 \[ \phi(z)=z ^ { -a } = \exp (-a \log z) \quad(\|z\|>0,0< \arg z<2 \pi) \]</p> <p>이 \( z=-1 \) 에서 해석적이고 \[ \phi(-1)= \exp [-a( \ln 1 + i \pi)]=e ^ { -i a \pi } \]</p> <p>임에 주의하여 구할 수 있다. 이것은 \( z=-1 \) 이 등식 (6.69)에 의하여 정의된 함수 \( f(z) \) 의 단순극점이고 \[ \operatorname { Res } (f(z) ; z=-1)=e ^ { -i a \pi } . \]</p> <p>따라서 등식 (6.71)은 적분 (6.70)의 합에 관한 원하는 표현으로 쓸 수 있다.</p> <p>\( \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z + \int_ { C_ { R } } f(z) d z=2 \pi i e ^ { -i a \pi } + \left (e ^ { -i 2 a \pi } -1 \right ) \int_ {\rho } ^ { R } \frac { r ^ { -a } } { r + 1 } d r \).<caption>(6.72)</caption></p> <p>\( f(z) \) 의 정의 (6.69)에 의하여 \[ \left \| \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \right \| \leq \frac {\rho ^ { -a } } { 1- \rho } 2 \pi \rho= \frac { 2 \pi } { 1- \rho } \rho ^ { 1-a } \] 이고 \[ \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \leq \frac { R ^ { -a } } { R-1 } 2 \pi R= \frac { 2 \pi R } { R-1 } \cdot \frac { 1 } { R ^ { a } } . \]</p> <p>\( \int_ { C_ { R } } f(z) d z + \int_ { L_ { 2 } } f(z) d z + \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z + \int_ { L_ { 1 } } f(z) d z=2 \pi i \operatorname { Res } (f(z) ; z=2 i) \)</p> <p>즉,</p> <p>\( \begin {aligned} \int_ { L_ { 2 } } f(z) d z + \int_ { L_ { 1 } } f(z) d z=& 2 \pi i \operatorname { Res } (f(z) ; z=2 i) \\ &- \int_ { C_ { R } } f(z) d z- \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z . \end {aligned} \)<caption>(6.62)</caption></p> <p>그런데 \[ f(z)= \frac {\ln r + i \theta } {\left (r ^ { 2 } e ^ { 2 i \theta } + 4 \right ) ^ { 2 } } \quad \left (z=r e ^ { i \theta } \right ) \]</p> <p>이므로 발 \( L_ { 1 } \) 과 \( -L_ { 2 } \) 의 매개변수표현 (6.58)을 사용하면 (6.61)의 왼쪽은 \[ \int_ { L_ { 1 } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z- \int_ { -L_ { 2 } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z= \int_ {\rho } ^ { R } \frac {\ln r } {\left (r ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } d r + \int_ {\rho } ^ { R } \frac {\ln r + i \pi } {\left (r ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } d r. \]</p> <p>또한 \[ f(z)= \frac {\phi(z) } { (z-2 i) ^ { 2 } } \text { 여기서 } \phi(z)= \frac {\log z } { (z + 2 i) ^ { 2 } } \] 이므로 \( f(z) \) 의 특이점 \( z=2 i \) 은 위수 2 인 극점이고 유수는 \[ \phi ^ {\prime } (2 i)= \frac {\pi } { 64 } + i \frac { 1- \ln 2 } { 32 } . \]</p> <p>이제 \( f \) 는 \( z=a \) 에서 위수 \( m \) 의 극점을 가진다고 하자. 그러면 \( f(z)= \) \( (z-a) ^ { -m } g(z) \) 이다. 여기서 \( g \) 은 해석적이고 \( g(a) \neq 0 \) 이다. 이것으로부터 \[ \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } = \frac { -m } { z-a } + \frac { g ^ {\prime } (z) } { g(z) } \] 이고 또 다시 \( g ^ {\prime } / g \) 은 \( z=a \) 근처에서 해석적이다.</p> <p>'극점을 제외하고 해석적'이라는 문구의 반복을 피하기 위해서 우리는 다음 용어를 도입한다.</p> <p>정의 \( 6.2 \) 함수 \( f \) 가 영역 \( D \) 에서 유리형(meromorphic) \( { } ^ { 1 } \) 이라 함은 \( f \) 가 극점을 제외한 \( D \) 전체에서 해석적이다.</p> <p>\( f \) 가 양의 방향의 단순닫힌등심선 \( C \) 의 내부인 영역에서 유리형 함수이고 \( C \) 위에서 해석적이고 0 이 아니라고 가정하자. 변환 \( w=f(z) \) 하에서 \( C \) 의 상 \( \Gamma \) 는 \( w \) 평면에서 일정한 방향으로 움직이는 닫힌등심선이다(단순닫힌등심선은 아닐수도 있다). \( z \) 가 \( C \) 를 따라 양의 방향으로 한바퀴 돌면 \( w \)는 \( \Gamma \) 의 특정한 방향으로 움직인다. \( f \) 가 \( C \) 에서 0 이 아니므로 등심선 \( \Gamma \) 는 \( w \) 평면의 원점과 만나지 않는다.</p> <p>\( w \) 와 \( w_ { 0 } \) 가 \( \Gamma \) 위의 점이라 하자. 여기서 \( w_ { 0 } \) 은 고정점이고 \( \phi_ { 0 } \) 이 \( \arg w_ { 0 } \)의 값이라 하자. 그러면 \( w \) 가 \( w_ { 0 } \) 에서 시작하여 \( \Gamma \) 에서 함수 \( w=f(z) \) 에 의해 결정된 방향으로 \( \Gamma \) 위를 움직인다. 따라서 \( \arg w \) 는 값 \( \phi_ { 0 } \) 에서 출발하여 연속적으로 변한다. \( w \) 가 출발점 \( w_ { 0 } \) 으로 다시 돌아왔을 때 \( \arg w \) 은 \( \arg w_ { 0 } \) 의 또 다른 특별한 편각 \( \phi_ { 1 } \) 으로 된다.</p> <p>\[ \left \|z ^ { 2 } + 4 \right \| \geq \left .\|\| z \right \| ^ { 2 } -4 \mid=4- \rho ^ { 2 } . \] 따라서 \[ \left \| \operatorname { Re } \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \right \| \leq \frac { - \ln \rho + \pi } {\left (4- \rho ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \pi \rho= \pi \frac {\pi \rho- \rho \ln \rho } {\left (4- \rho ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \]</p> <p>이고 l'Hospital 의 법칙을 사용하면 \( \rho \rightarrow 0 \) 일 때 위 식의 오른쪽이 0 으로 수렴함을 알 수 있다. 비슷하게 \[ \left \| \operatorname { Re } \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \leq \frac { - \ln R + \pi } {\left (R ^ { 2 } -4 \right ) ^ { 2 } } \pi R= \pi \frac {\frac {\pi } { R } - \frac {\ln R } { R } } {\left (R- \frac { 4 } { R } \right ) ^ { 2 } } \]</p> <p>이고 l'Hospital 의 법칙을 사용하면 \( R \rightarrow \infty \) 일 때 위 식의 오른쪽이 \( 0 \) 으로 수렴함을 알 수 있다.</p> <p>또한 다른 적분공식</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { d x } {\left (x ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } = \frac {\pi } { 32 } \)<caption>(6.66)</caption></p> <p>은 등식 (6.62)의 양변에서 허수부를 택한</p> <p>\( \pi \int_ {\rho } ^ { R } \frac { d r } {\left (r ^ { 2 } + 4 \right ) ^ { 2 } } = \frac {\pi ^ { 2 } } { 32 } - \operatorname { Im } \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z- \operatorname { Im } \int_ { C_ { R } } f(z) d z \)<caption>(6.67)</caption></p> <h1>6. 유수와 극</h1> <h2>6.1 특이점과 유수</h2> <p>이 절에서는 함수의 특이점을 분류하고, 특이점에 관한 성질을 조사한다.</p> <p>정의 6.1 점 \( z_ { 0 } \) 가 함수 \( f \) 의 특이점이라 함은 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이 아니지만 \( z_ { 0 } \) 의 모든 근방의 어떤 점에서 해석적이다. 특이점 \( z_ { 0 } \) 이 고립특이점이라 함은 \( f \) 가 해석적인 \( z_ { 0 } \) 의 빠진 근방 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 이 존재한다.</p> <p>보기 6.1 함수 \( \frac { z ^ { 3 } + 1 } { z \left (z ^ { 2 } + 1 \right ) } \)</p> <p>은 세개의 고립특이점 \( z = 0, z= \pm i \) 를 가진다.</p> <p>보기 6.2 원점은 \( \log z( \alpha< \arg z< \alpha + 2 \pi) \) 의 특이점이다. 그러나 원점의 모든 빠진 근방이 방사선 \( \theta= \alpha \) 을 포함하고 이러한 점에서 \( \log z \) 가 해석적이지 않으므로 원점은 고립특이점이 아니다.</p> <p>보기 6.3 함수 \( \csc \left ( \frac {\pi } { z } \right ) \) 은 실수 구간 \( [-1,1] \) 위에서 특이점 \( z=0, z=1 / n \) \( (n= \pm 1, \pm 2, \ldots) \) 을 갖는다. 원점을 제외한 각 점은 고립특이점이고 원점의 모든 빠진근방은 다른 특이점을 포함하므로 원점은 고립특이점이 아니다.</p> <p>\( z_ { 0 } \) 가 함수 \( f \) 의 고립특이점일 때 양수 \( R \) 이 존재하여 \( f \) 는 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \) \( R \) 내의 각 점에서 해석적이다. 따라서 Laurent 정리에 의하여 \( f \) 는 Laurent 급수로 표현할 수 있다. 여기서 \( a_ { n } \) 과 \( b_ { n } \) 은 \( z_ { 0 } \) 가 빠진 원판 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \) 내 부에 놓여 있는 \( z_ { 0 } \) 를 양의 방향으로 도는 단순 닫힌 등심선위의 선적분으로 나타나는 상수이다.</p> <p>가 주어졌다 하자(그림 6.6). 여기서 \( a \) 는 고정된 실수이다. \( f(z) \) 가 모든 \( C_ { R } \) 위에서 정의된 연속함수이고 \( M(R)= \max _ { z \in C_ { R } } \|f(z)\| \) 라 하자. 만일</p> <p>\( \lim _ { R \rightarrow \infty } M(R)=0 \)</p> <p>이면 모든 \( \lambda>0 \) 에 대해서</p> <p>\( \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i \lambda z } d z=0 \)<caption>(6.47)</caption></p> <p>증명 만일 \[ \alpha(R)= \sin ^ { -1 } \frac { a } { R } , \]</p> <p>그러면 \( \lim _ { R \rightarrow \infty } \alpha(R)=0 \) 이고 \( \lim _ { R \rightarrow \infty } R \alpha(R)=a \). 먼저 \( a>0 \) 라 가정하자. 그러면 그림 \( 6.6 \) 의 호 \( A B \) 위에서 \[ \left \|e ^ { i \lambda z } \right \|=e ^ { - \lambda y } \leq e ^ {\lambda \alpha(R) } \]</p> <p>이고, 따라서, \[ \left \| \int_ { A B } f(z) e ^ { i \lambda z } d z \right \| \leq M(R) e ^ {\lambda \alpha(R) } R \alpha(R) \rightarrow 0 \quad(R \rightarrow \infty) \]</p> <p>그러므로 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { A B } f(z) e ^ { i \lambda z } d z=0 \]</p> <p>이고 비슷하게 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { C D } f(z) e ^ { i \lambda z } d z=0. \]</p> <p>한편, \( 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } \) 일 때, \( \sin \theta \geq \frac { 2 } {\pi } \theta \) 이므로 호 \( B E \) 위에서 \[ \left \|e ^ { i \lambda z } \right \|= \left \|e ^ { i \lambda R e ^ { i \theta } } \right \|=e ^ { - \lambda R \sin \theta } \leq e ^ { -2 \lambda R \theta / \pi } \]</p> <p>(수직선위에서는 \( \| \cot \pi z\| \leq 1 \); 수평선위에서는 \( x=0 \) 위에서 최대값을 가진다). 따라서 충분히 큰 \( N \) 에 대해서 \( \sup _ { z \in C_ { N } } \| \cot \pi z\| \leq 2 \) 이다. 따라서 \( N \rightarrow \) \( \infty \) 이면 \[ \left \| \int_ { C_ { N } } \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } d z \right \| \leq 2 \frac { 1 } { N ^ { 2 } + 1 / 4 } \cdot 4(N + 1) \rightarrow 0 \]</p> <p>따라서, 이것을 종합하면 \[ 0= \sum_ { n=- \infty } ^ {\infty } \operatorname { Res } \left ( \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } ; z=n \right )=2 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \frac {\pi ^ { 2 } } { 3 } \] 또는 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } = \frac {\pi ^ { 2 } } { 6 } . \]</p> <h2>6.5 편각원리와 Rouché 정리</h2> <p>먼저 \( f \) 는 \( z=a \) 에서 위수 \( m \) 의 영점을 가지는 해석함수라 하자. 그러면 \( f(z)=(z-a) ^ { m } g(z) \) 이다. 여기서 \( g(a) \neq 0 \) 이다. 따라서 \[ \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } = \frac { m } { z-a } + \frac { g ^ {\prime } (z) } { g(z) } \] 이고 \( g(a) \neq 0 \) 이므로 \( g ^ {\prime } / g \) 은 \( z=a \) 근처에서 해석적이다.</p> <p>이제 \( f \) 는 \( z=a \) 에서 위수 \( m \) 의 극점을 가진다고 하자. 그러면 \( f(z)= \) \( (z-a) ^ { -m } g(z) \) 이다. 여기서 \( g \) 은 해석적이고 \( g(a) \neq 0 \) 이다. 이것으로부터 \[ \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } = \frac { -m } { z-a } + \frac { g ^ {\prime } (z) } { g(z) } \] 이고 또 다시 \( g ^ {\prime } / g \) 은 \( z=a \) 근처에서 해석적이다.</p> <p>\( C_ { R } \) 위의 점에 대해서 \( \left \|e ^ { i z } \right \|=e ^ { -y } \leq 1 \) 을 만족한다. 보기 \( 6.21 \) 에서 한 방식대로 진행하면 우리는 \( R \rightarrow \infty \) 일 때 부등식 (6.50)의 오른쪽, 따라서 왼쪽, 이 \( 0 \) 으로 향하는 것을 보일 수 없다. 왜냐하면 \( R \rightarrow \infty \) 일 때</p> <p>\( M_ { R } \pi R= \frac {\pi R ^ { 2 } } { (R-2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } \)</p> <p>은 0 으로 향하지 않는다. 그러나 극한 (6.49)는 원하는 결과를 제공한다.</p> <p>실제로 부등식 (6.50)으로 부터 \( R \rightarrow \infty \) 일 때 왼쪽은 0 으로 향한다. 따라서 등식 (6.49)는 유수에 관한 식 (6.48)과 함께 사용하면</p> <p>\( P . V . \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { x \sin x } { x ^ { 2 } + 4 x + 20 } d x= \operatorname { Im } \left (2 \pi i B_ { 1 } \right )= \frac {\pi } { 2 e ^ { 4 } } ( \sin 2 + 2 \cos 2) \)<caption>(6.51)</caption></p> <h3>Ⅲ. 싸인과 코사인을 포함하는 정적분</h3> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } F( \sin \theta, \cos \theta) d \theta \)<caption>(6.52)</caption></p> <p>와 같은 형태의 적분은 유수정리를 사용하여 계산 할 수 있다. \( \theta \) 는 \( 0 \) 부터 \( 2 \pi \) 까지 변하므로 \( \theta \) 를 원점이 중심이고 단위 원 \( C \) 위의 점 \( z \) 의 편각으로 생각한다. 따라서 \( z=e ^ { i \theta } (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \) 라 쓰자. 등식</p> <p>\( \sin \theta= \frac { z-z ^ { -1 } } { 2 i } , \cos \theta= \frac { z + z ^ { -1 } } { 2 } , d \theta= \frac { d z } { i z } \)<caption>(6.53)</caption></p> <p>을 가진다. 그러므로 (6.26)은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서</p> <p>\( f(z)=g \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } + g ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m + 1 } + \frac { g ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m + 2 } + \cdots \)</p> <p>인 형태를 가진다. 그런데 이것은 \( f(z) \) 에 대한 Taylor 급수전개이므로</p> <p>\( f \left (z_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right )= \cdots=f ^ { (m-1) } \left (z_ { 0 } \right )=0 \)<caption>(6.27)</caption></p> <p>이고 \( f ^ { (m) } \left (z_ { 0 } \right )=m ! g \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \). 따라서 \( z_ { 0 } \) 은 \( f \) 의 위수 \( m \) 의 영점이다. 만일 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 위수가 \( m \) 인 영점을 가지고, \( z_ { 0 } \) 에서 해석성을 가지고, 또한 조건 (6.27)이 성립한다고 가정하면 어떤 근방 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서 Taylor 급수</p> <p>\( \begin {aligned} f(z) &= \sum_ { n=m } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \\ &= \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } \left [ \frac { f ^ { (m) } \left (z_ { 0 } \right ) } { m ! } + \frac { f ^ { (m + 1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m + 1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ { (m + 2) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m + 2) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \right ] \end {aligned} \)</p> <p>이다. 여기서 \( b_ { m } \neq 0 \) 이다. 이 경우 고립특이점 \( z_ { 0 } \) 를 위수 \( m \) 의 극점이라 한다. 특히 \( m=1 \) 인 경우 단순극점이라 한다.</p> <p>보기 \( 6.8 \) 함수</p> <p>\( \frac { z ^ { 2 } -2 z + 3 } { z-2 } =2 + (z-2) + \frac { 3 } { z-2 } \quad(0<\|z-2\|< \infty) \)</p> <p>은 \( z_ { 0 } =2 \) 에서 단순극점을 가지고 유수는 \( 3 \) 이다.</p> <p>보기 \( 6.9 \) 함수</p> <p>\( \begin {aligned} \frac {\sinh z } { z ^ { 4 } } &= \frac { 1 } { z ^ { 4 } } \left (z + \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } + \frac { z ^ { 7 } } { 7 ! } + \cdots \right ) \\ &= \frac { 1 } { z ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 3 ! } \cdot \frac { 1 } { z } + \frac { z } { 5 ! } + \frac { z ^ { 3 } } { 7 ! } + \cdots \quad(0<\|z\|< \infty) \end {aligned} \)</p> <p>은 \( z_ { 0 } =0 \) 에서 위수 3 인 극을 가지고 유수는 \( 1 / 6 \) 이다.</p> <h3>Ⅱ. 제거 가능한 특이점</h3> <p>만일 모든 \( b_ { n } \) 이 0 이면 (6.12)는</p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } =a_ { 0 } + a_ { 1 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + a_ { 2 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \)<caption>(6.15)</caption></p>\( \left (0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \right ) \)</p> <p>이것은 \( R>1 \) 인 모든 \( R \) 에 대해서 성립한다.</p> <p>이제 \( R \rightarrow \infty \) 일 때 등식 (6.38)의 오른쪽 적분값 \( \int_ { C_ { R } } f(z) d z \rightarrow 0 \) 임을 보이자. \( \|z\|=R \) 일 때 \[ \left \|z ^ { 2 } \right \|=\|z\| ^ { 2 } =R ^ { 2 } \]</p> <p>이고 \[ \left \|z ^ { 4 } + 1 \right \| \geq \left .\|\| z \right \| ^ { 4 } -1 \mid=R ^ { 4 } -1 . \]</p> <p>그러므로 만일 \( z \) 가 \( C_ { R } \) 위의 임의의 점이면 \[ \|f(z)\|= \frac {\left \|z ^ { 2 } \right \| } {\left \|z ^ { 4 } + 1 \right \| } \leq M_ { R } \text { 여기서 } M_ { R } = \frac { R ^ { 2 } } { R ^ { 4 } -1 } \]</p> <p>이고 \( C_ { R } \) 의 길이는 \( \pi R \) 이므로</p> <p>\( \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \leq M_ { R } \pi R \).<caption>(6.39)</caption></p> <p>그런데 수 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } M_ { R } \pi R=0 \] 이므로 부등식 (6.39) 로 부터 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { C_ { R } } f(z) d z=0 . \]</p> <p>방정식 (6.37) 로 부터 \[ \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { -R } ^ { R } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + 1 } d x= \frac {\pi } {\sqrt { 2 } } \] 또는 \[ \text { P.V. } \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + 1 } d x= \frac {\pi } {\sqrt { 2 } } \]</p> <p>풀이 먼저 \( \sqrt { z ^ { 2 } -1 } \) 의 적당한 영역은 \( A= \mathbb { C } - \{ (x, 0)\|\| x \mid \geq 1 \} \) 으로 이루어져 있다. 그림 \( 6.11 \) 과 같은 등심선을 생각하자. 그러면 함수 \( 1 / z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } \)은 원점에서 단순극점을 제외하고 \( A \) 에서 정의되고 해석함수이다. 유수정리에 의하여 \[ \int_ { C } \frac { d z } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } =2 \pi i \operatorname { Res } \left ( \frac { 1 } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } ; z=0 \right )=2 \pi. \]</p> <p>1. \( \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { C_ { R } } \frac { d z } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } =0 \) 임을 보이자. \( \|z\|=R \) 이 충분히 크면 \[ \sup _ { z \in C_ { R } } \left \| \frac { 1 } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } \right \| \leq \frac { 1 } { R \sqrt { R ^ { 2 } -1 } } \] 이므로 \[ \left \| \int_ { C_ { R } } \frac { d z } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } \right \| \leq 2 \pi R \frac { 1 } { R \sqrt { R ^ { 2 } -1 } } = \frac { 2 \pi } {\sqrt { R ^ { 2 } -1 } } \] 따라서 원하는 결과를 얻는다.</p> <p>2. \( \lim _ { r \rightarrow 0 } \int_ { C_ { R } } \frac { d z } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } =0 \) 임을 보이자. \( C_ { r } \) 위에서 피적분함수는 \( \mid z- \) \( \pm 1 \mid=r \) 이 충분히 작으면 \( \sup _ { z \in C_ { r } } \left \| \frac { 1 } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } \right \| \leq \frac { 1 } { (1-r) \sqrt { r(2-r) } } \) 이므로 \[ \left \| \int_ { C_ { r } } \frac { d z } { z \sqrt { z ^ { 2 } -1 } } \right \| \leq 2 \pi r \frac { 1 } { (1-r) \sqrt { r(2-r) } } = \frac { 2 \pi \sqrt { r } } { (1-r) \sqrt { 2-r } } \] 따라서, 원하는 결과를 얻는다.</p> <p>\( g(z)= \frac { 1 } { f(z)-w_ { 0 } } \quad \left (0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \right ) \)<caption>(6.19)</caption></p> <p>은 유계이고 영역에서 해석적이다. 정리 \( 6.3 \) 에 의하여 \( z_ { 0 } \) 은 \( g \) 의 제거가능한 특이점이다. \( z_ { 0 } \) 에서 \( g \) 가 해석적이 되도록 정의를 하자.</p> <p>만일 \( g \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이면 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 일 때 함수</p> <p>\( f(z)= \frac { 1 } { g(z) } + w_ { 0 } \)<caption>(6.20)</caption></p> <p>는</p> <p>\( f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { g \left (z_ { 0 } \right ) } + w_ { 0 } \)</p> <p>으로 정의하면 \( z_ { 0 } \) 에서 해석함수가 된다. 따라서 \( z_ { 0 } \) 은 \( f \) 의 제거가능한 특이점이므로 모순이다.</p> <p>만일 \( g \left (z_ { 0 } \right )=0 \) 이면 함수 \( g \) 는 근방 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 에서 항등적으로 \( 0 \) 이 아니므로 \( z_ { 0 } \) 에서 어떤 위수 \( m \) 의 영점을 가져야 한다(정리 \( 6.7 \) 참조). (6.20)에 의하여 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 위수 \( m \) 인 극을 갖는다. 그러나 이것은 모순이다.</p> <h2>6.3 유수를 구하는 방법</h2> <p>함수 \( f \) 가 고립된 특이점을 가지고 특이점을 둘러싼 단순닫힌 등심선 \( C \) 가 주어졌을 때 적분</p> <p>\( \int_ { C } f(z) d z \)</p> <p>을 구하기 위해서는 유수정리를 이용하면 됨을 알고 있다. 따라서 특이점에서 함수의 유수를 구하여야 한다. 일반적으로 함수의 Laurent 급수를 통하여 알 수 있지만 보다 간편함 방법을 통하여 유수를 찾기로 한다. 이 절에서는 고립된 특이점에서 함수의 유수를 구하는 방법을 알아보기로 한다.</p> <p>이므로 전개하여 \( \frac { 1 } { z-1 } \) 의 계수를 구하면 \( \operatorname { Res } \left ( \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } ; z=1 \right )=-1 \) 이다. 따라서 유수정리에 의하여 \[ \begin {aligned} \int_ { C } \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } d z &=2 \pi i \left [ \operatorname { Res } \left ( \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } ; z=0 \right ) + \operatorname { Res } \left ( \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } ; z=1 \right ) \right ] \\ &=0 . \end {aligned} \]</p> <p>만일 함수 \( f \) 가 \( C \) 의 외부에 있는 유한 평면내의 각 점에서 해석적이면 어떤 관련된 함수의 한 개의 유수를 찾아서 \( C \) 위에서의 \( f \) 의 적분을 구하는 것이 보다 효과적이다.</p> <p>정리 \( 6.2 \) 만일 함수 \( f \) 가 양의 방향 단순닫힌 등심선 \( C \) 내부에 유한 개의 특이점을 제외하고 유한 평면내의 모든 점에서 해석적이면</p> <p>\( \int_ { C } f(z) d z=2 \pi i \operatorname { Res } \left [ \frac { 1 } { z ^ { 2 } } f \left ( \frac { 1 } { z } \right ) ; z=0 \right ] \).<caption>(6.7)</caption></p> <p>증명 \( \quad \) 원 \( \|z\|=R \) 을 충분히 크게하여 등심선 \( C \) 가 원내부에 들어가게 잡자(그림 \( 6.2 \)). 그러면 만일 \( C_ { 0 } \) 가 양의 방향의 원 \( \|z\|=R_ { 0 } , \left (R_ { 0 } >R \right ) \) 이면 Laurent 정리에 의하여</p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=- \infty } ^ {\infty } c_ { n } z ^ { n } \quad \left (R_ { 1 }<\|z\|< \infty \right ) \)<caption>(6.8)</caption></p> <p>증명 \( z_ { 0 } \) 이 \( q \) 의 위수 \( m \) 인 영점이라고 가정하자. \( q(z) \neq 0 \) 인 \( z_ { 0 } \) 의 빠진 근방이 존재한다. 이것은 \( z_ { 0 } \) 가 몫 \( p(z) / q(z) \) 의 고립특이점임을 뜻한다. 또한</p> <p>\( q(z)= \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } g(z) \)</p> <p>이다. 여기서 \( g \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 \( 0 \) 이 아니다. 이 사실로부터</p> <p>\( \frac { p(z) } { q(z) } = \frac { p(z) / g(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } \)<caption>(6.28)</caption></p> <p>으로 쓸 수 있다. 그런데 \( p(z) / g(z) \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 0 이 아니므로 \( z_ { 0 } \) 는 \( p(z) / g(z) \) 의 위수 \( m \) 인 극점이다.</p> <p>보기 \( 6.17 \) 보기 \( 6.16 \) 에서 함수 \( f(z)=z \left (e ^ { z } -1 \right ) \) 이 점 \( z_ { 0 } =0 \) 에서 위수 2 인 영점을 가지므로 역수</p> <p>\( \frac { 1 } { f(z) } = \frac { 1 } { z \left (e ^ { z } -1 \right ) } \)</p> <p>은 점 \( z_ { 0 } =0 \) 에서 위수 2 인 극점을 가진다.</p> <p>정리 \( 6.7 \)은 단순극점과 대응하는 유수를 찾는데 유용한 정리이다.</p> <p>따름정리 \( 6.1 \) 두 함수 \( p \) 와 \( q \) 는 점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이라 하자. 만일</p> <p>\( p \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0, q \left (z_ { 0 } \right )=0 \), 이고 \( q ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \)</p> <p>이므로 (6.6) 을 얻을 수 있다.</p> <p>보기 \( 6.6 \) \( C \) 가 시계반대방향의 원 \( \|z\|=2 \) 일 때 적분</p> <p>\( \int_ { C } \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } d z \)</p> <p>을 구하여라.</p> <p>풀이 피적분함수는 두 개의 고립특이점 \( z=0 \) 과 \( z=1 \) 을 가지고 둘 다 \( C \) 의 내부에 있다. 이제 Maclaurin 급수</p> <p>\( \frac { 1 } { 1-z } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } z ^ { n } \quad(\|z\|<1) \)</p> <p>을 사용하여 각 고립특이점에서의 유수를 구하자. 먼저 \( 0<\|z\|<1 \) 일 때</p> <p>\( \frac { z-2 } { z(z-1) } = \frac { z-2 } { z ^ { 2 } } \cdot \frac { -1 } { 1-z } = \left ( \frac { 1 } { z } - \frac { 2 } { z ^ { 2 } } \right ) \left (-1-z-z ^ { 2 } - \cdots \right ) \)</p> <p>이므로 전개하여 \( 1 / z \) 의 계수를 구하면 \( \operatorname { Res } \left ( \frac { 5 z-2 } { z(z-1) } ; z=0 \right )=1 \) 이다. 또한 \( 0<\|z-1\|<1 \) 일 때</p> <p>\( \begin {aligned} \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } &= \frac { (z-1)-1 } { z-1 } \cdot \left ( \frac { 1 } { 1 + (z-1) } \right ) ^ { 2 } \\ &= \left (1- \frac { 1 } { z-1 } \right ) \left [1-(z-1) + (z-1) ^ { 2 } - \cdots \right ] ^ { 2 } \\ &= \left (1- \frac { 1 } { z-1 } \right ) \left [1-2(z-1) + 3(z-1) ^ { 2 } - \cdots \right ] \\ &= \frac { -1 } { z-1 } + 1-5(z-1) + \cdots \end {aligned} \)</p> <p>이면 \( z_ { 0 } \) 은 몫 \( p(z) / g(z) \) 의 단순극점이고</p> <p>\( \operatorname { Res } \left ( \frac { p(z) } { q(z) } ; z=z_ { 0 } \right )= \frac { p \left (z_ { 0 } \right ) } { q ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } \)<caption>(6.29)</caption></p> <p>증명 \( p, q \) 가 주어진 조건을 만족한다고 가정하자. \( q \) 의 조건에 의해 \( z_ { 0 } \) 이 \( q \) 의 단순극점이다. 보조정리 \( 6.1 \) 에 따라</p> <p>\( q(z)= \left (z-z_ { 0 } \right ) g(z) \)<caption>(6.30)</caption></p> <p>여기서 \( g(z) \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 0 이 아니다. 더욱이 정리 \( 6.7 \) 에 의하면 \( z_ { 0 } \) 는 \( p(z) / q(z) \) 의 단순극점이다. 정리 \( 6.7 \) 의 증명에서 등식 (6.28) 은</p> <p>\( \frac { p(z) } { q(z) } = \frac { p(z) / g(z) } { z-z_ { 0 } } \)</p> <p>이 되고 \( p(z) / g(z) \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 0 이 아니다. 따라서 정리 \( 6.6 \) 에 의해서</p> <p>\( \operatorname { Res } \left ( \frac { p(z) } { q(z) } ; z=z_ { 0 } \right )= \frac { p \left (z_ { 0 } \right ) } { g \left (z_ { 0 } \right ) } \).<caption>(6.31)</caption></p> <p>그러나 \( g \left (z_ { 0 } \right )=q ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이므로 (6.29) 를 얻는다.</p> <p>보기 \( 6.18 \) 함수 \( f(z)= \cot z= \frac {\cos z } {\sin z } \)</p> <p>은 전함수 \( p(z)= \cos z \) 와 \( q(z)= \sin z \) 의 몫이다. 몫의 특이점은 \( q \) 의 영점</p> <p>로 변형된다. 이때 \( z_ { 0 } \) 를 제거가능한 특이점이라 한다. 따라서 제거가능한 특이점에서의 유수는 항상 0 이다. 만일 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 값을 \( f \left (z_ { 0 } \right )=a_ { 0 } \) 라고 재정의하면 급수 (6.15) 은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에서 성립한다. 그런데 멱급수로 표현된 함수는 수렴반경내에서 해석함수이므로 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 재정의될 때 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이다. 그러므로 \( z_ { 0 } \) 에서 특이성은 제거된다.</p> <p>보기 6.10 점 \( z_ { 0 } =0 \) 은 함수</p> <p>\( \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1- \cos z } { z ^ { 2 } } = \frac { 1 } { z ^ { 2 } } \left [1- \left (1- \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } - \frac { z ^ { 6 } } { 6 ! } + \cdots \right ) \right ] \\ &= \frac { 1 } { 2 ! } - \frac { z ^ { 2 } } { 4 ! } + \frac { z ^ { 4 } } { 6 ! } + \cdots \quad(0<\|z\|< \infty) \end {aligned} \)</p> <p>의 제거가능한 특이점이다. \( f(0)=1 / 2 \) 이라고 재정의하면 \( f \) 는 전함수가 된다.</p> <p>정리 6.3 (Riemann) 함수 \( f \) 가 점 \( z_ { 0 } \) 의 어떤 빠진근방 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서 해석적이고 유계이라 가정하자. 만일 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이 아니면 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 제거가능한 특이점을 가진다.</p> <p>따라서 \( f(z) \) 은 형태 (6.26) 을 가진다. 여기서 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서</p> <p>\( g(z)= \frac { f ^ { (m) } \left (z_ { 0 } \right ) } { m ! } + \frac { f ^ { (m + 1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m + 1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ { (m + 2) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m + 2) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \)</p> <p>이다. \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 일 때 마지막 급수의 수렴성은 \( g \) 은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \) 에서 해석적이고 특히 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적임을 보장한다. 더욱이</p> <p>\( g \left (z_ { 0 } \right )= \frac { f ^ { (m) } \left (z_ { 0 } \right ) } { m ! } \neq 0 \)</p> <p>보기 \( 6.16 \) 전함수 \( f(z)=z \left (e ^ { z } -1 \right ) \) 은</p> <p>\( f(0)=f ^ {\prime } (0)=0 \) 이고 \( f ^ {\prime \prime } (0)=2 \neq 0 \)</p> <p>이므로 \( z_ { 0 } =0 \) 에서 위수 \( m=2 \) 의 영점을 가진다.</p> <p>정리 6.7 두 함수 \( p \) 와 \( q \) 가 점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 \( p \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이라고 가정하자. 만일 \( q \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 위수 \( m \) 의 영점을 가진다면 몫 \( p(z) / q(z) \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 위수 \( m \) 의 극점을 가진다.</p> <p>\( z=n \pi \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \)</p> <p>에서 발생한다. 그런데</p> <p>\( p(n \pi)=(-1) ^ { n } \neq 0, q(n \pi)=0 \), 이고 \( q ^ {\prime } (n \pi)=(-1) ^ { n } \neq 0 \)</p> <p>이므로 \( f \) 의 각 특이점 \( z=n \pi \) 은 단순극점이고 유수는</p> <p>\( \operatorname { Res } \left ( \cot z ; z_ { 0 } =n \pi \right )= \frac { p(n \pi) } { q ^ {\prime } (n \pi) } = \frac { (-1) ^ { n } } { (-1) ^ { n } } =1 \) 이다.</p> <p>보기 \( 6.19 p(z)=z \) 와 \( q(z)=z ^ { 4 } + 4 \) 를 사용하여 고립특이점</p> <p>\( z_ { 0 } = \sqrt { 2 } e ^ { i \pi / 4 } =1 + i \)</p> <p>에서 함수</p> <p>\( f(z)= \frac { z } { z ^ { 4 } + 4 } \)</p> <p>의 유수를 찾아라.</p> <p>풀이 그런데</p> <p>\( p \left (z_ { 0 } \right )=z_ { 0 } \neq 0, q \left (z_ { 0 } \right )=0 \), 이고 \( q ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=4 z_ { 0 } ^ { 3 } \neq 0 \)</p> <p>이므로 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 단순극점을 가지고 유수는</p> <p>\( \operatorname { Res } \left (f ; z_ { 0 } \right )= \frac { p \left (z_ { 0 } \right ) } { q ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } = \frac { z_ { 0 } } { 4 z_ { 0 } ^ { 3 } } = \frac { 1 } { 4 z_ { 0 } ^ { 2 } } =- \frac { i } { 8 } \).</p> <p>등식 (6.43)의 실수부를 비교하면</p> <p>\( \int_ { -R } ^ { R } \frac {\cos a x } {\left (x ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d x= \frac {\pi(a b + 1) } { 2 b ^ { 3 } e ^ { a b } } - \operatorname { Re } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i a z } d z \)<caption>(6.44)</caption></p> <p>이제</p> <p>\( \lim _ { R \rightarrow \infty } \operatorname { Re } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i a z } d z=0 \)<caption>(6.45)</caption></p> <p>임을 보이자. \( z \) 이 \( C_ { R } \) 위의 점일 때 \[ \|f(z)\| \leq M_ { R } \text { 여기서 } M_ { R } = \frac { 1 } {\left (R ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } } \]</p> <p>이고 \( \left \|e ^ { i a z } \right \|=e ^ { -a y } \leq 1 \) 이다. 따라서</p> <p>\( \left \| \operatorname { Re } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i a z } d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i a z } d z \right \| \leq M_ { R } \pi R \).<caption>(6.46)</caption></p> <p>\( R \rightarrow \infty \) 일 때 \[ M_ { R } \pi R= \frac {\pi R } {\left (R ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } } \rightarrow 0 \]</p> <p>이므로 식 (6.46)은 원하는 결과 (6.42)를 얻는다.</p> <p>(6.41)과 같은 형태의 적분을 계산하기 위해서 다음 보조정리를 사용하면 편리하다.</p> <p>보조정리 \( 6.2 \) (Jordan 보조정리) 원형호 \( C_ { R } \) \[ C_ { R } :\|z\|=R, \quad \operatorname { Im } z \geq-a \]</p> <p>\( f(z)= \left (z-z_ { 1 } \right ) ^ { -m_ { p } } \phi(z) \)<caption>(6.80)</caption></p> <p>식 (6.80) 은 식 (6.78) 와 같은 꼴로 식 (6.78)의 양의 정수 \( m_ { 0 } \) 을 \( -m_ { p } \) 로 바꾼 것이므로, 식 (6.80) 에 의해 \( z_ { 1 } \) 은 \( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } \) 의 단순극점이고 \( \operatorname { Res } \left ( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } ; z=z_ { 1 } \right )= \) \( -m_ { p } \) 이다. 그러므로 유수정리를 적용하면 다음을 얻는다:</p> <p>\( \int_ { C } \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } d z=2 \pi i(Z-P) \)<caption>(6.81)</caption></p> <p>따라서 정리의 결과는 두 식 (6.78) 와(6.81) 의 우변을 서로 같게 놓으면 나온다.</p> <p>보기 \( 6.29 \) 함수 \( \frac { 1 } { z ^ { n } } (n \geq 1 \) 인 정수)의 유일한 특이점은 원점으로 이는 \( n \) 차 극점이다. 그리고 유한평면에 영점은 없다. 특히, 이 함수는 단위원 \( C: z= \) \( e ^ { i \theta } (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \) 에서 해석적이고 0 이 아니다. \( C \) 를 양의 방향으로 택하면, 정리 \( 6.8 \) 에 의해 다음을 얻는다: \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { C } \arg \frac { 1 } { z ^ { n } } =-n . \]</p> <p>곧, 변환 \( w= \frac { 1 } { z ^ { n } } \) 에 의한 \( C \) 의 상 \( \Gamma \) 는 원점 \( w=0 \) 둘레를 시계 방향으로 \( n \) 번 회전한다. 이 사실은 \( \Gamma \) 가 매개 변수 \( w=e ^ { -i n \theta } (0 \leq \theta \leq 2 \pi) \) 으로 표현됨을 확인함으로써 직접 증명할 수도 있다.</p> <p>로 부터 \[ \left \| \operatorname { Im } \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) d z \right \| \text { 이고 } \left \| \operatorname { Im } \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \right \| \] 이므로 \( \rho \rightarrow 0, R \rightarrow \infty \) 라 두면 공식 (6.65)을 얻을 수 있다.</p> <h3>V. 가지절단을 따라 적분</h3> <p>유수정리가 적용되는 함수 \( f(z) \) 의 적분경로의 한 부분이 그 함수의 가지절단을 따라 놓여있을 때 실적분을 계산하는데 유용할 수 있다.</p> <p>보기 \( 6.26 x ^ { -a } ,(x>0,0<a<1) \) 은 \( x ^ { -a } \) 의 주요값을 나타낸다고 하자. 즉 \( x ^ { -a } \) 은 양의 실수 \( \exp (-a \ln x) \) 이다. 이상 실적분</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { -a } } { x + 1 } d x \quad(0<a<1) \)<caption>(6.68)</caption></p> <p>을 계산하자.(이 적분은 \( \Gamma \) 함수의 연구에 중요한 적분이다.)</p> <p>적분 (6.68)은 적분의 상한뿐만 아니라 피적분함수가 \( x=0 \) 에서 무한대인 불연속성이므로 하한에서도 이상적분임을 알 수 있다. 피적분함수가 \( x=0 \) 의 근처에서 피적분함수는 \( x ^ { -a } \) 처럼 움직이고 \( x \rightarrow \infty \) 일 때 \( x ^ { -a-1 } \) 처럼 움직이므로 \( 0<a<1 \) 일 때 적분 (6.68)은 수렴한다.</p> <p>풀이 \( C_ {\rho } \) 와 \( C_ { R } \) 을 각각 원 \( \|z\|= \rho \) 와 \( \|z\|=R \) 이라 하자. 여기서 \( \rho<1<R \)이고 방향은 그림 \( 6.10 \) 과 같이 정하자.</p> <p>가지절단 \( \arg z=0 \) 을 가진 다가함수 \( z ^ { -a } /(z + 1) \) 의 가지</p> <p>을 얻는다. 여기서</p> <p>\( c_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 0 } } \frac { f(z) } { z ^ { n + 1 } } d z \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \)<caption>(6.9)</caption></p> <p>이다. (6.9) 에서 \( n=-1 \) 을 대입하면</p> <p>\( \int_ { C_ { 0 } } f(z) d z=2 \pi i c_ { -1 } \)<caption>(6.10)</caption></p> <p>임을 알 수 있다. (6.8)이 성립할 조건은 \( 0<\|z\|<R_ { 2 } \) 인 형태가 아니므로 계수 \( c_ { -1 } \) 은 점 \( z=0 \) 에서 \( f \) 의 유수가 아니다. 더욱이 \( z=0 \) 은 \( f \) 의 특이점이 아닐 수도 있다. 그러나 \( z \) 대신 \( 1 / z \) 를 (6.8) 에 대입하면</p> <p>\( \frac { 1 } { z ^ { 2 } } f \left ( \frac { 1 } { z } \right )= \sum_ { n=- \infty } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { z ^ { n + 2 } } = \sum_ { n=- \infty } ^ {\infty } \frac { c_ { n-2 } } { z ^ { n } } \quad \left (0<\|z\|< \frac { 1 } { R_ { 1 } } \right ) \)</p> <p>이고 따라서</p> <p>\( c_ { -1 } = \operatorname { Res } \left [ \frac { 1 } { z ^ { 2 } } f \left ( \frac { 1 } { z } \right ) ; z=0 \right ] \).<caption>(6.11)</caption></p> <p>그러면 (6.10)와 (6.11)로부터</p> <p>\( \int_ { C_ { 0 } } f(z) d z=2 \pi i \operatorname { Res } \left [ \frac { 1 } { z ^ { 2 } } f \left ( \frac { 1 } { z } \right ) ; z=0 \right ] \).</p> <p>\( f \) 가 \( C \) 와 \( C_ { 0 } \) 로 둘러싸인 닫힌구역전체에서 해석적이므로 경로변형의 원리에 의해 원하는 결과를 얻는다.</p> <p>보기 \( 6.7 \) 보기 \( 6.6 \) 에서 피적분함수</p> <p>\( f(z)= \frac { z-2 } { z ^ { 2 } (z-1) } \)</p> <p>이 원 \( C \) 의 바깥에서 해석적이다. 그런데</p> <p>\( \begin {aligned} \frac { 1 } { z ^ { 2 } } f \left ( \frac { 1 } { z } \right ) &= \frac { 1-2 z } { 1-z } =(1-2 z) \cdot \frac { 1 } { 1-z } \\ &=(1-2 z) \left (1 + z + z ^ { 2 } + \cdots \right ) \\ &=1-z-z ^ { 2 } - \cdots \quad(0<\|z\|<1) \end {aligned} \)</p> <p>이므로 등식 ( \( 6.7 \)) 에 사용된 유수는 \( 0 \) 이다. 따라서</p> <p>\( \int_ { C } \frac { 5 z-2 } { z(z-1) } d z=2 \pi i \times 0=0 \).</p> <h2>6.2 특이점과 극</h2> <p>1 절에서 고립특이점에서의 유수를 알면 유수정리를 이용하면 등심선의 적분을 쉽게 구할 수 있었다. 이 절에서는 고립특이점의 종류를 살펴보고 고립특이점에서의 유수를 구하는 방법을 알아보기로 한다.</p> <p>만일 \( f \) 가 고립특이점 \( z_ { 0 } \) 을 가지면 빠진 원판 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에서 \( f(z) \) 는 Laurent 급수</p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \frac { b_ { 1 } } { z-z_ { 0 } } + \frac { b_ { 2 } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } + \cdots \)<caption>(6.12)</caption></p> <p>1. 먼저 다음을 구하자: \[ \int_ { C } \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } d z= \int_ { a } ^ { b } \frac { f ^ {\prime } (z(t)) z ^ {\prime } (t) } { f(z(t)) } d t . \] 변환 \( w=f(z) \) 에 의한 \( C \) 의 상 \( \Gamma \) 는 \( w \) 평면의 원점을 지나지않으므로 \( C \) 에 있는 임의의 점 \( z=z(t) \) 의 상을 \( w= \rho(t) \exp \{ i \phi(t) \} \) 로 표현할 수 있어 \( \Gamma \) 는 다음과 같이 표현된다:</p> <p>\( \Gamma: f(z(t))= \rho(t) e ^ { i \phi(t) } \quad(a \leq t \leq b) \)</p> <caption>(6.75)</caption> <p>등심선 \( \Gamma \) 를 이루는 매끄러운 모든 호위에서</p> <p>\( f ^ {\prime } (z(t)) z ^ {\prime } (t)= \frac { d } { d t } f(z(t))= \frac { d } { d t } \rho(t) e ^ { i \phi(t) } = \rho ^ {\prime } (t) e ^ { i \phi(t) } + i \rho(t) e ^ { i \phi(t) } \phi ^ {\prime } (t) \)<caption>(6.76)</caption></p> <p>이므로</p> <p>\( \int_ { C } \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } d z= \int_ { a } ^ { b } \frac {\rho ^ {\prime } (t) } {\rho(t) } d t + i \int_ { a } ^ { b } \phi ^ {\prime } (t) d t=[ \ln \rho(t)]_ { a } ^ { b } + i[ \phi(t)]_ { a } ^ { b } \).<caption>(6.77)</caption></p> <p>여기서 \( \rho(a)= \rho(b), \phi(b)- \phi(a)= \Delta_ { C } \arg f(z) \). 따라서</p> <p>\( \int_ { C } \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } d z=i \Delta_ { C } \arg f(z) \)<caption>(6.78)</caption></p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \quad \left (0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \right ) \)<caption>(6.1)</caption></p> <p>특히</p> <p>\( b_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } f(z) d z \)<caption>(6.2)</caption></p> <p>이다. 고립점 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 Laurent 급수전개에서 계수 \( b_ { 1 } \) 을 알면 (6.2)에서 단순닫힌 등심선 \( C \) 위의 적분 \( \int_ { C } f(z) d z \) 을 구할 수 있다. 따라서 \( b_ { 1 } \) 을 구하는 것이 중요하다. 이러한 \( b_ { 1 } \) 을 고립특이점 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 유수라고 부르고 기호로</p> <p>\( b_ { 1 } = \operatorname { Res } \left (f ; z_ { 0 } \right ) \)</p> <p>로 나타낸다.</p> <p>보기 6.4 \( C \)가 양의 방향의 원 \( \|z-2\|=1 \) 일 때 적분</p> <p>\( \int_ { C } \frac { d z } { z(z-2) ^ { 2 } } \)<caption>(6.3)</caption></p> <p>을 구하여라.</p> <p>피적분함수는 점 \( z=0 \) 와 \( z=2 \) 을 제외한 유한 평면내의 모든 점에서 해석적이므로 빠진 원판 \( 0<\|z-2\|<2 \) 에서 Laurent 급수를 가진다. 따라서 (6.3)의 적분값은 \( 2 \pi i \operatorname { Res } (f ; z=2) \) 이다. 이제 \( z=2 \) 에서 피적분함수의 유수를 구하자. 이를 위해 Maclaurin 급수</p> <p>\( \frac { 1 } { 1-z } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } z ^ { n } \quad(\|z\|<1) \)</p> <p>여기서 \( C \) 는 양의 방향의 단위원 \( \|z\|=1 \) 이다. 피적분함수의 극점은 \( z=a \)와 \( z=1 / a \) 이다. 먼저, \( a<1 \) 라 가정하자(그림 6.8). 따라서, 원 내부의 극점은 \( z=a \) 이다. 유수는 \[ \frac { i } { a ^ { 2 } -1 } . \]</p> <p>만일 \( a>1 \) 이면, 피적분함수는 \( z=1 / a \) 에서 극점을 가지고 유수는 \[ \frac { i } { a \cdot \left (a ^ { -1 } -a \right ) } = \frac { i } { 1-a ^ { 2 } } . \]</p> <p>따라서, \[ \begin {aligned} I &= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 2 \pi } { 1-a ^ { 2 } } , & a<1 \\ \frac { 2 \pi } { a ^ { 2 } -1 } , & a>1 \end {array} \right . \\ &= \frac { 2 \pi } {\left \|a ^ { 2 } -1 \right \| } , \quad a \neq 1 \end {aligned} \]</p> <p>참고 \( 6.3 \) 위에서 적용한 방법은 \( \sin \theta \) 또는 \( \cos \theta \) 대신 \( \sin n \theta \) 또는 \( \cos n \theta(n \) 은 정수) 일 때도 당연히 같은 방법으로 적용한다. 예를 들어 \( z=e ^ { i \theta } \) 일 때 \( \cos 2 \theta= \left (z ^ { 2 } + z ^ { -2 } \right ) / 2 \) 이다.</p> <h3>Ⅳ. 경로의 변형</h3> <p>지금까지 유수를 이용하여 적분을 구하는 문제는 특이점이 실수축위에 없거나 또는 경로위에 없는 경우에 대해서 적분값을 구하였다. 그러나 실수축위에 특이점이 있는 경우에는 적분의 경로를 변형하여 새로운 경로에 대해서 유수정리를 이용하여 적분값을 구하여야 한다. 이러한 경로들을 움푹들어간 경로라 한다.</p> <p>명제 \( 6.2 \) 함수 \( f(z) \) 는 실수축위의 점 \( z=x_ { 0 } \) 에서 단순극점을 갖고 빠진원판 \( 0< \left \|z-x_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에서 Laurent 급수전개 표현을 가지고 유수를 \( B_ { 0 } \) 이라 하자. 만일 \( C_ {\rho } \) 가 원 \( \left \|z-x_ { 0 } \right \|= \rho \) 의 상반원을 나타내고 시계방향을 취하면(그림 \( 6.9 \)왼쪽)</p> <p>그런데 피적분함수가 우함수이므로 명제 \( 6.1 \) 에 의하여</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + 1 } d x= \frac {\pi } { 2 \sqrt { 2 } } \).<caption>(6.40)</caption></p> <h3>II. 싸인과 코싸인 함수를 포함하는 이상적분</h3> <p>이 절에서는</p><p>\( \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) \sin a x d x \text { 또는 } \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) \sin a x d x \)<caption>(6.41)</caption></p> <p>와 같은 형태의 이상적분을 계산하는 방법을 다룬다. 여기서 \( a \) 는 양의 상수이고 \( f(x) \) 는 (I) 에서와 같이 (6.36)형태의 분수함수이다. \( y \rightarrow \infty \) 일 때 \( \| \sin a z\| \) 와 \( \| \cos a z\| \) 은 \( \sinh a y \) 또는 \( e ^ { a y } \) 와 같이 증가하므로 (I) 의 방법으로는 구할 수 없다. 따라서 (6.41) 을 구하기 위해</p> <p>\( \int_ { -R } ^ { R } f(x) \cos a x d x + i \int_ { -R } ^ { R } f(x) \sin a x d x= \int_ { -R } ^ { R } f(x) e ^ { i a x } d x \)</p> <p>와 \( \left \|e ^ { i a z } \right \|=e ^ { -a y } \) 은 상반평면 \( y \geq 0 \) 에서 유계인 사실을 이용하자.</p> <p>보기 \( 6.21 a, b>0 \) 일 때</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac {\cos a x } {\left (x ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } d x= \frac {\pi(a b + 1) } { 2 b ^ { 3 } e ^ { a b } } \).<caption>(6.42)</caption></p> <p>\( \phi \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이므로 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 위수가 \( m \) 인 극점을 가진다. 식 (6.22)로 부터 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 유수는</p> <p>\( \operatorname { Res } \left (f ; z=z_ { 0 } \right )= \left \{\begin {array} { ll } \phi \left (z_ { 0 } \right ) & m=1 \\ \frac {\phi ^ { (m-1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (m-1) ! } & m \geq 2 \end {array} \right . \)<caption>(6.23)</caption></p> <p>임을 알 수 있다. 이를 정리하면</p> <p>정리 \( 6.6 \) 함수 \( f \) 의 고립된 특이점 \( z_ { 0 } \) 가 위수 \( m \) 인 극점이기 위한 필요충분조건은 \( f(z) \) 가 (6.21)의 형태로 쓸 수 있다. 여기서 \( \phi(z) \) 이 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이고 \( 0 \) 이 아니다. 더욱이 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 유수는 (6.23)인 형태이다.</p> <p>참고 \( 6.2 \) 식 (6.21) 으로부터</p> <p>\( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { 1 } { f(z) } = \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } {\phi(z) } = \frac { 0 } {\phi \left (z_ { 0 } \right ) } =0 \)</p> <p>이다. 따라서 만일 \( z_ { 0 } \) 가 함수 \( f \) 의 극점이면</p> <p>\( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)= \infty \)<caption>(6.24)</caption></p> <p>이 성립한다.</p> <p>보기 \( 6.12 \) 함수</p> <p>\( f(z)= \frac { z ^ { 2 } + 1 } { z ^ { 2 } + 4 } \)</p> <p>\( \int_ { -R_ { 1 } } ^ { 0 } f(x) d x= \int_ { 0 } ^ { R_ { 1 } } f(x) d x \)</p> <p>이므로 (6.34)는 적분 (6.32)의 값의 2 배로 수렴한다. 따라서</p> <p>명제 6.1 함수 \( f \) 가 구간 \( (- \infty, \infty) \) 에서 우함수이고 Cauchy 주요값 (6.34)이 존재하면 적분 (6.32)와 (6.33) 모두가 수렴하고</p> <p>\( 2 \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x= \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x=P . V \cdot \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x \)<caption>(6.35)</caption></p> <h3>I. 분수함수의 경우</h3> <p>이 절에서 \( p(x) \) 와 \( q(x) \) 는 실계수를 가지는 다항식이고 공통인수를 가지지 않으며, \( q(x) \) 의 차수가 \( p(x) \) 의 차수보다 2 보다 크고, \( q \) 는 실수값의 영점을 가지지 않을 때, 다음 보기는 유리함수</p> <p>\( f(x)= \frac { p(x) } { q(x) } \)<caption>(6.36)</caption></p> <p>의 이상적분을 계산하기 위해 사용되는 방법을 설명한 것이다.</p> <p>보기 \( 6.20 \) 적분</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 4 } + 1 } d x \)</p> <p>이 수렴하고 유한 값을 가짐을 보여라.</p> <p>풀이 함수 \[ f(z)= \frac { z ^ { 2 } } { z ^ { 4 } + 1 } \]</p> <p>은 \( z ^ { 4 } =-1 \) 을 만족하는 근에서 고립특이점을 가지고 그 이외의 점에서는 해석적이다. 이러한 근은</p> <p>\( c_ { k } = \exp \left [i \left ( \frac { (2 k + 1) \pi } { 4 } \right ) \right ] \quad(k=0,1,2,3) \),</p> <p>이고 어느 것도 실축위에 놓여있지 않다. 처음 2 근</p> <p>\( c_ { 0 } =e ^ { i \pi / 4 } , c_ { 1 } =e ^ { i 3 \pi / 4 } \)</p> <p>을 사용하여 (6.51)에 대입하면 (6.51)는 양의 방향의 원 \( C \) 을 따라서 \( z \) 에 관한 함수의 등심선 적분</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } F \left ( \frac { z-z ^ { -1 } } { 2 i } , \frac { z + z ^ { -1 } } { 2 } \right ) \frac { d z } { i z } \)<caption>(6.54)</caption></p> <p>으로 된다.</p> <p>\( C \) 의 매개변수 표현이 \( z=z( \theta) 0 \leq \theta \leq 2 \pi \) 일 때 적분(6.51)은 \[ \int_ { C } f(z) d z= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } f(z( \boldsymbol {\theta } )) z ^ {\prime } ( \boldsymbol {\theta } ) d \boldsymbol {\theta } \] 에의하여 (6.53)의 매개변수 형태임을 알 수 있다.</p> <p>적분(6.53)의 피적분함수가 \( z \) 의 유리함수일 때 \( C \) 위에 있지 않는 분모에 있는 다항식의 모든 영점이 위치한 유수를 이용하여 적분을 계산한다.</p> <p>보기 \( 6.23 a>0, a \neq 1 \) 일 때</p> <p>\( I \equiv \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \theta } { 1 + a ^ { 2 } -2 a \cos \theta } \)<caption>(6.55)</caption></p> <p>풀이 치환 (6.52) 을 사용하면 (6.54)은 \[ \begin {aligned} I &= \int_ { C } \frac { 1 } { i z \left (1 + a ^ { 2 } -a \left (z + z ^ { -1 } \right ) \right ) } d z \\ &= \int_ { C } \frac { 1 } { i \left (-a z ^ { 2 } + \left (1 + a ^ { 2 } \right ) z-a \right ) } d z \\ &= \int_ { C } \frac { i } { (z-a)(a z-1) } d z \end {aligned} \]</p> <p>그런데 \( 0<a<1 \) 이므로 \( \rho \rightarrow 0 \) 이고 \( R \rightarrow \infty \) 일 때 이러한 두 적분값은 모두 \( 0 \) 으로 수렴한다. 식 (6.72)을 마지막 적분에 대한 표현으로 다시 쓰고 \( \rho \rightarrow 0 \) 이면 \[ \int_ { 0 } ^ { R } \frac { r ^ { -a } } { r + 1 } d r= \frac { 1 } { e ^ { -i 2 a \pi } -1 } \left [ \int_ { C_ { R } } f(z) d z-2 \pi i e ^ { -i a \pi } \right ] . \]</p> <p>마지막으로 위 등식에서 \( R \rightarrow \infty \) 라 두면 \[ \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { r ^ { -a } } { r + 1 } d r=2 \pi i \frac { e ^ { -i a \pi } } { 1-e ^ { -i a 2 \pi } } \cdot \frac { e ^ { i a \pi } } { e ^ { i a \pi } } = \pi \frac { 2 i } { e ^ { i a \pi } -e ^ { -i a 2 \pi } } \] 이고, 이것은</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { -a } } { x + 1 } d x= \frac {\pi } {\sin a \pi } \quad(0<a<1) \)<caption>(6.73)</caption></p> <h3>Ⅵ. 다가함수를 포함하는 적분</h3> <p>다가함수를 적분하기 위해서는 함수의 가지에 대한 적절한 곡선을 선택하여야 한다.</p> <p>보기 \( 6.27 \) 적분 \[ \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { d x } { x \sqrt { x ^ { 2 } -1 } } d x= \frac {\pi } { 2 } \] 을 보여라.</p> <p>이 적분은 기존의 방법으로 적분할 수가 없다. 이 피적분함수는 \( x=0 \), \( x= \pm 1 \) 에서 정의가 되지 않으므로 등심선을 선택할 때 주의하여야 한다.</p> <p>\( B_ { 1 } = \frac { z_ { 1 } e ^ { i z_ { 1 } } } { z_ { 1 } - \bar { z } _ { 1 } } = \frac { -1 + 2 i } { 4 i e ^ { 4 } } ( \cos 2-i \sin 2) \).<caption>(6.48)</caption></p> <p>따라서 \( R>2 \sqrt { 5 } \) 이고 \( C_ { R } \) 은 양의 방향의 원 \( \|z\|=R \) 의 상반원을 나타낼 때(그림 \( 6.7 \)) \[ \int_ { -R } ^ { R } \frac { x e ^ { i x } } { x ^ { 2 } + 4 x + 20 } d x=2 \pi i B_ { 1 } - \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i z } d z \]</p> <p>위 등식의 허수부분을 비교하면</p> <p>\( \int_ { -R } ^ { R } \frac { x \sin x } { x ^ { 2 } + 4 x + 20 } d x= \operatorname { Im } \left (2 \pi i B_ { 1 } \right )- \operatorname { Im } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i z } d z \)<caption>(6.49)</caption></p> <p>이제</p> <p>\( \left \| \operatorname { Im } \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i z } d z \right \| \leq \left \| \int_ { C_ { R } } f(z) e ^ { i z } d z \right \| \)<caption>(6.50)</caption></p> <p>\( z \) 이 \( C_ { R } \) 위의 점일 때, \[ \|f(z)\| \leq M_ { R } \text { 여기서 } M_ { R } = \frac { R } { (R-2 \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } } \]</p> <p>\( f(z)= \frac { z ^ { -a } } { z + 1 } \quad(\|z\|>0,0< \arg z<2 \pi) \)<caption>(6.69)</caption></p> <p>이 \( C_ {\rho } \) 과 \( C_ { R } \) 위에서 조각적 연속이므로 적분</p> <p>\( \int_ { C_ {\rho } } f(z) d z \) 와 \( \int_ { C_ { R } } f(z) d z \)<caption>(6.70)</caption></p> <p>이 존재한다. 적분 (6.68)을 계산하는 기술은 등심선 적분 (6.70)의 합의 표현에 기초한다.</p> <p>이 표현을 얻기 위해 등심선을 \( f(z) \) 의 가지 절단을 따라 \( \rho \) 에서 \( R \) 로 이동하고 \( C_ { R } \) 을 따라 시계반대방향으로 한바퀴 돌아 \( R \) 로 돌아온 후 다시 절단을 따라 \( R \) 에서 \( \rho \) 로 움직이고 마지막으로 \( C_ {\rho } \) 를 따라 시계방향으로 한바퀴돌아 \( \rho \) 로 돌아오도록 잡는다. 만일 \[ f(z)= \frac {\exp (-a \log z) } { z + 1 } = \frac {\exp [-a( \ln r + i \theta)] } { r e ^ { i \theta } + 1 } \quad \left (z=r e ^ { i \theta } \right ) \]</p> <p>이고 \( \theta=0 \) 이고 \( \theta=2 \pi \) 를 절단된 원환구역의 각각 위 모서리와 아래 모서리로 사용하면 위 모서리에서는 \[ f(z)= \frac {\exp [-a( \ln r + i 0)] } { r + 1 } = \frac { r ^ { -a } } { r + 1 } \quad \left (z=r e ^ { i 0 } \right ) \] 이고 아래 모서리에서는 \[ f(z)= \frac {\exp [-a( \ln r + i 2 \pi)] } { r + 1 } = \frac { r ^ { -a } e ^ { -i 2 a \pi } } { r + 1 } \quad \left (z=r e ^ { i 2 \pi } \right ). \]</p> <h2>6.4 유수정리를 이용한 이상적분의 계산</h2> <p>이 절에서는 유수정리를 이용하여 실수의 구간에서 정의된 실함수의 이상적분을 구하는 방법을 다루기로 한다. 미적분학에서 구간 \( [0, \infty) \) 서 정의된 연속 실함수 \( f \) 의 이상적분</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { R } f(x) d x \)<caption>(6.32)</caption></p> <p>으로 정의한다. 만일 (6.32) 의 오른쪽 극한이 존재하면 이상적분 \( \int_ { 0 } ^ {\infty } f(x) d x \) 은 수렴한다고 한다. 만일 \( f \) 가 실수 전체에서 정의된 연속 실함수이면 구간 \( (- \infty, \infty) \) 위에서 이상적분은</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { R_ { 1 } \rightarrow \infty } \int_ { -R_ { 1 } } ^ { 0 } f(x) d x + \lim _ { R_ { 2 } \rightarrow \infty } \int_ { 0 } ^ { R_ { 2 } } f(x) d x \)<caption>(6.33)</caption></p> <p>으로 정의한다. 극한의 두 항이 모두 존재하면 적분 (6.33) 이 그 합으로 수렴한다. 그런데 (6.33) 에 대응되는 다른 형태의 합이 자주 사용된다. 극한</p> <p>\( \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { -R } ^ { R } f(x) d x \)</p> <p>이 존재할 때 (6.33)의 Cauchy 주요값(Principal Value)을</p> <p>P.V. \( \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { R \rightarrow \infty } \int_ { -R } ^ { R } f(x) d x \)<caption>(6.34)</caption></p> <p>으로 정의된다. 만일 (6.33)이 존재하면 Cauchy 주요값 (6.34)은 존재하고 (6.33)이 수렴하는 값이다. 그러나 역은 성립하지 않는다(연습문제 \( 1 \) 참조). 그러나 \( f \) 가 우함수이면</p> <p>\( \int_ { -R } ^ { R } f(x) d x=2 \int_ { 0 } ^ { R } f(x) d x \)</p> <p>이고 적분 (6.32)은 값이 존재할 때 Cachy 주요값 (6.34)의 \( 1 / 2 \) 로 수렴한다. 더욱이 적분 (6.32)가 수렴하고</p> <p>다음은 함수의 영점을 갯수를 세는 Rouché 정리를 소개한다.</p> <p>정리 6.9 (Rouché 정리) \( C \) 는 단순닫힌등심선를 나타내고 두 함수 \( f(z) \) 와 \( g(z) \) 는 \( C \) 와 그 안쪽에서 해석적이고 \( C \) 위에 있는 모든 점에서 \( \|f(z)\|>\) \( \|g(z)\| \) 가 성립한다고 하자. 그러면 \( C \) 의 안쪽에서 \( f(z) \) 와 \( f(z) + g(z) \) 의 영점의 개수는 위수까지 세었을 때 서로 같다.</p> <p>증명 정리의 조건에서 \( C \) 의 방향은 분명히 중요하지 않다. 그래서 증명에서는 양의 방향을 가정한다. 먼저, 두 함수 \( f(z) \) 와 \( f(z) + g(z) \) 의 영점이 \( C \) 에 없음을 확인하자. 왜냐하면 \( C \) 의 점 \( z \) 에 대해 다음이 성립하기 때문이다. \[ \|f(z)\|>\|g(z)\| \geq 0, \quad\|f(z) + g(z)\| \geq\|f(z)\|-\|g(z)\|>0 \]</p> <p>위수까지 세었을 때 \( C \) 의 안쪽에 있는 \( f(z) \) 와 \( f(z) + g(z) \) 의 영점의 개수를 각각 \( Z_ { f } \) 와 \( Z_ { f + g } \) 라고 할 때 다음과 같다: \[ Z_ { f } = \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { C } \arg f(z), \quad Z_ { f + g } = \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { C } \arg \{ f(z) + g(z) \} . \]</p> <p>위 식에서 \[ \begin {aligned} \triangle_ { C } \arg \{ f(z) + g(z) \} &= \triangle_ { C } \arg \left [f(z) \left \{ 1 + \frac { g(z) } { f(z) } \right \} \right ] \\ &= \triangle_ { C } \arg f(z) + \triangle_ { C } \arg \left \{ 1 + \frac { g(z) } { f(z) } \right \} \end {aligned} \]</p> <p>이므로</p> <p>\( Z_ { f + g } =Z_ { f } + \frac { 1 } { 2 \pi } \triangle_ { C } \arg F(z) \).<caption>(6.82)</caption></p> <p>더욱이 다리 \( L_ { 1 } \) 과 \( -L_ { 2 } \) 은 매개변수표현</p> <p>\( z=r e ^ { i 0 } =r( \rho \leq r \leq R) \) 이고 \( z=r e ^ { i \pi } =-r( \rho \leq r \leq R) \)<caption>(6.59)</caption></p> <p>을 가지므로 등식 (6.57) 의 왼쪽은 \[ \int_ { L_ { 1 } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z- \int_ { L_ { 2 } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z= \int_ {\rho } ^ { R } \frac { e ^ { i r } } { r } d r- \int_ {\rho } ^ { R } \frac { e ^ { -i r } } { r } d r=2 i \int_ {\rho } ^ { R } \frac {\sin r } { r } d r \] 따라서</p> <p>\( 2 i \int_ {\rho } ^ { R } \frac {\sin r } { r } d r=- \int_ { C_ {\rho } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z- \int_ { C_ { R } } \frac { e ^ { i z } } { z } d z \).<caption>(6.60)</caption></p> <p>이제 Laurent 급수 전개 \[ \begin {aligned} \frac { e ^ { i z } } { z } &= \frac { 1 } { z } \left [1 + \frac { (i z) } { 1 ! } + \frac { (i z) ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { (i z) ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \right ] \\ &= \frac { 1 } { z } + \frac { i } { 1 ! } + \frac { i ^ { 2 } } { 2 ! } z + \frac { i ^ { 3 } } { 3 ! } z ^ { 3 } + \cdots \quad(0<\|z\|< \infty) \end {aligned} \]</p> <p>을 가진다. \( C \) 를 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에 완전히 놓여있는 단순닫힌 등심선이라 하고 (6.12) 의 양변을 적분하면 \( C \) 위에서 급수</p> <p>\( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \)</p> <p>은 해석함수이므로 Cauchy 정리에 의하여</p> <p>\( \int_ { C } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } d z=0 \)</p> <p>이다. 따라서 \( \int_ { C } f(z) d z \) 은 급수 (6.12) 의</p> <p>\( \frac { b_ { 1 } } { z-z_ { 0 } } + \frac { b_ { 2 } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } + \cdots \)<caption>(6.13)</caption></p> <p>의 적분값에 의존한다. 여기서 급수 (6.13)을 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 주요부분이라 한다.</p> <p>우리는 \( f \) 의 주요부분의 모양에 따라서 세 가지 형태로 분류한다.</p> <h3>I. 극점(Pole)</h3> <p>만일 \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 주요부분이 적어도 하나가 0 이 아니고 유한개의 항으로 끝나는 경우, 즉 양의 정수 \( m \) 이 존재하여</p> <p>\( b_ { m } \neq 0 \) 이고 \( b_ { m + 1 } =b_ { m + 2 } = \cdots=0 \)</p> <p>이 성립하는 경우 (6.12)은</p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \frac { b_ { 1 } } { z-z_ { 0 } } + \frac { b_ { 2 } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { b_ { m } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } \)<caption>(6.14)</caption></p>\( \left (0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \right ) \)</p> <p>\( \exp \left ( \frac { 1 } { z } \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ! } \cdot \frac { 1 } { z ^ { n } } =1 + \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 ! } \cdot \frac { 1 } { z ^ { 2 } } + \cdot \quad(0<\|z\|< \infty) \)</p> <p>은 \( z_ { 0 } =0 \) 에서 본질적 특이점을 가진다. 여기서 유수는 \( b_ { 1 } =1 \) 이다.</p> <p>본질적 특이점에 대한 연구는 Picard(1879) 의 중요한 결과가 있다.</p> <p>정리 \( 6.4 \) (Picard) \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 본질적 특이점을 가진가고 가정하고 \( U \) 는 \( z_ { 0 } \) 의 임의의 작은 빠진 근방이라 하자. 그러면 아마 하나의 값을 제외한 모든 \( w \in \mathbb { C } \) 에 대해 방정식 \( f(z)=w \) 은 \( U \) 내에서 무한히 많은 해를 가진다.</p> <p>이 증명은 좀 높은 수준의 이론이 필요하다. 그러나 다음 정리는 쉽게 증명된다.</p> <p>정리 6.5 (Cassorati-Weierstrass) \( z_ { 0 } \) 가 함수 \( f \) 의 본질적 특이점이라 가정하고 \( w_ { 0 } \) 를 임의의 복소수라 하자. 그러면 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 부등식</p> <p>\( 3>\left \|0_ { M } -(z) f \right \| \)<caption>(6.18)</caption></p> <p>은 \( z_ { 0 } \) 의 각각 빠진 근방 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 의 어떤 점 \( z \) 에서 만족한다.</p> <p>증명 \( z_ { 0 } \) 는 \( f \) 의 고립된 특이점이므로 \( f \) 가 해석적인 빠진 근방 \( 0< \mid z- \) \( z_ { 0 } \mid< \delta \) 이 존재한다. 조건 (6.18)이 빠진 근방 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 의 어떠한 점에서도 만족하지 않는다고 가정하자. 그러면 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 일 때 \( \mid f(z)- \) \( w_ { 0 } \mid \geq \varepsilon \) 이고 함수</p> <p>\( z=0 \) 에서 \( \tan z \) 단순영점을 가지므로 \( \cot z \) 는 단순극점을 가진다. 따라서 Laurent 전개에 의하여 \( \cot z=b_ { 1 } / z + a_ { 0 } + a_ { 1 } z + \cdots \) 으로 쓸 수 있고 따라서 \[ 1- \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } - \cdots= \left (z- \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots \right ) \left ( \frac { b_ { 1 } } { z } + a_ { 0 } + a_ { 1 } z + \cdots \right ) \]</p> <p>으로 쓸 수 있다. 양변을 곱하여 계수를 비교하면 \( b_ { 1 } =1, a_ { 0 } =0, a_ { 1 } =-1 / 3 \)을 얻는다.</p> <p>그러므로 \[ \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } = \frac {\pi \left ( \frac { 1 } {\pi z } - \frac {\pi z } { 3 } + \cdots \right ) } { z ^ { 2 } } = \frac { 1 } { z ^ { 3 } } - \frac {\pi ^ { 2 } } { z } \cdot \frac { 1 } { 3 } + \cdots \] 따라서, \[ \operatorname { Res } \left ( \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } ; z=0 \right )=- \frac {\pi ^ { 2 } } { 3 } . \]</p> <p>유수정리에 의하여 \[ \int_ { C_ { N } } \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } d z=2 \pi i \sum_ { n=-N } ^ { n=N } \operatorname { Res } \left ( \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } ; z=n \right )=2 \sum_ { n=1 } ^ { N } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } - \frac {\pi ^ { 2 } } { 3 } \] 이다. 이제 \( N \rightarrow \infty \) 일 때 \[ \int_ { C_ { N } } \frac {\pi \cot \pi z } { z ^ { 2 } } d z \rightarrow 0 \] 임을 보이자. 먼저, \( z \in C_ { N } \) 에 대해서 \[ \sup _ { z \in C_ { N } } \| \cot \pi z\|= \frac { e ^ { 2 \pi(N + 1 / 2) } + 1 } { e ^ { 2 \pi(N + 1 / 2) } -1 } \]</p> <p>따라서 \( w \) 가 \( \Gamma \) 를 따라 주어진 방향으로 한바퀴 돌 때 \( \arg w \) 는 \( \phi_ { 1 } - \phi_ { 0 } \) 만큼 변한다. 사실 \( \arg w \) 는 \( \phi_ { 1 } - \phi_ { 0 } \) 은 점 \( z \) 가 \( z_ { 0 } \) 를 출발해서 곡선 \( C \) 의 양의 방향을 따라 한바퀴 돌때 \( \Gamma \) 상에서 \( f(z) \) 의 편각의 변화이다. 수식으로 다음과 같이 나타낸다. \[ \Delta_ { C } \arg f(z)= \phi_ { 1 } - \phi_ { 0 } \]</p> <p>\( \Delta_ { C } \arg f(z) \) 의 값은 \( 2 \pi \) 의 정수배가 되고 이 정수는 \( w \) 가 \( \Gamma \) 위를 움직였을 때 \( w \) 평면에서 원점 둘레를 회전한 횟수를 나타내므로 정수 \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \Delta_ { C } \arg f(z) \] 를 원점 \( w=0 \) 에 관한 \( \Gamma \) 의 회전수(winding number)라 한다. \( \Gamma \) 가 원점을 시계 반대 방향으로 회전하면 회전수는 양수이고, 시계방향으로 회전하면 회전수는 음수가 된다.</p> <p>회전수는 \( C \) 의 안쪽에 있는 \( f \) 의 영점과 극점에 의해서 결정되어진다. 다음 정리는 이 편각원리(argument principle)를 말하고 있다.</p> <p>정리 \( 6.8 \) (편각원리) 함수 \( f(z) \) 는 양의 방향의 단순닫힌등심선 \( C \) 의 내부인 영역에서 유리형 함수이고 \( C \) 위에서 해석적이고 0 이 아니고, 위수만큼 세었을 때 \( C \) 의 안쪽에서 \( f(z) \) 의 영점이 \( Z \) 개 있고 극점은 \( P \) 개 있으면 다음 식이 성립한다: \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \Delta_ { C } \arg f(z) d z=Z-P . \]</p> <p>증명 양의 방향의 단순닫힌등심선 \( C \) 의 매개변수 표현을 \( z=z(t)(a \leq t \leq \) \( b) \) 로 나타내자. 단순닫힌등심선 \( C \) 위에서 \( \frac { f ^ {\prime } (z) } { f(z) } \) 의 적분을 두 가지 방법으로 구해보려 한다.</p> <h3>I. 극점에서 유수찾기</h3> <p>함수 \( f \) 가 위수 \( m \) 인 극점 \( z_ { 0 } \) 를 가진다고 가정하자. 그러면 \( f \) 는 빠진 근방 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에서 Laurent 급수</p> <p>\( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \frac { b_ { 1 } } { z-z_ { 0 } } + \frac { b_ { 2 } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { b_ { m } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } } \quad \left (b_ { m } \neq 0 \right ) \)</p> <p>으로 표현된다. 함수 \( \phi(z) \) 을</p> <p>\( \phi(z)= \left \{\begin {array} { ll } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } f(z) & z \neq z_ { 0 } \\ b_ { m } & z=z_ { 0 } \end {array} \right . \)</p> <p>으로 정의하면 원판 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \) 에서</p> <p>\( \phi(z)=b_ { m } + b_ { m-1 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + \cdots + b_ { 2 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m-2 } + b_ { 1 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m-1 } + \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n + m } \)</p> <p>으로 급수전개를 가진다. 따라서 \( \phi(z) \) 은 원판 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \), 특히 \( z=z_ { 0 } \) 에서 해석적이다. \( \phi \left (z_ { 0 } \right )=b_ { m } \neq 0 \) 이므로</p>	자연
제1형 우측중도절단된 로그정규 수명 자료를 모니터링하는 누적합 관리도	<p>Tables 1-3은 \( n=3 \) 일 때, Table 4-6은 \( n=5 \) 일 때, 그리고 Tables 7-9는 \( n=10 \) 일 때의 결과를 각각 나타낸다. Tables 1, 4, 7은 \( p c_ { 0 } =0.5 \) 일 때, Tables 2, 5, 8은 \( p c_ { 0 } =0.8 \) 일 때, 그리고 Tables 3, 6, 9는 \( p c_ { 0 } =0.95 \) 일 때의 결과를 각각 나타낸다. LCUSUM은 우도비 CUSUM 관리도, BCUSUM은 이항 CUSUM 관리도를 나타내고, 이상상태일 때 두 관리도 절차 중 성능이 더 좋은 경우, 즉 이상상태일 때 ARL인 \( \mathrm { ARL } _ { 1 } \) 값이 더 작은 경우를 이탤릭체로 표시하였다. 이때 CUSUM 관리도에서는 탐지하고자 하는 모수의 변화값을 사전에 지정을 해야 하는데, 관리도 설계의 편의상 각 \( \gamma \) 의 값에 해당되는 모수의 값을 목표값으로 설정하였다.</p> <p>Table 3을 제외하면 대부분의 경우에서 우도비 CUSUM 관리도의 성능이 더 좋은 것으로 나타났다. Table 3 의 조건인 \( n=3, p c_ { 0 } =0.95 \) 에서는 두 관리도 절차의 성능이 대체적으로 비슷한 것을 알 수 있다. 전반적으로 우도비 CUSUM 관리도의 성능이 좋지만, 중도절단율이 아주 높은 경우 이항 CUSUM 관리도의 성능이 우도비 CUSUM 관리도와 유사해지거나 더 좋은 것을 확인할 수 있었다. 이 결과는 와이블 수명 자료에 대한 Choi와 Lee (2016)의 연구와 유사한 결과라고 할 수 있다.</p> <p>Table 10은 중도절단율이 아주 높은 경우, 즉 \( p c_ { 0 } =0.95 \) 일 때 각각의 조건에 따라 표본크기 \( n \) 에 따른 성능을 비교한 것이다. \( n \) 이 커질수록 두 관리도의 성능은 모두 좋아지며, 두 관리도간의 성능 차이는 전반적으로 비슷한 경향을 나타냈다. 따라서 중도절단율이 아주 높은 경우 두 관리도의 성능은 \( n \) 에 따라 큰 차이가 나지는 않음을 알 수 있었다. 이 논문에 결과를 제시하지는 않았지만, 다른 \( p c_ { 0 } \) 일 때에도 유사한 결론을 얻었다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>이 논문에서는 로그정규분포를 따르는 제1형 우측중도절단 수명 자료를 관리하는 두 가지의 CUSUM 관리도 절차를 제안하고, 모의실험을 통해 각 조건에 따른 성능을 비교하였다. 특히 분포의 형상모수 \( \sigma \) 는 고정되어 있고, 제품 수명의 평균 감소를 탐지하는 상황을 고려하였다.</p> <p>고려한 공정 상황에서 관리도의 성능은 \( \sigma, p c_ { 0 } \), 그리고 \( n \) 에 영향을 받는다. 모의실험 결과, 일반적으로 \( p c_ { 0 } \) 가 클수록 또는 \( n \) 이 작을수록, 즉 사용 가능한 정보의 양이 적을수록 관리도의 전반적인 성능이 나빠지는 경향을 나타내었다. 또한 \( \sigma \) 값이 클수록 관리도의 전반적인 성능이 나빠지는 경향 또한 발견할 수 있었다. 우도비 CUSUM 관리도와 이항 CUSUM 관리도 절차를 비교했을 때, 대체로 우도비 CUSUM 관리도의 성능이 좋게 나타났으나, \( \sigma \) 값이 큰 경우 또는 \( p c_ { 0 } \) 가 큰 경우, 이항 CUSUM 관리도의 성능이 좋은 경우도 많이 발생하는 것을 알 수 있었다. 종합적으로 살펴볼 때, \( p c_ { 0 } \) 가 작은 경우 또는 \( \sigma \) 값이 작은 경우에는 우도비 CUSUM 관리도 절차의 사용을 권장한다. 반대로 \( p c_ { 0 } \) 가 큰 경우 또는 \( \sigma \) 값이 크고 매우 미세한 변화를 탐지하는 경우에는 이항 CUSUM 관리도 절차를 사용하는 것이 효율적이라고 할 수 있다.</p> <p>이 논문에서 제안한 두 가지 절차는 로그정규분포를 따르는 중도절단된 수명 자료를 모니터링하는 관리도 절차이다. 기술의 발전에 따라 제품의 수명은 점점 늘어나기 때문에, 수명 시험에서 시간 및 비용의 문제로 인해 중도절단율은 더욱 높아질 것이다. 따라서 표본에서 중도절단되지 않은 자료의 개수에 기초한 이항 CUSUM 관리도 절차는 상대적으로 간편하게 적용할 수 있다는 장점이 있기 때문에 유용하게 사용할 수 있을 것으로 판단한다. 이 논문에서는 \( \sigma \) 가 고정된 상태에서 제품 수명의 평균 감소를 탐지하는 관리도 절차를 제안하였는데, 향후 \( \mu \) 와 \( \sigma \) 가 동시에 변화하는 경우를 탐지하는 관리도 절차에 대해 연구를 진행할 예정이다.</p> <h1>요 약</h1> <p>제품의 수명을 유지시키는 것은 품질관리의 주요 목표 중 하나이다. 실제 공정에서는 시간 및 비용의 문제로 인해 모든 표본의 수명을 측정할 수 없는 경우가 많이 발생하기 때문에, 대부분 중도절단된 자료를 포함시켜 표본을 구성한다. 이 논문에서는 제1형의 우측중도절단된 수명 자료가 로그정규분포를 따르는 경우, 제품 수명의 평균을 모니터링하는 두 가지 누적합 관리도 절차를 제안한다. 하나는 우도비에 기초한 누적합 관리도이고, 다른 하나는 이항분포에 기초한 누적합 관리도 절차이다. 모의실험을 통해 평균런길이를 비교하는 방법으로 제안된 두 관리도 절차의 성능을 비교하였다. 모의실험 결과, 중도절단율이 낮은 경우, 형상모수값이 작은 경우, 평균의 감소 변화량이 큰 경우에는 우도비 누적합 관리도가 더 효율적이며, 반대로 중도절단율이 높은 경우, 형상모수값이 큰 경우, 평균의 감소 변화량이 적은 경우에는 이항 누적합 관리도가 더 효율적인 것으로 나타났다.</p> <p>이항 CUSUM 관리도 절차는 \( S_ { i } ^ { + } >h_ { S } \) 인 경우 공정에 이상이 발생했다는 신호를 주는 것이다. 여기서 관리한계 \( h_ { S } \) 는 우도비 CUSUM 관리도와 마찬가지로 주어진 \( n, p c_ { 0 } , \sigma \) 에 따라 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \approx 370 \) 을 만족하도록 설정하였다.</p> <h1>4. 모의실험</h1> <p>이 장에서는 앞에서 제안한 우도비 CUSUM 관리도와 이항 CUSUM 관리도 절차의 성능을 모의실험을 통하여 비교하고자 한다. 관리도의 성능 비교의 측도는 일반적으로 많이 사용하는 ARL을 사용하였다.</p> <p>먼저 \( \sigma \) 는 0.5, 1, 2, 5인 경우를 고려하였고, 각 경우에서 평균의 변화율 \( \gamma \) 는 0.99, 0.98, 0.95, 0.9, 0.8, 0.65, 0.5인 경우를 고려하였다. 관리상태일 때 중도절단율 \( p c_ { 0 } \) 는 0.5, 0.8, 0.95를 사용하여 중도절단율이 \( 50 \% \) 인 경우, 높은 경우, 아주 높은 경우를 나타낼 수 있도록 하였다. 표본크기 \( n \) 은 크기에 따른 성능 변화의 양상을 살펴보기 위해 3, 5, 10인 경우를 살펴보았다. 확률변수 \( T \) 가 \( L N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 을 따를 때 \( Z=e ^ { - \mu } T \) 로 치환할 경우 \( Z \) 는 \( L N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 인 표준 로그정규분포를 따른다. 따라서 일반성을 잃지 않기 때문에 \( \mu_ { 0 } \) 는 0으로 설정하였다. 각 경우에 대해 50,000 번씩 반복을 수행하여 ARL값을 계산하였다.</p> <p>관리한계 \( h_ { C } \) 와 \( h_ { S } \) 는 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \approx 370 \) 를 만족하도록 설정했는데, 이항 CUSUM 관리도의 경우 이산형 통계량을 사용하기 때문에 \( p c_ { 0 } \) 가 높을 때 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \approx 370 \) 을 만족하는 \( h_ { S } \) 를 찾기 어려운 경우가 발생하였다. 특히 \( \sigma \) 와 \( \gamma \) 값이 작은 경우 이러한 현상이 발생했는데, 이때에는 이상상태 성능의 공정한 비교를 위하여 두 관리도 절차의 관리한계를 모두 조정하여 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \) 가 370 에 가까우면서 서로 유사하도록 설정하였다.</p> <p>공정이 관리상태, 즉 \( L N \left ( \mu_ { 0 } , \sigma ^ { 2 } \right ) \) 인 경우 중도절단율 \( p c_ { 0 } \) 는</p> <p>\[ p c_ { 0 } =1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 0 } } {\sigma } \right ) \]<caption>(3.1)</caption></p> <p>가 되고, 공정이 이상상태, 즉 \( L N \left ( \mu_ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \right ) \) 인 경우 중도절단율 \( p c_ { 1 } \) 은</p> <p>\[ p c_ { 1 } =1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 1 } } {\sigma } \right ) \]<caption>(3.2)</caption></p> <p>이 된다. 앞에서 언급한 바와 같이 이 논문에서는 평균 수명이 감소하는 경우, 즉 식 (2.1)의 \( \gamma \) 가 \( \gamma<1 \) 인 경우만 고려하였다. 이 경우 \( \mu_ { 1 }< \mu_ { 0 } \) 이고, 식 (3.1)과 (3.2)로부터 \( p c_ { 1 }<p c_ { 0 } \) 가 성립한다.</p> <p>\( \sigma \) 가 고정된 상태에서 평균 수명이 감소하는 것, 즉 \( \mu \) 가 감소하는 것을 탐지하는 것은 \( p c \) 가 감소하는 것을 탐지하는 것과 동일하기 때문에, 이항 CUSUM 관리도 절차를 적용할 수 있다. \( p c \) 의 감소, 즉 \( 1-p c \) 의 증가를 탐지하는 이항 CUSUM 관리도의 관리통계량 \( S_ { i } ^ { + } \)는</p> <p>\[ S_ { i } ^ { + } = \max \left (0, S_ { i-1 } ^ { + } + X_ { i } -k \right ), \quad S_ { 0 } ^ { + } =0 \]</p> <p>가 된다. 이때 참고값(reference value)인 \( k \) 는 다음과 같다.</p> <p>\[ k= \frac { n \log \left ( \frac { p c_ { 0 } } { p c_ { 1 } } \right ) } {\log \left ( \frac {\left (1-p c_ { 1 } \right ) p c_ { 0 } } {\left (1-p c_ { 0 } \right ) p c_ { 1 } } \right ) } \]</p> <p>이때 \( i \) 번째 표본에서 실제 고장이 발생한 개수를 \( X_ { i } \), 실제 고장이 발생한 시간의 총합을 \( Y_ { i } ^ { * } \) 라고 한다면, \( X_ { i } = \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i j } \) 와 \( Y_ { i } ^ { * } = \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i j } Y_ { i j } \) 가 된다. 따라서 \( Z_ { i } \) 는 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} Z_ { i } &= \left ( \frac {\mu_ { 1 } - \mu_ { 0 } } {\sigma ^ { 2 } } \right ) \left (Y_ { i } ^ { * } - \frac {\mu_ { 0 } + \mu_ { 1 } } { 2 } X_ { i } \right ) + \left (n-X_ { i } \right ) \log \left ( \frac { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 1 } } {\sigma } \right ) } { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 0 } } {\sigma } \right ) } \right ) \\ &= \left ( \frac {\mu_ { 1 } - \mu_ { 0 } } {\sigma ^ { 2 } } \right ) \left [Y_ { i } ^ { * } - \frac {\mu_ { 0 } + \mu_ { 1 } } { 2 } X_ { i } + \left ( \frac {\sigma ^ { 2 } } {\mu_ { 1 } - \mu_ { 0 } } \right ) \left (n-X_ { i } \right ) \log \left ( \frac { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 1 } } {\sigma } \right ) } { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 0 } } {\sigma } \right ) } \right ) \right ] \end {aligned} \]<caption>(2.2)</caption></p> <h1>2. 우도비에 기초한 CUSUM 관리도 절차</h1> <p>각 시점에서 표본크기는 \( n \) 이라 하고 시점 \( i \) 에서 \( j \) 번째 제품 수명의 관측값을 \( T_ { i j } \) 로 나타낼 때 \( (i=1,2, \ldots, j= 1,2, \ldots n), T_ { i j } \) 가 \( L N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 를 따르는 공정으로 고려하자. 이때 모수 \( \mu \) 는 공정이 관리상태일 때 \( \mu= \mu_ { 0 } \), 이상상태일 때 \( \mu= \mu_ { 1 } \) 값을 갖는다고 가정하며, \( \sigma \) 는 변하지 않는다고 가정하였다. 또한 관리상태에서의 모수인 \( \mu_ { 0 } \) 와 \( \sigma \) 는 알려져 있거나, 제1국면을 통하여 정확하게 추정되었다고 가정한다. 이 경우 제품 수명의 평균은 관리상태일 때 \( E_ { 0 } (T)= \exp \left ( \mu_ { 0 } + \sigma ^ { 2 } / 2 \right ) \) 이고, 이상상태일 때 \( E_ { 1 } (T)= \exp \left ( \mu_ { 1 } + \sigma ^ { 2 } / 2 \right ) \) 이 된다. \( E_ { 1 } (T)= \gamma E_ { 0 } (T) \) 라고 하면, \( \gamma \) 는</p> <p>\[ \gamma= \frac { E_ { 1 } (T) } { E_ { 0 } (T) } = \frac {\exp \left ( \mu_ { 1 } + \frac {\sigma ^ { 2 } } { 2 } \right ) } {\exp \left ( \mu_ { 0 } + \frac {\sigma ^ { 2 } } { 2 } \right ) } = \exp \left ( \mu_ { 1 } - \mu_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.1)</caption></p> <p>가 된다. 일반적으로 제품 수명의 평균이 감소하는 경우, 즉 \( \gamma<1 \) 인 경우를 탐지하는 것에 더 관심이 많기 때문에 이 논문에서는 \( \mu_ { 1 }< \mu_ { 0 } \) 인 경우를 고려하였다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>산업의 생산공정에서 관리도(control chart)는 공정의 상태를 파악하고 제품의 품질을 변화시키는 이상원인을 최대한 빠르게 탐지하여 공정을 효율적으로 관리할 수 있게 하는 통계적 도구이다. 관리도의 종류에는 Shewhart 관리도를 비롯하여 누적합(cumulative sum, CUSUM) 관리도, 지수가중이동평균(exponentially weighted moving average, EWMA) 관리도 등이 있다.</p> <p>일반적으로 제품의 수명은 중요한 품질특성치 중 하나이다. 가속 검사, 파괴 검사 등 여러 방법으로 제품의 수명을 측정할 수 있는데, 비용과 시간의 제약 때문에 중도절단(censoring)은 빈번하게 발생하는 현상 중 하나이다. 중도절단은 제1형과 제2형으로 구분할 수 있는데, 제1형 중도절단(type I censoring)은 정해진 시점까지 시험을 진행한 후 중지하는 것이고 제2형 중도절단(type II censoring)은 정해진 개수의 수명 자료를 얻은 후 시험을 중지하는 것이다. 이때 시험 시작 후 관측을 하다가 중단하는 경우를 우측중도절단(right censoring)이라 하고, 시험 시작 후 관측을 하지 않다가 시험 중간에 관측을 시작하는 경우를 좌측중도절단(left censoring)이라 한다. 이 논문에서는 가장 빈번하게 발생하는 제1형 우측중도절단 자료를 고려하였다.</p> <p>와이블분포(Weibull distribution)와 로그정규분포(lognormal distribution)는 제품의 수명을 나타내는데 적합한 분포로 알려져 있다. 제1형 우측중도절단이 존재하는 와이블 수명 분포의 관리도 절차에 관한 연구로는 Steiner와 Mackay (2000), Zhang과 Chen (2004), Dickinson 등 (2014), Choi와 Lee (2016), 그리고 Han과 Lee (2017) 등이 있다. Steiner와 Mackay (2000)는 중도절단된 자료를 조건부 기댓값으로 대체한 후 Shewhart 관리도에 적용하는 절차를 제안하였다. Zhang과 Chen (2004)은 이 조건부 기댓값의 개념을 EWMA 관리도에 적용하는 절차를 제안하고, 관리도의 성능을 Steiner와 Mackay (2000)의 관리도 절차와 비교하였다. Dickinson 등 (2014)은 형상모수는 변하지 않을 때 척도모수의 감소를 탐지하는 우도비(likelihood ratio)에 기초한 CUSUM 관리도 절차를 제안하였다. Dickinson 등 (2014)은 그들이 제안한 CUSUM 관리도의 성능이 Zhang과 Chen (2004)이 제안한 EWMA 관리도에 비하여 더 효율적임을 보였다. Choi와 Lee (2016)는 이항 CUSUM 관리도 절차를 제안하고 Dickinson 등 (2014)의 결과와 비교하여, 표본크기가 작고 중도절단율(censoring rate)이 높을수록 제안한 CUSUM 관리도의 성능이 좋음을 보였다. Han과 Lee (2017)는 일반화우도비(generalized lifelihood ratio, GLR) 관리도 절차를 제안하고 그 효율을 기존 연구와 비교하였다.</p> <p>중도절단이 존재하는 로그정규분포 수명 자료를 모니터링하는 관리도 절차에 대한 연구는 많이 진행되지 않았는데, 최근 연구로는 Arif 등 (2018)이 있다. Arif 등 (2018)은 로그정규분포를 따르는 수명 자료에 대해 가속수명시험을 하는 상황에서 공정을 모니터링하는 관리도 절차를 제안하였다.</p> <p>로그정규분포는 로그를 취하면 정규분포를 따르는 확률변수의 분포이며, 그 확률변수는 항상 양의 값을 갖는다. 수명을 나타내는 확률변수 \( T \) 가 위치모수(location parameter) \( \mu \) 와 형상모수(shape parameter) \( \sigma \) 를 갖는 로그정규분포, 즉 \( L N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 를 따른다고 할 때, 확률밀도함수(pdf)와 누적분포함수(cdf)는 각각 다음과 같다.</p> <p>\[ \begin {aligned} &f \left (t \mid \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) = \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } \sigma t } \exp \left \{ - \frac { ( \log t- \mu) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right \} , \quad t>0 \\ &F \left (t \mid \mu, \sigma ^ { 2 } \right )= \Phi \left ( \frac {\log t- \mu } {\sigma } \right ), \quad t>0 \end {aligned} \]</p> <p>여기서 \( \Phi( \cdot) \) 는 표준정규분포의 누적분포함수를 나타낸다. 이때 \( T \) 의 평균은 \( \exp \left ( \mu + \sigma ^ { 2 } / 2 \right ) \) 이고, 미리 정해진 중도절단 시점을 \( C \) 라 할 경우 중도절단율 \( p c \) 는</p> <p>\[ p c=P(T \geq C)=1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu } {\sigma } \right ) \]<caption>(1.1)</caption></p> <p>가 된다.</p> <p>로그정규분포를 따르는 확률변수 \( T \) 의 평균은 위치모수 \( \mu \) 뿐만 아니라 형상모수 \( \sigma \) 의 변화에도 영향을 받는다. 그러나 이 논문에서는 \( \sigma \) 가 고정된 상태에서, 좀 더 쉽게 변할 수 있는 \( \mu \) 의 변화로 인하여 평균이 감소하는 경우에 초점을 맞추어 이를 모니터링하는 상황을 고려하였다.</p> <p>이 논문에서는 로그정규분포를 가정할 때 중도절단율이 0.5 이상으로 아주 높은 경우를 고려하며, 평균 수명의 감소를 탐지하는 두 가지 CUSUM 관리도 절차를 제안한다. 그중 하나는 CUSUM 관리도에서 전통적으로 사용하는 우도비에 기초한 절차로서 2장에서 소개하고, 다른 하나는 이항분포에 기초한 절차로서 3장에서 소개하고 있다. 4장에서는 모의실험을 통하여 여러 가지 이상상태에서 두 관리도의 성능을 비교하였으며, 이 논문의 결론은 5장에 제시한다.</p> <p>식 (2.2)의 로그우도비에 기초하여, 시점 \( i \) 에서 제품 수명의 평균 감소를 탐지하는 우도비에 기초한 CUSUM 관리도(우도비 CUSUM 관리도)의 관리통계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.</p> <p>\[ C_ { i } ^ { + } = \max \left (0, C_ { i-1 } ^ { + } + Z_ { i } \right ), C_ { 0 } ^ { + } =0. \]</p> <p>우도비 CUSUM 관리도 절차는 \( C_ { i } ^ { + } >h_ { C } \) 인 경우 공정에 이상이 발생했다는 신호를 주는 것이다. 여기서 관리한계 \( h_ { C } \) 는 주어진 \( n, p c, \sigma \) 에 따라 관리상태일 때의 평균런길이(average run length, ARL), 즉 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \) 가 주어진 값을 만족하도록 설정할 수 있다. 관리도에서 런길이(run length)는 이상신호를 줄 때까지 관측한 표본의 개수를 나타내는 용어로서, \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \) 는 가설검정에서 제1종 오류와 유사한 개념으로 생각할 수 있다. 이 논문에서는 일반적으로 많이 사용하는 \( \mathrm { ARL } _ { 0 } \approx 370 \) 인 경우를 고려하였다.</p> <h1>3. 이항분포에 기초한 CUSUM 관리도 절차</h1> <p>Choi와 Lee (2016)는 제1형 우측중도절단이 존재하는 와이블 수명 자료를 모니터링하는 이항 CUSUM 관리도 절차를 제안하고, 그 효율을 살펴보았다. 이 절차는 이항분포에 기초한 CUSUM 관리도(이항 CUSUM 관리도)로서, 와이블분포의 모수가 변화할 경우 중도절단율 \( p c \) 가 변화한다는 사실을 이용한 관리도 절차이다. 일반적으로 우도비에 기초한 관리도는 계량형 관리도(variables control chart)이고 이항분포에 기초한 관리도는 계수형 관리도(attributes control chart)이기 때문에, 계량형 자료를 사용하는 절차가 계수형 자료를 사용하는 절차에 비해 효율적이라고 알려져 있다. 그러나 중도절단율이 높은 경우 계량형 자료 또한 정보의 손실이 많기 때문에 이항 CUSUM 관리도의 효율이 좋은 경우가 많이 발생하였다.</p> <p>이 장에서는 Choi와 Lee (2016)가 제안한 이항 CUSUM 관리도 절차와 유사하게, 제1형 우측중도절단이 존재하는 로그정규 수명 자료의 평균 수명을 모니터링하는 이항 CUSUM 관리도 절차를 제안하고자 한다. 제품 수명의 관측값 \( T_ { i j } \) 가 \( L N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 를 따르고 중도절단 시점을 \( C \) 라고 할 때, 중도절단율 \( p c \) 는 식 (1.1)과 같다. 따라서 2장에서 정의한 \( i \) 번째 표본에서 실제 고장이 발생한 개수 \( X_ { i } \) 는 이항분포 \( B(n, 1-p c) \) 를 따르게 된다.</p> <p>\( Y_ { i j } = \log T_ { i j } \) 로 치환할 경우 확률변수 \( Y_ { i j } \) 는 정규분포 \( N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \) 을 따른다는 사실이 잘 알려져 있기 때문에, 우리는 \( T_ { i j } \) 대신 로그변환을 한 \( Y_ { i j } \) 를 사용한 절차를 제안하고자 한다. 우측중도절단 자료가 존재하는 경우 \( i \) 번째 표본 \( \mathbf { y } _ {\mathbf { i } } = \left (y_ { i 1 } , y_ { i 2 } , \ldots, y_ { i n } \right ) \) 에 대한 우도함수(likelihood function)는</p> <p>\[ L \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \mid \mathbf { y } _ {\mathbf { i } } \right )= \prod_ { j=1 } ^ { n } f \left (y_ { i j } \mid \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) ^ {\delta_ { i j } } \left [1-F \left (y_ { i j } \mid \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \right ] ^ { 1- \delta_ { i j } } \]</p> <p>가 된다. 여기서 \( \delta_ { i j } \) 는 중도절단 시점 \( C \) 에 대해서 \( y_ { i j } \leq \log C \) 인 경우에는 1이고, \( y_ { i j } >\log C \) 인 경우에는 0으로 정의한다. 즉, \( T_ { i j } \) 가 실제 고장시간을 나타내면 1이고 중도절단된 경우에는 0의 값을 갖는 것이다. 따라서 \( i \) 번째 표본에 대한 로그우도비(log likelihood ratio) \( Z_ { i } \) 는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} Z_ { i } &= \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i j } \log \left [ \frac { f \left (Y_ { i j } \mid \mu_ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \right ) } { f \left (Y_ { i j } \mid \mu_ { 0 } , \sigma ^ { 2 } \right ) } \right ] + \sum_ { j=1 } ^ { n } \left (1- \delta_ { i j } \right ) \log \left ( \frac { 1-F \left (Y_ { i j } \mid \mu_ { 1 } , \sigma ^ { 2 } \right ) } { 1-F \left (Y_ { i j } \mid \mu_ { 0 } , \sigma ^ { 2 } \right ) } \right ) \\ &= \left ( \frac {\mu_ { 1 } - \mu_ { 0 } } {\sigma ^ { 2 } } \right ) \sum_ { j=1 } ^ { n } \delta_ { i j } \left [ \left (Y_ { i j } - \frac {\mu_ { 0 } + \mu_ { 1 } } { 2 } \right ) \right ] + \sum_ { j=1 } ^ { n } \left (1- \delta_ { i j } \right ) \log \left ( \frac { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 1 } } {\sigma } \right ) } { 1- \Phi \left ( \frac {\log C- \mu_ { 0 } } {\sigma } \right ) } \right ) \end {aligned} \]</p>	자연
대학기초수학_인수분해	<h1>3 인수분해</h1> <p>학습목표</p> <ol type = 1 start=1><li>공통인수를 찾아 다항식을 인수분해할 수 있다.</li> <li>인수분해 공식을 사용하여 다항식을 인수분해할 수 있다.</li> <li>인수분해 공식을 사용하여 수식을 계산할 수 있다.</li></ol> <h2>\(3-1 \) 공통인수 \((1 \))</h2> <ul> <li>\( A B + A C-A D=A(B + C-D) \)</li> <li>\( A B-C B + D B=(A-C + D) B \)</li></ul> <p>연습 \(3-1 \) 다음 식에서 공통인수를 찾아 곱의 꼴로 나타내어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( a x + 2 a y \)</li> <li>\( 2 x ^ { 2 } + 4 x \)</li> <li>\( 3 a + 12 a b \)</li> <li>\( a x-a y + a z \)</li></ol> <h2>\(3-2 \) 공통인수 \((2 \))</h2> <ul> <li>\( A B + A C-D E + D F=A(B + C)-D(E-F) \)</li> <li>\( A B-C B + D E-F E=(A-C) B + (D-F) E \)</li> <li>\( A B + A C-D B-D C=A(B + C)-D(B + C)=(A-D)(B + C) \)</li></ul> <p>연습 \(3-2 \) 다음 식에서 공통인수를 찾아 곱의 꼴로 나타내어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( a x + a y + b x + b y \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x + 4 x-8 \)</li></ol> <h2>\(3-3 \) 인수분해</h2> <p>\( x ^ { 2 } + 5 x + 4=(x + 1)(x + 4) \) 와 같이 한 다항식을 두 개 이상의 인수들의 곱으로 표현하 는 것을 인수분해라고 한다. \[ x ^ { 2 } + 5 x + 4 \underset {\text { 인수분해 } } {\rightleftarrows } (x + 1)(x + 4) \]</p> <p>연습 \(3-3 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 x ^ { 2 } -5 x \)</li> <li>\( 3 x ^ { 2 } -6 x + 4 x-8 \)</li></ol> <h2>\(3-4 \) 완전제곱식으로의 인수분해</h2> <ul> <li>\( A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } =(A + B) ^ { 2 } \)</li> <li>\( A ^ { 2 } -2 A B + B ^ { 2 } =(A-B) ^ { 2 } \)</li></ul> <p>연습 \(3-4 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 2 } + 4 x + 4 \)</li> <li>\( a ^ { 2 } + 4 a b + 4 b ^ { 2 } \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -6 x + 9 \)</li> <li>\( 9 a ^ { 2 } -6 a b + b ^ { 2 } \)</li></ol> <p>문제 \(3-6 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 2 } -5.4 x + 7.29 \)</li> <li>\( 4 x ^ { 2 } + 96 x-1728 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } - \frac { 19 } { 51 } x- \frac { 4 } { 17 } \)</li> <li>\( 2 x ^ { 2 } + 892 x + 83616 \)</li></ol> <p>삼차다항식 \( a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d \) 는 삼차방정식 \( a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d=0 \) 의 해에 따라 다음과 같이 인수분해된다.</p> <ol type=1 start=1><li>해가 \( x= \alpha, y= \beta, x= \gamma \) 인 경우 \[ a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma) \]</li> <li>해가 \( x= \alpha \) (중근), \( x= \beta \) 인 경우 \[ a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d=a(x- \alpha) ^ { 2 } (x- \beta) \]</li> <li>해가 \( x= \alpha \) (삼중근)인 경우 \[ a x ^ { 3 } + b x ^ { 2 } + c x + d=a(x- \alpha) ^ { 3 } \]</li></ol> <p>문제 \(3-7 \) 다음을 인수분해하여라. (참고 : 중근의 경우 마지막에 출력된다.)</p> <ol type=1 start=1><li>\( 3 x ^ { 3 } + 150 x ^ { 2 } -8007 x-216810 \)</li> <li>\( 2 x ^ { 3 } -9 x ^ { 2 } + 13.5 x-6.75 \)</li> <li>\( -2 x ^ { 3 } -76 x ^ { 2 } + 510 x-792 \)</li> <li>\( -x ^ { 3 } -3.6 x ^ { 2 } + 16.84 x + 23.664 \)</li></ol> <p>문제 \(3-8 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x=4- \sqrt { 3 } \) 일 때, \( x ^ { 2 } -8 x + 12 \)</li> <li>\( x=-2 + \sqrt { 5 } \) 일 때, \( x ^ { 2 } + 4 x + 12 \)</li> <li>\( x=2 + \sqrt[3] { 4 } \) 일 때, \( x ^ { 3 } -6 x ^ { 2 } + 12 x + 36 \)</li> <li>\( x=-2- \sqrt[3] { 4 } \) 일 때, \( x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 12 x + 36 \)</li></ol> <p>문제 \(3-9 \) 다음을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \frac { 31 ^ { 4 } + 31 ^ { 2 } + 1 } { 31 ^ { 2 } + 31 + 1 } =30 ^ { 2 } + a \) 를 만족하는 실수 \( a \) 의 값을 구하여라.</li> <li>\( 2 ^ { 24 } -3 ^ { 15 } -13 ^ { 3 } \) 이 \( 2 ^ { 8 } 3 ^ { a } 13 ^ { b } \) 로 소인수 분해 될 때 \( a + b \) 를 구하여라.</li></ol> <p>문제 \(3-10 \) 다음을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 15 \cdot 16 \cdot 17 \cdot 18 + 1=A ^ { 2 } \) 을 만족하는 자연수 \( A \) 의 값.</li> <li>\( (2 + 1) \left (2 ^ { 2 } + 1 \right ) \left (2 ^ { 4 } + 1 \right ) \left (2 ^ { 8 } + 1 \right )=2 ^ { a } -1 \) 을 만족하는 자연수 \( a \) 의 값.</li></ol> <p>문제 \(3-11 \) \( f(x)=x ^ { 4 } -x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 5 x-2 \) 일 때, \( f(11) \) 의 값을 구하여라.</p> <h2>\(3-8 \) 인수분해의 활용</h2> <p>인수분해를 활용하면 복잡한 수식을 간단하게 계산할 수 있다.</p> <p>연습 \(3-8 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 24 \times 20-24 \times 15 \)</li> <li>\( 55 ^ { 2 } -45 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 9 ^ { 2 } -7 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } -3 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 53 ^ { 2 } \times \frac { 7 } { 10 } -47 ^ { 2 } \times \frac { 7 } { 10 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-1 \) 다음 식에서 공통인수를 찾아 곱의 꼴로 나타내어라.</p> <ol type = 1 start=1><li>\( a x-2 a x ^ { 2 } \)</li> <li>\( -2 x ^ { 2 } + 4 x \)</li> <li>\( 3 a ^ { 2 } b + 12 a b \)</li> <li>\( (x + 3) x + (x + 3) 5 \)</li></ol> <p>확인 \(3-2 \) 다음 식에서 공통인수를 찾아 곱의 꼴로 나타내어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( a x-a y + b x-b y \)</li> <li>\( w y + w z-2 x y-2 x z \)</li></ol> <p>확인 \(3-3 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 x ^ { 2 } -4 x ^ { 3 } \)</li> <li>\( 2 x ^ { 2 } + 6 x + 5 x + 15 \)</li></ol> <p>확인 \(3-4 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 2 } -4 x + 4 \)</li> <li>\( a ^ { 2 } + 6 a b + 9 b ^ { 2 } \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -8 x + 16 \)</li> <li>\( 25 a ^ { 2 } + 10 a b + b ^ { 2 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-5 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 2 } -25 \)</li> <li>\( 25 x ^ { 2 } -36 y ^ { 2 } \)</li> <li>\( 81 a ^ { 2 } -4 b ^ { 2 } \)</li> <li>\( 49 a ^ { 2 } -9 b ^ { 2 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-6 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 2 } + 4 x + 3 \)</li> <li>\( 2 x ^ { 2 } -9 x-5 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -4 x y + 3 y ^ { 2 } \)</li> <li>\( 2 x ^ { 2 } + 5 x y-3 y ^ { 2 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-7 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x ^ { 3 } + 1 \)</li> <li>\( a ^ { 3 } -8 b ^ { 3 } \)</li> <li>\( x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } + 3 x-1 \)</li> <li>\( x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 12 x + 8 \)</li></ol> <p>확인 \(3-8 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 25 \times 20-25 \times 15 \)</li> <li>\( 101 ^ { 2 } -99 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 12 ^ { 2 } -9 ^ { 2 } + 6 ^ { 2 } -3 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 101 ^ { 2 } \times \frac { 5 } { 2 } -99 ^ { 2 } \times \frac { 5 } { 2 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-9 \) \( A=x + y, B=x y \) 일 때, 다음 식을 \( A \) 와 \( B \) 로 나타내어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 x-3 x y + 2 y \)</li> <li>\( x ^ { 2 } + 2 x y + y ^ { 2 } \)</li> <li>\( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \)</li> <li>\( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } \)</li></ol> <p>확인 \(3-10 \) 다음을 인수분해하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( (1 + x) ^ { 2 } -4(1 + x) + 4 \)</li> <li>\( (a + 1) ^ { 2 } -4(b + 1) ^ { 2 } \)</li> <li>\( (t + 1) ^ { 2 } + 4(t + 1) + 3 \)</li> <li>\( (x + 1) ^ { 3 } + 1 \)</li></ol> <p>문제 \(3-1 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type = 1 start=1><li>\( 25 \cdot 36-2 \cdot 25 \cdot 36 \)</li> <li>\( 2 \cdot 55 ^ { 2 } -4 \cdot 55 \)</li> <li>\( 3 \cdot 14 ^ { 2 } \cdot 16 + 12 \cdot 14 \cdot 16 \)</li> <li>\( (26 + 3) \cdot 26 + (26 + 3) \cdot 5 \)</li></ol> <p>문제 \(3-2 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 56 \cdot 51-56 \cdot 50 + 44 \cdot 51-44 \cdot 50 \)</li> <li>\( 151 \cdot 150 + 151 \cdot 50-2 \cdot 15 \cdot 151-2 \cdot 15 \cdot 50 \)</li></ol> <p>문제 \(3-3 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 \cdot 72 ^ { 2 } -4 \cdot 72 ^ { 3 } \)</li> <li>\( 2 \cdot 37 ^ { 2 } + 6 \cdot 37 + 5 \cdot 37 + 15 \)</li></ol> <p>문제 \(3-4 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 52 ^ { 2 } -4 \cdot 52 + 4 \)</li> <li>\( 97 ^ { 2 } + 6 \cdot 97 \cdot 96 + 9 \cdot 96 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 104 ^ { 2 } -8 \cdot 104 + 16 \)</li> <li>\( 75 ^ { 2 } + 10 \cdot 75 \cdot 55 + 25 \cdot 55 ^ { 2 } \)</li></ol> <p>문제 \(3-5 \) 다음을 계산하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 35 ^ { 2 } -25 \)</li> <li>\( 25 \cdot 56 ^ { 2 } -36 \cdot 44 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 81 \cdot 1.2 ^ { 2 } -16 \cdot 4.8 ^ { 2 } \)</li> <li>\( 49 \cdot 12.5 ^ { 2 } -9 \cdot 7.5 ^ { 2 } \)</li></ol> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \) 의 근이 \( x= \alpha, y= \beta \) 인 경우 \( a x ^ { 2 } + b x + c=a(x- \alpha)(x- \beta) \) 로 인수분해된다.</p>	자연
확률과정입문_이산시간 마르코프연쇄	<p>정상분포 확률분포 \( p = \left (p_ { i } , i \in \mathcal { S } \right ) \)가 \[p P=p \]를 만족할 때, \( p \)를 마르코프연쇄 \( X \) 또는 \( P \)의 정상분포(stationary distribution)라고 한다.</p> <p>참고 정리 \(5.18 \)로부터 에르고딕인 마르코프연쇄의 극한분포는 정상분포가 됨을 알 수 있다. 그러나 일반적으로 정상분포와 극한분포가 항상 일치하는 것은 아니다.</p> <p>정리 \( 5.20 \) 에르고딕인 마르코프연쇄 \( X \)의 유일한 정상분포 \( p \)는 다음과 같다. \[ p_ { j } = \frac { 1 } { m_ { i } } E \left [ \sum_ { n=0 } ^ { T_ { i } -1 } 1_ {\left \{ X_ { n } =j \right \} } \mid X_ { 0 } =i \right ], \quad j \in \mathcal { S } \]<caption>5.25</caption></p> <p>증명 \( X_ { 0 } =i \) 일 때 \( X \)가 상태 \( i \)를 \( n \)번째 다시 방문하는 시각을 \( T_ { i } (n) \)이라 하면 마르코프성질에 의하여 \( X \)는 재생성시각의 열이 \( \left \{ T_ { i } (n), n=0,1,2, \cdots \right \} \left (T_ { i } (0) \right . \) \( =0) \)인 재생성과정이 됨을 알 수 있다(정리 \(5.9 \)).</p> <p>한편 \( X_ { 0 } =i \)일 때 \( T_ { i } (n)-T_ { i } (n-1) \)은 \( T_ { i } \)와 같은 분포를 따르므로 재생성정리(정리 \(4.19 \))에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { i j } ^ { (n) } = \frac { 1 } { m_ { i } } E \left [ \sum_ { n=0 } ^ { T_ { i } -1 } 1_ {\left \{ X_ { n } =j \right \} } \mid X_ { 0 } =i \right ], \quad j \in \mathcal { S } \)</p> <p>에르고딕인 마르코프연쇄는 극한분포와 정상분포가 같으므로 \( (5.25) \)가 증명 된다.</p> <p>참고 \(1 \). \( E \left \| \sum_ { n=0 } ^ { T_ { i } -1 } 1_ {\left \{ X_ { n } -j \right \} } \right \| X_ { 0 } =i \mid \)는 마르코프연쇄 \( X \)가 상태 \( i \)에서 출발하여 다시 \( i \)로 되돌아오기 직전까지 상태 \( j \)를 방문한 평균횟수를 의미한다. 따라서 \( \pi_ { j } \)는 특정한 상태에서 출발하여 다시 그 상태로 되돌아오기 직전까지 \( j \)를 방문한 평균횟수의 비율을 의미한다. 특히 \( E \left \| \sum_ { n=0 } ^ { T_ { i } -1 } 1_ {\left \{ X_ {\mathrm { m } } -1 \right \} } \right \| X_ { 0 } =i \mid=1 \) 이므로 \( p_ { i } = \frac { 1 } { m_ { i } } \)이다.</p> <p>\(2 \). 기약이며 양재귀적인 마르코프연쇄 \( X \)의 주기가 \( d>1 \)일 때 \( X \)의 정상분포 \( p= \left (p_ { j } , j \in \right . \) \( S) \)와 극한분포는 다음 관계를 만족한다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n d) } =d p_ { j } , \quad j \in \mathcal { S } \)</p> <p>정리 \( 5.21 \) 마르코프연쇄 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)의 초기분포 \( p_ { j } =P \left (X_ { 0 } =j \right ), j \in S \) 가 정상분포이면 \( X_ { n } \) 의 분포도 \( \left \{ p_ { j } \right \} \)이다. 즉 \[ p_ { j } =P \left (X_ { n } =j \right ), j \in \mathcal { S } , n=1,2, \cdots . \]</p> <p>\(24 \). 맥주를 생산하는 어떤 회사에서는 매월 소비자의 맥주 구매형태를 조사한다고 한다. 시중에는 \( A, B, C \) 세 종류의 맥주가 판매되고 있다고 하자. 고객들은 다음과 같은 전이확률을 따라 맥주를 구매한다고 한다.</p> <p>\( \left . \begin {array} { l } A \\B \\ C \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { lll } _ { 0.3 } ^ { ^ { ~A } } & _ { 0.2 } ^ { ^ { ~B } } & _ { 0.5 } ^ { ^ { ~C } } \\ 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ 0.3 & 0.1 & 0.6 \end {array} \right ) \)</p> <p>시간이 충분이 흐른 뒤에 각 맥주의 시장점유율은 얼마인가?</p> <p>\(25 \). 내일 날씨는 오늘 날씨에만 의존한다고 하자. 오늘 비가 올 때 내일 비가 올 확률을 \( a \), 오늘 비가 오지 않을 때 내일 비가 올 확률을 \( b \)라 하자. 다음 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>계속해서 비가 오는 기간의 평균길이는 얼마인가?</li> <li>장기간에 걸쳐서 관찰한다고 할 때 비 오는 날의 비율을 구하라.</li></ol> <p>\(26 \). 어떤 사람이 \( r \)개의 우산을 가지고 있다고 하자. 그는 출근하기 전에 비가 오면 우산을 가지고 사무실로 갔다가 비가 그치면 우산을 사무실에 그대로 두고 퇴근한다. 퇴근할 때 비가 오면 사무실에 있는 우산을 가지고 퇴근했다가 그 이튿날 아침에 비가 오지 않으면 우산을 집에 두고 출근한다. 만약 모든 우산이 집에 있는데 퇴근할 때 비가 온다면 그는 비를 맞게 된다. 우산이 모두 사무실에 있는 경우도 마찬가지다. 그가 출근하기 전에 비가 올 확률과 퇴근하기 전에 비가 올 확률은 동일하게 \( p \)로 과거와는 서로 독립이라 하자. 그 사람이 비에 맞는 날의 비율을 구하라. 만약 그가 \(3 \)개의 우산을 가지고 있다면 \( p \)가 얼마일 때 그가 비에 맞을 확률이 가장 키지겠는가?</p> <p>\(27 \). [기계수리모형] \( N \)대의 기계를 가지고 작업하는 공장을 생각하자. 각 기계는 독립적으로 작동하며 작동하는 기계가 어느 날 고장이 날 확률은 \( 0<p<1 \)이다. 그 공장에는 \( c \)명의 수리공이 있으며 한 명의 수리공은 한 번에 한 대의 기계만을 수리한다. 아침에 출근한 수리공은 고장 난 기계가 있으면 수리를 시작하여 저녁에 퇴근하기 전 수리를 모두 마친다고 하자. 아침에 수리할 기계가 없으면 다른 일을 처리하고 하루중에 고장 난 기계는 다음 날 아침 수리를 시작한다. 예를 들어 \(3 \)명의 수리공이 있는데 아침에 출근하니 \(2 \)대가 고장이 나 있었다면 \(2 \)명은 기계수리하는 일을 하고 나머지 한 명은 다른 일을 한다. 그날 작업 중에 다시 \(4 \)대가 고장이 났다면 그 이튿날 아침 \(3 \)명 전원이 기계수리에 참여하여 각자 한 대씩 수리를 시작한다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 날 아침에 발견된 고장 난 기계 수, \( Y_ { n } \)을 \( n \)번째 날 새롭게 고장 난 기계 수라 하자.</p> <p>\((1) \) 다음 관계가 성립함을 보여라.</p> <p>\( X_ { n + 1 } =Y_ { n } - \min \left \{ X_ { n } , c \right \} , \quad n=1,2, \cdots \)</p> <p>\((2) \) 마르코프연쇄 \( X= \left \{ X_ { n } \right \} \)의 상태공간과 전이확률을 구하라.</p> <p>\((3) \) \( N=3, c=1 \)이라 하고 장기간에 걸쳐서 관찰했을 때 하루에 가동되는 평균 기계 수를 구하라.</p> <p>28. 상태공간이 유한인 마르코프연쇄 \( X \) 가 기약이며 비주기적이고 전이확률행렬 \( P= \) \( \left (p_ { i j } \right )_ { i, j \in S } \) 가 모든 \( i \) 와 \( j \) 에 대하여<ol type=a start=1><li>\( p_ { i j } \geq 0 \)</li> <li>\( \sum_ { i \in S } p_ { i j } =1 \)</li> <li>\( \sum_ { j \in S } p_ { i j } =1 \)</li></ol>을 만족할 때 \( X \)의 극한분포는 다음과 같음을 보여라.</p> <p>\( \pi_ { j } = \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left (X_ { n } =j \right )= \frac { 1 } { M } , \quad j \in S \)</p> <p>단 \( M \)은 상태공간의 원소 수이다.</p> <p>마르코프성질을 나타내는 식 \((5.1) \)은 각각의 시각 \( n \)에 대하여 \( X_ { n } \)이 주어졌다는 가정하에서 미래의 상태 \( X_ { n + 1 } \)은 과거의 상태 \( X_ { 0 } , X_ { 1 } , \cdots, X_ { n-1 } \)과 조건부로 독립임을 의미한다. 조건부확률 \( P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ) \)를 \( X \)의 일 단계 전이확률(one-step transition probability) 또는 간단히 전이확률이라 한다. 일 단계 전이확률이 현재의 시각 \( n \)에 의존하지 않을 때, 즉 \[p_ { i j } =P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ), \quad i, j \in \mathcal { S } \]일 때 마르코프연쇄 \( X \)는 시간동질(time homogeneous)이라고 한다. 이 장에서는 시간동질인 마르코프연쇄에 대하여만 생각한다.</p> <p>전이확률 \( p_ { i j } =P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ) \) 를 \( (i, j) \) 성분으로 갖는 행렬 \( P= \left (p_ { i j } \right ) \) \[P= \left ( \begin {array} { cccc } p_ { 00 } & p_ { 01 } & p_ { 02 } & \cdots \\p_ { 10 } & p_ { 11 } & p_ { 12 } & \cdots \\p_ { 20 } & p_ { 21 } & p_ { 22 } & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \end {array} \right ) \]를 \( X \)의 일 단계 전이확률행렬(transition probability matrix) 또는 간단히 전이확률행렬이라고 한다. 조건부확률의 성질에 의하여 전이확률행렬 \( P \)는 다음 성질을 만족함을 쉽게 알 수 있다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 0 \leq p_ { i j } \leq 1, \quad i, j \in S \)</li> <li>\( \sum_ { j \in S } p_ { i j } =1, \quad i \in S \)</li></ol> <p>위의 두 성질 \((1) \)과 \((2) \)를 만족하는 행렬 \( P= \left (p_ { i j } \right ) \)를 확률행렬(stochastic matrix)이라 한다.</p> <p>조건부확률 \[p_ { i j } ^ { (m) } =P \left (X_ { n + m } =j \mid X_ { n } =i \right ) \]를 \( m \) 단계 전이확률이라 하고 행렬 \( P ^ { (m) } = \left (p_ { i j } ^ { (m) } \right ) \)을 \( m \) 단계 전이확률행렬이라 한다. 각 \( m \geq 0 \)에 대하여 \( m \) 단계 전이확률행렬 \( P ^ { (m) } = \left (p_ { i j } ^ { (m) } \right ) \)도 확률행렬이 됨을 알 수 있다.</p> <p>예제 5.10 재고모형(inventory model)</p> <p>많은 상품들은 수요에 따른 안정적인 공급을 위하여 창고에 저장을 해두고 필요할 때 시장에 공급한다. \( (s, S) \) 재고정책은 두 값 \( 0 \leq s<S \)에 의하여 다음과 같이 재고관리를 하는 방식이다. 재고수준은 특정한 시각에 주기적으로 조사를 하는데 만일 재고수준이 \( s \)보다 작으면 그 즉시 주문을 내어 재고수준을 \( S \)까지 끌어 올리고, \( s \)보다 크면 보충하지 않고 그대로 둔다. \( t_ { 0 } , t_ { 1 } , \cdots \)을 재고조사하는 시각이라 하자. \( X_ { n } \)을 시각 \( t_ { n } \)직전의 재고 상태, \( Z_ { n } \)을 \( \left [t_ { n-1 } , t_ { n } \right ) \)동안의 수요량이라 하자. 그러면 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} X_ { n + 1 } & = \left \{\begin {array} { ll } \left (X_ { n } -Z_ { n + 1 } \right ) ^ { + } , & s<X_ { n } \leq S \\ \left (S-Z_ { n + 1 } \right ) ^ { + } , & X_ { n } \leq s \end {array} \right . \\ &= \left (X_ { n } -Z_ { n + 1 } \right ) ^ { + } 1_ {\left \{ s<X_ { n } \leq S \right \} } + \left (S-Z_ { n + 1 } \right ) ^ { + } 1_ {\left \{ X_ { n } \leq s \right \} } \end {aligned} \] 단 \( x ^ { + } = \max (x, 0) \)이다. \( X_ { n + 1 } \)은 \( X_ { n } \)과 \( Z_ { n + 1 } \)의 함수이므로 \( X_ { n } \)이 주어졌다는 가정하에 \( Z_ { n + 1 } \)과 \( X_ { 0 } , X_ { 1 } , \cdots, X_ { n-1 } \)이 조건부로 독립이면 정리 \(5.1 \)로부터 \( \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 상태공간이 \( \{ 0,1,2, \cdots, S \} \)인 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>풀이 \( Z_ { n } =U_ { n } -V_ { n } \)이라 하자. 그러면 \( \left \{ Z_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \left (Z_ { 0 } =0 \right ) \)는 상태공간이 \( S= \{ -M,-M + 1, \cdots, M-1, M \} \)이며 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄이다. \( p_ { -M, M } =1, p_ { M, M } =1 \)이고, \( -M<i<M \)에 대하여 \[p_ { i j } = \left \{\begin {array} { ll } P_ { 1 } \left (1-P_ { 2 } \right ), & j=i + 1 \\ \left (1-P_ { 1 } \right ) P_ { 2 } , & j=i-1 \\P_ { 1 } P_ { 2 } + \left (1-P_ { 1 } \right ) \left (1-P_ { 2 } \right ), & j=i \\0, & \text { 그 밖에 } \end {array} \right . \] 한편 \( \left \{ Z_ { n } \right \} \)의 상태가 \(1 \)만큼 증가하든지 감소했다고 가정할 때 그 결과가 증가 또는 감소로 나타날 확률은 각각 다음과 같다.</p> <p>\( p=P(1 \)만큼 증가 \( \mid 1 \)만큼 증가 또는 감소 \( )= \frac { P_ { 1 } \left (1-P_ { 2 } \right ) } { P_ { 1 } \left (1-P_ { 2 } \right ) + \left (1-P_ { 1 } \right ) P_ { 2 } } \), \( \\ q=P(1 \)만큼 감소 \( \mid 1 \)만큼 증가 또는 감소 \( )= \frac {\left (1-P_ { 1 } \right ) P_ { 2 } } { P_ { 1 } \left (1-P_ { 2 } \right ) + \left (1-P_ { 1 } \right ) P_ { 2 } } \)</p> <p>따라서 실험결과 \( P_ { 2 }<P_ { 1 } \)이라고 판정할 확률은 상태 \( Z_ { 0 } =0 \)에서 출발하여 \( Z_ { n } \)이 상태 \( -M \)에 도달하기 전 \( M \)에 도달할 확률과 같다. 이 문제를 다음과 같이 도박꾼의 파산문제(예제 \(5.31 \))로 변형하여 생각할 수 있다. \( A \)와 \( B \) 두 사람이 각각 \( M \)단위의 돈을 가지고 게임을 하는데 \( \left \{ Z_ { n } \right \} \)의 상태가 \(1 \)만큼 증가하면 \( A \)가 \(1 \)단위 만큼의 돈을 \( B \)로부터 받고 \(1 \)만큼 감소하면 \( A \)가 \(1 \)단위 만큼의 돈을 \( B \)에게 준다. 매 게임에서 \( A \)가 이길 확률은 \( p \)이고 질 확률은 \( q \)이다. 이때 \( A \)가 돈을 모두 딸 확률이 \( P_ { 2 }<P_ { 1 } \)이라고 판정할 확률이다. 즉 예제 \(5.31 \)에서 \( c= 2 M \)일 때 \( u_ { M } \)이 \( P_ { 2 }<P_ { 1 } \)이라고 판정할 확률이다. 예제 \(5.31 \)로부터 다음을 얻는다.</p> <p>\( P \left (P_ { 2 }<P_ { 1 } \right . \)이라고 판정 \( )= \frac { 1-(q / p) ^ { M } } { 1-(q / p) ^ { 2 M } } \)</p> <p>예를 들어 \( P_ { 1 } =0.6 \)이고 \( P_ { 2 } =0.4 \)라 하자. \( M=5 \)이면 \( P_ { 2 } >P_ { 1 } \)이라고 판정할 확률은 \[1- \frac { 1-(q / p) ^ { M } } { 1-(q / p) ^ { 2 M } } =0.017 \]이고 \( M=10 \)일 때 잘못 판정할 확률은 \( 0.0003 \) 이 된다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { i j } ^ { (n) } =0= \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } \)</p> <p>\( X \)가 재귀적일 때는 \((5.12) \)로부터 \( P \left (T_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =i \right )=1 \)을 보이면 충분하다. \( X \)가 기약이므로 \( p_ { j i } ^ { (m) } >0 \)를 만족하는 양의 정수 \( m \)이 존재한다. \( X \)가 재귀적이면 \( P \left (T_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =j \right )=1 \)이므로 \[ \begin {aligned} 0 &=P \left (T_ { j } = \infty \mid X_ { 0 } =j \right ) \\& \geq P \left (T_ { j } = \infty \mid X_ { 0 } =j, X_ { m } =i \right ) P \left (X_ { m } =i \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left (T_ { j } = \infty \mid X_ { m } =i \right ) p_ { j i } ^ { (m) } \end {aligned} \]</p> <p>따라서 \( P \left (T_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =i \right )=1 \)이고 \((5.11) \)이 증명된다.</p> <p>참고 정리 \( 5.16 \)으로부터 기약이며 비주기적인 마르코프연쇄에 대하여 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( p_ { i j } ^ { (n) } \)는 초기 조건에 영향을 받지 않고 일정한 값에 수렴하는 것을 알 수 있다.</p> <p>정리 \( 5.16 \) 기약인 마르코프연쇄 \( X \)의 주기가 \( d>0 \)일 때 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n d) } = \frac { d } { m_ { j } } , \quad j \in \mathcal { S } \)</li> <li>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n d + k) } =0, \quad 0<k<d, \quad j \in \mathcal { S } \)</li></ol></p> <p>증명<ol type=1 start=1><li>보조정리 \(5.14 \)와 따름정리 \( 4.15 \)에 의하여 자명하다.</li> <li>\( p_ { j j } ^ { (n d + k) } =0(0<k<d, n=0,1,2, \cdots) \)이므로 자명하다.</li></ol></p> <p>예제 \(5.10\) 재고모형(inventory model)</p> <p>많은 상품들은 수요에 따른 안정적인 공급을 위하여 창고에 저장을 해두고 필요할 때 시장에 공급한다. \( (s, S) \) 재고정책은 두 값 \( 0 \leq s<S \)에 의하여 다음과 같이 재고관리를 하는 방식이다. 재고수준은 특정한 시각에 주기적으로 조사를 하는데 만일 재고수준이 \( s \)보다 작으면 그 즉시 주문을 내어 재고수준을 \( S \)까지 끌어 올리고, \( s \)보다 크면 보충하지 않고 그대로 둔다. \( t_{0}, t_{1}, \cdots \)을 재고조사하는 시각이라 하자. \( X_{n} \)을 시각 \( t_{n} \)직전의 재고 상태, \( Z_{n} \)을 \( \left[t_{n-1}, t_{n}\right) \)동안의 수요량이라 하자. 그러면 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin{aligned} X_{n+1} &=\left\{\begin{array}{ll}\left(X_{n}-Z_{n+1}\right)^{+}, & s<X_{n} \leq S \\ \left(S-Z_{n+1}\right)^{+}, & X_{n} \leq s\end{array}\right.\\ &=\left(X_{n}-Z_{n+1}\right)^{+} 1_{\left\{s<X_{n} \leq S\right\}}+\left(S-Z_{n+1}\right)^{+} 1_{\left\{X_{n} \leq s\right\}} \end{aligned} \)</p> <p>단 \( x^{+}=\max (x, 0) \)이다. \( X_{n+1} \)은 \( X_{n} \)과 \( Z_{n+1} \)의 함수이므로 \( X_{n} \)이 주어졌다는 가정하에 \( Z_{n+1} \)과 \( X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{n-1} \)이 조건부로 독립이면 정리 \(5.1\)로부터 \( \left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)은 상태공간이 \( \{0,1,2, \cdots, S\} \)인 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>예제 \(5.11\) 대기행렬모형 I</p> <p>제\(2\)장의 예제 \( 2.4 \)와 같이 단일서버가 도착순서에 따라 서비스를 하며 무한의 대기실을 갖는 대기행렬모형을 생각하자. \( X_{0}=0 \)이라 하고 \( X_{n}(n \geq 1) \)을 \( n \)번째 도착한 고객이 서비스를 마치고 시스템을 떠날 때 시스템에 남아 있는 고객 수라 하자. 또한 \( \xi_{n} \) 을 \( n \)번째 서비스를 받는 고객의 서비스 시간 동안 도착한 고객 수라 하면 \( X_{n} \) 과 \( \xi_{n} \)은 다음 과 같은 관계가 있음을 알 수 있다.</p> <p>\( \begin{aligned} X_{n+1} &=\left\{\begin{array}{ll}X_{n}-1+\xi_{n+1}, & X_{n} \geq 1 \\ \xi_{n+1}, & X_{n}=0\end{array}\right.\\ &=\left(X_{n}-1\right)^{+}+\xi_{n+1}, \quad n=0,1,2, \cdots \end{aligned} \)</p> <p>\( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \)는 서로 독립이고 같은 분포를 따른다고 가정하고 \[P\left(\xi_{n}=k\right)=a_{k}, k=0,1,2, \cdots\] 라 두자. 그러면 정리 \( 5.1 \)에 의하여 확률과정 \( X=\left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)은 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄이다.</p> <p>\( P=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots \\ 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots \\ 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & a_{0} & a_{1} & \cdots \\ & & & \vdots & \vdots & \end{array}\right) \)</p> <p>예제 \(5.12\) 대기행렬모형 II</p> <p>제 \(2\)장의 예제 \( 2.4 \)와 같이 단일서버가 도착순서에 따라 서비스를 하며 무한의 대기실을 갖는 대기행렬모형을 생각하자. \( Y_{0}=0 \)이라 하고 \( Y_{n}(n \geq 1) \)을 \( n \)번째 고객이 도착하기 직전에 시스템에 남아 있는 고객 수라 하자. 또한 \( \eta_{n+1} \) 을 \( n \)번째 고객이 도착한 직후부터 \( (n+1) \)번째 고객이 도착하기 직전의 기간 동안 시스템에서 서비스를 제공 가능한 고객 수라 하자. 즉 \( \eta_{n+1} \)은 시스템에 충분히 많은 고객이 있을 때 서비스를 마칠 수 있는 고객 수이다. 따라서 \( \eta_{n+1} \)은 \( Y_{n} \)보다 클 수도 있다. \( Y_{n} \)과 \( \eta_{n+1} \)은 다음과 같은 관계가 있다.</p> <p>\( Y_{n+1}=\left(Y_{n}+1-\eta_{n+1}\right)^{+}, \quad n=0,1,2, \cdots \)</p> <p>\( \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots \) 가 서로 독립이며 같은 분포를 따른다고 가정하고 \[P\left(\eta_{n}=k\right)=b_{k}, \quad k=0,1,2, \cdots\]라 하자. 그러면 정리 \(5.1\)에 의하여 \( Y=\left\{Y_{n}, n \geq 0\right\} \)은 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>\( P=\left(\begin{array}{cccccc}\bar{b}_{0} & b_{0} & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \bar{b}_{1} & b_{1} & b_{0} & 0 & 0 & \cdots \\ \bar{b}_{2} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 & \cdots \\ \bar{b}_{3} & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{array}\right) \)</p> <p>단 \( \bar{b}_{i}=1-\sum_{j=0}^{i} b_{i}, i=0,1,2, \cdots \)이다.</p> <p>\( \sum_ { i \in S } x_ { i } p_ { i j } =x_ { j } \sum_ { i \in S } p_ { j i } ^ { * } =x_ { j } , \quad j \in S \)</p> <p>따라서 \( x \)는 \( X \)의 정상분포이다. 또한 \[p_ { i j } ^ { * } = \frac { x_ { j } p_ { j i } } { x_ { i } } , \quad i, j \in \mathcal { S } \]이므로 \( p_ { i j } ^ { * } \)는 \( X \)의 역행과정의 전이확률이다.</p> <p>따름정리 \( 5.31 \) 역행가능과정의 절단 역행가능한 마르코프연쇄 \( X \)의 상태공간을 \( S \), 정상분포를 \( \pi \), 전이확률행렬을 \( P= \) \( \left (p_ { i j } \right ) \)라 하자. 이때 상태공간이 \( A( \neq \varnothing) \subset \mathcal { S } \)이고 전이확률이 \[p_ { i j } ^ { A } = \left \{\begin {array} { ll } p_ { i j } , & j \neq i \\p_ { i i } + \sum_ { j \in \Lambda ^ { e } } p_ { i j } , & j=i \end {array} \right . \]인 마르코프연쇄를 \( X ^ {\Lambda } = \left \{ X_ { n } ^ {\Lambda } , n \geq 0 \right \} \)이라 하자. 만약 \( X ^ { A } \)가 기약이면 \( X ^ { A } \)는 역행가능하고 정상분포 \( \pi ^ {\Lambda } = \left ( \pi_ { j } ^ {\Lambda } , j \in A \right ) \)는 다음과 같다.<p>\( \pi_ { j } ^ { A } = \frac {\pi_ { j } } {\sum_ { k \in A } \pi_ { k } } , \quad j \in A \)</p></p> <p>증명 \( X \)가 역행가능하므로 각각의 \( i, j \in A(i \neq j) \)에 대하여 다음이 성립하는 것은 쉽게 알 수 있다.</p> <p>\( \pi_ { i } ^ { A } p_ { i j } ^ {\Lambda } = \frac {\pi_ { i } p_ { i j } } {\sum_ { k \in \Lambda } \pi_ { k } } = \frac {\pi_ { j } p_ { j i } } {\sum_ { k \in \Lambda } \pi_ { k } } = \pi_ { j } ^ { A } p_ { j i } ^ { A } \)</p> <p>\( \pi_ { j } ^ { A } >0 \)이고 \( \sum_ { j \in A } \pi_ { j } ^ { A } =1 \)이므로 정리 \( 5.30 \)에 의하여 따름정리가 증명된다.</p> <h2>5.2 마르코프연쇄의 예</h2> <p>예제 \( 5.1 \)</p> <p>날씨의 상태를 비가 오거나 그렇지 않은 상태 두 가지로만 나누는 경우를 생각하자. 이때 내일의 날씨는 오늘의 날씨에만 의존한다고 가정하자. 오늘 비가 오지 않을 때 내일도 비가 오지 않을 확률은 \( 0.8 \)이고, 오늘 비가 온다고 할 때 내일도 비가 올 확률은 \( 0.3 \)이라고 하자. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 날 비가 오지 않으면 \(1 \), 비가 오면 \(2 \)의 값을 갖는 확률변수라 하면 확률과정 \( \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 상태공간이 \( \{ 1,2 \} \)인 마르코프연쇄가 되며 전이확률행렬은 다음과 같다.</p> <p>\(P = \) \( \left . \begin {array} { l } 1 \\2 \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { ll } { _ { 0.8 } ^ { ^ { ~~1 } } } &_ { 0.2 } ^ { ^ { ~~2 } } \\ 0.7 & 0.3 \end {array} \right ) \)</p> <p>예제 \(5.2 \)</p> <p>어떤 기계의 상태는 '작동 중'이거나 '수리 중' 둘 중 하나의 상태로 있다고 하자. \( n \)번째 날에 작동 중인 기계가 그 다음날에도 작동 중일 확률은 \( \alpha \)이고 \( n \)번째 날에 수리중인 기계가 다음날 작동 중인 상태에 있을 확률을 \( 1- \beta \)라 하자. 내일의 기계 상태는 오늘의 상태에만 의존하고 \( \mathcal { Z } \)이전의 상태에는 의존하지 않는다고 가정하자. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 날 기계가 작동 중이면 \(1 \), 수리 중이면 \(2 \)의 값을 갖는 확률변수라 하자. 그러면 확률과정 \( \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 상태공간이 \( \{ 1,2 \} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>\(P = \) \( \left . \begin {array} { l } 1 \\2 \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { ll } { _ { ~~ \alpha } ^ { ^ { ~~1 } } } &_ { 1- \alpha } ^ { ^ { ~~2 } } \\ 1- \beta & { ~~ \beta } \end {array} \right ) \)<p>예제 \(5.3 \)</p> <p>예제 \(5.17 \)</p> <p>상태공간이 \( \{ 1,2,3 \} \)인 마르코프연쇄 \( \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)의 전이확률행렬이 \[P= \left ( \begin {array} { lll } 0.2 & 0.3 & 0.5 \\0.7 & 0 & 0.3 \\0.2 & 0.6 & 0.2 \end {array} \right ) \]이고 초기분포가 \[p_ { 1 } ^ { (0) } =0.1, p_ { 2 } ^ { (0) } =0.3, p_ { 3 } ^ { (0) } =0.6 \]일 때 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P \left (X_ { 2 } =2, X_ { 5 } =3 \right ) \)</li> <li>\( P \left (X_ { 3 } =j \right ), j=1,2,3 \)</li></ol> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>\( P ^ { (n) } =P ^ { n } \)으로부터 \[P ^ { (2) } = \left ( \begin {array} { lll } 0.35 & 0.36 & 0.29 \\ 0.2 & 0.39 & 0.41 \\0.5 & 0.18 & 0.32 \end {array} \right ), \quad P ^ { (3) } = \left ( \begin {array} { lll } 0.38 & 0.279 & 0.341 \\0.395 & 0.306 & 0.299 \\0.29 & 0.342 & 0.368 \end {array} \right ) \]이므로 \[ \begin {aligned} P \left (X_ { 2 } =2, X_ { 5 } =3 \right ) &= \sum_ { i=1 } ^ { 3 } P \left (X_ { 0 } =i \right ) P \left (X_ { 2 } =2, X_ { 5 } =3 \mid X_ { 0 } =i \right ) \\&=p_ { 1 } ^ { (0) } p_ { 12 } ^ { (2) } p_ { 23 } ^ { (3) } + p_ { 2 } ^ { (0) } p_ { 22 } ^ { (2) } p_ { 23 } ^ { (3) } + p_ { 3 } ^ { (0) } p_ { 32 } ^ { (2) } p_ { 23 } ^ { (3) } \\ &=0.0780 \end {aligned} \]</li> <li>\( \boldsymbol { p } ^ { (3) } = \boldsymbol { p } ^ { (0) } P ^ { (3) } =(0.3305,0.3249,0.3446) \)이므로 \( P \left (X_ { 3 } =1 \right )=0.3305, \quad P \left (X_ { 3 } =2 \right )=0.3249, \quad P \left (X_ { 3 } =3 \right )=0.3446. \)</li></ol></p> <p>앞에서 \( X_ { 0 } \)의 분포와 \( n \)단계 전이확률행렬을 이용하여 \( X_ { n } \)의 분포를 구하기 위해서는 행렬의 거듭제곱 \( P ^ { n } \)을 구할 필요가 있음을 알아보았다. 일반적으로 \( P ^ { n } \)을 구하는 것은 많은 계산량을 필요로 한다. 특히 \( X \)의 상태공간이 무한집합일 때는 \( P ^ { n } \)을 구하는 것이 현실적으로 불가능할 수도 있다. 또한 \( X_ { n } \)의 분포보다는 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( X_ { n } \)의 분포에 관심이 있는 경우가 많다. 이때 다음과 같은 문제가 자연스럽게 제기된다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( n \rightarrow \infty \)일 때 초기상태 \( X_ { 0 } \)는 \( X_ { n } \)의 분포는 어떻게 영향을 미치는가?</li> <li>어떤 조건하에서 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( p_ { i j } ^ { (n) } \)의 극한이 존재하는가?</li> <li>또한 이 극한이 존재한다면 그 극한을 어떻게 구할 것인가?</li></ol> <p>이 문제에 대한 답을 하기 위한 준비과정으로 다음 절에서는 마르코프연쇄의 상태를 분류하고 그 특성을 살펴본다.</p> <p>예제 \(5.7\)</p> <p>성공할 확률이 \( p \)인 베르누이시행을 \( n \)회 시행할 때 성공 횟수 \( N_{n} \)은 다음과 같이 서로 독립이며 각각은 성공할 확률이 \( p \)인 베르누이확률변수 \( X_{k}(k=1,2, \cdots) \)의 합으로 나타낼 수 있다.</p> <p>\( N_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}, \quad n=1,2, \cdots \)</p> <p>따름정리 \( 5.2 \)에 의하여 \( \left\{N_{n}, n \geq 0\right\} \)은 상태공간이 \( \{0,1,2, \cdots\} \)이고 전이확률이 다음과 같은 마르코프연쇄이다.</p> <p>\( p_{i j}=P\left(N_{n+1}=j \mid N_{n}=i\right)=\left\{\begin{array}{ll}p, & j=i+1 \\ 1-p, & j=i \\ 0, & \text { 그 밖에 }\end{array}\right. \)</p> <p>예제 \(5.8\)</p> <p>\( S_{n} \)을 성공할 확률이 \( p \)인 베르누이과정에서 \( n \)회 성공할 때까지 시행한 횟수라 하자. 정리 \( 1.3 \)으로부터 \( Y_{k}=S_{k}-S_{k-1}, k=1,2, \cdots \)는 서로 독립이며 각각은 모수가 \( p \)인 기하확률변수이다. 한편 \( S_{n}=\sum_{k=1}^{n} Y_{k} \)이므로 따름정리 \( 5.2 \)에 의하여 \( \left\{S_{n}\right\} \)은 마르코프 연쇄가 된다. 전이확률은 \[\begin{aligned} p_{i j} &=P\left(S_{n+1}=j \mid S_{n}=i\right) \\&=P\left(S_{n+1}-S_{n}=j-i\right)=\left\{\begin{array}{ll}p q^{j-i-1}, & j \geq i+1 \\0, & \text { 그 밖에 }\end{array}\right.\end{aligned}\]이고 일 단계 전이확률행렬은\[P=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & p & p q & p q^{2} & p q^{3} & \cdots \\& 0 & p & p q & p q^{2} & \cdots \\& & 0 & p & p q & \cdots\end{array}\right) \]이다. 또한\[S_{n+m}-S_{n}=\sum_{k=n+1}^{n+m} Y_{k} \sim \mathrm{NB}(m, p)\]이므로 \( m \)단계 전이확률은 다음과 같다.</p> <p>\( p_{i j}^{(m)}=P\left(S_{n+m}=j \mid S_{n}=i\right)=P\left(S_{m}=j-i\right) \)</p> <p>예제 \( 5.9 \)</p> <p>\( Y_{1}, Y_{2}, \cdots \)가 서로 독립이고 같은 분포를 따르며 각각의 확률질량함수가 \( p_{i}=P\left(Y_{n}\right. \) \( =i)(i=0,1,2,3,4) \)일 때 \( X_{n} \)을 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( X_{n+1}=X_{n}+Y_{n+1}(\bmod 5) \)</p> <p>단 \( x=y(\bmod 5) \)는 \( y \)를 \(5\)로 나누었을 때 나머지가 \( x \)임을 의미한다. 그러면 \( \left\{X_{n}, n\right. \) \( =0,1,2, \cdots\}\left(X_{0}=0\right) \)는 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄이다.</p> <p>\( P=\left(\begin{array}{lllll}p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} \\ p_{4} & p_{0} & p_{1} & p_{2} & p_{3} \\ p_{3} & p_{4} & p_{0} & p_{1} & p_{2} \\ p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{0} & p_{1} \\ p_{1} & p_{2} & p_{3} & p_{4} & p_{0}\end{array}\right) \)</p> <p>이와 같이 각각의 성분이 모두 음이 아니고 각 행의 합과 각 열의 합이 각각 \(1\)이 되는 행렬을 이중확률행렬(doubly stochastic matrix)이라 한다.</p> <p>\(29 \). 공정한 주사위를 던지는 실험에서 \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 나오는 주사위 눈이라 하고 \( Y_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } X_ { k } \)라 할 때, 다음을 구하라.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left (Y_ { n } \right . \) 이 13 의 배수 \( ) \)</p> <p>\(30 \). 예제 \( 5.5 \)에서 충분히 많은 실험을 행한 후 \(1 \)번 카드의 위치에 대한 분포를 구하라.</p> <p>\(31 \). [기약이 아닌 마르코프연쇄의 극한분포] 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄에서 재귀적인 동치류와 일시적인 동치류를 구하라. 또한 각각의 마르코프연쇄에서 \( \pi_ { i j } = \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =i \right ) \)라 할 때, 행렬 \( \pi= \left ( \pi_ { i j } \right ) \)를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 4 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ) \)</li> <li>\( P= \left ( \begin {array} { cccccc } \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 3 } { 4 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 5 } & \frac { 4 } { 5 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \end {array} \right ) \)</li></ol> <p>(도움말: 기약이 아닌 경우는 각 동치류별로 극한을 구하라.)</p> <p>정리 \( 5.7 \) 상호도달가능은 동치관계이다. 즉<ol type=1 start=1><li>\( i \leftrightarrow i \) [반사성(reflexivity)]</li> <li>\( i \leftrightarrow j \)이면 \( j \leftrightarrow i \)이다. [대칭성(symmetry)]</li> <li>\( i \leftrightarrow j \)이고 \( j \leftrightarrow k \)이면 \( i \leftrightarrow k \)이다. [추이성(transitivity)]</li></ol></p> <p>증명 \((1) \) \( p_ { i i } ^ { (0) } =P \left (X_ { 0 } =i \mid X_ { 0 } =i \right )=1>0 \)이므로 모든 상태 \( i \in S \)는 자기 자신과 상호도달가능이다.</p> <p>\((2) \)는 정의로부터 자명하다.</p> <p>\((3) \) \( i \leftrightarrow j \)와 \( j \leftrightarrow k \)이면 \( p_ { i j } ^ { (n) } >0 \)와 \( p_ { j k } ^ { (m) } >0 \)를 만족하는 \( m \)과 \( n \)이 존재한다.</p> <p>그러므로 \[p_ { i k } ^ { (n + m) } = \sum_ { b \in S } p_ { i b } ^ { (n) } p_ { b k } ^ { (m) } \geq p_ { i j } ^ { (n) } p_ { j k } ^ { (m) } >0 \]</p> <p>따라서 \( i \rightarrow k \)가 증명된다. 같은 방법으로 \( k \rightarrow i \)도 증명된다.</p> <p>상태 \( i \)와 상호도달가능한 상태들의 집합을 \( C(i)= \{ j \in S: i \leftrightarrow j \} \)라 하자. 이때 \( j \in \) \( C(i) \)일 때 \( i \)와 \( j \)는 같은 동치류(equivalent class)에 속한다고 한다. \( i \leftrightarrow j \)이면 \( C(i)= \) \( C(j) \)이고, \( i \)와 \( j \)가 상호도달가능이 아니면 \( C(i) \cap C(j)= \varnothing \)임을 알 수 있다. 따라서 상태공간 \( S \)는 동치류 \( C(i)(i \in S) \)에 의하여 분할된다. 같은 동치류에 속하는 상태들이 공유하는 성질을 집단성질(class property)이라고 한다. 뒤에서 나오는 주기, 재귀성, 일시성 등은 집단성질들의 예이다.</p> <p>마르코프연쇄의 상태를 노드(node)로 보고 \( p_ { i j } >0 \)일 때 노드 \( i \)와 노드 \( j \)를 \( i \)에서 \( j \)로 가는 화살표로 연결하면 마르코프연쇄의 일 단계 전이상태를 방향성 그래프(directed graph)로 표현할 수 있다. 이 그래프를 마르코프연쇄의 상태전이그래프(state transition graph) 또는 상태전이그림(diagram)이라 한다.</p> <p>\(39 \). 앞의 연습문제 \(8 \)에서 쥐가 고양이에게 잡혀먹힐 때까지 걸리는 시간의 기댓값을 구하라.</p> <p>\(40 \). 이산 상형분포 \( P H_ { d } ( \boldsymbol {\alpha } , Q) \)의 확률생성함수가 \[ P(z) = \sum_ { k=0 } ^ {\infty } z ^ { k } p(k)= \alpha_ { 0 } + z \boldsymbol {\alpha } (I-z Q) ^ { -1 } \boldsymbol { q } , \quad\|z\| \leq 1 \]임을 보이고 이를 이용하여 \( k \)차 계승적률이 \[P ^ { (k) } =k ! \alpha Q ^ { k-1 } (I-Q) ^ { -k } \mathbf { e } , \quad k=1,2, \cdots \]임을 보여라.</p> <p>\(41 \). 확률질량함수 \( \left \{ p_ { k } , k=1,2, \cdots, m \right \} \)은 이산 상형분포로 나타낼 수 있음을 보여라.</p> <p>\(42 \). 기하분포 \( p_ { k } =p(1-p) ^ { k-1 } , 0<p<1, k=1,2, \cdots \)를 이산 상형분포 \( P H_ { d } ( \boldsymbol {\alpha } , Q) \)로 나타낼 때 \( \alpha \)와 행렬 \( Q \)를 구하라.</p> <p>\(43 \). 갑돌이는 범죄를 저지르고 도피 중인데 \( A, B, C \) 세 지역을 옮겨다니면서 은신처를 바꾼다. 갑돌이가 은신처를 바꾸는 과정은 전이확률행렬이 \( P_ { 1 } \)인 마르코프연쇄를 따른다고 한다. 경찰은 전이확률이 \( P_ { 2 } \)인 마르코프연쇄를 따라 갑돌이를 추격한다. 갑돌이와 경찰은 독립적으로 움직이며 한 지역에서 다른 지역으로 이동하는 시간은 매일 자정이라고 가정하자. 갑돌이와 경찰이 같은 지역에 있을 경우 갑돌이가 경찰에 체포될 확률을 \( 0.5 \)라 할 때 갑돌이가 경찰에 잡힐 때까지 걸리는 시간의 기댓값을 구하라.</p> <p>\( P_ { 1 } = \) \( \left . \begin {array} { l } A \\B \\ C \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { lll } _ { 0 } ^ { ^ { ~A } } & _ { 0.4 } ^ { ^ { ~B } } & _ { 0.6 } ^ { ^ { ~C } } \\ 0.7 & 0 & 0.3 \\ 0.1 & 0.9 & 0 \end {array} \right ),~ \) \( P_ { 2 } = \) \( \left . \begin {array} { l } A \\B \\ C \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { lll } _ { 0.3 } ^ { ^ { ~A } } & _ { 0.2 } ^ { ^ { ~B } } & _ { 0.5 } ^ { ^ { ~C } } \\ 0.8 & 0.1 & 0.1 \\ 0.5 & 0.2 & 0.3 \end {array} \right ) \)</p> <h1>5.4 상태의 분류</h1> <h1>5.4.1 상호도달가능성</h1> <p>그림 \(5.4 \)와 같은 미로를 생각하자. 미로 속에 있는 쥐는 한 방에서 인접한 다른 방으로 갈 때 균등분포를 따라서 움직이며 미로 밖으로 한 번 나간 쥐는 미로 속으로 다시 들어가지 않는다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번 움직인 직후 쥐가 있는 방의 번호라 하자. 단 미로 밖은 상태 \(0 \)으로 표기한다. 그러면 확률과정 \( X = \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)는 상태공간이 \( \{ 0,1, \cdots, 9 \} \)인 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>쥐가 처음에 \(2 \)번 방에 있었다고 가정하자. 그러면 \(1 \)번과 \(3 \)번 방은 한 번에 갈 수 있다. \(4 \)번과 \(6 \)번 방은 한 번 만에는 갈 수 없으나 두 번 만에는 갈 수 있다. 또한 세 번 만에 밖으로 나갈 수도 있다. 그러나 \(2 \)번 방에서 출발하여 \( 5,7,8,9 \)번 방에는 갈 수가 없다. 실제 \( X \) 의 전이확률은 실제 \( X \)의 전이확률은 \[p_ { 21 } =p_ { 23 } = \frac { 1 } { 2 } >0, p_ { 24 } ^ { (2) } =p_ { 26 } ^ { (2) } = \frac { 1 } { 4 } >0, p_ { 20 } ^ { (3) } = \frac { 1 } { 8 } >0 \]이나 모든 \( n \geq 0 \)에 대하여 \( p_ { 2 j } ^ { (n) } =0(j=5,7,8,9) \)이다.</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)가 상태 \( i \)에서 유한번의 단계를 거쳐 상태 \( j \)로 갈 수 있을 때 상태 \( j \)는 상태 \( i \)로부터 도달가능하다고 한다. 앞의 예에서 상태 \(0 \)은 모든 상태로부터 도달가능하나 \(0 \)을 제외한 어떠한 상태도 상태 \(0 \)으로부터 도달가능하지 않다.</p> <p>일반적으로 적당한 \( n \geq 0 \)에 대하여 \( p_ { i j } ^ { (n) } >0 \)일 때 상태 \( j \)는 상태 \( i \)로부터 도달가능 (accessible)하다고 하고 이것을 \( i \rightarrow j \)로 나타내기로 한다. 특히 \( i \rightarrow j \)이고 \( j \rightarrow i \)일 때 \( i \)와 \( j \)는 상호도달가능 또는 교통가능(communicate)이라고 하고 \( i \leftrightarrow j \)로 나타내기로 한다. 마르코프연쇄 \( X \)의 모든 상태가 상호도달가능일 때 \( X \)를 기약(irreducible)이라고 한다.</p> <p>예제 \( 5.6 \) 항아리 모형</p> <p>\( w \)개의 흰 공과 \( (2 N-w) \)개의 검은 공을 두 개의 항아리 \( A, B \)에 각각 \( N \)개씩 나누어 넣었다. 단 \( w<N \)을 가정한다. 그 다음 양쪽 항아리에서 임의로 한 개씩의 공을 꺼내서 서로 다른 항아리에 넣는 실험을 생각하자. 즉 \( A \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( B \)에 넣고 \( B \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( A \)에 넣는다. \( X_ { 0 } \)를 항아리 \( A \)에 처음 들어 있는 흰 공의 수, \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 실험이 끝난 후에 항아리 \( A \)에 들어 있는 흰 공의 개수라 할 때 확률과정 \( X = \) \( \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( X \)의 상태공간과 전이확률을 구하라.</p> <p>풀이 항아리 \( A \)에 들어 있는 흰 공의 개수는 기껏해야 \( w \)개이므로 \( X \)의 상태공간은 \( \mathcal { S } = \{ 0,1,2, \cdots, w \} \)이다. 확률변수 \( A_ { n } \)과 \( B_ { n } (n=1,2, \cdots) \)을 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( A_ { n } = \left \{\begin {array} { l } 1, n \text { 번째 실험에서 항아리 } A \text { 에서 흰 공이 나올 경우 } \\ 0, n \text { 번째 실험에서 항아리 } A \text { 에서 검은 공이 나올 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>\( B_ { n } = \left \{\begin {array} { l } 1, n \text { 번째 실험에서 항아리 } B \text { 에서 흰 공이 나올 경우 } \\ 0, n \text { 번째 실험에서 항아리 } B \text { 에서 검은 공이 나올 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>\( X_ { n + 1 } =X_ { n } + \left (B_ { n + 1 } -A_ { n + 1 } \right ), \quad n=0,1,2, \cdots \)</p> <p>\(10 \). 마르코프연쇄 \( X \)의 상태공간은 \( S = \{ 0,1,2 \} \)이고 전이확률행렬은 다음과 같다고 하자.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { lll } 0.3 & 0.5 & 0.2 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0 & 0.7 & 0.3 \end {array} \right ) \)</p> <p>초기분포가 \( P \left (X_ { 0 } =0 \right )=0.5, P \left (X_ { 0 } =1 \right )=0.1, P \left (X_ { 0 } =2 \right )=0.4 \)일 때 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P \left (X_ { 1 } =1, X_ { 2 } =1, X_ { 3 } =2 \mid X_ { 0 } =0 \right ) \)</li> <li>\( P \left (X_ { 1 } =1, X_ { 3 } =2, X_ { 5 } =0 \right ) \)</li> <li>\( P \left (X_ { 1 } =1, X_ { 3 } =2, X_ { 5 } =0 \mid X_ { 0 } =0 \right ) \)</li> <li>\( P \left (X_ { 1 } =1, X_ { 2 } =1, X_ { 3 } =2 \right ) \)</li> <li>\( \operatorname { Cov } \left (X_ { 2 } , X_ { 3 } \right ) \)</li></ol> <p>\(11 \). 마르코프연쇄 \( X \)의 상태공간이 \( S= \{ 1,2,3,4,5,6 \} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { cccccc } \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \\ 0 & 0 & \frac { 2 } { 6 } & \frac { 4 } { 6 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 2 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & 0 & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & 0 & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 2 } { 6 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & 0 & \frac { 2 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \\ \frac { 2 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & 0 & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \end {array} \right ) \)</p> <p>증명 전확률공식과 정상분포의 정의로부터 다음이 성립한다.</p> <p>\( P \left (X_ { 1 } =j \right )= \sum_ { i=0 } ^ {\infty } P \left (X_ { 1 } =j \mid X_ { 0 } =i \right ) P \left (X_ { 0 } =i \right )= \sum_ { i=0 } ^ {\infty } p_ { i } p_ { i j } =p_ { j } \)</p> <p>수학적 귀납법에 의하여 정리가 증명된다.</p> <p>예제 \(5.29 \)</p> <p>상태공간이 \( \{ 1,2 \} \)이고 전이확률행렬이 \[P= \left ( \begin {array} { cc } 1-a & a \\b & 1-b \end {array} \right ), \quad 0<a<1, \quad 0<b<1 \]인 마르코프연쇄의 정상분포를 구하라.</p> <p>풀이 방정식 \( p P=p \)로부터 다음 연립방정식을 얻는다.</p> <p>\( p_ { 1 } =(1-a) p_ { 1 } + b \pi_ { 2 } , \) \( \\ p_ { 2 } =a p_ { 1 } + (1-b) \pi_ { 2 } \)</p> <p>따라서 \( a p_ { 1 } =b p_ { 2 } \)이다. 한편 \( p_ { 1 } + p_ { 2 } =1 \)이므로 \[p_ { 1 } = \frac { b } { a + b } , \quad p_ { 2 } = \frac { a } { a + b } . \]</p> <p>정리 \( 5.22 \) 에르고딕 정리 에르고딕인 마르코프연쇄 \( X \)의 극한분포를 \( \pi= \left ( \pi_ { j } , j \in S \right ) \)라고 할 때 확률 \(1 \)로 다음 이 성립한다. \[ \pi_ { j } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum_ { k=1 } ^ { n } 1_ {\left \{ X_ { k } =j \right \} } , \quad j \in \mathcal { S } \]<caption>(5.26)</caption></p> <p>증명 \( X_ { 0 } =i \)일 때 \( X \)가 \( 1, \cdots, k \)동안 상태 \( i \)를 방문하는 횟수를 \( N_ { i } (k) \) 라 하자. 즉 \[N_ { i } (k)= \sum_ { n=1 } ^ { k } 1_ {\left \{ X_ { n } =i \right \} } , \quad k=1,2, \cdots . \]</p> <p>한편 \( \left \{ X_ { n } \right \} \)이 마르코프연쇄이므로 \[ \begin {array} { l } P \left (E_ { k } \mid E_ { 0 } \cdots E_ { k-1 } \right ) \\ \quad=P \left (X_ { n + k } =i_ { k } \mid X_ { n } =i_ { 0 } , X_ { n + 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { n + k-1 } =i_ { k-1 } \right ) \\ \quad=P \left (X_ { n + k } =i_ { k } \mid X_ { n + k-1 } =i_ { k-1 } \right ) \\ \quad=p_ { i_ { k-1 } i_ { k } } , \quad k=1,2, \cdots, m \end {array} \]이다. 따라서 정리가 증명된다.</p> <p>정리 \(5.3 \)은 마르코프연쇄 \( X \)가 현재 \( i_ { 0 } \)상태에 있을 때 앞으로 \( m \)단계 동안 연속해서 \( i_ { 1 } , \cdots, i_ { m } \)을 방문할 확률은 각 단계별로 \( i_ { k-1 } \)에서 \( i_ { k } \)를 방문할 확률 \( p_ { i_ { k-1 } i_ { k } } \)를 차례로 곱한 것과 같다는 것을 보여준다.</p> <p>따름정리 \( 5.4 \) \[P \left (X_ { 0 } =i_ { 0 } , X_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { m } =i_ { m } \right )=p_ { i_ { 0 } } ^ { (0) } p_ { i_ { 0 } , i_ { 1 } } p_ { i_ { 1 } , i_ { 2 } } \cdots p_ { i_ { m-1 } ,i_ { m } } . \]</p> <p>정리 \( 5.5 \) 채프만-콜모고로프 방정식(Chapman-Kolmogorov equation) \[p_ { i j } ^ { (n + m) } = \sum_ { k \in S } p_ { i k } ^ { (n) } p_ { k j } ^ { (m) } , \quad m, n \geq 0, \quad i, j \in \mathcal { S } \]<caption>(5.5)</caption></p> <p>따름정리 \( 5.11 \)<p>\( P \left (N_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =j \right )= \left \{\begin {array} { ll } 1, & f_ { j }<1 \\ 0, & f_ { j } =1 \end {array} \right . \)</p> <p>\( E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { 1-f_ { j } } , & f_ { j }<1 \\ \infty, & f_ { j } =1 \end {array} \right . \)</p></p> <p>정리 \( 5.12 \)<ol type=1 start=1><li>\( j \)가 재귀적일 필요충분조건은 \[ \sum_ { n } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) } = \infty \]<caption>(5.8)</caption></li> <li>\( j \)가 일시적이면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } =0 \)이다.</li></ol></p> <p>증명 \((1) \) 따름정리 \( 5.11 \)에 의하여 \( j \)가 재귀적이라는 것은 \( E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \infty \)와 동치임을 알 수 있다. 한편 \[E \left [1_ {\left \{ X_ { n } , j \right . } \mid X_ { 0 } =j \right ]=P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j \right )=p_ { j j } ^ { (n) } \]이므로 \[ \left . \left .E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } E \left (1_ {\left \{ X_ { n } \right . } { } _ { j } \right \} \right ] \mid X_ { 0 } =j \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) } \]이 되어 \((5.8) \)이 증명된다.</p> <p>\((2) \) \( j \)가 일시적이면 \( \sum_ { n } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) }< \infty \)이므로 자명하다.</p> <p>정리 \( 5.13 \) 재귀성의 집단성질 \( i \leftrightarrow j \)일 때 \( i \)가 재귀적이면 \( j \)도 재귀적이다.</p> <p>증명 \( m, n \) 을 \( p_ { i j } ^ { (m) } >0 \)와 \( p_ { j i } ^ { (n) } >0 \)를 만족하는 양의 정수라 하자. 그러면 임의의 정수 \( s \geq 0 \)에 대하여 \[p_ { j j } ^ { (n + s + m) } \geq p_ { j i } ^ { (n) } p_ { i i } ^ { (s) } p_ { i j } ^ { (m) } \]이고 \[ \sum_ { s } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n + s + m) } \geq p_ { j i } ^ { (n) } p_ { i j } ^ { (m) } \sum_ { s=0 } ^ {\infty } p_ { i i } ^ { (s) } = \infty \]이므로 정리 \( 5.11 \)에 의하여 \( j \)는 재귀적이다.</p> <p>재귀성은 집단성질이므로 기약인 마르코프연쇄에서 한 상태가 재귀적이면 모든 상태가 재귀적이다. 이때, 마르코프연쇄는 재귀적이라고 한다.</p> <h1>5.1 도입 및 정의</h1> <p>다음 예를 생각해보자. 그림 \( 5.1 \)과 같은 원탁에서 \(6 \)명이 카드놀이를 하고 있다고 하자. 처음으로 카드를 배분할 사람은 공정한 주사위를 던져서 결정하고 그 다음부터는 매 게임에서 이긴 사람이 카드를 배분한다. 이때 \( X_ { 0 } \)를 처음으로 카드를 배분한 사람이 앉아 있는 의자 번호, \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 게임에서 이긴 사람이 앉아 있는 의자 번호라 하자. 매 게임에서 특정한 위치에 있는 사람이 이길 확률은 그 게임에서 누가 카드를 배분하였는가에만 의존한다고 하자. 현재까지 \( n \)번의 게임의 결과가 \( X_ { 0 } = i_ { 0 } , X_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { n-1 } =i_ { n-1 } \), \( X_ { n } =i \)라 할 때 다음 게임( \( n + 1 \) 번째 게임)에서 \( j \)번 의자에 앉은 사람이 이길 확률 \( P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { 0 } =i_ { 0 } , \cdots, X_ { n-1 } =i_ { n-1 } , X_ { n } =i \right ) \)는 \( P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ) \)와 같음을 알 수 있다.</p> <p>이와 같이 확률과정 \( \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)가 과거로부터 현재까지의 이력 \( X_ { 0 } , X_ { 1 } \), \( \cdots, X_ { n } \)이 주어졌을 때 미래의 상태 \( X_ { n + 1 } \)이 오직 현재의 상태 \( X_ { n } \)에만 의존하는 성질을 마르코프성질(Markov property)이라 한다. 마르코프성질을 갖는 확률과정을 마르코프과정(Markov process)라 하며, 특히 이산상태공간을 갖는 마르코프과정을 마르코프연쇄 (Markov chain)라 한다.</p> <p>정의 \( 5.1 \) 확률과정 \( X= \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)가 모든 \( i_ { 0 } , \cdots, i_ { n-1 } , i, j \in S \)와 \( n=0,1,2 \), \( \cdots \)에 대하여 \[ \begin {array} { l } P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { 0 } =i_ { 0 } , \cdots, X_ { n-1 } =i_ { n-1 } , X_ { n } =i \right ) \\=P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ) \end {array} \]<caption>(5.1)</caption>를 만족할 때 \( X \) 를 이산시간 마르코프연쇄(discrete time Markov chain)라고 한다.</p> <p>정리 5.9 \( X_ { 0 } = j \)라는 가정하에서 \( \tau_ { j } (1), \tau_ { j } (2), \cdots \)는 서로 독립이고 각각은 \( T_ { j } \)와 같은 분포를 따른다.</p> <p>증명 \( X_ { 0 } =j \)라는 가정하에서 \( \tau_ { j } (1)=T_ { j } \)이므로 \( \tau_ { j } (1), \tau_ { j } (2), \cdots \)가 서로 독립이고 같은 분포를 따른다는 것을 보이면 충분하다</p> <p>먼저 다음을 보이자.</p> <p>\[ \begin {aligned} P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) \\&=P \left (X_ { m + 1 } \neq j, \cdots, X_ { m + n-1 } \neq j, X_ { m + n } =j \mid X_ { 0 } =j, \right . \left .X_ { 1 } =j, X_ { 1 } \neq j, \cdots X_ { m-1 } \neq j, X_ { m } =j \right ) \\&=P \left (X_ { m + 1 } \neq j, \cdots, X_ { m + n-1 } \neq j, X_ { m + n } =j \mid X_ { m } =j \right ) \\&=P \left (X_ { 1 } \neq j, \cdots, X_ { n-1 } \neq j, X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {aligned} \]</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) &= \sum_ { m } ^ {\infty } P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \sum_ { m=1 } ^ {\infty } P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {aligned} \]가 되어 \( \tau_ { j } (1) \) 과 \( \tau_ { j } (2) \)는 같은 분포를 따른다. 한편 \[ \begin {array} { l } P \left ( \tau_ { j } (1)=m, \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {array} \]이므로 \( \tau_ { j } (1) \)과 \( \tau_ { j } (2) \)는 서로 독립이다.</p> <p>\(32 \). \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 에르고딕인 마르코프연쇄일 때 \( Y_ { n } = \left (X_ { n-1 } , X_ { n } \right ) \)이라 하자. 이때 \( Y= \left \{ Y_ { n } , n \geq 1 \right \} \)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( Y \)의 극한분포 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left (Y_ { n } = \right . \) \( =(i, j)) \)를 구하라.</p> <p>\(33 \). \( X= \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)는 상태공간이 \( S \)이고 과거 이력이 주어졌을 때, 미래 상태는 최근 \( L \geq 1 \)개의 상태에 의존하는 확률과정이라 하자. 즉 \( j, i_ { k } \in \mathcal { S } (k=0,1,2 \), \( \cdots, n, n>L) \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>\( P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { k } =i_ { k } , k=0,1, \cdots, n \right ) \) \( \\ \quad=P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { k } =i_ { k } , k=n-L + 1, n-L + 2, \cdots, n \right ) \)</p> <p>\( L=1 \)일 때 \( X \)는 마르코프연쇄이나 \( L>1 \)이면 \( X \) 는 마르코프연쇄가 아니다. \( Y_ { n } \) 을 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( Y_ { n } = \left (X_ { n } , X_ { n + 1 } , \cdots, X_ { n + L-1 } \right ), \quad n=0,1,2, \cdots \)</p> <p>그러면 \( Y= \left \{ Y_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)는 상태공간이 \( \mathcal { S } ^ { L } = \left \{\left (i_ { 1 } , \cdots, i_ { L } \right ): i_ { k } \in \mathcal { S } , k=1 \right . \), \( 2, \cdots, L \} \)인 마르코프연쇄가 됨을 보여라.</p> <p>유사한 방법으로 \( \tau_ { j } (1), \tau_ { j } (2), \cdots \)가 서로 독립이고 같은 분포를 따른다는 것을 보일 수 있다.</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)에 대하여 \[1_ {\left (X_ { n } -j \right \} } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & X_ { n } =j \\0, & X_ { n } \neq j \end {array} \right . \]라 하면 \( X \)가 \( j \)를 방문하는 총 횟수 \( N_ { j } \)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>\( \left .N_ { j } = \sum_ { n } ^ {\infty } 1_ { 0 } ^ {\infty } x_ { n } { } _ { j } \right \} \)</p> <p>정리 \( 5.10 \) \[P \left (N_ { j } =m \mid X_ { 0 } =j \right )=f_ { j } ^ { m-1 } \left (1-f_ { j } \right ), \quad m=1,2, \cdots \]</p> <p>증명 다음을 주목하자.</p> <p>\( \begin {aligned} \left \{ N_ { j } =m \right \} &= \left \{ T_ { j } (1)< \infty, \cdots, T_ { j } (m-1)< \infty, T_ { j } (m)= \infty \right \} \\ &= \left \{\tau_ { j } (1)< \infty, \cdots, \tau_ { j } (m-1)< \infty, \tau_ { j } (m)= \infty \right \} \end {aligned} \)</p> <p>정리 \(5.9 \)로부터 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} P \left (N_ { j } = \right .& \left .m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\=& P \left ( \tau_ { j } (1)< \infty \mid X_ { 0 } =i \right ) \cdots P \left ( \tau_ { j } (m-1)< \infty \mid X_ { 0 } =j \right ) \\ & \times P \left ( \tau_ { j } (m)= \infty \mid X_ { 0 } =j \right ) \\=& f_ { j } ^ { m-1 } \left (1-f_ { j } \right ) \end {aligned} \)</p> <p>정리 \( 5.9 \) \( X_ { 0 } = j \) 라는 가정하에서 \( \tau_ { j } (1), \tau_ { j } (2), \cdots \)는 서로 독립이고 각각은 \( T_ { j } \)와 같은 분포를 따른다.</p> <p>증명 \( X_ { 0 } =j \)라는 가정하에서 \( \tau_ { j } (1)=T_ { j } \)이므로 \( \tau_ { j } (1), \tau_ { j } (2), \cdots \)가 서로 독립이고 같은 분포를 따른다는 것을 보이면 충분하다</p> <p>먼저 다음을 보이자.</p> <p>\[ \begin {array} { l } P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) \\=P \left (X_ { m + 1 } \neq j, \cdots, X_ { m + n-1 } \neq j, X_ { m + n } =j \mid X_ { 0 } =j \right . \\ \left . \quad X_ { 1 } =j, X_ { 1 } \neq j, \cdots X_ { m-1 } \neq j, X_ { m } =j \right ) \\ =P \left (X_ { m + 1 } \neq j, \cdots, X_ { m + n-1 } \neq j, X_ { m + n } =j \mid X_ { m } =j \right ) \\=P \left (X_ { 1 } \neq j, \cdots, X_ { n-1 } \neq j, X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j \right ) \\=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {array} \]</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) &= \sum_ { m=1 } ^ {\infty } P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \sum_ { m=1 } ^ {\infty } P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&=P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {aligned} \]가 되어 \( \tau_ { j } (1) \)과 \( \tau_ { j } (2) \)는 같은 분포를 따른다. 한편 \[ \begin {array} { l } P \left ( \tau_ { j } (1)=m, \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) \\ =P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j, \tau_ { j } (1)=m \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {array} \] \[ \begin {array} { l } =P \left ( \tau_ { j } (1)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \\ =P \left ( \tau_ { j } (2)=n \mid X_ { 0 } =j \right ) P \left ( \tau_ { j } (1)=m \mid X_ { 0 } =j \right ) \end {array} \]이므로 \( \tau_ { j } (1) \)과 \( \tau_ { j } (2) \)는 서로 독립이다.</p> <p>\( p_ { 00 } ^ { (2 n) } \sim \frac { (4 p q) ^ { n } } {\sqrt {\pi n } } \)</p> <p>따라서 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { 00 } ^ { (2 n) }< \infty \)일 필요충분조건은 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (4 p q) ^ { n } } {\sqrt {\pi n } }< \infty \]이다. \( p= \frac { 1 } { 2 } \) 이면 \( 4 p q=1 \)이고, \( p \neq \frac { 1 } { 2 } \)이면 \( 4 p q<1 \)이므로 \( p= \frac { 1 } { 2 } \)일 경우만 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { 00 } ^ { (2 n) } = \infty \)가 되어 \( X \)가 재귀적이다. 이때 \( X \)는 따름정리 3.14에 의하여 영재귀적이다.</p> <p>예제 5.24 2차원 대칭확률보행과 3차원 대칭확률보행</p> <p>2차원 대칭확률보행은 상태공간이 \( \mathrm { Z } ^ { 2 } = \{ (i, j), i, j=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \} \)이고 한 점 \( (i, j) \)에서 전이가 일어날 경우 각각 \( \frac { 1 } { 4 } \)의 확률로 \( (i + 1, j),(i-1, j),(i, j + 1) \) 또는 \( (i, j-1) \)중의 하나로 전이가 일어나는 마르코프연쇄를 말한다. 3차원 대칭확률보행은 상태공간이 \( \mathrm { Z } ^ { 3 } \)이고 각 \( x \in Z ^ { 3 } \)에 대하여 전이확률이 \[p_ { x, \boldsymbol { x } _ {\pm } \boldsymbol { e } _ { i } } = \frac { 1 } { 6 } , \quad i=1,2,3 \]인 마르코프연쇄이다. 단 \( \boldsymbol { e } _ { 1 } =(1,0,0), \boldsymbol { e } _ { 2 } =(0,1,0), \boldsymbol { e } _ { 2 } =(0,0,1) \) 이다.</p> <p>2차원 대칭확률보행과 3차원 대칭확률보행은 모두 기약이다. 그러나 2차원 대칭확률 보행은 영재귀적인 반면 3차원 대칭확률보행은 일시적인 것으로 알려져 있다.</p> <p>한편 평균적으로 \( U + D \)개의 제품을 생산하는 동안 합격품에서 불합격품으로 전이가 일어나는 횟수는 한 번이므로 \[r_ { A A ^ { c } } = \frac { 1 } { U + D } \]이다. 따라서 \[ \frac { 1 } { U + D } = \sum_ { i \in A_ { j } \in A ^ { c } } \sum_ { i } p_ { i j } . \]</p> <p>또한 \( U + D \)개의 제품 중 \( U \)개가 합격품이므로 합격품의 비율은 \[ \frac { U } { U + D } = \sum_ { i \in A } \pi_ { i } . \]</p> <p>위의 결과를 종합하면 다음을 얻는다.</p> <p>\( U= \frac {\sum_ { i \in A } \pi_ { i } } {\sum_ { i \in A_ { j } \in A ^ {\epsilon } } \pi_ { i } p_ { i j } } \), \( D= \frac { 1- \sum_ { i \in A } \pi_ { i } } {\sum_ { i \in \Lambda_ { j } \in \Lambda ^ {\epsilon } } \sum_ { i } p_ { i j } } = \frac {\sum_ { i \in \Lambda ^ {\epsilon } } \pi_ { i } } {\sum_ { i \in \Lambda_ { j \in \Lambda ^ { e } } } \pi_ { i } p_ { i j } } \)</p> <p>예를 들어 검사 결과의 상태가 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄를 따른다고 하자.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { cccc } \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ 0 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 4 } \\ \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } \\ \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ) \)</p> <p>이때 상태 1과 2는 합격품의 상태를 나타내고 3과 4는 불합격품의 상태를 나타낸다고 하자. \( \left \{ X_ { n } \right \} \)의 정상분포는 \( \pi P= \pi, \pi \mathrm { e } =1 \)로부터 \[ \pi_ { 1 } = \frac { 3 } { 16 } , \quad \pi_ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } , \quad \pi_ { 3 } = \frac { 14 } { 48 } , \pi_ { 4 } = \frac { 13 } { 48 } \]이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } r_ { A A ^ { c } } = \pi_ { 1 } \left (p_ { 13 } + p_ { 14 } \right ) + \pi_ { 2 } \left (p_ { 23 } + p_ { 24 } \right )= \frac { 9 } { 32 } , \\U= \frac { 14 } { 9 } , \quad D=2 \end {array} \]이고 합격품의 비율은 다음과 같다.</p> <p>\( \frac { U } { U + D } = \pi_ { 1 } + \pi_ { 2 } = \frac { 7 } { 16 } \)</p> <p>\( P ^ { n } = \frac { 1 } { a + b } \left ( \begin {array} { ll } b & a \\ b & a \end {array} \right ) + \frac { (1-a-b) ^ { n } } { a + b } \left ( \begin {array} { cc } a & -a \\ -b & b \end {array} \right ) \)</p> <p>이 사실을 이용하여 \( X \)의 극한분포를 구하라.</p> <p>18. 마르코프연쇄 \( X \)의 전이확률행렬이 다음과 같을 때 \( \pi_ { i j } = \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =i \right ) \)를 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P= \left ( \begin {array} { ccc } \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } \\ \frac { 2 } { 3 } & 0 & \frac { 1 } { 3 } \\ \frac { 3 } { 5 } & \frac { 2 } { 5 } & 0 \end {array} \right ) \)</li> <li>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 3 } { 4 } & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 2 } { 3 } \\ \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 \\ \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 1 } { 3 } \end {array} \right ) \)</li></ol> <p>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } 1-p_ { 0 } & p_ { 0 } & 0 & 0 & \cdots \\ 1-p_ { 1 } & 0 & p_ { 1 } & 0 & \cdots \\ 1-p_ { 2 } & 0 & 0 & p_ { 2 } & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end {array} \right ) \)<caption>(5.4)</caption></p> <p>단 \[p_ { i } = \frac { P \left (X_ { 1 } >i + 1 \right ) } { P \left (X_ { 1 } >i \right ) } , \quad i=0,1,2, \cdots \]</p> <p>풀이 \( \left \{ S_ { n } \right \} \)을 갱신발생 시각의 열이라 하자. \( \left \{ A_ { n } \right \} \)의 표본경로는 \( S_ { k } \)일 때 0에서 시작하여 \( \left [S_ { k } , S_ { k + 1 } -1 \right ] \)동안 \( n \)이 증가함에 따라 1만큼씩 증가하다가 시각 \( S_ { k + 1 } \)에서 다시 0이 된다. 따라서</p> <p>\[P \left (A_ { n + 1 } =i + 1 \mid A_ { n } =i \right ) + P \left (A_ { n + 1 } =0 \mid A_ { n } =i \right )=1 \]이므로 \( P \left (A_ { n + 1 } =0 \mid A_ { n } =i \right )=1-P \left (A_ { n + 1 } =i + 1 \mid A_ { n } =i \right ) \)이다. 한편 \( A_ { n } =i \)이기 위해서는 시각 \( n-i \)에 갱신이 발생하고 다음 갱신이 발생할 때까지의 시간이 \( i \)보다 커야 하므로 \[ \begin {aligned} P \left (A_ { n } =i \right ) &= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } P \left (S_ { k } =n-i, X_ { k + 1 } >i \right ) \\&=P \left (X_ { 1 } >i \right ) \left ( \sum_ { k=0 } ^ {\infty } P \left (S_ { k } =n-i \right ) \right ) . \end {aligned} \] 같은 방법으로 다음을 얻는다.</p> <p>\[P \left (A_ { n + 1 } =i + 1, A_ { n } =i \right )=P \left (X_ { 1 } >i + 1 \right ) \left ( \sum_ { k=0 } ^ {\infty } P \left (S_ { k } =n-i \right ) \right ) \]</p> <p>따라서 \[P \left (A_ { n + 1 } =i + 1 \mid A_ { n } =i \right )= \frac { P \left (X_ { 1 } >i + 1 \right ) } { P \left (X_ { 1 } >i \right ) } , i=0,1,2, \cdots . \]</p> <p>정리 \( 5.13 \) 재귀성의 집단성질 \( i \leftrightarrow j \)일 때 \( i \)가 재귀적이면 \( j \)도 재귀적이다.</p> <p>증명 \( m, n \)을 \( p_ { i j } ^ { (m) } >0 \)와 \( p_ { j i } ^ { (n) } >0 \)를 만족하는 양의 정수라 하자. 그러면 임의의 정수 \( s \geq 0 \)에 대하여 \[p_ { j j } ^ { (n + s + m) } \geq p_ { j i } ^ { (n) } p_ { i i } ^ { (s) } p_ { i j } ^ { (m) } \]이고 \[ \sum_ { s=0 } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n + s + m) } \geq p_ { j i } ^ { (n) } p_ { i j } ^ { (m) } \sum_ { s=0 } ^ {\infty } p_ { i i } ^ { (s) } = \infty \]이므로 정리 \(5.11 \)에 의하여 \( j \)는 재귀적이다.</p> <p>재귀성은 집단성질이므로 기약인 마르코프연쇄에서 한 상태가 재귀적이면 모든 상태가 재귀적이다. 이때, 마르코프연쇄는 재귀적이라고 한다.</p> <p>예제 \(5.22 \)</p> <p>\( X_ { n } \)을 성공할 확률이 \( p \)인 베르누이시행을 \( n \)회 수행하였을 때, 성공한 횟수라 하면 \( \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 마르코프연쇄가 됨은 이미 알고 있다(예제 \(5.7 \)). 이때 상태공간은 \( S \) \( = \{ 0,1,2, \cdots \} \)이고 모든 \( j \in S \) 에 대하여 \( j \rightarrow j + 1 \)이나 \( j + 1 \nrightarrow j \)이므로 모든 상태가 일시적이다.</p> <p>예제 \(5.23 \) \(1 \)차원 단순확률보행</p> <p>\( \boldsymbol { X } = \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)를 전이확률이 \[p_ { i, i + 1 } =p, \quad p_ { i, i-1 } =q=1-p, \quad i=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \]인 단순확률보행이라 하자. \( X \)는 기약이므로 모든 상태가 일시적이든지 아니면 재귀적이다. 그러므로 상태 \(0 \)에 대하여만 살펴보아도 충분하다. 상태 \(0 \)의 주기가 \(2 \)므로 \(0 \)이 재귀적인지를 판단하기 위하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { 00 } ^ { (2 n) } = \infty \)의 여부만 살펴보면 충분하다. 한편 \[p_ { 00 } ^ { (2 n) } = \left ( \begin {array} { c } 2 n \\n \end {array} \right ) p ^ { n } q ^ { n } = \frac { (2 n) ! } { n ! n ! } (p q) ^ { n } , \quad n=1,2, \cdots \]이므로 스털링공식 \((3.2) \)를 이용하면 다음을 얻는다.</p> <h1>5.3 마르코프연쇄의 결합분포</h1> <p>마르코프연쇄 \( X = \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)에서 \( X_ { 0 } \)를 \( X \)의 초기상태(initial state)라 하고 \( X_ { 0 } \)의 분포를 초기분포(initial distribution)라 한다. 앞으로 \( X_ { n } \)의 분포를 \[p_ { j } ^ { (n) } =P \left (X_ { n } =j \right ), j \in \mathcal { S } , n \geq 0 \]이라 하고 \( p ^ { (n) } = \left (p_ { j } ^ { (n) } , j \in S \right ) \)로 나타낸다.</p> <p>이 절에서는 \( X \)의 초기분포와 일 단계 전이확률로부터 \( \left \{ X_ { n } \right \} \)의 결합확률분포를 구할 수 있음을 보인다.</p> <p>정리 \( 5.3 \) \( n \geq 0, m \geq 1 \)과 \( i_ { 0 } , i_ { 1 } , \cdots, i_ { m } \in \mathcal { S } \)에 대하여 \[P \left (X_ { n + 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { n + m } =i_ { m } \mid X_ { n } =i_ { 0 } \right )=p_ { i_ { 0 } , i_ { 1 } } p_ { i_ { 1 } , i_ { 2 } } \cdots p_ { i_ { m-1 } , i_ { m } } \]</p> <p>증명 \( E_ { k } = \left \{ X_ { n + k } =i_ { k } \right \} (k=0,1, \cdots, m) \)이라 하면 조건부확률에 대한 곱의 공식 \((1.2) \)에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>\( P \left (E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { m } \mid E_ { 0 } \right )=P \left (E_ { 1 } \mid E_ { 0 } \right ) P \left (E_ { 2 } \mid E_ { 0 } E_ { 1 } \right ) \cdots P \left (E_ { m } \mid E_ { 0 } \cdots E_ { m-1 } \right ) \)</p> <p>보조정리 \( 5.14 \) \( \boldsymbol { f } _ { j } = \left \{ f_ { j } (k), k \geq 0 \right \} , \boldsymbol { u } _ { j } = \left \{ u_ { j } (k), k \geq 0 \right \} \)는 다음 갱신방정식을 만족한다. \[ \boldsymbol { u } _ { j } = \delta + \boldsymbol { u } _ { j } * \boldsymbol { f } _ { j } , \quad j \in \mathcal { S } \]<caption>(5.9)</caption></p> <p>증명 \( T_ { j } \)의 정의와 마르코프성질에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( P \left (X_ { n } =j \mid T_ { j } =k, X_ { 0 } =j \right ) \) \( \\ \quad=P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j, X_ { 1 } \neq j, \cdots, X_ { k-1 } \neq j, X_ { k } =j \right ) \) \( \\ \quad=P \left (X_ { n } =j \mid X_ { k } =j \right ) \) \( =u_ { j } (n-k) \)</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} u_ { j } (n) &=P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&= \sum_ { k=0 } ^ { n } P \left (X_ { n } =j \mid T_ { j } =k, X_ { 0 } =j \right ) P \left (T_ { j } =k \mid X_ { 0 } =j \right ) \\&= \sum_ { k=0 } ^ { n } u_ { j } (n-k) f_ { j } (k), \quad n=0,1,2, \cdots . \end {aligned} \]</p> <p>정리 \( 5.15 \) 마르코프연쇄 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 기약이며 비주기적일 때 다음이 성립한다. \((1) \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } = \frac { 1 } { m_ { j } } , \quad j \in \mathcal { S } \)<caption>(5.10)</caption>단 \( m_ { j } =E \left [T_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ] \)이고, \( m_ { j } = \infty \)이면 \( \frac { 1 } { m_ { j } } =0 \)이다. \((2) \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { i j } ^ { (n) } = \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } , i, j \in S \)<caption>(5.11)</caption></p> <p>예제 \(5.12 \) 대기행렬모형 Ⅱ</p> <p>제 \(2 \)장의 예제 \( 2.4 \)와 같이 단일서버가 도착순서에 따라 서비스를 하며 무한의 대기실을 갖는 대기행렬모형을 생각하자. \( Y_ { 0 } =0 \)이라 하고 \( Y_ { n } (n \geq 1) \)을 \( n \)번째 고객이 도착하기 직전에 시스템에 남아 있는 고객 수라 하자. 또한 \( \eta_ { n + 1 } \)을 \( n \)번째 고객이 도착한 직후부터 \( (n + 1) \)번째 고객이 도착하기 직전의 기간 동안 시스템에서 서비스를 제공 가능한 고객 수라 하자. 즉 \( \eta_ { n + 1 } \)은 시스템에 충분히 많은 고객이 있을 때 서비스를 마칠 수 있는 고객 수이다. 따라서 \( \eta_ { n + 1 } \)은 \( Y_ { n } \)보다 클 수도 있다. \( Y_ { n } \)과 \( \eta_ { n + 1 } \)은 다음과 같은 관계가 있다. \[ Y_ { n + 1 } = \left (Y_ { n } + 1- \eta_ { n + 1 } \right ) ^ { + } , \quad n=0,1,2, \cdots \] \( \eta_ { 1 } , \eta_ { 2 } , \cdots \)가 서로 독립이며 같은 분포를 따른다고 가정하고 \[ P \left ( \eta_ { n } =k \right )=b_ { k } , \quad k=0,1,2, \cdots \]라 하자. 그러면 정리 \(5.1 \)에 의하여 \( Y= \left \{ Y_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄가 된다. \[ P= \left ( \begin {array} { cccccc } \bar { b } _ { 0 } & b_ { 0 } & 0 & 0 & 0 & \cdots \\ \bar { b } _ { 1 } & b_ { 1 } & b_ { 0 } & 0 & 0 & \cdots \\ \bar { b } _ { 2 } & b_ { 2 } & b_ { 1 } & b_ { 0 } & 0 & \cdots \\ \bar { b } _ { 3 } & b_ { 3 } & b_ { 2 } & b_ { 1 } & b_ { 0 } & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end {array} \right ) \] 단 \( \bar { b } _ { i } =1- \sum_ { j=0 } ^ { i } b_ { i } , i=0,1,2, \cdots \)이다.</p> <p>예제 \(5.30 \)</p> <p>어떤 생산라인을 통하여 생산된 모든 제품은 출하되기 전 여러 가지 형태의 품질검사를 받는다고 하자. 품질검사의 결과를 편의상 \( 1,2, \cdots, m \)으로 나타내자. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 생산된 제품의 품질검사 결과라 할 때 \( \left \{ X_ { n } , n = 1,2, \cdots \right \} \)는 전이확률이 \( p_ { i j } (1 \leq i \), \( j \leq m) \)인 마르코프연쇄가 된다고 하자. 품질검사의 결과가 합격으로 판정될 상태의 집합을 \( A \)라 하고, 불합격으로 판정될 제품의 상태의 집합을 \( A ^ { c } \)라 하자. 즉 \( n \)번째 제품의 품질검사 결과 \( X_ { n } \in A \)이면 제품은 합격품이고 \( X_ { n } \in A ^ { c } \)이면 제품은 불합격품이다. 이때 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>합격품 다음에 불합격품이 생산될 비율 \( r_ { A A ^ { c } } \)</li> <li>연속해서 생산되는 합격품 개수의 평균 \( U \)</li> <li>연속해서 생산되는 불합격품 개수의 평균 \( D \)</li> <li>합격품의 비율</li></ol> <p>풀이 \( \pi= \left ( \pi_ { k } , 1 \leq k \leq m \right ) \)를 마르코프연쇄 \( \left \{ X_ { n } \right \} \)의 정상분포라 하자. 그러면 합격품의 비율은 \[ \sum_ { i \in A } \pi_ { i } \]이다. 각각의 \( i \in A \) 와 \( j \in A ^ { c } \)에 대하여 상태 \( i \)에서 상태 \( j \)로 전이가 일어날 비율은 \( \pi_ { i } p_ { i j } \)이므로 합격품이 생산된 바로 다음에 생산된 제품이 검사 결과가 \( j \in A ^ { c } \)가 되어 불합격품이 될 비율은 \( \sum_ { i \in A } \pi_ { i } p_ { i j } \)이다. 그러므로 \[r_ { A A ^ { c } } = \sum_ { i \in A_ { j } \in A ^ { c } } \sum_ { i } p_ { i j } \]</p> <p>\( P ^ { (n) } =P ^ { (n-1) } P=P ^ { n } \)<caption>(5.6)</caption></p> <p>즉 \( n \)단계 전이확률행렬은 일 단계 전이확률행렬을 \( n \)번 곱한 것과 같다.</p> <p>따름정리 \( 5.6 \) \[p ^ { (n) } =p ^ { (0) } P ^ { (n) } \]</p> <p>증명 전확률공식에 의하여 \[ \begin {aligned} p_ { k } ^ { (n) } &=P \left (X_ { n } =k \right ) \\ &= \sum_ { j \in S } P \left (X_ { n } =k \mid X_ { 0 } =j \right ) P \left (X_ { 0 } =j \right ) \\ &= \sum_ { j \in S } p_ { j } ^ { (0) } p_ { j k } ^ { (n) } , \quad k \in \mathcal { S } . \end {aligned} \]</p> <p>예제 \( 5.16 \) 예제 \( 5.1 \)의 연속</p> <p>오늘 비가 오지 않는다고 가정하자. 앞으로 \(3 \)일 후에 비가 올 확률은 얼마인가? 앞으로 \(3 \)일 후에는 비가 오지만 \(5 \)일 뒤에는 비가 오지 않을 확률은 얼마인가?</p> <p>풀이 채프만-콜모고로프 방정식으로부터 \( P ^ { (2) } =P ^ { 2 } , P ^ { (3) } =P ^ { 3 } \)이므로 \[ P= \left ( \begin {array} { ll } 0.8 & 0.2 \\0.7 & 0.3 \end {array} \right ), \quad P ^ { (2) } = \left ( \begin {array} { ll } 0.78 & 0.22 \\0.77 & 0.23 \end {array} \right ), \quad P ^ { (3) } = \left ( \begin {array} { ll } 0.778 & 0.222 \\0.777 & 0.223 \end {array} \right ) \]</p> <p>따라서 오늘 비가 오지 않는다는 가정하에서 \(3 \)일 후에 비가 올 확률은 \[P \left (X_ { 3 } =2 \mid X_ { 0 } =1 \right )=p_ { 12 } ^ { (3) } =0.222 \]이고 \(3 \)일 후에는 비가 오지만 \(5 \)일 뒤에는 비가 오지 않을 확률은 \[P \left (X_ { 3 } =2, X_ { 5 } =1 \mid X_ { 0 } =1 \right )=p_ { 12 } ^ { (3) } p_ { 21 } ^ { (2) } =(0.222)(0.77)=0.17094 . \]</p> <p>정리 \( 5.1 \)</p> <p>\( Y_ { 1 } , Y_ { 2 } , \cdots \)를 서로 독립인 확률변수열이라 하자. 확률변수 \( X_ { 0 } \) 가 \( \left \{ Y_ { n } , n = 1,2 \right . \), \( \cdots \)와 서로 독립이고 \( X_ { n + 1 } \)이 \[X_ { n + 1 } =f \left (X_ { n } , Y_ { n + 1 } \right ), \quad n=0,1,2, \cdots \]<caption>(5.2)</caption>와 같이 \( X_ { n } \) 과 \( Y_ { n + 1 } \)의 함수로 나타나면 확률과정 \( X= \left \{ X_ { n } , n=0,1, \cdots \right \} \)는 마르코프연쇄가 된다. 특히 \( \left \{ Y_ { n } \right \} \)이 독립이며 같은 분포를 따르면 \( X \)는 시간동질인 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>증명 \( g_ { 1 } \left (X_ { 0 } , Y_ { 1 } \right )=f \left (X_ { 0 } , Y_ { 1 } \right ) \)으로 두고 \[g_ { n } \left (X_ { 0 } , Y_ { 1 } , \cdots, Y_ { n } \right )=f \left (g_ { n-1 } \left (X_ { 0 } , Y_ { 1 } , \cdots, Y_ { n-1 } \right ), Y_ { n } \right ), \quad n \geq 2 \]이라 하면 식 \((5.2) \)로부터 \( X_ { n } =g_ { n } \left (X_ { 0 } , Y_ { 1 } , \cdots, Y_ { n } \right )(n \geq 1) \)과 같이 \( X_ { 0 } \) 와 \( Y_ { 1 } , \cdots, Y_ { n } \)에 의하여 정해진다. 가정에 의하여 \( Y_ { n + 1 } \)과 \( X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } \)은 서로 독립이므로 다음이 성립한다.</p> <p>\(19 \). 예제 \( 5.3 \)에서 시간이 충분히 지났을 때 쥐가 각 방에 있을 확률을 구하라.</p> <p>\(20 \). \( N \)개의 공이 들어 있는 항아리에서 임의로 한 개의 공을 택한 다음 앞면이 나올 확률이 \( p \) 인 동전을 던져서 앞면이 나오면 선택된 공 대신 흰 공을, 뒷면이 나오면 검은 공을 항아리 속에 넣는 실험을 생각하자. 이 실험을 무한히 반복한 후에 항아리 속에 들어 있는 흰 공 개수의 분포를 구하라.</p> <p>\(21 \). \(5 \)개의 흰 공과 \(7 \)개의 검은 공을 두 개의 항아리 \( A, B \)에 각각 \(6 \)개씩 나누어 넣고 양쪽 항아리에서 임의로 한 개씩의 공을 꺼내서 서로 다른 항아리에 넣는 실험을 생각하자. 즉 \( A \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( B \)에 넣고 \( B \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( A \)에 넣는다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 실험이 끝난 후 항아리 \( A \)에 들어있는 흰 공 개수라 할 때 다음 물음에 답하라.</p> <ol type = 1 start=1><li>확률과정 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( X \)의 상태공간과 전이확률을 구하라.</li> <li>이 실험을 무한히 반복한 후 항아리 \( A \)에 들어 있는 흰 공 개수의 분포를 구하라.</li> <li>\(12 \)개의 공 가운데 임의로 \(6 \)개를 택하여 항아리 \( A \)에 넣고 나머지 \(6 \)개를 \( B \)에 넣을 때, \( X_ { 0 } \)를 \( A \)에 있는 흰 공 개수라 하자. \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } \)의 분포를 구하고 \((2) \)의 결과와 비교하라.</li></ol> <p>\(22 \). \( A, B, C \) 세 개의 부서가 있는 어느 회사에서 회사원들의 부서를 다음과 같은 전이확률을 따라 주기적으로 변경한다고 하자.</p> <p>\( \left . \begin {array} { l } A \\B \\ C \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { lll } _ { 0.7 } ^ { ^ { ~A } } & _ { 0.2 } ^ { ^ { ~B } } & _ { 0.1 } ^ { ^ { ~C } } \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5 \end {array} \right ) \)</p> <p>예제 \(5.18 \)</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)의 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\(P = \) \( \left . \begin {array} { l } 1 \\2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { cccccc } _ { 0 } ^ { ^ { 1 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 2 } } & _ { 1 } ^ { ^ { 3 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 4 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 5 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 6 } } \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ) \)</p> <p>\( X \)의 상태전이그림(그림 \(5.5 \))로부터 모든 상태는 상호도달가능임을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 기약이다.</p> <p>예제 \(5.19 \)</p> <p>상태공간이 \( \{ 0,1,2,3,4,5 \} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄를 생각하자.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { cccccc } \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 3 } { 4 } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 5 } & \frac { 4 } { 5 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 1 } { 4 } & 0 & \frac { 1 } { 4 } & \frac { 1 } { 4 } \\ \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } & \frac { 1 } { 6 } \end {array} \right ) \)</p> <p>그림 \(5.6 \)으로부터 동치류들은 \( \{ 0,1 \} , \{ 2,3 \} , \{ 4,5 \} \)임을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 기약이 아니다.</p> <p>예제 \(5.19 \)에서 전이확률행렬의 모양이 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } P_ { 1 } & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & P_ { 2 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & P_ { 3 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ Q_ { 1 } & Q_ { 2 } & Q_ { 3 } & \cdots & Q \end {array} \right ) \)<caption>(5.7)</caption></p> <p>일반적으로 기약이 아닌 마르코프연쇄의 전이확률행렬 \( P \)는 적당한 방법으로 상태의 순서를 바꿈으로써 \((5.7) \)과 같이 나타낼 수 있다. 이때 \( P_ { i } \)에 대응되는 상태의 집합은 무한집합이 될 수도 있다.</p> ㅋ<p>예제 \( 5.6 \) 항아리 모형</p> <p>\( w \)개의 흰 공과 \( (2 N-w) \)개의 검은 공을 두 개의 항아리 \( A, B \)에 각각 \( N \)개씩 나누어 넣었다. 단 \( w<N \)을 가정한다. 그 다음 양쪽 항아리에서 임의로 한 개씩의 공을 꺼내서 서로 다른 항아리에 넣는 실험을 생각하자. 즉 \( A \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( B \)에 넣고 \( B \)에서 꺼낸 공은 항아리 \( A \)에 넣는다. \( X_{0} \)를 항아리 \( A \)에 처음 들어 있는 흰 공의 수, \( X_{n} \)을 \( n \)번째 실험이 끝난 후에 항아리 \( A \)에 들어 있는 흰 공의 개수라 할 때 확률과정 \( X= \) \( \left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)이 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( X \)의 상태공간과 전이확률을 구하라.</p> <p>풀이 항아리 \( A \)에 들어 있는 흰 공의 개수는 기껏해야 \( w \)개이므로 \( X \)의 상태공간은 \( \mathcal{S}=\{0,1,2, \cdots, w\} \)이다. 확률변수 \( A_{n} \) 과 \( B_{n}(n=1,2, \cdots) \)을 다음과 같이 정의하자.</p> <ul> <li>\( A_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1, n \text { 번째 실험에서 항아리 } A \text { 에서 흰 공이 나올 경우 } \\ 0, n \text { 번째 실험에서 항아리 } A \text { 에서 검은 공이 나올 경우 }\end{array}\right. \)</li> <li>\( B_{n}=\left\{\begin{array}{ll}1, n \text { 번째 실험에서 항아리 } B \text { 에서 흰 공이 나올 경우 } \\ 0, n \text { 번째 실험에서 항아리 } B \text { 에서 검은 공이 나올 경우 }\end{array}\right. \)</li></ul> <p>그러면 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>\( X_{n+1}=X_{n}+\left(B_{n+1}-A_{n+1}\right), \quad n=0,1,2, \cdots \)</p> <p>따라서 \( X_{0}=i_{0}, X_{1}=i_{1}, \cdots, X_{n}=i_{n} \)이 주어졌을 때 \( X_{n+1} \)은 \( X_{n} \)과 \( A_{n+1} \), \( B_{n+1} \)에 의하여 결정되는 것을 알 수 있다. 한편 \( A_{n+1} \)과 \( B_{n+1} \)의 분포는 다음과 같이 \( X_{n} \)에만 의존한다.</p> <p>\( P\left(A_{n+1}=1 \mid X_{n}=i\right)=\frac{i}{N} \)\( P\left(B_{n+1}=1 \mid X_{n}=i\right)=\frac{w-i}{N}, \quad i=0,1, \cdots, w \)</p> <p>결과적으로 \( X_{0}=i_{0}, X_{1}=i_{1}, \cdots, X_{n}=i_{n} \)이 주어졌을 때 \( X_{n+1} \)의 조건부분포는 \( X_{n}=i_{n} \)에만 의존한다. 따라서 \( X \)는 마르코프연쇄이다. 전이확률을 구하기 위하여 다음 사건을 정의한다.</p> <p>\( E_{a}=(n+1) \)번째 실험에서 항아리 \( A \)에서 흰 공이 나올 사건, \( E_{b}=(n+1) \)번째 실험에서 항아리 \( B \) 에서 흰 공이 나올 사건</p> <p>\( X_{n}=0 \)일 때 \( X_{n+1} \)이 취할 수 있는 값은 \(0\) 또는 \(1\)이다.</p> <p>\( p_{00}=P\left(X_{n+1}=0 \mid X_{n}=0\right)=P\left(E_{b}^{c} \mid X_{n}=0\right)=\frac{N-w}{N} \), \( p_{01}=P\left(X_{n+1}=1 \mid X_{n}=0\right)=P\left(E_{b} \mid X_{n}=0\right)=\frac{w}{N} \)</p> <p>\( X_{n}=i(1 \leq i<w) \)일 때 \( X_{n+1} \) 은 \( i-1, i, i+1 \)중에서 값을 가질 수 있다. 한편 \( \left\{X_{n}=i\right\} \)가 주어졌다는 가정하에 \( E_{a} \)와 \( E_{b} \)는 조건부독립이므로 다음이 성립한다.</p> <p>\[\begin{array}{l}p_{i, i-1}=P\left(X_{n+1}=i-1 \mid X_{n}=i\right) \\\quad=P\left(E_{a} E_{b}^{c} \mid X_{n}=i\right)=P\left(E_{a} \mid X_{n}=i\right) P\left(E_{b}^{c} \mid X_{n}=i\right) \\=\frac{i}{N} \frac{N-w+i}{N} \\ p_{i i}=P\left(X_{n+1}=i \mid X_{n}=i\right) \\=P\left(E_{a} E_{b} \mid X_{n}=i\right)+P\left(E_{a}^{c} E_{b}^{c} \mid X_{n}=i\right) \\=\frac{i}{N} \frac{w-i}{N}+\frac{N-i}{N} \frac{N-w+i}{N} \\p_{i, i+1}=P\left(X_{n+1}=i+1 \mid X_{n}=i\right) \\ =P\left(E_{a}^{c} E_{b} \mid X_{n}=i\right)=\frac{N-i}{N} \frac{w-i}{N}\end{array}\]</p> <p>\( X_{n}=w \) 일 때 \( X_{n+1} \)이 취할 수 있는 값은 \( w-1 \) 또는 \( w \)이므로 \( p_{w, w-1}=P\left(E_{a} \mid X_{n}=w\right)=\frac{w}{N} \)\( p_{w w}=P\left(E_{a}^{c} \mid X_{n}=w\right)=\frac{N-w}{N} \)</p> <h1>5.5 극한분포</h1> <p>예제 \( 5.11 \) 에서 상태공간이 \( \{1,2,3\} \) 이고 전이확률행렬이 \[ P=\left(\begin{array}{lll} 0.2 & 0.3 & 0.5 \\ 0.7 & 0 & 0.3 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \end{array}\right) \]인 마르코프연쇄 \( \left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)에 대하여 채프만-콜모고로프방정식을 사용하여 \( P^{(2)} \) 와 \( P^{(3)} \)를 구하였다. 같은 방법으로 \( P^{(9)} \)와 \( P^{(13)} \)을 구하면 다음과 같다.</p> <p>\( \begin{aligned} P^{(9)} &=\left(\begin{array}{lll}0.354156 & 0.308641 & 0.337203 \\ 0.354332 & 0.308447 & 0.337222 \\ 0.354380 & 0.308612 & 0.337008\end{array}\right) \\ P^{(13)} &=\left(\begin{array}{lll}0.354288 & 0.308569 & 0.337142 \\ 0.354286 & 0.308573 & 0.337140 \\ 0.354282 & 0.308572 & 0.337146\end{array}\right) \end{aligned} \)</p> <p>위의 수치결과로부터 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( p_{i j}^{(n)} \)는 초기상태 \( i \)와 무관하게 일정한 값에 가까이 가는 것을 알 수 있다. 이 절에서는 마르코프연쇄 \( X \)가 상태 \( i \)에서 출발하여 시간이 충분히 지난 뒤 상태 \( j \)에 있을 확률 \( \lim _{n \rightarrow \infty}^{(n)} \)에 대하여 살펴본다.</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)가 초기상태 \( X_{0} \)를 출발한 후 상태 \( j \)를 처음으로 방문할 때까지의 전이 수 \( T_{j} \)에 대하여 \( f_{j}(k)=P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=j\right) \)라 하고 \( u_{j}(k)=p_{j j}^{(k)} \)라 하자.</p> <p>보조정리 \( 5.14 \) \( \boldsymbol{f}_{j}=\left\{f_{j}(k), k \geq 0\right\}, \boldsymbol{u}_{j}=\left\{u_{j}(k), k \geq 0\right\} \) 는 다음 갱신방정식을 만족한다.</p> <p>\( \boldsymbol{u}_{j}=\boldsymbol{\delta}+\boldsymbol{u}_{j} * \boldsymbol{f}_{j}, \quad j \in \mathcal{S} \)<caption>(5.9)</caption></p> <p>증명 \( T_{j} \)의 정의와 마르코프성질에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( P\left(X_{n}=j \mid T_{j}=k, X_{0}=j\right) \) \( \quad=P\left(X_{n}=j \mid X_{0}=j, X_{1} \neq j, \cdots, X_{k-1} \neq j, X_{k}=j\right) \) \( \quad=P\left(X_{n}=j \mid X_{k}=j\right) \) \[=u_{j}(n-k)\]</p> <p>따라서 \[ \begin{aligned} u_{j}(n) &=P\left(X_{n}=j \mid X_{0}=j\right) \\ &=\sum_{k=0}^{n} P\left(X_{n}=j \mid T_{j}=k, X_{0}=j\right) P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=j\right) \\ &=\sum_{k=0}^{n} u_{j}(n-k) f_{j}(k), \quad n=0,1,2, \cdots . \end{aligned}\]</p> <p>정리 \( 5.15 \) 마르코프연쇄 \( X=\left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)이 기약이며 비주기적일 때 다음이 성립한다.</p> <p>\((1)\) \( \lim _{n \rightarrow \infty} p_{j j}^{(n)}=\frac{1}{m_{j}}, \quad j \in \mathcal{S} \)<caption>(5.10)</caption></p> <p>단 \( m_{j}=E\left[T_{j} \mid X_{0}=j\right] \) 이고, \( m_{j}=\infty \)이면 \( \frac{1}{m_{j}}=0 \)이다.</p> <p>\((2)\) \( \lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=\lim _{n \rightarrow \infty} p_{j j}^{(n)}, \quad i, j \in S \)<caption>(5.11)</caption></p> <p>증명 \((1)\) 보조정리 \(5.14\)와 갱신정리(정리 \(4.8\))에 의하여 자명하다.</p> <p>\((2)\) 먼저 \( i, j \in S \)를 고정시키고 \( g(n)=P\left(T_{j}=n \mid X_{0}=i\right) \)라 하면 \( T_{j} \의 정의와 마르코프성질에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin{aligned} p_{i j}^{(n)} &=\sum_{k=0}^{n} P\left(X_{n}=j \mid T_{j}=k, X_{0}=i\right) P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=i\right) \\ &=\sum_{k=0}^{n} P\left(X_{n}=j \mid X_{k}=j\right) P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=i\right) \\ &=\sum_{k=0}^{n} p_{j j}^{(n-k)} g(k), \quad n=0,1,2, \cdots \end{aligned} \)</p> <p>한편 \[\sum_{k=0}^{\infty} g(k)=P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=i\right)\]이므로 따름정리 \( 4.10 \)과 (5.10)으로부터 다음을 얻는다.</p> <p>\[\lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=\lim _{n \rightarrow \infty} v(n)=\left(\lim _{n \rightarrow \infty} p_{j j}^{(n)}\right) P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=i\right)\]<caption>(5.12)</caption></p> <p>\( X \)가 일시적이면 정리 \( 5.12 \)에 의하여 \( \lim _{n \rightarrow \infty} p_{j j}^{(n)}=0 \)이므로 \((5.12)\)로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>\( \lim _{n \rightarrow \infty} p_{i j}^{(n)}=0=\lim _{n \rightarrow \infty} p_{j j}^{(n)} \)</p> <p>\( X \)가 재귀적일 때는 \((5.12)\)로부터 \( P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=i\right)=1 \)을 보이면 충분 하다. \( X \)가 기약이므로 \( p_{j i}^{(m)}>0 \)를 만족하는 양의 정수 \( m \)이 존재한다. \( X \)가 재귀적이면 \( P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=j\right)=1 \)이므로 \[\begin{aligned}0 &=P\left(T_{j}=\infty \mid X_{0}=j\right) \\& \geq P\left(T_{j}=\infty \mid X_{0}=j, X_{m}=i\right) P\left(X_{m}=i \mid X_{0}=j\right) \\&=P\left(T_{j}=\infty \mid X_{m}=i\right) p_{j i}^{(m)}\end{aligned}\]</p> <p>따라서 \( P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=i\right)=1 \)이고 \((5.11)\)이 증명된다.</p> <p>참고 정리 \(5.16\)으로부터 기약이며 비주기적인 마르코프연쇄에 대하여 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( p_{i j}^{(n)} \)는 초기 조건에 영향을 받지 않고 일정한 값에 수렴하는 것을 알 수 있다.</p> <p>따라서 \( X_ { 0 } =i_ { 0 } , X_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { n } =i_ { n } \)이 주어졌을 때 \( X_ { n + 1 } \)은 \( X_ { n } \)과 \( A_ { n + 1 } \), \( B_ { n + 1 } \)에 의하여 결정되는 것을 알 수 있다. 한편 \( A_ { n + 1 } \)과 \( B_ { n + 1 } \)의 분포는 다음과 같이 \( X_ { n } \)에만 의존한다.</p> <p>\( P \left (A_ { n + 1 } =1 \mid X_ { n } =i \right )= \frac { i } { N } \), \( P \left (B_ { n + 1 } =1 \mid X_ { n } =i \right )= \frac { w-i } { N } , \quad i=0,1, \cdots, w \)</p> <p>결과적으로 \( X_ { 0 } =i_ { 0 } , X_ { 1 } =i_ { 1 } , \cdots, X_ { n } =i_ { n } \)이 주어졌을 때 \( X_ { n + 1 } \)의 조건부분포는 \( X_ { n } =i_ { n } \)에만 의존한다. 따라서 \( X \)는 마르코프연쇄이다. 전이확률을 구하기 위하여 다음 사건을 정의한다.</p> <p>\( E_ { a } =(n + 1) \)번째 실험에서 항아리 \( A \)에서 흰 공이 나올 사건, \( E_ { b } =(n + 1) \)번째 실험에서 항아리 \( B \)에서 흰 공이 나올 사건</p> <p>\( X_ { n } =0 \)일 때 \( X_ { n + 1 } \)이 취할 수 있는 값은 \(0 \)또는 \(1 \)이다.</p> <p>\( p_ { 00 } =P \left (X_ { n + 1 } =0 \mid X_ { n } =0 \right )=P \left (E_ { b } ^ { c } \mid X_ { n } =0 \right )= \frac { N-w } { N } \), \( p_ { 01 } =P \left (X_ { n + 1 } =1 \mid X_ { n } =0 \right )=P \left (E_ { b } \mid X_ { n } =0 \right )= \frac { w } { N } \)</p> <h1>5.2 마르코프연쇄의 예</h1> <p>예제 \( 5.1 \)</p> <p>날씨의 상태를 비가 오거나 그렇지 않은 상태 두 가지로만 나누는 경우를 생각하자. 이때 내일의 날씨는 오늘의 날씨에만 의존한다고 가정하자. 오늘 비가 오지 않을 때 내일도 비가 오지 않을 확률은 \( 0.8 \)이고, 오늘 비가 온다고 할 때 내일도 비가 올 확률은 \( 0.3 \)이라고 하자. \( X_{n} \)을 \( n \)번째 날 비가 오지 않으면 \(1\) , 비가 오면 \(2\)의 값을 갖는 확률변수라 하면 확률과정 \( \left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)은 상태공간이 \( \{1,2\} \)인 마르코프연쇄가 되며 전이확률행렬은 다음과 같다.</p> <p>\( Q=\begin{array}{} & 1 & 2 \\ 1& \\ 2 \\ \end{array}\left(\begin{array}{} 0.8 & 0.2 \\0.7 & 0.3\end{array}\right) \)</p> <p>예제 \( 5.2 \)</p> <p>어떤 기계의 상태는 '작동 중'이거나 '수리 중' 둘 중 하나의 상태로 있다고 하자. \( n \)번째 날에 작동 중인 기계가 그 다음날에도 작동 중일 확률은 \( \alpha \)이고 \( n \)번째 날에 수리 중인 기계가 다음날 작동 중인 상태에 있을 확률을 \( 1-\beta \)라 하자. 내일의 기계 상태는 오늘의 상태에만 의존하고 그 이전의 상태에는 의존하지 않는다고 가정하자. \( X_{n} \)을 \( n \)번째 날 기계가 작동 중이면 \(1\) , 수리 중이면 \(2\)의 값을 갖는 확률변수라 하자. 그러면 확률과정 \( \left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)은 상태공간이 \( \{1,2\} \) 이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>\( Q=\begin{array}{} & 1 & 2\ \\ 1& \\ 2 \\ \end{array}\left(\begin{array}{ccc}alpha & 1-\alpha \\1-\beta & \beta\cr\end{array}\right) \)</p> <p>예제 \( 5.3 \)</p> <p>그림 \(5.2\)와 같은 미로를 생각하자. 미로 속에 있는 쥐는 한 방에서 인접한 다른 방으로 갈 때 균등분포를 따라서 움직인다. 예를 들어 방 \(1\)에서 \(2\)와 \(4\)로 갈 확률은 각각 \( \frac{1}{2} \)이고, 방 \(5\)에서 인접한 방으로 갈 확률은 각각 \( \frac{1}{3} \)이다. \( X_{n} \) 을 \( n \)번 움직인 직후 쥐가 있는 방의 번호라고 하자. 확률과정 \( X=\left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)의 상태공간은 명백하게 \( \{1,2, \cdots, 6\} \)이다. 미로 안에 있는 쥐가 다음에 갈 방의 번호는 현재의 위치에만 의존하므로 \( X \) 는 마르코프연쇄가 된다. 또한 \( X \)의 전이확률행렬은 다음과 같다.</p>확률추가해야함<p>예제 \( 5.4 \)</p> <p>확률변수열 \( X_{0}, X_{1}, \cdots \)은 서로 독립이며 각각의 확률질량함수를 \( p_{i}=P\left(X_{n}=i\right) \), \( i=0,1,2, \cdots \) 라 하자. 그러면 \( X_{n+1} \) 은 \( X_{0}, \cdots, X_{n} \)과 서로 독립이므로 \( P\left(X_{n+1}=j \mid X_{0}=i_{0}, \cdots, X_{n}=i_{n}\right)=P\left(X_{n+1}=j\right)=p_{j} \)\( P\left(X_{n+1}=j \mid X_{n}=i\right)=P\left(X_{n+1}=j\right)=p_{j} \)이다. 따라서 \( \left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)는 다음과 같이 각 행이 모두 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄이다.</p> <p>\( P=\left(\begin{array}{cccc}p_{0} & p_{1} & p_{2} & \cdots \\ p_{0} & p_{1} & p_{2} & \cdots \\ p_{0} & p_{1} & p_{2} & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \end{array}\right) \)</p> <p>예제 \( 5.5 \)</p> <p>\( 1,2, \cdots, N \)과 같이 번호가 붙어 있는 카드 파일에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내 맨 위에 올려놓는 실험을 생각하자. \( X_{0} \)는 \(1\)번 카드의 처음 위치, \( X_{n} \)은 \( n \)번째 실험이 끝 난 직후 \(1\)번 카드의 위치라 할 때 \( X=\left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)는 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( X \)의 전이확률을 구하라.</p> <p>풀이 자명하게 \( \boldsymbol{X} \)의 상태공간은 \( S=\{1,2, \cdots, N\} \)이다. \( n \)번째 실험에서 \(1\)번 앞에 있는 카드가 선택될 사건을 \( A_{n}, 1 \)번 뒤에 있는 카드가 선택될 사건을 \( B_{n}, 1 \)번 카드가 선택될 사건을 \( C_{n} \)이라 하면, \( X_{n+1} \)은 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( X_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}X_{n}, & A_{n+1} \text { 이 발생할 경우 } \\ X_{n}+1, & B_{n+1} \text { 이 발생할 경우 } \\ 1, & C_{n+1} \text { 이 발생할 경우 }\end{array}\right. \)</p> <p>따라서 현재까지 실험의 결과 \( X_{0}, X_{1}, \cdots, X_{n} \)이 주어졌을 때 \( X_{n+1} \) 은 \( X_{n} \)과 \( (n+1) \)번째 실험의 결과에만 의존한다. 한편 \( (n+1) \)번째 실험은 \( X_{n} \)의 상태에 만 의존하므로 결국 \( X_{n+1} \) 는 \( X_{n} \)에만 의존함을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>이제 전이확률 \( p_{i j}=P\left(X_{n+1}=j \mid X_{n}=i\right) \)를 구한다. \( X_{n}=i \)이면 \(1\)번 카드 앞에는 \( (i-1) \)장의 카드가 있고 뒤에는 \( (N-i) \)장의 카드가 있으므로 \( P\left(X_{n+1}=i \mid X_{n}=i\right) \)는 \(1\)번 앞에 있는 카드가 선택될 확률 \( \frac{i-1}{N} \)과 같다. 같은 방법으로 \( p_{i j}, 1 \leq i \leq N \)는 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( p_{i j}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{N}, & j=1 \\ \frac{i-1}{N}, & j=i \\ \frac{N-i}{N}, & j=i+1 \\ 0, & \text { 그 밖에 }\end{array}\right. \)</p> <p>\(44 \). [재고모형] \( (3,8) \) 재고정책을 채택한 재고모형에서 매주 재고조사를 한다고 하자. 일주일간 상품의 요구량은 비율이 \( \lambda \) 인 푸아송분포를 따르고 상품의 요구량은 재고량에 독립이라고 하자. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 주가 시작되기 직전에 파악한 재고량이라 할 때 다음 물음에 답하라.</p> <p>\((1) \) 마르코프연쇄 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 상태공간이 \( \mathcal { S } = \{ 0,1,2, \cdots, 8 \} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같음을 보여라.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { ccccccccc } r_ { 7 } & p_ { 7 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } \\ r_ { 7 } & p_ { 7 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } \\ r_ { 7 } & p_ { 7 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } \\ r_ { 7 } & p_ { 7 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } \\ r_ { 3 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } & 0 & 0 & 0 & 0 \\ r_ { 4 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } & 0 & 0 & 0 \\ r_ { 5 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } & 0 & 0 \\ r_ { 6 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } & 0 \\ r_ { 7 } & p_ { 7 } & p_ { 6 } & p_ { 5 } & p_ { 4 } & p_ { 3 } & p_ { 2 } & p_ { 1 } & p_ { 0 } \end {array} \right ) \)</p> <p>단 \( p_ { n } =e ^ { -4 } \frac { 4 ^ { n } } { n ! } , \quad r_ { n } =1- \sum_ { k=0 } ^ { n } p_ { k } , \quad n=1,2, \cdots \).</p> <p>\((2) \) \( X_ { 0 } =8 \)일 때, 다음 번 재고조사 전에 품귀현상이 일어날 확률은 얼마인가?</p> <p>\((3) \) \( X_ { 0 } =8 \)일 때, 다음 두 주 동안 새로 주문을 내지 않아도 될 확률은 얼마인가?</p> <p>\((4) \) \( X_ { 0 } =4 \)일 때, 처음으로 구매 주문을 낼 때까지 걸리는 시간의 평균을 구하라.</p> <p>\(45 \). 그림 \( 5.1 \)과 같이 원탁 주위에 \( 0,1, \cdots, 6 \)과 같이 번호가 붙은 의자가 놓여 있다. 한 아이가 한 의자에서 다른 의자로 옮겨다니며 놀고 있다고 하자. 아이는 한 번 움직일 때 확률 \( 0<p<1 \)로 오른쪽으로, 확률 \( q=1-p \) 로 왼쪽으로 한 칸씩 움직인다. 즉 현재 아이가 의자 \( i \)에 있다면 다음 번 위치는 \( i + 1 \) (오른쪽)이거나 \( i-1 \) (왼쪽)이다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번 움직인 후 아이가 앉아 있는 자리 번호라 하자. \( X_ { 0 } =1 \)일 때, 다음 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \left \{ X_ { n } \right \} \)의 극한분포를 구하라.</li> <li>출발한 자리로 되돌아올 때까지 필요한 전이 수의 평균을 구하라.</li> <li>\( \left \{ X_ { n } \right \} \)이 역행과정일 필요충분조건은 무엇인가?</li></ol> <p>증명 \((1) \) 보조정리 \(5.14 \)와 갱신정리(정리 \(4.8 \))에 의하여 자명하다.</p> <p>\((2) \) 먼저 \( i, j \in S \) 를 고정시키고 \( g(n)=P \left (T_ { j } =n \mid X_ { 0 } =i \right ) \)라 하면 \( T_ { j } \)의 정의와 마르코프성질에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} p_ { i j } ^ { (n) } &= \sum_ { k=0 } ^ { n } P \left (X_ { n } =j \mid T_ { j } =k, X_ { 0 } =i \right ) P \left (T_ { j } =k \mid X_ { 0 } =i \right ) \\ &= \sum_ { k=0 } ^ { n } P \left (X_ { n } =j \mid X_ { k } =j \right ) P \left (T_ { j } =k \mid X_ { 0 } =i \right ) \\ &= \sum_ { k=0 } ^ { n } p_ { j j } ^ { (n-k) } g(k), \quad n=0,1,2, \cdots \end {aligned} \)</p> <p>한편 \[ \sum_ { k=0 } ^ {\infty } g(k)=P \left (T_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =i \right ) \]이므로 따름정리 \(4.10 \)과 \((5.10) \)으로부터 다음을 얻는다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { i j } ^ { (n) } = \lim _ { n \rightarrow \infty } v(n)= \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } \right ) P \left (T_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =i \right ) \)<caption>(5.12)</caption></p> <p>\( X \)가 일시적이면 정리 \( 5.12 \)에 의하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } =0 \)이므로 \((5.12) \)로부터 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <h1>5.4 상태의 분류</h1> <h2>5.4.1 상호도달가능성</h2> <p>그림 \(5.4\)와 같은 미로를 생각하자. 미로 속에 있는 쥐는 한 방에서 인접한 다른 방으로 갈 때 균등분포를 따라서 움직이며 미로 밖으로 한 번 나간 쥐는 미로 속으로 다시 들어가지 않는다. \( X_{n} \)을 \( n \)번 움직인 직후 쥐가 있는 방의 번호라 하자. 단 미로 밖은 상태 \(0\)으로 표기한다. 그러면 확률과정 \( X=\left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)는 상태공간이 \( \{0,1, \cdots, 9\} \)인 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>쥐가 처음에 \(2\)번 방에 있었다고 가정하자. 그러면 \(1\)번과 \(3\)번 방은 한 번에 갈 수 있다. \(4\)번과 \(6\)번 방은 한 번 만에는 갈 수 없으나 두 번 만에는 갈 수 있다. 또한 세 번 만에 밖으로 나갈 수도 있다. 그러나 \(2\)번 방에서 출발하여 \( 5,7,8,9 \)번 방에는 갈 수가 없다. 실제 \( X \)의 전이확률은 \[p_{21}=p_{23}=\frac{1}{2}>0, p_{24}^{(2)}=p_{26}^{(2)}=\frac{1}{4}>0, p_{20}^{(3)}=\frac{1}{8}>0 \]이나 모든 \( n \geq 0 \)에 대하여 \( p_{2 j}^{(n)}=0(j=5,7,8,9) \)이다.</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)가 상태 \( i \)에서 유한번의 단계를 거쳐 상태 \( j \)로 갈 수 있을 때 상태 \( j \)는 상태 \( i \)로부터 도달가능하다고 한다. 앞의 예에서 상태 \(0\)은 모든 상태로부터 도달가능 하나 \(0\)을 제외한 어떠한 상태도 상태 \(0\)으로부터 도달가능하지 않다.</p> <p>일반적으로 적당한 \( n \geq 0 \)에 대하여 \( p_{i j}^{(n)}>0 \)일 때 상태 \( j \)는 상태 \( i \)로부터 도달가능 (accessible)하다고 하고 이것을 \( i \rightarrow j \)로 나타내기로 한다. 특히 \( i \rightarrow j \)이고 \( j \rightarrow i \)일 때 \( i \)와 \( j \)는 상호도달가능 또는 교통가능(communicate)이라고 하고 \( i \leftrightarrow j \)로 나타내기로 한다. 마르코프연쇄 \( X \)의 모든 상태가 상호도달가능일 때 \( X \)를 기약(irreducible)이라고 한다.</p> <p>정리 \( 5.7 \) 상호도달가능은 동치관계이다. 즉<ol type=1 start=1><li>\( i \leftrightarrow i \) [반사성(reflexivity)]</li> <li>\( i \leftrightarrow j \)이면 \( j \leftrightarrow i \)이다. [대칭성(symmetry)]</li> <li>\( i \leftrightarrow j \)이고 \( j \leftrightarrow k \)이면 \( i \leftrightarrow k \)이다. [추이성(transitivity)]</li></ol></p> <p>증명 \((1)\) \( p_{i i}^{(0)}=P\left(X_{0}=i \mid X_{0}=i\right)=1>0 \)이므로 모든 상태 \( i \in \mathcal{S} \)는 자기 자신과 상호도달가능이다.</p> <p>\((2)\) 정의로부터 자명하다.</p> <p>\((3)\) \( i \leftrightarrow j \)와 \( j \leftrightarrow k \)이면 \( p_{i j}^{(n)}>0 \)와 \( p_{j k}^{(m)}>0 \)를 만족하는 \( m \)과 \( n \)이 존재한다.</p> <p>그러므로 \[p_{i k}^{(n+m)}=\sum_{b \in S} p_{i b}^{(n)} p_{b k}^{(m)} \geq p_{i j}^{(n)} p_{j k}^{(m)}>0\]</p> <p>따라서 \( i \rightarrow k \)가 증명된다. 같은 방법으로 \( k \rightarrow i \)도 증명된다.</p> <p>상태 \( i \)와 상호도달가능한 상태들의 집합을 \( C(i)=\{j \in S: i \leftrightarrow j\} \)라 하자. 이때 \( j \in \) \( C(i) \)일 때 \( i \)와 \( j \)는 같은 동치류(equivalent class)에 속한다고 한다. \( i \leftrightarrow j \)이면 \( C(i)= \) \( C(j) \)이고, \( i \)와 \( j \)가 상호도달가능이 아니면 \( C(i) \cap C(j)=\varnothing \)임을 알 수 있다. 따라서 상태공간 \( S \)는 동치류 \( C(i)(i \in S) \)에 의하여 분할된다. 같은 동치류에 속하는 상태들이 공유하는 성질을 집단성질(class property)이라고 한다. 뒤에서 나오는 주기, 재귀성, 일시성 등은 집단성질들의 예이다.</p> <p>마르코프연쇄의 상태를 노드(node)로 보고 \( p_{i j}>0 \)일 때 노드 \( i \)와 노드\( j \) 를 \( i \)에서 \( j \)로 가는 화살표로 연결하면 마르코프연쇄의 일 단계 전이상태를 방향성 그래프(directed graph)로 표현할 수 있다. 이 그래프를 마르코프연쇄의 상태전이그래프(state transition graph) 또는 상태전이그림(diagram)이라 한다.</p> <p>예제 \(5.18\)</p> <p>마르코프연쇄 \( X \) 의 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\[\left.P=\begin{array}{ccccccc}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0.5 & 0 & 0.5 & 0 & 0 \\4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\]</p> <p>\( X \)의 상태전이그림(그림 \(5.5\))로부터 모든 상태는 상호도달가능임을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 기약이다.</p> <p>예제 \(5.19\)</p> <p>상태공간이 \( \{0,1,2,3,4,5\} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄를 생각하자. \[P=\left(\begin{array}{cccccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{4}{5} & 0 & 0 \\\frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\\frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)\]</p> <p>그림 \(5.6\)으로부터 동치류들은 \( \{0,1\},\{2,3\},\{4,5\} \)임을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 기약이 아니다.</p> <p>예제 \( 5.19 \) 에서 전이확률행렬의 모양이 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\[P=\left(\begin{array}{ccccc}P_{1} & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & P_{2} & 0 & \cdots & 0 \\0 & 0 & P_{3} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\Q_{1} & Q_{2} & Q_{3} & \cdots & Q\end{array}\right)\]<caption>(5.7)<caption></p> <p>일반적으로 기약이 아닌 마르코프연쇄의 전이확률행렬 \( P \)는 적당한 방법으로 상태의 순서를 바꿈으로써 \((5.7)\)과 같이 나타낼 수 있다. 이때 \( P_{i} \)에 대응되는 상태의 집합은 무한집합이 될 수도 있다.</p> <p>\(14 \). 다음과 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄의 동치류들을 구하고 각 상태가 주기적인지 비주기적인지 판정하라. 어떤 상태가 일시적인지 재귀적인지를 결정하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P= \left ( \begin {array} { cccc } 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } & 0 \end {array} \right ) \)</li> <li>\( P= \left ( \begin {array} { cccc } 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 2 } { 3 } & 0 \end {array} \right ) \)</li> <li>\( P= \left ( \begin {array} { ccc } 0 & \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 \end {array} \right ) \)</li> <li>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } \frac { 1 } { 4 } & \frac { 3 } { 4 } & 0 & 0 & 0 \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 3 } & \frac { 2 } { 3 } \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ) \)</li></ol> <p>\(15 \). \( N \)개의 공을 두 개의 항아리 \( A, B \)에 나누어 넣고 다음 실험을 한다. 앞면이 나올 확률이 \( p \)인 동전을 던져서 앞면이 나오면 항아리 \( A \)에서, 뒷면이 나오면 항아리 \( B \)에서 한 개의 공을 꺼낸다. 선택된 항아리 속에 남아 있는 공이 하나도 없을 경우 동전을 던진 결과에 상관없이 다른 항아리에서 공을 하나 선택한다. 그러면 항아리 속에 있는 공의 전체 개수는 \( (N-1) \)개다. 그다음 항아리 속에 남아 있는 공 개수의 비율과 같은 확률로 선택된 공을 항아리에 넣는다. 즉 항아리 \( A \)에 \( i \)개의 공이 있고 항아리 \( B \)에 \( j \)개의 공이 있을 때, 선택된 공을 \( \frac { i } { N-1 } \)의 확률로 \( A \)에 넣고 \( \frac { j } { N-1 } \)의 확률로 \( B \)에 넣는다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 실험이 끝난 후 항아리 \( A \)에 들어 있는 공 개수라 할 때 다음 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \boldsymbol { X } = \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)이 마르코프연쇄가 됨을 보여라.</li> <li>\( X \)의 상태공간과 동치류들을 구하고 각 상태들이 일시적인지 재귀적인지를 판정하라.</li></ol> <p>\(16 \). 다음과 같은 전략을 가지고 매 게임에 임하는 도박꾼을 생각하자. 만일 그가 \(4 \)단위 이상의 돈을 가지고 있으면 매 게임에서 \(2 \)단위 만큼의 돈을 건다. 이때 도박꾼은 각각의 확률 \( 0.25,0.30,0.45 \)로 \( 4,3,0 \)단위의 돈을 따게 된다. 만약 도박꾼이 \(4 \)단위보다 적은 돈을 가지고 있으면 \(1 \)단위의 돈을 건다. 이 경우 도박꾼은 각각의 확률 \( 0.45 \)와 \( 0.55 \)로 \(2,0 \)단위의 돈을 딴다. 도박꾼이 돈이 하나도 없을 경우에는 게임이 종료된다. \( X_ { n } \)을 도박꾼이 \( n \)번째 게임을 마친 후 가지고 있는 돈의 액수라 할 때 다음 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 마르코프연쇄가 됨을 보이고 전이확률을 구하라.</li> <li>마르코프연쇄 \( X \)의 동치류를 구하라.</li></ol> <p>\(17 \). 마르코프연쇄 \( X \)의 전이확률행렬이 \[P= \left ( \begin {array} { cc } 1-a & a \\b & 1-b \end {array} \right ), \quad 0<a, \quad b<1 \]일 때 다음을 증명하라.</p> <h2>5.4.3 재귀성</h2> <p>이 절에서는 마르코프연쇄 \( X=\left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \)이 처음 출발한 상태로 얼마나 자주 되돌아오는지 살펴본다. 이러한 성질은 충분히 시간이 경과했을 때 \( X \)의 상태에 대한 분포 \( \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(X_{n}=j\right) \)의 존재성과 밀접한 관련이 있다.</p> <p>\( X \)가 \( X_{0} \)를 출발한 후 처음으로 \( j \)를 방문할 때까지의 전이 수를 \( T_{j} \)라 하자. 즉 \[T_{j}=\inf \left\{n \geq 1: X_{n}=j\right\} .\]</p> <p>단 모든 \( n \geq 1 \)에 대하여 \( X_{n} \neq j \)이면 \( T_{j}=\infty \)로 정의한다. \( X_{0}=j \)라는 가정하에 언젠가는 \( j \)를 다시 방문할 확률을 \( f_{j} \), 처음으로 \( j \)에 되돌아올 때까지 걸리는 시간의 평균을 \( m_{j} \)라 하자. 즉 \[f_{j}=P\left(T_{j}<\infty \mid X_{0}=j\right)=\sum_{k=1}^{\infty} P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=j\right),\]\[m_{j}=E\left[T_{j} \mid X_{0}=j\right]=\sum_{k=1}^{\infty} k P\left(T_{j}=k \mid X_{0}=j\right).\]</p> <p>\( f_{j}=1 \)일 때 \( j \)는 재귀적(recurrent)이라 하고 \( f_{j}<1 \)일 때 \( j \)는 일시적(transient)이라고 한다. 재귀적인 상태 \( j \)가 \( m_{j}<\infty \)를 만족할 때 \( j \)는 양재귀적(positive recurrent)이라 하고 \( m_{j}=\infty \)일 때 영재귀적(null recurrent)이라 한다.</p> <p>예제 \( 5.21 \) 예제 \(4.11\)의 연속</p> <p>앞면이 나올 확률이 \( p(0<p<1) \)인 동전을 던지는 실험에서 \( X_{n} \)을 \( n \)번째 시행에서 얻어지는 앞면의 연(run)의 길이(연속해서 앞면이 나오는 횟수)라 하자. 예를 들어 동전을 던져서 얻어진 결과가 \( H, T, T, T, H, H, T, H, H, H, H, T, T, T, \cdots \) 이면 \( X_{1}=1, X_{2}=X_{3}=X_{4}=0, X_{5}=1, X_{6}=2, X_{7}=0, X_{8}=1, X_{11}=4 \) 이다. \( X= \)\( \left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)는 상태공간이 \( \{0,1,2, \cdots\} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄가 된다.</p>행렬추가해야함<p>이때 \[P\left(T_{0}=n \mid X_{0}=0\right)=p^{n-1} q, \quad n=1,2, \cdots\]이므로\[\begin{array}{l}f_{0}=P\left(T_{0}<\infty \mid X_{0}=0\right)=\sum_{k=1}^{\infty} p^{n-1} q=1, \\m_{0}=E\left[T_{0} \mid X_{0}=0\right]=\sum_{n=1}^{\infty} n p^{n-1} q=\frac{1}{q}<\infty\end{array}\]이다. 따라서 상태 \(0\)은 양재귀적이다.</p> <p>\( X_{0}=j \)일 때 마르코프연쇄 \( X \)가 \( j \)를 \( n \)번째 다시 방문하는 시각을 \( T_{j}(n) \)이라 하고 방문하는 시간 간격을 \( \tau_{j}(n)=T_{j}(n)-T_{j}(n-1)\left(n \geq 1, T_{j}(0)=0\right) \)이라 하자. 단 모든 \( k>T_{j}(n-1) \)에 대하여 \( X_{k} \neq j \)이면 \( T_{j}(n)=\infty \)로 둔다. 명백하게 \( T_{j}(1)=T_{j} \)이고 \( \tau_{j}(1)=T_{j}(1) \)이다.</p> <h1>5.5 극한분포</h1> <p>예제 \(5.11 \)에서 상태공간이 \( \{ 1,2,3 \} \)이고 전이확률행렬이 \[P = \left ( \begin {array} { lll } 0.2 & 0.3 & 0.5 \\0.7 & 0 & 0.3 \\0.2 & 0.6 & 0.2 \end {array} \right ) \]인 마르코프연쇄 \( \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)에 대하여 채프만-콜모고로프방정식을 사용하여 \( P ^ { (2) } \)와 \( P ^ { (3) } \)를 구하였다. 같은 방법으로 \( P ^ { (9) } \)와 \( P ^ { (13) } \)을 구하면 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} P ^ { (9) } &= \left ( \begin {array} { lll } 0.354156 & 0.308641 & 0.337203 \\ 0.354332 & 0.308447 & 0.337222 \\ 0.354380 & 0.308612 & 0.337008 \end {array} \right ), \\ P ^ { (13) } &= \left ( \begin {array} { lll } 0.354288 & 0.308569 & 0.337142 \\ 0.354286 & 0.308573 & 0.337140 \\ 0.354282 & 0.308572 & 0.337146 \end {array} \right ) \end {aligned} \)</p> <p>위의 수치결과로부터 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( p_ { i j } ^ { (n) } \)는 초기상태 \( i \) 와 무관하게 일정한 값에 가까이 가는 것을 알 수 있다. 이 절에서는 마르코프연쇄 \( X \)가 상태 \( i \)에서 출발하여 시간이 충분히 지난 뒤 상태 \( j \)에 있을 확률 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { i j } ^ { (n) } \)에 대하여 살펴본다.</p> <p>마르코프연쇄 \( X \)가 초기상태 \( X_ { 0 } \)를 출발한 후 상태 \( j \)를 처음으로 방문할 때까지의 전이 수 \( T_ { j } \)에 대하여 \( f_ { j } (k)=P \left (T_ { j } =k \mid X_ { 0 } =j \right ) \)라 하고 \( u_ { j } (k)=p_ { j j } ^ { (k) } \)라 하자.</p> <p>예제 5.13 분지과정</p> <p>어떤 개체는 그 개체가 소멸할 때 확률질량함수가 \( P(Z = k)=a_ { k } (k=0,1,2, \cdots) \)인 확률변수 \( Z \)만큼의 후손을 생산한다고 하자. 각 후손들은 서로 독립적으로 후손을 남기고 소멸하는데 후손 수의 분포는 \( Z \)와 동일하다고 하자. \( X_ { 0 } =1 \)을 처음 개체 수라 하 고 \( X_ { n } (n \geq 1) \)을 \( n \)번째 세대에 있는 개체 수라 하자. \( Z_ { n + 1 } ^ { (i) } (i=0,1,2, \cdots) \)을 \( n \)번째 세대의 \( i \) 번째 개체가 남긴 후손 수라 하자. 그러면 \( Z_ { n } ^ { (i) } (n \geq 1, i \geq 1) \)은 서로 독립이며 같은 분포를 따른다. 이때 \( \left \{ X_ { n } \right \} \)에 대하여 다음과 같은 관계식이 성립한다.</p> <p>\( X_ { n + 1 } = \left \{\begin {array} { ll } \sum_ { k=1 } ^ { X_ { n } } Z_ { n + 1 } ^ { (k) } , & X_ { n } \geq 1 \\ 0, & X_ { n } =0 \end {array} , n=0,1,2, \cdots \right . \)<caption>(5.3)</caption></p> <p>정리 5.1에 의하여 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 상태공간이 \( \mathcal { S } = \{ 0,1,2, \cdots \} \)인 마르코프연쇄가 된다. 전이확률은 다음과 같다.</p> <p>\( p_ { i j } = \left \{\begin {array} { ll } P \left (Z_ { 1 } + Z_ { 2 } + \cdots + Z_ { i } =j \right ), & i \geq 1 \\ 1, & i=j=0 \\ 0, & i=0, j \geq 1 \end {array} \right . \)</p> <p>여기서 \( Z_ { 1 } , Z_ { 2 } , \cdots \)는 서로 독립이고 \( Z \)와 같은 분포를 따르는 확률변수들이다. 마르코프연쇄 \( X \)를 분지과정(branching process)이라고 한다. 분지과정은 골턴-왓슨과정 (Galton-Watson process)으로도 알려져 있다.</p<p>예제 5.14 잔여수명과정</p> <p>예제 \( 5.4 \)</p> <p>확률변수열 \( X_ { 0 } , X_ { 1 } , \cdots \)은 서로 독립이며 각각의 확률질량함수를 \( p_ { i } =P \left (X_ { n } =i \right ) \), \( i=0,1,2, \cdots \)라 하자. 그러면 \( X_ { n + 1 } \)은 \( X_ { 0 } , \cdots, X_ { n } \)과 서로 독립이므로 \[ \begin {array} { l } P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { 0 } =i_ { 0 } , \cdots, X_ { n } =i_ { n } \right )=P \left (X_ { n + 1 } =j \right )=p_ { j } , \\P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right )=P \left (X_ { n + 1 } =j \right )=p_ { j } \end {array} \]이다. 따라서 \( \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)는 다음과 같이 각 행이 모두 같은 전이확률행렬을 갖는 마르코프연쇄이다.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { cccc } p_ { 0 } & p_ { 1 } & p_ { 2 } & \cdots \\ p_ { 0 } & p_ { 1 } & p_ { 2 } & \cdots \\ p_ { 0 } & p_ { 1 } & p_ { 2 } & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \end {array} \right ) \)</p> <p>예제 \( 5.5 \)</p> <p>\( 1,2, \cdots, N \)과 같이 번호가 붙어 있는 카드 파일에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내 맨 위에 올려놓는 실험을 생각하자. \( X_ { 0 } \)는 \(1 \)번 카드의 처음 위치, \( X_ { n } \)은 \( n \)번째 실험이 끝난 직후 \(1 \)번 카드의 위치라 할 때 \( X= \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)는 마르코프연쇄가 됨을 보이고 \( X \)의 전이확률을 구하라.</p> <p>\(2 \). 첫 단계 분석법 : \((5.28) \)에서는 \( I-Q \)의 역행렬을 구할 필요가 있었다. 그러나 여기서 소개하는 첫 단계 분석법은 마르코프연쇄에서 첫 번째 단계의 상태에 대한 조건부확률로부터 재귀적인 식을 구하고 이에 대한 해를 축차적으로 구하는 방법이다.</p> <p>\( A \) 또는 \( B \) 둘 중 한 사람이 돈을 모두 따야 게임이 끝나게 되므로 게임이 끝나는 시각 \( T \)는 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>\( T= \inf \left \{ n \geq 1: X_ { n } =0 \right . \) 또는 \( \left .X_ { n } =c \right \} \)</p> <p>\( A \)가 \( i \)단위의 돈을 가지고 시작할 때 궁극적으로 \( A \)가 돈을 모두 딸 확률을 \[ u_ { i } =P \left (X_ { T } =c \mid X_ { 0 } =i \right ), \quad i=0,1, \cdots, c \]라 하면 명백하게 \[u_ { 0 } =0, \quad u_ { c } =1 \]이다. \( X_ { 0 } =i(1 \leq i \leq c-1) \)일 때 첫 번째 게임이 끝난 후의 상태는 \( A \)가 그 게임에서 이기면 \( X_ { 1 } =i + 1 \)이고 지면 \( X_ { 1 } =i-1 \)이다. 따라서 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} u_ { i } &=P \left (X_ { T } =c \mid X_ { 0 } =i \right ) \\ &=P \left (X_ { T } =c \mid X_ { 1 } =i + 1 \right ) p + P \left (X_ { T } =c \mid X_ { 1 } =i-1 \right ) q \\ &=p u_ { i + 1 } + q u_ { i-1 } , \quad 1 \leq i \leq c \end {aligned} \)</p> <p>위의 식은 \( u_ { i } =p u_ { i } + q u_ { i } \)를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>\( v_ { 0 } = \left ( \begin {array} { c } q \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ), \quad v_ { c } = \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ p \end {array} \right ), \) \( Q= \begin {array} { c } 1 \\ 2 \\ 3 \\ \vdots \\ c-2 \\ c-1 \end {array} \left ( \begin {array} { ccccccc } _0 ^ { ^ { 1 } } & _p ^ { ^ { 2 } } & ^ { ^ { 3 } } & ^ { ^ { ^ {\ldots } } } & ^ { ^ { c-2 } } & ^ { ^ { c-1 } } & \\q & 0 & p & & & \\ & q& 0 & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & p & \\ & & & q&0&p \\&&&&q&0 \end {array} \right ) \)</p> <p>단 \( q=1-p \)이다. \( A \)가 \( i \)단위의 돈을 가지고 게임할 때 돈을 모두 딸 확률을 \( \pi_ { i } \)라 하면 명백하게 \( \pi_ { c } =1 \)이고 \( \pi_ { 0 } =0 \)이다. \( \pi= \left ( \pi_ { 1 } , \pi_ { 2 } , \cdots, \pi_ { c-1 } \right ) ^ { t } \)라고 두자. 단 \( x ^ { t } \)는 행렬 \( x \)의 전치행렬을 나타낸다. \( A \)가 돈을 모두 딸 확률은 \( c \)에 흡수될 확률이므로 \((5.28) \)에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( \pi=(I-Q) ^ { -1 } \boldsymbol { v } _ { c } \)</p> <p>참고로 \( B \)가 \( j \)단위의 돈을 가지고 게임을 시작하였을 때 \( B \)가 돈을 모두 딸 확률은 벡터 \( (I-Q) ^ { -1 } v_ { 0 } \)의 \( j \)번째 성분이다.</p> <h1>5.3 마르코프연쇄의 결합분포</h1> <p>마르코프연쇄 \( \boldsymbol{X}=\left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)에서 \( X_{0} \)를 \( X \)의 초기상태(initial state)라 하고 \( X_{0} \)의 분포를 초기분포(initial distribution)라 한다. 앞으로 \( X_{n} \)의 분포를 \[p_{j}^{(n)}=P\left(X_{n}=j\right), j \in \mathcal{S}, n \geq 0\]이라 하고 \( \boldsymbol{p}^{(n)}=\left(p_{j}^{(n)}, j \in S\right) \)로 나타낸다.</p> <p>이 절에서는 \( X \)의 초기분포와 일 단계 전이확률로부터 \( \left\{X_{n}\right\} \)의 결합확률분포를 구할 수 있음을 보인다.</p> <p>정리 \( 5.3 \) \( n \geq 0, m \geq 1 \) 과 \( i_{0}, i_{1}, \cdots, i_{m} \in S \)에 대하여 \[P\left(X_{n+1}=i_{1}, \cdots, X_{n+m}=i_{m} \mid X_{n}=i_{0}\right)=p_{i_{0}, i_{1}} p_{i_{1}, i_{2}} \cdots p_{i_{m-1}, i_{m}} .\]</p> <p>증명 \( E_{k}=\left\{X_{n+k}=i_{k}\right\}(k=0,1, \cdots, m) \)이라 하면 조건부확률에 대한 곱의 공식 \((1.2)\)에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>\( P\left(E_{1} E_{2} \cdots E_{m} \mid E_{0)}=P\left(E_{1} \mid E_{0}\right) P\left(E_{2} \mid E_{0} E_{1}\right) \cdots P\left(E_{m} \mid E_{0} \cdots E_{m-1}\right)\right. \)</p> <p>한편 \( \left\{X_{n}\right\} \)이 마르코프연쇄이므로 \[\begin{aligned}P &\left(E_{k} \mid E_{0} \cdots E_{k-1}\right) \\ \quad &=P\left(X_{n+k}=i_{k} \mid X_{n}=i_{0}, X_{n+1}=i_{1}, \cdots, X_{n+k-1}=i_{k-1}\right) \\\quad &=P\left(X_{n+k}=i_{k} \mid X_{n+k-1}=i_{k-1}\right) \\\quad &=p_{i_{k-1} i_{k}}, \quad k=1,2, \cdots, m \end{aligned}\]이다. 따라서 정리가 증명된다.</p> <p>정리 \(5.3\) 마르코프연쇄 \( X \)가 현재 \( i_{0} \)상태에 있을 때 앞으로 \( m \)단계 동안 연속해서 \( i_{1}, \cdots, i_{m} \)을 방문할 확률은 각 단계별로 \( i_{k-1} \)에서 \( i_{k} \)를 방문할 확률 \( p_{i_{k-1} i_{k}} \)를 차례로 곱한 것과 같다는 것을 보여준다.</p> <p>따름정리 \( 5.4 \) \[P\left(X_{0}=i_{0}, X_{1}=i_{1}, \cdots, X_{m}=i_{m}\right)=p_{i_{0}}^{(0)} p_{i_{0}, i_{1}} p_{i_{1}, i_{2}} \cdots p_{i_{m-1}, i_{m}}\]</p> <p>정리 \( 5.5 \) 채프만-콜모고로프 방정식(Chapman-Kolmogorov equation) \[p_{i j}^{(n+m)}=\sum_{k \in S} p_{i k}^{(n)} p_{k j}^{(m)}, \quad m, n \geq 0, \quad i, j \in \mathcal{S}\]<caption>(5.5)</caption></p> <p>증명 \( \quad p_{i j}^{(n+m)}=P\left(X_{n+m}=j \mid X_{0}=i\right) \)\( =\sum_{k \in S} P\left(X_{n+m}=j, X_{n}=k \mid X_{0}=i\right) \) \( =\sum_{k \in S} P\left(X_{n+m}=j \mid X_{n}=k, X_{0}=i\right) P\left(X_{n}=k \mid X_{0}=i\right) \) \( =\sum_{k \in S} p_{i k}^{(n)} p_{k j}^{(m)} \)</p> <p>위의 셋째 등식은 조건부확률에 대한 곱의 공식 \((1.2)\)에 의하여 성립하고 넷째 등식은 마르코프성질에 의하여 성립한다.</p> <p>식 \((5.5)\)에서 \( p_{i k}^{(n)} p_{k j}^{(m)} \)는 \( i \)에서 출발하여 \( n \)단계 후에 \( k \)에 도달하고 다시 \( k \)에서 출발하여 \( m \)단계 후에 \( j \)에 있을 확률이다. 따라서 채프만-콜모고로프방정식은 \( X_{0}=i \)에서 출발하여 \( (m+n) \)단계 후에 \( j \)에 있을 확률은 중간 단계에서 방문하는 모든 상태에 대한 확률을 합한 것과 같음을 의미한다(그림 \(5.3\)).</p> <p>식 \( (5.5) \)를 \( n \)단계 전이확률행렬 \( P^{(n)}=\left(p_{i j}^{(n)}\right) \)를 이용하여 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\[P^{(n+m)}=P^{(n)} P^{(m)}\]</p> <p>특히 \[P^{(2)}=P^{(1)} P^{(1)}=P \cdot P=P^{2}\]이므로 수학적 귀납법에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>\[P^{(n)}=P^{(n-1)} P=P^{n}\]<caption>(5.6)<caption></p> <p>즉 \( n \)단계 전이확률행렬은 일 단계 전이확률행렬을 \( n \)번 곱한 것과 같다.</p> <p>따름정리 \( 5.6 \) \[\boldsymbol{p}^{(n)}=\boldsymbol{p}^{(0)} P^{(n)}\]</p> <p>증명 전확률공식에 의하여 \[\begin{aligned}p_{k}^{(n)} &=P\left(X_{n}=k\right) \\&=\sum_{j \in S} P\left(X_{n}=k \mid X_{0}=j\right) P\left(X_{0}=j\right) \\&=\sum_{j \in S} p_{j}^{(0)} p_{j k}^{(n)}, \quad k \in \mathcal{S}\end{aligned}\]</p> <p>예제 \(5.16\) 예제 \(5.1\)의 연속</p> <p>오늘 비가 오지 않는다고 가정하자. 앞으로 \(3\)일 후에 비가 올 확률은 얼마인가? 앞으로 \(3\)일 후에는 비가 오지만 \(5\)일 뒤에는 비가 오지 않을 확률은 얼마인가?</p> <p>풀이 채프만-콜모고로프 방정식으로부터 \( P^{(2)}=P^{2}, P^{(3)}=P^{3} \)이므로 \[P=\left(\begin{array}{ll}0.8 & 0.2 \\ 0.7 & 0.3\end{array}\right), \quad P^{(2)}=\left(\begin{array}{ll}0.78 & 0.22 \\0.77 & 0.23\end{array}\right), \quad P^{(3)}=\left(\begin{array}{ll}0.778 & 0.222 \\0.777 & 0.223\end{array}\right) .\] 따라서 오늘 비가 오지 않는다는 가정하에서 \(3\)일 후에 비가 올 확률은 \[P\left(X_{3}=2 \mid X_{0}=1\right)=p_{12}^{(3)}=0.222\]이고 \(3\)일 후에는 비가 오지만 \(5\)일 뒤에는 비가 오지 않을 확률은 \[P\left(X_{3}=2, X_{5}=1 \mid X_{0}=1\right)=p_{12}^{(3)} p_{21}^{(2)}=(0.222)(0.77)=0.17094 .\]</p> <p>예제 \( 5.17 \)</p> <p>상태공간이 \( \{1,2,3\} \)인 마르코프연쇄 \( \left\{X_{n}, n=0,1,2, \cdots\right\} \)의 전이확률행렬이 \[P=\left(\begin{array}{lll} 0.2 & 0.3 & 0.5 \\0.7 & 0 & 0.3 \\0.2 & 0.6 & 0.2\end{array}\right)\]이고 초기분포가 \[ p_{1}^{(0)}=0.1, p_{2}^{(0)}=0.3, p_{3}^{(0)}=0.6\]일 때 다음을 구하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P\left(X_{2}=2, X_{5}=3\right) \)</li> <li>\( P\left(X_{3}=j\right), j=1,2,3 \)</li></ol> <p> <ol type=1 start=1><li>\( P^{(n)}=P^{n} \)으로부터 \[P^{(2)}=\left(\begin{array}{lll}0.35 & 0.36 & 0.29 \\0.2 & 0.39 & 0.41 \\0.5 & 0.18 & 0.32\end{array}\right), \quad P^{(3)}=\left(\begin{array}{lll}0.38 & 0.279 & 0.341 \\0.395 & 0.306 & 0.299 \\0.29 & 0.342 & 0.368\end{array}\right)\]이므로 \[\begin{aligned}P\left(X_{2}=2, X_{5}=3\right) &=\sum_{i=1}^{3} P\left(X_{0}=i\right) P\left(X_{2}=2, X_{5}=3 \mid X_{0}=i\right) \\&=p_{1}^{(0)} p_{12}^{(2)} p_{23}^{(3)}+p_{2}^{(0)} p_{22}^{(2)} p_{23}^{(3)}+p_{3}^{(0)} p_{32}^{(2)} p_{23}^{(3)} \\&=0.0780\end{aligned}\]</li> <li>\( \boldsymbol{p}^{(3)}=\boldsymbol{p}^{(0)} P^{(3)}=(0.3305,0.3249,0.3446) \)이므로 \[P\left(X_{3}=1\right)=0.3305, \quad P\left(X_{3}=2\right)=0.3249, \quad P\left(X_{3}=3\right)=0.3446 .\]</li></ol></p> <p>앞에서 \( X_{0} \)의 분포와 \( n \)단계 전이확률행렬을 이용하여 \( X_{n} \)의 분포를 구하기 위해서는 행렬의 거듭제곱 \( P^{n} \)을 구할 필요가 있음을 알아보았다. 일반적으로 \( P^{n} \)을 구하는 것은 많은 계산량을 필요로 한다. 특히 \( X \)의 상태공간이 무한집합일 때는 \( P^{n} \)을 구하는 것이 현실적으로 불가능할 수도 있다. 또한 \( X_{n} \)의 분포보다는 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( X_{n} \)의 분포에 관심이 있는 경우가 많다. 이때 다음과 같은 문제가 자연스럽게 제기된다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( n \rightarrow \infty \)일 때 초기상태 \( X_{0} \) 는 \( X_{n} \)의 분포는 어떻게 영향을 미치는가?</li> <li>어떤 조건하에서 \( n \rightarrow \infty \) 일 때 \( p_{i j}^{(n)} \)의 극한이 존재하는가?</li> <li>또한 이 극한이 존재한다면 그 극한을 어떻게 구할 것인가?</li></ol> <p>이 문제에 대한 답을 하기 위한 준비과정으로 다음 절에서는 마르코프연쇄의 상태를 분류하고 그 특성을 살펴본다.</p> <h2>5.4.2 주기</h2> <p>\[X=\left\{X_{n}, n \geq 0\right\} \text { 을 전이확률이 } p_{i, i+1}=p, p_{i, i-1}=1-p(i=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)\]인 단순확률보행이라 하자(그림 \(5.7)\).</p> <p>\( X \)가 \( X_{0}=0 \)에서 출발하여 상태 \(0\)으로 되돌아오기 위해서는 오른쪽으로 움직인 횟수와 왼쪽으로 움직인 횟수가 같아야 하므로 짝수 번의 전이가 일어난 후에야 \(0\)에 도달할 수 있게 된다. 실제 \( m \)단계 전이확률은 다음과 같다.</p> <p>\( p_{00}^{(2 k+1)}=0, \quad p_{00}^{(2 k)}=\left(\begin{array}{c}2 k \\ k\end{array}\right) p^{k}(1-p)^{k}>0, \quad k=1,2, \cdots \)</p> <p>따라서 \( n \)이 \( 2,4,6, \cdots \)과 같이 \(2\)의 배수일 때만 \( p_{00}^{(n)}>0 \)이 된다. 이때 \(2\)를 상태 \(0\)의 주기라 한다.</p> <p>일반적으로 각 상태의 주기를 다음과 같이 정의한다. 상태 \( i \in S \)에 대하여 \[d_{i}=\operatorname{GCD}\left\{n \geq 1: p_{i i}^{(n)}>0\right\}\]를 \( i \) 의 주기(period)라 한다. 여기서 \( \mathrm{GCD} \)는 최대공약수를 뜻하고 \( p_{i i}^{(n)}>0 \)를 만족하는 자 연수 \( n \)이 존재하지 않을 때는 \( d_{i}=\infty \)로 정의한다. \( d_{i}>1 \)일 때 상태 \( i \)는 주기적(periodic)이라 하고 \( d_{i}=1 \)일 때 비주기적(aperiodic)이라 한다.</p> <p>참고 \( j \)가 주기적일 때 모든 \( 0<k<d_{j} \)에 대하여 \( p_{j j}^{\left(k+n d_{j}\right)}=0(n=0,1,2, \cdots) \)임을 알 수 있다.</p> <p>정리 \( 5.8 \) 주기의 집단성질 \( i \leftrightarrow j \)이면 \( d_{i}=d_{j} \)이다.<p> <p>증명 \( i \leftrightarrow j \)이므로 적당한 \( m, n \)에 대하여 \( p_{i j}^{(n)}>0, p_{j k}^{(m)}>0 \)이다. \( p_{i i}^{(s)}>0 \)라 하면 \[\begin{array}{l}p_{j j}^{(n+m)} \geq p_{j i}^{(n)} p_{i j}^{(m)}>0, \\p_{j j}^{(n+s+m)} \geq p_{j i}^{(n)} p_{i i}^{(s)} p_{i j}^{(m)}>0\end{array}\]이므로 \( d_{j} \)는 \( n+m \)과 \( n+s+m \)의 공약수이다. 그러므로 \( d_{j} \)는 \( n+s \) \( +m-(n+m)=s \)의 약수이다. \( d_{i} \)는 \( p_{i i}^{(s)}>0 \)를 만족하는 모든 \( s \)들의 최대공약수이므로 \( d_{j} \)는 \( d_{i} \)의 약수이다. 같은 방법으로 \( d_{i} \)가 \( d_{j} \)의 약수임을 보일 수 있 다. 따라서 \( d_{i}=d_{j} \)이다.</p> <p>정리 \( 5.8 \)에 의하여 기약인 마르코프연쇄는 모든 상태가 비주기적이든지 아니면 한 상태의 주기가 \( d>1 \)이면 다른 모든 상태의 주기도 \( d \)이다. 이때 임의의 상태 \( i \in \mathcal{S} \)의 주기를 마르코프연쇄의 주기라 한다.</p> <p>기약이며 주기가 \( d \)인 마르코프연쇄는 상태의 순서를 바꿈으로써 전이확률행렬을 특수한 형태로 나타낼 수 있다. 예를 들어 기약이며 \( d=3 \)인 마르코프연쇄의 전이확률행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.</p>행렬 추가해야함<p>이때 \( P^{2} \)과 \( P^{3} \)은 각각 다음과 같은 형태가 됨을 알 수 있다.</p>행렬 추가해야함<p>따라서 \[P^{3 n}=C_{1}\left(\begin{array}{ccc}C_{0} & C_{1} & C_{2} \\& C_{2}\left(\begin{array}{ccc}P_{0}^{n} & O & O \\ O & P_{1}^{n} & O \\O & O & P_{2}^{n}\end{array}\right)\end{array}\right.\]행렬 추가해야함</p> <p>예제 \(5.20\)<p> <p>마르코프연쇄 \( X \)의 상태공간이 \( \{1,2, \cdots, 7\} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\( P=\left(\begin{array}{ccccccc}0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{4} & \frac{3}{4} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right) . \)</p> <p>이때 \( X \)의 주기는 \( d=3 \)임을 알 수 있다. 또한 \( C_{0}=\{1,2\}, C_{1}=\{3,4,5\}, C_{2}=\{6 \), 7)로 두면 \( P^{2} \)와 \( P^{3} \)는 각각 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( \begin{array}{cccccc}C_{0} & C_{1} & C_{2} & C_{0} & C_{1} & C_{2}\end{array} \) \( P^{2}=C_{1}\left(\begin{array}{ccc}O & O & P_{0}^{} \\ P_{1}^{} & O & O \\ O & P_{2}^{} & O\end{array}\right), \quad P^{3}=C_{1}\left(\begin{array}{ccc}P_{0} & O & O \\ O & P_{1} & O \\ O & O & P_{2}\end{array}\right) \) 단 \( P_{0}^{}=\left(\begin{array}{cc}\frac{23}{48} & \frac{25}{48} \\ \frac{11}{18} & \frac{7}{18}\end{array}\right), P_{1}^{}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{3}{8} & \frac{5}{8} \\ \frac{7}{16} & \frac{9}{16}\end{array}\right), P_{2}^{}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{5}{12} & \frac{1}{8} & \frac{11}{24} \\ \frac{3}{8} & \frac{1}{16} & \frac{9}{16}\end{array}\right) \), \[P_{0}=\left(\begin{array}{cc}\frac{71}{192} & \frac{121}{192} \\\frac{29}{72} & \frac{43}{72}\end{array}\right), P_{1}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{14}{36} & \frac{3}{36} & \frac{19}{36} \\\frac{19}{48} & \frac{3}{32} & \frac{49}{96} \\\frac{13}{32} & \frac{7}{64} & \frac{31}{64}\end{array}\right), P_{2}=\left(\begin{array}{cc} \frac{157}{288} & \frac{131}{288} \\\frac{111}{192} & \frac{81}{192}\end{array}\right)\]</p> <p>다음을 보이고 \((1) \)의 결과가 마르코프연쇄의 정의와 배치되는지 그렇지 않은지를 설명하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( P \left (X_ { 2 } =6 \mid X_ { 1 } \in \{ 3,4 \} , X_ { 0 } =2 \right ) \neq P \left (X_ { 2 } =6 \mid X_ { 1 } \in \{ 3,4 \} \right ) \)</li> <li>\( P \left (X_ { 2 } =6 \mid X_ { 1 } =2, X_ { 0 } \in \{ 3,4 \} \right )=P \left (X_ { 2 } =6 \mid X_ { 1 } =2 \right ) \)</li></ol> <p>\(12 \). 전이확률행렬이 \( P= \left (p_ { i j } \right ) \)인 마르코프연쇄 \( X \)에 대하여 초기상태를 처음으로 벗어나는 시각 \( \tau \)를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( \tau= \inf \left \{ n \geq 0, X_ { n } \neq X_ { 0 } \right \} \)</p> <p>이때 \( E \left [ \tau \mid X_ { 0 } =i \right ] \)를 \( p_ { i i } \)를 이용하여 나타내어라.</p> <p>\(13 \). \( N \)개의 공을 두 개의 항아리 \( A \)와 \( B \)에 나누어 넣고 그 중 임의로 한 개의 공을 택하여 다른 항아리에 넣는다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 실험을 마친 후 항아리 \( A \) 속에 들어 있는 공의 개수라 할 때 다음 물음에 답하라.</p> <p>\((1) \) \( \mu_ { n } =E \left [X_ { n } \right ](n=0,1,2, \cdots) \)이 다음을 만족함을 보여라.</p> <p>\( \mu_ { n + 1 } =1 + \left (1- \frac { 2 } { N } \right ) \mu_ { n } \)</p> <p>\((2) \) \((1) \)의 결과를 이용하여 다음이 성립함을 보여라.</p> <p>\( \mu_ { n } = \frac { N } { 2 } + \left (1- \frac { 2 } { N } \right ) ^ { n } \left ( \mu_ { 0 } - \frac { N } { 2 } \right ) \)</p> <p>따름정리 \( 5.11 \)<ol type=1 start=1><li>\( P \left (N_ { j }< \infty \mid X_ { 0 } =j \right )= \left \{\begin {array} { ll } 1, & f_ { j }<1 \\ 0, & f_ { j } =1 \end {array} \right . \)</li> <li>\( E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { 1-f_ { j } } , & f_ { j }<1 \\ \infty, & f_ { j } =1 \end {array} \right . \)</li></ol></p> <p>정리 \( 5.12 \)<ol type=1 start=1><li>\( j \)가 재귀적일 필요충분조건은 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) } = \infty . \]<caption>(5.8)<caption></li> <li>\( j \)가 일시적이면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { j j } ^ { (n) } =0 \)이다.</li></ol></p> <p>증명<ol type=1 start=1><li>따름정리 \( 5.11 \)에 의하여 \( j \)가 재귀적이라는 것은 \( E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \infty \)와 동치임을 알 수 있다. 한편 \[E \left [1_ {\left \{ X_ { n } =j \right \} } \mid X_ { 0 } =j \right ]=P \left (X_ { n } =j \mid X_ { 0 } =j \right )=p_ { j j } ^ { (n) } \]이므로 \[E \left [N_ { j } \mid X_ { 0 } =j \right ]= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } E \left (1_ {\left \{ X_ { n } =j \right \} } \mid X_ { 0 } =j \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) } \]이 되어 \( (5.8) \)이 증명된다.</li> <li>\( j \)가 일시적이면 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } p_ { j j } ^ { (n) }< \infty \)이므로 자명하다.</li></ol></p> <p>증명 \( \quad p_ { i j } ^ { (n + m) } =P \left (X_ { n + m } =j \mid X_ { 0 } =i \right ) \) \( = \sum_ { k \in S } P \left (X_ { n + m } =j, X_ { n } =k \mid X_ { 0 } =i \right ) \) \( = \sum_ { k \in S } P \left (X_ { n + m } =j \mid X_ { n } =k, X_ { 0 } =i \right ) P \left (X_ { n } =k \mid X_ { 0 } =i \right ) \) \( = \sum_ { k \in S } p_ { i k } ^ { (n) } p_ { k j } ^ { (m) } \)</p> <p>위의 셋째 등식은 조건부확률에 대한 곱의 공식 \((1.2) \)에 의하여 성립하고 넷째 등식은 마르코프성질에 의하여 성립한다.</p> <p>식 \((5.5) \)에서 \( p_ { i k } ^ { (n) } p_ { k j } ^ { (m) } \)는 \( i \)에서 출발하여 \( n \)단계 후에 \( k \)에 도달하고 다시 \( k \)에서 출발하여 \( m \)단계 후에 \( j \)에 있을 확률이다. 따라서 채프만-콜모고로프방정식은 \( X_ { 0 } =i \)에서 출발하여 \( (m + n) \)단계 후에 \( j \)에 있을 확률은 중간 단계에서 방문하는 모든 상태에 대한 확률을 합한 것과 같음을 의미한다(그림 \(5.3 \)).</p> <p>식 \( (5.5) \)를 \( n \)단계 전이확률행렬 \( P ^ { (n) } = \left (p_ { i j } ^ { (n) } \right ) \)를 이용하여 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\( P ^ { (n + m) } =P ^ { (n) } P ^ { (m) } \)</p> <p>특히 \[P ^ { (2) } =P ^ { (1) } P ^ { (1) } =P \cdot P=P ^ { 2 } \]이므로 수학적 귀납법에 의하여 다음이 성립함을 알 수 있다.</p> <p>정리 \(5.28 \) 주기가 \(3 \) 이상인 마르코프연쇄는 역행가능하지 않다.</p> <p>증명 마르코프연쇄 \( X \)가 역행가능하다고 가정하자. 그리고 적당한 \( i, j \in S \)에 대하여 \( p_ { i j } >0 \)라 하자. 그러면 \( p_ { j i } = \left ( \pi_ { i } / \pi_ { j } \right ) p_ { i j } >0 \)이다. 따라서 \( p_ { i i } ^ { (2) } \geq p_ { i j } p_ { j i } >0 \)가 되고 \( X \)의 주기는 \(2 \) 이하이다.</p> <p>참고 주기가 \(2 \)인 마르코프연쉐는 역행가능할 수 있다.</p> <p>다음 정리는 정상분포에 대한 조건 없이 전이확률만으로 마르코프연쇄의 역행가능성에 대한 판단기준을 제시한다.</p> <p>정리 \( 5.29 \) 콜모고로프의 기준(Kolmogorov's criterion) 에르고딕인 마르코프연쇄 \( X \)가 역행가능일 필요충분조건은 각각의 상태 \( i \)에서 시작하여 다시 \( i \) 로 되돌아오는 경로의 확률이 역의 경로의 확률과 같다는 것이다. 즉 만약 경로 \( i \rightarrow i_ { 1 } \rightarrow i_ { 2 } \rightarrow \cdots \rightarrow i_ { n-1 } \rightarrow i \)를 통하여 되돌아왔다면 다음이 성립한다.<p>\( p_ { i, i_ { 1 } } p_ { i_ { 1 } , i_ { 2 } } \cdots p_ { i_ { n-1 } , i } =p_ { i, i_ { n-1 } } p_ { i_ { n-1 } , i_ { n-2 } } \cdots p_ { i_ { 1 } , i } \)<caption>(5.37)</caption></p></p> <p>증명 \( X \)가 역행가능이라 하자. 그러면 \( p_ { i j } =q_ { i j } = \left ( \pi_ { j } / \pi_ { i } \right ) p_ { j i } (i, j \in S) \)이므로 \[ \begin {aligned} p_ { i, i_ { 1 } } p_ { i_ { 1 } , i_ { 2 } } \cdots p_ { i_ { n-1 } } , i &=q_ { i, i_ { 1 } } q_ { i_ { i } , i_ { 2 } } \cdots q_ { i_ { n-1 } , i } \\&= \left ( \frac {\pi_ { i_ { 1 } } } {\pi_ { i } } p_ { i_ { i } , i } \right ) \left ( \frac {\pi_ { i_ { 2 } } } {\pi_ { i_ { 1 } } } p_ { i_ { 2 } , i_ { 1 } } \right ) \cdots \left ( \frac {\pi_ { i } } {\pi_ { i_ { n-1 } } } p_ { i, i_ { n-1 } } \right ) \\&=p_ { i, i_ { n-1 } } p_ { i_ { n-1 } , i } , i_ { n-2 } \cdots p_ { i_ { 1 } , i } . \end {aligned} \]</p> <p>풀이 자명하게 \( X \)의 상태공간은 \( S= \{ 1,2, \cdots, N \} \)이다. \( n \)번째 실험에서 \(1 \)번 앞에 있는 카드가 선택될 사건을 \( A_ { n } , 1 \)번 뒤에 있는 카드가 선택될 사건을 \( B_ { n } , 1 \)번 카드가 선택될 사건을 \( C_ { n } \)이라 하면, \( X_ { n + 1 } \)은 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( X_ { n + 1 } = \left \{\begin {array} { ll } X_ { n } , & A_ { n + 1 } \text { 이 발생할 경우 } \\ X_ { n } + 1, & B_ { n + 1 } \text { 이 발생할 경우 } \\ 1, & C_ { n + 1 } \text { 이 발생할 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>따라서 현재까지 실험의 결과 \( X_ { 0 } , X_ { 1 } , \cdots, X_ { n } \)이 주어졌을 때 \( X_ { n + 1 } \)은 \( X_ { n } \)과 \( (n + 1) \)번째 실험의 결과에만 의존한다. 한편 \( (n + 1) \)번째 실험은 \( X_ { n } \)의 상태에만 의존하므로 결국 \( X_ { n + 1 } \)는 \( X_ { n } \)에만 의존함을 알 수 있다. 따라서 \( X \)는 마르코프연쇄가 된다.</p> <p>이제 전이확률 \( p_ { i j } =P \left (X_ { n + 1 } =j \mid X_ { n } =i \right ) \)를 구한다. \( X_ { n } =i \)이면 \(1 \)번 카드 앞에는 \( (i-1) \)장의 카드가 있고 뒤에는 \( (N-i) \)장의 카드가 있으므로 \( P \left (X_ { n + 1 } =i \mid X_ { n } =i \right ) \)는 \(1 \)번 앞에 있는 카드가 선택될 확률 \( \frac { i-1 } { N } \)과 같다. 같은 방법으로 \( p_ { i j } , 1 \leq i \leq N \)는 다음과 같음을 알 수 있다.</p> <p>\( p_ { i j } = \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { N } , & j=1 \\ \frac { i-1 } { N } , & j=i \\ \frac { N-i } { N } , & j=i + 1 \\ 0, & \text { 그 밖에 } \end {array} \right . \)</p> <p>\(34 \). 내일 날씨는 오늘과 어제의 이틀 날씨에만 의존한다고 하자. 어제와 오늘 맑을 때 내일 맑을 확률은 \( 0.8 \), 어제는 맑지 않고 오늘은 맑을 때 내일 맑을 확률은 \( 0.6 \), 어제는 맑고 오늘은 맑지 않을 때 내일 맑을 확률은 \( 0.4 \), 어제와 오늘 모두 맑지 않을 때 내일 맑을 확률은 \( 0.1 \)이라 하자. \( X_ { n } \)을 \( n \)번째 날 뒤에 맑으면 \(0 \), 그렇지 않으면 \(1 \)의 값을 갖는 확률변수라 하자. 다음 물음에 답하라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( X= \left \{ X_ { n } , n=0,1, \cdots \right \} \)는 마르코프연쇄가 되지 않음을 보여라.</li> <li>\( Y_ { n } = \left (X_ { n-1 } , X_ { n } \right ) \)이라 할 때 \( Y= \left \{ Y_ { n } , n=1,2, \cdots \right \} \)는 마르코프연쇄가 됨을 보이고 상태공간과 전이확률행렬을 구하라.</li> <li>\( \left \{ Y_ { n } \right \} \)의 극한분포를 구하라.</li> <li>장기간에 걸쳐서 관찰하였을 때 비 온 날의 비율을 구하라.</li></ol> <p>\(35 \). 기약인 마르코프연쇄 \( X \)의 전이확률행렬 \( P= \left (p_ { i j } \right ) \) 가 \( P ^ { 2 } =P \)를 만족할 때 \( X \)는 비주기적이고 모든 \( i, j \)에 대하여 \( p_ { i j } =p_ { j j } \)임을 보여라.</p> <p>\(36 \). 마르코프연쇄 \( X \)의 상태공간은 \( S= \{ 0,1,2,3,4 \} \)이고 전이확률행렬은 다음과 같다고 하자. \( X_ { 0 } =i(i=0,1,2) \)일 때 \( X \)가 상태 \(4 \)에 도달하기 전 \(3 \)에 도달할 확률을 구하라.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { lllll } 0.1 & 0.2 & 0 & 0.3 & 0.4 \\ 0.4 & 0 & 0.3 & 0.1 & 0.2 \\ 0.5 & 0.1 & 0.1 & 0.2 & 0.1 \\ 0.4 & 0 & 0 & 0 & 0.6 \\ 0.1 & 0.6 & 0.1 & 0.1 & 0.1 \end {array} \right ) \)</p> <p>\(37 \). 그림 \(5.4 \)와 같은 미로에서 \(1 \)번 방에서 출발한 쥐가 미로를 빠져나가기 위하여 필요한 이동횟수의 평균을 구하라.</p> <p>\(38 \). 상태공간이 \( S= \{ 0,1,2,3,4 \} \)이고 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄 \( X \)가 \( X_ { 0 } =i(i=1,2,3) \)일 때 흡수상태에 도달하기 전 상태 \(2 \)를 방문하는 평균횟수를 구하라.</p> <p>\( P= \left ( \begin {array} { ccccc } 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1-p & 0 & p & 0 & 0 \\ 0 & 1-p & 0 & p & 0 \\ 0 & 0 & 1-p & 0 & p \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ) \)</p> <p>역으로 모든 \( i, i_ { 1 } , \cdots, i_ { k } , j \in S \)에 대하여 \[p_ { i, i_ { 1 } } p_ { i_ { 1 } , i_ { 2 } } \cdots p_ { i_ { k } } p_ { j, i } =p_ { i, j } p_ { j, i_ { k } } p_ { i_ { k-1 } , i_ { k-2 } } \cdots p_ { i_ { 1 } , i } \]를 가정하자. 위 식에서 모든 \( i_ { 1 } , \cdots, i_ { k } \in S \)에 대하여 합하면 채프만-콜모고로프방정식에 의하여 다음을 얻는다.</p> <p>\( p_ { i j } ^ { (k + 1) } p_ { j i } =p_ { i j } p_ { j i } ^ { (k + 1) } \)</p> <p>여기서 \( k \rightarrow \infty \)이면 \( \pi_ { j } p_ { j i } = \pi_ { i } p_ { i j } \)를 얻는다.</p> <p>정리 \( 5.30 \) 에르고딕인 마르코프연쇄 \( X \) 의 상태공간과 전이확률행렬을 각각 \( S \)와 \( P= \left (p_ { i j } \right ) \)라 하자. 확률분포 \( x= \left (x_ { j } , j \in S \right ) \)와 전이확률행렬 \( P ^ { * } = \left (p_ { i j } ^ { * } \right ) \)가 \[x_ { i } p_ { i j } =x_ { j } p_ { j i } ^ { * } , \quad i, j \in S \]를 만족하면 \( x \)는 \( X \)의 정상분포이고 \( P ^ { * } = \left (p_ { i j } ^ { * } \right ) \)는 역행과정의 전이확률행렬이다.</p> <p>증명 \( x_ { i } p_ { i j } =x_ { j } p_ { j i } ^ { * } \)의 양변을 \( i \)에 대하여 합하면 다음을 얻는다.</p> <p>마르코프성질에 의하여 확률과정 \( \left \{ N_ { i } (k), k=1,2, \cdots \right \} \)는 갱신시각의 열이 \( \left \{ T_ { i } (n), n=0,1,2, \cdots \right \} \left (T_ { i } (0)=0 \right ) \)인 갱신과정이 됨을 알 수 있다(정리 \(5.9 \)).</p> <p>정리 \( 4.2 \)와 정리 \( 5.15 \)에 의하여 확률 \(1 \)로 다음이 성립한다.</p> <p>\( \lim _ { k \rightarrow \infty } \frac { N_ { i } (k) } { k } = \frac { 1 } { E \left [T_ { i } \mid X_ { 0 } =i \right ] } = \pi_ { i } , \quad i \in S \)</p> <p>식 \((5.26) \)으로부터 \( \pi_ { j } \)는 \( X \)가 장기간에 걸쳐서 \( j \ 를 방문하는 횟수에 대한 비율과 같음을 알 수 있다. 한편 전이확률 \( p_ { i j } \)는 현재 \( i \)상태에 있을 때 \( j \)로 전이가 일어날 비율이므로 \( \pi_ { i } p_ { i j } \) 는 \( X \) 가 장기간에 걸쳐서 상태 \( i \) 에서 \( j \) 로의 전이가 일어날 횟수의 비율, 즉 전이율을 의미한다. 또한 \( \sum_ { i \in S } \pi_ { i } p_ { i j } \)는 상태 \( j \)로의 유입률, 즉 상태 \( j \)를 방문하는 비율을 의미한다. 한편 \[ \pi_ { j } = \pi_ { j } \sum_ { i \in S } p_ { j i } = \sum_ { i \in S } \pi_ { j } p_ { j i } \]는 \( j \)로부터의 이탈률, 즉 상태 \( j \)를 벗어나는 비율로 해석할 수 있다. 따라서 방정식 \((5.13) \)은 상태 \( j \)로부터의 총 이탈률과 \( j \)로의 총 유입률이 같다는 것을 의미한다. 이와 같은 의미에서 방정식 \((5.13) \)을 전체 평형방정식(global balance equation) 또는 간단히 평형 방정식이라고 한다.</p> <p>상태공간 \( \mathcal { S } \)를 \( A \)와 \( B \)로 분할하자. 즉 \( A \cap B= \varnothing, A \cup B=S \)이다. 그리고 \( r_ { A B } \)를 \( A \)에서 \( B \)로의 평균 전이율, \( r_ { B A } \)를 \( B \)에서 \( A \)로의 평균 전이율이라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>\( r_ { A B } = \sum_ { i \in A } \pi_ { i } \sum_ { j \in B } p_ { i j } = \sum_ { i \in A } \sum_ { j \in B } \pi_ { i } p_ { i j } \), \( \\ r_ { B A } = \sum_ { i \in B } \pi_ { i } \sum_ { j \in A } p_ { i j } = \sum_ { i \in B j \in A } \sum_ { i } p_ { i j } \)</p> <p>이 경우 \( r_ { A B } =r_ { B A } \)가 성립함을 보일 수 있다. 이 방정식을 교차평형방정식(cross balance equation)이라고 한다.</p> <p>그림 \(5.2 \)와 같은 미로를 생각하자. 미로 속에 있는 쥐는 한 방에서 인접한 다른 방으로 갈 때 균등분포를 따라서 움직인다. 예를 들어 방 \(1 \)에서 \(2 \)와 \(4 \)로 갈 확률은 각각 \( \frac { 1 } { 2 } \)이고, 방 \(5 \)에서 인접한 방으로 갈 확률은 각각 \( \frac { 1 } { 3 } \)이다. \( X_ { n } \)을 \( n \)번 움직인 직후 쥐가 있는 방의 번호라고 하자. 확률과정 \( \boldsymbol { X } = \left \{ X_ { n } , n=0,1,2, \cdots \right \} \)의 상태공간은 명백하게 \( \{ 1,2, \cdots, 6 \} \)이다. 미로 안에 있는 쥐가 다음에 갈 방의 번호는 현재의 위치에만 의존 하므로 \( X \)는 마르코프연쇄가 된다. 또한 \( X \)의 전이확률행렬은 다음과 같다.</p> <p>\(P = \) \( \left . \begin {array} { l } 1 \\2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \\ 6 \end {array} \right . \) \( \left ( \begin {array} { cccccc } _ { 0 } ^ { ^ { 1 } } & _ \frac { 1 } { 2 } ^ { ^ { 2 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 3 } } & _ \frac { 1 } { 2 } ^ { ^ { 4 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 5 } } & _ { 0 } ^ { ^ { 6 } } \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac { 1 } { 2 } & 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 \\ 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 1 } { 3 } \\ 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 & \frac { 1 } { 2 } & 0 \end {array} \right ) \)</p> <p>예제 \( 5.11 \) 대기행렬모형 I</p> <p>제 \(2 \)장의 예제 \( 2.4 \)와 같이 단일서버가 도착순서에 따라 서비스를 하며 무한의 대기실을 갖는 대기행렬모형을 생각하자. \( X_ { 0 } =0 \)이라 하고 \( X_ { n } (n \geq 1) \)을 \( n \)번째 도착한 고객이 서비스를 마치고 시스템을 떠날 때 시스템에 남아 있는 고객 수라 하자. 또한 \( \xi_ { n } \)을 \( n \)번째 서비스를 받는 고객의 서비스 시간 동안 도착한 고객 수라 하면 \( X_ { n } \)과 \( \xi_ { n } \)은 다음과 같은 관계가 있음을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} X_ { n + 1 } &= \left \{\begin {array} { ll } X_ { n } -1 + \xi_ { n + 1 } , & X_ { n } \geq 1 \\ \xi_ { n + 1 } , & X_ { n } =0 \end {array} \right . \\ &= \left (X_ { n } -1 \right ) ^ { + } + \xi_ { n + 1 } , \quad n=0,1,2, \cdots \end {aligned} \] \( \xi_ { 1 } , \xi_ { 2 } , \cdots \)는 서로 독립이고 같은 분포를 따른다고 가정하고 \[ P \left ( \xi_ { n } =k \right )=a_ { k } , k=0,1,2, \cdots \]라 두자. 그러면 정리 \( 5.1 \)에 의하여 확률과정 \( X= \left \{ X_ { n } , n \geq 0 \right \} \)은 전이확률행렬이 다음과 같은 마르코프연쇄이다. \[ P= \left ( \begin {array} { cccccc } a_ { 0 } & a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } & a_ { 4 } & \cdots \\ a_ { 0 } & a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } & a_ { 4 } & \cdots \\ 0 & a_ { 0 } & a_ { 1 } & a_ { 2 } & a_ { 3 } & \cdots \\ 0 & 0 & a_ { 0 } & a_ { 1 } & a_ { 2 } & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & a_ { 0 } & a_ { 1 } & \cdots \\ & & & \vdots & \vdots & \end {array} \right ) \]</p> <p>예제 \(5.32 \)</p> <p>어떤 제약회사에서 새롭게 개발된 약의 효과가 이전의 약보다 더 좋은지를 평가하기 위하여 다음과 같은 방법을 사용하고자 한다. 먼저 상태가 비슷한 환자의 쌍을 선택한 다음 한 명에게는 이전의 약을, 다른 한 명에게는 새로운 약을 투여한 다음 효과를 관찰한다. 이와 같은 실험을 여러 쌍의 환자에게 계속하여 실시하면서 각각의 약에 대한 치료효과가 나타난 환자 수를 계산한다. 새로운 약으로 치료한 환자 수와 이전 약으로 치료한 환자 수의 차이가 미리 정해진 수보다 커지면 실험을 중단하고 더 많은 치료효과를 본 약의 효과가 더 좋다고 판정하려고 한다. 좀더 자세한 설명을 위하여 이전 약을 \(1 \)번 약, 새로운 약을 \(2 \)번 약이라 하고 \( P_ { 1 } \)과 \( P_ { 2 } \)를 각각 \(1 \)번 약과 \(2 \)번 약의 치료율이라 하자. 여기서 \( P_ { i } (i = 1,2) \)는 알려져 있지 않다고 하자. 확률변수 \( X_ { i } \)와 \( Y_ { i } \)를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( X_ { i } = \left \{\begin {array} { l } 1, i \text { 번째 쌍의 한 환자가 } 1 \text { 번 약으로 치료되었을 경우 } \\ 0, \text { 그렇지 않은 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>\( Y_ { i } = \left \{\begin {array} { l } 1, i \text { 번째 쌍의 다른 한 환자가 } 2 \text { 번 약으로 치료되었을 경우 } \\ 0, \text { 그렇지 않은 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>그러면 \( U_ { n } = \sum_ { j=1 } ^ { n } X_ { j } \)와 \( V_ { n } = \sum_ { j=1 } ^ { n } Y_ { j } \)는 각각 \( n \)쌍의 환자에게 한 명에게는 \(1 \)번 약을, 다른 한 명에게는 \(2 \)번 약을 투여했을 때 치료된 환자 수를 나타낸다. 미리 정해진 수 \( M \) 에 대하여 \( \left \|U_ { n } -V_ { n } \right \|=M \) 이 되는 순간 실험을 중단한다. 만약 \( U_ { n } -V_ { n } =M \)이면 \(1 \)번 약의 치료 효과가 더 높고 \( U_ { n } -V_ { n } =-M \)이면 \(2 \)번 약의 치료 효과가 더 높다고 판정하고자 한다. 즉 \( U_ { n } -V_ { n } =M \)이면 \( P_ { 1 } >P_ { 2 } \)이고 \( U_ { n } -V_ { n } =-M \)이면 \( P_ { 1 }<P_ { 2 } \)이다. 이러한 판정방식에서 잘못 판정할 확률을 구하라.</p>	자연
복소해석학개론_복소적분	<p>유의점 : \( \gamma(t) \)의 치역을 곡선 \( \gamma \)라 하는 것이 일반적이며 편리하다. 또 \( \gamma(t) \)를 곡선의 매개변수표현이라 하는 것도 마찬가지이다. 이 곡선이라는 말의 사용으로 곡선은 원이나 직선같이 구체적인 기하학적 목표물이 되고, 쉽게 가시화될 수 있다. 이런 관점에서의 어려움은 특수한 곡선은 일반적으로 직선의 선분과 (또는) 원의 호들로 이루어진다. 이것들은 다음에 있는 예제들에서 보여진 것처럼 표준의 매개변수표현을 갖고 있다.</p> <p>[예제 \(3.1 \)] 평면에서 \( z_ { 0 } \)과 \( z_ { 1 } \)을 고정하고 \( \gamma(t) = t z_ { 1 } + (1-t) z_ { 0 } (0 \leq t \leq 1) \)이라 하자. 이것은 매끄러운 단순곡선인데 치역은 \( z_ { 0 } \)에서 \( z_ { 1 } \)을 잇는 선분이다.</p> <p>[예제 \(3.2 \)] 평면에서 \( P \)와 양수 \( R \)을 고정하자. 곡선 \( \gamma(t)=P + R e ^ { i t } (0 \leq t \leq 2 \pi) \)는 매끄러운 단순닫힌곡선이다. 치역은 정확히 \( P \)에 중심을 두고 반지름이 \( R \)인 원이다. 원은 반시계방향으로 운동한다.</p> <p>[예제 \(3.3 \)] \( z_ { 0 } , i z_ { 0 } ,-z_ { 0 } \)과 \( -i z_ { 0 } \)이 꼭지점인 정사각형은 다음과 같이 주어진 단순닫힌 경로 \( \gamma(t) \)의 치역이다. \[ \gamma(t)= \left \{\begin {array} { ll } t i z_ { 0 } + (1-t) z_ { 0 } , & 0 \leq t \leq 1 \\ (t-1) \left (-z_ { 0 } \right ) + (2-t) \left (i z_ { 0 } \right ), & 1 \leq t \leq 2 \\ (t-2) \left (-i z_ { 0 } \right ) + (3-t) \left (-z_ { 0 } \right ), & 2 \leq t \leq 3 \\ (t-3) \left (z_ { 0 } \right ) + (4-t) \left (-i z_ { 0 } \right ), & 3 \leq t \leq 4 \end {array} \right . \]</p> <p>참고 : 정리 \( 3.13 \)은 \( \gamma \)의 내부의 임의의 점에서 \( f(z) \)의 값을 \( \gamma \)에서의 \( f(z) \)의 값으로 표현하고 있다. 즉, \( f(z) \)가 단순연결영역의 내부와 경계에서 해석적이라면 경계에서의 \( f(z) \)값들이 내부의 \( f(z) \)값들을 완전히 결정한다. 실변수함수의 경우에는 이와 유사한 어떤 정리도 없다. 예를 들어, 함수 \( f_ { n } (x) = x ^ { n } (0 \leq x \leq 1) \)은 모두 동일한 경계값 \( (f(0)=0, f(1)=1) \)을 갖지만 어떤 내점에서도 동일한 값을 갖지 않는다.</p> <p>[예제 \( 3.23 \)] \( \gamma \)가 양의 방향으로 도는 단위원 \( \|z\|=1 \)일 때 다음이 성립함을 보여라. \[ \int_ {\gamma } \frac {\sin z } { 4 z + \pi } d z= \frac { - \sqrt { 2 } \pi i } { 4 } \]<p>풀이 \( f(z)= \sin z \)이다. 적분을 변형하여 코시 적분공식을 적용하면 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } \frac {\sin z } { 4 z + \pi } d z &= \frac { 1 } { 4 } \int_ {\gamma } \frac {\sin z } { z + \frac {\pi } { 4 } } d z= \frac { 1 } { 4 } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } { z- \left (- \frac {\pi } { 4 } \right ) } d z \\ &= \frac { 1 } { 4 } (2 \pi i) f \left (- \frac {\pi } { 4 } \right )= \frac {\pi i } { 2 } \sin \left (- \frac {\pi } { 4 } \right )= \frac { - \sqrt { 2 } \pi i } { 4 } \end {aligned} \] 를 얻는다.</p></p> <p>앞의 정리 \( 3.13 \) 은 \( n \)계 도함수에 대한 정리로 확장될 수 있다.</p> <p>정리 \( 3.13 \)의 표기를 사용하여 \( z_ { 0 } + h \)가 \( \gamma \)의 내부에 있도록 \( h \)를 절대값이 충분히 작게 잡으면 \[ f \left (z_ { 0 } + h \right )= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } { z- \left (z_ { 0 } + h \right ) } d z \] 이다. 따라서<p>\( \begin {aligned} \frac { f \left (z_ { 0 } + h \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) } { h } &= \frac { 1 } { h } \left \{\frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \left ( \frac { 1 } { z-z_ { 0 } -h } - \frac { 1 } { z-z_ { 0 } } \right ) f(z) d z \right \} \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } -h \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) } d z \end {aligned} \)<caption>(3.14)</caption></p>이고 \( h \rightarrow 0 \)일 때 피적분함수는 \( \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } \)로 접근한다. \( \int \) 안에서 극한을 취할 수 있음을 보이기 위해서는 차<p>\( \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } -h \right ) } d z- \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } d z \right \| \) \( = \left \| \frac { h } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \left (z-z_ { 0 } -h \right ) } d z \right \| \)<caption>(3.15)</caption></p>을 임의로 작게 만들 수 있음을 밝혀야 한다. 이제 \( \gamma \)에 포함된 한 원 \( \gamma_ { 1 } : \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r \)이 주어질 때 \( \|h\| \leq \frac { r } { 2 } \)이도록 \( h \)를 충분히 작게 취하자.</p> <h2>3.2.3 코시-구르사 정리의 확장</h2> <p>정리 \(3.6 \)이 매우 특별하긴 하지만, 매우 중요한 고차원적 일반성을 얻기 위해 확장되어질 수 있다. 가령 예를 들어 \( \gamma \) 가 선분으로 이루어진 단순닫힌곡선이라 가정하자. (대표적인 그림으로 그림 \( 3.13( \mathrm { a } ) \)를 보라.) \( \Omega \)를 \( \gamma \)의 내부라 하고, \( f \)가 \( \gamma \)와 \( \Omega \)를 포함하는 영역 \( D \)에서 해석적이라 하자. \( \Omega \)와 \( \gamma \)로 이루어진 구역은 '삼각형화'될 수 있다(그림 3.13(b)). 임의의 작은 삼각형에 관한 \( f \)의 선적분은 정리 \( 3.6 \)에 의해 \(0 \) 이다. \( \Omega \) 안에 있는 각 삼각형의 변은 각 방향에서 한번씩 두 번 돌기 때문에 \( \Omega \) 안에 있는 삼각형의 모든 변 위에서 \( f \)의 선적분의 합은 \(0 \)이다. 이것은 \[ \int_ {\gamma } f(z) d z = 0 \] 이라는 결론을 내게 된다. 이같은 성질을 이용해 \(3.2.1 \)절의 정리 \(3.4 \)의 결론이 \( f ^ {\prime } \) 이 연속이라는 가정없이 성립함을 확정할 수 있다. 그러면 정리 \( 3.4 \)는 직접 \(3.2.1 \)절의 정리 \( 3.5 \)와 따름정리 \(3.1 \)을 유도하고 증명은 변함이 없다. 따라서 다음 확장을 얻는다.</p> <p>[정리 \(3.7 \)] \( f \)는 단순연결영역 \( D \)에서 해석적이라 하자.<p>(a) \( \gamma \)가 \( D \) 안에서 닫힌경로라 하면, 다음 식이 성립한다. \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=0 \]</p> <p>(b) \( D \) 전체에서 \( F ^ {\prime } =f \)가 되는 해석함수 \( F \)가 \( D \) 안에 존재한다.</p>정리 3.7(a)에서 \( \gamma \)가 스스로 무한 번 교차하는 경우에는 미묘한 점이 발생하지만 이때도 여전히 정리가 성립함을 보일 수 있는 방법이 있다(연습문제 \(37 \)). 정리 \(3.7 \)(b)는 \( D \)가 단순연결영역이 아니면 성립하지 않는다(예: \( \{ 0<\|z\|<1 \} \)에서 \( f(z)= \log z) \).</p> <p>참고 : 코시 정리는 다중연결영역에서도 성립한다. 여기서의 관점은 다중연결영역을 횡단선을 이용해 단순연결영역화하는 것이다. 즉, 다음과 같은 결과를 얻는다: \( f(z) \)가 다중연결영역 \( D \)의 내부와 그의 경계 \( \gamma \)에서 해석적이면 (또는 \( f(z) \)가 다중연결영역 \( D \)에서 해석적이고, \( \gamma \)가 그의 내부도 \( D \) 안에 있는 단순닫힌경로라면) \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=0 \] 이다. 이때 적분은 \( \gamma \)의 양의 방향을 따라 계산된다. 구체적으로 다음 정리들을 얻는다.</p> <p>[예제 \(3.19 \)] \( \gamma \)가 원점을 감싸는 양의 방향으로 도는 단순닫힌경로라면 정리 \(3.8 \)(경로 변형의 원리)을 이용해 \[ \int_ {\gamma } \frac { d z } { z } = 2 \pi i \] 임을 보일 수 있다. \( \gamma_ { 0 } \)을 원점이 중심인 \( \gamma \)와 같은 방향으로 도는 \( \gamma \)의 내부에 완전히 머무는 원이라 하자. \[ \int_ {\gamma_ { 0 } } \frac { d z } { z } =2 \pi i \] 이고 \( \frac { 1 } { z } \) 은 \( z \neq 0 \)이면 해석적이므로 바라던 결과를 얻는다.</p> <h2>3.2.4 적분의 기본정리</h2> <p>정리 \( 3.5 \)와 그 따름정리 \( 3.1 \)에서 \( f \)가 단순연결영역 \( D \)에서 해석적이고 \( f ^ {\prime } \)이 연속이면 (해석적) 역도함수(즉, 원시함수) F가 선적분에 의해 구성될 수 있음을 보였다. 이는 코시 정리 \( 3.3 \)에 의한 것이다. 이제 코시-구르사 정리 \( 3.6 \)을 이용함으로써 해석함수 \( f \)의 도함수 \( f ^ {\prime } \)의 연속성을 가정하지 않더라도 단순연결영역에서 해석함수 \( f \)의 원시함수를 구할 수 있음을 보인다. 결과적으로 단순연결영역에서 \( z_ { 1 } \)에서 \( z_ { 2 } \)를 잇는 경로를 따른 해석함수의 선적분은 항상 같고, 이것의 값은 \( F \left (z_ { 2 } \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) \)으로 주어진다. 따라서 우리는 정적분의 값을 계산하기 위해 미적분학의 역도함수 공식을 사용할 수 있게 된다. 다음 정리 \( 3.11 \)은 정리 \( 3.7 \)을 다른 방향에서 재서술한 것이다.</p> <p>[정리 \(3.11 \)] (부정적분 또는 원시함수) \( f \)가 단순연결영역 \( D \)에서 해석적이라 하자. \( \gamma \) 를 고정점 \( z_ { 0 } \)을 시작점으로 하고 끝점이 \( z \)인 \( D \) 안의 임의의 경로라 하면, 함수 \[F(z)= \int_ {\gamma } f( \zeta) d \zeta= \int_ { z_ { 0 } } ^ { z } f( \zeta) d \zeta \]<p>\( F(z)= \int_ {\gamma } f( \zeta) d \zeta= \int_ { z_ { 0 } } ^ { z } f( \zeta) d \zeta \)<caption>(3.11)</caption></p>는 \( D \)에서 해석적이고<p>\(F ^ {\prime } (z)=f(z) \)<caption>(3.12)</caption></p>이다.<p>증명 이 정리의 증명은 정리 \( 3.5 \)와 그것의 따름정리 \( 3.1 \)의 증명에서 코시 정리 \( 3.3 \) 대신 확장된 코시-구르사 정리 \( 3.6 \)을 이용한다.</p></p> <p>\( p \)와 \( q \)를 평면에 있는 서로 다른 두 점이라 하고, \( \gamma_ { 1 } \)과 \( \gamma_ { 2 } \)를 \( p \)에서 \( q \)까지를 잇는 두 개의 경로라 하자. 그러면 \( \gamma = \gamma_ { 1 } - \gamma_ { 2 } \)는 닫혀 있는 경로이다. 따라서 \( m=0,1,2, \cdots \)일 때 \[0= \int_ {\gamma } z ^ { m } d z= \int_ {\gamma_ { 1 } } z ^ { m } d z- \int_ {\gamma_ { 2 } } z ^ { m } d z \] 이다. 즉 \( p \)에서 \( q \)를 잇는 곡선 위에서의 \( z ^ { m } \)의 적분값은 곡선에는 관계없이 점 \( p, q \)와 지수 \( m \)에만 의존한다. 실제로 예제 \( 3.11 \)에서 한 계산에 의하면 \( p \)에서 \( q \)를 잇는 곡선 \( \gamma \)에 대해 다음이 성립한다.</p> <p>\( \begin {aligned} \int_ {\gamma } z ^ { m } d z &= \int_ { a } ^ { b } \gamma ^ { m } (t) \gamma ^ {\prime } (t) d t \\ &= \frac { 1 } { m + 1 } \left [ \gamma ^ { m + 1 } (t) \right ]_ { a } ^ { b } \\ &= \frac { 1 } { m + 1 } \left [ \gamma ^ { m + 1 } (b)- \gamma ^ { m + 1 } (a) \right ] \\ &= \frac { 1 } { m + 1 } \left [q ^ { m + 1 } -p ^ { m + 1 } \right ] \end {aligned} \)</p> <p>끝으로 선적분에 관해 유의할 점을 살펴보자. 곡선—예를 들어 선분이나 원호 은 여러 가지 다른 매개변수표현이 가능함을 상기하라. 일례로 \( \gamma_ { 1 } (s)=s + i s ^ { 2 } (0 \leq s \leq 1) \), \( \gamma_ { 2 } (t)= \sin t + i \left (1- \cos ^ { 2 } t \right ) \left (0 \leq t \leq \frac {\pi } { 2 } \right ) \)는 포물선 \( y=x ^ { 2 } (0 \leq x \leq 1) \)의 그래프를 같은 치역으로 가지고 있다. 선적분 \( \int_ {\gamma } f \)의 값이 \( \gamma \)의 매개변수표현(또는 경로)에 의존하는지를 살펴보는 것은 자연스러운 것이다. 다행히, 매우 일반적인 조건하에서 대답은 '아니오'이다. 즉 선적분은 양 끝점에만 의존한다. 다음 정리가 이것을 보여준다.</p> <p>\( g \)가 닫힌구간 \( [a, b] \)에서 연속인 복소함수라 하자. 다음의 부등식을 증명해 보자. \[ \left \| \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \right \| \leq \int_ { a } ^ { b } \|g(t)\| d t \] 위 부등식은 \( \int_ { a } ^ { b } g(t) d t = 0 \)이면 당연히 성립하므로 \( \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \neq 0 \)이라 가정하자. \[ \vartheta= \operatorname { Arg } \left ( \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \right ) \] 라 하면 적당한 \( R(>0) \)에 대해 \[ \int_ { a } ^ { b } g(t) d t=R e ^ { i \vartheta } \] 이다. \( h(t)=e ^ { -i \vartheta } g(t)(a \leq t \leq b) \) 라 놓자. 그러면 \[ \begin {aligned} 0 &< \left \| \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \right \|=R=e ^ { -i \vartheta } \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } e ^ { -i \vartheta } g(t) d t= \int_ { a } ^ { b } h(t) d t, \quad h(t)=e ^ { -i \vartheta } g(t) \end {aligned} \] 를 얻는다. 따라서 \( \int_ { a } ^ { b } h(t) d t>0 \)이고 \[R= \left \| \int_ { a } ^ { b } g(t) d t \right \|= \int_ { a } ^ { b } h(t) d t= \Re \int_ { a } ^ { b } h(t) d t= \int_ { a } ^ { b } ( \Re h(t)) d t \leq \int_ { a } ^ { b } \|h(t)\| d t= \int_ { a } ^ { b } \|g(t)\| dt \] 이다. 위의 결과를 이용하면<p>\( \begin {aligned} \left \| \int_ {\gamma } u(z) d z \right \| &= \left \| \int_ { a } ^ { b } u( \gamma(t)) \gamma ^ {\prime } (t) d t \right \| \\ & \leq \int_ { a } ^ { b } \|u( \gamma(t))\| \left \| \gamma ^ {\prime } (t) \right \| d t \end {aligned} \)<caption>(3.1)</caption></p>를 얻는다.</p> <p>다중연결영역에 대한 코시 정리 \( 3.8 \) (경로 변형의 원리)에 의해 \[ \frac { h } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \left (z-z_ { 0 } -h \right ) } d z = \frac { h } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \left (z-z_ { 0 } -h \right ) } d z \] 이다. \( f(z) \)는 \( \gamma_ { 1 } \) 위에서 연속이므로 \( f(z) \)는 유계이다(즉, \( \left .\|f(z)\| \leq M \right ) \). 따라서 식 ( \( 3.15 \))는 다음에 의해 위로 유계이다. \[ \begin {aligned} \frac { \|h\| } { 2 \pi } \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { \|f(z)\| } {\left \|z-z_ { 0 } \right \| ^ { 2 } \left \|z-z_ { 0 } -h \right \| } \|d z\| & \leq \frac { \|h\| M } { 2 \pi r ^ { 2 } } \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { \|d z\| } {\left \|z-z_ { 0 } \right \|-\|h\| } \\ & \leq \frac { \|h\| M } {\pi r ^ { 3 } } \int_ {\gamma_ { 1 } } \|d z\| \\ &=\|h\| \left ( \frac { 2 M } { r ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 그러므로, 식 ( \( 3.15 \))는 \( h \)가 \(0 \)에 가까워짐에 따라 \(0 \)으로 가까워진다. 따라서 식 ( \( 3.14 \))와 식 ( \( 3.15 \))에 의해<p>\( \begin {aligned} f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) &= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } -h \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) } d z \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } d z \end {aligned} \)<caption>(3.16)</caption></p>를 얻는다. 방정식 ( \( 3.16 \))은 \( \gamma \) 내부의 임의의 점에서 \( f ^ {\prime } (z) \)의 값을 \( \gamma \) 위의 값으로 표 현해 주고 있다. 가정에 의해 \( f(z) \)는 \( \gamma \) 내부의 모든 점에서 미분가능함을 알았다. 더구나 위의 과정은 반복될 수 있다. 이제 식 ( \( 3.16 \))으로부터 다음이 유도된다.</p> <p>곡선 \( \gamma \)는 \( t \)가 증가됨에 따라 방향이 주어진다. \( \gamma \)는 \( \gamma(a) \)에서 시작하여 \( t \)가 \( a \)에서 \( b \)까지 증가함에 따라 운동하여 \( \gamma(b) \)에서 끝난다. 반대방향은 \( \gamma(b) \)에서 시작하고 \( \gamma(a) \)에서 끝난다. 이 곡선을 \( - \gamma \)라 하고 \( a \leq t \leq b \)일 때 \( - \gamma(t) = \gamma(a + b-t) \)라 주어진다. 단순닫힌곡선 \( \gamma \)는 \( \gamma \)의 내부에 있는 각 점 \( p \)에 대해 \( \gamma(t)-p \)의 편각이 \( t \)가 \( a \)에서 \( b \)로 증가할 때 \( 2 \pi \)만큼 증가하면 양의 방향을 가졌다고 한다. 동일하게, \( \gamma \)의 방향을 따라서 \( \gamma \) 위를 걸을 때 \( \gamma \)의 내부가 왼쪽에 있으면 \( \gamma \)는 양의 방향을 가졌다고 한다. 예를 들어, 원이 반시계 방향으로 돌면 양의 방향이다. 삼각형이나 직사각형에 대해서도 같다.</p> <p>지금부터는 특별한 언급이 없으면 모든 곡선(경로)은 양의 방향으로 돈다고 가정한다.</p> <p>\( g(t)= \sigma(t) + i \tau(t) \)를 닫힌구간 \( [a, b] \)에서 연속인 복소함수라 하자. 닫힌구간 \( [a, b] \)에서 \( g \)의 적분을 다음과 같이 정의한다. \[ \int_ { a } ^ { b } g(t) d t= \int_ { a } ^ { b } \sigma(t) d t + i \int_ { a } ^ { b } \tau(t) d t \] 복소함수의 미분의 정의와 같이 이 정의는 미적분학에서 배운 실변수 \( t \)의 벡터값 함수의 적분의 정의와 일치한다. 예를 들어 \[ \Re \left \{\int_ { a } ^ { b } g(t) d t \right \} = \int_ { a } ^ { b } \Re g(t) d t \] 인데 이는 양변이 \( \int ^ { b } \sigma(t) d t \)와 같기 때문이다.</p> <p>\( \gamma \)를 닫힌구간 \( [a, b] \)에서 정의된 매끄러운 곡선이고, \( u \)를 \( \gamma \)의 치역에서 정의된 연속 함수라 하자. \( \gamma \)에서 \( u \)의 선적분은 \[ \int_ {\gamma } u(z) d z= \int_ { a } ^ { b } u( \gamma(t)) \gamma ^ {\prime } (t) d t \] 로 정의한다. 여기서 오른쪽은 앞에서 정의한 복소적분이다. 또 경로 \( \gamma \)에 대해서는, 점 \( t_ { 0 } , t_ { 1 } , \cdots, t_ { n } \)을 \( \gamma ^ {\prime } \)이 불연속인 점이라 하면 \( \gamma \)에서 \( u \)의 선적분을 \[ \int_ {\gamma } u(z) d z= \sum_ { j=0 } ^ { n-1 } \int_ { t_ { j } } ^ { t_ { j + 1 } } u( \gamma(s)) \gamma ^ {\prime } (s) d s \] 로 정의한다. 가정에 의해 \( \gamma ^ {\prime } (s) \)는 각각의 선분 \( \left [t_ { j } , t_ { j + 1 } \right ](j=0,1, \cdots, n-1) \)에서 연속이다.</p> <p>참고 : 일반적으로 \[ \Re \left [ \int_ {\gamma } f(z) d z \right ] \neq \int_ {\gamma } \Re f(z) d z \] 임을 유념하라. 예를 들어, \( \gamma(t) = i t(t \in[0,1]) \)이고, \( f(z)=1 \)이면, \( \gamma ^ {\prime } (t)=i \)이고, \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } f(z) d z= \int_ { 0 } ^ { 1 } 1 \cdot \gamma ^ {\prime } (t) d t=i \\ \text { 즉, } \Re \left [ \int_ {\gamma } f(z) d z \right ]=0 \text { 이지만, } \\ \int_ {\gamma } \Re f(z) d z= \int_ {\gamma } \Re(1) \cdot i d t=i \end {aligned} \] 이다. 따라서 복소적분에서 실부와 허부를 취할 때는 주의해야 한다. 특히 \( f(z) \)가 순실수이거나 순허수인 경우에 이런 일이 일어나므로 주의하기 바란다. \( \gamma(t)=x(t) + i y(t) \)라면 \( \gamma(t) \)의 치역인 곡선의 길이는<p>\( \begin {aligned} l( \gamma) &= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left (x ^ {\prime } (t) \right ) ^ { 2 } + \left (y ^ {\prime } (t) \right ) ^ { 2 } } dt \\ &= \int_ { a } ^ { b } \left \| \gamma ^ {\prime } (t) \right \| dt \end {aligned} \)<caption>(3.2)</caption></p>임을 안다. 이것은 다음의 중요한 계산을 얻는데 이용된다.<p>\( \left \| \int_ {\gamma } u(z) d z \right \| \leq \left ( \max _ { z \in \gamma } \|u(z)\| \right ) l( \gamma) \)<caption>(3.3)</caption></p>식 ( \(3.3 \))의 부등식은 식 ( \(3.1 \))에서 \( \|u( \gamma(t))\| \)를 구간 \( a \leq t \leq b \)에서 최대값으로 교체함으로써 바로 얻을 수 있다. 이것은 식 ( \(3.3 \))의 첫 번째 인자이다. 나머지 남아 있는 적분은 식 \( (3.2) \)이고 이것은 곡선의 길이를 나타낸다.</p> <p>[예제 \(3.6 \)] \( \gamma(t)=2 e ^ { i t } \left (0 \leq t \leq \frac {\pi } { 2 } \right ) \)일 때 \( \int_ {\gamma } \left (z ^ { 2 } -2\|z\| + \Im z \right ) dz \)를 계산하라.</p> <p>이제까지의 해석함수의 공부에서 우리가 전개한 것은 코시-리만 방정식과 적분을 통하지 않고 유도한 그것의 멱급수 전개이다. 더 깊은 탐구를 위해 복소적분을 다루어야 하고 이를 이용해 해석함수의 멱급수 전개를 결론지어야 한다. 이 장에서는 세 가지를 다루는데 먼저 복소 선적분을 살펴보고 복소적분의 기본정리인 코시 정리와 경계값에 의해 내부값을 찾을 수 있으며 해석함수의 멱급수전개를 유도하는 코시 적분공식 및 그것의 응용을 생각해 본다.</p> <h1>\( 3.1 \) 선적분과 그린 정리</h1> <p>복소수의 기본 정리들은 선적분에 의존하므로 이 절에서는 선적분에 대해 알아보고 선적분에 관한 기초정리인 그린(Green) 정리를 공부하겠다. 그린 정리의 몇 가지 결과도 역시 다루어진다.</p> <h2>\( 3.1 .1 \) 곡선</h2> <p>곡선 \( \gamma \)는 실축의 구간 \( [a, b] \)에서 \( t \)에 대해 정의되어 있는 연속 복소함수 \( \gamma(t) \)이다. \( a \leq \) \( t_ { 1 }<t_ { 2 }<b \)일 때 \( \gamma \left (t_ { 1 } \right ) \neq \gamma \left (t_ { 2 } \right ) \)이면 곡선 \( \gamma \)는 단순곡선(simple curve)[또는 단일곡선]이라 하고 \( \gamma(a) = \gamma(b) \)이면 닫혔다고 한다. 유명한 조르당 곡선정리(Jordan Curve Theorem)는 단순닫힌곡선(simple closed curve)[또는 단일닫힌곡선]의 여집합은 하나는 유계이고 다른 하나는 경계가 없는 두 개의 서로 소인 열린 연결집합으로 이루어져 있음을 주장한다. 유계인 부분은 곡선의 내부이고 경계가 없는 부분은 외부이다. 이 주장이 아주 자명함에도 불구하고 증명하기는 어렵다. 있는 그대로 받아들이겠다.</p> <p>\( \gamma \)를 곡선이라 하자. 복소수 \( \gamma(t) \)를 실부와 허부로 나누고 \( \gamma(t)=x(t) + i y(t) \), \( a \leq t \leq b \)라 놓자. 함수 \( x(t) \)와 \( y(t) \)는 실변수 \( t \)의 실함수이고, 따라서 미분가능할 수도 안할 수도 있다. \( x(t) \)와 \( y(t) \)가 \( t_ { 0 } \)에서 미분가능하면, \( \gamma(t) \)가 \( t_ { 0 } \)에서 미분가능하다고 하고 \( \gamma ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right )=x ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) + i y ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \) 라 놓는다(실변수 벡터값 함수의 미분법은 실변수 함수의 도함수 법칙과 일치한다). 곡선 \( \gamma(t) \)가 \( [a, b] \)에서 \( \gamma ^ {\prime } (t) \)가 존재하고 연속이며 \( \gamma ^ {\prime } (t) \neq 0 \)이라는 성질을 더 가지고 있으면 \( \gamma \)는 매끄럽다고 한다. 여기서 \( a \)와 \( b \)에서의 도함수는 오른쪽과 왼쪽으로부터 취한 것이다. 곡선이 -하나의 끝이 다음 것의 처음과 일치하는 유한개의 매끄러운 곡선들로 이루어져 있으면 조각별로 매끄럽다고 한다. 즉 구간 \( [a, b] \)에 \( a=t_ { 0 }<t_ { 1 }<t_ { 2 }< \cdots<t_ { n-1 }<t_ { n } =b \)가 되는 점 \( t_ { 0 } , t_ { 1 } , t_ { 2 } , \ldots, t_ { n } \)이 존재하여 각각의 닫힌구간 \( \left [t_ { k } , t_ { k + 1 } \right ](k=0,1, \ldots, n-1) \)에서 \( \gamma ^ {\prime } (t) \)가 연속이고 \( \gamma ^ {\prime } (t) \neq 0 \) 이면 곡선 \( \gamma \)는 조각별로 매끄럽다. \( \gamma ^ {\prime } (t) \)는 닫힌구간 \( [a, b] \)의 모든 점에서 연속일 필요는 없다. 조각별로 매끄러운 곡선을 경로(contour)[또는 등심선]이라 한다.</p> <p>[예제 3.29] 다음은 코시 정리 3.6의 좀 더 복잡한 응용이다. 함수 \( f(z) = e ^ { -z ^ { 2 } } \)은 전해석함수이다. \( \beta>0 \)인 고정수라 하고 \( R \)을 큰 양수라 하자. \( \gamma \)를 그림 3.17에 있는 경로라 하면 코시의 정리에 의해 \( \int_ {\gamma } f(z) d z=0 \)이다. 그림 3.17처럼 \( \gamma \)를 매개화하자. 그러면 \[ \begin {aligned} 0=& \int_ { 0 } ^ { R } e ^ { -x ^ { 2 } } d x + \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { -(R + i t) ^ { 2 } } i d t + \int_ { R } ^ { 0 } e ^ { -(i \beta + x) ^ { 2 } } d x + \int_ {\beta } ^ { 0 } e ^ { -(i t) ^ { 2 } } i d t \\ =& \int_ { 0 } ^ { R } e ^ { -x ^ { 2 } } d x + i e ^ { -R ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { -2 R i t } e ^ { t ^ { 2 } } d t \\ &-e ^ {\beta ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ { R } e ^ { -x ^ { 2 } } e ^ { -2 i \beta x } d x-i \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { t ^ { 2 } } d t \end {aligned} \] 가 된다. \( R \rightarrow \infty \)일 때 첫 적분은 \( \frac { 1 } { 2 } \sqrt {\pi } \)로 접근한다. 이는 다음 적분값을 얻을 수 있기 때문이다(연습문제 25). \[ \int_ { - \infty } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } d x= \sqrt {\pi } \] 두 번째 적분은 다음과 같이 계산될 수 있다. \[ \left \| \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { -2 i R t } e ^ { t ^ { 2 } } d t \right \| \leq \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { t ^ { 2 } } d t \leq \beta e ^ {\beta ^ { 2 } } \] 따라서 \( R \rightarrow \infty \)일 때 \[e ^ { -R ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { -2 i R t } e ^ { t ^ { 2 } } d t \rightarrow 0 \]이다. 세 번째 적분은 \( R \rightarrow \infty \)일 때 \[ \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } [ \cos (2 \beta x)-i \sin (2 \beta x)] d x \]로 수렴한다. 이 결과의 표현을 실부와 허부로 분리하여 각각 \(0 \)으로 놓으면 \[e ^ {\beta ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } \cos (2 \beta x) d x= \frac {\sqrt {\pi } } { 2 } \]이고 \[e ^ {\beta ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ {\infty } e ^ { -x ^ { 2 } } \sin (2 \beta x) d x= \int_ { 0 } ^ {\beta } e ^ { t ^ { 2 } } d t \]</p> <p>선적분은 미적분학에서 배운 정적분의 성질들을 가지고 있다. 예를 들면, \( A, B \)가 복소수이고 \( u, v \)가 \( \gamma \)의 치역에서 연속인 함수라면, \[ \int_ {\gamma } \{ A u(z) + B v(z) \} d z = A \int_ {\gamma } u(z) d z + B \int_ {\gamma } v(z) d z \] 이다. 곡선 \( - \gamma \)에 대해서는 \[ \int_ { - \gamma } u(z) d z= \int_ { a } ^ { b } u( \gamma(a + b-t)) d \gamma(a + b-t) =- \int_ { a } ^ { b } u( \gamma(a + b-t)) \gamma ^ {\prime } (a + b-t) d t ; \quad a + b-t=s = \int_ { b } ^ { a } u( \gamma(s)) \gamma ^ {\prime } (s) d s=- \int_ { a } ^ { b } u( \gamma(s)) \gamma ^ {\prime } (s) d s =- \int_ {\gamma } u(z) d z \] \( \gamma_ { 1 } \)과 \( \gamma_ { 2 } \)를 닫힌구간 \( \left [a_ { 1 } , b_ { 1 } \right ] \)과 \( \left [a_ { 2 } , b_ { 2 } \right ] \)에 매개변수를 각각 가진 두 곡선이라고 하자. \( \gamma_ { 1 } \left (b_ { 1 } \right )= \gamma_ { 2 } \left (a_ { 2 } \right ) \) 라면, \( \gamma_ { 1 } \) 과 \( \gamma_ { 2 } \)의 합은 곡선 \[ \left ( \gamma_ { 1 } + \gamma_ { 2 } \right )(t)= \left \{\begin {array} { ll } \gamma_ { 1 } (t), & a_ { 1 } \leq t \leq b_ { 1 } , \\ \gamma_ { 2 } \left (t + a_ { 2 } -b_ { 1 } \right ), & b_ { 1 } \leq t \leq b_ { 1 } + b_ { 2 } -a_ { 2 } \end {array} \right . \] 이다. 더욱이 간단한 계산을 해보면 \[ \int_ {\gamma_ { 1 } + \gamma_ { 2 } } u(z) d z= \int_ {\gamma_ { 1 } } u(z) d z + \int_ {\gamma_ { 2 } } u(z) d z \] 이다. 물론 \( u \)는 \( \gamma_ { 1 } \)과 \( \gamma_ { 2 } \) 모두의 치역에서 연속이다.</p> <p>[예제 \( 3.8] \gamma \)가 반원 \( R e ^ { i \vartheta } (- \pi \leq \vartheta \leq 0, R>2) \)일 때 \[ \left \| \int_ {\gamma } \frac { 1 } { z ^ { 2 } + 4 } d z \right \| \] 의 값을 계산하라.</p> <p>풀이 반원에서, 삼각부등식에 의해 \( \left \|z ^ { 2 } + 4 \right \| \geq\|z\| ^ { 2 } -4 \)이므로 \[ \left \| \frac { 1 } { z ^ { 2 } + 4 } \right \| \leq \frac { 1 } { R ^ { 2 } -4 } \] 를 얻는다. 반원의 길이는 \( \pi R \)이므로 적분의 절대값은 \( \frac {\pi R } { R ^ { 2 } -4 } \)을 넘을 수 없다.</p> <p>[예제 \(3.9 \)] \( \gamma \)가 \( -i + 1 \)에서 \( i + 1 \)까지의 수직 선분일 때 \( \left \| \int_ {\gamma } e ^ { -z } d z \right \| \)를 구하라.</p> <p>풀이 \( \gamma \)에서 \( \left \|e ^ { -z } \right \| = e ^ { -x } =e ^ { -1 } \)이고, \( \gamma \)의 길이는 \(2 \)이다. 따라서 적분의 절대값은 \( \frac { 2 } { e } \)를 넘을 수 없다.</p> <p>[예제 \(3.10 \)] \( u \)를 원반 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r \)에서 연속인 함수라 하고 \( \gamma_ {\varepsilon } \)을 원 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \varepsilon \)이라 하자. 다음이 성립함을 보여라. \[ \lim _ {\varepsilon \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ {\varepsilon } } \frac { u(z) } { z-z_ { 0 } } dz=u \left (z_ { 0 } \right ) \]</p> <p>증명 원은 \( \gamma_ {\varepsilon } (t)=z_ { 0 } + \varepsilon e ^ { i t } (0 \leq t \leq 2 \pi) \)의 치역이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ {\varepsilon } } \frac { u(z) } { z-z_ { 0 } } d z &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { u \left (z_ { 0 } + \varepsilon e ^ { i t } \right ) } {\varepsilon e ^ { i t } } i \varepsilon e ^ { i t } d t \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } u \left (z_ { 0 } + \varepsilon e ^ { i t } \right ) d t \end {aligned} \] 이고, 그러므로 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ {\varepsilon } } \frac { u(z) } { z-z_ { 0 } } d z-u \left (z_ { 0 } \right ) \right \| &= \left \| \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left \{ u \left (z_ { 0 } + \varepsilon e ^ { i t } \right )-u \left (z_ { 0 } \right ) \right \} d t \right \| \\ & \leq \max _ { 0 \leq t \leq 2 \pi } \left \{\left \|u \left (z_ { 0 } + \varepsilon e ^ { i t } \right )-u \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \right \} \end {aligned} \] 을 얻는다. 마지막 양은 \( \varepsilon \rightarrow 0 \)일 때 \(0 \)으로 가는데 이는 \( u \)가 \( z_ { 0 } \)에서 연속이기 때문이다. ( \(1.4.1 \)절의 연속의 정의 참조.)</p> <p>\( \Gamma_ { 1 } \) 과 \( \Gamma_ { 2 } \)를 결과 삼각형이라 하면, 각각은 양의 방향으로 돈다. 이제 \( \Omega_ { 1 } \)과 \( \Omega_ { 2 } \)를 각각의 내부라 하자. 그러면 위의 계산에서 \[ \int_ {\Gamma_ { j } } v d y = \iint_ {\Omega_ { j } } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y, \quad j=1,2 \] 를 얻는다. 선분 \( P S \) 위에서의 적분은 \( \int_ {\Gamma_ { 1 } } v d y \)와 \( \int_ {\Gamma_ { 2 } } v dy \)에 동시에 나타나나 \( P S \)가 수평이기 때문에 둘 다 \(0 \)이 된다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ {\Gamma } v d y &= \int_ {\Gamma_ { 1 } } v d y + \int_ {\Gamma_ { 2 } } v d y \\ &= \iint_ {\Omega_ { 1 } } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y + \iint_ {\Omega_ { 2 } } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y \\ &= \iint_ {\Omega } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y \end {aligned} \] 가 된다. 이것은 임의의 삼각형 \( \Gamma \)와 그의 내부 \( \Omega \)에 대해 \[ \iint_ {\Omega } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y= \int_ {\Gamma } v d y \] 를 유도한다. 수직변을 가진 삼각형들을 이용하면 비슷한 논의에 의해 \[ \iint_ {\Omega } \frac {\partial u } {\partial x } d x d y=- \int_ {\Gamma } u d y \] 를 얻는다. 따라서 그린 정리가 삼각형에 대해 성립한다.</p></p> <h2>3.1.3 몇 가지 유의점</h2> <p>그린 정리가 모든 삼각형에 대해 증명되면 다른 많은 구역에 대해서도 역시 성립된다. 예를 들어, \( \Omega \)를 직선선분으로 경계가 이루어진 유계인 볼록영역이라 하자(그림 \( 3.6( \mathrm { a } )) \). \( \Omega \) 안에 점 \( p \)를 선택하고 \( p \)에서 \( \Omega \)의 각 꼭지점에 선분을 그린다(그림 \( 3.6( \mathrm { b } )) \). 이것은 \( \Omega \)를 겹치지 않는 경계가 각각 \( \Gamma_ { 1 } , \cdots, \Gamma_ { n } \)인 삼각형 \( \Omega_ { 1 } , \cdots, \Omega_ { n } \)으로 나눈다. 이제 이 각각의 삼각형에 그린 정리를 적용하면 \[ \iint_ {\Omega_ { j } } \left ( \frac {\partial v } {\partial x } - \frac {\partial u } {\partial y } \right ) d x d y= \int_ {\Gamma_ { j } } (v d y + u d x), \quad j=1, \cdots, r \] 를 얻는다. \( p \)에서 \( \Omega \)의 꼭지점을 연결하는 각각의 선분 위에서는 한번은 \( p \)에서 꼭지점으로 또 한번은 꼭지점에서 \( p \)로 두 번씩 지나면서 적분된다. 이 선적분들은 서로 제거되어 \[ \begin {aligned} \int_ {\Gamma } (v d y + u d x) &= \sum_ { j=1 } ^ { r } \int_ {\Gamma_ { j } } (v d y + u d x) \\ &= \sum_ { j=1 } ^ { r } \iint_ {\Omega_ { j } } \left ( \frac {\partial v } {\partial x } - \frac {\partial u } {\partial y } \right ) d x d y \\ &= \iint_ {\Omega } \left ( \frac {\partial v } {\partial x } - \frac {\partial u } {\partial y } \right ) d x d y \end {aligned} \] 가 된다.</p> <p>이 싯점에서 본론에서 잠시 벗어나 우리가 뒤에서 필요로 할 미분식을 살펴 보자. 그 식의 확인은 간단하므로 연습문제로 남긴다. \( z(t) \)와 \( w(t) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 미분가능한 복소함수라 하자. 그러면 그들의 곱 또한 미분가능한 복소함수이고, \[(z w) ^ {\prime } (t) = z ^ {\prime } (t) w(t) + z(t) w ^ {\prime } (t) \] 이다. \( (z w) ^ {\prime } (t)=z ^ {\prime } (t) w(t) + z(t) w ^ {\prime } (t) \)의 연속적 응용이나 수학적 귀납법에 의해 다음 등식을 얻는다. \[ \left (z ^ { m } \right ) ^ {\prime } (t)=m(z(t)) ^ { m-1 } z ^ {\prime } (t), \quad m=1,2, \cdots \]</p> <p>[예제 \(3.11 \)] \( \gamma \)를 단순닫힌경로라 하자. 다음이 성립함을 증명하라. \[ \int_ {\gamma } z ^ { m } d z=0, \quad m=0,1,2, \cdots \]</p> <p>풀이 \( \left [t_ { j } , t_ { j + 1 } \right ] \)을 닫힌구간 \( [a, b] \) 안에 있는 \( \gamma ^ {\prime } (t) \)가 연속인 구간이라 하자. 식 \( \left (z ^ { m } \right ) ^ {\prime } (t)=m(z(t)) ^ { m-1 } z ^ {\prime } (t) \)로부터 \[ \frac { d } { d t } ( \gamma(t)) ^ { m + 1 } =(m + 1) \gamma ^ { m } (t) \gamma ^ {\prime } (t) \] 를 얻고 이는 \[ \int_ { t_ { j } } ^ { t_ { j + 1 } } \gamma ^ { m } (t) \gamma ^ {\prime } (t) d t= \frac { 1 } { m + 1 } \left \{\gamma ^ { m + 1 } \left (t_ { j + 1 } \right )- \gamma ^ { m + 1 } \left (t_ { j } \right ) \right \} \] 를 만든다. 따라서 \( \gamma \)가 닫힌곡선이므로 \( \gamma(b)= \gamma(a) \)임을 이용하여 다음을 얻는다.<p>\( \begin {aligned} \int_ {\gamma } z ^ { m } d z &= \sum_ { j=0 } ^ { n-1 } \int_ { t_ { j } } ^ { t_ { j + 1 } } \gamma ^ { m } (t) \gamma ^ {\prime } (t) d t \\ &= \sum_ { j=0 } ^ { n-1 } \frac { 1 } { m + 1 } \left \{\gamma ^ { m + 1 } \left (t_ { j + 1 } \right )- \gamma ^ { m + 1 } \left (t_ { j } \right ) \right \} \\ &= \frac { 1 } { m + 1 } \left \{\gamma ^ { m + 1 } (b)- \gamma ^ { m + 1 } (a) \right \} =0 \end {aligned} \)</p>\( \int_ {\gamma } z ^ { m } d z=0(m=0,1, \cdots) \)의 결과는 \( 3.2 \)절에서 코시 정리를 증명할 때 중요하게 사용될 것이다.</p> <p>코시 정리에서 적분값이 \(0 \)이므로 선적분의 성질에 의해 \( \gamma \)의 방향은 중요하지 않음을 쉽게 보일 수 있다. 코시 정리의 놀랄 만한 유용성은 일부는 그것의 커다란 일반성에 있고 일부는 추가, 또는 다소간 기대하지 않던 결과를 얻게 되는 영역의 기하에 대한 가정과 연결할 수 있다는 사실에 있다. 앞으로 우리는 후자의 길을 쫓는다.</p> <p>\( D \)를 영역이라 할 때, \( \gamma \)가 \( D \) 안에 있는 단순닫힌곡선일 때 \( \gamma \)의 내부도 \( D \)의 부분 집합이면 \( D \)를 단순연결영역(또는 단일연결영역)이라 한다. 단순연결이 아닌 영역을 다중연결영역이라 한다(그림 \(3.9 \)). 다소 덜 공식적인 말로 \( D \)가 단순연결영역이라는 것은 ' \( D \)가 그 안에 구멍을 가지고 있지 않다'는 것이다. 이 개념을 좀 더 구체적으로 해주는 데 도움이 되는 몇 개의 예제를 살펴보자.</p> <p>[예제 \(3.14 \)] 원반 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \right \} \)과 수평 띠 \( \{ z: a< \Im z<b \} \)는 단순연결되어있다.<p>[예제 \( 3.15] \) 임의의 볼록 영역 \( \Omega \)는 단순연결되어 있다.<p>[예제 \(3.16 \)] \( \left \{ z: 0<r_ { 1 }< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r_ { 2 } \right \} \)도 \( \left \{ z: 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r_ { 2 } \right \} \)도 단순연결되어 있지 않다. 이 경우 \( r_ { 1 }<r<r_ { 2 } \)를 만족하는 \( r \)에 대해 원 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \| = r \)은 각각 원환과 구멍똟린 원반 안에 놓인다. 그러나, 이 원의 내부, 즉 원반 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r \right \} \)은 어느 것의 부분 집합도 아니다.<p>[예제 \(3.17 \)] 열린원반 \( \{ z:\|z\|<1 \} \)에서 선분 \( 0 \leq x \leq 1 \)을 제거하여 얻은 영역은 단순연결되어 있다 (그림 \( 3.9( \mathrm { a } ) \) ). 그러나, 선분 \( 0 \leq x \leq \frac { 1 } { 2 } \)을 제거한 영역은 단순연결되어 있지 않다(그림 \( 3.9( \mathrm { ~b } ) \) ).<p>[예제 \( 3.18] \) 원환 \( \{ z: r \leq\|z\| \leq R \} \)에서 \( r \leq x \leq R \)인 구역을 뺀 부분은 단순연결되어 있다(그림 \( 3.9( \mathrm { c } )) \).</p> <p>\( \frac { f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } + h \right )-f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { h } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac {\left \{ 2 \left (z-z_ { 0 } \right )-h \right \} f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \left (z-z_ { 0 } -h \right ) ^ { 2 } } d z \)<caption>(3.17)</caption></p> <p>앞에서와 같이 극한은 \( \int \) 안에서 취할 수 있으므로 식 ( \(3.17 \))은 다음을 유도한다.</p> <p>\( f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 2 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 3 } } d z \)<caption>(3.18)</caption></p> <p>방정식 ( \(3.18 \))은 우리들이 기대했던 것 이상의 더욱 많은 정보를 준다. 우선 \( \gamma \) 내부의 모든 점에서 \( f ^ {\prime \prime } (z) \)가 존재함을 알 수 있다. 다음에는 \(2 \)계 도함수가 \( \gamma \)에서의 \( f(z) \)의 값에 의해 표현될 수 있다는 사실이다. 또한 이 논의는 무한히 반복될 수 있다. 결국 귀납법에 의해 \( n \)계 도함수는 다음과 같이 된다. \[f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right )= \frac { n ! } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d z \] 따라서 각 내점에서 모든 계수의 도함수가 그 경계에서의 함수값에 의해 표현될 수 있다. 이를 요약하면 다음 정리를 얻는다.</p> <p>[정리 \(3.14 \)] (코시 적분공식 : 일반형) \( f(z) \)가 단순닫힌경로 \( \gamma \)를 포함하는 단순연결 영역에서 해석적이면 \( f(z) \)는 \( \gamma \) 내부의 각 점 \( z_ { 0 } \)에서 모든 계의 도함수를 가지며 그것은 다음과 같다. \[f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right )= \frac { n ! } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d z \]</p> <p>다음 정리는 정리 \(3.1 \)을 해석함수의 관점에서 다시 쓴 것이다.</p> <p>[정리 \(3.12 \)] (정적분) \( f \)가 단순연결영역 \( D \)에서 해석적이라 하자. \( z_ { 0 } \)과 \( z_ { 1 } \)이 \( D \)의 두 점일 때, \( F \)가 \( f \)의 원시함수일 필요충분조건은<p>\( \int_ { z_ { 0 } } ^ { z_ { 1 } } f(z) d z = F \left (z_ { 1 } \right )-F \left (z_ { 0 } \right ) \)<caption>(3.13)</caption></p>인 것이다. 증명 \( F \)가 ( \(3.11 \))에서 정의된 함수라면 ( \(3.13 \))은 성립한다. \( G \)가 \( f \)의 다른 역도함수라면, \( H(z)=G(z)-F(z) \)는 해석적이고 \( D \)의 모든 점 \( z \)에 대해 \( H ^ {\prime } (z)=0 \)이다. 따라서 \( k \)가 상수일 때 \( H(z)=k \)이고 \( G(z)=F(z) + k \)이다. 그러므로 \( G \left (z_ { 1 } \right )-G \left (z_ { 0 } \right )= F \left (z_ { 1 } \right )-F \left (z_ { 0 } \right ) \)이고 정리가 성립한다. 역의 증명은 과제로 남긴다.</p> <p>[예제 \(3.20 \)] \( \left (2 + \frac {\pi i } { 4 } \right ) \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 t } e ^ {\frac {\pi i t } { 4 } } d t \)를 계산하라.<p>풀이 \[ \begin {aligned} \left (2 + \frac {\pi i } { 4 } \right ) \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { 2 t + \frac {\pi i t } { 4 } } d t &= \left (2 + \frac {\pi i } { 4 } \right ) \int_ { 0 } ^ { 1 } e ^ { t \left (2 + \frac {\pi i } { 4 } \right ) } d t \\ &= \left [ \left (2 + \frac {\pi i } { 4 } \right ) \left ( \frac { 1 } { 2 + \frac {\pi i } { 4 } } \right ) e ^ { 2 t + \frac {\pi i t } { 4 } } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } \\ &=e ^ { 2 + \frac {\pi i } { 4 } } -e ^ { 0 } = \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } e ^ { 2 } (1 + i)-1 \end {aligned} \]</p></p> <p>[예제 \(3.26 \)] \( \gamma \)가 양의 방향으로 도는 원 \( \|z\| = 2 \)일 때 적분 \[ \int_ {\gamma } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z \] 의 값을 구하라.</p> <p>풀이 분모는 차수가 \(1 \) 인 영점 \(0 \)과 \(2 \)인 영점 \(1 \)을 갖는데 모두 \( \gamma \)의 내부에 있다. 따라서 \( \gamma_ { 1 } \)과 \( \gamma_ { 2 } \)를 각각 \(0 \)과 \(1 \)을 감싸는 양의 방향으로 도는 작은 원이라 하면, \[ \int_ {\gamma } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z= \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z + \int_ {\gamma_ { 2 } } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z \] 이다. \( \frac { 2 z + 1 } { (z-1) ^ { 2 } } \)은 \( \gamma_ { 1 } \) 위와 내부에서 해석적이므로 \[ \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z= \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { 2 z + 1 } { (z-1) ^ { 2 } } \frac { 1 } { z } d z=2 \pi i \left \{\frac { 2 z + 1 } { (z-1) ^ { 2 } } \right \} _ {\mid z=0 } =2 \pi i \] 이다. \( \frac { 2 z + 1 } { z } \)은 \( \gamma_ { 2 } \)의 위와 내부에서 해석적이므로 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma_ { 2 } } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z &= \int_ {\gamma_ { 2 } } \frac { 2 z + 1 } { z } \frac { 1 } { (z-1) ^ { 2 } } d z=2 \pi i \frac { d } { d z } \left \{\frac { 2 z + 1 } { z } \right \} _ {\mid z=1 } \\ &=2 \pi i \left [ \frac { 2 z-(2 z + 1) \cdot 1 } { z ^ { 2 } } \right ]_ {\mid z=1 } =-2 \pi i \end {aligned} \] 를 얻는다. 따라서 주어진 적분의 값은 \[ \int_ {\gamma } \frac { 2 z + 1 } { z(z-1) ^ { 2 } } d z=2 \pi i-2 \pi i=0 \] 이 된다.</p> <p>동일하게, \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \)이면</p> <p>\( \left \|f(z)- \left [f \left (z_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) \right ] \right \|< \varepsilon \left \|z-z_ { 0 } \right \| \)<caption>(3.9)</caption></p> <p>이다. \( j \geq j_ { 0 } \)이면 \( \triangle_ { j } \)는 원반 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \right \} \) 안에 머무른다. 이는 \( j \rightarrow \infty \)일 때 \( \left ( \triangle_ { j } \right . \) 의 지름 \( ) \rightarrow 0 \)이기 때문이다. 더욱이, \( 3.2 .1 \)절에서 증명한 코시의 정리 \( 3.3 \)에 의해</p> <p>\( \int_ {\Gamma_ { j } } d z = \int_ {\Gamma_ { j } } z d z=0 \)<caption>(3.10)</caption></p> <p>임을 안다. 식 \( (3.9) \)의 부등식, 식 \( (3.10) \)과 \( 3.1 \)절에 있는 부등식 ( \(3.3 \))을 이용하면 \[ \begin {aligned} I_ { j } &= \left \| \int_ {\Gamma_ { j } } f(z) d z \right \|= \left \| \int_ {\Gamma_ { j } } \left \{ f(z)- \left [f \left (z_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) \right ] \right \} d z \right \| \\ &< \varepsilon \left ( \max _ { z \in \Gamma_ { j } } \left \|z-z_ { 0 } \right \| \right ) \left ( \Gamma_ { j } \text { 의 길이 } \right ) \\ & \leq \varepsilon \left ( \triangle_ { j } \text { 의 지름 } \right ) \left ( \Gamma_ { j } \text { 의 길이 } \right ) \\ & \leq \varepsilon \frac { 1 } { 4 ^ { j } } ( \triangle \text { 의 지름 } )( \Gamma \text { 의 길이 } ) \end {aligned} \] 를 얻는다. 끝으로 위의 (ⅳ)'을 적용하면 \[ \begin {array} { c } 0 \leq I \leq 4 ^ { j } I_ { j } \leq 4 ^ { j } \left \{\varepsilon \frac { 1 } { 4 ^ { j } } ( \triangle \text { 의 지름 } )( \Gamma \text { 의 길이 } ) \right \} \\ 0 \leq I \leq \varepsilon( \triangle \text { 의 지름 } )( \Gamma \text { 의 길이 } ) \end {array} \] 가 됨을 알 수 있다. \( \varepsilon \)이 임의의 양수이므로 숫자 \( I \)는 \(0 \)이 되어야만 함을 안다.</p> <p>지금부터는 \( \Omega \)는 경계가 유한개의 서로 소인 단순닫힌경로들 \( \gamma_ { 1 } , \ldots, \gamma_ { n } \)으로 이루어져 있고, \( \Gamma \)는 양으로 방향이 주어진다. \( f \)가 \( \Gamma \) 위에서 연속인 복소함수라면 \( \Gamma \)에서 \( f \)의 선적분을 \[ \int_ {\Gamma } f(z) d z = \sum_ { j=1 } ^ { n } \int_ {\gamma_ { j } } f(z) d z \] 로 정의한다. 여기서 \( \int f(z) d z \)를 어떻게 계산하는지는 우리가 알고 있다.</p> <p>그린 정리는 \( \Gamma \)에서 함수 \( f \)의 선적분을 \( \Omega \)에서 어떤 관련된 함수의 적분과 연관시킨다. 이것을 제대로 구성하기 위해서 \( \Omega \)와 \( \Gamma \)를 포함하는 적당한 열린 집합 \( D \)가 있고, 이 \( D \) 위에서 \( f \)가 \( x \)와 \( y \)에 관한 연속 편도함수를 갖는다고 하자. 즉 \( f=p + i q \)라면 \[ \frac {\partial f } {\partial x } = \frac {\partial p } {\partial x } + i \frac {\partial q } {\partial x } , \quad \frac {\partial f } {\partial y } = \frac {\partial p } {\partial y } + i \frac {\partial q } {\partial y } \] 이고, 여기서 \( \frac {\partial p } {\partial x } , \frac {\partial q } {\partial x } , \frac {\partial p } {\partial y } \)와 \( \frac {\partial q } {\partial y } \)는 \( D \) 위에서 연속이다. 이 기본 배경을 가지고 다음과 같이 정리를 기술할 수 있다.</p> <p>[정리 \(3.2 \)] (그린 정리) \( \Gamma \)를 양의 방향으로 도는 유한개의 서로 소인 단순닫힌경로의 집합이고, \( \Omega \)를 경계가 \( \Gamma \)인 영역이라 하자. \( f \)가 \( \Omega \cup \Gamma \)를 포함하는 열린집합에서 연속인 복소함수이고 이것의 편도함수들이 연속이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.<p>\( \int_ {\Gamma } f(z) dz=i \iint_ {\Omega } \left \{\frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } \right \} dx dy \)<caption>(3.4)</caption></p>미적분학에서 그린 정리를 배웠다면 식 ( \(3.4 \))를 인지하지 못할 수도 있는데, ( \(3.4 \))는 다루기가 가장 쉬운 것 중의 하나이다. 좀 더 쉬운 기호를 써서 그린 정리를 재구성해 보자. \( u \)와 \( v \)를 \( \Omega \)와 \( \Gamma \)를 포함하는 열린집합 \( D \) 위에서의 두 개의 실함수라 하자. \( u \)와 \( v \)가 \( D \) 위에서 \( x, y \)에 관한 연속인 편도함수를 갖고, 또 \( \Gamma \) 위에서 \( d x= \left ( \Re \gamma ^ {\prime } (t) \right ) d t \)이고 \( d y= \left ( \Im \gamma ^ {\prime } (t) \right ) d t \)라 놓으면, 그린 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.<p>\( \int_ {\Gamma } \{ u d x + v d y \} = \iint_ {\Omega } \left ( \frac {\partial v } {\partial x } - \frac {\partial u } {\partial y } \right ) d x d y \)<caption>(3.5)</caption></p>그린 정리의 위 두 형태 사이의 동치성의 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <p>[예제 \( 3.28 \) ] 적분 \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \vartheta } { 1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } } , \quad 0<a<1 \]을 계산하라.<p>풀이 대체 \( z = e ^ { i \vartheta } \)를 이용하면 \[1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } =1 + a ^ { 2 } -a \left (z + \frac { 1 } { z } \right ) \]을 얻고, 따라서 \[ \frac { d \vartheta } { 1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } } = \frac { d z } { i z \left (1 + a ^ { 2 } -a \left (z + \frac { 1 } { z } \right ) \right ) } = \frac { d z } { i \left (-a z ^ { 2 } + \left (1 + a ^ { 2 } \right ) z-a \right ) } \]가 된다. 이제 \[-a z ^ { 2 } + \left (1 + a ^ { 2 } \right ) z-a=-a \left (z- \frac { 1 } { a } \right )(z-a) \]가 된다. 점 \( \frac { 1 } { a } \)은 원 \( \|z\|=1 \)의 밖에 있고, 점 \( a \)는 원 \( \|z\|=1 \)의 내부에 있다. 따라서, \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \|z\|=1 } \frac { d z } { -a z ^ { 2 } + \left (1 + a ^ { 2 } \right ) z-a } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \|z\|=1 } \frac { 1 } { -a \left (z- \frac { 1 } { z } \right ) } \frac { 1 } { z } \\ &= \frac { 1 } { -a \left (a- \frac { 1 } { a } \right ) } = \frac { 1 } { 1-a ^ { 2 } } \end {aligned} \] 그러나 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \|z\|=1 } \frac { d z } { -a z ^ { 2 } + \left (1 + a ^ { 2 } \right ) z-a } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { i e ^ { i \vartheta } d \vartheta } { e ^ { i \vartheta } \left (1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } \right ) } \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \vartheta } { 1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } } \end {aligned} \] 가 되므로, 적분은 값 \[ \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \vartheta } { 1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1-a ^ { 2 } } , \quad 0<a<1 \]을 갖게 된다. 함수 \[P_ { a } ( \vartheta)= \frac { 1-a ^ { 2 } } { 1-2 a \cos \vartheta + a ^ { 2 } } \]를 푸아송 핵(Poisson kernel)이라 부르는데 조화함수의 영역에서 중요한 역할을 한다. (6장에서 \( P_ { a } ( \vartheta) \)를 더 깊이 다룰 것이다.)</p></p> <p>[정리 \(3.1 \)] \( f(z) \)가 영역 \( D \)에서 연속이라 하자. \( F ^ {\prime } (z) = f(z)(z \in D) \)인 미분가능한 함수 \( F(z) \) (이를 \( f \) 의 원시함수라 한다)가 존재하기 위한 필요충분조건은 \( z(t)(a \leq t \leq b) \)에 의해 매개변수화된 임의의 경로 \( \gamma \subset D \)에 대해 다음이 성립하는 것이다. \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=F(z(b))-F(z(a)) \]</p> <p>증명 먼저 \( F(z) \)가 \( D \)에서 연속인 도함수를 갖는다면 다음을 얻는다.<p>\[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } f(z) d z= \int_ {\gamma } F ^ {\prime } (z) d z &= \int_ { a } ^ { b } F ^ {\prime } (z(t)) z ^ {\prime } (t) d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } \frac { d } { d t } F(z(t)) d t=F(z(b))-F(z(a)) \end {aligned} \]</p>여기서 마지막 등호는 미분적분학의 기본정리이다. 역을 보이기 위해서는, \( z_ { 0 } \)을 \( D \) 안의 한 고정점이고 \( z \)를 \( D \)의 임의의 점이라 할 때 \( F(z)= \int_ { z_ { 0 } } ^ { z } f( \zeta) d \zeta \)라 놓고 \( F ^ {\prime } =f \)가 됨을 보이면 된다. 여러분에게 과제로 남긴다.</p> <p>정리 \(3.1 \)은 영역 \( D \) 에서 연속함수 \( f \)의 원시함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 \( D \)에서 \( f \)의 선적분이 경로에 독립인 것임을 말한다. 또한 원시함수는 필연적으로 해석함수이다.</p> <h2>3.1 .2 그린 정리</h2> <p>선적분에서 가장 중요한 결과는 그린 정리인데, 몇 가지 정의를 더 살펴본 다음 기술하겠다. 그린 정리는 경계가 유한개의 서로 소인 단순닫힌경로 \( \gamma_ { 1 } , \cdots, \gamma_ { n } \)으로 이루어진 영역 \( \Omega \)에 대해 구성되어 있다(그림 \( 3.3( \mathrm { a } ) \) ). \( \Gamma \)를 따라 걸을 때 \( \Omega \) 가 우리의 왼쪽에 있도록 함으로써 \( \Omega \)의 경계 \( \Gamma \)에 양의 방향을 준다. 따라서 \( \Omega \)의 경계의 '바깥'조각은 반시계방향이 되고, \( \Gamma \)의 '내부'조각은, 있다면, 시계방향으로 주어지게 된다(그림 \( 3.3( \mathrm { ~b } )) \). 예를 들어 \( \Omega= \{ z: 1<\|z\|<2 \} \)이면 \( \{ z:\|z\|=1 \} \)이 시계방향으로 돌고 원 \( \{ z:\|z\|=2 \} \)가 반시계방향으로 돌면 \( \Omega \)의 경계는 양의 방향이 주어지게 된다.</p> <p>풀이 \( \gamma(t) = 2 e ^ { i t } \) 이므로 \( \gamma ^ {\prime } (t)=2 i e ^ { i t } \), 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } \left (z ^ { 2 } -2\|z\| + \Im z \right ) d z &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left (4 e ^ { 2 i t } -4 + 2 \sin t \right ) 2 i e ^ { i t } d t \\ &= \left [ \frac { 8 } { 3 } e ^ { 3 i t } -8 e ^ { i t } + \frac { 1 } { i } e ^ { 2 i t } -2 t \right ]_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \\ &= \frac { 16 } { 3 } - \pi- \frac { 26 } { 3 } i \end {aligned} \] 이다. 두 번째 적분은 식 \[ \sin t= \frac { 1 } { 2 i } \left (e ^ { i t } -e ^ { -i t } \right ) \]를 이용한다.</p> <p>[예제 3.7] \( \gamma \) 가 \( - \frac {\pi } { 2 } + i \) 에서 \( \pi + i \) 까지의 선분일 때 \( \int_ {\gamma } \cos z d z \) 를 계산하라.</p> <p>풀이 곡선은 \[ \gamma(t)=t( \pi + i) + (1-t) \left (- \frac {\pi } { 2 } + i \right )= \frac { 3 \pi } { 2 } t- \frac {\pi } { 2 } + i \quad(0 \leq t \leq 1) \] 로 주어진다. 더욱이 \[ \cos (x + i y)= \cos x \cosh y-i \sin x \sinh y \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } \cos z d z &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left \{\cos \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } t- \frac {\pi } { 2 } \right ) \cosh (1) \right . \\ \left .-i \sin \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } t- \frac {\pi } { 2 } \right ) \sinh (1) \right \} \frac { 3 \pi } { 2 } dt \\ &= \left [ \cosh (1) \sin \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } t- \frac {\pi } { 2 } \right ) + i \sinh (1) \cos \left ( \frac { 3 \pi } { 2 } t- \frac {\pi } { 2 } \right ) \right ]_ { 0 } ^ { 1 } \\ &= \cosh (1)-i \sinh (1) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>코시 적분공식은, 우리가 보겠지만, 많은 응용이 있다. 다음의 예들에서 정적분을 계산하기 위해 이것을 이용한다.</p> <p>풀이 이 예제와 이와 비슷한 다른 것들에서의 요점은 대체 \( z = e ^ { i \vartheta } \)를 효과적으로 사용하는 것이다. 다음 세 항등식부터 시작한다. \[ \begin {aligned} \cos \vartheta &= \frac { 1 } { 2 } \left (z + \frac { 1 } { z } \right ), \quad z=e ^ { i \vartheta } \\ \sin \vartheta &= \frac { 1 } { 2 i } \left (z- \frac { 1 } { z } \right ), \quad z=e ^ { i \vartheta } \\ d \vartheta &= \frac { 1 } { i } \frac { d z } { z } . \\ \text { 따라서, } 2 + \sin \vartheta=2 + \frac { 1 } { 2 i } \left (z- \frac { 1 } { z } \right )= \frac { 1 } { 2 } \left (4-i z + \frac { i } { z } \right ) \text { 이고, } \\ \frac { d \vartheta } { 2 + \sin \vartheta } &= \frac { 2 d z } { i z \left (4-i z + \frac { i } { z } \right ) } = \frac { 2 d z } { z ^ { 2 } + 4 i z-1 } \end {aligned} \] 이다. 이제, \[z ^ { 2 } + 4 i z-1=[z-i( \sqrt { 3 } -2)][z + i( \sqrt { 3 } + 2)] \]</p> <p>이다. \( p=i( \sqrt { 3 } -2) \)이고 \( q=-i( \sqrt { 3 } + 2) \)로 놓자. \( p \)는 원 \( \|z\|=1 \) 안에 놓여 있으나 \( q \)는 원 \( \|z\|=1 \)의 바깥에 놓여 있다. 이는 \( \|q\|= \sqrt { 3 } + 2 \)이기 때문이다. 함수 \( (z-q) ^ { -1 } \)은 원반 \( \|z\|< \sqrt { 3 } + 2 \) 안에서 해석적이다. 따라서 코시 적분공식(정리 \(3.13 \))에 의해 \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \|z\|=1 } \frac { d z } { (z-q)(z-p) } = \frac { 1 } { p-q } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } i } \] 을 얻는다. 그러나 적분은 단지 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \|z\|=1 } \frac { d z } { (z-q)(z-p) } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { i e ^ { i \vartheta } d \vartheta } { 2 i e ^ { i \vartheta } (2 + \sin \vartheta) } \\ &= \frac { 1 } { 4 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \vartheta } { 2 + \sin \vartheta } \end {aligned} \] 이다. 이것은 \[ \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \vartheta } { 2 + \sin \vartheta } = \frac { 2 \pi } {\sqrt { 3 } } \] 를 유도한다.</p> <h2>3.2.5 해석함수의 적분표현-코시의 적분공식</h2> <p>코시 정리도 훌륭하고 멋있는 정리지만, 더욱 중요한 것은 그 응용에 있다. 이 절에서는 코시의 적분공식을 유도한다.</p> <p>가령, \( f(z) \)가 단순연결영역 \( D \) 안에서 해석적인 함수라 하면, \( D \) 안에 있는 모든 닫힌 곡선 \( \gamma \)를 따라서 \( \int_ {\gamma } f(z) d z = 0 \)이 됨을 알고 있다. 또한 \(3.1 \)절의 예제 \( 3.13 \)에서 \( z_ { 0 } \) 이 \( \gamma \)의 내부에 있는 한 점이라고 할 때 \[ \int_ {\gamma } \frac { 1 } { z-z_ { 0 } } d z=2 \pi i \] 임을 보았다. 다음 정리는 이것의 일반화이다.</p> <p>[정리 \(3.13 \)] (코시 적분공식) \( f \)가 영역 \( D \)에서 해석적이라 하고, \( \gamma \)는 그의 내부 \( \Omega \)가 \( D \) 안에 머무는 \( D \)에 있는, 양의 방향으로 도는, 단순닫힌경로라 하자. 그러면 \[ f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta, \quad \text { 모든 } z \in \Omega \]</p> <p>증명 \( z \)가 \( \Omega \)의 내점이므로, 원반 \( \left \{ w:\|w-z\|< \delta_ { 0 } \right \} \) 가 \( \Omega \)의 내부에 있을 수 있도록 하는 작은 양수 \( \delta_ { 0 } \)가 존재한다. \( \delta \)가 \( \delta_ { 0 } \)보다 작은 양수라 하고, \( \Omega_ {\delta } \)를 \( \Omega \)로부터 원반 \( \{ w:\|w-z\| \leq \delta \} \)를 뺀 영역이라 하자. \( \Omega_ {\delta } \)의 경계는 양의 방향으로 도는 곡선 \( \gamma \)와 음의 방향으로 도는 원 \( \{ w:\|w-z\|= \delta \} \)의 두 곡선으로 이루어진다. 정리 \(3.8 \)(경로 변형의 원리)에 의해 \[ \int_ {\gamma } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta= \int_ { \| \zeta-z\|= \delta } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta \] 가 성립한다. 따라서 ( \(3.1 \)절의 예제 \( 3.10 \)을 이용하면) \[ \begin {aligned} \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d z-f(z) \right \| &= \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { \| \zeta-z\|= \delta } \frac { f( \zeta)-f(z) } {\zeta-z } d \zeta \right \| \\ &= \left \| \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { f \left (z + \delta e ^ { i \vartheta } \right )-f(z) } {\delta e ^ { i \vartheta } } i \delta e ^ { i \vartheta } d \vartheta \right \| \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi } \times 2 \pi \times \sup _ {\vartheta \in[0,2 \pi) } \left \|f \left (z + \delta e ^ { i \vartheta } \right )-f(z) \right \| \end {aligned} \] 이고, \( f \)가 \( z \)에서 (해석적이고 따라서) 연속이므로 오른쪽 변은 \( \delta \rightarrow 0 \)일 때 \(0 \)으로 간다. 왼쪽 변의 표현은 \( \delta \)에 무관하고 따라서 \(0 \)이 되어야 한다.</p> <p>코시 정리 \( 3.3 \)과 단순연결성을 조합한 결과는 다음 정리와 같다.</p> <p>[정리 \(3.4 \)] \( D \)를 단순연결영역이라 하고 \( \Gamma \)를 유한개의 수평선분과 수직선분으로 이루어진 \( D \) 안에 있는 닫힌곡선이라 하자. \( f \)가 \( D \) 안에서 해석적이고 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라면 \[ \int_ {\Gamma } f( \zeta) d \zeta = 0 \]</p> <p>이것을 완전하게 증명하는 것은 약간 복잡하다. 그러나 그림을 보면(예를 들어 그림 \(3.10 \)) 무리없이 확실해진다. 여러분은 그것들의 다른 가능한 모양을 조사하기 위해 그러한 닫힌곡선의 몇 가지 그림을 더 그려볼 수 있다. 문제의 관건은 오직 \( D \)의 점들만 감싸는 \( \Gamma \) 안의 임의의 닫힌 되돌림(loop)이다. 왜냐하면 \( D \)는 단순연결되어 있기 때문에 이것이 경우라면, 정리 \( 3.3 \)의 응용을 반복하면 정리 \( 3.4 \)를 얻는다.</p> <p>이제 단순 연결성과 해석성 사이의 또 다른 연관성을 보인다.</p> <p>[정리 \(3.5 \)] 단순연결영역 \( D \)에서 \( f \)가 해석적이고 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라 하자. 그러면 \( D \)에서 \( F ^ {\prime } =f \)를 만족하는 함수 \( F \)가 \( D \)에 존재한다.</p> <p>증명 \( D \) 안에 점 \( z_ { 0 } \)을 고정하고, \( z_ { 0 } \)과 \( D \)의 점 \( z \)를 연결하는 유한개의 수평/수직 선분으로 이루어진 \( D \) 안의 다각곡선 \( \tau \)에 대해 \( F \)를 \[F(z)= \int_ {\tau } f( \zeta) d \zeta \] 로 정의한다. \( \tau_ { 1 } \) 이 다른 그와 같은 곡선이라면 \( \Upsilon= \tau- \tau_ { 1 } \) 은 수평/수직 선분으로 이루어진 \( D \) 안의 닫힌곡선이다. 결과적으로 (코시 정리 \( 3.3 \)이나 정리 \( 3.4 \)에 의해) \[0= \int_ {\Upsilon } f(w) d w= \int_ {\tau } f(w) d w- \int_ {\tau_ { 1 } } f(w) d w \] 이다. 그러므로 \( F(z) \)의 값은 \( z_ { 0 } \)에서 \( z \)로의 곡선 \( \tau \)의 선택에 의존하지 않는다. 수학적 용어로 \( F \)가 잘 정의되어 있다. 이제 \( F ^ {\prime } =f \)임을 보여야 한다. \( z_ { 1 } \)을 \( D \)의 점이라 하고 \( r \)을 원반 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 1 } \right \|<r \right \} \)이 \( D \) 안에 머무르도록 하는 작은 수라고 하자. \( \|h\|<r \)이고 \( L \)을 하나의 수평선분과 한 개의 수직선분으로 이루어진 \( z_ { 1 } \)에서 \( z_ { 1 } + h \)를 잇는 곡선이라 하자(그림 \(3.11 \)). \( L \)의 전체 길이는 기껏 \( 2\|h\| \)를 넘을 수 없고 \[ \int_ { L } d z=h \]임을 유의하자.</p> <p>[예제 \(3.21 \)] \( D = \left \{ z=r e ^ { i \vartheta } \mid r>0,- \pi< \vartheta< \pi \right \} \)가 그림 \(3.14 \)에 주어진 단순연결 영역이라 하자. 그러면 \( F(z)= \log z \)는 \( D \)에서 해석적이고 이것의 도함수는 \( F ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { z } \)이다. \( \gamma \)가 \( z_ { 1 } \)에서 \( z_ { 2 } \)를 잇는 \( D \) 안의 경로라면, 다음 적분값을 얻는다. \[ \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } \frac { d z } { z } = \int_ {\gamma } \frac { d z } { z } = \log z_ { 2 } - \log z_ { 1 } \]</p> <p>[예제 \(3.22 \)] 예제 \( 3.21 \)의 결과로, \( \gamma \)가 양의 방향으로 도는 단위원 \( \|z\|=1 \)일 때, \[ \int_ {\gamma } \frac { d z } { z } =2 \pi i \] 임을 증명하라.<p>풀이 \( z_ { 2 } \)를 위반평면에서 \( -1 \)로, \( z_ { 1 } \)을 아래반평면에서 \( -1 \)로 접근하게 하자. 그러면 그림 \(3.14 \)(b)의 원의 일부를 감싸면서 적분할 수 있고 이의 극한을 취하면 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } \frac { d z } { z } &= \lim _ {\substack { z_ { 1 } \rightarrow-1 \\ z_ { 2 } \rightarrow-1 } } \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } \frac { d z } { z } \\ &= \lim _ {\substack { z_ { 2 } \rightarrow-1 \\ \Im z_ { 2 } >0 } } \log z_ { 2 } - \lim _ {\substack { z_ { 1 } \rightarrow-1 \\ \Im z_ { 1 }<0 } } \log z_ { 1 } \\ &=i \pi-(-i \pi)=2 \pi i \end {aligned} \] 를 얻는다.</p></p> <p>[따름정리 \(3.1 \)] \( f \)를 단순연결영역 \( D \)에서 해석적이고 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라 하고 \( \gamma \)를 \( D \) 안에서 닫힌경로라 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[ \int_ {\gamma } f(z) d z = 0 \] 증명 \( \quad F \)를 \( F ^ {\prime } =f \)가 되는 \( D \)에서의 함수라 하자. 그러면 곡선 \( \gamma \)가 닫혀 있으므로 (정리 \(3.1 \)을 이용하면) \[ \int_ {\gamma } f(z) d z= \int_ {\gamma } F ^ {\prime } (z) d z=F( \text { 끝점 } )-F( \text { 시작점 } )=0 \]이다.</p> <h2>3.2 .2 코시-구르사 정리</h2> <p>\(1900 \)년경에 구르사(E. Goursat)는 코시 정리 \( 3.3 \)의 결론을 이끌어 내는데 ' \( f ^ {\prime } \)이 연속'이리는 가정은 없어도 됨을 처음으로 알았다. 그러나, 예상했듯이, 중명은 더욱 정교해졌다( \(3.3 \)절에서 해석함수는 연속 도함수를 가짐을 보인 후에는 그린 정리를 쓸 수 있으므로 증명은 아주 간단해진다). 더욱이 결론은 초기에는 (구르사에 의해) 삼각형에 대해서만 성립되었다. 그래서 \(3.2.1 \)절의 모든 결과를 얻기 위해서는 약간 간접적인 과정이 필요하게 되었다. 이 과정들을 여기서 선보인다(단순닫힌경로에 관한 직접적인 증명이 필요하면 참고문헌 [ \(4 \)]를 참고하라). \( f ^ {\prime } \)에 대한 연속성의 가정을 제거해서 얻어지는 가 외의 수학적 일반성에 대한 필요를 느끼지 않는다면 다음 절로 바로 넘어가도 된다.</p> <p>[정리 \(3.6 \)] (코시-구르사) \( f \)를 영역 \( D \)에서 해석적인 함수라 하자. \( \Gamma \)가 \( D \) 안에 있는 삼각형이고 그 내부 \( \Omega \)도 \( D \) 안에 있다고 하자. 그러면 다음이 성립한다. \[ \int_ {\Gamma } f(z) d z=0 \] 증명 \( f ^ {\prime } \)에 대한 연속성의 가정이 없이는 그린의 정리를 적용할 수가 없다. 따라서 좀 더 정교한 기술을 이용해야만 한다. \[I= \left \| \int_ {\Gamma } f(z) d z \right \| \] 라 하자(그러면 \( I \geq 0 \) 이다). 물론 \( I=0 \)이 됨을 보이고자 한다. 삼각형면 \( \triangle= \Gamma \cup \Omega \)를 \( \Gamma \)의 세 변의 중점을 연결함으로써 네 개의 삼각형으로 나눈다(그림 \(3.12 \)).</p> <h1>\( 3.2 \) 코시 정리와 코시 적분공식</h1> <h2>\( 3.2 .1 \) 코시 정리</h2> <p>코시 정리는 복소함수론의 중요한 부분이다. 여기서는 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라는 조건을 가정에 더한 결과를 먼저 증명하겠다. 후에 판명되겠지만 해석함수는 자동적으로 연속 도함수를 갖는다. 그러나, 이것을 증명하는 것은 어떤 의미에서 기술적인 것이다. 그러한 이유로, 이 작업의 대부분을 \(3.2.2 \)절에 따로 떼어 놓았다. (즉, \( 3.2 .2 \)절에서는 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라는 조건이 필요없다는 것을 보일 것이다.) 마지막 과정도 \( 3.3 \)절의 정리 \( 3.15 \)이다.</p> <p>[정리 \(3.3 \)] (코시 정리) \( f \)가 영역 \( D \)에서 해석적이고 \( f ^ {\prime } \)이 연속이라 하자. \( \gamma \)를 \( D \) 안에 있으며, 그의 내부 \( \Omega \)도 \( D \) 안에 있는 단순닫힌경로라 놓으면 다음이 성립한다.<p>\[ \int_ {\gamma } f(z) d z = 0 \]</p></p> <p>증명 \( f ^ {\prime } \)이 연속이므로 그린 정리 3.2 로부터 \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=i \iint_ {\Omega } \left \{\frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } \right \} d x d y \] 임을 안다. 그러나 \( f=u + i v \)가 해석적이므로 \( u \)와 \( v \)는 코시-리만 방정식을 만족한다. 따라서 \[ \begin {aligned} \frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } &= \frac {\partial u } {\partial x } + i \frac {\partial v } {\partial x } + i \left \{\frac {\partial u } {\partial y } + i \frac {\partial v } {\partial y } \right \} \\ &= \frac {\partial u } {\partial x } - \frac {\partial v } {\partial y } + i \left \{\frac {\partial v } {\partial x } + \frac {\partial u } {\partial y } \right \} \\ &=0 + i(0)=0 \end {aligned} \] 이 성립한다.</p> <p>따라서 \( \Omega \)에 대해서도 그린 정리가 성립된다. 비슷한 '삼각형화' 논의가 경계 \( \Gamma \)가 직선선분으로 이루어진 유계영역 \( \Omega \)에 대해서도 그린 정리가 성립함을 보이는데 적용될 수 있다. (그림 \( 3.7( \mathrm { a } ) \)와 \( 3.7( \mathrm { ~b } ) \)는 대표적인 형태를 보여준다.)</p> <p>[예제 \(3.13 \)] \( \gamma \)를 양의 방향으로 운동하는 단순닫힌경로라고 하자. 적분 \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { d z } { z-p } , \quad p \notin \gamma \] 의 값은 복소수의 많은 정리에서 결정적인 인자이다. \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { d z } { z-p } = \left \{\begin {array} { ll } 0, & p \in \gamma \text { 의 바깥쪽 } \\ 1, & p \in \gamma \text { 의 안쪽 } \end {array} \right . \] 임을 보이기 위해 그린 정리를 쓴다. \( \Omega \)를 \( \gamma \)의 안쪽 영역이라 하자. \( p \)가 \( \gamma \)의 바깥쪽에 있는 점이라 하자. \( f(z)=(z-p) ^ { -1 } \)이라 하면, \( f \) 는 \( p \)를 제외한 모든 점에서 연속인 편도함수를 갖고 그 값은 \[ \frac {\partial f } {\partial x } = \frac { -1 } { (z-p) ^ { 2 } } , \quad \frac {\partial f } {\partial y } = \frac { -i } { (z-p) ^ { 2 } } \] 이다. 따라서 \( \Omega \)에서 \( \frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } =0 \) 이다. 그러므로 \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=i \iint_ {\Omega } \left \{\frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } \right \} d x d y=0 \] 이다. 이제 \( p \)가 \( \gamma \)의 안쪽에 있다고 하자. 그러면 물론 함수 \( f(z)=(z-p) ^ { -1 } \)은 \( p \)에서 연속인 편도함수들을 가지고 있지 않다. 따라서 그린 정리가 당장 적용될 수 없다. 그러나 \( \gamma_ { 1 } \)을 중심이 \( p \)이고 반지름이 \( \varepsilon \)인 원이라고 하자. 단, \( \varepsilon \) 은 \( p \)에 중심을 두고 반지름이 \( 2 \varepsilon \)인 원반이 \( \Omega \) 안에 있도록 하는 작은 수이다. \( \Omega_ { 1 } \)을 \( \gamma \)의 안쪽이지만 \( \gamma_ { 1 } \)의 바깥 쪽의 구역이라고 하고 \( \Omega_ { 1 } \)의 경계가 양의 방향으로 움직이도록 하자. 그러면 \( \gamma \)는 이미 양의 방향이 제대로 주어져 있고, \( \gamma_ { 1 } \)은 시계방향으로 돈다. 이제 위에서와 같이 \( \Omega_ { 1 } \)에서 \[ \frac {\partial f } {\partial x } + i \frac {\partial f } {\partial y } =0 \] 이고, 따라서 그린 정리에 의하면 \( \int_ {\gamma } \frac { d z } { z-p } + \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { d z } { z-p } =0 \)을 얻는다. \( \gamma_ { 1 } \)의 방향을 바꿔 반시계 방향으로 돌리면 \[ \int_ {\gamma } \frac { d z } { z-p } = \int_ { - \gamma_ { 1 } } \frac { d z } { z-p } \] 를 얻는다. \( - \gamma_ { 1 } \)에서 적분을 계산하기 위해 \( z=p + \varepsilon e ^ { i t } (0 \leq t \leq 2 \pi) \)라 놓으면, \( d z=i \varepsilon e ^ { i t } d t \)이고 \[ \int_ {\gamma } \frac { d z } { z-p } = \int_ { - \gamma_ { 1 } } \frac { d z } { z-p } = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { i \varepsilon e ^ { i t } d t } {\varepsilon e ^ { i t } } =2 \pi i \] 이다.</p> <p>[예제 \(3.24 \)] \( \gamma \)가 양의 방향으로 도는 원 \( \|z\| = 2 \)일 때 다음 적분값을 얻는다. \[ \int_ {\gamma } \frac { e ^ { z ^ { 2 } } } { (z-i) ^ { 4 } } d z= \frac { -4 \pi } { 3 e } \] 풀이 \( f(z)=e ^ { z ^ { 2 } } \)이고 \( f ^ { (3) } (z)= \left (12 z + 8 z ^ { 3 } \right ) e ^ { z ^ { 2 } } \)이다. 코시 적분공식에 의해 \[ \int_ {\gamma } \frac { e ^ { z ^ { 2 } } } { (z-i) ^ { 4 } } d z= \frac { 2 \pi i } { 3 ! } f ^ { (3) } (i)= \frac { -4 \pi } { 3 e } \] 가 된다.</p> <p>[예제 \(3.25 \)] \( \gamma \)가 양의 방향으로 도는 원 \( \|z\|=1 \)일 때 다음이 성립함을 보여라. \[ \int_ {\gamma } \frac { e ^ {\pi i z } } {\left (2 z ^ { 2 } -5 z + 2 \right ) } d z= \frac { 2 \pi } { 3 } \] 풀이 분모를 인수분해하면 \( 2 z ^ { 2 } -5 z + 2=(2 z-1)(z-2) \)이므로 \( z_ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \)만 \( \gamma \)의 내부에 있다. \( f(z)= \frac { e ^ {\pi i z } } { z-2 } \)라 하고 코시 적분공식을 이용하면 \[ \int_ {\gamma } \frac { e ^ {\pi i z } } { 2 z ^ { 2 } -5 z + 2 } d z= \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 \pi i f \left ( \frac { 1 } { 2 } \right )= \frac { 2 } { 3 } \pi \] 이다.</p> <p>모든 삼각형의 경계에 양의 방향을 준다. 네 개의 작은 삼각형을 \( \triangle_ { 1 } , \cdots, \triangle_ { 4 } \)라 하고 이들의 경계를 각각 \( \Gamma_ { 1 } , \cdots, \Gamma_ { 4 } \)라 하자. 그러면 \[ \int_ {\Gamma } f(z) d z = \sum_ { j=1 } ^ { 4 } \int_ {\Gamma_ { j } } f(z) d z \] 이므로 작은 삼각형 \( \triangle_ { m } \) 중의 적어도 하나는 \[I= \left \| \int_ {\Gamma } f(z) d z \right \| \leq 4 \left \| \int_ {\Gamma_ { m } } f(z) d z \right \|=4 I_ { m } \] 을 만족한다. 이 삼각형을 다시 \( \triangle_ { 1 } \)이라 부른다. \( \triangle_ { 1 } \)의 지름 - 가장 긴 변의 길이-은 \( \triangle \)의 지름의 \( \frac { 1 } { 2 } \)임을 유의하라.</p> <p>\( \triangle_ { 1 } \)을 네 개의 더 작은 삼각형으로 나누기 위해 위에서처럼 하자. 전과 같이, \( \Gamma_ { 2 } \)가 경계이며 다음을 만족하는 두 번째 삼각형 \( \triangle_ { 2 } \)를 얻게 된다. \[I_ { 1 } = \left \| \int_ {\Gamma_ { 1 } } f(z) d z \right \| \leq 4 \left \| \int_ {\Gamma_ { 2 } } f(z) d z \right \|=4 I_ { 2 } \] 이고 \( \left ( \triangle_ { 2 } \right . \)의 지름 \( )= \frac { 1 } { 2 } \left ( \triangle_ { 1 } \right . \)의 지름 \( )= \frac { 1 } { 4 } ( \triangle \)의 지름 \( ) \)이다. 이 과정을 계속하면 각각 경계 \( \Gamma_ { 1 } , \Gamma_ { 2 } , \cdots \)를 가지고 다음을 만족하는 삼각형의 수열 \( \triangle_ { 1 } , \triangle_ { 2 } , \triangle_ { 3 } , \cdots \)을 얻는다.</p> <ol type=i start=1><li>\( \triangle_ { j + 1 } \)은 \( \triangle_ { j } \)의 부분집합이다.</li> <li>\( \Gamma_ { j + 1 } \)의 길이 \( = \frac { 1 } { 2 } \left \{\Gamma_ { j } \right . \)의 길이 \( \} \)</li> <li>\( \triangle_ { j + 1 } \)의 지름 \( = \frac { 1 } { 2 } \left \{\triangle_ { j } \right . \)의 지름 \( \} \)</li> <li>\( I_ { j } = \left \| \int_ {\Gamma_ { j } } f(z) d z \right \| \)이면 \( \left \|I_ { j } \right \| \leq 4 \left \|I_ { j + 1 } \right \| \)</li></ol> <p>특히, \( j=1,2, \cdots \)에 대해</p> <ol type=i start=2><li>\( \Gamma_ { j } \)의 길이 \( = \frac { 1 } { 2 ^ { j } } \{\Gamma \)의 길이 \( \} \)</li> <li>\( \Delta_ { j } \)의 지름 \( = \frac { 1 } { 2 ^ { j } } \{\triangle \)의 지름 \( \} \)</li> <li>\( I \leq 4 ^ { j } I_ { j } \)이다.</li></ol> <p>삼각형 \( \left \{\triangle_ { j } \right \} \)들의 지름들은 \(0 \)으로 감소하고 (ⅰ)이 성립하므로 모든 \( \triangle_ { j } \)에 유일한 점 \( z_ { 0 } \)이 존재한다. 또 \( z_ { 0 } \) 은 \( D \) 안에 있다. 따라서, \( f \)는 \( z_ { 0 } \)에서 미분가능하고, 그러므로 \( \varepsilon>0 \)일 때 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \)이면 \[ \left \| \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } -f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \] 인 작은 \( \delta>0 \)가 존재한다.</p> <p>다음 예제는 다항식에 대해서는 코시의 적분공식은 실제로 테일러 정리와 코시 정리의 간단한 결과라는 것을 보여준다.</p> <p>[예제 3.30] 다항식에 대한 코시의 적분공식을 직접 보여라. 풀이 \( f( \zeta) = a_ { 0 } + a_ { 1 } \zeta + a_ { 2 } \zeta ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } \zeta ^ { n } \left (a_ { n } \neq 0 \right ) \)을 다항식이라 하자. 점 \( z_ { 0 } \)에서의 \( f \) 의 테일러 급수전개를 구해보자. \[ f( \zeta)=b_ { 0 } + b_ { 1 } \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) + b_ { 2 } \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots + b_ { n } \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]인데, 여기서 \[b_ { j } = \frac { f ^ { (j) } \left (z_ { 0 } \right ) } { j ! } , \quad j=0,1, \cdots, n \]이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f( \zeta) d \zeta } {\zeta-z_ { 0 } } &= \sum_ { j=0 } ^ { n } b_ { j } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { j } } {\zeta-z_ { 0 } } d \zeta \\ &= \sum_ { j=0 } ^ { n } b_ { j } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { j-1 } d \zeta \end {aligned} \] 를 얻는다. \( j=0 \)일 때를 제외하고는 적분의 값은 0이다(연습문제 3.1의 15를 보라). \( j=0 \)일 때는, 적분의 값은 \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { d \zeta } {\zeta-z_ { 0 } } =1 \]이다. 그러므로 \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z_ { 0 } } d \zeta=b_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \]을 얻고 이것이 구하고자 하는 결과이다.</p> <p>[예제 \( 3.12] \) 삼각형에 대해 그린 정리를 증명하라.</p> <p>풀이<p>삼각형이 하나의 수평변을 가지고 있다고 가정하자(그림 \(3.4 \)). \( v \)가 삼각형 \( \Gamma \)와 그의 내부 \( \Omega \)를 포함하는 열린집합 \( D \) 위에서 연속인 편도함수를 갖는다고 하자. \( \int_ {\gamma } v d y \)를 계산하기 위해, \( \Gamma \)의 변들을 다음과 같이 매개변수화 한다.</p> <ol type = start=1><li>\( \overline { P Q } : \quad x=t, y=b ; \quad a \leq t \leq c \)</li> <li>\( \overline { Q R } : \quad y=t, x=c + (d-c) \frac { t-b } { e-b } ; \quad b \leq t \leq e \)</li> <li>\( \overline { R P } \quad: \quad y=t, x=d + (a-d) \frac { t-e } { b-e } ; \quad e \geq t \geq b \)</li></ol> <p>\( (b<e \)라 가정하자. \( e<b \)라면 \( t \)의 치역을 뒤집고 변의 순서를 바꾼다.) 따라서<p>\( d y= \left \{\begin {array} { cc } 0 & : \overline { P Q } \text { 에서 } \\ d t & : \overline { Q R } \text { 에서 } \\ d t & : \overline { R P } \text { 에서 } \end {array} \right . \)</p> <p>이것은 \[ \begin {aligned} \int_ {\Gamma } v d y &= \int_ {\overline { P Q } } v d y + \int_ {\overline { Q R } } v d y + \int_ {\overline { R P } } v d y \\ &=0 + \int_ { b } ^ { e } v(A t + B, t) d t + \int_ { e } ^ { b } v(C t + D, t) d t \end {aligned} \] 를 유도한다. 여기서 \[A= \frac { d-c } { e-b } , \quad B=c-b \frac { d-c } { e-b } , \quad C= \frac { a-d } { b-e } , \quad D=d-e \frac { a-d } { b-e } \] 이다. 한편, 삼각형의 내부 \( \Omega \) 위에서 \( \frac {\partial v } {\partial x } \) 의 면적 적분도 이와 같은 방법으로 계산된다. \( \Omega \)는 \[ \Omega= \{ (x, y): b \leq y \leq e, C y + D \leq x \leq A y + B \} \] 이다. 결과적으로 \[ \begin {aligned} \iint_ {\Omega } \frac {\partial v } {\partial x } d x d y &= \int_ { b } ^ { e } \left \{\int_ { C t + D } ^ { A t + B } \frac {\partial v } {\partial x } d x \right \} d t \\ &= \int_ { b } ^ { e } \{ v(A t + B, t)-v(C t + D, t) \} d t \\ &= \int_ {\Gamma } v d y \end {aligned} \] 를 얻는다. 다음에 임의의 삼각형 \( \Gamma \)는 한 꼭지점으로부터 마주 보는 변에 수평선분을 그어서 나오는 두 개의 삼각형으로 각각이 하나의 수평변을 가지도록 하여 두 개의 삼각형으로 분리될 수 있다(그림 \( 3.5( \mathrm { a } ) \) 와 \( 3.5( \mathrm { ~b } )) \).</p> <p>\( \gamma_ { 1 } \)을 \( z_ { 0 } \)에서 \( z_ { 1 } + h \)를 잇는 수평과 수직선분으로 이루어진 다각곡선이라 하고, \( \gamma \)를 \( z_ { 0 } \)에서 \( z_ { 1 } \)을 잇는 수평과 수직선분으로 이루어진 다각곡선이라 하자. 다시 그림 \(3.11 \)을 참조하라. 그러면 곡선 \( \Gamma = \gamma_ { 1 } -L- \gamma \)는 수평과 수직선분들로 이루어진 닫힌 다각곡선이다. 따라서 \( \Gamma \)를 따라 \( f \)의 선적분을 하면 값이 \(0 \)이다. 동일하게 \[0= \int_ {\gamma_ { 1 } } f( \zeta) d \zeta- \int_ { L } f( \zeta) d \zeta- \int_ {\gamma } f( \zeta) d \zeta =F \left (z_ { 1 } + h \right )- \int_ { L } f( \zeta) d \zeta-F \left (z_ { 1 } \right ) \] 이고, 이것은 \[F \left (z_ { 1 } + h \right )-F \left (z_ { 1 } \right )= \int_ { L } f( \zeta) d \zeta \] 를 만들고 결과적으로 \[ \frac { F \left (z_ { 1 } + h \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) } { h } -f \left (z_ { 1 } \right )= \int_ { L } \frac {\left [f( \zeta)-f \left (z_ { 1 } \right ) \right ] } { h } d \zeta \] 이다. 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \( \left \| \zeta-z_ { 1 } \right \|< \delta \)이면 \( \left \|f( \zeta)-f \left (z_ { 1 } \right ) \right \|< \varepsilon \)이 되도록 하는 작은 \( \delta>0 \)를 잡는다. \( f \)가 \( z_ { 1 } \)에서 연속이므로 이것은 가능하다. \( \|h\|< \delta \)이면 \(3.1 \)절의 부등 식 ( \(3.3 \))과 위의 식은 \[ \left \| \frac { F \left (z_ { 1 } + h \right )-F \left (z_ { 1 } \right ) } { h } -f \left (z_ { 1 } \right ) \right \| \leq \frac { 1 } { \|h\| } \left \{\max _ { w \in L } \left \|f(w)-f \left (z_ { 1 } \right ) \right \| \right \} \cdot 2\|h\|<2 \varepsilon \] 을 유도한다. 따라서 \( z_ { 1 } \)에서 \( F \)의 도함수는 존재하고 \( f \left (z_ { 1 } \right ) \)과 같다.</p> <p>[예제 3.31] \( \gamma \)가 영역 \( \{ z: \Im ;>0 \} \) 안에서 \( -1 + 2 i \)와 \( 1 + 2 i \)를 잇는 임의의 곡선이라 할 때 다음 적분의 값을 계산하라. \[ \int_ {\gamma } \frac { z } { z + 1 } d z \]</p> <p>풀이 피적분함수 \[f(z) = \frac { z } { z + 1 } =1- \frac { 1 } { z + 1 } \]은 \( F(z)=z- \log (z + 1) \)의 도함수이다. 물론, 이것은 함수 \( \log (z + 1) \) 이 해석적일 때만 유효하다. 그러나 이것은 복소평면에서 사선 \( (- \infty,-1] \)이 제거된 경우이다. 이 영역은 \( \Im z>0 \)인 영역을 포함한다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int_ {\gamma } \frac { z } { z + 1 } d z &= \int_ {\gamma } f(z) d z= \int_ {\gamma } F ^ {\prime } (z) d z=F( \text { 끝점 } )-F( \text { 시작점 } ) \\ &=[1 + 2 i- \log (2 + 2 i)]-[-1 + 2 i- \log (2 i)] \\ &=2- \left \{\log \sqrt { 8 } + \frac { i \pi } { 4 } \right \} + \left \{\log 2 + \frac { i \pi } { 2 } \right \} =2- \frac { 1 } { 2 } \log 2 + \frac { i \pi } { 4 } \end {aligned} \] 를 얻는다.</p></p> <p>1. 코시 정리 3.3 (또는 따름정리 3.1이나 정리 3.10)을 이용해 복소적분은 그 영역의 적분경로와 독립적이라는 사실을 증명하라.<p>2~7 코시 적분공식이나 정리를 이용해 적분을 계산하라(경로의 방향은 양이다).</p> <p>2. \( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac {\cos z } { z ^ { 2 } + 1 } d z, \quad \gamma:\|z-2 i\|=2 \)</p> <p>3. \( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac {\left [ \log \frac { z } { e } \right ] ^ { 2 } } { z ^ { 2 } -6 z + 5 } d z, \quad \gamma:\|z-1\|= \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>참고 \(1 \) : 정리 \( 3.14 \)는 대역적인 성질로서 단순연결영역의 성질을 기술하고 있지만 실제로 이것은 국소적인 성질이다. 그 이유는 한 점에서 해석적인 함수는 그 점의 (단순 연결) 근방에서도 해석적이므로 한 점에서 해석적인 함수는 그 점에서 모든 계의 도함수를 갖게 되기 때문이다.</p> <p>참고 \(2 \) : 코시 적분공식은 역시 다중연결영역에 대해서도 성립한다. 이를 그림 \( 3.16 \)의 다중연결영역에 대해 증명하여 보자. 정리의 일반적인 서술과 증명은 과제로 남긴다.</p> <p>\( f(z) \)가 그의 경계가 경로 \( \gamma = \gamma_ { 1 } \cup \gamma_ { 2 } \)로 이루어진 다중연결영역 \( R \) 에서 해석적이라고 가정하자. 이제 중심이 \( z_ { 0 } \)이고 \( R \) 에 포함되는 원 \( \Gamma \)를 하나 그리면 다중연결영역에 대한 코시 정리에 의해 \[ \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ { 2 } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z + \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\Gamma } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z=0 \] 위 식에서 \( \gamma_ { 1 } \)은 반시계방향이고 \( \gamma_ { 2 } \)와 \( \Gamma \)는 시계방향이다. 따라서 정리 \( 3.13 \)에 의해 \[ \begin {aligned} f \left (z_ { 0 } \right ) &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\Gamma } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z \quad \text { (여기서는, } \Gamma, \gamma_ { 1 } , \gamma_ { 2 } \text { 는 반시계방향임) } \\ &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ { 1 } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z- \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma_ { 2 } } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z \end {aligned} \] 즉, \( f \left (z_ { 0 } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ {\gamma } \frac { f(z) } { z-z_ { 0 } } d z \)이고, 이것이 다중연결영역 \( R \)에 대한 정리 \( 3.13 \)을 증명한다. 같은 방법으로 정리 \( 3.14 \)의 결론이 다중연결영역 \( R \) (그림 \(3.16 \))에 대해서도 성립함을 보일 수 있다.</p> <p>유수정리를 이용해 어떤 정적분을 계산하는 과정( \(4.2 \)절)에서 여러가지 경로를 이용할 것이다. 매개변수표현의 기술에 대한 경험을 얻는 과정으로 다음에서 이 경로 중 세개의 매개변수표현을 얻을 것이다.</p> <p>[예제 \(3.4 \)] 그림 \(1 \)에 있는 곡선의 각각을 매개변수화하라.</p> <p>풀이<p>(a)의 곡선은 반지름이 \( R \)인 반원과 \( -R \)에서 \( R \)까지의 실선분이다. 이 곡선의 매개변수표현은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \gamma: & z = R e ^ { i \vartheta } , & & 0 \leq \vartheta \leq \pi \\ & z=x, & &-R \leq x \leq R \\ \end {aligned} \]</p> <p>(b)의 곡선은 (a)의 곡선 중 \( - \varepsilon \) 에서 \( \varepsilon \) 까지의 선분을 지시된 반원으로 교체하는 변형이다. 이 곡선은 \[ \begin {aligned} & z=R e ^ { i \vartheta } , & & 0 \leq \vartheta \leq \pi \\ \gamma: & z=x, & &-R \leq x \leq- \varepsilon \\ & z= \varepsilon e ^ { i( \pi- \vartheta) } , & & 0 \leq \vartheta \leq \pi \\ & z=x, & & \varepsilon \leq x \leq R \end {aligned} \] 로 매개변수화된다.</p></p> <p>[예제 \(3.5 \)] 그림 \(3.2 \)에 있는 '열쇠구멍' 경로의 매개변수표현을 구하라.<p> <p>풀이 바깥부분은 원 \( \|z\|=R \) 위에 있으므로 \( z=R e ^ { i \vartheta } ( \delta \leq \vartheta \leq 2 \pi- \delta) \)로 매개변수화된다. 이는 \( A \)에서 \( B \)로 움직여진다. 사선에서는 \( B \)에서 \( C \)로 가고 이때 편각은 \( 2 \pi- \delta \)이다. 따라서 선분은 \( t \)가 \(0 \)에서 \(01 \)로 갈 때 \( z=((1-t) R + t \varepsilon) e ^ { i(2 \pi- \delta) } \)이다. 안쪽부분은 원 \( \|z\|= \varepsilon \)에 있으므로 \( \vartheta \) 가 \( 2 \pi- \delta \)에서 \( \delta \) 로 감소할 때 \( z= \varepsilon e ^ { i \vartheta } \)로 매개변수화된다. 이것은 \( C \)로부터 \( D \)로 운동하게 된다. 마지막으로, 경로를 완성하려면 편각이 \( \delta \)인 사선을 따라 \( D \)에서 \( A \)로 간다. 이 사선은 \( t \)가 \( \varepsilon \)에서 \( R \)로 갈때 \( z=t e ^ { i \delta } \)로 매개변수화된다. 요약하면 \[ \begin {aligned} z &=R e ^ { i \vartheta } , & & \delta \leq \vartheta \leq 2 \pi- \delta, \\ \gamma: & z=((1-t) R + t \varepsilon) e ^ { i(2 \pi- \delta) } , & & 0 \leq t \leq 1 \\ & z= \varepsilon e ^ { -i \vartheta } , & & \delta \leq \vartheta \leq 2 \pi- \delta \\ & z=t e ^ { i \delta } , & & \varepsilon \leq t \leq R \end {aligned} \] 이 된다.</p> <p>[정리 \(3.8 \)] (경로 변형의 원리) \( \gamma_ { 1 } \) 과 \( \gamma_ { 2 } \)를 \( \gamma_ { 1 } \)이 \( \gamma_ { 2 } \)의 내부에 있는 반시계 방향으로 도는 단순닫힌경로라 하자. \( f \)가 \( \gamma_ { 1 } \)과 \( \gamma_ { 2 } \)와 그 사이의 내부를 포함하는 영역 \( D \)에서 해석적이면 다음이 성립한다. \[ \int_ {\gamma_ { 1 } } f(z) d z = \int_ {\gamma_ { 2 } } f(z) d z \]</p> <p>[정리 \(3.9 \)] (코시-구르사 정리 \( \mathbf { 3 . 6 } \)의 다중연결영역으로의 확장) \( \gamma, \gamma_ { 1 } , \gamma_ { 2 } , \cdots, \gamma_ { n } \)을 모든 \( \gamma_ { k } \)가 \( \gamma \)의 내부에 머무는 반시계 방향으로 도는 단순닫힌경로들이라 하자. 이때 \( k \neq j \)이면 \( \gamma_ { k } \)의 내부는 \( \gamma_ { j } \)의 내부와 서로 소이다. \( f \)가 \( \gamma \)와 \( \gamma_ { 1 } + \gamma_ { 2 } + \cdots + \gamma_ { n } \) 사이의 영역 \( \Omega \)와 모든 경로를 포함하는 영역에서 해석적이라 하면 다음이 성립한다. \[ \int_ {\gamma } f(z) d z= \sum_ { k=1 } ^ { n } \int_ {\gamma_ { k } } f(z) d z \]</p> <p>정리 \( 3.8 \)은 " \( \gamma_ { 1 } \)이 항상 \( f \)가 해석적인 점들을 지나며 연속적으로 \( \gamma_ { 2 } \)로 변형될 수 있으면, \( \gamma_ { 1 } \) 위에서의 \( f \)의 적분은 결코 변하지 않는다."는 것을 말한다. 앞의 모든 논의에 의해 코시 정리 \( 3.3 \)을 다음의 가장 일반적인 형태로 서술할 수 있음을 보이는 것은 쉽다.</p> <p>[정리 \(3.10 \) ] (코시 정리 : 일반형) \( f \)가 영역 \( D \subset \mathbb { C } \)에서 해석적이고 \( \gamma \)가 그의 내부도 \( D \) 안에 있는 닫힌경로라면 다음 식이 성립한다. \[ \int_ {\gamma } f(z) d z=0 \]</p>	자연
m749-선형대수학과 응용	<p>정리 6.4</p> <p>\( n \times n \) 행렬 \( A \)가 대각화가능한 행렬일 필요충분조건은 \( A \)가 \( n \)개의 일차독립인 고유벡터를 갖는 것이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \)가 \( n \)개의 일차독립인 고유벡터 \( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \)을 갖는다고 하자. 각 \( j \)에 대해 \( \lambda_{j} \)를 \( x_{j} \)에 대응하는 고유값이라 하면 \( A x_{j}=\lambda_{j} x_{j} \)가 성립한다. 이때 고유벡터를 열로 하는 행렬 \[ P=\left[x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right] \] 을 구성하면 \( P^{(j)}=x_{j},(j=1, \cdots, n) \) 이고 \[ \begin{array}{l} A P=\left[A x_{1} A x_{2} \cdots A x_{n}\right] \\ =\left[\lambda_{1} x_{1} \lambda_{2} x_{2} \cdots \lambda_{n} x_{n}\right] \\ = \left[\begin{array}{lllll}x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}\lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n}\end{array}\right] \\ =P D \\ \end{array} \] 이다. 여기서 \( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \)이 일차독립이므로 정리 1.8에 의해 \( P \)는 가역이다. 따라서 \( P^{-1} A P=D \)이므로 \( A \)는 대각화가능한 행렬이다. 역으로, \( A \)가 대각화가능하면 정칙행렬 \( P \)와 대각행렬 \( D \)가 존재해서 \( A P=P D \)이므로 \( D \)의 대각원을 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \)이라 하면 \( j=1, \cdots, n \) 에 대해 \[ A P^{(j)}=(A P)^{(j)}=(P D)^{(j)}=P D^{(j)}=P\left(\lambda_{j} e_{j}\right)=\lambda_{j} P e_{j}=\lambda_{j} P^{(j)} \] 이므로 \( \lambda_{j} \)는 \( A \)의 고유값이고 \( P^{(j)} \)는 \( \lambda_{j} \)에 대응하는 고유벡터이다. 또한 \( P \)가 가역이므로 \( A \)의 고유벡터 \( P^{(1)}, P^{(2)}, \cdots, P^{(n)} \)은 일차독립이다.</p> <p>정리 6.3과 정리 6.4에 의해 명백히 \( A \)가 \( n \)개의 서로 다른 고유값을 가지면 \( A \)는 대각화가능하다. \( A \)를 대각화하는 추이행렬 \( P \)를 구하는 과정을 정리하면 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>일단계 : \( A \)의 고유값 \( \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \)을 구한다.</li> <li>이단계 : \( A \)의 일차독립인 고유벡터 \( x_{1}, \cdots, x_{n} \)을 구한다. 이때 \( A x_{j}=\lambda_{j} x_{j} \)라 가정하고 \( \lambda_{j} \)는 서로 다를 필요는 없다.</li> <li>삼단계 : \( P^{(j)}=x_{j},(j=1, \cdots, n) \) 가 되도록 추이행렬 \( P \)를 구성한다.</li></ol> <p>예제 6.5</p> <p>행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & -4 & 5\end{array}\right] \) 의 고유값과 고유벡터를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성다항식은 \[ \begin{aligned} \left\|\lambda I_{3}-A\right\| &=\left\|\begin{array}{crr} \lambda-1 & -2 & 1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -4 & 4 & \lambda-5 \end{array}\right\|=\lambda^{3}-6 \lambda^{2}+11 \lambda-6 \\ &=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3) \end{aligned} \] 이므로 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \), \( \lambda_{2}=2 \), \( \lambda_{3}=3 \)이다. \( A \)의 각 고유값 \( \lambda \)에 대응하는 \( A \)의 고유벡터를 \( x=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \)라고 하면 \( \left(\lambda I_{3}-A\right) x=0 \)으로부터 다음의 연립방정식을 얻는다. \[ \left[\begin{array}{rrr} \lambda-1 & -2 & 1 \\ -1 & \lambda & -1 \\ -4 & 4 & \lambda-5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \]</p> <p>(1) \( \lambda_{1}=1 \)일 때 \( \left(\lambda_{1} I_{3}-A\right) x=0 \)이라 하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 0 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -4 & 4 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r} 2 x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right. \] 이므로 자유변수를 \( x_{3}=2 t \)라 두면 \( x_{2}=t \), \(x_{1}=-t \)이다. 따라서 \( \lambda_{1}=1 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이다.</p> <p>(2) \( \lambda_{2}=2 \)일 때 \( \left(\lambda_{2} I_{3}-A\right) x=0 \)이라 하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -4 & 4 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \\ 4 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}=0 \end{array}\right. \] 이므로 자유변수를 \( x_{3}=4 t \)라 두면 \( x_{2}=t \), \(x_{1}=-2 t \)이다. 따라서 \( \lambda_{2}=2 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이다.</p> <p>(3) \( \lambda_{3}=3 \)일 때 \( \left(\lambda_{3} I_{3}-A\right) x=0 \)이라 하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 2 & -2 & 1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -4 & 4 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{r} 2 x_{1}-2 x_{2}+x_{3}=0 \\ x_{1}-3 x_{2}+x_{3}=0 \end{array}\right. \] 이므로 자유변수를 \( x_{3}=4 t \)라 두면 \( x_{2}=t\) , \( x_{1}=-t \)이다. 따라서 \( \lambda_{3}=3 \) 에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이다.</p> <p>정리 6.9</p> <p>주축정리(principal axis theorem)</p> <p>\( q(x)=x^{t} A x \) 를 \( n \times n \) 대칭행렬 \( A \)의 이차형식이라 하고 \( P \) 를 \( A \) 를 직교대각화하는 행렬이라 하자. \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 을 \( A \)의 고유값이라 하면 치환 \[ y=P^{t} x \] 에 의해서 \( q(x) \)는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \[ q(y)=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} y_{n}^{2} \]</p> <p>증명</p> <p>\( P \)가 \( A \)를 직교대각화하는 행렬이므로 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \)에 대해 \[ P^{t} A P=D \] 를 만족한다. 따라서 치환 \( x=P y \) 를 쓰면 \[ \begin{aligned} q(x) &=x^{t} A x=(P y)^{t} A(P y)=y^{t}\left(P^{t} A P\right) y=y^{t} D y \\ &=\lambda_{1} y_{1}^{2}+\lambda_{2} y_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n} y_{n}^{2} \end{aligned} \] 이다.</p> <p>주축정리는 이차형식의 2차 항에서 나타나는 교차항 \( x_{i} x_{j}(i \neq j) \)를 좌표축을 재구성해서 소거함으로서 이차형식을 알기 쉬운 형태로 표준화 할 수 있음을 보여준다.</p> <p>예제 6.21</p> <p>다음 이차형식을 교차항을 없애고 표준화하라. \[ q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{2} x_{3} \]</p> <p>풀이</p> <p>이차형식 \( q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) 의 행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{array}\right], \] 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=\left\|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda & -2 \\ 0 & -2 & \lambda+1 \end{array}\right\|=\lambda(\lambda+3)(\lambda-3) \] 이고 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=0 \), \( \lambda_{2}=-3 \), \( \lambda_{3}=3 \) 이다. 이제 \( A \)의 정규화된 고유벡터는 각각 \[ v_{1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right], v_{2}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r} -1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right], v_{3}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{r} -2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 직교행렬은 \[ P=\left[v_{1} v_{2} v_{3}\right]=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{array}\right] \] 이다. 치환 \( x=P y \)를 적용하면 이차형식의 표준형은 \[ q(x)=x^{t} A x=y^{t} D y =\left[\begin{array}{lll} y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right]=-3 y_{2}^{2}+3 y_{3}^{2} \] 과 같다. 이때 이 이차형식의 표준형에 대한 주축은 다음과 같은 좌표축 \( x_{1} \), \( x_{2} \), \( x_{3} \) 의 회전으로 주어진다. \[ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{array}\right] } &=y=P^{t} x=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 2 \\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \\ &=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{c} 2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3} \\ -x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3} \\ -2 x_{1}+2 x_{2}+x_{3} \end{array}\right] \end{aligned} \]</p> <h2>■이차선형점화식으로 주어지는 수열의 일반항 구하기</h2> <p>주어진 실수 \( a \)와 \( b \)에 대해서 2 차점화식 \[ x_{n+1}=a x_{n}+b x_{n-1}, \quad(n=1,2, \cdots) \] 의 형식으로 표현된 점화식을 이차선형점화식(linear regression formula of the 2nd order)이라고 한다. 피보나치 수열은 대표적인 이차선형점화식이다. 두 개의 초기값 \( x_{0} \)와 \( x_{1} \)이 지정되면 점화식에 의해 수열 \( \left\{x_{n}\right\} \)이 생성된다. 이차선형점화식의 일반항 \( x_{n} \)을 유도하기 위해서 행렬의 대각화를 이용할 수 있다. 위의 점화식을 행렬로 \[ \left[\begin{array}{c} x_{n+1} \\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{n} \\ x_{n-1} \end{array}\right] \] 와 같이 나타낼 수 있으므로 행렬 \( \left[\begin{array}{ll}a & b \\ 1 & 0\end{array}\right] \)의 대각화를 통해 이차점화식에 의해 생성되는 수열 \( \left\{x_{n}\right\} \)에 대한 일반항 \( x_{n} \)의 형식을 유도할 수 있다.</p> <p>피보나치 수열을 예로 들어 이차점화식으로 주어지는 수열의 일반항을 구해보자. \[ x_{0}=x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}+x_{n-1},(n=1,2, \cdots) \] 로 주어지는 수열을 피보나치 수열(Fibonacci sequence)이라고 한다.</p> <p>예제 6.15</p> <p>행렬의 대각화를 이용하여 피보나치 수열에 대한 일반항 \( x_{n} \)을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>피보나치 점화식에 대한 행렬은 \[ \left[\begin{array}{c} x_{n+1} \\ x_{n} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x_{n} \\ x_{n-1} \end{array}\right], \quad(n=1,2, \cdots) \] 이므로 \[ \left[\begin{array}{c} x_{n} \\ x_{n-1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{n-1} \\ x_{n-2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{2}\left[\begin{array}{l} x_{n-2} \\ x_{n-3} \end{array}\right]=\cdots=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{n-1}\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{0} \end{array}\right] \] 에 주목하여 행렬의 대각화를 통해 일반항 \( x_{n} \)을 구한다. 행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right] \)에 대한 특성다항식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc} \lambda-1 & -1 \\ -1 & \lambda \end{array}\right\|=\lambda^{2}-\lambda-1 \] 이므로 고유값은 \( \lambda=\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \)이다. 여기서 표현을 간결하게 하기 위해 고유값을 각각 \[ \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi, \quad \frac{1-\sqrt{5}}{2}=\bar{\varphi} \] 라고 두자. 고유값 \( \varphi \)와 \( \bar{\varphi} \)에 대응하는 고유벡터는 각각 \[ v_{1}=\left[\begin{array}{l} \varphi \\ 1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{l} \varphi \\ 1 \end{array}\right] \] 이고 대각화에 대한 추이행렬은 \[ P=\left[\begin{array}{ll} v_{1} & v_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} \varphi & \bar{\varphi} \\ 1 & 1 \end{array}\right] \] 이다. 첨가행렬 \( \left[\begin{array}{lll}P & \vdots & I_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lllll}\varphi & \bar{\varphi} & \vdots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \vdots & 0 & 1\end{array}\right] \) 에 가우스-조르당 소거법을 적용하여 \( P \)의 역행렬 \[ P^{-1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr} 1 & -\bar{\varphi} \\ -1 & \varphi \end{array}\right] \] 를 얻는다. 따라서 \( A \)의 대각화는 \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ll} \varphi & \frac{0}{\varphi} \\ 0 & \varphi \end{array}\right]:=D \] 이고, 이로부터 \[ \begin{array}{l} {\left[\begin{array}{c} x_{n} \\ x_{n-1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{n-1}\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{0} \end{array}\right]=A^{n-1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]} \\ =P D^{n-1} P^{-1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{ll} \varphi & \bar{\varphi} \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \varphi^{n-1} & 0 \\ 0 & \bar{\varphi}^{n-1} \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & -\bar{\varphi} \\ -1 & \varphi \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c} \varphi^{n+1}-\bar{\varphi}^{n+1} \\ \varphi^{n}-\bar{\varphi}^{n} \end{array}\right] \\ \end{array} \] 을 얻는다. 따라서 피보나치 수열의 일반항은 \[ \begin{aligned} x_{n} &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\varphi^{n+1}-\bar{\varphi}^{n+1}\right) \\ &=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1} \end{aligned} \] 이다. 이를 비네의 공식(Binet's formula)이라고 한다.</p> <p>정리 6.10에 따른 공식 (4)에 의해 이차곡면의 특성은 \( A \)의 양의 고유값과 음의 고유값의 수, 영이 아닌 \( \mu_ { i } \)와 \( d \)의 부호에 따라 결정됨을 알 수 있다. 예를 들어 \( A \)가 양의 정부호 행렬이면 \( A \)는 \( n \)개의 양의 고유값을 가지고 \( \mu_ { i } \)는 존재하지 않으므로 식 (4)는 \[ \sum_ { i = 1 } ^ { n } \lambda_ { i } z_ { i } ^ { 2 } + d=0 \] 으로 나타난다. 따라서 곡면은 \( d<0 \) 일 때 타원면(ellipsoid)이고, \( d=0 \) 이면 한 점, \( d>0 \) 이면 공집합이다. 2차원의 경우 \( d<0 \) 일 때 이차곡선은 고유값의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다(그림 6.1).</p> <p> <ol type=1 start=1><li>\( \lambda_ { 1 } >0 \), \( \lambda_ { 2 } >0 \) 인 경우 : \( \frac { x_ { 1 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { x_ { 2 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \quad:: \) 타원(ellipse)</li> <li>\( \lambda_ { 1 } >0 \), \( \lambda_ { 2 }<0 \) 인 경우 : \( \frac { x_ { 1 } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { x_ { 2 } ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \quad:: \) 쌍곡선(hyperbola)</li> <li>\( \lambda_ { 1 } >0 \), \( \lambda_ { 2 } =0 \) 인 경우 : \( x_ { 1 } ^ { 2 } =a x_ { 2 } + b \) :: 포물선(parabola)</li></ol></p> <p>2차원에서 일반적인 이차방정식은 \[ a x ^ { 2 } + 2 b x y + c y ^ { 2 } + d x + e y + f=0 \] 으로 주어진다. 이때 이차형식에 대한 대칭행렬은 \[ A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ b & c \end {array} \right ] \] 이고, \( A \) 의 특성다항식은 \[ p( \lambda)= \left \| \lambda I_ { 2 } -A \right \|= \lambda ^ { 2 } -(a + c) \lambda + a c-b ^ { 2 } \] 이므로 \( A \) 의 고유값을 \( \lambda_ { 1 } \), \( \lambda_ { 2 } \) 라고 하면 \[ \lambda_ { 1 } + \lambda_ { 2 } =a + c, \quad \lambda_ { 1 } \lambda_ { 2 } =a c-b ^ { 2 } =\|A\| \] 이다. 따라서 이차곡선은 이차형식의 행렬 \( A \) 의 행렬식의 부호에 따라 다음과 같이 분류된다. \( \|A\|>0 \) 이면 타원, \( \|A\|<0 \) 이면 쌍곡선, \( \|A\|=0 \) 이면 포물선</p> <p>정리 6.11</p> <p>\( a, b, c \) 가 모두 0 이 아닌 상수일 때 이차방정식 \[ a x ^ { 2 } + 2 b x y + c y ^ { 2 } + d x + e y + f=0 \] 은 \( a c-b ^ { 2 } \) 의 부호에 따라 다음과 같은 이차곡선을 나타낸다. \( a c-b ^ { 2 } >0 \) : 타원, \( a c-b ^ { 2 }<0 \) : 쌍곡선, \( a c-b ^ { 2 } =0 \) : 포물선</p> <p>\( A \)가 \( n \times n \) 정사각행렬일 때 반복법으로 주어지는 방정식 \[ x_{k}=A x_{k-1}, \quad(k=1,2, \cdots) \] 을 차분방정식(difference equation)이라고 한다. 초기벡터 \( x_{0} \)가 지정이 되면 차분방정식에 의해 생성되는 벡터의 수열 \( \left\{x_{k}\right\} \)는 \[ x_{k}=A x_{k-1}=A^{2} x_{k-2}=\cdots=A^{k} x_{0} \] 에 의해 표현된다. 따라서 \( A \)가 대각화가능하면 \( A=P D P^{-1} \)인 추이행렬 \( P \)와 대각행렬 \( D \)가 존재하므로 \[ x_{k}=A^{k} x_{0}=P D^{k} P^{-1} x_{0} \] 에 의해 차분방정식에 의해 생성되는 수열의 패턴을 분석할 수 있다.</p> <p>예제 6.14</p> <p>어떤 생태학자에 의해 매달 고지대에 살고 있는 사슴들의 \( 60 \% \)가 고지대에 남아있고 \( 40 \% \)는 저지대로 이동하며, 한편 저지대에 살고 있는 사슴들의 \( 80 \% \)는 저지대에 살고 \( 20 \% \)가 고지대로 이동하는 것이 관찰되었다. 현재 전체 사슴들 중 \( 90 \% \)가 고지대에 있고 \( 10 \% \)가 저지대에 있다면 오랜 시간이 지난 후 각각 고지대와 저지대에 살아남는 사슴의 비율을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( h_{n} \)과 \( \ell_{n} \)을 각각 \( n \)개월 후 고지대와 저지대에 살고 있는 사슴의 비율이라고 하면 \[ \begin{array}{l} h_{n+1}=0.6 h_{n}+0.2 \ell_{n}, \ell_{n+1}=0.4 h_{n}+0.8 \ell_{n}, \\ h_{0}=0.9, \ell_{0}=0.1 \end{array} \] 이고, 이를 행렬 형태로 나타내면 다음과 같다. \[ \left[\begin{array}{l} h_{n+1} \\ \ell_{n+1} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 0.6 & 0.2 \\ 0.4 & 0.8 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} h_{n} \\ \ell_{n} \end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{l} h_{0} \\ \ell_{0} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0.9 \\ 0.1 \end{array}\right] \] 이때 \( x_{n}=\left[\begin{array}{l}h_{n} \\ \ell_{n}\end{array}\right] \), \( A=\left[\begin{array}{ll}0.6 & 0.2 \\ 0.4 & 0.8\end{array}\right] \)이라고 하면, \( x_{0}=\left[\begin{array}{l}0.9 \\ 0.1\end{array}\right] \)에 대해 \[ x_{n}=A x_{n-1}=\cdots=A^{n} x_{0} \] 이다.</p> <p>\( A \)의 특성다항식은 \[ \left\|\lambda I_{2}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc} \lambda-0.6 & -0.2 \\ -0.4 & \lambda-0.8 \end{array}\right\|=\lambda^{2}-1.4 \lambda+0.4=(\lambda-1)(\lambda-0.4) \] 이므로 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \), \( \lambda_{2}=0.4 \)이고 각 고유값에 대응하는 고유벡터 \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \)와 \( \left[\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right] \)를 얻는다. 따라서 추이행렬 \( P=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right] \)와 그 역행렬 \( P^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ 2 & -1\end{array}\right] \) 에 대해서 \( A \)의 대각화는 \[ A=P\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0.4 \end{array}\right] P^{-1} \] 로 주어진다. 따라서 \[ x_{n}=A^{n} x_{0}=P\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0.4^{n} \end{array}\right] P^{-1} x_{0} \] 로부터 \[ h_{n}=\frac{1}{3}+\frac{17}{30} 0.4^{n}, \ell_{n}=\frac{2}{3}-\frac{17}{30} 0.4^{n} \] 을 얻는다. 이때 \( n \rightarrow \infty \)를 취하면 저지대의 사슴수가 고지대의 두 배가 됨을 결과로부터 예측할 수 있다.</p> <p>정리 6.12는 간단한 관찰에 의해 양의 정부호가 아닌 행렬을 가려내는데 도움을 줄 수 있다.</p> <p>예제 6.26</p> <p>다음 각 행렬이 양의 정부호가 아님을 보여라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 3 & 4 & -5 \\ 4 & 2 & 2 \\ -5 & 2 & 1 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p> <ol type=A start=1><li>주대각원소가 음수를 포함하고 있으므로 정리 6.12의 (2)에 의해 양의 정부호 행렬이 될 수 없다.</li> <li>절대값이 가장 큰 원소의 절대값 5가 주대각원의 모든 원소의 절대값 보다 크므로 (3)에 의해 양의 정부호가 될 수 없다.</li> <li>\( c_{22} c_{33}=4 \), \( a_{23}^{2}=9 \) 이므로 \( a_{22} a_{33}<a_{23}^{2} \) 이 되어 (4)로부터 양의 정부호가 될 수 없다.</li></ol></p> <p>정리 6.13</p> <p>\( n \times n \) 대칭행렬 \( A \)가 양의 정부호일 필요충분조건은 \( A \)의 모든 고유값이 양의 부호를 갖는 것이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \)가 대칭행렬이고 양의 정부호이므로 \( \lambda \)를 \( A \)의 고유값이라고 하면 \( \lambda \)에 대응하는 고유벡터 \( x \)에 대해 \[ x^{t} A x=\lambda x^{t} x=\lambda\\|x\\|^{2} \] 이다. 따라서 \[ \lambda=\frac{x^{t} A x}{\\|x\\|^{2}}>0 . \] 역으로, \( A \)의 모든 고유값이 양의 부호이면 최소 고유값은 \( \lambda_{n}>0 \) 이다. \( x \neq 0 \)인 \( n \)-벡터 \( x \) 에 대해서 \( y=\frac{x}{\\|x\\|} \)를 \( x \)를 정규화한 벡터라면 정리 6.8의 (1)에 의해 \[ y^{t} A y=\frac{x^{t} A x}{\\|x\\|^{2}} \geq \lambda_{n}>0 \] 이므로 \( x^{t} A x>0 \) 이 성립한다.</p> <p>보조정리 6.14</p> <p>\( A \in \mathrm{PSym} \) 이면 행렬식은 \( \|A\|>0 \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \in M_{n} \)의 고유값을 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이라 하면 \( A \)가 대칭인 양의 정부호 행렬이므로 정리 6.13에 의해 모든 고유값 \( \lambda_{i}>0 \) 이다. 한편 정리 6.6 에 의해 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \)에 대해서 \[ A=P D P^{t} \] 인 직교행렬 \( P \) 가 존재한다. 이때 \( \|P\|^{2}=1 \) 이므로 \[ \|A\|=\left\|P D P^{t}\right\|=\|P\|\|D\|\left\|P^{t}\right\|=\|D\|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}>0 \] 이 성립한다.</p> <h2>■ 대칭행렬의 직교대각화</h2> <p>정사각행렬 \( P \)에 대해 \( P^{-1}=P^{t} \)이면 \( P \)를 직교행렬(orthogonal matrix)이라고 한다. 따라서 \( P \)가 직교행렬일 필요충분조건은 \[ P^{t} P=I_{n}=P P^{t} \] 이다. 이 관계식으로부터 \[ \left(P^{t} P\right)_{(i j)}=P^{(i) t} P^{(j)}=P^{(i)} \cdot P^{(j)}=\left(I_{n}\right)_{(i j)}=\delta_{i j} \] 이 성립하므로 직교행렬 \( P \) 의 각 열은 정규직교벡터임을 알 수 있다.</p> <p>다음은 직교행렬의 기본성질이다. 특히 직교행렬은 벡터의 길이와 벡터사이의 각도를 보존하는 성질을 가지고 있다.</p> <p>정리 6.5</p> <p>\( n \times n \) 직교행렬 \( P \)에 대해 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( \\|P x\\|=\\|x\\| \), \( \forall x \in \mathbb{R}^{n} \)</li> <li>\( (P x)^{t}(P y)=x^{t} y \), \( \forall x, y \in \mathbb{R}^{n} \)</li> <li>\( \|P\|^{2}=1 \)</li></ol></p> <p>증명</p> <p>(2)와 (3)은 직교행렬의 정의로부터 직접 얻어지므로 생략하고 (1)이 성립함을 보이자. \( n \)-벡터 \( x \)에 대해 \[ \\|P x\\|^{2}=(P x)^{t}(P x)=x^{t} P^{t} P x=x^{t} I_{n} x=x^{t} x=\\|x\\|^{2} \] 이므로 (1)이 성립한다.</p> <p>정사각행렬 \( A \)에 대하여 \( A \)를 대각화하는 직교행렬 \( P \)가 존재할 때 \( A \)는 직교대각화가능(orthogonally diagonalizable)하다고 하고 \( P \)는 \( A \)를 직교대각화하는 행렬이라고 한다. 즉 \[ P^{t} A P=D \] 를 만족하는 직교행렬 \( P \)와 대각행렬 \( D \)가 존재하면 \( A \)는 직교대각화가능하다.</p> <p>정리 6.6</p> <p>\( n \times n \) 정사각행렬 \( A \)에 대하여 다음은 동치이다.<ol type=1 start=1><li>\( A \)는 직교대각화가능하다.</li> <li>\( A \)는 \( n \)개의 고유벡터의 정규직교집합을 갖는다.</li> <li>\( A \)는 대칭행렬이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>(1) \( \Rightarrow \) (2) : \( A \)가 직교대각화가능하면 \( P^{-1} A P=P^{t} A P=D \)로 되는 직교행렬 \( P \)와 대각 행렬 \( D \)가 존재하므로 \( D \)의 대각원을 순서대로 \( \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n} \)이라 하면 \( A P=P D \) 로부터 \[ \begin{array}{l} (A P)^{(j)}=(P D)^{(j)} \\ \Rightarrow A P^{(j)}=P D^{(j)}=P\left(\lambda_{j} e_{j}\right)=\lambda_{j} P e_{j}=\lambda_{j} P^{(j)},(j=1, \cdots, n) \end{array} \] 이므로 \( D \)의 각 대각원은 \( A \)의 고유값이고 직교행렬 \( P \)의 각 열은 고유벡터이다. 또한 직교행렬 \( P \)의 열벡터는 정규직교벡터이므로 \( A \)는 \( n \)개의 정규직교벡터를 갖는다.</p> <p>(2) \( \Rightarrow \) (1) : \( A \)가 각 \( j \)에 대해 \( A v_{j}=\lambda_{j} v_{j} \)인 \( n \)개의 고유벡터 \( \left\{v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} \)를 정규직교집합으로 갖는다면 \( P=\left[\begin{array}{llll}v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n}\end{array}\right] \)는 직교행렬이고 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \)에 대해 \[ A P=P D \] 를 만족한다. 따라서 \( A \)는 직교대각화가능하다.</p> <p>(1) \( \Rightarrow \) (3) : \( A \)가 직교대각화가능하므로 \( P^{t} A P=D \)인 직교행렬 \( P \)와 대각행렬 \( D \)가 존재한다. 그러면 \( A=P D P^{t} \)이고, 대각행렬 \( D \)에 대해 \( D^{t}=D \) 므로 \[ A^{t}=\left(P D P^{t}\right)^{t}=P^{t t} D^{t} P^{t}=P D P^{t}=A \] 가 성립한다. 따라서 \( A \)는 대칭행렬이다.</p> <p>(3) \( \Rightarrow \) (1) : \( A \)가 대칭행렬이면 \( A \)의 고유값은 모두 실수이다(보조정리 7.3 참조). 따라서 \( P^{t} A P=U \)인 직교행렬 \( P \)와 상부삼각행렬 \( U \)가 존재한다. (이것은 슈르의 정리의 특수한 경우로서 복소행렬과 연계하여 7.3절에서 소개한다.) 그러므로 \[ U^{t}=\left(P^{t} A P\right)^{t}=P^{t} A^{t} P=P^{t} A P=U \] 이고, \( U^{t}=U \)인 상부삼각행렬은 대각행렬이므로 대각행렬 \( D \)에 대해 \( U=D \)가 되어 \( P^{t} A P=D \)를 만족한다. 따라서 대칭행렬 \( A \)는 직교대각화가 가능하다.</p> <p>유한차원 벡터공간 \( V \) 상에서 정의되는 선형사상 \( T: V \rightarrow V \) 의 고유값과 고유벡터는 \( V \)의 기저 \( B \) 에 대한 행렬 \( [T]_{B} \)의 고유값과 고유벡터에 대응하는 \( V \)의 원소를 나타낸다.</p> <p>정리 6.2</p> <p>유한차원 벡터공간 \( V \) 상에서의 선형사상 \( T: V \rightarrow V \) 의 특성다항식은 기저의 선택에 의존하지 않는다.</p> <p>증명</p> <p>\( n \)차원 벡터공간 \( V \)의 두 기저를 각각 \( B \)와 \( C \)라고 할 때 정리 4.10에 의해 \( C \)에서 \( B \) 로의 추이행렬 \( P \)에 대해서 \[ [T]_{C}=P^{-1}[T]_{B} P \] 이므로 \[ \begin{aligned} \lambda I_{n}-[T]_{C} &=\lambda I_{n}-P^{-1}[T]_{B} P \\ &=P^{-1}\left(\lambda I_{n}-[T]_{B}\right) P \end{aligned} \] 가 성립한다. 따라서 \[ \begin{aligned} \left\|\lambda I_{n}-[T]_{C}\right\| &=\left\|P^{-1}\left(\lambda I_{n}-[T]_{B}\right) P\right\| \\ &=\|P\|^{-1}\left\|\lambda I_{n}-[T]_{B}\right\|\|P\| \\ &=\left\|\lambda I_{n}-[T]_{B}\right\| \end{aligned} \] 이므로 \( T \)의 특성다항식은 기저의 선택에 독립적이다.</p> <p>예제 6.6</p> <p>\( T: P_{2} \rightarrow P_{2} \text { 가 } T\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right)=\left(3 a_{0}-2 a_{1}\right)+\left(-2 a_{0}+3 a_{1}\right) x+\left(5 a_{2}\right) x^{2} \) 으로 정의되는 선형사상일 때 \( T \)의 고유공간의 기저를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( P_{2} \)의 표준기저 \( B=\left\{1, x, x^{2}\right\} \)에 대해서 \( T \)의 행렬을 \( A \)라 하면 \[ A=[T]_{B}=\left[[T(1)]_{B}[T(x)]_{B}\left[T\left(x^{2}\right)\right]_{B}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] . \] \( A \)의 특성다항식은 \( p(\lambda)=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=(\lambda-1)(\lambda-5)^{2} \)이므로 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \), \( \lambda_{2}=5 \)(중근)이다. 여기서 각 고유값에 대응하는 \( A \)의 고유벡터를 구한다.</p> <p>(1) \( \lambda_{1}=1 \) 일 때 \( \left(\lambda_{1} I_{3}-A\right) x=0 \) 이라 하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rr} x_{1}-x_{2} & =0 \\ & x_{3}=0 \end{array}\right. \] 이므로 자유변수를 \( x_{2}=t \)라 두면 \( x_{1}=t \), \( x_{3}=0 \)이다. 따라서 \( \lambda_{1}=1 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이고, \( P_{2} \)에서 고유공간의 기저는 고유공간의 생성벡터 \( v_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] \)에 대응하는 다항식 \( p_{1}(x)=1+x \) 이다.</p> <p>(2) \( \lambda_{2}=5 \) 일 때 \( \left(\lambda_{2} I_{3}-A\right) x=0 \) 이라 하면 \[ \left[\begin{array}{lll} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{rr} x_{1}+x_{2} & =0 \\ 0 & x_{3}=0 \end{array}\right. \] 이므로 자유변수 \( x_{2}=s \) 와 \( x_{3}=t \)에 대해서 \( x_{1}=-s \)이므로 \( \lambda_{2}=5 \)에 대응하는 고유벡터는 다음과 같다. \[ x=s\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+t\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \quad(s, t \in \mathbb{R}) \] 따라서 \( P_{2} \) 에서 고유공간의 기저는 각각 고유공간의 생성벡터 \( v_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] \)와 \( v_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \)에 대응하는 다항식 \( p_{2}(x)=-1+x \) 와 \( p_{3}(x)=x^{2} \)으로 구성된다.</p> <p>특성다항식의 정의에 따라 \[ \begin{aligned} p(\lambda) &=\left\|\lambda I_{n}-A\right\| \\ &=\left(\lambda-a_{11}\right)\left(\lambda-a_{22}\right) \cdots\left(\lambda-a_{n n}\right)+(\lambda \text { 에 관한 } n-2 \text { 차 이하의 항 }) \end{aligned} \] 이므로 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이 \( A \)의 고유값이라면 이를 \[ p(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right) \cdots\left(\lambda-\lambda_{n}\right) \] 과 비교하면 \( A \)의 고유값의 합과 곱에 대한 다음의 성질을 얻는다. \[ \begin{array}{l} \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\sum\limits_{j=1}^{n} a_{j j}:=\operatorname{tr}(A), \\ \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}=p(0)=\|A\| \end{array} \]</p> <p>위에서 \( A \)의 대각원소의 합을 \( A \)의 대각합(trace)이라고 하고 \( \operatorname{tr}(A) \)로 정의한다. 따라서 고유값의 합과 곱은 직접 계산을 거치지 않더라도 행렬 \( A \)로부터 직접 유도되는 내재적인 성질이라고 볼 수 있다.</p> <p>예제 6.7</p> <p>\( A=\left[\begin{array}{rr}3 & 2 \\ -1 & -2\end{array}\right] \) 의 고유값의 합과 곱을 구하고, 이를 이용하여 \( A \)의 특성다항식을 유도하라.</p> <p>풀이</p> <p>고유값을 \( \lambda_{1} \), \( \lambda_{2} \) 라고 하면 \[ \begin{array}{l} \lambda_{1}+\lambda_{2}=\operatorname{tr}(A)=3-2=1, \\ \lambda_{1} \lambda_{2}=\|A\|=-4 \end{array} \] 이다. 또한 이것으로부터 \( A \)의 특성다항식이 \[ p(\lambda)=\lambda^{2}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) \lambda+\lambda_{1} \lambda_{2}=\lambda^{2}-\lambda-4 \] 로 주어짐을 알 수 있다.</p> <p>정리 6.16</p> <p>\( A \in \mathrm{PSym} \) 이면 \( A \)의 모든 주 선도부분행렬도 양의 정부호이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \)가 \( n \times n \) 행렬일 때 \( e_{i}=[0 \cdots 010 \cdots 0]^{t} \in \mathbb{R}^{n} \)을 \( i \)째 성분이 1인 \( \mathbb{R}^{n} \)의 표준기저라고 하면 각 \( k \)에 대해 \[ \begin{array}{l} {\left[e_{1} e_{2} \cdots e_{k}\right]^{t} A\left[e_{1} e_{2} \cdots e_{k}\right]} \\ = \left[\begin{array}{ccc}A(1: k, 1: k) & \vdots & A(1: k, k+1: n) \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots & \vdots & \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ A(k+1: n, 1: k) & \vdots & A(k+1: n, k+1: n)\end{array}\right] \left[\begin{array}{c}I_{k} \\ \cdots \\ O\end{array}\right] \\ =A(1: k, 1: k) \\ \end{array} \] 가 되어 \( A \)의 주 선도부분행렬 \( A(1: k, 1: k) \)는 대칭인 양의 정부호 행렬이다.</p> <p>\( A \in M_{n} \)가 대칭인 양의 정부호 행렬이면 정리 6.16에 의해 모든 주 선도부분행렬은 양의 정부호이고, 또한 보조정리 6.14에 의해 주 선도부분행렬의 행렬식은 양의 부호를 가지므로 주 선도부분행렬은 정칙이다. 따라서 정리 6.15에 의해 \( A \) 는 단위 하부삼각행렬 \( L \)과 상부삼각행렬 \( U \)에 대해서 \( A=L U \)인 유일한 \( L U \) 분해를 갖게 된다.</p> <p>정리 6.17 촐레스키 분해 (Cholesky decomposition)</p> <p>\( A \in M_{n} \)이 대칭인 양의 정부호 행렬이면 하부삼각행렬 \( G \)에 대해서 \[ A=G G^{t} \] 인 \( A \)의 촐레스키 분해가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \)가 대칭인 양의 정부호 행렬이므로 단위 하부삼각행렬 \( L \)과 상부삼각행렬 \( U \)에 대해서 \( A=L U \)인 \( A \)의 \( L U \) 분해가 유일하게 존재한다. \( A \)의 \( k \)차의 주 선도부분행렬은 \[ A(1: k, 1: k)=L(1: k, 1: k) U(1: k, 1: k) \] 으로 쓸 수 있다. 이때 \( A(1: k, 1: k) \)가 양의 정부호이므로 보조정리 6.14에 의해 \( \|A(1: k, 1: k)\|>0 \) 이고, 또한 \( \|L(1: k, 1: k)\|=1 \) 이므로 \[ \|U(1: k, 1: k)\|=u_{11} u_{22} \cdots u_{k k}>0, \quad k=1,2, \cdots, n \] 이다. 따라서 \( U \) 의 모든 대각원소는 양수이다. 이제 대각행렬 \( D \)를 \[ D=\operatorname{diag}\left(\sqrt{u_{11}}, \sqrt{u_{22}}, \cdots, \sqrt{u_{n n}}\right) \] 로 택하여 \[ A=L U=(L D)\left(D^{-1} U\right)=G F \] 로 두면 \( G=L D \)는 대각원소가 \( g_{i i}=L_{(i)} D^{(i)}=\sqrt{u_{i i}} \)인 하부삼각행렬이고 \( F=D^{-1} U \)는 대각원소가 \( f_{i i}=D_{(i)}^{-1} U^{(i)}=\sqrt{u_{i i}} \)인 상부삼각행렬이다. 이때 \( A \)가 대칭이므로 \[ G F=A=A^{t}=F^{t} G^{t} \] 가 성립하고, 이에 따라 \[ F\left(G^{t}\right)^{-1}=G^{-1} F^{t} \] 이다. 여기서 좌변은 상부삼각행렬이고 우변은 하부삼각행렬이므로 \( F\left(G^{t}\right)^{-1} =\Lambda \) 인 대각행렬이다. 따라서 \( F=\Lambda G^{t} \)이고 \( F \)와 \( G^{t} \)가 같은 대각원소를 가지므로 \( \Lambda=I_{n} \)이다. 그러므로 \( F=G^{t} \) 가 되어 하부삼각행렬 \( G \) 에 대해 \[ A=G G^{t} \] 인 촐레스키 분해로 나타낼 수 있다.</p> <h1>6.3 대각화의 응용</h1> <p>행렬의 대각화는 행렬의 거듭제곱의 계산을 단순화하거나 이차선형점화식으로 주어지는 수열의 일반항을 구하는 문제라든지 선형연립미분방정식의 해를 구하는 문제 등 여러 실용적인 문제를 해결하는 주요한 도구로 활용할 수 있다.</p> <h2>■ 정사각행렬의 거듭제곱과 차분방정식</h2> <p>정사각행렬 \( A \)가 대각화가능하면 추이행렬 \( P \)와 대각행렬 \( D \)가 존재해서 \[ A=P D P^{-1} \] 를 만족하므로 \( A \)의 \( k \)개의 거듭제곱 \( A^{k} \)는 \[ A^{k}=\left(P D P^{-1}\right)^{k}=\left(P D P^{-1}\right)\left(P D P^{-1}\right) \cdots\left(P D P^{-1}\right)=P D^{k} P^{-1} \] 로 단순화되고, 이때 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \)이라면 \( D^{k}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}, \cdots, \lambda_{n}^{k}\right) \)이므로 이를 이용하여 거듭제곱을 용이하게 계산할 수 있다.</p> <p>예제 6.13</p> <p>행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right] \) 에 대해 다음을 구하라.<ol type=1 start=1><li>\( \left[\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 1 & 3\end{array}\right]^{10}\left[\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right] \)</li> <li>\( A^{10} \)</li></ol></p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=(\lambda-1)(\lambda-4) \] 이므로 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \), \( \lambda_{2}=4 \)이다. 이때 대응하는 고유벡터는 순서대로 다음과 같다. \[ v_{1}=\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] \]</p> <p>(1) \( v_{1}, v_{2} \)는 일차독립이므로 \( u=\left[\begin{array}{l}5 \\ 2\end{array}\right] \)를 \( v_{1} \)과 \( v_{2} \)의 일차결합으로 나타내면 \[ u=-v_{1}+3 v_{2} \] 이다. 따라서 다음이 성립한다. \[ \begin{aligned} {\left[\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right]^{10}\left[\begin{array}{l} 5 \\ 2 \end{array}\right] } &=A^{10} u=A^{10}\left(-v_{1}+3 v_{2}\right) \\ &=-A^{10} v_{1}+3 A^{10} v_{2} \\ &=-\lambda_{1}^{10} v_{1}+3 \lambda_{2}^{10} v_{2} \\ &=-\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \end{array}\right]+3 \cdot 4^{10}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{r} 2+3 \cdot 4^{10} \\ -1+3 \cdot 4^{10} \end{array}\right] . \end{aligned} \]</p> <p>(2) \( A \)를 대각화하면 추이행렬 \( P=\left[\begin{array}{ll}v_{1} & v_{2}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr}-2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \) 에 대하여 \( P^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr}-1 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right] \) 이고, \[ P^{-1} A P=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{array}\right]:=D \] 이므로 \[ \begin{array}{l} A^{10}=\left(P D P^{-1}\right)^{10}=P D^{10} P^{-1} \\ =\left[\begin{array}{rr} -2 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 1^{10} & 0 \\ 0 & 4^{10} \end{array}\right] \frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array}\right] \\ =\frac{1}{3}\left[\begin{array}{rr} 2+4^{10} & -2+2 \cdot 4^{10} \\ -1+4^{10} & 1+2 \cdot 4^{10} \end{array}\right] \text {. } \\ \end{array} \]</p> <p>이차곡선의 경우와 유사하게 \( n=3 \) 인 경우에는 대응하는 이차형식에서 고유값의 부호에 따라 타원면, 쌍곡면, 포물면 등으로 분류된다.</p> <p>예제 6.24</p> <p>다음 이차방정식으로 표현되는 이차곡면을 구하라. \[ 4 x^{2}+4 y^{2}+4 z^{2}+4 x y+4 x z+4 y z-3=0 \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A=\left[\begin{array}{lll}4 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right] \)와 \( x=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \) 에 대해서 이차방정식은 \[ x^{t} A x-3=0 \] 으로 표현된다. \( A \)의 특성다항식은 \[ p(\lambda)=\left\|\begin{array}{ccc} \lambda-4 & -2 & -2 \\ -2 & \lambda-4 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-4 \end{array}\right\|=(\lambda-2)^{2}(\lambda-8) \] 이므로 고유값은 \( \lambda_{1}=2 \) (중근), \( \lambda_{2}=8 \) 이다. 이때 대응하는 고유벡터는 다음과 같이 주어진다. \[ v_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \] 여기서 \( \lambda_{1}=2 \)에 대응하는 고유벡터는 \( \left\{v_{1} \), \( v_{2}\right\} \)이고 \( \lambda_{2}=8 \)에 대응하는 고유벡터는 \( v_{3} \)이다. 따라서 정리 6.7에 의해 \( v_{3} \)는 \( v_{1}, v_{2} \)와 서로 직교를 이룬다. 직교행렬 \( P \)를 구하기 위해 그람-슈미트 직교화 과정을 적용하여 \( v_{1} \), \( v_{2} \)를 정규직교화하고, \( v_{3} \)를 정규화한다. \[ \begin{array}{l} u_{1}=v_{1} ; e_{1}=\frac{u_{1}}{\left\\|u_{1}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \\ u_{2}=v_{2}-\frac{v_{2} \cdot u_{1}}{\left\\|u_{1}\right\\|^{2}} u_{1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right] ; e_{2}=\frac{u_{2}}{\left\\|u_{2}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right], \\ e_{3}=\frac{v_{3}}{\left\\|v_{3}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \end{array} \] 그러면 \( A \)를 직교대각화하는 직교행렬은 \[ P= \left[e_{1} e_{2} e_{3}\right] = \left[\begin{array}{lll} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \] 이고, \[ P^{t} A P=\left[\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{array}\right]=D \] 이 성립한다. 이제 \( x^{\prime}=\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime}\end{array}\right] \) 에 대해 \( x=P x^{\prime} \) 으로 치환하면 \[ \begin{array}{l} x^{t} A x-3=x^{\prime t} D x^{\prime}-3=0 \\ \quad \Rightarrow \quad 2 x^{\prime 2}+2 y^{\prime 2}+8 z^{\prime 2}-3=0 \\ \quad \Rightarrow \quad \frac{x^{\prime 2}}{(3 / 2)}+\frac{y^{\prime 2}}{(3 / 2)}+\frac{z^{\prime 2}}{(3 / 8)}=1 \end{array} \] 인 타원면(ellipsoid)이 얻어진다.</p> <h1>6.5 양의 정부호 행렬과 촐레스키 분해</h1> <p>정사각행렬 \( A \)가 모든 \( x \neq 0 \) 에 대하여 \( x^{t} A x>0 \) 이면 \( A \)를 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)이라고 한다. \( A=\left[a_{i j}\right] \) 가 \( n \times n \) 행렬이면 \( x=\left[x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right]^{t} \) 에 대해 \( x^{t} A x \) 는 \[ x^{t} A x=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \] 인 이차형식으로 주어진다. 특히 대칭인 양의 정부호 행렬의 집합을 간단히 PSym(positive definite symmetric matrices)으로 정의하자.</p> <p>예제 6.25</p> <p>다음 행렬이 양의 정부호임을 보여라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( 0 \neq x \in \mathbb{R}^{3} \) 에 대해 \[ \begin{aligned} x^{t} A x &=\left[x_{1} x_{2} x_{3}\right]\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right] \\ &=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3} \\ &=x_{1}^{2}+\left(x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}\right)+\left(x_{2}^{2}-2 x_{2} x_{3}+x_{3}^{2}\right)+x_{3}^{2} \\ &=x_{1}^{2}+\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+x_{3}^{2}>0 \end{aligned} \] 이다. 따라서 \( A \)는 양의 정부호이다.</p> <p>정리 6.12</p> <p>\( A=\left[a_{i j}\right] \) 가 양의 정부호 행렬이면 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( A \)는 정칙이다.</li> <li>\( A \)의 모든 대각원소는 양수이다.</li> <li>\( A \in \) PSym 이면 \( \underset{1 \leq k, j \leq n}{\max }\left\|a_{k j}\right\| \leq \underset{1 \leq i \leq n}{\max } a_{i i} \)</li> <li>\( A \in \) PSym이면 모든 \( i \neq j \) 에 대해 \( a_{i j}^{2}<a_{i i} a_{j j} \) 이다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>(1) \( A \)가 정칙이 아니라면 \( A x=0 \)인 \( x \neq 0 \)이 존재한다. 따라서 \[ x^{t} A x=x^{t} 0=0 \] 이 되어 \( A \)가 양의 정부호 행렬이라는 사실에 모순이다.</p> <p>(2) \( \mathbb{R}^{n} \)의 표준기저 \( e_{i} \)에 대해 \[ 0<e_{i}^{t} A e_{i}=e_{i}^{t} A^{(i)}=a_{i i} . \]</p> <p>(3) \( i \neq k \)일 때 \( \mathbb{R}^{n} \)의 표준기저에 대해 \( e_{i}-e_{k} \neq 0 \)이므로 \[ \begin{aligned} 0<\left(e_{i}-e_{k}\right)^{t} A\left(e_{i}-e_{k}\right) &=e_{i}^{t} A e_{i}-e_{k}^{t} A e_{i}-e_{i}^{t} A e_{k}+e_{k}^{t} A e_{k} \\ &=a_{i i}-a_{k i}-a_{i k}+a_{k k} \\ &=a_{i i}-2 a_{i k}+a_{k k} \text { (A가 대칭이므로). } \end{aligned} \] 따라서 \( i \neq k \)에 대해 \[ \frac{a_{i i}+a_{k k}}{2}>a_{i k} . \] 마찬가지로 \[ 0<\left(e_{i}+e_{k}\right)^{t} A\left(e_{i}+e_{k}\right)=a_{i i}+2 a_{i k}+a_{k k} \] 로부터 \[ \frac{a_{i i}+a_{k k}}{2}>-a_{i k} \] 가 성립하므로 이 두 결과로부터 \[ \left\|a_{i k}\right\|<\frac{a_{i i}+a_{k k}}{2} \leq \max _{1 \leq i \leq n} a_{i i}, \quad \forall i \neq k \] 가 얻어진다.</p> <p>(4) \( i \neq j \)일 때 스칼라 \( \alpha \)에 대해 \( \alpha e_{i}+e_{j} \neq 0 \) 이므로 \[ \left(\alpha e_{i}+e_{j}\right)^{t} A\left(\alpha e_{i}+e_{j}\right)=\alpha^{2} a_{i i}+2 \alpha a_{i j}+a_{j j}>0 \] 이다. 이때 우측은 \( \alpha \)에 관한 이차식이고 (2)에 의해 \( a_{i i}>0 \) 이므로 이차식에 대한 판별식은 \( a_{i j}{ }^{2}-a_{i i} a_{j j}<0 \)이다. 따라서 결과가 성립한다.</p> <p>예제 6.22</p> <p>다음 이차방정식이 나타내는 곡선이 무엇인지 밝히고 이차곡선의 그래프를 그려라. \[ 5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}-36=0 \]</p> <p>풀이</p> <p>대응하는 이차형식의 행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 5 & -2 \\ -2 & 8 \end{array}\right] \] 이고 \( \|A\|=36>0 \) 이므로 이차방정식의 그래프는 타원이다. 이차곡선의 그래프를 그리기 위해 직교변환을 구한다. \( A \)의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc} \lambda-5 & 2 \\ 2 & \lambda-8 \end{array}\right\|=(\lambda-4)(\lambda-9) \] 이므로 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=4, \lambda_{2}=9 \) 이다. 이에 따른 \( A \)의 정규화된 고유벡터는 각각 \[ v_{1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right], v_{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 2 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 직교행렬은 \[ P=\left[\begin{array}{ll} v_{1} & v_{2} \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right] \] 이다. 치환 \( \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=x=P x^{\prime}=P\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right] \) 를 적용하면 이차방정식은 \[ \begin{array}{l} 5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}-36=x^{t} A x-36=x^{\prime t} D x^{\prime}-36=0 \\ \Rightarrow\left[x^{\prime} y^{\prime}\right]\left[\begin{array}{ll} 4 & 0 \\ 0 & 9 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]-36=4 x^{\prime 2}+9 y^{\prime 2}-36=0 \\ \Rightarrow \frac{x^{\prime 2}}{3^{2}}+\frac{y^{\prime 2}}{2^{2}}=1 \end{array} \] 으로 표현되며 이는 좌표축 \( \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \) 에서 타원을 이룬다. 주축은 \[ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=x^{\prime}=P^{t} x=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{c} 2 x+y \\ -x+2 y \end{array}\right] \] 이다. 따라서 \( x^{\prime} \)-축은 \( v_{1} \) 방향, \( y^{\prime} \)-축은 \( v_{2} \) 방향이 되도록 좌표축을 회전해서 그래프를 그리면 그림 6.2와 같다.</p> <p>예제 6.23</p> <p>다음 이차방정식이 나타내는 곡선의 그래프를 그려라. \[ 5 x^{2}-4 x y+8 y^{2}+\frac{20}{\sqrt{5}} x-\frac{80}{\sqrt{5}} y+4=0 \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A=\left[\begin{array}{rr}5 & -2 \\ -2 & 8\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 와 \( b=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{r}20 \\ -80\end{array}\right] \) 에 대해서 이차방정식은 \[ x^{t} A x+x^{t} b+4=0 \] 으로 표현된다. 예제 \( 6.22 \) 에 의해 \( A \) 를 대각화하는 직교행렬은 \[ P=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{array}\right] \] 이고 \( x^{\prime}=\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right] \) 에 대해 \( x=P x^{\prime} \) 으로 치환하면 \( P^{t} b=\left[\begin{array}{c}-8 \\ -36\end{array}\right] \) 이므로 \[ \begin{array}{c} x^{t} A x+x^{t} b+4=x^{\prime t} D x^{\prime}+x^{\prime t}\left(P^{t} b\right)+4=0 \\ \Rightarrow \quad 4 x^{\prime 2}+9 y^{\prime 2}-8 x^{\prime}-36 y^{\prime}+4=0 \\ \Rightarrow \quad 4\left(x^{\prime}-1\right)^{2}+9\left(y^{\prime}-2\right)^{2}=36 \end{array} \] 따라서 평행이동 \( x^{\prime \prime}=x^{\prime}-1, y^{\prime \prime}=y^{\prime}-2 \) 에 의해서 이차방정식은 \[ \frac{x^{\prime \prime 2}}{3^{2}}+\frac{y^{\prime \prime 2}}{2^{2}}=1 \] 인 타원의 방정식으로 정리된다. 그래프는 그림 6.3에서와 같이 \( \left(v_{1}, v_{2}\right) \)를 \( \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \)축으로 직교좌표 \( (x, y) \)를 회전시킨 후 \( \left(x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}\right) \)을 축으로 평행이동 하여 얻어진 좌표축에 타원을 그려 넣어서 얻어진다.</p> <p>행렬지수는 초기조건을 갖는 상수계수의 선형연립미분방정식의 해를 구성하는 장치로 직접 활용할 수 있다.</p> <p>다음과 같은 간단한 형태의 미분방정식 \[ \frac{d y}{d t}=a y, \quad y(0)=y_{0} \] 은 \( \frac{d}{d t}\left(y e^{-a t}\right)=\left(y^{\prime}-a y\right) e^{-a t}=0 \)으로부터 일반해가 \( y=c e^{a t}(c= \) 상수 \( ) \)으로 주어짐을 알 수 있고, 초기조건 \( y(0)=y_{0} \)을 반영하여 해 \( y=y_{0} e^{-a t} \)을 얻는다.</p> <p>유사한 형식을 적용하여 이를 선형연립미분방정식 \[ \begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=a_{11} y_{1}+a_{12} y_{2}+\cdots+a_{1 n} y_{n} \\ y_{22}^{\prime}=a_{2 1} y_{1}+a_{2 2} y_{2}+\cdots+a_{2 n} y_{n} \\ \vdots \quad\quad\quad \vdots\quad\quad\quad \vdots \quad\quad\quad\quad\quad\quad \vdots \\ y_{n}^{\prime}=a_{n 1} y_{1}+a_{n 2} y_{2}+\cdots+a_{n n} y_{n} \end{array} \] 으로 확대 적용할 수 있다. 행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{22} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right], \quad y=\left[\begin{array}{c} y_{1} \\ y_{2} \\ \vdots \\ y_{n} \end{array}\right], \quad y_{0}=\left[\begin{array}{c} y_{1}(0) \\ y_{2}(0) \\ \vdots \\ y_{n}(0) \end{array}\right] \] 을 쓰면 초기조건을 갖는 연립미분방정식은 다음과 같은 행렬 형식으로 표현된다. \[ y^{\prime}=A y, \quad y(0)=y_{0} \] 계수행렬 \( A \)의 행렬지수함수 \( e^{t A} \)의 멱급수는 수렴반경 내에서 항별 미분가능하므로 \[ \begin{aligned} \frac{d}{d t} e^{t . A} &=\frac{d}{d t}\left(I_{n}+t A+\frac{1}{2 !} t^{2} A^{2}+\frac{1}{3 !} t^{3} A^{3}+\cdots\right) \\ &=\left(A+t A^{2}+\frac{1}{2 !} t^{2} A^{2}+\cdots\right) \\ &=A\left(I_{n}+t A+\frac{1}{2 !} t^{2} A^{2}+\cdots\right) \\ &=A e^{t .1} \end{aligned} \] 가 성립한다. 따라서 위와 유사하게 \[ y(t)=e^{t \cdot A} y_{0} \] 로 설정하면 \[ y^{\prime}=A e^{t \cdot A} y_{0}=A y, \quad y(0)=y_{0} \] 를 만족한다. 따라서 초기조건을 갖는 선형연립미분방정식의 해는 \[ y(t)=e^{t . A} y_{0} \] 로 주어진다.</p> <p>\( A \)가 대각화가능하면 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \) 에 대해 \( A=P D P^{-1} \) 로 분해되므로 \[ P^{(j)}=v_{j},(j=1,2, \cdots, n), P^{-1} y_{0}=c \] 에 대해 \[ \begin{aligned} y(t) &=e^{t \cdot A} y_{0}=P e^{t D} P^{-1} y_{0}=P e^{t D} c \\ &=\left[\begin{array}{llll} v_{1} & v_{2} & \cdots & v_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} e^{\lambda_{1} t} \\ c_{2} e^{\lambda_{2} t} \\ \vdots \\ c_{n} e^{\lambda_{n} t} \end{array}\right] \\ &=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\cdots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n} \end{aligned} \] 이다. 따라서 \( A \)가 대각화가능하면 선형연립미분방정식의 해는 \[ y=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2}+\cdots+c_{n} e^{\lambda_{n} t} v_{n}, \quad\left(c=P^{-1} y_{0}\right) \] 로 주어진다.</p> <p>을 만족하는 모두는 영이 아닌 스칼라 \( k_ { 1 } , \cdots, k_ { r } , k_ { r + 1 } \)이 존재한다. 이때 \( \left \{ x_ { 1 } \right . \left .x_ { 2 } , \cdots, x_ { r } \right \} \)이 일차독립이므로 \( k_ { r + 1 } \neq 0 \)이다. 이 식의 양변에 행렬 \( A \)를 곱하면 \[ k_ { 1 } A x_ { 1 } + \cdots + k_ { r } A x_ { r } + k_ { r + 1 } A x_ { r + 1 } =A 0=0 \] 으로부터</p> <p>\( k_ { 1 } \lambda_ { 1 } x_ { 1 } + \cdots + k_ { r } \lambda_ { r } x_ { r } + k_ { r + 1 } \lambda_ { r + 1 } x_ { r + 1 } =0 \)<caption>(2)</caption></p> <p>을 얻는다. 이제 (1) 식에 \( \lambda_ { r + 1 } \)을 곱해 (2) 식에서 빼면 \[ k_ { 1 } \left ( \lambda_ { 1 } - \lambda_ { r + 1 } \right ) x_ { 1 } + \cdots + k_ { r } \left ( \lambda_ { r } - \lambda_ { r + 1 } \right ) x_ { r } =0 \] 이고, \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { r } \right \} \)이 일차독립이므로 \[ k_ { 1 } \left ( \lambda_ { 1 } - \lambda_ { r + 1 } \right )= \cdots=k_ { r } \left ( \lambda_ { r } - \lambda_ { r + 1 } \right )=0 \] 을 얻는다. 이때 \( \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { r + 1 } \)이 서로 다르므로 \[ k_ { 1 } =k_ { 2 } = \cdots=k_ { r } =0 \] 이다. 그러면 (1)에서 \( k_ { r + 1 } x_ { r + 1 } =0 \)이고 \( x_ { r + 1 } \)이 영벡터가 아니므로 \( k_ { r + 1 } =0 \)이 되어 모순이다. 따라서 \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } \right \} \)는 일차독립이다.</p> <p>기하학적으로는 직선이나 평면을 나타내기 위해 일차방정식을 사용한다.</p> <p>한편, \( \mathbb { R } ^ { n } \)에서 정의되는 이차곡면(quadratic surface)을 대칭행렬 \( A \), 상수벡터 \( b \in \mathbb { R } ^ { n } \)와 스칼라 \( c \in \mathbb { R } \)에 대해 이차방정식 \[ \langle x, A x \rangle + \langle x, b \rangle + c = 0, \quad \left (x \in \mathbb { R } ^ { n } \right ) \] 을 만족하는 점들의 집합으로 정의한다. 이때 \( n=2 \)이면 대응하는 집합을 이차곡선(quadratic curve)이라고 한다. 대칭행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \)와 벡터 \( b= \left [b_ { 1 } b_ { 2 } \cdots b_ { n } \right ] ^ { t } \)에 대해서 이 이차방정식은 이차형식을 포함하는 방정식<p>\( \sum_ { i, j=1 } ^ { n } a_ { i j } x_ { i } x_ { j } + \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } x_ { i } + c=0 \)<caption>(1)</caption></p>으로 표현된다. \( A \)를 직교대각화하는 행렬 \( P \)에 대해서 치환 \( x=P y \)를 적용하면 \[ P ^ { t } A P=D= \left [ \begin {array} { cccc } \lambda_ { 1 } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_ { 2 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_ { n } \end {array} \right ], \quad P ^ { t } b= \left [ \begin {array} { c } \mu_ { 1 } \\ \mu_ { 2 } \\ \vdots \\ \mu_ { n } \end {array} \right ] \] 에 의해 이차방정식 (1)은 교차항을 없애고 다음과 같이 간결하게 쓸 수 있다.</p> <p>\( \sum_ { i=1 } ^ { n } \lambda_ { i } y_ { i } ^ { 2 } + \sum_ { i=1 } ^ { n } \mu_ { i } y_ { i } + c=0 \)<caption>(2)</caption></p> <p>위 예제 6.2에서 살펴본 바와 같이 \( A \)가 \( n \times n \) 정사각행렬일 때 \( A \)의 고유값 \( \lambda \)는 \[ A x=\lambda x \Leftrightarrow A x=\lambda I_{n} x \Leftrightarrow\left(\lambda I_{n}-A\right) x=0 \]</p> <p>을 만족하고 또한 \( x \neq 0 \)이므로 제차연립방정식 \( \left(\lambda I_{n}-A\right) x=0 \)이 자명하지 않은 해를 가져야 한다. 따라서 행렬식 \( \left\|\lambda I_{n}-A\right\| \)이 0이 된다.</p> <p>행렬식 \[ \begin{aligned} p(\lambda) &=\left\|\lambda I_{n}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n} \end{array}\right\| \\ &=\left(\lambda-a_{11}\right)\left(\lambda-a_{22}\right) \cdots\left(\lambda-a_{n n}\right)+(\lambda \text { 에 관한 } n-2 \text { 차 이하의 항 }) \end{aligned} \]</p> <p>은 \( \lambda \)에 관한 \( n \)차 다항식으로서 이를 \( A \)의 특성다항식(characteristic polynomial)이라고 하고, \( \left\|\lambda I_{n}-A\right\|=0 \)을 \( A \)의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 대수학의 기본정리에 의하면 \( n \)차 다항식은 복소수체에서 중근을 고려하여 \( n \)개의 근을 갖는다. 따라서 \( n \times n \) 행렬은 중근까지 고려하면 \( n \)개의 고유값을 갖는다. 그러나 실수체로 제한하면 고유값이 존재하지 않을 수도 있다.</p> <p>예제 6.3</p> <p>\( A=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\ -3 & 1\end{array}\right] \) 의 특성다항식과 고유값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( A \) 가 \( 2 \times 2 \) 행렬이므로 특성다항식은 \( \lambda \)에 관한 2차 다항식 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc}\lambda-1 & 3 \\ 3 & \lambda-1\end{array}\right\|=(\lambda-1)^{2}-9=\lambda^{2}-2 \lambda-8 \] 이고, 특성다항식의 근을 구하면 \( p(\lambda)=\lambda^{2}-2 \lambda-8=(\lambda-4)(\lambda+2)=0 \)으로부터 두 개의 상이한 고유값 \( \lambda=-2,4 \)를 얻는다.</p> <p>예제 6.4</p> <p>\( A = \left[ \begin{array}{rr} 2 & 2 \\ -3 & -2 \end{array} \right] \) 의 특성다항식과 고유값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)가 \( 2 \times 2 \) 행렬이므로 특성다항식은 \( \lambda \)에 관한 2차 다항식 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=\left\|\begin{array}{cc} \lambda-2 & -2 \\ 3 & \lambda+2 \end{array}\right\|=(\lambda-2)(\lambda+2)+6=\lambda^{2}+2 \] 이고, \( p(\lambda)=\lambda^{2}+2=0 \)으로부터 고유값은 허근 \( \lambda=\pm \sqrt{2} i \)로 주어진다. 따라서 실수체에서는 \( A \)의 고유값이 존재하지 않는다.</p> <p>일괄 참조를 위해 앞에서 논의한 고유값에 대한 조건을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 6.1</p> <p>\( A \)가 \( n \times n \) 정사각행렬일 때 다음은 서로 동치관계를 이룬다.<ol type=1 start=1><li>\( \lambda \)는 \( A \)의 고유값이다.</li> <li>\( \left(\lambda I_{n}-A\right) x=0 \)은 자명하지 않은 해를 가진다.</li> <li>\( \lambda \)는 특성다항식 \( p(\lambda)=\left\|\lambda I_{n}-A\right\| \)의 근이다.</li></ol></p> <h1>6.4 이차형식</h1> <p>행렬은 연립일차방정식의 해의 연구에서 핵심적인 기능과 역할을 담당한다. 이 절에서는 이차방정식의 기하학적 해석에 행렬이 긴밀하게 연계되어 있음을 알아보기자 한다. 특히 대칭행렬의 대각화는 이차곡선이나 이차곡면을 분류하는 핵심적인 장치로 이용된다.</p> <p>일반적으로 \( x \)와 \( y \)를 변수로 하는 이차방정식은 \[ a x ^ { 2 } + 2 b x y + c y ^ { 2 } + d x + e y + f = 0 \] 의 꼴로 나타나며 이때 최고차항인 2차 항의 수식 \( a x ^ { 2 } + 2 b x y + c y ^ { 2 } \)을 두 변수 \( x \), \( y \)에 관한 이차형식이라고 한다. 이 이차형식은 대칭행렬을 통한 행렬의 곱으로 \[ a x ^ { 2 } + 2 b x y + c y ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } x & y \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ b & c \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ] \] 와 같이 나타낼 수 있다.</p> <p>일반적으로 \( n \times n \) 대칭행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \)에 대하여 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \)을 변수로 갖는 이차형식은 \( n \)-벡터 \( x= \left [x_ { 1 } x_ { 2 } \cdots x_ { n } \right ] ^ { t } \)에 대해 \[ q(x)=x ^ { t } A x= \sum_ { i, j=1 } ^ { n } a_ { i j } x_ { i } x_ { j } \] 로 주어지며 이를 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 상의 이차형식(quadratic form)이라고 한다.</p> <p>예제 6.19</p> <p>\( 2 x_ { 1 } ^ { 2 } + 3 x_ { 2 } ^ { 2 } -5 x_ { 3 } ^ { 2 } + 4 x_ { 1 } x_ { 2 } -2 x_ { 1 } x_ { 3 } + 6 x_ { 2 } x_ { 3 } \) \( = \left [x_ { 1 } x_ { 2 } x_ { 3 } \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 3 \\ -1 & 3 & -5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]=x ^ { t } A x \)</p> <p>보조정리 7.3에 의해 \( A \)가 대칭행렬이면 \( A \)의 고유값은 모두 실수이다.</p> <p>정리 6.8</p> <p>\( A \)가 \( n \times n \) 대칭행렬이고 \( \lambda_ { 1 } \geq \lambda_ { 2 } \geq \cdots \geq \lambda_ { n } \)을 크기순으로 배열한 \( A \)의 고유값이라 할 때 \( \mathbb { R } ^ { n } \)에서 유클리드 내적에 대해 단위벡터인 \( n \)-벡터 \( x \)에 대하여 다음 관계가 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( \lambda_ { 1 } \geq x ^ { t } A x \geq \lambda_ { n } \)</li> <li>\( x \)를 \( \lambda_ { 1 } \)에 대한 고유벡터로 택하면 \( x ^ { t } A x= \lambda_ { 1 } \)이고, \( \lambda_ { n } \)에 대한 고유벡터로 택하면 \( x ^ { t } A x= \lambda_ { n } \)이다.</li></ol></p> <p>예제 6.12</p> <p>다음 대칭행렬 \( A \)를 직교대각화하는 직교행렬 \( P \)를 구하라. \[ A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{4}-A\right\|=(\lambda-2)^{3}(\lambda+2) \] 이므로 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=2 \) (3중근), \( \lambda_{2}=-2 \)이다. 이때 대응하는 고유벡터는 다음과 같이 주어진다. \[ v_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right], v_{3}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right], v_{4}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \] 여기서 \( \lambda_{1}=2 \)에 대응하는 고유벡터는 \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \)이고 \( \lambda_{2}=-2 \)에 대응하는 고유벡터는 \( v_{4} \)이다. 따라서 정리 6.7에 의해 \( v_{4} \)는 \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \)와 서로 직교를 이룬다. 직교행렬 \( P \)를 구하기 위해 그람-슈미트 직교화 과정을 적용하여 \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \) 를 정규직교화하고, \( v_{4} \)를 정규화한다. \[ \begin{array}{l} u_{1}=v_{1} ; e_{1}=\frac{u_{1}}{\left\\|u_{1}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \\ u_{2}=v_{2}-\frac{v_{2} \cdot u_{1}}{\left\\|u_{1}\right\\|^{2}} u_{1}=\left[\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{array}\right] ; e_{2}=\frac{u_{2}}{\left\\|u_{2}\right\\|}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{r} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ -1 \\ 0 \end{array}\right], \\ u_{3}=v_{3}-\frac{v_{3} \cdot u_{1}}{\left\\|u_{1}\right\\|^{2}} u_{1}-\frac{v_{3} \cdot u_{2}}{\left\\|u_{2}\right\\|^{2}} u_{2}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -1 \end{array}\right] ; e_{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left[\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} \\ -1 \end{array}\right] ; \end{array} \] \[ e_{4}=\frac{v_{4}}{\left\\|v_{4}\right\\|}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \cdot \] 그러면 \( A \)를 직교대각화하는 직교행렬은 \[ P=\left[e_{1} e_{2} e_{3} e_{4}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{2 \sqrt{3}} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{2 \sqrt{3}} & \frac{1}{2} \\ 0 & -\sqrt{\frac{2}{3}} & \frac{1}{2 \sqrt{3}} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{array}\right] \] 이고, \[ P^{t} A P=\left[\begin{array}{rrrr} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{array}\right]=D \] 이 성립함을 어렵지 않게 검증할 수 있다.</p> <p>보조정리 6.14</p> <p>\( A \in \mathrm{PSym} \) 이면 행렬식은 \( \|A\|>0 \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \in M_{n} \) 의 고유값을 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이라 하면 \( A \)가 대칭인 양의 정부호 행렬이므로 정리 6.13에 의해 모든 고유값 \( \lambda_{i}>0 \) 이다. 한편 정리 \( 6.6 \) 에 의해 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \) 에 대해서 \[ A=P D P^{t} \] 인 직교행렬 \( P \) 가 존재한다. 이때 \( \|P\|^{2}=1 \) 이므로 \[ \|A\|=\left\|P D P^{t}\right\|=\|P\|\|D\|\left\|P^{t}\right\|=\|D\|=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}>0 \] 이 성립한다.</p> <p>\( A \)가 양의 정부호 행렬일 때 이차형식 \( q(x)=x^{t} A x \) 는 (positive definite quadratic form)이라고 한다. 따라서 \( A \)가 양의 정부호이면 평면이나 공간에서 이차형식 \( q(x) \)는 타원이나 타원면을 기술하는 방정식이다.</p> <p>예제 6.27</p> <p>다음 이차형식이 양의 정부호임을 보여라. \[ q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3} \]</p> <p>풀이</p> <p>이차형식 \( q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \) 의 행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{array}\right] \] 이고 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4) \] 이므로 \( A \)는 모두 양인 고유값을 갖는다. 따라서 정리 6.13에 의해 이차형식 \( q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \)는 양의 정부호이다.</p> <p>\( A \in \mathrm{PSym} \) 이면 \( A \)의 \( L U \) 분해를 \( U=L^{t} \)가 되도록 설정할 수 있다. 즉 \[ A=G G^{t} \] 인 하부삼각행렬 \( G \)가 존재한다. 이를 \( A \)의 (Cholesky decomposition)라고 한다. 이를 이용하면 행렬의 분해나 이와 관련된 연립일차방정식의 해를 구하는 과정을 한결 단순화 할 수 있다. 이 과정을 정리하여 살펴보자.</p> <p>주어진 행렬 \( A \)에 대해 \( A \)의 부분행렬 \( A(1: k, 1: k) \)를 \( A \)의 1 행에서 \( k \) 행까지, 그리고 1열에서 \( k \) 열까지 택한 블록행렬이라고 하자. 예를 들어 \( A=\left[a_{i j}\right] \in M_{n} \) 일 때, \[ A(1,1)=\left[a_{11}\right], \quad A(1: 2,1: 2)=\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right], \quad A(1: 3,1: 3)=\left[\begin{array}{lll} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right] \] 이다. \( A \)의 대각선을 따라 구성된 부분 정사각행렬 \[ A(1: k, 1: k)=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k 1} & a_{k 2} & \cdots & a_{k k} \end{array}\right] \] 를 \( A \)의 \( k \)차의 주 선도부분행렬(leading principal submatrix)이라고 한다.</p> <p>정리 6.15</p> <p>\( A \in M_{n} \)에 대해 \( A \) 의 모든 주 선도부분행렬이 정칙이면 \( A \)의 \( L U \) 분해가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>- 존재성 : 가우스 변환에 의한 소거과정이 \( k-1 \) 단계까지 진행되어 \[ \widehat{A}_{k-1}=M_{k-1} \cdots M_{2} M_{1} A=\left[\begin{array}{cccccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22}^{(2)} & \cdots & a_{2 k}^{(2)} & \cdots & a_{2 n}^{(2)} \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & a_{k k}^{(k)} & \cdots & a_{k n}^{(k)} \\ \vdots & \vdots & 0 & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & & a_{n k}^{(k)} & \cdots & a_{n n}^{(k)} \end{array}\right] \] 라고 하면 \[ \begin{array}{l} \left\|\hat{A}_{k-1}(1: k, 1: k)\right\| \\ \quad=\left\|M_{k-1}(1: k, 1: k)\right\| \cdots\left\|M_{1}(1: k, 1: k)\right\|\|A(1: k, 1: k)\| \end{array} \] 로부터 각 \( M_{i}(1: k, 1: k) \) 의 행렬식은 1이므로 \[ \|A(1: k, 1: k)\|=\left\|\hat{A}_{k-1}(1: k, 1: k)\right\|=a_{11} a_{22}^{(2)} \cdots a_{k k}^{(k)} \neq 0 \] 이다. 따라서 \( a_{k k}^{(k)} \neq 0 \) 이므로 \( a_{k k}^{(k)} \)를 다음 단계의 추축원소로 사용하여 가우스 변환 \( M_{k} \)를 설정할 수 있다. 이와 같이 매 단계마다 \( a_{11}, a_{22}^{(2)}, \cdots \), \( a(n-1)(n-1) \)을 축원소로 해서 가우스 변환 \( M_{1}, M_{2}, \cdots, M_{n-1} \)을 설정하면 \[ A=\left(M_{n-1} M_{n-2} \cdots M_{2} M_{1}\right)^{-1} U=L U \] 인 \( A \) 의 \( L U \) 분해를 얻을 수 있다.</p> <p>- 유일성 : 이제 단위 하부삼각행렬 \( L_{1} \)과 \( L_{2} \), 상부삼각행렬 \( U_{1} \)과 \( U_{2} \)에 대해서 \( A \)의 \( L U \) 분해를 \( A=L_{1} U_{1}=L_{2} U_{2} \) 이라 하자. 그러면 \[ L_{2}^{-1} L_{1}=U_{2} U_{1}^{-1} \] 이고, 이 식의 좌변은 단위 하부삼각행렬이고 우변은 상부삼각행렬이므로 \[ L_{2}^{-1} L_{1}=U_{2} U_{1}^{-1}=I_{n} \] 이다. 따라서 \( L_{1}=L_{2}, U_{1}=U_{2} \) 가 되어 \( A \)의 \( L U \) 분해는 유일하다.</p> <p>실제 촐레스키 분해를 구하기 위해 \( A=G G^{t} \)인 분해로부터 \( G \)의 원소를 직접 계산하는 것이 편리하다. 이때 \( A \) 가 대칭이므로 \( A \)의 주대각선 아래의 원소만 고려하면 충분하다. 따라서 \( A=\left[a_{i j}\right] \in M_{n} \)일 때 \( a_{i j} \), (\( i \geq j \))인 경우를 조사한다. \( G=\left[g_{i j}\right] \)라 하면 \[ A=G G^{t} \Rightarrow a_{i j}=G_{(i)} G_{(j)}^{t}=\sum_{k=1}^{j} g_{i k} g_{j k}, \quad(i \geq j) \] 이다. 이 식으로부터 먼저 \( i=j \)일 때 \[ a_{j j}=g_{j 1}^{2}+g_{j 2}^{2}+\cdots+g_{j j}^{2} \] 이고, 다음 \( i>j \)일 때 \[ a_{i j}=g_{i 1} g_{j 1}+g_{i 2} g_{j 2}+\cdots+g_{i j-1} g_{j j-1}+g_{i j} g_{j j} \] 이므로 \[ \begin{aligned} g_{j j} &=\left(a_{j j}-\sum_{k=1}^{j-1} g_{j k}^{2}\right)^{1 / 2}, \quad(j=1,2, \cdots, n) \\ g_{i j} &=\frac{1}{g_{j j}}\left(a_{i j}-\sum_{k=1}^{j-1} g_{i k} g_{j k}\right), \quad(i=j+1, \cdots, n) \end{aligned} \] 에 의해서 촐레스키 분해에 따른 하부삼각행렬 \( G \)의 원소를 산정할 수 있다.</p> <p>예제 6.28</p> <p>다음 행렬의 촐레스키 분해를 구하라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2.25 & -3 & 4.5 \\ -3 & 5 & -10 \\ 4.5 & -10 & 34 \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A=G G^{t} \), \( G=\left[g_{i j}\right] \)라 하면 하부삼각행렬 \( G \)의 원소는 \[ \begin{array}{l} g_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{2.25}=1.5, \\ g_{21}=\frac{a_{21}}{g_{11}}=\frac{-3}{1.5}=2, g_{31}=\frac{a_{31}}{g_{11}}=\frac{4.5}{1.5}=3, \\ g_{22}=\left(a_{22}-g_{21}^{2}\right)^{1 / 2}=\left(5-(-2)^{2}\right)^{1 / 2}=1, \\ g_{32}=\frac{1}{g_{22}}\left(a_{32}-g_{31} g_{21}\right)=(-10-3 \cdot(-2))=-4, \\ g_{33}=\left(a_{33}-g_{31}^{2}-g_{32}^{2}\right)^{1 / 2}=\left(34-3^{2}-(-4)^{2}\right)^{1 / 2}=3 \end{array} \] 이다. 따라서 \( G=\left[\begin{array}{rrr}1.5 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -4 & 3\end{array}\right] \)에 대해서 \( A \)의 촐레스키 분해는 \[ A=\left[\begin{array}{rrr} 2.25 & -3 & 4.5 \\ -3 & 5 & -10 \\ 4.5 & -10 & 34 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 1.5 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & -4 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 1.5 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right]=G G^{t} \] 이다.</p> <p>예제 6.17</p> <p>다음 초기값 문제의 해를 구하라. \[ \begin{array}{ll} y_{1}^{\prime}=y_{1}-2 y_{2}, & y_{1}(0)=4 \\ y_{2}^{\prime}=y_{1}+4 y_{2}, & y_{2}(0)=-3 \end{array} \]</p> <p>풀이</p> <p>연립방정식의 계수행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}1 & -2 \\ 1 & 4\end{array}\right] \)와 초기조건 \( y_{0}=\left[\begin{array}{r}4 \\ -3\end{array}\right] \)에 대해서 연립미분방정식은 \( y^{\prime}=A y, y(0)=y_{0} \) 로 주어진다. 예제 6.16에 의해 \( A \)의 고유값 \( \lambda_{1}=2 \), \( \lambda_{2}=3 \)와 대응하는 고유벡터 \( v_{1}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -1\end{array}\right], v_{2}=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1\end{array}\right] \)에 의해 \[ A=P D P^{-1}=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \] 이고 \( c=P^{-1} y_{0}=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -1 & -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}4 \\ -3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \)이므로 초기값 문제의 해는 \[ \begin{aligned} y(t) &=\left[\begin{array}{l} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \end{array}\right]=c_{1} e^{\lambda_{1} t} v_{1}+c_{2} e^{\lambda_{2} t} v_{2} \\ &=e^{2 t}\left[\begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array}\right]+2 e^{3 t}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2 e^{2 t}+2 e^{3 t} \\ -e^{2 t}-2 e^{3 t} \end{array}\right] \end{aligned} \] 이다.</p> <p>다음 예의 경우에서처럼 행렬 \( A \)가 대각화가능하지 않을 때에도 연립미분방정식의 해를 구하기 위해 행렬지수를 이용할 수 있다.</p> <p>예제 6.18</p> <p>행렬지수를 써서 다음 초기값 문제의 해를 구하라. \[ \begin{array}{ll} y_{1}^{\prime}=y_{2}, & y_{1}(0)=2 \\ y_{2}^{\prime}=y_{3}, & y_{2}(0)=1 \\ y_{3}^{\prime}=0, & y_{3}(0)=4 \end{array} \]</p> <p>풀이</p> <p>계수행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \)와 초기조건 \( y_{0}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 4\end{array}\right] \)에 대해서 연립미분방정식은 \( y^{\prime}=A y, y(0)=y_{0} \)로 주어진다. \( A \)의 고유값은 \( \lambda=0 \) (3중근)이고 고유공간은 단일 벡터 \( \left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right] \)에 의해 생성되므로 \( A \)는 대각화가능하지 않다. 이때 \( A^{3}=O \)이므로 \( A \) 의 행렬지수로부터 \[ \begin{aligned} e^{t / A} &=I_{3}+t A+\frac{1}{2 !} t^{2} A^{2} \\ &=\left[\begin{array}{ccc} 1 & t & t^{2} / 2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned} \] 이다. 따라서 초기값 문제의 해는 다음과 같이 주어진다. \[ y(t)=\left[\begin{array}{l} y_{1}(t) \\ y_{2}(t) \\ y_{3}(t) \end{array}\right]=e^{t A} y_{0}=\left[\begin{array}{ccc} 1 & t & t^{2} / 2 \\ 0 & 1 & t \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 2+t+2 t^{2} \\ 1+4 t \\ 4 \end{array}\right] \]</p> <p>예제 6.8</p> <p>다음 행렬 \( A \)가 대각화가능하면 대각화에 대한 추이행렬 \( P \)를 구하고 \( A \)를 대각화하라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=\left\|\begin{array}{ccc} \lambda+1 & 0 & -1 \\ -3 & \lambda & 3 \\ -1 & 0 & \lambda+1 \end{array}\right\|=\lambda^{2}(\lambda+2)=0 \] 이다. 따라서 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=0 \) (중근), \( \lambda_{2}=-2 \)이다.</p> <p>(1) \( \lambda_{1}=0 \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터 : \( \left(\lambda_{1} I_{3}-A\right) x=0 \) 에 대응하는 연립방정식은 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 이고 계수행렬에 가우스 소거법을 적용하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ -3 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right] \sim{ }_{r}\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 자유변수를 \( x_{2}=t \), \(x_{3}=s \),( \(s, t \in \mathbb{R} \))이라 두면 \( x_{1}=x_{3}=s \)이므로 \( \lambda_{1}=0 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=s\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]+t\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right],(s, t \in \mathbb{R}) \] 이고, 고유공간은 두 개의 일차독립인 벡터 \( v_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \) 과 \( v_{2}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] \) 에 의해 생성된다.</p> <p>(2) \( \lambda_{2}=-2 \) 에 대응하는 \( A \)의 고유벡터 : \( \left(\lambda_{2} I_{3}-A\right) x=0 \) 에 대응하는 연립방정식은 \[ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 이고 계수행렬에 가우스 소거법을 적용하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & -1 \\ -3 & -2 & 3 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right] \sim_{r}\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 자유변수를 \( x_{3}=t \), (\( t \in \mathbb{R} \))라 두면 \( x_{1}=-t\) , \( x_{2}=3 t \)이므로 \( \lambda_{2}=-2 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{r} -1 \\ 3 \\ 1 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이고, 고유공간은 일차독립인 벡터 \( v_{3}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right] \)에 의해 생성된다. (1)과 (2)로부터 \( A \)는 3개의 일차독립인 고유벡터 \( \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} \) 를 가지므로 \( A \)는 대각화가능하고 \[ P=\left[\begin{array}{lll} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array}\right], \quad D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{1}, \lambda_{2}\right)=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{array}\right] \] 에 대하여 \( A=P D P^{-1} \) 이다.</p> <h1>6.1 고유값과 고유벡터</h1> <p>\( A \)가 \( n \times n \) 정사각행렬이고 영이 아닌 \( n \)-벡터 \( x \in \mathbb{R}^{n} \)와 스칼라 \( \lambda \)에 대하여</p> <p>\( A x=\lambda x \)</p> <p>가 성립할 때 \( \lambda \)를 행렬 \( A \)의 고유값(eigenvalue)이라 하고, \( x \)를 \( \lambda \)에 대응하는 고유벡터(eigenvector)라고 한다. 고유벡터에 의해 생성되는 벡터공간을 \( \lambda \)에 대응하는 고유공간(eigenspace)이라고 한다.</p> <p>예제 6.1</p> <p>행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}1 & 1 \\ -2 & 4\end{array}\right] \) 에서 \( x_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] \) 이면 \[ A x_{1}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right]=2\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]=2 x_{1} \] 이므로 \( \lambda_{1}=2 \) 는 \( A \)의 고유값, \( x_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] \)은 \( \lambda_{1} \)에 대응하는 고유벡터이다. 또한, \( x_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \) 에 대해 \[ A x_{2}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 6 \end{array}\right]=3\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]=3 x_{2} \] 이므로 \( \lambda_{2}=3 \)은 \( A \)의 고유값, \( x_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right] \)는 \( \lambda_{2} \)에 대한 고유벡터이다.</p> <p>예제 6.2</p> <p>\( x \)-축에 대한 대칭이동의 행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \)의 고유값과 고유벡터를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>정의에 따라 \[ \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \] 을 만족하는 \( \lambda \) 와 그에 대응하는 영이 아닌 해 \( \left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \)를 구한다. \( \lambda\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}\lambda & 0 \\ 0 & \lambda\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 이므로 위 식을 정리하면 연립방정식 \[ \left[\begin{array}{cc} \lambda-1 & 0 \\ 0 & \lambda+1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \]</p> <p>이 얻어진다. 이 연립방정식이 영이 아닌 해를 가지려면 계수행렬의 행렬식이 0이어야 하므로 \( (\lambda-1)(\lambda+1)=0 \)이다. \( \lambda=1 \)이면 \( y=0 \)이고 \( x \)는 0이 아닌 어떠한 실수도 가능하다. 따라서 \( x \)-축을 따라가는 벡터 \( \left[\begin{array}{l}a \\ 0\end{array}\right]\), (\(a \neq 0 \))은 모두 \( \lambda=1 \) 에 대응하는 고유벡터이다. 특히 이 벡터는 대칭이동 \( \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \)에 의해 같은 방향으로 옮겨진다. 한편, \( \lambda=-1 \)이면 \( x=0 \)이고 \( y \)는 0이 아닌 어떠한 실수도 가능하다. 따라서 \( y \)-축을 따르는 벡터 \( \left[\begin{array}{l}0 \\ b\end{array}\right] \), (\( b \neq 0 \)) 은 모두 \( \lambda=-1 \)에 대응하는 고유벡터이고, 이 벡터는 대칭이동 \( \left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \)에 의해 반대방향으로 옮겨진다.</p> <p>정리 6.7</p> <p>대칭행렬 \( A \)의 서로 다른 두 고유값에 대응하는 고유벡터는 서로 직교한다.</p> <p>증명</p> <p>대칭행렬 \( A \)의 임의의 서로 다른 두 고유값을 \( \lambda_ { 1 } \)과 \( \lambda_ { 2 } \)라 하고 \( v_ { 1 } \)과 \( v_ { 2 } \)를 각각 대응하는 고유벡터라고 하자. 즉 \[ A v_ { 1 } = \lambda_ { 1 } v_ { 1 } , \quad A v_ { 2 } = \lambda_ { 2 } v_ { 2 } . \] 여기서 \( A \)가 대칭이므로 \[ v_ { 1 } ^ { t } A v_ { 2 } = \left (A v_ { 1 } \right ) ^ { t } v_ { 2 } = \left ( \lambda_ { 1 } v_ { 1 } \right ) ^ { t } v_ { 2 } = \lambda_ { 1 } v_ { 1 } ^ { t } v_ { 2 } \] 이고, \[ v_ { 1 } ^ { t } A v_ { 2 } =v_ { 1 } ^ { t } \left (A v_ { 2 } \right )=v_ { 1 } ^ { t } \left ( \lambda_ { 2 } v_ { 2 } \right )= \lambda_ { 2 } v_ { 1 } ^ { t } v_ { 2 } \] 이다. 따라서 \[ \left ( \lambda_ { 1 } - \lambda_ { 2 } \right ) v_ { 1 } ^ { t } v_ { 2 } =v_ { 1 } ^ { t } A v_ { 2 } -v_ { 1 } ^ { t } A v_ { 2 } =0 \] 이 성립한다. 이때 \( \lambda_ { 1 } \neq \lambda_ { 2 } \) 이므로 \[ v_ { 1 } \cdot v_ { 2 } =v_ { 1 } ^ { t } v_ { 2 } =0 \] 이다. 따라서 \( v_ { 1 } \)과 \( v_ { 2 } \)는 서로 직교한다.</p> <p>예제 6.11</p> <p>다음 대칭행렬 \( A \)를 직교대각화하라. \[ A= \left [ \begin {array} { rr } -2 & 5 \\ 5 & -2 \end {array} \right ] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성방정식은 \[ \begin {aligned} p( \lambda) &= \left \| \lambda I_ { 2 } -A \right \|= \left \| \begin {array} { cc } \lambda + 2 & -5 \\ -5 & \lambda + 2 \end {array} \right \|= \lambda ^ { 2 } + 4 \lambda-21 \\ &=( \lambda + 7)( \lambda-3)=0 \end {aligned} \] 이다. 따라서 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_ { 1 } =-7 \), \( \lambda_ { 2 } =3 \) 이다. 이때 각 고유값에 대응하는 고유벡터는 \[ v_ { 1 } = \left [ \begin {array} { r } -1 \\ 1 \end {array} \right ], \quad v_ { 2 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ] \] 이다. 명백히 \( v_ { 1 } \), \( v_ { 2 } \)는 서로 직교하고 이를 정규화하여 열로 배치하면 \( A \)를 직교대각화하는 행렬 \( P \)는 \[ P= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \left [ \begin {array} { rr } -1 & 1 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] \] 이고, \[ P ^ { t } A P= \left [ \begin {array} { rr } -7 & 0 \\ 0 & 3 \end {array} \right ]=D \] 가 성립한다.</p> <h1>6.2 행렬의 대각화</h1> <p>\( A \)가 정사각행렬일 때 \( A \)가 대각행렬 \( D \)와 닮음행렬이면 정칙행렬 \( P \)가 존재해서 \[ P ^ { -1 } A P = D \] 가 성립한다. 이때 \( A \)를 대각화가능한 행렬(diagonalizable matrix)이라 하고, \( P \)를 대각화에 대한 추이행렬이라고 한다. 행렬의 대각화는 6.3절에서 살펴보듯이 행렬의 거듭제곱이나 차분방정식, 2차 점화식에 의한 수열, 미분방정식의 해법에의 적용 등 다양하고 폭넓게 실제 생활에 편리하게 이용할 수 있다. 행렬의 대각화는 행렬의 고유벡터의 성질에 의존한다.</p> <p>정리 6.3</p> <p>\( \lambda_ { 1 } , \lambda_ { 2 } , \cdots, \lambda_ { k } ,(1 \leq k \leq n) \) 를 \( n \times n \) 정사각행렬 \( A \)의 서로 다른 고유값이라 하고 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } \)를 각각 이에 대응하는 고유벡터라고 하면 \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } \right \} \)는 일차독립이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } \right \} \)가 일차종속이라고 가정하자. \( r \)을 \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { k } \right \} \)에 의해 생성된 \( \mathbb { R } ^ { n } \)의 부분공간의 차원이라고 하자. 필요하면 적절히 순서를 재배열함으로서 \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { r } \right \} \)이 일차독립이라고 가정할 수 있다. 그러면 \( \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } \right . \left . \cdots, x_ { r } , x_ { r + 1 } \right \} \)이 일차종속이므로</p> <p>\( k_ { 1 } x_ { 1 } + \cdots + k_ { r } x_ { r } + k_ { r + 1 } x_ { r + 1 } =0 \)<caption>(1)</caption></p> <p>행렬의 대각화는 기저의 변환에 따른 추이행렬과 직접적인 연계성을 갖는다.</p> <p>예제 6.10</p> <p>다음과 같이 정의된 선형사상 \( T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) 에 대하여 \( T \)의 행렬을 대각화하는 \( \mathbb{R}^{3} \) 의 기저를 구하라. \[ T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(3 x_{1}-2 x_{2},-2 x_{1}+3 x_{2}, 5 x_{3}\right) \]</p> <p>풀이</p> <p>\( \mathbb{R}^{3} \)의 표준기저를 \( B=\left\{e_{1}, e_{2}, e_{3}\right\} \)라 하면 \( B \)에 대한 \( T \)의 행렬은 \[ A=[T]_{B}=\left[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right] \] 이다. 한편, 기저 \( C=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}\right\} \)에 대해 \( [T]_{C} \)가 대각행렬이라면 정리 4.10에 의해 \( C \)에서 \( B \)로의 추이행렬 \( P \)에 대해서 \[ [T]_{C}=P^{-1}[T]_{B} P \] 가 성립한다. 따라서 \( T \)의 행렬을 대각화하는 기저 \( C \)는 \( A \)의 대각화에 따른 추 이행렬 \( P \)로부터 유도될 수 있다. \( A \)의 특성다항식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=(\lambda-1)(\lambda-5)^{2} \] 이고 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \), \( \lambda_{2}=5 \) (중근)이다. 이때 \( \lambda_{1}=1 \) 에 대응하는 고유공간은 \( v_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] \) 에 의해 생성되고, \( \lambda_{2}=5 \) 에 대응하는 고유공간은 두 개의 벡터 \( v_{2}=\left[\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right] \) 와 \( v_{3}=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right] \) 에 의해 생성된다. 따라서 \( A \)의 대각화에 따른 추이행렬은 \[ P=\left[\begin{array}{lll} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 이고, \[ \begin{aligned} P^{-1} A P &=\left[\begin{array}{rcc} 0.5 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0.5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{array}\right]=D \end{aligned} \] 를 만족한다. 따라서 \( C \)에서 \( B \)로의 추이행렬 \( P \)에 대해 \[ P^{(j)}=v_{j}=\left[w_{j}\right]_{B}, \quad(j=1,2,3) \] 이므로 \( T \) 를 대각화하는 기저는 \[ w_{1}=P^{(1)}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], w_{2}=P^{(2)}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], w_{3}=P^{(3)}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \] 이고, 이때 \( T \) 의 대각행렬은 \( [T]_{C}=D \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>(1) 정리 6.6에 의해 대칭행렬 \( A \)는 \( n \)개의 고유벡터의 정규직교집합 \( S=\left\{ v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right\} \)를 갖는다. 따라서 \( x \in \mathbb{R}^{n} \)에 대해 \[ x=\left\langle x, v_{1}\right\rangle v_{1}+\left\langle x, v_{2}\right\rangle v_{2}+\cdots+\left\langle x, v_{n}\right\rangle v_{n} \] 이고, \[ \begin{aligned} A x &=\left\langle x, v_{1}\right\rangle A v_{1}+\left\langle x, v_{2}\right\rangle A v_{2}+\cdots+\left\langle x, v_{n}\right\rangle A v_{n} \\ &=\left\langle x, v_{1}\right\rangle \lambda_{1} v_{1}+\left\langle x, v_{2}\right\rangle \lambda_{2} v_{2}+\cdots+\left\langle x, v_{n}\right\rangle \lambda_{n} v_{n} \end{aligned} \] 이다. 이때 \[ \\|x\\|^{2}=\left\langle x, v_{1}\right\rangle^{2}+\left\langle x, v_{2}\right\rangle^{2}+\cdots+\left\langle x, v_{n}\right\rangle^{2}=1 \] 이므로 \[ \begin{aligned} x^{t} A x=\langle x, A x\rangle=& \lambda_{1}\left\langle x, v_{1}\right\rangle^{2}+\lambda_{2}\left\langle x, v_{2}\right\rangle^{2}+\cdots+\lambda_{n}\left\langle x, v_{n}\right\rangle^{2} \\ & \leq \lambda_{1}\left\langle x, v_{1}\right\rangle^{2}+\lambda_{1}\left\langle x, v_{2}\right\rangle^{2}+\cdots+\lambda_{1}\left\langle x, v_{n}\right\rangle^{2} \\ =& \lambda_{1}\\|x\\|^{2}=\lambda_{1} \end{aligned} \] 이 성립하고, 같은 방법으로 \( x^{t} A x \geq \lambda_{n} \)이 성립한다. 따라서 \( \lambda_{1} \geq x^{t} A x \geq \lambda_{n} \).</p> <p>(2) \( A x=\lambda_{1} x \) 이면 \( x^{t} A x=\langle x, A x\rangle=\left\langle x, \lambda_{1} x\right\rangle=\lambda_{1}\\|x\\|^{2}=\lambda_{1} \) 이고, \( A x=\lambda_{n} x \) 이면 \( x^{t} A x=\langle x, A x\rangle=\left\langle x, \lambda_{n} x\right\rangle=\lambda_{n}\\|x\\|^{2}=\lambda_{n} \) 이다.</p> <p>일반적으로 \( x \in \mathbb{R}^{n} \)가 영벡터가 아닐 때 대칭행렬 \( A \)의 최대 고유값 \( \lambda_{1} \)과 최소 고유값 \( \lambda_{n} \)에 대해 다음 관계식이 성립한다. \[ \lambda_{1} \geq \frac{x^{t} A x}{x^{t} x} \geq \lambda_{n} \]</p> <p>예제 6.20</p> <p>단위원 상에서 이차형식 \( x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 x_{1} x_{2} \)의 최대값과 최소값을 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>이차형식을 행렬 형식으로 나타내면 \[ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 x_{1} x_{2}=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=x^{t} A x \] 이다. 대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right] \)의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\left\|\lambda I_{2}-A\right\|=(\lambda+1)(\lambda-3) \] 이므로 고유값은 \( \lambda_{1}=3 \), \( \lambda_{2}=-1 \)이고, 대응하는 정규화된 고유벡터는 \[ v_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 정리 6.8에 의해 주어진 이차형식의 최대값과 최소값은 다음과 같다. \[ \begin{array}{l} x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \text { 에서 최대값 }=3 \quad\left(=\lambda_{1}=\text { 최대고유값 }\right), \\ x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}, x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \text { 에서 최소값 }=-1 \quad\left(=\lambda_{2}=\text { 최소고유값 }\right) \end{array} \]</p> <p>완전제곱꼴을 이용하여 식 (2)를 다음과 같이 더욱 간결하게 정리할 수 있다. \( \lambda_ { i } \neq 0 \)이면 \[ \lambda_ { i } y_ { i } ^ { 2 } + \mu_ { i } y_ { i } = \lambda_ { i } \left (y_ { i } + \frac {\mu_ { i } } { 2 \lambda_ { i } } \right ) ^ { 2 } - \frac {\mu_ { i } ^ { 2 } } { 4 \lambda_ { i } } . \]</p> <p>따라서 \( A \) 의 고유값 \( \lambda_ { 1 } , \cdots, \lambda_ { k } \) 가 0이 아니고 나머지가 0 이라고 하면 식 (2)는</p> <p>\( \sum_ { i=1 } ^ { k } \lambda_ { i } \left (y_ { i } + \alpha_ { i } \right ) ^ { 2 } + \sum_ { i=k + 1 } ^ { n } \mu_ { i } y_ { i } + d=0, \quad \left ( \alpha_ { i } = \frac {\mu_ { i } } { 2 \lambda_ { i } } \right ) \)<caption>(3)</caption></p> <p>으로 쓸 수 있다. 최종적으로 변수변환 \[ z_ { i } = \left \{\begin {array} { ll } y_ { i } + \alpha_ { i } , & (i=1, \cdots, k) \\ y_ { i } , & (i=k + 1, \cdots, n) \end {array} \right . \] 에 의해 식 (3)은 다음과 같이 표현된다.</p> <p>\( \sum_ { i=1 } ^ { k } \lambda_ { i } z_ { i } ^ { 2 } + \sum_ { i=k + 1 } ^ { n } \mu_ { i } z_ { i } + d=0 \)<caption>(4)</caption></p> <p>따라서 이차곡면은 최초의 좌표축 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \) 을 직교변환 : \( y=P ^ { t } x, \quad \) 평행이동 : \( z_ { i } =y_ { i } + \alpha_ { i } , \quad(i=1, \cdots, k) \) 에 의해 얻어진 좌표축 \( z_ { 1 } , z_ { 2 } , \cdots, z_ { n } \) 상에서 이차방정식 (4)의 그래프로 주어진다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <h2>■ 행렬의 지수계산과 상수계수의 선형연립미분방정식</h2> <p>주어진 스칼라 \( a \)에 대해 지수 \( e^{a} \)는 멱급수로 \[ e^{a}=1+a+\frac{1}{2 !} a^{2}+\frac{1}{3 !} a^{3}+\cdots \] 로 표현된다. 유사하게 \( n \times n \) 정사각행렬 \( A \)에 대해 행렬지수(atrix exponential) \( e^{A} \)를 다음과 같이 수렴하는 멱급수의 형태로 정의하자. \[ e^{A}=I_{n}+A+\frac{1}{2 !} A^{2}+\frac{1}{3 !} A^{3}+\cdots \]</p> <p>특별히 대각행렬 \( D=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right) \)의 경우에 행렬지수는 \[ \begin{aligned} e^{D} &=\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} D^{k}=\left[\begin{array}{cccc} \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \lambda_{1}^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \lambda_{2}^{k} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \lambda_{n}^{k} \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cccc} e^{\lambda_{1}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & e^{\lambda_{2}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & e^{\lambda_{n}} \end{array}\right] \end{aligned} \] 형태의 대각행렬로 주어진다. 따라서 \( n \times n \) 정사각행렬 \( A \)가 대각화가능하면 \[ A=P D P^{-1} \] 인 대각행렬 \( D \)가 존재하므로 \[ \begin{aligned} A^{k} &=P D^{k} P^{-1}, \quad(k=0,1,2, \cdots) \\ e^{A} &=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} A^{k}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !}\left(P D^{k} P^{-1}\right) \\ &=P\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} D^{k}\right) P^{-1}=P e^{D} P^{-1} \end{aligned} \] 로 손쉽게 계산할 수 있다.</p> <p>예제 6.16</p> <p>다음 행렬의 행렬지수를 계산하라. \[ A=\left[\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)에 대한 고유값은 \( \lambda_{1}=2 \)와 \( \lambda_{2}=3 \)이고 대응하는 고유벡터는 각각 \[ v_{1}=\left[\begin{array}{r} 2 \\ -1 \end{array}\right], \quad v_{2}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 추이행렬 \( P=\left[\begin{array}{ll}v_{1} & v_{2}\end{array}\right] \)에 대해 \[ A=P D P^{-1}=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \] 이고, \[ \begin{aligned} e^{A} &=P e^{D} P^{-1}=\left[\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} e^{2} & 0 \\ 0 & e^{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ -1 & -2 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc} 2 e^{2}-e^{3} & 2 e^{2}-2 e^{3} \\ -e^{2}+e^{3} & -e^{2}+2 e^{3} \end{array}\right] \end{aligned} \]</p> <p>예제 6.9</p> <p>다음 행렬이 대각화가능한지 판단하고 대각화가능하다면 대각화하라. \[ A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4\end{array}\right] \]</p> <p>풀이</p> <p>\( A \)의 특성방정식은 \[ \begin{aligned} p(\lambda) &=\left\|\lambda I_{3}-A\right\|=\left\|\begin{array}{ccc} \lambda & -1 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 \\ -2 & 5 & \lambda-4 \end{array}\right\|=\lambda^{3}-4 \lambda^{2}+5 \lambda-2 \\ &=(\lambda-2)(\lambda-1)^{2}=0 \end{aligned} \] 이다. 따라서 \( A \)의 고유값은 \( \lambda_{1}=1 \) (중근), \( \lambda_{2}=2 \)이다.</p> <p>(1) \( \lambda_{1}=1 \)에 대응하는 \( A \)의 고유벡터 : \( \left(\lambda_{1} I_{3}-A\right) x=0 \) 에 대응하는 연립방정식은 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 5 & -3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 이고 계수행렬에 가우스 소거법을 적용하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 5 & -3 \end{array}\right] \sim_{r}\left[\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 자유변수를 \( x_{3}=t,(t \in \mathbb{R}) \)라 두면 \( \lambda_{1}=1 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이고, 고유공간은 한 개의 일차독립인 벡터 \( v_{1}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] \)에 의해 생성된다.</p> <p>(2) \( \lambda_{2}=2 \) 에 대응하는 \( A \)의 고유벡터 : \( \left(\lambda_{2} I_{3}-A\right) x=0 \) 에 대응하는 연립방정식은 \[ \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 5 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 이고 계수행렬에 가우스 소거법을 적용하면 \[ \left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -2 & 5 & -2 \end{array}\right] \sim_{r}\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이다. 따라서 자유변수를 \( x_{3}=2 t \),(\( t \in \mathbb{R} \))라 두면 \( \lambda_{2}=2 \)에 대응하는 고유벡터는 \[ x=t\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right], \quad(t \in \mathbb{R}) \] 이고, 고유공간은 일차독립인 벡터 \( v_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right] \)에 의해 생성된다. (1)과 (2)로부터 \( A \)의 일차독립인 고유벡터는 \( v_{1} \)과 \( v_{2} \)의 두 개뿐이므로 정리 6.4 에 의해 \( A \)는 대각화가능하지 않다.</p>	자연
확률과 통계_표본분포와 중심극한정리	<p>證明</p> <p>\( E\left(X^{n}\right) \)를 계산하면, \( \begin{aligned} E\left(X^{n}\right) &=\int_{0}^{+\infty} x^{n} g\left(x ; \nu_{1}, \nu_{2}\right) d x \\ &=\int_{0}^{+\infty} x^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}} x^{\frac{\nu_{1}}{2}-1}\left(1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} x\right)^{-\frac{\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)}{2}} d x \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}} \int_{0}^{+\infty} x^{\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right)-1}\left(1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} x\right)^{-\frac{\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)}{2}} d x \end{aligned} \) 이다. 맨 끝의 적분 \( \int_{0}^{+\infty} x^{\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right)-1}\left(1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} x\right)^{-\frac{\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)}{2}} d x \)을 베타함수로 변환하기 위하여 치환 \( u=\frac{1}{1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} x} \)을 이용하면, 앞의 경우와 마찬가지로 \( x \rightarrow 0 \)이면 \( u \rightarrow 1 \) 이고, \( x \rightarrow+\infty \) 이면 \( u \rightarrow 0 \)이다. 따라서, \( \begin{aligned} E\left(X^{n}\right) &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}} \times \\ & \int_{1}^{0}\left\{\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\left(\frac{1-u}{u}\right)\right\}^{\frac{\nu_{1}}{2}+n-1} u^{\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}}\left(-\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}} \frac{1}{u^{2}}\right) d u \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{n} \int_{0}^{1} u^{\left(\frac{\nu_{2}}{2}-n\right)-1}(1-u)^{\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right)-1} d u \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{n} B\left(\left(\frac{\nu_{2}}{2}-n\right),\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right)\right) \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}-n\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)} \\ &=\frac{\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{n} \Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}+n\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}-n\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}, \quad \nu_{2}>2 n \end{aligned} \) 이다.</p> <p>따라서, 위의 정리 \( 4.16 \)에 의하여 \( F \)-분포의 평균과 분산은 다음과 같다.</p> <p>系 \(4.7\) \( X \sim F\left(\nu_{1}, \nu_{2}\right) \)일 때, 확률변수 \( X \)의 평균은 \( E(X)=\frac{\nu_{2}}{\nu_{2}-2}, \nu_{2}>2 \)이고, 분산은 \( \operatorname{Var}(X)=\frac{2 \nu_{2}^{2}\left(\nu_{1}+\nu_{2}-2\right)}{\nu_{1}\left(\nu_{2}-2\right)^{2}\left(\nu_{2}-4\right)}, \nu_{2}>4 \)이다.</p> <p>登明 정리 \( 4.16 \)에 의하여 \( F \)-분포의 평균은 \( n=1 \)일 경우이므로, \( \begin{aligned} E(X) &=\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}} \frac{\frac{\nu_{1}}{2}}{\frac{\nu_{2}-2}{2}} \\ &=\frac{\nu_{2}}{\nu_{2}-2}, \quad \nu_{2}>2 \end{aligned} \) 이고, 분산 \( \operatorname{Var}(X) \)는 \( \begin{aligned} \operatorname{Var}(X) &=E\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2} \\ &=\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{2} \frac{\left(\frac{\nu_{1}}{2}+1\right) \frac{\nu_{1}}{2}}{\left(\frac{\nu_{2}}{2}-1\right)\left(\frac{\nu_{2}}{2}-2\right)}-\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{2}-2}\right)^{2} \\ &=\frac{\nu_{2}^{2}}{\nu_{2}-2}\left[\frac{\nu_{1}+2}{\left(\nu_{2}-4\right) \nu_{1}}-\frac{1}{\nu_{2}-2}\right] \\ &=\frac{2 \nu_{2}^{2}\left(\nu_{1}+\nu_{2}-2\right)}{\nu_{1}\left(\nu_{2}-2\right)^{2}\left(\nu_{2}-4\right)}, \quad \nu_{2}>4 \end{aligned} \) 이다.</p> <p>定理 \(4.17\) 확률변수 \( X \)가 \(X \sim F\left(\nu_{1}, \nu_{2}\right)\)이면, 그의 역변환은 \( Y=\frac{1}{X} \sim F\left(\nu_{2}, \nu_{1}\right) \)이다.</p> <p>證明 \( y=\frac{1}{x} \)이라 하면, \( x=\frac{1}{y} \)이다. 또한, \( x \rightarrow 0 \)이면 \( y \rightarrow+\infty \)이고, \( x \rightarrow+\infty \)이면 \( y \rightarrow 0 \)이므로, \( 0<y<+\infty \)이다. 더욱이 일차원 함수행렬식은 \( \begin{aligned} J &=\frac{d x}{d y} \\ &=-\frac{1}{y^{2}} \end{aligned} \) 이므로 \( \begin{aligned}\|J\| &=\left\|-\frac{1}{y^{2}}\right\| \\ &=\frac{1}{y^{2}} \end{aligned} \) 이다. 따라서, 자유도 \( \nu_{1}, \nu_{2} \)를 갖는 \( F \)-분포의 확률밀도함수는 \( \begin{aligned} g\left(x ; \nu_{1}, \nu_{2}\right) &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}} x^{\frac{\nu_{1}}{2}-1}\left(1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} x\right)^{-\frac{\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)}{2}} \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}}\left(\frac{1}{y}\right)^{\frac{\nu_{1}}{2}-1}\left(1+\frac{\nu_{1}}{\nu_{2}} \frac{1}{y}\right)^{-\frac{\left(\nu_{1}+\nu_{2}\right)}{2}}\left(\frac{1}{y^{2}}\right) \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}+\nu_{2}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu_{1}}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu_{2}}{2}\right)}\left(\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}}\right)^{\frac{\nu_{2}}{2}} y^{\frac{\nu_{2}}{2}-1}\left(1+\frac{\nu_{2}}{\nu_{1}} y\right)^{-\frac{\nu_{2}+\nu_{1}}{2}} \\ &=h\left(y ; \nu_{2}, \nu_{1}\right) \end{aligned} \) 이다.</p> <p>위의 정리는 확률변수 \( X \)가 자유도 \( \nu_{1}, \nu_{2} \)를 갖는 \( F \)-분포가 주어졌을 때, 그의 역변환 \( \frac{1}{X} \)은 자유도 \( \nu_{2}, \nu_{1} \)을 갖는 \( F \)-분포에 따른다는 것을 보여준다.</p> <p>定理 \(4.11\) \( X_{i} \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(i=1,2, \cdots, n) \)을 크기 \( n \)인 확률표본이라 하면,<ol type=1 start=1><li>\( \bar{X} \)와 \( \left(X_{i}-\bar{X}\right)(i=1,2, \cdots, n) \)은 서로 독립이다.</li> <li>표본평균 \( \bar{X} \)와 표본분산 \( S^{2} \)은 서로 독립이다.</li> <li>\( \frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}} \sim \chi^{2}(n-1) \)이다.</li></ol></p> <p>證明</p> <p>\((1)\) 먼저, \( \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{\sigma^{2}} &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(x_{i}-\mu-\bar{x}+\bar{x}\right)^{2}}{\sigma^{2}} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(\left(x_{i}-\bar{x}\right)+(\bar{x}-\mu)\right)^{2}}{\sigma^{2}} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left.\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}-2\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(\bar{x}_{i}-\mu\right)+(\bar{x}-\mu)\right)}{\sigma^{2}} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{n(\bar{x}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}} \end{aligned} \) 이므로, \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)의 결합확률밀도함수는 \( \begin{aligned} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) &=\frac{1}{(2 n)^{\frac{n}{2}} \sigma^{n}} \exp \left\{-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left(x_{i}-\mu\right)^{2}}{\sigma^{2}}\right\} \\ &=\frac{1}{(2 n)^{\frac{n}{2}} \sigma^{n}} \exp \left\{-\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}+n(\bar{x}-\mu)^{2}\right)\right\} \end{aligned} \)으로 쓸 수 있다. 여기서, 변수변환\( \left\{\begin{array}{l}y_{1}=\bar{x} \\ y_{i}=x_{i}-\bar{x}, \quad i=2,3, \cdots n\end{array}\right. \)을 이용하면, \( \left\{\begin{array}{l}x_{1}=n y_{1}-\left(x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n}\right) \\ x_{2}=y_{i}+\bar{x}, \quad i=2,3, \cdots n\end{array}\right. \) 이다. 그런데, 이 식을 다시 정리하면 \( \left\{\begin{array}{l}x_{1}=n y_{1}-(n-1) y_{1}-\left(y_{2}+\cdots+y_{n}\right)=y_{1}-\left(y_{2}+\cdots+y_{n}\right) \\ x_{i}=y_{i}+y_{1}, \quad i=2,3, \cdots n\end{array}\right. \) 이다. 따라서, 함수행렬식은 \(J=n\)이고, \( \begin{aligned} x_{1}-\bar{x} &=-\sum_{i=2}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \\ &=-\sum_{i=1}^{n} y_{i} \end{aligned} \) 이며, \( \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=\left(-\sum_{i=2}^{n} y_{i}\right)+\sum_{i=2}^{n} y_{i}^{2} \)이므로, \( y_{1}=\bar{x} \)일 때, \( y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n} \)의 결합확률밀도함수는 \( \begin{aligned} g\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)=& \frac{1}{(2 n)^{\frac{n}{2}} \sigma^{n}} \\ & \times \exp \left\{-\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left[\left(-\sum_{i=2}^{n} y_{i}+\sum_{i=2}^{n} y_{i}^{2}+n\left(y_{1}-\mu\right)^{2}\right)^{2}\right]\right\} \cdot\|J\| \\=& \frac{1}{(2 n)^{\frac{n}{2}} \sigma^{n}} \\ & \times \exp \left\{-\frac{1}{2 \sigma^{2}}\left[\left(-\sum_{i=2}^{n} y_{i}+\sum_{i=2}^{n} y_{i}^{2}+n\left(y_{1}-\mu\right)^{2}\right)^{2}\right]\right\} \cdot n \end{aligned} \) 이다. 그런데, \( Y_{1}=\bar{X} \)의 주변확률밀도함수는 \( g_{1}\left(y_{1}\right)=\frac{\sqrt{n}}{\sigma \sqrt{2 n}} \exp \left\{-\frac{n\left(y_{1}-\mu\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}\right\} \)이고 또한, \( Y_{1}=y_{1} \)이 주어졌을 때 \( Y_{2}, Y_{3}, \cdots, Y_{n} \)의 조건부 확률밀도함수는 \( g_{2}\left(y_{2}, y_{3}, \cdots, y_{n}\right)=\sqrt{n}\left(\frac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}}\right)^{2} \times \exp \left\{-\frac{Q}{2 \sigma^{2}}\right\} \)이므로 \( g\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)=g_{1}\left(y_{1}\right) \cdot g_{2}\left(y_{2}, y_{3}, \cdots, y_{n}\right) \)로 표시할 수 있으므로, 두 확률변수 \( Y_{1}=\bar{X} \) 와 \( Y_{i}=X_{i}-\bar{X}(i=2,3, \cdots, n) \)은 서로 독립임을 알 수 있다.</p> <p>\((2)\) \((1)\)의 결과에 의하여 표본분산 \( S^{2} \)은 \( X_{i}-\bar{X} \)의 함수이므로 명백히 두 확률변수 \( \bar{X} \)와 \( S^{2} \)은 서로 독립이다.</p> <p>\( \left(\right. \)단, \( Q=\left(n y_{1}-y_{2}-y_{n}-y_{1}\right)^{2}+\sum_{i=2}^{n}\left(y_{i}-y_{1}\right)^{2} \)이다.)</p> <p>\((3)\) 위의 \((1)\)번을 다시 이용하여, \( \begin{aligned} V_{1} &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(X_{i}-\mu\right)^{2}}{\sigma^{2}} \\ &=\sum_{i=1}^{n} \frac{\left(\left(X_{i}-\bar{X}\right)+(\bar{X}-\mu)\right)^{2}}{\sigma^{2}} \\ &=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}+\frac{n(\bar{X}-\mu)^{2}}{\sigma^{2}} \\ &=V_{2}+V_{3} \end{aligned} \) 라 하자. 그런데 확률변수 \( V_{1} \sim \chi^{2}(n) \)이고 확률변수 \( V_{3} \sim \chi^{2}(1) \)이다. 더욱이, \( V_{2} \)와 \( V_{3} \)는 서로 독립이므로, 두 확률변수의 적률모함수 사이에는 \( \begin{aligned} M_{V_{1}}(t) &=E\left(e^{t\left(V_{2}+V_{3}\right)}\right) \\ &=E\left(e^{t V_{2}}\right) E\left(e^{t V_{3}}\right) \\ &=M_{V_{2}}(t) \cdot M_{V_{3}}(t) \end{aligned} \) 인 관계식이 성립한다. 위의 적률모함수를 확률변수 \( V_{2} \)에 관하여 정리하면, \( \begin{aligned} M_{V_{2}}(t) &=\frac{M_{V_{1}}(t)}{M_{V_{3}}(t)} \\ &=\frac{(1-2 t)^{-\frac{n}{2}}}{(1-2 t)^{-\frac{1}{2}}} \\ &=(1-2 t)^{-\frac{n-1}{2}} \end{aligned} \) 이다. 따라서, 확률변수 \( V_{2} \)는 자유도 \( n-1 \)을 갖는 \( \chi^{2} \)-분포에 따른다.</p> <p>다음에 소개할 정리는 이항분포를 정규분포로 근사시킨 공식이다. 이 공식은 \(1812 \)년경에 De Moivre와 Laplace에 의하여 발견되었다고 하여 De Moivre-Laplace의 중심극한정리로 알려지고 있다. 이 정리의 증명은 상당히 어렵고 까다로우므로 증명없이 소개한다.</p> <p>系 \(4.2 \) (De Moivre-Laplace 중심극한정리) \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)을 모수(성공확률) \( p \)를 갖는 이항모집단으로 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하고 \( S_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)라 하자. 이때 임의의 두 상수 \( a, b(a<b) \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow + \infty } P \left \{ a< \frac { S_ { n } -n p } {\sqrt { n p(1-p) } }<b \right \} = \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } } d z \)</p> <p>위의 식에서 \( E \left (S_ { n } \right )=n p \)이고, \( \sigma_ { X } = \sqrt {\operatorname { Var } \left (S_ { n } \right ) } = \sqrt { n p(1-p) } \)이다. 또한, 이 근사식은 보통 \( n p(1-p) \geqslant 10 \)을 만족할 때 이용한다. 이제, 대수의 법칙에 대하여 알아보자. 다음 문제를 베르누이 대수의 강법칙(Bernoulli strong law of large numbers)이라 한다. 이 문제는 적률모함수를 이용하여 표본비율 \( \hat { p } _ { n } \)의 극한분포를 유도 한 것이다. 이 문제를 확률수렴과 관련지어 설명하면 다음과 같다.</p> <p>問题 \(5 \) 베르누이 분포에 따르는 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_ { i } \sim \operatorname { BIN } (1, p) \)에서 제 \( n \)항까지의 합을 \( X_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)라 하고 \( \hat { p } _ { n } = \frac { X_ { n } } { n } \)이라 하자. 표본의 수 \( n \)이 충분히 클 때 표본 비율 \( \hat { p } _ { n } \)은 무엇으로 확률수렴하는가?</p> <p>표본분포에서 자주 나타나는 분포는 \( \chi ^ { 2 } \)-분포, \( t \)-분포, \( F \)-분포 등이다. 먼저, 주어진 확률표본이 어떤 특정분포에 따를 때, 이 확률표본의 일차결합(linear combination)의 결과는 또한 어떤 분포에 따르는지를 살펴 보자. 먼저 정규분포에 따르는 확률표본의 일차결합의 분포를 생각해 보자.</p> <p>定理 \(4.6 \) 정규모집단으로부터 \( n \)개의 확률표본 즉, \( X_ { i } \sim N \left ( \mu_ { i } , \sigma_ { i } ^ { 2 } \right )(i=1,2,3 \), \( \cdots, n) \)을 추출하여 각 확률표본들의 일차결합을 \( Y= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { i } , \left (a_ { i } \in \mathbb { R } \right ) \)라 하면, 확률변수 \( Y \)의 확률분포는 \( Y= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { i } \sim N \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mu_ { i } , \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } ^ { 2 } \sigma_ { i } ^ { 2 } \right ) \)이다.</p> <p>證明 \( Y \)의 적률모함수를 이용하여 증명하면,</p> <p>\( \begin {aligned} M_ { Y } (t) &=E \left (e ^ { t Y } \right ) \\ &=E \left (e ^ { t \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { i } \right ) } \right ) \\ &=E \left (e ^ { t \left (a_ { 1 } X_ { 1 } + a_ { 2 } X_ { 2 } + \cdots + a_ { n } X_ { n } \right ) } \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } E \left (e ^ {\left (t a_ { i } \right ) X_ { i } } \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } M_ { X_ { i } } \left (a_ { i } t \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } \exp \left \{\mu_ { i } a_ { i } t + \frac {\sigma_ { i } ^ { 2 } a_ { i } ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } \right \} \\ &= \exp \left \{ t \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mu_ { i } \right ) + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } ^ { 2 } \sigma_ { i } ^ { 2 } \right ) \right \} \end {aligned} \)이다. 그런데, 이 적률모함수는 평균이 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mu_ { i } \)이고 분산이 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } ^ { 2 } \sigma_ { i } ^ { 2 } \)인 정규분포의 적률모함수이다. 따라서, \( Y= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X_ { i } \sim N \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \mu_ { i } , \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } ^ { 2 } \sigma_ { i } ^ { 2 } \right ) \)임을 알 수 있다.</p> <p>證明 생략.</p> <p>系 \(4.9 \) \( X_ { (1) } \leqslant X_ { (2) } \leqslant \cdots \leqslant X_ { (n) } \)을 분포함수 \( F(x) \)를 갖는 모집단분포에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본의 순서통계량이라 하고, \( F(x) \)를 \( X \)의 분포함수라 하고 \( F ^ {\prime } (x)=f(x) \)이라 하자. 이때, 순서통계량 \( X_ { (1) } \)과 \( X_ { (1) } \)의 주변확률밀도함수는 각각 다음과 같다.</p> <p>\( f_ { X_ { (1) } } (x)=n[1-F(x)] ^ { n-1 } f(x), f_ { X_ { (n) } } (x)=n[F(x)] ^ { n-1 } f(x) \)</p> <p>問題 \(1 \) \(X_ { 1 }<X_ { 2 }<X_ { 3 } \)는 다음과 같은 분포로부터의 크기 \(3 \)인 확률표본이다.</p> <p>\( f(x)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & 0<x<1 \\ 0, & \text { 그 외의 경우 } \end {array} \right . \)</p> <p>표본범위 \( Z_ { 1 } =X_ { 3 } -X_ { 1 } \)의 확률밀도함수를 구하여라.</p> <p>解答 \( X \)의 분포함수는 \( F(x)=x(0<x<1) \)이고 \( X_ { 1 } \)과 \( X_ { 3 } \)의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right )= \left \{\begin {array} { ll } 6 \left (x_ { 3 } -x_ { 1 } \right ), & 0<x_ { 1 }<x_ { 3 }<1 \\ 0, & \text { 그 외의 경우. } \end {array} \right . \)</p> <p>여기서 \( Z_ { 1 } \)과 \( Z_ { 2 } \)를 각각 \( Z_ { 1 } =X_ { 3 } -X_ { 1 } , Z_ { 2 } =X_ { 3 } \)라 하면 여기에 대응하는 관찰값은 각각 \( z_ { 1 } =x_ { 3 } -x_ { 1 } , z_ { 2 } =x_ { 3 } \)이고 역함수 \( x_ { 1 } =z_ { 2 } -z_ { 1 } , x_ { 3 } =z_ { 2 } \)와 일대일대응이다. 또한, 함수행렬식은 \( J=J \left ( \frac { x_ { 1 } , x_ { 3 } } { z_ { 1 } , z_ { 2 } } \right )= \left \| \begin {array} { ll } \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial z_ { 1 } } & \frac {\partial x_ { 1 } } {\partial z_ { 2 } } \\ \frac {\partial x_ { 3 } } {\partial z_ { 1 } } & \frac {\partial x_ { 3 } } {\partial z_ { 2 } } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ll } -1 & 1 \\ 0 & 1 \end {array} \right \|=-1 \)이다. 따라서, \( Z_ { 1 } , Z_ { 2 } \)의 결함확률밀도함수는 \( f \left (z_ { 1 } , z_ { 2 } \right )= \left \{\begin {array} { ll } 6 z_ { 1 } \|J\|=6 z_ { 1 } \|-1\|=6 z_ { 1 } , & 0<z_ { 1 }<z_ { 2 }<1 \\ 0, & \text { 그 외의 경우. } \end {array} \right . \)이고 크기 \(3 \)인 확률표본의 범위 \( Z_ { 1 } =X_ { 3 } -X_ { 1 } \)의 확률밀도함수는 \( f \left (z_ { 1 } \right )= \left \{\begin {array} { ll } \int_ { z_ { 1 } } ^ { 1 } 6 z_ { 1 } d z_ { 2 } =6 z_ { 1 } \left (1-z_ { 1 } \right ), & 0<z_ { 1 }<1 \\ 0, & \text { 그 외의 경우. } \end {array} \right . \)이다.</p> <p>정리 4.10의 결과로서 다음의 계를 얻을 수가 있다.</p> <p>系 4.5</p> <p>\( X_ { i } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right )(i=1,2, \cdots, n) \)인 크기 \( n \)인 확률표본이라 하면, \( \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac {\left (X_ { i } - \mu \right ) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n) \) 이다.</p> <p>證明</p> <p>주어진 확률변수는 \( X_ { i } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \)이므로 표준정규화 하면, \( Z_ { i } = \frac { X_ { i } - \mu } {\sigma } \sim N(0,1), \quad i=1,2, \cdots, n \) 이다. 또한, 정리 \( 4.10 \)에 의하여, \( Z_ { i } ^ { 2 } = \left ( \frac { X_ { i } - \mu } {\sigma } \right ) ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1), \quad i=1,2, \cdots, n \) 이므로 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } Z_ { i } ^ { 2 } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \frac { X_ { i } - \mu } {\sigma } \right ) ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (n) \) 임을 알 수 있다.</p> <p>系 4.6 \( X_ { i } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right )(i=1,2, \cdots, n) \)인 크기 \( n \)인 확률표본이라 하고, 이 확률표본의 표본평균을 \( \bar { X } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)라 하면, \( \frac { n( \bar { X } - \mu) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (1) \)이다.</p> <p>證明 \( X_ { i } \sim N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \)임을 알고, 표본평균을 만들면 \( \bar { X } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)이다. 그런데, 계 4.3에 의하면 \( \bar { X } \sim N \left ( \mu, \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } \right ) \)이므로 이것을 표준정규화하면, \( \frac {\bar { X } - \mu } {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } \sim N(0,1) \)이다. 또한 정리 4.10에 의하여, \( \left ( \frac {\bar { X } - \mu } {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } \right ) ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1) \)이다. 즉, \( \frac { n( \bar { X } - \mu) ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (1) \)이다.</p> <p>\( \begin {aligned} M_ { Z_ { n } } (t) &=E \left (e ^ { t Z_ { n } } \right ) \\ &=E \left [ \exp \left (t \left ( \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \mu \right ) } {\sqrt { n } \sigma } \right ) \right ) \right ] \\ &=M_ {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \mu \right ) } \left ( \frac { t } {\sqrt { n } \sigma } \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } M_ { X_ { i } - \mu } \left ( \frac { t } {\sqrt { n } \sigma } \right ) \\ &= \left [M_ { X- \mu } \left ( \frac { t } {\sqrt { n } \sigma } \right ) \right ] ^ { n } \\ &= \left [m \left ( \frac { t } {\sqrt { n } \sigma } \right ) \right ] ^ { n } \\ &= \left [1 + \frac {\sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 n \sigma ^ { 2 } } + \frac {\left (m ^ {\prime \prime } ( \theta)- \sigma ^ { 2 } \right ) t ^ { 2 } } { 2 n \sigma ^ { 2 } } \right ] ^ { n } , \quad 0<\| \theta\|< \frac { \|t\| } {\sqrt { n } \sigma } \end {aligned} \)</p> <p>이다. 그런데, \( 0<\| \theta\|< \frac { \|t\| } {\sqrt { n } \sigma } \)에서 \( n \rightarrow \infty \)이면 항 \( \frac { \|t\| } {\sqrt { n } \sigma } \rightarrow 0 \)이므로 \( \theta \rightarrow 0 \)이다. 따라서, \( m ^ {\prime \prime } ( \theta) \rightarrow \sigma ^ { 2 } \) 이고 결국 \( m ^ {\prime \prime } ( \theta)- \sigma ^ { 2 } \rightarrow 0 \)이다. 그러므로 위의 식은 \( M_ { Z_ { n } } (t)= \left [1 + \frac { t ^ { 2 } } { 2 n } + \frac {\epsilon_ { n } } { n } \right ] ^ { n } , \quad \left ( \right . \) 단, \( n \rightarrow \infty \)이면 \( \left . \epsilon_ { n } \rightarrow 0 \right ) \)와 같이 표현 할 수 있다. 이 식의 양변에 극한을 취하면, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } M_ { Z_ { n } } (t)=e ^ {\frac { t ^ { 2 } } { 2 } } \)이다. 따라서, \( Z_ { n } \stackrel { d } {\rightarrow } Z \sim N(0,1) \)이다.</p> <p>스네데커의 \( F \)-분포에 대하여 알아 보자. \( F \)-분포는 독립인 \( \chi ^ { 2 } \)분포를 적당히 조작하여 얻어진다.</p> <p>定理 \(4.15 \) \( V_ { 1 } \sim \chi ^ { 2 } \left ( \nu_ { 1 } \right ) \)과 \( V_ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } \left ( \nu_ { 2 } \right ) \)가 서로 독립이면, 통계량 \( X= \frac { V_ { 1 } / \nu_ { 1 } } { V_ { 2 } / \nu_ { 2 } } \)의 확률밀도함수는 \( g \left (x ; \nu_ { 1 } , \nu_ { 2 } \right )= \frac {\Gamma \left ( \frac {\nu_ { 1 } + \nu_ { 2 } } { 2 } \right ) } {\Gamma \left ( \frac {\nu_ { 1 } } { 2 } \right ) \Gamma \left ( \frac {\nu_ { 2 } } { 2 } \right ) } \left ( \frac {\nu_ { 1 } } {\nu_ { 2 } } \right ) ^ {\frac {\nu_ { 1 } } { 2 } } x ^ {\frac {\nu_ { 1 } } { 2 } -1 } \left (1 + \frac {\nu_ { 1 } } {\nu_ { 2 } } x \right ) ^ { - \frac {\left ( \nu_ { 1 } + \nu_ { 2 } \right ) } { 2 } } , 0<x< + \infty, 0< \nu_ { 1 } , \nu_ { 2 }< + \infty \)와 같이 정의되는데, 이 확률밀도함수를 갖는 확률변수 \( F \)의 분포를 자유도 \( \nu_ { 1 } \)과 \( \nu_ { 2 } \)를 갖는 Snedecor의 \( \boldsymbol { F } \)-분포라 한다. 확률변수 \( F \)의 확률분포가 자유도 \( \nu_ { 1 } \)과 \( \nu_ { 2 } \)를 갖는 Snedecor의 \( F \)-분포에 따를 때, 기호로 \( X \sim F \left ( \nu_ { 1 } , \nu_ { 2 } \right ) \)로 쓰기로 한다.</p> <p>다음은 \( t \)-분포에 대하여 알아보자. \( t \)-분포와 관련된 재미있는 이야기가 하나 있다. 원래 이 \( t \)-분포를 발견한 사람은 양조회사에서 주류를 연구하는 연구원 W.S. Gosset이라고 알려져 있다. \( t \)-분포를 발견한 그는 논문을 발표하려고 하였으나, 그 당시에는 회사 규정상 논문을 발표할 수 없게 되어 있어서 고심한 끝에 그는 학생(student)이라는 가명으로 몰래 투고하여, 결국에는 이 논문을 발표하였다고 한다. 그래서, \( t \)-분포를 종종 스튜던트의 \( t \)-분포라고도 한다.</p> <p>\( t \)-분포는 다음과 같이 유도할 수가 있다.</p> <p>定理 \(4.12\) \( Z \sim N(0,1) \)이라 하고 \( V \sim \chi^{2}(\nu) \)라 하자. 이때, 두 확률변수 \( Z \)와 \( V \)가 독립이고, 두 확률변수 사이에 \( T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}} \)인 관계가 성립하면, \( T \)의 확률밀도함수는 \( f(t ; \nu)=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}}, \quad-\infty<t<\infty \)0\|다. 이 확률밀도함수를 자유도 \( \nu \)를 갖는 Student의 \( t \)-분포라 부른다. 확률변수 \( T \)가 자유도 \( \nu \)를 갖는 Student의 \( t \)-분포에 따를 때 기호로 \( T \sim t(\nu) \)라 쓰기로 한다.</p> <p>證明</p> <p>두 확률변수 \( Z \)와 \( V \)의 결합확률밀도함수는 \( f_{Z, V}(z, v)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{z^{2}}{2}} \cdot \frac{1}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)2^{\frac{\nu}{2}}} v^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-\frac{v}{2}}, \quad-\infty<z<+\infty, 0<v<+\infty \)이다. 이때 변수변환 \( t=\frac{z}{\sqrt{\frac{v}{\nu}}}, w=v \)을 이용하면, 역변환은 \( z=t \sqrt{\frac{w}{\nu}}, v=w \)이다. 이 경우, 함수행렬식 \( J \)는 \( J=\sqrt{\frac{w}{\nu}} \)이다. 따라서, 확률변수 \( T \)와 \( W \)의 결합확률밀도함수는 \( f_{T, W}(t, w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{w t^{2}}{2 \nu}} \cdot \frac{1}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) 2^{\frac{\nu}{2}}} w^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-\frac{w}{2}} \cdot\|J\| \) 이다. 따라서 함수행렬식을 대입하면, \( f_{T, W}(t, w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{w t^{2}}{2v}} \cdot \frac{1}{\Gamma\left(\frac{v}{2}\right) 2^{\frac{v}{2}}} w^{\frac{v}{2}-1} e^{-\frac{w}{2}} \sqrt{\frac{w}{\nu}}, \quad-\infty<t<+\infty, 0<w<+\infty \) 이 얻어진다. 이 결합확률밀도함수를 \( w \)에 관하여 적분하면, \( t \)에 관한 주변확률밀도 함수가 얻어 지는데, 이것이 우리가 얻고자 하는 \( t \)-분포이다. 따라서, \( \begin{aligned} f(t ; \nu) &=\int_{0}^{+\infty} f_{T, W}(t, w) d w \\ &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \nu}} \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \int_{0}^{+\infty} w^{\frac{\nu}{2}-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2}\left\{w\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)\right\}} d w \end{aligned} \) 이다. 여기서, \( x=\frac{1}{2} w\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right) \)이라 하면, \( \begin{aligned} f(t ; \nu) &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \nu}} \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \int_{0}^{+\infty} \frac{(2 x)^{\frac{\nu-1}{2}}}{\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{\frac{\nu-1}{2}}} e^{-x} \frac{2}{\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)} d x \\ &=\frac{\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}}{\sqrt{\pi \nu} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \int_{0}^{+\infty} x^{\frac{\nu+1}{2}-1} e^{-x} d x \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right) \sqrt{\pi \nu}}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{\nu+1}{2}}, \quad-\infty<t<+\infty \end{aligned} \)이다.</p> <p>問题 \(3\) 베르누이 분포에 따르는 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_{i} \sim \operatorname{BIN}(1, p) \)에서 제 \( n \)항까 지의 합을 \( S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \)라 하자. 다음 표준화된 확률변수열의 극한분포를 구하여라.</p> <p>\( Z_{n}=\frac{S_{n}-E\left(S_{n}\right)}{\sqrt{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}} \)</p> <p>解答 먼저 \( S_{n} \)의 평균을 구하면 \( \begin{aligned} E\left(S_{n}\right) &=\sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}\right) \\ &=n p \end{aligned} \) 이고 분산 \( \operatorname{Var}\left(S_{n}\right) \)은 \( \begin{aligned} \sigma_{n}^{2} &=\operatorname{Var}\left(S_{n}\right) \\ &=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(X_{i}\right) \\ &=n p q, \quad q=1-p \end{aligned} \) 이므로, 다음과 같은 \( S_{n} \)에 대한 표준화된 확률변수열 \( \begin{aligned} Z_{n} &=\frac{S_{n}-n p}{\sqrt{n p q}} \\ &=\frac{S_{n}}{\sigma_{n}}-\frac{n p}{\sigma_{n}} \end{aligned} \) 를 얻는다.</p> <p>이 확률변수의 극한분포를 구하기 위하여 \( Z_{n} \)의 적률모함수를 먼저 구하면, \( \begin{aligned} M_{Z_{n}}(t) &=E\left(e^{Z_{n} t}\right) \\ &=E\left(e^{\left(\frac{S_{n}}{\sigma_{n}}-\frac{n p}{\sigma_{n}}\right) t}\right) \\ &=e^{-\frac{n p t}{\sigma_{n}}} E\left(e^{\left(\frac{S_{n}}{\sigma_{n}}\right) t}\right) \\ &=\left[\left(1-\frac{t p}{\sigma_{n}}+\frac{t^{2} p^{2}}{2 \sigma_{n}^{2}}+\cdots\right)\right]^{n}\left[\left(1+\frac{t p}{\sigma_{n}}+\frac{t^{2} p}{2 \sigma_{n}^{2}}+\cdots\right)\right]^{n} \\ &=\left[1+\frac{p t^{2}}{2 \sigma_{n}^{2}}-\frac{p^{2} t^{3}}{2 \sigma_{n}^{3}}+\frac{p^{3} t^{3}}{2 \sigma_{n}^{3}}+\cdots\right]^{n} \\ &=\left[1+\frac{(1-p) t^{2}}{2 n q}+\frac{\epsilon_{n}}{n}\right]^{n} \\ &=\left[1+\frac{t^{2}}{2 n}+\frac{\epsilon_{n}}{n}\right]^{n} \end{aligned} \) 이다. 여기서 \( n \rightarrow \infty \)이면 \( \epsilon_{n} \rightarrow 0 \)이므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} M_{Z_{n}}(t)=e^{\frac{t^{2}}{2}} \)이다. 그런데 함수 \( e^{\frac{t^{2}}{2}} \)는 평균이 \(0\)이고 표준편차가 \(1\)인 표준정규분포의 적률모함수 이므로 결국 표준화된 확률변수열 \( Z_{n} \)의 극한분포는 표준정규분포라는 것을 알 수 있다. 즉, \( Z_{n} \stackrel{d}{\rightarrow} Z \sim N(0,1) \)이다.</p> <p>다른 예를 들어 보자.</p> <p>問題 \(4\) \(n \)개의 확률변수 \( Z_{i}(i=1,2,3, \cdots, n) \)은 자유도 \(1)을 갖는 독립인 \( \chi^{2} \)-분포에 따른다. 즉, \( Z_{i} \sim \chi^{2}(1) \)이다. 이 경우, \( S_{n}=\sum_{i=1}^{n} Z_{i} \)라 했을 때, \( S_{n} \)의 표준화된 확률변수열 \( Z_{n}=\frac{S_{n}-E\left(S_{n}\right)}{\sqrt{\operatorname{Var}\left(S_{n}\right)}} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>解答 먼저 \( S_{n} \)의 평균은 \( E\left(S_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} E\left(Z_{i}\right)=n \)이고 분산은 \( \operatorname{Var}\left(S_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \operatorname{Var}\left(Z_{i}\right)=2 n \)이다. 또한, \( S_{n} \)의 적률모함수는 \( \begin{aligned} M_{Z_{n}}(t) &=E\left[\exp \left\{t\left(\frac{S_{n}-n}{\sqrt{2 n}}\right)\right\}\right] \\ &=\exp \left\{-\frac{t n}{\sqrt{2 n}}\right\} E\left\{\exp \left\{\frac{t Z_{n}}{\sqrt{2 n}}\right\}\right\} \\ &=\exp \left\{-\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\left(\frac{n}{2}\right)\right)\right\}\left(1-2 \frac{t}{\sqrt{2 n}}\right)^{-\frac{n}{2}} \\ &=\left(e^{t \sqrt{2 / n}}-t \sqrt{\frac{2}{n}} e^{t \sqrt{2 / n}}\right)^{-\frac{n}{2}}, \quad\left(t<\frac{\sqrt{2 n}}{2}\right) \end{aligned} \) 이다.</p> <p>위의 식에서 지수함수 \( e^{t} \sqrt{2 / n} \)를 제 \(4\)항까지 테일러 전개식으로 나타내면, \( e^{t \sqrt{2 / n}}=1+t \sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{1}{2 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{2}+\frac{e^{\theta_{n}}}{3 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{3}, \quad\left(0<\theta_{n}<t \sqrt{\frac{2}{n}}\right) \)이므로 \( M_{Z_{n}}(t)=\left[\left(1+t \sqrt{\frac{2}{n}}+\frac{1}{2 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{2}+\frac{e^{\theta_{n}}}{3 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{3}\right)\right. -t \sqrt{\frac{2}{n}}\left(1+t \sqrt{+}\left(\frac{1}{2 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{2}+\frac{e^{\theta_{n}}}{3 !}\left(t \sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{3}\right)\right]^{-n / 2},\left(0<\theta_{n}<t \sqrt{\frac{2}{n}}\right) \)이다. 이 식을 간단히 정리하면, \( M_{Z_{n}}(t)=\left(1-\frac{t^{2}}{n}+\frac{\epsilon_{n}}{n}\right)^{-n / 2} \)이다. 이때 \( n \rightarrow \infty \)이면 식 \( 0<\theta_{n}<t \sqrt{\frac{2}{n}} \)에서 \( t \sqrt{\frac{2}{n}} \rightarrow 0 \)이므로 \( \theta_{n} \rightarrow 0 \)이다. 또한, \( \epsilon_{n} \rightarrow 0 \)이다. 그러므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} M_{Z_{n}}(t)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{t^{2}}{n}+\frac{\epsilon_{n}}{n}\right)^{-\frac{n}{2}} =e^{\frac{t^{2}}{2}} \)이다. 이로부터 \( Z_{n} \)의 극한분포는 표준정규분포 즉, \( Z_{n} \stackrel{d}{\rightarrow} Z \sim N(0,1) \)이다.</p> <p>(여기서, \( \epsilon_{n}=\frac{\sqrt{2} t^{3} e^{\theta_{n}}}{3 \sqrt{n}}-\frac{\sqrt{2} t^{3}}{\sqrt{n}}-\frac{2 t^{4} e^{\theta_{n}}}{3 n} \)이다.)</p> <p>\( t \)-분포는 변수 \( t \)의 우함수(even function)이므로 원점에 관하여 대칭이다. 또한 \( t \)-분포는 자유도 \( \nu \)가 커질수록 표준정규분포 곡선으로 접근한다는 사실이 알려져 있다.</p> <p>이제 \( t \)-분포의 평균과 분산 그리고 적률를 구해 보자.</p> <p>定理 \(4.13\) \( T \sim t(\nu) \)이면, \( \nu>2 n \)일때,<ol type=1 start=1><li>원점 주위의 \( T \)의 홀수차 적률은 영(zero)이다. 즉, \( E\left(T^{2 n-1}\right)=0, \quad n=1,2,3, \cdots \)이다.</li> <li>원점 주위의 \( T \)의 짝수차 적률은 \( E\left(T^{2 n}\right)=\frac{\nu^{n} \Gamma\left(\frac{2 n+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu-2 n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}, \quad n=1,2,3, \cdots \)이다.</li> <li>\( T \)의 평균 \( E(T)=0 \)이고, 분산은 \( \operatorname{Var}(T)=\frac{\nu}{\nu-2}, \nu>2 \)이다.</li></ol></p> <p>證明 \((1)\)과 \((2)\)를 증명하기 위하여 \( r \)이 음아닌 정수일 때, \( T \)의 원점주위의 제 \( r \)차 적률은 다음과 같다.</p> <p>\( E\left(T^{r}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t \)</p> <p>여기서, 먼저 \( r \)이 홀수라 하자. 즉, \( r=2 n-1, n=1,2, \cdots \)이면, \( \begin{aligned} E\left(T^{2 n-1}\right)=& \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}} t^{2 n-1}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t \\=& \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left[\int_{-\infty}^{0} t^{2 n-1}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right.\\ &\left.\quad+\int_{0}^{+\infty} t^{2 n-1}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right] \end{aligned} \) 이다. 위의 식의 첫 번째 적분에서 변수 \( t^{}=-t \)로 치환하면, \( t \rightarrow-\infty \)이면 \( t^{} \rightarrow +\infty \) 이고, \( t \rightarrow 0 \) 이면 \( t^{} \rightarrow 0 \)이다. 또한, \( d t=-d t^{} \)이므로 \( \begin{aligned} E\left(T^{2 n-1}\right)=& \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left[\int_{+\infty}^{0}\left(-t^{}\right)^{2 n-1}\left(1+\frac{\left(-t^{}\right)^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}}\left(-d t^{}\right)\right.\\ &\left.\quad+\int_{0}^{+\infty} t^{2 n-1}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right] \\=& \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left[-\int_{0}^{+\infty}\left(t^{}\right)^{2 n-1}\left(1+\frac{\left(t^{}\right)^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t^{}\right.\\ \quad &\left.\quad+\int_{0}^{+\infty} t^{2 n-1}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right] \\=& \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}} \times 0 \\=& 0 \end{aligned} \) 이다. 다음에 \( r \)이 짝수인 경우이다. 즉, \( r=2 n, n=1,2, \cdots \)이면, 위와 비슷한 방식으로 증명하여, \( \begin{aligned} E\left(T^{2 n}\right) &=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}} t^{2 n}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left[\int_{-\infty}^{0} t^{2 n}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right.\\ &\left.\quad+\int_{0}^{+\infty} t^{2 n}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right] \\ &=\frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left(2 \int_{0}^{+\infty} t^{2 n}\left(1+\frac{t^{2}}{\nu}\right)^{-\frac{(\nu+1)}{2}} d t\right) \end{aligned} \) 이다. 위의 적분을 베타함수로 표현하기 위하여, 변수 \( x=\frac{1}{1+\frac{t^{2}}{\nu}} \)로 치환하면, \( t \rightarrow 0 \)이면 \( x \rightarrow 1 \)이고, \( t \rightarrow+\infty \)이면 \( x \rightarrow 0 \)이다. 또한, \( d t=-\frac{\nu}{\sqrt{\nu} 2 x^{2}} \sqrt{\frac{x}{1-x}} d x \)이므로 \( \begin{aligned} E\left(T^{2 n}\right) &=2 \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi \nu}}\left[\int_{1}^{0}\left(\sqrt{\nu\left(\frac{1-x}{x}\right)}\right)^{2 n} x^{\frac{(\nu+1)}{2}}\left(-\frac{\nu}{\sqrt{\nu} 2 x^{2}} \sqrt{\frac{x}{1-x}}\right) d x\right] \\ &=\nu^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\int_{0}^{1} x^{\left(\frac{\nu}{2}-n\right)-1}(1-x)^{\left(n+\frac{1}{2}\right)-1} d x\right) \\ &=\nu^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi}} B\left(\frac{\nu}{2}-n, n+\frac{1}{2}\right) \\ &=\nu^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \frac{1}{\sqrt{\pi}} \frac{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}-n\right) \Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)} \\ &=\nu^{n} \frac{\Gamma\left(\frac{2 n+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu-2 n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}, \quad \nu>2 n \end{aligned} \) 임을 알 수 있다.</p> <p>\((3)\) \((1)\)의 결과로부터 \( E(T)=0 \)이고, 또한 분산의 정의에 의하여 \( \begin{aligned} \operatorname{Var}(T) &=E\left(T^{2}\right)-[E(T)]^{2} \\ &=\nu \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right) \Gamma\left(\frac{\nu-2}{2}\right)}{\sqrt{\pi} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)} \\ &=\nu \frac{\frac{\sqrt{\pi}}{2} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}-1\right)}{\sqrt{\pi}\left(\frac{\nu}{2}-1\right) \Gamma\left(\frac{\nu}{2}-1\right)} \\ &=\frac{\nu}{\nu-2}, \quad \nu>2 \end{aligned} \)이다.</p> <p>다음은 표준정규분포에 따르는 확률변수와 \( \chi ^ { 2 } \)-분포에 따르는 확률변수사이의 관계식이다.</p> <p>定理 4.10 \( Z \sim N(0,1) \)이면, \( Z ^ { 2 } \sim \chi ^ { 2 } (1) \) 이다.</p> <p>證明</p> <p>\( Z ^ { 2 } \)의 적률모함수는\[ \begin {aligned} M_ { Z ^ { 2 } } (t) & = E \left (e ^ { t Z ^ { 2 } } \right ) \\ &= \int_ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { t z ^ { 2 } } \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } } d z \\ &= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ { + \infty } \exp \left \{ - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } + t z ^ { 2 } \right \} d z \\ &= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ { + \infty } \exp \left \{ - \frac { z ^ { 2 } } { 2 } (1-2 t) \right \} d z \end {aligned} \] 이다. 여기서, 변수변환 \( u= \frac { z \sqrt { 1-2 t } } {\sqrt { 2 } } \)을 이용하면, \( z= \frac {\sqrt { 2 } u } {\sqrt { 1-2 t } } \)이고 \( d z= \frac {\sqrt { 2 } } {\sqrt { 1-2 t } } du \)이므로, \[ \begin {aligned} M_ { Z ^ { 2 } } (t) &= \frac { 1 } {\sqrt { 2 \pi } } \int_ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { -u ^ { 2 } } \frac {\sqrt { 2 } } {\sqrt { 1-2 t } } d u \\ &= \frac { 1 } {\sqrt {\pi(1-2 t) } } \int_ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { -u ^ { 2 } } d u \\ &= \frac { 1 } {\sqrt {\pi(1-2 t) } } \sqrt {\pi } \\ &=(1-2 t) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \end {aligned} \] 이다. 따라서, \( Z ^ { 2 } \)은 자유도 \(1 \)을 갖는 \( \chi ^ { 2 } \)-분포에 따른다는 것을 알 수 있다.</p> <p>\( t \)-분포에서 한가지 특이할 만한 사실은, 정규모집단으로부터 \( n \)개의 확률표본을 추출할 때, 이 추출된 확률표본을 적 절하게 표준화하면 바로 \( t \)-분포가 된다는 점이다. 이 사실을 다음 정리로서 소개한다.</p> <p>定理 \(4.14 \) \( X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)을 정규모집단 \( N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하자. 이때, 통계량 \( T = \frac {\bar { X } - \mu } {\frac { S } {\sqrt { n } } } \)는 자유도 \( n-1 \)을 갖는 \( t \)-분포에 따른다. 즉, \( T= \frac {\bar { X } - \mu } {\frac { S } {\sqrt { n } } } \sim t(n-1) \)이 성립한다.</p> <p>證明 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)의 표본평균을 \( \bar { X } \)라 하면, 계 \( 4.3 \)에 의하여, \( \bar { X } \sim N \left ( \mu, \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } \right ) \)이다. 이 확률변수를 다시 표준정규화 하면, \( Z= \frac {\bar { X } - \mu } {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } \sim N(0,1) \)이다. 또한, 정리 \(4.11 \)의 \((3) \)에 의하여, \( V= \frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n-1) \)이다. 그러므로, \( \begin {aligned} T &= \frac { Z } {\sqrt {\frac { V } { n-1 } } } \\ &= \frac {\frac {\bar { X } - \mu } {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } } {\sqrt {\frac { (n-1) S ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } } } \\ &= \frac {\bar { X } - \mu } {\frac { S } {\sqrt { n } } } \sim t(n-1) \end {aligned} \) 임을 알 수 있다.</p> <p>이제 다음 정리를 소개 한다. 이 정리의 증명은 생략하고 기술한다.</p> <p>定理 \(4.3\) 확률변수열 \( \left\{X_{n}\right\} \)의 분포함수열과 적률모함수열을 각각 \( \left\{F_{n}(x)\right\} \), \( \left\{M_{n}(t)\right\} \)이라 하고, \( M(t) \)를 분포함수 \( F(x) \)의 적률모함수라 하자. 이 경우, 모든 \( \|t\|<h(h>0) \)에 대하여 \( \lim _{n \rightarrow \infty} M_{n}(t)=M(t) \)이면, 모든 \( F(x) \)의 연속인 점 \( x \)에 대하여 \( \lim _{n \rightarrow \infty} F_{n}(x)=F(x) \)이다.</p> <p>위의 정리를 쉽게 설명하면, 확률변수 \( X_{n} \)에 대응하는 적률모함수열 \( \left\{M_{n}(t)\right\} \)의 극한 \( M(t) \)가 존재하면, 이에 대응하는 분포함수열 \( F_{n}(x) \)의 극한분포도 역시 \( F(x) \)로 존재한다. 이때, \( F(x) \)는 적률모함수 \( M(t) \)의 분포함수이고, \( F(x) \) 역시 확률변수 \( X \)의 분포함수가 된다는 것이다. 결국 이 정리에서 알 수 있는 사실은 임의의 분포함수열이 분포함수로 수렴하는 것을 증명하려면, 임의의 적률모함수열이 적률모함수로 수렴하는 것을 증명하면 된다는 것이다.</p> <p>이제 몇가지 예를 들어보자.</p> <p>問题 \(1\) 베르누이 분포에 따르는 크기 \( n \)인 확률표본이 \( X_{i} \sim \operatorname{BIN}(1, p) \)이라 하고 제 \( n \)항까지의 합을 \( X_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \)라 하자. 이 경우, \( n p=\mu(\mu>0) \)일 때 \( n \rightarrow \infty \)이고 \( p \rightarrow 0 \)이면 \( X_{n} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>解答 앞의 정리를 이용하여 구하면 \( \begin{aligned} M_{n}(t) &=E\left(e^{t X_{n}}\right) \\ &=E\left(e^{t \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} E\left(e^{t X_{i}}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} M_{X_{i}}(t) \\ &=\prod_{i=1}^{n}\left(q+p e^{t}\right) \\ &=\left(q+p e^{t}\right)^{n} \\ &=\left(1-\frac{\mu}{n}+\frac{\mu e^{t}}{n}\right)^{n} \\ &=\left(1+\frac{\mu\left(e^{t}-1\right)}{n}\right)^{n} \end{aligned} \) 이므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} M_{n}(t)=e^{\mu\left(e^{t}-1\right)}=M(t) \)이다. 따라서 \( M(t)=e^{\mu\left(e^{t}-1\right)} \)는 평균 \( \mu \)를 갖는 포아송분포의 적률모함수이므로 결국 확률변수열 \( X_{n} \)의 극한분포는 포아송분포에 따른다. 즉, \( X_{n} \stackrel{d}{\rightarrow} X \sim \operatorname{POIS}(\mu) \)이다.</p> <p>問题 \(2\) 베르누이 분포에 따르는 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_{i} \sim \operatorname{BIN}(1, p) \)를 생각해 보자. 이때 제 \( n \)항까지의 합을 \( X_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i} \)라 하고 \( \hat{p}_{n}=\frac{X_{n}}{n} \)이라 하자. 여기서 \( \hat{p}_{n} \)을 표본율(sample proportion)이라 한다. 표본율 \( \hat{p}_{n} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>解檶 지수함수 \( f(x)=e^{x} \)의 MacLaurin의 급수식 \( f(x)=e^{x}=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots \)을 이용하면, \( \hat{p}_{n} \)의 적률모함수열은 \( \begin{aligned} M_{\hat{p}_{n}}(t) &=E\left(e^{t \hat{p}_{n}}\right) \\ &=E\left(e^{\frac{t}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} E\left(e^{\frac{t X_{1}}{n}}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n} M_{n}\left(\frac{t}{n}\right) \\ &=\prod_{i=1}^{n}\left(q+p e^{t / n}\right) \\ &=\left[p\left(1+\frac{t}{n}+\frac{t^{2}}{2 n^{2}}+\cdots\right)\right]^{n} \\ &=\left(1+\frac{p t}{n}+\frac{\epsilon_{n}}{n}\right)^{n} \end{aligned} \) 이다. 그런데, \( n \rightarrow \infty \)이면 \( \epsilon_{n} \rightarrow 0 \)이므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} M_{\hat{p}_{n}}(t)=e^{p t}=M(t) \)이다. 이 식은은 적률모함수 \( M(t)=e^{p t} \)는 점 \( x=p \)에서 퇴화분포의 적률모함수이다. 따라서 표본율 \( \hat{p}_{n} \)은 성공확률 \( p \)로 확률수렴한다.</p> <p>위의 예에서 우리는 단순히 확률변수 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)이 주어졌을 때 이 확률변수들의 각각 합과 평균의 극한분포에 대하여 알아 보았다. 이제 이런 확률변수를 표준화(standardized)하여 그 극한분포를 생각해 보기로 한다. 여기서 표준화된 확률변수란 의미는 다음과 같다. 즉, \( X \)를 임의의 확률변수라 하고 \( X \)의 평균을 \( E(X) \), 분산을 \( \operatorname{Var}(X) \)라 했을 때, \( Z=\frac{X-E(X)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}} \)와 같은 형으로 만든 식 \( Z \)를 확률변수 \( X \)의 표준화라고 말하는 것이다. 결론적으로 말하면, 이런식으로 표준화된 확률변수들의 극한분포는 표준정규분포로 수렴한다는 것이다. 이것이 유명한 중심극한정리(central limit theorem)이다, 이 중심극한정리를 소개하기 전에 먼저 이와 관련된 예를 들어 본다.</p> <p>定理 \( 4.2 \) 확률밀도함수 \( f(x) \)와 평균 \( \mu \), 분산 \( \sigma^{2} \)을 갖는 모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{n} \)이라 하면, \( E\left(S^{2}\right)=\sigma^{2} \)이고 \( \operatorname{Var}\left(S^{2}\right)=\frac{1}{n}\left(E\left(X^{4}\right)-\frac{n-3}{n-1} \sigma^{4}\right), \quad n \geqslant 2 \)이다.</p> <p>磴明 표본분산 \( S^{2} \)의 평균은<p>\( \begin{aligned} E\left(S^{2}\right) &=E\left[\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \bar{X}^{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{n-1} E\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}-n \bar{X}^{2}\right) \\ &=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} E\left(X_{i}^{2}\right)-n E\left(\bar{X}^{2}\right)\right) \\ &=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}\left[\operatorname{Var}\left(X_{i}\right)+\left(E\left(X_{i}\right)\right)^{2}\right]-n\left[\operatorname{Var}(\bar{X})+(E(\bar{X}))^{2}\right]\right) \\ &=\frac{1}{n-1}\left[n\left(\mu^{2}+\sigma^{2}\right)-n\left(\frac{\sigma^{2}}{n}+\mu^{2}\right)\right] \\ &=\frac{1}{n-1}(n-1) \sigma^{2} \\ &=\sigma^{2} \end{aligned} \) 이다. 두 번째 표본분산의 분산공식은 \( \begin{aligned} \operatorname{Var}\left(S^{2}\right) &=\operatorname{Var}\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right) \\ &=\frac{1}{(n-1)^{2}} \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n(\bar{X}-\mu)^{2}\right) \\ &=\frac{1}{(n-1)^{2}} E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)\right)^{2}\right)^{2}\right]-\left(E\left(S^{2}\right)\right)^{2} \end{aligned} \)</p>이므로 \( \operatorname{Var}\left(S^{2}\right)=\frac{1}{(n-1)^{2}} E\left[\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}-n\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)\right)^{2}\right)^{2}\right]-\sigma^{4} \) \( =\frac{1}{(n-1)^{2}} E\left\{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{4}+\sum_{i \neq j}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)^{2}\right. \) \( -\frac{2}{n}\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{4}+\sum_{i \neq j} \sum_{i \neq j}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)^{2}\right. \) \( \left.+\sum_{i} \sum_{j \neq k} \sum_{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)\left(X_{k}-\mu\right)\right] \) \( +\frac{1}{n^{2}}\left[\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu\right)^{4}+\sum_{i \neq j}\left(X_{i}-\mu\right)^{3}\left(X_{j}-\mu\right)\right. \) \( +2 \sum_{i} \sum_{j \neq k} \sum_{j}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)\left(X_{k}-\mu\right) \) \( +2 \sum_{i \neq j} \sum_{i \neq j}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)^{2} \) \( +4 \sum \sum_{i \neq j \neq k \neq l} \sum\left(X_{i}-\mu\right)\left(X_{j}-\mu\right)\left(X_{k}-\mu\right)\left(X_{l}-\mu\right) \) \( \left.+4 \sum \sum_{i \neq j \neq k} \sum_{i \neq k}\left(X_{i}-\mu\right)^{2}\left(X_{j}-\mu\right)\left(X_{k}-\mu\right)\right]-\sigma^{4} \) \( =\frac{1}{(n-1)^{2}}\left(n \mu_{4}+n(n-1) \sigma^{4}-\frac{2}{n}\left(n \mu_{4}+n(n-1) \sigma^{4}\right)\right. \) \( \left.+\frac{1}{n^{2}}\left(n \mu_{4}+n(n-1) \sigma^{4}+2 n(n-1) \sigma^{4}\right)\right) \) \( =\frac{1}{(n-1)^{2}}\left(\frac{(n-1)^{2}}{n} \mu_{4}-\frac{(n-3)(n-1)}{n} \sigma^{4}\right) \) \( =\frac{1}{n}\left(\mu_{4}-\frac{n-3}{n-1} \sigma^{4}\right) \)</p>이다.</p> <p>系 \(4.1\) 확률밀도함수 \( f(x) \)와 평균 \( \mu \), 분산 \( \sigma^{2} \)을 갖는 모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본을 \( X_{1}, X_{2}, X_{3}, \cdots, X_{n} \)이라 하자. 이때 표본분산 \( S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \)의 대용으로 다음과 같은 식을 사용한다.</p> <p>\( S^{2}=S_{1}^{2}=\frac{1}{2 n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2} \) \( S^{2}=S_{2}^{2}=\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-X_{i+1}\right)^{2} \)</p> <p>이 경우, \( E\left(S_{1}^{2}\right)=E\left(S_{2}^{2}\right)=\sigma^{2} \)이 성립한다.</p> <p>證明 분산공식 \( S^{2} \)을 이용하면 \( \begin{aligned} S^{2} &=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}+X_{j}+\bar{X}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left\{\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}-2\left(X_{i}-X_{j}\right)\left(X_{j}-\bar{X}\right)+\left(X_{j}-\bar{X}\right)^{2}\right\} \\ &=\frac{1}{n(n-1)}\left[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}-2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)\left(X_{j}-\bar{X}\right)\right.\\ &=\frac{1}{n(n-1)}\left[\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}-2 n \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\bar{X}\right)^{2}+n \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\bar{X}\right)^{2}\right] \\ &=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}-\frac{1}{n-1} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{j}-\bar{X}\right)^{2} \\ &=\frac{1}{n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2}-S^{2} \end{aligned} \) 이므로 이 식을 정리하면 \( S^{2}=S_{1}^{2}=\frac{1}{2 n(n-1)} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}\left(X_{i}-X_{j}\right)^{2} \)이다. 따라서 \( E\left(S^{2}\right)=E\left(S_{1}^{2}\right)=\sigma^{2} \)임을 알 수 있다. \( S_{2}^{2} \) 역시 비슷한 방법으로 유도할 수 있으며 여기서는 \( E\left(S^{2}\right)=E\left(S_{2}^{2}\right)=\sigma^{2} \)임을 보이자.</p> <p>먼저 \( \begin{aligned} E\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-X_{i+1}\right)^{2}\right) &=E\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-\bar{X}+\bar{X}-X_{i+1}\right)^{2}\right) \\=& E\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}+2 \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(X_{i+1}-\bar{X}\right)\right.\\ &\left.\quad+\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-\bar{X}\right)^{2}\right) \\ &=E\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}\right)+E\left(\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-\bar{X}\right)^{2}\right) \\ &=2(n-1) \sigma^{2} \end{aligned} \) 이므로 \( E\left(S_{2}^{2}\right)=\sigma^{2} \)이다.</p> <h2>練習問題</h2> <p>\(1\). \( X_{1}, X_{2}, \cdots \)이 독립인 확률변수열이고 모든 \( i=1,2, \cdots \)에 대하여 \( E\left(X_{i}\right)=0 \)이고 \( \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\sigma_{i}^{2} \)이고 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{\sigma_{i}^{2}}{n^{2}}=0 \)이면 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여, \( P\left\{\left\|\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\right\|>\epsilon\right\}=0 \)임을 증명하여라.</p> <p>\(2\). \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)을 정규분포 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \)로부터 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하자. 이 경우, 합 \( \sum_{i=1}^{n} X_{i} \)은 극한분포를 갖지 않음을 증명하여라.</p> <p>\(3\). 확률변수열 \( X_{1}, X_{2}, \cdots \)의 이산확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( P\left\{X_{n}=1\right\}=\frac{1}{n}, \quad P\left\{X_{n}=0\right\} 1-\frac{1}{n} \)</p> <p>이 경우, \( X_{n} \stackrel{P}{\rightarrow} 0 \) 임을 증명하여라.</p> <p>\(4\). \( X_{1}, X_{2}, \cdots \)이 확률변수열이고 모든 \( i=1,2, \cdots \)에 대하여 \(E\left(X_{i}\right)=\mu_{i} \)이고 \( \operatorname{Var}\left(X_{i}\right)=\sigma_{i}^{2} \)이라 하자. 이때, \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^{2}=+\infty \)이면, \( n \rightarrow+\infty \)일 때 \( \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_{i}-\mu_{i}}{\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i}^{2}}\right) P \rightarrow 0 \)임을 증명하여라.</p> <p>\(5\). 모집단분포가 정규분포 \( N\left(\mu, \sigma^{2}\right) \)에 따를 때, 이 정규모집단으로부터 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)의 표본평균을 \(\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}\)라 할 때, \( \bar{X} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>\(6\). \( i=1,2, \cdots \)에 대하여, \( Z_{i} \sim N(0,1) \)이고 또한 \( Z_{i} \)는 확률적으로 서로 독립인 확률변수이다. 적률모함수를 이용하여 \( \sum_{i=1}^{n} \frac{Z_{i}+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>\(7\). \( n \)을 양의 정수라 하자. \( X_{n} \sim \operatorname{GAM}(\theta, n) \)일 때, 확률변수열 \( Y_{n}=\frac{X_{n}}{n} \)의 극한분포를 구하여라.</p> <p>\(8\). \( \bar{X} \)는 확률밀도함수가 \( f(x)=e^{-x}(0<x<+\infty) \)에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)의 표본평균이다.</p> <ol type=1 start=1><li>확률변수 \( Y_{n}=\sqrt{n}(\bar{X}-1) \)의 적률모함수는 \( M_{Y_{n}}(t)=e^{-t \sqrt{n}}\left(1-\frac{t}{\sqrt{n}}\right)^{-n} \)임을 보여라.</li> <li>\( Y_{n} \)의 극한분포를 구하여라.</li></ol> <p>\(9\). 확률변수 \( X \)가 \( X \sim \operatorname{BIN}(n ; p) \)일 때, 표본비율 \( \hat{p}=\frac{X}{n} \)의 극한분포는 \( N\left(p, \frac{p q}{n}\right) \)임을 증명하여라.</p> <p>\(10\). 모비율이 \( p \)인 사건 \( A \)가 크기 \( n \)인 확률표본 중에서 나타나는 횟수를 확률변수 \( X \)로 표현한다면, \( X \)의 극한분포는 \( N(n p, n p q) \)임을 증명하여라.</p> <p>\(11\). 확률변수 \( X \)가 자유도 \( \nu \)인 \( \chi^{2} \)분포에 따른다고 한다. 이때, 다음과 같이 정의된 확률변수는 \( Z=\sqrt{2 X}-\sqrt{2 \nu-1} \sim N(0,1) \)임을 증명하여라.</p> <p>\(12\). 정규모집단으로부터 추출한 크기 \( n \)인 확률표본 \( X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} \)의 표본평균을 \( \bar{X} \), 표본분산을 \( S_{n}^{2} \)이라 하자. 다음과 같이 정의된 확률변수 \( T_{n}=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\frac{S_{n}^{2}}{n-1}}} \)의 극한분포는 평균이 \(0\)이고 분산이 \(1\)인 표준정규분포 \( N(0,1) \)임을 증명하여라.</p> <p>\(13\). \( X \sim F\left(\nu_{1}, \nu_{2}\right) \)일 때, 변수변환 \( W=\frac{\nu_{1} X / \nu_{2}}{1+\nu_{1} X / \nu_{2}} \)은 \( \operatorname{GAM}\left(\frac{\nu_{2}}{2}, \frac{\nu_{1}}{2}\right) \)임을 증명하여라.</p> <p>\(14\). 확률변수 \( Z_{n} \)이 모수 \( \lambda=n \mathrm{dls} \) 포아송분포에 따를 때, \( X_{n}=\frac{Z_{n}-n}{\sqrt{n}} \)의 극한분포는 표준정규분포임을 증명하여라.</p> <p>위의 [문제 \(5 \)]를 좀 더 일반화하여 정리로 소개한다. 앞의 [문제 \(5 \)]는 확률변수열 \( \left \{ X_ { n } \right \} \)이 특정분포 즉, 베르누이 분포에 따른다고 가정하였지만 반드시 그럴 필요는 없다.</p> <p>定理 \( 4.5 \) 확률변수 \( X_ { i } , i = 1,2, \cdots, n \)은 모평균이 \( \mu< \infty \)이고 모분산이 \( \sigma ^ { 2 }< \) \( \infty \)인 분포에 따르는 모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하고 표본평균을 \( \bar { X } _ { n } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)라 하자. 이때 \( n \rightarrow \infty \)이면 \( \bar { X } _ { n } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)는 모평균 \( \mu \)로 확률수렴한다.</p> <p>證明 \( \epsilon>0 \)이라 하자. 표본평균 \( \bar { X } _ { n } \) 의 평균은 \(E \left ( \bar { X } _ { n } \right )= \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } E \left (X_ { i } \right )= \mu \)이고 분산 \( \operatorname { Var } \left ( \bar { X } _ { n } \right ) \)은 \( \operatorname { Var } \left ( \bar { X } _ { n } \right )= \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum_ { n=1 } ^ { n } \operatorname { Var } \left (X_ { i } \right ) = \frac {\sigma ^ { 2 } } { n } \)이다. 따라서, Chebyshev의 부등식에 의하여, \( P \left \{\left \| \hat { X } _ { n } -E \left (X_ { n } \right ) \right \| \geqslant \epsilon \right \} =P \left \{\left \| \hat { X } _ { n } - \mu \right \| \geqslant \epsilon \right \} \leqslant \frac {\sigma ^ { 2 } / n } {\epsilon ^ { 2 } } \)이다. 이때 우변의 항 \( n \rightarrow \infty \)이면 \( \frac {\sigma ^ { 2 } } { n \epsilon ^ { 2 } } \rightarrow 0 \)이고 \( P \left \{\left \| \hat { X } _ { n } - \mu \right \| \geqslant \epsilon \right \} \rightarrow 0 \)이므로 \( P \left \{\left \| \hat { X } _ { n } - \mu \right \|< \epsilon \right \} \rightarrow 1 \)이다. 따라서, 표본평균 \( \bar { X } _ { n } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)는 모평균 \( \mu \)로 확률수렴한다.</p> <p>解答 체비세프 부등식을 이용하여 이 문제를 해결해 보자. 먼저, 평균은 \(E \left ( \hat { p } _ { n } \right )= \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } E \left (X_ { i } \right )=p \)이고, 분산은 \( \operatorname { Var } \left ( \hat { p } _ { n } \right )= \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum_ { n=1 } ^ { n } \operatorname { Var } \left (X_ { i } \right )= \frac { p q } { n } \)이므로, 모든 \( \epsilon>0 \)에 대하여, \( P \left \{\left \| \hat { p } _ { n } -E \left ( \hat { p } _ { n } \right ) \right \| \geqslant \epsilon \right \} \leqslant \frac {\operatorname { Var } \left ( \hat { p } _ { n } \right ) } {\epsilon ^ { 2 } } \)이므로 \( P \left \{\left \| \hat { p } _ { n } -p \right \| \geqslant \epsilon \right \} \leqslant \frac { p q / n } {\epsilon ^ { 2 } } \leqslant \frac { p q } { n \epsilon ^ { 2 } } \)이다. 그런데, 여기서 \( n \rightarrow \infty \)이면 우변의 항 \( \frac { p q } { n \epsilon ^ { 2 } } \rightarrow 0 \)이므로 \( P \left \{\left \| \hat { p } _ { n } -p \right \| \geqslant \epsilon \right \} \rightarrow 0 \)이다. 따라서, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } P \left \{\left \| \hat { p } _ { n } -p \right \|< \epsilon \right \} =1 \)이다. 결국 표본비율 \( \hat { p } _ { n } \)은 성공율 \( p \)로 확률수렴한다.</p> <p>定理 \(4.19 \) \( \quad X_ { (1) } \leqslant X_ { (2) } \leqslant \cdots \leqslant X_ { (n) } \)을 분포함수 \( F(x) \)를 갖는 모집단분포에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본의 순서통계량이라 하고, \( F(x) \)를 \( X \)의 분포함수라 하고 \( F ^ {\prime } (x) = f(x) \)이라 하자.</p> <p>\((1) \) 순서통계량 \( X_ { (1) } , X_ { (2) } , \cdots, X_ { (n) } \)의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( f_ { X_ { (1) } , X_ { (2) } , \cdots, X_ { (n) } , } \left (x_ { (1) } , x_ { (2) } , \cdots, x_ { (n) } \right ) \) \( = \left \{\begin {array} { ll } n ! f \left (x_ { (1) } \right ) f \left (x_ { (2) } \right ) \cdots f \left (x_ { (n) } \right ), & x_ { (1) }<x_ { (2) }< \cdots<x_ { (n) } \\ 0, & \text { 그 외의 경우. } \end {array} \right . \)</p> <p>\((2) \) 순서통계량 \( X_ { ( \alpha) } \)의 주변확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( f_ { X_ { ( \alpha) } } (x)= \frac { n ! } { ( \alpha-1) !(n- \alpha) ! } [F(x)] ^ {\alpha-1 } [1-F(x)] ^ { n- \alpha } f(x). \)</p> <p>\((3) \) 두 순서통계량 \( X_ { ( \alpha) } \)와 \( X_ { ( \beta) } \)의 결합확률밀도함수는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} f_ { X_ { ( \alpha) } , X_ { ( \beta) } } (x, y)=& \frac { n ! } { ( \alpha-1) !( \beta- \alpha-1) !(n- \beta) ! } \\ & \times[F(x)] ^ {\alpha-1 } [F(y)-F(x)] ^ {\beta- \alpha-1 } [1-F(x)] ^ { n- \alpha } f(x) f(y), \\ &(0<x<y< + \infty) \end {aligned} \)</p> <p>證明 임의의 \( y \in \mathbb { R } \)에 대하여 확률변수 \( Y_ { i } \)를 \( Y_ { i } =I_ { (- \infty, y] } \left (X_ { i } \right ) \)로 정의하자. 그러면 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } Y_ { i } \)는 \( y \)값을 넘지 않는 원소의 개수이다. 따라서 임의의 확률표본 \( X_ { i } \)가 실수 \( y \)를 넘지 않을 확률은 \( P \left \{ X_ { i } \leqslant x \right \} =P \{ X \leqslant x \} =F(x) \)이므로 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } Y_ { i } \sim \operatorname { BIN } (n, F(x)) \)이다. 그러므로 \( \begin {aligned} F_ { Z_ { ( \alpha) } } (x) &=P \left \{ Z_ { ( \alpha) } \leqslant x \right \} \\ &=P \left \{\sum_ { i=1 } ^ { n } Y_ { i } \geqslant \alpha \right \} \\ &= \sum_ { j= \alpha } ^ { n } \left ( \begin {array} { c } n \\ j \end {array} \right )[F(x)] ^ { j } [1-F(x)] ^ { n-j } \end {aligned} \) 이다.</p> <p>위의 정리의 특별한 경우로서 순서통계량 \( X_ { (1) } \)과 \( X_ { (n) } \)에 대한 주변분포함수는 다음과 같다.</p> <p>系 \( 4.8 \) 정리 \( 4.18 \)의 가정하에서 다음이 성립한다.</p> <p>\( \begin {aligned} F_ { X_ { (1) } } &= \sum_ { j=1 } ^ { n } \left ( \begin {array} { c } n \\ j \end {array} \right )[F(x)] ^ { j } [1-F(x)] ^ { n-j } =1-[1-F(x)] ^ { n } \\ F_ { X_ { (n) } } &= \sum_ { j=n } ^ { n } \left ( \begin {array} { c } n \\ j \end {array} \right )[F(x)] ^ { j } [1-F(x)] ^ { n-j } =[F(x)] ^ { n } \end {aligned} \)</p> <p>지금까지 적률모함수를 이용한 극한분포를 알아 보았다. 이제 중심극한정리를 증명해 보자. 이 중심극한정리의 핵심적인 증명과정은 위의 [문제 \(4 \)]의 풀이과정과 유사하다. 여기에 확률 변수들에 대한 기본적인 몇가지 가정을 추가하면 된다.</p> <p>定理 \(4.4 \) 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots, X_ { n } \)은 똑같은 평균 \( \mu \)와 똑같은 분산 \( \sigma ^ { 2 }< \) \( \infty \)을 갖는 분포에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하고 \( S_ { n } = \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)라 하자. 표준화된 확률변수열의 극한분포는 평균이 \(0 \)이고 표준편차가 \(1 \)인 표준정규분포에 따른다. 즉 \( Z_ { n } \stackrel { d } {\rightarrow } \) \( Z \sim N(0,1) \)이다.</p> <p>\( \begin {aligned} Z_ { n } &= \frac { S_ { n } -E \left (S_ { n } \right ) } {\sqrt {\operatorname { Var } \left (S_ { n } \right ) } } \\ &= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } -n \mu } {\sqrt { n \sigma ^ { 2 } } } \\ &= \frac {\frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } - \mu } {\frac {\sigma } {\sqrt { n } } } \end {aligned} \)</p> <p>證明 먼저 \( X- \mu \)의 적률모함수를 \( m(t) \)라 하면 즉, \( m(t)=M_ { X- \mu } (t)=E \left (e ^ { t(X- \mu) } \right ) \)라 하자. 그러면, \( m(0)=1 \)이고 \( m ^ {\prime } (0)=E(X- \mu)=E(X)- \mu=0 \)이고, 또한 \( m ^ {\prime \prime } (0)=E(X- \mu) ^ { 2 } = \sigma ^ { 2 } \)이다. 더욱이 함수 \( m(t) \)를 \( t=0 \)에서 제 \(2 \)항까지의 Taylor 전개식은 \( m(t)=m(0) + \frac { m ^ {\prime } (0) t } { 1 ! } + \frac { m ^ {\prime \prime } ( \theta) t ^ { 2 } } { 2 ! } , \quad 0< \theta<t =1 + \frac { m ^ {\prime \prime } ( \theta) t ^ { 2 } } { 2 } \)이고 이식에 항 \( \frac {\sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } \)을 더해주고 빼주면, \( m(t)=1 + \frac {\sigma ^ { 2 } t ^ { 2 } } { 2 } + \frac {\left (m ^ {\prime \prime } ( \theta)- \sigma ^ { 2 } \right ) t ^ { 2 } } { 2 } \)이다. 이 식을 이용하여 다음과 같이 정의 된 확률변수 \( Z_ { n } \)의 적률모함수를 구해보자. 먼저 \( Z_ { n } = \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \mu \right ) } {\sqrt { n } \sigma } \)이라 한다면,</p> <p>다음 정리는 감마분포의 모수를 적당히 변환하면, \( \chi ^ { 2 } \)-분포로 변환할 수 있음을 보여주는 정리이다.</p> <p>定理 \(4.8 \) \( Y \sim \operatorname { GAM } \left ( \frac { 1 } {\theta } , \kappa \right ) \)이면, \( X = \frac { 2 Y } {\theta } \sim \chi ^ { 2 } (2 \kappa) \)이다.</p> <p>證明 적률모함수를 이용하면,<p>\( \begin {aligned} M_ { X } (t) &=E \left (e ^ { t X } \right ) \\ &=E \left (e ^ { t \left ( \frac { 2 \gamma } {\theta } \right ) } \right ) \\ &=M_ { Y } \left ( \frac { 2 t } {\theta } \right ) \\ &= \left (1- \theta \frac { 2 t } {\theta } \right ) ^ { - \kappa } \\ &=(1-2 t) ^ { - \frac { (2 \kappa) } { 2 } } \end {aligned} \)</p>이다. 따라서, \( X= \frac { 2 Y } {\theta } \sim \chi ^ { 2 } (2 \kappa) \)이다.</p> <p>이제 \( \chi ^ { 2 } \)-분포에 따르는 독립인 \( n \)개의 확률변수가 주어졌을 때, 이 확률변수들의 일차결합(linear combination)의 확률분포는 어떤 분포에 따르는지를 살펴 보기로 하자. 이 결과, 역시 매우 중요하다.</p> <p>定理 \( 4.9 \) 확률변수 \( X_ { i } (i=1,2, \cdots, n) \)가 서로 독립이고 \( X_ { i } \sim \chi ^ { 2 } \left ( \nu_ { i } \right ) \) 이라 하 자. 이때, \( X=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \)이라 하면, \( X \sim \chi ^ { 2 } \left ( \nu_ { 1 } + \nu_ { 2 } + \cdots + \nu_ { n } \right ) \)이다.</p> <p>證明 적률모함수를 이용하면, \( \begin {aligned} M_ { X } (t) &=E \left (e ^ { t X } \right ) \\ &=E \left (e ^ { t \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \right ) } \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } E \left (e ^ { t X_ { i } } \right ) \\ &= \prod_ { i=1 } ^ { n } (1-2 t) ^ { - \nu_ { i } / 2 } \\ &=(1-2 t) ^ { - \left ( \nu_ { 1 } + \nu_ { 2 } + \cdots + \nu_ { n } \right ) / 2 } \end {aligned} \) 이다. 따라서, \( X=X_ { 1 } + X_ { 2 } + \cdots + X_ { n } \)이라 하면, \( X \sim \chi ^ { 2 } \left ( \nu_ { 1 } + \nu_ { 2 } + \cdots + \nu_ { n } \right ) \) 이다.</p> <p>定義 4.4 모집단의 평균을 모평균(population mean), 모집단의 분산을 모분산(population variance)이라 하고, 기호로 모평균을 \( \mu \)로, 모분산을 \( \sigma ^ { 2 } \)으로 쓰기 로 한다. 또한 표본의 평균을 표본평균(sample mean), 표본의 분산을 표본분산(sample variance)이라 한다.</p> <p>定義 4.5 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)은 같은 확률밀도함수 \( f(x) \)를 갖는모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 할 때, 표본평균(sample mean) \( \bar { X } \)를 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( \bar { X } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } \)</p> <p>定義 4.6 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)은 같은 확률밀도함수 \( f(x) \)를 갖는모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하고, 확률표본 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)의 관찰값을 각각 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } \), \( \cdots, x_ { n } \)이라 하면, 이 관찰값의 평균을 \( \bar { x } \)로 나타내고 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\( \bar { x } = \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \)</p> <p>定義 4.7 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)은 같은 확률밀도함수 \( f(x) \)를 갖는모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하자. 이때, 표본분산(sample variance) \( S ^ { 2 } \)을 \( S ^ { 2 } = \frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } \)으로 확률표본의 표본표준편차(sample standard deviation) \( S \)는 다음과 같이 정의 한다.</p> <p>\( S= \sqrt { S ^ { 2 } } = \sqrt {\frac { 1 } { n-1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } } \)</p> <p>定義 \(4.2 \) \( n \)개의 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)의 결합확률밀도함수가 \( f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) = f \left (x_ { 1 } \right ) f \left (x_ { 2 } \right ) \cdots f \left (x_ { n } \right ) \)인 성질을 만족하면, 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)은 같은 확률밀도함수를 갖는 모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본(random samples of size \( n \) )이라 한다.</p> <p>확률표본의 정의에서 주의할 것은 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots, X_ { n } \)의 의미이다. 확률변수 \( X_ { i } \)는 실제로 \( i \)번째 추출된 표본의 수치적인 값을 말하며 이때 표본은 이미 관측되어진 관찰값이나 관측값을 의미한다. 따라서 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots, X_ { n } \)의 실질적인 수치값은 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \)으로 나타낸다. 또한 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)이 크기가 \( n \) 확률표본은 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)이 서로 독립이고 같은 확률밀도함수 \( f(x) \)를 갖는다는 두가지 의미가 동시에 내포되어 있다. 보통 우리가 표본의 성질로 많이 가정하는 것이 바로 확률표본이다. 그러나 실제로는 이러한 성질을 만족시키는 표본은 찾아 보기 힘들다. 그럼에도 불구하고 가정을 하는 이유는 이론상으로 쉅게 표본들의 통계적 특성을 파악하고 증명할 수 있기 때문이다.</p> <p>定義 \(4.3 \) ( \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots, X_ { n } \)은 같은 확률밀도 함수 \( f(x) \)를 갖는 모집단에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이라 하자. 이때 미지의 모수(parameter)에 영향을 받지 않는 확률변수들만의 함수 \( T=t \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ) \)을 통계량(statistic)이라 한 다. 또한 확률표본 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots, X_ { n } \)의 실험값 또는 주어진 값을 각각 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } \), \( x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \)이라 한다면, 실수 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \)을 확률표본 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , \cdots \), \( X_ { n } \)의 관찰값(observation values)라고 말한다.</p> <h2>4.4 순서통계량</h2> <p>순서통계량은 통계적 추론에서 유용한 개념이다. 표본적률이 모집단적률의 정보를 제공해 주는 것과 같이, 순서통계량은 사분위수(quartile)를 포함한 모집단의 일반적인 분위수에 대항 정보를 제공해 준다.</p> <p>定義 \(4.16 \) \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)을 (누적)분포함수 \( F(x) \)를 가지는 모집단분포로부터 추출한 크기 \( n \) 인 확률표본이라 할 때, 확률변수 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)을 크기 순으로 정리한 다음 식 \( X_ { (1) } \leqslant X_ { (2) } \leqslant X_ { (3) } \leqslant \cdots \leqslant X_ { (i-1) } \leqslant X_ { (i) } \leqslant X_ { (i + 1) } \leqslant \cdots \leqslant X_ { (n) } \)을 주어진 확률표본의 순서통계량(order statistic)이라 한다.</p> <p>\( X_ { (i) } \)는 주어진 확률표본의 \( i \)-번째 크기를 나타내는 확률변수이므로 결국 확률표본의 함수가 된다. 일반적으로 순서통계량 \( X_ { (1) } , X_ { (2) } , \cdots, X_ { (n) } \)은 원래의 확률표본들과는 달리 확률적으로 독립이 아니다. 이 사실은 \( X_ { (i) } \geqslant x \) 이면 항상 \( X_ { (i + 1) } \geqslant x \)가 성립하는 것에서 그 종속성을 직감할 수 있다. 순서통계량에 관한 몇가지 성질을 살펴보자.</p> <p>定理 \(4.18 \) \(X_ { (1) } \leqslant X_ { (2) } \leqslant \cdots \leqslant X_ { (n) } \)을 분포함수 \( F(x) \)를 갖는 모집단분포에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본의 순서통계량이라 하고 이때, \( X \)를 분포함수 \( F(x) \)를 갖는 확률변수라 하자. 임의의 \( \alpha = 1,2,3, \cdots, n \) 에 대하여 \( X_ { ( \alpha) } \) 의 주변확률분포함수 \( F_ { X_ { ( \alpha) } } (x) \)는 \( F_ { X_ { ( \alpha) } } (x)= \sum_ { j= \alpha } ^ { n } \left ( \begin {array} { l } n \\ j \end {array} \right )[F(x)] ^ { j } [1-F(x)] ^ { n-j } \)이다.</p>	자연
m827-(반전학습을 위한) 다변수미적분학	<p>보기6 구면좌표변환 \( G( \rho, \phi, \theta)=(x, y, z), ~x= \rho \sin \phi \cos \theta, ~ y= \rho \sin \phi \sin \theta, ~ z= \rho \cos \phi \)의 야코비 행렬식을 구하여라.</p> <p>풀이 \( J_ { G } = \rho ^ { 2 } \sin \phi \) 야코비 행렬식은 어떤 영역의 넓이 혹은 부피의 변화율과 관련이 있다. 먼저 \( 3 \times 3 \)행렬 \( A \)에 의해 정의된 선형변환 \( F(u, v, w)=A \left ( \begin {array} { l } u \\ v \\ w \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ) \)을 살펴본다. 세 개의 벡터 \( a= \) \( \left (a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } \right ), b= \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , b_ { 3 } \right ), c= \left (c_ { 1 } , c_ { 2 } , c_ { 3 } \right ) \)에 의해 결정되는 평행육면체를 \( V \)라고 할 때 그 부피는 세 벡터의 성분을 열(혹은 행)로 두어 만든 행렬의 행렬식 \( \left \| \begin {array} { l } a_ { 1 } b_ { 1 } c_ { 1 } \\ a_ { 2 } b_ { 2 } c_ { 2 } \\ a_ { 3 } b_ { 3 } c_ { 3 } \end {array} \right \| \) \( (=a \cdot(b \times c)) \)의 절댓값과 같다. 또한 \( F(V) \)는 \( F(a), F(b), F(c) \)에 의해 결정되는 평행육면체와 같으므로 \( \frac { F(V) \text { 의 부피 } } { V \text { 의 부피 } } =\| \operatorname { det } A\|= \left \|J_ { F } \right \| \)이다. 이 사실로부터 \( 2 \times 2 \) 행렬 \( A \)에 대해 \( F(u, v)=A \left ( \begin {array} { l } u \\ v \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \)이면 두 개의 벡터에 의해 결정되는 평형사변형 \( P \)에 대해 \( \frac { F(P) \text { 의 면적 } } { P \text { 의 면적 } } =\| \operatorname { det } A\|= \left \|J_ { F } \right \| \)임을 알 수 있다.</p> <p>보기7 \( W \)가 그림과 같이 두 벡터 \( a=(1,2), b=(2,0) \)에 의해 결정되는 평행사변형일 때 선형변환 \( F(u, v)= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } u \\ v \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \)에 의한 \( W \)의 상(image)을 \( U \)라고 하면 \( U \)도 평행사변형이다. \( W \)의 면적과 \( U \)의 면적의 비가 \( \left \|J_ { F } \right \|= \left \| \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 3 \end {array} \right ) \right \|=3 \)과 같은지 조사하여 보아라.</p> <p>풀이 \( F(a)= \left ( \begin {array} { l } 3 \\ 6 \end {array} \right ), F(b)= \left ( \begin {array} { l } 2 \\ 0 \end {array} \right ) \)이므로 \( U=F(W) \)는 \( (3,6),(5,6),(2,0),(0,0) \)을 꼭짓점으로 하는 평행사변형이다. \( W \)의 면적은 \( \left \| \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 2 & 0 \end {array} \right ) \right \|=4 \)이고 \( U \)의 면적은 \( \left \| \operatorname { det } \left ( \begin {array} { ll } 3 & 6 \\ 2 & 0 \end {array} \right ) \right \|=12 \)이므로 두 면적의 비는 \( \left \|J_ { F } \right \|=3 \)과 같다.</p> <p>정리 1 \| 선형변환의 치환적분 \( \\ \) 선형변환 \( F: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , F(u, v)=A \left ( \begin {array} { l } u \\ v \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ), A \) 는 \( 2 \times 2 \) 행렬, \( U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } , F(U)=W \) 이 고 \( \iint_ { W } f(x, y) d x d y \) 가 존재하면 \( \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \iint_ { U } f(F(u, v)) \left \|J_ { F } \right \| d u d v \) 이다.</p> <p>정리 1은 위에서 살펴본 야코비 행렬식의 의미와 이중적분의 정의에 의해 성립함을 알 수 있다.</p> <p>정리 1의 선형변환의 치환적분은 2차원뿐 아니라 임의의 \( n \)차원에서도 성립한다.</p> <p>보기8 보기7의 평행사변형 \( W \)와 \( F(u, v)= \left ( \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 0 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } u \\ v \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \)에 대해 \( \iint_ { W } 6 e ^ { x + y } d x d y \)를 구하고 정리 1의 식의 우변을 이용하여 구한 것과 비교하여 보아라.</p> <p>풀이 \( W \)의 경계는 \( y=2 x, ~y=2 x-4, ~y=0, ~y=2 \)이므로 \( \\ \) \( \begin {aligned} \iint_ { W } 6 e ^ { x + y } d x d y &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ {\frac { y } { 2 } } ^ {\frac { y } { 2 } + 2 } 6 e ^ { x + y } d x d y \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } 6 \left (e ^ {\frac { 3 y } { 2 } + 2 } -e ^ {\frac { 3 y } { 2 } } \right ) d y=4 \left (e ^ { 5 } -e ^ { 3 } -e ^ { 2 } + 1 \right ) \end {aligned} \)/p> <p>한편 \( 2 u + v=x, ~2 v=y \)이므로 \( U=[1,0] \times[0,1] \)일 때 \( F(U)=W \)이다. 따라서 정리 1의 우변과 같이 \( U \) 위에서의 식으로 바꾸면 \( \\ \) \( \begin {aligned} \iint_ { W } 6 e ^ { x + y } d x d y &= \iint_ { U } 6 e ^ { 2 u + v + 2 v } \left \|J_ { F } \right \| d u d v \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { 0 } ^ { 1 } 24 e ^ { 2 u + 3 v } d u d v= \int_ { 0 } ^ { 1 } 12 \left (e ^ { 2 + 3 v } -e ^ { 3 v } \right ) d v \\ &=4 \left (e ^ { 5 } -e ^ { 3 } -e ^ { 2 } + 1 \right ) \end {aligned} \) \( \\ \) 로서 같은 결과를 얻는다.</p> <p>위의 보기4의 극좌표변환의 경우, \( G(r, \theta)=(x, y), ~x=r \cos \theta, ~y=r \sin \theta \)일 때 \( U \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \)를 잘게 나눈 한 영역 \( u= \left \{ (r, \theta): r_ { 0 } \leq r \leq r_ { 0 } + \Delta r, \theta_ { 0 } \leq \theta \leq \theta_ { 0 } + \Delta \theta \right \} \)의 넓이 \( \Delta r \Delta \theta \)와 이 영역의 \( G \)에 의한 상(image) \( G(u) \)의 넓이의 비는 \( \Delta r \rightarrow 0, ~ \Delta \theta \rightarrow 0 \)일 때 \( r_ { 0 } \)로 수렴한다. 즉, \( \\ \) \( \lim _ {\Delta r \rightarrow 0, \Delta \theta \rightarrow 0 } \frac {\frac {\pi \left ( \left (r_ { 0 } + \Delta r \right ) ^ { 2 } -r_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \Delta \theta } { 2 \pi } } {\Delta r \Delta \theta } =r_ { 0 } \) \( \\ \) 이고 이는 \( J_ { G } =r \)의 \( r=r_ { 0 } , \theta= \theta_ { 0 } \)에서의 값과 같다. 따라서 \( W=G(U) \)에서 \( f(x, y) \)의 이 중적분이 존재하면 이중적분의 정의에 의하여 다음 식이 성립한다.</p> <p>정리 2 \| 극좌표변환에 의한 치환적분 \[ \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \iint_ { U } f(G(r, \theta)) \left \|J_ { G } \right \| d r d \theta= \iint_ { U } f(r \cos \theta, r \sin \theta)\|r\| d r d \theta \]</p> <p>\( U= \left [r_ { 1 } ,r_ { 2 } \right ] \times \left [ \theta_ { 1 } , \theta_ { 2 } \right ]=(r, \theta): 0 \leq r_ { 1 } \leq r \leq r_ { 2 } , ~ \theta_ { 1 } \leq \theta \leq \theta_ { 2 } , 0 \leq \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } \leq 2 \pi \)이고, \( G(U)=W \)이면 \( \\ \) \( \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \iint_ { U } f(r \cos \theta, r \sin \theta)\|r\| d r d \theta= \int_ {\theta_ { 1 } } ^ {\theta_ { 2 } } \int_ { r_ { 1 } } ^ { r_ { 2 } } f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r d \theta \)</p> <p>\( A= \left ( \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ), ~X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ) \)로 두면 이 함수는 행렬의 곱으로 표현할 수 있다.</p> <p>정의 1 \| 야코비 행렬 Jacobian matrix \( \\ \) \( f_ { i } : U \left ( \subseteq \mathbb { R } ^ { n } \right ) \rightarrow \mathbb { R } \)이고 \( y_ { i } =f_ { i } \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \)에 대하여 다음 행렬을 벡터함수 \( F= \left (f_ { 1 } , \cdots, f_ { m } \right ) \)의 야코비 행렬이라고 한다. \( \\ \) \( \frac {\partial \left (f_ { 1 } , \cdots, f_ { m } \right ) } {\partial \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) } = \left ( \begin {array} { cccc } \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { n } } \\ \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { n } } \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \frac {\partial f_ { m } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { m } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { m } } {\partial x_ { n } } \end {array} \right )= \left ( \frac {\partial f_ { i } } {\partial x_ { j } } \right ) \)</p> <p>보기3 보기1의 벡터함수 \( F(X)=A X= \left ( \begin {array} { l } u \\ v \\ w \end {array} \right ) \)의 야코비 행렬식을 구하여라. 여기서, \( A= \left ( \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ), X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ), a_ { i j } \)들은 상수이다.</p> <p>풀이 \( \frac {\partial(u, v, w) } {\partial(x, y, z) } = \left ( \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right )=A \)이므로 \( J_ { F } = \operatorname { det } A \)이다.</p> <p>보기4 극좌표변환 \( G(r, \theta)=(x, y)=(r \cos \theta, r \sin \theta) \)의 야코비 행렬식을 구하여라.</p> <p>풀이 \( \frac {\partial(x, y) } {\partial(r, \theta) } = \left ( \begin {array} { cc } \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end {array} \right ) \)이므로 \( J_ { G } =r \)이다.</p> <p>보기5 원기둥좌표변환 \( G(r, \theta, z)=(x, y, z), x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z \)의 야코비 행렬식을 구하여라.</p> <p>풀이 야코비 행렬은 \( \left ( \begin {array} { ccc } \cos \theta & -r \sin \theta & 0 \\ \sin \theta & r \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ) \)이므로 \( J_ { G } =r \)이다.</p> <p>보기10 영역 \( W= \left \{ (x, y): x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq x \right \} \)의 면적이 \( \frac {\pi } { 4 } \)임을 이중적분을 이용하여 확인하여 보아라.</p> <p>\[ \iint_ { W } 1 d A= \int_ { 0 } ^ { 1 } \int_ { - \sqrt {\frac { 1 } { 4 } - \left (x- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } } } ^ {\sqrt {\frac { 1 } { 4 } - \left (x- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } } } 1 d y d x \] 극좌표변환 \( G(r, ~ \theta)=(x, ~y)=(r \cos \theta, ~r \sin \theta) \) 를 이용하면 \( x=r \cos \theta, ~y=r \sin \theta \) \( \\ \) 이므로 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq x \) 는 \( r ^ { 2 } \leq r \cos \theta \) 로 변형된다.</p> <p>따라서 \( U= \left \{ (r, \theta): 0 \leq r \leq \cos \theta,- \frac {\pi } { 2 } \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } \right \} \)일 때 \( G(U)=W \)이다.</p> <p>\( \begin {aligned} \iint_ { W } 1 d A &= \int_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ {\cos \theta } r d r d \theta= \int_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac {\cos ^ { 2 } \theta } { 2 } d \theta \\ &= \int_ { - \frac {\pi } { 2 } } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \frac { 1 + \cos 2 \theta } { 4 } d \theta \\ &= \frac {\pi } { 4 } \end {aligned} \)</p> <p>보기12 반지름이 \( a \)인 공의 부피가 \( \frac { 4 } { 3 } \pi a ^ { 3 } \)임을 삼중적분을 이용하여 확인하여라.</p> <p>풀이 함수 \( G( \rho, \phi, \theta)=(x, y, z), ~x= \rho \sin \phi \cos \theta, ~y= \rho \sin \phi \sin \theta, ~z= \rho \cos \phi \)를 이용하면 \( U= \{ ( \rho, \phi, \theta): 0 \leq \rho \leq a, ~0 \leq \phi \leq \pi, ~0 \leq \theta \leq 2 \pi \} \)일 때 반지름의 길이가 \( a \)인 공 \( W= \left \{ (x, y, z): x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \leq a ^ { 2 } \right \} \)는 \( G(U) \)와 같다. 따라서 \( \\ \) \( \begin {aligned} \iiint_ { W } 1 d x d y d z &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\pi } \int_ { 0 } ^ { a } \left \| \rho ^ { 2 } \sin \phi \right \| d \rho d \phi d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 0 } ^ {\pi } \frac { a ^ { 3 } } { 3 } \sin \phi d \phi d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { 2 } { 3 } a ^ { 3 } \pi d \theta \\ &= \frac { 4 } { 3 } \pi a ^ { 3 } \end {aligned} \) \( \\ \) 이다.</p> <p>보기13 위로는 \( z=9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \), 아래는 \( x y \)평면으로 둘러싸인 입체 \( W \)의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \iiint_ { W } 1 d V &= \int_ { -3 } ^ { 3 } \int_ { - \sqrt { 9-x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } \int_ { 0 } ^ { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } 1 d z d y d x \\ &= \int_ { -3 } ^ { 3 } \int_ { - \sqrt { 9-x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } d y d x \end {aligned} \] 오른쪽 마지막의 이중적분은 반지름 3인 원판 \( D \)위에서의 적분이므로 극좌표변환 \( G(r, \theta)=(x, y)=(r \cos \theta, r \sin \theta) \)를 이용하면, \( U= \{ (r, \theta) \mid 0 \leq r \leq 3,0 \leq \theta \leq 2 \pi \} \)일 때 \( G(U)=D \)이므로 \[ \begin {aligned} \int_ { -3 } ^ { 3 } \int_ { - \sqrt { 9-x ^ { 2 } } } ^ {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } \left (9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) d y d x &= \int_ { 0 } ^ { 3 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left (9-r ^ { 2 } \right ) r d \theta d r \\ &= \int_ { 0 } ^ { 3 } 2 \pi \left (9 r-r ^ { 3 } \right ) d r \\ &= \frac { 81 } { 2 } \pi \end {aligned} \] 이다.</p> <p>보기2 선형변환 * \( F: \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } , F(X)=A X= \left ( \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \cdot & \cdots & \cdot \\ a_ { m 1 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ \cdot \\ x_ { n } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ \cdot \\ y_ { m } \end {array} \right ) \)의 야코비 행렬을 구하여라.</p> <p>* 선형변환은 벡터함수로서 다음 성질을 갖는 함수이다. 임의의 실수 \( k \in \mathbb { R } \)와 임의의 두 벡터 \( X ^ { 1 } , X ^ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { n } \)에 대해 \( F \left (X ^ { 1 } + X ^ { 2 } \right )=F \left (X ^ { 1 } \right ) + F \left (X ^ { 2 } \right ), F(k X)=k F(X) \)이다.</p> <p>풀이 \( \frac {\partial \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { m } \right ) } {\partial \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) } =A \)이다.</p> <p>정의 2 \| 야코비 행렬식 Jacobian determinant 혹은 야코비안 Jacobian \( \\ \) \( U \subseteq \mathbb { R } ^ { n } \)일 때 벡터함수 \( F: U \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } \)의 야코비 행렬의 행렬식을 야코비 행렬식 혹은 야코비안이라 하고 \( J_ { F } \)로 표시한다. \( \\ \) \( J_ { F } = \operatorname { det } \left ( \frac {\partial \left (f_ { 1 } , \cdots, f_ { n } \right ) } {\partial \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) } \right )= \left \| \begin {array} { cccc } \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { 1 } } {\partial x_ { n } } \\ \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { 2 } } {\partial x_ { n } } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac {\partial f_ { n } } {\partial x_ { 1 } } & \frac {\partial f_ { n } } {\partial x_ { 2 } } & \cdots & \frac {\partial f_ { n } } {\partial x_ { n } } \end {array} \right \| \)</p> <p>\( U= \left \{ (r, \theta) \mid h_ { 1 } ( \theta) \leq r \leq h_ { 2 } ( \theta), \theta_ { 1 } \leq \theta \leq \theta_ { 2 } \right \} \subseteq \mathbb { R } ^ { 2 } \)이고 \( G(U)=W \)이면 \( \\ \)</p> <p>\( \iint_ { W } f(x, y) d x d y= \int_ {\theta_ { 1 } } ^ {\theta_ { 2 } } \int_ { h_ { 1 } ( \theta) } ^ { h_ { 2 } ( \theta) } f(r \cos \theta, r \sin \theta)\|r\| d r d \theta \) \( \\ \) 이다.</p> <p>보기9 반지름 \( a \)인 사분원 \( W= \left \{ (x, y): x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq a ^ { 2 } , ~x \geq 0, ~y \geq 0 \right \} \)에서 \( \iint_ { W } e ^ { -x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } d x d y \)를 계산하여라.</p> <p>\( U=[0, a] \times \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ] \)일 때 \( G(U)=W \)이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \iint_ { W } e ^ { -x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } d x d y &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \int_ { 0 } ^ { a } e ^ { -r ^ { 2 } } r d r d \theta \\ &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 2 } } \left ( \frac { 1 } { 2 } e ^ { -a ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right ) d \theta \\ &= \left ( \frac { 1 } { 2 } e ^ { -a ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } \right ) \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} \] 이다.</p> <h1>12 치환적분</h1> <p>[주요 용어]</p> <ul> <li>야코비안</li> <li>극좌표 치환</li> <li>원기둥 좌표치환</li> <li>구면좌표 치환</li></ul> <p>도입문제 1 반지름이 \( \mathrm { a } \)인 공의 부피가 \( \frac { 4 } { 3 } \pi a ^ { 3 } \)임을 중적분을 이용하여 확인하여라.</p> <p>도입문제 2 위로는 \( z = 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \), 아래는 \( x y \)평면으로 둘러싸인 입체 \( W \)의 부피를 구하여라.</p> <p>일변수함수의 치환적분처럼 다변수함수에도 치환적분이 있다. 치환적분을 생각하기 위해 먼저 벡터함수, 즉 벡터를 함숫값으로 갖는 함수들을 살펴본다. 벡터함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다. \( U \subseteq \mathbb { R } ^ { n } \)에서 정의된 벡터함수 \( G: U \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } , \quad G \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right )= \) \( \left (y_ { 1 } , \cdots, y_ { m } \right ) \)의 각 성분 \( y_ { i } \)는 \( x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \)의 함수 \( y_ { i } =g_ { i } \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ), \quad g_ { i } : U \rightarrow \mathbb { R } , i=1 \), \( \cdots, m \) 이다.</p> <p>모든 \( g_ { i } \)가 연속함수일 때 \( G \)가 연속이라고 정의하고 모든 \( g_ { i } \)가 미분가능할 때 \( G \)가 미분 가능하다고 한다.</p> <p>보기1 다음과 같이 정의된 함수 \( F: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } \)는 하나의 벡터함수이다. 여기서, \( a_ { i j } \in \mathbb { R } \)들은 상수이다.</p> <p>\[ F:(x, y, z) \mapsto(u, v, w) \] \[ u=a_ { 11 } x + a_ { 12 } y + a_ { 13 } z \] \[ v=a_ { 21 } x + a_ { 22 } y + a_ { 23 } z \] \[ w=a_ { 31 } x + a_ { 32 y } + a_ { 33 } z \]</p> <p>위의 보기 5의 원기둥 좌표변환 \( G(r, \theta, z)=(x, y, z), ~x=r \cos \theta, ~y=r \sin \theta, ~z=z \)의 경우 직육면체 \( D= \left [r_ { 0 } , r_ { 0 } + \Delta r \right ] \times \left [ \theta_ { 0 } , \theta_ { 0 } + \Delta \theta \right ] \times \left [z_ { 0 } , z_ { 0 } + \Delta z \right ] \)의 부피와 \( G(D) \)의 부피의 비는 \( \Delta r \rightarrow 0, ~ \Delta \theta \rightarrow 0, ~ \Delta z \rightarrow 0 \)일 때 \( r_ { 0 } \)이며 이는 \( J_ { G } =r \)의 \( r=r_ { 0 } , ~ \theta= \theta_ { 0 } , ~z=z_ { 0 } \)에서의 값과 같다. 따라서 극좌표변환의 경우처럼 \( G(U)=W \)일 때 \( W \)에서 \( f(x, y, z) \)의 삼중적분이 존재하면 삼중적분의 정의에 의하여 다음의 치환적분 공식이 성립한다.</p> <p>정리 3 \| 원기둥 좌표변환에 의한 치환적분 \[ \begin {aligned} \iiint_ { W } f(x, y, z) d x d y d z &= \iiint_ { U } f(G(r, \theta, z)) \left \|J_ { G } \right \| d r d \theta d z \\ &= \iiint_ { U } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)\|r\| d r d \theta d z \end {aligned} \]</p> <p>\(U= \left \{ (r, \theta, z) \mid 0 \leq r_ { 1 } \leq r \leq r_ { 2 } , \theta_ { 1 } \leq \theta \leq \theta_ { 2 } , z_ { 1 } \leq z \leq z_ { 2 } \right \} \subseteq R ^ { 3 } , ~0 \leq \theta_ { 2 } - \theta_ { 1 } \leq 2 \pi \)이면, \( G(U)=W \)일 때 \( \\ \) \( \begin {aligned} \iiint_ { W } f(x, y, z) d x d y d z &= \iiint_ { U } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)\|r\| d r d \theta d z \\ &= \int_ { z_ { 1 } } ^ { z_ { 2 } } \int_ {\theta_ { 1 } } ^ {\theta_ { 2 } } \int_ { r_ { 1 } } ^ { r_ { 2 } } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r d r d \theta d z \end {aligned} \) \( \\ \) 이다.</p> <p>좀 더 일반적으로 \( G(U)=W \)이고 \[ U= \left \{ (r, \theta, z) \mid h_ { 1 } ( \theta) \leq r \leq h_ { 2 } ( \theta), \theta_ { 1 } \leq \theta \leq \theta_ { 2 } , g_ { 1 } (r, \theta) \leq z \leq g_ { 2 } (r, \theta) \right \} \subseteq R ^ { 3 } \] 일 때 \[ \iiint_ { W } f(x, y, z) d x d y d z= \int_ {\theta_ { 1 } } ^ {\theta_ { 2 } } \int_ { h_ { 1 } ( \theta) } ^ { h_ { 2 } ( \theta) } \int_ { g_ { 1 } (r, \theta) } ^ { g_ { 2 } (r, \theta) } f(r \cos \theta, r \sin \theta, z)\|r\| d z d r d \theta \] 이다.</p> <p>보기11 입체 \( W= \left \{ (x, y, z): 1 \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 9,2 \leq z \leq 4 \right \} \) 위에서 \( f(x, y, z)=z \)의 삼중적분을 구하여라.</p> <p>풀이 \( G(r, \theta, z)=(x, y, z), x=r \cos \theta, y=r \sin \theta, z=z \) 이고, \( U= \{ (r, \theta, z): 1 \leq r \leq 3,0 \leq \theta \leq 2 \pi, 2 \leq z \leq 4 \} \) 일 때 \( G(U)=W \) 이므로 \( \\ \) \( \begin {aligned} \iiint_ { W } f(x, y, z) d x d y d z &= \int_ { 2 } ^ { 4 } \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \int_ { 1 } ^ { 3 } z r d r d \theta d z \int_ { 2 } ^ { 4 } \left ( \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 4 z d \theta \right ) d z \\ &= \int_ { 2 } ^ { 4 } 8 \pi z d z=48 \pi \end {aligned} \)<p>위의 보기6의 구면좌표변환 \( G( \rho, \phi, \theta)=(x, y, z), ~ x= \rho \sin \phi \cos \theta, ~y= \rho \sin \phi \sin \theta \), \( z= \rho \cos \phi \)의 경우에도 직육면체 \( D= \left [ \rho_ { 0 } , ~ \rho_ { 0 } + \Delta \rho \right ] \times \left [ \phi_ { 0 } , ~ \phi_ { 0 } + \Delta \phi \right ] \times \left [ \theta_ { 0 } , ~ \theta_ { 0 } + \Delta \theta \right ] \)의 부피와 \( G(D) \)의 부피의 비는 \( \Delta \rho \rightarrow 0, \Delta \phi \rightarrow 0, \Delta \theta \rightarrow 0 \)일 때 \( \rho_ { 0 } ^ { 2 } \sin \phi_ { 0 } \)이다(토론문제 참고). 이는 \( J_ { G } = \rho ^ { 2 } \sin \phi \)의 \( \rho= \rho_ { 0 } , \phi= \phi_ { 0 } , \theta= \theta_ { 0 } \)에서의 값과 같다. 따라서 \( W=G(U) \) 일 때 \( W \)에서 \( f(x, y, z) \)의 삼중적분이 존재하면 삼중적분의 정의에 의하여 다음 공식이 성립한다.</p>	자연
장기요양 필요 발생의 고위험 대상자 발굴을 위한 예측모형 개발	<h1>4. 결론</h1> <p>본 연구는 전국민의 인구사회학적 정보 및 의료이용 정보를 기반으로 노인의 기능장애 발생을 예측하는 모형을 개발하여, 장기요양 필요 발생 가능성이 높은 대상자를 선제적으로 발굴하는 것을 목적으로 수행되었다. 본 연구에서는 다양한 통계방법 적용과 체계적인 분석을 통해 타당한 예측모형을 개발하였다. 먼저, 연구자 및 전문가의 판단 하에 단순화된 의사결정나무의 경우, 모형 자체는 적절한 예측력 \((88.40 \%) \), 정확도 \((89.32 \%) \), 특이도 \( (89.84 \%) \)를 보였고, 다른 성능에 비해 다소 낮기는 하나 통상 수용 가능한 \( 78.18 \% \) 민감도를 보였다. 그러나 타 모형과 비교하여 낮은 성능을 보였다. 복잡한 관계까지도 고려할 수 있는 신경망의 성능이 가장 좋았으나(예측력 \( =94.80 \% \), 민감도 \( =90.59 \%) \), 의사결정나무의 제한점을 보완한 랜덤포레스트와의 성능 차이가 예측력 \( 0.40 \% \mathrm { p } \), 민감도 \( 0.53 \% \mathrm { p } \)로 크지 않았다. 독립변수와 종속변수 간의 일차 선형관계식의 단순한 형태를 갖는 로지스틱 회귀모형도 예측력이 \( 94.00 \% \), 민감도 \( 87.96 \% \)로 신경망 및 랜덤포레스트와 유사한 성능을 보였다. 다만, 외적 타당성 평가 결과, 랜덤포레스트가 높은 예측력 \((94.20 \%) \)과 민감도 \((90.84 \%) \)를 보여, 모형 자체의 성능과 유사하게 성능을 유지하는 것으로 나타났다. 이에 본 연구에서는 랜덤포레스트를 최종 예측모형으로 선정하였다. 최종 예측 모형에서 “3년간 치매 이환 상태”의 중요도가 가장 높았으며, 후순위로 “연령”과 “3년간 노쇠상태”가 높게 나타났다. 이는 노인에게 있어 연령과 더불어 치매 이환과 노쇠 발생이 장기요양 필요를 야기하는 기능장애 발생에 가장 영향력 있는 위험요인임을 의미한다. 최종 예측모형을 실제 정책에 활용하기 위한 의미있는 절단점 선정이 필요하며 최적의 절단점인 \(5 \% \)보다 적정 수준의 성능을 유지하는 \(9 \% \)를 활용한다면, 위험요인의 조합에 따른 특정 상태에 놓이는 노인의 경우, 통상적인 상태에서의 장기요양 필요 발생 비율보다 위험도가 2배 높아짐을 시사할 수 있다.</p> <p>본 연구에서 제안한 예측모형을 국민건강보험공단의 전산시스템에 탑재하여 구현함으로써 예방 서비스가 필요한 대상자를 발굴하는 등 공단이 진행하고 있는 예방 서비스 업무에 활용 가능하다. 이를 통해 발굴된 대상자에게 선제적으로 예방 서비스가 제공된다면 보다 건강한 노후를 지속할 수 있을 것으로 기대할 수 있다. 본 연구는 국민건강보험공단에 집적된 만 65세 이상 전국민 데이터를 활용한 체계적 분석을 통해 예측모형을 개발함으로써 기능장애 발생 가능성이 높은 고위험군을 선별할 수 있다는 데에 의의가 크다. 그러나 노인의 기능장애 발생을 일으키는 수많은 요인 중 행정자료에 국한된 요인만이 활용되어 잠재변인이 있을 수 있다는 한계가 있다. 이러한 한계점을 극복하고 보다 타당도 놓은 장기요양 진입 고위험군을 발굴하기 위해 다양한 정보원을 확보하여 개인의 내재적 요인뿐만 아니라 물리적 환경 등의 더 많은 요인을 고려한 후속연구를 수행할 필요가 있다.</p> <h1>요 약</h1> <p>고령인구가 증가함에 따라 국가차원에서 노인의 건강 노화 실현을 위한 장기요양 필요 발생의 예방 방안을 마련하는 것은 매우 중요하며, 정책적 효과를 극대화하기 위해서는 적절한 대상자의 선정이 선행되어야 한다. 이에 본 연구는 국민건강보험공단의 국민건강정보를 활용하여, 장기요양 필요를 야기하는 기능장애 발생 가능성이 높은 대상자를 발굴하기 위한 예측모형을 개발하고자 한다. 본 연구는 연구대상자의 과거 수집된 자료를 활용하는 후향적 연구로, 본 연구의 연구대상자는 만 65세 이상 의료보장등록인구이다(총 7,724,101명). 예측모형 개발을 위해 고유 방법인 로지스틱 회귀모형, 머신러닝 방법인 의사결정나무와 랜덤포레스트, 딥러닝 방법인 다층퍼셉트론 신경망을 분석하였다. 체계적 분석절차를 통해 각 분석방법별 모형을 적합하였고, 내적 타당성 및 외적 타당성 평가 결과를 기반으로 최종 예측모형을 랜덤포레스트로 선정하였다. 랜덤포레스트는 모집단에서의 \(4.50 \% \)밖에 되지 않는 장기요양 필요 대상자의 약 \( 90 \% \)를 장기요양 필요 발생 고위험 대상자로 예측할 수 있다. 본 연구의 예측모형 및 고위험군 기준은 노인의 욕구 중심에서 예방 서비스가 필요한 대상자를 선제적으로 발굴하는데 기여할 것으로 기대된다.</p> <p>노인의 비독립성을 야기하는 기능장애 발생 및 장기요양 필요 발생을 예방하기 위한 국가적 노력이 절 실하며, 이를 위해 예방 서비스를 개발하거나 제공 체계를 마련하기에 앞서 재원을 효율적으로 활용하고 예방 효과를 극대화할 수 있도록 적절한 대상자를 선별하는 것이 무엇보다 중요하다. 또한, 건강노화 실현을 위한 장기요양 예방 서비스 제공 대상자를 선정하기 위해서는 통상적으로 사회복지서비스에서 활용되는 저소득층, 독거노인 등의 선택적 선별 기준보다는 장기요양 필요를 야기하는 기능장애 발생 고위험 대상자를 선정하는 보편적 기준을 마련해야한다. 건강한 노인이 장애노인으로 이행되는 과정에서 인구사회학적 특성이나 심리적 속성과 같은 개인적 요인, 건강상태, 복지서비스나 사회적, 물리적 환경과 같은 환경(맥락)적 요인 등 노인을 둘러싼 다차원적 영역의 요인들이 서로 상호작용하며 영향을 미친다 (Verbrugge와 Jette, 1994; Freedman, 2009; Yun과 Jo, 2014). 최근 과학적 근거 기반의 실천이나 정책수립의 중요성(evidence based practice & policy; EBP) 및 빅데이터 활용 강화(한국판 뉴딜2.0)가 강조되고 있는 시점에서 국민건강보험공단의 빅데이터에 수집된 전국민의 자격 및 건강정보 등 다양한 요인을 근거로 기능장애 발생 고위험 대상자를 발굴할 수 있는 방안을 마련할 필요가 있다.</p> <p>그간 장기요양 필요 발생 예방과 관련하여 진행된 연구들은 앞서 언급한 바와 같이 예방의 필요성을 다루는 연구가 주를 이루어, 통계 모형 기반의 예방 정책의 대상자를 발굴하는 것에 초점을 둔 선행연구는 없었다. 다만, 장기요양과 관련하여 장기요양 인정신청을 한 노인의 장기요양 수급 여부를 판단하기 위하여 장기요양 등급을 결정짓는 모형을 개발하거나 보완하는 연구(Han 등, 2011; Han 등, 2011)가 있었으나, 이는 신청자를 대상으로 국민건강보험공단 인정조사 직원에 의해 조사되는 장기요양 인정조사표의 정보에 기반하여 구축된 모형이어서 전체 노인의 기능장애 발생 위험을 평가하기 위한 모형으로 적용이 불가능하다.</p> <p>이에 본 연구는 국민건강보험공단에 집적된 인구사회학적 정보 및 건강정보를 활용하여 타인의 돌봄 및 장기요양 필요를 야기하는 기능장애 발생 가능성이 높은 대상자를 발굴할 수 있는 예측모형을 개발하고자 한다.</p> <h1>2. 연구방법</h1> <h2>2.1. 연구설계</h2> <p>본 연구는 국민건강보험공단 국민건강정보를 활용한 후향적 연구(retrospective study)이다. 즉, 2020년도를 기준으로 연구대상자를 선정하고, 종속변수의 사건발생 여부를 정의한 후, 사건이 발생한 시점을 기준으로 과거 3년 동안 이미 수집된 국민건강정보를 활용하는 것이다.</p> <p>선행연구 고찰을 통해 종속변수에 대한 개념적·조작적 정의를 마련하며, 타당한 분석자료 구축을 위해 개념적 틀에 근거하여 선 정의된 종속변수의 사건발생에 영향을 미치는 독립변수를 선정한다. 이를 기반으로 구축된 분석자료를 활용하여 다양한 통계분석 및 체계적 타당성 검증 절차를 통해 예측모형을 개발한다. 본 연구의 윤리적 검토를 위해 국민건강보험공단 건강보험연구원 내 생명윤리심의위원회의 승인을 받았다 (IRB No.: 2021-HR-01-0006).</p> <p>예측모형 개발은 모형 적합 단계와 타당성 검증 단계로 나누어 진행하였다. 우선 전체 자료를 훈련 자료 (training data, \( 60 \% ; n=4,634,460 \)), 검증 자료(validation data, \( 20 \% ; n=1,544,821 \) ), 시험 자료(test data, \( 20 \% \); \( n=1,544,820) \)로 분할하였다. 훈련 자료를 이용하여 각 분석방법별 여러 모형을 적합하며, 검증 자료를 통 해 여러 모형 중 가장 성능이 좋은 하나의 모형을 선정하였다. 그 후 시험 자료를 이용하여 각 분석방법별 예측모형의 성능 재현성 검토 및 실질적인 성능을 평가하였다(내적 타당성 평가). 이때, 성능 평가를 위해 모형의 전반적인 예측력을 나타내는 AUC와 모형을 통해 얻어진 예측확률이 얼마나 사건여부를 잘 판별(분류)하는지를 나타내는 판별력(discrimination)을 평가하는 통계량인 정확도(accuracy), 민감도(sensitivity), 양성 예측율(positive predictive value), 특이도(specificity)를 이용하였다. 이러한 통계결과는 모형을 통해 얻어진 예측확률을 모형 기반 최적의 절단점(cut-point)을 기준으로 분류한 예측값과 실제 관측된 값 간의 분할표를 기반으로 각 산식에 따라 산출되었으며, 모형별 최적의 절단점은 Youden's index를 통해 결정하였다. 또한, 각 분석방법별 모형이 새로운 자료에서도 적용 가능한지, 일반화 가능성을 평가하기 위하여 외적 타당성 평가 를 수행하였다. 이를 위하여 분석자료 구축 절차를 동일하게 적용하되, 연구대상자 및 결과변수를 정의하는 시점을 2021년도 6월 30일 기준으로 업데이트하여 모형구축 자료와는 독립된 새로운 자료를 재구축하였다.</p> <p>이상의 일련의 결과를 토대로 가장 성능이 적절하다고 판단되는 최종 예측모형을 제시하였다. 모든 통계 분석은 SAS 9.4와 SAS E-Miner 14.1을 이용하였다.</p> <h1>3. 연구결과</h1> <h2>3.1. 기능장애 발생여부에 따른 독립변수 분포</h2> <p>본 연구대상자의 특성이자 사건발생 여부별 독립변수의 분포를 영역별로 살펴보면, 우선 개인적 요소의 경우, 사건발생 집단에서 여자 \(71.51 \% \), 낮은 소득수준(특히, 0, 1분위가 \(24.37 \% \) 차지)이 많았으며, 사건미발생 집단에 비해 사건발생 집단의 직업보유률이 \( 5.16 \% \mathrm { p } \) 낮았다. 사건발생 집단의 평균 연령이 82.45세로 사건 미발생 집단에 비해 약 9세 높았으며, 사건발생 집단에서 건강보험 피부양자 자격인 지역세대원 \((10.96 \% \)), 직장피부양자 \( (55.05 \%) \), 그리고 저소득층 자격인 의료급여세대주 \((13.94 \%) \)가 상대적으로 많았다. 신체적 장애를 가지고 있는 비율이 \( 32.35 \% \)로 높았으며, 산정특례대상자인 경우도 \( 18.87 \% \)로 사건미발생 집단에 비해 \( 8.71 \% \) 높았다. 환경적 요소의 경우, 사건발생 집단에서 1인 가구 비율이 \( 36.48 \% \)로 높았으며( \( \Delta 11.28 \% \mathrm { p } ) \), 농어촌 거주자가 사건미발생 집단에 비해 약 \( 5 \% \mathrm { p } \) 많았다. 사건발생 집단의 지역별 재정자립도(평균 \( 45.33 \%) \)와 사회복지예산(평균 \(34.02 \% \)) 비중이 비교적 작았고, 의료기관수(인구10만명당 평균 106.00개)와 노인인구 5만명당 방문간호기관 수(평균 6.41개)는 상대적으로 적었으나, 요양시설(평균 40.85개), 방문요양(평균 102.52개), 주야간보호(평균 33.10개), 복지용구기관 수(평균 13.24개)는 많았다. 건강상태를 살펴보면, 노인성 질환 중 장기요양 인정자에서 주로 많이 발생한다고 알려진 질환인 뇌졸중, 치매, 고혈압, 당뇨병, 관절염, 골절. 탈골 및 사고후유증이 실제로 사건발생 집단에서 높게 나타났다. 특히, 최근 3년동안 고혈압이 있는 경우가 \( 64.00 \% \)로 가장 높았고, 관절염 \((35.40 \%) \), 당뇨병 \((29.32 \%) \), 치매 \((25.11 \%) \) 순으로 나타났다. 수발부담이 높은 암의 경우는 오히려 사건미발생 집단에서 이환률이 높으며, 사건발생 집단에서는 직전 1년동안 암에 이환된 비율이 \( 5.45 \% \)로 높았다. 최근 3년동안 연평균 다중질환 수는 평균 4.98개로 사건미발생 집단에 비해 약 1개의 질환을 더 많이 보유하고 있으며, CCI 역시 사건발생 집단에서 평균 3.02점으로 약 1점 높았다. 사건발생 집단의 건강검진 수검율은 \( 36.22 \% \)로 미발생 집단의 절반수준으로 나타났다. 의료이용여부는 사건발생 집단에서 3년동안 의료를 이용한 비율이 높았으며 \((94.90 \%) \), 의료이용일수 또한 많은 것(평균 총 75.45일)으로 나타났다. 23개 노인성 질환으로 인해 최근 3년동안 한번이라도 수술한 비율은 사건발생 집단에서 \(34.03 \% \), 사건미발생 집단에서 \(25.02 \% \) 였으며, 입원한 비율 역시 사건발생 집단 \( (50.01 \%) \)이 사건미발생 집단 \((27.01 \%) \) 보다 높게 나타났다. 질환별로는 고혈압, 고지혈증, 시각장애, 청각장애, 배뇨장애를 제외한 모든 수술에서 사건발생 집단의 비율이 높았으며, 시각장애, 청각장애, 배뇨장애를 제외한 모든 입원에서 사건발생 집단의 비율이 높게 나타났다. 연평균 복용약물수의 경우 사건발생 집단에서 평균 5.34개로 미발생 집단의 평균 3.51개에 비해 높았다. 신체적◦인지적 상태를 나타내는 노쇠율도 사건발생 집단에서 \( 8.08 \% \)로 약 4배 높은 것으로 나타났다.</p> <h2>2.2. 연구대상자</h2> <p>연구대상자는 통상 노인을 정의하는 연령 기준을 준용하여 2020 년도 기준 만 65세 이상 고령자로 정의한다. 단, 동등한 상태에서 종속변수를 정의할 수 있도록 이미 타인의 돌봄을 필요로 하는 기능장애가 발생하였다고 판단되는 자는 제외기준으로 정의하였다. 제외기준은 (1) 2020년도 이전에 이미 기능장애로 인한 장기요양 필요가 인정된 노인장기요양보험 수급자인 경우, (2) 2020년도 이전에 요양병원에 입원하여 2020년까지도 입원 상태가 지속되어 돌봄이 필요한 상태로 판단되는 경우, (3) 종속변수를 정의하는 기간인 2020년도 이전에 사망한 경우이며, 이와 더불어 (4) 필수 자격 정보(가입유형, 거주지역, 가구원수)가 결측인 경우도 제외하였 다. 조작적 정의 및 제외기준에 따라 국민건강정보 자격 DB를 통해 선정된 연구대상자는 총 7,724,101명이다.</p> <h2>2.3. 분석변수</h2> <h3>2.3.1. 종속변수</h3> <p>기능장애를 측정하는 가장 공통적인 기준은 수단적 일상생활수행능력(Instrumental Activities of Daily Living; IADL)과 일상생활수행능력(Activities of Daily Living; ADL)을 활용하는 것이다(National Council on Disability, 2008). 이는 의학적 진단 이외의 장애 상태에 의해 일상생활 유지 시 장애정도와 타인의 도움 필요 정도를 나타내는 사회적 지표이다 (Lim, 2008). 우리나라 노인장기요양보험 역시 이를 고려한 구조화된 등급판정 도구를 활용하여 장기요양 서비스 필요 대상자를 정의한다. 등급판정도구는 노인의 주관적인 욕구(want)와 객관적인 필요(needs)를 연계시켜 장기요양 필요의 정도를 판별하는 역할을 한다 (Seo와 Jang, 2005). 즉, 개인의 인지된 주관적 욕구에서 더 나아가 사회제도 내 객관적이고 규범적인 측면에서의 장기요양 필요를 정하고 있다.</p> <p>전술한 근거에 따라, 본 연구에서 예측하고자 하는 타인의 돌봄이 필요한 의존적 상태인 기능장애 발생은 노인장기요양보험 제도의 장기요양 등급판정절차에 따라 객관적으로 인정된 장기요양 인정여부(장기요양 진입)로 정의하였다. 특히, 노인의 경우 기능상태의 악화가 빠르게 진행되는 취약한 대상자이므로 (Chung, 2015), 단기적으로 가능성이 높은 대상자를 신속하게 발굴할 필요가 있다. 이에 따라 국민건강정보 장기요양 보험 DB를 활용하여 2020년도 노인장기요양보험의 수급권을 인정받은 경우(등급판정절차에 의거 장기요양 인정등급을 판정받은 경우)를 종속변수의 사건발생 \( (y = 1) \)으로 정의하였다. 만일 2020년 12월 31일까지 사건이 발생하지 않은 경우는 사건미발생 \( (y=0) \)으로 정의하였다. DB를 통해 조작화된 연구대상자의 사건발생 비율은 \( 4.50 \% \)로 관측되었다.</p> <h3>2.3.2. 독립변수</h3> <p>독립변수 선정 및 조작적 정의는 크게 4단계에 걸쳐 마련되었다.</p> <p>1단계는 독립변수의 선정과정으로 Rowe와 Kahn (1987)의 성공적 노화 개념모델과 Freedman (2009)의 장애노인 모델을 기반으로 Han 등 (2018)이 개발한 노인의 건강노화 개념틀에 근거하여, 노인의 노쇠 및 기능장애와 관련된 선행연구 고찰(총 42편)과 국민건강정보 상의 가용성 검토를 통해 1차 독립변수를 선정하였다. 그 후 국민건강정보의 자격 DB, 건강검진 DB, 급여내역 DB를 통해 선정된 독립변수의 정보를 수집하여 분석자료를 구축하였다. 이때, 개인적 요소나 환경적 요소 등 시간의 흐름에 변화가 적고 기능장애 발생 직전의 정보가 중요한 독립변수는 최근 1년간의 정보를 활용하였다. 건강행태와 현 건강수준을 측정한 건강검진 자료의 경우 2019년 기준 만 65세 이상 노인의 수검률이 \(69.9 \% \)로 (Statistics Korea, 2021) 약 \(30 \% \)에서 결측이 존재하고, 수검했음에도 항목값에 결측이나 적절치 않은 값이 추가로 발생한다는 점을 고려하여 제외하였다. 이를 대신하여 건강관리를 하고 있음을 나타내는 '건강검진 이력' 변수를 추가하였다. 건강상태를 나타내는 의료이용정보의 경우 Han 등 (2018)에서 제시한 장기요양 노인의 진입 3년 전부터 의료 및 입원 이용의 증가 양상 결과를 고려하여 3년 간의 정보를 모두 활용하되, 3년 간의 정보를 분포도에 따른 범주화 (노인성 질환, 의료이용여부, 질환별 수술여부, 수술여부, 질환별 입원여부, 입원여부) 및 평균이나 합계 방식 (다중질환 수, 찰슨동반상병지수, 의료이용일수, 의약품 복용)으로 요약하였다.</p> <h1>1. 연구배경</h1> <p>전세계는 생산가능 인구가 감소하고 노인인구 비중이 증가하는 인구고령화 현상을 경험하고 있다. 우리나라의 경우에도 2018년 고령사회 진입 후 8년만인 2025년에 초고령사회 진입이 예견되고 있으며, 이는 OECD 주요국의 평균 진입 속도 25.08년(OECD, 2021)과 비교할 때, 전세계 유례없는 속도임이 분명하다.</p> <p>일반적으로 노인은 생체 구조와 기능의 쇠퇴로 인해 질병에 대한 민감성이 높아져 질병 이환에 취약하다. 또한, 질병 및 스트레스 등 외부 영향에 대한 저항력이 감소하여 질병 이환 후 회복이 어려우며, 신체조직과 기관의 퇴행성 변화는 기능저하를 유발하여 결국 기능장애(이하 장애)나 사망을 초래한다 (Nagi, 1991; Verbrugge와 Jette, 1994). 우리나라의 국민이 인지하는 건강수명은 평균 66.3세이며 기대수명은 평균 83.5세로 (Statistics Korea, 2021), 노년기 기간 중 약 17년동안 급/만성 질병 치료를 위한 의료서비스와 기본적인 일상생활수행을 위한 요양서비스를 필요로 하는 기능제한 또는 장애 상태에 놓여있는 것으로 나타났다.</p> <p>노인의 장애는 요양시설 입소, 공식◦비공식 재가 서비스 필요와 같은 부정적 결과를 야기하며, 이는 노인 본인뿐만 아니라 비공식 돌봄제공자 및 보건의료 자원에 부담을 주기 때문에 (Thomas 등, 2004), 노인의 장애 발생은 중요한 사회적 문제로 인식되고 있다. 특히, 우리나라 노인장기요양보험 제도 측면에서 노인 수의 증가에 따른 장애 발생률 증가는 장기요양 서비스를 필요로 하는 수급자 증가 및 서비스 수요에 직접적인 영향을 미친다. 장기요양 재정지출 전망에 따르면 장기요양 서비스 이용에 따른 재정지출이 2020년 기준 10.1조원에서 2025년 15.8조원, 2050년에는 116조원으로 급격히 증가할 것으로 예견되고 있다 (Kim, 2020).</p> <p>최근 WHO는 초고령사회에 보건복지 정책의 실행 목표를 건강 노화로 정할 것을 제안하였다. 건강노화란 질병이 있더라도 일상생활수행을 위한 기능적 능력(functional ability)을 최대한 유지하면서 지역사회에서 노년기 웰빙을 가능하게 하는 과정을 일컫는다 (WHO, 2015). 건강노화를 실현하기 위한 방안으로 통합적이고 연속적인 장기요양 체계 구축, 특히, 일차의료 강화를 통한 만성질환 이환 예방, 조기 진단 및 관리를 통한 장기요양 필요(장애발생)의 사전 예방을 강조하였다 (WHO, 2017).</p> <p>장애의 예방은 크게 질병 예방을 목표로 하는 공중보건 조치(1차 예방), 질병을 치료하는 치유 조치(2차 예방), 손상 또는 장애를 치료하는 치유 및 재활 조치(3차 예방)로 분류된다 (WHO, 1991). 노인의 경우는 이미 대부분 만성질환을 가지고 있으므로, 질병 치료 및 사회적 지지 제공을 통해 삶의 질을 높이고 기능상의 장애를 줄이는 3차 예방이 중요하다 (Won, 2014). 특히, 건강악화를 야기하는 위험요인을 교정하는 예방과 조기 개입은 질병 발생예방뿐만 아니라 더 나아가 건강상태 유지와 건강증진에 중요한 역할을 한다 (Lionis 와 Midlov, 2017). 따라서 노인의 생활의존 상태에 영향을 미치는 노쇠, 근감소증, 낙상과 같은 노인증후군의 예방 전략이 필요하며 (Won, 2014), 이러한 서비스 제공 대상인 장애 발생 고위험군을 선별할 수 있는 체계 마련의 중요성이 강조되고 있다.</p> <p>2단계는 독립변수의 적절성을 탐색하는 과정으로, 각 독립변수별로 기술통계분석을 통해 결측 정도, 극단치(outlier) 및 오류값 존재여부 등을 검토하여, 각 독립변수의 정의에 맞게 재범주화 등 전처리 과정을 거쳤다.</p> <p>3단계는 각 독립변수별 가용방안을 모색하는 과정으로 전체 자료의 \( 10 \% \)를 단순임의추출한 표본자료를 활용하여, 로지스틱 회귀분석을 통해 얻어진 회귀계수의 유의성( \( p \)-값), 예측력(AUC), 정분류율, AIC 통계량을 평가하였다. 이를 통해, 각 독립변수별로 변수의 척도(연속형 vs. 범주형), 범주 수(예: 2범주 vs. 3범주 등)를 결정하였다.</p> <p>마지막 4단계 과정은 최종 독립변수를 선정하는 것으로 전체 자료에 독립변수별 조작적 정의를 적용한 후, 로지스틱 회귀분석을 통해 회귀계수의 유의성이 입증되지 않은 변수를 제외하였고, 독립변수 간 다중공 선성을 분산팽창인자(Variation Inflation Factor; VIF)로 평가하여 최종 독립변수를 선정하였다.</p> <p>앞선 일련의 과정을 거쳐 개인적 요소인 인구사회학적 특성 8개, 환경적 요소 중 사회적 환경 1개, 물리적 환경 9개, 건강상태 중 건강수준 9개, 건강행태 1개, 의료경험 49개, 신체적◦인지적 능력 1개의 총 78개 독립변수가 선정되었다.</p> <h2>2.4. 분석방법</h2> <p>본 연구에서 활용하는 분석자료는 만 65세 이상 전국민 약 770만명에 대한 종합된 건강정보 자료로, 분석자료 의 양이 방대하다는 특징을 갖는다. 따라서 예측모형을 개발하기 위한 다양한 통계방법론을 적용할 수 있다. 이에 본 연구에서는 고유한 통계방법인 로지스틱 회귀모형, 머신러닝 방법 중 결과의 시각화로 높은 이해도를 확보할 수 있어 학계 및 산업계에서 많이 활용되는 의사결정나무와 의사결정나무의 과적합 및 불완전성을 보완하기 위해 수많은 결정나무를 만들고 이를 통해 얻어진 결과를 다수결 원칙에 따라 종합하는 알고리즘인 랜덤포레스트, 머신러닝의 최신 기술인 딥러닝 방법의 다층 퍼셉트론 신경망을 예측모형을 개발하기 위한 방법론으로 선정하였다.</p> <p>각 분석방법별 모형 설정은 다음과 같다. 로지스틱 회귀분석은 고유한 방법 그대로(logit link function)를 이용하며, 유의수준 0.01을 기준으로 하는 후진제거 변수선택법을 이용하였다. 의사결정나무는 이지분리를 원칙으로, 엔트로피를 이용하여 독립변수를 선정하고, 향상도를 통해 과적합 여부를 판단하도록 하였다. 또한, 분석을 통해 도출된 노드규칙 정보 및 연구자의 판단, 전문가 의견수렴을 통해 노드 규칙 변경 또는 가지 치기를 수행하였다. 랜덤포레스트는 500개의 의사결정나무를 형성하도록 하였으며, 변수 선택에 사용될 변수 중요도는 손실 감소로 설정하였다. 다층 퍼셉트론 신경망의 경우, 분석에 앞서 각 독립변수마다 동일한 학습 영향력을 주도록 0~1 사이의 값으로 표준화하는 작업을 거쳤다. 또한, 직접 연결을 포함한 두 개의 은닉층과 최대 50개의 은닉뉴런수를 갖는 구조로 설정하였으며, 시그모이드 활성화 함수를 이용하였다.</p>	자연
s521-기하학개론	<p>예제 3.2.3</p> <p>방정식 \( x ^ { 3 } + 5 x + 1=0 \) 은 단 하나의 실근만을 가짐을 보여라.</p> <p>풀이</p> <p>이 문제는 근이 존재함을 보여주는 존재성과 단 하나임을 보여주는 유일성으로 나누어 증명을 해야 한다.</p> <p>존재성</p> <p>\( f(x)=x ^ { 3 } + 5 x + 1 \)이라 하면 \( f(x) \)는 \( \mathbb { R } \)에서 연속인 함수이다. 또한 \[f(-1)=-5<0, f(0)=1>0 \]이므로 중간값 정리에 의하여 \( f(c)=0 \)인 적당한 실수 \( c \in(-1,0) \subset \mathbb { R } \)가 존재한다. 따라서 방정식은 \( \mathbb { R } \)에서 적어도 한 개의 실근을 갖는다.</p> <p>유일성</p> <p>방정식 \( x ^ { 3 } + 5 x + 1=0 \) 이 두 개의 서로 다른 실근 \( a, b \)를 갖는다고 가정하면 \( f(a)=f(b)=0 \)이다. 한편 \( f(x)=x ^ { 3 } + 5 x + 1 \)는 다항함수이므로 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( (a, b) \)에서 미분가능하다. 따라서 롤의 정리에 의하여 \[f ^ {\prime } (c)=0 \]인 적당한 \( c \in(a, b) \)가 존재하여야 한다. 그러나 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \[f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } + 5 \geq 5 \]이므로 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \) 는 존재할 수 없다. 그러므로 방정식은 단 한 개의 실근만을 갖는다.</p> <p>이제 롤의 정리를 일반화한 평균값의 정리에 대하여 알아보자.</p> <p>정리</p> <p>평균값 정리(Mean value theorem)</p> <p>함수 \( f \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 개구간 \( (a, b) \)에서 미분가능하면 \[f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \]인 \( c \in(a, b) \)가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>두 점 \( A(a, f(a)) \)와 \( B(b, f(b)) \)를 지나는 직선의 방정식 \( g(x) \)는 \[g(x)-f(a)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } (x-a) \]이므로 \[g(x)=f(a) + \frac { f(b)-f(a) } { b-a } (x-a) \]이다. \( F(x)=f(x)-g(x) \)라 하면 \[F(x)=f(x)-f(a)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } (x-a) \]이고 \( F(x) \)는 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( (a, b) \)에서 미분가능하며 \[F(a)=F(b)=0 \]이므로 롤의 정리에 의하여 \( F ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \in(a, b) \)가 존재한다. 여기서 \[F ^ {\prime } (x)=f ^ {\prime } (x)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \]이므로 \( F ^ {\prime } (c)=0 \)에서 \( f ^ {\prime } (c)- \frac { f(b)-f(a) } { b-a } =0 \)이고 이를 정리하면 \[f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \]이다.</p> <h1>3.1 도함수의 응용</h1> <p>함수의 증가와 감소는 일계 도함수와 밀접한 관계가 있다. 만일 주어진 함수가 정의역 내의 모든 점에서의 미분계수가 양의 값을 갖는다면 이것은 정의역 내의 모든 점에서의 접선의 기울기가 양의 값을 갖는 것을 의미하므로 함수는 증가한다. 반대로 정의역 내의 모든 점에서의 미분계수가 음의 값을 갖는다면 이것은 정의역 내의 모든 점에서 접선의 기울기가 음의 값을 갖는 것을 의미하므로 함수는 감소한다.</p> <p>이를 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 3.1.1</p> <p>구간 \( (a, b) \)에서 정의된 함수 \( f \)가 모든 \( x \in(a, b) \)에서</p> <p>(1) \( f ^ {\prime } (x)>0 \)이면 \( f(x) \)는 \( (a, b) \)에서 증가함수이다.</p> <p>(2) \( f ^ {\prime } (x)<0 \)이면 \( f(x) \)는 \( (a, b) \)에서 감소함수이다.</p> <p>정리 3.1.1에 의하여 구간 \( (a, b) \)에서 정의된 함수 \( f \)가 모든 \( x \in(a, b) \)에서 \[f ^ {\prime } (x) = 0 \]이면 \( f(x) \)는 \( (a, b) \)에서 증가함수인 동시에 감소함수가 되어야 하므로 \( f(x) \)는 상수함수가 된다.</p> <p>예제 3.1.1</p> <p>\( (- \infty, 0) \)에서 \( g(x)=x ^ { 2 } + 1 \)은 감소함수임을 증명하여라.</p> <p>증명</p> <p>\( g ^ {\prime } (x)=2 x \) 이고 임의의 \( x \in(- \infty, 0) \)에 대하여 \[g ^ {\prime } (x)<0 \]이므로 정리 3.1.1에 의하여 \( (- \infty, 0) \)에서 \( g(x)=x ^ { 2 } + 1 \)은 감소함수이다.</p> <p>예제 3.1.2</p> <p>\( f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -9 x \)가 증가, 감소하는 구간을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -9 x \)의 도함수는 \[ f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -6 x-9=3(x-3)(x + 1) \]이다. 따라서 \( x>3 \)이거나 \( x<-1 \)이면 \( f ^ {\prime } (x)>0 \)이고 \( -1<x<3 \)이면 \( f ^ {\prime } (x)<0 \)이다. 따라서 \( f(x) \)는 \( (- \infty,-1) \cup(3, \infty) \)에서 증가하고 \( (-1,3) \)에서 감소한다.</p> <h1>3.2 평균값의 정리</h1> <p>이 절에서는 미분과 관련된 가장 중요한 정리인 롤의 정리와 평균값의 정리에 대하여 알아보고자 한다.</p> <p>롤의 정리(Rolle's theorem)는 다음과 같다.</p> <p>정리 3.2.1</p> <p>롤의 정리</p> <p>함수 \( f \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 개구간 \( (a, b) \)에서 미분가능하다고 하자. 만일 \( f(a)=f(b) \)이면 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \in(a, b) \)가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>롤의 정리의 엄밀한 증명은 복잡하므로 생략하고 기하학적 그림을 이용하여 정리가 다음과 같이 설명할 수 있다.</p> <p>예제 3.2.1</p> <p>구간 \( [1,4] \)에서 \( f(x)=x ^ { 2 } -5 x + 4 \)일 때 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \in(1,4) \)가 존재함을 증명하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=x ^ { 2 } -5 x + 4 \)는 \( [1,4] \)에서 연속이고 \( (1,4) \)에서 미분가능하며 \( f(1)=0=f(4) \)이다. 따라서 롤의 정리에 의하여 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \in(1,4) \)가 존재한다.</p> <p>실제로 \( f ^ {\prime } (c)=2 c-5=0 \) 인 \( c \)는 \( c= \frac { 5 } { 2 } \in(1,4) \)이다.</p> <p>예제 3.2.2</p> <p>\( f(x)=1-\|x\| \)는 \( (-1,1) \)에서 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \)가 없음을 증명하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=1-\|x\| \)는 \( [-1,1] \)에서 연속이고 \( f(-1)=0=f(1) \)이다.</p> <p>\( f ^ {\prime } (x)= \left \{\begin {array} { r } -1: x>0 \\ 1: x<0 \end {array} \right . \) 이므로 \( x=0 \)에서 \( f(x)=1-\|x\| \)는 미분불능이다. 따라서 롤의 정리가 성립하지 않으므로 \( (-1,1) \)에서 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \)가 존재하지 않는다.</p> <p>롤의 정리에서는 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \)가 \( (a, b) \) 내에 적어도 하나 존재한다는 것은 실제로는 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \)가 \( (a, b) \)내에 여러 개 존재할 수 있음을 의미한다. 하지만 특별한 함수의 경우 \( f ^ {\prime } (c)=0 \)인 \( c \in(a, b) \)는 단 하나 존재한다.</p> <p>(1) 모든 \( x \in I \cap D \)에 대하여 \( f(c) \geq f(x) \)이면 함수 \( f \) 는 \( x=c \)에서 극댓값(local maximum)을 갖는다고 한다.</p> <p>(2) 모든 \( x \in I \cap D \)에 대하여 \( f(c) \leq f(x) \)이면 함수 \( f \) 는 \( x=c \)에서 극솟값(local minimum)을 갖는다고 한다.</p> <p>함수의 증가, 감소상태의 변화와 함수의 극댓값과 극솟값의 관계에 대하여 알아보자.</p> <p>이 그래프에서 알 수 있듯이 함수가 극댓값을 갖는 점의 근방에서 \( f ^ {\prime } (x) \)의 부호는 양에서 음으로 바뀌며 함수가 극솟값을 갖는 점의 근방에서 \( f ^ {\prime } (x) \)의 부호는 음에서 양으로 바뀐다. 이를 정리하면 다음과 같다.</p> <p>정리 3.1.2</p> <p>일계 도함수 판정법</p> <p>\( f(x) \)가 \( x=c \)에서 연속이고 \( c \)의 근방에서 미분가능 \( (x=c \)에서 미분불가능이어도 무방하다)하며 \( x=c \)를 중심으로</p> <p>(1) \( f ^ {\prime } (x) \)의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 \( f(x) \)는 \( x=c \)에서 극댓값을 갖는다.</p> <p>(2) \( f ^ {\prime } (x) \)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 \( f(x) \)는 \( x=c \)에서 극솟값을 갖는다.</p> <p>만일 \( x=c \)의 근방에서 \( f ^ {\prime } (x) \)의 부호가 바뀌지 않으면 함수 \( f(x) \)는 \( x=c \)에서 극값을 갖지 않는다.</p> <p>일계 도함수 판정법을 이용하여 극댓값과 극솟값을 구하려면 우선 임계점을 구해야 한다. 임계점을 이용하여 도함수의 부호표를 만들면 쉽게 극댓값과 극솟값을 구할 수 있다.</p> <p>예제 3.1.4</p> <p>다음 함수의 극댓값과 극솟값을 구하여라.</p> <p>(1) \( f(x)=x ^ { 3 } -3 x ^ { 2 } -1 \) (2) \( g(x)=x ^ {\frac { 2 } { 3 } } \) (3) \( h(x)=x ^ {\frac { 1 } { 3 } } \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -6 x=3 x(x-2) \) 이므로 임계점은 \( x=0,2 \)이다.</p> <p>\( f(x) \) 는 \( x=0 \) 에서 극댓값 \( f(0)=-1 \) 를 갖고 \( x=2 \) 에서 극솟값 \(f(2)=-5 \)를 갖는다.</p> <p>평균값 정리의 기하학적 의미는 다음과 같다.</p> <p>미분가능한 함수의 그래프 위의 두 점 \( A(a, f(a)), B(b, f(b)) \)를 잇는 선분의 기울기는 \( \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \)이고 \( f ^ {\prime } (c) \)는 그래프 위의 점 \( (c, f(c)) \)에서의 접선의 기울기를 의미한다. 따라서 평균값 정리는 접선의 기울기가 선분 \( A B \)의 기울기와 같게 되는 점 \( (c, f(c)) \)가 적어도 하나 존재함을 의미한다.</p> <p>예제 3.2.4</p> <p>(1) 폐구간 \( [1,4] \)에서 \( f(x)= \sqrt { x } \)일 때 평균값 정리를 만족하는 \( c \in(1,4) \)가 존재하는가?</p> <p>(2) 폐구간 \( [-2,2] \)에서 \( g(x)=x ^ {\frac { 1 } { 3 } } \)일 때 평균값 정리를 만족하는 \( c \in(-2,2) \)가 존재하는가?</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( f(x)= \sqrt { x } \)는 \( [1,4] \)에서 연속이고 \( (1,4) \)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[f ^ {\prime } (c)= \frac { f(4)-f(1) } { 4-1 } = \frac { 1 } { 3 } \]를 만족하는 \( c \in(1,4) \)가 존재한다. 실제로 \( f ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 2 \sqrt { x } } \)이므로 방정식 \( \frac { 1 } { 2 \sqrt { c } } = \frac { 1 } { 3 } \)을 풀면 \( c= \frac { 9 } { 4 } \)이다. 따라서 평균값 정리를 만족하는 \( c \)가 한 개 존재한다.</p> <p>(2) \( g ^ {\prime } (x)= \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } = \frac { 2 } { 3 \sqrt[3] { x } } \)이고 \( \frac { g(2)-g(-2) } { 2-(-2) } = \frac { 0 } { 4 } =0 \)이다. 임의의 \( c \in(-2,2) \)에 대하여 \( g ^ {\prime } (c) \neq 0 \)이므로 평균값 정리를 만족하는 \( c \in(-2,2) \)는 존재하지 않는다.</p> <p>(2) \( g ^ {\prime } (x)= \frac { 2 } { 3 } x ^ { - \frac { 1 } { 3 } } = \frac { 2 } { 3 \sqrt[3] { x } } \)이므로 임계점은 \( x=0 \)이다.</p> <p>따라서 \( g(x) \)는 \( x=0 \)에서 극솟값 \( g(0)=0 \)을 갖는다.</p> <p>(3) \( h ^ {\prime } (x)= \frac { 1 } { 3 } x ^ { - \frac { 2 } { 3 } } = \frac { 1 } { 3 \sqrt[3] { x ^ { 2 } } } \)이므로 임계점은 \( x=0 \)이다.</p> <p>따라서 \( h(x) \)는 극댓값과 극솟값을 갖지 않는다.</p> <p>이제 최댓값과 최솟값을 정의하여 보자.</p> <p>정의 3.1.3</p> <p>\( f: D \rightarrow \mathbb { R } \)이고 \( c \in D \)라고 하자.</p> <p>(1) 모든 \( x \in D \)에 대하여 \( f(c) \geq f(x) \)이면 \( f(x) \)는 \( x=c \)에서 최댓값(absolute maximum)을 갖는다고 한다.</p> <p>(2) 모든 \( x \in D \)에 대하여 \( f(c) \leq f(x) \)이면 \( f(x) \)는 \( x=c \)에서 최솟값(absolute minimum)을 갖는다고 한다.</p> <p>연속인 함수는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는가? 이 질문의 대답은 연속인 함수의 정의역에 의해 결정된다.</p> <p>예제 3.1.5</p> <p>\( f: D \rightarrow \mathbb { R } \)가 \( f(x)=x ^ { 2 } + 1 \)일 때 다음 각각의 정의역에 대하여 \( f(x) \)의 최솟값과 최댓값을 구하여라.</p> <p>(1) \( D=(-1,2) \) (2) \( D=[-1,2] \) (3) \( D=(0,2) \) (4) \( D=(0,2] \)</p> <p>풀이</p> <p>주어진 정의역에서 \( f(x) \)의 그래프를 그려보면 쉽게 알 수 있다.</p> <p>(1) \( f(x) \)는 \( x=0 \)에서 최솟값 \( f(0)=1 \)을 갖지만 최댓값은 갖지 않는다.</p> <p>(2) \( f(x) \) 는 \( x=0 \)에서 최솟값 \( f(0)=1 \)을 갖고 \( x=2 \)에서 최댓값 \( f(2)=5 \)를 갖는다.</p> <p>(3) \( f(x) \)는 최솟값과 최댓값 모두를 갖지 않는다.</p> <p>(4) \( f(x) \)는 최솟값을 갖지 않지만 \( x=2 \)에서 최댓값 \( f(2)=5 \)를 갖는다.</p> <p>앞 예제에서 \( x=-1, x=3 \)에서 \( f ^ {\prime } (x)=0 \)이다. 이제 \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 또는 \( f ^ {\prime } (x) \)이 존재하지 않는 점에 대한 정의를 하고자 한다.</p> <p>정의 3.1.1</p> <p>\( f ^ {\prime } (c)=0 \) 또는 \( f ^ {\prime } (c) \)가 존재하지 않는 \( f \) 의 정의역 안의 점 \( x=c \)를 함수 \( f \) 의 임계점(critical point)이라고 한다.</p> <p>예제 3.1.3</p> <p>다음 함수의 임계점을 구하여라.</p> <p>(1) \( f(x)=x ^ { 3 } -3 x \) (2) \( g(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 1 } \) (3) \( h(x)=\|x\| \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \quad \quad \quad \quad \quad f ^ {\prime } (x)=3 x ^ { 2 } -3=3(x-1)(x + 1) \)</p> <p>이므로 \( f ^ {\prime } (1)=0 \) 이고 \( f ^ {\prime } (-1)=0 \) 이다. 따라서 임계점은 \( x=1 \)과 \( x=-1 \) 이다.</p> <p>(2) \( \quad \quad \quad \quad \quad g ^ {\prime } (x)= \frac { -2 x } {\left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 2 } } \)</p> <p>이므로 \( g ^ {\prime } (0)=0 \)이다. 따라서 임계점은 \( x=0 \)이다.</p> <p>(3) \( \quad \quad \quad \quad \quad h ^ {\prime } (x)= \frac { x } { \|x\| } \)</p> <p>이므로 \( h ^ {\prime } (0) \)은 정의되지 않는다. 따라서 임계점은 \( x=0 \)이다.</p> <p>함수가 어떤 점의 근방에서 가장 큰 값을 가지면 이를 극댓값이라고 한다. 이때 점의 근방은 주어진 점을 포함하는 작은 개구간을 의미한다. 같은 방법으로 함수가 어떤 점의 근방에서 가장 작은 값을 가지면 이를 극솟값이라고 하며 이에 대한 엄밀한 수학적 정의는 다음과 같다.</p> <p>정의 3.1.2</p> <p>함수 \( f: D \rightarrow \mathbb { R } \)이라고 하자. \( c \in D \)이고 적당한 개구간 \( I \)가 존재하여 \( c \in I \)라고 할 때</p> <p>예제 3.1.6</p> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x } \)은 \( (0,1) \)에서 연속이지만 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖지 않는다.</p> <p>다음은 함수가 최댓값과 최솟값을 가질 수 있는 조건에 관한 정리이다.</p> <p>정리 3.1.3</p> <p>최대, 최소정리</p> <p>함수 \( f \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이면 \( f(x) \)는 최댓값과 최솟값을 갖는다.</p> <p>폐구간 \( [a, b] \)에서 정의된 연속함수의 최댓값과 최솟값은 다음과 같이 구한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( (a, b) \)내의 함수 \( f \)의 임계점에서의 함숫값을 구한다.</li> <li>\( f(a) \)와 \( f(b) \)를 구한다.</li> <li>(1)과 (2)의 값들 중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.</li></ol> <p>예제 3.1.7</p> <p>구간 \( [0,1] \)에서 함수 \( f(x)=x-x ^ { 3 } \)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>함수 \( f(x)=x-x ^ { 3 } \)는 폐구간 \( [0,1] \)에서 연속이다.</p> <p>\( f ^ {\prime } (x)=1-3 x ^ { 2 } \)이므로 \( x=- \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \)과 \( x= \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \)이 임계점이고 구간 \( [0,1] \)에 속한 값은 \( x= \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \)이다. \( f \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 3 } \right )= \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 9 } \)이고, 또한 폐구간의 양쪽 끝점에서의 함수 값은 \( f(0)=0 \)이고 \( f(1)=0 \)이다. 따라서 최댓값은 \( \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 9 } \)이고 최솟값은 0이다.</p> <p>예제 3.1.8</p> <p>구간 \( [-2,3] \)에서 함수 \( f(x)=\|x\| + 1 \)의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>함수 \( f(x)=\|x\| + 1 \)은 폐구간 \( [-2,3] \)에서 연속이다. \[f ^ {\prime } (x)= \left \{\begin {array} { cc } 1, & x>0 \\-1, & x<0 \\ \text { 존재하지 않는다, } & x=0 \end {array} \right . \]이므로 임계점은 \( x=0 \)이고 \( f(0)=1 \)이다. 또한 폐구간의 양쪽 끝점에서의 함숫값은 \( f(-2)=3 \)이고 \( f(3)=4 \)이다. 따라서 최솟값은 1이고 최댓값은 4이다.</p> <p>실제로 예제 3.2.4의 (2)에서 함수 \( g \)는 \( (-2,2) \)에서 미분가능하지 않으므로 평균값 정리가 적용되지 않는다.</p> <p>평균값 정리의 식 \( f ^ {\prime } (c)= \frac { f(b)-f(a) } { b-a } \)를 고쳐쓰면 \[f(b)=f(a) + (b-a) f ^ {\prime } (c) \]형으로 쓸 수 있고, 이 식에 \( b=a + h, c=a + \theta h\), \(0< \theta<1 \)를 대입하면 평균값 정리의 다른 형 \[f(a + h)=f(a) + h f ^ {\prime } (a + \theta h), 0< \theta<1 \]을 얻는다. 여기서 \( h \)가 충분히 작은 수이면 \( a + \theta h \)는 \( a \)와 근사적으로 같으므로 \[f(a + h) \approx f(a) + h f ^ {\prime } (a) \]으로 나타낼 수 있다.</p> <p>예제 3.2.5</p> <p>평균값 정리를 이용하여 \( \sqrt { 102 } \)의 근삿값을 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( f(x)= \sqrt { x } \)라고 하면 \( f(x) \)는 구간 \( [100,102] \)에서 연속이고 \( (100,102) \)에서 미분가능하므로 평균값 정리를 활용할 수 있고, \( a=100\), \(h=2 \)로 나타내면 \( \sqrt { 102 } \)의 근삿값은 \[ \begin {aligned} \sqrt { 102 } &=f(102) \approx f(100) + h f ^ {\prime } (100) \\&= \sqrt { 100 } + 2 \cdot \frac { 1 } { 2 \sqrt { 100 } } =10 + 0.1=10.1 \end {aligned} \]을 얻는다.</p> <p>예제 3.2.6</p> <p>함수 \( f \)가 \( [-1,3] \)에서 연속이고 모든 \( x \in(-1,3) \)에 대하여 \[2 \leq f ^ {\prime } (x) \leq 5 \]일 때, \[8 \leq f(3)-f(-1) \leq 20 \]이 성립함을 증명하여라.</p> <p>증명</p> <p>\( f(x) \)가 \( [-1,3] \)에서 연속이고 모든 \( x \in(-1,3) \)에 대하여 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(3)-f(-1) } { 3-(-1) } = \frac { 1 } { 4 } (f(3)-f(-1)) \]인 \( c \in(-1,3) \)가 존재한다. 가정에 의하여 \( 2 \leq f ^ {\prime } (x) \leq 5 \)이므로 \[2 \leq \frac { 1 } { 4 } (f(3)-f(-1)) \leq 5 \]이 성립하고 이를 정리하면 \[8 \leq f(3)-f(-1) \leq 20 \]이다.</p>	자연
s374-미적분학	<h3>2) 불연속함수의 경우</h3> <p>불연속함수는 최대·최소의 정리, 중간값의 정리가 성립하지 않는다. 다음 그림과 같이 폐구간 \( [a, b] \)에서 정의되고 \( x=c \)에서 불연속인 두 함수 \( f(x), g(x) \)가 있다.</p> <p>예 닫힌 구간 \( [2,4] \)에서 함수 \( f(x)= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \)의 최대값과 최소값을 각각 구하여보자.</p> <p>풀이 \( f(x)= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } = \frac { 3 } { x-1 } + 2 \)는 폐구간 \( [2,4] \)에서 연속이다. 따라서 구간 \( [2,4] \)에서 최대값과 최소값이 존재한다. 그리고 \( f \)는 단조감소함수이다. 그러므로 \( f(x) \) 는 양 끝점에서, 즉 \( x=2 \)에서 최대값 5, \(x=4 \)에서 최소값 3을 갖는다.</p> <p>예 \( \quad f(x)= \left \{\begin {array} { c } \frac {\ln x } { x-1 } (x \neq 1) \\ k \\ (x=1) \end {array} \right . \) \( f(x) \) 가 \( x=1 \)에서 연속이 되도록 상수 \( k \)의 값을 구해보자.</p> <p>풀이 \( x=1 \)에서 연속이므로 \( \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)=f(1) \)이 성립한다. 따라서, \( \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac {\ln x } { x-1 } =k \) 이다. \( x-1=t \)라 하면 \( x=t + 1 \)이다. 그리고 \( x \rightarrow 1 \)일 때, \( t \rightarrow 0 \)이다. 따라서 함수 \( f \) 가 \( x=1 \)에서 연속이 되기 위하여 다음 관계가 성립한다. \[ \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac {\ln x } { x-1 } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\ln (1 + t) } { t } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \ln (1 + t) ^ {\frac { 1 } { t } } =1 \] 그러므로 연속이기 위하여 구하는 \( k=1=f(1) \)이어야 한다.</p> <p>예 \[f(x)= \left \{\begin {array} { ll } x \sin \frac { 1 } { x } & (x \neq 0) \\k & (x=0) \end {array} \right . \] \[ \left \|x \sin \frac { 1 } { x } \right \| \leqq\|x\|(x \neq 0) \text { 이다. 그러므로 } \lim _ { x \rightarrow 0 } x \sin \frac { 1 } { x } =0 \text { . } \] 따라서 \( k=0 \) 일 때 \( f(x) \) 는 \( x=0 \) 에서 연속이다. 그러나 \( k \neq 0 \) 일 때 \( f(x) \) 는 \( x=0 \)에서 불연속이다.</p> <p>예 그림은 함수 \( y=x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x } \)의 그래프이다. 따라서 \( (- \infty, + \infty) \)에서 연속이다.</p> <h1>폐구간에서 연속함수의 특별한 성질</h2> <h2>최대값·최소값의 정리</h2> <p>함수 \( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이면, \( f(x) \) 는 구간 \( [a, b] \)에서 반드시 최대값과 최소값을 갖는다.</p> <h2>중간값의 정리</h2> <p>\( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( f(a) \neq f(b) \)이면, \( f(a) \) 와 \( f(b) \) 사이의 임의의 실수 \( k \) 에 대하여 \( f(c)=k \)인 \( c \)가 \( a \)와 \( b \) 사이에 적어도 하나 존재한다.</p> <p>따름정리 함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( f(a) \)와 \( f(b) \)의 부호가 서로 다르면, \( a \)와 \( b \)사이에 \( f(c)=0 \)인 근 \( c \)가 적어도 하나 존재한다.</p> <p>그림설명]</p> <p>0은 \( f(a) \) 와 \( f(b) \) 사이의 값이다. 그러므로 중간값 정리에 의하여 \( f(c)=0 \)이 되는 실근 \( c \)가 \( a \)와 \( b \) 사이에 적어도 하나 존재한다.</p> <h2>함수의 최대 최소에 관한 주의점</h2> <h3>1) 개구간의 경우</h3> <p>개구간에서는 함수 \( f(x) \)가 연속이더라도 최대값 또는 최소값이 존재하지 않을 수도 있다. 그래프 그림에서 개구간 \( (a, b) \)에서 \( f(x), g(x), h(x) \)는 연속함수이다. 그러나 세 함수 \( f(x), g(x), h(x) \)는 최대값 그리고 최소값이 존재하지 않는다.</p> <h3>(2) 우극한(값)</h3> <p>함수 \( f(x) \)에서 \( x \)가 \( a \)의 우측에서 \( a \)에 수렴해갈 때, \( f(x) \)의 값이 일정한 값 \( L \)에 수렴해 갈 때 \( L \)을 \( x=a \)에서 \( f(x) \)의 우극한이라 한다. 그리고 기호로는 다음과 같이 나타낸다. \( \lim _ { x \rightarrow a + } f(x)=L \)</p> <h3>(3) (좌극한) \( = \) (우극한)</h3> <p>일 때, 함수 \( f(x) \) 는 \( x=a \) 에서 극한값이 존재한다. \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow a + 0 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a-0 } f(x)= \alpha \\ \Longleftrightarrow \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \quad \text { (극한값 존재) } \end {array} \]</p> <h3>(4) \( \) (좌극한) \( \neq \) (우극한)</h3> <p>일 때, 극한값이 없다. \[ \lim _ { x \rightarrow a + 0 } f(x) \neq \lim _ { x \rightarrow a-0 } f(x) \Rightarrow \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \text { 는 극한값이 없다. } \]</p> <p>정리 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \)일 필요충분조건은 \( \lim _ { x \rightarrow a- } f(x)=L \) 이고 \( \lim _ { x \rightarrow a + } f(x)=L \)이다. 함수 \( f(x) \) 가 \( x=a \)에서 극한이 \( L \)이 존재하면, 좌극한과 우극한도 존재한다. 그리고 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x) \)</p> <p>예 \( f(x)= \frac { \|x\| } { x } \)가 정의되지 않은 점 \( x=0 \)에서 좌극한, 우극한을 구해보자.</p> <p>우극한 : \( \lim _ { x \rightarrow 0 + } \frac { \|x\| } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 + } \frac { x } { x } =1 \). 좌극한 : \( \lim _ { x \rightarrow 0- } \frac { \|x\| } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0- } \frac { -x } { x } =-1 \) 좌극한 \( \neq \) 우극한이므로 \( f(x)= \frac { \|x\| } { x } \)는 \( x=0 \)에서 극한이 존재하지 않는다.</p> <p>예<ul> <li>1) 함수 \( f(x)= \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \)의 그래프에서 \( x \rightarrow 0 \)일 때 \( f(x) \)의 값은 한없이 커진다. 즉, \( \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \infty \)</li> <li>\( 2) \) 함수 \( f(x)=- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \)에서 \( x \rightarrow 0 \)일 때 \( f(x) \)는 음수이면서 그 절대값이 한없이 커진다. 즉, \( \lim _ { x \rightarrow 0 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \left (- \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right )=- \infty \)</li></ul></p> <p>정의 함수의 극한 \( \epsilon- \delta \) 정의 임의의 양수 \( \epsilon>0 \)에 대하여 적당한 \( \delta>0 \)가 존재하여서, \( 0<\|x-a\|< \delta \) 를 만족하는 모든 \( x \)에 대하여 \( \|f(x)-L\|< \epsilon \) 이 성립할 때, \( L \)을 함수 \( f \)의 \( a \)에서의 극한이라고 부른다.</p> <p>정리 수열에 의한 함수의 극한 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \) 과 동치인 필요충분 조건은 다음과 같다. \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =a \) (단 \( x_ { n } \neq a \) )인 모든 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \)에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } f \left (x_ { n } \right )=L \) 이 성립하는 것이다.</p> <p>증명<ul> <li>1) \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \)이라고 가정하자. 따라서 임의의 양의 실수 \( \epsilon \)에 대하여 적당한 양의 실수 \( \delta \)가 존재하여 \( 0<\|x-a\|< \delta \)이면, \( \|f(x)-L\|< \epsilon \)이다. \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =a \) 을 만족하는 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \)을 임의로 택하자. 따라서 위에서 택한 \( \delta \)에 대하여 자연수 \( N \)이 존재하여 \( n>N \)이면, \( 0< \left \|x_ { n } -a \right \|< \delta \)이 성립한다. 그러므로 모든 \( n>N \)에 대하여 \( \left \|f \left (x_ { n } \right )-L \right \|< \epsilon \)이다. 따라서 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } f \left (x_ { n } \right )=L \)이다.</li> <li>2) 역을 귀류법으로 증명해보자. 즉 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =a \)인 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \) 있어서 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } f \left (x_ { n } \right ) \neq L \)이라고 가정하자. 그러면 임의로 \( \delta>0 \) 택하더라도 적당한 \( \epsilon>0 \) 있어서 \( 0<\|x-a\|< \delta \) 이고 \( \|f(x)-L\| \geqq \epsilon \)을 만족하는 \( x \)가 존재한다. 이제 \( \delta= \frac { 1 } { n } (n=1,2,3, \cdots) \)로 택하자. 그러면 \( 0< \left \|x_ { n } -a \right \|< \frac { 1 } { n } \)이고 \( \left \|f \left (x_ { n } \right )-L \right \| \geqq \epsilon \)을 만족하는 \( x_ { n } \)이 존재한다. 이렇게 얻는 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \) 은 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x_ { n } =a \) 이지만 \( \left \|f \left (x_ { n } \right )-L \right \| \geqq \epsilon \) 이다. 그러므로 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } f(x) \neq L \) 이다.</li></ul></p> <p>예 \( \left \{\frac { 3 ^ { n } -4 ^ { n } } { 5 ^ { n } + 2 ^ { n } } \right \} \) 의 극한값을 구하여보자.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 ^ { n } -4 ^ { n } } { 5 ^ { n } + 2 ^ { n } } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { n } - \left ( \frac { 4 } { 5 } \right ) ^ { n } } { 1 + \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { n } } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { 3 } { 5 } \right ) ^ { n } - \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { 4 } { 5 } \right ) ^ { n } } { 1 + \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { n } } \\&= \frac { 0-0 } { 1 + 0 } =0 \end {aligned} \]</p> <p>따라서 주어진 수열은 수렴하고, 그 극한값은 0이다.</p> <h2>수열의 수렴 및 극한 고급 주제</h2> <h3>수열의 수렴 및 극한에 대한 \( \epsilon-N \) 정의</h3> <p>수열 \( a_ { n } \)이 \( L \)에 수렴할 필요충분 조건</p> <p>임의의 양수 \( \epsilon>0 \)에 대하여, 적당한 양의 정수 \( N \) 이 존재하여, \( n \geqq N \)이면, \( \left \|a_ { n } -L \right \|< \epsilon \) 이 성립한다. 즉 \( L \)을 중심으로 임의로 \( \epsilon \)-근방인 구간 \( (L- \epsilon, L + \epsilon) \)을 정하면, 적당한 자연수 \( N \)이 있어서, \( N \leq n \)인 모든 \( a_ { n } \)이 \( L- \epsilon<a_ { n }<L + \epsilon \) 이다. 즉 \( N \leq n \)인 모든 \( a_ { n } \)이 구간 \( (L- \epsilon, L + \epsilon) \) 안에 놓여 있다는 의미이다. \( \left [ \forall \epsilon>0, \exists \mathrm { N } \right . \) such that \( \left . \mathrm { n } \geq \mathrm { N } \Rightarrow \left \|a_ { n } -L \right \|< \epsilon \right ] \).</p> <p>예제 1) 수열 \( \left \{ 1- \frac { 1 } { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 은 유계한 증가수열이다. 왜나하면 \( m=0, M=1 \) 을 택하면 모든 자연수 \( n \) 에 대하여 \( 0 \leqq \left (1- \frac { 1 } { n } \right )= \frac { n-1 } { n } \leqq 1 \) 이 성립한다.</p> <p>2) 수열 \( \left \{\frac { 2 ^ { n } } { n ! } \right \} _ { n=2 } ^ {\infty } \) 는 유계한 감소수열이다. 왜냐하면, \(0< \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } = \frac { 2 ^ { n + 1 } } { (n + 1) ! } \cdot \frac { n ! } { 2 ^ { n } } = \frac { 2 } { n + 1 }<1 \)이다. 그러므로 모든 자연수 \( n \geqq 3 \) 에 대하여 \( 2=a_ { 2 } >a_ { n } >a_ { n + 1 } \geqq 0 \)이다.</p><p>정리 1) 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이 수렴하면 유계하다.</p> <p>2) 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이 유계하지 않으면 발산한다.</p> <p>3) 위로 유계한 증가수열은 수렴한다. 아래로 유계한 감소수열은 수렴한다.</p> <p>4) 유계한 단조(증가 또는 감소)수열은 수렴한다.</p> <p>5) 수열이 \( a_ { n } \rightarrow A \)으로 수렴하는 필요충분조건은 \( \left \|a_ { n } -A \right \| \rightarrow 0 \)이다.</p><p>중요한 수열의 극한</p><p>(1) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\ln n } { n } =0 \)</p> <p>(2) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \sqrt[n] { n } =1 \)</p> <p>(3) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x ^ {\frac { 1 } { n } } =1 \), (단 \( x>0 \) )</P> <P>(4) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } x ^ { n } =1, \quad(\|x\|<1) \)</p> <p>(5) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { x } { n } \right ) ^ { n } =e ^ { x } \) (모든 실수 \( x \) )</p> <p>(6) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { x ^ { n } } { n ! } =0 \) (모든 실수 \( x \) )</p> <p>(7) \( \alpha>0 \) 일 때, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ {\alpha } } =0 \)</p> <p>정리 연속함수의 기본 성질 두 함수 \( f(x), g(x) \)가 점 \( x=a \) 에서 또는 구간 \( I \) 에서 연속이면, 다음 각 함수도 점 \( x=a \) 또는 구간 \( I \) 에서 연속이다.<ul> <li>(1) \( f(x) \pm g(x) \)</li> <li>(2) \( k f(x) \) (단, \( k \) 는 상수)</li> <li>(3) \( f(x) \cdot g(x) \)</li> <li>(4) \( \frac { f(x) } { g(x) } \) (단, \( g(x) \neq 0 \) )</li> <li>(5) \( (f \circ g)(x) \) (단, \( g(x) \) 의 치역이 \( f(x) \) 의 정의역 안에 포함)</li></ul></p> <p>증명<ul> <li>(1) 주어진 구간의 임의의 한 점을 \( x=a \) 라고 하자. 그러면 \( f(x), g(x) \)가 \( x=a \)에서 연속이다. 그러므로 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a), \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=g(a) \) 이다. 그리고, 함수의 극한의 성질에 의하여 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \{ f(x) + g(x) \} = \lim _ { x \rightarrow a } f(x) + \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=f(a) + g(a) \]이다. 그러므로 함수 \( f(x) + g(x) \) 는 \( x=a \)에서 연속이다. 동일한 논법으로 구간 \( I \)의 임의의 점 \( x \in I \) 에 대해서 연속임을 증명할 수 있다. 따라서 함수 \( (f + g)(x)=f(x) + g(x) \) 는 구간 \( I \)에서 연속이다. 같은 논법으로 함수 \( (f-g)(x),(f \cdot g)(x), \left ( \frac { f } { g } \right )(x) \) 에 대해서도 각각 연속임이 증명된다.</li> <li>(5) 합성함수의 연속성에 대하여 증명해보자. 함수 \( f(x) \)가 \( x=a \)에서 연속이고 \( g(y) \)가 \( y=f(a) \)에서 연속이라고 가정하자. 합성함수 \( (g \circ f)(x)=g(f(x)) \)이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } (g \circ f)(x)= \lim _ { x \rightarrow a } g(f(x)) \\=g \left ( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \right )=g(f(a))=(g \circ f)(a) \end {aligned} \]가 성립한다. 따라서, 합성함수 \( (g \circ f)(x) \) 는 \( x=a \)에서 연속이다.</li></ul></p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } {\sin x } \)의 극한을 구해보자. (단, \( e \) 는 자연로그의 밑이다.)</p> <p>풀이 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } {\sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { x } \cdot \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { x } {\sin x } =1 \]</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x \sin x } \)의 극한을 구해보자.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x \sin x } &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { (1- \cos x)(1 + \cos x) } { x \sin x(1 + \cos x) } \\&= \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x ^ { 2 } } { x \sin x(1 + \sin x) } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x(1 + \cos x) } = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \]</p> <h1>\( 5.3 \) 함수의 연속성</h1> <p>생각하기<ul> <li>1) \( f(x)= \frac { \|x-1\| } { x-1 } \)일 때, \( f \)는 \( x=1 \)에서 정의되지 않았다. 그림과 같이 \( x=1 \)에서 그래프가 연결되어 있지 않다.</li> <li>(2) \( f(x)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { \|x-1\| } { x-1 } & (x \neq 1) \\ 1 & (x=1) \end {array} \right . \) 이 함수는 \( f(1)=1 \)으로 정의되어있다. 하지만 극한값 \( \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x) \)이 존재하지 않는다. 그림을 보면 \( x=1 \)에서 그래프가 연결되어 있지 않다.</li> <li>(3) \( f(x)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } & (x \neq 1) \\ 1 & (x=1) \end {array} \right . \) \( f(1)=1 \) 이고, \( \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)=2 \)이다. 하지만 \( f(1) \neq \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x) \)이다. 그림을 보면 \( x=1 \)에서 연결되어 있지 않다.</li> <li>(4) 함수 \( f(x) \) 를 \( f(x)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } & (x \neq 1) \\ 2 & (x=1) \end {array} \right . \) 으로 정의하자. 이 함수의 그래프는 그림과 같이 \( x=1 \)에서 연결되어 있고, 다음이 성립한다. \[f(1)=2, \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)=2 \quad \therefore \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)=f(1) \] 이러한 함수를 연속함수라고 부른다.</li></ul></p> <p>예 \( p \% \)의 소금물 \( 100 \mathrm { g } \)에서 \( 40 \mathrm { g } \)의 소금물을 덜어내고, 물 \( 30 \mathrm { g } \)과 소금 \( 10 \mathrm { g } \)을 다시 넣었을 때의 소금물의 농도를 \( p_ { 1 } \% \)라고 하자. 같은 시행을 \( n \)번 반복하였을 때, 소금물의 농도를 \( p_ { n } \% \)라고 하자. \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { n } \)의 값을 구하여보자.</p> <p>풀이 농도가 \( p_ { n } \% \)인 소금물 \( 100 \mathrm { g } \)에서 소금의 양은 \( \frac { p_ { n } } { 100 } \times 100( \mathrm { g } ) \)이다. 농도가 \( p_ { n } \% \)인 소금물 \( 100 \mathrm { g } \)에서 \( 40 \mathrm { g } \)의 소금물을 덜어 내고 물 \( 30 \mathrm { g } \)과 소금 \( 10 \mathrm { g } \)을 다시 넣었을 때의 소금물의 농도는 \( p_ { n + 1 } \% \)이다. 그러므로 소금의 양은 다음 관계식을 만족한다. \[ \frac { p_ { n + 1 } } { 100 } \times 100= \frac { p_ { n } } { 100 } \times 100- \frac { p_ { n } } { 100 } \times 40 + 10 \] 이때, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { n + 1 } = \lim _ { n \rightarrow \infty } p_ { n } = \alpha \) 라고 하자. 그러면 위 식은 \( \alpha= \frac { 3 } { 5 } \alpha + 10 \)이다. 따라서 \( \alpha=25 \).</p> <h1>\( 5.2 \) 함수의 극한</h1> <h2>함수의 극한</h2> <p>함수 \( f(x) \)의 변수 \( x \)가 \( a \)에 가까이 갈 때, \( f(x) \)가 일정한 값 \( L \)에 가까이 간다면 \( f(x) \)는 \( L \)에 수렴한다고 한다. 그리고 기호로는 다음과 같이 쓴다. \[ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \text { 또는 } x \rightarrow a \text { 일 때 } f(x) \rightarrow L \] 이때, \( L \)을 \( x \rightarrow a \) 에 수렴할 때 \( f(x) \)의 극한값 또는 극한이라고 부른다.</p> <h2>\( e \), 오일러 그리고 연분수</h2> <p>\( e \) 는 무리수이기 때문에 소수로 나타내면 어떠한 규칙성도 찾아볼 수 없다. 그런데 무한 연분수 형식을 사용하면, 이 수를 단순한 규칙으로 나타낼 수 있다. 아래 연분수는 오일러(Euler, L. ; 1707 ~ 1783)가 발견하였다. \[ e=2 + \frac { 1 } { 1 + \frac { 1 } { 2 + \frac { 2 } { 3 + \frac { 3 } { 4 + \frac { 4 } { 5 + \frac { 5 } { 6 + \cdots } } } } } } \]</p> <h3>자연로그(자연대수)</h3> <p>무리수 \( e \)를 밑으로 하는 로그 \( \log _ { e } x \)를 자연로그라고 부른다. 이때, 자연로그는 \( \log _ { e } x \)에서 밑 \( e \)를 생략하고 간단히 \[ \ln x \]와 같이 나타낸다. 즉, \( \log _ { e } x= \ln x \) 이다. 특히, \( \ln 1= \log _ { e } 1=0, \ln e= \log _ { e } e=1 \)이다.</p> <h3>자연로그의 성질</h3> <p>\( (x>0, y>0 \)일 때 \( ) \)<ul> <li>(1) \( \ln 1=0, \ln e=1 \)</li> <li>(2) \( \ln x y= \ln x + \ln y \)</li> <li>(3) \( \ln \frac { x } { y } = \ln x- \ln y \)</li> <li>(4) \( \ln x ^ { n } =n \ln x \) (단, \( n \)은 임의의 실수)</li></ul></p> <p>예 다음 극한 값을 구하여보자.<ul> <li>(1) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln (1 + x) } { x } \)</li> <li>(2) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { x } \)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(1) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln (1 + x) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x } \ln (1 + x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \ln (1 + x) ^ {\frac { 1 } { x } } = \ln e=1 \)</li> <li>(2) \( e ^ { x } -1=t \) 로 놓으면 \( e ^ { x } =1 + t \)이다. 따라서 \( x= \ln (1 + t) \) \( x \rightarrow 0 \)일 때, \( t \rightarrow 0 \)이므로 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { x } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\ln (1 + t) } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 1 } {\frac {\ln (1 + t) } { t } } =1 \]</li></ul></p> <p>예 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } =0 \) 으로 수렴함을 \( \epsilon-N \) 논법으로 설명해보자.</p> <p>풀이 임의의 \( \epsilon>0 \) 에 대하여, 양의 정수 \( N>\frac { 1 } {\epsilon } \) 인 \( N \)을 택할 수 있다. \( n \geqq N \)이면 \( 0< \frac { 1 } { n } \leqq \frac { 1 } { N }< \epsilon \)이다. 그러므로, 모든 \( n \geqq N \)에 대하여 \( \left \| \frac { 1 } { n } -0 \right \|< \epsilon \)이다. 따라서 \( \frac { 1 } { n } \)은 0으로 수렴한다.</p> <p>정리 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 이 수렴하면 극한은 유일하다. 즉 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =A \text { 이고 } \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =B \text { 이면, } A=B \text { 이다. } \]</p> <p>정의 유계수열</p> <ul> <li>1) 수열의 모든 항 \( a_ { n } \) 이 유계구간(bounded interval) 안에 있을 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 유계하다고 말한다. 즉 적당한 양수 \( M \)가 존재하여 모든 \( n \) 에 대하여 \( \left \|a_ { n } \right \| \leqq M \)이다./li> <li>2) 적당한 실수 \( m \)이 존재하여 모든 \( a_ { n } \) 이 \( m \leqq a_ { n } \)일 때 수열은 아래로 유계하다고 말한다.</li> <li>3) 적당한 실수 \( M \)이 존재하여 모든 \( a_ { n } \) 이 \( a_ { n } \leqq M \)일 때, 수열은 위로유계하다고 말한다.</li></ul> <p>정의 증가수열, 감소수열, 단조수열</p> <ul> <li>1) 모든 \( n \)에 대하여 \( a_ { n }<a_ { n + 1 } \)일 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)은 증가수열이라고 부른다.</li> <li>2) 모든 \( n \)에 대하여 \( a_ { n } \leqq a_ { n + 1 } \)일 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)은 감소하지 않는 수열이라고 부른다.</li> <li>3) 모든 \( n \)에 대하여 \( a_ { n } >a_ { n + 1 } \)일 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)은 감소수열이라고 부른다.</li> <li>4) 모든 \( n \)에 대하여 \( a_ { n } \geqq a_ { n + 1 } \)일 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)은 증가하지 않는 수열이라고 부른다.</li></ul> <p>이러한 유형들의 수열들을 단조수열이라고 부른다.</p> <h2>로그함수의 극한</h2> <p>양의 실수 밑 \( a \neq 1 \) 의 로그함수 \( y= \log _ { a } x \) 의 그래프는 \( a \) 의 값에 따라 그림과 같다. 그래프에서 로그함수 \( y= \log _ { a } x \) 의 극한값은 다음과 같다.</p> <ul> <li>(1) \( a>1 \)일 때, \( \lim _ { x \rightarrow \infty } \log _ { a } x= \infty, \lim _ { x \rightarrow + 0 } \log _ { a } x=- \infty \)</li> <li>(2) \( 0<a<1 \)일 때, \( \lim _ { x \rightarrow \infty } \log _ { a } x=- \infty, \lim _ { x \rightarrow + 0 } \log _ { a } x= \infty \)</li></ul></p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln (x + 1) } { x } \) 극한을 구해보자.</p> <p>풀이 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln (1 + x) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { x } \ln (1 + x)= \lim _ { x \rightarrow 0 } \ln (1 + x) ^ {\frac { 1 } { x } } = \ln e=1 \)</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a ^ { x } -1 } { x } \) 을 구해보자.</p> <p>\( a ^ { x } -1=t \)로 놓으면 \( a ^ { x } =1 + t \quad \therefore x= \log _ { a } (1 + t) \) 또한, \( x \rightarrow 0 \)일 때 \( t \rightarrow 0 \)이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { a ^ { x } -1 } { x } &= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\log _ { a } (1 + t) } \\&= \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 1 } {\frac { 1 } { t } \log _ { a } (1 + t) } \\&= \frac { 1 } {\log _ { a } e } = \log _ { e } a= \ln a \end {aligned} \]</p> <h2>극한값이 존재하지 않는 경우</h2> <p>좌극한 또는 우극한이 존재하지 않거나, 좌극한과 우극한이 존재하지만 서로 다른 값을 가질 때, 극한값은 존재하지 않는다.</p> <h3>1) 좌극한과 우극한이 존재하지 않는다.</h3> <p>\( \lim _ { x \rightarrow-0 } g(x)=- \infty \quad \lim _ { x \rightarrow + 0 } g(x)= \infty \)</p> <h3>2) 좌극한과 우극한이 존재하지만 서로 다른 값을 가진다.</h3> <p>\( \lim _ { x \rightarrow a-0 } h(x)=c \quad \lim _ { x \rightarrow a + 0 } h(x)=b \quad \lim _ { x \rightarrow a-0 } k(x)=b \quad \lim _ { x \rightarrow a + 0 } k(x)=0 \)</p> <p>예 \( f(x)= \frac { x-1 } { x ^ { 2 } -1 } \)에 대하여 \( x=1 \)에서 극한 \( \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x-1 } { x ^ { 2 } -1 } \)이 존재하는지 알아보자.</p> <p>풀이 먼저 함수 \( f \) 는 \( x \neq 1 \) 인 모든 실수에서 정의된 함수이다. 우극한: \( \lim _ { x \rightarrow 1 + } \frac { x-1 } { x ^ { 2 } -1 } = \lim _ { x \rightarrow 1 + } \frac { x-1 } { (x + 1)(x-1) } = \lim _ { x \rightarrow 1 + } \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \) 여기서 \( x>1 \)에서 분모 및 분자의 인수 \( x-1 \)은 같은 것이므로 약분할 수 있다. 한편 좌극한은 \( \lim _ { x \rightarrow 1- } \frac { x-1 } { x ^ { 2 } -1 } = \lim _ { x \rightarrow 1- } \frac { x-1 } { (x + 1)(x-1) } = \lim _ { x \rightarrow 1- } \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \)이다. 그러므로 \( f(x) \) 는 \( x=1 \)에서 극한이 존재한다. 그리고 \( \lim _ { x \rightarrow 1 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 1 } \frac { x-1 } { x ^ { 2 } -1 } = \frac { 1 } { 2 } \)이다.</p> <h2>함수의 연속성</h2> <p> <ul> <li>(1) 점 \( x=a \)에서 연속의 정의함수 \( f(x) \)가 한 점 \( a \)에 대하여 다음 세 조건을 만족할 때, \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 연속이라고 말한다.<ul> <li>(1) \( x=a \) 근방에서 \( f(x) \)가 정의되어 있고 \( f(a) \) 값이 있다.</li> <li>(2) \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \)가 존재한다. 즉 \( \lim _ { x \rightarrow a-0 } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a + 0 } f(x) \)</li> <li>(3) \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a) \)</li></ul></li> <li>(2) \( x=a \)에서 \( f(x) \)가 불연속 \( f(x) \)가 위의 세 가지 조건 중 어느 하나라도 만족하지 않으면 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 연속이 아니다. 간단히 \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 불연속이라고 말한다.</li> <li>(3) 구간 \( I \)에서의 연속 \( f(x) \)가 어떤 구간 \( I \)의 모든 점 \( x \in I \)에서 연속이면 \( f(x) \)는 구간 \( I \)에서 연속이라고 말한다. 간단히 \( f(x) \)는 구간 \( I \)에서 연속함수라고 말한다.</li></ul></p> <h2>구간의 유형</h2> <p>두 실수 \( a, b \)에 대하여 \( a<b \) 라고 하자. \[ \{ x \mid a \leq x \leq b \} , \{ x \mid a \leq x<b \} , \{ x \mid a<x \leq b \} , \{ x \mid a<x<b \} \] 이와 같은 실수의 집합을 구간이라고 한다. 그리고 위의 구간을 각각 기호로 \( [a, b],[a, b),(a, b],(a, b) \) 쓴다. \( [a, b] \) 를 닫힌 구간, \( (a, b) \) 를 열린 구간, \( [a, b) \) 와 \( (a, b] \) 를 반닫힌 구간 또는 반열린 구간이라고 한다. 또 \( \{ x \mid x \leq a \} , \{ x \mid x<a \} , \{ x \mid x \geq a \} , \{ x \mid x>a \} \) 이들은 유계하지 않은 집합이다. 이런 유형의 구간을 각각 기호로 \[(- \infty, a],(- \infty, a),[a, \infty),(a, \infty) \]으로 쓴다. 특히 실수 전체의 집합을 기호로 \( (- \infty, \infty) \) 와 같이 나타낸다.</p> <p>예 \(f(x)= \left \{\begin {array} { ll } \sqrt { x-4 } & \text { if } x>4 \\ 8-c x & \text { if } x<4 \end {array} \right . \) 함수 \( f(x) \)가 \( x=4 \)에서, \( \lim _ { x \rightarrow 4 } f(x) \)이 존재하도록 상수 \( c \) 값을 구해보자.</p> <p>풀이 극한이 존재하려면 좌극한 우극한이 같아야 한다. 우극한은 \( \lim _ { x \rightarrow 4 + } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 4 + } \sqrt { x-4 } =0 \)이다. 그리고 좌극한은 \( \lim _ { x \rightarrow 4- } f(x)= \lim _ { x \rightarrow 4- } 8-c x=8-4 c \)이다. 따라서 \( 8-4 c=0 \)이 성립한다. 그러므로 \( c=2 \)이다.</p> <p>정리 함수의 극한의 성질 \[ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \alpha, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \beta( \alpha, \beta \text { 는 상수 } ) \text { 이다. } \] 이때 두 함수의 합, 차, 곱, 상의 극한은 다음과 같다.<ul> <li>(1) \( \lim _ { x \rightarrow a } k f(x)=k \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=k \alpha(k \) 는 상수)</li> <li>(2) \( \lim _ { x \rightarrow a } \{ f(x) \pm g(x) \} = \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \pm \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \alpha \pm \beta \) (복부호동순)</li> <li>(3) \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \cdot g(x)= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \cdot \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \alpha \beta \)</li> <li>(4) \( \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac {\lim _ { x \rightarrow a } f(x) } {\lim _ { x \rightarrow a } g(x) } = \frac {\alpha } {\beta } (g(x) \neq 0, \beta \neq 0) \)</li></ul></p> <p>정리 수열에 관한 샌드위치(sandwich) 정리 만약 적당한 자연수 \( N \)이 있어서 \( N \)보다 큰 모든 자연수 \( n \)에 대하여, \( a_ { n } \leqq b_ { n } \leqq c_ { n } \) 이 성립하고, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } =L \) 이 성립하면, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } =L \) 이다.</p> <p>증명 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } =L \) 이므로 \( \left (c_ { n } -a_ { n } \right ) \rightarrow L-L=0 \) 으로 수렴한다. 따라서 수열 \( \left \|c_ { n } -b_ { n } \right \| \rightarrow 0 \) 으로 수렴한다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \left \|b_ { n } -L \right \|= \left \|b_ { n } -c_ { n } + c_ { n } -L \right \| & \leqq \left \|c_ { n } -L \right \| + \left \|b_ { n } -c_ { n } \right \| \\ & \leq \left \|c_ { n } -L \right \| + \left \|a_ { n } -c_ { n } \right \| \rightarrow 0 \end {aligned} \]</p> <p>예제 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\sin ^ { 2 } n } { n } \)을 구하여보자.</p> <p>풀이 \( 0< \frac {\sin ^ { 2 } n } { n }< \frac { 1 } { n } \)이므로 \( \frac { 1 } { n } \rightarrow 0 \)이다. 그러므로 샌드위치 정리에 의하여, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\sin ^ { 2 } n } { n } =0 \)이다.</p> <h2>함수의 발산</h2> <h3>1) 양의 무한대 \( \infty \)로 발산</h3> <p>함수 \( f(x) \) 의 \( x \) 가 \( a \) 에 한없이 가끼이 갈 때, \( f(x) \) 의 값이 무한이 커지면 \( f(x) \) 는 양의 무한대로 발산한다고 한다. 기호로 다음과 같이 쓴다.</p><p>\( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \infty\) 또는 \(x \rightarrow a \)일 때, \(f(x) \rightarrow \infty \)</p> <h3>2) 음의 무한대 \( - \infty \)로 발산</h3> <p>함수 \( f(x) \) 의 \( x \)가 \( a \)에 한없이 가까이 갈 때, \( f(x) \)가 음수이고 절대값 \( \|f(x)\| \)이 한없이 커지면 \( f(x) \)는 음의 무한대로 발산한다고 한다.</p> <p>그리고 기호로 다음과 같이 나타낸다.</p><p> \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=- \infty \) 또는 \( x \rightarrow a \) 일 때, \( f(x) \rightarrow- \infty \)</p> <h3>3) \( x \rightarrow \infty, x \rightarrow- \infty \) 일 때, 함수의 극한</h3> <ul> <li>(3-1) \( x \)가 무한대 \( \infty \) 로 갈 때 \( f(x) \)의 값이 일정한 값 \( L \) 수렴하는 것을 기호로 다음과 같이 쓴다. <br>\( \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=L \) 또는 \(x \rightarrow \infty\)일 때 \(f(x) \rightarrow L \)</li> <li>(3-2) \( x \)가 음수로서 음의 무한대 \( - \infty \) 로 갈 때, 함수 값 \( f(x) \)가 일정한 값 \( L \)에 수렴하는 것을 기호로 다음과 같이 쓴다. <br>\( \begin {array} { c } \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)=L \end{array}\) 또는 <br> \( x \rightarrow- \infty\) 일 때 \(f(x) \rightarrow L \)</li> <li>(3-3) 함수 \( f(x) \)의 값이 양의 무한대나 음의 무한대로 발산할 때 기호로 다음과 같이 쓴다. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)= \infty, \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=- \infty, \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)= \infty, \lim _ { x \rightarrow- \infty } f(x)=- \infty \]</li></ul></p> <p>증명 \( x_ { n } \)이 \( a \)로 수렴하는 수열이라고 하자. 그러면 수열에 의한 함수의 극한 정리에 의하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } f \left (x_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } h \left (x_ { n } \right )=L \text { 이다. } \] 그리고 가정에 의하여 양의 정수 \( N \)이 있어서 \( n>N \)이면 \( x_ { n } \)은 \( f \left (x_ { n } \right ) \leq g \left (x_ { n } \right ) \leq h \left (x_ { n } \right ) \)이 성립한다. 따라서 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } g \left (x_ { n } \right )=L \)이다. 우리는 논의의 수열 \( \left \{ x_ { n } \right \} \)을 임의로 택한 것이므로 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=L \)이다.</p> <p>예제 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x } =0 \)</p> <p>풀이 \( -1 \leqq \sin \frac { 1 } { x } \leqq 1 \) 이므로, \( -x ^ { 2 } \leqq x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x } \leqq x ^ { 2 } \)이다. \( x \rightarrow 0 \)이면, \( -x ^ { 2 } , x ^ { 2 } \rightarrow 0 \)이므로 샌드위치 정리에 의하여 \( x ^ { 2 } \sin \frac { 1 } { x } \rightarrow 0 \)이다.</p> <h1>삼각함수의 극한</h1> <p>예 극한값 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } \)를 구하여보자.</p> <ul> <li>( i ) \( 0<x< \frac {\pi } { 2 } \) 인 경우 그림과 같이 반지름의 길이가 1 인 원 위에 \( \angle \mathrm { AOB } =x \) (라디안)이 되도록 두 점 \( A \)와 \( B \)를 잡자. 점 \( A \)에서 원 \( O \)에 그은 접선과 선분 \( O B \)의 연장선의 교점을 \( T \)라고 하자. 그러면 삼각형 \( \mathrm { OAB } \), 부채꼴 \( \mathrm { OAB } \), 삼각형 \( \mathrm { OAT } \) 의 넓이 사이에는 다음 관계가 성립한다. \[ ( \triangle \mathrm { OAB } \text { 의 넓이 } )<( \text { 부채꼴 } \mathrm { OAB } \text { 의 넓이 } )<( \triangle \mathrm { OAT } \text { 의 넓이 } ) \] 이때, 각 도형이 넓이는 다음과 같다. \[ \begin {array} { l } ( \triangle \mathrm { OAB } \text { 의 넓이 } )= \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x= \frac { 1 } { 2 } \sin x \\( \text { 부채꼴OAB의 넓이 } )= \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 ^ { 2 } \cdot x= \frac { 1 } { 2 } x \\( \triangle \mathrm { OAT } \text { 의 넓이 } )= \frac { 1 } { 2 } \cdot 1 \cdot \tan x= \frac { 1 } { 2 } \tan x \end {array} \] 따라서 다음 부등식을 얻는다. \[ \begin {array} { c } \frac { 1 } { 2 } \sin x< \frac { 1 } { 2 } x< \frac { 1 } { 2 } \tan x \\ \therefore \sin x<x< \tan x \end {array} \] 여기서 \( \sin x>0 \) 이므로 부등식의 각 항을 \( \sin x \) 로 나누면 \[1< \frac { x } {\sin x }< \frac { 1 } {\cos x } \] 각 항의 역수를 취하자. 그러면 \[1>\frac {\sin x } { x } >\cos x \] 그런데 \( \lim _ { x \rightarrow + 0 } 1=1, \lim _ { x \rightarrow + 0 } \cos x=1 \)이다. 그러므로 함수의 극한에 대한 성질에 의하여 \( \lim _ { x \rightarrow + 0 } \frac {\sin x } { x } =1 \)</li> <li>(ii) \( - \frac {\pi } { 2 }<x<0 \) 인 경우 \( -x=t \) 로 놓으면 \( x \rightarrow-0 \) 일 때, \( t \rightarrow + 0 \) 이다. 그러므로 \[ \lim _ { x \rightarrow-0 } \frac {\sin x } { x } = \lim _ { t \rightarrow + 0 } \frac {\sin (-t) } { -t } = \lim _ { t \rightarrow + 0 } \frac {\sin t } { t } =1 \] 따라서 ( i )과 ( ii)에 의하여 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } =1 \)</li></ul></p> <h1>5.1 수열의 수렴 및 극한</h1> <h2>수열의 수렴 및 극한</h2> <p>수열 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , a_ { 3 } , \cdots, a_ { n } , \cdots \) 에 대하여 \( n \) 이 한없이 커질 때 \( a_ { n } \)이 일정한 값 \( L \)에 한없이 가까이 간다면, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 은 \( L \) 에 수렴한다고 말한다. \( L \)을 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)의 극한값 또는 극한이라고 부른다. 기호로 ' \( n \rightarrow \infty \) 일 때 \( a_ { n } \rightarrow L ^ {\prime } \)라고 쓰고 \( n \)이 무한대 \( \infty \) 로 갈 때 \( a_ { n } \)은 \( L \)로 수렴한다고 말한다. 더 간단히는 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = L \) 으로 쓴다. 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \) 이 수렴하지 않을 때 발산한다고 한다. 예로서 수열 \( a_ { n } = \frac { 1 } { n } \) 은 \( n \) 이 \( \infty \) 로 갈 때, 극한 \( L=0 \) 를 갖는다. 즉, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } =0 \)</p> <h2>등비수열의 수렴과 발산</h2> <p>공비가 \( r \) 인 등비수열은 \( 1, r, r ^ { 2 } , \cdots, r ^ { n } , \cdots \) 의 수렴 및 발산<ul> <li>(1) \( r>1 \)일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } = \infty \)</li> <li>(2) \( r=1 \) 일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =1 \)</li> <li>(3) \( \|r\|<1 \Longleftrightarrow-1<r<1 \)일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =0 \)</li> <li>\( r \leqq-1 \) 일 때 \( \left \{ r ^ { n } \right \} \)은 진동한다.</li></ul>첫 항이 \( a \), 공비가 \( r \)인 일반적인 등비수열은 \( a, a r, a r ^ { 2 } , \cdots, a r ^ { n } , \cdots \) 이다. 공비가 \( \|r\|<1 \)이면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a r ^ { n } =0 \) 으로 수렴한다. 공비가 \( r=1 \)일 때 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a r ^ { n } =a \)으로 수렴한다. 공비가 \( \|r\|>1 \)이면 \( a r ^ { n } \)은 발산한다. 예 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (2 ^ { n } + 5 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } \) 의 극한값을 구해보자. 풀이 \[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (2 ^ { n } + 5 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \{ 5 ^ { n } \left ( \frac { 2 ^ { n } } { 5 ^ { n } } + 1 \right ) \right \} ^ {\frac { 1 } { n } } \\&= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (5 ^ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } \left \{\left ( \frac { 2 } { 5 } \right ) ^ { n } + 1 \right \} ^ {\frac { 1 } { n } } =5 \end {aligned} \] 수열 \( \left \{ a_ { n } =(-1) ^ { n } \cdot 2 \right \} \) 은 \( n \)의 값에 따라 \( 2,-2 \) 가 번갈아 나타난다. 따라서, 수렴하지 않는다. 이러한 수열 \( a_ { n } \)을 진동한다고 말한다. 예 등비수열 \( \left \{ (2 x + 1) ^ { n-1 } \right \} \)이 수렴하기 위한 실수 \( x \)의 값의 범위를 구해보자. 풀이 수열 \( \left \{ (2 x + 1) ^ { n-1 } \right \} \)의 공비는 \( r=2 x + 1 \)이다. 그러므로 수렴하는 조건은 \( -1<2 x + 1 \leqq 1 \)이다. 따라서 \( -1<x \leqq 0 \)이다. 예 다음 수열이 수렴하면 극한을 구하여보자.<ul> <li>(1) \( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } , \frac { 3 } { 4 } , \cdots, \frac { n } { n + 1 } , \cdots \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 1 } =1 \)으로 수렴한다.</li> <li>(2) \( 1,- \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots,(-1) ^ { n + 1 } \frac { 1 } { n } , \cdots \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } (-1) ^ { n + 1 } \frac { 1 } { n } =0 \) 으로 수렴한다.</li> <li>(3) \( 1-1,1 + \frac { 1 } { 2 } , 1- \frac { 1 } { 3 } , \cdots, 1 + (-1) ^ { n } \frac { 1 } { n } , \cdots \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + (-1) ^ { n } \frac { 1 } { n } \right )=1 \) 으로 수렴한다.</li> <li>(4) \( 3,3,3, \cdots, 3, \cdots \) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } 3=3 \) 으로 수렴한다.</li></ul></p> <h2>함수의 대소와 극한의 대소 관계:</h2> <p>\( a \) 근방의 모든 점 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \leqq g(x) \) 이고 \[ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \alpha, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)= \beta \text { 이면 } \alpha \leqq \beta \text { 이다. } \]</p> <p>예 극한 \( \lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x } ) \)을 구해보자.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \infty } ( \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x } ) &= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { ( \sqrt { x + 1 } - \sqrt { x } )( \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x } ) } {\sqrt { x + 1 } + \sqrt { x } } \\ &= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\sqrt { x + 1 } + \sqrt { x } } =0 \end {aligned} \]</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 3 x + 5 } { 6 x-8 } \)을 구해보자. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 3 x + 5 } { 6 x-8 } = \frac {\lim _ { x \rightarrow \infty } [3 + 5 / x] } {\lim _ { x \rightarrow \infty } [6-8 / x] } = \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 } \]</p> <p>Sandwich정리 만약, \( c \)를 포함하는 어떤 개구간에서 \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \)가 성립하고 \( (x=c \)에서는 부등식이 성립하지 않아도 된다.) \[ \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a } h(x)=L \text { 이면 } \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=L \text { 이다. } \]</p> <h1>삼각함수의 극한</h1> <p>\( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\sin x } { x } =1 \) (단, \( x \)는 라디안)</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } } \frac { 1- \sin x } {\cos ^ { 2 } x } \)극한을 구해보자.</p> <p>풀이 \( \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } } \frac { 1- \sin x } {\cos ^ { 2 } x } &= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } } \frac { 1- \sin x } { 1- \sin ^ { 2 } x } \\ &= \lim _ { x \rightarrow \frac {\pi } { 2 } } \frac { 1 } { 1 + \sin x } = \frac { 1 } { 1 + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \)</p> <p>예 다음 극한값을 구하여보자.<ul> <li>(1) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x ^ { 2 } } \)</li> <li>(2) \( \lim _ { x \rightarrow \pi } \frac {\sin x } { x- \pi } \)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(1) \( \frac { 1- \cos x } { x ^ { 2 } } \)의 분모와 분자에 \( 1 + \cos x \)를 곱하여 정리하자. \[ \begin {aligned} \frac { 1- \cos x } { x ^ { 2 } } &= \frac { (1- \cos x)(1 + \cos x) } { x ^ { 2 } (1 + \cos x) } \\&= \frac { 1- \cos ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } (1 + \cos x) } = \frac {\sin ^ { 2 } x } { x ^ { 2 } (1 + \cos x) } \\&= \left ( \frac {\sin x } { x } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 1 + \cos x } \end {aligned} \] 따라서 구하는 극한값은 \( \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1- \cos x } { x ^ { 2 } } =& \lim _ { x \rightarrow 0 } \left \{\left ( \frac {\sin x } { x } \right ) ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 1 + \cos x } \right \} \\ &= \lim _ { x \rightarrow 0 } \left ( \frac {\sin x } { x } \right ) ^ { 2 } \cdot \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 1 + \cos x } \\ &=1 ^ { 2 } \cdot \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \)</li> <li>(2) \( x- \pi=t \)로 놓으면 \( x= \pi + t \) \( x \rightarrow \pi \) 일 때, \( t \rightarrow 0 \)이다. 그러므로 \[ \lim _ { x \rightarrow \pi } \frac {\sin x } { x- \pi } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac {\sin ( \pi + t) } { t } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { - \sin t } { t } =-1 \]</li></ul></p> <h2>지수함수의 극한</h2> <p>양의 실수 \( a \neq 1 \)에 대하여 지수함수 \( y=a ^ { x } \)의 그래프는 \( a \)의 값에 따라 그림과 같다. 이 그래프에서 지수함수 \( y=a ^ { x } \)의 극한값은 다음과 같다.<ul> <li>(1) \( a>1 \) 일 때, \( \lim _ { x \rightarrow \infty } a ^ { x } = \infty, \lim _ { x \rightarrow- \infty } a ^ { x } =0 \)</li> <li>(2) \( 0<a<1 \) 일 때, \( \lim _ { x \rightarrow \infty } a ^ { x } =0, \lim _ { x \rightarrow- \infty } a ^ { x } = \infty \)</li></ul></p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { x } } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } \) 의 극한을 구해보자. \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 2 ^ { x } } { 2 ^ { x } -2 ^ { -x } } &= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1-2 ^ { -2 x } } \\&= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { 1 } { 1- \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { x } } = \frac { 1 } { 1-0 } =1 \end {aligned} \]</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { 2 x } -1 } {\sin x } =2 \)</p> <p>풀이 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { 2 x } -1 } {\sin x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { 2 x } -1 } { 2 x } \cdot \frac { x } {\sin x } \cdot 2=1 \cdot 1 \cdot 2=2 \]</p> <p>예 수열 \( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , \frac { 2 } {\sqrt { 5 } } , \frac { 3 } {\sqrt { 10 } } , \frac { 4 } {\sqrt { 17 } } , \ldots \) 의 극한값을 구해보자.</p> <p>풀이 분모의 \( 2,5,10,17, \cdots \) 은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \begin {array} { l } 2=1 + 1=1 ^ { 2 } + 1,5=4 + 1=2 ^ { 2 } + 1, \\10=9 + 1=3 ^ { 2 } + 1,17=16 + 1=4 ^ { 2 } + 1, \cdots \end {array} \] 그러므로 수열의 일반항은 \( a_ { n } = \frac { n } {\sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } \) 이다. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } {\sqrt { n ^ { 2 } + 1 } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } } } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + 0 } } =1 \text { 으로 수렴한다. } \]</p> <p>예 다음 수열의 극한값을 구하여보자. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) \]</p> <p>풀이 분자, 분모에 각각 \( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \) 을 곱해 분자를 유리화하여 계산하면 \[ \begin {aligned} \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) &= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } -n \right ) \left ( \sqrt { n ^ { 2 } + n } + n \right ) } {\sqrt { n ^ { 2 } + n } + n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } {\sqrt { n ^ { 2 } + n } + n } \\&= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \frac { 1 } { n } } + 1 } = \frac { 1 } { 1 + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>예<ul> <li>1) \( y= \cos \sqrt { x } \)는 함수 \( f(x)=u= \sqrt { x } \) 와 \( y=g(u)= \cos u \)의 합성함수이다. 즉 \( y=g(f(x))= \cos \sqrt { x } \). 그러므로 \( f(x)= \sqrt { x } \) 의 정의역 구간 \( [0, \infty) \)에서 연속이다.</li> <li>2) \( y= \frac { x + 1 } { x-1 } \)은 유리함수이다. 따라서 \( x \neq 1 \)인 모든 실수에서 연속이므로 \( (- \infty, 1) \cup(1, \infty) \)에서 연속이다. 기호 \| \( x=1 \)을 제외한 모든 실수 집합을 기호로 \( R \backslash \{ 1 \} \) 또는 \( (- \infty, \infty) \backslash \{ 1 \} \)으로 쓴다.</li> <li>3) 양수 \( a>0 \)에 대하여 \( f(x)=a ^ { x } =e ^ { x \ln a } \)는 \( h(u)=e ^ { u } , u(x)=x \ln a \) 의 합성함수이다. 그리고 \( u(x) \)는 구간 \( (- \infty, \infty) \)에서 연속이다. 그러므로 \( f(x)=a ^ { x } =h(u(x)) \)는 전구간 \( (- \infty, \infty) \)에서 연속이다.</li></ul></p> <h2>좌극한 우극한에 의한 연속성</h2> <p>예 \[ g(x)= \left \{\begin {array} { lc } x + 1 & (x>1) \\ 1 & (x=1) \\ x-1 & (x<1) \end {array} \right . \] 함수 \( g(x) \)는 \( x=1 \)에서 \( g(1)=1 \)로 정의되어 있다. 그러나 우극한은 \( \lim _ { x \rightarrow 1 + } g(x)= \lim _ { x \rightarrow 1 + } [x + 1]=2 \)이다. 좌극한은 \( \lim _ { x \rightarrow 1- } g(x)= \lim _ { x \rightarrow 1 \neq } [x-1]=0 \)이다. 그러므로 함수 \( g \) 는 \( x=1 \)에서 좌극한과 우극한이 다르다. 그러므로, \( \lim _ { x \rightarrow 1 } g(x) \)은 존재하지 않는다. 그러므로 \( x=1 \)에서 불연속이다.</p> <p>예 아래 그림은 \( y= \frac { \|x\| } { x } \) 의 그래프이다. 따라서 \( x \neq 0 \) 를 제외한 모든 점에서 연속이다. 다음 함수 \( f(x) \) 의 \( x=0 \) 에서 연속성을 조사해보자.</p> <h2>기본 함수의 연속성</h2> <ul> <li>(1) 다항식함수 임의의 \( n \)차인 다항식함수 \( f(x)=a_ { 0 } x ^ { n } + a_ { 1 } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { n-1 } x + a_ { n } \) 라고 하자. 이때 임의의 실수 \( a \) 에서 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a) \) 가 성립한다. 그러므로 \( f(x) \) 는 실수 전구간 \( (- \infty, + \infty) \) 에서 연속함수이다.<p>증명 임의의 양의 정수 \( m \) 에 대하여 \( \lim _ { x \rightarrow a } x ^ { m } =a ^ { m } \) 이다. 그러므로 \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=a_ { 0 } \cdot \lim _ { x \rightarrow a } x ^ { n } + a_ { 1 } \cdot \lim _ { x \rightarrow a } x ^ { n-1 } + \cdots + a_ { n-1 } 1 \cdot \lim _ { x \rightarrow a } x + a_ { n } \\=a_ { 0 } a ^ { n } + a_ { 1 } a ^ { n-1 } + \cdots + a_ { n-1 } a + a_ { n } =f(a) \end {array} \] 그러므로 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=f(a) \) 임의의 실수 \( a \) 에 대하여 보였음으로 \( f(x) \) 는 \( (- \infty, + \infty) \) 에서 연속함수이다.</p></li> <li>(2) 분수함수 분수함수 \( \frac { f(x) } { g(x) } \) 는 \( f(x), g(x) \) 가 연속인 공통인 구간과 \( g(x) \neq 0 \) 인 \( x \)에서 연속이다.</li> <li>(3) 무리함수 무리함수 \( \sqrt { f(x) } \) 는 \( f(x) \)가 연속이고 \( f(x) \geqq 0 \) 인 구간에서 연속이다.</li> <li>(4) 지수함수 지수함수 \( a ^ { x } (a>0, a \neq 1) \) 는 실수 전체 \( (- \infty, \infty) \) 에서 연속이다</li> <li>(5) 로그함수 로그함수 \( \log _ { a } x(a>0, a \neq 1) \) 는 \( x>0 \) 에서 연속이다</li> <li>(6) 삼각함수 삼각함수 \( \sin x, \cos x \) 는 실수 전구간 \( (- \infty, \infty) \) 에서 연속이다. \( \tan x \) 는 \( x \neq n \pi + \frac {\pi } { 2 } \) ( \( n \) : 정수)인 모든 실수 \( x \)에서 연속이다</li> <li>(7) 가우스 함수 가우스 함수 \( [x] \)는 \( x \) 가 정수인 점들에서만 불연속이다</li></ul></p> <p>예 \( f(x)=x ^ { 3 } -1 \) 은 \( a=1 \) 근방에서 잘 정의된 함수이다. \( x \) 가 1 에 수렴하는 수열로 일반성을 잃지 않고 \( x_ { n } =1- \frac { 1 } { n } \)을 택하자. 이때 \( f \left (x_ { n } \right )= \left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { 3 } -1=- \frac { 3 } { n } + \frac { 3 } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \)이다. 그러므로 \( n \rightarrow + \infty \) 이면 \( x_ { n } \)이 1에 수렴한다. 그러므로 \( f \left (x_ { n } \right )=- \frac { 3 } { n } + \frac { 3 } { n ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \rightarrow 0 \)이다. 즉 \( f(x)=x ^ { 3 } -1 \)는 \( x=1 \)에서 극한 0을 갖는다.</p> <p>예 \( \lim _ { x \rightarrow 4 } \sqrt { x } =2 \)임을 \( \epsilon- \delta \)논법으로 증명하여보자.</p> <p>풀이 일반성을 잃지 않고 임의의 양수 \( 1>\epsilon>0 \)에 대하여, \( 0<\|x-4\|< \delta \) 인 모든 \( x \)에 대하여 \( \| \sqrt { x } -2\|< \epsilon \)이 성립함을 보이려 한다. 임의의 \( \epsilon \)에 대하여 \( \delta \)를 \( \delta= \epsilon \)으로 택하자. 그러면 \( 0<\|x-4\|< \delta= \epsilon \)이다. \( \epsilon>\|x-4\|=\| \sqrt { x } + 2\|\| \sqrt { x } -2\|>\| \sqrt { x } -2\| \)이다. 그러므로 \( \| \sqrt { x } -2\|< \epsilon \).</p> <h2>좌극한과 우극한</h2> <h3>(1) 좌극한(값)</h3> <p>함수 \( f(x) \)에서 \( x \)가 \( a \)의 왼쪽에서 \( a \)에 수렴해 갈 때, \( f(x) \) 가 일정한 값 \( L \) 에 수렴해가면 \( L \) 을 \( x=a \) 에서 \( f(x) \) 의 좌극한이라 한다. 그리고 기호로는 다음과 같이 쓴다. \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { - } } f(x)=L \]</p> <h2>수열의 극한 성질</h2> <p>정리 수열의 극한에 대한 기본 성질<p>1) 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} , \left \{ b_ { n } \right \} \)이 수렴하고, 극한값이 각각 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \alpha, \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \beta \) 이면 두 수열의 합, 차, 곱 , 상의 수열 또한 수렴하고 극한은 다음과 같다.</p> <ul> <li>(1) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } k a_ { n } =k \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =k \alpha(k \) 는 상수 \( ) \)</li> <li>(2) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (a_ { n } \pm b_ { n } \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \pm \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \alpha \pm \beta \) (복호동순)</li> <li>(3) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \cdot b_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } \cdot \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \alpha \cdot \beta \)</li> <li>(4) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { a_ { n } } { b_ { n } } = \frac {\lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } } {\lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } } = \frac {\alpha } {\beta } \left (b_ { n } \neq 0, \beta \neq 0 \right ) \)</li></ul>2) 극한과 부등식에 관한 정리<ul> <li>(1) \( a_ { n } \leqq b_ { n } \)이고, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \alpha, \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \beta \)이면 \( \alpha \leqq \beta \)</li> <li>(2) \( a_ { n } \leqq b_ { n } \) 이고, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \infty \)이 면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \infty \)</li> <li>(3) \( a_ { n } \leqq c_ { n } \leqq b_ { n } \) 이고, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } b_ { n } = \alpha \)이 면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } c_ { n } = \alpha \)</li></ul> <p>주의 I 기호 \( \infty \) 는 ‘무한대'라고 읽는다. \( n \rightarrow \infty \) 는 \( n \)이 한없이 커지는 수학적 상황을 지칭한다.</p>	자연
퍼터베이션 방법을 활용한 평균-숏폴 포트폴리오 최적화	<p>보다 효율적인 포트폴리오 구성을 목적으로 Park 등 (2019)은 벤치마크 포트폴리오를 활용하여 포트폴리오 가중치를 제한함으로써 최적의 포트폴리오를 구하는 퍼터베이션(perturbation) 모형을 제안했다. Park등 (2019)은 벤치마크 포트폴리오로 종합주가지수(market index) 를 추종하는 추종펀드(index tracking fund)또는 동일가중 포트폴리오(equally-weighted portfolio)를 활용하여 구성하는 포트폴리오의 일정 부분을 벤치마크에 투자하고 나머지 가중치에 편차를 주는 퍼터베이션 기법을 사용함으로써 벤치마크보다 위험률이낮거나 수익률이 높은 포트폴리오를 구성한다. Park 등 (2019)의 퍼터베이션 기법은 West와 North 두 가지로나뉘는데, 이는 효율적 투자선(efficient frontier) 평면에서 벤치마크를 서쪽(west) 또는 북쪽(north)로 보낸다는 의미에서 비롯되었다. 효율적 투자선 평면에서 벤치마크가 서쪽에 가까워지면 동일한 기대 수익률 하에서위험도가 감소한다. 반대로 벤치마크가 북쪽에 가까워지면 동일한 위험도 하에서 수익률이 증가한다. 따라서West는 위험을 낮추는 데 목적을 두는 반면 North는 높은 수익률을 얻고자 하는 목적으로 시행된다.</p> <p>금융 투자에서는 낮은 위험도와 높은 수익률의 포트폴리오를 운용하는 것 못지않게 비용을 줄이는 것또한 중요하다. 예를 들어 고려하는 포트폴리오가 수익률이 높더라도 포트폴리오 운용 또는 거래 비용이크다면 투자자의 실제 수익률은 감소될 수 있다. 포트폴리오 거래 비용은 포트폴리오를 조정하는 리밸런싱(rebalancing)시에 발생하는 비용으로 리밸런싱을 최소화하고 안정적인 포트폴리오(stable portfolio)를 얻음으로써 거래 비용을 줄일 수 있다. 또한 포트폴리오를 구성하는 자산의 수가 많아질수록 관리 비용이 늘어나므로적은 수의 자산으로 구성된 포트폴리오(sparse portfolio)의 운용이 중요하다. Park 등 (2019)의 퍼터베이션 방법론은 adaptive Lasso 기법을 적용함으로써 적은 수의 자산을 사용한 안정적인 포트폴리오를 구성하였다.그리고 보다 빠르고 효율적으로 최적화 문제를 풀기 위해 선형계획법(linear programming; LP)을 사용하였다.본 연구에서는 Bertsimas (2004)의 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 문제에 Park 등 (2019)의 퍼터베이션 기법을적용한 모형을 제안하고자 한다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서 숏폴과 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 모형, 그리고 Park 등 (2019)의 퍼터베이션 기법에 대해 자세히 설명한다. 3장에서는 Park 등 (2019) 의 퍼터베이션 기법과 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 모형을 결합한 모형에 대해 제안한다. 4장에서는 뉴욕증권거래소의 다우존스산업평균지수(DOW30), 스탠다드앤드푸어스지수(S&P100; S&P500)와 런던증권거래소의 풋시지수(FTSE100; FTSE250),독일 프랑크푸르트 증권거래소의 닥스지수(DAX30) 등의 다양한 실증 데이터 활용하여 3장에서 제시한 모형의 타당성을 입증한다. 5장에서는 4장에서 제시한 결과를 바탕으로 결론을 내린다.</p> <h1>2. 숏폴과 퍼터베이션 기법</h1> <h2>2.1. 하방위험과 숏폴</h2> <p>금융에서 자산의 수익률이 기대 수익률에서 벗어날 가능성을 변동성(volatility)이라 하는데, 변동성의 크기를수치화하는 지표가 분산이다. Markowitz (1952)가 처음 제안한 포트폴리오 최적화 문제의 위험 지표로 분산이사용되었다. 하지만 분산을 위험 지표로 사용하는 것에 대한 문제점들이 제기되었다. 제기된 문제점 중 하나는 투자자의 효용 함수가 이차 효용이라고 가정한다는 점이다. 이차 효용은 부가 증가할수록 효용은 감소하는한계 효용 체감의 성질을 갖고, 또한 수익의 변화에 대한 위험회피도의 변화 정도인 절대적 위험회피도가 증가하는 특징을 갖는다 (Huang과 Litzenberger, 1988). 절대적 위험회피도가 증가한다는 것은 수익이 증가할수록위험 자산에 대한 선호가 감소하는 것으로, 높은 수익을 위해 위험을 기꺼이 감수하는 위험선호 투자자와반대되는 특성을 갖는다 (Huang과 Litzenberger, 1988). 따라서, 위험 회피자가 아닌 위험 선호자와 위험 중립자에겐 Markowitz (1952)의 평균-분산 포트폴리오 최적화 모형을 적용하기 어렵다. 그리고 Markowitz (1952)의 평균-분산 최적화 모형은 위험 자산의 수익률 분포가 평균을 중심으로 대칭인 타원 분포라는 강한 가정을기반으로 한다는 단점이 있다.</p> <p>\( \begin {aligned} L_ { 1 } =&( \beta v + \delta) ^ { T } \bar { r } -t + \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { T } z_ { i } + \lambda \sum_ { j=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { j } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| } \\ &- \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } \left \{ z_ { i } - \left (t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \right ) \right \} - \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 2 i } z_ { i } \\ &- \lambda_ { 3 } \left ( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta-c_ { 3 } \bar { r } _ { v } \right ) + \lambda_ { 4 } \left (1- \beta- \delta ^ { T } 1 \right ) \end {aligned} \)<caption>(3.3)</caption></p> <p>유클리드 공간 상의 벡터 \(g \)를 \( \sum_ { j=1 } ^ { p } \left \| \delta_ { j } \right \| / \left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| \)의 sub-gradient라고 가정하면, 벡터 \(g \)에 대한 KKT 최적화 조건들은 다음과 같다:</p> <p>\( \bar { r } _ { j } + \lambda g_ { j } - \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } r_ { i j } - \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } - \lambda_ { 4 } =0, \quad x j=1, \ldots, p \), \( \frac { 1 } { K } - \lambda_ { 1 i } - \lambda_ { 2 i } =0, i=1, \ldots, T \), \( -1 + \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } =0 \), \( \lambda_ { 1 i } \left \{ z_ { i } - \left (t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \right ) \right \} =0, \quad \lambda_ { 2 i } z_ { i } =0, \quad \lambda_ { 3 } \left ( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta-c_ { 3 } \bar { r } _ { v } \right )=0 \), \( z_ { i } \geq t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } , \quad z_ { i } \geq 0 \), \( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta \geq c_ { 3 } \bar { r } _ { v } , \quad \delta ^ { T } 1=1- \beta \).</p> <h2>4.3. 모수 선택</h2> <p>평균-숏폴 최적화 모형인 식 (3.1)과 식 (3.2)를 푸는 데 있어서 adaptive Lasso의 모수 \( \lambda \)의 값으로 { 1, 10, 50, 100,500, 1000, 5000, 10000 } 를 고려하였고, 10-fold 교차 검증법(cross-validation)을 통해 가장 성능이 좋은 \( \lambda \)를 최종 모수로 선택하였다. 교차 검증 성능을 평가하는 지표로서 포트폴리오 평균수익률(Mean return) 또는 샤프지수(Sharpe ratio), 이 두 가지 지표를 사용하였다. 좀더 구체적으로는 최근 1년의 데이터를 랜덤하게 10등분하여 9개의 그룹을 훈련 집합(training set)으로 사용하여 각각의 \( \lambda \)값에 대해 식 (3.1)과 식 (3.2)를 풀고,남은 1개의 그룹을 테스트 집합(test set)으로 사용하여 수익률과 샤프지수를 각각 계산한다. 10개의 그룹을각각 테스트 데이터로 이용하여 수익률과 샤프지수의 값들의 평균을 구한 후에, 가장 큰 평균값을 갖는 \( \lambda \)를최종 모수로 선택한다. 이때 사용하는 지표인 기대수익률과 샤프지수에 대해 각각의 최적의 모수가 결정된다.</p> <h2>4.4. 성능 평가 지표</h2> <p>모형의 성능을 평가하기 위해 6 가지 지표가 사용되었다. \( w_ { t } = \beta v_ { t } + \delta_ { t } \) 와 \( r_ { t } = \left (r_ { t 1 } , \ldots, r_ { t p } \right ) ^ { T } \) 는 각각 시간 \( t \) 에서의 포트폴리오 가중치와 자산의 수익률 벡터를 의미한다. \( A_ { t } = \left \{\delta_ { t, j } \mid \delta_ { t, j } \neq 0,1 \leq j \leq p \right \} \) 는 퍼터베이션 가중치 \( \delta_ { t } \) 에서 0 이 아닌 원소들의 집합을 의미한다. 포트폴리오 성능은 시간 \( \tau + 1 \) 부터 시간 \( T \) 까지 \( T- \tau-1 \) 의 기간의 데이터를 기반으로 다음 지표를 활용하여 측정하였다.</p> <h3>(1) 기대수익률: \( \mu_ { w } =(1 /(T- \tau)) \sum_ { t= \tau + 1 } ^ { T } w_ { t } ^ { T } r_ { t } ( \) Park 등, 2019)</h3> <h3>(2) 위험률: \( s_ { w } =w_ { t } ^ { T } \bar { r } _ { t } -(1 / K) \sum_ { t= \tau + 1 } ^ { K } w_ { (t) } ^ { T } r_ { (t) } \); 숏폴의 표본 비모수 추정량 (Bertsimas ,2004).</h3> <p>다음으로 \( \beta \neq 1, c_ { 2 } \geq 1 \)일때, North 퍼터베이션 모형은 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {array} { ll } \min _ {\delta \in \mathbb { R } ^ { p } } & \sum_ { i=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { i } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| } , \\ \text { subject to } & \delta ^ { T } 1=1- \beta, \\ & ( \beta v + \delta) ^ { T } \hat {\Sigma } ( \beta v + \delta) \leq c_ { 1 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } , \\ & \hat {\mu } _ { v } a + \hat {\mu } ^ { T } \delta \geq \hat {\mu } _ { v } + c_ { 2 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| . \end {array} \)<caption>(2.8)</caption></p> <p>여기서 ˆμv는 벤치마크 기대수익률의 추정값이다. ˆμv와 ˆσ2v 도 West와 마찬가지로 과거 12개월의 표본을 활용하여 표본외 방식으로 추정된다. 하지만 West와의 차이점은 세 번째 제약조건인데, 이 조건이 추가됨으로써벤치마크의 기대수익률보다 최소한 c2\| ˆμv\| 만큼 더 높은 기대 수익률을 갖는 포트폴리오를 얻을 수 있다.</p> <p>여기서 \( \hat {\mu } _ { v } \)는 벤치마크 기대수익률의 추정값이다. \( \hat {\mu } _ { v } \)와 \( \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } \) 도 West와 마찬가지로 과거 12개월의 표본을 활용하여 표본외 방식으로 추정된다. 하지만 West와의 차이점은 세 번째 제약조건인데, 이 조건이 추가됨으로써벤치마크의 기대수익률보다 최소한 \( c_ { 2 } \left \| \hat {\mu } _ { v } \right \| \) 만큼 더 높은 기대 수익률을 갖는 포트폴리오를 얻을 수 있다.</p> <h1>3. 퍼터베이션 기법을 활용한 평균-숏폴 포트폴리오</h1> <h2>3.1. 표본 평균-숏폴 모형</h2> <p>본 절에서는 2장의 표본 평균-숏폴 최적화 모형에 퍼터베이션 기법을 접목한 모형들을 제안하고자 한다.특정 기간 \(t \)에서 \(p \)개의 자산에 대한 수익률 표본 벡터를 \( r_ { t } = \left (r_ { t 1 } , \ldots, r_ { t p } \right ) ^ { T } \) 라고 할 때, 기간 \( t=1, \ldots, T \)동안의 \(p \)개의 자산에 대한 수익률 표본의 평균은 벡터 \( \bar { r } \)로 표기한다. 포트폴리오 퍼터베이션 가중치를 \( \delta= \) \( \left ( \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { p } \right ) ^ { T } \) , 벤치마크 비율은 \( \beta \)로 표기할 때, West 최적화 모형은 다음과 같다: \( \beta \neq 1, \lambda>0 \),그리고 \( 0 \leq c_ { 3 } \leq 1 \)에 대하여,</p> <p>\( \lambda_ { 3 } \neq 0 ^ {\circ } \)일때, \( \hat {\delta } ^ {\prime } \)은 다음과 같다:</p> <p>\( g_ { j } \geq 0, \quad \hat {\delta } _ { j } \geq 0, \quad \) for \( \bar { r } _ { j } \geq- \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda_ { 3 } } \). \( g_ { j } \leq 0, \quad \hat {\delta } _ { j } \leq 0, \quad \) for \( \bar { r } _ { j } \leq- \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda_ { 3 } } \).</p> <p>\( \lambda_ { 3 } =0 ^ {\prime } \)일 때, \( \hat {\delta } \) 은 다음과 같다:</p> <p>\( g_ { j } = \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda } \geq 0, \quad \delta_ { j } \geq 0 \)</p> <p>North도 West와 마찬가지로 λ , 0이면 j번째 자산의 과거 평균 수익률이 특정 값보다 크면 공매를 하고반대의 경우엔 증권을 매입하나, λ = 0이면 공매도가 포함되지 않은 롱온리 포트폴리오를 운용하는 금융학적의미를 갖는다.</p> <h1>4. 실증 자료 분석</h1> <h2>4.1. 자료 설명</h2> <p>본 절에서는 실제 금융 자료를 활용하여 모형의 성능을 측정하고자 한다. 자료들은 2004년 1월부터 2015년 12월까지 기록된 것으로, 뉴욕증권거래소의 다우존스산업평균지수(DOW30)와 스탠다드앤드푸어스지수(S&P100; S&P500), 런던증권거래소의 풋시지수(FTSE100; FTSE250), 그리고 독일 프랑크푸르트 증권거래소의 닥스지수(DAX30) 등 총 6개의 데이터셋을 사용하였다.</p> <p>먼저, DOW30 지수와 S&P100 지수, S&P500 지수의 데이터셋에는 각각 29개, 89 개, 445개의 자산이포함되어 있다. 이는 12년의 기간동안 발생한 결측을 제거하는 과정에서 비롯된 결과이다. 그리고 FTSE100지수와 FTSE250 지수는 81개, 170개의 자산이 있으며, DAX30 지수에는 30개의 자산이 있다.</p> <h2>4.2. 알고리즘</h2> <p>West 모형인 최적화 식 (3.1)에서의 시간의 흐름에 따른 알고리즘은 다음과 같다. 먼저 입력값을 지정하고아래의 3단계의 과정을 T 번 반복한 후, 식의 해를 출력한다.</p> <ul> <li>입력: 시간과 포트폴리오 가중치의 초기값; \( t=T_ { 0 } ( \) 월 \( ), \tilde {\delta } ^ {\left (T_ { 0 } \right ) } =(1 / p, \ldots, 1 / p) ^ { T } \)</li> <li>출력: 포트폴리오 가중치 편차 벡터; \( \hat {\delta } ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { p } , \quad t=T_ { 0 } , \ldots, T_ { 0 } + T \)</li> <li>다음 1–3단계를 \( t=T_ { 0 } + T \) 가 될 때까지 \(T \)번 반복한다.</li> <li>1단계: \( \tilde {\delta } = \tilde {\delta } ^ { (t) } \)와 \( \alpha, \beta, \lambda, c_ { 3 } \)값을 넣어 최적화 식 (3.1)의 해 \( \hat {\delta } ^ { (t) } \)을 구한다.</li> <li>2단계: \( \tilde {\delta } ^ { (t + 1) } \)를 \( \hat {\delta } ^ { (t) } \) 으로 업데이트한다.</li> <li>3단계: \(t \)← \( t + 1 \)</li></ul> <p>North 모형인 최적화 식 (3.2)에서의 시간의 흐름에 따른 알고리즘도 West와 마찬가지로, 먼저 입력값을지정하고 3단계의 과정을 \(T \)번 반복한 후, 식의 해를 출력한다.</p> <ul> <li>입력: 시간과 포트폴리오 가중치의 초기값; \( t=T_ { 0 } ( \) 월 \( ), \tilde {\delta } ^ {\left (T_ { 0 } \right ) } =(1 / p, \ldots, 1 / p) ^ { T } \)</li> <li>출력: 포트폴리오 가중치 편차 벡터; \( \hat {\delta } ^ { (t) } \in \mathbb { R } ^ { p } , \quad t=T_ { 0 } , \ldots, T_ { 0 } + T \)</li> <li>다음 1–3단계를 \( t=T_ { 0 } + T \) 가 될 때까지 \(T \)번 반복한다.</li> <li>1단계: \( \tilde {\delta } = \tilde {\delta } ^ { (t) } \)와 \( \alpha, \beta, \lambda, c_ { 4 } \)값을 넣어 최적화 식 (3.2)의 해 \( \hat {\delta } ^ { (t) } \)을 구한다.</li> <li>2단계: \( \tilde {\delta } ^ { (t + 1) } \)를 \( \hat {\delta } ^ { (t) } \) 으로 업데이트한다.</li> <li>3단계: \(t \)← \( t + 1 \)</li></ul> <p>Figure 1는 포트폴리오의 효율적 투자선(efficient frontier)을 나타낸다. 그래프에서 수평축은 위험도(risk)를, 수직축은 기대 수익률(expected return)을 의미한다. 동일한 위험도에서 최대의 기대 수익률을 갖는 효율적인(efficient) 포트폴리오들을 연결한 곡선이 효율적 투자선이며, 효율적 투자선 아래의 각각의 점들은비효율적인(inefficient) 포트폴리오를 나타낸다. 따라서 효율적 투자선에 가까운 포트폴리오일수록 동일한위험도에서 더 높은 기대 수익률을 갖는 더 나은 포트폴리오임을 의미한다.</p> <p>퍼터베이션 기법의 West와 North는 이 효율적 투자선 평면 상에서 움직이고자 하는 목표 방향과 관련이있다. Figure 1에서 점 Benchmark는 벤치마크 포트폴리오를 의미하는데, 벤치마크보다 효율적 투자선의 서쪽(west)에 가까워지면 동일한 기대 수익률에서 위험도가 감소한다. 반면, 벤치마크보다 효율적 투자선의 북쪽(North)으로 가까워지면 동일한 위험도에서 기대 수익률은 증가하게 된다. 즉, West와 North는 벤치마크를활용하여 벤치마크보다 더 낮은 위험도를 갖거나, 또는 더 높은 기대 수익률을 갖는 포트폴리오를 구성하는기법이다. 따라서, 벤치마크보다 낮은 위험도 또는 높은 기대 수익률 어느 전략에 초점을 두느냐에 따라서투자자는 West와 North 중에 하나를 선택하여 포트폴리오 최적화 문제에 적용할 수 있다. 벤치마크보다 위험도를 낮추는 데 중점을 두는 투자자는 West 기법을, 반대로 벤치마크보다 높은 기대수익률을 얻는 데 중점을 두는 North 기법을 적용한 포트폴리오를 운용할 수 있다. Park 등 (2019)의 퍼터베이션 기법은 벤치마크를활용하여 어느 정도 안정적인 수익률을 얻으면서 퍼터베이션 기법을 통해 포트폴리오의 성능을 조절하는동시에, 포트폴리오 비용을 줄일 수 있는 현실적인 제안도 하였다는 점에서도 의의가 있다.</p> <p>포트폴리오 비용은 포트폴리오를 구성하는 자산의 수에 따라 결정되는 운용 비용(management cost)과 포트폴리오 가중치를 조정하는 리밸런싱(rebalancing)에서 발생하는 세금과 수수료 등의 거래 비용(transactioncost) 등 두 가지로 나뉜다. 아무리 수익률이 높고 위험도가 낮은 포트폴리오라도, 포트폴리오를 구성하는자산의 수가 많거나 리밸런싱의 빈도가 높을수록 비용이 증가하므로 투자자에게 돌아가는 수익이 줄어드는바람직하지 않은 결과가 발생한다. 따라서 Park 등 (2019)은 adaptive Lasso를 적용하여 자산의 수가 적고 안정적인 포트폴리오를 얻어 비용을 줄일 수 있는 모형을 제안했다. 예를 들어 하나의 포트폴리오를 구성하는자산의 수가 \(p \)개라고 가정할 때 자산의 수익률 벡터는 \( r= \left (r_ { 1 } , \ldots, r_ { p } \right ) ^ { T } \) 로 표기한다. p개의 자산에 대한 기대수익률 벡터와 공분산 행렬은 각각 \( \mu= \left ( \mu_ { 1 } , \ldots, \mu_ { p } \right ) ^ { T } \) 와 \( \Sigma \)로 표기되며, 그 추정치는 \( \hat {\mu } = \left ( \hat {\mu } _ { 1 } , \ldots, \hat {\mu } _ { p } \right ) ^ { T } \) 와 \( \hat {\Sigma } \)로나타낸다. \(p \)개의 자산으로 이뤄진 포트폴리오 가중치는 \( w= \left (w_ { 1 } , \ldots, w_ { p } \right ) ^ { T } \) 으로 표기하고 합을 1로 가정한다.즉, \( \sum_ { i } w_ { i } =1 \)이다.</p> <p>\( \begin {aligned} \min _ { w } & w ^ { T } \bar { r } - \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { K } r_ { (i) } (w), \\ \text { subject to } & w ^ { T } \bar { r } =r_ { p } , \\ & w ^ { T } 1=1, \end {aligned} \)<caption>(2.5)</caption></p> <p>여기서 \( r_ { p } \)는 목표 포트폴리오 수익률이다. 식 (2.5)에는 순서통계량이 포함되어 있으므로 다음과 같이 식을선형계획법으로 변환한다.</p> <p>\( \begin {array} { ll } \qquad \min _ { w, t, z } & w ^ { T } \bar { r } -t + \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { T } z_ { i } , \\ \text { subject to } & w ^ { T } \bar { r } =r_ { p } , \\ & w ^ { T } 1=1, \\ & z_ { i } \geq t-w ^ { T } r_ { i } , \\ & z_ { i } \geq 0, \quad i=1, \ldots, T . \end {array} \)<caption>(2.6)</caption></p> <p>식 (2.5)를 식 (2.6)으로 변환하는 과정에서 새로운 변수 \( z_ { i } , i=1, \ldots, T \) 가 생성되며 자세한 증명 과정은Bertsimas 등 (2004)에 있으므로 생략하도록 한다. 식 (2.6)의 최적화 모형에 Park 등 (2019)의 퍼터베이션기법을 접목한 모형을 3장에서 제안한다.</p> <h2>2.3. 퍼터베이션 기법</h2> <p>금융 분야에서 벤치마크를 활용하여 더 높은 수익률을 가지는 포트폴리오를 운용하는 역사는 오래되었다.하지만 벤치마크보다 높은 초과 수익률(excess return)을 얻으면서 벤치마크와 포트폴리오 간의 수익률 차이에서 비롯되는 추적 오차(tracking error)만을 줄이는 전략에는 전체 포트폴리오 위험도가 오히려 커져버리는딜레마가 존재했다 (Roll, 1992). Jorion (2003)은 추적 오차와 전체 포트폴리오 위험도 모두 줄이면서 초과수익을 얻는 최적의 포트폴리오를 얻는 모형을 제안했다.</p> <p>이에 착안하여 Park 등 (2019)이 제안한 퍼터베이션(perturbation) 기법은 인덱스펀드 등과 같은 벤치마크를 활용하여 수익률을 벤치마킹하며 위험도를 낮추는 동시에 포트폴리오 비용까지 조정하는 방법론으로벤치마크의 가중치에 약간의 편차(perturbation)를 줌으로써 포트폴리오의 성능을 조정한다. 포트폴리오의위험도와 수익률 중 어느 측도에 초점을 두느냐에 따라 West와 North, 두 가지 방법으로 나뉘는데 West는 벤치마크를 활용하여 포트폴리오의 위험도를 줄이는 전략이고, North는 위험도를 일정 수준 유지하되 수익률을높이는 전략이다.</p> <p>전체 포트폴리오에서 β만큼은 벤치마크인 \(v \)에 투자하고, 나머지 \( 1- \beta \)는 금융 시장의 자산들에 투자할때, 포트폴리오 가중치는 \( w= \beta v + \delta \)으로 표기할 수 있으며, 여기서 \( \delta= \left ( \delta_ { 1 } , \ldots, \delta_ { p } \right ) ^ { T } \) 는 벤치마크에 대한 편차(퍼터베이션)을 나타낸다. \( \beta \neq 1,0<c_ { 1 } \leq 1 \)일 때, West 퍼터베이션 모형은 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} \min _ {\delta \in \mathbb { R } ^ { p } } & \sum_ { i=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { i } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| } , \\ \text { subject to } & \delta ^ { T } 1=1- \beta, \\ &( \beta v + \delta) ^ { T } \hat {\Sigma } ( \beta v + \delta) \leq c_ { 1 } \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } , \end {aligned} \)<caption>(2.7)</caption></p> <p>여기서 \( \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } \) 은 벤치마크 위험(분산)의 추정치이고, \( \tilde {\delta } _ { i } \)는 이전 시간에서의 \(i \)번째 자산에 대한 가중치이다. \( \hat {\sigma } _ { v } ^ { 2 } \) 은 추정 시점으로부터 과거 12개월의 표본을 활용하여 추정되며, 업데이트 되는 가중치 \( \delta_ { i } \)는 과거 12개월의 자료를활용하여 추정된다. 자산의 수가 적고 안정적인 포트폴리오를 구성하기 위해 adaptive Lasso 기법을 적용하여식 (2.7)의 목적함수를 구성하는데, \( \ell_ { 1 } \) 패널티인 \( \sum_ { i=1 } ^ { p } \left \| \delta_ { i } \right \| \)를 최소화함으로써 자산의 수가 적은 포트폴리오를얻을 수 있고, \( 1 / \left \| \tilde {\delta } _ { i } \right \| \)만큼의 가중치를 부여함로써 안정적인 포트폴리오를 얻을 수 있다. 예를 들어 이전 시간에서의 가중치 값 \( \tilde {\delta } _ { i } \)이 0에 가까운 작은 값을 갖는다면 현 시점에서의 가중치 추정값 \( \delta_ { i } \)도 0에 가까운 값을 갖게될 개연성이 크다. 반면에 이전 시간에서의 가중치의 절대값이 크다면 현 시점에서의 추정값도 상대적으로커질 개연성이 있다.</p> <p>아래의 식은 Roy (1952)의 Safety-First criterion으로 하방위험의 개념을 도입한 첫 지표이다. 이는 위험(표준편차) 대비 기대수익률과 최소 수익률 임계값의 차이를 나타낸 값으로 수익률이 임계값보다 떨어질 확률을고려한다.</p> <p>\( \frac { E(r)- \underline { r } } {\sigma_ { p } } \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 \( E(r) \)은 포트폴리오 기대수익률, \(r \)은 최소 요구 수익률, 그리고 \( \sigma_ { p } \)은 포트폴리오의 표준편차를 나타낸다.</p> <p>Markowitz (1959)는 반분산(semi-variance) 개념을 도입하였고, 좌우 대칭이 아닌 꼬리가 긴(skewed) 분포에서는 분산이 어떤 정보를 나타낼 수 없으며, 극단적으로 높거나 낮은 수익률, 즉 이상치에 대해 분산은동일한 가중치를 적용한다는 단점이 있으므로 반분산을 사용해야 한다고 지적했다(Markowitz, 1959). 반분산의 일반화된 개념이 lower partial moment (LPM)인데, Fishburn (1977)에 의해 명시된 \(t \)에 대한 \(k \)차 LPM 식은다음과 같다.</p> <p>\( \operatorname { LPM } _ { k } (t) = \int_ { - \infty } ^ { t } (t-r) ^ { k } d F(r), \quad k>0 \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>여기서 \(t \)는 목표 수준으로, 위 식은 목표 수준 \(t \)이하로 수익률이 떨어질 확률을 나타낸다. 반분산은 LPM의특수한 경우로 \(k \)가 2이고 \(t \)가 포트폴리오 기대수익률 \( E(r) \)로 대체될 때 성립한다. Fishburn (1977)은 투자자의위험 선호도에 따라 \(k \)값이 달라짐을 보였는데, \(k \)>1이면 위험 기피(risk-aversion)이고 \( k>1 \)이면 위험 선호(risk-seeking), \( k>1 \)이면 위험 중립(risk-neutral)으로 구분하였다. 이처럼 LPM을 위험 지표로 사용한 평균-LPM 포트폴리오 최적화 모형은 위험 선호도에 따라 위험도가 달라지는 성질을 바탕으로 평균-분산 모형과달리 위험 선호도에 따른 모형을 제시할 수 있다. 또한 LPM은 대칭이 아닌 수익률 분포에도 적용 가능하므로평균-분산 모형의 가정을 필요로 하지 않는다는 점에서 직관적으로는 유용함을 보였지만 계산 상의 어려움때문에 널리 사용되지 않았다 (Grootveld와 Hallerbach, 1999).</p> <p>또다른 하방위험 지표로 분위수에 기반한 \( \mathrm { VaR } \)가 있는데, \( \mathrm { VaR } \)는 목표 기간 동안 주어진 신뢰수준에서발생할 수 있는 최대손실크기를 의미한다 (RiskMetrics, 1996). Bertsimas 등 (2004)은 다음과 같은 가정 하에서 \( \mathrm { VaR } \)를 아래의 식 (2.3) 과 같이 표기하였다. 확률 벡터 \( R= \left (R_ { 1 } , \ldots, R_ { p } \right ) ^ { T } \) 가 수익률이고 \( \mu=E(R) \)를기대수익률로 갖는 \(p \)개의 자산이 있다고 가정해보자. 포트폴리오를 구성하는 \(p \)개의 자산에 대한 가중치가 \( w= \left (w_ { 1 } , \ldots, w_ { p } \right ) ^ { T } \) 이면, 포트폴리오 수익률과 기대수익률은 각각 확률 벡터 \( R ^ { T } w \) 와 \( E \left (R ^ { T } w \right )= \mu ^ { T } w ^ { - } \)가 된다.확률변수 \(X \)에 대한 \( \alpha \)-분위수를 \( q_ {\alpha } (X)= \inf \{ x \mid P(X \leq x) \geq \alpha \} \) 로 표기할 때, \( (1- \alpha) \)-신뢰 수준에서의 \( \mathrm { VaR } \)는다음과 같다:</p> <p>\( \begin {array} { ll } \min _ {\delta, t, z } & ( \beta v + \delta) ^ { T } \bar { r } -t + \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { T } z_ { i } + \lambda \sum_ { j=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { j } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| } , \\ \text { subject to } & \delta ^ { T } 1=1- \beta \\ & z_ { i } \geq t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \\ & z_ { i } \geq 0, i=1, \ldots, T \\ & \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta \geq c_ { 3 } \bar { r } _ { v } \end {array} \)<caption>(3.1)</caption></p> <p>여기서 \( \tilde {\delta } _ { j } \)는 이전 기간의 \(j \)번째 포트폴리오 가중치이며, \( \bar { r } _ { v } =v ^ { T } \bar { r } ^ { 2 } \)는 벤치마크의 추정 기대수익률이다. 전체포트폴리오 가중치에서 \( \beta ^ {\prime } \)만큼은 벤치마크에 투자하고 \( 1- \beta \)는 나머지 자산들에 투자하므로 그 조건이 첫 번째로 주어진다. 두번째 그리고 세번째 제약조건은 (2.6)에서 볼 수 있듯이 Bertsimas 등(2004)의 표본-평균 숏폴최적화 모형을 선형계획법으로 치환하는 과정에서 도출된 제약 조건이다. 마지막으로 West는 벤치마크를 활용하여 포트폴리오의 위험도를 줄이는 데 목표를 두지만, 포트폴리오 수익률이 너무 낮아지는 것을 방지하기위해 벤치마크의 수익률의 \( c_ { 3 } \)만큼 보다는 크다는 조건을 추가하였다. 모형 (3.1)에서 네 번째 제약조건에서의 \( c_ { 3 } \)값이 감소할 때 가능해 영역(feasible region)이 커지므로 제약조건을 만족하는 해가 존재하게 될 확률이 커지지만, 포트폴리오의 수익률은 낮아질 가능성이 크다. 따라서 가능해 영역이 존재하는 상황에서 모형 (3.1)을풀기 위해 충분히 큰 \( c_ { 3 } \)값인 1부터 시작하여 0.1씩 그 값을 감소시키면서 가능해 영역이 존재하게 만들어주는가장 큰 \( c_ { 3 } \)에 대해서 (3.1)를 풀었다.</p> <p>유클리드 공간 상의 벡터 \(g \)를 \( \sum_ { j=1 } ^ { p } \left \| \delta_ { j } \right \| / \left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| \)의 sub-gradient라고 가정하면, 벡터 \(g \)에 대한 KKT 최적화 조건들은 다음과 같다:</p> <p>\( \bar { r } _ { j } + \lambda g_ { j } - \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } r_ { i j } - \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } - \lambda_ { 4 } =0, \quad j=1, \ldots, p \) \( \frac { 1 } { K } - \lambda_ { 1 i } - \lambda_ { 2 i } =0, i=1, \ldots, T \) \( -1 + \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } =0 \) \( \lambda_ { 1 i } \left \{ z_ { i } - \left (t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \right ) \right \} =0, \lambda_ { 2 i } z_ { i } =0, \lambda_ { 3 } \left ( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta- \bar { r } _ { v } -c_ { 4 } \left \| \bar { r } _ { v } \right \| \right )=0 \) \( z_ { i } \geq t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } , z_ { i } \geq 0 \) \( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta \geq \bar { r } _ { v } + c_ { 4 } \left \| \bar { r } _ { v } \right \|, \delta ^ { T } 1=1- \beta \)</p> <p>따라서, 모든 \( \lambda_ { 2 i } \)값에 대하여 \( g_ { j } = \left ( \lambda_ { 3 } / \lambda \right ) \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } / \lambda \)이다. 여기서 만약 \( \lambda_ { 3 } \neq 0 \)이면, \( \hat {\delta } \)는 다음과 같다</p> <p>\( g_ { j } \geq 0, \quad \hat {\delta } _ { j } \geq 0, \quad \) for \( \bar { r } _ { j } \geq- \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda_ { 3 } } \) \( g_ { j } \leq 0, \quad \hat {\delta } _ { j } \leq 0, \quad \) for \( \bar { r } _ { j } \leq- \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda_ { 3 } } \).</p> <p>\( \hat {\delta } _ { j } \)의 부호는 \(j \)번째 자산의 공매도(short selling)의 여부를 나타낸다. 구체적으로 \(j \)번째 자산의 가중치 \( \hat {\delta } _ { j } \)가 음수이면 공매를 하는 경우(short position)을 의미하고, \( \hat {\delta } _ { j } \)가 양수이면 증권을 매입하는 것(long position)을 의미한다. 공매도는 주가 하락이 예상되는 종목의 증권을 빌려서 매도하여 차익을 얻는 투자 방법으로, 그종목의 평균적인 과거 수익률의 특정 값 이하면 현재 값도 그 값 이하일 것으로 예상하여 공매도가 증가할수 있다. 따라서 위 식들은 \(j \)번째 자산의 과거 평균 수익률인 \( \bar { r } _ { j } \)가 특정 값보다 크면 공매를 하고, \( \bar { r } _ { j } \)가 특정값보다 크면 증권을 매입한다는 금융학적인 의미를 갖는다.</p> <p>반면에, \( \lambda_ { 3 } =0 \)이면, \( \hat {\delta } \)는 다음과 같다:</p> <p>\( g_ { j } = \frac {\lambda_ { 4 } } {\lambda } \geq 0, \quad \hat {\delta } _ { j } \geq 0 \)</p> <h3>(3) 샤프지수: \( \mu_ { w } / s_ { w } \); 위험률 대비 기대수익률의 크기 (Sharpe, 1966). 투자의 성과를 판단하는 지수로, 샤프지수가 커질수록 더 나은 포트폴리오를 의미한다.</h3> <h3>(4) 시간 \( t \) 에서의 희소성: \( \left \|A_ { t } \right \| / p \); 시간 \( t \) 에서 포트폴리오를 구성하는 자산 수의 비율 (Park 등, 2019). 포트폴리오를 구성하는 자산이 적을수록 포트폴리오 운용 비용도 감소한다.</h3> <h3>(5) 시간 \( t \) 에서의 안정성: \( \left \|A_ { t } \Delta A_ { t-1 } \right \| / p \); 시간 \( t-1 \) 와 시간 \( t \) 에서의 포트폴리오 자산 집합의 상대적인 차이를 나타내는 지표 (Park 등, 2019). 안정적인 포트폴리오일수록 포트폴리오 거래 비용도 감소한다.</h3> <h3>(6) 회전율(turnover): \( (1 /(T- \tau-1)) \sum_ { t= \tau } ^ { T-1 } \sum_ { j=1 } ^ { p } \left \| \delta_ { i } ^ { t + 1 } - \delta_ { i } ^ { t } \right \| ; T- \tau-1 \) 일의 거래 기간 동안 리밸런싱된 가중치의 평균 크기 (Gerhard and Hess, 2003). 포트폴리오의 가중치 변화가 작을수록 거래 비용 또한 감소한다.</h3> <p>모수 \( \lambda \) 선택과 펴터베이션 가중치 \( \hat {\delta } \) 를 구하는 데 Jegadeesh과 Titman (2001) 및 Bruni 등 (2017), Park 등 (2019)과 마찬가지로 금융 분야의 시계열 예측에서 자주 사용되는 롤링 윈도우(rolling time window) 방법을 사용하였다. 모수 \( \lambda \) 값을 결정하기 위한 교차 검증에서는 표본 내 성능검증(in-sample testing), \( \hat {\delta } \) 값을 추정하는데 표본 외(out-of-sample) 예측 방식을 사용하였다. 윈도우 크기는 250 일(12개월)로 지정하였으며, 이전 250 개 관측치를 활용하여 그 다음 21개(1개월)의 값을 업데이트하였다.</p> <h2>4.5. 실증 데이터 분석을 통한 모형 성능 비교</h2> <p>West와 North 모형의 성능을 평가하기 위해 벤치마크인 인덱스 펀드(market index)와 동일가중 포트폴리오 (equally-weighted portfolio)를 기준으로 모형의 성능을 비교하였다. 벤치마크와 비교했을 때 성능이 향상되면 진한 글씨로 표시하였다. Table 1 부터 Table 6은 \( \alpha=0.05 \) 인 \( 95 \% \) 신뢰수준에서 각 모형의 기대수익률, 위험률, 샤프지수, 안정성, 그리고 회전율을 나타낸다. 또한 모수 λ 선택을 위한 교차 검증에서 사용한 지표를MR과 SR로 표기하였는데, MR은 기대수익률(mean return)이고 SR은 샤프지수(Sharpe ratio)를 의미한다.</p> <p>North 모형은 다음과 같다: \( \beta \neq 1, \lambda>0 \), 그리고 \( 0<c_ { 4 } \leq 1 \)에 대하여,</p> <p>\( \begin {array} { ll } \qquad \min _ {\delta, t, z } & ( \beta v + \delta) ^ { T } \bar { r } -t + \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { T } z_ { i } + \lambda \sum_ { j=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { j } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| } , \\ \text { subject to } & \delta ^ { T } 1=1- \beta \\ & z_ { i } \geq t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \\ & z_ { i } \geq 0, i=1, \ldots, T \\ & \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta \geq \bar { r } _ { v } + c_ { 4 } \bar { r } _ { v } \end {array} \)<caption>(3.2)</caption></p> <p>North 모형과 West 모형의 차이점은 네번째 제약 조건에 있다. 위험도를 낮추는 데 집중한 West와 달리,North는 위험도는 일정 수준 유지하면서 수익률을 높이는 데 목적을 둔다. 따라서 모형의 네 번째 제약 조건에벤치마크 기대수익률에 더하여 \( \mathcal { C } _ { 4 } \)만큼 보다 더 크다는 조건을 추가하였다. 모형 (3.1)에서와 같은 방법으로제약 조건들을 모두 만족하는 가능해 영역(feasible region)이 존재하는 상황에서의 해를 구하기 위해, \( \mathcal { C } _ { 4 } \) 값을1부터 0.1씩 감소시켜 네 번째 제약 조건을 완화함으로써 실현가능한 해를 구한다.</p> <h2>3.2. 포트폴리오 가중치의 금융학적 의미</h2> <p>본 절에서는 3.1 절에서 제안한 표본 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 식을 수학적으로 바라본 후 퍼터베이션가중치의 해 \( \tilde {\delta } \)의 금융학적 성질에 대해서 설명을 하고자 한다. 구체적으로는 라그랑즈 승수법(lagrange multi-plier method)을 이용하여 KKT(Karush-Kuhn-Tucker) 최적화 조건을 만족하는 해의 성질에 대해서 알아 본다.라그랑즈 승수법에 따르면, West 모형은 다음과 같이 라그랑즈 함수 \( L_ { 1 } \)로 재구성될 수 있다.</p> <p>West와 North 모두 기대수익률이 벤치마크 대비 증가하였다. 반면 S&P100과 S&P500은 North에서만 기대수익률이 증가하였다. 동일가중 포트폴리오(Equally) 벤치마크에 대해선 FTSE250과 DAX30은 West와 North모두 기대수익률이 증가한 반면, DOW30과 S&P100, S&P500, FTSE100은 North만 기대수익률이 증가하였다. 즉, West보다 North의 기대수익률이 증가한 빈도가 잦으며, 증가량 또한 더 많다.</p> <p>Table 2는 인덱스 펀드 벤치마크에 대해서, S&P100과 FTSE250, DAX30은 West와 North 모두 위험률이벤치마크 대비 감소한 반면, DOW30과 S&P500, FTSE100은 West만 위험률이 감소하였다. 동일가중 포트폴리오를 벤치마크로 활용하였을 때에는, West는 모든 지수의 위험률이 감소하였으나, North는 FTSE100과DAX30만 위험률이 감소하였다. 전반적으로 모든 데이터의 North보다 West의 위험률이 더 많이 감소하였다.</p> <p>Table 3에선 벤치마크가 인덱스 펀드일 때, S&P500의 West-MR과 North-MR을 제외한 모든 모형들은샤프지수가 벤치마크보다 상승하였다. 벤치마크가 동일가중 포트폴리오일 때 West 모형에서는 DOW30과FTSE100 샤프지수는 감소한 반면, North 모형은 모든 데이터의 샤프지수가 상승하였다. 대부분의 데이터들의 샤프지수가 벤치마크보다 상승하였으므로, West와 North 모형들이 벤치마크보다 더 나은 포트폴리오를 구성한 것으로 볼 수 있다.</p> <p>Table 4-6은 West와 North 모형의 희소성과 안정성, 회전율을 벤치마크와 비교하여 표로 나타낸 것이다. Table 4에서 West보다 North의 희소성 값이 더 크지만, 전반적으로 0.09 이하의 값을 갖는다. 이는 전체 자산 중에서 \( 9 \% \) 이하의 자산으로만 포트폴리오가 운용되며, 그만큼 포트폴리오 운용 비용도 감소한다는 의미이다.</p> <p>Table 6도 희소성 및 안정성과 마찬가지로 West보다 North의 회전율 값이 더 크지만, 가장 큰 값이 0.21이하이다. 이는 전체 거래 기간 동안 조정된 가중치의 평균 크기가 0.21 이하임을 의미한다.</p> <h2>4.6. 신뢰수준의 변화에 따른 모형 성능 비교</h2> <p>신뢰수준의 변화에 따른 모형의 성능을 비교하기 위해 α값에 따라 7개의 신뢰수준별로 모형의 기대수익률, 위험률, 샤프지수, 희소성, 안정성, 그리고 회전율을 구하였고, 그 값들은 Supplementary matrials의 Supplemen-tary Tables A.1-A.24에서 확인할 수 있다. 신뢰수준은 \( \alpha=0.5,0.3,0.2,0.1,0.05,0.025 \) 에 대해 \( 50 \%, 70 \%, 80 \% \), \( 90 \%, 95 \%, 97.5 \% \) 로 설정하였다. Supplementary table들을 살펴보면 전반적으로 신뢰수준이 변화하더라도 모형의 성능도 그에 따라 달라지는 양상이 보이진 않는다. 그리고 Supplementary Tables A.1-A.24까지의 희소성, 안정성, 회전율은 4.5절의 경우와 마찬가지로 각각 0.09,0.08,0.21 이하의 값을 갖는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>만약 포트폴리오 가중치 \( \hat {\delta } _ { j } \)가 모두 0보다 크면 공매도를 하지 않은 롱온리(long-only) 포트폴리오이며, 그렇지 않을 경우 \( \hat {\delta } \) 공매도가 포함된 롱-숏(long-short) 포트폴리오를 의미한다. 공매도는 주식 시장의 유동성과효율성을 높일 수는 있으나, 차입 공매도(cover short)에서 수수료와 이자 비용이 발생하며 개인 투자자의 경우 기관 투자자 대비 정보의 비대칭성으로 인해 공매도를 통해 차익을 실현하기가 쉽지 않다. 또한 공매도는시장의 안정성을 해친다는 점에서 시장이 불안정할 땐 금지되곤 한다. 이러한 점에서 롱온리 포트폴리오를구성할 수 있다는 점은 실용성이 있다. West 모형은 위와 같은 특정 조건하에서 롱온리 포트폴리오 또는 롱-숏포트폴리오로 운용될 수 있다는 의미로 해석할 수 있다.</p> <p>마찬가지로 North 모형 또한 라그랑즈 함수 \( L_ { 2 } \)로 재구성될 수 있다.</p> <p>\( \begin {aligned} L_ { 2 } =&( \beta v + \delta) ^ { T } \bar { r } -t + \frac { 1 } { K } \sum_ { i=1 } ^ { T } z_ { i } + \lambda \sum_ { j=1 } ^ { p } \frac {\left \| \delta_ { j } \right \| } {\left \| \tilde {\delta } _ { j } \right \| } \\ &- \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } \left \{ z_ { i } - \left (t-( \beta v + \delta) ^ { T } r_ { i } \right ) \right \} - \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 2 i } z_ { i } \\ &- \lambda_ { 3 } \left ( \bar { r } _ { v } \beta + \bar { r } ^ { T } \delta- \bar { r } _ { v } -c_ { 4 } \left \| \bar { r } _ { v } \right \| \right ) + \lambda_ { 4 } \left (1- \beta- \delta ^ { T } 1 \right ) \end {aligned} \)</p> <h1>1. 서론</h1> <p>금융 분야에서 투자의 손실을 줄이고 높은 수익을 얻고자 하는 노력은 꾸준히 시도되어 왔고, 이를 수학적으로 해결하고자 하는 방법론이 포트폴리오 최적화(portfolio optimization)이다. 포트폴리오 최적화를 통해투자자는 높은 기대수익률을 갖는 동시에 최소의 위험도를 갖는 최적의 포트폴리오 조합을 선택하고자 한다.여기서 위험을 측정하는 지표로는 대표적으로 분산(variance)이 사용되어 진다. Markowitz (1952)는 분산을위험 지표로 활용하는 평균-분산 포트폴리오(mean-variance portfolio) 최적화 문제를 도입하였다. Markowitz(1952)의 평균-분산 포트폴리오 최적화 모형은 현대 포트폴리오 이론(modern portfolio theory; MPT)의 근간이 되어, 이를 기반으로 한 Sharpe (1964)와 Lintner (1965)의 자본자산 가격결정 모형(capital asset pricingmodel; CAPM)이 제안되었다. 그리고 제로-β 포트폴리오로 무위험 자산(riskless asset)을 대체하는 제로-βCAPM (Black, 1972)으로 발전하였다. 이처럼 Markowitz (1952)의 평균-분산 포트폴리오 최적화 모형은 현대금융학의 초석을 다지는 이론이 되었다.</p> <p>그러나 포트폴리오 최적화 모형에서 위험 지표로 분산을 사용하는 것에 대한 여러 문제점들이 제기되었다. Markowitz (1952)의 평균-분산 포트폴리오 최적화 이론은 수익률 분포가 평균을 중심으로 대칭인 타원분포(elliptical distribution)을 따른다는 것과 투자자의 효용 함수가 이차 효용(quadratic utility)이라는 가정을 기반으로 한다. 하지만 실생활에서 수익률 분포가 정확한 대칭을 이루는 경우가 드물며 (Bertsimas 등, 2004),이차 효용 함수는 위험 회피(risk aversion) 투자자의 경우 부가 증가할수록 한계 효용이 감소하는 절대 위험 회피(absolute risk aversion)가 증가하는 특성을 갖는다 (Pratt, 1964; Arrow, 1971; Huang과 Litzenberger, 1988).따라서 수익률 분포가 타원 분포를 따르지 않거나 위험 중립(risk neutral) 또는 위험 선호(risk seeking) 투자자의 경우에는 모형을 적용하기 어렵다는 한계가 있다. 그리고 분산을 줄이려는 시도는 하방위험(downsiderisk)뿐만 아니라 상방위험(upside risk)도 줄이게 되는 문제가 발생한다 (Grootveld와 Hallerback, 1998). 또한분산은 이상치의 영향을 많이 받는 민감한 지표이므로 추정 오차(estimation error)가 커질 수도 있다는 문제점이 있다. 이러한 문제를 보완하기 위해 하방위험만을 다루는 반분산(semi-variance)과 lower partial momoent(LPM), Value at Risk (VaR), conditional VaR (CVaR), 그리고 숏폴(Shortfall) 등 다양한 지표가 사용되고 있다.하지만 LPM과 반분산 등은 계산하기 어렵다는 문제점이 있어 VaR가 주로 사용되어 왔으나, VaR는 비볼록성을 가지므로 최적화 문제에는 사용하기 어려운 한계가 있다 (Bertsimas 등, 2004). 숏폴은 VaR와 달리볼록성을 가진 지표로 최적화에 사용하기 용이하다. 따라서 본 연구에서는 여러 하방위험 지표 중 숏폴을사용한 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 모형을 사용하였다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 논문에서는 다양한 현실 상황에 적용 가능한 표본 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 문제에 perturbation 방법을접목한 모형을 제안하였고, 다양한 실증 데이터 분석을 통해 그 성능을 검증하였다. 기존의 Markowitz (1952)의 평균-분산 포트폴리오 최적화 모형은 다음과 같은 두 가지 강한 가정 하에서 성립한다. 첫째, 수익률 분포가타원 분포를 따른다. 둘째, 투자자의 효용 함수는 이차 효용이다. 이러한 가정들은 현실에서 발생 가능한 타원분포가 아닌 다양한 분포, 그리고 절대 위험 회피가 증가하는 특성을 갖는 위험 회피 투자자의 경우에 모형을적용하기 어렵다는 한계가 있다. Bertsimas (2004)의 표본 평균-숏폴 최적화 문제는 이러한 가정들로부터 자유로우며, 이상치의 영향을 많이 받는 분산을 하방위험을 대체하였다는 점에서 의의가 있다. 또한 하방위험중에서 볼록성을 가짐으로써 최적화 문제에서 계산이 용이한 숏폴을 위험 지표로 사용하였다. 이러한 표본평균-숏폴 최적화 문제에 Park 등 (2019)의 퍼터베이션 방법을 적용함으로써 보다 효율적인 포트폴리오를 구성하는 모형을 제안했다. 퍼터베이션 방법은 West와 North 두 가지로 나뉘는데, West는 위험도를 낮추는 데목적을 두는 위험도 기반 모형이고 North 는 위험도를 어느 정도 유지하면서 기대수익률을 높이는 데 목적을두는 수익률-위험도 기반 모형이다. 또한 퍼터베이션 방법은 adaptive Lasso 기법을 활용함으로써 포트폴리오를 구성하는 자산의 수와 가중치 변동을 줄이는 안정적인 포트폴리오를 운용한다. 이는 포트폴리오 운용 비용및 거래 비용과 연관이 있어, 자산의 수가 적고 변동성이 적은 포트폴리오일수록 비용이 감소한다는 의의가있다. 실증 자료 분석에서는 α값에 따른 여러 신뢰수준 하에서 모형의 성능을 기대수익률, 위험도, 샤프지수,희소성, 안정성, 회전율로 나누어 평가하였다. 95% 신뢰수준에 대해선 West보다 North의 기대수익률이 더많이 증가하는 한편, 위험도는 West가 더 많이 감소하는 것을 확인하였다. 희소성과 안정성, 회전율 또한 West보다 North의 값들이 조금 더 높았지만, 특정 값 이하로 나타남으로써 포트폴리오 비용을 감소시킬 수 있음을확인하였다. 회전율은 안정성과 희소성에 비해 다소 높은 값을 가지는데, 회전율을 낮추는 것을 향후 과제로제시한다. 제안된 모형은 여러 가정들의 제약을 받지 않는 모형으로서 현실의 다양한 상황에 적용 가능하다.또한 최적의 포트폴리오를 얻을 뿐만 아니라, 포트폴리오 운용 및 거래 비용에 대해서도 고려함으로써 보다현실적인 포트폴리오를 얻을 수 있다는 점에서 의의가 있다.</p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p></p> <p>여기서 처음 세 조건(complementary slackness)은 다음을 나타낸다.</p> <p>\( \begin {aligned} \lambda g_ { j } &= \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } r_ { i j } - \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { T } \lambda_ { 1 i } \left (r_ { i j } - \bar { r } _ { j } \right ) + \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } , j=1, \ldots, p . \end {aligned} \)</p> <p>위 식은 \( \lambda_ { 2 i } \)의 조건에 따라 나누어 볼 수 있다. 만약 \( \lambda_ { 2 i } =0 \),, 즉 \( z_ { i } \geq 0 \)이면, \( \lambda g_ { j } \)는 다음과 같다:</p> <p>\( \begin {aligned} \lambda g_ { j } &= \sum_ { i=1 } ^ { T } \frac { 1 } { K } \left (r_ { i j } - \bar { r } _ { j } \right ) + \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } \\ &= \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } \end {aligned} \)</p> <p>반면에 \( \lambda_ { 2 i } \neq 0 \), 즉 \( z_ { i } =0 \)이면, \( \lambda g_ { j } \)는 다음과 같다:</p> <p>\( \begin {aligned} \lambda g_ { j } &= \sum_ { i=1 } ^ { T } \left ( \frac { 1 } { K } - \lambda_ { 2 i } \right ) \left (r_ { i j } - \bar { r } _ { j } \right ) + \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { T } \left (1- \frac { T } { K } \right ) \left (r_ { i j } - \bar { r } _ { j } \right ) + \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } \\ &= \lambda_ { 3 } \bar { r } _ { j } + \lambda_ { 4 } . \end {aligned} \)</p> <p \( \operatorname { VaR } _ {\alpha } (w)= \mu ^ { T } w-q_ {\alpha } \left (R ^ { T } w \right ), \quad \vee \alpha \in(0,1) \)<caption>(2.3)</caption>></p> <p>여기서 \( q_ {\alpha } \left (R ^ { T } w \right ) \)는 포트폴리오 수익률 \( R ^ { T } w \) 분포의 \( \alpha \)분위수다. 그러나 \( \mathrm { VaR } \)는 준가법성과 볼록성의 부재 때문에 수학적으로 계산하기 어렵다는 문제점을 갖는다(Artzner, 1999; Rockafellar와 Uryasev, 2000; Rockafellar,2007). 이후 \( \mathrm { VaR } \)의 대안으로 숏폴이 제안되었다(Bertsimas 등, 2004). Bertsimas 등(2004)의 \( (1- \alpha) \)-신뢰 수준에서의 숏폴은 다음과 같이 나타낸다:</p> <p>\( s_ {\alpha } (w)= \mu ^ { T } w-E \left [R ^ { T } w \mid R ^ { T } w \leq q_ {\alpha } \left (R ^ { T } w \right ) \right ], \quad \vee \alpha \in(0,1) \)<caption>(2.4)</caption></p> <p>숏폴과 \( \mathrm { VaR } \)의 차이점은 식의 두 번째 항에 있다. 식 (2.3)의 두 번째 항을 \( q_ {\alpha } \left (R ^ { T } w \right ) \)에 대한 조건부 기댓값으로대체함으로써 \( \alpha \)-분위수 이하의 수익률을 고려한다. 즉, 숏폴은 포트폴리오 수익률이 \( \alpha \)-분위수 이하로 발생할 평균적인 손실 크기를 나타낸다. 뿐만 아니라 조건부 기댓값을 취함으로써, 비볼록인 \( \mathrm { VaR } \)와 달리 숏폴은볼록성을 가지게 되어 최적화시 계산이 용이해진다는 장점이 있다.</p> <h2>2.2. 표본 평균-숏폴 포트폴리오 모형</h2> <p>Bertsimas 등 (2004)은 앞 절에서 제안한 숏폴을 위험 지표로 활용한 표본 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 모형을 제안했다. 이 모형은 과거 데이터를 사용함으로써 수익률 분포에 대한 어떠한 가정도 하지 않는다는 점에서 현실의 제약에서 자유롭다는 장점을 갖는다. 기간 \( t=1, \ldots, T \) 에 대해 \(T \)개의 과거 수익률 표본이 \( r_ { 1 } , \ldots, r_ { T } \)라고 할때, 그 다음 기간 \( T + 1 \)에서의 수익률 추정량이 과거 \(T \)개 수익률의 평균 \( \bar { r } = \sum_ { i=1 } ^ { T } r_ { i } / T \) 이라고 가정한다.Bertsimas (2004) 등은 숏폴의 비모수 추정량으로 \( \hat { s } _ {\alpha } (w)=w ^ { T } \bar { r } - \sum_ { i=1 } ^ { K } r_ { (i) } (w) / K \)을 고려하는데, 여기서 \( r_ { (i) } (w) \))는 \(T \)개의 과거 수익률의 \(i \)번째로 작은 순서통계량이며 \( K= \lfloor \alpha T \rfloor \) 구 \( \alpha T \) 보다 크지 않은 가장 큰 정수값을 갖는다.숏폴의 비모수 추정량을 활용한 표본 평균-숏폴 포트폴리오 최적화 모형은 다음과 같다.</p>	자연
m821-위상수학입문	<p>일반적으로 한 점의 근방은 열린집합일 필요가 없다. 특별히 근방이 열린집합일 경우는 열린근방, 닫힌집합일 경우는 닫힌근방이라고 부르기도 한다. 한 점의 근방이 열린집합일 경우는 그 열린집합 자신이 근방이 된다.</p> <h3>예</h3> <p>중심이 \( a \in R \)인 모든 닫힌구간 \( [a- \delta, a + \delta] \)는 열린구간 \( (a- \delta, a + \delta) \)를 포함하므로, \( a \)의 근방이 된다. 같은 방법으로 \( p \)가 평면 \( R ^ { 2 } \)의 점일 때, 중심이 \( p \)인 모든 닫힌원판 \( \left \{ q \in R ^ { 2 } \mid d(p, q) \leq \delta \neq 0 \right \} \)는 \( p \)에 중심을 둔 열린원판을 포함하므로, \( p \)의 근방이 된다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \), \( \{ a, b, e \} \} \)로 정의한다. 이때 \( c \)를 포함하는 열린집합은 \( \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} , X \) 이므로, \( c \)의 근방계는 \[ \mathscr { N } _ { c } = \{\{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} , \{ a, c, d, e \} , X \} \]이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} \} \)로 정의한다. 이때 \( \{ a \} \ 가 \( a \)를 포함하는 가장 작은 열린집합이므로, \( X \)의 부분집합 중에서 \( a \)를 포함하는 모든 집합은 \( a \) 의 근방이다. 따라서 \( a \)의 근방계의 원소의 개수는 8개이다. 또한 \( b \)를 포함하는 가장 작은 열린집합은 \( \{ a, b \} \)이므로, \( \{ a, b \} \)를 포함하는 \( X \)의 부분집합은 4개이다. 한편 \( c \)를 포함하는 가장 작은 열린집합은 \( \{ a, c, d \} \)이므로, \( \mathscr { N } _ { c } = \{\{ a, c, d \} , X \} \) 가 \( c \)의 근방계이고, \( c \)의 경우와 마찬가지로 \( d \)의 근방계는 \( \mathscr { N } _ { d } = \{\{ a, c, d \} , X \} \)로 주어진다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( X \)가 임의의 위상공간일 때, \( X \)의 부분집합 \( A \)가 닫힌집합이 되기 위한 필요충분조건은 \( A \)의 집적점이 \( A \)에 속하는 것, 즉 \( A ^ {\prime } \subset A \)이다.</p> <h2>(3) 집합의 폐포</h2> <h3>정의 9 폐포</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)가 위상공간이고 \( A \)가 \( X \)의 부분집합일 때, \( A \)의 폐포 \( \bar { A } \)는 \( A \)를 포함하는 \( X \)의 모든 닫힌부분집합족 \( \left \{ F_ { i } \mid i \in I \right \} \)의 교집합, 즉 \[ \bar { A } = \cap_ { i } F_ { i } \]로 주어진다. 점 \( p \in X \)가 \( A \)의 폐포에 속할 때, 즉 \( p \in \bar { A } \)일 때 점 \( p \)를 \( A \subset X \)의 폐포점 또는 밀착점이라 한다. 때로는 폐포를 ‘닫음'으로, 폐포점을 ‘닫음점’으로 표현하기도 한다.</p> <p>\( F \)가 \( A \)를 포함하는 닫힌집합이면 \[A \subset \bar { A } \subset F \]가 성립하므로, 집합 \( A \)는 \( A= \bar { A } \)일 때 닫힌집합이 된다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \), \( \{ a, b, e \} \} \)로 정의하면, \( X \)의 닫힌부분집합은 \[ \varnothing, X, \{ b, c, d, e \} , \{ c, d, e \} , \{ b, e \} , \{ e \} , \{ c, d \} \]이다. 이때 임의의 집합 \( A \)의 폐포 \( \bar { A } \)는 \( A \)의 모든 포함닫힌집합의 교집합이므로 \[ \bar {\varnothing } = \varnothing, \{\bar { a } \} =X, \{\bar { b } \} = \{ b, e \} , \{\overline { c, e } \} = \{ c, d, e \} , \{\bar { e } \} = \{ e \} \]로 주어진다.</p> <h1>3.2 기저와 국소기저</h1> <p>위상이란 어떤 집합의 멱집합의 부분집합이므로, 무한집합의 경우 위상에 속한 모든 열린 집합을 생각한다는 것은 쉽지 않다. 따라서 그 중 일부만을 가지고 나머지 열린집합을 만들어 낼 수 있는 집합을 생각하게 되는데, 이러한 집합을 기저라 한다.</p> <h1>1. 위상의 기저</h1> <h3>정의 1 위상의 기저</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에 대하여, \( X \)의 열린집합족 \( \mathscr { B } \), 즉 \( \mathscr { B } \subset \mathscr { T } \)가 다음 두 조건 (1) 모든 열린집합 \( G \in \mathscr { F } \)는 \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합이다. (2) 임의의 열린집합 \( G \)에 속하는 임의의 점 \( p \) 에 대하여 \( p \in B \subset G \)를 만족하는 \( B \in \mathscr { B } \)가 존재한다. 중에서 하나를 만족할 때, \( \mathscr { B } \) 를 위상 \( \mathscr { T } \) 의 기저(base)라고 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( \{ X \} \)와 \( \{ X, \varnothing \} \)는 모두 밀착위상공간 \( (X, \mathcal { X } ) \)의 기저가 된다.</p> <h3>예</h3> <p>열린구간 전체는 \( R \)상의 보통위상 \( \mathscr { u } \)에 대한 기저를 이룬다. 왜냐하면 \( G \subset R \)가 열린집합이고 \( p \in G \)이면 \( p \in(a, b) \subset G \)를 만족하는 열린구간 \( (a, b) \)가 존재하기 때문이다. 같은 방법으로 열린원판 전체는 \( R ^ { 2 } \) 상의 보통위상의 기저를 이룬다.</p> <h3>예</h3> <p>평면 \( R ^ { 2 } \)에서 \( x \)축과 \( y \)축에 평행한 유계인 열린 직사각형 전체는 \( R ^ { 2 } \)상의 보통위상의 기저 \( \mathscr { B } \)를 이룬다. 왜냐하면 \( G \subset R ^ { 2 } \)가 열린집합이고 \( p \in G \)이면 \( p \in D_ { p } \subset G \)를 만족하는 중심이 \( p \)인 열린원판이 존재하기 때문이다. 이 경우 \( D_ { p } \)에 내접하는 임의의 열린 직사각형 \( B \in R \) 는 그림 3.1에서 표시된 바와 같이 \[p \in B \subset D_ { p } \subset G \text { 또는 } p \in B \subset G \]를 만족한다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( \mathscr { F } \)가 실직선 \( R \)에서 반열린구간 \( (a, b] \)족을 기저로 갖는 상한위상일 때, 다음 각 수열에 대하여 0으로의 수렴 여부를 판정하시오.<ol type=1 start=1><li>\( \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots \right \rangle \)</li> <li>\( \left \langle-1,- \frac { 1 } { 2 } ,- \frac { 1 } { 3 } , \cdots \right \rangle \)</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=1 start=1><li>수렴하지 않는다. 왜냐하면 \( \mathscr { T } \)-열린집합 \( (-2,0] \)은 0을 포함하지만, 수열의 임의의 항을 포함하지 않기 때문이다.</li> <li>수렴한다. 왜냐하면 0 을 포함하는 임의의 열린기저집합 \( (a, b] \), 즉 \( a<0 \leq b \)에 대하여 \( a<- \frac { 1 } { n_ { 0 } }<0 \)을 만족하는 \( n_ { 0 } \in N \)가 존재한다. 따라서 \( n>n_ { 0 } \)이면 \( - \frac { 1 } { n } \in(a, b] \)이기 때문이다.</li></ol> <h3>참고</h3> <p>\( \mathscr { A } \)가 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { F } \)의 기지이고 \( A \subset X \)일 때 \[ \mathscr { B } _ { A } = \{ A \cap G \mid G \in \mathscr { B } \} \]는 \( A \) 의 상대위상 \( \mathscr { T } _ { A } \) 의 기저가 된다.</p> <h1>2. 위상의 부분기저</h1> <h3>정의 3 위상의 부분기저</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에 대하여, \( X \)의 열린부분집합족 \( R \), 즉 \( R \subset \mathscr { F } \)의 원소의 유한개의 교집합 전체가 \( \mathscr { F } \)의 기저를 이룰 때, \( R \)을 위상 \( \mathscr { T } \)의 부분기저 (subbase)라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>실직선 \( R \)의 모든 열린구간 \( (a, b) \)는 두 개의 무한열린구간 \( (a, \infty) \)와 \( (- \infty, b) \)의 교집합이다. 그런데 열린구간족은 \( R \)상의 보봉위상의 기저이므로, 모든 무한열린구간족 \( R \)은 \( R \)의 부분기저가 된다.</p> <h3>예</h3> <p>이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)의 부분공간 \( \left (A, \mathscr { D } _ { A } \right ) \)는 이산위상공간이다. 왜냐하면 모든 \( a \in A \)에 대하여 \( \{ a \} \in \mathscr { D } \)이므로 \( \{ a \} = \{ a \} \cap A \in \mathscr { D } _ { A } \)이기 때문이다. 또한 밀착위상공간 \( (X, \mathcal { X } ) \)의 부분공간 \( \left (A, \mathcal { X } _ { A } \right ) \)도 이산위상공간이다. 왜냐하면 \( (X, \mathcal { X } ) \) 에서는 \( X \)와 \( \varnothing \)만 열린집합이므로, 단지 \( A=X \cap A \)와 \( \varnothing= \varnothing \cap A \)만 \( \left (A, X_ { A } \right ) \)에서 열린집합이 되기 때문이다.</p> <p>상대공간의 열린집합은 전체공간에 있어서는 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아닐 수도 있다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R \)상의 보통위상 \( \mathscr { u } \)와 닫힌구간 \( A=[3,8] \)상으로의 상대위상 \( \mathscr { u } _ { A } \)를 생각하자. 이때 \( R \)에서의 반열린구간 \( [3,5) \)가 \( A \) 의 상대위상 \( \mathscr { u } _ { A } \)에서 열린집합이 된다.</p> <h1>8. 위상의 다른 정의</h1> <p>위상공간의 정의는 위상공간에 속하는 열린집합의 몇 가지 공리, 즉 위상의 기본개념으로써 열린집합을 사용하여 정의했다. 그러나 '점의 근방'의 개념을 사용하여 집합상의 위상을 정의할 수 있다.</p> <h3>정리 20</h3> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)에 대하여, 각 점 \( p \in X \)에 \( X \)의 부분집합족 \( \mathcal { H } _ { p } \)가 대응하여 다음 네 조건 \( \left [A_ { 1 } \right ] \mathscr { H } _ { p } \)는 공집합이 아니고 \( p \)는 \( \mathscr { H } _ { p } \)의 각 원소에 속한다. \( \left [A_ { 2 } \right ] \mathscr { H } _ { p } \)의 임의의 두 원소의 교집합은 \( \mathcal { H } _ { p } \)에 속한다. \( \left [A_ { 3 } \right ] \mathcal { H } _ { p } \)의 원소의 모든 확대집합은 \( \mathcal { H } _ { p } \)에 속한다. \( \left [A_ { 4 } \right ] \) 각 원소 \( N \in \mathscr { H } _ { p } \) 는 모든 \( g \in G \) 에 대하여 \( G \in \mathscr { H } _ { p } \) 를 만족하는 원소 \( G \in \mathscr { H } _ { p } \)의 확대집합이다. 를 만족할 때, \( \mathcal { H } _ { p } \)가 점 \( p \in X \)의 \( \mathscr { T } \)-근방계로 되는 \( X \)상의 위상이 유일하게 존재한다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( \left ( \frac { 1 } { 2 \pi } , \frac { 1 } {\pi } \right ) \)이 열린집합이지만 \( f \left [ \left ( \frac { 1 } { 2 \pi } , \frac { 1 } {\pi } \right ) \right ]=[-1,0) \)은 열린집합이 아니므로, \( f \)는 열린사상이 아니다. 또한 \( \left [ \frac { 2 } {\pi } , \infty \right ) \)가 닫힌집합이지만 \( f \left [ \left [ \frac { 2 } {\pi } , \infty \right ) \right ]=(0,1] \)은 닫힌 집합이 아니므로, \( f \)는 닫힌사상이 아니다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( \mathscr { B } \)를 위상공간 \( X \)의 기저라 하고, \( f: X \rightarrow Y \)라 하자. 이때 모든 \( B \in \mathscr { B } \) 에 대하여 \( f[B] \)가 \( Y \)의 열린집합이면, \( f \)는 열린사상이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( G \subset X \)를 열린집합이라 하자. 그러면 \( B_ { i } \in \mathscr { B } \)에 대하여, \( G= \cup_ { i } B_ { i } \)이므로 \[f[G]=f \left [ \cup_ { i } B_ { i } \right ]= \cup_ { i } f \left [B_ { i } \right ] \]가 성립한다. 그런데 가정에 의하여 \( f \left [B_ { i } \right ] \) 가 열린집합이므로, 열린집합의 합집합인 \( f[G] \)도 또한 \( Y \)의 열린집합이다. 따라서 \( f \)는 열린사상이다.</p> <h1>3. 위상동형공간</h1> <p>평면 \( R ^ { 2 } \)상의 사각형과 원은 위상동형이다. 즉 사각형을 연속적으로 변형하여 원을 만들 수 있다는 것이다.</p> <h2>(1) 위상동형공간</h2> <p>정의 11 위상동형사상</p> <p>두 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)와 \( \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)에 대하여 \( f \)와 \( f ^ { -1 } \)가 연속인 전단사 \( f: X \rightarrow Y \)가 존재할 때, \( X \)와 \( Y \)는 위상동형 (homeomorphic) 또는 위상적 동치 (topologically equivalent)라 하고, 이때 함수 \( f \)를 위상동형사상(homeomorphism) 또는 위상동형함수라 한다.</p> <h3>정리 2</h3> <p>두 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)와 \( \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)에 대하여 \( f:(X, \mathscr { F } ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)라 하고, \( R \)이 \( Y \)상의 위상 \( \mathscr { T } ^ { * } \)의 부분기저일 때, 함수 \( f \)가 연속이기 위한 필요충분조건은 \( R \)의 모든 원소의 역상이 \( X \)의 열린부분집합, 즉 모든 \( S \in R \)에 대하여 \( f ^ { -1 } [S] \in \mathscr { T } \)로 되는 것이다.</p> <h3>증명</h3> <p>함수 \( f \)가 연속이면, \( R \)의 원소를 포함하는 모든 열린집합의 역상은 열린집합이다. 이제 모든 \( S \in R \)에 대하여 \( f ^ { -1 } [S] \in \mathscr { T } \)라고 가정하고, \( G \in \mathscr { T } ^ { * } \)이면 \( f ^ { -1 } [G] \in \mathscr { T } \)임을 밝힌다. \( G \in \mathscr { T } ^ { * } \)라고 하면 부분기저의 정의에 의하여 \[G= \cup_ { i } \left (S_ { i_ { 1 } } \cap \cdots \cap S_ { i_ { n_ { i } } } \right ) \left ( \text { 단, } S_ { i_ { k } } \in R \right ) \]이므로 \[ \begin {aligned} f ^ { -1 } [G] &=f ^ { -1 } \left [U_ { i } \left (S_ { i_ { 1 } } \cap \cdots \cap S_ { i_ { n_ { i } } } \right ) \right ]= \cup_ { i } f ^ { -1 } \left [S_ { i_ { 1 } } \cap \cdots \cap S_ { i_ { n_ { i } } } \right ] \\&= \cup_ { i } \left (f ^ { -1 } \left [S_ { i_ { 1 } } \right ] \cap \cdots \cap f ^ { -1 } \left [S_ { i_ { n_ { i } } } \right ] \right ) \end {aligned} \]가 된다. 그런데 \( S_ { i_ { k } } \in R \) 이므로, \(f ^ { -1 } \left [S_ { i_ { n_ { i } } } \right ] \in \mathscr { T } \)이다. 따라서 \( f ^ { -1 } [G] \)는 열린집합의 유한개의 교집합의 합집합이므로, \( f ^ { -1 } [G] \in \mathscr { T } \)이다.</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)의 임의의 부분집합족 \( \mathscr { H } \) 는 \( X \) 상의 위상의 기저가 아닐 수도 있다. 그러나 \( X \)의 부분집합족 \( \mathscr { H } \)를 부분기저로 갖는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)는 유일하게 결정된다.</p> <h3>정리 4</h3> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)의 부분집합족 \( R \)에 대하여, \( R \)은 항상 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)의 부분기저가 된다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d \} \)의 부분집합족 \( R= \{\{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ d \} \} \) 에 대하여, \( R \)의 원소들의 유한개의 교집합 전체의 집합족은 \[ \mathscr { B } = \{ X, \varnothing, \{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ d \} , \{ b \} \} \]로 주어진다. 이때 \( \mathscr { B } \)는 정리 2 의 두 조건을 만족하므로 \( \mathscr { B } \)는 \( X \)상의 위상을 생성하는 기저이고, \( R \)은 부분기저가 된다.</p> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)의 임의의 부분집합족 \( \mathscr { H } \)에 대하여, \( \mathscr { H } \)를 부분기저로 갖는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { F } \)는 \( \mathscr { H } \)의 원소의 유한개의 교집합 전체를 기저로 갖는 위상이다. 이때 \( X \) 의 부분집합족 \( H \)는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { F } \)를 생성한다고 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d \} \)일 때, \( X \)의 부분집합족 \( \mathcal { H } = \{\{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ d \} \} \)의 원소의 교집합 전체의 집합족은 \( \mathscr { B } = \{\{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ d \} , \{ b \} , \varnothing, X \} \) 이므로, \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합을 취하면 \[ \mathscr { T } = \{\{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ d \} , \{ b \} , \varnothing, X, \{ a, b, d \} , \{ b, c, d \} , \{ b, d \} , \{ a, b, c \} \} \]를 얻는다. 이것이 족 \( \mathcal { H } \)에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상이다.</p> <h1>3.1 일반위상공간</h1> <p>실수의 성질 중 '거리' 개념을 사용하지 않고 단지 실수의 열린집합이 갖는 몇 가지 성질만을 추상화하여 일반위상공간을 도입한다.</p> <h2>1. 위상공간</h2> <h3>정의 1 위상공간</h3> <p>\( X \)를 공집합이 아닌 집합이라 하자. 이때 \( X \)의 부분집합족 \( \mathscr { F } \)가 다음 세 조건</p> <ul> <li>\( \left [O_ { 1 } \right ] \quad X \)와 \( \varnothing \)는 \( \mathscr { T } \)에 속한다.</li> <li>\( \left [O_ { 2 } \right ] \mathscr { T } \)의 임의개의 원소들의 합집합은 \( \mathscr { T } \)에 속한다.</li> <li>\( \left [O_ { 3 } \right ] \mathscr { T } \) 에 속하는 임의의 두 집합의 교집합은 \( \mathscr { T } \) 에 속한다.</li></ul> <p>를 만족하면, \( \mathscr { F } \)를 \( X \)상의 위상(topology)이라 한다. 이때 \( \mathscr { F } \)의 원소를 \( \mathscr { F } \)-열린집합 \( ( \mathscr { F } \)-open set), 또는 간단히 열린집합이라 정의하고, \( (X, \mathscr { F } ) \)를 위상공간(topological space)이라 한다.</p> <p>위의 세 조건 \( \left [O_ { 1 } \right ], \left [O_ { 2 } \right ] \)와 \( \left [O_ { 3 } \right ] \)는 다음 두 조건 \( \left [O_ { 1 } ^ { * } \right ] \mathscr { T } \)의 임의개의 원소들의 합집합은 \( \mathscr { T } \) 에 속한다. \( \left [O_ { 2 } { } ^ { * } \right ] \mathscr { T } \)에 속하는 임의의 유한개의 교집합은 \( \mathscr { T } \)에 속한다. 와 동치이다. 왜냐하면 \( \left [O_ { 1 } { } ^ { * } \right ] \) 로부터 \[ \cup \{ G \in \mathscr { J } \mid \boldsymbol { G } \in \varnothing \} = \varnothing \] 이므로, 공집합 \( \varnothing \)는 \( \mathscr { F } \)에 속하고, 또한 \( \left [O_ { 2 } ^ { * } \right ] \)에서부터 \[ \cap \{ G \in \mathscr { F } \mid G \in \varnothing \} =X \]이므로, \( X \) 는 \( \mathscr { F } \) 에 속하기 때문이다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( (X, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간이고 \( (Y, \mathscr { F } ) \)가 임의의 위상공간일 때, 모든 함수 \( f: X \rightarrow Y \)는 \( \mathscr { D } - \mathscr { F } \) 연속이다.</p> <h3>증명</h3> <p>이산위상공간의 모든 부분집합이 열린집합이므로, \( H \)를 \( Y \)의 임의의 열린부분집합이라 하면 그 역상 \( f ^ { -1 } [H] \)는 \( X \)의 열린부분집합이 된다. 따라서 함수 \( f \)는 \( \mathscr { D } - \mathscr { F } \)연속이다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( (Y, \mathcal { d } ) \)가 밀착위상공간이면, 모든 함수 \( f:(X, \mathscr { F } ) \rightarrow(Y, \mathcal { Z } ) \)는 임의의 \( \mathscr { F } \)에 관하여 연속이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( (Y, \mathcal { X } ) \)가 밀착위상공간이므로, \( Y \)의 열린부분집합은 \( Y \)와 공집합 \( \varnothing \)뿐이다. 그런데 \[f ^ { -1 } [Y]=X, \quad f ^ { -1 } [ \varnothing]= \varnothing \]이고, \( X \)와 공집합 \( \varnothing \)는 \( X \)상의 임의의 위상의 원소이므로, \( f \)는 임의의 \( \mathscr { F } \)에 관하여 연속이다.</p> <h3>참고</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이기 위한 필요충분조건은 \( Y \)의 기저 \( \mathscr { B } \)의 원소의 역상이 \( X \) 의 열린부분집합으로 되는 것이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R ^ { 2 } \)에서 \( R \)로의 사영은 모두 보통위상에 관하여 연속이다. 예를 들면 \( \pi: R ^ { 2 } \rightarrow R \)가 \( \pi[ \langle x, y \rangle]=y \)로 정의될 때, 임의의 열린구간 \( (a, b) \)의 역상은 무한히 긴 열린띠(infinite open strip)이다. 따라서 \( R \)의 모든 열린부분집합의 역상이 \( R ^ { 2 } \)의 열린집합이므로, \( \pi \)는 연속이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( x \in R \) 에 대하여 \( f(x)=\|x\| \) 로 주어지는 \( R \) 상의 절댓값함수는 연속이다. 왜냐하면 열린구간 \( A=(a, b) \) 에 대하여 \[f ^ { -1 } [A]= \left \{\begin {array} { ll } \varnothing & , a<b \leq 0 \\(-b, b) & , a<0<b \\(-b,-a) \cup(a, b), & 0 \leq a<b \end {array} \right . \]로 주어지므로, \( f ^ { -1 } [A] \)는 열린집합이고 따라서 \( f \)는 연속이다.</p> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 열린사상이고 연속일 때, \( f \)를 쌍연속 (bicontinuous)이라 한다. 따라서 \( f: X \rightarrow Y \)는 \( f \)가 쌍연속이고 전단사일 때 위상동형사상이 된다.</p> <h3>예</h3> <p>보통위상 \( \mathscr { u } \)가 주어진 열린구간 \( (-1,1) \)과 실직선 \( R \)에 대하여, \( f(x)= \tan \frac { 1 } { 2 } \pi x \)로 정의되는 함수 \( f:(-1,1) \rightarrow R \)는 위상동형사상이다. 따라서 실직선 \( R \)과 열린구간 \( (-1,1) \)은 위상동형이다.</p> <h3>예</h3> <p>보통위상 \( u \)가 주어진 열린구간 \( (0,1) \)과 실직선 \( R \)에 대하여, \( f(x)= \tan \pi \left (x- \frac { 1 } { 2 } \right ) \)로 정의되는 함수 \( f:(0,1) \rightarrow R \)는 위상동형사상이다. 따라서 열린구간 \( (0,1) \)과 실직선 \( R \)은 위상동형이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (X, \mathscr { D } ) \)와 \( (Y, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간이면, \( X \)에서 \( Y \)로의 모든 함수는 연속이다. 따라서 \( X \)에서 \( Y \)로의 전단사가 존재하면, 즉 이들의 기수가 같을 때 \( X \)와 \( Y \)는 위상동형이 된다. 한편 밀착위상공간 \( (X, \mathcal { X } ) \)와 이산위상공간 \( (Y, \mathscr { D } ) \)는 이들의 기수가 모두 1일 때 위상동형이 된다.</p> <h3>참고</h3> <p>해석학은 근본적으로 보통위상공간 \( (R, \mathscr { u } ) \)의 특성을 연구하는 분야이다. 그러나 실수 전체의 성질 대신 종종 열린구간 \( (0,1) \)의 성질을 연구하기도 한다. 왜냐하면 열린구간 \( (0,1) \)과 실직선 \( R \)이 위상동형이기 때문이다.</p> <h3>정리 12</h3> <p>위상공간의 임의의 족에서 '두 위상공간이 위상동형'으로 정의되는 관계는 동치관계이다.</p> <h2>(2) 위상적 성질과 유전적 성질</h2> <p>위상적 성질과 유전적 성질은 대단히 중요한 의미를 갖는다. 사실상 위상수학의 중요한 목적 중의 하나가 두 성질을 연구하는 것이다.</p> <h3>정의 13 위상적 성질 (topological property)</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)가 성질 \( P \)를 가질 때 \( (X, \mathscr { F } ) \)와 위상동형인 모든 위상공간 \( \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)도 역시 성질 \( P \)를 가지면, 성질 \( P \)를 위상적(topological) 또는 위상불변(topological invariant)이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R \)상의 위상의 기저가 반열린구간족 \( \mathscr { B } ^ { * } = \{ [a, b) \mid a, b \in R, a<b \} \)로 주어진 \( R \)상의 하한위상 \( \Im ^ { * } \)를 생각하고, \( A=(0,1) \)이라 하자. 여기서 \( (0,1) \)은 단위 열린구간이다. 이때 \( G=[1,2) \)는 \( 1 \in R \)을 포함하는 \( \mathfrak { I } ^ { - } \) 열린집합이지만 \( G \cap A= \varnothing \)가 된다. 따라서 1은 \( A \)의 집적점이 아니다. 한편 0을 포함하는 임의의 열린기저집합 \( [a, b) \)는 0 이외의 \( A \)의 점을 포함하므로, \( 0 \in R \)은 \( A \)의 집적점이다.</p> <p>무한이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)의 경우 열린집합이 무한개 존재하므로, 수열의 수렴 여부와 집적점에 대한 판정을 정의에 의하여 일일이 조사한다는 것은 불가능하다. 그러나 \( \{\{ p \} \} \) 가 \( p \)의 국소기저이므로, 무한개의 열린집합에 대한 조사는 단 하나의 열린집합에 대한 조사만으로 충분하다.</p> <h1>3.3 연속함수와 위상동형공간</h1> <p>두 위상공간 사이에 위상동형함수가 존재할 때 두 공간은 위상동형이라 하고, 위상동형함수에 의해 보존되는 성질을 위상적 성질이라 한다. 형식적으로 위상수학이란 위상적 성질에 대한 연구를 하는 학문이다.</p> <h1>1. 연속함수</h1> <h2>(1) 연속함수</h2> <h3>정의 1 연속함수</h3> <p>두 위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)와 \( \left (Y, \mathscr { T } ^ { } \right ) \)에 대하여, \( Y \)의 모든 \( \mathscr { T } ^ { * } \)-열린부분집합 \( H \)의 역상 \( f ^ { -1 } [H] \)가 \( X \)의 \( \mathscr { T } \)-열린집합일 때, 즉 \[H \in \mathscr { T } ^ { * } \rightarrow f ^ { -1 } [H] \in \mathscr { T } \]를 만족할 때, 함수 \( f:(X, \mathscr { F } ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)를 \( \mathscr { T } \)와 \( \mathscr { T } ^ { * } \) 에 관하여 연속 (continuous relative to \( \mathscr { T } \) and \( \left . \mathscr { T } ^ { * } \right ) \) 또는 \( \mathscr { T } - \mathscr { T } ^ { * } \) 연속 \( \left ( \mathscr { T } - \mathscr { T } ^ { * } \right . \) continuous), 간단히 연속이라 한다.</p> <h1>5. 수열의 극한</h1> <h3>정의 17 수열의 극한</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)에서의 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)을 생각하자. 이때 \( b \in X \)를 포함하는 임의의 열린 집합 \( G \)에 대하여 \[n \geq n_ { 0 } \Rightarrow a_ { n } \in G \]를 만족하는 자연수 \( n_ { 0 } \in N \)가 존재하면, 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)은 \( b \)로 수렴한다고 한다. 이때 점 \( b \)를 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)의 극한이라 하고 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =b, \lim a_ { n } =b \text { 또는 } a_ { n } \rightarrow b \]로 표현한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)의 수열이라 하자. 그러면 단원집합 \( \{ b \} \)는 임의의 점 \( b \in X \)를 포함하는 열린집합이다. 따라서 만약 \( a_ { n } \rightarrow b \)이면, 집합 \( \{ b \} \)는 수열의 거의 모든 항을 포함해야 한다. 그러므로 이 수열이 형식 \( \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n_ { 0 } } , b, b, b, \cdots \right \rangle \)로 주어질 때, \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)은 점 \( b \in X \)로 수렴하게 된다.</p> <h3>예</h3> <p>여가산위상공간 \( \left (X, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \)에서의 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)은 형식 \( \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n_ { 0 } } , b, b, b, \cdots \right \rangle \)로 주어질 때, \( b \in X \)로 수렴한다. 즉 \( b \)와 서로 다른 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)의 항으로 구성된 집합 \( A \)가 유한일 때 \( b \in X \)로 수렴한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( \bar { A } =A \cup A ^ {\prime } \)이므로, \( A \)의 폐포는 \( A \)에 임의밀착하고 있는 \( X \)의 점만으로 이루어진다. 또한 \( \bar { A } =A ^ {\circ } \cup \mathrm { Bd } (A) \)이므로, \( p \)가 \( A \)의 내점 또는 경계점일 때 \( p \)는 \( A \)에 임의밀착 하고 있다.</p> <p>연속함수는 임의밀착을 보존하는 함수로 특성화할 수 있다.</p> <h3>정리 5</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이기 위한 필요충분조건은 임의의 \( p \in X \)와 임의의 \( A \subset X \)에 대하여, \( p \)가 \( A \)에 임의밀착하면 \( f(p) \)는 \( f[A] \)에 임의밀착하는 것이다. 즉 \[p \in \bar { A } \rightarrow f(p) \in \overline { f[A] } , \text { 즉 } f[ \bar { A } ] \subset \overline { f[A] } \]일 경우이다.</p> <h3>증명</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이라 가정하자. 그러면 \( f[A] \subset \overline { f[A] } \)이므로 \[A \subset f ^ { -1 } [f[A]] \subset f ^ { -1 } [ \overline { f[A] } ] \]가 된다. 그런데 \( \overline { f[A] } \)가 닫힌집합이므로 \( f ^ { -1 } [ \overline { f[A] } ] \)도 닫힌집합이고, 따라서 \[A \subset \bar { A } \subset f ^ { -1 } [ \overline { f[A] } ] \]이다. 그러므로 \[f[ \bar { A } ] \subset \overline { f[A] } \subset f \left [f ^ { -1 } [ \overline { f[A] } ] \right ] \]가 성립한다. 역으로 임의의 \( A \subset X \)에 대하여 \( f[ \bar { A } ] \subset \overline { f[A] } \)라 가정하고, \( F \)를 \( Y \)의 닫힌부분집합이라 하자. 이때 \( A=f ^ { -1 } [F] \)가 닫힌집합, 즉 \( \bar { A } =A \)임을 밝히면 된다. \[f[ \bar { A } ] \subset f \left [ \overline { f ^ { -1 } [F] } \right ] \subset \overline { f \left [f ^ { -1 } [F] \right ] } = \bar { F } =F \]로부터, \( \bar { A } \subset f ^ { -1 } [f[ \bar { A } ]] \subset f ^ { -1 } [F]=A \) 를 얻는다. 그런데 \( A \subset \bar { A } \) 이므로, \( \bar { A } =A \)가 된다. 따라서 \( f \)는 연속이다.</p> <h1>3. 위상의 국소기저</h1> <h3>정의 6 위상의 국소기저</h3> <p>\( p \)가 위상공간 \( (X, \mathscr { 5 } ) \)의 임의의 점일 때, \( R_ { p } \)를 \( p \)를 포함하는 열린집합족이라 하자. 이때 \( p \in X \)를 포함하는 각 열린집합 \( G \)에 대하여 \[p \in G_ { p } \subset G \]를 만족하는 \( G_ { p } \in R_ { p } \) 가 존재하면, \( R_ { p } \)를 \( p \)에 있어서 위상 \( \mathscr { T } \)의 국소기저 (local base)라한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R ^ { 2 } \)상의 보통위상 \( \mathscr { u } \)와 임의의 점 \( p \in R ^ { 2 } \)에 대하여, \( p \)에 중심을 둔 열린원판족 \( R_ { p } \)는 \( p \)에 있어서 \( \mathscr { u } \)의 국소기저이다. 왜나하면 \( p \)를 포함하는 임의의 열린집합 \( G \)는 또한 중심이 \( p \)인 열린원판 \( D_ { p } \)를 포함하기 때문이다.</p> <h3>예제</h3> <p>이산위상공간 \( (X, \mathscr { g } ) \)에 대하여, 모든 점 \( p \in X \)는 유한국소기저를 갖는다.</p> <h3>증명</h3> <p>단원집합 \( \{ p \} \)는 이산위상공간 \( (X, \mathscr { X } ) \)에서 열린집합이다. 따라서 \( p \)를 포함하는 모든 열린집합 \( G \)가 \( \{ p \} \)의 포함집합이므로, 단원부분집합족 \( R_ { p } = \{\{ p \} \} \)는 \( p \)에 있어서 국소기저이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( \mathscr { B } \)를 위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)의 기저라 하고 \( p \in X \)라 하면, \( p \)를 포함하는 기저 \( \mathscr { B } \)의 원소 전체는 점 \( p \)에 있어서 \( \mathscr { F } \)의 국소기저를 이룬다.</p> <h3>정리 7</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에 대하여, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>점 \( p \in X \)가 집합 \( A \subset X \)의 집적점이기 위한 필요충분조건은 어떤 \( p \)의 국소기 저 \( R_ { p } \)의 각 원소가 \( p \)와 상이한 \( A \)의 점을 포함하는 것이다.</li> <li>\( X \)의 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 \( p \in X \)로 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( p \)에 있어서 어떤 국 소기저 \( R_ { p } \)의 모든 원소가 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)의 거의 모든 항을 포함하는 것이다.</li></ol> <h2>(3) 한 점에서 연속</h2> <p>함수의 연속성은 집합 전체로 제한하는 대역적 성질 (global property)과 한 점에서 연속이라는 국소적 개념 (local concept)이 있다.</p> <h3>정의 6 한 점에서 연속</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)와 \( \left (Y, \mathscr { T } ^ { * } \right ) \)가 위상공간이고, 점 \( p \)는 \( X \)의 한 점이다. 이때 \( f(p) \)를 포함하는 모든 열린집합 \( H \subset Y \)의 역상 \( f ^ { -1 } [H] \)가 \( p \)를 포함하는 열린집합 \( G \subset X \) 이면, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)는 점 \( p \in X \)에서 연속 (continuity at a point \( p \in X \) )이라 한다.</p> <h3>참고</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여, \( f(p) \)의 모든 근방의 역상이 \( p \)의 근방일 때, 즉 \[N \in \mathscr { N } _ { f(p) } \rightarrow f ^ { -1 } [N] \in \mathscr { N } _ { p } \]일 때, \( f \) 는 점 \( p \in X \)에서 연속이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d \} \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)를 \[ \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ b \} , \{ a, b \} , \{ b, c, d \} \} \]라 하고, 그림 3.5로 정의된 함수 \( f: X \rightarrow Y \)를 생각하자.</p> <p>이때 함수 \( f \)는 \( d \)에서 연속이다. 왜냐하면 \( f(d)=c \)를 포함하는 열린집합은 \( \{ b, c, d \} \)와 \( X \)이고, 이때 \( f ^ { -1 } [ \{ b, c, d \} ]=X \)와 \( f ^ { -1 } [X]=X \) 이므로 \( f(d) \)를 포함하는 각 열린집합의 역상이 \( d \)를 포함하는 열린집합이기 때문이다. 그러나 함수 \( f \)는 \( c \)에서 연속이 아니다. 왜냐하면 \( \{ a, b \} \)는 \( f(c)=b \)를 포함하는 열린집합이고 또한 \( f ^ { -1 } [ \{ a, b \} ]= \{ a, c \} \)이므로, \( c \)를 포함하는 열린집합이 존재하지 않기 때문이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( ( \rightarrow) \mathscr { B } \)를 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)에 대한 기저라고 하자. 그러면 \( X \)가 열린집합이므로, \( X \) 는 \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합이다. 즉 \( X= \cup \{ B \mid B \in \mathscr { B } \} \)이다. 또한 \( B, B ^ { * } \in \mathscr { B } \)이면, \( B \) 와 \( B ^ { * } \)는 열린집합이다. 따라서 교집합 \( B \cap B ^ { * } \)는 또한 열린집합이고, \( \mathscr { B } \)가 \( \mathscr { T } \)의 기저이므로 \( B \cap B ^ { * } \)는 \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합이다. \( ( \leftarrow) \mathscr { B } \)가 \( X \)의 부분집합족이고, (1)과 \( (2) \)를 만족한다고 가정하자. \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합 전체 \( \mathscr { T } \)를 \( X \)의 모든 부분집합족이라 하고, \( \mathscr { T } \)가 \( X \)상의 위상임을 밝힌다. (1)에 의하여 \( X= \cup \{ B \mid B \in \mathscr { B } \} \) 이므로, \( X \in \mathscr { F } \) 이다. 또한 \[ \varnothing= \cup \{ B \mid B \in \varnothing \subset \mathscr { B } \} \] 임에 유의하면 \( \varnothing \in \mathscr { T } \)이고, 따라서 \( \mathscr { F } \) 는 \( \left [O_ { 1 } \right ] \)을 만족한다.</p> <p>이제 \( \left \{ G_ { i } \right \} \) 를 \( \mathscr { F } \) 의 원소족이라 하자. \( \mathscr { F } \) 의 정의에 의하여, 각 \( G_ { i } \)는 \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합이다. 따라서 합집합 \( \cup_ { i } G_ { i } \) 는 또한 \( \mathscr { B } \) 의 원소의 합집합이므로 \( \mathscr { T } \)에 속한다. 그러므로 \( \mathscr { F } \)는 \( \left [O_ { 2 } \right ] \)를 만족한다.마지막으로 \( G, H \in \mathscr { T } \) 일 때, \( G \cap H \in \mathscr { T } \)임을 밝힌다. \( G, H \in \mathscr { F } \) 라 하면, \( X \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)의 정의에 의하여 \( G= \cup_ { i } B_ { i } \) 와 \( H= \cup_ { j } B_ { j } \)를 만족하는 \( \mathscr { B } \)의 두 부 분족 \( \left \{ B_ { i } \mid i \in I \right \} \)와 \( \left \{ B_ { j } \mid j \in J \right \} \) 가 존재한다. 이 경우 분배법칙에 의하여 \[G \cap H= \left ( \cup_ { i } B_ { i } \right ) \cap \left ( \cup_ { j } B_ { j } \right )= \cup_ { i, j } \left \{ B_ { i } \cap B_ { j } \mid i \in I, j \in J \right \} \]가 된다. 그런데 \( B_ { i } \cap B_ { j } \) 가 \( \mathscr { B } \) 의 원소의 합집합이므로 \[ \cup_ { i, j } \left \{ B_ { i } \cap B_ { j } \mid i \in I, j \in J \right \} \]는 또한 \( \mathscr { B } \) 의 원소의 합집합이다. 따라서 \( G \cap H \in \mathscr { F } \) 이므로, \( \mathscr { F } \)는 \( \left [O_ { 3 } \right ] \) 를 만족한다. 그러므로 \( \mathscr { F } \)는 기저 \( \mathscr { B } \)를 갖는 \( X \)상의 위상이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( A \)가 위상공간 \( X \)의 임의의 부분집합이면, \( A \)의 폐포는 \( A \)의 내부와 경계의 합집합, 즉 \( \bar { A } =A ^ {\circ } \cup \mathrm { Bd } (A) \)로 주어진다.</p> <p>위상공간에서 정의한 대부분의 개념은 집합에 의하여 결정되는 것이 아니고, 주어진 위상에 의하여 결정됨에 유의한다. 예컨대 우리가 일반적으로 당연하다고 생각했던 많은 실수의 성질이 실제로 일반적인 위상공간에서는 성립되지 않는다.</p> <h3>정의 14 조밀한 곳이 없다</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)의 부분집합 \( A \)의 폐포가 내점을 갖지 않을 때, 즉 \( \operatorname { int } ( \bar { A } )= \varnothing \) 일 때 \( A \)는 \( X \)에서 ‘조밀한 곳이 없다 (nowhere dense)', '어디서도 조밀하지 않다' 또는 '모든 곳에서 조밀하지 않다'고 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R \)의 부분집합 \( A= \left \{ 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \} \)는 유일한 집적점 0만을 갖는다. 따라서 \[ \bar { A } = \left \{ 0,1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 4 } , \cdots \right \} \]이다. 그런데 \( \bar { A } \)에는 내점이 존재하지 않으므로 \( A \)는 \( R \)에서 조밀한 곳이 없다.</p> <h3>예</h3> <p>\( A= \{ x \mid x \in Q, 0<x<1 \} \)는 내점을 갖지 않는다. 즉 \( \operatorname { int } (A)= \varnothing \)이다. 그러나 \( A \)는 \( R \)에서 조밀한 곳이 없다. 왜냐하면 \( A \)의 폐포는 단위 닫힌구간 \( [0,1] \) 이므로, \( \operatorname { int } ( \bar { A } ) \)는 \[ \operatorname { int } ([0,1])=(0,1) \neq \varnothing \]를 만족하기 때문이다.</p> <h1>4. 근방과 근방계</h1> <h3>정의 15 근방과 근방계</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)의 점 \( p \)에 대하여, \( p \)가 \( X \)의 부분집합 \( N \)의 내점일 때 \( N \)을 \( p \) 의 근방이라 한다. 즉 \( p \)와 \( N \) 사이에 열린집합이 존재하면, \( N \)은 \( p \)의 근방이다. 한편 \( p \in X \)의 근방들로 이루어진 집합, 즉 \( p \in X \)의 모든 근방족을 \( \mathscr { N } _ { p } \)로 나타내고, 이것을 \( p \)의 근방계(neighborhood system)라 한다.</p> <p>\( A= \cup \left \{ A_ { q } \mid q>\sqrt { 2 } , q \in Q \right \} =( \sqrt { 2 } , \infty) \)</p> <p>는 \( \mathcal { X } \) 의 원소의 합집합이지만, \( \sqrt { 2 } \) 가 무리수이므로, \( A \notin \mathcal { Z } \) 이다. 따라서 \( \left [O_ { 2 } \right ] \) 를 만족하지 않으므로 \( \mathscr { Z } \)는 \( R \)상의 위상이 아니다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \) 일 때, 다음 부분집합족</p> <ul> <li>\( \mathscr { T } _ { 1 } = \{ X, \phi, \{ a \} , \{ c, d \} , \{ a, c, d \} , \{ b, c, d, e \} \} \)</li> <li>\( \mathscr { T } _ { 2 } = \{ X, \phi, \{ a \} , \{ c, d \} , \{ a, c, d \} , \{ b, c, d \} \} \)</li> <li>\( \mathscr { T } _ { 3 } = \{ X, \phi, \{ a \} , \{ c, d \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, d, e \} \} \)</li></ul> <p>에 대하여 생각하자. 이때 \( X \) 상의 위상이 되는 것은 어느 것인가?</p> <h3>풀이</h3> <ol type=1 start=1><li>\( \mathscr { T } _ { 1 } \) 은 \( \left [O_ { 1 } \right ], \left [O_ { 2 } \right ] \)와 \( \left [O_ { 3 } \right ] \)를 만족하므로 \( X \) 상의 위상이 된다.</li> <li>\( \mathscr { T } _ { 2 } \) 의 두 집합 \( \{ a, c, d \} , \{ b, c, d \} \)의 합집합 \[ \{ a, c, d \} \cup \{ b, c, d \} = \{ a, b, c, d \} \]가 \( \mathscr { T } _ { 2 } \)에 속하지 않으므로, \( \mathscr { T } _ { 2 } \)는 \( \left [O_ { 2 } \right ] \)를 만족하지 않는다. 따라서 \( \mathscr { T } _ { 2 } \)는 \( X \) 상의 위상이 아니다.</li> <li>\( \mathscr { T } _ { 3 } \)의 두 집합 \( \{ a, c, d \} , \{ a, b, d, e \} \)의 교집합 \[ \{ a, c, d \} \cap \{ a, b, d, e \} = \{ a, d \} \] 가 \( \mathscr { T } _ { 3 } \)에 속하지 않으므로, \( \mathscr { T } _ { 3 } \)는 \( \left [O_ { 3 } \right ] \)를 만족하지 않는다. 따라서 \( \mathscr { T } _ { 3 } \)는 \( X \) 상의 위상이 아니다.</li></ol> <h3>예</h3> <p>\( (R, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간일 때, 모든 유리수의 집합 \( Q \)에 대하여 \[ \operatorname { int } (Q)= \varnothing, \operatorname { ext } (Q)=Q ^ { c } \]이므로, \( Q \)의 경계는 \( \operatorname { Bd } (Q)= \varnothing \) 로 주어진다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \), \( \{ a, b, e \} \} \)로 정의하고, \( X \)의 부분집합 \( A= \{ a, b, c \} \)를 생각한다. 이때 점 \( a \)와 \( b \)에 대하여 \[a, b \in \{ a, b \} \subset A= \{ a, b, c \} \]를 만족하는 열린집합 \( \{ a, b \} \)가 존재하므로, \( a \)와 \( b \)는 각각 \( A \)의 내점이다. 그러나 점 \( c \in A \)는 \( A \)의 내점이 아니다. 따라서 \( A \)의 내부 \( \operatorname { int } (A) \)는 \( \{ a, b \} \)이다. 한편 \( A \)의 여집합 \( A ^ { c } = \{ d, e \} \)에 대하여, \( A ^ { c } \)의 내점이 존재하지 않으므로 \( \operatorname { int } \left (A ^ { c } \right )= \varnothing \) 이다. 즉 \( \operatorname { ext } (A) \)는 공집합 \( \varnothing \)가 된다. 따라서 \( A \)의 경계는 \( \operatorname { Bd } (A)= \{ c, d, e \} \)이다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( A \)가 밀착위상공간 \( X \)의 공집합이 아닌 진부분집합일 때, \( A \)의 내부, 외부와 경계를 각각 구하시오.</p> <h3>풀이</h3> <p>\( X \)와 공집합 \( \varnothing \)는 유일한 열린부분집합이다. 그런데 \( X \neq A \) 이므로, \( \varnothing \)는 \( A \)의 유일한 열린부분집합이다. 따라서 int \( (A)= \varnothing \)이다. 같은 방법으로 \( \operatorname { int } \left (A ^ { c } \right )= \varnothing \), 즉 \( A \)의 외부는 공집합 \( \varnothing \)이다. 그러므로 \( \mathrm { Bd } (A)=X \)이다.</p> <h3>예</h3> <p>여유한위상공간 \( (X, \mathfrak { I } ) \)에 대하여, \( X \)의 닫힌부분집합은 분명히 \( X \)와 더불어 \( X \)의 유한부분집합이다. 따라서 \( A \subset X \)가 유한이면 \( A \) 자신이 닫힌집합이므로, 폐포 \( \bar { A } \)는 \( A \) 자신이다. 한편 \( A \subset X \)가 무한이면 \( X \)는 \( A \)를 포함하는 유일한 닫힌집합이므로 \( \bar { A } \)는 \( X \)가 된다.</p> <h3>예</h3> <p>여가산위상공간 \( \left (X, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \)에 대하여 \( A \subset X \)일 때, \( \bar { A } \)는 \[ \bar { A } = \left \{\begin {array} { ll } A, & A \text { 는 가산집합 } \\X, & A \text { 는 비가산집합 } \end {array} \right . \] 로 주어진다.</p> <p>\( (X, \mathscr { F } ) \)가 위상공간일 때, \( A \subset X \)와 \( p \in X \)에 대하여 \( p \in \bar { A } \)일 필요충분조건은 \( p \)를 포함하는 임의의 열린집합은 \( A \)와 적어도 하나의 점을 공유하는 것이다.</p> <h3>정리 10</h3> <p>\( X \)가 임의의 위상공간일 때, \( A \subset X \)의 폐포 \( \bar { A } \)는 \[ \bar { A } =A \cup A ^ {\prime } \]으로 주어진다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (R, \mathscr { U } ) ) \)가 보통위상공간일 때, 임의의 실수 \( a \in R \)는 모든 유리수의 집합 \( Q \)의 집적점이다. 따라서 \( \bar { Q } =R \)이 성립한다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( (R, \mathscr { D } ) \) 와 \( \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \) 가 각각 이산위상공간과 여가산위상공간일 때, 모든 유리수의 집합 \( Q \)에 대하여 \( \bar { Q } \)는 모두 \( Q \)로 주어진다. 한편 \( (R, \mathscr { J } ) \)와 \( (R, \mathfrak { J } ) \)가 각각 밀착위상공간과 여유한위상공간이면, \( \bar { Q } \)는 모두 \( R \)로 주어진다.</p> <h3>예</h3> <p>열린집합과 닫힌집합은 위상적 성질이다.</p> <h3>예</h3> <p>보통위상 \( u \)가 주어진 열린구간 \( (-1,1) \)과 실직선 \( R \)에 대하여, 열린구간 \( (-1,1) \)과 실직선 \( R \)은 위상동형이다. 그런데 길이 (length)는 열린구간 \( (-1,1) \)과 실직선 \( R \)이 상이한 길이를 가지므로 위상적 성질이 아니다. 또한 유계성(boundedness)도 열린구간 \( (-1,1) \)은 유계이지만 실직선 \( R \)은 유계가 아니므로 위상적 성질이 아니다.</p> <h3>예제</h3> <p>코시수열은 위상적 성질이 아니다.</p> <h3>증명</h3> <p>무한열린구간 \( X=(0, \infty) \)에 보통위상이 주어진 \( \left (X, q_ { 6 } \right ) \) 에 대하여 \( f(x)= \frac { 1 } { x } \)로 정 의되는 함수 \( f: X \rightarrow X \) 는 위상동형사상이다. 이 경우 \( f \)에 의하여 수열 \[ \left \langlea_ { n } \right \rangle= \left \langle 1, \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } , \cdots \right \rangle \]는 수열 \[ \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle= \langle 1,2,3, \cdots \rangle \]로 대응된다. 이때 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)은 코시수열이지만, 이에 대응되는 수열 \( \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle \)은 코시수열이 아니다.</p> <h3>정의 14 유전적 성질 (hereditary property)</h3> <p>성질 \( P \)를 갖는 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에 대하여 \( (X, \mathscr { F } ) \)의 모든 부분공간 \( \left (A, \mathscr { F } _ { 4 } \right ) \)가 역시 성질 \( P \)를 가질 때, 성질 \( P \)를 유전적(hereditary)이라 한다.</p> <p>위상수학의 대부분은 콤팩트성(compactness)과 연결성(connectedness)과 같은 어떤 위상적 성질 또는 유전적 성질에서 얻어진 결과에 관한 연구이다. 우리는 분리공간과 콤팩트 공간, 그리고 연결공간에서 위상적 성질과 유전적 성질에 대한 예를 많이 접할 수 있을 것이다.</p> <h3>정의 15 연결공간</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에 대하여, \( X \)가 공집합이 아닌 서로소인 두 열린부분집합의 합집합으로 되어 있을 때, 즉 \[G, H \in \mathscr { T } , G \cap H= \varnothing, \quad G, H \neq \varnothing, X=G \cup H \]일 때, 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)는 비연결(disconnectedness)이라 한다. 비연결이 아닌 위상공간을 연결(connectedness)이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (X, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간일 때, \( X \)의 모든 단원부분집합족 \( \mathscr { B } = \{\{ p \} \mid p \in X \} \) 는 \( X \) 상의 이산위상 \( \mathscr { D } \) 의 기저가 된다. 왜냐하면 모든 \( A \subset X \) 가 \( \mathscr { D } \)-열린집합이므로 단원집합 \( \{ p \} \)는 \( \mathscr { D } \) - 열린집합이고, 또한 다른 모든 집합이 단원집합의 합집합으로 표현되기 때문이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( X= \{ a, b, c \} \) 에 대하여, \( \{ a, b \} \) 와 \( \{ b, c \} \) 로 이루어진 집합족 \( \mathscr { B } \), 즉 \[ \mathscr { B } = \{\{ a, b \} , \{ b, c \} \} \]는 \( X \) 상의 임의의 위상의 기저가 될 수 없다. 왜냐하면 \( \mathscr { B } \)를 기저로 하는 위상에서는 \( \{ a, b \} \)와 \( \{ b, c \} \)가 열린집합이 되고, 또한 이들의 교집합 \[ \{ a, b \} \cap \{ b, c \} = \{ b \} \]도 또한 열린집합이지만, \( \{ b \} \)는 \( \mathscr { B } \)의 원소의 합집합이 될 수 없기 때문이다.</p> <p>다음 정리는 \( \mathscr { P } (X) \)의 어떤 부분집합이 \( X \) 상의 위상을 만드는 기저가 되기 위한 필요충분 조건을 제공한다.</p> <h3>정리 2</h3> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \) 의 부분집합족 \( \mathscr { B } \) 에 대하여, \( \mathscr { B } \) 가 \( X \) 상의 어떤 위상에 대한 기저이기 위한 필요충분조건은 다음 두 조건 (1) \( X= \cup \{ B \mid B \in \mathscr { B } \} \)(2) \( \mathscr { B } \)의 임의의 두 원소 \( B \)와 \( B ^ { * } \)에 대하여, \( B \cap B ^ { * } \) 는 \( \mathscr { B } \) 의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 있다. 즉 \[p \in B \cap B ^ { * } \rightarrow p \in B_ { p } \subset B \cap B ^ { * } \]를 만족하는 \( B_ { p } \in \mathscr { B } \)가 존재한다를 만족하는 것이다.</p> <h3>예</h3> <p>이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)에서 \( X \)의 점 \( p \)를 포함하는 모든 부분집합은 \( p \)의 근방이다. 따라서 \( \mathscr { N } _ { p } = \{ A \subset X \mid p \in A \} \)는 \( p \)의 근방계가 된다.</p> <h3>예제</h3> <p>밀착위상공간 \( X \)에 속하는 점 \( p \)의 근방계를 구하시오.</p> <h3>풀이</h3> <p>밀착위상공간 \( X \)의 열린부분집합은 \( X \)와 공집합 \( \varnothing \)뿐이다. 따라서 \( X \)는 \( p \)를 포함하는 유일한 열린집합이다. 그런데 \( X \)의 유일한 포함집합이 \( X \ 이므로, \( \mathscr { N } _ { p } = \{ X \} \)이다.</p> <h3>정리 16</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)가 임의의 위상공간일 때, \( A \subset X \)가 열린집합이기 위한 필요충분조건은 \( A \)가 \( A \)의 모든 원소의 근방이 되는 것이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( A \)가 열린집합이면, 모든 \( a \in A \)에 대하여 \( a \in A \subset A \)이므로 \( A \)는 \( A \)의 근방이다. 역으로 모든 \( a \in A \)에 대하여 \( A \)를 \( A \)의 근방이라 하자. 그러면 \( a \in G_ { a } \subset A \)를 만족하는 \( G_ { a } \in \mathscr { T } \)가 존재한다. 따라서 \[A= \cup \{\{ a \} \mid a \in A \} \subset U \left \{ G_ { a } \mid a \in A \right \} \subset A \]이다. 결국 \( A= \cup \left \{ G_ { a } \mid a \in A \right \} \)이고 각 \( G_ { a } \)가 열린집합이므로, \( A \)는 열린집합이 된다.</p> <h3>참고</h3> <p>위상공간 \( X \)의 임의의 점 \( p \in X \)의 근방계 \( \mathscr { N } _ { p } \)는 다음 네 성질</p> <ol type=1 start=1><li>\( \mathscr { N } _ { p } \)는 공집합이 아니고, \( p \)는 \( \mathscr { N } _ { p } \)의 각 원소에 속한다.</li> <li>\( \mathscr { N } _ { p } \)의 임의의 두 원소의 교집합은 \( \mathscr { N } _ { p } \)에 속한다.</li> <li>\( \mathscr { N } _ { p } \)의 원소를 포함하는 모든 집합은 \( \mathscr { N } _ { p } \)에 속한다.</li> <li>\( \mathscr { N } _ { p } \)의 임의의 원소는 적당한 집합 \( G \)를 부분집합으로 갖는다. 여기서 \( G \)는 각 점의 근방, 즉 모든 \( g \in G \)에 대하여 \( G \in \mathscr { N } _ { g } \)이다.</li></ol> <p>를 만족한다. 이 성질을 근방공리 (neighborhood axioms)라 하고, 이 공리로부터 \( X \)상의 위상을 정의할 수 있다.</p> <h1>2. 닫힌집합</h1> <h2>(1) 집적점</h2> <h3>정의 6 집적점과 유도집합</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)에 대하여, \( A \subset X \)라 하자. 이때 \( p \)를 포함하는 임의의 열린집합 \( G \)가 \( p \) 이외의 \( A \)의 점을 포함할 때, 즉 \( G \)가 열린집합이고 \( p \in G \)이면, \( (G \backslash \{ p \} ) \cap A \neq \varnothing \) 를 만족할 때, 점 \( p \in X \) 를 \( A \)의 집적점 또는 극한점이라고 한다. 한편 \( A \)의 집적점의 집합을 \( A ^ {\prime } \)으로 표현하고, \( A ^ {\prime } \)을 \( A \)의 유도집합이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ c, d \} , \{ a, c, d \} , \{ b, c, d, e \} \} \)로 정의하고, \( X \)의 부분집합 \( A= \{ a, b, c \} \) 를 생각한다. 이때 \( b \in X \)는 \( A \)의 집적점이 된다. 왜냐하면 \( b \)를 포함하는 열린집합은 \( \{ b, c, d, e \} \)와 \( X \)이고, 이들 각각은 \( b \)이외의 \( A \)의 점 \( c \)를 포함하기 때문이다. 그러나 \( a \)를 포함하는 열린집합 \( \{ a \} \)는 \( a \) 이외의 \( A \)의 점을 포함하지 않으므로 점 \( a \in X \)는 \( A \)의 집적점이 아니다.</p> <p>같은 방법으로 점 \( d \)와 \( e \)는 \( A \)의 집적점이고 점 \( c \)는 \( A \)의 집적점이 아니다. 따라서 \( A \)의 도집합은 \( A ^ {\prime } = \{ b, d, e \} \)이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (X, \mathcal { Z } ) \)가 밀착위상공간이면, \( X \)는 임의의 점 \( p \in X \)를 포함하는 유일한 열린집합이다. 따라서 \( p \)는 공집합 \( \varnothing \)와 \( p \)만을 포함하는 집합, 즉 단원집합 \( \{ p \} \)를 제외한 \( X \)의 모든 부분집합의 집적점이 된다. 따라서 \( X \)의 임의의 부분집합 \( A \)의 유도집합 \( A ^ {\prime } \)은 \[A ^ {\prime } = \left \{\begin {array} { ll } \varnothing & , A= \varnothing \\ \{ p \} ^ { c } =X \backslash \{ p \} , A= \{ p \} \\X & , A \text { 가 두 개 이상의 점을 포함할 때 } \end {array} \right . \]로 주어진다. 한편 \( (X, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간이면, \( X \)의 부분집합 \( A \)의 유도집합은 \( A ^ {\prime } = \varnothing \)이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ 1,2,3 \} \)일 때</p> <ol type=1 start=1><li>\( \mathscr { B } = \{\{ 1 \} , \{ 2 \} , \{ 3 \} \} \)은 정리 2의 두 조건을 만족하므로, \( X \)의 위상을 생성 하는 기저가 된다. 실제로 \( \mathscr { B } \)는 이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)를 생성한다.</li> <li>\( \mathscr { B } = \{\{ 1 \} , \{ 2 \} \} \)는 모든 원소들의 합집합이 \( X \)가 아니므로 \( X \)의 위상을 생 성하는 기저가 될 수 없다. 또한 \( \mathscr { B } = \{\{ 1,2 \} , \{ 2,3 \} \} \) 도 \( X \)의 위상을 생성하는 기저가 될 수 없다. 왜나하면 \( \{ 1,2 \} , \{ 2,3 \} \)의 교집합 \( \{ 2 \} \)가 \( \mathscr { B } \)의 원소들의 합집합으로 나타낼 수 없기 때문이다.</li></ol> <h3>예</h3> <p>유리수를 양 끝점으로 하는 닫힌구간들의 집합 \[ \{ [a, b] \mid a<b, a, b \in Q \} \]는 \( R \) 의 위상을 생성하는 기저가 될 수 없다. 왜냐하면 두 닫힌구간 \( [1,2] \) 와 \([2,3] \)의 교집합 \( \{ 2 \} \)는 닫힌구간들의 집합 \( \{ [a, b] \mid a<b, a, b \in Q \} \)의 합집합으로 나타낼 수 없기 때문이다. 그러나 닫힌구간들의 집합 \( \{ [a, b] \mid a<b, a \)는 유리수, \( b \)는 무리수 \( \} \)는 \( R \)의 위상을 생성하는 위상의 기저가 된다.</p> <p>\( \mathscr { B } \)를 실직선 \( R \)의 반열린구간족, 즉 \( \mathscr { B } = \{ (a, b] \mid a, b \in R, a<b \} \)라 하자. 그러면 반열린구간의 합집합으로 이루어진 족 \( \mathfrak { I } \)는 \( R \)상의 위상이 된다. 즉 \( \mathscr { B } \)는 \( R \)상의 위상 \( \mathfrak { I } \)의 기저이다. 이때 \( \mathfrak { I } \)를 \( R \)상의 상한위상 (upper limit topology) 또는 위끝 위상이라 한다. 마찬가지로 반열린구간족 \( \mathscr { B } { } ^ { * } = \{ [a, b) \mid a, b \in R, a<b \} \)는 \( R \) 상의 위상 \( \mathfrak { I } ^ { * } \)의 기저가 된다. 이때 \( \mathfrak { I } ^ { * } \)를 \( R \)상의 하한위상 (lower limit topology) 또는 아래끝 위상이라 한다.</p> <p>2장에서는 집합의 모든 점이 내점인 집합을 열린집합으로 징의하였다. 그러나 이 장에서는 \( \mathscr { F } \)에 속하는 원소를 열린집합으로 먼저 정의하고 내짐을 나중에 징의한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( \mathscr { u } \)를 실수의 모든 열린집합족이라 할 때, \( \mathscr { u } \)는 \( \left [O_ { 1 } \right ], \left [O_ { 2 } \right ] \) 와 \( \left [O_ { 3 } \right ] \)를 만족한다. 즉 \( \mathscr { u } \)는 \( R \)상의 위상이 된다. 이 경우 \( \mathscr { u } \)를 \( R \)상의 보통위상이라 하고, \( (R, \( \mathscr { u } \)) \)를 보통위상공간(usual topological space)이라 한다. 마찬가지로 평면 \( R ^ { 2 } \)의 모든 열린집합족 \( \mathscr { u } \)도 \( R ^ { 2 } \)상의 위상이 되는데, 이 경우 \( \mathscr { u } \)를 \( R ^ { 2 } \)상의 보통위상이라 하고, \( \left (R ^ { 2 } , q 6 \right ) \)도 보통위상공간이라 한다. 이 책을 서술함에 있어 앞으로 특별한 언급이 없는 한, \( R \) 과 \( R ^ { 2 } \)상의 위상은 보통위상 \( \mathscr { u } \)를 전제로 한다. 이때 보통위상 \( \mathscr { u } \) 가 주어진 \( R \)과 \( R ^ { 2 } \)을 각각 실직선 \( R \)과 평면 \( R ^ { 2 } \) 또는 간단히 \( R \) 과 \( R ^ { 2 } \)으로 표기한다.</p> <h3>예</h3> <p>임의의 \( q \in Q \)에 대하여, 무한열린구간 \( A_ { q } =(q, \infty) \)를 생각하자. 그러면 \( R, \varnothing \) 와 \( q \in Q \) 일 때 \( A_ { q } \)로 이루어지는 \( R \) 의 부분집합족 \( \mathcal { Z } = \left \{ R, \varnothing, A_ { q } \right \} \)는 \( R \) 상의 위상이 아니다. 왜냐하면</p> <h3>증명</h3> <p>여기서는 (1)만 증명하고, (2)는 연습문제로 남긴다. \( ( \rightarrow) p \in X \)가 \( A \)의 집적점이 되기 위한 필요충분조건은 \( p \in G \)인 모든 \( G \in \mathscr { T } \)에 대하여 \( (G \backslash \{ p \} ) \cap A \neq \varnothing \)를 만족하는 것이다. 그런데 \( R_ { p } \subset \mathscr { F } \)이므로, 모든 \( B \in R_ { p } \)에 대하여 \( (B \backslash \{ p \} ) \cap A \neq \varnothing \)가 성립한다.</p> <p>\( ( \leftarrow) \) 모든 \( B \in R_ { p } \)에 대하여 \( (B \backslash \{ p \} ) \cap \neq \varnothing \)라고 가정하고, \( G \)는 \( p \)를 포함하는 \( X \)의 임의의 열린부분집합이라고 하자. 그러면 \( p \in B_ { 0 } \subset G \)를 만족하는 \( B_ { 0 } \in R_ { p } \)가 존재한다. 따라서 \[ \varnothing \neq \left (B_ { 0 } \backslash \{ p \} \right ) \cap A \subset(G \backslash \{ p \} ) \cap A \]이므로, \( (G \backslash \{ p \} ) \cap \neq \varnothing \), 즉 \( p \)는 \( A \)의 집적점이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( \mathscr { A } \)가 위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)의 기저일 때, 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>점 \( p \in X \)가 집합 \( A \subset X \)의 집적점이기 위한 필요충분조건은 \( p \)를 포함하는 모든 열린기저집합 \( G \in \mathscr { B } \)가 \( p \)와 서로 다른 \( A \)의 점을 포함하는 것이다.</li> <li>\( X \)의 수열 \(\left \langle a ~ a_ { n } \right \rangle \)이 \( p \in X \)로 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( p \)를 포함하는 모든 열린기저집합 \( G \in \mathscr { A } \)가 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)의 거의 모든 항을 포함하는 것이다.</li></ol> <h3>예</h3> <p>\( f \) 가 임의의 위상공간 \( X \) 에서 단위 닫힌구간 \( [0,1] \) 로의 함수일 때, 모든 \( a, b \in(0,1) \)에 대하여 \( f ^ { -1 } [(a, 1]] \)과 \( f ^ { -1 } [[0, b)] \)가 \( X \)의 열린부분집합이면 \( f \)는 연속이다. 왜냐하면 반열린구간 \( (a, 1] \)과 \( [0, b) \) 가 단위 닫힌구간 \( [0,1] \)의 부분기저를 이루기 때문이다.</p> <p>연속함수는 닫힌집합을 사용하여 특징화할 수 있다.</p> <h3>정리 3</h3> <p>함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이기 위한 필요충분조건은 \( Y \)의 모든 닫힌부분집합의 역상이 \( X \)의 닫힌부분집합으로 되는 것이다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( X \)에서 보통위상공간 \( (R, \mathscr { u } ) \)로의 모든 함수가 연속이 되려면 \( X \)에 이산위상이 주어져야 한다.</p> <h3>증명</h3> <p>모든 함수가 연속이므로, 임의의 점 \( x_ { 0 } \in X \)에 대하여 \[f(x)= \left \{\begin {array} { l } 1, x=x_ { 0 } \\0, \text { 그 외의 경우 } \end {array} \right . \]으로 주어진 함수 \( f:(X, \mathscr { T } ) \rightarrow \left (R, q_ { 6 } \right ) \)는 연속이다. 그러면 \( \{ 0 \} \) 이 보통위상공간 \( \left (R, q_ { 6 } \right ) \)에서 닫힌집합이므로, \( f ^ { -1 } [ \{ 0 \} ]=X \backslash \left \{ x_ { 0 } \right \} \)는 \( X \)의 닫힌집합이 된다. 따라서 \( \left \{ x_ { 0 } \right \} \)는 열린집합이다. 모든 \( \left \{ x_ { 0 } \right \} \)가 열린집합이므로, \( X \)의 위상 \( \mathscr { T } \)는 이산위상이다.</p> <h2>(2) 연속함수와 임의밀착성</h2> <h3>정의 4 임의밀착성</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)에 대하여, 점 \( p \in X \)가 \[p \in A \text { 또는 } p \in A ^ {\prime } \]일 때, \( p \) 는 집합 \( A \subset X \)에 임의밀칙하고 있다 (arbitrarily close)고 한다.</p> <h3>참고</h3> <p>여가산위상공간 \( \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \)에서는 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 형식 \[ \left \langle a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n_ { 0 } } , p, p, p, \cdots \right \rangle \]로 될 때, \( p \)로 수렴한다. 따라서 \( \left (R, \mathfrak { J } _ { c } \right ) \)에서 임의의 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)로의 모든 함수 \( f: \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \rightarrow \left (X, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)에 대하여 \[ \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle= \left \langle f \left (a_ { 1 } \right ), \cdots, f \left (a_ { n_ { 0 } } \right ), f(p), f(p), f(p), \cdots \right \rangle \]는 \( f(p) \)로 수렴하므로, 여가산위상공간 \( \left (R, \mathfrak { J } _ { c } \right ) \) 상의 모든 함수는 수열연속이다.</p> <h3>예</h3> <p>함수 \( f \)가 항등함수 \( I_ { R } \)인 경우를 생각하면, 여가산위상공간 \( \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \)에서 보통위상공간 ( \( R, \mathfrak { u } \))로의 항등함수 \( I_ { R } : \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \rightarrow(R, \mathfrak { u } \))<p>은 수열연속함수이다. 그러나 보통위상공간 ( \( R, \mathfrak { u } \))의 열린부분집합 \( (0,1) \)의 역상인 \( (0,1) \)이 \( \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \) 의 열린부분집합이 아니므로, \( I_ { R } : \left (R, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \rightarrow(R, q b) \)은 연속이 아니다.</p> <p>\( G \cap H \in \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \)</p> <p>즉 \( \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \) 는 \( \left [O_ { 3 } \right ] \) 를 만족한다. 같은 방법으로 \( \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \) 는 \( \left [O_ { 2 } \right ] \) 를 만족한다.</p> <p>정리 5 는 임의의 위상족으로 일반화할 수 있다. 즉 \( \left \{\mathscr { T } _ { i } \mid i \in I \right \} \) 를 집합 \( X \) 상의 위상족이라 하면, 교집합 \( \cap_ { i } \mathscr { F } _ { i } \)는 또한 \( X \) 상의 위상이 된다. 그러나 임의의 두 위상의 합은 위상 이 될 수 없음에 유의한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c \} \) 상의 두 위상, \( \mathscr { T } _ { 1 } = \{ X, \varnothing, \{ a \} \} \)과 \( \mathscr { T } _ { 2 } = \{ X, \varnothing, \{ b \} \} \) 에 대하여, 이들의 합집합 \[ \mathscr { T } _ { 1 } \cup \mathscr { T } _ { 2 } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ b \} \} \]는 \( \left [ \mathrm { O } _ { 2 } \right ] \)를 만족하지 않으므로, \( X \)상의 위상이 아니다.</p> <p>점 \( p \in X \)를 포함하는 열린집합 \( G \)를 \( p \)의 열린근방 (open neighborhood)이라 하고, \( p \)를 제외한 \( G \), 즉 \( G \backslash \{ p \} \) 를 \( p \)가 삭제된 열린근방 (deleted open neighborhood)이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)에 대하여, \( X \)의 부분집합족 \( \mathcal { H } = \{\{ a \} , \{ a, b, c \} , \{ c, d \} \} \)에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)는 \[ \mathscr { F } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ c \} , \{ a, c \} , \{ c, d \} , \{ a, b, c \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \} \]로 주어진다.</p> <h3>예제</h3> <p>길이가 1인 모든 닫힌구간 \( [a, a + 1] \)의 족 \( \mathfrak { ~ } \)에서 생성된 \( R \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)는 이산위상을 이룬다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( p \) 를 \( R \)의 임의의 원소라 하자. 이때 닫힌구간 \( [p-1, p] \)와 \( [p, p + 1] \)은 이들이 길이 1을 가질 때 \( \mathfrak { I } \)의 원소이므로 \[[p-1, p] \cap[p, p + 1]= \{ p \} \]는 위상 \( \mathscr { T } \)에 속한다. 즉 모든 단원집합 \( \{ p \} \)가 \( \mathscr { T } \)-열린집합이므로, \( \mathscr { T } \)는 \( R \)상의 이산위상이다.</p> <h3>참고</h3> <p>임의의 공집합이 아닌 완전순서집합 \( (X, \lesssim) \) 에 대하여, 형식 \[ \{ x \in X \mid x<p, p \in X \} \text { 또는 } \{ x \in X \mid p<x, p \in X \} \]에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상을 \( X \)상의 순서위상(order topology)이라 한다. \( R \) 상의 보통위상은 실제로 \( R \)상의 순서위상과 일치한다.</p> <p>집합족에 의하여 생성되는 위상을 다음과 같이 특성화할 수 있다.</p> <h3>정리 5</h3> <p>공집합이 아닌 집합 \( X \)의 부분집합족 \( \mathscr { H } \)에 대하여, \( \mathscr { H } \)에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { F } \)는 \( H \)를 포함하는 \( X \)상의 모든 위상의 교집합이다.</p> <h3>예제</h3> <p>임의의 \( a \in R \)에 대하여, 무한열린구간 \( E_ { a } =(a, \infty) \)를 생각하자. 그러면 \( R, \varnothing \)와 \( a \in R \)일 때 \( E_ { a } \)로 이루어지는 \( R \)의 부분집합족 \( \mathscr { T } = \left \{ R, \varnothing, E_ { a } \right \} \)는 \( R \) 상의 위상이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( R \)과 공집합 \( \varnothing \)가 \( \mathscr { T } \)에 속하므로, \( \mathscr { T } \)는 \( \left [O_ { 1 } \right ] \)을 만족한다. 한편 \( \mathscr { T } \)가 집합의 포함관계에 의하여 완전순서를 이루므로 \( \mathscr { T } \)는 \( \left [O_ { 3 } \right ] \) 를 만족한다. 이제 \( \mathscr { g } \)가 \( \mathscr { T } \backslash \{ X, \varnothing \} \)의 부분집합족, 즉 실수의 어떤 집합 \( I \)에 대하여 \( \mathscr { g } = \left \{ E_ { i } \mid i \in I \right \} \)일 때, \( \cup_ { i } E_ { i } \)가 \( \mathscr { T } \)에 속함을 밝힌다. 만일 \( I \)가 아래로 유계가 아니면, \( \cup_ { i } E_ { i } =R \) 이다. 또한 만약 \( I \)가 아래로 유계, 즉 \( \inf (I)=i_ { 0 } \)이면 \( \cup_ { i } E_ { i } = \left (i_ { 0 } , \infty \right )=E_ { i_ { 0 } } \)이다. 어느 경우에서나 \( \cup_ { i } E_ { i } \in \mathscr { T } \) 이다 따라서 \( \mathscr { T } \)는 \( \left [O_ { 2 } \right ] \)를 만족한다.</p> <h3>정리 2</h3> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 공집합이 아닌 집합 \( X \)에서 위상공간 \( (Y, \mathscr { u } ) \)로의 함수일 때, \( Y \)의 열린 집합의 \( f \)에 의한 역상의 집합족 \( \mathscr { T } = \left \{ f ^ { -1 } [G] \mid G \in \mathscr { Q } \right \} \)는 \( X \) 상의 위상이다.</p> <h3>정리 8</h3> <p>\( X \)가 임의의 위상공간일 때, \( X \)의 닫힌부분집합족은 다음 성질을 만족한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( X \) 와 공집합 \( \varnothing \)는 닫힌집합이다.</li> <li>임의개의 닫힌집합의 교집합은 닫힌집합이다.</li> <li>임의의 두 닫힌집합의 합집합은 닫힌집합이다.</li></ol> <h3>예제</h3> <p>\( X \neq \varnothing \)일 때, \( X \)의 부분집합족 \( \mathscr { Z } \)가 다음 세 조건</p> <ol type=1 start=1><li>\( X \)와 공집합 \( \varnothing \)는 \( \mathcal { Z } \)에 속한다.</li> <li>\( \mathscr { Z } \)의 임의개의 원소들의 교집합은 \( \mathscr { Z } \)에 속한다.</li> <li>\( \mathscr { Z } \)에 속하는 임의의 두 집합의 합집합은 \( \mathscr { Z } \)에 속한다.</li></ol> <p>을 만족하면, \( \mathscr { Z } \)가 \( X \) 의 모든 닫힌부분집합들의 집합족이 되는 위상이 존재한다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( \mathscr { T } = \{ X \backslash F \mid F \in \mathscr { Z } \} \)라 하면, \( \mathscr { T } \)가 위상의 세 조건 \( \left [O_ { 1 } \right ], \left [O_ { 2 } \right ] \)와 \( \left [O_ { 3 } \right ] \)를 만족하므로 \( \mathscr { T } \)는 \( X \)상의 위상이 된다. 이제 \( \mathscr { Z } \)의 원소를 닫힌부분집합으로 갖는 위상을 \( \mathscr { T } ^ { * } \)라 하자. 이때 \( X \backslash F \in \mathscr { T } \)이면 \( F \in \mathscr { Z } \)이고 \( F \)가 위상 \( \mathscr { T } ^ { * } \)에서 닫힌집합이므로 \( X \backslash F \in \mathscr { T } ^ { * } \)가 성립한다. 또한 \( G \in \mathscr { T } * \)이면 \( X \backslash G \)가 위상 \( \mathscr { T } ^ { * } \)에서 닫힌집합이고 \( X \backslash G \in \mathscr { Z } \)이므로 \[G=X \backslash(X \backslash G) \in \mathscr { T } \]이다. 따라서 \( \mathscr { T } = \mathscr { T } * \)이다.</p> <h3>참고</h3> <p>임의의 \( a \in R \)에 대하여, 무한열린구간 \( E_ { a } =(a, \infty) \) 를 생각하자. 이때 모든 실수의 집합 \( R \) 상의 위상 \( \mathscr { T } = \left \{ R, \varnothing, E_ { a } \right \} \)에 대하여 모든 정수의 집합 \( Z \) 의 유도집합은 \( R \)로 주어진다.</p> <h2>(2) 닫힌집합</h2> <p>일반적으로 \( A \)의 유도집합 \( A ^ {\prime } \)은 \( A \)의 부분집합이 아니다. 그러나 \( A ^ {\prime } \)이 \( A \)의 부분집합인 경우, 집합 \( A \)는 중요한 의미를 갖는다.</p> <h3>정의 7 닫힌집합</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \) 에 대하여, \( A \subset X \) 의 여집합 \( A ^ { c } \), 즉 \( X \backslash A \) 가 열린집합일 때 \( A \) 를 닫힌집합이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ c, d \} , \{ a, c, d \} , \{ b, c, d, e \} \} \)로 정의하면, \( X \)의 닫힌부분집합족은 \[ \{\varnothing, X, \{ b, c, d, e \} , \{ a, b, e \} , \{ b, e \} , \{ a \} \} \]로 주어진다. 여기서 \( X, \varnothing, \{ a \} , \{ b, c, d, e \} \)는 \( X \)에서 열린집합인 동시에 닫힌집합이며, \( \{ a, b \} \) 는 \( X \)에서 열린집합도 아니고 닫힌집합도 아니다.</p> <p>\( X \)가 임의의 위상공간일 때, \( X \)의 부분집합 \( A \)의 여집합이 닫힌집합이 되기 위한 필요충분조건은 \( A \)가 열린집합인 것이다. 따라서 위상공간의 세 조건 \( \left [O_ { 1 } \right ], \left [O_ { 2 } \right ], \left [O_ { 3 } \right ] \)와 드모르간 법칙으로부터 다음 정리를 얻는다.</p> <h3>참고</h3> <p>임의의 위상공간 \( X \)의 부분집합 \( A \)의 내부 \( A \)는 다음 성질을 갖는다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A ^ {\circ } \)는 \( A \)의 모든 열린부분집합의 합집합이다. 따라서 \( A \)는 열린집합이다.</li> <li>\( G \)가 \( A \)의 임의의 열린부분집합이면 \( G \subset A ^ {\circ } \subset A \)를 만족한다.</li> <li>\( A \)가 열린집합이 될 필요충분조건은 \( A=A ^ {\circ } \)이다.</li></ol> <h3>정의 13 외부와 경계</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)가 위상공간일 때, \( A \subset X \)에 대하여 \( A \)의 여집합의 내부, 즉 \( \operatorname { int } \left (A ^ { c } \right ) \)를 \( A \)의 외부 (exterior)라고 하고, \( \operatorname { ext } (A) \)로 표기한다. \( A \)의 경계(boundary)는 \( \mathrm { Bd } (A) \)로 표기되고, 이것은 \( A \)의 내부에도 외부에도 속하지 않는 점의 집합이다. \( \operatorname { ext } (A) \)의 임의의 점을 \( A \)의 외점 (exterior point)이라 하고, \( \operatorname { Bd } (A) \)의 임의의 점을 \( A \)의 경계점 (boundary point)이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>보통위상공간 \( (R, \mathscr { u } ) \)에서, 모든 실수의 집합 \( R \)의 모든 열린부분집합에는 반드시 유리수와 무리수를 포함하므로 모든 유리수의 집합 \( Q \)의 내점 또는 외점이 존재하지 않는다. 따라서 \( \operatorname { int } (Q)= \varnothing \)이고 \( \operatorname { int } \left (Q ^ { c } \right )= \varnothing \)이다. 따라서 \( Q \)의 경계는 \( \operatorname { Bd } (Q)=R \)이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (R, \mathscr { u } ) \)가 보통위상공간일 때, \( A= \left \{\frac { 1 } { n } \mid n \in N \right \} \)에 대하여 \[ \operatorname { int } (A)= \varnothing, \operatorname { ext } (A)=R \backslash(A \cup \{ 0 \} ), \operatorname { Bd } (A)=A \cup \{ 0 \} \]으로 주어진다.</p> <h3>풀이</h3> <p>이산공간 \( X \)에 있어서 임의의 \( A \subset X \)는 닫힌집합이므로, \( \bar { A } =A \)이다. 따라서 \( X \) 자신이 \( X \) 의 유일한 조밀한 부분집합이다.</p> <h3>예제</h3> <p>밀착위상공간 \( (X, \mathscr { z } ) \)에서 공집합 \( \varnothing \)를 제외한 \( X \)의 모든 부분집합은 \( X \)의 조밀한 부분집합이다.</p> <h3>증명</h3> <p>밀착공간 \( X \)의 유일한 열린부분집합은 \( X \)와 공집합 \( \varnothing \) 이므로, \( X \)의 닫힌부분집합은 또한 \( X \)와 공집합 \( \varnothing \)이다. 따라서 \( X \)의 임의의 부분집합 \( A \)에 대하여, \( A= \varnothing \)이면 \( \bar { A } = \varnothing \)이고, \( A \neq \varnothing \) 이면 \( X \)는 \( A \)의 유일한 포함닫힌집합이므로 \( \bar { A } =X \) 이다. 그러므로 공집합이 아닌 \( X \)의 모든 부분집합은 \( X \)에서 조밀하다.</p> <h3>참고</h3> <p>위상공간 \( X \)의 각 부분집합 \( A \)에 폐포, \( \bar { A } \subset X \)를 대응시키는 폐포 연산자 (closure operators)는 다음 네 가지 성질 (1) \( \bar {\varnothing } = \varnothing \) (2) \( A \subset \bar { A } \) (3) \( \overline { A \cup B } = \bar { A } \cup \bar { B } \) (4) \( \overline {\bar { A } } = \bar { A } \)를 만족한다. 이 성질을 쿠라토표스키의 폐포공리 (Kuratowski's closure axioms)라하고, 이 공리로부터 \( X \)상의 위상을 정의할 수 있다.</p> <h1>3. 내부, 외부와 경계</h1> <h3>정의 12 내점과 내부</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)가 위상공간일 때, \( A \subset X \)와 점 \( p \in A \)에 대하여 \[p \in G \subset A \]를 만족하는 열린집합 \( G \)가 존재할 때, 점 \( p \)를 \( A \)의 내점이라 한다. \( A \)의 모든 내점의 집합은 \( \operatorname { int } (A) \) 또는 \( A ^ {\circ } \)으로 표현되고, 이것을 \( A \)의 내부 또는 열린핵 (open kernel)이라 한다.</p> <p>\( X \)상의 모든 위상족 \( \left \{\mathscr { F } _ { i } \right \} \)는 족의 포함관계에 관하여 반순서를 이룬다. 이때 \( X \) 상의 두 위상 사이에 강약관계가 없는 경우, 이들은 비교가능하지 않다고 한다.</p> <h3>예</h3> <p>임의의 집합 \( X \)상의 이산위상 \( \mathscr { D } \), 밀착위상 \( \mathcal { Z } \)와 임의의 다른 위상 \( \mathscr { F } \) 에 대하여, \( \mathscr { F } \)는 \( \mathscr { D } \)보다 약하고 \( \mathscr { T } \) 는 \( \mathcal { X } \) 보다 강하다. 즉 \( \mathcal { X } \subset \mathscr { T } \subset \mathscr { D } \)이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( R ^ { 2 } \)상의 여유한위상 \( \mathfrak { I } \)와 보통위상 \( \mathscr { u } \)를 생각하자. 이때 임의의 \( R ^ { 2 } \)의 유한부분집합의 여집합, 즉 \( \mathfrak { I } \)의 임의의 원소는 또한 \( \mathscr { u } \) -열린집합이므로, \( \mathscr { u } \)는 \( \mathfrak { I } \)보다 강하다.</p> <h1>7. 부분공간과 상대위상</h1> <h3>정의 19 부분공간과 상대위상</h3> <p>\( A \)가 위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)의 공집합이 아닌 부분집합일 때, \( A \)와 \( X \)의 \( \mathscr { T } \)-열린집합과의 모든 교집합족 \( \mathscr { T } _ { A } \), 즉 \[ \mathscr { T } _ { A } = \{ G \cap A \mid G \in \mathscr { F } \} \]는 \( A \)의 위상이 된다. 이것을 \( A \)의 상대위상(relative topology) 또는 부분위상(subspace topology), 때로는 \( A \)로의 \( \mathscr { T } \)의 상대화(relativization)라 하고, 위상공간 \( \left (A, \mathscr { T } _ { A } \right ) \)를 \( (X, \mathscr { T } ) \) 의 부분공간이라 한다.</p> <h3>정의 11 조밀한 부분집합</h3> <p>\( (X, \mathscr { T } ) \)가 위상공간일 때, \( X \)의 부분집합 \( A \)에 대하여 \( \bar { A } =X \)를 만족하면 \( A \)는 \( X \)에서 조밀하다고 한다. 이때 \( A \)는 \( X \)의 조밀한 부분집합 (dense subset)이라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (R, \mathscr { U } ) \)가 보통위상공간일 때, 모든 유리수의 집합 \( Q \)에 대하여 \( \bar { Q } =R \)이므로 \( Q \)는 \( R \)에서 조밀하다. 즉 \( Q \)는 \( R \)의 조밀한 부분집합이다.</p> <h3>예</h3> <p>여유한위상공간 \( (X, \mathfrak { I } ) \)에 대하여, \( A \subset X \)가 무한이면 \( X \)는 \( A \)를 포함하는 유일한 닫힌집합이므로 \( \bar { A } \)는 \( X \)가 된다. 따라서 \( X \)가 무한집합일 때, 여유한위상공간 \( (X, \mathfrak { I } ) \)에서 \( X \)의 모든 무한부분집합은 \( X \)에서 조밀하다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \), \( \{ a, b, e \} \} \)로 정의하면, \( X \)의 닫힌부분집합은 \[ \varnothing, X, \{ b, c, d, e \} , \{ c, d, e \} , \{ b, e \} , \{ e \} , \{ c, d \} \]이므로 \[ \{\overline { a, c } \} =X, \{\overline { b, d } \} = \{ b, c, d, e \} \]로 주어진다. 따라서 집합 \( \{ a, c \} \)는 \( X \)에서 조밀하지만, 집합 \( \{ b, d \} \)는 \( X \)에서 조밀하지 않다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( (X, \mathscr { D } ) \)가 이산위상공간일 때, \( X \)의 조밀한 부분집합을 구하시오.</p> <h3>예</h3> <p>평면 \( R ^ { 2 } \)에서 수직인 무한히 긴 열린띠 모양의 면과 수평인 무한히 긴 열린띠 모양의 면의 교집합은 열린 직사각형이다. 그런데 열린 직사각형족은 \( R ^ { 2 } \)상의 보통위상의 기저이므로, 모든 무한히 긴 열린띠 모양의 면족은 \( R ^ { 2 } \)의 부분기저가 된다.</p> <h3>예제</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 이산위상 \( \mathscr { D } \)에 대하여, 임의의 단원집합을 포함하지 않는 \( \mathscr { D } \)의 부분기저 \( R \)을 구하시오.</p> <h3>풀이</h3> <p>\( X \)의 임의의 부분집합족 \( R \)이 \( X \)의 이산위상 \( \mathscr { D } \)의 기저이기 위한 필요충분조건은 \( R \)이 \( X \)의 모든 단원부분집합을 포함하는 것이다. 따라서 \( R \)이 \( \mathscr { D } \)의 부분기저이기 위한 필요충분조건은 \( R \)의 원소의 유한개의 교집합으로써 \( \{ a \} , \{ b \} , \{ c \} , \{ d \} , \{ e \} \)로 되는 집합족을 만들면 된다. 따라서 \[R= \{\{ a, b \} , \{ b, c \} , \{ c, d \} , \{ d, e \} , \{ e, a \} \} \]가 \( \mathscr { D } \) 의 부분기저이다.</p> <h3>예제</h3> <p>단위 열린구간 \( (0,1) \)에 대하여 \( a, b \in(0,1) \)일 때, 모든 반열린구간 \( (a, 1] \)과 \( [0, b) \)는 단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)상의 상대보통위상의 부분기저를 이룬다.</p> <h3>증명</h3> <p>무한열린구간 \( (a, \infty) \)와 \( (- \infty, b] \)는 \( R \)상의 보통위상의 부분기저를 형성하므로, \( I \)와 두 무한열린구간 \( (a, \infty),(- \infty, b] \)의 교집합 \[ \varnothing, I,(a, 1],[0, b) \]는 \( I \) 상의 상대보통위상의 부분기저를 이룬다. 그러나 임의의 부분기저에서 공집합 \( \varnothing \)와 전체집합 \( I \)를 제외할지라도 부분기저이므로, 반열린구간 \( (a, 1] \)과 \( [0, b) \)는 단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)상의 상대보통위상의 부분기저를 이룬다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( \mathscr { u } \)가 위상이므로, \( Y, \varnothing \in { } _ { 26 } \)이다. 이때 \( X=f ^ { -1 } [Y] \) 이고 ( \varnothing=f ^ { -1 } [ \varnothing] \)이므로, \( X, \varnothing \in \mathscr { T } \)이다. 따라서 \( \left [O_ { 1 } \right ] \)을 만족한다. 이제 \( \left \{ A_ { i } \right \} \) 를 \( \mathscr { T } \)에 속하는 집합족이라 하면, \( A_ { i } =f ^ { -1 } \left [G_ { i } \right ] \)로 되는 \( G_ { i } \in q_ { b } \)가 존재한다. 따라서</p> <p>\( \cup_ { i } A_ { i } = \cup_ { i } f ^ { -1 } \left [G_ { i } \right ]=f ^ { -1 } \left [ \cup_ { i } G_ { i } \right ] \)</p> <p>를 얻는다. 그런데 \( \mathscr { u } \)가 위상이므로, \( U_ { i } G_ { i } \in \mathscr { q b } \)이다. 그러므로 \( U_ { i } A_ { i } \in \mathscr { T } \)이고 \( \mathscr { T } \)는 \( \left [O_ { 2 } \right ] \) 를 만족한다. 마지막으로 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } \in \mathscr { T } \)라고 하면</p> <p>\( A_ { 1 } =f ^ { -1 } \left [G_ { 1 } \right ], A_ { 2 } =f ^ { -1 } \left [G_ { 2 } \right ] \)</p> <p>를 만족하는 \( G_ { 1 } , G_ { 2 } \in \mathscr { q b } \) 가 존재한다. 그런데</p> <p>\( A_ { 1 } \cap A_ { 2 } =f ^ { -1 } \left [G_ { 1 } \right ] \cap f ^ { -1 } \left [G_ { 2 } \right ]=f ^ { -1 } \left [G_ { 1 } \cap G_ { 2 } \right ] \)</p> <p>이고, \( G_ { 1 } , G_ { 2 } \in \mathscr { q } \) 이므로 \( A_ { 1 } \cap A_ { 2 } \in \mathscr { T } \) 이다. 따라서 \( \left [O_ { 3 } \right ] \) 를 만족한다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( f: X \rightarrow Y \)가 위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)에서 공집합이 아닌 집합 \( Y \)로의 함수일 때, \( X \)의 열린집합의 \( f \)에 의한 상의 집합족 \( a_ { b } = \{ f[G] \mid G \in \mathscr { T } \} \)는 \( Y \) 상의 위상이 될 수 없다. 예를 들면 \( X= \{ a, b \} , Y= \{ c, d \} \)이고 \( X \) 상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing \} \)라 할 때, \( f(a)=f(b)=c \) 로 정의된 함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여 \( q b= \{\varnothing, \{ c \} \} \)이므로, \( \mathscr { u } \)는 \( Y \)상의 위상이 아니다.</p> <h2>정의 3 이산위상공간</h2> <p>\( \mathscr { D } \)가 \( X \)의 모든 부분집합족, 즉 멱집합일 때 \( \mathscr { D } \)는 \( X \)상의 위상이 된다. 이와 같은 위상 \( \mathscr { D } \)를 \( X \)상의 이산위상 (discrete topology)이라 하고, \( (X, \mathscr { D } ) \)를 이산위상공간(discrete topological space) 또는 간단히 이산공간(discrete space)이라 한다.</p> <p>공집합 \( \varnothing \)와 \( X \)의 부분집합의 여집합이 유한인 모든 부분집합족을 \( \mathfrak { I } \)로써 나타내면, 즉 \[ \mathfrak { I } = \{ X \backslash F \mid F \text { 는 유한집합 } \} \cup \{\varnothing \} \]는 \( X \) 상의 위상이 된다. 이와 같은 위상 \( \mathfrak { I } \)를 \( X \) 상의 여유한위상(cofinite topology) 또는 유한여집합위상(finite complement topology)이라 한다. 이때 \( (X, \mathfrak { J } ) \)를 여유한위상공간 (cofinite topological space), 간단히 여유한공간(cofinite space)이라 한다.</p> <h1>4. 유도위상</h1> <p>\( \left (Y_ { i } , \mathscr { T } _ { i } \right ) \)를 위상공간의 임의의 족이라 하고, 각 \( Y_ { i } \)에 대하여 공집합이 아닌 임의의 집합 \( X \)상에서 정의되는 함수 \( f_ { i } : X \rightarrow Y_ { i } \)가 대응될 때, 모든 \( f_ { i } \)가 연속이 되도록 하는 \( X \) 상의 위상에 관해서 알아본다. 여기서 각 \( f_ { i } \) 는 \( Y_ { i } \)의 각 열린부분집합의 역상이 \( X \)의 열린부분집합이면 \( X \) 상의 어떤 위상에 관하여 연속이 된다.</p> <h3>정의 16 유도위상</h3> <p>\( X \)가 공집합이 아닌 임의의 집합이고 \( \left (Y_ { i } , \mathscr { F } _ { i } \right ) \)가 위상공간의 임의의 족일 때, 모든 공 간 \( Y_ { i } \)의 각 열린부분집합의 역상으로 이루어진 \( X \)의 부분집합족 \[ \mathscr { H } = \cup_ { i } \left \{ f_ { i } ^ { -1 } [H] \mid H \in \mathscr { T } _ { i } \right \} \]를 생각한다. 이때 \( \mathscr { H } \)에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상 \( \mathscr { T } \) 를 함수 \( f_ { i } \)에 의하여 유도된 유도위상(induced topology), 역상위상(inverse image topology) 또는 생성된 위상(generated topology)이라 한다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( X \)의 부분집합족 \( \mathscr { H } \)는 위상 \( \mathscr { F } \)의 부분기저이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X \)가 공집합이 아닌 임의의 집합이고 \( \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)가 위상공간일 때, \( X \)에서 \( Y \)로의 함수 \( f \)에 대하여 위상공간 \( Y \)의 각 열린부분집합의 역상으로 이루어진 \( X \)의 부분집합족 \[ \mathscr { T } = \left \{ f ^ { -1 } [H] \mid H \in \mathscr { T } ^ { * } \right \} \]는 함수 \( f \)에 의해 유도된 \( X \) 상의 유도위상이다. 이때 함수 \( f:(X, \mathscr { F } ) \rightarrow \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)는 연속이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( X \)가 유한집합일 때, \( X \)상의 여유한위상은 이산위상이 된다.</p> <h2>정의 4 밀착위상공간</h2> <p>\( X \)와 공집합 \( \varnothing \)만으로 이루어지는 집합족 \( \mathcal { Z } = \{ X, \varnothing \} \)는 \( X \)상의 위상이 된다. 이와 같은 위상 \( \mathscr { Z } \)를 \( X \)상의 밀착위상(discrete topology) 또는 비이산위상이라 한다. 이때 \( (X, \mathscr { Z } ) \)를 밀착위상공간 (indiscrete topological space) 간단히 밀착공간 (indiscrete space), 또는 비이산위상공간 간단히 비이산공간이라 한다.</p> <p>공집합 \( \varnothing \) 와 \( X \)의 부분집합의 여집합이 가산인 모든 부분집합족을 \( \mathfrak { I } _ { c } \)로써 나타내면, 즉 \[ \mathfrak { I } _ { c } = \{ X \backslash F \mid F \text { 는 가산집합 } \} \cup \{\varnothing \} \]는 \( X \)상의 위상이 된다. 이와 같이 무한집합 \( X \)에 대하여, 공집합 \( \varnothing \)와 가산부분집합의 여집합으로 구성되는 \( X \)상의 위상 \( \mathfrak { I } _ { c } \)를 \( X \)상의 여가산위상(cocountable topology)이라 한다. 이때 \( \left (X, \mathfrak { I } _ { c } \right ) \) 를 여가산위상공간(cocountable topological space), 또는 간단히 여가산공간(cocountable space)이라 한다.</p> <h3>정리 5</h3> <p>\( X \)상의 임의의 두 위상 \( \mathscr { T } _ { 1 } \)과 \( \mathscr { T } _ { 2 } \)의 교집합 \( \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \)는 \( X \)상의 위상이 된다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( X \)와 공집합 \( \varnothing \)는 \( \mathscr { T } _ { 1 } \)과 \( \mathscr { T } _ { 2 } \)에 모두 속하므로, \( X \)와 \( \varnothing \)는 각각 교집합 \( \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \) 에 속한다. 즉 \( \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \) 는 \( \left [O_ { 1 } \right ] \) 을 만족한다. 한편 \( G, H \in \mathscr { T } _ { 1 } \cap \mathscr { T } _ { 2 } \) 이면 \( G, H \in \mathscr { T } _ { 1 } \), \( G, H \in \mathscr { T } _ { 2 } \) 이고, 이때 \( \mathscr { T } _ { 1 } \) 과 \( \mathscr { T } _ { 2 } \)가 \( X \) 상의 위상이므로 \( G \cap H \in \mathscr { T } _ { 1 } \)이고 \( G \cap H \) \( \in \mathscr { T } _ { 2 } \)가 된다. 따라서</p> <h1>2. 열린사상과 닫힌사상</h1> <p>연속함수는 모든 열린집합의 역상이 열린집합이고 또한 모든 닫힌집합의 역상이 닫힌집합인 성질을 갖는다.</p> <h3>정의 10 열린사상과 닫힌사상</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr { F } ) \)에서 \( \left (Y, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)로의 함수 \( f \)에 대하여</p> <ol type=1 start=1><li>\( X \)의 임의의 열린집합 \( G \)의 상 \( f(G) \)가 \( Y \)의 열린집합일 때, \( f \)를 열린사상 (open mapping) 또는 열린함수 (open function)라 한다.</li> <li>\( X \)의 임의의 닫힌집합 \( F \)의 상 \( f(F) \)가 \( Y \)의 닫힌집합일 때, \( f \)를 닫힌사상 (closed mapping) 또는 닫힌함수(closed function)라 한다.</li></ol> <p>일반적으로 열린사상은 닫힌사상이라 할 수 없고, 그 역도 성립하지 않는다.</p> <h3>예</h3> <p>모든 \( x \in R \)에 대하여 \( f(x)=c \) (단, \( c \) 는 상수)로 주어진 상수함수 \( f: R \rightarrow R \)는 연속이다. 그런데 임의의 \( A \subset R \)에 대하여 \( f[A]= \{ c \} \)이므로, \( f \)는 닫힌사상이지만, 열린사상은 아니다.</p> <h3>예</h3> <p>평면 \( R ^ { 2 } \)에서 \( x \)축으로의 사영, 즉 \( \pi( \langle x, y \rangle)=x \)로 정의된 사영 \( \pi: R ^ { 2 } \rightarrow R \)를 생각하자. 이때 열린집합 \( G \subset R ^ { 2 } \)의 상 \( \pi[G] \)에 속하는 임의의 점 \( \pi(p) \)는 \( \pi[G] \)에 포함되는 열린구간에 속하므로 \( \pi[G] \)는 열린집합이다. 따라서 \( \pi \)는 열린사상이다. 그러나 \( \pi \)는 닫힌사상이 아니다. 왜냐하면 집합 \[A= \{\langle x, y \rangle \mid x y \geq 1, x>0 \} \]는 닫힌집합이지만, 그 사영 \( \pi[A]=(0, \infty) \) 는 닫힌집합이 아니기 때문이다.</p> <h3>예제</h3> <p>보통위상 \( \mathscr { u } \)가 주어진 열린구간 \( (0, \infty) \)와 닫힌구간 \( [-1,1] \)에 대하여 \[f(x)= \sin \frac { 1 } { x } \] 로 주어진 함수 \( f:(0, \infty) \rightarrow[-1,1] \)는 연속이지만, 열린사상도 아니고 닫힌사상도 아니다.</p> <h3>예제</h3> <p>단원집합 \( \{ p \} \)가 위상공간 \( X \)의 열린부분집합이면, 임의의 위상공간 \( Y \)와 임의의 함수 \( f: X \rightarrow Y \)에 대하여 \( f \)는 \( p \in X \)에서 연속이다.</p> <p>\( R \)상에 보통위상이 주어질 때, 정의 6은 함수 \( f: R \rightarrow R \)의 한 점에서 연속성의 \( \varepsilon- \delta \) 논법과 일치한다.</p> <h3>정리 7</h3> <p>위상공간 \( X, Y \)에 대하여, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속일 필요충분조건은 \( f \)가 \( X \)의 모든 점에서 연속인 것이다.</p> <h2>(4) 수열연속</h2> <h3>정의 8 수열연속</h3> <p>위상공간 \( X, Y \)에 대하여, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 \( p \in X \)로 수렴하는 \( X \)의 임의의 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)에 대하여 \( Y \)의 수열 \( \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle \)이 \( Y \)의 점 \( f(p) \)로 수렴할 때, 즉 \[a_ { n } \rightarrow p \rightarrow f \left (a_ { n } \right ) \rightarrow f(p) \]일 때, 함수 \( f \) 는 점 \( p \in X \)에서 수열연속 (sequentially continuous) 또는 점렬연속이라 한다. \( X \)의 모든 점 \( p \)에서 \( f \)가 수열연속일 때, \( f \)를 수열연속함수 (sequentially continuous function) 또는 점렬연속함수라고 한다.</p> <p>일반적으로 연속함수는 수열연속함수이지만, 그 역은 성립하지 않는다.</p> <h3>정리 9</h3> <p>위상공간 \( X, Y \)에 대하여, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 \( p \in X \)에서 연속이면 \( f \)는 \( p \)에서 수열연속이다.</p> <h3>증명</h3> <p>\( f(p) \)의 임의의 근방 \( N \)이 수열 \( \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle \)의 거의 모든 항을 포함함을 밝히면 된다. \( N \)을 \( f(p) \)의 임의의 근방이라 하면, \( f \)가 \( p \)에서 연속이므로 \( M=f ^ { -1 } [N] \)은 \( p \)의 근방이 된다. 만일 수열 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \)이 \( p \)로 수렴하면, \( M \)은 \( \left \langle a_ { n } \right \rangle \) 의 거의 모든 항을 포함한다. 즉 거의 모든 \( n \)에 대하여 \( a_ { n } \in M \)이다. 그런데 \[a_ { n } \in M \rightarrow f \left (a_ { n } \right ) \in f[M]=f \left [f ^ { -1 } [N] \right ]=N \]이므로, 거의 모든 \( n \)에 대하여 \( f \left (a_ { n } \right ) \in N \) 이다. 그러므로 수열 \( \left \langle f \left (a_ { n } \right ) \right \rangle \)은 \( f(p) \)로 수렴한다. 따라서 \( f \)는 \( p \)에서 수열연속이다.</p> <p>함수 \( f:(X, \mathscr { F } ) \rightarrow \left (X, \mathscr { F } ^ { * } \right ) \)의 정의역과 공역에 주어진 위상 \( \mathscr { F } \)와 \( \mathscr { F } ^ { * } \)를 나타낼 필요가 없을 때, 간단히 \( f: X \rightarrow Y \)로 표기한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d \} , Y= \{ x, y, z, w \} \) 상의 각 위상 \( \mathscr { T } \) 와 \( \mathscr { T } * \)를 각각 \[ \begin {array} { l } \mathscr { F } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, b, c \} \} \\ \mathscr { T } ^ { * } = \{ Y, \varnothing, \{ x \} , \{ y \} , \{ x, y \} , \{ y, z, w \} \} \end {array} \]라 하고, 그림 3.3으로 정의된 함수 \( f: X \rightarrow Y \)와 \( g: X \rightarrow Y \)를 생각하자.</p> <p>이때 함수 \( f \)는 \( Y \)상의 위상 \( \mathscr { F } ^ { * } \)의 각 원소의 역이 \( X \)상의 위상의 원소이므로 연속이다. 한편 함수 \( g \)는 \( \{ y, z, w \} \in \mathscr { T } ^ { * } \), 즉 \( Y \) 의 열린부분집합의 역상 \[g ^ { -1 } [ \{ y, z, w \} ]= \{ c, d \} \] 가 \( X \)의 열린부분집합이 아니므로, 즉 \( \mathscr { F } \)에 속하지 않으므로 \( g \)는 연속이 아니다.</p> <h3>예</h3> <p>일반적인 위상공간의 모든 상수함수는 연속이다.</p> <h3>예</h3> <p>\( (X, \mathscr { F } ) \)가 임의의 위상공간일 때, 항등함수 \( I_ { X } :(X, \mathscr { T } ) \rightarrow(X, \mathscr { T } ) \) 는 연속이다. 그러나 밀착위상공간 \( (X, \mathcal { X } ) \)에서 이산위상공간 \( (X, \mathscr { D } ) \)로의 항등함수 \( I_ { X } :(X, \mathcal { X } ) \) \( \rightarrow(X, \mathscr { D } ) \) 는 \( X \)가 두 개 이상의 원소를 포함하는 경우에 연속이 아니다.</p> <h3>정리 17</h3> <p>\( \mathscr { F } \)가 부분기저 \( \mathscr { H } \)에 의하여 생성되는 \( X \)상의 위상일 때, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>모든 함수 \( f_ { i } \) 는 \( \mathscr { 5 } \)에 관하여 연속이다.</li> <li>\( \mathscr { F } \)는 함수 \( f_ { i } \)를 연속이 되게 하는 \( X \)상의 모든 위상의 공봉위상이다.</li> <li>\( \mathscr { F } \)는 함수 \( f_ { i } \)를 연속이 되게 하는 \( X \)상의 최소, 즉 가장 약한 위상이다.</li></ol> <p>\( X \)의 부분집합족 \( \mathcal { H } \)를 \( f_ { i } \)에 의하여 유도된 유도위상, 즉 함수 \( f_ { i } \)가 연속이 되도록 하는 \( X \)상의 가장 약한 위상에 관하여 정의부분기저(defining subbase)라 한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( Y= \{ a, b, c, d \} \)상의 위상 \( \mathscr { T } \)를 \[ \mathscr { T } = \{ Y, \varnothing, \{ c \} , \{ a, b, c \} , \{ c, d \} \} \] 라 하고, \( X= \{ 1,2,3,4 \} \ 일 때 그림 3.8로 성의된 두 함수 \( f, g: X \rightarrow(Y, \mathscr { T } ) \)를 생각하자.</p> <p>이때 두 함수 \( f \)와 \( g \)에 의하여 유도된 \( X \)상의 유도위상 \( \mathscr { T } ^ { * } \)의 정의부분기저를 구해보자. 이 경우 \[ \mathscr { H } = \left \{ f ^ { -1 } [H] \mid H \in \mathscr { F } \right \} \cup \left \{ g ^ { -1 } [H] \mid H \in \mathscr { F } \right \} \] 즉 \( \mathscr { H } \) 가 \( f \) 와 \( g \) 에 의한 \( Y \) 의 열린부분집합의 역상으로 이루어짐을 생각하면 \[ \mathscr { H } = \{ X, \varnothing, \{ 1,2,4 \} , \{ 3 \} , \{ 2,3 \} , \{ 1,2,3 \} , \{ 2,3,4 \} \} \]로 주어진다.</p> <h3>예</h3> <p>\( \pi_ { 1 } \)과 \( \pi_ { 2 } \)를 평면 \( R ^ { 2 } \)에서 실직선 \( R \)로의 사영, 즉 \[ \left . \pi_ { 1 } [ \langle x, y \rangle]=x, \pi_ { 2 } [ \langle x, y \rangle) \right ]=y \]로 정의하면, \( R \)의 열린구간 \( (a, b) \)의 역상은 \( R ^ { 2 } \)의 무한히 긴 열린띠 모양의 면분이 된다. 그런데 이 무한히 긴 열린띠 모양의 면분들은 \( R ^ { 2 } \) 상의 보통위상의 부분기저를 이룬다. 따라서 \( R ^ { 2 } \)상의 보통위상은 사영 \( \pi_ { 1 } \)과 \( \pi_ { 2 } \)를 연속이 되게 하는 \( R ^ { 2 } \)상의 가장 약한 위상이다.</p> <p>두 위상공간 \( (X, \mathscr { T } ) \)와 \( \left (Y, \mathscr { T } ^ { * } \right ) \)에 대하여, \( f: X \rightarrow Y \)가 위상동형사상이면 \[X=G \cup H \Leftrightarrow Y=f[G] \cup f[H] \]이므로, \( X \)가 비연결일 필요충분조건은 \( Y \)가 비연결일 경우이다. 따라서 연결성은 위상적 성질이다.</p> <h3>예제</h3> <p>평면 \( R ^ { 2 } \)의 부분집합 \( X \)와 \( Y \)가 각각 \[ \begin {array} { l } X= \left \{ x \mid d \left (x, p_ { 0 } \right )=1 \text { 또는 } d \left (x, p_ { 1 } \right )=1 ; p_ { 0 } = \langle-1,0 \rangle, p_ { 1 } = \langle 1,0 \rangle \right \} \\Y= \{ x \mid d(x, p)=1, p= \langle 5,0 \rangle \} \end {array} \]으로 주어질 때, 보통위상의 \( X, Y \)로의 상대화는 위상동형이 아니다.</p> <h3>증명</h3> <p>위상동형사상 \( f: X \rightarrow Y \)가 존재한다고 가정하자. 이때 \[q=f(0), X ^ { * } =X \backslash \{ 0 \} , Y ^ { * } =Y \backslash \{ q \} \]라고 하면, \( f: X ^ { * } \rightarrow Y ^ { * } \)는 또한 상대위상에 관한 위상동형사상이다. 이 경우 \( X ^ { * } \) 는 비연결, \( Y ^ { * } \)는 연결임을 밝히면 증명은 끝난다. 왜냐하면 연결성이 위상적 성질인 것에 모순이 되기 때문이다. 이제 \( q= \left \langle 5 + \cos \theta_ { 0 } , \sin \theta_ { 0 } \right \rangle \)라 하면 \[g( \theta)= \left \langle 5 + \cos \left ( \theta_ { 0 } + \theta \right ), \sin \left ( \theta_ { 0 } + \theta \right ) \right \rangle \]로 정의되는 함수 \( g:(0,2 \pi) \rightarrow Y ^ { * } \)는 위상동형사상이다. 이때 구간 \( (0,2 \pi) \) 가 연결이므로, \( Y ^ { * } \)도 연결이다. 그런데 \( X ^ { * } \) 는 연결이 아니다. 왜냐하면 집합 \[G= \{\langle x, y \rangle \mid x>0 \} , H= \{\langle x, y \rangle \mid x<0 \} \]는 모두 \( R ^ { 2 } \)에서 열린집합이므로, 따라서 \( G ^ { * } =X ^ { * } \cap G \)와 \( H ^ { * } =X ^ { * } \cap H \) 는 \( X ^ { * } \)의 열린부분집합이고, 또한 \( G ^ { * } \)와 \( H ^ { * } \) 는 \( \varnothing \)가 아니고 서로소이며 \( G ^ { * } \cup H ^ { * } =X ^ { * } \)를 만족하기 때문이다. 따라서 연결성이 위상적 성질이므로, \( X ^ { * } \) 는 \( Y ^ { * } \) 와 위상동형이 아니다. 그러므로 위상동형사상 \( f: X \rightarrow Y \)는 존재하지 않는다.</p> <p>앞으로 이 책을 기술함에 있어, 위상공간과 그 부분공간에 대하여 '공간(또는 부분공간)'의 개념과 '집합(또는 부분집합)'의 개념은 각각 같은 표현으로 혼용되어 사용될 것이다. 예를 들면 \( (X, \mathscr { T } ) \)가 위상공간일 때, \( A \subset X \)에 대하여 (1) \( A \)가 \( (X, \mathscr { T } ) \)의 부분공간 (2) \( A \)가 \( X \)의 부분집합는 동일한 표현이다.</p> <h3>참고</h3> <p>\( \left (A, \mathscr { F } _ { A } \right ) \)가 \( (X, \mathscr { F } ) \)의 부분공간일 때, \( A \)의 부분집합 \( H \)가 \( \mathscr { F } _ { A } \) - 열린집합, 즉 \( A \)로의 상대열린집합이란 \[H=G \cap A \]을 만족하는 \( X \)의 \( \mathscr { T } \)-열린집합 \( G \)가 존재함을 의미한다.</p> <h3>예</h3> <p>\( X= \{ a, b, c, d, e \} \)상의 위상을 \( \mathscr { T } = \{ X, \varnothing, \{ a \} , \{ a, b \} , \{ a, c, d \} , \{ a, b, c, d \} \), \( \{ a, b, e \} \} \)로 정의하고, \( X \)의 부분집합 \( A= \{ a, c, e \} \) 를 생각한다. 이때 \[ \begin {array} { l } X \cap A=A, \{ a \} \cap A= \{ a \} , \{ a, c, d \} \cap A= \{ a, c \} , \{ a, b, e \} \cap A= \{ a, e \} \\ \varnothing \cap A= \varnothing, \{ a, b \} \cap A= \{ a \} , \{ a, b, c, d \} \cap A= \{ a, c \} \end {array} \]임을 알 수 있다. 따라서 \( A \)로의 \( \mathscr { F } \)의 상대화는 \[ \mathscr { F } _ { A } = \{ A, \varnothing, \{ a \} , \{ a, c \} , \{ a, e \} \} \]로 주어진다. 여기서 \( \{ a, c \} \)는 \( X \)에서는 열린집합이 아니지만, \( A \)의 상대열린집합, 즉 \( \mathscr { F } _ { A } \) - 열린집합이다.</p>	자연
이공계를 위한 미분적분학_이변수함수와 편도함수	<p>\( 14 \). \( F(x, y)= \frac {\sin (x y) } { e ^ { x } -y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 15 \). \( F(x, y)= \frac { x-y } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 16 \). \( F(x, y)= \arctan (x + \sqrt { y } ) \)</p> <p>\( 17 \). \( F(x, y)=e ^ { x ^ { 2 } y } + \sqrt { x + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 18 \). \( G(x, y)= \ln \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -4 \right ) \)</p> <p>\( 19 \). \( G(x, y)= \sin ^ { -1 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \)</p> <p>\( 20 \). \( f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } \frac { x ^ { 2 } y ^ { 3 } } { 2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 1, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \)</p> <p>\( 21 \). \( f(x, y)= \left \{\begin {array} { cl } \frac { x y } { x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \)</p> <p>\( (22-23) \) 다음 함수가 불연속이 되는 점들을 찾고 그 이유를 설명하여라.</p> <p>\( 22 \). \( f(x, y)=e ^ { 1 /(x-y) } \)</p> <p>\( 23 \). \( f(x, y)= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \)</p> <h1>12.3 접평면과 미분가능성</h1> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \) 를 실수 \( b \) 에 대하여 \( y=b \) 로 고정하면 \( g(x)=f(x, b) \) 는 변수 \( x \) 에 대한 일변수함수가 된다. 이제 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하면, 미분계수 \( g ^ {\prime } (a) \) 를 \( (a, b) \) 에서의 \( x \) 에 관한 \( f \) 의 편미분계수(partial derivative of \( f \) with respect to \( x \) at \( (a, b)) \) 라 하고 \( f_ { x } (a, b) \) 로 표기한다. 다시 말해서<p>\( (1) \) \[ f_ { x } (a, b)=g ^ {\prime } (a) \]</p>인데, 미분계수의 정의에 의하여 \( g ^ {\prime } (a)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(a + h)-g(a) } { h } \) 이므로 식 \( (1) \) 은<p>\( (2) \) \[ f_ { x } (a, b)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a + h, b)-f(a, b) } { h } \]</p>가 된다. 마찬가지로 \( x=a \) 로 고정된 함수 \( h(y)=f(a, y) \) 가 \( y=b \) 에서 미분 가능하면 미분계수 \( h ^ {\prime } (b) \) 를 \( (a, b) \) 에서의 \( y \) 에 관한 \( f \) 의 편미분계수 \( f_ { y } (a, b) \) 로 정의한다. 따라서<p>\( (3) \) \[ f_ { y } (a, b)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(a, b + h)-f(a, b) } { h } \]</p>가 된다. 편미분계수를 가지는 점 \( (x, y) \) 에 \( f_ { x } (x, y) \) 을 대응시키면 함수 \( f_ { x } \) 가 정의되는데, 이를 \( x \) 에 관한 편도함수(partial derivative of \( f \) )라 한다. \( y \) 에 관한 편도함수 \( f_ { y } \) 도 마찬가지로 정의되므로<p>\( (4) \) \[ \begin {array} { l } f_ { x } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x + h, y)-f(x, y) } { h } \\ f_ { y } (x, y)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f(x, y + h)-f(x, y) } { h } \end {array} \]</p>이 된다. 편도함수 \( f_ { x } , f_ { y } \) 는 정의역이 각각 \( f_ { x } (x, y) \) 가 존재하는 모든 \( (x, y) \) 들의 집합과 \( f_ { y } (x, y) \) 가 존재하는 모든 \( (x, y) \) 들의 집합인 이변수함수이다.</p> <h3>등위선</h3> <p>\( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서의 곡면은 정의역의 점들에 대응하는 함수값 \( z \) 에 따라 결정되므로, \( x y \) 평면과 평행한 평면 \( z=c \) 와의 교선이 중요한 정보를 제공해 준다. 실제로 지도는 같은 높이에 있는 지점들을 연결한 등고선을 통해 표현되어 있는데, 이와 같은 선들을 등위선(level curve)이라 한다.</p> <h3>정의</h3> <p>실수 \( k \) 에 대하여 방정식 \( f(x, y)=k \) 를 만족하는 곡선을 \( f \) 의 등위선이라고 한다.</p> <p>등위선 \( f(x, y)=k \) 는 이변수함수의 곡면에서 높이가 \( k \) 인 점들을 \( x y \) 평면 위로 사영하여 얻는다. 당연히 \( k \) 는 이변수함수의 치역에 속하는 값이어야 의미가 있음에 유의하자. 역으로 \( x y \) 평면에 있는 등위선 \( f(x, y)=k \) 을 \( k \) 만큼의 높이로 올리거나 내리면 이변수함수의 곡면을 얻을 수 있다. 지도에서의 등고선도 지형이 가지는 등위선인데, 등위선들을 통해 지형을 예측할 수 있다. 가령 등위선이 서로 가까이 있으면 곡면의 경사가 가파르고 멀리 떨어져 있으면 다소 완만할 것이다(그림 10 참조).</p> <h1>예제 5</h1> <p>이변수함수 \( f(x, y)=6-3 x-2 y \) 의 등위선은 \( 6-3 x-2 y=k \) 에 의해 결정된다. 이를 풀면 \( y=- \frac { 3 x } { 2 } + \frac { 6-k } { 2 } \) 이므로 등위선은 기울기가 \( -3 / 2 \) 인 평행인 직선들이다. \( k=-6,0,6,12 \) 일 때의 등위선들이 그림 11 에 나타나 있다. 이들 등위선을 \( k \) 만큼 들어 올리거나 내리면 예제 2의 그림 5 와 같은 평면이 만들어 진다.</p> <h1>예제 6</h1> <p>함수 \( g(x, y)= \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \) 의 등위선은 \( \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } =k \) 에 의해 결정된다. 이를 정리하면 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =9-k ^ { 2 } \) 이므로, 등위선은 중심이 \( (0,0) \) 이고 반지름이 \( \sqrt { 9-k ^ { 2 } } \) 인 동심원들을 이룬다. \( k=0,1,2,3 \) 일 때 등위선은 그림 12 와 같은데, 이들 등위선들을 \( k \) 만큼씩 들어올리면 예제 3 의 그림 7 과 같은 \( g \) 의 곡면이 만들어 진다.</p> <p>정의 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분 가능(differentiable)하다는 것은 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \) 일 때 \( \varepsilon_ { 1 } , \varepsilon_ { 2 } \rightarrow 0 \) 이 되는 \( \varepsilon_ { 1 } \) 과 \( \varepsilon_ { 2 } \) 이 존재하여 \( \Delta z \) 가<p>\( (9) \) \[ \Delta z=f_ { x } (a, b) \Delta x + f_ { y } (a, b) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \Delta x + \varepsilon_ { 2 } \Delta y \]</p>로 표현되는 경우일 때이다.</p> <p>주 \( z=f(x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분가능하면, \( (a, b) \) 에 가까이 있는 점 \( (x, y) \) 에서의 함수값을 \( (7) \) 로 선형근사하면 꽤 좋은 근사값을 얻는다.</p> <p>실제로 이변수함수의 미분가능성을 정의를 통해 확인하는 것은 상당히 까다로운데, 다음의 정리를 이용하면 쉽게 해결된다.</p> <p>\( 4 \) 정리 \( z=f(x, y) \) 의 편도함수 \( f_ { x } , f_ { y } \) 가 \( (a, b) \) 에서 존재하고 연속이면, \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 미분가능하다.</p> <p>예제 \( 7 \) \( f(x, y)=x e ^ { x y } \) 의 편도함수들은 \[ f_ { x } (x, y)=e ^ { x y } + x y e ^ { x y } , f_ { y } (x, y)=x ^ { 2 } e ^ { x y } \] 이다. 점 \( (1,0) \) 에서 미분가능한지 알아보자. 먼저 \( f_ { x } (1,0)=1, f_ { y } (1,0)=1 \) 이므로 \( f_ { x } \) 와 \( f_ { y } \) 는 \( (1,0) \) 에서 존재하고 연속함수이므로 정리 \( 4 \) 로부터 \( f \) 는 \( (1,0) \) 에서 미분가능하다. 따라서 \( (1,0) \) 에서의 선형근사는 \[ \begin {aligned} L(x, y) &=f(1,0) + f_ { x } (1,0)(x-1) + f_ { y } (1,0)(y-0) \\ &=1 + 1(x-1) + 1 \cdot y=x + y \end {aligned} \] 이므로, \( x e ^ { x y } \approx x + y \) 로 근사된다. 예를 들면 \( f(1.1,-0.1) \approx 1.1-0.1=1 \) 인데, 실제값 \( f(1.1,-0.1)=1.1 e ^ { -0.11 } \approx 0.98542 \) 과 비교해보면 약 \( 0.01458 \) 정도의 오차가 발생한다.</p> <p>정의 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 기울기 벡터 \( \nabla f \) 는 다음과 같이 주어지는 벡터함수이다.<p>\( (5) \) \[ \nabla f(x, y)=<f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y)>= \frac {\partial f } {\partial x } \mathrm { i } + \frac {\partial f } {\partial y } \mathrm { j } \]</p></p> <p>예제 \( 2 \) \[ \begin {array} { l } f(x, y)= \sin x + e ^ { x y } \text { 에서 } \\ \nabla f(x, y)=<f_ { x } , f_ { y } >=< \cos x + y e ^ { x y } , x e ^ { x y } >\end {array} \] 이다. 예를 들면 \( \nabla f(0,1)=<2,0>\) 이다.</p> <p>방향도함수를 나타내는 식 \( (1) \) 은 기울기 벡터를 이용하면<p>\( (6) \) \[ D_ {\mathrm { u } } f(x, y)= \nabla f(x, y) \cdot \mathbf { u } \]</p>로 쓸 수 있다. 이것은 \( \mathbf { u } \) 위로의 기울기 벡터 \( \nabla f \) 의 스칼라 사영(scalar projection)이고 \( u \) 방향으로의 \( f \) 의 방향도함수를 나타낸다.</p> <p>예제 \( 3 \) 벡터 \( \mathrm { v } =2 \mathrm { i } + 5 \mathrm { j } \) 의 방향으로 점 \( (2,-1) \) 에서의 함수 \( f(x, y)= x ^ { 2 } y ^ { 3 } -4 y \) 의 방향미분계수를 구하여 보자. 먼저 점 \( (2,-1) \) 에서의 \( f \) 의 기울기 벡터를 구하면 \[ \nabla f(x, y)=2 x y ^ { 3 } \mathrm { i } + \left (3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 \right ) j \] 이므로, \( \nabla f(2,-1)=-4 \mathrm { i } + 8 \mathrm { j } \) 이다. 여기서 \( \mathrm { v } \) 는 단위벡터가 아니므로, 같은 방향으로의 단위벡터를 구해야 함에 유의하자. 실제로 \( \| \mathrm { v } \|= \sqrt { 29 } \) 이므로 \( \mathrm { v } \) 방향으로의 단위벡터는 \[ \mathrm { u } = \frac {\mathrm { v } } { \| \mathrm { v } \| } = \frac { 2 } {\sqrt { 29 } } \mathrm { i } + \frac { 5 } {\sqrt { 29 } } \mathrm { j } \] 가 된다. 따라서 \( (2,-1) \) 에서 \( f \) 의 \( u \) 방향으로의 방향미분계수는 다음과 같다.<p>\( \begin {aligned} D_ {\mathrm { u } } f(2,-1) &= \nabla f(2,-1) \cdot \mathbf { u } \\ &=(-4 \mathrm { i } + 8 \mathrm { j } ) \cdot \left ( \frac { 2 } {\sqrt { 29 } } \mathrm { i } + \frac { 5 } {\sqrt { 29 } } \mathrm { j } \right ) \\ &= \frac { -4 \cdot 2 + 8 \cdot 5 } {\sqrt { 29 } } = \frac { 32 } {\sqrt { 29 } } . \end {aligned} \)</p></p> <p>\( (2) \) \( \frac {\partial z } {\partial s } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } \)<p>\( \frac {\partial z } {\partial t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } \)</p></p> <p>예제 \( 2 \) \( x=s t ^ { 2 } , y=s ^ { 2 } t \) 이고 \( z=e ^ { x } \sin y \) 라 하면, \( z=e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) \) 이 된다. 이 함수로부터 \( \partial z / \partial s \) 의 \( \partial z / \partial t \) 를 직접 구해도 되지만, 연쇄법칙 Ⅱ를 적용하면 다음과 같이 쉽게 구해진다. \[ \begin {aligned} \frac {\partial z } {\partial s } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial s } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial s } = \left (e ^ { z } \sin y \right ) \left (t ^ { 2 } \right ) + \left (e ^ { x } \cos y \right )(2 s t) \\ &=t ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + 2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \\ \frac {\partial z } {\partial t } &= \frac {\partial f } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial t } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial t } = \left (e ^ { x } \sin y \right )(2 s t) + \left (e ^ { x } \cos y \right ) \left (s ^ { 2 } \right ) \\ &=2 s t e ^ { s t ^ { 2 } } \sin \left (s ^ { 2 } t \right ) + s ^ { 2 } e ^ { s t ^ { 2 } } \cos \left (s ^ { 2 } t \right ) \end {aligned} \]</p> <p>예제 \( 2 \) 함수 \( f(x, y)=4-x ^ { 2 } -2 y ^ { 2 } \) 의 그래프는 포물면 \( z=4-x ^ { 2 } -2 y ^ { 2 } \) 이다. 편도함수를 구하면 \[ f_ { x } (x, y)=-2 x, \quad f_ { y } (x, y)=-4 y \] 이므로 \( f_ { x } (1,1)=-2 \) 이고 \( f_ { y } (1,1)=-4 \) 가 된다. 이를 기하학적으로 해석하여 보자.<ol type=a start=1><li>\( f_ { x } (1,1)=-2 \) 를 기하학적으로 설명하려면 수직평면 \( y=1 \) 이 필요하다. 이 평면과 포물면이 만나는 곡선 \( C_ { 1 } \) 은 포물선 \( z=2-x ^ { 2 } \) 이므로, 점 \( (1,1,1) \) 에서의 \( C_ { 1 } \) 의 접선의 기울기는 \( -2 \) 이다. 이 기울기가 바로 편미분계수 \( f_ { x } (1,1)=-2 \) 임을 뜻한다(그림 \( 2 \) 참조).</li> <li>\( f_ { y } (1,1)=-4 \) 는 수직평면 \( x=1 \) 이 필요하다. 이 평면과 포물면이 만나는 곡선 \( C_ { 2 } \) 는 포물선 \( z=3-2 y ^ { 2 } \) 이므로, \( (1,1,1) \) 에서의 \( C_ { 2 } \) 의 접선의 기울기는 \( -4 \) 이다. 따라서 이 기을기가 편미분계수 \( f_ { y } (1,1)=-4 \) 임을 뜻한다(그림 \( 3 \) 참조).</li></ol></p> <p>연쇄법칙이나 음함수미분을 이용하여 편미분을 할 수 있는데 이를 연습하여 보자.</p> <p>예제 \( 3 \) \( f(x, y)= \sin \left ( \frac { x } { 1 + y } \right ) \) 이라 하자. 일변수함수에 대한 연쇄법칙을 사용하면 편도함수는 다음과 같이 얻어진다.<p>\( \frac {\partial f } {\partial x } = \cos \left ( \frac { x } { 1 + y } \right ) \cdot \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac { x } { 1 + y } \right )= \cos \left ( \frac { x } { 1 + y } \right ) \cdot \frac { 1 } { 1 + y } \)</p> <p>예제 \( 1 \) \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -2 x-6 y + 14 \) 의 편도함수는 \( f_ { x } (x, y)=2 x-2 \), \( f_ { y } (x, y)=2 y-6 \) 이다. 이들은 \( x=1, y=3 \) 에서 \( 0 \) 이므로, 함수의 임계점은 \( (1,3) \) 으로 유일하다. 실제로 \( f \) 를 완전제곱식으로 표현하면 \[ f(x, y)=4 + (x-1) ^ { 2 } + (y-3) ^ { 2 } \] 이므로, 모든 실수 \( x, y \) 에 대하여 \( f(x, y) \geq 4 \) 를 얻는다. 그런데, \( f(1,3)=4 \) 이므로 \( f \) 는 임계점 \( (1,3) \) 에서 극소를 가짐을 알 수 있다. 이 함수의 경우는 \( 4 \) 가 \( f \) 의 최소값인데 그림 \( 2 \) 에서처럼 \( f \) 의 그래프가 \( (1,3,4) \) 를 꼭지점으로 하는 타원 포물면이라는 사실로 확인된다.</p> <p>예제 \( 2 \) 이변수함수 \( f(x, y)=y ^ { 2 } -x ^ { 2 } \) 의 편도함수는 \( f_ { x } (x, y)=-2 x \), \( f_ { y } (x, y)=2 y \) 이므로 \( (0,0) \) 이 유일한 임계점이 된다. 그런데, 원점을 제외한 \( x \) 축의 점 \( (x, y) \) 에서는 \( y=0 \) 이므로 \( f(x, 0)=-x ^ { 2 }<0 \) 인 반면, \( y \) 축의 점 \( (x, y) \) 에서는 \( x=0 \) 이므로 \( f(0, y)=y ^ { 2 } >0 \) 이 된다. 이것은 원점 \( (0,0) \) 근방에 \( f \) 의 값이 양수가 되는 점도 있고 음수가 되는 점도 존재한다는 것을 의미하므로, \( f(0,0)=0 \) 는 \( f \) 의 극값이 될 수가 없다. 따라서 \( f \) 는 극값을 하나도 갖지 않는다.</p> <p>예제 \( 2 \) 는 함수가 임계점에서 반드시 극값을 가질 필요는 없다는 것을 보여주고 있다. 예제 \( 2 \) 의 함수 \( f \) 의 그래프는 쌍곡 포물면인데, 그림 \( 3 \) 에서 보듯이 말안장 모양을 하고 있다. 이 함수가 가지는 특이한 사실은 원점에서 수평인 접평면 \( z=0 \) 을 가지기는 하지만, \( f(0,0)=0 \) 은 \( x \) 축 방향에서 보면 극대값이고 \( y \) 축 방향에서 보면 극소값이 된다는 사실이다. 이와 같은 점 \( (0,0) \) 을 \( f \) 의 말안장점(saddle point)이라고 한다.</p> <p>예제 \( 5 \) 함수 \( f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 에서 분모를 \( 0 \) 으로 하는 경우는 \( x=y=0 \) 일 때이므로, 함수 \( f \) 는 원점 \( (0,0) \) 에서 정의되지 않는다. 따라서 이 점에서 불연속이 되어 유리함수 \( f \) 는 정의역 \( D= \{ (x, y) \mid(x, y) \neq(0,0) \} \) 에서 연속이다.</p><p>한편 \( f \) 로부터 새로운 함수 \( g \) 를 다음과 같이 \[ g(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \] 로 정의하자. 이제 \( g \) 는 \( (0,0) \) 에서 정의되었지만 예제 \( 1 \) 에서 보듯이 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } g(x, y) \) 은 존재하지 않으므로 여전히 \( (0,0) \) 에서 불연속이다.</p><p>예제 \( 6 \) 유리함수 \( f(x, y)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end {array} \right . \) 는 \( (x, y) \neq(0,0) \) 일 때 분모는 결코 \( 0 \) 이 아니므로 연속이다. 또한 \( (0,0) \) 에서의 함수의 극한이 예제 \( 3 \) 에서 보인 바와 같이 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)= \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0=f(0,0) \] 으로 함수값 \( f(0,0) \) 과 같으므로 \( f \) 는 \( (0,0) \) 에서 연속이다. 따라서 함수 \( f \) 는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서 연속이다. 그림 \( 3 \) 의 곡면에서 이를 확인하여 보아라.</p><p>일변수함수의 경우처럼 이변수함수의 합성도 정의된다. 사실, 이변수함수 \( f \) 가 정의역 \( D \) 에서 연속이고 \( g \) 가 \( f \) 의 치역에서 정의된 일변수 연속함수이면 \( h(x, y)=g(f(x, y)) \) 로 정의되는 합성함수 \( h=g \circ f \) 도 \( D \) 에서 연속이다.</p> <p>\( 29 \). \( f(x, y)=x \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { -3 / 2 } e ^ {\text { sin } \left (x ^ { 2 } y \right ) } \) 일 때 \( f_ { x } (1,0) \) 을 구하여라.</p> <p>\( 30 \). \( f(x, y)= \sqrt[3] { x ^ { 3 } + y ^ { 3 } } \) 일 때 \( f_ { x } (0,0) \) 을 구하여라.</p> <p>\( (31-34) \) 주어진 점에서 곡면에 대한 접평면의 식을 구하여라.</p> <p>\( 31 \). \( z=4 x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + 2 y, \quad(-1,2,4) \)</p> <p>\( 32 \). \( z= \sqrt { 4-x ^ { 2 } -2 y ^ { 2 } } \), \( (1,-1,1) \)</p> <p>\( 33 \). \( z=y \ln x \), \( (1,40) \)</p> <p>\( 34 \). \( z=e ^ { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \), \( (1,-1,1) \)</p> <h1>12.4 이변수함수의 여러 가지 미분법</h1> <h2>이변수함수의 연쇄법칙</h2> <p>일변수함수에서 합성함수를 미분할 때 연쇄법칙이 요구된다. 다시 말해서 함수 \( y=f(x) \) 와 \( x=g(t) \) 가 미분가능하면, \( t \) 에 관한 합성함수 \( y=f(g(t)) \) 는 미분 가능하고 \[ \frac { d y } { d t } = \frac { d y } { d x } \frac { d x } { d t } \] 이 성립한다.</p> <p>이변수함수들의 합성함수를 미분하는 데 필요한 연쇄법칙은 여러 가지 유형이 있다. 첫 번째 유형은 \( z=f(x, y) \) 에서 \( x \) 와 \( y \) 가 변수 \( t \) 의 함수인 경우로, \( z=f(x(t), y(t)) \) 가 변수 \( t \) 의 함수가 됨을 의미한다. 따라서 \( z \) 는 \( t \) 에 관한 함수로 일종의 합성함수가 되고, \( z \) 를 \( t \) 에 관하여 미분하는데 연쇄법칙이 필요하다. 이 경우 이변수함수 \( f \) 가 미분 가능하다고 가정하는데, 이는 편도함수 \( f_ { x } , f_ { y } \) 가 연속임을 의미한다.</p> <p>예제 \( 3 \) 함수 \( h(x, y)= \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 에서 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } h(x, y) \) 을 계산하는 데 일반적인 경로를 택해 접근해서는 결론을 내릴 수가 없다. 그러나 \( x ^ { 2 } \leq x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 에서 \( \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq 1 \) 을 얻으므로, \[ 0 \leq \frac { 3 x ^ { 2 } \|y\| } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \leq 3\|y\| \] 인 관계를 얻는다. 이제 \( g(x, y)=0, f(x, y)=3\|y\| \) 라 두면 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } g(x, y)=0, \quad \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y)= \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } 3\|y\|=0 \] 이므로 압축정리에 의해 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } h(x, y)= \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { 3 x ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =0 \) 이 된다.</p> <p>이변수함수의 극한은 일변수함수의 극한과는 상황이 완전히 다른데도 불구하고, 함수의 극한이 존재하기만 하면 일변수함수들이 만족했던 극한의 모든 성질들이 그대로 성립된다. 다시 말해서 극한의 합, 차, 곱, 몫의 법칙, 압축정리 등이 그대로 성립한다.</p> <h2>이변수함수의 연속성</h2> <p>한 점에서의 일변수함수의 극한값이 함수값으로 쉽게 얻어지는 경우가 있는데, 이러한 성질은 그 점에서의 연속성으로 구별하였다. 이변수함수가 한 점에서 연속이라는 성질도 이러한 특징으로 정의한다.</p> <p>정의 \( (a, b) \) 에서 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=f(a, b) \] 을 만족하면 \( f \) 는 점 \( (a, b) \) 에서 연속이라 하고, 영역 \( D \) 의 모든 점 \( (a, b) \) 에서 연속이면 \( f \) 는 영역 \( D \) 에서 연속이라고 한다.</p> <h1>12.5 방향도함수와 기울기 벡터</h1> <p>이 절에서는 이변수함수의 변화율에 대하여 알아볼 것인데, 평면 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서 점 \( (a, b) \)에 접근하는데 여러 경로가 있다는 데 근거를 둔다. 예를 들어 산의 최정상에 오르는 경우, 어떤 방향으로 산을 오르느냐에 따라 경사가 가파를 수도 완만할 수도 있다. 이는 선택한 경로에 따라 높이의 변화율이 서로 다르다는 것을 의미하는데, 이는 수학적으로 설명하면 접선의 기울기로 구별이 가능하다. 한 점에서의 접선의 기울기는 어느 방향으로의 접선이냐에 따라 다를 것인데, 이들 방향에 따른 접선의 기울기를 방향미분계수(directional derivative)라 부른다.</p> <h2>방향도함수</h2> <p>이변수함수 \( z=f(x, y) \)의 곡면에 있는 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ) \)에서의 접선이 \( x \)축과 평행인 방향이면 기울기는 편미분계수 \( f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), y \)축과 평행인 방향이면 기울기는 편미분계수 \( f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 즉, \[ \begin {array} { l } f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h, y_ { 0 } \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \\ f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } + h \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \end {array} \] 이다. 여기서 \( x \)축과 평행인 방향은 단위벡터 \( \mathrm { i } \) 방향, \( y \)축과 평행인 방향은 단위벡터 \(\mathrm{j}\) 방향이므로, \( f_ { x } \)는 \( \mathrm { i } \) 방향으로의 \( z \)의 변화율, \( f_ { y } \)는 \( \mathrm { j } \) 방향으로의 \( z \)의 변화율임을 알 수 있다.</p> <p>예제 \( 4 \) 점 \( (1,0,-2) \) 에서 평면 \( x + 2 y + z=4 \) 까지 최단거리를 구하여 보자. 실제로, 임의의 점 \( (x, y, z) \) 에서 점 \( (1,0,-2) \) 까지의 거리는 \( d= \sqrt { (x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + (z + 2) ^ { 2 } } \) 이다. 특히 평면 위의 점 \( (x, y, z) \) 는 \( x + 2 y + \) \( z=4 \) 를 만족하므로, \( z=4-x-2 y \) 로부터 \[ d= \sqrt { (x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + (6-x-2 y) ^ { 2 } } \] 를 얻는다. 여기서 \( d \) 를 최소화하기 전에 이 식의 양변을 제곱한 식 \[ f(x, y)=d ^ { 2 } =(x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + (6-x-2 y) ^ { 2 } \] 을 최소화하기로 한다. 실제로 \( f \) 의 편도함수가 \( 0 \) 이 되는 점은 \[ \begin {array} { l } f_ { x } (x, y)=2(x-1)-2(6-x-2 y)=4 x + 4 y-14=0 \\ f_ { y } (x, y)=2 y-4(6-x-2 y)=4 x + 10 y-24=0 \end {array} \] 인데, 이를 풀면 유일한 임계점 \( (11 / 6,5 / 3) \) 을 얻을 수 있다. 그리고 \( f_ { x x } =4, f_ { x y } =4, f_ { y y } =10 \) 이므로 \( D(x, y)=f_ { x x } f_ { y y } - \left (f_ { x y } \right ) ^ { 2 } =24>0 \) 이 되고, 특히 \( f_ { x x } >0 \) 이다. 따라서 이계도함수 판정법 \( 10 \) \( (a) \) 로부터 \( f \) 는 \( (11 / 6,5 / 3) \) 에서 극소값을 가진다. 그런데 이 극소값은 실제로 \( f \) 의 최소값이 되므로, 실제로 \( (1,0,-2) \) 로부터 가장 가까운 거리에 있는 평면의 점은 \( x=11 / 6, y=5 / 3 \) 이고, 그 결과 \[ d= \sqrt { (x-1) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + (z + 2) ^ { 2 } } = \frac { 5 \sqrt { 6 } } { 6 } \] 을 얻는다. 따라서 점 \( (1,0,-2) \) 에서 평면 \( x + 2 y + z=4 \) 까지의 최단거리는 \( \frac { 5 \sqrt { 6 } } { 6 } \) 이다.</p> <p>이변수함수의 최대, 최소를 가지는 점은 닫힌집합 \( D \) 에서 극값을 가지는 임계점이거나 또는 집합 \( D \) 의 경계점이다. 극값정리를 바탕으로 이변수함수의 최대값, 최소값의 존재를 파악하고 이들을 어떻게 구하는지 조사해보기로 하자.</p> <p>\( 12 \) 유계인 닫힌집합 \( D \in \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서 정의된 연속함수 \( f \) 의 최대값과 최소값 구하는 단계<ol type=1 start=1><li>\( D \) 에 있는 \( f \) 의 모든 임계점에서 \( f \) 의 함수값 구하기.</li> <li>\( D \) 의 경계에서 \( f \) 의 극값들을 구하기.</li> <li>\( 1 \) 과 \( 2 \) 로부터 얻은 값들 중에서 가장 큰 값이 최대값이고 가장 작은 값이 최소값이다.</li></ol></p> <p>예제 \( 6 \) 직사각형 영역의 집합 \( D= \{ (x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2 \} \) 에서 이변수함수 \[ f(x, y)=x ^ { 2 } -2 x y + 2 y \] 를 생각하자. \( f \) 는 이변수 다항함수이므로 유계인 닫힌집합 \( D \) 에서 연속이다. 따라서 극값정리로부터 \( f \) 는 \( D \) 에서 최대값과 최소값을 가진다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \) 의 임계점들을 찾아보자. 모든 임계점들은 \( f_ { x } =2 x-2 y=0, f_ { y } =-2 x + \) \( 2=0 \) 을 만족하므로 유일한 임계점은 \( (1,1) \) 이고 따라서 함수값은 \( f(1,1)=1 \) 이다.</li> <li>네 개의 선분 \( L_ { 1 } , L_ { 2 } , L_ { 3 } , L_ { 4 } \) 로 구성되는 \( D \) 의 경계 위에서의 \( f \) 의 함수값들을 살펴보자(그림 \( 7 \) 참조). 먼저 \( L_ { 1 } \) 에서는 \( y=0 \) 이므로, \( 0 \leq x \leq 3 \) 에 대하여 \( f(x, 0)=x ^ { 2 } \) 이다. 이것은 \( x \) 에 대한 증가함수이므로 \( f(0,0)=0 \) 이 최소값이고 \( f(3,0)=9 \) 이 최대값이 된다. 마찬가지로 \( L_ { 2 } \) 에서는 \( x=3 \) 이므로, \( 0 \leq y \leq 2 \) 에 대하여 \( f(3, y)=9-4 y \) 가 된다. 이것은 \( y \) 에 대한 감소함수이므로 최대값은 \( f(3,0)=9 \) 이고 최소값은 \( f(3,2)=1 \) 이 된다. 또한 \( L_ { 3 } \) 에서는 \( y=2 \) 이므로 \( 0 \leq x \leq 3 \) 에 대하여 \( f(x, 2)=x ^ { 2 } -4 x + 4 \) \( =(x-2) ^ { 2 } \) 이다. 따라서 \( f(2,2)=0 \) 이 최소값이고 \( f(0,2)=4 \) 이 최대값이 됨을 알 수 있다. 마지막으로 \( L_ { 4 } \) 에서는 \( x=0 \) 이므로 \( 0 \leq y \leq 2 \) 에서 \( f(0, y)=2 y \) 이다. 따라서 최대값은 \( f(0,2)=4 \) 이고 최소값은 \( f(0,0)=0 \) 이다. 이상의 네 가지 경우로부터 \( D \) 의 경계 위에서의 \( f \) 의 최대값은 \( 9 \) 이고 최소값은 \( 0 \) 이 됨을 알 수 있다.</li> <li>경계 위에서의 함수값들과 임계점에서의 함수값 \( f(1,1)=1 \) 을 비교하면, \( f \) 의 최대값은 \( f(3,0)=9 \) 이고 최소값은 \( f(0,0)=f(2,2)=0 \) 이 된다. 그림 \( 8 \) 에서 주어진 \( f \) 의 그래프를 통해 이를 확인하여라.</li></ol> <p>이를 일반화하여 보자. 식 \( (6) \) 으로부터 점 \( (a, b, f(a, b)) \) 에서 이변수함수 \( f \) 의 그래프에 대한 접평면의 식은 \[ z=f(a, b) + f_ { x } (a, b)(x-a) + f_ { y } (a, b)(y-b) \] 이므로, \( (a, b) \) 에서의 \( f \) 의 선형근사는<p>\( (7) \) \( \quad f(x, y) \approx L(x, y)=f(a, b) + f_ { x } (a, b)(x-a) + f_ { y } (a, b)(y-b) \)</p>이 된다.</p> <p>이변수함수의 편미분계수를 통해 함수값을 항상 추정할 수 있을까? 다음의 경우에서 이를 확인해 보자. \( 12.2 \) 절 예제 \( 2 \) 의 함수 \( f \) 를 다음과 같이 확장하면 \[ g(x, y)= \left \{\begin {aligned} \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , &(x, y) \neq(0,0) \\ 0, &(x, y)=(0,0) \end {aligned} \right . \] \( (0,0) \) 에서의 편미분계수는 모두 \( g_ { x } (0,0)=g_ { y } (0,0)=0 \) 이므로 \( (0,0) \) 에서의 선형근사는 \( g(x, y) \approx 0 \) 이지만, \( y=x \) 에서의 모든 점에서 \( g(x, y)= \frac { 1 } { 2 } \) 이다. 이 현상은 근사식 \( (7) \) 을 무턱대고 적용해서는 안된다는 것을 암시해준다. 실제로 함수 \( g \) 의 곡면은 그림 \( 5 \) 에서와 같이 \( y=x \) 를 따라 뾰족한 산등성이를 가지므로, 일변수함수의 그래프가 꺽어지는 점에서 미분불가능이라는 점과 유사한 성격을 지닌다. 이러한 현상은 편도함수 \( g_ { x } \) 와 \( g_ { y } \) 가 연속이 아니기 때문에 일어난다. 이러한 상황을 피하기 위해 이변수함수의 미분가능성에 대하여 알아보기로 하자.</p> <h2>이변수함수의 미분가능성</h2> <p>이변수함수의 미분가능성은 접평면을 통해 접근이 가능하다. 일변수함수 \( y=f(x) \) 가 점 \( a \) 에서 미분가능하고 \( \Delta x=(a + \Delta x)-a \) 일 때 \[ \Delta y=f(a + \Delta x)-f(a) \] 라 하면, \( f ^ {\prime } (a)= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac {\Delta y } {\Delta x } \) 이 된다. 이제 \( f ^ {\prime } (a) \approx \frac {\Delta y } {\Delta x } \) 로 근사하고 발생하는 오차를 \( \varepsilon>0 \) 이라 두면, \( \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \varepsilon=0 \) 이 되고 나아가<p>\( (8) \) \[ \Delta y=f ^ {\prime } (a) \Delta x + \varepsilon \Delta x \]</p>로 표현이 가능하다. 마찬가지로 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 에서 변수 \( x \) 가 \( a \) 에서 \( a + \Delta x \) 까지 변하고 \( y \) 가 \( b \) 에서 \( b + \Delta y \) 까지 변한다고 가정하자. 그러면 \( (a, b) \) 에서 \( (a + \Delta x, b + \Delta y) \) 로 변할 때 나타나는 \( z \) 의 변화량 \( \Delta z \) 는 함수값 \( f \) 의 변화량 \[ \Delta z=f(a + \Delta x, b + \Delta y)-f(a, b) \] 로 정의한다. 이변수함수의 미분가능성은 \( (8) \) 과 같은 개념으로 접근하여 다음과 같이 정의된다.</p> <p>이제 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 임의의 단위벡터 \( \mathrm { u } = \langle a, b \rangle \) 방향으로의 \( z \) 의 변화율을 구해보자. 그림 1에서와 같이 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 곡면을 \( S \) 라 하고 \( z_ { 0 } =f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 라 하자. 또 \( S \) 위에 있는 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 를 지나고 \( x y \) 평면에 수직이면서 \( u \) 방향인 평면이 \( S \) 와 만나는 곡선을 \( C \) 라 하자. 그러면 \( \mathrm { P } \) 에서의 곡선 \( C \) 의 접선 \( T \) 의 기울기는 \( u \) 방향으로의 \( z \) 의 변화율이다. 이를 구하기 위해 \( C \) 에 있는 다른 점 \( Q(x, y, z) \) 를 잡고, \( P, Q \) 를 \( x y \) 평면에 사영하면 두 점 \( P ^ {\prime } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , 0 \right ) \) 와 \( Q ^ {\prime } (x, y, 0) \) 이 된다. 그러면 벡터 \( \overrightarrow { P ^ {\prime } Q ^ {\prime } } \) 는 \( u \) 와 평행이므로, 스칼라 \( h \) 에 대하여 \[ \overrightarrow { P ^ {\prime } Q ^ {\prime } } =h u= \langle h a, h b \rangle \] 로 쓸 수 있다. 따라서 \( x-x_ { 0 } =h a, y-y_ { 0 } =h b \) 을 얻어 \[ \frac {\Delta z } { h } = \frac { z-z_ { 0 } } { h } = \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \] 이 된다. 이제 \( h \rightarrow 0 \) 으로 두고 극한을 취하면 \( u \) 방향으로의 \( z \) 의 변화율이 나온다. 이것을 \( u \) 방향으로의 \( f \) 의 방향미분계수(directional derivative) 라고 부른다.</p> <p>\( 13 \). \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + x ^ { 2 } y + 4 \), \( D= \{ (x, y)\|\| x\| \leq 1, \| y \mid \leq 1 \} \)</p> <p>\( 14 \). \( f(x, y)=3 + x y-x-2 y, D \) 는 꼭지점이 \( (1,0) \), \( (5,0),(1,4) \) 인 닫힌삼각형이다.</p> <p>\( 15 \). \( f(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + z ^ { 2 } -4 x-2 y-2 z + 4=0 \) \( D= \left \{ (x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 3 \right \} \)</p> <p>\( 16 \). \( (2,1,-1) \) 에서 평면 \( x + y-z=1 \) 까지의 최단거리를 구하여라.</p> <p>\( 17 \). 원점과 최단거리에 있는 곡면 \( z ^ { 2 } =x y + 1 \) 위의 점을 찾아라.</p> <p>\( 18 \). \( x + y + z=100 \) 일 때 \( x ^ { a } y ^ { b } z ^ { c } \) 이 최대가 되는 세 양수 \( x, y, z \) 를 구하여라.</p> <p>\( 19 \). 합이 100 인 세 양수들의 곱이 최대가 되도록 세 양수를 구하여라</p> <p>\( 20 \). 각 변이 축들과 평행인 정육면체가 최대의 부피를 가지면, 포물면 \( 9 x ^ { 2 } + 36 y ^ { 2 } + 4 z ^ { 2 } =36 \) 안에 내접함을 보여라.</p> <p>\( 21 \). 상자의 겉넓이가 \( 64 \mathrm { ~cm } ^ { 2 } \) 인 직육면체가 최대 부피를 가지려면 가로, 세로, 높이를 어떻게 만들어야 할까?</p> <p>\( 22 \). 최소의 종이를 가지고 뚜껑 없는 상자를 부피가 \( 32,000 \) \( \mathrm { cm } ^ { 3 } \) 이 되도록 만들려면 어떻게 하면 되는가?</p> <p>\( (23-25) \) 연속인 이계 도함수를 가지는 함수 \( g \) 가 \( (0,2) \) 에서 임계점을 가진다. 다음 경우에 무엇을 말할 수 있는가?</p> <p>\( 23 \). \( g_ { x x } (0,2)=-1, g_ { x y } (0,2)=6, g_ { y y } (0,2)=1 \)</p> <p>\( 24 \). \( g_ { x x } (0,2)=-1, g_ { x y } (0,2)=2, g_ { y y } (0,2)=8 \)</p> <p>\( 25 \). \( g_ { x x } (0,2)=4, g_ { x y } (0,2)=6, g_ { y y } (0,2)=9 \)</p> <p>\( 9 \) 정리 함수 \( f(x, y) \) 가 점 \( (a, b) \) 에서 극대 또는 극소를 가지고 그 점에서 일계편도함수들이 존재하면 \( f_ { x } (a, b)=0 \) 이고 \( f_ { y } (a, b)=0 \) 이다.</p> <p>증명 만약 \( f \) 가 \( (a, b) \) 에서 극대를 가지면, 고정된 값 \( b \) 에 대하여 함수 \( g(x)=f(x, b) \) 는 \( x=a \) 에서 극대를 가진다. 일변수 함수의 극값정리에 의하면, \( g ^ {\prime } (a)=0 \) 이 된다. 그런데 \( g ^ {\prime } (x)=f_ { x } (a, b) \) 이므로, \( f_ { x } (a, b)=0 \) 이 된다. 이제 고정된 값 \( a \) 에 대하여 함수 \( h(x)=f(a, y) \) 도 \( y=b \) 에서 극대를 가지므로 앞에서와 마찬가지 이유로 \( f_ { y } (a, b)=0 \) 를 얻는다. \( f \) 가 \( (a, b) \) 에서 극소를 가지는 경우도 같은 결과를 얻게 되므로 증명이 끝난다.</p> <p>점 \( (a, b, f(a, b)) \) 에서 함수 \( f \) 가 가지는 접평면의 방정식은 \( 12.3 \) 절의 식 \( (6) \) 에 의해 \[ z-f(a, b)=f_ { x } (a, b)(x-a) + f_ { y } (a, b)(y-b) \] 이다. 만약 정리 \( 9 \) 에서와 같이 \( f_ { x } (a, b)=0, f_ { y } (a, b)=0 \) 이면, 접평면은 \( z=f(a, b) \) 로 \( x y \) 평면과 평행이 된다. 결론적으로 \( f \) 의 그래프에서 극대 또는 극소를 가지는 점에서 접평면이 존재한다면 이것은 반드시 수평평면이라는 것을 알 수 있다.</p> <p>편미분계수가 \( f_ { x } (a, b)=0, f_ { y } (a, b)=0 \) 이거나 편미분계수 중 하나라도 존재하지 않는 점 \( (a, b) \) 를 \( f \) 의 임계점(critical point)이라고 한다. 정리 \( 9 \) 에 의하면, \( f \) 가 \( (a, b) \) 에서 극대 또는 극소를 가지면 이 점은 \( f \) 의 임계점이 된다. 그러나 일변수함수에서와 마찬가지로 이변수함수 \( f \) 가 임계점에서 반드시 극값을 갖는 것은 아닌데, 다음 예제에서 이를 조사해 보기로 한다.</p> <p>이변수함수 \( f \) 가 한 점에서 모든 방향으로 얻어지는 방향미분계수를 생각해보자. 이것은 가능한 모든 방향으로의 \( f \) 의 변화율을 나타내므로, 어떤 방향에서 \( f \) 가 가장 빠르게 변하고 또 최대변화율은 어디에서 가지는지 조사할 필요가 있는데, 다음의 정리로 해결이 가능하다.</p> <p>\( 8 \) 정리 이변수함수 \( f \) 가 미분가능하다고 하자. 그러면 방향도함수 \( D_ {\mathrm { u } } f \) 의 최대값은 \( \| \nabla f\| \) 이고, 이것은 \( \mathrm { u } \) 의 방향이 기울기 벡터 \( \nabla f \) 의 방향과 일치할 때 일어난다.</p> <p>증명 \( \nabla f \) 와 단위벡터 \( u \) 사이의 각을 \( \theta \) 라 하면 식 \( (6) \) 은 벡터의 스칼라곱 계산 법칙에 의해 \[ D_ {\mathrm { u } } f= \nabla f \cdot \mathrm { u } =\| \nabla f\|\| \mathrm { u } \| \cos \theta=\| \nabla f\| \cos \theta \leq\| \nabla f\| \] 이 된다. 여기서 \( \cos \theta \) 의 최대값은 \( 1 \) 이고 \( \theta=0 \) 일 때 나타나므로, \( u \) 와 \( \nabla f \) 의 방향이 일치할 때 \( D_ {\mathrm { u } } f \) 가 최대값을 가지고 그 최대값은 \( \| \nabla f\| \) 이 된다.</p> <p>예제 \( 4 \) 이변수함수 \( f(x, y)=x e ^ { y } \) 에 대하여<ol type=a start=1><li>\( P(2,0) \) 에서 점 \( Q(1 / 2,2) \) 방향으로의 방향미분계수를 구해보자. 기울기 벡터는 \[ \nabla f(x, y)=<f_ { x } , f_ { y } >=<e ^ { x } , x e ^ { y } >\] 이므로 \( \nabla f(2,0)=<1,2>\) 이다. 그런데 \( \overrightarrow { P Q } =<-3 / 2,2>\) 방향에서의 단위벡터는 \( u=<-3 / 5,4 / 5>\) 이므로 \( P \) 로부터 \( Q \) 방향으로의 \( f \) 의 변화율은 \[ \begin {array} { c } D_ {\mathrm { u } } f(2,0)= \nabla f(2,0) \cdot u=<1,2>\cdot<-3 / 5,4 / 5>\\ =1(-3 / 5) + 2(4 / 5)=1 \end {array} \] 이다.</li> <li>방향미분계수는 기울기 벡터 \( \nabla f(2,0)=<1,2>\) 와 같은 방향일 때 최대이고, 이 때 가지는 최대변화율은 \( \| \nabla f(2,0)\|=\|<1,2>\|= \sqrt { 5 } \) 이 된다.</li></ol></p> <p>이제 함수를 \( z= \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \) 라 두고, 양변을 제곱하면 \( z ^ { 2 } =9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \) 또는 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =3 ^ { 2 } \) 이 된다. 이는 원점 \( (0,0,0) \) 이 중심이고 반지름이 3 인 구면을 나타내는데, \( z \geq 0 \) 라는 조건으로부터 \( g \) 의 그래프는 상반구가 됨을 알 수 있다(그림 7 참조). 실제로 \( g \) 의 치역은 \[ \left \{ z= \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \mid(x, y) \in D \right \} \] 인데, 양의 제곱근에서 \( z \geq 0 \) 이 되고 모든 실수 \( x, y \) 에 대하여 \( 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \leq 9 \) 이므로 \( \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \leq 3 \) 이 되어 치역은 \( \{ z \mid 0 \leq z \leq 3 \} =[0,3] \) 이다.</p> <h1>예제 4</h1> <p>\( h(x, y)=4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 은 모든 실수 \( x, y \) 에 대하여 정의되므로 정의역은 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \), 즉 \( x y \) 평면 전체가 된다. 그리고 모든 \( x, y \) 에 대하여 \( 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \geq 0 \) 이므로 \( h \) 의 치역은 음이 아닌 모든 실수의 집합 \( [0, \infty) \) 이다. 실제로 \( h \) 의 그래프는 \( z=4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 으로서 타원포물면이다(11. 6 절 참조). \( z=a \) 에서의 수평자취는 \( 4 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =a \) 에서 \( x ^ { 2 } + \left ( \frac { y } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac {\sqrt { a } } { 2 } \right ) ^ { 2 } \) 을 얻어 타원을 이루고, \( x=b \) 에서 \( x \) 축과 평행한 수직자취는 \( 4 b ^ { 2 } + y ^ { 2 } =z \) 로부터 포물선, \( y \) 축과 평행인 수직자취도 포물선이 됨을 알 수 있다(그림 8 참조).</p> <p>편도함수를 기하학적으로 이해하기 위하여 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 나타내는 곡면을 \( S \) 라 하자. 만약 \( f(a, b)=c \) 이면 점 \( P(a, b, c) \) 는 곡면 \( S \) 위에 있다. 임의의 실수 \( b \) 에 대하여 \( x z \) 평면과 평행이고 \( x y \) 평면에 수직인 평면 \( y=b \) 와 \( S \) 가 만나는 곡선을 \( C_ { 1 } \) 이라 하고, \( y z \) 평면과 평행이고 \( x y \) 평면에 수직인 평면 \( x=a \) 와 \( S \) 가 만나는 곡선을 \( C_ { 2 } \) 라 하자. 그러면 두 곡선 \( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 2 } \) 는 점 \( P \) 에서 교차한다(그림 \( 1 \) 참조).</p> <p>그림 \( 1 \) 에서 보듯이 곡선 \( C_ { 1 } \) 은 일변수함수 \( g(x)=f(x, b) \) 의 그래프이므로, \( P \) 에서의 \( g \) 의 접선 \( T_ { 1 } \) 의 기울기는 \( g ^ {\prime } (a)=f_ { x } (a, b) \) 로 주어진다. 마찬가지로 곡선 \( C_ { 2 } \) 는 일변수함수 \( h(y)=f(a, y) \) 의 그래프이므로 \( P \) 에서의 \( h \) 의 접선 \( T_ { 2 } \) 의 기울기는 \( h ^ {\prime } (b)=f_ { y } (a, b) \) 이 된다. 따라서 편미분계수 \( f_ { x } (a, b) \) 와 \( f_ { y } (a, b) \) 는 기하학적으로 점 \( P(a, b, c) \) 에서의 곡선 \( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 2 } \) 의 접선의 기울기로 각각 해석할 수 있다.</p> <p>편도함수를 변화율로도 해석할 수 있는데 \( z=f(x, y) \) 에서 \( \partial z / \partial x \) 는 \( y \) 가 일정할 때 \( x \) 에 대한 \( z \) 의 변화율을 나타내고, \( \partial z / \partial y \) 는 \( x \) 가 일정할 때 \( y \) 에 대한 \( z \) 의 변화율을 나타낸다.</p> <p>이계도함수 판정법을 이용하면 \( V(x, y) \) 가 \( (2,2) \) 에서 극대값을 가지는 것을 보일 수 있는데, 물리적 성질에 의하면 부피의 최대값은 반드시 존재하고 이것은 임계점에서만 나타난다고 말할 수 있다. 따라서 \( x=2, y=2, z=1 \) 일 때 부피의 최대값은 \( V=2 \cdot 2 \cdot 1=4 \) 로, 상자의 최대 부피는 \( 4 \mathrm { ~m } ^ { 3 } \) 이라고 결론내릴 수 있다.</p> <h2>이변수함수의 극값정리</h2> <p>일변수함수에서의 극값정리는 닫힌구간 \( [a, b] \) 에서 연속인 함수는 반드시 최대와 최소를 가진다는 것이었다. 특히 최대, 최소값은 임계점에서의 함수값, 양끝점 \( a, b \) 에서의 함수값을 서로 비교함으로써 계산하였다. 이변수함수에서도 이와 비슷한 방법을 생각할 수 있다. \( \mathbb { R } \) 에서의 닫힌구간처럼 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서의 닫힌집합 (closed set)은 어떤 집합의 내부와 경계점들을 모두 포함한 집합을 말한다. 이 때 점 \( (a, b) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \) 가 집합 \( D \) 의 경계점이라는 것은 중심이 \( (a, b) \) 인 임의의 원판이 \( D \) 에 있는 점도 포함하고 \( D \) 에 속하지 않는 점도 포함하는 것을 의미한다. 예를 들어서 원판 \( D= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \right \} \) 는 원 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 위의 경계점과 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 내부의 점들을 모두 포함하는 닫힌집합이다(그림 \( 6 \) 참조).</p> <p>또한 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 의 부분집합이 유계집합(bounded set)이라는 것은 이 집합이 어떤 원판 안에 포함되는 집합을 말한다. 위에서 말한 닫힌집합과 유계집합을 사용하면, 다음과 같이 이변수함수의 극값정리를 형성할 수 있다.</p> <p>\( 11 \) 이변수함수의 극값정리 이변수함수 \( f \) 가 유계인 닫힌집합 \( D \subseteq \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서 연속이면 \( f \) 는 \( D \) 에 있는 어떤 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 과 \( \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \) 에서 최대값 \( f \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 과 최소값 \( f \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \) 를 갖는다.</p> <p>예제 \( 1 \) 이변수함수 \( f(x, y)= \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 에서 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 을 계산하여 보자. 먼저 \( (x, y) \) 가 \( x \) 축을 따라서 \( (0,0) \) 에 접근하면, 이 경로에 있는 모든 점들에서 \( y=0 \) 이므로 함수값들은 \( f(x, 0)= \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } =1 \) 이다. 따라서 \( x \) 축을 따라서 \( (x, y) \rightarrow(0,0) \) 일 때 \( f(x, y) \rightarrow 1 \) 이 된다. 다음으로 \( (x, y) \) 가 \( y \) 축을 따라서 \( (0,0) \) 에 접근하면, 이 경로에 있는 모든 점들에서 \( x=0 \) 이므로 함수값들은 \( f(0, y)= \frac { -y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } =-1 \) 이다. 이는 \( y \) 축을 따라서 \( (x, y) \rightarrow(0,0) \) 일 때 \( f(x, y) \rightarrow \) \( -1 \) 이 됨을 말한다. 다른 경로에 따라 서로 다른 극한이 얻어지므로, \( (0,0) \) 에서 함수의 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>예제 \( 2 \) \( f(x, y)= \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 일 때 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) \) 을 조사해 보자. \( y=0 \) 일 때 \( f(x, 0)=0 / x ^ { 2 } =0 \) 이고 \( x=0 \) 일 때 \( f(0, y)=0 \) 이다. 따라서 \( x \) 축 또는 \( y \) 축을 따른 경로에서 \( (x, y) \) 를 택하여 \( (0,0) \) 에 접근시키면, 모두 \( f(x, y) \rightarrow 0 \) 이 된다. 이처럼 서로 다른 두 경로에 따라 같은 극한값 0 을 얻었다고 해서 함수의 극한이 0 이라고 결론내리면 큰 잘못이다. 실제로 모든 경로에 따라 극한을 조사하는 것은 불가능하기 때문에, 이런 식으로 몇 가지 경로에 따른 결과를 바탕으로 극한이 존재한다고 결론내려서는 안된다는 사실에 유의하자. 실제로 이 경우는 직선 \( y=x \) 을 따라서 \( (0,0) \) 에 접근시켜보면 경로에 있는 점들에서 함수는 \( f(x, y)=x ^ { 2 } / \left (x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \right )=1 / 2 \) 이 되어 극한은 \( 1 / 2 \) 가 되므로, 극한 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } f(x, y) \) 은 존재하지 않는다. 그림 2 에서 주어진 곡면위의 점 \( (0,0) \) 에서 이 사실을 확인해 보아라.</p> <p>정의 함수 \( z=f(x, y) \) 에서 단위벡터 \( \mathbf { u } = \langle a, b \rangle \) 와 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에 대하여 \[ \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \] 의 극한이 존재할 때, 이를 단위벡터 \( \mathbf { u } = \langle a, b \rangle \) 방향으로 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서의 \( f \) 의 방향미분계수라 하고 \( D_ {\mathrm { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 로 표기한다. 다시 말하면 \[ D_ { u } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \] 이다.</p> <p>이로부터 \( x \) 와 \( y \) 에 관한 \( y \) 의 편도함수가 방향도함수의 특별한 경우임을 알 수 있는데, \( \mathbf { u } = \mathrm { i } = \langle 1,0 \rangle \) 이므로 \( D_ {\mathrm { i } } f=f_ { x } \) 이고 \( \mathbf { u } = \mathrm { j } = \langle 0,1 \rangle \) 이므로 \( D_ {\mathbf { j } } f=f_ { y } \) 이다. 실제로 방향도함수는 이들 편미분계수를 통해 다음과 같이 쉽게 구해진다.</p> <p>\( 7 \) 정리 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 미분가능하면 모든 단위벡터 \( \mathbf { u } = \langle a, b \rangle \) 방향으로의 방향도함수는<p>\( (1) \) \[ D_ {\mathrm { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \]</p>로 결정된다.</p> <p>일변수함수의 그래프와 마찬가지로 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 그래프는 \( (x, y) \in D \) 에 대응하는 점 \( z=f(x, y) \) 의 순서쌍으로 구성되는데, \( ((x, y), f(x, y))=(x, y, f(x, y)) \) 로 이해하면 그래프는 공간 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 의 부분집합 \( \{ (x, y, f(x, y)) \mid(x, y) \in D \} \) 이 된다. 일변수함수 \( y=f(x) \) 의 그래프가 평면 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서 곡선인 것처럼, 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 그래프는 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서의 곡면이 된다. 이런 곡면은 함수값에 따라 \( x y \) 평면에 놓여있는 정의역 \( D \) 의 바로 위쪽이나 또는 아래쪽에 놓이게 된다(그림 4 참조).</p> <h1>예제 2</h1> <p>함수 \( h(x, y)=6-3 x-2 y \) 의 그래프는 평면으로 나타난다. \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서 평면은 동일한 직선에 있지 않은 세 점으로 결정되는데, 이 경우는 \( x, y, z \) 축의 절편을 구하면 쉽게 그릴 수 있다. \( z=h(x, y) \) 라 두고 \( y=z=0 \) 을 대입하면 \( x \) 절편 \( (2,0,0), x=z=0 \) 을 대입하면 \( y \) 절편 \( (0,3,0), x=y=0 \) 을 대입하면 \( z \) 절편 \( (0,0,6) \) 을 얻으므로 구하는 평면은 그림 5 와 같다.</p> <p>예제 2 에서 보다시피 이변수 일차함수 \( f(x, y)=a x + b y + c \) 는 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \) 에서의 평면을 나타낸다.</p> <h1>예제 3</h1> <p>\( g(x, y)= \sqrt { 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \) 의 정의역은 제곱근호 안이 0 보다 크거나 같아야 하므로 \[ D= \left \{ (x, y) \mid 9-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \geq 0 \right \} = \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 9 \right \} \] 인데, 이는 중심이 \( (0,0) \) 이고 반지름이 3 인 원의 경계선과 내부에 해당된다(그림 6 참조).</p> <p>예제 \( 1 \) 에서의 도함수 \( \frac { d z } { d t } \) 는 점 \( (x, y) \) 가 매개변수방정식 \( x= \sin 2 t \), \( y= \cos t \) 인 곡선 \( C \) 를 따라서 움직일 때 \( t \) 에 관한 \( z \) 의 변화율로 해석할 수 있다 (그림 \( 1 \) 참조). 특히 \( t=0 \) 일 때 점 \( (x, y) \) 는 \( (0,1) \) 이므로, \( d z / d t=6 \) 은 곡선 \( C \) 를 따라 움직일 때 \( (0,1) \) 를 통과하는 시점에서의 증가율이 \( 6 \) 이라는 것을 뜻한다. 예를 들어서 \( z=T(x, y) \) 가 점 \( (x, y) \) 에서 온도를 나타내는 함수라하면, 합성함수 \( z=T( \sin 2 t, \cos t) \) 는 시간 \( t \) 에 따라 곡선 \( C \) 를 따라 움직이면서 정해지는 점 \( ( \sin 2 t, \cos t) \) 에서의 온도를 나타내고 도함수 \( d z / d t \) 는 시간에 따라 곡선 \( C \) 위에서 변하는 온도의 변화율을 나타낸다.</p> <p>이제 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 에서 \( x, y \) 가 변수 \( s \) 와 \( t \) 의 함수 \( x=g(s, t) \), \( y=h(s, t) \) 이면, 합성함수 \( z=f(g(s, t), h(s, t)) \) 는 \( s \) 와 \( t \) 의 이변수함수가 된다. 따라서 \( t \) 를 상수로 취급하고 \( s \) 에 대하여 미분하면 편도함수 \( \partial z / \partial s \) 이고, \( s \) 를 상수로 췩급하고 \( t \) 에 관해 미분하면 편도함수 \( \partial z / \partial t \) 이 된다. 그러면 연쇄법칙 Ⅰ로부터 다음을 얻을 수 있다.</p> <p>\( 6 \) 연쇄법칙 Ⅱ 이변수함수 \( z=f(x, y), x=g(s, t), y=h(s, t) \) 가 미분가능하면 합성함수 \( z=f(g(s, t), h(s, t)) \) 의 편도함수는 다음과 같이 구해진다.</p> <h1>12.1 이변수함수</h1> <p>일변수함수 \( y = f(x) \) 는 독립변수 \( x \) 하나에 종속변수 \( y \) 가 단 하나 대응하는 관계로 정의되었다. 이와는 달리 두 개 이상의 독립변수를 단 하나의 종속변수에 대응시키는 함수를 다변수 실함수(a real-valued function of several variables), 또는 간단히 다변수함수라 한다. 흔히 \( n \geq 2 \) 일 때의 종속변수 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \) 을 묶어 순서쌍 \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \) 하나로 취급하면 \( n \) 변수함수의 정의역은 \( n \) 차원의 공간 \( \mathbb { R } ^ { n } \) 에 속하는 점들의 집합이고, \( n \) 변수 함수는 정의역의 점 \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \) 에 실수 \( z=f \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \) 를 단 하나 대응시키게 된다. 예를 들면 이변수함수 \( f \) 는 정의역 \( D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \) 의 점 \( (x, y) \) 에 \( f(x, y) \) 로 표시되는 유일한 실수가 대응되고, 삼변수함수 \( f \) 는 정의역 \( D \subset \mathbb { R } ^ { 3 } \) 의 점 \( (x, y, z) \) 에 \( f(x, y, z) \) 로 표시되는 유일한 실수가 대응된다. 이변수함수는 점 \( (x, y) \) 에 대한 함수 \( f \) 의 함수값으로 독립변수 \( x, y \) 다음의 알파벳 \( z \) 를 사용하여 \( z=f(x, y) \) 로 표기하고, 삼변수함수는 점 \( (x, y, z) \) 에 대한 함수 \( f \) 의 함수값으로 독립변수 \( x, y, z \) 앞의 알파벳 \( w \) 를 사용하여 \( w=f(x, y, z) \) 로 표기한다.</p> <p>연속성의 직관적 의미는 \( (a, b) \) 근방에 있는 점들은 반드시 \( f(a, b) \) 근방의 점들로 대응한다는 것을 의미한다. 특히 평면에서 \( (a, b) \) 근방은 이를 증심으로 가까운 거리에 있는 모든 점들로 구성되는 영역이므로, \( f(a, b) \) 근방의 곡면은 어떠한 구멍이나 갈라진 틈도 없다는 것을 의미한다. 극한의 성질을 이용하면 연속함수의 합, 차, 곱, 몫도 적절한 정의역에서 연속함수임을 알 수 있다.</p> <p>연속인 이변수 함수의 간단한 예는 다항함수에서 찾을 수 있다. 두 개의 변수 \( x, y \) 로 표현되는 이변수 다항함수는 \( c x ^ { m } y ^ { n } \) ( \( c \) 는 상수이고 \( m \) 과 \( n \) 은 양의 정수이다) 형태의 항들의 합으로 표현된다. 그리고 이변수 다항함수들의 분수함수는 이변수 유리함수이다. 예를 들면 \[ f(x, y)=x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 6 x y ^ { 4 } -7 y + 6 \] 는 이변수 다항함수이고 \[ g(x, y)= \frac { 2 x y + 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \] 은 이변수 유리함수이다. 이변수함수 \( f(x, y)=x, g(x, y)=y, h(x, y)=c \) 들은 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에서 연속이다. 일변수함수에서와 마찬가지 이유로, 이변수 다항함수는 연속이고 모든 유리함수들은 분모를 0 으로 하지 않는 점 \( (x, y) \) 에서 연속이다.</p> <p>예제 \( 4 \) \( (a) \) 이변수 함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } -x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 3 x + 2 y \) 가 다항함수로 모든 점에서 연속이라는 사실로부터 다음의 극한은 직접대입을 통해 다음과 같이 쉽게 구해진다.<p>\( \begin {aligned} \lim _ { (x, y) \rightarrow(1,2) } \left (x ^ { 2 } y ^ { 3 } -x ^ { 3 } y ^ { 2 } + 3 x + 2 y \right ) \\ &=1 ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 3 } -1 ^ { 2 } \cdot 2 ^ { 2 } + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2=11 . \end {aligned} \)</p>\( (b) \) \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \frac { x ^ { 2 } y + 5 x y } { 2 x y ^ { 2 } + 3 y } \) 는 유리함수의 극한인데, 특히 분모의 극한은 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \left (2 x y ^ { 2 } + 3 y \right )=4 + 3=7 \neq 0 \] 이므로 직접대입을 통해 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(2,1) } \frac { x ^ { 2 } y + 5 x y } { 2 x y ^ { 2 } + 3 y } = \frac { 14 } { 7 } =2 \) 을 얻는다.</p> <p>예제 \( 7 \) 함수 \( f(x, y)= \frac { y } { x } \) 는 유리함수이므로 \( x=0 \) 을 제외한 점 \( (x, y) \) 에서 즉, 평면에서 \( y \) 축을 제외한 영역 \( R \) 에서 연속이다. 이제 함수 \( g(t)= \arctan t \) 는 모든 점 \( t \in \mathbb { R } \) 에서 연속인데, \( f \) 의 치역이 \( \mathbb { R } \) 이므로 합성 함수 \( h=g \circ f \) 가 \( \mathbb { R } \) 에서 \[ h(x, y)=g(f(x, y))= \arctan (y / x) \] 와 같이 정의되었으면, 위에서 언급한 사실에 의하면 \( R \) 에서 연속이다. 그림 \( 4 \) 는 \( h \) 가 나타내는 곡면인데, 곡면이 \( y \) 축 위쪽에서 갈라져 틈을 이루고 있음을 보여 주므로 \( y \) 축에 있는 점들에서 \( h \) 가 불연속임을 확인할 수 있다.</p> <h3>12.2 연습문제</h3> <p>\( 1 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(3,1) } f(x, y)=6 \) 일 때 \( f(3,1) \) 의 값에 대해 무엇이라 말할 수 있는가? 만약 \( f \) 가 연속이면 \( f(3,1) \) 은 무엇인가?</p> <p>\( (2-3) \) 원점근방의 점 \( (x, y) \) 가 원점에 가까이 가면 무슨일이 일어나는지 함수의 극한 움직임에 대해 말하여라. \( x \) 와 \( y \) 가 크게 되면 어떻게 되는가?</p> <p>\( 2 \). \( f(x, y)= \frac { x + y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 3 \). \( f(x, y)= \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( (4-11) \) 다음에서 극한이 존재하면 극한값을 구하고, 극한이 존재하지 않으면 그 이유를 말하라.</p> <p>\( 4 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(5,-2) } \left (x ^ { 5 } + 4 x ^ { 3 } y-5 x y ^ { 2 } \right ) \)</p> <h2>음함수의 미분</h2> <p>음함수 \( F(x, y)=0 \) 에서 \( \frac { d y } { d x } \) 를 음함수 미분법을 사용하지 않고 구할 수 있는데, 음함수를 이변수함수로 이해하는 것이다. 먼저 \( y=f(x) \) 가 \( x \) 에 관하여 미분 가능하다고 하자. 이제 \( x \) 를 \( x \) 에 관한 항등함수로 보면, 음함수는 \( F(x, f(x))=0 \) 가 되어 \( x \) 에 관한 합성함수로 볼 수 있다. 이제 \( F(x, y)=0 \) 의 양변을 \( x \) 에 관하여 미분하면, 식 \( (1) \) 에 의해 \[ \frac {\partial F } {\partial x } \frac { d x } { d x } + \frac {\partial F } {\partial y } \frac { d y } { d x } =0 \] 이 된다. 그런데 \( d x / d x=1 \) 이므로 \( \partial F / \partial y \neq 0 \) 일 때 다음과 같은 결과를 얻는다.</p> <p>\( (3) \) \[ \frac { d y } { d x } =- \frac {\partial F / \partial x } {\partial F / \partial y } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } \]</p> <p>예제 \( 3 \) 음함수 \( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } =6 x y \) 를 \( F(x, y)=x ^ { 3 } + y ^ { 3 } -6 x y=0 \) 로 바꾸어 표현하자. 그러면 식 \( (3) \) 에 의해 \[ \frac { d y } { d x } =- \frac { F_ { x } } { F_ { y } } =- \frac { 3 x ^ { 2 } -6 y } { 3 y ^ { 2 } -6 x } =- \frac { x ^ { 2 } -2 y } { y ^ { 2 } -2 x } \] 을 얻는다.</p> <p>주 \( z=f(x, y) \) 의 편도함수는 다음과 같이 여러 가지 기호로 쓸 수 있다.</p> <p>\( f_ { x } (x, y)=f_ { x } = \frac {\partial f } {\partial x } = \frac {\partial } {\partial x } f(x, y)= \frac {\partial z } {\partial x } =f_ { 1 } =D_ { 1 } f=D_ { x } f \)</p> <p>\( f_ { y } (x, y)=f_ { y } = \frac {\partial f } {\partial y } = \frac {\partial } {\partial y } f(x, y)= \frac {\partial z } {\partial y } =f_ { 2 } =D_ { 2 } f=D_ { y } f \)</p> <p>\( 1 \) 이변수함수의 편도함수 구하는 법</p> <p>\( z=f(x, y) \) 일 때<ol type=i start=1><li>\( f_ { x } \) 를 구하기 위해서는 \( y \) 를 상수로 본 일변수함수 \( f(x, y) \) 를 \( x \) 에 관해서 미분한다.</li> <li>\( f_ { y } \) 를 구하기 위해서는 \( x \) 를 상수로 본 일변수함수 \( f(x, y) \) 를 \( y \) 에 관해서 미분한다.</li></ol></p> <p>예제 \( 1 \) \( f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \) 일 때 \( y \) 를 상수로 보고 \( x \) 에 관해서 미분하면 \( f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \) 이다. 반면, \( x \) 를 상수로 보고 \( y \) 에 관해서 미분하면 \( f_ { y } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \) 인데, 예를 들면, \( f_ { x } (2,1)=3 \cdot 2 ^ { 2 } + 2 \cdot 2 \cdot 1 ^ { 3 } =16 \) 이고, \( f_ { y } (2,1)=8 \) 이다.</p> <h3>12.5 연습문제</h3> <p>\( (1-3) \) 다음에 주어진 점에서 \( \theta \) 의 방향으로의 \( f \) 의 방향미분계수를 구하여라.</p> <p>\( 1 \). \( f(x, y)=x ^ { 2 } y ^ { 3 } -y ^ { 4 } , (2,1), \quad \theta= \frac {\pi } { 4 } \)</p> <p>\( 2 \). \( f(x, y)=x \sin (x y), \quad(2,0), \quad \theta= \frac {\pi } { 3 } \)</p> <p>\( 3 \). \( f(x, y)= \sqrt { 5 x-4 y } , (4,1), \quad \theta=- \frac {\pi } { 6 } \)</p> <p>\( (4-5) \)<ol type=a start=1><li>\( f \) 의 기울기 벡터를 구하여라.</li> <li>점 \( P \) 에서 \( f \) 의 기울기 벡터를 구하여라.</li> <li>\( P \) 에서 벡터 \( u \) 의 방향으로의 \( f \) 의 변화율을 구하여라.</li></ol></p> <p>\( 4 \). \( f(x, y)=5 x y ^ { 2 } -4 x ^ { 3 } y, P(1,2), \mathrm { u } =< \frac { 5 } { 13 } , \frac { 12 } { 13 } >\)</p> <p>\( 5 \). \( f(x, y)=y \ln x, \quad P(1,-3), \quad u=<- \frac { 4 } { 5 } , \frac { 3 } { 5 } >\)</p> <p>\( (6-9) \) 주어진 점에서 벡터 \( \mathrm { v } \) 의 방향으로의 함수들의 방향미분계수를 구하여라.</p> <p>\( 6 \). \( f(x, y)=1 + 2 x \sqrt { y } , \quad(3,4), \mathrm { v } = \langle 4,-3 \rangle \)</p> <p>\( 7 \). \( f(x, y)= \ln \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ), (2,1), \quad \mathrm { v } = \langle-1,2 \rangle \)</p> <p>\( 8 \). \( g(s, t)=s ^ { 2 } e ^ { t } ,(2,0), \quad \mathrm { v } = \mathrm { i } + \mathrm { j } \)</p> <h2>이계도함수 판정법</h2> <p>일변수함수에서와 마찬가지로, 이변수함수가 어떤 임계점에서 함수가 극값을 가지는지 판별할 수 있는 방법이 있다.</p> <p>\( 10 \) 이계도함수 판정법 점 \( (a, b) \) 근방에서 이변수함수 \( f \) 의 이계편도함수들이 연속이라고 하자. 그리고 \( f_ { x } (a, b)=0 \) 과 \( f_ { y } (a, b)=0 \), 즉 \( (a, b) \) 가 \( f \) 의 임계점이라고 하고, 판별식을 \[ D=D(a, b)=f_ { x x } (a, b) f_ { y y } (a, b)- \left [f_ { x y } (a, b) \right ] ^ { 2 } \] 라 두자. 그러면 다음이 성립한다.<ol type=a start=1><li>\( D>0 \) 이고 \( f_ { x x } (a, b)>0 \) 이면 \( f(a, b) \) 는 극소값이다.</li> <li>\( D>0 \) 이고 \( f_ { x x } (a, b)<0 \) 이면 \( f(a, b) \) 는 극대값이다.</li> <li>\( D<0 \) 이면 \( f(a, b) \) 는 극대값도 극소값도 아닌데, 특히 \( (a, b) \) 는 \( f \) 의 말 안장점이 된다. 또한 이 점에서 함수의 그래프는 접평면과 교차한다.</li></ol></p> <p>주 \( 1 \) \( D=0 \) 이면 어떤 판정도 내릴 수 없다. 실제로 \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 극대값 또는 극소값을 가질 수도 있고 말안장점이 될 수도 있다.</p> <p>주 \( 2 \) 다음과 같이 \( 2 \times 2 \) 행렬식으로 쓰면 판별식을 기억하기가 쉽다.<p>\( D= \left \| \begin {array} { cc } f_ { x x } & f_ { x y } \\ f_ { y x } & f_ { y y } \end {array} \right \|=f_ { x x } f_ { y y } - \left (f_ { x y } \right ) ^ { 2 } \)</p></p> <p>예제 \( 3 \) 이변수함수 \( f(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } -4 x y + 1 \) 의 편도함수 \( f_ { x } =4 x ^ { 3 } -4 y \), \( f_ { y } =4 y ^ { 3 } -4 x \) 가 모두 \( 0 \) 이 되기 위해서는 \( 4 x ^ { 3 } -4 y=0,4 y ^ { 3 } -4 x=0 \) 을 만족해야한다. 첫 번째 방정식으로부터 얻은 \( y=x ^ { 3 } \) 을 두 번째 방정식에 대입하면 \[ \begin {aligned} 0 &=x ^ { 9 } -x=x \left (x ^ { 8 } -1 \right )=x \left (x ^ { 4 } -1 \right ) \left (x ^ { 4 } + 1 \right ) \\ &=x \left (x ^ { 2 } -1 \right ) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \left (x ^ { 4 } + 1 \right ) \end {aligned} \] 이 되어 세 개의 실수해 \( x=0,-1,1 \) 를 얻으므로, 임계점은 \( (0,0),(1,1) \), \( (-1,-1) \) 이 된다. 다음으로 이계편도함수가 각각 \( f_ { x x } =12 x ^ { 2 } , f_ { x y } =-4 \), \( f_ { y y } =12 y ^ { 2 } \) 이므로, 판별식 \( D(x, y) \) 를 계산하면 \[ D(x, y)=f_ { x x } f_ { y y } - \left (f_ { x y } \right ) ^ { 2 } =144 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -16 \] 이 됨을 알 수 있다. \( D(0,0)=-16<0 \) 이므로 이계도함수 판정법 \( 10 \) \( (c) \) 에 의하면 \( (0,0) \) 은 말안장점이다. 다시 말해서 \( f \) 는 원점에서 극값을 갖지 않는다. 그러나 \( D(1,1)=128>0 \) 이고 \( f_ { x x } (1,1)=12>0 \) 이므로, 이계도함수 판정법 \( 10 \) \( (a) \) 로부터 \( f(1,1)=-1 \) 은 극소값이 된다. 또한, \( D(-1,-1) \) \( =128>0 \) 이고 \( f_ { x x } (-1,-1)=12>0 \) 이므로, 이계도함수 판정법에 의하면 \( f(-1,-1)=-1 \) 도 극소값이다. 이들 점들에서 나타나는 현상을 그림 \( 4 \) 에서 주어진 함수의 그래프에서 확인하여 보아라.</p> <p>\( \frac {\partial f } {\partial y } = \cos \left ( \frac { x } { 1 + y } \right ) \cdot \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac { x } { 1 + y } \right )=- \cos \left ( \frac { x } { 1 + y } \right ) \cdot \frac { x } { (1 + y) ^ { 2 } } \)</p></p> <p>예제 \( 4 \) \( z \) 가 \( x \) 와 \( y \) 의 함수일 때, \( x ^ { 3 } + y ^ { 3 } + z ^ { 3 } + 6 x y z=1 \) 이라 하자. \( \partial z / \partial x \) 를 구하기 위하여 \( y \) 를 상수로 보고 \( x \) 에 관하여 음함수 미분을 하면 \[ 3 x ^ { 2 } + 3 z ^ { 2 } \frac {\partial z } {\partial x } + 6 y z + 6 x y \frac {\partial z } {\partial x } =0 \] 이다. 이것을 \( \partial z / \partial x \) 에 대하여 풀면 \[ \frac {\partial z } {\partial x } =- \frac { x ^ { 2 } + 2 y z } { z ^ { 2 } + 2 x y } \] 이 된다. 마찬가지로 \( y \) 에 관하여 음함수 미분하고 \( \partial z / \partial y \) 에 대하여 풀면 \[ \frac {\partial z } {\partial y } =- \frac { y ^ { 2 } + 2 x z } { z ^ { 2 } + 2 x y } \] 를 얻는다.</p> <h2>고계 편도함수</h2> <p>이변수함수 \( f \) 의 편도함수 \( f_ { x } \) 와 \( f_ { y } \) 도 이변수함수이다. 만약 편도함수 \( f_ { x } \) 와 \( f_ { y } \) 가 다시 편미분 가능하면 \(( \left (f_ { x } \right )_ { x } , \left (f_ { x } \right )_ { y } , \left (f_ { y } \right )_ { x } , \left (f_ { y } \right )_ { y } \) 를 생각할 수 있는데 이것들을 \( f \) 의 이계 편도함수라고 한다. 함수 \( z=f(x, y) \) 에 대하여 다음과 같이 표기한다.</p> <ul> <li>\( \left (f_ { x } \right )_ { x } =f_ { x x } =f_ { 11 } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x ^ { 2 } } \)</li> <li>\( \left (f_ { x } \right )_ { y } =f_ { x y } =f_ { 12 } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y \partial x } \)</li> <li>\( \left (f_ { y } \right )_ { x } =f_ { y x } =f_ { 21 } = \frac {\partial } {\partial x } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial x \partial y } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial x \partial y } \)</li> <li>\( \left (f_ { y } \right )_ { y } =f_ { y y } =f_ { 22 } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial f } {\partial y } \right )= \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y ^ { 2 } } = \frac {\partial ^ { 2 } z } {\partial y ^ { 2 } } \)</li></ul> <p>따라서 \( f_ { x y } \) 는 먼저 \( x \) 에 관해서 편미분하고 다음으로 \( y \) 에 관해 편미분하는 것이고, \( f_ { y x } \) 는 반대 순서로 계산한다. 여기서 다루는 많은 함수들은 \( f_ { x y } =f_ { y x } \) 를 만족하지만 이게 항상 성립되지는 않는다. 그러나 약간의 조건을 주면 이는 항상 참이 되는데 다음의 경우가 해당된다.</p> <p>\( 5 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } x y \cos (x-2 y) \)</p> <p>\( 6 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y \cos y } { 3 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 7 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 8 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } -y ^ { 4 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 9 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \)</p> <p>\( 10 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x y ^ { 4 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 8 } } \)</p> <p>\( 11 \). \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(0,0) } \frac { x ^ { 2 } \sin ^ { 2 } y } { x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( (12-13) \) 합성함수 \( h(x, y)=g(f(x, y)) \) 가 연속인 집합을 구하여라.</p> <p>\( 12 \). \( g(t)=t ^ { 2 } + \sqrt { t } , \quad f(x, y)=2 x + 3 y-6 \)</p> <p>\( 13 \). \( g(t)= \frac {\sqrt { t } -1 } {\sqrt { t } + 1 } , \quad f(x, y)=x ^ { 2 } -y \)</p> <p>\( (14-21) \) 함수가 연속인 점들의 집합을 찾아라.</p> <p>\( 19 \). \( g(x, y)=x-y ^ { 2 } \) 일 때 기울기 벡터 \( \nabla g(3,-1) \) 을 계산하고, 이것을 이용하여 점 \( (3,-1) \) 에서 등위선 \( g(x, y)=2 \) 에 대한 접선을 구하여라. 또한 이들을 그림으로 그려서 설명하여라.</p> <p>\( 20 \).<ol type=a start=1><li>연속인 함수 \( f(x, y)= \sqrt[3] { x y } \) 가 원점에서 편도함수 \( f_ { x } \) 와 \( f_ { y } \) 는 가지지만 다른 방향미분계수는 가지지않는다는 것을 보여라.</li> <li>원점 근방에서 함수 \( f \) 의 그래프를 그리고, 이로부터 \( (a) \) 를 확인하여 보아라.</li></ol></p> <h1>12.6 최대값과 최소값</h1> <p>정의 \( (a, b) \) 의 근방에 있는 모든 \( (x, y) \) 에 대하여 \( f(x, y) \leq f(a, b) \) 이면, \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 극대(local maximum)를 가진다 하고 \( f(a, b) \) 를 극대값 (local maximum value)이라고 한다. 마찬가지로 \( (a, b) \) 의 근방에 있는 모든 \( (x, y) \) 에 대하여 \( f(x, y) \geq f(a, b) \) 이면, \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 극소(local minimum) 를 가진다 하고 \( f(a, b) \) 는 극소값 (local minimum value)이라한다.</p> <p>또한 정의역에 있는 모든 점 \( (x, y) \) 에 대하여 \( f(x, y) \leq f(a, b) \) 이면 \( f \) 는 \( (a, b) \) 에서 최대(absolute 또는 global maximum), \( f(x, y) \geq f(a, b) \) 이면 \( (a, b) \) 에서 최소(absolute 또는 global minimum)를 가진다고 한다.</p> <p>주 \( (a, b) \) 의 근방에 있는 \( (x, y) \) 에 대하여 \( f(x, y) \leq f(a, b) \) 이라는 말은 중심을 \( (a, b) \) 로 하는 원판 내의 모든 점 \( (x, y) \) 에서 \( f(x, y) \leq f(a, b) \) 이 됨을 의미한다.</p> <p>그림 \( 1 \) 의 경우와 같이 극대와 극소는 여러 곳에서 나타날 수 있는데, 실제로 극대와 극소는 각각 산의 최고정점과 계곡의 바닥이 되는 점에서 발생한다.</p> <p>주 \( \partial f / \partial x \) 대신에 \( \partial z / \partial x \) 로 써서 연쇄법칙 \( (1) \) 은 \[ \frac { d z } { d t } = \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \] 로 쓰기도 하는데, 이는 미분 \( d z= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \) 와 유사한 형태임에 유의하자.</p> <p>예제 \( 1 \) \( x= \sin 2 t, y= \cos t \) 이고 \( z=x ^ { 2 } y + 3 x y ^ { 4 } \) 라 하자. 연쇄법칙에 의하여 \[ \begin {aligned} \frac { d z } { d t } &= \frac {\partial z } {\partial x } \frac { d x } { d t } + \frac {\partial z } {\partial y } \frac { d y } { d t } \\ &= \left (2 x y + 3 y ^ { 4 } \right )(2 \cos 2 t) + \left (x ^ { 2 } + 12 x y ^ { 3 } \right )(- \sin t) \end {aligned} \] 이 되는데, 여기서는 \( x, y \) 를 \( t \) 에 대한 함수로 나타낼 필요는 없다. 예를 들어 \( t=0 \) 에서의 \( d z / d t \) 는 \( x= \sin 0=0 \) 이고 \( y= \cos 0=1 \) 이므로 \[ \left . \frac { d z } { d t } \right \|_ { t=0 } =(0 + 3)(2 \cos 0) + (0 + 0)(- \sin 0)=6 \] 과 같이 구해질 수 있다(그림 \( 1 \) 로 이를 확인하라).</p> <h3>12.6 연습문제</h3> <p>\( 1 \). 그림에 있는 등위선을 이용하여 \( f(x, y)=4 + x ^ { 3 } + \) \( y ^ { 3 } -3 x y \) 의 임계점을 찾고, 이 점들에서 \( f \) 가 말안장점, 극대값 또는 극소값을 가지는지 조사하고 그 이유를 설명하여라. 또한 이계도함수 판정법을 이용하여 얻은 결과를 확인하여라.</p> <p>\( (2-11) \) 다음 함수의 극대값, 극소값, 말안장점을 구하여라.</p> <p>\( 2 \). \( f(x, y)=9-2 x + 4 y-x ^ { 2 } -4 y ^ { 2 } \)</p> <p>\( 3 \). \( f(x, y)=x ^ { 3 } y + 12 x ^ { 2 } -8 y \)</p> <p>\( 4 \). \( f(x, y)=e ^ { 4 y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 5 \). \( f(x, y)=1 + 2 x y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \)</p> <p>\( 6 \). \( f(x, y)=e ^ { x } \cos y \)</p> <p>\( 7 \). \( f(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } -4 x y + 2 \)</p> <p>\( 8 \). \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 9 \). \( f(x, y)= \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) e ^ { y ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 10 \). \( f(x, y)=x y(1-x-y) \)</p> <p>\( 11 \). \( f(x, y)=x \sin y \)</p> <p>\( (12-15) \) 집합 \( D \) 에서 \( f \) 의 최대값, 최소값을 구하여라.</p> <p>\( 12 \). \( f(x, y)=1 + 4 x-5 y, D \) 는 꼭지점이 \( (0,0) \), \( (2,0),(0,3) \) 인 닫힌삼각형이다.</p> <p>여기서는 이변수함수만을 다룰 것인데, 모든 성질들은 삼변수함수로 확장이 가능하므로, 이는 다른 미분 적분학 책을 참고하여라.</p> <h2>정의</h2> <p>이변수함수 \( f \) 는 집합 \( D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에 있는 모든 점 \( (x, y) \) 에 단 하나의 실수 \( z \) 를 대응시키는 관계 \( (x, y) \longmapsto z \) 로 정의되는데, \( z=f(x, y) \) 로 표기한다. 이 때 집합 \( D \subset \mathbb { R } ^ { 2 } \) 는 \( f \) 의 정의역이고, \( f \) 가 취하는 함수값들의 집합 \( \{ f(x, y) \mid(x, y) \in D \} \) 은 치역이라 하는데 \( \mathbb { R } \) 의 부분집합이 된다(그림 1 참조).</p> <h1>예제 1</h1> <p>(a) \( f(x, y)= \frac {\sqrt { x + y + 1 } } { x-1 } \) 의 정의역을 조사하자. 분수로 표현된 \( f \) 는 분모가 0 이 아니고 제곱근호 안은 음이 아닐 때 정의되므로 \( f \) 의 정의역은 \[D= \{ (x, y) \mid x + y + 1 \geq 0, \quad x \neq 1 \} \] 이다. 실제로 부등식 \( x + y + 1 \geq 0 \) 을 풀면 \( y \geq-x-1 \) 인데, 이를 만족하는 점들은 경계를 포함한 직선 \( y=-x-1 \) 위 영역에 속한다. 또한 조건 \( x \neq 1 \) 로부터 직선 \( x=1 \) 위의 점들은 제외되어야 하므로 정의역은 그림 2와 같다.</p> <p>(b) \( g(x, y)=x \ln \left (y ^ { 2 } -x \right ) \) 에서 \( \ln \left (y ^ { 2 } -x \right ) \) 는 \( y ^ { 2 } -x>0 \), 즉 \( x<y ^ { 2 } \) 일 때만 정의되므로 \( g \) 의 정의역은 \( D= \left \{ (x, y) \mid x<y ^ { 2 } \right \} \) 이다. 이것은 포물선 \( x=y ^ { 2 } \) 의 왼쪽에 놓여있는 점들의 집합인데, 경계는 포함되지 않는다(그림 3 참조).</p> <p>만약 단위벡터 \( \mathbf { u } \) 가 양의 \( x \) 축과 이루는 각을 \( \theta \) 라고 하면 \( \mathbf { u } = \langle \cos \theta, \sin \theta \rangle \) 이므로 방향도함수는<p>\( (4) \) \( D_ {\mathrm { u } } f(x, y)=f_ { x } (x, y) \cos \theta + f_ { y } (x, y) \sin \theta \)</p>가 된다.</p> <p>예제 \( 1 \) \( f(x, y)=x ^ { 3 } -3 x y + 4 y ^ { 2 } \) 이고 단위벡터 \( \mathbf { u } \) 가 양의 \( x \) 축과 \( \theta= \pi / 6 \) 의 각을 이룰 때, \[ \begin {aligned} D_ {\mathrm { u } } f(x, y) &=f_ { x } (x, y) \cos \frac {\pi } { 6 } + f_ { y } (x, y) \sin \frac {\pi } { 6 } \\ &= \left (3 x ^ { 2 } -3 y \right ) \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + (-3 x + 8 y) \frac { 1 } { 2 } \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left [3 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } -3 x + (8-3 \sqrt { 3 } ) y \right ] \end {aligned} \] 이다. 예를 들면 \( (1,2) \) 에서의 방향미분계수는 \[ \begin {aligned} D_ { u } f(1,2) &= \frac { 1 } { 2 } \left [3 \sqrt { 3 } (1) ^ { 2 } -3(1) + (8-3 \sqrt { 3 } )(2) \right ] \\ &= \frac { 13-3 \sqrt { 3 } } { 2 } \end {aligned} \] 이다(그림 \( 2 \) 참조).</p> <h2>기울기 벡터</h2> <p>방향도함수는 다음과 같이 \[ \begin {aligned} D_ {\mathbf { u } } f(x, y) &=f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \\ &= \left \langle f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right \rangle \cdot \langle a, b \rangle \\ &= \left \langle f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y) \right \rangle \cdot \mathbf { u } \end {aligned} \] 두 벡터의 내적으로 나타낼 수 있는데, 벡터 \(<f_ { x } (x, y), f_ { y } (x, y)>\) 는 방향도함수의 계산 뿐 아니라 다른 많은 곳에서 나타나기 때문에 \( f \) 의 기울기 벡터(gradient)라는 특별한 이름을 붙이고, \( grad f \) 또는 \( \nabla f \) 로 표기한다.</p> <p>예제 \( 5 \) 넓이가 \( 12 \mathrm { ~m } ^ { 2 } \) 인 널판지를 사용하여 뚜껑이 없는 직육면체의 상자를 그림 \( 5 \) 와 같이 만들려고 한다. 상자의 가로, 세로, 높이를 각각 \( x, y, z \) (단위는 \( \mathrm { m } \) )라 하면, 상자의 부피는 \( V=x y z \left ( \mathrm { ~m } ^ { 3 } \right ) \) 이다. 한편 상자의 네 개의 옆면과 바닥면의 넓이의 합이 \( 12 \) 가 되어야 하므로 \( 2 x z + 2 y z + x y=12 \) 인데, 이것으로부터 \( V \) 를 \( x, y \) 의 이변수함수로 나타낼 수 있다. 사실 \( z= \frac { 12-x y } { 2(x + y) } \) 를 대입하면 \[ V=V(x, y)=x y \frac { 12-x y } { 2(x + y) } = \frac { 12 x y-x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { 2(x + y) } \] 이고, 이 함수의 편도함수를 계산하면 \[ \begin {array} { l } V_ { x } = \frac {\partial V } {\partial x } = \frac { y ^ { 2 } \left (12-2 x y-x ^ { 2 } \right ) } { 2(x + y) ^ { 2 } } , \\ V_ { y } = \frac {\partial V } {\partial y } = \frac { x ^ { 2 } \left (12-2 x y-y ^ { 2 } \right ) } { 2(x + y) ^ { 2 } } \end {array} \] 이 된다. 만약 \( x=0, y=0 \) 이면 \( V=0 \) 이므로 최대가 될 수 없다. 따라서 \( x \neq 0 \), \( y \neq 0 \) 일 때 \( V_ { x } =V_ { y } =0 \) 인 경우는 \( 12-2 x y-x ^ { 2 } =0,12-2 x y-y ^ { 2 } =0 \) 이고, 이를 풀면 \( x ^ { 2 } =y ^ { 2 } \) 이다. 그런데 \( x, y \) 모두 양수이므로 \( x=y \) 를 얻고 이를 \( 12-2 x y-x ^ { 2 } =0,12-2 x y-y ^ { 2 } =0 \) 에 대입하면 \( x=y=2, z= \) \( (12-2 \cdot 2) / 2(2 + 2)=1 \) 가 되어 \( (2,2,1) \) 은 유일한 임계점이 된다.</p> <h2>이변수함수의 미분</h2> <p>미분가능한 일변수함수 \( y=f(x) \) 에서 미분 \( d x \) 에 대한 미분 \( d y \) 는 \( d y=f ^ {\prime } (x) d x \) 로 정의하였다. 그림 \( 6 \) 에서 변화량 \( \Delta y \) 와 미분 \( d y \) 를 확인할 수 있는데, \( x \) 가 \( d x= \Delta x \) 만큼 변할 때 \( \Delta y \) 는 곡선의 높이 변화량을 나타내고 \( d y \) 는 접선의 높이 변화량을 나타낸다.</p> <p>이를 이변수함수로 확장하여 보자. 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 에서 미분 \( d x \) 와 \( d y \) 를 독립변수로 두면 전미분(total differential)이라고 하는 미분 \( d z \) 는<p>\( (10) \) \[ d z=f_ { x } (x, y) d x + f_ { y } (x, y) d y= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y \]</p>로 정의된다. 그림 \( 6 \) 과 같이 이를 나타내면 그림 \( 7 \) 이 되는데, 미분 \( d z \) 와 변화량 \( \Delta z \) 의 차이를 확인할 수 있다. 즉, \( (a, b) \) 에서 \( (a + \Delta x, b + \Delta y) \) 로 변할 때, \( d z \) 는 접평면의 높이 변화량을 나타내고 증분 \( \Delta z \) 는 곡면 \( z=f(x, y) \) 의 높이 변화량을 나타낸다.</p> <p>주 식 \( (10) \) 에서 \( d x= \Delta x=x-a, d y= \Delta y=y-b \) 라 두면 \[ d z=f_ { x } (a, b)(x-a) + f_ { y } (a, b)(y-b) \] 가 되므로 선형근사식 \( (7) \) 은 \( f(x, y) \approx f(a, b) + d z \) 로 간단히 표현된다.</p> <p>예제 \( 8 \) \( z=f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 x y-y ^ { 2 } \) 일 때, 식 \( (10) \) 으로부터 미분 \( d z \) 는 \[ d z= \frac {\partial z } {\partial x } d x + \frac {\partial z } {\partial y } d y=(2 x + 4 y) d x + (3 x-2 y) d y \] 가 된다. 만약 \( x \) 가 \( 2 \) 에서 \( 2.05 \) 까지 변하고 \( y \) 가 \( 3 \) 에서 \( 2.96 \) 까지 변하면, \( d x= \Delta x=0.05, d y= \Delta y=-0.04 \) 이므로 \[ d z=[2(2) + 3(3)] 0.05 + [3(2)-2(3)](-0.04)=0.65 \] 이다. 반면 증분 \( \Delta z \) 는 \[ \begin {aligned} \Delta z &=f(2.05,2.96)-f(2,3) \\ &= \left [(2.05) ^ { 2 } + 3(2.05)(2.96)-(2.96) ^ { 2 } \right ]- \left [2 ^ { 2 } + 3(2)(3)-3 ^ { 2 } \right ]=0.6449 \end {aligned} \] 가 되어 \( \Delta z \approx d z \) 임을 확인할 수 있는데, \( d z \) 을 계산하는 것이 더 쉽다는 것을 알 수 있다.</p> <h1>12.2 이변수함수의 극한과 연속성</h1> <p>이제 이변수함수의 극한의 개념과 연속성에 대하여 앝아보자.</p> <h2>이변수함수의 극한</h2> <p>일변수함수에서 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L \) 은 \( x \) 가 \( a \) 에 접근함에 따라서 \( f(x) \) 가 \( L \) 에 접근한다는 것을 뜻했다. 특히 \( x \) 가 \( a \) 에 접근할 때 \( a \) 의 왼쪽이나 오른쪽에서 접근하는 두 가지 경우가 있는데, \( x \) 가 \( a \) 의 어느 쪽에서 접근하더라도 함수의 오른쪽, 왼쪽 극한은 일치해야 한다는 것을 알고 있다.</p> <p>이변수함수에서도 같은 개념으로 극한을 정의하는데, 정의역의 점 \( (x, y) \) 가 점 \( (a, b) \) 에 점점 접근함에 따라 이에 대응하는 값 \( f(x, y) \) 가 \( L \) 에 접근하는 경우, \( L \) 을 \( (a, b) \) 에서의 함수 \( z=f(x, y) \) 의 극한이라 하고 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=L \), 또는 \( (x, y) \rightarrow(a, b) \) 일 때 \( f(x, y) \rightarrow L \) 으로 표기한다.</p> <p>주 \( (a, b) \) 에서의 함수의 극한은 \( \lim _ {\substack { x \rightarrow a \\ y \rightarrow b } } f(x, y)=L \) 로 쓰기도 한다.</p> <p>여기서 주의할 점은 \( (x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에 접근하는 문제인데, 두 점 사이의 거리가 점점 더 작아진다는 의미이지 접근하는 방향을 언급한 것은 아니다. 실제로 직선에서 한 점에 접근하는 경로는 왼쪽 또는 오른쪽 두 가지 경우만 있지만, 평면에서 점 \( (a, b) \) 에 접근하는 데는 무수히 많은 경로가 있다(그림 1 참조).</p> <p>따라서 극한 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y)=L \) 이 존재하면 \( (x, y) \) 가 \( (a, b) \) 에 어떻게 접근하든지 상관없이 \( f(x, y) \) 가 동일한 값에 접근한다는 것을 뜻한다. 이 사실은 \( (a, b) \) 로 접근하는 두 개의 경로를 따라서 \( f(x, y) \) 가 서로 다른 극한값을 가지면 \( \lim _ { (x, y) \rightarrow(a, b) } f(x, y) \) 가 존재하지 않는다는 결론을 내릴 수 있게 한다.</p> <p>\( 3 \) 정리 이변수함수 \( f \) 가 연속인 편도함수를 가질 때 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 에서의 곡면 \( z=f(x, y) \) 에 대한 접평면의 식은<p>\( (6) \) \[ z-z_ { 0 } =f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (x-x_ { 0 } \right ) + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \left (y-y_ { 0 } \right ) \]</p>이다.</p> <p>예제 \( 6 \) 점 \( (1,1,3) \) 에서 타원포물면 \( z=2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 이 가지는 접평면을 구하여 보자. 먼저 \( f(x, y)=2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 이라고 하면 \( f_ { x } (x, y)=4 x, f_ { y } (x, y)=2 y \) 이므로 \( f_ { x } (1,1)=4, f_ { y } (1,1)=2 \) 이다. 점 \( (1,1,3) \) 에서의 접평면의 방정식은 식 \( (6) \) 으로부터 \[ z-3=4(x-1) + 2(y-1) \text { 또는 } z=4 x + 2 y-3 \] 가 된다.</p> <h2>선형근사</h2> <p>예제 \( 6 \) 에서 점 \( (1,1,3) \) 에서 함수 \( f(x, y)=2 x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 의 곡면 \( S \) 가 가지는 접평면의 식을 \( z=4 x + 2 y-3 \) 로 구했다. 접평면은 \( (1,1,3) \) 근방에서 곡면 \( S \) 에 가장 가까운 평면이므로, \( (1,1) \) 의 근방에 있는 점 \( (x, y) \) 에서의 함수값을 접평면을 이용하여 근사시킬 수 있다. 즉, \( (x, y) \) 가 \( (1,1) \) 근방의 점이면 \( f(x, y) \) 의 근사값으로 접평면에 있는 점의 \( z \) 좌표 \( L(x, y)=4 x + 2 y-3 \) 을 택하는 것이다. 이 때 근사식 \[ L(x, y)=4 x + 2 y-3 \] 을 \( (1,1) \) 에서의 \( f \) 의 선형근사(linear approximation) 또는 접평면근사(tangent plane approximation)라 한다.</p> <p>증명 먼저 한 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 가 미분가능하다고 하자. 이제 식 \( (1) \) 의 오른쪽 변을 \( g(k)=f \left (x_ { 0 } + k a, y_ { 0 } + k b \right ) \) 로 정의된 일변수함수 \( g \) 로 표현을 하면, \( k=0 \) 에서의 미분계수 \( g ^ {\prime } (0) \) 는<p>\( (2) \) \[ g ^ {\prime } (0)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(h)-g(0) } { h } \] \[ = \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { f \left (x_ { 0 } + h a, y_ { 0 } + h b \right )-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { h } \]</p>이다. 그런데 식 \( (2) \) 의 오른쪽 변은 \( D_ {\mathrm { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 와 일치하므로 이를 구하면 증명이 끝난다. 실제로 \( x=x_ { 0 } + h a, y=y_ { 0 } + h b \) 라 놓으면, \( g(h)=f(x, y) \) 이고 \( h \rightarrow 0 \) 은 \( (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 을 의미하므로 식 \( (2) \) 는 다시<p>\( (3) \) \( \quad g ^ {\prime } (0)= \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } y_ { 0 } \right ) } \frac { f(x, y)-f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } { (x, y)- \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } \)</p>가 되어 \( g ^ {\prime } (0) \) 은 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서의 \( z=f(x, y) \) 의 미분이 된다. 한편 \( z=f(x + h a, y + h b) \) 는 \( h \) 를 변수로 하는 합성함수이므로, 이를 \( h \) 에 대하여 미분하면 연쇄법칙에 의해 \[ \frac { d z } { d h } = \frac {\partial f } {\partial x } \frac { d x } { d h } + \frac {\partial f } {\partial y } \frac { d y } { d h } =f_ { x } (x, y) a + f_ { y } (x, y) b \] 를 얻는다. 따라서 \( \frac { d z } { d h } \mid \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) a + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) b \) 이고 식 \( (2) \) 와 \( (3) \) 으로부터 \[ D_ {\mathrm { u } } f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) a + f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) b \] 가 됨을 알 수 있다.</p> <h2>접평면</h2> <p>연속인 일계 편도함수를 가지는 이변수함수 \( z=f(x, y) \) 의 곡면을 \( S \) 라 하고, \( S \) 에서의 점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 를 택하자. 수직평면 \( y=y_ { 0 } \) 와 \( x=x_ { 0 } \) 가 \( S \) 와 만나는 교선을 각각 \( C_ { 1 } , C_ { 2 } \) 이라고 하면, \( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 2 } \) 의 교점은 \( P \) 가 된다. 이제 점 \( P \) 에서의 \( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 2 } \) 의 접선을 각각 \( T_ { 1 } \) 과 \( T_ { 2 } \) 라 할 때, \( P \) 에서의 \( S \) 에 대한 접평면 (tangent plane)은 접선 \( T_ { 1 } \) 과 \( T_ { 2 } \) 를 포함하는 평면으로 정의된다(그림 \( 4 \) 참조). 실제로 곡면 \( S \) 에서 \( P \) 를 지나는 어떠한 곡선의 접선도 반드시 접평면에 놓인다. 그러므로 \( P \) 에서의 \( S \) 에 대한 접평면은 \( P \) 를 지나는 \( S \) 의 모든 곡선들이 \( P \) 에서 가지는 접선들로 이루어진 것으로 생각할 수 있다. 그리고 이 접평면은 \( P \) 근방에서 곡면 \( S \) 에 가장 가까운 평면이다.</p> <p>점 \( P \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } , z_ { 0 } \right ) \) 를 지나는 평면은 \[ A \left (x-x_ { 0 } \right ) + B \left (y-y_ { 0 } \right ) + C \left (z-z_ { 0 } \right )=0 \] 형태의 방정식을 가진다. \( C \neq 0 \) 에 대하여 \( a=-A / C, b=-B / C \) 라 두면<p>\( (5) \) \[ z-z_ { 0 } =a \left (x-x_ { 0 } \right ) + b \left (y-y_ { 0 } \right ) \]</p>형태가 된다. 식 \( (5) \) 가 \( P \) 에서의 접평면을 나타낸다면, 평면 \( y=y_ { 0 } \) 와 만나는 교선은 접선 \( T_ { 1 } \) 이 되고, 식 \( (5) \) 에 \( y=y_ { 0 } \) 를 대입하면 \( T_ { 1 } \) 의 식 \( (5) \) 는 \[ z-z_ { 0 } =a \left (x-x_ { 0 } \right ) \] 이 된다. 이것으로부터 접선 \( T_ { 1 } \) 의 기울기가 \( a \) 임을 알 수 있는데, \( T_ { 1 } \) 의 기울기는 \( f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 로 주어지므로 \( a=f_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 이 된다. 마찬가지로 식 \( (5) \) 에 \( x=x_ { 0 } \) 을 대입하면 접선 \( T_ { 2 } \) 의 식 \( z-z_ { 0 } =b \left (y-y_ { 0 } \right ) \) 을 얻는데, \( T_ { 2 } \) 의 기울기가 \( b \) 라는 사실로부터 \( b=f_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 이 된다. 이를 종합하면 다음의 정리를 얻을 수 있다.</p> <p>\( 15 \). \( f(x, y)=1-x ^ { 2 } \)</p> <p>\( 16 \). \( f(x, y)=3-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \)</p> <p>\( 17 \). \( f(x, y)= \sqrt { 16-x ^ { 2 } -16 y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 18 \). \( f(x, y)= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 19 \). 함수가 나타내는 그래프를 아래에서 찾고 그 이유를 설명하여라.<ol type=a start=1><li>\( f(x, y)=\|x\| + \|y\| \)</li> <li>\( f(x, y)=\|x y\| \)</li> <li>\( f(x, y)= \frac { 1 } { 1 + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</li> <li>\( f(x, y)= \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \)</li> <li>\( f(x, y)=(x-y) ^ { 2 } \)</li> <li>\( f(x, y)= \sin (\|x\| + \|y\|) \)</li></ol></p> <p>(20-21) 다음 등위선 지도를 바탕으로 함수 \( f \) 의 그래프를 예측하여 보아라.</p> <p>(22-29) 여러 등위선들을 찾아 함수의 등위선 지도를 그려라.</p> <p>\( 22 \). \( f(x, y)=x y \)</p> <p>\( 23 \). \( f(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \)</p> <p>\( 24 \). \( f(x, y)= \sqrt { x + y } \)</p> <p>\( 25 \). \( f(x, y)=x-y ^ { 2 } \)</p> <p>\( 26 \). \( f(x, y)=y- \ln x \)</p> <p>\( 27 \). \( f(x, y)= \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>\( 28 \). \( f(x, y)=y \sec x \)</p> <p>\( 29 \). \( f(x, y)=e ^ { y / x } \)</p> <p>\( 30 \). 다음 이변수함수의 그래프를 그려라.<ol type=a start=1><li>\( f(x, y)= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</li> <li>\( f(x, y)=e ^ {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \)</li> <li>\( f(x, y)= \ln \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</li> <li>\( f(x, y)= \sin \left ( \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right ) \)</li> <li>\( f(x, y)= \frac { 1 } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \)</li></ol></p> <p>\( 2 \) 정리 \( z=f(x, y) \) 가 점 \( (a, b) \) 를 포함하는 원판 \( D \) 에서 정의된 함수이고 \( f_ { x y } \) 와 \( f_ { y x } \) 가 \( D \) 에서 연속이면 \( f_ { x y } (a, b)=f_ { y x } (a, b) \) 이다.</p> <p>예제 \( 5 \) \( f(x, y)=x ^ { 3 } + x ^ { 2 } y ^ { 3 } -2 y ^ { 2 } \) 에서 \[ f_ { x } (x, y)=3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \text { 이고 } f_ { y } (x, y)=3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \] 이다. 따라서 이계편도함수들은 \[ \begin {aligned} f_ { x x } &= \frac {\partial } {\partial x } \left (3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \right )=6 x + 2 y ^ { 3 } , \\ f_ { x y } &= \frac {\partial } {\partial y } \left (3 x ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 } \right )=6 x y ^ { 2 } , \\ f_ { y x } &= \frac {\partial } {\partial x } \left (3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \right )=6 x y ^ { 2 } , \\ f_ { y y } &= \frac {\partial } {\partial y } \left (3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } -4 y \right )=6 x ^ { 2 } y-4 \end {aligned} \] 인데, 여기서는 \( f_ { x y } =f_ { y x } \) 이다.<p>\( 3 \) 계 이상의 편도함수도 정의될 수 있는데, 일변수함수때와 마찬가지로 \( 3 \) 계 편도함수는 \[ f_ { x y y } = \left (f_ { x y } \right )_ { y } = \frac {\partial } {\partial y } \left ( \frac {\partial ^ { 2 } f } {\partial y \partial x } \right )= \frac {\partial ^ { 3 } f } {\partial y ^ { 2 } \partial x } \] 로 이해하면 된다.</p></p>	자연
m821-위상수학입문	<h4>② 적위상의 정의부분기저와 정의기저</h4> <p>참고 임의의 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)에 대하여, \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)를 \( X \)의 적집합이라 하자. 이때 \( G_{j_{0}} \)가 좌표공간 \( X_{j_{0}} \)의 열린부분집합이면, \( \pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right] \)는 \[\pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right]=\Pi\left\{X_{i} \mid i \neq j_{0}\right\} \times G_{j_{0}}\] 가 된다. 특히 가산개의 위상공간족 \( \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots\right\} \)인 경우, 적집합 \( X=\prod_{n=1}^{\infty} X_{n} \)은 모든 수열 \( p=\left\langle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots\right\rangle \) (단, \( a_{n} \in X_{n} \) )로 이루어진다. 즉 \[\pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right]=X_{1} \times \cdots \times X_{j_{0}-1} \times G_{j_{0}} \times X_{j_{0}+1} \times \cdots\] 로 주어진다.</p> <p>정의에 의하면 \( X \)상의 적위상은 모든 사영을 연속이 되게 하는 가장 약한 \( X \)상의 위상, 즉 사영에 의하여 생성된 위상이다. 따라서 각 좌표공간의 열린부분집합의 역사영 전체는 적위상의 부분기저를 이룬다. 따라서 다음 성질을 갖는다.</p> <p>정리 5 정의부분기저</p> <p>\( G_{j_{0}} \)가 좌표공간 \( X_{j_{0}} \)의 열린부분집합일 때 \[\pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right]=\Pi\left\{X_{i} \mid i \neq j_{0}\right\} \times G_{j_{0}}\] 로 주어진 적집합 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)의 부분집합족은 적위상의 부분기저이다. 이것을 적위상에 대한 정의부분기저라 한다.</p> <p>예 \( G_{j_{0}} \)를 열린구간 (1, 2)라고 가정하면, \( \pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right] \)는 \( \pi_{j_{0}}(p) \in G_{j_{0}} \)를 만족하는 \( X \)의 모든 점 \( p=\left\langle a_{i} \mid i \in I\right\rangle \)로 이루어진다. 즉 \( 1<p\left(j_{0}\right)<2 \)를 만족하는 모든 함수 \( p: I \rightarrow R \)로 이루어진다. 그래프적으로 말하면 \( \pi_{j_{0}}^{-1} \)는 좌표공간 \( X_{j_{0}} \)을 나타내는 수직 선상의 열린구간 \( G_{j_{0}} \)를 지나는 함수로 이루어진다.</p> <p>예 \( X=\{a, b, c\} \)상의 위상 \( \mathscr{T} \)와 \( Y=\{u, v\} \)상의 위상 \( \mathscr{T}^{} \)가 각각 \[\mathscr{\mathscr { I }}=\{X, \varnothing,\{a\},\{b, c\}\}, \quad \mathscr{I}^{}=\{Y, \varnothing,\{u\}\}\] 로 주어질 때, \( X \times Y \)상의 적위상에 대한 정의부분기저 \( R \)을 구해보자. 먼저 \( X \)와 \( Y \)의 적집합은 \[X \times Y=\{\langle a, u\rangle,\langle a, v\rangle,\langle b, u\rangle,\langle b, v\rangle,\langle c, u\rangle,\langle c, v\rangle\}\] 으로 주어지고, 이때 정의부분기저 \( R \)은 \( G \)와 \( H \)가 각각 \( X \)와 \( Y \)의 열린부분집합일 때 역상 \( \pi_{x}^{-1}[G] \)와 \( \pi_{y}^{-1}[H] \)로 주어지는 집합족이다. 이것을 구하면 \[ \begin{array}{l} \pi_{x}^{-1}[X]=\pi_{y}^{-1}[Y]=X \times Y, \pi_{x}^{-1}[\varnothing]=\pi_{x}^{-1}[\varnothing]=\varnothing \\ \pi_{x}^{-1}[\{a\}]=\{\langle a, u\rangle,\langle a, v\rangle\} \\ \pi_{x}^{-1}[\{b, c\}]=\{\langle b, u\rangle,\langle b, v\rangle,\langle c, u\rangle,\langle c, v\rangle\} \\ \pi_{y}^{-1}[\{u\}]=\{\langle a, u\rangle,\langle b, u\rangle,\langle c, u\rangle\} \end{array} \] 이다. 따라서 \( X \times Y \) 상의 적위상에 대한 정의부분기저 \( R \)은 \[ \begin{aligned} R=&\{X \times Y, \varnothing,\{\langle a, u\rangle,\langle a, v\rangle\},\{\langle b, u\rangle,\langle b, v\rangle,\langle c, u\rangle,\langle c, v\rangle\},\\ &\{\langle a, u\rangle,\langle b, u\rangle,\langle c, u\rangle\}\} \end{aligned} \] 로 주어진다.</p> <p>정리 6 \( f \)가 임의의 위상공간 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)에서 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)의 적공간 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)로의 함수일 때, 함수 \( f \)가 연속이기 위한 필요충분조건은 임의의 사영 \( \pi_{i}: X \rightarrow X_{i} \)에 대하여 합성함수 \( \pi_{i} \circ f: Y \rightarrow X_{i} \)가 연속인 것이다.</p> <p>증명 적공간의 정의에 의하여 모든 사영은 연속이다. 따라서 \( f \)가 연속이면 두 연속함수의 합성함수 \( \pi \circ f \)는 연속이다. 역으로 모든 합성함수 \( \pi_{i} \circ f: Y \rightarrow X_{i} \)가 연속이라 가정하자. 이때 \( G \)를 \( X_{i} \)의 열린부분집합이라 하면, \( \pi_{i} \circ f \)의 연속성에 의하여 \[\left(\pi_{i} \circ f\right)^{-1}[G]=f^{-1}\left[\pi_{i}^{-1}[G]\right]\] 는 \( Y \)의 열린집합이다. 그러나 \( \pi_{i}^{-1}[G] \)로 주어진 집합족은 \( X \)상의 적위상의 정의부분 기저이므로, \( f \)에 의한 역상이 \( Y \)의 열린부분집합이 된다. 따라서 \( f \)는 연속이다.</p> <p>예 \( f(x)=\langle\cos x, \sin x\rangle \)로 정의된 함수 \( f: R \rightarrow R^{2} \)은 연속이다. 왜나하면 \[\left(\pi_{1} \circ f\right)(x)=\cos x,\left(\pi_{2} \circ f\right)(x)=\sin x\] 가 연속이고, \( R^{2} \)상의 위상이 적위상이기 때문이다.</p> <p>부분기저 원소의 유한개의 교집합은 그 위상에 대한 기저를 구성하므로, 다음 정리를 얻는다.</p> <h4>(2) 콤팩트 공간의 부분집합</h4> <p>콤팩트 공간의 임의의 부분집합은 콤팩트가 아니다. 그러나 다음 정리가 성립한다.</p> <p>정리 4 콤팩트 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 닫힌부분집합 \( F \)는 콤팩트이다. 즉 콤팩트성은 닫힌집합에 대하여 유전적이다.</p> <p>증명 \( \mathscr{G}=\left\{G_{i}\right\} \)를 \( F \)의 열린덮개, 즉 \( F \subset \cup_{i} G_{i} \)라고 하면 \( \mathscr{G}^{}=\left\{G_{i}\right\} \cup\left\{F^{c}\right\} \)는 \( X \)의 덮개가 된다. 한편 \( F \)가 닫힌집합이므로 \( F^{c} \)는 열린집합이다. 따라서 \( \mathscr{G} \)는 \( X \)의 열린덮개이다. 그런데 \( X \)가 콤팩트이므로 \( \mathscr{9} \)는 유한부분덮개를 갖는다. 즉 \[X=G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}} \cup F^{c}\left(\text { 단, } G_{i_{k}} \in \mathscr{G}\right. \text { ) }\] 가 성립한다. 그런데 \( F \)와 \( F^{c} \)는 서로소이므로 \[F \subset G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\left(\text { 단, } G_{i_{k}} \in \mathscr{G}\right)\] 을 만족한다. 따라서 \( F \)의 임의의 열린덮개 \( \mathscr{G}=\left\{G_{i}\right\} \)는 유한부분덮개를 갖는다. 즉 \( X \)의 닫힌부분집합 \( F \)는 콤팩트이다.</p> <h4>(3) 유한교차성</h4> <p>정의 5 유한교차성</p> <p>집합족 \( \left\{A_{i}\right\} \)의 모든 유한부분족 \( \left\{A_{i_{1}}, \cdots, A_{i_{m}}\right\} \)이 공집합이 아닌 교집합을 가질 때, 즉 \[A_{i_{1}} \cap \cdots \cap A_{i_{m}} \neq \varnothing\] 를 만족하면 집합족 \( \left\{A_{i}\right\} \)는 유한교차성(finite intersection property) 또는 유한교집합 조건을 갖는다고 한다.</p> <p>예 보통위상 \(\mathscr{U}\)를 갖는 \( R \)에서, 열린구간족 \[\mathscr{c}=\left\{(0,1),\left(0, \frac{1}{2}\right),\left(0, \frac{1}{3}\right),\left(0, \frac{1}{4}\right), \cdots\right\}\] 는 유한교차성을 갖는다. 왜냐하면 \( b=\min \left\{a_{1}, \cdots, a_{m}\right\}>0 \)이라고 할 때 \[\left(0, a_{1}\right) \cap\left(0, a_{2}\right) \cap \cdots \cap\left(0, a_{m}\right)=(0, b)\] 를 만족하기 때문이다. 이때 \( \mathscr{c} \) 전체의 교집합은 공집합 \( \varnothing \) 임에 유의한다.</p> <p>예 보통위상 26 를 갖는 \( R \)에서, 무한닫힌구간족 \[\mathscr{B}=\{\cdots,(-\infty,-2],(-\infty,-1],(-\infty, 0],(-\infty, 1],(-\infty, 2], \cdots\}\]</p> <p>의 교집합은 공집합 \( \varnothing \)이다. 즉 \( B_{n}=(-\infty, n] \)이라 하면 \[\cap\left\{B_{n} \mid n \in N\right\}=\varnothing\] 가 된다. 그러나 \( \mathscr{B} \)의 임의의 유한부분족의 교집합은 공집합이 아니다. 따라서 \( \mathscr{B} \)는 유한교차성을 갖는다.</p> <p>정리 6 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)가 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 \( X \)의 모든 닫힌부분집합족 \( \left\{F_{i}\right\} \)에 대하여 \[\cap_{i} F_{i}=\varnothing \Rightarrow F_{i_{1}} \cap F_{i_{2}} \cap \cdots \cap F_{i_{m}}=\varnothing\] 를 만족하는 유한부분집합족 \( \left\{F_{i_{1}}, F_{i_{2}}, \cdots, F_{i_{m}}\right\} \)을 갖는 것이다.</p> <p>증명 먼저 \( X \)가 콤팩트라 가정하고, \( X \)의 모든 단힌부분집합족 \( \left\{F_{i}\right\} \)에 대하여 \( \cap_{i} F_{i}=\varnothing \)가 성립한다고 하자. 그러면 \[X=\varnothing^{c}=\left(\cap_{i} F_{i}\right)^{c}=\cup_{i} F_{i}^{c}\] 가 된다. 따라서 \( \left\{F_{i}{ }^{c}\right\} \) 는 \( X \)의 열린덮개이다. 이때 \( X \)가 콤팩트이므로 \[X=F_{i_{1}}{ }^{c} \cup F_{i_{2}}{ }^{c} \cup \cdots \cup F_{i_{m}}{ }^{c}\] 를 만족하는 \( F_{i_{1}}{ }^{c}, F_{i_{2}}{ }^{c}, \cdots, F_{i_{m}}{ }^{c} \in\left\{F_{i}{ }^{c}\right\} \)가 존재한다. 따라서 \[\varnothing=X^{c}=\left(F_{i_{1}}{ }^{c} \cup F_{i_{2}}{ }^{c} \cup \cdots \cup F_{i_{m}}{ }^{c}\right)^{c}=F_{i_{1}} \cap F_{i_{2}} \cap \cdots \cap F_{i_{m}}\] 을 만족하는 \( \left\{F_{i}\right\} \)의 유한부분집합족 \( \left\{F_{i_{1}}, F_{i_{2}}, \cdots, F_{i_{m}}\right\} \)이 존재한다. 이제 역이 성립함을 보이기 위해 \( \left\{G_{i}\right\} \)를 \( X \)의 열린덮개, 즉 \( X=\cup_{i} G_{i} \)라 하자. 그러면 \[\varnothing=X^{c}=\left(\cup_{i} G_{i}\right)^{c}=\cap_{i} G_{i}{ }^{c}\] 가 된다. 그런데 각 \( G_{i} \)가 열린집합이므로, \( \left\{G_{i}{ }^{c}\right\} \)는 단힌집합족이다. 따라서 가정에 의하여 \[G_{i_{1}}{ }^{c} \cap G_{i_{2}}{ }^{c} \cap \cdots \cap G_{i_{m}}{ }^{c}=\varnothing\] 를 만족하는 \( G_{i_{1}}{ }^{c}, G_{i_{2}}{ }^{c}, \cdots, G_{i_{m}}{ }^{c} \in\left\{G_{i}{ }^{c}\right\} \)가 존재한다. 따라서 \[X=\varnothing^{c}=\left(G_{i_{1}}{ }^{c} \cap G_{i_{2}}{ }^{c} \cap \cdots \cap G_{i_{m}}{ }^{c}\right)^{c}=G_{i_{1}} \cup G_{i_{2}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\] 이 성립한다. 따라서 \( X \)는 콤팩트이다.</p> <p>따름정리 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)가 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 유한교차성을 갖는 \( X \)의 모든 닫힌부분집합족 \( \left\{F_{i}\right\} \)가 \( \cap_{i} F_{i} \neq \varnothing \)를 만족하는 것이다.</p> <h3>5. 국소콤팩트 공간</h3> <p>정의 15 국소콤팩트 공간</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 임의의 점 \( p \)가 콤팩트 근방 (compact neighborhood)을 가질 때, \( (X, \mathscr{T}) \)를 국소콤팩트 공간 (locally compact space)이라 한다.</p> <p>예 모든 이산위상공간 \( (X, \mathscr{D}) \)는 국소콤팩트 공간이다. 왜냐하면 임의의 \( p \in X \)는 \( \{p\} \)를 콤팩트 근방으로 갖기 때문이다. 또한 모든 밀착위상공간 \( (X, \mathscr{Z}) \)는 콤팩트 공간이므로, 국소콤팩트 공간이다.</p> <p>예 보통위상공간 \( \left(R^{2}, \mathscr{q}\right) \)는 국소콤팩트 공간이다. 왜냐하면 임의의 점 \( p=(x, y) \in R^{2} \)에 대하여 \( [x-\delta, x+\delta] \times[y-\delta, y+\delta] \)를 콤팩트 근방으로 갖기 때문이다.</p> <p>정리 16 모든 콤팩트 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)는 국소콤팩트 공간이다.</p> <p>증명 콤팩트 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 임의의 \( p \in X \)는 단힌구간 \( [p-\delta, p+\delta] \)를 콤팩트 근방으로 갖는다. 따라서 \( (X, \mathscr{T}) \)는 국소콤팩트 공간이다.</p> <p>정리 16의 역은 성립하지 않는다.</p> <p>예 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \)는 국소콤팩트 공간이다. 왜나하면 임의의 점 \( p \in R \)는 닫힌구간 \( [p-\delta, p+\delta] \)를 콤팩트 근방으로 갖기 때문이다. 그러나 \( (R, \mathscr{2} \) )는 콤팩트 공간이 아니다. 왜나하면 집합족 \[\mathscr{\not}=\{\cdots,(-3,-1),(-2,0),(-1,1),(0,2),(1,3), \cdots\}\] 는 \( R \)의 열린덮개이지만, 유한부분덮개를 갖지 않기 때문이다.</p> <p>국소콤팩트성은 위상적 성질이고 절대적 성질이지만, 유전적 성질은 아니다.</p> <p>예 국소콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 왜냐하면 보통위상공간 \( (R, \mathscr{U}) \)는 국소콤팩트 이지만, \( \left(Q, \mathscr{U}\right) \)는 국소콤팩트가 아니기 때문이다.</p> <p>예제 \( (X, \mathscr{T}) \)가 국소콤팩트 공간일 때, 함수 \( f:(X, \mathscr{T}) \rightarrow\left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)가 위상동형사상이면 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)도 국소콤팩트 공간이다. 즉 국소콤팩트성은 위상적 성질이다.</p> <p>증명 \( y \in Y \)를 택하자. 그러면 \( f \)가 전사이므로, \( y=f(x) \)를 만족하는 \( x \in X \)가 존재한다. 그런데 \( X \)가 국소콤팩트이므로 \( x \)의 콤팩트 근방 \( K \)가 존재하고, 따라서 \( f \)가 연속이므로 \( f(K) \)는 콤팩트이다. 이제 \( f(K) \)가 \( y \)의 근방임을 보이자. \( K \)가 \( x \)의 근방이므로 \( x \in G \subset K \)를 만족하는 열린집합 \( G \)가 존재한다. 따라서 \[f(x)=y \in f(G) \subset f(K)\] 이고, \( f \)가 열린함수이므로 \( f(G) \)는 열린집합이다. 그러므로 \( f(K) \)는 \( y \)의 콤팩트 근방이다. 따라서 \( Y \)는 국소콤팩트 공간이다.</p> <p>참고 \( (X, \mathscr{T}) \)가 국소콤팩트 공간이고 \( A \)가 \( X \)의 닫힌부분집합이면, 부분공간 \( \left(A, \mathscr{T}_{A}\right) \)는 국소콤팩트 공간이다. 즉 국소콤팩트성은 닫힌집합에 대하여 유전적이다(연습문제 8 참조).</p> <h3>3. 수열콤팩트 집합</h3> <p>정의 11 수열콤팩트 집합</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)에 대하여, \( A \subset X \)의 모든 수열이 \( A \)의 점으로 수렴하는 부분수열을 가질 때, \( A \)를 수열콤팩트 (sequentially compact) 또는 점렬콤팩트라 한다.</p> <p>예 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \)의 부분집합 (0, 1), 즉 단위 열린구간 (0, 1)은 수열콤팩트가 아니다. 예컨대 단위 열린구간 (0, 1)의 수열 \( \left\langle s_{n}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots\right\rangle \)을 생각하자. 이때 \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)은 0으로 수렴하므로, \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)의 모든 부분수열은 또한 0으로 수렴함을 알 수 있다. 그러나 0은 단위 열린구간 (0, 1)에 속하지 않는다. 다시 말해서 단위 열린구간 (0, 1)의 수열 \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)은 (0, 1)의 점으로 수렴하는 부분수열을 포함하지 않는다. 즉 단위 열린구간 (0, 1)은 수열콤팩트가 아니다.</p> <p>예 수열콤팩트 공간의 부분공간은 수열콤팩트가 아니다. 예를 들면 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \)에서 단위 닫힌구간 [0, 1]은 수열콤팩트이지만, 단위 열린구간 (0, 1)은 수열콤팩트가 아니다. 그러나 수열콤팩트 공간의 닫힌부분집합은 수열콤팩트이다.</p> <p>예제 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 유한부분집합 \( A \)는 수열콤팩트이다.</p> <p>증명 \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)을 \( A \)의 수열이라 하면 적어도 \( A \)의 하나의 원소, 예컨대 \( a_{0} \)는 수열 \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)에서 무한 번 나타난다. 따라서 \( \left\langle a_{0}, a_{0}, a_{0}, \cdots\right\rangle \)는 \( \left\langle s_{n}\right\rangle \)의 부분수열이 되고 또한 이것은 \( A \)에 속하는 점 \( a_{0} \)로 수렴한다.</p> <p>예제 무한집합 \( X \)상의 여가산위상공간 \( \left(R, \mathscr{T}\right) \)에 대하여, \( X \)의 임의의 무한부분집합은 수열콤팩트가 아니다.</p> <p>증명 \( (X, \mathscr{T}) \)의 수열은 어떤 항 이후로는 상수항, 즉 수렴하는 형식 \( \left\langle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}, p\right. \), \( p, \cdots>\)로 주어진다. 따라서 \( A \)가 \( X \)의 무한부분집합이면 서로 다른 항을 갖는 \( A \)의 수열 \( \left\langle b_{n}\right\rangle \)이 존재하지만, \( \left\langle b_{n}\right\rangle \)은 임의의 수렴하는 부분수열을 갖지 않는다. 따라서 \( A \)는 수열콤팩트가 아니다.</p> <p>일반적으로 수열콤팩트가 아닌 콤팩트 집합이 존재하고, 그 역도 성립한다. 그러나 거리공간에서는 수열콤팩트와 콤팩트는 서로 동치이다.</p> <p>정리 12 수열콤팩트의 보존</p> <p>두 위상공간 \( \left(X, \mathscr{T}_{1}\right),\left(Y, \mathscr{T}_{2}\right) \)에 대하여, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이고 \( A \)가 \( X \)의 수열콤팩트 부분집합이면, 상 \( f[A] \)는 \( Y \)의 수열콤팩트 부분집합이다.</p> <p>증명 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이고, \( X \)의 부분집합 \( A \)가 수열콤팩트라 하자. 이때 \( Y \)의 부분집합 \( f[A] \)가 수열콤팩트임을 밝힌다. \( \left\langle b_{n}\right\rangle \)을 \( f[A] \)의 수열이라 하자. 그러면 모든 \( n \in N \)에 대하여 \( f\left(a_{n}\right)=b_{n} \)을 만족하는 \( a_{1}, a_{2}, \cdots \in A \)가 존재한다. 여기서 \( A \)가 수열콤팩트이므로, 수열 \( \left\langle b_{n}\right\rangle \)은 점 \( a_{0} \)로 수렴하는 부분수열 \( \left\langle a_{i_{n}}\right\rangle \)을 갖는다. 그런데 \( f \)가 연속이므로, \( f \)는 수열연속이다. 그러므로 \( \left\langle f\left(a_{i_{n}}\right)\right\rangle \)은 \( f\left(a_{0}\right) \in f[A] \)로 수렴한다. 따라서 \( f[A] \)는 수열콤팩트이다.</p> <p>수열콤팩트성은 위상적 성질이고, 절대적 성질이지만, 유전적 성질은 아니다.</p> <p>참고 \( (X, \mathscr{T}) \)가 위상공간일 때, \( A \subset X \)가 수열콤팩트이면 \( A \)의 임의의 가산열린덮개는 유한부분덮개를 갖는다.</p> <h3>6. 콤팩트화</h3> <p>정의 17 콤팩트화</p> <p>두 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)과 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)에 대하여, \( X \)가 \( Y \)의 어떤 부분집합과 위상동형이면 \( X \)는 \( Y \)로 매장된다 (embedded)고 한다. 이때 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)가 콤팩트 공간이면, \( Y \)를 \( X \)의 콤팩트화 (compactification)라 한다.</p> <p>실제로 \( X \)가 콤팩트 공간이 아닌 경우 \( X \)에 한 점 또는 그 이상의 점을 추가하고, \( X \)를 부분집합으로 포함하도록 확장된 집합 위에 적당한 위상을 주어서 콤팩트화한다.</p> <p>예 보통위상공간 \( (R, \mathscr{U}) \)에서 열린구간 (a, b)는 콤팩트가 아니다. 그러나 두 점 a, b를 추가하면 닫힌구간 [a, b]는 콤팩트가 된다.</p> <p>참고 보통위상공간 \( \left(R, \mathscr{U}\right) \)는 콤팩트가 아니다. 그런데 \( R \)에 \( \infty \)와 \( -\infty \)를 추가한 확장된 집합 \( R^{}=R \cup\{-\infty, \infty\} \)를 확장된 실직선(extended real line)이라 하고, 임의의 \( a \in R \)에 대하여 \( -\infty<a<\infty \)로 정의하여 \( R \)에서의 순서관계를 \( R^{} \)로 확장한다. 이 경우 형식 \[(a, b)=\{x \mid a<x<b\}, \quad(a, \infty]=\{x \mid a<x\}, \quad[-\infty, a)=\{x \mid x<a\}\] 는 \( R^{} \) 상의 위상 \( \mathscr{U}^{} \)를 생성하는 기저가 된다. 이때 확장된 실수공간 \( \left(R^{}, \mathscr{U}^{}\right) \)는 \( \left(R, \mathscr{U}\right) \)의 콤팩트화이다.</p> <p>보통위상을 갖는 \( R \)은 실수의 임의의 열린구간 (a, b)와 위상동형이다. 또한 확장된 실직선 \( R^{} \) 상의 위상공간 \( \left(R^{}, q_{6}^{}\right) \)는 콤팩트인 임의의 단힌구간 [a, b]와 위상동형이다.</p> <p>예 3차원 유클리드 공간 \( R^{3} \)의 x y-평면을 \( C \)로 나타내고, 중심이 z축상의 \( \langle 0,0,1\rangle \)에 있고 반지름이 1인 구면을 \( S \)로 나타내자. 이때 \( \infty=\langle 0,0,2\rangle \in S \)와 임의의 점 \( p \in C \)를 지나는 직선은 \( \infty \)이외의 하나의 점 \( p^{\prime} \)에서 구 \( S \)와 만난다.</p> <p>이 경우 \( f: C \rightarrow S \)를 \( f(p)=p^{\prime} \) 으로 정의하면, 실제로 \( f \)는 콤팩트가 아닌 평면 \( C \)로부터 콤팩트인 구면 \( S \)의 부분집합 \( S \backslash\{\infty\} \)위로의 위상동형사상이다. 따라서 \( S \)는 \( C \)의 콤팩트화이다.</p> <p>정의 18 한 점 콤팩트화</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{g}) \)에서 \( \infty \)는 \( X \)에 속하지 않는 한 점이다. 위상공간 \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)가 다음 두 조건</p> <p>(1) \( X_{\infty}=X \cup\{\infty\} \). 여기서 \( \infty \)는 무한원점(point of infinity)이라 한다.</p> <p>(2) \( \mathscr{T}_{\infty}=\mathscr{T} \cup\left\{X_{\infty} \backslash F \mid F\right. \)는 \( X \)의 단힌 콤팩트 부분집합 \( \} \)</p> <p>를 만족할 때, 위상공간 \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)를 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 알렉산드로프 콤팩트화 (Alexandrov compactification), 한 점 콤팩트화 (one-point compactification) 또는 한 점 옹골화라 한다.</p> <p>참고 집합족 \( \mathscr{T}_{\infty} \)는 \( X_{\infty} \)상의 위상이고, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)는 \( (X, \mathscr{T}) \)의 콤팩트화이다.</p> <p>일반적으로 위상공간 \( \left(X_{\infty}, \mathscr{I}_{\infty}\right) \)는 원래의 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)와 같은 성질을 갖지 않을 수도 있다. 그러나 두 공간 사이에는 다음 관계가 존재한다.</p> <p>정리 19 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)가 국소콤팩트 \( T_{2} \)-공간이면, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T} \infty\right) \)는 콤팩트 \( T_{2} \)-공간이다.</p> <p>증명 \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)는 콤팩트이므로, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)가 \( T_{2} \)-공간임을 보이기 위해 \( X_{\infty} \)의 서로 다른 임의의 두 점 a, b를 택한다. 두 점 a, b가 모두 \( X \)의 점이면 \( X \)가 \( T_{2} \)-공간이므로, 각 점을 포함하는 서로소인 \( X \) 의 두 열린집합이 존재한다. 그런데 \( \mathscr{I}^{\text {-열린집합 }} \)은 \( \mathscr{T}_{\infty} \)-열린집합이므로, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \) 는 \( T_{2} \)-공간이다. 이제 \( a \in X \)이고, \( b=\infty \)라 하자. 그러면 \( X \)가 국소콤팩트 공간이므로, \( a \)의 콤팩트 근방 \( K \)가 존재한다. 그런데 \( X \)가 \( T_{2} \)-공간이므로 \( K \)는 \( X \)의 닫힌부분집합이고, 따라서 \( X X_{\infty} \backslash K \)는 \( \mathscr{T}_{\infty} \)-열린집 합이다. 즉 \[a \in \operatorname{int}(K), b \in X_{\infty} \backslash K \text {, int }(K) \cap\left(X_{\infty} \backslash K\right)=\varnothing\] 이므로, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{I}_{\infty}\right) \)는 \( T_{2} \)-공간이다.</p> <p>우리손의 보조정리를 사용하면, 측도론과 적분론에 유용한 다음 결과를 얻는다.</p> <p>정리 20 \( E \)가 국소콤팩트 \( T_{2} \)-공간 \( (X, \mathscr{g}) \)의 콤팩트 부분집합이고, 또한 \( E \)가 열린집합 \( G \) (단, \( G \neq X \) )의 부분집합이면 \[f[E]=\{0\}, \quad f\left[G^{c}\right]=\{1\}\] 을 만족하는 연속함수 \( f: X \rightarrow\)[0,1]가 존재한다.</p> <p>증명 \( (X, \mathscr{g}) \)가 국소콤팩트 \( T_{2} \)-공간이면, \( \left(X_{\infty}, \mathscr{I}_{\infty}\right) \)는 콤팩트 \( T_{2} \)-공간이므로 정규공간이다. 그런데 \( E \)가 \( T_{2} \)-공간 \( X_{\infty} \) 의 콤팩트 부분집합이므로, \( E \)는 \( X_{\infty} \)의 닫힌부분 집합이다. 또한 \( G \)가 \( X \)의 열린부분집합이므로, \( X_{\infty} \)의 열린부분집합이고, 따라서 \( X_{\infty} \backslash G \)는 \( X_{\infty} \)의 닫힌부분집합이다. 즉 \( X_{\infty} \backslash G \)와 \( E \)는 정규공간 \( \left(X_{\infty}, \mathscr{T}_{\infty}\right) \)의 서로소인 닫힌집합이므로, 우리손의 보조정리에 의해 \[f^{}[E]=\{0\}, \quad f^{}\left[X_{\infty} \backslash G\right]=\{1\}\] 을 만족하는 연속함수 \( f^{}: X_{\infty} \rightarrow[0,1] \)가 존재한다. 이때 \( f=\left.f^{}\right\|_{X} \)라 하면 \[f[E]=\{0\}, \quad f\left[G^{c}\right]=\{1\}\] 을 만족하는 연속함수 \( f: X \rightarrow[0,1] \)가 존재한다.</p> <h2>6.2 적공간</h2> <h3>1. 적공간</h3> <h4>(1) 적위상</h4> <p>\( I \)가 첨자집합일 때, 첨자집합족 \( \mathscr{A}=\left\{A_{i}\right\}_{i \in I} \)의 적집합은 \[\prod_{i \in I} A_{i} \text { 또는 간단히 } \Pi_{i} A_{i}\] 로 표시된다. 이것은 \( p(i)=a_{i} \in A_{i} \)를 만족하는 \( p: I \rightarrow \cup_{i} A_{i} \)인 모든 함수의 집합, 즉 \[\prod_{i \in I} A_{i}=\left\{p \mid p: I \rightarrow \cup_{i} A_{i} \text { 는 함수이고, } p(i)=a_{i} \in A_{i}\right\}\] 이다. 이와 같은 적집합의 원소를 \( p=\left\langle a_{i} \mid i \in I\right\rangle \) 또는 간단히 \( p=\left\langle a_{i}\right\rangle \)로 나타낸다. 이때 각 \( i_{0} \in I \)에 대하여 \( i_{0} \) 성분의 사영함수 (projection function) \( \pi_{i_{0}} \)가 존재한다. 이것은 \[\pi_{i_{0}}\left[\left\langle a_{i} \mid i \in I\right\rangle\right]=a_{i_{0}}\] 로 정의되는 적집합 \( \Pi_{i} A_{i} \)에서 \( i_{0} \) 번째 성분집합 \( A_{i_{0}} \)로의 사상 \( \pi_{i_{0}}: \Pi_{i} A_{i} \rightarrow A_{i_{0}} \)이다.</p> <p>예 집합 \( A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{m} \)에 대하여 \[A_{1} \times A_{2} \times \cdots \times A_{m} \text { 또는 } \prod_{i=1}^{m} A_{i}\] 로 표현되고, 각 \( i \)에 대하여 \( a_{i} \in A_{i} \)일 때, 적집합은 모든 \( m \)-짝 \( \left\langle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}\right\rangle \)인 원소로 구성된다.</p> <p>정의 1 적위상</p> <p>임의의 위상공간들의 집합, 즉 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)에 대하여, 집합 \( X_{i} \)의 직집합 \( X \)를 \[X=\prod_{i \in I} X_{i}\] 라 하자. 이때 모든 \( i \in I \)에 대하여 사영함수 \( \pi_{i}: X \rightarrow X_{i} \)가 연속함수가 되는 \( X \)상의 위상 중에서 가장 약한 위상 \( \mathscr{T} \)를 \( X \)의 티코노프 적위상(Tychonoff product topology) 또는 간단히 적위상 (product topology)이라 한다. 적위상 \( \mathscr{T} \)를 갖는 적집합 \( X \), 즉 \( (X, \mathscr{T}) \)를 적위상공간(product topological space) 또는 간단히 적공간(product space)이라 한다.</p> <p>적집합 \( \Pi_{i} X_{i} \)상의 적위상 \( \mathscr{G} \)란 사영에 의하여 생성된 위상이다. 적집합 \( \Pi_{i} X_{i} \)상의 밀착 위상은 적위상보다 약한 위상이다.</p> <p>예제 각 \( R_{i} \)가 보통위상을 갖는 모든 실수의 집합 \( R \)이고, 단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)이 첨자 집합일 때, 적공간 \( X=\Pi\left\{R_{i} \mid i \in I\right\} \)는 \( I \)상에서 정의된 모든 실가함수족 \[X=\{p \mid p: I \rightarrow R\}\] 이다.</p> <p>증명 적공간 \( X=\Pi\left\{R_{i} \mid i \in I\right\} \)를 그래프로 표현하면, \( I=[0,1] \)이 단위 닫힌구간일 때 수평축은 첨자집합 \( I=[0,1] \)을 나타내고, \( I \)의 한 점, 예컨대 \( j_{0} \)를 지나는 각 수직선은 좌표공간 \( R_{j_{0}} \)를 나타낸다. 이때 적공간 \( X \)의 원소 \( p=\left\langle a_{i} \mid i \in I\right\rangle \)는 각 수 \( i \in I \)를 실수 \( a_{i} \)에 대응한다. 즉 \( p \)는 첨자집합 \( I=[0,1] \)상에 정의된 실가함수이다. 다시 말해서 적공간 \( X \)는 \( X=\{p \mid p: I \rightarrow R\} \)이다.</p> <p>정의 2 적불변</p> <p>모든 위상공간 \( \left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right) \)가 성질 \( P \)를 가질 때 적공간 \( \left(\Pi_{i} X_{i}, \mathscr{T}\right) \)도 역시 성질 \( P \)를 가지면, 위상공간이 갖는 어떤 성질 \( P \)를 적불변 (product invariant) 또는 가적 (productive)이라 한다.</p> <p>\( T_{2} \)-공간이라는 성질은 적불변이다.</p> <p>정리 3 \( T_{2} \)-공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)에 대하여, 적공간 \( \left(\Pi_{i} X_{i}, \mathscr{T}\right) \)는 \( T_{2} \)-공간이다.</p> <p>증명 모든 \( i \in I \)에 대하여 \( \left(X_{i}, \mathscr{I}_{i}\right) \)가 \( T_{2} \)-공간이고 \( (X, \mathscr{g})=\left(\Pi_{i} X_{i}, \mathscr{g}\right) \)를 이들의 적공간이라 하자. 이제 \( (X, \mathscr{T}) \) 가 \( T_{2} \)-공간임을 보이기 위해 \( X \)의 서로 다른 두 점 \( p=\left\langle a_{i}\right\rangle \) 와 \( q=\left\langle b_{i}\right\rangle \)를 택하면, \( I \)의 원소 중 적어도 한 점 \( j_{0} \)가 존재하여 \( a_{j_{0}} \neq b_{j_{0}} \)가 된다. 그런데 \( \left(X_{j_{0}}, \mathscr{T}_{j_{0}}\right) \)가 \( T_{2} \)-공간이므로 \( a_{j_{0}} \in G_{j_{0}} \)와 \( b_{j_{0}} \in H_{j_{0}} \)를 만족하는 \( X_{j_{0}} \)의 서로소인 열린부분집합 \( G_{j_{0}} \)와 \( H_{j_{0}} \)가 존재한다. 이때 적공간의 정의에 의하여 사영 \( \pi_{j_{0}}: X \rightarrow X_{j_{0}} \)는 연속이므로 \[G=\pi_{j_{0}}^{-1}\left[G_{j_{0}}\right], H=\pi_{j_{0}}^{-1}\left[H_{j_{0}}\right]\] 는 각각 \( p \)와 \( q \)를 원소로 갖는 \( X \)의 서로소인 열린집합이다. 따라서 적공간 \( \left(\Pi_{i} X_{i}, \mathscr{T}\right) \)는 \( T_{2} \)-공간이다.</p> <p>정리 3의 역도 성립한다. 왜나하면 \( p=\left\langle p_{i}\right\rangle \in \Pi_{i} X_{i} \)인 점 \( p \)를 하나 택하면, 각 성분공간 \( X_{i} \)는 적공간 \( \Pi_{i} X_{i} \)의 부분공간 \( X_{i} \times \Pi_{j \neq i}\left\{p_{j}\right\} \)와 위상동형이기 때문이다.</p> <p>참고 제1가산공간들의 가산 적공간은 제1가산공간이지만, 임의의 적공간은 제1가산공간이 아니다. 또한 제2가산공간들의 가산 적공간도 제2가산공간이지만, 임의의 적공간은 제2가산공간이 아니다.</p> <p>일반적으로 위상공간들이 갖는 성질들은 그 성질들이 다른 공간에 그대로 보본되는가에 의해 위상적 성질, 유전적 성질, 절대적 성질, 그리고 적불변 성질로 정의된다. 물론 다른 세 가지 성질과 절대적 성질은 차이가 있다. 다른 세 가지 성질들은 집합과 위상이 모두 바뀌지만, 절대적 성질은 집합은 그대로 두고 위상만 원래의 위상과 부분위상으로 변한다.</p> <h3>(2) 적위상의 기저와 부분기저</h3> <p>적불변 성질 중 가장 중요한 예는 콤팩트성이다. 이를 증명하기 위해 먼저 적공간의 특성을 살펴본다.</p> <h4>① 유한적 위상의 기저</h4> <p>\( (X, \mathscr{T}) \)가 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right) \mid i=1,2, \cdots, n\right\} \)의 적공간일 때, \( \mathscr{T} \)의 부분기저 \( R \)은 \[\mathcal{R}=\left\{\pi_{i}^{-1}\left[G_{i}\right] \mid G_{i} \in \mathscr{T}_{i}\right\}\] 으로 주어진다.</p> <p>예 두 유계인 열린구간 \( A \)와 \( B \)의 적 \( A \times B \)는 \( R^{2} \)의 열린 직사각형이다. 열린 직사각형은 \( R^{2} \)상의 보통위상에 대한 기저를 이루고, 이것은 또한 \( R^{2} \)상의 적위상의 기저이다. 이러한 성질은 모든 유한적 위상에 대하여 성립한다.</p> <p>정리 4 \( (X, \mathscr{T}) \)가 임의의 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{O}_{i}\right) \mid i=1,2, \cdots, n\right\} \)의 적집합이라 하자. 이 경우 \( G_{i} \)가 \( X_{i} \)의 열린부분집합일 때, \( X \)상의 적위상 \( \mathscr{T} \)의 기저는 \[\left\{G_{1} \times G_{2} \times \cdots \times G_{n} \mid G_{i} \in \mathscr{T}_{i}, i=1,2, \cdots, n\right\}\] 으로 주어진다.</p> <p>일반적으로 정리 4는 무한 적공간의 경우에는 성립하지 않는다.</p> <p>예 \( R^{2} \)에서 \( \pi_{1}^{-1}(a, b) \)와 \( \pi_{2}^{-1}(a, b) \)는 \( R^{2} \)상의 보통위상에 대한 부분기저를 이룬다. 따라서 \( R^{2} \)상의 보통위상은 \( R^{2} \)에서 \( R \)로의 모든 사영함수에 의해 생성된다. 즉 \( R^{2} \)상의 보통위상은 적위상이다.</p> <p>예 \( (X, \mathscr{D}) \)가 이산위상공간일 때, \( X^{2} \)의 적위상은 이산위상이다. 또한 \( (X, \mathscr{Z}) \)가 밀착위 상공간일 때, \( X^{2} \)의 적위상은 밀착위상이다</p> <p>참고 임의의 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)에 대하여, 집합 \( X_{i} \)의 적집합을 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)라 하자. 이 경우 \( G_{i} \)가 좌표공간 \( X_{i} \)의 열린부분집합이면, \( \Pi\left\{G_{i} \mid i \in I\right\} \)로 주어진 \( X \)의 모든 부분집합족은 적집합 \( X \)상의 위상의 기저를 이룬다.</p> <p>역사적으로 적집합 \( \Pi\left\{X_{i} \mid i \in I\right\} \)상의 위상이 티코노프 적위상보다 먼저 연구되었다. 일반적으로 적집합 \( \Pi\left\{X_{i} \mid i \in I\right\} \)상의 위상은 \( \Pi\left\{X_{i} \mid i \in I\right\} \)상의 적위상, 즉 티코노프 적위상과 일치하지 않지만, 유한적 공간일 경우는 일치한다.</p> <h3>2. 티코노프의 적정리</h3> <p>티코노프 적위상에 관한 '티코노프의 적정리'는 위상수학에서 매우 유용한 정리이다. 이 정리에 의해 적위상이 적집합상의 위상으로 정당화되었다. 조른의 보조정리를 이용하여, 다음 정리가 증명된다.</p> <p>보조정리 9</p> <p>\( \mathscr{A} \)가 유한교차성을 갖는 집합 \( X \)의 부분집합족이라 하자. 이때 유한교차성을 갖는 모든 포함집합족의 족 \( R \), 즉 \[R=\{\mathscr{A} \subset \mathbb{B} \mid \mathbb{B} \text { 는 유한교차성을 갖는다. }\}\] 에 대하여, \( R \)의 원소 간의 포함관계에 의한 순서를 도입하면 \( (R, \subset) \)은 극대원소 \( \mathscr{U} \)을 갖는다.</p> <p>참고 보조정리 9에 서술한 극대원소 26는 다음 성질을 갖는다.</p> <p>(1) 26의 원소의 모든 포함집합은 26에 속한다.</p> <p>(2) \( \mathscr{6} \)의 유한개의 원소들의 교집합은 \( \mathscr{q b} \)에 속한다.</p> <p>(3) 모든 \( M \in \mathscr{U} \)에 대하여 \( A \cap M \neq \varnothing \)이면, \( A \)는 \( \mathscr{U} \)에 속한다.</p> <p>보조정리 9로부터 다음 정리, 즉 티코노프의 적정리를 얻는다. 티코노프의 적정리는 실제로 조른의 보조정리와 동치이다.</p> <p>정리 10 티코노프의 적정리</p> <p>콤팩트 위상공간족 \( \left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)에 대하여, 적공간 \( X=I I\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)는 콤팩트이다.</p> <p>증명 \( \quad \mathscr{b}=\left\{F_{j}\right\} \)가 유한교차성을 갖는 집합 \( X \)의 닫힌부분집합족이라 할 때, \( \mathscr{b} \)가 공집합이 아닌 교집합을 가짐을 증명하면 된다. 즉 \[F_{j} \in \mathscr{b} \Rightarrow p \in F_{j}\] 를 만족하는 \( p \in X \)가 존재함을 증명하면 된다. 이제 \( \mathscr{q b}=\left\{M_{k} \mid k \in K\right\} \)를 유한교차성을 갖는 \( \mathscr{b} \)의 극대포함집합족이라 하고, \( \overline{\mathscr{q b}}=\left\{\overline{M_{k}} \mid k \in K\right\} \)로 정의하자. 그러면 \[F_{j} \in \mathscr{b} \Rightarrow F_{j}=\overline{F_{j}}, \quad F_{j} \in \mathscr{\alpha} \Rightarrow F_{j} \in \overline{q b}\] 가 성립한다. 이때 \( \bar{q} \)가 공집합이 아닌 교집합을 갖는 것이 증명되면, 6는 또한 공집합이 아닌 교집합을 가질 것이다. 즉 \[k \in K \Rightarrow p \in \overline{\mathscr{Q}}\] 를 만족하는 \( p \in X \)가 존재함을 밝히면 된다. 따라서 \( p \in \overline{M_{k}} \), 즉 \( B \)가 \( X \)상의 적위상의 정의기저의 원소일 때</p> <p>모든 \( k \in K \)에 대하여, \( p \in B \Rightarrow B \cap M_{k} \neq \varnothing \)<caption>(1)</caption></p> <p>를 만족하는 \( p \in X \)가 존재함을 밝히면 증명은 완료된다. \( \mathscr{q b}=\left\{M_{k} \mid k \in K\right\} \)가 유한교차성을 가지므로, 각 사영 \( \pi_{i}: X \rightarrow A_{i} \)에 대해서도 좌표공간 \( A_{i} \)의 부분집합족 \[\left\{\pi_{i}\left[M_{k}\right] \mid k \in K\right\}\] 는 또한 유한교차성을 가진다. 따라서 폐포족 \( \left\{\overline{\pi_{i}\left[M_{k}\right]} \mid k \in K\right\} \)는 유한교차성을 갖는 \( A_{i} \)의 닫힌부분집합족이다. 가정에 의하여 \( A_{i} \)가 콤팩트이므로 \[k \in K \Rightarrow a_{i} \in \overline{\pi_{i}\left[M_{k}\right]}\] 를 만족하는 \( a_{i} \in A_{i} \)가 존재한다. 같은 뜻으로 \( G_{i} \)가 좌표공간 \( A_{i} \)의 임의의 열린부분 집합일 때, 모든 \( k \in K \)에 대하여 \[a_{i} \in G_{i} \Rightarrow G_{i} \cap \pi_{i}\left[M_{k}\right] \neq \varnothing\] 를 만족하는 \( a_{i} \in A_{i} \)가 존재한다. 여기서 \( p=\left\langle a_{i} \mid i \in I\right\rangle \)라 하자. 이때 \( p \)가 (1), 즉</p> <p>모든 \( k \in K \) 에 대하여, \( p \in B \Rightarrow B \cap M_{k} \neq \varnothing \)<caption>(2)</caption></p> <p>를 만족함을 보인다. \( B \)가 \( X \)상의 적위상에 대한 정의기저의 원소, 즉 \( G_{i_{a}} \)가 \( A_{i_{a}} \)의 열린부분집합이면 \[B=\pi_{i_{1}}^{-1}\left[G_{i_{1}}\right] \cap \cdots \cap \pi_{i_{m}}^{-1}\left[G_{i_{m}}\right]\] 일 때, \( p \in B \)라고 하자. \( p \in B \) 이므로, \( \pi_{i_{1}}(p)=a_{i_{1}} \)은 \( \pi_{i_{1}}[B]=G_{i_{1}} \)에 속함을 알 수 있다. 따라서 (2)에 의하여 \[k \in K \Rightarrow G_{i_{1}} \cap \pi_{i_{1}}\left[M_{k}\right] \neq \varnothing\] 이고, 이것은 모든 \( M_{k} \in \mathscr{Q} \)에 대하여 \[\pi_{i_{1}}^{-1}\left[G_{i_{1}}\right] \cap\left[M_{k}\right]=\left(\text { II }\left\{A_{i} \mid i \neq i_{1}\right\}\right) \cap M_{k} \neq \varnothing\] 임을 의미한다. 그런데 극대원소 26의 성질에 의하여, \( \pi_{i_{1}}^{-1}\left[G_{i_{1}}\right] \)은 26에 속한다. 같은 방법으로 \( \pi_{i_{1}}^{-1}\left[G_{i_{1}}\right], \cdots, \pi_{i_{m}}^{-1}\left[G_{i_{m}}\right] \)도 \( \alpha 6 \)에 속한다. 따라서 \( \alpha 6 \)의 유한교차성에 의하여, 모든 \( k \in K \)에 대하여 \[B \cap M_{k}=\pi_{i_{1}}^{-1}\left[G_{i_{1}}\right] \cap \cdots \cap \pi_{i_{m}}^{-1}\left[G_{i_{m}}\right] \neq \varnothing\] 를 얻는다. 따라서 (1)이 만족되므로, 정리가 증명되었다.</p> <p>예 각 \( A_{i} \)가 이산위상을 가질 때, \( X=\Pi\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)는 콤팩트이다. 왜나하면 \( A_{i} \)가 유한이므로 콤팩트이고, 티코노트 적정리에 의하여 \( X=\Pi\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)는 또한 콤팩트이기 때문이다.</p> <p>참고 정리 10의 역도 성립한다. 왜나하면 사영함수 \( \pi_{i} \)가 연속이고 전사이므로, 적공간 \( \Pi\left\{A_{i} \mid i \in I\right\} \)가 콤팩트이면 \( X_{i} \)도 콤팩트가 되기 때문이다.</p> <h4>(4) 콤팩트 공간과 \( T_{2}- \) 공간과의 관계</h4> <p>정리 7 \( A \)와 \( B \)가 \( T_{2} \)-공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 서로소인 콤팩트 부분집합이면 \[A \subset G, B \subset H\] 를 만족하는 서로소인 열린집합 \( G \)와 \( H \)가 존재한다.</p> <p>증명 \( A \)의 임의의 점 \( a \)는 \( B \)의 점이 아니므로, \( a \in X \backslash B \)이다. 그런데 \( B \)가 콤팩트이므로 \[a \in G_{a}, B \subset H_{a}\] 를 만족하는 서로소인 열린집합 \( G_{a} \)와 \( H_{a} \)가 존재한다. 이때 \( \mathscr{G}=\left\{G_{a} \mid a \in A\right\} \)는 \( A \)의 열린덮개이고 \( A \)가 콤팩트이므로, \( \mathscr{S} \)의 유한부분덮개 \( \left\{G_{a_{1}}, G_{a_{2}}, \cdots, G_{a_{n}}\right\} \)이 존재하여 \[B \subset H_{a_{1}} \cap H_{a_{2}} \cap H_{a_{3}} \cap \cdots \cap H_{a_{n}}\] 을 만족한다. 이제 \[H=H_{a_{1}} \cap H_{a_{2}} \cap \cdots \cap H_{a_{n}}, \quad G=G_{a_{1}} \cup G_{a_{2}} \cup \cdots \cup G_{a_{n}}\] 이라 하면, \( G \)와 \( H \)가 \( A \subset G, B \subset H \)를 만족하는 서로소인 열린집합이다.</p> <p>예 \( T_{2} \)-공간 \( X \)의 콤팩트 부분집합 \( A \)에 대하여 \( p \notin A \)이면 \[p \in G, A \subset H\] 를 만족하는 서로소인 열린집합 \( G \)와 \( H \)가 존재한다.</p> <p>정리 8 \( T_{2} \)-공간의 콤팩트 부분집합 \( A \)는 닫힌집합이다.</p> <p>증명 \( p \in A^{c} \), 즉 \( p \notin A \)라고 하자. 그러면 \( p \in G_{p} \subset A^{c} \)를 만족하는 열린집합 \( G_{p} \)가 존재한다. 그러므로 \( A^{c}=\cup\left\{G_{p} \mid p \in A^{c}\right\} \)는 열린집합이 된다. 따라서 \( A \)는 단힌집합이다.</p> <p>유한집합은 반드시 콤팩트이다. 그러나 두 개 이상의 원소로 구성된 유한집합 \( F \)상의 밀착 위상공간 \( (F, \mathcal{Z}) \)에서 \( F \)의 단원부분집합은 닫힌집합이 아니다. 즉 \( T_{2} \)-공간이 아닌 경우 일반적으로 유한집합은 닫힌집합이 아니다.</p> <p>정리 9 모든 콤팩트 \( T_{2} \)-공간 \( (X, \mathscr{T}) \)는 정규공간이다.</p> <p>증명 콤팩트 \( T_{2} \)-공간 \( \left(X, \mathscr{T}\right. \) )에 대하여, \( F_{1} \)과 \( F_{2} \)가 \( X \)의 서로소인 닫힌부분집합이라 가정하자. 그러면 \( F_{1} \)과 \( F_{2} \)가 콤팩트이므로, \( F_{1} \)과 \( F_{2} \)는 각각 서로소인 열린집합의 부분집합이다. 따라서 \( (X, \mathscr{T}) \)는 정규공간이다.</p> <p>참고 거리공간과 콤팩트 \( T_{2} \)-공간은 모두 \( T_{4} \)-공간족에 포함된다. 지금까지 6.1절에서 논한 여러 공간 사이의 관계를 나타내면 다음과 같다.</p> <p>정리 10 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 콤팩트 공간 \( X \)에서 \( T_{2} \)-공간 \( Y \)로의 전단사이고 연속이면, \( X \)와 \( f[X] \)는 위상동형이다.</p> <p>증명 \( f: X \rightarrow f[X] \)가 전단사이므로, 역함수 \( f^{-1}: f[X] \rightarrow X \)가 존재한다. 이때 \( f \)가 연속이므로, \( f^{-1} \)가 연속임을 증명하면 된다. 이를 위해서는 \( X \)의 모든 단힌부분집합 \( F \)에 대하여 \( \left(f^{-1}\right)^{-1}[F]=f[F] \)가 \( f[X] \)에서 단힌집합임을 밝히면 된다. 그런데 콤팩트 공간 \( X \)의 닫힌부분집합 \( F \)는 콤팩트이고, \( f \)가 연속이므로 \( F \)의 상 \( f[F] \)는 \( f[X] \)에서 콤팩트이다. 이때 \( Y \)가 \( T_{2} \)-공간이므로, \( f[F] \)는 단힌집합이다. 그러므로 \( f^{-1} \)는 연속이다. 따라서 \( f: X \rightarrow f[X] \)는 위상동형사상이고, \( X \)와 \( f[X] \)는 위상동형이다</p> <p>예 \( I=[0,1] \)이 보통위상을 갖는 단위 닫힌구간이고 \( R^{n} \)이 \( n \)차원 유클리드 공간일 때, 함수 \( f: I \rightarrow R^{n} \)가 전단사이고 연속이면 \( I \)와 \( f[I] \)는 위상동형이다. 왜냐하면 \( I \)가 콤팩트이고 또한 \( R^{n} \)이 \( T_{2} \)-공간이기 때문이다.</p> <p>예제 콤팩트 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)와 \( T_{2} \)-공간 \( \left(X, \mathscr{T}^{}\right) \)에 대하여, \( \mathscr{T}^{} \subset \mathscr{T} \)이면 \( \mathscr{T}^{}=\mathscr{T} \)가 된다.</p> <p>증명 \( \quad f(x)=x \)로 정의되는 함수 \( f:(X, \mathscr{T}) \rightarrow\left(X, \mathscr{T}^{}\right) \)는 전단사이다. 또한 \( \mathscr{T}^{} \subset \mathscr{T} \)이므로, \( f \)는 연속이다. 그러므로 \( f \)는 위상동형사상이다. 따라서 \( \mathscr{T}^{}=\mathscr{T} \)이다.</p> <p>정리 10은 기하학에서 매우 중요한 역할을 한다. 그러나 일반위상공간에서는 성립하지 않는다.</p> <p>예 보통위상 \(\mathscr{U}\)를 갖는 반열린구간 [0, 1)과 평면 \( R^{2} \)에 대하여 \[f(t)=\langle\cos 2 \pi t, \sin 2 \pi t\rangle\] 로 정의된 함수 \( f:[0,1) \rightarrow R^{2} \)는 [0, 1)에서 단위원 위로의 1 대 1 이고 연속이다. 그러나 반열린구간 [0, 1)은 단위원과 위상동형이 아니다. 예컨대 [0, 1)에서 \( t=\frac{1}{2} \)을 삭제하면 [0, 1)은 연결이 되지 않지만, 만일 단위원에서 임의의 점을 삭제할지라도 단위원은 연결이 된다. 이 경우에 정리 10이 적용될 수 없는 이유는 [0, 1)이 콤팩트가 아니기 때문이다.</p> <h1>제6장 콤팩트 공간과 적공간</h1> <h2>6.1 콤팩트 공간</h2> <p>무한집합에 적당한 위상을 주면 콤팩트 공간이 되는데, 비록 유한하지 않더라도 유한개의 원소로 구성된 덮개로 덮을 수 있으므로 콤팩트 공간을 유한화 공간이라고 이해하면 된다.</p> <h3>1. 덮개</h3> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)에 대하여, \( A \subset X \)일 때 \( A \subset \bigcup_{i} G_{i} \)를 만족하는 \( X \)의 부분집합족 \( \mathscr{A}=\left\{G_{i}\right\} \)를 \( A \)의 덮개 (cover)라 하며, 특히 각 \( G_{i} \)가 열린집합일 때 \( \mathscr{A}=\left\{G_{i}\right\} \)를 열린덮개라 한다. 또한 \( \mathscr{A}=\left\{G_{i}\right\} \)가 \( A \)의 덮개일 때 \[A \subset G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{n}}\] 을 만족하는 \( G_{i_{1}}, \cdots, G_{i_{n}} \in \mathscr{\varnothing} \)이 존재하면, \( \mathscr{b} \)는 유한부분덮개 \( \left\{G_{i_{n}}\right\} \)을 갖는다고 한다.</p> <p>예 보통거리 \( d \)를 갖는 \( R^{2} \)에서, \( D_{p} \)가 중심 \( p=\langle m, n\rangle \) (단, \( m, n \)은 정수)를 가지며 반지름이 1일 때, 집합족 \[\mathscr{A}=\left\{D_{p} \mid p \in Z \times Z\right\}\] 는 \( R^{2} \)의 덮개, 즉 \( R^{2} \)의 모든 점은 적어도 하나의 \( \mathscr{b} \)의 원소에 속한다. 이때 \( D_{p}{ }^{} \)가 중심 \( p=\langle m, n\rangle \) (단, \( m, n \)은 정수)을 가지며 반지름이 \( \frac{1}{2} \) 인 열린원판이면, 열린원 판족 \( \mathscr{B}=\left\{D_{p}{ }^{} \mid p \in Z \times Z\right\} \)는 \( R^{2} \)의 덮개가 아니다.</p> <h3>2. 콤팩트 공간</h3> <h4>(1) 콤팩트 공간</h4> <p>정의 1 콤팩트 공간</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 임의의 열린덮개가 유한부분덮개를 가질 때, \( (X, \mathscr{T}) \)를 콤팩트 공간이라 한다. 특히 \( X \)의 부분집합 \( A \)의 임의의 열린덮개가 유한부분덮개를 가질 때, 즉 \( A \subset \cup_{i} G_{i} \)를 만족하는 열린집합족 \( \left\{G_{i}\right\} \)가 \[A \subset G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\] 을 만족하는 유한개의 열린집합 \( G_{i_{1}}, \cdots, G_{i_{m}} \)을 가질 때, \( A \)를 \( X \)의 콤팩트 부분집합 (compact subset) 또는 간단히 \( A \)는 콤팩트라고 한다.</p> <p>콤팩트의 개념은 하이네-보렐 정리로부터 유래된다.</p> <p>참고 (하이네-보렐 정리) : 보통위상공간 \( (R, q) \) 에서 \( A=[a, b] \)가 유계인 닫힌구간이면, \( A \subset \cup_{i} G_{i} \)를 만족하는 열린집합족 \( \left\{G_{i}\right\} \)는 \[A \subset G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\] 을 만족하는 유한개의 열린집합 \( G_{i_{1}}, \cdots, G_{i_{m}} \)을 갖는다. 즉 유계인 닫힌구간 \( A=[a, b] \)의 모든 열린덮개는 유한부분덮개를 갖는다.</p> <p>예 보통위상공간 \( \left(R, थ_{6}\right) \)는 콤팩트 공간이 아니다. 왜나하면 \( \{(n, n+2) \mid n \in Z\} \)는 \( R \)의 덮개이지만, 유한부분덮개를 갖지 않기 때문이다. 그러나 하이네-보렐 정리에 의하여, 보통위상공간의 유계인 닫힌구간 \( [a, b] \)는 콤팩트이다.</p> <p>예 \( X \)가 임의의 집합일 때, 여유한위상공간 \( (X, \mathfrak{I}) \)는 콤팩트 공간이지만, 여가산위상공간 \( \left(X, \mathfrak{I}_{c}\right) \)는 콤팩트 공간이 아니다.</p> <p>예제 임의의 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)에 대하여, \( X \)의 임의의 유한부분집합 \( A=\left\{a_{1}, \cdots, a_{m}\right\} \)은 콤팩트이다.</p> <p>증명 \( \mathscr{G}=\left\{G_{i}\right\} \)를 \( A \)의 열린덮개라 하면 \( A \)에 속하는 각 점은 \( \mathscr{g} \)의 하나의 원소에 속한다. 즉 \( a_{1} \in G_{i_{1}}, \cdots, a_{m} \in G_{i_{m}} \)이다. 따라서 \( A \)의 열린덮개 \( \mathscr{G}=\left\{G_{i}\right\} \)가 \[A \subset G_{i_{1}} \cup G_{i_{2}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\] 을 만족하는 유한개의 열린집합 \( G_{i_{1}}, \cdots, G_{i_{m}} \)을 가지므로, 유한부분집합 \( A \)는 콤팩트이다.</p> <p>정리 2 \( X \)가 무한집합일 때, \( X \)상의 이산위상공간 \( (X, \mathscr{D}) \)는 콤팩트 공간이 아니다.</p> <p>증명 \( X \)의 단원부분집합족 \( \mathscr{b}=\{\{a\}\} \mid a \in X\} \)는 \( X \)의 열린덮개이다. 그러나 \( \mathscr{A} \)의 진부분족은 \( X \)의 덮개가 될 수 없다. 그런데 \( \mathscr{6} \)는 \( X \)가 무한이므로 무한이다. 따라서 \( X \)의 열린덮개 6는 유한부분덮개를 갖지 않는다. 그러므로 \( X \)는 콤팩트가 아니다.</p> <p>예 모든 유한집합은 가산집합이므로, 모든 콤팩트 공간은 린델뢰프 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 자연수의 집합 \( N \)에 대하여 이산위상공간 \( (N, \mathscr{D}) \)는 린델뢰프 공간이지만, 콤팩트 공간은 아니다.</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)에 대하여, \( A \subset X \)가 콤팩트가 아님을 증명하려면 유한부분덮개를 갖지 않는 \( A \)의 열린덮개가 존재함을 보이면 충분하다.</p> <p>예 보통위상 थ্를 갖는 \( R \), 즉 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \) 상의 단위 열린구간 \( A=(0,1) \)은 콤팩트가 아니다. 예컨대 열린구간족 \[ \mathscr{G}=\left\{\left(\frac{1}{3}, 1\right),\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{5}, \frac{1}{3}\right),\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{4}\right), \cdots\right\} \] 를 생각하자. 즉 \( G_{n}=\left(\frac{1}{n+2}, \frac{1}{n}\right) \) 일 때 \( A=\cup_{n=1}^{\infty} G_{n} \)이므로, \( \mathscr{G} \)는 \( A \)의 덮개이다. 그러나 \( \mathscr{G} \)는 유한부분덮개를 포함하지 않는다. 왜나하면 \[\mathscr{G}^{}=\left\{\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right), \cdots,\left(a_{m}, b_{m}\right)\right\}\] 을 \( \mathscr{G} \)의 임의의 유한부분족이라 하고, \( \varepsilon=\min \left\{a_{1}, \cdots, a_{m}\right\} \)이라 하면, \( \varepsilon>0 \)이고 \[\left(a_{1}, b_{1}\right) \cup \cdots \cup\left(a_{m}, b_{m}\right) \subset(\varepsilon, 1)\] 이 성립한다. 그러나 \( (0, \varepsilon) \)과 \( (\varepsilon, 1) \)은 서로소이므로 \( \mathscr{Y} \)는 \( A \)의 덮개가 아니다. 따 라서 보통위상공간 \( \left(R, \mathscr{U}\right) \) 상의 단위 열린구간 \( A=(0,1) \)은 콤팩트가 아니다.</p> <p>어떤 집합이 콤팩트가 되는 것, 즉 집합의 콤팩트성은 절대적 성질이다. 즉 \( A \)가 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 콤팩트 부분집합이기 위한 필요충분조건은 \( (X, \mathscr{T}) \)의 부분공간 \( \left(A, \mathscr{T}_{A}\right) \)이 콤팩트 공간인 것이다. 그러나 이를 유전적 성질과 혼동해서는 안 된다.</p> <p>예 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 부분공간 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)에 대하여, \( A \subset Y \subset X \)일 때 \( A \)가 \( \mathscr{T}^{} \)-콤팩트일 필요충분조건은 \( A \)가 \( \mathscr{T} \)-콤팩트가 되는 것이다.</p> <p>정리 3 두 위상공간 \( (X, \mathscr{T}),\left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)에 대하여, 함수 \( f: X \rightarrow Y \)가 연속이고 \( A \)가 \( X \)의 콤팩트 부분집합이면, 상 \( f[A] \)는 \( Y \)의 콤팩트 부분집합이다.</p> <p>증명 \( \mathscr{G}=\left\{G_{i}\right\} \)가 \( f[A] \)의 열린덮개, 즉 \( f[A] \subset \cup_{i} G_{i} \)라 하면 \[A \subset f^{-1}[f[A]] \subset f^{-1}\left[\cup_{i} G_{i}\right]=\cup_{i} f^{-1}\left[G_{i}\right]\] 가 된다. 한편 \( f \)가 연속이고 각 \( G_{i} \)가 열린집합이므로, 각 \( f^{-1}\left[G_{i}\right] \)도 또한 열린집합이다. 따라서 \( \mathscr{B}=\left\{f^{-1}\left[G_{i}\right]\right\} \)는 \( A \)의 열린덮개이다. 그런데 \( A \)가 콤팩트이므로 \( \mathscr{G} \)는 유한부분덮개를 갖는다. 즉 \[A \subset f^{-1}\left[G_{i_{1}}\right] \cup \cdots \cup f^{-1}\left[G_{i_{m}}\right]\] 이 성립한다. 그러므로 \[f[A] \subset f\left[f^{-1}\left[G_{i_{1}}\right]\right] \cup \cdots \cup f\left[f^{-1}\left[G_{i_{m}}\right]\right] \subset G_{i_{1}} \cup \cdots \cup G_{i_{m}}\] 을 얻는다. 따라서 \( f[A] \)는 콤팩트이다.</p> <p>참고 콤팩트 공간의 연속함수에 의한 상도 역시 콤팩트 공간이다. 따라서 콤팩트성은 위상적 성질이다.</p> <h3>7. 거리공간에서의 콤팩트성</h3> <p>거리공간에서는 콤팩트성, 가산콤팩트성, 그리고 수열콤팩트성이 서로 동치가 된다. 이를 증명하기 위해 몇 가지 정의와 보조정리가 필요하다.</p> <p>정의 \( 21 \varepsilon \)-네트</p> <p>\( A \)가 거리공간 (X, d)의 부분집합이고, \( \varepsilon>0 \)이라 하자. \( M=\left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{m}\right\} \)이 \( A \)의 유한부분집합일 때, 모든 \( p \in A \)에 대하여 \[d\left(p, e_{i}\right)<\varepsilon\] 을 만족하는 \( e_{i} \in M \)가 존재하면, \( M \)을 \( A \)에 대한 \( \varepsilon \)-네트 \( (\varepsilon-n e t) \) 또는 \( \varepsilon^{-} \)그물이라 한다.</p> <p>예 원점에 중심을 두고 반지름이 2인 열린원판 \( A=\left\{\langle x, y\rangle \mid x^{2}+y^{2}<4\right\} \)에 대하여 \( \varepsilon=\frac{3}{2} \)이라 하면, 집합 \[M=\{\langle 1,-1\rangle,\langle 1,0\rangle,\langle 1,1\rangle,\langle 0,-1\rangle,\langle 0,0\rangle,\langle 0,1\rangle,\langle-1,-1\rangle,\langle-1,0\rangle,\langle-1,1\rangle\}\] 은 \( A \)에 대한 \( \varepsilon \)-네트이다. 그러나 \( \varepsilon=\frac{1}{2} \)일 때, \( M \)은 \( A \)의 \( \varepsilon \)-네트가 될 수 없다. 왜냐하면 \( p=\left\langle\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right\rangle \)은 \( A \)의 점이지만, \( p \)와 \( M \)의 임의의 점 사이의 거리는 \( \frac{1}{2} \) 보다 크기 때문이다.</p> <p>집합 \( A \)의 지름은 \( d(A)=\sup \left\{d\left(a, a^{\prime}\right) \mid a, a^{\prime} \in A\right\} \)로 정의된다. 이때 \( d(A)<\infty \)이면, 집합 \( A \)를 유계라 한다.</p> <p>정의 22 완전유계집합</p> <p>거리공간 (X, d)의 부분집합 \( A \)가 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대하여 항상 \( \varepsilon \)-네트를 가질 때, \( A \)를 완전유계집합이라고 한다</p> <p>예 완전유계집합의 부분집합은 완전유계이다. 또한 \( A \)가 완전유계집합이면 \( \bar{A} \)도 완전유계이다.</p> <p>참고 \( A \)가 거리공간 (X, d)의 부분집합일 때, 집합 \( A \)가 완전유계이기 위한 필요충분 조건은 모든 \( \varepsilon>0 \)에 대하여 지름이 \( \varepsilon \)보다 작은 유한개의 \( A \)의 부분집합 \( B_{1} \), \( B_{2}, \cdots, B_{n} \)이 존재하여 \[A=\cup\left\{B_{k} \mid 1 \leq k \leq n\right\}\] 가 되는 것이다.</p> <p>정리 23 거리공간 (X, d)에서 완전유계집합은 유계이다.</p> <p>증명 \( A \)가 거리공간 (X, d)에서 완전유계집합이면, 1 -네트 \( F=\left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\} \)이 존재한다. 이때 \( m=\max \left\{d\left(e_{i}, e_{j}\right) \mid e_{i}, e_{j} \in F\right\}+2 \) 라 하면 \[\begin{aligned} d(A) &=\sup \{d(x, y) \mid x, y \in A\} \\ & \leq \sup \left\{d\left(x, e_{i}\right)+d\left(e_{i}, e_{j}\right)+d\left(e_{j}, y\right) \mid e_{i}, e_{j} \in F, x, y \in A\right\} \\ & \leq m \end{aligned}\] 이 성립한다. 따라서 집합 \( A \)는 유계이다.</p> <p>정리 23의 역은 성립하지 않는다.</p> <p>예 집합 \( A \)가 다음 점 \[e_{1}=\langle 1,0,0,0, \cdots\rangle, e_{2}=\langle 0,1,0,0, \cdots\rangle, e_{3}=\langle 0,0,1,0, \cdots\rangle, \cdots\] 로 구성되는 힐베르트 공간, 즉 \( l_{2} \)-공간의 부분집합이라 하자. 이때 \( i \neq j \)이면 \(d\left(e_{i}, e_{j}\right)=\sqrt{2}\) 이므로 \[d(A)=\sup \left\{d\left(e_{i}, e_{j}\right) \mid e_{i}, e_{j} \in A\right\}=\sqrt{2}\] 이다. 따라서 집합 \( A \)는 유계이다. 그러나 집합 \( A \)는 완전유계가 아니다. 왜냐하면 \( \varepsilon=\frac{1}{2} \)일 때, \( \varepsilon \)보다 작은 지름을 갖는 집합 \( A \)의 유일한 공집합이 아닌 부분집합은 한 점으로 이루어지는 집합이므로, 무한집합 \( A \)는 \( \frac{1}{2} \)보다 작은 지름을 갖는 유한개의 서로소인 부분집합으로 분해될 수 없기 때문이다.</p> <p>콤팩트성과 완전유계성 간에 다음이 성립한다.</p> <p>정리 24 거리공간의 수열콤팩트 부분집합 \( A \)는 완전유계이다.</p> <p>증명 대우증명법을 이용하여 증명한다. 즉 집합 \( A \)가 완전유계가 아니면, \( A \)는 수열콤팩트가 아님을 밝힌다. 집합 \( A \)가 완전유계가 아니면, \( A \)가 \( \varepsilon- \)네트를 갖지 않는 \( \varepsilon>0 \)이 존재한다. 이제 \( a_{1} \in A \) 이라고 하면 \( d\left(a_{1}, a_{2}\right) \geq \varepsilon \)을 만족하는 점 \( a_{2} \in A \)가 존재한다. 왜나하면 그렇지 않을 경우에 \( \left\{a_{1}\right\} \)은 \( \varepsilon \)-네트로 될 것이다. 같은 방법으로 \[d\left(a_{1}, a_{3}\right) \geq \varepsilon, d\left(a_{2}, a_{3}\right) \geq \varepsilon\] 를 만족하는 점 \( a_{3} \)가 존재하게 된다. 그렇지 않을 경우에 \( \left\{a_{1}, a_{2}\right\} \)는 집합 \( A \)의 \( \varepsilon \) -네트로 될 것이다. 이 방법을 계속하면 \( i \neq j \)에 대하여 \( d\left(a_{i}, a_{j}\right) \geq \varepsilon \)을 만족하는 수열 \( \left\langle a_{n}\right\rangle \)이 얻어진다. 따라서 수열 \( \left\langle a_{n}\right\rangle \)은 수렴하는 임의의 부분수열을 가질 수 없다. 즉 집합 \( A \)는 수열콤팩트가 아니다.</p> <p>정의 25 르베그 수</p> <p>\( \mathscr{c}=\left\{G_{i}\right\} \)는 거리공간 (X, d)의 부분집합 \( A \)의 임의의 덮개라 하자. 이 경우 \[B \subset A, d(B)<\delta \Rightarrow \exists G_{i}, B \subset G_{i}\] 를 만족하는 \( \delta>0 \)가 존재할 때, \( \delta \)를 \( A \)의 덮개 \( \mathscr{c}_{6} \)의 르베그 수(Lebesgue number)라고 한다.</p> <p>정리 26 \( X \)가 거리공간일 때, \( X \)의 수열콤팩트 부분집합의 모든 열린덮개는 반드시 르베그 수를 갖는다.</p> <p>역사적으로 거리공간에 대한 연구가 위상공간보다 먼저 이루어졌다. 이제 거리공간에서 세 가지 종류의 콤팩트성이 서로 동치임을 보일 수 있다(연습문제 참조).</p> <p>정리 27 거리공간의 콤팩트성</p> <p>\( A \)가 거리공간 \( X \)의 부분집합일 때, 다음 명제는 서로 동치이다.</p> <p>(1) \( A \)는 콤팩트 집합이다.</p> <p>(2) \( A \)는 가산콤팩트 집합이다.</p> <p>(3) \( A \)는 수열콤팩트 집합이다.</p> <p>예제 \( A \)가 거리공간 \( (X, d) \)의 콤팩트 부분집합이면, 임의의 \( B \subset X \)에 대하여 \[d(p, A)=d(A, B)\] 를 만족하는 점 \( p \in A \)가 존재한다.</p> <p>증명 \( d(A, B)=\varepsilon \)이라 하자. 그러면 \( d(A, B)=\inf \{d(a, b) \mid a \in A, b \in B\} \)이므로, 모든 \( n \in N \)에 대하여 \[\varepsilon \leq d\left(a_{n}, b_{n}\right)<\varepsilon+1 / n\] 을 만족하는 \( a_{n} \in A, b_{n} \in B \)이 존재한다. 이때 집합 \( A \)가 콤팩트이므로 수열콤팩트이고, 따라서 수열 \( \left\langle a_{n}\right\rangle \)은 점 \( p \in A \)로 수렴하는 부분수열을 갖는다. 이제 \( p \)에 대하여 \[d(p, B)=d(A, B)=\varepsilon\] 임을 밝힌다. \( d(p, B)>\varepsilon \), 즉 \( \delta>0 \)일 때 \( d(p, B)=\varepsilon+\delta \)라고 가정하자. 그러면 수열 \( \left\langle a_{n}\right\rangle \)의 부분수열이 점 \( p \in A \)로 수렴하므로 \[d\left(p, a_{n_{0}}\right)<\frac{1}{2} \delta, d\left(a_{n_{0}}, b_{n_{0}}\right)<\varepsilon+1 / n_{0}<\varepsilon+\frac{1}{\delta}\] 을 만족하는 \( n_{0} \in N \)가 존재한다. 이 경우 \[d\left(p, a_{n_{0}}\right)+d\left(a_{n_{0}}, b_{n_{0}}\right)<\frac{1}{2} \delta+\varepsilon+\frac{1}{2} \delta=\varepsilon+\delta=d(p, B) \leq d\left(p, b_{n_{0}}\right)\] 가 성립한다. 그러나 이것은 삼각부등식에 모순된다. 따라서 \( d(p, B)=d(A, B) \)이다.</p> <p>참고 거리공간 \( (X, d) \)의 콤팩트 부분집합 \( A \)에 대하여 \( B \)가 \( A \cap B=\varnothing \)를 만족하는 \( X \)의 닫힌부분집합이면, \( d(A, B)>0 \)이 성립한다 (연습문제 7 참조).</p> <h3>4. 가산콤팩트 집합</h3> <p>가산콤팩트의 개념은 “보통위상공간 \( (R, q 6) \)의 모든 유계인 무한집합은 집적점을 갖는다.”는 볼차노-바이어슈트라스 정리로부터 유래한다.</p> <p>정의 13 가산콤팩트 집합</p> <p>위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 부분집합 \( A \)에 대하여, \( A \)의 임의의 무한부분집합 \( B \)가 \( A \)에서 집적점을 가질 때, \( A \)를 가산콤팩트 (countably compact)라 한다.</p> <p>예 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \)에서 단위 열린구간 (0, 1)은 가산콤팩트가 아니다. 왜나하면 단위 열린구간 (0, 1)의 무한부분집합 \( \left\{\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \cdots\right\} \)은 오직 한 점 0을 집적점으로 갖는데, 0은 (0, 1)에 속하지 않기 때문이다. 따라서 단위 열린구간 (0, 1)은 가산콤팩트가 아니다.</p> <p>예제 보통위상공간 \( \left(R, q_{6}\right) \)에서 임의의 단위 닫힌구간 \( A=[a, b] \)는 가산콤팩트이다.</p> <p>증명 \( B \)가 \( A \)의 무한부분집합이면, \( B \)는 또한 유계이므로 볼차노-바이어슈트라스 정리에 의하여 \( B \)는 집적점 \( p \)를 갖는다. 이때 \( A \)가 닫힌집합이므로, \( B \)의 집적점 \( p \)는 \( A \)에 속한다. 따라서 \( A \)는 가산콤팩트이다.</p> <p>일반적으로 위상공간 \( (X, \mathscr{T}) \)에 대하여, 콤팩트 집합은 가산콤팩트이고, 수열콤팩트 집합은 가산콤팩트이다. 그러나 두 경우 모두 그 역은 성립하지 않는다. 6.1절에서 논한 공간 사이의 관계를 나타내면 다음과 같다.</p> <p>콤팩트 \( \Rightarrow \) 가산콤팩트 \( \Leftarrow \) 수열콤팩트</p> <p>예 집합족 \( \mathscr{c}=\{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}, \cdots\} \)에 의해 생성되는 자연수의 집합 \( N \)상의 위상을 \( \mathscr{T} \)라 하자. 이때 \( N \)의 임의의 무한부분집합 \( A \)를 택하면, 자연수 \( n_{0} \) 가 \( A \)에 존재한다. 그러면 \( n_{0} \)가 홀수일 때 \( n_{0}+1 \)은 \( A \)의 집적점이 되고, \( n_{0} \)가 짝수일 때 \( n_{0}-1 \)이 \( A \)의 집적점이 된다. 어느 경우에서나 \( A \)는 집적점을 갖는다. 따라서 \( (N, \mathscr{Y}) \)는 가산콤팩트이다. 그러나 \( (N, \mathscr{T}) \)는 콤팩트가 아니다. 왜나하면 집합족 \[\mathscr{\varnothing}=\{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}, \cdots\}\] 가 유한부분덮개를 갖지 않는 \( N \)의 열린덮개이기 때문이다. 또한 \( (N, \mathscr{T}) \)는 수열콤팩트도 아니다. 왜나하면 수열 \( \langle 1,2,3, \cdots\rangle \)가 수렴하는 부분수열을 갖지 않기 때문이다.</p> <p>가산콤팩트성은 위상적 성질이고, 절대적 성질이지만, 유전적 성질은 아니다.</p> <p>예 가산콤팩트성은 유전적 성질이 아니다. 왜냐하면 보통위상공간 \( \left(R, q_{b}\right) \)에서 단위 단힌구간 [0, 1]은 가산콤팩트이지만, 단위 열린구간 (0, 1)은 가산콤팩트가 아니기 때문이다.</p> <p>예제 \( (X, \mathscr{T}) \)가 가산콤팩트 공간일 때, 함수 \( f:(X, \mathscr{T}) \rightarrow\left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)가 위상동형사상이면 \( \left(Y, \mathscr{T}^{}\right) \)도 가산콤팩트 공간이다. 즉 가산콤팩트성은 위상적 성질이다.</p> <p>증명 \( X \)를 가산콤팩트 공간이라 하고, \( f: X \rightarrow Y \)를 위상동형사상이라 하자. 이때 \( K \)를 \( Y \)의 무한부분집합이라 하면, \( f^{-1}[K] \)는 \( X \)의 무한부분집합이므로 집적점 \( p \)를 갖는다. 이제 \( Y \)의 열린부분집합 \( H \)를 택하자. 그러면 \( f^{-1}[H] \)는 \( X \)의 열린부분집합이고 \[\left[f^{-1}[H] \backslash\{p\}\right] \cap f^{-1}[K] \neq \varnothing\] 를 만족한다. 그러므로 \( [H \backslash\{f(p)\}] \cap K \neq \varnothing \)가 성립한다. 따라서 \( Y \)는 가산콤팩트 공간이다.</p> <p>정리 14 가산콤팩트 공간 \( (X, \mathscr{T}) \)의 닫힌부분집합 \( F \)는 가산콤팩트이다.</p> <p>증명 \( F \)를 가산콤팩트 공간 \( X \)의 닫힌부분집합이라 하고, \( A \)를 \( F \)의 무한부분집합이라 하자. 그러면 \( A \)는 \( X \)의 무한부분집합이다. 그런데 \( X \)가 가산콤팩트이므로, \( A \)는 집적점 \( p \in X \)를 갖는다. 이때 \( A \subset F \)이므로, \( p \)는 \( F \)의 집적점이다. 따라서 \( F \)가 닫힌집합이므로, \( p \in F \)이다. 그러므로 \( F \)의 임의의 무한부분집합 \( A \)는 집적점 \( p \in F \)를 갖는다. 따라서 \( F \)는 가산콤팩트이다.</p> <p>예제 가산콤팩트 집합의 연속상은 가산콤팩트가 아니다.</p> <p>증명 집합족 \( \{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}, \cdots\} \)에 의해 생성되는 모든 자연수의 집합 \( N \)상의 위상을 \( \mathscr{T} \)라 하면, \( X=(N, \mathscr{T}) \)는 가산콤팩트이다. 한편 \( \mathscr{D} \)를 \( N \) 상의 이산위상이라 하면, \( Y=(N, \mathscr{D}) \)는 가산콤팩트가 아니다. 이때 \( 2 n \)과 \( 2 n-1 \)을 \( n \in N \)으로 사상하는 함수 \( f \)를 생각하자. 그러면 함수 \( f: X \rightarrow Y \)는 연속이다. 그러나 \( f \)는 가산콤팩트 집합 \( (N, \mathscr{T}) \)을 가산콤팩트가 아닌 집합 \( (N, \mathscr{D}) \)위로 사상한다.</p> <h3>3. 거리공간상의 적위상</h3> <p>거리공간족 \( A=\left\{\left(X_{i}, d_{i}\right)\right\} \) 에 대하여 \( X_{i} \)의 적집합을 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)로 나타낼 때, 다음 두 가지 문제</p> <p>(1) 거리공간 \( \left(X_{i}, d_{i}\right) \)상의 적위상을 정의할 수 있을까?</p> <p>(2) 거리 \( d \)에 의하여 유도된 \( X \)상의 위상이 적위상과 같도록 적집합 \( X \)상에 거리 \( d \)를 정의할 수 있을까?</p> <p>를 생각할 수 있다. 이 문제에 대하여 가산개의 거리공간족일 경우 긍정적인 답을 준다. 이때 거리의 도입 방법은 유일하지 않다.</p> <p>정리 11 유한개의 거리공간족 \( \left\{\left(X_{m}, d_{m}\right)\right\} \)에 대하여, \( p=\left\langle a_{1}, \cdots, a_{m}\right\rangle, q=\left\langle b_{1}, \cdots, b_{m}\right\rangle \)을 적집합 \( X=\prod_{i=1}^{m} X_{i} \)의 임의의 두 점이라 할 때 \[d(p, q)=\sqrt{d_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right)^{2}+\cdots+d_{m}\left(a_{m}, b_{m}\right)^{2}}\] 으로 정의된 함수 \( d \)는 적집합 \( X \)상의 거리가 된다. 이때 거리 \( d \)에 의해 유도된 위상은 적위상이 된다.</p> <p>예 유한개의 거리공간족 \( \left\{\left(X_{m}, d_{m}\right)\right\} \)에 대하여, \( p=\left\langle a_{1}, \cdots, a_{m}\right\rangle, q=\left\langle b_{1}, \cdots, b_{m}\right\rangle \)을 적집합 \( X=\prod_{i=1}^{m} X_{i} \)의 임의의 두 점이라 할 때 \[ \begin{array}{l} d_{1}(p, q)=\max \left\{d_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right), \cdots, d_{m}\left(a_{m}, b_{m}\right)\right\} \\ d_{2}(p, q)=d_{1}\left(a_{1}, b_{1}\right)+\cdots+d_{m}\left(a_{m}, b_{m}\right) \end{array} \] 으로 정의된 함수 \( d_{1} \)과 \( d_{2} \)는 적집합 \( X \)상의 거리가 되고, \( d_{1} \)과 \( d_{2} \) 에 의해 유도된 위상은 적위상이 된다.</p> <h3>4. 칸토어 집합</h3> <h4>(1) 칸토어 집합</h4> <p>단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)을 점 \( \frac{1}{3} \)과 \( \frac{2}{3} \)에서 세 등분한 다음에 "세 등분의 중앙”이라 불리는 열린구간 \( \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \)를 삭제한다. 이때 \( T_{1} \)으로 \( I \)의 나머지 점을 나타내자. 즉 \[T_{1}=\left[0, \frac{1}{3}\right] \cup\left[\frac{2}{3}, 1\right]\] 이다. 다음에 \( T_{1} \)의 두 선분의 각각을 \( \frac{1}{9} \)과 \( \frac{2}{9}, \frac{7}{9} \)과 \( \frac{8}{9} \)에서 세 등분하여 각 선분에서 "세등분의 중앙", 즉 \( \left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right) \)과 \( \left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right) \)을 삭제한다. 이때 \( T_{2} \) 로 \( T_{1} \)의 나머지 부분을 나타내자. 즉 \[T_{2}=\left[0, \frac{1}{9}\right] \cup\left[\frac{2}{9}, \frac{1}{3}\right] \cup\left[\frac{2}{3}, \frac{7}{9}\right] \cup\left[\frac{8}{9}, 1\right]\] 이다. 이 방법을 계속하면 축소집합열 \[T_{1} \supset T_{2} \supset T_{3} \supset \cdots\] 가 얻어진다. 여기서 \( T_{m} \)은 \( T_{m-1} \)의 각 구간에서 세 등분의 중앙을 제외한 나머지 점으로 이루어진다. 이때 \( T_{m} \)은 \( 2^{m} \)개의 서로소인 닫힌구간으로 구성되고, 이들을 좌측에서 우측으로 연속적으로 헤아린다면 \( T_{m} \)의 홀수구간과 짝수구간이 나타난다.</p> <p>칸토어 집합 또는 삼진집합 (ternary set) \( T \)란, 위에서 만들어진 집합의 교집합, 즉 \[T=\cap\left\{T_{i} \mid i \in N\right\}\] 이다.</p> <p>정리 12 칸토어 집합 \( T \)는 \( R \)의 닫힌부분집합이다.</p> <p>증명 \( T_{m} \)은 \( 2^{m} \)개의 닫힌구간의 합집합이므로, \( T_{m} \)은 닫힌집합이다. 그런데 \[T=\cap\left\{T_{i} \mid i \in N\right\}\] 이므로, 이것은 닫힌집합의 교집합이다. 따라서 \( T \)는 닫힌집합이다.</p> <p>예 칸토어 집합 \( T \)는 콤팩트이다. 왜나하면 \( T \)가 실수의 유계인 닫힌집합이기 때문이다.</p> <h4>(2) 칸토어 집합의 성질</h4> <p>칸토어 집합 \( T \)상의 함수, 즉 칸토어 함수(Cantor function) \( f \)를 \[f(x)=\left\langle a_{1}, a_{2}, \cdots\right\rangle\] 로 정의한다. 여기서 \[ a_{m}=\left\{\begin{array}{ll} 0, x \text { 가 } & T_{m} \text { 의 홀수 구간에 속할 때 } \\ 2, x \text { 가 } & T_{m} \text { 의 짝수 구간에 속할 때 } \end{array}\right. \] 이다.</p> <p>참고 칸토어 집합 \( T \)는 다음 성질을 갖는다.</p> <p>(1) \( T \)는 가산이 아니다. 왜냐하면 \( a_{i}=0 \) 또는 \( a_{i}=2 \)일 때 \( T \)는 수열 \[\left\langle a_{1}, a_{2}, \cdots\right\rangle\] 의 집합과 대등하지만, 수열의 기수는 \( 2^{N_{0}}=c \)이기 때문이다.</p> <p>(2) \( T \)는 '측도' 0을 갖는다. 왜나하면 단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)에 관한 \( T \)의 여집합의 측도, 즉 삭제된 세 등분의 중앙의 합집합은 \[\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\frac{4}{27}+\frac{8}{81}+\cdots=1\] 이고, 한편 단위 닫힌구간 \( I=[0,1] \)의 측도가 1이므로, \( T \)의 측도는 0이 된다.</p> <p>정리 13 두 원소로 이루어진 이산위상공간 \( A=\{0,2\} \)에 대하여, 각 \( A_{i} \) (단, \( i \in N \) )를 \( A_{i}=A \)로 나타낼 때, 칸토어 집합 \( T \)는 적공간 \[X=\Pi\left\{A_{i} \mid i \in N\right\}\] 와 위상동형이다. 이때 칸토어 함수 \( f: T \rightarrow X \)는 위상동형사상이다.</p> <p>정리 7 정의기저</p> <p>\( G_{j_{0}} \)가 좌표공간 \( X_{j_{0}} \)의 열린부분집합일 때 \[\pi_{j_{1}}^{-1}\left[G_{j_{1}}\right] \cap \cdots \cap \pi_{j_{m}}^{-1}\left[G_{j_{m}}\right]=\Pi\left\{X_{i} \mid i \neq j_{1}, \cdots, j_{m}\right\} \times G_{j_{1}} \times \cdots \times G_{j_{m}}\] 으로 주어진 적집합 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)의 부분집합족은 적위상의 기저이다. 이것을 적위상에 대한 정의기저(defining base)라 한다.</p> <p>예 적집합 \( X=\prod_{i \in I} X_{i} \)상의 적위상의 정의기저 \( \mathscr{B} \)의 하나의 열린집합, 예컨대 \( B \)는 적위상을 정의하는 부분기저 \( R \)의 유한개 원소의 교집합, 즉 \[ \begin{aligned} B &=\pi_{j_{1}}^{-1}\left[G_{j_{1}}\right] \cap \pi_{j_{1}}^{-1}\left[G_{j_{2}}\right] \cap \pi_{j_{3}}^{-1}\left[G_{j_{3}}\right] \\ &=\Pi\left\{R_{i} \mid i \neq j_{1}, j_{2}, j_{3}\right\} \times G_{j_{1}} \times G_{j_{2}} \times G_{j_{3}} \end{aligned} \] 이다. 이 경우 그림 7.3에서 말한다면, \( B \)는 좌표공간 \( R_{j_{1}}, R_{j_{2}} \)와 \( R_{j_{3}} \)를 나타내는 수직선상에 있는 열린집합 \( G_{j_{1}}, G_{j_{2}} \)와 \( G_{j_{3}} \)를 지나는 모든 함수로 이루어진다.</p> <p>예 \( X=\{a, b, c\} \)상의 위상 \( \mathscr{O} \)와 \( Y=\{u, v\} \)상의 위상 \( \mathscr{T}^{} \)를 각각 \[\mathscr{\mathscr { T }}=\{X, \varnothing,\{a\},\{b, c\}\}, \mathscr{T}^{}=\{Y, \varnothing,\{u\}\}\] 라 할 때, \( X \times Y \)상의 적위상에 대한 정의기저 \( \mathscr{B} \)를 구해보자. 정의기저 \( \mathscr{B} \)는 정의 부분기저 \( R \)의 원소의 유한개의 교집합 전체의 집합이므로, \( X \times Y \)상의 적위상에 대한 정의부분기저 \[ \begin{aligned} R=&\{X \times Y, \varnothing,\{\langle a, u\rangle,\langle a, v\rangle\},\{\langle b, u\rangle,\langle b, v\rangle,\langle c, u\rangle,\langle c, v\rangle\},\\ &\{\langle a, u\rangle,\langle b, u\rangle,\langle c, u\rangle\}\} \end{aligned} \] 로부터, \( X \times Y \)상의 적위상에 대한 정의기저 \( \mathscr{B} \)는 \[ \begin{aligned} \mathscr{B}=&\{X \times Y, \varnothing,\{\langle a, u\rangle\},\{\langle b, u\rangle,\langle c, u\rangle\},\{\langle a, u\rangle,\langle a, v\rangle\},\\ &\{\langle b, u\rangle,\langle b, v\rangle,\langle c, u\rangle,\langle c, v\rangle\},\{\langle a, u\rangle,\langle b, u\rangle,\langle c, u\rangle\}\} \end{aligned} \] 주어진다.</p> <p>예제 \( B \)가 적공간 \( X=\Pi_{i} X_{i} \)의 정의기저의 원소이면, \( B \)를 임의의 좌표공간으로 사영할지라도 그 상은 열린집합이다.</p> <p>증명 \( B \)가 \( X \)의 정의기저의 원소이면, \( G_{j_{k}} \)가 \( X_{j_{k}} \)의 열린부분집합일 때 \[B=\Pi\left\{X_{i} \mid i \neq j_{1}, \cdots, j_{m}\right\} \times G_{j_{1}} \times \cdots \times G_{j_{m}}\] 이므로, 임의의 사영 \( \pi_{i}: X \rightarrow X_{i} \)에 대해서도 \[ \pi_{i}[B]=\left\{\begin{array}{l} X_{i}, i \neq j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{m} \\ G_{i}, i \in\left\{j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{m}\right\} \end{array}\right. \] 가 성립한다. 따라서 어느 경우에서나 \( \pi_{i}[B] \)는 열린집합이다.</p> <p>정리 8 임의의 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)의 적공간 \( X=\Pi_{i \in I} X_{i} \)에 대하여, 적공간 \( X \)상의 모든 사영 \( \pi_{i}: X \rightarrow X_{i} \)는 열린사상인 동시에 연속, 즉 쌍연속이다.</p> <p>참고 임의의 위상공간족 \( \left\{\left(X_{i}, \mathscr{T}_{i}\right)\right\} \)의 적공간 \( X=\Pi_{i \in I} X_{i} \)에 대하여, 적공간 \( X \)의 수열 \( \left\langle p_{n}\right\rangle \)이 \( X \)의 점 \( q \in X \)로 수렴하기 위한 필요충분조건은 모든 사영 \( \pi_{i}: X \rightarrow X_{i} \)에 대하여 수열 \( \left\langle\pi_{i}\left(p_{n}\right)\right\rangle \)이 좌표공간 \( X_{i} \)의 \( \pi_{i}(q) \)로 수렴하는 것이다(연습문제 1 참조).</p>	자연
기초미적분학_정적분의 활용	<p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>직선 \( y= \frac { r } { h } x \)를 구간 \( [0, h] \)에서 \( x \)축 중심으로 회전하여 얻은 입체의 부피를 구하면 된다. 따라서 구하고자 하는 부피 \( V \)는 \[ \begin {aligned} V= \int_ { 0 } ^ { h } \pi y ^ { 2 } d x &= \pi \int_ { 0 } ^ { h } \left ( \frac { r } { h } x \right ) ^ { 2 } d x \\ &= \frac {\pi r ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \left [ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { h } = \frac { 1 } { 3 } \pi r ^ { 2 } h \end {aligned} \]</li> <li>직선 \( y=- \frac { h } { r } x + h \)을 구간 \( [0, h] \)에서 \( y \)축 중심 으로 회전하여 얻은 입체의 부피를 구하면 된다. 따라서 구하고자 하는 부피 \( V \)는 \[ \begin {aligned} V= \int_ { 0 } ^ { h } \pi x ^ { 2 } d y &= \pi \int_ { 0 } ^ { h } \left (- \frac { r } { h } y + r \right ) ^ { 2 } d y \\ &= \pi \int_ { 0 } ^ { h } \left ( \frac { r ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } y ^ { 2 } - \frac { 2 r ^ { 2 } } { h } y + r ^ { 2 } \right ) d y \\ &= \pi \left [ \frac { r ^ { 2 } } { 3 h ^ { 2 } } y ^ { 3 } - \frac { r ^ { 2 } } { h } y ^ { 2 } + r ^ { 2 } y \right ]_ { 0 } ^ { h } \\ &= \pi \left ( \frac { 1 } { 3 } r ^ { 2 } h-r ^ { 2 } h + r ^ { 2 } h \right )= \frac { 1 } { 3 } \pi r ^ { 2 } h . \end {aligned} \]</li></ol> <p>유제 \( 13.2.4 \) 한 영역을 회전시켜 반지름이 \( r \)인 구의 부피를 구하여라.</p> <h1>13.2. 입체도형의 부피</h1> <p>그림 \( 13.2.1 \)과 같이 주어진 입체도형의 부피를 구하여 보자. 이를 위해 한 직선을 \( x \)축으로 정하고 \( x \)축에 수직으로 자른 단면의 넓이가 \( S(x) \)라 하자. 구간 \( [a, b] \)를 \( n \)등분하여 양 끝 점을 포함한 각 소구간의 \( x \) 좌표를 \( x_ { 0 } ( = a), x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n-1 } , x_ { n } (=b) \)이라 하고 각 소구간 \( \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ](k=1,2, \cdots, n) \)의 길이를 \( \Delta x \)라 하자. 그러면 \( x=x_ { k } \) 에서 \( x \)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이 \( S \left (x_ { k } \right ) \)가 밑면의 넓이가 되고 \( \Delta x \)가 높이가 되는 기둥의 부피는 \[ S \left (x_ { k } \right ) \Delta x \] 이다. 따라서 이들 기둥들의 부피의 합을 \( V_ { n } \)이라 하면 구하고자 하는 입체의 부피 \( V \)는 정적분의 정의에 따라 \[ V= \lim _ { n \rightarrow \infty } V_ { n } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \sum_ { k=1 } ^ { n } S \left (x_ { k } \right ) \Delta x= \int_ { a } ^ { b } S(x) d x \] 가 된다.</p> <p>정리 \( 13.2.1 \) 구간 \( [a, b] \)에서 \( x \)축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 \( S(x) \)일 때, 입체의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { a } ^ { b } S(x) d x \]</p> <p>예제 \( 13.2.1 \) 어떤 그릇에 물을 넣을 때 물의 깊이가 \( x( \mathrm { ~cm } ) \)이면 수면의 넓이는 \( 3 x ^ { 2 } -2 x + 1 \left ( \mathrm { ~cm } ^ { 2 } \right ) \)이 된다. \( 10( \mathrm { ~cm } ) \)까지 물을 채웠을 때 물의 부피를 구하여라.</p> <p>이제 어떤 영역을 \( x \)축 또는 \( y \)축을 중심으로 회전시키면 입체도형이 만들어 지는데 이 입체도형의 부피를 구하여 보자.</p> <p>위 그림과 같이 \( y=f(x), x=a, x=b, y=0 \)으로 둘러싸인 영역을 \( x \)축을 중심으로 회전시킨 입체의 부피를 생각하자. 회전하여 생긴 입체를 \( x \)좌표가 \( x \)인 점에서 \( x \)축에 수직으로 자른 단면은 반지름의 길이가 \( y \)인 원이므로 단면의 넓이 \( S(x) \)는 \[ S(x)= \pi y ^ { 2 } \] 이다. 따라서 회전하여 생긴 입체의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { a } ^ { b } S(x) d x= \int_ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } d x \]</p> <p>마찬가지로 \[ x=f(y), y=c, y=d, x=0 \] 으로 둘러싸인 영역을 \( y \)축 중심으로 회전하여 만들어진 입체의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { c } ^ { d } \pi x ^ { 2 } d y \]</p> <p>정리 13.2.2</p> <ol type=1 start=1><li>곡선 \( y=f(x) \)를 \( x \)축을 중심으로 회전하여 만들어진 회전체가 두 평면 \( x=a, x=b \) \( (a<b) \)으로 잘리어진 부분의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { a } ^ { b } \pi y ^ { 2 } d x \]</li> <li>곡선 \( x=f(y) \)를 \( y \)축을 중심으로 회전하여 만들어진 회전체가 두 평면 \( y=c, y=d \) \( (c<d) \)로 잘린 부분의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { c } ^ { d } \pi x ^ { 2 } d y \]</li></ol> <p>예제 13.2.3 다음 주어진 곡선 또는 직선으로 둘러싸인 영역을 주어진 축의 둘레로 회전시킬 때 생긴 입체의 부피를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y=x ^ { 2 } , y=0, x=1, x=2 \)( \( x \)축 중심으로 회전)</li> <li>\( y=x ^ { 2 } , x=0, y=2 \)( \( y \)축 중심으로 회전)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>회전체를 \( x \)축에 수직으로 자른 단면의 면적 \( S(x) \)는 \[ S(x)= \pi y ^ { 2 } \] 이므로 구하는 입체의 부피 \( V \)는 \[ \begin {aligned} V= \int_ { 1 } ^ { 2 } \pi y ^ { 2 } d x &= \int_ { 1 } ^ { 2 } \pi \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } d x \\ &= \pi \left [ \frac { 1 } { 5 } x ^ { 5 } \right ]_ { 1 } ^ { 2 } = \frac { 31 } { 5 } \pi . \end {aligned} \]</li> <li>\( y \)축에 수직으로 자른 단면은 반지름이 \( x \)인 원이므로 단면의 면적 \( S(y) \)는 \[ S(y)= \pi x ^ { 2 } \] 이다. 따라서 구하는 입체의 부피 \( V \)는 \[ V= \int_ { 0 } ^ { 2 } \pi x ^ { 2 } d y= \int_ { 0 } ^ { 2 } \pi y d y \] \[ = \pi \left [ \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } =2 \pi \]</li></ol> <p>유제 13.2.3 다음 주어진 곡선 또는 직선으로 둘러싸인 영역을 주어진 축으로 회전시킬 때 생긴 입체의 부피를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y= \sqrt { x } , y=0, x=1 \)( \( x \)축 중심으로 회전)</li> <li>\( y=e ^ { x } , x=0, y=e \)( \( y \)축 중심으로 회전)</li></ol> <p>예제 13.2.4 밑면의 반지름이 \( r \)이고 높이가 \( h \)인 직원뿔의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 구하고자 하는 물의 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ V= \int_ { 0 } ^ { 10 } \left (3 x ^ { 2 } -2 x + 1 \right ) d x= \left [x ^ { 3 } -x ^ { 2 } + x \right ]_ { 0 } ^ { 10 } =910 \left ( \mathrm { ~cm } ^ { 3 } \right ) \]</p> <p>유제 \( 13.2.1 \) 어떤 입체를 \( x \)축에 수직으로 자를 때 그 단면의 넓이가 \( S(x)=2 x + 3 \)이 된다고 하자. \( x \)축에 수직인 두 평면 \( x=0 \)과 \( x=1 \)에 의해 잘린 입체의 부피를 구하여라.</p> <p>예제 \( 13.2.2 \) 밑면의 넓이가 \( S \)이고 높이가 \( h \)인 사각뿔의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 오른쪽 그림과 같이 사각뿔의 꼭짓점을 원점, 꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을 \( x \)축으로 정한다. \( x \)좌표가 \( x \)일 때 \( x \)축 에 수직으로 자른 단면의 넓이를 \( S(x) \)라 하면 \[ S(x): S=x ^ { 2 } : h ^ { 2 } , \quad \text { 즉 } S(x)= \frac { x ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } S \] 이다. 따라서 구하는 부피 \( V \)는 \[ \begin {aligned} V= \int_ { 0 } ^ { h } S(x) d x &= \int_ { 0 } ^ { h } \frac { x ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } S d x \\ &= \frac { S } { h ^ { 2 } } \left [ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { h } = \frac { 1 } { 3 } S h . \end {aligned} \]</p> <p>유제 \( 13.2.2 \) 밑면의 한 변의 길이가 \( a \)이고 높이가 \( h \)인 정삼각뿔의 부피를 구하여라.</p> <p>예제 \( 13.2.5 \) 다음 곡선 또는 직선으로 둘러싸인 영역을 \( x \)축을 중심으로 회전시켜서 만든 입체의 부피를 구하여라. \[ y= \sqrt { x + 2 } , \quad y=x, \quad y=0 \]</p> <p>풀이 \( y= \sqrt { x + 2 } \)와 \( y=x \)의 교점의 \( x \)좌표는 \( \sqrt { x + 2 } =x \)에서 \( x=2 \)이다. 따라서 구하고자 하는 부피 \( V \)는 다음과 같다. \[ \begin {aligned} V &= \int_ { -2 } ^ { 2 } \pi( \sqrt { x + 2 } ) ^ { 2 } d x- \int_ { 0 } ^ { 2 } \pi x ^ { 2 } d x \\ &= \pi \left [ \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x \right ]_ { -2 } ^ { 2 } - \pi \left [ \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } \\ &= \frac { 16 } { 3 } \pi \end {aligned} \]</p> <p>유제 \( 13.2.5 \) 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역을 \( x \)축 중심으로 회전시켜서 만든 입체의 부피를 구하여라. \[ y=x ^ { 3 } , \quad y=x, \quad x \geq 0 \]</p> <p>예제 \( 13.2.6 \) 원 \( x ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } =r ^ { 2 } (0<r<b) \)을 \( x \)축 중심으로 회전하여 만들어진 도넛모양(토러스)의 부피를 구하여라.</p> <p>풀이 주어진 원을 상반부와 하반부로 나누면 상반부의 방정식은 \[ y=b + \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \] 이고 하반부의 방정식은 \[ y=b- \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \] 이다. 이때 우리가 구하고자 하는 토러스의 부피 \( V \)는 원의 상반부를 \( x \)축 중심으로 회전하여 만들어진 회전체의 부피 \( V_ { 1 } \)에서 원의 하반부를 \( x \) 축 중심으로 회전하여 만들어진 회전체의 부피 \( V_ { 2 } \)를 뺀 것이다. \( V_ { 1 } , V_ { 2 } \)를 각각 구하면 \[ \begin {array} { l } V_ { 1 } = \pi \int_ { -r } ^ { r } \left (b + \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } d x \\ V_ { 2 } = \pi \int_ { -r } ^ { r } \left (b- \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } d x \end {array} \] 이므로 \[ \begin {aligned} V=V_ { 1 } -V_ { 2 } &= \pi \int_ { -r } ^ { r } \left (b + \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } d x- \pi \int_ { -r } ^ { r } \left (b- \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } d x \\ &=4 \pi b \int_ { -r } ^ { r } \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x \end {aligned} \] 이다. 여기서 \( \int_ { -r } ^ { r } \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x \)는 반지름의 길이가 \( r \)인 반원의 넓이이므로 \( \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } \)이 된다. 따라서 구하고자 하는 부피는 \[ V=4 \pi b \int_ { -r } ^ { r } \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x=4 \pi b \cdot \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } =2 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } b \] 이다.</p>	자연
미적분학_부록	<p>증명 \( x \) 를 \( (-R, R) \) 에 있는 수라 하고, \( \|t\|<R \) 에 대하여 \( f(t)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \)라 할 때 \[ \lim _ { t \rightarrow x } \left ( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac { f(t)-f(x) } { t-x } \right )=0 \] \[ \lim _ { t \rightarrow x } \left ( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac {\sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } } { t-x } \right )=0 \] 임을 보이면 ()의 첫 번째 등식이 증명된다. 우선 \( \|x\|<b<R \) 인 \( b \) 를 취하면 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n } \) 은 수렴하고 \( \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \) 도 수렴한다. 이제 \( x \) 와 다른 \( (-b, b) \) 에 있는 \( t \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac {\sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } } { t-x } &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } \frac { t ^ { n } -x ^ { n } } { t-x } \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=1 } ^ {\infty } c_ { n } n s_ { n } ^ { n-1 } \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } \left (x ^ { n-1 } -s_ { n } ^ { n-1 } \right ) \\ &= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left (x-s_ { n } \right ) n(n-1) c_ { n } r_ { n } ^ { n-2 } \end {aligned} \] 이다. \( s_ { n } \) 의 정의에 의하여 \[ \left \|x-s_ { n } \right \| \leq\|x-t\| \] 이고, \( r_ { n } \) 의 정의에 의하여 \( \left \|r_ { n } \right \|<b<R \) 이므로 \( \lim _ { t \rightarrow x } \left \| \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac {\sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } } { t-x } \right \| \) \[ \begin {array} { l } = \lim _ { t \rightarrow x } \left \| \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left (x-s_ { n } \right ) n(n-1) c_ { n } r_ { n } ^ { n-2 } \right \| \leq \lim _ { t \rightarrow x } \|x-t\| \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \\ = \lim _ { t \rightarrow x } \|x-t\| c \\ =0 \end {array} \] 이다. 단, \( c= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \) 이다. 따라서 ()의 첫 번째 등식이 성립하고. \[ n c_ { n } x ^ { n-1 } = \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) \] 이므로 두 번째 등식도 성립한다.</p> <p>증명 함수 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하므로 \( a \) 에서 연속이다. 즉 \( \lim _ { t \rightarrow a } g(t)=g(a) \) 이다. 가정에서 \( g(a) \neq 0 \) 이므로 \( \lim _ { t \rightarrow a } g(t) \neq 0 \) 이다. \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에 있는 모든 \( t \) 에 대해서 \( g(t) \neq 0 \) 이다. 그러므로 \( \frac { f } { g } \) 는 \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에서 정의되어 있고, 그 극한은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \left ( \frac { f } { g } \right ) ^ {\prime } (a) &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac {\frac { f(t) } { g(t) } - \frac { f(a) } { g(a) } } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(a) + f(a) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(a) } { (t-a) g(a) g(t) } + \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(a) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \left ( \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \cdot \frac { g(a) } { g(a) g(t) } \right )- \lim _ { t \rightarrow a } \left ( \frac { f(a) } { g(a) g(t) } \cdot \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \right ) \\ &= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a) } { [g(a)] ^ { 2 } - \frac { f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } } \\ &= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a)-f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <p>증명 함수 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하므로 \( a \) 에서 연속이다. 즉 \( \lim _ { t \rightarrow a } g(t)=g(a) \) 이다. 가정에서 \( g(a) \neq 0 \) 이므로 \( \lim _ { t \rightarrow a } g(t) \neq 0 \) 이다. \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에 있는 모든 \( t \) 에 대해서 \( g(t) \neq 0 \) 이다. 그러므로 \( \frac { f } { g } \) 는 \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에서 정의되어 있고, 그 극한은 다음과 같다. \[ \begin {aligned} \left ( \frac { f } { g } \right ) ^ {\prime } (a) &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac {\frac { f(t) } { g(t) } - \frac { f(a) } { g(a) } } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(a) + f(a) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } \\ & \left .= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(a)-f(a) g(a) } { (t-a) g(a) g(t) } + \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(a) g(a)-f(a) g(t) } { (t-a) g(a) g(t) } - \frac { f(a) } { g(a) } \cdot \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \right ) \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \left ( \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \cdot \frac { g(a) } { g(a) g(t) } \right )- \lim _ { t \rightarrow a } \left ( \frac { f(a) g(t) } { g(a) } \right . \\ &= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a) } { [g(a)] ^ { 2 } } - \frac { f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } \\ &= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a)-f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } \end {aligned} \]</p> <h2>부록 1-2</h2> <p>[정리 1.21] \( \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=c \) 이고 \( a \)를 포함하는 어떤 개구간에서 \( a \) 이외의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \neq c \) 이며 \( \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \) 가 존재하면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(f(x))= \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \] 이다.</p> <p>증명 \( \epsilon>0 \) 이라 하고, \( \lim _ { y \rightarrow c } g(y)=L \) 이라 하자. 그러면 \( \delta_ { 1 } >0 \) 이 존재하여 \[ 0<\|y-c\|< \delta_ { 1 } \Longrightarrow\|g(y)-L\|< \epsilon \]<caption>(1)</caption>이 성립한다. \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=c \) 이고 \( \delta_ { 1 } >0 \) 이므로 \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|f(x)-c\|< \delta_ { 1 } \] 이 성립한다. 가정에 의하여 \( 0<\|x-a\|< \delta \) 일 때 \( f(x) \neq c \) 인 \( \delta \) 를 택할 수 있다. 따라서 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow 0<\|f(x)-c\|< \delta_ { 1 } \] 이고, (1)에 의하여 \[ \|g(f(x))-L\|< \epsilon \] 이다. 그러므로 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(f(x))=L= \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \] 이다.</p> <h2>부록 1-3</h2> <p>[정리 1.22(squeezing 정리)] \( a \) 롤 포함하는 어떤 개구간에서 \( a \) 이외의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) 이고 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \lim _ { z \rightarrow a } h(x)=L \) 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=L \] 이다.</p> <p>증명 \( \epsilon>0 \) 이라 하자. \( \delta>0 \) 가 존재해서 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow x \in I,\|f(x)-L\|< \epsilon,\|h(x)-L\|< \epsilon \] 이 성립한다. \( f(x) \leq g(x) \) 이므로 \[ L- \epsilon<f(x) \leq g(x) \]<caption>(2)</caption>이다. 같은 방법으로, \( \|h(x)-L\|< \epsilon \) 이고, \( g(x) \leq h(x) \) 이므로 \[ g(x) \leq h(x)<L + \epsilon \]<caption>(3)</caption>이다. (2)과 (3)에 의하여 \[ L- \epsilon<g(x)<L + \epsilon \] 이므로 \[ \|g(x)-L\|< \epsilon \] 이 성립한다.</p> <h2>부록 6-1</h2> <p>[정리 6.6] 증가하거나 감소하는 유계수열은 수렴한다.</p> <p>증명 \( \left \{ a_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 을 증가하거나 유계수열이라 하면 상한공리에 의하여 집합 \( S= \left \{ a_ { 1 } \right . \), \( \left .a_ { 2 } , a_ { 3 } , \cdots \right \} \) 의 상한 \( L \) 이 존재한다. 이제 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L \) 임을 보이자. \( \epsilon>0 \) 이라 하면 \( L \) 이 \( S \) 의 상한이므로 \( S- \epsilon \) 은 \( S \) 의 상계가 아니다. 그러므로 \( a_ { N } \) 이 \( S \) 에 존재하여 \[ L- \epsilon<a_ { N } \leq L \] 이다. 주어진 수열이 증가하므로 \( n \geq N \) 에 대하여 \( a_ { N } \leq a_ { n } \) 이고, \[ L- \epsilon<a_ { N } \leq a_ { n } \leq L \] 즉 \( n \geq N \) 에 대하여 \[ \left \|a_ { n } -L \right \|< \epsilon \] 따라서 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L \] 비슷한 방법으로 감소하는 유계수열도 수렴함이 증명된다.</p> <h2>부록 6-2</h2> <p>[정리 6.19] (여기서는 정리 6.19에서 \( a=0 \) 일 때 증명을 한다.) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 을 수렴반경이 \( R>0 \) 인 먹급수라고. 하면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } \) 의 수렴반경도 \( R \) 이고, \( \|x\|<R \) 에 대하여 \[ \frac { d } { d x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) \]<caption>( * )</caption></p> <h2>부록 6-4</h2> <p>[정리 6.23(테일러 부등식)] \( \|x-a\| \leq d \) 에 대하여 \( \left \|f ^ { (n + 1) } (x) \right \| \leq M \) 이면, 그 테일러 급수의 나머지 \( R_ { n } (x) \) 는 다음 부등식을 만족한다. 즉 \( \|x-a\| \leq d \) 에 대하여 \[ \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq \frac { M } { (n + 1) ! } \|x-a\| ^ { n + 1 } \] 이다.</p> <p>증명 \( n=1 \) 에 대하여 위 식이 성립함을 보이기 위하여, \( \left \|f ^ {\prime \prime } (x) \right \| \leq M \) 이라 가정하자. 특히 \( f ^ {\prime \prime } (x) \leq M \) 이므로 \( a \leq x \leq a + d \) 에 대하여 \[ \int_ { 0 } ^ { x } f ^ {\prime \prime } (t) d t \leq \int_ { a } ^ { x } M d t \] \( f ^ {\prime \prime } \) 의 역도함수는 \( f ^ {\prime } \) 이므로 미적분학의 기본정리2 에 의하여 \[ f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (a) \leq M(x-a) \text { 또는 } f ^ {\prime } (x) \leq f ^ {\prime } (a) + M(x-a) \] \[ \begin {array} { l } \int_ { a } ^ { x } f ^ {\prime } (t) d t \leq \int_ { a } ^ { x } \left [f ^ {\prime } (a) + M(t-a) \right ] d t \\ f(x)-f(a) \leq f ^ {\prime } (a)(x-a) + M \frac { (x-a) ^ { 2 } } { 2 } \end {array} \] \[ f(x)-f(a)-f ^ {\prime } (a)(x-a) \leq \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \] 그러나 \( R_ { 1 } (x)=f(x)-T_ { 1 } (x)=f(x)-f(a)-f ^ {\prime } (a)(x-a) \) 이므로 \[ R_ { 1 } (x) \leq \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \] 이다. 같은 방법으로, \( f ^ {\prime \prime } (x) \geq-M \) 을 이용하면 \[ R_ { 1 } (x)- \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \] 이다. 따라서 \[ \left \|R_ { 1 } (x) \right \| \leq \frac { M } { 2 } \|x-a\| ^ { 2 } \] 이 성립한다. 비록 \( x>a \) 라는 가정에서 얻었지만, 비슷한 방법으로 \( x<a \) 에 대해서도 이 부등식이 성립함을 보일 수 있다. 위 과정은 \( n=1 \) 인 경우에 대한 테일러 부등식의 증명이다. 임의의 \( n \) 에 대한 결과도 같은 방법으로 \( n + 1 \) 번 적분하여 증명할 수 있다.</p> <p>[정리 1.18의 (c)] \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \) 과 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \) 가 존재한다고. 하자. 그러면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x)= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \cdot \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \]</p> <p>증명 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M \) 이라 하자. 정리 1.18의 (a)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)-L] &= \lim _ { x \rightarrow a } [f(x) + (-L)] \\ &= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) + \lim _ { x \rightarrow a } (-L) \\ &=L + (-L)=0 \end {aligned} \] 같은 방법으로 하면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } [g(x)-M]=0 \] 이다. \[ \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)-L][g(x)-M]=0 \] 이고, 정리 1.18의 (b)에 의하여 \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow a } L_ { g } (x)=L M, \quad \lim _ { x \rightarrow a } f(x) M=L M \\ \lim _ { x \rightarrow a } (-L M)=-L M \end {array} \] 이다. \[ f(x) g(x)=[f(x)-L][g(x)-M] + [L g(x) + f(x) M]-L M \] 이므로 정리 1.18 의 (a)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x) &= \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)-L][g(x)-M] + \lim _ { x \rightarrow a } L g(x) + \lim _ { x \rightarrow a } f(x) M + \lim _ { x \rightarrow a } (-L M) \\ &=0 + L M + L M-L M \\ &=L M \end {aligned} \] 을 얻는다.</p> <p>[정리 1.18의 (d)] \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \) 와 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \) 이 존재하고 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \neq 0 \) 이라 하자. 그러면 \( \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac {\lim _ { x \rightarrow a } f(x) } {\lim _ { x \rightarrow a } g(x) } \)</p> <h2>부록 2-1</h2> <p>[정리 2.9] 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하면, \( f g \) 도 \( a \) 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ (f g) ^ {\prime } (a)=f ^ {\prime } (a) g(a) + f(a) g ^ {\prime } (a) \]</p> <p>증명 극한정리들을 사용하면 \[ \begin {aligned} (f g) ^ {\prime } (a) &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { (f g)(t)-(f g)(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(t)-f(a) g(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(t)-f(a) g(t) + f(a) g(t)-f(a) g(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \left [ \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \cdot g(t) \right ] + \lim _ { t \rightarrow a } \left [f(a) \cdot \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \right ] \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \lim _ { t \rightarrow a } g(t) + \lim _ { t \rightarrow a } f(a) \lim _ { t \rightarrow a } \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \\ &=f ^ {\prime } (a) g(a) + f(a) g ^ {\prime } (a) \end {aligned} \] 이다 \( \left ( \lim _ { t \rightarrow a } g(t)=g(a) \right . \) 인 것은 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하므로 연속인 성질을 이용한 것이다).</p> <h2>부록 2-2</h2> <p>[정리 2.10] 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하고, \( g(a) \neq 0 \) 이면 \( \frac { f } { g } \) 도 \( a \) 에서 미분가능하고, 다음이 성립한다. \[ \left ( \frac { f } { g } \right ) ^ {\prime } (a)= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a)-f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } \]</p> <h2>부록 6-3</h2> <p>[정리 6.19] (여기서는 정리 6.19에서 \( a=0 \) 일 때 증명을 한다.) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 올 수렴반경이 \( R>0 \) 인 멱급수라 하면 \( (-R, R) \) 에 있는 \( x \) 에 대하여 \[ \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \int_ { 0 } ^ { x } c_ { n } t ^ { n } d t \right ) \] 이다.</p> <p>증명 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 이 구간 \( -R<x<R \) 에서 절대수렴하고 \[ \left \| \frac { c_ { n } x ^ { n } } { n + 1 } \right \| \leq \left \|c_ { n } x ^ { n } \right \| \] 이므로 비교판정법에 의하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } x ^ { n } } { n + 1 } \) 은 \( -R<x<R \) 에서 수렵한다. 따라서 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \] 도 \( -R<x<R \) 에서 수렴한다. 한편 미적분학의 기본정리로부터 \[ \frac { d } { d x } \left ( \int_ { 0 } ^ { z } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } d t \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \] 이고 미분정리에 의하여 \[ \frac { d } { d x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (n + 1) c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \] 이므로 적당한 상수 \( C \) 에 관하여 \[ \int_ { 0 } ^ { z } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } + C \] 를 얻는다. 그런데 \( x=0 \) 이면 \[ 0= \int_ { 0 } ^ { 0 } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } 0 ^ { n + 1 } + C=C \] 이므로 \( C=0 \) 이 되어 첫 번째 등식이 증명된다. 두 번째 등식은 \[ \int_ { 0 } ^ { z } t ^ { n } d t= \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } \] 이라는 사실로부터 성립된다.</p> <h2>부록 2-1</h2> <p>[정리 2.9] 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하면, \( f g \) 도 \( a \) 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ (f g) ^ {\prime } (a)=f ^ {\prime } (a) g(a) + f(a) g ^ {\prime } (a) \]</p> <p>증명 극한정리들을 사용하면 \[ \begin {aligned} (f g) ^ {\prime } (a) &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { (f g)(t)-(f g)(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(t)-f(a) g(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t) g(t)-f(a) g(t) + f(a) g(t)-f(a) g(a) } { t-a } \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \left [ \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \cdot g(t) \right ] + \lim _ { t \rightarrow a } \left [f(a) \cdot \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \right ] \\ &= \lim _ { t \rightarrow a } \frac { f(t)-f(a) } { t-a } \lim _ { t \rightarrow a } g(t) + \lim _ { t \rightarrow a } f(a) \lim _ { t \rightarrow a } \frac { g(t)-g(a) } { t-a } \\ &=f ^ {\prime } (a) g(a) + f(a) g ^ {\prime } (a) \end {aligned} \] 이다. ( \( \lim _ { t \rightarrow a } g(t)=g(a) \) 인 것은 \(g\) 가 \(a\) 에서 미분가능하므로 연속인 성질을 이용한 것이다 ) .</p> <h2>부록 2-2</h2> <p>[정리 2.10] 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 \( a \) 에서 미분가능하고 \( g(a) \neq 0 \) 이면 \( \frac { f } { g } \) 도 \( a \) 에서 미분가능하고 다음이 성립한다. \[ \left ( \frac { f } { g } \right ) ^ {\prime } (a)= \frac { f ^ {\prime } (a) g(a)-f(a) g ^ {\prime } (a) } { [g(a)] ^ { 2 } } \]</p> <p>증명 평균값 정리의 증명에서 나왔던 특별한 함수를 소개하자. \[ h(x)=[f(b)-f(a)] g(x)-[g(b)-g(a)] f(x), \quad a \leq x \leq b \] \( f \) 와 \( g \) 의 결합으로 이루어진 함수 \( h \) 는 \( [a, b] \) 에서 연속이고, \( (a, b) \) 에서 미분가능이므로 평균값 정리에 의해 \[ \frac { h(b)-h(a) } { b-a } =h ^ {\prime } (c) \] 를 만족하는 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 존재한다. 그런데 \( h(a)=h(b) \) 이므로 \( h ^ {\prime } (c)=0 \) 이다. \( h ^ {\prime } (x) \) 을 구해보면 \[ h ^ {\prime } (x)=[f(b)-f(a)] g ^ {\prime } (x)-[g(b)-g(a)] f ^ {\prime } (x), a<x<b \] 이다. \( h ^ {\prime } (c)=0 \) 이므로 \[ [f(b)-f(a)] g ^ {\prime } (c)-[g(b)-g(a)] f ^ {\prime } (c)=0 \]<caption>(2)</caption>가정에서 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이므로 \( g ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 이다. 따라서 \( g(a) \neq g(b) \) 이다(만약, \( g(a)=g(b) \) 이면 평균값 정리는 \( (a, b) \) 에 있는 어떤 \( x \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x)=0 \) 임을 의미하는데 이는 가정에 모순이다). 식 (2)의 양변을 \( [g(b)-g(a)] g ^ {\prime } (c) \) 로 나누면 \[ \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } - \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } =0 \] 을 얻고 식 (1)과 동치이다.</p> <h2>부록 3-4</h2> <p>[정리 3.17(로피탈의 법칙)]<ol type=a start=1><li>\( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분가능이고, \( a<x<b \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)=0= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } g(x), \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { z \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다.</li> <li>\( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, \infty) \) 에서 미분가능이고, \( x>a \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _ { z \rightarrow \infty } f(x)=0= \lim _ { z \rightarrow \infty } g(x), \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다.</li></ol></p> <p>증명 \( f ^ {\prime } (c) \) 가 존재하고 \( f ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 인 임의의 \( c \) 에서 최대값과 최소값을 갖지 않음을 보이면 된다. \( f ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 이라 가정하자. \( f ^ {\prime } (c)>0 \) 인 경우를 증명하자. \[ f ^ {\prime } (c)= \lim _ { z \rightarrow c } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 \] 이므로 \( c \)를 포함하는 어떤 개구간 \( I \) 내의 \( x \) 에 대하여 \[ \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 \] 이다. 그런 \( x \) 에 대하여, 만약 \( x>c \) 이면 \[ f(x)-f(c)=(x-c) \left ( \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \right )>0 \] 이므로, \( f(x)>f(c) \) 이고 \( f \) 는 \( c \) 에서 최대값을 갓지 않는다. 한편, \( x<c \) 이면 \[ f(x)-f(c)=(x-c) \left ( \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \right )<0 \] 이므로, \( f(x)<f(c) \) 이고 \( f \) 는 \( c \) 에서 최소값을 갖지 않는다. 따라서 \( f ^ {\prime } (c)>0 \) 이면 \( f \) 는 \( c \) 에서 최대값과 최소값을 갖지 못한다. \( f ^ {\prime } (c)<0 \) 인 경우도 같은 방법으로 증명하면 된다.</p> <h1>부록 3-2</h1> <p>[정리 3.10] 함수 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이고, \( I \) 의 각 내점에서 미분가능하다고 하자.<ol type=a start=1><li>\( I \) 의 각 내점 \( x \) 에서 \( f ^ {\prime } (x) \geq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 증가한다. 그 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한증가한다.</li> <li>\( I \) 의 각 내점 \( x \) 에서 \( f ^ {\prime } (x) \leq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 감소한다. 그 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한감소한다.</li></ol></p> <p>[정리 1.18의 (c)] \( \lim _ { z \rightarrow a } f(x) \) 과 \( \lim _ { z \rightarrow a } g(x) \) 가 존재한다고 하자. 그러면 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x)= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \cdot \lim _ { z \rightarrow a } g(x) \)</p> <p>증명 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M \) 이라 하자. 정리 1.18의 (a)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { z \rightarrow a } [f(x)-L] &= \lim _ { z \rightarrow a } [f(x) + (-L)] \\ &= \lim _ { z \rightarrow a } f(x) + \lim _ { z \rightarrow a } (-L) \\ &=L + (-L)=0 \end {aligned} \] 같은 방법으로 하면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } [g(x)-M]=0 \] 이다. \[ \lim _ { x \rightarrow a } [f(x)-L][g(x)-M]=0 \] 이고, 정리 1.18의 (b)에 의하여 \[ \begin {array} { l } \lim _ { x \rightarrow a } L g(x)=L M, \quad \lim _ { x } \\ \lim _ { x \rightarrow a } (-L M)=-L M \end {array} \] 이다. \[ f(x) g(x)=[f(x)-L][g(x)-M] + [L g(x) + f(x) M]-L M \] 이므로 정리 1.18의 (a)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } f(x) g(x) &= \lim _ { z \rightarrow a } [f(x)-L][g(x)-M] + \lim _ { z \rightarrow a } L g(x) + \lim _ { x \rightarrow a } f(x) M + \lim _ { z \rightarrow a } (-L M) \\ &=0 + L M + L M-L M \\ &=L M \end {aligned} \] 을 얻는다.</p> <p>[정리 1.18 의 (d)] \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \) 와 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \) 이 존재하고 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \neq 0 \) 이라 하자. 그러면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac {\lim _ { x \rightarrow a } f(x) } {\lim _ { x \rightarrow a } g(x) } \]</p> <h2>부록 6-1</h2> <p>[정리 6.6] 증가하거나 감소하는 유계수열은 수렴한다.</p> <p>증망 \( \left \{ a_ { n } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \) 을 증가하거나 유계수열이라 하면 상한공리에 의하여 집합 \( S= \left \{ a_ { 1 } \right . \), \( \left .a_ { 2 } , a_ { 3 } , \cdots \right \} \) 의 상한 \( L \) 이 존재한다. 이제 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L \) 임을 보이자. \( \epsilon>0 \) 이라 하면 \( L \) 이 \( S \)의 상한이므로 \( S- \epsilon \) 은 \( S \) 의 상계가 아니다. 그러므로 \( a_ { N } \) 이 \( S \) 에 존재하여 \[ L- \epsilon<a_ { N } \leq L \] 이다. 주어진 수열이 증가하므로 \( n \geq N \) 에 대하여 \( a_ { N } \leq a_ { n } \) 이고 \[ L- \epsilon<a_ { N } \leq a_ { n } \leq L \] 즉 \( n \geq N \) 에 대하여 \[ \left \|a_ { n } -L \right \|< \epsilon \] 따라서 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =L \] 비슷한 방법으로 감소하는 유계수열도 수렴함이 증명된다.</p> <h2>부록 6-2</h2> <p>[정리 6.19](여기서는 정리 \( 6.19 \) 에서 \( a=0 \) 일 때 증명을 한다.) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 을 수렴반경이 \( R>0 \) 인 멱구수라고 하면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } \) 의 수렴반경도 \( R \) 이고, \( \|x\|<R \) 에 대하여 \[ \frac { d } { d x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \right )= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) \]<caption>()</caption></p> <h2>부록 1-1</h2> <p>[정리 1.18의 (a)] \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \) 과 \( \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \) 가 존재한다고 하자. 그러면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } [f(x) + g(x)]= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) + \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \]</p> <p>증명 \( \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M, \epsilon>0 \) 이라 하자. \( \delta>0 \) 가 존재하여 \( 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|[f(x) + g(x)]-(L + M)\|< \epsilon \) 이 성립함을 보이자. \( \epsilon \) 대신 \( \frac {\epsilon } { 2 } \) 에 대해서 \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|f(x)-L\|< \frac {\epsilon } { 2 } ,\|g(x)-M\|< \frac {\epsilon } { 2 } \] 이 성립한다. 그러므로 \[ \begin {aligned} \|[f(x) + g(x)]-(L + M)\| &=\|[f(x)-L] + [g(x)-M]\| \\ & \leq\|f(x)-L\| + \|g(x)-M\| \\ &< \frac {\epsilon } { 2 } + \frac {\epsilon } { 2 } = \epsilon \end {aligned} \] 이 성립한다.</p> <p>[정리 1.18의 (b)] \( \lim _ { z \rightarrow c } f(x) \) 이 존재하고 \( c \) 를 임의의 실수라 하자. 그러면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } c f(x)= \operatorname { clim } _ { x \rightarrow a } f(x) \]</p> <p>증명 \( c=0 \) 인 경우는 방정식의 양변이 0이므로 정리는 성립한다. \( c \neq 0 \) 이고 \( \lim _ { z \rightarrow a } f(x)=L \) 이라 가정하고 임의의 \( \epsilon>0 \) 을 택하자. \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|c f(x)-c L\|< \epsilon \] 이 성립함을 보이자. \( \frac {\epsilon } { \|c\| } >0 \) 에 대해서 \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|f(x)-L\|< \frac {\epsilon } { \|c\| } \] 이 성립한다. 따라서 \[ \|c f(x)-c L\|=\|c\|\|f(x)-L\|<\|c\| \frac {\epsilon } { \|c\| } = \epsilon \] 이므로 \[ \lim _ { x \rightarrow a } c f(x)=c L= \lim _ { x \rightarrow a } f(x) \] 이다.</p> <p>증명 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { z \rightarrow a } g(x)=M \neq 0 \) 이라 하자. \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|g(x)\|>\frac { \|M\| } { 2 } \] 이고, 그런 \( x \) 에 대하여 \[ \left \| \frac { 1 } { M g(x) } \right \|< \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { f(x) } { g(x) } - \frac { L } { M } \right \| &= \left \| \frac { M f(x)-L g(x) } { M g(x) } \right \| \\ &=\|M f(x)-L g(x)\| \left \| \frac { 1 } { M g(x) } \right \| \\ & \leq\|M f(x)-L g(x)\| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 즉 \[ \begin {aligned} 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow 0 & \leq \left \| \frac { f(x) } { g(x) } - \frac { L } { M } \right \| \\ & \leq\|M f(x)-L g(x)\| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 이다. 그런데 정리 1.18의 (a), (b)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } [M f(x)-L g(x)] &=M \lim _ { z \rightarrow a } f(x)-L \lim _ { z \rightarrow a } g(x) \\ &=M L-L M=0 \end {aligned} \] 따라서 \( \lim _ { x \rightarrow a } \|M f(x)-L g(x)\| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right )=0 \) 이다. 그러므로 정리 1.22(squeezing 정리)에 의하여 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \left \| \frac { f(x) } { g(x) } - \frac { L } { M } \right \|=0 \] 즉 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { L } { M } \] 이다.</p> <p>증명 (a) \( x \) 와 \( z \) 를 \( x<z \) 인 구간 \( I \) 의 임의의 두 점이라 하자. 가정에 의하여 \( f \) 가 \( [x, z] \)에서 연속이고 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(z)-f(x) } { z-x } \] 인 \( c \) 가 \( (x, z) \) 내에 존재한다. \( f ^ {\prime } (c) \geq 0 \) 이고, \( z-x>0 \) 이므로 \[ f(z)-f(x)=f ^ {\prime } (c)(z-x) \geq 0, \text { 즉 } f(z) \geq f(x) \] 이다. 따라서 \( f \) 는 \( I \) 에서 증가한다. 이제 (a)의 두 번째 부분을 보이기 위하여 \( f \) 가 \( I \) 에서 강한증가하지 않는다고 가정하자. 위에서 \( f \) 가 증가한다는 것은 보였으므로 \( v<w \) 일 때, \( f(v)=f(w) \) 가 성립하는 \( I \) 내의 서로 다른 두 점 \( v, w \) 가 존재하여야 한다. 이것은 \( f \) 가 \( [v, w] \) 에서 상수함수임을 뚯한다. 즉 \( v<x<w \) 일 때, \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이다. 따라서 유한 개의 점을 제외하고 \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f ^ {\prime } (x)>0 \) 이라는 것에 모순이다. 그러므로 유한개의 점을 제외하고 \( f ^ {\prime } (x)>0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 깅한증가한다. (b) (a)와 같은 방법으로 증명하면 된다.</p> <h2>부록 3-3</h2> <p>[정리 3.16(일반화된 평균값 정리)] \( f \) 와 \( g \) 가 \( [a, b] \) 에서 연속이고 \( (a, b) \) 에서 미분가능이라고 하자. \( a<x<b \) 에 대해 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이면 다음을 만족하는 수 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 존재한다. \[ \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } = \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } \]<caption>(1)</caption></p> <p>증명 \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=L, \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=M \neq 0 \) 이라 하자. \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|g(x)\|>\frac { \|M\| } { 2 } \] 이고, 그런 \( x \) 에 대하여 \[ \left \| \frac { 1 } { Mg(x) } \right \|< \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \left \| \frac { f(x) } { g(x) } - \frac { L } { M } \right \| &= \left \| \frac { M f(x)-Lg(x) } { Mg(x) } \right \| \\ &= \left \|M f(x)-Lg(x) \right \| \left \| \frac { 1 } { Mg(x) } \right \| \\ & \leq \left \|M f(x)-Lg(x) \right \| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 즉 \[ \begin {aligned} 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow 0 & \leq \left \| \frac { f(x) } { g(x) } - \frac { L } { M } \right \| \\ & \leq \left \|M f(x)-Lg(x) \right \| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right ) \end {aligned} \] 이다. 그런데 정리 1.18 의 (a), (b)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } [M f(x)-L g(x)] &=M \lim _ { x \rightarrow a } f(x)-L \lim _ { x \rightarrow a } g(x) \\ &=M L-L M=0 \end {aligned} \] 따라서 \( \lim _ { x \rightarrow a } \left \|M f(x)-Lg(x) \right \| \left ( \frac { 2 } { M ^ { 2 } } \right )=0 \) 이다. 그러므로 정리 1.22 (squeezing 정리)에 즉 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { L } { M } \] 이다.</p> <p>증명 (a) \( x \) 와 \( z \) 를 \( x<z \) 인 구간 \( I \) 의 임의의 두 점이라 하자. 가정에 의하여 \( f \) 가 \( [x, z] \)에서 연속이고, 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여 \[ f ^ {\prime } (c)= \frac { f(z)-f(x) } { z-x } \] 인 \( c \) 가 \( (x, z) \) 내에 존재한다. \( f ^ {\prime } (c) \geq 0 \) 이고, \( z-x>0 \) 이므로 \[ f(z)-f(x)=f ^ {\prime } (c)(z-x) \geq 0 \text { , 즉 } f(z) \geq f(x) \] 이다. 따라서 \( f \) 는 \( I \) 에서 증가한다. 이제 (a)의 두 번째 부분을 보이기 위하여 \( f \) 가 I에서 강한증가하지 않는다고, 가정하자. 위에서 \( f \) 가 증가한다는 것은 보였으므로 \( v<w \) 일 때, \( f(v)=f(w) \) 가 성립하는 \( I \) 내의 서로 다른 두 점 \( v, w \) 가 존재하여야 한다. 이것은 \( f \) 가 \( [v, w] \) 에서 상수함수임을 뚯한다. \( v<x<w \) 일 때, \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이다. 따라서 유한 개의 점을 제외하고. \( I \) 내의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f ^ {\prime } (x)>0 \) 이라는 것에 모순이다. 그리므로 유한 개의 점을 제외하고 \( f ^ {\prime } (x)>0 \) 이면 \( f \)는 \( I \) 에서 강한증가한다. (b) (a)와 같은 방법으로 증명하면 된다.</p> <h2>부록 3-3</h2> <p>[정리 3.16(일반화된 평균값 정리)] \( f \) 와 \( g \) 가 \( [a, b] \) 에서 연속이고. \( (a, b) \) 에서 미분가능이라고 하자. \( a<x<b \) 에 대해 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이면 다음을 만족하는 수 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 존재한다. \[ \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } = \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } \]<caption>(1)</caption></p> <h2>부록 6-4</h2> <p>[정리 6.23(테일러 부둥식)] \( \|x-a\| \leq d \) 에 대하여 \( \left \|f ^ { (n + 1) } (x) \right \| \leq M \) 이면, 그 테일러 급수의 나머지 \( R_ { n } (x) \) 는 다음 부등식을 만족한다. 즉 \( \|x-a\| \leq d \) 에 대하여 \[ \left \|R_ { n } (x) \right \| \leq \frac { M } { (n + 1) ! } \|x-a\| ^ { n + 1 } \] 이다.</p> <p>증명 \( n=1 \) 에 대하여 위 식이 성립함을 보이기 위하여, \( \left \|f ^ {\prime \prime } (x) \right \| \leq M \) 이라 가정하자. 특히 \( f ^ {\prime \prime } (x) \leq M ^ {\text { 이므로 } } a \leq x \leq a + d \) 에 대하여 \[ \int_ { 0 } ^ { x } f ^ {\prime \prime } (t) d t \leq \int_ { a } ^ { x } M d t \] \( f ^ {\prime \prime } \) 의 역도함수는 \( f ^ {\prime } \) 이므로 미적분학의 기본정리 2 에 의하여 \[ \begin {array} { l } f ^ {\prime } (x)-f ^ {\prime } (a) \leq M(x-a) \text { 또는 } f ^ {\prime } (x) \leq f ^ {\prime } (a) + M(x-a) \\ \int_ { a } ^ { x } f ^ {\prime } (t) d t \leq \int_ { a } ^ { x } \left [f ^ {\prime } (a) + M(t-a) \right ] d t \\ f(x)-f(a) \leq f ^ {\prime } (a)(x-a) + M \frac { (x-a) ^ { 2 } } { 2 } \\ f(x)-f(a)-f ^ {\prime } (a)(x-a) \leq \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \end {array} \] 이다. 그러나 \( R_ { 1 } (x)=f(x)-T_ { 1 } (x)=f(x)-f(a)-f ^ {\prime } (a)(x-a) \) 이므로 \( R_ { 1 } (x) \leq \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \) 이다. 같은 방법으로, \( f ^ {\prime \prime } (x) \geq-M \) 을 이용하면 \[ R_ { 1 } (x)- \frac { M } { 2 } (x-a) ^ { 2 } \] 이다. 따라서 \[ \left \|R_ { 1 } (x) \right \| \leq \frac { M } { 2 } \|x-a\| ^ { 2 } \] 이 성립한다. 비록 \( x>a \) 라는 가정에서 얻었지만, 비슷한 방법으로 \( x<a \) 에 대해서도 이 부등식이 성립함을 보일 수 있다. 위 과정은 \( n=1 \) 인 경우에 대한 테일러 부등식의 증명이다. 임의의 \( n \) 에 대한 결과도 같은 방법으로 \( n + 1 \) 번 적분하여 증명할 수 있다.</p> <h2>부록 4-1</h2> <p>[미적분학의 기본정리 1]</p> <p>만약 함수 \( f \) 가 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속이면, \[ g(x)= \int_ { a } ^ { x } f(t) d t . \quad a \leq x \leq b \] 에 의하여 정의된 함수 \( g \) 는 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속이고 구간 \( (a, b) \) 위에서 미분가능하며, \( g ^ {\prime } (x)=f(x) \) 이다.</p> <p>증명 \( = \) 만약 \( x \) 와 \( x + h \) 가 구간 \( (a, b) \) 안에 있다면, \[ \begin {aligned} g(x + h)-g(x) &= \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t- \int_ { a } ^ { x } f(t) d t \\ &= \left ( \int_ { a } ^ { x } f(t) d t + \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \right )- \int_ { a } ^ { x } f(t) d t \text { (성질 5에 의하여) } \\ &= \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \end {aligned} \] 이며, 따라서 \( h \neq 0 \) 인 \( h \) 에 대하여 \[ \frac { g(x + h)-g(x) } { h } = \frac { 1 } { h } \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \]<caption>(1)</caption>이다. 이제 \( h>0 \) 임을 가정하자. \( f \) 는 \( [x, x + h] \) 위에서 연속이므로 극값정리(Extreme Value Theorem)에 의하여 \( f(u)=m \) 과 \( f(v)=M \) 을 만족하는 구간 \( [x, x + h] \) 내에 검 \( u \) 와 \( v \) 가 존재한다. 여기에서 \( m \) 과 \( M \) 은 구간 \( [x, x + h] \) 위에서 \( f \) 의 최소값과 최대값이다 (그림 참조) 적분의 성질 8에 의하여 \[ \begin {array} { l } m h \leq \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \leq M h, \\ \text { 즉 } f(u) h \leq \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \leq f(v) h \end {array} \] 를 얻는다. \( h>0 \) 이므로 위의 부등식을 \( h \) 로 나누면 \[ f(u) \leq \frac { 1 } { h } \int_ { x } ^ { x + h } f(t) d t \leq f(v) \] 를 얻는다. 이제 방정식 (1)을 이용하여 위의 부등식의 중앙부분을 대치하면 \[ f(u) \leq \frac { g(x + h)-g(x) } { h } \leq f(v) \]<caption>(2)</caption>를 얻는다. \( h<0 \) 인 경우에도 유사한 방법으로 부등식 (2)를 증명할 수 있다. 이제 \( h \rightarrow 0 \) 으로 하자. 그러면 \( u \) 와 \( v \) 가 \( x \) 와 \( x + h \) 사이에 놓여 있으므로, \( u \rightarrow x \) 이고. \( v \rightarrow x \) 이다. 그러므로 \( f \) 가 \( x \) 에서 연속이고, \[ \begin {array} { l } \lim _ { h \rightarrow 0 } f(u)= \lim _ { u \rightarrow x } f(u)=f(x), \\ \lim _ { h \rightarrow 0 } f(v)= \lim _ { v \rightarrow x } f(v)=f(x) \end {array} \] 이다. 식 (2)와 압축 정리(Squeeze Theorem)에 의하여 \[ g ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(x + h)-g(x) } { h } =f(x) \]<caption>(3)</caption>임을 밝힐 수 있다. 만약 \( x=a \) 또는 \( b \) 라면 방정식 \((3) \)은 한쪽 극한(one sided limit)으로 해석될 수 있다. 그러면 한쪽 극한에 대한 수정된 정리에 의하여 \( g \) 는 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속임을 밝힐 수 있다.</p> <p>증명 \( x \) 를 \( (-R, R) \) 에 있는 수라 하고, \( \|t\|<R \) 에 대하여 \( f(t)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \) 라 할 때 \[ \lim _ { t \rightarrow x } \left ( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac { f(t)-f(x) } { t-x } \right )=0 \] 즉 \[ \lim _ { t \rightarrow z } \left ( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \right )=0 \] 임을 보이면 ()의 첫 번째 등식이 증명된다. 우선 \( \|x\|<b<R \) 인 \( b \) 를 취하면 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n } \) 은 수렴하고 \( \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \) 도 수렴한다. 이제 \( x \) 와 다른 \( (-b, b) \) 에 있는 \( t \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \frac {\sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } } { t-x } &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } \frac { t ^ { n } -x ^ { n } } { t-x } \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=1 } ^ {\infty } c_ { n } n s_ { n } ^ { n-1 } \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } \left (x ^ { n-1 } -s_ { n } ^ { n-1 } \right ) \\ &= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left (x-s_ { n } \right ) n(n-1) c_ { n } r_ { n } ^ { n-2 } \end {aligned} \] 이다. \( s_ { n } \) 의 정의에 의하여 \[ \left \|x-s_ { n } \right \| \leq\|x-t\| \] 이고, \( r_ { n } \) 의 정의에 의하여 \( \left \|r_ { n } \right \|<b<R \) 이므로 \( \lim _ { t \rightarrow x } \left \| \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n c_ { n } x ^ { n-1 } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \right \| \) \[ \begin {array} { l } = \lim _ { t \rightarrow z } \left \| \sum_ { n=2 } ^ {\infty } \left (x-s_ { n } \right ) n(n-1) c_ { n } r_ { n } ^ { n-2 } \right \| \leq \lim _ { t \rightarrow z } \|x-t\| \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \\ = \lim _ { t \rightarrow z } \|x-t\| c \\ =0 \end {array} \] 이다. 단, \( c= \sum_ { n=2 } ^ {\infty } n(n-1) \left \|c_ { n } \right \| b ^ { n-2 } \) 이다. 따라서 (*)의 첫 번째 등식이 성립하고 \[ n c_ { n } x ^ { n-1 } = \frac { d } { d x } \left (c_ { n } x ^ { n } \right ) \] 이므로 두 번째 등식도 성립한다.</p> <h2>부록 2-3</h2> <p>[정리 2.11(연쇄법칙)] 함수 \( f \) 가 \( a \) 에서 미분가능하고, 함수 \( g \) 가 \( f(a) \) 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 \( g \circ f \) 는 \( a \) 에서 미분가능하고, \[ (g \circ f) ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \] 이다.</p> <p>증명 \( G(x)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { g(x)-g(f(a)) } { x-f(a) } , & x \neq f(a) \\ g ^ {\prime } (f(a)), & x=f(a) \end {array} \right . \) 이라 하자. \( f(a) \) 에서 \( g \) 의 도함수의 정의와 정리 1.21에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } G(f(x)) &= \lim _ { y \rightarrow f(a) } G(y)= \lim _ { y \rightarrow f(a) } \frac { g(y)-g(f(a)) } { y-f(a) } \\ &=g ^ {\prime } (f(a)) \end {aligned} \] 이다. \( f(x)=f(a) \) 와 \( f(x) \neq f(a) \) 를 분리하여 생각하면 \[ \frac { g(f(x))-g(f(a)) } { x-a } =G(f(x)) \left ( \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \right ) \] 을 얻는다. 정리 1.18 의 (c)에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } \frac { g(f(x))-g(f(a)) } { x-a } &= \lim _ { x \rightarrow a } G(f(x)) \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \\ &=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \end {aligned} \] 이다. 따라서 \( (g \circ f) ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \) 이다.</p> <h2>부록 3-1</h2> <p>[정리 3.3] 함수 \( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \) 에서 정의되었다고 하자. 개구간 \( (a, b) \) 내의 \( c \) 에서 미분가능하 고, \( c \) 에서 폐구간 \( [a, b] \) 위의 \( f \) 의 최대값 또는 최소값을 갖는다면, \( f ^ {\prime } (c)=0 \) 이다.</p> <h2>부록 2-3</h2> <p>[정리 2.11(연쇄법칙)] 함수 \( f \) 가 \( a \) 에서 미분가능하고, 함수 \( g \) 가 \( f(a) \) 에서 미분가능하다고 하자. 그러면 \( g \circ f \) 는 \( a \) 에서 미분가능하고, \[ (g \circ f) ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \] 이다.</p> <p>증명 \[ G(x)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { g(x)-g(f(a)) } { x-f(a) } , & x \neq f(a) \\ g ^ {\prime } (f(a)) & , \quad x=f(a) \end {array} \right . \] 이라 하자. \( f(a) \) 에서 \( g \) 의 도함수의 정의와 정리 1.21에 의하여 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a } G(f(x)) &= \lim _ { y \rightarrow f(a) } G(y)= \lim _ { y \rightarrow f(a) } \frac { g(y)-g(f(a)) } { y-f(a) } \\ &=g ^ {\prime } (f(a)) \end {aligned} \] 이다. \( f(x)=f(a) \) 와 \( f(x) \neq f(a) \) 롤 분리하여 생각하면 \[ \frac { g(f(x))-g(f(a)) } { x-a } =G(f(x)) \left ( \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \right ) \] 을 얻는다. 정리 1.18의 (c)에 의하여 \[ \lim _ { x \rightarrow a } \frac { g(f(x))-g(f(a)) } { x-a } = \lim _ { x \rightarrow a } G(f(x)) \lim _ { x \rightarrow a } \frac { f(x)-f(a) } { x-a } \] \[ =g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \] 이다. 따라서 \( (g \circ f) ^ {\prime } (a)=g ^ {\prime } (f(a)) f ^ {\prime } (a) \) 이다.</p> <h2>부록 3-1</h2> <p>[정리 3.3] 함수 \( f(x) \) 가 폐구간 \( [a, b] \) 에서 정의되었다고 하자. 개구간 \( (a, b) \) 내의 \( c \) 에서 미분가능하고, \( c \) 에서 폐구간 \( [a, b] \) 위의 \( f \) 의 최대값 또는 최소값을 갓는다면, \( f ^ {\prime } (c)=0 \) 이다.</p> <h2>부록 6-3</h2> <p>[정리 6.19] (여기서는 정리 6.19에서 \( a=0 \) 일 때 증명을 한다.) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 을 수렴반경이 \( R>0 \) 인 멱급수라 하면 \( (-R, R) \) 에 있는 \( x \) 에 대하여 \[ \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \int_ { 0 } ^ { x } c_ { n } t ^ { n } d t \right ) \] 이다.</p> <p>증명 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \) 이 구간 \( -R<x<R \) 에서 절대수렴하고, \( \left \| \frac { c_ { n } x ^ { n } } { n + 1 } \right \| \leq \left \|c_ { n } x ^ { n } \right \| \) 이므로 비교판정법에 의하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } x ^ { n } } { n + 1 } \) 은 \( -R<x<R \) 에서 수렴한다. 따라서 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \] 도 \( -R<x<R \) 에서 수켬한다. 한편 미적분화의 기본정리로부터 \[ \frac { d } { d x } \left ( \int_ { 0 } ^ { x } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } d t \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \] 이고, 미분정리에 의하여 \[ \frac { d } { d x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (n + 1) c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } x ^ { n } \] 이므로 적당한 상수 \( C \) 에 관하여 \[ \int_ { 0 } ^ { x } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } x ^ { n + 1 } + C \] 를 얻는다. 그런데 \( x=0 \) 이면 \[ 0= \int_ { 0 } ^ { 0 } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } c_ { n } t ^ { n } \right ) d t= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { c_ { n } } { n + 1 } 0 ^ { n + 1 } + C=C \] 이므로 \( C=0 \) 이 되어 첫 번째 등식이 중명된다. 두 번째 등식은 \[ \int_ { 0 } ^ { x } t ^ { n } d t= \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } \] 이라는 사실로부터 성립된다.</p> <p>증명을 (a)에 있는 우극한을 포함하는 식을 세우기 위하여 \( F \) 와 \( G \) 를 \( [a, b) \) 에서 다음과 같이 정의하자. \[ \begin {aligned} F(x) &= \left \{\begin {array} { ll } f(x), & a<x<b \\ 0, & x=a \end {array} \right . \\ G(x) &= \left \{\begin {array} { ll } g(x), & a<x<b \\ 0, & x=a \end {array} \right . \end {aligned} \] 그러면 \( \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } F(x)= \lim _ { z \rightarrow a ^ { + } } f(x)=0=F(a) \) 가 성립하고, \( F \) 는 \( [a, b) \) 에서 연속이다. \( G \) 도 마찬가지이다. 더욱이 \( (a, b) \) 에서 \( F \) 와 \( G \) 는 각각 \( f, g \) 와 일치하므로 미분가능이다. 따라서 \( (a, b) \) 에 있는 임의의 \( x \) 에 대해 \( F \) 와 \( G \) 는 \( [a, x] \) 에서 연속이고, \( (a, x) \) 에서 미분가능이므 로 일반화된 평균값 정리에 의해 \[ \frac { F(x) } { G(x) } = \frac { F(x)-F(a) } { G(x)-G(a) } = \frac { F ^ {\prime } (c(x)) } { G ^ {\prime } (c(x)) } \] 를 만족하는 수 \( c(x) \) 가 \( (a, x) \) 에 존재한다. \( (a, b) \) 에서 \( F=f \) 이고 \( G=g \) 이므로 위 식은 \[ \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { f ^ {\prime } (c(x)) } { g ^ {\prime } (c(x)) } \] 를 의미한다. \( a<c(x)<x \) 이므로 \( \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } c(x)=a \) 이다. 이제, \( y=c(x) \) 를 대입하면 \[ \begin {aligned} \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f(x) } { g(x) } &= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (c(x)) } { g ^ {\prime } (c(x)) } = \lim _ { y \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (y) } { g ^ {\prime } (y) } \\ &= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \end {aligned} \] 올 얻는다.좌극한에 대한 증명은 비숫하나 (b)의 증명은 어려우므로 생락하기로 한다.</p> <h2>부록 1-2</h2> <p>[정리 1.21] \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=c \) 이고 \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에서 \( a \) 이외의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \neq c \) 이며 \( \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \) 가 존재하면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(f(x))= \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \] 이다.</p> <p>증명 \( \epsilon>0 \) 이라 하고, \( \lim _ { y \rightarrow c } g(y)=L \) 이라 하자. 그러면 \( \delta_ { 1 } >0 \) 이 존재하여 \[ 0<\|y-c\|< \delta_ { 1 } \Longrightarrow\|g(y)-L\|< \epsilon \]<caption>(1)</caption>이 성립한다. \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)=c \) 이고 \( \delta_ { 1 } >0 \) 이므로 \( \delta>0 \) 가 존재하여 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow\|f(x)-c\|< \delta_ { 1 } \] 이 성립한다. 가정에 의하여 \( 0<\|x-a\|< \delta \) 일 때 \( f(x) \neq c \) 인 \( \delta \) 를 택할 수 있다. 따라서 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow 0<\|f(x)-c\|< \delta_ { 1 } \] 이고, (1)에 의하여 \[ \|g(f(x))-L\|< \epsilon \] 이다. 그러므로 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(f(x))=L= \lim _ { y \rightarrow c } g(y) \] 이다.</p> <h2>부록 1-3</h2> <p>[정리 1.22(squeezing 정리)] \( a \) 를 포함하는 어떤 개구간에서 \( a \) 이외의 모든 \( x \) 에 대하여 \( f(x) \leq g(x) \leq h(x) \) 이고. \( \lim _ { x \rightarrow a } f(x)= \lim _ { x \rightarrow a } h(x)=L \) 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow a } g(x)=L \] 이다.</p> <p>증명 \( \epsilon>0 \) 이라 하자. \( \delta>0 \) 가 존재해서 \[ 0<\|x-a\|< \delta \Longrightarrow x \in I,\|f(x)-L\|< \epsilon,\|h(x)-L\|< \epsilon \] 이 성립한다. \( f(x) \leq g(x) \) 이므로 \[ L- \epsilon<f(x) \leq g(x) \]<caption>(2)</caption>이다. 같은 방법으로, \( \|h(x)-L\|< \epsilon \) 이고, \( g(x) \leq h(x) \) 이므로 \[ g(x) \leq h(x)<L + \epsilon \]<caption>(3)</caption>이다. (2)과 (3)에 의하여 \[ L- \epsilon<g(x)<L + \epsilon \] 이므로 \[ \|g(x)-L\|< \epsilon \] 이 성립한다.</p> <p>증명 평균값 정리의 증명에서 나왔던 특별한 함수를 소개하자. \[ h(x)=[f(b)-f(a)] g(x)-[g(b)-g(a)] f(x), \quad a \leq x \leq b \] \( f \) 와 \( g \) 의 결합으로 이루어진 함수 \( h \) 는 \( [a, b] \) 에서 연속이고, \( (a, b) \) 에서 미분가능이므로 평균값 정리에 의해 \[ \frac { h(b)-h(a) } { b-a } =h ^ {\prime } (c) \] 를 만족하는 \( c \) 가 \( (a, b) \) 에 존재한다. 그런데 \( h(a)=h(b) \) 이므로 \( h ^ {\prime } (c)=0 \) 이다. \( h ^ {\prime } (x) \) 을 구해보면 \[ h ^ {\prime } (x)=[f(b)-f(a)] g ^ {\prime } (x)-[g(b)-g(a)] f ^ {\prime } (x), a<x<b \] 이다. \( h ^ {\prime } (c)=0 \) 이므로 \[ [f(b)-f(a)] g ^ {\prime } (c)-[g(b)-g(a)] f ^ {\prime } (c)=0 \]<caption>(2)</caption>가정에서 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이므로 \( g ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 이다. 따라서 \( g(a) \neq g(b) \) 이다(만약, \( g(a)=g(b) \) 이면 평균값 정리는 \( (a, b) \) 에 있는 어떤 \( x \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x)=0 \) 임을 의미하는데 이는 가정에 모순이다). 식 (2)의 양변을 \( [g(b)-g(a)] g ^ {\prime } (c) \) 로 나누면 \[ \frac { f(b)-f(a) } { g(b)-g(a) } - \frac { f ^ {\prime } (c) } { g ^ {\prime } (c) } =0 \] 을 얻고 식 (1)과 동치이다.</p> <h2>부록 3-4</h2> <p>[정리 3.17(로피탈의 법칙)]<ol type=a start=1><li>(a) \( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, b) \) 에서 미분가능이고, \( a<x<b \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } f(x)=0= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } g(x), \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { x \rightarrow a ^ { + } } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다.</li> <li>(b) \( f \) 와 \( g \) 가 \( (a, \infty) \) 에서 미분가능이고, \( x>a \) 에 대하여 \( g ^ {\prime } (x) \neq 0 \) 이라고 하자. \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } f(x)=0= \lim _ { x \rightarrow \infty } g(x), \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } =L \] 이면 \[ \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f(x) } { g(x) } =L= \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ^ {\prime } (x) } { g ^ {\prime } (x) } \] 이다.</li></ol></p> <p>증명 \( f ^ {\prime } (c) \) 가 존재하고 \( f ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 인 임의의 \( c \) 에서 최대값과 최소값을 갖지 않음을 보이면 된다. \( f ^ {\prime } (c) \neq 0 \) 이라 가정하자. \( f ^ {\prime } (c)>0 \) 인 경우를 증명하자. \[ f ^ {\prime } (c)= \lim _ { x \rightarrow c } \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 \] 이므로 \( c \) 를 포함하는 어떤 개구간 \( I \) 내의 \( x \) 에 대하여 \[ \frac { f(x)-f(c) } { x-c } >0 \] 이다. 그런 \( x \) 에 대하여, 만약 \( x>c \) 이면 \[ f(x)-f(c)=(x-c) \left ( \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \right )>0 \] 이므로, \( f(x)>f(c) \) 이고 \( f \) 는 \( c \) 에서 최대값을 갖지 않는다. 한편, \( x<c \) 이면 \[ f(x)-f(c)=(x-c) \left ( \frac { f(x)-f(c) } { x-c } \right )<0 \] 이므로, \( f(x)<f(c) \) 이고 \( f \) 는 \( c \) 에서 최소값을 갖지 않는다. 따라서 \( f ^ {\prime } (c)>0 \) 이면 \( f \) 는 \( c \) 에서 최대값과 최소값을 갖지 못한다. \( f ^ {\prime } (c)<0 \) 인 경우도 같은 방법으로 증명하면 된다.</p> <h2>부록 3-2</h2> <p>[정리 3.10] 함수 \( f \) 가 구간 \( I \) 에서 연속이고, \( I \) 의 각 내점에서 미분가능하다고 하자.<ol type=a start=1><li>\( I \) 의 각 내점 \( x \) 에서 \( f ^ {\prime } (x) \geq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 증가한다. \( ユ \) 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한증가한다.</li> <li>\( I \) 의 각 내점 \( x \) 에서 \( f ^ {\prime } (x) \leq 0 \) 이면, \( f \) 는 \( I \) 에서 감소한다. 그 위에, \( I \) 내의 많아야 유한 개의 점에서 \( f ^ {\prime } (x)=0 \) 이면 \( f \) 는 \( I \) 에서 강한감소한다.</li></ol></p> <h2>부록 4-1</h2> <p>[미적분학의 기본정리 1] 만약 함수 \( f \) 가 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속이면, \[ g(x)= \int_ { a } ^ { z } f(t) d t . \quad a \leq x \leq b \] 에 의하여 정의된 함수 \( g \) 는 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속이고 구간 \( (a, b) \) 위에서 미분가능하며, \( g ^ {\prime } (x)=f(x) \) 이다.</p> <p>증명 만약 \( x \) 와 \( x + h \) 가 구간 \( (a, b) \) 안에 있다면, \[ \begin {aligned} g(x + h)-g(x) &= \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t- \int_ { a } ^ { x } f(t) d t \\ &= \left ( \int_ { a } ^ { x } f(t) d t + \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t \right )- \int_ { a } ^ { x } f(t) d t \text { (성질 5에 의하여) } \\ &= \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t \end {aligned} \] 이며, 따라서 \( h \neq 0 \) 인 \( h \) 에 대하여 \[ \frac { g(x + h)-g(x) } { h } = \frac { 1 } { h } \int_ { z } ^ { z + h } f(t) d t \] 이다. 이제 \( h>0 \) 임을 가정하자. \( f \) 는 \( [x, x + h] \) 위에서 연속이므로 극값정리(Extreme Value Theorem)에 의하여 \( f(u)=m \) 과 \( f(v)=M \) 을 만족하는 구간 \( [x, x + h] \) 내에 점 \( u \) 와 \( v \) 가 존재한다. 여기에서 \( m \) 과 \( M \) 은 구간 \( [x, x + h] \) 위에서 \( f \) 의 최소값과 최대값이다 (그림 참조). 적분의 성질 8 에 의하여 \[ \begin {array} { l } m h \leq \int_ { z } ^ { x + h } f(t) d t \leq M h, \\ \text { 즉 } f(u) h \leq \int_ { z } ^ { x + h } f(t) d t \leq f(v) h \end {array} \] 를 얻는다. \( h>0 \) 이므로 위의 부등식을 \( h \) 로 나누면 \[ f(u) \leq \frac { 1 } { h } \int_ { a } ^ { x + h } f(t) d t \leq f(v) \] 를 얻는다. 이제 방정식 (1)을 이용하여 위의 부등식의 중앙부분을 대치하면 \[ f(u) \leq \frac { g(x + h)-g(x) } { h } \leq f(v) \]<caption>(2)</caption>를 얻는다. \( h<0 \) 인 경우에도 유사한 방법으로 부등식 (2)를 증명할 수 있다. 이제 \( h \rightarrow 0 \) 으로 하자. 그러면 \( u \) 와 \( v \) 가 \( x \) 와 \( x + h \) 사이에 눟여 있으므로, \( u \rightarrow x \) 이고 \( v \rightarrow x \) 이다. 그러므로 \( f \) 가 \( x \) 에서 연속이고, \[ \begin {array} { l } \lim _ { h \rightarrow 0 } f(u)= \lim _ { u \rightarrow x } f(u)=f(x), \\ \lim _ { h \rightarrow 0 } f(v)= \lim _ { v \rightarrow x } f(v)=f(x) \end {array} \] 이다. 식 (2)와 압축 정리(Squeeze Theorem)에 의하여 \[ g ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { g(x + h)-g(x) } { h } =f(x) \]<caption>(3)</caption>임을 밝힐 수 있다. 만약 \( x=a \) 또는 \( b \) 라면 방정식 (3)은 한쪽 극한(one sided limit)으로 해석될 수 있다. 그러면 한쪽 극한에 대한 수정된 정리에 의하여 \( g \) 는 구간 \( [a, b] \) 위에서 연속임을 밝힐 수 있다.</p>	자연
공학도를 위한 기초미적분학_여러 가지 함수의 적분법	<p>예제 \( 5.1.1 \) \( \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 4 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이 사인함수의 차수가 홀수이므로, 사인함수 하나를 분리하고 나머지 \( \sin ^ { 2 } x=1- \cos ^ { 2 } x \)로 나타내보면 \[ \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 4 } x= \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 4 } x \cdot \sin x= \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) \cos ^ { 4 } x \sin x \]</p> <p>따라서 \( u= \cos x \)놓으면 \( d u=- \sin x d x \)이므로 주어진 적분은 아래와 같이 계산된다.</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 4 } x d x &= \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) \cos ^ { 4 } x \sin x d x \\ &= \int \left (u ^ { 2 } -1 \right ) u ^ { 4 } d u= \int \left (u ^ { 6 } -u ^ { 4 } \right ) d u \\ &= \frac { 1 } { 7 } u ^ { 7 } - \frac { 1 } { 5 } u ^ { 5 } + C . \end {aligned} \)</p> <p>\( u= \cos x \)를 대입하면 다음을 얻는다.</p> <p>\[ \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { 4 } x d x= \frac { 1 } { 7 } \cos ^ { 7 } x- \frac { 1 } { 5 } \cos ^ { 5 } x + C . \]</p> <p>다음은 \( n \)이 홀수인 경우에 대한 예제이다.</p> <p>예제 \( 5.1.2 \) \( \int \cos ^ { 3 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이 예제 \( 5.1.1 \)과 마찬가지로 \( \cos ^ { 2 } x=1- \sin ^ { 2 } x \)라 하고 \( \sin x \)를 \( u \)로 치환하면 \[ \begin {aligned} \int \cos ^ { 3 } x d x &= \int \left (1- \sin ^ { 2 } x \right ) \cos x d x= \int \left (1-u ^ { 2 } \right ) d u \\&=u- \frac { 1 } { 3 } u ^ { 3 } + C . \end {aligned} \] \( u= \sin x \)를 대입하면 \[ \int \cos ^ { 3 } x d x= \cos x- \frac { 1 } { 3 } \cos ^ { 3 } x + C \]이다.</p> <h2>3. \( \int \sin m x \cos n x d x, \int \cos m x \cos n x d x \), \( \int \sin m x \sin n x d x \) 의 계산법</h2> <p>공학에서 함수를 다룰 때 매우 중요한 푸리에 급수(Fourier Series)가 있다. 이 급수를 다룰 때 필수적인 적분이 바로 이 형태이다. 정리 \( 1.4.7 \)을 사용하면 쉽게 적분할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \sin m x \cos n x = \frac { 1 } { 2 } ( \sin (m + n) x + \sin (m-n) x) \\ \cos m x \cos n x= \frac { 1 } { 2 } ( \cos (m + n) x + \cos (m-n) x) \\ \sin m x \sin n x= \frac { 1 } { 2 } ( \cos (m-n) x- \cos (m + n) x) \end {array} \] 을 사용하면 된다.</p> <p>예제 \( 5.1.11 \) \( \int \sin 3 x \cos 5 x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \int \sin 3 x \cos 5 x d x= \frac { 1 } { 2 } \int( \sin 8 x + \sin (-2 x)) d x \) \( = \frac { 1 } { 2 } \int( \sin 8 x- \sin 2 x) d x \)이므로 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin 3 x \cos 5 x d x &= \frac { 1 } { 2 } \left (- \frac { 1 } { 8 } \cos 8 x + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x \right ) + C \\ &= \frac { 1 } { 4 } \cos 2 x- \frac { 1 } { 16 } \cos 8 x + C . \end {aligned} \)</p> <p>연 ·습 ·문 ·제 \( 5.1 \)</p> <p>\( 1 \). \( n \geq 2 \)인 정수 \( n \)에 대하여 다음의 점화공식을 증명하여라.</p> <p>이 장에서는 좀 더 다양한 함수의 적분 기법을 소개하고자 한다. 특별한 몇 가지 형태의 함수에 대한 적분법을 알아보고 그 응용에 대하여 살펴보고자 한다.</p> <h1>5.1 삼각함수의 적분법</h1> <p>이 절에서는 삼각함수와 그의 거듭제곱의 곱으로 표현된 함수의 적분에 대하여 알아본다. 공학의 많은 함수가 삼각함수로 표현되는 만큼 중요한 적분 형태이다. 네 가지 경우로 나누어 생각해본다.</p> <h2>1. \( \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x \)의 계산법</h2> <p>이 경우는 \( m \)과 \( n \)이 정수일 때만 다루기로 하자. \( m \)과 \( n \)이 정수일 때 적분방법에 따라 다음과 같이 두 가지 경우의 적분법을 생각할 수 있다.</p> <h3>(1) \( m \) 또는 \( n \)이 홀수인 경우</h3> <p>\( m \) 또는 \( n \)이 홀수일 경우는 어떤 경우나 적분방법이 같기 때문에 편의상 \( m \)이 홀수일 경우만 설명하기로 하자. \( m \)이 홀수이기 때문에 \( m = 2 k + 1 \)로 쓸 수 있다. 그러므로 주어진 적분식을 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x &= \int \sin ^ { 2 k + 1 } x \cos ^ { n } x d x \\ &= \int \left ( \sin ^ { 2 } x \right ) ^ { k } \cos ^ { n } x \sin x d x \\ &= \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { k } \cos ^ { n } x \sin x d x \end {aligned} \)</p> <p>마지막 항의 \( \cos x \)를 \( u \)로 치환하면 \[ \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x=- \int \left (1-u ^ { 2 } \right ) ^ { k } u ^ { n } d u \]</p> <p>위 식의 우변은 \( u \)에 대한 다항식이므로 쉽게 적분할 수 있다.</p>	자연
M420-대학일반수학	<p>(2) \( \left ( \cos \frac {\pi } { 12 } + i \sin \frac {\pi } { 12 } \right ) ^ { 6 } \)</p> <p>(3) \( (1 + i) ^ { 8 } \)</p> <p>(4) \( \left ( \frac { 1-i } {\sqrt { 3 } + i } \right ) ^ { 6 } \)</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) \( \left ( \cos 60 ^ {\circ } + i \sin 60 ^ {\circ } \right ) ^ { 6 } = \cos 6 \cdot 60 ^ {\circ } + i \sin 6 \cdot 60 ^ {\circ } \) \[ = \cos 360 ^ {\circ } + i \sin 360 ^ {\circ } =1 \]</p> <p>(2) \( \left ( \cos \frac {\pi } { 12 } + i \sin \frac {\pi } { 12 } \right ) ^ { 6 } = \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } =i \)</p> <p>(3) \( (1 + i) ^ { 8 } = \left \{\sqrt { 2 } \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right ) \right \} ^ { 8 } =16 \left ( \cos \frac { 8 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 8 \pi } { 4 } \right )=16 \)</p> <p>(4) \( \frac { 1- \sqrt { 3 } i } {\sqrt { 3 } + i } = \left \{\cos \left ( \frac { 5 \pi } { 3 } - \frac {\pi } { 6 } \right ) + \sin \left ( \frac { 5 \pi } { 3 } - \frac {\pi } { 6 } \right ) \right \} \) \[ \begin {array} { l } = \frac { 2 \left ( \cos \frac { 5 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 3 } \right ) } { 2 \left ( \cos \frac {\pi } { 6 } + i \sin \frac {\pi } { 6 } \right ) } \\ = \left ( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) \end {array} \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \left ( \frac { 1- \sqrt { 3 } i } {\sqrt { 3 } + i } \right ) ^ { 6 } &= \left ( \cos \frac { 3 \pi } { 2 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 2 } \right ) ^ { 6 } \\ &=( \cos 9 \pi + i \sin 9 \pi) \\ &=-1 \end {aligned} \] 이다.</p> <ul> <li>[예제3] 다음 식을 \( a + b i \) 꼴로 나타내여라. \[ \left ( \frac { 1 + \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } } { 1 + \cos 6 ^ {\circ } -i \sin 6 ^ {\circ } } \right ) ^ { 10 } \]</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \frac { 1 + \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } } { 1 + \cos 6 ^ {\circ } -i \sin 6 ^ {\circ } } = \frac {\left (1 + \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } \right ) ^ { 2 } } {\left (1 + \cos 6 ^ {\circ } \right ) ^ { 2 } - \left (i \sin 6 ^ {\circ } \right ) ^ { 2 } } \) \( = \frac {\left (1 + \cos 6 ^ {\circ } \right ) ^ { 2 } + 2 i \left (1 + \cos 6 ^ {\circ } \right ) \sin 6 ^ {\circ } - \sin ^ { 2 } 6 ^ {\circ } } { 2 \left (1 + \cos 6 ^ {\circ } \right ) } \) \( = \frac { 1 + \cos 6 ^ {\circ } + 2 i \sin 6 ^ {\circ } - \left (1- \cos 6 ^ {\circ } \right ) } { 2 } \) \( = \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } \) 이다. 따라서 \( \left ( \frac { 1 + \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } } { 1 + \cos 6 ^ {\circ } -i \sin 6 ^ {\circ } } \right ) ^ { 10 } = \left ( \cos 6 ^ {\circ } + i \sin 6 ^ {\circ } \right ) ^ { 10 } \) \( = \cos 60 ^ {\circ } + i \sin 60 ^ {\circ } \) \( = \frac { 1 } { 2 } + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } i \)</p> <ul> <li>[예제 4 ] \( z= \frac { 1 } { (1 + i) ^ { n } } \) 이 양의 실수가 되도록 하는 최소의 자연수 \( n \) 의 값을 구하 여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( 1 + i= \sqrt { 2 } \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right ) \) 이므로 \[ \begin {aligned} z=(1 + i) ^ { -n } &= \left \{\sqrt { 2 } \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right ) \right \} ^ { -n } \\ &=2 ^ { - \frac { n } { 2 } } \left \{\cos \left (- \frac { n \pi } { 4 } \right ) + i \sin \left (- \frac { n \pi } { 4 } \right ) \right \} \end {aligned} \] 이다. 이때, \( z \) 가 양의 실수가 되려면 \( \cos \left (- \frac { n \pi } { 4 } \right )>0 \) 이고 \( \sin \left (- \frac { n \pi } { 4 } \right )=0 \) 이어야 한다. 따라서 최소의 자연수 \( n \) 의 값은 \( n=8 \) 이다.</p> <ul> <li>등산로</li></ul> <p>카오스(chaos)란 조화(cosmos)의 반대 개념으로 혼돈 또는 무질서를 의미한 다. 과거에는 무질서한 것처럼 보였던 밤 하늘의 별들의 모습이 사실은 엄격한 그리고 대단히 복잡한 질서에 의해 움직이고 있다는 사실이 점점 밝혀지고 있 다. 그러므로 카오스 이론은 무정부주의 논문이나 초현실주의자의 성명을 다루 는 분야가 아니고 임의의 비선형계(nonlinear system)의 움직임(behavior)을 연 구하는 분야임을 인식하여야 한다. 비선형계란 쉽게 말해서 (수학적 정의를 사 용하지 않고) 그 집합 속의 요소들이 선형적, 비례적 방식으로 연결되어 있지 않은 - 예를 들어, 한 부분의 크기를 2 배 해도 다른 부분이 2 배가 되지 않는 - 체계를 말한다. 약 48 년 전인 1960 년, 기상학자 로렌츠(E. Lorenz)는 매우 간단한 기상 시스템을 컴퓨터로 모의실험하던 중 자신의 기상 모형에 오차가 1000 분의 1 밖에 나지 않는 숫자를 우연히 입력하게 되었다. 그러나 입력된 자 료로부터 나온 기상 관측 결과는 조금씩 어긋나기 시작하더니 어느 시점에 이 르러서는 순식간에 뒤바꿔버리는 현상을 목격하게 된다. 이것이 수리 과학적 카오스 이론의 출발점이었다. 당시 로렌츠는 다음과 같은 정확한 추정을 이끌 어 냈다.</p> <h2>8.4 복소수의 극형식 II</h2> <p>먼저 두 복소수 \( z_ { 1 }\), \(z_ { 2 } \) 의 극형식을 각각 \[ z_ { 1 } =r_ { 1 } \left ( \cos \theta_ { 1 } + i \sin \theta_ { 1 } \right ) \text { 과 } z_ { 2 } =r_ { 2 } \left ( \cos \theta_ { 2 } + i \sin \theta_ { 2 } \right ) \] 라고 하면 \( z_ { 1 } \) 과 \( z_ { 2 } \) 의 곱 \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 는 다음과 같이 쓸 수 있다.</p> <ul> <li>복소수의 곱셈</li></ul> <p>\( \begin {aligned} z_ { 1 } z_ { 2 } &=r_ { 1 } \left ( \cos \theta_ { 1 } + i \sin \theta_ { 1 } \right ) r_ { 2 } \left ( \cos \theta_ { 2 } + i \sin \theta_ { 2 } \right ) \\ &=r_ { 1 } r_ { 2 } \left \{\left ( \cos \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 2 } - \sin \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 2 } \right ) + i \left ( \sin \theta_ { 1 } \cos \theta_ { 2 } + \cos \theta_ { 1 } \sin \theta_ { 2 } \right ) \right \} \\ &=r_ { 1 } r_ { 2 } \left \{\left ( \cos \left ( \theta_ { 1 } + \theta_ { 2 } \right ) + i \sin \left ( \theta_ { 1 } + \theta_ { 2 } \right ) \right \} \right . \end {aligned} \)</p> <p>복소수 \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 의 절댓값과 편각은 다음과 같다.</p> <p>복소수 \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 의 절댓값은 각각의 절댓값의 곱 \( r_ { 1 } r_ { 2 } \) 이고, 편각은 각각의 편각 의 합 \( \theta_ { 1 } + \theta_ { 2 } \) 이다. 즉,</p> <p>(2) \( (-i) ^ { 3 } \)</p> <p>(3) \( i ^ { 5 } , i ^ { 6 } , i ^ { 7 } , i ^ { 8 } \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( (-2 i)(-i)=-5 \)</p> <p>(2) \( (-i) ^ { 3 } =-i ^ { 2 } \cdot i=-(-1) \cdot i=i \)</p> <p>(3) \( i ^ { 5 } = \left (i ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } i=i, i ^ { 6 } = \left (i ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } =-1 \), \( i ^ { 7 } = \left (i ^ { 2 } \right ) ^ { 3 } i=(-1) ^ { 3 } i=-i, i ^ { 8 } = \left (i ^ { 2 } \right ) ^ { 4 } =(-i) ^ { 4 } =1 \)</p> <ul> <li>[예제2] 다음 수의 제곱근을 구하여라.</li></ul> <p>(1) \( -25 \)</p> <p>(2) \( - \frac { 8 } { 5 } \)</p> <p>(3) \( -1 \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( \pm \sqrt { 25 } i= \pm 5 i \)</p> <p>(2) \( \pm \sqrt {\frac { 8 } { 5 } } i= \pm \frac { 2 \sqrt { 10 } } { 5 } i \)</p> <p>(3) \( \pm \sqrt { -1 } = \pm i \)</p> <p>실수를 수직선 위의 점에 일대일로 대응시키는 것처럼 복소수를 좌표평면 위의 점에 대응시켜보자. 임의의 복소수 \( z=a + b i \) 를 좌표평면 위의 점 \( P(a, b) \) 에 일대일로 대응시킬 수 있다. 역으로, 좌표평면 위에 있는 임의의 점 \( P(a, b) \) 를 복소수 \( z=a + b i \) 에 일대일로 대응시킬 수 있다. 따라서 복소수 전체의 집합과 좌표평면 위의 점 전체의 집합 사이에는 일대일 대응이 있다. 이 때, 각 점이 복소수를 나타내는 좌표평면을 복소평면 또는 가우스평면이라 하고, 복소수 \( z=a + b i \) 를 나타내는 점 \( P \) 를 \( P(z) \) 또는 \( P(a + b i) \) 로 나타낸다.</p> <p>"그 같은 무질서 또는 혼돈은 시스템의 초기 조건의 작은 변화 때문에 일어 났다. 즉, 비선형 규칙 또는 방정식을 따라 전개되는 시스템은 아주 미세한 변 화에도 극도로 민감하다. 또한 미세한 변화에 따른 결과는 미리 예측할 수 없 고 때로는 매우 혼돈적으로 나타난다."</p> <p>따라서 아주 단순한 모형에서조차 날씨의 장기 예보는 불가능하다. (우리나 라는 예외인 듯하다. 기상예보가 너무나 자주 틀린다. 카오스 때문인가? 뇌물 때문인가?)</p> <p>로렌츠 발표 이후, 유체역학(난류와 유체유동), 물리학(비선형 진동차), 생물 학(심장근모화와 간질), 경제학(주식의 등락) 등 여러 분야에서 비선형 체계가 발견되었고, 이와 같이 초기 조건에 매우 민감한 비선형 체계의 나비효과 (butterfly effect)에 관한 수많은 연구들이 이루어지고 있다.</p> <h2>\( 8.6 \) 이항방정식 \( z ^ { n } =A \) 의 해법</h2> <p>\( z ^ { n } =1 \) 꼴의 이항방정식은 인수분해에 의한 해법으로 해결할 수 있다. 그러나 이것은 인수분해가 가능할 때이고, 일반적으로는 인수분해에 의한 방법으로 해 결할 수 없는 경우가 있다. \( z ^ { n } =1 \) 꼴의 일반적인 해법은 다음과 같다.</p> <ul> <li>정리</li></ul> <p>복소수 \( z \) 에 관한 \( n \) 차 방정식 \( z ^ { n } =1 \) 의 해는 \[ z= \cos \frac { 2 k \pi } { n } + i \sin \frac { 2 k \pi } { n } \quad(k=0,1,2, \cdots, n-1) \] 이다.</p> <ul> <li>참고 \( z ^ { n } =A \) 꼴의 방정식을 이항방정식이라고 한다.</li></ul> <ul> <li>[예제 1] 이항방정식 \( z ^ { 3 } =1 \) 의 해를 구하여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z=r( \cos \theta + i \sin \theta)(r>0,0 \leq \theta<2 \pi) \) 라 하자. 이제 양변을 각각 극형식으로 나타내면 \( z ^ { 3 } =r ^ { 3 } ( \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) \) 이고 \( 1= \cos 2 k \pi + i \sin 2 k \pi \) 이므로 \( r ^ { 3 } ( \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta)= \cos 2 k \pi + i \sin 2 k \pi(k \) 는 음이 아닌 정수 \( ) \) 이 성립 한다. 이때, \( r ^ { 3 } =1, r>0 \) 에서 \( r=1 \) 이고, \( 3 \theta=2 k \pi \) 에서 \( 0 \leq \theta<2 \pi \) 이 므로 \( \theta= \frac { 2 k \pi } { 3 } (k=0,1,2) \) 를 얻는다. 따라서 \( z= \cos \frac { 2 k \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 k \pi } { 3 } (k=0,1,2) \) 임을 알 수 있다. 여기서 \( k=0 \) 일 때, \( z= \cos 0 + i \sin 0=1 \) \( k=1 \) 일 때, \( z= \cos \frac { 2 k \pi } { 3 } + i \sin \frac { 2 k \pi } { 3 } = \frac { -1 + \sqrt { 3 } i } { 2 } \) \[ k=2 \text { 일 때, } z= \cos \frac { 4 k \pi } { 3 } + i \sin \frac { 4 k \pi } { 3 } = \frac { -1- \sqrt { 3 } i } { 2 } \] 이 되므로 구하는 해는 \( z=1 \) 과 \( z= \frac { -1 \pm \sqrt { 3 } i } { 2 } \) 이다.</p> <p>(ii) \( n=k \) 일 때, 이 정리가 성립한다고 가정하면 \( ( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { k } = \cos k \theta + i \sin k \theta \) 이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} ( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { k + 1 } &=( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { k } ( \cos \theta + i \sin \theta) \\ &=( \cos k \theta + i \sin k \theta)( \cos \theta + i \sin \theta) \\ &= \cos (k + 1) \theta + i \sin (k + 1) \theta \end {aligned} \] 이다. 즉, \( k + 1 \) 일 때도 이 정리는 성립한다. 따라서 모든 양의 정수 \( n \) 에 대하여 이 정리는 성립한다.</p> <p>[2] \( n=0 \) 일 때, \( ( \) 좌변 \( )=( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { 0 } =1,( \) 우변 \( )= \cos 0 + i \sin 0=1 \) 이므로 \( n=0 \) 일 때 이 정리는 성립한다.</p> <p>[3] \( n \) 이 음의 정수일 때, \( n=-m \) ( \( m \) 은 양의 정수)으로 놓으면 \[ \begin {aligned} ( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { n } &=( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { -m } \\ &= \frac { 1 } {\cos m \theta + i \sin m \theta } \\ &= \frac { 1 } {\cos m \theta + i \sin m \theta } \cdot \frac {\cos m \theta-i \sin m \theta } {\cos m \theta-i \sin m \theta } \\ &= \frac {\cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) } {\cos ^ { 2 } m \theta + \sin ^ { 2 } m \theta } \\ &= \cos (-m \theta) + i \sin (-m \theta) \\ &= \cos n \theta + i \sin n \theta \end {aligned} \] 이다. 따라서 \( n \) 이 음의 정수인 경우에도 이 정리는 성립한다. [1], [2], [3]에 의하여 모든 정수 \( n \) 에 대하여 이 정리는 성립한다.</p> <ul> <li>[예제 2 \( ] \) 다음 각 값을 간단히 하여라.</li></ul> <p>(1) \( \left ( \cos 60 ^ {\circ } + i \sin 60 ^ {\circ } \right ) ^ { 6 } \)</p> <p>(1) \( -1= \cos \pi + i \sin \pi \) 이므로 \( a=1, t= \pi, n=4 \) 인 경우이다. 그러므 로 \( z=1 \cdot \left ( \cos \frac { 2 k + 1 } { 4 } \pi + i \sin \frac { 2 k + 1 } { 4 } \pi \right ) \) (단 \( k=0,1,2,3 \) )을 얻는다. 여기서 \( k=0,1,2,3 \) 을 차례로 대입하면 \[ z= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1 + i),- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1-i),- \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1 + i), \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1-i) \] 이 구하는 해이다.</p> <p>(2) \( -1= \cos \pi + i \sin \pi \) 이므로 \( a=1, t= \pi, n=3 \) 인 경우이다. 그러므 로 \( z=1 \cdot \left ( \cos \frac { 2 k + 1 } { 3 } \pi + i \sin \frac { 2 k + 1 } { 3 } \pi \right ) \) (단 \( k=0,1,2 \) )을 얻는 다. 여기서 \( k=0,1,2 \) 을 차례로 대입하면 \[ z= \frac { 1 } { 2 } (1 + \sqrt { 3 } i),-1, \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } (1- \sqrt { 3 } i) \] 이 구하는 해이다.</p> <p>(3) \( i= \cos \left (2 k \pi + \frac {\pi } { 2 } \right ) + i \sin \left (2 k \pi + \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 이므로 \( a=1 \) 이고 \( t= \frac { 4 k + 1 } { 2 } \pi \) 을 얻는다. 따라서 \( z= \left ( \cos \frac { 4 k + 1 } { 4 } \pi + i \sin \frac { 4 k + 1 } { 4 } \pi \right ) \) (단 \( k=0,1 \) ) 이다. 따라서 구하는 해는 \( k=0 \) 일 때 \( z= \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right )= \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } + \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i \) 이고 \( k=1 \) 일 때 \( z= \left ( \cos \frac { 5 } { 4 } \pi + i \sin \frac { 5 } { 4 } \pi \right )=- \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } - \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } i \) 이다.</p> <p>복소수 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 절댓값과 편각은 다음과 같다.</p> <p>복소수 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 의 절댓값은 각각의 절댓값을 나눈 \( \frac { r_ { 1 } } { r_ { 2 } } \) 이고 편각은 각각의 편각의 차 \( \theta_ { 1 } - \theta_ { 2 } \) 이다. 즉,</p> <p>(1) \( \left \| \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right \|= \frac {\left \|z_ { 1 } \right \| } {\left \|z_ { 2 } \right \| } \)</p> <p>(2) \( \arg \left ( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right )= \arg z_ { 1 } - \arg z_ { 2 } \)</p> <ul> <li>[예제 3] \( z_ { 1 } =i, z_ { 2 } =1 + \sqrt { 3 } i \) 일 때, \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 을 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \left \|z_ { 1 } \right \|=1, \arg z_ { 1 } = \frac {\pi } { 2 } \) 이고 \( \left \|z_ { 2 } \right \|=2, \arg z_ { 2 } = \frac {\pi } { 3 } \) 이므로 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 의 절댓값은 \( \left \| \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right \|= \frac {\left \|z_ { 1 } \right \| } {\left \|z_ { 2 } \right \| } = \frac { 1 } { 2 } \) 이고, 편각은 \( \arg \left ( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right )= \arg z_ { 1 } - \arg z_ { 2 } = \frac {\pi } { 6 } \) 이다. 따라서 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \left ( \cos \frac {\pi } { 6 } + i \sin \frac {\pi } { 6 } \right ) \) 이다.</p> <ul> <li>[예제 4] 복소수 \( \frac {\sqrt { 3 } + i } {\sqrt { 3 } -i } \) 를 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이1</li></ul> <p>\( z_ { 1 } = \sqrt { 3 } + i \) 이고 \( \quad z_ { 2 } = \sqrt { 3 } -i \) 라 놓으면 \( \quad \left \|z_ { 1 } \right \|=2, \quad \arg z_ { 1 } = \frac {\pi } { 6 } \) 이고 \( \left \|z_ { 2 } \right \|=2, \arg z_ { 2 } =- \frac {\pi } { 6 } \) 가 된다. 이때 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 의 절댓값은 \( \left \| \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right \|= \frac {\left \|z_ { 1 } \right \| } {\left \|z_ { 2 } \right \| } =1 \) 이고, 편각은 \( \arg \left ( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right )= \arg z_ { 1 } - \arg z_ { 2 } = \frac {\pi } { 3 } \) 이다. 따라서 \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } = \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 이다.</p> <ul> <li>풀이2</li></ul> <p>분모를 유리화하면 \( \quad \frac { ( \sqrt { 3 } + i)( \sqrt { 3 } + i) } { ( \sqrt { 3 } -i)( \sqrt { 3 } + i) } = \frac { 2 + 2 \sqrt { 3 } i } { 4 } =1 + \sqrt { 3 } i \) 이다. 이때 \( 1 + \sqrt { 3 } i=2 \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 이다.</p> <ul> <li>[예제 5] \( z_ { 1 } =4 \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 이고 \( z_ { 2 } =2 \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 일 때, \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \) 를 나타내는 점 \( P \left ( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right ) \) 을 복소평면 위에 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z_ { 1 } =4 \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 이고 \( z_ { 2 } =2 \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 일 때, \( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } = \frac { 4 } { 2 } \left ( \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } - \frac {\pi } { 3 } \right ) + i \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } - \frac {\pi } { 3 } \right ) \right )=2 \left ( \cos \frac {\pi } { 6 } + i \sin \frac {\pi } { 6 } \right ) \) 이므로 이 복소수를 나타내는 점 \( P \left ( \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right ) \) 는 원점 \( O \) 에서 \( z \) 축의 양의 방향과 이루 는 각이 \( \frac {\pi } { 6 } \) 이고 길이가 2 인 선분의 끝점이다.</p> <ul> <li>등산로</li></ul> <p>시어핀스키 삼각형이라 불리는 이 도형은 다음과 같은 작업을 반복 수행하여 언은 것으로써, 실제로는 머릿속으로 이 과정이 한없이 반복된다고 할 수 있다.</p> <p>이러한 도형을 자기 닮음 도형이라 한다. 즉 자기 닮음 도형이란 부분이 전 체를 이루고 있는 도형을 말한다. 대표적이 자기 닮은 도형에는 코흐의 초눈송 이를 들 수 있다. 삼각형의 세 변을 각각 삼 등분하여 가운데 부분을 제거하고 그 부분에 삼각형을 만드는 과정을 무한히 반복하여 얻은 도형이다.</p> <h2>\( 8.5 \) 드 무아브르의 정리</h2> <ul> <li>성질</li></ul> <p>복소수 \( z \) 의 극형식이 \( z=r( \cos \theta + i \sin \theta) \) 일 때 \[ z ^ { n } =r ^ { n } ( \cos n \theta + i \sin n \theta) \quad(n \text { 은 정수 } ) \] 이 성립한다.</p> <ul> <li>[예제1] \( z=r( \cos \theta + i \sin \theta) \) 일 때, \( z ^ { 2 } \) 과 \( z ^ { 3 } \) 을 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\[ \begin {array} { l } z ^ { 2 } =r ^ { 2 } ( \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta) \text { 이고 } \\ z ^ { 3 } =z ^ { 2 } z=r ^ { 2 } ( \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta) \cdot r( \cos \theta + i \sin \theta) \\ =r ^ { 3 } ( \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) \end {array} \] 이다.</p> <p>정수 \( n \) 에 대하여 다음 정리(formula of de moivre)가 성립한다.</p> <ul> <li>드 무아브르의 정리</li></ul> <p>정수 \( n \) 에 대하여 \[ ( \cos \theta + i \sin \theta) ^ { n } = \cos n \theta + i \sin n \theta \] 이다.</p> <ul> <li>증명</li></ul> <p>[1] \( n \) 이 양의 정수일 때:</p> <p>(i) \( n=1 \) 일 때, (좌변) \( = \cos \theta + i \sin \theta \) 이고 (우변) \( = \cos \theta + i \sin \theta \) 으로 좌변과 우변이 같으므로 \( n=1 \) 일 때, 성립한다.</p> <p>\( A=a( \cos t + i \sin t)(a>0) \) 꼴의 복소수에 대하여 \( z ^ { n } =A \) 의 일반적인 해법 을 구하기 위해 \( z=r( \cos \theta + i \sin \theta) \) 라 놓으면 드 무아브르의 정리에 의해 \( z ^ { n } =r ^ { n } ( \cos n \theta + i \sin n \theta) \) 이므로 주어진 식 \( z ^ { n } =A \) 은 \[ r ^ { n } ( \cos n \theta + i \sin n \theta)=a( \cos t + i \sin t) \] 로 쓸 수 있다. 이때 \( r ^ { n } =a \) 이고 \( n \theta=t \) 이므로 \( r= \sqrt[n] { a } \) 이고 \( \theta= \frac { t + 2 k \pi } { n } \) 이다. 따라서 다음과 같은 결과를 얻는다.</p> <ul> <li>정리</li></ul> <p>복소수 \( z \) 에 관한 \( n \) 차 방정식 \( z ^ { n } =A \) 의 해는 \[ z= \sqrt[n] { a } \left ( \cos \frac { t + 2 k \pi } { n } + i \sin \frac { t + 2 k \pi } { n } \right )(k=0,1,2, \cdots, n-1) \] 이다.</p> <ul> <li>참고 - \( n \) 개의 해는 복소평면에서 단위원에 내접하는 정 \( n \) 각형의 \( n \) 개의 꼭지점 으로 나타낸다.</li></ul> <ul> <li>[예제2] 다음 이항 방정식을 풀어라.</li></ul> <p>(1) \( z ^ { 4 } =-1 \)</p> <p>(2) \( z ^ { 3 } =-1 \)</p> <p>(3) \( z ^ { 2 } =i \)</p> <p>(4) \( z ^ { 3 } =2 + 2 i \)</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z=r( \cos \theta + i \sin \theta) \) 로 두면 \( z ^ { n } =r ^ { n } ( \cos n \theta + i \sin n \theta) \) 이다.</p> <p>(2) \( \sqrt { 3 } -i \)</p> <p>(3) 2</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) \( a=1, b=1 \) 인 경우이므로 \( \|1 + i\|= \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } \)</p> <p>(2) \( a= \sqrt { 3 } , b=-1 \) 인 경우 이므로 \[ \| \sqrt { 3 } i\|= \sqrt { ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + (-1) ^ { 2 } } =2 \]</p> <p>(3) \( a=2, b=0 \) 인 경우이므로 \( \|2\|= \sqrt { 2 ^ { 2 } + 0 ^ { 2 } } =2 \)</p> <p>복소수 \( z \) 의 절댓값의 정의에 의하여 다음이 성립한다.</p> <p>(1) \( \|z\|=\| \bar { z } \| \)</li></p> <p>(2) \( z \bar { z } =\|z\| ^ { 2 } =\| \bar { z } \| ^ { 2 } \)</p> <p>(3) \( \left \|z_ { 1 } z_ { 2 } \right \|= \left \|z_ { 1 } \right \| \left \|z_ { 2 } \right \| \)</p> <p>(4) \( \left \| \frac { z_ { 1 } } { z_ { 2 } } \right \|= \frac {\left \|z_ { 1 } \right \| } {\left \|z_ { 2 } \right \| } \)</p> <ul> <li>[예제2] 복소수 \( z \) 와 복소수 \( \frac { 1 } { z } \) 이 서로 켤레복소수이면 \( \|z\|=1 \) 임을 증명하여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z \) 의 켤레복소수 \( \bar { z } \) 가 \( \frac { 1 } { z } \) 와 같다는 의미이므로, \( \bar { z } = \frac { 1 } { z } \) 이고 따라서 \( z \bar { z } =1 \) 이다. 즉 \( \|z\| ^ { 2 } =1 \) 이므로 \( \|z\|=1 \) 이다. \( (\|z\| \geq 0) \).</p> <ul> <li>[예제3] 두 복소수 \( z_ { 1 } \) 과 \( z_ { 2 } \) 에 대하여 다음이 성립함을 보여라. \[ \left \|z_ { 1 } + z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } =2 \left ( \left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } \right ) \]</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \begin {aligned} \left \|z_ { 1 } + z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } &= \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) \overline {\left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) } + \left (z_ { 1 } -z_ { 2 } \right ) \overline {\left (z_ { 1 } -z_ { 2 } \right ) } \\ &= \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) \left ( \overline { z_ { 1 } } + \overline { z_ { 2 } } \right ) + \left (z_ { 1 } -z_ { 2 } \right ) \left ( \overline { z_ { 1 } } - \overline { z_ { 2 } } \right ) \\ &= \left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } + z_ { 1 } \overline { z_ { 2 } } + \overline { z_ { 1 } } z_ { 2 } + \left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } -z_ { 1 } \overline { z_ { 2 } } -z_ { 1 } \overline { z_ { 2 } } \\ &=2 \left ( \left \|z_ { 1 } \right \| ^ { 2 } + \left \|z_ { 2 } \right \| ^ { 2 } \right ) \end {aligned} \)</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>\( \theta \) 를 편각(argument, amplitude)의 크기라 하고 \[ \theta= \operatorname { argz } \text { 또는 } \theta= \operatorname { ampz } \] 로 나타낸다. 이때 \( \theta= \arctan \frac { b } { a } \) 로 한다.</p> <ul> <li>참고。 편각은 일반각이므로 그 값은 확정되지는 않으나 그들의 차는 \( 2 \pi \) 의 정수배이다. 따라서 \( - \pi< \theta \leq \pi \) 의 범위에 있는 것으로 선택한다.</li></ul> <ul> <li>[예제 4] 복소수 \( 1 + i \) 의 절댓값과 편각을 구하여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>오른쪽 그림에서 점 \( P \) 가 복소수 \( 1 + i \) 를 나타내는 점이다. 따라서 \( r=\|z\|= \sqrt { 1 ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } \) 이고 \( \cos \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , \sin \theta= \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } \) 이다. 그러므로 복소수 \( 1 + i \) 의 절댓값은 \( \sqrt { 2 } \) 이고 편각은 \( \theta= \frac {\pi } { 4 } \) 이다.</p> <h2>\( 8.2 \) 복소수의 연산</h2> <p>두 복소수 \( \alpha=a + b i \) 와 \( \beta=c + d i \) 의 사직 연산을 다음과 같이 정의한다.</p> <ul> <li>1. 덧셈 : \( \alpha + \beta=(a + b i) + (c + d i)=(a + c) + (b + d) i \)</li> <li>2. 뺄셈: \( \alpha- \beta=(a + b i)-(c + d i)=(a-c) + (b-d) i \)</li> <li>3. 곱셈 : \( \alpha \beta=(a + b i)(c + d i)=(a c-b d) + (a d + b c) i \)</li> <li>4. 나눗셈: \( \frac {\alpha } {\beta } = \frac { a + b i } { c + d i } = \frac { a c + b d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } + \frac { b c-a d } { c ^ { 2 } + d ^ { 2 } } \quad( \) 단, \( \beta \neq 0) \)</li></ul> <p>두 복소수의 \( \alpha=a + b i \) 와 \( \beta=c + d i \) 합 \( \alpha + \beta \) 에 대하여 자세히 알아보자. 점 \( O \) 를 원점으로 하는 복소 평면에서 세 복소수 \( \alpha, \beta, \alpha + \beta \) 를 나타내는 점을 각각 \( P_ { 1 } , P_ { 2 } , P_ { 3 } \) 라 할 때, 이 세 점의 좌표는 차례로 \( (a, b),(c, d),(a + c, b + d) \) 이다. 이때, 두 복소수의 합을 나타내는 점 \( P_ { 3 } \) 은 \( O P_ { 1 } \) 과 \( O P_ { 2 } \) 를 이웃 두 변으로 하는 평행사변형의 한 꼭지점이다. (그림 1)</p> <p>이제 복소수 \( \alpha=a + b i \) 에서 복소수 \( \beta=c + d i \) 를 뺀 값 \( \alpha- \beta \) 에 대하여 알아 보자. 복소평면에서 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 나타내는 점을 각각 \( P_ { 1 } , P_ { 2 } \) 라고 하면 \( - \beta \) 를 나타 내는 점 \( P_ { 2 } ^ {\prime } { } _ { 2 } \) 은 점 \( P_ { 2 } \) 와 원점 \( O \) 에 대하여 대칭이다. 이때, \( \alpha- \beta= \alpha + (- \beta) \) 이므로 \( \alpha- \beta \) 를 나타내는 점 \( P_ { 3 } \) 는 평행사변형 \( O P ^ {\prime } { } _ { 2 } P_ { 3 } P_ { 1 } \) 의 한 꼭지점이다. (그림 2)</p> <ul> <li>[예제1]<p>(1) \( (2-3 i) + (-3 + 5 i)=(2-3) + (-3 + 5) i=-1 + 2 i \)</p> <h1>제8장 복소수</h1> <p>12 세기 인도의 수학자인 바스카라는 "양수의 제곱은 물론이고 음수의 제곱도 양수이다. 음수는 제곱수가 아니므로 음수의 제곱근은 없다"라고 했다. 세월이 흐른 후 수학자들은 \( \sqrt { -1 } \) 과 같은 표현을 허수라 불렀는데, 적절한 표현은 아니지만 17 세기 데카르트(Rene Descartes) 가 처음으로 이렇게 불렀다. 복소수는 실수와 허수의 합으로 나타낸다. 봄벨리(Rafal Bombelli, 1526 1572)는 복소수를 삼차방정식의 근으로 생각하였고, 복소수의 사칙연산을 공식화하였다. 오일러(Euler, 1707 1783)가 허수 단위의 기호 \( i \) 를 도입하였다.</p> <p>\[ e ^ { i \pi } + 1 = 0 \]</p> <h2>\( 8.1 \) 복소수</h2> <p>제곱하여 음수 \( -1 \) 이 되는 새로운 수 하나를 문자 \( i \) 로 나타내고 허수 단위 (imaginary unit)라 한다.</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>두 실수 \( a, b \) 와 허수 단위 \( i \) 에 대하여 \( a + b i \) 의 꼴로 나타나는 수를 복소수 (complex number)라 하고, \( a \) 를 실수부분(real part), \( b \) 를 허수부분(imaginary part)이라고 한다.</p> <ul> <li>참고 \( i ^ { 2 } =-1 \), 즉 \( i= \sqrt { -1 } \) 이어서 양수 \( a \) 에 대하여 \( \sqrt { -a } = \sqrt { a } i \) 이며, 음수 \( -a \) 의 제곱근은 \( \pm \sqrt { a } i \) 이다.</li></ul> <ul> <li>정의</li></ul> <p>복소수 \( a + b i \) 에서 \( b \neq 0 \) 일 때의 실수가 아닌 복소수를 허수(imaginary number)라고 한다. 또 \( b=0 \) 일 때 \( 0 \cdot i=0 \) 으로 정의하면 복소수 \( a + b i \) 는 실수 \( a \) 와 같다. 특히, 복소수 \( a + b i \) 에서 \( a=0 \) 이고, \( b \neq 0 \) 인 복소수를 순허수 (pure imaginary)라고 한다.</p> <p>복소수 \( a + b i \) 의 분류: \[ \text { 복소수 } (a + b i) \left \{\begin {array} { c l } {\text { 실수 } } & { ( b = 0 ) } \\{\text { 허수 } } & { ( b \neq 0 ) } \end {array} \left \{\begin {array} { l } \text { 순허수 } (a=0) \\ \text { 순허수가 아닌 허수 } (a \neq 0) \end {array} \right . \right . \]</p> <ul> <li>참고 - 실수를 제곱하면 양수 또는 0이 되지만 허수는 제곱하면 음수 또는 허수가 된다. 또, 실수끼리는 대소 관계를 판정할 수 있으나 허수끼리는 대소 관계를 판정할 수 없다.</li></ul> <ul> <li>[예제1] 다음을 계산하여라.</li></ul> <p>(1) \( (-2 i)(-i) \)</p> <p>복소수를 극형식으로 나타내는 방법에 대하여 알아보자. \( z=a + b i \) 꼴의 복 소수를 극형식으로 나타내려면 다음과 같이 한다.</p> <p>첫째 : 절댓값 \( r= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \) 을 구한다.</p> <p>둘째 : 편각의 크기 \( \theta \) 를 구한다.</p> <p>셋째 : 극형식 \( r( \cos \theta + i \sin \theta) \) 에 대입한다.</p> <ul> <li>[예제 5] 복소수 \( z=1- \sqrt { 3 } i \) 를 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>먼저 주어진 복소수의 절댓값을 구하면 \( \|z\|= \sqrt { (1) ^ { 2 } + ( \sqrt { -3 } ) ^ { 2 } } =2 \) 이 고, 또 편각을 구하면 \( \tan \theta=- \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \) 으로 부터 \( \theta= \frac { 5 \pi } { 3 } \) 이다. 따라서 구 하는 복소수의 극형식은 \( z=2 \left ( \cos \frac { 5 \pi } { 3 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 3 } \right ) \) 이다.</p> <ul> <li>[예제 6 ] 절댓값이 2 이고 편각이 \( \frac {\pi } { 6 } \) 인 복소수 \( z \) 를 \( a + b i \) 꼴로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z=2 \left ( \cos \frac {\pi } { 6 } + i \sin \frac {\pi } { 6 } \right )=2 \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } i \right )= \sqrt { 3 } + i \) 이다.</p> <ul> <li>[예제 7 \( ] \) 다음 복소수를 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <p>(1) \( \cos \theta-i \sin \theta \)</p> <p>(2) \( \sin \frac {\pi } { 15 } + i \cos \frac {\pi } { 15 } \)</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) 삼각함수의 성질인 \( \cos (- \theta)= \cos \theta \) 과 \( \sin (- \theta)=- \sin \theta \) 를 이용하면 \( \cos (- \theta) + i \sin (- \theta) \) 이다.</p> <p>처음 시작한 한 번의 거짓말은 계속해서 다른 거짓말을 만들어 냅니다. 아무 리 하찮은 거짓이라도 남을 속이거나 주변을 당황하게 만드는 일은 자기 스스 로를 이제 더 이상 헤어 나올 수 없는 엄청난 늪에 빠뜨리곤 합니다. 반드시</p> <h2>\( 8.3 \) 복소수의 극형식 I</h2> <p>복소수 \( z=a + b i \) 를 나타내는 점 \( P(z) \) 에 대하여 \( \overline { O P } =r \) 이고 선분 \( O P \) 가 \( x \) 축 의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \( \theta \) 라고 할 때, \( z \) 를 \( r \) 와 \( \theta \) 의 삼각함수로 나 타내어보면 \[ \cos \theta= \frac { a } { r } , \sin \theta= \frac { b } { r } \] 이므로 \( a=r \cos \theta, b=r \sin \theta \) 이다. 따라서 \[ z=a + b i=r( \cos \theta + i \sin \theta) \] 로 나타낼 수 있다.(그림 참조)</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>복소수 \( z=a + b i \) 의 절댓값을 \( \|z\| \) 로 나타내고 복소수의 극형식 표현으로 \( r \) 로 쓴다. 즉, \( \quad r= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } =\|z\| \) 이다.</p> <h2>\( 8.3 \) 복소수의 극형식 I</h2> <p>복소수 \( z=a + b i \) 를 나타내는 점 \( P(z) \) 에 대하여 \( \overline { O P } =r \) 이고 선분 \( O P \) 가 \( x \) 축 의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 \( \theta \) 라고 할 때, \( z \) 를 \( r \) 와 \( \theta \) 의 삼각함수로 나 타내어보면 \[ \cos \theta= \frac { a } { r } , \sin \theta= \frac { b } { r } \] 이므로 \( a=r \cos \theta, b=r \sin \theta \) 이다. 따라서 \[ z=a + b i=r( \cos \theta + i \sin \theta) \] 로 나타낼 수 있다.(그림 참조)</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>복소수 \( z=a + b i \) 의 절댓값을 \( \|z\| \) 로 나타내고 복소수의 극형식 표현으로 \( r \) 로 쓴다. 즉, \( \quad r= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } =\|z\| \) 이다.</p> <ul> <li>[예제1] 다음 복소수의 절댓값을 구하여라.</li></ul> <p>(1) \( 1 + i \)</p> <p>(2) \( (2 + 3 i) + (3 + 5 i)=(2 + 3) + (3 + 5) i=5 + 8 i \)</p></li></ul> <ul> <li>[예제2] \( \alpha=1 + 2 i \) 이고 \( \beta=3 + 2 i \) 라고 할 때, \( \alpha + \beta \) 를 나타내는 점을 복소평 면 위에 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이 - \( \alpha=2 + 2 i \) 를 나타내는 점을 \( P_ { 1 } \) 으로 하고, \( \beta=3 + 2 i \) 를 나타내는 점을 \( P_ { 2 } \) 로 할 때 \( \alpha + \beta=5 + 4 i \) 를 나타내는 점 \( P \) 는 선분 \( O P_ { 1 } , O P_ { 2 } \) 를 이 웃한 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4 의 꼭지점이다.</li></ul> <ul> <li>[예제3] \( \alpha=4 + 2 i \) 이고 \( \beta=3-5 i \) 라고 할 때, \( \alpha- \beta \) 를 나타내는 점을 복소평면 위에 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이 \( \alpha=4 + 2 i \) 를 나타내는 점을 \( P_ { 1 } \) 으로 하고, \( \beta=3-5 i \) 를 나타내는 점을 \( P_ { 2 } \) 로 할 때, \( - \beta \) 를 나타내는 점은 \( P_ { 2 } ^ {\prime } \) 이므로 \( \alpha- \beta=1 + 7 i \) 를 나타내 는 점 \( P \) 는 선분 \( O P_ { 1 } , O P_ { 2 } ^ {\prime } \) 을 이웃한 두 변으로 하는 평행사변형의 제 4 의 꼭지점이다.</li></ul> <p>두 복소수 \( \alpha, \beta \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <p>(1) \( \overline {\alpha \pm \beta } = \bar {\alpha } \pm \bar {\beta } \) (2) \( \overline {\alpha \cdot \beta } = \bar {\alpha } \cdot \bar {\beta } \) (3) \( \overline {\left ( \frac {\alpha } {\beta } \right ) } = \frac {\bar {\alpha } } {\bar {\beta } } \) (4) \( \overline {\bar {\alpha } } = \alpha \)</p> <ul> <li>[예제 4] \( \alpha=1 + 2 i \) 이고 \( \beta=2 + 3 i \) 일 때 다음을 구하여라.</li></ul> <p>(1) \( \overline {\alpha + \beta } \) (2) \( \overline {\alpha \beta } \) (3) \( \overline {\left ( \frac {\alpha } {\beta } \right ) } \)</p> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>(1) \( \alpha + \beta=3 + 5 i \) 이므로 \( \overline {\alpha + \beta } =3-5 i \) 이다.</p> <p>(2) 삼각함수의 성질인 \( \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } - \theta \right )= \sin \theta \) 과 \( \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } - \theta \right )= \cos \theta \) 를 이용 하면 \[ \begin {aligned} \sin \frac {\pi } { 15 } + i \cos \frac {\pi } { 15 } &= \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } - \frac {\pi } { 15 } \right ) + i \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } - \frac {\pi } { 15 } \right ) \\ &= \cos \frac { 14 } { 30 } \pi + i \sin \frac { 14 } { 30 } \pi \end {aligned} \] 이다.<ul> <li>[예제8] \( z_ { 1 } = \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta, z_ { 2 } = \cos \theta + i \sin \theta \) 일 때 \( z_ { 1 } + z_ { 2 } \) 의 절댓값과 편 각의 크기를 구하여라. (단, \( 0 \leq \theta< \frac {\pi } { 2 } \) )</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\[ \begin {aligned} \cos A + \cos B=2 \cos & \frac { A + B } { 2 } \cos \frac { A-B } { 2 } \text { 를 이용하면 } \\ z_ { 1 } + z_ { 2 } &=( \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta) + ( \cos \theta + i \sin \theta) \\ &=( \cos 3 \theta + \cos \theta) + i( \sin 3 \theta + \sin \theta) \\ &=2 \cos 2 \theta \cos \theta + 2 i \sin 2 \theta \cos \theta \\ &=2 \cos \theta( \cos 2 \theta + i \sin 2 \theta) \end {aligned} \] 이다. 이때 \( 0 \leq \theta< \frac {\pi } { 2 } \) 이므로 \( 2 \cos \theta>0 \) 이다. 따라서 \( \left \|z_ { 1 } + z_ { 2 } \right \|=2 \cos \theta \) 이고 \( \arg \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right )=2 \theta \) 이다.</p> <p>이때 \( x \) 축을 실수축이라고 하고, \( y \) 축을 허수축이라고 한다. 또 \[ a= \operatorname { Re } z, b= \operatorname { Im } z \] 으로 쓰고 \( a \) 를 실수부(real part), \( b \) 를 허수부-(imaginary part)라 한다.</p> <ul> <li>[예제 3] 복소수 \( 2 + 3 i \) 를 복소평면 위에 나타내어라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>복소수 \( 2 + 3 i \) 의 실수부분은 2 이고 허수부분은 3 이므로 복소평면 위의 점 \( P(2,3) \) 에 대응시킬 수 있다.</p> <ul> <li>[예제 4] 복소평면 위에서 \( 2 + 3 i,-1-3 \mathrm { i } ,-3 + 2 i \) 를 나타내는 점을 꼭지점으 로 하는 삼각형을 실수축을 따라서 3 만큼, 허수축을 따라서 \( -2 \) 만큼 평 행 이동했을 때의 꼭지점을 각각 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>각각 \( 5 + i, 4-5 i, 0 \) 을 꼭지점으로 하는 삼각형이 된다.</p> <ul> <li>정의</li></ul> <p>복소수 \( z=a + b i \) 에 대하여, 복소수 \( a-b i \) 를 \( z \) 의 켤레복소수(conjugate complex number)라 하고, 이것을 \( \bar { z } \) 또는 \( \overline { a + b i } \) 로 나타낸다.</p> <ul> <li>참고 - 서로 켤레인 두 복소수를 더하거나 곱하면 실수가 된다.</li></ul> <p>복소수 \( z \) 와 \( -z \) 는 원점에 대하여 대칭이고, \( z \) 와 \( \bar { z } \) 는 실수축에 대하여 대칭 이다.</p> <ul> <li>[예제 5] 복소수 \( 2 + 5 i \) 에 대하여 다음을 구하여라.</li></ul> <p>(1) \( y \) 축 대칭인 점</p> <p>(2) \( x \) 축 대칭인 점</p> <p>(3) 원점 대칭인 점</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( -2 + 5 i \)</p> <p>(2) \( x \) 축 대칭인 점은 켤레복소수이므로 \( 2-5 i \) 이다.</p> <p>(3) 원점 대칭인 점은 \( -2-5 i \) 이다.</p> <ul> <li>등산로</li></ul> <p>지수함수와 복소수와는 밀접한 관계가 있으면 다음의 등식은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다. \[ e ^ { i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta \] \( \theta= \pi \) 일 때, \( e ^ { i \pi } = \cos \pi + i \sin \pi=-1 \) 이므로 다음의 식이 얻어진다. \[ e ^ { i \pi } + 1=0 \] 위 식을 오일러 식이라고 하며, 세상에서 가장 중요한 정수 0,1 과 무리수 \( \pi \) 와 \( e \), 허수 \( i \) 로 만든 가장 아름다운 식 중의 하나이다.</p> <p>복소평면 위에서 점 \( z \) 의 회전에 관한 성질은 다음과 같다.</p> <p>(1) 점 \( z \) 를 원점을 중심으로 각 \( \theta \) 만큼 회전한 점: \[ z( \cos \theta + i \sin \theta) \]</p> <p>(2) 점 \( z \) 를 점 \( \alpha \) 를 중심으로 각 \( \theta \) 만큼 회전한 점: \[ (z- \alpha)( \cos \theta + i \sin \theta) + \alpha \]</p> <ul> <li>참고• \( e ^ { i \theta } = \cos \theta + i \sin \theta \) 이므로 \( z e ^ { i \theta } \) 는 점 \( z \) 를 \( \theta \) 만큼 회전시킨 점이다.</li></ul> <ul> <li>[예제 9] 점 \( 1 + i \) 를 원점을 중심으로 \( 90 ^ {\circ } \) 만큼 회전한 점 \( z_ { 1 } \) 을 구하여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \begin {aligned} z_ { 1 } &=(1 + i) \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) \\ &=(1 + i)(i) \\ &=-1 + i \end {aligned} \)</p> <ul> <li>[예제 10] 점 \( 1 + i \) 를 점 \( 1-i \) 를 중심으로 \( 90 ^ {\circ } \) 만큼 회전한 점 \( z_ { 1 } \) 을 구하여라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \begin {aligned} z_ { 1 } &=((1 + i)-(1-i)) \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) + (1-i) \\ &=(2 i)(i) + (1-i) \\ &=-2 + 1-i \\ &=-1-i \end {aligned} \)</p> <ul> <li>등산로</li></ul> <p>1. 낙타가 바늘귀를 통과하는 것이 부자가 하늘 나라에 가는 것보다 쉽다. 마태복음 19장 24절, 마가복음 10장 25 절에 등장하는 이 말은 번역자가 아랍어인 밧줄(gamta)를 낙타(gamla)로 혼동하여 잘못 번역한 것이다. 이 러한 오역 덕분(?)에 다음과 같은 말들도 생겨나게 되었다.</p> <ul> <li>낙타만이 바늘귀를 통과한다.</li> <li>부자가 지옥에 떨어지느니 차라리 낙타가 동물원으로 간다.</li> <li>낙타가 바늘귀를 통과하는 것이 이번 강의에서 \( \mathrm { A } + \) 받는 것보다 쉽다.</li></ul> <p>2. 신데렐라는 유리 구두를 신었다. 월트 디즈니의 애니메이션에서는 앵글로색슨계에 따라 유리 구두로 되어 있으나 독일의 그림 형제의 동화에서는 황금 구두가 등장한다. 그러나 사 실 이 동화의 최초 프랑스판에서는 신데렐라는 털가죽(vair)으로 된 슬리 퍼를 신고 있었으나 이야기를 전하는 사람이 잘못하여 유리(verre)로 둔갑 시켜버린 것이다.</p> <p>(1) \( \left \|z_ { 1 } z_ { 2 } \right \|= \left \|z_ { 1 } \right \| \left \|z_ { 2 } \right \| \)</p> <p>(2) \( \arg \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right )= \arg z_ { 1 } + \arg z_ { 2 } \)</p> <ul> <li>[예제1] \( z_ { 1 } = \sqrt { 3 } -i \) 이고 \( z_ { 2 } =1 + i \) 일 때, \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 를 극형식으로 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( \left \|z_ { 1 } \right \|=2, \arg z_ { 1 } =- \frac {\pi } { 6 } \) 이고 \( \left \|z_ { 2 } \right \|= \sqrt { 2 } , \arg z_ { 2 } = \frac {\pi } { 4 } \) 이므로 \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 의 절댓값은 \( \left \|z_ { 1 } z_ { 2 } \right \|= \left \|z_ { 1 } \right \| \left \|z_ { 2 } \right \|=2 \sqrt { 2 } \) 이고 편각은 \( \arg \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right )= \arg z_ { 1 } + \arg z_ { 2 } = \frac {\pi } { 12 } \) 이다. 따라서 \[ z_ { 1 } z_ { 2 } =2 \sqrt { 2 } \left \{\cos \left ( \frac {\pi } { 12 } \right ) + i \sin \left ( \frac {\pi } { 12 } \right ) \right \} \] 이다.</p> <ul> <li>[예제2] \( z_ { 1 } =4 \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 이고 \( z_ { 2 } =2 \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 일 때, \( z_ { 1 } z_ { 2 } \) 를 나타내는 점 \( P \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) \) 을 복소평면 위에 나타내어라.</li></ul> <ul> <li>풀이</li></ul> <p>\( z_ { 1 } =4 \left ( \cos \frac {\pi } { 2 } + i \sin \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 이고 \( z_ { 2 } =2 \left ( \cos \frac {\pi } { 3 } + i \sin \frac {\pi } { 3 } \right ) \) 일 때, \( z_ { 1 } z_ { 2 } =8 \left ( \cos \frac { 5 \pi } { 6 } + i \sin \frac { 5 \pi } { 6 } \right ) \) 이므로 이 복소수를 나타내는 점 \( P \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) \) 는 원점 \( O \) 에서 \( z \) 축의 양의 방향과 이루는 각이 \( \frac { 5 \pi } { 6 } \) 이고 길이가 8 인 선분의 끝점이다.</p>	자연
공업수학	<h2>정리 2.4</h2> <p>두 함수 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 한 구간 \( J \) 에서 미분방정식 \[y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\]의 일차독립인 해이면 위의 미분방정식의 해는 임의의 상수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여\[c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)\] 형태가 된다. 즉, 위의 미분방정식의 모든 해는 일차독립인 해의 일차결합으로 된다. \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 일차독립일 때, \( c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \) 를 미분방정식\[y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\] 의 일반해(general solution)라고 하고, 또 이때 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 는 주어진 미분방정식의 해의 기본계(fundamental system of solutions)를 구성한다고 부른다.</p> <p>예제 6 위의 예제 5에서 살핀 것과 같이 두 함수 \( e^{2 x} \) 와 \( e^{-2 x} \) 는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-4 y=0 \) 의 일차독립인 해이므로 이들은 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-4 y=0 \) 의 한 해의 기본계를 이루 며, 또 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-4 y=0 \) 의 일반헤는\[c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x}\]이 된다. 마찬가지로 두 함수 \( \sin (2 x) \) 와 \( \cos (2 x) \) 는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 의 일차독립인 해이므로 이들은 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 의 해의 기본계를 이룬다. 그러므로 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 의 일반해는 \( c_{1} \sin (2 x)+c_{2} \cos (2 x) \)이다.</p> <p>[정리 2.4의 증명] \( y(x) \) 를 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \) 의 해라고 하자. 구간 \( J \) 내의 한 점 \( x_{0} \) 를 택하고,\[y\left(x_{0}\right)=A, y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B\]라고 하자. 이때 \( X, Y \) 에 관한 연립방정식\[\begin{array}{r}y_{1}\left(x_{0}\right) X+y_{2}\left(x_{0}\right) Y=A \\y_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) X+y_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right) Y=B\end{array}\]</p> <p>는 X, Y 의 계수로 된 행렬식이 0 이 아닐 때, 즉</p> <p>\( \left\|\begin{array}{cc}y_{1}\left(x_{0}\right) & y_{2}\left(x_{0}\right) \\ y_{1}^{\prime}\left(x_{0}\right) & y_{2}^{\prime}\left(x_{0}\right)\end{array}\right\| \neq 0 \)</p> <p>인 경우에 해를 유일하게 갖게 된다. 그러나 위의 행렬식은 바로 점 \( x_{0} \) 에서의 론스키안이므로 앞의 정리 2.3의 (2)에 의해 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 일차 독립일 때는 0 이 되지 않는다. 따라서 이 경우 해를 갖게 되는데 \( X=c_{1}, Y=c_{2} \) 로 놓으면 함수</p> <p>\( c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \)</p> <p>가 초기치 문제</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 ; y\left(x_{0}\right)=A, y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B \)</p> <p>의 한 해가 된다. 그러면 정리 2.1의 해의 유일성에 의해 위의 \( y(x) \)가 바로 원하는 해가 된다.</p> <p>위의 정리에 의해 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \) 의 일반해를 구하는 요령을 알 수 있다. 즉, 일차독립인 두 개의 해를 구한 다음에 이들을 일차결합하면 일반해가 된다. 또 초기치 문제의 해는 주어진 미분방정식의 일반해를 구하고, 조건에 맞도록 상수를 결정해 주면 된다.</p> <p>예제 7 초기치 문제</p> <p>\( y^{\prime \prime}+4 y=0 ; y(\pi)=3, \quad y^{\prime}(\pi)=-2 \)의 해를 구하려면, 우선 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 의 일반해 \[y=c_{1} \sin (2 x)+c_{2} \cos (2 x)\]를 구하고, 다음은 조건\[\begin{array}{l}y(\pi)=3=c_{2} \\y^{\prime}(\pi)=-2=2 c_{1}\end{array}\]을 만족해야 하므로 \( c_{1}=-1, c_{2}=3 \) 을 정한다. 따라서 위의 초기치 문제의 해는\[y=-\sin (2 x)+3 \cos (2 x)\]가 된다.</p> <p>■예제 5</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=8 e^{3 x}\]의 한 특수해를 구해보자. 우선 \( y_{p}=A e^{3 x} \) 로 놓으면, \( e^{3 x} \) 이 주어진 비제차방정식의 동반제차 방정식의 한 해이므로 식이 성립하지 않고, 또 \( y_{p}=A x e^{x} \) 로 놓아도 마찬가지 이유로 곤란하므로, \( y_{D}=A x^{2} e^{3 x} \) 로 놓자. 이것을 주어진 비제차미분방정식에 대입하여 정리하면 \( 2 A e^{3 x}=8 e^{3 x} \) 를 얻으므로 \( A=4 \) 를 얻고, 따라서 한 특수해 \( y_{p}=4 x^{2} e^{3 x} \) 를 얻는다.</p> <p>[방법 2] 매개변수변화법(variation of parameters)</p> <p>이 방법은 비제차미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) \) 에서 \( P(x) \) 와 \( Q(x) \) 가 상수가 아닌 경우에도 쓸 수 있다. \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 주어진 비제차방정식의 동반제차방정식의 해의 기본계 를 이룰 때, 이들을 이용하여 비제차미분방정식의 한 특수해를 \[y_{p}=u(x) y_{1}(x)+v(x) y_{2}(x)\]로 놓아 \( u(x) \) 와 \( v(x) \) 를 정하는 방법이다. 실제로, \( y_{p} \) 를 미분하면\[y_{b}^{\prime}=u^{\prime} y_{1}+v^{\prime} y_{2}+u y_{1}^{\prime}+v y_{2}^{\prime}\]가 되는데, 이때 조건</p> <p>\( u^{\prime} y_{1}+v^{\prime} y_{2}=0 \)<caption>()</caption></p> <p>을 부과하면 \( y_{p}^{\prime} \) 는 간단하게 \( y_{p}^{\prime}=u y_{1}^{\prime}+v y_{2}^{\prime} \) 이 된다. 이것을 미분하면\[y_{p}^{\prime \prime}=u^{\prime} y_{1}^{\prime}+v^{\prime} y_{2}{ }^{\prime}+u y_{1}{ }^{\prime \prime}+v y_{2}{ }^{\prime \prime}\]이 되고, \( y_{p}, y_{p}^{\prime}, y_{p}^{\prime \prime} \) 를 주어진 미분방정식에 대입하면\[u^{\prime} y_{1}^{\prime}+v^{\prime} y_{2}^{\prime}+u y_{1}^{\prime \prime}+v y_{2}^{\prime \prime}+P(x)\left(u y_{1}^{\prime}+v y_{2}^{\prime}\right)+Q(x)\left(u y_{1}+v y_{2}\right)=F(x)\]가 되고, 이 식을 정리하면\[u\left[y_{1}^{\prime \prime}+P(x) y_{1}^{\prime}+Q(x) y\right]+v\left[y_{2}^{\prime \prime}+P(x) y_{2}^{\prime}+Q(x) y_{2}\right]+u^{\prime} y_{1}^{\prime}+v^{\prime} y_{2}^{\prime}=F(x)\]가 된다. 그러나 \( y_{1} \) 과 \( y_{2} \) 가 주어진 비제차미분방정식의 동반제차방정식의 해이므로 윗식은 간단히</p> <p>\( u^{\prime} y_{1}^{\prime}+v^{\prime} y_{2}^{\prime}=F(x) \)<caption>()</caption></p> <p>가 된다. 이 때의 위의 \( \left(^{}\right) \) 과 \( \left(^{* }\right) \) 은 \( u^{\prime} \) 과 \( v^{\prime} \) 에 관한 연립방정식이므로 이들을 풀면\[u^{\prime}=\frac{-y_{2} F(x)}{y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{2} y_{1}^{\prime}} \text { 와 } \quad v^{\prime}=\frac{y_{1} F(x)}{y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{2} y_{1}^{\prime}}\]가 얻어진다. 한편, 윗식의 분모는 \( y_{1}, y_{2} \) 의 론스키안 \( W\left(y_{1}, y_{2}\right) \) 인데 \( y_{1}, y_{2} \)가 동반제차미분 방정식의 해의 기본계를 이루므로 \( W\left(y_{1}, y_{2}\right) \) 는 0이 아니다. 따라서 \( u(x) \) 와 \( v(x) \) 를 \[u(x)=\int \frac{-y_{2} F(x)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)} d x \text { 와 } v(x)=\int \frac{y_{1} F(x)}{W\left(y_{1}, y_{2}\right)} d x\]와 같이 하여 구할 수 있다.</p> <p>■예제 6</p> <p>비제차미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x) \)의 한 특수해를 구해보자. 동반제차미분방정식의 해의 기본계를 구하면\[y_{1}=\cos (2 x), \quad y_{2}=\sin (2 x)\]이므로 이들의 론스키안은 \( W\left(y_{1}, y_{2}\right)=2 \) 이다. 따라서 \( u(x) \) 와 \( v(x) \) 를 구하면\[\begin{aligned}u(x) &=\int \frac{-\sin (2 x) \tan (2 x)}{2} d x \\&=\frac{1}{4} \sin (2 x)-\frac{1}{4} \ln \left\|\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right\| \\v(x) &=\int \frac{\cos (2 x) \tan (2 x)}{2} d x=-\frac{1}{4} \cos (2 x)\end{aligned}\]가 된다. 그러므로 한 특수해는 \[\begin{aligned}y_{p}(x) &=\frac{1}{4} \sin (2 x) \cos (2 x)-\frac{1}{4} \cos (2 x) \ln \left\|\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right\|-\frac{1}{4} \sin (2 x) \cos (2 x) \\&=-\frac{1}{4} \cos (2 x) \ln \left\|\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right\|\end{aligned}\]이고, 또 일반해를 구하면\[y(x)=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)-\frac{1}{4} \cos (2 x) \ln \left\|\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)\right\|\]가 된다.</p> <p>■예제 7</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}-\frac{4}{x} y^{\prime}+\frac{4}{x^{2}} y=x^{2}+1\]의 한 특수해를 구해보자. 뒤의 10 절에서 다루게 될 오일러 방정식의 해법에 의하면 구간 \( [0, \infty] \) 에서 \( y_{1}=x \) 와 \( y_{2}=x^{4} \) 는 주어진 미분방정식의 동반제차방정식의 해의 기본계를 이룬다. 이들의 론스키안을 계산하면\[W\left(y_{1}, y_{2}\right)=y_{1} y_{2}{ }^{\prime}-y_{2} y_{1}{ }^{\prime}=3 x^{4}\]이므로\[\begin{array}{l}u(x)=\int \frac{-x^{4}\left(x^{2}+1\right)}{3 x^{4}} d x=-\frac{x^{3}}{9}-\frac{x}{3} \\v(x)=\int \frac{x\left(x^{2}+1\right)}{3 x^{4}} d x=\frac{1}{3} \ln \|x\|-\frac{1}{6} x^{2}\end{array}\]</p> <p>이 되고, 따라서 한 특수해는\[\begin{aligned}y_{p}(x) &=\left(-\frac{x^{3}}{9}-\frac{x}{3}\right) x+\left(\frac{1}{3} \ln \|x\|-\frac{1}{6} x^{2}\right) x^{4} \\&=-\frac{x^{4}}{9}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{4}}{3} \ln \|x\|-\frac{1}{6} x^{6}\end{aligned}\]이며, 일반해는\[y(x)=c_{1} x+c_{2} x^{4}-\frac{x^{4}}{9}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{4}}{3} \ln \|x\|-\frac{1}{6} x^{6}\]이 된다.</p> <h1>2.3 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \)에서 \( A^{2}-4 B \geq 0 \) 인 경우의 일반해</h1> <p>선형제차이계 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \)에서 \( P(x), Q(x) \) 에 관한 가정이 없는 경우에는 해를 구하는 것이 어려울 수 있다. 여기서는 \( P(x) \)와 \( Q(x) \)가 상수 \( A, B \)인 상수계수의 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \) 의 경우를 살피겠다.</p> <p>위의 미분방정식에 한 지수함수 \( y=e^{x x} \) 를 대입하면,</p> <p>\( r^{2} e^{r x}+r A e^{r x}+B e^{r x}=0 \)</p> <p>인데, 여기서 \( e^{n x} \) 는 결코 0 이 되지 않으므로 이것으로 나누면 방정식</p> <p>\( r^{2}+A r+B=0 \)</p> <p>을 얻게 된다. 이때 이 방정식을 위의 미분방정식의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 이와 같은 \( r \) 에 관한 이차방정식의 해를 근의 공식에 의해 구해보면</p> <p>\( r=\frac{-A \pm \sqrt{A^{2}-4 B}}{2} \)</p> <p>인데, 이미 알고 있는 것과 같이 다음의 세 가지 경우가 있다.</p> <p>(1) 두 개의 서로 다른 실근 \( r_{1}, r_{2}\left(A^{2}-4 B>0\right. \) 인 경우)</p> <p>(2) 한 개의 중근 \( r\left(A^{2}-4 B=0\right. \) 인 경우 \( ) \)</p> <p>(3) 두 개의 서로 다른 허근 \( \left(A^{2}-4 B<0\right. \) 인 경우)</p> <p>여기서는 위의 (1), (2)의 경우를 살피고 (3)의 경우는 다음 절에서 복수지수함수의 기본성질을 익힌 후에 2.5 절에서 다룰 예정이다.</p> <p>경우 1 두 함수</p> <p>\( y_{1}(x)=e^{r_{1} x} \) 과 \( y_{2}(x)=e^{r_{2} x} \)</p> <p>이 주어진 미분방정식의 해인데, 이들의 론스키안을 구해보면</p> <p>\( y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{2} y_{1}^{\prime}=r_{2} e^{r_{1} x} e^{r_{2} x}-r_{1} e^{r_{1} x} e^{r_{2} x}=\left(r_{2}-r_{1}\right) e^{\left(r_{1}+r_{2}\right) x} \)</p> <p>이므로 임의의 구간 \( J \) 위에서 이들은 일차독립이다. 그러므로 이들은 주어진 미분방정식의 해의 기본계를 이루고, 따라서 일반해는 임의의 상수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여</p> <p>\( y=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x} \)</p> <p>이다.</p> <p>■ 예제 1 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-2 y=0 \)의 특성방정식은</p> <p>\( r^{2}+4 r-2=0 \)</p> <p>이고, 이 방정식의 해를 구하면</p> <p>\( r_{1}=-2+\sqrt{6} \) 과 \( r_{2}=-2-\sqrt{6} \)</p> <p>이다. 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는 임의의 상수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여\[y=c_{1} e^{(-2+\sqrt{6}) x}+c_{2} e^{(-2-\sqrt{6}) x}\] 또는 \[y=e^{-2 x}\left(c_{1} e^{\sqrt{6} x}+c_{2} e^{-\sqrt{6} x}\right)\] 이 된다.</p> <p>경우 2 이때 특성방정식의 해는 \( r=-A / 2 \) 이므로 함수</p> <p>\( y_{1}(x)=e^{-A x / 2} \)</p> <p>이 주어진 미분방정식의 한 해임을 알 수 있으나, 해의 기본계를 이루기 위해서는 일차독립인 한 개의 해 \( y_{2}(x) \)가 더 필요하다. \( y_{2}(x)=u(x) y_{1}(x) \)로 놓고, 이것을 주어진 미분방정식에 대입하면</p> <p>\( u^{\prime \prime} e^{-A x / 2}-A u^{\prime} e^{-A x / 2}+\frac{A^{2}}{4} u e^{-A x / 2}+A u^{\prime} e^{-A x / 2}-\frac{A^{2}}{2} u e^{-A x / 2}+B u e^{-A x / 2}=0 \)</p> <p>이 얻어지는데, 이 식을 0 이 아닌 \( e^{-A x / 2} \) 로 나누면 \( A^{2}-4 B=0 \) 이므로, 윗식은 간단히 \( u^{\prime \prime}=0 \) 이 된다. 그러므로 해 \( u(x)=c_{1} x+c_{2} \) 를 얻게 된다. 이때 특별히 \( c_{1}=1, c_{2}=0 \) 으로 하여 \( y_{2}(x)=x e^{-A x / 2} \) 로 하고, \( y_{1}(x), y_{2}(x) \) 의 론스키안을 계산해 보면</p> <p>\( \begin{aligned} y_{1} y_{2}^{\prime}-y_{2} y_{1}^{\prime} &=e^{-A x / 2}\left(e^{-A x / 2}-\frac{A}{2} x e^{-A x / 2}\right)-x e^{-A x / 2}\left(-\frac{A}{2} e^{-A x / 2}\right) \\ &=e^{-A x} \neq 0 \end{aligned} \)</p> <p>이므로 위의 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 한 해의 기본계를 이루고, 따라서 이 경우 일반해는 임의의 상 수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여 \[y=c_{1} e^{-A x / 2}+c_{2} x e^{-A x / 2}\]또는\[y=e^{-A x / 2}\left(c_{1}+c_{2} x\right)\]이 된다.</p> <p>■예제 2 미분방정식</p> <p>\( y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \) 의 특성방정식\[r^{2}+4 r+4=0\]은 중근 \( r=-2 \) 를 갖는다. 그러므로 이 미분방정식의 일반해는 \[y(x)=e^{-2 x}\left(c_{1}+c_{2} x\right)\]이다.</p> <p>■예제 3 초기치 문제</p> <p>\[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0 ; \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=4\]의 해를 구하려면, 우선 위의 미분방정식의 일반해를 구하기 위해 특성방정식을 구하면\[r^{2}+2 r-3=0\]또는 \[(r+3)(r-1)=0\]이므로 특성방정식의 근은 1 과 \( -3 \) 이다. 따라서 일반해는 \[y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}\]이 된다. 다음은 초기조건에 의해 \[y(0)=c_{1}+c_{2}=1\]과 \[y^{\prime}(0)=c_{1}-3 c_{2}=4\] 이므로, 이들을 풀면 \[c_{1}=\frac{7}{4}, \quad c_{2}=-\frac{3}{4}\] 를 얻게 된다. 그러므로 주어진 조건의 문제의 해는 \[y=\frac{7}{4} e^{x}-\frac{3}{4} e^{-3 x}\] 이다.</p> <p>■예제 4 초기치 문제</p> <p>\[y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+16 y=0 ; y(1)=3, \quad y^{\prime}(1)=-2\]의 해를 구하려면, 우선 일반해를 구하기 위해 특성방정식을 구하면\[(r-4)^{2}=0\]이므로 일반해는\[ y=e^{4 x}\left(c_{1}+c_{2} x\right)\]가 된다. 다음은 주어진 초기조건을 만족해야 하므로 \[y(1)=e^{4}\left(c_{1}+c_{2}\right)=3\]과 \[y^{\prime}(1)=4 e^{4} c_{1}+5 e^{4} c_{2}=-2\] 이어야 한다. 이들을 풀면 \[c_{1}=17 e^{-4}, \quad c_{2}=-14 e^{-4}\]이 얻어지고, 따라서 주어진 초기치 문제의 해는\[y=e^{4 x}\left(17 e^{-4}-14 e^{-4} x\right)=e^{4(x-1)}(17-14 x)\] 가 된다.</p> <h1>2.7 \(y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) \) 의 특수해를 구하는 방법</h1> <p>일반적으로 비제차미분방정식\[y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x)\]의 한 해를 구하기는 매우 어려우나, 여기서는 흔히 쓰이는 두 가지 방법을 살펴보자.</p> <p>첫번째 경우로는 \( P(x) \)와 \( Q(x) \)가 상수인 경우이다. 이 때는 동반제차미분방정식의 해를 구 할 수 있으므로 주어진 비제차미분방정식의 한 특수해를 구하면 앞 절의 정리 2.5에 의해 일반 해가 정해진다.</p> <p>[방법 1] 미정계수법(undetermined coefficients)</p> <p>이 방법은 \( F(x) \)의 모습을 살펴 정해지지 않은 상수를 넣어 만든 추측해(conjectured solution)를 주어진 비제차미분방정식에 대입하여 상수를 결정하는 방법이다. 구체적인 예를 통하여 이 방법을 익혀보자.</p> <p>■예제 1</p> <p>비제차미분방정식 \( y^{\prime \prime}-4 y=8 x^{2}-2 x \) 의 해를 구해보자. \( F(x)=8 x^{2}-2 x \) 는 다항식인데, 다항식의 미분은 다시 다른 다항식이 되므로 적당한 다항식을 넣어 \( y^{\prime \prime}-4 y \) 를 계산하면 \( F(x) \) 를 얻을 수 있음을 짐작할 수 있다. 그런데 \( F(x) \) 의 최고차 항이 \( x^{2} \) 이므로 해가 되기 위한 다항식의 차수는 이차 이하이어야 함을 알 수 있다. 따라서\[y_{p}=a x^{2}+b x+c\]로 놓으면</p> <p>\( y_{p}^{\prime}=2 a x+b \) 와 \( y_{p}^{\prime \prime}=2 a \)</p> <p>가 되므로 이것을 주어진 미분방정식에 대입하면\[\begin{array}{l}y_{p}^{\prime \prime}-4 y_{p}=2 a-4\left(a x^{2}+b x+c\right)=-4 a x^{2}-4 b x+2 a-4 c=8 x^{2}-2 x \\-4 a=8,-4 b=-2 \text { 와 } 2 a-4 c=0\end{array}\]이 얻어진다. 이 식을 풀어 \( a, b, c \) 를 정하면 \( a=-2, b=1 / 2, c=-1 \) 이므로 \( y_{p}=-2 x^{2} \) \( +\frac{1}{2} x-1 \) 을 얻게 되며, 또 이것을 주어진 미분방정식에 대입하여 한 해가 됨을 확인할 수 있 다. 한편, 주어진 미분방정식의 동반제차방정식을 풀면\[y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x}\]이 되므로 주어진 비제차미분방정식의 일반해는 \[y=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x}-2 x^{2}+\frac{1}{2} x-1\]이 된다.</p> <p>■예제 2</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=4 e^{2 x} \]의 해를 구해보자. \( e^{2 x} \) 의 고계미분은 \( e^{2 x} \) 의 상수배이므로 \( y_{p}=k e^{2 x} \) 로 추측해를 놓아 보자. 이 것을 주어진 미분방정식에 대입하면\[4 k e^{2 x}+4 k e^{2 x}-3 k e^{2 x}=4 e^{2 x}\]이 되므로 \( k=4 / 5 \) 를 얻고, 따라서\[y_{p}=\frac{4}{5} e^{2 x}\]를 얻는다. 한편, 동반제차방정식의 해는\[y_{h}=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}\]이므로 주어진 비제차미분방정식의 일반해는\[y=c_{1} e^{x}+c_{2} e^{-3 x}+\frac{4}{5} e^{2 x}\]이 된다.</p> <p>■예제 3</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+7 y=x-\cos (2 x)\]의 한 특수해를 구해보자. 위의 미분방정식의 우변 \( F(x) \) 는 다항식과 삼각함수로 되어있는데, 다항식의 미분은 다시 다른 다항식이 되고, 또 삼각함수 \( \cos (2 x) \) 와 \( \sin (2 x) \) 의 미분도 미분횟 수에 따라 이들의 상수배로 나타내어지므로 추측해를\[y_{p}=a x+b+h \cos (2 x)+k \sin (2 x)\]로 놓아보자. 이것의 일계도함수와 이계도함수\[\begin{array}{l}y_{p}^{\prime}=a-2 h \sin (2 x)+2 k \cos (2 k) \\y_{p}^{\prime \prime}=-4 h \cos (2 x)-4 k \sin (2 x)\end{array}\]를 주어진 비제차미분방정식에 대입하면\[\begin{aligned}-4 h \cos (2 x)-4 k \sin (2 x)-3 a &+6 h \sin (2 x)-6 k \cos (2 x) \\&+7 a x+7 b+7 h \cos (2 x)+7 k \sin (2 x)=x-\cos (2 x)\end{aligned}\]가 되고, 이것을 정리하여 방정식을 풀면 \[a=\frac{1}{7}, \quad b=\frac{3}{49}, h=-\frac{1}{15}, k=\frac{2}{15}\]을 얻게 되므로, 원하는 특수해는 \[y_{p}=\frac{1}{7} x+\frac{3}{49}-\frac{1}{15} \cos (2 x)+\frac{2}{15} \sin (2 x)\]이다.위의 세 개의 예를 통하여 얻은 결과를 요약하면, 비제차미분방정식의 한 특수해는 우변 \( F(x) \) 의 형태가 각각 다항식, 지수함수, 삼각함수일 때, 추측해를 각각 상수배의 다항식, 지수 함수, 삼각함수로 놓아 주어진 미분방정식에 대입하여 상수를 결정하여 특수해를 정하는 것이다. 그러나, (1) 미분방정식의 계수가 상수가 아닌 경우(2) \( F(x)=\tan x, \sec x \) 등인 경우에는 곤란함을 쉽게 짐작할 수 있다.</p> <p>이런 경우 이외에도, 예를 들어 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=4 e^{x} \) 에서는 \( y_{p}=A e^{x} \) 로 놓아 주어진 미분방정식에 대입하면 \( 0=4 e^{x} \) 를 얻게 되므로 불가능하다. 이런 경우에는 추측해에 \( x \), \( x^{2} \) 등을 곱해서 해결할 수 있다. 예를 통하여 확인해 보자.</p> <p>■예제 4</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=4 e^{x}\]의 한 특수해를 구해보자. 위에서 살핀 것과 같이 \( y_{p}=A e^{x} \) 는 적합하지 않으므로, \( y_{p}=A x e^{x} \) 로 놓자. 일계도함수와 이계도함수\[y_{p}^{\prime}=A e^{x}+A x e^{x}, \quad y_{p}^{\prime \prime}=2 A e^{x}+A x e^{x}\]를 구하여 주어진 미분방정식에 대입하면\[2 A e^{x}+A x e^{x}+2\left(A e^{x}+A x e^{x}\right)-3 A x e^{x}=4 e^{x}\]이므로 \( 4 A e^{x}=4 e^{x} \), 즉 \( A=1 \) 을 얻는다. 따라서 \( y_{p}=x e^{x} \) 이다.</p> <h1>2.2 선형제차이계 미분방정식의 이론</h1> <p>선형이계 미분방정식</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x)=F(x) \)</p> <p>가 한 구간 \( J \) 안의 모든 \( x \)에 대해 \( F(x)=0 \) 인 경우에 이 미분방정식을 제차(homogeneous) 라고 하며, 그렇지 않은 경우, 즉 \( J \)안에 적어도 하나의 \( x \)에 대하여 \( F(x) \neq 0 \) 인 경우를 비제차(nonhomogeneous)라고 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>\( F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & 1<x \leq 2\end{array}\right. \)</p> <p>인 경우에는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+x y^{\prime}-2 y=F(x) \) 는 구간 \( [0,1] \) 에서는 제차이지만, 구간 \( [0,2] \) 에서는 비제차이다.</p> <p>많은 경우에서 구간 \( J \)는 실수 전체이다. 이런 경우에는 구간 \( J \)를 특별히 언급하지 않아도 되므로 생략하기도 한다. 흔한 예로는 \( P(x), Q(x) \) 가 모든 실수 위에서 정의되어 있으며 아무런 제한이 없는 경우이다.</p> <p>이제 선형제차이계 미분방정식의 해에 관한 몇 가지 성질을 살피겠다. 이런 성질들은 후에 실제적으로 선형제차이계 미분방정식의 해를 구하는데 도움이 될 것이다.</p> <h2>정리 2.2</h2> <p>\( y_{1}(x), y_{2}(x) \)를 구간 \( J \) 에서 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \)의 해라고 하자. 그러면 (1) \( y_{1}(x)+y_{2}(x) \) 도 구간 \( J \) 에서 위의 미분방정식의 해이고, (2) 임의의 상수 \( c \) 에 대하여 \( c y_{1}(x), c y_{2}(x) \) 도 구간 \( J \) 에서 위의 미분방정식의 해가 된다.</p> <p>[증명] (1) 구간 \( J \)안의 임의의 \( x \)에 대하여 \( y_{1}(x)+y_{2}(x) \) 를 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면, \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \)가 해이므로</p> <p>\( \begin{aligned} {\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]^{\prime \prime} } &+P(x)\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right]^{\prime}+Q(x)\left[y_{1}(x)+y_{2}(x)\right] \\ &=\left[y_{1}^{\prime \prime}+P(x) y_{1}^{\prime}+Q(x) y_{1}\right]+\left[y_{2}^{\prime \prime}+P(x) y_{2}^{\prime}+Q(x) y_{2}\right]=0+0=0 \end{aligned} \)</p> <p>이 된다.</p> <p>(2) 임의의 상수 \( c \) 에 대하여 \( c y_{1}(x) \)를 주어진 미분방정식에 대입하면</p> <p>\( \left[c y_{1}(x)\right]^{\prime \prime}+P(x)\left[c y_{1}(x)\right]^{\prime}+Q(x)\left[c y_{1}(x)\right]=c\left[y_{1}^{\prime \prime}+P(x) y_{1}^{\prime}+Q(x) y_{1}\right]=c \cdot 0=0 \)</p> <p>이므로 \( c y_{1}(x) \)는 한 해임을 알 수 있고, \( c y_{2}(x) \)도 마찬가지로 보일 수 있다.</p> <p>위의 정리의 (1)과 (2)를 묶어서 말하면 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 선형제차이계 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \)의 해이고 \( c_{1}, c_{2} \)가 임의의 상수일 때</p> <p>\( c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \)</p> <p>도 주어진 미분방정식의 한 해가 된다.</p> <p>일반적으로 \( c_{1}, c_{2} \) 가 상수일 때 \( c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \) 형태를 두 함수 \( y_{1}(x), y_{2}(x) \) 의 일차결 합(linear combination)이라고 한다. 그러므로 위의 정리의 내용은 선형제차미분방정식의 해들의 일차결합도 한 해라는 것이다.</p> <p>예제 2 어렵지 않게 \( \sin (2 x) \) 와 \( \cos (2 x) \) 가 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 의 해임을 확인할 수 있다. 그러므로 이들의 일차결합</p> <p>\( c_{1} \sin (2 x)+c_{2} \cos (2 x) \)</p> <p>도 한 해가 되는데, 이것을 윗식을 미분방정식에 직접 대입시켜 보면 어렵지 않게 해가 되는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>또한 \( e^{2 x} \) 와 \( e^{-2 x} \) 는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-4 y=0 \) 의 해이므로 이들의 일차결합</p> <p>\( c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x} \)</p> <p>한편, 구간 \( J=(0, \infty) \) 에서 두 함수</p> <p>\( x^{2+\sqrt{2}} \) 과 \( x^{2-\sqrt{2}} \)</p> <p>는 미분방정식</p> <p>\( y^{\prime \prime}-\frac{3}{x} y^{\prime}+\frac{2}{x^{2}} y=0 \)</p> <p>의 해이므로 이들의 일차결합</p> <p>\( c_{1} x^{2+\sqrt{2}}+c_{2} x^{2-\sqrt{2}} \)</p> <p>도 구간 \( J \)에서 한 해가 된다.</p> <p>예제 3 위의 정리의 결과는 비제차미분방정식에서는 성립하지 않는다. 예를 들어</p> <p>\( y_{1}(x)=e^{x}+x \) 와 \( y_{2}(x)=-e^{x}+x \)</p> <p>는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}-y=-x \) 의 해이지만 이들의 합 \( y_{1}(x)+y_{2}(x)=2 x \)는 미분방정식에 대입 시켜 보면 해가 아님을 알 수 있다.</p> <p>한 구간 \( J \)에서 \( y_{2}(x) \) 가 \( y_{1}(x) \)의 상수배인 경우에는 \( y_{1}(x) \)와 \( y_{2}(x) \)의 일차결합은 단지 \( y_{1}(x) \)의 상수배가 된다. 이런 경우에 \( y_{2}(x) \)는 해로서 별다른 의미가 없다. 이와 같이 한 해 \( y_{2}(x) \)가 다른 해 \( y_{1}(x) \)의 상수배인 경우에 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \)는 일차종속(linearly dependent)이 라고 하며, 그렇지 않은 경우에 일차독립(linearly independent)이라고 한다. 두 함수 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \)가 일차독립인 경우에 이들의 일차결합 \( c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x) \)는 아주 다른 함수가 된다 물론 \( c_{1}, c_{2} \) 는 모두 0 이 아닌 경우이다).</p> <h1>2.9 오일러 미분방정식</h1> <p>\( A \) 와 \( B \) 가 상수일 때\[x^{2} y^{\prime \prime}+A x y^{\prime}+B y=0\]형태의 이계 미분방정식을 오일러의 방정식(Euler's equation)이라 한다. 이 절에서는 오일러의 방정식의 두 가지 해법을 살피겠다. 첫째 방법은 \( y=x^{r} \) 로 놓아 \( r \) 을 알맞게 잡아 해를 구하는 것이다. 즉, \( y=x^{r} \) 을 주어진 미 분방정식에 대입하여 정리하면 \[r(r-1) x^{r}+A r x^{r}+B x^{r}=0 \]을 얻게 되는데, \( x \neq 0 \) 이면 위의 방정식은\[r(r-1)+A r+B=0\] 또는 \[r^{2}+(A-1) r+B=0\] 이 된다. 이때 위의 \( r \)에 관한 방정식을 주어진 미분방정식의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 주어진 오일러의 방정식은 특성방정식의 근의 형태에 따라 다음의 세 가지 경우를 생각할 수 있다.</p> <p>경우 1 특성방정식이 서로 다른 두 실근 \( r_{1}, r_{2} \) 를 가질 때: 이 때는 \( x^{r_{1}}, x^{r_{2}} \) 이 주어진 미분방정식의 일차독립인 해이므로 \[y=c_{1} x^{r_{1}}+c_{2} x^{r_{2}}\] 일반해가 된다.</p> <p>■ 예제 1</p> <p>미분방정식 \[x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}-2 y=0\]에 \( y=x^{r} \) 을 대입한 특성방정식은 \[r^{2}+4 r-2=0\]이다. 근을 구하면 \( r=-2+\sqrt{6}, r=-2-\sqrt{6} \) 이므로 \( x>0 \) 일 때\[y=c_{1} x^{-2+\sqrt{6}}+c_{2} x^{-2-\sqrt{6}}=\frac{1}{x^{2}}\left(c_{1} x^{\sqrt{6}}+c_{2} x^{-\sqrt{6}}\right)\] 이 일반해가 된다.</p> <p>경우 2 특성방정식이 중근 \( r \)을 가질 때: 이 때는 한근이 \( r \) 이므로, 앞 절의 세 번째 방 법에 의하여 다른 근을 구하면 \( x>0 \) 일 때 \( x^{r} \ln (x) \) 가 된다. \[y=x^{r_{1}}\left[c_{1}+c_{2} \ln (x)\right]\]가 된다.</p> <p>■ 예제 2</p> <p>미분방정식 \[x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+4 y=0\]의 특성방정식은 \[r^{2}+4 r+4=0\] 이므로 중근 \( r=-2 \) 를 갖고, 따라서 주어진 미분방정식의 일반해는 \[y=x^{-2}\left[c_{1}+c_{2} \ln (x)\right]\]가 된다.</p> <p>경우 3 특성방정식이 복소근 \( p \pm i q \)를 가질 때: 이 때는\[x^{i q}=e^{i q \ln (x)}=\cos [q \ln (x)]+i \sin [q \ln (x)]\]이므로, \( x>0 \) 인 경우에 \[\begin{array}{l}x^{p+i q}=x^{p} \cdot x^{i q}=x^{p}\{\cos [q \ln (x)]+i \sin [q \ln (x)]\} \\x^{p-i q}=x^{p}\{\cos [q \ln (x)]-i \sin [q \ln (x)]\}\end{array}\]가 해의 기본계를 이룬다. 그러므로 일반해는 \[y=c_{1} x^{p}\{\cos [q \ln (x)]+i \sin [q \ln (x)]\}+c_{2} x^{\dagger}\{\cos [q \ln (x)]-i \sin [q \ln (x)]\}\]인데, \( c_{1}=c_{2}=\frac{1}{2 !} \) 일 때 주어진 미분방정식의 한 해\[x^{\not} \cos [q \ln (x)]\]를 얻고, \( c_{1}=-c_{2}=1 / 2 \) 일 때 다른 한 해\[x^{p} \sin [q \ln (x)]\]를 얻게 된다. 그런데 이들이 \( x>0 \) 일 때 주어진 미분방정식의 해의 기본계를 이루는 것을 알 수 있으므로 주어진 미분방정식의 일반해는 \[y=c_{1} x^{b} \cos [q \ln (x)]+c_{2} x^{p} \sin [q \ln (x)]\]가 된다.</p> <p>■ 예제 3</p> <p>미분방정식 \[x^{2} y^{\prime \prime}+4 x y^{\prime}+6 y=0\]의 특성방정식은 \[r^{2}+3 r+6=0\]이므로 복소근\[\frac{-3+i \sqrt{15}}{2}, \frac{-3-i \sqrt{15}}{2} \]를 갖는 위의 경우에 해당된다. 그러므로 일반해는 \( x>0 \) 일 때\[y=c_{1} x^{-3 / 2} \cos \left(\frac{\sqrt{15}}{2} \ln (x)\right)+c_{2} x^{-3 / 2} \sin \left(\frac{\sqrt{15}}{2} \ln (x)\right)\]가 된다.오일러의 방정식의 해를 구하는 다른 방법은 치환을 통하여 구하는 것이다. 즉 \( x>0 \) 일 때 \( z=\ln (x) \) 로 놓으면, 합성함수의 미분법에 의해 \[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d z} \frac{d z}{d x}=\frac{1}{x} \frac{d y}{d z}\]이고, 다시 이것을 미분하면\[\begin{aligned}\frac{d^{2} y}{d x^{2}} &=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x} \frac{d y}{d z}\right)=-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}+\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d z}\right) \\ &=-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}+\frac{1}{x} \frac{d}{d z}\left(\frac{d z}{d z}\right) \frac{d z}{d x}=-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}+\frac{1}{x^{2}} \frac{d^{2} y}{d z^{2}} \end{aligned}\]가 된다. 이들을 오일러의 방정식 \( x^{2} y^{\prime \prime}+A x y^{\prime}+B y=0 \) 에 대입하면 \[x^{2}\left(-\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d z}+\frac{1}{x^{2}} \frac{d^{2} y}{d z^{2}}\right)+A x\left(\frac{1}{x} \frac{d y}{d z}\right)+B y=0\] 또는 \[\frac{d^{2} y}{d z^{2}}+(A-1) \frac{d y}{d z}+B y=0\]이 되는데, 이것은 \( z \) 와 \( y \) 에 관한 상수계수의 미분방정식이므로 해를 구할 수 있다. 그리하여 \( z=\ln (x) \)를 대입하면 원래의 방정식의 해가 된다.</p> <p>■ 예제 4</p> <p>\[x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0\]의 해를 구해보자. \( z=\ln (x) \) 로 놓아 위의 결과를 써서 주어진 미분방정식을 정리하면 \[\frac{d^{2} y}{d z^{2}}-5 \frac{d y}{d z}+6 y=0\]이 되고, 이 미분방정식의 해를 구하면\[y=c_{1} e^{3 z}+c_{2} e^{2 z}\]이 된다. 여기서 \( z=\ln (x) \) 를 대입하면 주어진 미분방정식의 일반해\[y=c_{1} e^{3 \ln (x)}+c_{2} e^{2 \ln (x)}=c_{2} x^{3}+c_{2} x^{2}\]이 얻어진다.</p> <p>■ 예제 5</p> <p>비제차 오일러의 미분방정식 \[x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=x^{4}+x^{2}, \quad x>0\]의 해를 구해보자. 우선 동반제차방정식\[x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+4 y=0\]의 해를 구하면 \( y_{1}=x, y_{2}=x^{4} \) 가 된다. 다음은 특수해를 구하기 위하여 주어진 미분방정식을 \( x^{2} \) 으로 나누면 \[ y^{\prime \prime}-\frac{4}{x} y^{\prime}+\frac{4}{x^{2}} y=x^{2}+1\]이 되는데, 이 미분방정식의 특수해를 미정계수법에 의하여 구해보자.\[y_{p}=v_{1}(x) x+v_{2}(x) x^{4} \]로 놓으면\[v_{1}^{\prime}(x)=\frac{\left\|\begin{array}{cc}0 & x^{4} \\x^{2}+1 & 4 x^{3}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{cc}x & x^{4} \\1 & 4 x^{3}\end{array}\right\|}=\frac{-x^{4}\left(x^{2}+1\right)}{3 x^{4}}=-\frac{1}{3}\left(1+x^{2}\right)\] 이므로 \[v_{2}^{\prime}(x)=\frac{\left\|\begin{array}{cc}x & 0 \\1 & 1+x^{2}\end{array}\right\|}{\left\|\begin{array}{cc}x & x^{4} \\1 & 4 x^{3}\end{array}\right\|}=\frac{x\left(x^{2}+1\right)}{3 x^{4}}=\frac{1}{3 x}+\frac{1}{3 x^{3}}\]을 얻고, \[v_{1}(x)=\int-\frac{1}{3}\left(1+x^{2}\right) d x=-\frac{1}{9} x^{3}-\frac{1}{3} x\]이므로 \[v_{2}(x)=\int\left(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{3 x^{3}}\right) d x=\frac{1}{3} \ln (x)-\frac{1}{6 x^{2}}\]을 얻는다. 그러므로 특수해는 \[\begin{aligned} y_{p}(x) &=x\left(-\frac{x^{3}}{9}-\frac{x}{3}\right)+x^{4}\left(\frac{1}{3} \ln (x)-\frac{1}{6 x^{2}}\right) \\&=-\frac{x^{4}}{9}-\frac{x^{2}}{3}+\frac{x^{4}}{3} \ln (x)-\frac{x^{2}}{6}=-\frac{x^{4}}{9}-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{3} \ln (x)\end{aligned}\] 이고, 따라서 주어진 비제차 오일러의 방정식의 일반해는\[y=c_{1} x+c_{2} x^{4}-\frac{1}{9} x^{4}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{3} x^{4} \ln (x)\] 가 된다. <h1>2.1 선형이계 미분방정식: 해의 존재성과 유일성</h1> <p>\( P(x), Q(x), F(x) \) 가 \( x \) 의 함수일 때</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) \)</p> <p>형태의 미분방정식을 선형이계 미분방정식(linear second order differential equation)이라고 한다. 예를 들면</p> <p>\( y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+3 y=4 e^{-2 x} \) 과 \( y^{\prime \prime}-2 y=0 \)</p> <p>등은 선형이계 미분방정식이고</p> <p>\( y^{\prime \prime}-y y^{\prime}+6 x y=0 \) 과 \( \left(y^{\prime \prime}\right)^{2}-2 y=4 x \)</p> <p>등은 선형이 아닌 이계 미분방정식이다.</p> <p>다음의 정리는 선형이계 미분방정식을 다루는데 기본적인 정리이다. 우리는 이 정리를 증명없이 소개하겠으며, 이 정리를 써서 이계 미분방정식의 해를 이끌어 내는데 사용할 것이다.</p> <h2>정리 2.1</h2> <p>한 구간 \( J \)에서 함수 \( P(x), Q(x), F(x) \) 가 연속이라고 하자. \( x_{0} \) 가 구간 \( J \) 안의 임의의 점이 라 하고 A와 B가 임의의 실수라고 하면, 이계 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) \)의 해로서 조건 \( y\left(x_{0}\right)=A \) 와 \( y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B \)를 만족하는 해가 오직 한 개 존재한다.</p> <p>일반적으로 다음과 같은</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) ; \quad y\left(x_{0}\right)=A, \quad y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B \)</p> <p>형태의 해를 구하는 문제를 초기치 문제(initial value problem)라고 한다. 따라서 위의 정리는 한 초기치 문제에서 선형이계 미분방정식의 계수함수가 한 구간 위에서 연속일 때는 오직 한 개의 해가 존재한다는 것이다.</p> <p>이계 미분방정식의 해는 방정식이 이계도함수를 갖고 있으므로 두 개의 적분상수를 갖게 된다. 그러므로 두 개의 조건 \( y\left(x_{0}\right)=A \) 와 \( y^{\prime}\left(x_{0}\right)=B \)는 초기치 문제의 유일한 해의 상수를 정하는데 필요하다.</p> <p>예제 1 함수</p> <p>\( y=c_{1} e^{\sqrt{2} x}+c_{2} e^{-\sqrt{2} x}-\frac{1}{2} x^{2} \)</p> <p>은 초기치 문제 \( y^{\prime \prime}-2 y=x^{2}-1, y(1)=3, y^{\prime}(1)=-5 \)의 한 해가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 이때 임의의 상수를 정하여 초기치 문제의 해를 구하면</p> <p>\( c_{1} e^{\sqrt{2}}+c_{2} e^{-\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=3 \) \( \sqrt{2} c_{1} e^{\sqrt{2}}-\sqrt{2} c_{2} e^{-\sqrt{2}}-1=-5 \)</p> <p>이므로</p> <p>\( c_{1}=\frac{e^{-\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}\left(7 \frac{\sqrt{2}}{2}-4\right) \) 과 \( \quad c_{2}=\frac{e^{\sqrt{2}}}{2 \sqrt{2}}\left(4+\frac{7}{2} \sqrt{2}\right) \)</p> <p>를 얻는다.</p> <p>미분방정식에서 자주 접하게 되는 다른 형태의 문제로는 경계치 문제(boundary value problem)가 있다. 이것은 한 미분방정식의 해로서 주어진 구간의 양 끝에서 특정한 조건을 만 족하는 해를 찾는 문제이다. 이 문제는 구간의 한 점에서 함수값이 정해지고 그 점에서의 도함 수의 값이 정해진 해를 구하는 초기치 문제와는 아주 다르다. 한 예로는 양끝이 고정된 현(예 를 들면 기타줄)의 진동을 들 수 있다.</p> <p>다음과 같이 해의 존재성이나 유일성이 성립하지 않는 예를 쉽게 생각할 수 있으므로 위의 정리와 같은 결과는 경계치 문제에서는 없다. 즉 경계치 문제</p> <p>\( y^{\prime \prime}+y=0 ; \quad y(0)=y(\pi)=0 \)</p> <p>은 무한히 많은 해 \( y=C \sin (x) \) 를 갖고, 경계치 문제</p> <p>\( y^{\prime \prime}+y=0 ; \quad y(0)=y^{\prime}(\pi)=0 \)</p> <p>은 단 하나의 해 \( y=0 \) 을 갖고, 경계치 문제</p> <p>\( y^{\prime \prime}+y=x ; \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(\pi)=0 \)</p> <p>은 해가 없다.</p> <h2>2.4복소지수함수의 배경</h2> <p>복수지수에 관한 이론과 성질은 이 책의 뒷부분에 있는 복소해석학에서 다시 자세하게 다룰 내 용이지만, 여기서는 앞절에서 언급한 것과 같이 선형제차이계 미분방정식의 특성방정식이 복소 근을 갖게 되는 경우에 해를 구하기 위하여 필요한 정노의 내용을 살펴보자.</p> <p>미적분학에서 배운 것과 같이 지수함수 \( e^{x} \) 를 테일러급수로 전개하면</p> <p>\[e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=1+x+\frac{1}{2 !} x^{2}+\frac{1}{3 !} x^{3}+\cdots+\frac{1}{n !} x^{n}+\cdots\]이므로 \( e^{i y} \) 를 \[e^{i y}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i y)^{n}}{n !}\] 과 같이 하여 \( y^{n} \) 의 거듭제곱의 짝수차수와 홀수차수로 나누어 정리하면 \[e^{i y}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} y^{2 n}}{(2 n) !}+i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} y^{2 n+1}}{(2 n+1) !}\] 이 되는데 윗식의 앞의 항은 \( \cos x \) 에 관한 전개식이고, 둘째 항은 \( \sin x \) 에 관한 전개식이므로 \( e^{x+i y} \) 를 \[e^{x+i y}=e^{x}[\cos (y)+i \sin (y)]=e^{x} \cos (y)+i e^{x} \sin (y)\] 와 같이 정의할 수 있다. 그러므로 예를 들어 몇 개의 값을 구해보면</p> <p>\( \begin{aligned} e^{2+i \pi} &=e^{2} \cos (\pi)+i e^{2} \sin (\pi)=-e^{2} \\ e^{2+i(\pi / 2)} &=e^{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i e^{2} \sin \left(\frac{\pi}{2}\right)=i e^{2} \\ e^{2+3 i} &=e^{2} \cos (3)+i e^{2} \sin (3) \end{aligned} \)</p> <p>이 된다. 또 위의 복소지수함수의 미분은</p> <p>\( \begin{aligned} \frac{d}{d x} e^{(a+i b) x} &=\frac{d}{d x}\left[e^{a x} \cos (b x)+i e^{a x} \sin (b x)\right] \\ &=\frac{d}{d x}\left[e^{a x} \cos (b x)\right]+i \frac{d}{d x}\left[e^{a x} \sin (b x)\right] \\ &=a e^{a x} \cos (b x)-b e^{a x} \sin (b x)+i a e^{a x} \sin (b x)+i b e^{a x} \cos (b x) \\ &=a e^{a x}[\cos (b x)+i \sin (b x)]+i b e^{a x}[\cos (b x)+i \sin (b x)] \\ &=(a+i b) e^{a x}[\cos (b x)+i \sin (b x)] \\ &=(a+i b) e^{(a+i b) x} \end{aligned} \)</p> <h2>2.5 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \) 에서 \( A^{2}-4 B<0 \) 인 경우의 해</h2> <p>앞에서 이미 언급한 대로 여기서는 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \) 의 특성방정식 \( r^{2}+A r+B \) \( =0 \) 이 두 개의 복소근 \[ r_{1}=\frac{-A+i \sqrt{4 B-A^{2}}}{2} \text { 과 } r_{2}=\frac{-A-i \sqrt{4 B-A^{2}}}{2} \] 을 갖는 경우를 살펴보자.</p> <p>\[p=\frac{-A}{2} \text { 와 } q=\frac{\sqrt{4 B-A^{2}}}{2}\]으로 놓으면 \( r_{1}=p+i q, r_{2}=p-i q \) 가 된다. 이때 복소지수함수 \[\begin{array}{l}e^{r_{1} x}=e^{b x} \cos (q x)+i e^{b x} \sin (q x) \\e^{r_{2} x}=e^{\not x} \cos (q x)-i e^{b x} \sin (q x)\end{array}\] 가 주어진 미분방정식의 해이므로 이들의 일차결합\[\begin{array}{l}\frac{1}{2}\left(e^{r_{1} x}+e^{r_{2} x}\right)=e^{p x} \cos (q x) \\\frac{1}{2 i}\left(e^{r_{1} x}-e^{r_{2} x}\right)=e^{b x} \sin (q x)\end{array}\] 도 해가 된다. 더욱이 이들의 론스키안을 구해보면 \( e^{2 p x} \) 이므로 결코 0 이 되지 않는다. 그러므로\[y_{1}(x)=e^{\not x x} \cos (q x) \text { 와 } y_{2}(x)=e^{b x} \sin (q x)\]는 주어진 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \) 의 해의 한 기본계를 이루고, 따라서 \( A^{2}-4 B<0 \) 일 때 이 미분방정식의 일반해는\[y=c_{1} e^{b x} \cos (q x)+c_{2} e^{b x} \sin (q x)=e^{b x}\left[c_{1} \cos (q x)+c_{2} \sin (q x)\right]\]가 된다. 물론 복소지수함수로 된 함수\[c_{1} e^{r_{1, x}}+c_{2} e^{r_{1}, x}\] 도 위의 미분방정식의 일반해이지만, 대개는 위의 형태인 지수함수와 삼각함수로 된 해를 일반 해로 한다.</p> <p>■예제 1<p> <p>미분방정식 \( y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+6 y=0 \) 의 특성방정식 \( r^{2}+2 r+6=0 \) 은 복소근 \( r_{1}=-1+i \sqrt{5} \) 와 \( r_{2}=-1-i \sqrt{5} \) 를 가지므로 일반해는 [y=c_{1} e^{-x} \cos (\sqrt{5} x)+c_{2} e^{-x} \sin (\sqrt{5} x)\] 가 된다.</p> <p>■예제 2</p> <p>초기치 문제 \[y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-3\]에서는, 우선 주어진 미분방정식의 특성방정식이 \( r^{2}+2 r+3=0 \) 이므로 일반해는 \[y=c_{1} e^{-x} \cos (\sqrt{2} x)+c_{2} e^{-x} \sin (\sqrt{2} x)\]가 된다. 다음은 위의 해가 주어진 조건을 만족해야 하므로\[\begin{array}{l}y(0)=c_{1}=2 \\y^{\prime}(0)=c_{1}+\sqrt{2} c_{2}=-3\end{array}\]이 된다. 이들을 풀면\[c_{1}=2 \text { 와 } c_{2}=\frac{-5}{\sqrt{2}}\]를 얻게 되므로 주어진 초기치 문제의 해는\[y=2 e^{-x} \cos (\sqrt{2} x)-\frac{5}{\sqrt{2}} \sin (\sqrt{2} x)\]이다. 지금까지 2.3 절과 2.5 절에서 살핀 사실들을 정리하면 아래와 같다.</p> <p>이계 미분방정식 \( y^{\prime \prime}+A y^{\prime}+B y=0 \) 의 일반해</p> <p>특성방정식 \( r^{2}+A r+B=0 \) 이 (1) 두 실근 \( r_{1}, r_{2} \) 를 가지면 일반해는 \( y=c_{1} e^{r_{1} x}+c_{2} e^{r_{2} x} \) 이고, (2) 중근 \( r \) 을 가지면 일반해는 \( y=e^{r_{1} x}\left(c_{1}+c_{2} x\right) \) 이고, (3) 복소근 \( p+i q, p-i q \) 를 가지면 일반해는 \( y=c_{1} e^{p x} \cos (q x)+c_{2} e^{p x} \sin (q x) \) 이다.</p> <h2>2.8 계수의 감수</h2> <p>여기서는 이계 미분방정식을 한 개 또는 그 이상의 일계 미분방정식으로 고쳐서 해를 구하는 세 가지 경우를 살펴보자. 이러한 방법을 계수의 감수(reduction of order)라고 부른다.</p> <h3>1. 종속변수가 없을 때(absent dependent variable)</h3> <p>이계 미분방정식\[F\left(x, y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0\]에서 \( y \)의 항이 없을 때, \( u=y^{\prime} \) 으로 놓으면 주어진 이계 미분방정식은 \( x \)와 \( u \)에 관한 일계 미분방정식\[f\left(x, u, u^{\prime}\right)=0\]이 되므로, 이것의 해를 구하여 적분을 하면 \( y \)에 관한 해를 구할 수 있다.</p> <p>■예제 1</p> <p>미분방정식 \( x y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=4 x^{3} \) 은 \( y \) 의 항이 없으므로 위의 경우에 해당된다. \( u=y^{\prime} \) 으로 놓으면 주어진 미분방정식은 \( x u^{\prime}+2 u=4 x^{3} \) 이 되므로, 이 미분방정식의 해를 구하면 \[u=\frac{4 x^{3}}{5}+\frac{C}{x^{2}}\]가 되고, 다시 이것을 적분하면\[y(x)=\int u(x) d x=\frac{x^{4}}{5}-\frac{C}{x}+K\]가 구해진다. 이때 \( C \) 와 \( K \) 는 임의의 적분상수이다.</p> <h3>2. 독립변수가 없을 때(absent independent variable)</h3> <p>이 경우는 이계 미분방정식에서 독립변수 \( x \) 의 항이 없을 때이다. 이런 경우에는 \( u=y^{\prime} \) 으로 놓으면, 합성함수의 미분법에 의해\[y^{\prime \prime}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d x}\left(y^{\prime}\right)=\frac{d y^{\prime}}{d y} \frac{d y}{d x}=\left(\frac{d u}{d y}\right) u\]이므로, 주어진 미분방정식 \( F\left(y, y^{\prime}, y^{\prime \prime}\right)=0 \) 은\[F\left(y, u, u \frac{d u}{d y}\right)=0\]의 형태인 \( y \)를 독립변수, \( u \)를 종속변수로 된 일계 미분방정식이 되어 해를 구하면 \( u \) 가 \( y \) 에 관한 함수로 나타내어 지는데 이것을 적분하면 원래 주어진 미분방정식의 해를 구하게 된다.</p> <p>■예제 2</p> <p>미분방정식 \( y^{\prime \prime}-2 y y^{\prime}=0 \) 에서는 \( x \) 의 항이 없으므로 위의 경우이다. \[u=y^{\prime}, \quad u \frac{d u}{d y}=y^{\prime \prime} \]으로 놓으면\[u \frac{d u}{d y}-2 y u=0\]이 되므로, \( u \neq 0 \) 를 가정하면\[\frac{d u}{d y}=2 y, \quad d u=2 y d y\]가 된다. 이 미분방정식은 변수분리형이므로 해를 구하면\[u=y^{2}+C\]가 되고, 이때 \( u=d y / d x \) 이므로 윗식은\[\frac{d y}{d x}=y^{2}+C\]또는\[\frac{d y}{y^{2}+C}=d x\]가 된다. 이 미분방정식은 \( C>0, C=0 \) 또는 \( C<0 \)의 세 가지 경우에 각각 다른 해를 갖게 되는데 실제적인 계산은 미적분학에서의 방법을 써서 구할 수 있으므로 생략하겠다.</p> <h3>3. 한 개의 해를 알고 있는 경우 다른 해를 구할 때</h3> <p>미분방정식\[y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0\]의 한 해 \( y_{1}(x) \) 를 알고 있을 때, \( y_{2}(x)=v(x) y_{1}(x) \) 로 놓아 이 함수가 주어진 미분방정식의 해가 되도록 \( v(x) \) 를 정해보자.\( y_{2}(x) \) 를 주어진 미분방정식에 대입하면\[v y^{\prime \prime}+v^{\prime \prime} y_{1}+2 v^{\prime} y_{1}^{\prime}+P(x)\left(v y_{1}^{\prime}+v^{\prime} y_{1}\right)+Q(x) v y_{1}=0\]이 되고, 다시 윗식을 정리하면\[v^{\prime \prime} y_{1}+v^{\prime}\left[2 y_{1}^{\prime}+P(x) y_{1}\right]+v\left[y_{1}^{\prime \prime}+P(x) y_{1}{ }^{\prime}+Q(x) y_{1}\right]=0\]이 된다. 한편, \( y_{1} \) 가 주어진 미분방정식의 한 해이므로 윗식은 간단히\[v^{\prime \prime} y_{1}+v^{\prime}\left[2 y_{1}^{\prime}+P(x) y_{1}\right]=0\]이 되는데, 이것은 \( y_{1} \) 과 \( v \) 에 관하여 앞의 첫번째 경우에 해당하므로 \( y_{1} \neq 0 \) 인 경우에 \( v(x) \)를 정할 수 있으므로 주어진 미분방정식의 다른 해를 구할 수 있으므로 일반해가 정해진다.</p> <p>■예제 3</p> <p>미분방정식 \[y^{\prime \prime}+\frac{3}{x} y^{\prime}+\frac{1}{x^{2}} y=0\]에서 \( y_{1}=1 / x \) 이 한 해가 됨을 알 수 있다. 이 해를 이용하여 다른 해를 구하기 위하여 \( y_{2}=v / x, v^{\prime}=x \) 로 놓아, 이것을 주어진 미분방정식에 대입하여 정리하면\[u+\frac{1}{x} u=0\]이 된다. 이 미분방정식의 해를 구하면 \( u=1 / x \) 이고, \( v(x) \) 를 구하면\[v(x)=\int \frac{1}{x} d x=\ln \|x\|\]가 되므로 \( y_{2}(x)=(1 / x) \ln \|x\| \) 이다.</p> <h2>2.6 선형비제차이계 미분방정식의 이론</h2> <p>여기서는 아래와 같은</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=F(x) \)<caption>()</caption></p> <p>형태의 비제차이계 미분방정식의 해에 관한 이론을 생각해 보자. 다음의 정리에 의해 제차미분 방정식</p> <p>\( y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0 \)<caption>(*)</caption></p> <p>의 일반해와 ()의 오직 한 개의 해를 알면, 비제차미분방정식 (*)의 모든 해를 구할 수 있다.</p> <h3>정리 2.5</h3> <p>구간 \( J \) 위에서 함수 \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 제차미분방정식 \( ( ) \) 의 해의 한 기본계를 이루고, 또 구간 \( J \) 위에서 함수 \( y_{p}(x) \) 가 비제차미분방정식 \( () \) 의 한 해이면, 임의의 상수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여 함수\[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+y_{p}(x)\]는 주어진 비제차미분방정식 \( () \) 의 해가 된다.</p> <p>[증명] \( y(x) \)를 구간 \( J \) 위에서 \( \left(^{}\right) \) 의 해라고 하자. 이때 가정에 의해 \( y_{p}(x) \) 가 또한 주어진 비제차미분방정식의 해이므로</p> <p>\( \begin{aligned} {\left[y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y\right] } &-\left[y_{p}^{\prime \prime}+P(x) y_{p}^{\prime}+Q(x) y_{p}\right] \\ &=\left(y-y_{p}\right)^{\prime \prime}+P(x)\left(y-y_{p}\right)^{\prime}+Q(x)\left(y-y_{p}\right) \\ &=F(x)-F(x)=0 \end{aligned} \)</p> <p>이 되므로 \( y(x)-y_{p}(x) \) 도 제차미분방정식 (* )의 한 해가 된다. 한편, \( y_{1}(x) \) 와 \( y_{2}(x) \) 가 해의 기본계를 이루므로 \( y(x)-y_{p}(x) \) 는 이들의 일차결합으로 나타내어진다. 즉, 적당한 상수 \( c_{1} \), \( c_{2} \) 에 대하여 \[y(x)-y_{p}(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)\] 이므로 \[y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x)+y_{p}(x)\] 가 되어 원하는 결과가 된다.</p> <p>위에서 살핀 것과 같이 비제차미분방정식 \( \left(^{}\right) \) 의 해를 구하는데는 제차미분방정식 ()의 해를 구하는 것이 중요한 단계이다. 그래서 제차미분방정식()을 비제차미분방정식 ()의 동반제차방정식(associated homogeneous equaion)이라고 하며, 흔히 \( \left(^{ }\right) \) 의 일반해를 \( y_{h}(x),\left(^{}\right) \) 의한 특수해를 \( y_{p}(x) \) 로 나타내어 \[y_{h}(x)+y_{p}(x)\]를 주어진 비제차미분방정식 (*)의 일반해(general solution)로 한다.</p> <p>■예제 1</p> <p>비제차미분방정식 \[y^{\prime \prime}+4 y=e^{x}\]의 동반제차방정식은 \( y^{\prime \prime}+4 y=0 \) 이고, 또 이 방정식의 해의 기본계는 \( \cos (2 x) \) 와 \( \sin (2 x) \) 이 므로 \[y_{h}=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)\]가 된다. 한편, \( y_{D}=\frac{1}{5} e^{x} \) 이 주어진 비제차미분방정식의 한 특수해임을 알 수 있으므로 일반해 는 임의의 상수 \( c_{1}, c_{2} \) 에 대하여\[y=y_{h}+y_{p}=c_{1} \cos (2 x)+c_{2} \sin (2 x)+\frac{1}{5} e^{x}\]이 된다.</p> <p>■예제 2</p> <p>초기치 문제 \[y^{\prime \prime}-4 y=x ; y(1)=3, \quad y^{\prime}(1)=-2\]의 해를 구해 보자. 우선 주어진 비제차방정식의 동반제차방정식의 일반해는\[y_{h}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} e^{-2 x}\]이고, \( y_{p}=-\frac{1}{4} x \) 가 주어진 비제차미분방정식의 한 특수해이므로 일반해는\[y=y_{h}+y_{p}=c_{1} e^{2 x}+c_{2} c^{-2 x}-\frac{1}{4} x\]</p> <p>가 된다. 이 함수가 초기조건 \[\begin{array}{l}y(1)=c_{1} e^{2}+c_{2} e^{-2}-\frac{1}{4}=3 \\y^{\prime}(1)=2 c_{1} e^{2}-2 c_{2} e^{-2}-\frac{1}{4}=-2\end{array}\]를 만족해야 하므로, 이들을 풀면 \[c_{1}=\frac{19}{16 e^{2}} \text { 와 } c_{2}=\frac{33 e^{2}}{16}\]을 얻고, 따라서 주어진 초기치 문제의 해는\[y=\frac{16}{16 e^{2}} e^{2 x}+\frac{33 e^{2}}{16} e^{-2 x}-\frac{1}{4} x \]가 된다.</p>	자연
m867-미분적분학	<h2>\( \int \sin ^{n} x d x \)와 \( \int \cos ^{n} x d x \)에 대한 점화식</h2> <p>우선 \( n \geq 2 \)에 대하여 \( \int \sin ^{n} x d x \)를 생각해 보자. 부분적분법을 사용하기 위하여, \( \sin ^{n} x= \left(\sin ^{n-1} x\right) \cdot \sin x \)라고 보고 \( u=\sin ^{n-1} x, d v=\sin x d x \)라고 놓자. 그러면 \( d u=(n-1) \sin ^{n-2} x \cos x d x, v=-\cos x \)이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{n} x d x &=\sin ^{n-1} x \cdot(-\cos x)-\int(-\cos x)(n-1) \sin ^{n-2} x \cos x d x \\ &=-\sin ^{n-1} x \cdot \cos x+(n-1) \int \sin ^{n-2} x \cdot \cos ^{2} x d x \\ &=-\sin ^{n-1} x \cdot \cos x+(n-1) \int \sin ^{n-2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) d x \\ &=-\sin ^{n-1} x \cdot \cos x+(n-1) \int \sin ^{n-2} x d x-(n-1) \int \sin ^{n} x d x \end{aligned} \] 이고, \( \int \sin ^{n} x d x \)를 포함하는 항을 합하면 \[ n \int \sin ^{n} x d x=-\sin ^{n-1} x \cos x+(n-1) \int \sin ^{n-2} x d x \] 이다. 따라서 \[ \int \sin ^{n} x d x=-\frac{1}{n} \sin ^{n-1} x \cos x+\frac{n-1}{n} \int \sin ^{n-2} x d x \]<caption>(7.9)</caption>\( \int \cos ^{n} x d x \)에 대해서도 같은 방법에 의해 다음과 같은 식을 얻는다. \[ \int \cos ^{n} x d x=\frac{1}{n} \cos ^{n-1} x \sin x+\frac{n-1}{n} \int \cos ^{n-2} x d x \]<caption>(7.10)</caption>식 (7.9)과 (7․10)을 점화식이라고 부른다. 사인함수나 코사인함수의 지수가 0 또는 1 일 때 구하고 나머지는 위 식에 의해 구해진다.</p> <p>예제 7.5 다음을 구하여라. (i) \( \int \sin ^{2} x d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C \) (ii) \( \int \cos ^{2} x d x=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C \) 풀이 (i) 식 (7․9) 에서 \( n=2 \) 일 때, \( 2 \sin x \cos x=\sin 2 x \)를 이용하면 다음과 같이 구할 수 있다. \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x d x &=-\frac{1}{2} \sin x \cos x+\frac{1}{2} \int 1 d x \\ &=-\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{2} x+C \end{aligned} \] (ii) (i)와 비슷하게 식 (7.10)에서 \( n=2 \) 일 때 \[ \begin{aligned} \int \cos ^{2} x d x &=\frac{1}{2} \cos x \sin x+\frac{1}{2} \int 1 d x \\ &=\frac{1}{4} \sin 2 x+\frac{1}{2} x+C. \end{aligned} \]</p> <p>이 장에서는 적분을 계산하는 방법에 대하여 다룰 것이다. 앞의 제5장에서 치환법이라는 적분법에 대하여 공부하였다. 여기에서는 함수들의 적분법을 다양하게 다룰 것이다. 시작하기 전에 이제까지 보아왔던 기초 적분을 정리하고자 한다. 좀 더 다양한 함수들에 관한 적분은 책의 뒷부분에 나와 있다(부록 2의 적분표 참조). \[ \begin{array}{ll} \int c d x=c x+C & \int x^{r} d x=\frac{1}{r+1} x^{r+1}+C(r \neq-1) \\ \int x d x=\frac{x^{2}}{2}+C & \int \frac{1}{x} d x=\ln \|x\|+C \\ \int \sin x d x=-\cos x+C & \int \cot x d x=\ln \|\sin x\|+C \\ \int \cos x d x=\sin x+C & \int \sec x d x=\ln \|\sec x+\tan x\|+C \\ \int \tan x d x=-\ln \|\cos x\|+C & \int \csc x d x=-\ln \|\csc x+\cot x\|+C \\ \int e^{x} d x=e^{x}+C & \int a^{x} d x=\frac{1}{\ln a} a^{x}+C(a>0, a \neq 1) \\ \int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} \frac{x}{a}+C & \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1} \frac{x}{a}+C \end{array} \]</p> <h1>7.1 부분적분</h1> <p>\( F \)와 \( G \)가 미분가능한 함수일 때, 곱의 법칙으로부터 다음과 같은 식을 얻는다. \[ F(x) \cdot G^{\prime}(x)=(F G)^{\prime}(x)-F^{\prime}(x) G(x) \]<caption>(7.1)</caption>\( F^{\prime} \)과 \( G^{\prime} \)이 연속일 때, 식 (7.1)의 양변에 부정적분을 취하면 \[ \int F(x) G^{\prime}(x) d x=\int\left[(F \cdot G)^{\prime}(x)-F^{\prime}(x) G(x)\right] d x \\ =\int(F G)^{\prime}(x) d x-\int F^{\prime}(x) G(x) d x \] 이다. 따라서 다음과 같은 식을 얻는다. \[ \int F(x) G^{\prime}(x) d x=F(x) G(x)-\int F^{\prime}(x) G(x) d x \]<caption>(7.2)</caption>이제 \( \int f(x) d x \)를 계산하려고 할 때, \( f \)가 두 함수의 곱 \( F G^{\prime} \)으로 표현되면 \[ \int f(x) d x=\int F(x) G^{\prime}(x) d x=F(x) G(x)-\int F^{\prime}(x) G(x) d x \]<caption>(7.3)</caption>이므로 \( \int F^{\prime}(x) G(x) d x \)가 쉽게 구해진다면 \( \int f(x) d x \)도 식 (7.3)에 의해 쉽게 구할 수 있다. 이 방법을 부분적분법이라고 한다.</p> <p>정리 7.1 (부분적분법) \( F \)와 \( G \)가 \( (a, b) \) 위에서 미분가능하고 \( F^{\prime} \)과 \( G^{\prime} \)은 \( [a, b] \) 위에서 연속이라고 하자. 그러면 \[ \int F(x) G^{\prime}(x) d x=F(x) G(x)-\int F^{\prime}(x) G(x) d x \]<caption>(7.4)</caption>이고 \[ \int_{a}^{b} F(x) G^{\prime}(x) d x=\left.F(x) G(x)\right\|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} F^{\prime}(x) G(x) d x \]<caption>(7.5)</caption>이다.</p> <p>형식적으로 간단히 하기 위하여 \( u=F(x) \) 그리고 \( v=G(x) \)라고 치환하면 \[ \int u d v=u v-\int v d u \]<caption>(7.6)</caption>이고, 이때 \( \int v d u \)가 \( \int u d v \)보다 비교적 적분하기 쉽게 \( u \)와 \( v \)를 선택해야 한다.</p> <p>예제 7.1 \( \int x \cos x d x \)를 구하여라. 풀이 피적분함수 \( x \cos x \)는 \( x \)와 \( \cos x \)의 두 함수의 곱으로 생각하자. \( u=x \) 그리고 \( d v= \) \( \cos x d x \)라고 놓으면 \( d u=1 \cdot d x \), 그리고 \( v=\sin x \)이다. 그러면 부분적분에 의하여 \( \int x \cos x d x=x \sin x-\int \sin x d x=x \sin x+\cos x+C \).</p> <p>예제 7.2 \( \int \ln x d x \)를 구하여라. 풀이 우선 \( \ln x \)를 \( (\ln x) \cdot 1 \)로 생각하면, \( u=\ln x \)이고 \( d v=1 \cdot d x=d x \)라고 놓자. 그러면 \( d u=\frac{1}{x} d x, v=x \)이다. 그러므로 \[ \int \ln x d x=(\ln x) x-\int x \cdot \frac{1}{x} d x=x \ln x-x+C . \]</p> <p>다음 예제는 부분적분을 연속해서 두 번 적용시켜야 하는 적분의 예이다.</p> <p>예제 7.3 \( \int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} d x \)를 구하여라. 풀이 \( u=x^{2}, d v=e^{-x} d x \)라고 놓으면 \( d u=2 x d x \)이고 \( v=-e^{-x} \)이다. 그러므로 \[ \int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} d x=\left.x^{2}\left(-e^{-x}\right)\right\|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1}\left(-e^{-x}\right) 2 x d x=-e^{-1}+\int_{0}^{1} 2 x e^{-x} d x . \]<caption>(7.7)</caption>여기서 \( \int_{0}^{1} 2 x e^{-x} d x \)에 \( u=2 x \) 그리고 \( d v=e^{-x} \)라고 놓고, 부분적분을 다시 실행시킨다. 그러면 \( d u=2 d x, v=-e^{-x} \)이고 \[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} 2 x e^{-x} d x &=\left.(2 x)\left(-e^{-x}\right)\right\|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} 2\left(-e^{-x}\right) d x \\ &=-2 e^{-1}+\int_{0}^{1} 2 e^{-x} d x \\ &=-2 e^{-1}-\left.2 e^{-x}\right\|_{0} ^{1}=-4 e^{-1}+2 \end{aligned} \]<caption>(7.8)</caption>이제 식 (7․7)과 (7․8)을 합치면 \[ \int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} d x=-e^{-1}+\left(-4 e^{-1}\right)+2=-5 e^{-1}+2 \]</p> <p>예제 7.4 \( \int e^{-2 x} \cos x d x \)를 구하여라. 풀이 \( u=e^{-2 x}, d v=\cos x d x \)라고 놓으면 \( d u=-2 e^{-2 x} d x, v=\sin x \)이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \int e^{-2 x} \cos x d x &=e^{-2 x} \sin x-\int \sin x\left(-2 e^{-2 x}\right) d x \\ &=e^{-2 x} \sin x+\int 2 e^{-2 x} \sin x d x \end{aligned} \] 여기서 \( \int 2 e^{-2 x} \sin x d x \)를 구하기 위해 다시 부분적분법을 적용해 보자. \( u=2 e^{-2 x}, d v=\sin x d x \)라고 놓으면 \( d u=-4 e^{-2 x} d x, v=-\cos x \)이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \int 2 e^{-2 x} \sin x d x &=2 e^{-2 x}(-\cos x)-\int(-\cos x)\left(-4 e^{-2 x}\right) d x \\ &=-2 e^{-2 x} \cos x-4 \int e^{-2 x} \cos x d x \end{aligned} \] 위의 두 번의 부분적분에서 나온 결과를 합치면 \[ \int e^{-2 x} \cos x d x=e^{-2 x} \sin x-2 e^{-x} \cos x-4 \int e^{-2 x} \cos x d x \] 이때 원적분의 형태가 우변에 다시 나타났다. 이것을 이항하여 계산하면 \[ 5 \int e^{-2 x} \cos x d x=e^{-2 x} \sin x-2 e^{-2 x} \cos x+C \] 이고, 따라서 \[ \int e^{-2 x} \cos x d x=\frac{1}{5}\left(e^{-2 x} \sin x-2 e^{-2 x} \cos x\right)+C. \]</p> <p>결과적으로 부분적분에 의한 적분은 다항함수와 지수함수, 대수함수 또는 삼각함수의 곱으로 이루어진 적분에 효과적이다.</p> <h2>Ⅵ. \( \sqrt{x^{2}-a^{2}} \)의 적분</h2> <p>\( 0 \leq u<\frac{\pi}{2} \)또는 \( \frac{\pi}{2}<u \leq \pi \)에 대하여 \( x=a \sec u(a>0) \)이면 \[ \sqrt{x^{2}-a^{2}}=\sqrt{a^{2} \sec ^{2} u-a^{2}}=\sqrt{a^{2} \tan ^{2} u}=\left\{\begin{array}{ll} a \tan u, & 0 \leq u<\frac{\pi}{2} \text { 일 때 } \\ -a \tan u, & \frac{\pi}{2}<u \leq \pi \text { 일 때 } \end{array}\right. \] 따라서 \( \sqrt{x^{2}-a^{2}} \)을 포함하는 적분에서는 \( x=a \sec u \)로 치환하면 \( d x=a \sec u \tan u \)이므로 제곱근을 없앨 수 있다.</p> <p>예제 7.18 \( \int_{-6}^{-3} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} d x \)를 구하여라. 풀이 피적분함수의 정의역이 \( (-\infty,-3] \)과 \( [3, \infty) \)로 이루어졌다. 따라서 적분해야 할 구간이 \( [-6,-3] \) 이므로 \( (-\infty,-3] \) 위에서 원시함수를 찾아야 한다. \( \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{x^{2}-3^{2}} \)이므로 \( x=3 \sec u \)라고 놓으면 \( d x=3 \sec u \tan u d u \)이고 \( \sqrt{x^{2}-9}=\sqrt{9 \sec ^{2} u-9}= -3 \tan u \)이다. 다음 적분의 경계에 대하여 생각하면 \( x=-6 \)이면 \( u=\frac{2}{3} \pi \)이고, \( x=-3 \)이면 \( u=\pi \)이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int_{-6}^{-3} \frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x} d x &=\int_{\frac{2}{3} \pi}^{\pi} \frac{\sqrt{9 \sec ^{2} u-9}}{3 \sec u}(3 \sec u \tan u) d u \\ &=\int_{\frac{2}{3} \pi}^{\pi} \frac{-3 \tan u}{3 \sec u}(3 \sec u \tan u) d u \\ &=-3 \int_{\frac{2}{3} \pi}^{\pi} \tan ^{2} u d u=3 \int_{\frac{2}{3} \pi}^{\pi}\left(1-\sec ^{2} u\right) d u \\ &=\left.3(u-\tan u)\right\|_{\frac{2}{3} \pi} ^{\pi}=\pi-3 \sqrt{3} . \end{aligned} \]</p> <h2>Ⅶ. \( \sqrt{b x^{2}+c x+d} \)의 적분</h2> <p>\( b x^{2}+c x+d \)를 완전제곱의 형태로 정리하면 \( \sqrt{a^{2}+x^{2}}, \sqrt{a^{2}-x^{2}} \) 또는 \( \sqrt{x^{2}-a^{2}}(a>0) \) 중의 한 가지로 쓰여진다.</p> <p>예제 7.19 \( \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2}+6 x+2}} d x \)를 구하여라. 풀이 \( \sqrt{9 x^{2}+6 x+2}=\sqrt{(3 x+1)^{2}+1} \)이므로 \( 3 x+1=\tan u \)로 치환하면 \( 3 d x=\sec ^{2} u d u \)가 되고 \( \sqrt{(3 x+1)^{2}+1}=\sqrt{\tan ^{2} u+1}=\sec u \)가 된다. \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2}+6 x+2}} d x &=\int \frac{1}{\sqrt{(3 x+1)^{2}+1}} d x=\int \frac{1}{\sec u}\left(\frac{1}{3} \sec ^{2} u\right) d u \\ &=\frac{1}{3} \int \sec u d u=\frac{1}{3} \ln \|\sec u+\tan u\|+C \end{aligned} \] 예제 7․17과 같이 삼각형을 이용하면 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{9 x^{2}+6 x+2}} d x &=\frac{1}{3} \ln \|\sec u+\tan u\|+C \\ &=\frac{1}{3} \ln \left\|\sqrt{(3 x+1)^{2}+1}+3 x+1\right\|+C \\ &=\frac{1}{3} \ln \left\|\sqrt{9 x^{2}+6 x+2}+3 x+1\right\|+C . \end{aligned} \]</p> <h1>7.4 부분분수</h1> <p>0.6절에서는 유리함수를 부분분수로 분해하는 방법을 다루었다. 이 절에서는 이 방법을 이용하여 복잡한 유리함수를 적분하는 방법을 3단계로 다룬다. 다음 식은 중요한 역할을 할 것이다. \[ \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C \]</p> <h2>적분을 위한 유리함수의 준비</h2> <p>유리함수를 적분하기 전에 다음의 세 가지 준비가 필요하다.</p> <p>① 유리함수의 분자를 분모로 나누어서 나머지 항의 차수가 분모의 차수보다 낮게 한다.</p> <p>예제 7.20 \( \frac{2 x^{3}}{x^{2}+3} \)에 (1)을 실행시켜라. 풀이 \( 2 x^{3}=\left(x^{2}+3\right)(2 x)-6 x \)이므로 \[ \frac{2 x^{3}}{x^{2}+3}=2 x-\frac{6 x}{x^{2}+3} \]이다.</p> <p>식 \( \frac{x^{2}+3}{2 x^{3}+x^{2}+1} \)의 경우, 분자의 차수가 분모의 차수보다 이미 작기 때문에 ①을 시행할 필요가 없다. 예제 7.20로부터 \[ \int \frac{2 x^{3}}{x^{2}+1} d x=\int 2 x d x-\int \frac{6 x}{x^{2}+1} d x \] 이다. 우변의 첫 번째 적분은 구하기 쉬우므로 우변의 두 번째의 적분을 구하는 문제로 남게 된다.</p> <p>② 나머지항의 분자와 분모를 일차와 이차인수로 인수분해하여라. 즉 다음과 같은 형태의 인수곱으로 나타내어라. \[ \text { 상수, }(x-a)^{r} \text { 그리고 }\left(x^{2}+b x+c\right)^{s} \] 여기서 \( r \)과 \( s \)는 양의 정수이다. 그리고 분자와 분모에 공통인수가 있으면 약분시켜라.</p> <p>예제 7.21 식 \( \frac{2 x+4}{x^{2}+3 x+2} \)에 ②를 시행하여라. 풀이 먼저 분모와 분자를 인수분해하면 \[ 2 x+4=2(x+2), \text { 그리고 } x^{2}+3 x+2=(x+1)(x+2) \] 이다. 그러므로 \[ \frac{2 x+4}{x^{2}+3 x+2}=\frac{2(x+2)}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x+1}. \]</p> <p>인수분해가 좀 더 어려운 경우, 다음 보조정리가 다항식 \( P(x) \)의 인수를 찾는 데 유용하다.</p> <p>보조정리 7.2 \( x-a \)가 다항식 \( P(x) \)의 인수가 될 필요충분조건은 \( P(a)=0 \)이다. [증명] \( x-a \)가 \( P(x) \)의 인수이면 다음을 만족하는 다항식 \( R(x) \)가 있다. \[ P(x)=(x-a) R(x) \] 따라서 \( P(a)=(a-a) R(a)=0 \)이다. 역으로 \( P(x)=c_{n} x^{n}+C_{n-1} x^{n-1}+\cdots+ c_{1} x+c_{0} \)라고 놓고 \( P(a)=0 \)이라고 가정하자. 그러면 \[ P(a)=c_{n} a^{n}+c_{n-1} a^{n-1}+\cdots+c_{1} a+c_{0}=0 . \] 이고 \[ \begin{aligned} P(x) &=P(x)-P(a) \\ &=c_{n}\left(x^{n}-a^{n}\right)+c_{n-1}\left(x^{n-1}-a^{n-1}\right)+\cdots+c_{1}(x-a) \end{aligned} \]<caption>(7.21)</caption>이다. 그런데 \( k \geq 2 \)인 정수 \( k \)에 대하여 \[ x^{k}-a^{k}=(x-a)\left(x^{k-1}+x^{k-2} a+\cdots+a^{k-1}\right) \] 이다. 그러므로 \( x-a \)는 식 (7.21)의 우변에 나타나는 각 항의 인수이다. 따라서 \( x-a \)는 \( P(x) \)의 인수이다.</p> <p>예제 7.22 식 \( \frac{x^{2}+1}{2 x^{4}-x^{3}-x} \)에 (2)를 시행시켜라. 풀이 분자는 인수분해가 되지 않기 때문에 분모만 인수분해하면 \[ 2 x^{4}-x^{3}-x=x\left(2 x^{3}-x^{2}-1\right) \] 이다. 다음 \( x=1 \)이면 \( 2 x^{3}-x^{2}-1=0 \)이다. 따라서 보조정리 7.2에 의하여 \( x-1 \)은 \( 2 x^{3}+x^{2}-1 \)의 인수이다. 그러므로 \[ 2 x^{4}-x^{3}-x=2 x(x-1)\left(x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\right) \] 이고, 판별식에 의해서 \( x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2} \)은 더 이상 근이 없다. 따라서 일차인수로 인수분해가 될 수 없다. 따라서 \[ \frac{x^{2}+1}{2 x^{4}-x^{3}-1}=\frac{x^{2}+1}{2 x(x-1)\left(x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{2} \frac{x^{2}+1}{x(x-1)\left(x^{2}+\frac{1}{2} x+\frac{1}{2}\right)} \]<caption>(7.22)</caption>이다.</p> <p>준비의 마지막 단계는 유리함수의 분모에 있는 각 인수들을 분모로 갖는 항들의 합으로 표현하는 것이다. 이때 유리함수의 분모에 있는 \( (x+a)^{r} \)에 대해서는 다음과 같은 형태로 쓰여질 수 있다. \[ \frac{A_{1}}{x+a}+\frac{A_{2}}{(x+a)^{2}}+\cdots+\frac{A_{r}}{(x+a)^{r}} . \]<caption>(7.23)</caption>여기서 \( A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r} \)는 반드시 정해질 상수이다. \( \left(x^{2}+b x+C\right)^{s} \) 형태의 인수에 대해서는 다음과 같다. \[ \frac{B_{1} x+C_{1}}{x^{2}+b x+c}+\frac{B_{2} x+C_{2}}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{2}}+\cdots+\frac{B_{s} x+C_{s}}{\left(x^{2}+b x+c\right)^{s}} \]<caption>(7.24)</caption>여기서 \( B_{1}, B_{2}, \cdots, B_{s} \)와 \( C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{s} \)는 반드시 정해질 상수이다.</p> <p>③ 유리함수를 식 (7.23)과 (7.24)에서 나타나는 형태의 표현으로 변환시켜라. 이 단계에서 나타는 분수 때문에 이 방법을 부분분수라고 부른다.</p> <h2>부분분수에 의한 적분</h2> <p>예제 7.23 \( \int \frac{2 x+3}{x^{3}+2 x^{2}+x} d x \)를 구하여라. 풀이 식 \( \frac{2 x+3}{x^{3}+2 x^{2}+x} \)에 ②를 시행시키면 \[ \frac{2 x+3}{x^{3}+2 x^{2}+x}=\frac{2\left(x+\frac{3}{2}\right)}{x(x+1)^{2}} \] 이고 이제 ③을 적용시켜서 다음 형태의 분수로 놓자. \[ \frac{2\left(x+\frac{3}{2}\right)}{x(x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}} \]<caption>(7.25)</caption>상수 \( A, B \), 그리고 \( C \)를 계산하기 위하여 식 (7․25)의 양변에 \( x(x+1)^{2} \)을 곱해서 분모를 없애자. 그러면 \[ 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=A(x+1)^{2}+B x(x+1)+C x \] 이다. 이 식은 항등식이므로 \( x=0 \), 그리고 \( x=-1 \)일 때도 성립해야만 한다. \( x=0 \)일 때는 \[ 3=A \times 1+B \times 0+C \times 0 \] 이므로 \( A=3 \)이다. \( x=-1 \)일 때는 \[ 2 \times \frac{1}{2}=A \times 0+B \times 0+C \times(-1) \] 이므로 \( C=-1 \)이다. 그러므로 \[ 2\left(x+\frac{3}{2}\right)=3(x+1)^{2}+B x(x+1)-x \] 이고 식의 우변을 \( x \)에 관한 내림차순으로 정리하여 각 항의 계수를 비교하면 \( B=-3 \)이다. 그러므로 식 (7.25)는 \[ \frac{2\left(x+\frac{3}{2}\right)}{x(x+1)^{2}}=\frac{3}{x}-\frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}} \] 이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int \frac{2 x+3}{x^{3}+2 x^{2}+x} d x &=\int \frac{3}{x} d x-\int \frac{3}{x+1} d x-\int \frac{1}{(x+1)^{2}} d x \\ &=3 \ln \|x\|-3 \ln \|x+1\|+\frac{1}{x+1}+C \\ &=3 \ln \left\|\frac{x}{x+1}\right\|+\frac{1}{x+1}+C . \end{aligned} \]</p> <p>예제 7.24 \( \int \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x \)를 구하여라. 풀이 ③을 시행시키면 \[ \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \] 이고 분모를 없애면 \[ 1=A\left(x^{2}+1\right)^{2}+(B x+C) x\left(x^{2}+1\right)+(D x+E) x \]<caption>(7.26)</caption>이다. 식 (7.26)에 \( x=0 \)을 대입하면 \[ 1=A \times 1+C \times 0+E \times 0 \] 이므로 \( A=1 \)이다. 그리고 식 (7.26) 을 \( x \)에 관한 내림차순으로 정리하여 각 항의 계수들을 비교하면 \[ 1+B=0, \quad C=0, \quad 2+B+D=0, \quad C+E=0 \] 이다. 따라서 \( B=-1, C=0, D=-1, E=0 \)이다. 그러므로 \[ \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^{2}+1}-\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \] 이고 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x &=\int \frac{1}{x} d x-\int \frac{x}{x^{2}+1} d x-\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x \\ &=\ln \|x\|-\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+\frac{1}{2} \frac{1}{x^{2}+1}+C. \end{aligned} \]</p> <h1>7.5 이상적분</h1> <p>구간 \( I \) 위에서 정의된 함수 \( f \)가 다음 조건 "모든 \( x \in I \)에 대하여 \( \|f(x)\| \leq M \)이 성립하는 양수 \( M \)이 존재"을 만족하면 \( f \)를 유계함수라고 한다. 우리는 이제까지 유계이고 닫힌구간 위에 정의된 유계함수의 적분에 대하여 공부하였다. 이 절에서는 피적분함수가 유계가 아니거나 적분구간이 유계가 아닌 경우의 함수의 적분을 다룬다. 이와 같은 정적분을 이상적분이라고 부른다.</p> <h2>Ⅰ. 비유계 피적분함수를 갖는 적분</h2> <p>\( f \)가 열린구간 \( (c, x) \)에서 유계가 아니거나 열린구간 \( (x, c) \)에서 유계가 아닌 \( x \)가 존재하면 \( f \)는 \( c \) 근방에서 비유계라고 한다. 예를 들어, \( \frac{1}{x} \)과 \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)은 0 근처에서 비유계이다.</p> <p>\( f \)가 \( (a, b] \)의 모든 점에서 연속이고 \( a \) 근방에서 비유계라고 하자(그림 7․4). 그러면 \( (a, b) \) 상의 임의의 \( c \)에 대해 \( f \)는 \( [c, b] \)에서 연속이고, \( \int_{c}^{b} f(x) d x \)는 정의된다. 만약 한쪽 방향 극한 \[ \lim _{c \rightarrow a^{+}} \int_{c}^{b} f(x) d x \] 가 존재하면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)를 이 극한값으로 정의하고 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '수렴한다'고 한다. 만약 위의 극한이 존재하지 않으면 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '발산한다'고 한다. 또한 \( f \)가 \( (a, b] \) 위에서 음이 아닌 함수이고 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 수렴하면, 이 적분값은 \( [a, b] \) 위의 \( x \)축과 \( f \)의 그래프 사이의 영역의 면적이다.</p> <p>한편 \( f \)가 \( (a, b] \) 위에서 음이 아니고 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 발산하면, 그에 해당하는 영역은 무한 면적을 갖고 \( \int_{a}^{b} f(x) d x=\infty \)라고 쓴다.</p> <p>예제 7.25 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \)가 수렴함을 보이고 그 값을 구하여라. 풀이 \( \frac{1}{\sqrt{x}} \)은 \( (0,1] \) 위의 모든 점에서 연속이고 0 근방에서 비유계이다. 임의의 \( 0<c<1 \)에 대하여 \[ \int_{c}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x=\left.2 \sqrt{x}\right\|_{c} ^{1}=2(1-\sqrt{c}) \] 이고 \( \lim _{c \rightarrow 0^{+}} 2(1-\sqrt{c})=2 \)가 된다. 따라서 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \)는 수렴하고, \( \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} d x=2 \)이다. 이것은 그림 7.5에서 빗금친 영역의 면적이 2라는 것을 의미한다.</p> <p>예제 7.26 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x \)가 발산함을 보여라. 풀이 \( \frac{1}{x} \)은 \( (0,1] \)에서 연속이고 0 근방에서 비유계이다. 모든 \( 0<c<1 \)에 대하여 \[ \int_{c}^{1} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right\|_{c} ^{1}=\ln 1-\ln c=-\ln c \] 이다. 그런데 \( \lim _{c \rightarrow 0^{+}}(-\ln c)=\infty \)가 된다. 따라서 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x \)는 발산하고, 이것은 그림 7․6에서 빗금친 영역의 면적이 무한임을 의미한다.</p> <p>\( f \)가 \( [a, b) \)에서 연속이고 \( b \) 근방에서 비유계이면, 모든 \( a<c<b \)에 대하여 \( \int_{a}^{c} f(x) d x \)는 정의된다. 만약에 \( \lim _{c \rightarrow b^{-}} \int_{a}^{c} f(x) d x \)가 존재하면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 이 극한값이고 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '수렴한다'고 한다. 만약 위의 극한값이 존재하지 않으면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '발산한다'고한다. \( f \)가 음이 아닌 함수이면 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 해당하는 영역의 면적이다.</p> <p>예제 7.27 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x d x \)가 수렴하는지를 알아보아라. 풀이 피적분함수가 \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \)에서 연속이고, \( \frac{\pi}{2} \) 근방에서 비유계이다. 모든 \( 0<c<\frac{\pi}{2} \)에 대하여 \[ \int_{0}^{c} \tan x d x=-\left.\ln (\cos x)\right\|_{0} ^{c}=-\ln (\cos c)+\ln (\cos 0)=-\ln (\cos c) \] 이고 \( \lim _{c \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \cos c=0 \)이므로 \( \lim _{c \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}}[-\ln (\cos c)]=\infty \)가 된다. 따라서 \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \tan x d x \)는 발산하고 해당하는 영역은 무한면적이다.</p> <p>\( f \)가 \( (a, b) \)에서 연속이고 \( a \)와 \( b \) 근방에서 비유계이면 임의의 \( a<d<b \)에 대하여 \( \int_{a}^{d} f(x) d x \)와 \( \int_{d}^{b} f(x) d x \)가 모두 존재하면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '수렴한다'고 한다. 만약 그렇지 않으면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 '발산한다'고 한다.</p> <p>예제 7.28 \( \int_{0}^{1} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x \)이 수렴하는지를 판단하여라. 풀이 피적분함수가 0과 1 근방에서 비유계이고 \( (0,1) \)에서 연속이다. 따라서 \( d=\frac{1}{2} \)이라고 하면 \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x \text { 그리고 } \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x \] 의 수렴여부를 알아보아야 한다. 모든 \( 0<c<\frac{1}{2} \)에 대하여 \[ \int_{c}^{\frac{1}{2}} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x=\left.2 \sqrt{x-x^{2}}\right\|_{c} ^{\frac{1}{2}}=2\left(\sqrt{\frac{1}{4}}-\sqrt{c-c^{2}}\right)=1-2 \sqrt{c-c^{2}} \] 이다. \( \lim _{c \rightarrow 0^{+}} \sqrt{c-c^{2}}=0 \)이므로 \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}} \int_{c}^{\frac{1}{2}} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x=\lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left(1-2 \sqrt{c-c^{2}}\right)=1 \] 이다. 비슷한 계산에 의하여 두 번째 이상적분도 수렴하고 \[ \int_{0}^{1} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x+\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1-2 x}{\sqrt{x-x^{2}}} d x=1-1=0 . \]</p> <p>비유계인 함수의 마지막 형태로 함수 \( f \)가 \( (a, b) \) 중의 한 점 \( d \)를 제외하고 \( [a, b] \) 위에서 연속이고, \( d \) 근방에서 비유계인 함수를 생각해 보자. \( \int_{a}^{d} f(x) d x \)와 \( \int_{d}^{b} f(x) d x \)가 모두 수렴하면, \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 '수렴한다'고 한다. 그렇지 않으면 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 '발산한다'고 한다.</p> <h2>Ⅱ. \( \int \tan ^{m} x \sec ^{n} x d x \)의 적분</h2> <p>\( m \geq 0 \)이고 \( n \geq 0 \)인 정수일 때, \( \int \tan ^{m} x \sec ^{n} x d x \)는 치환적분으로 다룬다.</p> <p>(i) \( n \)이 짝수이고 \( m>0 \)이면 \( \sec ^{n} x \)를 \( \sec ^{2} x \)와 \( \sec ^{n-2} x \)의 곱으로 인수분해하고 \( \sec ^{2} x=1+\tan ^{2} x \)를 사용하여 \( \sec ^{n-2} x \)를 \( \tan x \)만의 항으로 만든다.</p> <p>예제 7.9 \( \int \tan ^{3} x \sec ^{4} x d x \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin{aligned} \int \tan ^{3} x \sec ^{4} x d x &=\int \tan ^{3} x \sec ^{2} x \sec ^{2} x d x \\ &=\int \tan ^{3} x\left(1+\tan ^{2} x\right) \sec ^{2} x d x \\ &=\int\left(\tan ^{3} x+\tan ^{5} x\right) \sec ^{2} x d x \end{aligned} \] 이제 치환적분을 사용하면 \( u=\tan x \)라고 놓고 \( d u=\sec ^{2} x d x \)가 된다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int \tan ^{3} x \sec ^{4} x d x &=\int\left(u^{3}+u^{5}\right) d u \\ &=\frac{1}{4} u^{4}+\frac{1}{6} u^{6}+C \\ &=\frac{1}{4} \tan ^{4} x+\frac{1}{6} \tan ^{6} x+C . \end{aligned} \]</p> <p>(ii) \( m \)이 홀수이고 \( n>0 \)이면 피적분함수를 \( \sec x \tan x \)와 나머지 인수의 곱으로 나누고, 항등식 \( \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 \)을 사용하여 \( \sec x \tan x \)를 뺀 나머지 인수를 \( \sec x \)만의 인수로 만든다.</p> <p>예제 7.10 \( \int \tan ^{3} x \sec ^{3} x d x \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin{aligned} \int \tan ^{3} x \sec ^{3} x d x &=\int\left(\tan ^{2} x \sec ^{2} x\right) \tan x \sec x d x \\ &=\int\left[\left(\sec ^{2} x-1\right) \sec ^{2} x\right] \tan x \sec x d x \end{aligned} \] 여기서 \( u=\sec x \)로 치환하면 \( d u=\sec x \tan x d x \)이다. 그러면 \[ \begin{aligned} \int \tan ^{3} x \sec ^{3} x d x &=\int\left(u^{2}-1\right) u^{2} d u=\int\left(u^{4}-u^{2}\right) d u \\ &=\frac{1}{5} u^{5}-\frac{1}{3} u^{3}+C \\ &=\frac{1}{5} \sec ^{5} x-\frac{1}{3} \sec ^{3} x+C . \end{aligned} \]</p> <p>(iii) \( n \)이 홀수이고 \( m \)이 짝수인 경우만이 남았다. 항등식 \( \tan ^{2} x=\sec ^{2} x-1 \)을 이용하면 \( \int \sec ^{k} x d x \)(\( k \)는 홀수)인 형태로 될 수 있다. \( k=1 \)인 경우는 제6장에서 \[ \int \sec x d x=\ln \|\sec x+\tan x\|+C \] 이고 \( k=3 \)일 때는 \( \int \sec ^{3} x d x \)는 부분적분에 의해서 \( u=\sec x \)와 \( d v=\sec ^{2} x d x \)라고 놓으면 쉽게 구할 수 있다. 따라서 \[ \int \sec ^{3} x d x=\frac{1}{2} \sec x \tan x+\frac{1}{2} \ln \|\sec x+\tan x\|+C . \]</p> <p>예제 7.11 \( \int \tan ^{2} x \sec x d x \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin{aligned} \int \tan ^{2} x \sec x d x &=\int\left(\sec ^{2} x-1\right)(\sec x) d x=\int\left(\sec ^{3} x-\sec x\right) d x \\ &=\frac{1}{2} \sec x \tan x+\frac{1}{2} \ln \|\sec x+\tan x\|-\ln \|\sec x+\tan x\|+C \\ &=\frac{1}{2} \sec x \tan x-\frac{1}{2} \ln \|\sec x+\tan x\|+C \end{aligned} \]</p> <p>\( \csc ^{2} x=1+\cot ^{2} x \)이므로 같은 방법으로 \( \int \cot ^{m} x \csc ^{n} x d x \) 형태의 적분도 계산할 수 있다.</p> <h3>사인과 코사인으로의 전환</h3> <p>이제까지 다루어진 형태의 적분이 아닌 삼각적분은 피적분함수를 사인과 코사인으로만 표현함으로써 계산할 수 있다.</p> <p>예제 7.12 \( \int \cos ^{2} x \tan ^{5} x d x \)를 구하여라. 풀이 \( \tan ^{5} x \)를 사인과 코사인만으로 표현하여 계산하면 \[ \begin{aligned} \int \cos ^{2} x \tan ^{5} x d x &=\int \cos ^{2} x \frac{\sin ^{5} x}{\cos ^{5} x} d x=\int \frac{\sin ^{5} x}{\cos ^{3} x} d x \\ &=\int \frac{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}}{\cos ^{3} x} \sin x d x . \end{aligned} \] \( u=\cos x \)라고 치환하면 \( d u=-\sin x d x \)이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int \cos ^{2} x \tan ^{5} x d x &=\int \frac{\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2}}{\cos ^{3} x} \sin x d x \\ &=-\int \frac{\left(1-u^{2}\right)^{2}}{u^{3}} d u=\int\left(-\frac{1}{u^{3}}+\frac{2}{u}-u\right) d u \\ &=\frac{1}{2 u^{2}}+2 \ln \|u\|-\frac{u^{2}}{2}+C \\ &=\frac{1}{2 \cos ^{2} x}+2 \ln \|\cos x\|-\frac{\cos ^{2} x}{2}+C . \end{aligned} \]</p> <h2>Ⅲ. \( \int \sin a x \cos b x d x \)의 적분</h2> <p>다음과 같은 항등식 \[ \sin a x \cos b x=\frac{1}{2} \sin (a-b) x+\frac{1}{2} \sin (a+b) x \]<caption>(7.16)</caption>을 알아두면 \( \int \sin a x \cos b x d x \)를 계산하는 데 유용하다.</p> <p>예제 7.13 \( \int \sin 5 x \cos 3 x d x \)를 구하여라. 풀이 식 (7.16)을 이용하면 \[ \begin{aligned} \int \sin 5 x \cos 3 x d x &=\int\left(\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2} \sin 8 x\right) d x \\ &=-\frac{1}{4} \cos 2 x-\frac{1}{16} \cos 8 x+C . \end{aligned} \]</p> <p>\( \int \sin a x \sin b x d x \)와 \( \int \cos a x \cos b x d x \) 같은 형태의 적분도 비슷한 방법에 의해 계산 가능하다.</p> <h1>7.3 삼각치환</h1> <p>다음과 같은 치환을 생각해 보자. \[ u=\sin ^{-1} x, \text { 따라서 } d u=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \]<caption>(7.17)</caption>식 (7․17) 을 간단히 하려면, 먼저 \( -\frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2} \)에서 \( \sin ^{-1} x \)의 정의에 의해 \( u=\sin ^{-1} x \)와 \( x=\sin u \)는 동일하다는 것에 주의하자. 모든 \( -\frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2} \)에 대하여 \( \cos u \geq 0 \)이므로 \[ \sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-\sin ^{2} u}=\cos u \]<caption>(7.18)</caption>임을 알 수 있다. 따라서 식 (7․17) 의 두 번째 식은 \[ d u=\frac{1}{\cos u} d x \text { 또는 } d x=\cos u d u \] 라고 표현될 수 있다. 따라서 식 (7.17)의 치환 대신에 \( x=\sin u \)라고 치환하고 \( -\frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2} \)에 대하여 \( d x=\cos u d u \)이다. 좀 더 일반적으로 \( \int f(x) d x \)를 계산하기 위하여 다음과 같이 치환하면 \[ x=g(u) \text {, 따라서 } d x=g^{\prime}(u) d u \]<caption>(7.19)</caption>이다. 그리고 \[ \int f(x) d x=\int f(g(u)) g^{\prime}(u) d u \]<caption>(7.20)</caption>형태의 적분을 얻는다. 이에 해당하는 정적분은 \[ \int_{g(a)}^{g(b)} f(x) d x=\int_{a}^{b} f(g(u)) g^{\prime}(u) d u \] 이다. 이때 식 (7.19)의 \( g \)가 삼각함수일 때 삼각치환이라고 한다. 삼각치환은 적분 안에 \( \sqrt{a^{2}-x^{2}}, \sqrt{a^{2}+x^{2}} \) 그리고 \( \sqrt{x^{2}-a^{2}} \) 형태의 식이 포함되어 있을 때 유용하다.</p> <h2>Ⅳ. \( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \)의 적분</h2> <p>\( -\frac{\pi}{2} \leq u \leq \frac{\pi}{2} \)에 대하여 \( x=a \sin u(a>0) \)라고 놓으면 \[ \sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2} \sin ^{2} u}=\sqrt{a^{2} \cos ^{2} u}=a \cos u \] 이다. 그러므로 \( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \)을 포함하는 적분에서는 다음과 같이 치환한다. \[ x=a \sin u \text {, 따라서 } d x=a \cos u d u. \]</p> <p>예제 7.14 \( \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16-x^{2}}} d x \)를 구하여라. 풀이 \( \sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{4^{2}-x^{2}} \)이므로 \( x=4 \sin u \)라고 치환하면 \( d x=4 \cos u d u \)이다. 즉 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16-x^{2}}} d x &=\int \frac{1}{16 \sin ^{2} u \sqrt{16-16 \sin ^{2} u}}(4 \cos u) d u \\ &=\frac{1}{16} \int \frac{\cos u}{\sin ^{2} u \cdot \cos u} d u=\frac{1}{16} \int \csc ^{2} u d u \\ &=-\frac{1}{16} \cot u+C . \end{aligned} \] 이 결과를 원래의 변수 \( x \)로 환원하기 위하여 그림 7․1과 같이 \( x=4 \sin u \)가 되도록 삼각형을 그린다. 이 삼각형으로부터 \( \cot u=\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{x} \)이다. 따라서 \[ \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{16-x^{2}}} d x=-\frac{1}{16} \cot u+C=-\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{16 x}+C . \]</p> <p>예제 7.15 \( \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}} d x \)를 구하여라. 풀이 \( x=3 \sin u \)라고 치환하면 \( d x=3 \cos u d u \)이다. \[ \begin{aligned} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}} d x &=\int \frac{9 \sin ^{2} u}{\sqrt{9-9 \sin ^{2} u}} 3 \cos u d u \\ &=9 \int \frac{\sin ^{2} u \cdot \cos u}{\cos u} d u=9 \int \sin ^{2} u d u \\ &=\frac{9}{2} u-\frac{9}{4} \sin 2 u+C \end{aligned} \] 이 결과를 변수 \( x \)로 환원하기 위하여 그림 7․2에서와 같이 \( x=3 \sin u \)가 되도록 삼각형을 그린다. \[ \sin 2 u=2 \sin u \cos u=2\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3}\right)=\frac{2 x}{9} \sqrt{9-x^{2}} \] 이고 \( x=3 \sin u \)이므로 \( u=\sin ^{-1} \frac{x}{3} \)이다. 그러므로 \[ \begin{aligned} \int \frac{x^{2}}{\sqrt{9-x^{2}}} d x &=\frac{9}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{3}-\frac{9}{4}\left(\frac{2 x}{9} \sqrt{9-x^{2}}\right)+C \\ &=\frac{9}{2} \sin ^{-1} \frac{x}{3}-\frac{x}{2} \sqrt{9-x^{2}}+C . \end{aligned} \]</p> <h2>Ⅴ. \( \sqrt{x^{2}+a^{2}} \)의 적분</h2> <p>\( -\frac{\pi}{2}<u<\frac{\pi}{2} \)에 대하여 \( x=a \tan u(a>0) \)라고 놓으면 \[ \sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2} \tan ^{2} u+a^{2}}=\sqrt{a^{2} \sec ^{2} u} \] 이고, \( -\frac{\pi}{2}<u<\frac{\pi}{2} \)에서는 \( \sec u>0 \)이므로 \[ \sqrt{x^{2}+a^{2}}=a \sec u. \]</p> <p>예제 7.16 \( \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x \)를 구하여라. 풀이 \( x=\tan u \)라고 치환하면 \( d x=\sec ^{2} u d u \)이다. 따라서 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x &=\int \frac{1}{\tan ^{2} u \sqrt{\tan ^{2} u+1}} \sec ^{2} u d u \\ &=\int \frac{\sec ^{2} u}{\tan ^{2} u \cdot \sec u} d u=\int \frac{\sec u}{\tan ^{2} u} d u \\ &=\int \frac{\cos u}{\sin ^{2} u} d u=-\frac{1}{\sin u}+C . \end{aligned} \] 이 결과를 \( x \)로 환원하기 위하여 \( x=\tan u \)로 놓은 그림 7.3을 이용하면 \[ \int \frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2}+1}} d x=-\frac{1}{\sin u}+C=-\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}+C . \]</p> <p>예제 7.17 \( \int \frac{1}{\sqrt{4+16 x^{2}}} d x \)를 구하여라. 풀이 치환 \( 2 x=\tan u \)를 하면 \( x=\frac{1}{2} \tan u \)이고 \( d x=\frac{1}{2} \sec ^{2} u d u \)이다. 그러면 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{4+16 x^{2}}} d x &=\int \frac{1}{2 \sqrt{1+\tan ^{2} u}}\left(\frac{1}{2} \sec ^{2} u\right) d u \\ &=\frac{1}{4} \int \frac{\sec ^{2} u}{\sec u} d u=\frac{1}{4} \int \sec u d u \\ &=\frac{1}{4} \ln \|\sec u+\tan u\|+C . \end{aligned} \] 또한 \( \tan u=2 x \)이면 \( \sec u=\sqrt{\tan ^{2} u+1}=\sqrt{4 x^{2}+1} \)이므로 \[ \begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{4+16 x^{2}}} d x &=\frac{1}{4} \ln \|\sec u+\tan u\|+C \\ &=\frac{1}{4} \ln \left\|\sqrt{4 x^{2}+1}+2 x\right\|+C . \end{aligned} \]</p> <h1>7.2 삼각적분</h1> <p>피적분함수가 삼각함수의 곱일 때 ‘삼각적분’이라고 한다.</p> <h2>Ⅰ. \( \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \)의 적분</h2> <p>\( \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \) 형태의 적분에서 \( n=0 \)이거나 \( m=0 \)이면 7.1절에서 점화식으로 다루었다. 또 \( n=1 \)이거나 \( m=1 \)이면 치환적분에 의해 구해질 수 있다. 따라서 이제 \( m \geq 2 \)이고 \( n \geq 2 \)의 정수인 경우 \( \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \)를 계산해 보자. ① \( m \)이나 \( n \)이 홀수인 경우와 ② \( m \)과 \( n \)이 모두 짝수인 경우로 나누어 생각할 수 있다.</p> <p>(i) \( n=2 k+1 \)인 경우에 \( \cos ^{n} x \)를 \( \cos x \)와 \( \cos ^{2 k} x \)의 곱으로 나누고 \( \cos ^{2} x=1-\sin ^{2} x \)를 이용하여 \( \cos ^{2 k} x \)를 \( \sin x \)만의 항으로 만든다.</p> <p>예제 7.6 \( \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x &=\int \sin ^{2} x \cos ^{2} x \cos x d x \\ &=\int \sin ^{2} x\left(1-\sin ^{2} x\right) \cos x d x \\ &=\int\left(\sin ^{2} x-\sin ^{4} x\right) \cos x d x \end{aligned} \] 이제 치환적분법을 이용하면, \( u=\sin x \)라고 놓고 \( d u=\cos x d x \)가 된다. 그러면 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{3} x d x &=\int\left(u^{2}-u^{4}\right) d u=\frac{1}{3} u^{3}-\frac{1}{5} u^{5}+C \\ &=\frac{1}{3} \sin ^{3} x-\frac{1}{5} \sin ^{5} x+C. \end{aligned} \]</p> <p>\( m=2 k+1 \)인 경우도 위와 비슷하게 하면 된다.</p> <p>예제 7.7 \( \int \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x \)를 구하여라. 풀이 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x &=\int \sin ^{4} x \cdot \sin x \cdot \cos ^{4} x d x \\ &=\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} \cos ^{4} x \sin x d x \end{aligned} \] 이다. \( u=\cos x \)라고 치환하면 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{5} x \cos ^{4} x d x &=-\int\left(1-u^{2}\right)^{2} u^{4} d u \\ &=-\int\left(u^{4}-2 u^{6}+u^{8}\right) d u \\ &=-\frac{1}{5} u^{5}+\frac{2}{7} u^{7}-\frac{1}{9} u^{9}+C \\ &=-\frac{1}{5} \cos ^{5} x+\frac{2}{7} \cos ^{7} x-\frac{1}{9} \cos ^{9} x+C . \end{aligned} \]</p> <p>(ii) 만약 \( m \)과 \( n \)이 모두 짝수이면 다음 세 가지 삼각항등식을 이용할 것이다. \[ \sin x \cos x=\frac{1}{2} \sin 2 x \]<caption>(7.11)</caption>\[ \sin ^{2} x=\frac{1-\cos 2 x}{2} \]<caption>(7.12)</caption>\[ \cos ^{2} x=\frac{1+\cos 2 x}{2} \]<caption>(7.13)</caption>이외에도 7.1절에서 유도된 다음 두 가지 식이 도움이 될 것이다. \[ \int \sin ^{2} x d x=\frac{1}{2} x-\frac{1}{4} \sin 2 x+C \]<caption>(7.14)</caption>\[ \int \cos ^{2} x d x=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4} \sin 2 x+C . \]<caption>(7.15)</caption></p> <p>예제 7.8 \( \int \sin ^{2} x \cos ^{4} x d x \)를 구하여라. 풀이 (7.11), (7.13)을 이용하면 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{4} x d x &=\int\left(\sin ^{2} x \cos ^{2} x\right) \cos ^{2} x d x \\ &=\int(\sin x \cos x)^{2} \cos ^{2} x d x \\ &=\int\left(\frac{1}{2} \sin 2 x\right)^{2}\left(\frac{1+\cos 2 x}{2}\right) d x \\ &=\frac{1}{8} \int \sin ^{2} 2 x d x+\frac{1}{8} \int \sin ^{2} 2 x \cos 2 x d x \end{aligned} \] 우변의 첫 번째 적분에서 \( u=2 x \)라고 놓으면 \( d u=2 d x \)가 된다. 그리고 두 번째 적분에서 \( v=\sin 2 x \)라고 놓으면 \( d v=2 \cos x d x \)가 된다. 따라서 식 (7․14) 에 의하여 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{2} x \cos ^{4} x d x&=\frac{1}{8} \int \sin ^{2} 2 x d x+\frac{1}{8} \int \sin ^{2} 2 x \cos 2 x d x \\ &=\frac{1}{8} \int \sin ^{2} u \cdot \frac{1}{2} d u+\frac{1}{8} \int v^{2} \cdot \frac{1}{2} d v \\ &=\frac{1}{16}\left(\frac{1}{2} u-\frac{1}{4} \sin 2 u\right)+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{3} v^{3}\right)+C \\ &=\frac{1}{16}\left(x-\frac{1}{4} \sin 4 x\right)+\frac{1}{48} \sin ^{3} 2 x+C. \end{aligned} \]</p> <p>\( m \)과 \( n \)이 모두 짝수인 경우에 \( \int \sin ^{m} x \cos ^{n} x d x \)를 계산하는 또 다른 방법이 있다. \( \int \sin ^{4} x \cos ^{6} x d x \)에 대하여 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{4} x \cos ^{6} x d x &=\int\left(\sin ^{2} x\right)^{2} \cos ^{6} x d x \\ &=\int\left(1-\cos ^{2} x\right)^{2} \cos ^{6} x d x \\ &=\int\left(\cos ^{6} x-2 \cos ^{8} x+\cos ^{10} x\right) d x \end{aligned} \] 이고 7.1절의 식 (7.10)을 이용하여 우변의 적분을 계산한다.</p> <p>결론적으로 \( \int \sin ^{k} x d x \)나 \( \int \cos ^{k} x d x \)의 형태로 변환시켜서 7.1절의 점화식을 이용하여 계산한다.</p> <h2>Ⅱ. 비유계인 구간 위의 적분</h2> <p>\( \int_{a}^{\infty} f(x) d x \)와 \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \) 형태의 적분도 이상적분이라고 부른다. \( f \)가 \( [a, \infty) \)에서 연속 이면 임의의 \( b \geq a \)에 대하여 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)는 정의된다. 이상적분 \( \lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \)가 존재하면 \( \int_{a}^{\infty} f(x) d x \)가 '수렴한다'고 한다. 이때 \[ \int_{a}^{\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f(x) d x \] 이다. 그렇지 않으면 적분은 '발산한다'고 한다. \( \int_{-\infty}^{b} f(x) d x \)도 같은 방법으로 다루면 된다. 만약 \( f \geq 0 \)이면 적분과 면적의 관계는 앞에서와 같다.</p> <p>예제 7.29 \( f(x)=e^{-x} \)의 구간 \( [1, \infty) \)에 대응하는 영역의 면적이 유계임을 보이고 그것의 면적을 구하여라(그림 7.8). 풀이 임의의 \( b>1 \)에 대하여 \( \int_{1}^{b} e^{-x} d x=-\left.e^{-x}\right\|_{1} ^{b}=-e^{-b}+1 \)이다. \( \int_{1}^{\infty} e^{-x} d x= \) \( \lim _{b \rightarrow \infty} \int_{1}^{b} e^{-x} d x \)이므로 \( \int_{1}^{\infty} e^{-x} d x=\lim _{b \rightarrow \infty}\left(-e^{-b}+1\right)=1 \)이다. 따라서 이 이상적분은 수렴하고 이 값은 그림 7.8의 영역의 면적이다.</p> <p>이번에는 \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)와 같이 피적분함수도 0 근방에서 비유계이고, 적분구간도 비유계인 경우를 생각해보자 (그림 7.9). 이런 경우에는 임의의 \( 0<d<\infty \)에 대하여 \( \int_{0}^{d} \frac{1}{x^{2}} d x \)와 \( \int_{d}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)가 모두 수렴하면 적분이 수렴한다고 한다.</p> <p>예제 7.30 \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)가 발산함을 보여라. 풀이 \( d=1 \)이라고 놓자. \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x \)가 발산함을 보임으로써 \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)가 발산함을 보일 것이다. 우선 임의의 \( 0<c<1 \)에 대하여 \[ \int_{c}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x=-\left.\frac{1}{x}\right\|_{c} ^{1}=\frac{1}{c}-1 \] 이고 \( \lim _{c \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{c}-1\right)=\infty \)이므로 \( \int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x \)는 발산한다. 그러므로 \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x \)는 발산한다.</p> <p>\( f \)가 실수 구간 전체에서 연속인 경우에는 \( \int_{-\infty}^{d} f(x) d x \)와 \( \int_{d}^{\infty} f(x) d x \)가 모두 수렴할 때 \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x \)가 '수렴한다'하고 이 값을 다음과 같이 정의한다. \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{d} f(x) d x+\int_{d}^{\infty} f(x) d x . \]</p> <p>예제 7.31 \( \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x^{2}+1} d x \)의 수렴성을 알아보아라. 풀이 \( \frac{1}{1+x^{2}} \)은 실수 구간 \( (-\infty, \infty) \)에서 연속이다. \[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x &=\lim _{a \rightarrow-\infty} \int_{a}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\lim _{a \rightarrow-\infty}\left[\tan ^{-1} x\right]_{a}^{0} \\ &=\lim _{a \rightarrow-\infty}\left(\tan ^{-1} 0-\tan ^{-1} a\right)=\frac{\pi}{2} \end{aligned} \] 비슷한 계산에 의하여 \( \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{2} \)이다. 그러므로 주어진 이상적분은 수렴하고 \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\int_{-\infty}^{0} \frac{1}{1+x^{2}} d x+\int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}=\pi . \]</p>	자연
M420-대학일반수학	<p>참고 2 차 부등식에서 \( a<0 \) 일 때에는 부등식의 양변에 \( -1 \) 을 곱하여 \( x ^ { 2 } \)의 계수를 양수로 고쳐서 위 표에 따르면 된다. (단, \( \alpha< \beta \) )</p> <p>[예제 5] 부등식 \( \frac { 1 + x } { 1-x } \geq 1 \) 을 풀어라.</p> <p>풀이 \( (1-x) \)의 부호를 알 수 없으므로 양변에 \( (1-x) ^ { 2 } \)을 곱하면 \( (1 + x)(1-x) \geq(1-x) ^ { 2 } \)이다. 좌변으로 이항하면 \( (1 + x)(1-x)-(1-x) ^ { 2 } \geq 0 \)이고 인수분해하면 \( (1 + x)(1 + x-1 + x) \geq 0 \) 가 되어 \( (x-1) 2 x \leq 0 \)이다. 따라서 \( 0 \leq x \leq 1 \)이지만 \( x=1 \)일 때는 분모가 0 이므로 구하는 정확한해는 \( 0 \leq x<1 \)이다.</p> <p>디오판토스의 대수학에서 가장 흥미 있는 부분은 부정 방정식에 관한 해법이다. 예를 들어 \( 5 x + 2 y=20 \)과 같은 부정방정식은 미지수의 개수(2개)가 방정식의 개수(1개)보다 많은 경우이다. 그는 양의 유리수 해만을 생각했기 때문에 그의 해법의 일부는 정수로 제한되어 있었다.</p> <p>디오판토스의 묘비에는 다음과 같이 기록되어 있었다고 한다.</p> <p>디오판토스의 청년기는 그의 일생의 \( \frac { 1 } { 6 } \) 동안 지속되었다. 그 후 일생의 \( \frac { 1 } { 12 } \) 의 기간 동안 수염을 길렀다. 그 후 일생의 \( \frac { 1 } { 7 } \) 이 지난 후에 디오판토스는 결혼했다. 5년 후 그는 아들을 얻었다. 그의 아들은 정확하게 아버지 생의 반을 살다 죽었다. 디오판토스는 아들이 죽은 지 정확히 4년 후에 죽었다.</p> <p>디오판토스는 몇 살에 죽었는지 말할 수 있는가?</p> <p>풀이 식 \( (1) + (2) \)에서 \( 3 x + 4 y=5 \cdots \cdots(4) \)와 (1) \(- \)(3)에서 \( -2 x + 4 y=3 \cdots \cdots(5) \) 를 얻는다. 다시 (4) \(- \)(5)로부터 \( 5 x=2 \) 이다. 따라서 \( x= \frac { 2 } { 5 } , y= \frac { 19 } { 20 } , z= \frac { 13 } { 20 } \) 이다.</p> <p>\( \left \{\begin {array} { l } a x + b y + c=0 \\ a ^ {\prime } x + b ^ {\prime } y + c ^ {\prime } =0 \end {array} \right . \) 에서 불능과 부정</p> <ol type= start=1><li>\( \frac { a } { a ^ {\prime } } = \frac { b } { b ^ {\prime } } \neq \frac { c } { c ^ {\prime } } \) 일 때 불능이다.</li> <li>\( \frac { a } { a ^ {\prime } } = \frac { b } { b ^ {\prime } } = \frac { c } { c ^ {\prime } } \) 일 때 부정이다.</li></ol> <p>[예제4] 다음 연립방정식이 부정일 때와 불능일 때의 \( a \) 값을 구하여라. \[ 2 a x + 2 y + a=0, \quad \left ( \frac { 5 } { 2 } a-1 \right ) x + a y + 2=0 \]</p> <p>풀이 \( 2 a \cdot a- \left ( \frac { 5 } { 2 } a-1 \right ) 2=0 \) 에서 \( a= \frac { 1 } { 2 } , 2 \) 이고 \( 4-a ^ { 2 } =0 \) 에서 \( a= \pm 2 \) 이다. 따라서 부정일 때 \( a=2 \) 이고, 불능일 때 \( a= \frac { 1 } { 2 } \) 이다.</p> <p>[예제 4] 연립방정식 \[ \left \{\begin {array} { l } (a-3) x-4 y + 1=0 \\ 3 x + (a-2) y-1=0 \end {array} \right . \]의 근이 존재하지 않도록 \( a \) 값을 정하여라.</p> <h1>2.1 간단한 방정식</h1> <p>정의 두 실수 \( a( \neq 0) \)와 \( b \)에 대하여 \( a x + b = 0 \) 형태의 방정식을 일차(first-degree) 방정식 또는 선형(linear)방정식이라 한다.</p> <p>변수를 \( x \)로 갖는 방정식의 해(solution) 또는 근(root)을 구하라는 것은 주어진 방정식을 참으로 하는 \( x \)의 값을 구하는 것을 의미한다.</p> <p>방정식의 성질</p> <ol type= start=1><li>양변에 같은 수를 더하거나 빼도 식은 변하지 않는다.</li> <li>양변에 0이 아닌 수를 곱하거나 나누어도 식은 변하지 않는다.</li></ol> <p>[예제1] 일차 방정식 \( x-2=3-4 x \) 의 해를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \quad x-2=3-4 x \)에서 \( 4 x \)를 좌변으로 \( -2 \)를 우변으로 이항하면 \( 5 x=5 \)이다. 따라서 \( x=1 \) 이다.</p> <p>[예제 2] 다음 일차 방정식의 해를 구하여라. \[ \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 1 } { x-2 } + \frac { 3 x-1 } { (x + 1)(x-2) } \]</p> <p>풀이 주어진 방정식의 양변에 \( (x + 1)(x-2) \)를 곱하면 \( x-2=(x + 1) + (3 x-1)=4 x \)이다. 따라서 \(x=- \frac { 2 } { 3 } \)이다. \)</p> <p>절댓값 기호가 있는 방정식의 풀이는 절댓값 기호를 없애고 푸는 것이 일반적인 해법이다.</p> <p>[예제3] 다음 식을 풀어라. \[ \frac { \|x-1\| } { 2 } + \frac { \|x-1\| } { 3 } = \frac { x } { 3 } \]</p> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( x-1 \geq 0 \) 인 경우 \(: \frac { x-1 } { 2 } + \frac { x-1 } { 3 } = \frac { (3 x-3) + (2 x-2) } { 6 } = \frac { 5 x-5 } { 6 } \)이므로 \( \frac { 5 x-5 } { 6 } = \frac { x } { 3 } \)으로부터 \( x= \frac { 5 } { 3 } \) 이다.</li> <li>\( x-1<0 \)인 경우: \( \frac { -(x-1) } { 2 } + \frac { -(x-1) } { 3 } = \frac { -(3 x-3)-(2 x-2) } { 6 } = \frac { -5 x + 5 } { 6 } \) 이므로 \( \frac { -5 x + 5 } { 6 } = \frac { x } { 3 } \)로부터 \(x= \frac { 5 } { 7 } \)이다.</li></ol> <p>일반적으로 \( a x=b \) 꼴의 일차방정식은 다음과 같은 해법을 가진다.</p> <ol type= start=1><li>\( a \neq 0 \) 일 때는 \( x= \frac { b } { a } \) 이 해이다.</li> <li>\( a=0 \) 일 때는 \( a \)로 나눌 수 없으므로 \( b=0 \) 인 경우에는 부정이다. \( b \neq 0 \) 인 경우에는 불능이다.</li></ol> <p>[예제 4] 다음 방정식을 \( x \) 에 관하여 풀어라. \[ a(2 x-5)=3 x + 1 \]</p> <h1>2.5 부등식</h1> <p>부등식의 정의</p> <p>부등호 \(<\),\(>\) 를 사용하여 수나 식의 값의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식(inequality)이라 하고, 그 부등식을 만족시키는 변수의 값을 그 부등식의 해라 하며, 부등식을 구하는 것을 그 부등식을 푼다고 한다.</p> <p>또, 부등식에는 사용된 문자에 어떤 실수 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식인 절대 부등식(absolute inequality)과 사용된 문자에 어떤 범위 안의 실수 값을 대입할 때에만 성립하는 부등식인 조건 부등식(conditional inequality)이 있다.</p> <p>참고 허수에 대해서는 대소 관계를 생각할 수 없으므로 부등식에 포함된 문자는 모두 실수만을 나타내는 것으로 한다.</p> <p>변수가 포함된 부등식도 실수의 대소 관계의 경우와 마찬가지로 다음과 같은 성질이 있다.</p> <p>부등식의 성질</p> <ol type= start=0><li>두 실수 \( a \), \( b \)에 대하여 다음 중 한 가지만 성립한다. \[ a<b, \quad a=b, \quad a>b \]</li> <li> <ol type= start=1><li>\( a>0 \), \( b>0 \) 이면 \( a + b>0 \) 이다.</li> <li>\( a<0 \), \( b<0 \) 이면 \( a + b<0 \) 이다.</li></ol></li> <li> <ol type= start=1><li>\( a \), \( b \) 의 부호가 같으면 \( a b>0 \), \( \frac { a } { b } >0 \) 이다.</li> <li>\( a \),\( b \) 의 부호가 다르면 \( a b<0 \),\( \frac { a } { b }<0 \) 이다.</li></ol></li> <li>\( a>b \) 이고 \( b>c \) 이면 \( a>c \) 이다.</li> <li>\( a<b \) 이면 \( a + c<b + c \), \( a-c<b-c \) 이다.</li> <li>\( a>b \), \( c>0 \) 이면 \( a c>b c \), \( \frac { a } { c } >\frac { b } { c } \) 이다.</li> <li>\( a>b \), \( c<0 \) 이면 \( a c<b c \), \( \frac { a } { c }< \frac { b } { c } \) 이다.</li></ol> <p>참고 위의 성질에서 \(< \) 을 \( \leq \) 로, \( >\) 을 \( \geq \) 로 바꾸어도 성립한다.</p> <p>[예제1] 다음 부등식 \( a x-1<5-2 a x \)를 풀어라.</p> <p>풀이 \( a x + 2 a x<5 + 1 \) 에서 \( a x<2 \) 이므로</p> <ol type=1 start=1><li>\( a>0 \) 일 때 \( x< \frac { 2 } { a } \) 이다.</li> <li>\( a=0 \) 일 때 항상 성립한다.</li> <li>\( a<0 \) 일 때 \( x>\frac { 2 } { a } \) 이다.</li></ol> <p>제 1 장에서 임의의 실수 \( x \)에 대하여 \( x \)의 절댓값 \( \|x\| \)는 수직선 위에서 생각할 때, 원점으로부터 점 \( x \)까지의 거리를 나타내는 것임을 배웠다. 따라서 양수 \( a \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \|x\|<a \Leftrightarrow-a<x<a \)</li> <li>\( \|x\|>a \Leftrightarrow x<-a \) 또는 \( a<x \)</li></ol> <p>[예제 2] 다음 부등식을 풀어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \|1-x\|<3 \)</li> <li>\( \|2 x-3\| \geq 7 \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( -3<1-x<3 \) 에서 양변에 \( -1 \) 을 더하면 \( -4<-x<2 \) 이므로 \( -2<x<4 \) 이다.</li> <li>\( 2 x-3 \leq-7 \) 또는 \( 2 x-3 \geq 7 \) 이다. 따라서 \( 2 x-3 + 3 \leq-7 + 3 \) 또는 \( 2 x-3 + 3 \geq 7 + 3 \) 으로부터 \( x \leq-2 \) 또는 \( x \geq 5 \) 이다.</li></ol> <p>두 실수 \( a, b \) 에 대하여 실수 \( \mathbb { R } \) 의 부분 집합인 구간(interval)을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>열린구간(open interval) \( \quad:(a, b)= \{ x \mid a<x<b \} \\ \) 닫힌구간(closed interval) \( \quad:[a, b]= \{ x \mid a \leq x \leq b \} \\ \) 반열린구간(half open interval) : \( [a, b),(a, b] \)</p> <p>참고 일반적으로 \( a \)가 양수일 때 \( x \)의 절댓값이 \( a \)보다 작다는 말은 \( x \)가 열린 구간 \( (-a, a) \) 의 원소라는 말과 같다.</p> <p>[예제 3]</p> <ol type=1 start=1><li>\( \|x\|<1 \Leftrightarrow-1<x<1 \quad \Leftrightarrow \quad x \in(-1,1) \)</li> <li>\( \begin {aligned} \|x-3\| \geq 1 & \Leftrightarrow x-3 \leq-1 \text { 또는 } x-3 \geq 1 \\ & \Leftrightarrow x \leq 2 \text { 또는 } x \geq 4 \\ & \Leftrightarrow(- \infty, 2] \cup[4, \infty) \end {aligned} \)</li></ol> <p>정의</p> <p>부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하였을 때, 좌변이 \( x \)의 2 차식이 되는 경우, 즉 \( a \neq 0 \) 일 때 \( a x ^ { 2 } + b x + c<0 \) 과 같은 부등식을 2차 부등식이라고 한다.</p> <p>참고 2 차 이상의 부등식은 모든 항을 좌변으로 이항하고 인수분해하여 푼다.</p> <p>[예제 4] 이차 부등식 \( x ^ { 2 } + 2 x-8<0 \) 을 풀어라.</p> <p>풀이 좌변을 인수분해하면 \( x ^ { 2 } + 2 x-8=(x + 4)(x-2) \)이다. 여기서 \( x + 4 \)와 \( x-2 \)의 곱 \( (x + 4)(x-2) \)의 부호를 \( x \)의 값의 범위에 따라 분류하면 다음과 같다.</p> <p>그러므로 \( x ^ { 2 } + 2 x-8<0 \) 의 해는 \( -4<x<2 \) 이다.</p> <p>2 차 부등식의 해는 2 차 방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \) 의 판별식 \( D=b ^ { 2 } -4 a c \) 를 바탕으로 하여 실수 범위 안에서 인수분해 \[ a x ^ { 2 } + b x + c=a(x- \alpha)(x- \beta) \] 하거나, 또는 완전제곱식 \[ a x ^ { 2 } + b x + c=a \left (x + \frac { b } { 2 a } \right ) ^ { 2 } - \frac { b ^ { 2 } -4 a c } { 4 a } \]로 변형하여 풀 수 있다. 위의 경우를 일반화하면 다음과 같다.</p> <p>풀이 주어진 방정식이 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 판별식의 값이 0 보다 커야 한다. 따라서 \( b ^ { 2 } -4 a c=(-2) ^ { 2 } -4 \cdot 3 \cdot(1-k)>0 \) 에서 \( 12 k-8>0 \) 이므로 구하는 \( k \)의 범위는 \( k>\frac { 2 } { 3 } \) 이다.</p> <p>2 차 방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \) 의 두 근을 \( \alpha= \frac { -b + \sqrt { D } } { 2 a } , \beta= \frac { -b- \sqrt { D } } { 2 a } \) 라 하면 두 근 \( \alpha, \beta \)와 그 계수 \( a, b, c \)와의 관계 및 \( \alpha, \beta \)와 2차 방정식과의 관계를 다음과 같이 얻을 수 있다.</p> <p>근과 계수와의 관계</p> <ol type= start=1><li>(1) \( \alpha + \beta=- \frac { b } { a } \) (2) \( \alpha \beta= \frac { c } { a } \) (3) \( \| \alpha- \beta\|= \frac {\sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { \|a\| } \)</li> <li>두 수 \( \alpha, \beta \) 를 근으로 하고 이차항의 계수가 1 인 2차 방정식은 \((x- \alpha)(x- \beta)=0 \) 또는 \(x ^ { 2 } -( \alpha + \beta) + \alpha \beta=0 \)</li></ol> <p>[예제5] 이차방정식 \( x ^ { 2 } -3 x-1=0 \) 의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라 할 때, 다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } \)</li> <li>\( \| \alpha- \beta\| \)</li></ol> <p>풀이 \( x ^ { 2 } -3 x-1=0 \) 에서 \( \alpha + \beta=3 \) 이고 \( \alpha \beta=-1 \) 이다. 따라서</p> <ol type= start=1><li>\( \alpha ^ { 2 } + \beta ^ { 2 } =( \alpha + \beta) ^ { 2 } -2 \alpha \beta=3 ^ { 2 } -2 \cdot(-1)=11 \)</li> <li>\( \| \alpha- \beta\|= \frac {\sqrt { (-3) ^ { 2 } -4 \cdot 1 \cdot(-1) } } { \|1\| } = \sqrt { 13 } \) 이다.</li></ol> <p>[예제6] 두 수 3과 4를 두 근으로 하는 이차항의 계수가 1인 2차방정식을 구하여라.</p> <p>[예제 2] 다음 이차 방정식을 풀어라.</p> <ol type= start=1><li>\( x ^ { 2 } -2 x-3=0 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x-5=0 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x + 3=0 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x-1=0 \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( x ^ { 2 } -2 x-3=(x-3)(x + 1)=0 \) 이므로 구하는 해는 \( x=3, x=-1 \) 이다.</li> <li>주어진 방정식은 인수분해가 되지 않으므로 근의 공식을 이용한다. 따라서 \[ x= \frac { 2 \pm \sqrt { (-2) ^ { 2 } -4 \cdot 1 \cdot(-5) } } { 2 \cdot 1 } = \frac { 2 \pm \sqrt { 24 } } { 2 } =1 \pm \sqrt { 6 } \]인 서로 다른 두 실근을 갖는다.</li> <li>주어진 방정식은 인수분해가 되지 않으므로 \[ x= \frac { 2 \pm \sqrt { (-2) ^ { 2 } -4 \cdot 1 \cdot 3 } } { 2 \cdot 1 } = \frac { 2 \pm \sqrt { -8 } } { 2 } =1 \pm \sqrt { 2 } i \]인 두 허근을 갖는다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x-1=x ^ { 2 } -2 x + 1-1-1=(x-1) ^ { 2 } -2=0 \) 이므로 \( (x-1) ^ { 2 } =2 \) 로부터 \( x=1 \pm \sqrt { 2 } \) 이다.</li></ol> <p>2차 방정식의 근으로서는 서로 다른 두 실근, 같은 두 실근인 중근과 서로 다른 두 허근인 세 종류가 있는데, 2차 방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \)에서 근을 판별할 수 있는 판별식 \( b ^ { 2 } -4 a c \)을 이용하여 구분할 수 있다.</p> <p>판별식(discriminant)</p> <ol type= start=1><li>\( b ^ { 2 } -4 a c>0 \) 일 때는 서로 다른 두 실근을 갖는다.</li> <li>\( b ^ { 2 } -4 a c=0 \) 일 때는 하나의 실근(중근: double root)을 갖는다.</li> <li>\( b ^ { 2 } -4 a c<0 \) 일 때는 허근을 갖는다.</li></ol> <p>[예제 3] 다음 이차 방정식의 근을 판별하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 4 x ^ { 2 } + 5 x-3=0 \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -16 x + 64=0 \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( b ^ { 2 } -4 a c=5 ^ { 2 } -4 \cdot 4 \cdot(-3)=73>0 \) 이므로 두 실근을 갖는다. 실제로 근을 구하면 \[ x= \frac { -5 \pm \sqrt { 5 ^ { 2 } -4 \cdot 4 \cdot(-3) } } { 8 } = \frac { -5 \pm \sqrt { 73 } } { 8 } \]</li> <li>\( b ^ { 2 } -4 a c=(-16) ^ { 2 } -4 \cdot 1 \cdot 64=0 \) 이므로 중근을 갖는다. 실제로 근을 구하여 보면 \( (x-8) ^ { 2 } =0 \) 이므로 \( x=8 \) 이다.</li></ol> <p>[예제3] 이차 방정식 \( 3 x ^ { 2 } -2 x + (1-k)=0 \) 이 서로 다른 두 실근을 갖도록 \( k \)의 값의 범위를 정하여라.</p> <p>\( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 26 & 34 & 39 \end {array} \)행렬로 분석하면 \( \begin {array} { rrr } 0 & 0 & 36 \\ 0 & 36 & 0 \\ 36 & 0 & 0 \\ 99 & 153 & 333 \end {array} \)이 된다.</p> <p>따라서 상품 벼 \( \frac { 333 } { 36 } = \frac { 37 } { 4 } \), 중품 벼 \( \frac { 153 } { 36 } = \frac { 17 } { 4 } \) 하품 벼 \( \frac { 99 } { 36 } = \frac { 11 } { 4 } \) 을 얻게 된다.</p> <h1>2.2 이차방정식</h1> <p>세 실수 \( a( \neq 0), b, c \) 를 계수로 하는 등식 \[ a x ^ { 2 } + b x + c=0 \]을 \( x \) 에 관한 이차방정식(quadratic equations)이라 한다. 이 방정식의 해가 실수 일 때 실근(real roots)이라 하고, 허수일 때 허근(imaginary roots)이라고 한다.</p> <p>[예제 1] \( x=1 \) 는 \( x ^ { 2 } + x-2=0 \) 의 한 실근이다.</p> <p>이차방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \quad(a \neq 0) \) 의 근을 구하는 해법에는 인수분해에 의한 방법과 근의 공식에 의한 방법 두 가지가 있다.</p> <ol type= start=1><li>인수분해가 되는 경우 \[ (a x-b)(c x-d)=0 \text { 일 때는 } x= \frac { b } { a } \text { 또는 } x= \frac { d } { c } \]</li> <li>인수분해가 되지 않는 경우 \[ x= \frac { -b \pm \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } \]</li></ol> <p>참고 \( (x + A) ^ { 2 } =B \) 의 꼴인 방정식의 해는 \( x=-A \pm \sqrt { B } \) 이다.</p> <p>풀이 식을 정리하면 \( (2 a-3) x=5 a + 1 \) 이다. 이때</p> <ol type= start=1><li>\( a \neq \frac { 3 } { 2 } \) 인 경우 : \( x= \frac { 5 a + 1 } { 2 a-3 } \)</li> <li>\( a= \frac { 3 } { 2 } \) 인 경우 : 해가 없다.</li></ol> <p>참고 여러 개의 문자로 표현된 방정식에서 한 문자를 다른 문자들을 이용하여 나타내면 편리할 때가 많다. 이것을 그 문자에 관하여 푼다고 한다.</p> <p>[예제 5] 다음 방정식 \( a-1= \frac { 1-2 t } { 3 t + 2 } \)를 \( t \) 에 관하여 풀어라.</p> <p>풀이 양변에 \( 3 t + 2 \) 를 곱하면 \( (3 t + 2)(a-1)=1-2 t \) 이다. 이 식의 좌변을 전개하여 정리하면 \( (3 a-1) t=3-2 a \) 이다. 따라서 \( t= \frac { 3-2 a } { 3 a-1 } \) 이다.</p> <p>[예제5] 다음 식을 풀어라. \[ \|x-2\|=\|3-x\| \]</p> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( x<2 \) 인 경우: \( -(x-2)=3-x \). 따라서 해가 없다.</li> <li>\( 2 \leq x<3 \) 인 경우: \( x-2=3-x \). 따라서 \( x= \frac { 5 } { 2 } \)</li> <li>\( x \geq 3 \) 인 경우 : \( x-2=-(3-x) \). 따라서 해가 없다.</li></ol> <p>방정식이라는 말의 유래</p> <p>약 2000년 전 중국의 수학책《구장산술》의 제 8 권〈방정〉편에 처음으로 등장하였다. 이란 정사각형 또는 직사각형의 방을 의미하며 네모 또는 사각형을 의미한다. 이란 '할당하다'는 뜻을 갖고 있다. 즉, 방정이란는 말의 어원은 사각 모양으로 할당한다는 뜻이다. 실제로 제 8권에는 다음과 같은 첫 번째 문제가 등장한다.</p> <p>지금 상품 벼 3섬, 중품 벼 2섬, 하품 벼 1섬에서 벼가 39말 나오고 상품 벼 2섬, 중품 벼 3섬, 하품 벼 1 섬에서는 벼 34말이 나온다. 또한 상품 벼 1섬, 중품 벼 2섬, 하품 벼 3섬에서는 26말이 나온다고 한다. 상, 중, 하 1섬에서는 각각 얼마의 벼가 나오는가?</p> <p>이것을 다음과 같은 사각형 모양으로 배열하여 풀었기 때문에 방정이라는 말이 생기게 되었다.</p> <p>참고 3차 또는 4차 방정식 \( P(x)=0 \)의 풀이는 인수분해의 공식을 이용하거나 인수 정리를 이용하여 \( P(x) \)를 인수분해한 다음 그 방정식을 푼다.</p> <p>[예제1] 다음 방정식을 풀어라.</p> <ol type= start=1><li>\( x ^ { 3 } =8 \)</li> <li>\( x ^ { 3 } -12 x + 16=0 \)</li></ol> <ol type= start=1><li>\( x ^ { 3 } -8=0(x-2) \left (x ^ { 2 } + 2 x + 4 \right )=0 \) 에서 \( x=2, x=-1 \pm \sqrt { 3 } i \) 이다.</li> <li></li></ol> <p>\( P(x)=x ^ { 3 } -12 x + 16 \) 으로 놓으면 인수 정리에 의하여 \( P(x) \) 는 \( x-2 \) 로 나누어 떨어진다. 조립제법을 사용하면 \(P(x)=(x-2) \left (x ^ { 2 } + 2 x-8 \right )=(x-2)(x + 4)(x-2) \\ =(x-2) ^ { 2 } (x-4) \)이므로 \( x=2 \)(중근), \( x=-4 \) 이다.</p> <p>두 개의 변수를 갖는 2 개의 1 차 방정식을 하나로 묶어 놓은 것을 미지수가 2개인 연립 일차 방정식(simultaneous linear equation)이라 한다. \[ \left \{\begin {array} { l } a_ { 1 } x + b_ { 1 } y=c_ { 1 } \\ a_ { 2 } x + b_ { 2 } y=c_ { 2 } \end {array} \right . \]</p> <p>연립방정식의 기본 해법</p> <p>미지수를 소거하여 일원 방정식으로 유도한 후 가감법, 대입법, 등치법 등을 이용하여 해를 구한다.</p> <p>[예제 2] 다음 연립방정식을 풀어라. \[ \left \{\begin {array} { l } x + y=2 \\ 2 x-y=5 \end {array} \right . \]</p> <p>풀이 두 식을 더하면 \( 3 x=7 \). 따라서 \( x= \frac { 7 } { 3 } , y=- \frac { 1 } { 3 } \) 이다.</p> <p>[예제3] 다음 연립 일차 방정식을 풀어라. \[ \left \{\begin {array} { ll } x + y + z=2 & \cdots \cdots(1) \\ 2 x + 3 y-z=3 & \cdots \cdots(2) \\ 3 x-2 y + z=-1 & \cdots \cdots(3) \end {array} \right . \]</p> <p>미지수 \( x \) 에 관한 무리식을 포함하는 방정식을 무리방정식(irrational equation)이라고 한다.</p> <p>참고 무리 방정식에도 무리식과 마찬가지로 실수 범위에서만 생각하므로 \( \sqrt { f(x) } \)에서는 언제나 \( f(x) \geq 0 \)인 경우만 생각한다.</p> <p>무리방정식의 풀이는 다음 순서에 따른다.</p> <ol type= start=1><li>방정식의 각 항을 적당히 이항하여 변형한 다음, 양변에 제곱하여 주어진 무리방정식을 정방정식으로 고친다.</li> <li>1 에서 얻은 정방정식을 푼다.</li> <li>2 의 정방정식의 근 중에서 근호 속을 음으로 하는 근인 무연근을 제외하고 근호 속을 음으로 하지 않는 것만을 근으로 한다.</li></ol> <p>참고 무리 방정식에 대해 \( \sqrt { f(x) } =g(x) \Leftrightarrow f(x)= \{ g(x) \} ^ { 2 } \) 이고 \( g(x) \geq 0 \)인 관계가 성립한다.</p> <p>[예제1] 다음 무리방정식을 풀어라.</p> <ol type= start=1><li>\( 2 x + 3 + \sqrt { 2 x + 3 } =12 \)</li> <li>\( \sqrt { x } + \sqrt { 2 x + 1 } =1 \)</li> <li>\( \sqrt { 2 x + 1 } =x-1 + 3\|x\| \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt { 2 x + 3 } =X \) 로 놓으면 \( X \geq 0 \) 이고 \( 2 x + 3=X ^ { 2 } \) 이므로 주어진 방정식은 \( X ^ { 2 } + X-12=0 \) 꼴로 바뀐다. 따라서 \( (X + 4)(X-3)=0 \)에서 \( X=-4, X=3 \)을 얻는다. 이때 \( X \geq 0 \)이므로 \( X=3 \) 만 택한다. 그러므로 \( \sqrt { 2 x + 3 } =3 \) 에서 양변을 제곱하면 \( 2 x + 3=9 \) 이고 구하는 \( x=3 \) 이다.</li> <li>이항하여 변형하면 \( \sqrt { 2 x + 1 } =1- \sqrt { x } \) 인데 양변을 제곱하면 \( 2 x + 1=1-2 \sqrt { x } + x \), 즉 \( x=-2 \sqrt { x } \) 를 얻는다. 양변을 한 번 더 제곱하면 \( x ^ { 2 } =4 x \)가 되어 \( x(x-4)=0 \)에서 \( x=0, x=4 \)이다. 여기서 \( x=0 \) 일 때 좌변 \( = \) 우변 이지만 \( x=4 \) 일 때 좌변 \( \neq \) 우변이므로 주어진 방정식의 근은 \( x=0 \) 이다.</li> <li> <ol type=i start=1><li>\( x \geq 0 \) 일 때 \( \sqrt { 2 x + 1 } =4 x-1 \) 에서 양변을 제곱하여 풀면 \( 2 x + 1=(4 x-1) ^ { 2 } \), 즉 \( 16 x ^ { 2 } -10 x=0 \)을 얻는다. \( 2 x(8 x-5)=0 \) 에서 \( x=0, x= \frac { 5 } { 8 } \) 이다. 이때 \( x=0 \) 이면 좌변 \( =1 \neq-1= \) 우변이 되고, \( x= \frac { 5 } { 8 } \) 이면 좌변 \( = \frac { 3 } { 2 } = \) 우변이므로 \( x= \frac { 5 } { 8 } \) 이다.</li> <li>\( x<0 \) 일 때 \( \sqrt { 2 x + 1 } =-2 x-1 \) 에서 양변을 제곱하여 풀면 \( 2 x + 1=(-2 x-1) ^ { 2 } =(2 x + 1) ^ { 2 } \), 즉 \((2 x + 1)(2 x + 1-1)=0 \)을 얻는다. \( 2 x(2 x + 1)=0 \) 에서 \( x=- \frac { 1 } { 2 } \) 이다. 따라서 주어진 방정식의 근은 \( x= \frac { 5 } { 8 } \) 과 \( x=- \frac { 1 } { 2 } \) 이다.</li></ol></li></ol> <p>미지수만을 기호로 나타내는 것은 디오판토스 이후의 일로써, 미지수뿐 아니라 기지수까지도 기호화하여 글자 그대로 기호식 대수학을 만든 사람은 프랑스의 비에트이다. 실제로 오늘날까지 우리가 사용하고 있는 계수를 나타내는 영문자, 소수의 표기법, 덧셈과 뺄셈의 기호, 분수 표기의 가로줄 등과 같은 기호를 그가 도입하고 대중화시켰다. 따라서 비에트를 대수학의 아버지로 부른다. 벨기에의 어떤 수학자가 45 차 방정식 \[ x ^ { 45 } -45 x ^ { 43 } + 945 x ^ { 41 } - \cdots-3795 x ^ { 3 } + 45 x=K \]의 풀이를 구하라고 온 세계의 수학자에게 도전장을 낸 적이 있었다. 당시 프랑스의 앙리 4 세는 이 문제를 풀어 달라고 비에트에게 부탁했고, 그는 이 방정식이 \( K=2 \sin 45 \theta \) 를 \( x=2 \sin \theta \) 로 표기했을 때에 나오는 식이라는 것을 알아 차리고 바로 정답을 내었다고 한다.</p> <p>풀이 \( { a-3 } { 3 } = \frac { -4 } { a-2 } \neq 1 \)이므로 \((a-3)(a-2)=-12 \)에서 \(a ^ { 2 } -5 a-6=0 \) 이므로 \((a-6)(a + 1)=0, a=-1,6 \\ \therefore a=6 \)이다.</p> <p>유클레이데스(Eukleides)가 지었다고 전해지는 그리스 시화집에 다음과 같은 문제가 있다.</p> <p>노새가 당나귀한테 말했습니다.</p> <p>"네가 진 짐의 한 자루만 내 등에 옮겨놓으면 나는 네가 진 짐의 두 배가 되는걸. 내 짐의 한 자루를 네 등에 옮긴다면 나와 너의 자루는 같은 수가 된단다."</p> <p>이를 해결하기 위하여 노새의 짐 수를 \( x \), 당나귀의 짐 수를 \( y \)라 하자. 당나귀의 짐 1개를 노새에 옮겨 놓으면 노새의 짐 수는 \( x + 1 \) 이고 당나귀의 짐 수는 \( y-1 \) 이 된다. 이때 당나귀의 짐 수의 두 배가 노새의 짐 수이므로 \( x + 1=2(y-1) \) 이 성립한다. 한편 노새의 짐 한 자루를 당나귀에 옮겨 놓으면 짐 수가 같아지므로 \( x-1=y + 1 \) 이 두 식을 하나로 묶어 놓으면 다음과 같은 연립방정식을 얻게 된다.</p> <p>\( \left \{\begin {array} { l } x + 1=2(y-1) \\ x-1=y + 1 \end {array} \right . \)</p> <h1>2.4 유리방정식과 무리방정식</h1> <p>미지수 \( x \)에 관한 유리식을 포함하는 방정식을 유리방정식(rational equation)이라고 한다.</p> <p>참고 다항식도 유리식이므로 1 차, 2차, 3 차 방정식 등도 유리 방정식이지만 특히 다항식만을 포함하는 방정식을 정방정식(integral equation)이라고 한다.</p> <p>유리방정식의 풀이는 다음 순서에 따라 푼다.</p> <ol type= start=1><li>각 항의 분모들의 최소 공배수를 양변에 곱하여, 주어진 유리방정식을 정방정식으로 고친다.</li> <li>1 에서 얻은 정방정식을 푼다.</li> <li>2 의 정방정식의 근 중에서 주어진 유리 방정식의 분모를 0 으로 하는 근인 무연근(extraneous root)을 제외하고 분모를 0으로 하지 않는 것만을 근으로 한다.</li></ol> <p>참고 유리 방정식에 대해 \( \frac { f(x) } { g(x) } =0 \Leftrightarrow f(x)=0 \) 이고 \( g(x) \neq 0 \) 인 관계가 성립한다.</p> <p>[예제1] 다음 방정식을 풀어라.</p> <ol type= start=1><li>\( \frac { 2 } { x + 3 } - \frac { 3 } { x + 4 } = \frac { 4 } { x + 5 } - \frac { 5 } { x + 6 } \)</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x + \frac { 24 } { x ^ { 2 } -2 x } =11 \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \frac { 2(x + 4)-3(x + 3) } { (x + 3)(x + 4) } = \frac { 4(x + 6)-5(x + 5) } { (x + 5)(x + 6) } \)에서 \( { -(x + 1) } { (x + 3)(x + 4) } = \frac { -(x + 1) } { (x + 5)(x + 6) } \)이므로 양변에 \( -(x + 3)(x + 4)(x + 5)(x + 6) \)을 곱하면 \( (x + 1)(x + 5)(x + 6)=(x + 1)(x + 3)(x + 4) \)이다. 따라서 \( (x + 1) \{ (x + 5)(x + 6)-(x + 3)(x + 4) \} =0 \)이 되어 \( (x + 1)(4 x + 18)=0 \) 이므로 \( x=-1, x=- \frac { 9 } { 2 } \)이다. 이 두 값은 주어진 유리방정식의 분모를 0으로 하지 않으므로 구하는 근은 \( x=-1, x=- \frac { 9 } { 2 } \)이다.</li> <li>\( x ^ { 2 } -2 x=X \) 로 놓으면 주어진 식은 \( X + \frac { 24 } { X } =11 \)이므로 \( X ^ { 2 } -11 X + 24=0 \)이 된다. 이때 \( (X-3)(X-8)=0 \)이므로 \( X=3, X=8 \)이다. 여기서 \( X=3 \)일 때 \( x ^ { 2 } -2 x=3 \) 으로부터 \( 0=x ^ { 2 } -2 x-3=(x-3)(x + 1) \) 이므로 \( x=3, x=-1 \)이다. 또 \( X=8 \) 일 때 \( x ^ { 2 } -2 x=8 \) 으로부터 \( 0=x ^ { 2 } -2 x-8=(x-4)(x + 2) \) 이므로 \( x=4, x=-2 \) 이다. 이 근은 주어진 유리방정식의 분모를 0 으로 하지 않으므로 구하는 근은 \( x=-2, x=-1, x=3, x=4 \) 이다.</li></ol> <p>정의</p> <p>풀이 \((x-3)(x-4)=x ^ { 2 } -7 x + 12=0 \) 또는 \(x ^ { 2 } -(3 + 4) x + 3 \cdot 4=x ^ { 2 } -7 x + 12=0 \)이다.</p> <p>근과 계수와의 관계를 이용하면 2차식을 다음과 같이 인수분해할 수 있다.</p> <p>2 차 방정식 \( a x ^ { 2 } + b x + c=0 \) 의 두 근을 \( \alpha, \beta \) 라 하면 \[ a x ^ { 2 } + b x + c=a(x- \alpha)(x- \beta) \]</p> <p>[예제 7] \(56 x ^ { 2 } -78 x-35 =56(x + a)(x + b)=(4 x + c)(14 x + d) \) 에서 \( a, b, c, d \) 를 각각 구하여라.</p> <p>풀이 \( 56 x ^ { 2 } -78 x-35=0 \) 의 두 근을 \( x= \frac { 7 } { 4 } ,- \frac { 5 } { 14 } \) 이므로 \( \begin {array} { l } 56 x ^ { 2 } -78 x-35=56 \left (x- \frac { 7 } { 4 } \right ) \left (x + \frac { 5 } { 14 } \right )=(4 x-7)(14 x + 5) \\ \therefore a=- \frac { 7 } { 4 } , b=- \frac { 5 } { 14 } , c=-7, d=5 \end {array} \)</p> <p>참고 복소수 범위에서 \( x ^ { 2 } -2 x + 4 \) 를 인수분해하여라.</p> <p>풀이 \( \quad x ^ { 2 } -2 x + 4=0 \) 의 두 근은 \( x=1 \pm \sqrt { 3 } i \) 이므로 \[ \begin {aligned} x ^ { 2 } -2 x + 4 &=(x-(1 + \sqrt { 3 } i))(x-(1- \sqrt { 3 } i)) \\ &=(x-1- \sqrt { 3 } i)(x-1 + \sqrt { 3 } i) \end {aligned} \]이다.</p> <p>2차방정식 : \( x ^ { 2 } + p x=q \) 형태는 약 4000 년 전 바빌로니아시대에 이미 등장.</p> <p>3차방정식 16세기 초 이탈리아인 페로(Ferro, 볼로야 Bologna 대학교수, \( x ^ { 3 } + m x=n \) )가 해법 발견</p> <ul> <li>사위인 피올레(Antonio Fior)에게 전수</li> <li>베니스 대학의 타르탈리아(Tortaglia)가 독자적으로 완성</li></ul> <p>1535년 피올레와 타르탈리아가 공개석상에서 승패를 겨룸. 타르탈리아의 승리( \(x ^ { 3 } + m x ^ { 2 } =n \) 꼴 외에도 2차항이 없는 3차방정식 모두 해결). 타르탈리아의 본명은 폰타나(Nicolo Fontana)이며, 어린 시절 프랑스군에 의해 혀가 잘려서 그때부터 말더듬이란 별명으로 불리게 된다. 밀라노 대학의 의사인 카르다노가 후원을 약속하며 서로 남에게 이 해법을 공개하지 않기로 약속하고 해법을 알려줌. 몇 년 후 카르다노가 《고등대수학》이란 책을 발간하면서 여기에 3차방정식의 해법을 정리해 놓았다. 이를 부당히 여긴 타르탈리아는 공개 석상에서 토론을 통해 진위를 가리기로 하였으나 카르다노 대신 그의 제자 페라리가 나서게 되고, 타르탈리아의 장애와 주위의 편견으로 고향으로 돌아가 버리게 되었다. 이때부터 3차방정식의 해법을 카르다노의 해법이라고 부르게 된다.</p> <p>5차방정식</p> <p>달랑베르 : 1746년 대수학의 기본정리 '계수가 모두 복소수인 1원 \(n\)차 방정식은 적어도 하나의 복소수 해를 갖는다.' 증명 시도. 1799년 22세의 가우스(Gauss)가 완벽하게 증명함으로써 5차 이상의 방정식에도 반드시 해가 존재한다는 사실 확인 그러나 그 해법은 모름. 19세기 아벨, 가우스가 그 해의 불가능성을 증명하였다. 아벨의 논문 〈5차 방정식의 일반적인 해법의 불가능성을 증명한 대수방정식에 관한 논문>을 가우스가 자신의 논문과 같이 넣어둠.</p> <p>아벨 : 24세 때 타원함수에 관한 논문을 파리 아카데미에 제출하였으나 심사의원 코시가 책상 서랍에 넣어두고 잊어버리게 된다. 그 무렵 야코비가 타원함수에 관한 논문을 발표하게 되고 2년 뒤 1829년 4월 6일 26세의 나이로 생애를 마감하게 된다. 안타까운 일은 그가 죽은 지 이틀 후에 베를린 대학으로부터 논문의 성과로 인하여 교수로 임용되었다는 연락을 받게 된다는 일이다.</p> <h1>2.3 고차 방정식과 연립방정식</h1> <p>\( x \)에 관한 다항식 \( P(x) \)가 3차식, 4차식, \( \cdots, n \)차식일 때, 방정식 \( P(x)=0 \)을 각각 \( x \)에 관한 3차 방정식(cubic equation), 4차 방정식(quatric equation), \( \cdots, n \)차 방정식(equation of n-th degree)이라고 한다. 특히 3차 이상의 방정식을 고차 방정식(equation of high degree)이라고 한다.</p>	자연
m673-복소해석학	<p>(vii) \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재하는 특별한 \( z_ { 0 } \) 을 선택하자. \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \) 이라 쓰고 또한 \( g ^ {\prime } \left (w_ { 0 } \right ) \) 이 존재한다고 가정하자. 그러면 \( w_ { 0 } \) 가 어떤 근방 \( \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \)이 존재하여 근방의 모든 점 \( w \) 에 대해서 함수 \[ \Phi(w)= \left \{\begin {array} { ll } \frac { g(w)-g \left (w_ { 0 } \right ) } { w-w_ { 0 } } -g ^ {\prime } \left (w_ { 0 } \right ), & w \neq w_ { 0 } \\ 0, & w=w_ { 0 } \end {array} \right . \]<caption>(2.34)</caption>을 정의할 수 있다. 함수의 정의로 부터 \[ \lim _ { w \rightarrow w_ { 0 } } \Phi(w)=0 \]<caption>(2.35)</caption>임에 주의하자. 따라서 \( \Phi \) 는 \( w_ { 0 } \) 에서 연속이다. 식 (2.34) 는 \[ g(w)-g \left (w_ { 0 } \right )= \left [g ^ {\prime } \left (w_ { 0 } \right ) + \Phi(w) \right ] \left (w-w_ { 0 } \right ) \quad \left ( \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \right ) \]<caption>(2.36)</caption>\( w=w_ { 0 } \) 일 때도 성립한다. \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재하고 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이므로 양수 \( \delta \) 를 선택하여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \] 이 성립한다. 따라서 식 (2.36) 에 \( w \) 대신 \( f(z) \) 을 대입하면 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 일 때 \[ \frac { g[f(z)]-g \left [f \left (z_ { 0 } \right ) \right ] } { z-z_ { 0 } } = \left \{ g ^ {\prime } \left [f \left (z_ { 0 } \right ) \right ] + \Phi[f(z)] \right \} \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } \]<caption>(2.37)</caption>여기서 0 으로 식을 나누지 않도록 \( z \neq z_ { 0 } \) 임을 요구하여야 한다. \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이고 \( \Phi \) 은 점 \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \) 에서 연속임에 주의하자. 그러므로 합성함수 \( \Phi[f(z)] \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다. 그런데 \( \Phi \left (w_ { 0 } \right )=0 \) 이므로 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \Phi[f(z)]=0 . \] 따라서 식 (2.37) 은 \( z \rightarrow z_ { 0 } \) 일 때 극한은 \[ F ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=g ^ {\prime } \left [f \left (z_ { 0 } \right ) \right ] f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \] 이 된다.</p> <p>보기 2.6</p> <p> <ol type=i start=1><li>극한 \( \lim _ { z \rightarrow i } \frac { z ^ { 2 } + 1 } { i z + 3 } =0 \) 이므로 \( (2.21) \) 에 의하여 \( \lim _ { z \rightarrow i } \frac { i z + 3 } { z ^ { 2 } + 1 } = \infty \)이다.</li> <li>극한 \( \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { 3 z + 4 i } { 2 z + 3 } \) 은 (2.22) 을 사용하면 \[ \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { (3 / z) + 4 i } { (2 / z) + 3 } = \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { 3 + 4 i z } { 2 + 3 z } = \frac { 3 } { 2 } \] 이므로 구하는 극한은 \( \frac { 3 } { 2 } \) 이다.</li> <li>극한 \( \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { 2 z ^ { 2 } + 3 z } { z + 1 } \) 은 (2.23) 을 사용하면 \[ \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { (1 / z) + 1 } {\left (2 / z ^ { 2 } \right ) + 3 / z } = \lim _ { z \rightarrow 0 } \frac { z + z ^ { 2 } } { 2 + 3 z ^ { 2 } } =0 \] 이므로 구하는 극한은 \( \infty \) 이다.</li></ol></p> <h1>2.3 연속성</h1> <p>이 절에서는 복소함수의 연속에 대한 성질을 살펴본다. 연속에 관한 정의는 실함수의 경우와 같이 정의한다:</p> <p>정의 2.5</p> <p>함수 \( f \) 가 점 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이라 함은 다음 세가지 조건<ol type=i start=1><li>극한 \( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z) \) 가 존재</li> <li>\( f \left (z_ { 0 } \right ) \) 가 존재</li> <li>\( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) \)</li></ol>을 만족한다. 만일 함수 \( f \) 가 구역 \( R \) 의 모든 점에서 연속이면 \( f \) 는 구역 \( R \) 위에서 연속이라 한다.</p> <p>변수 \[ \Delta z=z-z_ { 0 } \] 을 도입하면 (2.28) 은 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )= \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z + \Delta z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } {\Delta z } \]<caption>(2.29)</caption>으로 쓸 수 있다. \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 의 근방에서 정의되었으므로 충분히 작은 \( \| \Delta z\| \) 에 대해서 수 \[ f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right ) \] 은 항상 정의된다. 수 \[ \Delta w=f(z + \Delta z)-f(z) \] 을 도입하자. 만일 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 을 \( d w / d z \) 로 쓰면 등식 (2.29) 는 \[ \frac { d w } { d z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\Delta w } {\Delta z } \]<caption>(2.30)</caption>이 된다.</p> <p>보기 2.10</p> <p>\( f(z)=z ^ { 3 } \) 라 하자. 임의의 점 \( z \) 에서 \[ \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\Delta w } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { (z + \Delta z) ^ { 3 } -z ^ { 3 } } {\Delta z } = \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \left (3 z ^ { 2 } + 3 z \Delta z + ( \Delta z) ^ { 2 } \right )=3 z ^ { 2 } \] 따라서 \( d w / d z=3 z ^ { 2 } \) 또는 \( f ^ {\prime } (z)=3 z ^ { 2 } \) 이다.</p> <p>보기 2.11</p> <p>\( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 라 하자. \[ \frac {\Delta w } {\Delta z } = \frac { \|z + \Delta z\| ^ { 2 } -\|z\| ^ { 2 } } {\Delta z } = \frac { (z + \Delta z)( \bar { z } + \overline {\Delta z } )-z \bar { z } } {\Delta z } = \bar { z } + \overline {\Delta z } + z \frac {\overline {\Delta z } } {\Delta z } \]<caption>(2.31)</caption>이다. 만일 \( \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac {\Delta w } {\Delta z } \) 이 존재하면 이것은 \( \Delta z \) 평면에서 임의의 방법으로도 점 \( \Delta z=( \Delta x, \Delta y) \) 이 원점으로 접근하면 찾을 수 있다. 특별히 \( \Delta z \) 가 실수축위의 점 \( ( \Delta x, 0) \) 을 따라 수평적으로 원점으로 접근하면 \( \overline {\Delta z } = \Delta z \) 이므로 (2.31) 이 존재하면 극한은 \( \bar { z } + z \) 이어야 한다. 그러나 \( \Delta z \) 가 허수축위의 점 \( (0, \Delta y) \) 을 따라 수직적으로 원점으로 접근하면 \( \overline {\Delta z } =- \Delta z \) 이므로 (2.31) 이 존재하면 극한은 \( \bar { z } -z \) 이어야 한다. 그런데 극한은 유일하므로 \( \bar { z } + z= \bar { z } -z \), 즉 \( z=0 \) 이다.</p> <h1>2.2극한</h1> <p>이 절에서는 복소함수의 극한에 관하여 다루기로 한다. 고등미적분학에서 이미 이변수함수의 극한에 관한 성질에 대해 다루었다. 이와 유사하게 복소함수의 극한을 정의한다.</p> <p>정의 2.2</p> <p>함수 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 의 어떤 빠진 근방 \( N ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 의 모든 점 \( z \) 에서 정의되었다고 하자. \( z \rightarrow z_ { 0 } \) 일 때 \( f \left (z_ { 0 } \right ) \rightarrow w_ { 0 } \) 이면 기호로 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \]<caption>(2.3)</caption>로 쓴다. \( \varepsilon- \delta \) 논법을 사용하면 (2.3) 은 다음과 동치이다.</p> <p>임의의 양의 실수 \( \varepsilon>0 \) 에 대해서 양수 \( \delta>0 \) 이 존재하여 정의역의 모든 \( z \) 에 대해서 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \]<caption>(2.4)</caption>이 성립한다.</p> <p>참고 2.1</p> <p>함수의 극한 (2.3) 이 존재하면 유일하다.</p> <p>증명</p> <p>두 개의 극한 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \quad \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 1 } \] 이 존재한다고 가정하자. 그러면 임의의 양수 \( \varepsilon>0 \) 에 대해서 두 양수 \( \delta_ { 0 } , \delta_ { 1 } \) 가 존재하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta_ { 0 } \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \] 와 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta_ { 1 } \text { 이면 } \left \|f(z)-w_ { 1 } \right \|< \varepsilon \] 이 성립한다. \( \delta= \min \left ( \delta_ { 0 } , \delta_ { 1 } \right ) \) 라 두자. 만일 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 이면 \[ \left \|w_ { 0 } -w_ { 1 } \right \|= \left \|w_ { 0 } -f(z) + f(z)-w_ { 1 } \right \| \leq \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \| + \left \|f(z)-w_ { 1 } \right \|<2 \varepsilon \] 그러나 \( \left \|w_ { 0 } -w_ { 1 } \right \| \)이 음이 아닌 상수이고 \( \varepsilon \) 은 임의의로 작게 선택될 수 있으므로 따라서 \( w_ { 0 } =w_ { 1 } \) 이다.</p> <p>정의 2.10</p> <p>두 변수 \( x \) 와 \( y \) 의 실함수 \( u(x, y) \) 가 \( x y \) 평면의 주어진 정의역에서 조화함수라 함은 정의역 전체에서 \( u \) 의 연속인 1 계 및 2 계 편도함수가 존재하고 Laplace 방정식 \[ u_ { x x } (x, y) + u_ { y y } (x, y)=0 \]<caption>(2.60)</caption>을 만족한다.</p> <p>만일 복소함수 \( f=u + i v \) 가 한 점에서 해석적이면 함수 \( f \) 의 실수부 \( u \) 와 허수부 \( v \) 는 그 점에서 모든 계수의 연속인 편도함수를 가진다. 이 사실을 이용하면 정리 2.8 을 증명할 수 있다.</p> <p>보조정리 2.1</p> <p>\( D \) 는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 내에서 열린집합, \( (a, b) \in D, u: D \rightarrow \mathbb { R } \) 이라 하자. \( u \) 가 \( D \) 위에서 \( \mathscr { C } ^ { 1 } \) 이고 \( u \) 의 혼합 2 계 편도함수 중 하나가 존재하고 \( (a, b) \) 에서 연속이면 \( (a, b) \) 에서 다른 하나의 혼합 2 계 편도함수가 존재하고 \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y \partial x } (a, b)= \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } (a, b) \]</p> <p>증명 \( u_ { y x } \) 가 \( D \) 위에서 존재하고 점 \( (a, b) \) 에서 연속이라고 가정하자. \( r>\) 0 을 선택하여 \( B_ { r } (a, b) \subset D \) 을 만족하게 하고 \( \|h\|,\|k\|< \frac { r } {\sqrt { 2 } } \) 에 대해서 \[ \Delta u(h, k)=u(a + h, b + k)-u(a + h, b)-u(a, b + k) + u(a, b) \] 로 두자. 평균값정리를 두 번 사용하면 스칼라 \( s, t \in(0,1) \) 를 선택하여 \[ \Delta u(h, k)=k \frac {\partial u } {\partial y } (a + h, b + t k)-k \frac {\partial u } {\partial y } (a, b + t k)=h k \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } (a + s h, b + t k) . \] 그런데 마지막 혼합 편도함수는 점 \( (a, b) \) 에서 연속이므로 \[ \lim _ { k \rightarrow 0 } \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\Delta u(h, k) } { h k } = \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } (a, b) . \]<caption>(2.61)</caption>한편 평균값정리를 사용하면 스칼라 \( p \in(0,1) \) 가 존재하여 \[ \begin {aligned} \Delta u(h, k) &=u(a + h, b + k)-u(a + h, b)-u(a, b + k) + u(a, b) \\ &=h \frac {\partial u } {\partial x } (a + p h, b + k)-h \frac {\partial u } {\partial x } (a + p h, b) \end {aligned} \] 따라서 (2.61) 로부터 \[ \begin {array} { r } \lim _ { k \rightarrow 0 h \rightarrow 0 } \frac { 1 } { k } \left ( \frac {\partial u } {\partial x } (a + p h, b + k)- \frac {\partial u } {\partial x } (a + p h, b) \right ) \\ = \lim _ { k \rightarrow 0 } \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac {\Delta u(h, k) } { h k } = \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } (a, b) . \end {array} \]</p> <h1>2.1 복소변수의 함수</h1> <p>정의 2.1</p> <p>S 를 복소수들의 부분집합이라 하자. \( S \) 위에서 정의된 함수 \( f \) 란 \( S \) 의 각 원소 \( z \)에 대해서 복소수 \( w \)를 대응시키는 규칙 이다. 복소수 \( w \) 를 \( z \) 에서 \( f \)의 값이라 부르고 \( f(z) \) 로 나타낸다. 즉 \( w = f(z) \) 이다. 집합 \( S \) 를 \( f \) 의 정의역(domain of definition) 이라 부른다.</p> <p>특별한 언급이 없는 한, 함수의 정의역은 택할 수 있는 가장 큰 집합으로 한다. 예를 들어, \( f(z)=1 / z \) 의 정의역은 \( z \neq 0 \) 인 모든 복소수 전체의 집합이다.</p> <p>\( w=u + i v \) 가 \( z=x + i y \) 에서 함수 \( f \) 의 값이라 가정하자. 그러면 \[ u + i v=f(x + i y) \] 이다. 각 실수 \( u \) 와 \( v \) 는 실변수 \( x \) 와 \( y \) 에 의존한다.따라서 \( f(z) \) 는 실변수 \( x \) 와 \( y \) 의 실수값 함수의 한 쌍 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \]<caption>(2.1)</caption>으로 표현될 수 있다. 만일 \( x \) 와 \( y \) 대신 극좌표 \( r \) 과 \( \theta \) 를 사용하면 \[ u + i v=f \left (r e ^ { i \theta } \right ) . \] 여기서 \( w=u + i v \) 이고 \( z=r e ^ { i \theta } \) 이다. 이 경우 \[ f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) \]<caption>(2.2)</caption>으로 쓸 수 있다.</p> <p>보기 2.1</p> <p>\( f(z)=z ^ { 2 } \) 일 때 \[ f(z)=(x + i y) ^ { 2 } =x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + i 2 x y \]이므로 \[ u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \text { 이고 } v(x, y)=2 x y . \] 극좌표가 사용되었을 때 \[ f \left (r e ^ { i \theta } \right )= \left (r e ^ { i \theta } \right ) ^ { 2 } =r ^ { 2 } e ^ { i 2 \theta } =r ^ { 2 } \cos 2 \theta + i r ^ { 2 } \sin 2 \theta \] 이므로 \[ u(r, \theta)=r ^ { 2 } \cos 2 \theta \text { 이고 } v(r, \theta)=r ^ { 2 } \sin 2 \theta . \]</p> <p>특히 실수축을 따라 점 \( ( \Delta x, 0) \) 을 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \) 이면 식 \( (2.42) \) 에서 \( \Delta y=0 \) 이므로 \[ \begin {aligned} \operatorname { Re } \left [f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right ] &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { u \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } \right )-u \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta x } \\ \operatorname { Im } \left [f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right ] &= \lim _ {\Delta x \rightarrow 0 } \frac { v \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } \right )-v \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta x } \end {aligned} \] 을 얻는다. 즉 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=u_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + i v_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.42)</caption>이다. 또한 허수축을 따라 점 \( (0, \Delta y) \) 을 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \) 이면 식 (2.42) 에서 \( \Delta x=0 \) 이므로 같은 방법으로 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=v_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-i u_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.43)</caption>을 얻는다. 위 식은 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=-i \left [u_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + i v \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] \] 임에 주의하자. 식 (2.43) 과 (2.44) 을 비교하면 \( f \) 의 미분가능성으로부터 편미분방정식 \[ u_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=v_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \quad u_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=-v_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.44)</caption>을 얻는다. 이 때 일계 편미분방정식 (2.44) 를 Cauchy-Riemann 방정식이라 부른다. 따라서 다음 결과를 얻는다.</p> <p>보기 2.7</p> <p>함수 \[ f(z)=x y \cos \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right )-i \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \sin \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) \] 은 각 성분함수가 각 점 \( (x, y) \) 에서 연속이므로 명제 2.4 에 의하여 연속이다.</p> <p>연속인 복소함수의 여러가지 성질은 연속인 실함수의 성질과 매우 비슷하다.</p> <p>\( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \) 가 유계이고 닫힌구역 \( R \) 에서 연속이라 하자. 그러면 함수 \[ \sqrt { [u(x, y)] ^ { 2 } + [v(x, y)] ^ { 2 } } \] 은 \( R \) 에서 연속이고 따라서 \( R \) 내의 어떤 점에서 최대값을 가진다. 즉 \( f \) 는 \( R \) 에서 유계이고 \( \|f(z)\| \) 는 \( R \) 내의 어떤 점에서 최대값을 가진다. 음이 아닌 실수 \( M \) 이 존재하여 모든 \( z \in R \) 에 대해서 \[ \|f(z)\| \leq M \]<caption>(2.27)</caption>이 성립한다.</p> <p>정의 2.6</p> <p>정의 2.6 함수 \( f \) 가 정의역 \( R \) 에서 고른연속(uniformly continuous)이라 함은 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 양수 \( \delta \) 가 존재하여 \( \|z-w\|< \delta \) 을 만족하는 \( R \) 내의 임의의 두 점 \( z, w \) 에 대해서 \[ \|f(z)-f(w)\|< \varepsilon \] 을 만족한다.</p> <p>보기 2.8</p> <p>함수 \( f(z)=z ^ { 2 } \) 은 구역 \( \|z\| \leq r \) 에서 고른연속이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \varepsilon>0 \) 이 주어졌다 하자. \( \|z\| \leq r,\|w\| \leq r \) 을 만족하는 \( z, w \) 에 대해서 \[ \|f(z)-f(w)\|= \left \|z ^ { 2 } -w ^ { 2 } \right \|=\|z + w\|\|z-w\| \leq(\|z\| + \|w\|)\|z-w\| \leq 2 r\|z-w\| \] 이므로 \( \delta= \varepsilon /(2 r) \) 라 두면 \( \|z-w\|< \delta \) 일때 \( \|f(z)-f(w)\|< \varepsilon \) 이므로 주어진 함수 \( f(z)=z ^ { 2 } \) 는 구역 \( \|z\| \leq r \) 에서 고른연속이다.</p> <p>참고 2.7</p> <p>\( z_ { 0 } \) 에서 연속인 경우 양수 \( \delta \) 은 점 \( z_ { 0 } \) 와 \( \varepsilon \) 에 의존하지만 고딕 고른연속인 경우 단지 \( \varepsilon \) 에만 의존한다.</p> <p>보기 2.9</p> <p>\( f(z)= \frac { 1 } { z } \) 은 구역 \( \|z\|>0 \) 의 모든 점에서 연속이지만 고른연속은 아니다.</p> <p>증명</p> <p>1. \( z_ { 0 } \) 을 구역의 임의의 점이라 하자. 먼저 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 연속임을 보이자. \( \varepsilon>0 \) 이 주어졌다고 하자. 먼저 \[ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \left \| \frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { z_ { 0 } } \right \|= \frac {\left \|z-z_ { 0 } \right \| } {\left \|z z_ { 0 } \right \| } \] 을 생각하자. 위 식의 분모부분을 제어하기 위해서 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \left \|z_ { 0 } \right \| / 2 \) 을 만족하는 \( z \) 는 \( \|z\|>\frac {\left \|z_ { 0 } \right \| } { 2 } \) 을 만족하므로 \[ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|= \frac {\left \|z-z_ { 0 } \right \| } {\left \|z z_ { 0 } \right \| } \leq \frac { 2 \delta } {\left \|z_ { 0 } \right \| ^ { 2 } } \] 이 성립한다. 따라서 \( \delta= \min \left \{\frac {\left \|z_ { 0 } \right \| ^ { 2 } \varepsilon } { 2 } , \frac {\left \|z_ { 0 } \right \| } { 2 } \right \} \) 라 두면 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \) 일 때 \[ \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \] 이 성립한다. 따라서 \( \delta \) 는 \( \varepsilon \) 과 \( z_ { 0 } \) 에 의존한다. 만일 \( z_ { 0 } \) 가 원점에 충분히 가까우면 \( \delta \) 는 0 으로 다가감을 알 수 있다. 따라서 \( \delta \) 를 \( z_ { 0 } \) 에 무관하게 고르게 선택할 수 없음을 알 수 있다.</p> <p>따름정리 2.1</p> <p> <ol type=i start=1><li>임의의 복소상수 \( c=a + i b \) 에 대해서 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } c=c. \]</li> <li>임의의 복소상수 \( z_ { 0 } \) 에 대해서 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } z ^ { n } =z_ { 0 } ^ { n } \quad(n=1,2, \ldots) \] 더욱이 \( P(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + a_ { 2 } z ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \) 일 때 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } P(z)=P \left (z_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.17)</caption></li></ol></p> <p>참고 2.4</p> <p>삼각부등식 \[ \|\| f(z)\|-\| w_ { 0 } \|\| \leq \left \|f(z)-w_ { 0 } \right \| \] 을 이용하여 극한 \( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \) 이 존재하면 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \|f(z)\|= \left \|w_ { 0 } \right \| \] 이 성립한다. 그러나 역은 성립하지 않는다.</p> <p>보기 2.5</p> <p>\( z=x + i y \) 일 때 함수 \[ f(z)= \left \{\begin {array} { ll } 1, & \|y\| \leq x, x \geq 0 \\ -1, & \|y\|>x, x<0 \\ i, & \|x\| \leq y, y \geq 0 \\ -i, & \|x\|>y, y<0 \end {array} \right . \] 은 \( \lim _ { z \rightarrow 0 } \|f(z)\|=1 \) 이지만 \( \lim _ { z \rightarrow 0 } f(z) \) 의 극한은 존재하지 않는다.</p> <p>\( z_ { 0 } \) 와 \( w_ { 0 } \) 이 일부 또는 모두 \( \infty \) 일 때 극한 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \] 을 생각하기로 한다. 1.3 절에서 복소평면에 무한점 \( \infty \) 를 더한 확장복소평면을 리만구면 \( S \) 로 입체화사영할 수 있음을 기억하자. 극한 \( z \rightarrow \infty \) 란 리만구면의 북극점 \( N \) 을 중심으로 하는 충분히 작은 근방내의 점들로 생각할 수 있다. 즉, 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대한 \( \infty \) 의 \( \varepsilon \)-근방은 \( \|z\|>\frac { 1 } {\varepsilon } \) 을 만족하는 모든 \( z \) 들의 집합이다(1.3절 참조). 이러한 개념을 바탕으로 다음을 정의한다.</p> <p>2. 이제 함수 \( f(z) \) 가 구역 \( \|z\|>0 \) 에서 고른연속이 아님을 보이자. \( f(z) \) 가 주어진 구역에서 고른연속이라 가정하자. 즉, \( \|z\|>0 \) 을 만족하는 모든 \( z, w \) 에 대해서 \( \|z-w\|< \delta \) 이면 \( \|f(z)-f(w)\|<1 \) 이 성립하는 \( \delta \) 가 존재한다고 가정하자. 아르키메데스원리에 의하여 이러한 \( \delta>0 \) 에 대해서 \( 2>\) \( n \delta>1 \) 을 만족하는 자연수 \( n \) 이 존재한다. 이제 \( z= \frac { 1 } { n } , w= \frac { 1 } { n } + \frac {\delta } { 2 } \) 라 두면 \( \|z-w\|= \frac {\delta } { 2 }< \delta \) 이지만 \[ \|f(z)-f(w)\|= \left \| \frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { w } \right \|= \left \|n- \frac { 2 n } { n \delta + 2 } \right \|= \frac { n ^ { 2 } \delta } { 2 + n \delta } = \frac { n } { 1 + \frac { 2 } { n \delta } } >\frac { n } { 2 } \geq 1 \] 이므로 이것은 모순이다.</p> <p>유계이고 닫힌구역 \( R \) 에서 연속인 실함수는 고른연속임을 알고 있다. 복소함수에 대해서도 다음 정리는 성립한다(증명방법은 연속실함수의 경우와 비슷하다. 자세한 증명은 H. Silverman[12] 정리 2.16을 보라).</p> <p>정리 2.3</p> <p>유계이고 닫힌구역 \( R \) 에서 연속인 복소함수는 고른연속이다.</p> <h1>2.4 미분가능성</h1> <p>이 절에서는 복소함수의 미분가능성에 관하여 공부하기로 한다. 우리는 이미 다변수 해석학에서 다변수함수가 미분가능하기 위한 필요충분조건을 기억할 것이다. 이 절에서는 주어진 복소함수가 미분가능한 필요충분조건에 관하여 살펴보기로 한다.</p> <p>정의 2.7</p> <p>\( f \) 를 \( z_ { 0 } \) 의 근방을 포함하는 정의역에서 정의된 함수라 하자. \( z_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 도함수 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 는 극한이 존재하면 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )= \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } \]<caption>(2.28)</caption>으로 정의한다. 만일 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재하면 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>식 (2.1) 또는 (2.2) 에서 함수 \( v \) 가 항상 영이면 수 \( f(z) \) 는 항상 실수이다. 복소변수의 실수값 함수의 예는 \[ f(z)=\|z\| ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + i 0 . \]</p> <p>이와 같이 복소변수의 복소값을 가지는 함수는 복소변수의 실수값을 가지는 함수의 일반화이다. 복소평면은 2차원 실수평면으로 간주할 수 있으므로 이제부터 함수의 정의역의 변수에 관계없이 함수의 치역에 의해 우리는 편의상 치역이 복소수이면 고딕 복소함수, 실수이면 실함수라 부르자.</p> <p>만일 \( n \) 이 0 또는 양의 정수이고 \( a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } , \left (a_ { n } \neq 0 \right ) \) 복소상수이면 함수 \[ P(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + a_ { 2 } z ^ { 2 } + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \] 은 \( n \) 차 다항식이다. 여기서 합은 유한개를 가지고 정의역은 \( z \) 평면 전체이다. 다항식들의 몫 \( P(z) / Q(z) \) 을 유리함수라 하고 \( Q(z) \neq 0 \) 인 각 점 \( z \) 에서 정의된다. 다항식과 유리함수는 기본 함수이지만, 자주 인용되는 중요한 복소함수다.</p> <p>함수 개념의 일반화는 실변수함수에서 \( \sin ^ { -1 } x \)와 같이 실수상의 정의역의 한 점 \( x \)에 대해서 여러 개의 값을 가지는 함수를 생각할 수 있듯이 복소 함수에 대해서도 정의역의 한 점 \( z \) 에 대해서 한 개 이상의 값을 대응시키는 규칙이다. 이러한 다가(multiple-valued) 함수는 복소함수론에서 나타난다. 다가함수가 주어졌을 때 통상 체계적인 방법으로 다가함수로 부터 각 점에 대응하는 가능한 값중 꼭 한 개의 값을 택하여 단가(single-valued)함수를 만든다.</p> <p>보기 2.2</p> <p>\( z \) 가 임의의 0 이 아닌 복소수 \( z=r e ^ { i \theta } \) 라 가정하자. \( f(z)=z ^ { 1 / 2 } \) 는 복소평면상의 점 \( z \) 에 두 값 \( z ^ { 1 / 2 } = \pm \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } \) 을 대응시키는 이가함수이다. 여기서 \( \theta \) 는 \( \arg z \) 의 주요값 \( (- \pi< \theta \leq \pi) \) 이다. 그러나 만일 \( \pm \sqrt { r } \) 의 양의 값만 택하고 \[ f_ { 1 } (z)= \sqrt { r } e ^ { i \theta / 2 } \quad(r>0,- \pi< \theta \leq \pi) \] 라고 쓰면 이 단가함수 \( f_ { 1 } \) 은 주어진 정의역에서 잘 정의된다. 0 은 0 의 유일한 제곱근이므로 \( f_ { 1 } (0)=0 \) 라 쓴다. 그러면 함수 \( f_ { 1 } \) 은 음의 실수축인 \( \theta= \pi \) 을 제외한 모든 복소 평면인 영역에서 잘 정의된다.</p> <p>다변수 함수 \( f: \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } \) 이 미분가능할 때 \( f \) 의 1 계 편도함수가 존재하고 \( f \) 의 미분의 표현행렬이 Jacobi 행렬임을 기억할 것이다. 이와 유사한 정리가 복소함수에서도 성립한다.</p> <p>복소함수의 미분가능성은 \( f=u + i v \) 일 때 \( f \) 의 실수부 및 허수부 함수의 관계식을 얻을 수 있다. 이러한 경우 주어진 복소함수의 미분 가능성을 판단하는데 매우 편리할 것이다.</p> <p>먼저 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \]<caption>(2.38)</caption>가 점 \( z_ { 0 } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 미분가능하다고 가정하자. 즉 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )= \lim _ {\Delta z \rightarrow 0 } \frac { f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) } {\Delta z } \]<caption>(2.39)</caption>이 존재한다고 가정하자. \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } \) 이고 \( \Delta z= \Delta x + i \Delta y \) 으로 쓰자. 정리 2.1 에 의하여 \[ \operatorname { Re } \left [f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right ]= \lim _ { ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) } \operatorname { Re } \left [ \frac { f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) } {\Delta z } \right ] \]<caption>(2.40)</caption>\[ \operatorname { Im } \left [f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \right ]= \lim _ { ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) } \operatorname { Im } \left [ \frac { f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) } {\Delta z } \right ] \]<caption>(2.41)</caption>인 식을 얻는다. 여기서 \[ \begin {aligned} \frac { f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) } {\Delta z } =& \frac { u \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-u \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } {\Delta x + i \Delta y } \\ & + \frac { i \left [v \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-v \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \right ] } {\Delta x + i \Delta y } \end {aligned} \] 이다. 식 (2.39) 가 존재하므로 식 (2.40) 과 (2.41)은 우리가 선택한 경로를 따라 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \) 일 때 성립한다.</p> <h1>2.5 해석함수</h1> <p>이 절에서는 미분가능한 복소함수가 가지는 성질과 Cauchy-Riemann 조건을 이용한 새로운 개념을 소개한다.</p> <p>정의</p> <p>복소변수 \( z \) 의 함수 \( f \) 가 열린집합내에서 해석적이라 함은 \( f \) 가 열린집합내의 각 점에서 도함수를 가진다. 함수 \( f \) 가 열린집합이 아닌 집합 \( S \) 내에서 해석적이라는 함은 \( f \) 는 \( S \) 를 포함하는 열린집합내에서 해석적이다. 특히 \( f \) 가 점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이라 함은 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 의 근방에서 해석적이다. 만일 함수가 복소평면 전체의 각 점에서 해석적이면 전함수(entire function)라 한다.</p> <p>보기 2.17</p> <p> <ol type=i start=1><li>함수 \( f(z)= \frac { 1 } { z } \) 은 유한 평면내의 0 이 아닌 각 점에서 해석적이다.</li> <li>\( f(z)=\|z\| \) 은 어떠한 점에서도 해석적이 아니다.</li> <li>복소 다항식은 전함수이다.</li></ol></p> <p>정의 2.9</p> <p>가 점 \( z_ { 0 } \) 에서 해석적이 아니지만 \( z_ { 0 } \) 의 모든 근방내의 어떤 점에서는 해석적이면 \( z_ { 0 } \) 를 \( f \) 의 특이점이라 부른다.</p> <p>보기< \p> <p>\( z=0 \) 은 \( f(z)= \frac { 1 } { z } \) 의 특이점이다. 그러나 \( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 은 특이점을 가지지 않는다.</p> <p>명제 2.6와 정의 2.8로부터 다음 명제를 얻는다.</p> <p>명제 2.7</p> <p>함수 \( f \) 와 \( g \) 는 정의역 \( D \) 내에서 해석적이라 하자. 그러면 \[ f + g, f-g, f g \] 은 \( D \) 에서 해석적이다. 만일 \( g \) 가 \( D \) 에서 0 이 아니면 \( \frac { f } { g } \) 도 해석적이다.<p>특별히 두 다항식의 몫 \( P(z) / Q(z) \) 은 \( Q(z) \neq 0 \) 인 임의의 정의역에서 해석적이다.</p> <p>두 해석함수의 합성함수도 해석함수이다.</p> <p>명제 2.8</p> <p>함수 \( f(z) \) 가 정의역 \( D \) 에서 해석적이고 변환 \( w=f(z) \) 하에서 \( D \) 의 상이 해석함수 \( g(w) \) 의 정의역에 포함되면 합성함수 \( g \circ f \) 도 \( D \) 에서 해석적이고 그 도함수는 \[ \frac { d } { d z } g[f(z)]=g ^ {\prime } (f(z)) f ^ {\prime } (z) \]이다.</p> <p>역으로 \( z_ { 0 } \) 에서 방정식 (2.57)이 성립함을 알았다면 (2.55) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 성립하여야 한다. 그러므로 (2.57)은 Cauchy-Riemann방정식의 다른 형태이다. 따라서 극좌표로 표현된 함수에 대한 Cauchy-Riemann 방정식으로 복소함수의 미분가능성 및 그 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>정리 2.6</p> <p>함수 \[ f(z)=u(r, \theta) + i v(r, \theta) \] 이 0 이 아닌 점 \( z_ { 0 } =r_ { 0 } \exp \left (i \theta_ { 0 } \right ) \) 의 어떤 \( \delta \)-근방전체에서 정의되었다고 하자. \( r \) 과 \( \theta \) 에 관한 \( u \) 와 \( v \) 의 일계편도함수가 그 근방의 모든 곳에서 존재하고 또한 \( \left (r_ { 0 } , \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 연속이라 가정하자. 그러면 만일 이러한 편도함수가 \( \left (r_ { 0 } , \theta_ { 0 } \right ) \) 에서 Cauchy-Riemann 방정식의 극좌표형식 (2.58) 을 만족하면 도함수 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 가 존재하고 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )= \left .e ^ { -i \theta } \left (u_ { r } + i v_ { r } \right ) \right \|_ {\left (r_ { 0 } , \theta_ { 0 } \right ) } \]<caption>(2.58)</caption>이다.</p> <p>보기 2.16</p> <p>함수 \[ f(z)= \frac { 1 } { z } = \frac { 1 } { r e ^ { i \theta } } \] 을 생각하자. \[ u(r, \theta)= \frac {\cos \theta } { r } , \quad v(r, \theta)=- \frac {\sin \theta } { r } \] 이므로 평면위의 0 이 아닌 점 \( z=r e ^ { i \theta } \) 에서 정리 \( 2.6 \) 의 조건을 만족한다. 따라서 \( f \) 의 도함수는 존재하고 \[ f ^ {\prime } (z)=e ^ { -i \theta } \left (- \frac {\cos \theta } { r ^ { 2 } } + i \frac {\sin \theta } { r ^ { 2 } } \right )=- \frac { 1 } {\left (r e ^ { i \theta } \right ) ^ { 2 } } =- \frac { 1 } { z ^ { 2 } } . \]</p> <p>명제 2.3</p> <p>만일 \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이고 \( f \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이면 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( N \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재하여 모든 \( z \in N \left (z_ { 0 } \right ) \) 에 대해서 \( f(z) \neq 0 \) 이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \varepsilon= \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| / 2 \) 라 두면 양수 \( \delta \) 가 존재하여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \frac {\left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 2 } \] 이 성립한다. 삼각부등식 \( \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|-\|f(z)\| \leq \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \) 으로부터 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \|f(z)\|>\frac {\left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 2 } >0 . \] \( f=u + i v \) 일 때 복소수를 평면위의 점으로 생각하면 \( f \) 는 \( f(x, y)= (u, v) \) 정의된 함수 \( f: D \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \) 로 생각할 수 있다. 실함수 \( f \) 가 연속이기 위한 필요충분조건은 \( u, v \) 가 연속임을 알고 있다. 또한 정리 2.1 로 부터 다음 명제를 얻는다.</p> <p>명제 2.4</p> <p>복소함수 \( f=u + i v \) 가 점 \( z_ { 0 } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 연속이면 성분함수 \( u \) 와 \( v \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다.</p> <p>정리 2.4는 Cauchy-Riemann 방정식이 미분가능성의 필요조건임을 말하고 있다. 그 대우를 이용하면 미분가능하지 않은 함수를 판별하는데 도움이 된다.</p> <p>보기 2.13</p> <p>\( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 일 때 \( u(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 이고 \( v(x, y)=0 \) 이다. 만일 점 \( (x, y) \) 에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다면 \[ u_ { x } (x, y)=2 x=0, \quad u_ { y } =2 y=0 \] 이 성립하여야 한다. 따라서 \( f ^ {\prime } (z) \) 은 원점을 제외한 모든 곳에서 존재하지 않는다. 그러나 정리 2.4은 \( f ^ {\prime } (0) \) 의 존재성을 보장하지 못한다. 보기 2.11 은 \( f ^ {\prime } (0)=0 \) 임을 보여주고 있다.</p> <p>다변수함수 \( f: \mathbb { R } ^ { n } \rightarrow \mathbb { R } ^ { m } \) 의 1 계 편도함수가 존재할지라도 주어진 함수 \( f \) 가 미분가능하지 않음을 기억하자. 복소함수에서도 이와 같은 성질이 있다.</p> <p>점 \( z_ { 0 } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 Cauchy-Riemann 방정식의 만족은 그 점에서 함수 \( f(z) \) 의 도함수의 존재성을 보장하지 못한다(연습문제 6,12 ). 어떤 연속성 조건으로 부터 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 2.5</p> <p>함수 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \] 은 점 \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } \) 에서 어떤 \( \delta \)-근방전체에서 정의되었다고 하자. \( x \) 와 \( y \) 에 관한 함수 \( u \) 와 \( v \) 의 일계편도함수가 그 근방내의 모든 곳에서 존재하고 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 연속 3 이라 하자. 그러면 만일 이러한 편도함수들이 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 Cauchy-Riemann 방정식 \[ u_ { x } =v_ { y } , \quad u_ { y } =-v_ { x } \] 을 만족하면 도함수 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재한다.</p> <p>실제로 \( d w / d z \) 이 \( z=0 \) 에서 존재함을 보이려면 \( z=0 \) 에서 \( \Delta w / \Delta z= \overline {\Delta z } \) 이므로 극한 \( d w / d z \) 은 \( z=0 \) 에서만 존재하고 극한 값은 0 이다.</p> <p>보기 2.11 의 함수는 원점에서 미분가능하지만 그 점의 임의의 근방에 어느 점에서도 미분가능하지 않은 함수임을 나타낸다. \( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 의 실수부와 허수부는 각각 \[ u(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \quad v(x, y)=0 \]<caption>(2.32)</caption>이므로 이것은 복소함수의 실수성분과 허수성분은 한 점에서 모든 계수의 연속인 도함수를 가질 수 있지만 복소함수는 그 점에서 미분가능하지 않을 수도 있다.</p> <p>함수 \( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 은 성분함수 (2.32) 이 각 점에서 연속이므로 평면내의 각 점에서 연속이다. 따라서 실변수함수 \( f(x)=\|x\| \) 와 비슷하게 복소함수의 경우에도 한 점에서 함수의 연속성은 그 점에서 미분가능성을 유도하지 않는다. 그러나 그 역은 성립한다.</p> <p>명제 2.5</p> <p>\( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 이 존재하면 \( f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다.</p> <p>증명</p> <p>등식 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \left [f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right ]= \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \frac { f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) } { z-z_ { 0 } } \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } \left (z-z_ { 0 } \right )=f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \cdot 0=0 \] 으로 부터 연속성이 증명된다.</p> <p>점 \( z \) 에서 함수 \( f \) 의 도함수를 \[ \frac { d } { d z } f(z) \text { 또는 } f ^ {\prime } (z) \] 으로 나타내자. 그러면 다음 공식을 얻는다.</p> <p>정리 2.1</p> <p>정리 2.1 \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y), z=x + i y, z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } , w_ { 0 } =u_ { 0 } + i v_ { 0 } \) 라고 가정하자. 그러면 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \]<caption>(2.7)</caption>이기위한 필요충분조건은 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } u(x, y)=u_ { 0 } \text { 이고 } \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } v(x, y)=v_ { 0 } \text { . } \]<caption>(2.8)</caption></p> <p>증명</p> <p>먼저 (2.8) 가 성립한다고 가정하자. 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 양수 \( \delta_ { 1 } \) 과 \( \delta_ { 2 } \) 가 존재하여 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta_ { 1 } \text { 이면 } \left \|u-u_ { 0 } \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } \]<caption>(2.9)</caption>와 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta_ { 2 } \text { 이면 } \left \|v-v_ { 0 } \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } \]<caption>(2.10)</caption>가 성립한다. \( \delta= \min \left ( \delta_ { 1 } , \delta_ { 2 } \right ) \) 라 두면 \[ \left \|(u + i v)- \left (u_ { 0 } + i v_ { 0 } \right ) \right \|= \left \| \left (u-u_ { 0 } \right ) + i \left (v-v_ { 0 } \right ) \right \| \leq \left \|u-u_ { 0 } \right \| + \left \|v-v_ { 0 } \right \| \] 이고 \[ \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } = \left \| \left (x-x_ { 0 } \right ) + i \left (y-y_ { 0 } \right ) \right \|= \left \|z-z_ { 0 } \right \| \] 이므로 (2.9) 와 (2.10) 로부터 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \] 이면 \[ \left \|(u + i v)- \left (u_ { 0 } + i v_ { 0 } \right ) \right \|< \frac {\varepsilon } { 2 } + \frac {\varepsilon } { 2 } = \varepsilon \] 이 성립한다.<p>역으로 (2.7) 이 성립한다고 가정하자. 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 양수 \( \delta \) 가 존재하여 \[ 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \]<caption>(2.11)</caption>이면 \[ \left \|(u + i v)- \left (u_ { 0 } + i v_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \]<caption>(2.12)</caption>이 성립한다. 그런데 \[ \begin {array} { ll } \left \|u-u_ { 0 } \right \| \leq \left \| \left (u-u_ { 0 } \right ) + i \left (v-v_ { 0 } \right ) \right \| & = \left \|(u + i v)- \left (u_ { 0 } + i v_ { 0 } \right ) \right \| \\ \left \|v-v_ { 0 } \right \| \leq \left \| \left (u-u_ { 0 } \right ) + i \left (v-v_ { 0 } \right ) \right \| & = \left \|(u + i v)- \left (u_ { 0 } + i v_ { 0 } \right ) \right \| \end {array} \] 이고 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|= \left \| \left (x-x_ { 0 } \right ) + i \left (y-y_ { 0 } \right ) \right \|= \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } \] 이므로 (2.11)와 (2.12) 로 부터 \[ 0< \sqrt {\left (x-x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \left (y-y_ { 0 } \right ) ^ { 2 } }< \delta \] 이면 \[ \left \|u-u_ { 0 } \right \|< \varepsilon \text { 이고 } \left \|v-v_ { 0 } \right \|< \varepsilon \] 이 성립한다.</p> <p>명제 2.6</p> <p>\( f \) 와 \( g \) 가 미분가능한 함수일 때<ol type=i start=1><li>\( \frac { d } { d z } c=0, c \) 는 복소 상수.</li> <li>\( \frac { d } { d z } z ^ { n } =n z ^ { n-1 } , n \) 은 정수.</li> <li>\( \frac { d } { d z } (f(z) \pm g(z))=f ^ {\prime } (z) \pm g ^ {\prime } (z) \)</li> <li>\( \frac { d } { d z } (c f(z))=c f ^ {\prime } (z), c \) 는 복소 상수.</li> <li>\( \frac { d } { d z } (f(z) g(z))=f ^ {\prime } (z) g(z) + f(z) g ^ {\prime } (z) \)</li> <li>\( \frac { d } { d z } \left [ \frac { f(z) } { g(z) } \right ]= \frac { f ^ {\prime } (z) g(z)-f(z) g ^ {\prime } (z) } { [g(z)] ^ { 2 } } \)</li> <li>\( F(z)=g[f(z)] \) 이고 \( f \) 은 \( z_ { 0 } \) 에서 미분가능하고 \( g \) 는 \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \) 에서 미분가능할 때 \( F \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 미분가능하고 \[ F ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=g ^ {\prime } \left [f \left (z_ { 0 } \right ) \right ] f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) . \]<caption>(2.33)</caption></li></ol></p> <p>증명</p> <p>대부분은 쉽게 증명된다. (v) 을 증명하자. \[ \begin {aligned} f(z + \Delta z) g(z + \Delta z)-f(z) g(z)=& f(z)[g(z + \Delta z)-g(z)] \\ & + [f(z + \Delta z)-f(z)] g(z + \Delta z) \end {aligned} \] 을 사용하여 양변을 \( \Delta z \) 로 나누고 \( \Delta z \rightarrow 0 \) 이면 원하는 결과를 얻는다. 여기서 \( g \) 가 연속임을 사용하였다.</p> <p>정의 2.3</p> <p>복소함수 \( f \) 와 \( g \) 의 사칙연산을 다음과 같이 정의한다. \( z \) 가 두 함수의 정의역의 점일 때 \( (f \pm g)(z)=f(z) \pm g(z),(f g)(z)=f(z) g(z), g(z) \neq 0 \) 일 때 \( (f / g)(z)=f(z) / g(z) \).</p> <p>실함수의 경우와 같이 복소함수에서도 함수의 극한에 관한 정리가 성립한다.</p> <p>정리 2.2</p> <p>극한 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } \text { 와 } \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } g(z)=w_ { 1 } \]<caption>(2.13)</caption>이 존재한다고 가정하자. 그러면 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } (f \pm g)(z)=w_ { 0 } \pm w_ { 1 } \]<caption>(2.14)</caption>\[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } (f g)(z)=w_ { 0 } w_ { 1 } \]<caption>(2.15)</caption>이고 만일 \( w_ { 1 } \neq 0 \) 이면 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } (f / g)(z)=w_ { 0 } / w_ { 1 } \]<caption>(2.16)</caption></p> <p>증명</p> <p>함수 \( f(z)=u_ { 1 } (x, y) + i v_ { 1 } (x, y), g(z)=u_ { 2 } (x, y) + i v_ { 2 } (x, y) \) 라 두고 점 \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } , w_ { 1 } =u_ { 1 } + i v_ { 1 } , w_ { 2 } =u_ { 2 } + u_ { 2 } \) 라 두자. 가정 (2.13) 와 정리 2.1에 의하여 점 \( (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 일 때 \( j=1,2 \) 에 대해서 \( u_ { j } (x, y) \rightarrow u_ { j } \) 이고 \( v_ { j } (x, y) \rightarrow v_ { j } \) 이므로 실함수의 극한에 관한 사칙연산의 성질에 따라 점 \( (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 일 때 \( i, j=1,2 \) 에 대해서 \[ \begin {array} { c } \left (u_ { 1 } \pm u_ { 2 } \right )(x, y) \rightarrow u_ { 1 } \pm u_ { 2 } , \quad \left (v_ { 1 } \pm v_ { 2 } \right )(x, y) \rightarrow v_ { 1 } \pm v_ { 2 } , \\ \left (u_ { 1 } u_ { 2 } \right )(x, y) \rightarrow u_ { 1 } u_ { 2 } , \quad \left (v_ { 1 } v_ { 2 } \right )(x, y) \rightarrow v_ { 1 } v_ { 2 } , \quad \left (u_ { i } v_ { j } \right )(x, y) \rightarrow u_ { i } v_ { j } \end {array} \] 을 사용하면 정리 2.1에 의하여 각 함수는 \( (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 일 때 \[ \begin {aligned} (f \pm g)(z)=& \left (u_ { 1 } \pm u_ { 2 } \right )(x, y) + i \left (v_ { 1 } \pm v_ { 2 } \right )(x, y) \\ & \rightarrow \left (u_ { 1 } \pm u_ { 2 } \right ) + i \left (v_ { 1 } \pm v_ { 2 } \right )=w_ { 1 } \pm w_ { 2 } \\ (f g)(z)=& \left (u_ { 1 } u_ { 2 } -v_ { 1 } v_ { 2 } \right )(x, y) + i \left (v_ { 1 } u_ { 2 } + u_ { 1 } v_ { 2 } \right )(x, y) \\ & \rightarrow \left (u_ { 1 } u_ { 2 } -v_ { 1 } v_ { 2 } \right ) + i \left (v_ { 1 } u_ { 2 } + u_ { 1 } v_ { 2 } \right )=w_ { 1 } w_ { 2 } \\ \left ( \frac { f } { g } \right )(z)=& \frac { u_ { 1 } (x, y) + i v_ { 1 } (x, y) } { u_ { 2 } (x, y) + i v_ { 2 } (x, y) } \\ =& \frac {\left (u_ { 1 } u_ { 2 } + v_ { 1 } v_ { 2 } \right )(x, y) } { u_ { 2 } (x, y) ^ { 2 } + v_ { 2 } (x, y) ^ { 2 } } + i \frac {\left (v_ { 1 } u_ { 2 } -v_ { 2 } u_ { 1 } \right )(x, y) } { u_ { 2 } (x, y) ^ { 2 } + v_ { 2 } (x, y) ^ { 2 } } \\ & \rightarrow \frac { u_ { 1 } u_ { 2 } + v_ { 1 } v_ { 2 } } { u_ { 2 } ^ { 2 } + v_ { 2 } ^ { 2 } } + i \frac { v_ { 1 } u_ { 2 } -v_ { 2 } u_ { 1 } } { u_ { 2 } ^ { 2 } + v_ { 2 } ^ { 2 } } = \frac { w_ { 1 } } { w_ { 2 } } \end {aligned} \] 이 성립한다.</p> <p>보기 2.19</p> <p>함수 \[ f(z)=e ^ { x } \cos y + i e ^ { x } \sin y \] 은 전함수이다. 따라서 \( u(x, y)=e ^ { x } \cos y \) 와 \( v(x, y)=e ^ { x } \sin y \) 는 \( x y \) 평면전체에서 조화함수이다.</p> <p>보기2.20</p> <p>함수 \[ g(z)=z ^ { 3 } =x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } + i \left (3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } \right ) \] 은 전함수이므로 곱 \( f(z) g(z) \) 도 전함수이다. 여기서 \( f(z) \) 는 보기 \( 2.19 \) 의 함수이다. 따라서 함수 \[ \operatorname { Re } [f(z) g(z)]=e ^ { x } \left [ \left (x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } \right ) \cos y- \left (3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } \right ) \sin x \right ] \] 은 \( x y \) 평면전체에서 조화함수이다.</p> <p>정의 2.11</p> <p>\(u \) 와 \( v \) 가 정의역 \( D \) 에서 정의된 실함수라 하자. \( v \) 가 \( u \) 의 조화공액함수(harmonic conjugate)라 함은 \( u, v \) 가 \( D \) 에서 조화함수이고 \( u \) 와 \( v \) 의 일계 편도함수들이 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다.</p> <p>정리 2.10</p> <p>함수 \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \) 가 정의역 \( D \) 에서 해석적이기 위한 필요충분조건은 \( v \) 가 \( u \) 의 조화공액함수이다.</p> <p>증명</p> <p>만일 \( v \) 가 \( D \) 에서 \( u \) 의 조화공액이면 정리 2.5에 의하여 \( f \) 는 \( D \) 에서 해석함수이다. 역으로, 만일 \( f \) 가 \( D \) 에서 해석적이면 정리 2.8로부터 \( u \) 와 \( v \) 는 \( D \) 에서 조화함수이고 정리 2.4 에의해서 Cauchy-Riemann 방정식은 만족된다.</p> <p>정리 2.4</p> <p>만일 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \] 이 점 \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } \) 에서 미분가능하다고 가정하자. 그러면 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 \( u \) 와 \( v \) 는 일계 편도함수를 가지고 Cauchy-Riemann 방정식 \[ u_ { x } =v_ { y } \quad u_ { y } =-v_ { x } \]<caption>(2.45)</caption>을 만족한다. 또한 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \) 은 \[ f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=u_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) + i v_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \]<caption>(2.46)</caption>을 쓸 수 있다.</p> <p>보기 2.12</p> <p>함수 \( f(z)=z ^ { 3 } =x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } + i \left (3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } \right ) \) 이 모든 점에서 미분 가능이고 \( f ^ {\prime } (z)=3 z ^ { 2 } \) 임을 보였다. 따라서 정리 2.4에 의하여 복소평면의 모든 곳에서 Cauchy-Riemann 방정식을 만족한다. \( u(x, y)=x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } \) 이고 \( v(x, y)=3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } \) 이므로 \[ u_ { x } =3 x ^ { 2 } -3 y ^ { 2 } =v_ { y } , \quad u_ { y } =-6 x y=-v_ { x } \] 이고 (2.46) 에 의하여 \[ f ^ {\prime } (z)=3 \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \right ) + i(-6 x y)=3(x + i y) ^ { 2 } =3 z ^ { 2 } . \]</p> <p>참고 2.8</p> <p>\(v \) 가 어떤 정의역에서 \( u \) 의 조화공액함수일 때 일반적으로 그 영역에서 \( u \) 가 \( v \) 의 조화공액은 아닐 수 있다.</p> <p>보기 2.21</p> <p>함수 \[ u(x, y)=x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } , \quad v(x, y)=3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } \] 은 전함수 \( f(z)=z ^ { 3 } \) 의 각각 실수부와 허수부이다. 따라서 정리 2.10 에 의하여 \( v \) 는 \( u \) 의 조화공액함수이지만 \( u \) 는 \( v \) 의 조화공액함수가 될 수 없다. 실제로 함수 \[ 3 x ^ { 2 } y-y ^ { 3 } + i \left (x ^ { 3 } -3 x y ^ { 2 } \right ) \] 은 어디에서도 해석적이 아니다.</p> <p>조화공액함수의 성질을 증명없이 몇 가지 나열하면 다음과 같다:</p> <p>참고 2.9</p> <p> <ol type=i start=1><li>만일 두 함수 \( u, v \) 가 서로의 조화공액함수이면, \( u, v \) 는 상수이다.</li> <li>만일 \( v \) 가 어떤 정의역에서 \( u \) 의 조화공액함수이면 \( -u \) 가 \( v \) 의 그 영역에서 조화공액이고 그 역도 성립한다.</li> <li>조화함수의 조화공액함수의 존재는 구역에 의존한다. 이러한 구역 에서 모든 조화함수는 해석함수의 실수부이다.</li> <li>조화공액함수는 존재하면 상수를 제외하면 유일하다.</li></ol></p> <p>증명</p> <p>편의상 (ii)만 증명한다. 함수를 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y), \quad-i f(z)=v(x, y)-i u(x, y) \] 으로 나타내면 \( f(z) \) 이 \( D \) 에서 해석적이기위한 필요충분조건은 \( -i f(z) \) 이 해석적이다.</p> <p>다음 보기는 주어진 조화함수의 조화공액함수를 구하는 방법을 제시하고 있다.</p> <p>보기 2.22</p> <p>함수 \[ u(x, y)=e ^ { -y } \sin x \]<caption>(2.65)</caption>이 조화함수임은 쉽게 알 수 있다. \( v \) 를 \( u \) 의 조화공액함수라고 하자. Cauchy-Riemann 방정식으로 부터 \[ v_ { y } =u_ { x } =e ^ { -y } \cos x \] 을 얻는다. 위 식을 \( x \) 를 고정하고 \( y \) 에 관하여 적분하면 \[ v=-e ^ { -y } \cos x + \phi(x) \]<caption>(2.66)</caption>을 얻는다. 여기서 \( \phi \) 은 임의의 \( x \) 에 관한 함수이다. \( v_ { x } =-u_ { y } \) 이므로 (2.65) 와 (2.66)로 부터 \[ e ^ { -y } \cos x=e ^ { -y } \cos x- \phi ^ {\prime } (x) \] 을 얻는다. 따라서 \( \phi ^ {\prime } (x)=0 \) 이고 적분하면 \( \phi(x)=c, c \) 는 상수이다. 따라서 구하는 조화공액함수는 \[ v(x, y)=-e ^ { -y } \cos x + c \] 이고 대응하는 해석함수는 \[ f(z)=e ^ { -y } \sin x + i \left (e ^ { -y } \cos x + c \right ) \]<caption>(2.67)</caption>이다. 더욱이 이 함수는 \[ f(z)=i \left (e ^ { -i z } + c \right ) \] 이다.</p> <p>참고 2.6</p> <p> <ol type=i start=1><li>정의 2.5 (iii) 은 (i), (ii) 을 포함한다.</li> <li>정의 2.5 (iii) 은 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 양수 \( \delta \) 가 존재하여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \]<caption>(2.24)</caption>와 동치이다.</li></ol></p> <p>정리 2.2 로 부터 연속함수의 사칙연산에 관한 성질을 얻는다.</p> <p>명제 2.1</p> <p>\( f \) 와 \( g \) 가 점 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이면 \( f \pm g, f g \) 및 \( g \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이면 \( f / g \) 도 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다.</p> <p>따름정리 2.2</p> <p>모든 다항식은 복소평면 전체에서 연속이다.</p> <p>명제 2.2</p> <p>\( f(z) \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이고 \( g(w) \) 는 \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \) 에서 연속이면 합성함수 \( g \circ f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \quad w=f(z) \) 를 점 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( N \left (z_ { 0 } \right ) \) 에서 정의된 함수라고 하고 \( g \) 는 정의역이 \( f \left (N \left (z_ { 0 } \right ) \right ) \) 을 포함하는 함수라 하자. 그러면 합성함수 \( (g \circ f)(z) \) 은 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( N \left (z_ { 0 } \right ) \) 의 모든 점 \( z \) 에서 정의된다. \( g \) 는 \( w_ { 0 } \) 에서 연속이므로 임의의 양수 \( \varepsilon \) 에 대해서 양수 \( \gamma \) 가 존재하여 \[ \left \|w-w_ { 0 } \right \|< \gamma \text { 이면 } \left \|g(w)-g \left (w_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \]<caption>(2.25)</caption>을 만족한다. \( f \) 가 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이므로 이러한 \( \gamma \) 에 대해서 양수 \( \delta \) 가 존재하여 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|w-w_ { 0 } \right \|= \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \gamma \]<caption>(2.26)</caption>을 만족한다. 식 (2.25) 와 (2.26) 로부터 합성함수 \( g \circ f \) 는 \( z_ { 0 } \) 에서 연속이다. 실함수 \( f(x) \) 가 점 \( x_ { 0 } \) 에서 \( f \left (x_ { 0 } \right )>0 \) 이면 적당한 \( x_ { 0 } \) 의 근방 \( I \left (x_ { 0 } \right ) \) 이 존재하여 모든 \( x \in I \left (x_ { 0 } \right ) \) 에 대해서 \( f(x)>0 \) 임을 알고 있다. 복소함수에서도 이와 같은 성질이 성립한다.</p> <p>그런데 \( u_ { x } \) 는 \( B_ { r } (a, b) \) 에서 연속이므로 첫 번째 식에서 \( h=0 \) 이라 둘 수 있다. 정의에 의해 \[ \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial y \partial x } (a, b)= \lim _ { k \rightarrow 0 } \frac { 1 } { k } \left ( \frac {\partial u } {\partial x } (a, b + k)- \frac {\partial u } {\partial x } (a, b) \right )= \frac {\partial ^ { 2 } u } {\partial x \partial y } (a, b) \]</p> <p>정리2.9</p> <p>만일 함수 \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \) 이 정의역 \( D \) 내에서 해석적이면 성분함수 \( u \) 와 \( v \) 는 \( D \) 내에서 조화함수이다.</p> <p>증명</p> <p>\( f \) 가 \( D \) 내에서 해석적이라고 가정하자. 그러면 성분함수의 일계 편도함수는 \( D \) 내 전체에서 Cauchy-Riemann 방정식 \[ u_ { x } =v_ { y } , \quad u_ { y } =-v_ { x } \]<caption>(2.62)</caption>을 만족한다. \( u \) 와 \( v \) 는 모든 계수의 편도함수를 가지므로 (2.62) 의 양변을 \( x \) 에 대해서 미분하면 \[ u_ { x x } =v_ { y x } , \quad u_ { y x } =-v_ { x x } \]<caption>(2.63)</caption>이고 \( y \) 에 대해서 미분하면 \[ u_ { x y } =v_ { y y } , \quad u_ { y y } =-v_ { x y } \]<caption>(2.64)</caption>을 얻는다. 보조정리 2.1 에 의하여 \( u_ { x y } =u_ { y x } \) 이고 \( v_ { x y } =v_ { y x } \) 이므로 (2.63) 와 (2.64) 은 \[ u_ { x x } + u_ { y y } =0 \text { 와 } v_ { x x } + v_ { y y } =0 \] 이다. 따라서 \( u \) 와 \( v \) 는 \( D \) 내에서 조화함수이다.</p> <p>증명</p> <p>\( \Delta z= \Delta x + i \Delta y \) 라 쓰자. 여기서 \( 0<\| \Delta z\|< \delta \) 이고 \[ \Delta w=f \left (z_ { 0 } + \Delta z \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) . \] 따라서 \[ \Delta w= \Delta u + i \Delta v \] 여기서 \[ \begin {array} { l } \Delta u=u \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-u \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \\ \Delta v=v \left (x_ { 0 } + \Delta x, y_ { 0 } + \Delta y \right )-v \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) . \end {array} \]<caption>(2.47)</caption>점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 \( u \) 와 \( v \) 의 일계 편도함수의 연속성으로 부터 \[ \begin {array} { l } \Delta u=u_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + u_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + ( \Delta y) ^ { 2 } } \\ \Delta v=v_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + v_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 2 } \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + ( \Delta y) ^ { 2 } } . \end {array} \]<caption>(2.48)</caption>여기서 \( \varepsilon_ { 1 } \) 과 \( \varepsilon_ { 2 } \) 는 \( \Delta z \) 평면내에서 \( ( \Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0) \) 일 때 0 으로 수렴한다. 따라서 \[ \begin {aligned} \Delta w &=u_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + u_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 1 } \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + ( \Delta y) ^ { 2 } } \\ & + i \left [v_ { x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta x + v_ { y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \Delta y + \varepsilon_ { 2 } \sqrt { ( \Delta x) ^ { 2 } + ( \Delta y) ^ { 2 } } \right ] . \end {aligned} \]<caption>(2.49)</caption></p> <p>특히 위의 명제 2.8에서 \( g=f ^ { -1 } \) 이면 위 식은 \[ 1=g ^ {\prime } (f(z)) f ^ {\prime } (z) \text { 또는 } g ^ {\prime } (f(z))= \frac { 1 } { f ^ {\prime } (z) } \] 을 얻게 된다. 이것은 1 변수 실함수의 역함수정리와 비슷함을 알 수 있다. 즉</p> <p>정리 2.7</p> <p>\( f: D \rightarrow \mathbb { C } \) 가 해석함수이고 \( f ^ {\prime } \) 가 연속이라고 가정하자. 만일 \( f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 이면 \( z_ { 0 } \) 의 근방 \( U \) 와 \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \) 의 근방 \( V \) 가 존재하여 \( f: U \rightarrow \) \( V \) 는 전단사이고 \( f ^ { -1 } (z) \) 은 해석적이고 \[ \frac { d } { d w } f ^ { -1 } (w)= \frac { 1 } { f ^ {\prime } (z) } , \]<caption>(2.59)</caption>여기서 \( w=f(z) \) 이다.</p> <p>위 정리는 2차원 역함수정리를 이용하여 증명한다. 자세한 증명은 [9]을 참고하기 바란다.</p> <p>정리 2.8</p> <p>정의역 \( D \) 의 모든 점에서 \( f ^ {\prime } (z)=0 \) 이면 \( f(z) \) 는 \( D \) 의 전체에서 상수함수이다.</p> <p>증명</p> <p>\( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \) 라 두자. \( D \) 에서 \( f ^ {\prime } (z)=0 \) 이라 하자. \( u_ { x } + i v_ { x } =0 \) 이고 Cauchy-Riemann 방정식으로 부터 \( v_ { y } -i u_ { y } =0 \) 이다. 따라서 \( D \) 의 각 점에서 \[ u_ { x } =u_ { y } =v_ { x } =v_ { y } =0 \] 이다. \( D \) 의 모든 점에서 \( \nabla u(x, y)= \left (u_ { x } (x, y), u_ { y } (x, y) \right )=(0,0) \) 이고 \( \nabla v(x, y)= \left (v_ { x } (x, y), v_ { y } (x, y) \right )=(0,0) \) 이므로 임의의 방향벡터 \( \mathbf { u } \) 에 대한 방향도함수 \( D_ {\mathbf { u } } u(x, y)=D_ {\mathbf { u } } v(x, y)=0 \) 을 만족한다. 따라서 \( u \) 와 \( v \) 는 \( D \) 내에서 임의의 직선위에서 상수이다. \( D \) 내의 임의의 두 점은 유한개의 선분으로 연결이 가능하므로 두 점에서의 함수값은 모두 같다. 따라서 \( u \) 와 \( v \) 는 \( D \) 내에서 상수이다. 그러므로 \( f \) 는 \( D \) 내에서 상수함수이다.</p> <p>보기 2.14</p> <p>함수 \[ f(z)=e ^ { x } ( \cos y + i \sin y) \] 라 가정하자. 여기서 \( y \) 는 호도각이다. 그러면 \[ u(x, y)=e ^ { x } \cos y, \quad v(x, y)=e ^ { x } \sin y \] 그런데 모든 곳에서 \( u_ { x } =v_ { y } \) 이고 \( u_ { y } =-v_ { x } \) 이고 편도함수들은 모든 곳에서 연속이므로 정리 2.5 의 조건을 만족한다. 따라서 \( f ^ {\prime } (z) \) 은 모든 곳에서 존재하고 \[ f ^ {\prime } (z)=u_ { x } + i v_ { x } =e ^ { x } ( \cos y + i \sin y)=f(z) \]</p> <p>보기 2.15</p> <p>함수 \( f(z)=\|z\| ^ { 2 } \) 의 성분 \[ u(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } , \quad v(x, y)=0 \] 은 모든 곳에서 편도함수가 존재하고 연속이다. 그러나 원점에서만 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하므로 정리 \( 2.5 \) 에 의하여 \( f ^ {\prime } (0) \) 은 존재한다. 실제 로, \( f ^ {\prime } (0)=0 \) 이다. 원점이외의 점에서는 Cauchy-Riemann 방정식을 만족하지 않으므로 주어진 함수는 미분가능하지 않다.</p> <p>때로는 극좌표로 표현된 복소함수의 미분가능성을 조사하기 위해서는 직교좌표로 주어진 방정식을 극방정식으로 나타내야 한다. 극좌표 \( (r, \theta) \) 로 주어진 좌표를 직교좌표 \( (x, y) \) 로 바꾸기 위해서는 치환 \[ x=r \cos \theta, \quad y=r \sin \theta \]<caption>(2.52)</caption>을 사용한다. 먼저 \( u \) 와 \( v \) 의 \( x, y \) 에 관한 일계편도함수가 존재한다고 가정하자. \( x, y \) 는 (2.52) 에 의하여 \( r, \theta \) 의 함수이므로 \( u, v \) 는 \( r, \theta \) 의 함수이다. 따라서 연쇄법칙 \[ \frac {\partial u } {\partial r } = \frac {\partial u } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial r } + \frac {\partial u } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial r } , \quad \frac {\partial u } {\partial \theta } = \frac {\partial u } {\partial x } \frac {\partial x } {\partial \theta } + \frac {\partial u } {\partial y } \frac {\partial y } {\partial \theta } \] 을 이용하면 \[ u_ { r } =u_ { x } \cos \theta + u_ { y } \sin \theta, \quad u_ {\theta } =-u_ { x } r \sin \theta + u_ { y } r \cos \theta \]<caption>(2.53)</caption>을 얻는다. 같은 방법으로 \[ v_ { r } =v_ { x } \cos \theta + v_ { y } \sin \theta, \quad v_ {\theta } =-v_ { x } r \sin \theta + v_ { y } r \cos \theta . \]<caption>(2.54)</caption>만일 \( x, y \) 에 관한 편도함수가 \( z_ { 0 } \) 에서 Cauchy-Riemann 방정식 \[ u_ { x } =v_ { y } , \quad u_ { y } =-v_ { x } \]<caption>(2.55)</caption>을 만족하면 식 (2.55)는 \( z_ { 0 } \) 에서 \[ v_ { r } =-u_ { y } \cos \theta + u_ { x } \sin \theta, \quad v_ {\theta } =u_ { y } r \sin \theta + u_ { x } r \cos \theta \]<caption>(2.56)</caption>이 된다. 식 (2.54)와 (2.55)로 부터 \( z_ { 0 } \) 에서 \[ u_ { r } = \frac { 1 } { r } v_ {\theta } , \quad \frac { 1 } { r } u_ {\theta } =-v_ { r } \]<caption>(2.57)</caption></p>	자연
s521-기하학개론	<p>\( \begin {aligned} \int \cot ^ { 4 } x d x &= \int \cot ^ { 2 } x \left ( \csc ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &= \int \cot ^ { 2 } x \csc ^ { 2 } x d x- \int \cot ^ { 2 } x d x \\ &=- \int \cot ^ { 2 } x d( \cot x)- \int \left ( \csc ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &=- \frac { 1 } { 3 } \cot ^ { 3 } x + \cot x + x \end {aligned} \)</p> <ul> <li>예제 4.5.6 \( \int \tan ^ { 5 } x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( \begin {aligned} \int \tan ^ { 5 } x d x &= \int \tan ^ { 3 } x \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &= \int \tan ^ { 3 } x \sec ^ { 2 } x d x- \int \tan ^ { 3 } x d x \\ &= \int \tan ^ { 3 } x d( \tan x)- \int \tan x \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &= \int \tan ^ { 3 } x d( \tan x)- \int \tan x d( \tan x) + \int \tan x d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \tan ^ { 4 } x- \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { 2 } x- \ln \| \cos x\| \end {aligned} \)</p> <p>[유형 (4)] \( \left ( \int \tan ^ { m } x \sec ^ { n } x d x, \int \cot ^ { m } x \csc ^ { n } x d x \right ) \) : 지수 \( n \) 이 짝수이면, \( \sec ^ { 2 } x \) 또는 \( \operatorname { cosec } ^ { 2 } x \) 를 빼내고 공식 \( \tan ^ { 2 } x + 1= \sec ^ { 2 } x \) 또는 \( \cot ^ { 2 } x + 1= \operatorname { cosec } ^ { 2 } x \) 와 치환적분법을 이용한다. 지수 \( m \) 이 홀수이고 \( n \) 이 임의의 수이면, \( \sec x \tan x \) 또는 \( \operatorname { cosec } x \cot x \) 를 빼내어 \( \sec x \) 또는 \( \operatorname { cosec } x \) 를 치환한다.</p> <ul> <li>예제 4.5.7 \( \int \tan ^ { -3 / 2 } x \sec ^ { 4 } x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p></p> <p>\( e ^ { x } =t \) 라 놓으면 \( e ^ { x } d x=d t \), 곧 \( d x= \frac { d t } { t } \) 이다. 따라서 \[ \int \frac { d x } { e ^ { x } + e ^ { -x } } = \int \frac { 1 } { t + \frac { 1 } { t } } \frac { d t } { t } = \int \frac { d t } { t ^ { 2 } + 1 } = \tan ^ { -1 } e ^ { x } \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.6 \( \int \frac { d y } { (y-1) \sqrt { y } } \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( \sqrt { y } =t \) 라 놓으면 \( \frac { 1 } { 2 \sqrt { y } } d y=d t \) 이므로 \[ \int \frac { d y } { (y-1) \sqrt { y } } =2 \int \frac { d t } { t ^ { 2 } -1 } =2 \cdot \frac { 1 } { 2 } \ln \left \| \frac { t-1 } { t + 1 } \right \|= \ln \left \| \frac {\sqrt { y } -1 } {\sqrt { y } + 1 } \right \| \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.7 \( \int \frac {\cos \theta } {\sqrt { 1 + \sin ^ { 2 } \theta } } d \theta \) 을 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( \sin \theta=t \) 라 놓으면 \( \cos \theta d \theta=d t \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int \frac {\cos \theta } {\sqrt { 1 + \sin ^ { 2 } \theta } } d \theta &= \int \frac { d t } {\sqrt { 1 + t ^ { 2 } } } = \ln \left \|t + \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } \right \| \\ &= \ln \left \| \sin \theta + \sqrt { 1 + \sin ^ { 2 } \theta } \right \| \end {aligned} \] 이다.</p> <p>\( \begin {aligned} \int \cos ^ { 4 } x d x &= \int \left ( \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \right ) ^ { 2 } d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \int \left (1 + 2 \cos 2 x + \cos ^ { 2 } 2 x \right ) d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \int d x + \frac { 1 } { 4 } \int( \cos 2 x)(2) d x + \frac { 1 } { 8 } \int(1 + \cos 4 x) d x \\ &= \frac { 3 } { 8 } \int d x + \frac { 1 } { 4 } \int \cos 2 x d(2 x) + \frac { 1 } { 32 } \int \cos 4 x d(4 x) \\ &= \frac { 3 } { 8 } x + \frac { 1 } { 4 } \sin 2 x + \frac { 1 } { 32 } \sin 4 x \end {aligned} \)</p> <ul> <li>예제 4.5.3 \( \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { -4 } x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { -4 } x d x &= \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) \left ( \cos ^ { -4 } x \right )( \sin x) d x \\ &=- \int \left ( \cos ^ { -4 } x- \cos ^ { -2 } x \right ) d( \cos x) \\ &=- \left [ \frac { ( \cos x) ^ { -3 } } { -3 } - \frac { ( \cos x) ^ { -1 } } { -1 } \right ] \\ &= \frac { 1 } { 3 } \sec ^ { 3 } x- \sec x \end {aligned} \)</p> <ul> <li>예제 4.5.4 \( \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 4 } x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( u ^ {\prime } =1, v= \sqrt { x ^ { 2 } + A } \) 라 놓으면 \[ u=x, v ^ {\prime } = \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } \] 따라서 \[ I=x \sqrt { x ^ { 2 } + A } - \int \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } d x \] 여기서 \[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } d x &= \int \frac { x ^ { 2 } + A-A } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } d x \\ &= \int \sqrt { x ^ { 2 } + A } d x-A \int \frac { d x } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } \\ &=I-A \ln \left \|x + \sqrt { x ^ { 2 } + A } \right \| \end {aligned} \] 그러므로 \[ I=x \sqrt { x ^ { 2 } + A } - \left (I-A \ln \left \|x + \sqrt { x ^ { 2 } + A } \right \| \right ) \] 이고, \[ I= \int \sqrt { x ^ { 2 } + A } d x= \frac { 1 } { 2 } \left (x \sqrt { x ^ { 2 } + A } + A \ln \left \|x + \sqrt { x ^ { 2 } + A } \right \| \right ) \] 이다. 마찬가지 방법으로 \[ \int \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { 2 } \left (x \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } + a ^ { 2 } \sin ^ { -1 } \frac { x } { a } \right )(a>0) \] 을 얻는다.</p> <ul> <li>예제 4.3.4 \( I= \int \sec ^ { 3 } x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( x ^ { 2 } + 2 x + 5=(x + 1) ^ { 2 } + 4 \) 이므로 \( x + 1=t \) 로 놓으면 \( d x=d t \) 가 된다. 따라서 \[ \int \frac { d x } { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } = \int \frac { d t } { t ^ { 2 } + 4 } = \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { -1 } \frac { t } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { -1 } \frac { x + 1 } { 2 } \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.2 \( \int \frac { d x } {\sqrt { a x-x ^ { 2 } } } (a>0) \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( a x-x ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } } { 4 } - \left (x- \frac { a } { 2 } \right ) ^ { 2 } \) 이므로 \( x- \frac { a } { 2 } =t \) 로 놓으면 \( d x=d t \) 가 된다. 따 라서 \[ \int \frac { d x } {\sqrt { a x-x ^ { 2 } } } = \int \frac { d t } {\sqrt {\left ( \frac { a } { 2 } \right ) ^ { 2 } -t ^ { 2 } } } = \sin ^ { -1 } \frac { 2 t } { a } = \sin ^ { -1 } \frac { 2 x-a } { a } \] 이다.</p> <p>한편, \( \sqrt { x ^ { 2 } + A } =t \) 라 놓으면 \( x ^ { 2 } + A=t ^ { 2 } , 2 x d x=2 t d t \), 즉 \( x d x=t d t \) 이다. 이것을 이용하면 다음과 같은 부정적분의 계산이 가능하다.</p> <p>(4) \( \int \frac { d x } { x ^ { 2 } + 2 x-3 } = \int \frac { d x } { (x + 1) ^ { 2 } -2 ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 4 } \ln \left \| \frac { x + 1-2 } { x + 1 + 2 } \right \|= \frac { 1 } { 4 } \ln \left \| \frac { x-1 } { x + 3 } \right \| \)</p> <p>(5) \( \int \frac { d x } {\sqrt { 1-a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { a } \int \frac { d x } {\sqrt {\left ( \frac { 1 } { a } \right ) ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { a } \sin ^ { -1 } a x \quad(a>0) \)</p> <p></p> <h2>4.2 치환적분법</h2> <p>이 절에서는 가장 기본적인 치환적분법을 살펴본다. 예를 들어, \( F(x)= \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } \) 에 대하여 도함수 \( f(x)=F ^ {\prime } (x) \) 를 구한다면, 연쇄법칙에 의하여 \[ f(x)= \frac { d } { d x } \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } =2 \left (x ^ { 3 } -1 \right ) \left (3 x ^ { 2 } \right ) \] 을 얻는다. 한편 적분은 미분의 역산이므로 위의 식을 다음과 같이 변형할 수 있다. \[ \begin {array} { l } \frac { d } { d x } \left [ \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } \right ]= \left (x ^ { 3 } -1 \right ) \left (3 x ^ { 2 } \right ) \\ \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } + C= \int \left (x ^ { 3 } -1 \right ) \left (3 x ^ { 2 } \right ) d x \end {array} \]</p> <p>\[ \begin {array} { l } f(x)= \sec x, \quad g ^ {\prime } (x)= \sec ^ { 2 } x \text { 라 두면 } \\ f ^ {\prime } (x)= \sec x \tan x, \quad g(x)= \tan x \end {array} \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int \sec ^ { 3 } d x &= \int \sec x \cdot \sec ^ { 2 } x d x \\ &= \sec x \tan x- \int \tan x( \sec x \tan x) d x \\ &= \sec x \tan x- \int \tan ^ { 2 } x \sec x d x \\ &= \sec x \tan x- \int \sec x \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &= \sec x \tan x-I + \int \sec x d x \end {aligned} \] \[ = \sec x \tan x-I + \ln \| \sec x + \tan x\| . \] 따라서 \[ \int \sec ^ { 3 } x d x= \frac { 1 } { 2 } ( \sec x \tan x + \ln \| \sec x + \tan x\|) \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.3.5 \( I= \int e ^ { x } \cos x d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( f(x)=e ^ { x } , g ^ {\prime } (x)= \cos x \) 라 하면 \[ f ^ {\prime } (x)=e ^ { x } , \quad g(x)= \sin x \] 이므로 \[ I=e ^ { x } \cdot \sin x- \int e ^ { x } \cdot \sin x d x \] 그런데 \[ \int e ^ { x } \cdot \sin x d x=e ^ { x } \cdot(- \cos x) + \int e ^ { x } \cos x d x \] 이므로 \[ I= \frac { e ^ { x } ( \sin x + \cos x) } { 2 } \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.3.6 \( I_ { n } = \int \sin ^ { n } x d x \) ( \( n \) 은 1 보다 큰 양의 정수)를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <h2>4.3 부분적분법</h2> <p>두 함수의 곱에 대한 미분법과 마찬가지로 두 함수의 곱의 형태에 대한 적분법을 살펴본다. 그러면 두 함수 \( u=f(x), v=g(x) \) 의 곱 \( f(x) g(x) \) 에 대한 미분공식 \[ \frac { d } { d x } f(x) g(x)=f ^ {\prime } (x) g(x) + f(x) g ^ {\prime } (x) \] 에 대하여, 부정적분의 정의로부터 \[ \begin {aligned} f(x) g(x) &= \int \left [f(x) g ^ {\prime } (x) + f ^ {\prime } (x) g(x) \right ] d x \\ &= \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x + \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x \end {aligned} \] 가 성립하는 것을 알 수 있다. 따라서 피적분함수가 두 함수의 곱 \( f(x) g ^ {\prime } (x) \) 로 주어진 경우의 부정적분은 \[ \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x=f(x) g(x)- \int f ^ {\prime } (x) g(x) d x \] 이고, 이와 같은 방법에 의하여 원시함수를 구하는 것을 부분적분법(integration by part)이라 한다. 특히 이러한 부분적분법을 사용하는 경우는 미분하여 결과가 간단히 되는 함수: \( f(x) \) 적분을 쉽게 할 수 있는 함수: \( g ^ {\prime } (x) \) 로 택하여, 우변의 피적분함수가 좌변의 피적분함수보다 간단한 형태가 되도록 유도한다. 예를 들어, 피적분함수가 다항식과 초월함수의 곱으로 구성된 경우에 다항식을 \( f(x) \), 초월함수를 \( g ^ {\prime } (x) \) 로 놓는 것이 좋다.</p> <ul> <li>예제 4.3.1 다음 부정적분을 구하여라.</li></ul> <p>(1) \( \int x e ^ { x } d x \)</p> <p>(2) \( \int \ln x d x \)</p> <p>(3) \( \int \sin ^ { 3 } x d x \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( f(x)=x, g ^ {\prime } (x)=e ^ { x } \) 라 하면 \[ f ^ {\prime } (x)=1, \quad g(x)=e ^ { x } \] 이므로 \[ \begin {aligned} \int x e ^ { x } d x &=x \cdot e ^ { x } - \int e ^ { x } d x \\ &=x e ^ { x } -e ^ { x } \end {aligned} \] 이다.</p> <p>다시 말해서, 피적분함수 \( f(x)= \left (x ^ { 3 } -1 \right ) \left (3 x ^ { 2 } \right ) \) 의 부정적분은 \[ \int \left (x ^ { 3 } -1 \right ) \left (3 x ^ { 2 } \right ) d x= \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } \] 이다. 이때 \( u=x ^ { 3 } -1 \) 이라 하면, \( u \) 의 미분은 \( d u=3 x ^ { 2 } d x \) 이므로 \[ \int u d u= \frac { 1 } { 2 } u ^ { 2 } + C= \frac { 1 } { 2 } \left (x ^ { 3 } -1 \right ) ^ { 2 } \] 와 같이 앞에서 구한 부정적분과 동일한 결과를 얻을 수 있다. 이 절에서는 이와 같이 복잡 한 피적분함수에 대하여 어떤 식을 다른 변수로 바꿈으로써 좀 더 쉽게 부정적분을 구하는 방법을 살펴본다. \[ \int f(x) d x=F(x) \] 에서 \( x=g(t) \) 라 놓으면 \( x \) 는 \( t \) 의 함수로 바뀌고 \[ \frac { d } { d t } F(x)= \frac { d } { d x } F(x) \cdot \frac { d x } { d t } =f(x) \cdot g ^ {\prime } (t)=f \{ g(t) \} \cdot g ^ {\prime } (t) \] 이므로 \( f \{ g(t) \} \cdot g ^ {\prime } (t) \) 가 \( t \) 에 관하여 연속이면 \[ F(x)= \int f(x) d x= \int f \{ g(t) \} g ^ {\prime } (t) d t \] 인 관계식을 얻는다.</p> <p>여기서 \( g(t) \) 를 적당히 잡아서 \( f \{ g(t) \} g ^ {\prime } (t) \) 가 \( t \) 의 함수로서 적분이 되는 경우이면, 이 적분을 계산하고 이것을 본래의 변수 \( x \) 로 환원하면 구하는 부정적분을 얻을 수 있다. 이러한 방법을 치환적분법(method of integration by substitution)이라 한다. 실 제로 위의 식은 \( x \) 를 \( g(t) \) 로, \( d x \) 를 \( g ^ {\prime } (t) d t \) 로 바꾼 결과가 되는 것이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.1 \( \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 2 x + 5 } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>피적분함수를 부분분수로 분해하기 위하여 다음과 같이 놓고 분모를 없앤다. 즉 \[ \frac { 2 x ^ { 2 } -x + 1 } { (x-1) ^ { 3 } (x-2) ^ { 2 } } = \frac { A } { (x-1) ^ { 3 } } + \frac { B } { (x-1) ^ { 2 } } + \frac { C } { x-1 } + \frac { D } { (x-2) ^ { 2 } } + \frac { E } { x-2 } \] 에서부터 \[ \begin {aligned} 2 x ^ { 2 } -x + 1=& A(x-2) ^ { 2 } + B(x-1)(x-2) ^ { 2 } + C(x-1) ^ { 2 } (x-2) ^ { 2 } \\ & + D(x-1) ^ { 3 } + E(x-1) ^ { 3 } (x-2) \end {aligned} \] \( x=1 \) 이라 놓으면 \( A=2 \) 를 얻는다. 이 \( A \) 의 값을 우변에 대입하고 이항 한 다음 \( (x-1) \) 로 나누면 \[ 7=B(x-2) ^ { 2 } + C(x-1)(x-2) ^ { 2 } + D(x-1) ^ { 2 } + E(x-1) ^ { 2 } (x-2) \] 이고, 여기서 \( x=1 \) 을 대입하면 \( B=7 \) 을 얻을 수 있다. 이 \( B \) 의 값을 대 입하고 이항한 다음 \( (x-1) \) 로 나누면 \[ -7 x + 21=C(x-2) ^ { 2 } + D(x-1) + E(x-1)(x-2) \] 이고, 여기서 다시 \( x=1 \) 을 대입하면 \( C=14 \) 를 얻는다. 이 \( C \) 의 값을 대 입하고 이항한 다음 \( x-1 \) 로 나누면 \[ -14 x + 35=D + E(x-2) \] 이고, \( x=2 \) 를 대입하여 \( D=7 \) 을 구할 수 있고 \( E=-14 \) 를 얻는다. 그러 므로 구하려는 적분은 \[ \int \frac { 2 x ^ { 2 } -x + 1 } { (x-1) ^ { 3 } (x-2) ^ { 2 } } d x \] \[ \begin {aligned} =& 2 \int \frac { d x } { (x-1) ^ { 3 } } + 7 \int \frac { d x } { (x-1) ^ { 2 } } + 14 \int \frac { d x } { x-1 } \\ & + 7 \int \frac { d x } { (x-2) ^ { 2 } } -14 \int \frac { d x } { x-2 } \\ =&- \frac { 1 } { (x-1) ^ { 2 } } - \frac { 7 } { x-1 } + 14 \ln \|x-1\|- \frac { 7 } { x-2 } -14 \ln \|x-2\| \\ =&- \frac { 1 } { (x-1) ^ { 2 } } - \frac { 7 } { x-1 } - \frac { 7 } { x-2 } + 14 \ln \left \| \frac { x-1 } { x-2 } \right \| \end {aligned} \] 이다.</p> <p>(2) \( \int \frac { 1 } { x } d x= \ln \|x\| \)</p> <p>(3) \( \int \cos x d x= \sin x \)</p> <p>(4) \( \int \sin x d x=- \cos x \)</p> <p>(5) \( \int \sec ^ { 2 } x d x= \tan x \)</p> <p>(6) \( \int \csc ^ { 2 } x d x=- \cot x \)</p> <p>(7) \( \int \sec x \tan x d x= \sec x \)</p> <p>(8) \( \int \csc x \cot x d x=- \csc x \)</p> <p>(9) \( \int e ^ { x } d x=e ^ { x } \)</p> <p>(10) \( \int a ^ { x } d x= \frac { a ^ { x } } {\ln a } (a>0, a \neq 1) \)</p> <p>(11) \( \int \frac { d x } { x ^ { 2 } + k ^ { 2 } } = \frac { 1 } { k } \tan ^ { -1 } \frac { x } { k } (k \neq 0) \)</p> <p>(12) \( \int \frac { d x } { x ^ { 2 } -k ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 k } \ln \left \| \frac { x-k } { x + k } \right \|(k \neq 0) \)</p> <p>(13) \( \int \frac { d x } {\sqrt { k ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } = \sin ^ { -1 } \frac { x } { k } (k \neq 0) \)</p> <p>(14) \( \int \frac { d x } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } = \ln \left \|x + \sqrt { x ^ { 2 } + A } \right \|(A \neq 0) \)</p> <p>(15) \( \int \sec x d x= \ln \| \sec x + \tan x\| \)</p> <p>(16) \( \int \csc x d x= \ln \| \csc x- \cot x\| \)</p> <p>이들 공식은 모두 우변을 미분하면 된다. 한편 \( \int f(t) d t=F(t) \) 일 때 \( a x + b=t \) 로 놓으면 \( a d x=d t \) 이므로 \[ \int f(a x + b) d x= \frac { 1 } { a } \int f(t) d t= \frac { 1 } { a } F(t) \] 이다. 따라서 \[ \int f(a x + b) d x= \frac { 1 } { a } F(a x + b)(a \neq 0) \] 인 관계를 얻는다. 그러면 위의 공식 (1)~(16)에서 \( x \) 대신 \( a x + b \) 를 대입시키면 우변의 결과의 함수 앞에 \( \frac { 1 } { a } \) 이 곱해짐을 알 수 있다. 예컨대 \[ \int \cos (a x + b) d x= \frac { 1 } { a } \sin (a x + b) \]</p> <p>이들 사실로부터 직접 계산할 수 있는 부정적분의 예를 들어 보기로 한다.</p> <p>(1) \( \int \frac { d x } { a x + b } = \frac { 1 } { a } \ln \|a x + b\| \quad(a \neq 0) \)</p> <p>(2) \( \int \tan x d x= \int \frac {\sin x } {\cos x } d x=- \int \frac { ( \cos x) ^ {\prime } } {\cos x } d x=- \ln \| \cos x\| \)</p> <p>(3) \( \int \frac { d x } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \int \frac { d x } { (a x) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = \frac { 1 } { a b } \tan ^ { -1 } \frac { a x } { b } (a>0, b>0) \)</p> <p>\[ \frac { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } =x + 2 + \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } -1 } = \frac { x + 2 } { (x-1)(x + 1) } \] 이므로 우변의 끝항을 \[ \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } -1 } = \frac { A } { x-1 } + \frac { B } { x + 1 } (A, B: \text { 상수 } ) \] 로 부분분수분해하고 \( A, B \) 를 정한다. 우변을 통분하고 분자를 비교하면 \[ x + 2=A(x + 1) + B(x-1) \] 이고, 이것은 \( x \) 에 관한 항등식이므로 \( x=-1 \) 일 때 \( 1=-2 B \), 즉 \( B=- \frac { 1 } { 2 } \) 이고 \( x=1 \) 일 때 \( 3=2 A \), 즉 \( A= \frac { 3 } { 2 } \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } d x &= \int(x + 2) d x + \frac { 3 } { 2 } \int \frac { d x } { x-1 } - \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d x } { x + 1 } \\ &= \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 2 x + \frac { 3 } { 2 } \ln \|x-1\|- \frac { 1 } { 2 } \ln \|x + 1\| \end {aligned} \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.4.2 \( \int \frac { d x } { x ^ { 3 } + 1 } \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { l } f(x)= \sin ^ { n-1 } x, g ^ {\prime } (x)= \sin x \text { 로 두면 } \\ f ^ {\prime } (x)=(n-1) \sin ^ { n-2 } x \cdot \cos x, \quad g(x)=- \cos x \end {array} \] 이므로 \[ I_ { n } = \sin ^ { n-1 } x \cdot(- \cos x)- \int(n-1) \sin ^ { n-2 } x \cdot \cos x \cdot(- \cos x) d x \] \[ \begin {array} { l } =- \sin ^ { n-1 } x \cos x + (n-1) \int \sin ^ { n-2 } x \cos ^ { 2 } x d x \\ =- \sin ^ { n-1 } x \cos x + (n-1) \int \sin ^ { n-2 } x d x-(n-1) \int \sin ^ { n } x d x \end {array} \] 이다. 따라서 \[ n I_ { n } =- \sin ^ { n-1 } x \cos x + (n-1) I_ { n-2 } \] 이고 \[ I_ { n } =- \frac { 1 } { n } \sin ^ { n-1 } x \cos x + \frac { n-1 } { n } I_ { n-2 } \] 이다.</p> <h2>4.4 유리함수의 적분법</h2> <p>앞 절에서는 치환적분법과 부분적분법에 의하여 여러 가지 함수의 부정적분을 구하였는데 거기에서는 개개의 경우에 따라서 개별적인 방법을 고찰할 필요가 있었다. 이 절에서는 유리함수의 부정적분에 관하여 일반적인 방법을 생각해 보기로 한다.</p> <p>우선 유리함수 \[ \frac { f(x) } { g(x) } ,(f(x), g(x) \text { 는 다항함수 } \] 는 다음과 같은 꼴로 변형할 수 있다. 즉</p> <ul> <li>1. \( f(x) \) 의 차수 \( \geq g(x) \) 의 차수인 경우 \( f(x) \) 를 \( g(x) \) 로 나누어서 몫 \( q(x) \), 나머지 \( r(x) \) 를 얻는다고 하면 \[ \frac { f(x) } { g(x) } =q(x) + \frac { r(x) } { g(x) } (r(x) \text { 의 차수 }<g(x) \text { 의 차수 } ) \] 형태로 바꾼다.</li></ul> <ul> <li>2. \( f(x) \) 의 차수 \(<g(x) \) 의 차수인 경우</li></ul> <ol type=i start=1><li>\( g(x)=(x-a) ^ { m } g_ { 1 } (x) \) 이면 상수 \( c_ { 1 } , c_ { 2 } , \cdots, c_ { m } \) 에 대하여 \[ \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { c_ { 1 } } { x-a } + \frac { c_ { 2 } } { (x-a) ^ { 2 } } + \ldots + \frac { c_ { m } } { (x-a) ^ { m } } + \frac { f_ { 1 } (x) } { g_ { 1 } (x) } \] 형태로 부분분수분해한다.</li> <li>\( g(x)= \left (x ^ { 2 } + a x + b \right ) ^ { m } \cdot g_ { 1 } (x) \) (즉 \( x ^ { 2 } + a x + b \) 는 실수의 범위에서 인수분해 할 수 없는 2 차식)이면, 적당한 상수 \( p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { m } , q_ { 1 } , q_ { 2 } \cdots, q_ { m } \) 에 대하여 \[ \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { p_ { 1 } x + q_ { 1 } } { x ^ { 2 } + a x + b } + \frac { p_ { 2 } x + q_ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + a x + b \right ) ^ { 2 } } + \cdots + \frac { p_ { m } x + q_ { m } } {\left (x ^ { 2 } + a x + b \right ) ^ { m } } + \frac { f_ { 1 } (x) } { g_ { 1 } (x) } \] 형태로 부분분수분해한다. 위 ( i ), (ii)의 증명은 여기서는 생략하기로 한다. 임의의 실계수의 다항식은 몇 개의 실계수의 1 차식 또는 2 차식의 곱으로 인수분해된다는 것(대수학의 기본정리)이 증명되어 있다.</li></ol> <ul> <li>예제 4.4.1 \( \int \frac { x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } -1 } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\[ \frac { 1 } { x ^ { 4 } -1 } = \frac { A } { x-1 } + \frac { B } { x + 1 } + \frac { C x + D } { x ^ { 2 } + 1 } \] 라 놓고 우변을 통분하여 양변의 분자를 비교하면 \[ 1=A(x + 1) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + B(x-1) \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) + (C x + D)(x-1)(x + 1) \] \( x=-1 \) 과 \( x=1 \) 로 놓으면 \( B=- \frac { 1 } { 4 } , A= \frac { 1 } { 4 } \) 을 얻는다. 또 \( x=0 \) 일 때 \( 1=A-B-D \) 이므로 \( D=- \frac { 1 } { 2 } \) 을 얻을 수 있다. 또한, 양변의 \( x ^ { 3 } \) 의 계수를 비교하면 \( 0=A + B + C \) 이므로 \( C=0 \) 임을 알 수 있다. 따라서 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { x ^ { 4 } -1 } &= \frac { 1 } { 4 } \int \left ( \frac { 1 } { x-1 } - \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 } \right ) d x \\ &= \frac { 1 } { 4 } \ln \left \| \frac { x-1 } { x + 1 } \right \|- \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { -1 } x \end {aligned} \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.4.4 \( I= \int \frac { 1 } { x \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p></p> <h1>4장 부정적분법</h1> <h2>4.1 부정적분</h2> <p>우리는 함수 \( f(x) = x ^ { 2 } \) 의 도함수는 \( f ^ {\prime } (x)=2 x \) 가 되는 것을 살펴보았다. 이 절에서는 주어진 함수 \( f(x)=2 x \) 에 대하여 \( F ^ {\prime } (x)=f(x) \) 가 되는 함수 \( F(x) \) 를 구하는 도함수의 역산에 대하여 살펴본다. 어떤 구간에서 정의된 함수 \( f(x) \) 에 대하여 이 구간의 모든 \( x \) 에 관하여 \[ F ^ {\prime } (x)=f(x) \] 를 만족하는 함수 \( F(x) \) 가 존재할 때 \( F(x) \) 를 \( f(x) \) 의 원시함수(primitive function) 또는 부정적분(indefinite integral)이라고 한다. \( f(x) \) 가 주어졌을 때에 그 부정적분 \( F(x) \) 를 구하는 것을 \( f(x) \) 를 적분한다고 한다.</p> <p>\( f(x) \) 의 부정적분을 \( \int f(x) d x \) 로 나타내고 \( \int \) 를 적분기호, \( f(x) \) 를 피적분함수, \( d x \) 를 적분변수라고 한다. \( F(x) \) 가 \( f(x) \) 의 한 부정적분이면 \[ \int f(x) d x=F(x) + C \quad(C \text { 는 임의의 상수 } ) \] 임을 알 수 있다. 이때 \( C \) 를 적분상수라고 한다. 앞으로 부정적분의 계산을 할 때에는 편의상적분상수 \( C \) 를 생략하고 \[ \int f(x) d x=F(x) \] 와 같이 쓴다.</p> <p>함수 \( f(x) \) 의 원시함수를 미분하면 다시 \( f(x) \) 를 얻을 수 있다. 즉, \[ \frac { d } { d x } \left ( \int f(x) d x \right )=f(x) \] 이 결과를 이용하여 적분의 선형적인 성질을 얻을 수 있다.</p> <p>(1) \( \int k f(x) d x=k \int f(x) d x, k \) 는 상수</p> <p>(2) \( \int(f(x) + g(x)) d x= \int f(x) d x + \int g(x) d x \)</p> <p>부정적분의 계산의 기초가 되는 공식을 열거하면 다음과 같다.</p> <p>(1) \( \int x ^ { k } d x= \frac { x ^ { k + 1 } } { k + 1 } (k \neq-1) \)</p> <p>(a) \( \int \frac { x d x } {\sqrt { x ^ { 2 } + A } } = \int \frac { t d t } { t } =t= \sqrt { x ^ { 2 } + A } \)</p> <p>(b) \( \int x \sqrt { x ^ { 2 } + A } d x= \int t \cdot t d t= \frac { t ^ { 3 } } { 3 } = \frac { 1 } { 3 } \left ( \sqrt { x ^ { 2 } + A } \right ) ^ { 3 } \)</p> <ul> <li>예제 4.2.3 \( I= \int \frac { x } {\sqrt { 2-x ^ { 4 } } } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( x ^ { 2 } =t \) 라 놓으면 \( 2 x d x=d t \) 이므로 \[ I= \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d t } {\sqrt { 2-t ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { -1 } \frac { t } {\sqrt { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { -1 } \frac { x ^ { 2 } } {\sqrt { 2 } } \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.4 \( \int \frac { 4 x ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 3 } + 8 } } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\( x ^ { 3 } + 8=t \) 라 놓으면 \( 3 x ^ { 2 } d x=d t \) 이므로 \[ \int \frac { 4 x ^ { 2 } } {\sqrt { x ^ { 3 } + 8 } } d x= \frac { 4 } { 3 } \int \frac { d t } {\sqrt { t } } = \frac { 4 } { 3 } \cdot 2 \sqrt { t } = \frac { 8 } { 3 } \sqrt { x ^ { 3 } + 8 } \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.2.5 \( \int \frac { d x } { e ^ { x } + e ^ { -x } } \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p> <p>\[ \frac { 1 } { x \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } = \frac { A } { x } + \frac { B x + C } { x ^ { 2 } + x + 1 } \] 라 놓고 우변을 봉분하여 양변의 분자를 비교하면 \[ 1=A \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) + (B x + C) x \] 에서 \( A=1, B=-1 \) 이므로 \[ \begin {aligned} \int & \frac { 1 } { x \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } d x \\ &= \int \left ( \frac { 1 } { x } - \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } \right ) d x \\ &= \int \frac { 1 } { x } d x- \frac { 1 } { 2 } \int \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x- \frac { 1 } { 2 } \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x \\ \quad=& \ln \|x\|- \frac { 1 } { 2 } \ln \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right )- \frac { 1 } { 2 } \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x \end {aligned} \] 이다. 마지막 적분은 \[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + x + 1 } d x &= \int \frac { 1 } {\left (x + \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) ^ { 2 } } d x \\ &= \frac { 2 } {\sqrt { 3 } } \tan ^ { -1 } \frac { 2 } {\sqrt { 3 } } \left (x + \frac { 1 } { 2 } \right ) \end {aligned} \] 이므로 \[ \int \frac { 1 } { x \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right ) } d x \] \[ = \ln \|x\|- \frac { 1 } { 2 } \ln \left (x ^ { 2 } + x + 1 \right )- \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \tan ^ { -1 } \frac { 2 } {\sqrt { 3 } } \left (x + \frac { 1 } { 2 } \right ) \] 이다.</p> <ul> <li>예제 4.4.5 \( \int \frac { 2 x ^ { 2 } -x + 1 } { (x-1) ^ { 3 } (x-2) ^ { 2 } } d x \) 를 구하여라.</li></ul> <p>풀이</p>	자연
M521-기초정수론	<p>\[ \begin {aligned} d &=r_ { n-2 } -q_ { n } r_ { n-1 } \\ &=r_ { n-2 } -q_ { n } \left (r_ { n-3 } -q_ { n-1 } r_ { n-2 } \right ) \\ &=r_ { n-2 } \left (1 + q_ { n } q_ { n-1 } \right )-r_ { n-3 } q_ { n } . \end {aligned} \]</p> <p>여기에 \( r_ { n-2 } =r_ { n-4 } -q_ { n-2 } r_ { n-3 } \)등으로 치환하여 올라가면 드디어 \( d=a x + b y \) 꼴이 되게 할 수 있다.</p> <p>위의 과정으로 2437과 51329의 최대공약수 \( d=1 \)을 \( a x + b y \)의 꼴로 표시하면,</p> <p>\[ 2437 x + 51329 y=1 \]</p> <p>이고</p> <p>\[ \begin {aligned} 1 &=5-2 \cdot 2 \\ &=5-2(152-30 \cdot 5)=-2 \cdot 152 + 61 \cdot 5 \\ &=-2 \cdot 152 + 61(2437-16 \cdot 152) \\ &=61 \cdot 2437-978 \cdot 152 \\ &=61 \cdot 2437-978(51329-21 \cdot 2437) \\ &=20599 \cdot 2437-978 \cdot 51329 \end {aligned} \]</p> <p>이다. 그러므로 \( x=20599, ~y=-978 \)이 된다.</p> <p>정리 2.5</p> <p>\( d= \operatorname { gcd } (a, b) \)이면,</p> <ol type=1 start=1><li>\( d=1 \)이 되기 위한 필요충분조건은 정수 \( x, y \)가 존재하여 \( a x + b y=1 \)을 만족하는 것이다.</li> <li>\( \operatorname { gcd } \left ( \frac { a } { d } , \frac { b } { d } \right )=1 \).</li> <li>\( a \mid b c \)이고 \( d=1 \)이면 \( a \mid c \).</li> <li>\( a \mid b c \)이면 \( \left ( \frac { a } { d } \right ) \mid c \).</li> <li>\( \operatorname { gcd } (m a, m b)= \mid m \mid d \).</li></ol> <p>증명</p> <ol type=1 start=1><li>따름정리 2.4에 의하여 \( d=1 \)이면 정수 \( x, y \)가 존재하여 \( a x + b y=1 \)을 만족하고, 역으로 \( a x + b y=1 \)이고, \( d \mid a \), \( d \mid b \)이면 \( d \mid 1 \)이므로 \( d= \pm 1 \)이 되지만 \( d>0 \)이므로 \( d=1 \).</li> <li>다시 따름정리 2.4에 의하여 정수 \( x, y \)가 존재하여 \[ a x + b y=d \] 를 만족하고, 양변을 \( d \)로 나누면, \( \frac { a } { d } , \frac { b } { d } \)는 정수이고, 다시 (1)에 의하여 \( \operatorname { gcd } \left ( \frac { a } { d } , \frac { b } { d } \right )=1 \).</li> <li>\( d=1 \)이므로 \( a x + b y=1 \)을 만족하는 정수 \( x, y \)가 존재하고, 이 식의 양 변에 \( c \)를 곱하면 \[ c=a c x + b c y . \] 여기서 \( a\|a, a\| b c \)이므로 \( a \mid c \).</li> <li>\( a \mid b c \)이면, \( \left ( \frac { a } { d } \right ) \mid \left ( \frac { b } { d } \right ) c \)이므로 (2)와 (3)으로부터 \( \left ( \frac { a } { d } \right ) \mid c \).</li> <li>일반성을 잃지 않고 \( m>0 \)이라 가정하자. \( md \mid ma, md \mid mb \)는 자명하고 \( e \mid ma, e \mid mb \)를 만족하는 정수 \( e \)가 존재한다고 가정할 때, \( e \mid md \)임을 보이자. \( d=ax + by \)이므로 \[ md= \max + mby \] 이다. 따라서 \( e \mid md \).</li></ol> <p>참고</p> <p>\[ m_ { 1 } =p_ { 2 } p_ { 3 } \cdots p_ { r } =q_ { 2 } q_ { 3 } \cdots q_ { s } \]</p> <p>이다. \( m_ { 1 }<m \)이고, \( m \)이 1 보다 큰 정수 중 그 소인수분해가 유일하지 않은 정수 가운데 가장 작은 정수이므로 \( m \)보다 작은 \( m_ { 1 } \)은 그 소인수분해가 유일하다. 따라서 \( r-1=s-1 \)에서 \( r=s \)이고, \( q \)들을 재배치하면 \( p_ { 2 } =q_ { 2 } , \cdots, p_ { r } =q_ { s } \)이다. 그러므로 \( m \)의 소인수분해는 유일하게 된다.</p> <p>따름정리 2.11</p> <p>\( n<-1 \)이면, \( n=-p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { r } \)을 만족하는 소수 \( p_ { 1 } , \cdots, p_ { r } \)이 존재하고 이 표현은 유일하다.</p> <p>증명</p> <p>\( -n \)은 정리 2.10의 모든 가정을 만족한다.</p> <p>참고</p> <p>1을 소수에서 제외한 것은, 만일 1을 소수로 할 때에는 정수의 소인수분해가 유일성을 보장받을 수 없기 때문이다. 예컨대 \( 15=3 \cdot 5=3 \cdot 5 \cdot 1 = 1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 1 \) 등.</p> <p>따름정리 2.12</p> <p>정수에는 무한히 많은 소수가 있다.</p> <p>증명</p> <p>귀류법으로 증명하기 위하여 정수에는 유한개의 소수, 즉 \( p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { k } \)의 \( k \)개의 소수만이 존재한다고 하자. 그리고</p> <p>\[ n=p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { k } + 1 \]</p> <p>라 놓으면 \( n>1 \)이므로 \( p \mid n \)을 만족하는 소수 \( p \)가 존재한다. \( p \)는 소수이고 또 존재하는 모든 소수는 \( p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { k } \) 중에 하나이므로 \( p=p_ { i } \)가 되어 \( p \mid p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { k } \) 이다. 따라서 \( p \mid 1 \)이 되어 모순이므로 정리는 증명된다.</p> <p>는 소수의 곱이 된다. 이것은 우리의 \( m \)의 선택에 모순이므로 모든 \( n>1 \)은 소수의 곱으로 표시된다.</p> <p>보조정리 2.8 유클리드</p> <p>\( p \)가 소수이고, \( p \mid a b \)이면, \( p \mid a \) 또는 \( p \mid b \)이다.</p> <p>증명</p> <p>이 정리는 정리 2.5의 (3)에 의하여 자명하다. \( p \nmid a \)라 가정하면, 이것은 \( \operatorname { gcd } (a, p)=1 \)과 동치이므로 \( p \mid b \)이다.</p> <p>따름정리 2.9</p> <p>\( p \)가 소수이고, \( p \mid a_ { 1 } a_ { 2 } \cdots a_ { r } \)이면, 어떤 \( i(1 \leq i \leq r) \)에 대하여, \( p \mid a_ { i } \)이다.</p> <p>증명</p> <p>귀납법을 이용하여 그 결과를 얻는다.</p> <p>정리 2.10</p> <p>\( n>1 \)인 정수는 소수의 곱으로 유일하게 표시된다.</p> <p>증명</p> <p>보조정리 2.7에서 \( n>1 \)인 정수는 소수의 곱으로 표시되므로 여기서는 유일성만 보이면 된다. 만일 \( n>1 \)인 정수 가운데 소인수분해가 유일하지 않은 정수가 있다고 하면, 그중에 최소의 정수를 \( m \)이라 하자(양의 정수의 정열성). 그러면 \( m \)은 다음과 같이 표시된다. 즉,</p> <p>\[ m=p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { r } =q_ { 1 } q_ { 2 } \cdots q_ { s } \quad (p_ { i } , q_ { j } ) \text { 는 소수 } \]</p> <p>그러면 \( p_ { 1 } \mid q_ { 1 } q_ { 2 } \cdots q_ { s } \)이고, 따름정리 2.9에 의하여 어떤 적당한 \( i \)에 대하여 \( p_ { 1 } \mid q_ { i } \). 그러나 \( q_ { i } \)를 재배치하여서 \( i=1 \)이 되게 할 수 있다. 즉, \( p_ { 1 } \mid q_ { 1 } \). 그런데 \( q_ { 1 } \)은 소수이므로 \( p_ { 1 } =q_ { 1 } \). 그리고 \( m \)을 표시한 위 식에서 \( p_ { 1 } =q_ { 1 } \)을 소거하고 소거한 수를 \( m_ { 1 } \)이라 하면</p> <p>\[ a=q d + r, \quad 0 \leq r<d \]</p> <p>이다. 여기서 \( r \)을 계산해보면</p> <p>\[ \begin {aligned} r &=a-q d=a-q \left (a x_ { 0 } + b y_ { 0 } \right ) \\ &=a-a q x_ { 0 } -b q y_ { 0 } =a \left (1-q x_ { 0 } \right ) + b \left (-q y_ { 0 } \right ) \end {aligned} \]</p> <p>이다. 여기서 \( 1-q x_ { 0 } ,-q y_ { 0 } \)은 정수이므로 \( r \)은 \( S \)에 속한다. 그리고 \( 0 \leq r<d \)이며, \( d \)는 \( S \)에 속한 최소의 양의 정수이므로 \( r=0 \). 따라서 \( a=q d \). 즉, \( d \mid a \)이다. 비슷한 방법으로 \( d \mid b \)도 쉽게 얻을 수 있다. 그러므로 \( d= \operatorname { gcd } (a, b) \).</p> <p>따름정리 2.4</p> <p>\( d= \operatorname { gcd } (a, b) \)이면 \( d \)는 \( a \)와 \( b \)의 일차 결합으로 표시할 수 있다. 즉, 어떤 \( x, y \in \mathrm { Z } \)에 대하여</p> <p>\[ d=a x + b y . \]</p> <p>또한 \( S= \{ a x + b y \mid x, y \in \mathrm { Z } \} \)는 \( d \)의 배수의 집합이다.</p> <p>보기 2.2</p> <ol type=1 start=1><li>\( a=2, ~b=3 ; ~d=1=2(-1) + 3(1) \)</li> <li>\( a=12, ~b=15 ; ~d=3=12(-1) + 15(1) \)</li> <li>\( a=100, ~b=-475 ; ~d=25=100(5) + (-475)(1) \)</li></ol> <p>정리 2.3의 증명과정은 다른 대수적 구조에서도 최대공약수의 존재를 증명하는데 기본 틀이 된다. 그러나 그 증명과정으로 최대공약수를 구하기는 대단히 번거롭다. 보다 효과적이고 구조적인 과정, 즉 유클리드 호제법(Euclidean algorithm)을 아래에 소개한다.</p> <p>정리 2.3의 다른 증명</p> <p>\( a>0 \)이라 가정하고 나눗셈 정리를 계속하여 쓰면,</p> <p>\[ \begin {array} { ll } b=q_ { 1 } a + r_ { 1 } , & 0<r_ { 1 }<a \\ a=q_ { 2 } r_ { 1 } + r_ { 2 } , & 0<r_ { 2 }<r_ { 1 } \\ r_ { 1 } =q_ { 3 } r_ { 2 } + r_ { 3 } , & 0<r_ { 3 }<r_ { 2 } \\ \vdots & \vdots \\ r_ { n-2 } =q_ { n } r_ { n-1 } + r_ { n } , & 0<r_ { n }<r_ { n-1 } \\ r_ { n-1 } =q_ { n + 1 } r_ { n } + r_ { n + 1 } & r_ { n + 1 } =0 . \end {array} \]</p> <p>최대공약수의 정의만으로는 과연 두 정수 \( a, b \)의 최대공약수가 존재하는지? 또 존재한다고 하더라도 유일하게 존재하는지? 두 개 이상 존재하는지가 명확하지 않다. 그러나 존재하는 경우에는 오직 하나뿐이라는 것을 증명하기는 쉽다. 즉, \( d_ { 1 } , d_ { 2 } \)가 정의 2.3을 만족하는 \( a, b \)의 두 최대공약수라면, 조건 (2)에서 \( d_ { 1 } \mid a \), \( d_ { 1 } \mid b \)이고, \( d_ { 2 } \mid a \), \( d_ { 2 } \mid b \)이며, 조건 (3)에서 \( k=d_ { 1 } , d=d_ { 2 } \)와 \( k=d_ { 2 } , d=d_ { 1 } \)에서 \( d_ { 1 } \mid d_ { 2 } \), \( d_ { 2 } \mid d_ { 1 } \)이다. 따라서 \( d_ { 1 } = \pm d_ { 2 } \)가 되지만 최대공약수는 양의 정수이므로 \( d_ { 1 } =d_ { 2 } \). 즉, 존재하는 최대공약수는 오직 하나뿐이다.</p> <p>정리 2.3 최대공약수의 존재성</p> <p>0이 아닌 두 정수 \( a, b \)의 최대공약수는 존재하고, 유일하다.</p> <p>증명</p> <p>집합 \( S= \{ a x + b y \mid x, y \in \)Z \( \} \)를 생각하여 보자. \( S \)에는 \( a,-a, b,-b \)( \( a=a \cdot 1 + b \cdot 0, b=a \cdot 0 + b \cdot 1 \) 등)를 포함하고 있기 때문에 양의 정수를 포함한다. \( d \)를 \( S \)에 포함된 양의 정수 중 가장 작은 정수라 가정하자. \( d=a x_ { 0 } + b y_ { 0 } , x_ { 0 } , y_ { 0 } \in \mathrm { Z } \)라 하면 이 \( d \)가 \( a, b \)의 최대공약수가 됨을 증명하자. \( d \)의 선택에서 \( d>0 \)이므로 최대공약수가 되기 위한 조건 (1)을 만족한다. 그리고 \( k \mid a \), \( k \mid b \)이면 정리 2.1의 (4)에 의하여 \( k \mid d \)가 되므로 조건 (3)을 만족하고, \( d \mid a \)를 보이기 위하여 \( a \)와 \( d \)에 나눗셈 정리를 적용 하면</p> <h1>2.3 몇 가지 기본원리</h1> <p>다음에 열거하는 기본적인 원리가 앞으로 정수론을 공부하는 데 자주 이용된다.</p> <ol type=I start=1><li>양의 정수의 정렬성(Well-ordering principle): 공집합이 아닌 모든 양의 정수의 집합은 하나의 최소 정수를 포함한다.</li> <li>수학적 귀납법(Mathematical induction): 양의 정수 \( n \)에 관한 명제 \( P(n) \)에 대하여, \( P(1) \)이 성립되고, \( P(n) \)이 성립되고, \( P(n + 1) \)이 성립되면, 모든 양의 정수 \( n \)에 대하여 이 명제는 참이다.</li> <li>아르키메데스(Archimedes)의 원리: 임의의 양의 정수 \( a, b \)에 대하여, 양의 정수 \( n \)이 존재하여 \( n a>b \)가 성립한다.</li></ol> <p>정리 2.2 나눗셈 정리(Division Algorithm)</p> <p>\( a \)가 양의 정수이고, \( b \)가 임의의 정수이며, 다음 식을 만족하는 정수 \( q \)와 \( r \)은 유일하게 존재한다.</p> <p>\[ b=q a + r, \quad 0 \leq r<a \]</p> <p>증명<p> <p>\( b \geq 0 \)이면 아르키메데스의 원리에 의하여 \( n a>b \)를 만족하는 양의 정수 \( n \)이 존재한다(예컨대 \( n=b + 1 \)). 이제 \( q + 1 \)을 \( n a>b \)를 만족하는 최소의 양의 정수라 하면</p> <p>\[ (q + 1) a>b \geq q a \]</p> <p>가 성립하고, \( r=b-q a \)로 잡으면, \( b \geq q a \)에서 \( r=b-q a \geq 0 \), 또한 \( (q + 1) a=q a + a>b \)에서 \( r=b-q a<a \)이다. \( b<0 \)인 경우도 같은 방법으로 보일 수 있다. \( q, r \)의 유일성을 증명하기 위하여</p> <p>\[ b=q a + r=q_ { 1 } a + r_ { 1 } , \quad 0 \leq r, r_ { 1 }<a \]</p> <p>라 가정하면, \( r \leq r_ { 1 } \)또는 \( r_ { 1 } \leq r \)이므로 편의상 \( r_ { 1 } \leq r \)이라 하면</p> <p>\[ 0 \leq r-r_ { 1 }<a \]</p> <p>이다. \( \left (q_ { 1 } -q \right ) a=r-r_ { 1 } \)이므로 \( a \mid r-r_ { 1 } \)이고 \( r-r_ { 1 } >0 \)이면 \( a \leq r-r_ { 1 } \)이 되어 (2.1)에 모순이다. 따라서 \( r-r_ { 1 } =0 \), 즉 \( r=r_ { 1 } \)이 되며, 또 \( \left (q-q_ { 1 } \right ) a=0 \)에서 \( q=q_ { 1 } \)을 얻는다.</p> <p>따름정리 2.13</p> <p>임의의 양의 정수 \( k \)에 대해 \( k \)개의 연속인 합성수가 존재한다.</p> <p>증명</p> <p>연속된 \( k \)개의 정수</p> <p>\[ (k + 1) ! + 2, \quad(k + 1) ! + 3, \cdots,(k + 1) ! + k, \quad(k + 1) ! + (k + 1) \]</p> <p>은 \( 2 \leq j \leq k + 1 \)일 때에 \( j \mid(k + 1) ! + j \)이므로 모두 합성수이다.</p> <p>정리 2.14</p> <p>\( n \)이 1보다 큰 정수이고 소수가 아니면, 다음 식을 만족하는 소수 \( p \)가 존재한다.</p> <p>\[ p \mid n \text { 이며 } p \leq \sqrt { n } . \]</p> <p>증명</p> <p>\( n \) 은 소수가 아니므로 다음 식을 만족하는 정수 \( a, b \) 가 존재한다.</p> <p>\[ n=a b \text { 이며 } 2 \leq a \leq b<n \]</p> <p>따라서 \( n=a b \geq a ^ { 2 } \)이다. 즉, \( a \leq \sqrt { n } \)이어서 소수 \( p \)가 \( a \)의 약수라 하면 당연히 \( p \mid n \)이고, \( p \leq a \leq \sqrt { n } \).</p> <p>위의 정리를 이용하여 소수를 걸러내면 많은 수고를 덜 수 있다. 예컨대 15는 소수가 아니다. 왜냐하면 \( 3 \mid 15 \)이고 \( 3 \leq \sqrt { 15 } \)이기 때문이다.</p> <p>주어진 \( n>1 \)이 소수인가 아닌가를 검증하기 위해서는 \( p \leq \sqrt { n } \)인 모든 소수 \( p \)로 \( n \)이 나누어지는가 아닌가를 조사하면 된다. 즉, \( n \)이 \( p \leq \sqrt { n } \)인 어느 \( p \) 로도 나누어지지 않으면 \( n \)은 소수이다.</p> <p>예컨대 \( n=97 \)이 소수인가 아닌가를 검증해보자. \( 9 \leq \sqrt { 97 } \leq 10 \). 만약 97이 합성수라면 어떤 소수 \( p( \leq 9) \)로, 즉 \( 2,3,5,7 \) 가운데 적어도 하나의 소수로 나누어져야 한다. 그러나 97은 그중 어느 소수로도 나누어지지 않으므로 97은 소수이다. 이와 같은 방법을 에라토스테네스(Eratosthenes)의 체(sieve)라 한다.</p> <p>종종 \( \operatorname { gcd } (a, b)=1 \)일 때, \( a, b \)에 관한 문제를 풀 때에는 위의 (3)의 증명에서와 같이 우선 \( a x + b y=1 \)을 이용하면 쉽게 풀릴 때가 있다.</p> <p>정리 2.6</p> <p>\( a, b, c \)가 정수이고, \( a, b \)가운데 적어도 하나는 0이 아니며, \( d= \operatorname { gcd } (a, b) \)일 때, 부정방정식</p> <p>\[ ax + by=c \]<caption>(2.2)</caption></p> <p>가 정수해 \( (x, y) \)를 가지기 위한 필요충분조건은 \( d \mid c \)이고, 이때 \( x=x_ { 0 } \), \( y=y_ { 0 } \)가 하나의 특수해이면, (2.2)의 일반해 \( (x, y) \) 는 다음과 같다.</p> <p>\[ x=x_ { 0 } + \frac { b } { d } k, \quad y=y_ { 0 } - \frac { a } { d } k, \quad k \in \mathbb { Z } . \]</p> <p>증명</p> <p>(2.2)를 만족하는 해 \( (x, y) \)가 존재하여 \( a x + b y=c \)를 만족하면 \( d \mid a, d \mid b \)이므로 \( d \)는 (2.2)의 좌변 \( ax + by \)를 나누므로 \( d \mid c \). 역으로 \( d \mid c \)라 하자. 따름정리 2.4에 의하여 정수 \( x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \)이 존재하여</p> <p>\[ a x ^ {\prime } + b y ^ {\prime } =d \]</p> <p>를 만족하고 이 식의 양변에 \( \frac { c } { d } \)를 곱하면 \( a \left ( \frac { c } { d } \right ) x ^ {\prime } + b \left ( \frac { c } { d } \right ) y ^ {\prime } =c \)이므로</p> <p>\[ x= \left ( \frac { c } { d } \right ) x ^ {\prime } , \quad y= \left ( \frac { c } { d } \right ) y ^ {\prime } \]</p> <p>이다. 따라서 \( \operatorname { gcd } (172,20)=4 \)이고 \( 4 \mid 1000 \)이므로, 위 방정식의 해가 존재하며, 또 4를 172와 20의 일차 결합으로 표시하면,</p> <p>\[ \begin {aligned} 4 &=12-8 \\ &=12-(20-12) \\ &=2 \cdot 12-20 \\ &=2(172-8 \cdot 20)-20 \\ &=2 \cdot 172 + (-17) 20 \end {aligned} \]</p> <p>이다. 이 식의 양변에 250을 곱하면</p> <p>\[ \begin {aligned} 1000 &=250 \cdot 4=250(2 \cdot 172 + (-17) 20) \\ &=500 \cdot 172 + (-4250) 20 \end {aligned} \]</p> <p>이다. 따라서 \( x=500 \), \( y=-4250 \)이 위 부정방정식의 하나의 해가 된다. 그러므로 주어진 방정식의 일반해는</p> <p>\[ \begin {array} { l } x=500 + \frac { 20 } { 4 } k=500 + 5 k, \\ y=-4250- \frac { 172 } { 4 } k=-4250-43 k, \quad k \in \mathrm { Z } \end {array} \]</p>이다.</p> <h1>2.5 정수의 소인수분해의 유일성</h1> <p>이제 본 장의 주요 결과인 정수의 소인수분해의 유일성에 대하여 알아보자.</p> <p>보조정리 2.7</p> <p>\( n>1 \)이면, \( n \)은 소수의 곱으로 표시된다.</p> <p>증명</p> <p>만일 \( n>1 \)인 정수들 가운데 소수의 곱으로 표시되지 않는 정수가 있다면 양의 정수의 정렬성에 의하여 최소의 양의 정수 \( m \)이 존재한다. 따라서 \( m \)은 소수가 아니므로, \( a \neq \pm 1 \), \( a \neq \pm m \)인 \( m \)의 약수 \( a \)가 존재하여 \( m=ab \), \( 1<a \), \( b<m \)이다. 그런데 \( m>1 \)은 소수의 곱으로 표시되지 않는 최소의 양의 정수이므로, \( a, b \)는 소수의 곱으로 표시되어야 한다. 곧 \( a=p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { r } \), \( b=q_ { 1 } q_ { 2 } \cdots q_ { s } \). 여기서 \( p_ { i } , q_ { j } \)는 소수. 그러면</p> <p>\[ m=a b=p_ { 1 } p_ { 2 } \cdot p_ { r } q_ { 1 } q_ { 2 } \cdots q_ { s } \]</p> <h1>2.4 최대공약수</h1> <p>정제성을 논할 때 가장 중요한 개념이 소수의 개념이라면, 그 다음으로 중요한 것은 최대공약수(greatest common divisor)의 개념이라 할 수 있다.</p> <p>정의 2.3</p> <p>두 정수 \( a \)와 \( b \)의 최대공약수 \( d \)는 다음 세 조건을 만족하는 정수이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( d \geq 1 \),</li> <li>\( d \mid a, ~d \mid b \), (즉, \( d \)는 \( a \)와 \( b \)의 공약수)</li> <li>어떤 정수 \( k \)가 \( a \)와 \( b \)의 공약수이면, \( k \)는 \( d \)의 약수이다. 즉, \( k \mid a \)이고 \( k \mid b \)이면 \( k \mid d \)이다.</li></ol> <p>그리고 \( d \)가 \( a \)와 \( b \)의 최대공약수인 것을 \( d= \operatorname { gcd } (a, b) \)로 표시하며, 특히 \( \operatorname { gcd } (a, b)=1 \)이면 \( a \)와 \( b \)는 “서로소”라 한다.</p> <p>보기 2.1</p> <ol type=1 start=1><li>\( a=2, ~b=3 \)이면 \( \operatorname { gcd } (2, ~3)=1 \),</li> <li>\( a=12, ~b=15 \)이면 \( \operatorname { gcd } (12, ~15)=3 \),</li> <li>\( \operatorname { gcd } (100, ~-475)=25 \).</li></ol> <p>위의 보기 2.1의 (2)에서 12의 약수는 \( \pm 1 \), \( \pm 2 \), \( \pm 3 \), \( \pm 4 \), \( \pm 6 \), \( \pm 12 \)이고 15의 약수는 \( \pm 1 \), \( \pm 3 \), \( \pm 5 \), \( \pm 15 \)이다. 따라서 12와 15의 공약수는 \( \pm 1 \), \( \pm 3 \)이고 \( + 3 \)만이 모든 공약수가 나누는 양의 공약수이므로 3이 12와 15의 최대공약수가 된다. 즉, \( \operatorname { gcd } (12, ~15)=3 \)이다.</p> <p>최대공약수의 정의를 다시 한 번 살펴보면, 조건 (1)은 \( \operatorname { gcd } (a, b) \)는 양의 정수여야 하며, 조건 (2)는 \( \operatorname { gcd } (a, b) \)는 \( a, b \)의 공약수이며, 조건 (3)은 \( a, b \)의 모든 공약수는 \( \operatorname { gcd } (a, b) \)의 약수라는 것이다.</p> <p>예컨대 3과 7, -4와 18은 같은 패리티를 갖고, 3과 8, 6과 25는 반대 패리티를 갖는다. 한 정수가 두 개 이상의 정수 각각의 약수가 될 때 그 정수를 이들 정수의 공약수(common divisor)라 한다. 예컨대 3은 9와 12의 공약수이고, 7은 -21, 35 의 공약수이다.</p> <h1>2.2 기본정리</h1> <p>정수의 집합, 유리수의 집합, 실수의 집합 그리고 복소수의 집합을 각각 \( \mathbb { Z } , \mathbb { Q } , \mathbb { R } \) 그리고 \( \mathbb { C } \)라 하자.</p> <p>정리 2.1</p> <ol type=1 start=1><li>\( a \neq 0 \)이면, \( a \mid a \).</li> <li>\( a \neq 0 \)이고 \( a \mid c \)이면, 임의의 \( k \in \mathbb { Z } \)에 대해 \( a \mid k c \).</li> <li>\( a \mid b, ~b \mid c \)이면, \( a \mid c \).</li> <li>\( a \mid b, ~a \mid c \)이면, 임의의 \( x, y \in \mathbb { Z } \)에 대해 \( a \mid b x + c y \).</li> <li>\( c \neq 0 \)이고 \( a \mid c \)이면, \( \|a\| \leq \|c\| \).</li> <li>\( a \mid c, ~c \mid a \)이면, \( \|a\|=\|c\| \).</li></ol> <p>증명</p> <p>\( a=a \cdot 1 \) 또, \( c=a b \)에서 \( k c=k(a b)=a(b k) \)이므로 (1)과 (2)는 자명하다. 그리고 \( b=a d \)이고, \( c=b e \)이면 \( c=(a d) e=a(d e) \)로 되어 (3)이 성립하고, \( a\|b, a\| c \)이면, \( s, t \in \mathbb { Z } \)에 대해 \( b=a s, c=a t \)이고 \( b x + c y=a s x + a t y=a(s x + t y) \)로 되어 (4)가 성립한다. \( c=a b \neq 0 \)이면 \( \|c\|=\|a\|\|b\| \)이고 \( \|b\| \geq 1 \)이므로 \( \|c\| \geq\|a\| \)즉, (5)가 성립한다. 또 \( a \mid c \)이고 \( c \mid a \)이면 (5)에 의하여 \( \|a\| \leq\|c\|,\|c\| \leq\|a\| \)이므로 \( \|a\|=\|c\| \)이다.</p> <p>나머지는 0 이상이고 점점 작아지므로 결국은 나머지가 0이 된다. 즉, \( r_ { n + 1 } =0 \)이다.</p> <p>위의 연산에서 \( r_ { n } = \operatorname { gcd } (a, b) \)를 증명하기는 어렵지 않다. 명백히 정리 2.3의 조건 (1)을 만족하고, 또한 \( r_ { n } \mid r_ { n-1 } \)이고, \( r_ { n } \mid r_ { n } \)이므로 \( r_ { n } \mid r_ { n-2 } \), 또는 \( r_ { n } \mid r_ { n-1 } \), \( r_ { n } \mid r_ { n-2 } \)이므로 \( r_ { n } \mid r_ { n-3 } \), 이와 같이 계속하면 \( r_ { n } \mid r_ { 2 } \), \( r_ { n } \mid r_ { 1 } \)이 되고 결국 \( r_ { n } \mid a \), \( r_ { n } \mid b \)가 되어 조건 (2)를 만족한다. 이제 정수 \( k \)가 \( k \mid a \), \( k \mid b \)라면, 앞에서와 마찬가지로 \( k \mid r_ { 1 } \)이 되며, 또한 \( k \mid r_ { 2 } \)가 되고 계속하면 마침내 \( k \mid r_ { n } \)이 되어 조건 (3)도 만족하므로 \( r_ { n } = \operatorname { gcd } (a, b) \)이다.</p> <p>위의 방법으로 \( \operatorname { gcd } (2437, ~51329) \)를 계산하여 보자.</p> <p>\[ \begin {array} { l } 51329=21 \cdot 2437 + 152 \\ 2437=16 \cdot 152 + 5 \\ 152=30 \cdot 5 + 2 \\ 5=2 \cdot 2 + 1 \\ 2=2 \cdot 1 + 0 \end {array} \]</p> <p>그러므로 \( \operatorname { gcd } (2437, ~51329)=1 \). 따라서 2437과 51329는 서로소이다.</p> <p>위의 증명은 또한 따름정리 2.4의 구조적인 증명이라 할 수 있다. 즉, \( d=r_ { n } \)이라 놓으면</p> <p>이 (2.2)의 해가 된다.</p> <p>또한 \( x_ { 0 } , y_ { 0 } \)가 (2.2)의 하나의 해라 하고, \( x=x_ { 0 } + \left ( \frac { b } { d } \right ) k \), \( y=y_ { 0 } - \left ( \frac { a } { d } \right ) k \)를 (2.2)에 대입하면 \( x, y \)가 (2.2)의 해가 됨을 알 수 있다. 역으로 \( x, y \)가 (2.2)의 임의의 해이고, \( b \neq 0 \)( \( b=0 \)이면, \( a \neq 0 \)이라 가정하면 같은 결과를 얻는다.)이라 가정하면</p> <p>\[ a x + b y=c=a x_ { 0 } + b y_ { 0 } , \quad a \left (x-x_ { 0 } \right )=b \left (y_ { 0 } -y \right ) . \]</p> <p>따라서 \( b \mid a \left (x-x_ { 0 } \right ) \)에서 \( \frac { b } { d } \mid x-x_ { 0 } \). 즉,</p> <p>\[ x=x_ { 0 } + \frac { b } { d } k . \]</p> <p>이 값을 (2.2)에 대입하면 \( a \left (x_ { 0 } + \frac { b } { d } k \right ) + b y=c \)에서</p> <p>\[ b y=c-a x_ { 0 } -b \frac { a } { d } k=b y_ { 0 } -b \frac { a } { d } k . \]</p> <p>따라서</p> <p>\[ y=y_ { 0 } - \frac { a } { d } k \]</p> <p>이다.</p> <p>보기 2.3</p> <p>\( 172 x + 20 y=1000 \)을 풀어보자.</p> <p>유클리드의 호제법을 이용하여 \( \operatorname { gcd } (172,20) \)을 계산하면,</p> <p>\[ \begin {array} { l } 172=8 \cdot 20 + 12, \\ 20=1 \cdot 12 + 8, \\ 12=1 \cdot 8 + 4, \\ 8=2 \cdot 4 \end {array} \]</p> <h1>2.1 서론 및 기본정리</h1> <p>\( c \)가 임의의 정수이고 \( a \)는 0이 아닌 정수일 때, 정수 \( b \)가 존재하여 \( c = a b \)가 성립하면 " \( a \)는 \( c \)를 나눈다"고 하며, 이때 \( a \)를 \( c \)의 약수(divisor) 또는 인수(factor)라 하고 \( c \)를 \( a \)의 배수(multiple)라 한다. 이것을 기호로는 \( a \mid c \)로 표시한다. \( a \mid c \)이면 \( -a \mid c \)가 성립하는 것은 자명하다. \( c=a b \)를 만족하는 \( b \)가 존재하지 않을 때에 는 \( a \nmid c \)로 표시한다.</p> <p>예컨대 \( 3 \cdot 4=12 \)이고 \( 7 \cdot 0=0 \)이므로 3은 12의 약수이고, 7은 0의 약수이다. 즉, \( 3 \mid 12 \), \( 7 \mid 0 \)이다. 그러나 \( 12=5 k \)를 만족하는 정수 \( k \)가 존재하지 않으므로 \( 5 \nmid 12 \)이다. 특히 1 과 \( -1 \)은 모든 정수의 약수이고, 0은 0이 아닌 모든 정수의 배수가 된다. 또 임의의 정수 \( a \)는 \( \pm 1, \pm a \)로 나누어진다.</p> <p>기호 \( \|a\| \)는 \( a \)의 절댓값을 뜻한다. 즉, \( a \geq 0 \)이면 \( \|a\|=a \)이고, \( a<0 \)이면 \( \|a\|=-a \)이다. 다음은 이 절댓값에 관한 기본적인 성질을 소개한 것이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( a \neq 0 \) 이면 \( \|a\|>0 \) 이고, \( a=0 \) 이면 \( \|a\|=0 \),</li> <li>\( \|a\|=\|-a\| \)</li> <li>\( \|a b\|=\|a\|\|b\| \)</li> <li>\( \|a + b\| \leq\|a\| + \|b\| \)</li> <li>\( \|a\|-\|b\| \leq\|a + b\| \)</li></ol> <p>정의 2.1</p> <p>1보다 큰 정수인 \( p \)의 양의 약수가 1과 \( p \)밖에 없을 때, 정수 \( p \)를 소수(prime number)라 한다. 그리고 어떤 정수 \( n \)이 \( \pm 1 \)과 \( \pm n \) 이외의 약수를 가지면 정수 \( n \)을 합성수(composite number)라 한다.</p> <p>예컨대 2와 5는 소수이고, 4와 15는 합성수이다.</p> <p>정의 2.2</p> <p>모든 정수의 약수가 되는 1과 -1을 단원(unit)이라 하며, 2의 배수가 되는 정수를 짝수(even number), 그 밖의 모든 정수를 홀수(odd number)라 한다. 또 한 쌍의 정수가 모두 짝수이거나, 모두 홀수이면 이 두 정수의 쌍은 같은 패리티(same parity)를 갖는다고 하고, 이 두 정수 가운데 한 정수는 짝수, 한 정수는 홀수이면 이 두 정수의 쌍은 반대 패리티(opposite parity)를 갖는다고 한다.</p>	자연
선형대수학 입문_선형변환과 행렬의 대각화	<h3>(2) 복소행렬의 대각화</h3><p>보통 실수 성분을 갖는 \( n \) 차 정사각행렬 전체의 집합을 \( M_{n} \), 복소수 성분을 갖는 \( n \) 차 정사각행렬 전체의 집합을 \( M_{n}(C) \) 로 나타낸다. \( M_{n} \) 에서의 대칭행렬과 직교행렬의 정의는 \( M_{n}(C) \) 에서 각각 에르미트 행렬과 유니타리 행렬로 일반화된다. 이제 에르미트 행렬과 유니타리 행렬을 정의하고, 복소행렬의 대각화에 대하여 서술한다.</p><p>정의 29 켤레전치행렬 \( m \times n \) 복소행렬 \( A=\left[a_{i j}\right] \in M_{m \times n}(C) \) 에 대하여 \( \bar{A} \) 를 \[ \bar{A}=\left[\overline{a_{i j}}\right] \in M_{m \times n}(C) \] 라 정의하고, \( \overline{A^{T}} \) 를 \( A \) 의 켤레전치행렬(conjugate transposed matrix)이라 하며, \( A^{} \) 로 나타낸다. 즉 \( m \times n \) 복소행렬 \( A=\left[a_{i j}\right] \) 에 대하여, \( A^{} \) 로 표기된 \( A \) 의 켤레전치행렬은 \( A^{} \) 의 \( i j \) 원소를 \( \overline{a_{j i}} \) 로 정의한다.</p><p>예 25 \( 3 \times 2 \) 복소행렬 \( A=\left[\begin{array}{cc}2 i & 1-i \\ 2 & 2+i \\ 5-i & 1\end{array}\right] \) 의 켤레전치행렬 \( A^{} \) 는 \[ A^{}=\left[\begin{array}{ccc} -2 i & 2 & 5+i \\ 1+i & 2-i & 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>\( C^{n} \) 에서의 복소벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) 에 대하여, 유클리드 내적은 \[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=\mathbf{v}^{} \mathbf{u},\\|\mathbf{u}\\|^{2}=\mathbf{u}^{} \mathbf{u} \] 로 정의된다. 한편 켤레전치행렬의 성질은 전치행렬의 성질과 유사하다.</p><p>예 26 모든 실수행렬 \( A \) 에 대하여, \( A^{}=A^{T} \) 가 성립한다.</p><p>참고 복소행렬 \( A, B \) 가 주어진 연산을 정의할 수 있는 크기이고 \( \alpha \) 가 임의의 복소수일 때, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>\( \left(A^{}\right)^{}=A \)</li><li>\( (A+B)^{}=A^{}+B^{} \)</li><li>\( (\alpha A)^{}=\bar{\alpha} A^{} \)</li><li>\( (A B)^{}=B^{} A^{} \)</li></ol><p>정의 30 에르미트 행렬 복소행렬 \( A \) 에 대하여, \( A^{}=A \) 를 만족할 때 \( A \) 를 에르미트 행렬 (hermitian matrix)이라 하고, \( A^{}=-A \) 를 만족할 때 \( A \) 를 반-에르미트 행렬(hermitian matrix)이라고 한다.</p><p>예 27 두 복소행렬 \[ A=\left[\begin{array}{ccc} 1+i & -i & 0 \\ 2 & 3-2 i & i \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} 1 & 1+2 i \\ 1-2 i & 0 \end{array}\right] \] 에 대하여, \( A \) 는 \( A^{} \neq A \) 이므로 에르미트 행렬이 아니고, \( B \) 는 \( B^{}=B \) 이므로 에르미트 행렬이다. 한편 \[ A=\left[\begin{array}{rr} -i & -5 i \\ -5 i & 3 i \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & i \\ 0 & i & 0 \\ i & 0 & 0 \end{array}\right] \] 은 모두 반-에르미트 행렬이다.</p><p>예제 11 임의의 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 에 대하여, \( A^{} A \) 는 에르미트 행렬이다.</p><p>증명 임의의 \( A \in M_{n}(C) \) 에 대하여, \( A^{} A \) 가 \[ \left(A^{} A\right)^{}=A^{} A \] 를 만족하기 때문에 \( A^{} A \) 는 에르미르 행렬이다.</p><p>참고 모든 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 는 에르미트 행렬 \( H \) 와 반- 에르미트 행렬 \( K \) 에 의하여 \[ A=H+K \] 로 표현할 수 있다.</p><p>정리 31 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 가 에르미트 행렬일 때, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>임의의 복소벡터 \( \mathbf{x} \in C^{n} \) 에 대하여, \( \mathbf{x}^{} A \mathbf{x} \) 는 실수이다.</li><li>\( A \) 의 고윳값은 모두 실수이다.</li><li>\( A \) 의 서로 다른 2 개의 고윳값에 대응하는 각 고유벡터는 직교한다.</li></ol><p>증명 여기서는 (1),(2)만 증명하고, 나머지는 연습문제로 남긴다. (1) \( \overline{\mathbf{x}^{} A \mathbf{x}}=\overline{{\left(\mathbf{x}^{} A \mathbf{x}\right)}^{T}}=\left(\mathbf{x}^{} A \mathbf{x}\right)^{}=\mathbf{x}^{} A^{}\left(\mathbf{x}^{}\right)^{}=\mathbf{x}^{} A^{} \mathbf{x}=\mathbf{x}^{} A \mathbf{x} \) 이므로, \( \mathbf{x}^{} A \mathbf{x} \) 는 실수이다. (2) \( \mathbf{x} \) 를 \( A \) 의 임의의 고윳값 \( \lambda \) 에 대응하는 고유벡터라 하면 \( \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \) 이므로 \[ \mathbf{x}^{} A \mathbf{x}=\mathbf{x}^{} \lambda \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}^{} \mathbf{x}=\lambda\\|\mathbf{x}\\|^{2} \] 이다. 그런데 \( \mathbf{x}^{} A \mathbf{x} \) 는 실수이고 \( \\|\mathbf{x}\\|^{2} \neq 0 \) 이므로, \( \lambda \) 는 실수가 된다.</p><p>예 28 3 차 복소정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1-i \\ 0 & 1+i & 0 \end{array}\right] \] 은 \( A=A^{} \) 이므로 에르미트 행렬이다. 이때 \( A \) 의 특성방정식은 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{3}-A\right)=(\lambda-1)(\lambda-2 \lambda-2)=0 \] 이므로, \( A \) 의 서로 다른 고윳값은 \( \lambda=1,1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3} \) 이고, 각 고윳값에 대응하는 고유벡터는 각각 \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{y}=\left[\begin{array}{l} &0 \\ &\left(-\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\right)(-1+\sqrt{3}) \\ &1 \end{array} \right], \quad \mathbf{z}=\left[\begin{array}{l}&0 \\ &\left(\frac{1}{2}-\frac{i}{2}\right)(1+\sqrt{3}) \\ &1 \end{array} \right] \] 로 주어진다. 이때 세 벡터는 서로 수직임을 확인할 수 있다.</p><p>실대칭행렬은 직교대각화가 가능하다. 이제 \( M_{n}(C) \) 에서 이와 유사한 성질을 갖는 행렬에 대하여 알아보고, 실대칭행렬과 유사한 성질을 갖는 에르미트 행렬의 대각화에 대하여 설명한다.</p><p>정의 32 유니타리 행렬 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( U \in M_{n}(C) \) 가 \[ U^{} U=I_{n} \text {, 즉 } U^{}=U^{-1} \] 를 만족할 때, \( U \) 를 유니타리 행렬 (uitary matrix)이라고 한다.</p><p>예 29 다음 두 2 차 복소정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} i \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} i & \frac{1}{2} \end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 는 유니타리 행렬이다. 왜냐하면 \( A^{} A=I_{2} \) 와 \( B^{} B=I_{2} \) 가 각각 성립하기 때문이다.</p><p>복소정사각행렬 \( U \) 가 유니타리 행렬이면, \( U \) 의 \( j \) 번째 열벡터를 \( \mathbf{u}_{j} \) 라 할 때 \[ \mathbf{u}_{i} \cdot \mathbf{u}_{j}=<\mathbf{u}_{i}, \mathbf{u}_{j}>={\mathbf{u}_{j}}^{} \mathbf{u}_{i}=\left\{\begin{array}{l} 1, i=j \\ 0, i \neq j \end{array}\right. \] 이므로, \( U \) 가 유니타리 행렬일 필요충분조건은 \( U \) 의 열들이 \( C^{n} \) 에서 정규집합을 이루는 것이다.</p><p>예 30 2 차 복소정사각행렬 \( A=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr}1+i & 1+i \\ 1-i & -1+i\end{array}\right] \) 는 유니타리 행렬이다. 왜냐하면 \[ A^{}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rr} 1-i & 1+i \\ 1-i & -1-i \end{array}\right] \] 로부터 \( A^{} A=I_{2} \) 가 성립하기 때문이다.</p> <h2>5. 케일리 - 해밀턴 정리와 역행렬</h2><p>다항식 \( P(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \) 에 대하여, \( A \) 가 \( n \) 차 정사각행렬일 때 \[ P(A)=A^{n}+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_{1} A+a_{0} I_{n} \] 는 스칼라 계수 \( a_{i} \) (단, \( i=0,1, \cdots, n-1 \) ) 와 행렬변수 \( A \) 를 갖는 다항식이 된다. 또한 정사각행렬 \( B_{i} \) (단, \( i=0,1, \cdots, n-1 \) ) 를 계수로 가지는 스칼라 변수 \( \lambda \) 의 다항식 \[ Q(\lambda)=B_{0}+B_{1} \lambda+B_{2} \lambda^{2}+\cdots+B_{n} \lambda^{n} \] 을 정의할 수 있다. 한편 \( A \) 와 \( B_{i} \) (단, \( i=0,1, \cdots, n-1 \) ) 가 같은 크기의 행렬일 때 \[ Q(A)=B_{0}+B_{1} A+B_{2} A^{2}+\cdots+B_{n} A^{n} \] 이 정의된다.</p><p>보조정리 22 \( P(\lambda) \) 와 \( Q(\lambda) \) 가 정사각행렬을 계수로 가지는 스칼라 변수 \( \lambda \) 의 다항식일 때 \[ P(\lambda)=Q(\lambda)(A-\lambda I) \] 이면, \( P(A)=O \) 가 성립한다. 여기서 \( O \) 는 영행렬이다.</p><p>증명 \( Q(\lambda) \) 가 \( Q(\lambda)=B_{0}+B_{1} \lambda+B_{2} \lambda^{2}+\cdots+B_{n} \lambda^{n} \) 으로 주어지면 \[ \begin{aligned} P(\lambda)=&\left(B_{0}+B_{1} \lambda+B_{2} \lambda^{2}+\cdots+B_{n} \lambda^{n}\right)(A-\lambda I) \\ =& B_{0} A+B_{1} A \lambda+B_{2} A \lambda^{2}+\cdots+B_{n} A \lambda^{n} \\ &-B_{0} \lambda-B_{1} \lambda^{2}-B_{2} \lambda^{3}+\cdots-B_{n} \lambda^{n+1} \end{aligned} \] 이므로, \( \lambda \) 에 \( A \) 를 대입하면 \[ \begin{aligned} P(A)=& B_{0} A+B_{1} A^{2}+B_{2} A^{3}+\cdots+B_{n} A^{n+1} \\ &-B_{0} A-B_{1} A^{2}-B_{2} A^{3}+\cdots-B_{n} A^{n+1}=O \end{aligned} \] 가 된다.</p><p>행렬의 거듭제곱과 다항식과의 관계를 보여주는 다음 케일리 - 해밀턴 정리는 보조정리 22 로부터 유도된다 (참고문헌 5 참조). 케일리 - 해밀턴 정리는 다양하게 이용될 수 있는 매우 유용한 정리이다.</p><p>정리 23 케일리 -해밀턴 (Cayley - Hamilton) 정리 모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다. 즉 \( p(\lambda)=0 \) 이 \( A \) 의 특성방정식이면, \( p(A)=O \) 가 성립한다. 여기서 \( O \) 는 영행렬이다.</p><p>예 20 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 특성방정식은 \[ \lambda^{3}-2 \lambda^{2}-5 \lambda+6=0 \] 으로 주어진다. 이때 \[ A^{2}=\left[\begin{array}{rrr} 6 & 1 & 1 \\ 7 & 0 & 11 \\ 3 & -1 & 8 \end{array}\right], \quad A^{3}=\left[\begin{array}{rrr} 11 & -3 & 22 \\ 29 & 4 & 17 \\ 16 & 3 & 5 \end{array}\right] \] 이므로 \[ A^{3}-2 A^{2}-5 A+6 I_{3}=O \text { (단, } O \text { 는 } 3 \text { 차 영행렬) } \] 을 만족한다. 즉 케일리 - 해밀턴 정리가 성립함을 보여준다.</p><p>케일리 - 해밀턴 정리는 일반행렬의 거듭제곱과 역행렬을 구하는 방법을 제공한다.</p><p>예 21 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}-2 & 4 \\ -1 & 3\end{array}\right] \) 의 특성방정식 \( \lambda^{2}-\lambda-2=0 \) 으로부터 \[ A^{2}-A-2 I_{2}=O ( \text{단, }O \text{는 2 차 영행렬}) \] 를 얻는다.</p><p>[거듭제곱] \[ A^{2}=A+2 I_{2}=\left[\begin{array}{ll} -2 & 4 \\ -1 & 3 \end{array}\right]+2\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 0 & 4 \\ -1 & 5 \end{array}\right] \] 가 성립한다. 또 \( A^{3} \) 을 계산하면 \[ \begin{aligned} A^{3} &=A A^{2}=A\left(A+2 I_{2}\right)=A^{2}+2 A \\ &=A+2 I_{2}+2 A=3 A+2 I_{2}=\left[\begin{array}{cc} -4 & 12 \\ -3 & 11 \end{array}\right] \end{aligned} \] 이 된다. 마찬가지로 \[ \begin{aligned} A^{4} &=A A^{3}=A\left(3 A+2 I_{2}\right)=3 A^{2}+2 A \\ &=3\left(A+2 I_{2}\right)+2 A=5 A+6 I_{2}=\left[\begin{array}{ll} -4 & 20 \\ -5 & 21 \end{array}\right] \end{aligned} \] 로 주어진다.</p><p>[역행렬] 행렬 \( A \) 는 가역이므로, \( A^{2}-A-2 I_{2}=O \) 의 양변에 역행렬 \( A^{-1} \) 를 곱하면 \[ A-I_{2}-2 A^{-1}=O \] 가 된다. 따라서 \[ \begin{aligned} A^{-1} &=\frac{1}{2}\left(A-I_{2}\right)=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll} -2 & 4 \\ -1 & 3 \end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{rr} -\frac{3}{2} & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{array}\right] \end{aligned} \] 을 얻는다.</p><p>[음의 거듭제곱] \[ \begin{aligned} A^{-2} &=A^{-1} A^{-1}=\frac{1}{2}(A-I) \frac{1}{2}(A-I)=\frac{1}{4}\left(A^{2}-2 A+I\right) \\ &=\frac{1}{4}(A+2 I-2 A+I)=\frac{1}{4}(-A+3 I) \\ &=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ll} 2 & -4 \\ 1 & -3 \end{array}\right]+\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \frac{5}{4} & -1 \\ \frac{1}{4} & 0 \end{array}\right] \end{aligned} \] 이 성립한다.</p><p>예 22 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right] \) 의 특성방정식 \( \lambda^{2}-2 \lambda=0 \) 으로부터 \[ A^{2}-2 A=O (\text{단, }O \text{는 2 차 영행렬}) \] 를 얻는다. 따라서 \[ A^{2}=2 A, A^{3}=4 A, A^{4}=8 A, A^{5}=16 A, \cdots, A^{k+1}=2^{k} A \] 이므로 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right]^{k+1}=\left[\begin{array}{ll} 2^{k} & 2^{k} \\ 2^{k} & 2^{k} \end{array}\right] \] 이 성립한다.</p><p>\( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 정칙일 때, 케일리 - 해밀턴 정리를 사용해서 \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 를 구할 수 있다.</p><p>정리 24 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 특성방정식이 \[ p(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{1} \lambda+a_{0}=0 \] 일 때, \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 는 다음으로 주어진다. \[ A^{-1}=\frac{1}{a_{0}}\left(-A^{n-1}-a_{n-1} A^{n-2}-\cdots-a_{1} I_{n}\right) \]</p><p>증명 \[ p(\lambda)=\lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{1} \lambda+a_{0}=0 \] 이 \( A \) 의 특성방정식이면, 케일리 - 해밀턴 정리에 의해서 \[ p(A)=A^{n}+a_{n-1} A^{n-1}+\cdots+a_{1} A+a_{0} I_{n}=O \] 이므로 \[ A^{-1} p(A)=A^{n-1}+a_{n-1} A^{n-2}+\cdots+a_{1} I_{n}+a_{0} A^{-1}=O \] 가 성립한다. 따라서 \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 는 \[ A^{-1}=\frac{1}{a_{0}}\left(-A^{n-1}-a_{n-1} A^{n-2}-\cdots-a_{1} I_{n}\right) \] 으로 주어진다. 여기서 \( a_{0}=\operatorname{det}(A) \) 이다.</p><p>예 23 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 특성방정식은 \[ p(\lambda)=\lambda^{3}-2 \lambda^{2}-5 \lambda+6=0 \] 으로 주어진다. 그러므로 케일리 - 해밀턴 정리에 의해 \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 은 \[ A^{-1}=\frac{1}{6}\left(-A^{2}+2 A+5 I_{3}\right)=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{rrr} 1 & -3 & 7 \\ -1 & 9 & -13 \\ 1 & 3 & -5 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>예제 10 케일리 - 해밀턴 정리를 이용하여, 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] \) 의 역행렬을 구하시오.</p><p>풀이 \( A \) 의 특성방정식이 \( p(\lambda)=\lambda^{3}-3 \lambda-2=0 \) 이므로, 케일리 - 해밀턴 정리에 의해 \[ A^{3}-3 A-2 I_{3}=O \] 이다. 따라서 \[ I_{3}=\frac{1}{2}\left(A^{2}-3 I_{3}\right) A, \frac{1}{2}\left(A^{2}-3 I_{3}\right)=A^{-1} \] 가 된다. 따라서 간단한 계산에 의해 \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 는 \[ A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{rrr} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p> <h2>연습문제 6.1</h2><p>1. 다음 변환 중 선형변환인 것을 찾으시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2}, T(x, y)=(x-y, 0) \)</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2}, T(x, y)=(x+y, y+1) \)</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2}, T(x, y)=(x-y, x) \)</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{3}, T(x, y)=(x+y, y,x^{2}+y) \)</li></ol><p>2. 변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{2} \) 를 \[ T\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 2 x+y-z \\ x-2 y+z \end{array}\right] \] 로 정의할 때, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{2} \) 가 선형임을 보이시오.</li><li>\( \operatorname{ker} T \) 의 기저를 구하시오.</li><li>\( \operatorname{Im} T \) 의 기저를 구하시오.</li><li>\( T=T_{A} \) 를 만족하는 \( 2 \times 3 \) 인 변환행렬 \( A \) 를 구하시오.</li></ol><p>3. 변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 \[ T\left(\left[ \begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} a_{1} x+b_{1} y+c_{1} \\ a_{2} x+b_{2} y+c_{2} \end{array}\right] \] 로 정의할 때, 변환 \( T \) 가 선형이 되도록 \( a_{1}, b_{1}, c_{1}, a_{2}, b_{2}, c_{2} \) 값을 구하시오.</p><p>4. 선형변환 \[ T(x, y, z)=(3 x+5 y-z, 4 x-y+z, 3 x+2 y-z) \] 의 표준행렬 \( A \) 를 구하시오.</p><p>5. 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 가 다음 조건 \[ T(1,0)=(2,3), \quad T(0,1)=(-1,1) \] 을 만족할 때, \( T(-1,1) \) 을 구하시오.</p><p>6. 임의의 \( A \in M_{n} \) 에 대하여, \( T(A)=A^{T} \) 로 정의된 선형변환 \( T: M_{n} \rightarrow M_{n} \) 의 핵과 치역, 즉 \( \operatorname{ker} T \) 와 \( \operatorname{Im} T \) 를 구하시오.</p><p>7. 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 단사일 필요충분조건은 \( \operatorname{ker} T=\{\mathbf{0}\} \) 임을 보이시오.</p><p>8. 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여, 다음이 성립함을 보이시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( \operatorname{ker} T \) 는 \( R^{n} \) 의 부분공간이다.</li><li>\( \operatorname{Im} T \) 는 \( R^{m} \) 의 부분공간이다.</li></ol><p>9. \( \mathbf{x}, \mathbf{z} \in R^{2} \) 가 \[ T_{1}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c} x+2 y \\ y \end{array}\right], T_{2}(\mathbf{z})=\left[\begin{array}{c} z \\ -z+w \end{array}\right] \] 로 정의된 선형변환 \( T_{1}: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 와 \( T_{2}: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 에 의해 이동될 때 \[ \left(T_{2} \circ T_{1}\right)(\mathbf{x}) \text {, 즉 } T_{2}\left(T_{1}(\mathbf{x})\right) \] 를 구하시오.</p><p>10. 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 가 먼저 \( y \) 축을 중심으로 시계반대방향으로 \( 45^{\circ} \) 회전 (변환 \( T_{1} \) )한 후, 다시 \( \sqrt{2} \) 배 확대 (변환 \( T_{2} \) )하는 합성변환 \( \left(T_{2} \circ T_{1}\right) \) 일 때, 이 합성변환에 대응하는 표준행렬을 구하시오.</p> <h3>(2) 핵과 치역</h3> <p>정의 5 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형변환일 때 \[ T(\mathbf{v})=\mathbf{0} \] 을 만족하는 모든 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 의 집합을 \( T \) 의 핵(kernel)이라 하고, \( \operatorname{ker} T \) 로 나타낸다. 즉 \[ \operatorname{ker} T=\left\{\mathbf{v} \in R^{n} \mid T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\right\} \]</p> <p>선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \( \operatorname{ker} T \) 는 \( R^{n} \) 의 부분공간이다. 이 부분공간 \( \operatorname{ker} T \) 를 핵공간이라 한다. 또한 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 을 \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 로 정의하면 \( \operatorname{ker} T \) 는 \( A \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 인 동차선형연립방정식의 해공간이 된다.</p> <p>예제 1 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right] \) 에 대하여, 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 가 \( T(\mathbf{v})=A \mathbf{v} \) 로 정의될 때 \( \operatorname{ker} T \) 의 기저를 구하시오.</p> <p>풀이 \( \mathbf{v}=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \in \operatorname{ker} T \) 이면 \[ T(\mathbf{v})=T\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 만족한다. 그러므로 연립방정식 \[ \left\{\begin{array}{l} y+z=0 \\ x+z=0 \\ x+y=0 \end{array}\right. \] 을 풀면, \( x=y=z=0 \) 을 얻는다. 따라서 \( \operatorname{ker} T=\{\mathbf{0}\} \) 이다.</p> <p>정의 6 단사, 전사</p> <ol type=1 start=1><li>변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 임의의 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여 \[ T(\mathbf{u})=T(\mathbf{v}) \text { 이면, } \mathbf{u}=\mathbf{v} \] 를 만족할 때, 변환 \( T \) 를 단사라 한다.</li> <li>변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 임의의 \( \mathbf{w} \in R^{m} \) 에 대하여 \[ T(\mathbf{v})=\mathbf{w} \] 를 만족하는 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 가 존재할 때, 변환 \( T \) 를 전사라 한다.</li></ol> <p>선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 단사일 필요충분조건은 \( \operatorname{ker} T=\{\mathbf{0}\} \) 이다. 또한 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 단사일 필요충분조건은 동차선형연립방정식 \( A \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 이 자명한 해만을 가질 때이다. 한편 \( A \) 가 \( n \) 차 정사각행렬일 때, \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 이 전사일 필요충분조건은 선형연립방정식 \( A \mathbf{x}=\mathbf{b} \) 가 모든 \( \mathbf{b} \in R^{n} \) 에 대하여 해를 가질 때이다.</p> <p>예 7 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, \( T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}4 x-2 y \\ x-y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \)의 핵이 \[ \operatorname{ker} T=\{(0,0)\}=\{\mathbf{0}\} \] 이므로, \( T \) 는 단사이다.</p> <p>예제 2 \( R^{n} \) 의 벡터 \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k} \) 가 일차독립이고 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 단사이면, \( T\left(\mathbf{v}_{1}\right), T\left(\mathbf{v}_{2}\right), \cdots, T\left(\mathbf{v}_{k}\right) \) 는 일차독립이다.</p> <p>증명 \( a_{1} T\left(\mathbf{v}_{1}\right)+a_{2} T\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\cdots+a_{k} T\left(\mathbf{v}_{k}\right)=\mathbf{0} \) 으로 가정하면, 변환 \( T \) 가 선형이므로 \[ T\left(a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{k} \mathbf{v}_{k}\right)=\mathbf{0} \] 이 된다. 이때 선형변환 \( T \) 가 단사이고, \( T(\mathbf{0})=\mathbf{0} \) 이므로 \[ a_{1} \mathbf{v}_{1}+a_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+a_{k} \mathbf{v}_{k}=\mathbf{0} \] 이다. 그런데 \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{k} \) 가 일차독립이므로, \( a_{1}=a_{2}=\cdots=a_{k}=0 \) 을 얻는다. 따라서 \( T\left(\mathbf{v}_{1}\right), T\left(\mathbf{v}_{2}\right), \cdots, T\left(\mathbf{v}_{k}\right) \) 는 일차독립이다.</p> <p>정의 7 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형변환일 때, 임의의 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v}) \) 전체의 집합을 \( T \)의 상(image) 또는 치역(range)이라 하고, \( \operatorname{Im} T \) 로 나타낸다. 즉 \[ \operatorname{Im} T=\left\{T(\mathbf{v}) \mid \mathbf{v} \in R^{n}\right\} \]</p><p>선형공간 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 의 치역 \( \operatorname{Im} T \) 는 \( R^{m} \) 의 부분공간이다. 또한 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 의 치역 \( \operatorname{Im} T \) 는 행렬 \( A \) 의 열공간이다.</p><p>예제 3 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{2} \) 가 \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x+y \\ z-x\end{array}\right] \) 로 정의될 때, \( \operatorname{Im} T \) 의 기저를 구하시오.</p><p>풀이 \( T \) 의 상은 표준기저 \( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} \) 의 상에 의해 생성된다. 따라서 \[ \begin{aligned} \operatorname{Im} T &=\operatorname{span}\left\{T\left(\mathbf{e}_{1}\right), T\left(\mathbf{e}_{2}\right), T\left(\mathbf{e}_{3}\right)\right\} \\ &=\operatorname{span}\{(1,-1),(1,0),(0,1)\} \end{aligned} \] 이므로, \( \operatorname{Im} T \) 의 기저는 \( \{(1,0),(0,1)\} \) 이다.</p><p>참고 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, \( T=T_{A} \) 이면<ol type=1 start=1><li>\( \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T)=\operatorname{rank}(A) \)</li><li>\( \operatorname{dim}(\operatorname{ker} T)=n-\operatorname{rank}(A) \)</li></ol>가 성립한다. 따라서 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \[ \operatorname{dim}(\operatorname{Im} T)+\operatorname{dim}(\operatorname{ker} T)=n \] 임을 알 수 있다.</p><p>정의 8 동형사상 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 이 단사이고 전사, 즉 전단사일 때, \( T \) 를 \( R^{n} \) 에서 \( R^{n} \) 으로의 동형사상(isomorphism)이라고 한다.</p><p>예 8 \( R^{4} \) 의 부분공간 \[ W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, 0,0\right)\right\}, W_{2}=\left\{\left(0,0, x_{3}, x_{4}\right)\right\} \] 에 대하여, \( T(x, y, 0,0)=(0,0, x, y) \) 로 정의된 선형변환 \( T: W_{1} \rightarrow W_{2} \) 는 전단사이므로 동형사상이다.</p><p>예제 4 \( T(x, y)=(x-y, 0) \) 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 는 동형사상이 아니다.</p><p>증명 \[ \begin{aligned} \operatorname{Im} T &=\left\{T(x, y) \mid(x, y) \in R^{2}\right\}=\left\{(x-y, 0) \mid(x, y) \in R^{2}\right\} \\ &=\{(a, 0) \mid a \in R\} \end{aligned} \] 이므로, \( \operatorname{Im} T \neq R^{2} \), 즉 \( T \) 는 전사가 아니다. 따라서 \( T \) 는 동형사상이 아니다.</p><p>정리 9 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 가역이면, \( T \) 의 역변환 \( T^{-1}: R^{m} \rightarrow R^{n} \) 도 선형이다.</p><p>증명 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 가역이면 \( T \) 는 전단사이다. 그러므로 모든 \( \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2} \in R^{m} \)에 대하여 \( \mathbf{w}_{1}=T\left(\mathbf{v}_{1}\right), \mathbf{w}_{2}=T\left(\mathbf{v}_{2}\right) \) 를 만족하는 \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \in R^{n} \) 가 유일하게 존재한다. 따라서 \[ \mathbf{w}_{1}+\mathbf{w}_{2}=T\left(\mathbf{v}_{1}\right)+T\left(\mathbf{v}_{2}\right)=T\left(\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}\right) \] 가 된다. 그러므로 \[ T^{-1}\left(\mathbf{w}_{1}+\mathbf{w}_{2}\right)=\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{2}=T^{-1}\left(\mathbf{w}_{1}\right)+T^{-1}\left(\mathbf{w}_{2}\right) \] 가 성립한다. 한편 모든 실수 \( \alpha \) 와 \( \mathbf{w} \in R^{m} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v})=\mathbf{w} \) 라 가정하면, 양변에 \( \alpha \) 를 곱하여 \( \alpha T(\mathbf{v})=\alpha \mathbf{w} \) 를 얻는다. 그런데 \( T \) 가 선형이므로, \( T(\alpha \mathbf{v})=\alpha \mathbf{w} \) 가 된다. 따라서 \[ T^{-1}(\alpha \mathbf{w})=\alpha \mathbf{v}=\alpha T^{-1}(\mathbf{w}) \] 를 얻는다. 그러므로 \( T^{-1}: R^{m} \rightarrow R^{n} \) 은 선형변환이다.</p> <p>참고 실대칭행렬 \( A \) 를 대각화한 직교행렬 \( Q \) 를 구하기 위하여 다음 3 단계 과정이 주어진다.</p><p>1 단계 : \( A \) 의 각 고유공간의 기저를 구한다. 2 단계 : 그람 - 슈미트 정규직교화 과정을 사용해서 \( A \) 의 각 고유공간에 대한 정규직교기저를 구한다. 3 단계 : 2 단계에서 얻은 정규직교 고유벡터를 열로 준 행렬을 \( Q \) 로 한다.</p><p>예 17 3 차 대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 4 \\ 1 & 4 & 2\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 특성방정식은 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{3}-A\right)=\lambda(\lambda+3)(\lambda-6)=0 \] 이므로, 대칭행렬 \( A \) 의 서로 다른 고윳값은 \[ \lambda_{1}=-3, \lambda_{2}=0, \lambda_{3}=6 \] 이고, 각 고윳값에 대응하는 일차독립인 3 개의 고유벡터 \[ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 이때 \( \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3}\right\} \) 는 직교집합이고, \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{3} \) 를 정규화하면 \[ \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c} -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{3}=\left[\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 이다. 따라서 \( P \) 는 \[ P=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 로 주어지고 \[ P^{T} A P=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array}\right] \] 이 성립한다.</p><p>예제 8 3 차 대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}0 & 3 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 3 & 3 & 0\end{array}\right] \) 을 직교대각화하는 행렬 \( P \) 를 구하시오.</p><p>풀이 대칭행렬 \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=\lambda_{2}=-3 \) (중복도 2 ), \( \lambda_{3}=6 \) 이다. 고윳값 \( \lambda_{1}=-3 \) 에 대응하는 2 개의 일차독립인 고유벡터는 \[ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] \] 이므로, 그람 - 슈미트 정규직교화 과정을 이용하여 정규화하면 \[ \mathbf{u}_{1}=\mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] \] \[ \mathbf{u}_{2}=\mathbf{v}_{2}-\frac{\mathbf{v}_{2} \cdot \mathbf{u}_{1}}{\left\\|\mathbf{u}_{1}\right\\|^{2}} \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]-\frac{1}{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{r} -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{array}\right] \] 로부터 \[ \mathbf{z}_{1}=\frac{\mathbf{u}_{1}}{\left\\|\mathbf{u}_{1}\right\\|}=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \end{array}\right], \quad \mathbf{z}_{2}=\frac{\mathbf{u}_{2}}{\left\\|\mathbf{u}_{2}\right\\|}=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}} \end{array}\right] \] 를 얻는다. 한편 \( \lambda_{3}=6 \) 에 대응하는 고유벡터는 \( \mathbf{v}_{3}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right] \) 이므로, 정규화하면 \[ \mathbf{z}_{3}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \] 이 된다. 따라서 직교행렬 \( P \) 는 \[ P=\left[\begin{array}{ccc} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>참고 정사각행렬 \( A \) 가 직교대각화 가능한 경우, \( A=P^{T} D P \) 일 때 \[ A^{k}=\left(P^{T} D P\right)^{k}=\left(P^{T} D P\right) \cdots\left(P^{T} D P\right)=P^{T} D^{k} P \] 임을 알 수 있다.</p> <p>정리 6 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여, \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) 가 \( A \) 의 서로 다른 고윳값이면 \[ E\left(\lambda_{1}\right) \cap E\left(\lambda_{2}\right)=\{\mathbf{0}\} \] 이다.</p> <p>증명 \( \mathbf{x} \in E\left(\lambda_{1}\right) \cap E\left(\lambda_{2}\right) \) 라 놓으면 \( \mathbf{x} \in E\left(\lambda_{1}\right) \) 이므로 \( A \mathbf{x}=\lambda_{1} \mathbf{x} \) 이고, \( \mathbf{x} \in E\left(\lambda_{2}\right) \) 이므로 \( A \mathbf{x}=\lambda_{2} \mathbf{x} \) 가 된다. 그러므로 \( \lambda_{1} \mathbf{x}=\lambda_{2} \mathbf{x} \) 이다. 즉 \( \left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 이다. 그런데 \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \) 이므로 \( \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 이다.</p> <p>정리 7 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 각 고윳값에 대응하는 고유공간은 \( R^{n} \) 의 부분공간이다.</p> <p>증명 \( E\left(\lambda_{i}\right) \) 를 \( A \) 의 임의의 고윳값 \( \lambda_{i} \) 에 대응하는 고유공간, 즉 \[ E\left(\lambda_{i}\right)=\left\{\mathbf{x} \in R^{n} \mid A \mathbf{x}=\lambda_{i} \mathbf{x}\right\} \] 라 하자. 이때 \( E\left(\lambda_{i}\right) \subset R^{n} \) 이고, 임의의 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in E\left(\lambda_{i}\right) \) 와 임의의 \( k \in R^{n} \) 에 대하여<ol type=1 start=1><li>\( A \mathbf{x}=\lambda_{i} \mathbf{x}, A \mathbf{y}=\lambda_{i} \mathbf{y} \) 이면 \( A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A \mathbf{x}+A \mathbf{y}=\lambda_{i} \mathbf{x}+\lambda_{i} \mathbf{y}=\lambda_{i}(\mathbf{x}+\mathbf{y}) \)</li> <li>\( A(k \mathbf{x})=k A \mathbf{x}=k \lambda_{i} \mathbf{x}=\lambda_{i}(k \mathbf{x}) \)</li></ol>를 만족하므로, \( E\left(\lambda_{i}\right) \) 는 \( R^{n} \) 의 부분공간이다.</p> <p>실수의 행렬이 복소수의 고윳값과 고유벡터를 가질 수 있음에 유의한다.</p> <p>예 6 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}3 & -5 \\ 1 & -1\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 특성방정식이 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{2}-A\right)=\left\|\begin{array}{cc} \lambda-3 & 5 \\ -1 & \lambda+1 \end{array}\right\|=\lambda^{2}-2 \lambda+2=0 \] 이므로, \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=1+i, \lambda_{2}=1-i \) 이다. \( \lambda_{1}=1+i \) 일 때 \( \left[(1+i) I_{2}-A\right] \mathbf{x}=\mathbf{0} \), 즉 \[ \left[\begin{array}{cc} -2+i & 5 \\ -1 & 2+i \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 풀면 \( x_{1}=(2+i) x_{2} \) 이므로, 고윳값 \( \lambda_{1}=1+i \) 에 대응되는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{c} 2+i \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다. 마찬가지로 \( \lambda_{2}=1-i \) 일 때 \( \left[(1-i) I_{2}-A\right] \mathbf{x}=\mathbf{0} \), 즉 \[ \left[\begin{array}{cc} -2-i & 5 \\ -1 & 2-i \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 풀면 \( x_{1}=(2-i) x_{2} \) 이므로 \[ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{c} 2-i \\ 1 \end{array}\right] \] 은 고윳값 \( \lambda_{2}=1-i \) 에 대응되는 고유벡터이다.</p> <p>\( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 고윳값이 0 일 필요충분조건은 \[ p(0)=\operatorname{det}(0 I-A)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A)=0 \] 이다. 따라서 특이행렬만이 고윳값 0 을 가질 수 있다.</p> <p>참고 (가역행렬의 동치정리) \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여, 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>행렬 \( A \) 는 가역이다.</li> <li>\( A \) 의 모든 행 (열)벡터는 \( R^{n} \) 에서 일차독립이다.</li> <li>\( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) 이다.</li> <li>\( \lambda=0 \) 은 \( A \) 의 고윳값이 아니다.</li> <li>선형변환 \( T_{A} \) 는 단사 (전사)이다.</li> <li>\( \operatorname{rank}(A)=n \), 즉 \(\operatorname{nullity} (A)=0 \) 이다.</li></ol> <p>정리 33 복소수 \( n \) - 공간 \( C^{n} \) 에 유클리드 내적이 정의되어 있고 \( U \in M_{n}(C) \) 가 유니타리 행렬일 때, 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>모든 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in C^{n} \) 에 대하여 \[ (U \mathbf{x}) \cdot(U \mathbf{y})=\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \] 이다. 특히 \( \\|U \mathbf{x}\\|=\\|\mathbf{x}\\| \) 이므로, 유니타리 행렬변환은 크기를 보전한다.</li><li>\( \lambda \) 가 \( U \) 의 고윳값이면, \( \|\lambda\|=1 \) 이다.</li><li>\( U \) 의 서로 다른 2 개의 고윳값에 대응하는 각 고유벡터는 직교한다.</li></ol><p>증명 여기서는 (1), (2)만 증명하고, 나머지는 연습문제로 남긴다.<p>(1) \( \quad(U \mathbf{x}) \cdot(U \mathbf{y})=(U \mathbf{y})^{}(U \mathbf{x})=\mathbf{y}^{}\left(U^{} U\right) \mathbf{x}=\mathbf{y}^{} \mathbf{x}=\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \) 이다. 특히 \[ \\|U \mathbf{x}\\|^{2}=(U \mathbf{x}) \cdot(U \mathbf{x})=\mathbf{x} \cdot \mathbf{x}=\\|\mathbf{x}\\|^{2} \] 이므로, \( \\|U \mathbf{x}\\|=\\|\mathbf{x}\\| \) 이다. (2) \( U \) 의 고윳값 \( \lambda \) 에 대응하는 고유벡터를 \( \mathbf{x} \) 라 하면, \( U \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \) 이므로 \[ \begin{aligned} \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} &=(U \mathbf{x}) \cdot(U \mathbf{x})=(\lambda \mathbf{x})(\lambda \mathbf{x}) \\ &=(\lambda \mathbf{x})^{}(\lambda \mathbf{x})=\bar{\lambda} \lambda\left(\mathbf{x}^{} \mathbf{x}\right)=\|\lambda\|^{2}\\|\mathbf{x}\\|^{2} \end{aligned} \] 이 성립한다. 따라서 \( \|\lambda\|^{2}=1 \), 즉 \( \|\lambda\|=1 \) 이다.</p><p>이제 \( M_{n}(C) \) 에서 주어진 \( n \) 차 복소정사각행렬의 유니타리 닮음과 유니타리 대각화 가능성에 대하여 알아본다.</p><p>정의 34 유니타리 닮음과 유니타리 대각화 가능 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A, B \in M_{n}(C) \) 에 대하여 \[ U^{} A U=B \] 를 만족하는 유니타리 행렬 \( U \) 가 존재하면, 두 행렬 \( A \) 와 \( B \) 는 유니타리 닮음 (unitarily similar)이라 하고, 특히 \( A \in M_{n}(C) \) 가 대각행렬과 유니타리 닮음이면 \( A \) 는 유니타리 대각화 가능 (unitarily diagonalizable)하다고 한다.</p><p>예 31 두 2 차 복소정사각행렬 \( A \) 와 \( U \) 를 각각 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2 & i \\ -i & 2 \end{array}\right], B=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ll} i & -1 \\ 1 & -i \end{array}\right] \] 라 하면, \( U \) 는 유니타리 행렬이다. 이때 \[ U^{} A U=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll} -i & 1 \\ -1 & i \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 2 & i \\ -i & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} i & -1 \\ 1 & -i \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 이므로, \( A \) 는 유니타리 대각화 가능하다.</p><p>\( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 의 고윳값이 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이고, \( D=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \right] \) 일 때 \[ U^{} A U=D \] 를 만족하는 유니타리 행렬 \( U \) 가 존재하면, \( A \) 는 유니타리 대각화 가능하다. 이때 유니타리 행렬 \( U \) 의 각 열벡터 \( U^{(i)} \) 는 \( A \) 의 고윳값 \( \lambda \) 에 대응하는 크기가 1 인 고유벡터이다.</p><p>예 32 2 차 복소정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1-i \\ 1+i & 1 \end{array}\right] \] 을 대각화하는 유니타리 행렬 \( U \) 를 구해보자. \( A \) 의 서로 다른 고윳값 \( \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=3 \) 에 대응하는 고유벡터는 각각 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1+i \end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{c} 1-i \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다. 이때 \[ \mathbf{u}_{1}=\frac{\mathbf{x}_{1}}{\left\\|\mathbf{x}_{1}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c} -1 \\ 1+i \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\frac{\mathbf{x}_{2}}{\left\\|\mathbf{x}_{2}\right\\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c} 1-i \\ 1 \end{array}\right] \] 이라 하고 \[ U=\left\{\mathbf{u}_{1}: \mathbf{u}_{2}\right\}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{cc} -1 & 1-i \\ 1+i & 1 \end{array}\right] \] 이라 하면, \( U \) 는 유니타리 행렬이고 \[ U^{} A U=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc} -1 & 1-i \\ 1+i & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2 & 1-i \\ 1+i & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -1 & 1-i \\ 1+i & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 3 \end{array}\right] \] 을 만족한다.</p><p>이제 유니타리 행렬에 관한 가장 중요한 정리인 슈어 정리를 증명없이 소개한다. 이 정리는 임의의 복소행렬에 관한 연구를 삼각행렬의 연구로 바꾸어 주는 역할을 한다.</p><p>정리 35 슈어(Schur) 정리 모든 \( n \) 차 복소정사각행렬은 자신의 고윳값을 대각성분으로 하는 상삼각행렬과 유니타리 닮음이다.</p><p>슈어 정리로부터, 에르미트 행렬은 유니타리 대각화 가능함을 알 수 있다. 그러나 에르미트 행렬이 아니더라도 유니타리 대각화 가능한 행렬은 존재한다.</p><p>정의 36 정규행렬</p><p>\( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 가 \[ A A^{}=A^{} A \] 를 만족할 때, \( A \) 를 정규행렬 (normal matrix)이라고 한다.</p><p>임의의 에르미트 행렬 \( A \) 는 \( A A^{}=A A=A^{} A \) 를 만족하므로 정규행렬이다. 또한 유니타리 행렬 \( B \) 도 \( B B^{}=I_{n}=B^{} B \) 를 만족하므로 정규행렬이다.</p><p>예 33 2 차 복소정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{cc}\frac{-1+i}{2} & \frac{1+i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2}\end{array}\right] \) 는 정규행렬이다. 왜나하면 \( A A^{}=A^{} A \) 를 만족하기 때문이다.</p><p>이제 복소행렬의 유니타리 대각화에 대한 정리를 증명없이 소개한다.</p><p>정리 37 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 에 대하여, 다음은 서로 동치이다.</p><ol type=1 start=1><li>\(A\)는 유니타리 대각화 가능하다.</li><li>\(A\)는 정규행렬이다.</li><li>\(A\)는 \(n\)개의 정규직교인 고유벡터를 갖는다.</li></ol><p>예제 12 2 차 복소정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}2 & i \\ -i & 2\end{array}\right] \) 를 대각화하시오.</p><p>풀이 \( A=\left[\begin{array}{rr}2 & i \\ -i & 2\end{array}\right]=A^{} \) 이므로, \( A A^{}=A^{} A \) 이다. 따라서 \( A \) 는 정규행렬이고, 행렬 \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=3, \lambda_{2}=1 \) 이다. 이때 고윳값 \( \lambda_{1}=3 \) 에 대응하는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l} i \\ 1 \end{array}\right] \] 이므로, 정규화하면 \[ \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{c} \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 이고, 같은 방법으로 고윳값 \( \lambda_{2}=1 \) 에 대응하는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l} -1 \\ -i \end{array}\right] \] 이므로, 정규화하면 \[ \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 가 된다. 따라서 \( U=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{ll}i & -1 \\ 1 & -i\end{array}\right] \) 로 택하면 \[ U^{} A U=\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 얻는다.</p><p>\( A \) 가 정규행렬일 때 \( U^{} A U \) 가 대각행렬이 되는 유니타리 행렬 \( U \) 를 구하는 방법은 실수 대칭행렬의 직교대각화하는 행렬을 구하는 방법과 같다.</p> <h3>(3) 이차형식의 대각화</h3> <p>참고 이차방정식에서 \( x y \) 항을 교차항이라 한다. 교차항을 갖는 이차방정식은 좌표계를 직교변환에 의해 회전하여 교차항을 제거할 수 있다. 교차항을 제거하기 위한 좌표계의 변환과 관계되는 것이 대각화이다.</p> <p>이차형식 \[ q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \] 은 \( b \neq 0 \) 이면 교차항을 갖는다. 이때 2 차 대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right] \) 의 고윳값 \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) 에 대응하는 \( A \) 의 정규직교인 고유벡터 \( \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} \) 에 대하여 \( P=\left[\mathbf{v}_{1}: \mathbf{v}_{2}\right] \) 라 하자. 그러면 \( A \) 가 대칭행렬이므로, \( P \) 에 의하여 \( A \) 는 대각화 가능하고 \[ P^{T} A P=\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right] \] 가 된다. 여기서 일반성을 읺지 않고 \( \operatorname{det}(P)=1 \) 이라 할 수 있다. 이때 직교행렬 \( P \) 는 \( P=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] \) 형태의 행렬이다. 이제 이러한 행렬 \( P \) 에 의하여 얻어진 새로운 좌표계를 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계라 하고 \( \mathbf{x}^{\prime}=\left[\begin{array}{l}x^{\prime} \\ y^{\prime}\end{array}\right] \) 이라 하자. 그러면 \( \mathbf{x}=P \mathbf{x}^{\prime} \) 이고 \[ \begin{aligned} q(\mathbf{x}) &=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=\left(P \mathbf{x}^{\prime}\right)^{T} A\left(P \mathbf{x}^{\prime}\right)=\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)^{T}\left(P^{T} A P\right) \mathbf{x}^{\prime} \\ &=\left[\begin{array}{ll} x^{\prime} & y^{\prime} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \lambda_{1} & 0 \\ 0 & \lambda_{2} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\lambda_{1}\left(x^{\prime}\right)^{2}+\lambda_{2}\left(y^{\prime}\right)^{2} \end{aligned} \] 이므로, 이차형식 \( q(\mathbf{x}) \) 는 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서는 교차항이 없이 표현된다. 따라서 다음 정리를 얻는다.</p> <p>정리 21 \(R^{2} \) 의 주축정리 2 차 대칭행렬 \( A \) 의 고윳값이 \( \lambda_{1}, \lambda_{2} \) 일 때, 이차형식 \[ q(\mathbf{x})=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \]<caption>(1)</caption></p> <p>은 좌표축의 회전에 의하여 주어진 새로운 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 \[ q(\mathbf{x})=\lambda_{1}\left(x^{\prime}\right)^{2}+\lambda_{2}\left(y^{\prime}\right)^{2} \]<caption>(2)</caption></p> <p>으로 표현된다. 이 회전은 \( A \) 를 대각화하는 직교행렬을 \( P \) 라 할 때 \[ \mathbf{x}=P \mathbf{x}^{\prime} \] 이라는 치환에 의하여 얻어진다. 여기서 \( \operatorname{det}(P)=1 \) 이다.</p> <p>이차형식 (1)을 간단히 (2)와 같이 제곱항의 합으로만 나타내는 것을 이차형식의 대각화라 한다.</p> <p>예 19 이차형식의 대각화를 이용하여, 두 변수 \( x, y \) 의 이차방정식 \[ 3 x^{2}+2 x y+3 y^{2}=8 \]<caption>()</caption></p> <p>은 좌표축의 회전에 의하여 주어진 새로운 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 타원이 됨을 보이자. 이차방정식 ()는 \[ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=8 \] 로 나타낼 수 있고, \( A \) 의 고윳값 \( \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=4 \) 로부터 \[ q(\mathbf{x})=2\left(x^{\prime}\right)^{2}+4\left(y^{\prime}\right)^{2} \] 을 얻는다. 따라서 새로운 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 이차곡선의 방정식은 \[ 2\left(x^{\prime}\right)^{2}+4\left(y^{\prime}\right)^{2}=8 \] 이므로, \( x^{\prime} y^{\prime} \) 축에서의 타원이다. 그런데 고윳값 \( \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=4 \) 에 대응하는 정규직교인 고유벡터들은 \[ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 이므로, 직교행렬 \( P \) 는 \[ P=\left[\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} \cos \left(-45^{\circ}\right) & -\sin \left(-45^{\circ}\right) \\ \sin \left(-45^{\circ}\right) & \cos \left(-45^{\circ}\right) \end{array}\right] \] 로 주어진다. 따라서 \( x^{\prime} y^{\prime} \) 축은 \( x y \) 축을 시계반대방향으로 \( -45^{\circ} \) 만큼 회전한 축이다.</p> <p>이제 이차형식의 대각화를 이용하여, 이차방정식 \[ a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \] 이 어떤 곡선이 되는지 알아보자. \( B=\left[\begin{array}{ll}d & e\end{array}\right] \) 라 하면 \[ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}+B \mathbf{x}+f=0 \] 으로 표현되고, 직교행렬 \( P \) 를 이용하여 \( \mathbf{x}=P \mathbf{x}^{\prime} \) 으로 치환하면 \[ \left(\mathbf{x}^{\prime}\right)^{T}\left(P^{T} A P\right) \mathbf{x}^{\prime}+B P \mathbf{x}^{\prime}+f=0 \] 으로 나타낼 수 있다. 여기서 \( \left[\begin{array}{ll}d^{\prime} & e^{\prime}\end{array}\right]=B P=\left[\begin{array}{ll}d & e\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\mathbf{v}_{1}: \mathbf{v}_{2}\end{array}\right] \) 라 하면, 교차항이 소거되어 \[ \lambda_{1}\left(x^{\prime}\right)^{2}+\lambda_{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}+d^{\prime} x^{\prime}+e^{\prime} y^{\prime}+f=0 \] 이 된다. 이때 \( \mathbf{x}=P \mathbf{x}^{\prime} \) 에서, 변환행렬 \( P \) 는 주어진 벡터를 시계반대방향으로 각 \( \theta \) 만큼 회전시키므로 변환행렬은 \[ P=\left[\begin{array}{ll} p_{1} & p_{2} \\ p_{3} & p_{4} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p> <p>예제 9 두 변수 \( x, y \) 의 이차방정식 \[ 34 x^{2}-24 x y+41 y^{2}-40 x-30 y-25=0 \]<caption>(1)</caption></p> <p>으로 주어진 원뿔곡선을 분류하시오.</p> <p>풀이 \( A=\left[\begin{array}{rr}34 & -12 \\ -12 & 41\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}-40 & -30\end{array}\right], \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 라 하면, 식 (1)의 행렬표현은 \[ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}+B \mathbf{x}-25=0 \]<caption>(2)</caption></p> <p>이다. 먼저 회전이동하여 교차항을 소거한다. \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=25, \lambda_{2}=50 \) 이고, 이에 대응하는 정규직교인 고유벡터는 각각 \[ \mathbf{v}_{1}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right], \quad \mathbf{v}_{2}=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{r} -3 \\ 4 \end{array}\right] \] 이므로 \[ P=\left[\mathbf{v}_{1}: \mathbf{v}_{2}\right]=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{rr} 4 & -3 \\ 3 & 4 \end{array}\right] \] 이다. \( R^{2} \) 의 주축정리에서 \( \mathbf{x}=P \mathbf{x}^{\prime} \) 이므로 \[ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=25\left(x^{\prime}\right)^{2}+50\left(y^{\prime}\right)^{2}, \quad B \mathbf{x}=B P \mathbf{x}^{\prime}=-50 x^{\prime} \] 이고, 따라서 식 (2)로부터 \[ 25\left(x^{\prime}\right)^{2}+50\left(y^{\prime}\right)^{2}-50 x^{\prime}-25=0 \]<caption>(3)</caption></p> <p>을 얻는다. 이제 평행이동하여 식 (3)의 \( x^{\prime} \) 을 소거한다. 식 (3)을 완전제곱 형태로 변형하면 \[ 25\left(x^{\prime}-1\right)^{2}+50\left(y^{\prime}\right)^{2}=50 \] 이므로, 식 (2)는 \( x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표축을 \( x^{\prime} \) 축 방향으로 1 만큼 평행이동한 \( x^{\prime \prime} y^{\prime \prime} \) 축에서의 타원의 방정식이다.</p> <p>참고 두 변수 \( x, y \) 의 이차방정식 \( a x^{2}+2 b x y+c y^{2}=d \) 로 주어진 원뿔곡선은 다음으로 분류된다. 여기서 \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ b & c\end{array}\right] \) 이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( d \neq 0 \) 일 때<ol type=1 start=1><li>\( \operatorname{det}(A)<0 \) 이면, 쌍곡선이다.</li> <li>\( \operatorname{det}(A)>0 \) 이면, 타원, 원, 또는 퇴화된 원뿔곡선이다.</li> <li>\( \operatorname{det}(A)=0 \) 이면, 포물선, 한 쌍의 직선, 또는 퇴화된 원뿔곡선이다.</li></ol></li> <li>\( d = 0 \) 일 때<ol type=1 start=4><li>\( \operatorname{det}(A) \neq 0 \) 이면, 2 개의 직선이다.</li> <li>\( \operatorname{det}(A) = 0 \) 이면, 하나의 직선이다.</li></ol></li></ol> <p>이차형식의 대각화는 3 차원 곡면으로 확장된다.</p> <h2>2. 선형변환의 행렬표현</h2><p>일반적으로 \( R^{n} \) 과 \( R^{m} \) 의 임의의 순서기저에 대하여 \( R^{n} \) 에서 \( R^{m} \) 으로의 선형변환도 행렬변환으로 나타낼 수 있음을 좌표벡터를 이용하여 알아본다. 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여, \( R^{n} \) 과 \( R^{m} \) 의 임의의 순서기저를 각각 \[ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \cdots, \mathbf{y}_{m}\right\} \] 라 하자. 그러면 각 \( \mathbf{x}_{j} \in R^{n} \) (단, \( j=1,2, \cdots, n \) ) 에 대하여 \( T\left(\mathbf{x}_{j}\right) \in R^{m} \) 는 \[ T\left(\mathbf{x}_{j}\right)=a_{1 j} \mathbf{y}_{1}+a_{2 j} \mathbf{y}_{2}+\cdots+a_{m j} \mathbf{y}_{m}(\text { 단, } 1 \leq j \leq n) \] 으로 유일하게 표현된다. 따라서 \( \beta \) 에 관한 \( T\left(\mathbf{x}_{j}\right) \) 의 좌표벡터는 \[ \left[T\left(\mathbf{x}_{j}\right)\right]_{\beta}=\left[\begin{array}{c} a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{m j} \end{array}\right] \] 이다. 여기서 \( \left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta},\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}, \cdots,\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta} \) 를 열벡터로 갖는 \( m \times n \) 행렬을 \( A^{\prime} \), 즉 \[ A^{\prime}=\left[\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}: \cdots:\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta}\right]=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right] \] 이라 하자. 이때 행렬 \( A^{\prime}=\left[a_{i j}\right]_{m \times n} \) 를 기저 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 에 관한 선형변환 \( T \) 의 변환행렬이라 하고, 간단히 \[ A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta} \] 로 표시한다. 특히 \( R^{n}=R^{m} \) 이고 순서기저가 \( \alpha=\beta \) 이면, \( A^{\prime}=[T]_{\alpha} \) 로 나타낸다.</p><p>정리 8 \( y=T(\mathbf{x)}\) ( 단, \( \mathbf{x} \in R^{n}\)) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \[ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \cdots, \mathbf{y}_{m}\right\} \] 를 각각 \( R^{n} \) 과 \( R^{m} \) 의 순서기저라 하면 \[ [\mathbf{y}]_{\beta}=A^{\prime}[\mathbf{x}]_{\alpha}=[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\alpha} \] 이고, 이때 행렬 \( A^{\prime} \) 은 \[ A^{\prime}=\left[\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}: \cdots:\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta}\right] \] 로 주어진다.</p><p>증명 임의의 벡터 \( \mathbf{x} \in R^{n} \) 는 \( R^{n} \) 의 기저 \( \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\} \) 에 의하여 \[ \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}+\cdots+c_{n} \mathbf{x}_{n} \] 으로 유일하게 표시되며, \( \alpha \) 에 관한 \( \mathbf{x} \) 의 좌표벡터는 \[ [\mathbf{x}]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right] \] 으로 주어진다. 변환 \( T \) 의 선형성에 의하여 \[ y=T(\mathbf{x})=c_{1} T\left(\mathbf{x}_{1}\right)+c_{2} T\left(\mathbf{x}_{2}\right)+\cdots+c_{n} T\left(\mathbf{x}_{n}\right) \] 이므로, 기저 \( \beta \) 에 관하여 \[ \begin{aligned} \left[\mathbf{y}\right]_{\beta} &=c_{1}\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}+c_{2}\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}+\cdots+c_{n}\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta} \\ &=\left[\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}: \cdots:\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta}\right]\left[\begin{array}{c} c_{1} \\ c_{2} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right] \\ &=A^{\prime}[\mathbf{x}]_{\alpha} \end{aligned} \] 가 성립한다.</p><p>정리 8 의 유용성은 \( T(\mathbf{x}) \) 의 값을 행렬의 곱, 즉 \[ [T(\mathbf{x})]_{\beta}=[T]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf{x}]_{\alpha}=A^{\prime}[\mathbf{x}]_{\alpha} \] 로 계산할 수 있음을 의미한다.</p><p>예제 2 \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}x+2 y \\ -x+y \\ 5 x-y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \) 에 대하여, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( R^{2} \) 와 \( R^{3} \) 의 표준기저 \( \epsilon_{1}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}\right\}, \epsilon_{2}=\left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\} \) 에 대하여, \( T \) 의 변환행렬 \( [T]_{\epsilon_{1}}^{\epsilon_{2}} \) 를 구하시오.</li><li>\(R^{2} \) 와 \(R^{3} \)의 순서기저 \(\alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\}\)가 각각 \[\mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right], \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right] \text { 과 } \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right], \mathbf{y}_{3}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어질 때, \( T \) 의 변환행렬 \( [T]_{\alpha}^{\beta} \) 를 구하시오.</li></ol><p>풀이 (1) \( T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=T\left(\left[\begin{array}{l}1 \\ 0\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 5\end{array}\right], T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=T\left(\left[\begin{array}{l}0 \\ 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right] \) 이므로, \( T \) 의 변환행렬 \( [T]_{\epsilon_{1}}^{\epsilon_{2}} \) 는 \[ [T]_{\epsilon_{2}}^{\epsilon_{1}}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 5 & -1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>(2) \( [T]_{\alpha}^{\beta} \) 를 구하기 위해 \( T\left(\mathbf{x}_{1}\right), T\left(\mathbf{x}_{2}\right) \) 를 \( \mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3} \) 들의 일차결합으로 표현하여, 기저 \( \beta \) 에 관한 좌표벡터를 구한다. 이때 \[ T\left(\mathbf{x}_{1}\right)=T\left(\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} 5 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right]=a_{1} \mathbf{y}_{1}+a_{2} \mathbf{y}_{2}+a_{3} \mathbf{y}_{3}=\left[\begin{array}{c} a_{1}+a_{2}+a_{3} \\ a_{2}+a_{3} \\ a_{3} \end{array}\right] \] 로부터 \( a_{1}=4, a_{2}=-2, a_{3}=3 \) 을 얻고, 같은 방법으로 \[ T\left(\mathbf{x}_{2}\right)=T\left(\left[\begin{array}{l} 3 \\ 4 \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c} 11 \\ 1 \\ 11 \end{array}\right]=b_{1} \mathbf{y}_{1}+b_{2} \mathbf{y}_{2}+b_{3} \mathbf{y}_{3}=\left[\begin{array}{c} b_{1}+b_{2}+b_{3} \\ b_{2}+b_{3} \\ b_{3} \end{array}\right] \] 로부터 \( b_{1}=10, b_{2}=-10, b_{3}=11 \) 을 얻는다. 그러므로 \( T \) 의 변환행렬 \( [T]_{\alpha}^{\beta} \) 는 \[ [T]_{\alpha}^{\beta}=\left[\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}\right]=\left[\begin{array}{rr} 4 & 10 \\ -2 & -10 \\ 3 & 11 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p> <p>(라) 회전</p><p>\( R^{3} \) 에서 한 축을 중심으로 회전하는 다양한 회전변환은 한 축을 고정하고 변환을 취한 후, 또 다른 축을 고정하고 회전변환시키는 합성함수로 표현된다. \( R^{3} \) 에서 \( x \) 축, \( y \) 축, \( z \) 축을 중심으로 각각 점 \( P(x, y, z) \) 를 각 \( \theta \) 만큼 회전한 점 \( P^{\prime} \) 의 점의 좌표를 \( \left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right) \) 이라고 하면, \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right] \) 일 때</p><p>① \( x \) 축을 중심으로 각 \( \theta \) 만큼 회전한 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>② \( y \) 축을 중심으로 각 \( \theta \) 만큼 회전한 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & 0 & -\sin \theta \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin \theta & 0 & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>③ \( z \) 축을 중심으로 각 \( \theta \) 만큼 회전한 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>참고 \( R^{2} \) 의 임의의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array} \right] \] 로 정의된 변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 는 벡터 \( \mathbf{x} \) 를 원점을 중심으로 \( \theta \) 만큼 시계반대방향으로 회전하는 선형변환이다.</p><p>(마) 층밀림 (shear)</p><p>\[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll} 1 & k \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x+k y \\ y \end{array}\right], \quad H(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ k & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x \\ k x+y \end{array}\right] \] 로 정의된 두 선형변환 \( T, H: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 각각 \( x \) 축 방향, \( y \) 축 방향의 층밀림 변환이라 한다.</p><p>(바) 평행이동</p><p>\( R^{3} \) 에서 점 \( P(x, y, z) \) 를 점 \( P^{\prime}\left(x+x_{0}, y+y_{0}, z+z_{0}\right) \) 로 평행이동하는 변환 ( 평행이동) \( T \) 는 선형변환이 아니므로 행렬과의 곱으로 표현되지 않는다. 이때 동차좌표라는 새로운 좌표계를 도입한다.</p><p>정의 10 동차좌표 평면 \( R^{2} \) 의 점 \( (x, y) \) 는 \( R^{3} \) 의 \( x y \) 평면을 1 만큼 평행이동한 평면 위의 점 \( (x, y, 1) \)과 일대일 대응된다. 이때 \( (x, y) \) 는 동차좌표 (homogeneous coordinate) \( (x, y, 1) \) 을 갖는다고 한다. \( R^{2} \) 와 마찬가지로 \( R^{3} \) 의 점 \( (x, y, z) \) 는 동차좌표 \( (x, y, z, 1) \) 을 갖는다고 한다.</p><p>\( R^{2} \) 에서 점 \( P(x, y) \) 를 점 \( P^{\prime}\left(x+x_{0}, y+y_{0}\right) \) 로 평행이동하는 변환 \( T \) 는 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ 1\end{array}\right] \) 일 때 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & x_{0} \\ 0 & 1 & y_{0} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>예 9 각 성분을 \( \frac{1}{3} \) 로 축소하는 \( R^{2} \) 위의 선형변환의 표준행렬은 \[ \left[\begin{array}{cc} \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right] \] 로 주어지고, \( y \) 축 방향으로만 \( \frac{1}{3} \) 로 축소하는 \( R^{2} \) 위의 선형변환의 표준행렬은 \[ \left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>정리 11 선형변환의 합성 변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 과 \( S: R^{m} \rightarrow R^{k} \) 가 모두 선형일 때, 합성함수 \[ S \circ T: R^{n} \rightarrow R^{k} \] 도 선형변환이다.</p><p>예 10 선형변환 \( T_{1}: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 와 \( T_{2}: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 가 각각 \[ T_{1}(x, y)=(x+y, x-y), T_{2}(x, y)=(3 x, 2 x+4 y) \] 로 정의될 때, \( T_{1} \) 과 \( T_{2} \) 의 표준행렬은 각각 \[ T_{1}=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right], T_{2}=\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right] \] 이므로, \( T_{2} \circ T_{1} \) 과 \( T_{1} \circ T_{2} \) 의 표준행렬은 각각 \[ \begin{aligned} T_{2} \circ T_{1} &=\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 3 & 3 \\ 6 & -2 \end{array}\right] \\ T_{1} \circ T_{2} &=\left[\begin{array}{rr} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 3 & 0 \\ 2 & 4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{rr} 5 & 4 \\ 1 & -4 \end{array}\right] \end{aligned} \] 가 된다. 따라서 \[ \begin{array}{l} \left(T_{2} \circ T_{1}\right)(x, y)=(3 x+3 y, 6 x-2 y) \\ \left(T_{1} \circ T_{2}\right)(x, y)=(5 x+4 y, x-4 y) \end{array} \] 로 주어진다.</p><p>예제 5 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 가 \( x z \) 평면에 정사영 (변환 \( T_{1} \) )한 후, 다시 \( x y \) 평면에 정사영 (변환 \(T_{2}\)) 하는 합성변환 \( \left(T_{2} \circ T_{1}\right) \) 일 때, 이 합성변환에 대응하는 표준행렬을 구하시오.</p><p>풀이 \( T_{1} \) 과 \( T_{2} \) 의 표준행렬은 각각 \[ T_{1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right], T_{2}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 이므로, \( T_{2} \circ T_{1} \) 의 표준행렬은 \[ T_{2} \circ T_{1}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p> <p>예제 3 \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{c}2 x-z \\ y-z\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{2} \) 에 대하여, \( R^{3} \) 와 \( R^{2} \) 의 순서기저 \( \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} \) 가 각각 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{x}_{3}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] \text { 과 } \quad \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어질 때, \( A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta} \) 를 구하시오.</p><p>풀이 \[ A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta}=\left[\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{3}\right)\right]_{\beta}\right] \] 이므로, 먼저 \( T\left(\mathbf{x}_{1}\right), T\left(\mathbf{x}_{2}\right), T\left(\mathbf{x}_{3}\right) \) 를 구한다. 이때 \[ T\left(\mathbf{x}_{1}\right)=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right], T\left(\mathbf{x}_{2}\right)=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array}\right], T\left(\mathbf{x}_{3}\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] \] 이므로, 기저 \( \beta \) 에 관한 좌표벡터를 구하면 \[ T\left(\mathbf{x}_{1}\right)=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \end{array}\right]=a_{1} \mathbf{y}_{1}+a_{2} \mathbf{y}_{2}=a_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]+a_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array}\right] \] \[ T\left(\mathbf{x}_{2}\right)=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array}\right]=b_{1} \mathbf{y}_{1}+b_{2} \mathbf{y}_{2}=b_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]+b_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array}\right] \] \[ T\left(\mathbf{x}_{3}\right)=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=c_{1} \mathbf{y}_{1}+c_{2} \mathbf{y}_{2}=c_{1}\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right]+c_{2}\left[\begin{array}{r} -1 \\ 1 \end{array}\right] \] 이다. 이때 3 개의 연립방정식의 계수행렬이 모두 \[ \left[\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array}\right] \] 이므로, 첨가행렬의 형태를 확장한 행렬 \[ \left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & -1 & : & 1 & : & -1 & : & 2 \\ 1 & 1 & : & -1 & : & 0 & : & 1 \end{array}\right] \] 을 기약행사다리꼴로 변환하면 \[ \left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 0 & : & 0 & : & -\frac{1}{2} & : & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & : & -1 & : & \frac{1}{2} & : & -\frac{1}{2} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrrrrrrr} 1 & 0 & : & a_{1} & : & b_{1} & : & c_{1} \\ 0 & 1 & : & a_{2} & : & b_{2} & : & c_{2} \end{array}\right] \] 를 얻는다. 따라서 \( A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta} \) 는 \[ \left[\begin{array}{rrr} 0 & -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>참고 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \[ \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{n}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \cdots, \mathbf{y}_{m}\right\} \] 가 각각 \( R^{n} \) 과 \( R^{m} \) 의 임의의 순서기저이면, 행렬 \[ \left[\begin{array}{llll}\mathbf{y}_{1} &\mathbf{y}_{2} \cdots & \mathbf{y}_{m}: T\left(\mathbf{x}_{1}\right): T\left(\mathbf{x}_{2}\right): \cdots: T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\end{array}\right] \] 을 \[ \left[I_{m}: A_{m \times n}^{\prime}\right]=\left[I_{m}:\left[T\left(\mathbf{x}_{1}\right)\right]_{\beta}:\left[T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\right]_{\beta}: \cdots:\left[T\left(\mathbf{x}_{n}\right)\right]_{\beta}\right] \] 로 변환하여 쉽게 \( A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta} \) 를 구할 수 있다.</p><p>예제 4 \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{r}x+y \\ x-3 y \\ -2 x+y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \) 에 대하여, \( R^{2} \) 와 \( R^{3} \) 의 순서기저 \( \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}, \mathbf{y}_{3}\right\} \) 가 각각 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] \text { 과 } \quad \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{y}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어질 때, \( A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta} \) 를 구하시오.</p><p>풀이 \[ T\left(\mathbf{x}_{1}\right)=\left[\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array}\right], T\left(\mathbf{x}_{2}\right)=\left[\begin{array}{r} 3 \\ -1 \\ -3 \end{array}\right] \] 이므로 \[ \left[\begin{array}{lll}\mathbf{y}_{1} & \mathbf{y}_{2} & \mathbf{y}_{3}: T\left(\mathbf{x}_{1}\right): T\left(\mathbf{x}_{2}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{rrrrrrr}1 & -1 & 0 & : & 2 & : & 3 \\ 0 & 2 & 1 & : & -2 & : & -1 \\ -1 & 1 & 1 & : & -1 & : & -3\end{array}\right] \] 이다. 이것을 기약행사다리꼴로 변형하면 \[ \left[\begin{array}{llllrlr} 1 & 0 & 0 & : & \frac{1}{2} & : & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & : & -\frac{3}{2} & : & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & : & 1 & : & 0 \end{array}\right] \] 이므로, \( A^{\prime} \) 은 \[ A^{\prime}=[T]_{\alpha}^{\beta}=\left[\begin{array}{rr} \frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>정리 9 세 유클리드 공간 \( R^{n}, R^{m} \) 과 \( R^{k} \) 에 대하여, \( \alpha, \beta, \gamma \) 가 각각 \( R^{n}, R^{m}, R^{k} \) 의 고정된 기저일 때 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>두 선형변환 \( T_{1}: R^{n} \rightarrow R^{m}, T_{2}: R^{m} \rightarrow R^{k} \) 에 대하여 \[ \left[\begin{array}{ll} T_{2} \circ T_{1} \end{array}\right]_{\alpha}^{\gamma}=\left[T_{2}\right]_{\beta}^{\gamma}\left[T_{1}\right]_{\alpha}^{\beta} \]</li><li>역함수를 갖는 선형변환 \( T_{1}: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여 \[ \left[{T_{1}}^{-1}\right]_{\beta}^{\alpha}=\left(\left[T_{1}\right]_{\alpha}^{\beta}\right)^{-1} \]</li></ol><p>증명 여기서는 (2)만 증명하고, (1)은 독자에게 남긴다. (1)에 의해 \[ \left[{T_{1}}^{-1} \circ T_{1}\right]_{\alpha}=\left[{T_{1}}^{-1}\right]_{\beta}^{\alpha}\left[T_{1}\right]_{\alpha}^{\beta} \] 이다. 이때 \( {T_{1}}^{-1} \circ T_{1}=I \) 이고 \( [I]_{\alpha}=I_{n} \) 이므로 \[ \left[{T_{1}}^{-1}\right]_{\beta}^{\alpha}=\left(\left[T_{1}\right]_{\alpha}^{\beta}\right)^{-1} \] 가 성립한다.</p><p>따름정리 유클리드 공간 \( R^{n}, R^{m} \) 에 대하여 \( \alpha, \alpha^{\prime} \) 이 \( R^{n} \) 의 기저, \( \beta, \beta^{\prime} \) 이 \( R^{m} \) 의 기저라 하자. 이때 변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형이면 \[ [T]]_{\alpha^{\prime}}^{\beta^{\prime}}=Q[T]_{\alpha}^{\beta} P \] 가 성립한다. 여기서 \( P \) 는 기저 \( \alpha^{\prime} \) 에서 \( \alpha \) 로의 \( R^{n} \) 의 전이행렬이고, \( Q \) 는 기저 \( \beta \) 에서 \( \beta^{\prime} \) 으로의 \( R^{m} \) 의 전이행렬이다.</p> <h1>6.1 선형변환과 행렬</h1><h2>1. 유클리드 공간의 선형변환</h2><p>선형변환은 함수의 특별한 경우로, 많은 분야에서 매우 중요한 역할을 한다. 특히 유한차원인 벡터공간 사이의 모든 선형변환은 행렬로 표시할 수 있다. 여기서는 \( R^{n} \) 에서 \( R^{m} \) 으로의 모든 선형변환은 표준행렬을 이용하여 행렬변환으로 나타낼 수 있음을 보인다. 이 표준행렬은 \( R^{n} \) 의 모든 벡터는 항상 표준기저의 일차결합으로 표시된다는 것으로부터 얻어진다.</p><h3>(1) 변환행렬</h3><p>정의역과 공역이 모두 벡터인 함수를 변환 (transformation)이라 하고, 문자 \( T . L \) 또는 \( F \)로 표기한다. 변환의 특수한 경우로 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, 임의의 \( \mathbf{x} \in R^{n} \) 에 대하여 \[ T_{A}(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \] 로 주어진 변환 \( T_{A}: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 을 자연스럽게 만들 수 있다.</p><p>정의 1 \( R^{n} \) 에서 \( R^{m} \) 으로의 선형변환 다음 두 성질을 만족하는 함수 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 을 \( R^{n} \) 에서 \( R^{m} \) 으로 대응되는 선형변환 (linear transformation) 또는 선형사상(linear map)이라 한다.</p><ol type=1 start=1><li>모든 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여, \( T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \) 이다.</li><li>모든 \( \mathbf{u} \in R^{n} \) 와 실수 \( \alpha \) 에 대하여, \( T(\alpha \mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u}) \) 이다.</li></ol>즉 변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 모든 실수 \( \alpha, \beta \) 와 모든 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여 \[ T(\alpha \mathbf{u}+\beta \mathbf{v})=\alpha T(\mathbf{u})+\beta T(\mathbf{v}) \] 를 만족하면 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 은 선형변환이다. 특히 \( R^{n} \) 에서 \( R^{n} \) 자신으로의 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 을 선형연산자 (linear operator)라고 한다.</p><p>행렬은 선형성이라는 성질을 갖는 특수한 변환이다. 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 의 기하학적 의미는 \( R^{n} \) 위의 " \( \mathbf{u} \) 와 \( \mathbf{v} \) 를 잇는 선분을 \( R^{m} \) 위의 \( T(\mathbf{u}) \) 와 \( T(\mathbf{v}) \) 를 잇는 선분으로 보내는 함수”라는 것이다.</p><p>예 1 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, 변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \) 를 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ x-y \end{array}\right] \] 로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 그러나 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, 변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c} x \\ y+1 \end{array}\right] \] 로 정의하면, \( T \) 는 선형이 아니다.</p><p>임의의 \( \mathbf{u} \in R^{n} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{u})=\mathbf{0} \) 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 을 영변환 (zero transformation)이라고 한다. 또한 임의의 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여, \( T(\mathbf{v})=\mathbf{v} \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 을 항등변환 (identity tranformation)이라고 한다.</p><p>예 2 \( R^{2} \) 에서 \( R^{3} \) 로의 변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \) 를 임의의 \( (x, y, z) \in R^{3} \) 에 대하여 \[ T(x, y, z)=(x, y) \] 로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 이러한 선형변환을 \( x y \) 평면 위로의 정사영이라 한다.</p><p>참고 \( R^{2} \) 위에서 정의된 몇 가지 선형변환에 대하여 알아보자.</p><ol type=1 start=1><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 임의의 \( (x, y) \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(x, y)=(x, 0) \) 으로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 이러한 선형변환을 \( x \) 축 위로의 정사영이라 한다.</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 임의의 \( (x, y) \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(x, y)=(x,-y) \) 로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 이러한 선형변환을 \( x \) 축에 관하여 대칭 또는 반사(reflection)라고 한다.</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 임의의 \( (x, y) \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(x, y)=(y, x) \) 로 정의하면, \( T \)는 선형이다. 이때 임의의 \( \mathbf{v} \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v}) \) 는 \( \mathbf{v} \) 를 직선 \( y=x \) 에 관하여 대칭이동한 벡터이다.</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 고정된 실수 \( \beta \) 와 임의의 \( (x, y) \in R^{2} \) 에 대하여 \[ T(x, y)=(\beta x, \beta y) \] 로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 이때 임의의 \( \mathbf{v} \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v}) \) 는 \( \mathbf{v} \) 를 \( \beta \) 배한 벡터이다.</li><li>\( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 고정된 실수 \( \theta \) (단, \( 0 \leq \theta \leq 2 \pi \) ) 와 임의의 \( (x, y) \in R^{2} \) 에 대하여 \[ T(x, y)=(x \cos \theta-y \sin \theta, x \sin \theta+y \cos \theta) \] 로 정의하면, \( T \) 는 선형이다. 이때 임의의 \( \mathbf{v} \in R^{2} \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v}) \) 는 \( \mathbf{v} \) 를 시계반대방향으로 \( \theta \) 만큼 회전이동한 벡터이다.</li></ol> <p>\( D \) 가 대각행렬이면 고윳값은 대각선상의 성분이 되고, \( A \) 가 \( D \) 와 닮으면 \( A \) 와 \( D \) 는 같은 고윳값을 가진다. 따라서 \( A \) 가 대각화 가능하면 \( A \) 는 대각선 성분들이 \( A \) 의 고윳값이 되는 대각행렬과 닮게 된다.</p><p>정리 14 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 대각화 가능할 필요충분조긴은 \( A \) 가 \( n \) 개의 일차독립인 고유벡터를 가지는 것이다. 이 경우에 \( A \) 와 닮은 대각행렬 \( D \) 는 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이 \( A \) 의 고윳값일 때 \[ \left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right] \] 으로 주어진다. \( P \) 가 \( A \) 의 일차독립인 고유벡터를 열로 가진 행렬이면 \[ D=P^{-1} A P \] 가 된다.</p><p>예 13 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}5 & -6 \\ 2 & -2\end{array}\right] \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 \) 이고 \[ \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right] \] 가 고윳값 \( \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 \) 에 각각 대응하는 일차독립인 \( A \) 의 고유벡터이므로, \( A \) 는 대각화 가능하다. 이때 \( P=\left[\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 2\end{array}\right] \) 로 두면, \( P^{-1}=\left[\begin{array}{rr}2 & -3 \\ -1 & 2\end{array}\right] \) 이므로 \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{rr} 2 & -3 \\ -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 5 & -6 \\ 2 & -2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>참고 주어진 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 를 대각화하는 과정은 다음과 같다.</p><p>1 단계 : \( A \) 의 고윳값을 모두 구한다. 2 단계 : \( A \) 의 각 고윳값에 대응하는 \( n \) 개의 일차독립인 고유벡터 \[ \mathbf{p}^{(1)}, \mathbf{p}^{(2)}, \cdots, \mathbf{p}^{(n)} \] 을 구한다. 3 단계 : \( \mathbf{p}^{(1)}, \mathbf{p}^{(2)}, \cdots, \mathbf{p}^{(n)} \) 을 열벡터로 갖는 행렬 \( P \) 를 구한다. 4 단계 : \( P \) 가 \( A \) 를 대각화하는 행렬이다. 이때 \( P^{-1} A P \) 는 \( A \) 에 대응하는 고윳값 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 을 순서대로 주대각선 성분으로 갖는 대각행렬 \[ D=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right] \] 이다.</p><p>예 14 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}4 & 2 \\ 3 & 3\end{array}\right] \) 은 2 개의 일차독립인 고유벡터 \( \mathbf{v}_{1}=\left[\begin{array}{r}2 \\ -3\end{array}\right] \) 과 \( \mathbf{v}_{2}=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right] \) 을 가진다. 이때 \( P=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right] \) 로 두면 \[ P^{-1} A P=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 6 \end{array}\right] \] 이 되는데, 이것은 대각성분이 \( A \) 의 고윳값이 되는 행렬이다.</p><p>따름정리 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여, \( A \) 가 \( n \) 개의 서로 다른 고윳값을 가지면, \( A \) 는 대각화 가능하다. 그러나 대각화 가능한 행렬이라 하더라도 \( A \) 의 고윳값 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 중에는 같은 값이 존재할 수 있기 때문에 역은 성립하지 않는다.</p><p>예 15 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}5 & -6 \\ 2 & -2\end{array}\right] \) 는 서로 다른 2 개의 고윳값 \( \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=1 \) 을 가지므로, \( A \) 는 대각화 가능하다.</p><p>참고 고유벡터를 선택하는 방법이 무한히 많으므로, 대각화시키는 행렬 \( P \) 를 선택하는 방법도 무한히 많다. 따라서 계산하기 가장 쉬운 고유벡터와 행렬 \( P \) 를 선택하면 된다. 이것은 가능한 한 많은 0 과 1 을 택하는 것을 의미한다.</p><p>예제 7 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right] \) 이 대각화 가능함을 보이고, \( A \) 를 대각화하는 행렬 \( P \) 를 구하시오.</p><p>풀이 \( A \) 의 특성방정식으로부터, \( A \) 의 서로 다른 고윳값은 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 \) 이다. 이때 서로 다른 고윳값 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 \) 로부터 일차독립인 고유벡터 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right], \quad \mathbf{x}_{3}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 얻는다. 따라서 \( A \) 는 대각화 가능하고, 대각화하는 행렬은 \[ P=\left[\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \mathbf{x}_{3}\right]=\left[\begin{array}{rrr} -2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array}\right] \] 으로 주어진다.</p><p>참고 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 대각화 가능한 경우, \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 을 \( A \) 의 고윳값이라 하면 \[ P^{-1} A P=D=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right] \] 이므로 \( A=P D P^{-1} \) 가 된다. 그러므로 \[ A^{k}=\left(P D P^{-1}\right)^{k}=\left(P D P^{-1}\right) \cdots\left(P D P^{-1}\right)=P D^{k} P^{-1} \] 임을 알 수 있다.</p> <h2>연습문제 6.2</h2><p>1. \( \lambda \) 가 직교행렬 \( A \) 의 고윳값일 때, \( \|\lambda\|=1 \) 임을 보이시오.</p><p>2. 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \) 가 \( \operatorname{det}(A)=\operatorname{tr}(A)=4 \) 를 만족할 때, 행렬 \( A \) 의 고윳값을 구하시오.</p><p>3. 3 차 정사각행렬 \( A \) 의 특성다항식이 \( p(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-3)^{2} \) 으로 주어질 때, 행렬 \( A^{2} \) 의 고윳값을 구하시오.</p><p>4. 특성방정식을 이용하여, 다음에 주어진 행렬의 고윳값과 각 고윳값에 대응하는 고유벡터를 구하시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( A=\left[\begin{array}{rr}3 & 2 \\ 3 & -2\end{array}\right] \)</li><li>\( B=\left[\begin{array}{rr}1 & -3 \\ -3 & 1\end{array}\right] \)</li><li>\( C=\left[\begin{array}{lll}2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right] \)</li></ol><p>5. 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right] \) 에 대하여, 변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 를 \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 로 정의할 때 \[ W=\left\{\mathbf{x} \in R^{3} \mid T(\mathbf{x})=\mathbf{x}\right\} \] 의 기저를 구하시오.</p><p>6. \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 이 선형변환이고 \( \alpha, \beta \) 가 \( R^{n} \) 의 두 기저일 때 \[ A=[T]_{\alpha}, A^{\prime}=[T]_{\beta} \] 이면, 기저 \( \beta \) 에서 기저 \( \alpha \) 로의 전이행렬 \( P=[I]_{\beta}^{\alpha} \) 에 대하여 \[ A^{\prime}=P^{-1} A P \] 가 성립함을 보이시오.</p><p>7. \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}x-y \\ x+y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 에 대하여, 기저가 \[ \alpha=\left\{\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array}\right]\right\} \] 일 때, \( \alpha \) 에 관한 \( T \) 의 변환행렬 \( [T]_{\alpha} \) 를 구하시오.</p><p>8. \( T\left(\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l}-5 x+6 y \\ -3 x+4 y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 에 대하여, \( R^{2} \) 의 순서기저 \( \alpha=\left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}\right\}, \beta=\left\{\mathbf{y}_{1}, \mathbf{y}_{2}\right\} \) 가 각각 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right], \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \end{array}\right] \text { 과 } \mathbf{y}_{1}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right], \mathbf{y}_{2}=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어질 때, \( \beta \) 에서 \( \alpha \) 로의 전이행렬 \( P=[I]_{\beta}^{\alpha} \) 를 구하시오.</p><p>9. 다음에 주어진 행렬의 대각화 가능 여부를 결정하시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( A=\left[\begin{array}{rrr}4 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right] \)</li><li>\( B=\left[\begin{array}{rr}-1 & 4 \\ 0 & 3\end{array}\right] \)</li><li>\( C=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -3 & 5 & 3\end{array}\right] \)</li></ol><p>10. 3 차 대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}5 & 4 & 2 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right] \) 를 직교대각화하는 행렬 \( P \) 를 구하시오.</p><p>11. 3 차 정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{lll} 3 & -2 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 3 & -6 & 5 \end{array}\right] \] 에 대하여, \( A \) 의 역행렬 \( A^{-1} \) 를 \( A^{2}, A, I \) 를 이용하여 표시하시오.</p><p>12. 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right] \) 에 대하여, 다음 물음에 답하시오.</p><ol type=1 start=1><li>\( P^{-1} A P \) 가 대각행렬이 되는 가역행렬 \( P \) 를 구하시오.</li><li>\( Q^{-1} A Q \) 가 대각행렬이 되는 직교행렬 \( Q \) 를 구하시오.</li><li>임의의 자연수 \( n \) 에 대하여, \( A^{n} \) 을 구하시오.</li></ol><p>13. 이차형식의 대각화를 이용하여, 두 변수 \( x, y \) 의 이차방정식 \[ 5 x^{2}-2 x y+5 y^{2}=4 \] 로 주어진 원뿔곡선을 분류하시오.</p><p>14. 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}4 & -2 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 거듭제곱 \( A^{5} \) 을 구하시오.</p><p>15. 2 차 정규행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}2 & i \\ -i & 2\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 정규직교인 고유벡터가 \[ \mathbf{u}_{1}=\left[\begin{array}{c} \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right], \quad \mathbf{u}_{2}=\left[\begin{array}{c} -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{array}\right] \] 로 주어짐을 보이시오.</p><p>16. \( n \) 차 복소정사각행렬 \( A \in M_{n}(C) \) 가 에르미트 행렬이면, \( A \) 의 서로 다른 2 개의 고윳값에 대응하는 각각의 고유벡터는 서로 직교함을 보이시오.</p><p>17. 복소수 \( n \) - 공간 \( C^{n} \) 에 유클리드 내적이 정의되어 있고 \( n \) 차 복소정사각행렬 \( U \in M_{n}(C) \) 가 유니타리 행렬이면, \( U \) 의 서로 다른 2 개의 고윳값에 대응하는 각각의 고유벡터는 서로 직교함을 보이시오.</p> <h3>(2) 대칭행렬과 직교대각화</h3><p>\( A \) 가 실대칭행렬이면, \( A \) 의 고윳값들은 모두 실수로 주어진다 (정리 28 참조). 이때 서로 다른 고윳값에 대응되는 실대칭행렬의 고유벡터는 일차독립이 된다. 따라서 모든 실대칭행렬은 대각화 가능하다.</p><p>정리 15 \( A \) 가 \( n \) 차 대칭행렬일 때, \( \lambda_{1} \) 과 \( \lambda_{2} \) 가 대응되는 고유벡터 \( \mathbf{v}_{1} \) 과 \( \mathbf{v}_{2} \) 를 가진 서로 다른 고윳값이면 \( \mathbf{v}_{1} \) 과 \( \mathbf{v}_{2} \) 는 직교한다. 따라서 \( A \) 가 대칭행렬이면 \( A \) 의 서로 다른 고윳값에 대응하는 고유벡터들은 직교한다.</p><p>증명 \[A \mathbf{v}_{1}=\lambda_{1} \mathbf{v}_{1}, A \mathbf{v}_{2}=\lambda_{2} \mathbf{v}_{2} \] 로부터 \( \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2}={\mathbf{v}_{2}}^{T} \mathbf{v}_{1}=0 \) 임을 보이면 된다. 먼저 \( A \) 가 대칭행렬이라는 사실로부터 \[ \left(A \mathbf{v}_{2}\right)^{T}=\left(\lambda_{2} \mathbf{v}_{2}\right)^{T} \] 이므로 \[ \mathbf{v}_{2}^{T} A^{T}=\lambda_{2} \mathbf{v}_{2}^{T} \text {, 즉 } \mathbf{v}_{2}^{T} A \mathbf{v}_{1}=\lambda_{2} \mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1} \] 을 얻는다. 같은 방법으로 \[ \mathbf{v}_{2}^{T} A \mathbf{v}_{1}=\lambda_{1} \mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1} \] 을 얻는다. 따라서 \[ \lambda_{1} \mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1}=\lambda_{2} \mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1} \text {, 즉 }\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) \mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1}=0 \] 이 성립한다. 그런데 \( \lambda_{1} \neq \lambda_{2} \) 이므로, \( \mathbf{v}_{1} \cdot \mathbf{v}_{2}=\mathbf{v}_{2}^{T} \mathbf{v}_{1}=0 \) 이 된다.</p><p>참고 \( A \) 가 \( n \) 차 대칭행렬일 필요충분조건은 \( A \) 가 \( n \) 개의 고유벡터들의 정규직교집합을 갖는 경우이다.</p><p>다음 정리는 \( n \) 차 정사각행렬이 직교행렬임을 보일 때 매우 필요하다.</p><p>정리 16 \( n \) 차 정사각행렬 \( Q \) 가 직교행렬일 필요충분조건은 \( Q \) 의 열들이 \( R^{n} \) 에 대한 정규직교기저를 이루는 것이다.</p><p>예 16 세 벡터 \( \left[\begin{array}{c}1 / \sqrt{2} \\ 1 / \sqrt{2} \\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-1 / \sqrt{6} \\ 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6}\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}1 / \sqrt{3} \\ -1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3}\end{array}\right] \) 은 \( R^{3} \) 의 정규직교기저이다. 따라서 3 차 정사각행렬 \( Q=\left[\begin{array}{ccc}1 / \sqrt{2} & -1 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{2} & 1 / \sqrt{6} & -1 / \sqrt{3} \\ 0 & 2 / \sqrt{6} & 1 / \sqrt{3}\end{array}\right] \) 은 직교행렬이고, 이것은 \[ Q^{T} Q=\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \] 을 유도한다.</p><p>정의 17 직교대각화 가능 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여 \( D=\operatorname{diag}\left[\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right] \) 이고 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n} \) 이 \( A \) 의 고윳값일 때 \[ Q^{T} A Q=D \text{ 또는 } Q^{-1} A Q=D \] 를 만족하는 직교행렬 \( Q \) 가 존재하면, \( A \) 를 직교대각화 가능 (orthogonally diagonali-zable)하다고 한다.</p><p>참고 주어진 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여 \[ P^{-1} A P=D \] 를 만족하는 직교행렬 \( P \) 와 대각행렬 \( D \) 가 존재하면, \( A \) 를 직교대각화 가능하다고 한다.</p><p>정리 18 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여, \( A \) 가 직교대각화 가능할 필요충분조건은 \( A \) 의 고유벡터들로 구성된 \( R^{n} \) 의 정규직교기저가 존재하는 것이다.</p><p>\( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 직교대각화 가능할 필요충분조건은 \( A \) 가 실대칭행렬인 경우이다. 따라서 모든 실대칭행렬 \( A \) 는 직교대각화 가능하다. 이때 직교대각화하는 행렬 \( P \) 는 \( A \) 의 \( n \) 개의 일차독립인 정규직교 고유벡터들을 열벡터로 갖는다.</p> <h1>6.2 행렬의 대각화</h1><h2>1. 고윳값과 고유벡터</h2><p>고윳값이라는 용어는 힐버트 (Hilbert)에 의해 소개되었고, 디랙 (Dirac)이 명명했다고 알려져 있다. 고윳값은 선형변환과 관계되어 다양한 경우에 중요한 역할을 한다.</p><p>정의 1 고윳값과 고유벡터 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 에 대하여 \[ A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \] 를 만족하는 0 이 아닌 벡터 \( \mathbf{x} \) 와 스칼라 \( \lambda \) 가 존재할 때, 스칼라 \( \lambda \) 를 \( A \) 의 고윳값(eigenvalue)이라 하고, \( \mathbf{x} \) 를 고윳값 \( \lambda \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터 (eigenvector)라고 한다.</p><p>참고 (고유벡터의 기하적 의미) \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 는 모든 \( \mathbf{x} \in R^{n} \) 에 대하여 \( T_{A}(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 를 만족하는 \( R^{n} \) 에서 선형변환 \( T_{A} \) 를 유도한다. 따라서 선형변환 \( T_{A} \) 는 고유벡터 \( \mathbf{x} \) 를 \( \mathbf{x} \) 와 평행인 벡터 \( \lambda \mathbf{x} \) 로 대응시키는 함수이다. 즉 고유벡터 \( \mathbf{x} \) 는 \( A \mathbf{x} \) 가 \( \mathbf{x} \) 와 평행이 되게 하는 0 이 아닌 벡터를 의미한다.</p><p>예 1 2차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}2 & 2 \\ 2 & -1\end{array}\right] \) 과 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] \) 에 대하여 \[ A \mathbf{x}=\left[\begin{array}{rr} 2 & 2 \\ 2 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 6 \\ 3 \end{array}\right]=3\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array} \right]=3 \mathbf{x} \] 이므로, 3 은 \( A \) 의 고윳값이고 \( \mathbf{x} \) 는 고윳값 3 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터이다.</p><p>\( \mathbf{x} \in R^{n} \) 가 고윳값 \( \lambda \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터일 때, 임의의 스칼라 \( k \) 에 대하여 \[ A(k \mathbf{x})=k A(\mathbf{x})=k(\lambda \mathbf{x})=\lambda(k \mathbf{x}) \] 이므로, \( k \mathbf{x} \) 도 \( \lambda \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터가 된다. 따라서 정사각행렬 \( A \) 의 각 고윳값 \( \lambda_{i} \) 에 대응하는 고유벡터 \( \mathbf{x}_{i} \) 는 무한히 많다. 그러나 \( \mathbf{x}_{i} \) 의 성분 중에서 어느 하나를 1 로 놓음으로써 단순한 고유벡터를 임의로 선택할 수 있다.</p><p>정리 2 두 벡터 \( \mathbf{x}_{1} \) 과 \( \mathbf{x}_{2} \) 가 동일한 고윳값 \( \lambda \) 에 대응되는 정사각행렬 \( A \) 의 고유벡터이면 \[ \mathbf{x}=c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}(\text { 단, } \mathbf{x} \neq \mathbf{0}) \] 도 \( \lambda \) 에 대응되는 \( A \) 의 고유벡터가 된다. 여기서 \( c_{1}, c_{2} \) 는 임의의 스칼라이다.</p><p>증명 \[\begin{aligned} A \mathbf{x} &=A\left(c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}\right)=c_{1} A \mathbf{x}_{1}+c_{2} A \mathbf{x}_{2}=c_{1} \lambda \mathbf{x}_{1}+c_{2} \lambda \mathbf{x}_{2} \\ &=\lambda\left(c_{1} \mathbf{x}_{1}+c_{2} \mathbf{x}_{2}\right)=\lambda \mathbf{x} \end{aligned} \]</p><p>예 2 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{cc}10 & -18 \\ 6 & -11\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 고윳값과 각 고윳값에 대응하는 고유벡터를 구해보자. 0 이 아닌 임의의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2}\end{array}\right] \) 에 대하여 \( A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \) 라 하면 \[ \left[\begin{array}{cc} 10 & -18 \\ 6 & -11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right]=\lambda\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right] \] 이므로, 동차연립방정식 \[ (\lambda-10) x_{1}+18 x_{2}=0, \quad 6 x_{1}-(\lambda+11) x_{2}=0 \]<caption>()</caption></p><p>을 얻는다. ()가 0이 아닌 해를 가질 필요충분조건이 계수행렬의 행렬식의 값이 0 , 즉 \[ \left\|\begin{array}{cc} \lambda-10 & 18 \\ 6 & -(\lambda-11) \end{array}\right\|=0 \] 이므로, \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2 \) 이다. 이때 \[ A\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 10 & -18 \\ 6 & -11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] \] 이므로, \( \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right] \) 은 고윳값 \( \lambda_{1}=1 \) 에 대응되는 고유벡터이고 \[ A\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 10 & -18 \\ 6 & -11 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right]=-2\left[\begin{array}{l} 3 \\ 2 \end{array}\right] \] 이므로, \( \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{l}3 \\ 2\end{array}\right] \) 는 고윳값 \( \lambda_{2}=-2 \) 에 대응되는 고유벡터이다.</p><p>고윳값과 고유벡터는 고윳값과 고유벡터의 대수적 성질을 이용하여 구한다. 이때 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 \( n \) 개의 고윳값은 복소수 범위에서는 항상 존재한다. 그러나 3 차 이상의 행렬의 고윳값을 손으로 직접 구하기는 십지 않다. 이 경우는 컴퓨터 프로그램을 이용하여 고윳값을 구한다.</p><p>정리 3 \( A \) 가 \( n \) 차 정사각행렬일 때, \( \lambda \) 가 \( A \) 의 고윳값일 필요충분조건은 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right)=0 \]<caption>(1)</caption></p><p>이다. 이때 식 (1)을 \( A \) 의 특성방정식 (characteristic equation) 또는 고유방정식이라 하고 \[ p(\lambda)=\operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right) \] 를 \( A \) 의 특성다항식 (characteristic polynomial)이라 한다.</p><p>증명 \( \lambda \) 가 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 고윳값이면, \( A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}=\lambda I_{n} \mathbf{x} \) 를 만족하는 0 이 아닌 벡터 \( \mathbf{x} \) 가 존재한다. 즉 \[ \left(\lambda I_{n}-A\right) \mathbf{x}=\mathbf{0} \]<caption>(2)</caption></p><p>이 성립한다. 그런데 (2)가 \( n \) 차 동차연립방정식이므로 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right)=0 \] 을 얻는다. 역으로 \( \operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right)=0 \) 이면, (2)는 자명한 해를 가지고 \( \lambda \) 는 \( A \) 의 고윳값이다. 한편 \( \operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right) \neq 0 \) 이면 (2)는 유일한 해 \( \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 을 가지므로 \( \lambda \) 는 \( A \)의 고윳값이 아니다.</p><p>\( n \) 차 정사각행렬 \[ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right] \] 에 대하여, \( A \) 의 특성다항식은 \[ p(\lambda)=\operatorname{det}\left(\lambda I_{n}-A\right)=\left\|\begin{array}{cccc} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1 n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n 1} & -a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n} \end{array}\right\| \]<caption>()</caption></p>으로 주어진다. 따라서 \[ p(\lambda)=\lambda^{n}+b_{n-1} \lambda^{n-1}+\cdots+b_{1} \lambda+b_{0} \] 로 표현할 수 있고, ()가 \( p(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{n_{2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{m}\right)^{n_{m}} \) 으로 인수분해되면 인수의 순서 외에는 유일하다. 한편 \( i=1,2, \cdots, m \) 에 대하여 \[ p\left(\lambda_{i}\right)=0 \] 이므로 각 \( \lambda_{i} \) 는 \( A \) 의 고윳값이 된다. 이때 \( n_{i} \) 를 \( \lambda_{i} \) 의 대수적 중복도 (algebraic multiplicity), 간단히 중복도라고 한다. \( \lambda_{i} \) 의 중복도가 1 일 때 \( \lambda_{i} \) 를 단순고윳값(simple eigenvalue), 중복도가 \( k \) 일 때 \( \lambda_{i} \) 를 중복도 \( k \) 인 고윳값 (eigenvalue of multiplicity \( k \) )이라 한다.</p> <p>예 3 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}-1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right] \) 의 고윳값은 \( \lambda=1,-2 \) 로 주어진다. 이때 고윳값 \( \lambda=1 \) 의 중복도는 2 이고, 고윳값 \( -2 \) 의 중복도는 1 이다.</p><p>다음 정리는 수학적 귀납법을 이용하여 증명한다. 여기서는 증명없이 서술한다.</p><p>정리 4 \( \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{m} \) 을 행렬 \( A \in M_{n} \) 의 서로 다른 고윳값 \( \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{m} \) 에 대응되는 고유벡터라 하면 \[ \left\{\mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2}, \cdots, \mathbf{x}_{m}\right\} \] 은 일차독립이다.</p><p>예 4 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}1 & -1 & 4 \\ 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & -1\end{array}\right] \) 에 대하여, \( A \) 의 특성방정식이 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{3}-A\right)=\left\|\begin{array}{ccc} \lambda-1 & 1 & -4 \\ -3 & \lambda-2 & 1 \\ -2 & -1 & \lambda+1 \end{array}\right\|=\lambda^{3}-2 \lambda^{2}-5 \lambda+6=0 \] 이므로, \( A \) 의 고윳값은 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2, \lambda_{3}=3 \) 이다. 이제 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2, \lambda_{3}=3 \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터를 구해보자.</p><p>\( \lambda_{1}=1 \)일 때, 즉 \[ \left(I_{3}-A\right) \mathbf{x}=\left[\begin{array}{rrr} 0 & 1 & -4 \\ -3 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & 2 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 풀면 \( x_{1}=-x_{3}, x_{2}=4 x_{3} \) 이므로, 고윳값 \( \lambda_{1}=1 \) 에 대응되는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{r} -1 \\ 4 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다. 마찬가지로 \( \lambda_{2}=-2 \) 일 때, 즉 \[ \left(-2 I_{3}-A\right) \mathbf{x}=\left[\begin{array}{rrr} -3 & 1 & -4 \\ -3 & -4 & 1 \\ -2 & -1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 풀면 \( x_{2}=-x_{1}, x_{3}=-x_{1} \) 이므로, 고윳값 \( \lambda_{2}=-2 \) 에 대응되는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right] \] 로 주어진다. 끝으로 \( \lambda_{3}=3 \) 일 때, 즉 \[ \left(3 I_{3}-A\right) \mathbf{x}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & 1 & -4 \\ -3 & 1 & 1 \\ -2 & -1 & 4 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right] \] 을 풀면 \( x_{3}=x_{1}, x_{2}=2 x_{1} \) 이므로, 고윳값 \( \lambda_{3}=3 \) 에 대응되는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{3}=\left[\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p><p>예제 1 특성방정식을 이용하여, 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{rrr}0 & 0 & -2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 3\end{array}\right] \) 의 고윳값과 각 고윳값에 대응하는 고유벡터를 구하시오.</p><p>풀이 \( A \) 의 특성방정식이 \[ \operatorname{det}\left(\lambda I_{3}-A\right)=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}=0 \] 이므로, \( A \) 의 서로 다른 고윳값은 \( \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 \) (중복도 2 )이다. 이때 \( \lambda_{1}=1 \) 에 대응하는 고유벡터를 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right] \) 라 하면 \( \left(I_{3}-A\right) \mathbf{x}=\mathbf{0} \) 으로부터 고윳값 \( \lambda_{1}=1 \) 에 대응되는 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{1}=\left[\begin{array}{r} -2 t \\ t \\ t \end{array}\right]=t\left[\begin{array}{r} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right] \quad(\text { 단, } t \in R-\{0\}) \] 로 주어진다. 마찬가지로 고윳값 \( \lambda_{2}=2 \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터는 \[ \mathbf{x}_{2}=\left[\begin{array}{r} -s \\ t \\ s \end{array}\right]=s\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]+t\left[\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right](\text { 단, } s, t \in R-\{0\}) \] 으로 주어진다.</p><p>정의 5 고유공간 \( \lambda \) 가 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 고윳값일 때, 동차연립방정식 \[ \left(\lambda I_{n}-A\right) \mathbf{x}=\mathbf{0} \] 의 해공간을 \( \lambda \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유공간(eigenspace)이라고 하고, \( E(\lambda) \) 로 표기한다.</p><p>\( \lambda \) 에 대응하는 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 의 고유공간은 \( \lambda \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유벡터 전체와 영벡터로 이루어진 집합이다.</p><p>예 5 \( \lambda_{1}=0, \lambda_{2}=1 \) 은 3 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{lll}2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2\end{array}\right] \) 의 고윳값이다. 이때 고윳값 \( \lambda_{1}=0 \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유공간은 \[ \left\{s\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]: s \in R\right\} \] 이고, 고윳값 \( \lambda_{2}=1 \) 에 대응하는 \( A \) 의 고유공간은 \[ \left\{s\left[\begin{array}{l} 3 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right]+t\left[\begin{array}{r} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]: s, t \in R\right\} \] 이다.</p> <p>정리 2 \( A \) 가 \( m \times n \) 행렬일 때, 임의의 \( \mathbf{x} \in R^{n} \) 에 대하여 \[ T_{A}(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \] 로 정의된 변환 \( T_{A}: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 은 선형이다.<p>증명 모든 실수 \( \alpha, \beta \) 와 모든 \( \mathbf{x}_{1}, \mathbf{x}_{2} \in R^{n} \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} T_{A}\left(\alpha \mathbf{x}_{1}+\beta \mathbf{x}_{2}\right) &=A\left(\alpha \mathbf{x}_{1}+\beta \mathbf{x}_{2}\right) \\ &=\alpha A\left(\mathbf{x}_{1}\right)+\beta A\left(\mathbf{x}_{2}\right)=\alpha T\left(\mathbf{x}_{1}\right)+\beta T\left(\mathbf{x}_{2}\right) \end{aligned} \] 이므로, 변환 \( T_{A}: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 은 선형이다.</p><p>예 3 \( A \) 가 2 차 정사각행렬 \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \) 일 때, \( R^{2} \) 의 임의의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, \( T_{A}(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 를 \[ \left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \] 로 정의하면, 변환 \( T_{A} \) 는 선형이다.</p><p>예 4 \( A_{\theta}=\left[\begin{array}{rr}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{array}\right] \) 일 때, 임의의 \( \mathbf{w} \in R^{2} \) 에 대하여 \[ T(\mathbf{w})=A_{\theta} \mathbf{w} \] 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 을 회전변환 (rotation transformation)이라고 한다.</p><p>정리 3 모든 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 은 다음 성질을 갖는다.</p><ol type=1 start=1><li>\( T(\mathbf{0})=\mathbf{0} \) 이다.</li><li>모든 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여, \( T(-\mathbf{v})=-T(\mathbf{v}) \) 이다.</li></ol><p>증명 (1) \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형변환이므로 \[ T(\mathbf{0})=T(\mathbf{0}+\mathbf{0})=T(\mathbf{0})+T(\mathbf{0}) \] 이 성립한다. 따라서 \( T(\mathbf{0})=\mathbf{0} \) 이다.</p><p>(2) (1)에 의해 \( T(\mathbf{0})=T(\mathbf{v}-\mathbf{v})=T(\mathbf{v})+T(-\mathbf{v}) \) 이므로, 모든 \( \mathbf{v} \in R^{n} \) 에 대하여, \( T(-\mathbf{v})=-T(\mathbf{v}) \) 가 성립한다.</p><p>참고 변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형이면, \( R^{n} \) 에서의 모든 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \) 과 모든 스칼라 \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>\( T(\mathbf{u}-\mathbf{v})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}) \)</li><li>\( T\left(\alpha_{1} \mathbf{v}_{1}+\alpha_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n} \mathbf{v}_{n}\right)=\alpha_{1} T\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\alpha_{2} T\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\cdots+\alpha_{n} T\left(\mathbf{v}_{n}\right) \)</li></ol><p>모든 선형변환은 행렬의 곱셈으로 변환된다. 즉 모든 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 에 대하여, \( T=T_{A} \) 를 만족하는 \( m \times n \) 행렬 \( A \) 가 유일하게 존재한다. 이때 \( T \) 를 행렬변환이라 하고, \( A \) 를 \( T \) 에 대응한 변환행렬 (matrix representation)이라고 한다.</p><p>예 5 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, \( T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}x \\ y \\ x-y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \) 는 \[ T_{A}(\mathbf{x})=T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right] \] 이므로, \( T \) 는 행렬변환이다.</p><p>참고 행렬 \( A \in M_{m \times n} \) 를 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 의 변환행렬로 보면, 선행변수의 개수와 자유변수의 개수의 합은 정의역의 차원이 된다.</p><p>정리 4 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 선형변환이면 \[\text {모든 } \mathbf{x} \in R^{n} \text{에 대하여, } T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \] 를 만족하는 \( m \times n \) 인 변환행렬 \( A \) 가 유일하게 존재한다.</p><p>증명 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 이 임의의 선형변환일 때, \( R^{n} \) 의 표준기저 \[ \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n}\right\} \] 에 대하여, 모든 \( \mathbf{x} \in R^{n} \) 는 \[ \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right]=x_{1} \mathbf{e}_{1}+x_{2} \mathbf{e}_{2}+\cdots+x_{n} \mathbf{e}_{n} \] 으로 유일하게 나타낼 수 있고, \( T\left(\mathbf{e}_{1}\right), T\left(\mathbf{e}_{2}\right), \cdots, T\left(\mathbf{e}_{n}\right) \) 은 각각 \[ T\left(\mathbf{e}_{1}\right)=\left[\begin{array}{c} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m 1} \end{array}\right], T\left(\mathbf{e}_{2}\right)=\left[\begin{array}{c} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m 2} \end{array}\right], \cdots, T\left(\mathbf{e}_{n}\right)=\left[\begin{array}{c} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ \vdots \\ a_{m n} \end{array}\right] \] 이라 할 수 있다. 따라서 모든 선형변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{m} \) 은 \[ \begin{aligned} T(\mathbf{x}) &=x_{1} T\left(\mathbf{e}_{1}\right)+x_{2} T\left(\mathbf{e}_{2}\right)+\cdots+x_{n} T\left(\mathbf{e}_{n}\right) \\ &=\left\|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right\|\left\|\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right\| \end{aligned} \] 의 형태로 표시할 수 있다. 여기서 \( T\left(\mathbf{e}_{1}\right), T\left(\mathbf{e}_{2}\right), \cdots, T\left(\mathbf{e}_{n}\right) \) 을 열벡터로 갖는 \( m \times n \) 행렬 \( A \) 를 \[ A=\left\|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right\| \] 이라 하면 \[ T(\mathbf{x})=\left\|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{array}\right\|=A \mathbf{x} \] 로 주어진다. 이때 행렬 \( A=\left[a_{i j}\right] \) 를 선형변환 \( T \) 의 표준행렬 (standard matrix)이라 한다.</p><p>예 6 \( R^{2} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 에 대하여, \( T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}2 x-y \\ x+3 y \\ 3 x+y\end{array}\right] \) 로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{3} \)의 표준행렬은 \[ A=\left[\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{array}\right] \] 로 주어진다.</p> <h3>(3) 선형변환의 기하학적 의미</h3><p>\( R^{2} \) 의 점 \( P(x, y) \) 를 점 \( Q(a x+b y, c x+d y) \) 로 옮기는 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 를 \[ T\left(\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{l} a x+b y \\ c x+d y \end{array}\right] \] 로 정의한다. 여기서 \( T \) 의 표준행렬 \( A \) 는 \( A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right] \) 이다. 즉 \( T(\mathbf{x})=A \mathbf{x} \) 이므로, \( R^{2} \) 의 벡터 \( \overrightarrow{O P}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 는 벡터 \[ \overrightarrow{O Q}=\left[\begin{array}{l} a x+b y \\ c x+d y \end{array}\right] \] 로 옮겨진다.</p><p>이제 일반적인 선형변환, 즉 확대 또는 축소, 회전, 대칭, 정사영과 층밀림에 대하여 생각해보자.</p><p>(가) 확대 또는 축소</p><p>\( R^{3} \) 에서 \( x \) 축, \( y \) 축, \( z \) 축 방향으로 각각 \( \alpha, \beta, \gamma \) 만큼 확대 또는 축소하는 변환은 좌표가 \( (x, y, z) \) 인 점 \( P \) 를 좌표가 \( (\alpha x, \beta y, \gamma z) \) 인 점 \( P^{\prime} \) 으로 이동시키는 변환이다. 따라서 이 변환은 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ccc} \alpha & 0 & 0 \\ 0 & \beta & 0 \\ 0 & 0 & \gamma \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{3} \rightarrow R^{3} \) 이다.</p><p>(나) 반사</p><p>\( R^{2} \) 또는 \( R^{3} \) 에서 한 직선이나 평면에 대하여 대칭이동한 대칭이동 변환을 반사라고 한다. \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 일 때</p><p>① \( x \) 축에 반사는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p><p>② \( y \) 축에 반사는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p><p>③ 원점에 대한 반사는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right\rfloor\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array} \right] \] 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p><p>참고 방정식 \( f(x, y)=0 \) 으로 나타내는 도형에 대하여, 점 \( (a, b) \) 에 대한 반사는 \[ f(2 a-x, 2 b-y)=0 \] 으로 주어진다.</p><p>④ 직선 \( y=x \) 에 대한 반사는 \[ T(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( T: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p><p>(다) 정사영</p><p>한 축 또는 평면 위의 정사영에 대하여, \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right] \) 일 때</p><p>① \( x \) 축 위의 정사영은 \[ P(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( P: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p><p>② \( y \) 축 위의 정사영은 \[ P(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \end{array}\right] \] 으로 정의된 선형변환 \( P: R^{2} \rightarrow R^{2} \) 이다.</p> <h2>2. 벡터공간의 선형변환</h2><p>\( R^{n} \) 위의 선형변환을 벡터공간 \( V \) 로 확장하고, 선형변환 중 특히 전단사인 선형변환에 대하여 생각한다.</p><p>정의 12 벡터공간의 선형변환 \( V \) 와 \( W \) 가 벡터공간일 때, 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 는 모든 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \in V \) 와 모든 스칼라 \( \alpha \) 에 대하여 \[ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}), T(\alpha \mathbf{v})=\alpha T(\mathbf{v}) \] 를 만족하는 함수이다. 특히 \( V=W \) 일 때, 선형변환 \( T \) 를 선형연산자라고 한다.</p><p>\( V \) 가 기저 \( \left\{\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n}\right\} \) 을 가진 유한차원 벡터공간이고 \( W \) 가 벡터 \( \mathbf{w}_{1}, \mathbf{w}_{2}, \cdots, \mathbf{w}_{n} \) 을 포함한 벡터공간이면 \[ T\left(\mathbf{v}_{i}\right)=\mathbf{w}_{i}(\text { 단, } i=1,2, \cdots, n) \] 를 만족하는 유일한 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 가 존재한다.</p><p>참고 (영변환과 항등변환) \( V, W \) 가 벡터공간일 때, 임의의 \( \mathbf{v} \in V \) 에 대하여 \( T(\mathbf{v})=\mathbf{0} \) 으로 정의된 함수 \( T: V \rightarrow W \)는 선형이다. 이 변환 \( T \) 를 영변환이라고 한다. 또한 임의의 \( \mathbf{v} \in V \) 에 대하여, \( I(\mathbf{v})=\mathbf{v} \) 로 정의된 \( I: V \rightarrow V \) 도 선형변환, 즉 선형연산자이고 이것을 항등변환, 즉 항등연산자 (identity operator)라고 한다.</p><p>예 11 임의의 \( A \in M_{n} \) 에 대하여, \( T(A)=A^{T} \) 로 정의된 함수 \( T: M_{n} \rightarrow M_{n} \) 과 \( T(A)=\operatorname{tr}(A) \)로 정의된 함수 \( T: M_{n} \rightarrow R \) 은 모두 선형이다.</p><p>정리 13 \( V, W \) 가 벡터공간일 때 \( T: V \rightarrow W \) 가 선형변환이면, \( V \) 에서의 모든 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots, \mathbf{v}_{n} \) 과 모든 스칼라 \( \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p><ol type=1 start=1><li>\( T(\mathbf{0})=\mathbf{0} \)</li><li>\( T(\mathbf{u}-\mathbf{v})=T(\mathbf{u})-T(\mathbf{v}) \)</li><li>\( T\left(\alpha_{1} \mathbf{v}_{1}+\alpha_{2} \mathbf{v}_{2}+\cdots+\alpha_{n} \mathbf{v}_{n}\right)=\alpha_{1} T\left(\mathbf{v}_{1}\right)+\alpha_{2} T\left(\mathbf{v}_{2}\right)+\cdots+\alpha_{n} T\left(\mathbf{v}_{n}\right) \)</li></ol><p>\( V \) 로부터 \( W \) 로의 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 에 대하여 \[ \begin{aligned} \operatorname{ker} T=\{\mathbf{v} \in V \mid T(\mathbf{v})=\mathbf{0}\} \\ \operatorname{Im} T=\{T(\mathbf{v}) \in W \mid \mathbf{v} \in V\} \end{aligned} \] 를 각각 \( T \) 의 핵, 치역이라 한다. 이때 \( \operatorname{ker} T \) 와 \( \operatorname{Im} T \) 는 각각 \( V, W \) 의 부분공간이다.</p><p>예 12 영변환 \( T: V \rightarrow W \) 에 대하여, \( \operatorname{ker} T=V \) 이고 \( \operatorname{Im} T=\{\mathbf{0}\} \) 이다. 한편 \( T: V \rightarrow W \) 가 항등변환이면, \( \operatorname{ker} T=\{\mathbf{0}\} \) 이고 \( \operatorname{Im} T=V \) 이다.</p><p>참고 \( V \) 로부터 \( W \) 로의 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 에 대하여, 다음은 서로 동치이다.</p><ol type=1 start=1><li>\(T\)가 단사이다.</li><li>\( \operatorname{ker} T=\{\mathbf{0}\} \)</li><li>\( \operatorname{rank}(T)=\operatorname{dim} V \)</li></ol><p>정의 14 동형사상 \( V \) 로부터 \( W \) 로의 선형변환 \( T: V \rightarrow W \) 가 전단사 (일대일 대응)이면, 변환 \( T \) 를 동형사상이라 하고, 이때 \( V \) 는 \( W \) 와 동형이라 한다.</p><p>모든 \( n \) 차원 실벡터공간은 \( R^{n} \) 과 동형이고, 모든 \( n \) 차원 복소벡터공간은 \( C^{n} \) 과 동형이다.</p><p>정리 15 변환 \( T: R^{n} \rightarrow R^{n} \) 이 선형이면, 임의의 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^{n} \) 에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p><ol type=1 start=1><li>\( \\|T(\mathbf{x})\\|=\\|\mathbf{x}\\| \)</li><li>\( T(\mathbf{x}) \cdot T(\mathbf{y})=\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \)</li></ol><p>참고 \( A \) 가 \( n \) 차 정사각행렬일 때, 임의의 \( \mathbf{x}, \mathbf{y} \in R^{n} \) 에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p><ol type=1 start=1><li>\( A \) 가 직교행렬</li><li>\( \\|A(\mathbf{x})\\|=\\|\mathbf{x}\\| \)</li><li>\( A(\mathbf{x}) \cdot A(\mathbf{y})=\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \)</li></ol> <h2>5. 복소행렬의 대각화</h2><h3>(1) 복소고윳값과 고유벡터</h3><p>때때로 실수행렬도 복소고윳값과 복소고유벡터를 갖는다.</p><p>예 24 2 차 실수행렬 \( A=\left[\begin{array}{rr}a & -b \\ b & a\end{array}\right] \) 의 고윳값은 \( \lambda=a \pm b i \) 이다. 이때 \( a, b \) 가 모두 0 이 아니라면 \( A \) 는 \[ \left[\begin{array}{rr} a & -b \\ b & a \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \|\lambda\| & 0 \\ 0 & \|\lambda\| \end{array}\right]\left[\begin{array}{rr} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \] 로 분해된다. 여기서 \( \theta \) 는 원점과 점 \( (a, b) \) 를 잇는 선분과 양의 \( x \) 축과의 사이각이다.</p><p>복소수 \( z=a+b i \) 에 대하여, \( \bar{z}=a-b i \) 를 \( z \) 의 켤레복소수라고 한다.</p><p>정의 25 복소수 \( n \) - 공간 \( n \) 개의 복소수 성분을 갖는 벡터들의 집합 \[ C^{n}=\left\{\left(z_{1}, z_{2}, \cdots, z_{n}\right) \mid z_{k} \in C, k=1,2, \cdots, n\right\} \] 에서 덧셈과 스칼라배를 통상적인 벡터의 합과 스칼라배 (5.1절 예 46 참조)로 정의하면, \( C^{n} \) 은 벡터공간이 된다. 이때 \( C^{n} \) 을 \( n \) 차원 복소벡터공간 또는 복소수 \( n \)-공간이라 한다.</p><p>\( C^{n} \) 에서 \( n \) 개의 일차독립인 단위벡터를 \[ \mathbf{e}_{1}=(1,0, \cdots, 0), \mathbf{e}_{2}=(0,1, \cdots, 0), \cdots, \mathbf{e}_{n}=(0, \cdots, 0,1) \] 이라 하면, \( \left\{\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \cdots, \mathbf{e}_{n}\right\} \) 은 \( C^{n} \) 의 기저가 된다. 이 기저를 \( C^{n} \) 에 대한 표준기저라고 한다.</p><p>참고 \( C^{n} \) 의 두 벡터 \( \mathbf{u}=\left(u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}\right) \) 과 \( \mathbf{v}=\left(v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}\right) \) 에 대하여, 유클리드 내적 \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \) 또는 내적 \(<\mathbf{u}, \mathbf{v}>, \mathbf{u} \) 의 노름 \( \\|\mathbf{u}\\|, \mathbf{u} \) 와 \( \mathbf{v} \) 사이의 유클리드 거리 \( d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) \) 는 \[\begin{aligned} &\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\bar{v}_{1} u_{1}+\bar{v}_{2} u_{2}+\cdots+\bar{v}_{n} u_{n} \\ &\\|\mathbf{u}\\|=\sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}=\sqrt{\left\|u_{1}\right\|^{2}+\left\|u_{2}\right\|^{2}+\cdots+\left\|u_{n}\right\|^{2}} \\ &d(\mathbf{u}, \mathbf{v})=\\|\mathbf{u}-\mathbf{v}\\|=\sqrt{\left\|u_{1}-v_{1}\right\|^{2}+\left\|u_{2}-v_{2}\right\|^{2}+\cdots+\left\|u_{n}-v_{n}\right\|^{2}} \end{aligned} \] 으로 각각 정의된다.</p><p>정리 26 \( C^{n} \) 의 두 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) 의 유클리드 내적 \(<\mathbf{u}, \mathbf{v}>\) 는 다음 성질을 만족한다.</p><ol type=1 start=1><li>\(<\mathbf{u}, \mathbf{v}>=\overline{<\mathbf{v}, \mathbf{u}>} \)</li><li>\(<\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w}>=<\mathbf{u}, \mathbf{w}>+<\mathbf{v}, \mathbf{w}>\)</li><li>\(<\alpha \mathbf{u}, \mathbf{v}>=\alpha<\mathbf{u}, \mathbf{v}>\) ( 단, \( \alpha \in C) \)</li><li>\(<\mathbf{v}, \mathbf{v}>\geq 0 \). 특히 \(<\mathbf{v}, \mathbf{v}>=0 \Leftrightarrow \mathbf{v}=\mathbf{0} \)</li></ol><p>\( C^{n} \) 의 두 벡터 \( \mathbf{u}, \mathbf{v} \) 에 대하여 \( \mathbf{u} \cdot \mathbf{v}=0 \) 인 경우, \( \mathbf{u} \) 와 \( \mathbf{v} \) 는 수직이라고 한다.</p><p>정리 27 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 실수행렬일 때, \( \lambda \) 가 \( A \) 의 고윳값이고 \( \mathbf{x} \) 가 그에 대응하는 고유벡터라면, \( \bar{\lambda} \) 도 \( A \) 의 고윳값이고 \( \bar{\mathbf{x}} \) 는 그에 대응하는 고유벡터가 된다.</p><p>증명 고유벡터는 \( \mathbf{x} \neq \mathbf{0} \) 이므로 \( \bar{\mathbf{x}} \neq \mathbf{0} \) 이다. 이때 \( A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x} \) 이고 \( \bar{A}=A \) 이므로 \[ A \bar{\mathbf{x}}=\overline{\lambda \mathbf{x}}=\overline{\lambda \mathbf{x}}=\bar{\lambda} \bar{\mathbf{x}} \] 가 성립한다.</p><p>정리 28 \( n \) 차 정사각행렬 \( A \) 가 실대칭행렬이면, \( A \) 는 실수인 고윳값만을 갖는다.</p><p>증명 \( \lambda \) 를 \( n \) 차 실대칭행렬 \( A \) 의 고윳값이라 하면 \[ A \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}(\text { 단, } \bar{\mathbf{x}} \neq \mathbf{0}) \] 를 만족한다. 양변에 \( \overline{\mathbf{x}^{T}} \) 를 곱하면 \[ \overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x}=\overline{\mathbf{x}^{T}}(\lambda \mathbf{x})=\lambda \overline{\mathbf{x}^{T}} \mathbf{x}=\lambda(\mathbf{x} \cdot \mathbf{x})=\lambda\\|\mathbf{x}\\|^{2} \] 이 된다. 그러므로 \( \lambda=\frac{\overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x}}{\\|\mathbf{x}\\|^{2}} \) 이다. 이제 \( \\|\mathbf{x}\\|^{2} \) 은 0 이 아닌 실수이므로, 스칼라 \( \overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x} \) 가 실수임을 보이면 된다. 그런데 \[ \overline{\overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x}}=\overline{\overline{\mathbf{x}^{T}}} \overline{A \mathbf{x}}=\mathbf{x}^{T} \overline{(A \mathbf{x})}=\overline{(A \mathbf{x})^{T}} \mathbf{x}=\overline{\mathbf{x}^{T} A^{T}} \mathbf{x}=\overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x} \] 이므로, \( \overline{\mathbf{x}^{T}} A \mathbf{x} \) 는 실수이다.</p><p>참고 2 차 복소대칭행렬 \( A=\left[\begin{array}{cc}1 & 4 i \\ 4 i & 3\end{array}\right] \) 의 고윳값은 실수가 아니다. 이때 \( A \) 의 고윳값은 \[ \lambda=2 \pm \sqrt{15} i \] 로 주어진다.</p> <h2>4. 이차형식</h2><p>이차형식은 각 항이 2 차인 다항식으로, 다양한 분야에서 응용된다. 이차형식의 연구에 있어서 행렬, 특히 대칭행렬은 매우 중요한 역할을 한다. 이차형식의 연구에 대칭행렬의 대각화가 필요하기 때문이다.</p><h3>(1) 이차형식</h3><p>일반적으로, 두 변수 \( x, y \) 를 갖는 이차방정식, 즉 이차곡선의 방정식은 \[ a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \] 의 형태로 나타내어지며, 이것은 행렬을 이용하여 \[ \left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} d & e \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]+f=0 \] 으로 표현할 수 있다. 이때 각 항이 2 차인 식 \( a x^{2}+2 b x y+c y^{2} \), 즉 이차형식은 행렬곱의 형태 \[ \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} \] 로 표현할 수 있다. 이제부터 이차형식을 행렬곱의 형태로 표현할 때, 정사각행렬을 대칭행렬로 택할 것이다. 대칭행렬로 택하는 이유는 대칭행렬은 언제나 직교대각화가 가능하기 때문이다.</p><p>정의 19 이차형식 \[ {\left[\begin{array}{ll} x & y \end{array}\right]\left[\begin{array}{ll} a & b \\ b & c \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x \\ y \end{array}\right]=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}} \] 을 이차방정식 \[a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \] 에 관한 이차형식(quadratic form)이라고 한다.</p><p>\(2 x^{2}+6 x y+y^{2}\) 은 이차형식이고, \(x^{2}-4 x y+y^{2}-3 x \) 는 \(-3 x\) 가 2 차항이 아니므로 이차형식이 아니다.</p>정의 20 \( R^{n} \) 위의 이차형식<p>\( A=\left[a_{i j}\right] \) 가 \( n \) 차 대칭행렬일 때, \( n \) 개의 변수 \( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \) 을 성분으로 갖는 \( R^{n} \) 의 벡터 \( \mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right] \) 에 대하여 이차다항식 \[ q(\mathbf{x})=< A \mathbf{x}, \mathbf{x} >=\mathbf{x}^{T} A \mathbf{x}=\sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j} \] 를 \( R^{n} \) 위의 이차형식이라 한다.</p><h3>(2) 원뿔곡선</h3><p>두 변수 \( x, y \) 를 갖는 이차방정식 \[ a x^{2}+2 b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0 \]<caption>()</caption></p><p>의 그래프는 원뿔곡선 (conic)이다. 원뿔곡선이란 평면이 원뿔과 교차할 때 생기는 곡선에서 유래된 용어이다. 정상적인 원뿔곡선(nondegenerate conic)의 그래프는 원, 타원, 쌍곡선, 또는 포물선이 된다. 특히 ()를 만족하는 점이 없을 때는 허 원뿔곡선 (imaginary conic)이라 하고, (*) 의 그래프가 한 점, 한 직선, 또는 한 쌍의 직선으로 이루어지거나 존재하지 않을 때는 퇴화 원뿔곡선(degenerate conic)이라 한다.</p><p>참고 원뿔곡선인 원, 포물선, 타원, 쌍곡선의 표준형은</p><ol type=1 start=1><li>원: \( x^{2}+y^{2}=r^{2} \)</li><li>타원 : \( \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)</li><li>포물선 : \( y^{2}=4 p x \)</li><li>쌍곡선 : \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)</li></ol><p>등으로 주어지고, 이 원뿔곡선은 표준위치 (standard position)에 있다고 한다. 이때 \( x^{2} \) 항과 \( x \) 항, 그리고 \( y^{2} \) 항과 \( y \) 항을 동시에 포함하지 않음에 유의한다. 이차방정식에서 \( x^{2} \) 항과 \( x \) 항, \( y^{2} \) 항과 \( y \) 항을 갖는 이차방정식의 그래프는 표준위치로부터 평행이동한 원뿔곡선이다.</p><p>예 18 이차방정식 \( 3 x^{2}-2 y^{2}-18 x+4 y+19=0 \) 은 완전제곱 형태로 고치면 \[ 3(x-3)^{2}-2(y-1)^{2}=6 \] 이 된다. 이때 \( x^{\prime}=x-3, y^{\prime}=y-1 \) 로 치환하면 새로운 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 \[ \frac{\left(x^{\prime}\right)^{2}}{2}-\frac{\left(y^{\prime}\right)^{2}}{3}=1 \] 로 나타내어진다. 이 식은 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 표준위치에 있는 쌍곡선의 방정식이다. 따라서 이 방정식의 그래프는 \( O-x^{\prime} y^{\prime} \) 좌표계에서 표준위치에 있는 쌍곡선을 \( x \) 축으로 3 만큼, \( y \) 축으로 1 만큼 평행이동한 그래프이다.</p>	자연
기초미적분학_지수함수와 로그함수	<h1>4.3. 지수함수</h1> <p>임의의 실수 \( x \) 에 대하여 \( a^{x}(a>0, a \neq 1) \) 의 값은 꼭 하나 정해지기 때문에 실수 \( x \) 에 \( a^{x} \)의 값을 대응시키는 것은 함수가 되는데 이를 지수함수라 한다.</p> <p>정의 \(4.3.1\)</p> <p>\[ a>0, a \neq 1 \text { 일 때 } \] \[ y=a^{x} \] 를 \( a \) 를 밑으로 하는 지수함수(exponential function) 라 한다.</p> <p>일반적으로 지수함수 \( y=a^{x}(a \neq 1, a>0) \) 의 그래프는 \( a \) 의 범위에 따라 다음과 같이 그려진다.</p> <p>위의 그래프에서 지수함수에 관해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.</p> <p>정리 \(4.3.2\)</p> <ol type= start=1><li>지수함수 \( y=a^{x}(a>0, a \neq 1) \) 은 정의역을 실수 전체 집합, 치역을 양의 실수 전체집합으로 가진다.</li> <li>\( a>1 \) 이면 증가함수이고, \( 0<a<1 \) 이면 감소함수이다.</li> <li>점 \( (0,1) \) 을 반드시 지난다.</li> <li>직선 \( y=0(x \) 축)을 점근선으로 한다.</li></ol> <p>예제 \(4.3.1\)</p> <p>\( y=2^{x} \) 의 그래프를 이용하여 다음 지수함수의 그래프를 그려라.</p> <ol type= start=1><li>\( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)</li> <li>\( y=-2^{x} \)</li> <li>\( y=2^{x}+1 \)</li> <li>\( y=2^{x-1} \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=2^{-x} \) 이므로 \( y=2^{x} \) 의 그래프를 \( y \) 축에 대하여 대칭시킨 그래프이다.</li> <li>\( -y=2^{x} \) 이므로 \( y=2^{x} \) 의 그래프를 \( x \) 축에 대하여 대칭시킨 그래프이다.</li> <li>\( y=2^{x}+1 \Leftrightarrow y-1=2^{x} \) 이므로 \( y=2^{x} \) 의 그래프를 \( y \) 축 방향으로 1 만큼 평행이동한 그래프이다.</li> <li>\( y=2^{x} \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \(1\) 만큼 평행이동한 그래프이다.</li></ol> <p>유제 \(4.3.1\)</p> <p>다음 여섯 함수의 그래프의 개형을 그린 것이다. 맞는 그래프를 찾아라.</p> <ol type= start=1><li>\( y=2^{x} \)</li> <li>\( y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)</li> <li>\( y=-2^{x} \)</li> <li>\( y=-\left(\frac{1}{2}\right)^{x} \)</li> <li>\( y=3^{x} \)</li> <li>\( y=\left(\frac{1}{3}\right)^{x} \)</p></li></ol> <h1>4.4. 로그함수</h1> <p>지수함수 \( y=a^{x}(a>0, a \neq 1) \) 은 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일 대응이므로 역함수를 갖는다. \[ y=a^{x} \Leftrightarrow x=\log _{a} y(a>0, a \neq 1) \] 이므로 \( x=\log _{a} y \) 에서 \( x \) 와 \( y \) 를 바꾸면 지수함수 \( y=a^{x} \) 의 역함수 \[ y=\log _{a} x \] 를 얻는다. 이 함수를 \( a \) 를 밑으로 하는 로그함수라 한다. 따라서 로그함수의 정의역은 양의 실수 전체 집합이고 치역은 실수 전체 집합이다.</p> <p>로그함수 \( y=\log _{a} x \) 는 지수함수 \( y=a^{x} \) 의 역함수이므로 로그함수 \( y=\log _{a} x \) 의 그래프는 지수함수 \( y=a^{x} \) 의 그래프를 \( y=x \) 에 대하여 대칭시켜 그릴 수 있다.</p> <p>위의 그래프에서 로그함수에 대해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.</p> <p>정리 \(4.4.1\)</p> <p>로그함수 \( y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1) \) 는 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>정의역을 양의 실수 전체 집합, 치역을 실수 전체 집합으로 가진다.</li> <li>\( a>1 \) 일 때 증가함수이고, \( 0<a<1 \) 일 때 감소함수이다.</li> <li>점 \( (1,0) \) 을 지난다.</li> <li>직선 \( x=0(y \) 축)을 점근선으로 한다.</li></ol> <p>예제 \(4.4.1\)</p> <p>\( y=\log _{2} x \) 의 그래프를 이용하여 다음 각 그래프를 그려라.</p> <ol type= start=1><li>\( y=\log _{2}(-x) \)</li> <li>\( y=\log _{2} \frac{1}{x} \)</li> <li>\( y=\log _{2}(x-1) \)</li> <li>\( y=\log _{2} 2 x \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( y=\log _{2}(-x) \) 의 그래프는 \( y=\log _{2} x \) 의 그래프를 \( y \) 축에 대칭이동한 그래프이다.</li> <li>\( y=\log _{2} \frac{1}{x}=-\log _{2} x \) 의 그래프는 \( y=\log _{2} x \) 의 그래프를 \( x \) 축에 대칭이동한 그래프이다.</li> <li>\( y=\log _{2}(x-1) \) 의 그래프는 \( y=\log _{2} x \) 의 그래프를 \( x \) 축으로 1 만큼 평행이동한 그래프이다.</li> <li>\( y=\log _{2} 2 x=1+\log _{2} x \) 의 그래프는 \( y=\log _{2} x \) 의 그래프를 \( y \) 축으로 1 만큼 평행이동한 그래프이다.</li></ol> <p>유제 \(4.4.1\)</p> <ol type= start=1><li>\( 0 \leq x \leq 3 \) 일 때, 함수 \( y=\log _{2}(x+1)+3 \) 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.</li> <li>\( \log _{0.1}\left(x^{2}+2 x+11\right) \) 의 최댓값을 구하여라.</li></ol> <p>예제 \(4.4.2\)</p> <p>두 함수 \( y=2 \log _{2} x \) 와 \( y=\log _{2} x^{2} \) 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이</p> <p>\( y=2 \log _{2} x \) 의 정의역은 \( \{x \mid x>0\} \) 이고, \( y=\log _{2} x^{2} \) 의 정의역은 \( \left\{x \mid x^{2}>0\right\}= \{x \mid x \neq 0\} \) 이다.</p> <p>유제 \(4.4.2\)</p> <p>두 함수 \( y=3 \log _{2} x \) 와 \( y=\log _{2} x^{3} \) 의 그래프를 그려라.</p> <h1>4장 연습문제</h1> <p>\(01\) 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} \)</li> <li>\( \sqrt[18]{8^{2}} \times \sqrt[6]{2} \)</li> <li>\( \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{\frac{1}{a}}\right)\left(\sqrt[3]{a^{2}}+1+\sqrt[3]{\frac{1}{a^{2}}}\right) \)</li> <li>\( \left\{\left(\frac{4}{9}\right)^{-\frac{2}{3}}\right\}^{\frac{9}{4}} \)</li> <li>\( \sqrt{\frac{a}{\sqrt{a}} \times \sqrt[3]{a}} \)</li> <li>\( \frac{6^{-4} \div\left(4^{-2} \times 9^{-3}\right)}{3^{-2}} \)</li></ol> <p>\(02\) 다음 로그의 값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{5} \frac{1}{25} \)</li> <li>\( \log _{0.1} 0.001 \)</li> <li>\( \log _{9} 3 \sqrt{3} \)</li> <li>\( \log _{\frac{1}{8}} 4 \)</li> <li>\( \log _{6}\left(\log _{64} 2\right) \)</li> <li>\( \ln e \sqrt{e \sqrt{e}} \)</li></ol> <p>\(03\) 다음을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \frac{1}{2} \log _{2} 12-\log _{2} \sqrt{3} \)</li> <li>\( \log _{2} 3 \cdot \log _{3} 16 \)</li> <li>\( \log _{2} 3+\log _{4} 6+\log _{\frac{1}{4}} 24 \)</li> <li>\( \log _{4} 81 \cdot \log _{9} 25 \cdot \log _{5} 8 \)</li> <li>\( \frac{1}{\log _{3} 2}+\frac{1}{\log _{4} 2}-\frac{1}{\log _{6} 2} \)</li> <li>\( 9^{\log _{3} 4+\log _{3} 2} \)</li></ol> <p>\(04\) 다음 수들을 큰 순서로 정렬하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt{0.2}, \sqrt[3]{0.04}, \sqrt[4]{0.008} \)</li> <li>\( \log _{\frac{1}{2}} \sqrt{3}, \log _{\frac{1}{2}} \sqrt{6}, \log _{\frac{1}{2}} \sqrt{9} \)</li></ol> <p>\(05\) 다음 식의 값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \frac{1}{\log _{2} 10 !}+\frac{1}{\log _{3} 10 !}+\frac{1}{\log _{4} 10 !}+\cdots+\frac{1}{\log _{10} 10 !} \)</li> <li>\( \log _{2} 3 \cdot \log _{3} 4 \cdot \log _{4} 5 \cdot \cdots \cdot \log _{31} 32 \)</li></ol> <p>\(06\) \(67^{x}=27,603^{y}=81 \) 일 때, \( \frac{3}{x}-\frac{4}{y} \) 의 값을 구하여라.</p> <p>이제 지수가 정수인 경우에도 지수법칙이 성립함을 밝히자.</p> <p>정리 \(4.1.3\)</p> <p>지수가 정수일 때 지수법칙</p> <p>\( a \neq 0 \) 이고 \( m, n \) 이 정수일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( a^{m} a^{n}=a^{m+n} \)</li> <li>\( a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} \)</li> <li>\( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \)</li> <li>\( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)</li></ol> <p>증명</p> <p>\( a \neq 0 \) 이고 \( m, n \) 이 음의 정수일 때</p> <ol type= start=1><li>\( p=-m, q=-n(p, q \) 는 양의 정수로 놓으면 \[ a^{m} a^{n}=a^{-p} a^{-q}=\frac{1}{a^{p}} \times \frac{1}{a^{q}}=a^{-(p+q)}=a^{-p+(-q)}=a^{m+n} . \]</li> <li>\( a^{m} \div a^{n}=a^{-p} \div a^{-q}=\frac{1}{a^{p}} \div \frac{1}{a^{q}}=\frac{a^{q}}{a^{p}}=a^{q-p}=a^{-p-(-q)}=a^{m-n} \)</li> <li>\( \left(a^{m}\right)^{n}=\left(a^{-p}\right)^{-q}=\left(\frac{1}{a^{p}}\right)^{-q}=\frac{1}{\left(\frac{1}{a^{p}}\right)^{q}}=\frac{1}{\frac{1}{a^{p q}}}=a^{p q}=a^{(-p)(-q)}=a^{m n} \)</li> <li>\( (a b)^{n}=(a b)^{-q}=\frac{1}{(a b)^{q}}=\frac{1}{a^{q} b^{q}}=a^{-q} b^{-q}=a^{n} b^{n} \)</li></ol> <p>예제 \(4.1.5\)</p> <ol type= start=1><li>\( 3^{4} \times 3^{-6}=3^{4+(-6)}=3^{-2}=\frac{1}{9} \)</li> <li>\( 2^{-3} \div 2^{-5}=2^{-3-(-5)}=2^{2}=4 \)</li> <li>\( (-10)^{2} \times(-10)^{3} \div(-10)^{5}=(-10)^{2+3-5}=(-10)^{0}=1 \)</li> <li>\( 2^{-8} \times\left(2^{-3}\right)^{-2} \div 2^{-5}=2^{-8+6+5}=2^{3}=8 \)</li></ol> <p>유제 \(4.1.5\)</p> <p>다음 식을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( a^{3} \times a^{-2} \div a^{-4} \)</li> <li>\( \left(-a^{-3}\right)^{-4} \)</li> <li>\( \left(x^{2} y^{-3}\right)^{-3} \)</li> <li>\( \left\{\left(x^{2} y^{-3}\right)^{-2}\right\}^{-1} \)</p></li></ol> <p>지수가 유리수인 경우에도 지수법칙이 성립하도록 지수의 범위를 유리수까지 확장하자. \( a>0 \) 일 때 두 정수 \( m, n \) 에 대하여 \[ \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \] 이 성립하는데 이 식의 지수가 유리수인 경우에도 성립하려면 유리수 \( \frac{m}{n}(n \geq 2) \) 에 대하여 \[ \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{n}=a^{\frac{m}{n} \times n}=a^{m} \] 이어야 한다. 따라서 \( a^{\frac{m}{n}} \) 은 양수 \( a^{m} \) 의 양의 \( n \) 제곱근이므로 \[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}} \] 으로 정의한다. 다시 지수가 유리수인 경우에도 지수법칙이 성립함을 밝히자.</p> <p>정리 \(4.1.4\)</p> <p>지수가 유리수일 때 지수법칙</p> <p>\( a>0, b>0 \) 이고 \( r, s \) 가 유리수일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( a^{r} a^{s}=a^{r+s} \)</li> <li>\( a^{r} \div a^{s}=a^{r-s} \)</li> <li>\( \left(a^{r}\right)^{s}=a^{r s} \)</li> <li>\( (a b)^{r}=a^{r} b^{r} \)</p></li></ol> <p>증명</p> <p>\( a>0 \) 이고 \( r, s \) 가 유리수일 때 \( r=\frac{q}{p}, s=\frac{n}{m}((p, q, m, n \) 은 정수이고 \( p \neq 0 \), \( m \neq 0) \) 이라 놓으면</p> <p>\((1)\) \( a^{r} a^{s}=a^{\frac{q}{p}} a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{m q}{m p}} a^{\frac{n p}{m p}}=\sqrt[m p]{a^{m q}} \sqrt[m p]{a^{n p}} \) \[ =\sqrt[m p]{a^{m q+n p}}=a^{\frac{m q+n p}{m p}}=a^{\frac{q}{p}+\frac{n}{m}}=a^{r+s} \] \((2)\) \( a^{r} \div a^{s}=a^{\frac{q}{p}} \div a^{\frac{n}{m}}=a^{\frac{m q}{m p}} \div a^{\frac{n p}{m p}}=\frac{\sqrt[m p]{a^{m q}}}{\sqrt[m p]{a^{n p}}}=\sqrt[m p]{\frac{a^{m q}}{a^{n p}}} \) \[ =\sqrt[m p]{a^{m q-n p}}=a^{\frac{m q-n p}{m p}}=a^{\frac{q}{p}-\frac{n}{m}}=a^{r-s} \] \((3)\) \( \left(a^{r}\right)^{s}=\left(a^{\frac{q}{p}}\right)^{\frac{n}{m}}=\left(\sqrt[p]{a^{q}}\right)^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{\left(\sqrt[p]{a^{q}}\right)^{n}}=\sqrt[m]{\sqrt[p]{a^{q n}}} \) \[ =\sqrt[p m]{a^{q n}}=a^{\frac{q n}{p m}}=a^{\frac{q}{p} \frac{n}{m}}=a^{r s} \] \((4)\) \( (a b)^{r}=(a b)^{\frac{q}{p}}=\sqrt[p]{(a b)^{q}}=\sqrt[p]{a^{q} b^{q}}=\sqrt[p]{a^{q}} \sqrt[p]{b^{q}}=a^{\frac{q}{p}} b^{\frac{q}{p}}=a^{r} b^{r} \)</p> <p>예제 \(4.1.6\)</p> <ol type= start=1><li>\( 8^{-\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}}=\left(2^{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}}=2^{-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}}=2^{0}=1 \)</li> <li>\( \sqrt{2 \sqrt[3]{4}}=\left(2 \times 4^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2 \times 2^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2^{\frac{5}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{5}{6}}=\sqrt[6]{2^{5}} \)</li> <li>\( \left(a^{2} b^{3}\right)^{\frac{1}{3}} \div\left(a^{\frac{1}{2}} b^{-1}\right)^{2}=a^{\frac{2}{3}} b \div a b^{-2}=a^{-\frac{1}{3}} b^{3}=\frac{b^{3}}{\sqrt[3]{a}} \)</li> <li>\( \sqrt{\sqrt{a} \times \sqrt[3]{a^{2}}}=\sqrt{a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{2}{3}}}=\left(a^{\frac{7}{6}}\right)^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{12}}=\sqrt[12]{a^{7}} \)</li></ol> <p>유제 \(4.1.6\)</p> <p>다음 식을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 4^{\frac{2}{3}} \div 24^{\frac{1}{3}} \times 18^{\frac{2}{3}} \)</li> <li>\( \left\{\left(\frac{9}{16}\right)^{-\frac{3}{4}}\right\}^{\frac{2}{3}} \)</li> <li>\( \sqrt{a^{3}} \times \sqrt[4]{a^{3}} \div \sqrt[4]{a} \)</li> <li>\( \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}} \)</p></li></ol> <p>마지막으로 지수가 실수인 경우에도 지수법칙이 성립하지만 증명 없이 그대로 받아들이기로 한다.</p> <p>정리 \(4.1.5\)</p> <p>지수가 실수인 경우의 지수법칙</p> <p>\( a>0, b>0 \) 이고 \( x, y \) 가 실수일 때 다음이 성립힌다.</p> <ol type= start=1><li>\( a^{x} a^{y}=a^{x+y} \)</li> <li>\( a^{x} \div a^{y}=a^{x-y} \)</li> <li>\( \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x y} \)</li> <li>\( (a b)^{x}=a^{x} b^{x} \)</p></li></ol> <p>예제 \(4.1.7\)</p> <ol type= start=1><li>\( 2^{\sqrt{5}} \times 2^{-\sqrt{5}}=2^{\sqrt{5}-\sqrt{5}}=2^{0}=1 \)</li> <li>\( 2^{1+\sqrt{2}} \div 2^{-1+\sqrt{2}}=2^{2}=4 \)</li> <li>\( \left\{(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}\right\}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{3})^{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}=(\sqrt{3})^{2}=3 \)</li></ol> <p>유제 \(4.1.7\)</p> <p>다음 식을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 2^{\sqrt{3}} \times 2^{\sqrt{12}} \div 2^{\sqrt{27}} \)</li> <li>\( \left(2^{\sqrt{8}} \div 2^{\sqrt{2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \)</li> <li>\( \left(16^{\sqrt{3}}\right)^{\frac{\sqrt{3}}{6}} \)</li></ol> <p>정리 \(4.2.2\)</p> <p>\( a \neq 1, a>0 \) 이고 \( x>0, y>0 \) 일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a} a=1, \log _{a} 1=0 \)</li> <li>\( \log _{a} x y=\log _{a} x+\log _{a} y \)</li> <li>\( \log _{a} \frac{x}{y}=\log _{a} x-\log _{a} y \)</li> <li>\( \log _{a} x^{n}=n \log _{a} x \)</li></ol> <p>증명</p> <p>\((1)\) \( a^{1}=a, a^{0}=1 \) 이므로 로그의 정의로부터 \( \log _{a} a=1, \log _{a} 1=0 \) 이다. \( \\ \) \((2)\) \( \log _{a} x=m, \log _{a} y=n \) 이라 놓으면 \[ a^{m}=x, a^{n}=y \text { 이고 } x y=a^{m} a^{n}=a^{m+n} \] 이므로 로그의 정의에 의하여 \[ \log _{a} x y=m+n=\log _{a} x+\log _{a} y \] 이 성립한다. \( \\ \) \((3)\) 마찬가지로 \( \log _{a} x=m, \log _{a} y=n \) 이라 놓으면 \[ a^{m}=x, a^{n}=y \text { 이고 } \frac{x}{y}=a^{m} \div a^{n}=a^{m-n} \] 이므로 로그의 정의에 의하여 \[ \log _{a} \frac{x}{y}=m-n=\log _{a} x-\log _{a} y \] 이 성립한다. \( \\ \) \((4)\) \( \log _{a} x=p \) 라 놓으면 \( a^{p}=x \) 이고 \( a^{p n}=x^{n} \) 이 된다. 따라서 로그의 정의에 의하여 \[ \log _{a} x^{n}=n p=n \log _{a} x \] 가 성립한다.</p> <p>다음 식들은 모두 틀린 식이므로 주의하기 바란다. \[ \begin{array}{ll} \log _{1} 1=1 & \log _{1} 1=0 \\ \log _{a}(x+y)=\log _{a} x+\log _{a} y & \log _{a}(x-y)=\log _{a} x-\log _{a} y \\ \log _{a} x \log _{a} y=\log _{a} x+\log _{a} y & \frac{\log _{a} x}{\log _{a} y}=\log _{a} x-\log _{a} y \\ \left(\log _{a} x\right)^{n}=n \log _{a} x & \end{array} \]</p> <p>예제 \(4.2.3\)</p> <p>다음 로그식에서 곱이나 제곱근이 없도록 풀어써라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a} x^{2} y \)</li> <li>\( \log \frac{x+1}{x y^{2}} \)</li> <li>\( \ln \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}} \)</li> <li>\( \ln \sqrt{x \sqrt{y}} \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a} x^{2} y=\log _{a} x^{2}+\log _{a} y=2 \log _{a} x+\log _{a} \)</li> <li>\( \log \frac{x+1}{x y^{2}}=\log (x+1)-\log x y^{2}=\log (x+1)-\left(\log x+\log y^{2}\right) \) \[ =\log (x+1)-\log x-2 \log y \]</li> <li>\( \ln \sqrt{\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}}=\frac{1}{2} \ln \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}=\frac{1}{2}\left(\ln \left(x^{2}-1\right)-\ln \left(x^{2}+1\right)\right) \) \[ =\frac{1}{2}\left\{\ln (x+1)+\ln (x-1)-\ln \left(x^{2}+1\right)\right\} \]</li> <li>\( \ln \sqrt{x \sqrt{y}}=\frac{1}{2} \ln x \sqrt{y}=\frac{1}{2}(\ln x+\ln \sqrt{y})=\frac{1}{2} \ln x+\frac{1}{4} \ln y \)</li></ol> <p>유제 \(4.2.3\)</p> <p>다음 로그식에서 곱이나 제곱근이 없도록 풀어써라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log a b^{2} c^{3} \)</li> <li>\( \log \frac{c}{a^{2} b} \)</li> <li>\( \ln \frac{x}{y^{2}-1} \)</li> <li>\( \ln x \sqrt{y \sqrt{z}} \)</li></ol> <p>예제 \(4.2.4\)</p> <p>\( \log 2=a, \log 3=b \) 라 할 때 다음 식의 값을 \( a, b \) 로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log 60 \)</li> <li>\( \log \sqrt[3]{500} \)</li> <li>\( \log \left(\frac{9}{5}\right)^{4} \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \log 60=\log (2 \times 3 \times 10)=\log 2+\log 3+\log 10=a+b+1 \)</li> <li>\( \log \sqrt[3]{500}=\frac{1}{3} \log 500=\frac{1}{3} \log (100 \times 5)=\frac{1}{3}(\log 100+\log 5) \) \[ =\frac{1}{3}\left(2+\log \frac{10}{2}\right)=\frac{1}{3}(2+1-\log 2)=\frac{1}{3}(3-a) \]</li> <li>\( \log \left(\frac{9}{5}\right)^{4}=4(\log 9-\log 5)=4(2 \log 3-1+\log 2)=4(a+2 b-1) \)</li></ol> <p>유제 \(4.2.4\)</p> <p>\( \log 2=a, \log 3=b \) 라 할 때 다음 식의 값을 \( a, b \) 로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{2} \sqrt{24} \)</li> <li>\( \log \sqrt{1.08} \)</li> <li>\( \log 4.82 \)</li></ol> <p>정리 \(4.2.3\)</p> <p>\( a \neq 1, a>0, b>0 \) 일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}(c>0, c \neq 1) \)</li> <li>\( \log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}(b \neq 1) \)</li></ol> <p>증명</p> <p>\( \log _{a} b=x \) 라고 하면 \( a^{x}=b \) 이고 다음이 성립한다. \( \\ \) \((1)\) 양변에 \( c(c>0, c \neq 1) \) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 \[ x \log _{c} a=\log _{c} b \] 가 되어 \[ \log _{a} b=x=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a} \] 가 성립한다. \( \\ \) \((2)\) 양변에 \( b(b>0, b \neq 1) \) 를 밑으로 하는 로그를 취하면 \[ \log _{b} a^{x}=\log _{b} b . \] 즉 \( x \log _{b} a=1 \) 이므로 \[ \log _{a} b=x=\frac{1}{\log _{b} a} \] 가 성립한다.</p> <p>예제 \(4.2.5\)</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a} x=2, \log _{b} x=3 \) 일 때 \( \log _{a b} x \) 의 값을 구하여라.</li> <li>\( \log _{2} 3=a, \log _{3} 7=b \) 라 할 때 \( \log _{6} 56 \) 을 \( a, b \) 로 나타내어라.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{a b} x=\frac{1}{\log _{x} a b}=\frac{1}{\log _{x} a+\log _{x} b}=\frac{1}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}=\frac{6}{5} \)</li> <li>\( \log _{6} 56=\frac{\log _{3}\left(2^{3} \times 7\right)}{\log _{3}(2 \times 3)}=\frac{\frac{3}{a}+b}{\frac{1}{a}+1}=\frac{3+a b}{1+a} \)</li></ol> <p>유제 \(4.2.5\)</p> <ol type= start=1><li>\( 2^{x}=a, 2^{y}=b \) 일 때 \( \log _{a} b^{2} \) 을 \( x, y \) 로 나타내어라.</li> <li>\( \log _{2} 3=a, \log _{4} 5=b \) 일 때 \( \log _{10} 6 \) 을 \( a, b \) 로 나타내어라.</li></ol> <h1>4.1. 지수법칙</h1> <p>실수 \( a \) 를 \( n \) 번 곱한 것을 \( a^{n} \) 으로 나타내고 \( a \) 의 \( n \) 제곱이라 한다.</p> <p>이때 \( a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, \cdots, a^{n}, \cdots \) 을 통틀어 \( a \) 의 거듭제곱이라 하고 \( a^{n} \) 에서 \( a \) 를 거듭제곱의 밑, \( n \) 을 거듭제곱의 지수라고 한다.</p> <p>정리 \(4.1.1\)</p> <p>지수가 자연수일 때 지수법칙</p> <ol type= start=1><li>\( a^{m} a^{n}=a^{m+n} \)</li> <li>\( \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m n} \)</li> <li>\( (a b)^{n}=a^{n} b^{n} \)</li> <li>\( \left(\frac{a}{b}\right)^{n}=\frac{a^{n}}{b^{n}}(b \neq 0) \)</li> <li>\( a \neq 0 \) 일 때, \( a^{m} \div a^{n}=\left\{\begin{array}{lll}a^{m-n} & (m>n) \\ 1 \\ \frac{1}{a^{n-m}} & (m<n)\end{array}\right. \)</li></ol> <p>예제 \(4.1.1\)</p> <ol type= start=1><li>\( x^{2} y^{3} \times x y^{4}=x^{3} y^{7} \)</li> <li>\( \left(x^{2} y^{3}\right)^{4}=\left(x^{2}\right)^{4}\left(y^{3}\right)^{4}=x^{8} y^{12} \)</li> <li>\( x^{3} y \div \frac{x}{y^{2}}=x^{3} y \times \frac{y^{2}}{x}=x^{2} y^{3} \)</li> <li>\( \left(\frac{y^{2}}{x}\right)^{2}\left(\frac{x^{2}}{y z}\right)^{2}=\frac{y^{4}}{x^{2}} \times \frac{x^{4}}{y^{2} z^{2}}=\frac{x^{2} y^{2}}{z^{2}}=\left(\frac{x y}{z}\right)^{2} \)</li></ol> <p>유제 \(4.1.1\)</p> <ol type= start=1><li>\( 2^{4} \times 2^{3} \)</li> <li>\( 2^{8} \div 2^{4} \)</li> <li>\( 2^{4} \div 2^{8} \)</li> <li>\( \left(2^{2}\right)^{4} \)</li> <li>\( \left(2 a^{2}\right)^{3} \)</li> <li>\( a^{3} b \times a^{2} b^{2} \)</li> <li>\( \left(a^{2} b^{3} c\right)^{2} \)</li> <li>\( \left(\frac{a^{3}}{b^{2}}\right)^{2} \div\left(\frac{a}{b^{2}}\right)^{3} \)</li></ol> <p>실수 \( a \) 에 대하여 \( n \) 이 \(2\) 이상의 자연수일 때, \( n \) 제곱하여 \( a \) 가 되는 수, 즉 방정식 \[ x^{n}=a \] 가 되는 \( x \) 를 \( a \) 의 \( n \) 제곱근이라 한다. 이때 \( a \) 의 제곱근, 세제곱근, 네제곱근, \( \cdots \) 을 통틀어 \( a \) 의 거듭제곱근이라 한다.</p> <p>예제\(4.1.2\)</p> <p>다음 거듭제곱근을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\(8\) 의 세제곱근</li> <li>\(4\) 의 네제곱근</li></ol> <p>풀이</p> <p>\((1)\) \(8\) 의 세제곱근을 \( x \) 라 하면 \( x^{3}=8 \) \[ \begin{array}{l} x^{3}-8=0 \\ (x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right)=0 \\ x=2 \text { 또는 } x=-1 \pm \sqrt{3} i \end{array} \] 따라서 \(8\) 의 세제곱근은 \( 2,-1 \pm \sqrt{3} i \) 이다.</p> <p>\((2)\) \(4\) 의 네제곱근을 \( x \) 라 하면 \( x^{4}=4 \). \[ \begin{array}{l} x^{4}-4=0 \\ (x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\left(x^{2}+2\right)=0 \\ x=\pm \sqrt{2} \text { 또는 } x=\pm \sqrt{2} i \end{array} \] 따라서 \(4\) 의 네제곱근은 \( x=\pm \sqrt{2}, x=\pm \sqrt{2} i \) 이다.</p> <p>유제 \(4.1.2\)</p> <p>다음 거듭제곱근을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\(9\) 의 제곱근</li> <li>\(1\) 의 세제곱근</li> <li>\(27\) 의 세제곱근</li> <li>\(81\) 의 네제곱근</li></ol> <p>복소수 범위에서 실수 \( a \) 의 \( n \) 제곱근은 \( n \) 개 있으나 여기서는 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중에서 실수인 것만 생각하기로 한다. 실수 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중에서 실수인 것은 방정식 \( x^{n}=a \) 의 실근이므로 그래프 \( y=x^{n} \) 과 \( y=a \) 의 교점의 \( x \) 좌표와 같다.</p> <p>\((1)\) \( n \) 이 홀수일 때</p> <p>함수 \( y=x^{n} \) 의 그래프는 다음과 같다. 여기서 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중에서 실수인 것은 실수 \( a \)의 값에 관계없이 오직 하나 존재하고 이 실근을 \( \sqrt[n]{a} \) 로 나타낸다.</p> <p>\((2)\) \( n \) 이 짝수일 때</p> <p>함수 \( y=x^{n} \) 의 그래프는 다음과 같다. 여기서 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중에서 실수인 것은 실수 \( a \) 의 값에 따라 다음과 같이 달라진다.</p> <ol type= start=1><li>\( a>0 \) 이면 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중에서 실수인 것은 양수와 음수 각각 하나씩 있다. 그 중에서 양수인 것을 \( \sqrt[n]{a} \), 음수인 것을 \( -\sqrt[n]{a} \) 로 나타낸다.</li> <li>\( a=0 \) 이면 \( a \) 의 \( n \) 제곱근은 0 하나뿐이므로 \( \sqrt[n]{0}=0 \) 으로 정의한다.</li> <li>\( a<0 \) 이면 \( a \) 의 \( n \) 제곱근 중 실수인 것은 없으므로 \( \sqrt[n]{a} \) 는 정의되지 않는다.</li></ol> <p>예제 \( 4.1 .3 \)</p> <ol type= start=1><li>\(8\) 의 세제곱근 중에서 실수인 것은 \(2\) 이므로 \( \sqrt[3]{8}=2 \) 이고, \( -8 \) 의 세제곱근 중에서 실수인 것은 \( -2 \) 이므로 \( \sqrt[3]{-8}=-2 \) 이다.</li> <li>\(16\) 의 네제곱근 중에서 실수인 것은 \( \sqrt[4]{16}=2,-\sqrt[4]{16}=-2 \) 이고 \( -16 \) 의 네제곱근 중에서 실수인 것은 없다.</li></ol> <p>유제\(4.1.3\)</p> <p>다음을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt[4]{81} \)</li> <li>\( -\sqrt[4]{81} \)</li> <li>\( \sqrt[5]{-32} \)</li> <li>\( -\sqrt[5]{-32} \)</li></ol> <p>정리 \(4.1.2\)</p> <p>\( a>0, b>0 \) 이고 \( m, n \) 이 \(2\) 이상의 자연수일 때 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b} \)</li> <li>\( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}} \)</li> <li>\( (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}} \)</li> <li>\( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a} \)</li></ol> <p>증명</p> <p>\((1)\) 지수법칙에 의하여\[ (\sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b})^{n}=(\sqrt[n]{a})^{n}(\sqrt[n]{b})^{n}=a b \] 이다. 이때 \( \sqrt[n]{a}>0, \sqrt[n]{b}>0 \) 이므로 \( a b>0 \) 이다. 따라서 \( \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \) 는 양수 \( a b \) 의 \( n \) 제곱근이므로 \[ \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a b} \] 가 성립한다.</p> <p>\((2)\) \((1)\)과 같은 방법으로 증명된다.</p> <p>\((3)\) 지수법칙에 의하여 \[ \left\{(\sqrt[n]{a})^{m}\right\}^{n}=(\sqrt[n]{a})^{m n}=\left\{(\sqrt[n]{a})^{n}\right\}^{m}=a^{m} \] 이다. 이때 \( \sqrt[n]{a}>0 \) 이므로 \( a^{m}>0 \) 이다. 따라서 \( (\sqrt[n]{a})^{m} \) 은 양수 \( a^{m} \) 의 \( n \) 제곱근이므로 \[ (\sqrt[n]{a})^{m}=\sqrt[n]{a^{m}} \] 가 성립한다.</p> <p>\((4)\) 지수법칙에 의하여 \[ (\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^{m n}=\left\{(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}})^{m}\right\}^{n}=(\sqrt[n]{a})^{n}=a>0 \] 이므로 \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \) 는 양수 \( a \) 의 \( m n \) 제곱근이므로 \[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m n]{a} \] 가 성립한다.</p> <p>예제 \(4.1.4\)</p> <p>다음 식을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt{2} \times \sqrt{8}=\sqrt{2 \times 8}=\sqrt{16}=4 \)</li> <li>\( \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt[3]{\frac{81}{3}}=\sqrt[3]{27}=3 \)</li> <li>\( (\sqrt[4]{9})^{2}=\sqrt[4]{9^{2}}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}=3 \)</li> <li>\( \sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[6]{729}=\sqrt[6]{3^{6}}=3 \)</li></ol> <p>유제\(4.1.4\)</p> <p>다음 식을 간단히 하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sqrt[3]{3} \times \sqrt[3]{9} \)</li> <li>\( \sqrt[3]{0.0001} \sqrt[3]{10} \)</li> <li>\( \sqrt[18]{8^{2}} \times \sqrt[6]{2} \)</li> <li>\( \frac{\sqrt[4]{64}}{\sqrt[4]{4}} \)</li> <li>\( \sqrt[4]{\sqrt[3]{16}} \times \sqrt{\sqrt[3]{16}} \)</li> <li>\( \sqrt[4]{\frac{8^{10} \times 4^{10}}{8^{4} \times 4^{11}}} \)</li></ol> <p>지금까지는 지수가 자연수인 경우에만 지수법칙을 적용해 왔는데 이제 지수가 \(0\) 또는 음의 정수인 경우에도 지수법칙이 성립하도록 지수의 범위를 확장하여 보자. \( a \neq 0 \) 일 때 양의 정수 \( m, n \) 에 대하여 \[ a^{m} a^{n}=a^{m+n} \quad \ldots \cdots \text { ① } \] 이 성립한다. (1) \( m=0 \) 일 때 식 ①이 성립하려면 \[ a^{0} a^{n}=a^{0+n}=a^{n} \] 이 되어 \( a^{0}=1 \) 이어야 한다. (2) \( m=-n \) 일 때 식 ①이 성립하려면 \[ a^{-n} a^{n}=a^{-n+n}=a^{0}=1 \] 이 되어 \( a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \) 이어야 한다. 따라서 \( a \neq 0 \) 이고 \( n \) 이 양의 정수일 때 \[ a^{0}=1, \quad a^{-n}=\frac{1}{a^{n}} \] 이 된다.</p> <h1>4.2. 로그</h1> <p>\( a>0, a \neq 1 \) 일 때, 양수 \( y \) 에 대하여 \( a^{x}=y \) 를 만족시키는 실수 \( x \) 가 꼭 하나 존재하는데 이 실수 \( x \) 를 \( a \) 를 밑으로 하는 로그라고 하며 이것을 \[ x=\log _{a} y \] 와 같이 나타낸다. 이때 \( y \) 를 진수라 하고 \( y>0 \) 이다.</p> <p>정의 \(4.2.1\)</p> <p>\( a>0, a \neq 1 \) 일 때, 다음이 성립한다. \[ a^{x}=y>0 \quad \Leftrightarrow \quad x=\log _{a} y \]</p> <p>예제 \(4.2.1\)</p> <ol type= start=1><li>\( 2^{3}=8 \) 이므로 \( 3=\log _{2} 8 \) 이다.</li> <li>\( 10^{2}=100 \) 이므로 \( 2=\log _{10} 100 \) 이다.</li> <li>\( 4^{\frac{1}{2}}=2 \) 이므로 \( \frac{1}{2}=\log _{4} 2 \) 이다.</li></ol> <p>유제 \(4.2.1\)</p> <p>다음 등식을 \( y=\log _{a} x \) 꼴로 고쳐라.</p> <ol type= start=1><li>\( 3^{0}=1 \)</li> <li>\( 100^{\frac{1}{2}}=10 \)</li> <li>\( 4^{-2}=\frac{1}{16} \)</li></ol> <p>예제 \(4.2.2\)</p> <p>다음 식을 만족하는 \( x \) 의 값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{\sqrt{2}} 16=x \)</li> <li>\( \log _{x} 8=\frac{3}{2} \)</li> <li>\( \log _{x} 9=-2 \)</li> <li>\( \log _{2}\left(\log _{3} x\right)=2 \)</li></ol> <p>풀이</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{\sqrt{2}} 16=x \) 에서 \( (\sqrt{2})^{x}=16 \) 이고 \( 2^{\frac{1}{2} x}=2^{4} \) 이므로 \( x=8 \).</li> <li>\( \log _{x} 8=\frac{3}{2} \) 에서 \( x^{\frac{3}{2}}=8 \) 이고 \( x=8^{\frac{2}{3}}=\left(2^{3}\right)^{\frac{2}{3}}=4 \).</li> <li>\( \log _{x} 9=-2 \) 에서 \( x^{-2}=9 \) 이고 \( x^{2}=\frac{1}{9} \) 이다. 그런데 \( x>0, x \neq 1 \) 이어야 하므로 \( x=\frac{1}{3} \) 이다.</li> <li>\( \log _{2}\left(\log _{3} x\right)=2 \) 에서 \( 2^{2}=\log _{3} x \) 이고 \( x=3^{4}=81 \) 이다.</li></ol> <p>유제 \(4.2.2\)</p> <p>다음 식을 만족하는 \( x \) 의 값을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \log _{8} 0.25=x \)</li> <li>\( \log _{x} 4=4 \)</li> <li>\( \log _{x} 16=-\frac{4}{3} \)</li> <li>\( \log _{2}\left(\log _{3} x\right)=-1 \)</li></ol> <p>밑이 10 인 로그를 상용로그라 하고 \(10\) 을 생략해서 쓴다. 즉 \[ \log _{10} x=\log x \] 이다. 또 밑이 \( e \) 인 로그 \( \log _{e} x \) 를 자연로그라 하고 \( \ln x \) 로 쓴다. 즉 \[ \log _{e} x=\ln x \] 이다. 여기서 \( e \) 는 \( 6.2 \) 절(수열의 극한)에서 다루는 다음 극한값 \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \] 을 나타내고 \[ x=2.7182818284590 \cdots \] 가 되어 원주율 \( \pi \) 와 같이 순환하지 않는 무한소수로 무리수임이 알려져 있다. 따라서 \[ \log \frac{1}{10}=-1, \log 1=0, \log 100=2, \ldots \] 이고 \[ \ln \frac{1}{e}=-1, \ln 1=0, \ln e=1, \ln e^{2}=2, \cdots \] 가 된다.</p>	자연
선형 회귀모형에서 벌점 추정량의 신의 성질에 대한 충분조건	<h1>2. 벌점 추정량과 신의 성질</h1> <p>먼저 논의에 필요한 모형을 소개한다. \( y = X \beta ^ { * } + \varepsilon=X_ {\mathcal { A } } \beta_ {\mathcal { A } } ^ { * } + X_ {\mathcal { H } ^ { c } } \beta_ {\mathcal { A } ^ { c } } ^ { * } + \varepsilon=X_ {\mathcal { A } } \beta_ {\mathcal { A } } ^ { * } + \varepsilon \).<caption>\( (2.1) \)</caption>단, \( X= \left (X_ { 1 } , \ldots, X_ { p } \right ) \) 는 \( n \) 개의 자료와 \( p \) 개의 변수로 이루어진 \( n \times p \) 크기의 디자인 행렬, \( \beta ^ { * } = \left ( \beta_ { 1 } ^ { * } , \ldots, \beta_ { p } ^ { * } \right ) ^ { T } \) 는 \( X \) 에 대응하는 회귀계수 벡터, \( \varepsilon= \left ( \varepsilon_ { 1 } , \ldots, \varepsilon_ { n } \right ) ^ { T } \) 는 \( E \left ( \varepsilon_ { 1 } \right )=0 \) 이고 \( \operatorname { var } \left ( \varepsilon_ { 1 } \right )= \sigma ^ { 2 }< \infty \) 를 만족하는 서로 독립이고 동일한 분포를 따르는 임의오차(random error) 벡터이며 \( X \) 와 독립이다. \( \mathcal { A } = \left \{ j \mid \beta_ { j } ^ { * } \neq 0 \right \} \) 는 모형에 필요한 변수의 첨자(index) 집합이고 \( X_ {\mathcal { A } } = \left (X_ { j } , j \in \mathcal { A } \right ) \) 와 \( \beta_ {\mathcal { A } } ^ { * } = \left ( \beta_ { j } ^ { * } , j \in \mathcal { A } \right ) \) 는 모형에 필요한 변수로 구성된 디자인 행렬과 회귀계수 벡터이다. 이하의 내용은 \( p<n \) 을 만족하는 저차원 회귀모형을 다루지만 대부분의 내용은 \( p>n \) 인 고차원 모형에서도 그대로 성립하며 일부는 약간의 수정을 통해 고차원 모형에 적용할 수 있다. 임의의 함수 \( f(x) \) 에 대하여 \( \hat { x } \) 가 \( f(x) \) 의 국소 최소해이면(local minimizer)이면 \( \hat { x } = \operatorname { arglocalmin } _ { x } f(x) \) 로 표기하고 유일한 광역 최소해(unique global minimizer)이면 \( \hat { x } = \operatorname { argmin } _ { x } f(x) \) 로 표기한다. 이러한 표기가 필요한 이유는 벌점함수(penalty function)가 비볼록 함수(nonconvex function)인 경우 벌점 추정량(penalized estimator) 이 국소 최소해가 될 수도 있고 유일한 광역 최소해가 될 수도 있기 때문이다.</p> <p>\( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)= \lim _ {\varepsilon \rightarrow 0 + } \sup _ { t- \varepsilon<L_ { 1 }<l_ { 2 }<l + \varepsilon } \frac {\nabla \cdot J_ {\lambda } \left (t_ { 1 } \right )- \nabla J_ {\lambda } \left (t_ { 2 } \right ) } { t_ { 2 } -t_ { 1 } } , \quad t>0 \).</p> <p>참고로 벌점함수가 두 번 미분 가능하먼 \( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)=- \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)=-d ^ { 2 } J_ {\lambda } (t) / d t ^ { 2 } , t>0 \) 을 만족한다. 또한 대부분의 경우 (3.2a)와 (3.2b)는 필요조건이고 (3.2c)를 추가하먼 중분조건이 된다.</p> <p>Remark 5. 위 최적조건은 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 \( \hat {\beta } ^ {\circ, \lambda } \) 에시의 부겅사 집합(subdifferential)이 0 을 포함하여 \( \hat {\beta } ^ {\circ,, \lambda } \) 가 국소 최소해가 된다는 것을 의미한다.</p> <ul> <li>\( \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { or, } \lambda } \neq 0 \) 인 겅우 \( J_ {\lambda } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ) \) 는 \( \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { o, } , } \) 에서 미분 가능한 함수이며 (3.2a)를 만족하먼 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 \( \beta_ { j } \) 방향 편미분(partial derivative)이 \( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , \text { 에시 } 0 \text { 이 된다. } } \)</li> <li>\( \hat {\beta } _ { j } ^ { 0, \lambda } =0 \) 인 겅우 \( J_ {\lambda } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ) \) 는 \( \hat {\beta } _ { j } ^ {\circ, \lambda } \) 에서 미분 불가능한 함수이지만 \( (3.2 \mathrm { ~b } ) \) 를 만족하먼 \( L( \beta) \) 의 \( \beta_ { j } \) 방향 편미분이 \( \hat {\beta } ^ {\mathrm { ar } , \lambda } \) 에서 \( J_ {\lambda } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ) \) 의 부겅사가 되고 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 \( \beta_ { j } \) 방향 부겅사 집합이 0 을 포함하게 된다.</li> <li>조건 \( (3.2 \mathrm { c } ) \) 를 만족하는 겅우 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 제한된 모수공간 \( \mathbb { R } _ {\mathcal { A } } ^ { p } = \left \{\beta \mid \beta_ { j } =0, j \in \mathcal { A } \right \} \) 의 한점 \( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , } \) 의 주위에시 국소적으로 엄밀한 볼록 함수(locally strictly convex function)이며 \( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , } \) 는 \( \mathbb { R } _ {\mathcal { A } } ^ { p } \) 에서 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 국소 최소해 중 하 나(one of local minimizers)이다. 따라서 \( \hat {\beta } ^ {\circ,, \lambda } \) 는 약한 신의 성질을 만족하게 된다.</li> <li>조건 (3.2c) 보다 강한 조건 (3.3)를 만족하는 겅 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 전체 모수 공간 \( \mathbb { R } ^ { p } \) 에서 엄밀한 볼록 함수이며 \( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , \lambda } \) 는 \( \mathbb { R } ^ { p } \) 에시 유일한 광역 최소해가 된다.</li></ul> <p>\( \rho>\sup _ {\triangleright \supset 0 } \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } (t) \).<caption>\( (3.3) \)</caption></p> <p>Remark 3. 벌점 추정량의 정의 (2.2)에시 사용된 벌점함수와 신의 벌점 추정량의 정의 (2.4)에서 사용된 벌점함수가 반드시 같을 필요는 없으며 이 문제는 뒤에시 자세히 소개한다.몇 가지 예제를 통해 신의 벌점 추정량을 구체적으로 표현해 보면 다음과 같다.</p> <p>Example 1. (신의 TLP 추정량) 벌점함수가 TLP, \( J_ {\lambda } (t)=( \lambda / \tau) \min \{ t, \tau \} , t>0, \tau>0 \) 인 경우 신의 TLP 추정량은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\text { or } , \lambda } = \operatorname { arglocal } \min _ {\beta_ { j } =0, j \in \mathcal { A } \{ } \left \{\frac {\\|y-X \beta \\| ^ { 2 } } { 2 n } + \sum_ { j=1 } ^ { p } \left ( \frac {\lambda } {\tau } \right ) \max \left \{\tau, \left \| \beta_ { j } \right \| \right \} \right \} \).</p> <p>신의 TLP 추정량은 다음과 같이 매우 특별한 성질을 가진다.</p> <p>\( \min _ { j \in \mathcal { A } } \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ { o r, \lambda } \right \|>\tau \Rightarrow \hat {\beta } _ {\mathscr { A } } ^ { o r, \lambda } = \hat {\beta } _ {\mathscr { A } } ^ { o r, L S } \)</p> <p>즉, 추정된 회귀계수의 질대값이 조율모수 \( \tau \) 보다 콘 경우 신의 TLP 추정량이 벌점함수를 사용하지 않은 신의 LS 추정량과 정확하게 일치한다는 것이다. 따라시 신의 TLP 추정량은 벌점함수로 인한 축소 효과(shrinkage effect)를 가지지 않으며 불편성(unbiasedness)과 같은 신의 LS 추정량의 이론적 성질을 그대로 가지게 된다.</p> <p>Example 2. (신의 ridge 추정량) 벌점함수가 ridge, \( J_ {\lambda } (t)= \lambda t ^ { 2 } , t>0 \) 인 경우 신의 ridge 추정량은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } = \operatorname { arglocalmin } _ {\beta_ { j } =0, j \in \epsilon \mathcal { A } ^ {\epsilon } } \left \{\frac {\\|y-X \beta \\| ^ { 2 } } { 2 n } + \sum_ { j=1 } ^ { p } \lambda \beta_ { j } ^ { 2 } \right \} \).</p> <h1>1. 서론</h1> <p>벌점 추정법(penalized estimation)은 주어진 손실함수(loss function)에 벌점함수(penalty function)를 더하여 벌점 손실함수(penalized loss function)를 정의하고 이 벌점 손실함수를 최소화하여 벌점 추정량(penalized estimator)을 정의하는 방법이다. 예를 들어 선형 회귀모형(linear regression model)에서 잔자 제곱합(sum of squared residuals)에 LASSO 벌점함수(Tibshirani, 1996)를 더하여 LASSO 벌점 잔차제곱합(penalized sum of squared residuals; LASSO)을 정의하고 이를 최소화하면 LASSO 벌점 추정량을 정의할 수 있다. 벌점 추정법은 회귀모형의 최적 부분모형을 구성하는 연구를 시작으로 이후 일반화 선형 모형(generalized linear model)의 최적 부분모형, 회귀모형의 그룹 구조 (group structure)), 시계열 자료의 평활(trend filtering) , 다변량 자료의 네트워크 구축(network construction), 주성분 및 군집 분석 등 다양한 분야에서 활발하게 연구되고 있다. 본 논문은 선형 회귀모형에서 벌점 추정량의 신의 성질(oracle property)을 소개하고 신의 성질을 가지기 위한 충분조건을 유도하는 방법에 대하여 소개한다. 독자의 이해를 돕기 위하여 신의 추정량(oracle estimator), 신의 성질, 신의 성질을 정의하는 최적조건(optimality condition), 신의 성질을 만족하기 위한 충분조건 (sufficient condition)을 유도하는 과정을 일반적인 원리로 설명하였으며 다양한 예제를 사용하여 확인해 볼 수 있도록 하였다.</p> <p>신의 성질은 벌점 추정법을 통해 신의 추정량을 구현할 수 있는가를 결정하는 성질이다. 특히 벌점함수가 비볼록 함수(nonconvex function)인 경우 신의 추정량이 강한 신의 성질(strong oracle property)을 가지지 않으면 신의 추정량을 구현할 수 없다는 단점을 가진다. 따라서 신의 추정량이 강한 신의 성질을 가질 수 있도록 충분조건을 구성하고 이러한 충분조건이 점근적으로 성립하는 것을 증명하는 것이 비볼록 벌점 추정법에서 매우 중요한 연구 주제 중 하나가 된다. 신의 성질에 대한 충분조건을 유도하려면 먼저 신의 성질을 정의하는 최적조건을 이해해야 한다. 특히 Lv와 Fan (2009)는 알려진 대부분의 벌점함수에 적용할 수 있는 최적조건을 제시하고 있으며 본 논문에서는 이 최적조건을 차용하여 신의 성질에 대한 충분조건을 유도하였다. 이 최적조건이 벌점함수 각각의 특징을 반영한 최선의 최적조건은 아니지만 신의 성질에 대한 원리를 이해하기에 충분한 최적조건이다. 본 논문의 내용은 신의 성질을 연구한 기존의 연구들을 하나의 원리로 이해할 수 있도록 구성하였으며 새로운 벌점함수를 개발하거나 기존의 벌점함수를 응용하는데 큰 도움이 될 것으로 판단된다. 본 논문은 다음과 같이 구성하였다. 2장에서는 벌점 추정량, 신의 벌점 추정량, 신의 성질을 정의하였으며 3장에서는 최적조건을 사용하여 신의 성질을 가지기 위한 충분조건을 유도하는 원리를 소개하였다. 4장에서는 간단한 예제와 가상 실험을 진행하고 그 결과를 소개한다. 5 장에서는 본 논문에서 다루지 못한 몇 가지 주제에 대하여 간단히 정리하였다.</p> <h2>3.3. 신의 성질을 가지기 위한 충분조건: 벌점함수가 다른 경우</h2> <p>앞에서 소개한 신의 ridge 추정량, 신의 LASSO 추정량, 신의 bridge 추정량은 동일한 벌점함수를 사용한 경우 강한 신의 성질을 만족할 수 없다. 이 장에서는 신의 벌점 추정량과 벌점 추정량에 사용된 벌점함수를 서로 다르게 정의하여 이러한 신의 벌점 추정량이 신의 성질을 가질수 있도록 개선하는 원리에 대하여 소개한다. 신의 벌점 추정량이 벌점함수 \( J_ {\lambda } ^ { o r } (t), t>0 \) 를 사용하여 정의되먼 신의 벌점 추정량은 다음의 최적조건을 만족한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\text { or } , \lambda } = \operatorname { arglocal } \min _ {\beta_ { j } =0, j \in \mathcal { A } } \left \{ L( \beta) + \sum_ { j=1 } ^ { p } J_ {\lambda } ^ {\text { or } } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ) \right \} \Leftrightarrow \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } =- \operatorname { sign } \left ( \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { or } , \lambda } \right ) \nabla J_ {\lambda } ^ {\text { or } } \left ( \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { or } , \lambda \mid } \right \| \right ), \quad j \in \mathscr { A } \).<caption>\( (3.9) \)</caption></p> <p>만약 벌점 추정량에 사용되는 벌점함수가 \( J_ {\gamma } (t), t>0, \gamma>0 \) 이먼 신의 벌점 추정량이 신의 성질을 만족하기 위한 최적조건은 다음과 같다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } = \operatorname { arglocal } \min _ {\beta } Q_ {\gamma } ( \beta) \Leftrightarrow \left \{\begin {array} { l } \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } =- \operatorname { sign } \left ( \hat {\beta } _ { j } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) \nabla J_ {\gamma } \left ( \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right \| \right ), \quad j \in \mathcal { A } , \\ \left \| \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } \right \| \leq \lim _ { t \rightarrow 0 + } \nabla J_ {\gamma } (t), \quad j \in \mathcal { A } ^ { c } , \\ \rho_ {\mathscr { H } >} >\max _ { j \in \mathscr { A } } \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\gamma } \left ( \left \| \hat {\beta_ { j } ^ {\mathrm { or } , \lambda } } \right \| \right ) . \end {array} \right . \)</p> <h1>3. 신의 성질을 갖기 위한 충분조건</h1> <p>이 장에서는 신의 벌점 추정량이 앞에서 소개한 두 가지 신의 성질을 가지기 위한 충분조건을 소개한다. 특히 벌점 추정량을 정의할 때 사용되는 벌점함수와 신의 벌점 추정량을 정의할 때 사용되는 벌점함수가 서로 같은 경우뿐만 아니라 시로 다른 경우도 고려하여 신의 성질에 대한 이해를 돕고자 한다.</p> <h2>3.1. 신의 벌점 추정량의 최적조건</h2> <p>신의 LS 추정량은 다음의 최적조건(optimality condition)을 만족한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\circ r, \mathrm { LS } } = \operatorname { argmin } _ {\beta_ { j } =0, j \in \mathcal { H } { } ^ { c } } L( \beta) \Leftrightarrow \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\circ, \mathrm { LS } } \right ) } {\partial \beta_ { j } } =0, \quad j \in \mathcal { A } \).<caption>\( (3.1) \)</caption></p> <p>이러한 성질은 미분 가능한 볼록 함수의 광역 최소해가 경사도(gradient) 훅은 미분(derivative)을 0 으로 만드는 원리를 표현한 것이다. 이와 마찬가지로 신의 벌점 추정량이 신의 성질을 만족하기 위한 최적조건을 찾을 수 있다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ { o r, \lambda } = \operatorname { arglocalmin } Q_ {\beta } Q_ {\lambda } ( \beta) \Leftrightarrow \left \{\begin {array} { l } \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\circ o, \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } =- \operatorname { sign } \left ( \hat {\beta } _ { j } ^ { o r, \lambda } \right ) \nabla J_ {\lambda } \left ( \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ { o, \lambda \lambda } \right \| \right ) , \quad j \in \mathscr { A } , \\ \left \| \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\circ r, \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } \right \| \leq \lim _ { t \rightarrow 0 + } \nabla J_ {\lambda } (t), \quad j \in \mathcal { A } ^ { c } , \\ \rho_ {\mathscr { A } >} >\max _ { j \in \mathscr { A } } \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } \left ( \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ {\circ, \lambda } \right \| \right ) . \end {array} \right . \)</p> <caption>\( (3.2a) \)</caption> <caption>\( (3.2b) \)</caption> <caption>\( (3.2c) \)</caption> <p>단, \( \rho_ {\mathscr { A } } = \lambda_ {\min } \left (X_ {\mathscr { A } } ^ { T } X_ {\mathscr { A } } / n \right ) \) 는 \( X_ {\mathscr { A } } ^ { T } X_ {\mathscr { R } } / n \) 의 최소 고유값(minimum eigenvalue), \( \nabla J_ {\lambda } (t)=d J_ {\lambda } (t) / d t, t>0 \) 이고 \( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t), t>0 \) 는 \( \nabla \cdot J_ {\lambda } (t) \) 의 \( t \) 에시의 최대 오목도(maximum concavity)이다.</p> <p>신의 ridge 추정량은 벌점함수로 인해 축소 효과(shrinkage effect)를 가지는 편의 추정량(biased estimator)이다. 하지만 추정량의 분산이 신의 LSE 추정량보다 작기 때문에 다중공선성(multicollinearity)이 발생할 겅우 신의 LS 추정량 대신 고려할 수 있다. 참고로 ridge 벌점함수는 성김성을 갖지 않기 때문에 신의 ridge 추정량은 ridge 벌점함수를 사용하여 구현할 수 없으며 다른 벌점함수를 사용해야 구현할 수 있다는 특징을 가진다. 이 부분도 뒤에서 좀 더 자세하게 소개하도록 한다.</p> <h2>2.3. 약한 신의 성질과 강한 신의 성질</h2> <p>벌점 추정법에서 가장 중요한 문제는 벌점 추정법을 사용하여 신의 벌점 추정량을 구할 수 있는지의 여부이다. 이 문제에 대한 연구 결과는 크게 약한 신의 성질(weak oracle property)과 강한 신의 성질(strong oracle property)로 구분되어 연구되고 있으며 각각의 정의는 다음과 같다. 만약 신의 벌점 추정량이 다음을 만족하면 약한 신의 성질을 가진다고 말한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } = \operatorname { arglocalmin } _ {\beta } Q_ {\lambda } ( \beta) \)<caption>\( (2.6) \)</caption></p> <p>또한 신의 벌점 추정량이 다음의 성질을 만족하면 강한 신의 성질을 가신다고 말한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } = \operatorname { argmin } _ {\beta } Q_ {\lambda } ( \beta) \).<caption>\( (2.7) \)</caption></p> <p>신의 벌점 추정량이 약한 신의 성질을 가지면 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 국소 최소해 중 하나가 되며 강한 신의 성질을 가지면 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 의 유일한 광역 최소해가 된다. 따라시 식(2.6)과 (2.7)은 각각 신의 벌점 추정량의 존재성(existence)과 유일성(uniqueness)을 의미하며 신의</p> <p>성질의 성립 여부에 따라 벌점 추정법을 통해 신의 벌점 추정량을 찾을 수 있는지의 여부가 결정된다. 만약 강 한 신의 성질이 성립하먼 벌점함수가 비볼록 함수인 겅우에도 알고리즘이나 초기값의 종류에 상관없이 항상 신의 벌점 추정량을 구현할 수 있으므로 벌점 추정법에시 가장 중요한 성질은 강한 신의 성질임을 알 수 있다.</p> <p>Remark 4. 신의 성질은 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } = \hat {\beta } ^ {\text { or } , } \) 의 관계를 만족하는 조율모수 \( \lambda= \lambda ^ {\text { or } } \) 이 존재한다는 것을 의미하지만 \( \lambda ^ { o r } \) 을 어뗳게 찾을 수 있는지에 대하여 알려 주는 것은 아니다. 조율모수의 선택은 벌점 추정법에서 다루는 또 다른 중요한 문제이며 이 논문에서는 다루지 않는다. 다만 교차 타당성(cross validation)과 같은 예즉 중심의 조율모수 선택 기법을 사용할 겅우 \( \lambda ^ {\text { or } } \) 을 찾을 수 없음이 알려저 있고, Bayesian Information Criterion (BIC)와 유사한 측도를 사용하먼 찾을 수 있다는 것이 알려저 있다.</p> <p>단, \( \rho= \lambda_ {\min } \left (X ^ { T } X / n \right ) \) 이다. 따라서 \( \hat {\beta } ^ { 0, \lambda } \), 는 강한 신의 성질을 만족한다</p> <h2>3.2. 신의 성질을 갖기 위한 충분조건: 벌점함수가 동일한 경우</h2> <p>이 장에서는 신의 벌점 추정량과 동일한 벌점함수를 사용하여 벌점 추정량을 정의하고 앞에서 소개한 최적조건 (3.2a), (3.2b), (3.2c), (3.3)에 대한 중분조건을 구성하는 원리를 몆 가지 예제를 통해 소개한다. 먼저 신의 벌점 추정량은 다음의 최적조건을 만족한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , \lambda } = \operatorname { arglocalmin } { } _ {\beta_ { j } =0, j \in \mathcal { A } \{ } \left \{ L( \beta) + \sum_ { j=1 } ^ { p } J_ {\lambda } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ) \right \} \Leftrightarrow \frac {\partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) } {\partial \beta_ { j } } =- \operatorname { sign } \left ( \hat {\beta } _ { j } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) \nabla \cdot J_ {\lambda } \left ( \left \| \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { or, } \lambda } \right \| \right ), \quad j \in \mathscr { A } \).<caption>\( (3.4) \)</caption></p> <p>따라서 조건 (3.4)에 의하여 조건 (3.2a)가 당연히 성립하고 \( \partial L \left ( \hat {\beta } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \right ) / \partial \beta_ { j } =-X_ { j } ^ { T } \left (y-X_ {\mathfrak { A } } \hat {\beta } _ {\mathscr { A } } ^ {\mathrm { or, \lambda } } \right ) / n \) 이므로 신의 성질을 만족하기 위한 최적조건은 다음과 같이 간략하게 요약할 수 있다.</p> <p>\( \Delta_ {\mathscr { A } } \leq \lambda, \quad \rho_ {\mathscr { A } } >0, \quad \rho>0 \)<caption>\( (3.6) \)</caption></p> <p>Remark 6. 참고로 최적조건 (3.4)와 (3.6)이 동시에 성립하려먼 디자인 행렬이 Strong Irrepresentable(SI) condition 과 같은 매우 특별한 성질을 만족해야 한다는 것이 알려저 있다. 따라시 일반적인 조건하에서는 LASSO 벌점함수를 사용하여 신의 LASSO 추정량을 구할 수는 없으며 LASSO 벌점함수에서 조율모수에 가중치를 주거나, LASSO가 아닌 다른 벌점함수를 사용해야 한다.</p> <p>Example 4. (신의 MCP 추정량) 벌점함수가 MCP, \( J_ {\lambda } (t)= \lambda \int_ { 0 } ^ { t } (1-x /(a \lambda)) + d x, t>0, a>1 \) 인 겅우 벌점함수는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\lambda } (t)= \lambda \left (1- \frac { t } { a \lambda } \right )_ { + } , \quad \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)= \frac { 1 } { a } I(t \leq a \lambda), \quad t>0 \).</p> <p>따라시 \( \kappa= \lambda, \phi_ {\mathfrak { A } } =(1 / a) I \left ( \alpha_ { * }<a \lambda \right ), \phi=1 / a \) 이므로 최적조건 \( (3.5) \) 는 다음과 동치이다.</p> <p>\( \Delta_ {\mathcal { A } ^ { * } } \leq \lambda, \quad \rho_ {\mathcal { H } } >\frac { 1 } { a } I \left ( \alpha_ { * }<a \lambda \right ), \quad \rho>\frac { 1 } { a } \).<caption>\( (3.7) \)</caption></p> <p>Remark 7 . (신의 LS 추정량) 만약 신의 MCP 추정량이 \( \alpha_ { * } >a \lambda \) 를 만족하면 \( \nabla J_ {\lambda } \left ( \hat {\beta_ { j } } , \boldsymbol {\lambda } , \lambda \right )=0, j \in \mathcal { A } \) 이므로 (3.2a)는 (3.1)과 동치이다. 따라서 신의 MCP 추정량은 신의 LS 추정량과 동일하다. 또한 \( \phi_ {\mathscr { H } } =0 \) 이 되어 최적조건 (3.5)에 대한 충분조건은 다음과 같다.</p> <p>\( \alpha_ { * } >c, \quad \Delta_ {\mathscr { H } ^ { c } } \leq \gamma, \quad \rho_ {\mathscr { H } } >0, \quad \rho>\frac { 1 } { a } \),</p> <p>Example 8. (신의 bridge 추정량) 벌점함수가 bridge, \( J_ {\lambda } (t)= \lambda t ^ { 1 / 2 } , t>0 \) 인 겅우 벌점함수 는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\lambda } ^ {\circ r } (t)= \frac {\lambda } { 2 } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , \quad \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } ^ {\alpha \alpha } (t)=- \frac {\lambda } { 4 } t ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , \quad t>0 \).</p> <p>만약 동일한 벌점함수를 사용하먼 \( \phi= \infty \) 가 되어 강한 신의 성질을 만족할 수 없다. 이 겅우 다음과 같이 \( J_ {\lambda } ^ {\circ x } (t) \) 를 원점 근치에시 선형으로 근사하면 강한 신의 성질을 가지기 위한 중분조건을 찾을 수 있다.</p> <p>\( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\lambda } ^ { 0 t } ( \gamma) I(t \leq \gamma) + \nabla J_ {\lambda } ^ {\mathrm { of } } (t) I(t>\gamma), \quad t>0, \quad \gamma>0 \)</p> <p>만약 \( \alpha_ { * } >\gamma \) 이면 \( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla . J_ {\lambda } ^ {\alpha } (t)=( \lambda / 2) t ^ { -1 / 2 } , t>\alpha_ { x } \) 이므로 \( (3.11) \) 을 만족한다. 또한 \( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\gamma } (t)=( \lambda / 4) t ^ { -3 / 2 } I(t>\) \( \left . \alpha_ { * } \right ), t>0 \) 이므로 \( \kappa= \nabla J_ {\lambda } ^ {\circ o c } ( \gamma), \phi_ {\mathscr { A } } =( \lambda / 4) \alpha_ { * } ^ { -3 / 2 } , \phi=( \lambda / 4) \gamma ^ { -3 / 2 } \) 이므로 다음과 같이 신의 성질을 만족하기 위한 충분조건을 찾을 수 있다.</p> <p>만약 \( \nabla J_ {\gamma } (t) \neq \nabla . J_ {\lambda } ^ { o r } (t) \) 이먼 일반적으로 (3.9)와 (3.10a)는 시로 다른 조건이며 위 중분조건은 더이상 간단하게 표현 할 수 없다. 하지만 \( J_ {\gamma } (t) \) 가 다음 성질을 만족한다면 식(3.9)와 (3.10a)는 동일한 조건이 된다. 이제 이러한 원리가 적용된 몇 가지 예제를 구체적으로 소개한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla \cdot J_ {\lambda } ^ {\text { of } } (t), \quad t>\alpha_ { * } \),<caption>\( (3.9) \)</caption></p> <p>Example 6. (신의 ridge 추정량) 벌점함수가 ridge, \( J_ {\lambda } ^ {\mathrm { or } } (t)=( \lambda / 2) t ^ { 2 } , t>0 \) 인 겅우 벌점함수는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla \cdot J_ {\lambda } ^ { o c } (t)= \lambda t, \quad \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } ^ { o c } (t)= \lambda, \quad t>0 \)</p> <p>이 경우 다음의 sparse ridge 벌점함수를 사용하먼 신의 성질을 가지기 위한 중분조건을 찾을수 있다.</p> <p>\( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\gamma } ^ {\mathrm { MCP } } (t) I(t \leq c) + \lambda t I(t>c), \quad t>0, \quad \gamma>0 \).</p> <p>단, \( J_ {\gamma } ^ {\mathrm { MCP } } (t) \) 는 \( \mathrm { MCP } \) 벌점함수이고 \( c=a \gamma /(1 + a \lambda) \) 이다. 만약 \( \alpha_ { x } >c \) 이면 \( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\lambda } ^ { o t } (t), t>\alpha_ { z } \) 이므로 식 (3.11)을 만족한다. 또한 \( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\gamma } (t)=(1 / a) I(t \leq c)- \lambda I(t>c), t>0 \) 이므로 \( \kappa= \gamma, \phi_ {\mathfrak { H } } =- \lambda, \phi=1 / a \) 가 되어 다음과 같이 신의 성질을 만족하기 위한 충분조건을 찾을 수 있다.</p> <h2>2.1. 벌점 추정량과 변수 선택</h2> <p>모형 (2.1)에서 분석의 목적은 첨자 집합 \( \mathcal { A } \) 를 찾고 이에 대응하는 회귀계수 \( \beta_ {\mathcal { A } } \) 를 추정하는 것이다. 이러한 분석 목적을 변수 선택(variable selection) 혹은 모형 선택(model selection)이라고 하며 벌점 추정법을 적용할 수 있는 가장 대표적인 주제이다. 모형 (2.1)에 대하여 벌점 잔차제곱합(penalized sum of squared residuals)의 국소 최소해를 벌점 추정량으로 정의한다. \[{\beta } ^ {\lambda } = \operatorname { arglocalmin } _ {\beta } Q_ {\lambda } ( \beta) \]<caption>(2.2)</caption></p> <p>단, \( Q_ {\lambda } ( \beta)=L( \beta) + \sum_ { j=1 } ^ { p } J_ {\lambda } \left ( \left \| \beta_ { j } \right \| \right ), L( \beta)= \\|y-X \beta \\| ^ { 2 } / 2 n, J_ {\lambda } (t), t>0 \) 는 조율모수(tuning parameter)가 \( \lambda>0 \) 인 벌점함수이다. 만약 벌점함수가 볼록 함수(convex function)이면 벌점 추정량은 유일한 광역 최소해가 된다. \[ \hat {\beta } ^ {\lambda } = \operatorname { argmin } _ {\beta } Q_ {\lambda } ( \beta) .\]논의의 편의상 벌점함수가 다음의 성질을 만족한다고 가정한다.</p> <ul> <li>(J1) \( J_ {\lambda } (t), t>0 \) 는 증가하며 미분 가능하다.</li> <li>(J2) \( J_ {\lambda } (\|t\|), t \in \mathbb { R } \) 는 원점에서 미분 불가능하다.</li></ul> <p>Remark 1. (J1)은 벌점함수의 대략적 형태를 정의하며 대부분의 벌점함수가 만족하는 성질이다. 하지만 벌점함수가 반드시 증가할 필요는 없으며 유한개의 점에서 미분 불가능한 겅우도 있다. (J2)는 벌점 추정량이 성김성(sparsity)을 갖기 위한 충분조건이며 원점에서 미분 가능한 벌점함수는 일반적으로 성김성을 갖지 않는다. 변수 선택을 위하여 벌점 추정법을 사용하는 이유는 벌점 추정량이 성김성을 갖기 때문이다. \[ \exists \mathcal { S } \text { s.t. } \hat {\beta } _ { j } ^ {\lambda } =0, \quad j \in \mathcal { S } \text { . } \] 즉, 모형에 필요하지 않은 변수에 대응하는 회귀계수가 정확하게 0 으로 추정되기 때문에 검정(test)과 같은 추가적인 작입을 하지 않아도 벌점 추정량으로부터 직집 \( \mathcal { A } ^ { 2 } \) 를 추정할 수 있게 된다. \[ \hat {\mathscr { A } } = \mathcal { S } ^ { c } = \left \{ j \mid \hat {\beta } _ { j } ^ { u } \neq 0 \right \} . \]</p> <p>\( \alpha_ { * } >\gamma, \quad \Delta_ {\mathscr { A } } \leq \nabla J_ {\lambda } ^ {\mathrm { or } } ( \gamma), \quad \rho_ {\mathscr { H } } >\frac {\lambda } { 4 } \alpha_ { * } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , \quad \rho>\frac {\lambda } { 4 } \gamma ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \).</p> <p>참고로 위 조건은 약한 신의 성질에 대하여는 동일한 벌점함수를 사용하는 겅우보다 조금 더 강한 조건이 된다.</p> <h1>4. 예제와 가상실험</h1> <p>이 장에시는 단순 선형 회귀모형을 사용하여 벌점 추정량의 성질을 간단히 살퍼보고 앞에서 소개한 최적조건이 유한 표본에시 성립하는지 확인하기 위하여 가상실험을 진행한다.</p> <h2>4.1. 예제: 단순 선형 회귀모형에서 벌점 추정량의 성질</h2> <p>절편이 없는 단순 선형 회귀모형 \( y=x \beta + \varepsilon \) 에 대하여 적당한 표본이 주어지고 잔차제곱합이 다음과 같다고 하자.</p> <p>\( L( \beta)= \frac {\\|y-x \beta \\| ^ { 2 } } { 2 n } = \rho( \beta-3) ^ { 2 } + 1, \quad \rho>0 \).</p> <p>MCP 벌점함수에 대하여 벌점 잔차제곱합은 다음과 같이 조각난 이차 함수(piecewise quadratic function)가 된다.</p> <p>\( Q_ {\gamma } ( \beta)= \left \{\begin {array} { l } \rho( \beta-3) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 a } (\| \beta\|-a \lambda) ^ { 2 } + a \lambda ^ { 2 } / 2 + 1, \quad\| \beta\| \leq a \lambda, \\ \rho( \beta-3) ^ { 2 } + \frac { a \lambda ^ { 2 } } { 2 } + 1, \quad\| \beta\|>a \lambda . \end {array} \right . \)</p> <p>Figure 1 은 위 벌점 잔차제곱합에 대하여 \( \rho, a, \lambda \) 의 값에 따라 벌점 추정량 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } \) 가 어떤 값을 가지는지 설명하는 그림이다. Figure 1 에서 검은 색 점선은 각각 산차제곱합과 벌점함수이며 파란색 실선은 벌점 잔차제곱합을 나타낸다. 또한 \( \mathrm { A } , \mathrm { B } , \mathrm { C } \) 는 각각 \( \hat {\beta } ^ { u } =0,0< \hat {\beta } ^ {\lambda }<3, \hat {\beta } ^ { x } =3 \) 인 겅우를 나타낸다. 그림 (a), (b), (c)에서 \( v=1 / 10 \), \( a=2.5, \lambda=7 / 5,5 / 5,3 / 5 \) 이고 (d), (e), (f)에서 \( v=3 / 10, a=5, \lambda=9 / 5,6 / 5,3 / 5 \) 이다. Figure 1 을 통해 다음과 같은 사실을 확인 할 수 있다.</p> <ul> <li>벌점함수를 사용하지 않은 겅우 최소 제곱 추정량은 \( \hat {\beta } ^ {\mathrm { LS } } =3 \) 이다.</li> <li>(a), (b), (c)의 겅우 \( \rho=1 / 10<1 / a=1 / 2.5 \) 이므로 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 비볼록 함수이고 여러 개의 국소 죄소해를 가질 수 있다.<ul> <li>(a)는 \( \lambda \) 의 값이 가장 큰 겅우이다. 이 겅우 원점 근방에시 \( J_ {\lambda } ( \beta) \) 의 변화가 \( L( \beta) \) 보다 더 크기 때문에 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 \( \mathrm { A } \) 에시 최소값을 가지며 \( \hat {\beta } ^ { x } =0 \) 이 된다.</li> <li>(b)는 \( \lambda \) 의 값이 적당한 겅우이다. \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 \( \mathrm { A } \) 와 \( \mathrm { C } \) 두 곳에시 국소 최소해를 가지게 된다. 특히 \( \mathrm { C } \) 에시 최소값 이 발생하는 겅우 \( J_ {\lambda } ( \beta) \) 가 국소적으로 상수 함수이므로 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } = \hat {\beta } ^ { L S } =3 \) 이 되고 \( \hat {\beta } ^ {\mu } \) 와 \( \hat {\beta } ^ { L S } \) 는 약한 신의 성질을 갖는다.</li> <li>(c)는 \( \lambda \) 의 값이 가장 작은 겅우이다. (b)의 겅우와 동일하지만 \( \mathrm { C } \) 에시 약한 신의 성질을 가진다는 것을 좀 더 분명하게 확인할 수 있다.</li></ul></li> <li>(d), (e), (f)의 겅우 \( \rho=3 / 10>1 / a=1 / 5 \) 이므로 \( Q_ {\lambda } ( \beta) \) 는 엄밀한 볼록 함수이고 유일한 광역 최소해를 가진다.<ul> <li>(d)는 \( \lambda \) 의 값이 가장 큰 겅우이며 \( \mathrm { A } \) 에시 \( \beta ^ {\lambda } =0 \) 이 된다.</li> <li>(e)는 \( \lambda \) 의 값이 적당한 겅우이며 \( \mathrm { B } \) 에서 \( 0< \hat {\beta } ^ {\lambda }< \hat {\beta } ^ { L S S } =3 \) 이 된다. 즉 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } \) 는 축소 \( \overline { 8 } \) 과와 강한 신의 성질을가진다.</li> <li>\( ( \mathrm { f } ) \) 는 \( \lambda \) 의 값이 가장 작은 겅우이며 \( \mathrm { C } \) 에시 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } = \hat {\beta } ^ { I S } =3 \) 이 된다. 따라시 \( \hat {\beta } ^ {\lambda } \) 뿐만 아니라 \( \hat {\beta } ^ { 1 S } \) 도 강한 신의 성질을 가진다.</li></ul></li></ul> <h3>2.2. 신의 벌점 추정량</h3> <p>만약 \( \mathscr { A } \) 를 알고 있다먼 \( X_ {\Re } \) 만 사용하여 모형을 적합하는 것이 변수 선택의 측먼에서 가장 이상적이며 이러한 추정량을 신의 추정량(oracle estimator)이라고 한다. 신의 추정량은 주로 벌점 추정량의 이론적 성질을 연구하기 위해 사용되며 가장 대표적인 신의 추정량은 다음의 신의 LS 추정량(oracle least square estimator)이다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\text { or, LS } } = \operatorname { argmin } _ {\beta_ { j } =0, j \in \mathscr { A } } L( \beta) \).<caption>\( (2.3) \)</caption></p> <p>반면, 벌점 추정법을 사용하여 얻을 수 있는 신의 추정량을 신의 벌점 추정량(oracle penalized estimator)이라고 한다.</p> <p>\( \hat {\beta } ^ {\text { or, } , 1 } = \operatorname { arglocalmin } { } _ {\beta_ { j } =0, j \in \pi c } Q_ {\lambda } ( \beta) \).<caption>\( (2.4) \)</caption></p> <p>신의 벌점 추정량은 제한된 모수 공간 \( \mathbb { R } _ {\mathcal { A } } ^ { p } = \left \{\beta \mid \beta_ { j } =0, j \in \mathcal { A } ^ { c } \right \} \) 에 포함되므로 \( \hat {\beta } _ { j } ^ { 0, \lambda } =0, j \in \mathcal { A } ^ { c } \) 을 만족한다. 따라시 신의 벌점 추정량이 다음을 만족하는 겅우 변수 선택의 즉먼에시 최선의 벌점 추정량이다.</p> <p>\( \hat {\beta } _ { j } ^ {\mathrm { or } , \lambda } \neq 0, \quad j \in \mathcal { A } \).<caption>\( (2.5) \)</caption></p> <p>Remark 2. 신의 벌점 추정량도 벌점 추정량 중 하나이므로 성김성을 가진다. 따라서 (2.5)를 만족하는 신의 벌점 추정량이 존재하는지가 벌점 추정법에시 다루어야 하는 중요한 문제 중 하나이다. 하지만 대부분의 벌점 함수에 대하여 (2.5)를 만족하는 신의 벌점 추정량이 존재하는 것으로 알려저 있으며, 따라서 이 논문에서는 신의 벌점 추정량이 (2.5)를 만족한다고 가정한다.</p> <p>\( \Delta_ {\mathscr { A } C } \leq \kappa, \quad \rho_ {\mathscr { A } } >\phi_ {\mathscr { H } , } , \quad \rho>\phi \).<caption>\( (3.5) \)</caption></p> <p>단, \( \Delta_ {\mathscr { A } } = \max _ { j \in \mathscr { A } } \left \|X_ { j } ^ { T } \left (y-X_ {\mathscr { H } } \hat {\beta } _ {\mathscr { A } } ^ { 0, \lambda } \right ) / n \right \|, \kappa= \lim _ { t \rightarrow 0 + } \nabla J_ {\lambda } (t), \phi_ {\mathscr { A } } = \max _ { j \in \mathcal { H } } \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } \left ( \hat {\beta } _ { j } ^ { 0, \lambda } \mathrm { D } \right ), \phi= \sup _ { t>0 } \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t) \) 이다. 또한 (3.5)에서 치음 두 조건을 만족하먼 약한 신의 성질을 가지고 마지막 조건도 만족하먼 강한 신의 성질을 가진다. 이제 몇 가지 벌점함수를 통해 신의 성질에 대한 중분조건을 구성하는 원리를 구체적으로 기술한다. \( \alpha_ { x } = \min _ { j \in \mathcal { A } } \hat {\beta } _ { j } ^ {\text { or, } , } \mid \) 라 하자.</p> <p>Example 3. (신의 LASSO 추정량) 벌점함수가 LASSO, \( J_ {\lambda } (t)= \lambda t, t>0 \) 인 겅우 벌점함수 는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\lambda } (t)= \lambda, \quad \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)=- \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)=0, \quad t>0 \).</p> <p>따라시 \( \kappa= \lambda, \phi_ {\mathscr { A } } = \phi=0 \) 이므로 최적조건 (3.5)는 다음과 동치이다.</p> <p>\( \alpha_ { * } >a \lambda, \quad \Delta_ {\mathcal {A} ^ { c } } \leq \lambda, \quad \rho_ {\mathcal{ A } } >0, \quad \rho>\frac { 1 } { a } \).<caption>(3.8)</caption></p> <p>위 충분조건은 추정량의 크기에 제한을 두므로 강한 신의 성질에 대하여 최적조건 (3.7)보다 조금 더 강한 조건이 된다. 이러한 성질은 MCP뿐만 아니라 TLP, SCAD와 같이 꼬리 부분이 평평(flat)하고 최대 오목도가 유한(bounded)인 벌점함수에 대하여 동일하게 성립하는 성질이다.</p> <p>Example 5. (신의 bridge 추정량) 벌점함수가 bridge, \( J_ {\lambda } (t)= \lambda t ^ { 1 / 2 } , t>0 \) 인 경우 벌점함수는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\lambda } (t)= \frac {\lambda } { 2 } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , \quad \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)=- \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } (t)= \frac {\lambda } { 4 } t ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , \quad t>0 \).</p> <p>따라서 \( \kappa= \infty, \phi_ {\mathcal { A } } =( \lambda / 4) \alpha_ { * } ^ { -3 / 2 } , \phi= \infty \) 이므로 최적조건 (3.5)는 다음과 동치이다.</p> <p>\( \Delta_ {\mathcal { A } }< \infty, \quad \rho_ {\mathcal { A } } >\frac {\lambda } { 4 } \alpha_ { * } ^ { - \frac { 3 } { 2 } } , \quad \rho>\infty \).</p> <p>따라서 약한 신의 성질을 가지기 위한 중분조건은 성립할 수 있지만 세 번째 조건이 질대 성립하지 않으므로 강한 신의 성질을 가질 수 없다. 이러한 성질은), h-likelihood, ML 벌점함수와 같이 원점에서 미분 값이 유계가 아닌(unbounded) 경우 동일하게 성립한다.</p> <p>Remark 8. 참고로 bridge 벌점함수를 원점에서 미분 값이 유계가 되도록 선형 근사(linear approximation)하면 신의 bridge 벌점 추정량이 강한 신의 성질을 가지도록 할 수 있다. 이 부분은 다음 장에서 자세히 소개하도록 한다.</p> <h2>4.2. 가상실험: 강한 신의 성질에 대한 충분조건</h2> <p>앞의 예제에시 소개한 신의 추정량이 유한 표본에시 강한 신의 성질을 가지는지 확인하기 위하여 다음 모형을 사용하여 가상실험을 진행하였다.</p> <p>\( X_ { j } \sim ^ {\text { i.i.d. } } N(0,1), \quad \varepsilon \sim N(0,1), \quad \beta_ { j } ^ { * } = \alpha \left \{\frac { 1 + (j-1) } { (q-1) } \right \} I(j \leq q), \quad j \leq p \).</p> <p>위 모형에시 \( \alpha \in \{ 0.6,1.2 \} , n \in \{ 50,100, \ldots, 600 \} , p \in \{ 20,40 \} , q \in \{ 5,10 \} \) 으로 두고 가능한 모든 조합에 대하여 각각 100 회씩 신의 추정량이 강한 신의 성질을 만족하는지 확인하였다. 실험에 사용된 신의 추정량과 벌점함수는 다음과 같다.</p> <ul> <li>신의 LS 추정량과 \( a=4 \) 인 MCP 벌점함수</li> <li>\( \lambda=0.1 \) 인 신의 LASSO 추정량과 \( \lambda=0.1, a=4 \) 인 clipped LASSO 벌점함수</li> <li>\( \lambda=0.1 \) 인 신의 ridge 추정량과 \( \lambda=0.1, a=4 \) 인 sparse ridge 벌점함수</li> <li>\( \lambda=0.1 \) 인 신의 bridge 추정량과 \( \gamma=0.5 \) 인 modified bridge 벌점함수</li></ul> <p>만약 신의 추정량의 회귀계수 중 하나라도 0 이 되는 겅우가 발생하맨, 모두 0 이 되지 않을 때까지 \( \lambda \) 의 값을 게속하여 반으로 줄여 사용하였다. 실험의 결과는 Table 1 에 정리하였으며 잘 알려진 것치럽 \( n \) 과 \( \alpha \) 가 클 수록, \( p \) 와 \( q \) 가 작을 수록 신의 추정량이 강한 신의 성질을 더 잘 만족하는 것을 확인할 수 있다. 참고로 이 실험에서는 신의 추정량을 고정해 두고 신의 성질이 성립하는지 확인한 것이며 신의 성질을 만족하는 조율모수의 존재성과 같이 좀 더 일반적인 실험을 진행하는 방법에 대하여는 Kim과 Kwon(2012)을 참고하기 바란다.</p> <h1>5. 정리의 글</h1> <p>많은 연구자들이 벌점 추정법에 대한 연구를 어려워하는 이유는 기술적인 난이도 보다는 전체적인 연구의 흐름을 파악하기 어렵기 때문이라고 판단된다. 만약 본 논문에서 소개한 내용을 바탕으로 벌점 추정법의 연구 과정을 간략하게 작성해 본다면 다음과 같다. 먼저 신의 벌점 추정량에 사용할 벌점함수를 결정하고 신의 벌점 추정량의 최적조건을 유도한다. 그 다음 벌점 추정량에 사용할 벌점함수를 결정하고 벌점 추정량의 최적 조건을 유도한다. 마지막으로 신의 벌점 추정량이 신의 성질을 가지는 중분조건을 구성한다. 이러한 과정이 최적의 답은 아니겠지만 독자들에게 어느 정도 도움이 될 것으로 기대한다.</p> <p>신의 벌점 추정량의 존재성과 추정오차, 최적 조율모수의 선택법, 추정량 구현을 위한 알고리즘, 고차원 모형에시의 신의 성질 등 본 논문에서 다루지 못한 내용 중 벌점 추정법에서 반드시 이해해야 할 주제들이 많이 남아 있으며 기회가 된다먼 이러한 주제들에 대하여 소개하는 논문을 작성하고자 한다.</p> <p>\( \alpha_ { * } >c, \quad \Delta_ {\mathscr { A } c } \leq \gamma, \quad \rho_ {\mathscr { H } } >- \lambda, \quad \rho>\frac { 1 } { a } \).</p> <p>이와 같이 적당한 상수 \( c>0 \) 에 대하여 \( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J ^ {\mathrm { MCP } } (t), t \leq c \) 가 되도록 근사하고 나머지 구간에서 \( \nabla J_ {\gamma } (t)= \) \( \nabla J_ {\lambda } ^ { o f } (t), t>c \) 를 만족하도록 \( J_ {\gamma } (t) \) 를 정의하먼 항상 신의 성질을 가지기 위한 중분조건을 찾을 수 있다.</p> <p>Remark 9. 다음의 MNET 벌점함수도 \[ \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\gamma } ^ {\mathrm { MCP } } (t) + \lambda t, \quad t>0, \quad \gamma>0, \] 동일한 원리를 사용하여 신의 ridge 벌점 추정량이 신의 성질을 가지기 위한 중분조건을 찾을 수 있다.</p> <p>Example 7. (신의 LASSO 추정량) 벌점함수가 LASSO, \( J_ { A } ^ { 0 r } (t)= \lambda t, t>0 \) 인 겅우 벌점함수는 다음을 만족한다.</p> <p>\( \nabla J_ {\lambda } ^ {\mathrm { of } } (t)= \lambda, \nabla ^ { 2 } J_ {\lambda } ^ {\mathrm { of } } (t)=0, \quad t>0 \).</p> <p>이 경우 다음의 clipped LASSO 벌점함수를 사용하먼 디자인 행렬이 SI와 같은 특별한 조건을 만족하지 않아도 강한 신의 성질을 가지기 위한 중분조건을 찾을 수 있다.</p> <p>\( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\gamma } ^ {\mathrm { MCP } } (t) I(t \leq c) + \lambda I(t>c), \quad t>0, \quad \gamma>\lambda \).</p> <p>단, \( c=a( \gamma- \lambda) \) 이다. 만약 \( \alpha_ { * } >c \) 이먼 \( \nabla J_ {\gamma } (t)= \nabla J_ {\lambda } ^ { o r } (t)= \lambda, t>\alpha_ { * } \) 이므로 \( (3.11) \) 을 만족한다. 또한 \( \bar {\nabla } ^ { 2 } J_ {\gamma } (t)= \) \( (1 / a) I(t \leq c), t>0 \) 이므로 \( \kappa= \gamma, \phi_ {\mathcal { H } } =0, \phi=1 / a \) 가 되어 다음과 같이 신의 성질을 만족하기 위한 중분조건을 찾을 수 있다.</p>	자연
s059-(이공계 학생을 위한) 미분적분학	<p>풀이</p> <p>\[ \begin {array} { r } x=r \cos \theta= \sin 3 \theta \cos \theta, y=r \sin \theta= \sin 3 \theta \sin \theta \text { 이므로 } \\ \frac { d x } { d \theta } =(3 \cos 3 \theta) \cos \theta- \sin 3 \theta( \sin \theta) \\ \frac { d y } { d \theta } =(3 \cos 3 \theta) \sin \theta + \sin 3 \theta( \cos \theta) \end {array} \]이다. 따라서 \[ \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d \theta } / \frac { d x } { d \theta } = \frac { (3 \cos 3 \theta) \sin \theta + \sin 3 \theta( \cos \theta) } { (3 \cos 3 \theta) \cos \theta- \sin 3 \theta( \sin \theta) } \]가 된다. 그러므로 \( \theta= \frac {\pi } { 4 } \)에서 접선의 기울기는 \[ \left . \frac { d y } { d x } \right \|_ {\theta= \pi / 4 } = \frac { 1 } { 2 } \]로 주어진다.</p> <caption>■</caption> <p>특히 ( * )에서 \( r ^ {\prime } \)과 \( \cos \theta \)가 모두 0이 아니면 \[ \tan \alpha= \frac {\tan \theta + \left (r /r ^ {\prime } \right ) } { 1- \left (r / r ^ {\prime } \right ) \tan \theta } \left ( \text { 단, } r ^ {\prime } = \frac { d r } { d \theta } \right ) \]이 된다. 따라서 동경벡터 \( O P \) 와 \( P \)에서의 접선 사이의 각을 \( \psi \)라 하면 \[ \tan \psi= \tan ( \alpha- \theta)= \frac {\tan \alpha + \tan \theta } { 1 + \tan \alpha \tan \theta } \]이므로 \[ \tan \psi= \frac { r } {\frac { d r } { d \theta } } \]이 성립한다. 한편 두 곡선 \( C \)와 \( C ^ {\prime } \)이 점 \( P \)에서 서로 만날 때, 교각 \( \phi \)는 \( \left \| \psi- \psi ^ {\prime } \right \| \)으로 주어지므로 \[ \tan \phi= \left \| \frac {\tan \psi- \tan \psi ^ {\prime } } { 1 + \tan \psi \tan \psi ^ {\prime } } \right \| \]이 된다.</p> <h2>3. 역함수 미분법</h2> <p>연쇄법칙을 적용하여, 역함수의 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>정리 5 역함수 미분법</p> <p>미분가능한 함수 \( y=f(x) \) 의 역함수가 존재하고 \( \frac{d y}{d x} \neq 0 \)이면, 역함수도 미분가능하다. 이때\[ \frac{d x}{d y}=\frac{1}{\frac{d y}{d x}} \]</p> <p>중명</p> <p>\( y=f(x) \)의 역함수를 \( x=g(y) \) 라고 하면, \( x=g(f(x)) \)이다. 이때 양변을 \( x \)에 관해서 미분하면\[1=\frac{d}{d x}[g(f(x))]=\frac{d}{d y}[g(y)] \frac{d y}{d x}=\frac{d x}{d y} \frac{d y}{d x}\]가 된다. 따라서 \ \frac{d y}{d x} \neq 0 \)일 때, \( \frac{d x}{d y}=\frac{1}{\frac{d y}{d x}} \)을 얻는다.</p> <caption>■</caption> <p>예</p> <p>\( x=\sqrt{y+1} \) 일 때, \( \frac{d x}{d y}=\frac{1}{2 \sqrt{y+1}} \) 이므로\[\frac{d y}{d x}=2 \sqrt{y+1}\]이 된다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <p>정리 6</p> <p>함수 \( y=f(x) \)가 모든 \( x \)에서 미분가능하고 역함수 \( g(x)=f^{-1}(x) \)를 가질 때, \( f^{\prime}(g(x)) \neq 0 \) 이면\[g^{\prime}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(g(x))}\]</p> <p>예</p> <p>\( f(x)=x^{5}+3 x^{3}+2 x+1 \)로 정의된 함수 \( f(x) \)는 모든 실수 \( x \in \mathbb{R} \)에 대해서\[f^{\prime}(x)=5 x^{4}+9 x^{2}+2>0\]이므로, \( f(x) \)의 역함수 \( g \)와 또한 모든 \( y \in R(f) \)에서 \( g^{\prime}(y) \)가 존재한다. 그런데 \( f(1)=7 \)이므로, \( g(7)=1 \)이고 \( f^{\prime}(g(7))=16 \)이 된다. 따라서 \[g^{\prime}(7)=\frac{1}{f^{\prime}(1)}=\frac{1}{16}\]이 된다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <h2>4. 음함수 미분법</h2> <p>음함수 \( f(x, y)=0 \)의 도함수를 구하는 경우는 양함수 \( y=f(x) \) 형태로 변형하여 미분할 수 있다.</p> <p>참고</p> <p>\( f(x, y)=y-x^{3}=0 \)은 \( y=x^{3} \)으로 변형되므로, \( y^{\prime}=3 x^{2} \)이 된다. 그러나 방정식 \( x^{2}-2 x=y^{3}-y+1 \)은 간단히 양함수로 변형할 수 없다.</p> <p>양함수로 변형하기가 쉽지 않거나 불가능할 경우는 음함수 미분법을 이용한다. 음함수 \( f(x, y)=0 \)을 양함수 \( y=f(x) \)로 쉽게 변형할 수 있는 경우조차도 음함수 미분법을 이용하면 보다 쉽게 도함수를 구할 수 있다.</p> <p>정의 7 음함수 미분법</p> <p>음함수 \( f(x, y)=0 \)을 \( x \)로 미분하는 방법은, 먼저 \( y \)를 \( x \)의 함수라 생각하고 \( f(x, y)=0 \)의 각 항을 연쇄법칙을 이용하여 \( x \)에 관하여 미분한 후 \( y^{\prime} \)에 대한 결과를 구한다. 이 방법을 음함수 미분법 (implicit differentiation)이라고 한다.</p> <p>예제</p> <p>\( x^{2}+y^{3}-2 y=8 \) 위의 점 \( (3,1) \)에서 접선의 방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>방정식 \( x^{2}+y^{3}-2 y=8 \)에서 음함수 미분법을 이용하면\[2 x+3 y^{2} y^{\prime}-2 y^{\prime}=0\]이고, \( y^{\prime} \)에 관하여 정리하면 \( y^{\prime}=\frac{-2 x}{3 y^{2}-2} \)가 된다. 이때 \( x=3 \)과 \( y=1 \) 을 대입하면 \( y^{\prime}=-6 \)이므로, \( (3,1) \)에서 접선의 방정식은\[y-1=-6(x-3) \text {, 즉 } y=-6 x+19\]<caption>■</caption></p> <h2>5. 고계도함수</h2> <p>일계도함수 \( f^{\prime}(x) \)가 미분가능할 때, 새로운 함수 \( \left(f^{\prime}\right)^{\prime}=f^{\prime \prime} \)을 정의할 수 있다. 이때 \( f^{\prime \prime}(x) \)를 함수 \( f(x) \)의 이계도함수라 하고\[y^{\prime \prime}, f^{\prime \prime}(x), \frac{d^{2} y}{d x}, \frac{d^{2}}{d x^{2}} f(x)\] 등으로 표시한다. 마찬가지로 이계도함수가 미분가능할 때 \( \left(f^{\prime \prime}\right)^{\prime}=f^{\prime \prime \prime} \)을 정의하고, \( f^{\prime \prime \prime}(x) \)를 함수 \( f(x) \)의 삼계도함수라 한다. 일반적으로 \( y=f(x) \)의 \( n \)계 도함수 \( (n \)-th derivative)를 \( f^{(n)}(x) \)로 나타내고\[y^{(n)}, f^{(n)}(x), \frac{d^{n} y}{d x^{n}}, \frac{d^{n}}{d x^{n}} f(x)\] 등으로 표시한다. 보통 이계 이상의 도함수를 고계도함수(higher derivative)라고 한다.</p> <p>예제</p> <p>\( x^{2}+y^{2}=a^{2} \)으로 주어진 함수에 대해서, \( y^{\prime} \)과 \( y^{\prime \prime} \)을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>음함수 미분법을 이용하면, \( 2 x+2 y y^{\prime}=0 \)이므로\[y^{\prime}=-\frac{x}{y}(\text { 단, } y \neq 0 \text { ) }\]가 된다. 이제 다음 두 가지 방법으로 \( y^{\prime \prime} \)을 구해보자.<ul> <li>( i ) \( (*) \) 를 다시 미분하여 \( y^{\prime \prime}=-\frac{y-x y^{\prime}}{y^{2}} \) 을 얻는다. 그런데 \( y^{\prime}=-\frac{x}{y} \) 이고 \( x^{2}+y^{2}=a^{2} \) 이므로, \( y^{\prime \prime}=-\frac{a^{2}}{y^{3}} \) (단, \( y \neq 0 \) )이 된다.</li> <li>(ii) \( 2 x+2 y y^{\prime}=0 \) 에 음함수 미분법을 이용하여\[1+\left(y^{\prime}\right)^{2}+y y^{\prime \prime}=0 \text {, 즉 } y y^{\prime \prime}=-\left(1+\frac{x^{2}}{y^{2}}\right)=-\frac{a^{2}}{y^{2}}\]을 얻는다. 그러므로 \( y^{\prime \prime}=-\frac{a^{2}}{y^{3}} \) (단, \( y \neq 0 \) ) 이 된다.</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>참고</p> <p>(라이프니츠 정리) : 두 함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \)가 \( n \)번 미분가능하면\[\begin{aligned}(f g)^{(n)}(x)=& f^{(n)}(x) \cdot g(x)+{ }_{n} C_{1} f^{(n-1)}(x) \cdot g^{\prime}(x)+\cdots \\&+{ }_{n} C_{i} f^{(n-i)}(x) \cdot g^{(i)}(x)+\cdots+f(x) \cdot g^{(n)}(x)\end{aligned}\]가 성립한다.</p> <h1>2.3 초월함수의 미분법</h1> <p>이 절에서는 초월함수인 삼각함수, 역삼각함수, 로그함수, 지수함수, 쌍곡선함수, 역쌍곡선함수의 미분법에 대해서 서술한다.</p> <h2>1. 삼각함수와 역삼각함수의 미분법</h2> <h3>(1) 삼각함수의 미분법</h3> <p>정리 1 삼각함수의 미분법</p> <p> <ul> <li>(1) \( \frac{d}{d x}(\sin x)=\cos x \)</li> <li>(2) \( \frac{d}{d x}(\cos x)=-\sin x \)</li> <li>(3) \( \frac{d}{d x}(\tan x)=\sec ^{2} x \)</li> <li>(4) \( \frac{d}{d x}(\csc x)=-\csc x \cot x \)</li> <li>(5) \( \frac{d}{d x}(\sec x)=\sec x \tan x \)</li> <li>(6) \( \frac{d}{d x}(\cot x)=-\csc ^{2} x \)</li></ul></p> <p>증명</p> <p>삼각함수 \( \tan x, \csc x, \sec x, \cot x \) 에 대한 도함수는 [2.2절 정리 \( 2(4)] \)를 이용하여 쉽게 얻을 수 있으므로, 여기서는 (1), (2)만 증명한다.<ul> <li>(1) \( \frac{d}{d x} \sin x=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin (x+h)-\sin x}{h} \)\[\begin{array}{l}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 \cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \left(\frac{h}{2}\right)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \\=\lim _{h \rightarrow 0} \cos \left(x+\frac{h}{2}\right) \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\sin \left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}}=\cos x \end{array}\]</li> <li>(2) \( \cos x=\sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right) \) 이므로\[ \frac{d}{d x} \cos x=\frac{d}{d x} \sin \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin x \]</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( \frac{d y}{d x} \)를 구하시오.<ul> <li>(1) \( y=x^{2} \sin x \)</li> <li>(2) \( y=\tan \left(x^{2}+1\right) \)</li> <li>(3) \( \sin x+\sin y=x y \)</li></ul></p> <p>풀이</p> <p> <ul> <li>(1) 곱의 법칙을 이용하면, \( \frac{d y}{d x}=2 x \sin x+x^{2} \cos x \)</li> <li>(2) \( u=x^{2}+1 \) 로 두면 \( y=\tan u \) 이므로, 연쇄법칙에 의해\[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=\sec ^{2} u \cdot(2 x)=2 x \sec ^{2}\left(x^{2}+1\right)\]</li> <li>(3) 음함수 미분법을 이용하면\[\cos x+\cos y \frac{d y}{d x}=y+x \frac{d y}{d x}\]가 된다. 따라서\[\frac{d y}{d x}=\frac{\cos x-y}{x-\cos y}(\text { 단, } x-\cos y \neq 0)\]</li></ul> <caption>■</caption></p> <h3>(2) 역삼각함수의 미분법</h3> <p>삼각함수가 미분가능하므로, 그 역함수도 미분가능하다.</p> <p>정리 2 역삼각함수의 미분법</p> <p> <ul> <li>(1) \( \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}( \) 단, \( \|x\|<1 \) )</li> <li>(2) \( \frac{d}{d x} \cos ^{-1} x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \) (단, \( \|x\|<1 \) )</li> <li>(3) \( \frac{d}{d x} \tan ^{-1} x=\frac{1}{1+x^{2}} \quad( \) 단, \( x \in \mathbb{R} \) )</li> <li>(4) \( \frac{d}{d x} \cot ^{-1} x=-\frac{1}{1+x^{2}} \) (단, \( x \in \mathbb{R} \) )</li> <li>(5) \( \frac{d}{d x} \sec ^{-1} x=\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}} \) (단, \( \|x\|>1 \) )</li> <li>(6) \( \frac{d}{d x} \csc ^{-1} x=-\frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2}-1}} \) (단, \( \|x\|>1 \) )</li></ul></p> <p>증 명</p> <p>여기서는 (1)만 증명하고, 나머지는 독자에게 남긴다. \( y=\sin ^{-1} x \)라 놓으면\[\sin y=x\left(\text { 단, }-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}\right. \text { ) }\] 이므로, \( x \)에 대해서 미분하면 \( \frac{d y}{d x}=\frac{1}{\cos y} \)이 된다. \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \)에서 \( \cos y \geq 0 \)이므로\[\cos y=\sqrt{1-\sin ^{2} y}=\sqrt{1-x^{2}}\]이 성립한다. 따라서\[\frac{d}{d x} \sin ^{-1} x=\frac{1}{\cos y}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \](단, \( \|x\|<1) \)</p> <caption>■</caption> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( \frac{d y}{d x} \)를 구하시오.<ul> <li>(1) \( y=\cos ^{-1} \sqrt{x} \)</li> <li>(2) \( y=x \tan ^{-1} \sqrt{x} \)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(1) \( \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}(\sqrt{x})^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x}}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)=-\frac{1}{2 \sqrt{x(1-x)}} \)</li> <li>(2) \( \frac{d y}{d x}=x^{\prime} \tan ^{-1} \sqrt{x}+x\left(\tan ^{-1} \sqrt{x}\right)^{\prime} \)\[ =\tan ^{-1} \sqrt{x}+x \cdot \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}}=\tan ^{-1} \sqrt{x}+\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)} \]</li></ul></p> <p>예제</p> <p>\( \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \)가 성립함을 보이시오.</p> <p>증명</p> <p>\( f(x)=\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x \)라 두면, 모든 \( x \)에 대해서 \( f^{\prime}(x)=0 \)이 된다. 그러면 \( f(x)=c \) 이므로\[c=f(1)=\tan ^{-1} 1+\cot ^{-1} 1=\frac{\pi}{2}\]를 얻는다. 따라서 \( \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2} \)가 성립한다.</p> <caption>■</caption> <h1>2.1 미분계수와 도함수</h1> <h2>1. 미분계수</h2> <p>미분법의 중요한 개념은 도함수이다. 미분학에서는 극한을 이용하여 접선 문제로부터 도함수의 개념을 형식화한다. 접선이라는 단어는 ‘접한다'라는 의미를 가지고 있는 라틴어 'tangens'에서 유래되었다.</p> <p>정의 1 미분계수</p> <p>\( f(x) \) 가 한 점 \( a \)를 포함하는 열린구간에서 정의된 함수라고 하자. 이때 극한 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \)가 존재하면, 이 값을 \( x=a \) 에서 함수 \( y=f(x) \)의 미분계수 (differential coefficient)라 하고\[f^{\prime}(a)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]로 정의한다.</p> <p>미분계수의 정의는\( f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \) 또는 \( f^{\prime}(a)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \)로 표현된다. 여기서 \( \Delta x=x-a \) 를 \( x \) 의 증분(increment)이라 하고\[\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)=f(x)-f(a)\]를 \( \Delta x \) 에 대응하는 \( y \)의 증분이라고 한다. 이때 \( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)를 닫힌구간 \( [a, a+\Delta x] \) 에서 \( f(x) \)의 평균변화율 (average rate of change)이라고 한다.</p> <p>함수 \( f(x)=x^{2}+3 x \) 에 대해서\[f(-1)=-2, f\left(-1+\Delta_{x}\right)=-2+\Delta x+\left(\Delta_{x}\right)^{2}\] 이므로, \( x=-1 \) 에서 미분계수는\[f^{\prime}(-1)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x}=1\]이다.<caption>\( \square \)</caption></p> <p>예제</p> <p>다음 물음에 답하시오.<ul> <li>(1) \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{1000}-1}{x-1} \) 의 값을 구하시오.</li> <li>(2) \( f(1)=1, f^{\prime}(1)=2 \) 일 때, \( \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x^{3}-1} \) 의 값을 구하시오.</li></ul></p> <p>풀이</p> <p> <ul> <li>(1) \( f(x)=x^{1000} \) 으로 하면, \( f(1)=1 \) 이므로\[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{1000}-1}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime}(1)\]이다. 그런데 \( f^{\prime}(x)=1000 x^{999} \) 이므로, \( f^{\prime}(1)=1000 \) 이다.</li> <li>(2)\[\begin{aligned}\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x^{3}-1} &=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)} \\&=\lim _{x \rightarrow 1} \frac{f(x)-1}{x-1} \cdot \lim _{x \rightarrow 1} \frac{1}{x^{2}+x+1}=f^{\prime}(1) \cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}\end{aligned}\]</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>\( x=a \)에서 우미분계수와 좌미분계수를 각각\[\lim _{h \rightarrow+0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, \quad \lim _{h \rightarrow-0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]로 정의하고, \( x=a \) 에서 좌·우미분계수가 모두 존재해서 일치할 때 \(f^{\prime}(a) \) 가 존재한다고 한다.</p> <p>예제</p> <p>함수 \( f(x)=\|x\| \) 에 대해서, \( f^{\prime}(0) \)을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\|0+h\|-\|0\|}{h} \] 에서 \[ \lim _{h \rightarrow+0} \frac{\|0+h\|-\|0\|}{h}=\lim _{h \rightarrow+0} \frac{\|h\|}{h}=\lim _{h \rightarrow+0} \frac{h}{h}=1 \]\[ \lim _{h \rightarrow-0} \frac{\|0+h\|-\|0\|}{h}=\lim _{h \rightarrow-0} \frac{\|h\|}{h}=\lim _{h \rightarrow+0} \frac{-h}{h}=-1 \]이므로, \( f^{\prime}(0) \) 이 존재하지 않는다.</p> <caption>■</caption> <p>정의 2 미분가능</p> <p>\( f(x) \)가 한 점 \( a \)를 포함하는 어떤 열린구간에서 정의된 함수라고 하자. 이때 미분계수 \( f^{\prime}(a) \)가 존재하면, 함수\( y=f(x) \) 는 \( x=a \)에서 미분가능 (differentiable)하다고한다. 특히 함수 \( y=f(x) \)가 어떤 열린구간 \( I \)의 모든 점에서 미분가능하면, \( f(x) \)는 구간 \( I \) 에서 미분가능하다고 한다.</p> <p>예</p> <p>함수 \( f(x)=x^{\frac{1}{3}} \)은 \( x=0 \)에서 미분가능하지 않다. 왜냐하면\[\lim _{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}=\infty\]이므로, \( f^{\prime}(0) \) 이 존재하지 않기 때문이다.<caption>\( \square \)</caption></p> <p>예제</p> <p>\( f^{\prime}(a)=2 \)일 때, 극한 \( \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a)}{3 h} \)의 값을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a)}{3 h}=\frac{2}{3} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(a+2 h)-f(a)}{2 h}=\frac{2}{3} f^{\prime}(a)=\frac{4}{3} \]<caption>■</caption></p> <p>함수 \( f(x) \)가 \( K \subset \mathbb{R} \)의 모든 점에서 미분가능할 때, \( f(x) \) 는 K에서 미분가능하다 고 한다.</p> <h3>(2) 로그함수의 미분법</h3> <p>로그함수는 미분가능한 지수함수의 역함수이므로 미분가능하다.</p> <p>정리 5로그함수의 미분법</p> <p>\( x>0 \)일 때\[\frac{d}{d x} \ln x=\frac{1}{x}, \frac{d}{d x} \log _{a} x=\frac{1}{x \ln a}(\text { 단, } a>0, a \neq 1)\]</p> <p>증명</p> <p>\( y=\ln x( \)단, \( x>0) \)라고 놓으면 \( e^{y}=x \) 이므로, \( x \)에 관해서 미분하여\[e^{y} \frac{d y}{d x}=1 \text {, 즉 } \frac{d y}{d x}=\frac{1}{e^{y}}=\frac{1}{x}\]을 얻는다. 한편 \( x>0 \)일 때 \( y=\log _{a} x \) (단, \( a>0, a \neq 1 \) )이면 \( a^{y}=x \) 이므로, \( a^{y} \ln a \frac{d y}{d x}=1 \)이 된다. 따라서 \[\frac{d}{d x} \log _{a} x=\frac{1}{a^{y} \ln a}=\frac{1}{x \ln a}\]<caption>■</caption></p> <p>정리 6</p> <p>\[ \frac{d}{d x} \ln \|u\|=\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}, \frac{d}{d x} \log _{a}\|u\|=\frac{1}{u \ln a} \frac{d u}{d x} \]</p> <p>예</p> <p>\( \frac{d}{d x} \ln \|g(x)\|=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x)} \) 이고, \(\frac{d}{d x} \log _{a}\|g(x)\|=\frac{g^{\prime}(x)}{g(x) \ln a} \) 이다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( \frac{d y}{d x} \) 를 구하시오.<ul> <li>(1) \( y=\ln (\cos x) \)</li> <li>(2) \( y=\ln \left(x^{4}+1\right) \)</li></ul></p> <p>풀이</p> <p> <ul> <li>(1) \( u=\cos x \) 로 두면 \( y=\ln u \) 이므로, 연쇄법칙에 의해 \[ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{1}{\cos x} \cdot(-\sin x)=-\tan x \]</li> <li>(2) \( u=x^{4}+1 \) 로 두면 \( y=\ln u \) 이므로, 연쇄법칙에 의해 \[ \frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=\frac{1}{u} \frac{d u}{d x}=\frac{1}{x^{4}+1} \cdot 4 x^{3}=\frac{4 x^{3}}{x^{4}+1} \]</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>예제</p> <p>\( f(x)=\ln x \)의 도함수 \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \)을 이용하여, \( \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e \) 임을보이시오.</p> <p>증명</p> <p>\( f^{\prime}(1)=1 \)이다. 또한 \[\begin{aligned}f^{\prime}(1) &=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1+x)-f(1)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \ln (1+x) \\&=\lim _{x \rightarrow 0} \ln (1+x)^{1 / x}=\ln \left[\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}\right]\end{aligned}\]이다. 그러므로 \( \ln \left[\lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}\right]=1 \) 이다. 따라서 \( \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{1 / x}=e \)를 얻는다. 만일 \( n=1 / x \)이면, \( x \rightarrow+0 \)일 때 \( n \rightarrow \infty \) 이므로\[e=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\]<caption>■</caption></p> <p>자연로그를 이용하여 도함수를 구하는 방법을 로그미분법 (logarithmic differentiation)또는 대수미분법이라고 한다. 복잡한 함수의 미분을 보다 간편하게 하기 위해 로그미분법이 사용된다.</p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( y^{\prime} \) 을 구하시오.</p> <p> <ul> <li>(1) 양변에 자연로그를 취하면, \( \ln y=x \ln x \) 가 된다. 음함수 미분법을 이용 하면 \[ \frac{y^{\prime}}{y}=\ln x+\frac{x}{x}=\ln x+1 \] 을 얻는다. 따라서 \( y^{\prime}=x^{x}(\ln x+1) \) 이다.</li> <li>(2) 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 \[ \ln \|y\|=3 \ln \|x\|+\frac{1}{2} \ln \|x-1\|-\frac{1}{2} \ln \|x+1\| \] 이 된다. 음함수 미분법을 이용하면 \[ \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{3}{x}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)}=\frac{3 x^{2}+x-3}{x\left(x^{2}-1\right)} \] 을 얻는다. 따라서 \[ y^{\prime}=x^{3} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}\left(\frac{3 x^{2}+x-3}{x\left(x^{2}-1\right)}\right) \]</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>정리 7</p> <p>실수 \( \alpha \in \mathbb{R} \)에 대해서, \( f(x)=x^{\alpha} \)일 때\[f^{\prime}(x)=\alpha x^{\alpha-1}\]</p> <p>증명</p> <p>\( y=x^{\alpha} \)이라 두고, 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면 \( \ln \|y\|=\ln \|x\|^{\alpha}=\alpha \ln \|x\| \) (단, \( x \neq 0 \) )이므로, \( \frac{y^{\prime}}{y}=\frac{\alpha}{x} \) 가 된다. 따라서\[y^{\prime}=\alpha \frac{y}{x}=\alpha \frac{x^{\alpha}}{x}=\alpha x^{\alpha-1} \text {, 즉 } f^{\prime}(x)=\alpha x^{\alpha-1}\] 연쇄법칙과 멱공식을 이용하면 다음 결과를 얻는다.</p> <caption>■</caption> <p>정리 8</p> <p>\( \alpha \in \mathbb{R} \)가 임의의 실수이고, \( u=g(x) \)가 미분가능하면\[\frac{d}{d x}\left(u^{\alpha}\right)=\alpha u^{\alpha-1}\frac{d u}{d x} \text {, 즉 } \frac{d}{d x}[g(x)]^{\alpha}=\alpha[g(x)]^{\alpha-1} g^{\prime}(x)\]</p> <h2>2. 미분계수의 기하학적 의미</h2> <h3>(1) 접선의 기울기</h3> <p>한 곡선의 접선은 그 곡선에 접하는 직선이다.</p> <p>참고</p> <p>곡선 위의 두 점 P, Q에 대해서 P는 고정점, Q는 P 근방에서 움직이는 점일 때, 점 P에서의 접선(tangent line)이란 Q가 곡선을 따라서 P를 향하여 접근할 때의 할선의 극한위치를 말한다 (단, 이 극한이 존재해야 한다).</p> <p>\( f^{\prime}(a) \)가 존재할 때, \( f^{\prime}(a) \)는 곡선 \( y=f(x) \) 위의 한 점 \( P(a, f(a)) \)에서 접선의 기울기를 나타낸다. 따라서 \( f^{\prime}(a) \)가 존재할 때 \( P(a, f(a)) \)에서 곡선 \( y=f(x) \)의 접선의 방정식은\[y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)\]이고, 법선의 방정식은\[y-f(a)=-\frac{1}{f^{\prime}(a)}(x-a)\]로 주어진다. 한 점 \( P(a, f(a)) \)를 지나고 그 점에서의 접선과 수직인 직선을 그 점에 서의 법선(normal line)이라고 한다.</p> <p>예제</p> <p>함수 \( f(x)=2 x+x^{2} \) 에 대해서, \( x=1 \) 에서의 접선의 방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f^{\prime}(x)=2+2 x \) 이므로 \( f^{\prime}(1)=4 \) 이다. \( x=1 \) 일 때 \( f(1)=3 \) 이므로, 곡선위의 점 1,3에서의 접선의 방정식은\[y-3=4(x-1) \text {, 즉 } y=4 x-1\]로 주어진다.</p> <caption>■</caption> <h3>(2) 변화율</h3> <p>\( x=x_{1} \)에서 \( y=f(x) \)의 \( x \)에 대한 순간변화율(instantaneous rate of change)은 충분히작은 닫힌구간 \( \left[x_{1}, x_{2}\right] \)에 대한 평균변화율의 극한\[\text { 순간변화울 }=\lim _{\Delta x\rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{x_{2} \rightarrow x_{1}} \frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}\]이다. 이 극한은 \( x_{1} \)에서 함수 \( f(x) \)의 미분계수 \( f^{\prime}\left(x_{1}\right) \)이다. 이것은 \( y=f(x) \) 의 \( x \)에관한 순간변화율로서의 \( f^{\prime}\left(x_{1}\right) \)에 대한 또 다른 설명이다. 변화율의 계산은 자연과학, 공학뿐만 아니라 사회과학의 모든 영역에서 응용된다.</p> <p>참고</p> <p>접선의 기울기는 여러 응용 면에서 이용되는데, 그중 하나가 속도를 구하는 것이다. 움직이는 물체의 위치함수가 \( s=f(t) \)일 때, \( f^{\prime}\left(x_{1}\right) \)은 시각 \( t \)에 대한 변위 \( s \)의 변화율, 즉 시각 \( t=x_{1} \) 에서 물체의 속도(velocity)가 된다. 물체의 속력은 절댓값\( \left\|f^{\prime}\left(x_{1}\right)\right\| \) 으로 주어진다.</p> <h2>3. 도함수</h2> <p>도함수는 변화율로 생각할 수 있고, 이러한 해석은 많은 응용을 가능하게 한다.</p> <p>정의 3 도함수</p> <p>\( K \subset \mathbb{R} \)일 때, 주어진 함수 \( f(x) \)에 대응하여\[f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]로 정의되는 새로운 함수 \( f^{\prime}: K \rightarrow \mathbb{R} \)을 \( f(x) \)의 도함수(derivative)라고 한다.</p> <p>함수 \( y=f(x) \)의 도함수를 표시할 때\[y^{\prime}, f^{\prime}(x), \frac{d y}{d x}, \frac{d}{d x} f(x), D f(x)\]등의 기호를 사용한다. 여기서 기호 D와 \( \frac{d}{d x} \)를 미분연산자 (differential operator) 또는 미분작용소라고 한다. 라이프니츠(Leibniz)에 의해 소개된 라이프니츠 기호 \( \frac{d y}{d x} \)는 증분기호와 함께 사용할 때 유용하다. \( x=a \)에서 도함수 \( \frac{d y}{d x} \)의 값을 라이프니츠 기호로 표현하면\[\left.\frac{d y}{d x}\right\|_{x=a}\]가 된다.</p> <p>정리 4</p> <p>함수 \( f(x) \)가 \( x=a \) 에서 미분가능하면, \( f(x) \)는 \( x=a \)에서 연속이다.</p> <p>중명</p> <p>\( x \neq a \)에 대해서\[f(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)+f(a)\]를 생각한다. 이때 \( f^{\prime}(a) \)가 존재하므로, 양변에 \( x \rightarrow a \)일 때의 극한을 취하면\[\lim _{x \rightarrow a} f(x)=f^{\prime}(a) \cdot 0+f(a)=f(a)\] 가 성립한다. 따라서 \( \lim _{x \rightarrow a} f(x)=f(a) \) 이므로, \( y=f(x) \) 는 \( x=a \) 에서 연속이다.</p> <caption>■</caption> <p>참고</p> <p>[정 리 4]의 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 함수 \( f(x)=\|x\| \)는\[\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\|x\|=0=f(0)\] 이므로 \( x=0 \)에서 연속이지만, \( f(x) \)는 \( x=0 \)에서 미분가능하지 않다.</p> <h1>2.4 매개변수방정식과 극방정식의 미분법</h1> <h2>1. 매개변수방정식의 미분법</h2> <p>매개변수방정식 (parametric equation) \( x=f(t), y=g(t) \) 로 정의된 곡선은 양함수 \( y=F(x) \) 또는 음함수 \( F(x, y)=0 \) 형태로 나타낼 수 있다.</p> <p>예</p> <p>닫힌구간 \( [0,2 \pi] \)에서 매개변수방정식 \( x=2 \cos t, y=4 \sin t \)로 정의된 곡선은, 타원\[\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1 \text { (단, }-2 \leq x \leq 2 \text { ) }\]을 나타낸다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <p>참고</p> <p>매개변수 (parameter)를 소거하여 매개변수방정식을 만족하는 임의의 점을 직교방정식으로 나타낼 수 있다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들면 방정식 \( x=\sin ^{2} \theta \), \( y=\cos ^{2} \theta \)는 점 (0,1)에서 점 (1,0)까지의 선분을 표시하고, 이에 대응하는 직교방정식 \( x+y=1 \)은 직선 전체를 나타낸다.</p> <p>예제</p> <p>직선을 따라 원이 회전할 때, 원주 위의 한 점 P에 의해 주어지는 곡선을 사이클로이드 (cycloid, 굴렁쇠선)라고 한다. 원의 반지름이 \( r \)이고 \( x \)축을 따라 회전할 때, 사이클로이드의 매개변수방정식을 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>매개변수로서 원의 회전각 \( \theta(P \)가 원점에 있을 때, \( \theta=0) \)를 취하자. 이때원이 \( \theta \) 라디안만큼 회전했을 때, 원이 원점으로부터 굴러간 거리는\[\overline{O T}=\overparen{P T}=r \theta\] 이고 중심은 \( C(r \theta, r) \)이 된다. 따라서 P의 좌표를 \( (x, y) \)라 놓으면\[\begin{array}{l}x=\overline{O T}-\overline{P Q}=r \theta-r \sin \theta=r(\theta-\sin \theta) \\y=\overline{T C}-\overline{Q C}=r-r \cos \theta=r(1-\cos \theta)\end{array}\]이므로, 사이클로이드의 매개변수방정식은 \[x=r(\theta-\sin \theta), y=r(1-\cos \theta)(\text { 단, } \theta \in \mathbb{R})\]로 주어진다.</p> <caption>■</caption> <p>참고</p> <p>갈릴레오는 사이클로이드의 길이와 사이클로이드로 둘러싸인 부분의 넓이를 구함으로써 미분적분학의 발탈에 크게 기여했다.</p> <p>방정식 \( y=F(x) \)에 \( x=f(t), y=g(t) \)를 대입하면 \( g(t)=F(f(t)) \)가 되고, \( g, F \),\( f \)가 미분가능하면 연쇄법칙에 의해\[g^{\prime}(t)=F^{\prime}(f(t)) f^{\prime}(t)=F^{\prime}(x) f^{\prime}(t)\]가 되므로, \( f^{\prime}(t) \neq 0 \)이면 \( F^{\prime}(x)=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)} \)를 얻는다. 따라서 매개변수를 제거하지 않아도 매개변수곡선에 대한 접선을 구할 수 있게 된다. 이때 라이프니츠 표기법을 이용하면, \( \frac{d x}{d t} \neq 0 \)일 때 \( \frac{d y}{d x}=\frac{d y / d t}{d x / d t} \)가 된다. 한편 이계도함수 \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \)는\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{\frac{d}{d x}\left(\frac{d y}{d x}\right)}{\frac{d x}{d t}}\]로 구해진다. 삼계 이상의 도함수를 구하기 위해서는 이 과정을 되풀이한다.</p> <p>정리 1</p> <p>매개변수방정식 \( x=f(t), y=g(t) \)가 어떤 열린구간에서 미분가능하고, \( f^{\prime}(t) \neq 0 \)이면\[\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d t}{d x / d t}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}\]</p> <p>중명</p> <p>연쇄법칙에 의해, \( \frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t} \) 이므로\[\frac{d y}{d x}=\frac{d y / d t}{d x / d t}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}\]<caption>■</caption></p> <p>예제</p> <p>\( x=r(\theta-\sin \theta), y=r(1-\cos \theta) \)로 주어진 사이클로이드에 대해서, 이계도함수 \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( \frac{d x}{d \theta}=r(1-\cos \theta), \frac{d y}{d \theta}=r \sin \theta \) 로부터 \( \frac{d y}{d x}=\frac{\sin \theta}{1-\cos \theta} \)를 얻는다. 따라서 \( \frac{d}{d \theta}\left(\frac{d y}{d x}\right)=\frac{d}{d \theta}\left(\frac{\sin\theta}{1-\cos \theta}\right)=-\frac{1}{1-\cos \theta} \) 이므로\[\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\frac{\frac{d}{d \theta}\left(\frac{d y}{d x}\right)}{\frac{d x}{d \theta}}=-\frac{1}{r(1-\cos \theta)^{2}}\]<caption>■</caption></p> <h1>3. 쌍곡선함수와 역쌍곡선함수의 미분법</h1> <h2>(1) 쌍곡선함수의 미분법</h2> <p>쌍곡선함수의 도함수는 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면 \[ \frac { d } { d x } \cosh x = \frac { d } { d x } \left ( \frac { e ^ { x } + e ^ { -x } } { 2 } \right )= \left ( \frac { e ^ { x } -e ^ { -x } } { 2 } \right )= \sinh x \]</p> <p>정리 9 쌍곡선함수의 미분법</p> <p> <ul> <li>(1) \( \frac { d } { d x } \sinh x= \cosh x \)</li> <li>(2) \( \frac { d } { d x } \operatorname { csch } x=- \operatorname { csch } x \operatorname { coth } x \)</li> <li>(3) \( \frac { d } { d x } \cosh x= \sinh x \)</li> <li>(4) \( \frac { d } { d x } \operatorname { sech } x=- \operatorname { sech } x \tanh x \)</li> <li>(5) \( \frac { d } { d x } \tanh x= \operatorname { sech } ^ { 2 } x \)</li> <li>(6) \( \frac { d } { d x } \operatorname { coth } x=- \operatorname { csch } ^ { 2 } x \)</li></ul></p> <p>예</p> <p>\( f(x)= \cosh 2 x \) 일 때, \( f ^ {\prime } (x)= \sinh 2 x \frac { d } { d x } (2 x)=2 \sinh 2 x \) 가 된다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <h3>(2) 역쌍곡선함수의 미분법</h3> <p>쌍곡선함수가 미분가능하므로, 역쌍곡선함수도 미분가능하다.</p> <p>정리 10역쌍곡선함수의 미분법</p> <p> <ul> <li>(1) \( \frac { d } { d x } \sinh ^ { -1 } x= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } \) (단, \( x \in \mathbb { R } \) )</li> <li>(2) \( \frac { d } { d x } \cosh ^ { -1 } x= \frac { 1 } {\sqrt { x ^ { 2 } -1 } } ( \) 단, \( x>1) \)</li> <li>(3) \( \frac { d } { d x } \tanh ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } \) (단, \( \left .\|x\|<1 \right ) \)</li> <li>(4) \( \frac { d } { d x } \operatorname { coth } ^ { -1 } x= \frac { 1 } { 1-x ^ { 2 } } \) (단, \( \left .\|x\|>1 \right ) \)</li> <li>(5) \( \frac { d } { d x } \operatorname { sech } ^ { -1 } x= \frac { -1 } { x \sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \) (단, \( 0<x<1 \) )</li> <li>(6) \( \frac { d } { d x } \operatorname { csch } ^ { -1 } x= \frac { -1 } { \|x\| \sqrt { 1 + x ^ { 2 } } } \) (단, \( x \neq 0 \) )</li></ul></p> <p>예제</p> <p>\( f(x)= \tanh ^ { -1 } ( \sin x) \)일 때, 도함수 \( f ^ {\prime } (x) \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (x) &= \frac { 1 } { 1- \sin ^ { 2 } x } \frac { d } { d x } ( \sin x)= \frac { 1 } { 1- \sin ^ { 2 } x } ( \cos x) \\ &= \frac {\cos x } {\cos ^ { 2 } x } = \sec x \end {aligned} \]<caption>■</caption></p> <h2>2. 극방정식의 미분법</h2> <p>극방정식 \( r = f( \theta) \)로 주어진 곡선 \( C \)위의 점 \( P(r, \theta) \)에서 접선을 구하기 위해서는, \( \theta \) 를 매개변수로 하여 \( \theta \)의 매개변수방정식을 \[x=r \cos \theta=f( \theta) \cos \theta, y=r \sin \theta=f( \theta) \sin \theta \]로 변형한다. 그러면 \[ \frac { d x } { d \theta } = \frac { d r } { d \theta } \cos \theta-r \sin \theta, \frac { d y } { d \theta } = \frac { d r } { d \theta } \sin \theta + r \cos \theta \]이므로, \( \frac { d x } { d \theta } \neq 0 \) 일 때 매개변수곡선의 기울기는 \[ \tan \alpha= \frac { d y } { d x } = \frac { d y } { d \theta } / \frac { d x } { d \theta } = \frac { r ^ {\prime } \sin \theta + r \cos \theta } { r ^ {\prime } \cos \theta-r \sin \theta } \]가 된다.</p> <p>예</p> <p>곡선 \( r=2 \sin \theta \)위의 점 \( \left (1, \frac {\pi } { 6 } \right ) \)에서 \( r=1, r ^ {\prime } = \sqrt { 3 } \)이므로 \[ \tan \alpha= \frac { ( \sqrt { 3 } ) \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) + (1) \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) } { ( \sqrt { 3 } ) \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right )-(1) \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) } \]<caption>\( \square \)</caption></p> <p>예제</p> <p>\( \theta= \frac {\pi } { 4 } \)에서 세 잎 장미형 \( r= \sin 3 \theta \)의 접선의 기울기를 구하시오.</p> <h1>2.2 미분법</h1> <h2>1. 미분법</h2> <p>함수 \( f(x) \)로부터 \( f^{\prime}(x) \)를 구하는 것을 \( x \)에 관하여 미분한다(differentiate)고 하고, 그 계산법을 미분법 (differentiation)이라고 한다.</p> <p>참고</p> <p>주어진 함수의 도함수를 구하는 과정을 다음 사단계 계산법<ul> <li>(1) \( y+\Delta y=f(x+\Delta x) \)</li> <li>(2) \( \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x) \)</li> <li>(3) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \)</li> <li>(4) \( \frac{d y}{d x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \)</li></ul>으로 요약할 수 있다. 사단계 계산법은 주어진 함수의 도함수를 구할 때 기본적인 과정이지만, 실제로는 단계 (1), (2), (3)은 생략하고 단계 (4), 즉 도함수의 정의만을 적용하여 직접 구하는 방법을 이용한다.</p> <p>정리 1 멱공식 (거듭제곱 법칙)</p> <p>임의의 자연수 \( n \in \mathbb{N} \)에 대해서, \( f(x)=x^{n} \)일 때\[f^{\prime}(x)=n x^{n-1}\]</p> <p>예</p> <p>상수함수 \( f(x)=c \) (단, \( c \) 는 상수)에 대해서, \( f^{\prime}(x)=0 \)이 성립한다. 따라서 수평직선 \( y=c \)의 접선의 기울기는 0이다.</p> <caption>\( \square \)</caption> <p>참고</p> <p>멱공식은 \( n \)이 임의의 실수일 경우까지 확장된다.</p> <p>정리 2</p> <p>두 함수 \( f(x) \)와 \( g(x) \) 가 어떤 구간에서 미분가능하고 c가 상수일 때, 그 구간에서<ul> <li>(1) \( (c f)^{\prime}(x)=c f^{\prime}(x) \)</li> <li>(2) \( (f \pm g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x) \)</li> <li>(3) \( (f g)^{\prime}(x)=f(x) g^{\prime}(x)+g(x) f^{\prime}(x) \)</li>(곱의 법칙)<li>(4) \( \left(\frac{f}{g}\right) \) ' \( (x)=\frac{g(x) f^{\prime}(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{[g(x)]^{2}} \) (단, \( g(x) \neq 0 \) )</li>(몫의 법칙)</ul></p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( f^{\prime}(x) \) 를 구하시오.<ul> <li>(1) \( \begin{aligned} f^{\prime}(x)&=\left(x^{3}-1\right)^{\prime}\left(x^{2}+x+1\right)+\left(x^{3}-1\right)\left(x^{2}+x+1\right)^{\prime} \\ &=3x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)+\left(x^{3}-1\right)(2 x+1) \\ &=5 x^{4}+4 x^{3}+3 x^{2}-2 x-1 \end{aligned} \)</li> <li>(2)\(\begin{aligned}f^{\prime}(x) &=x^{\prime}+\frac{x^{\prime}\left(x^{2}+1\right)-x\left(x^{2}+1\right)^{\prime}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \\&=1+\frac{\left(x^{2}+1\right)-2 x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}=\frac{x^{4}+x^{2}+2}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\end{aligned}\)</li></ul> <caption>■</caption></p> <p>[정리 2 (4)]는 멱공식을 지수가 음의 정수인 경우로 확장하는 데 이용된다.</p> <p>참고</p> <p>절댓값 함수 \( f(x)=\|x\| \) 가 \( x=0 \)에서 미분가능하지 않으므로, 함수 \( g(x)=x\|x\| \)에 대해서 \( g^{\prime}(0) \)을 구할 때 [정리 2 ]를 적용할 수 없다. 이 경우는 미분계수의 정의를이용하여 구한다. (연습문제 \( 2.1 \) 참조)</p> <h2>2. 합성함수의 미분법</h2> <p>합성함수의 미분법을 연쇄법칙 (chain rule) 또는 연쇄율이라고 한다.</p> <p>정리 3 연쇄법칙</p> <p>두 함수 \( y=f(x), x=g(t) \)가 미분가능하면, 합성함수 \( y=f(g(t)) \)는 \( t \)에 관해서 미분가능하다. 이때\[(f \circ g)^{\prime}(t)=f^{\prime}(g(t)) g^{\prime}(t)\]</p> <p>증명</p> <p>\( \lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}=g^{\prime}(t) \) 이므로, \( \frac{\Delta x}{\Delta t}-g^{\prime}(t)=\varepsilon_{1} \)이라 놓으면 \( \Delta t \rightarrow 0 \)일 때\( \varepsilon_{1} \rightarrow 0 \)이 되고\[ \Delta x=\left\{g^{\prime}(t)+\varepsilon_{1}\right\} \Delta t\]를 얻는다. 마찬가지로 \( \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}(x) \)이므로, \( \frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime}(x)=\varepsilon_{2} \)라놓으면 \( \Delta x \rightarrow 0 \)일 때 \( \varepsilon_{2} \rightarrow 0 \)이 되고\[\Delta y=\left\{f^{\prime}(x)+\varepsilon_{2}\right\} \Delta x=\left\{f^{\prime}(x)+\varepsilon_{2}\right\}\left\{g^{\prime}(t)+\varepsilon_{1}\right\} \Delta t\]를 얻는다. 따라서\[\begin{aligned}\frac{d y}{d t} &=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left\{f^{\prime}(x)+\varepsilon_{2}\right\}\left\{g^{\prime}(t)+\varepsilon_{1}\right\} \\&=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left\{f^{\prime}(x)+\varepsilon_{2}\right\} \lim _{\Delta t \rightarrow 0}\left\{g^{\prime}(t)+\varepsilon_{1}\right\}=f^{\prime}(g(t)) g^{\prime}(t)\end{aligned}\]<caption>■</caption></p> <p>연쇄법칙을 라이프니츠 기호로 표현하는 것이 도움이 되는 경우가 많다. 미분가능한 두 함수 \( y=f(x), x=g(t) \)의 합성함수 \( y=f(g(t)) \)에 대해서, 연쇄법칙은\[\frac{d y}{d t}=\frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t}\]로 나타낼 수 있다.</p> <p>예제</p> <p>두 함수 \( f(x)=3 x+2 \)와 \( g(x)=x^{2} \)에 대해서, \( (g \circ f)^{\prime}(x) \)를 구하시오.</p> <p>풀이</p> <p>\( f^{\prime}(x)=3, \quad g^{\prime}(x)=2 x \)이므로\((g \circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}(f(x)) f^{\prime}(x)=2(3 x+2) \cdot 3=18 x+12\)</p> <caption>■</caption> <p>정리 4</p> <p>임의의 유리수 \( r \in \mathbb{Q} \)에 대해서, \( y=x^{r} \)일 때\[y^{\prime}=r x^{r-1}\]</p> <p>증명</p> <p>\( r=\frac{p}{q} \) (단, \( p, q \in \mathbb{Z} \)이고 \( q \neq 0 \) )라 두면, \( y^{q}=x^{p} \)이 된다. 양변을 \( x \)에 관해서 미분하면, 연쇄법칙에 의해\[\frac{d}{d x} y^{q}=\frac{d}{d x} x^{p} \text { 이고 } \frac{d}{d y}\left(y^{q}\right) \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x} x^{p}\]이다. 그러므로 \( q y^{q-1} \frac{d y}{d x}=p x^{p-1} \)을 얻는다. 따라서\[\frac{d y}{d x}=\frac{p x^{p-1}}{q y^{q-1}}=\frac{p}{q} x^{p-1}\left(x^{p / q}\right)^{1-q}=r x^{r-1}\]<caption>■</caption></p> <p>예<ul> <li>(1) \( f(x)=\sqrt{x} \) (단, \( x>0 \) )일 때, \( f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} \)</li> <li>(2) \( f(x)=x^{\frac{2}{3}} \) (단, \( x \neq 0 \) )일 때, \( f^{\prime}(x)=\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3}-1}=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} \)</li></ul> <caption>\( \square \)</caption></p> <p>예제</p> <p>다음 함수에 대해서, 도함수 \( \frac{d y}{d x} \)를 구하시오.<ul> <li>(1) \( y=x^{2}+2 \sqrt{x} \)</li> <li>(2) \( y=\sqrt{x^{2}+1} \)</li></ul></p> <p>풀이<ul> <li>(1) \( \frac{d y}{d x}=\left(x^{2}\right)^{\prime}+(2 \sqrt{x})^{\prime}=2 x+\frac{1}{\sqrt{x}} \)</li> <li>(2) \( u=x^{2}+1 \) 로 두면 \( y=\sqrt{u} \) 이므로, 연쇄법칙에 의해\[\frac{d y}{d x}=\frac{d y}{d u} \frac{d u}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{u}}(2 x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\]</li></ul> <caption>■</caption></p> <h2>2. 지수함수와 로그함수의 미분법</h2> <h3>(1) 지수함수의 미분법</h3> <p>이항정리에 의해 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } = 2 + \frac { 1 } { 2 ! } + \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { 1 } { 4 ! } + \cdots \]를 얻는다. 이때 우변의 무한급수는 수렴하고, 이 극한을 \(e\)로 정의한다. 원주율 \( \pi \)와 함께 무리수 \(e\)는 수학에서 매우 중요한 역할을 한다. 이것은 1736 년 오일러 (Euler)가 처음으로 표기하였기 때문에 오일러 수(Euler number)라고 한다. 네이피어 상수(Napier constant)라고도 부르는 오일러 수 \( e \) 는 \( e=2.718 \cdots \)인 초월수로서 자연로그의 밑으로 사용한다.</p> <p>참고</p> <p>\( \lim _ { x \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow- \infty } \left (1 + \frac { 1 } { x } \right ) ^ { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 } (1 + x) ^ {\frac { 1 } { x } } =e \)이므로 (3.5절 참조)<ul> <li>(1) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\ln (1 + x) } { x } =1 \)</li> <li>(2) \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac {\log _ { a } (1 + x) } { x } = \frac { 1 } {\ln a } \) (단, \( \left .a>0, a \neq 1 \right ) \)</li></ul></p> <p>정리 3</p> <p>극한 \( \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { x } =1 \)이 성립한다.</p> <p>중명</p> <p>\( e ^ { x } -1=t \) 로 치환하면, \( x= \ln (1 + t) \)가 된다. 따라서 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { e ^ { x } -1 } { x } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { t } {\ln (1 + t) } = \lim _ { t \rightarrow 0 } \frac { 1 } {\ln (1 + t) ^ { 1 / t } } =1 \]<caption>■</caption></p>	자연
m896-미분적분학	<h3>(2) 분모 \( g(x) \)가 서로 다른 1차식으로 인수분해될 경우</h3> <p>\( g(x)= \left (x-a_ { 1 } \right ) \left (x-a_ { 2 } \right ) \cdots \left (x-a_ { r } \right ) \)일 때는 \[ \frac { f(x) } { g(x) } = \frac { A_ { 1 } } { x-a_ { 1 } } + \frac { A_ { 2 } } { x-a_ { 2 } } + \cdots + \frac { A_ { n } } { x-a_ { n } } \text { , (단, } A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, 4_ { n } \text { 은 상수) } \]인 부분분수로 분해하여 적분한다.</p> <p>예제 2</p> <p>\( \int \frac { x ^ { 2 } + 2 x-1 } { 2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 x } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>피적분함수는 다음과 같이 분해된다.</p> <p>\[ \frac { x ^ { 2 } + 2 x-1 } { x(2 x-1)(x + 2) } = \frac { A } { x } + \frac { B } { 2 x-1 } + \frac { C } { x + 2 } \]</p> <p>우변을 통분하여 양변의 분자를 비교하면</p> <p>\[x ^ { 2 } + 2 x-1=A(2 x-1)(x + 2) + B x(x + 2) + C x(2 x-1) \]</p> <p>미정계수법에서 계수비교법을 사용하면</p> <p>\[ \begin {aligned} 2 A + B + 2 C &=1 \\3 A + 2 B-C &=2 \\-2 A \quad &=-1 \end {aligned} \]</p> <p>위 연립방정식을 풀면</p> <p>\[A= \frac { 1 } { 2 } , \quad B= \frac { 1 } { 5 } , \quad C=- \frac { 1 } { 10 } \]</p> <p>그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 2 } + 2 x-1 } { 2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } -2 x } d x &= \int \left ( \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { 5 } \frac { 1 } { 2 x-1 } - \frac { 1 } { 10 } \frac { 1 } { x + 2 } \right ) d x \\&= \frac { 1 } { 2 } \ln \|x\| + \frac { 1 } { 10 } \ln \|2 x-1\|- \frac { 1 } { 10 } \ln \|x + 2\| + C \end {aligned} \]</p> <p>또 \( u=2 \sin \theta \)라 하면 \( d u=2 \cos \theta d \theta \)이고 \( \sqrt { 4-u ^ { 2 } } =2 \cos \theta \)이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { x } {\sqrt { 3-2 x-x ^ { 2 } } d x } &= \int \frac { 2 \sin \theta-1 } { 2 \cos \theta } 2 \cos \theta d \theta \\&= \int(2 \sin \theta-1) d \theta \\&=-2 \cos \theta- \theta + C \\&=- \sqrt { 4-u ^ { 2 } } - \sin ^ { -1 } \frac { u } { 2 } + C \\&=- \sqrt { 3-2 x-x ^ { 2 } } - \sin ^ { -1 } \frac { x + 1 } { 2 } + C \end {aligned} \]</p> <h2>7.4 유리함수의 적분법</h2> <h3>(1) 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮지 않은 경우</h3> <p>피적분함수가 유리함수일 때 분자인 다항식 \( f(x) \)가 분모인 다항식 \( g(x) \)보다 차수가 낮지 않을 때 \( f(x) \)를 \( g(x) \)로 나눈 몫 \( q(x) \)와 나머지 \( r(x) \)를 구하여 다음과 같이 변형한 후 적분한다.</p> <p>\( \frac { f(x) } { g(x) } =q(x) + \frac { r(x) } { g(x) } \)</p> <p>예제 1</p> <p>\( \int \frac { x ^ { 3 } + x } { x-1 } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x ^ { 3 } + x \)를 \( x-1 \)로 나누면</p> <p>\[ \frac { x ^ { 3 } + x } { x-1 } =x ^ { 2 } + x + 2 + \frac { 2 } { x-1 } \]</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 3 } + x } { x-1 } d x &= \int \left (x ^ { 2 } + x + 2 + \frac { 2 } { x-1 } \right ) d x \\ &= \frac { x ^ { 3 } } { 3 } + - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + 2 x + 2 \ln \mid x-1 \mid + C \end {aligned} \]</p> <h1>Chapter 7 여러 가지 적분법</h1> <h2>7.1 부분적분법</h2> <h2>7.2 삼각함수의 적분법</h2> <h2>7.3 삼각치환법</h2> <h2>7.4 유리함수의 적분법</h2> <h2>7.5 무리함수의 적분법</h2> <h2>7.6 이상적분</h2> <h2>7.7 정적분의 수치해법</h2> <p>지금까지 공부한 적분공식을 요약하면 다음과 같다.</p> <ol type = 1 start=1><li>\( \int x ^ { n } d x= \frac { x ^ { n + 1 } } { n + 1 } + C \quad(n \neq-1) \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { x } d x= \ln \|x\| + C \)</li> <li>\( \int e ^ { x } d x=e ^ { x } + C \)</li> <li>\( \int a ^ { x } d x= \frac { a ^ { x } } {\ln a } + C \)</li> <li>\( \int \sin x d x=- \cos x + C \)</li> <li>\( \int \cos x d x= \sin x + C \)</li> <li>\( \int \sec ^ { 2 } x d x= \tan x + C \)</li> <li>\( \int \csc ^ { 2 } x d x=- \cot x + C \)</li> <li>\( \int \sec x \tan x d x= \sec x + C \)</li> <li>\( \int \csc x \cot x d x=- \csc x + C \)</li> <li>\( \int \sinh x d x= \cosh x + C \)</li> <li>\( \int \cosh x d x= \sinh x + C \)</li> <li>\( \int \tan x d x= \ln \| \sec x\| + C \)</li> <li>\( \int \cot x d x= \ln \| \sin x\| + C \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } } d x= \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ) + C \)</li> <li>\( \int \frac { 1 } {\sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } } d x= \sin ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ) + C \)</li> <li>\( \int \frac { d x } { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 a } \ln \left \| \frac { x-a } { x + a } \right \| \)</li> <li>\( \int \frac { d x } { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 a } \ln \left \| \frac { x + a } { x-a } \right \|= \left \{\begin {array} { ll } \frac { 1 } { a } \tan ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ), & \|x\|<a \\ \frac { 1 } { a } \operatorname { coth } ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ), & \|x\|>a \end {array} \right . \)</li> <li>\( \int \frac { d x } {\sqrt { x ^ { 2 } \pm a ^ { 2 } } } = \ln \left \|x + \sqrt { x ^ { 2 } \pm a ^ { 2 } } \right \|= \left \{\begin {array} { l } \sinh ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ) \\ \cosh ^ { -1 } \left ( \frac { x } { a } \right ) \end {array} \right . \)</li></ol> <p>이 장에서는 이 기본공식을 사용하여 보다 복잡한 함수들의 부정적분을 구하는 방법을 공부한다.</p> <p>풀이</p> <p>함수 \( \frac { 1 } {\sqrt[3] { x-2 } } \)는 \( x=2 \)에서 정의되지 않는다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 1 } ^ { 10 } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } &= \int_ { 1 } ^ { 2 } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } + \int_ { 2 } ^ { 10 } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } \\&= \lim _ { t \rightarrow 2 ^ - } \int_ { 1 } ^ { t } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } + \lim _ { s \rightarrow 2 ^ { + } } \int_ { s } ^ { 10 } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } \\&= \lim _ { t \rightarrow 2 ^ { - } } \left [ \frac { 3 } { 2 } (x-2) ^ {\frac { 2 } { 3 } } \right ]_ { 1 } ^ { t } + \lim _ { s \rightarrow 2 ^ { + } } \left [ \frac { 3 } { 2 } (x-2) ^ {\frac { 2 } { 3 } } \right ]_ { s } ^ { 10 } \\ &=- \frac { 3 } { 2 } + \frac { 12 } { 2 } = \frac { 9 } { 2 } \end {aligned} \]</p> <h2>7.7 정적분의 수치해법</h2> <p>정적분 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \)를 계산할 때, \( f(x) \)의 부정적분을 구할 수 없든지 또는 \( f(x) \)를 간단한 함수로 표현할 수 없는 경우가 있다. 가령 어떤 땅의 넓이를 구할 때의 경우이다. 한편 실제로 적분을 할 수 있는 경우에도 계산값을 구하는 일이 복잡할 때에는 \( f(x) \)의 근사함수 \( g(x) \)를 써서 \( \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \)의 값으로 대치하는 수가 있다.</p> <h2>7.5 무리함수의 적분법</h2> <p>무리함수를 적분하려면 적당한 치환을 하여 유리학수의 적분으로 변형하면 된다.</p> <h3>(1) \( f(x, \sqrt[p] {\boldsymbol { x } } , \sqrt[q] {\boldsymbol { x } } , \sqrt[r] {\boldsymbol { x } } ) \)의 적분 (단, \( p, q, r \)는 자연수)</h3> <p>예제 1</p> <p>\( \int \frac {\sqrt { x } } {\sqrt[4] { x ^ { 3 } } + 1 } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>2와 4의 최소공배수는 4 이므로 \( \sqrt[4] { x } =t \)라 놓으면 \( d x=4 t ^ { 3 } d t \)이고, 또 \( \sqrt { x } =t ^ { 2 } , \quad \sqrt[4] { x ^ { 3 } } =t ^ { 3 } \)이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac {\sqrt { x } } {\sqrt[4] { x ^ { 3 } } + 1 } d x &= \int \frac { t ^ { 2 } } { t ^ { 3 } + 1 } 4 t ^ { 3 } d t=4 \int \frac { t ^ { 5 } } { t ^ { 3 } + 1 } d t \\&=4 \int \left (t ^ { 2 } - \frac { t ^ { 2 } } { t ^ { 3 } + 1 } \right ) d t= \frac { 4 } { 3 } t ^ { 3 } - \frac { 4 } { 3 } \ln \left \|t ^ { 3 } + 1 \right \| + C \\&= \frac { 4 } { 3 } \left (x ^ { 3 / 4 } - \ln \left \|x ^ { 3 / 4 } + 1 \right \| \right ) + C \end {aligned} \]</p> <h3>(2) \( f(x, \sqrt[n] { a x + b } ) \)의 적분 \( (a \neq 0) \)</h3> <p>\( \sqrt[n] { a x + b } =t \)라 놓으면 \( d x= \frac { n } { a } t ^ { n-1 } d t \)</p> <p>\[ \begin {array} { l } \cos \frac { x } { 2 } = \frac { 1 } {\sec \frac { x } { 2 } } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \frac { x } { 2 } } } = \frac { 1 } {\sqrt { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \sin \frac { x } { 2 } = \cos \frac { x } { 2 } \tan \frac { x } { 2 } = \frac { t } {\sqrt { 1 + t ^ { 2 } } } \\ \sin x=2 \sin \frac { x } { 2 } \cos \frac { x } { 2 } = \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \\ \cos x= \cos ^ { 2 } \frac { x } { 2 } - \sin ^ { 2 } \frac { x } { 2 } = \frac { 1-t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } \end {array} \]</p> <p>또 \( \tan \frac { x } { 2 } =t \)이므로 \( x=2 \tan ^ { -1 } t \)이고</p> <p>\[d x= \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t \]</p> <p>로 치환된다.</p> <p>예제 4</p> <p>\( \int \frac { 1 } { 3 \sin x-4 \cos x } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \tan \frac { x } { 2 } =t \) 라 놓으면</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { 3 \sin x-4 \cos x } d x &= \int \frac { 1 } { 3 \left ( \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } \right )-4 \left ( \frac { 1-t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } \right ) } \frac { 2 d t } { 1 + t ^ { 2 } } \\&= \int \frac { d t } { 2 t ^ { 2 } + 3 t-2 } = \int \frac { d t } { (2 t-1)(t + 2) } \\&= \int \left [ \frac { 2 } { 5 } \frac { 1 } { 2 t-1 } - \frac { 1 } { 5 } \frac { 1 } { t + 2 } \right ] d t \\&= \frac { 1 } { 5 } [ \ln \|2 t-1\|- \ln \|t + 2\|] + C \\&= \frac { 1 } { 5 } \ln \left \| \frac { 2 \tan \frac { x } { 2 } -1 } {\tan \frac { x } { 2 } + 2 } \right \| + C \end {aligned} \]</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1-x } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>피적분함수는 \( x=1 \)에서 정의되지 않으므로 이상적분으로 구해야 한다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1-x } &= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } \int_ { 0 } ^ { t } \frac { d x } { 1-x } = \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } [- \ln (1-x)]_ { 0 } ^ { t } \\&= \lim _ { t \rightarrow 1 ^ { - } } (- \ln (1-t))= \infty \end {aligned} \]</p> <p>예제 5</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } {\sqrt { x(2-x) } } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>피적분함수는 \( x=0 \)에서 정의되지 않으므로 이상적분으로 구해야 한다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } {\sqrt { x(2-x) } } &= \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \int_ { t } ^ { 1 } \frac { d x } {\sqrt { 1-(x-1) ^ { 2 } } } = \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \left [ \sin ^ { -1 } (x-1) \right ] ^ { 1 } _ { t } \\&= \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \left \{ - \sin ^ { -1 } (t-1) \right \} = \frac {\pi } { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>예제 6</p> <p>\( \int_ { -1 } ^ { 1 } \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x= \pm 1 \)에서 정의되지 않는다. 따라서<p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { -1 } ^ { 1 } \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } &= \lim _ {\substack { t \rightarrow 1 \\ s \rightarrow-1 ^ { + } } } \int_ { s } ^ { t } \frac { d x } {\sqrt { 1-x ^ { 2 } } } \\&= \lim _ {\substack { t \rightarrow 1 ^ { - } \\ s \rightarrow-1 ^ { + } } } \left \{\sin ^ { -1 } t- \sin ^ { -1 } s \right \} \\&= \sin ^ { -1 } 1- \sin ^ { -1 } (-1)= \frac {\pi } { 2 } - \left (- \frac {\pi } { 2 } \right )= \pi \end {aligned} \]</p> <p>예제 2</p> <p>\( \int \sin ^ { 3 } x( \cos x) ^ { -2 } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \cos x=u \)로 치환하면 \( - \sin x d x=d u \)이고, \( \sin ^ { 2 } x=1- \cos ^ { 2 } x \)를 이용 하면</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { 3 } x \cos ^ { -2 } x d x &= \int \frac {\sin ^ { 2 } x \sin x } {\cos ^ { 2 } x } d x \\ &= \int \frac { 1-u ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } ( \quad d u)=u + u ^ { -1 } + C \\ &= \cos x + ( \cos x) ^ { -1 } + C \end {aligned} \)</p> <p>(b) \( m \)과 \( n \)이 모두 양의 짝수인 경우 : 홀수 멱을 가질 때까지 다음의 반각 공식을 이용한 다음 (a) 경우와 같이 구한다.</p> <p>\( \sin ^ { 2 } x= \frac { 1- \cos 2 x } { 2 } . \quad \cos ^ { 2 } x= \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } \)</p> <p>예제 3</p> <p>\( \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 2 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>반각의 공식을 이용하면</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { 2 } x \cos ^ { 2 } x d x &= \int \frac { 1- \cos 2 x } { 2 } \frac { 1 + \cos 2 x } { 2 } d x \\ &= \int \frac { 1- \cos ^ { 2 } 2 x } { 4 } d x= \int \left ( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 + \cos 4 x } { 8 } \right ) dx \\ &= \int \left ( \frac { 1 } { 8 } - \frac {\cos 4 x } { 8 } \right ) d x= \frac { 1 } { 8 } x- \frac {\sin 4 x } { 32 } + C \end {aligned} \)</p> <p>부분적분법에 의해</p> <p>\( \begin {aligned} \int x ^ { n } \ln x d x &= \frac { 1 } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \ln x- \frac { 1 } { n + 1 } \int x ^ { n } d x \\ &= \frac { 1 } { n + 1 } x ^ { n + 1 } \ln x- \frac { 1 } { (n + 1) ^ { 2 } } x ^ { n + 1 } + C \end {aligned} \)</p> <p>이번에는 정적분의 부분적분법(integration by parts)에 대해 알아 보자. 두 함수의 곱의 미분법은 다음과 같다.</p> <p>\( \frac { d } { d x } (f(x) g(x))=f(x) g ^ {\prime } (x) + g(x) f ^ {\prime } (x) \)</p> <p>양변을 구간 \( [a, b] \)에서 정적분하면</p> <p>\( \int_ { a } ^ { b } \frac { d } { d x } (f(x) g(x)) d x= \int_ { a } ^ { b } f(x) g ^ {\prime } (x) d x + \int_ { a } ^ { b } g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\( \left .f(x) g(x) \right \|_ { a } ^ { b } = \int_ { a } ^ { b } f(x) g(x) d x + \int_ { a } ^ { b } g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>가 되며, 정리하면</p> <p>\( \int_ { a } ^ { b } f(x) g ^ {\prime } (x) d x=(f(b) g(b)-f(a) g(a))- \int_ { a } ^ { b } g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>가 된다.</p> <p>예제 4</p> <p>정적분 \( \int_ { 0 } ^ { 1 } x(1 + x) ^ { 4 } d x \) 를 구하여라.</p> <p>예제 4</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin ^ { 2 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>반각의 공식을 이용하면</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin ^ { 2 } x d x= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\pi } (1- \cos 2 x) d x= \left [ \frac { 1 } { 2 } \left (x- \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x \right ) \right ]_ { 0 } ^ {\pi } = \frac {\pi } { 2 } \)</p> <h3>(2) \( \int \sin a x \cos b x d x \)형태의 적분법</h3> <p>곱을 합 또는 차로 고치는 공식</p> <p>\( \sin x \sin y= \frac { 1 } { 2 } \cos (x-y)- \frac { 1 } { 2 } \cos (x + y) \)</p> <p>\( \sin x \cos y= \frac { 1 } { 2 } \sin (x-y) + \frac { 1 } { 2 } \sin (x + y) \)</p> <p>\( \cos x \cos y= \frac { 1 } { 2 } \cos (x-y) + \frac { 1 } { 2 } \cos (x + y) \)</p> <p>를 이용한다.</p> <p>예제 5</p> <p>\( \int 2 \sin 4 x \cos 6 x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( 2 \sin 4 x \cos 6 x= \sin 10 x- \sin 2 x \)이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int 2 \sin 4 x \cos 6 x d x &= \int( \sin 10 x- \sin 2 x) d x \\ &=- \frac { 1 } { 10 } \cos 10 x + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 x + C \end {aligned} \)</p> <p>예제 6</p> <p>\( \int 2 \sin 6 x \sin 4 x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( 2 \sin 6 x \sin 4 x= \cos 2 x- \cos 10 x \)이므로</p> <p>이므로 \[ \int \frac { d x } { x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + 4 } } = \int \frac { 2 \sec ^ { 2 } \theta d \theta } { 4 \tan ^ { 2 } \theta \cdot 2 \sec \theta } =- \frac { 1 } { 4 } \int \frac {\sec \theta } {\tan ^ { 2 } \theta } d \theta \]</p> <p>한편 \[ \frac {\sec \theta } {\tan ^ { 2 } \theta } = \frac { 1 } {\cos \theta } \frac {\cos ^ { 2 } \theta } {\sin ^ { 2 } \theta } = \frac {\cos \theta } {\sin ^ { 2 } \theta } \]</p> <p>이제 \( u= \sin \theta \)로 치환하면 \[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + 4 } } &= \frac { 1 } { 4 } \int \frac {\cos \theta } {\sin ^ { 2 } \theta } d \theta= \frac { 1 } { 4 } \int \frac { d u } { u ^ { 2 } } \\&= \frac { 1 } { 4 } \left (- \frac { 1 } { u } \right ) + C= \frac { 1 } { 4 \sin \theta } + C \\&=- \frac {\csc \theta } { 4 } + C \end {aligned} \]</p> <p>그림 7.4에 의하여 \( \csc \theta= \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 } } { x } \)이므로 \[ \int \frac { d x } { x ^ { 2 } \sqrt { x ^ { 2 } + 4 } } =- \frac {\sqrt { x ^ { 2 } + 4 } } { 4 x } + C \]</p> <p>예제 1</p> <p>\( \int \frac {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } { x ^ { 2 } } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x=3 \sin \theta,- \frac {\pi } { 2 } \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } \)라 하면 \( d x=3 \cos \theta d \theta \)이고</p> <p>\( \sqrt { 9-x ^ { 2 } } = \sqrt { 9-9 \sin ^ { 2 } \theta } = \sqrt { 9 \cos ^ { 2 } \theta } =3 \cos \theta \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int \frac {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } { x ^ { 2 } } d x &= \int \frac { 3 \cos \theta } { 9 \sin ^ { 2 } \theta } 3 \cos \theta d \theta= \int \cot ^ { 2 } \theta d \theta \\ &= \int \left ( \csc ^ { 2 } \theta-1 \right ) d \theta=- \cot \theta- \theta + C \\ &=- \frac {\sqrt { 9-x ^ { 2 } } } { x } - \sin ^ { -1 } \frac { x } { 3 } + C \end {aligned} \)</p> <p>예제 2</p> <p>타원 \( \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \)로 둘러싸인 영역의 넓이 \( A \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( y \)에 관해 풀면 \( y= \pm \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } ,-a \leq x \leq a \)이고 \[A=4 \int_ { 0 } ^ { a } \frac { b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } d x \]</p> <p>예제 4</p> <p>\( \int_ { 3 } ^ { 6 } \frac {\sqrt { x ^ { 2 } -9 } } { x } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x=3 \sec \theta \)로 치환하면 \( d x=3 \sec \theta \tan \theta d \theta \)이고</p> <p>\[ \sqrt { x ^ { 2 } -9 } = \sqrt { 9 \sec ^ { 2 } \theta-9 } =3 \tan \theta \]</p> <p>이다. 또 \( x=3 \)일 때 \( \theta=0, x=6 \)일 때 \( \theta= \frac {\pi } { 3 } \)이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 3 } ^ { 6 } \frac {\sqrt { x ^ { 2 } -9 } } { x } d x &= \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \frac { 3 \tan \theta } { 3 \sec \theta } (3 \sec \theta \cdot \tan \theta) d \theta \\&=3 \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \tan ^ { 2 } \theta d \theta=3 \int_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } \left ( \sec ^ { 2 } \theta-1 \right ) d \theta \\&=3[ \tan \theta- \theta]_ { 0 } ^ {\frac {\pi } { 3 } } =3 \sqrt { 3 } - \pi \end {aligned} \]</p> <p>예제 5</p> <p>\( \int \frac { x } {\sqrt { 3-2 x-x ^ { 2 } } } d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( 3-2 x-x ^ { 2 } =4-(x + 1) ^ { 2 } \)이고 \( u=x + 1 \)로 치환하면 \( d u=d x \)이고 \( x= \) \( u-1 \)이므로</p> <p>\[ \int \frac { x } {\sqrt { 3-2 x-x ^ { 2 } } } d x= \int \frac { u-1 } {\sqrt { 4-u ^ { 2 } } } d u \]</p> <p>\( \begin {aligned} \int 2 \sin 6 x \sin 4 x d x &= \int( \cos 2 x- \cos 10 x) d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \sin 2 x- \frac { 1 } { 10 } \sin 10 x + C \end {aligned} \)</p> <h3>(3) \( \int \tan ^ { m } x \sec ^ { n } x d x \)형의 적분법</h3> <p>\( n \)이 짝수인 경우 \( \sec ^ { 2 } x=1 + \tan ^ { 2 } x \)를 이용한다.</p> <p>예제 7</p> <p>\( \int \tan ^ { 6 } x \sec ^ { 4 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( u= \tan x \)로 치환하면 \( d u= \sec ^ { 2 } x d x \)이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int \tan ^ { 6 } x \sec ^ { 4 } x d x &= \int \tan ^ { 6 } x \sec ^ { 2 } x \sec ^ { 2 } x d x \\ &= \int \tan ^ { 6 } x \left (1 + \tan ^ { 2 } x \right ) \sec ^ { 2 } x d x \\ &= \int u ^ { 6 } \left (1 + u ^ { 2 } \right ) d u \\ &= \frac { u ^ { 7 } } { 7 } + \frac { u ^ { 9 } } { 9 } + C \\ &= \frac { 1 } { 7 } \tan ^ { 7 } x + \frac { 1 } { 9 } \tan ^ { 9 } x + C \end {aligned} \)</p> <p>예제 8</p> <p>\( \int \tan ^ { 5 } x \sec ^ { 7 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( u= \sec x \)로 치환하면 \( d u= \sec x \tan x d x \)이므로</p> <p>\[ \begin {array} { l } y_ { 0 } =1 \\y_ { 1 } = \frac { 1 } { 1 + \left ( \frac { 1 } { 4 } \right ) ^ { 2 } } =0.941176 \\y_ { 2 } = \frac { 1 } { 1 + \left ( \frac { 2 } { 4 } \right ) ^ { 2 } } =0.8 \\y_ { 3 } = \frac { 1 } { 1 + \left ( \frac { 3 } { 4 } \right ) ^ { 2 } } =0.64 \\y_ { 4 } = \frac { 1 } { 1 + 1 ^ { 2 } } =0.5 \end {array} \]</p> <p>사다리꼴 공식에 의하면</p> <p>\[ \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } \approx \left ( \frac { 1 } { 2 } 1 + 0.941176 + 0.8 + 0.64 + \frac { 1 } { 2 } 0.5 \right )- \frac { 1 } { 4 } =0.782794 \]</p> <p>심프슨 공식에 의하면</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } & \approx \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { 4 } \left \{ (1 + 0.5) + 2(0.8) + { 4 } (0.941176 + 0.64) \right \} \\&=0.785392 \end {aligned} \]</p> <p>참고</p> <p>\( \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } = \left [ \tan ^ { -1 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac {\pi } { 4 } =0.78539814 \cdots \) 이므로 심프슨 공식을 이용한 결과는 이 문제의 경우 소수이하 5자리까지는 정확하다.</p> <p>이다. 우변을 통분하고 양변의 분자를 비교하면</p> <p>\[x ^ { 2 } + 6 x-1=(a + b) x ^ { 2 } + (-6 a-4 b + c) x + (9 a + 3 b-c) \]</p> <p>이고 계수비교법에 의하여 다음 연립방정식을 얻는다.</p> <p>\[ \begin {array} { c } a + b=1 \\-6 a-4 b + c=6 \\9 a + 3 b-c=-1 \end {array} \]</p> <p>이 연립방정식을 풀면 \( a= \frac { 3 } { 2 } , b=- \frac { 1 } { 2 } , c=13 \)이다. 그러므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { x ^ { 2 } + 6 x-1 } { (x-3) ^ { 2 } (x-1) } d x &= \int \left ( \frac { 3 } { 2(x-1) } - \frac { 1 } { 2(x-3) } + \frac { 13 } { (x-3) ^ { 2 } } \right ) d x \\&= \frac { 2 } { 3 } \ln \|x-1\|- \frac { 1 } { 2 } \ln \|x-3\|- \frac { 13 } { x-3 } + C \\&= \frac { 1 } { 2 } \ln \left \| \frac { (x-1) ^ { 3 } } { (x-3) } \right \|- \frac { 13 } { x-3 } + C \end {aligned} \]</p> <h3>(4) 분모가 인수분해될 수 없는 2차 이상의 인수를 포함할 경우</h3> <p>예제 5</p> <p>\( \int \frac { 1 } { x ^ { 3 } + 1 } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x ^ { 3 } + 1=(x + 1) \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right ) \) 이므로</p> <p>\[ \frac { 1 } { x ^ { 3 } + 1 } = \frac { a } { x + 1 } + \frac { b x + c } { x ^ { 2 } -x + 1 } \]</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \approx \frac { h } { 2 } \left \{\left (y_ { 0 } + y_ { n } \right ) + 2 \left (y_ { 1 } + y_ { 2 } + \cdots + y_ { n-1 } \right ) \right \} \]</p> <p>이 방법은 곡선 \( y=f(x)(a \leq x \leq b) \) 아래의 넓이 대신에 그 위의 점을 선분으로 이어서 얻는 절선 \( P_ { 0 } P_ { 1 } P_ { 2 } \cdots P_ { n-1 } P_ { n } \) 아래의 넓이를 근사 값으로 사용하자는 것이다. 이것을 사다리꼴 공식이라고 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>열 개의 구간을 이용한 사다리꼴 공식을 써서 \( \int_ { 0 } ^ { 10 } x ^ { 2 } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( h= \frac { 10-0 } { 10 } =1, y=x ^ { 2 } \)에 \( x=0,1,2, \cdots, 10 \)을 대입하여 \( y=0,1,4 \), \( \cdots, 100 \)을 얻는다. 공식에 의하여</p> <p>\[ \int_ { 0 } ^ { 10 } x ^ { 2 } d x \approx \left (0 + 1 + 4 + \cdots + 81 + \frac { 1 } { 2 } 100 \right )=335 \]</p> <p>적분을 직접 계산하면 \( 333 \frac { 1 } { 3 } \)이다. 사다리꼴 공식을 이용하여 계산한 근사값의 오차는 \( 0.5 \% \)이다. 구간의 수를 20개로 나누어 근사값을 구하면 \( 333 \frac { 3 } { 4 } \)으로 오차가 줄어듬을 알 수 있다.</p> <h3>(2) 심프슨 공식</h3> <p>[정리 7.3]</p> <p>Prismoidal 정리</p> <p>\( x=a \)에서 \( x=b \)까지 포물선 \( y=g(x) \)와 \( x \)축 사이의 부분의 넓이는 다음과 같다.</p> <p>\[K= \frac { 1 } { 3 } h \left (y_ { 0 } + 4 y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) \]</p> <p>\( \begin {aligned} \int \tan ^ { 5 } x \sec ^ { 7 } x d x &= \int \tan ^ { 4 } x \sec ^ { 6 } x \sec x \tan x d x \\ &= \int \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) ^ { 2 } \sec ^ { 6 } x \sec x \tan x d x \\ &= \int \left (u ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } u ^ { 6 } d u= \int \left (u ^ { 10 } -2 u ^ { 8 } + u ^ { 6 } \right ) d u \\ &= \frac { u ^ { 11 } } { 11 } -2 \frac { u ^ { 9 } } { 7 } + \frac { u ^ { 7 } } { 7 } + C \\ &= \frac { 1 } { 11 } \sec ^ { 11 } x- \frac { 2 } { 9 } \sec ^ { 9 } x + \frac { 1 } { 7 } \sec ^ { 7 } x + C \end {aligned} \)</p> <p>예제 9</p> <p>\( \int \tan ^ { 3 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( u= \tan x \)로 치환하면 \( d u= \sec ^ { 2 } x d x \)이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int \tan ^ { 3 } x d x &= \int \tan x \left ( \sec ^ { 2 } x-1 \right ) d x \\ &= \int \tan x \sec ^ { 2 } x d x- \int \tan x d x \\ &= \frac {\tan ^ { 2 } x } { 2 } - \ln \| \sec x\| + C \end {aligned} \)</p> <p>이다. 우변을 통분하고 양변의 분자를 비교하면</p> <p>\[1=a \left (x ^ { 2 } -x + 1 \right ) + (b x + c)(x + 1) \]</p> <p>과 같고, 수치대입법에 의하여</p> <p>\( x=-1 \)일 때 \(~ 3 a=1, a= \frac { 1 } { 3 } \)</p> <p>\( x=0 \)일 때 \( ~~1=a + c, \quad c= \frac { 2 } { 3 } \)</p> <p>\( x=1 \)일 때 \(~~ 1=a + 2(b + c), \quad b=- \frac { 1 } { 3 } \)</p> <p>이다. 따라서,</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac { 1 } { x ^ { 3 } + 1 } &= \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { 3 } \frac { x-2 } { x ^ { 2 } -x + 1 } \\&= \frac { 1 } { 3 } \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { 6 } \frac { 2 x-1 } { x ^ { 2 } - { x + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { x ^ { 2 } -x + 1 } \end {aligned} \]</p> <p>이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { x ^ { 3 } + 1 } d x &= \frac { 1 } { 3 } \int \frac { d x } { x + 1 } - \frac { 1 } { 6 } \int \frac { 2 x-1 } { x ^ { 2 } -x + 1 } d x + \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d x } {\left (x- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) ^ { 2 } } \\ &= \frac { 1 } { 3 } \ln \|x + 1\|- \frac { 1 } { 6 } \ln \left \|x ^ { 2 } -x + 1 \right \| + \frac { 1 } {\sqrt { 3 } } \tan ^ { -1 } \left ( \frac { 2 x-1 } {\sqrt { 3 } } \right ) + C \end {aligned} \]</p> <p>예제 7</p> <p>\( \int_ { -1 } ^ { 1 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x=0 \)에서 불연속이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { -1 } ^ { 1 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } &= \int_ { -1 } ^ { 0 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } + \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { - } } \int_ { -1 } ^ { s } \frac { d x } { x ^ { 2 } } + \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \int_ { t } ^ { 1 } \frac { d x } { x ^ { 2 } } \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { - } } \left [- \frac { 1 } { x } \right ]_ { -1 } ^ { s } + \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \left [- \frac { 1 } { x } \right ]_ { t } ^ { 1 } \\ &= \lim _ { s \rightarrow 0 ^ { - } } \left (- \frac { 1 } { s } -1 \right ) + \lim _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \left (-1 + \frac { 1 } { t } \right ) \\ &= \infty + \infty= \infty \end {aligned} \]</p> <p>예제 8</p> <p>\( \int_ { 1 } ^ { 10 } \frac { d x } {\sqrt[3] { x-2 } } \)의 값을 구하여라.</p> <p>예제 2</p> <p>\( \int \frac { x } {\sqrt { 4-x } } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \sqrt { 4-x } =t \) 라 놓으면 \( d x=-2 t d t \)이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { x } {\sqrt { 4-x } } d x &= \int \frac { 4-t ^ { 2 } } { t } (-2 t d t) \\&= \int \left (2 t ^ { 2 } -8 \right ) d t \\&= \frac { 2 } { 3 } t ^ { 3 } -8 t + C \\&= \frac { 2 } { 3 } ( \sqrt { 4-x } ) ^ { 3 } -8 \sqrt { 4-x } + C \end {aligned} \]</p> <h3>(3) 역치환법</h3> <p>예제 3</p> <p>\( \int \frac { d x } { x \sqrt { 2 x-x ^ { 2 } } } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( x= \frac { 1 } { u } \) 로 놓으면 \( d x=-- \frac { 1 } { u ^ { 2 } } d u \)이므로</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { d x } { x \sqrt { 2 x-x ^ { 2 } } } &= \int \frac { - \frac { 1 } { u ^ { 2 } } d u } {\frac { 1 } { u } \sqrt {\frac { 2 } { u } - \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } } = \int \frac { -d u } {\sqrt { 2 u-1 } } \\ &=- \sqrt { 2 u-1 } + C=- \sqrt {\frac { 2-x } { x } } + C \end {aligned} \]</p> <h3>(4) 특수 치환법</h3> <p>피적분함수가 \( \sin x \)와 \( \cos x \)의 유리함수로 되어 있을 때 \( \tan \frac { x } { 2 } =t \), \( - \pi<x< \pi \) 라 놓으면</p> <h2>7.1 부분적분법</h2> <p>여기서는 두 함수 곱의 도함수를 이용하여 적분을 구하는 부분적분법(integration by parts)에 대해 배우기로 한다.</p> <p>두 함수의 곱의 미분법은 다음과 같다.</p> <p>\( \frac { d } { d x } (f(x) g(x))=f(x) g ^ {\prime } (x) + g(x) f ^ {\prime } (x) \)</p> <p>양변을 적분하면</p> <p>\( \int \frac { d } { d x } (f(x) g(x)) d x= \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x + \int g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\( f(x) g(x)= \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x + \int g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>가 되며, 정리하면</p> <p>\( \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x=f(x) g(x)- \int g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>가 된다. \( \int f(x) g ^ {\prime } (x) d x \)보다 \( \int g(x) f ^ {\prime } (x) d x \)의 계산이 쉬울 때 부분적분법을 적용하여 적분할 수 있다.</p> <p>실제 문제를 풀 때에는 다음과 같이 치환하면 편리하다.</p> <p>\( u=f(x), \quad d v=g ^ {\prime } (x) d x \)</p> <p>\( d u=f ^ {\prime } (x) d x, \quad v=g(x) \)</p> <p>위와 같이 치환하면, 부분적분법은 다음과 같이 된다.</p> <p>\( \int u d v=u v- \int v d u \)</p> <p>예제 1</p> <p>부정적분 \( \int x \sin x d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 치환하자.</p> <p>\( u=x, \quad d v= \sin x d x \),</p> <p>\( d u=d x, \quad v=- \cos x \)</p> <p>부분적분법에 의해</p> <p>\( \begin {aligned} \int x \sin x d x &=-x \cos x + \int \cos x d x \\ &=-x \cos x + \sin x + C \end {aligned} \)</p> <p>예제 2</p> <p>부정적분 \( \int x ^ { 2 } \cos 2 x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>다음과 같이 치환하자.</p> <p>예제 3</p> <p>\( \int \frac { d x } { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } \)를 구하여라. (단, \( a \neq 0 \) )</p> <p>풀이</p> <p>피적분함수를 부분분수로 분해하면</p> <p>\[ \frac { 1 } { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } = \frac { 1 } { (x-a)(x + a) } = \frac { A } { x-a } + \frac { B } { x + a } \]</p> <p>이다. 우변을 통분하고 양변의 분자를 비교하면</p> <p>\[1=A(x + a) + B(x-a) \]</p> <p>이므로</p> <p>\[A= \frac { 1 } { 2 a } , B=- \frac { 1 } { 2 a } \]</p> <p>따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { x ^ { 2 } -a ^ { 2 } } d x &= \frac { 1 } { 2 a } \int \left ( \frac { 1 } { x-a } - \frac { 1 } { x + a } \right ) d x \\ &= \frac { 1 } { 2 a } ( \ln \|x-a\|- \ln \|x + a\|) + C \\&= \frac { 1 } { 2 a } \ln \left \| \frac { x-a } { x + a } \right \| + C \end {aligned} \]</p> <h3>(3) 분모가 모두 1차인수로 분해되고 1차인수가 중복되는 경우</h3> <p>예제 4</p> <p>\( \int \frac { x ^ { 2 } + 6 x-1 } { (x-1)(x-3) ^ { 2 } } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>피적분 함수를 부분분수로 만들면</p> <p>\[ \frac { x ^ { 2 } + 6 x-1 } { (x-3)(x-1) ^ { 2 } } = \frac { a } { (x-1) } + \frac { b } { (x-3) } + \frac { c } { (x-3) ^ { 2 } } \]</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \approx & \frac { h } { 3 } \left (y_ { 0 } + 4 y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) + \frac { h } { 3 } \left (y_ { 2 } + 4 y_ { 3 } + y_ { 4 } \right ) + \cdots \\& + \frac { h } { 3 } \left (y_ { 2 n-2 } + 4 y_ { 2 n-1 } + y_ { 2 n } \right ) \end {aligned} \]</p> <p>이다. 따라서</p> <p>\[ \begin {aligned} \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \approx \frac { h } { 3 } \left [ \left (y_ { 0 } + y_ { 2 n } \right ) + 2 \left (y_ { 2 } + y_ { 4 } + \cdots y_ { 2 n-2 } \right ) \right . \\& \left . + 4 \left (y_ { 1 } + y_ { 3 } + \cdots + y_ { 2 n-1 } \right ) \right ] \end {aligned} \]</p> <p>이것을 심프슨 공식이라 한다. 이 공식은 계산이 간단하면서 비교적 정밀한 근사값을 얻을 수 있으므로 정적분의 근사값 계산에 많이 이용한다.</p> <p>예제 2</p> <p>정적분 \( \int_ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } \)의 근사값을 구간 \( [0,1] \)를 4등분하여 사다리꼴 공식 및 심프슨 공식을 이용하여 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( [0,1] \)을 4등분하여 분점 \( 0, \frac { 1 } { 4 } , \frac { 2 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } , 1 \)에 대응하는 피적분함수의 값을 \( y_ { 0 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } , y_ { 3 } , y_ { 4 } \)라 하자. 그러면</p> <h3>(1) 적분한계가 무한인 경우</h3> <p>적분한계 중 적어도 하나가 무한일 때 정적분은 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[ \begin {array} { l } \int_ { a } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \\ \int_ { - \infty } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { a \rightarrow- \infty } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \\ \int_ { - \infty } ^ {\infty } f(x) d x= \lim _ {\substack { b \rightarrow \infty \\x \rightarrow- \infty } } \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \end {array} \]</p> <p>우변의 극한값이 존재할 때 그 이상적분은 수렴한다고 하고, 극한값이 존재하지 않으면 발산한다고 한다.</p> <p>예제 1</p> <p>\( \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \int_ { 1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } \int_ { 1 } ^ { h } \frac { 1 } { x } d x= \lim _ { b \rightarrow \infty } [ \ln \|x\|]_ { 1 } ^ { b } = \lim _ { b \rightarrow \infty } \ln b= \infty \)</p> <p>예제 2</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { -x } d x \) 를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ { 0 } e ^ { -x } d x= \lim _ { a \rightarrow- \infty } \int_ { a } ^ { J } e ^ { -x } d x=- \lim _ { a \rightarrow- \infty } \left [1-e ^ { -a } \right ]= \infty \)</p> <p>예제 5</p> <p>\( \int \frac { 1 } { 1 + \cos x } d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \tan \frac { x } { 2 } =t \)로 치환하면</p> <p>\[ \int \frac { 1 } { 1 + \cos x } d x= \int \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 2 } \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t= \int d t=t + C= \tan \frac { x } { 2 } + C \]</p> <p>이 문제는 다음과 같이 적분해도 된다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { 1 + \cos x } d x &= \int \frac { 1- \cos x } { 1- \cos ^ { 2 } x } d x= \int \frac { 1- \cos x } {\sin ^ { 2 } x } d x \\&= \int \csc ^ { 2 } x d x- \int \csc x \cot x d x \\&=- \cot x + \csc x + C \end {aligned} \]</p> <p>위의 두 결과는 달라 보이지만 실제로는 같다. 왜냐하면</p> <p>\[- \cot x + \csc x=- \frac {\cos x } {\sin x } + \frac { 1 } {\sin x } =- \frac { 1-t ^ { 2 } } { 2 t } + \frac { 1 + t ^ { 2 } } { 2 t } =t= \tan \frac { x } { 2 } \]</p> <p>이기 때문이다.</p> <h2>7.6 이상적분</h2> <p>지금까지 정적분</p> <p>\[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \]</p> <p>를 정의할 때 적분한계 \( a \)와 \( b \)는 유한이고, 피적분함수 \( f \)는 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속인 것만을 다루었다. 이제부터는 유계가 아닌 구간이든지 개구간이든지 불연속점이 있는 함수 등에 대해서 정적분의 정의를 확장하기로 한다. 이와 같은 정적분을 이상적분(improper inte-gral)이라 한다.</p> <p>따라서</p> <p>\( \int \sin ^ { n } x d x=- \frac { 1 } { n } \sin ^ { n-1 } x \cos x + \frac { n-1 } { n } \int \sin ^ { n-2 } x d x \)</p> <h2>7.2 삼각함수의 적분법</h2> <p>피적분함수가 삼각함수의 곱으로 되어 있는 적분에 대하여 알아보자.</p> <h3>(1) \( \int \sin ^ { m } x \cos ^ { n } x d x \)형의 적분법</h3> <p>(a) \( m \) 또는 \( n \) 중 하나가 짝수인 경우: 짝수 멱을 갖는 함수를 치환하여 적분한다.</p> <p>예제 1</p> <p>\( \int \sin ^ { 5 } x \cos ^ { 2 } x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \cos x=u \)로 치환하면 \( - \sin x d x=d u \)이고 \( \sin ^ { 2 } x=1- \cos ^ { 2 } x \)이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \int \sin ^ { 5 } x \cos ^ { 2 } x d x &= \int \sin ^ { 4 } x \cos ^ { 2 } x \sin x d x \\ &= \int \left (1- \cos ^ { 2 } x \right ) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } x \sin x d x \\ &= \int \left (1-u ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } u ^ { 2 } (-d u) \\ &=- \int \left (u ^ { 2 } -2 u ^ { 4 } + u ^ { 6 } \right ) d u \\&=- \left ( \frac { u ^ { 3 } } { 3 } -2 \frac { u ^ { 5 } } { 5 } + \frac { u ^ {\prime } } { 7 } \right ) + C \\&=- \frac { 1 } { 3 } \cos ^ { 3 } x + \frac { 2 } { 5 } \cos ^ { 5 } x- \frac { 1 } { 7 } \cos ^ { 7 } x + C \end {aligned} \)</p> <p>이 공식을 Prismoidal 공식이라 하며, 여기서</p> <p>\[h= \frac { 1 } { 2 } (b-a), \quad y_ { 0 } =f(a), \quad y_ { 1 } =f \left ( \frac { a + b } { 2 } \right ), \quad y_ { 2 } =f(b) \]</p> <p>증명</p> <p>그림 7.8에서 보이는 포물선의 방정식을</p> <p>\(y=A + B(x-k) + C(x-k) ^ { 2 } \quad \left (k= \frac { a + b } { 2 } \right ) \)<caption>(1)</caption></p> <p>이라 하자. 넓이 \( K \)는 정적분을 써서 계산하면</p> <p>\[ \begin {aligned} K &= \int_ { k-h } ^ { k + h } \left [A + B(x-k) + C(x-k) ^ { 2 } \right ] d x \\&=2 A h + \frac { 2 } { 3 } C h ^ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } h \left (6 A + 2 C h ^ { 2 } \right ) \end {aligned} \]</p> <p>이다 \( 6 A + 2 C h ^ { 2 } \)을 \( y_ { 0 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } \)로 나타내기 위하여 식 (1)에 \( x=k-h \), \( k, k + h \)를 대입하면<p>\[ \begin {array} { l } y_ { 0 } =A-B h + C h ^ { 2 } \\y_ { 1 } =A \\y_ { 2 } =A + B h + C h ^ { 2 } \end {array} \]</p> <p>여기서 \( y_ { 0 } + 4 y_ { 1 } + y_ { 2 } =6 A + 2 C h ^ { 2 } \)이다. 따라서</p> <p>\[K= \frac { 1 } { 3 } h \left (y_ { 0 } + 4 y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) \]</p> <p>이제 그림 7.9에서와 같이 구간 \( [a, b] \)를 \( 2 n \)등분하여 각 소구간 의 길이를 \( h= \frac { b-a } { 2 n } \)라 하고 \( [a, b] \)의 각 분할점을 지나는 수직선을 그어 곡선 \( y=f(x) \)와 \( x \)축과 \( x=a, x=b \)로 둘러싸인 부분을 \( 2 n \)개의 부분으로 나누어 \( 2 n \)개의 부분을 차례로 둘씩 취하고 Prismoidal 공 식을 적용하여 모두 합하면</p> <p>예제 3</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } \)를 구하여라.</p> <p>풀이</p> <p>\( \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } = \lim _ {\substack { b \rightarrow \infty \\ a \rightarrow- \infty } } \int_ { a } ^ { b } \frac { d x } { x ^ { 2 } + 1 } = \lim _ {\substack { b \rightarrow \infty \\ a \rightarrow- \infty } } \left [ \tan ^ { -1 } x \right ]_ { a } ^ { b } \)</p> <p>\( = \lim _ {\substack { b \rightarrow \infty \\ a \rightarrow- \infty } } \left [ \tan ^ { -1 } b- \tan ^ { 1 } a \right ]= \frac {\pi } { 2 } - \left (- \frac {\pi } { 2 } \right )= \pi \)</p> <h3>(2) 함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \) 에서 연속이 아닌 경우</h3> <p>\( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 유계가 아닐 때 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \)는 다음 (i) (iv)의 어느 하나에 속한다.</p> <ol type=i start=1><li>\( f(x) \)는 구간 \( [a, b) \)에서 연속이고 \( b \)에서 불연속일 때 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { t \rightarrow b ^ { - } } \int_ { a } ^ { t } f(x) d x \]</li> <li>\( f(x) \)가 구간 \( (a, b] \)에서 연속이고 \( a \)에서 불연속일 때 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \lim _ { t \rightarrow a ^ { + } } \int_ { t } ^ { b } f(x) d x \]</li> <li>\( f(x) \)가 구간 \( (a, b) \)에서 연속이고 \( a, b \)에서 불연속일 때 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \operatorname { lim } _ {\substack { t \rightarrow b ^ { - } \\ s \rightarrow a ^ { + } } } \int_ { s } ^ { t } f(x) d x \]</li> <li>( \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \) 내에서 유한개의 점 \( x_ { i } (1 \leq i \leq n) \)에서 불연속 이고, 그 외의 점에서 연속일 때 \[ \int_ { a } ^ { b } f(x) d x= \int_ { a } ^ { x_ { 1 } } f(x) d x + \cdots + \int_ { x_ { n } } ^ { b } f(x) d x \]</li></ol> <p>예제 4</p> <p>\[\|f(x)-g(x)\| \]</p> <p>의 \( [a, b] \)에서의 최대값을 \( M \)이라 하면</p> <p>\[ \left \| \int_ { a } ^ { b } f(x) d x- \int_ { a } ^ { b } g(x) d x \right \| \leq \int_ { a } ^ { b } \|f(x)-g(x)\| d x \leq M(b-a) \]</p> <p>이므로 그 오차는 \( M(b-a) \)를 넘지 않는다. 따라서 \( M \)이 충분히 작으면 그 오차도 작게 되므로 좋은 근사값을 얻는다.</p> <p>정적분 \( \int_ { a } ^ { b } f(x) d x \)의 근사값을 계산할 때 많이 사용하는 근사법 중에서 사다리꼴 공식과 심프(Simpson) 공식을 다음에 소개한다.</p> <h3>(1) 사다리꼴 공식</h3> <p>폐구간 \( [a, b] \)를 \( n \)등분하고, 그 등분점을</p> <p>\[a=x_ { 0 }<x_ { 1 }<x_ { 2 }< \cdots<x_ { n-1 }<x_ { n } =b \]</p> <p>라 하고</p> <p>\[h= \frac { b-a } { n } \]</p> <p>라 하자. 각 등분점에 대한 \( y=f(x) \)의 값을 각각</p> <p>\[y_ { 0 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n-1 } , y_ { r } \]</p> <p>기라 하고 곡선 \( y=f(x) \) 위의 점을 \( P_ { 0 } , '_ { 1 } ^ {\prime } , Y_ { 2 } ^ {\prime } , \cdots, P_ { n } \)이라 하자. 그림 7.7에서 \( n \)개의 사다리꼴 \( x_ { 0 } P_ { 0 } P_ { 1 } x_ { 1 } , x_ { 1 } P_ { 1 } P_ { 2 } x_ { 2 } , \cdots, x_ { n-1 } P_ { n-1 } P_ { n } x_ { n } \)의 넓이의 합을 \( A \)라 하면<p>\[A= \frac { h } { 2 } \left \{\left (y_ { 0 } + y_ { 1 } \right ) + \left (y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) + \cdots + \left (y_ { n-1 } + y_ { n } \right ) \right \} \]</p>	자연
M657-(사범대생을 위한) 형대대수학	<p>필자가 기억하는 유클리드 정리에 관한 가장 최근 증명은 다음과 같다(2006).</p> <h1>2.19 NEW PROOF OF EUCLID'S THEOREM(F. Saidak, 2006)</h1> <p>정수 \( n>1 \) 에 대하여 연속된 두 정수 \( n, n + 1 \) 은 서로소이다. 즉, \( \operatorname { gcd } (n, n + 1)=1 \). 따라서 두 수의 곱 \( N_ { 2 } =n(n + 1) \) 은 적어도 서로 다른 2 개의 소인수를 갖는다. 같은 방법으로 두 연속되는 정수 \( n(n + 1) \) 과 \( n(n + 1) + 1 \) 은 서로소이고 이들의 곱 \[N_ { 3 } =n(n + 1)[n(n + 1) + 1] \]은 적어도 서로 다른 3 개의 소인수를 갖는다. 이 과정을 계속하면 소수는 무한히 많이 존재한다.</p> <h1>2.20 THE PROOF</h1> <p>페르마수 \( F_ { n } =2 ^ { 2 ^ { n } } + 1 \quad(n=0,1,2, \cdots) \) 에 대하여 생각해보자. 예를 들면, \[F_ { 0 } =3, F_ { 1 } =5, F_ { 2 } =17, F_ { 3 } =257, F_ { 4 } =65537 \]이다. 서로 다른 두 페르마수가 서로소이면 무한개의 소수가 존재한다. 먼저 식 \[F_ { 0 } F_ { 1 } \cdots F_ { n-1 } =F_ { n } -2 \quad(n \geq 1) \]을 증명하여보자.</p> <p>\( n \) 에 관한 수학적 귀납법59)을 쓰면 ① \( n=1 ; F_ { 0 } =3, F_ { 1 } -2=3 \) : ② \[ \begin {aligned} F_ { 0 } F_ { 1 } \cdots F_ { n-1 } F_ { n } &= \left (F_ { 0 } F_ { 1 } \cdots F_ { n-1 } \right ) F_ { n } = \left (F_ { n } -2 \right ) F_ { n } \\&= \left (2 ^ { 2 ^ { n } } -1 \right ) \left (2 ^ { 2 ^ { n } } + 1 \right )=2 ^ { 2 ^ { n + 1 } } -1 \\&=F_ { n + 1 } -2 \end {aligned} \]</p> <p>\( m \)이 \( F_ { k } \)와 \( F_ { n } \) (여기서 \( \left .k<n \right ) \)의 약수라 하자. 따라서 식(2-2)에 의하여 \( m \mid 2 \)이다. 즉, \( m=1 \) 또는 2이다. 그러나 페르마수는 홀수이므로 \( m=2 \) 는 불가능하다. 따라서 서로 다른 페르마수는 서로소이다. 따라서 소수는 무한히 많이 존재한다.</p> <h1>2.21 REMARK</h1> <p>(1) 소수 7은 페르마수가 아니다. 페르마수 \( F_ { n } \) 은 \( n=0,1,2,3,4 \) 일 때는 \[F_ { 0 } =3, F_ { 1 } =5, F_ { 2 } =17, F_ { 3 } =257, F_ { 4 } =65537 \]로 소수이지만 \( n=5,6,7, \cdots, 23 \)일 때는 합성수이다. 그러나 \( F_ { 24 } =2 ^ { 2 ^ { 24 } } + 1 \)는 \( 5,050,446 \) 자리 수로 합성수인지는 모르고 있다. 아직 페르마소수가 유한개인지도 모르고 있다.</p> <p>(2) (Weil)61) 페르마는 모든 수 \( F_ { n } =2 ^ { 2 ^ { n } } + 1 \quad(n=0,1,2, \cdots) \)가 소수라고 주장하였다. 1729년 12월 1일 오일러는 모스크바에 머물고 있던 골드바흐(Goldbach)로부터 편지를 받았는데, 그 편지에서 골드바흐는 페르마의 주장에 대하여 오일러의 의견을 물었다. 오일러는 1730 년 6월 4일 답장에서 \( F_ { 5 } =2 ^ { 32 } + 1 \)는 소인수 641 을 갖는다는 것을 밝혔다. 실제로 오일러는 함성수인 페르마수는 \( 2 ^ { n + 1 } k + 1 \) 형태의 약수를 갖는다는 것을 발견하였다. 이는 \( 2 ^ { m } + 1 \) 형태의 소수에 관한 문제이다. 이를 자세히 알아보자. 오일러는 \( F_ { 5 } =2 ^ { 32 } + 1 \)의 약수 641 을 어떻게 구했을까?</p> <p>정리 1 \(2 ^ { m } + 1 \)이 소수이면 \( m \)은 \( m=2 ^ { k } \)인 2의 거듭제곱 형태이다.</p> <p>증명 만일 \( m=2 ^ { a } b(b \) 는 홀수 \( ) \) 이면 \( 2 ^ { m } + 1=(2) ^ { 2 ^ { c } b } + 1=c ^ { b } + 1 \) 이다. 여기서 \( c=2 ^ { 2 ^ { a } } \). 한편, \( b \) 는 홀수이므로 \[ c ^ { b } + 1=(c + 1) \left (c ^ { b-1 } -c ^ { b-2 } + - \cdots + 1 \right ) \]이다.</p> <p>위 계산을 일반적인 식으로 쓸 수 있을까? 다음 예를 시도해보면 일반적인 식을 도입하는데 도움이 된다.</p> <p>(2) \( { } _ { 1234567 } ^ { 6 } =234567 \) \( 10 ^ { 7 } \times { } _ { 1234567 } ^ { 6 } \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } 0 } { } ^ { 6 } { } _ { 10 ^ { 6 } 1234567 } ^ { 6 } -1234567 \)이고 따라서 \( \left (10 ^ { 7 } -1 \right ) ^ { 6 } { } _ { 1234567 } ^ {\leftarrow } \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } -1234567 \) 또는 \( { } ^ { 6 } \underset { 1234567 } {\leftarrow } \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } \frac { -1234567 } { 10 ^ { 7 } -1 } \)이다. 예를 들어 \( 13579=a_ { 4 } a_ { 3 } a_ { 2 } a_ { 1 } a_ { 0 } \)로 표시하자. 자릿수가 5 자리이므로 \( 13579=a_ { 4 } a_ { 3 } a_ { 2 } a_ { 1 } a_ { 0 } =a(5) \)로 표시하면 편리하다. 이를 바탕으로 다음 식을 얻는다.</p> <p>\( { } _ { n } \leftarrow(k) \equiv { } _ { 10 ^ { n } } \frac { -a(k) } { 10 ^ { k } -1 } \)</p> <p>본 식에서 오른쪽은 \( n(=6) \)과 관계가 없음을 위 두 예에서 알 수 있다. 따라서 다음과 같은 새로운 정의를 내리자.</p> <p>정의 2 \( _ { a(k) } ^ {\leftarrow } = \frac { -a(k) } { 10 ^ { k } -1 } \) (이 값을 모듈 10 유리수라 부른다.)</p> <p>몇 개의 예를 들면, \( \overleftarrow { 9 } =- \frac { 9 } { 9 } =-1, \quad \overleftarrow { 27 } = \frac { -27 } { 10 ^ { 2 } -1 } =- \frac { 3 } { 11 } \), \( \overleftarrow { 12345 } = \frac { -12345 } { 10 ^ { 5 } -1 } =- \frac { 4115 } { 33333 } \)</p> <p>미분을 통하여 소수를 걸러보자. 예를 들면, 3 이 소수인 이유는 \( f(x)=e ^ { x } + e ^ { x ^ { 2 } / 2 } \)에서 3차도함수의 값이 \( f ^ { (3) } (0)=1 \)이고 4가 소수가 아닌 이유는 함수 \( h(x)=e ^ { x } + e ^ { x ^ { 2 } / 2 } + e ^ { x ^ { 3 / 3 } } \)에서 4 차도함수의 값이 \( h ^ { (4) } (0) \neq 1 \)이 때문이다.</p> <h1>2.11 EXAMPLE(Walsh, 2007)</h1> <p>양의 정수 \( n>1 \)에 대하여 함수 \( g_ { n } (x)= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } e ^ { x ^ { k / k } } \)를 정의하자. 다음은 동치이다.</p> <p>(1) 양의 정수 \( n>1 \)이 소수이다.</p> <p>(2) \( \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (0)=1 \).</p> <p>증명 지수함수 \( e ^ { x ^ { k } / k } \)를 Taylor급수로 표현하면</p> <p>\( e ^ { x ^ { k } / k } = \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac {\left (x ^ { k } / k \right ) ^ { j } } { j ! } = \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k j } } { k ^ { j } j ! } \)이므로 \( g_ { n } (x)= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } e ^ { x ^ { k } / k } = \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k j } } { k ^ { j } j ! } \) 이제 \( n \) 차도함수를 구해보자. 먼저 \( k j \geq n \)일 때, 함수 \( y=x ^ { k j } \)의 \( n \) 차도함수는 \( y ^ { (n) } =k j(k j-1)(k j-2) \cdots(k j-(n-1)) x ^ { k j-n } \)<p>이다. 조건 " \( k j \geq n \) "이 없는 대신 기호 \( I(s)= \left \{\begin {array} { lll } 1 & \text { 명제 } s \text { 가 참 } \\ 0 & \text { 명제 } s \text { 가 거짓 } \end {array} \right . \)을 사용하면 다음을 얻는다.</p> <p>\( \zeta(z)= \prod_ { p=2 } ^ {\infty } \left (1- \frac { 1 } { p ^ { z } } \right ) ^ { -1 } (p \)는 소수 \( ) \) 즉, \( \zeta(z)= \prod_ { p \text { 는 소수 } } \left (1- \frac { 1 } { p ^ { z } } \right ) ^ { -1 } (z>0) \)이고 \( z \)는 실수부가 \( \operatorname { Re } (z)>1 \)인 복소수로 확장된다.구체적인 예를 \( z=2 \)로 들어보면 다음과 같다.</p> <p>\( \zeta(2)= \frac {\pi ^ { 2 } } { 6 } = \prod_ { p=2 } ^ {\infty } \left (1- \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \right ) ^ { -1 } \)</p> <h1>2.10 REMARK(에라토스테네스와 지구둘레 측정)</h1> <p>(1) 에라토스테네스(B.C 276-B.C. 194)는 \( \quad x ^ {\circ } = \) \( 7 ^ {\circ } 12 ^ {\prime } =360 ^ {\circ } / 50 \)으로 하고 알렉산드리아에서 시에네까지 5000stadia로 하여 \( ( \) 지구둘레) \( =50 \times 5000 \) stadia \( =250,000 \) stadia로 계산한 다음 이유는 모르지만(아마도 알렉산드리아에서 시에네까지, 거리에 오차를 염두에 둔 것 같다) 에라토스테네스는 2,000 stadia를 더하였다. 즉, (지구둘레) \( =2520,000 \) stadia로 최종 계산하였다. 에라토스테네스가 사용한 단위 stadia가 이집트의 단위라면 이는 약 \( 157.50 \)미터 \( (516.73 \mathrm { feet } ) \)이다. 따라서 (지구둘레) \( =2520000 \) \( \times 175.50=396,900( \mathrm { ~km } ) \)이다. 현재 알려진 지구의 둘레 약 \( 40,047 \mathrm { ~km } \)와 매우 가깝다.</p> <p>(2) 2009 개정 교육과정에 따른 수학과 교육과정에 13 종의 교과서 모두 이를 다루지 않고 있다. 중학교(2)(중심각과 호의 길이)에서 에라토스테네스의 지구둘레 측정은 필이 수업 중에 다루어야 한다. 수학시간에 실험을 위한 자료를 사진으로 제시해본다.</p> <p>(3) 과학교과서(과학 3)는 에라토스테네스는 하짓날 정오에 태양이 시에네에 있는 우물의 바닥을 수직으로 비출 때, 알렉산드리아에서 시에네까지를 \( 925 \mathrm { ~km } \)로 주어 계산한다. 이로부터 지구의 반지름을 \( 7365 \mathrm { ~km } \)로 구했다고 소개한다. 나아가 실제 지구의 반지름을 약 \( 6,400 \mathrm { ~km } \)로 소개하면서 \( 15 \% \)의 오차를 설명한다. (1)에서 소개했듯이 아르키메데스는 이와 같이 측정하지 않았으며 그가 측정한 지구반지름은 \( 6320 \mathrm { ~km } \)이다.</p> <p>정수의 소인수분해는 유일하게 결정되며 두 수 사이의 곱은 \( \left (2 ^ { 5 } 17 \right ) \times \left (2 ^ { 4 } 11 ^ { 2 } \right )=2 ^ { 9 } 11 ^ { 2 } 17 \)처럼 각 소수의 어깨에서 덧셈으로 계산한다. 소수(prime)의 인수분해 성질을 이용하여 새로운 절댓값을 정의하고 이를 바탕으로 새로운 수체계를 만들어 보자. 절댓값은 중학교 수학 1에서 “원점 사이의 거리"로 정의되고 두 음수의 덧셈을 두 수의 절댓값의 합에 공통인 부호를 붙여 계산한다. 양의 정수와 음의 정수의 곱에서도 절댓값을 이용한다. 먼저 절댓값이 어떤 역할을 하는지 대학수준에서 알아보자.</p> <p>유리수에서 실수를 만들 때, 가장 중요한 역할을 하는 것이 절댓값이다. 정의를 먼저 살펴보자. 유리수 \( x \)의 절댓값(absolute value) \( \|x\| \)의 정의는 다음과 같다.</p> <p>\( \|x\|= \left \{\begin {array} { ll } x & (x \geq 0) \\ -x & (x<0) \end {array} \right . \)</p> <p>식(2-3)은 유리수의 크기(norm)를 결정하는 하나의 함수 \( \| \quad\|: \mathbb { Q } \rightarrow \mathbb { Q } ,\| \quad\|(x)=\|x\| \)이며, 다음 세 가지 성질을 가지고 있다. ① \( \|x\| \geq 0 \)이고 \( \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 \), ② \( \|x y\|=\|x\|\|y\| \), ③ \( \|x + y\| \leq\|x\| + \|y\| \) (삼각부등식).</p> <p>실제, 크기라는 용어를 사용하려면 함수는 식(2-4)를 만족해야 한다. 이제 유리수집합 위에 식(2-3)이 아닌 다른 크기를 정의하여 보자. 즉, 유리수에서 식(2-4)를 만족하는 새로운 자를 만들어보자.</p> <p>소수 \( p \)를 고정시키고, 0이 아닌 정수 \( m \)에 대하여 \( m \)을 소인수분해 했을 때, \( p \)의 최대멱을 \( \operatorname { ord } _ { p } m \)라 쓰자. 예를 들면 \( \operatorname { ord } _ { 5 } 50=2, \operatorname { ord } _ { 5 } 250=3, \operatorname { ord } _ { 2 } 96=5, \operatorname { ord } _ { 2 } 103=0 \) 등이다. 한편, \( \operatorname { ord } _ { p } 0= \infty \)로 정의하면 \( \operatorname { ord } _ { p } (m n)= \operatorname { ord } _ { p } m + \operatorname { ord } _ { p } n \)임을 보일 수 있다(지수법칙). 한편, 유리수 \( q=m / n \) 에 대하여, \( \operatorname { ord } _ { p } q= \operatorname { ord } _ { p } \frac { m } { n } = \operatorname { ord } _ { p } m- \operatorname { ord } _ { p } n \)로 정의하자. 위 식은 \( q \)에만 의존하고, \( q \)를 표현하는 \( m, n \)과는 무관함을 확인하기 바란다.</p> <p>(1) 활동지가 말하는 것을 나열해 보자.</p> <p>(2) 앞에서 예측한 결론을 증명,지도하여 보자.</p> <p>(3) 교사들은 학생들의 반응을 중심으로 위 활동지를 지도해 보자. 필자가 초/중/고생을 상대로 경험한 학생들의 반응과 필자가 학생들에게 한 문제제기를 열거하면 다음과 같다.</p> <p>① (학생반응1) 판정 "N"으로부터 2의 거듭제곱수 \( 1,2,4,8, \cdots \) 등을 인식한다. 즉, 2의 거듭제곱수는 연속된 자연수의 합으로 표현되지 못한다.</p> <p>② (학생반응2) 두 수의 합(예 : \( 7=3 + 4 \) )이 들어가 있는 홀수를 지적한다. 즉, 홀수는 두 자연수의 합으로 표현된다.</p> <p>③ (학생반응3) 3개짜리가 있는 수(예 : \( 9=2 + 3 + 4 \) )는 3의 배수임을 인식한다.</p> <p>④ (학생반응4) 특히, 1로 시작하는(예 : \( 6=1 + 2 + 3 \) ) 연속된 자연수의 합을 지적한다. 즉, \( 3,6,10 \) 등은 1로 시작하는 연속된 자연수의 합으로 표현된다.</p> <p>⑤ (학생반응5) 소수를 인식한다. 즉, 소수는 두 개짜리의 합으로 유일하게 표현된다.</p> <p>⑥ (문제제기1) 15는 3가지 형태의 합, 18은 2가지 형태로 나타난다. 매우 큰 수의 경우, 예를 들어 1728의 경우 이를 어떻게 알 수 있을까?</p> <p>⑦ (문제제기 2 ) 15는 \( 7 + 8=4 + 5 + 6=1 + 2 + 3 + 4 + 5 \)로 2개, 3개, 5개 수의 합으로 표현된다. 이때 5 개가 가장 길다. \( 3 ^ { 9 } \) 은 연속된 자연수로 표시되며 이때 가장 긴 것을 구할 수 있을까?</p> <p>⑧ (문제제기3) 위 활동지는 연속된 자연수의 합으로 주어진 수를 나타낸 것이다. 활동지를 일반화할 수 있을까? 즉, 차이가 2인 수의 합, 차이가 3인 수의 합 등은 무엇을 구별해낼 수 있을까?</p> <p>(4) 학생들의 반응을 기초로 수업을 어떻게 연결할지 그 예를 들어 보자.</p> <p>(5) (학생반응에 대한 수업지도안, 《고급수학 II》(미적분의 활용)) 오일러가 l'Hospital's rule을 어떻게 활용했는지 예</p> <p>\( 1 + 2 + 3 + \cdots + n=n(n + 1) / 2 \)</p> <p>를 통하여 알아보자.기하급수 \( x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots + x ^ { n } = \left (x-x ^ { n + 1 } \right )(1-x) \)의 양변을 \( x \) 에 관하여 미분하면 \( 1 + 2 x + 3 x ^ { 2 } + \cdots + n x ^ { n-1 } = \left (1-(n + 1) x ^ { n } + n x ^ { n + 1 } \right ) /(1-x) ^ { 2 } \)이고 양변에 \( x \)를 곱하면 다음 등식을 얻는다.</p> <p>증명 음이 아닌 두 정수 \( x, y(x<a, y<b) \)에 대하여 \[ \{ x, x + a, x + 2 a, \cdots, x + (b-1) a \} \]는 \( * \equiv x( \bmod a) \)인 \( a b \) 보다 적은 음이 아닌 모든 정수이다. 한편 \( a, b \)가 서로소이므로 이들 중에는 \( \bmod b \)에 관하여 합동인 서로 다른 원소는 없다. 이들 중 오직 한 개의 원소 \( z( \) 따라서 \( z \equiv x( \bmod a)) \)가 \( z \equiv y( \bmod b) \) 를 만족한다. 그러므로 이를 바탕으로 하여 isomorphism</p> <p>\( \mathbb { Z } _ { a b } \rightarrow \mathbb { Z } _ { a } \times \mathbb { Z } _ { b } , z \mapsto(x, y) \)을 만들 수 있다. 물론, \( x, y \) 를 각각 \( a, b \)와 서로소인 수로 제한하여도 동형은 보존된다. 따라서 \( \left ( \mathbb { Z } _ { a b } \right ) ^ {\times } \simeq \mathbb { Z } _ { a } ^ {\times } \times \mathbb { Z } _ { b } ^ {\times } \)이다.</p> <p>정리 증명 두 보조정리 1,2를 사용하여 정리를 증명하자. 먼저, 소수 \( q \) 에 대하여 \( \mathbb { Z } _ { 0 } ^ { x } \simeq \mathbb { Z } _ { 0-1 } \)이므로 보조정리 2에 의하여 \[ \left (Z_ { M_ { n } } \right ) ^ {\times } \simeq Z_ { 2 } \times Z_ { 4 } \times Z_ { 6 } \times \cdots \times Z_ { p_ { n } -1 } \left ( \text { 전체는 } \left \|Z_ { 2 } ^ {\times } \right \|=1 \text { 이므로 } n-1 \right . \text { 개의 곱) } \]이다. 한편, 보조정리 1에 의하여 \( \left (Z_ { M_ { n } } \right ) ^ {\times } \)는 \( n-1 \)개 보다 적은 원소들로는 생성될 수 없다. 이제, \( p_ { n } \)과 \( M_ { n } =p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } \) 사이에 소수를 \( p_ { n + 1 } , p_ { n + 2 } , \cdots, p_ { n + l } \) 라 하면 유클리드 정리에 의하여 \( l \geq 1 \) 이다. 이때 \( p_ { n + 1 } , p_ { n + 2 } , \cdots, p_ { n + l } \)은 \( \left (Z_ { M_ { n } } \right ) ^ {\times } \)를 생성한다. 따라서 \( l \geq n-1 \)이다.</p> <p>(1) 활동지가 무엇을 말하는지 알아보자.</p> <p>(2) 활동지를 바탕으로 지도안을 작성해보자.</p> <h1>2.8 IN YOUR OWN WORDS</h1> <p>연속된 자연수의 합(예를 들면 \( 6=1 + 2 + 3 \) ), 그리고 연속된 짝수 또는 홀수의 합(예를 들면, \( 12=2 + 4 + 6 \), 또는 \( 24=3 + 5 + 7 + 9) \)을 일반화하여 지도 해보자. 짝/홀수의 합은 두 칸을 띄어 합하는 것이므로 세 칸을 띤 수 \( a + (a + 3) + (a + 6) + \cdots + (a + 3 n) \) (예를 들면, \( 2 + 5 + 8=15 \) ) 또는 4 칸을 띈 수(예를 들면, \( 1 + 6 + 11 + 16=34 \) ) 등에 대하여 표현되는 수와 표현되지 못하는 수를 적당한 성질을 사용하여 분류하여보자.</p> <p>수학(1)에서 자연수로부터 소수를 걸러내는 방법을 에라토스테네스의 체(Eratosthenes's sieve)라 부른다. 이를 오일러 입장에서 알아보자.</p> <h1>2.9 EXAMPLE(오일러)</h1> <p>리만제타함수 \( \zeta(z)= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k ^ { z } } =1 + \frac { 1 } { 2 ^ { z } } + \frac { 1 } { 3 ^ { z } } + \frac { 1 } { 4 ^ { z } } + \cdots \)에서 오일러는 \( z \geq 2 \) 인 정수에 대하여 생각하였다. 오일러는 이 함수가 소수와 연관이 있다는 것을 보였다. 먼저 양변에 \( 1 / 2 ^ { z } \)을 곱하면 \( \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \zeta(z)= \frac { 1 } { 2 ^ { z } } + \frac { 1 } { 4 ^ { z } } + \frac { 1 } { 6 ^ { z } } + \frac { 1 } { 8 ^ { z } } + \frac { 1 } { 10 ^ { z } } + \frac { 1 } { 12 ^ { z } } + \cdots \)이고, 따라서 \( \zeta(z)- \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \zeta(z) \)를 시행하면 에라토스테네스의 방법처럼 \( 1,2,3,4,5,6,7, \cdots \)에서 2의 배수 \( 2,4,6,8, \cdots \) 등을 지워나가서 \( 1,3,5,7,9,11, \cdots \)을 얻는 것과 같이 \( \left (1- \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \right ) \zeta(z)=1 + \frac { 1 } { 3 ^ { z } } + \frac { 1 } { 5 ^ { z } } + \frac { 1 } { 7 ^ { z } } + \frac { 1 } { 11 ^ { z } } + \cdots \)을 얻는다. 같은 방법으로 \( \left (1- \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \right ) \frac { 1 } { 3 ^ { z } } \zeta(z)= \frac { 1 } { 3 ^ { z } } + \frac { 1 } { 9 ^ { z } } + \frac { 1 } { 15 ^ { z } } + \frac { 1 } { 21 ^ { z } } + \cdots \). 따라서 \( \left (1- \frac { 1 } { 2 ^ { z } } \right ) \left (1- \frac { 1 } { 3 ^ { z } } \right ) \zeta(z)= \frac { 1 } { 3 ^ { z } } + \frac { 1 } { 5 ^ { z } } + \frac { 1 } { 7 ^ { z } } + \frac { 1 } { 11 ^ { z } } + \cdots \)을 얻는다. 그러므로 본 과정을 무한히 반복하면 다음 결과를 얻는다.</p> <p>실수체계에서 주어진 원의 중심은 유일하고 임의의 모양의 삼각형이 존재한다. 그러나 수체계가 일반화되었을 때, 예상치 않은 일이 벌어질 수 있다.</p> <h1>2.43 EXAMPLE</h1> <p>(1) 수열 \( a_ { n } =1 + p + p ^ { 2 } + \cdots + p ^ { n-1 } \)은 \( \mathbb { Q } _ { p } \)에서 코시수열이고 0으로 수렴한다. 즉, \( \left \|a_ { n + k } -a_ { n } \right \|_ { p } = \left \|p ^ { n } + p ^ { n=1 } + \cdots + p ^ { n + k-1 } \right \|_ { p } = \frac { 1 } { p ^ { n } } \rightarrow 0 \)</p> <p>(2) 수열 \( 4,34,334,3334,33334, \cdots \)는 \( \mathbb { Q } _ { 5 } \)에서 \( 2 / 3 \)로 수렴하는 코시수열이다.</p> <h1>2.44 THEOREM</h1> <p>\( \mathbb { Q } _ { p } \)의 세계에서 모든 삼각형은 이등변삼각형이다.</p> <p>증명 \( x, y \in \mathbb { Q } _ { p } \)일 때, \( x-y \in \mathbb { Q } _ { p } \)이다. \( \|x\|_ { p }<\|y\|_ { p } \)를 가정하고 다음 삼각형을 보자.</p> <p>이때< \( \|x-y\|_ { p } \leq \max \left (\|x\|_ { p } ,\|y\|_ { p } \right )=\|y\|_ { p } \)이고 \( \|y\|_ { p } =\|x-(x-y)\|_ { p } \leq \max \left (\|x\|_ { p, } \|x-y\|_ { p } \right ) \leq\|x-y\|_ { p } \)이므로 \( \|x-y\|_ { p } =\|y\|_ { p } \)이다. 따라서 모든 삼각형은 이등변삼각형이다.</p> <h1>2.45 THEOREM</h1> <p>\( \mathbb { Q } _ { p } \)의 세계에서 원의 중심은 무수히 많다.</p> <p>증명 중심이 \( a \in \mathbb { Q } _ { p } \)이고 반지름이 \( r \in R, r \geq 0 \)인 개원판은 \( \operatorname { disc } (a, r)= \left \{ x \in \mathbb { Q } _ { p } \|\| x- \left .a \right \|_ { p }<r \right \} \)이다. \( b \)를 \( \operatorname { disc } (a, r) \)에서 임의로 택하자. 만일 \( x \in \operatorname { disc } (a, r) \)이면 \( \|x-a\|_ { p }<r \)이다. 정리(2.40)으로부터 \( \|x-b\|_ { p } =\|(x-a) + (a-b)\|_ { p } \leq \max \left (\|x-a\|_ { p } ,\|a-b\|_ { p } \right ) \leq r \)이므로 \( x \in \operatorname { disc } (b, r) \). 따라서 \( \operatorname { disc } (a, r) \subset \operatorname { disc } (b, r) \)이다. 같은 방법으로 \( \operatorname { disc } (b, r) \) \( \subset \operatorname { disc } (a, r) \)을 얻는다. 그러므로 \( \operatorname { disc } (a, r)= \operatorname { disc } (b, r) \)이다. 따라서 주어진 원의 중심은 무한히 많다.</p> <p>한편, \( \operatorname { gcd } (a, n)=1 \)은 어떻게 보장될까? \( \mathbb { Z } _ { n } = \{ 0,1, \cdots, \mathrm { n } -1 \} \)의 임의의 원소 \( a \)가 \( n \)과 서로소일 확률값은 \( \frac {\phi(n) } { n } \)이고, 이를 풀어쓰면 \[ \frac {\phi(n) } { n } = \frac { (p-1)(q-1) } { p q } = \left (1- \frac { 1 } { p } \right ) \left (1- \frac { 1 } { q } \right ) \]이므로 \( n=p q \)에서 \( p, q \)가 충분히 크면 \( \operatorname { gcd } (a, n)=1 \)일 확률값 \( \left (1- \frac { 1 } { p } \right ) \left (1- \frac { 1 } { q } \right ) \)은 1 로 보아도 무방하다. 따라서 \( \operatorname { gcd } (a, n)=1 \)은 안전하게 보장된다.</p> <p>실제 숫자가 작아 공학적 의미는 없지만, 구체적 이해를 위하여 다음 예를 들어보자.</p> <h1>2.31 IN YOUR OWN WORDSE(계산기 활용 교수법)</h1> <p>\( n=11 \times 23=253 \)을 정한다. 이때 \( \phi(n)= \phi(11) \times \phi(23)=(11-1) \times(23-1)=220 \)이다. 253을 공개하고 두 소수 11,23은 공개하지 않는다.</p> <p>[Step1】 \( \operatorname { gcd } (e, 220)=1 \)인 \( e \)를 우리 마음대로 정하여 공개하자. ☞ e=17</p> <p>【Step2】 Euclidean Algorithm을 220과 17에 적용하여 비공개할 \( d \)를 구하자.</p> <p>\( \begin {aligned} 220 &=17 \times 12 + 16, 17 &=16 \times 1 + 1 . \end {aligned} \)</p> <p>즉, \( \operatorname { gcd } (220,17)= \operatorname { gcd } (17,16)=1 \) 이다. 따라서</p> <p>\( \begin {aligned} 1 &=17-16 \times 1 \\ &=17-(220-17 \times 12) \times 1 \\ &=17 \times 13-220 \times 1 \end {aligned} \)</p> <p>이므로 \( d=13 \)을 알고리즘에서 얻고 이를 비공개한다.</p> <p>【Step3】 선택된 평문 \( a=100 \)에 대하여(물론 \( \operatorname { gcd } (a, n)= \operatorname { gcd } (100,253)=1 \)이어야한다) \( 100 ^ { 17 } \equiv 243( \bmod 253) \)이다. 따라서 아군에게 전달된 암호문 \( b=243 \)은 공개된 \( n=253 \과 비공개된 \( d=13 \)에 의하여 아군은 계산 \( 243 ^ { 13 } \equiv 100( \bmod 253) \)으로부터 평문 100을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} \|x + y\|_ { p } &=p ^ { - \operatorname { or } d_ { p } (x + y) } \leq \max \left (p ^ { - \operatorname { or } d_ { p } x } , p ^ { - \text { ord } d_ { p } y } \right ) \\ &= \max \left (\|x\|_ { p } ,\|y\|_ { p } \right ) \leq\|x\|_ { p } + \|y\|_ { p } . \end {aligned} \)</p> <h1>2.41 EXAMPLE</h1> <p>우리는 \( \|x\|_ { p } \)를 \( x \)의 \( p \)-진절댓값( \( (p \)-adic absolute value of \( x) \)이라 부른다. 예를 들면, \( \|6\|_ { 3 } =\|15\|_ { 3 } = \frac { 1 } { 3 } , \left \| \frac { 1 } { 4 } \right \|_ { 2 } = \left \| \frac { 3 } { 4 } \right \|_ { 2 } =4 \).등이다.</p> <p>우리는 새로운 크기함수 \|\| \( _ { p } \)를 정의하였다. 유리수로 이루어진 코시수열 사이에 동치관계를 정의하는데 \|\| \( _ { p } \)를 사용하자. 그리고 새로운 수체계를 만들자.</p> <h1>2.42 DEFINITION</h1> <p>소수 \( p \)를 고정하자. 유리수로 이루어진 코시수열을 모두 모아 이 집합을 \( S \)로 표시하자. \( S \)의 두 원소 \( f= \left \{ a_ { n } \right \} \)와 \( g= \left \{ b_ { n } \right \} \) 사이의 관계 ' '를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( f \sim g \Leftrightarrow \left \|a_ { n } -b_ { n } \right \|_ { p } \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty) \).</p> <p>본 관계는 동치관계이고 동치류의 집합 \( S / \sim= \{ [f] \mid f \in S \} \)를 \( \mathbb { Q } _ { p } \)로 표시하고 각 원소를 \( p \)-진수라 부른다. 이 \( p \)-진수집합은 유리수집합을 품는 수체계로 실수집합과는 본질적으로 다르다.</p> <p>① \( n \)이 소수이면 식(2-1)에서 \( k=1 \) 밖에 없다. 즉, \( \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (0)= \frac { n ! } { 1 ^ { n / 1 } (n / 1) ! } =1 \)</p> <p>② \( n(>1) \) 이 소수가 아니면 정수 \( k, r(2 \leq k, r \leq n-1) \) 이 존재하여 \( n=k r \) 이다. 그러므로 \( n(>1) \) 이 소수가 아니면</p> <p>\( \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (0) \geq 1 + \frac { (k r) ! } { k ^ { r } r ! } >1 \)이 성립한다.</p> <p>앞에서 본 예제 \( 2.11 \) 은 고차도함수를 사용하여 정수 \( n \) 이 소수인지를 판별한 것이다. 정수론에서 \( n \) 이 소수인지를 판별하는 방법으로 Wilson의 정리(1770)를 들 수 있다. 증명은 정수론 교재를 참고하기 바란다.</p> <p>Wilson's Theorem. 다음은 동치이다.</p> <p>① \( n \)은 소수이다.</p> <p>② \( n \)은 \( (n-1) ! + 1 \)의 약수이다.</p> <p>이제 함수 \( F(1)=1, F(n)= \left [ \cos ^ { 2 } \left ( \frac { (n-1) ! + 1 } { n } \pi \right ) \right ] \) (여기서 \( [x] \)는 \( x \)를 넘지 않는 최대 정수)을 정의하면 Wilson의 정리에 의하여 \( F(n)= \left \{\begin {array} { l } 1(n=1 \text { 또는 n은 소수) } \\ 0 \text { (다른 경 우) } \end {array} \right . \)</p> <p>또 다른 방법을 알아보자. 1 부터 \( x=20 \)까지 정수에서 10 과 서로소인 수가 몇 개 있을까? 먼저 \( m=2 \)의 배수를 지우자. 이로부터 \( m=2 \)와 서로소인 수의 개수를 구할 수 있다. 이 개수를 기호 \( N_ { m } (x)=N_ { 2 } (20) \)으로 표현하자. \( N_ { 2 } (20)=N_ { 1 } (20)-N_ { 1 } (20 / 2)=20-20 / 2 \)이다. 이때, \( 10=2 \times 5 \)이므로 \( N_ { 10 } (20)=20-20 / 2-20 / 5 + 20 /(2 \cdot 5) \)</p> <h1>2.29 (THEOREM(오일러정리)</h1> <p>양의 정수 \( n \)에 대하여 \( \mathbb { Z } _ { n } = \{ 0,1, \cdots, n-1 \} \)라 하자. 집합 \( \mathbb { Z } _ { n } \)의 원소 중에서 \( n \)과 서로소인 원소의 집합을 \( Z_ { n } ^ {\times } \)로 쓰고, 이 집합의 원소의 개수를 \( \phi(n) \)으로 나타내자. 우리는 함수 \( \phi: \mathrm { N } \rightarrow \mathrm { Z } \) 를 오일러함수라 부른다. 이를 다시 반복하여 말하면 \( \mathrm { Z } _ { n } \)은 가환환(commutative ring)이고 환에서 곱셈의 관한 역원을 모두 모아놓은 것이 집합 \( \mathrm { Z } _ { n } ^ {\times } \)이다. 따라서 \( \mathrm { Z } _ { n } ^ {\times } \)는 곱에 관한 군(group)이 된다. 즉, \( \phi(n) \)은 군 \( \mathrm { Z } _ { n } ^ {\times } \)의 위수(order)이다. 그러므로 군 \( \mathrm { Z } _ { n } ^ {\times } \)의 임의의 원소 \( a \)를 군의 위수 \( \phi(n) \)만큼 거듭 곱하면 항등원(identity) 1이된다. 이를 오일러정리라 부르며 식으로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\( \operatorname { gcd } (a, n)=1 \Longrightarrow a ^ {\phi(n) } \equiv 1( \bmod n) \) (오일러정리)</p> <h1>2.30 THEOREM(RSA)</h1> <p>충분히 크다고 가정할 수 있는 두 소수 \[p=2595377, q=104729 \]에 대하여 공개된 12자리의 수 \[n=p q=271811237833 \]을 적군이 소인수분해 하려면 적당한 시간이 필요하다. 주어진 큰 정수 271811237833에 대한 소인수분해의 어려움은 오일러함수 \( \phi(271811237833) \)을 구하는데 있다. 즉, 271811237833을 인수분해 한다는 것은 \( \phi(271811237833) \) 을 구하는 것이다. 그 이유는 독자들이 정수론에서 배운 정리 \[ \phi(n)= \phi(p q)=(p-1)(q-1) \]을 이용할 수 있기 때문이다. 따라서 우리는 \[ \operatorname { gcd } (e, \phi(n))=1,1 \leqq e \leqq \phi(n) \]인 \( e \) 를 쉽게 얻을 수 있고 이를 공개하자. 이때 유클리디안 알고리즘을 사용하여 \[e d \equiv 1( \bmod \phi(n)) \]인 \( d \) 를 구하고(다음 예제(2.31)에서 step2 참고), 이를 비공개한다. 따라서 공개된 271811237833 에 대한 소인수분해의 어려움은 결과적으로 \( d \)를 구하는 어려움으로 귀착된다. 이때 암호문 \[a_ { 1 } ^ { e } \cdots a_ { m } ^ { e } \equiv b_ { 1 } \cdots b_ { m } ( \bmod n) \]은 평문 \[b_ { 1 } ^ { d } \cdots b_ { m } ^ { d } \equiv a_ { 1 } \cdots a_ { m } ( \bmod n) \]으로 전환된다. 그 이유를 살펴보자. \( e d \equiv 1( \bmod \phi(n)) \)에서 적당한 정수 \( k \)가 존재하여 \[e d=1 + \phi(n) k \] 이를 오일러정리 \[ \operatorname { gcd } (a, n)=1 \Rightarrow a ^ {\phi(n) } \equiv 1( \bmod n) \]과 함께 사용하면 \[a ^ { e } \equiv b( \bmod n) \Rightarrow b ^ { d } \equiv \left (a ^ { e } \right ) ^ { d } \equiv a \left (a ^ {\phi(n) } \right ) ^ { k } \equiv a( \bmod n) \] 따라서 \[a_ { 1 } ^ { e } \cdots a_ { k } ^ { e } \equiv b_ { 1 } \cdots b_ { k } ( \bmod n) \Rightarrow b_ { 1 } ^ { d } \cdots b_ { k } ^ { d } \equiv a_ { 1 } \cdots a_ { k } ( \bmod n) . \]</p> <p>1 보다 큰 자연수 중에서 1 과 그 수 자신만을 약수로 가지는 수를 소수로 정의한다. 교과서는 자연수를 소인수분해하고 이를 위하여 거듭제곱의 정의를 먼저 제공한다. 소인수분해는 약수를 모두 구하거나 두 수의 최대공약수를 구하는 데 활용된다. 본 절에서는 소수를 걸러보았고 소수가 얼마나 많은지 알아보았다. 소수를 걸러 내는 방법으로 에라토스테네스의 체를 수업 중에 사용하는데 리만제타함수를 이용한 소수거르기를 소개하였다. 함수 값 일부가 소수인 이차다항식을 소개하였다. 특히, 1967 년에야 증명된 오일러의 이차다항식 \( x ^ { 2 } + x + 41 \)의 의미와 이를 바둑판에서 회전돌기로 연결 짓는 것을 마음껏 즐기기 바란다. 소수가 무한히 많다는 증명은 유클리드 때로 거슬러 올라간다. 여러 가지 증명방법을 알아보았다. 소수가 무한개라는 표현은 매우 무책임(?)한데 \( x \)를 넘지 않는 수 중에서 소수의 개수를 \( \pi(x) \)라 하면 대략 \( \pi \left (10 ^ { n } \right ) \approx 4.3429 \times \frac { 10 ^ { n-1 } } { n } \)이다. 이를 사용하여 우주를 소수로 채워보았다. 끝으로, 소수의 응용으로 매우 큰 수(예를 들어, 200자리 수)의 소인수분해에 기반을 둔 간단한 암호론과 \( \mathrm { p } \)-진체를 소개하였다.</p> <p>\( \zeta(x) = 1 + \frac { 1 } { 2 ^ { x } } + \frac { 1 } { 3 ^ { x } } + \frac { 1 } { 4 ^ { x } } + \cdots \)</p> <p>다음 질문을 기반으로 소수의 아름다움을 즐겨보자.</p> <p>질문 1 소수를 어떻게 걸러낼까?</p> <p>질문 2 100,000,000보다 작은 소수는 대략 몇 개일까?</p> <p>질문 3 소수는 어디에 쓰이나?</p> <p>두 개 이상 연속되는 자연수의 합으로 나타낼 수 있는 수에 대하여 생각해 보자. 몇개의 예를 들어보면, 5는 \( 5=2 + 3,6 \)은 \( 6=1 + 2 + 3,10 \)은 \( 10=1 + 2 + 3 + 4 \)등으로 연속되는 정수의 합으로 표현된다. 연속되는 2개, 3개 등의 양의 정수의 합으로 주어진 자연수를 나타내 보자. 먼저 20 이하인 자연수를 연속된 자연수의 합으로 표현해보자. 그리고 완성된 할동지로부터 여러 가지 결론을 이끌어 내고 이를 증명하여보자.</p> <p>정리(2.45)에 대한 필자의 생각은 써보면 다음과 같다. : 원은 우주이고 원 내부의 점은 우리 인간들이다. 따라서 우리 인간 모두는 우주의 중심이다. 본 정리는 인간의 존엄성을 언급한 것이다.</p> <p>다음은 순환소수를 지도한 후, 방과 후에 활용할 지도안이다</p> <h1>2.46 IN YOUR OWN WORDS</h1> <p>앞에 내용을 바탕으로 수학②에서 지도하는 순환소수를 수업시간에 활용해 보자.</p> <p>【질문 1】 순환소수 \( 0 . \dot { 9 } \)를 분수로 나타내어라.</p> <p>현행 교과서에서 제시된 순환소수의 방향을 달리하여 즐겨보자.</p> <p>순환소수 \( 0 . \dot { 9 } =0.999999 \cdots \)에서 숫자 9가 오른쪽으로 무한히 붙여지는 것처럼 왼쪽으로 무한히 붙여지는 것을 생각해보자.</p> <p>【질문 2】 \( \cdots 99999 \)란 무엇인가? 무한일까? 교과서에 있는 방법으로 접근해보자.</p> <p>【질문 3】다른 계산방법을 써도 \( \cdots 99999=-1 \)이 나올까?</p> <p>【질문 4】 \( \cdots 99999=-1 \)을 어떻게 인식해야하는가? 자신의 생각을 써보자.</p> <p>10을 0으로 보는 \( \bmod 10 \) 계산에 대하여 알아보자. 이는 10 개의 원소로 이루어진 수체계로 등식은 \( \equiv { } _ { 10 } \)을 사용하자. 예를 들어, \( 14 \equiv { } _ { 10 } 4,-19 \equiv_ { 10 } 1 \)처럼 두 수 \( a, b \)의 차이가 10의 배수이면 \( a \equiv { } _ { 10 } b \)로 표시하자. 즉, \( a \equiv { } _ { 10 } b \Leftrightarrow a-b=10 k \) (여기서 \( k \)는 적당한 정수 \( ) \)이다. 따라서 모든 수는 \( \bmod 10 \) 계산에 의하여 \( \{ 0,1,2, \cdots, 9 \} \)이다. 한편, \( 3 \times 7=21 \)이므로 이를 분수로 표현하면 \( 3 \equiv { } _ { 10 } \frac { 1 } { 7 } \)이다. 5처럼 10과 서로소가 아닌 수의 역원은 존재하지 않으며 3과 같이 10과 서로소인 수만 역원을 갖는다. 10과 서로소인 것은 \( 1,3,7,9 \)이다.</p> <p>정의 \(p, q \)가 10과 서로소일 때, \( \frac { l } { p } \equiv_ { 10 } \frac { m } { q } \Leftrightarrow l q \equiv { } _ { 10 } m p \).</p> <h1>2.23 THE PROOF</h1> <p>소수의 집합이 유한(finite)이고 이들 중 제일 큰 소수를 \( p \) 라 하자. 이제 \( 2 ^ { p } -1 \) 의 소수인 약수 \( q \mid 2 ^ { p } -1 \)를 생각해보자. 먼저 \( 2 ^ { p } \equiv 1( \bmod q) \)이므로 이를 군(group)에서 해석하면 “곱셈군(multiplicative group) \( \{ 1,2, \cdots, q-1 \} \)에서 2 의 위수(oder)는 \( p \) "이다. 그 이유는 2의 위수를 \( r(<p) \)이라 하면 \( p=s r + t(0 \leq t<r) \)이고 \( 1=2 ^ { p } = \left (2 ^ { r } \right ) ^ { s } 2 ^ { t } =2 ^ { t } \)로 모순을 얻기 때문이다. 따라서 Lagrange's Theorem에 의하여 위수 \( p \) 는 \( q \) 를 나누어야 한다. 이로부터 \( p<q \) 이고, 우리가 선택한 \( p \) 에 모순이 생긴다. 따라서 소수의 개수는 무한하다.</p> <p>소수가 무한히 많다는 여러 가지 다양한 증명에 대하여 더 알아보고 이를 수업에 활용하자.</p> <p>\( 1,000,000,000,000,000 \) 이하의 정수 중에서 소수가 몇 개 존재할까? 물론 10 이하의 정수 중에서는 모두 4 개의 소수가 존재한다. 이제 \( x \) 보다 작은 소수의 개수를 처음으로 예측한 사람은 Gauss(1792)와 Legendre \( (1798,1808) \)이다. 그들은 \( x \) 보다 작은 소수가 \( x / \ln x \)개 정도 존재한다는 것을 예측하였다. 여기서 사용한 로그는 자연로그이다. \( \pi(x) \)를 1과 \( x \) 사이에 존재하는 소수의 개수라면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac {\pi(x) } { x / \ln x } =1 \)</p> <p>1852년 P. L. Chebyshev는 본 가우스-르장드르 예측을 약화시켜 증명하였다. 즉, 매우 큰 \( x \)에 대하여 \[ 0.92129 \times x / \ln x< \pi(x)<1.10555 \times x / \ln x \]</p> <p>한편 1859년의 리만제타함수 \[ \zeta(s)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n ^ { -s } \]에 대한 한 연구결과를 바탕으로 1896년 Hadamard와 La Vall'e e Pous"sin`는 서로 독립적으로 소수정리를 증명하였다.</p> <p>\( x + 2 x ^ { 2 } + 3 x ^ { 3 } + \cdots + n x ^ { n } = \frac { x-(n + 1) x ^ { n + 1 } + n x ^ { n + 2 } } { (1-x) ^ { 2 } } \).</p> <p>위 식에서 \( x=1 \)이면 왼쪽은 \( 1 + 2 + 3 + \cdots + n \)이고 오른쪽은 부정형 \( 0 / 0 \)으로 변한다. 이제, 오일러가 오른쪽에 1'Hospital's rule을 쓰면 \( \frac { 1-(n + 1) ^ { 2 } x ^ { n } + n(n + 2) x ^ { n + 1 } } { -2(1-x) } \)으로, \( x=1 \)에서 부정형이 된다. 따라서 오일러는 다시 1'Hospital's rule을 쓰면 \( \frac { -(n + 1) ^ { 2 } n x ^ { n-1 } + n(n + 1)(n + 2) x ^ { n } } { 2 } \)이다. 이제 \( x=1 \) 에 대하여</p> <p>\( \frac { -(n + 1) ^ { 2 } n + n(n + 1)(n + 2) } { 2 } = \frac { n(n + 1) } { 2 } \)이다. 따라서 오일러는 합의 식 \( 1 + 2 + 3 + \cdots + n=n(n + 1) / 2 \)을 얻는다.</p> <h1>2.2 REMARK</h1> <p>(1) 2의 거듭제곱을 이집트인의 곱셈법으로 옮겨 지도해 보자. 다시 이집트인의 곱셈법을 이진법 지도에 활용해 보자. 또한, 이집트인의 곱셈법의 변형된 형태로 피보나치수열을 도입, 지도해보자. 이집트인의 곱셈법이나 이진법은 Greedy algorithm(최적화 알고리즘)을 기반으로 한다. 이를 이집트인의 단위분수의 분해(1202, 피보나치)와 우리 주변에서 볼 수 있는 자동판매기에서 잔돈을 거슬러 주는 알고리즘 등의 최적화 지도로 옮겨가 보자.</p> <p>(2) 1을 시작으로 연속된 자연수의 합으로 나타나는 수는 \( 1 + 2=3,1 + 2 + 3=6,1 + 2 + 3 + 4=10 \)으로 \( 3,6,10,21 \) 등이다. 이를 Angle Design 입장에서 지도해 보자(이차곡선 참고). 한편, angle design을 별다각형(star polygon) 지도로 연결하여 지도해보자.</p> <p>(2) 집합 \( S \)에서의 동치관계 \( \ulcorner \sim \lrcorner \)가 정의되어 있을 때, 두 원소 \( x, y \in S \)에 대하여 \( x \sim y \)일 때, \( x \)와 \( y \)는 서로 동치(equivalent)라 한다. 각 원소 \( x \)와 동치인 \( S \)의 원소 모임을 \( x \)에 의하여 결정된 동치류(equivalence class)라 하고 \( [x]= \{ y \in S \mid x \sim y \} \)로 나타낸다.</p> <p>(3) 동치류 \( [x] \)로 이루어진 집합을 \( S / \sim \)로 표시하자. 즉 \( S / \sim= \{ [x] \mid x \in S \} \)</p> <p>이때 \( S= \cup[x] \)이고 \( x \)와 \( y \)가 동치관계가 아니면 \( [x] \cap[y]= \varnothing \)이다. 즉, 주어진 집합은 동치류들로 완전히 분할(partition)된다.</p> <h1>2.35 QUESTION</h1> <p>왜 원소 간에 관계(또는 동치관계)를 도입하는가?</p> <p>원소 간의 관계를 사용는 목적은 대략 세 가지로 볼 수 있다. ⓐ 주어진 (수)집합으로부터 새로운 (수)집합을 만드는 것, ⓑ 주어진 함수의 정의역을 조절하여 이를 일대일 (injective)로 만드는 것, 그리고 ⓒ 사회현상설명 같은 응용을 들 수 있다.</p> <p>이에 대한 각 각의 예로 다음 연습문제를 해결해 보자. 독자들은 현대대수학에서 접한 제1동형정리(1st Isomorphism Theorem)를 찾아 참고하기 바란다.</p> <h1>EXERCISE</h1> <p>(1) 독자들은 집합 \( S= \mathbb { Z } \times( \mathbb { Z } - \{ 0 \} ) \)에 "동치관계와 분활의 방법"을 사용하여 정수 집합에서 유리수집합을 만들어보자.</p> <p>(2) 함수 \( f: A \rightarrow B \)에 대하여 관계 \( G \)를 \( G= \{ (x, y) \mid f(x)=f(y) \} \subseteq A \times A \)로 정의하자. 우리가 사용한 기호를 동원하면 \( x \sim y \Leftrightarrow(x, y) \in G \)이고 \( G \)는 동치관계이다. \( x \)를 갖는 동치류를 \( G_ { x } \)로 표시하고 동치류의 집합을 \( A / G= \left \{ G_ { x } \mid x \in G \right \} \)라 하자. 함수 \( h: A / G \rightarrow f(A), h \left (G_ { x } \right )=f(x) \)는 bijective이다. 즉, 정의역 \( A \)를 \( A / G \)로 조절하면 일대일 함수(injective map)를 만들 수 있다.</p> <p>(2) \( q=41 \)일 때, 40개의 소수를 구하였다. 다음 \( 20 \times 20 \) 정사각형 판에서 41에서 시작하여 회전돌기로 숫자를 기입해보자. 판에는 400개의 숫자가 기록되므로 41에서 440까지 적어보자. 그리고 대각선을 관찰해보자. 특히, 이차함수 \( f(x)=x ^ { 2 } + x + 41(x=0,1 \), \( 2, \cdots, 39) \)의 값이 대각선에 위치한다는 것을 명확히 지도해보자.</p> <h1>\( 2.14 \) REMARK(The class number of imaginary quadratic number fields)</h1> <p>이차함수 \( f(x)=x ^ { 2 } + x + q \)에서 \( n=0,1,2, \cdots, q-2 \)일 때, 모든 \( f(n) \)이 소수가 되는 소수 \( q \)를 구하는 것은 판별식 \( D=1-4 q \)와 관련이 있다. 가우스는 \( D<-163 \)이면 \( f(n) \)이 모두 소수가 될 수 없다는 것을 예측하였다. 이러한 가우스의 예측은 1952년(K.Heegner)에 부분적으로 증명이 되었고 1967년에 와서 오일러가 구한 41이 제일 큰 소수라는 것이 증명되었다(H. Stark, 1967). Stark는 체(field) \( \mathbb { Q } ( \sqrt { -D } ) \)에서 \( D=3,4,7,8,11,19,43,67,163 \)인 경우에만 \( \mathbb { Q } ( \sqrt { -D } ) \)의 원소 중에서 최고차항의 계수가 1 인 정수계수 다항식의 근의 모임은 유일분해정역(UFD)임을 보였다. \( D=163 \)일 때, \( \mathbb { Z } [ \sqrt { -163 } ] \) 은 유일분해정역이다. \( D=5,6,23 \)이 빠진 이유는 \( \mathbb { Z } [ \sqrt { -5 } ], \mathbb { Z } [ \sqrt { -6 } ] \), 그리고 \( \mathbb { Z } [ \sqrt { -23 } ] \)은 Unique factorization domain이 아니기 때문이다. 그 이유를 살펴보자. 독자들은《현대대수》에서 다루는 유일분해정역(UFD), 소수(prime element), 기약원(irreducible elemet), 동반원(associative)의 정의를 살펴보기 바란다. 일반적으로 prime은 irreducible이지만 그 역은 성립하지 않는다. 학부과정에서 만나는 쉬운 예를 들면 정역 \( \mathbb { Q } \left [x ^ { 2 } , x ^ { 3 } \right ] \)는 UFD가 아니다. 특히, \( x ^ { 2 } \)은 기약원이지만 prime은 아니다.</p> <p>한편, 고댁이집트인들은<p>\( 21=16 + 4 + 1 \)을 어떤 방법으로 구했을까? (Ahmes \( { } ^ { 46) } \) Papyrus B.C. 1650) 이를 유추해 보자.</p> <p>단계 1 21보다 작은 수 2의 거듭제곱수 중에서 제일 큰 수를 택한다. ☞ 16</p> <p>단계 2 \( 21-16=5 \)</p> <p>단계 3 5보다 작은 수 2의 거듭제곱수 중에서 제일 큰 수를 택한다. ☞ 4</p> <p>단계 4 \(5-4=1 \),</p> <p>결론 \( 21=16 + 4 + 1 \)</p> <p>따라서 이를 이진법으로 바꾸어 쓰면 \( 21=16 + 4 + 1=1 \times 2 ^ { 4 } + 0 \times 2 ^ { 3 } + 1 \times 2 ^ { 2 } + 0 \times 2 ^ { 1 } + 1=10101_ { 2 } \)이다.</p> <p>(2) \( 47 \times 73 \)을 구해보자. 표에서 왼쪽 줄은 \( 47=101111_ { 2 } \)을 의미한다.</p> <h1>2.5 IN YOUR OWN WORDS</h1> <p>(1) 수학(1)에서 학습량 감축 방안으로 이진법을 삭제하였다.</p> <p>(2009 개정 교육과정) 십진법은 수체계의 구조를 보다 정확히 알게 하고 이진법은 컴퓨터 교과와 관련하여 필요한 내용으로 알려져 있다. 그러나 이진법을 취급한 이유가 만약 컴퓨터 때문이라면 심화과정에서 4진법, 8 진법, 16 진법 등을 취급해야 옳을 것이다(박한식, 2001). 따라서 현재의 진법 교육은 그 의미를 잃은 채 형식적으로 가르치고 있는 실정이다. 어렵고 복잡한 대수적 조작 능력을 요구하는 학생들이 수학에 대한 흥미를 잃고 수학으로부터 멀어진 원인이 되고 있으므로(NCTM, 2000), 학습량 감축을 위하여 학교 수학에서 학생들의 학습 부담이 큰 '십진법과 이진법의 원리를 이해하고, 자연수를 십진법과 이진법의 전개식으로 나타내는 것'과 ‘십진법과 이진법 사이의 관계'를 삭제한다.</p> <p>우리가 이진법을 어떻게 지도하였는지 그리고 이진법의 가치에 대하여 생각해 보자.</p> <p>(2) 이진법을 주제로 수업지도안을 작성하여 지도해 보자.</p> <p>(3) 다음을 참고하여 진법을 주제로 포스터 그리기를 지도해 보자.</p> <p>포스터 속의 문제는 "로라의 손가락은 이진법으로 소수를 나타내고 있다. 그 다음 소수는 얼마인가?"이다. 사진 속의 손가락을 이진법으로 읽으면 \( 0011101001_ { 2 } =2 ^ { 7 } + 2 ^ { 6 } + 2 ^ { 5 } + 2 ^ { 3 } + 2 ^ { 0 } =233 \)이므로 답은 239다.</p> <h1>THEOREM(중학생을 위한 소수정리)</h1> <p>\( \pi \left (10 ^ { n } \right ) \) 을 \( 10 ^ { n } \) 을 넘지 않는 소수의 개수라 하자. 이때 \[ \pi \left (10 ^ { n } \right ) \fallingdotseq 4.3429 \times \frac { 10 ^ { n-1 } } { n } \]</p> <p>예를 들면, 정확히 10 자리로 이루어진 소수의 개수 \( \pi \left (10 ^ { 10 } \right )- \pi \left (10 ^ { 9 } \right ) \) 은 대략 \[ \begin {aligned} \pi \left (10 ^ { 10 } \right )- \pi \left (10 ^ { 9 } \right ) &=4.3429 \left ( \frac { 10 ^ { 9 } } { 10 } - \frac { 10 ^ { 8 } } { 9 } \right ) \\&=3.9086 \times 10 ^ { 8 } . \end {aligned} \]</p> <p>이 중 가장 재미있는 소수는 1234567891 이다.</p> <h1>2.25 IN YOUR OWN WORDS(계산기를 활용한 교수법)</h1> <p>우주를 소수로 채울 때, 얼마나 많은 소수가 필요할까\(^{63)}\)? 약수와 배수 정의에서 0은 제외한다. 그러나 0은 모든 수의 배수로 볼 수 있다. 빅뱅이론이란 모든 수의 배수인 숫자 0이 폭발하여 1자리 소수, 2자리 소수 등을 계속 방출하여 우주가 팽창하고 있는 것이다. 지금은 몇 자리 소수들이 생성되어 우주가 팽창하고 있을까? 계산을 위하여 소수 한 개의 체적을 1 입방미리미터로 가정하자. 예를 들어, 10 자리 소수 1234567891 의 체적은 1 입방미리미터이다. 다음 지도안을 수업에 적용해 보자.</p> <p>(소수 지도안) \( \pi \left (10 ^ { n } \right ) \) 은 \( 10 ^ { n } \) 을 넘지 않는 소수의 개수이고, 대략 \[ \pi \left (10 ^ { n } \right ) \fallingdotseq 0.4343 \times \frac { 10 ^ { n } } { n } \]이다. 우주의 나이를 150 억년으로 하여 우주의 체적을 구해보자. 먼저 우주의 반경 (\(r \); 단위: 미터)은 \[ \begin {aligned} r &=(150 \text { 억 년 } ) \times(30 \text { 만 } \mathrm { km } / \mathrm { sec } ) \\&=1.5 \times 10 ^ { 10 } \times(365 \times 24 \times 60 \times 60) \times \left (3 \times 10 ^ { 8 } \right ) \\&=1.41912 \times 10 ^ { 26 } ( \mathrm { ~m } ) \end {aligned} \]이므로 \[ \begin {aligned} ( \text { 우주의 체적 } ) &= \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ { 3 } = \frac { 4 } { 3 } \times \pi \times \left (1.41912 \times 10 ^ { 26 } \right ) ^ { 3 } \\&=1.1971 \times 10 ^ { 79 } \left ( \mathrm { ~m } ^ { 3 } \right ) \end {aligned} \]이다. 한편, 단위를 입방미리미터로 바꾸어 \( \pi \left (10 ^ { n } \right ) \fallingdotseq 0.4343 \times \frac { 10 ^ { n } } { n } \) 와 같이 놓으면 \[0.4343 \times \frac { 10 ^ { n } } { n } =0.1197 \times 10 ^ { 80 } \times 10 ^ { 9 } , \frac { 10 ^ { n } } { n } =0.27562 \times 10 ^ { 89 } \] (단위 : 입방미리미터)이고, 따라서 \( n \)은 89 근처이므로 \( n=90,91 \)을 대입하면 각각 \[ \left \{\begin {array} { rr } \pi \left (10 ^ { 91 } \right ) & =4.7725 \times 10 ^ { 88 } \\ \pi \left (10 ^ { 00 } \right ) & =0.4825 \times 10 ^ { 88 } , \\( \text { 우주의 체적 } ) & =1.1971 \times 10 ^ { 88 } \end {array} \right . \]을 얻는다(단위는 입방미리미터). 따라서 우리의 우주는 90자리 소수들이 막 팽창이 완료하었고 91자리 소수들이 계속 팽창하고 있다고 할 수 있다. 즉, 우주는 약 150 억년 전,한 점 영(0, zero)이 엄청난 폭발을 일으킨 후 소수가 팽창을 계속하고 있다. 영(0, zero)의 폭발 순간에서 \( 10 ^ { -43 } \) 초 사이에 모든 한 자리 소수가 형성되었으며, 이때 온도는 \( 10 ^ { 33 } \mathrm { ~K } \) (Kelvine) 이상이었다. 한편, \( 10 ^ { -43 } \)초에서 \( 10 ^ { -35 } \) 사이에서는 두 자리까지의 소수로 우주는 팽창되었으며, 이때는 온도가 \( 10 ^ { 32 } \mathrm { ~K } \)로 낮아졌다. 현재까지는 90 자리 소수들이 막 팽창을 완료하였고, 91자리 소수들이 팽창을 계속하고 있다.</p> <p>다음 언급한 내용에서 근의 모임을 구하는 계산은 학부수준을 넘어선다. 이를 감안하여 내용을 살펴보기 바란다.</p> <p>【 \( d=5 \) 인 경우】체 \( \mathbb { Q } ( \sqrt { -5 } ) \)에서 최고차항의 계수가 1인 정수계수 다항식의 근의 모임(algebraic integers라 한다)은 \( \mathbb { Z } [ \sqrt { -5 } ]= \{ a + b \sqrt { -5 } \mid a, b \in \mathbb { Z } \} \)이다. 이때, 21은 \[ 21=3 \cdot 7=(1 + 2 \sqrt { -5 } )(1-2 \sqrt { -5 } ) \]로 분해에 사용된 원소(irreducible element)의 3개의 기약의 곱이 2 개의 기약원의 곱과같다. 따라서 정역 \( \mathrm { Z } \left [ \frac { 1 + \sqrt { -23 } } { 2 } \right ] \)는 \( \mathrm { UFD } \)가 아니다.</p> <p>학부에서는 \( \mathbb { Z } [ \sqrt { -5 } ] \) 나 \( \mathbb { Z } \left [ \frac { 1 + \sqrt { -23 } } { 2 } \right ] \) 의 계산을 다루지 않는다 참고 \( d \) (부호 무시)가 제곱수가 아닐 때, \( \mathbb { Q } ( \sqrt { d } ) \) 에서 algebraic integers \( A \) 는 다음과 같다. \[A= \left \{\begin {array} { l } \mathbb { Z } [ \sqrt { d } , d \equiv 2,3( \bmod 4) \\ \mathbb { Z } \left [ \frac { 1 + \sqrt { d } } { 2 } \right ], d \equiv 1( \bmod 4) \end {array} \right . \]</p> <p>한편, \( D=43,67,163 \) 일 때, \[ \begin {array} { l } e ^ {\pi \sqrt { 43 } } =884736743.999777 \cdots \\ e ^ {\pi \sqrt { 67 } } =147197952743.99999866 \cdots \\ e ^ {\pi \sqrt { 163 } } =262537412640768743.99999999999925997 \cdots \end {array} \]</p> <p>\( B_ { 1 } =- \frac { 1 } { 2 } , B_ { 2 } = \frac { 1 } { 6 } , B_ { 3 } =0, B_ { 4 } =- \frac { 1 } { 30 } , B_ { 5 } =0 \), \( B_ { 6 } = \frac { 1 } { 42 } \quad B_ { 7 } =0, \quad B_ { 8 } =- \frac { 1 } { 30 } , \quad B_ { 9 } =0, \quad B_ { 10 } = \frac { 5 } { 66 } \) 등이다.<h1>2.3 REMARK(Jakob Bernoulli, 1713)</h1> <p>1로 시작하는 \( p \) 거듭제곱의 합은 \( 1 + 2 ^ { p } + 3 ^ { p } + \cdots + (n-1) ^ { p } = \sum_ { k=0 } ^ { p } \frac { B_ { k } } { k ! } \frac { p ! } { (p + 1-k) ! } n ^ { p + 1-k } \)로 나타난다. 위 식에서 \( n \)이 크고 \( p \)가 적으면 식의 왼쪽은 상대적으로 적은 멱의 큰 수들의 합이다. 우리가 베르누이의 수를 안다면 훨씬 쉬운 오른쪽의 식으로 왼쪽을 계산할 수 있다. 예를 들어 베르누이는 \( p=1 \)부터 \( p=10 \)까지 베르누이 다항식과 베르누이수를 구한 표를 이용하여 15분의 절반도 지나지 않은 시간 내에 \( 1 + 2 ^ { 10 } + 3 ^ { 10 } + \cdots + 1000 ^ { 10 } \)의 합 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500을 구하고 이를 자랑스럽게 공개하였다.</p> <p>(1) 테일러급수 \( \frac { x } { e ^ { x } -1 } = \sum_ { k=0 } ^ {\infty } B_ { k } \frac { x ^ { k } } { k ! } \)에서 Bernoulli number를 찾을 수 있다.</p> <p>암호체계를 공격해보자. 아군에게 전달된 암호문 \( b \)를 적군이 낚아채면 이미 공개된 \( e \)에 적당한 평문 \( a \)가 존재하여 \( a ^ { e } =b \)가 성립한다. 적군은 평문 \( a \)를 어떻게 구할까?</p> <h1>2.32 THEOREM(공격암호)</h1> <p>\( b, b ^ { e } , b ^ { e ^ { 2 } } , b ^ { e ^ { 3 } } , \cdots \)은 \( \bmod n \)에 관하여 1과 \( n \)사이의 정수이므로 정수 \( t \)가 존재하여 \( b ^ { e ^ { t } } \equiv b( \bmod n) \) 이다. 따라서 \( b ^ { e ^ { t-1 } } \equiv a( \bmod n) \)으로 택할 수 있으므로 기존 암호체계를 공격할 수 있다.</p> <p>【Step1】 가로챈 암호문 \( b=243 \)을 적군이 해독하는 방법은 집합 \( 243,243 ^ { 17 } , 243 ^ { 17 ^ { 2 } } , \cdots \)을 " \( \equiv( \bmod 253) \) "으로 계산하는데 있다. 이를 직접 Maple을 이용하여 순서대로 구하면 \( 243,144,12,78,210,177,188,232,133,100,243, \cdots \)등으로 나타난다. 따라서 \( 243 ^ { 17 ^ { 10 } } \equiv 243( \bmod 253) \)이다. 그러므로 적군은 가로챈 암호문 \( a=100 \equiv 243 ^ { 17 ^ { 9 } } ( \bmod 253) \)을 알아낼 수 있다.</p> <p>\( e=17 \)을 사용한 아군의 사용자를 갑이라 하자. 아군의 또 다른 사용자를 을이라 하자. 일반적으로 갑과 을이 \( \operatorname { gcd } (e, 220)=1 \)로 사용한 값을 각각 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } \)라 하자. 이 두 수는 공개된 것이고 \( \operatorname { gcd } \left (e_ { 1 } , e_ { 2 } \right )=1 \) 일 때, 어떤 문제가 발생하는지 알아보자.</p> <p>【Step2】 평문 \( a \)는 공개된 두 수 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } \)에 대하여 다음과 같이 암호문 \( b_ { 1 } , b_ { 2 } \)로 변형되어 갑과 을에게 전달된다.</p> <h1>2.18 REMARK</h1> <p>유클리드 시대에는 정수를 지금처럼 추상적으로 받아드린 것이 아니라 선분의 길이로서 받아들였다. 따라서 divisibility 대신에 measuring을 사용하였다. 한편, 고대 그리스시대에는 현재와 같은 무한 개념을 가지고 있지 않았다. 유클리드는 "there are infinitely many primes"라 하지 않고 "prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers"로 표현하였다.</p> <p>(BOOK IX, Proposition 20) Prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers. Let \( A, B \), and \( C \) be the assigned prime numbers; I say that there are more prime numbers than \( A, B \), and \( C \). Take the least number DE measured by \( A, B \), and \( C \). Add the unit DF to DE. Then EF is either prime or not. First, let it be prime. Then the prime numbers \( A, B, C \), and \( E F \) have been found which are more than \( A, B \), and \( C \). Next, let EF not be prime. Therefore it is measured by some prime number. Let it be measured by the prime number G. VII.31 I say that \( G \) is not the same with any of the numbers \( A, B \), and \( C \). If possible, let it be so. Now \( A \), B, and C measure DE, therefore \( G \) also measures \( D E \). But it also measures \( E F \). Therefore \( G \), being a number, measures the remainder, the unit DF, which is absurd. Therefore \( G \) is not the same with any one of the numbers A, B, and C. And by hypothesis it is prime. Therefore the prime numbers \( A, B, C \), and \( G \) have been found which are more than the assigned multitude of \( A, B \), and \( C \). Therefore, prime numbers are more than any assigned multitude of prime numbers.</p> <p>증명을 위하여 먼저 다음 두 보조정리를 알아보자.</p> <p>【Lemma 1】 \( n_ { 1 } , n_ { 2 } , \cdots, n_ { k } \)를 짝수라 하자. 각 순환군(cyclic abelian group) \( \mathrm { Z } _ { n_ { i } } \)의 곱(direct product) \( Z_ { n_ { 1 } } \times \cdots \times Z_ { n_ { k } } \)은 \( k \)개 보다 적은 원소로 생성될 수 없다.</p> <p>증명 \( n_ { 1 } , n_ { 2 } , \cdots, n_ { k } \)가 짝수이므로 onto(전사, epic)인 homomorphism \( f \) \[ \mathbb { Z } _ { n_ { 1 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { n_ { k } } \underset {\text { epic } } { } \underset { f } {\left . \mathbb { Z } _ { 2 } \right ) ^ { k } } \]가 존재한다. 이때 image \((f)= \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } \right ) ^ { k } \)는 체(field) \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 상의 \( k \)-차원 벡터공간이다. 따라서 정의역 \( \mathbb { Z } _ { n_ { 1 } } \times \cdots \times \mathbb { Z } _ { n_ { k } } \)는 \( k \)개 보다 적은 원소로 생성될 수 없다.</p> <p>【Lemma 2】 \( a, b \)가 서로소이면 \( Z_ { a } , Z_ { b } \)의 각 곱셈군 \( Z_ { a } ^ {\times } , Z_ { b } ^ {\times } \)에 대하여 \[ \left ( \mathbb { Z } _ { a b } \right ) ^ {\times } \simeq \mathbb { Z } _ { a } ^ {\times } \times \mathbb { Z } _ { b } ^ {\times } \]이다.</p> <h1>2.33 IN YOUR OWN WORDS(진로지도, 수학과 디자인 지도)</h1> <p>다음 포스터를 소재로 지도안을 작성해 보고 소수를 주제로 한 포스터를 만들어 교실에 전시하자.</p> <p>포스터: The London Underground의 포스터(10월 Maths Breaks the Code)</p> <p>흔히 쓰이고 있는 RSA 암호체계는 인수분해에 기초를 두고 있다. 위의 포스터는 \( 10,33,91 \)은 쉽게 인수분해할 수 있지만 8577912293265445403162361462162997220043102876199와 같이 큰 수를 인수분해하는 것은 매우 어려운 일이라는 것을 강조하고 있다. 충분히 큰 두 소수 \( p=671998030559713968361666935769, q=12764787846358441471 \)에 대하여 공개된 수 \( n=p q=8577912293265445403162361462162997220043102876199 \)를 인수분해 하는데 적당한 시간이 요구된다. 주어진 큰 수의 인수분해의 어려움은 오일러함수 \( \phi(8577912293265445403162361462162997220043102876199) \)를 구하는데 있다. 이때 다음을 얻는다.</p> <p>\( \begin {aligned} \phi(n) &= \phi(p q)=(p-1)(q-1) \\ &=8577912293265445402490363431590518463835077498960 . \end {aligned} \)</p> <p>우리는 소수의 활용으로 간단한 암호론을 알아보았다. 이어서 유리수체 \( \mathbb { Q } \)에서 새로운 수체계를 만드는데 소수를 활용해 보자. 먼저 다음 질문을 생각해 보자.</p> <p>질문 6 절댓값 \| \|의 용도는 무엇인가?</p> <p>질문 7 순환소수 \( 0.999999 \cdots \)는 1 이다. 방향을 바꾼 \( \cdots \) 99999는 얼마인가? 무한인가?</p> <p>먼저, 소인수분해를 활용하여 세 가지 조건 ① \( \|x\| \geq 0 \)이고 \( \|x\|=0 \Leftrightarrow x=0 \), ② \( \|x y\|=\|x\|\|y\| \), ③ \( \|x + y\| \leq\|x\| + \|y\| \quad \) (삼각부등식)을 만족하는 새로운 절댓값을 만들어 보자.</p> <p>유리수집합 \( \mathbb { Q } \) 는 사측연산이 가능하지만 연결되지 않은 점들로 분포되어있다. 즉, 유리수집합에는 수많은 틈(gap)이 존재한다. 이런 틈을 메워 매끈한 직선으로 만든 집합을 우리는 실수집합이라고 한다(이 과정을 completion이라 부른다). 본 강의에선 Cauchy sequence를 이용하는 방법에 대하여 간락하게 알아보자.</p> <h1>2.34 DEFINITION(Equivalence Relation, Equivalence Class, Partition)</h1> <p>(1) 일반적으로 집합 \( S( \neq \varnothing) \) 위에 정의된 관계(relation) \( \ulcorner \sim \lrcorner \)가 다음 세 조건을 만족할 때, 이 관계를 집합 \( S \)에서의 동치관계(equivalence relation)라고 부른다.</p> <p>① \( x \sim x \) (반사율, reflexive)</p> <p>② \( x \sim y \Rightarrow y \sim x \) (대칭율, symmetric)</p> <p>③ \( x \sim y, y \sim z \Rightarrow x \sim z \) (추이율, transitive)</p> <h1>\( 2.16 \) THE PROOF</h1> <p>가장 오래된 증명은 유클리드(Euclid, Elements IX, Proposition 20)에서 찾을 수 있다. 만일 소수가 \( \left \{ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \right \} \)으로 유한개라고 가정하자. 정수 \[Q:=p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } + 1 \]은 소수인 약수 \( p \) 를 갖는다. 따라서 \( p \in \left \{ p_ { 1 } , p_ { 2 } , \cdots, p_ { n } \right \} \)이고 \( p \)는 \( p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } \)의 약수이다. 그러므로 \( p \)는 \( Q-p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } =1 \)의 약수가 되어 모순이 발생한다.</p> <h1>2.17 유클리드 증명의 확대해석(Perott(1854-1924), Cook, 2011)</h1> <p>유클리드 증명을 다시 바라보자. \( p_ { 1 } =2, p_ { 2 } =3, p_ { 3 } =5, p_ { 4 } =7, \cdots \)으로 \( p_ { n } \)을 \( n \) 번째로 제일 작은 소수라 하자. 이때 \( M_ { n } =p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } \)이라면 \( M_ { n } + 1 \) 의 소수인 약수 \( p \)는 존재하며 \( p_ { n }<p \leq M_ { n } + 1 \)을 만족한다. 물론 처음부터 \( M_ { n } -1 \)에 소인수 \( p \)를 적용해도 같은 결과를 얻으므로 유클리드 증명을 다음과 같이 해석할 수 있다.</p> <p>\( p_ { n }<p<M_ { n } \)을 만족하는 소수 \( p \)는 적어도 한 개는 존재한다.</p> <p>이를 다음과 같이 보다 엄밀하게 증명할 수 있다. 다음 정리에서 유클리드의 정리가 어떤 역할을 하는지 인지하기 바란다.</p> <p>정리 \( p_ { n } \)과 \( M_ { n } =p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { n } \) 사이에는 적어도 \( n-1 \)개의 소수가 존재한다.</p> <p>여기서, 부호 \( + ,- \) 의 변화는 배수의 경우수를 빼고 중복으로 뺀 경우수를 더하는 상황을 반영한 것이다. 이를 관찰하면 일반적으로 \( x \) (양의 실수)를 넘지 않는 수 중에서 \( m \)과 서로소인 개수를 \( N_ { m } (x) \)로 표시하면 다음 식을 얻는다.</p> <p>\( N_ { m } (x)= \sum_ { d \mid m } (-1) ^ {\omega(d) } [x / d] \)</p> <p>여기서 사용한 기호는</p> <ul> <li>[ ]는 정수 부분만 택한다</li> <li>\( \omega(d) \)는 \( d \)의 서로 다른 소인수의 개수, \( \omega(1)=0 \)</li> <li>\( m ^ { * } \)는 \( m \)의 소인수를 단 한번 씩 사용한 곱(예: \( m=140 \) 이면, \( m ^ { * } =2 \cdot 5 \cdot 7=70 \) )</li> <p>한편, \( m ^ { * } \)를 사용하지 않으려면 다음 방법을 쓸 수 있다(Legendre의 식, 1808년).</p> <p>\( N_ { m } (x)= \sum_ { d \mid m } \mu(d)[x / d] \)</p> <p>여기서 \( \mu(d)= \left \{\begin {array} { ll } (-1) ^ {\omega(d) } & (d \text { 에 제 곱수의 약수가 없을 때 } ) \\ 0 & (d \text { 에 제곱수의 약수가 존재 } ) \end {array} \right . \)</p> <p>위 식을 에라토스테네스체의 르장드르식(Legendre's formula for the sieve of Eratosthenes)이라 부른다.</p> <p>일, 이차다항함수를 통하여 소수를 부분적으로 고르는 방법에 대하여 알아보자. 오일러가 이차함수를 가지고 40 개의 소수를 어떻게 걸러냈는지 다음에서 알아보자.</p> <h1>2.12 EXAMPLE(오일러, 1772년)</h1> <p>'이차함수 \( f(x)=x ^ { 2 } + x + q \) (여기서 \( q \) 는 소수)에 \( x=0,1,2, \cdots, q-2 \)까지 대입할때, \( f(0), f(1), \cdots, f(q-2) \)가 모두 소수인가?'를 확인해보자.</p> <p>① \( q=2: f(0)=2 \),</p> <p>② \( q=3: f(0)=3, f(1)=5 \),</p> <p>③ \( q=5: f(0)=5, f(1)=7, f(2)=11, f(3)=17 \).</p> <p>여기까지 그 결과는 모두 소수들이다. 이제 \( q=7 \)인 경우를 살펴보자.</p> <p>\( f(0)=7, f(1)=9 \)>로 소수가 아닌 불행한 경우가 발생한다. 오일러는 이차함수 \( f(x)=x ^ { 2 } + x + 41 \)에 \( x=0,1,2, \cdots, 39 \)를 대입하면 모두 소수가 된다는 것을 발견하였다. 즉 \( f(x)=x ^ { 2 } + x + q, f(0), f(1), f(2), \cdots, f(q-2) \)는 모두 소수</p> <p>이제 \( \frac { x } {\pi(x) } =2013 \)인 정수 \( x \)의 존재를 증명해 보자.</p> <p>증명 먼저, \( \frac { x_ { 0 } } {\pi \left (x_ { 0 } \right ) } \leq 2013 \)을 만족하는 \( x_ { 0 } \)는 존재한다. 만일 \( \frac { x_ { 0 } } {\pi \left (x_ { 0 } \right ) } =2013 \)이면 증명은 완성된다. 따라서 \( \frac { x_ { 0 } } {\pi \left (x_ { 0 } \right ) } \neq 2013 \)이라 가정하자. 물론 \( \frac { w } {\pi(w) } >2013 \)을 만족하는 정수 \( w \)는 존재한다. 그 이유는 \( \frac { x } {\pi(x) } \)가 무한대로 증가하기 때문이다. 이제 집합 \[ \left \{ y \in \mathbb { N } : x_ { 0 } \leq y<w, \frac { y } {\pi(y) }<2013 \right \} \] 중에서 제일 큰 수를 \( z \)라 하자. 즉, \[z= \max \left \{ y \in \mathbb { N } : x_ { 0 } \leq y<w, \frac { y } {\pi(y) }<2013 \right \} . \] 정의에 의하여 \[ \frac { z } {\pi(z) }<2013, \frac { z + 1 } {\pi(z + 1) } \geq 2013 \]을 얻는다. 이를 정돈하면 \[2013 \pi(z + 1) \leq z + 1<2013 \pi(z) + 1 \] 따라서 \[ 0 \leq \pi(z + 1)- \pi(z)< \frac { 1 } { 2013 } . \] 한편, \( \pi(z), \pi(z + 1) \)는 자연수이므로 \[ \pi(z + 1)= \pi(z) \]즉, \[2013 \pi(z) \leq z + 1<2013 \pi(z) + 1,2013 \pi(z)=z + 1 . \] 따라서 다음을 얻는다. \[2013= \frac { z + 1 } {\pi(z) } = \frac { z + 1 } {\pi(z + 1) } . \] 소수의 활용으로 암호론과 \( p \)-진체를 살펴보자. 먼저 오일러정리에 대하여 알아보자.</p> <p>(3) 지인관계 \( x \sim y \)를 Facebook에서 "friending"와 같이 대칭율(symmetric)을 가정하자. 즉, \( x \)가 \( y \)를 안다 \( \Leftrightarrow y \)가 \( x \)를 안다. 일부 사람들의 모임을 \( S \)라 하고 \( K(S) \)를 \( S \)에 속한 모든 사람들을 아는 사람들의 집합이라 하자. 이때 \[\text{(a)}~~ S \subseteq S \Rightarrow K \left (S ^ {\prime } \right ) \subseteq K(S), ~~\text{(b)}~~ S \subseteq K(K(S)) \]가 성립함을 설명하여 보자. 이 둘을 결합하면 \[ K(K(K(S))) \subseteq K(S) \]이고 (b)에서 \( S \)를 \( K(S) \)로 바꾸면 \[ K(S) \subseteq K(K(K(S))) \]이다. 따라서 다음을 얻는다. \[ K(K(K(S)))=K(S) \]</p> <h1>2.37 DEFINITION(Cauchy Sequence)</h1> <p>\( \left \{ a_ { n } \right \} \)을 유리수로 이루어진 수열이라 하자. 임의의 양수 \( \epsilon \) (매우 작은 양수)에 대하여 양의 정수 \( N \)이 존재하여 \[ n, m \geq N \Rightarrow \left \|a_ { n } -a_ { m } \right \|< \varepsilon \]을 만족할 때, 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)을 코시수열(Cauchy sequence)이라 부른다.</p> <p>유리수로 이루어진 코시수열을 다 모아서 이 집합을 \( S \)로 표시하자. \( S \)의 두 원소 \( f= \left \{ a_ { n } \right \} \)과 \( g= \left \{ b_ { n } \right \} \) 사이의 관계 '\(\sim\)'를 다음과 같이 정의하자.</p> <p>\( f \sim g \Leftrightarrow \left \|a_ { n } -b_ { n } \right \| \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty) \).</p> <p>위 관계는 동치관계이고, 동치류의 집합 \[ S / \sim= \{ [f] \mid f \in S \} \]이 실수집합 \( \mathbb { R } \)이다. 즉, 실수집합 \( \mathbb { R } \)은 유리수집합 위에 정의된 절댓값 \(\|~~ \|\)에 의하여 유리수로 만들어진 코시수열의 극한값의 모임이다. 환원하면 실수집합이란 유리수집합과 우리들이 사용하고 있는 절댓값 \(\| ~~\|\)에 의하여 결정되는 새로운 집합이다. 이 시점에서 다음을 생각해보자.</p> <h1>2.38 QUESTION</h1> <p>절댓값 \(\|~~ \|\)이 변하면 실수집합이 아닌 새로운 수체계가 만들어질까?</p> <p>물론 본 계산은 \( n=6 \)일 때, \( \bmod 10 ^ { 6 } \) 계산과 동일하다. 즉, \( \underset { 9 } { 6 } =999999 \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } -1 \) \( \underset { 27 } { 6 } =272727 \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } - \frac { 3 } { 11 } \) (여기서 \( 272727 \times 11 + 3=3000000 \) ), \( { } _ { 6 } \underset { 12345 } {\leftarrow } =512345 \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } - \frac { 4115 } { 33333 } \) (여기서 \( 512345 \times 33333 + 4115=17078000000) \).</p> <p>(지도할 때, 참고사항) 정수 \( k \)에 대하여, \( 10 ^ { n } \mid k, 10 ^ { n + 1 } \nmid k \) (즉, \( k \)를 나누는 가장 큰 10의 멱이 \( n \) )일 때, \( \|k\|_ { 10 } =10 ^ { -n } \)이다. 이 정의를 사용하면 \( \left . \right \| ^ { n } \leftarrow- \left .(-1) \right \|_ { 10 } = \left \|10 ^ { n } \right \|_ { 10 } =10 ^ { -n } \rightarrow 0(n \rightarrow \infty) \)이다(물론 식(2-4)에서 10 이 소수가 아니므로 한 가지를 만족 못한다.)</p> <h1>2.48 IN YOUR OWN WORDS(수학과 계산기 활용 교수법)</h1> <p>우리가 알아본 (2.6), (2.13), (2.24), (2.25),(2.31), 그리고 앞으로 다룰 (3.1),(3.2), (3.3), (3.7), (3.11), (3.12), (3.13), (4.16), (4.19) 등은 TI-92와 같은 계산기를 필요로 한다. 제7차교육과정에서는 계산기를 활용한 실생활 수업을 강조하였다. 그러나 7차교육과정 기간에 계산기를 수업이나 평가에 사용한 수학교사는 매우 적다고 본다. 문제점에 대하여 생각해 보고, 특히, 통계영역에서 표준편차를 지도할 때, 교과서는 계산기 사용을 어떻게 제시하였는지, 그리고 그 이유가 무엇인지 알아보자. 한편, 현 개정교육과정에서는 표준편차를 어떤 공식으로 사용하고 있는지 알아보자. 그리고 최근 수학교육에서 계산기 사용문제가 대두되기도 하였다. 올 봄, 고교 수학시험 때, 전자계산기 허용방침이 유보 되었는데 이를 두고 문화일보는 공식 암기와 계산능력 평가에서 벗어나 논리·창의적 사고능력을 키우는 '재미있고 쉬운 수학'으로의 전환을 모색하던 교과부의 행보에 제동이 걸린 것으로 보도하였다(2011년 5월 19일).</p> <p>\( \begin {aligned} \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (x) &= \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac { x ^ { k j } } { k ^ { j } j ! } \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { k ^ { j } j ! } \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } \left (x ^ { k j } \right ) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \sum_ { j=0 } ^ {\infty } \frac { (k j)(k j-1)(k j-2) \cdots(j k-(n-1) } { k ^ { j } j ! } x ^ { k j-1 } I(k j \geq n) . \end {aligned} \)</p> <p>이제 \( x=0 \)에서 \( \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (x) \)을 계산하자. \( x=0 \)을 대입하면 \( k j=n \)을 제외하곤 모두 소멸하므로 기호 \( I(k \mid n) \)을 사용하면 \( \begin {aligned} \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } g_ { n } (0) &= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \frac { (n)(n-1)(n-2) \cdots(n-(n-1) } { k ^ { n / k } (n / k) ! } I(k \mid n) \\ &= \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } \frac { n ! } { k ^ { n / k } (n / k) ! } I(k \mid n) . \end {aligned} \)이다. 따라서</p> <p>\( \left \{\begin {array} { l } b_ { 1 } \equiv a ^ { e_ { 1 } } ( \bmod 253) \\ b_ { 2 } \equiv a ^ { e_ { 2 } } ( \bmod 253) \end {array} \right . \)</p> <p>한편, \( \operatorname { gcd } \left (e_ { 1 } , e_ { 2 } \right )=1 \)이면 정수환 \( \mathrm { Z } \)에서 두 수 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } \)에 의하여 생성된 이데알(ideal) 이 정수환 자신 \( \mathrm { Z } \)이다. 따라서 이데알 입장에서 \( \mathrm { Z } =e_ { 1 } \mathrm { Z } + e_ { 2 } \mathrm { Z } \)이고 \( 1 \in \mathrm { Z } \)이므로 두 정수 \( x, y \)가 존재하여 \( 1=e_ { 1 } x + e_ { 2 } y \) 가 성립한다. 따라서 공개된 두 정수 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } \) 에 대하여 적군은 \( 1=e_ { 1 } x + e_ { 2 } y \) 인 \( x, y \) 를 구할 수 있다. 따라서 암호문 \( b_ { 1 } , b_ { 2 } \) 를 입수한 적은</p> <p>\( b_ { 1 } ^ { x } b_ { 2 } ^ { y } \equiv \left (a ^ { e_ { 1 } } \right ) ^ { x } \left (a ^ { e_ { 2 } } \right ) ^ { y } \equiv a ^ { e_ { 1 } x + e_ { 2 } y } \equiv a ^ { 1 } =a( \bmod 253) \)을 통하여 평문 \( a \)를 알아 낼 수 있다.</p> <p>참고로, 타원곡선 \( y ^ { 2 } =x ^ { 3 } + x-9 \)를 이용하여 정수 \( n=137703491 \)과 같이 매우 큰 정수의 약수 17389를 구할 수 있다.66)</p> <p>예를 들어, \( 4= \frac { 4 } { 1 } \)를 유리수로 나타내면 \( \frac { 4 } { 11 } , 9 \frac { 5 } { 7 } , 1 \frac { 1 } { 7 } ,- \frac { 2 } { 7 } \).</p> <p>이제 앞에서 사용한 10을 일반적인 거듭제곱 \( 10 ^ { n } \)에 대하여 생각해보자.</p> <p>\( \bmod 10 ^ { n } \) 계산에 쓰이는 숫자는 모두 \( 10 ^ { n } \)개로 \( \left \{ 0,1,2, \cdots, 10 ^ { n } -2,10 ^ { n } -1 \right \} \)이다. 여기서 \( 1,3,7,9 \)처럼 \( 10 ^ { n } \)과 서로소인 수는 곱에 관한 역원을 가지며 이를 분모로 하는 분수를 앞에서 한 것처럼 정의할 수 있다. 즉, \( \frac { l } { p } \equiv { } _ { 10 ^ { n } } \frac { m } { q } \Leftrightarrow l q \equiv_ { 10 ^ { n } } m p \Leftrightarrow 10 ^ { n } \mid(l q-m p) \).</p> <p>예를 들어 \( \bmod 10 ^ { 6 } \) 계산에서 4를 표현해보면 다음과 같다.</p> <p>\( 333337 \frac { 1 } { 3 } , 142861 \frac { 1 } { 7 } \)</p> <p>우리는 숫자가 오른쪽으로 반복되어 나타나는 경우를 생각하고 있다. 왼쪽으로 반복되는 숫자의 개수를 왼쪽 어깨에 표시하자. 예를 들어 \( { } _ { 7 } ^ { 6 } =777777, \underset { 27 } {\leftarrow } =272727, { } _ { 12345 } ^ { 6 } \leftarrow=512345 \)이다. 위 표현을 \( \bmod 10 ^ { 6 } \) 계산에서 알아보자.</p> <p>(1) \( { } _ { 27 } ^ { 6 } =272727 \)일 때, \( 10 ^ { 2 } \times \underset { 27 } { 6 \leftarrow } =27272700 \equiv_ { 10 ^ { 6 } } 272700= { } _ { 27 } ^ { 6 } -27 \), \( \underset { 27 } { 6 } \left (10 ^ { 2 } -1 \right ) \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } -27, \quad \underset { 27 } { 6 \leftarrow } \equiv { } _ { 10 ^ { 6 } } \frac { -27 } { 10 ^ { 2 } -1 } \)</p> <p>수학교육에서 올바른 계산기 사용을 위한 교육환경(평가, 교과서 등)과 교수법에 대하여 의견을 제시해 보자. 또한, 현재 활발하게 진행되고 있는 교과교실제를 살펴볼 때, 기자제 구입 등에서 계산기는 어떤 대접을 받고 있는지 알아보자. 다음 기사를 통하여 우리 사회가 계산기 사용에 대하여 어떤 인식을 가지고 있는지 생각해보자.</p> <h2>미국의 실패한 수학 실험 뒤쫓을 셈인가(조선일보 2011.3.8. 김형기)</h2> <p>미국에 이민 가서 중·고등학교를 마친 한 학생이 자기 블로그에 글을 을렸다. “서울 떠나온 지 7년, 깜짝깜짝 놀랄 때가 있다. 가게에서 물건 살 때 세금 계산이 얼른 안 된다. 식당에서 메뉴 주문할 때도 가짓수가 두셋만 넘으면 합산이 안 된다. 미국 학교 와서부터 수학시간에 계산기를 썼다. 그래서 내 뇌가 퇴화한 건가 \( \cdots \)." 수학 수업이나 시험시간에 계산기를 쓰게 하는 나라와 그렇지 않은 나라가 있다. 미국·영국·호주 등이 전자에, 한국·일본·싱가포르 등이 후자에 속한다.그런데 얼마 전 우리 교육과학기술부가 고등학교 수학시험에 계산기 사용을 허용하는 방안을 검토하겠다고 밝혔다. 사교육 유발 주범인 문제풀이식 수학교육을 실생활과 연계된 ‘쉽고 재미있는 수학으로 바꾸겠다면서 한 말이다. 만약 이 구상대로 계산기 허용이 현실화된다면 우리 60년 교육사(史)에 최대사건의 하나로 기록될 것이다.수학 수업에 계산기를 쓰게 할 것인가 말 것인가는 세계 교육계의 오래된 논란거리다. 허용하자는 쪽은 단순한 계산훈련보다 수학의 기본 개념을 이해하고 폭넓은 사고를 하도록 하는 것이 진짜 교육이라고 주장한다. 반대쪽은 어린 나이부터 기본계산이 손과 머리에서 익숙해지도록 훈련시켜야 한 차원 높은 개념도 쉽게 이해할 수 있고 그걸 바탕으로 창의력도 키울 수 있다고 주장한다. 이 논쟁의 배경에는 진보주의 교육관과 전통주의 교육관의 뿌리깊은 대립이 자리 잡고 있다. 이 논쟁이 가장 뜨거웠던 나라가 미국이다. 1989년 미국 수학교사협의회(NCTM)가 수업에 계산기 사용을 허용한다는 방침을 발표하면서 이후 몇 년간 ‘수학전쟁(Math Wars)'이라 불리는 대논쟁이 벌어졌다. 이 싸움에서 계산기 허용파가 이기면서 1994년부터 수학 수업은 물론 대학수학능력시험(SAT)까지 계산기를 지참할 수 있게 됐다. 그 후의 상황은 우리가 익히 아는 바다. OECD 국제학업성취도 평가에서 미국 학생들의 수학. 과학 점수는 한 번도 참가국 평균치를 넘지 못한 채 바닥에서 맴돌고 있다. 미국 자체 학력평가에서도 8학년 학생의 \( 14 \% \)만이 7학년 수준 이상의 점수를 받고, 12학년(고3)마저 절반가량만이 7학년 수준 문제를 풀 줄 안다.계산기 사용과 수학 실력 사이의 상관관계를 과학적으로 입증하는 이론은 아직 없다. 하지만 계산기를 쓰는 영국·호주 학생들의 수학 성적도 OECD 국가 중 중간 이하다. 반면 계산기를 쓰지 않는 한국·일본·싱가포르 학생들은 항상 최상위권이다. 최소한 정황증거는 있는 셈이다. 무엇보다도 미국이 후회하고 있다. 2006년 조지 부시 대통령의 요청에 따라 '수학전쟁'의 쟁점들을 면밀히 검토한 국가수학자문단(NMAP)은 2008년 “(진보 쪽 주장인) 수학 개념의 이해와 (전통 쪽 주장인) 계산 능력의 함양은 어느 한쪽이 아니라 똑같이 중요하다"는 보고서를 냈다. 사실상 계산기 허용파의 패배를 선언한 것이다.미국이 지금도 계산기 수학 수업을 하고 있는 것은 계산기 수업세대가 교사가 되어 교실을 장악하고, 계산기 공급 시장(市埸)의 덩치가 너무 커져버려 돌아가고 싶어도 돌아갈 수 없게 됐기 때문이다. 우리가 계산기 수학 수업을 도입한다면 미국의 17년 전 실패한 선택을 뒤쫓아가는 것이 된다. 세계가 부러워하는 우리 수학교육의 장점을 포기하려면 미국의 전철을 밟지 않게 할 완벽한 논리와 확실한 보장책을 제시해야 한다.</p> <p>정리 2 \( F_ { n } =2 ^ { 2 ^ { n } } + 1 \)의 소인수를 \( p \)라 하면, \( 2 ^ { n + 1 } \)은 \( p-1 \)의 약수이다.</p> <p>\( p \mid \left (2 ^ { 2 ^ { n } } + 1 \right ) \)이면 \( 2 ^ { 2 ^ { n } } \equiv-1( \bmod p) \)이고 따라서 \( 2 ^ { 2 ^ { n + 1 } } \equiv 1( \bmod p) \)이다. 즉, 곱셈군 \[ Z_ { p } ^ {\times } = \{ a \mid 1 \leq a \leq p, \operatorname { gcd } (a, p)=1 \} \]에서 원소 2의 위수(order)는 \( 2 ^ { n + 1 } \)의 약수이다. 한편, \( 2 ^ { 2 ^ { n } } \equiv-1( \bmod p) \)이므로 원소 2 의 위수는 \( 2 ^ { n + 1 } \)이다. Lagrange의 정리로부터 \( 2 ^ { n + 1 } \mid(p-1) \)이다.</p> <p>이제 \( 2 ^ { 32 } + 1 \)의 소인수를 \( p \)라 하자. 이때 \( 2 ^ { 5 + 1 } =64 \)는 \( p-1 \)의 약수 또는 \( p=64 m + 1 \)의 형태이다. 이때 ① \( m \equiv 2( \bmod 3) \)이면, \( 3 \mid(64 m + 1) \), ② \( m \equiv 1( \bmod 5) \)이면, \( 5 \mid(64 m + 1) \)이다. 그러므로 \( 2 ^ { 32 } + 1 \)의 약수인 소수는 \[ p=193,257,449,577,641, \cdots \] 형태이다. 따라서 \( p=64(10) + 1=641 \)을 얻는다.</p> <p>(3) Weil은 페르마수를 현대정수론의 제2의 태동이라 평가하고, 현대정수론의 태동은 페르마의 마지막 정리를 꼽는다.</p> <h1>2.22 EXERCISE \( \left (n=2 ^ { k } p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { l } \right . \), 여기서 \( p_ { i } \) 는 페르마소수 \( ) \)</h1> <p>정다각형의 작도문제와 관련된 페르마소수에 대하여 알아보자(J. B. Fraleigh(Abstract Algebra)의 section 32). 정 \( n \)각형이 작도 가능하면 \[ n=2 ^ { k } p_ { 1 } p_ { 2 } \cdots p_ { l } \quad \left (p_ { i } \text { 는 페르마소수 } \right ) \]이므로 \( n \)이 소수인 경우 \( n \)은 페르마소수이다. 정 3각형, 정5각형, 정 17형은 작도 가능하다. 그러나 7은 페르마소수가 아니므로 정7각형은 작도 불가능하다.</p> <h1>2.39 DEFINITION</h1> <p>\( p \)를 소수라하자. 유리수집합에서 함수 \|\| \( _ { p } : \mathbb { Q } \rightarrow \mathbb { Q } \)를 \( \|x\|_ { p } =p ^ { - \operatorname { ord } _ { p } x } (0 \neq x \in \mathbb { Q } ), \quad\|0\|_ { p } =0 \)로 정의하자.</p> <h1>2.40 THEOREM</h1> <p>\( p \)를 소수라하자. 식(2-5)에서 정의된 함수 \|\| \( _ { p } \)가 식(2-4)와 특별한 부등식 \( \|x + y\|_ { p } \leq \max \left (\|x\|_ { p } ,\|y\|_ { p } \right ) \)를 만족한다.</p> <p>풀이 \|\| \( _ { p } \)가 삼각부등식을 만족함을 보이자. 나머지 증명은 독자에게 맡기겠다. 0 이 아닌 \( x, y, x + y \)에 대하여 \( x=a / b, y=c / d \)로 더 이상 약분이 안 되는 형태로 가정하자. \( x + y=(a d + b c) / b d \)이므로 \( \operatorname { ord } _ { p } (x + y)= \operatorname { ord } _ { p } (a d + b c)- \operatorname { ord } _ { p } b- \operatorname { ord } _ { p } d \)이다. 한편, \( \operatorname { ord } _ { p } (a d + b c) \geq \min \left ( \operatorname { ord } _ { p } a d, \operatorname { ord } _ { p } b c \right ) \)이므로</p> <p>\( \begin {aligned} \operatorname { ord } _ { p } (x + y) & \geq \min \left ( \operatorname { ord } _ { p } a d, \operatorname { ord } _ { p } b c \right )- \operatorname { ord } _ { p } b- \operatorname { ord } _ { p } d \\ &= \min \left ( \operatorname { ord } _ { p } a + \operatorname { ord } _ { p } d, \operatorname { ord } _ { p } b + \operatorname { ord } _ { p } c \right )- \operatorname { ord } _ { p } b- \operatorname { ord } _ { p } d \\ &= \min \left ( \operatorname { ord } _ { p } a- \operatorname { ord } _ { p } b, \operatorname { ord } _ { p } c- \operatorname { ord } _ { p } d \right ) \\ &= \min \left ( \operatorname { ord } _ { p } x, \operatorname { ord } _ { p } y \right ) \end {aligned} \)를 얻는다. 따라서 다음 부등식이 성립한다.</p>	자연
기초미적분학_유리함수와 무리함수	<p>예제3.2.1 다음 함수의 그래프를 그리고 정의역과 치역을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y=1- \sqrt { -x + 2 } \)</li> <li>\( y=- \sqrt { 2 x-2 } + 1 \)</li></ol> <p>풀이 (1) \( y-1=- \sqrt { -(x-2) } \) 이므로 \( y=- \sqrt { -x } \) 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \(2 \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \(1 \) 만큼 평행이동한 그래프이다. 정의역은 \( \{ x \mid x \leq 2 \} \), 치역은 \( \{ y \mid y \leq 1 \} \) 이다. (2) \( y-1=- \sqrt { 2(x-1) } \) 이므로 \( y=- \sqrt { 2 x } \) 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \(1 \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \(1 \) 만큼 평행이동한 그래프이다. 정의역은 \( \{ x \mid x \geq 1 \} \), 치역은 \( \{ y \mid y \leq 1 \} \) 이다.</p> <p>유제3.2.1 다음 함수의 그래프를 그리고 주어진 정의역에서 치역을 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y= \sqrt { 2 x + 4 } + 1, \quad \{ x \mid 0 \leq x \leq 2 \} \)</li> <li>\( y=- \sqrt { 6-2 x } , \{ x \mid 1 \leq x \leq 3 \} \)</li></ol> <h1>3장 연습문제</h1> <p>01 다음 \( \square \) 안에 알맞은 수를 넣어라.</p> <ol type=1 start=1><li>유리함수 \( y= \frac { 1 } { x-1 } + 1 \) 의 그래프는 \( y= \frac { 1 } { x } \) 의 그래프를 \( x \) 축의 방향으로 \( \square \) 만큼, \( y \) 축의 방향으로 \( \square \) 만큼 평행이동한 것이다.</li> <li>무리함수 \( y= \sqrt { -x + 2 } + 1 \) 의 그래프는 \( y= \square \) 의 그래프를 \( x \) 축의 방향으로 \( \square \) 만큼, \( y \) 축의 방향으로 \(1 \) 만큼 평행이동한 것이다.</li></ol> <p>02 다음 그래프 중에서 적당히 평행이동하여 그 그래프가 \( y= \frac { 1 } { x } \) 의 그래프와 겹치는 것은? \[(1) y= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \quad (2) y= \frac { x-1 } { x-2 } \quad (3) y= \frac { x-2 } { x-1 } \quad(4) y= \frac { 2 x-1 } { x } \quad (5) y= \frac { x + 2 } { x } \]</p> <h1>3.1. 유리함수</h1> <p>두 다항식 \( f(x), g(x) \neq 0 \) 에 대하여 \( \frac { f(x) } { g(x) } \) 꼴로 나타내어지는 식을 유리식이라 한다. 예를 들어 \( \frac { 3 } { x + 2 } , \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } -2 x-3 } , \frac { x ^ { 2 } -5 } { 5 } \) 는 모두 유리식이다. 함수 \( y = f(x) \) 에서 \( f(x) \) 가 유리식일 때, 이 함수 \( y=f(x) \) 를 유리함수라고 한다. 특히 \( f(x) \) 가 다항식일 때 \( y=f(x) \) 를 다항함수라 한다. 유리함수에서 정의역이 주어져 있지 않을 경우, 분모를 \(0 \) 으로 하지 않는 실수 전체의 집합이 정의역이 된다.</p>예제 3.1.1<ol type=1 start=1><li>\( y= \frac { 3 } { x + 2 } \) 은 유리함수이고 정의역은 \( \mathbb { R } - \{ -2 \} \) 이다.</li> <li>\( y= \frac { x + 1 } { x ^ 2-2x-3 } \) 은 유리함수이고 정의역은 \( \mathbb { R } - \{ -1,3 \} \) 이다.</li> <li>\( y= \frac { x ^ { 2 } -5 } { 5 } \) 은 다항함수이고 정의역은 실수 전체 집합이다.</li></ol>유제 3.1.1<ol type=1 start=1><li>다음 유리함수의 정의역을 구하여라.<ol type=1 start=1><li>\( y= \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } \)</li> <li>\( y= \frac { 3 } { x ^ 2-x-2 } \)</li> <li>\( y= \frac { x ^ 2-2x } { 2 } \)</li></ol></li> <li>함수 \( y= \frac { x ^ { 2 } -1 } { x-1 } \) 과 \( y=x + 1 \) 은 서로 같은 함수인가?</li></ol>정리 3.1.1<p>유리함수 \( y= \frac { k } { x } (k \neq 0) \) 의 그래프는 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>정의역과 치역은 모두 \(0 \) 을 제외한 실수이다.</li> <li>원점에 대칭이다.</li> <li>\( k>0 \) 이면 그래프는 제 \(1,3 \) 사분면에 있고, \( k<0 \) 이면 그래프는 제 \(2,4 \) 사분면에 있다.</li></ol> <p>곡선이 한없이 가까워지는 직선을 그 곡선의 점근선이라 한다. 따라서 곡선 \( y= \frac { k } { x } (k \neq 0) \) 의 점근선은 \( x \) 축과 \( y \) 축이다. 또한 그림 3.1.2과 같이 \( \|k\| \) 가 크면 클수록 점근선에서 멀어진다. 다음으로 유리함수 \( y= \frac { k } { x-p } + q \) 의 그래프에 대해 알아보자. 유리함수 \( y= \frac { k } { x-p } + q \) 의 그래프는 \( y= \frac { k } { x } \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( p \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \( q \) 만큼 평행이동하면 된다.</p>정리 3.1.2<p>유리함수 \( y= \frac { k } { x-p } + q(k \neq 0) \) 의 그래프는 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y= \frac { k } { x } \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( p \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \( q \) 만큼 평행이동한 그래프이다.</li> <li>정의역은 \( \mathbb { R } - \{ p \} \) 이고 치역은 \( \mathbb { R } - \{ q \} \) 이다.</li> <li>점근선은 두 직선 \( x=p, y=q \) 이다.</li> <li>점 \( (p, q) \) 에 관하여 대칭이다.</li></ol> <p>예제3.1.2 유리함수 \( y= \frac { 2 } { x + 2 } + 1 \) 의 그래프는 \( y= \frac { 2 } { x } \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( -2 \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \(1 \) 만큼 평행이동한 그래프이고 점근선은 \( x=-2, y=1 \) 이다.</p> <p>먼저 무리함수 \( y= \sqrt { x } \) 의 그래프를 생각하자. 무리함수 \( y= \sqrt { x } \) 는 정의역 \( \{ x \mid x \geq 0 \} \) 에서 치역 \( \{ y \mid y \geq 0 \} \) 으로의 일대일 대응이므로 역함수가 존재하고 그 역함수 \( y=x ^ { 2 } (x \geq 0) \) 을 얻는다. 따라서 그 역함수 \( y=x ^ { 2 } (x \geq 0) \)을 직선 \( y=x \) 에 대하여 대칭이동시켜 무리함수 \( y= \sqrt { x } \) 의 그래프를 구한다.</p> <p>마찬가지로 \( y= \sqrt { -x } \) 는 정의역 \( \{ x \mid x \leq 0 \} \) 에서 치역 \( \{ y \mid y \geq 0 \} \) 으로의 일대일 대응이므로 역함수가 존재하고 그 역함수는 \( y=-x ^ { 2 } (x \geq 0) \) 이다. 따라서 \( y= \sqrt { -x } (x \leq 0) \) 의 그래프는 \( y=-x ^ { 2 } (x \geq 0) \) 을 직선 \( y=x \) 에 대하여 대칭이동해서 얻어진 그래프이다.</p> <p>마지막으로 \( y=- \sqrt { x } \) 와 \( y=- \sqrt { -x } \) 의 그래프는 \( y= \sqrt { x } \) 와 \( y= \sqrt { -x } \) 의 그래프를 각각 \( x \) 축에 대하여 대칭이동해서 얻을 수 있다.</p> <p>무리함수 \( y= \sqrt { a(x-p) } + q(a \neq 0) \) 의 그래프는 함수 \( y= \sqrt { a x } (a \neq 0) \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( p \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \( q \) 만큼 평행이동하여 그릴 수 있다. 이때 \( y= \sqrt { a(x-p) } + q \) 의 정의역은 \( a>0 \) 일 때 \( \{ x \mid x \geq p \} , a<0 \) 일 때 \( \{ x \mid x \leq p \} \) 이고 치역은 \( \{ y \mid y \geq q \} \) 이다.</p> <p>유제3.1.2 다음 유리함수의 그래프를 그려라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y= \frac { 1 } { x-2 } + 2 \)</li> <li>\( y= \frac { 1 } { x + 1 } -2 \)</li></ol> <p>일반적으로 유리함수 \( y= \frac { c x + d } { a x + b } \) 의 그래프는 \( y= \frac { k } { x-p } + q(k \neq 0) \) 형태로 변형하여 그릴 수 있다.</p> <p>예제3.1.3 유리함수 \( y= \frac { 2 x + 3 } { x + 1 } \) 의 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 \( y= \frac { 2 x + 3 } { x + 1 } = \frac { 1 } { x + 1 } + 2 \) 이므로 \( y= \frac { 1 } { x } \) 의 그래프를 \( x \) 축 방향으로 \( -1 \) 만큼, \( y \) 축 방향으로 \(2 \) 만큼 평행이동한 그래프이고 점근선은 \( x=-1, y=2 \) 이다.</p> <p>유제3.1.3 다음 유리함수의 그래프를 그려라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( y= \frac { x + 1 } { x } \)</li> <li>\( y= \frac { 2x + 1 } { x + 1 } \)</li></ol> <h1>3.2. 무리함수</h1> <p>근호 안에 문자가 포함되어 있는 식 중에서 \( \sqrt { x + 1 } , \sqrt { x-3 } , \frac { 2 } {\sqrt { x + 1 } } \) 와 같이 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식이라 한다. \( \sqrt { x ^ { 2 } } , \sqrt { x ^ { 2 } -2 x + 1 } \) 은 무리식이 아니다. 함수 \( y=f(x) \) 에서 \( f(x) \) 가 \( x \) 에 대한 무리식일 때, 이 함수를 무리함수라고 한다. 예를 들어 \( y= \sqrt { x + 1 } , y= \sqrt { x ^ { 2 } -3 } + 2 \) 는 무리함수이다. 무리함수에서 특별한 정의역이 주어지지 않는 경우에는 근호 안의 식의 값이 \(0 \) 이상이 되는 실수 전체를 정의역으로 한다.</p>	자연
곡선과 곡면의 미분기하학_곡선론	<h1>3.1 정칙곡선</h1> <p>정의 \(3.1 \) 열린 구간 \( (a, b) \)상에서 정의된 미분기능한 함수 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \) 를 \( R ^ { n } \)상에서 곡선(curve)이라 한다. 특히, \( \alpha ^ {\prime } (t) \neq 0(t \in(a, b)) \)일 때, 곡선 \( \alpha \)를 정칙곡선 (regular curve)이라고 한다.</p> <p>예제 \( 3.2 \)<ol type = 1 start=1><li>\( \alpha(t)= \left (t, t ^ { 2 } , t ^ { 3 } \right ) \) 은 \( R ^ { 3 } \)상에서 정칙곡선이다.</li> <li>\( \alpha(t)= \left (t, t ^ { 2 } + 3 \right ) \)는 정칙곡선이다.</li> <li>\( \alpha(t)= \left (t, t ^ { 2 } , \sqrt { t } \right ) \)는 구간 \( (-1,1) \)에서 곡선이 아니다. 그러나 구간 \( (0,1) \)에서는 정칙곡선이다.</li></ol></p> <p>참고 곡선이란 함수의 상(image)을 의미하는 것이 아니다. 즉, 여러 다른 곡선이 같은 상(image)을 가질 수 있다.</p> <p>예제 \( 3.3 \)<ol type=1 start=1><li>\( \alpha(t)=( \cos t, \sin t, 0)(0<t<2 \pi) \)의 \( \beta(t)=( \cos 2 t, \sin 2 t, 0) \) \( (0<t< \pi) \) 는 상(image)이 모두 반지름이 \(1 \)인 원(circle)으로 같지만 서로 다른 곡선이다.</li> <li>곡선 \( \alpha:(- \infty, \infty) \rightarrow R ^ { 3 } , \alpha(t)=(t, 0,0) \)는 정칙곡선이다. 그러나, \( \beta: \) \( (- \infty, \infty) \rightarrow R ^ { 3 } , \beta(t)= \left (t ^ { 3 } , 0,0 \right ) \)는 \( \alpha \)와 상은 같지만, 정칙곡선이 아니다.</li></ol></p> <p>정의 \(3.4 \) 정칙곡선 \( a:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)가 주어질 때, \( a ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \) 를 \( t=t_ { 0 } \)에서 곡선의 속도벡터 (velocity vector)라고 하고, \( a ^ {\prime } (t) \)를 속도벡터장(velocity vector field)라고 한다. 그리고, \( \left \\|a ^ {\prime } \left (t_ { 0 } \right ) \right \\| \)를 곡선 \( a \)의 \( t=t_ { 0 } \)에서 속력(speed)라고 한다. 더구나 \( T(t)= \frac { a ^ {\prime } (t) } {\left \\|a ^ {\prime } (t) \right \\| } \) 는 곡선 \( a \)의 단위속력벡터장(unit speed vector field)이다.</p> <h2>3.3.2 공간곡선의 곡률</h2> <p>정의 \(3.33 \) \( R ^ { n } \) 상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)의 곡률(curvature) \( k \) 는 \[k(s) = \left \\| \alpha ^ {\prime \prime } (s) \right \\| \]로 정의된다.</p> <p>예제 \( 3.34 \) 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)가 직선일 필요충분조건은 곡률 \( \kappa=0 \)이다.</p> <p>풀이 직선의 방정식은 상수 벡터 \( p, v \)에 대하여 \( \alpha(t)=p + t v \)이다. 따라서 \( \alpha ^ {\prime \prime } (t)=0 \)이다.</p> <p>정리 \( 3.35 \) \( R ^ { 2 } \)상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)에 대하여 다음 등식 \[ \kappa= \left \| \kappa_ { 2 } \right \| \]이 성립한다.</p> <p>증명 정리 \(3.19 \)에 의해 \( \kappa= \left \\| \alpha ^ {\prime \prime } (s) \right \\|= \left \\| \kappa_ { 2 } J \alpha ^ {\prime } (s) \right \\|= \left \| \kappa_ { 2 } \right \| \left \\| \alpha ^ {\prime } (s) \right \\|= \left \| \kappa_ { 2 } \right \| \)이다.</p> <p>정의 \(3.36 \) 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } \quad( \kappa \neq 0) \)에 대하여 \[T(s)= \alpha ^ {\prime } (s), \quad N(s)= \frac { 1 } { k(s) } T ^ {\prime } (s), \quad B(s)=T(s) \times N(s) \]를 각각 \( \alpha \)의 접벡터장(tangent vector field), 법벡터장(normal vector field), 종법벡터장(binormal vector field)이라고 하고, \( \{ T, N, B \} \)를 정칙곡선 \( \alpha \)의 Frenet 표구장(Frenet frame field)이라고 한다.</p> <p>예제 \(3.37 \) 곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)상에서 정의된 상수 길이를 가지는 벡터장 \( F(t) \)에 대해서 \( \left \langle F(t), F ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 \)이다.</p> <p>정리 \(3.38 \) (Frenet 공식) 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } (k \neq 0) \)에 대하여 Frenet 표구장은 다음 등식을 만족한다. 즉, \[ \left ( \begin {array} { l } T ^ {\prime } (s) \\ N ^ {\prime } (s) \\B ^ {\prime } (s) \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ccc } 0 & k(s) & 0 \\ -k(s) & 0 & \tau(s) \\0 & - \tau(s) & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } T \\ N \\B \end {array} \right ) \]이다. 여기서, \( \tau(s)= \left \langle N ^ {\prime } , B \right \rangle \) 를 비틀림율(torsion)이라고 한다.</p> <p>증명 단위속력곡선 \( \alpha \) 에 대하여 신개선(involute) \( \alpha_ { i v } ^ { c } \)는 \[ \alpha_ { i v } ^ { c } (s)= \alpha(s) + (c-s) \alpha ^ {\prime } (s) \]이다. 한편 \( \alpha ^ {\prime \prime } (s)= \kappa_ { 2 } (s) J \alpha ^ {\prime } (s) \) (정리 \(3.19 \))이기 때문에 \[ \begin {array} { l } \alpha_ { i v } ^ { c \prime } (s)=(c-s) \alpha ^ {\prime \prime } (s)=(c-s) \kappa_ { 2 } (s) J \alpha ^ {\prime } (s), \\ \left \\| \alpha_ { i v } ^ { c \prime } (s) \right \\|=\|c-s\| \left \\| \alpha ^ {\prime \prime } (s) \right \\|=\|c-s\| \left \| \kappa_ { 2 } (s) \right \| \\ \alpha_ { i v } ^ { c } \prime \prime(s)=- \alpha ^ {\prime \prime } (s) + (c-s) \alpha ^ {\prime \prime \prime } (s) \end {array} \]가 성립한다. 한편 \( J \alpha ^ {\prime \prime } (s)=- \kappa_ { 2 } (s) \alpha ^ {\prime } (s) \) 이고. \( \left \langle \alpha ^ {\prime } , \alpha ^ {\prime \prime } \right \rangle=0 \)이므로<p>\[ \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c \prime \prime } (s), J \alpha_ { i v } ^ { c \prime } (s) \right \rangle=-(c-s) ^ { 2 } \kappa_ { 2 } (s) \left \langle \alpha ^ {\prime \prime \prime } (s), \alpha ^ {\prime } (s) \right \rangle \]이다. 더구나 \( \alpha ^ {\prime \prime \prime } (s)= \kappa_ { 2 } ^ {\prime } J \alpha ^ {\prime } (s)- \kappa_ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ {\prime } (s) \)이기 때문에 \[ \kappa_ { 2 } \left ( \alpha_ { i v } ^ { c } \right )= \frac {\left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } { } ^ {\prime \prime } (s), J \alpha_ { i v } ^ { c ^ {\prime } } (s) \right \rangle } {\left \\| \alpha_ { i v } ^ { c \prime } (s) \right \\| ^ { 3 } } = \left ( \frac {\kappa_ { 2 } (s) } {\left \| \kappa_ { 2 } (s) \right \| } \right ) ^ { 3 } \frac { 1 } { \|c-s\| } = \frac {\operatorname { sgn } \kappa_ { 2 } } { \|c-s\| } \]이 성립한다.</p> <p>정의 \(3.12 \) 정칙곡선 \( a:[a, b] \rightarrow R ^ { n } \)에 대하여 함수 \( s:[a, b] \rightarrow[0, L] \) 를 \[s(t)= \int_ { c } ^ { t } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| d u \]로 정의할 때, \( s \)를 곡선 \( \alpha \)의 호길이 함수(arc length function)라 한다.</p> <p>참고 호길이 함수 \( s \) 는 항상 증가함수이다. 즉, \( s ^ {\prime } (t)= \left \\|a ^ {\prime } (t) \right \\|>0 \)이다. 따라서 역함수 정리에 의해 미분가능한 역함수가 존재한다.</p> <p>정리 \(3.13 \) 임의의 정칙곡선은 항상 단위속력곡선으로 재매개화가 가능하다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { n } \)를 정칙곡선이라 하자. 호길이 함수 \( s=s(t) \)의 역함수 \( h=s ^ { -1 } (t=h(s)) \)는 미분가능이고 \[ \frac { d h } { d s } = \frac { d t } { d s } = \frac { 1 } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \]<caption>( \(3.2 \))</caption>이다. 그러므로 곡선 \( \beta \)를 \( \beta(s)=( \alpha \circ h)(s) \)로 두면 정리 \( 3.8 \)에 의해 \( \beta:[0, L] \) \( \rightarrow R ^ { n } \) 는 정칙곡선이다. 이제 \( \beta \)가 단위속력곡선임을 보이자. 실제로 ( \(3.2 \))에 의해 \( \beta ^ {\prime } (s)= \alpha ^ {\prime } (t) \frac { d h } { d s } = \frac {\alpha ^ {\prime } (t) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \) 이므로 \( \left \\| \beta ^ {\prime } (s) \right \\|=1 \) 이다. 즉, \( \beta \) 는 단위속력을 갖는 정칙곡선이다.</p> <p>예제 \(3.14 \) 곡선 \( \alpha(t)=(2 \cos t, 2 \sin t, 1)(0 \leq t \leq 2 \pi) \)의 단위속력을 갖는 재매개화 곡선을 구하여라.</p> <p>풀이 \( \alpha ^ {\prime } (t)=(-2 \sin t, 2 \cos t, 0) \)이니까 속력은 \( \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\|=2 \)이다. 따라서 호길이 함수는 \( s(t)=2 t \) 이고 역함수는 \( h(s)= \frac { s } { 2 } \)이다. 그러므로 곡선 \( \alpha \)의 단위속력 재매개화 곡선(unit speed reparametrization) \( \beta \)는 \[ \beta(s)= \alpha(h(s))= \left (2 \cos \frac { s } { 2 } , 2 \sin \frac { s } { 2 } , 1 \right ) \]이다. 왜냐하면 \( \beta ^ {\prime } (s)= \left (- \sin \frac { s } { 2 } , \cos \frac { s } { 2 } , 0 \right ) \)이므로 \( \left \\| \beta ^ {\prime } (s) \right \\|=1 \)이다.</p> <p>예제 \(3.15 \) 나선(helix) \( \alpha(t)=(a \cos t, a \sin t, b t)(a, b: \) 상수 \( ) \)에 대한 단위속력을 갖는 재매개화곡선을 구하여라.</p> <p>풀이 나선의 속도와 속력을 계산하면 \[ \alpha ^ {\prime } (t)=(-a \sin t, a \cos t, b), \quad \left \\|a ^ {\prime } (t) \right \\|= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \]이다. 따라서 호길이 함수 \( s \) 와 역함수 \( h(s) \)는 각각 \[s(t)= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } t, \quad h(s)= \frac { 1 } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } s \]이다. 그러므로 곡선 \( \alpha \)의 단위속력을 갖는 재매개화곡선 \( \beta \)는 \[ \beta(s)= \alpha(h(s))=(a \cos \omega s, a \sin \omega s, b \omega s) \left ( \omega= \frac { 1 } {\sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \right ) \]이다. 실제로 \( \left \\| \beta ^ {\prime } (8) \right \\|=1 \)임을 쉽게 볼 수 있다.</p> <p>정리 \( 3.65 \) \( R ^ { 3 } \)상에서의 단위속력곡선 \( \alpha \)의 축폐선(evolute) \( \alpha_ { e v } \)는 \[ \alpha_ { e v } (s)= \alpha(s) + b(s) N + c(s) B . \] 여기서 \( b= \frac { 1 } {\kappa } \)이고 \( \left (b ^ {\prime } - \tau c \right ) c= \left (c ^ {\prime } + \tau b \right ) b \), 즉, \( \tau= \frac { b ^ {\prime } c-b c ^ {\prime } } { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } \)이다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha \)를 단위속력곡선이라 하자. 그러면 곡선 \( \alpha \)는 곡선 \( \alpha_ { e v } \)의 신개선이므로 \[ \alpha(s)= \alpha_ { e v } (s) + \lambda(s) \alpha_ { e v } { } ^ {\prime } (s) \]<caption>( \(3.13 \))</caption>이다. 여기서 \( \lambda \)는 미분가능한 함수이다. 또한 임의의 함수 \( a, b, c \)에 대하여 \[ \alpha_ {\varepsilon v } (s)- \alpha(s)=a T + b N + c B \]<caption>( \(3.14 \))</caption>로 둘 수 있고 ( \(3.13 \))으로부터 \[a= \left \langle \alpha_ { e v } (s)- \alpha(s), T \right \rangle=- \lambda(s) \left \langle \alpha_ { e v } { } ^ {\prime } (s), T \right \rangle=0 \]이다. 따라서 등식 \(( 3.14 \))로부터 \[ \alpha_ { e v } (s)- \alpha(s)=b N + c B \]<caption>( \(3.15 \))</caption>이다. 따라서 ( \( 3.13 \))과 \(( 3.15 \))를 비교하면 \[- \lambda \alpha_ { e v } { } ^ {\prime } (s)=b N + c B \]<caption>( \(3.16 \))</caption>가 성립한다. 한편 식 \(( 3.15 \))를 미분하면 \[ \alpha_ { e v } { } ^ {\prime } (s)-T=-b \kappa T + \left (b ^ {\prime } -c \tau \right ) N + \left (b \tau + c ^ {\prime } \right ) B \]이므로 \[b= \frac { 1 } {\kappa } , \quad \alpha_ { e v } ^ {\prime } (s)= \left (b ^ {\prime } -c \tau \right ) N + \left (b \tau + c ^ {\prime } \right ) B \]<caption>( \(3.17 \))</caption>가 성립한다. 따라서 \(( 3.16 \))과 \(( 3.17 \))의 두 번째 등식으로부터 \[ \left (b ^ {\prime } -c \tau \right ) N + \left (b \tau + c ^ {\prime } \right ) B=-(1 / \lambda) b N-(1 / \lambda) c B \]가 되고 \[ \left (b ^ {\prime } -c \tau \right ) c= \left (b \tau + c ^ {\prime } \right ) b \]<caption>( \(3.18 \))</caption>이다. 그러므로 ( \( 3.15 \)), ( \( 3.17 \)), ( \( 3.18 \))로부터 정리가 증명된다.</p> <p>\(05 \) 곡선 \( \alpha(t)=(2 \cosh 3 t,-2 \sinh 3 t, 6 t)(0 \leq t \leq 5) \)의 길이를 구하여라.</p> <p>\(06 \) 곡선 \( \alpha(t)= \left (e ^ { t } \cos t, e ^ { t } \sin t, e ^ { t } \right ) \)의 단위속력을 갖는 재매개화곡선을 구하여라.</p> <p>\(07 \) 곡률 \( \kappa \neq 0, \kappa ^ {\prime } \neq 0 \), 비틀림율 \( \tau \neq 0 \)인 단위속력곡선 \( \alpha \)가 구면곡선일 필요충분조건은 \[ \frac {\tau } {\kappa } = \left ( \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } \tau } \right ) \]임을 증명하여라.</p> <p>\(08 \) 평면상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)가 \( \kappa_ { 2 } ^ {\prime } \neq 0 \) 일 때, 축폐선 \( \alpha_ { e v } \)의 곡률 \( \kappa_ { 2 } \left ( \alpha_ { e v } \right ) \)는 \[ \kappa_ { 2 } \left ( \alpha_ { ev } \right )= \frac {\kappa_ { 2 } ^ { 3 } } {\left \| \kappa_ { 2 } { } ^ {\prime } \right \| } \]임을 증명하여라.</p> <p>\( 09 \) 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)와 상수 \( \lambda \in R \)이 주어질 때, 새로운 곡선 \[ \alpha ^ {\lambda } (t)= \alpha(t) + \lambda J \alpha ^ {\prime } (t) \]을 곡선 \( \alpha \)의 평행곡선(parallel curve)이라 한다. 이때, 임의의 \( c \in(a, b) \)에 대하여 곡선 \( \left ( \alpha_ { e v } \right )_ { i v } ^ { c } \)는 곡선 \( \alpha \)의 평행곡선, 즉, \[ \left ( \alpha_ { e v } \right )_ {\hat { i v } } ^ { c } (t)= \alpha(t) + \lambda J \alpha ^ {\prime } (t) \quad( \lambda \neq 0) \]임을 증명하여라.</p> <p>\( 10 \) \( \kappa \neq 0, \tau \neq 0 \)인 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } \) 에 대하여 만약 \( \beta:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } \)가 존재하여 임의의 \( t \in(a, b) \) 에서 법선 \( l_ {\alpha } , l_ {\beta } \)가 같을 때, 곡선 \( \alpha \)를 Bertrand 곡선(Bertrand curve)라 하고 \( \beta \)를 \( \alpha \)의 Bertrand 짝(Bertrand mate)라 한다. 즉, 어떤 함수 \( \lambda \)에 대하여 \[ \beta(t)= \alpha(t) + \lambda(t) N_ {\alpha } (t) . \]<ol type=1 start=1><li>\( \lambda \) 는 상수함수임을 보여라.</li> <li>\( \alpha \) 가 Bertrand 곡선일 필요충분조건은 어떤 영이 아닌 상수 \( A, B \) 가 존재하여 \[A \kappa + B \tau=1 \]</li></ol>임을 증명하여라.</p> <p>\( 11 \) 단위속력곡선 \( \alpha: I \rightarrow R ^ { 2 } \)에 대하여 \( \alpha_ { i } (i=1,2) \)를 \( \alpha \)의 신개선이라 하자. 이때 \( \alpha_ { 1 } \)과 \( \alpha_ { 2 } \)는 Bertrand 짝임을 증명하여라.</p> <h1>3.2 호길이 함수</h1> <p>폐구간 \( [a, b] \) 에서의 곡선을 다음과 같이 정의하자. 즉, \( \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { n } \)가 폐구간 \( [a, b] \)를 포함하는 열린구간 \( (c, d)( \supset[a, b]) \)상에서 \( \left . \beta \right \|_ { [a, b] } = \alpha \)을 만족하는 곡선 \( \beta:(c, d) \rightarrow R ^ { n } \)가 존재할 때, \( \alpha \)를 또한 곡선이라고 한다. 따라서 열린구간이든 닫힌구간이든 곡선을 정의할 수 있다.</p> <p>정의 \(3.10 \) 정칙곡선 \( \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { n } \)의 길이(length) \( L[ \alpha] \)는 \[L[a]= \int_ { a } ^ { b } \left \\|a ^ {\prime } (t) \right \\| d t \]으로 정의된다.</p> <p>정리 \(3.11 \) 정칙곡선의 길이는 재매개화에 불변이다. 즉 곡선 \( a \)의 재매개화곡선을 \( \beta \)라 할 때 \[L[a]=L[ \beta] \]이다.</p> <p>증명 곡선 \( \beta:[c, d] \rightarrow R ^ { n } \)을 곡선 \( \alpha:[a, b] \rightarrow R ^ { n } \)의 재매개화곡선이라 하자. 즉, 미분 가능한 함수 \( h:[c, d] \rightarrow[a, b], h ^ {\prime } (t) \neq 0 \)에 대하여 \( \beta(t)=( \alpha \circ h)(t) \)이다. 그러면 연쇄법칙에 의해 \[ \left \\| \beta ^ {\prime } (t) \right \\|= \left \\| \alpha ^ {\prime } (h(t)) \right \\| \left \|h ^ {\prime } (t) \right \| \]가 성립한다. 따라서 곡선 \( \beta \)의 길이 \( L[ \beta] \)는 \[L[ \beta]= \int_ { c } ^ { d } \left \\| \beta ^ {\prime } (t) \right \\| d t= \int_ { c } ^ { d } \left \\| \alpha ^ {\prime } (h(t)) \right \\| \left \|h ^ {\prime } (t) \right \| d t . \]<caption>( \(3.1 \))</caption> <ol type=a start=1><li>만약 \( h ^ {\prime } (t)>0 \) 경우, \( h(c)=a, h(d)=b \) 이다. 따라서 \( u=h(t) \) 로 두면 \[ L[ \beta]= \int_ { a } ^ { b } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| d u=L[ \alpha] . \]</li> <li>만약 \( h ^ {\prime } (t)<0 \) 경우, \( h(c)=b, h(d)=a \) 이다. 따라서 \(3.1 \)로부터 \[ \begin {aligned} L[ \beta] &= \int_ { c } ^ { d } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| \left (-h ^ {\prime } (t) \right ) d t= \int_ { b } ^ { a } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| d u \\&= \int_ { a } ^ { b } \left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| d u=L[ \alpha]. \end {aligned} \]</li></ol>따라서 (a)와 (b)로부터 정리가 증명된다.</p> <h1>3.5 여러 곡선들</h1> <h2>3.5.1 신개선</h2> <p>정의 \( 3.53 \) 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)가 주어질 때, 곡선 \( \alpha \)의 점 \( \alpha(c) \)에서 시작하는 신개선(involute) \( a_ { i v } ^ { c } \)는 \[ \alpha_ { i v } ^ { c } (t) = \alpha(t) + (s(c)-s(t)) T(t), \quad c \equiv(a, b) \] 으로 정의된다. 여기서 \( s:(a, b) \rightarrow(0, L) \)는 곡선 \( \alpha \)의 호길이(arc length) 함수이다.</p> <p>참고 주어진 곡선의 신개선은 시작점에 의존한다.</p> <p>정리 \( 3.54 \) 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)가 주어질 때, 신개선(involute) \( \alpha_ { i v } ^ { c } \)의 접벡터와 \( \alpha \)의 접벡터는 서로 직교한다.</p> <p>증명 정의 \( 3.53 \)로부터 \[ \alpha_ { i v } ^ { c ^ {\prime } } (t)=(s(c)-s(t)) T ^ {\prime } (t) \]이다. 한편 \( \left \langle T, T ^ {\prime } \right \rangle=0 \) 이므로 \[ \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 \]이다. 즉, \( \alpha ^ {\prime } \perp \alpha_ { i v } ^ { c \prime } \)이다.</p> <p>예제 \( 3.55 \) 원 \( \alpha(t)=(a \cos t, a \sin t) \)의 신개선을 찾고 그래프를 그려라.</p> <p>풀이 \( \alpha ^ {\prime } (t)=(-a \sin t, a \cos t) \)이고 \( \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\|=a \)이다. 따라서 호길이 함수는 \[s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } a d t=a t . \] 따라서 \( a_ { i v } ^ { 0 } (t)=a( \cos t + t \sin t, \sin t-t \cos t) \) 이다.</p> <p>정리 \(3.56 \) 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)에 대하여 신개선(involute) \( a_ { i v } ^ { c } \) 의 곡률 \( k_ { 2 } \)는 \[ \kappa_ { 2 } \left ( \alpha_ { i v } ^ { c } \right )= \frac { c } { \|c-s\| } \]이다. 여기서 \( \epsilon= \operatorname { sgn } \kappa_ { 2 } = \pm 1 \)는 \( \alpha \)의 곡률 \( \kappa_ { 2 } \)의 부호이다.</p> <h2>3.5.3 구면 곡선</h2> <p>\( S_ { p } ^ { 2 } (r) = \left \{ x \in R ^ { 3 } \mid \\|x-p \\| ^ { 2 } =r ^ { 2 } \right \} \)는 중심이 \( p \), 반지름이 \( r \)인 구면(sphere)이다. 이때 곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow S_ { p } ^ { 2 } (r) \) 을 구면 곡선(spherical curve)이라 한다.</p> <p>정리 \(3.66 \) 구면 \( S_ { p } ^ { 2 } (r) \) 위의 단위속력곡선을 \( \beta \)라 하자.<ol type=1 start=1><li>\( \beta \)의 곡률 \( \kappa \)는 \( \kappa \geq \frac { 1 } { r } \)이다.</li> <li>곡률 \( \kappa \), 비틀림율 \( \tau \)와 반지름 \( r \)은 다음과 같은 관계식을 만족한다. \[ \tau ^ { 2 } r ^ { 2 } = \left ( \frac {\tau } {\kappa } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } . \]</li> <li>\( \tau \left ( \frac {\kappa ^ {\prime \prime } } {\kappa ^ { 2 } } -2 \frac {\kappa ^ {\prime 2 } } {\kappa ^ { 3 } } \right )= \frac {\tau ^ {\prime } \kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } + \frac {\tau ^ { 3 } } {\kappa } \).</li></ol></p> <p>증명 ( \( 1 \)) 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow S_ { p } ^ { 2 } (r) \)는 \( \\| \alpha(s)-p \\| ^ { 2 } =r ^ { 2 } \) 을 만족한다. 따라서 미분하면 \[ \langle \alpha(s)-p, T \rangle=0 \]이고 다시 미분하고 Frenet 공식을 적용하면 \[ \langle T, T \rangle + \langle \alpha(s)-p, \kappa N \rangle=0, \] 즉, \( \kappa \langle \alpha(s)-p, N \rangle=-1 \)이고 \( k\| \langle \alpha(s)-p, N \rangle\|=1 \). 따라서 \( 1= \kappa \\| \alpha(s)-p \\| \cos \theta \leq \kappa r \)이고 ( \(1 \))이 증명된다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha \)의 호길이 함수 \( s \)로의 재매개화 곡선을 \( \beta \)라 하면 \( \alpha(t) \)에서의 곡률 \( \kappa_ { 2 } ( \alpha) \)와 \( \beta(s(t)) \)에서의 곡률 \( \kappa_ { 2 } ( \beta) \)는 같다. 즉, \( \kappa_ { 2 } ( \alpha(t))= \kappa_ { 2 } ( \beta(s)) \)이다. 또한 \( T(t)= \) \( T(s(t)) \)이므로 \( \frac { d T } { d s } = \frac { d T } { d t } \frac { d t } { d s } = \frac { 1 } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \frac { d T } { d t } \)이다. 따라서 만약 \( v= \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| \)라 두면 \[ \begin {aligned} \kappa_ { 2 } ( \alpha(t)) &= \kappa_ { 2 } ( \beta(s))= \left \langle T ^ {\prime } (s), J T(s) \right \rangle \\&= \frac { 1 } { v } \left \langle T ^ {\prime } (t), J T(t) \right \rangle= \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \left \langle T ^ {\prime } (t), J \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle \end {aligned} \]이다. 그러므로 \( \left \langle J \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 \)이기 때문에 보조정리 \( 3.20 \)에 의해 등식이 성립한다.</p> <p>정리 \( 3.30 \) \( R ^ { 2 } \)상의 정칙곡선 \( \alpha \)의 곡률 \( k_ { 2 } = \)상수일 필요충분조건은 \( \alpha \)가 반지름 \( \frac { 1 } {\left \|k_ { 2 } \right \| } \)인 원의 일부분이거나 직선의 일부분이다.</p> <p>증명 먼저 직선과 원의 곡률은 상수임이 분명하다. 역을 증명한다. 일반성을 잃지 않고 곡선 \( \alpha \)를 단위속력곡선이라 하자. 곡률 \( \kappa_ { 2 } \)가 상수, 즉, \( \kappa_ { 2 } =c \) 라 가정하자.<ol type=i start=1><li>\( c=0 \) 일 때, 정리 \(3.19 \)로부터 \( \alpha ^ {\prime \prime } (s)=0 \)이다. 그러므로 \( \alpha(s)=p + s v(p, v \) 는 상수벡터)이다. 즉, \( \alpha \) 는 직선이다.</li> <li>\( c \neq 0 \) 일 때, 새로운 곡선 \( \gamma \) 를 \[ \gamma(s)= \alpha(s) + \frac { 1 } { c } J \alpha ^ {\prime } (s) \]로 정의하면 정리 \( 3.19 \) 로부터 \( \gamma ^ {\prime } (s)=0 \) 이다. 따라서 \( \gamma(s)=p \)는 상수벡터이다. 그러므로 \[ \\| \alpha(s)-p \\|= \frac { 1 } { c } \]이다. 즉 \( \alpha \)는 원의 일부분이다.</li></ol></p> <p>예제 \( 3.5 \)<ol type=1 start=1><li>단위속력벡터 \( T(t) \)는 \( T ^ {\prime } (t) \)과 수직, 즉 \( \left \langle T(t), T ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 \)이다.</li> <li>정칙곡선 \( \alpha \)의 한 점 \( t=t_ { 0 } \)에서의 접선 \( l \)의 방정식은 \[ \beta(s)= \alpha \left (t_ { 0 } \right ) + s T \left (t_ { 0 } \right ), \quad s \in R \] 이다.</li></ol></p> <p>예제 \( 3.6 \) 미분가능한 함수 \( f:(a, b) \rightarrow R \)에 대해서 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } \) 가 \[a(t)=(t, f(t), 0) \]로 주어지면, \( \alpha \)는 항상 정칙곡선이다. 왜나하면 \( \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\|= \sqrt { 1 + f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } \neq 0 \)이다.</p> <p>정의 \(3.7 \) 주어진 두 곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)와 \( \beta:(c, d) \rightarrow R ^ { n } \)에 대하여 미분동형사상(diffeomorphism) \( h:(c, d) \rightarrow(a, b), t=h(s) \)가 존재하여 다음 등식 \[ \beta(s)=( \alpha \circ h)(s) \]를 만족할 때, \( \beta \) 를 \( \alpha \) 의 재매개화곡선(reparametrization)이라고 한다.</p> <p>정리 \(3.8 \) 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \) 에 대하여 재매개화곡선 \( \beta:(c, d) \rightarrow R ^ { n } \) 도 정칙곡선이다.</p> <p>증명 곡선 \( \beta \)가 \( \alpha \)의 재매개화 곡선이므로 미분동형사상 \( h:(c, d) \rightarrow(a, b), t=h(s) \)가 존재하여, \( \beta(s)=(a \circ h)(s) \)이다. 따라서, 연쇄법칙(chain rule)에 의하여 \[ \frac { d \beta } { d s } = \frac { d \alpha } { d t } \frac { d h } { d s } \]이다. 한편 미분동형사상 \( h \)가 역함수를 가지기 때문에 \( \frac { d h } { d s } \neq 0 \)이고 \( \alpha \)가 정칙곡선이기 때문에 \( \frac { d \alpha } { d t } \neq 0 \)이다. 따라서 \( \frac { d \beta } { d s } \neq 0 \), 즉, \( \beta \)는 정칙곡선이다.</p> <p>예제 \(3.9 \) 곡선 \( \alpha(t)=( \cos t, \sin t, 0)(0<t<2 \pi), \beta(s)=( \cos 3 s, \sin 3 s, 0) \) \( \left (0<s< \frac { 2 } { 3 } \pi \right ) \)에 대해서 곡선 \( \beta \)는 곡선 \( \alpha \)의 재매개화 곡선이다. 실제 \( h(s)=3 s \)라 두면 \( h: \left (0, \frac { 2 } { 3 } \pi \right ) \rightarrow(0,2 \pi) \)는 미분동형사상이고 \( \beta(s)= \alpha(h(s)) \)이다.</p> <p>제 \( 3 \)장 연습문제</p> <p>\(01 \) 평면곡선 \( \alpha(s)=(x(s), y(s)) \)가 단위속력곡선일 때, 곡률 \( \kappa_ { 2 } \) 는 \[ \kappa_ { 2 } =x ^ {\prime } y ^ {\prime \prime } -x ^ {\prime \prime } y ^ {\prime } \]임을 보여라.</p> <p>\(02 \) 다음에 주어진 곡선들의 곡률 \( \kappa \)와 비몰림율 \( \tau \)를 구하여라.<ol type=i start=1><li>\( \alpha(t)= \left (3 t-t ^ { 2 } , 2 t ^ { 3 } , 1 \right ) \)</li> <li>\( \alpha(t)=( \cos t, \sin t, \cos t \sin t) \)</li> <li>\( \alpha(t)=( \cosh t, \sinh t, 2 t) \)</li> <li>\( \alpha(t)= \left ( \frac { (1 + t) ^ { 3 / 2 } } { 3 } , \frac { (1-t) ^ { 3 / 2 } } { 3 } , \frac { t } {\sqrt { 2 } } \right ) \)</li> <li>\( \alpha(t)= \left ( \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } , 2 t, \ln \left (t + \sqrt { 1 + t ^ { 2 } } \right ) / \sqrt { 5 } \right ) \)</p></li></ol></p> <p>\(03 \) 곡선 \( \alpha(t)=(t + \sin t, 1 + \cos t)(- \pi<t< \pi) \)의 축폐선을 구하여라. 그리고 그래프를 그려라(매스매티카를 이용하여 그려라).</p> <p>\(04 \) 단위속력곡선 \( \alpha \)에 대하여 접벡터장 \( T \)는 반경이 \(1 \)인 구면위의 곡선이다. 이때 \( T(s) \)의 곡률 \( \kappa_ { T } \)와 비틀림율 \( \tau_ { T } \)가 다음과 같다. 즉, \[ \kappa_ { T } = \sqrt { 1 + ( \tau / \kappa) ^ { 2 } } , \quad \tau_ { T } = \frac { ( \tau / \kappa) ^ {\prime } } {\kappa \left [1 + ( \tau / \kappa) ^ { 2 } \right ] } \]임을 보여라. 여기서 \( \kappa \) 와 \( \tau \)는 곡선 \( \alpha \)의 곡률과 비틀림율이다.</p> <p>예제 \( 3.62 \) 평면상의 정칙곡선 \( \alpha \)의 축폐선 \( \alpha_ { e v } \)는 정리 \( 3.21 \)로부터 \[ \alpha_ { e v } (t)= \alpha(t) + \frac {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| ^ { 2 } } {\left \langle \alpha ^ {\prime \prime } (t), J \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } J \alpha ^ {\prime } (t) \]이다.</p> <p>문제 \( 3.63 \) 타원 \( \alpha(t)=(2 \cos t, \sin t) \)의 축폐선의 방정식을 찾아라.</p> <p>정리 \( 3.64 \) 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)의 축폐선은 곡선 \( \alpha \)의 재매개화에 독립이다. 즉, \[( \alpha \circ h)_ { e v } (t)= \left ( \alpha_ { e v } \circ h \right )(t) . \] 여기서 \( h:(c, d) \rightarrow(a, b) \)는 미분가능한 함수이다.</p> <p>증명 만약 \( \beta(t)=( \alpha \circ h)(t) \)라 두면 \( \beta ^ {\prime } (t)=h ^ {\prime } (t) \alpha ^ {\prime } (u), u=h(t) \)이므로 정리 \( 3.61 \)에 의해 \[ \begin {aligned} ( \alpha \circ h)_ { e v } (t) &= \beta(t) + \frac { 1 } {\kappa_ { 2 } ( \beta) } \frac { J \beta ^ {\prime } (t) } {\left \\| \beta ^ {\prime } (t) \right \\| } \\&= \beta(t) + \frac {\epsilon } {\kappa_ { 2 } ( \alpha) } \frac {\epsilon J \alpha ^ {\prime } (u) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| } \left ( \epsilon= \operatorname { sgnh } ^ {\prime } (t) \right ) \\&= \alpha(u) + \frac { 1 } {\kappa_ { 2 } ( \alpha) } \frac { J \alpha ^ {\prime } (u) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (u) \right \\| } \\ &= \alpha_ { e v } (u)= \alpha_ { e v } (h(t)) \end {aligned} \]이다.</p> <p>정리 \( 3.31 \) \( R ^ { n } \)상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)의 곡률은 \[k_ { 2 } = \frac { d \theta } { d s } \]로 주어진다. 여기서 \( \theta(s)= \angle \left (T(s), e_ { 1 } \right ), e_ { 1 } =(1,0) \)이다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)이 단위속력곡선이므로, 각 \( \theta(s) \) 에 대해서 속도벡터는 \[ \alpha ^ {\prime } (s)=( \cos \theta(s), \sin \theta(s)) \]로 표현할 수 있고, 법벡터 \( N=J \alpha ^ {\prime } (s) \) 은 \( N(s)=(- \sin \theta(s), \cos \theta(s)) \)있다. 따라서, 곡률 \( \kappa_ { 2 } \) 는 \[ \begin {aligned} k_ { 2 } (s) &= \left \langle T ^ {\prime } (s), N(s) \right \rangle \\&= \left \langle \theta ^ {\prime } (s) N(s),N(s) \right \rangle= \theta ^ {\prime } (s) \end {aligned} \]이다. 즉, 평면곡선의 곡률은 접벡터와 \( x \) 축이 이루는 각의 변화량이다.</p> <p>따름정리 \( 3.32 \) \( R ^ { 2 } \)상에서 곡률 \( \kappa_ { 2 } \)로 주어지는 단위속력곡선 \( \alpha \)의 방정식은 \[ \begin {array} { l } \alpha(s)= \left ( \int \cos \theta(s) d s + c, \int \sin \theta(s) d s + d \right ), \\ \theta(s)= \int \kappa_ { 2 } (s) d s + \theta_ { 0 } \end {array} \]이다. 여기서 \( c, d, \theta_ { 0 } \)는 상수이다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha \)가 단위속력곡선이므로 정리 \( 3.31 \)로부터 증명이 따른다.</p> <p>참고 평면상에서 곡률함수 \( \kappa_ { 2 } \)가 주어질 때 곡선의 방정식을 푸는 문제는 곡률이 상수가 아니면 일반적으로 어렵지만 Mathematica를 활용하면 곡선의 그래프를 근사적으로 구할 수 있다.<ol type=1 start=1><li>\( \kappa_ { 2 } (s)=s \)인 곡선의 그래프</li> <li>\( \kappa_ { 2 } (s)= \sin s \)인 곡선</li> <li>\( \kappa_ { 2 } (s)=s \sin s \)의 그래프</li> <li>\( \kappa_ { 2 } (s)=s \)의 다양한 모양</li></ol></p> <p>증명<ol type=i start=1><li>곡률의 정의에 의해 \( T ^ {\prime } (s)=k(s) N(s) \)는 분명하다.</li> <li>한편, \( \{ T, N, B \} \) 가 정규직교기저이기 때문에 정리 \( 1.22 \)에 의해 \[N ^ {\prime } = \left \langle N ^ {\prime } , T \right \rangle T + \left \langle N ^ {\prime } , N \right \rangle N + \left \langle N ^ {\prime } , B \right \rangle B \]로 표현할 수 있고 \( \left \langle N, N ^ {\prime } \right \rangle=0, \left \langle N ^ {\prime } , T \right \rangle=- \left \langle N, T ^ {\prime } \right \rangle=-k \)이기 때문에 \( N ^ {\prime } =-k T + \tau B \) 이다.</li> <li>\( B ^ {\prime } =- \tau N \)은 정리 \( 1.22 \)로부터 증명된다.</li></ol></p> <p>정리 \( 3.42 \) \( R ^ { 3 } \)상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 3 } ( \kappa \neq 0) \)가 원(circle)일 필요충분조건은 곡률 \( \kappa=a( \) 상수 \( ) \)이고 비틀림율 \( \tau=0 \)이다.</p> <p>증명 ⭢ 분명하다.</p> <p>⭠ 비틀림율 \( \tau=0 \)이면 평면곡선(정리 \(3.41 \))이고. 정리 \( 3.35 \) 로부터 \( \kappa=a \)가 상수 이면 \( \kappa_ { 2 } = \)상수이다. 따라서 정리 \( 3.30 \)으로부터 \( \alpha \)는 원이다.</p> <p>정리 \( 3.43 \) \( R ^ { 3 } \)상의 단위속력곡선의 곡률 \( \kappa= \) 상수 \( ( \neq 0) \), 비틀림율 \( \tau= \)상수 \( ( \neq 0) \)이면 곡선은 나선(helix)이다.</p> <p>증명 단위속력곡선 \( \alpha: I \rightarrow R ^ { 3 } , \alpha(s)=(x(s), y(s), z(s)) \)의 곡률 \( \kappa=a \)(상수), 비틀림 \( \tau=b \)(상수)라 하자. 그러면 \( \frac {\tau } {\kappa } = \frac { b } { a } = \) 상수이므로 상수 \( \theta \) 에 대하여 \[ \frac { b } { a } = \cot \theta \]로 둘 수 있다. 그러므로 \[ \sin \theta= \frac { a } { c } , \quad \cos \theta= \frac { b } { c } , \quad c= \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \]이다. 한편 \( u= \cos \theta T + \sin \theta B \)라 두면 \( \theta \) 가 상수이므로 \( u ^ {\prime } =0 \)이다. 따라서 \( u \)는 상수인 단위벡터이다. 더구나 \[ \langle T, u \rangle= \cos \theta \]이다. 따라서 상수벡터 \( u \)를 \( u=(0,0,1) \)로 선택하면 \( T= \left (x ^ {\prime } (s), y ^ {\prime } (s), z ^ {\prime } (s) \right ) \)이므로 \[z ^ {\prime } (s)= \langle T, u \rangle= \cos \theta= \frac { b } { c } \]가 된다. 따라서 초기조건 \( z(0)=0 \)을 잡으면, \[z(s)= \frac { b } { c } s \]<caption>( \( 3.4 \))</caption>이다. 한편, \( \left \\| \alpha ^ {\prime } (s) \right \\|=1 \)로부터 \( x ^ {\prime } (s) ^ { 2 } + y ^ {\prime } (s) ^ { 2 } + z ^ {\prime } (s) ^ { 2 } =1 \)이므로 \[x ^ {\prime 2 } + y ^ {\prime 2 } =1-z ^ {\prime 2 } = \sin ^ { 2 } \theta= \left ( \frac { a } { c } \right ) ^ { 2 } \]이다. 따라서 어떤 함수 \( \phi(s) \)에 의해 \[x ^ {\prime } (s)= \frac { a } { c } \cos \phi(s), \quad y ^ {\prime } (s)= \frac { a } { c } \sin \phi(s) \]<caption>( \( 3.5 \))</caption>으로 표현되고 \( x ^ {\prime \prime } (s)=- \frac { a } { c } \phi ^ {\prime } (s) \sin \phi(s), y ^ {\prime \prime } (s)= \frac { a } { c } \phi ^ {\prime } (s) \cos \phi(s) \)이다. 한편 \( a= \kappa= \left \\| \alpha ^ {\prime \prime } (s) \right \\|= \left \| \frac { a } { c } \phi ^ {\prime } (s) \right \| \)이기 때문에 \[ \phi ^ {\prime } (s)= \pm c \text { . 즉, } \phi(s)= \pm c s + d_ { 1 } \]<caption>( \( 3.6 \))</caption>이다. 따라서 ( \( 3.5 \))와 ( \( 3.6 \))으로부터 \[x ^ {\prime } (s)= \frac { a } { c } \cos \left ( \pm c s + d_ { 1 } \right ), \quad y ^ {\prime } (s)= \frac { a } { c } \sin \left ( \pm c s + d_ { 1 } \right ) \]이기 때문에 \[x(s)= \pm \frac { a } { c ^ { 2 } } \sin \left ( \pm c s + d_ { 1 } \right ), \quad y(s)= \mp \frac { a } { c ^ { 2 } } \cos \left ( \pm c s + d_ { 1 } \right ) \]<caption>( \( 3.7 \))</caption>이 된다. 만약 초기조건을 \( x ^ {\prime } (0)= \frac { a } { c } , y ^ {\prime } (0)=0 \) 으로 하면, \( d_ { 1 } =0 \)이다. 따라서 ( \( 3.7 \))로부터<p>\[x(s)= \frac { a } { c ^ { 2 } } \sin (c s), \quad y(s)= \mp \frac { a } { c ^ { 2 } } \cos (c s) \]<caption>( \( 3.8 \))</caption>가 된다. 그러므로 ( \( 3.4 \))와 ( \(3.8 \))로부터 \[ \alpha(s)= \left ( \frac { a } { c ^ { 2 } } \sin (c s), \mp \frac { a } { c ^ { 2 } } \cos (c s), \frac { b } { c } s \right ) \]이다. 즉, \( \alpha \)는 나선(helix)이다.</p> <p>보조정리 \( 3.19 \) \( R ^ { 2 } \)상의 단위속력곡선 \( \alpha \)에 대하여 \[a ^ {\prime \prime } (s)= \kappa_ { 2 } (s) J \alpha ^ {\prime } (s) \]이 성립한다.</p> <p>증명 곡선위의 한 점 \( \alpha(s) \) 상에서 \( \{ T(s), N(s) \} \)는 정규직교기이다. 따라서 \[ \alpha ^ {\prime \prime } (s)=T ^ {\prime } = \left \langle T ^ {\prime } , T \right \rangle T + \left \langle T ^ {\prime } , N \right \rangle N= \kappa_ { 2 } N= \kappa_ { 2 } J T= \kappa_ { 2 } J \alpha ^ {\prime } (s) \]이다.</p> <p>보조정리 \( 3.20 \) 임의의 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)에 대하여 \[ \alpha ^ {\prime \prime } (t)= \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| T ^ {\prime } (t) + \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| ^ {\prime } T(t) \]가 성립한다.</p> <p>증명 곡선 \( \alpha \)가 정칙이기 때문에 단위속력벡터는 \( T(t)= \frac {\alpha ^ {\prime } (t) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \)이다. 따라서 미분하면 \[T ^ {\prime } (t)= \frac { 1 } { v } \alpha ^ {\prime \prime } (t)- \frac { v ^ {\prime } } { v ^ { 2 } } \alpha ^ {\prime } (t), \quad v= \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| \]이다. 그러므로 정리가 증명된다.</p> <p>정리 \(3.21 \) 임의의 속력을 갖는 평면곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)의 곡률 \( \kappa_ { 2 } \)는 \[ \kappa_ { 2 } (t)= \frac {\left \langle a ^ {\prime \prime } (t), J \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| ^ { 3 } } \]이다.</p> <p>정리 \(3.57 \) \( R ^ { 3 } \)상에서 일반나선(general helix)의 신개선(involute)은 평면곡선(plane curve) 이다.</p> <p>증명 일반성을 잃지 않고 일반나선 \( \alpha \)를 단위속력곡선이라 하자. 이때, 상수벡터 \( u \)가 존 재하여 \( \langle T, u \rangle= \) 상수이다. 따라서 \[ \alpha_ { i v } ^ { c } (s)= \alpha(s) + (c-s) \alpha ^ {\prime } (s) \]이고 \( \left \langle T ^ {\prime } , u \right \rangle=0 \)이기 때문에 \[ \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } (s), u \right \rangle ^ {\prime } = \left \langle T ^ {\prime } , u \right \rangle=0 \]이다. 그러므로 \( \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } (s), u \right \rangle= \) 상수이므로 \( \alpha_ { i v } \)는 평면곡선이다.</p> <p>문제 \( 3.58 \) 나선(helix) \( \alpha(t)=( \cos t, \sin t, t) \)의 신개선을 구하여라.</p> <p>정리 \( 3.59 \) 평면곡선의 신개선은 같은 평면 위에 놓인다.</p> <p>증명 평면 \( \Pi \)의 방정식을 \( \Pi= \left \{\mathrm { x } \in R ^ { 3 } \mid \langle \mathrm { x } -p, n \rangle=0 \right \} \)이라 하자. 여기서 \( p, n \) 은 상수벡터이다. 이때, \[ \text { " } \langle \alpha(s)-p, n \rangle=0 \text { 일 때 } \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } (s)-p, n \right \rangle=0 " \]임을 증명하자. 일반성을 잃지 않고 \( \alpha \)를 단위속력곡선이라 가정하자. 그러면 \( \left \langle \alpha ^ {\prime } (s), n \right \rangle=0, \alpha_ { i v } ^ { c } (s)= \alpha(s) + (c-s) \alpha ^ {\prime } (s) \)이기 때문에 \[ \left \langle \alpha_ { i v } ^ { c } (s)-p, n \right \rangle= \langle \alpha(s)-p, n \rangle + (c-s) \left \langle \alpha ^ {\prime } (s), n \right \rangle=0 \]이다.</p> <h1>3.3 곡률</h1> <h2>3.3.1 평면곡선의 곡률</h2> <p>정의 \(3.16 \) \( R ^ { 2 } \) 상의 단위속력곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \)의 (부호)곡률(signed curvature) \( k_ { 2 } \)는 \[k_ { 2 } (s) = \left \langle T ^ {\prime } (s), N \right \rangle \]으로 정의된다. 여기서 \( N=J T, J(x, y)=(-y, x) \)이다.</p> <p>예제 \(3.17 \) 직선의 곡률은 \(0 \)이다. 왜냐하면 직선의 방정식은 \( \alpha(s)=p + s v \)이다. 여기서 \( p, v \) 는 상수벡터이고 \( \\|v \\|=1 \)이다. 따라서 \( T ^ {\prime } (s)= \alpha ^ {\prime \prime } (s)=0 \)이므로 \( \kappa_ { 2 } =0 \)이다.</p> <p>예제 \( 3.18 \) 반지름 \( r \)인 원 \( \alpha(s)= \left (r \cos \frac { s } { r } , r \sin \frac { s } { r } \right ) \)의 곡률은 \( \kappa_ { 2 } = \frac { 1 } { r } \)이고 \( \beta(s)= \left (r \cos \frac { s } { r } ,-r \sin \frac { s } { r } \right ) \)의 곡률은 \( \kappa_ { 2 } =- \frac { 1 } { r } \)임을 보여라.</p> <p>풀이 속도가 \( \alpha ^ {\prime } (s)= \left (- \sin \frac { s } { r } , \cos \frac { s } { r } \right ) \)이기 때문에 \( \left \\| \alpha ^ {\prime } (s) \right \\|=1 \)이다. 따라서 주어진 곡선은 단위속력곡선이고 \( T= \alpha ^ {\prime } (s), N=J T= \left (- \cos \frac { s } { r } ,- \sin \frac { s } { r } \right ) \)이다. 그러므로 \( \kappa_ { 2 } = \left \langle T ^ {\prime } (s), N(s) \right \rangle= \frac { 1 } { r } \)이다. 유사하게 \( \kappa_ { 2 \beta } =- \frac { 1 } { r } \)임을 알 수 있다.</p> <h2>3.5.2 축폐선</h2> <p>정의 \( 3.60 \) \( R ^ { n } \)상에서 정칙곡선 \( \alpha \)가 곡선 \( \beta \)의 신개선(involute)일 때, 즉, \( \alpha = \beta_ { i v } \)일 때, 곡선 \( \beta \)를 곡선 \( \alpha \)의 축폐선(evolute)이라 하고 \( \beta \equiv \alpha_ { e v } \)로 표시한다.</p> <p>참고 정칙곡선 \( \alpha, \beta:(a, b) \rightarrow R ^ { n } \)의 임의의 점 \( t \)에서 \( \beta ^ {\prime } (t) \perp \alpha ^ {\prime } (t) \)이고 \( \alpha(t) \)가 \( \beta(t) \)를 지나는 접선 위에 놓일 때, \( \alpha \)는 곡선 \( \beta \)의 신개선이고 \( \beta \)는 곡선 \( \alpha \)의 축폐선이다. 즉, \( \alpha(t)- \beta(t) \)는 \( \beta ^ {\prime } (t) \)와 평행한다.</p> <p>정리 \( 3.61 \) 평면상의 정칙곡선 \( \alpha:(a, b) \rightarrow R ^ { 2 } \left ( \kappa_ { 2 } \neq 0 \right ) \)의 축폐선(evolute) \( \alpha_ { e v } \)는 \[ \alpha_ { e v } (t)= \alpha(t) + \frac { 1 } {\kappa_ { 2 } } \frac { J \alpha ^ {\prime } (t) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } . \] 여기서 \( J: R ^ { 2 } \rightarrow R ^ { 2 } \)는 \( J(x, y)=(-y, x) \)이다.</p> <p>증명 평면상에서 \( \left \{\alpha ^ {\prime } (t), J \alpha ^ {\prime } (t) \right \} \)는 곡선 \( \alpha(t) \)에서 기저이다. 그러므로 \[ \alpha_ { e v } (t)- \alpha(t)= \lambda(t) \alpha ^ {\prime } (t) + \mu(t) J \alpha ^ {\prime } (t) \]<caption>( \(3.11 \))</caption>로 표현할 수 있다. 한편 \( \alpha \) 는 곡선 \( \alpha_ { e v } \) 의 신개선, 즉, \( \alpha= \left ( \alpha_ { e v } \right )_ { { i v } } ^ { c } \)이기 때문에 정의 \( 3.53 \) 에 의해 \[ \alpha_ {\theta v } (t)- \alpha(t)=f(t) \alpha_ { e v } ^ {\prime } (t) \]<caption>( \(3.12 \))</caption>이다. 또한 정리 \( 3.54 \)에 의해 \( \left \langle \alpha ^ {\prime } (t), \alpha_ {\varepsilon v } ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 \)이므로 ( \( 3.12 \))로부터 \[ \left \langle \alpha_ {\varepsilon v } (t)- \alpha(t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle=0 . \] 그러므로 ( \( 3.11 \))로부터 \( \lambda(t)=0 \)이다. 따라서 다시 ( \( 3.11 \))를 미분하면 \[ \alpha_ { e v } ^ {\prime } (t)- \alpha ^ {\prime } (t)= \mu ^ {\prime } (t) J \alpha ^ {\prime } (t) + \mu(t) J \alpha ^ {\prime \prime } (t) \]이므로 \( \left \langle \alpha_ { e v } ^ {\prime } (t)- \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle= \mu(t) \left \langle J \alpha ^ {\prime \prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle \)이다. 따라서 \[ \mu(t)= \frac {\left \langle \alpha_ { e v } ^ {\prime } (t)- \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } {\left \langle J \alpha ^ {\prime \prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } =- \frac {\left \langle \alpha ^ {\prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } {\left \langle J \alpha ^ {\prime \prime } (t), \alpha ^ {\prime } (t) \right \rangle } \]이고. 정리 \( 3.21 \)로부터 \[ \mu(t)= \frac { 1 } {\kappa_ { 2 } \left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \]이다. 그러므로 ( \( 3.11 \))로부터 \( \alpha_ { e v } (t)= \alpha(t) + \frac { 1 } {\kappa_ { 2 } } \frac { J \alpha ^ {\prime } (t) } {\left \\| \alpha ^ {\prime } (t) \right \\| } \)이다.</p> <p>정리 \(3.67 \) 구면 \( S_ { p } ^ { 2 } (r) \) 위의 단위속력곡선 \( \beta \)의 곡률이 \( \kappa=a \)(상수)이면 \( \beta \)는 반지름 \( \frac { 1 } { a } \)인 원이다.</p> <p>증명 곡률이 \( \kappa=a \)(상수)면 정리 \( 3.66 \) ( \( 3 \))에 의해 \( \tau=0 \) 이다. 즉, \( \beta \) 는 평면곡선이다. 따라서 정리 \( 3.42 \)에 의해 \( \beta \)는 반지름 \( \frac { 1 } { a } \)인 원이다.</p> <p>정리 \(3.68 \) 곡률 \( \kappa \neq 0, \kappa ^ {\prime } \neq 0 \), 비틀림율 \( \tau \neq 0 \) 인 단위속력곡선 \( \alpha \)가 구면곡선일 필요충분 조건은 \[ \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ { 2 } + \left \{\left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) \cdot \left ( \frac { 1 } {\tau } \right ) \right \} ^ { 2 } = \text { 상수 } \]이다.</p> <p>증명 ⭢ 정리 \( 3.66 \) ( \(2 \))에서 양변을 \( \tau \)로 나누면 성립한다.</p> <p>⭠ 벡터 함수 \( \gamma \)를 다음과 같이 \[ \gamma(s)= \alpha(s) + \frac { 1 } {\kappa } N + \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } \frac { 1 } {\tau } B \]<caption>( \(3.21 \))</caption>라 두고, \( \gamma ^ {\prime } (s)=0 \)임을 보이자. 즉, 미분하면 \[ \begin {aligned} \gamma ^ {\prime } (s) &=T + \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } N + \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right )(- \kappa T + \tau B) + \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } \frac { 1 } {\tau } B- \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } N \\ &= \left [ \frac {\tau } {\kappa } + \left \{\left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ), \frac { 1 } {\tau } \right \} ^ {\prime } \right ] B \end {aligned} \]가 된다. 한편, 가정에서 \( \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ { 2 } + \left \{\left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) \left ( \left ( \frac { 1 } {\tau } \right ) \right \} ^ { 2 } = \right . \)상수이기 때문에 미분하면 \[ \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } \left [ \frac {\tau } {\kappa } + \left \{\left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ), \frac { 1 } {\tau } \right \} ^ {\prime } \right ]=0 \]이다. 따라서 \( \kappa ^ {\prime } \neq 0 \)이기 때문에 \( \gamma ^ {\prime } (s)=0 \), 즉, \( \gamma(s)=p( \) 상수 \( ) \) 이다. 그러므로 ( \(3.21 \))로부터 \[ \alpha(s)-p=- \frac { 1 } {\kappa } N- \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ), \frac { 1 } {\tau } B \]이고, 길이를 계산하면 \[ \\| \alpha(s)-p \\| ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ { 2 } + \left \{\left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) \cdot \left ( \frac { 1 } {\tau } \right ) \right \} ^ { 2 } = \text { 상수 } \]이다. 따라서 \( \alpha \)는 구면곡선이다.</p> <p>( \(2 \)) Frenet 프레임 \( \{ T, N, B \} \)가 정규직교기이기 때문에 \[ \alpha(s)-p= \langle \alpha(s)-p, T \rangle T + \langle \alpha(s)-p, N \rangle N + \langle \alpha(s)-p, B \rangle B \]이고 위 ( \(1 \))의 증명에서 \( \langle \alpha(s)-p, T \rangle=0, \langle \alpha(s)-p, N \rangle=- \frac { 1 } {\kappa } \)이다. 더구나 두 번째식을 다시 미분하면 \[ \left (- \frac { 1 } {\kappa } \right ) ^ {\prime } = \tau \langle \alpha(s)-p, B \rangle \]<caption>( \(3.19 \))</caption>이다. 따라서 \( \tau( \alpha(s)-p)=- \frac {\tau } {\kappa } N- \left ( \frac { 1 } {\kappa } \right ) ' B \) 이고 \[ \tau ^ { 2 } r ^ { 2 } = \left ( \frac {\tau } {\kappa } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } \right ) ^ { 2 } \]이 성립한다.</p> <p>( \( 3 \)) 증명 ( \( 2 \))의 ( \( 3.19 \))로부터 \[ \tau \langle \alpha(s)-p, B \rangle= \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } \]<caption>( \(3.20 \))</caption>이고 다시 미분하면 \[ \begin {aligned} \left ( \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } \right ) ^ {\prime } &= \tau ^ {\prime } \langle \alpha(s)-p, B \rangle- \tau ^ { 2 } \langle \alpha(s)-p, N \rangle \\ &= \tau ^ {\prime } \langle \alpha(s)-p, B \rangle + \frac {\tau ^ { 2 } } {\kappa } \end {aligned} \] 이다. 그러므로 위의 양변에 \( \tau \)를 곱하고 ( \( 3.20 \))를 사용하면 \[ \left ( \frac {\kappa ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } \right ) ^ {\prime } \tau= \frac {\kappa ^ {\prime } \tau ^ {\prime } } {\kappa ^ { 2 } } + \frac {\tau ^ { 3 } } {\kappa } \]이 성립한다. 따라서 좌변을 계산하면 ( \( 3 \))이 증명된다.</p>	자연
오즈 곡선과 최적분류점	<p>부도와 정상 상태의 분포함수를 각각 정규분포 \( N \left (7.89,2.74 ^ { 2 } \right ) \)과 \( N \left (12.4,2.99 ^ { 2 } \right ) \)으로 추정하고 각각의 경험 누적분포함수들과 함께 Figure 5의 왼쪽에 구현하였다. 그리고 추정된 누적분포함수들에 대응하는 오즈 곡선과 세 종류의 정확도 측도로부터 얻은 최적분류점들을 Figure 5의 오른쪽에 나타내었다.</p> <p>부도 상태의 분포를 표준정규분포로 설정하면, 정상 상태의 분포는 \( N \left (4.59,1.09 ^ { 2 } \right ) \)으로 표준화시킬 수 있다. 표준화된 정상 상태의 표준편차 \( \sigma_ { n } =1.09 \)은 \( \sigma_ { d } =1.0 \)보다 크기 때문에 3.3절의 \( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } \)경우인 Table 3에서와 유사하게 가장 좋고 많이 사용되는 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점이 \( \mathrm { SP } \)보다 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점에 더 근접하며 \( X_ {\mathrm { SP } } =10.0466<X_ {\mathrm { TR } } =10.2047 \approx X_ {\mathrm { MR } } =10.2625 \) 임을 탐색할 수 있다. 세 종류의 최적분류점과 이에 대응하는 혼동행렬을 Table 8에 정리하고, 오즈 곡선에 정확도 측도에 대응하는 최적분류점을 Figure 5의 오른쪽에 구현하였다. 그러나 \( \sigma_ { n } =1.09 \)은 \( \sigma_ { d } =1.0 \)과 차이가 거의 없기 때문에, 3.1절의 결과와 유사하게 세 최적분류점들이 근사하게 모여있다고 판단할 수 있다.</p> <p>세 종류의 정확도 측도들의 오류와 합의 크기는 다음과 같은 관계를 갖는다. 이는 3.3절의 건강상태의 분산이 작을 때인 경우 3과 같은 특징을 가진다.<p>\[ \alpha_ {\mathrm { MR } }< \alpha_ {\mathrm { TR } }< \alpha_ {\mathrm { SP } } , \quad \beta_ {\mathrm { SP } }< \beta_ {\mathrm { TR } }< \beta_ {\mathrm { MR } } , \quad( \alpha + \beta)_ {\mathrm { TR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { MR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { SP } } . \]</p>그러므로 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도가 실증예제에서도 성립함을 알 수 있고, 오류의 관점에서도 가장 많이 사용되는 \( \mathrm { TR } , \mathrm { SP } \)측도만큼 충분히 보편적이고 효율적으로 사용할 수 있다.</p> <p>경우 \( 3 \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \)에 최적분류점의 분류 성과를 측정하는 여섯 가지 통계량 중에서 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점은 경우 \( 2 \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \)인 경우와 반대되는 현상으로 가장 작은 값을 갖는 통계량은 정밀도, 특이도, 정확도 \( (p<q \) 경우)이며, 가장 큰 값을 갖는 통계량은 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \), 정확도 \( (p>q \) 경우)이다. 따라서 최적분류점의 분류 성과를 측정하는 여섯 가지 통계량 중에서 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 큰 값을 갖을 때는 \( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } \) 인 경우 2에서 정밀도, 특이도, 정확도 \( (p<q) \)이며, \( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } \)인 경우 3에서는 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \), 정확도 \( (p>q) \)이다. 그러므로 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 많이 사용하는 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점보다 \( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } \)인 경우에 정밀도, 특이도, 정확도 \( (p<q) \) 측면에서 분류 성과가 우수하고, \( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } \)인 경우에 민감도, 경보도, NPV, 정확도 \( (p>q) \) 측면에서 분류 성과가 우수한 최적분류점이라고 판단할 수 있다.</p> <h1>4. 실증예제</h1> <p>2018년도에 국내 K 은행의 신용평가모형을 위한 RS 등급(risk score rating) 자료를 실증예제로 채택하여 오즈 곡선으로 구현하여 본 논문에서 토론한 정확도 측도들에 대한 분류점을 구하고 이에 대응하는 오분류율을 비교한다. 표본크기는 65,455로 3단계로 분류하며, 높을수록 파산확률이 높다고 간주하는 신용을 20개의 RS 등급으로 분류했다. Hong과 Jang (2020)은 표본크기가 작은 세 번째 단계를 제외하고 첫 번째와 두 번째 단계를 부도(default)와 정상(non-default) 상태로 간주하여 Table 7에 정리하였다.</p> <p>이번에는 질병과 건강 상태의 표본수가 각각 \( p=200, q=800(p<q) \)이고 \( p=800, q=200(p>q) \)일 때를 Table 6에 정리하였다. \( p=800, q=200(p>q) \) 인 경우를 살펴보면, MR 측도가 가장 큰 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 통계량은 정밀도, 특이도이며 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 경우 3에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량들이 경우 2와 반대인 현상을 보인다. 즉, \( p<q \)인 경우에 경우 2에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \) 통계량이 경우 3에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값을 가지며, 가장 큰 값을 갖는 정확도, 정밀도, 특이도 통계량이 경우 3에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 그리고 \( p>q \)인 경우에 경우 2에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값을 갖는 정밀도, 특이도 통계량이 경우 3에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 가지며, 경우 2에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \) 통계량이 경우 3에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값을 갖는다. 경우 3에서도 경우 2와 동일하게 정확도 통계량 값만이 차이가 나는데 \( \mathrm { MR } \) 측도와 \( \mathrm { TR } \) 측도의 정확도 통계량의 값 차이가 매우 적다는 것을 파악할 수 있다. 따라서 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 작은 경우 3에서도 경우 2와 마찬가지로 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 유사하다는 것을 발견하였다. 경우 1과 경우 2에서 언급한 \( \mathrm { SP } \)의 특징으로, 표본수가 대칭으로 바뀔 때, \( \mathrm { NPV } \)와 정밀도가 서로 바뀌며, 경보도의 합은 1이 되도록 바뀌어 지고, 정확도, 민감도, 특이도는 동일한데 이 또한 경우 3에서도 같은 특징을 갖는다.</p> <h2>3.2. 경우 2: 건강 상태의 분산이 작은 경우 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } =0.5 ^ { 2 } \right ) \)</h2> <p>건강 상태의 분포의 분산이 작은 경우 2의 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } =0.5 ^ { 2 } \right ) \) 오즈 곡선들을 경우 1 의 \( \mathrm { SMD } \)와 일치하기 위하여 \( \mathrm { SMD } \)기준 여섯 단계부터인 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } \)을 0.9882부터 2.3727까지에 대응시켜 Figure 4(a)에 구현하였다.</p> <p>질병과 건강 상태의 분포의 분산이 동일하지 않은 경우의 오즈 곡선들도 Hong 등 (2021)에서 상세히 설명하였는데 Figure4(a)에서의 오즈 곡선들은 건강 상태의 분포의 분산이 작은 경우이고, 제일 위의 곡선은 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } =0.9882 \)이고 제일 아래 곡선은 \( \mu_ { n } =2.3727 \)이다. Figure 4(a)에서 대각선과 오즈 곡선이 교차하는 점은 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 분류점이고, 오즈 곡선의 접선의 기울기가 정분류율 \( \mathrm { TPR/TNR } \)의 제곱의 음수와 일치하는 점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 분류점으로 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 분류점보다 왼쪽에 위치한다. 그리고 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도를 만족하는 분류점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 분류점보다 더 왼쪽에 위치하는 것을 탐색한다. 따라서 경우 2에서의 세 종류의 분류점은 \( \mathrm { SP } \) 분류점이 제일 오른쪽에 그리고 \( \mathrm { MR } \) 분류점이 제일 왼쪽에 위치하며 가운데에 \( \mathrm { TR } \) 분류점이 위치한다. 그리고 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } \)이 증가할수록 세 분류점이 가까이 모이는데 특히 \( \mathrm { MR } \) 분류점이 \( \mathrm { TR } \) 분류점에 수렴하는 것을 파악할 수 있다.</p> <p>경우 2의 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)을 만족하는 분류점과 이에 대응하는 오즈곡선의 좌표를 Table 3에 구하였다. Table 3 을 통하여 \( \mathrm { SMD } \) 기준 여섯 단계부터 \( \mathrm { SP } \)의 분류점이 가장 크며, \( \mathrm { MR } \)이 가장 작으며 \( \mathrm { SMD } \)가 커질수록 \( \mathrm { MR } \)은 \( \mathrm { TR } \)에 수렴함을 확인할 수 있다 \( \left (X_ {\mathrm { MR } } \approx X_ {\mathrm { TR } }<X_ {\mathrm { SP } } \right ). \)</p> <h1>1. 서론</h1> <p>의학통계와 신용평가 분야 등에서 이진 분류모형(binary classification model)의 성능(performance)을 탐색하는 유용한 시각적인 방법인 receiver operating characteristic (ROC) 곡선은 true positive rate, sensitivity (TPR)와 false positive rate, 1-specificity (FPR)의 비율 변화를 구현한다 (Altman과 Bland, 1994; Green과 Swets, 1966; Bamber, 1975; Egan과 Egan, 1975; Metz, 1978; Hanley와 McNeil, 1982; Swets, 1988; Centor, 1991; Zweig와 Campbell, 1993; Vuk와 Curk, 2006; Tasche, 2008). Pontius와 Si (2014)는 비율 대신에 빈도수를 이용하여 평행사변형에서 구현하는 total operating characteristic (TOC) 곡선을 제안하였으며, Hong과 Lee (2018)는 세로와 가로축을 혼동행렬의 빈도수인 true positive (TP)와 false positive (FP)로 구현하여 직사각형에서의 곡선으로 표현하는 total receiver operating characteristic (TROC) 곡선을 제안하였다. ROC 곡선은 비율로 TOC와 TROC 곡선은 빈도수로 구현하지만, Hong 등 (2021)은 두 종류의 오즈(odds)인 FPR/TPR과 (1-TPR)/(1-FPR)을 단위 면적인 정사각형에서의 곡선으로 구현하는 오즈 곡선(odds curve)이라고 제안하였다. 오즈 곡선을 분류 모형에 적용하고 활용하기 위하여 '오즈 곡선의 아래 면적(area under the odds curve)'과 '오즈 비 제곱(squared odds ratio)' 측도를 개발하여, Joseph (2005)이 제안한 ROC 곡선에서의 13단계의 판단 기준과 유사하게 오즈 곡선의 판단 기준을 제안하였다.</p> <p>최적분류점(optimal threshold, cut-off point)을 설정하는 정확도 측도(accuracy measures)들 중에서 '(0,1)까지 최단 거리 기준(closest to (0,1) criterion; Perkins와 Schisterman, 2006)', 'Youden지수 (Youden, 1950)', '최대 수직 거리(maximum vertical distance; Krzanowski와 Hand, 2009)', '수정된(0,1)까지최단거리기준(amended closest-to-(0,1) criterion; Perkins와 Schisterman, 2006)', '민감도와 특이도의 합(sum of sensitivity and speci-ficity; Connell과 Koepsell, 1985)', '진실율(true rate; Hong, 2009; Hong 등, 2010)', '대칭점(symmetric point; Moses 등, 1993; Pepe, 2003)', '전체 정확도(total accuracy; Lambert와 Lipkovich, 2008)', '정확도 면적(accuracy area; Brasil, 2010)' 등은 ROC 곡선으로 설명되며 구할 수 있다 (Hong과 Choi, 2009; Cho와 Hong, 2015). 본 연구에서는 오즈 곡선의 활용성을 높이기 위하여 ROC 곡선과 유사하게 오즈 곡선으로 설명되고, 오즈 곡선으로부터 최적분류점을 찾는 방법을 연구한다. 오즈 곡선에서 설명이 가능한 정확도 측도들의 존재를 탐색하여 오즈 곡선으로부터 최적분류점을 선정하는 정확도 측도들을 정리하고 오즈 곡선으로 설명한다. 그리고 오즈 곡선의 특성을 이용하여 대안적인 최적분류점을 선정하는 방법을 제안한다.</p> <p>우선 2절에서는 잘 알려진 다양한 정확도 측도들이 오즈 곡선에서 어떻게 표현이 되는지를 살펴보고 오즈 곡선으로부터 발견할 수 있는 두 종류의 정확도 측도를 설명한다. 그리고 오즈 곡선의 성질을 바탕으로 오즈 곡선으로부터 최적분류점을 선정할 수 있는 대안적인 정확도 측도를 제안한다. 3절에서는 이진 분류모형의 다양한 확률분포함수를 고려하여 2절에서 논의한 두 종류의 정확도 측도와 제안한 정확도 측도로부터 최적 분류점을 구하고, 분류점의 정확성과 정밀도 등을 측정하는 다양한 통계량값들을 비교하면서 성질과 특징을 토론한다. 4절에서는 실증예제를 표현한 오즈 곡선으로부터 정확도 측도에 대응하는 최적분류점들을 구하여 오분류율과 다양한 분류점 측정 통계량들을 비교하면서 설명한다. 마지막 5절에서는 ROC, TOC 그리고 TROC 곡선들에서 설명할 수 있듯이 오즈 곡선으로부터도 잘 알려진 정확도 측도들뿐만 아니라 본 연구에서 제안한 정확도 측도를 만족하는 최적분류점들을 쉽게 발견하고 설명할 수 있으며, 새로운 정확도 측도는 이미 알려진 측도들과 더불어 이진 분류모형의 성능을 향상시킬 수 있는 정확도 측도로 활용할 수 있는 결론을 유도한다.</p> <h1>2. 오즈 곡선과 정확도 측도</h1> <p>의학통계와 신용평가 분야 등에서 환자를 정상(non-disease/negative)상태와 질병(disease/positive)상태로 구분한 분류모형의 이항 결과(binary result)를 \( 2 \times 2 \)의 분할표인 혼동행렬(confusion matrix)로 나타낼 수 있다. 임의의 분류점에 대하여 true positive (TP)와 true negative (TN)은 각각 정확하게 분류된 질병집단과 정상집단의 수를 false positive (FP)와 false negative (FN)은 각각 질병을 정상으로 예측한 집단의 수와 정상을 질병으로 예측한 집단의 수를 의미한다. 표본의 크기 \( p = \mathrm { TP } + \mathrm { FN } \)인 질병 상태를 나타내는 확률변수 \( X \)의 누적분포함수 \( F_ { d } (x) \)와 크기 \( q= \mathrm { FP } + \mathrm { TN } \)인 정상 상태를 나타내는 분포함수 \( F_ { n } (x) \)로 설정하면서 모든 \( x \)에 대하여 \( F_ { d } (x) \geq F_ { n } (x) \)를 가정한다.</p> <p>혼동행렬의 각 칸의 비율인 TPR과 FPR, false negative rate (FNR)와 true negative rate (TNR)는 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[ \mathrm { TPR } = \frac {\mathrm { TP } } { p } = \hat { F } _ { d } (x), \quad \mathrm { FPR } = \frac {\mathrm { FP } } { q } = \hat { F } _ { n } (x), \] \[ \mathrm { TNR } = \frac {\mathrm { TN } } { q } =1- \hat { F } _ { n } (x), \quad \mathrm { FNR } = \frac {\mathrm { FN } } { p } =1- \hat { F } _ { d } (x). \]</p> <p>Hong 등 (2021)이 제안한 오즈 곡선은 가로와 세로축의 좌표를 (FPR/TPR, \( (1- \mathrm { TPR } ) /(1- \mathrm { FPR } )) \) 또는 \( \left (F_ { n } (x) / F_ { d } (x), \left (1-F_ { d } (x) \right ) / \left (1-F_ { n } (x) \right ) \right ) \)으로 설정하여 단위면적인 정사각형에서의 오즈의 변화를 곡선으로 구현한다. 우선, 오즈 곡선으로부터 설명할 수 있는 정확도 측도를 살펴보자.</p> <p>각각의 최적분류점들의 오류를 살펴보면, 제 1종과 제 2종의 오류를 각각 \( \mathrm { FNR } = \alpha \)와 \( \mathrm { FPR } = \beta \) 그리고 두 오류합 \( \mathrm { (FNR + FPR) } \)을 구하여 Table 1에 정리하였다. Table 1을 통하여 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)의 측도를 만족하는 최적분류점은 질병과 건강분포의 평균들의 중간지점이므로 최적분류점에 대응하는 \( \mathrm { FNR } \)과 \( \mathrm { FPR } \)는 동일한 값을 가지므로 \( \mathrm { FNR } + \mathrm { FPR } \)은 \( \mathrm { FNR } \) 또는 \( \mathrm { FPR } \)의 두배로 나타난다. 또한 \( \mu_ { n } \)이 증가할수록 두 분포간의 거리가 멀어져 모든 오류들이 감소하는 것을 탐색할 수 있다. 세 종류의 정확도 측도들의 오류와 합의 크기는 다음과 같은 관계를 갖는다.</p> <p>\[ \alpha_ {\mathrm { TR } } = \alpha_ {\mathrm { SP } } = \alpha_ {\mathrm { MR } } , \quad \beta_ {\mathrm { TR } } = \beta_ {\mathrm { SP } } = \beta_ {\mathrm { MR } } , \quad( \alpha + \beta)_ {\mathrm { TR } } =( \alpha + \beta)_ {\mathrm { SP } } =( \alpha + \beta)_ {\mathrm { MR } } . \]</p> <p>그러므로 두 분포의 분산이 동일할 때에 오류의 관점에서 \( \mathrm { MR } \) 측도는 기존에 가장 많이 사용되는 \( \mathrm { TR, SP } \) 측도처럼 보편적으로 사용할 수 있다.</p> <p>판별 기준의 13단계 중 예를 들어 아홉번째 단계인 \( \mathrm { SMD } =1.4142 \)일 때, 질병과 건강 상태의 표본수를 각각 \( p=200, q=800 \)와 \( p=800, q=200 \)으로 하는 두 가지 경우에서 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)에 대응하는 측도들을 Table 2에 정리하였다. 우선, 표본수에 상관없이 정확도, 민감도, 특이도는 동일하며, 질병 상태의 표본수가 커지면 경보도와 정밀도는 커지고, \( \mathrm { NPV } \)는 작아진다. 이는 \( \mathrm { SP } \) 측도의 특징인데, 표본수가 대칭으로 바뀌면 \( \mathrm { NPV } \)와 정밀도가 서로 바뀌며, 경보도의 합은 1이 되도록 바뀌고 정확도, 민감도, 특이도는 동일하다는 것을 파악할 수 있다. 또한, 질병과 건강 상태의 분포의 분산이 동일하고 질병 상태의 표본수가 작은 \( p<q \)인 경우에는 \( \mathrm { NPV } \)값이 크며, 질병 상태의 표본수가 커지는 \( p>q \)일 때는 경보도와 정밀도 값이 크다.</p> <p>건강 상태의 분산이 질병 상태의 분산보다 큰 경우에는 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 최적분류점이 가장 작으며, \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 크고, \( \mathrm { SMD } \)가 커질수록 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점에 수렴하며 \( \left (X_ {\mathrm { SP } }<X_ {\mathrm { TR } } \approx X_ {\mathrm { MR } } \right ) \), 건강 상태의 분산이 작은 경우의 반대 현상으로 나타난다. 질병 상태의 표본수가 작은 경우에 \( (p<q) \mathrm { TR } , \mathrm { SP } , \mathrm { MR } \)에 대응하는 측도들을 살펴보면, \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 측도는 정확도, 정밀도, 특이도이며 여기에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 질병 상태의 표본수가 큰 경우 \( (p>q) \)에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 통계량은 정밀도, 특이도이며 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는데, 특히, \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량들이 경우 2와 반대인 현상을 보인다. 그리고 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 작거나 큰 경우에서 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 유사하다는 것을 탐색하였다.</p> <p>본 연구에서는 \( \mathrm { ROC, TOC } \)와 \( \mathrm { TROC } \) 곡선들과 유사하게 진실율 \( \mathrm { (TR: J, SSS, AC, MVD } \) 측도 포함)과 대칭점 \( \mathrm { (SP) } \)인 정확도 측도들을 만족하는 분류점들을 오즈 곡선으로부터 설명할 수 있음을 발견하였고, 최대사각형 \( \mathrm { (MR) } \)이라는 정확도 측도도 오즈 곡선으로부터 구할 수 있다. 제 1종과 제 2종 오류 및 오류합의 관점에서 \( \mathrm { MR } \) 측도를 만족하는 최적분류점이 \( \mathrm { TR, SP } \) 측도를 만족하는 최적분류점 만큼 효율적인 특성을 갖는다고 판단할 수 있으며, \( \mathrm { (MR) } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 많이 사용하는 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점보다 건강 상태의 분산이 질병 상태보다 작은 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \) 경우에 정밀도, 특이도, 정확도 \( (p<q \) 경우) 측면에서 분류 성과가 우수하고, 건강 상태의 분산이 질병 상태보다 큰 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \) 경우에 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \), 정확도 \( (p>q \) 경우 \( ) \) 측면에서 분류 성과가 우수한 최적분류점임을 발견하였다.</p> <p>실증예제와 같은 일반적인 상황 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } , p>q \right ) \)에서는 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점보다 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \), 정확도 측면에서 우수한 분류 성과를 나타내므로, 오즈 곡선과 곡선으로부터 구할 수 있는 최대사각형 측도를 만족하는 최적분류점을 이진 분류모형 분석에 유용하게 활용하여 모형의 판별력 향상을 기대할 수 있다.</p> <h1>요 약</h1> <p>오즈 곡선으로 설명이 가능한 정확도 측도들을 살펴보고, 오즈 곡선의 성질을 바탕으로 대안적인 최대 사각형 정확도 측도를 제안한다. 다양한 확률분포함수와 실증예제를 고려하여 정확도 측도들에 대응하는 분류점을 구하고, 분류점을 측정하는 통계량들을 비교하면서 특징을 토론한다. 그러므로 \( \mathrm { ROC } \) 곡선 등과 유사하게 오즈 곡선으로부터도 최적분류점들을 발견하고 설명할 수 있으며, 최대사각형 측도는 이진 분류모형의 성능을 향상시킬 수 있는 정확도 측도로 활용할 수 있다.</p> <h2>2.1. 오즈 곡선과 최적분류점</h2> <p>최적분류점을 설정하는 아홉 종류의 정확도 측도인 ' \( (0,1) \) 까지 최단 거리 기준', 'Youden지수', '최대 수직 거리', '수정된 \( (0,1) \)까지 최단 거리 기준', '민감도와 특이도의 합', '진실율', '대칭점', '전체 정확도', '정확도 면적'에 대하여, Hong 등 (2011)과 Yoo와 Hong (2011)은 누적분포함수 \( F_ { d } (x) \)와 \( F_ { n } (x) \), 확률밀도함수 \( f_ { d } (x) \)와 \( f_ { n } (x) \) 에 대한 조건을 다섯 범주로 구분하였는데, 오즈 곡선에서 표현이 가능한 정확도 측도는 다섯 범주 중에서 두 번째에 속하는 Youden지수 \( \mathrm { (J) } \), 최대수직거리 \( \mathrm { (MVD) } \), 수정된(0, 1)까지 최단거리기준 \( \mathrm { (AC) } \), 민감도와 특이도의 합 \( \mathrm { (SSS) } \), 진실율 \(mathrm { (TR) } \)과 세 번째 범주에 속하는 대칭점 \( \mathrm { (SP) } \) 측도이다. 두 번째 범주에 속하는 다섯 종류의 정확도 측도 \( \mathrm { J, SSS, AC, TR, MVD } \)의 조건은 모두 동일하게 확률밀도함수들로 표현되므로 진실율 \( \mathrm { (TR) } \)을 대표 정확도 측도라고 설정한다. 다섯 범주 중에서 오즈 곡선으로 설명이 가능한 두 번째와 세 번째 범주에 속하는 정확도 측도들에 대하여 살펴본다.</p> <p>Lemma 1. 오즈 곡선의 임의의 점 \( A= \left (F_ { n } (u) / F_ { d } (u), \left (1-F_ { d } (u) \right ) / \left (1-F_ { n } (u) \right ) \right ) \)의 기울기는 다음과 같다.</p> <p>\[ \frac {\left [f_ { n } (u)-f_ { d } (u) + f_ { d } (u) F_ { n } (u)-f_ { n } (u) F_ { d } (u) \right ] F_ { d } ^ { 2 } (u) } {\left [f_ { n } (u) F_ { d } (u)-f_ { d } (u) F_ { n } (u) \right ] \left (1-F_ { n } (u) \right ) ^ { 2 } } . \]<caption>(2.1)</caption></p> <p>부도와 정상 상태의 표본수는 각각 \( p=57,335, q=6,929(p>q) \) 인 경우에, \( \mathrm { TR, SP, MR } \)에 대응하는 측도들은 Table 9에 나타내었다. \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 통계량은 정밀도, 특이도이며 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 또한, \( \mathrm { MR } \) 측도와 \( \mathrm { TR } \) 측도에서 정확도 통계량의 값의 차이가 매우 작다. 이 현상은 3절의 부도 상태 분포의 분산이 정상 상태 분포의 분산보다 작은 경우 3에서 표본수가 \( p>q \)인 경우인 Table 6의 결과와 비교하면, 실증예제와 동일하게 해석할 수 있다. 따라서 3절에서 언급했던 부도 상태의 분포의 분산과 정상 상태의 분포의 분산크기로 나눈 세 가지 경우와 표본수에 따라 나눈 두 가지 경우가 실증예제에서도 마찬가지로 잘 적용됨을 확인할 수 있다.</p> <p>\( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점에서 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \), 정확도 통계량이 가장 큰 값을 가지며, 정밀도, 특이도 통계량이 가장 작은 값을 갖는다. 따라서, \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 최적분류점보다 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)와 정확도 측면에서 우수한 분류 성과를 나타낸다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>본 연구에서는 정확도 측도 중에서 진실율 \( \mathrm { (TR: J, SSS, AC, MVD } \) 측도 포함)과 대칭점 \( \mathrm { (SP) } \) 측도를 만족하는 분류점들은 오즈 곡선으로부터 설명할 수 있음을 발견하였다. 그리고 오즈 곡선으로부터 구할 수 있는 최대사각형 \( \mathrm { (MR) } \)이라는 정확도 측도를 제안하였다.</p> <p>우선, 질병과 건강 상태의 분포의 분산이 동일한 경우에는 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)의 최적분류점은 모두 동일하며 두 모평균의 가운데 위치한다. 표본수에 상관없이 정확도, 민감도, 특이도는 동일하며, 질병 상태의 표본수가 커지면 경보도와 정밀도는 커지고, \( \mathrm { NPV } \)는 작아진다. 또한, 질병 상태의 표본수가 작은 \( p<q \)인 경우에는 \( \mathrm { NPV } \)값이 크며, 경보도와 정밀도는 작아진다.</p> <p>건강 상태의 분산이 질병 상태의 분산보다 작은 경우에는 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 최적분류점이 가장 크며, \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 작으며 \( \mathrm { SMD } \)가 커질수록 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점은 TR을 만족하는 최적분류점에 수렴한다 \( \left (X_ {\mathrm { MR } } \approx X_ {\mathrm { TR } }<X_ {\mathrm { SP } } \right ) \). 질병 상태의 표본수가 작은 경우 \( (p<q) \)에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정확도, 정밀도, 특이도를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 측도는 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)으로 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 다음에는 질병 상태의 표본수가 큰 경우 \( (p>q) \)일 때는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정밀도, 특이도를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 측도는 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)이며 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 그리고 \( p<q \)와 \( p>q \)인 상태에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 정확도를 제외하면 동일하다. 즉 정밀도와 특이도에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값을 가지며, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다. 그리고 정확도 통계량에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도와 \( \mathrm { TR } \) 측도의 통계량의 값 차이가 매우 적다는 것을 파악할 수 있다. 따라서 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 큰 경우에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 유사하다는 것을 탐색하였다.</p> <p>Theorem 2. 기울기가 1이고 원점을 지나는 직선과 오즈 곡선의 교차점으로부터 정확도 측도 중의 하나인 대칭점 \( \mathrm { (SP) } \)을 만족하는 최적분류점을 얻는다.</p> <p>Proof: 기울기가 1이고 원점을 지나는 직선과 오즈 곡선의 교차점은 Figure 1에서 점 \( \mathrm { D } \)이며 다음을 만족한다.</p> <p>\[ \frac { F_ { n } (u) } { F_ { d } (u) } = \frac { 1-F_ { d } (u) } { 1-F_ { n } (u) } . \]</p> <p>이 식으로부터 \( F_ { n } (u) \left (1-F_ { n } (u) \right )=F_ { d } (u) \left (1-F_ { d } (u) \right ) \)의 관계를 유도할 수 있으며, \( \mathrm { ROC } \) 함수의 일반적인 조건 \( F_ { d } (u) \geq F_ { n } (u) \) 에서는 \( F_ { n } (u)=1-F_ { d } (u) \)을 만족한다. 따라서 이 조건으로부터는 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 최적분류점이다.</p> <p>그러므로 정확도 측도 중에서 진실율 \( \mathrm { (TR: J, SSS, AC, MVD } \) 측도 포함)과 대칭점 \( \mathrm { (SP) } \) 측도를 만족하는 최적분류점들은 오즈 곡선으로부터 설명할 수 있다.</p> <h2>2.2. 오즈 곡선과 대안적인 최적분류점</h2> <p>오즈 곡선으로부터 설정할 수 있는 대안적인 정확도 측도인 최대사각형(maximum rectangle, MR)을 다음과 같이 제안한다.</p> <p>Definition 1. Figure 2에서 오즈 곡선의 한 점 \( E= \left (F_ { n } (u) / F_ { d } (u), \left (1-F_ { d } (u) \right ) / \left (1-F_ { n } (u) \right ) \right ) \)과 점 (1, 1)로 형성되는 사각형 면적을 최대로 하는 측도를 최대사각형 \( \mathrm { (MR) } \)이라 하며, 이 점에 대응하는 \( u \)를 최적분류점으로 정의한다.</p> <p>\[ \begin {aligned} M R &= \max \left \{\left (1- \frac { F_ { n } (u) } { F_ { d } (u) } \right ) \times \left (1- \frac { 1-F_ { d } (u) } { 1-F_ { n } (u) } \right ) \right \} , \\ &= \max \left \{\frac {\left (F_ { d } (u)-F_ { n } (u) \right ) ^ { 2 } } { F_ { d } (u) \left (1-F_ { n } (u) \right ) } \right \} . \end {aligned} \]<caption>(2.3)</caption></p> <p>Proof: 오즈 곡선의 점 \( A \)를 지나는 접선의 기울기는,<p>\[ \Delta \frac { 1-F_ { d } (u) } { 1-F_ { n } (u) } / \Delta \frac { F_ { n } (u) } { F_ { d } (u) } = \frac {\left [-f_ { d } (u) \left (1-F_ { n } (u) \right ) + f_ { n } (u) \left (1-F_ { d } (u) \right ) \right ] F_ { d } ^ { 2 } (u) } {\left [f_ { n } (u) F_ { d } (u)-f_ { d } (u) F_ { n } (u) \right ] \left (1-F_ { n } (u) \right ) ^ { 2 } } \]</p>이며, 이를 정리하면 식 (2.1)과 같다.</p> <p>Lemma 2. 오즈 곡선의 임의의 점 \( A= \left (F_ { n } (u) / F_ { d } (u), \left (1-F_ { d } (u) \right ) / \left (1-F_ { n } (u) \right ) \right ) \)에서 사각형의 윗변과 오른쪽 변까지의 점을 각각 \( B= \left (F_ { n } (u) / F_ { d } (u), 1 \right ) \) 와 \( C= \left (1, \left (1-F_ { d } (u) \right ) / \left (1-F_ { n } (u) \right ) \right ) \)로 설정하고, Figure 1에서의 세 개의 점 \( A, B, C \)로 구성된 직각 삼각형에서 각도 \( \theta \)에 대한 \( \tan ^ { 2 } \theta \)는 정분류율의 비율(오즈)의 제곱과 같다.</p> <p>\[ \tan ^ { 2 } \theta= \left [ \frac { T P R } { T N R } \right ] ^ { 2 } . \]<caption>(2.2)</caption></p> <p>Proof: Figure 1에서 직각 삼각형에서 각도 \( \theta \)에 대한 \( \tan ^ { 2 } \theta \)는 다음과 같다.</p> <p>\[ \tan ^ { 2 } \theta= \left [ \frac {\left (F_ { d } (u)-F_ { n } (u) \right ) / \left (1-F_ { n } (u) \right ) } {\left (F_ { d } (u)-F_ { n } (u) \right ) / F_ { d } (u) } \right ] ^ { 2 } = \left [ \frac { F_ { d } (u) } { 1-F_ { n } (u) } \right ] ^ { 2 } = \left [ \frac { T P R } { T N R } \right ] ^ { 2 } . \]</p> <p>\( \mathrm { TR } , \mathrm { SP } , \mathrm { MR } \)의 측도를 만족하는 최적분류점에 대응하는 제 1종 오류는 \( \mathrm { SP } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { TR } , \mathrm { MR } \)측도 순으로 작다. 제 2종 오류는 \( \mathrm { MR } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { TR, SP } \)측도 순으로 작다. 오류합은 \( \mathrm { TR } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { MR } , \mathrm { SP } \)측도 순으로 작다. 세 종류의 정확도 측도들의 오류와 합의 크기는 다음과 같은 관계를 갖는다.<p>\[ \alpha_ {\mathrm { SP } }< \alpha_ {\mathrm { TR } }< \alpha_ {\mathrm { MR } } , \quad \beta_ {\mathrm { MR } }< \beta_ {\mathrm { TR } }< \beta_ {\mathrm { SP } } , \quad( \alpha + \beta)_ {\mathrm { TR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { MR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { SP } } . \]</p>그러므로 경우 2에서 \( \mathrm { MR } \)측도는 제2종 오류의 관점에서 \( \mathrm { TR } , \mathrm { SP } \)측도들보다 좋으며 오류합 관점에서도 \( \mathrm { TR } \)보다는 높지만 매우 가깝기 때문에 \( \mathrm { TR } , \mathrm { SP } \) 측도만큼 좋은 측도라고 할 수 있다.</p> <p>경우 1에서와 동일하게 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 큰 경우 2에서도 판별 기준의 13 단계 중 아홉번째 단계인 \( \mathrm { SMD } =1.4142 \)일 때를 고려하면서 질병과 건강 상태의 표본수가 각각 \( p= 200, q=800(p<q) \)이고 \( p=800, q=200(p>q) \)일 때를 Table 4에 정리하였다. \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정확도, 정밀도, 특이도를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. 그리고 \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 측도는 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)로 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)에서 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다.</p> <p>경우 3에서 정확도 측도 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)을 만족하는 분류점과 이에 대응하는 오즈곡선의 좌표를 Table 5에 구하고, 이를 바탕으로 \( \mathrm { SMD } \)기준 여섯 단계부터 \( \mathrm { SP } \)가 가장 작으며, \( \mathrm { MR } \)이 가장 크고, \( \mathrm { SMD } \)가 커질수록 \( \mathrm { MR } \)은 \( \mathrm { TR } \)에 수렴하며 \( \left (X_ {\mathrm { SP } }<X_ {\mathrm { TR } } \approx X_ {\mathrm { MR } } \right ) \), 건강 상태의 분산이 작은 경우의 반대 현상으로 나타난다. Table 5를 통하여 각각의 최적분류점에 대응하는 제 1종 오류는 \( \mathrm { MR } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { TR } , \mathrm { SP } \)측도 순으로 작다. 제 2종 오류는 \( \mathrm { SP } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { TR, MR } \)측도 순으로 작다. 오류합은 \( \mathrm { TR } \)측도가 가장 작으며 \( \mathrm { MR } , \mathrm { SP } \)측도 순으로 작다. 세 종류의 정확도 측도들의 오류와 합의 크기는 다음과 같은 관계를 갖는다.<p>\[ \alpha_ {\mathrm { MR } }< \alpha_ {\mathrm { TR } }< \alpha_ {\mathrm { SP } } , \quad \beta_ {\mathrm { SP } }< \beta_ {\mathrm { TR } }< \beta_ {\mathrm { MR } } , \quad( \alpha + \beta)_ {\mathrm { TR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { MR } }<( \alpha + \beta)_ {\mathrm { SP } } . \]</p>그러므로 \( \mathrm { MR } \) 측도는 제1종 오류의 관점에서 \( \mathrm { TR, SP } \)측도들보다 좋으며 오류합 관점에서도 \( \mathrm { TR } \)보다는 높지만 매우 가깝기 때문에 \( \mathrm { TR, SP } \) 측도만큼 좋은 측도라고 할 수 있다.</p> <p>경우 1과 2에서와 동일하게 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 작은 경우 3에서도 판별 기준의 13단계 중 아홉번째 단계인 \( \mathrm { SMD } =1.4142 \)일 때를 고려하면서 질병과 건강 상태의 표본수가 각각 \( p=200, q=800(p<q) \) 인 경우에 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)에 대응하는 측도들을 살펴보면, \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP } , \mathrm { TR } , \mathrm { MR } \) 순으로 좋은 측도는 정확도, 정밀도, 특이도이며 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 작은 값을 갖는다.</p> <p>다음에는 질병과 건강 상태의 표본수가 각각 \( p=800, q=200(p>q) \)일 때는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 정밀도, 특이도를 갖고 있으며 다음으로 \( \mathrm { TR, SP } \) 순으로 좋은 측도이다. \( \mathrm { SP, TR, MR } \) 순으로 좋은 측도는 정확도, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)이며 \( \mathrm { MR } \)측도가 가장 작은 값을 갖는다.</p> <p>경우 2의 \( p<q \)와 \( p>q \)인 상태에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 정확도를 제외 하면 동일하다. 즉, 정밀도와 특이도에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도가 가장 큰 값을 가지며, 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)에서는 \( \mathrm { MR } \)측도가 가장 작은 값을 갖는다. 그리고 정확도 통계량에서는 \( \mathrm { MR } \) 측도와 \( \mathrm { TR } \) 측도의 통계량의 값 차이가 매우 적다는 것을 파악할 수 있다. 따라서 질병 상태 분포의 분산이 건강 상태 분포의 분산보다 큰 경우 2에서는 \( \mathrm { MR } \)측도가 가장 큰 값과 작은 값을 갖는 통계량이 유사하다는 것을 탐색하였다.</p> <p>경우 1에서 언급한 \( \mathrm { SP } \)의 특징으로, 표본수가 대칭으로 바뀔 때, \( \mathrm { NPV } \)와 정밀도가 서로 바뀌며, 경보도의 합은 1이 되도록 바뀌어 지고, 정확도, 민감도, 특이도는 동일한데 이 또한 경우 2에서도 같은 특징을 가짐을 알 수 있다.</p> <p>\( \sigma_ { d } ^ { 2 } >\sigma_ { n } ^ { 2 } \)인 경우에 최적분류점의 분류 성과를 측정하는 여섯 가지 통계량 중에서 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 최적분류점이 가장 큰 값을 갖는 통계량은 정밀도, 특이도와 정확도 \( (p<q \) 경우)이고, 가장 작은 값을 갖는 통계량은 민감도, 경보도, \( \mathrm { NPV } \)와 정확도 \( (p>q \) 경우 \( ) \)이다.</p> <h2>3.3. 경우 3: 건강 상태의 분산이 큰 경우 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } =1.5 ^ { 2 } \right ) \)</h2> <p>건강 상태의 분포의 분산이 큰 경우 \( 3 \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 }< \sigma_ { n } ^ { 2 } =1.5 ^ { 2 } \right ) \) 에서의 오즈 곡선들을 경우 1과 2의 \( \mathrm { SMD } \)와 일치하기 위하여 \( \mathrm { SMD } \)기준 여섯 단계부터인 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } \)을 1.5934부터 3.8243까지에 대응시켜 Figure 4(b)에 구현하였다. 경우 3에서 오즈 곡선들의 제일 오른쪽 곡선은 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } =1.5934 \)고 제일 왼쪽 곡선은 \( \mu_ { n } =3.8243 \)이다. 대각선과 오즈 곡선이 교차하는 점은 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 분류점이고, 오즈 곡선의 접선의 기울기가 정분류율 \( \mathrm { TPR/TNR } \)의 제곱의 음수와 일치하는 점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 분류점으로 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 분류점보다 오른쪽에 위치한다. 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도를 만족하는 분류점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 분류점보다 더 오른쪽에 위치하는 것을 탐색한다. 따라서 경우 3에서의 세 종류의 분류점은, 경우 2와 반대로, \( \mathrm { SP } \) 분류점이 제일 왼쪽에 그리고 \( \mathrm { MR } \) 분류점이 제일 오른쪽에 위치하며 가운데에 \( \mathrm { TR } \) 분류점이 위치한다. 경우 3에서는 경우 2와 유사하게 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } \)이 증가할수록 세 분류점이 가까이 모이고 특히 \( \mathrm { MR } \) 분류점이 \( \mathrm { TR } \) 분류점에 수렴하는 것을 파악할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \text { 정확도 } &= \frac {\mathrm { TP } + \mathrm { TN } } {\mathrm { TP } + \mathrm { TN } + \mathrm { FN } + \mathrm { FP } } , \\ \text { 민감도 } &= \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FN } } , \\ \text { 경보도 } &= \frac {\mathrm { TP } + \mathrm { FP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { TN } + \mathrm { FN } + \mathrm { FP } } , \\ \mathrm { NPV } &= \frac {\mathrm { TN } } {\mathrm { TN } + \mathrm { FN } } , \\ \text { 정밀도 } &= \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FP } } , \\ \text { 특이도 } &= \frac {\mathrm { TN } } {\mathrm { FP } + \mathrm { TN } } . \end {aligned} \]</p> <h2>3.1. 경우 1: 두 분포의 분산이 동일한 경우 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } = \sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \)</h2> <p>질병과 건강 상태의 분포의 분산이 동일한 경우 1에서의 \( \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } = \sigma_ { n } ^ { 2 } =1.0 \right ) \) 오즈 곡선들을 Joseph (2005)의 \( \mathrm { SMD } \)와 동일하게 설정하고 특히 판별 기준의 13단계 중에서 판별 가능한 여섯 단계부터 살펴보기 위하여 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } \)을 1.25부터 3.0까지에 대응시켜 Figure 3에 구현하였다.</p> <p>경우 1의 오즈 곡선들은 Hong 등 (2021)에서 상세히 설명하였는데 Figure 3에서의 오즈 곡선들의 제일 위의 곡선은 건강 상태의 분포의 평균 \( \mu_ { n } =1.25 \)이고 제일 아래 곡선은 \( \mu_ { n } =3.0 \)이다, Figure 3에서 원점과 점 (1, 1)을 지나는 대각선과 오즈 곡선이 교차하는 점은 \( \mathrm { SP } \)를 만족하는 분류점이다. 그리고 오즈 곡선의 접선의 기울기가 Lemma 2에서 정의한 정분류율 \( \mathrm { TPR/TNR } \)의 제곱의 음수와 일치하는 점은 \( \mathrm { TR } \)을 만족하는 분류점으로 \( \mathrm { SP } \)과 \( \mathrm { MR } \)을 만족하는 분류점과 일치하는 것을 탐색할 수 있다. 정확도 측도 \( \mathrm { TR, SP, MR } \)을 만족하는 분류점과 이에 대응하는 오즈곡선의 좌표를 Table 1에 구하였다. Table 1을 살펴보면, \( \mathrm { TR, SP, MR } \)의 최적분류점은 모두 동일하며 두 모평균의 가운데 위치한다 \( \left (X_ {\mathrm { TR } } =X_ {\mathrm { SP } } =X_ {\mathrm { MR } } \right ) \).</p> <p>Figure 1과 2의 오즈 곡선 형태가 다른 이유는 Hong 등 (2021)에서 설명하였듯이 오즈 곡선을 구성하는 수평과 수직축의 오즈는 두 분류분포의 분산에 민감하기 때문이며, 3절에서 다양한 오즈 곡선에 대하여 토론한다.</p> <p>대안적인 MR 측도는 Hong 등 (2011)과 Yoo와 Hong (2011)이 구분한 다섯 범주의 조건에는 포함되지 않지만, 오즈 곡선으로부터 쉽게 설정할 수 있는 최적분류점이 된다. 두 표본의 분포함수를 비교하는 비모수 검정법 중의 하나인 Anderson-Darling 검정 통계량은 다음과 같다 (Pettitt, 1976).</p> <p>\[ A ^ { 2 } = \frac { p q } { (p + q) } \int_ { - \infty } ^ {\infty } \frac {\left (F_ { d } (u)-F_ { n } (u) \right ) ^ { 2 } } { F(u)(1-F(u)) } d F(u), \]<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 \( F(u)= \left (p F_ { d } (u) + q F_ { n } (u) \right ) /(p + q) \)으로 전체 표본크기 \( p + q \)에 대한 누적분포함수이다. 그러나 MR 측도의 식 (2.3)은 식 (2.4)의 적분 안의 식과 유사하며 \( F(u) \)가 \( F_ { d } (u) \)와 \( F_ { n } (u) \)의 선형결합이 아니라 \( F_ { d } (u) \)와 \( F_ { n } (u) \)로 각각 대체한 식이라는 것을 파악할 수 있다. 따라서 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도는 오즈 곡선으로부터 설명할 수 있는 타당성 있는 측도로 생각할 수 있으며, 다른 정확도 측도들과의 성능은 3절에서 비교 한다.</p> <h1>3. 오즈 곡선으로부터 얻는 최적분류점들</h1> <p>이진 분류모형의 다양한 확률분포함수를 고려하여 두 종류의 정확도 측도인 \( \mathrm { TR } \)과 \( \mathrm { SP } \)와 본 연구에서 제안한 \( \mathrm { MR } \) 측도에 대응한 최적분류점들을 구하고 비교한다. \( \mathrm { ROC } \) 곡선에서의 판단 기준을 설정할 때에 Joseph (2005)은 \( F_ { d } (x) \)를 표준정규분포 \( N \left ( \mu_ { d } =0, \sigma_ { d } ^ { 2 } =1 \right ) \) 그리고 \( F_ { n } (x) \)를 평균과 분산이 각각 \( \mu_ { n } , \sigma_ { n } ^ { 2 } \)인 정규분포로 가정하고, 두 분포의 표준화된 평균 차이(standardized mean difference, SMD \(= \left ( \mu_ { n } - \mu_ { d } \right ) / \sqrt {\left . \left ( \sigma_ { d } ^ { 2 } + \sigma_ { n } ^ { 2 } \right ) \right ) } \)를 기반으로 하였다. 본 연구에서도 유사하게 설정하고, 두 분포의 분산이 동일한 경우와 건강 상태의 분산이 서로 다른 두 종류의 경우인 \( \sigma_ { n } ^ { 2 } =1,0.5 ^ { 2 } , 1.5 ^ { 2 } \)인 세 종류의 경우 각각에 대하여 0 보다 큰 값을 갖는 \( \mu_ { n } \)의 변화에 대응하는 다양한 오즈 곡선으로부터 분류점을 구한다. 분류점을 구하고 표본수가 \( p=200, q=800 \) 인 경우와 \( p=800, q=200 \)인 경우를 고려하여, 정확도(accuracy), 민감도(sensitivity, recall), 경보도(alarm rate), negative predictive value \( \mathrm { (NPV) } \), 정밀도(precision, positive predictive value), 특이도(specificity, 1-false alarm rate) 통계량 값을 비교하고자 한다. 위의 여섯 가지 통계량의 대한 정의는 다음과 같다 (Bradley, 1997; Hong 등, 2010).</p>	자연
강건 주성분분석에 대한 요약	<h2>2.2. 평활 다양체 알고리즘</h2> <p>평활 다양체(smooth manifold) \( \mathcal{M} \subset R^{p} \) 와 미분가능한 함수 \( f: \mathcal{M} \rightarrow R \)가 주어져 있을 때,</p> <p>\( \min _{x \in \mathcal{M}} f(x) \)<caption>(2.5)</caption></p> <p>를 찾기위한 기울기 하강 알고리즘(gradient descent algorithm)은 다음과 같은 3가지 단계로 이루어진다.</p> <p>- 단계 1. 유클리디언 기울기(Euclidean gradient) \( \nabla f(x) \)를 계산한다.</p> <p>- 단계 2. 리만 기울기(Riemannian gradient) \( P_{T_{x} \mathcal{M}} \nabla f(x) \)를 계산한다. 여기서, \( P_{T_{x} \mathcal{M}} \)는 접공간(tangent space) \( T_{x} \mathcal{M} \)에 대한 사영 연산자(projection operator)를 나타낸다.</p> <p>- 단계 3. 철회 작용소(retraction operator) \( R_{x}: T_{x} \mathcal{M} \rightarrow \mathcal{M} \)를 정의한다. 이는 접공간에서 다양체로 보내는 함수로서 \( x \) 는, \( x^{+}=R_{x}\left(-\eta P_{T_{x} \mathcal{M}} \nabla f(x)\right) \)<caption>(2.6)</caption>로 갱신(update)되는데 여기서 \( \eta \)는 학습율(learning rate)을 나타낸다.</p> <p>이제 이러한 기울기 하강 알고리즘을 낮은 차수 행렬에 적용하기 위해 \( \mathcal{M} \)을 차수 \( r \)인 모든 \( n \times p \) 행렬에 대한 다양체라 하자. 이제 차수 \( r \)인 행렬 \( Y \in \mathcal{M} \)가 주어졌을 때 접공간 \( P_{T_{y} \mathcal{M}} \)와 철회 작용소 \( R_{y} \)의 구체적 형태는 다음과 같음을 보일 수 있다 (Absil 등, 2009; Absil와 Oseledets, 2015). 먼저 정칙치분해(singular values decomposition)에 의하여 \( \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{T} \)로 표현할 수 있으며 이 때 접공간 \( T_{y} \mathcal{M} \)은,</p> <p>\( T_{y} \mathcal{M}=\left\{\boldsymbol{A} \boldsymbol{V} \boldsymbol{V}^{T}+\boldsymbol{U} \boldsymbol{U}^{T} \boldsymbol{B}, \boldsymbol{A} \in R^{n \times p}, \boldsymbol{B} \in R^{n \times p}\right\} \)</p> <p>으로 주어진다. Zhang과 Yang (2018)은 평활 다양체의 성질을 이용하여 낮은 차수 행렬 \( L \)을 구하는 알고리즘으로 \( f(\boldsymbol{L})=1 / 2\\|g(\boldsymbol{L}-Y)\\|_{F}^{2} \)를 최소화하는 것을 제안하였는데 여기서 \( g: R^{n \times p} \rightarrow R^{n \times p} \)는 강절단(hard thresholding)을 나타내는 함수이며, \( \\|A\\|_{F} \)는 행렬 \( A \)의 Frobenius 노름이다. Zhang과 Yang (2018)은 다양한 자료를 통해 기존의 다른 알고리즘보다 더 빠르고 정확도가 더 뛰어난 것이라고 주장하였으며 이 알고리즘은 R패키지 morpca를 통해 구현된다.</p> <h2>2.3. 예제</h2> <p>강건 주성분분석을 적용한 두 가지 예를 소개한다. 첫번째 예는 가상적 자료로 구성한 행렬로서 차수가 1인 \( 6 \times 4 \) 행렬에 이상치를 부여하여 오염된 행렬 \( Y \)를 만든 다음 강건 주성분분석을 적용하면 성공적으로 저차원 행렬과 이상치를 포함한 성긴 행렬의 합으로 표현됨을 알 수 있다. 이는 R 패키지 morpca을 사용하여 행렬 \( Y \)를 입력값으로 주면 \( L \)과 \( S \)가 출력된다. 기존의 주성분분석이 이상치에 민감한 사실을 확인하기 위해 오염된 행렬 \( Y \)의 정칙치는 150, 107, 80, 38 임에 비해 강건 주성분분석을 이용하여 이상치를 제거한 행렬 \( L \)의 정칙치는 52, 0, 0, 0 으로 매우 다름을 알 수 있다.</p> <p>두번째 예는 https://personal.ie.cuhk.edu.hk/ ccloy/downloads_mall_dataset.html 에서 가져온 동영상자료 \( (Y) \)로서 고정된 부분 \( (L) \)과 움직이는 사람 \( (S) \)을 분리해 내는 것으로 이 또한 강건 주성분분석이 매우 성공적으로 적용됨을 알 수 있다. 이러한 영상자료에 강건 주성분분석을 적용하지 않으면 기존의 주성분분석으로는 고정 된 부분과 움직이는 부분을 결코 분리해 낼 수 없다.</p> <h1>2. 강건 주성분분석</h1> <h2>2.1. 기호와 정의</h2> <p>우리가 관측하는 \( n \times p \) 자료 행렬 \( Y \)는 흔히 오차 또는 이상치로 인해 오염된 자료(corrupted observations)인 경우가 많다. 또한, 인공지능을 위한 기계학습에서 \( n \)과 \( p \)는 매우 큰 값을 가지는 경우가 많으며 흔히 수 천에서 수 억에 이를 수 있는데 영상자료, 마이크로어레이 자료 등이 이에 해당된다. 관측된 자료 \( Y \)로 부터 찾고자 하는 행렬은 우리가 원하는 시그널(signal) 을 나타내는 오염되지 않은 행렬로서 차수가 낮은(low rank) 행렬이라 가정하며 \( L \)로 나타낸다. 한편, 오차 및 이상치 등 오염(corruption)을 나타내는 행렬은 0 아닌 원소가 매우 작다(sparse)고 가정하고 이를 \( S \)라 하자. \( Y=L+S \)라 가정하며 강건 주성분분석은 관측된 \( Y \)로 부터 \( L \)과 \( S \)를 찾아내는 것이다. 그러나 낮은 차수 행렬의 집합은 비볼록(nonconvex) (Candès 등, 2011; Zhang과 Yang, 2018)이므로 해를 찾을 수 있는 계산가능한 알고리즘이 존재하지 않는다(NP- hard 문제). 이 문제를 극복하기 위하여 Candès 등 (2011)과 Chandrasekaran 등 (2011)은 볼록완화(convex relaxation)된 형태로 다음과 같은 목적 함수를 제시하였다.</p> <p>\( \underset{\boldsymbol{L}, \boldsymbol{S}}{\arg \min }\\|\boldsymbol{L}\\|_{}+\lambda\\|\boldsymbol{S}\\|_{1} \quad \) s.t. \( \quad \boldsymbol{Y}=\boldsymbol{L}+\boldsymbol{S} \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서, \( \\|A\\|_{} \) 는 행렬 \( A \)의 뉴클리어 노름(nuclear norm) 또는 Schatten 1-노름을 나타낸다. 즉, 행렬 \( A \)의 정칙치(singular values)들의 합이다. 한편, \( \\|A\\|_{1} \)는 행렬 \( A \)의 \( l_{1} \)-노름으로 행렬 \( A \)의 원소들의 절댓값을 모두 합한 것이며, \( \lambda \)는 조율모수(tuning parameter)를 나타낸다. 한편, 기존의 주성분분석은 주어진 행렬 \( Y \)에 대해,</p> <p>\( \underset{\boldsymbol{L}}{\arg \min }\\|\boldsymbol{Y}-\boldsymbol{L}\\|_{2} \quad \) s.t. \( \quad \operatorname{rank}(\boldsymbol{L}) \leq k \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>를 찾는 것이다. 단, 여기서 \( \\|A\\|_{2} \)는 행렬 \( A \)의 2-노름(2-norm)을 나타낸다. 즉, 행렬 \( A \)의 가장 큰 정칙치를 나타내고, \( k \)는 \( n \)에 비해 매우 작은 양수다.</p> <p>\( L \)을 정칙치분해(singular values decomposition)하면</p> <p>\( \boldsymbol{L}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{T}=\sum_{i=1}^{r} \sigma_{i} \boldsymbol{u}_{i} \boldsymbol{v}_{i}^{T} \),<caption>(2.3)</caption></p> <p>로 표현할 수 있는데 여기서 \( r \)은 \( \boldsymbol{L} \)의 차수, \( \sigma_{1}, \ldots, \sigma_{r} \)은 양의 정칙치, \( \boldsymbol{U}=\left(\boldsymbol{u}_{1}, \ldots, \boldsymbol{u}_{r}\right) \)와 \( \boldsymbol{V}=\left(v_{1}, \ldots, v_{r}\right) \)은 각각 좌정칙 벡터와 우정칙 벡터들로 이루어진 행렬들이다. 식(2.1)의 식별성(identifiability)을 가능하게 하기 위해 강건 주성분분석에서는 흔히 두 가지 가정이 필요하다 (Candès 등, 2011; Netrapalli 등, 2014; Yi 등, 2016; Zhang과 Yang, 2018).</p> <ul> <li>가정 1 : 주어진 \( 0<\gamma<1 \)에 대하여 \( S \)의 각 행은 기껏해야 \( \gamma n \)개의 0아닌 원소를 가지고, 각 열은 기껏해야 \( \gamma p \)개의 0아닌 원소를 가진다.</li> <li>가정 2 : L은 \( \mu \)-일치(coherent)해야 한다. 즉, 정칙치 분해에 의해 \( L=U \Sigma V^{T} \)로 표현할 경우, 다음과 같은 조건을 만족하는 불일치 모수(incoherence parameter) \( \mu \) 가 존재한다.</li></ul> <p>\( \\|\boldsymbol{U}\\|_{2, \infty} \leq \sqrt{\frac{\mu r}{n}}, \quad\\|\boldsymbol{V}\\|_{2, \infty} \leq \sqrt{\frac{\mu r}{p}} \),<caption>(2.4)</caption></p> <p>을 만족하는 불일치 모수(incoherence parameter) \( \mu \)가 존재한다. 단, 여기서 \( \\|\cdot\\|_{2, \infty}=\max _{\\|z\\|_{2}=1}\\|A z\\|_{\infty} \)이고, \( \\|x\\|_{\infty}=\max _{i}\left\|x_{i}\right\| \)이다. 하지만 이러한 볼록 완화는 매 반복시 \( O(n p \min (n, p)) \)만큼의 계산량을 요구하므로 만약 \( n \)과 \( p \)가 클 경우 거의 계산이 불가능해 진다. 이를 위해 그간 계산량을 줄일 수 있는 다양한 연구들이 진행되어 왔으며 그 중에서도 대표적인 몇 가지 연구 결과는 다음과 같다.</p> <p>Netrapalli 등 (2014)는 교차투사(alternating projection)법을 이용한 알고리즘으로 계산량을 \( O\left(r^{2} n p\right) \)로 조금 줄였으며, Yi 등 (2016)은 \( \boldsymbol{L} \)을 두 행렬의 곱으로 분해한 뒤 교차 기울기 하강 알고리즘(alternating gradient descent algorithm) 을 제안하였으며 계산량을 \( O(r n p) \)로 더욱 줄였다. Cai 등 (2019)은 교차투사법을 보다 효율적으로 계산할 수 있는 가속교차투사법(accelerated alternating projections)을 제안하기도 하였다. 한편, Zhang과 Yang (2018)은 이 \( L \)의 다양체(manifold)상에서 기울기 하강 알고리즘을 제안하였으며 계산량은 \( O(r n p) \)이지만 Yi 등 (2016)의 알고리즘보다 \( L \)의 조건수(condition number)를 나눈 만큼 줄었고 수렴속도 또한 더 빨라졌음을 보였다. 최근에는 Chen 등 (2021)이 강건 주성분분석의 최적화(optimization)에 대하여 이론적으로 뒷받침하는 연구가 시행되었다. 본 논문에서는 지금까지 제안된 여러 알고리즘 중에서 가장 효율적이라고 알려져 있는 Zhang과 Yang (2018)의 알고리즘을 자세히 소개한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>차원축소(dimension reduction)는 통계학이 지향하는 가장 큰 목표중의 하나이며, 차원 축소의 방법중에서 오래 전부터 가장 널리 사용되는 것은 바로 주성분분석(principal component analysis, PCA)이다. 주성분분석을 다룬 책은 매우 많이 있으며 그 중에서도 Jolliffe (2002)가 가장 자주 인용되는 책 중의 하나이다. 주성분분석은 여러 가지 장점에도 불구하고 이상치(outliers)에 매우 민감하여 이를 강건화(robustify)하기 위한 연구가 오랫동안 지속되었는데 강건화의 방법으로 영향력 함수의 이용, 다변량 다듬기(multivariate trimming), 교차 최소법(alternating minimization) 등을 들 수 있다. 하지만 이러한 방법들은 계산가능성의 관점에서 제대로 된 해결책을 제시하지 못하였는데 Candès 등 (2011)과 Chandrasekaran 등 (2011)은 거의 같은 시기에 서로 독립적인 연구에 의해 이 문제의 해결책을 제시하였으며 이후 이러한 연구 방법을 강건 주성분분석(robust PCA)라고 부르게 되었고 이 두 논문을 강건 주성분분석의 효시로 삼고 있다. 두 연구는 같은 주제에 대한 것이지만 접근법에 차이가 있으며 해를 구하는 알고리즘도 다르다. 이후 이 분야의 연구는 대부분 Candès 등 (2011)의 방법을 계승 발전시키는 방향으로 진행되고 있다.</p> <p>우리가 관측하는 자료는 흔히 반복 측정(표본)을 나타내는 행(row)과 변수를 나타내는 열(column)로 구성된 행렬 \( Y \)로 표현된다. 기존의 주성분분석은 관측한 행렬의 차수(변수의 갯수)를 줄여주는 방법인데 앞에서 언급한 것 처럼 이상치에 매우 민감하다 (Jolliffe, 2002). 강건 주성분분석은 관측한 자료 행렬을 차수가 낮은 행렬 \( L \)과 이상치로 구성된 성긴(sparse) 행렬 \( S \)의 합으로 표현해 주는 방법이다. 이러한 강건 주성분분석의 성질을 이용하여 여러 가지 인공지능에 이용되는데 대표적인 몇 가지 예는 다음과 같다. 먼저 비디오 감시(video surveillance)문제를 생각해 보자. 어느 주어진 공간에서 책상 등 고정되어 있는 부분(background)과 사람 등 움직이는 부분(foreground)을 분리하는 문제를 들 수 있는데 장시간 녹화한 이러한 비디오는 엄청난 갯수의 픽셀로 구성되며 고정되어 있는 부분은 차수 낮은 행렬 \( L \)로 간주하고 움직이는 사람은 성긴(sparse) 행렬 \( S \)로 간주할 수 있다. 또 다른 예로 안면인식(face recognition)을 들 수 있다. 사람의 얼굴은 그 형태가 비슷하여 낮은 차원의 공간으로도 잘 근사시킬 수 있다. 하지만 실제의 경우 본인의 코 등에 의한 그림자(self shadowing)나 주변 빛의 밝기 등에 의해 안면 인식이 힘든 경우가 많다. 얼굴 사진 \( Y \)에서 그림자 등의 이상치 \( S \)를 제거한 사진 \( L \)을 찾기 위해 강건 주성분분석을 사용한다. 그 외에도 설명력이 낮은 정보를 삭제하고 설명력이 높은 정보를 선택하는 목적의 잠재의미분석(latent semantic indexing), 영화, 게임, 도서 등에서 어떤 개인의 취향을 단편적으로 모아 이를 분석한 다음 이를 바탕으로 다른 제품을 소개하는 시스템 순위와 협력적 필터링(ranking and collaborative filtering) 등에도 강건 주성분분석이 유용하게 사용된다.</p> <p>본 논문에서는 강건 주성분분석을 소개하고 2011년 두 논문이 발표된 이후 지금까지 이 분야의 연구 동향을 소개하고자 한다. 2절에서 강건 주성분 분석을 정의한 다음 강건 주성분분석을 위해 지금까지 제안된 알고리즘들을 간략히 소개하고, 그 중에서도 Zhang과 Yang (2018)이 제안한 다양체(manifold)를 이용한 알고리즘을 자세히 소개한다. 이 알고리즘은 지금까지 제안된 것중에서 가장 효율적인 알고리즘으로 알려져 있다. 또한, 가상적 자료에 의한 간단한 예를 소개하고, 실제 자료에 근거한 강건 주성분분석의 활용을 소개한다. 3절에서 결론 및 현재 논의되는 중요한 문제들을 제시한다.</p>	자연
불균형자료를 위한 판별분석에서 HDBSCAN의 활용	<h1>4. 연구 결과</h1> <p>본 장에서는 연구에 사용될 자료들에 대해서 소개하고 이 자료들에 4가지 전처리 방법을 적용하여 원본 자료(Original), SMOTE를 적용한 자료(Smote), HDBSCAN을 이용해 노이즈를 제거한 자료(Hdbscan)와 HDB-SCAN을 이용해 노이즈를 제거하고 SMOTE를 적용한 자료(Hdbsm)에 대해서 랜덤 포레스트(RF)와 의사결정 나무(DT) 그리고 로지스틱 회귀(LR) 분류기를 적용하여 성능을 비교하였다.</p> <h2>4.1. 자료</h2> <p>첫 번째 자료는 미국 버지니아 주에 거주하는 아프리카계 미국인들의 비만, 당뇨병 및 기타 심혈관 위험 요인을 알기 위해 얻어진 당뇨병에 대한 자료이다. 총 개체 수는 403개이고 변수는 19개로 이루어진 자료이다. RF를 이용하여 변수 중요도를 기준으로 유의미하다고 판단되는 7개의 변수를 추출하였고 Table 3에 정리되어 있다.</p> <p>반응 변수가 되는 'glyhb' 의 값이 7이 넘으면 양성, 넘지 않으면 음성으로 판단한다. 'glyhb' 변수에 결측치가 있는 개체 21개를 제거한 382개의 개체를 이용하였다. 'negative'인 개체는 322개, 'positive(diabetes)'인 개체는 60개로 이루어진 이진 분류 자료이다.</p> <p>두 번째부터 다섯 번째 자료들은 knowledge extraction evolutionary learning (KEEL)에서 제공하는 불균형자료이다. 4가지 자료 모두 범주형 변수는 'class'이며 'negative', 'positive'로 이루어진 2진 분류 자료이다. Table 4는 자료의 특성에 대해 정리한 표이다.</p> <h2>4.2. 결과 및 해석</h2> <p>본 연구에서는 훈련 자료와 시험 자료의 비율을 7:3으로 설정하여 실험을 진행하였다. 4가지의 전처리 방법과 3가지의 분류기를 조합하여 총 12개의 결과를 비교하였다.</p> <p>Table 5와 Figure 2는 Diabetes 자료에 대해 3가지의 분류기와 4가지의 전처리 방법에 대한 AUC와 F1 점수를 비교해 놓은 표와 그림이다. Figure 2의 (a)는 전처리 방법과 분류기에 따른 AUC를 비교하는 그림이고 (b)는 F1 점수를 비교하는 그림이다. Figure 2의 (a)를 보면 RF 분류기에서는 Original에 비해 Smote의 AUC는 떨어지고 Hdbscan에서는 AUC가 조금 올랐다. 이는 오버샘플링만 진행했을 때는 성능이 안 좋아졌지만 군집별로 노이즈를 제거 했을 때는 성능이 좋아졌다. Hdbsm의 경우 Hdbscan과 비교했을 때 미미하게 성능이 향상했다. 노이즈를 제거하고 오버샘플링을 적용한 것이 노이즈만 제거한 것보다 더 좋은 성능을 보이고 있다. DT 분류기도 RF 분류기와 비슷한 양상을 보였으나 LR 분류기에서는 Original에 비해 오히려 AUC값이 떨어지는 것을 발견할 수 있다.</p> <p>Figure 2의 (b)를 보면 RF 분류기와 DT 분류기에서 4가지 전처리 방법 중 Hdbsm에서 가장 높은 F1 점수를 볼 수 있었다. RF 분류기의 경우 Original은 Smote와 F1 점수는 차이가 거의 없었고 Hdbscan의 경우에는 F1 점수가 Original에 비해 0.089만큼 높아진 것을 볼 수 있었다. 특히 Hdbsm에서 눈에 띄게 F1 점수가 높아진 것을 볼 수 있었다. Hdbsm은 Original에 비해 F1 점수가 0.154만큼 높아진 것을 확인 할 수 있었다. 이는 자료를 그냥 사용하는 것 보다 HDBSACN 알고리즘을 적용하여 노이즈를 제거한 자료를 사용하는 것이 성능 향상에 도움이 된다는 것을 보여주는데 이 방법보다 노이즈를 제거한 자료에 SMOTE 알고리즘을 적용한 방법이 더 종은 성능을 보이는 것을 확인하였다. Hdbsm은 AUC보다 F1점수에서 눈에 띄게 성능이 향상하는 것을 확인할 수 있는데 이는 다른 전처리 방법보다 Hdbsm이 소수 범주의 자료를 더 잘 예측한다는 것으로 볼 수 있다.</p> <p>군집분석은 유사성이 높은 개체를 하나의 군집으로 묶는 통계적 분석 방법이며 크게 계층적 군집분석과 비계층적 군집분석으로 나뉜다 (Choi, 2018). 계층적 군집분석은 개체들을 순차적으로 병합(agglomeration) 또는 분할(division)하는 과정을 통해 진행된다. 계층적 군집분석에는 단일연결법, 완전연결법, 평균연결법, 중심연결법과 중위수연결법 등이 있다. 본 연구에서 활용할 단일연결법은 다른 군집에 속한 가장 가까운 두 점 사이의 유클리드 거리를 군집 간의 거리로 측정하는 방법이다. 하지만 단일연결법은 노이즈에 민감한 단점이 있다. 이러한 단점을 해결하기 위한 방법으로 로버스트 단일연결법(robust single linkage)이 있다. 로버스트 단일연결법은 노이즈에 영향을 덜 받기 위해서 유클리드 거리 대신에 새로운 거리지표 mutual reachability(mr) 를 정의한다.</p> <p>\( d_ { m r } \left ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { s } \right )= \max \left [ \text { core } _ { g } \left ( \mathbf { x } _ { r } \right ), \text { core } _ { g } \left ( \mathbf { x } _ { s } \right ), d \left ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { s } \right ) \right ] . \)<caption>(2.6)</caption></p> <p>식 (2.6)에서 \( \mathbf { x } _ { r } \)과 \( \mathbf { x } _ { s } \)는 자료행렬 \( X \)의 r번째, s번째 개체를 의미하며, \( \text { core } _ { g } \left ( \mathbf { x } _ { r } \right ) \)는 \( \mathbf { x } _ { r } \)과 \( \mathbf { x } _ { r } \)의 최근접 이웃 g개 간의 유클리드 거리 중 최댓값, \( d \left ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { s } \right ) \)는 \( \mathbf { x } _ { r } \)과 \( \mathbf { x } _ { s } \)의 유클리드 거리를 의미한다. mr은 \( \text { core } _ { g } \left ( \mathbf { x } _ { r } \right ) \), \( \text { core } _ { g } \left ( \mathbf { x } _ { s } \right ) \), \( d \left ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { s } \right ) \) 중 최댓값을 사용한다. 밀도가 높은 지점의 자료는 \( \text { core } _ { g } () \)의 값이 작기 때문에 \( d \left ( \mathbf { x } _ { r } , \mathbf { x } _ { s } \right ) \)값을 사용하고, 밀도가 낮은 지점의 자료에서 우연히 두 개체의 거리가 가깝더라도 \( \text { core } _ { g } () \)와 비교하여 거리를 좀 더 로버스트하게 만들어준다.</p> <h2>3.1. 전처리 자료</h2> <p>HDBSCAN 알고리즘은 군집별로 밀도가 다르더라도 각 군집의 노이즈를 찾아낼 수 있다. 이를 이용하여 소수 범주의 자료와 다수 범주의 자료의 노이즈를 찾아 제거하고 SMOTE 기법을 적용하여 소수 범주의 자료를 생성하였다. 성능 비교를 위해 4가지 전처리 방법을 적용한 자료를 (1)~(4)라고 정의한다.<ol type=1 start=1><li>원본 자료(Original)</li> <li>SMOTE를 적용한 자료(Smote)</li> <li>HDBSCAN을 이용해 노이즈를 제거한 자료(Hdbscan)</li> <li>HDBSCAN을 이용해 노이즈를 제거한 후에 SMOTE를 적용한 자료(Hdbsm)</li></ol></p> <h2>3.2. 평가지표</h2> <p>대부분의 불균형자료의 경우 소수 범주에 속하는 자료를 소수 범주로 판단하는 것이 중요하다. 그렇기 때문에 본 연구에서는 평가지표로 정확도(accuracy)를 사용하는 것 보다 F1 점수를 평가지표로 사용하였다. Table 2는 모델의 성능을 평가할 때 사용되는 지표인 혼동행렬을 나타낸 것이다. TP는 예측을 Positive로 하고 실제로도 Positive인 경우를 의미하고, FP는 예측을 Positive로 했지만 실제로는 Negative인 경우를 의미한다. TN은 예측을 Negative로 하고 실제로도 Negative인 경우이고 FN은 예측을 Negative로 했지만 실제로는 Positive인 경우를 의미한다.</p> <p>식 (3.1)은 정밀도를 의미하며 예측을 Positive라고 분류한 것 중에서 실제 Positive인 것의 비율이다. 식 (3.2)는 재현율을 의미하고 실제 Positive인 것 중에서 예측을 Positive라고 한 것의 비율이다. 정밀도와 재현율 모두 높으면 좋겠지만 이 둘 사이에는 서로 트레이드-오프(trade-off) 관계가 존재하고 있다. 식 (3.3)은 F1 점수를 의미하며 정밀도와 재현율의 조화평균으로 두 가지 모두 고려할 수 있다. F1 점수는 불균형자료의 경우 모델의 성능을 파악하기 위해서 AUC와 함께 정확도 대신 많이 사용되어지고 있다.</p> <p>\( \text { Precision } = \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FP } } \),<caption>(3.1)</caption></p> <p>\( \text { Recall } = \frac {\mathrm { TP } } {\mathrm { TP } + \mathrm { FN } } \),<caption>(3.2)</caption></p> <p>\( \mathrm { F } 1= \frac { 2 } {\frac { 1 } {\text { Precision } } + \frac { 1 } {\text { Recall } } } = \frac { 2 \times \text { Precision } \times \text { Recall } } {\text { Precision + Recall } } \).<caption>(3.3)</caption></p> <p>Figure 1은 receiver operating characteristic curve (ROC Curve)에서의 AUC를 나타내는 그림이다. \( x \)축의 1-Specificity는 Table 2를 참고하면 \( \mathrm { FP } /( \mathrm { FP } + \mathrm { TN } ) \)을 의미하며 실제 Negative인 것을 Positive로 예측한 정도를 나타낸다. \( y \)축의 Sensitivity는 Recall과 동일한 의미이다. AUC는 ROC 그래프의 아래 면적을 나타내는 값이며 최대가 1 최소가 0.5로 값이 클수록 좋은 모형을 의미한다.</p> <p>하지만 LR 분류기의 경우 Original에서 AUC가 가장 높았고 Smote에서 F1 점수가 가장 높았다. 이 결과에서 분류기에 따라 성능 차이가 나는 단점을 발견할 수 있었다. 하지만 전체 결과 중 Hdbsm에 RF 분류기를 사용했을 때의 F1 점수가 가장 높았으므로 Diabetes 자료에서는 Hdbsm이 가장 우수한 성능을 보였다고 할 수 있다.</p> <p>Table 6과 Figure 3은 Wisconsin 자료에 대해 3가지의 분류기와 4가지의 전처리 방법에 대한 AUC와 F1 점수를 비교해 놓은 표와 그림이다. Wisconsin 자료는 앞의 4가지 자료와 다르게 모든 결과가 Hdbsm 전처리 방법을 사용했을 때 성능이 떨어지는 것을 확인 할 수 있다. 이 자료는 다른 자료들과는 다르게 아무런 전처리 방법을 적용하지 않았을 때 AUC와 F1 점수가 상대적으로 높은 편이다. 즉 상대적으로 분류하기 쉬운 자료라고 말할 수 있다. 전체 결과 중 Hdbsan에 RF 분류기를 사용했을 때 AUC가 가장 높고 Original에 RF 분류기를 사용했을 때 F1 점수가 가장 높으므로 Wisconsin 자료에서는 Hdbsm은 저조한 성능을 보였다.</p> <h1>5. 결론</h1> <p>불균형자료의 판별분석에서 다수 범주의 개체를 잘 분류하는 것 보다 소수 범주의 개체를 잘 분류하는 것이 더 중요하다. 기존의 많은 연구들은 소수 범주의 개체를 늘리는 오버샘플링 기법과 다수 범주의 개체를 줄이는 언더샘플링 기법을 많이 이용하고 있다. 하지만 소수 범주의 자료에 노이즈가 존재한다면 오버샘플링 기법으로 새로 만들어진 소수 범주의 개체가 노이즈에 영향을 받아 오히려 성능이 떨어지는 일이 빈번하다.</p> <p>본 연구에서는 이를 해결하기 위한 전처리 방법으로 HDBSCAN을 활용하였다. HDBSCAN은 밀도가 다른 군집들도 잘 분류하는 특징이 있어 소수 범주의 노이즈와 다수 범주의 노이즈 모두 찾아낼 수 있는 장점이 있다. HDBSCAN을 이용하여 노이즈를 제거하고 오버샘플링 기법중 하나인 SMOTE를 적용하는 전처리 방법을 제시했다. 그 결과 총 5개의 불균형자료 중 4개의 자료에서 HDBSCAN과 SMOTE를 결합한 전처리 방법을 이용했을 때 가장 뛰어난 성능을 보였다. 특히 F1 점수에서 눈에 뛰는 성능 향상을 보였다.</p> <p>본 연구의 한계점은 다음과 같다. 첫째, 모든 분류기에서 HDBSCAN과 SMOTE를 결합한 전처리 방법이 가장 좋은 성능을 보이지 않는다. 본 연구에서는 3가지의 분류기만을 사용하였는데 다른 분류기들을 사용했을 때 본 연구에서 제시한 방법보다 다른 방법이 더 높은 성능을 보일 수도 있다. 둘째, 상대적으로 분류가 쉬운 자료에 적용하면 성능이 떨어지는 경우가 있다. 노이즈로 예상되는 개체가 매우 적고 아무런 전처리 없이도 상대적으로 높은 성능을 보이는 자료에서는 성능이 떨어지는 경우가 많다. 이러한 점들이 본 연구의 한계점으로 판단된다.</p> <h1>2. 선행연구</h1> <h2>2.1. 불균형자료</h2> <p>불균형자료 문제 해결을 위한 방법으로는 훈련자료에서 손실을 계산할 때 가중치를 조절하여 특정 군집에 더 큰 손실 값을 갖도록 하는 가중치 조정 방법과 자료의 일부를 제거하거나 가상의 값을 새로 만드는 재표집 방법이 있다. 재표집 방법에는 소수 범주의 자료를 추가 생성하여 다수 범주의 자료와 균형을 맞추는 오버샘플링 기법, 다수 범주의 자료를 제거하여 소수 범주의 자료와 균형을 맞추는 언더샘플링 기법과 위 두 가지 방법을 모두 사용하는 하이브리드샘플링 방법이 있다. 본 연구에서는 불균형자료 문제 해결을 위해 재표집 방법을 이용하였다. 군집 \( C_ { k } \)의 자료행렬 \( X_ { k } \)를 개체에 관한 행 표현과 변수에 관한 열 표현으로 나타내면 \( k = 1, \ldots, g ; i=1, \ldots, n_ { k } ; j=1, \ldots, p \)에 대해 식 (2.1)과 같다.</p> <p>\( X_ { k } = \left (x_ { k i j } \right )= \left [ \begin {array} { c } \mathbf { x } _ { k 1 } ^ { T } \\ \vdots \\ \mathbf { x } _ { k i } ^ { T } \\ \vdots \\ \mathbf { x } _ { k n_ { k } } ^ { T } \end {array} \right ]= \left [ \mathbf { x } _ { (k 1) } , \ldots, \mathbf { x } _ { (k j) } , \ldots, \mathbf { x } _ { (k p) } \right ] . \)<caption>(2.1)<caption></p> <p>식 (2.1)에서 \( x_ { k i j } \)는 군집 \( C_ { k } \)에 속하는 자료행렬 \( X_ { k } \)의 i번째 개체에서 j번째 변수의 관측 값을 나타낸다. 개체인 각 행은 통계적으로 서로 독립이며 변수인 각 열은 서로 연관이 되어 있다. 행벡터 \( \mathbf { x } _ { k i } \)는 군집 \( C_ { k } \)에 속하는 \( X_ { k } \)의 i번째 개체에 대한 p개 변수의 관측치를 나타내며, 열벡터 \( \mathbf { x } _ { (k j) } \)는 군집 \( C_ { k } \)에 속하는 \( X_ { k } \)의 j번째 변수에 대한 \( n_ { k } \)개의 개체들의 관측치를 나타낸다. g개의 모든 군집의 각각의 자료행렬 \( X_ { 1 } , \ldots, X_ { g } \)의 결합(joint) 자료행렬을 \( X \)라 하면 \( i=1, \ldots, n ; j=1, \ldots, p \)에 대해 식 (2.2)와 같이 나타낼 수 있다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>현대사회에서는 정상 제품과 불량 제품을 분류하는 문제나 종양이 악성인지 아닌지 분류하는 문제와 같이 여러 가지 분류 문제들이 존재한다. 분류 문제에서 사용되어지는 자료들은 균형이 맞는 자료도 있지만 균형이 맞지 않는, 즉 군집 간의 비율의 차이가 큰 자료들을 자주 볼 수 있다. 예를 들면 사람들의 당뇨병 여부 문제에서 당뇨병 검사 결과가 음성인 사람은 많고, 양성인 사람은 적어 대표적인 불균형자료라고 할 수 있다. 다른 예로는 스팸메일 여부, 물품의 불량 판별 여부, 온라인 거래가 사기인지 아닌지 판별 여부 등이 있다. 불균형 자료는 모델의 성능을 저하하는 요인으로 알려져 있는데 불균형자료를 분석하는 많은 경우에 작은 군집이 큰 군집으로 오분류 되는 특징을 보인다. 이는 의사결정 나무(decision tress, DT)와 로지스틱 회귀(logistic regression, LR) 같은 분석 방법에서 작은 군집의 특징을 노이즈(noise)로 간주해 종종 무시되기 때문이다.</p> <p>일반적으로 불균형 자료의 경우 큰 군집을 작은 군집으로 오분류 하는 것 보다, 그 반대 경우가 더 큰 손실(loss)을 불러일으키는 경우가 많다. 예를 들면, 병이 없는 사람을 병이 있다고 진단하는 것 보다 병이 있는 사람을 병이 없다고 진단하는 것이 일반적으로 더 큰 문제를 발생시킨다. 기존 연구들은 이러한 문제를 해결하기 위한 방법으로 군집의 균형을 맞추는 기법인 오버샘플링(oversampling), 언더샘플링(undersampling)과 이 둘을 결합한 하이브리드샘플링(hybridsampling) 기법을 이용하여 성능을 높이려는 시도가 활발하게 진행되고 있다. 이런 샘플링 기법을 사용한 방법론 중에서 Ijaz 등 (2018)은 밀도 기반 군집분석(density based spatial clustering of application with noise, DBSCAN)과 Chawla 등 (2002)이 제안한 synthetic minority oversampling technique (SMOTE)를 결합한 방법을 제안하였다.</p> <p>본 연구에서는 군집의 크기가 다른 경우에 효과적으로 군집을 형성해 주는 DBSCAN을 개선한 알고리즘인 계층적 밀도 기반 군집분석(hierarchical DBSCAN, HDBSCAN)을 통해 군집별로 노이즈를 탐색하고 제거한 후, 오버샘플링 기법을 적용했을 때 분류 모델 성능에 영향을 미치는지 실험해 보고자 한다. 작은 군집의 자료를 제거함으로써 중요한 정보를 잃을 수 있지만, 작은 군집의 노이즈를 제거한 후 오버샘플링을 진행한다면 양질의 새로운 자료를 얻을 수 있는 장점이 있다. 판별 분석을 위해 실험에 사용된 모델은 많은 곳에서 사용되고 있는 로지스틱 회귀, 의사결정 나무와 랜덤 포레스트(random forest, RF)를 사용하였다. 분석에 사용한 자료는 미국 버지니아 주에 거주하는 아프리카계 미국인들의 비만, 당뇨병 및 기타 심혈관 위험 요인을 알기 위해 얻어진 당뇨병에 대한 자료와 knowledge extraction evolutionary learning (KEEL)에서 제공하는 불균형자료 4개를 이용하였다. 실험에 사용한 자료는 모두 이진 분류 문제이며 평가지표로는 area under the roc curve (AUC)와 F1 점수를 사용하였다. 본 연구에서는 군집의 크기가 다른 경우에 효과적으로 군집을 형성해 주는 DBSCAN을 개선한 알고리즘인 계층적 밀도 기반 군집분석(hierarchical DBSCAN, HDBSCAN)을 통해 군집별로 노이즈를 탐색하고 제거한 후, 오버샘플링 기법을 적용했을 때 분류 모델 성능에 영향을 미치는지 실험해 보고자 한다. 작은 군집의 자료를 제거함으로써 중요한 정보를 읺을 수 있지만, 작은 군집의 노이즈를 제거한 후 오버샘플링을 진행한다면 양질의 새로운 자료를 얻을 수 있는 장점이 있다. 판별 분석을 위해 실험에 사용된 모델은 많은 곳에서 사용되고 있는 로지스틱 회귀, 의사결정 나무와 랜덤 포레스트(random forest, RF)를 사용하였다. 분석에 사용한 자료는 미국 버지니아 주에 거주하는 아프리카계 미국인들의 비만, 당뇨병 및 기타 심혈관 위험 요인을 알기 위해 얻어진 당뇨병에 대한 자료와 knowledge extraction evolutionary learning (KEEL)에서 제공하는 불균형자료 4개를 이용하였다. 실험에 사용한 자료는 모두 이진 분류 문제이며 평가지표로는 area under the roc curve (AUC)와 F1 점수를 사용하였다.</p> <p>여기서 \( X_ { + } \)는 \( n_ { + } \)개의 개체와 p개의 변수, \( X_ { - } \)는 \( n_ { - } \)개의 개체와 p개의 변수로 이루어진 다수범주와 소수범주 자료행렬이고 \( n_ { + } \gg n_ { - } \)을 만족하며 이는 \( n_ { + } \)가 \( n_ { - } \)에 비해 상대적으로 크기가 매우 큼을 의미한다.</p> <h2>2.2. 오버샘플링</h2> <p>오버샘플링 기법은 자료행럴 \( X_ { - } \)에서 개체를 추출하여 새로운 자료를 만들고 이를 기존 자료에 더하는 과정으로 이뤄진다. 오버샘플링 기법 중 랜덤 오버샘플링은 \( X_ { - } \)에서 개체를 추출할 때 무작위로 개체를 추출하는데 이 방법은 무작위로 개체를 복사하여 성능의 편차가 크게 나타나고, 개체의 수가 늘어나 계산에 필요한 시간이 커지거나 분류기가 과적합 할 수 있는 단점이 존재한다. 이러한 단점을 해결하기 위해 제안된 대표적인 오버샘플링 기법으로 SMOTE가 있다. SMOTE는 소수 범주에 속하는 개체에 대해 h개의 최근접 이웃을 찾고, 개체와 그 이웃과 사이에 직선을 그은 다음 직선 위의 임의의 점을 설정한 비율이 될 때까지 자료를 생성하는 기법이다. 이렇게 새로 생성된 개체들은 소수 범주 자료의 성향을 반영하고 있다. 더 나아가 Han 등 (2005)은 SMOTE를 수정한 기법인 borderline SMOTE (BSM)을 제안했다. SMOTE는 소수 범주에 속하는 모든 개체를 대상으로 기법을 적용한 반면에, BSM은 범주의 결정 영역(decision region)에 있는 개체들에 한해서만 기법을 적옹시키는 방법이다. 또 다른 오버샘플링 기법으로 He 등 (2008)이 제안한 adaptive synthetic sampling(ADASYN)있다. SMOTE와 동일한 방식으로 새로운 개체를 생성한 후 노이즈를 무작위로 추가하여 점들 사이의 선에서 벗어난 더 사실적인 점을 만드는 기법이다. Table 1은 SMOTE 알고리즘을 단계별로 나타낸 것이다.</p> <p>식 (2.5)에서 \( X_ {\text { create } } \)는 \( X_ { - } \)의 i번째 개체 \( x_ { -i } \)와 이것의 최근접 이웃 중 m번째 개체 \( x_ { - \mathrm { im } } \)사이의 직선의 임의의 점을 의미한다.</p> <h2>2.3. HDBSCAN</h2> <p>DBSCAN 알고리즘은 두 개의 매개변수 군집의 크기와 최소 이웃자료의 수에 아주 민감하게 반응하는 단점이 있다. 또한 군집들 간에 밀도가 다르다면 그에 대한 정보를 반영해 줄 수 없고, 자료들의 계층적 구조를 반영한 군집 형성이 불가능하다. 이러한 단점을 보완한 알고리즘이 McInnes와 Healy (2017)가 제안한 HDBSCAN이다. HDBSCAN 알고리즘은 계층적 군집분석 방법 중 하나인 단일연결법에서부터 시작된다.</p> <p>특히, 군집나무에 의한 군집분석에서는 자료가 큰 경우 로버스트한 단일연결법을 적용하더라도 분석하기 어려운 문제가 있다. 군집나무를 단순화시키기 위해서 최소 군집 크기를 만족하지 못하는 군집들을 노이즈라고 생각하고 제거한다. 이러한 과정을 가지치기라고 한다. 노이즈로 예상되는 가지를 쳐낸 군집나무는 가지 수가 적어지면서 군집나무가 단순화되지만 여전히 실제 군집 구조에 대한 충분한 정보를 포함하고 있다. 군집나무를 단순화 시킨 다음으로 적절한 군집을 구성시켜준다. 계층적 군집분석의 경우 적절한 군집을 구성하기 위해 적절한 mr값을 선택하여 나무를 잘라 군집을 형성하는 것이 일반적이다. 하지만 밀도가 다른 군집을 고려하고자 할 때, 적절한 mr은 군집마다 다르게 된다. 예를 들어 어떤 군집에서는 mr의 값이 0.3이 큰 값일 수 있지만 또 다른 군집에서는 크지 않은 값일 수 있다. 그러므로 군집을 선택하기 위해 다른 방법을 사용해야 한다.</p> <p>밀도가 다른 군집을 이상적으로 나누는 방법은 가장 큰 거리 범위를 가지는 군집들을 선택하는 것이다. 즉 군집이 형성될 때 가장 오래 유지되고 있는 군집을 결정하는 것이다. 이를 위해서는 식 (2.7)에 의한 군집의 지속성 측정 지표가 필요하다.</p> <p>\( \lambda= \frac { 1 } { m r } . \)<caption>(2.7)</caption></p> <p>\( \lambda \)를 mr의 역수로 정의한 이유는 나무를 자르는 기준을 mr의 역수로 바꾸어 줌으로서 작은 거리에는 민감하게 반응하고 큰 거리에는 덜 민감하게 반응하게 만들어 국소밀도를 더 잘 표현하기 위해서이다.</p> <p>군집의 지속성 측정을 위해 군집이 형성될 때와 가지치기 될 때 그리고 분할될 때의 \( \lambda \)값을 정의한다. 군집나무에 속해있는 군집 \( C_ { k } \)는 자료행렬 \( X_ { k } \)로 구성되어 있고 \( X_ { k } \)는 \( n_ { k } \)개의 개체와 p개의 변수를 가지고 있다. 군집 \( C_ { k } \)가 최초로 형성될 때의 \( \lambda \)값을 \( \lambda_ { k b } \), \( C_ { k } \)가 가지치기 될 때의 \( \lambda \)값을 \( \lambda_ { k l } \), 군집 \( C_ { k } \)가 새로운 군집 2개로 분할될 때의 \( \lambda \)값을 \( \lambda_ { k d } \)라고 정의한다. 만약에 군집 \( C_ { k } \)의 자식 군집 \( C_ { k c } \)가 최초로 형성될 때의 \( \lambda \)값을 \( \lambda_ { k c l } \)이라 하고 새로운 군집 2개로 분할될 때 \( \lambda \)값을 \( \lambda_ { k c d } \)로 정의한다. 앞에서 정의한 것들을 이용하여 군집 \( C_ { k } \)의 지속성 점수(persistence score)를 식 (2.8)과 같이 정의한다.</p> <p>\( X= \left [ \begin {array} { c } X ^ { 1 } \\ \vdots \\X_ { k } \\ \vdots \\X_ { g } \end {array} \right ]= \left (x_ { i j } \right )= \left [ \begin {array} { c } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { T } \\ \vdots \\ \mathbf { x } _ { i } ^ { T } \\ \vdots \\ \mathbf { x } _ { n } ^ { T } \end {array} \right ]= \left [ \mathbf { x } _ { (1) } , \ldots, \mathbf { x } _ { (j) } , \ldots, \mathbf { x } _ { (p) } \right ] . \)<caption>(2.2)<caption></p> <p>식 (2.2)에서 \( x_ { i j } \)는 자료행렬 \( X \)의 i번째 개체에서 j번째 변수의 관측 값을 나타낸다. 개체인 각 행은 통계적으로 서로 독립이며 변수인 각 열은 서로 연관이 되어 있다. 자료행렬 \( X \)의 i번째 행 \( \mathbf { x } _ { i } = \left (x_ { i 1 } , \ldots, x_ { i p } \right ) ^ { T } \)는 i번째 개체와 p개 변수의 관측치를 나타내며 j번째 열 \( \mathbf { x } _ { (j) } = \left (x_ { 1 j } , \ldots, x_ { n j } \right ) ^ { T } \)는 \( X \)의 j번째 변수에 대한 n개의 개체들의 관측치를 나타낸다. 자료행렬 \( X_ { k } \) 중 다른 자료행렬에 비해 개체 수가 매우 많은 자료행렬과 개체 수가 매우 작은 자료행렬을 \( X_ { + } \)와 \( X_ { - } \)로 (2.3)과 (2.4)와 같이 정의하기로 하자.</p> <p>\( X_ { + } = \text { Matrix of data in majority category, } \)<caption>(2.3)<caption></p> <p>\( X_ { - } = \text { Matrix of data in minority category. } \)<caption>(2.4)<caption></p> <p>\( P S \left (C_ { k } \right )= \lambda_ { k d } - \lambda_ { k b } . \)<caption>(2.8)</caption></p> <p>군집 \( C_ { k } \)의 지속성 점수 \( P S \left (C_ { k } \right ) \)는 군집 \( C_ { k } \)가 새로운 군집들로 분할될 때 가지는 \( \lambda \)값에서 군집 \( C_ { k } \)가 처음으로 형성될 때의 \( \lambda \)값을 뺀 것이다. \( C_ { k } \)의 자식 군집 \( C_ { k c } \)들의 지속성 점수는 식 (2.9)로 정의한다.</p> <p>\( \sum_ { c } P S \left (C_ { k c } \right )= \sum_ { c } \left ( \lambda_ {\mathrm { kcd } } - \lambda_ {\mathrm { kcb } } \right ), \)<caption>(2.8)</caption></p> <p>\( \sum_ { c } P S \left (C_ { k c } \right )>P S \left (C_ { k } \right ). \)<caption>(2.10)</caption></p> <p>식 (2.9)는 군집 \( C_ { k } \)의 자식군집들의 지속성 점수를 합한 것이다. 만약 식 (2.10)을 만족하면 군집을 c개로 유지하고 식 (2.10)을 만족하지 못한다면 c개의 군집 대신에 부모 군집인 \( C_ { k } \)를 1개의 군집으로 인정한다. 다음의 과정을 군집나무에 있는 모든 군집에 진행하게 되면 \( \sum_ { k=1 } ^ { g } P S \left (C_ { k } \right ) \)값이 최대가 되는 g개의 군집들이 형성된다. 이 군집들은 지속성 점수가 가장 높고 가변 밀도를 반영한 군집들이다.</p> <h1>3. 연구 방법</h1> <p>불균형자료 문제 해결을 위해서 소수 범주의 자료를 늘리는 오버샘플링 기법과 다수 범주의 자료를 줄이는 언더샘플링 기법이 자주 활용되고 있다. 오버샘플링 기법으로 자주 활용되는 SMOTE는 노이즈에 민감한 단점이 있다. 이러한 점을 개선하기 위해 Ijaz 등 (2018)은 DBSCAN을 이용해 노이즈를 제거하고, 오버샘플링을 진행하는 하이브리드샘플링 방법을 제안했다. 하지만 이 방법은 다수 범주에 대한 노이즈만 제거하고 소수 범주에 대한 노이즈에 관해서는 영향을 주지 못한다. 이러한 점을 개선하기 위해서 본 연구에서는 HDBSCAN을 이용하여 노이즈를 제거하고 오버샘플링을 적용하는 방법을 사용하였다.</p>	자연
다변수미적분학	<p>물리에 응용되는 Stokes 정리에 대하여 알아보자.</p> <ol type= start=1><li></li> <p>점 \( (x, y, z) \) 에서 밀도함수 \( \delta(x, y, z) \) 를 갖는 유체의 속도벡터를 \( \mathbf{v}(x, y, z) \) 라 하고 \( \mathbf{F}=\delta \mathrm{v} \) 라 하자. \( \mathrm{F} \) 의 정의역 위에 한 점 \( Q \) 를 고정하고 한 방향(단위벡터) \( \mathbf{u} \) 를 생각하자. \( C \) 를 \( Q \) 를 중심으로 하고 반지름이 \( a \) 가 되는 원이고, \( C \) 로 둘러쌓인 원판 \( S \) 의 법선벡터가 \( \mathbf{u} \) 가 되도록 하자. \( \nabla \times \mathbf{F} \) 가 \( Q \) 에서 연속이면, \( S \) 위에서 \( \nabla \times \mathbf{F} \) 의 \( \mathbf{u}- \) 방향으로의 평균값은</p> <p>\( \lim _{a \rightarrow 0} \frac{1}{\pi a^{2}} \iint_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d A=(\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u})_{Q} \)</p> <p>가 된다. 여기서 \( \pi a^{2} \) 은 \( S \) 의 넓이이다. Stokes 정리에 의하여</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{S} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>이므로</p> <p>\( (\nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathbf{u})_{Q}=\lim _{a \rightarrow 0} \frac{1}{\pi a^{2}} \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>가 된다. 따라서 이 값은 \( \mathbf{u} \) 가 \( \nabla \times \mathbf{F} \) 와 일치할 때 가장 크게 된다. 이 사실로부터 \( C \) 를 따라 흐르는 유체의 순환은 그 유체안의 팔랑개비의 회전을 좌우하게 되는데, 그 팔랑개비는 그 축을 \( \nabla \times \mathrm{F} \) 의 방향으로 할 때 가장 빨리 도는 것을 알 수 있다.</p> <li></li> <p>\( \mathrm{E} \) 와 \( \mathrm{H} \) 를 각각 시간에 의 존하는 공간위의 전기장(clectric field)과 자기장(magnetic field)이라고 하자. \( S \) 가 \( C \) 를 경계로 갖는 곡선이라고 하자. 우리는 다음을 정의 한다.</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=C \) 주위의 전압,</p> <p>\( \iint_{S} \mathbf{H} \cdot \mathbf{n} d A=S \) 를 지나는 자기 유동.</p> <p>패라디(Faraddy)의 법칙: \( C \) 주위의 전압은 \( S \) 를 지나는 자기 유동(magnetic flux)의 변화율에 \( -1 \) 을 곱한 것이다. 이것은 수학적인 기호로</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=-\frac{\partial}{\partial t} \iint_{S} \mathbf{H} \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>를 의미한다. Stokes 정리로부터</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{r}=\iint_{S} \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>이다. 이제 \( \frac{\partial}{\partial t} \) 를 적분기호 안으로 옮기는 조건이 되면(해석학에서 증명됨) 우리는</p> <p>\( -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{S} \mathbf{H} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{S}\left(-\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}\right) \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>가 된다. 두 개의 적분이 같으므로</p> <p>\( \iint_{S}\left(-\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t}\right) \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{S} \nabla \times \mathbf{E} \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>이 된다. 따라서 패라디의 법칙으로부터 다음의 미분방정식을 얻는다.</p> <p>\( \nabla \times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{H}}{\partial t} \)</p> <p>이는 맥스웰(Maxwell) 방정식 가운데 하나이다. 그림 \( 6.11 \) 참고.</p></ol> <p>\(정리 6.2 \) 다음 두 명제는 동치이다.</p> <p>1. \( D \) 안의 모든 닫힌 곡선 \( C \) 에 대하여 \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 \) 이다.</p> <p>2. \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \) 은 경로에 독립이다.</p> <p>\(증명 \) \( 1 \Longrightarrow 2: D \) 안의 모든 닫힌 곡선 \( C \) 에 대하여 \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 \) 라 가정하고 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 가 같은 시작점과 끝점을 갖는 경로라 하자. \( -C_{2} \) 를 \( C_{2} \) 와 같은 곡선으로 방향만 반대라고 하자. 그림 \( 6.2 \) 참고.</p> <p>\( C_{1} \) 을 거쳐 \( -C_{2} \) 로 가는 곡선을 \( C \) 라 하면 \( C \) 는 닫힌곡선이 된다. 가정에 의하여</p> <p>\( 0=\int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}+\int_{-C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}-\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>가 되므로 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 을 따라서 선적분이 같게 된다. 즉 선적분은 경로에 무관하다. 참고로 곡선의 방향이 반대인 곡선에 대한 선적분은 단지 값의 부호 차이 만 있다. \( 2 \Longrightarrow 1: C \) 를 \( D \) 위의 닫힌 곡선이라 하자. 곡선 위의 두 점을 각각 \( A \) 와 \( B \) 라 하면, 우리는 \( A \) 에서 \( B \) 로 가는 두 개의 곡선 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 를 얻게 된다. 그림 \( 6.3 \) 참고.</p> <p>그러면 \( C \) 는 \( C_{1} \) 을 거쳐 \( -C_{2} \) 로 움직이는 곡선이 된다. 가정에 의하여</p> <p>\( \int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>이기 때문에</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}+\int_{-C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}-\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=0 \)</p> <p>이 된다.</p> <p>참고로 \( C \) 가 닫힌 곡선일 때 선적분 \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \) 를 다음과 같이 쓴다.</p> <p>\( \oint_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}. \)</p> <p>\(정의 \) 영역 \( D \) 의 모든 점과 점 사이가 \( D \) 안에 놓이는 매끄러운 곡선으로 연결이 되면 \( D \) 는 연결되었다(connected)고 하고, \( D \) 안에 놓이는 매끄럽고 닫힌 모든 곡선을 \( D \) 를 벗어나지 않고 한 점에 모을 수 있으면 그 영역은 단순히 연결되었다(simply connected)고 한다. 그림 \( 6.4 \) 참고.</p> <h2>3 경로에 독립인 선적분</h2> <h3>index경로에 독립인 선적분</h3> <p>1 절에서 우리는 점 \( A \) 와 점 \( B \) 를 잇는 곡선에 대한 함수 \( f \) 의 선적분이 곡선의 선택에 따라 다르게 나타난다는 것을 보았다. 우리는 이 절에서 곡선을 따라 벡터장의 선적분이 곡선의 선택에 독립적인 특정한 벡터장을 생각하고자 한다.</p> <p>일변수함수에서 미분적분학의 기본정리에 따르면 \( f(x) \) 가 구간 \( [a, b] \) 에서 미분가능하고 \( f^{\prime}(x) \) 이 연속이면</p> <p>\( \int_{a}^{b} f^{\prime}(x) d x=f(b)-f(a) \)</p> <p>이다. 즉 적분의 값이 구간의 양 끝 값에만 의존한다는 것이다. 이것을 벡터함수로 확장하여보자.</p> <h3>경로에 도립성과 보존장의 정의</h3> <p>구분적으로 매끄러운 곡선을 경로(path)라 한다. \( \mathrm{F} \) 를 공간 위의 한 열린영역 \( D \) 에서 주어진 벡터장이라고 하고, \( A \) 와 \( B \) 를 \( D \) 위의 임의의 점이라 하자. 만약 \( A \) 에서 \( B \) 를 잇는 어떠한 경로 \( \mathrm{r} \) 에 대하여도 \( \int_{C} \mathrm{~F} \cdot d \mathrm{r} \) 의 값이 일정하면 선적분 \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathrm{r} \) 은 \( D \) 에서 경로에 독립(path independence)이다라고 한다. 또한 이 벡터장 \( \mathbf{F} \) 는 \( D \) 에서 보존적(conservative)이라고 한다. 벡터장이 보존적일 때 이를 보존장(conservative vector field)이라고 한다.</p> <p>우리는 벡터장 \( \mathbf{F} \) 에 대하여 \( \mathbf{F}=\nabla f \) 가 되는 미분가능한 함수 \( f \) 가 존재할 때 함수 \( f \) 를 \( \mathrm{F} \) 에 대한 포텐셜 함수(potential function), 또는 \( \mathrm{F} \) 의 부정적분(antiderivative or primitive)이라 한다.</p> <p>\(정리 6.1 \) 매끄러운 곡선</p> <p>\( C: \quad \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, \quad a \leq t \leq b \)</p> <p>을 생각하자. 즉 \( \mathrm{r}^{\prime}(t) \) 이 존재하고 연속이다. \( f \) 가 미분가능하고 기울기벡터 \( \nabla f \) 가 \( C \) 에서 연속이면</p> <p>\( \int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a))=f(B)-f(A) \)</p> <p>이다. 여기서 \( A \) 와 \( B \) 는 곡선의 시작점과 끝점을 말한다.</p> <p>\(증명\) 다음 적분을 계산하자.</p> <p>\( \int_{C} \nabla f \cdot d \mathbf{r}=\int_{a}^{b} \nabla f(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}^{\prime}(t) d t \)</p> <p>\( =\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial f}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial f}{\partial y} \frac{d y}{d t}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{d z}{d t}\right) d t \)</p> <p>\( =\frac{d}{d t} f(\mathbf{r}(t)) d t=f(\mathbf{r}(b))-f(\mathbf{r}(a)) \)</p> <p>이 정리는 선적분이 시작점과 끝점에만 의존하므로 경로에 무관하다는 것을 보여준다. 또한 위에서 언급했듯이 이 정리는 미분적분학의 기본정리를 선적분으로 확장한 정리라는 것을 알 수 있다.</p> <p>\(예제 \) 18 \( C \) 가 원점을 안쪽에 포함하는 시계 반대 방향을 갖는 닫힌 곡선이라 하고.</p> <p>\( \mathbf { F } (x, y) = \frac { (-y \mathbf { i } + x \mathbf { j } ) } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)</p> <p>라 하자. 그러면 \( C \) 에 관계없이 \( \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =2 \pi \) 가 됨을 보여라.</p> <p>\(풀이 \) \( D \) 와 \( C_ { 1 } \) 그리고 \( C_ { 2 } \) 를 위의 그림 \( 6.8 \) 에서와 같은 곡선이라 하자. 먼저 다음 이중적분을 계산하자.</p> <p>\( \iint_ { D } \left ( \frac {\partial Q } {\partial x } - \frac {\partial P } {\partial y } \right ) d x d y= \iint_ { D } \left ( \frac { y ^ { 2 } -x ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } -x ^ { 2 } } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } } \right ) d x d y=0 \)</p> <p>이 된다. 즉</p> <p>\( \int_ { C_ { 1 } } P d x + Q d y= \int_ { C_ { 2 } } P d x + Q d y \)</p> <p>이다. \( C_ { 1 } \) 그리고 \( C_ { 2 } \) 가 임의의 곡선이었으므로 주어진 값을 구하기 위해서 계산하기 편리한 단위 원 \( C \) 를 생각하자. \( C \) 는 \( t \in[0,2 \pi] \) 에서 \( (x, y)= \mathbf { r } (t)=( \cos t, \sin t) \) 로 매개화되므로 \( d \mathbf { r } (t)=- \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } \) 가 된다. 따라서</p> <p>\( \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathbf { F } ( \mathbf { r } (t)) \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t) d t \)</p> <p>\( = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left ( \frac { - \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } } {\cos ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t } \right ) \cdot(- \sin t \mathbf { i } + \cos t \mathbf { j } ) d t \)</p> <p>\( = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left ( \sin ^ { 2 } t + \cos ^ { 2 } t \right ) d t= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } d t=2 \pi \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(예제 16\) 반지름이 \( r \) 인 디스크의 넓이를 구하라.</p> <p>풀이 \( D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq r^{2}\right\} \) 이고 \( C \) 는 반지름이 \( r \) 인 원이므로 \( t \in[0,2 \pi] \) 에서 \( (x, y)=(r \cos t, r \sin t) \) 로 매개화 된다. 따라서 디스크의 넓이 \( A \) 는</p> <p>\( A=\int_{C}(x d y-y d x)=\int_{0}^{2 \pi}[(r \cos t)(r \cos t d t)-(r \sin t)(-r \sin t d t)] \)</p> <p>\( =\int_{0}^{2 \pi} r^{2}\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right) d t=r^{2}(2 \pi)=2 \pi r^{2} \)</p> <p>\(예제 17\) 타원 \( C=\left\{(x, y) \mid x^{2} / a^{2}+y^{2} / b^{2}=1\right\} \) 에 의하여 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하라.</p> <p>\(풀이 \) \( C \) 는 \( t \in[0,2 \pi] \) 에서 \( (x, y)=(a \cos t, b \sin t) \) 로 매개화 된다. 따라서 디스크의 넓이 \( A \) 는</p> <p>\( A=\frac{1}{2} \int_{C}(x d y-y d x)=\int_{0}^{2 \pi}[(a \cos t)(b \cos t d t)-(b \sin t)(-a \sin t d t)] \)</p> <p>\( =\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} a b\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right) d t=\frac{1}{2} a b(2 \pi)=a b \pi \)</p> <p>이 된다.</p> <p>그림 \( 6.8 \) 과 같이 두 개의 서로 만나지않는 곡선 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 에 대하여, \( C_{2} \) 가 \( C_{1} \) 안에 놓인다고 하자. 이제 \( D \) 를 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 사이의 영역이라고 하자. 또한 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 의 방향을 시계 반대 방향으로 하고, \( C_{3} \) 을 \( C_{1} \) 에서 \( C_{2} \) 쪽으로 방향을 갖는 선분이라 하자. Green의 정리에 의하여</p> <p>\( \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\int_{C_{1}} P d x+Q d y+\int_{C_{3}} P d x+Q d y \)</p> <p>\( =\quad+\int_{-C_{2}} P d x+Q d y+\int_{-C_{3}} P d x+Q d y \)</p> <p>\( =\int_{C_{1}} P d x+Q d y+\int_{C_{3}} P d x+Q d y \)</p> <p>\( =-\int_{C_{2}} P d x+Q d y-\int_{C_{3}} P d x+Q d y \)</p> <p>\( =\int_{C_{1}} P d x+Q d y-\int_{C_{2}} P d x+Q d y \)</p> <p>가 된다. 여기서 \( -C \) 는 \( C \) 와 방향만 반대인 곡선을 말한다. 따라서</p> <p>\( \int_{-C} P d x+Q d y=-\int_{C} P d x+Q d y \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(예제 10 \) 벡터장 \( \mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j} \) 는 보존장이 됨을 보여라.</p> <p>\(풀이\) \( P(x, y)=3+2 x y, Q(x, y)=x^{2}-3 y^{2} \) 이므로 \( P_{y}(x, y)=2 x \neq 2 x=Q_{x}(x, y) \) 이므로 보존장이다. 실제로 다음 벡터장의 그림 \( 6.7 \) 에서 보는 것과 같이 어떤 곡선을 따라서</p> <p>\( \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \) 의 값이 0 보다 크거나 0 보다 작게 되어</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>이 0이 될 가능성이 있다. 따라서 벡터장의 그림으로 부터 벡터장이 보존장이 되기 위한 모양을 짐작할 수 있다. 된다고 가정할 수 있다.</p> <p>두번 째 질문에 대한 답은 다음의 예제를 통해서 알아보자.</p> <p>\(예제 11 \) \( \mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j} \) 일 때, 포텐셜 함수 \( f(x, y) \) 를 찾아라.</p> <p>\(풀이\) \( P(x, y)=3+2 x y, Q(x, y)=x^{2}-3 y^{2} \) 이므로 \( f_{x}(x, y)=P(x, y) \) 이고 \( f_{y}(x, y)= \) \( P(x, y) \) 가 된다. \( 3+2 x y=f_{x}(x, y) \) 를 \( x \) 에 대하여 적분하여 \( f(x, y)=3 x+x^{2} y+k(y) \) 를 얻는다. \( f_{y}(x, y)=P(x, y) \) 로부터</p> <p>\( f_{y}(x, y)=x^{2}+k^{\prime}(y)=x^{2}-3 y^{2} \)</p> <p>이 되므로 \( k^{\prime}(y)=-3 y^{2} \) 이 된다. 따라서 \( k(y)=-y^{3}+A \) 가 된다. 여기서 \( A \) 는 상수이다. 따라서 구하는 \( f \) 는</p> <p>\( f(x, y)=3 x+x^{2} y-y^{3}+A \)</p> <p>가 된다.</p> <p>다음 예제는 보존장인 벡터장에서의 선적분을 계산하는 방법을 다룬다.</p> <p>\(예제 12 \) \( \mathbf{F}(x, y)=(3+2 x y) \mathbf{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \mathbf{j} \) 이고, 곡선 \( C \) 를</p> <p>\( \mathbf{r}(t)=e^{t} \sin t \mathbf{i}+e^{t} \cos t \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq \pi \)</p> <p>라 할 때 \( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathrm{r} \) 을 구하라.</p> <p>풀이 위 예제에서 \( \mathrm{F} \) 는 보존장이다. \( f \) 를 위 예제에서 구한 포텐설 함수라 하자. 선적분은 경로에 독립이므로 그 값은</p> <p>\( f( \) 끝 점 \( )-f( \) 시작점 \( )=f\left(0,-e^{\pi}\right)-f(0,1)=e^{3 \pi}+1 \)</p> <p>이다.</p> <p>참고로 삼차원 벡터장 \( \mathbf{F}(x, y, z)=P(x, y, z) \mathbf{i}+Q(x, y, z) \mathbf{j}+R(x, y, z) \mathbf{k} \) 에 대하여 보존장임을 보여주는 방정식은</p> <p>\( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y} \)</p> <p>이다.</p> <p>\( 예제 1\) 곡선 \( C \) 를 원 \( x^{2}+y^{2}=1 \) 의 위 반원이라 할 때, \( \int_{C}\left(2+x^{2} y\right) d s \) 를 구하라.</p> <p>\( 풀이\) 먼저 곡선 \( C \) 의 매개방정식을 찾자. 원에 대한 매개방정식은 이미 잘 알고있기 때문에 \( C \) 는</p> <p>\( x=\cos t, \quad \sin t, \quad 0 \leq t \leq \pi \)</p> <p>로 쓸 수 있다. 따라서</p> <p>\( d s=\sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t=\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}} d t=d t \)</p> <p>이므로</p> <p>\( \int_{C}\left(2+x^{2} y\right) d s=\int_{0}^{\pi}\left(2+\cos ^{2} t \sin t\right) d t=\left[2 t-\frac{\cos ^{3} t}{3}\right]_{0}^{\pi}=2 \pi+\frac{2}{3} \)</p> <p>이다.</p> <p>\( 예제 2\) 곡선 \( C \) 를 원점과 점 \( (1,1,1) \) 을 연결하는 선분이라 하자. \( C \) 를 따라 함수 \( f(x, y, z)=x-3 y^{2}+z \) 의 선적분을 구하라.</p> <p>\( 풀이\) 곡선 \( C \) 의 벡터방정식은</p> <p>\( \mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 \)</p> <p>으로 쓸 수 있다.</p> <p>\( \left\|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right\|=\|\mathbf{v}(t)\|=\|\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}\|=\sqrt{3} \)</p> <p>이기 때문에</p> <p>\( \int_{C} f(x, y, z) d s=\int_{0}^{1} f(t, t, t)(\sqrt{3}) d t=\sqrt{3} \int_{0}^{1}\left(t-3 t^{2}+t\right) d t \)</p> <p>\( =\sqrt{3} \int_{0}^{1}\left(2 t-3 t^{2}\right) d t=\sqrt{3}\left[t^{2}-t^{3}\right]_{0}^{1}=0 \)</p> <p>이 된다.</p> <p>곡선 \( C \) 가 미분가능한 곡선 \( C_{1}, C_{2}, \cdots, C_{n} \) 들을 한 끝점과 다른 한 끝점을 서로 연결한 곡선이라고 하자. (이 때 \( C \) 를 구분적(piecewise)으로 매끄럽다라고 한다.) 그러면</p> <p>\( \int_{C} f(x, y) d s=\int_{C_{1}} f(x, y) d s+\int_{C_{2}} f(x, y) d s+\cdots+\int_{C_{n}} f(x, y) d s \)</p> <p>\( 예제 3\) 곡선 \( C_{1} \) 을 원점과 점 \( (1,1,0) \) 을 연결하는 선분이라 하고, \( C_{2} \) 를 점 \( (1,1,0) \) 과 점 \( (1,1,1) \) 을 연결하는 선분이라 하자. 그리고 \( C \) 를 \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 를 연결한 곡선이라 할 때, \( C \) 를 따라 함수 \( f(x, y, z)=x-3 y^{2}+z \) 의 선적분을 구하라.</p> <p>\( 풀이\) \( C_{1} \) 과 \( C_{2} \) 의 벡터방정식은 각각</p> <p>\( C_{1} \quad: \quad \mathrm{r}_{1}(t)=t \mathbf{i}+t \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 1 \)</p> <p>\( C_{2} \quad: \quad \mathrm{r}_{2}(t)=\mathbf{i}+\mathbf{j}+t \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq 1 \)</p> <p>이 된다. 그리고 \( \left\|\mathrm{r}_{1}^{\prime}(t)\right\|=\sqrt{2} \) 이고 \( \left\|\mathrm{r}_{2}^{\prime}(t)\right\|=1 \) 이다. 따라서 선적분의 값은</p> <p>\( \int_{C} f(x, y, z) d s=\int_{C_{1}} f(x, y, z) d s+\int_{C_{2}} f(x, y, z) d s \)</p> <p>\( =\int_{0}^{1} f(t, t, 0)(\sqrt{2}) d t+\int_{0}^{1} f(1,1, t)(1) d t \)</p> <p>\( =\int_{0}^{1}\left(t-3 t^{2}\right)(\sqrt{2}) d t+\int_{0}^{1}(1-3+t)(1) d t \)</p> <p>\( =\sqrt{2}\left[\frac{t^{2}}{2}-t^{3}\right]_{0}^{1}+\left[\frac{t^{2}}{2}-2 t\right]_{0}^{1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2} \)</p> <p>이다.</p> <p>위 두 예제에서 볼 수 있듯이 시작점과 끝점이 같은 두 개의 서로 다른 곡선을 따라서 선적분의 값은 반드시 같지 않음을 볼 수 있다. 이 문제에 대하여는 3 절에서 좀 더 다루기로 한다.</p> <p>\(정리 6.4\) \( \mathrm{~F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} \) 가 보존장이고, \( P \) 와 \( Q \) 가 연속인 일계 편도함수를 갖는다면</p> <p>\( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \)</p> <p>이다.</p> <p>\(증명\) \( \mathrm{F} \) 가 보전장이므로 연속미분가능한 함수 \( f \) 에 대하여 \( \nabla f=\mathrm{F} \) 가 된다. 따라서 \( P=\frac{\partial f}{\partial x}, Q=\frac{\partial f}{\partial y} \) 이다. 따라서 클레로의 정리에 의하여</p> <p>\( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \)</p> <p>가 된다.</p> <p>이제 우리는 다음의 두 문제를 다루어 보자.</p> <p>1. 어떻게 벡터장 \( \mathbf{F} \) 가 보존장이라는 것을 알 수 있을까?</p> <p>2. 벡터장 \( \mathrm{F} \) 이 보존장이면 어떻게 포텐설 함수 \( f \) 를 찾을 수 있는가?</p> <p>첫번 째 질문에 대한 긍정적인 답은 다음 정리에 있다. 이 증명은 4절 Green의 정리로 부터 얻어진다.</p> <p>\(정리 6.5\) \( \mathrm{~F}(x, y)=P(x, y) \mathbf{i}+Q(x, y) \mathbf{j} \) 가 단순히 연결되어 있고 열린 영역 \( D \) 에서의 벡터장이라 하고, \( P \) 와 \( Q \) 가 연속인 일계 편도함수를 갖는다고 하자. \( D \) 에서</p> <p>\( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \)</p> <p>가 되면 \( \mathbf{F} \) 는 보존장이다.</p> <p>결과적으로 단순히 연결되어 있고 열린 영역 \( D \) 에서 \( P(x, y) \) 와 \( Q(x, y) \) 가 연속인 일계 편도함수를 갖는다고 할 때, \( D \) 에서의 벡터장 \( \mathbf{F}(x, y)=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j} \) 가 보존장이기 위한 필요충분조건은</p> <p>\( \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} \)</p> <p>임을 알 수 있다. 또한 이 경우 미분형 \( P d x+Q d y \) 를 가르켜 완전미분형(exact differential form)이라 한다.</p> <p>\(예제 9\) 벡터장 \( \mathbf{F}(x, y)=(x-y) \mathbf{i}+(x-2) \mathbf{j} \) 는 보존장이 아님을 보여라.</p> <p>\(풀이\) \( \quad P(x, y)=x-y, \quad Q(x, y)=x-2 \) 이므로 \( P_{y}(x, y)=-1 \neq 1=Q_{x}(x, y) \) 이므로 보존장이 아니다. 실제로 다음 벡터장의 그림 \( 6.6 \) 에서 보는 것과 같이 어떤 곡선을 따라서 항상 \( \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}>0 \) 이 된다. 따라서</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \neq 0 \)</p> <p>이므로 보존장이 되지 않는다.</p> <p>\(정리 6.11 \) (Stokes 정리) \( D \) 를 Green의 정리가 성립하는 평면 위의 영역이고, \( S \) 를 연속인 이계 편도함수를 갖는 함수 \( f \) 에 대하여 \( z=f(x, y) \) 의 그래프로 나타낸 곡면이라 하자. \( \partial D \) 를 시계 반대 방향으로 움직이는 \( D \) 의 경계라 하고, \( \partial S \) 를 \( S \) 의 경계라 하자. 만약 \( \mathbf{F} \) 이 연속으로 미분가능한 공간 위의 벡터장이라 하면,</p> <p>\( \int_{\partial S} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{S}(\operatorname{curl} \mathbf{F}) \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>이다. 그림 \( 6.10 \) 참고.</p> <p>\(증명 \) \( \quad \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} \) 이라 하면</p> <p>\( \nabla \times \mathbf{F}=\left(R_{y}-Q_{z}\right) \mathbf{i}+\left(P_{z}-R_{x}\right) \mathbf{j}+\left(Q_{x}-P_{y}\right) \mathbf{k} \)</p> <p>가 된다. \( (5) \) 을 이용하여</p> <p> <caption>(6.5)</caption>\( \iint_{S} \operatorname{curl} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)\right. \)</p> <p>\( \left.+\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)+\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial x}\right)\right] d A \)</p> <p>을 얻는다. 반면 그림 \( 6.10 \) 에서 보듯이 시계 반대 방향으로 움직이는 \( \partial D \) 의 매개화를 \( \overline{\mathbf{r}}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} \) 라 하면, \( \partial S \) 의 매개화는 \( \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k} \) 이 되고, 또한 \( \partial S \) 는 방향을 갖는 단순한 닫힌 곡선이 된다. 따라서</p> <p>\( \int_{\partial S} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}=\int_{a}^{b}\left(P \frac{d x}{d t}+Q \frac{d y}{d t}+R \frac{d z}{d t}\right) d t \)</p> <p>이다. 연쇄법칙을 이용하면</p> <p>\( \frac{d z}{d t}=\frac{\partial z}{\partial x} \frac{d x}{d t}+\frac{\partial z}{\partial y} \frac{d y}{d t} \)</p> <p>이고, 이를 (5)에 대입하면</p> <p> <caption>(6.6)</caption>\( \int_{\partial S} \mathbf{F}(\mathrm{r}) \cdot d \mathbf{r}=\iint_{a}^{b}\left[\left(P+R \frac{\partial z}{\partial x}\right) \frac{d x}{d t}+\left(Q+R \frac{\partial z}{\partial y}\right) \frac{d y}{d t}\right] d t \)</p> <p>\( \int_{\partial D}\left(P+R \frac{\partial z}{\partial x}\right) d x+\left(Q+R \frac{\partial z}{\partial y}\right) d y \)</p> <p>이 된다. (6.6)에 Green의 정리를 적용하면</p> <p>\( \iint_{D}\left[\frac{\partial(Q+R \partial z / \partial y)}{\partial x}-\frac{\partial(P+R \partial z / \partial x)}{\partial y}\right] d A \)</p> <p>가 된다. 여기서 \( P, Q, R \) 은 \( x, y, z \) 의 함수이고, \( z \) 는 \( x \) 와 \( y \) 의 함수이다. 이제 괄호 안을 연쇄법칙을 이용하여 계산하자.</p> <p>\( \int_{\partial S} \mathbf{F}(\mathbf{r}) \cdot d \mathbf{r}=\iint_{D}\left[\left(\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial z}{\partial y}+R \frac{\partial^{z}}{\partial x \partial y}\right)\right. \)</p> <p>\( \left.-\left(\frac{\partial P}{\partial y}+\frac{\partial P}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial z}{\partial x}+R \frac{\partial^{z}}{\partial y \partial x}\right)\right] d A \)</p> <p>클레로의 정리를 적용하면 괄호 안의 마지막 두 항은 상쇄되고, 다시 정리하게 되면 (5)을 얻는다.</p> <p>Green의 정리에서와 같이 Stokes 정리는 보다 일반적인 곡면에 대하여도 성립한다. 여기서는 이와같이 간단한 경우 만을 다루기로 한다.</p> <p>\(예제 22 \) \( \mathrm { ~F } = y e ^ { z } \mathbf { i } + x e ^ { z } \mathbf { j } + x y e ^ { z } \mathbf { k } \) 라 하자. \( C \) 를 어떤 함수의 그래프로 주어지는 곡면 \( S \) 의 닫혀있는 단순한 곡선이라 하자. \( C \) 를 따라 \( \mathrm { F } \) 의 선적분은 0 이 되는 것을 보여라.</p> <p>\(풀이 \) Stokes 정리에 의하여</p> <p>\( \int_ {\partial S } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) \cdot d \mathbf { r } = \iint_ { S } ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot \mathbf { n } d A \)</p> <p>이다. 그러나</p> <p>\( \nabla \times \mathbf { F } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathrm { i } & \mathrm { j } & \mathrm { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ y e ^ { z } & x e ^ { z } & x y e ^ { z } \end {array} \right \|= \mathbf { 0 } \)</p> <p>이기 때문에</p> <p>\( \int_ {\partial S } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) \cdot d \mathbf { r } = \iint_ { S } ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot \mathbf { n } d A= \iint_ { S } 0 \cdot \mathbf { n } d A=0 \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(예제 23 \) Stokes의 정리를 이용하여 세 점 \( (0,0,0),(0,2,0),(0,0,2) \) 를 잇는 닫힌 곡선을 따라 \( \mathbf { F } =x ^ { 2 } \mathbf { i } + y ^ { 2 } \mathbf { j } -z \mathbf { k } \) 의 선적분을 구하라.</p> <p>\(풀이 \) \( S \) 를 세 점을 잇는 곡선 \( C \) 로 둘러쌓인 영역이라 하자. Stokes 정리에 의하여</p> <p>\( \int_ {\partial S } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) \cdot d \mathbf { r } = \iint_ { S } ( \nabla \times \mathbf { F } ) \cdot \mathbf { n } d A \)</p> <p>이다. 이제</p> <p>\( \nabla \times \mathbf { F } = \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ \frac {\partial } {\partial x } & \frac {\partial } {\partial y } & \frac {\partial } {\partial z } \\ x ^ { 2 } & y ^ { 2 } & -z \end {array} \right \|= \mathbf { 0 } \)</p> <p>이기 때문에 구하는 선적분은 0 이 된다.</p> <p>물리에서 나오는 에너지 보존의 법칙을 설명하고 이 절을 마치자. 곡선 \( C \) 가 \( t \in[a, b] \) 에 대하여 \( \mathrm { r } (t) \) 로 매개화 되었다고 하고, \( \mathrm { F } \) 를 \( C \) 위에서의 힘의 벡터장이라 하자. \( \mathbf { F } \) 가 보존장이라 하자. 뉴턴의 제이 법칙에 따라서, \( \mathrm { F } ( \mathrm { r } (t)) = m \mathrm { r } ^ {\prime \prime } (t) \) 이 된다. \( \left ( \mathrm { r } ^ {\prime \prime } (t) \right . \) 는 가속도이다. \( ) \) 이제 물체가 곡선 \( C \) 를 따라 하는 일을 구하자.</p> <p>\( W= \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } = \int_ { a } ^ { b } \mathbf { F } ( \mathbf { r } (t)) \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t) d t \)</p> <p>\( = \int_ { a } ^ { b } m \mathbf { r } ^ {\prime \prime } (t) \cdot \mathbf { r } ^ {\prime } (t) d t \)</p> <p>\( = \frac { m } { 2 } \int_ { a } ^ { b } \frac { d } { d t } \left ( \mathrm { r } ^ {\prime } (t) \cdot \mathrm { r } ^ {\prime } (t) \right ) d t \)</p> <p>\( = \frac { m } { 2 } \int_ { a } ^ { b } \frac { d } { d t } \left ( \left \| \mathbf { r } ^ {\prime } (t) \right \| ^ { 2 } \right ) d t \)</p> <p>\( = \frac { m } { 2 } \left [ \left \| \mathbf { r } ^ {\prime } (t) \right \| ^ { 2 } \right ]_ { a } ^ { b } \)</p> <p>\( = \frac { m } { 2 } \left [ \left \| \mathbf { r } ^ {\prime } (b) \right \| ^ { 2 } - \left \| \mathbf { r } ^ {\prime } (a) \right \| ^ { 2 } \right ]= \frac { m } { 2 } \left [\| \mathbf { v } (b)\| ^ { 2 } -\| \mathbf { v } (a)\| ^ { 2 } \right ] \)</p> <p>이 된다. 우리는 \( m / 2\| \mathbf { v } (t)\| ^ { 2 } \) 을 운동에너지라 하고, 이를 \( K(t) \) 로 나타내자. 따라서 \( W=K(B)-K(A) \) 이다. 여기서 \( A \) 는 곡선의 시작점이고 \( B \) 는 끝점이다. 또한 \( \mathrm { F } \) 가 보존장이므로 포텐셜 함수 \( f \) 가 있다. \( P=-f \) 라 하면 \( - \nabla P= \mathbf { F } \) 가 되며, 이 \( P \) 를 포텐설에너지라 한다. 이를 이용하여 일을 구하면</p> <p>\( W= \int_ { C } \mathbf { F } \cdot d \mathbf { r } =- \int_ { a } ^ { b } \nabla P \cdot d \mathbf { r } =-[P( \mathrm { r } (b))-P( \mathrm { r } (a))] \)</p> <p>\( =-[P(B)-P(A)]=P(A)-P(B) \)</p> <p>가 된다. 따라서 두 일의 값이 같으므로, \( K(B)-K(A)=P(A)-P(B) \), 즉 \( P(A) + \) \( K(A)=P(B) + K(B) \) 가 된다. 이것으로 부터 우리는 \( P + K \) 의 값은 일정함을 알 수 있다. 이를 에너지 보존의 법칙이라 한다.</p> <p>예제 8 뉴튼의 중력의 법칙에 따르면 질량을 각각 \( m, M \) 으로 하는 두 물체 사이에는 작용하는 중력의 크기는 \( m M G / r ^ { 2 } \) 으로 주어진다. 여기서 \( G \) 는 중력상수이고, \( r \) 은 두 물체 사이의 거리이다. 질량 \( M \) 을 갖는 물체의 중심을 원점으로 해서 질량 \( m \) 을 갖는 물체의 중심의 좌표를 \( \mathrm { r } = (x, y, z) \) 라 할 때 \( r=\| \mathbf { r } \| \) 이므로 점 \( (x, y, z) \) 에서 작용하는 중력 \( \mathrm { F } \) 는 원점으로 향하므로</p> <p>\( \mathbf { F } =- \frac { m M G } { \| \mathbf { r } \| ^ { 2 } } \left ( \frac {\mathrm { r } } { \| \mathbf { r } \| } \right ) \)</p> <p>가 된다. 이 때 \( \mathbf { F } = \left ( \mathrm { m } M G / r ^ { 3 } \right ) \mathbf { r } \) 를 중력장(gravitational field)이라 한다. 이 중력장은 보존장임을 보여라.</p> <p>풀이 \( \nabla f(x, y, z)= \mathbf { F } \) 이 되는 함수를 찾으면 된다.</p> <p>\( f(x, y, z)= \frac { m M G } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } \)</p> <p>이라 하고, 편도함수를 구해보자.</p> <p>\( f_ { x } (x, y, z)=- \frac { m M G x } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \)</p> <p>\( f_ { y } (x, y, z)=- \frac { m M G y } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \)</p> <p>\(예제 7 \) 곡선 \( C \) 가 다음과 같이 매개화 되었다고 하자.</p> <p>\( (x, y, z) = \left (1, t, e ^ { t } \right ), \quad 0 \leq t=l e 2 \)</p> <p>선적분</p> <p>\( \int_ { C } \cos z d x + e ^ { x } d y + e ^ { y } d z \)</p> <p>을 구하라.</p> <p>\(풀이 \) 먼저 \( d x=0, d y=d t, d z=e ^ { t } d t \) 가 된다. 따라서</p> <p>\( \int_ { C } \left ( \cos z d x + e ^ { x } d y + e ^ { y } d z \right )= \int_ { C } \left ( \cos e ^ { t } , e ^ { 1 } , e ^ { t } \right ) \cdot \left (0, d t, e ^ { t } d t \right ) \)</p> <p>\( = \int_ { C } \left (0 + e ^ { t } + e ^ { 2 t } \right ) d t= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (e ^ { t } + e ^ { 2 t } \right ) d t \)</p> <p> <caption>(6.1)</caption>\( =2 e + \frac { 1 } { 2 } e ^ { 4 } - \frac { 1 } { 2 } \)</p> <p>가 된다.</p> <p>우리는 물리에서 사용되는 몇 가지 벡터장의 선적분에 관련된 정의를 하기로 한다. 보다 자세한 내용은 관련된 내용이 나오는 절에서 자세히 다루기로 한다.</p> <p>연속인 벡터장 \( \mathrm { F } \) 가 유체의 흐림에 대한 속도벡터장일 때, 곡선</p> <p>\( C: \quad \mathbf { r } (t)=x(t) \mathbf { i } + y(t) \mathbf { j } + z(t) \mathbf { k } , \quad a \leq t \leq b \)</p> <p>를 따라 벡터장의 선적분</p> <p>\( \int_ { t=a } ^ { t=b } \mathbf { F } \cdot \mathbf { T } d s \)</p> <p>를 유체의 흐름(flow)이라고 하고, 곡선의 시작점과 끝점이 같을 때의 유체의 흐름을 곡선 주위의 순환(circulation)이라 한다.</p> <p>평면 위의 매끄러운 곡선에 의하여 닫힌 영역에 유체가 들어가고 나가는 비율을 계산하기 위해서는 우리는 곡선 위에서 유체의 속도 벡터장 \( \mathrm { F } \) 와 곡선의 법선벡터 \( \mathrm { n } \) 과 내적에 대한 선적분을 생각해야 한다. 이 선적분</p> <p>\( \int_ { C } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d s \)</p> <p>을 곡선을 따라 \( \mathrm { F } \) 의 유동(flux) 또는 플럭스라 한다.</p> <p>\( =2 \iint_ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d x d y \)</p> <p>이 된다. 이 적분은 극좌표계로 바꾸어 계산하면</p> <p>\( \iint_ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 } \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) d x d y= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left ( \int_ { 0 } ^ { 1 } r ^ { 3 } d r \right ) d \theta= \frac { 1 } { 2 } \pi \)</p> <p>가 된다. 따라서 구하는 값은</p> <p>\( \iint_ { S } \mathbf { F } \cdot \mathbf { n } d A= \pi \)</p> <p>이다.</p> <p>\(예제 27 \) 단위 구 \( \left \{ (x, y, z) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 \right \} \) 를 \( S \) 라 하고, \( \mathbf { v } =2 x \mathbf { i } + 2 y \mathbf { j } + 2 z \mathbf { k } \) 라 하자. \( S \) 를 따라 \( \mathbf { v } \) 의 유동을 구하라.</p> <p>\( 풀이 \) \( S \) 를 따라 \( \mathbf { v } \) 의 유동 \( \iint_ {\partial W } ( \mathbf { v } \cdot \mathbf { n } ) d A \) 은 Gauss의 발산정리에 의하여</p> <p>\( \iiint_ { W } ( \operatorname { div } \mathbf { v } ) d x d y d z \)</p> <p>과 같다. 여기서 \( W \) 는 \( S \) 의 내부인 속이 찬 단위 구이다.</p> <p>\( \operatorname { div } \mathbf { v } (x, y, z)= \frac {\partial } {\partial x } (2 x) + \frac {\partial } {\partial y } (2 y) + \frac {\partial } {\partial z } (2 z)=6 \)</p> <p>이므로 구하고자 하는 유동(flux)은</p> <p>\( 6 \times W \) 의 부피 \( =6 \cdot \frac { 4 } { 3 } \pi=8 \pi \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\( W \) 의 경계는 \( (x, y) \in D \) 에서 아래로는 \( z=f_{1}(x, y) \) 의 그래프 \( S_{1} \) 으로, 위로는 \( z=f_{2}(x, y) \) 의 그래프 \( S_{2} \) 로 되어 있고, 비슷하게 경계 \( \partial W \) 의 다른 네 면도 법선벡터가 \( z \) =축에 수직인 곡면 \( S_{3}, S_{4}, S_{5}, S_{6} \) 으로 닫혀있는 곡면이다. 이제 식 (6.9)의 오른쪽 값을 계산하면</p> <p> <caption>(6.10)</caption>\( \iiint_{W} \frac{\partial R}{\partial z} d x d y d z=\iint_{D}\left[R\left(x . y \cdot f_{2}(x, y)\right)-R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right)\right] d x d y \)</p> <p>이 되는 것을 보이자. 실제로 미분적분학의 기본정리를 사용하고 순서를 바꾸면</p> <p>\( \iint_{W} \frac{\partial R}{\partial z} d z d y d x=\iint_{D}\left[\left.R(x, y, z)\right\|_{z=f_{1}(x, y)} ^{f_{2}(x, y)}\right] d y d x \)</p> <p>\( =\iint_{D}\left[R\left(x . y \cdot f_{2}(x, y)\right)-R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right)\right] d x d y \)</p> <p>가 된다. 이제 식 (6.9)의 왼쪽을 다음과 같이 6 개 항의 합으로 바꾸자.</p> <p> <caption>(6.11)</caption>\( \iint_{\partial W} R \mathrm{k} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{S_{1}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{1}\right) d A+\iint_{S_{2}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{2}\right) d A+\sum_{i=3}^{6} \iint_{S_{i}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{i}\right) d A \)</p> <p>\( S_{3}, S_{4}, S_{5}, S_{6} \) 의 각 법선벡터 \( \mathbf{n}_{i} \) 는 \( \mathbf{k} \) 와 수직을 이룬다. 즉 \( \mathbf{n}_{i} \cdot \mathbf{k}=0(i=3,4,5,6) \) 이 된다. 따라서 식 (6)은</p> <p> <caption>(6.12)</caption>\( \iint_{\partial W} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{S_{1}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{1}\right) d A+\iint_{S_{2}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{2}\right) d A \)</p> <p>이 된다. 곡면 \( S_{1} \) 은 \( z=f_{1}(x, y) \) 로 정의되어 있으므로</p> <p> <caption>(6.12)</caption>\( \mathbf{n}_{1}=\frac{\left(\partial f_{1} / \partial x\right) \mathbf{i}+\left(\partial f_{1} / \partial y\right) \mathbf{j}-\mathbf{k}}{\sqrt{\left(\partial f_{1} / \partial x\right)^{2}+\left(\partial f_{1} / \partial y\right)^{2}+1}} \)</p> <p>이 되고, 따라서</p> <p>\( \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{k}=\frac{-1}{\sqrt{\left(\partial f_{1} / \partial x\right)^{2}+\left(\partial f_{1} / \partial y\right)^{2}+1}} \)</p> <p>이 된다. 그러므로</p> <p>\( \iint_{S_{1}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{1}\right) d A \)</p> <p> <caption>(6.14)</caption>\( =\iint_{D} R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right)\left[\frac{-1}{\sqrt{\left(\partial f_{1} / \partial x\right)^{2}+\left(\partial f_{1} / \partial y\right)^{2}+1}}\right] \) \( \sqrt{\left(\partial f_{1} / \partial x\right)^{2}+\left(\partial f_{1} / \partial y\right)^{2}+1} d A \)</p> <p>\( =-\iint_{D} R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right) d x d y \)</p> <p>이 된다. (6.13)과 비슷하게 \( \mathrm{n}_{2} \) 를 갖는다. 단 벡터 \( \mathrm{n}_{2} \) 는 \( z \)-축의 아래 방향이므로, \( \mathbf{n}_{2} \) 의 분모는 \( -\left(\partial f_{2} / \partial x\right) \mathbf{i}-\left(\partial f_{2} / \partial y\right) \mathbf{j}+\mathbf{k} \) 이 된다. 따라서</p> <p>\( \mathbf{n}_{2} \cdot \mathbf{k}=\frac{1}{\sqrt{\left(\partial f_{2} / \partial x\right)^{2}+\left(\partial f_{2} / \partial y\right)^{2}+1}} \)</p> <p>이기 때문에</p> <p> <caption>(6.15)</caption>\( \iint_{S_{1}} R\left(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}_{2}\right) d A=\iint_{D} R\left(x \cdot y \cdot f_{2}(x, y)\right) d x d y \)</p> <p>가 된다. (6.14)과 (6.15)를 식 (6.12)에 대입하면</p> <p>\( \iint_{\partial W} R(\mathbf{k} \cdot \mathbf{n}) d A \)</p> <p>\( =\iint_{D} R\left(x \cdot y \cdot f_{2}(x, y)\right) d x d y-\iint_{D} R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right) d x d y \)</p> <p>\( =\iint_{D}\left[R\left(x . y \cdot f_{2}(x, y)\right)-R\left(x . y \cdot f_{1}(x, y)\right)\right] d x d y \)</p> <p>\( =\iiint_{W} \frac{\partial R}{\partial z} d x d y d z \) (식 (6.10)로 부터).</p> <p>이 된다. 따라서 식 \( (6.9) \) 이 증명되었다.</p> <h2>6 유동과 발산 정리</h2> <p>평면 위에서 움직이는 유체의 속도장을 \( \mathrm{v} \) 라 하자. 앞 절에서는 닫힌 곡선 \( C \) 를 따라서 \( \mathrm{v} \) 의 선적분이 \( C \) 를 따라서 \( \mathrm{v} \) 의 순환이라는 것을 설명하였다.</p> <p>주어진 선분 \( C \) 에서 일정한 크기와 방향을 갖는 유체의 속도장 \( \mathrm{v} \) 을 생각하자. 선분의 법선벡터 \( \mathrm{n} \) 과 속도벡터와의 각을 \( \theta \) 라 하자. 이제 \( C \) 의 단위길이가 되는 부분을 단위시간에 통과하는 유체의 량을 구해보자. 먼저 \( C \) 의 단위 길이 부분을 단위 시간에 \( \mathrm{v} \) 를 따라 유체가 흘러 간 양은 그 길이의 부분이 \( \mathrm{v} \) 를 따라 움직일 때 만들어낸 평행사변형의 넓이에 해당된다. 그림 \( 6.13 \) 참고.</p> <p>이 양은 \( 1 \cdot(\|\mathbf{v}\| \cos \theta) \) 가 된다. 이 양은 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \) 과 같다. 이제 곡선 \( C \) 를 따라서 단위 시간당 \( \mathrm{v} \) 방향으로 흐르는 유체의 양(넓이)을 계산하자. \( C \) 의 분할을 생각하고, 분할을 잇는 각 선분에 대하여 앞에서 구한 양을 측정하면 \( \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} \times( \) 선분의 길이)가 된다. 이 선분의 길이를 우리는 \( d s \) 로 표시한다. 따라서 \( C \) 를 따라서 단위 시간당 \( \mathbf{v} \) 방향으로</p> <p>흐르는 유체의 양은 이들의 양들을 합한 값(리만합)의 극한, 즉</p> <p>\( \int_{C} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d s \)</p> <p>이 된다. 이 적분을 \( C \) 를 따라 \( \mathrm{v} \) 의 유동이라 한다.</p> <p>이 값을 계산하여보자. \( C \) 를 \( \sigma(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j} \) 로 매개화 하자. 그러면 단위 접선벡터는</p> <p>\( \mathbf{n}=\frac{x^{\prime} \mathbf{i}+y^{\prime} \mathbf{j}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}}} \)</p> <p>으로 쓸 수 있다. 여기서 \( x^{\prime}=d x / d t \) 이고 \( y^{\prime}=d y / d t \) 이다. 길이 요소 \( d s \) 는</p> <p>\( d s=\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}} d t \)</p> <p>가 되고 단위 법선벡터는</p> <p>\( \mathbf{n}=\frac{y^{\prime} \mathbf{i}-x^{\prime} \mathbf{j}}{\sqrt{\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}}} \)</p> <p>이 된다. 우리는 단위 법선벡터를 \( \mathbf{n} \) 로 택하여 \( C \) 를 따라 시계 반대 방향으로 움직일 때, 밖으로 향하는 단위 법선벡터가 되도록 한다. 만약 \( \mathbf{v}=P \mathbf{i}+Q \mathrm{j} \) 라 하면</p> <p>\( \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d s=\left(P y^{\prime}-Q x^{\prime}\right) d t \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(예제 14 \) \( \quad D = [0,1] \times[0,1] \) 이라 하고 \( C \) 를 시계 반대 방향을 갖는 \( D \) 의 경계라 할 때, 다음을 구하라.</p> <p>\( \int_ { C } \left (y ^ { 4 } + x ^ { 3 } \right ) d x + 2 x ^ { 6 } d y \)</p> <p>\(풀이 \) 이 선적분을 직접 구할 수도 있지만 Green의 정리를 이용하면 더 편리하다. \( P_ { y } =4 y ^ { 3 } \) 이고 \( Q_ { x } =12 x ^ { 5 } \) 이므로, Green의 정리에 의하여</p> <p>\( \int_ { C } \left (y ^ { 4 } + x ^ { 3 } \right ) d x + 2 x ^ { 6 } d y= \iint_ { D } \left (12 x ^ { 5 } -4 y ^ { 3 } \right ) d x d y \)</p> <p>\( = \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (12 x ^ { 5 } -4 y ^ { 3 } \right ) d x \right ] d y \)</p> <p>\( = \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (2-4 y ^ { 3 } \right ) d y=1 \)</p> <p>이 된다.</p> <p>\(예제 15 \) \( C \) 를 시계 반대 방향을 갖는 \( D \) 의 경계라 하자. 다음을 증명하라.</p> <p>\( \int_ { C } P Q d x + P Q d y= \iint_ { D } \left [Q \left ( \frac {\partial P } {\partial x } - \frac {\partial P } {\partial y } \right ) + P \left ( \frac {\partial Q } {\partial x } - \frac {\partial Q } {\partial y } \right ) \right ] d x d y \)</p> <p>\(예제 28\) \( \quad \mathbf{v}=x^{3} \mathbf{i}+y^{3} \mathbf{j}+z^{3} \mathbf{k} \) 라 하자. 단위 구 를 따라 \( \mathbf{v} \) 의 유동을 구하라.</p> <p>\( 풀이\) 위 예제와 같이</p> <p>\( \operatorname{div} \mathbf{v}(x, y, z)=3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2} \)</p> <p>이므로, Gauss의 발산정리에 의하여 구하고자 하는 유동(flux)은 다음 적분으로 계산된다.</p> <p>\( \iiint_{W}(\operatorname{div} \mathbf{v}) d x d y d z \)</p> <p>구면좌표계를 이용하여 이 삼중적분을 구하면</p> <p>\( \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{1} 3 \rho^{4} \sin \phi d \rho d \phi d \theta=\frac{12}{5} \pi \)</p> <p>가 된다.</p> <p>\(예제 29\) 다음 항등식을 증명하라.</p> <p> <caption>(1)</caption>\( \nabla \cdot(f \mathbf{F})=(\nabla f) \cdot \mathbf{F}+f \nabla \cdot \mathbf{F} \).</p> <p> <caption>(2)</caption>\( \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{F})=0 \)</p> <p>\( 풀이\) \( \mathbf{F}=a \mathbf{i}+b \mathbf{j}+c \mathbf{k} \) 라 하자.</p> <p>(1):</p> <p>\( \nabla \cdot(f \mathbf{F})=\frac{\partial(f a)}{\partial x}+\frac{\partial(f b)}{\partial y}+\frac{\partial(f c)}{\partial z} \)</p> <p>\( =\frac{\partial f}{\partial x} a+\frac{\partial f}{\partial y} b+\frac{\partial f}{\partial z} c+f\left(\frac{\partial a}{\partial x}+\frac{\partial b}{\partial y}+\frac{\partial c}{\partial z}\right)=(\nabla f) \cdot \mathbf{F}+f \nabla \cdot \mathbf{F} \)</p> <p>(2):</p> <p>\( \nabla \cdot(\nabla \times \mathbf{F})=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial b}{\partial z}-\frac{\partial c}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial c}{\partial x}-\frac{\partial a}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial a}{\partial y}-\frac{\partial b}{\partial x}\right) \)</p> <p>가 된다. 클레로의 정리에 따라서 오른쪽의 값은 0 이 된다.</p> <p>\(예제 30\) 정전기학에서의 기본 법칙은 전하 밀도를 \( \rho \) 라 하 때, 전기장 \( \mathrm{E} \) 에 대하여 \( \operatorname{div} \mathrm{E}=\rho \) 를 만족하는 것이다. 닫힌 곡면을 지나는 \( \mathrm{E} \) 의 유동(flux)은 곡면 안의 총 전하와 같음을 보여라.</p> <p>\( 풀이\) \( W \) 는 \( S \) 에 의하여 둘러쌓인 영역이라 하자. 발산정리에 의하여</p> <p>\( S \) 를 따라 \( \mathrm{E} \) 의 flux \( =\int_{S} \mathrm{E} \cdot \operatorname{mathbfn} d A \)</p> <p>\( =\iiint_{W} \operatorname{div} \mathbf{E} d x d y d z \)</p> <p>\( =\iiint_{W} \rho(x, y, z) d x d y d z \quad \operatorname{div} \mathbf{E}=\rho \) 이므로</p> <p>이 된다. \( \rho \) 는 단위 부피당 전하를 뜻하므로,</p> <p>\( Q=\iiint_{W} \rho(x, y, z) d x d y d z \)</p> <p>는 \( S \) 안의 총 전하가 된다.</p> <p>\( f_ { z } (x, y, z)=- \frac { m M G z } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \)</p> <p>이기 때문에</p> <p>\( \nabla f(x, y, z)=- \frac { m M G x } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { i } - \frac { m M G y } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { j } - \frac { m M G z } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { k } \)</p> <p>\( =- \frac { m M G } {\left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } (x \mathbf { i } + y \mathbf { j } + z \mathbf { k } ) \)</p> <p>\( =- \frac { m M G } {\left (\| \mathbf { r } \| ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \mathbf { r } =- \frac { m M G } { \| \mathbf { r } \| ^ { 3 } } \mathbf { r } = \mathbf { F } \)</p> <p>가 된다. 따라서 \( f \) 가 \( F \) 의 포텐설함수이므로 중력장은 보존장이다.</p> <p>\(정의 \) 곡선 \( C \) 의 시작점과 끝점이 같을 때 우리는 곡선이 \(닫혀있다 \)(closed)라고 한다.</p> <p>정리 6.7 (Green의 정리) \( D \)가 경우 I과 경우 II와 같은 영역이고, 그 경계가 되는 곡선 \( C \)가 시계 반대으로 방향을 갖는다고 하자. \( P(x, y) \) 와 \( Q(x, y) \) 가 \( D \) 와 \( C \) 에서 연속인 일계 편도함수를 가지면</p> <p>\( \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y \)</p> <p>가 된다.</p> <p>예제 13 \( D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \) 이고, \( P(x, y)=x, Q(x, y)=x y \) 일 때, Green의 정리를 확인 하여라.</p> <p>풀이 \( D \)의 경계를 \( C \)라 하면, \( C \)는 \( t \in[0,2 \pi] \) 에서 \( (x, y)=(\cos t, \sin t) \)로 매개화 된다. 따라서</p> <p>\( P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\cos t(-\sin t d t)+(\cos t \sin t)(\cos t d t) \)</p> <p>\( =\cos t(-1+\cos t) \sin t d t \)</p> <p>가 되고,</p> <p>\( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=y-0=y \)</p> <p>가 된다. 이제</p> <p>\( \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\int_{0}^{2 \pi} \cos t(-1+\cos t) \sin t d t \)</p> <p>\( =\left[\frac{\cos ^{2} t}{2}+\frac{\cos ^{3} t}{3}\right]_{0}^{2 \pi}=0 \)</p> <p>이고, 또한</p> <p>\( \iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\iint_{D} y d x d y \)</p> <p>\( =\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r \sin \theta r d r d \theta=\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r^{2} \sin \theta d r d \theta \)</p> <p>\( =\int_{0}^{2 \pi} \sin \theta\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{r=0}^{1} d \theta=\frac{1}{3} \int_{0}^{2 \pi} \sin \theta d \theta=0 \)</p> <p>가 된다. 따라서 Green의 정리가 성립한다.</p> <p>정리 6.8 (Green의 정리) 구분적으로 매끄럽고 닫힌 곡선 \( C \)가 경계가 되는 영역 \( D \)에서 곡선 \( C \)가 시계 반대으로 방향을 갖는다고 하자. \( P(x, y) \)와 \( Q(x, y) \)가 \( D \) 와 \( C \)에서 연속인 일계 편도함수를 가지면</p> <p>\( \int_{C} P(x, y) d x+Q(x, y) d y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y \)</p> <p>가 된다.</p> <p>정리 \( 6.3 \) 열려있고 연결된 영역 \( D \) 에서 연속인 벡터장 \( \mathrm{F} \) 에 대하여 선적분 \( \int_{C} \mathrm{~F} \cdot d \mathrm{r} \) 이 경로에 독립이면, \( \mathrm{F} \) 는 보존장이다. 즉 \( \mathbf{F}=\nabla f \) 가 되는 미분가능한 함수 \( f \) 가 존재한다.</p> <p>증명 \( D \) 안의 한 점 \( (a, b) \) 를 고정하자. 임의의 점 \( (x, y) \in D \) 에 대하여 함수</p> <p>\( f(x, y)=\int_{(a, b)}^{(x, y)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>를 정의하자. 선적분이 \( (a, b) \) 로 부터 \( (x, y) \) 로의 경로에 독립이므로 이 함수는 잘 정의되었다. 이제 이 함수의 \( \frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \) 를 계산하여 보자. \( D \) 가 열려있고 연결되었으므로 그림 \( 6.5 \) (a)에서 보듯이</p> <p>\( f(x, y)=\int_{C_{1}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}+\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{(a, b)}^{\left(x_{1}, y\right)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}+\int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>이 된다.</p> <p>\( \int_{(a, b)}^{\left(x_{1}, y\right)} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=f\left(x_{1}, y\right) \)</p> <p>이기 때문에 \( x \) 에 대한 편도함수는 0 이다. 따라서</p> <p>\( \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=\frac{\partial}{\partial x} \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} \)</p> <p>가 된다. \( \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j} \) 라 하면, \( d \mathbf{r}=d x \mathbf{i}+d y \mathbf{j} \) 이기 때문에</p> <p>\( \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\int_{C_{2}} P d x+Q d y \)</p> <p>라 쓸 수 있다. 곡선 \( C_{2} \) 의 \( y \)-좌표가 상수이기 때문에 \( C_{2} \) 위에서 \( d y=0 \) 이다. 따라서</p> <p>\( \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=\frac{\partial}{\partial x} \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\frac{\partial}{\partial x} \int_{C_{2}} P d x=\frac{\partial}{\partial x} \int_{x_{1}}^{x} P d x=P(x, y) \)</p> <p>가 된다. 비슷한 방법으로</p> <p>\( \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)=\frac{\partial}{\partial y} \int_{C_{2}} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r}=\frac{\partial}{\partial y} \int_{C_{2}} Q d y=\frac{\partial}{\partial x} \int_{y_{1}}^{y} P d x=Q(x, y) \)</p> <p>가 된다. 따라서</p> <p>\( \mathbf{F}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}=\frac{\partial}{\partial x} f(x, y) \mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} f(x, y) \mathbf{j}=\nabla f \)</p> <p>가 된다.</p> <p>우리는 Green의 정리를 삼차원으로 일반화 시킨 것이 Stokes 정리라는 것을 보았다. 이제 평면 위의 발산정리를 삼차원으로 확장시켜보기로 한다.</p> <p>\( \mathbf{v} \) 를 삼차원 벡터장이라 하자. 평면에서 다룬 것과 같이 \( \mathbf{v} \) 를 속도장으로, \( S \) 를 곡면이라 할 때, 면적분</p> <p>\( \iint_{S} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d s \)</p> <p>는 단위 시간당 법선 \( \mathbf{n} \) 방향으로 \( S \) 를 통과하는 유체의 량(부피)이 된다. 마찬가지로 이 적분 \( \iint_{S} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d s \) 을 \( S \) 를 따라 \( \mathbf{v} \) 의 유동이라 한다.</p> <p>\( \mathbf{v}=P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k} \) 라 하면</p> <p>\( \operatorname{div} \mathbf{v}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} \)</p> <p>를 삼차원 벡터장 \( v \) 의 발산(divergence)이라 한다.</p> <p>정리 \( 6.13 \) (공간에서 Gauss의 발산정리) \( W \) 를 삼차원 공간의 경우 \( I, I I, I I I \) 와 같은 영역이라 하고, \( \partial W \) 를 단위 법선벡터 \( \mathbf{n} \) 가 밖으로 향하도록 \( W \) 의 경계로 이루어진 곡면이라 하자. \( \mathbf{v} \) 를 \( W \) 위에서의 벡터장이라 하면</p> <p>\( \iiint_{W}(\operatorname{div} \mathbf{v}) d x d y d z=\iint_{\partial W}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{n}) d A \)</p> <p>가 된다.</p> <p>이 정리는 \( W \) 의 경계를 지나가는 총 유동의 값은 \( W \) 에서의 총 발산과 같다는 것이다.</p> <p>증명 다음의 세 식을 증명하면 된다.</p> <p> <caption>(6.7)</caption>\( \iint_{\partial W} P \mathbf{i} \cdot \mathbf{n} d A=\iiint_{W} \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z \)</p> <p> <caption>(6.8)</caption>\( \iint_{\partial W} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} d A=\iiint_{W} \frac{\partial Q}{\partial y} d x d y d z \)</p> <p> <caption>(6.9)</caption>\( \iint_{\partial W} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} d A=\iiint_{W} \frac{\partial R}{\partial z} d x d y d z \)</p> <p>실제로</p> <p>\( \iiint_{W}(\operatorname{div} \mathbf{v}) d x d y d z=\iiint_{W} \frac{\partial P}{\partial x} d x d y d z+\iiint_{W} \frac{\partial Q}{\partial y} d x d y d z \)</p> <p>\( +\iiint_{W} \frac{\partial R}{\partial z} d x d y d z \)</p> <p>이고</p> <p>\( \iint_{\partial W} \mathbf{v} \cdot \mathbf{n} d A=\iint_{\partial W}(P \mathbf{i}+Q \mathbf{j}+R \mathbf{k}) \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>\( =\iint_{\partial W} P \mathbf{i} \cdot \mathbf{n} d A+\iint_{\partial W} Q \mathbf{j} \cdot \mathbf{n} d A+\iint_{\partial W} R \mathbf{k} \cdot \mathbf{n} d A \)</p> <p>이기 때문이다. 여기서는 식 (6.9)을 증명하려고 한다. 다른 식은 이와 비슷하게 증명된다. \( W \) 을 다음과 같이 나타내자.</p> <p>\( f_{1}(x, y) \leq z \leq f_{2}(x, y), \quad(x, y) \in D \)</p> <p>여기서 \( D \) 는 \( W \) 에 대한 \( x y \)-평면 위의 정의 역이다.</p>	자연
m309-선형대수학 입문	<h3>정리3.3.2</h3> <p>체 \( K \)위의 \( m \times n \)행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } , B= \left (b_ { i j } \right )_ { m \times n } \)에 대하여 \( L_ { A } =L_ { B } \)이면 \( A=B \)이다. 즉 \( A, B \)에 대응하는 선형사상이 같으면 두 행렬은 일치한다.</p> <p>증명.</p> <p>\( L_ { A } =L_ { B } \)라고 하면 임의의 \( X \in K ^ { n } \)에 대하여 \( L_ { A } (X)=L_ { B } (X) \), 즉 \( A X=B X \)이다. \( A_ { i } , B_ { i } \)를 각각 \( A, B \)의 제 \( i \)행이라 하면 모든 \( i \)에 대하여 \[ A_ { i } \circ X=B_ { i } \circ X \text { 이다. } \] 따라서 모든 \( i \)와 \( X \)에 대하여 \( \left (A_ { i } -B_ { i } \right ) \circ X=0 \). 그러므로 \( A_ { i } -B_ { i } =0 \). 즉 \( A_ { i } =B_ { i } \)이다. 따라서 \( A=B \)이다.</p> <h3>정리3.3.3</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( K ^ { n } , K ^ { m } \)에 대하여 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \)이 선형사상이면 \( L=L_ { A } \)가 되는 \( K \)위의 \( m \times n \)행렬 \( A \)가 유일하게 존재한다. 이때, 행렬 \( A \)를 선형사상 \( L \)에 대응되는 행렬(matrix associated with \( L \) )이라하고, \( A=[L] \)로 표시한다.</p> <p>증명.</p> <p>\( B= \left \{ E ^ { 1 } , E ^ { 2 } , \cdots, E ^ { n } \right \} , B ^ {\prime } = \left \{ e ^ { 1 } , e ^ { 2 } , \cdots, e ^ { m } \right \} \)을 각각 \( K ^ { n } , K ^ { m } \) 의 표준기저라고 하자. 임의의 원소 \( X \in K ^ { n } \)는 \[ X= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right )=x_ { 1 } E ^ { 1 } + x_ { 2 } E ^ { 2 } + \cdots + x_ { n } E ^ { n } \]으로 나타낼 수 있으므로 \( L \)의 선형성에 의하여 \( L(X)=x_ { 1 } L \left (E ^ { 1 } \right ) + x_ { 2 } L \left (E ^ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { n } L \left (E ^ { n } \right ) \)이 되고, \( L \left (E ^ { j } \right ) \in K ^ { m } \quad(1 \leq j \leq n) \)이므로 \( L \left (E ^ { j } \right ) \)는 \( e ^ { 1 } , e ^ { 2 } , \cdots, e ^ { m } \)의 일차결합으로 표시할 수 있다. 따라서 \( a_ { i j } \in K \quad(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) \)가 존재하여 \[ \left \{\begin {array} { c } L \left (E ^ { 1 } \right )=a_ { 11 } e ^ { 1 } + a_ { 21 } e ^ { 2 } + \cdots + a_ { m 1 } e ^ { m } \\ L \left (E ^ { 2 } \right )=a_ { 12 } e ^ { 1 } + a_ { 22 } e ^ { 2 } + \cdots + a_ { m 2 } e ^ { m } \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots a_ { m n } e ^ { m } \\ L \left (E ^ { n } \right )=a_ { 1 n } e ^ { 1 } + a_ { 2 n } e ^ { 2 } + \cdots \cdots + 1 \end {array} \right . \]으로 쓸 수 있고, 이것을 기저 \( B ^ {\prime } \)에 관한 좌표벡터로 표시하면 \[ L \left (E ^ { 1 } \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } \\ a_ { 21 } \\ \vdots \\ a_ { m 1 } \end {array} \right ), L \left (E ^ { 2 } \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 12 } \\ a_ { 22 } \\ \vdots \\ a_ { m 2 } \end {array} \right ), \cdots, L \left (E ^ { n } \right )= \left ( \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\ a_ { 2 n } \\ \vdots \\ a_ { m n } \end {array} \right ) \text { 이다. } \] 따라서 \[ \begin {array} { r } L(X)=x_ { 1 } \left (a_ { 11 } e ^ { 1 } + a_ { 21 } e ^ { 2 } + \cdots + a_ { m 1 } e ^ { m } \right ) + x_ { 2 } \left (a_ { 12 } e ^ { 1 } + a_ { 22 } e ^ { 2 } + \cdots + a_ { m 2 } e ^ { m } \right ) \\ + \cdots + x_ { n } \left (a_ { 1 n } e ^ { 1 } + a_ { 2 n } e ^ { 2 } + \cdots + a_ { m n } e ^ { m } \right ) \\ = \left (a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } \right ) e ^ { 1 } + \left (a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } \right ) e ^ { 2 } \\ + \cdots + \left (a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } \right ) e ^ { m } \end {array} \]이고, 이것을 기저 \( B ^ {\prime } \) 에 관한 좌표벡터로 쓰면 \( L(X)= \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \)이다. 여기서 \( A= \left (a_ { i j } \right ) \quad(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n) \)이라하면 \( A \)는 \( m \times n \)행렬이고 \( L(X)=A X=L_ { A } (X) \)이므로 \( L=L_ { A } \)이다. 그리고 행렬 \( A \)의 유일성을 증명하기 위하여 \( L=L_ { B } \)인 행렬 \( B \)가 존재한다면 \( L_ { A } =L=L_ { B } \)이므로 정리 3.3.2에 의하여 \[ B=A \text { 이다. } \] 따라서 행렬 \( A \)는 유일하게 결정된다.</p> <p>그리고 정리 3.3.1은 행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)에 대하여 선형사상 \[ L_ { A } : K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \]이 대응됨을 보이고 정리3.3.3은 선형사상 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \)에 대해서 \( m \times n \)행렬 \( A=[L] \)가 대응됨을 보인다. 즉 \( K ^ { n } \)에서 \( K ^ { m } \)으로의 모든 선형사상 \( T: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \)은 \( m \times n \)행렬 \( A \)가 존재하여 \( T(X)=A X, X \)는 \( K ^ { n } \)의 열벡터 꼴로 나타내어진다.</p> <h3>보기3.3.2</h3> <p>선형사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x-y \\ x + y \\ 3 x-y \end {array} \right ) \)일 때 \( L \)의 표준행렬 \( A \)를 구하라. 실제로, \( L \left (E ^ { 1 } \right )=L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \\ 3 \end {array} \right ), L \left (E ^ { 2 } \right )=L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } -1 \\ 1 \\ -1 \end {array} \right ) \)이므로 \( L \)의 표준행렬 \( A \)는 \[ A= \left (L \left (E ^ { 1 } \right ), L \left (E ^ { 2 } \right ) \right )= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 3 & -1 \end {array} \right ) \text { 이다. } \] 그리고 주어진 선형사상 \( L \)을 행렬변환으로 표시하면 \[ L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x-y \\ x + y \\ 3 x-y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 3 & -1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \text { 이다. } \] 따라서 정리3.3.3에서 보았듯이 모든 선형사상 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \)은 \( L \)의 표준행렬 \( A \)가 존재하여 \[ L(X)=A X \] 꼴로 나타내어짐을 알 수 있다. \[ \begin {aligned} A &= \left (p \left (E ^ { 1 } \right ), p \left (E ^ { 2 } \right ), p \left (E ^ { 3 } \right ) \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ) \text { 이다. } \end {aligned} \] 여기서 각 \( p \left (E ^ { i } \right ) \)가 열벡터로 표시됨을 유의하자.</p> <h3>보기3.1.6</h3> <p>실수체 \( \mathbb { R } \)위의 벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서, 사상 \[ L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 2 x + y \\ -x + 5 y \end {array} \right ) \text { 는 선형사상이다. } \] 실제로, 선형사상의 정의에 의해서 직접 증명할 수 있다. 여기서는 보기3.1.5를 이용해서 증명해 보기로 한다. \[ X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ), A= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -1 & 5 \end {array} \right ) \] 라고 두면 \[ L(X)=L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } 2 x + y \\ -x + 5 y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -1 & 5 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )=A X \]이므로 보기3.1.5에 의하여 \( L \)은 선형사상이다.</p> <h3>보기3.1.6</h3> <p>(선형사상의 벡터공간) 체 \( K \)위의 두 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 \( \mathscr { L } (V, W) \)를 \( V \)에서 \( W \)로의 선형사상 전체의 집합, 즉 \[ \mathscr { L } (V, W)= \{ L: V \rightarrow W \text { 는 선형사상 } \} \]이라고 하자. 지금 \( \mathscr { L } (V, W) \)가 \( K \)위의 벡터공간이 되도록 \( \mathscr { L } (V, W) \)위에 덧셈과 스칼라배(scalar multiple)를 다음과 같이 정의하자. 임의의 \( T, F \in \mathscr { L } (V, W) \)와 임의의 \( a \in K \)에 대하여 \[ \begin {array} { l } T + F: V \rightarrow W, \quad(T + F)(v)=T(v) + F(v) \\ a T: V \rightarrow W, \quad(a T)(v)=a T(v) \quad(v \in V) . \end {array} \] 그러면 \( T + F, a T \in \mathscr { L } (V, W) \)이다. 실제로, 임의의 \( u, v \in V \)에 대해서, \[ \begin {aligned} (T + F)(u + v) &=T(u + v) + F(u + v) \\ &=T(u) + T(v) + F(u) + F(v) \\ &=T(u) + F(u) + T(v) + F(v) \\ &=(T + F)(u) + (T + F)(v) \quad \text { 이고, } \end {aligned} \] 또, 임의의 \( c \in K \)에 대하여, \[ \begin {aligned} (T + F)(c u) &=T(c u) + F(c u) \\ &=c T(u) + c F(u) \\ &=c(T(u) + F(u)) \\ &=c(T + F)(u) \text { 이다. } \end {aligned} \]따라서 \( T + F \) 는 선형사상이다.</p> <h3>정리3.2.5</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>항등변환 \( I: V \rightarrow V \) 는 동형사상이다.</li> <li>\( F: V \rightarrow W \) 가 동형사상이면 \( F \) 의 역사상 \( F ^ { -1 } : W \rightarrow V \) 가 존재하고 \( F ^ { -1 } \) 도 동형사상이다.</li></ol> <p>증명.</p> <ol type=1 start=1><li>항등사상 \( I: V \rightarrow V \)는 선형사상이고 전단사이므로 \( I \)는 동형사상이다.</li> <li>\( F: V \rightarrow W \)가 동형사상이라고 하면 \( F \)는 전단사이므로 \( F ^ { -1 } \)가 존재하고 \( F ^ { -1 } \)도 전단사이다. 그리고 임의의 \( w_ { 1 } , w_ { 2 } \in W \)와 \( a \in K \)에 대하여 \( F ^ { -1 } \left (w_ { 1 } \right )=v_ { 1 } , \quad F ^ { -1 } \left (w_ { 2 } \right )=v_ { 2 } \)이라고 하면, \( F \left (v_ { 1 } \right )=w_ { 1 } , F \left (v_ { 2 } \right )=w_ { 2 } \)이므로 \[ \begin {array} { l } F \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right )=F \left (v_ { 1 } \right ) + F \left (v_ { 2 } \right )=w_ { 1 } + w_ { 2 } , \\ F \left (a v_ { 1 } \right )=a F \left (v_ { 1 } \right )=a w_ { 1 } \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 \[ \begin {array} { l } F ^ { -1 } \left (w_ { 1 } + w_ { 2 } \right )=v_ { 1 } + v_ { 2 } =F ^ { -1 } \left (w_ { 1 } \right ) + F ^ { -1 } \left (w_ { 2 } \right ) \text { 이고, } \\ F ^ { -1 } \left (a w_ { 1 } \right )=a v_ { 1 } =a F ^ { -1 } \left (w_ { 1 } \right ) \text { 이므로 } \end {array} \] \( F ^ { -1 } \)는 선형사상이다. 그러므로 \( F ^ { -1 } \)는 동형사상이다.</li></ol> <p>주의.</p> <p>정리3.3.3의 증명과정에서 알 수 있듯이 선형사상 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \)에 대응되는 행렬 \( A \)의 각 열은 \( K ^ { n } \)의 표준기저 \( B= \left \{ E ^ { 1 } , E ^ { 2 } , \cdots, E ^ { n } \right \} \)에 대한 \( L \left (E ^ { 1 } \right ), L \left (E ^ { 2 } \right ), \cdots, L \left (E ^ { n } \right ) \)은 각각 \( K ^ { m } \)의 표준기저 \( B ^ {\prime } = \left \{ e ^ { 1 } , e ^ { 2 } , \cdots, e ^ { m } \right \} \)에 관한 좌표열벡터이다. \[ \begin {array} { l } A=[L]= \left ( \left [L \left (E ^ { 1 } \right ) \right ]_ { B ^ {\prime } } , \left [L \left (E ^ { 2 } \right ) \right ]_ { B ^ {\prime } } , \cdots, \left [L \left (E ^ { n } \right ) \right ]_ { B ^ {\prime } } \right ) \\ = \left ( \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \\ \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \\ L \left (E ^ { 1 } \right ) L \left (E ^ { 2 } \right ) \cdots L \left (E ^ { n } \right ) \\ \end {array} \]이다. 이때, \( K ^ { n } \)과 \( K ^ { m } \)의 표준기저에 대한 행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)을 \( L \)의 표준행렬 (standard matrix)이라고 한다.</p> <h3>정리3.3.6</h3> <p>선형사상 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { n } \)의 표준행렬이 \( A \)일 때, 다음사실은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( L \)은 전단사사상이다. 즉 \( L \)은 동형사상이다.</li> <li>\( A \)가 가역행렬이다.</li></ol> <p>증명.</p> <p>선형사상 \( L \)의 표준행렬이 \( A \)이므로 임의의 열벡터 \( X \in K ^ { n } \)에 대하여 \( L(X)=A X \)이다. 여기서, \( A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , \cdots, A ^ { n } \)을 행렬 \( A \)의 열벡터라고 하면 \[ L(X)=A X=x_ { 1 } A ^ { 1 } + x_ { 2 } A ^ { 2 } + \cdots + x_ { n } A ^ { n } \quad \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \right ) \]으로 쓸 수 있다. (1) \( \Rightarrow \) (2) : \( A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , \cdots, A ^ { n } \)가 일차독립임을 증명하기 위하여 \( x_ { 1 } A ^ { 1 } + x_ { 2 } A ^ { 2 } + \cdots + x_ { n } A ^ { n } =0 \)이라고 가정하면 \[ X= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \in \operatorname { Ker } L \]이고, 가정에서 \( L \)가 전단사 이므로 \( L \)은 단사이다. 따라서 \[ \begin {aligned} X &= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \in \operatorname { Ker } L= \{ 0 \} \text { (정리3.2.2), 즉 } \\ x_ { 1 } &=0, x_ { 2 } =0, \cdots, x_ { n } =0 \text { 이다. } \end {aligned} \] 그러므로, \( A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , \cdots, A ^ { n } \)은 일차독립이다. 정리 2.2.4에 의하여 \( A \)는 가역행렬이다. (2) \( \Rightarrow(1) \) : 행렬 \( A \)가 가역행렬이라고 하면 정리 2.2.4에 의하여, \( A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , \cdots, A ^ { n } \)은 일차독립이고, \( \left \{ A ^ { 1 } , A ^ { 2 } , \cdots, A ^ { n } \right \} \)은 \( K ^ { n } \)의 기저이다. 따라서, 임의의 \( B \in K ^ { n } \)은 \[ \begin {array} { l } B=x_ { 1 } A ^ { 1 } + x_ { 2 } A ^ { 2 } + \cdots + x_ { n } A ^ { n } \text { 으로 표시되고 } \\ X= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \in K ^ { n } \text { 이고 } L(X)=A X=B \text { 이다. } \end {array} \] 그러므로 선형사상 \( L \)은 전사, 즉 \[ \operatorname { Im } L=K ^ { n } \text { 이다. } \] 정리3.2.4에 의하여 \( \operatorname { dim } K ^ { n } = \operatorname { dim } \operatorname { Ker } L + \operatorname { dim } \operatorname { ImL } \)이므로 \( \operatorname { dim } \operatorname { KerL } =0 \), 즉 \( \operatorname { Ker } L= \{ 0 \} \)이고, \( L \)은 단사이다. 따라서 \( L \)은 전단사 선형사상이다.</p> <h2>3.3 선형사상과 표준행렬</h2> <p>이 절에서는 체 \( K \)위의 \( m \times n \)행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)와 선형사상 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } \) 사이의 관련성에 대해서 알아본다.</p> <h3>정리3.3.1</h3> <p>체 \( K \)위의 \( m \times n \)행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)에 대하여 사상 \( L_ { A } : K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } , L_ { A } (X)=A X \)는 선형사상이다. 여기서 \( X \)는 \( K ^ { n } \)의 열벡터. 즉 \[ X= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \text { 이다. } \] 이때, 선형사상 \( L_ { A } \)를 행렬 \( A \)에 대응되는 선형사상(linear map associated with \( A) \)이라고 한다.</p> <p>증명.</p> <p>보기3.1.5에서 증명하였다.</p> <h3>보기3.3.1</h3> <p>실수체 \( \mathbb { R } \) 위의 행렬 \( A= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -1 & 5 \end {array} \right ) \)에 대해서 사상 \( L_ { A } : \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , L_ { A } \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -1 & 5 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 2 x_ { 1 } + x_ { 2 } \\ -x_ { 1 } + 5 x_ { 2 } \end {array} \right ) \)는 선형사상이다.</p> <h3>보기3.1.3</h3> <p>\( V \)가 체 \( K \)위의 벡터공간 일 때, 사상 \( I: V \rightarrow V, I(v)=v \)는 선형사상이다. 이때 \( I \)를 항등변환(identity transformation)이라고 한다. 실제로, 임의의 \( u, v \in V \)에 대해서 \[ I(u + v)=u + v=I(u) + I(v), \] 임의의 \( k \in K \)에 대해서, \( I(k v)=k v=k I(v) \)이다.</p> <h3>보기3.1.4</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대해서 사상 \[ O: V \rightarrow W, O(v)=O \]는 선형사상이다. 이와 같은 사상을 영 사상(zero map)이라고 한다. 실제로, 임의의 \( u, v \in W \)와 임의의 \( k \in K \)에 대하여, \[ \begin {array} { l } O(u + v)=O=O + O=O(u) + O(v), \\ O(k v)=O=k O=k O(v) . \end {array} \]</p> <h3>정리3.1.1</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 사상 \[ L: V \rightarrow W \]가 선형사상이면 다음 사실이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( L(0)=0 \) (여기서 좌변과 우변의 0은 각각 \( V, W \) 의 영벡터)</li> <li>임의의 \( v, v_ { 1 } , v_ { 2 } \in V \)에 대하여, \[ L(-v)=-L(v), \quad L \left (v_ { 1 } -v_ { 2 } \right )=L \left (v_ { 1 } \right )-L \left (v_ { 2 } \right ) . \]</li> <li>임의의 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , \cdots, a_ { n } \in K \)와 임의의 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \in V \)에 대하여 \[ L \left (a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { n } v_ { n } \right )=a_ { 1 } L \left (v_ { 1 } \right ) + a_ { 2 } L \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + a_ { n } L \left (v_ { n } \right ) \]</li></ol> <p>증명.</p> <ol type=1 start=1><li>\( L(0)=L(0 + 0)=L(0) + L(0) \)이므로 \( L(0)=0 \).</li> <li>( \( 0=L(0)=L(v + (-v))=L(v) + L(-v) \)이므로 \( L(-v)=-L(v) \). 또, \( L \left (v_ { 1 } -v_ { 2 } \right )=L \left (v_ { 1 } + \left (-v_ { 2 } \right ) \right )=L \left (v_ { 1 } \right ) + L \left (-v_ { 2 } \right ) \) \( =L \left (v_ { 1 } \right )-L \left (v_ { 2 } \right ) \).</li> <li>\( \begin {aligned} L \left (a_ { 1 } v_ { 1 } + a_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + a_ { n } v_ { n } \right ) &=L \left (a_ { 1 } v_ { 1 } \right ) + L \left (a_ { 2 } v_ { 2 } \right ) + \cdots + L \left (a_ { n } v_ { n } \right ) \\ &=a_ { 1 } L \left (v_ { 1 } \right ) + a_ { 2 } L \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + a_ { n } L \left (v_ { n } \right ) . \end {aligned} \)</li></ol> <h3>보기3.3.7</h3> <p>\( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 점 \( P(x, y) \)를 원점에 관하여 반시계 방향으로 \( \theta \) 만큼 회전 이동하여 점 \( Q \left (x ^ {\prime } , y ^ {\prime } \right ) \)로 옮기는 선형변환의 \( L \)의 표준행렬 \( A \)를 구하여 보자. 실제로, 위의 【그림2】에서 알 수 있듯이 \[ L \left (E ^ { 1 } \right )=L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } \cos \theta \\ \sin \theta \end {array} \right ), L \left (E ^ { 2 } \right )=L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } \cos \left ( \frac {\pi } { 2 } + \theta \right ) \\ \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } + \theta \right ) \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } - \sin \theta \\ \cos \theta \end {array} \right ) \text { 이므로 } \] \( L \)의 표준행렬 \( A= \left ( \begin {array} { rr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ) \)이다. 이때, 이 선형변환 \( L \)을 회전(rotation)이라고 한다. 특히, \( \theta= \frac {\pi } { 6 } \) 만큼 회전한 선형사상 \( L \)의 표준행렬은 \[ \begin {aligned} A &= \left ( \begin {array} { cc } \cos \frac {\pi } { 6 } & - \sin \frac {\pi } { 6 } \\ \sin \frac {\pi } { 6 } & \cos \frac {\pi } { 6 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cc } \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } & - \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \end {array} \right ) \text { 이므로 } L(X)=A X \text { 에서 } \\ L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { cc } \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } & - \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right )= \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } -1, \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { 3 } \right ) \text { 이다. } \end {aligned} \] 따라서 \( (1,2) \stackrel { L } {\longrightarrow } \left ( \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } -1, \frac { 1 } { 2 } + \sqrt { 3 } \right ) \)으로 옮겨진다.</p> <h3>보기3.1.2</h3> <p>다음과 같이 정의되는 사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \) 은 선형사상이 아니다. \[ L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x \\ y + 1 \end {array} \right ) . \] 실제로, \( u= \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ y_ { 1 } \end {array} \right ), v= \left ( \begin {array} { l } x_ { 2 } \\ y_ { 2 } \end {array} \right ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \) 에 대하여 \( u + v= \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } + x_ { 2 } \\ y_ { 1 } + y_ { 2 } \end {array} \right ) \)이므로 \[ \begin {array} { l } L(u + v)=L \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } + x_ { 2 } \\ y_ { 1 } + y_ { 2 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } + x_ { 2 } \\ y_ { 1 } + y_ { 2 } + 1 \end {array} \right ) \text { 이고, } \\ L(u) + L(v)=L \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right ) + L \left ( \begin {array} { l } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \end {array} \right ) \\ = \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ y_ { 1 } + 1 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } + 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } + y_ { 1 } \\ y_ { 1 } + y_ { 2 } + 2 \end {array} \right ) \text { 이므로 } \\ L(u + v) \neq L(u) + L(v) \text { 이다. } \\ \end {array} \]</p> <p>선형변환 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { n } \)의 표준행렬 \( A \)가 가역이면 \( L \)은 전단사사상 이므로 역사상 \( L ^ { -1 } \)가 존재한다. 지금 \( L: K ^ { n } \rightarrow K ^ { n } \), \[ L \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right )=A \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ \vdots \\ y_ { n } \end {array} \right ) \text { 이면 } \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right )=A ^ { -1 } \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ \vdots \\ y_ { n } \end {array} \right ) \]이므로 \( A ^ { -1 } \) 는 \( \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ \vdots \\ y_ { n } \end {array} \right ) \) 을 \( \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \)으로 옮기는 선형변환의 표준행렬로 생각할 수 있다. 이 선형변환을 \( L \)의 역 선형변환(inverse transformation)이라하고 \( L ^ { -1 } \)로 나타낸다. 즉 \[ L ^ { -1 } (Y)=A ^ { -1 } Y \quad \left (Y \in K ^ { n } \text { 의 열벡터 } \right ) \]이다. 따라서 \( L ^ { -1 } \)의 표준행렬은 \( A ^ { -1 } \)이다.</p> <h3>보기3.3.6</h3> <p>\( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 점 \( P(x, y) \)를 다음에 관하여 대칭으로 옮기는 선형변환의 표준행렬 \( A \)를 각각 구하여 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>\( x \)-축</li> <li>\( y \)-축</li> <li>원점 \( O \)</li></ol> <p>실제로,</p> <ol type=1 start=1><li>\( x \)-축에 관한 대칭이동은 \[ L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } x \\ -y \end {array} \right ) \text { 이므로 } \] \( L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ), L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } 0 \\ -1 \end {array} \right ) \)이다. 따라서 \( A= \left ( \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ) \)이다.</li> <li>\( y \)-축에 관한 대칭이동은 \[ \begin {aligned} L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { r } -x \\ y \end {array} \right ) \text { 이므로 } \\ L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { r } -1 \\ 0 \end {array} \right ), L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \text { 이다. } \end {aligned} \] 따라서 \( A= \left ( \begin {array} { rr } -1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ) \)이다.</li> <li>원점에 관한 대칭이동은 \[ \begin {aligned} L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { l } -x \\ -y \end {array} \right ) \\ L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) &= \left ( \begin {array} { r } -1 \\ 0 \end {array} \right ), L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } 0 \\ -1 \end {array} \right ) \text { 이다. } \end {aligned} \] 따라서 \( A= \left ( \begin {array} { rr } -1 & 0 \\ 0 & -1 \end {array} \right ) \)이다.</li></ol> <h3>정리3.2.3</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에서, 선형사상 \( F: V \rightarrow W \)가 단사일 때, \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \)이 \( V \)의 일차독립인 원소들이면 \[ F \left (v_ { 1 } \right ), F \left (v_ { 2 } \right ), \cdots, F \left (v_ { n } \right ) \]은 \( W \)의 일차독립인 원소들이다.</p> <p>증명,</p> <p>\( x_ { 1 } F \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } F \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { n } F \left (v_ { n } \right )=0 \quad \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \right ) \)이라고 하면 \( F \)의 선형성에 의하여 \( F \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \right )=0 \)이므로 \[ x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \in \operatorname { Ker } F \text { 이다. } \] 한편, \( F \)가 단사이므로 \( \operatorname { Ker } F= \{ 0 \} \)이다. 따라서 \( x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } =0 \)이다. \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \)이 일차독립이므로 \( x_ { 1 } =0, x_ { 2 } =0, \cdots, x_ { n } =0 \). 그러므로 \( F \left (v_ { 1 } \right ), F \left (v_ { 2 } \right ), \cdots, F \left (v_ { n } \right ) \)은 일차독립이다.</p> <p>증명.</p> <p>다음과 같은 합성 선형사상에 대하여 생각해 보면, \[ \begin {array} { c } \left (V, B ^ {\prime } \right ) \stackrel { I } {\longrightarrow } (V, B) \stackrel { F } {\longrightarrow } (V, B) \stackrel { I } {\longrightarrow } \left (V, B ^ {\prime } \right ) \\ F=I \circ F \circ I \end {array} \] \( F=I \circ F \circ I \)이므로, 정리 3.4.3에 의하여 \[ [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B ^ {\prime } } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [F]_ { B } ^ { B } [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } \text { 이다. } \] 여기서, \( N=[I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } \)라고 두면 \( N \)은 가역행렬이고 \( N ^ { -1 } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \)이다(따름정리3.4.4). 따라서 \( [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B ^ {\prime } } =N ^ { -1 } [F]_ { B } ^ { B } N \)이다.</p> <h3>보기3.4.5</h3> <p>실수체 \( \mathbb { R } \)위의 행렬 \( A= \left ( \begin {array} { rr } 1 & 1 \\ -1 & 1 \end {array} \right ) \)와 닮은 행렬 \( B \) 를 구하여 보자. 실제로, 행렬 \( A \)에 의해서 정의되는 선형사상(행렬 \( A \)의 선형사상)을 \( F: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \)이라고 하면, \[ F \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rr } 1 & 1 \\ -1 & 1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } x + y \\ -x + y \end {array} \right ) \text { 이다. } \]</p> <h3>정리3.4.5</h3> <p>체 \( K \)위의 \( n \)차의 정사각행렬 \( A, B, C \)에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A \)는 \( A \) 자신과 닮은 행렬이다.</li> <li>\( B \)가 \( A \)와 닮은 행렬이면 \( A \)는 \( B \)와 닮은 행렬이다.</li> <li>\( B \)가 \( A \)와 닮은 행렬이고, \( A \)가 \( C \)와 닮은 행렬이면 \( B \)는 \( C \)와 닮은 행렬이다.</li></ol> <p>증명.</p> <ol type=1 start=1><li>\( n \)차 단위행렬 \( I \)에 대하여 \( A=I ^ { -1 } A I \)이므로 \( A \)는 \( A \)와 닮은 행렬이다.</li> <li>\( B \)가 \( A \)와 닮은 행렬이면 \( B=N ^ { -1 } A N \)를 만족하는 가역행렬 \( N \)가 존재한다. 따라서 \( A=N B N ^ { -1 } = \left (N ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } A N ^ { -1 } \)이므로 \( A \)는 \( B \)와 닮은 행렬이다.</li> <li>\( B \)가 \( A \)와 닮은 행렬이고 \( A \)가 \( C \)와 닮은 행렬이면 \( B=N ^ { -1 } A N, A=M ^ { -1 } C M \)를 각각 만족하는 가역행렬 \( N, M \)가 존재한다. 따라서 \( B=N ^ { -1 } A N=N ^ { -1 } \left (M ^ { -1 } C M \right ) N \) \[ =(M N) ^ { -1 } C(M N) \]이고, \( M N \)은 가역행렬이므로 \( B \)는 \( C \)와 닮은 행렬이다.</li></ol> <p>다음 정리는 선형사상을 이용하여 닮은 행렬을 구하는 방법을 보여준다.</p> <h3>정리3.4.6</h3> <p>체 \( K \)위의 유한차원 벡터공간 \( V \)의 기저가 \( B, B ^ {\prime } \)이고 \( F: V \rightarrow V \)가 선형사상이면 다음을 만족하는 가역행렬 \( N \)이 존재한다. \[ [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B ^ {\prime } } =N ^ { -1 } [F]_ { B } ^ { B } N . \] 즉 행렬 \( [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B ^ {\prime } } \)와 행렬 \( [F]_ { B } ^ { B } \)는 닮은 행렬이다.</p> <p>마지막으로 기저 \( B ^ {\prime } , B \)에 관한 항등사상 \( I \)의 행렬 \( [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } =N \)을 구하여 보자. \[ \begin {array} { c } I \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right )=1 \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) + 1 \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \\ I \left ( \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 2 \\ 1 \end {array} \right )=2 \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) + 1 \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \text { 이므로 } \\{ [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } = \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 1 & 1 \end {array} \right )=N \text { 이고 } N ^ { -1 } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } = \left ( \begin {array} { rr } -1 & 2 \\ 1 & -1 \end {array} \right ) \text { 이다. } } \end {array} \] 따라서 \( N ^ { -1 } A N= \left ( \begin {array} { rr } -2 & -5 \\ 2 & 4 \end {array} \right )=[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B ^ {\prime } } =B \)라고두면 \( B \)는 \( A \)와 닮은 행렬이다.</p> <h3>정리3.4.7</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)가 각각 \( n \)차원, \( m \)차원벡터 공간일 때 다음이 성립한다. \[ \mathscr { L } (V, W) \cong \operatorname { Mat } _ { m \times n } (K) \] 즉, 체 \( K \)위의 두 벡터공간 \( \mathscr { L } (V, W) \)와 \( M a t_ { m \times n } (K) \)는 동형이다.</p> <p>같은 방법으로 \( a T \)도 선형사상임이 쉽게 밝혀진다(각자 증명해 보기로 한다.). 더욱이 \( \mathscr { L } (V, W) \) 내의 영벡터는 \[ O: V \rightarrow W, O(v)=0 \quad(v \in V) \text { 인 영사상이고, } \] 임의의 \( T \in \mathscr { L } (V, W) \)에 대한 \[ -T=(-1) T \text { 이다. } \] 따라서 \( \mathscr { L } (V, W) \)는 \( K \)위의 벡터공간이다. \( \mathrm { VS } 1 \sim \mathrm { VS } 4, \mathrm { SM } 1 \sim \mathrm { SM } 4 \)의 상세한 증명은 각자 해보기로 한다. 이러한 벡터공간 \( \mathscr { L } (V, W) \)를 선형사상의 벡터공간(space of linear maps)이라고 한다.</p> <h3>정리 3.1.2</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W, U \)에 대하여, 두 선형사상 \( F: V \rightarrow W \)와 \( G: W \rightarrow U \)의 합성사상 \[ G \circ F: V \rightarrow U, \quad(G \circ F)(v)=G(F(v)) \]는 \( V \)에서 \( U \)로의 선형사상이다. \( V \stackrel { F } {\longrightarrow } W \stackrel { G } {\longrightarrow } U \) \( G \circ F \)</p> <p>증명, 임의의 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } \in V \)에 대하여 \[ \begin {aligned} (G \circ F) \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right ) &=G \left (F \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right ) \right ) \\ &=G \left (F \left (v_ { 1 } \right ) + F \left (v_ { 2 } \right ) \right )=G \left (F \left (v_ { 1 } \right ) \right ) + G \left (F \left (v_ { 2 } \right ) \right ) \\ &=(G \circ F) \left (v_ { 1 } \right ) + (G \circ F) \left (v_ { 2 } \right ) \end {aligned} \]이고 또, 임의의 \( a \in K \)와 임의의 \( v \in V \)에 대하여 \[ \begin {aligned} (G \circ F)(a v) &=G(F(a v))=G(a F(v)) \\ &=a G(F(v))=a(G \circ F)(v) . \end {aligned} \] 따라서 \( G \circ F \)는 선형사상이다.</p> <p>증명.</p> <p>벡터공간 \( V, W \)의 기저 \( B= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} , B ^ {\prime } = \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} \)에 대하여 사상 \( \phi: \mathscr { L } (V, W) \rightarrow M a t_ { m \times n } (K) \)를 다음과 같이 정의하자. \[ \phi(F)=[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } . \] 그러면 임의의 벡터 \( v \in V \)에 대하여 \[ [F(v)]_ { B ^ {\prime } } =[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \text { 이다 (정리3.4.1). } \] 임의의 \( F, T \in \mathscr { L } (V, W) \)와 \( a \in K \)에 대하여, \[ \begin {aligned} { [(F + T)(v)]_ { B ^ {\prime } } } &= \left [(F(v) + T(v)]_ { B ^ {\prime } } \right . \\ &=[F(v)]_ { B ^ {\prime } } + [T(v)]_ { B ^ {\prime } } \end {aligned} \] \[ \begin {array} { c } =[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } + [T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \\ = \left ([F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } + [T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \right )[v]_ { B } \text { 이므로 } \\{ [F + T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } =[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } + [T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \text { 이다. } } \end {array} \] 따라서 \( \phi(F + T)=[F + T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } =[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } + [T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \) \( = \phi(F) + \phi(T) \)이다. 또, \( [(a F)(v)]_ { B ^ {\prime } } =[a F(v)]_ { B ^ {\prime } } =a[F(v)]_ { B ^ {\prime } } \) \( =a[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \)이므로 \( [a F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } =a[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \)이다. 따라서 \( \phi(a F)=a[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } =a \phi(F) \)이다. 그러므로 \( \phi \)는 선형사상이다. 다음으로, \( \phi(F)= \phi(T) \)이면 \( [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } =[T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \), 즉 \[ F=T \text { 이다. (정리 3.3.2) } \] 따라서 \( \phi \)는 단사이다. 마지막으로 임의의 원소 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \in \operatorname { Mat } _ { m \times n } (K) \)에 대하여 \( [F(v)]_ { B ^ {\prime } } =A[v]_ { B } \)인 선형사상 \( F: V \rightarrow W \)가 존재한다. 이때, \( A=[F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \)이므로 \( \phi \)는 전사이다. 그러므로 \( \phi \)는 동형사상이다.</p> <h3>보기3.3.8</h3> <p>선형사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 2 x + y \\ -x + 5 y \end {array} \right ) \)에서 \( L \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } 2 \\ -1 \end {array} \right ), L \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 5 \end {array} \right ) \)이므로 \( L \)의 표준행렬 \( A= \left ( \begin {array} { rr } 2 & 1 \\ -1 & 5 \end {array} \right ) \)이고, \( A \)의 각 열벡터 \( A ^ { 1 } = \left ( \begin {array} { r } 2 \\ -1 \end {array} \right ), A ^ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 5 \end {array} \right ) \)는 일차독립이므로 \( A \)는 가역이고 \[ A ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { cc } \frac { 5 } { 11 } & - \frac { 1 } { 11 } \\ \frac { 1 } { 11 } & \frac { 2 } { 11 } \end {array} \right ) \text { 이다. } \] 따라서 \( L \)의 역사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \), \[ L ^ { -1 } \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cc } \frac { 5 } { 11 } & - \frac { 1 } { 11 } \\ \frac { 1 } { 11 } & \frac { 2 } { 11 } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } \frac { 5 } { 11 } x- \frac { 1 } { 11 } y \\ \frac { 1 } { 11 } x + \frac { 2 } { 11 } y \end {array} \right ) \text { 이다. } \]</p> <p>다음 정리는 선형사상의 핵 및 상의 차원과 이 사상이 정의된 공간의 차원과의 관계를 말해준다.</p> <h3>정리 3.2.4</h3> <p>체 \( K \)위의 \( n \)차원 벡터공간 \( V \)와 임의의 벡터공간 \( W \)에 대하여 \( L: V \rightarrow W \) 가 선형사상일 때 다음이 성립한다. \[ n= \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } \text { KerL } + \operatorname { dim } \operatorname { Im } L . \]</p> <p>증명,</p> <p>만일 \( \operatorname { ImL } = \{ 0 \} \)이면 \( \operatorname { KerL } =V \)이므로 위 정리는 명백히 성립한다. 이제, \( \operatorname { ImL } \neq \{ 0 \} \)이라하고 \( \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { s } \right \} \)를 \( \operatorname { ImL } \)의 기저라 하면 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } \in V \) 존재하여 \[ L \left (v_ { j } \right )=w_ { j } \quad(i=1,2, \cdots, s) \text { 이다. } \] 만일 \( \operatorname { Ker } L \neq \{ 0 \} \) 이면 \( \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \)를 \( \operatorname { Ker } L \)의 기저라고 하자. \( \operatorname { Ker } L= \{ 0 \} \)인 경우에는 \( \operatorname { Ker } L \)의 기저가 \( \varnothing \)이므로 지금부터 \( u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \)에 관해 언급한 부분은 생략하고 이해하는 것으로 하자. 이제, \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } , u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \)가 \( V \)의 기저임을 보이자. 임의의 \( v \in V \)이면 \( L(v) \in \operatorname { Im } L \)이므로 \[ \begin {array} { c } L(v)=x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { s } w_ { s } \quad \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { s } \in K \right ) \text { 이고, } \\ L \left (v_ { j } \right )=w_ { j } (j=1,2, \cdots, s) \text { 이므로 } \\ L(v)=x_ { 1 } L \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } L \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { s } L \left (v_ { s } \right ) \end {array} \]가 되고 \( L \)의 선형성에 의하여, \[ \begin {array} { l } L(v)=L \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { s } v_ { s } \right ) \text { 이고 } \\ L \left (v-x_ { 1 } v_ { 1 } -x_ { 2 } v_ { 2 } - \cdots-x_ { s } v_ { s } \right )=0 \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 \( v-x_ { 1 } v_ { 1 } -x_ { 2 } v_ { 2 } - \cdots-x_ { s } v_ { s } \in \operatorname { KerL } \). 다시 \( \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \) 가 \( \operatorname { KerL } \)의 기저이므로 \[ \begin {array} { l } v-x_ { 1 } v_ { 1 } -x_ { 2 } v_ { 2 } - \cdots-x_ { s } v_ { s } \\ \quad=y_ { 1 } u_ { 1 } + y_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + y_ { q } u_ { q } \quad \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { q } \in K \right ) . \text { 즉 } \\ v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { s } v_ { s } + y_ { 1 } u_ { 1 } + y_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + y_ { q } u_ { q } \end {array} \] 따라서, \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } , u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \)는 \( V \)를 생성한다. 다음으로 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } , u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \)가 일차독립임을 보이기 위하여 \( x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { s } v_ { s } + y_ { 1 } u_ { 1 } + y_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + y_ { q } u_ { q } =0 \)이라고 하면 \( L \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { s } v_ { s } + y_ { 1 } u_ { 1 } + y_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + y_ { q } u_ { q } \right )=L(0)=0 \)이다. \( L \)의 선형성에 의하여, \[ \begin {aligned} x_ { 1 } L \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } L \left (v_ { 2 } \right ) & + \cdots + x_ { s } L \left (v_ { s } \right ) \\ & + y_ { 1 } L \left (u_ { 1 } \right ) + y_ { 2 } L \left (u_ { 2 } \right ) + \cdots + y_ { q } L \left (u_ { q } \right )=0 \text { 이다. } \end {aligned} \] 한편, \( u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \in \operatorname { Ker } L \)이므로 \[ L \left (u_ { j } \right )=0 \quad(j=1,2, \cdots, q) \text { 이다. } \] 따라서 \( x_ { 1 } L \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } L \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { s } L \left (v_ { s } \right )=0 \), 즉 \[ x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { s } w_ { s } =0 \text { 이다. } \] \( w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { s } \)는 일차독립이므로 \( x_ { 1 } =0, x_ { 2 } =0, \cdots, x_ { s } =0 \)이다. 그러므로 \( y_ { 1 } u_ { 1 } + y_ { 2 } u_ { 2 } + \cdots + y_ { q } u_ { q } =0 \)이고 \( \left \{ u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \)는 \( \operatorname { KerL } \)의 기저, 즉 일차독립이므로 \[ y_ { 1 } =0, y_ { 2 } =0, \cdots, y_ { q } =0 . \] 따라서, \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } , u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \)는 일차독립이다. 그러므로 \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { s } , u_ { 1 } , u_ { 2 } , \cdots, u_ { q } \right \} \)는 \( V \)의 기저이다. 즉 \( \operatorname { dim } V=q + s= \operatorname { dim } \operatorname { Ker } L + \operatorname { dim } \operatorname { Im } L \).</p> <p>이제 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)로의 선형변환의 기하학적 성질에 대해서 알아보자. 선형사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , L \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } a x + b y \\ c x + d y \end {array} \right ) \)으로 정의될 때, \( L \)의 표준행렬 \( A \)를 알면 임의의 벡터 \( X= \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \)에 대하여 \( L(X)=A X \)이므로 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 벡터 \( \overrightarrow { O P } = \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \) (또는 점 \( \left .P(x, y) \right ) \)는 선형사상 \( L \)의 표준행렬 \( A \)에 의하여 다른 벡터 \( \overrightarrow { O Q } = \left ( \begin {array} { l } a x + b y \\ c x + d y \end {array} \right ) \) (또 다른 점 \( \left .Q(a x + b y, c x + d y) \right ) \)에 대응시키는 사상이므로 행렬 \( A \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 벡터 \( \overrightarrow { O P } = \left ( \begin {array} { l } x \\ y \end {array} \right ) \) (또는 점 \( P(x, y) \)를 \( \overrightarrow { O Q } = \left ( \begin {array} { l } a x + b y \\ c x + d y \end {array} \right ) \) (또는 \( Q(a x + b y, c x + d y)) \)로 옮긴다고 생각할 수 있다</p> <p>증명.</p> <p>임의의 열벡터 \( X \in K ^ { n } \)과 \( Y \in K ^ { m } \)에 대하여 \[ \begin {array} { l } F(X)=A X, G(Y)=B Y \text { 이므로 } \\ (G \circ F)(X)=G(F(X))=G(A X)=B(A X)=(B A) X \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 합성선형사상 \( G \circ F \)의 표준행렬은 \( B A \)이다.</p> <h3>보기3.3.5</h3> <p>다음과 정의된 두선형사상 \( F \)와 \( G \)의 합성사상 \( G \circ F \)를 구하여라. \[ \begin {array} { l } F: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , F \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } x_ { 1 } -2 x_ { 2 } + x_ { 3 } \\ 2 x_ { 1 } -x_ { 2 } \end {array} \right ) \\ G: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , G \left ( \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { r } x_ { 1 } -x_ { 2 } \\ x_ { 1 } + x_ { 2 } \\ 3 x_ { 1 } -x_ { 2 } \end {array} \right ) \end {array} \]</p> <p>풀이.</p> <p>\( F \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 2 \end {array} \right ), F \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } -2 \\ -1 \end {array} \right ), F \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 0 \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ) \) 이므로 \( F \)의 표준행렬 \( A= \left ( \begin {array} { ccc } 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end {array} \right ) \)이고, 같은 방법으로 \( G \)의 표준행렬 \( B= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 3 & -1 \end {array} \right ) \)이다. 따라서, \( G \circ F \)의 표준행렬은 \[ B A= \left ( \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ 3 & -1 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rrr } -1 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & -5 & 3 \end {array} \right ) \]이고, \( G \circ F \)는 다음과 같이 정리된 선형사상이다. \[ (G \circ F) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { rrr } -1 & -1 & 1 \\ 3 & -3 & 1 \\ 1 & -5 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } -x_ { 1 } -x_ { 2 } + x_ { 3 } \\ 3 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } + x_ { 3 } \\ x_ { 1 } -5 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } \end {array} \right ) \]</p> <p>임의의 원소 \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ), \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \in K ^ { n } \) 과 임의의 원소 \( c \in K \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} L \left ( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } \right . \right .& \left . \left ., \cdots, x_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \right ) \\ &=L \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } , x_ { 2 } + y_ { 2 } , \cdots, x_ { n } + y_ { n } \right ) \\ &= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (x_ { 2 } + y_ { 2 } \right ) v_ { 2 } + \cdots + \left (x_ { n } + y_ { n } \right ) v_ { n } \\ &= \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } v_ { 1 } + y_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + y_ { n } v_ { n } \right ) \end {aligned} \] \[ =L \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) + L \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \right ) \]이고, 또 \[ \begin {aligned} L \left (c \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right ) &=L \left (c x_ { 1 } , c x_ { 2 } , \cdots, c x_ { n } \right ) \\ &= \left (c x_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (c x_ { 2 } \right ) v_ { 2 } + \cdots + \left (c x_ { n } \right ) v_ { n } \\ &=c \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \right ) \\ &=c L \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \end {aligned} \]이므로 \( L \)은 선형사상이다. 다음, \( L \)이 단사임을 증명하기 위하여 \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in \operatorname { Ker } L \)이라고 하면 \[ L \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } =0 \]이다. \( v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \)의 일차독립성에 의하여 \[ x_ { 1 } =0, x_ { 2 } =0, \cdots, x_ { n } =0 \] 따라서 \( \operatorname { Ker } L= \{ (0,0, \cdots, 0) \} \). 즉 \( L \)은 단사이다. 마지막으로, \( L \)이 전사임을 증명하기 위하여 \( v \in V \)라고 하면 \( v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \right ) \)으로 유일하게 표시된다. 따라서, \( \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \in K ^ { n } \)이고 \( L \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } =v \)이므로 \( L \)은 전사이다. 그러므로 \( L \)은 동형사상이다.</p> <p>증명.</p> <p>기저가 \( B \)인 벡터공간 \( V \)를 \( (V, B) \)라고 표시하고, 다음과 같은 항등사상을 생각하면, \[ \begin {aligned} (V, B) \stackrel { I } {\longrightarrow } & \left (V, B ^ {\prime } \right ) \stackrel { I } {\longrightarrow } (V, B) \\ I &=I \circ I \end {aligned} \] \( I=I \circ I:(V, B) \rightarrow(V, B) \)인 항등사상이다. 정리3.4.3에 의하여 \[ I=[I]_ { B } ^ { B } = \left [ \begin {array} { lll } I & \circ \end {array} \right ]_ { B } ^ { B } =[I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \text { 이다. } \] 같은 방법으로, 다음과 같은 항등사상 \( I \)에 대하여 생각하면, \[ \begin {aligned} \left (V, B ^ {\prime } \right ) \stackrel { I } {\longrightarrow } &(V, B) \stackrel { I } {\longrightarrow } \left (V, B ^ {\prime } \right ) \\ & I=I \circ I \\ I &=[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } \text { 이다. } \end {aligned} \] 따라서 \( [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } =I=[I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \)이다.</p> <p>정의</p> <p>체 \( K \)위의 \( n \)차의 행렬 \( A, B \)에 대하여 \[ B=N ^ { -1 } A N \]을 만족하는 \( n \)차의 가역행렬 \( N \)이 존재할 때, \( B \)는 \( A \)와 닮은 행렬(similar matrix)이라고 한다.</p> <p>닮은 행렬에 관해서 몇 가지 기본적인 성질이 성립한다.</p> <p>주의. 체 \( K \) 위의 벡터공간 \( V \)에서 \( F, G: V \rightarrow V \)가 선형사상이면 일반적으로 \( G \circ F \neq F \circ G \)이다.</p> <h3>보기3.1.8</h3> <p>실수체 \( \mathbb { R } \)위의 벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \)에서, 두 선형사상 \[ \begin {array} { l } F: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , \quad F(x, y, z)=(x, y, 0) \\ G: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } , \quad G(x, y, z)=(x, z, 0) \end {array} \]에 대하여, \[ \begin {array} { l } (G \circ F)(x, y, z)=(x, 0,0), \\ (F \circ G)(x, y, z)=(x, z, 0) \end {array} \]이므로 \( G \circ F \neq F \circ G \)이다.</p> <p>다음 정리는 기저에 속하는 각 원소에서 값이 주어졌을 때 하나의 선형사상이 결정되는 과정을 보여준다.</p> <h3>정리 3.1.3</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)을 \( V \)의 기저, \( w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { n } \in W \)이라고 하면 \[ T \left (v_ { 1 } \right )=w_ { 1 } , T \left (v_ { 2 } \right )=w_ { 2 } , \cdots, T \left (v_ { n } \right )=w_ { n } \]을 만족하는 선형사상 \( T: V \rightarrow W \)가 유일하게 존재한다.</p> <p>증명. \( v \in V \)이면 \( v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \) 으로 유일하게 표시된다. 즉 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \)가 유일하게 결정되므로 사상 \[ T: V \rightarrow W, \quad T(v)=x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } \]으로 정의하자. 이제 \( T \)가 선형사상임을 보이자. \( v ^ {\prime } \in V \)이면 \( v ^ {\prime } =y_ { 1 } v_ { 1 } + y_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + y_ { n } v_ { n } \quad \left (y_ { 1 } , y_ { 2 } , \cdots, y_ { n } \in K \right ) \)이고 \[ T \left (v ^ {\prime } \right )=y_ { 1 } w_ { 1 } + y_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + y_ { n } w_ { n } \text { 이다. } \] 따라서 \( v + v ^ {\prime } = \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } \right ) v_ { 1 } + \left (x_ { 2 } + y_ { 2 } \right ) v_ { 2 } + \cdots + \left (x_ { n } + y_ { n } \right ) v_ { n } \)이다. 사상 \( T \)의 정의에 의하여 \[ \begin {aligned} T \left (v + v ^ {\prime } \right ) &= \left (x_ { 1 } + y_ { 1 } \right ) w_ { 1 } + \left (x_ { 2 } + y_ { 2 } \right ) w_ { 2 } + \cdots + \left (x_ { n } + y_ { n } \right ) w_ { n } \\ &= \left (x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } \right ) + \left (y_ { 1 } w_ { 1 } + y_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + y_ { n } w_ { n } \right ) \\ &=T(v) + T \left (v ^ {\prime } \right ) \text { 이다. } \end {aligned} \] 또, 임의의 \( c \in K \)에 대하여, \( c v=c x_ { 1 } v_ { 1 } + c x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + c x_ { n } v_ { n } \)이므로 \[ \begin {aligned} T(c v) &=c x_ { 1 } w_ { 1 } + c x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + c x_ { n } w_ { n } \\ &=c \left (x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } \right )=c T(v) \text { 이다. } \end {aligned} \] 그러므로 \( T: V \rightarrow W \)는 선형사상이다. 한편, \[ \begin {aligned} x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } &=T(v)=T \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \right ) \\ &=x_ { 1 } T \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } T \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { n } T \left (v_ { n } \right ) \text { 이므로 } \\ T \left (v_ { 1 } \right )=w_ { 1 } , T \left (v_ { 2 } \right ) &=w_ { 2 } , \cdots, T \left (v_ { n } \right )=w_ { n } \text { 이다. } \end {aligned} \] 그러므로 \( T \)가 정리에서 요구하는 선형사상이므로 존재성은 증명되었다. 다음, \( T \)의 유일성을 증명하기 위하여, \[ F \left (v_ { 1 } \right )=w_ { 1 } , F \left (v_ { 2 } \right )=w_ { 2 } , \cdots, F \left (v_ { n } \right )=w_ { n } \]인 선형사상 \( F: V \rightarrow W \)가 존재 한다면, 임의의 \( v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \in V \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} F(v) &=F \left (x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \right ) \\ &=x_ { 1 } F \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } F \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { n } F \left (v_ { n } \right ) \\ &=x_ { 1 } w_ { 1 } + x_ { 2 } w_ { 2 } + \cdots + x_ { n } w_ { n } \end {aligned} \] \[ =T(v) \text { 이다. } \] 따라서 \( F=T \)이다. 이렇게 하여 \( T \)의 유일성이 증명되었다.</p> <h1>제 3장 선형사상과 행렬</h1> <h2>3.1 선형사상</h2> <p>체 \( K \)위의 두 벡터공간 \( V, W \)에 대하여, \( V \)의 각 벡터 \( v \in V \) 에 \( W \)의 벡터 \( w \in W \)를 대응시키는 규칙 \( L \)을 \( V \)에서 \( W \)로의 사상(map or mapping)이라하고 \[ L: V \rightarrow W \]로 나타낸다. 이때, 사상 \( L \)에 의하여 벡터 \( v \in V \)에 대응하는 벡터 \( w \in W \)를 \( L \)에 의한 \( v \)의 상(image)이라하고 \[ w = L(v) \]로 나타낸다. 이때 \( L: V \rightarrow W, L(v)=w \)로 나타낸다. 또한 벡터공간 \( V \)를 사상 \( L \)의 정의역(domain)이라고 한다.</p> <p>실제로, 이미 알고 있는 함수(function)의 개념과 사상(map)의 개념은 같은 것으로 생각하면 된다.</p> <p>정의 체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여, 사상 \( L: V \rightarrow W \)가 다음 두 조건을 만족할 때, \( L \)를 \( V \)에서 \( W \)로의 선형사상(linear map)이라고 한다.</p> <ol type=i start=1><li>임의의 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } \in V \)에 대하여 \[ L \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right )=L \left (v_ { 1 } \right ) + L \left (v_ { 2 } \right ) \]</li> <li>임의의 \( v \in V \)와 임의의 \( k \in K \)에 대하여 \[ L(k v)=k L(v) \]</li></ol> <p>특히, \( V \)에서 \( V \) 자신으로의 선형사상 \( L: V \rightarrow V \)를 \( V \)위의 선형변환(linear transformation) 또는 선형작용소(linear operator)라고 한다.</p> <p>즉, 벡터공간에서 벡터공간으로의 선형사상이란 벡터공간의 연산(덧셈과 스칼라배)을 보존시키는 사상이다.</p> <h3>보기3.1.1</h3> <p>실수체 \( \mathbb { R } \)위의 벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { 3 } , \mathbb { R } ^ { 2 } \)에서 사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \)를 다음과 같이 정의하면 \( L \)은 선형사상이다. \[ L(x, y, z)=(x, y) \]이와 같은 선형사상을 정사영(projection)이라고 한다.</p> <p>증명.</p> <p>임의의 벡터 \( v \in V \)는 \[ v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \right ) \]으로 유일하게 표시되며 \( v \)의 기저 \( B \)에 관한 좌표벡터는 \[ [v]_ { B } = \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \]이다. \( T \)의 선형성에 의하여 \[ T(v)=x_ { 1 } T \left (v_ { 1 } \right ) + x_ { 2 } T \left (v_ { 2 } \right ) + \cdots + x_ { n } T \left (v_ { n } \right ) \]이다. 여기서, \( T \left (v_ { 1 } \right ), T \left (v_ { 2 } \right ), \cdots, T \left (v_ { n } \right ) \in W \)이고 \( B ^ {\prime } \)가 \( W \)의 기저 이므로 이들은 다음과 같이 유일한 일차결합으로 나타내어진다. \[ \left \{\begin {array} { c } T \left (v_ { 1 } \right )=a_ { 11 } w_ { 1 } + a_ { 21 } w_ { 2 } + \cdots + a_ { m 1 } w_ { m } \\ T \left (v_ { 2 } \right )=a_ { 12 } w_ { 1 } + a_ { 22 } w_ { 2 } + \cdots + a_ { m 2 } w_ { m } \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end {array} \quad \left (a_ { i j } \in K \right ) \right . \] 따라서, \[ \begin {array} { r } T(v)=x_ { 1 } \left (a_ { 11 } w_ { 1 } + a_ { 21 } w_ { 2 } + \cdots + a_ { m 1 } w_ { m } \right ) + x_ { 2 } \left (a_ { 12 } w_ { 1 } + a_ { 22 } w_ { 2 } + \cdots + a_ { m 2 } w_ { m } \right ) \\ + \cdots + x_ { n } \left (a_ { 1 n } w_ { 1 } + a_ { 2 n } w_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } w_ { m } \right ) \\ + \left (a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } \right ) w_ { 1 } + \left (a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } \right ) w_ { 2 } \\ + \quad \cdots + \left (a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } \right ) w_ { m } \end {array} \]이다. 그러므로 \[ \begin {aligned} { [T(v)]_ { B ^ {\prime } } } &= \left ( \begin {array} { c } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + \ldots + a_ { 2 n } x_ { n } \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } \end {array} \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { m } \end {array} \right ) \end {aligned} \] 여기서, \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)이라두면 \[ [T(v)]_ { B ^ {\prime } } =A[v]_ { B } \text { 이다. } \] 이와 같은 행렬 \( A \)는 정리 3.3.2에 의하여 유일하게 존재한다.</p> <h3>보기3.3.4</h3> <p>항등변환 \( I: K ^ { n } \rightarrow K ^ { n } , I(X)=X \)의 표준행렬은 단위행렬 \( I_ { n } \)이다. 실제로, \[ \begin {array} { c } I \left (E ^ { 1 } \right )=I \left ( \begin {array} { c } 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 1 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )=E ^ { 1 } , I \left (E ^ { 2 } \right )=I \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )=E ^ { 2 } \\ , \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots, I \left (E ^ { n } \right )=I \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end {array} \right )=E ^ { n } \end {array} \]이므로 항등변환 \( I \)의 표준행렬 \( A \)는 \[ \begin {aligned} A &= \left (I \left (E ^ { 1 } \right ), I \left (E ^ { 2 } \right ), \cdots, I \left (E ^ { n } \right ) \right ) \\ &= \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right )=I_ { n } \text { 이다. } \end {aligned} \]</p> <p>(2) \( 0 \in V \)이고 \( F(0)=0 \in \operatorname { Im } F \neq \varnothing \). \( w_ { 1 } , w_ { 2 } \in \operatorname { Im } F \) 라고하면 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } \in V \)가 존재하여 \[ F \left (v_ { 1 } \right )=w_ { 1 } , F \left (v_ { 2 } \right )=w_ { 2 } \text { 이다. } \] 이 때에 \( v_ { 1 } + v_ { 2 } \in V \)이고 \( a v_ { 1 } \in V \quad(a \in K) \)이므로 \[ \begin {array} { l } w_ { 1 } + w_ { 2 } =F \left (v_ { 1 } \right ) + F \left (v_ { 2 } \right )=F \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right ) \in \operatorname { Im } F, \\ a w_ { 1 } =a F \left (v_ { 1 } \right )=F \left (a v_ { 1 } \right ) \in \operatorname { Im } F \text { 이다. } \end {array} \] 따라서 \( \operatorname { ImF } \)는 \( W \)의 부분공간이다.</p> <h3>보기 3.2.2</h3> <p>보기3.2.1에서, \( \operatorname { Ker } F \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 위의 원점과 점 \( (1,1) \)을 지나는 직선이므로 \( \operatorname { KerF } \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 1차원 부분공간이고, \( \operatorname { Im } F \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 \( x \)-축이므로 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 1차원 부분공간이다.</p> <h3>정리3.2.2</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 \( F: V \rightarrow W \)가 선형사상 일 때 다음은 서로 동치이다.</p> <h3>보기 3.2.4</h3> <p>선형사상 \( L: \mathbb { R } ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } , L(x, y, z)=3 x-2 y + z \)에서 \( \operatorname { Ker } L= \left \{ (x, y, z) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \mid L(x, y, z)=3 x-2 y + z=0 \right \} \)이므로 \( \operatorname { KerL } \)은 방정식 \( 3 x-2 y + z=0 \)의 해공간이다. 한편 \( \operatorname { ImL } = \{ 3 x-2 y + z \mid x, y, z \in \mathbb { R } \} = \mathbb { R } \)이므로 \[ \operatorname { dim } \operatorname { ImL } =1 \text { . } \] 따라서 정리 3.2.4의 공식에 의하여 \[ \operatorname { dim } \operatorname { Ker } L=2 \text { . } \]</p> <p>정의</p> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 선형사상 \( L: V \rightarrow W \)가 단사(injective)인 동시에 전사(surjective), 즉 전단사(bijective)일 때 \( L \)을 동형사상(isomorphism)이라고 한다. 또 \( V \)에서 \( W \)로의 동형사상 \( L: V \rightarrow W \)가 존재할 때 \( V \)와 \( W \)는 동형(isomorphic)이다 라하고 이 사실을 \( V \cong W \)로 나타낸다.</p> <h3>보기 3.2.5</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V \)에서 \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)을 \( V \)의 기저라고 할 때, 다음과 같이 정의된 사상 \( L \)은 동형사상이다. \[ L: K ^ { n } \rightarrow V, L \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \]</p> <p>증명.</p> <h3>보기3.1.5</h3> <p>체 \( K \)위의 \( m \times n \)행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)에 대하여 사상 \( L_ { A } : K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } , L_ { A } (X)=A X \)은 선형사상이다. 여기서 \( X \)는 \( K ^ { n } \)의 열벡터 즉 \( X= \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \) 이다. 이러한 선형사상을 행렬변환(matrix transformation)이라고도 한다. 실제로, \( K ^ { n } \) 의 열벡터 \( X \) 는 \( n \times 1 \)행렬이므로 \( A X \)는 \( m \times 1 \)행렬, 즉 \( A X \)는 \( K ^ { m } \)의 열벡터 이다. 따라서 \( L \)는 \( K ^ { n } \)에서 \( K ^ { m } \)으로의 사상이다. \[ \begin {array} { c } K ^ { n } \stackrel { L_ { A } } {\longrightarrow } K ^ { m } , \\ \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \longrightarrow \left ( \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) . \end {array} \] 실제로, 임의의 두 벡터 \( X, Y \in K ^ { n } \)에 대하여 \[ \begin {aligned} L_ { A } (X + Y) &=A(X + Y)=A X + A Y \\ &=L_ { A } (X) + L_ { A } (Y) \end {aligned} \]이고, 임의의 \( k \in K \)에 대하여 \[ L_ { A } (k X)=A(k X)=k(A X)=k L_ { A } (X) \]이므로 \( L_ { A } \)는 선형사상이다.</p> <h3>보기3.2.6</h3> <p>선형사상 \( F: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , F(x, y)=(3 x-y, 4 x + 2 y) \)에서 \( \operatorname { Ker } F= \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid F(x, y)=(3 x-y, 4 x + 2 y)=(0,0) \right \} = \{ (0,0) \} \)이므로 \( F \)는 단사이다. 한편, \( \operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 2 } = \operatorname { dim } \operatorname { Ker } F + \operatorname { dim } \operatorname { Im } F \)이므로 \( \operatorname { dim } \operatorname { Im } F=2 \)이다. 여기서 \( \operatorname { dim } \operatorname { Im } F \)는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 부분공간이고, \( \operatorname { dim } \operatorname { ImF } =2= \operatorname { dim } \mathbb { R } ^ { 2 } \)이므로 \( \operatorname { ImF } = \mathbb { R } ^ { 2 } \) (따름정리 \( 1.5 .6 \) ). 즉 \( F \)은 전사이다. 따라서 \( F \)는 동형사상이고, \( F ^ { -1 } \)도 동형사상이다.</p> <h3>정리3.2.6</h3> <p>체 \( K \)위의 유한차원 벡터공간 \( V, W \)에서 \( \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W \)일 때, 선형사상 \( T: V \rightarrow W \)에 대하여 다음은 서로 동치이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( T \)는 동형사상이다.</li> <li>\( T \)는 일대일(단사)사상이다.</li> <li>\( T \)는 위로의(전사)사상이다.</li></ol> <p>증명.</p> <p>사상 \( T \)가 동형사상이면 \( T \)는 전단사이므로 (1) \( \Rightarrow \) (2)이고 또 (1) \( \Rightarrow \) (3)이다. 정리3.2.4에 의하여 \[ \operatorname { dim } \operatorname { Ker } T + \operatorname { dim } \operatorname { Im } T= \operatorname { dim } V \text { 이다. } \] 따라서 \( \operatorname { dim } V= \operatorname { dim } W=n \)일 때 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} \operatorname { Ker } T= \{ 0 \} & \Leftrightarrow \operatorname { dim } \operatorname { Ker } T=0 \\ & \Leftrightarrow \operatorname { dim } \operatorname { Im } T=n \end {aligned} \] \[ \Leftrightarrow \operatorname { Im } T=W . \] 그러므로 \( T \)가 단사이면 \( T \)는 전사이고 따라서 \( T \)는 전단사이다. 마찬가지로 \( T \)가 전사이면 \( T \)는 단사이고 따라서 \( T \)는 전단사이다. 그러므로 (2) \( \Rightarrow \) (1)이고 (3) \( \Rightarrow \) (1)이다.</p> <h3>따름정리3.4.2</h3> <p>\( \quad B, B ^ {\prime } \)가 체 \( K \)위의 벡터공간 \( V \)의 기저일 때, 임의의 벡터 \( v \in V \)에 대하여, \[ [v]_ { B ^ {\prime } } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \]이다. 여기서 \( I: V \rightarrow V \)는 항등선형사상이다.</p> <p>증명.</p> <p>기저 \( B \)인 벡터공간 \( V \)에서 기저 \( B ^ {\prime } \)인 벡터공간 \( V \)로의 항등선형사상 \( V \stackrel { I } {\longrightarrow } V \)를 생각하면, 정리3.4.1에 의하여, 임의의 \( v \in V \)에 대하여 \( [I(v)]_ { B ^ {\prime } } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \)이고, \( I(v)=v \)이므로 \( [v]_ { B ^ {\prime } } =[I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \)이다.</p> <h3>보기3.4.3</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V \)에서, \( I: V \rightarrow V \)가 항등선형변환이면 \( V \)의 임의의 기저 \( B \)에 대하여, \( [I]_ { B } ^ { B } =I \quad(I \) : 단위벡터 \( ) \)이다.</p> <p>풀이.</p> <p>\( B= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)을 \( V \)의 기저라고 하면 \[ \begin {array} { l } \left \{\begin {array} { c } I \left (v_ { 1 } \right )=v_ { 1 } =1 v_ { 1 } + 0 v_ { 2 } + 0 v_ { 3 } + \cdots + 0 v_ { n } \\ I \left (v_ { 2 } \right )=v_ { 2 } =0 v_ { 1 } + 1 v_ { 2 } + 0 v_ { 3 } + \cdots + 0 v_ { n } \quad \text { 이므로 } \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \end {array} \right . \\ I \left (v_ { n } \right )=v_ { n } =0 v_ { 1 } + 0 v_ { 2 } + 0 v_ { 3 } + \cdots + 1 v_ { n } \\{ [I]_ { B } ^ { B } = \left ( \begin {array} { ccccc } 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right )=I \text { 이다. } } \end {array} \]</p> <h2>3.2 선형사상의 핵과 상</h2> <p>정의</p> <p>체 \( K \) 위의 벡터공간 \( V, W \) 에 대하여, \( F: V \rightarrow W \) 가 선형사상일 때,</p> <ol type=1 start=1><li>\( \operatorname { Ker } F= \{ v \in V \mid F(v)=0 \} \) 를 선형사상 \( F \) 의 핵(kernel) 또는 \( F \) 의 퇴 화공간(null space)이라고 한다.</li> <li>\( \operatorname { Im } F= \{ F(v) \mid v \in V \} \) 를 선형사상 \( F \) 의 상(image)이라고 한다.</li></ol> <h3>보기 3.2.1</h3> <p>선형사상 \( F: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } , F(x, y)=(x-y, 0) \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \operatorname { KerF } &= \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid F(x, y)=(x-y, 0)=(0,0) \right \} \\ &= \left \{ (x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid y=x \right \} \\ &= \left \{ (x, x) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \mid x \in \mathbb { R } \right \} = \langle(1,1) \rangle \text { 이고, } \\ \operatorname { ImF } &= \left \{ F(x, y) \mid(x, y) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \right \} \\ &= \{ (x-y, 0) \mid x, y \in \mathbb { R } \} \\ &= \{ (z, 0) \mid z \in \mathbb { R } \} = \langle(1,0) \rangle \text { 이다. } \end {aligned} \]</p> <h3>정리 3.2.1</h3> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V, W \)에 대하여 \( F: V \rightarrow W \)가 선형사상일 때 다음사실이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( \operatorname { KerF } F \)는 \( V \)의 부분공간이다.</li> <li>\( \operatorname { ImF } \)는 \( W \)의 부분공간이다.</li></ol> <p>증명,</p> <p>(1) \( F(0)=0 \)이므로 \( 0 \in \operatorname { Ker } F \neq \varnothing \). 또 \( v_ { 1 } , v_ { 2 } \in \operatorname { Ker } F, a \in K \) 라고 하면 \( F \left (v_ { 1 } \right )=0, F \left (v_ { 2 } \right )=0 \)이므로 \[ \begin {array} { l } F \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right )=F \left (v_ { 1 } \right ) + F \left (v_ { 2 } \right )=0 + 0=0, \text { 즉 } \\ v_ { 1 } + v_ { 2 } \in \operatorname { Ker } F \text { 이고 또, } \\ F \left (a v_ { 1 } \right )=a F \left (v_ { 1 } \right )=a 0=0, \text { 즉 } \\ a v_ { 1 } \in \operatorname { Ker } F \text { 이다. } \end {array} \] 따라서, \( \operatorname { Ker } F \)는 \( V \)의 부분공간이다. 이때 \( \operatorname { Ker } F \)를 \( F \)의 핵공간 이라고도 한다.</p> <h3>정리3.3.4</h3> <p>체 \( K \)위의 행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } , B= \left (b_ { i j } \right )_ { m \times n } \)에 대하여 다음이 성립 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( L_ { A + B } =L_ { A } + L_ { B } \)</li> <li>임의의 \( c \in K \) 에 대하여 \( L_ { c A } =c L_ { A } \).</li></ol> <p>증명.</p> <p>임의의 열 벡터 \( X \in K ^ { n } \)과 \( c \in K \)에 대하여</p> <ol type=1 start=1><li>\( \begin {aligned} L_ { A + B } (X) &=(A + B) X=A X + B X=L_ { A } (X) + L_ { B } (X) \\ &= \left (L_ { A } + L_ { B } \right ) X \text { 이므로 } \\ L_ { A + B } =& L_ { A } + L_ { B } \text { 이다. } \end {aligned} \)</li> <li>\( \begin {aligned} L_ { c A } (X) &=(c A) X=c(A X)=c L_ { A } (X) \\ &= \left (c L_ { A } \right )(X) \text { 이므로 } \\ L_ { c A } =& c L_ { A } \text { 이다. } \end {aligned} \)</li></ol> <p>위의 정리의 결과는 다음과 같이 정의된 사상 \( \phi \)가 선형사상임을 의미한다. \[ \phi: \operatorname { Mat } _ { m \times n } (K) \rightarrow \mathscr { L } \left (K ^ { n } , K ^ { m } \right ), \quad \phi(A)=L_ { A } . \]</p> <h3>정리3.3.5</h3> <p>사상 \( F: K ^ { n } \rightarrow K ^ { m } , G: K ^ { m } \rightarrow K ^ { s } \)가 선형사상이고 행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } , B= \left (b_ { i j } \right )_ { s \times m } \)가 각각 \( F, G \)의 표준행렬 일 때, 선형사상 \( G \circ F: K ^ { n } \rightarrow K ^ { s } \)의 표준행렬은 \( B A \)이다.</p> <p>주의.</p> <p>벡터공간 \( V \)의 두 기저 \( B, B ^ {\prime } \)가 서로 다르면 \( [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \neq I \)이다.</p> <h3>보기3.4.4</h3> <p>\( B= \left \{ v_ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right ), v_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \right \} , B ^ {\prime } = \left \{ w_ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ), w_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right ) \right \} \)를 벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 기저이고, \( I: \mathbb { R } ^ { 2 } \rightarrow \mathbb { R } ^ { 2 } \)가 항등사상이면 \[ \begin {array} { l } I \left (v_ { 1 } \right )=v_ { 1 } = \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 0 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right )- \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )=w_ { 1 } -w_ { 2 } \\ I \left (v_ { 2 } \right )=v_ { 2 } = \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )=0 \left ( \begin {array} { l } 1 \\ 1 \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { l } 0 \\ 1 \end {array} \right )=0 w_ { 1 } + w_ { 2 } \text { 이므로 } \\{ [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } = \left ( \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ -1 & 1 \end {array} \right ) \neq I_ { 2 } \text { 이다. } } \end {array} \]</p> <p>증명.</p> <p>\[ \begin {aligned} v_ { 1 } , v_ { 2 } \in \mathbb { R } ^ { 3 } \text { 라고 하면 } & v_ { 1 } = \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ), v_ { 2 } = \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) \text { 이므로 } \\ L \left (v_ { 1 } + v_ { 2 } \right )=& L \left ( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) + \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) \right ) \\ =& L \left (x_ { 1 } + x_ { 2 } , y_ { 1 } + y_ { 2 } , z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) \\ =& \left (x_ { 1 } + x_ { 2 } , y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) \\ =& \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) + \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \\ =& L \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , z_ { 1 } \right ) + L \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } , z_ { 2 } \right ) \\ =& L \left (v_ { 1 } \right ) + L \left (v_ { 2 } \right ) \end {aligned} \]이다. 또, 임의의 \( k \in \mathbb { R } \)에 대해서 \( v=(x, y, z) \in \mathbb { R } ^ { 3 } \)이면 \[ \begin {aligned} L(k v) &=L(k(x, y, z))=L(k x, k y, k z) \\ &=(k x, k y)=k(x, y)=k L(x, y, z) \\ &=k L(v) \end {aligned} \] 따라서 \( L \)은 선형사상이다.</p> <h3>정리3.4.3</h3> <p>체 \( K \)위의 유한차원 벡터공간 \( V, W, U \)의 기저가 각각 \( B, B ^ {\prime } , B ^ {\prime \prime } \)일 때 두 선형사상 \( F: V \rightarrow W, G: W \rightarrow U \)의 합성사상 \( G \circ F: V \rightarrow U \)에 대하여 다음이 성립한다. \[ [G \circ F]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B } =[G]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B ^ {\prime } } [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \]</p> <p>증명.</p> <p>임의의 벡터 \( v \in V \)에 대하여 정리 3.4.1에 의하여 \[ \begin {aligned} { [(G \circ F)(v)]_ { B ^ {\prime \prime } } } &=[G(F(v))]_ { B ^ {\prime \prime } } \\ &=[G]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B ^ {\prime } } [F(v)]_ { B ^ {\prime } } \\ &=[G]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B ^ {\prime } } \left ([F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [v]_ { B } \right ) \\ &= \left ([G]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B ^ {\prime \prime } } [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \right )[v]_ { B } \text { 이므로 } \\{ [G \circ F]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B } = } & { [G]_ { B ^ {\prime \prime } } ^ { B } [F]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \text { 이다. } } \end {aligned} \]</p> <h3>따름정리 3.4.4</h3> <p>체 \( K \)위의 유한차원 벡터공간 \( V \)의 기저가 \( B, B ^ {\prime } \)일 때 다음이 성립한다. \[ [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } [I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } =I=[I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } . \] 여기서 \( I: V \rightarrow V \)는 항등선형사상이다. 즉 \[ [I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \text { 는 가역행렬이고, } \left ([I]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \right ) ^ { -1 } =[I]_ { B } ^ { B ^ {\prime } } \text { 이다. } \]</p> <h3>보기3.4.1</h3> <p>벡터공간 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \)의 두 (순서)기저 \( B= \left \{ E ^ { 1 } =(1,0), E ^ { 2 } =(0,1) \right \} \), \( B ^ {\prime } = \left \{ v_ { 1 } =(3,1), v_ { 2 } =(1,2) \right \} \)에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {array} { l } v=(5,5)=5(1,0) + 5(0,1)=5 E ^ { 1 } + 5 E ^ { 2 } \\ v=(5,5)=1(3,1) + 2(1,2)=1 v_ { 1 } + 2 v_ { 2 } \end {array} \] 따라서 \( [v]_ { B } =(5,5),[v]_ { B ^ {\prime } } =(1,2) \)이다.</p> <h3>정리3.4.1</h3> <p>체 \( K \)위의 \( n \)차원 벡터공간 \( V \)와 \( m \)차원 벡터공간 \( W \)의 (순서)기저를 각각 \( B= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} , B ^ {\prime } = \left \{ w_ { 1 } , w_ { 2 } , \cdots, w_ { m } \right \} \)이라하고 사상 \( T: V \rightarrow W \) 가 선형사상이면 다음을 만족하는 \( K \)의 \( m \times n \)행렬 \( A \)가 유일하게 존재한다. 임의의 벡터 \( v \in V \)에 대하여 \[ [T(v)]_ { B ^ {\prime } } =A[v]_ { B } \]이다. 이때 행렬 \( A= \left (a_ { i j } \right )_ { m \times n } \)를 기저 \( B \)와 기저 \( B ^ {\prime } \)에 관한 선형사상 \( T \) 의 행렬 (matrix of \( T \) with respect to \( B \) and \( B ^ {\prime } \) )이라하고 \[ A=[T]_ { B ^ {\prime } } ^ { B } \text { 또는 } [T]_ { B, B ^ {\prime } } \text { 또는 } M_ { B ^ {\prime } } ^ { B } (T) \]로 나타낸다. 특히 \( V=W \)이고 \( B=B ^ {\prime } \)일 때 \( A \)를 기저 \( B \)에 관한 \( T \)의 행렬이라 하고 \[ A=[T]_ { B } \]로 나타낸다.</p> <h2>3.4 일반 선형사상과 행렬</h2> <p>3.3절에서는 \( K ^ { n } \)에서 \( K ^ { m } \)으로의 모든 선형사상은 표준행렬을 이용하여 행렬변환(행렬의 곱)으로 나타낼 수 있음을 보였다. 이때 이 표준행렬은 벡터 공간 \( K ^ { n } \)과 \( K ^ { m } \)의 임의의 벡터는 항상 표준기저로 표시된다는 사실로부터 얻어졌다.</p> <p>이 절에서는 일반적으로 임의의 유한차원 벡터공간 \( V \)에서 \( W \)로의 선형 사상도 행렬변환으로 나타낼 수 있음에 대해서 알아본다.</p> <p>유한차원 벡터공간의 기저를 다룰 때에는 이에 속한 벡터의 순서까지 생각해야 할 경우가 있다. 이와 같이 기저에 속해있는 벡터의 순서까지 생각하는 경우에 이 기저를 순서기저(ordered basis)라고 한다.</p> <p>예를 들어, 3차원 벡터공간에서 \( \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , v_ { 3 } \right \} , \left \{ v_ { 1 } , v_ { 3 } , v_ { 2 } \right \} , \left \{ v_ { 2 } , v_ { 1 } , v_ { 3 } \right \} \)는 모두 서로 다른 순서기저이다.</p> <p>정의</p> <p>체 \( K \)위의 벡터공간 \( V \)에서, \( B= \left \{ v_ { 1 } , v_ { 2 } , \cdots, v_ { n } \right \} \)가 \( V \)의 (순서)기저이면 각 벡터 \( v \in V \)는 \[ v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \quad \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \in K \right ) \]으로 유일하게 나타내어진다. 이때 \[ \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \text { 또는 } \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) \in K ^ { n } \]을 기저 \( B \)에 관한 \( v \)의 좌표벡터(coordinate vector)라 하고 \[ [v]_ { B } \]로 나타낸다. 즉 \[ \begin {array} { l } v=x_ { 1 } v_ { 1 } + x_ { 2 } v_ { 2 } + \cdots + x_ { n } v_ { n } \\ \Leftrightarrow[v]_ { B } = \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \text { 또는 } [v]_ { B } = \left ( \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ) . \end {array} \]</p>	자연
통계모형을 이용하여 모의실험 결과 분석하기에 대한 보완연구	<p>\[ \mathbf { y } = \mathbf { X } \boldsymbol {\beta } + \boldsymbol {\epsilon } . \]<caption>(2.1)</caption></p> <p>\( \mathbf { y } _ { i 1 } , \mathbf { y } _ { i 2 } , \ldots, \mathbf { y } _ { i r } \) 에 대응하는 \( \boldsymbol {\epsilon } _ { i 1 } , \boldsymbol {\epsilon } _ { i 2 } , \ldots, \boldsymbol {\epsilon } _ { i r } \) 는 동일한 분산공분산행렬 \( \Omega_ { i } \) 를 가지므로 \( \boldsymbol {\epsilon } \) 의 분산공분산행렬은 다음과 같이 블록대각행렬(block diagonal matrix)이 된다.</p> <p>\[ \boldsymbol {\Omega } _ { n \times n } = \left ( \begin {array} { ccccc } I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { 1 } & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & \cdots & \ldots & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } \\ \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { 2 } & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { c-1 } & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } \\ \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & \cdots & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } & I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { c } \end {array} \right ). \]<caption>(2.2)</caption></p> <h1>1. 서론</h1> <p>통계연구를 위해 모의실험을 실시해야 하는 경우가 많다. 비모수적 추정량의 성능을 이론적으로 알아보기 힘들 때가 그런 경우에 속한다. 다양한 실험조건에서 비교 대상이 되는 여러 추정량의 성능을 알아보기 위해서 모의실험을 실시했다고 하자. 추정량의 성능 우열이 실험조건에 따라 다르고 비교해야 할 추정량의 수가 많아지면 모의실험에서 얻은 결과로부터 객관적인 결론을 내리기가 어려울 때가 있다. Kim과 Kim (2021)은 다양한 실험조건에서 얻어진 추정량의 성능측도를 반응변수로 두고 실험조건과 추정량의 종류를 설명변수로 둔 회귀모형을 이용하면 보다 체계적이고 효과적인 분석을 할 수 있음을 보였다. 실험조건과 추정량의 종류에 따라 성능측도의 분산이 달라질 수 있으므로 회귀모형에서 이분산성(heteroscedasticity)을 고려해야 한다는 점을 강조하였다.</p> <p>본 연구는 Kim과 Kim (2021)에 대한 후속연구이자 보완연구이다. 선행연구 논문의 심사과정에서 한 심사위원이 동일한 실험조건에서 얻어지는 여러 추정량의 성능은 독립적이지 않으므로 이분산성과 함께 공분산도 같이 고려해야 한다는 의견을 제시하였다. 심사위원의 의견에 추후 차근히 따져보겠다는 답변을 했는데, 후속연구를 통해 추정량 사이의 공분산을 무시했을 때와 고려했을 때 결과가 많이 다르며, 이분산성과 공분산을 같이 고려해 분석하면 실험조건에 따른 추정량의 성능 차이를 더 잘 찾아낸다는 결론에 이르게 되었다. 본 연구는 이런 결론에 이르게 된 과정을 서술하였다.</p> <p>본 연구는 후속연구이므로 문제를 설명하는 부분 등에서 선행연구와 중복되는데 중복을 피하기 위해 새로이 추가된 내용을 이해하는 데 필수적인 부분만 간략히 다시 설명하였다. 2절에서 공분산을 같이 고려하는 분석 방법을 일반적으로 서술하였고, 3절에서 구체적으로 한 사례에 적용하였다. 공분산을 같이 고려하면 명목신뢰수준을 보장하면서도 길이가 짧은 동시신뢰구간(simultaneous confidence intervals)을 얻을 수 있다는 것을 보이기 위해 필요한 모의실험도 실시하였다. 4절에서 결과를 요약하였다.</p> <h1>2. 분석 방법</h1> <p>하나의 모수 \( \theta \) 를 추정하는 다양한 방법이 존재하고, 어떤 추정방법이 더 나은지를 모의실험을 통해 알아보고자 하는 경우를 가정한다. 추정방법 또는 추정량의 성능은 모의실험 조건에 따라 달라질 수 있다. \( c \) 개의 다양한 모의실험 조건에서 \( m \) 개 추정량 \( \hat {\theta } _ { i j } , j = 1, \ldots, m \) 의 성능을 비교하기 위해 \( r \) 번 독립적으로 난수를 생성해서 모의실험을 실시했다고 하자. 추정량을 얻기 위해 어떤 자료를 썼는지는 우리의 관심 대상이 아니다. 우리의 분석대상 자료는 모의실험에서 얻어진 자료로서 추정량에 대한 성능측도이다. 성능측도는 추정량의 분산이나 편향 또는 이 둘을 종합한 제곱근평균제곱오차(root mean square error; RMSE) 등이 될 수 있다.</p> <p>\( i \) 번째 모의실험 조건 하에 \( k \) 번째 이루어진 반복실험에서 \( m \) 개 추정량에 대해 얻어진 성능측도 실현값을 \( y_ { i 1 k } , y_ { i 2 k } , \ldots, y_ { i m k } \) 라고 할 때 \( \mathbf { y } _ { i k } = \left (y_ { i 1 k } , y_ { i 2 k } , \ldots, y_ { i m k } \right ) ^ { T } \) 는 \( m \) 개 추정량의 성능측도를 나타내는 확률벡터(random vector)가 된다. 차원이 \( m \times 1 \) 인 벡터 \( \mathbf { y } _ { i k } \) 를</p> <p>\[ \mathbf { y } _ { i k } = \boldsymbol {\mu } _ { i } + \boldsymbol {\epsilon } _ { i k } \]</p> <p>와 같이 나타낼 수 있다. 실험조건 \( i \) 에 따라 평균이 달라질 수 있지만 동일한 실험조건에서 이루어진 반복실험에서는 동일한 평균을 갖는다. 모의실험을 할 때마다 난수를 독립적으로 생성하므로 \( \mathbf { y } _ { i k } \) 는 \( i \) 또는 \( k \) 가 달라지면 독립이다. 실험 조건에 따라 분산공분산행렬(variance-covariance matrix)이 달라질 수 있는데, \( \mathbf { y } _ { i k } \) 의 분산공분산행렬 또는 \( \boldsymbol {\epsilon } _ { i k } \) 의 분산공분산행렬을 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 로 표시하기로 한다. 행렬 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 의 차원은 \( m \times m \) 이다.</p> <p>\( \mathbf { y } = \left ( \mathbf { y } _ { 11 } ^ { T } , \mathbf { y } _ { 12 } ^ { T } , \ldots, \mathbf { y } _ { 1 r } ^ { T } , \mathbf { y } _ { 21 } ^ { T } , \mathbf { y } _ { 22 } ^ { T } , \ldots, \mathbf { y } _ { 2 r } ^ { T } , \ldots, \mathbf { y } _ { c 1 } ^ { T } , \mathbf { y } _ { c 2 } ^ { T } , \ldots, \mathbf { y } _ { c r } ^ { T } \right ) ^ { T } \) 로서 동일한 실험조건 \( i \) 에서 \( r \) 번 반복해 얻어진 벡터 \( \mathbf { y } _ { i 1 } , \mathbf { y } _ { i 2 } , \ldots, \mathbf { y } _ { i r } \) 를 이어 붙여서 얻어지는 벡터라고 하자. (자료 벡터 \( \mathbf { y } \) 의 배열순서가 Kim과 Kim (2021)과 다르다는 점에 주의해야 한다.) 벡터 \( \mathbf { y } \) 의 차원을 \( n \times 1 \) 이라고 할 때 \( n=c m r \) 이 된다. \( n \) 개의 성능측도 실현값에 대한 모형을 행렬로 표현하면 다음과 같다.</p> <p>\[ \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } = \frac { 1 } { r-1 } \sum_ { k=1 } ^ { r } \left ( \mathbf { e } _ { i k } - \overline {\mathbf { e } } _ { i } \right ) \left ( \mathbf { e } _ { i k } - \overline {\mathbf { e } } _ { i } \right ) ^ { T } , \]</p> <p>\( \overline {\mathrm { e } } _ { i } =(1 / r) \sum_ { k=1 } ^ { r } \mathrm { e } _ { i k } \) 라고 하자. 그러면 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } \) 는 식 (2.1)과 식 (2.2)가 참일 때 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 의 일치추정량(consistent estimator)이 된다. 따라서 반복실험횟수 \( r \) 을 늘리면 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } , i=1, \ldots, c \) 와 \( \boldsymbol {\Omega } \) 에 대한 일치추정량을 얻을 수 있다. \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 의 \( (h, l) \) 칸에 있는 모수를 \( \sigma_ { h l } \) 라고 하면, 각 모수의 추정을 위한 관측값이 \( r \) 개 있는 셈이므로 \( r=50 \) 도 작은 값이 아니다. \( r \) 의 크기에 따라 결과가 어떻게 달라지는지를 다음 절에서 살펴보기로 한다.</p> <p>Kim과 Kim (2021)은 \( \mathbf { y } \) 를 구성하는 \( n \) 개의 관측값이 모두 독립이되 분산은 다를 수 있다고 가정했다. 이에 따라 \( \boldsymbol {\Omega } \) 가 대각행렬이 된다. White (1980)는 \( \boldsymbol {\Omega } \) 를 직접 추정하지 않고 회귀계수 추정량 \( \hat {\beta } = \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { y } \) 의 분산공분산행렬을 추정하는 방법을 제시하였는데, Kim과 Kim (2021)은 이 방법을 적용하였다. 만약 \( \boldsymbol {\Omega } \) 가 식 (2.2)와 같은 블록대각행렬이 되면 \( \boldsymbol {\Omega } \) 를 직접 추정하는 것이 가능해진다. 추정해야 할 모수 개수는 \( c(m(m + 1) / 2) \) 개다. 예를 들어 \( c=8, m=6, r=50 \) 일 때 \( n=c m r=2400 \) 이 되고 \( c(m(m + 1) / 2)=168 \) 이 된다. 본 연구에서는 Kim과 Kim (2021)에서 쓴 방법 대신 블록대각행렬인 \( \boldsymbol {\Omega } \) 를 직접 추정하는 것을 제안한다.</p> <p>OLS2와 OLS3는 실제신뢰수준이 명목신뢰수준인 0.95를 넘어 0.999 또는 1이라는 값을 가지므로 불필요하게 보수적임을 알 수 있다. 반면에 OLS1은 모든 실험조건에서 신뢰구간의 길이가 OLS2나 OLS3보다 짧음에도 불구하고 명목신뢰수준을 보장한다. (신뢰구간 길이의 평균에 대한 표준오차를 Table 1에 나타내지 않았으나 0.001에서 0.004 사이의 값으로서 방법별 평균길이의 차이는 모두 유의하다. 그리고 OLS3의 신뢰구간의 길이가 모든 실험조건에서 같은데, 그 이유는 \( E \left [ \mathbf { D } \hat {\mathbf { y } } _ { s } \right ] \) 에 대한 신뢰구간에서 \( \hat {\mathbf { y } } _ { s } \) 가 모든 \( s \) 에 대해 등분산성을 갖기 때문이다.) GLS는 OLS1보다 길이가 조금 짧지만 명목신뢰수준을 보장하지 못하는 경우가 있어 장점이라고 보기 어렵다. 특히 \( r=20 \) 인 경우 실제신뢰수준이 너무 낮아 짧은 길이는 전혀 장점이 되지 못한다.</p> <p>두 추정량의 성능 차이에 대한 신뢰구간의 길이가 짧아지면 0을 포함하지 않아 유의한 차이를 탐지하게 되는 신뢰구간의 비율이 높아진다. Table 1에 나타내지 않았는데, \( r=50 \) 일 때 총 \( 16 \times 15 \times 2000=480000 \) 개의 신뢰구간 중에서 0을 포함하지 않는 신뢰구간의 비율은 네 가지 방법순으로 0.840, 0.675, 0.653, 0.853이었다. 역시 OLS1이 명목신뢰수준을 보장하면서 OLS2나 OLS3보다 유의한 차이를 더 잘 찾아내는 것을 알 수 있다.</p> <h1>4. 결론</h1> <p>여러 추정량의 성능을 모의실험을 통해 비교하고자 할 때, 모의실험 결과에 회귀모형을 적합해서 분석하면 좋다는 제안을 Kim과 Kim (2021)에서 하였다. 하지만 그 연구에서 제안한 방법은 비교하고자 하는 추정량 성능측도들 사이에 존재하는 공분산을 고려하지 않고 이분산성만 고려했다는 한계가 있었다. 본 연구는 Kim과 Kim (2021)에 대한 보완연구로서 공분산을 같이 고려하면 결과가 어떻게 달라지는지를 알아보았다.</p> <p>일반적으로 공분산이 존재한다면 이를 고려해야 한다. 동일한 목적을 갖는 추정량들의 성능측도 사이에는 공분산이 존재하게 되고, 이 사실을 고려하여 비교하면 성능에 차이가 있는 추정량의 짝을 더 잘 찾아낼 수 있다는 것을 사례 연구를 통해 알 수 있었다. 사례에 대한 모의실험을 통해 명목신뢰수준을 보장하면서 차이를 더 찾아낸다는 사실도 확인할 수 있었다. 물론 이 모의실험 결과를 일반화하는 데엔 주의가 필요하지만, 공분산이 존재할 때 이를 고려해야 한다는 것은 당연하며, 다만 무시했을 때와 비교해서 결과가 달라지는 정도는 사례에 따라 달라질 것이다.</p> <p>결론적으로, 모의실험 결과로 얻어진 자료에 대한 회귀모형에서 이분산성과 공분산을 모두 고려해야 하며, 오차항의 분산공분산행렬은 대각행렬이 아닌 블록대각행렬이 된다. 회귀계수의 점추정량으로 보통최소제곱(OLS) 추정량을 쓰고, OLS 추정량으로 구한 잔차를 이용해 블록대각행렬인 분산공분산행렬을 추정하면 된다.</p> <h1>요 약</h1> <p>비모수적 추정량의 성능을 이론적으로 비교하기 힘들 때 흔히 모의실험을 실시한다. 다양한 실험조건에서 여러 추정량에 대해 얻어진 모의실험 결과를 회귀모형을 이용해 분석하면 보다 체계적이고 정확한 비교를 할 수 있다는 것을 Kim과 Kim (2021)에서 보였다. 이 연구는 Kim과 Kim (2021)에 대한 후속연구이자 보완연구이다. 회귀모형의 오차항에 대한 분산공분산행렬에서 이분산성만 고려하고 공분산을 선행연구에서 무시했는데, 공분산을 고려하게 되면 분산공분산행렬은 블록대각행렬이 된다. 본 연구에서 블록대각행렬인 분산공분산행렬을 추정하여 분석에 이용하는 방법을 제시하였다. 이렇게 하면 명목신뢰수준을 보장하면서 유의하게 성능 차이가 나는 추정량 짝을 더 잘 찾을 수 있다는 것도 보였다.</p> <h1>3. 적용 사례</h1> <p>앞 절에서 일반적으로 기술한 방법을 구체적 사례에 적용해 보고자 한다. Kim과 Kim (2021)에 있는 것과 같은 사례에 적용해서 식 (2.1)에서 오차항의 분산공분산행렬이 대각행렬로부터 블록대각행렬로 바뀜에 따라 결과가 어떻게 달라지는지를 알아보고자 하였다.</p> <p>사례에 대한 구체적 설명은 Kim과 Kim (2021)에 있으므로 여기서는 간략히 요약만 하기로 한다. 개별처리효과(individual treatment effect)를 추정하는 비모수적 방법이 여러 개 있는데 이 중에서 유력한 6가지 방법에 의한 추정량의 성능을 비교하고자 모의실험을 실시하였다. 모의실험을 16개 서로 다른 실험조건에서 50번씩 반복 실시하였는데, 벡터 \( \mathrm { y } _ { i k } \) 는 \( i \) 번째 조건에서 \( k \) 번째 반복된 실험으로부터 얻어진 6개 추정량의 성능측도를 나타낸다. 추정량의 성능측도는 제곱근평균제곱오차(RMSE)이다.</p> <p>모의실험 결과에서 얻어지는 자료 \( \mathbf { y } \) 를 이용하여 \( \mathrm { E } [ \mathbf { y } ] \) 를 제대로 설명하는 설계행렬 \( \mathbf { X } \) 의 열을 정해야 한다. 설계행렬의 열을 정하는 방법, 즉 변수선택의 방법과 선택된 모형이 갖는 의미는 Kim과 Kim (2021)을 참고하면 된다. 각 실험조건에서 어떤 추정량이 가장 나은 성능을 보이는지를 알아보려면 동시신뢰구간을 구하면 된다. 6개 추정량에서 선택할 수 있는 모든 가능한 쌍의 수는 15개인데, 두 추정량의 평균 성능 차이에 대한 15개의 동시신뢰구간을 구하였다. 오차항의 분산공분산행렬에서 이분산성만 고려하고 공분산을 무시했을 때 오차항의 분산공분산행렬은 대각행렬이 되고, 이분산성과 함께 공분산도 고려했을 때 블록대각행렬이 된다. 두 경우 동시신뢰구간이 어떻게 달라지는지를 그림으로 비교하였다. Figure 1은 16개의 실험조건 중에서 첫 번째 실험조건에 대한 결과이다. 두 그림을 비교해보면 공분산을 고려했을 때 신뢰구간의 길이가 훨씬 짧아진다는 것을 알 수 있다. 그 결과로 첫 번째와 세 번째 추정량의 성능 차이(M1-M3), 그리고 두 번째와 세 번째 추정량의 성능 차이(M2-M3)와 같이 공분산을 고려하지 않았을 때 유의한 차이를 보이지 않았던 것이 공분산을 고려하면 차이를 보이게 될 수 있다는 것도 알 수 있다.</p> <p>공분산을 고려하면 신뢰구간의 길이가 짧아지는 이유를 단순화시켜 설명해 볼 수 있다. \( Y_ { 1 } \) 과 \( Y_ { 2 } \) 를 두 추정량의 성능을 나타낸다고 하자. (추정량의 성능은 난수생성을 하는 모의실험에서 반복적으로 얻어지므로 확률변수로 간주할 수 있다.) 두 추정량의 성능 차이에 대한 분산을 \( V \left (Y_ { 1 } -Y_ { 2 } \right ) \) 라고 하면, \( V \left (Y_ { 1 } -Y_ { 2 } \right )= V \left (Y_ { 1 } \right ) + V \left (Y_ { 2 } \right )-2 \operatorname { Cov } \left (Y_ { 1 } , Y_ { 2 } \right ) \) 이고 두 추정량은 동일한 모수를 추정하므로 보통 양의 공분산 값을 갖는다. 따라서 공분산을 고려하면 독립 가정을 했을 때보다 성능차이에 대한 분산이 더 작아지게 된다.</p> <p>위 식에서 \( I_ { r } \) 은 크기 \( r \) 인 항등행렬(identity matrix)을, \( \mathbf { 0 } _ { m r \times m r } \) 은 영행렬을 나타낸다. \( I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 는 두 행렬의 크로네커곱(Kronecker product)으로 다음과 같다.</p> <p>\[ I_ { r } \otimes \boldsymbol {\Omega } _ { i } = \left ( \begin {array} { cccc } \boldsymbol {\Omega } _ { i } & \mathbf { 0 } _ { m \times m } & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m \times m } \\ \mathbf { 0 } _ { m \times m } & \boldsymbol {\Omega } _ { i } & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m \times m } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf { 0 } _ { m \times m } & \cdots & \mathbf { 0 } _ { m \times m } & \boldsymbol {\Omega } _ { i } \end {array} \right ) \]</p> <p>\( \boldsymbol {\epsilon } _ { i k } , k=1, \ldots, r \) 는 동일한 분산공분산행렬 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 를 가지므로 잔차벡터 \( \mathbf { e } _ { i k } , k=1, \ldots, r \) 로부터 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 를 추정할 수 있다. 전체 잔차벡터 \( \mathbf { e } \) 는 \( \mathbf { e } = \mathbf { y } - \mathbf { X } \hat {\boldsymbol {\beta } } \) 이다. \( \mathbf { e } \) 의 일부인 \( \mathbf { e } _ { i k } , k=1, \ldots, r \) 로부터 얻은 표본분산공분산행렬을 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } \) 라고 하자. 즉,</p> <p>우리의 중요한 관심은 \( m \) 개 추정량 중에서 더 나은 성능을 갖는 추정량을 찾는 데에 있다. 자료를 잘 설명하는 식 (2.1)을 선택하는 과정을 통해 추정량의 성능 우위가 실험조건에 따라 어떻게 달라지는지를 아는 것도 중요하지만, 각 실험조건에서 어떤 추정량이 더 나은 성능을 갖는지를 알아보는 것도 중요하다. 이를 위해서 \( m \) 개 추정량 중에서 차례로 두 추정량을 선택해 두 추정량의 성능 차이의 기대값에 대한 신뢰구간을 구하되, 두 추정량을 선택하는 방법에 \( m(m-1) / 2 \) 개가 있으므로 신뢰구간을 구할 때 모임별오류율(family-wise error rate)을 고려하는 동시신뢰구간을 구해야 한다 (Tukey, 1953). 수식으로 표현하면 Kim과 Kim (2021)에서처럼 \( E \left [ \mathbf { D } \hat {\mathbf { y } } _ { s } \right ]= \mathbf { D X } _ { s } \beta \) 에 대한 동시신뢰구간을 구하면 된다. Kim과 Kim (2021)의 식 (2.5)에 나타낸 \( m(m-1) / 2 \times m \) 행렬 \( \mathbf { D } \) 는 \( m \) 개 추정량 중에서 차례로 두 개를 선택해 그 차이를 나타내기 위한 행렬이다. 차원이 \( m \times p \) 인 행렬 \( \mathbf { X } _ { s } \) 는 차원이 \( n \times p \) 인 설계행렬(design matrix) \( \mathbf { X } \) 의 일부인데, 특정한 실험조건에서 \( m \) 개 추정량의 성능을 나타내기 위해 필요한 행렬이다. 만약 실험조건이 \( i \) 라면 \( \mathbf { y } _ { i 1 } \) 에 대응하는 \( \mathbf { X } \) 의 행들을 나타낸다. \( \mathbf { y } _ { i k } , k=1, \ldots, r \) 중 어떤 것이든 대응하는 \( \mathbf { X } _ { s } \) 는 동일하다. 구체적 예를 다음 절에서 볼 수 있다.</p> <p>\( E \left [ \mathbf { D } \hat {\mathbf { y } } _ { s } \right ] \) 를 구성하는 \( m(m-1) / 2 \) 개의 평균성능차이에 대한 동시신뢰구간을 구하는 방법으로 Kim과 Kim (2021)에서와 같이 Bonferroni 방법을 적용하였다. 다만 \( \mathbf { D } \hat {\mathbf { y } } _ { s } \) 의 분산공분산행렬 \( \mathbf { D X } _ { s } \boldsymbol {\Omega } _ {\hat {\beta } } \mathbf { X } _ { s } ^ { T } \mathbf { D } ^ { T } \) 을 Kim과 Kim (2021)과 달리 추정하였다. \( \boldsymbol {\Omega } _ {\hat {\beta } } = \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \mathbf { X } ^ { T } \boldsymbol {\Omega } \mathbf { X } \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \) 에서 오차항의 분산공분산행렬 \( \boldsymbol {\Omega } \) 이 식 (2.2)와 같은 블록대각행렬임을 가정하고 잔차로부터 직접 추정하였다. Bonferroni 방법은 보수적(conservative) 검정방법이긴 하지만 VanderWeele과 Mathur (2018)은 Bonferroni 방법을 권장하였다. 6개 추정량의 모든 짝에 대해 그 평균성능차이를 동시신뢰구간으로 비교하고자 할 때, 각 신뢰구간의 유의수준은 \( \alpha=0.05 \) 에서 \( \alpha / 15 \doteq 0.0033 \) 로 \( 1 / 15 \) 배 낮아지지만, 대응하는 \( z \) 값의 기각값은 1.96에서 2.94로 1.5배 정도만 커진다. 따라서 만약 비교하고자 하는 두 추정량의 차이에 대한 표준오차가 작으면 실제 유의하게 되는 차이는 그다지 크지 않을 수 있다. 다음 절에서 보일 예에서 한 가지 경우를 미리 보면, 15개의 신뢰구간을 구할 때 각 신뢰구간에서 \( \alpha=0.05 \) 로 잘못 두면 유의한 차이를 보이는 신뢰구간의 수는 14개였다. 다중비교를 위해 \( \alpha=0.0033 \) 으로 제대로 두어도 14개 모두 여전히 유의한 차이를 보였다. 유의한 차이를 보이는 14개 신뢰구간에 대응하는 \( z \) 값의 절대값은 4.764에서 20.179 사이에서 관측되었다. 이 자료에서는 두 추정량의 성능에 차이가 있는 경우 1.96에서 2.94 사이를 벗어나는 아주 큰 값을 갖게 되어 유의수준이 0.05에서 0.0033으로 낮아지더라도 결론이 달라지지 않게 되었다. 이 예는 Bonferroni 방법이 실용적인 관점에서 그렇게 보수적이지 않을 수 있음을 보여준다. VanderWeele과 Mathur (2018)도 비슷한 예를 들었는데, 유의수준 0.05에서 유의한 차이를 보이는 20개 중에서 17개가 Bonferroni 방법에 따른 유의수준에서도 여전히 유의한 차이를 보이는 예를 들었다.</p> <p>\[ \hat {\boldsymbol {\beta } } _ {\mathrm { GLS } } = \underset {\mathbf { b } } {\operatorname { argmin } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X b } ) ^ { T } \boldsymbol { {\Omega } } ^ { -1 } ( \mathbf { y } - \mathbf { X b } ). \]</p> <p>OLS 추정량은 \( \hat {\boldsymbol {\beta } } _ {\mathrm { OLS } } = \operatorname { argmin } _ {\mathbf { b } } ( \mathbf { y } - \mathbf { X b } ) ^ { T } ( \mathbf { y } - \mathbf { X b } ) \) 와 같이 정의된다. \( \boldsymbol {\Omega } = \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } \) 인 경우 두 추정량의 정의가 일치하므로, OLS 추정량을 GLS 추정량의 특수한 경우로 볼 수 있다. \( \boldsymbol {\Omega } \) 를 알고 있다면 GLS 추정량 \( \hat {\boldsymbol {\beta } } _ {\mathrm { GLS } } = \left ( \mathbf { X } ^ { T } \boldsymbol {\Omega } ^ { -1 } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \mathbf { X } ^ { T } \boldsymbol {\Omega } ^ { -1 } \mathbf { y } \) 이 최량선형비편향추정량(best linear unbiased estimator)이 된다. 하지만 \( \boldsymbol {\Omega } \) 를 자료로부터 추정해야 하는 경우 GLS 추정량의 분산이 OLS 추정량 \( \hat {\boldsymbol {\beta } } _ {\mathrm { OLS } } = \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { y } \) 의 분산보다 더 커질 수도 있다 (Rao와 Griliches, 1969). 모의실험을 통해 GLS 추정량의 성능을 OLS 추정량과 비교해 보았다. OLS 추정량을 쓸 때도 추정량의 분산 추정을 달리 할 수 있으므로 여러 가지 추정방법이 가능하다. 총 4가지 추정방법의 성능을 비교하였다.</p> <ul> <li>OLS1으로 표기할 첫 번째 방법은 앞에서 서술한 사례연구에서 쓴 방법이다. \( \boldsymbol {\beta } \) 의 점추정량으로 OLS 추정량을 쓰고 추정량의 분산을 \( \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \mathbf { X } ^ { T } \hat {\boldsymbol {\Omega } } \mathbf { X } \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \) 으로 추정한다. 이때 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 는 블록대각행렬로서 \( i \) 번째 블록에 해당하는 행렬 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } \) 는 잔차벡터 \( \mathbf { e } _ { i k } , k=1, \ldots, r \) 의 표본분산공분산행렬로부터 얻어진다.</li> <li>OLS2로 표기하는 두 번째 방법은 OLS 추정량을 쓰되 추정량의 분산에 대한 추정량으로 HC3 추정량을 쓰는 방법이다 (MacKinnon과 White, 1985). Kim과 Kim (2021)에서 쓴 방법인데 공분산을 무시하고 이분산성만 고려한 경우이다. 지난 연구 결과와 비교하기 위해 고려하였다.</li> <li>OLS3로 표기하는 세 번째 방법은 OLS 추정량을 쓰고 추정량의 분산을 \( \hat {\sigma } ^ { 2 } \left ( \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \) 로 추정하는 방법이다. 이때 \( \hat {\sigma } ^ { 2 } \) 은 \( y_ { 1 } , \ldots, y_ { n } \) 이 독립이고 등분산성을 가정했을 때 얻어지는 분산의 추정값이다. 적절하지 않은 방법이지만 공분산과 이분산성을 모두 무시할 때 성능이 얼마나 나빠지는지 알아보고자 고려하였다.</li> <li>GLS로 표기하는 네 번째 방법은 GLS 추정량을 이용하는 방법인데 추정량의 분산을 \( \left ( \mathbf { X } ^ { T } \hat {\boldsymbol {\Omega } } ^ { -1 } \mathbf { X } \right ) ^ { -1 } \) 으로 추정한다. \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 은 첫 번째 방법에서 구한 블록대각행렬을 나타낸다.(GLS 추정량을 얻기 위해서 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 가 필요하고 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 를 얻기 위해서 다시 GLS 추정량이 필요하다. 이 문제를 해결하는 방법으로 OLS 추정량에 기반한 잔차를 이용해 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 를 먼저 얻는다. 이 분산공분산행렬을 이용해 GLS 추정량을 구하고 GLS 추정량에 기반한 잔차를 다시 구해 분산공분산행렬을 재추정한다. 재추정된 분산공분산행렬에 기반한 GLS 추정량을 다시 구하고, 이 작업을 수렴된 GLS 추정량을 얻을 때까지 반복하는 방법을 생각해볼 수 있으나, 이 반복적인 방법은 시뮬레이션에서 구현하지 않았다. 그리고, GLS 추정량과 분산을 구할 때 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 의 역행렬을 구해야 하는데, 블록대각행렬의 역행렬은 각 블록을 구성하는 행렬의 역행렬들로 이루어진다는 성질을 이용하였다.)</li></ul> <p>네 가지 방법에 대한 모의실험 결과를 Table 1에 정리하였다. Table 1에서 OLS1, OLS2, OLS3, GLS는 네 가지 방법을 각각 나타낸다. 16가지 실험조건에서 얻은 결과 중에서 처음 8가지 실험조건에 대한 결과만 보고하였다.(나머지 8개 실험조건에서 얻어진 결과도 비슷하였다.) 대신에 각 실험조건에서 반복 실험하는 횟수 \( r \) 을 50에서 20으로 줄였을 때 얻어진 결과를 Table 1에 같이 보고하였다.</p> <p>Figure 1은 하나의 실험조건에서 본 결과인데, 16개 실험조건에서 종합적으로 봤을 때 결과에 어떤 차이가 있는지를 살펴보았다. 각 실험조건에서 15개씩의 신뢰구간이 있으므로 총 \( 16 \times 15=240 \) 개의 신뢰구간이 있는데, 240개 신뢰구간 길이의 평균과 표준오차, 그리고 유의한 차이를 보이는 개수를 계산하여 아래에 나타내었다. 공분산을 고려하면 공분산을 무시했을 때와 비교했을 때 신뢰구간의 길이가 평균 \( 0.644 / 1.332 \doteq 0.48 \) 배로 줄어들어 0을 포함하지 않는, 즉 유의한 차이를 보이는 신뢰구간의 수는 \( 200 / 163 \doteq 1.23 \) 배 많아진다.</p> <p>위 결과는 공분산을 무시하지 않고 고려하면 0을 포함하지 않는 신뢰구간의 수가 더 많아져서 두 추정량의 성능에 차이가 있다고 결론 내리는 경우가 더 많아진다는 것을 의미한다. 반복실험횟수가 많아지면 실험조건 \( i \) 에서 얻어지는 잔차의 표본분산공분산행렬 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } \) 가 \( \boldsymbol {\Omega } _ { i } \) 의 일치추정량이 되고, \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } _ { i } \) 를 대각원소로 갖는 블록대각행렬은 식 (2.2)의 일치추정량이 된다. 따라서 이에 기반한 방법의 명목신뢰수준도 보장된다. 만약 두 추정량의 성능 차이에 대한 신뢰구간이 참값을 포함하게 되는 확률이 명목신뢰수준을 보장한다면 두 추정량의 성능에 차이가 있다고 결론 내리는 경우가 더 많은 방법이 더 나은 방법이라고 할 수 있다. 이 사례에서 관측된 50번이라는 반복횟수는 명목신뢰수준 0.95를 가정해도 될 만큼 충분히 큰가를 확인할 필요가 있다. 이를 위해 시뮬레이션 연구를 다음과 같이 진행하였다.</p> <ol type=1 start=1><li>주어진 자료에서 추정한 모형을 참모형 식 (2.1)로 간주한다.</li> <ul> <li>주어진 자료로부터 추정한 회귀계수 \( \hat {\boldsymbol {\beta } } \) 와 오차항의 분산공분산행렬 \( \hat {\boldsymbol {\Omega } } \) 를 각각 참회귀계수 \( \boldsymbol {\beta } \) 와 식 (2.2)에 있는 참분산공분산행렬 \( \boldsymbol {\Omega } \) 로 간주한다. 설계행렬 \( \mathbf { X } \) 는 주어진 자료와 동일하게 고정한다.</li></ul> <li>참모형으로부터 모의자료 \( \mathbf { y } \) 를 생성한다.</li> <ul> <li>각 실험조건 \( i, i=1, \ldots, 16 \) 에서 차원이 \( 6 \times 1 \) 인 다변량정규난수벡터 \( \mathbf { y } _ { i k } , k=1, \ldots, 50 \) 을 반복 생성해서 결합해 차원이 \( n \times 1 \) 인 다변량정규난수 \( \mathbf { y } \) 를 생성한다. \( n=16 \cdot 6 \cdot 50=4800 \) 이다.</li></ul> <li>생성된 자료에 모형 식 (2.1)을 적합한다.</li> <ul> <li>이때 설계행렬은 고정된 것으로 간주하므로 변수 선택을 하지 않는다. 회귀계수와 회귀계수의 분산만 추정한다.</li> <li>회귀계수의 분산을 추정하기 위해 적합된(fitted) 모형의 잔차를 이용하여 블록대각행렬 식 (2.2)을 추정 한다.</li></ul> <li>각 실험조건에서 \( E \left [ \mathbf { D } \hat { y } _ { s } \right ]= \left ( \mathbf { D X } _ { s } \boldsymbol {\beta } \right )_ { 15 \times 1 } \) 에 대한 \( 95 \% \) 동시신뢰구간을 구해서 15개 신뢰구간의 평균길이와 제1종오류 발생 여부를 저장한다.</li> <ul> <li>15개의 신뢰구간 중에서 하나라도 참값을 포함하지 않으면 제1종오류가 생긴 것으로 간주한다.</li> <li>단계 4의 작업을 16개 실험조건에서 차례로 수행한다.</li></ul> <li>앞 단계 중에서 2부터 4까지 단계를 2000번 반복해서 평균적인 성능을 구한다.</li> <ul> <li>16번의 실험조건에서 각각 15개 동시신뢰구간의 평균길이와 제1종오류 발생 여부가 2000개 얻어진다.</li> <li>2000개 평균길이의 평균과 실제유의수준을 각 실험조건에서 구하여 출력한다. 실제유의수준(의 추정 값)은 2000번 중에서 제1종오류가 발생한 비율이 된다.</li></ul></ol> <p>위에서 설명한 모의실험 단계 1과 3에서 \( \hat {\boldsymbol {\beta } } \) 는 보통최소제곱(Ordinary Least Squares; OLS)추정량이다. OLS 추정량은 등분산 가정이 성립할 때, 즉 \( \boldsymbol {\Omega } = \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } \) 일 때 최량선형비편향추정량(best linear unbiased estimator)이 되지만 본 연구에서와 같이 등분산 가정이 성립하지 않을 때는 최적추정량이 아닐 수 있다. 오차항의 분산공분산행렬 \( \boldsymbol {\Omega } \) 가 보다 일반적인 형태일 때 다음과 같이 정의되는 일반화최소제곱(Generalized Least Squares; GLS)추정량을 고려할 수 있다.</p>	자연
미분적분을 위한 기초수학의 이해	<h3>보기 7.1.2 조각으로 정의 되는 함수를 분석하기</h3> <p>나음의 함수 \( f \) 를 생각하자:</p> <p>\( f(x)= \left \{\begin {array} { ll } -x + 1 & (-1 \leq x<1) \\ 2 & (x=1) \\ x ^ { 2 } & (x>1) \end {array} \right . \)</p> <ol type=a start=1><li>\( f(0), f(1) \) 과 \( f(2) \) 를 구하여라.</li> <li>\( f \) 의 정의역을 결정하여라.</li> <li>\( f \) 의 그래프를 그려라.</li> <li>이 그래프를 사용하여 \( f \) 의 치역을 구하여라.</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=a start=1><li> <p>\( f(0) \) 을 구하기 위하여, \( x=0 \) 일 때 \( f \) 에 대한 방정식이 \( f(x)=-x + 1 \) 임을 관찰한다. 그래서 \( f(0)=-0 + 1=1 \).</p> <p>\( x=1 \) 일 때, \( f \) 에 대한 방정식은 \( f(x)=2 \). 그래서 \( f(1)=2 \).</p> <p>\( x=2 \) 일 때, \( f \) 에 대한 방정식은 \( f(x)=x ^ { 2 } \). 그래서 \( f(2)=2 ^ { 2 } =4 \).</p> <p>따라서 \( f(0)=1, f(1)=2 \) 이고 \( f(2)=4 \).</p></li> <li> <p>\( f \) 의 정의역을 구하기 위하여, 이 함수의 정의역을 살펴보자.</p> <p>\( f \) 의 정의역이 \( \{ x: x \geq-1 \} \) 또는 \( [-1, \infty) \) 라고 결론을 내린다.</p></li> <li> <p>\( f \) 의 그래프를 그리기 위하여, “각 부분”의 그래프를 그린다.</p> <p>처음에 직선 \( y=-x + 1 \) 의 그레프를 그리고 \( -1 \leq x<1 \) 인 부분만을 보존한다. 다음에 점 \( (1,2) \) 의 위치를 정한다. 왜냐면, \( x=1 \) 일 때 \( f(x)=2 \) 이기 때문이다. 마지막으로, 포물선 \( y=x ^ { 2 } \) 의 그래프를 그리고 \( x>1 \) 인 부분만을 보존한다.</p> <p>그림 7.1.13을 보라.</p></li> <li>이 그래프로부터, \( f \) 의 치역이 \( \{ y: y>0 \} \) 또는 구간 \( (0, \infty) \) 라고 결론을 내린다.</li></ol> <h2>7.2 함수의 그래프</h2> <p>이 단계에서, \( y=x, y=x ^ { 2 } , y=x ^ { 3 } , y= \sqrt { x } , y= \sqrt[3] { x } , y=\|x\| \) 또는 \( y= \frac { 1 } { x } \) 로 정의되는 임의의 함수의 그래프를 생각하자.</p> <h3>보기 7.2.4 일련의 변환들로부터 얻어지는 함수를 결정하기</h3> <p>다음의 3종류의 변환을 \( y=\|x\| \) 의 그래프에 적용한 후에 최종적으로 그래프가 그려지게 되는 함수를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>2 단위만큼 왼쪽으로 이동한다.</li> <li>3 단위만큼 위로 이동한다.</li> <li>\( y \)-축에 대하여 반사한다.</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=1 start=1><li> <p>2 단위만큼 왼쪽으로 이동하므로 \( x \) 대신에 \( x + 2 \) 를 대입한다.</p> <p>그러면 \( y=\|x + 2\| \).</p></li> <li>3 단위만큼 위로 이동하므로, 3 을 더한다. 그래서 \( y=\|x + 2\| + 3 \).</li> <li> <p>\( y \)-축에 관하여 반사하므로, \( x \) 대신에 \( -x \) 를 대입한다.</p> <p>따라서 \( y=\|x + 2\| + 3=\|x-2\| + 3 \).</p></li></ol> <h3>보기 \( 7.2 .5 \) 그래프 그리는 과정을 결합하기</h3> <p>함수 \( f(x)= \frac { 3 } { x-2 } + 1 \) 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>우리는 \( f \) 의 그래프를 얻기 위하여 다음의 단계를 사용한다.</p> <p>단계 1: \( y= \frac { 1 } { x } \) 역의 함수</p> <p>단계 2: \(y= \frac { 3 } { x } \) 3 을 곱하여 3 의 인수만큼 \( y= \frac { 1 } { x } \) 의 그래프를 세로로 확대한다.</p> <p>단계 3: \( y= \frac { 3 } { x-2 } \) \( x \) 대신 \( x-2 \) 를 내입하여 가로로 2 단위만큼 오른쪽으로 이동한다.</p> <p>단계 \( 4: y= \frac { 3 } { x-2 } + 1 \) 1을 더하여 세로로 1단위만큼 위로 이동한다.</p> <p>그림 7.2.6을 보라</p> <p>보기 \( 7.2 .5 \) 에서 보인 단계와 다른 순서 역시 \( f \) 의 그래프가 될 것이다.</p> <p>다음과 같이 시도해 보자.</p> <p>단계 \( 1: y= \frac { 1 } { x } \) 역의 함수</p> <p>단계 \( 2: y= \frac { 1 } { x-2 } \) \( x \) 대신에 \( x-2 \) 를 대입, 가로로 2 만큼 오른쪽으로 이동</p> <p>단계 \( 3: y= \frac { 3 } { x-2 } \) 3 을 곱하여 3 의 인수에 의하여 \( y= \frac { 1 } { x-2 } \) 의 그래프를 세로로 확대</p> <p>그러므로 \( -1 \) 은 \( f \circ g \) 의 정의역에서 제외된다.</p> <p>따라서 \( f \circ g \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq-1, x \neq 1 \} \).</p></li> <li> <p>\( \begin {aligned} (f \circ f)(x) &=f(f(x))=f \left ( \frac { 1 } { x + 2 } \right )= \frac { 1 } {\frac { 1 } { x + 2 } + 2 } \\ &= \frac { x + 2 } { 1 + 2(x + 2) } = \frac { x + 2 } { 2 x + 5 } \end {aligned} \)</p> <p>\( f \) 의 정의역이 \( \{ x: x \neq-2 \} \) 이므로, \( f(x)=-2 \) 가 되는 \( x \) 는 \( f \circ f \) 의 정의역에서 제외된다. 그래서 방정식 \( f(x)=-2 \) 를 풀면, \[ \begin {array} { c } f(x)= \frac { 1 } { x + 2 } =-2 \\ 1=-2(x + 2) \\ 1=-2 x-4 \\ 2 x=-5 \\ x=- \frac { 5 } { 2 } \end {array} \]</p> <p>따라서 \( f \circ f \) 의 정의역은 \( \left \{ x: x \neq-2, x=- \frac { 5 } { 2 } \right \} \).</p></li></ol> <p>보기 7.3.2에서 알 수 있듯이, 일반적으로 \( f \circ g \neq g \circ f \) 다. 때때로 \( f \circ g=g \circ f \) 인 경우가 있다. 다음의 보기를 생각한다.</p> <h3>보기 \( 7.3 .5 \) 두 합성함수가 같음을 증명하기</h3> <p>\( f(x)=3 x-4 \) 이고 \( g(x)= \frac { 1 } { 3 } (x + 4) \) 일 때 \( f \circ g=g \circ f \) 임을 증명하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>\( \begin {aligned} (f \circ g)(x)=& f(g(x)) \\ &=f \left ( \frac { x + 4 } { 3 } \right ) \\ &=3 \left ( \frac { x + 4 } { 3 } \right )-4 \\ &=x + 4-4=x . \end {aligned} \)</p> <h3>보기 7.2.2 변화를 사용하여 2차함수의 그래프를 그리기</h3> <p>함수 \( f(x)=x ^ { 2 } + 6 x + 4 \) 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>오른쪽 변을 완전 제곱함으로써 시작한다.</p> <p>\( \begin {aligned} f(x) &=x ^ { 2 } + 6 x + 4 \\ &= \left (x ^ { 2 } + 6 x \right ) + 4 \\ &= \left (x ^ { 2 } + 6 x + 9 \right ) + (4-9) \\ &=(x + 3) ^ { 2 } -5 . \end {aligned} \)</p> <p>다음의 단계로 \( f \) 의 그래프를 그린다. 먼저, \( f \) 에 대한 구칙이 기본적으로 제곱함수임을 주목한다. 그래서 그림 7.2.2(a)에서 보이는 것처럼 \( y=x ^ { 2 } \) 의 그래프부터 시작한다.</p> <p>다음에, \( y=(x + 3) ^ { 2 } \) 의 그래프를 얻기 위하여, \( y=x ^ { 2 } \) 의 그래프를 가로로 3 단위만큼 왼쪽으로 이동한다. 그림 7.2.2(b)를 보라.</p> <p>마지막으로, \( y=(x + 3) ^ { 2 } -5 \) 의 그래프를 얻기 위하여, \( y=(x + 3) ^ { 2 } \) 의 그래프를 세로로 5단위만큼 아래로 이동한다. 그림 7.2.2(c)를 보라. 각 그래프 위에 정해진 점들을 주목하라.</p> <p>확인 : \( Y_ { 1 } =f(x)=x ^ { 2 } + 6 x + 4 \) 의 그래프를 그리고 그림 7.2.2(c)와 비교하라.</p> <h3>보기 7.2.3 확대와 축소를 사용하여 그래프를 그리기</h3> <p>\( y=f(x) \) 의 그래프가 그림 7.2.3에 주어져 있다. 이 그래프를 사용하여 다음 각 함수의 그래프를 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( y=2 f(x) \)</li> <li>\( y=f(3 x) \)</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=a start=1><li>\( y=2 f(x) \) 의 그래프는 \( y=f(x) \) 의 각 \( y \)-좌표에 2 를 곱함으로써 얻어진다. 그림 7.2.4(a)를 보라.</li> <li>\( y=f(3 x) \) 의 그래프는 \( y=f(x) \) 의 각 \( x \)-좌표에 \( \frac { 1 } { 3 } \) 을 곱함으로써 \( y=f(x) \) 의 그 래프로부터 얻어진다. 그림 7.2.4(b)를 보라.</li></ol> <h3>세제곱근함수</h3> <p>\( f(x)= \sqrt[3] { x } \).</p> <p>그림 7.1.9를 보라.</p> <p>세제곱근함수(cube root function)의 정의역과 치역은 모든 실수들의 집합이다. 이 그래프의 절편은 \( (0,0) \) 에 있다. 세제곱근함수는 구간 \( (- \infty, \infty) \) 에서 증가하는 홀함수이다.</p> <h3>절대값 함수</h3> <p>\( f(x)=\|x\| \)</p> <p>그림 7.1.10을 보라.</p> <p>절대값 함수(absolute value function)의 정의역은 모든 실수들의 집합이고 이것의 치역은 음 아닌 실수들의 집합이다. 이 그래프의 절편은 \( (0,0) \) 에 있다. \( x \geq 0 \) 이면 \( f(x)=x \) 이고 \( f \) 의 그래프는 직선 \( y=x \) 의 부분이다. \( x<0 \) 이면 \( f(x)=-x \) 이고 \( f \) 의 그래프는 직선 \( y=-x \) 의 부분이다. 절대값 함수는 짝함수이고, 구간 \( (- \infty, 0) \) 에서 감소하고 구간 \( (0, \infty) \) 에서 증가한다.</p> <h3>역의함수</h3> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x } \)</p> <p>방정식 \( y= \frac { 1 } { x } \) 에 대한 논의에 대하여 보기 \( 1.45 \) 를 참고하라.</p> <p>그림7.1.11을 보라.</p> <p>역의함수(reciprocal function)의 정의역과 치역은 0이 아닌 모든 실수들의 집합이다. 이 그래프는 절편이 없다. 역의함수는 홀함수이고 구간 \( (- \infty, 0) \) 과 \( (0, \infty) \) 에서 감소한다.</p> <p>이제 표시법 \( \operatorname { int } (x) \) 는 \( x \) 보다 작거나 같은 최대정수를 나타낸다.</p> <p>예로써, \( \operatorname { int } (1)=1, \operatorname { int } (2.5)=2, \operatorname { int } \left ( \frac { 1 } { 3 } \right )=0, \operatorname { int } \left (- \frac { 2 } { 5 } \right )=-1, \operatorname { int } ( \pi)=3 \). 이러한 형태의 대응은 수학에서 충분히 자주 생긴다.</p> <h3>최대정수함수(greatest-integer function)</h3> <p>\( f(x)= \operatorname { int } (x)=x \) 보다 작거나 같은 최대정수.</p> <p>주목 어떤 책은 \( \operatorname { int } (x) \) 데신에 표시법 \( f(x)=[x] \) 를 사용한나.</p> <p>여러 개의 점의 좌표를 정함으로써 \( f(x)= \operatorname { int } (x) \) 의 그래프를 얻는다.</p> <p>\( t ^ { 2 } \) 의 계수가 양이므로, \( y=t ^ { 2 } -t + 1 \) 의 꼭지점 \( \left ( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 4 } \right ) \) 은 곡선위의 가장 낮은 점이다. 그래서 \( t= \frac { 1 } { 2 } \) 에서 \( y \) 는 최소값을 갖는다. \( t=x ^ { 2 } \) 이므로, \( x ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \).</p> <p>그러므로 \( x= \pm \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } = \pm \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \). 그런데 \( d= \sqrt { x ^ { 4 } -x ^ { 2 } + 1 } = \sqrt { y } \). 그래서 \( y \) 가 최소 값을 가지면, \( d \) 역시 최소값을 갖는다.</p> <p>따라서 \( d \) 는 \( x= \pm \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \) 에서 최소값을 갖는다.</p></li></ol> <h2>\( 7.3 \) 합성함수</h2> <p>함수 \( y=(2 x + 5) ^ { 2 } \) 을 생각하자. \( y=f(u)=u ^ { 2 } \) 과 \( u=g(x)=2 x + 5 \) 라 하면, 원래의 함수를 얻을 수 있다.</p> <p>\( y=f(u)=f(g(x))=(2 x + 5) ^ { 2 } \). 이 과정을 합성(composition)이라 한다.</p> <p>일반적으로, \( f \) 와 \( g \) 는 \( x \) 가 \( g \) 의 정의역에 속하는 수인 두 함수라 가정하자. \( x \) 에서 \( g \) 의 값을 구함으로써, \( g(x) \) 를 얻는다. \( g(x) \) 가 \( f \) 의 정의역의 원이면, \( g(x) \) 에서 \( f \) 의 값을 구할 수 있고 그 때문에 식 \( f(g(x)) \) 를 얻는다.</p> <p>\( x \) 에서 \( f(g(x)) \) 까지의 대응을 합성함수 \( f \circ g \) 라 한다.</p> <p>함수 \( f \) 의 그래프가 알려지면, \( f \) 가 1대1함수인지를 결정하기 위한 가로 직선판정법(horizontal-line test)이라고 부르는 간단한 판정법이 있다.</p> <p>모든 가로 직선이 함수 \( f \) 의 그래프와 많아야 한 점에서 만나면, \( f \) 는 1대1함수이다.</p> <p>이 시험을 하는 이유를 그림 7.4.2에서 볼 수 있다. 여기서 가로 직선 \( y=h \) 는 이 그래프와 두 개의 다른 점 \( \left (x_ { 1 } , h \right ) \) 와 \( \left (x_ { 2 } , h \right ) \) 에서 만난다. \( h \) 는 \( x_ { 1 } \) 과 \( x_ { 2 } \left (x_ { 1 } \neq x_ { 2 } \right ) \) 의 상이므로, \( f \) 는 1대1함수가 아니다.</p> <p>그림 7.4.2에 근거하여, 다른 방법으로 가로 직선판정법을 설명 할 수 있다. 임의의 가로 직선의 그래프가 함수 \( f \) 의 그래프와 두 점 이상에서 만나면, \( f \) 는 1 대 1 함수가 아니다.</p> <h3>보기 \( 7.4 .3 \) 가로 직선판정법을 사용하기</h3> <p>다음의 각 함수가 1대1함수인지를 결정하기 위하여 그래프를 사용하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( f(x)=x ^ { 2 } \)</li> <li>\( g(x)=x ^ { 3 } \)</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=a start=1><li>그림 7.4.3(a)는 \( f(x)=x ^ { 2 } \) 에 대한 가로 직선판정법을 설명한다. 가로 직선 \( y=1 \) 은 \( f \) 의 그래프와 \( (1,1) \) 과 \( (-1,1) \) 에서 두 번 만난다. 따라서 \( f \) 는 1 대1함수가 아니다.</li> <li>그림 7.4.3(b)는 \( g(x)=x ^ { 3 } \) 에 대한 가로 직선판정법을 설명한다. 모든 가로 직선 이 \( g \) 의 그래프와 꼭 한번만 만난다. 따라서 \( g \) 는 1 대 1 함수이다.</li></ol> <p>1 대 1 함수 \( g(x)=x ^ { 3 } \) 을 더욱 세밀하게 살펴보자. 이 함수는 증가함수다. 증가 또는 감소)함수는 언제나 같지 않은 \( x \)-값들에 대하여 다른 \( y \)-값들을 갖기 때문에, 이것의 정의역에서 증가(또는 감소)하는 함수는 역시 1 대 1 함수가 된다.</p> <h3>1 차 함수</h3> <p>\( f(x)=m x + b, m \) 과 \( b \) 는 실수다.</p> <p>그림 7.1.3을 보라.</p> <p>1차 함수(linear function)의 정의역은 모든 실수들의 집합이다. 이 함수의 그래프는 기울기 \( m \) 과 \( y \)-절편 \( b \) 를 갖는 비세로직선이다.</p> <p>1 차 함수는, \( m>0 \) 이면 증가하고 \( m<0 \) 이면 감소하고 그리고 \( m=0 \) 이면 상수다.</p> <h3>상수함수</h3> <p>\( f(x)=b, b \) 는 실수이다.</p> <p>그림 7.1.4를 보라.</p> <p>상수함수(constant function)는 특별한 1 차 함수 \( (m=0) \) 다. 이것의 정의역은 모든 실수들의 집합이고, 치억은 단 하나의 수 \( b \) 로 이루어지는 집합이다. 이것의 그래프는 \( y \)-절편이 \( b \) 인 가로 직선이다. 상수함수는 이것의 정의역에서 상수인 짝함수이다.</p> <h3>항등함수</h3> <p>\( f(x)=x \).</p> <p>그림 7.1.5를 보라.</p> <p>항등함수(identity function)는 역시 특별한 함수다. 이 함수의 정의역과 치역은 모든 실수들의 집합이다. 이것의 그래프는 기울기가 \( m \) 이고 \( y \)-절편이 0 인 직선이다.</p> <p>이 직선은 \( x \)-좌표와 \( y \)-좌표가 같은 모든 점들로 이루어진다.</p> <p>항등함수는 이것의 정의역에서 증가하는 홀함수이다. 이 그래프는 사분면 I 과 III을 2 등분함에 주목하라.</p> <h3>제곱함수</h3> <p>\( f(x)=x ^ { 2 } \)</p> <p>그림 7.1.6을 보라.</p> <p>제곱함수(square function) \( f \) 의 정의역은 모든 실수들의 집합이고, 이것의 치역은 음 아닌 실수들의 집합이다.</p> <p>이 함수의 그래프는 절편이 \( (0,0) \) 에 있는 포물선이다. 이 함수는 구간 \( (- \infty, 0) \) 에서 감소하고 구간 \( (0, \infty) \) 에서 증가하는 짝함수이다.</p> <h3>세제곱함수</h3> <p>\( f(x)=x ^ { 3 } \)</p> <p>그림 7.1.7을 보라.</p> <p>세제곱함수(cube function)의 정의역과 치역은 모든 실수들의 집합이다. 이 그래프의 절편은 \( (0,0) \) 에 있다. 세제곱함수는 구간 \( (- \infty, \infty) \) 에서 증가하는 홀합수이다.</p> <h3>제곱근함수</h3> <p>\( f(x)= \sqrt { x } \)</p> <p>그림 7.1.8을 보라.</p> <p>제곱근함수(square root function)의 정의역과 치역은 음 아넌 실수들의 집합이다. 이 그래프의 절편은 \( (0,0) \) 에 있다. 제곱근함수는 구간 \( (0, \infty) \) 에서 증가하는 짝도 홀도 아닌 함수이다.</p> <p>역시 -2는 \( f \circ g \) 의 정의역에서 제외된다.</p> <p>따라서 \( f \circ g \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq-1, x \neq 1 \} \).</p> <p>확인: \( x=1 \) 에 대하여, \( g(x)= \frac { 4 } { x-1 } \) 는 정의되지 않는다. 그러므로 \( (f \circ g)(1)=f(g(1)) \) 은 정의되지 않는다. \( x=-1 \) 에 대하여, \( g(-1)= \frac { 4 } { -2 } =-2 \) 이고 \( (f \circ g)(-1)=f(g(-1))=f(-2) \) 는 정의되지 않는다.</p> <h3>보기 7.3.4 합성함수와 그것의 정의역을 구하기</h3> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x + 2 } \) 이고 \( g(x)= \frac { 4 } { x-1 } \) 라 하자. 다음 각각을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( f \circ g \)</li> <li>\( f \circ f \)</li></ol> <p>각 합성함수의 정의역을 말하여라.</p> <h3>풀0\|</h3> <p>\( f \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq-2 \} \) 이고 \( g \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq 1 \} \) 이다.</p> <ol type=a start=1><li> <p>\( (f \circ g)(x)=f(g(x))=f \left ( \frac { 4 } { x-1 } \right )= \frac { 1 } {\frac { 4 } { x-1 } + 2 } \) \( = \frac { x-1 } { 4 + 2(x-1) } = \frac { x-1 } { 2 x + 2 } = \frac { x-1 } { 2(x + 1) } \)</p> <p>보기 7.3.3에서, \( f \circ g \) 의 정의역이 \( \{ x: x \neq-1, x \neq 1 \} \) 임을 구했다.</p> <p>역시 \( g \) 의 정의역 \( \{ x: x \neq 1 \} \) 을 처음에 살펴봄으로써 \( f \circ g \) 의 정의역을 구할 수 있다. 결과로써, 1 은 \( f \circ g \) 의 정의역에서 제외된다. 다음에 \( f \circ g \) 를 살펴보면 \( x=-1 \) 일 때 \( g(-1)=-2 \) 가 되어 \( f(g(-1))=f(-2) \) 는 정의되지 않음에 주목하라.</p> <p>다음으로 1 대 1 함수 \( f \) 와 역함수 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프들이 직선 \( y=x \) 에 관하여 대칭이라는 사실은 우리에게 더 많은 것을 말해준다. 이 사실은 \( f \) 에서 \( x \) 와 \( y \) 의 역할을 서로 바꾸어 줌으로써 \( f ^ { -1 } \) 을 얻을 수 있음을 말한다. 다시 그림 7.4.8을 살펴보자.</p> <p>\( f \) 가 방정식 \( y=f(x) \) 로 정의되면, \( f ^ { -1 } \) 는 방정식 \( x=f(y) \) 로 정의된다.</p> <p>방정식 \( x=f(y) \) 는 음함수 꼴로 \( f ^ { -1 } \) 를 정의한다. 이 방정식을 \( y \) 에 대하여 풀 수 있으면, \( f ^ { -1 } \) 의 양함수 꼴, 즉, \( y=f ^ { -1 } (x) \) 를 가질 것이다.</p> <p>\( f(x)=2 x + 3 \) 의 역을 구하기 위하여 이 과정을 사용하자 \( f( \) 는 1 차 함수이고 증가하므로, \( f \) 가 1대1함수임을 안다. 그러므로 \( f \) 의 역함수 \( f ^ { -1 } \) 가 있다).</p> <h3>보기 \( 7.4 .6 \) 역함수를 구하기</h3> <p>\( f(x)=2 x + 3 \) 의 역함수를 구하여라. 역시 \( f \) 와 \( f ^ { -1 } \) 의 정의역과 치역을 구하여라. 같은 좌표축 위에 \( f \) 와 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>방정식 \( y=2 x + 3 \) 에서, 변수 \( x \) 와 \( y \) 를 서로 바꾼다. 그러면 \[ x=2 y + 3 \] 은 음함수 꼴로 역함수 \( f ^ { -1 } \) 를 정의하는 방정식이다. 양함수 꼴을 구하기 위하여, \( y \) 에 대하여 풀면, \[ \begin {array} { l } 2 y + 3=x \\ 2 y=x-3 \\ y= \frac { 1 } { 2 } (x-3) \end {array} \]</p> <p>따라서 역함수는 \[ f ^ { -1 } (x)= \frac { x + 1 } { x-2 } , \quad x \neq 2 . \]</p> <p>단계 3 : 확인 : \[ f ^ { -1 } (f(x))=f ^ { -1 } \left ( \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \right )= \frac {\frac { 2 x + 1 } { x-1 } + 1 } {\frac { 2 x + 1 } { x-1 } -2 } = \frac { 2 x + 1 + x-1 } { 2 x + 1-2(x-1) } = \frac { 3 x } { 3 } =x \]</p> <p>\( f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=f \left ( \frac { x + 1 } { x-2 } \right )= \frac { 2 \left ( \frac { x + 1 } { x-2 } \right ) + 1 } {\frac { x + 1 } { x-1 } -1 } = \frac { 2(x + 1) + x-2 } { x + 1-(x-2) } = \frac { 3 x } { 3 } =x \)</p> <p>앞에서 함수 \( f \) 의 치역을 구하는 것은 쉽지 않다고 말헸다. 그러나 \( f \) 가 1 대 1 함수이면, 역함수 \( f ^ { -1 } \) 의 정의역을 구함으로써 \( f \) 의 치역을 구할 수 있다.</p> <h3>보기 \( 7.4 .8 \) 함수의 치역을 구하기</h3> <p>다음 함수의 정의역과 치역을 구하여라. \[ f(x)= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \]</p> <h3>풀이</h3> <p>\( f \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq 1 \} \) 이다. \( f \) 의 치역을 구하기 위하여, 먼저 역함수 \( f ^ { -1 } \) 를 구한다. 보기 7.4.7에 근거하여, \[ f ^ { -1 } (x)= \frac { x + 1 } { x-2 } \]</p> <p>\( f \) 가 1 대 1 함수면, 그것의 역은 함수다. 그러면, \( f \) 의 정의역의 각 원 \( x \) 에 대하여, \( (f \) 가 함수이기 때문에) 치역의 꼭 하나의 원 \( y \) 가 있고; \( f \) 의 치역의 각 원 \( y \) 에 대하여, \( (f \) 가 1대1함수이기 때문에 \( ) \) 정의역의 꼭 하나의 원 \( x \) 가 있다. \( f \) 의 치역에서 \( f \) 의 정 의역으로 반대 대응을 \( f \) 의 (inverse function of \( f \) )라 하고 기호 \( f ^ { -1 } \) 로 쓴다.</p> <p>그림 7.4.5는 이 정의를 설명한다.</p> <p>주목 주의하라! \( f ^ { -1 } \) 는 \( f \) 의 역함수에 대한 기호다. \( f ^ { -1 } \) 에 사용된 - 1 은 지수가 아니다. 즉, \( f ^ { -1 } \) 는 \( f \) 의 역수가 아니다 ; \( f ^ { -1 } (x) \) 는 \( \frac { 1 } { f(x) } \) 과 같지 않다.</p> <p>이제 함수 \( f \) 와 그 역 \( f ^ { -1 } \) 에 관하여 두 가지 사실이 얻어진다.</p> <p>\( f \) 의 정의역 \( =f ^ { -1 } \) 의 치역, \( \quad f \) 의 치역 \( =f ^ { -1 } \) 의 정의역.</p> <p>이 관계를 알아보기 위하여 그림 7.4.6을 살펴보자.</p> <p>\( x \) 에서 시작하여, \( f \) 를 적용하고, 다음에 \( f ^ { -1 } \) 를 적용하게 되면, 다시 \( x \) 를 되찾는다. \( x \) 에서 시작하여, \( f ^ { -1 } \) 를 직용하고, 다음에 \( f \) 를 직용하면, 다시 \( x \) 를 되찾는다. 즉, \( f \) 가 하는 것을 \( f ^ { -1 } \) 가 원상태로 돌리고 역도 마찬가지다.</p> <p>보기 7.3.6에서 \( f \circ g=H \) 인 다른 \( f \) 와 \( g \) 를 구할 수 있다.</p> <p>예로써, \( f(x)=x ^ { 2 } \) 이고 \( g(x)= \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 25 } \) 라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} (f \circ g)(x)=f(g(x))=& f \left ( \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 25 } \right ) \\ &= \left [ \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 25 } \right ] ^ { 2 } = \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 50 } =H(x) \end {aligned} \]</p> <p>따라서 \( f(x)=x ^ { 2 } \) 과 \( g(x)= \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 25 } \) 는 \( H=f \circ g \) 가 되는 보기 5.1.6에서 구한 \( f, g \) 와 다름을 알 수 있다. 비록 보기 7.3.6의 해로 구해진 함수 \( f \) 와 \( g \) 는 유일하지 않을지라도, 처음에 마음속에 떠오르는 \( f \) 와 \( g \) 에 대한 “자연스러운” 선택이 보통 있다.</p> <h3>보기 \( 7.3 .7 \) 합성함수의 성분을 구하기</h3> <p>\( H(x)= \frac { 1 } { x + 5 } \) 일 때 \( f \circ g=H \) 인 함수 \( f \) 와 \( g \) 를 구하여라.</p> <h3>풀0\|</h3> <p>\( H \) 는 \( x + 5 \) 의 역수임을 쉅게 알 수 있다. \( f(x)= \frac { 1 } { x } \) 이고 \( g(x)=x + 5 \) 라 하자. 그러면 \[ (f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x + 5)= \frac { 1 } { x + 5 } =H(x) \]</p> <p>따라서 \( f(x)= \frac { 1 } { x } \) 이고 \( g(x)=x + 5 \) 이다.</p> <p>\( \begin {aligned} (g \circ f)(x) &=g(f(x)) \\ &=g(3 x-4) \\ &= \frac { 1 } { 3 } [(3 x-4) + 4] \\ &= \frac { 1 } { 3 } (3 x)=x \end {aligned} \)</p> <p>그래서 \( (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x \). 따라서 \( f \circ g=g \circ f \).</p> <p>다음 절에서 \( (f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x \) 인 두 함수 \( f \) 와 \( g \) 사이에 중요한 관계가 있음을 알게 될 것이다.</p> <p>이제 합성함수의 성분을 결정할 수 있는 미분적분학에서 몇 가지 기술이 필요하다.</p> <p>예로써, 함수 \( H(x)= \sqrt { x + 1 } \) 두 함수 \( f \) 와 \( g \) 의 합성이다. 여기서 \( f(x)= \sqrt { x } \) 이고 \( g(x)=x + 1 \)</p> <p>왜나하면 \( H(x)=(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x + 1)= \sqrt { x + 1 } \) 이기 때문이다.</p> <h3>보기 7.3.6 합성함수의 성분을 구하기</h3> <p>\( H(x)= \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 50 } \) 일 때 \( f \circ g=H \) 인 함수 \( f \) 와 \( g \) 를 구하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>함수 \( H\)는 \(x ^ { 2 } + 1 \) 을 택하여 이것을 50거듭제곱한다. \( H \) 를 분해하는 자연스려운 방법은 함수 \( g(x)=x ^ { 2 } + 1 \) 을 50거듭제곱하는 것이다.</p> <p>이제 \( f(x)=x ^ { 50 } \) 이고 \( g(x)=x ^ { 2 } + 1 \) 라 하자. 그려면 \[ \begin {aligned} (f \circ g)(x) &=f(g(x)) \\ &=f \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) \\ &= \left (x ^ { 2 } + 1 \right ) ^ { 50 } =H(x) . \end {aligned} \]</p> <p>그림 7.3.2를 보라.</p> <p>따라서 \( f(x)=x ^ { 50 } \) 이고 \( g(x)=x ^ { 2 } + 1 \).</p> <p>\( -1 \leq x<0 \) 인 \( x \) 의 값에 대하여 \( f(x)= \operatorname { int } (x)=-1 ; 0 \leq x<1 \) 인 \( x \) 의 값에 대하여 \( f(x)= \operatorname { int } (x)=0 \) 이다. 이 그래프에 대하여 그림 7.1.12를 보라.</p> <p>최대정수함수의 정의역은 모든 실수들의 집합이고, 이것의 치역은 정수들의 집합이다. 이 그래프의 \( y \)-절편은 0 이다. \( x \)-절편들은 구간 \( [0,1) \) 내에 있다. 최대정수함수는 짝도 홀도 아니다.</p> <p>이 함수는 정수 \( k \) 에 대하여 \( [k, k + 1) \) 꼴의 모든 구간에서 상수다. 그림 7.1.12에서, 꽉찬 원 (solid dot)을 사용하여, 예로써, \( x=1 \) 에서 \( f \) 의 값이 \( f(1)=1 \) 임을 나타내고; 열린 원(open circle)을 사용하여 이 함수가 \( x=1 \) 에서 0 의 값을 취할 수 없음을 설명한다.</p> <p>최대정수함수의 그래프로부더, 이 함수를 계단함수(step function)라 부르기도 한다.</p> <p>\( x=0, x= \pm 1, x= \pm 2 \) 등에서, 이 함수는 불연속(discontinuity)이라는 것, 즉, 정수값에서 이 그래프가 중간의 어떤 값도 취하지 않은 채 한 값에서 다른 값까지 갑자기 “뚼다”는 것을 드러내 보여준다.</p> <p>예로써, \( x=3 \) 의 바로 왼쪽에서 \( y \)-좌표는 2 이고; \( x=3 \) 의 바로 오른쪽에서 \( y \)-좌표는 3이다.</p> <p>지금까지 우리가 논의하여 왔던 함수들은 기본이다.</p> <p>예로써, 함수 \( f(x)=x ^ { 2 } \) 과 마주치면, 그림 7.1.6과 같은 그림을 여러분의 마음의 눈으로 보아야만 한다.</p> <p>때때로 함수가 정의역의 다른 부분에서 다르게 정의된다.</p> <p>예로써, 절대값 함수 \( f(x)=\|x\| \) 는 두 개의 방정식으로 정의된다. \( x \geq 0 \) 면 \( f(x)=x \)이고 \( x<0 \) 면 \( f(x)=-x \). 편의상, 일반적으로 이 방정식들을 다음과 같이 하나의 식으로 결합한다.</p> <p>\( f(x)=\|x\|= \left \{\begin {array} { ll } x & (x \geq 0) \\ -x & (x<0) . \end {array} \right . \)</p> <p>함수가 두 개 이상의 방정식으로 정의될 때, 이 함수를 조각으로 정의되는 함수(piecewise-defined function)라 한다.</p> <p>두 함수 \( f \) 와 \( g \) 의 합성함수(composition function)는 기호 \( f \circ g \) 로 쓰고 다음과 같이 정의 한다.</p> <p>\( (f \circ g)(x)=f(g(x)) \)</p> <p>\( f \circ g \) 의 정의역은 \( g(x) \) 가 \( f \) 의 정의역에 속하는 \( g \) 의 정의역의 모든 원 \( x \) 들의 집합이다.</p> <p>그림 7.3.1을 주의 깊게 살펴보자. \( g(x) \) 가 \( f \) 의 정의역에 속하는 \( g \) 의 정의역의 모든 원 \( x \) 만 \( f \circ g \) 의 정의역에 속할 수 있다. \( g(x) \) 가 \( f \) 의 정의역의 원이 아니면 \( f(g(x)) \)가 정의되지 않는다.</p> <p>이 때문에, \( f \circ g \) 의 정의역은 \( g \) 의 정의역의 부분집합이고, \( f \circ g \) 의 치역은 \( f \) 의 치역의 부분집합이다.</p> <p>몇 가지 보기를 살펴보자.</p> <h3>보기 \( 7.3 .1 \) 합성함수의 값을 구하기</h3> <p>\( f(x)=2 x ^ { 2 } -3 \) 이고 \( g(x)=4 x \) 라 하자. 다음 각각을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( (f \circ g)(1) \)</li> <li>\( (g \circ f)(1) \)</li> <li>\( (f \circ f)(-2) \)</li> <li>\( (g \circ g)(-1) \)</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=a start=1><li>\( (f \circ g)(1)=f(g(1))=f(4)=2 \cdot 4 ^ { 2 } -3=29 \)</li> <li>\( (g \circ f)(1)=g(f(1))=g(-1)=4 \cdot(-1)=-4 \)</li> <li>\( (f \circ f)(-2)=f(f(-2))=f(5)=2 \cdot 5 ^ { 2 } -3=47 \)</li> <li>\( (g \circ g)(-1)=g(g(-1))=g(-4)=4 \cdot(-4)=-16 \)</li></ol> <h3>비슷한 문제 7.3.1</h3> <p>\( f(x)=2 x \) 이고 \( g(x)=3 x ^ { 2 } + 1 \) 일 때, 다음의 각 값을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( (f \circ g)(4) \)</li> <li>\( (g \circ f)(2) \)</li> <li>\( (f \circ f)(1) \)</li> <li>\( (g \circ g)(0) \)</li></ol> <h3>보기 \( 7.3 .2 \) 합성함수의 값을 구하기</h3> <p>\( f(x)=x ^ { 2 } + 3 x-1 \) 이고 \( g(x)=2 x + 3 \) 이라 하자. 다음 각각을 구하여라.</p> <ol type=a start=1><li>\( f \circ g \)</li> <li>\( g \circ f \)</li></ol> <p>각 합성함수의 정의역을 말하여라.</p> <p>바꾸어 말하면, \[ f ^ { -1 } (f(x))=x \text { 이고 } f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=x \text { . } \]</p> <p>독립변수 \( x \) 를 2 로 곱하는, 함수 \( f(x)=2 x \) 를 생각하자. \( f \) 가 하는 것은 무엇이든지 역함수 \( f ^ { -1 } \) 가 원 상태로 돌린다. 그러므로 \( f \) 의 역함수는, 독립변수를 2 로 나누는, \( f ^ { -1 } (x)= \frac { 1 } { 2 } x \) 다. 예로써, \( f(3)=2(3)=6 \) 이고 \( f ^ { -1 } (6)= \frac { 1 } { 2 } (6)=3 \).</p> <p>그러므로 \( f ^ { -1 } \) 는 \( f \) 가 헸던 것을 원 상태로 돌린다. 우리는 다음을 보여줌으로써 이 사실을 입증할 수 있다.</p> <p>\( f ^ { -1 } (f(x))=f ^ { -1 } (2 x)= \frac { 1 } { 2 } (2 x)=x \quad \) 이고 \( f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=f \left ( \frac { 1 } { 2 } x \right )=2 \left ( \frac { 1 } { 2 } x \right )=x \).</p> <p>그림 7.4.6을 보라.</p> <h3>보기 7.4.4 역함수임을 증명하기</h3> <ol type=a start=1><li> <p>다음을 보여줌으로써, \( g(x)=x ^ { 3 } \) 의 역함수가 \( g ^ { -1 } (x)= \sqrt[3] { x } \) 임을 증명한다.</p> <p>\( \quad g ^ { -1 } (g(x))=g ^ { -1 } \left (x ^ { 3 } \right )= \sqrt[3] { x ^ { 3 } } =x \) 이고 \( g \left (g ^ { -1 } (x) \right )=g( \sqrt[3] { x } )=( \sqrt[3] { x } ) ^ { 3 } =x \)</p></li> <li> <p>다음을 보여줌으로써, \( h(x)=3 x \) 의 역함수 \( h ^ { -1 } (x)= \frac { 1 } { 3 } x \) 임을 증명한다.</p> <p>따라서 \( f ^ { -1 } \) 의 양함수 꼴은 보기 7.4.4(c)에서 증명한 \[ f ^ { -1 } (x)= \frac { 1 } { 2 } (x-3) \] 이다. 한편, \( f \) 의 정의역 \( =f ^ { -1 } \) 의 치역 \( =(- \infty, \infty) \), \( f \) 의 치역 \( =f ^ { -1 } \) 의 정의역 \( =(- \infty, \infty) \).</p> <p>마지막으로 \( f \) 와 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프는 그림 7.4.11에서 보여진다.</p> <p>이제 1 대 1 함수의 역함수를 구하는 단계를 설명한다.</p> <h3>1 대 1 함수의 역함수를 구하는 과정</h3> <p>단계 \( 1: y=f(x) \) 에서, 변수 \( x \) 와 \( y \) 를 서로 바꾸어 \[ x=f(y) \] 를 구한다. 이 방정식은 역함수 \( f ^ { -1 } \) 를 암시적으로 정의한다.</p> <p>단계 2 : 가능하면, 음함수 꼴의 방정식을 \( x \) 에 의하여 \( y \) 를 구하여 \( f ^ { -1 } \) 의 양함수 꼴 \[ y=f ^ { -1 } (x) \] 를 얻는다.</p> <p>단계 \( 3: f ^ { -1 } (f(x))=x \) 이고 \( f \left (f ^ { -1 } (x) \right )=x \) 임을 보임으로써 이 결과를 확인한다.</p> <h3>보기 7.4.7 역함수를 구하기</h3> <p>다음 함수는 1대1함수이다. \[ f(x)= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } , x \neq 1 \]</p> <p>\( f \) 의 역함수를 구하고 그 결과를 확인하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>단계 \( 1: y= \frac { 2 x + 1 } { x-1 } \) 에서 변수 \( x \) 와 \( y \) 를 서로 바꾸어 다음을 얻는다. \[ x= \frac { 2 y + 1 } { y-1 } . \]</p> <p>단계 \( 2: y \) 에 대하여 푼다. 그러면 \[ \begin {aligned} x &= \frac { 2 y + 1 } { y-1 } \\ x(y-1) &=2 y + 1 \\ x y-x &=2 y + 1 \\ x y-2 y &=x + 1 \\ (x-2) y &=x + 1 \\ y &= \frac { x + 1 } { x-2 } \end {aligned} \]</p> <h1>제 7 장 여러 가지 함수</h1> <h2>7.1 기본 함수</h2> <p>이제 중요한 몇 가지 함수를 소개한다.</p> <p>우리는 제곱근함수(square root function)부터 시작한다.</p> <p>먼저 방정식 \( x = y ^ { 2 } \) 의 그래프를 생각하자. 이 방정식을 \( y \) 에 대하여 풀고 \( y \geq 0 \) 되도록 \( y \) 를 제한하면, 이 방정식 \( x=y ^ { 2 } , y \geq 0 \) 은 \( y=f(x)= \sqrt { x } \) 로 나타내어진다.</p> <p>그림 7.1.1은 \( f(x)= \sqrt { x } \) 의 그래프를 노여준다.</p> <p>다음은 \( f(x)= \sqrt { x } \) 의 성질이다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \) 의 그래프의 \( x \)-절편은 0 이다. \( f \) 의 그래프의 \( y \)-절편 역시 0 이다.</li> <li>\( f \) 는 짝함수도 홀함수도 아니다.</li> <li>\( f \) 는 구간 \( (0, \infty) \) 에서 증가한다.</li> <li>\( f \) 는 \( x=0 \) 에서 극소값 0 을 갖는다.</li></ol> <h3>보기 7.1.1 절대값함수의 그래프를 그리기</h3> <ol type=a start=1><li> <p>\( f(x)=\|x\| \) 는 짝 또는 홀 또는 아무것도 아닌지를 결정하여라.</p> <p>\( f \) 의 그래프가 \( y \)-축 또는 원점에 관하여 대칭인지를 말하여라.</p></li> <li>있다면 \( f(x)=\|x\| \) 의 그래프의 절편을 결정하여라.</li> <li>\( f(x)=\|x\| \) 의 그래프를 그러라.</li></ol> <h3>풀이</h3> <ol type=a start=1><li> <p>\( f(-x)=\|-x\|=\|x\|=f(x) \)</p> <p>그래서 \( f \) 는 짝함수이다. 그러므로 \( f \) 의 그래프는 \( y \)-축에 관하여 대칭이다.</p></li> <li> <p>\( y \)-절편은 \( f(0)=\|0\|=0 . x \)-절편은 방정식 \( f(x)=\|x\|=0 \) 을 풀음으로씨 구해진다.</p> <p>그러므로 \( x \)-절편은 0 이다.</p></li> <li> <p>이 함수를 사용하여 표 7.1.1을 구성하고 이 그래프 위의 몇 개의 점을 얻는다. \( y \) -축에 관하여 대칭이므로, \( x \geq 0 \) 인 점 \( (x, y) \) 만을 구할 필요가 있다.</p> <p>그림 7.1.2는 \( f \) 의 그래프를 보여준다.</p></li></ol> <p>보기 7.1.1과 그림 7.1.2로부터 다음과 같은 절대값 함수 \( f(x)=\|x\| \) 의 성질을 얻는다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( f \) 의 그래프의 \( x \)-절편은 0 이다. \( f \) 의 그래프의 \( y \)-절편 역시 0 이다.</li> <li>\( f \) 는 짝함수이다.</li> <li>\( f \) 는 구간 \( (- \infty, 0) \) 에서 감소하고 구간 \( (0, \infty) \) 에서 증가한다.</li> <li>\( f \) 는 \( x=0 \) 에서 극소값을 갖는다.</li></ol> <p>이제 방금 다루었던 함수들을 포함하여, 지금까지 마주쳐왔던 함수들을 요약한다. 각 함수의 성질, 특히 각 그래프의 모양에 특별히 유의하라.</p> <p>\( P \) 는 \( y=x ^ { 2 } -1 \) 의 그래프 위의 점이므로, \[d(x)= \sqrt { x ^ { 2 } + \left (x ^ { 2 } -1 \right ) ^ { 2 } } = \sqrt { x ^ { 4 } -x ^ { 2 } + 1 } . \] 거리 \( d \) 를 \( x \) 의 함수로 나타냈다.</p></li> <li>\( x=0 \) 이면 거리 \( d \) 는 \( \quad d(0)= \sqrt { 1 } =1 \).</li> <li>\( x=1 \) 이면 거리 \( d \) 는 \( d(1)= \sqrt { 1 } -1 + 1=1 \).</li> <li>\( x= \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \) 이면 거리 \( d \) 는 \( d \left ( \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \right )= \sqrt {\left ( \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \right ) ^ { 4 } - \left ( \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \right ) ^ { 2 } + 1 } = \sqrt {\frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 } + 1 } = \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \).</li> <li> <p>\( t=x ^ { 2 } \) 이고 \( y=x ^ { 4 } -x ^ { 2 } + 1 \) 이라 하자. 그러면 \[ y=t ^ { 2 } -t + 1 . \]</p> <p>이것을 완전제곱 꼴로 고치면, \[ \begin {array} { c } y= \left [t ^ { 2 } -t + \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] + 1- \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } \\ = \left (t- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } . \end {array} \]</p> <p>\( (a, b) \) 는 \( y=f(x) \) 로 정의되는 1 대 1 함수 \( f \) 의 그래프 위의 점이라 가정하자. 그러면 \( b=f(a) \). 이것은 \( a=f ^ { -1 } (b) \) 임을 의미한다. 그러므로 \( (b, a) \) 는 역함수 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프 위의 점이다. \( f \) 위의 점 \( (a, b) \) 와 \( f ^ { -1 } \) 위의 점 \( (b, a) \) 사이의 관게가 그림 7.4.7에서 보여진다.</p> <p>\( (a, b) \) 와 \( (b, a) \) 를 포함하는 선분은 직선 \( y=x \) 에 수직이고 직선 \( y=x \) 에 의하여 2 등분 된다. \( f ^ { -1 } \) 위의 점 \( (b, a) \) 는 직선 \( y=x \) 에 관한 \( f \) 위의 점 \( (a, b) \) 의 반사가 된다.</p> <p>이제 다음과 같은 함수 \( f \) 의 그래프와 역함수 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프 사이의 관계를 알 수 있다.</p> <p>함수 \( f \) 의 그래프와 그 역함수 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프는 직선 \( y=x \) 에 관하여 대칭이다.</p> <p>그림 7.4.8은 이 결과를 설명한다. 일단 \( f \) 의 그래프가 알려지면, 직선 \( y=x \) 에 관하여 \( f \) 의 그래프를 반사함으로써 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프를 얻을 수 있다.</p> <h3>보기 7.4.5 역함수의 그래프를 그리기</h3> <p>그림 7.4.9(a)에 있는 그래프는 1대1함수 \( y=f(x) \) 의 그래프다. \( f ^ { -1 } \) 의 그래프를 그려라.</p> <h3>풀이</h3> <p>그림 7.4.9 (a)에 \( y=x \) 의 그래프를 추가함으로써 시작한다. \( (-2,-1),(-1,0) \)과 \( (2,1) \) 은 \( f \) 의 그래프 위에 있으므로, \( (-1,-2),(0,-1),(1,2) \) 는 \( f ^ { -1 } \) 의 그래프 위에 있어야만 한다. \( f ^ { -1 } \) 의 그래프는 직선 \( y=x \) 에 관한 \( f \) 의 그래프의 반사임을 마음에 간직하고, \( f ^ { -1 } \) 를 그릴 수 있다. 그림 7.4.9 (b)를 보라.</p> <h3>풀이</h3> <p>\( f \) 의 정의역과 \( g \) 의 정의역은 모든 실수들이다.</p> <ol type=a start=1><li> <p>\( f \circ g=f(g(x))=f(2 x + 3)=(2 x + 3) ^ { 2 } + 3(2 x + 3)-1 \) \( =4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 + 6 x + 9-1=4 x ^ { 2 } + 18 x + 17 \)</p> <p>\( f \) 와 \( g \) 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, \( f \circ g \) 의 정의역은 모든 실수들이다.</p></li> <li> <p>\( g \circ f=g(f(x))=g \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right )=2 \left (x ^ { 2 } + 3 x-1 \right ) + 3 \)</p> <p>\( f \) 와 \( g \) 의 정의역은 둘 다 모든 실수들이므로, \( g \circ f \) 의 정의역은 모든 실수들이다.</p></li></ol> <p>그림 7.3.1로 돌아가 살펴보자. 합성함수 \( (f \circ g)(x)=f(g(x)) \) 의 정의역을 결정하는데 있어서, 입력 \( x \) 에 대하여 다음의 두 가지 생각을 기억하고 있어라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( g \) 의 정의역의 원이 아닌 어떠한 \( x \) 도 제외되도록 \( g(x) \) 를 정의해야만 한다.</li> <li>\( g(x) \) 가 \( f \) 의 정의역의 원이 아닌 어떠한 \( x \) 도 제외되도록 \( f(g(x)) \) 를 정의해야 만 한다.</li></ol> <h3>보기 7.3.3 \( (f \circ g \) 의 정의역을 구하기 \( ) \)</h3> <p>\( f(x)= \frac { 1 } { x + 2 } \) 이고 \( g(x)= \frac { 4 } { x-1 } \) 일 때 \( f \circ g \) 의 정의역을 구하여라.</p> <h3>풀이</h3> <p>\( g \) 의 정의역은 \( \{ x: x \neq 1 \} \) 이다. 그래서 1 은 \( f \circ g \) 의 정의역에서 제외된다. 한편 \( f \)의 정의역은 \( \{ x: x \neq-2 \} \) 다.</p> <p>그러므로 \( g(x) \neq-2 \). 이제 \( x \) 의 어떠한 값을 제외시켜야 하는지를 결정하기 위하여 방정식 \( g(x)=-2 \) 를 푼다. 그러면 \[ \begin {aligned} \frac { 4 } { x-1 } &=-2 \quad g(x)=-2 \\ 4 &=-2(x-1) \\ 4 &=-2 x + 2 \\ 2 x &=-2 \\ x &=-1 \end {aligned} \]</p>	자연
미분적분학	<p>예제 6.1.13</p> <p>반지름이 \( r \) 인 원 \( X(t)=r \cos t \mathbf { i } + r \sin t \mathbf { j } , \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \) 의 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 한 곡선의 표현에서 단위접선벡터 \( T \) 와 단위법선벡터 \( N \) 을 구하여라(그림 6.1-13).</p> <p>풀이.</p> <p>\[ s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|X ^ {\prime } (u) \right \| d u= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt { (-r \sin u) ^ { 2 } + (r \cos u) ^ { 2 } } d u=r t \] 이므로 \[ X(s)=X(t(s))= \left (r \cos \frac { s } { r } , r \sin \frac { s } { r } \right ) \] 이다. 따라서 \[ \begin {array} { l } T(s)= \frac { d X(t(s)) } { d s } = \left (- \sin \frac { s } { r } , \cos \frac { s } { r } \right ), \\ \frac { d T } { d s } (s)= \left (- \frac { 1 } { r } \cos \frac { s } { r } ,- \frac { 1 } { r } \sin \frac { s } { r } \right ), \left \| \frac { d T } { d s } (s) \right \|= \frac { 1 } { r } \\ N(s)= \frac { d T } { d s } (s) / \left \| \frac { d T } { d s } (s) \right \|= \left (- \cos \frac { s } { r } ,- \sin \frac { s } { r } \right ) . \end {array} \]</p> <h2>단위법선벡터의 방향</h2> <p>정리 6.1.14</p> <p>매끄러운 평면곡선의 단위법선벡터는 곡선이 휘어 있는 안쪽을 향한다.</p> <p>성질 1. 곡선의 대칭축이 있다면 중심은 대칭축 위에 있다.</p> <p>성질 2. 곡선 \( \Gamma \) 가 서로 겹치지 않는 \( n \) 개의 선분 \( \Gamma_ { i } \) 들의 합으로 구성되어 있다 면 \( \Gamma \) 의 \( x \)-축과 \( y \)-축에 대한 능률은 각각 분할된 선분 \( \Gamma_ { i } \) 의 \( x \)-축과 \( y \)-축에 대한 능률 \( M_ { x } \left ( \Gamma_ { i } \right ) \) 와 \( M_ { y } \left ( \Gamma_ { i } \right ) \) 들의 합과 같다. 즉, \[ \begin {array} { l } M_ { x } ( \Gamma)=M_ { x } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \Gamma_ { i } \right )=M_ { x } \left ( \Gamma_ { 1 } \right ) + M_ { x } \left ( \Gamma_ { 2 } \right ) + \cdots + M_ { x } \left ( \Gamma_ { n } \right ) \\ M_ { y } ( \Gamma)=M_ { y } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } \Gamma_ { i } \right )=M_ { y } \left ( \Gamma_ { 1 } \right ) + M_ { y } \left ( \Gamma_ { 2 } \right ) + \cdots + M_ { x } \left ( \Gamma_ { n } \right ) \end {array} \] 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 갖는 곡선 \[ C: X(s)=(x(s), y(s)), \quad 0 \leq s \leq L \quad(L \text { 은 } C \text { 의 길이 } ) \] 에 대하여 구간 \( [0, L] \) 의 분할 \( P: 0=s_ { 0 }<s_ { 1 }<s_ { 2 }< \cdots<s_ { n } =L \) 을 생각하자(그림 6.4-89).</p> <p>소구간 \( \left [s_ { i-1 } , s_ { i } \right ] \) 에서 곡선 위의 두 점 \( \left (x \left (s_ { i-1 } \right ), y \left (s_ { i-1 } \right ) \right ) \) 과 \( \left (x \left (s_ { i } \right ), y \left (s_ { i } \right ) \right ) \) 사이의 선분 \( C_ { i } \) 의 중점은 \[ \left ( \frac { x \left (s_ { i-1 } \right ) + x \left (s_ { i } \right ) } { 2 } , \frac { y \left (s_ { i-1 } \right ) + y \left (s_ { i } \right ) } { 2 } \right ) \] 이므로 \( C_ { i } \) 의 길이를 \( L_ { i } \) 라 하면 \( x \)-축 및 \( y \)-축에 대한 선분 \( C_ { i } \) 의 능률은 \[ M_ { x } \left (C_ { i } \right )= \frac { y \left (s_ { i-1 } \right ) + y \left (s_ { i } \right ) } { 2 } L_ { i } , M_ { y } \left (C_ { i } \right )= \frac { x \left (s_ { i-1 } \right ) + x \left (s_ { i } \right ) } { 2 } L_ { i } \] 이다. 성질 2 에 의하여 \[ \begin {array} { l } M_ { x } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } C_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac { y \left (s_ { i-1 } \right ) + y \left (s_ { i } \right ) } { 2 } L_ { i } \\ M_ { y } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } C_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } \frac { x \left (s_ { i-1 } \right ) + x \left (s_ { i } \right ) } { 2 } L_ { i } \end {array} \]<caption>\( (6.4 .14) \)</caption> <p>이다. 그런데 분할 \( P \) 의 크기가 충분히 작은 값에 대하여 식 6.4 .14 의 우변의 각 항은 \( x \left (s_ { i } \right ) \Delta s_ { i } , y \left (s_ { i } \right ) \Delta s_ { i } \) 에 접근한다. 그러므로 리만적분의 정의로부터 \( \|P\| \rightarrow 0 \) 이면 식 6.4.14의 우변은 각각 \[ \int_ { 0 } ^ { L } y(s) d s, \int_ { 0 } ^ { L } x(s) d s \] 로 접근하므로 \( C \) 의 능률과 무게중심을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>예제 6.3.17</p> <p>예제 6.3 .13 의 두 함수 사이에 있는 영역을 \( x \)-축을 중심으로 회전하였을 때 생기는 입체의 체적을 구하여라 (그림 6.3-70).</p> <p>풀이.</p> <p>단면적은 \( A(y)=2 \pi y \left ( \sqrt { y } - \frac { 1 } { 2 } y \right ) \) 이므로 \[ V= \int_ { 0 } ^ { 4 } 2 \pi y \left ( \sqrt { y } - \frac { 1 } { 2 } y \right ) d y= \pi \int_ { 0 } ^ { 4 } \left (2 y ^ { 3 / 2 } -y ^ { 2 } \right ) d y= \pi \left [ \frac { 4 } { 5 } y ^ { 5 / 2 } - \frac { 1 } { 3 } y ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 4 } = \frac { 64 } { 15 } \pi \] 이고 이것은 예제 6.3 .13 와 일치한다.</p> <h2>회전곡면의 넓이</h2> <p>한 곡선이 어떤 직선을 중심으로 회전하여 생기는 자취를 회전곡면(surface of revolution)이라고 한다. 예를 들어, 반원을 회전하여 얻은 회전곡면은 구면(그림6.3-71 )이고 한 직선에 평행인 선분을 회전하여 얻어진 회전곡면은 원주면(그림6.3-72)이다.</p> <p>이제 회전곡면의 넓이를 구해보자. 곡선 \( C \) 가 연속인 도함수를 갖는 매개함수 표현 \[ x=x(t), y=y(t), t \in[ \alpha, \beta] \] 에 의하여 주어젔다고 하자. 구간 \( [ \alpha, \beta] \) 의 분할 \( P: \alpha=t_ { 0 }<t_ { 1 }< \cdots<t_ { n } = \beta \) 의 크기가 작아지면 소구간 \( \left [t_ { i-1 } , t_ { i } \right ] \) 에서 곡선 \( C \) 를 \( x \)-축을 중심으로 회전하여 생긴 회전곡면의 넓이는 두 점 \( \left (x \left (t_ { i-1 } \right ), y \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) \) 와 \( \left (x \left (t_ { i } \right ), y \left (t_ { i } \right ) \right ) \) 사이의 선분 \( L_ { i } \) 를 \( x \)-축을 중심으로 회전하여 생긴 원뿔대의 측면적 \( \Lambda_ { i } \) 와 대략 같다(그림 6.3-73). 원뿔대를 확장하여 그림 6.3-74와 같이 원뿔을 생각하면 구하고자 하는 원뿔대의 측면적 \( A_ { i } \) 는, \[ \Lambda_ { i } = \pi \sqrt {\left (x \left (t_ { i } \right )-x \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } + \left (y \left (t_ { i } \right )-y \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } } \left (y \left (t_ { i-1 } \right ) + y \left (t_ { i } \right ) \right ) \] 이다(연습문제 71).</p> <p>위의 예제의 결과를 보면 원의 곡률은 일정하여 각 점에서의 휜 정도가 같고 반경이 작은 원일수록 곡률이 큼을 알 수 있다.</p> <p>예제 6.1.20</p> <p>공간곡선 \( X(t)=t \mathbf { i } + t ^ { 2 } \mathbf { j } + t ^ { 3 } \mathbf { k } \) 의 점 \( (0,0,0) \) 에서의 곡률을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {array} { l } X ^ {\prime } (t)= \left (1,2 t, 3 t ^ { 2 } \right ), \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 1 + 4 t ^ { 2 } + 9 t ^ { 4 } } , X ^ {\prime \prime } (t)=(0,2,6 t), \\ X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t)= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ 1 & 2 t & 3 t ^ { 2 } \\ 0 & 2 & 6 t \end {array} \right \|=6 t ^ { 2 } \mathbf { i } -6 t \mathbf { j } + 2 \mathbf { k } \\ \left \|X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t) \right \|= \sqrt { 36 t ^ { 4 } + 36 t ^ { 2 } + 4 } =2 \sqrt { 9 t ^ { 4 } + 9 t ^ { 2 } + 1 } \end {array} \] \[ \left \|X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t) \right \|= \sqrt { 36 t ^ { 4 } + 36 t ^ { 2 } + 4 } =2 \sqrt { 9 t ^ { 4 } + 9 t ^ { 2 } + 1 } \] 이다. 따라서 정리 6.1.17를 이용하면 \[ \kappa(t)= \frac {\left \|X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t) \right \| } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| ^ { 3 } } = \frac { 2 \sqrt { 1 + 9 t ^ { 2 } + 9 t ^ { 4 } } } {\left (1 + 4 t ^ { 2 } + 9 t ^ { 4 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } } \] 이고, 따라서 \( (0,0,0)=X(0) \) 에서의 곡률은 \( \kappa(0)=2 \) 이다.</p> <p>위 식은 움직이는 물체의 이동경로의 길이는 속력 \( \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| \) 를 적분함으로써 구할 수 있음을 의미한다. 이것은 직관적으로 \( \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| d t \) 는 \( d t \) 시간 동안의 순간 이동거리(= 속력 · 시간)이기 때문에 총 이동거리는 \( \int_ { a } ^ { b } \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| d t \) 라고 자연스럽게 이해할 수 있다.</p> <p>참고 6.1.2</p> <p>조각적으로 매끄러운 곡선(piecewise smooth curve)의 길이는 매끄러운 곡선들의 길이의 합으로 정의한다.</p> <p>6.1.3 (사이클로이드(cycloid)) 자전거가 인정한 속력으로 직선위를 달리고 있을 때 자전거 바퀴 위의 한 정점 \( P \) 가 \( (0,0) \) 을 시점으로 움직이기 시작하면 \( t \) 시각에 위치는 \[ X(t)=(t- \sin t, 1- \cos t) \] 주어진다. \( 0 \leq t \leq 2 \pi \) 에서의 곡선의 길이를 구하여라(그림 6.1-3).</p> <p>풀이.</p>점 \( P \) 가 움직이는 속력은 \[ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { (1- \cos t) ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } t } = \sqrt { 2-2 \cos t } \] 이다. 이것은 자전거 바퀴가 굴러가는 속력은 인정하지만 점 \( P \) 가 자취를 그리며 이 동하는 속력은 시간에 따라 변하고 있음을 말해 준다. 점 \( P \) 의 움직인 거리를 구하면 \[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { 2-2 \cos t } d t &=2 \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt {\frac { 1- \cos t } { 2 } } d t \quad \left ( \text { 반각홍시 } \sin ^ { 2 } \frac { t } { 2 } - \frac { 1- \cos t } { 2 } \right ) \\ &=4 \int_ { 0 } ^ {\pi } \sin \frac { t } { 2 } d t \\ &= \left .4 \left (-2 \cos \frac { t } { 2 } \right ) \right \|_ { 0 } ^ {\pi } =8 \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 6.1.15</p> <p>곡선 \( y= \sin x, 0 \leq x \leq 2 \pi, x \neq 0, \pi, 2 \pi \) 에 대해서 단위접선벡터 \( T \) 와 단위법선벡터 \( N \) 를 구하여라 (그림 6.1-16).</p> <p>풀이.</p> <p>매개함수 표현은 \( X(t)=(t, \sin t) \) 이고 \[ X ^ {\prime } (t)=(1, \cos t), \quad \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } \] 이므로 \[ \begin {aligned} T(t)= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } (1, \cos t), \\ T ^ {\prime } (t) &= \frac {\cos t \sin t } {\left (1 + \cos ^ { 2 } t \right ) \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } (1, \cos t) + \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } (0,- \sin t) \\ &= \frac { ( \sin t \cos t,- \sin t) } {\left (1 + \cos ^ { 2 } t \right ) \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } , \\ \left \|T ^ {\prime } (t) \right \| &= \frac { 1 } {\left (1 + \cos ^ { 2 } t \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } } \sqrt {\cos ^ { 2 } t \sin ^ { 2 } t + \sin ^ { 2 } t } \\ &= \frac { \| \sin t\| } { 1 + \cos ^ { 2 } t } . \end {aligned} \]</p> <p>따라서 \[ \begin {aligned} T(t) &= \frac { 1 } {\sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } (1, \cos t), \\ N(t) &= \frac { T ^ {\prime } (t) } {\left \|T ^ {\prime } (t) \right \| } = \frac {\sin t } { \| \sin t\| \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } t } } ( \cos t,-1) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>풀이.</p> <p>먼저 내부의 극점을 구해 보자. \( \nabla f(x, y)=(2 x, 4 y) \) 이므로 \( (0,0) \) 에서 임계점이고, 2계 도함수 판정법에 의해 \[ D=f_ { x x } (0,0) f_ { y y } (0,0)-f_ { x y } ^ { 2 } (0,0)>0, f_ { x x } (0,0)>0 \] 이므로 \( (0,0) \) 에서 극소값 \( f(0,0)=0 \) 을 갖는다.</p> <p>다음으로 경계선에서의 극값을 구하자. 경계 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 에서 함수 \( f \) 는 \[ f(x, y)=x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } =y ^ { 2 } + 1 \] 으로 표현되므로 \( y= \pm 1 \) 인 때 즉 \( ,(0,1),(0,-1) \) 에서 최대값 \( f(0,1)=f(0,-1)= \)2 를 갖고 \( (1,0),(-1,0) \) 에서 최소값 \( f(1,0)=f(-1,0)=1 \) 을 갖는다. 따라서 내부와 경계에서의 극값을 비교해 보면 최대값은 2 이고 최소값은 0 이다.</p> <p>예제 6.2 .10에서는 경계 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 에서의 \( f(x, y) \) 의 최대값은 일변수 함수의 이차식으로 바꾸어 쉽게 최대, 최소값을 얻을 수 있는 예이다. 그러나 만일 그렇지 못 할 경우 우리는 다른 방법을 취해야 한다.</p> <p>이번수 함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \) 을 생각헤 보자. 영역 \( D= \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 4 \right \} \) 에서의 최대값은 4 , 최소값은 0 임이 자명하다. 그런데 곡선 \[ C_ { 1 } = \left \{ (x, y) \mid x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =2 \right \} \] 에서는 \( f \) 의 최대값은 2 , 최소값은 2 , 곡선 \[ C_ { 2 } = \{ (x, x) \mid 0 \leq x \leq 1 \} \] 를 따라서는 최대값 2 , 최소값 0 등과 같이 동일한 영역 \( D \) 안에 있는 서로 다른 곡선을 따라서 최대, 최소값이 각기 다르게 나타난 수 있다. 위의 곡선 \( C_ { 1 } \) 또는 \( C_ { 2 } \) 와 같이 함수 \( f \) 의 최대, 최소값을 구할 때 대상이 되는 점들의 집합을 \( f \) 의 제약조건(constrained condition)이라 한다. 위의 경우 제약조건 \( C_ { 2 } \) 아래에서 \( f \) 의 최대값은 2 라고 말한다.</p> <p>예제 6.3.15</p> <p>원통껍질 방법을 사용하여 \( y= \sqrt { x } , x=1, x=4, y=0 \) 에 둘러싸인 영역을 \( y \)-축으로 회전할 때 생기는 회전체의 체적을 구하여라.</p> <p>풀이. 그림 6.3-66에서 단면적은 \( A(x)=2 \pi x \sqrt { x } \) 이므로 구하고자 하는 체적은 \[ V= \int_ { 1 } ^ { 1 } 2 \pi x \sqrt { x } d x=2 \pi \int_ { 1 } ^ { 1 } x ^ { 3 / 2 } d x= \left [2 \pi \frac { 2 } { 5 } x ^ { 5 / 2 } \right ]_ { 1 } ^ { 4 } = \frac { 124 \pi } { 5 } \] 이다. 그림 6.3-67 및 6.3-68에서는 두 함수의 그래프에 의하여 둘러싸인 영역을 각각 \( y \)-축과 \( x \)-축을 중심으로 회전할 때 생기는 회전체를 나타낸 것이다. 이 때 각 단면적이 그림6.3-67의 경우에는 \[ \Lambda(x)=2 \pi x[f(x)-g(x)], \] 그림 6.3-68의 경우에는 \[ \Lambda(y)=2 \pi y[f(y)-g(y)] \] 이므로 구하고자 하는 회전체의 체적은 각각 \[ V= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi x[f(x)-g(x)] d x \] 와 \[ V= \int_ { c } ^ { d } 2 \pi y[f(y)-g(y)] d y \] 이다.</p> <p>예제 6.3.16</p> <p>예제 6.3 .13 의 두 함수 사이에 있는 영역을 \( y \)-축을 중심으로 회전하였 을 때 생기는 입체의 체적을 구하여라(그림 6.3-69).</p> <p>풀이.</p> <p>단면적은 \( A(x)=2 \pi x \left (2 x-x ^ { 2 } \right ) \) 이므로 \[ V= \int_ { 0 } ^ { 2 } 2 \pi x \left (2 x-x ^ { 2 } \right ) d x=2 \pi \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2 x ^ { 2 } -x ^ { 3 } \right ) d x=2 \pi \left [ \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 4 } x ^ { 4 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 8 } { 3 } \pi \] 이고 이것은 예제 6.3 .14 와 일치한다.</p> <p>풀이.</p> <p>\( [0, t] \) 사이 호의 길이는 \[ s=s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|X ^ {\prime } (u) \right \| d u= \int_ { 0 } ^ { t } \sqrt { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } u + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } u } d u=r t \] 이므로 \( t= \frac { s } { r } \) 이다. 따라서 \[ Y(s)=X(t(s))= \left (r \cos \frac { s } { r } , r \sin \frac { s } { r } \right ), \quad 0 \leq s \leq s(2 \pi)=2 \pi r \] 이다.</p> <h2>곡선의 접선벡터와 법선벡터</h2> <p>곡선운동을 다루는 데 있어서 곡선의 모양을 이해할 수 있는 한 방법으로서 곡선의 휨 정도 및 꼬임의 정도를 아는 것은 매우 중요하다. 미분가능한 곡선의 접선과 법선벡터에 대해서 알아 븐다.</p> <p>구간 \( [a, b] \) 에서 정의된 매끄러운 곡선 \( X(t) \) 가 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 하는 함수 \( Y(s)=X(t(s)) \) 로 표현된다고 하자. 이 때 정리 6.1 .9 에 의하여 \( \frac { d Y } { d s } \) 는 크기가 1인 접선벡터이다.</p> <p>이 벡터 \[ T(s)= \frac { d Y } { d s } \] 를 단위접선벡터(unit tangent vector)라고 한다. 이 때 \[ T(s(t))= \frac { d X } { d t } / \left \| \frac { d X } { d t } \right \| \] 이다.</p> <p>곡선 위의 한 점에서 접선벡터 \( T(s) \) 에 수직인 벡터는 평면곡선의 경우는 2 개(그림 6.1-10), 공간곡선의 경우는 무수히 많다(그림 6.1-11).</p> <p>특히 \( \|T(s)\|=1 \) 이므로 예제 3.3.9 에 의하여 \( \frac { d T } { d s } \) 와 \( T(s) \) 는 서로 수직이다. 이 때 \[ N(s)= \frac { d T } { d s } / \left \| \frac { d T } { d s } \right \| \] 를 곡선 \( X(t) \) 에 대한 단위법선벡터(unit normal vector) 혹은 주단위법선벡터(unit principal normal vector)라고 한다.</p> <p>예제 6.4.1</p> <p>그림 6.4-80처럼 몸무게가 \( 80 \mathrm { ~kg } \) 인 사람이 중심축으로부터 \( 5 \mathrm { ~m } \) 위치에 앉아 있다고 하자. 그러면 몸무게가 \( 100 \mathrm { ~kg } \) 인 사람이 중심축으로부터 반대편 몇 \( \mathrm { m } \) 위치에 앉아있을 때 평행을 유지하는가?</p> <p>풀이.</p> <p>중심 축을 \( x \)-축의 원점이라 하고 \( 100 \mathrm { ~kg } \) 인 사람의 위치를 \( x \mathrm { ~m } \) 라 하면 \( 80 \mathrm { ~kg } \) 인 사람의 위치는 반대편에 있으므로 \( x \)-축의 \( -5 \mathrm { ~m } \) 위치로 생각한다. 중심이 원점이므로 \[ (0)(80 + 100)=(-5)(80) + (x)(100) \] 이고 따라서 \( x=4 \mathrm { ~m } \) 임을 알 수 있다.</p> <h2>밀도가 일정한 평면영역의 중심</h2> <p>평면 위에 질량이 \( m_ { 1 } , \cdots, m_ { n } \) 인 \( n \) 개의 질점들이 있고, 이들의 좌표가 각각 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ), \cdots, \left (x_ { n } , y_ { n } \right ) \) 이라고 하자. 직선에서의 경우와 마찬가지로, 이 질점집합의 \( x \)-축에 대한 능률 \( M_ { x } \) 와 \( y \)-축에 대한 능률 \( M_ { y } \) 를 \[ \begin {array} { l } M_ { x } =y_ { 1 } m_ { 1 } + y_ { 2 } m_ { 2 } + \cdots + y_ { n } m_ { n } \\ M_ { y } =x_ { 1 } m_ { 1 } + x_ { 2 } m_ { 2 } + \cdots + x_ { n } m_ { n } \end {array} \] 으로 정의한다. 그리고 \[ \begin {array} { l } \bar { x } \left (m_ { 1 } + m_ { 2 } + \cdots + m_ { n } \right )=M_ { y } =x_ { 1 } m_ { 1 } + x_ { 2 } m_ { 2 } + \cdots + x_ { n } m_ { n } \text { 과 } \\ \bar { y } \left (m_ { 1 } + m_ { 2 } + \cdots + m_ { n } \right )=M_ { x } =y_ { 1 } m_ { 1 } + y_ { 2 } m_ { 2 } + \cdots + y_ { n } m_ { n } \end {array} \] 을 만족하는 점 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 이 질점집합의 질량중심 또는 무게중심이라 한다.</p> <p>예제 6.3.10</p> <p>밑면이 직선 \( 2 x + 3 y=6, y=0, x=0 \) 에 의하여 둘러싸인 삼각형이고 \( x \)-축에 대한 수직절단면이 지름이 바닥에 있는 반원인 입체의 체적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>그림 6.3-54 에서 길이 \( x \) 에 대응하는 반원의 지름의 길이는 \( y= \frac { 6-2 x } { 3 } \) 이므로 단면적 \( \Lambda(x) \) 는 \[ \Lambda(x)= \frac { 1 } { 2 } \pi \left ( \frac { (6-2 x) / 3 } { 2 } \right ) ^ { 2 } \] 이다. 그러므로 체적은 \[ V= \int_ { 0 } ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 } \pi \left ( \frac { (6-2 x) / 3 } { 2 } \right ) ^ { 2 } d x= \frac {\pi } { 2 } \] 이다. \( x \)-축에 대한 수직절단면에 대해서 체적을 구할 수 있는 것처럼, 입체 \( S \) 가 점 \( y=c \) 와 \( y=d \) 에서 \( y \)-축에 수직인 두 평면 사이에 있다고 하자. 임의의 \( y \in[c, d] \) 에 대하여 \( S \) 의 \( y \)-축에 대한 수직절단면의 면적 \( \Lambda(y) \) 가 연속일 때 \( S \) 의 체적 \( V \) 는 \[ V= \int_ { c } ^ { d } \Lambda(y) d y \] 이다.</p> <p>예제 6.3 .11</p> <p>밑면이 한 변의 길이가 \( a \) 인 정사각형이고 높이가 \( h \) 인 각뿔의 체적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>그림 6.3-55과같이 \( x \)-축은 각뿔의 밑면을 지나고, \( y \)-축은 꼭지점을 지나고 밑 면에 수직이 되도록 좌표축을 잡는다. 임의의 \( y \in[0, h] \) 에서 \( y \)-축에 대한 수직절단면은 정사각형이므로 이 정사각형의 한 변의 길이를 \( s \) 라 하면 닯음비(그림 6.3-56)에 의하여 \[ \frac { s } { 2 } / \frac { a } { 2 } = \frac { h-y } { h } \text { 혹은 } s= \frac { a } { h } (h-y) \] 이다. 그러므로 단면적 \( \Lambda(y) \) 는 \[ \Lambda(y)=s ^ { 2 } = \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } (h-y) ^ { 2 } \] 이고 각뿔의 체적공식은 \[ V= \int_ { 0 } ^ { h } \Lambda(y) d y= \int_ { 0 } ^ { h } \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } (h-y) ^ { 2 } d y= \frac { a ^ { 2 } } { h ^ { 2 } } \left [- \frac { 1 } { 3 } (h-y) ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { h } = \frac { 1 } { 3 } a ^ { 2 } h \] 이다.</p> <p>예제 6.3.7</p> <p>원 \( \rho( \theta)=2 \cos \theta \) 의 내부와 원 \( \rho( \theta)=1 \) 의 외부로 둘러싸인 영역의 면적 \( A \) 를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>두 원이 만나는 점을 구하기 위해 방정식 \( 2 \cos \theta=1 \) 을 풀면 \( \cos \theta= \frac { 1 } { 2 } \), 즉 \( \theta=- \frac {\pi } { 3 } \) 또는 \( \theta= \frac {\pi } { 3 } \) 이다. 그러므로 구하는 면적은 \[ \begin {aligned} A &= \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta- \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (1) ^ { 2 } d \theta \\ &= \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } 2 \cos ^ { 2 } \theta d \theta- \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } d \theta \\ &=2 \left [ \frac { 1 } { 2 } \theta + \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \right ]_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } - \left [ \frac { 1 } { 2 } \theta \right ]_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \\ &= \frac {\pi } { 3 } + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \end {aligned} \]이다(그림 6.3-50).</p> <p>예제 6.3.8</p> <p>곡선 \( r=1-2 \cos \theta \) 의 안쪽 고리의 외부와 바깥쪽 고리의 내부에 있는 영역의 면적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>그림 6.3-51에서 바깥 고리 내부의 면적은 \[ \int_ {\pi / 3 } ^ { 5 \pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta, \] 안 고리 내부의 면적은 \[ \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta \] 이다.</p> <h2>단위종법선벡터</h2> <p>삼차원 공간곡선 \( X(t) \) 의 단위접선벡터 \( T \) 와 단위법선벡터 \( N \) 에 대하여 외적 \[ B(t)=T(t) \times N(t) \] 를 단위종법선벡터(unit binormal vector)라고 한다. 외적의 성질에 의하여 \( B \) 는 \( T \) 와 \( N \) 에 수직이고 그 크기는 \[ \|T \times N\|=\|T\|\|N\| \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } \right )=1 \] 이므로 단위벡터이다. 오른손 법칙에 따라 검지손가락을 벡터 \( T \) 의 방향에, 중지손가락을 벡터 \( N \) 의 방향에 일치시컸을 때 엄지 손가락이 가르키는 방향이 벡터 \( B \) 의 방 향이 된다. 이러한 세 벡터 \( T, N, B \) 와 그것의 도함수는 공간 위에서의 물체의 운동방향, 회전, 꼬임정도에 대한 정보를 주며 \( T, N, B \) 체계(그림6.1-17)는 우주선, 항공기 의 탄도계산에 이용된다.</p> <p>예제 6.1.16</p> <p>\( X(t)=(3 \cos t) \mathbf { i } + (3 \sin t) \mathbf { j } + 4 t \mathbf { k } \) 에 대해서 종법선벡터 \( B \) 를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {array} { l } X ^ {\prime } (t)=(-3 \sin t) \mathbf { i } + (3 \cos t) \mathbf { j } + 4 \mathbf { k } , \\ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { (-3 \sin t) ^ { 2 } + (3 \cos t) ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } =5, \\ T(t)= \frac { X ^ {\prime } (t) } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| } = \left (- \frac { 3 } { 5 } \sin t \right ) \mathbf { i } + \left ( \frac { 3 } { 5 } \cos t \right ) \mathbf { j } + \frac { 4 } { 5 } \mathbf { k } , \\ \frac { d T } { d s } = \frac { d T } { d t } / \frac { d s } { d t } = \left (- \frac { 3 } { 25 } \cos t \right ) \mathbf { i } + \left (- \frac { 3 } { 25 } \sin t \right ) \mathbf { j } , \quad \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac { 3 } { 25 } , \\ N(t)= \frac { d T } { d s } / \left \| \frac { d T } { d s } \right \|=(- \cos t) \mathbf { i } + (- \sin t) \mathbf { j } \end {array} \] 이다. 그러므로 \[ B(t)=T(t) \times N(t)= \left ( \frac { 4 } { 5 } \sin t \right ) \mathbf { i } - \left ( \frac { 4 } { 5 } \cos t \right ) \mathbf { j } + \frac { 3 } { 5 } \mathbf { k } \] 이다.</p> <p>구간 \( [a, b] \) 에서 음이 아닌 연속함수 \( f \) 에 대하여 \( \Omega \) 를 \( [a, b] \) 에서 \( f \) 의 그래프와 \( x \)-축 사이의 영역이라 할 때 \[ M_ { x } =M_ { x } ( \Omega)= \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x \] 를 \( x \)-축에 관한 \( \Omega \) 의 능률이라 하고 \[ M_ { y } =M_ { y } ( \Omega)= \int_ { a } ^ { b } x f(x) d x \] 를 \( y \)-축에 관한 \( \Omega \) 의 능률이라 한다. 또한 \( \Omega \) 의 면적을 \( \Lambda \) 라 할 때 \[ \begin {array} { c } \bar { x } \Lambda= \int_ { a } ^ { b } x f(x) d x=M_ { y } , \\ \bar { y } \Lambda= \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x=M_ { x } \end {array} \]<caption>\( (6.4 .13) \)</caption></p> <p>를 만족하는 점 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 \( \Omega \) 의 무게중심 또는 중심이라 한다.</p> <p>예제 6.4.3</p> <p>그림 6.4-84에서처럼 반경이 \( r \) 인 사분원판의 무게중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>사분원판은 직선 \( y=x \) 에 대칭이므로 \( \bar { x } = \bar { y } \) 이다. 또 사분원은 \[ f(x)= \sqrt { r ^ { 2 } -x ^ { 2 } } , 0 \leq x \leq r \] 의 그래프이므로 \[ M_ { x } = \int_ { 0 } ^ { r } \frac { 1 } { 2 } (f(x)) ^ { 2 } d x= \int_ { 0 } ^ { r } \frac { 1 } { 2 } \left (r ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) d x= \frac { 1 } { 3 } r ^ { 3 } \] 이다. 그런데 \( A= \frac { 1 } { 4 } \pi r ^ { 2 } \) 이므로 식 \( \bar { y } \Lambda=M_ { x } \) 으로부터 \( \bar { y } = \frac { 4 r } { 3 \pi } \). 따라서 중심은 \( ( \bar { x } , \bar { y } )= \left ( \frac { 4 r } { 3 \pi } , \frac { 4 r } { 3 \pi } \right ) \).</p> <p>예제 6.2.7</p> <p>예제 6.2 .4 에서 함수 \( f(x, y)=x y \) 의 \( (0,0) \) 은 안장점이었다. 실제로 \( \nabla f(x, y)=(y, x) \) 이므로 \( (0,0) \) 만이 임계점이다. 그런데 \[ D=f_ { x x } (0,0) f_ { y y } (0,0)-f_ { x y } ^ { 2 } (0,0)=-1<0 \] 이므로 \( (0,0) \) 은 안장점이다.</p> <p>참고 6.2.8</p> <p>정리 6.2.5 에서 \( D=f_ { x x } f_ { y y } -f_ { x y } ^ { 2 } =0 \) 인 경우는 여러가지 가능성이 있다. 다음 함수 \( f(x, y)=y ^ { 4 } -x ^ { 4 } , g(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } , h(x, y)=-x ^ { 4 } -y ^ { 4 } \) 에 대하여 점 \( (0,0) \) 에서 모두 \( D=0 \) 이다. 그러나 함수 \( f \) 는 \( (0,0) \) 에서 안장점을 갖고, 함수 \( g \) 는 \( (0,0) \) 에서 극소점, 함수 \( h \) 는 \( (0,0) \) 에서 극대점을 갖는다(그림 6.2-31, 6.2-32,6.2-33).</p> <p>예제 6.2.9</p> <p>직선 \( x=0, y=0, y=9-x \) 에 의해서 둘러싸인 삼각형 영역 위 에서 정의 되는 함수 \( f(x, y)=2 + 2 x + 2 y-x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \) 의 최대값과 최소값을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>경계를 포함한 삼각형 영역에서 연속인 함수는 반드시 최대값과 최소값을 갖는다. 따라서 다음과 같이 내부 및 경계 위의 값을 비교해 보자.</p> <p>(1) 삼각형 내부에서 \[ f_ { x } (x, y)=2-2 x=0, \quad f_ { y } (x, y)=2-2 y=0 \] 를 만족시키는 점은 \( (1,1) \) 이다. 그런데 \[ \begin {array} { l } f_ { x x } (1,1)=-2=f_ { y y } (1,1), \quad f_ { x y } (1,1)=0=f_ { y x } (1,1) \text { 이고 } \\ f_ { x x } (1,1)<0, \quad f_ { x x } (1,1) f_ { y y } (1,1)-f_ { x y } ^ { 2 } (1,1)=4>0 \end {array} \] 이므로 \( (1,1) \) 에서 극대값 \( f(1,1)=4 \) 을 갖는다.</p> <p>예제 6.3 .13</p> <p>함수 \( y=x ^ { 2 } \) 과 \( y=2 x \) 의 그래프 사이에 있는 영역을 \( x \)-축을 중심으로 회전하였을 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>그림 6.3-62에서와 같이 단면적은 \[ \Lambda(x)= \pi \left [(2 x) ^ { 2 } - \left (x ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } \right ] \] 이므로 구하는 체적은 \[ V= \int_ { 0 } ^ { 2 } \Lambda(x) d x= \pi \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (4 x ^ { 2 } -x ^ { 4 } \right ) d x= \pi \left [ \frac { 4 } { 3 } x ^ { 3 } - \frac { 1 } { 5 } x ^ { 5 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } = \frac { 64 } { 15 } \pi \] 이다.</p> <p>예제 6.3.14</p> <p>예제 6.3 .13 의 영역을 \( y \)-축을 중심으로 회전하였을 때 생기는 입체의 체적을 구하여라.</p> <p>\[ \Lambda(y)= \pi \left [( \sqrt { y } ) ^ { 2 } - \left ( \frac { 1 } { 2 } y \right ) ^ { 2 } \right ]= \pi \left (y- \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } \right ) \] 이므로 구하는 체적은 \[ V= \pi \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (y- \frac { 1 } { 4 } y ^ { 2 } \right ) d y= \pi \left [ \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } - \frac { 1 } { 12 } y ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { 4 } = \frac { 8 } { 3 } \pi \] 이다.</p> <h2>회전체의 부피: 원통껍질 방법</h2> <p>다음은 그림 6.3-64,6.3-65 에서와 같이 함수 \( y=f(x) \) 의 그래프, \( x=a, x= \) \( b, x=0 \) 에 의하여 둘러싸인 영역을 \( y \)-축을 중심으로 회전할 때에 생기는 회전체의 체적을 구하여 보자. 이 경우는 각 \( x \in[a, b] \) 에서의 단면적 \( A(x) \) 가 점 \( (x, 0) \) 과 점 \( (x, f(x)) \) 를 잇는 선분을 \( y \)-축을 중심으로 회전하였을 때 생기는 회전체의 겉넓이이므로 \[ \Lambda(x)=2 \pi x f(x) \] 이고 따라서 구하고자 하는 입체의 체적은 \[ V= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi x f(x) d x \] 이다. 이러한 방법으로 회전체의 체적을 구하는 것을 원통껍질 방법(method of cylin-drical shells)이라 한다.</p> <h2>절단면에 의한 입체의 부피</h2> <p>공간의 한 입체 \( S \) 의 체적 \( V \) 를 구하는 계산법에 대하여 알아 보자. 그림 \( 6.3-52 \) 와 같이 입체 \( S \) 가 \( x \)-축 위의 구간 \( [a, b] \) 사이에 늫여있다고 하자. 임의의 \( x \in[a, b] \) 에서 입체 \( S \) 의 \( x \)-축에 대한 수직절단면의 면적을 \( A(x) \) 라 하자. 이 때 \( V(x) \) 를 \( a \) 와 \( x \) 사 이의 영역의 체적이라 하면 \( V(a)=0 \) 이고 \( V(b)=V \) 이다. 임의의 충분히 작은 수 \( h>0 \) 에 대하여 \[ V(x + h)-V(x) \approx A(x) h \] 이라 할 수 있으므로 \( V ^ {\prime } (x) \) 가 존재할 때 \[ V ^ {\prime } (x)= \lim _ { h \rightarrow 0 } \frac { V(x + h)-V(x) } { h } =A(x) \] 이다. 그러므로 \( V ^ {\prime } (x) \) 가 연속, 즉 \( A(x) \) 가 연속이면 미분적분학의 기본정리에 의하 여 \( S \) 의 체적 \( V \) 는 \[ V= \int_ { a } ^ { b } A(x) d x \]<caption>(6.3.11)</caption>이다.</p> <p>예제 6.3.9</p> <p>밑면이 타원 \[ \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } =1 \] 에 의하여 둘러싸인 영역이고 \( x \)-축에 대한 수직절단면이 정삼각형인 입체의 체적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>그림 6.3-53에서 선분 \( \overline { P Q } \) 의 길이는 \[ 2 y= \frac { 2 b } { a } \sqrt { a ^ { 2 } -x ^ { 2 } } \] 이므로 정삼각형의 면적은 \[ A(x)= \frac {\sqrt { 3 } } { 4 } (2 y) ^ { 2 } = \frac {\sqrt { 3 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \left (a ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) \] 이다. 그러므로 식 (6.3.11)에 의하여 \[ \begin {aligned} V &= \int_ { -a } ^ { a } A(x) d x=2 \int_ { 0 } ^ { a } A(x) d x= \frac { 2 \sqrt { 3 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \int_ { 0 } ^ { a } \left (a ^ { 2 } -x ^ { 2 } \right ) d x \\ &= \frac { 2 \sqrt { 3 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \left [a ^ { 2 } x- \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } \right ]_ { 0 } ^ { a } = \frac { 4 } { 3 } \sqrt { 3 } a b ^ { 2 } \end {aligned} \] 이다.</p> <h1>\( 6.1 \) 곡선과 곡률</h1> <h2>곡선의 길이</h2> <p>\( X(t) \) 를 구간 \( I = [a, b] \) 에서 미분가능한 벡터값 함수 \( X(t) \) 라 하자. 이 때, \( X ^ {\prime } (t) \) 가 연속이고 \( X ^ {\prime } (t) \neq 0 \) 일 때 \( { } ^ { * } \) 곡선 \( X(t) \) 를 매끄러운 곡선(smooth curve)이라고 한다. \( C \) 를 곡선 \( X(t) \) 의 그래프, 즉 \( X(t) \) 의 치역이라고 할 때 \( C \) 의 길이 \( L_ { a } ^ { b } (C) \) 를 구하면 다음과 같다.</p> <p>구간 \( [a, b] \) 의 분할에 대하여, \[ P: a=t_ { 0 }<t_ { 1 }<t_ { 2 }< \cdots<t_ { n } =b \] 각 소구간 \( \left [t_ { i-1 } , t_ { i } \right ] \) 에 대응되는 곡선 위의 점 \( X \left (t_ { i-1 } \right ) \) 과 \( X \left (t_ { i } \right ) \) 사이의 선분을 연결하는 \( n \) 개의 다각선 길이의 합은 \[ S(P, X)= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|X \left (t_ { i } \right )-X \left (t_ { i-1 } \right ) \right \| \] 이므로(그림 6.1-1) \( \quad[a, b] \) 의 분할의 크기 \( { } ^ {\dagger } \|P\| \) 가 0으로 접근하면 \( S(P, X) \) 는 \( C \) 의 실제 길이에 접근한다. 그러므로 곡선의 길이(arc length) \( L_ { a } ^ { b } (C) \) 를 \[ L_ { a } ^ { b } (C)= \lim _ { \|P\| \rightarrow 0 } S(P, X) \] 로 정의한다.</p> <p>정리 6.1.1 매끄러운 곡선 \( X:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } ^ { 3 } \) 의 길이는 \[ L_ { a } ^ { b } (C)= \int_ { a } ^ { b } \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| d t \] 이다, 증명. 곡선 \( C \) 를 \( X(t)=(x(t), y(t), z(t)) \) 라고 하자. 그 때, \[ \begin {array} { l } S(P, X)= \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \|X \left (t_ { i } \right )-X \left (t_ { i-1 } \right ) \right \| \\ \quad= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sqrt {\left (x \left (t_ { i } \right )-x \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } + \left (y \left (t_ { i } \right )-y \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } + \left (z \left (t_ { i } \right )-z \left (t_ { i-1 } \right ) \right ) ^ { 2 } } \end {array} \]</p> <p>호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 갖는 곡선 \[ C: X(s)=(x(s), y(s)), \quad 0 \leq s \leq L \] 에 대하여 \[ M_ { x } =M_ { x } (C)= \int_ { 0 } ^ { L } y(s) d s \] 를 \( x \)-축에 관한 \( C \) 의 능률이라 하고 \[ M_ { y } =M_ { y } (C)= \int_ { 0 } ^ { L } x(s) d s \] 를 \( y \)-축에 관한 \( C \) 의 능률이라 한다. 또한 \[ \begin {array} { c } \bar { x } L= \int_ { 0 } ^ { L } x(s) d s=M_ { y } , \\ \bar { y } L= \int_ { 0 } ^ { L } y(s) d s=M_ { x } \end {array} \]<caption>\( (6.4 .15) \)</caption> <p>를 만족하는 점 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 \( C \) 의 무게중심 또는 중심이라 한다.</p> <p>\( C \) 가 연속적으로 미분가능한 매개함수 \[ x=x(t), y=y(t), a \leq t \leq b \] 으로 주어졌을 때는 \[ s=s(t)= \int_ { a } ^ { t } \sqrt {\left [x ^ {\prime } (u) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (u) \right ] ^ { 2 } } d u, d s= \sqrt { x ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + y ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } d t \] 이므로 이 때의 중심 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 는 \[ \begin {array} { l } \bar { x } L= \int_ { a } ^ { b } x(t) \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \\ \bar { y } L= \int_ { a } ^ { b } y(t) \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \end {array} \] 임을 알 수 있다.</p> <p>한 평면의 영역이 두 함수의 그래프에 의하여 둘러싸여 있을 때도 위와 비숫한 방법으로 능률과 무게중심을 정의할 수 있다. 즉, \( f \) 와 \( g \) 는 구간 \( [a, b] \) 에서 연속이고 \[ g(x) \leq f(x), a \leq x \leq b \] 라 하자 (그림 6.4-85). \( \Omega \) 를 \( [a, b] \) 에서 \( f \) 와 \( g \) 의 그래프 사이의 영역이라 할 때 \[ M_ { x } = \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } \left [(f(x)) ^ { 2 } -(g(x)) ^ { 2 } \right ] d x \] 를 \( x \)-축에 관한 \( \Omega \) 의 능률이라 하고 \[ M_ { y } = \int_ { a } ^ { b } x[f(x)-g(x)] d x \] 를 \( y \)-축에 관한 \( \Omega \) 의 능률이라 한다. 또한 \( \Omega \) 의 면적을 \( A \) 라 할 때 \[ \begin {aligned} \bar { x } \Lambda &= \int_ { a } ^ { b } x[f(x)-g(x)] d x=M_ { y } \\ \bar { y } \Lambda &= \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } \left [(f(x)) ^ { 2 } -(g(x)) ^ { 2 } \right ] d x=M_ { x } \end {aligned} \] 를 만족하는 점 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 \( \Omega \) 의 무게중심 또는 중심이라 한다.</p> <p>예제 6.4.4</p> <p>곡선 \( f(x)=2 x \) 와 \( g(x)=x ^ { 2 } \) 으로 둘러싸인 영역의 중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>두 곡선이 만나는 점은 \( (0,0),(2,4) \) 이므로 \[ \begin {aligned} \Lambda &= \int_ { 0 } ^ { 2 } [f(x)-g(x)] d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2 x-x ^ { 2 } \right ) d x= \frac { 4 } { 3 } , \\ \bar { x } \Lambda &= \int_ { 0 } ^ { 2 } x \{ f(x)-g(x) \} d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2 x ^ { 2 } -x ^ { 3 } \right ) d x= \frac { 4 } { 3 } , \\ \bar { y } \Lambda &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \left \{ [f(x)] ^ { 2 } -[g(x)] ^ { 2 } \right \} d x \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (4 x ^ { 2 } -x ^ { 4 } \right ) d x= \frac { 32 } { 15 } \end {aligned} \] 이므로 중심은 \( ( \bar { x } , \bar { y } )= \left (1, \frac { 8 } { 5 } \right ) \) 이다(그림 6.4-86).</p> <p>특히 곡선 \( C \) 가 양함수 \( y=f(x), a \leq x \leq b \) 로 주어질 때는 \( x(t)=t, y(t)= \) \( f(t) \) 를 식 6.4 .16 에 적용하면 \[ \begin {array} { l } \bar { x } L= \int_ { a } ^ { b } x \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \\ \bar { y } L= \int_ { a } ^ { b } f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \end {array} \] 가 된다.</p> <p>예제 6.4.8</p> <p>그림6.4-90에서 그려진 사분원이 매개방정식으로 주어젔을 때 중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>사분원의 매개방정식은 \[ x(t)=r \cos t, \quad y(t)=r \sin t, \quad t \in \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ] \] 이다. 또한 곡선이 \( y=x \) 에 대칭이므로 \( \bar { x } = \bar { y } \) 이다. \[ x ^ {\prime } (t)=-r \sin t, \quad y ^ {\prime } (t)=r \cos t \] 이므로 \[ \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } = \sqrt { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t + r ^ { 2 } \cos ^ { 2 } t } =r \] 이 된다. 따라서, \[ \bar { y } L= \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } (r \sin t) r d t=r ^ { 2 } [- \cos t]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } =r ^ { 2 } \] 이다. 그런데 \( L= \frac {\pi r } { 2 } \) 이므로 \( \bar { y } = \frac { 2 r } {\pi } \). 그러므로 중심이 \( \left ( \frac { 2 r } {\pi } , \frac { 2 r } {\pi } \right ) \) 이다.</p> <p>예제 6.1.7 극형식으로 표현된 심장형 곡선 \( r=a(1- \cos \theta), 0 \leq \theta \leq 2 \pi \) 의 길이를 구하여라(그림 6.1-7).</p> <p>풀이. 곡선을 매개변수 \( \theta \) 를 써서 다시 나타내면 \[ \begin {array} { l } x( \theta)=r \cos \theta=a(1- \cos \theta) \cos \theta, \\ y( \theta)=r \sin \theta=a(1- \cos \theta) \sin \theta \end {array} \] 이고 \[ \begin {array} { l } x ^ {\prime } ( \theta)=a \sin \theta \cos \theta-a(1- \cos \theta) \sin \theta=a \cos \theta-a \cos ^ { 2 } \theta \\ y ^ {\prime } ( \theta)=a \sin \theta \sin \theta + a(1- \cos \theta) \cos \theta=a \sin \theta-a \sin \theta \cos \theta \end {array} \] 이므로 \[ \sqrt { x ^ {\prime } ( \theta) ^ { 2 } + y ^ {\prime } ( \theta) ^ { 2 } } = \sqrt { a ^ { 2 } ( \cos \theta-1) ^ { 2 } } =a(1- \cos \theta) \] 가 된다. 따라서 곡선의 길이는 \[ L_ { 0 } ^ { 2 \pi } =a \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } 1- \cos \theta d \theta=2 \pi a \] 이다.</p> <h2>호의 길이를 매개변수로 하는 곡선의 표현</h2> <p>곡선 \( C \) 는 하나 이상의 매개함수 표현을 갖는다. 예를 들어 \( X(t)= \left (t, t ^ { 2 } , t ^ { 3 } \right ) \), \( 1 \leq t \leq 2 \) 와 \( Y(u)= \left (e ^ { u } , e ^ { 2 u } , e ^ { 3 u } \right ), 0 \leq u \leq \ln 2 \) 는 서로 다른 매개함수 표현이지만 같은 곡선을 나타낸다. 사실, \( Y \) 는 합성함수 \( Y(u)=X \circ e ^ { u } \) 이고 두 함수 \( X(t), Y(u) \) 의 치역은 \( C \) 와 같다(그림 6.1-8). 그러나 \( X(t) \) 와 \( Y(u) \) 는 곡선 \( C \) 의 서로 다른 매개함수 표현이지만 같은 치역을 갖기 때문에 기하학적 성질, 즉 곡선의 길이, 곡률 등의 값에 영향을 주지 않는다. 특히 호의 길이는 특정한 좌표계에 좌우되지 않고 곡선의 모양에 따라 자연스럽게 생기는 것이므로 곡선의 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 표현하는 것은 자연스러운 일이며 곡선의 기하학적 성질을 보다 더 명확하게 기술할 수 있다.</p> <p>예제 6.4 .10</p> <p>정육면체 \( U=[0,1] \times[0,1] \times[0,1] \) 이 밀도 \( \delta(x, y, z)=1 + x y z \) 를 갖는다고 할 때 이 물체의 질랑 \( m \) 을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {aligned} m &= \iiint_ { U } \delta(x, y, z) d V= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [ \int_ { 0 } ^ { 1 } \left \{\int_ { 0 } ^ { 1 } (1 + x y z) d z \right \} d y \right ] d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left \{\int_ { 0 } ^ { 1 } \left [z + \frac { x y z ^ { 2 } } { 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } d y \right \} d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left \{\int_ { 0 } ^ { 1 } \left (1 + \frac { x y } { 2 } \right ) d y \right \} d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left [y + \frac { x y ^ { 2 } } { 4 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } \left (1 + \frac { x } { 4 } \right ) d x \\ &= \left [x + \frac { x ^ { 2 } } { 8 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } = \frac { 9 } { 8 } \end {aligned} \]</p> <p>\( \Omega \) 를 밀도함수 \( \delta(x, y) \) 가 연속적으로 분포되어 있는 평면영역이라 할 때 \( x \)-축에 대한 질량능률(moment of mass)을 \[ M_ { x } = \iint_ {\Omega } y \delta(x, y) d \Lambda \] 로, \( y \)-축에 대한 질량능률을 \[ M_ { y } = \iint_ {\Omega } x \delta(x, y) d \Lambda \] 로 정의한다. 그리고 \[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } , \quad \bar { y } = \frac { M_ { x } } { m } \] 를 만족하는 점 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 \( \Omega \) 의 질량중심 (center of mass)이라 한다.</p> <p>\( P_ { 0 } = \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 라 하자. 크기가 충분히 작은 임의의 벡터 \( H=(h, k) \) 에 대하여 함수 \( g \) 를 \( g(t)=f \left (P_ { 0 } + t H \right ) \) 라고 정의하자. 일변수 함수의 테인러 정리에 의헤 \( g(1) \) 를 전개하면 \[ g(1)=g(0) + g ^ {\prime } (0) + \frac { 1 } { 2 } g ^ {\prime \prime } \left (t_ { 0 } \right ) \] 인 \( t_ { 0 } \) 가 0 과 1 사이에 존재한다.</p> <p>그런데 연쇄법칙을 써서 미분하면 \[ \begin {aligned} g ^ {\prime } (t)=& \frac { d } { d t } f \left (P_ { 0 } + t H \right )= \nabla f \left (P_ { 0 } + t H \right ) \cdot H \\ =& f_ { x } \left (P_ { 0 } + t H \right ) h + f_ { y } \left (P_ { 0 } + t H \right ) k, \\ g ^ {\prime } (0)=& \left . \frac { d } { d t } f \left (P_ { 0 } + t H \right ) \right \|_ { t=0 } =f_ { x } \left (P_ { 0 } \right ) h + f_ { y } \left (P_ { 0 } \right ) k, \\ g ^ {\prime \prime } \left (t_ { 0 } \right )=& \left . \frac { d } { d t } \left (g ^ {\prime } (t) \right ) \right \|_ { t=t_ { 0 } } = \left . \frac { d } { d t } \left (f_ { x } \left (P_ { 0 } + t H \right ) h + f_ { y } \left (P_ { 0 } + t H \right ) k \right ) \right \|_ { t-t_ { 0 } } \\ =& {\left . \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } + t H \right ) h + f_ { x y } \left (P_ { 0 } + t H \right ) k \right ] \right \|_ { t-t_ { 0 } } h } \\ & \quad + \left . \left [f_ { y x } \left (P_ { 0 } + t H \right ) h + f_ { y y } \left (P_ { 0 } + t H \right ) k \right ] \right \|_ { t-t_ { 0 } } k \\ =& f_ { x x } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) h ^ { 2 } + 2 f_ { x y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) h k + f_ { y y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) k ^ { 2 } \end {aligned} \] 이므로</p> <p>점 \( P_ { 0 } \) 에서 \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right )= \mathbf { 0 } \) 이거나, \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \) 가 즌재하지 않는 겅우 \( P_ { 0 } \) 를 \( f \) 의 임계점(critical point)라고 한다.</p> <p>예제 6.2.2</p> <p>\( f(x, y, z)=e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \) 의 임계점을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {array} { l } f_ { x } (x, y, z)=2 x e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \\ f_ { y } (x, y, z)=2 y e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \\ f_ { z } (x, y, z)=2 z e ^ { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } \end {array} \]</p> <p>이므로 \( \nabla f(x, y, z)=(0,0,0) \) 이 되는 \( (x, y, z) \) 는 \( (0,0,0) \) 뿐이다. 따라서 \( (0,0,0) \) 은 유일한 임계점이다.</p> <p>예제 6.2.3</p> <p>\( f(x, y)= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \) 의 임계점과 극값을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\( (x, y) \neq(0,0) \) 인 경우에는 \[ f_ { x } (x, y)= \frac { x } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } , \quad f_ { y } (x, y)= \frac { y } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \] 이므로 \( \nabla f(x, y) \neq(0,0) \) 이다. 한편, \( (0,0) \) 에서는 \[ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { f(x, 0)-f(0,0) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { - } } \frac { -x } { x } =-1 \] \[ \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { f(x, 0)-f(0,0) } { x } = \lim _ { x \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { x } { x } =1 \] 이므로 \( \nabla f(0,0) \) 가 존재하지 않으므로 \( (0,0) \) 만 임계점이다. 그런데 \( f(0,0)=0 \) 이고 모든 \( (x, y) \) 에 대하여 \( f(x, y) \geq 0 \) 이므로 \( f(0,0)=0 \) 은 극소값이다.</p> <p>증명.</p> <p>단위 접선벡터 \( T \) 는 \[ T( \phi)=( \cos \phi) \mathbf { i } + ( \sin \phi) \mathbf { j } \] 로 쓰면 정리 6.1.14 의 증명에서처럼 \[ \frac { d T } { d s } = \frac { d T } { d \phi } \frac { d \phi } { d s } =(- \sin \phi, \cos \phi) \frac { d \phi } { d s } \] 이므로 \[ \kappa= \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \left \| \frac { d T } { d \phi } \right \| \left \| \frac { d \phi } { d s } \right \|= \sqrt { (- \sin \phi) ^ { 2 } + \cos ^ { 2 } \phi } \left \| \frac { d \phi } { d s } \right \|= \left \| \frac { d \phi } { d s } \right \| \] 이다.</p> <h2>열률</h2> <p>평면 곡선의 곡률은 호의 길이 \( s \) 에 관한 집선벡터의 변화율의 크기, 혹은 \( \phi \) 의 변화율의 크기로서 해석될 수 있음을 알았다. 또 다른 의미로 곡률은 물체가 곡선 위를 움직일 때 법선벡터의 방향으로 얼마만큼 휘었는가를 나타내 주는 값이다. 반면에 물체가 공간곡선 위를 움직일 때는 곡선이 꼬여있는 정도를 측정하는 것도 중요한다. 이러한 꼬임 정도를 알 수 있는 방법은, 접선벡터와 법선벡터가 이루는 평면이* 얼마 만큼 회전했는가 혹은 종법선벡터가 얼마만큼 회전했는가를 알아야 한다.</p> <p>정리 6.1.24</p> <p>\( Y(s) \) 를 호의 길이 \( s \) 로 매개화된 공간곡선이라 하고, \( N \) 을 단위법선 벡터, \( B \) 를 단위종법선벡터라 하면 \( N \) 과 \( \frac { d B } { d s } \) 는 평행하다.</p> <p>증명.</p> <p>\( B(s)=T(s) \times N(s), N(s)= \frac { d T } { d s } / \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac { 1 } {\kappa(s) } \frac { d T } { d s } \) 이므로 \[ \begin {aligned} \frac { d B } { d s } &= \frac { d T } { d s } \times N(s) + T(s) \times \frac { d N } { d s } = \kappa(s) N(s) \times N(s) + T(s) \times \frac { d N } { d s } \\ &=0 + T(s) \times \frac { d N } { d s } =T(s) \times \frac { d N } { d s } \end {aligned} \] 이다. 그러므로 \( \frac { d B } { d s } \) 는 \( T(s) \) 에 수직이다. 한편 \( \|B(s)\|=1 \) 이므로 예제 \( 3.3 .9 \) 에 의 하여 \( \frac { d B } { d s } \) 는 \( B(s) \) 에도 수직이다. 따라서 \( \frac { d B } { d s } \) 는 \( T(s) \times B(s) \) 에 평행하다. 그러므로 \( \frac { d B } { d s } \) 는 \( N(s) \) 에 평행하다.</p> <h2>곡률</h2> <p>호의 길이 \( s \) 에 의하여 매개화된 매끄러운 곡선 \( C: Y(s)=X(t(s)) \) 의 곡률(curvature)은 \[ \kappa(s)= \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \left \|Y ^ {\prime \prime } (s) \right \| \] 로 정의한다. 즉, 주어진 점에서 호의 길이에 대한 단위 접선벡터의 변화율의 크기가 곡률인데 그 점에서 곡선이 언마나 빠르게 뱡향을 바꾸는가를 나타내주는 값이다.</p> <p>그림 6.1-18, 6.1-19, 6.1-20은 곡선 위를 같은 길이만큼 이동한 점에서의 단위접선벡터들이다. 그림 6.1-18의 경우 집선벡터의 방항에 전혀 변화가 없다. 즉, 전혀 휘어 있지 않다. 곡선 길이가 같은 정도로 변해간 때 그림 6.1-19의 경우는 그림 6.1-20의 경우 보다 접선벡터의 방향의 변화가 완만하다. 즉, 그림 6.1-19의 곡선이 그림 6.1-20의 곡선보다 덜 휘어 있음을 알 수 있다.</p> <p>그러나 실제 계산에서 호의 길이 \( s \) 를 구하기가 쉽지 않은 경우도 있으므로 \( t \) 의 변수로 표시되어 있으면 다음과 같이 계산할 수 있다.</p> <p>정리 6.1.17</p> <p>평면 혹은 공간곡선 \( X(t) \) 가 매끄러운 곡선인 때 \( T ^ {\prime } (t) \) 와 \( X ^ {\prime \prime } (t) \) 가 존재하는 모든 \( t \) 에 대하여 \[ \kappa(t)= \kappa(s(t))= \frac {\left \|T ^ {\prime } (t) \right \| } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| } = \frac {\left \|X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t) \right \| } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| ^ { 3 } } \] 이다. \( { } ^ { * } \)</p> <p>증명.</p> <p>연쇄법칙과 역함수 미분법에 의헤 \[ \frac { d T } { d s } = \frac { d T } { d t } \frac { d t } { d s } = \frac { d T } { d t } \frac { 1 } {\frac { d s } { d t } } = \frac { T ^ {\prime } (t) } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| } \] 이고 따라서 \[ \kappa= \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac {\left \|T ^ {\prime } (t) \right \| } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| } \] 이다. 두 번째 식을 얻기 위헤 \[ X ^ {\prime } (t)= \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| T(t)= \left ( \frac { d s } { d t } \right ) T(t) \] 로 쓰면, \[ X ^ {\prime \prime } (t)= \left ( \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } \right ) T(t) + \left ( \frac { d s } { d t } \right ) T ^ {\prime } (t) \] 이다.</p> <p>그림 6.2-35에서는 이변수 함수 \( f \) 의 등위선을 그린 것이다. 정의역에서의 최대 값은 11 이상이 되어야 하지만 제약조건 \( g(x, y)=0 \) 아래서는 \( f \) 의 최대값은 10 이다.</p> <p>정리 6.2.11 (라그랑즈 승수법(Lagrange multiplier method)) 함수 \( f, g \) 를 열린집합 \( U \) 에서 미분가능한 함수라 하자. 한 점 \( P_ { 0 } \in U \) 에 대하여 \( g \left (P_ { 0 } \right )=0 \), \( \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 라고 하자. 함수 \( f \) 가 제약조건 \( S= \{ P \in U \mid g(P)=0 \} \) 아래에서, 점 \( P_ { 0 } \) 에서 극점을 가지면 두 벡터 \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \) 와 \( \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \) 는 평행하다. 즉, \[ \nabla f \left (P_ { 0 } \right )= \lambda \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \] 를 만족하는 실수 \( \lambda \) 가 존재한다. 이 때 \( \lambda \) 를 라그랑즈 승수(Lagrange multi-plier)라고 한다.</p> <p>증명. \( U \subset \mathbb { R } ^ { 3 } \) 인 경우를 증명하자. 점 \( \left (P_ { 0 } , f \left (P_ { 0 } \right ) \right ) \) 를 지나고 \( \left (P_ { 0 } , f \left (P_ { 0 } \right ) \right ) \) 에서 접평민 위의 임의의 벡터 \( V \) 를 접선벡터로 갓는 \( S \) 위의 곡선 \( X(t) \) 를 생각하자(그림6.2-36). \( X(0)=P_ { 0 } \) 이고, \( X ^ {\prime } (0)=V \) 라고 하면 \[ h(t)=f(X(t)) \] 는 \( t=0 \) 에서 극값을 가지므로 \[ 0=h ^ {\prime } (0)= \nabla f(X(0)) \cdot X ^ {\prime } (0)= \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \cdot V \] 이다. 즉, \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \) 는 \( V \) 와 수직이다. 한편 그래디언트벡터 \( \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \) 는 곡면 \( S \) 에 대한 법선벡터이므로 \( V \) 에 수직이고 따라서 두 벡터 \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \) 와 \( \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \) 는 서로 평행이다. 그러므로 적당한 실수 \( \lambda \in \mathbb { R } \) 에 대하여 \[ \nabla f \left (P_ { 0 } \right )= \lambda \nabla g \left (P_ { 0 } \right ) \] 이다.</p> <p>미분가능한 함수 \( f \) 에 대하여 \( P_ { 0 } \) 가 \( f \) 의 임계점이지만 극점이 아닌 점을 안장점 (saddle point)이라고 한다. 이 경우는 극점인 경우와 달리 \( P_ { 0 } \) 을 지나는 곡선에 따라 극대값을 가질 수도 있고, 극소값을 가질 수도 있다(그림6.2-28).</p> <p>예제 6.2.4</p> <p>곡면 \( z=x y \) 의 안장점을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>함수 \( f(x, y) \) 의 그래디언트는 \( \nabla f(x, y)=(y, x) \) 이므로 \( (0,0) \) 에서만 조사하면 된다. 그런데 곡면 \( z=x y \) 와 평면 \( y=x \) 의 교선은 \( z=x ^ { 2 } \) 으로 아래로 볼록한 모양이고 평면 \( y=-x \) 의 교선은 \( z=-x ^ { 2 } \) 으로 위로 볼록한 모양이다. 그러므로 \( (0,0) \) 에서는 극점이 될 수 없다(그림 6.2-29). 따라서 \( (0,0) \) 은 유일한 안장점이다.</p> <h2>2계 편도함수 판정법</h2> <p>일변수 함수에서 극대점, 극소점, 변곡점 판정을 위해 2계 도함수를 이용하듯이 이변수 함수 \( f \) 의 임계점이 극대점인지, 극소점인지, 안장점인지 판정하기 위해서 2계 편도함수를 이용한다.</p> <p>정리 6.2.5</p> <p>(2계 편도함수 판정법) 함수 \( f \) 가 점 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 근방에서 연속인 2계 편도함수들을 갖고, \( \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \mathbf { 0 } \) 이라고 하자. \[ D=D \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )-f_ { x y } ^ { 2 } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \] 라 할 때<ol type= start=1><li>\( D>0 \) 이고 \( f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )>0 \) 이면, \( f \) 는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 극소값을 갖는다.</li> <li>\( D>0 \) 이고 \( f_ { x x } \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )<0 \) 이면, \( f \) 는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 극대값을 갖는다.</li> <li>\( D<0 \) 이면, \( f \) 는 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \) 에서 안장점을 갖는다.</li></ol> <p>증명.</p> <p>단위법선벡터 \( N \) 을 매개변수 \( t \) 로 표현해 보면 \( \frac { d T } { d s } = \frac { d T } { d t } \frac { d t } { d s } , \quad \frac { d s } { d t } >0 \) 이므로 \( \frac { d T } { d t } (t) \neq 0 \) 인 경우에* \[ \frac { d T } { d s } / \left \| \frac { d T } { d s } \right \|= \frac { d T } { d t } \frac { d t } { d s } / \left \| \frac { d T } { d t } \frac { d t } { d s } \right \|= \frac { d T } { d t } / \left \| \frac { d T } { d t } \right \| \] 이다. 따라서 \[ N(s(t))= \frac { d T } { d t } / \left \| \frac { d T } { d t } \right \| \] 이다. 이 책에서는 특별한 언급이 없는 한 \( T(s(t)) \) 를 \( T(t) \) 로, \( N(s(t)) \) 를 \( N(t) \) 로 각각 같이 쓰기로 한다.</p> <p>예제 6.1.12</p> <p>나선 \( X(t)=2 \cos t \mathbf { i } + 2 \sin t \mathbf { j } + 3 t \mathbf { k } \) 의 단위접선벡터 \( T \) 와 단위법선 벡터 \( N \) 을구하여라(그림 6.1-12).</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {array} { l } X ^ {\prime } (t)=-2 \sin t \mathbf { i } + 2 \cos t \mathbf { j } + 3 \mathbf { k } \\ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 4 \sin ^ { 2 } t + 4 \cos ^ { 2 } t + 9 } = \sqrt { 13 } \\ T(t)=T(s(t))= \frac { X ^ {\prime } (t) } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| } =- \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } \sin t \mathbf { i } + \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } \cos t \mathbf { j } + \frac { 3 } {\sqrt { 13 } } \mathbf { k } , \\ T ^ {\prime } (t)=- \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } \cos t \mathbf { i } - \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } \sin t \mathbf { j } , \\ \left \|T ^ {\prime } (t) \right \|= \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } \sqrt { ( \cos t) ^ { 2 } + ( \sin t) ^ { 2 } } = \frac { 2 } {\sqrt { 13 } } , \\ N(t)=N(s(t))= \frac { T ^ {\prime } (t) } {\left \|T ^ {\prime } (t) \right \| } =- \cos t \mathbf { i } - \sin t \mathbf { j } \end {array} \] 이다.</p> <p>따라서 구하는 면적 \( A \) 는 \[ A= \int_ {\pi / 3 } ^ { 5 \pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta- \int_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta \] 이다.</p> <p>그런데 \[ \begin {aligned} \int \frac { 1 } { 2 } (1-2 \cos \theta) ^ { 2 } d \theta &= \frac { 1 } { 2 } \int \left (1-4 \cos \theta + 4 \cos ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int(3-4 \cos \theta + 2 \cos 2 \theta) d \theta \\ &= \frac { 1 } { 2 } (3 \theta-4 \sin \theta + \sin 2 \theta) + C \end {aligned} \] 이므로 \[ \begin {aligned} A=& {\left [ \frac { 1 } { 2 } (3 \theta-4 \sin \theta + \sin 2 \theta) \right ]_ {\pi / 3 } ^ { 5 \pi / 3 } - \left [ \frac { 1 } { 2 } (3 \theta-4 \sin \theta + \sin 2 \theta) \right ]_ { - \pi / 3 } ^ {\pi / 3 } } \\ =& \frac { 1 } { 2 } \left [4 \pi-4 \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) + \left (- \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } - \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) \right ] \\ & \quad- \left ( \pi-4 \times \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } + \frac {\sqrt { 3 } } { 2 } \right ) \\ &= \pi + 3 \sqrt { 3 } . \end {aligned} \]</p> <p>평면영역에서와 같이 평면곡선을 회전하여 생긴 회전체의 겉넓이를 구하는 파푸스정리는 다음과 같다.</p> <p>정리 6.4.9</p>(회전체의 겉넓이에 대한 파푸스정리) 평면곡선 \( C \) 를 \( C \) 와 만나지 않는 직선을 축으로 한 바퀴 회전하여 셍긴 회전체의 겉넓이는 곡선 \( C \) 의 길이 \( L \) 과 \( C \) 의 중심이 이동한 거리의 곱과 같다. 즉 \( \bar { R } \) 를 중심에서 회전축까지의 거리라 할 때 회전체의 겉넓이 \( S \) 는 \[ S=2 \pi \bar { R } L \] 이다. 증명은 연습문제로 남긴다.</p> <h2>밀도가 연속적으로 변하는 영역의 중심</h2> <p>질량 \( m \) 인 어떤 물체가 평면영역 \( \Omega \) 의 전체에서 밀도가 일정하게 분포되어 있다고 가정하자. 이 때 이 물체의 밀도 \( \delta \) 는 \( \Omega \) 의 면적을 \( A \) 라 할 때 \[ \delta= \frac { m } {\Lambda } \] 으로 표현된다.</p> <p>이제 이 물체의 밀도 \( \delta(x, y) \) 가 평면영역 \( \Omega \) 에서 연속적으로 변하고 있다고 하자. 그 물체의 한 점 \( (x, y) \) 을 포함하는 매우 작은 분할 평면을 생각하면 질량 \( \Delta m \) 은 이 분할 평면에서는 밀도가 일정하게 분포되어 있다고 생각할 수 있다. 즉, 이 분할평면의 면적을 \( \Delta A \) 라 할 때 \[ \delta(x, y)= \lim _ { \| \Delta A\| \rightarrow 0 } \frac {\Delta m } {\Delta \Lambda } \] 이다. 단, \( \| \Delta A\| \) 는 분할 평면들 중에서 최대 넓이이다. \( \Omega \) 의 각 분할 평면 \( \Omega_ { k } \) 에 속하는 임의의 점 \( \left (x_ { k } , y_ { k } \right ) \) 를 택하여 \( \Delta m_ { k } \) 를 \( \Omega_ { k } \) 의 질량, \( \Delta A_ { k } \) 를 \( \Omega_ { k } \) 의 면적이라 하자. 만일 \( \Delta A_ { k } \) 가 충분히 작으면 \( \delta \left (x_ { k } , y_ { k } \right ) \Delta A_ { k } \) 는 \( \Delta m_ { k } \) 와 근사적으로 같다고 가정할 수 있다. 이 때 \[ m= \Delta m_ { 1 } + \Delta m_ { 2 } + \cdots + \Delta m_ { n } \approx \sum_ { k=1 } ^ { n } \delta \left (x_ { k } , y_ { k } \right ) \Delta \Lambda_ { k } \] 이므로 중적분의 정의에 의하여 \( \Omega \) 의 질량 \( m \) 을 \[ m= \iint_ {\Omega } \delta(x, y) d \Lambda \] 로 정의한다. 마찬가지로 \( \Omega \) 가 삼차원 공간영역이라면 질량 \( m \) 을 \[ m= \iiint_ {\Omega } \delta(x, y, z) d V \] 로 정의한다.</p> <p>예제 6.2.12</p> <p>원판 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \) 에서 함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + y \) 의 최대값과 최소값을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>유계인 닫힌집합 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \) 위에서 정의된 연속함수 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 3 y ^ { 2 } + y \) 는 최대최소값 정리에 의해 반드시 최대값과 최소값을 갖는다.</p> <p>(1) 내부점에서의 극값을 구하자. \( \nabla f(x, y)=(2 x, 6 y + 1) \) 이므로 임계점은 \( \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right ) \) 이다. \[ D=f_ { x x } \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right ) f_ { y y } \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right )-f_ { x y } ^ { 2 } \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right )=12-0>0 \text { 이고 } \] \[ f_ { x x } \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right )=2>0 \] 이므로 \( f \left (0,- \frac { 1 } { 6 } \right )=3 \cdot \frac { 1 } { 36 } - \frac { 1 } { 6 } =- \frac { 1 } { 12 } \) 은 극소값이다.</p> <p>(2) 경계 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =1 \) 위에서의 극값을 찾자. \( g(x, y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -1 \) 이라고 하자. \( \nabla g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \left (2 x_ { 0 } , 2 y_ { 0 } \right ) \neq(0,0) \) 인 점, 즉 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \neq(0,0) \) 에서 \( f \) 가 극값을 갖는 다고 하면 적당한 실수 \( \lambda \) 에 대하여 \[ \nabla f \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \lambda \nabla g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ), \quad g \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=0 \] 이므로 \[ \left (2 x_ { 0 } , 6 y_ { 0 } + 1 \right )= \lambda \left (2 x_ { 0 } , 2 y_ { 0 } \right ), \quad x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } -1=0 \] 이다.</p> <h1>\( 6.2 \) 다변수 함수의 극값</h1> <p>우리 주변에서 일어나는 문제들, 즉 제품의 판매이윤을 극대화 하기 위한 가걱결정, 일정한 겉면적을 갖는 직육면체의 최대 부피 등을 구하는 문제들은 다변수의 최대, 최소값에 관련된 문제들이다. 다변수 함수의 최대, 최소값을 구하기 위해서는 일변수 함수의 경우처럼 정의역의 내부점 중 극값을 갖는점, 안장점 그리고 경계점들에서의 함수값을 비교해서 최대 최소값을 결정해야 한다.</p> <h2>극대값과 극소값</h2> <p>이변수 또는 삼변수 함수 \( f \) 가 정의구역의 내부점 \( P_ { 0 } \) 의 근방에서의 최대값 또는 최소값이 \( f \left (P_ { 0 } \right ) \) 일 때 \( P_ { 0 } \) 를 각각 \( f \) 의 극대점(local maximum) 또는 극소점(loca minimum), 함수값 \( f \left (P_ { 0 } \right ) \) 를 \( P_ { 0 } \) 에서 \( f \) 의 극대값(local maximum value) 또는 극소값(local minimum value)이라고 한다. 극대점과 극소점을 극점(extreme point)이라 하고 각 극점에서의 극대값과 극소값을 극값(extreme value)이라고 한다(그림6.2-27).</p> <p>정리 6.2.1</p> <p>(1계 편도함수 판정법) 미분가능한 함수 \( f \) 가 점 \( P_ { 0 } \) 에서 극값을 가지면 \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right )= \mathbf { 0 } \) 이다.</p> <p>증명.</p> <p>\( X(t) \) 를 일변수 벡터값 함수 \( X(t)=P_ { 0 } + t \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \) 라 하면 일변수 실수값 함수 \( g(t)=f(X(t)) \) 는 \( t=0 \) 에서 극값을 가진다. 그러므로 \[ 0=g ^ {\prime } (0)= \frac { d g } { d t } (0)= \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \cdot X ^ {\prime } (0)= \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \cdot \nabla f \left (P_ { 0 } \right )= \left \| \nabla f \left (P_ { 0 } \right ) \right \| ^ { 2 } \] 이 되어 벡터 \( \nabla f \left (P_ { 0 } \right )=0 \) 이 성립한다.</p> <p>증명.</p> <p>곡선 \( C: Y(s)=X(t(s)) \) 가 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 표시되었다고 하자. 그리고 \( \phi(s) \) 를 단위접선벡터 \( T(s) \) 와 양의 \( x \)-축과 이루는 각이라고 하자. \( \|T(s)\|=1 \), 즉, \( T(s) \) 는 단위원 위의 점이므로 \[ T(s)=( \cos \phi(s), \sin \phi(s)) \]<caption>\( (6.1 .2) \)</caption></p> <p>라 쓸 수 있다. 이 때 \[ \begin {aligned} \frac { d T } { d s } &= \frac { d T } { d \phi } \frac { d \phi } { d s } =(- \sin \phi, \cos \phi) \frac { d \phi } { d s } \\ &= \left ( \frac { d \phi } { d s } \right ) \left [ \cos \left ( \phi + \frac {\pi } { 2 } \right ), \sin \left ( \phi + \frac {\pi } { 2 } \right ) \right ] \end {aligned} \]<caption>\( (6.1 .3) \)</caption></p> <p>가 성립한다. 이제 사이각 \( \phi(s) \) 가 증가함수이면(그림 \( 6.1-14) \frac { d \phi } { d s } (s)>0 \) 이고 식 \( 6.1 .2 \) 과 \( 6.1 .3 \) 에 의하여 \( \frac { d T } { d s } \) 는 \( T(s) \) 를 반시계방향으로 \( 90 ^ {\circ } \) 회전한 벡터이다. 그 러므로 \( \frac { d T } { d s } \) 와 법선벡터 \( N= \frac { d T } { d s } / \left \| \frac { d T } { d s } \right \| \) 는 곡선이 휘어 있는 안쪽을 향한다. 마찬 가지로 \( \phi(s) \) 가 감소함수이면 (그림 \( 6.1-15) \frac { d \phi } { d s } (s)<0 \) 이고 \( N \) 은 \( T(s) \) 를 시계방향으 로 \( 90 ^ {\circ } \) 회전한 벡터로서 곡선이 휘어 있는 안쪽을 향한다.</p> <p>(2) 다음으로 삼각형의 경계점에서 극값을 조사헤 보자. 선분 \( y=0,0 \leq x \leq 9 \) 위에서는 \[ f(x, 0)=2 + 2 x-x ^ { 2 } , \quad 0 \leq x \leq 9 \] 이므로 이 이차함수는 \( 0 \leq x \leq 9 \) 에서 최대값 \( f(1,0)=3 \), 최소값 \( f(9,0)=-61 \) 을 갖는다. 선분 \( x=0, \quad 0 \leq y \leq 9 \) 위에서는 \[ f(0, y)=2 + 2 y-y ^ { 2 } , \quad 0 \leq y \leq 9 \] 이므로 이 이차함수 또한 \( 0 \leq y \leq 9 \) 에서 최대값 \( f(0,1)=3 \), 최소값 \( f(0,9)= \) \( -61 \) 을 갖는다. 선분 \( y=9-x, \quad 0 \leq x \leq 9 \) 위에서는 \[ f(x, y)=-61 + 18 x-2 x ^ { 2 } , \quad 0 \leq x \leq 9 \] 이므로 이 이차함수는 최대값 \( f \left ( \frac { 9 } { 2 } , \frac { 9 } { 2 } \right )=- \frac { 41 } { 2 } \), 최소값 \( f(9,0)=f(0,9)=-61 \) 을 갖는다.</p> <p>(1) 과 (2)의 결과를 종합하면 최대값은 \( f(1,1)=4 \), 최소값은 \( f(9,0)=f(0,9)= \)-61을 갖는다(그림 6.2-34).</p> <h2>라그랑즈 승수법</h2> <p>영역 \( D \) 위에 정의된 함수 \( f(x, y) \) 의 최대, 최소값을 구하기 위해 앞 절에서는 영역 \( D \) 의 내부점 중 극대점과 극소점을 구하는 방법을 제시하였다. 이제 \( D \) 의 내부의 극점들에서의 \( f \) 의 값과 경계 위의 극점들에서의 \( f \) 의 값 중 가장 큰 값이 최대값, 가장 작은 값이 최소값이 된다. 그러면 경계 곡선 위에서 \( f \) 의 최대, 최소값은 어떻게 구할까?</p> <p>먼저 다음 예를 보자.</p> <p>예제 6.2.10</p> <p>원 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1 \) 위에서 정의된 \( f(x, y)=x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \) 의 최대값과 최소값을 구하여라.</p> <p>\( [a, b] \) 에서 정의된 매끄러운 곡선 \( X(t)=(x(t), y(t), z(t)) \) 에 대해서 \( a \) 에서 \( t \) 까 지의 곡선의 길이는 \( t \) 의 함수 \[ s=s(t)= \int_ { a } ^ { t } \left \|X ^ {\prime } (u) \right \| d u \] 로 주어지므로, 미분적분학의 기본정리에 의해 \[ \frac { d s } { d t } (t)= \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| \]<caption>(6.1.1)</caption></p> <p>이다. 곡선 \( C \) 는 매끄러운 곡선이기 때문에 \( X ^ {\prime } (t) \neq 0 \) 이므로 \( \frac { d s } { d t } >0 \) 이 된다. 따라서 \( s=s(t) \) 는 증가함수이고 역함수 \( t=t(s) \) 가 존재하므로 곡선 \( X(t) \) 에 \( t=t(s) \) 를 대입하면 \[ Y(s)=X(t(s)) \] 를 얻는다. 이 때 \( Y(s) \) 를 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 한 곡선 \( C \) 의 매개함수 표현(parametrization by arc length)이라고 한다. 운동하는 물체의 위치함수가 호의 길이 \( \mathrm { s } \) 로 표현되었다면 이 물체는 속력이 항상 1 로서 등속운동을 하고 있다고 생각 할 수 있다.</p> <p>예제 6.1.8</p> <p>길이가 \( 2 \pi \) 인 구간 \( [0,2 \pi] \) 에서 정의된 곡선 \[ \Gamma: X(s)=( \cos s, \sin s) \] 의 속력은 항상 \( \left \|X ^ {\prime } (s) \right \|=1 \) 임을 알 수 있다. 곡선 \( \Gamma \) 의 길이, 즉, 원주의 길이가 \( 2 \pi \) 이 므로 시간 구간 \( [0,2 \pi] \) 에서 속력 1 로 등속운동을 하면 원을 정확히 한 바퀴 돈다. 그 러나, 만약 같은 곡선 \( \Gamma \) 에 매개변수 \[ Y(u)=( \cos (2 \pi u), \sin (2 \pi u)), 0<u<1 \] 을 사용하면 시간 구간 \( [0,1] \) 동안 \( \Gamma \) 의 길이 \( 2 \pi \) 만큼 움직이어야 하므로 속력도 1 보 다 더 빠른 \( \left \|Y ^ {\prime } (u) \right \|=2 \pi \) 여야 한다.</p> <p>예제 6.3.18</p> <p>반지름이 \( r \) 인 구의 표면적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>구하고자 하는 구의 표면적은 곡선 \[ x(t)=r \cos t, y(t)=r \sin t, 0 \leq t \leq \pi \] 를 \( x \)-축을 중심으로 회전한 회전곡면이다. 그러므로 표면적은 \[ \begin {array} { c } A= \int_ { 0 } ^ {\pi } 2 \pi y(t) \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t= \int_ { 0 } ^ {\pi } 2 \pi r \sin t \sqrt { (-r \sin t) ^ { 2 } + (r \cos t) ^ { 2 } } d t \\ =2 \pi r ^ { 2 } [- \cos t]_ { 0 } ^ {\pi } =4 \pi r ^ { 2 } . \end {array} \]</p> <p>예제 6.3 .19</p> <p>곡선 \( y ^ { 2 } -2 \ln y=4 x, y \in[1,2] \) 를 \( x \)-축을 중심으로 회전할 때 생기는 회전곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>주어진 곡선의 매개변수표현을 \[ x(t)= \frac { 1 } { 4 } \left (t ^ { 2 } -2 \ln t \right ), y(t)=t, 1 \leq t \leq 2 \] 으로 나타낼 수 있다. \[ x ^ {\prime } (t)= \frac { 1 } { 2 } \left (t- \frac { 1 } { t } \right ), y ^ {\prime } (t)=1 \] 이므로 회전곡면의 넓이는 \[ \begin {aligned} \Lambda &= \int_ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi y(t) \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \\ &= \int_ { 1 } ^ { 2 } 2 \pi t \left [ \frac { 1 } { 2 } \left (t + \frac { 1 } { t } \right ) \right ] d t \\ &= \int_ { 1 } ^ { 2 } \pi \left (t ^ { 2 } + 1 \right ) d t= \pi \left [ \frac { 1 } { 3 } t ^ { 3 } + t \right ]_ { 1 } ^ { 2 } \\ &= \frac { 10 } { 3 } \pi \end {aligned} \] 이다(그림 6.3-75)</p> <p>풀이.</p> <p>예제 6.1.21에 의하여 \[ \kappa(x)= \frac {\left \|f ^ {\prime \prime } (x) \right \| } {\left (1 + f ^ {\prime } (x) ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } = \frac { 2 } {\left (1 + 4 x ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 3 } { 2 } } } \] 이다.* 그러므로 점 \( (0,0) \)과 \( (1,1) \)에서의 곡률은 \[ \kappa(0)=2, \kappa(1)= \frac { 2 } { 5 ^ {\frac { 3 } { 2 } } } \] 이다.</p> <p>평면곡선 \( X(t) \) 위를 움직이는 점 \( P=X \left (t_ { 0 } \right ) \)에서의 곡률이 \( \kappa \left (t_ { 0 } \right ) \neq 0 \)일 때, 반경이 \( r= \frac { 1 } {\kappa \left (t_ { 0 } \right ) } \)인 원으로서 점 \( P \)에서 그 곡선에 접하고, 곡선이 휘어있는 안쪽에 있는 원을 점 \( P \)에서의 곡률원(circle of curvature), 반경 \( r= \frac { 1 } {\kappa \left (t_ { 0 } \right ) } \)을 \( P \)에서의 곡률반경(radius of curvature)이라 한다(그림 6.1-21). 점 \( P \)에서의 곡률원은 \( P \)에서 접하는 원 중에서 이 곡선에 가장 가까운 원이라 할 수 있고 곡률반경이 클수록 \( P \) 근방에서 곡선의 휨 정도가 완만하다는 뜻이다.</p> <h2>평면곡선의 곡률</h2> <p>평면곡선에 대한 접선벡터의 방향은 그 벡터가 양의 \( x \)-축과 이루는 각 \( \phi \) 의 크기로 표현할 수 있으므로 호의 길이에 대한 단위 접선벡터의 변화율의 크기로 정의된 곡률을 \( \phi \)를 써서 평면곡선의 곡률을 다시 표현할 수 있다(그림 6.1-22).</p> <p>정리 6.1.23</p> <p>호의 길이 \( s \)를 매개변수로 갖는 평면곡선 \( Y(s) \)의 곡률은 \[ \kappa(s)= \left \| \frac { d \phi } { d s } \right \| \]이다. 단, \( \phi \)는 단위접선벡터 \( T \)가 양의 \( x \)-축과 이루는 각이다.</p> <p>예제 6.1.6 현수선* \[ y=a \cosh \frac { x } { a } , \quad 0 \leq x \leq b \] 의 길이를 구하여라(그림 6.1-6). 풀이. 매개변수 \( t \) 를 써서 표현하면 \( X(t)= \left (t, a \cosh \frac { t } { a } \right ), 0 \leq t \leq b \) 이다. 그런 데 \[ \begin {array} { l } \cosh \frac { t } { a } = \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ {\frac { t } { a } } + e ^ { - \frac { t } { a } } \right ), \\ \frac { d } { d t } \cosh \frac { t } { a } = \frac { 1 } { 2 a } \left (e ^ {\frac { 1 } { a } } -e ^ { - \frac { t } { a } } \right )= \frac { 1 } { a } \sinh \frac { t } { a } \end {array} \] 이므로 \[ \begin {array} { l } X ^ {\prime } (t)= \left (1, \sinh \frac { t } { a } \right ), \\ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 1 + \sinh ^ { 2 } \frac { t } { a } } = \sqrt {\left [ \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ {\frac { t } { a } } + e ^ { - \frac { t } { a } } \right ) \right ] ^ { 2 } } = \cosh \frac { t } { a } \end {array} \] 이다.<p>따라서 \[ L_ { 0 } ^ { b } = \int_ { 0 } ^ { b } \cosh \frac { t } { a } d t=a \sinh \frac { b } { a } \] 이다.</p> <p>성질 1 . 영역의 대칭축이 있으면 질량중심은 이 대칭축 위에 있다.</p> <p>성질 2. 영역 \( R \) 이 서로 겹치지 않는 \( n \) 개의 영역 \( R_ { i } \) 들의 합으로 구성되어 있다면, \( R \) 의 \( x \)-축과 \( y \)-축에 대한 능률은 각각 분할된 소영역 \( R_ { i } \) 의 \( x \)-축과 \( y \)-축에 대한 능률 \( M_ { x } \left (R_ { i } \right ) \) 와 \( M_ { y } \left (R_ { i } \right ) \) 들의 합과 같다. 즉, \[ \begin {array} { l } M_ { x } (R)=M_ { x } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } R_ { i } \right )=M_ { x } \left (R_ { 1 } \right ) + M_ { x } \left (R_ { 2 } \right ) + \cdots + M_ { x } \left (R_ { n } \right ) \\ M_ { y } (R)=M_ { y } \left ( \bigcup_ { i=1 } ^ { n } R_ { i } \right )=M_ { y } \left (R_ { 1 } \right ) + M_ { y } \left (R_ { 2 } \right ) + \cdots + M_ { y } \left (R_ { n } \right ) \end {array} \]</p> <p>\( f \) 를 \( [a, b] \) 에서 음이 아닌 연속함수라 하고 \( f \) 의 그래프와 \( x=a, x=b \) 그리고 \( x \)-축에 둘러싸인 영역을 \( \Omega \) 라 할 때(그림 6.4-83) \( \Omega \) 의 중심을 찾아 보자. \( [a, b] \) 의 분할 \( P: x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n } \) 에 대하여 \( x_ { i } ^ { * } \) 를 구간 \( \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] \) 의 중점이라 하고 선분 \( \left [x_ { i-1 } , x_ { i } \right ] \) 위에 높이 \( f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \) 로 세워진 직사각형 영역을 \( R_ { i } \) 라고 하자(그림 6.4-83). \( R_ { i } \) 의 면적은 \( \Lambda_ { i } =f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x_ { i } \) 이고 중심은 \( \left (x_ { i } ^ { * } , \frac { 1 } { 2 } f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ) \) 이다. 따라서 직사각형 \( R_ { i } \) 의 능률은 \[ \begin {array} { l } M_ { x } \left (R_ { i } \right )= \frac { 1 } { 2 } f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Lambda_ { i } = \frac { 1 } { 2 } \left [f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta x_ { i } , \\ M_ { y } \left (R_ { i } \right )=x_ { i } ^ { * } \Lambda_ { i } =x_ { i } ^ { * } f \left (x_ { i } ^ { * } \right ) \Delta x_ { i } \end {array} \] 이므로 성질 2 에 의하여 \[ \begin {aligned} \vec { x } \quad M_ { x } \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ { n } R_ { i } \right ) &= \frac { 1 } { 2 } \left [f \left (x_ { 1 } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta x_ { 1 } + \cdots + \frac { 1 } { 2 } \left [f \left (x_ { n } ^ { * } \right ) \right ] ^ { 2 } \Delta x_ { n } \\ M_ { y } \left ( \bigcup_ { n=1 } ^ { n } R_ { i } \right ) &=x_ { 1 } ^ { * } f \left (x_ { 1 } ^ { * } \right ) \Delta x_ { 1 } + \cdots + x_ { n } ^ { * } f \left (x_ { n } ^ { * } \right ) \Delta x_ { n } \end {aligned} \]<caption>\( (6.4 .12) \)</caption> <p>이다. 그러므로 리만적분의 성질로부터 \( \|P\| \rightarrow 0 \) 이면 식 6.4.12의 우변은 각각 \[ \int_ { a } ^ { b } \frac { 1 } { 2 } [f(x)] ^ { 2 } d x, \int_ { a } ^ { b } x f(x) d x \] 로 접근하므로 \( \Omega \) 의 능률과 무게중심을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>정리 6.1.17에서 곡률 \( \kappa \) 를 구하는 식은 공간곡선에 대해서 뿐만 아니라 평면 곡선에 대해서도 성립하며, 평면곡선 \( X(t) \) 의 경우에는 \( z \) 좌표를 0 로 놓고 공간곡선으로 생각해서 구하면 된다.</p> <p>예제 6.1.21 양함수로 표현된 평면곡선 \( y=f(x) \) 의 곡률은 \[ \kappa(x)= \frac {\left \|f ^ {\prime \prime } (x) \right \| } {\left (1 + f ^ {\prime } (x) ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \] 임을 보여라.</p> <p>풀이. 곡선 \( y=f(x) \) 를 공간곡선 \( X(t)=(t, f(t), 0) \) 으로 생각하면 \( X ^ {\prime } (t)= \left (1, f ^ {\prime } (t), 0 \right ), \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { 1 + f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } , X ^ {\prime \prime } (t)= \left (0, f ^ {\prime \prime } (t), 0 \right ) \), \[ X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t)= \left \| \begin {array} { ccc } \mathbf { i } & \mathbf { j } & \mathbf { k } \\ 1 & f ^ {\prime } (t) & 0 \\ 0 & f ^ {\prime \prime } (t) & 0 \end {array} \right \|=f ^ {\prime \prime } (t) \mathbf { k } \] 이므로 정리 6.1.17에 의하여 \[ \kappa(t)= \frac {\left \|X ^ {\prime } (t) \times X ^ {\prime \prime } (t) \right \| } {\left \|X ^ {\prime } (t) \right \| ^ { 3 } } = \frac {\left \|f ^ {\prime \prime } (t) \right \| } {\left (1 + f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } \right ) ^ { 3 / 2 } } \] 이다.</p> <p>예제 6.1.22 포물선 \( y=x ^ { 2 } \) 위의 두 점 \( (0,0) \) 과 \( (1,1) \) 에서의 곡률을 구하여라.</p> <p>곡선이 양함수 \( y=f(x) \) 의 그래프로 주어져 있을 때는 매개변수 표현식이 \[ x=t, y(t)=f(t) \] 이므로, 구간 \( [a, b] \) 에서 연속인 도함수를 갖는 함수 \( y=f(x) \) 의 그래프를 \( x \)-축을 중심으로 회전할 때 생기는 회전곡면의 넓이는 \[ \Lambda= \int_ { a } ^ { b } 2 \pi f(x) \sqrt { 1 + \left [f ^ {\prime } (x) \right ] ^ { 2 } } d x \] 이다.</p> <p>예제 6.3 .20</p> <p>\(y= \sin x \) 를 구간 \( \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ] \) 에서 \( x \)-축을 중심으로 회전할 때 생기는 회전곡면의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\( f(x)= \sin x \) 라 하면 \( f ^ {\prime } (x)= \cos x \) 이므로 \[ \Lambda= \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } 2 \pi \sin x \sqrt { 1 + \cos ^ { 2 } x } d x \] 이다. 여기서 \( u= \cos x \) 라 치환하면 \[ \Lambda=2 \pi \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 1 + u ^ { 2 } } d u \] 이고 \( u= \tan \theta \) 로 다시 치환하면 \[ \Lambda=2 \pi \int_ { 0 } ^ {\pi / 4 } \sec ^ { 3 } \theta d \theta= \pi[ \sec \theta \tan \theta + \ln \mid \sec \theta + \tan \theta]_ { 0 } ^ {\pi / 4 } \] \[ = \pi[ \sqrt { 2 } + \ln (1 + \sqrt { 2 } )] \] 이다(그림 6.3-76).</p> <p>곡선이 \( x=g(y), c \leq y \leq d \) 으로 주어지고 이 그래프를 \( y \)-축을 중심으로 회전한 회전곡면의 넓이는 위와 같은 방법으로 생각하면 \[ \int_ { c } ^ { d } 2 \pi g(y) \sqrt { 1 + \left [g ^ {\prime } (y) \right ] ^ { 2 } } d y \] 이다.</p> <p>(2) 만일 \( Y(s) \) 가 두 번 미분가능하면 예제 3.3.9에 의하여 \( \frac { d Y } { d s } \) 와 \( \frac { d ^ { 2 } Y } { d s ^ { 2 } } \) 은 항상 직교 한다.</p> <p>예제 6.1.10</p> <p>(신개선(involute))* 평면곡선 \[ X(t)=( \cos t + t \sin t, \sin t-t \cos t), \quad 0 \leq t \leq 2 \pi \] 에 대하여 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 하는 곡선의 매개함수 표현을 구하여라(그림 6.1-9).</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {aligned} X ^ {\prime } (t) &=(- \sin t + \sin t + t \cos t, \quad \cos t- \cos t + t \sin t) \\ &=(t \cos t, \quad t \sin t), \\ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| &= \sqrt { t ^ { 2 } \cos ^ { 2 } t + t ^ { 2 } \sin ^ { 2 } t } =t \end {aligned} \] 이므로 \[ s=s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|X ^ {\prime } (u) \right \| d u= \frac { t ^ { 2 } } { 2 } , \quad t= \sqrt { 2 s } , \quad 0 \leq s \leq s(2 \pi)=2 \pi ^ { 2 } \] 이다. 따라서 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 하는 곡선의 매개함수 표현은 \[ Y(s)=( \cos \sqrt { 2 s } + \sqrt { 2 s } \sin \sqrt { 2 s } , \quad \sin \sqrt { 2 s } - \sqrt { 2 s } \cos \sqrt { 2 s } ), 0 \leq s \leq 2 \pi ^ { 2 } \] 이다.</p> <p>예제 6.1.11</p> <p>반지름이 \( r \) 인 원 \[ X(t)=(r \cos t, r \sin t), 0 \leq t \leq 2 \pi \] 의 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 하는 곡선의 매개함수 표현을 구하여라.</p> <p>\[ \begin {aligned} f \left (P_ { 0 } + H \right ) &=f \left (P_ { 0 } \right ) + \left [f_ { x } \left (P_ { 0 } \right ) h + f_ { y } \left (P_ { 0 } \right ) k \right ] \\ & + \frac { 1 } { 2 } \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) h ^ { 2 } + 2 f_ { x y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) h k + f_ { y y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) k ^ { 2 } \right ] \end {aligned} \] 이다. 또 \( f \) 는 \( P_ { 0 } \) 에서 미분가능이고 \( P_ { 0 } \) 는 임계점, 즉 \( f_ { x } \left (P_ { 0 } \right )=f_ { y } \left (P_ { 0 } \right )=0 \) 이므로 \[ \begin {aligned} f \left (P_ { 0 } + H \right ) &-f \left (P_ { 0 } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) \cdot h ^ { 2 } + 2 f_ { x y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) h k + f_ { y y } \left (P_ { 0 } + t_ { 0 } H \right ) k ^ { 2 } \right ] \end {aligned} \]</p> <p>이다. 그런데 \( \|H\| \) 가 충분히 작아지면 \( P_ { 0 } + t_ { 0 } H \) 은 \( P_ { 0 } \) 에 접근하고 2계 편도함수들이 \( P_ { 0 } \) 에서 연속이다. 따라서 크기가 충분히 작은 \( H \) 에 대하여, \( t \rightarrow 0 \) 일 때 \[ \begin {array} { c } \lim _ { t \rightarrow 0 } f_ { x x } \left (P_ { 0 } + t H \right )=f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ), \lim _ { t \rightarrow 0 } f_ { x y } \left (P_ { 0 } + t H \right )=f_ { x y } \left (P_ { 0 } \right ), \\ \lim _ { t \rightarrow 0 } f_ { y y } \left (P_ { 0 } + t H \right )=f_ { y y } \left (P_ { 0 } \right ) \end {array} \] 이다. 따라서 \( P_ { 0 } \) 에 충분히 가까운 근방 \( P_ { 0 } + H \) 에 대하여, \( f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) \neq 0 \) 일 때 \[ \begin {array} { l } f \left (P_ { 0 } + H \right )-f \left (P_ { 0 } \right ) \approx \frac { 1 } { 2 } \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) h ^ { 2 } + 2 f_ { x y } \left (P_ { 0 } \right ) h k + f_ { y y } \left (P_ { 0 } \right ) k ^ { 2 } \right ] \\ = \frac { 1 } { 2 } \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) \left (h + \frac { f_ { x y } \left (P_ { 0 } \right ) } { f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) } k \right ) ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) } \left (f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) f_ { y y } \left (P_ { 0 } \right )-f_ { x y } \left (P_ { 0 } \right ) ^ { 2 } \right ) \right ] \\ = \frac { 1 } { 2 } \left [f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) \left (h + \frac { f_ { x y } \left (P_ { 0 } \right ) } { f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) } k \right ) ^ { 2 } + \frac { k ^ { 2 } } { f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right ) } D \right ] \end {array} \] 이다.</p> <h2>회전체의 체적에 대한 파푸스 정리</h2> <p>다음은 평면영역의 면적과 무게중심이 주어질 때 입체의 체적을 구하는 데 쓰이는 유용한 공식인 데, 어떤 평면영역을 이 영역 밖에 있는 한 직선에 관해 회전할 때 생기는 입체의 체적은 이 영역의 무게중심이 그 직선에 관해 한 번 회전할 때 이동한 총 거리와 그 평면영역의 면적의 곱과 같음을 보여준다.</p> <p>정리 6.4.5</p> <p>(회전체의 체적에 대한 파푸스(Pappus) 정리) 평면 위의 영역 \( \Omega \) 와 \( \Omega \) 와 만나지 않는 직선 \( L \) 이 있다고 하자. \( \Omega \) 가 \( L \) 을 중심으로 한 바퀴 회전하였을 때 셍긴 회전체의 체적은 \( \Omega \) 의 면적 \( \Lambda \) 와 \( \Omega \) 의 중심이 이동한 거리의 곱과 같다. 즉 \( \bar { R } \) 를 \( \Omega \) 의 무게중심에서 회전축까지의 거리라 할 때 회전체의 부피 \( V \) 는 \[ V=2 \pi \bar { R } A \] 이다.</p> <p>증명.</p> <p>영역 \( \Omega \) 가 \( x y \)-평면에 있다 하고 \( \Omega \) 와 만나지 않는 직선을 \( x \)-축이라 한다. 또 한 \( \Omega \) 가 \( [a, b] \) 위에서 \[ y=f(x), \quad y=g(x) \] 에 의해 경계되어 있고 \[ f(x) \geq g(x) \] 이며 \( \Omega \) 의 무게중심을 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 라 하면 회전체의 체적은 \[ \begin {aligned} V &= \int_ { a } ^ { b } \pi \left [f(x) ^ { 2 } -g(x) ^ { 2 } \right ] d x \\ &=2 \pi \bar { y } \Lambda=2 \pi \bar { R } \Lambda \end {aligned} \] 가 성립한다.</p> <p>예제 6.4 .6</p> <p>원판 \[ (x-a) ^ { 2 } + (y-b) ^ { 2 } \leq r ^ { 2 } \] 중심 \( (a, b) \) 로부터 거리 \( R \) 만큼 떨어져 있는 한 직선을 축으로 회전하여 생기는 입체(원환체, solid torus)의 체적을 구하여라.</p> <p>즉, \( f \) 와 \( g \) 의 그래프와 직선 \( x=a, x=b \) 에 의하여 둘러싸인 영역의 면적은 \[ \lim _ { \|P\| \rightarrow 0 } \sum_ { k=0 } ^ { n } \left [f \left (x_ { k } ^ { * } \right )-g \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ] \Delta x_ { k } \] 이다. 위의 식은 함수 \( f-g \) 의 구간 \( [a, b] \) 에서의 정적분의 정의로부터 \( y=f(x), y= \) \( g(x) \) 와 직선 \( x=a, x=b \) 로 둘러싸인 도형의 면적 \[ A= \int_ { a } ^ { b } [f(x)-g(x)] d x \] 와 같다.</p> <p>참고 6.3.1 구하는 영역의 면적은 각 점 \( x \in[a, b] \) 에서 \( f \) 와 \( g \) 의 그래프에 의하여 둘러싸인 영역의 \( x \)-축에 수직인 전단선의 길이 \( l(x)=f(x)-g(x) \) 를 \( a \) 에서 \( b \) 까지 적분함으로써 얻어진다 (그림 6.3-43).</p> <p>예제 6.3.2</p> <p>곡선 \( y=2 x + 2 \) 와 \( y=x ^ { 2 } -1 \) 에 의하여 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>두 곡선의 교점을 구하기 위하여 위 두 방정식을 연립으로 풀면 \( x=-1, x= \)3 를 얻는다(그림 6.3-44). 따라서 구하는 넓이 \( A \) 는 \[ A= \int_ { -1 } ^ { 3 } \left [(2 x + 2)- \left (x ^ { 2 } -1 \right ) \right ] d x= \left [- \frac { 1 } { 3 } x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 3 x \right ]_ { -1 } ^ { 3 } = \frac { 32 } { 3 } . \]</p> <p>예제 6.3.3</p> <p>곡선 \( x=y ^ { 2 } \) 과 \( y=x-2 \) 에 의해 둘러싸인 영역의 면적을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>원판의 면적은 \( A= \pi r ^ { 2 } \) 이고 중심에서 직선까지의 거리는 \( \bar { R } =R \) 이므로 파푸스정리에 의하여 \[ V=2 \pi \bar { R } A=2 \pi ^ { 2 } r ^ { 2 } R \] 이다(그림6.4-87).</p> <p>예제 6.4.7</p> <p>파푸스 정리를 이용하여 반원판 \[ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq r ^ { 2 } , y>0 \] 의 중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>반원판은 \( y \)-축에 대칭이므로 \( \bar { x } =0 \) 이다. 그리고 \( x \)-축에 관하여 회전하면 구로서 체적은 \( \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ { 3 } \) 이다. 또한 회전축 \( x \)-축과 반원판의 중심 \( (0, \bar { y } ) \) 까지의 거리는 \( \bar { y } \) 이므로 파푸스 정리에 의하여 \[ \frac { 4 } { 3 } \pi r ^ { 3 } =V=2 \pi \bar { y } \left ( \frac { 1 } { 2 } \pi r ^ { 2 } \right ) \] 이다. 그러므로 \( \bar { y } = \frac { 4 r } { 3 \pi } \) 이고 중심은 \( \left (0, \frac { 4 r } { 3 \pi } \right ) \) 이다(그림 6.4-88).</p> <h2>평면곡선의 중심</h2> <p>이제 평면곡선의 중심을 구하는 방법을 생각하기로 한다. 먼저 한 선분 \( L= \) \( [(a, b),(c, d)] \) 의 \( x \)-축, \( y \)-축에 대한 능률을 각각 \[ M_ { x } = \frac { b + d } { 2 } \times(L \text { 의 길이 } ), M_ { x } = \frac { a + c } { 2 } \times(L \text { 의 길이 } ) \] 로 정의한다.</p> <p>평면영역에서와 마찬가지로 다음 두 가지 성질을 가정한다.</p> <p>다음 정리는, 임의의 곡선에 대하여 호의 길이에 의한 매개함수 표현은 속력이 1 이 됨을 말해 준다.</p> <p>정리 6.1.9</p> <p>곡선 \( C \) 가 매끄러운 매개함수 표현 \( X:[a, b] \rightarrow \mathbb { R } ^ { n } (n=1,2 \) 또는 3 은 가지고 있다고 하자. 그 때 (1) \( Y(s)=X(t(s)) \) 가 호의 길이 \( s \) 를 매개변수로 하는 곡선 \( C \) 의 표현이면, 모 든 \( s \in \left [0, L_ { a } ^ { b } \right ] \) 에 대하여 \[ \left \|Y ^ {\prime } (s) \right \|= \left \| \frac { d Y } { d s } (s) \right \|=1 \] 이다. (2) \( Y(s) \) 가 두 번 미분가능하면 속도벡터 \( \frac { d Y } { d s } \) 와 가속도벡터 \( \frac { d ^ { 2 } Y } { d s ^ { 2 } } \) 은 항상 직교 한다.</p> <p>증명.</p> <p>(1) \( Y(s)=X(t(s)) \) 이므로 \[ \frac { d Y } { d s } (s)= \frac { d X } { d t } (t(s)) \frac { d t } { d s } (s) \] 이다. 그런데 \( t(s) \) 는 \( s(t) \) 의 역함수이므로 역함수의 미분법에 의하여 \[ \frac { d t } { d s } (s)= \frac { 1 } {\frac { d s } { d t } (t(s)) } \] 가 되어 식 \( (6.1 .1) \) 에 의하여 \( \frac { d Y } { d s } (s)=X ^ {\prime } (t(s)) \frac { 1 } {\left \|X ^ {\prime } (t(s)) \right \| } \) 이다. 그러므로 \[ \left \| \frac { d Y } { d s } (s) \right \|= \left \|X ^ {\prime } (t(s)) \right \| \frac { 1 } {\left \|X ^ {\prime } (t(s)) \right \| } =1 \] 이 성립한다.</p> <p>그러므로 \( \Omega \) 를 밀도가 1 인 평면영역인 경우에 \( x \)-축 및 \( y \)-축에 대한 \( \Omega \) 의 능률 \( M_ { x } , M_ { y } \) 를 \[ M_ { x } = \iint_ {\Omega } y d \Lambda, M_ { y } = \iint_ {\Omega } x d \Lambda \] 가 된다.</p> <p>예제 6.4.11</p> <p>\( y=x ^ { 2 } , y=2 x \) 에 의하여 둘러싸인 평면영역 \( \Omega \) 로 주어진 물체가 밀도함수 \( \delta(x, y)=840 x y \) 를 가질 때 질량중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\( x ^ { 2 } =2 x \) 에서 두 곡선의 교점은 \( (0,0),(2,4) \) 이다(그림 6.4-91). 그러므로 질량 \( m \) 은 \[ \begin {aligned} m= \iint_ {\Omega } \delta d A= \int_ { 0 } ^ { 2 } & \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } 840 x y d y d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [420 x y ^ { 2 } \right ]_ { y=x ^ { 2 } } ^ { y=2 x } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (1680 x ^ { 3 } -420 x ^ { 5 } \right ) d x= \left [420 x ^ { 4 } -70 x ^ { 6 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } =2240 \end {aligned} \] 이다. \( x \)-축에 대한 질량능률은 \[ \begin {aligned} M_ { x } = \iint_ {\Omega } y \delta(x, y) d \Lambda &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } 840 x y ^ { 2 } d y d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [280 x y ^ { 3 } \right ]_ { y=x ^ { 2 } } ^ { y=2 x } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (2240 x ^ { 4 } -280 x ^ { 7 } \right ) d x= \left [448 x ^ { 5 } -35 x ^ { 8 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } =5376 \end {aligned} \] 이고 \( y \)-축에 대한 질량능률은 \[ \begin {aligned} M_ { y } = \iint_ {\Omega } x \delta(x, y) d A &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \int_ { x ^ { 2 } } ^ { 2 x } 840 x ^ { 2 } y d y d x= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left [420 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right ]_ { y=x ^ { 2 } } ^ { y=2 x } d x \\ &= \int_ { 0 } ^ { 2 } \left (1680 x ^ { 4 } -420 x ^ { 6 } \right ) d x= \left [336 x ^ { 5 } -60 x ^ { 7 } \right ]_ { 0 } ^ { 2 } =3072 \end {aligned} \] 이다. 그러므로 \[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } = \frac { 3072 } { 2240 } = \frac { 48 } { 35 } , \bar { y } = \frac { M x } { m } = \frac { 5376 } { 2240 } = \frac { 12 } { 5 } \] 이다.</p> <p>정리 6.1.24 에 의하여 \[ \frac { d B } { d s } =- \tau(s) N(s) \] 가 되는 일변수 실수값 함수 \( \tau(s) \) 가 존재하는 데 이것을 곡선 \( Y(s) \) 의 열률(torsion)이 라고 한다 "(그림 6.1-23). \( N \) 은 단위벡터이므로 위의 식의 양변에 \( N \) 으로 내적을 해 주면 \[ \tau(s)=- \frac { d B } { d s } \cdot N(s), \quad\| \tau(s)\|= \left \| \frac { d B } { d s } \right \| \] 이다.</p> <p>예제 6.1.25</p> <p>나선 \( X(t)=3 \cos t \mathbf { i } + 3 \sin t \mathbf { j } + 4 t \mathrm { k } \) 의 열률을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>예제 6.1.16 의 풀이에서 \[ \begin {array} { l } \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|=5, s=s(t)= \int_ { 0 } ^ { t } \left \|X ^ {\prime } (u) \right \| d u= \int_ { 0 } ^ { t } 5 d u=5 t, t= \frac { 1 } { 5 } s \\ N(t)=(- \cos t) \mathbf { i } + (- \sin t) \mathbf { j } \\ N(s)= \left (- \cos \frac { s } { 5 } ,- \sin \frac { s } { 5 } , 0 \right ) \\ B(t)= \left ( \frac { 4 } { 5 } \sin t \right ) \mathbf { i } - \left ( \frac { 4 } { 5 } \cos t \right ) \mathbf { j } + \frac { 3 } { 5 } \mathbf { k } \\ B(s)= \frac { 4 } { 5 } \left ( \sin \frac { s } { 5 } ,- \cos \frac { s } { 5 } , \frac { 3 } { 4 } \right ) \\ \frac { d B } { d s } = \frac { 4 } { 25 } \left ( \cos \frac { s } { 5 } , \sin \frac { s } { 5 } , 0 \right ) \end {array} \] 이므로 열률은 \[ \tau(s)=- \frac { 4 } { 25 } \left (- \cos ^ { 2 } \frac { s } { 5 } - \sin ^ { 2 } \frac { s } { 5 } \right )= \frac { 4 } { 25 } \] 이다. 이것은 그림 6.1-24에서처럼 곡선의 모든 방향에서 꼬임의 정도가 일정하다는 것을 말해 준다.</p> <p>즉, \( f \) 와 \( g \) 는 구간 \( [c, d] \) 에서 연속이고, 모든 \( y \in[c, d] \) 에서 \( f(y) \geq g(y) \) 라고 하자. 그 때 두 곡선 \( x=f(y), x=g(y) \) 와 직선 \( y=c, y=d \) 로 둘러싸인 도형의 면적 \( A \) 는 \[ A= \int_ { c } ^ { d } [f(y)-g(y)] d y \] 이다.</p> <p>예제 6.3.4</p> <p>예제 \( 6.3 .3 \) 에서의 두 곡선에 의해 둘러싸인 부분의 면적을 변수 \( y \) 에 대해서 적분하여 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>두 곡선의 교점은 \( (1,-1),(4,2) \) 이므로 그림 \( 6.3-47 \) 에서 알 수 있는 것치럼 면적은 \[ A= \int_ { -1 } ^ { 2 } \left [(y + 2)-y ^ { 2 } \right ] d y= \left [ \frac { y ^ { 2 } } { 2 } + 2 y- \frac { y ^ { 3 } } { 3 } \right ]_ { -1 } ^ { 2 } = \frac { 9 } { 2 } \] 이다.</p> <h2>극함수에 의해서 주어진 도형의 면적</h2> <p>다음은 곡선이 극함수에 의하여 주어져 있을 때 둘러싸인 영역의 면적을 구하는 공식이다.</p> <p>정리 6.3.5</p> <p>\( \alpha \) 와 \( \beta \) 를 \( \alpha< \beta \leq \alpha + 2 \pi \) 를 만족하는 두 실수라고 하자. 함수 \( \rho( \theta) \) 는 구간 \( [ \alpha, \beta] \) 에서 정의된 연속함수라 하자. 그 때 곡선 \( r= \rho( \theta) \) 와 반직선 \( \theta= \alpha, \theta= \beta \) 에 의하여 둘러싸인 도형의 면적 \( A \) 는 \[ A= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \frac { 1 } { 2 } [ \rho( \theta)] ^ { 2 } d \theta \] 이다.</p> <p>증명.</p> <p>모든 \( \theta \in[ \alpha, \beta] \) 에 대하여 \( \rho( \theta) \geq 0 \) 인 경우를 생각하자. \( P: \alpha= \theta_ { 0 }< \theta_ { 1 }< \) \( \cdots< \theta_ { n } = \beta \) 을 \( [ \alpha, \beta] \) 의 하나의 분할이라 하고, 소구간 \( \left [ \theta_ { i-1 } , \theta_ { i } \right ] \) 에서의 함수 \( \rho \) 의 최데값과 최소값을 각각 \( R_ { i } \) 와 \( r_ { i } \) 라 하자. \( \Delta A_ { i } \) 를 \( r= \rho( \theta) \) 와 \( \theta= \theta_ { i-1 } , \theta= \theta_ { i } \) 에 둘러싸인 영역의 면적이라고 하면 (그림6.3-48) \[ \frac { 1 } { 2 } r_ { i } ^ { 2 } \Delta \theta_ { i } \leq \Delta A_ { i } \leq \frac { 1 } { 2 } R_ { i } ^ { 2 } \Delta \theta_ { i } \]<caption>\( (6.3 .10) \)</caption></p> <p>예제 6.4 .2</p> <p>질랑이 2,4,5,7 인 물체가 각각 (1,2),(-3,1),(-1,-2),(0,3) 에 위치할 때 이 질점집합의 \( x \)-축, \( y \)-축에 관한 능률과 질랑중심을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\( \quad M_ { y } =2(1) + 4(-3) + 5(-1) + 7(0)=-15 \) 이고 \( M_ { x } =2(2) + 4(1) + \) \( 5(-2) + 7(3)=19 \) 이다. 총질랑은 \( m=2 + 4 + 5 + 7=18 \) 이므로 \[ \bar { x } = \frac { M_ { y } } { m } = \frac { -15 } { 18 } , \bar { y } = \frac { M_ { x } } { m } = \frac { 19 } { 18 } \] 이다. 따라서 점 \( \left (- \frac { 5 } { 6 } , \frac { 19 } { 18 } \right ) \) 가 질점집합의 질량중심이다(그림 6.4-81).</p> <p>평면 위에 질점의 개수가 무한히 많아질 때, 이 질점계는 평면도형과 같게 된다. 평면도형의 각 점에서 밀도가 다르면 질량중심은 중적분에 의하여 계산될 수 있으므로, 여기서는 평면도형의 밀도 \( \rho \) 가 \( \rho=1 \) 로서 고르다고 가정하고, 그 질량중심과 각 좌표축에 대한 능률을 구해보기로 하자. 이 경우의 질랑중심은 기하학적 중심과 일치하고 이 중심을 평면영역의 중심(center of the plane region)이라고 한다. 또한 직사각형 \( R \) 에 대하여 \[ M_ { x } =( \text { 중심의 } y \text { 좌표 } ) \times(R \text { 의 면적 } ) \] 을 \( x \)-축에 대한 능률, \[ M_ { y } =( \text { 중심의 } x \text { 좌표 } ) \times(R \text { 의 면적 } ) \] 을 \( y \)-축에 대한 능률이라 정의한다.</p> <p>이제 한 영역 \( \Omega \) 가 얇은 판으로 \( x y \)-평면에 놓여있다 하고(그림 6.4-82) 이 평면영역 \( \Omega \) 의 중심을 구하는 방법을 생각하기로 한다. 먼저 평면영역 \( \Omega \) 의 질량중심 \( ( \bar { x } , \bar { y } ) \) 를 구하는데 있어서 다음 두 가지 성질을 가정한다.</p> <p>이다. 그런데 각 성분함수 \( x(t), y(t), z(t) \) 는 \( \left (t_ { i-1 } , t_ { i } \right ) \) 에서 미분가능이고 \( \left [t_ { i-1 } , t_ { i } \right ] \) 에서 연속이므로 평균값정리에 의헤 \[ \begin {array} { l } \frac { x \left (t_ { i } \right )-x \left (t_ { i-1 } \right ) } { t_ { i } -t_ { i-1 } } =x ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * } \right ), \\ \frac { y \left (t_ { i } \right )-y \left (t_ { i-1 } \right ) } { t_ { i } -t_ { i-1 } } =y ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * * } \right ), \\ \frac { z \left (t_ { i } \right )-z \left (t_ { i-1 } \right ) } { t_ { i } -t_ { i-1 } } =z ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * * * } \right ) \end {array} \] 인 \( t_ { i } ^ { * } , t_ { i } ^ { * * } , t_ { i } ^ { * * * } \in \left (t_ { i-1 } , t_ { i } \right ) \) 가 존재한다. 따라서 \[ S(P, X)= \sum_ { i=1 } ^ { n } \sqrt { x ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * } \right ) ^ { 2 } + y ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * * } \right ) ^ { 2 } + z ^ {\prime } \left (t_ { i } ^ { * * * } \right ) ^ { 2 } } \quad \left (t_ { i } -t_ { i-1 } \right ) \] 이다. 또 \( x ^ {\prime } , y ^ {\prime } , z ^ {\prime } \) 가 연속이므로 정적분의 정의에 의하여 \[ \begin {aligned} L_ { a } ^ { b } = \lim _ { \|P\| \rightarrow 0 } S \left (P ^ {\prime } , X \right ) &= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { x ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + y ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + z ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } d t \\ &= \int_ { a } ^ { b } \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| d t \end {aligned} \] 가 된다.</p> <p>즉, 크기가 충분히 작은 임의의 벡터 \( H=(h, k) \) 에 대하여<ol type= start=1><li>\( D>0, f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right )>0 \) 이면 \( f \left (P_ { 0 } + H \right )-f \left (P_ { 0 } \right ) \geq 0 \) 이 되어 \( P_ { 0 } \) 는 극소점이다.</li> <li>\( D>0, f_ { x x } \left (P_ { 0 } \right )<0 \) 이면 \( f \left (P_ { 0 } + H \right )-f \left (P_ { 0 } \right ) \leq 0 \) 이 되어 \( P_ { 0 } \) 는 극대점이다.</li> <li>\( D<0 \) 이면 \( f \left (P_ { 0 } + H \right )-f \left (P_ { 0 } \right ) \) 는 \( H=(h, k) \) 에 따라 양의 값, 음의 값을 모두 가질 수 있으므로 \( P_ { 0 } \) 는 극대점도 극소점도 아닌 안장점이다.</li></ol> <p>예제 6.2.6</p> <p>함수 \( f(x, y)=x ^ { 4 } + y ^ { 4 } -4 x y \) 의 극점을 구하여라</p> <p>풀이.</p> <p>\( \nabla f(x, y)= \left (4 x ^ { 3 } -4 y, 4 y ^ { 3 } -4 x \right )=(0,0) \) 에서 임계점은 \[ (x, y)=(0,0),(1,1),(-1,-1) \] 이다. 그런데 \[ \begin {array} { ll } f_ { x x } (x, y)=12 x ^ { 2 } , & f_ { y y } (x, y)=12 y ^ { 2 } , \\ f_ { x y } (x, y)=-4, & f_ { y x } (x, y)=-4 \end {array} \] 이므로 \[ \begin {aligned} D(0,0) &=f_ { x x } (0,0) f_ { y y } (0,0)-f_ { x y } ^ { 2 } (0,0)=-16<0, \\ D(1,1) &=f_ { x x } (1,1) f_ { y y } (1,1)-f_ { x y } ^ { 2 } (1,1)=12 \cdot 12-(-4) ^ { 2 } >0, \\ D(-1,-1) &=f_ { x x } (-1,-1) f_ { y y } (-1,-1)-f_ { x y } ^ { 2 } (-1,-1)=12 \cdot 12-(-4) ^ { 2 } >0 \end {aligned} \]<p>이다. 따라서 \( (0,0) \) 에서는 안장점이고 \( (1,1) \) 과 \( (-1,-1) \) 에서는 극값을 갖는다. 특히 \[ f_ { x x } (1,1)>0, \quad f_ { x x } (-1,-1)>0 \] 이므로 \( (1,1) \) 과 \( (-1,-1) \) 은 모두 극소점이다(그림 6.2-30).</p> <p>즉, \( y=16 \) 이다. 따라서 \( x=16, z=(1 / 2)(16)=8 \) 이며 \( V(16,16,8) \) 은 제약 조건을 만족하는 \( V \) 의 유일한 극값이며 \( V \) 는 제약 조건에서 최대값을 갖는다고 가정하고 있으므로 \( V(16,16,8)=2048 \) 은 구하는 부피의 최대값이다.</p> <h1>\( 6.3 \) 도형의 체적과 겉넓이</h1> <h2>평면도형의 면적</h2> <p>미분적분학의 기본정리에 의하민 \( [a, b] \) 에서 정의된 인변수 연속함수의 그래프 \( y=f(x), x \)-축, 직선 \( x=a, x=b \) 로 둘러싸인 영역의 면적을 정적분으로 나타낼 수 있다.</p> <p>이제 두 함수의 그래프에 의하여 둘러싸인 영역의 면적을 구해 보자. 함수 \( f \) 와 \( g \) 가 구간 \( [a, b] \) 에서 연속이고 그 구간의 임의의 점 \( x \) 에서 \( f(x) \geq g(x) \) 를 만족한다고 하자. 리만적분의 경우치럼 \( f \) 와 \( g \) 의 그래프와 직선 \( x=a, x=b \) 에 의하여 둘러싸인 영역의 면적을 작은 직사각형의 넓이의 합으로 접근시키고자 한다. \( [a, b] \) 의 분할 \[ P: a=x_ { 0 }<x_ { 1 }< \cdots<x_ { n } =b \] 의 각 소구간 \( \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] \) 에서 한 점 \( x_ { k } ^ { * } \) 을 택한 다음 \[ \left [f \left (x_ { k } ^ { * } \right )-g \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ] \Delta x_ { k } = \left [f \left (x_ { k } ^ { * } \right )-g \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ] \left (x_ { k } -x_ { k-1 } \right ) \] 을 구하면 이것은 구간 \( \left [x_ { k-1 } , x_ { k } \right ] \) 에서 두 함수 \( f \) 와 \( g \) 에 의하여 둘러싸인 영역의 면적에 근사함을 알 수 있다(그림 6.3-42). 따라서 각 소구간에서의 위와 같은 직사각형의 넓이를 합은 분할 \( P \) 의 크기가 작아짐에 따라 두 함수에 의하여 둘러싸인 영역의 면적에 가까워진다. \[ \sum_ { k=0 } ^ { n } \left [f \left (x_ { k } ^ { * } \right )-g \left (x_ { k } ^ { * } \right ) \right ] \Delta x_ { k } \]<caption>\( (6.3 .9) \)</caption></p> <p>예제 6.1.27</p> <p>가속도벡터 \( \mathrm { a } \) 의 접선 성분을 \( a_ { T } \), 법선 성분을 \( a_ { N } \) 이라 한 때, 즉, \( \mathbf { a } = \) \( a_ { T } T + a_ { N } N \) 일 때 \[ \| \mathbf { a } \| ^ { 2 } =a_ { T } ^ { 2 } + a_ { N } ^ { 2 } \] 임은 보여라.</p> <p>풀이.</p> <p>\[ \begin {aligned} \| \mathbf { a } \| ^ { 2 } &= \mathbf { a } \cdot \mathbf { a } \\ &= \left (a_ { T } T + a_ { N } N \right ) \cdot \left (a_ { T } T + a_ { N } N \right ) \\ &= \left \|a_ { T } \right \| ^ { 2 } T \cdot T + 2 a_ { T } \cdot a_ { N } T \cdot N + \left \|a_ { N } \right \| ^ { 2 } N \cdot N \end {aligned} \] 이다. 그런데 \( T \cdot T=N \cdot N=1, T \cdot N=0 \) 이므로 \( \| \mathbf { a } \| ^ { 2 } =a_ { T } ^ { 2 } + a_ { N } ^ { 2 } \) 이다.</p> <p>예제 6.1.28</p> <p>물체가 곡선 \( X(t)= \left (t ^ { 2 } , t, t ^ { 2 } \right ) \) 을 따라 움직일 때 가속도의 접선성분과 법선성분을 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>먼저 속력을 구하면 \[ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \frac { d s } { d t } =\|(2 t, 1,2 t)\|= \sqrt { 4 t ^ { 2 } + 1 + 4 t ^ { 2 } } = \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } \] 이므로 \[ \begin {aligned} a_ { T } (t) &= \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } = \frac { d } { d t } \left ( \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| \right )= \frac { 16 t } { 2 \sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } } = \frac { 8 t } {\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } } , \\ \mathbf { a } (t) &=X ^ {\prime \prime } (t)=(2,0,2),\| \mathbf { a } (t)\|= \sqrt { 4 + 4 } =2 \sqrt { 2 } \end {aligned} \] 이므로 예제 6.1 .27 에 의하여 \[ a_ { N } (t)= \sqrt { (2 \sqrt { 2 } ) ^ { 2 } - \left ( \frac { 8 t } {\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } } \right ) ^ { 2 } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } {\sqrt { 8 t ^ { 2 } + 1 } } \] 이다.</p> <p>한편 중간값 정리에 의하여 \[ y \left (t_ { i-1 } \right ) + y \left (t_ { i } \right )=2 y \left (c_ { i } ^ { * } \right ) \] 가 되는 적당한 상수 \( c_ { i } ^ { * } \in \left (t_ { i-1 } , t_ { i } \right ) \) 가 존재한다. 또한 평균값 정리에 의하여 \[ \sqrt {\left [x \left (t_ { i } \right )-x \left (t_ { i-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y \left (t_ { i } \right )-y \left (t_ { i-1 } \right ) \right ] ^ { 2 } } = \sqrt {\left [x ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \left (t_ { i } -t_ { i-1 } \right ) \] 인 상수 \( c_ { i } ^ { * * } , c_ { i } ^ { * * * } \in \left (t_ { i-1 } , t_ { i } \right ) \) 가 존재하므로 원뿔대의 측면적은 \[ \begin {aligned} \Lambda_ { i } &= \pi s_ { i } \left [y \left (t_ { i-1 } \right ) + y \left (t_ { i } \right ) \right ] \\ &=2 \pi y \left (c_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt {\left [x ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \left (t_ { i } -t_ { i-1 } \right ) \end {aligned} \] 이다. 따라서 각 소구간에 대응하는 원뿔대의 측면적을 합하면 주어진 곡선의 회전곡면의 넓이는 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi y \left (c_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt {\left [x ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { i } \] 과 근사값을 갖는다. 이제 이 회전곡면의 넓이 \( \Lambda \) 는 \[ \Lambda= \lim _ { \|P\| \rightarrow 0 } \sum_ { i=1 } ^ { n } 2 \pi y \left (c_ { i } ^ { * } \right ) \sqrt {\left [x ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * } \right ) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } \left (c_ { i } ^ { * * * } \right ) \right ] ^ { 2 } } \Delta t_ { i } \] 이다. 따라서 정적분의 정의로부터 \( C \) 를 \( x \)-축을 중심으로 회전한 회전곡면의 넓이는 \[ \Lambda= \int_ {\alpha } ^ {\beta } 2 \pi y(t) \sqrt {\left [x ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } + \left [y ^ {\prime } (t) \right ] ^ { 2 } } d t \] 이다.</p> <p>풀이.</p> <p>두 곡선의 교점을 구하기 위헤 연립방정식 \[ x=y ^ { 2 } , x=y + 2 \] 을 풀면 \( y ^ { 2 } =y + 2 \) 로부터 \( y=-1, y=2 \) 이다. 그러므로 교점은 \( (1,-1),(4,2) \) 이 다. 그림 6.3-45에서치럼 구간 \( [0,4] \) 를 두 개의 구간 \( [0,1] \) 과 \( [1,4] \) 로 나누어서 면적 을 구한다.</p>이제 구간 \( [0,1] \) 에서는 전단선의 길이가 \[ l_ { 1 } (x)= \sqrt { x } -(- \sqrt { x } )=2 \sqrt { x } \] 이고 구간 \( [1,4] \) 에서는 절단선의 길이가 \[ l_ { 2 } (x)= \sqrt { x } -(x-2)= \sqrt { x } -x + 2 \] 이다. 따라서 구하는 면적은 \[ \begin {aligned} \int_ { 0 } ^ { 1 } l_ { 1 } (x) d x + & \int_ { 1 } ^ { 4 } l_ { 2 } (x) d x= \int_ { 0 } ^ { 1 } 2 \sqrt { x } d x + \int_ { 1 } ^ { 4 } ( \sqrt { x } -x + 2) d x \\ &=2 \left [ \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } \right ]_ { 0 } ^ { 1 } + \left [ \frac { 2 } { 3 } x ^ { 3 / 2 } - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + 2 x \right ]_ { 1 } ^ { 4 } \\ &= \frac { 4 } { 3 } + \frac { 19 } { 6 } = \frac { 9 } { 2 } \end {aligned} \] 이다.</p> <p>예제 6.3.3에서는 변수 \( x \) 에 관하여 적분하기 위하여 주어진 영역을 두 개의 부분영역으로 나누어 생각했다. 하지만 변수 \( x \) 대신에 \( y \) 의 적분을 생각함으로써 이것을 피할 수 있다(그림 6.3-46).</p> <h2>가속도의 접선성분과 법선성분</h2> <p>입자의 운동을 연구할 때는 가속도를 두 개의 성분, 즉 접선방향 성분과 법선방향의 성분으로 분해해서 생각하면 편리할 때가 많다. 매끄러운 곡선 \( X(t) \) 의 임의의 점에서의 단위접선벡터 \( T \) 와 단위 주법선벡터 \( N \) 이 이루는 평면 \( S \) 를 접촉평면(osculating plane)이라 한다. \( { } ^ { * } T \) 와 \( N \) 은 서로 수직이므로 접촉평면 \( S \) 위의 모든 벡터 \( V \) 는 \[ V= \alpha T + \beta N \] 이 되는 유일한 실수 \( \alpha, \beta \) 가 존재한다. 이 때 \( \alpha \) 를 \( V \) 의 접선성분, \( \beta \) 를 법선성분이라 한다(그림 6.1-25).</p> <p>정리 6.1.26</p> <p>매끄러운 곡선 \( X(t) \) 에 대하여 속도벡터 \( \mathrm { v } (t)=X ^ {\prime } (t) \) 와 가속도벡터 \( \mathrm { a } (t)=X ^ {\prime \prime } (t) \) 의 접선성분, 법선성분은 \[ \begin {array} { l } \mathbf { v } (t)= \left ( \frac { d s } { d t } \right ) T(t), \\ \mathbf { a } (t)= \left ( \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } \right ) T(t) + \left [ \kappa(t) \left ( \frac { d s } { d t } \right ) ^ { 2 } \right ] N(t) \end {array} \] 으로 주어진다.</p> <p>증명.</p> <p>\[ \mathbf { v } (t)= \frac { d X } { d t } = \left \| \frac { d X } { d t } \right \| T + 0 \cdot N= \frac { d s } { d t } \cdot T \] 이다. \[ \kappa(t) \frac { d s } { d t } = \left \|T ^ {\prime } (t) \right \|, \quad N= \frac { T ^ {\prime } (t) } {\left \|T ^ {\prime } (t) \right \| } \] 이므로 \[ \begin {aligned} \mathbf { a } (t) &= \frac { d \mathbf { v } } { d t } = \left ( \frac { d s } { d t } T \right ) ^ {\prime } (t)= \left ( \frac { d s } { d t } \right ) ^ {\prime } T(t) + \frac { d s } { d t } T ^ {\prime } (t) \\ &= \left ( \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } \right ) T(t) + \frac { d s } { d t } \left \|T ^ {\prime } (t) \right \| N= \left ( \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } \right ) T(t) + \frac { d s } { d t } \left ( \kappa(t) \frac { d s } { d t } \right ) N \\ &= \left ( \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } \right ) T(t) + \left [ \kappa(t) \left ( \frac { d s } { d t } \right ) ^ { 2 } \right ] N(t) \end {aligned} \] 이다.</p> <p>이 연립방정식을 풀면, \[ \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )= \left ( \frac {\sqrt { 15 } } { 4 } ,- \frac { 1 } { 4 } \right ), \left (- \frac {\sqrt { 15 } } { 4 } ,- \frac { 1 } { 4 } \right ),(0,1),(0,-1) \] 이고 \( f \) 의 함수값들을 구해 보면 \[ \begin {array} { r } f \left ( \frac {\sqrt { 15 } } { 4 } ,- \frac { 1 } { 4 } \right )=f \left (- \frac {\sqrt { 15 } } { 4 } ,- \frac { 1 } { 4 } \right )= \frac { 15 } { 16 } + \frac { 3 } { 16 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 7 } { 8 } , \\ f(0,1)=4, \quad f(0,-1)=2 \end {array} \] 따라서 (1),(2)로 부터 최대값은 \(4\), 최소값은 \(- \frac { 1 } { 12 }\)이다.</p> <p>예제 6.2.13</p> <p>직육면체 종이 상자의 밑면의 둘레와 4개의 옆면의 모서리에 테이프를 붙인다고 하자. 쓸 수 있는 테이프의 길이가 \( 96 \mathrm { ~m } \) 라고 할 때 상자의 최대 부피를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>상자의 세로는 \( x \), 가로는 \( y \), 높이는 \( z \) 라고하자. 부피는 \( V(x, y, z)=x y z \) 이다. \( g(x, y, z) \) 를 사용된 테이프의 길이라 하면 \[ g(x, y, z)=2 x + 2 y + 4 z=96 \] 이다. 그러므로 제약조건 \( g(x, y, z)=2 x + 2 y + 4 z=96 \) 아래에서 함수 \( V(x, y, z)= \) \( x y z \) 의 최대값을 구하면 된다. \[ \nabla V(x, y, z)=y z \mathbf { i } + x z \mathbf { j } + x y \mathbf { k } , \quad \nabla g(x, y, z)=2 \mathbf { i } + 2 \mathbf { j } + 4 \mathbf { k } \] 이므로 \[ \nabla V(x, y, z)= \lambda \nabla g(x, y, z) \] 에서 \[ y z=2 \lambda, \quad x z=2 \lambda, \quad x y=4 \lambda, \quad g(x, y, z)=2 x + 2 y + 4 z=96 \]<caption> (6.2.8)</caption> <p>를 만족하는 \( x, y, z \) 를 구한다. 식 (6.2.8)에서 \( \lambda \) 를 \( x, y, z \) 로 표시하면 \[ \lambda= \frac { y z } { 2 } = \frac { x z } { 2 } = \frac { x y } { 4 } \] 를 얻는다. \( x, y \) 또는 \( z \) 가 0이면 \( V(x, y, z)=0 \) 이고 (6.2.8)를 만족하는 \( V \) 의 최대 값이 아니므로 \( x, y, z \) 가 모두 0이 아니다. 그러므로 \( x=y, z=(1 / 2) y \) 이고 \( x, z \) 를 (6.2.8)에 대입하면 \[ 96=2 y + 2 y + 4 \left ( \frac { 1 } { 2 } y \right )=6 y . \]</p> <h1>\( 6.4 \) 곡선과 평면영역의 중심</h1> <h2>질량중심</h2> <p>두 사람이 시소를 타고 있을 때 무거운 사람은 가벼운 사람보다 시소의 움직임에 더 영향을 미치고 가벼운 사람은 중심축으로부터 더 멀리 이동함으로써 무거운 사람과의 균형을 이룬다. 이와 같이 어떤 물체의 중심을 수학적인 모멘트를 이용하여 정의할 수 있다.</p> <p>질량이 \( m \) 인 물체가 물체의 크기는 생각하지 않고 단지 질량이 한 점에 집중되어 있다고 하자. 그런 물체를 질점(point-mass)이라고 한다. 이제 질량이 \( m \) 인 질점이 기점으로부터 거리가 \( r \) 만큼 떨어져 있을 때 \[ M=r \cdot m \] 을 기점에 대한 질량 \( m \) 인 질점의 질량능률, 능률 또는 모멘트(mass moment, mo-ment)라 한다. 이것을 위의 시소 타기에 비유하면 모멘트는 질량과 거리의 곱이므로 사람이 더 무거울수록 또는 중심축으로부터 멀어질수록 무거운 사람과의 균형을 이룬다.</p> <p>이제 \( x \)-축 위에 질랑이 각각 \( m_ { 1 } , \cdots, m_ { n } \) 인 \( n \) 개의 질점들의 좌표가 \( x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \) 인 점에 위치하고 있을 때, 이 질점집합(또는 질점계)의 원점에 대한 능률 \( M \) 을 \[ M=x_ { 1 } m_ { 1 } + x_ { 2 } m_ { 2 } + \cdots + x_ { n } m_ { n } \] 으로 정의한다. 즉, 각 질점들의 능률의 합이 질점집합의 능률인 것이다. 질점집합의 능률이 \[ M=0 \] 일 때 이 질점집합은 균형상태에 있다(in equilibrium)고 한다. 여러사람이 시소를 탄다고 할 때 균형점이 존재하도록 시소에 위치한다면 시소를 쉽게 움직일 수 있다.</p> <p>이 \( n \) 개의 질점들이 한 점 \( \bar { x } \) 에 집중되어 있을 때, 즉 \[ \bar { x } m= \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } m_ { i } \quad \left (m=m_ { 1 } + m_ { 2 } + \cdots + m_ { n } \text { 은 총질량 } \right ) \] 을 만족할 때 \( \bar { x } \) 를 이 \( n \) 개의 질점들로 이루어진 질점집합(질점계)의 질량중심, 무게 중심 또는 중심(center of mass, center of gravity)이라고 한다.</p> <p>예제 6.1.4</p> <p>한 입자가 3 차원 공간에서 시간 \( t \) 의 함수로 표현된 나선(helix) \[ X(t)=( \cos t, \sin t, t) \] 을 따라 이동할 때 \( t=0 \) 에서 \( t=2 \pi \) 까지 이동한 거리를 구하여라.</p> <p>풀이.</p> <p>입자의 속력은 \[ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \sqrt { (- \sin t) ^ { 2 } + ( \cos t) ^ { 2 } + 1 ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } \] 이므로 입자의 이동 거리는 \[ L_ { 0 } ^ { 2 \pi } = \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \left \|X ^ {\prime } (t) \right \| d t= \int_ { 0 } ^ { 2 \pi } \sqrt { 2 } d t=2 \sqrt { 2 } \pi \] 이다(그림 6.1-4).</p> <p>예제 6.1.5</p>사각 테이블 위의 당구공이 곡선 \[ X(t)= \left (\|t-1\|, \left \|t- \frac { 3 } { 2 } \right \| \right ), \quad 0 \leq t \leq 2 \] 을 따라 움직인다고 하자. 공이 이동한 거리를 구하여라(그림 6.1-5).</p> <p>풀이.</p>공은 그림 6.1-5에서와 같이 움직이므로 구간 \( [0,2] \) 에서는 매끄러운 곡선이 아니다. 그러나 곡선은 각 소구간 \( [0,1], \left [1, \frac { 3 } { 2 } \right ], \left [ \frac { 3 } { 2 } , 2 \right ] \) 에서 매끄러운 곡선이므로 곡선 의 길이는 각 구간에서의 곡선의 길이의 합이다. 한편 \[ \left \|X ^ {\prime } (t) \right \|= \left \{\begin {array} { ll } \left \| \left (-t + 1,-t + \frac { 3 } { 2 } \right ) ^ {\prime } \right \|= \sqrt { 2 } , & 0 \leq t<1 \\ \left \| \left (t-1,-t + \frac { 3 } { 2 } \right ) ^ {\prime } \right \|= \sqrt { 2 } , & 1<t< \frac { 3 } { 2 } \\ \left \| \left (t-1, t- \frac { 3 } { 2 } \right ) ^ {\prime } \right \|= \sqrt { 2 } , & \frac { 3 } { 2 }<t \leq 2 \end {array} \right . \] 이므로 \[ L_ { 0 } ^ { 2 } = \int_ { 0 } ^ { 1 } \sqrt { 2 } d t + \int_ { 1 } ^ {\frac { 3 } { 2 } } \sqrt { 2 } d t + \int_ {\frac { 3 } { 2 } } ^ { 2 } \sqrt { 2 } d t=2 \sqrt { 2 } \] 이다.</p> <p>가 성립한다. 여기서 \( \Delta \theta_ { i } = \theta_ { i } - \theta_ { i-1 } \) 이다. 위의 식에서 \( i=1 \) 에서 \( i=n \) 까지 합을 취하면 \( f( \theta)= \frac { 1 } { 2 } [ \rho( \theta)] ^ { 2 } \) 이라 할 때 면적 \( A \) 는 부등식 \[ L(f, P) \leq A \leq U(f, P) \] 를 만족한다. 여기서 \( L(f, P), U(f, P) \) 는 각각 하합과 상합이다. \( f \) 는 연속이므로 적분가능하므로 모든 분할 \( P \) 에 대하여 위의 부등식 6.3 .10 를 만족하므로 \[ A= \int_ {\alpha } ^ {\beta } f( \theta) d \theta= \int_ {\alpha } ^ {\beta } \frac { 1 } { 2 } [ \rho( \theta)] ^ { 2 } d \theta \] 가 성립한다. \( \rho( \theta) \leq 0 \) 인 경우도 비슷한 방법으로 증명된다.</p> <p>예제 6.3.6</p> <p>심장형 곡선 \( \rho( \theta)=1- \cos \theta \) 와 제1사분면에 의해 둘러싸인 부분의 면적 \( A \) 를 구하여라(그림 6.3-49).</p> <p>풀이.</p> <p>제1사분면에 대응하는 \( \theta \) 의 범위는 \( 0 \leq \theta \leq \frac {\pi } { 2 } \) 이다. 따라시 정리 6.3 .5 에 의하여 면적 \( A \) 는 \[ \begin {aligned} A &= \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \frac { 1 } { 2 } (1- \cos \theta) ^ { 2 } d \theta= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \left (1-2 \cos \theta + \cos ^ { 2 } \theta \right ) d \theta \\ &= \frac { 1 } { 2 } \int_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \left ( \frac { 3 } { 2 } -2 \cos \theta + \frac { 1 } { 2 } \cos 2 \theta \right ) d \theta= \frac { 1 } { 2 } \left [ \frac { 3 } { 2 } \theta-2 \sin \theta + \frac { 1 } { 4 } \sin 2 \theta \right ]_ { 0 } ^ {\pi / 2 } \\ &= \frac { 3 \pi } { 8 } -1 \end {aligned} \]</p>	자연
초록데이터를 활용한 국내외 통계학 분야 연구동향	<h1>1. 서론</h1> <p>최근 국내외 빅데이터 및 분석 시장이 해마다 성장하고 있음에 따라 통계학 분야에서의 연구가 활발히 이루어지고 있다. 또한 코로나 19로 인한 4차 산업 혁명의 가속화와 AI 산업에 대한 관심이 높아져 이에 따른 통계학 분야의 연구 동향 역시 변화가 있을 것으로 예상된다. 시선을 2010년대로 돌려보면 머신러닝과 딥러닝에 대한 관심이 커진 시기로 공공과 기업에서 빅데이터 관련 부서를 만들고 활용하면서 2010년대를 대표하는 기술이 되었다. 정보기술의 발달은 데이터양의 증가, 데이터 형태의 다양성, 데이터가 쌍이는 속도에 맞추어 데이터 속에 의미있는 가치를 찾기 위해 통계분석의 중요성을 강조하고 있다. 따라서 통계학은 점점 더 폭넓은 분야의 연구가 이루어지고 있는 학문이므로 연구 동향에 대한 분석이 필요하다.</p> <p>기존에 국내에서는 여러 분야에 대해 논문 데이터를 이용한 연구 동향 분석이 이루어져 왔다. Kim (2020)은 미국산업응용수학 학회지 논문의 제목과 초록 데이터를 수집한 후, LDA기법과 시계열 회귀 모형을 적용해 연구의 흐름을 파악하며 향후 교육과정과 연구 방향에 대해 시사점을 제시하였다. Jeon 등 (2017)은 인공지능 분야의 연구 동향을 파악하기 위해 인공지능 관련 논문의 초록 데이터를 수집한 후, 전처리 과정을 거친 텍스트를 활용하여 형태소 분석을 통한 단어들을 추출하였다. 이 단어들을 통해 연도별, 국가별 동시 출현 단어의 빈도를 이용하여 인공지능 분야의 연구동향을 제공하였다. Choi와 Lee (2017)는 태권도학 연구논문의 키워드를 활용하여 시계열 관점에서 태권도학 연구의 지식구조에 대해 정보를 제공하고 키워드 분석을 통해 연구 동향에 대한 정보를 제공하였다. Lee 등 (2015)은 제조시스템 분야의 논문을 수집한 후, 논문 키워드의 빈도를 기반으로 주제어를 선택하여 시각화를 통해 연구 동향을 파악하면서 향후 연구 방향을 제시하였다.</p> <p>몇몇 학문 분야에 대해 연구 동향 파악을 위해 텍스트마이닝 기법을 이용하여 분석한 연구들이 있었으나 주로 키워드 빈도를 기반으로한 분석이 주가 되었으며, 통계학 분야 논문 데이터를 사용하여 연구 동향에 대한 분석은 진행되지 않았다. 또한 국내외의 연구 동향을 비교하는 연구 역시 이루어지지 않아 국내의 연구가 해외의 연구와 비교하여 어떤 유사점과 차이점이 있는지 파악할 필요가 있다.</p> <p>이에 따라 본 연구에서는 2002년부터 2020년 6월 10일까지의 키워드 및 초록 데이터를 활용하여 통계학 연구 분야의 전반적인 동향을 파악하고자 한다. 키워드 데이터를 이용하여 국내와 해외에서 저자들이 선정한 주요 키워드를 제시하며 공통으로 관심이 있는 분야와 차이가 있는 분야를 제시하고자 한다. 초록 데이터를 이용하여 시각적으로 주요 키워드 간의 관계를 살펴보며 분야별 토픽을 묶어 파악하려 한다.</p> <p>LDA는 \( \alpha \)와 \( \beta \)를 모수로 가지는 디리클레(Dirichlet) 분포를 따르는 문서의 주제분포와 주제의 단어분포를 가정한다. 여기서 \( \alpha \)는 문서 내 주제의 밀집도를 나타내고 \( \beta \)는 주제 내 단어의 밀집도를 나타내며 이 값들이 1에 가까워질수록 밀집도가 높아지는 것을 의미한다. 실제 문서에 포함된 단어를 관측해 나가면서 문서의 주제분포에서 하나의 주제를 정해 단어에 부여한다. 그리고 다시 이 주제에서 단어를 선택하고 다시 앞에서부터 반복하며 디리클레 분포를 업데이트하는 방식으로 문서 생성 과정을 모델링하는 것이다. 이 과정을 통해 문서 내의 단어들이 어떤 토픽에 배정되어야 하는지 추측할 수 있다.</p> <p>LDA 기법에서는 단지 단어들의 빈도에만 중점을 둔 텍스트 데이터의 수치화 표현 방법인 Bag of Words(BoW), 여러 문서에 등장하는 각 단어들의 빈도를 행렬로 표현한 Document-Term Matrix (DTM)과 DTM 내의 각 단어들의 중요한 정도를 가중치로 주는 Term Frequency-Inverse Document Frequency (TF-IDF) 행렬을 입력값으로 받는다 (Brownlee, 2020). 이는 LDA는 단어의 순서와는 관계없이 오직 빈도만으로 계산되는 알고리즘임을 알 수 있다.</p> <h1>3. 분석결과</h1> <h2>3.1. 데이터 특성</h2> <p>본 연구에 사용된 데이터는 2002년부터 2020년 6월 10일까지의 통계학 논문 국내 3,503편과 해외 4,862편으로 총 8,365편의 자료를 이용하였다. 통계학은 꾸준히 연구되어 왔던 분야 중 하나로 국내 및 해외에서 매년 100편 이상의 논문이 발표됐다. Figure 1은 국내외 연도별 논문 수에 대한 막대그래프이다. 국내 통계학 연구의 경우 2009년에 가장 많은 수의 논문이 발표되었으며 2008년을 기점으로 200편을 돌파하며 활발한 연구가 이루어졌다. 해외 통계학 연구의 경우 마찬가지로 2009년에 301편으로 가장 많은 수의 논문이 발표되었으며 이후에도 큰 변동 폭 없이 꾸준한 연구가 진행 중이다. 국내와 해외 통계학 연구 모두 2000년대 초중반보다 2000년대 후반에 들어서 더 많은 연구가 이루어지고 있으며 국내 연구에서 확연한 차이를 보인다. 하지만 국내에서는 2009년을 기점으로 양적인 연구의 성과가 조금씩 떨어지나 해외에서는 꾸준히 200 편 이상의 논문이 발표되며 높은 성과를 보인다.</p> <h2>3.2. 키워드 분석 결과</h2> <p>저자들이 논문에 제시한 키워드들의 빈도를 분석한 결과를 Table 1에서 나타낸다. 국내 논문의 경우 총 3,503편의 논문에서 12,808개의 키워드를 뽑았으며 중복된 키워드들을 제외하면 8,609개의 키워드가 있다. 해외 논문의 경우 총 4,862편의 논문에서 24,158개의 키워드를 뽑았으며 중복된 키워드들을 제외하고 11,608개의 키워드가 있다. 이 중 상위 60개의 키워드를 보며 약어 또는 기호에 의해서 다르게 구별된 키워드들을 정리하여 다시 국내외 각각 상위 30개의 키워드를 정리하여 2002년부터 2020년까지의 활발한 통계학 연구 분야들에 대해 살펴보았다.</p> <h1>2. 분석방법</h1> <h2>2.1. 자료수집</h2> <p>한국 및 해외에서 통계학 연구들이 어떻게 진행되어 왔는지 동향을 파악하기 위해 국내와 해외의 통계학 논문 초록 데이터를 이용하였다. 국내 통계학 논문 자료는 한국통계학회에 등록된 통계학 학술지인 응용통계연구, Communications for Statistical Applications and Methods (CSAM), 그리고 Journal of the Korean Statistical Society (JKSS)에서 2002년부터 2020년 6월 10일까지 등재된 논문을 검색하였다. 각각 응용통계연구 1,432편, CSAM 1,239편, JKSS 832편으로 총 3,503편이 선정되었다. 해외 통계학 논문을 대표하는 학술지로는 해외 최고수준의 연구들과 비교하기 위하여, Annals of Statistics와 Journal of the American Statistical Association(JASA)를 선택하여 국내와 마찬가지로 2002년부터 2020년 6월 10일까지 등재된 논문을 검색하였다. 각각 Annals of Statistics에서 2,061편과 JASA에서 2,801편으로 총 4,862편을 선정하였다. 최종적으로 국내 3,503편과 해외 4,862편으로 총 8,365편의 논문 자료를 이용해 초록 데이터 분석을 진행하였으며 논문별로 저자, 발행 연도, 영문초록, 키워드, 인용 횟수 등의 자료를 수집하였다. 해당 논문 자료들을 활용하여 빈도 분석, Word Embedding, LDA, t-SNE 등의 분석을 활용하였다.</p> <h2>2.2. 빈도분석</h2> <p>국내외 통계학 연구들에 대해 초록 데이터와 키워드를 통한 빈도 분석을 수행하였다. 국내와 외국 논문 키워드 비교의 통일성을 위해 국내 논문에서 한국어 키워드와 영어 키워드 중 영어 키워드를 이용하였다. Python Numpy, Pandas, Collections 모듈을 활용해 키워드별 사용 횟수, 연도별 논문 수, 빈도수 상위 키워드들의 연도별 사용 횟수를 파악할 수 있는 프로그램을 작성하였다. 분석과정에 있어 동일한 의미를 가지지만 대문자, 소문자, 띄어쓰기, 약어 등으로 다르게 파악되는 키워드들은 사전에 병합하여 분석하였다.</p> <h2>2.3. TextRank</h2> <p>TextRank는 Google의 PageRank의 알고리즘을 이용한 것으로 PageRank (Brin과 Page, 1998)는 하이퍼링크를 가지는 웹 문서의 중요도에 따라 가중치를 매겨 Rank를 부여한 후, Rank가 높은 사이트가 다른 사이트에서 많이 참고하는 페이지로 해석된다. 이러한 알고리즘을 바탕으로 TextRank (Mihalcea와 Tarau, 2004)는 문서내의 문장 또는 단어를 이용하여 문장 또는 단어에 가중치를 부과하여 Ranking을 매긴다. 본 연구에서는 논문 초록 문서를 이용하여 각 단어의 중요도를 계산한 뒤, 중요도가 높은 단어를 추출하였다.</p> <h2>2.4. Word Embedding</h2> <p>Word Embedding이란 단어를 \( n \) 차원의 밀집 벡터(dense vector)의 형식으로 나타내는 것을 말하며 그 종류로는 LSA, Word2Vec, FastText, Glove 등이 있다 (Yin와 Shen, 2018; Landauer 등, 1998; Goldberg와 Levy, 2014; Joulin 등, 2016; Pennington 등, 2014). 본 연구에서는 단어 간 유사도를 반영할 수 있도록 단어의 의미를 벡터화하기 위해 Word2Vec을 사용하였다. Word2Vec에서는 Continuous Bag of Words (CBOW)와 Skip-Gram 두 가지 방식이 존재한다 (Mai 등, 2019; Mikolov 등, 2013). CBOW는 주변에 있는 단어들을 이용하여 중간에 있는 단어들을 예측하는 방법이며 Skip-Gram은 중간에 있는 단어로 주변 단어들을 예측하는 방법이다. 이후의 과정에서 중간에 있는 단어를 표적 단어, 주변 단어를 문맥 단어라고 지칭한다. 여기서 Skip-Gram은 하나의 은닉층(hidden layer)로 이루어진 간단한 뉴럴 네트워크(neural network) 구조를 이루고 있다. 타겟 단어를 입력값으로 받아 임베딩하려는 단어의 개수를 \( V \), 노드(node)의 개수를 \( N \)으로 했을 때, \( V \times N \) 가중치 행렬 \( W \)를 업데이트하면서 학습이 이루어진다. 식 (2.1)을 최대화하는 방향으로 학습이 진행되며 식 (2.1)의 좌변은 조건부 확률로, 표적 단어 \( (t) \)가 주어졌을 때, 문맥 단어 \( (m) \)가 나타날 확률을 나타낸다. 여기서 \( v_ { t } \) 는 입력층(input layer)과 은닉층 사이의 가중치 행렬 \( W \)에서 주어진 타겟 단어에 해당하는 행 벡터이고, \( u_ { w } \)는 은닉층과 출력층(output layer) 사이의 가중치 행렬 \( W ^ {\prime } \)의 문맥 단어에 해당하는 열벡터를 의미한다.</p> <p>키워드 데이터를 이용하여 살펴본 국내외 통계학 연구의 특징으로는 국내외 공통으로 Marcov Chain Monte Carlo, Maximum Likelihood, Nonparametric, Bayesian Inference, Variable Selection, Bootstrap, Con-sistency, Principal Component Analysis 등의 주제들이 주로 연구되는 것을 볼 수 있었고, 국외에서는 High Dimensional Data, Sparsity, Functional Data Analysis, False Discovery Rate, Causal Inference 등의 주제들이 더 많이 연구되고 있었다.</p> <p>Word Embedding을 통해서 통계학 분야 논문의 키워드들은 방법론 위주로 선정된다는 것을 확인할 수 있었고, 방법론 단어들 외에도 Textrank를 통해 파악된 통계학 분야에서 잘 사용되는 단어들은 rate, design, test, time, sample, number, data, study 등이 있었다.</p> <p>마지막으로 초록 데이터를 통한 LDA 분석에서는 국내외 연구논문들의 분류를 10가지로 나누어 살펴보았고, “회귀 & 추정”, “데이터 모델링”, “검정”, “인과추론”, “시계열”, “생물통계 & 딥러닝”, “공정관리”, " 베이지안” 등의 주제들로 활발한 연구가 이루어지고 있는 것을 확인할 수 있었다.</p> <p>본 연구의 한계점 및 앞으로의 연구 방향으로는 좀 더 다양한 해외 학술지 데이터의 수집이 있겠다. 본 연구에서는 해외 최고수준의 연구들과 국내 논문의 비교를 위해 JASA와 Annals of Statistics 두 저널의 데이터만을 연구에 고려하였지만, 해외 통계 연구 전체를 대표한다고 보기에는 무리가 있다. 해외의 더욱 다양한 통계 분야의 논문들을 골고루 수집해 분석 할 수 있다면 또 다른 재미있는 국내외 연구 비교가 이루어질 수 있을 것이다.</p> <h1>요 약</h1> <p>시간이 갈 수록, 정부, 기업, 국내, 해외를 막론하고 데이터의 양이 증가하고 있다. 이에따라 학계에서도 빅 데이터에 대한 연구들이 늘어나고 있다. 통계학은 빅데이터 연구의 중심이 되는 학문들 중 하나이며, 늘어나는 통계학 분야 논문 빅데이터를 통해 통계학의 연구동향을 파악해 보는 것도 재미있을 것이다. 본 연구에서는 국내와 해외의 통계학 논문들의 초록데이터를 통해 어떤 연구들이 이루어지고 있는지 분석을 진행하였다. 저자들이 선정한 논문들의 키워드 데이터 빈도를 통해 국내외 연구 동향을 분석하였고, Word Embedding 방법을 통해 해당 키워드들의 관계성을 시각화 하였다. 여기서 저자들이 선정한 키워드들 외에 Textrank를 통해 선정된 통계학 분야 논문들에서 중요하게 사용되는 단어들도 추가적으로 시각화 하였다. 마지막으로 초록 데이터에 LDA 기법을 적용하여 10가지 토픽을 알아보았다. 각 토픽들에 대한 분석을 통해 어떤 연구 주제들이 자주 연구되며, 어떤 단어들이 중요하게 사용되는지 알아보았다.</p> <p>\( q_ { i j } = \frac {\left (1 + \left \\|y_ { i } -y_ { j } \right \\| ^ { 2 } \right ) ^ { -1 } } {\sum_ { k \neq l } \left (1 + \left \\|y_ { k } -y_ { l } \right \\| ^ { 2 } \right ) ^ { -1 } } , \)<caption>(2.4)</caption></p> <p>여기서 \( y_ { i } , i=1, \ldots, N \)은 차원 축소된 공간에서의 \( x_ { i } \)값들이다. 위 두가지 수식을 통해 고차원 상에서 \( x_ { i } \)들의 분포와 저차원 상에서 \( y_ { i } \)들의 분포에 대한 유사도를 KL divergence 식 (2.5)를 이용하여 측정한다.</p> <p>\( \mathrm { KL } (P \\| Q)= \sum_ { i \neq j } p_ { i j } \log \frac { p_ { i j } } { q_ { i j } } . \)<caption>(2.5)</caption></p> <p>이 KL divergence 식 (2.5)는 \( y_ { i } , i=1, \ldots, N \)에 대한 함수이며, 이 식을 손실함수로 정의하고, 손실함수를 최소화 시키는 방향으로 학습을 진행한다. 이 학습의 결과로 추정된 \( \hat { y } _ { i } \)가 t-SNE를 통해 차원 축소된 공간의 데이터이다.</p> <p>Multi-dimensional scaling (MDS), ISOMAP, locally linear embedding (LLE) 모두 고차원의 정보를 저차원으로 축소하는 알고리즘이며 pincipal components analysis (PCA) 또한 차원축소의 기능을 가지고 있지만 t-SNE가 다른 알고리즘들에 비하여 저차원 공간상에 군집을 더 잘 시각화 시켜주는 경향이 있어 최근 많이 이용되고 있다 (Cox와 Cox, 2000; Roweis와 Saul, 2000; Jolliffe, 1986).</p> <h2>2.6. LDA</h2> <p>토픽모델링(topic modeling)은 문서의 집합에서 어떤 토픽이 존재하는지 알아내는 알고리즘으로 Papadim-itriou 등 (1998)에 의해 처음 제안되었다. 토픽모델링을 위해서 잠재의미분석(latent semantic analysis; LSA), 확률적 잠재의미분석(probabilistic latent semantic analysis; PLSA), 잠재 디리클레 할당(latent dirichlet alloca-tion; LDA) 등의 방법이 제안되었고, 그 중 Blei 등 (2003)이 제안한 LDA가 가장 많이 활용되고 있다. 알고리즘으로 문서 안에 토픽들이 존재한다는 가정을 하며, 전체 문서에 Gibbs Sampling 기법을 이용하여 토픽에 단어가 나타날 확률을 최대화해주는 토픽을 찾는 것이 최종 목표이다.</p> <p>\( P(m \mid t) = \frac {\exp \left (u_ { m } ^ { T } v_ { t } \right ) } {\sum_ { w=1 } ^ { W } \exp \left (u_ { w } ^ { T } v_ { t } \right ) } . \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>우변의 분자 값을 키우는 것은 표적 단어의 벡터와 문맥 단어의 벡터의 내적을 키우는 것으로 벡터의 내적은 코사인값과 연관되어 있어서 두 단어의 코사인 유사도를 높이는 것으로 볼 수 있다. 이러한 학습 과정을 거친 파라미터 행렬 \( W \)가 최종 결과물이 된다. 본 연구에서는 성능 비교를 진행한 여러 논문의 자료를 기반으로 CBOW보다 성능이 좋은 Skip-Gram을 사용하였다 (Rong, 2014).</p> <h2>2.5. t-SNE</h2> <p>t-distributed stochastic neighbor embedding (t-SNE)는 데이터 차원축소(dimesionality reduction)와 시각화(visualization)의 방법으로 고차원의 데이터를 저차원 공간에 시각화하는 알고리즘이다 (Maaten과 Hinton, 2008). \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { N } \)의 데이터가 있을 경우 \( x_ { i } \)와 \( x_ { j } \)의 유사도를 식 (2.2)라고 했을 때,<p>\( p_ { j \mid i } = \frac {\exp \left (- \left \\|x_ { i } -x_ { j } \right \\| ^ { 2 } / 2 \sigma_ { i } ^ { 2 } \right ) } {\sum_ { k \neq i } \exp \left (- \left \\|x_ { i } -x_ { k } \right \\| ^ { 2 } / 2 \sigma_ { i } ^ { 2 } \right ) } . \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>고차원에서 \( x_ { i } \)와 \( x_ { j } \)의 서로에 대한 유사도 값 \( p \)는 식 (2.3)과 같이 정의한다.</p> <p>\( p_ { i j } = \frac { p_ { j \mid i } + p_ { i \mid j } } { 2 N } . \)<caption>(2.3)</caption></p> <p>그리고 사영시키고자 하는 저차원에서 \( y_ { i } \)와 \( y_ { j } \)의 서로에 대한 유사도는 식 (2.4)로 정의한다.</p> <p>Figure 3의 PCA 결과를 통해, "회귀 & 추정”, "데이터 모델링”, “시계열”, “검정” 토픽들과 “인과추론”, “통계 조사”, “실험 설계” 토픽들 그리고 “공정관리”, “베이지안”이 근처에 위치한 것을 확인할 수 있다.</p> <p>“회귀 & 추정”, “데이터 모델링”, “시계열”, "검정” 에서는 흔히 통계학 연구 분야에서 많이 쓰이는 단어들을 위주로 토픽이 이루어졌다.</p> <p>Table 2는 각 토픽이 나타내는 연구주제와 이에 해당하는 국내외 논문의 개수를 요약한 것이다. 토픽별 문서의 수를 통해 통계학의 기본이 되는 “회귀 & 추정”이 가장 높은 빈도로 나타났으며 같은 맥락으로 “데이터 모델링”, “검정”, “인과추론” 등의 토픽이 빈도수 기반 상위 토픽에 있다. “시계열”, “생물통계 & 딥러닝”, “공정관리”, "베이지안”과 같이 세부적인 연구 주제들이 토픽으로 묶여있는 것을 보면 지난 18년 동안 통계학에서 해당 분야의 연구가 활발히 이루어진 것으로 볼 수 있었다. 국내 통계학 연구의 경우 시계열에 대한 연구가 \(23.6 \% \)의 비율로 가장 많이 이루어졌으며 그 뒤로 회귀 & 추정, 인과추론이 \( 18.8 \%, 12.49 \% \)로 2002년부터 많은 연구가 진행되어 왔다. 데이터 모델링, 검정, 통계조사, 실험 설계 순으로 국내에서 활발한 연구가 있었고 상대적으로 생물통계 & 딥러닝, 공정관리, 베이지안과 같은 세부분야에 대해 관심이 높았다. 반면 해외 통계학 연구의 경우 \( 41.97 \% \)와 \( 24.53 \% \)의 비율로 반 이상의 연구가 회귀 & 추정에 대해 진행되었다. 다음으로 검정을 주제로 한 연구가 \( 10.79 \% \)였으며 시계열과 인과추론을 주제로 한 연구가 \( 8.95 \%, 6.39 \% \)를 차지하고 있다. 생물통계 & 딥러닝, 공정관리, 베이지안에 대해서는 국내에 비해 적은 비율의 연구가 이루어져 왔다. 이는 우리가 선정한 해외 논문들이 Annals of Statistics, JASA 두 저널에 한정되어 나타난 점도 있다.</p> <h1>4. 결론 및 시사점</h1> <p>본 연구에서는 국내외 통계학 분야의 논문에 대하여 Text Mining 기법들을 활용하여 국내와 외국에 대해 연구 동향을 비교 분석하였다. 기존에 통계학 분야에 대해서 연구 동향에 대한 연구가 부족하며 주로 키워드 위주의 분석이 이루어져 왔다. 본 연구에서는 키워드를 이용한 분석에 있어 Textrank 방법을 추가하여 키워드를 선정하였으며, 논문 초록 데이터를 이용해서 Word Embedding 기법과 Topic Modeling 기법의 하나인 LDA를 이용해서 연구 동향을 살펴보았다.</p> <p>국내에서는 Maximum Likelihood Estimator가 71회로 가장 높은 빈도수를 가진 키워드였으며 Variable Selection이 52회, Outliers와 Bootstrap이 각각 43회와 40회로 2, 3, 4번째에 있다. 해외에서는 Marcov Chain Monte Carlo가 171회로 가장 높은 빈도수를 가진 키워드로 나타났으며 High-Dimensional Data가 153회 Spar-sity, Nonparametric Regression가 각각 131회, 128회로 뒤를 따랐다. 국내외에서 모두 높은 빈도를 보이는 키워드는 Marcov Chain Monte Carlo, Maximum Likelihood, Nonparametric, Bayesian Inference, Variable Se-lection, Bootstrap, Consistency, Principal Component Analysis 등이 있었다. 해당 연구주제들은 국내외에서 모두 활발하게 연구가 이루어지고 있는 것으로 보인다. 국내에는 적지만 해외에서 더 많이 등장하는 키워드들은 High Dimensional Data, Sparsity, Functional Data Analysis, False Discovery Rate, Causal Inference 등이 있었고, 국내에서 비교적 더 많이 등장하는 키워드들에는 Logistic Regression, Gibbs Sampling, Bias, Mean Squared Error, Goodness of fit Test 등이 있었다. 또한, 국내 논문에서는 Survival Analysis, Support Vector Machine, Random Forest 등의 세부 분야에 대한 키워드들이 상위에 있는 반면 해외 논문에서는 통계학 분야에서 자주 사용되는 거시적인 의미를 가진 키워드들이 주로 나타났다.</p> <h2>3.3. Word Embedding</h2> <p>초록은 한 논문의 전체 내용을 대표할 수 있는 부분이기 때문에 초록 데이터를 따로 수집하여 Word Embedding에 적용했다. 국내 논문 3,503편 중에서 영문초록 데이터가 있는 논문 3,276편과 해외 논문 4,862편은 모두 영문초록 데이터가 존재하여 총 8,138편의 논문에 대하여 Word Embedding 을 통한 단어 간의 관계를 확인하였다.</p> <p>Figure 2 는 Word Embedding을 통해 초록 데이터에 있는 명사 단어들을 100차원 벡터로 표현한 후, t-SNE를 통해 2차원 데이터로 차원 축소하여 나타낸 그래프이다. 전체 명사 단어들은 회색 점으로 표현되었고, 선정된 주요 단어들을 그 위에 표기하였다. 한국 논문과 외국 논문 각각 키워드 분석을 통해 찾은 Table 1의 키워드 중 Top 15개씩 총 30개의 키워드와 Textrank 기법을 통해 가장 중요도가 높은 상위 30개의 키워드를 뽑아 전체 60개의 키워드가 선정된 주요 단어들이다. 표기된 단어 앞에, 해외 논문들에서 선정된 키워드는 \( \wedge \)를, 국내 논문들로부터 선정된 키워드는 * 표기를, Textrank로 선정된 키워드들은 #표기를 하였다. t-SNE를 통해 각 중요 키워드 간의 연관성을 시각적으로 관찰해 볼 수 있다.</p> <p>결과를 보면 국내, 국외 논문의 저자들이 선정한 키워드들은 좌 하단에 몰려있는 것을 볼 수 있었고, 반면에 Textrank를 사용해 선정된 단어들은 비교적 고르게 퍼져 있는 것을 알 수 있었다. Word Embedding 기법에 의해서 단어들간의 의미론적 관계가 보전되도록 벡터화되기 때문에, 비슷한 단어들이 근처에 위치하게 된다. 통계학 분야 페이퍼의 저자들은 그들이 쓴 페이퍼의 통계 방법론과 관련된 단어들을 키워드로 사용하는데, 이 단어들이 의미론적으로 비슷한 맥락에서 많이 사용되다보니 좌하단에 함께 위치하게 된 것으로 보인다. 반면 Textrank 를 통해 선정된 단어들은 통계학 학문 분야 논문들에서 중요하게 사용되는 단어들이며, 전체 단어 공간에 고르게 퍼져있었다. 왼쪽 아래 부분의 방법론 키워드 외에 Textrank에 의해 선정된 단어로는 rate, design, test, time, sample, number, data, study 등이 있었다.</p> <h2>3.4. LDA</h2> <p>초록 데이터를 활용하여 LDA를 통해 문서들을 10개의 토픽으로 분류해 보았다. LDA를 통한 토픽 모델링 기법은 문서에 담긴 단어들을 통해 주제를 찾아내며 그 주제에 포함되는 키워드들을 나타내 주기 때문에 이를 통해 해당 토픽에 대한 의미를 찾아 해석할 수 있다. 토픽별로 TF-IDF 행렬을 통해 구해진 상위 10개의 단어를 살펴본 후, 토픽들이 각각 어떤 연구주제에 따라 분류되었는지 확인하였다.</p> <p>Figure 3은 Python의 pyLDAvis 모듈에서 Carson과 Kenneth가 제안한 LDAviz (2014)을 사용해, PCA를 통해 2차원 그래프로 토픽별 분류를 시각화한 자료와 해당 토픽의 상위 10개의 단어를 막대그래프로 나타낸 그림이다. 먼저 PCA 플롯은 토픽 벡터(topic vector)를 2차원으로 축소하여 각 토픽 간의 관계성을 파악할 수 있고, 비슷한 좌표에 위치한 토픽들은 비슷한 맥락을 가진다. 또한 표기된 토픽의 원의 크기로부터 해당 토픽을 갖는 문서 집합의 크기를 알 수 있다. 이를 위해 LDAvis는 특정 토픽에 대해서 해당 단어가 나타날 확률 벡터에 PCA를 적용하여 2차원의 형태로 나타낸다.</p> <p>각 토픽별 상위 10개 단어를 살펴보면, Topic 1은 regression, estimator, estimation 등을 주요 단어로 가지며, 이를 통해 이 토픽은 회귀 및 추정에 관한 것으로 파악할 수 있다. Topic 2에서는 data, model, models, approach 등이 자주 나타나며 데이터 모델링에 관련된 토픽으로 지정하였다. Topic 3은 series, time, station-ary, autoregressive 등이 영향을 많이 주는 단어로 나타나 시계열 관련 토픽임을 알 수 있다. Topic 4는 test, null, statistic, hypothesis, power 등의 단어들에 높은 가중치를 주어 가설검정을 주제로 선택하였다. Topic 5는 causal, treatment, effect 등의 단어를 통해 인과추론이라는 주제를 선택했다. Topic 6 에서는 survey, imputation, population, sampling 등이 영향을 주는 단어로 나타나 표본조사 관련 토픽으로 설정하였다. Topic 7은 design, designs, optimal, treatment 등의 단어들이 높은 가중치를 가져 실험설계 관련 토픽임을 알 수 있다. Topic 8은 gene, genetic, cancer, micorarray를 통해 생물통계 관련 분야임을 파악했고 network, depth 등의 단어들을 통해 딥러닝 관련 주제들도 같은 토픽으로 분류된 것으로 보여 생물통계 및 딥러닝 이라는 주제로 지정하였다. Topic 9에서는 sigma, beta, process 등이 문서에 많이 나타나 공정관리 관련 토픽으로 설정했다. 마지막으로 Topic 10은 prior, posterior, bayes, bayesian 등이 토픽 분류에 영향을 주는 단어로 베이지안 관련 토픽임을 알 수 있다. 따라서 토픽에 해당하는 문서의 수가 가장 많은 토픽 순으로 번호를 지정하여 각 토픽의 의미는 “회귀 & 추정”, “데이터 모델링”, “시계열”, “검정”, “인과추론”, “통계 조사”, “실험 설계”, “생물통계 & 딥러닝”, " 공정관리”, “베이지안”으로 정의하였다.</p>	자연
기초미적분학_행렬	<h1>계산기 활용 문제</h1> <p>문제 \(14-1 \) \( A= \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 2(2 A + B)-3(5 A-3 B) \)</li> <li>\( -5(2 A-3 B) + 4(5 A + 2 B) \)</li></ol> <p>문제 \(14-2 \) \( A= \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A B \)</li> <li>\( B A \)</li> <li>\( A ^ { 2 } \)</li> <li>\( B ^ { 2 } \)</li> <li>\( \frac { 1 } { 2 } \left (B ^ { 2 } -A ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>\( (A + B)(A-B) \)</li></ol> <p>문제 \(14-3 \) \( A= \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A ^ { 2 } + A B + B ^ { 2 } \)</li> <li>\( A ^ { 3 } -B ^ { 3 } \)</li></ol> <p>문제 \(14-4 \) \( A= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( 2(2 A + B)-3(5 A-3 B) \)</li> <li>\( -5(2 A-3 B) + 4(5 A + 2 B) \)</li></ol> <p>문제 \(14-5 \) \( A= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A B \)</li> <li>\( B A \)</li> <li>\( A ^ { 2 } \)</li> <li>\( B ^ { 2 } \)</li> <li>\( \frac { 1 } { 2 } \left (B ^ { 2 } -A ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>\( (A + B)(A-B) \)</li></ol> <p>문제 \(14-6 \) \( A= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \) 일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A ^ { 2 } + A B + B ^ { 2 } \)</li> <li>\( A ^ { 3 } -B ^ { 3 } \)</li> <li>\( A ^ { T } B-A B ^ { T } \)</li> <li>\( A B A ^ { T } \)</li></ol> <p>문제 \(14-7 \) 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>문제 \(14-8 \) 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } 4 & 8 \\ 5 & 11 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 4 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>문제 \(14-9 \) 다음 연립방정식을 풀어라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left \{\begin {array} { l } 0.3 x-0.5 y=0.6 \\ 1.5 x + 4.5 y=6.0 \end {array} \right . \)</li> <li>\( \left \{\begin {array} { l } 4 y + 3 z=8 \\ 2 x-z=2 \\ 3 x + y=5 \end {array} \right . \)</li> <li>\( \left \{\begin {array} { r } -x + 2 y + 2 z=2 \\ 3 x-y + z=6 \\ -x + 3 y + 4 z=4 \end {array} \right . \)</li></ol> <h1>확인 문제를 풀어봅시다!</h1> <p>확인 14-1 \( A = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 3 & 1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \)일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( -A \)</li> <li>\( 3 B \)</li> <li>\( A + B \)</li> <li>\( -A + B \)</li> <li>\( 2 A-3 B \)</li> <li>\( -2(A-2 B) \)</li></ol> <p>확인 14-2 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { rr } 2 & -2 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } 1 & -2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 4 & 3 \\ -2 & 1 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>확인 14-3 \( A= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 3 & 1 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } -1 & 0 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \)일 때, 다음을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A B \)</li> <li>\( B A \)</li> <li>\( A ^ { 2 } \)</li> <li>\( B ^ { 2 } \)</li> <li>\( \frac { 1 } { 2 } \left (B ^ { 2 } -A ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>\( (A + B)(A-B) \)</li></ol> <p>확인 14-4 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rr } -5 & 2 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 5 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>확인 14-5 다음 행렬의 전치행렬을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 2 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 8 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 4 \\ 3 & -4 & 0 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>확인 14-6 다음 행렬의 곱셈을 계산하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end {array} \right ] ^ { T } \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 0 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] ^ { T } \left [ \begin {array} { ll } 4 & 3 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>확인 14-7 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } 2 & 7 \\ 1 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } 3 & -4 \\ 9 & -12 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ 2 & 3 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>확인 14-8 크래머 공식을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left \{\begin {array} { l } 3 x + 4 y=-2 \\ 2 x + 3 y=1 \end {array} \right . \)</li> <li>\( \left \{\begin {array} { l } -x + 2 y=-5 \\ 2 x-3 y=7 \end {array} \right . \)</li></ol> <p>확인 14-9 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( \left [ \begin {array} { ll } 2 & 7 \\ 1 & 4 \end {array} \right ] \)</li> <li>\( \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ 2 & 3 \end {array} \right ] \)</li></ol>	자연
m565-(처음부터배우는)핵심 공업수학	<h1>4.4 유리함수 적분법</h1> <h2>[ 7 ] 분자의 차수가 분모의 차수보다 큰 경우</h2> <p>분자의 차수가 분모의 차수보다 큰 경우에는 다항식의 나눗셈을 하여 분자의 차수를 분모보다 작게 한 후 부분분수를 이용한 유리함수 적분법으로써 적분한다.</p> <p>설명 분자의 차수가 분모의 차수보다 큰 경우, 분자를 분모로 나눈 몫을 \( P(x) \) 라 하면, 몫 \( P(x) \)는 다항식이므로 \( \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1} \)을 사용하면 바로 적분된다. \( (* \) 부분분수에 의한 유리함수 적분법은 분자의 차수가 분모의 차수보다 낮은 경우에 대한 적분법을 말한다.)</p> <h3>예제 4.4.1</h3> <p>\( \int \frac{3 x^{3}+4 x^{2}+2 x+5}{x+1} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 분자의 차수가 분모의 차수보다 높으므로 다음과 같이 나눗셈을 하여 분자를 간단하게 만든다. \[ \begin{array}{l} \frac{3 x^{3}+3 x^{2}}{x^{2}+2 x+5} \\ \frac{x^{2}+x}{x+5} \\ \frac{x+1}{4} \\ \end{array} \] 몫은 \( 3 x^{2}+x+1 \), 나머지는 4 이다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{3 x^{3}+4 x^{2}+2 x+5}{x+1} d x &=\int\left(3 x^{2}+x+1+\frac{4}{x+1}\right) d x \\ &=x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}+x+4 \ln \|x+1\|+C \end{aligned} \]</p> <h2>[ 8 ] 분모가 서로 다른 1차식으로 인수분해되는 경우</h2> <p>분모가 서로 다른 일차식으로 인수분해되면 다음과 같이 일차식의 부분분수로 분해한다. (단, \( P(x) \)의 차수는 \( n \)보다 작다.) \[ \frac{P(x)}{\left(a_{1} x+b_{1}\right)\left(a_{2} x+b_{2}\right) \cdots\left(a_{n} x+b_{n}\right)}=\frac{A_{1}}{a_{1} x+b_{1}}+\frac{A_{2}}{a_{2} x+b_{2}}+\cdots+\frac{A_{n}}{a_{n} x+b_{n}} \] 여기에서 부분분수식의 각 항은 다음과 같이 적분된다. \[ \int \frac{A_{m}}{a_{m} x+b_{m}} d x=\frac{A_{m}}{a_{m}} \ln \left\|a_{m} x+b_{m}\right\|+C \]</p> <p>\( \dagger \) 부분분수 분해 : 다음과 같이 분모와 분자가 모두 다항식으로 이루어진 하나의 유리함수를 두 개 이상의 유리함수의 합으로 나타내는 것을 부분분수로 분해한다고 한다. \[ \frac{2 x+3}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}, \frac{3 x-1}{x(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1} \]</p> <h3>예제 4.4.2</h3> <p>[부분분수: 두 개의 서로 다른 일차항이 있는 경우] \[ \int \frac{5 x+3}{x^{2}+2 x-3} d x \text { 를 계산하여라. } \]</p> <p>풀이 먼저 피적분함수를 다음과 같이 부분분수들의 합으로 나타낸다. \[ \begin{aligned} \frac{5 x+3}{x^{2}+2 x-3} &=\frac{5 x+3}{(x-1)(x+3)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+3} \\ &=\frac{A(x+3)+B(x-1)}{(x-1)(x+3)} \end{aligned} \] 첫째 식과 마지막 식의 분자를 비교하면 \[ 5 x+3=A(x+3)+B(x-1) \] 이 된다. 이 방정식은 모든 \( x \)에 대해 성립하므로 \( x=1 \)을 대입하면 \[ 5+3=A \times(1+3) \] 이 되어 \( A=2 \)가 된다. 마찬가지로 \( x=-3 \)을 대입하면 \[ 5 \times(-3)+3=B \times(-3-1) \] 이 되어 \( B=3 \)이 구해진다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{5 x+3}{x^{2}+2 x-3} d x &=\int\left(\frac{2}{x-1}+\frac{3}{x+3}\right) d x \\ &=2 \ln \|x-1\|+3 \ln \|x+3\|+C \end{aligned} \]</p> <h3>예제 4.4.3</h3> <p>[부분분수 : 세 개의 서로 다른 일차항이 있는 경우] \( \int \frac{4 x+2}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 피적분함수를 다음과 같이 부분분수들의 합으로 나타낸다. \[ \begin{aligned} \frac{4 x+2}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} &=\frac{4 x+2}{x(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2} \\ &=\frac{A(x+1)(x+2)+B x(x+2)+C x(x+1)}{x(x+1)(x+2)} \end{aligned} \] 첫 번째 식과 마지막 식의 분자를 비교하면 \[ 4 x+2=A(x+1)(x+2)+B x(x+2)+C x(x+1) \] 이 된다. 이 방정식은 모든 \( x \)에 대해 성립하므로 \( x=0,-1,-2 \)를 대입하면 \[ 2=A \times 2,-2=B \times(-1),-6=C \times 2 \] 가 되어 \( A=1, B=2, C=-3 \)이 각각 구해진다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{4 x+2}{x^{3}+3 x^{2}+2 x} d x &=\int\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\right) d x \\ &=\ln \|x\|+2 \ln \|x+1\|-3 \ln \|x+2\|+C \end{aligned} \]</p> <h2>[9] 분모에 1차식의 \( n \) 제곱이 있는 경우</h2> <p>(1) 분모가 일차인수 \( (a x+b) \)의 \( n \) 제곱 \( (a x+b)^{n}(n \geq 2) \)을 포함하고 있으면 다음과 같이 부분분수 분해를 하여 적분한다. \[ \frac{P(x)}{(a x+b)^{n}}=\frac{A_{1}}{a x+b}+\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}}+\cdots+\frac{A_{n}}{(a x+b)^{n}} \] (단, \( P(x) \)의 차수는 \( n \)보다 작다.) (2) 적분 : \( \int \frac{1}{(a x+b)^{m}} d x=-\frac{1}{a(m-1)(a x+b)^{m-1}}+C \quad(m \neq 1) \)</p> <h3>예제 4.4.4</h3> <p>[일차항의 제곱이 있는 부분분수] \( \int \frac{3 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+x} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 분모 \( x^{3}+2 x^{2}+x=x(x+1)^{2} \)에 일차인수의 제곱 \( (x+1)^{2} \)이 포함되어 있으므로 다음과 같이 부분분수로 분해한다. \[ \begin{aligned} \frac{3 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+x} &=\frac{3 x+1}{x(x+1)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^{2}} \\ &=\frac{A(x+1)^{2}+B x(x+1)+C x}{x(x+1)^{2}} \end{aligned} \] 첫째 식과 마지막 식의 분자를 비교하면 \[ 3 x+1=A(x+1)^{2}+B x(x+1)+C x \] 가 된다. 이 식에 \( x=0 \)을 대입하면 \( A=1, x=-1 \)을 대입하면 \( C=2 \)가 구해진다. 그리고 우변에서 이차항 \( \left(x^{2}\right) \)의 계수 \( A+B=0 \)이 되어야 하므로 \( B=-A=-1 \)이다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{3 x+1}{x^{3}+2 x^{2}+x} d x &=\int\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^{2}}\right] d x \\ &=\ln \|x\|-\ln \|x+1\|-\frac{2}{x+1}+C \end{aligned} \]</p> <h2>[10] 분모가 2차식의 인수를 갖는 경우</h2> <p>유리함수의 분모에 반복되지 않는 이차식의 인수가 있을 때는 다음과 같이 부분분수 분해를 한다. (단, \( P(x) \)의 차수는 \( 2 n \)보다 작다.) \[ \begin{array}{l} \frac{P(x)}{\left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}\right)\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right) \cdots\left(a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}\right)} \\ =\frac{A_{1} x+B_{1}}{\left(a_{1} x^{2}+b_{1} x+c_{1}\right)}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{\left(a_{2} x^{2}+b_{2} x+c_{2}\right)}+\cdots+\frac{A_{n} x+B_{n}}{\left(a_{n} x^{2}+b_{n} x+c_{n}\right)} \\ \end{array} \]</p> <h3>예제 4.4.5</h3> <p>[이차식의 항이 있는 부분분수] \( \int \frac{2 x^{2}+3 x+2}{x^{3}+x} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 분모 \( x^{3}+x=x\left(x^{2}+1\right) \)에 이차항 \( \left(x^{2}+1\right) \)이 포함되어 있으므로 다음과 같이 부분분수로 분해한다. \[ \begin{aligned} \frac{2 x^{2}+3 x+2}{x^{3}+x} &=\frac{2 x^{2}+3 x+2}{x\left(x^{2}+1\right)}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1} \\ &=\frac{A\left(x^{2}+1\right)+x(B x+C)}{x\left(x^{2}+1\right)} \end{aligned} \] 첫째 식과 마지막 식의 분자를 같게 놓으면 \[ \begin{aligned} 2 x^{2}+3 x+2 &=A\left(x^{2}+1\right)+x(B x+C) \\ &=(A+B) x^{2}+C x+A \end{aligned} \] 가 된다. 여기에서 같은 차수에 대한 양변의 계수를 비교하면 \( x^{2} \)의 계수 : \( 2=A+B \) \( x \)의 계수: \( 3=C \) 상수항 : \( 2=A \) 이므로, 따라서 \( A=2, B=0, C=3 \)이 구해진다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{2 x^{2}+3 x+2}{x^{3}+x} d x &=\int\left(\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}+1}\right) d x \\ &=2 \ln \|x\|+3 \tan ^{-1} x+C \end{aligned} \]</p> <h2>[11] 분모가 2차식인 경우의 적분</h2> <p>분모를 완전제곱으로 고친 후 다음 적분공식을 이용한다. \( (a \neq 0) \) \[ \begin{array}{l} \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)+C \\ \int \frac{1}{(x+b)^{2}+a^{2}} d x=\frac{1}{a} \tan ^{-1}\left(\frac{x+b}{a}\right)+C \end{array} \]</p> <h3>예제 4.4.6</h3> <p>[이차식의 항이 있는 부분분수] \( \int \frac{x+10}{x\left(x^{2}+2 x+5\right)} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 분모에 이차식 \( \left(x^{2}+2 x+5\right) \)가 포함되어 있으므로 다음과 같이 부분분수로 분해한다. \[ \begin{aligned} \frac{x+10}{x\left(x^{2}+2 x+5\right)} &=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+2 x+5} \\ &=\frac{A\left(x^{2}+2 x+5\right)+x(B x+C)}{x\left(x^{2}+2 x+5\right)} \end{aligned} \] 첫째 식과 마지막 식의 분자를 같게 놓으면 \[ \begin{aligned} x+10 &=A\left(x^{2}+2 x+5\right)+x(B x+C) \\ &=(A+B) x^{2}+(2 A+C) x+5 A \end{aligned} \] 가 된다. 여기에서 같은 차수에 대한 양변의 계수를 비교하면 \( x^{2} \)의 계수 : \( 0=A+B \) \( x \)의 계수: \( 1=2 A+C \) 상수항 : \( 10=5 \mathrm{~A} \) 이므로, 따라서 \( A=2, B=-2, C=-3 \)이 구해진다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{x+10}{x\left(x^{2}+2 x+5\right)} d x &=\int\left(\frac{2}{x}-\frac{2 x+3}{x^{2}+2 x+5}\right) d x \\ &=\int\left[\frac{2}{x}-\frac{2(x+1)+1}{x^{2}+2 x+5}\right] d x \\ &=\int\left[\frac{2}{x}-\frac{2(x+1)}{x^{2}+2 x+5}-\frac{1}{x^{2}+2 x+5}\right] d x \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} =& \int\left[\frac{2}{x}-\frac{2(x+1)}{x^{2}+2 x+5}-\frac{1}{(x+1)^{2}+4}\right] d x \\ =& 2 \ln x-\ln \left(x^{2}+2 x+5\right) \\ &-\frac{1}{2} \tan ^{-1}\left(\frac{x+1}{2}\right)+C \end{aligned} \]</p> <h2>[12] 분모에 2 차식의 \( n \) 제곱이 있는 경우</h2> <p>분모의 인수에 이차식 \( \left(a x^{2}+b x+c\right) \)의 \( n \) 제곱 \( \left(a x^{2}+b x+c\right)^{n}(n \geq 2) \)이 포함되어 있으면 다음과 같이 부분분수 분해를 할 수 있다. \[ \frac{P(x)}{\left(a x^{2}+b x+c\right)^{n}}=\frac{A_{1} x+B_{1}}{a x^{2}+b x+c}+\frac{A_{2} x+B_{2}}{\left(a x^{2}+b x+c\right)^{2}}+\cdots+\frac{A_{n} x+B_{n}}{\left(a x^{2}+b x+c\right)^{n}} \] (단, \( P(x) \)의 차수는 \( 2 n \)보다 작다.)</p> <h3>예제 4.4.7</h3> <p>[이차식의 제곱이 있는 부분분수] \( \int \frac{-x^{3}+3 x^{2}-x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x \)를 계산하여라.</p> <p>풀이 분모에 이차식의 제곱 \( \left(x^{2}+1\right)^{2} \)이 포함되어 있으므로 다음과 같이 부분분수로 분해한다. \[ \begin{aligned} \frac{-x^{3}+3 x^{2}-x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} &=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+1}+\frac{D x+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \\ &=\frac{A\left(x^{2}+1\right)^{2}+(B x+C) x\left(x^{2}+1\right)+(D x+E) x}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} \end{aligned} \] 첫째 식과 마지막 식의 분자를 같게 놓으면 \[ \begin{aligned} -x^{3}+3 x^{2}-x+2 &=A\left(x^{2}+1\right)^{2}+(B x+C) x\left(x^{2}+1\right)+(D x+E) x \\ &=(A+B) x^{4}+C x^{3}+(2 A+B+D) x^{2}+(C+E) x+A \end{aligned} \] 가 된다. 여기에서 같은 차수에 대한 양변의 계수를 비교하면 \( x^{4} \)의 계수 : \( 0=A+B \) \( x^{3} \)의 계수 : \( -1=C \) \( x^{2} \)의 계수 : \( 3=2 A+B+D \) \( x \)의 계수 : \( -1=C+E \) 상수항 \( : 2=A \) 이므로, 따라서 \( A=2, B=-2, C=-1, D=1, E=0 \)이 구해진다. \[ \begin{aligned} \therefore & \int \frac{-x^{3}+3 x^{2}-x+2}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x=\int\left[\frac{2}{x}-\frac{2 x+1}{x^{2}+1}+\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right] d x \\ &=\int\left[\frac{2}{x}-\frac{2 x}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1}+\frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\right] d x \\ &=2 \int \frac{1}{x} d x-\int \frac{2 x}{x^{2}+1} d x-\int \frac{1}{x^{2}+1} d x+\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x \\ &=2 \ln x-\ln \left(x^{2}+1\right)-\tan ^{-1} x-\frac{1}{2\left(x^{2}+1\right)}+C \end{aligned} \]</p> <h1>4.5 정적분</h1> <h2>[13] 정적분의 정의</h2> <p>함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속일 때 극한값 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x \)를 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)로 나타내고 이 값을 함수 \( f(x) \)의 \( a \)에서 \( b \) 까지의 정적분이라 한다. \[ \int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x, \Delta x=\frac{b-a}{n}, x_{k}=a+k \Delta x \]</p> <p>설명 위 그림과 같이 함수 \( f(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( f(x) \geq 0 \) 일 때, 구간 \( [a, b] \)를 \( n \) 등분하여 분점과 양 끝점을 차례로 \( x_{0}(=a), x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n-1} \), \( x_{n}(=b) \)이라 하고 각 소구간의 길이를 \( \Delta x=(b-a) / n \)이라 하면 \( n \)개의 직사각형의 넓이의 합은 \[ S_{n}=f\left(x_{1}\right) \Delta x+f\left(x_{2}\right) \Delta x+\cdots+f\left(x_{n-1}\right) \Delta x+f\left(x_{n}\right) \Delta x=\sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) \Delta x \] 이다. 여기에서 \( \Delta x \rightarrow 0 \), 즉 \( n \rightarrow \infty \)이면 \( S_{n} \)은 곡선 \( y=f(x) \)와 \( x \)축 및 직선 \( x=a, x=b \)로 둘러싸인 도형의 넓이 \( S \)에 한없이 가까워지므로 이것을 극한으로 나타내면 다음과 같이 된다. \[ S=\lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\Delta x_{k}\right) \Delta x \]</p> <p>함수 \( f(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( f(x)<0 \) 일 때는 \( f\left(x_{k}\right) \Delta x<0 \)이므로 \( \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\Delta x_{k}\right) \Delta x=-S \)가 된다. 일반적으로 함수 \( f(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속일 때 극한값 \( \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\Delta x_{k}\right) \Delta x \)가 존재하고, 이 극한값을 함수 \( f(x) \)의 \( a \)에서 \( b \) 까지의 정적분이라 하고 기호로는 \( \int_{a}^{b} f(x) d x \)로 나타낸다.</p> <h2>[14] 정적분의 성질</h2> <p>함수 \( f(x), g(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속일 때 다음이 성립한다.<ol> <li>\( \int_{a}^{a} f(x) d x=0 \)</li> <li>\( \int_{a}^{b} f(x) d x=-\int_{b}^{a} f(x) d x \)</li> <li>\( \int_{a}^{b} k f(x) d x=k \int_{a}^{b} f(x) d x \quad \) (단, \( k \)는 상수)</li> <li>\( \int_{a}^{b}[f(x) \pm g(x)] d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \pm \int_{a}^{b} g(x) d x \) (복호동순)</li> <li>\( \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{b} f(x) d x \)</li></ol></p> <h2>[15] 미적분학의 기본정리 (Ⅰ)</h2> <p>함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이면 \( F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t(a \leq x \leq b) \)로 정의된 함수 \( F(x) \)는 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( \frac{d}{d x} F(x)=f(x) \)이다.</p> <h2>[16] 미적분학의 기본정리 (Ⅱ)</h2> <p>함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( \frac{d}{d x} F(x)=f(x) \)이면 \[ \int_{a}^{b} f(x) d x=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a) \] 이다.</p> <h3>예제 4.5.1</h3> <p>다음 정적분의 값을 구하여라.<ol> <li>\( \int_{0}^{2} x^{n} d x \quad(n \neq-1) \)</li> <li>\( \int_{1}^{2}\left(3 x^{2}-4 x+5\right) d x \)</li> <li>\( \int_{0}^{1}\left(6 x^{2}+4 x+3\right) d x+\int_{1}^{2}\left(6 x^{2}+4 x+3\right) d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( \int_{0}^{2} x^{n} d x=\left[\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right]_{0}^{2}=\frac{1}{n+1}\left(2^{n+1}-0\right)=\frac{2^{n+1}}{n+1} \)</li> <li>\( \int_{1}^{2}\left(3 x^{2}-4 x+5\right) d x=\left[x^{3}-2 x^{2}+5 x\right]_{1}^{2} \) \[ =\left(2^{3}-2 \cdot 2^{2}+5 \cdot 2\right)-\left(1^{3}-2 \cdot 1^{2}+5 \cdot 1\right) \] \[ =10-4=6 \]</li> <li>\[ \begin{array}{l} \int_{0}^{1}\left(6 x^{2}+4 x+3\right) d x+\int_{1}^{2}\left(6 x^{2}+4 x+3\right) d x \\ =\int_{0}^{2}\left(6 x^{2}+4 x+3\right) d x=\left[2 x^{3}+2 x^{2}+3 x\right]_{0}^{2} \\ =\left(2 \cdot 2^{3}+2 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2\right)-(0+0+0)=30 \end{array} \]</li></ol></p> <h1>4.3 부분적분법</h1> <h2>[ 6 ] 부분적분법</h2> <p>두 함수 \( f(x), g(x) \)가 미분가능할 때 \[ \int f^{\prime}(x) g(x) d x=f(x) g(x)-\int f(x) g^{\prime}(x) d x \] 가 되며, 이 식을 이용하여 적분하는 방법을 부분적분법이라 한다.</p> <p>\( \dagger \) † 부분적분법은 \( \int u^{\prime} v=u v-\int u v^{\prime} \)으로 표현된다. 부분적분법의 요령은, \( u \)와 \( v \)를 적절히 선택하여 우변의 \( \int u v^{\prime} \) 항이 쉽게 적분할 수 있는 형태가 되도록 만드는 데에 있다.</p> <p>증명 \( \frac{d}{d x}[f(x) g(x)]=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \)이므로 적분의 정의에 의해 \[ \begin{aligned} f(x) g(x) &=\int\left[f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)\right] d x \\ &=\int f^{\prime}(x) g(x) d x+\int f(x) g^{\prime}(x) d x . \\ &\therefore \int f^{\prime}(x) g(x) d x=f(x) g(x)-\int f(x) g^{\prime}(x) d x \end{aligned} \]</p> <h3>예제 4.3.1</h3> <p>다음 부정적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int x e^{x} d x \)</li> <li>\( \int x \sin x d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( u=e^{x}, v=x \)로 선택하면 \( v^{\prime}=1 \)이므로 \( \int u v^{\prime}=\int e^{x} d x \)가 적분가능한 형태가 된다. \[ \begin{aligned} \int x e^{x} d x=\int\left(e^{x}\right)^{\prime} x d x &=e^{x} x-\int e^{x}(x)^{\prime} d x \\ &=x e^{x}-\int e^{x} d x \\ &=x e^{x}-e^{x}+C \end{aligned} \]</li> <li>\( u=-\cos x, v=x \)로 하면 \( v^{\prime}=1 \)이므로 \( \int u v^{\prime}=\int(-\cos x) d x \)가 적분가능한 형태가 된다. \[ \begin{aligned} \int x \sin x d x=\int(-\cos x)^{\prime} x d x &=-\cos x \cdot x-\int(-\cos x) \cdot(x)^{\prime} d x \\ &=-x \cos x+\int \cos x d x \\ &=-x \cos x+\sin x+C \end{aligned} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.3.2</h3> <p>[항이 하나일 때] 다음 적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int \ln x d x \)</li> <li>\( \int \tan ^{-1} x d x \)</li></ol></p> <p>풀이 적당한 함수를 도입하여 우변이 적분가능한 형태가 되게 만든다. (1), (2)에서는 모두 \( u=x \)로 하면 적분이 된다.<ol> <li>\( u=x, v=\ln x \)로 하면 \( v^{\prime}=\frac{1}{x} \)이므로 \( \int u v^{\prime}=\int 1 d x \)는 적분가능한 형태가 된다. \[ \begin{aligned} \int \ln x d x=\int(x)^{\prime} \ln x d x &=x \ln x-\int x(\ln x)^{\prime} d x \\ &=x \ln x-\int x\left(\frac{1}{x}\right) d x \\ &=x \ln x-\int 1 d x \\ &=x \ln x-x+C \end{aligned} \]</li> <li>\( u=x, v=\tan ^{-1} x \)로 하면 \( v^{\prime}=\frac{1}{x^{2}+1} \)이므로 \( \int u v^{\prime}=\int \frac{x}{x^{2}+1} d x \)는 적분가능한 형태이다. \[ \begin{aligned} \int \tan ^{-1} x d x=\int(x)^{\prime} \tan ^{-1} x d x &=x \tan ^{-1} x-\int x\left(\tan ^{-1} x\right)^{\prime} d x \\ &=x \tan ^{-1} x-\int x \cdot \frac{1}{x^{2}+1} d x \\ &=x \tan ^{-1} x-\int \frac{x}{x^{2}+1} d x \\ &=x \tan ^{-1} x-\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right)+C\\ & \left(x^{2}+1=u \text { 로 치환하면 } 2 x d x=d u\right. \text { 이므로 } \\ & \int \frac{x}{x^{2}+1} d x=\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u=\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u=\frac{1}{2} \ln u=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+1\right) \text { 이다.) } \end{aligned} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.3.3</h3> <p>[부분적분법의 반복 적용] 다음 적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int x^{2} e^{x} d x \)</li> <li>\( \int x^{2} \sin x d x \)</li></ol></p> <p>풀이 부분적분법을 한 번 수행하여 적분이 되지 않으면 반복하여 부분적분법을 적용한다.<ol> <li>\[ \begin{array}{l} \int x^{2} e^{x} d x=\int\left(e^{x}\right)^{\prime} x^{2} d x=e^{x} x^{2}-\int e^{x}\left(x^{2}\right)^{\prime} d x \\ =x^{2} e^{x}-\int e^{x}(2 x) d x \\ =x^{2} e^{x}-2 \int\left(e^{x}\right)^{\prime} x d x=x^{2} e^{x}-2\left[x e^{x}-\int e^{x}(x)^{\prime} d x\right] \\ =x^{2} e^{x}-2\left[x e^{x}-\int e^{x} d x\right] \\ =x^{2} e^{x}-2\left(x e^{x}-e^{x}\right)+C=e^{x}\left(x^{2}-2 x+2\right)+C \\ \end{array} \]</li> <li>\[ \begin{array}{l} \int x^{2} \sin x d x=\int(-\cos x)^{\prime} x^{2} d x=-x^{2} \cos x-\int(-\cos x)\left(x^{2}\right)^{\prime} d x \\ =-x^{2} \cos x+\int \cos x(2 x) d x \\ =-x^{2} \cos x+2 \int(\sin x)^{\prime} x d x \\ =-x^{2} \cos x+2\left[x \sin x-\int \sin x(x)^{\prime} d x\right] \\ =-x^{2} \cos x+2\left[x \sin x-\int \sin x d x\right] \\ =-x^{2} \cos x+2(x \sin x+\cos x)+C \\ \end{array} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.3.4</h3> <p>[부분적분하였을 때 같은 적분식이 나오는 경우] \( \int e^{x} \sin x d x \)를 구하여라.</p> <p>풀이 \[ \begin{aligned} I=\int e^{x} \sin x d x &=\int\left(e^{x}\right)^{\prime} \sin x d x=e^{x} \sin x-\int e^{x}(\sin x)^{\prime} d x \\ &=e^{x} \sin x-\int e^{x} \cos x d x \\ &=e^{x} \sin x-\int\left(e^{x}\right)^{\prime} \cos x d x \\ &=e^{x} \sin x-\left[e^{x} \cos x-\int e^{x}(\cos x)^{\prime} d x\right] \\ &=e^{x} \sin x-\left[e^{x} \cos x-\int e^{x}(-\sin x) d x\right] \\ &=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-\int e^{x} \sin x d x \\ &=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-I \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} &\text { 즉 } I=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-I \text { 이므로 } \\ &I =\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x) \\ &\text{ 가 된다. 부정적분이므로 적분상수를 더하면 } \end{aligned} \] \[ \int e^{x} \sin x d x=\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C \quad(C \text { 는 상수}) \\ \text{이다.} \]</p> <h1>4.1 적분의 기초</h1> <h2>[1] 부정적분</h2> <p>함수 \( F(x) \)의 도함수가 \( f(x) \) 일 때, 즉 \( \frac{d F(x)}{d x}=f(x) \) 일 때 \[ \int f(x) d x=F(x)+C \quad(C \text { 는 적분상수 }) \] 로 나타내고 \( \int f(x) d x \)를 \( f(x) \)의 부정적분이라 한다.</p> <p>† 부정적분의 정의 : \( F^{\prime}(x)=f(x) \Leftrightarrow \int f(x) d x=F(x)+C \)</p> <h2>[2] 부정적분과 미분의 관계</h2> <p> <ol> <li>\( \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) \)</li> <li>\( \int \frac{d}{d x} f(x) d x=f(x)+C \quad(C \)는 적분상수 \( ) \)</li></ol></p> <p>설명 (1) \( \int f(x) d x=F(x)+C \)를 \( x \)에 대해 미분하면 \[ \begin{aligned} & \frac{d}{d x} \int f(x) d x=\frac{d}{d x}[F(x)+C]=\frac{d}{d x} F(x)=f(x) .(\leftarrow \text { 적분의 정의 }) \\ \therefore & \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) \end{aligned} \] (2) \( \int\left[\frac{d}{d x} f(x)\right] d x=F(x) \)로 하면 적분의 정의에 의해 \( \frac{d}{d x} F(x)=\frac{d}{d x} f(x) \)이므로 \( \frac{d}{d x}[F(x)-f(x)]=0 \)이다. 따라서 \( F(x)-f(x)=C \) ( \( C \)는 상수)에서 \( F(x)=f(x)+C \). \[ \therefore \int\left[\frac{d}{d x} f(x)\right] d x=f(x)+C \]</p> <h2>[3] 적분공식(\( C \)는 적분상수)</h2> <p>\[ \int k f(x) d x=k \int f(x) d x(k \text { 는 상수) } \] \[ \int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm \int g(x) d x \text { (복호동순) } \] \[ \begin{aligned} & \int k d x=k x+C(k\text { 는 상수) } & \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C(n \neq-1) \\ & \int \frac{1}{x} d x=\ln \|x\|+C & \int e^{x} d x=e^{x}+C \\ & \int a^{x} d x=\frac{a^{x}}{\ln a}+C(a>0, a \neq 1) & \int \sin d x=-\cos x+C \\ & \int \cos x d x=\sin x+C & \int \tan x d x=-\ln \|\cos x\|+C \\ & \int \sec ^{2} x d x=\tan x+C & \int \csc ^{2} x d x=-\cot x+C \\ & \int \sec x \tan x d x=\sec x+C & \int \csc x \cot x d x=-\csc x+C \\ & \int \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=\sin ^{-1} x+C & \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\tan ^{-1} x+C \\ & \int \sinh x d x=\cosh x+C & \int \cosh x d x=\sinh ^{2} x+C \\ & \int \operatorname{sech} x d x=\tanh x+C & \int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x=\sinh ^{-1} x+C \\ & \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} d x=\cosh { }^{-1} x+C & \int \frac{1}{1-x^{2}} d x=\tanh ^{-1} x+C \\ \end{aligned} \]</p> <p>설명 적분은 미분의 역연산이므로 미분공식으로부터 부정적분공식을 얻을 수 있다. 예를 들어 \( \int x^{n} d x \)의 적분공식은 다음과 같이 얻어진다. 미분법에 의해 \( \frac{d}{d x}\left(x^{n+1}\right)=(n+1) x^{n} \)이므로 \( \frac{d}{d x}\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)=x^{n} \)이다. 따라서 적분의 정의에 의해 \[ \int x^{n} d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C(n \neq-1, C \text { 는 적분상수 }) \] 이고, \( n=-1 \)인 경우 \( \frac{d}{d x}(\ln x)=\frac{1}{x} \)이므로 \[ \int \frac{1}{x} d x=\ln x+C \quad(C \text { 는 적분상수 }) \] 이다.</p> <h3>예제 4.1.1</h3> <p>[기본공식] 다음 부정적분을 구하여라. \[ f(x)=\int\left(2 x-3 \sin ^{2} x\right) d x-3 \int \cos ^{2} x d x \]</p> <p>풀이 \[ \begin{aligned} f(x) &=\int\left(2 x-3 \sin ^{2} x\right) d x-3 \int \cos ^{2} x d x \\ &=\int\left(2 x-3 \sin ^{2} x-3 \cos ^{2} x\right) d x \\ &=\int\left[2 x-3\left(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x\right)\right] d x \quad\left(\leftarrow \sin ^{2} x+\cos ^{2} x=1\right) \\ &=\int(2 x-3) d x \\ &=2 \int x d x-3 \int d x \\ &=2 \cdot \frac{1}{1+1} x^{1+1}-3 x+C \\ &=x^{2}-3 x+C \quad(C \text { 는 적분상수 }) \end{aligned} \]</p> <h3>예제 4.1.2</h3> <p>[부정적분과 미분의 관계] 함수 \( f(x) \)가 다음과 같을 때 \( f(0) \)의 값을 구하여라. \[ f(x)=\frac{d}{d x}\left[\int\left(x^{2}+e^{4 x}+2 \cosh x\right) d x\right] \]</p> <p>풀이 \( \frac{d}{d x} \int f(x) d x=f(x) \)이므로 \[ \begin{aligned} f(x) &=\frac{d}{d x}\left[\int\left(x^{2}+e^{4 x}+2 \cosh x\right) d x\right] \\ &=x^{2}+e^{4 x}+2 \cosh x \end{aligned} \] 이다. \[ \therefore f(0)=0+1+2=3 \]</p> <h3>예제 4.1.3</h3> <p>다음 부정적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int\left(5 x^{4}+6 x^{2}+7\right) d x \)</li> <li>\( \int(x \sqrt{x}+\sqrt[4]{x}) d x \)</li> <li>\( \int\left(e^{x}+2 \cos x+\frac{3}{x}\right) d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\[ \text { } \begin{aligned} \int\left(5 x^{4}+6 x^{2}+7\right) d x &=\int 5 x^{4} d x+\int 6 x^{2} d x+\int 7 d x \\ &=5 \int x^{4} d x+6 \int x^{2} d x+7 \int d x \\ &=5 \cdot \frac{1}{4+1} x^{4+1}+6 \cdot \frac{1}{2+1} x^{2+1}+7 \cdot x+C \\ &=x^{5}+2 x^{3}+7 x+C \end{aligned} \]</li> <li>\[ \begin{aligned} \int(x \sqrt{x}+\sqrt[4]{x}) d x &=\int\left(x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{1}{4}}\right) d x=\int x^{\frac{3}{2}} d x+\int x^{\frac{1}{4}} d x \\ &=\frac{1}{\frac{3}{2}+1} x^{\frac{3}{2}+1}+\frac{1}{\frac{1}{4}+1} x^{\frac{1}{4}+1}+C \\ &=\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}}+C \\ &=\frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x}+\frac{4}{5} x \sqrt[4]{x}+C \end{aligned} \]</li> <li>\[ \begin{aligned} \int\left(e^{x}+2 \cos x+\frac{3}{x}\right) d x &=\int e^{x} d x+2 \int \cos x d x+3 \int \frac{1}{x} d x \\ &=e^{x}+2 \sin x+3 \ln x+C \end{aligned} \]</li></ol></p> <h1>4.2 치환적분법</h1> <h2>[ 4 ] 치환적분법</h2> <p>함수 \( u=g(x) \)가 미분가능하면 \[ \int f[g(x)] g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u \] 이다.</p> <p>† 변수를 치환할 때 \( u=g(x) \)로 놓으면 \( u \)의 미분 \( d u \)와 \( x \)의 미분 \( d x \) 사이에는 \( \frac{d u}{d x}=g^{\prime}(x) \)에서 \( d u=g^{\prime}(x) d x \)의 관계식이 성립한다.</p> <p>증명 \( u=g(x) \) 일 때 \[ \begin{aligned} \frac{d}{d x}\left[\int f(u) d u\right] &=\frac{d}{d u}\left[\int f(u) d u\right] \frac{d u}{d x}=f(u) \times \frac{d u}{d x} \\ &=f[g(x)] \times g^{\prime}(x) . \end{aligned} \] \( \therefore \) 적분의 정의에 의해 \( \int f(u) d u \)는 \( f[g(x)] \times g^{\prime}(x) \)의 부정적분이므로 \[ \int f[g(x)] g^{\prime}(x) d x=\int f(u) d u \] 가 된다.</p> <h2>[5] 분자가 분모의 도함수인 경우</h2> <p>임의의 연속함수 \( f(x) \)에 대하여 \[ \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x=\ln \|f(x)\|+C \quad(f(x) \neq 0) \]</p> <p>증명 \( u=f(x) \) 라 하면 \( d u=f^{\prime}(x) d x \)이다. \[ \begin{aligned} \therefore \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} d x &=\int \frac{1}{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) d x=\int \frac{1}{u} d u \\ &=\ln \|u\|+C=\ln \|f(x)\|+C \end{aligned} \] 가 된다.</p> <h3>예제 4.2.1</h3> <p>다음 부정적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int(x+1)^{4} d x \)</li> <li>\( \int \cos (3 x+4) d x \)</li> <li>\( \int 20 x\left(x^{2}+1\right)^{4} d x \)</li> <li>\( \int 2 x e^{x^{2}} d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( u=x+1 \)로 하면 \( d u=(x+1)^{\prime} d x=d x \)이므로 \[ \begin{aligned} \int(x+1)^{4} d x &=\int u^{4} d u=\frac{1}{4+1} u^{4+1}+C=\frac{1}{5} u^{5}+C \\ &=\frac{1}{5}(x+1)^{5}+C . \end{aligned} \]</li> <li>\( u=3 x+4 \)로 하면 \( d u=(3 x+4)^{\prime} d x=3 d x \)에서 \( d x=\frac{1}{3} d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int \cos (3 x+4) d x &=\int \cos u \cdot \frac{1}{3} d u=\frac{1}{3} \int \cos u d u=\frac{1}{3} \sin u+C \\ &=\frac{1}{3} \sin (3 x+4)+C . \end{aligned} \]</li> <li>\( x^{2}+1=u \)로 하여 양변을 미분하면 \( 2 x d x=d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int 20 x\left(x^{2}+1\right)^{4} d x &=\int 10\left(x^{2}+1\right)^{4}(2 x d x)=\int 10 u^{4} d u \\ &=10 \cdot \frac{1}{5} u^{5}+C=2\left(x^{2}+1\right)^{5}+C . \end{aligned} \]</li> <li>\( x^{2}=u \)로 하면 \( 2 x d x=d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int 2 x e^{x^{2}} d x &=\int e^{x^{2}} \cdot 2 x d x=\int e^{u} d u=e^{u}+C \\ &=e^{x^{2}}+C . \end{aligned} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.2.2</h3> <p>다음 부정적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int \sin ^{5} x \cos x d x \)</li> <li>\( \int 2 \sin x \cos x e^{\sin ^{2} x} d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( \sin x=u \)로 하면 \( \cos x d x=d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int \sin ^{5} x \cos x d x &=\int \sin ^{5} x(\cos x d x)=\int u^{5} d u \\ &=\frac{1}{6} u^{6}+C \\ &=\frac{1}{6} \sin ^{6} x+C . \end{aligned} \]</li> <li>\( \sin ^{2} x=u \)로 하면 \( 2 \sin x \cos x d x=d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int 2 \sin x \cos x e^{\sin ^{2} x} d x &=\int e^{\sin ^{2} x}(2 \sin x \cos x d x)=\int e^{u} d u \\ &=e^{u}+C \\ &=e^{\sin ^{2} x}+C . \end{aligned} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.2.3</h3> <p>다음 부정적분을 구하여라.<ol> <li>\( \int \frac{x}{x^{2}+4} d x \)</li> <li>\( \int \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+x+2\right)^{3}} d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( x^{2}+4=u \)로 하면 \( 2 x d x=d u \)에서 \( x d x=\frac{1}{2} d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int \frac{x}{x^{2}+4} d x &=\int \frac{1}{x^{2}+4}(x d x)=\int \frac{1}{u}\left(\frac{1}{2} d u\right)=\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u \\ &=\frac{1}{2} \ln u+C \\ &=\frac{1}{2} \ln \left(x^{2}+4\right)+C . \end{aligned} \]</li> <li>\( x^{2}+x+2=u \)로 하여 양변을 미분하면 \( (2 x+1) d x=d u \)이므로 \[ \begin{aligned} \int \frac{2 x+1}{\left(x^{2}+x+2\right)^{3}} d x &=\int \frac{1}{\left(x^{2}+x+2\right)^{3}}(2 x+1) d x \\ &=\int \frac{1}{u^{3}} d u=\int u^{-3} d u \\ &=\frac{1}{-3+1} u^{-3+1}+C=-\frac{1}{2} u^{-2}+C \\ &=-\frac{1}{2\left(x^{2}+x+2\right)^{2}}+C . \end{aligned} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.2.4</h3> <p>[삼각함수 치환법] 다음 부정적분을 구하여라. \[ \int \sqrt{9-x^{2}} d x \]</p> <p>풀이 \( x=3 \sin \theta\left(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}\right) \)로 하면 \( d x=3 \cos \theta d \theta \)이다. \[ \begin{aligned} \therefore \quad \int \sqrt{9-x^{2}} d x &=\int \sqrt{9-9 \sin ^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ &=\int \sqrt{9\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ &=\int \sqrt{9 \cos ^{2} \theta} \cdot 3 \cos \theta d \theta \\ &=\int 9 \cos ^{2} \theta d \theta \\ &=9 \int \frac{1+\cos 2 \theta}{2} d \theta \\ &=\frac{9}{2}\left(\theta+\frac{1}{2} \sin ^{2} \theta\right)+C \\ \text { 여기에서 } \sin \theta=\frac{x}{3} \text { 이므로 } \theta=\sin ^{-1} \frac{x}{3}, \cos \theta=\frac{\sqrt{9-x^{2}}}{3} \text { 이고, } \\ \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=\frac{2}{9} x \sqrt{9-x^{2}} \text { 이다. } \\ \therefore \int \sqrt{9-x^{2}} d x=\frac{9}{2}\left(\sin ^{-1} \frac{x}{3}+\frac{1}{9} x \sqrt{9-x^{2}}\right)+C \end{aligned} \]</p> <p>† 삼각함수 치환법 : 피적분함수가 \( \sqrt{a^{2}-x^{2}} \)이면 \( x=a \sin \theta, \sqrt{a^{2}+x^{2}} \)이면 \( x=a \tan \theta \)로 치환한다.</p> <h2>[17] 정적분의 치환적분</h2> <p>함수 \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고, 함수 \( t=g(x) \)는 \( \alpha=g(a), \beta=g(b) \)인 구간</p> <p>\( [\alpha, \beta] \)에서 \( g^{\prime}(x) \)가 연속이다. 이때 \( g(x)=t \)의 변수 치환에 의한 정적분은 다음과 같이 된다. \[ \int_{a}^{b} f[g(x)] g^{\prime}(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(t) d t, \alpha=g(a), \beta=g(b) \] 증명 함수 \( F \)를 \( f \)의 원시함수라 하면 \( F[g(x)] \)는 \( f[g(x)] g^{\prime}(x) \)의 원시함수이므로 미적분학의 기본정리 II 에 의하여 \[ \begin{aligned} \int_{a}^{b} f[g(x)] g^{\prime}(x) d x &=[F\{g(x)\}]_{a}^{b} \\ &=F\{g(b)\}-F\{g(a)\}=F(\beta)-F(\alpha) \end{aligned} \] 이다. 또한 함수 \( f(t) \)의 적분에서 미적분학의 기본정리 Ⅱ에 의하여 \[ \int_{\alpha}^{\beta} f(t) d t=[F(x)]_{\alpha}^{\beta}=F(\beta)-F(\alpha) \] 이다. 따라서 \( \int_{a}^{b} f[g(x)] g^{\prime}(x) d x=\int_{\alpha}^{\beta} f(t) d t \)이다.</p> <h3>예제 4.5.2</h3> <p>치환적분을 이용하여 다음 정적분의 값을 구하여라.<ol> <li>\( \int_{0}^{1}(x+2)^{3} d x \)</li> <li>\( \int_{0}^{1} 3 x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{4} d x \)</li> <li>\( \int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{x^{2}+x+1} d x \)</li> <li>\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} x \cos x d x \)</li></ol></p> <p>풀이<ol> <li>\( x+2=t \)로 하면 \( d x=d t \)이고, \( x=0 \) 일 때 \( t=2, x=1 \) 일 때 \( t=3 \)이므로 \( t \)에 대한 적분구간은 \( [2,3] \)이 된다. \[ \begin{aligned} \therefore \int_{0}^{1}(x+2)^{3} d x &=\int_{2}^{3} t^{3} d t \\ &=\left[\frac{1}{4} t^{4}\right]_{2}^{3}=\frac{1}{4}\left(3^{4}-2^{4}\right)=\frac{65}{4} \end{aligned} \]</li> <li>\( x^{3}+1=t \)로 하면 \( 3 x^{2} d x=d t \)이고, \( x=0 \) 일 때 \( t=1, x=1 \) 일 때 \( t=2 \)이므로 \( t \)에 대한 적분구간은 \( [1,2] \)가 된다.</p> <p>\[ \begin{aligned} \therefore \int_{0}^{1} 3 x^{2}\left(x^{3}+1\right)^{4} d x &=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+1\right)^{4} 3 x^{2} d x=\int_{1}^{2} t^{4} d t \\ &=\left[\frac{1}{5} t^{5}\right]_{1}^{2}=\frac{1}{5} \times\left(2^{5}-1^{5}\right)=\frac{31}{5} \end{aligned} \]</li> <li>\( x^{2}+x+1=t \)로 하면 \( (2 x+1) d x=d t \)이고, \( x=0 \) 일 때 \( t=1, x=2 \)일 때 \( t=7 \)이므로 \( t \)에 대한 적분구간은 \( [1,7] \)이 된다. \[ \begin{aligned} \therefore \int_{0}^{2} \frac{2 x+1}{x^{2}+x+1} d x &=\int_{0}^{2} \frac{1}{x^{2}+x+1}(2 x+1) d x=\int_{1}^{7} \frac{1}{t} d t \\ &=[\ln t]_{1}^{7}=(\ln 7-\ln 1)=\ln 7 \end{aligned} \]</li> <li>\( \sin x=t \)로 하면 \( \cos x d x=d t \)이므로 \( \sin ^{4} x \cos x d x=t^{4} d t \)이고, \( x=0 \)일 때 \( t=0, x=\frac{\pi}{2} \) 일 때 \( t=1 \)이므로 \( t \)에 대한 적분구간은 \( [0,1] \)이 된다. \[ \therefore \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{4} x \cos x d x=\int_{0}^{1} t^{4} d t=\left[\frac{1}{5} t^{5}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{5} \]</li></ol></p> <h3>예제 4.5.3</h3> <p>삼각함수 치환을 이용하여 \( \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} d x \)의 값을 구하여라. (단, \( R>0 \)이다.)</p> <p>풀이 \( x=R \sin \theta\left(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right) \)로 하면 \( d x=R \cos \theta d \theta, x=0 \) 일 때 \( \theta=0 \), \( x=R \) 일 때 \( \theta=\frac{\pi}{2} \)이다. \[ \begin{aligned} \therefore \int_{0}^{R} \sqrt{R^{2}-x^{2}} d x &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{R^{2}-R^{2} \sin ^{2} \theta} R \cos \theta d \theta \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{R^{2}\left(1-\sin ^{2} \theta\right)} R \cos \theta d \theta \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{R^{2}\left(\cos ^{2} \theta\right)} R \cos \theta d \theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} R^{2} \cos ^{2} \theta d \theta \\ &=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{R^{2}(1+\cos 2 \theta)}{2} d \theta=\frac{R^{2}}{2}\left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=\frac{\pi R^{2}}{4} \end{aligned} \]</p> <h2>[18] 넓이 (I)</h2> <p>함수 \( f(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속일 때 곡선 \( y=f(x) \)와 \( x \)축 및 두 직선 \( x=a, x=b \)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[ S=\int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \] 이다.</p> <p>설명 정적분의 정의에 의해 폐구간 \( [a, b] \)에서 \( f(x) \geq 0 \)이면 곡선 \( y=f(x) \)와 \( x \)축 및 두 직선 \( x=a, x=b \)로 둘러싸인 도형의 넓이 \( S=\int_{a}^{b} f(x) d x \)이다. 폐구간 \( [a, b] \)에서 \( y=f(x) \leq 0 \)이면 도형의 넓이 \( S \)는 \( y=f(x) \)와 \( x \)축에 대해 대칭인 \( y=-f(x) \)와 \( x \)축 및 두 직선 \( x=a, x=b \)로 둘러싸인 도형의 넓이와 같으므로 \( S=\int_{a}^{b}[-f(x)] d x \)이다. 따라서 \( S=\int_{a}^{b}\|f(x)\| d x \)이다.</p> <h2>[19] 넓이 (Ⅱ)</h2> <p>두 함수 \( f(x), g(x) \)가 폐구간 \( [a, b] \)에서 연속일 때 두 곡선 \( y=f(x), y=g(x) \) 및 두 직선 \( x=a \), \( x=b \)로 둘러싸인 도형의 넓이는 \[ S=\int_{a}^{b}\|f(x)-g(x)\| d x \] 이다.</p> <h3>예제 4.5.4</h3> <p>포물선 \( y=x^{2}+1 \)과 \( x \)축 및 두 직선 \( x=-1, x=2 \)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.</p> <p>풀이 적분구간 \( [-1,2] \)에서 \( x^{2}+1>0 \)이므로 넓이는 \[ \begin{aligned} S &=\int_{-1}^{2}\left(x^{2}+1\right) d x=\left[\frac{1}{3} x^{3}+x\right]_{-1}^{2} \\ &=\left(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}+2\right)-\left(-\frac{1}{3}-1\right) \\ &=6 \end{aligned} \] 이다.</p>	자연
모수적 부트스트랩을 이용한 차등정보보호 히스토그램의 동질성 검정	<p>모의실험은 길이가 같은 \( M \) 개의 구간을 가진 두 히스토그램에 대해서 시행되었다. \( M \) 개의 구간에 대해서, 주어진 \( p_ { 0 } \in \mathbb { R } ^ { M } \) 를 모수로 하는 다항분포를 생각하자. 이러한 다항분포에서 도수의 합이 5,050 이 되도록 두 개의 히스토그램을 생성하고, \( \alpha=0.5 \) 수준의 차등정보보호를 적용한 뒤 앞에서 다룬 카이제곱 통계량을 계산한다. 이러한 과정을 (a)라고 할 때 이를 1000 번을 반복하면 귀무가설 하에서의 1000 개의 검정통계량을 얻게 되는데, 이 값들에 대하여 히스토그램을 그려서 검정통계량의 분포를 확인하였다. 관심 있는 특성치가 연속형 변수인 경우 정의역의 일부를 \( M \) 개의 일정한 구간으로 나누어서, \( j \) 번째 구간에 해당하는 확률 \( p_ { 0 j } , j=1, \ldots, M \) 을 계산하였다. \( p_ { 0 } = \left (p_ { 01 } , \ldots, p_ { 0 M } \right ) ^ { t } \) 에 대하여 다음과 같은 3 가지 경우를 고려하였다.</p> <ul> <li>Uniform \( : p_ { 0 j } = \frac { 1 } { M } , \quad j=1, \ldots, M \)</li> <li>Increasing \( : p_ { 0 j } = \frac { j } {\sum_ { i=1 } ^ { M } i } , \quad j=1, \ldots, M \)</li> <li>Normal : \( p_ { 0 j } = \frac {\phi \left (-3 + \frac { 6 } { M-1 } \times(j-1) \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { M } \phi \left (-3 + \frac { 6 } { M-1 } \times(i-1) \right ) } , \quad \phi \) 는 \( N(0,1) \) 의 밀도함수, \( \quad j=1, \ldots, M \).</li></ul> <p>Uniform은 모수를 설정할 때 모든 구간의 기대 도수가 일정하도록 한 것을, Increasing은 각 구간의 기대도수가 점차 증가하는 모양이 되도록 한 것을 나타낸다. Normal의 경우에는 -3 과 3을 양 끝점으로 하여 거리가 균등한 \( M \) 개의 점을 생각하고, 해당 점에서의 \( N(0,1) \) 의 밀도함수 값을 가중치로 이용하여 \( p_ { 0 } \) 를 정하였다. 그 결과, 검정통계량의 분포는 Figure 3과 같다.</p> <p>for \( C_ { 1 } \sim \) Multinomial \( \left (N_ { 1 } , p_ { 1 } \right ), \quad C_ { 2 } \sim \operatorname { Multinomial } \left (N_ { 2 } , p_ { 2 } \right ) \).</p> <p>또한, 해당 검정에 사용되는 검정통계량은 아래와 같다.</p> <p>\( \chi ^ { 2 } = \sum_ { i=1 } ^ { 2 } \sum_ { j=1 } ^ { M } \frac {\left (C_ { i j } -E_ { i j } \right ) ^ { 2 } } { E_ { i j } } \quad \) where \( \quad E_ { i j } = \frac { N_ { i } \left (C_ { 1 j } + C_ { 2 j } \right ) } { N_ { 1 } + N_ { 2 } } \)<caption>(2.3)</caption></p> <p>귀무가설(null hypothesis) 하에서 주어진 검정 통계량은 근사적으로 자유도 \( M-1 \) 의 카이제곱 분포를 따른다. 따라서, 두 히스토그램의 동질성 검정은 주어진 히스토그램들을 사용하여 검정통계량을 계산한 후 카이제곱 분포 하에서의 \( P \)-value를 계산하여 주어진 유의수준보다 작은 경우 귀무가설을 기각한다.</p> <h2>2.2. 차등정보보호</h2> <p>\( \alpha \)-차등정보보호란 하나만 다른 두 개의 데이터베이스 중 한 데이터베이스의 정보를 가진 외부인이 다른 데이터베이스를 공격한다는 상당히 엄격한 가정하에서 공개된 자료에서 개인의 정보가 노출되는 위험을 제어하기 위하여 해당 자료에 적용하는 기술적 조치이다. \( \alpha \)-차등정보보호에 대한 정의는 다음과 같다.</p> <p>Definition 1. 데이터베이스 \( D_ { 1 } \) 과 \( D_ { 2 } \) 를 고려하고, 각각의 데이터베이스는 하나의 개체만 다르고 동일하다고 하자. 임의의 개인정보 노출 제한 방법을 확률적 함수 \( K \) 라고 표현할 때, \( K(D) \) 는 노출 제한 방법이 적용된 공개용 자료가 된다. 집합 \( S \) 는 노출제한 방법이 적용된 모든 가능한 자료의 집합을 나타낸다. 이러한 가정 하에서, \( \alpha \)-차등정보보호란 다음과 같은 조건을 만족하는 것이다.</p> <p>\( \frac { P \left [K \left (D_ { 1 } \right ) \in S \right ] } { P \left [K \left (D_ { 2 } \right ) \in S \right ] } \leq e ^ {\alpha } \approx 1 + \alpha \quad \) for all \( S \subseteq \operatorname { range } (K) \).</p> <p>검정력을 살펴보기 전에 우선 한국의 인구분포로부터 두 개의 히스토그램을 생성해서 제 1 종 오류 확률이 잘 통제되는지 확인해보았다. 먼저, \( X_ { 1 } \) 과 \( X_ { 2 } \) 에 전통적인 동질성 검정을 적용했을 때의 결과를 살펴보면 Figure 9 와 같다. 그래프의 \( x \) 축은 표본 수 \( N \) 이고 \( y \) 축은 제 1 종 오류 확률이다. 이 경우 제 1 종 오류가 잘 통제되지 않음을 알 수 있는데 이는 앞에서 차등정보보호를 적용했을 때에는 검정통계량의 분포가 카이제곱 분포보다 오른쪽으로 치우쳤던 것과 맥락을 같이한다.</p> <p>또한, 구간의 개수가 작아짐에 따라서 각 구간 내의 도수가 증가하여 잡음의 영향이 작아지는데 그 결과로서 1종 오류 확률이 낮아지는 것을 알 수 있다. 그럼에도 불구하고 1종 오류 확률을 통제하기 위해서는 히스토그램 도수의 수가 천만 이상이 되어야 함을 알 수 있다. 정리하자면, 전통적인 동질성 검정은 사용할 수 없다.</p> <p>Figure 10 은 새롭게 제안한 모수적 부트스트랩을 이용한 경우의 제 1 종 오류 확률을 나타낸 자료이다. 각 점에서 표시된 구간은 유의수준 5 \%에서의 제 1 종 오류 확률의 신뢰구간을 표기한 것이다. Figure 9과 비교했을 때 눈에 띄게 제 1 종 오류가 잘 통제되고 있음을 알 수 있다. 특히, 구간의 갯수가 86 개로 많고 강한 차등정보보호가 적용된 경우에도 표본수가 50,000 개 이상이면 제 1 종 오류가 잘 통제되고 있다.</p> <p>다음으로 Figure 11을 통해 새로운 검정 방법의 검정력을 확인하자. Figure 11은 위에서부터 차례대로 약한 차등정보보호 \( ( \alpha=1) \), 중간 차등정보보호 \( ( \alpha=0.1) \), 강한 차등정보보호 \( ( \alpha=0.01) \) 를 적용했을 때의 검정력이다. 약한 차등정보보호를 적용했을 때는 표본 수가 5,000 개로 작을 때도 검정력이 매우 좋은 것을 알 수 있다. 또한, 정보보호 수준을 높일수록(즉, \( \alpha \) 가 작을수록), 구간의 개수가 많을수록, 효과 크기가 작을수록, 검정력을 보장하기 위한 표본 수 \( N \) 이 증가하는 것을 알 수 있다.</p> <p>제안된 동질성 검정의 또 다른 장점은, 두 개의 히스토그램이 서로 다른 수준의 차등정보보호 자료일 때도 사용할 수 있다는 점이다. 이를 확인하기 위하여 한 히스토그램은 \( \alpha=0.1 \) 의 정보보호를, 다른 히스토그램은 \( \alpha=0.05 \) 의 정보보호를 적용한 후, Figure 12 와 같이 제 1 종 오류의 통제 여부와 검정력을 확인해보았다.</p> <p>이와 같은 \( \widetilde { C_ { i j } } \) 를 이용하여 최종적으로 \( N_ { i } , C_ { i j } , p_ { 0 } \) 는 아래와 같이 추정할 수 있다.</p> <p>\( \widehat { N_ { i } } = \left [ \sum_ { j=1 } ^ { M } \widetilde { C_ { i j } } \right ], \quad \widehat { C_ { i j } } = \widetilde { C_ { i j } } \times \frac {\widehat { N_ { i } } } {\sum_ { j=1 } ^ { M } \widetilde { C_ { i j } } } , \quad \widehat { p_ { 0 } } = \frac {\widehat { C_ { 1 } } + \widehat { C_ { 2 } } } {\widehat { N_ { 1 } } + \widehat { N_ { 2 } } } \).<caption>(4.3)</caption></p> <p>여기서 \( \lfloor x \rceil \) 는 \( x \) 에서 가장 가까운 정수를 의미한다. \( \widetilde { C_ { i j } } \) 를 바로 사용하지 않고 위의 과정을 거치는 이유는 \( \widehat { N } _ { i } \) 를 자연수로 추정하기 위해서이다.</p> <p>마지막으로, Multinomial \( \left ( \widehat { N_ { 1 } } , \widehat { p_ { 0 } } \right ) \) 과 Multinomial \( \left ( \widehat { N_ { 2 } } , \widehat { p_ { 0 } } \right ) \) 에서 \( U_ { 1 } \) 과 \( U_ { 2 } \) 를 생성하게 된다. Algorimthm 1과 Figure 5 는 지금까지 설명한 과정을 나타낸다.</p> <p>한편, 이와 같은 \( \widehat { C_ { i j } } \) 을 사용하여 기존의 카이제곱 검정을 수행하는 것을 생각해볼 수 있다. 구간 내의 빈도가 충분히 큰 경우에는 차등정보보호 히스토그램의 도수인 \( X_ { i j } \) 도 크기 때문에 \( X_ { i j } = \widetilde { C_ { i j } } = \widehat { C_ { i j } } \) 가 될 것이므로 Figure 3과 같은 결과를 얻는다. 즉, 제 1 종 오류 확률이 통제되지 않는다. 또한, 작은 표본 수나 구간 수의 증가 등으로 인해 개별 구간 내의 빈도가 작은 경우에도 \( X_ { i j } \) 보다 종은 추정값인 \( \widehat { C_ { i j } } \) 을 사용할 때의 제 1 종 오류 확률은 여전히 통제되지 않는다.</p> <p>Figure 4는 왼쪽 위부터 \( \mathrm { Z } \) 방향으로 \( \alpha \) 가 1,0.1,0.05,0.01 인 경우이며, 각 그래프에서 검정색 선과 빨간색 선은 \( g \left (C_ { i j } \right ) \) 와 \( C_ { i j } \) 의 값을 각각 나타낸다. 앞서 언급한 바와 같이 \( C_ { i j } \) 가 작을 때, \( X_ { i j } \) 의 기댓값은 실제 \( C_ { i j } \) 값보다 유의미하게 큰 것을 알 수 있다. 본 논문에서는 이러한 오차를 줄이기 위하여 \( g \left (C_ { i j } \right ) \) 의 역함수를 이용하고자 한다. 우선, 아래와 같이 \( \widetilde { C_ { i j } } \) 를 정의한다.</p> <p>\( \widetilde { C_ { i j } } = \left \{\begin {array} { ll } 0, & \text { if } X_ { i j } \leq \frac { 1 } {\alpha_ { i } } \\ g ^ { -1 } \left (X_ { i j } \right ), & \text { if } \frac { 1 } {\alpha_ { i } }<X_ { i j }<k_ { i j } \left ( \alpha_ { i } \right ) \\ X_ { i j } , & \text { otherwise } \end {array} \right . \)<caption>(4.2)</caption></p> <p>식 4.1을 보면, \( C_ { i j } \) 가 0 이하인 경우, \( X_ { i j } \) 의 기대값은 \( 1 / \alpha_ { i } \) 보다 작다. \( C_ { i j } \) 는 0 보다 작을 수 없으므로 \( X_ { i j } \) 가 \( 1 / \alpha_ { i } \) 보다 작은 경우에는 \( \widetilde { C_ { i j } } \) 를 0 으로 정의한다. 그리고 실제 \( C_ { i j } \) 와 \( X_ { i j } \) 의 기댓값의 차이가 5 보다 작으면 \( X_ { i j } \) 를 \( \widetilde { C_ { i j } } \) 의 값으로 사용하도록 하고 그 외의 경우에는 \( g ^ { -1 } \left (X_ { i j } \right ) \) 의 값을 사용한다.</p> <p>해당 정의에서 \( D_ { 1 } \) 과 \( D_ { 2 } \) 를 한 개의 구간에만 대하여 도수가 1 만큼 차이가 있는 거의 같은 두 히스토그램으로 생각하면 \( K \left (D_ { 1 } \right ) \) 과 \( K \left (D_ { 2 } \right ) \) 는 \( K \) 라는 함수를 이용하여 각각에 차등정보보호를 적용한 두 자료로 볼 수 있다. 이러한 맥락에서 히스토그램에 대한 차등정보보호란 한 사람의 포함 여부가 다른 두 히스토그램에 차등정보보호를 적용했을 때 각각으로부터 얻을 수 있는 정보의 차이가 정해진 수준 이하여야 함을 의미한다. 이 때, \( \alpha \) 가 작을수록 두 차등정보보호 자료의 분포에는 차이가 없으므로 작은 \( \alpha \) 값은 더 강한 개인 정보 보호를 의미한다.</p> <p>이러한 차등정보보호가 개인정보 노출을 제어하는 데에 도움이 됨은 다음 예시에서 확인할 수 있다. 한국에서 가장 부유한 자산가의 이름과 한국인들의 자산의 히스토그램 자료가 공개되었다고 가정하자. 이 경우 두 자료를 결합하면 해당 자산가의 자산 수준이 노출된다. 그러나 히스토그램에 차등정보보호를 적용하여 잡음이 더해진 자산 자료를 배포하는 경우 해당 개인의 자산 정보가 보호될 수 있다.</p> <p>기존의 여러 연구에서 히스토그램에 적용할 수 있는 차등정보보호 방법을 다양하게 제시하고 있는데, 그 중에서 본 논문에서 사용한 방법은 ‘보정된 교란 히스토그램' 이다. 해당 방법은 기본적으로 히스토그램의 도수에 라플라스 잡음을 첨가하는 '교란' 방법에 해당한다. 그런데 도수가 너무 작거나 잡음으로 절대값이 큰 음수가 더해졌을 때 차등정보보호 히스토그램의 도수가 음수가 될 수 있다. 이 경우 음의 도수를 0으로 보정 하는 것이 ‘보정된 교란 히스토그램' 방법이며 아래와 같이 표현된다.</p> <p>\( X_ { j } = \max \left \{ 0, C_ { j } + Z_ { j } \right \} , \quad Z_ { j } \sim \operatorname { Lap } \left ( \frac { 2 } {\alpha } \right ), \quad j=1, \ldots, M \).<caption>(2.4)</caption></p> <p>\( C= \left (C_ { 1 } , \ldots, C_ { M } \right ) ^ { t } , \quad X= \left (X_ { 1 } , \ldots, X_ { M } \right ) ^ { t } \in \mathbb { R } ^ { M } \)</p> <p>기본적으로 두 논문은 주어진 차등정보보호 다항분포 표본에 대하여 원 표본의 총합 \( \left (N_ { i } = \sum_ { j=1 } ^ { M } C_ { i j } \right ) \) 을 알고 있다고 가정한다. 그러나 차등정보보호를 적용한 자료의 총합 \( n_ { i } = \sum_ { j=1 } ^ { M } X_ { i j } \) 는 원자료의 총합 \( N_ { i } \) 와 같지 않으며, \( \sum_ { j=1 } ^ { M } \max \left \{ 0, C_ { i j } + Z_ { i j } \right \} \) 으로부터 얻어짐을 주지할 필요가 있다. 따라서, 원자료를 공개하지 않고 차등 정보보호 자료 만을 공개한다고 할 때 원자료의 총합을 안다는 가정은 비현실적이다. 또한, Wang 등은 차등정보보호 다항분포 표본의 일부가 5 미만인 경우를 가정하지 않고 있으며 Gaboardi 등은 해당 경우에 대한 별도의 설명없이 귀무가설을 기각하지 않는다는 결론을 내리고 있다. 따라서 원 다항분포 표본의 일부 구간의 도수가 매우 작거나 도수에 더해지는 잡음이 큰 음의 값을 가진다면 검정을 할 수 없거나 귀무가설을 항상 기각하지 않는 문제가 발생할 수 있다.</p> <p>본 논문에서는 이러한 문제를 해결하기 위하여 원자료에 대한 정보를 전혀 사용하지 않고 차등정보보호 히스토그램만을 가지고 수행하는 동질성 검정을 제안한다. 즉, 차등정보보호가 적용된 히스토그램과 차등정보보호 수준 \( \alpha \) 만이 접근 가능한 정보라고 가정한다. 또한, 제안하는 동질성 검정은 도수가 5 미만인 것과 관계없이 항상 검정 가능하며 차등정보보호 자료를 이용하여 실제 도수를 참값과 가깝게 추정한다.</p> <h1>4. 모수적 부트스트랩을 이용한 동질성 검정</h1> <h2>4.1. 이론적 구조</h2> <p>본 논문에서 검정하고자 하는 가설과, 전통적으로 해당 가설을 검정하기 위해 사용하는 검정통계량을 정리하면 다음과 같다.</p> <p>\( H_ { 0 } : p_ { 1 } =p_ { 2 } \quad \) vs \( \quad H_ { 1 } : p_ { 1 } \neq p_ { 2 } \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>for \( \quad C_ { 1 } \sim \) Multinomial \( \left (N_ { 1 } , p_ { 1 } \right ), \quad C_ { 2 } \sim \) Multinomial \( \left (N_ { 2 } , p_ { 2 } \right ) \).</p> <p>여기서 \( C_ { j } \) 는 원자료 히스토그램의 \( j \) 번째 구간의 도수를, \( X_ { j } \) 는 차등정보보호 히스토그램의 \( j \) 번째 도수를 의미한다. \( Z_ { j } \) 는 첨가된 라플라스 잡음을 의미한다. Wasserman과 Zhou (2010)는 이 방법을 적용한 히스토그램이 임의의 \( \alpha \) 에 대하여 \( \alpha \)-차등정보보호 자료임을 증명하였다. 한편 라플라스 잡음 대신에 가우시안(Gaussian) 잡음을 사용할 수도 있다. 그러나, 더 약한 정보보호 수준인 \( ( \alpha, \delta) \) 차등정보보호를 하기 위해 사용되는 가우시안 잡음의 분산이 \( \alpha \) 차등정보보호를 위해 사용되는 라플라스 잡음의 분산보다 더 크기 때문에 차등정보보호 자료의 유용성이 더 낮아지게 된다. 본 논문에서 이후에 차등정보보호를 적용하였다는 것은 라플라스 잡음을 이용한 보정된 교란 방법을 적용하였음을 의미한다.</p> <h2>2.3. 차등정보보호 히스토그램에의 전통적 동질성 검정의 적용</h2> <p>이 절에서는 새로운 동질성 검정 방법이 필요함을 확인하기 위해, 차등정보보호 히스토그램의 동질성 검정에 전통적인 카이제곱 통계량을 사용할 수 없음을 보이고자 한다.</p> <p>먼저, 차등정보보호를 적용하였을 때 히스토그램의 분포가 어떻게 달라지는지 살펴보자. 이를 위하여 2020년 한국의 연령별 인구분포 데이터를 사용하였으며 이 자료는 4.2절에서도 사용된다. Figure 1은 해당 데이터의 원 히스토그램과 각기 다른 수준의 차등정보보호를 적용하였을 때의 히스토그램을 보여준다. 약한 수준의 차등정보보호 \( ( \alpha=1) \) 에서는 원 히스토그램과 차등정보보호 히스토그램의 분포가 거의 같은 것을 볼 수 있다. 그러나 강한 차등정보보호를 적용하면 차등정보보호 히스토그램이 원 히스토그램과 상당히 다른 분포를 따르게 된다. 또한, 차등정보보호를 적용하였을 때 히스토그램의 총 도수 \( (N) \) 역시 달라짐을 알 수 있다.</p> <p>이제, 차등정보보호가 적용된 히스토그램에 대한 동질성 검정에서 검정통계량의 분포를 살펴보자. 검정통계량은 귀무가설 하에서 일정한 분포를 따르는 성질을 가져야 한다. 해당 성질을 갖지 않으면 검정통계량에 기반한 \( P \)-value를 안정적으로 계산할 수 없기 때문이다. 즉, 각 히스토그램이 생성된 두 다항분포의 모수가 동일하다면 검정통계량은 모수 값과 관계없이 항상 분포가 일정해야 한다. 그러나 다양한 모수에서 생성된 두 히스토그램에 차등정보보호를 적용하였을 때 전통적인 카이제곱 통계량이 더 이상 카이제곱 분포를 따르지 않을 뿐만 아니라 일정한 분포를 따르지 않음을 Figure 2 와 같은 모의실험을 통해 확인할 수 있다.</p> <p>본 논문은 총 5 장으로 구성되어 있다. 2 장에서는 전통인 히스토그램 동질성 검정, 차등정보보호, 그리고 히스토그램에 차등정보보호를 적용하는 방법에 대해서 다룬다. 또한, 차등정보보호가 적용된 히스토그램에 기존의 동질성 검정이 사용될 수 없음을 확인한다. 3장에서는 차등정보보호 히스토그램의 동질성 검정을 다룬 기존의 논문들을 살펴본다. 4장에서는 본 논문에서 제안하고 있는 모수적 부트스트랩 검정 방법을 설명하고, 미국과 한국의 연령별 인구 분포 자료를 이용하여 그 성능과 유용성을 보인다. 마지막으로 5장에서 결론을 맺는다.</p> <h1>2. 동질성 검정과 차등정보보호</h1> <p>이 장에서는 전통적으로 사용되어 온 히스토그램에 대한 동질성 검정을 살펴본다. 그리고 차등정보보호의 확률적 정의와 차등정보보호가 적용된 히스토그램을 생성하는 방법을 설명한다. 마지막으로 전통적인 카이제곱 동질성 검정이 차등정보보호 히스토그램에 적용될 수 없음을 보인다.</p> <h2>2.1. 히스토그램의 동질성 검정</h2> <p>본 논문에서는 두 히스토그램의 구간의 길이와 개수가 동일함을 가정한다. 따라서, 각 구간을 범주로 보면 아래와 같이 구간이 \( M \) 개인 각각의 히스토그램을 동일한 범주에 대한 다항분포에서의 표본으로 생각할 수 있다.</p> <p>\( C_ { i } = \left (C_ { i 1 } , \ldots, C_ { i j } , \ldots, C_ { i M } \right ) ^ { t } \sim \) Multinomial \( \left (N_ { i } , p_ { i } \right ), \quad i=1,2, \quad j=1, \ldots, M \)<caption>(2.1)</caption></p> <p>여기서 \( C_ { i j } \) 는 \( i \) 번째 히스토그램의 \( j \) 번째 구간의 도수(count)를 의미하고 \( N_ { i } \) 와 \( p_ { i } \) 는 \( i \) 번째 히스토그램의 총 도수 \( \sum_ { j=1 } ^ { M } C_ { i j } \) 와 모수(proportion parmameter)를 의미한다. 즉, 두 히스토그램의 동질성 검정은 아래와 같은 두 다항분포 표본에 대한 모수의 동질성 검정과 동일하다.</p> <p>\( H_ { 0 } : p_ { 1 } =p_ { 2 } \quad \) vs \( \quad H_ { 1 } : p_ { 1 } \neq p_ { 2 } \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>이때 핵심이 되는 부분은 \( p_ { 0 } \) 와 \( N_ { i } \) 를 추정하고 \( U_ { 1 } \) 과 \( U_ { 2 } \) 를 생성하는 과정이므로 이를 상세히 설명하면 다음과 같다. 앞서 언급한 바와 같이 귀무가설 하에서의 \( p_ { 0 } \) 를 계산하고자 할 때 필요한 값은 \( N_ { i } \) 와 \( C_ { i j } \) 이나, 필요한 값이 모두 교란되어 알 수 없는 상황이다. 즉, 주어진 자료 중 \( C_ { i j } \) 에 대한 정보를 가진 값은 차등정보보호 자료인 \( X_ { i j } \) 가 유일하다. 따라서, 적률추정량의 정의를 \( X_ { i j } \) 에 적용하여 \( C_ { i j } \) 와 \( N_ { i } \) 를 추정하고 이를 이용하여 \( p_ { 0 } \) 를 추정하는 것이 자연스럽다. 먼저, 차등정보보호가 적용된 \( i \) 번째 히스토그램의 \( j \) 번째 구간의 도수인 \( X_ { i j } \) 의 조건부 기댓값을 계산해보면 아래와 같다.</p> <p>\( E \left (X_ { i j } \mid C_ { i j } \right )=E \left ( \max \left \{ 0, C_ { i j } + Z_ { i j } \right \} \mid C_ { i j } \right )=C_ { i j } + \frac { 1 } {\alpha } \exp \left (- \frac {\alpha C_ { i j } } { 2 } \right )=: g \left (C_ { i j } \right ) \)<caption>(4.1)</caption></p> <p>만약 원자료의 빈도인 \( C_ { i j } \) 가 충분히 크다면 뒤의 오차항이 0 에 가까워서 \( X_ { i j } \) 를 \( C_ { i j } \) 의 추정값으로 사용할 수 있다. 그러나 \( C_ { i j } \) 가 충분히 크지 않다면 오차항이 유의미하게 0 보다 크게 된다. 따라서 \( X_ { i j } \) 를 \( C_ { i j } \) 의 추정값으로 쓰게 되면 실제 \( C_ { i j } \) 보다 큰 값으로 과대추정을 하게 된다. 이를 면밀히 살펴보기 위하여 Figure 4는 위에 정의한 함수 \( g \left (C_ { i j } \right ) \) 의 그래프를 각 차등정보보호 정도에 따라 나타내고 있다.</p> <p>\( \chi ^ { 2 } = \sum_ { i=1 } ^ { 2 } \sum_ { j=1 } ^ { M } \frac {\left (C_ { i j } -E_ { i j } \right ) ^ { 2 } } { E_ { i j } } \quad \) where \( \quad E_ { i j } = \frac { N_ { i } \left (C_ { 1 j } + C_ { 2 j } \right ) } { N_ { 1 } + N_ { 2 } } \)<caption>(2.3)</caption></p> <p>위의 귀무가설 하에서의 통계량을 계산하고자 할 때 필요한 값은 \( N_ { i } \) 와 \( C_ { i j } \) 이다. 그러나 차등정보보호 자료만을 제공받는 경우 주어지는 정보는 차등정보보호 수준 \( \alpha_ { i } \) 와 아래와 같이 계산된 \( X_ { i j } \) 뿐이다.</p> <p>\( X_ { i j } = \max \left \{ 0, C_ { i j } + Z_ { i j } \right \} , \quad Z_ { i j } \sim \operatorname { Lap } \left ( \frac { 2 } {\alpha_ { i } } \right ), \quad i=1,2, \quad j=1, \ldots, M \)<caption>(2.4)</caption></p> <p>\( X_ { i } = \left (X_ { i 1 } , \ldots, X_ { i M } \right ) ^ { t } \in \mathbb { R } ^ { M } , \quad i=1,2 \)</p> <p>이러한 가정 하에서 본 논문에서 제안하고 있는 모수적 부트스트랩을 이용한 검정 방법의 구조는 다음과 같다. 먼저, 주어진 차등정보보호 자료인 \( X_ { 1 } \) 과 \( X_ { 2 } \) 로부터 귀무가설 하에서의 각 구간의 비율에 대응되는 다항분포의 모수 \( p_ { 0 } \) 와 \( N_ { i } \) 를 추정한다. 그리고 이 \( \widehat { p_ { 0 } } \) 과 \( \widehat { N } _ { i } \) 으로부터 두 히스토그램 \( U_ { 1 } \) 과 \( U_ { 2 } \) 를 생성하고 차등정보보호를 적용해서 귀무가설 하에서의 검정통계량을 계산하는 과정을 \( B \) 번 반복한다. 이렇게 얻은 \( B \) 개의 검정통계량에 대하여 \( (1-0.05) \times 100( \%) \) 분위수를 계산하고, 처음에 주어진 \( X_ { 1 } \) 과 \( X_ { 2 } \) 를 이용하여 계산한 통계량이 이 분위수보다 크면 귀무가설을 기각한다.</p> <h2>4.2. 한국과 미국의 인구 데이터에의 적용</h2> <p>이 절에서는 한국과 미국의 연령별 인구 분포 데이터를 이용하여 제안한 검정 방법의 성능을 확인하고자 한다. 성능평가 기준은 제 1 종의 오류가 일어나는 확률의 통제와 검정력이다. 제안한 검정 방법의 유의수준 \( 5 \% \) 에서의 제 1 종 오류 확률과 검정력은 Algorithm 2 RejectRate 알고리즘의 방법과 Figure 6으로 추정할 수 있다.</p> <p>길이가 같은 구간이 M 개인 두 히스토그램, A 와 B 에 대한 동질성 검정을 생각하자. 먼저, 각각에서 총 도수가 \( N_ { i } \) 가 되도록 다항분포 표본을 생성한 결과를 \( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 2 } \) 라고 하고, 각각에 차등정보보호를 적용한 자료를 \( X_ { 1 } \) 과 \( X_ { 2 } \) 라고 정의한다. 그러면, 앞의 절에서 설명한 바와 같이 \( X_ { 1 } \) 과 \( X_ { 2 } \) 만을 이용하여 \( N_ { i } \) 와 귀무가설 하에서의 다항분포 모수인 \( p_ { 0 } \) 를 추정하고 P-value를 계산할 수 있다. 이 때, 만약 A 와 B 가 분포가 같았다면, P-value가 0.05 보다 작은 경우는 제 1 종의 오류를 범한 것이므로 1,000 개의 P-value 중 0.05 보다 작은 비율을 계산하여 제 1 종 오류의 확률을 계산할 수 있다. 역으로, 사실은 A 와 B 는 분포가 달랐다면 P-value가 0.05 보다 큰 경우는 제 2 종의 오류를 범한 것이다. 따라서 전체 과정을 1000 번 반복하여 얻은 1,000 개의 P-value 중에서 0.05 보다 작은 비율을 계산하면 1 에서 제 2 종 오류의 확률을 뺀 것이므로 검정력을 계산할 수 있다.</p> <p>검정 방법의 성능을 평가하는 데에 사용된 자료는 통계청과 U.S. Census Bureau 에서 발표한 한국과 미국의 2020년 연령별 인구분포 데이터이다. 먼저 Figure 7과 Table 1은 한국과 미국, 한국의 수도권과 비수도권의 인구분포를 정리한 자료이다. 여기서 수도권이란, 서울과 경기, 인천을 포함하고, 비수도권은 그 외의 지역을 포괄한다.</p> <p>Figure 7에서 각각의 구간은 1 세 간격으로 0 세부터 84 세까지는 각 구간의 빈도수이고 85 세 구간은 85 세 이상을 의미한다. 그래프에서 알 수 있듯이 한국과 미국의 인구분포는 눈에 띄게 다른 것을 알 수 있다. 반면에, 한국의 수도권과 비수도권의 경우 약간의 차이는 있으나 한국과 미국에 비하면 그 정도가 미미하다. 따라서 한국과 미국을 비교하는 경우를 효과 크기(effect size)가 큰 경우로, 한국의 수도권과 비수도권을 비교하는 경우를 효과 크기가 중간인 경우로 나누어 검정력을 평가하였다. 성능평가에 사용된 표본 수와 차등정보보호 수준, 히스토그램 구간의 수는 다음과 같다. 구간의 수는 히스토그램을 그릴 때 순서대로 1 세, 5 세, 10 세 단위를 선택하여 얻어진 값들이다.</p> <ul> <li>표본 수 : \( N \in \left \{ 10 ^ { k } , 5 \times 10 ^ { k } : k \in \{ 3,4,5,6,7 \} \right \} \)</li> <li>차등정보보호 수준 : \( \alpha \in \{ 1,0.1,0.01 \} \)</li> <li>구간의 수 : \( M \in \{ 86,18,9 \} \)</li></ul> <p>Figure 8은 Figure 7의 데이터로부터 50000 개의 표본을 뽑아 히스토그램을 그린 후 중간 차등정보보호 \( ( \alpha=0.1) \) 를 적용한 그림이다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>히스토그램은 표본을 이용하여 모집단의 분포를 살펴보는 대표적인 방법이며, 이를 이용하여 두 집단의 모분포가 동일한지에 대한 통계적 검정을 시행할 수 있다. 히스토그램의 동질성 검정은 다양한 분야에서 사용될 수 있다. 예를 들면, 임상 실험 전후에 관심이 있는 특성치의 분포에 차이가 있는지 등, 두 집단의 분포 동질성을 검정할 수 있다. 히스토그램에서 각 구간 도수들의 벡터를 다항분포 표본으로 본다면 구간의 길이와 개수가 같은 두 히스토그램은 다항분포에서의 두 표본이 된다. 이 때 두 히스토그램의 동질성 검정은 두 다항분포 표본이 동일한 모수(proportion parameter)에서 추출된 것인지를 검정하는 것과 같으므로, 다항분포의 카이제곱검정과 같은 방법을 이용할 수 있다.</p> <p>한편, 최근 많은 데이터 정보들에 대한 접근 가능해지면서, 서로 다른 정보들을 결합했을 때 개인 정보의 노출 가능성에 대한 연구가 이루어지고 있다. 이러한 가능성을 정량적으로 설명하면서(formal privacy) 유계를 정해 놓은 것이 차등정보보호의 개념이다. 차등정보보호를 만족하도록 설계된 메커니즘은 이용자가 요구하는 값에 잡음을 추가하여 약간 다른 값을 생성하며 차등정보보호는 참값을 제공할 확률(가능도 함수)을 이용해 정의된다. \( \alpha \)-차등정보보호란 개체 하나만 다른 두 개의 데이터베이스가 있을 때 차등 정보보호 메커니즘을 각 데이터베이스에 적용하여 특정 값이 얻어질 가능도 함수의 비율이 언제나 \( \alpha \) 이하가 되는 것을 말한다. 차등정보보호 메커니즘은 차등정보보호를 만족하도록 원자료를 변형하는 방식을 의미하고 이 메커니즘을 적용한 자료를 \( \alpha \)-차등정보보호자료라고 한다. 미국과 호주 등에서는 개인 정보 보호를 위해 원자료 대신에 이러한 차등정보보호 자료를 공개하는 것을 고려하고 있다.</p> <p>히스토그램에 차등정보보호를 적용하는 메커니즘은 대부분 원자료를 통해 얻은 원 히스토그램에 잡음 (noise)을 더하는 것이다. 그러나 차등정보보호 히스토그램의 동질성 검정에 기존에 사용하던 카이제곱 검정을 적용할 경우, 점정통계량이 더 이상 카이제곱 분포를 따르지 않아 점정 오류가 증가하는 문제가 발생한다. 따라서, 차등정보보호가 적용된 히스토그램들의 동질성 검정을 위해서는 새로운 검정 방법이 요구된다.</p> <p>본 논문에서는 새로운 검정 방법으로 모수적 부트스트랩(parametric bootstrap)을 이용할 것을 제안하고 미국과 한국의 연령별 인구분포 자료에 이를 적용하여 그 실용성(utility)을 보인다. 특히, 차등정보보호 자료의 동질성 검정을 위한 기존의 연구들과의 차별성은 원자료에 대한 정보가 전혀 주어지지 않고 차등정보보호의 수준 \( \alpha \) 와 차등정보보호 자료만이 주어져 있는 상황에서 사용할 수 있다는 점에 있다. 또한, 동질성 검정에 사용되는 두 히스토그램에 서로 다른 차등정보보호의 수준이 적용되었을 때에도 사용할 수 있다.</p> <p>Figure 3의 (a)와 (b)는 총 도수를 5,050 으로 고정한 후 구간의 수 \( M \) 을 각각 20 과 100 으로 다르게 했을 때의 히스토그램이다. 각 열은 왼쪽부터 모수가 Uniform, Increasing, Normal인 경우 검정통계량의 분포이다. (a)와 (b) 각각의 첫번째 행은 Figure 2의 (b)부분을 적용하지 않아 차등정보보호가 적용되지 않은 원 히스토그램에 대한 검정통계량의 분포를 보여준다. (a)와 (b)에서 붉은 선은 각각 자유도 19와 99의 카이제곱 분포를 나타내는데 각 첫번째 행에서는 히스토그램이 해당 분포를 따르고 있음을 알 수 있다. 반면, 차등정보보호 히스토그램에 대한 검정통계량의 분포를 보여주는 두번째 행에서는 분포가 전반적으로 오른쪽으로 이동하고 산포가 커졌으므로 더 이상 카이제곱 분포를 따르지 않음을 알 수 있다. 또한 통계량의 분포 변화 정도가 모수에 따라서 달라지고 있으므로 차등정보보호 히스토그램에 대해서는 기존의 카이제곱 동질성 검정을 그대로 사용하기 어렵다고 판단된다.</p> <p>한편, 구간의 수가 늘어남에 따라서 검정통계량의 분포에 더 큰 변화가 나타난 것을 알 수 있다. 이는 총 도수가 고정되었을 때 구간의 수가 증가하면 각 구간 내의 도수가 줄어들어 잡음의 영향이 증가하기 때문이다. 따라서 같은 수준의 차등정보보호임에도 불구하고 구간의 수가 증가함에 따라 검정통계량에 더 큰 변화가 나타나게 된다.</p> <h1>3. 기존 연구</h1> <p>앞 절에서는 차등정보보호 히스토그램의 동질성 검정에 대한 새로운 검정 방법의 필요성을 논의하였다. 이 절에서는, 기존의 다른 문헌에서도 이러한 논의를 찾아볼 수 있어 여기서 간단히 소개한다. Wang 등에서는 차등정보보호를 적용할 때 두 다항분포 표본에 대한 독립성과 동질성 검정 및 하나의 다항분포 표본에서 적합성 검정(goodness of fit test)을 시행하는 방안을 다루고 있다. 먼저 차등정보보호를 적용한 다항분포 표본을 사용하여 전통적인 카이제곱 통계량을 계산하면 적절한 조건 하에서 이 통계량이 라플라스 분포를 따르는 확률 변수와 특정 모수의 다항분포 확률 변수에 관한 식으로 정리될 수 있음을 보였다. 다음으로 라플라스 분포와 해당 모수의 다항분포 확률 변수를 생성하여 통계량을 계산하는 과정을 반복하여 주어진 차등정보보호 표본의 통계량의 경험적 \( P \)-value를 주어진 유의수준과 비교하여 동질성 검정을 수행할 것을 제안하고 있다.</p> <p>한편, Gaboardi 등에서는 차등정보보호 다항분포 표본의 독립성 검정과 적합성 검정을 제안하고 있다. 제안된 검정 중에 동질성 검정과 유사한 독립성 검정을 살펴보면 \( L_ { 1 } \operatorname { loss } \) 와 \( L_ { 2 } \operatorname { loss } \) 를 조합한 형태의 목적함수를 사용하여 차등정보보호 표본으로부터 모수를 추정한 후 추정된 모수를 이용하여 전통적인 독립성 검정통계량을 계산한다. 그 후에, 추정된 모수로부터 새로 다항분포 표본을 생성하여 앞과 동일하게 새로 모수를 추정하고 검정통계량을 계산하는 과정을 반복한다. 이렇게 계산된 검정통계량들을 사용하여 (1- 주어진 유의수준 \( ) \times 100( \%) \) 분위수를 계산하고 처음에 계산한 통계량이 이 분위수보다 크면 귀무가설을 기각한다.</p>	자연
복소해석학 개론	<p>예 3. \( f(z)=z ^ { 3 } -5 z-3 \) 에 대하여, \( z=r e ^ { i \theta } \) 와 De Moivre의 정리를 이용하면 \[ \begin {aligned} f(z)=f \left (r e ^ { i \theta } \right ) &=r ^ { 3 } ( \cos 3 \theta + i \sin 3 \theta)-5 r( \cos \theta + i \sin \theta)-3 \\ &= \left (r ^ { 3 } \cos 3 \theta-5 r \cos \theta-3 \right ) + i \left (r ^ { 3 } \sin 3 \theta-r \sin \theta \right ) \end {aligned} \] 이고 \[ u(r, \theta)=r ^ { 3 } \cos 3 \theta-5 r \cos \theta-3, \quad v(r, \theta)=r ^ { 3 } \sin 3 \theta-r \sin \theta \] 이다.</p> <p>\( z=(x, y) \) 와 \( w=(u, v) \) 는 평면의 점이므로, 평면에서 실함수를 표현한 것과 같이 복소함수 \( w=f(z) \) 를 3 차원 공간에서 기하학적으로 표현하기는 어려울 것이다. 따라서 \( z \) 평면에서 정의역을, \( w \) 평면에서 치역을 구분하여 그리는 것이 편리하다. 그러면 \( w=f(z) \) 를 \( z \) 평면의 정의역 \( A \) 로부터 \( w \) 평면으로의 사상(mapping) 또는 변환(transformation)으로 생각할 수 있다. 앞으로 복소함수 \( f(z) \) 에 의하여 집합 \( A \) 가 집합 \( B \) 로 사상되거나 변환된다는 의미를 나타내는 기호로 \[ A \stackrel { f(z) } {\longrightarrow } B \] 를 쓸 것이다. 그리고 톡별한 설명이 없는 기호는 수학에서 일반적으로 사용하는 의미로 쓸 것이다.</p> <p>예 4. \( f(z)=z ^ { 2 } \) 이면, \( f(-1,0)=(1,0), \quad f(1,0)=(1,0), \quad f(1,1)=(2,0), \quad f(1,2)=(-3,4) \) 이고, 그림 \( 2.2 \) 와 같이 사상된다.</p> <p>\( A \) 에서 \( B \) 로의 함수 \( f: A \rightarrow B \) 가 다음과 같이 특수한 형태를 취하는 경우가 있다. 모든 \( z_ { 1 } , z_ { 2 } \in A \) 에 대하여 \( z_ { 1 } \neq z_ { 2 } \) 이면 언제나 \( f \left (z_ { 1 } \right ) \neq f \left (z_ { 2 } \right ) \) 일 때, 함수 \( f \) 는 단사이다(injective) 또는 1-1이다(one-one)라고 한다. 그리고, 이러한 \( f \) 를 단사함수(injection)라고 한다. 또 \( f(A)=B \) 이면 \( f \) 는 전사이다(surjective) 또는 \( A \) 를 \( B \) 위로(onto) 사상한다 라고 하고, 이러한 \( f \) 를 전사함수(surjection)라고 한다. 또한 \( f \) 가 단사인 동시에 전사이면 \( f \) 는 전단사이다(bijective)라고, 하고, 이 \( f \) 를 전단사함수(bijection)라고 한다.</p> <p>함수 \( f(z) \) 에 의한 한 점의 상은 한 점이지만 한 점 \( w \in B \) 의 역상(inverse image)의 집합 \( \{ z \in A: w=f(z) \} \) 은 공집합이거나 하나의 점을 포함하거나 여러 개의 점을 포함하게 된다. 그러나 \( f: A \rightarrow B \) 가 전단사이면, 각 점 \( w \in B \) 에 대하여 \( w=f(z) \) 가 되는 유일한 \( z \in A \) 가 존재한다. 따라서 \( w \) 를 \( z \) 에 대응시키는 \( B \) 에서 \( A \) 로의 함수 \( g: B \rightarrow A \) 가 존재하고, 이 또한 전단사이다. 이 \( g \) 를 \( f \) 의 역함수(inverse function)라 하고 \( f ^ { -1 } \) 로 쓴다.</p> <p>예 5.(a)\( f(z)= \bar { z } \) 은 정의역과 치역이 모두 복소평면 \( \mathrm { C } \) 인 전단사함수이다. 따라서 이의 역함수 \( f ^ { -1 } (w)= \bar { w } \) 가 존재하고, 이의 정의역은 복소평면 \( \mathrm { C } \) 이다.(b)\( f(z)=i z \) 는 정의역과 치역이 복소평면 \( \mathrm { C } \) 인 전단사함수이다. \( w=i z \) 를 \( z \) 에 관하여 풀면 \( z=-i w \) 가 되어, \( f \) 의 역함수는 \( f ^ { -1 } (w)=-i w \) 이고 \( \mathrm { C } \) 가 정의역이다.(c)\( z \neq 0 \) 인 모든 \( z \) 에 대하여 \( f(z)= \operatorname { Arg } z \) 로 정의되는 함수는 \( f(i)= \frac {\pi } { 2 } =f(2 i) \) 가 되어 단사함수가 아니다. 따라서 이 함수의 역함수는 존재하지 않는다.</p> <h2>2.2 1차변환</h2> <p>복소함수에 의한 가장 단순한 사상들을 소개한다. 이러한 사상들을 이해하는 것은 보다 복잡한 사상을 이해하는 중요한 요소가 된다.</p> <h3>1. 평행이동</h3> <p>함수 \( w=z + b(b \in \mathrm { C } ) \) 는 \( z \) 평면의 모든 집합을 \( w \) 평면에서 벡터 \( b \) 만큼 옮겨 놓은 집합으로 사상한다. 이 사상을 평행이동(translation)이라 한다. 따라서 \( w \) 평면으로 옮겨진 집합은 \( z \) 평면의 집합과 동일한 모양과 크기를 갖는다.</p> <p>예 1 은 \( z \) 에 관한 함수를 \( x \) 와 \( y \) 에 관한 식으로 표현할 수 있읍을 보여준다. 한편, 정리 1.2(f)의 \( x= \frac { z + \bar { z } } { 2 } , y= \frac { z- \bar { z } } { 2 i } \) 을 이용하여 \( x \) 와 \( y \) 에 관한 식으로 표현된 \( f(z) \) 를 \( z \) 와 \( \bar { z } \) 에 관한 식으로 나타낼 수 있다.</p> <p>예 2. 예 1 을 이용하여 확인해 보자. \[ \begin {aligned} f(z) &=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + i(2 x y) \\ &= \left ( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right ) ^ { 2 } - \left ( \frac { z- \bar { z } } { 2 i } \right ) ^ { 2 } + i 2 \left ( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right ) \left ( \frac { z- \bar { z } } { 2 i } \right ) \\ &= \frac { 1 } { 4 } \left [ \left (z ^ { 2 } + 2 z \bar { z } + \bar { z } ^ { 2 } \right ) + \left (z ^ { 2 } -2 z bar { z } + \bar { z } ^ { 2 } \right ) + 2 \left (z ^ { 2 } - \bar { z } ^ { 2 } \right ) \right ] \\ &=z ^ { 2 } \\ \end {aligned} \] 이다. 복소함수 \( f(z) \) 를 \( \quad z=r e ^ { i \theta } \) 를 이용하여 극형식으로 표현할 수 있다. \[ f(z)=f \left (r e ^ { i \theta } \right )=u(r, \theta) + i v(r, \theta) \] 이고, 여기서 \( u(r, \theta) \) 와 \( v(r, \theta) \) 는 \( r \) 과 \( \theta \) 에 관한 실함수이다.</p> <h1>제2장 복소함수</h1> <p>변수가 복소수인 함수는 실함수가 갖는 성질을 그대로 갖는 것도 있고 그렇지 않는 것도 있다. 이 장에서는 복소함수에 관한 일반적인 내용과 역함수에 대하여 다룬다. 특별히 중요한 1 차변환, \( n \) 제곱함수 및 \( n \) 제곱근함수, 반전사상, 1 차분수변환들을 소개한다.</p> <h2>\( 2.1 \) 복소함수</h2> <p>\( A \) 와 \( B \) 를 공집합이 아닌 복소수의 집합이라 하자. \( A \) 에서 \( B \) 로의 함수 \( f \) 는 각 \( z \in A \) 에게 유일하게 결정된 원소 \( w \in B \) 를 지정해 주는 대웅규칙이다. 이를 \( f: A \rightarrow B \) 로 표기한다. 이때, \( w \) 를 \( f \) 에 의한 \( z \) 의 상(image) 또는 \( z \) 에서 \( f \) 의 값(value)이라 하고, \( w = f(z) \) 로 쓴다. 또 \( A \) 를 \( f \) 의 정의역(domain of definition)이라 하고, 모든 상의 집합을 \( f \) 의 치역(range)이라 하며 \( f(A) \) 로 표기한다.</p> <p>복소수 \( z=x + i y \) 가 실수부 \( x \) 와 허수부 \( y \) 로 표현되둣이, \( w \) 또한 실수부 \( u \) 와 허수부 \( v \) 인 \( w=u + i v \) 로 표현텔 것이다. 즉 \[ w=f(z)=f(x + i y)=u + i v \] 이다. \( u \) 와 \( v \) 는 \( x \) 와 \( y \) 에 종속되므로 \[ u=u(x, y), \quad v=v(x, y) \] 인 실함수이다. 따라서 \[ f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \] 로 쓸 수 있다.</p> <p>예 1. 함수 \( f(z)=z ^ { 2 } \) 에 대하여 \[ w=f(z)=(x + i y) ^ { 2 } =x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + i(2 x y) \] 로 표현할 수 있다. \[ \operatorname { Ref } (z)=u(x, y)=x ^ { 2 } -y ^ { 2 } \] 이고 \[ \operatorname { Im } f(z)=v(x, y)=2 x y \] 이다.</p>	자연
m812-논리와 사고	<h1>10.2 여러 논리연산자를 포함한 명제</h1> <h2>1) 주연산자</h2> <p>여러 개의 논리연산자가 포함된 복합명제에서 연산자가 적용되는 순서를 정확히 정해주지 않을 때 그 의미가 모호해질 수 있다.</p> <p>그래서 연산자들끼리의 우선순위를 분명히 해주기 위해서 기호로 표현한 복합명제에 괄호를 사용한다거나 혹은 구두점(,)을 사용한다. 기호로 표시되지 않은 문장에서는 보통 괄호를 사용하지 않고 구두점을 사용하여 그 의미를 나타낸다.</p> <p>만약 여러 연산자가 포함된 문장 속에서 구두점과 같은 구분이 사용되지 않았다면 앞 뒤 문맥을 살펴보면서 조심스럽게 그 문장이 의미하는 바를 이해해야 할 것이다.</p> <p>예를 들면,</p> <p>“예영이는 집에 있고 지환이는 밖에 있다는 것은 사실이 아니다.”</p> <p>이 문장에서 “예영이는 집에 있다.”를 첫 번째 명제의 주어의 영문 첫 자음을 따서 “Y"로 기호화한다면, “지환이는 밖에 있다."는 "J”로 기호화 될 것이다.</p> <p>그래서 원래 문장을 기호로 표시하면 두 가지 “Y \( \wedge \) ~J”이거나 “(Y \( \wedge \) J) ”로 이해할 수 있다. 이것을 구두점을 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있을 것이다.</p> <p>“예영이는 집에 있고, 지환이는 밖에 있다는 것은 사실이 아니다."</p> <p>"예영이는 집에 있고 지환이는 밖에 있다는 것은, 사실이 아니다."</p> <p>첫 번째 문장의 경우 앞 명제는 긍정문이 되고 뒤의 명제는 부정문이 된다. 반면에 두 번째 문장에서는 앞과 뒤의 명제 모두를 부정하고 있다.</p> <p>주연산자(main operator)란 복합명제의 진리값을 계산할 때 최종적인 계산에 반영되는 연산자를 말한다.</p> <p>그러므로 첫 번째 복합명제 “예영이는 집에 있고, 지환이는 밖에 있다는 것은 사실이 아니다.”는 긍정명제와 부정명제 사이의 연언 복합명제이므로 주연산자는 연언이다. 또한 두 번째 복합명제 "예영이는 집에 있고 지환이는 밖에 있다는 것은, 사실이 아니다."는 두 명제가 연언으로 연결된 복합명제의 부정이므로 주연산자는 부정이다.</p> <p>다음 명제들을 이용해서 연언과 선언연산자가 함께 포함된 복합명제들을 만들어보자.</p> <p>"나라를 위해 군 입대하다." : "N"</p> <p>"자유를 위하여 목숨 바치다." : "F"</p> <p>"신념에 따라 대체복무를 한다.” : "B"</p> <p>"나라를 위하여 군 입대하고 자유를 위하여 목숨 바치고, 혹은 신념에 따라 대체 복무한다."</p> <p>라는 문장을 기호로 "N \( \wedge \) F \( \vee \) B"이다. 그러나 이때도 문장의 뜻은 분명하지 않는다. 그래서 분명한 의사를 전달하기 위하여 연산자의 우선순위를 괄호로 표시하면 좋을 것이다.</p> <p>만일 이 문장이 "(N \( \wedge \) F) \( \vee \) B"으로 표시된다면, 다음과 같은 위치에 구두점을 놓을 수 있다.</p> <p>"나라를 위해 군 입대하고 자유를 위하여 목숨 바치고, 혹은 신념에 따라 대체복무를 한다.”</p> <p>이 경우는 나라에 부름 받아 군에 입대해서 자유를 위하여 충성된 모습을 보이든지 아니면 신념에 따라 군 입대를 거부하고 대신에 대체복무를 신청하겠다는 말로 해석된다.</p> <p>그러나 만일 위의 문장이 "N \( \wedge \) (F \( \vee \) B)"으로 표시된다면,</p> <p>"나라를 위해 군 입대하고, 자유를 위하여 목숨 바치고 혹은 신념에 따라 대체복무를 한다.”</p> <p>로 구두점이 첫 명제 다음에 놓이게 된다.</p> <p>"나라를 위해 군에 입대하는 동시에 자유를 위하여 목숨을 바치거나" 혹은 “신념에 따라 군 훈련이 아닌 대체복무를 하겠다.”는 말이 된다.</p> <p>다시 말하면 이 문장은 “군에 입대해서 자유를 위하여 목숨을 바치든지" 아니면 “군에 입대는 하지만 종교적 신념 때문에 군 훈련 대신에 대체복무를 신청하겠다.'는 말이다.</p> <p>그러므로 "(N \( \wedge \) F) \( \vee \) B"의 주연산자는 선언 \( \vee \) 이 되며, 반면에 "N \( \wedge \) (F \( \vee \) B)"의 주연산자는 연언 \( \wedge \) 이 된다.</p> <h2>5) 모순명제</h2> <p>어떤 명제의 진리값이 항상 거짓인 경우 우리는 이 명제를 모순명제(contradiction)라고 말한다. 모순명제는 그것의 진리표에서 주연산자 아래쪽 열에 놓인 진리값들이 모두 F만을 가진다.</p> <h3>(1) \( p \wedge \sim p \)</h3> <p>“p이면서 동시에 ~p이다.”라는 명제는 항상 거짓이다.</p> <p>예를 들면,</p> <p>“그 사람은 남자이면서 동시에 남자가 아니다.”</p> <p>라는 문장은 일반적으로 존재하지 않는 상황이므로 거짓이다.</p> <p>명제 "p"에 어떤 다른 명제를 대신한다고 하더라도 그 명제는 거짓이 된다.</p> <p>진리표는 다음과 같다.</p> <p>"p"와 “~p"가 공존하는 명제는 모순율에 위반하는 것으로 어떠한 사고나 판단에서든지 서로 모순되는 두 가지 판단을 동시에 판단하는 것을 허락하지 않는다.</p> <p>만일 모순율의 이 요구를 무시하고 동일한 대상에 대하여 동일한 시간과 관계 하에서 모순되는 두 가지 판단을 내린다면 이 두 가지 판단은 동시에 참일 수 없고 그중 하나는 반드시 거짓이 된다.</p> <p>다음은 모순율에 위반되는 재미있는 이야기를 소개하겠다.</p> <p>노총각의 실수</p> <p>옛날 어느 고을에 사람 됨됨이가 고약한 마흔이 넘은 노총각이 있었다. 그래서 그에게 시집오려는 색시가 없어서 외롭게 지내고 있었다. 외모가 어떻든지 시집오겠다는 여자만 있으면 장가들려고 하였지만 누구 하나 응하는 사람이 없었다.</p> <p>하지만 오만한 그는 언제나 만나는 사람에게 “여자의 말은 들을 바가 못 됩니다!" 하고 빈정거리며 다녔다. 못된 이 외톨이를 한 번 혼내 주려고 작심한 마을의 한 젊은이는 어느 날 그를 찾아가서 물었다.</p> <p>"저 한 가지 물어 볼 것이 있어 왔는데 \( \cdots \) 여자의 말을 들어야 합니까? 듣지 말아야 합니까?"</p> <p>노총각은 어처구니없는 물음이라는 듯이 정색하면서 대답하는 것이었다.</p> <p>"아 여보시오 여자란 원래 사람 축에도 못 드는 존재라고요! 그런 여자의 말은 절대 들을 바가 못 됩니다!"</p> <p>"잘 알겠습니다. 헌데 물어 보려고 했던 것은 다름 아니라 앞마을의 과부 한 사람이 당신한테 청혼해 달라고 부탁을 해 와서 \( \cdots \)”</p> <p>젊은이는 이 말을 남기고 문 밖으로 향했다. 노총각은 순식간에 얼굴이 화끈 달아올랐다. 마흔이 넘도록 청혼을 받아 본 것이 처음이었다. 그는 맨발로 문 밖으로 달려가 젊은이를 막아 세우며 이렇게 말했다.</p> <p>"이 젊은 양반 \( \cdots \), 어 여자의 말도 때로는 들어야 하지요!"</p> <h3>(2) \( p \equiv \sim p \)</h3> <p>p와 ~p의 진리값은 항상 반대이므로 두 명제가 동치라는 복합명제는 항상 거짓이 된다. 그러므로 이 명제는 모순명제가 된다. 다음은 " \( p \equiv \sim p \) "의 진리표를 나타낸 것이다.</p> <h2>1) 부정연산자</h2> <p>부정(negation)은 단순명제 "p"의 진리값과 반대되는 진리값을 가지게 하는 논리연산자이다. 기호는 ~(the tilde)를 사용한다. 명제 "p"의 부정명제는 "~p"로 표시하며 이것을 "p가 아니다."라고 읽는다.</p> <p>"p"의 진리값이 참이면 “~p"의 진리값은 거짓이 되고, "p"이 거짓명제이면 “~p"은 참인 명제가 된다. 다음은 부정명제 “~p"의 진리표를 정의한 것이다.</p> <p>부정명제 “~p"는 "p는 아니다."라고 읽으며 "p"와 반대 개념으로 생각한다. 그러나 부정을 표현하는 말로 '~은 아니다'라는 표현 이외에도 다양한 표현 방법들이 있을 수 있다.</p> <p>예를 들어,</p> <p>“사람은 죽는다.”</p> <p>라는 문장에 대한 부정적 표현들을 생각해보자.</p> <p> <ul> <li>"사람이 죽는다는 것은 사실이 아니다.”</li> <li>"사람은 죽지 않는다."</li> <li>“사람이 죽는다는 것은 거짓이다."</li> <li>“사람은 불멸한다."</li></ul></p> <p>위의 네 문장들은 모두 같은 의미를 가진 명제들이다. “사람은 죽는다."라는 명제를 기호 "p"로 표시하면 위의 네 문장은 모두 기호 “~p”로 표시될 것이다.</p> <p>그런데 네 번째 문장만 보면 마치 긍정적 표현인 것 같이 보인다. 즉 얼핏 긍정명제로 보이기 때문에 "p"로 기호화 할 수 있지만 원래 주어진 문장의 반대 의미로 사용되었기 때문에 역시 "~p"로 표시된다는 사실에 주의해야 한다.</p> <p>또한 단락 내에서 문장들을 기호화할 때 주의해야 할 점이 있다. 주어진 단락 내에서 어떤 문장에 특정한 기호를 사용했다면 그 단락 내에서는 항상 그 특정한 기호를 일관성 있게 사용해야 한다는 것이다.</p> <h2>2) 연언연산자</h2> <p>한 개의 명제로 이루어진 문장을 단순명제라 하고, 두 개 이상의 단순명제들로 이루어진 명제를 복합명제라 한다.</p> <p>복합문이 복합명제가 되기 위해서는 진리값을 결정할 수 있어야 하며 복합명제의 진리값을 결정하기 위해서 복합명제를 구성하고 있는 각각의 명제들에 대한 진리값을 알아야 하며 논리연산자가 복합명제 속에서 어떤 의미를 가지고 있느냐에 따라 진리값이 결정된다.</p> <p>우리는 두 명제를 연결해주면서 두 사건이 동시적으로 발생하는 것을 의미하는 논리연산자를 생각해보겠다. 이런 의미를 가지고 있는 논리연산자를 연언(conjunction)이라고 하며 '그리고' 또는 '~이고'로 복합명제에서 표현된다.</p> <p>다음 명제들을 통해서 연언연산자의 의미를 살펴보도록 하겠다.</p> <p> <ul> <li>"3 + 4 = 7이고, 수학은 논리적인 학문이다."</li> <li>"대한민국은 언론의 자유가 있다. 그리고 대한민국은 유럽에 위치해 있다."</li> <li>"반도체의 원료는 고무이고, 사람은 원숭이가 진화한 것이다."</li></ul></p> <p>위의 세 문장은 복합명제들로 각각 두 개의 명제들이 연언으로 연결되어 있다. 첫 번째 복합명제인 경우에 앞의 명제는 참이고 뒤의 명제도 분명히 참이다. 두 번째 경우에는 앞의 명제는 참이고 뒤의 명제는 거짓이다. 마지막 복합명제의 앞과 뒤의 두 명제 모두는 거짓이다.</p> <p>이들 세 개의 복합명제의 진리값을 결정하기 위하여 그 복합명제를 구성하고 있는 각각의 명제의 진리값을 생각해야 한다.</p> <h1>10.1 논리연산자</h1> <p>먼저 문장과 명제를 구별해야 할 것이다. 문장(sentence)은 언어의 문법에 따른 단어들의 배열인 반면에 명제(proposition)는 그 문장의 진의가 구별될 수 있는 것을 말한다. 즉 주어진 문장이 참인지 거짓인지를 판단할 수 있는 문장을 말한다. 일반적으로 참과 거짓을 말 할 수 있을 때 우리는 진리값(true value)을 가진다고 말한다.</p> <p>명제인 문장과 그렇지 못한 문장에 대한 예를 들어 보겠다. “우리 아이들은 참 예쁘다.”라는 문장은 명제가 될 수 없다. 왜냐하면 이 문장에는 화자의 주관적 관점이 내포되어 있기 때문이다. 그러나 만일 “사람은 모두 죽는다.”라고 했을 때, 이 문장은 명제라고 말할 수 있다. 왜냐하면 이 문장은 보편적 진리이며 어떤 사람도 이 문장에 대해서 이의를 제기할 수 없기 때문이다.</p> <p>논리학을 공부하는 우리에게는 명제 또는 여러 명제들로 구성된 복합명제들에 대해서 관심을 가질 것이며 그런 문장들을 다룰 것이다.</p> <p>보통 문장은 여러 개의 명제들로 구성되어 있다. 여러 개의 명제들을 논리적으로 연결해주는 역할을 하는 것이 논리연산자(logical operators)이다.</p> <p>이 연산자에 의해서 새로운 명제가 만들어지며 따라서 진리값도 변하게 된다.</p> <p>다음의 문장으로 표현된 명제를 생각해보자.</p> <p>"모든 명제는 진리값을 가진다고 말할 수 없다."</p> <p>이 문장 안에는 “모든 명제는 진리값을 가진다.”라는 명제를 포함하고 있으며 또한 논리연산자인 '~없다'가 원래의 명제와는 다른 논리적 구조를 만들고 있다.</p> <p>'~없다'라는 부정의 의미를 가지고 있는 연산자 때문에 처음 명제가 참이라면 새로 만들어진 명제는 거짓이 될 것이다. 만약 처음 명제가 거짓이라면 부정 논리연산자에 의해서 만들어진 새로운 명제는 참이 될 것이다.</p> <p>그런데 모든 논리연산자와 명제가 결합하여 만들어진 복합문이 항상 새로운 명제가 되는 것은 아니다. 즉 복합문에 포함된 논리연산자가 새로운 진리값을 주는 것이 있는 반면에 진리값을 주지 못하는 것도 있다는 것이다.</p> <p>예를 들어, 다음 문장들을 살펴보겠다.</p> <p>“예영이는 논리학이 유익한 학문이라고 믿는다."</p> <p>“지환이는 논리학이 유익한 학문임을 알아야 한다.”</p> <p>이 두 문장은 ‘논리학이 유익한 학문’이라는 명제와 ‘~믿는다.'와 ‘~알아야 한다.'라는 명제를 논리연산자에 의해 만들어진 복합문이다.</p> <p>두 문장에 공통적으로 표현된 명제의 진리값을 우리가 알고 있다고 하더라도 두 복합문의 참과 거짓을 명확하게 결정할 수 없다.</p> <p>첫 번째 복합문은 예영이의 개인적인 신념을 말하고 있으며, 두 번째 문장 역시 지환이가 알아야 하는 의무에 대해서 말하고 있기 때문에 그것이 참이거나 거짓임을 판단할 수 없다. 그러므로 새로 구성된 문장들 모두는 명제가 아니고, 이때 사용된 논리연산자는 진리값을 주지 못한다.</p> <p>그러면 진리값을 줄 수 있는 논리연산자에 대해서 살펴보기로 하겠다.</p> <h2>4) 동어반복명제</h2> <p>어떤 명제가 항상 참인 진리값만을 가지는 경우 우리는 이 명제들을 동어반복명제(tautology)라고 말한다. 따라서 그것의 진리표를 구하면 주연산자 아래쪽 열에 놓인 진리값들이 모두 T만을 가진다.</p> <h3>(1) \( p \vee \sim q \)</h3> <p>명제 "p이거나 혹은 p이다."는 항상 참인 명제이다. 모든 사물들은 그것 자체이거나 아니면 그것이 아닌 것이다. 즉 둘 중의 하나이기 때문에 이 명제는 참인 명제이다.</p> <p>예를 들면,</p> <p>“예영이는 학생이거나 혹은 학생이 아니다."</p> <p>이 문장은 예영이가 어느 집단에 소속해 있는지에 대해 말하고 있다. 그런데 예영이가 학생이면서 학생이 아닐 수 없기 때문에 항상 참인 명제가 된다.</p> <p>다음 진리표에 의해서 \( \mathrm { p } \vee \sim \mathrm { q } \) 의 진리값이 항상 참임을 논리적으로 확인할 수 있을 것이다.</p> <p>이런 형식은 배중률(law of excluded middle)이라고 알려진 동어반복명제이다.</p> <p>배중률이란 사유과정에서 동일한 대상은 동일한 시간과 동일한 관계 하에서 어떤 성격을 띠고 있거나 띠고 있지 않는 경우가 있을 뿐 결코 제 3 의 성격을 띨 수 없다고 확정하는 사고법칙이다.</p> <p>다음 배중률에 관한 재미있는 이야기를 소개하겠다.</p> <p>현명한 대신</p> <p>옛날에 한 임금이 있었는데 그의 신하 중에는 권세욕에 가득 찬 간악한 대신과 매사에 공정하고 현명한 대신이 있었다. 그런데 그 현명한 대신을 눈에 가시처럼 미워하던 간악한 대신은 현명한 대신이 임금을 해치려 한다고 임금에게 거짓으로 일러 바쳤다. 포악한 임금은 그의 말을 곧이 듣고 즉시 무슨 방법을 강구하여 그를 처단하라고 엄명했다.</p> <p>“방법이야 있사옵니다. 단지 속에 '생’자와 '사'자를 각기 써 놓은 쪽지 두 개를 넣고 내일 아침에 폐하 앞에서 제비를 뽑게 한 다음 ‘생’자를 뽑으면 살려주고 '사’자를 뽑으면 죽이기로 하심이 어떠하온지요?"</p> <p>그러자 임금은 무릎을 치며 말했다.</p> <p>"거참 묘한 방법이군. 그런데 꼭 '사'자를 뽑게 해야 하지 않느냐?"</p> <p>간악한 대신은 얼굴에 간사한 웃음을 띠고 임금을 안심시키려 했다.</p> <p>"염려 마십시오, 폐하!"</p> <p>"음, 그러면 경을 믿고 있겠노라!"</p> <p>간악한 대신은 임금이 수락하자 하인을 시켜 쪽지 두 개에 모두 ‘사’자를 써서 단지 속에 넣게 했다. 간악한 대신의 흉계를 알아차린 하인은 이 일을 즉시 현명한 대신에게 알려 주었다. 밤새 뜬 눈으로 지새다가 끝내 묘한 수를 생각해 낸 현명한 대신은 아침에 임금이 호출하자 궁궐 안에 들어섰다. 거기에는 벌써 간악한 대신은 물론 모든 대소실료들이 임금을 모시고 양쪽 옆에 줄지어 서 있었다. 이윽고 임금이 호령했다.</p> <p>"듣자하니 그대가 나를 모해할 역모를 꾸미고 있다지. 그러하니 저 단지 속에 제비를 뽑되 '생’자를 뽑으면 한 번만 용서해주고 '사’자를 뽑으면 즉시 극형에 처하겠노라!"</p> <p>그러자 현명한 대신은 주위를 살펴 본 다음 단지 속에 손을 넣어 쪽지 한 개를 뽑은 다음 펴보지도 않고 곧 바로 입에 넣어 삼켜 버렸다. 눈이 휘둥그레진 임금은</p> <p>“왜 쪽지를 펴 보지 않고 삼켜 버렸느냐?"</p> <p>하고 노발대발했다. 그러자 현명한 대신은 태연스럽게 대답했다.</p> <p>"단지 속에 남은 쪽지를 뽑아 보시면 소인이 삼킨 것이 '생’자인지 '사'자인지 알 수 있을 것입니다."</p> <p>"으흠, 그야 그렇군!"</p> <p>임금은 단지를 가져오도록 하여 남은 쪽지를 꺼내서 펴 보았다. 임금의 얼굴은 순식간에 파랗게 질렸다. 뽑아 낸 쪽지가 ‘사’자이니 삼켜 버린 쪽지는 틀림없이 ‘생’자일 것이기 때문이었다.</p> <h3>(2) \( \sim(p \wedge \sim p) \)</h3> <p>"p이고 동시에 \( \sim \) 는 아니다."라는 명제는 항상 참이 된다. 모든 사물들은 \( \mathrm { p } \) 이거나 아니면 p이지, “p이면서 동시에 p이다.”라는 명제는 존재하지 않는다.</p> <p>그런 관계를 모순적 관계라고 말한다. "p"라는 명제에 어떤 명제를 대신하여도 “( \( p \wedge \sim p) \) "은 항상 거짓이 되므로 “ \( ( \mathrm { p } \wedge \sim \mathrm { p } ) \) ”은 항상 참이 된다.</p> <p>진리표는 다음과 같다.</p> <p>먼저 명제를 반복해서 표현하는 수고를 아끼기 위하여 일정한 약식 기호들을 사용하겠다. 왜냐하면 약식 기호를 사용하게 되면 복잡한 명제들을 표현하고 있는 긴 문장도 간단하게 표현할 수 있으며 기호논리학에서 논증들 속에 있는 명제들과 연산자들을 기호화하여 서로 간의 관계를 쉽게 파악하고 올바른 논증인지를 판단하는데 많은 도움을 준다.</p> <p>보통 명제들을 표시하는 기호로서 영어 알파벳 대문자를 사용한다. 따라서</p> <p>'3 + 4 = 7이고, 수학은 논리적인 학문이다.'</p> <p>라는 문장은 다음과 같이 간단한 기호로 표시될 수 있다.</p> <p>' \( \mathrm { A } \)이고 \( \mathrm { B } \)'</p> <p>여기서 \( \mathrm { A } \)는 '3 + 4=7'을 그리고 \( \mathrm { B } \)는 '수학은 논리적인 학문이다.'라는 것을 의미한다. 또한</p> <p>'대한민국은 언론의 자유가 있다. 그리고 대한민국은 유럽에 위치해 있다.'</p> <p>라는 문장에서는 \( \mathrm { C } \)를 '대한민국은 언론의 자유가 있다.'로, \( \mathrm { D } \)를 '대한민국은 유럽에 위치해 있다.'로 기호화시키면 다음과 같이 기호로 표시될 수 있다.</p> <p>' \( \mathrm { C } \) 그리고 \( \mathrm { D } \)'</p> <p>'반도체의 원료는 고무이고, 사람은 원숭이가 진화한 것이다.'</p> <p>라는 문장은</p> <p>' \( \mathrm { E } \)와 \( \mathrm { F } \)'</p> <p>로 표시될 것이다. 단, \( \mathrm { E } \)는 '반도체의 원료는 고무이다.'이며, \( \mathrm { F } \)는 '사람은 원숭이가 진화한 것이다.'이다.</p> <p>위의 모든 문장들은 '~와 ~'인 연언형식을 가진다. 그러므로 우리는 이런 형식을 영어 알파벳 소문자 p, q, r, \( \cdots \) 을 이용하여 일반적인 형태로 'p와 q'라고 표시하겠다.</p> <p>이때 p, q, r, \( \cdots \) 는 진리값을 가지고 있지 않는 반면에 \( \mathrm { A } \), \( \mathrm { B } \), \( \mathrm { C } \), \( \cdots \) 으로 표시한 명제들은 각각의 진리값을 가진다.</p> <p>즉 p 와 q 자리에 명제 \( \mathrm { A } \) 와 \( \mathrm { B } \) 등을 대치시킨다면 진리값을 얻게 될 것이다. 다시 말하자면 'p와 q'는 두 명제로 이루어진 연언형식의 일반적 논리구조를 나타낸 것이다.</p>	자연
확률과 통계_다변량 분석	<p>(3) \( Y_ { i } \)의 임의의 선형식 \[ c_ { 0 } \widehat {\beta } _ { 0 } + c_ { 1 } \widehat {\beta } _ { 1 } + \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } Y_ { i } \] 가 모든 \( \beta_ { 0 } \)와 \( \beta_ { 1 } \)에 대하여 \( c_ { 0 } \beta_ { 0 } + c_ { 1 } \beta_ { 1 } \)의 불편추정량이 되려면 \[ E \left (c_ { 0 } \widehat {\beta } _ { 0 } + c_ { 1 } \widehat {\beta } _ { 1 } + \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } Y_ { i } \right )=c_ { 0 } \beta_ { 0 } + c_ { 1 } \beta_ { 1 } + \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \left ( \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } \right )=c_ { 0 } \beta_ { 0 } + c_ { 1 } \beta_ { 1 } \] 이고, 이때 모든 \( \beta_ { 0 } \)와 \( \beta_ { 1 } \)에 대하여 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } \left ( \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } \right )=0 \] 이어야 하므로 \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } =0, \quad \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } x_ { i } =0 \] 이어야 한다. 그런데 \[ c_ { 0 } \widehat {\beta } _ { 0 } + c_ { 1 } \widehat {\beta } _ { 1 } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left [c_ { 0 } \left ( \frac { 1 } { n } - \frac {\bar { x } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } } \right ) + c_ { 1 } \frac { x_ { i } - \bar { x } } {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } } \right ]= \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } Y_ { i } \] 이고, \( \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } =0, \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } x_ { i } =0 \)일 때 \[ \operatorname { Cov } \left (c_ { 0 } \widehat {\beta } _ { 0 } + c_ { 1 } \widehat {\beta } _ { 1 } , \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } Y_ { i } \right )= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } b_ { i } \operatorname { Var } \left (Y_ { i } \right )= \sigma ^ { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } b_ { i } =0 \]</p> <p>問题 1 확률분포가 \( N(0,1) \)에 따르고 항등적으로 같고 서로 독립인 \( k \)개의 확률변수 \( Z_ { 1 } , Z_ { 2 } , \cdots, Z_ { k } \)를 원소로 하는 확률벡터를 \( \boldsymbol { Z } ^ { t } = \left (Z_ { 1 } , Z_ { 2 } , \cdots, Z_ { k } \right ) \)라 하고 \( \boldsymbol { A } \) 를 \( n \times k \)행렬, \( \boldsymbol {\mu } \)를 \( n \times 1 \)벡터라 할때, \( \boldsymbol { X } = \boldsymbol { A } \boldsymbol { Z } + \boldsymbol {\mu } \) 의 분포를 구하여라.</p> <p>觙答 \( E \left (Z_ { i } \right )=0, \operatorname { Var } \left (Z_ { i } \right )=1,(i=1,2,3, \cdots, k) \)이고, \( i \neq j \)일 때 \( \operatorname { Cov } \left (Z_ { i } , Z_ { j } \right )= 0 \)이므로 \[ E( \boldsymbol { Z } )= \left ( \begin {array} { c } 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end {array} \right )= \mathbf { 0 } _ { 1 \times k } , \operatorname { Cov } ( \boldsymbol { Z } )=E \left ( \boldsymbol { Z } \boldsymbol { Z } ^ { t } \right )= \left ( \begin {array} { ccccc } 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right )=I_ { k \times k } \] 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} E( \boldsymbol { X } ) &=E( \boldsymbol { A } \boldsymbol { Z } + \boldsymbol {\mu } )= \boldsymbol {\mu } \\ \Sigma &= \operatorname { Cov } ( \boldsymbol { X } )= \operatorname { Cov } ( \boldsymbol { A Z } + \boldsymbol {\mu } )= \boldsymbol { A } \operatorname { Cov } ( \boldsymbol { Z } ) \boldsymbol { A } ^ { t } = \boldsymbol { A A ^ { t } } \end {aligned} \]</p> <h1>9.3 분산분석</h1> <p>\( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { b } \)의 분포가 \( N \left ( \mu_ { j } , \sigma ^ { 2 } \right )(j=1,2, \cdots, b) \)이고, 확률적으로 독립인 \( b \)개의 확률변수들이라 할때, 정규분포 \( N \left ( \mu_ { j } , \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터의 크기 \( a \)인 확률표본 \( X_ { 1 j } \), \( X_ { 2 j } , \cdots, X_ { b j } (j=1,2, \cdots, b) \)에 의하여 귀무가설 \[ H_ { 0 } : \mu_ { 1 } = \mu_ { 2 } = \cdots= \mu_ { b } = \mu \quad( \mu \text { 는 미지(unknown) } ) \] 을 검정하여 보자. 이 경우에는 우도비검정을 사용하고, 모수공간은 \[ \Theta= \left \{\left . \mu_ { 1 } , \mu_ { 2 } , \cdots, \mu_ { b } , \sigma ^ { 2 } \right ) \mid- \infty< \mu_ { j }< + \infty, 0< \sigma ^ { 2 }< + \infty \right \} \] 이다. 우도함수 \( L \left . \boldsymbol {\Theta } _ { 0 } ; \boldsymbol { x } \right ) \)와 \( L( \boldsymbol {\Theta } ; \boldsymbol { x } ) \)는 각각 \[ \begin {array} { c } L \left ( \boldsymbol {\Theta } _ { 0 } ; \boldsymbol { x } \right )=(2 \pi) ^ { -a b / 2 } \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum_ { j=1 } ^ { b } \sum_ { i=1 } ^ { a } \left (x_ { i j } - \mu \right ) ^ { 2 } \right \} \\ L( \boldsymbol {\Theta } ; \boldsymbol { x } )=(2 \pi) ^ { -a b / 2 } \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum_ { j=1 } ^ { b } \sum_ { i=1 } ^ { a } \left (x_ { i j } - \mu_ { j } \right ) ^ { 2 } \right \} \end {array} \]</p> <p>\( \boldsymbol { B } _ { i } = \boldsymbol { I } - \boldsymbol { A } _ { i } \)이므로, \( \boldsymbol { B } _ { i } \)의 고유근을 구하기 위한 방정식은 \[ \left \| \boldsymbol { B } _ { i } - \lambda \boldsymbol { I } \right \|= \left \| \boldsymbol { I } - \boldsymbol { A } _ { i } - \lambda \boldsymbol { I } \right \|= \left \| \boldsymbol { A } _ { i } -(1- \lambda) \boldsymbol { I } \right \|=0 \] 이다. 위의 방정식의 각 근은 \(1 \)에서 \( \boldsymbol { A } _ { i } \)의 각 고유근을 뺀 것과 같으며, \( \boldsymbol { B } _ { i } \)의 계수가 \( R_ { i } \)이므로 \( \boldsymbol { B } _ { i } \)의 고유근들 중에서 정확히 \( n-R_ { i } =r_ { i } \)개가 \(0 \)이어야 하고, 따라서, \( \boldsymbol { A } _ { i } \)의 고유근들 중에서 정확히 \( r_ { i } \)개가 \(1 \)과 같아야 한다. 그런데 \( r_ { i } \)가 \( \boldsymbol { A } _ { i } \)의 계수이므로 \( \boldsymbol { A } _ { i } \)의 \(0 \)이 아닌 고유근들은 \( r_ { i } \)개이고 이들은 모두 \(1 \)과 같아야 한다. 그러므로 \( \boldsymbol { A } _ { i } ^ { 2 } = \boldsymbol { A } \)가 되어 \[ \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { j } \sim \chi ^ { 2 } \left (r_ { j } \right ), j=1,2,3, \cdots, k \] 이고, 정리 9.3 에 의하여 확률변수 \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)는 확률적으로 독립이다. 역으로 \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)는 확률적으로 독립이고 \[ \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { j } \sim \chi ^ { 2 } \left (r_ { j } \right ), j=1,2,3, \cdots, k \] 라 가정하면 \[ \sum_ { j=1 } ^ { k } \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { i } \sim \chi ^ { 2 } \left ( \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j } \right ) \] 이고 \[ \sum_ { j=1 } ^ { k } \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { i } = \sum_ { i=1 } ^ { k } \frac { X_ { i } ^ { 2 } } {\sigma ^ { 2 } } \sim \chi ^ { 2 } (n) \] 이므로, \( r_ { 1 } + r_ { 2 } + \cdots + n + k=n \)이다.</p> <p>6. 정규분포 \( N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터의 크기 \( n \)인 확률표본에 의한 이차형식 \( Q \)의 실대칭행렬이 \( \boldsymbol { A } \)이다. 표본평균 \( \bar { X } \)와 \( Q \)가 확률적으로 독립일 때, \( \boldsymbol { A } \)의 각 원소를 구하여라.</p> <p>7. \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)은 정규분포 \( N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)에서 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이다. 이때, \( \boldsymbol { X } ^ { t } = \left (X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \right ), \boldsymbol { b } ^ { t } = \left (b_ { 1 } , b_ { 2 } , \cdots, b_ { n } \right ) \) 그리고 \( n \times n \) 실대칭행렬을 \( \boldsymbol { A } \)라 하자. 선형식 \( \boldsymbol { b } ^ { t } \boldsymbol { X } \)의 이차형식 \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { A X } \)가 확률적으로 독립이기 위한 필요충분조건은 \( \boldsymbol { b } ^ { t } \boldsymbol { A } = \mathbf { 0 } \)임을 증명하여라. 이 사실을 이용하여 다음 이차형식 \( \left ( \boldsymbol { b } ^ { t } \boldsymbol { X } \right ) ^ { 2 } = \) \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { b b } ^ { t } \boldsymbol { X } \)와 \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { A } \boldsymbol { X } \)가 확률적으로 독립이고 또한 그 역도 성립함을 증명하여라.</p> <p>8. \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } \)는 정규분포 \( N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터의 확률표본에 의한 음이 아닌 두 이차형식이다. 이때 다른 이차형식 \( Q \)가 \( Q_ { 1 } + Q_ { 2 } \)와 확률적으로 독립이기 위한 필요충분조건은 \( Q \)가 각각 \( Q_ { 1 } \)과 \( Q_ { 2 } \)와 확률적으로 독립임을 보여라.</p> <p>證明 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } ^ { 2 } = \sum_ { j=1 } ^ { n } Q_ { j } \)이고 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } r_ { i } =n \)이라 가정하면, 첫번째 식으로부터 \[ \boldsymbol { I } = \boldsymbol { A } _ { 1 } + \boldsymbol { A } _ { 2 } + \cdots + \boldsymbol { A } _ { k } \] 가 되어야 한다. 여기서 \( \boldsymbol { B } _ { i } = \boldsymbol { I } - \boldsymbol { A } _ { i } \)라 하면 즉, \( \boldsymbol { A } _ { i } \)를 제외한 행렬 \( \boldsymbol { A } _ { 1 } , \boldsymbol { A } _ { 2 } , \cdots, \boldsymbol { A } _ { k } \)의 합을 \( \boldsymbol { B } _ { i } \)라 하고 \( \boldsymbol { B } _ { i } \)의 계수를 \( R_ { i } \)라 하면, 행렬들의 합으로 얻어진 새로운 행렬의 계수는 더해진 행렬의 계수들의 합보다 작거나 같으므로 \[ R_ { i } \leqslant \sum_ { j=1 } ^ { k } r_ { j } -r_ { i } =n-r_ { i } \] 이어야 한다. 그리고 \( \boldsymbol { I } = \boldsymbol { A } _ { i } + \boldsymbol { B } _ { i } \)로부터 \( n \leqslant r_ { i } + R_ { i } \)가 되어 \( n-r_ { i } \leqslant R_ { i } \)이므로 \( R_ { i } =n-r_ { i } \)가 된다. 한편, \( \boldsymbol { B } _ { i } \)의 고유근들은 방정식 \( \left \| \boldsymbol { B } _ { i } - \lambda \boldsymbol { I } \right \|=0 \) 의 근들이고</p> <p>이고 \[ \begin {aligned} \sum_ { i = 1 } ^ { n } d_ { i } ^ { 2 } &= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } -n \bar { x } x_ { i } \right ) ^ { 2 } } {\left [n \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 2 } } \\ &= \frac { 1 } {\left [n \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 2 } } \left [n \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } \right ) ^ { 2 } -2 n \bar { x } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \right ) \left ( \sum_ { i= \left . \right ] 1 } ^ { n } x_ { i } \right ) + n ^ { 2 } \bar { x } ^ { 2 } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } \right ) \right ] \\ &= \frac { n \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } } {\left [n \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } \right ] ^ { 2 } } \left ( \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } -n \bar { x } ^ { 2 } \right ) \\ &= \frac {\sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } } { n \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } } \end {aligned} \] 이므로 \[ \operatorname { Var } \left ( \widehat {\beta } _ { 0 } \right )= \sigma ^ { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } d_ { i } ^ { 2 } = \frac {\sigma ^ { 2 } \sum_ { i=1 } ^ { n } x_ { i } ^ { 2 } } { n \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (x_ { i } - \bar { x } \right ) ^ { 2 } } \] 이다.</p> <p>이므로 \[ M \left (t_ { 1 } , t_ { 2 } \right ) = M \left (t_ { 1 } , 0 \right ) M \left (0, t_ { 2 } \right ), \quad \left ( \left \|t_ { 1 } \right \|<h_ { 1 } , \left \|t_ { 2 } \right \|<h_ { 2 } , h_ { 1 } >0, h_ { 2 } >0 \right ) \] 가 되어 \( \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { 1 } \)과 \( \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { 2 } \)가 확률적으로 독립이고 따라서 \( Q_ { 1 } \)과 \( Q_ { 2 } \)도 확률적으로 독립이다.</p> <p>위의 정리는 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)이 \( N \left ( \mu, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터 추출한 확률표본인 경우에도 성립한다. 또한 확률변수들이 양정치행렬 \( \Sigma \)가 공분산행렬인 다변량정규분포를 따르는 경우로 확장할 수 있다. 이때, 이차형식 \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { A X } \)와 \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { B X } \)가 확률적으로 독립이기 위한 필요충분조건은 \( \boldsymbol { A } \Sigma \boldsymbol { B } \)이다. 위의 정리에서는 \( \Sigma= \sigma ^ { 2 } \boldsymbol { I } \)이므로 \[ \boldsymbol { A } \Sigma \boldsymbol { B } = \boldsymbol { A } \sigma ^ { 2 } \boldsymbol { I B } = \sigma ^ { 2 } \boldsymbol { A B } = \boldsymbol { 0 } \] 이다.</p> <p>定理 9.3 \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)가 \( N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터의 추출한 크기 \( n \)인 확률표본에 의한 \( k + 1 \)개의 이차형식이고 \( Q_ { k } \)는 음이 아니며, \[ \begin {aligned} Q &=Q_ { 1 } + Q_ { 2 } + \cdots + Q_ { k } \\ \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q & \sim \chi ^ { 2 } (r), \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { i } \sim \chi ^ { 2 } \left (r_ { i } \right ), \quad i=1,2,3, \cdots, n \end {aligned} \] 이면, 확률변수 \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)는 확률적으로 독립이고, \( \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { k } \)의 분포는 자유도가 \( r_ { k } =r_ { 1 } -r_ { 2 } - \cdots-r_ { k-1 } \)인 \( \chi ^ { 2 } \)분포이다.</p> <p>의 분포들이 모두 자유도가 \( n-2 \)인 \( t \)분포임을 이용하면, \( \beta_ { 0 } \)와 \( \beta_ { 1 } \)에 대한 통계적 추론이 가능하다.</p> <p>세 번째로 일반선형모형 \[ E(Y) = E(Y \mid \boldsymbol { x } )= \beta_ { 0 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \beta_ { i } x_ { i } \] 의 모수추정에 대하여 살펴보자. 먼저, 반응값 \( y_ { j } \)는 \( x_ { 1 j } , x_ { 2 j } , \cdots, x_ { k j } ,(j=1,2, \cdots \), \( n) \)에서 관찰된 것이므로 \[ Y_ { j } = \beta_ { 0 } + \sum_ { i=1 } ^ { k } \beta_ { i } x_ { i j } + \epsilon_ { j } , \operatorname { Var } \left (Y_ { i } \right )= \sigma ^ { 2 } , \operatorname { Cov } \left (Y_ { i } , Y_ { j } \right )=0,(i \neq j) \] 으로 쓸수 있으며, 이를 행렬기호로 나타내면 \[ \boldsymbol { Y } = \boldsymbol { X } \boldsymbol {\beta } + \boldsymbol {\epsilon } , \operatorname { Var } ( \boldsymbol { Y } )= \sigma ^ { 2 } \boldsymbol { I } \] 이다. 위의 행렬을 성분으로 나타내면. \[ \boldsymbol { Y } = \left ( \begin {array} { c } y_ { 1 } \\ y_ { 2 } \\ y_ { 3 } \\ \vdots \\ y_ { n } \end {array} \right ), \boldsymbol { X } = \left ( \begin {array} { ccccc } 1 & x_ { 11 } & x_ { 12 } & \cdots & x_ { k 1 } \\ 1 & x_ { 12 } & x_ { 22 } & \cdots & x_ { k 2 } \\ 1 & x_ { 13 } & x_ { 23 } & \cdots & x_ { k 3 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_ { 1 n } & x_ { 2 n } & \cdots & x_ { k n } \end {array} \right ), \boldsymbol { Y } = \left ( \begin {array} { c } \beta_ { 0 } \\ \beta_ { 1 } \\ \beta_ { 2 } \vdots \\ \beta_ { k } \end {array} \right ), \boldsymbol {\epsilon } = \left ( \begin {array} { c } \epsilon_ { 1 } \\ \epsilon_ { 2 } \\ \epsilon_ { 3 } \\ \vdots \\ \epsilon_ { n } \end {array} \right ) \] 이고, \( \boldsymbol {\epsilon } \)은 확률벡터이고, \( \boldsymbol {\beta } \)는 미지모수벡터, \( \boldsymbol { X } \)는 기지의(known) 고정된 행렬로 독립변수 \( x_ { i } \)들의 측정수준값들로 만든 행렬인데, \( n>k \)이고 계수는 \( r( \boldsymbol { X } )=k + 1 \)로 행렬 \( \boldsymbol { X } ^ { t } \boldsymbol { X } \)가 역행렬이 존재하는 정칙행렬이다. 이러한 성질을 가진 모형을 완전계수의 중선형회귀모형(multiple linear regression model of full rank)이라 부른다.</p> <p>9. \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , X_ { 3 } , X_ { 4 } \)는 정규분포 \( N(0,1) \)로부터 추출된 크기 \(4 \)인 확률표본이다. \[ \begin {aligned} \sum_ { i = 1 } ^ { n } \left (X_ { i } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } =& \frac { 1 } { 2 } \left (X_ { 1 } -X_ { 2 } \right ) ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } \left (X_ { 3 } - \frac { 1 } { 2 } \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } \right ) \right ) ^ { 2 } \\ & + \frac { 3 } { 4 } \left (X_ { 4 } + \frac { 1 } { 3 } \left (X_ { 1 } + X_ { 2 } + X_ { 3 } \right ) \right ) ^ { 2 } \end {aligned} \] 임을 보이고, 오른쪽 세 항들의 분포는 \( \chi ^ { 2 } (1) \)에 따르는 확률적으로 독립인 확률변수들인가를 조사하여라.</p> <p>10. \( X_ { i } ,(i=1,2, \cdots, n) \)는 확률적으로 독립이고, 각각의 분포가 \( N \left (c_ { i } \beta, c_ { i } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \right ) \)인 확률변수들이다. 이때, 모든 \( c_ { i } ,(i=1,2, \cdots, n) \)는 영이 아니고 또한 모두 같지는 않다. \( \beta \)와 \( \gamma ^ { 2 } \)의 최소제곱추정량과 최우추정량을 구하여라.</p> <p>11. \( X_ { i } ,(i=1,2, \cdots, n) \)는 확률적으로 독립인 확률변수들이고, 그 결합확률밀도함수가 \[ \left (2 \pi \sigma ^ { 2 } \right ) ^ { -n / 2 } \exp \left \{ - \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \{ x_ { i } - \alpha- \beta \left (c_ { i } - \bar { c } \right ) \right \} ^ { 2 } \right \} \] 이다. 여기서 \( c_ { i } (i=1,2, \cdots, n) \)는 모두 같지는 않다. \( \alpha \)와 \( \sigma ^ { 2 } \)이 미지(unknown)일 때, 대립가설 \( H_ { 1 } : \beta \neq 0 \)에 대한 귀무가설 \( H_ { 0 } : \beta=0 \)의 우도비검정을 구하여라.</p> <p>지금까지 살펴본 바와 같이 이차형식으로 표현되는 통계량들은 확률적으로 독립임을 보였기 때문에 다음과 같은 통계량 \[ \frac { Q_ { 4 } / \left ( \sigma ^ { 2 } (b-1) \right ) } { Q_ { 3 } / \left ( \sigma ^ { 2 } (b(a-1)) \right . } = \frac { Q_ { 4 } /(b-1) } { Q_ { 3 } /(b(a-1)) } \] 은 분자, 분모의 자유도가 각각 \( b-1 \)과 \( b(a-1) \)인 \( F \)분포를 따르며, 다음 통계량 \[ \frac { Q_ { 4 } / \left ( \sigma ^ { 2 } (b-1) \right ) } { Q_ { 5 } / \left ( \sigma ^ { 2 } ((a-1)(b-1)) \right . } = \frac { Q_ { 4 } } { Q_ { 6 } /(a-1) } \] 은 분자, 분모의 자유도가 각각 \( b-1 \)과 \( (a-1)(b-1) \)인 \( F \)분포를 따른다. 이 사실은 이러한 통계량들이 다음 절에서 다루게 될 통계적 가설의 우도비검정에 기초가 된다. 또한, 정리 9.3에서 \( Q, Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)들이 다변량정규변수들을 포함한 임의의 정규확률변수들에 의한 이차형식들일 때에도 성립하는데, 차이 점은 단지 이차형식들의 분포가 경우에 따라서 비중심 \( \chi ^ { 2 } \)분포가 될 뿐이다.</p> <p>定理 9.4 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)가 \( N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)으로부터의 추출한 크기 \( n \)인 확률표본이고 \( Q_ { k } ,(j=1,2, \cdots, k) \)는 계수가 \( r_ { j } \)인 행렬 \( \boldsymbol { A } _ { j } \)와 \( X_ { 1 } , X_ { 2 } , \cdots, X_ { n } \)에 의한 이차형식일 때, \[ \sum_ { i=1 } ^ { n } X_ { i } ^ { 2 } =Q_ { 1 } + Q_ { 2 } + \cdots + Q_ { k } , \] 이면, 확률변수 \( Q_ { 1 } , Q_ { 2 } , \cdots, Q_ { k } \)는 확률적으로 독립이고, 이때 \[ \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { j } \sim \chi ^ { 2 } \left (r_ { j } \right ), \quad j=1,2,3, \cdots, k \] 이기 위한 필요충분조건은 \( r_ { 1 } + r_ { 2 } + \cdots + n + k=n \)이다.</p> <p>11. \( X_ { 1 k } , X_ { 2 k } , \cdots, X_ { a_ { k } k } \)는 정규분포 \( N \left ( \mu_ { k } , \sigma ^ { 2 } \right ) \)에서 추출한 크기 \( a_ { k } ,(k=1,2, \cdots, b) \)인 확률표본이다. 이때, \[ \begin {array} { l } \bar { X } = \frac { 1 } { n } \sum_ { k=1 } ^ { b } \sum_ { i=1 } ^ { a_ { k } } X_ { i k } , \quad n= \sum_ { k=1 } ^ { b } a_ { k } , \quad \bar { X } _ {\cdot k } = \frac { 1 } { a_ { k } } \sum_ { i=1 } ^ { a_ { k } } X_ { i k } , \\ Q= \sum_ { k=1 } ^ { b } \sum_ { i=1 } ^ { a_ { k } } \left (X_ { i k } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } , \quad Q_ { 1 } = \sum_ { k=1 } ^ { b } \sum_ { i=1 } ^ { a_ { k } } \left (X_ { i k } - \bar { X } _ {\cdot k } \right ) ^ { 2 } , \quad Q_ { 2 } = \sum_ { k=1 } ^ { b } a_ { k } \left (X_ {\cdot k } - \bar { X } \right ) ^ { 2 } \end {array} \] 이라 할 때</p> <ol type=a start=1><li>\( Q=Q_ { 1 } + Q_ { 2 } \)임을 증명하여라.</li> <li>\( Q_ { 1 } / \sigma ^ { 2 } \)과 \( Q_ { 2 } / \sigma ^ { 2 } \)은 확률적으로 독립이고 \( \mu_ { 1 } = \mu_ { 2 } = \cdots= \mu_ { k } \)일 때, 각각의 분포는 \( \chi ^ { 2 } \)분포에 따름을 증명하여라.</li> <li>모든 대립가서에 대한 귀무가설 \( H_ { 0 } : \mu_ { 1 } = \mu_ { 2 } = \cdots= \mu_ { k } = \mu \)의 우도비검정에서 \( \lambda \leqslant \lambda_ { 0 } \)는 \( F \geqslant c \)와 동일함을 증명하여라. 여기서 \[ F= \frac { Q_ { 2 } } { (b-1) Q_ { 1 } } \left ( \sum_ { k=1 } ^ { b } a_ { k } -b \right ) \] 이고 \( \mu \)는 미정(undetermined)이고 \( \sigma ^ { 2 } \)은 미지(unknown)이다.</li> <li>(c)에서 귀무가설 \( H_ { 0 } \)가 참일 때 \( F \)분포를 구하여라.</li></ol> <p>邆明 \( k=2 \)라 할때, \( Q, Q_ { 1 } \)과 \( Q_ { 2 } \)의 실대칭행렬을 각각 \( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { A } _ { 1 } , \boldsymbol { A } _ { 2 } \)라 하면 \( Q= Q_ { 1 } + Q_ { 2 } \)이므로 \( \boldsymbol { A } = \boldsymbol { A } _ { 1 } + \boldsymbol { A } _ { 2 } \)이고 \( \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q \sim \chi ^ { 2 } (r), \frac { 1 } {\sigma ^ { 2 } } Q_ { 1 } \sim \chi ^ { 2 } \left (r_ { 1 } \right ) \)이므로 정리 9.1에 의하여 \( \boldsymbol { A } ^ { 2 } = \boldsymbol { A } , \boldsymbol { A } _ { 1 } ^ { 2 } = \boldsymbol { A } _ { 1 } \)이다. 그리고 \( Q_ { 2 } \geqslant 0 \)이므로 \( \boldsymbol { A } , \boldsymbol { A } _ { 1 } \)과 \( \boldsymbol { A } _ { 2 } \)는 양반정치행렬(positive semi-defnite matirx)이고 \( \boldsymbol { A } ^ { 2 } = \boldsymbol { A } \)이므로 직교행렬 \( \boldsymbol { Q } \)가 존재하여 \[ \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A Q } = \left ( \begin {array} { cc } \boldsymbol { I } _ { r } & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right )= \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 1 } \boldsymbol { Q } + \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 2 } \boldsymbol { Q } \] 가 성립한다. 여기서 \( \boldsymbol { A } _ { 1 } \)과 \( \boldsymbol { A } _ { 2 } \)는 양반정치행렬이므로 \( \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 1 } \boldsymbol { Q } \)과 \( \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 2 } Q \)도 양반정치행렬이다. 그런데 실대칭행렬이 양반정치행렬이면 그 행렬의 주대각선상 원소들은 음이 아니고, 특히 주대각선상의 원소가 0이면 그 원소가 속한 행과 열의 모든 원소들은 0이 되어야 한다. 그러므로 \( \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A Q } = \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 1 } \boldsymbol { Q } + \boldsymbol { Q } ^ { t } \boldsymbol { A } _ { 2 } \boldsymbol { Q } \)는 \[ \left ( \begin {array} { cc } \boldsymbol { I } _ { r } & \boldsymbol { 0 } \\ \boldsymbol { 0 } & \boldsymbol { 0 } \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { cc } \boldsymbol { G } _ { r } & \boldsymbol { 0 } \\ \boldsymbol { 0 } & \boldsymbol { 0 } \end {array} \right ) + \left ( \begin {array} { cc } \boldsymbol { H } _ { r } & \boldsymbol { 0 } \\ \boldsymbol { 0 } & \boldsymbol { 0 } \end {array} \right ) \]</p>	자연
m812-논리와 사고	<p>이 논증들은 각각 연역적으로 타당하다. 논증 5는 거짓인 전제와 참인 결론을 가지고 타당하며, 논증 6은 비정합적인 전제들과 거짓인 결론을 가지고 있으므로 타당성의 정의에 의해 참인 전제와 거짓인 결론을 가지고 있지 않기 때문에 이 논증 역시 타당하다.</p> <p>다시 말해서, 모순적인 진술은 항상 거짓이며 혹은 비정합적인 전제들의 집합을 가지고 있는 모든 논증은 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 것이 불가능하다.</p> <p>논증 6에서는 전제들과 결론 사이에 아무런 연관성이 없지만 이 논증은 논리적으로 타당하다.</p> <p>동어반복명제는 그것의 논리적 형식으로 말미암아 항상 참인 진술로서 정의된다. 동어반복명제를 결론으로 가지는 경우에는 전제가 참이고 결론이 거짓이 되는 것이 불가능하므로 그 논증은 항상 타당하다. 다음 논증들을 살펴보겠다.</p> <p>(논증 7) 한국은 세계에서 가장 높은 국민소득을 가진 국가이다. 그러므로 한국은 반도국가이거나 혹은 한국은 반도국가가 아니다.</p> <p>(논증 8) 세종대왕은 한글을 창제하셨다. 그러므로 세종대왕은 조선시대 왕이었거나 혹은 조선시대 왕이 아니었다.</p> <p>논증 7은 거짓인 전제와 참인 결론을 가지고 있으며, 반면에 논증 8은 참인 전제와 참인 결론을 가지고 있다. 두 논증은 타당성 정의에 의해 모두 타당하다.</p> <p>결론적으로 동어반복명제를 가지고 있는 논증은 항상 참인 결론을 가지고 있으므로 전제가 참이고 결론이 거짓이 되는 것이 불가능하다. 그러므로 동어반복명제를 가지는 논증은 항상 타당하다.</p> <h1>11.2 논증의 약식기호와 논증도식</h1> <p>이전 장에서 진리 함수적 명제들을 약식으로 표기하는 방법에 대해 배웠다. 마찬가지로 하나의 논증을 구성하고 있는 일련의 진술들을 약식으로 표기하는 것도 역시 가능하다.</p> <p>다음은 논증 9를 약식으로 표기한 것이다.</p> <p>(논증 9) 만일 고래가 어류라면 호랑이는 초식동물이다. 호랑이는 초식동물이 아니다. 그러므로 고래는 어류가 아니다.</p> <p>또한 진리 함수적 논증을 도식화하는 것도 가능하다. 만일 논증에서 동일한 진술이 반복해서 나타나는 경우에 그 자리에 동일한 유형의 도식을 사용하며 다른 진술의 각각에 대해서는 다른 유형의 도식을 사용한다.</p> <p>위의 논증도식에서 사용된 기호들은 어떠한 명제로도 대치될 수 있다. 예를 들어, "p"자리에 "베토벤은 미술가이다."라는 명제를 대치시킬 수 있고, "q"자리에 “다비드 상은 베토벤의 작품이다." 라는 명제를 대치시킬 수 있다.</p> <p>그래서 "p"와 "q"를 각각 “베토벤은 미술가이다.", "다비드 상은 베토벤의 작품이다."로 대치시킨다면 다음과 같은 논증을 얻게 된다.</p> <p>(논증 10) 만일 베토벤이 미술가이면, 다비드 상은 베토벤의 작품이다. 다비드상은 베토벤의 작품이 아니다. 그러므로 베토벤은 미술가가 아니다.</p> <p>만약 우리가 그 복합진술을 구성하고 있는 진술들 각각의 진리값과 논리연산자들의 의미를 알고 있다면 그 복합진술의 참 혹은 거짓이 결정될 수 있다.</p> <p>하나하나의 진리 함수적 명제는 논증이 아니다.</p> <p>일반적으로 논증이란 ‘어느 하나의 진술이 다른 진술들에 의하여 함의되거나 근거되어지는 진술들의 집합'을 의미한다.</p> <p>이번 장에서는 주로 진술들의 집합 중의 어떤 것들이 사실상 연역적으로 타당한 논증들 - 즉 전제들이 결론을 함의하고 있거나 결론을 위한 절대적인 근거를 제공하고 있는 논증들-을 포함하고 있는지를 결정하기 위한 방법들을 배우는 것에 관심을 가지고자 한다.</p> <p>논증으로서 주장되고 있는 다음과 같은 문장들의 집합들을 살펴보기로 하자.</p> <p>사실상 연역적으로 타당한 논증을 표현하고 있는 것이 어느 것인지 생각해보자.</p> <p>(논증 1) 김효정 선생님이 의사이거나 혹은 이예지 선생님이 의사이다. 이예지 선생님은 의사가 아니다. 그러므로 김효정 선생님에게 진료를 받아보아라.</p> <p>(논증 2) 차태현이 영화배우라면 차태현은 많은 인기를 얻게 될 것이다. 차태현은 영화배우가 아니다. 그러므로 차태현은 많은 인기를 얻지 못할 것이다.</p> <p>(논증 3 ) 정준이 기말시험에서 1등을 한다면, 경옥은 정준에게 밥을 살 것이다. 현서가 정준에게 기말 예상문제를 알려준다면, 정준은 기말시험에서 1 등을 할 것이다. 그러므로 현서가 정준에게 기말고사 예상문제를 알려준다면 경옥은 정준에게 밥을 살 것이다.</p> <p>(논증 4) 김수연은 박경자의 딸이고, 최충만은 강철의 아들이다. 그러므로 김수연은 박경자를, 최충만은 강철을 닮았을 것이다.</p> <p>이들 문장들의 첫 번째 것은 결론이 진술이 아니라 명령이기 때문에 논증을 포함한다고 볼 수 없다.</p> <p>나머지 세 개의 집합들에 있어서는 각각의 문장들이 정상적으로 진술을 표현하고 있지만 각 문장을 주의 깊게 살펴보면 이 집합들 중의 어느 것이 연역적으로 타당한 논증을 표현하고 있는지를 결정하기란 쉽지 않다.</p> <p>사실은 세 번째 집합만이 타당한 연역적 논증이다.</p> <h1>11.1 논리적 타당성</h1> <p>우리는 타당한 논증들, 즉 그 전제들이 결론을 위한 절대적인 근거를 제공하고 있는 논증들을 확인하는 절차를 제시할 것이다.</p> <p>논리적으로 타당하다는 말의 정의는 다음과 같다. 어떤 논증은, 만약 그 전제들이 참일 때 결론도 반드시 참이라면 그리고 단지 그때에만, 타당하다.</p> <p>일반적으로 타당한 연역적 논증은 참인 전제들과 참인 결론을 가질 수도 있고 거짓인 전제들과 참인 결론을 가질 수도 있으며 아니면 거짓인 전제들과 거짓인 결론을 가질 수도 있다. 그러나 참인 전제들과 거짓인 결론을 가지는 경우는 타당성 정의에서 배제된다.</p> <p>두 번째 논증을 가지고 다시 한 번 생각해보겠다.</p> <p>“차태현이 영화배우라면 차태현은 많은 인기를 얻게 될 것이다. 차태현은 영화배우가 아니다. 그러므로 차태현은 많은 인기를 얻지 못할 것이다."</p> <p>이 논증은 타당하지 않다. 왜냐하면 전제들의 참이 결론의 참을 보증해주지 못하기 때문이다. 전제들이 모두 참이라 해도 결론은 여전히 거짓일 가능성이 있다.</p> <p>차태현이 영화배우가 아니더라도 다른 직종에서 근무하면서 사람들로부터 많은 인기를 누리며 살 수 있는 가능성을 배제할 수는 없다.</p> <p>이런 경우에는 전제들이 참이고 결론은 거짓일 수 있는 것이다. 타당성의 정의에 의해서 전제들이 참이고 결론이 거짓일 수 있다는 것은 이 논증이 타당하지 않음을 보여주고 있는 것이다. 다음은 논증 3을 검토해보기로 하자.</p> <p>"정준이 기말시험에서 1 등을 한다면, 경옥은 정준에게 밥을 살 것이다. 현서가 정준에게 예상문제를 알려준다면, 정준은 기말시험에서 1등을 할 것이다. 그러므로 현서가 정준에게 예상문제를 알려준다면 경옥은 정준에게 밥을 살 것이다."</p> <p>이 논증은 타당한 연역적 논증이다. 만약 이 논증의 전제들이 참이라면 그 결론은 반드시 참이 된다. 정준의 시험에서 1 등을 한다면 경옥이 밥을 사주든지 사주지 않든지, 그리고 현서가 정준에게 예상문제를 알려준다면 정준이 시험에서 1등을 하든지 1등을 못하든지 결론은 전제들로부터 논리적으로 유도된다.</p> <p>이 논증에서 전제들과 결론 모두 참일 수도 있고 거짓일 수도 있지만 만약 전제들이 참이라면 반드시 결론은 참이다. 그러므로 이 논증은 타당하다고 말할 수 있다.</p> <h2>1) 모순적인 명제들과 동어반복적인 명제들에 대한 논증</h2> <p>위에서 정의한 타당성에 대한 정의를 받아들인다면 그 전제들 중의 적어도 하나가 모순명제인 논증은 어떤 논증이라 하더라도 반드시 타당한 논증이 된다.</p> <p>어떤 논증의 전제 가운데 하나가 모순명제라면 전제가 참이고 결론이 거짓인 경우를 결코 가질 수 없기 때문에 타당한 논증이 된다.</p> <p>전제들의 모두가 동시에 참이 되는 것이 논리적으로 불가능한 전제들의 집합은 어떤 집합이라 하더라도 비정합적(inconsistent)이라고 말한다.</p> <p>그러므로 비정합적 전제들의 집합을 가지고 있는 논증은 어떤 논증이라 하더라도 반드시 타당하다. 다음 예들을 통해 살펴보기로 하겠다.</p> <p>(논증 5) 63빌딩은 세계에서 가장 높은 빌딩이다.63빌딩은 세계에서 가장 높은 빌딩이 아니다. 그러므로 63빌딩은 한국에서 가장 높은 빌딩이다.</p> <p>(논증 6) 63빌딩은 한국에서 가장 높은 빌딩이다. 63빌딩은 한국에서 가장 높은 빌딩이 아니다. 그러므로 63빌딩은 세계에서 가장 높은 빌딩이다.</p> <p>이 진리표로부터 이 조건명제가 동어반복명제(이 명제의 주연산자가 함언이며 그 아래쪽 열로 큰 글씨체 T가 모두 종렬로 배열되어 있다)임을 알 수 있다.</p> <h1>11.7 추리를 위한 규칙들</h1> <p>어떤 연역적 증명이든 간에 만약 그 증명이 논증도식의 타당성을 논증하는 것이라면 그 증명에서 우리가 알고 있는 규칙들의 수가 많으면 많을수록 증명에 소요되는 단계를 현저히 줄일 수 있을 것이다. 그렇다고 무작정 많은 규칙들을 암기할 수는 없을 것이다. 그래서 적당한 규칙들과 체계들을 사용하여 진리 함수적 타당성을 증명할 수 있을 것이다.</p> <p>앞으로 비교적 주로 사용하게 될 몇 개의 규칙들에 대해서 소개할 것이며 이러한 체계는 연역적으로 완전한 것이므로 타당성 검사에 유용할 것이다.</p> <h2>(1) 후건 부정식</h2> <h2>(2) 전건 긍정식</h2> <h2>(3) 선언삼단논법</h2> <h2>(4) 단순화</h2> <h2>(5) 가언삼단논법</h2> <h2>(6) 연언</h2> <h2>(7) 구성적 딜레마</h2> <h2>(8) 부가</h2> <p>이 가운데 앞에서 증명하지 않았던 네 개의 규칙들은 이미 증명되었던 후건 부정식, 전건 긍정식, 가언삼단논법, 구성적 딜레마 등과 마찬가지로 진리표에 의해서 그 타당성을 확인할 수 있다.</p> <p>위에서 제시된 8 개의 논증도식들은 기본적인 논증도식이며 이들 규칙들은 더 복잡한 다른 진리 함수적 논증들의 타당성을 증명하는데 사용된다.</p> <p>우리는 겉으로 보기에는 매우 복잡한 것으로 생각되지만 사실은 특정한 어떤 추리규칙을 나타내는 논증도식의 대입사례에 불과한 논증임을 알게 된다. 다음의 예에서 어떤 기본규칙들이 사용되었는지 확인해보겠다.</p> <p>"한국이 축구실력을 향상시키고 국가적 차원에서 지원을 아끼지 않아서 2018년 월드컵 개최가 성공적으로 이루어지거나 혹은 다른 아시아 국가들이 국제적으로 영향력을 행사하여 한국이 2022년 월드컵 개최를 위해 노력하게 될 것이다. 다른 아시아 국가들이 국제적으로 영향력을 행사하여 한국이 2022년 월드컵 개최를 위해 노력하게 될 것이라는 것은 사실과 다르다. 그러므로 한국이 축구실력을 향상시키고 국가적 차원에서 지원을 아끼지 않아서 2018년 월드컵 개최가 성공적으로 이루어질 것이다."</p> <p>이 논증의 논증도식은 다음과 같이 표기될 수 있다.</p> <p>이 도식이 선언삼단논법을 나타내는 논증도식의 복잡한 변형에 불과하다는 것을 십게 알 수 있을 것이다.</p> <p>다음 예는 타당하게 보이지만 결코 그렇지 않은 경우이다.</p> <p>“한국이 축구실력을 향상시키고 2018년 월드컵 개최가 성공적으로 이루어질 것이다. 그러므로 한국이 축구실력을 향상시키거나 로비를 강화해서 2018년 월드컵 개최가 성공적으로 이루어 질 것이다."</p> <p>이 논증의 논증도식은 다음과 같을 것이다.</p> <p>이 도식은 지금까지 소개한 추리규칙들 중의 어느 것과도 동일하지 않다. 그럼에도 불구하고 이 도식이 진리 함수적으로 타당한 논증도식이라고 말하게 될지도 모른다. 선언을 위한 기호인 \( \vee \) 과 복합적인 전제의 첫 번째 연언지에 부가되어 있는 명제 r을 가지고 있는 이 도식이 부가의 규칙을 단순히 응용한 것으로 간주될지도 모른다.</p> <p>그러나 추리규칙들의 이와 같은 사용은 허용되지 않는다. 추리규칙들은 타당한 논증도식이기 어떤 논증의 한 단계 내에 있는 복합명제의 도식들 가운데 구성된 부분들에 대해서는 적용될 수 없기 때문이다.</p> <p>지금까지 주어진 8개의 추리규칙들은 어떤 논증을 증명하는 가운데 모든 가로 행 전체에 대해서만 적용될 수 있다.</p>	자연
선형 응답률 모형에서 초모집단 모형의 비모수적 함수 추정을 이용한 무응답 편향 보정 추정	<h1>4. 편향 보정 평균추정량</h1> <p>본 연구에서 사용한 추정량은 다음과 같다.</p> <p>\( M ^ { P } \) : 성향점수를 이용하여 얻어진 가중치를 사용한 가중평균을 이용한다. 즉 성향점수로 얻어진 가중치 \( w_ { i } ^ { P } \) 를 사용한 다음의 (4.1)을 사용한다.</p> <p>\( \hat {\bar { Y } } ^ { P } = \frac { 1 } { N } \sum_ { i=1 } ^ { n } w_ { i } ^ { P } y_ { h i } \)<caption>(4.1)</caption></p> <p>\( M ^ { D } \) : 세부 층에서 얻어진 가중치를 사용하며 \( h \) 세부 층에 속한 모든 자료의 가중치가 같으므로 \( w_ { h i } =w_ { h } = \) \( w_ { h } ^ { D } \) 를 사용한다. 즉 다음의 (4.2)를 사용한다.</p> <p>\( \hat {\bar { Y } } ^ { D } = \frac { 1 } { N } \sum_ { h=1 } ^ { L } \sum_ { i=1 } ^ { n_ { h } } w_ { h } ^ { D } y_ { h i } \)<caption>(4.2)</caption></p> <p>\( M_ { N } \) : 초모집단 모형에서 국소 선형 회귀법으로 기댓값의 추정치 \( \hat {\mu } _ { i } ^ { (s) } \) 와 분산 추정치 \( \hat {\sigma } ^ { 2 } \) 을 구하고 또한 응답률 모형인 (2.8)에서 \( \hat { b } _ { 0 } , \hat { b } _ { 1 } \) 을 구한 후 (4.3)을 사용한다.</p> <p>\( \hat { Y } _ { N } = \frac { 1 } { N } \sum_ { h=1 } ^ { L } \sum_ { i=1 } ^ { n_ { h } } w_ { h } \left ( \hat {\mu } _ { i } ^ { (s) } - \frac {\hat { b } _ { 1 } \hat {\sigma } ^ { 2 } } {\hat { b } _ { 0 } + \hat { b } _ { 1 } \hat {\mu } _ { i } ^ { (s) } } \right ) \)<caption>(4.3)</caption></p> <h1>2. 편향 추정</h1> <h2>2.1. 정보적 표본설계 기법을 이용한 표본 분포</h2> <p>본 연구에서 사용된 기본 개념은 응답률이 관심변수의 함수이고, 관심변수와 보조변수 간에 초모집단 모형이 형성되는 경우는 실제 얻어진 표본 자료의 표본 분포와 모집단 분포는 일치하지 않는다는 것이다. 이 내용은 정보적 표본설계를 수행할 때 기본적으로 사용되는 개념이다. Pfeffermann 등은 정보적 표본설계를 사용할 때 \( f_ { s } \left (y_ { i } \mid \theta ^ { * } , x_ { i } \right ) = f \left (y_ { i } \mid i \in s, x_ { i } \right )= \operatorname { Pr } \left (i \in s \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) f_ { p } \left (y_ { i } \mid \theta, x_ { i } \right ) / \operatorname { Pr } \left (i \in s \mid x_ { i } \right ) \) 이고 여기서 \( \theta ^ { * } \) 는 \( \theta \) 의 함수일 때 \( \operatorname { Pr } \left (i \in s \mid y_ { i } x_ { i } \right )=E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \) 이 되며, 또한 \( \operatorname { Pr } \left (i \in s \mid x_ { i } \right )=E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid x_ { i } \right ) \) 가 되어 다음의 관계가 성립되는 것을 밝혔다.</p> <p>\( f_ { s } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )= \frac { E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) } { E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid x_ { i } \right ) } \).<caption>(2.1)</caption></p> <p>8. 선형 응답률 모형인 (2.8)을 사용하여 모수 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 을 추정한다.</p> <p>9. 추출된 자료 \( \left (x_ { i } , y_ { i } \right ) \) 와 알려진 초모집단 모형으로 회귀분석을 수행하여 \( \mu_ { i } ^ { (s) } , \sigma ^ { 2 } \) 을 추정한다. 또한, 본 연구에서 제안한 방법인 국소 선형 회귀법을 적용하여 \( \mu_ { i } ^ { (s) } , \sigma ^ { 2 } \) 을 추정한다. 다만 초모집단모형의 형태가 로지스틱 함수인 경우는 모형의 형태를 파악하기 어렵다고 가정하여 초모집단모형으로 1 차 식을 가정한 후 회귀분석을 수행한다.</p> <p>10. 계산된 결과를 이용하여 제시된 평균추정값을 계산한다.</p> <p>이제 얻어진 평균추정값은 다음의 비교통계량, 편향(bias), 상대절대편향(relative absolute bias, Rabias) 그리고 제곱근 mean squared error (root mean squared error, RMSE)를 이용하여 결과의 성능이 비교되었다. 각 비교 통계량의 정의는 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} \text { Bias } &= \frac { 1 } { R } \sum_ { r=1 } ^ { R } \left ( \hat {\bar { Y } } _ { r } - \bar { Y } _ { r } \right ), \\ \text { Rabias } &= \frac { 1 } { R } \sum_ { r=1 } ^ { R } \frac {\left \| \hat { Y } _ { r } - \bar { Y } _ { r } \right \| } {\bar { Y } _ { r } } , \\ \text { RMSE } &= \sqrt {\frac { 1 } { R } \sum_ { r=1 } ^ { R } \left ( \hat { Y } _ { r } - \bar { Y } _ { r } \right ) ^ { 2 } } . \end {aligned} \)</p> <p>여기서 \( R=1,000 \) 을 사용하였으며 반복마다 새로운 모집단을 생성하여 비교 통계량을 계산하였다. 이는 생성된 특정 모집단의 영향을 줄이기 위함이다. 이에 \( r \) 번째 반복 모집단의 참값을 \( \bar { Y } _ { r } \) 로 표시하였다.</p> <p>\( \ln \left ( \frac {\hat {\pi } _ { i } } { 1- \hat {\pi } _ { i } } \right )= \hat {\alpha } _ { 0 } + \hat {\alpha } _ { 1 } x_ { 1 i } + \cdots + \hat {\alpha } _ { p } x_ { p i } \)<caption>(2.7)</caption></p> <p>에서 \( \hat {\pi } _ { i } \) 가 얻어진다. 이제 \( \hat { w } _ { i } =1 / \hat {\pi } _ { i } \) 이라 하자. 그러면 얻어진 가중치 합 \( \sum_ { i=1 } ^ { r } \hat { w } _ { i } =N \) 이 되어야 하므로 모집단 보정인자 \( f ^ {\mathrm { pop } } =N / \sum_ { i=1 } ^ { r } \hat { w } _ { i } \) 를 각각의 가중치에 곱하여 최종적으로 성향점수를 이용한 가중치를 얻는다. 즉 성향점수를 이용한 최종 가중치는 \( \hat { w } _ { i } ^ { (P) } = \hat { w } _ { i } \times f ^ {\text { pop } } \) 으로 얻어진다.</p> <h3>2.3.2. 세부 층을 이용한 응답률 추정</h3> <p>이 방법은 Chung과 Shin, Min과 Shin에서도 사용한 방법이다. 먼저 주어진 하나의 층을 \( L \)개의 세부 층으로 나눈다. 이때 모집단에 포함된 보조변수 \( x_ { i } \) 의 정보만 있으므로 보조변수 \( x_ { i } \) 를 기준으로 세부층을 나누며 나누어진 세부 층에서 세부 층 가중치 \( w_ { h } , h=1, \ldots, L \) 를 구한다. 세부 층을 나누는 다양한 기준이 연구되었으나 모집단의 보조변수 \( x_ { i } \) 를 정해진 세부 층 개수 \( L \) 에 따라 분위수를 구한 후 분위수를 경계로 층을 나눈다. 나누어진 \( h \) 번째 세부 층에서 모집단 수와 최종 응답 자료 수인 \( N_ { h } , r_ { h } \) 를 이용하여 가중치 \( \hat { w } _ { h } =N_ { h } / r_ { h } \)를 추정한다. 이제 \( i \) 번째 자료가 \( h \) 세부 층에 속하면 가중치를 \( \hat { w } _ { h } \) 로 결정한다. 즉 \( \hat { w } _ { i } ^ { (D) } = \hat { w } _ { h } \sum_ { h=1 } ^ { L } I \left (i \in s_ { h } \right ) \) 이고 \( s_ { h } \) 는 \( h \) 층의 표본집합이다.</p> <h3>5.2.2. 초모집단 모형이 2 차 식인 경우</h3> <p>초모집단 모형이 2차 식인 경우의 결과인 Table 3과 Table 4는 선형 모형 결과인 Table 1 과 Table 2 결과와 매우 유사하다. 즉 \( \hat { Y } ^ { P } \) 에 비해 \( \hat { Y } ^ { D } \) 의 결과가 매우 우수하며 편향을 보정한 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 의 결과가 편향을 보정하지않은 \( \hat { Y } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } ^ { D } \) 에 비해 우수한 결과를 준다. 특히 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 는 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 에 비해 매우 우수한 결과를 준다. 또한, 국소 선형회귀 추정을 사용한 \( \hat { Y } _ { N } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 결과는 모수적 초모집단 모형을 이용한 결과와 매우 유사하다. 또한 표본 수의 차이는 결과에 영향을 주지 않는다.</p> <h3>5.2.3. 초모집단 모형이 Sine 함수인 경우</h3> <p>초모집단 모형이 sine 함수인 경우의 결과인 Table 5 와 Table 6은 선형과 2 차 식 결과인 Table 1 에서 Table 4 결과와 매우 유사하다. 즉 \( \hat { Y } ^ { P } \) 에 비해 \( \hat { Y } ^ { D } \) 의 결과가 매우 우수하며 편향을 보정한 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 의 결과가 편향을보정하지 않은 \( \hat {\bar { Y } } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } ^ { D } \) 에 비해 우수한 결과를 준다. 특히 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 는 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 에 비해 매우 우수한 결과를 준다. 또한, 국소 선형 회귀 추정을 사용한 \( \hat { Y } _ { N } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 결과는 모수적 초모집단 모형을 이용한 결과와 매우 유사하다.</p> <h2>2.3. 응답률 모형의 모수 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 추정</h2> <p>선형 응답률 모형인 (2.2)에 포함된 모수 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 을 추정하기 위해서는 응답률 \( E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \) 를 추정해야 한다. 응답률은 관심변수의 함수이므로 관심변수 \( y_ { i } \) 를 이용해서 추정해야 하지만 실질적으로 관심변수 \( y_ { i } \) 를 이용해 응답률을 추정할 수 없다. 이때 현실적으로 사용할 수 있는 방법은 모집단에 포함된 보조변수 \( x_ { i } \) 를 사용하는것이다.</p> <h3>2.3.1. 성향점수를 이용한 응답률 추정</h3> <p>Bethlehem은 응답률을 계산하는 다양한 방법을 설명하였으며 특히 모형을 이용한 방법인 로짓 모형을 이용하여 응답률을 구하는 방법을 연구하였다. 이 방법은 이미 잘 알려진 방법으로 보조변수 \( x_ { i } \) 를 이용하여 응답률로 성향점수(propensity score)를 이용한다. 먼저 응답 여부를 나타내는 확률변수 \( R_ { i } \) 는 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( R_ { i } = \left \{\begin {array} { ll } 1, & \text { 개체 } \mathrm { i } \text { 가 응답한 경우 } \\ 0, & \text { 개체 } \mathrm { i } \text { 가 응답하지 않은 경우. } \end {array} \right . \)</p> <p>정의에 따라 확률변수 \( R_ { i } \) 는 베르누이 분포를 따르며 응답 확률 \( \pi_ { i } = \operatorname { Pr } \left (R_ { i } =1 \right ) \) 로 얻어진다. 이론적으로는 \( \pi_ { i } \) 가 관심변수 \( y_ { i } \) 의 함수이지만 실질적으로 \( \pi_ { i } \) 의 추정은 보조변수인 \( x_ { i } \) 에 의해 이루어지기 때문에 \( \hat {\pi } _ { i } \) 는 \( x_ { i } \) 의 함수로 구해야만 한다. 따라서 \( \hat { E } _ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right )= \hat {\pi } _ { i } \approx \hat { P r } \left (R_ { i } =1 \mid x_ { i } \right ) \) 로 구할 수 있으며 흔히 다음의 로짓 모형으로 추정한다. 즉</p> <h3>2.3.3. 응답률 모형의 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 추정</h3> <p>응답률이 얻어지면 얻어진 응답률을 이용하여 모형을 만들고, 만들어진 모형에서 모수를 추정한다. 먼저 성향 점수에서 추정된 응답률 \( \hat {\pi } _ { i } = \hat { E } _ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \) 를 이용하여 모수를 추정한다. 또한, Pfeffermann과 Sverchkov에서 얻어진 결과인 \( E_ { s } \left (w_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \approx w_ { i } \) 와 \( E_ { s } \left (w_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right )=1 / E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \) 를 이용하여 세부 층에서 얻어진 가중치 \( \hat { w } _ { i } \) 로 응답률을 추정한다. 즉 \( \hat { E } _ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right )=1 / \hat { w } _ { i } \) 를 사용한다. 결국 (2.2)에 의해 다음의 모형이 완성된다.</p> <p>\( \frac { 1 } {\hat { w } _ { i } } =b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } + \eta_ { i } \).<caption>(2.8)</caption></p> <p>여기서 \( \eta_ { i } \) 는 독립이고, 같은 분포를 따르며 등분산성을 만족한다고 가정한다. 이제 세부 층에서 얻어진 가중치 \( \hat { w } _ { i } ^ { (D) } \) 또는 성향점수를 이용해 얻은 가중치 \( \hat { w } _ { i } ^ { (P) } \) 와 자료 \( y_ { i } \) 를 이용하여 각각 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 가 추정된다. 얻어진 추정량 \( \hat { b } _ { 0 } , \hat { b } _ { 1 } \) 을 이용하여 편향을 계산한다.</p> <h1>5.2. 모의실험 결과</h1> <p>응답률 모형이 선형이고, 초모집단 모형의 오차가 정규분포를 따르는 경우에서 얻어진 편향 보정 평균추정결과가 초모집단 모형의 형태에 따라 분석되었다. 먼저 Figure 1은 초모집단 모형에 따라 생성된 모집단에서 추출된 \( n=500 \) 개의 표본 자료를 이용하여 그린 그림이다. 1 차 식의 경우 그 형태를 파악할 수 있으나 2 차식 또는 Sine 함수의 경우 모형 형태 파악이 쉽지 않으며 특히 Sine 함수를 가정하더라도 주기 등을 파악하여 독립변수를 생성하기가 쉽지 않다. 다만 본 모의실험에서는 독립변수를 알고 있으므로 이를 사용하였다. 반면 로지스틱 모형의 경우는 독립변수를 파악하기가 매우 어렵다.</p> <h3>5.2.1. 초모집단 모형이 선형인 겅우</h3> <p>이 절에서는 선형 초모집단 모형에서 모수적 초모집단 모형과 국소 선형 회귀 추정을 사용한 결과를 수록하였다. 먼저 Table 1 은 자료의 수가 200 인 경우이고, Table 2 는 자료 수가 500 인 경우이다. 두 표에서 성향점수를 사용한 결과인 \( \hat {\bar { Y } } ^ { P } \) 와 세부 층을 사용한 결과인 \( \hat {\bar { Y } } ^ { D } \) 를 비교하면 편향의 경우 \( \hat {\bar { Y } } ^ { P } \) 의 결과가 모든 응답률에서 우수한 것을 확인할 수 있으나 다른 비교 통계량에서는 \( \hat { Y } ^ { D } \) 가 매우 큰 차이로 우수한 것을 확인할 수 있다. 또한, 편향을 보정한 결과를 살펴보면 성향점수를 사용한 결과인 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 보다 세부 층을 사용한 결과인 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 가 편향을 제외한 다른 비교 통계량에서 매우 우수한 결과를 주는 것을 확인할 수 있다. 특히 RMSE를 살펴보면 \( \hat {\bar { Y } } ^ { P } \) 와 \( \hat {\bar { Y } } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 의 비교에서 편향 보정 효과가 크지 않지만 \( \hat { Y } ^ { D } \) 와 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 의 비교에서는 편향 보정 효과가 매우 큰 것을 확인할 수 있다. 따라서 비교된 4개의 추정량에서는 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 가 가장 우수한 결과를 주고 있다. 다음으로 모수적 초모집단 모형을 사용한 결과와 국소 선형 회귀 추정을 사용한 결과를 살펴보면 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { P } \) 의 결과가 유사하고, \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 의 결과와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 의 결과가 매우 유사하다. 따라서 모수적 초모집단 모형 사용과 국소 선형 회귀 모형 사용이 유사한 결과를 주는 것을 확인하였다. 표본 수 \( n=200 \) 인 Table 1 과 \( n=500 \) 인 Table 2에서 얻어진 추정량 비교 결과는 매우 유사하여 표본 수의 차이에 의한 결과의 차이는 없다고 판단되며 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 의 상대절대편향 결과인 Rabias를 살펴보면 매우 안정적인 결과를 준다.</p> <p>여기서 \( f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \) 는 모집단 분포, \( f_ { s } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \) 는 표본 분포이고, \( \pi_ { i } \) 는 표본 포함확률 또는 응답률, \( E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \) 는 \( x_ { i } , y_ { i } \) 가 주어졌을 때 자료가 표본에 포함될 포함확률 또는 최종적인 응답률이다. 만약 \( E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right )=E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid x_ { i } \right ) \)이면 모집단 분포와 표본 분포는 같아진다. 이에 관한 내용은 Chung과 Shin 을 참고하기 바란다. Lee를 살펴보면 매우 십게 이론을 이해할 수 있다.</p> <h2>2.2. 응답률 모형과 편향 추정</h2> <h3>2.2.1. 응답률 모형</h3> <p>편향 추정을 위한 다수의 응답률 모형이 개발되었으며 기존의 연구에서 이미 편향 보정 평균추정량의 우수성이 확인되었다. 특히, Bethlehem에서는 로지스틱 응답률 모형과 선형 응답률 모형을 사용하여 자료를 분석하였으며 두 응답률 모형의 결과에 큰 차이를 보이지 않은 것을 확인하였다. 본 연구에서는 기본적으로 고려할 수 있는 모형이면서도 이론적으로 쉽게 편향이 추정되는 선형 응답률 모형을 고려하였다. 이는 선형 응답률 모형에서 효과가 있다면 다른 응답률 모형을 사용할 때도 효과가 있을 것으로 예상할 수 있기 때문이다. 선형 응답률 모형은 다음과 같이 정의된다.</p> <p>\( E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right )=b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } \)<caption>(2.2)</caption></p> <p>따라서 (2.1)의 분모는 다음과 같이 얻어진다.</p> <p>\( E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid x_ { i } \right )=E \left (E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) \mid x_ { i } \right )=E \left (b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } \mid x_ { i } \right )=b_ { 0 } + b_ { 1 } E_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \)<caption>(2.3)</caption></p> <p>이제 (2.2)와 (2.3)을 이용하면 다음의 결과를 얻는다.</p> <p>\( \frac { E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid y_ { i } , x_ { i } \right ) } { E_ { p } \left ( \pi_ { i } \mid x_ { i } \right ) } = \frac { b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } } { b_ { 0 } + b_ { 1 } E_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) } \).<caption>(2.4)</caption></p> <p>정보적 표본설계의 경우 알려진 \( b_ { 0 } \) 와 \( b_ { 1 } \) 을 사용하지만, 본 연구와 같이 응답률 모형을 사용할 경우에서는 모형에 포함된 모수를 추정하여야 한다. \( b_ { 0 } \) 와 \( b_ { 1 } \) 의 모수 추정에 관한 내용은 2.3 절에서 설명하였다.</p> <h3>2.2.2. 편항 추정</h3> <p>초모집단 모형과 응답률 모형이 설정되면 이를 기반으로 편향이 추정된다. 이제 선형 응답률 모형에서 얻어진 결과인 (2.4)를 이용하면 표본 평균 \( E_ { s } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )= \mu_ { i } ^ { (s) } \) 는 다음과 같이 구해진다.</p> <p>\( \mu_ { i } ^ { (s) } =E_ { s } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )= \int y_ { i } \left ( \frac { b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } } { b_ { 0 } + b_ { 1 } E_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) } \right ) f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) d y_ { i } = \frac { b_ { 0 } \mu_ { i } + b_ { 1 } E_ { p } \left (y_ { i } ^ { 2 } \mid x_ { i } \right ) } { b_ { 0 } + b_ { 1 } \mu_ { i } } \),<caption>(2.5)</caption></p> <h3>Step 3 층화</h3> <p>얻어진 표본 자료는 \( \left (x_ { i } , y_ { i } \right ), i=1, \ldots, r \) 이고 무응답에 의해 각 자료의 가중치는 달라진다. 이를 반영하기 위해 두 방법이 사용되었다.</p> <p>6.1 세부 층 방법: 먼저 주어진 하나의 모집단 층을 \( L \) 개의 세부 층으로 나눈다. 실제 자료 분석에서는 모집단에 보조변수 \( x_ { i } \) 의 정보만 있으므로 보조변수를 기준으로 세부 층을 나눈다. 보조변수 \( x_ { i } \) 를 기준으로 분위수를 구한 후, 분위수를 이용하여 모집단을 \( L \) 개의 세부 층으로 나눈다. 여기서 \( L \) 은 표본 수에 따라 \( n=200 \) 일 때 \( L=10 \) 그리고 \( n=500 \) 일 때 \( L=25 \) 를 사용한다.</p> <p>6.2 성향점수 방법: 응답인 경우 \( R_ { i } =1 \), 무응답인 경우 \( R_ { i } =0 \) 으로 하고, 독립변수를 \( x_ { i } \) 로 하는 로짓모형을 이용하여 성향점수인 응답률 \( \hat {\pi } _ { i } \) 를 구한다.</p> <h3>Step 4 모수 추정</h3> <p>7.1 나누어진 세부 층의 모집단 수와 조사된 자료 수 \( \left (N_ { h } , r_ { h } \right ) \) 를 이용하여 세부 층 가중치 \( w_ { h } =N_ { h } / r_ { h } \)를 계산한다. 이때 \( w_ { i } =w_ {\left (i \in s_ { h } \right ) } =w_ { h } \) 가 된다. 즉 같은 세부 층에 포함된 자료의 가중치는 같다.</p> <p>7.2 로짓 모형에서 얻어진 응답률의 역수를 모집단 수로 보정하여 얻은 최종 가중치를 사용한다. 즉 \[ \hat { w } _ { i } ^ { (P) } = \hat { w } _ { i } \times f ^ {\text { pop } } \text { 이고 } \hat { w } _ { i } =1 / \hat {\pi } _ { i } , f ^ {\text { pop } } =N / \sum_ { i=1 } ^ { r } \hat { w } _ { i } \]이다.</p> <p>여기서 \( m \left (x_ { i } \right ) \) 는 보조변수 \( x_ { i } \) 의 임의의 함수로 \( \mu_ { i } =m \left (x_ { i } \right ) \) 로 표시한다. 본 연구에서는 \( \mu_ { i } \) 의 추정값인 \( \hat {\mu } _ { i } = \) \( \hat { m } \left (x_ { i } \right ) \) 는 국소 선형 회귀(local linear regression) 방법으로 추정한다. 잘 알려진 것처럼 국소 선형 회귀법은 선형회귀를 국소적으로 커널 가중치를 적용하는 방법으로 주어진 점 \( x \) 에서의 추정치를 구하기 위해 전체 관측치를 모두 사용하는 대신 \( x \) 근처의 관측치만을 사용하는 방법이다. 이제 커널이라 부르는 임의의 확률밀도함수 \( K \left (x, x_ { i } \right )=K \left (x_ { i } -x / \lambda \right ) \) 를 국소 선형 회귀법에 적합하면</p> <p>\( \sum_ { i=1 } ^ { n } K \left (x, x_ { i } \right ) \left \{ y_ { i } - \beta_ { 0 } - \beta_ { 1 } \left (x_ { i } -x \right ) \right \} ^ { 2 } \)<caption>(3.5)</caption></p> <p>와 같은 가중최소제곱 형태를 따른다. 본 연구에서는 최적의 평활 계수 \( \lambda \) 를 추정하기 위해 일반으로 사용하는 일반화교차확인(generalized cross validation, GCV)을 최소화하는 방법인 (3.6)을 사용하였다.</p> <p>\( \min \operatorname { GCV } ( \lambda)= \min \frac { 1 } { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } \left \{\frac { y_ { i } - \hat { m } \left (x_ { i } \right ) } { 1- \operatorname { tr } \left (H_ {\lambda } \right ) / n } \right \} \)<caption>(3.6)</caption></p> <p>여기서 \( \operatorname { tr } \left (H_ {\lambda } \right ) \) 는 평활 계수 \( \lambda \) 가 특정한 값으로 주어지고 \( m(x) \) 의 추정치를 \( \hat { m } _ {\lambda } (x) \) 라 할 때 \( \hat { m } _ {\lambda } (x)=H_ {\lambda } y \)로 표현되는 \( n \times n \) 모자 행렬 \( H_ {\lambda } \) 의 대각원소의 합이다. 본 연구에서 사용한 국소 선형 회귀법은 이미 잘 알려진 방법으로 이를 통해 모수 \( \mu_ { i } \) 그리고 \( \sigma ^ { 2 } \) 의 추정값인 \( \hat {\mu } _ { i } \) 와 \( \hat {\sigma } ^ { 2 } \) 이 얻어지며 이 결과를 (2.6)의 편향 추정에 사용한다.</p> <h1>1. 서론</h1> <p>표본조사에서 발생한 무응답은 추정의 정확성을 떨어뜨리는 주요 요인이다. 특히 최근 조사에서 무응답 발생 확률은 높아지고 있으므로 적절한 무응답 처리는 매우 중요하다. 대표적으로 사용되는 무응답 처리 방법에는 가중치를 보정 또는 수정한 후 얻어진 최종 가중치를 사용하여 모수를 추정하는 방법인 가중치 보정 방법과 무응답으로 인해 발생한 결측치(missing value)에 타당하다고 판단되는 값을 대체하는 방법인 무응답 대체법이있다. 두 방법과 관련된 다수의 방법이 이미 개발되었고, 실제 표본조사에서 사용되고 있다.</p> <p>대부분의 무응답 처리법은 missing at random (MAR)를 가정한 후 이루어진다. 그러나 최근 무응답이 관심변수에 영향을 받는 경우가 있으며 이 경우 MAR 가정을 사용한 무응답 처리 방법은 효과적이지 않다. 따라서 무응답이 관심변수에 영향을 받는 경우는 관심변수의 응답률 함수를 설정하고 이를 통해 만들어진 응답률모형을 이용하여 처리하는 것이 타당하다. 또한, 다수의 표본조사에서 관심변수와 보조변수 간에 관계가 형성되며 이 관계는 초모집단 모형으로 설명될 수 있다. 따라서 관심변수와 보조변수 간에 초모집단 모형이 형성되고, 타당한 관심변수의 응답률 모형을 사용한다면 정확한 추정값이 얻어질 수 있다. 초모집단 모형은 알려진 모형, 예를 들면 선형 모형, 로그-선형 모형 등이 사용된다. 그러나 실제 자료 분석에서 초모집단 모형이 알려진 형태에서 벗어날 수 있으며 또한 형태를 파악하기 어려울 수 있다. 이러한 상황에서 비모수적 함수추정 기법을 사용하는 것은 매우 자연스럽다.</p> <p>최근 정보적 표본설계 기법을 응용하여 무응답으로 인해 발생한 편향을 처리하는 다수의 연구가 진행되었다. 먼저 정보적 표본설계 기법은 Pfeffermann 등 이후 다수의 논문이 발표되었으며 Chung과 Shin, Min과 Shin 등은 이 방법을 응답률 모형에 적용한 편향 보정 평균추정량을 제안하였다. 또한, Bethlehem은 응답률을 추정할 수 있는 다양한 방법을 설명하였다.</p> <p>본 연구에서는 Chung과 Shin에서 제안한 응답률 추정값과 Bethlehem의 성향점수를 이용한 응답률 추정값을 사용하여 얻어진 편향 추정량에 비모수적 함수 추정 기법을 적용한 편향 보정 평균추정량을 제안하였다.</p> <p>본 논문의 구성은 다음과 같다. 먼저 2절에서는 기존의 연구에서 얻어진 응답률 모형과 편향 추정량을 간단히 살펴보았다. 3절에서는 본 연구에서 제안한 비모수적 함수 추정 기법을 이용하여 얻어진 결과를 편향 추정량에 적용하는 방법을 설명하였다. 4절에서는 최종적으로 얻어진 편향 보정 평균추정량을 설명하였다. 5절에서는 모의실험을 통해 본 연구에서 제안한 방법의 타당성과 우수성을 살펴보았으며 6절에 본 연구에서 제안한 방법과 관련된 결론을 수록하였다.</p> <p>\( M_ { N } \) 방법에 사용되는 가중치를 결정할 때, 세부 층을 사용한 경우는 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 그리고 성향점수를 사용한 경우는 \( \hat {\bar { Y } } _ { N } ^ { P } \) 라 표시한다.</p> <p>\( M_ {\mathrm { INF } } \) : 초모집단 모형의 형태가 알려진 경우에서 얻어진 기댓값의 추정치 \( \hat {\mu } _ { i } ^ { (s) } \) 와 분산 추정치 \( \hat {\sigma } ^ { 2 } \) 를 (4.3)에 대입하여 추정한다. 이때 \( \hat { b } _ { 0 } , \hat { b } _ { 1 } \) 은 \( M_ { N } \) 방법에서 얻어진 같은 추정값을 사용한다. 또한, 성향점수를 사용해서 얻어진 추정량을 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { p } \), 그리고 세부 층을 사용해서 얻어진 추정량을 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 라 표시한다.</p> <p>결론적으로 \( M ^ { P } \) 와 \( M ^ { D } \) 방법은 편향을 보정하지 않는 가중평균추정량이다. 여기서 \( P \) 는 성향점수에서 얻어진 가중치 사용을 의미하고 \( D \) 는 세부 층을 사용하여 얻어진 가중치 사용을 의미한다. 또한, \( M_ {\mathrm { INF } } \)는 초모집단 모형의 형태가 알려진 경우의 결과이고, \( M_ { N } \) 은 초모집단 모형의 형태를 사용하지 않고 국소 선형 회귀법을 사용한 경우의 결과이다.</p> <h1>5. 모의실험</h1> <h2>5.1. 모의실험 설계</h2> <p>흔히 표본설계에서는 층화추출법을 사용하고 전체 모집단 평균을 추정한다. 본 연구에서는 여러 개의 층 중에서 주어진 한 개의 특정 층의 추정을 고려하였다. 이는 층화추출법에서는 층별로 모수 추정이 이루어지기 때문에 하나의 층을 고려하여도 일반성을 잃지 않기 때문이다. 다음이 모의실험을 위한 자료생성 과정과 모수 추정 방법이다. 전체적인 모의실험 방법은 Chung과 Shin 방법과 유사한 방법을 사용하였다.</p> <h3>Step 1 모집단 생성과정</h3> <p>초모집단 모형의 오차가 정규분포인 경우의 정보적 표본설계를 위한 모집단 자료생성 과정은 다음과같다.</p> <p>1. 보조변수 자료 \( x_ { i } \) 생성:</p> <p>\[x_ { i } =200 + \gamma_ { i } , i=1, \ldots, N \]</p> <p>여기서 \( \gamma_ { i } \stackrel { i i d } {\sim } \) Unif \( (0,100) \) 이다. 따라서 보조변수 \( x_ { i } \) 는 200 에서 300 사이의 값을 갖는다.</p> <p>2. 초모집단 모형</p> <p>주어진 보조변수 자료를 이용하여 관심변수 자료를 생성한다.</p> <ol type=1 start=1><li>1 차 식 : \( y_ { i } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } + \epsilon_ { i } , \epsilon_ { i } \stackrel {\text { iid } } {\sim } N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>2 차 식 : \( y_ { i } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } + \beta_ { 2 } \left (x_ { i } -230 \right ) ^ { 2 } + \epsilon_ { i } , \epsilon_ { i } \stackrel {\text { iid } } {\sim } N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>Sine 함수: \( y_ { i } = \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } + \beta_ { 3 } \sin (2 \pi x / 100) + \epsilon_ { i } , \epsilon_ { i } \stackrel { iid } {\sim } N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)</li> <li>logistic 함수 : \( z_ { i } =-25 + 0.1 x_ { i } , y_ { i } =200 + 400 \times e ^ { z_ { i } } / \left (1 + e ^ { z_ { i } } \right ) + \epsilon_ { i } , \epsilon_ { i } \stackrel { i i d } {\sim } N \left (0, \sigma ^ { 2 } \right ) \)</li></ol> <p>여기서 \( \beta_ { 0 } =10, \beta_ { 1 } =5, \beta_ { 2 } =0.1, \beta_ { 3 } =100, \sigma ^ { 2 } =900 \) 이고, 모집단 자료 수 \( N=10,000 \) 을 사용한다. (1), (2), (3)의 경우는 초모집단 모형의 형태를 파악할 수 있는 경우이고, (4)는 초모집단 모형을 파악할 수 없는 경우를 위해 관심변수를 생성하였다.</p> <h1>3. 초모집단 모형</h1> <h2>3.1. 모수적 초모집단 모형</h2> <p>Chung과 Shin 그리고 Pfeffermann 등에서 사용한 초모집단 모형은 선형 회귀 모형과 로그-선형 모형이다. 초모집단 모형의 오차가 정규분포인 경우에서는 선형 회귀 모형이 매우 효과적이며 초모집단 모형의 오차가 로그-정규분포 또는 감마분포인 경우는 로그-선형 모형이 효과적이다. 본 연구에서는 선형을 따르지 않거나 함수가 알려지지 않은 경우로 초모집단 모형을 확장하였으며 변환이 필요하지 않고 분산이 일정한 경우만을 고려하였다. 이에 본 연구에서 사용한 초모집단 모형의 형태는 다음과 같다.</p> <ol type=1 start=1><li>선형 회귀 모형 \[f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )=N \left ( \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } , \sigma ^ { 2 } \right ) . \]<caption>(3.1)</caption></li> <li>2차 회귀 모형 \[f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )=N \left ( \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } + \beta_ { 2 } x_ { i } ^ { 2 } , \sigma ^ { 2 } \right ) . \]<caption>(3.2)</caption></li> <li>Sine 함수 \[f_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )=N \left ( \beta_ { 0 } + \beta_ { 1 } x_ { i } + \beta_ { 3 } \sin \left (2 \pi f x_ { i } \right ), \sigma ^ { 2 } \right ) . \]<caption>(3.3)</caption></li></ol> <p>흔히 보조변수가 증가할 때 관심변수는 증가하거나 감소하는 경향을 보이므로 본 연구에서도 위의 모형에서 적절한 \( \beta_ { 0 } , \beta_ { 1 } , \beta_ { 2 } , \beta_ { 3 } \) 그리고 \( f \) 를 사용하였다.</p> <h2>3.2. 초모집단 모형의 비모수적 함수 추정</h2> <p>본 연구에서 제안한 비모수적 형태의 초모집단 모형은 다음과 같다.</p> <p>\( y_ { i } =m \left (x_ { i } \right ) + \epsilon_ { i } \)<caption>(3.4)</caption></p> <p>여기서 \( \mu_ { i } =E_ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \) 이다. 또한 \( E_ { p } \left (y_ { i } ^ { 2 } \mid x_ { i } \right )= \operatorname { Var } _ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) + \mu_ { i } ^ { 2 } \) 이므로 이 결과를 (2.5) 대입하면, \( \mu_ { i } ^ { (s) } = \mu_ { i } + \frac { b_ { 1 } } { b_ { 0 } + b_ { 1 } \mu_ { i } } \times \operatorname { Var } _ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \)를 얻게 된다. 따라서, 이론적으로 얻어진 편향은 \( b_ { 1 } / \left (b_ { 0 } + b_ { 1 } \mu_ { i } \right ) \times \operatorname { Var } _ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right ) \) 이 된다. 이제 \( \operatorname { Var } _ { p } \left (y_ { i } \mid x_ { i } \right )= \sigma ^ { 2 } \)으로 \( i \) 번째 자료에 무관하게 일정하다면 추정된 편향은 다음과 같다.</p> <p>\( \frac { b_ { 1 } } { b_ { 0 } + b_ { 1 } \mu_ { i } } \sigma ^ { 2 } \)<caption>(2.6)</caption></p> <p>이 결과는 Chung과 Shin (2019)에서 확인할 수 있다. 이제 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 이 응답률 모형에서 적절하게 추정되고 초모집단 모형에서 \( \mu_ { i } \) 와 \( \sigma ^ { 2 } \) 의 추정치를 이용하면 최종적으로 편향의 추정 결과를 얻을 수 있다.</p> <h3>Step 2 표본추출과정</h3> <p>생성된 \( N \) 개의 모집단 자료에서 \( n \) 개의 표본을 추출한다. 추출된 \( n \) 개의 자료에서 주어진 응답률 모형에 따라 랜덤으로 무응답을 만든다.</p> <p>3. \( N \) 개의 모집단 자료에서 단순임의추출(simple random sample)로 \( n \) 개의 표본을 추출한다. 이때 \( n=200,500 \) 을 사용한다.</p> <p>4. 추출된 \( n \) 개의 표본에서 선형 모형인 \( \pi_ { i } =b_ { 0 } + b_ { 1 } y_ { i } , \pi_ { i } \in[0,1] \) 을 이용하여 무응답을 생성한다. 즉 \( y_ { i } \)의 최솟값에서의 응답률을 \( \pi_ { y } ^ {\min } , y_ { i } \) 의 최댓값에서의 응답률을 \( \pi_ { y } ^ {\max } \) 라 할 때, \( \left ( \pi_ { y } ^ {\min } , \pi_ { y } ^ {\max } \right )=(0.9,0.3) \), \( (0.9,0.5),(0.5,0.9),(0.3,0.9) \) 을 사용하여 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 을 구하고 \( y_ { i } \) 에 따라 응답률을 계산한다. 계산된 응답률에 따라 무응답을 생성한다.</p> <p>5. 응답한 최종 조사 자료는 \( r \) 개이다. 여기서 \( \left ( \pi_ { y } ^ {\min } , \pi_ { y } ^ {\max } \right )=(0.9,0.3) \) 또는 \( \left ( \pi_ { y } ^ {\min } , \pi_ { y } ^ {\max } \right )=(0.3,0.9) \) 에서는 전체 자료의 약 \( 60 \% \) 가 되어 주어진 자료 수 \( n \) 에 비해 약 \( 40 \% \) 가 감소한다. \( \left ( \pi_ { y } ^ {\min } , \pi_ { y } ^ {\max } \right )=(0.9,0.5) \) 또는 \( \left ( \pi_ { y } ^ {\min } , \pi_ { y } ^ {\max } \right )=(0.5,0.9) \) 인 경우는 전체 자료의 \( 70 \% \) 가 되어 주어진 자료 수 \( n \) 에 비해 약 \( 30 \% \) 가 감소한다. 물론 초모집단 모형의 형태에 따라 비율은 달라진다.</p> <h3>5.2.4. 초모집단 모형이 로지스틱 함수인 겅우</h3> <p>초모집단 모형이 로지스틱 함수인 경우의 결과인 Table 7과 Table 8은 선형과 2 차식 그리고 Sine 함수인 경우의 결과와 유사하다. 다만 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 를 사용할 때 모수적 초모집단 모형으로 로지스틱 모형을 사용해야 하지만 선형을 가정하여 평균을 추정하였다. 따라서 잘못된 모수적 초모집단 모형을 사용하였기 때문에 편향을 보정한 효과가 없을 수 있다. 특히 \( \hat {\bar { Y } } _ {\mathrm { INF } } ^ { D } \) 결과는 매우 나빠지는 것을 확인할 수 있다. 따라서 세부 층 가중치를 사용할 때 초모집단 모형의 형태가 알려지지 않은 경우는 사용에 주의할 필요가 있다. 반면 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 는 편향 보정 효과가 있는 것으로 나타났지만 그 효과는 다른 모의실험 결과와 유사하게 미미하게 좋아지고 있다. 이는 초모집단형태가 정확히 선형 형태는 아니지만, 선형과 유사한 형태를 따르기 때문으로 판단된다. 그러나 \( \hat { Y } _ {\mathrm { INF } } ^ { P } \) 의 RMSE 결과보다 \( \hat { Y } ^ { D } \) 의 RMSE 결과가 우수하기 때문에 \( \hat { Y } ^ { D } \) 를 사용하는 것이 타당하다. 이제 초모집단 형태를 가정하지 않는 결과인 \( \hat { Y } _ { N } ^ { P } \) 와 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 을 살펴보면 먼저 \( \hat {\hat { Y } } _ { N } ^ { P } \) 은 \( \hat { Y } ^ { P } \) 에 비해 우수한 결과를 주지만 큰 차이를 보이지 않는다. 반면 \( \hat { Y } _ { N } ^ { D } \) 은 \( \hat { Y } ^ { D } \) 에 비해 매우 우수한 결과를 주며 모든 추정량 중에서 가장 우수한 결과를 주고 있다. 따라서 초모집단 모형의 형태가 알려지지 않은 경우는 국소 선형 회귀 추정을 사용하는 것이 타당하다.</p> <h1>6. 결론</h1> <p>본 연구에서는 초모집단 모형이 선형이 아닌 일반 형태일 때 비모수적 회귀 모형을 이용하여 \( \mu_ { i } \) 와 \( \sigma ^ { 2 } \) 을 추정하여 편향을 보정 하는 방법을 제안하였다. 이론적으로 추정된 편향을 살펴보면 선형 응답률 모형에서 추정된 계수 \( b_ { 0 } , b_ { 1 } \) 과 초모집단 모형에서 추정된 \( \mu_ { i } \) 와 \( \sigma ^ { 2 } \) 의 추정치를 이용하면 편향이 추정될 수 있다. 따라서 어떠한 초모집단 모형이라도 평균과 분산이 추정된다면 편향이 추정될 수 있고 이를 통하여 편향 보정 평균추정량이 얻어지게 된다. 따라서 초모집단 모형의 형태가 알려지지 않은 경우에서는 제안된 편향 보정 평균추정량을 사용함으로써 추정의 정확성이 향상될 수 있다고 판단된다. 다만 본 연구의 결과는 선형 응답률 모형과 분산이 일정한 임의의 초모집단 모형에 국한된 결과이므로 이를 확장한 연구가 필요하다.</p>	자연
선형대수학	<p>예제 2.1.12 \( 2 \times 2 \) 행렬 \( A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] \) 가 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 \( \Delta=a d-b c \neq 0 \) 이다.</p> <p>[풀이] \( a d-b c \neq 0 \) 일 때 다음 행렬 \( A ^ { -1 } \) 은 \( A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I \) 를 만족한다. \[ \mathrm { A } ^ { -1 } = \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ] \] 실제로 \[ \begin {aligned} A A ^ { -1 } &= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] \left ( \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ] \right )= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cc } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ] \\ &= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { ll } a d-b c & -a b + b a \\ c d-d c & -c b + d a \end {array} \right ]= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { cc } a d-b c & 0 \\ 0 & a d-b c \end {array} \right ] \\ &= \left [ \begin {array} { cc } \frac { a d-b c } { a d-b c } & 0 \\ 0 & \frac { a d-b c } { a d-b c } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \\ A ^ { -1 } A &= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { cc } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ]= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { cc } d a-b c & d b-b d \\ -c a + a c & -b c + a d \end {array} \right ] \\ &= \frac { 1 } { a d-b c } \left [ \begin {array} { cc } a d-b c & 0 \\ 0 & a d-b c \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cc } \frac { a d-b c } { a d-b c } \quad 0 \\ 0 & \frac { a d-b c } { a d-b c } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cc } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ] \end {aligned} \] 역을 증명하기 위하여 \( A \) 가 가역행렬이고 \( a d-b c=0 \) 이라 하자. 행렬 \( B \) 를 다음으로 놓으면 \( B A=0 \) 이다. \[ \begin {array} { l } B= \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ], \\ B A= \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } a d-b c & b d-b d \\ -a c + a c & a d-b c \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \end {array} \] 그런데 \( B=B I=B \left (A A ^ { -1 } \right )=(B A) A ^ { -1 } =O A ^ { -1 } =0 \) 이므로 \( a=b=c=d=0 \) \[ \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\ -c & a \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 0 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \] \( A=O \) 이므로 \( A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I \) 에서 \( O=O A ^ { -1 } =I \) 이다. 이는 분명한 모순이다. 따라서 \( A \) 가 가역행렬이면 \( a d-b c \neq 0 \) 이다.</p> <p>정리 2.4.3 (Cramer 의 법칙) 정칙행렬 \( A \in M_ { n \times n } \) 에 관한 연립방정식 \( A X= \) \( B, A= \left [a_ { i j } \right ], X= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) ^ { t } , B= \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) ^ { t } \) 은 단 한 개의 해를 가지며 그 해는 모든 \( j=1, \cdots, n \) 에 대하여 다음으로 주어진다. \[ x_ { j } = \frac { 1 } { \|A\| } \|A\|_ {\left (C_ { j } \rightarrow B \right ) } \] \[= \frac {\left \| \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & b_ { 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & b_ { 2 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & b_ { n } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| } \]</p> <p>[증명] \( A \) 의 역행렬 \( A ^ { -1 } \) 을 연립방정식 \( A X=B \) 의 양변에 곱하면 \[ \left (A ^ { -1 } \right ) A X=A ^ { -1 } B, \quad \left (A ^ { -1 } A \right ) X=A ^ { -1 } B \] \( A ^ { -1 } A=I, I X=X \) 이므로 \[ X=A ^ { -1 } B \] \( A ^ { -1 } = \frac { 1 } { \|A\| } \operatorname { adj } A \) 를 대입하면 \[ X= \frac { 1 } { \|A\| } ( \operatorname { adj } A) B \] \[ = \frac { 1 } { \|A\| } \left [ \begin {array} { cccc } A_ { 11 } & A_ { 21 } & \cdots & A_ { n 1 } \\ A_ { 12 } & A_ { 22 } & \cdots & A_ { n 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_ { 1 n } & A_ { 2 n } & \cdots & A_ { n n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { n } \end {array} \right ] \] \[ = \frac { 1 } { \|A\| } \left [ \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } A_ { i 1 } \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } A_ { i 2 } \cdots \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } A_ { i n } \right ] \] 그러므로 \( j=1, \cdots, n \) 에 대하여 \[ x_ { j } = \frac { 1 } { \|A\| } \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } A_ { i j } \] 그런데 \( \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } A_ { i j } \) 는 행렬식 \( \|A\| \) 의 제 \( j \) 열의 성분 \( a_ { 1 j } , \cdots, a_ { n j } \) 를 각각 \( b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \) 으로 바꾸어 넣은 것으로 \( \|A\|_ {\left (C_ { j } \leftrightarrow B \right ) } \) 이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x_ { j } &= \frac { 1 } { \|A\| } \|A\|_ {\left (C_ { j } \leftrightarrow B \right ) } \\ &= \frac { 1 } { \|A\| } \left \| \begin {array} { cccccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 j-1 } & b_ { 1 } & a_ { 1 j + 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 j-1 } & b_ { 2 } & a_ { 2 j + 1 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n j-1 } & b_ { n } & a_ { n j + 1 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \end {aligned} \]</p> <p>예제 2.3.12 다음 행렬 \( A, B \) 에서 \( \|A\|= \left \|A ^ { t } \right \|,\|B\|= \left \|B ^ { t } \right \| \) 가 성립함을 보여라. \[ A= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 2 \\ 0 & -1 \end {array} \right ] \] \[ B= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] \[ \|A\|= \left \| \begin {array} { rr } 1 & 2 \\ 0 & -1 \end {array} \right \|=1 \cdot(-1)-2 \cdot 0=-1 \] \[ \begin {array} { l } \left \|A ^ { t } \right \|= \left \| \begin {array} { rr } 1 & 0 \\ 2 & -1 \end {array} \right \|=1 \cdot(-1)-0 \cdot 2=-1 \\ \|B\|= \left \| \begin {array} { rrr } 3 & 2 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \end {array} \right \|=3 \cdot(-2) \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 4 + 2 \cdot 3 \cdot 2 \\ -4 \cdot(-2) \cdot 2-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 1 \cdot 2=-3 \\ \left \|B ^ { t } \right \|= \left \| \begin {array} { rrr } 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end {array} \right \|=3 \cdot(-2) \cdot 2 + 2 \cdot 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 \\ -2 \cdot(-2) \cdot 4-3 \cdot 3 \cdot 3-2 \cdot 2 \cdot 1=-3 \end {array} \] 따라서 \[ \|A\|= \left \|A ^ { t } \right \|=-1, \quad\|B\|= \left \|B ^ { t } \right \|=-3 \]</p> <p>정리 2.3.5 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 의 행렬식은 행(열)에 관하여 선형이다. 즉 \[ \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { k 1 } + b_ { k 1 } & a_ { k 2 } + b_ { k 2 } & \cdots & a_ { k n } + b_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| = \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { k 1 } & a_ { k 2 } & \cdots & a_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| + \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_ { k 1 } & b_ { k 2 } & \cdots & b_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \] \[ \left \| \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha a_ { k 1 } & \alpha a_ { k 2 } & \cdots & \alpha a_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \|= \alpha \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { k 1 } & a_ { k 2 } & \cdots & a_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \]</p> <p>예제 2.3.5 다음 치환을 호환의 곱으로 나타내어라. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { llll } 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 1 & 4 & 2 \end {array} \right ) \]</p> <p>[풀이] 치환의 합성에 의하면 \( \delta \) 는 다음으로 표시된다. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { llll } 1 & 3 & 4 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { llll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { llll } 1 & 4 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { llll } 1 & 3 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { llll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & 4 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { l } 1 \end {array} \right ) \]</p> <p>위의 예에서 본 바와 같이 하나의 치환을 호환의 곱으로 표시하는 방법은 무수히 많다. 다음 정리는 행렬식의 정의에 유용한 것이다.</p> <p>정리 2.3.1 치환은 쌍마다 서로 소인 몇 개의 순환치환의 곱으로 표시된다.또한 치환은 몇 개의 호환의 곱으로 표시되고, 그 표시방법은 일의적이 아니다.</p> <p>[증명] 숫자 \( 1,2, \cdots, n \) 중에서 치환 \( \sigma \in S_ { n } \) 에 의하여 변하는 최초의 숫자를 \( i_ { 1 } \) 이라 하자. \( \sigma \left (i_ { 1 } \right )=i_ { 2 } \) 이고 \( \sigma \left (i_ { 2 } \right )=i_ { 1 } \) 일 때 \( \delta= \left (i_ { 1 } , i_ { 2 } \right ) \) 라 놓자. \( \sigma \left (i_ { 2 } \right ) \neq i_ { 1 } \) 일 때 \( \sigma \left (i_ { 2 } \right )=i_ { 3 } \) 이라 놓으면 \( i_ { 3 } \) 은 \( i_ { 1 } , i_ { 2 } \) 와는 같을 수가 없다. \( \sigma \) 는 \( \{ 1,2, \cdots, n \} \) 에서 \( \{ 1, \cdots, n \} \) 으로의 전단사이므로 \( i_ { 3 } =i_ { 2 } \) 일 수가 없기 때문이다. \( \sigma \left (i_ { 3 } \right )=i_ { 1 } \) 일 때 \( \delta= \left (i_ { 1 } \quad i_ { 2 } \quad i_ { 3 } \right ) \) 이라 놓자. \( \sigma \left (i_ { 3 } \right ) \neq i_ { 1 } \) 일 때 \( \sigma \left (i_ { 3 } \right ) \neq i_ { 1 } , i_ { 2 } \) 이므로 \( \sigma \left (i_ { 3 } \right )=i_ { 4 } \) 라 놓을 수 있다. 이러한 과정을 유한 번 시행하면 \( \sigma \left ( \cdots \left ( \sigma \left (i_ { 1 } \right ) \right ) \cdots \right )= \sigma ^ { r } \left (i_ { 1 } \right )=i_ { 1 } \) 이 되고 \( \delta= \) \( \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right ) \) 를 얻는다. 다음으로 집합 \( \{ 1,2, \cdots, n \} \) 과 \( \left \{ i_ { 1 } , i_ { 2 } , \cdots, i_ { r } \right \} \) 의 차집합의 원소 중에서 \( \sigma \) 에 의하여 변하지 않는 최초의 숫자를 \( j_ { 1 } \) 이라 놓고 위의 과정을 시행하면 순환치환 \( \tau= \left (j_ { 1 } \cdots j_ { S } \right ) \) 를 얻는다. 집합 \( \left \{ i_ { 1 } , \cdots, i_ { r } , j_ { 1 } , \cdots, j_ { S } \right \} \) 에 동일한 과정을 반복함으로써 결과적으로 순환치환 \( \pi= \left (l_ { 1 } , \cdots, l_ { t } \right ) \) 가 존재하여 \[ \sigma= \left (l_ { 1 } \cdots l_ { t } \right ) \cdots \left (j_ { 1 } \cdots j_ { S } \right ) \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right ) \] 로 나타낼 수 있다. 순환치환 \( \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right ) \) 는 몇 개의 호환의 곱으로 표시된다. 즉 \[ \delta= \left ( \begin {array} { llll } i_ { 1 } & i_ { r } \end {array} \right ) \cdots \left ( \begin {array} { ll } i_ { 1 } & i_ { 2 } \end {array} \right ) \] 따라서 모든 치환은 몇 개의 호환의 곱으로 표시된다.</p> <p>예제 2.3.3 다음 치환의 역치환과 \( \sigma ^ { 2 } \) 을 구하여라. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end {array} \right ) \]</p> <p>[풀이] \( \quad \sigma ^ { 2 } = \left ( \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end {array} \right )=1 \) 따라서 \( \sigma ^ { -1 } = \sigma \).</p> <p>예제 2.3.4 다음 치환 \( \sigma \) 를 순환치환의 곱으로 나타내고, 그 표시법은 몇 가지인가 살펴보아라. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { llllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end {array} \right ) \]</p> <p>[풀이] \( \quad \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 2 & 3 & 4 \end {array} \right ), \left ( \begin {array} { lll } 2 & 3 & 4 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { lll } 2 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 2 & 4 \end {array} \right ) \) 이므로 \[ \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 2 & 3 & 4 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 2 & 4 \end {array} \right ) \] 또는 \[ \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 2 & 3 & 4 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 1 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \end {array} \right ) . \]</p> <p>예제 2.4.11 Cramer 의 법칙으로 다음 연립방정식의 해를 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \left \{\begin {array} { r } x + 2 y + z=4 \\ x-y + z=5 \\ 2 x + 3 y-z=1 \end {array} \right . \)</li> <li>\( \left \{\begin {array} { l } 2 x + 4 y + z=7 \\ 3 x + 2 y + 3 z=7 \\ 5 x-4 y + 4 z=9 \end {array} \right . \)</li></ol>[풀이] 계수행렬식 \|A\|를 구하여 보자.</p> <p>(1) \[ x= \frac {\left \| \begin {array} { rrr } 4 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end {array} \right \| } = \frac { 20 } { 9 } , \quad y= \frac {\left \| \begin {array} { rrr } 1 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end {array} \right \| } =- \frac { 3 } { 9 } , \] \[ z= \frac {\left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right \| } {\left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & -1 \end {array} \right \| } = \frac { 22 } { 9 } \]</p> <p>(2) \[ x= \frac { 1 } { 30 } \left \| \begin {array} { rrr } 7 & 4 & 1 \\ 7 & 2 & 3 \\ 9 & -4 & 4 \end {array} \right \|=3, \quad y= \frac { 1 } { 30 } \left \| \begin {array} { lll } 3 & 7 & 1 \\ 3 & 7 & 3 \\ 5 & 9 & 4 \end {array} \right \|= \frac { 1 } { 2 } , \] \[ z= \frac { 1 } { 30 } \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 4 & 7 \\ 3 & 2 & 7 \\ 5 & -4 & 9 \end {array} \right \|=-1 \]</p> <p>예제 2.1.19 다음 행렬에서 대칭행렬, 교대행렬, Hermite 행렬, Hermite 교대행렬을 구하여라.</p> <p>\( \begin {array} { lll } A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end {array} \right ] & B= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end {array} \right ] \\ C= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 5 i & 2-3 i \\ -5 i & 3 & 4 \\ 2 + 3 i & 4 & 0 \end {array} \right ] & D= \left [ \begin {array} { ccc } i & -3 & 5 i \\ 3 & 0 & 2 + 3 i \\ 5 i & -2 + 3 i & 3 i \end {array} \right ] \end {array} \)</p> <p>[풀이] \[ \begin {aligned} A ^ { t } &= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end {array} \right ]=A \\ B ^ { t } &= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end {array} \right ]=- \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \end {array} \right ]=-B \\ \overline { C ^ { t } } &= \left [ \begin {array} { ccc } 2 & -5 i & 2 + 3 i \\ 5 i & 3 & 4 \\ 2-3 i & 4 & 0 \end {array} \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { ccc } 2 & 5 i & 2-3 i \\ -5 i & 3 & 4 \\ 2 + 3 i & 4 & 0 \end {array} \right ]=C \\ \overline { D ^ { t } } &= \left [ \begin {array} { ccc } -i & -3 & -5 i \\ 3 & 0 & 2-3 i \\ -5 i & -2-3 i & -3 i \end {array} \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { ccc } -i & 3 & -5 i \\ -3 & 0 & -2-3 i \\ -5 i & 2-3 i & -3 i \end {array} \right ] \\ &=- \left [ \begin {array} { ccc } i & -3 & 5 i \\ 3 & 0 & 2 + 3 i \\ 5 i & -2 + 3 i & 3 i \end {array} \right ]=D \end {aligned} \] 따라서 \( A \) 는 대칭행렬, \( B \) 는 교대행렬, \( C \) 는 Hermite 행렬, \( D \) 는 Hermite교대행렬.</p> <p>정리 2.1.2 합과 곱이 가능한 행렬 \( A, B, C \) 와 수 \( \alpha \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( (A B) C=A(B C) \)</li> <li>\( A(B + C)=A B + A C \)</li> <li>\( (A + B) C=A C + B C \)</li> <li>\( \alpha(A B)=( \alpha A) B=A( \alpha B) \)</li></ol> <p>[증명]</p> <p>(1) 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } , B= \left [b_ { j k } \right ] \in M_ { n \times r } , C= \left [c_ { k l } \right ] \in M_ { r \times s } \) 에서 행렬 \( A B \) 의 제 \( i k \)-성분은 \( \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } \), 행렬 \( B C \) 의 제 \( j l \)-성분은 \( \sum_ { k=1 } ^ { r } b_ { j k } c_ { k l } \) 이다. 행렬 \( (A B) C \) 의 제 il-성분은 \[ \sum_ { k=1 } ^ { r } \left ( \left ( \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } \right ) c_ { k l } \right )= \sum_ { k=1 } ^ { r } \sum_ { j=1 } ^ { n } \left (a_ { i j } b_ { j k } \right ) c_ { k l } \] 행렬 \( A(B C) \) 의 제 il-성분은 \[ \sum_ { j=1 } ^ { n } \left (a_ { i j } \left ( \sum_ { k=1 } ^ { r } b_ { j k } c_ { k l } \right ) \right )= \sum_ { j=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { r } a_ { i j } \left (b_ { j k } c_ { k l } \right ) \] 행렬 \( (A B) C \) 와 \( A(B C) \) 의 제 il-성분은 같으므로 \( (A B) C=A(B C) \)</p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } \) 의 제 \( i j- \) 성분 \( a_ { i j } \) 를 제 \( j i- \) 성분으로 갖는 행렬 \( \left [b_ { j i } \right ] \in M_ { n \times m } \) 을 \( A \) 의 전치행렬(transposed matrix)이라 하고 \( A ^ { t } \) 또는 \( { } ^ { t } A \) 로 나타낸다. \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ], \quad A ^ { t } = \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { m 1 } \\ a_ { 12 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { m 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { 1 n } & a_ { 2 n } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \]</p> <p>정리 2.1.3 행렬 \( A, B \) 와 수 \( \alpha \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( A, B \in M_ { n \times n } \) 이면 \( \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } =A,(A + B) ^ { t } =A ^ { t } + B ^ { t } ,( \alpha A) ^ { t } = \alpha A ^ { t } \)</li> <li>\( A \in M_ { m \times n } , B \in M_ { n \times r } \) 이면 \( (A B) ^ { t } =B ^ { t } A ^ { t } \)</li></ol> <p>[증명]</p> <p>예제 2.1.8 다음 행렬 \( A \) 에서 \( A A ^ { t } \) 와 \( A ^ { t } A \) 를 비교하여라.</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] \[ A A ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } 5 & 1 \\ 1 & 26 \end {array} \right ] \] \[ A ^ { t } A= \left [ \begin {array} { rr } 1 & 3 \\ 2 & -1 \\ 0 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 10 & -1 & 12 \\ -1 & 5 & -4 \\ 12 & -4 & 16 \end {array} \right ] \].</p> <p>정리 2.1.4 \( n \) 차정방행렬 전체의 집합 \( M_ { n \times n } \left (M_ { n } \right ) \) 에 대하여 다음 성질이 성립한다.</p> <ol type=i start=1><li>\( A, B \in M_ { n } \) 에서 합 \( A + B \in M_ { n \times n } \) 이다.</li> <ol type=1 start=1><li>\( (A + B) + C=A + (B + C), C \in M_ { n \times n } \)</li> <li>\( O \in M_ { n } \), 모든 \( A \) 에 대하여 \( A + O=O + A=A \)</li> <li>모든 \( A \) 에 대하여 \( -A \in M_ { n \times n } , A + (-A)=(-A) + A=0 \)</li> <li>모든 \( A, B \) 에 대하여 \( A + B=B + A \)</li></ol> <li>\( A, B \in M_ { n \times n } \) 에서 \( A B \in M_ { n \times n } \) 이다.</li> <ol type=1 start=5><li>\( (A B) C=A(B C), C \in M_ { n \times n } \)</li> <li>\( (A + B) C=A C + B C, A(B + C)=A B + A C \)</li> <li>모든 \( A \in M_ { n } \) 에 대하여 \( I A=A I=A \)</li> <li>모든 \( A \in M_ { n } \) 에 대하여 \( O A=A O=0 \)</li></ol></ol> <p>[증명] 정리 2.1.1과 정리 2.1.2에 의하여 분명히 성립한다.</p> <p>치환군 \( S_ { n } \) 에서 집합 \( \{ 1,-1 \} \) 로의 함수 \( \operatorname { sgn } : S_ { n } \rightarrow \{ 1,-1 \} \) 을 다음과 같이 정의한다. \[ \operatorname { sgn } ( \sigma)= \left \{\begin {array} { r } 1, \sigma: \text { 우치환 } \\ -1, \sigma: \text { 기치환 } \end {array} \right . \] 이 함수를 부호함수(sign map)라 하고, \( \operatorname { sgn } ( \sigma) \) 를 \( \sigma \) 의 부호라 한다. 부호함수에서 다음 성질이 성립한다.<ol type= start=1><li>\( \sigma \) 가 호환이면 \( \operatorname { sng } ( \sigma)=-1 \)</li> <li>치환 \( \sigma \) 의 역치환 \( \sigma ^ { -1 } \) 에 대하여 \( \operatorname { sgn } ( \sigma)= \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) \)</li> <li>치환 \( \sigma, \delta \) 에 대하여 \( \operatorname { sgn } ( \sigma \delta)= \operatorname { sgn } ( \sigma) \operatorname { sgn } ( \delta) \)</li></ol></p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } ( \mathbb { K } ) \) 와 치환군 \( S_ { n } \) 에서 부호함수 \( \operatorname { sgn } \) 에 의한 값 \[ \operatorname { det } A= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \] 을 행렬 \( A \) 의 행렬식(determinant)이라 한다. \( n \times n \) 행렬 \( A \) 의 행렬식을 \( n \) 차행렬식이라 하고 \( \|A\| \) 로 나타내기도 한다. \( 1 \times 1 \) 행렬 \( [a] \) 의 행렬식은 \( a \) 이다. \( n \times n \) 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 의 행렬식은 다음과 같이 나타낸다. \[ \operatorname { det } A=\|A\|= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \]</p> <p>예제 2.4.8 다음 행렬 \( A \) 와 \( \operatorname { adj } A \) 를 구하여 행렬식 \( \|A\| \) 의 값이 24 임을 보여라. \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 4 & 6 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end {array} \right ] \] [풀이] 여인수를 구하면 \[ D_ { 11 } = \left \| \begin {array} { ll } 2 & 3 \\ 4 & 9 \end {array} \right \|=6, \quad D_ { 12 } = \left \| \begin {array} { rr } -1 & 3 \\ 1 & 9 \end {array} \right \|=-12, \quad D_ { 13 } = \left \| \begin {array} { rr } -1 & 2 \\ 1 & 4 \end {array} \right \|=-6, \] \[ D_ { 21 } = \left \| \begin {array} { ll } 4 & 6 \\ 4 & 9 \end {array} \right \|=12, \quad D_ { 22 } = \left \| \begin {array} { ll } 2 & 6 \\ 1 & 9 \end {array} \right \|=12, \quad D_ { 23 } = \left \| \begin {array} { ll } 2 & 4 \\ 1 & 4 \end {array} \right \|=4 \], \[ D_ { 31 } = \left \| \begin {array} { ll } 4 & 6 \\ 2 & 3 \end {array} \right \|=0, \quad D_ { 32 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & 6 \\ -1 & 3 \end {array} \right \|=12, \quad D_ { 33 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & 4 \\ -1 & 2 \end {array} \right \|=8 \] 여인수는 \[ \begin {array} { lll } A_ { 11 } =6, & A_ { 12 } =12, & A_ { 13 } =-6, \\ A_ { 21 } =-12, & A_ { 22 } =12, & A_ { 23 } =-4, \\ A_ { 31 } =0, & A_ { 32 } =-12, & A_ { 33 } =8 \end {array} \] 따라서 수반행렬은 \[ \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { rrr } 6 & -12 & 0 \\ 12 & 12 & -12 \\ -6 & -4 & 8 \end {array} \right ] \] 따라서 \[ \begin {aligned} A( \operatorname { adj } A) &= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 4 & 6 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 6 & -12 & 0 \\ 12 & 12 & -12 \\ -6 & -4 & 8 \end {array} \right ] \\ &= \left [ \begin {array} { rrr } 24 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & 0 \\ 0 & 0 & 24 \end {array} \right ]=24 I \end {aligned} \] 그러므로 \( \|A\|=24 \) 이다.</p> <p>[풀이] \( \Delta_ { A } = \cos \theta \cdot \cos \theta- \sin \theta \cdot(- \sin \theta)= \cos ^ { 2 } \theta + \sin ^ { 2 } \theta=1, \Delta_ { B } =a_ { 11 } a_ { 22 } \cdots a_ { n n } \neq 0 \) 이므로 \( A ^ { -1 } , B ^ { -1 } \) 은 존재한다. 실제로 \[ A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rr } \cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end {array} \right ], \quad B ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { cccc } \frac { 1 } { a_ { 11 } } & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac { 1 } { a_ { 22 } } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac { 1 } { a_ { n n } } \end {array} \right ] \] 행렬 \( A \in M_ { n \times n } \) 의 거듭제곱 \( A A, A A A, \cdots \) 등을 \( A ^ { 2 } , A ^ { 3 } , \cdots \) 으로 나타낸다. 또한 \( \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { 2 } =A ^ { -2 } , \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { 3 } =A ^ { -3 } , \cdots \) 이다. 양의 정수 \( m, n \) 에서 \( A ^ { m } A ^ { n } =A ^ { m + n } = \) \( A ^ { n } A ^ { m } , \left (A ^ { m } \right ) ^ { n } =A ^ { m n } = \left (A ^ { n } \right ) ^ { m } \) 이 성립한다.</p> <p>[증명] 제 \( k \) 행과 \( (k + 1) \) 행의 대응하는 성분이 일치할 때 행렬식 \( \|A\|=0 \) 임을 보이자. 치환 \( \sigma \in S_ { n } \) 에서 \( \delta=(k, k + 1) \sigma \) 라 놓으면 \( (k, k + 1) \) 은 호환이므로 \[ \operatorname { sgn } ( \delta)= \operatorname { sgn } \{ (k, k + 1) \sigma \} =- \operatorname { sgn } ( \sigma) \] \( a_ { k j } =a_ { k + 1, j } , a_ { k l } =a_ { k + 1, l } , a_ { k j } a_ { k + 1, l } =a_ { k + 1, j } a_ { k l } \) 이므로 다음 등식이 성립한다. \[ a_ { 1 \delta(1) } a_ { 2 \delta(2) } \cdots a_ { n \delta(n) } =a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \] 우치환 전체의 집합을 \( A_ { n } \), 기치환 전체의 집합을 \( B_ { n } \) 이라 하면 \( A_ { n } \cup B_ { n } =S_ { n } \), \( A_ { n } \cap B_ { n } = \phi \) 이므로 \[ \begin {aligned} \|A\|=& \sum_ {\tau \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \tau) a_ { 1 \tau(1) } a_ { 2 \tau(2) } \cdots a_ { k \tau(k) } a_ { k + 1, \tau(k + 1) } \cdots a_ { n \tau(n) } \\ =& \sum_ {\sigma \in A_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { k \sigma(k) } a_ { k + 1, \sigma(k + 1) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ & + \sum_ {\delta \in B_ { n } } \operatorname { sgn } ( \delta) a_ { 1 \delta(1) } a_ { 2 \delta(2) } \cdots a_ { k \delta(k) } a_ { k + 1, \delta(k + 1) } \cdots a_ { n \delta(n) } \\ =& \sum_ {\sigma \in A_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { k \sigma(k) } a_ { k + 1, \sigma(k + 1) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ & + \sum_ {\sigma \in A_ { n } } \{ - \operatorname { sgn } ( \sigma) \} a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { k \sigma(k) } a_ { k + 1, \sigma(k + 1) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ =& \sum_ {\sigma \in A_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } \cdots a_ { n \sigma(n) } - \sum_ {\sigma \in A_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ =& 0 \end {aligned} \] 따라서 제 \( k \) 행 \( A_ { k } \) 와 제 \( (k + 1) \) 행 \( A_ { (k + 1) } \) 이 같으면 행렬식의 값 \( \|A\|=0 \) 이다.</p> <p>\( m \times n \) 행렬 전체의 집합 \( M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) \) 에서 이 집합의 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ], B= \left [b_ { i j } \right ] \) 가 모든 \( i, j \) 에 대해서 \( a_ { i j } =b_ { i j } \) 일 때 \( A \) 와 \( B \) 는 같다 (equal)고 하고 \( A=B \) 로 나타낸다. 두 행렬이 같으려면 각각 행과 열의 개수가 같고 성분이 같아야 한다. 제 \( i j- \) 성분이 \( a_ { i j } + b_ { i j } \) 인 행렬 \( C \) 를 \( A \) 와 \( B \) 의 합(sum)이라 하고 \( A + B \) 로 나타낸다. \( \alpha \in \) \( \mathrm { K } \) 에 대하여 제 \( i j \)-성분이 \( \alpha a_ { i j } \) 인 행렬을 행렬 \( A \) 의 스칼라곱(scalar multiplication) 이라 하고 \( \alpha A \) 로 나타낸다. 즉 \( A, B \in M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ), \alpha \in \mathbb { K } \) 에 대하여 \[ A + B= \left [a_ { i j } \right ] + \left [b_ { i j } \right ]= \left [a_ { i j } + b_ { i j } \right ], \quad \alpha A= \alpha \left [a_ { i j } \right ]= \left [ \alpha a_ { i j } \right ] . \]</p> <p>예제 2.1.2 다음 행렬 \( A, B \) 와 수 \( \alpha \) 에 대하여 \( A + B, \alpha \) 를 구하여라.(단 \( \alpha=3,-3 \) )</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { llll } 3 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrrr } -3 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \end {array} \right ] \)</p> <p>예제 2.1.1 다음 행렬의 행과 열을 구하여라.</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 3 & 4 \end {array} \right ] \)</p> <p>\( B= \left [ \begin {array} { llll } 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 5 \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] 행렬 \( A \) 에서 열은 \( A ^ { 1 } , A ^ { 2 } \) 이고 행은 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } \) 이다.</p> <p>\[ A ^ { 1 } = \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 3 \end {array} \right ], \quad A ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 4 \end {array} \right ], \quad A_ { 1 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ], \quad A_ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } 3 & 4 \end {array} \right ] \]</p> <p>행렬 \( B \) 의 열은 \( B ^ { 1 } , B ^ { 2 } , B ^ { 3 } , B ^ { 4 } \) 이고 행은 \( B_ { 1 } , B_ { 2 } , B_ { 3 } \) 이다.</p> <p>\( \begin {aligned} B ^ { 1 } &= \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 2 \\ 1 \end {array} \right ], \quad B ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { l } 2 \\ 1 \\ 2 \end {array} \right ], \quad B ^ { 3 } = \left [ \begin {array} { l } 3 \\ 0 \\ 4 \end {array} \right ], \quad B ^ { 4 } = \left [ \begin {array} { l } 4 \\ 1 \\ 5 \end {array} \right ] \\ B_ { 1 } &= \left [ \begin {array} { llll } 1 & 2 & 3 & 4 \end {array} \right ], \quad B_ { 2 } = \left [ \begin {array} { llll } 2 & 1 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad B_ { 3 } = \left [ \begin {array} { llll } 1 & 2 & 4 & 5 \end {array} \right ] . \end {aligned} \)</p> <p>예제 2.4.10 계수행렬과 수반행렬을 이용하여 다음 연립방정식의 해를 구하여라. \[ \left \{\begin {array} { c } x-z=1 \\ 2 x + y-z=0 \\ x + 2 y + 5 z=0 \end {array} \right . \] [풀이] 계수행렬 \( A \) 의 \( \|A\| \) 와 여인수를 구하여 보자. \[ \begin {array} { l } A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end {array} \right ], \quad\|A\|=4 \\ A_ { 11 } =7, \quad A_ { 12 } =-11, \quad A_ { 13 } =3 \\ A_ { 21 } =-2, \quad A_ { 22 } =6, \quad A_ { 23 } =-2 \\ A_ { 31 } =1, \quad A_ { 32 } =-1, \quad A_ { 33 } =1 \end {array} \] 그러므로 \[ \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { rrr } 7 & -2 & 1 \\ -11 & 6 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end {array} \right ], \quad A ^ { -1 } = \frac { 1 } { 4 } \left [ \begin {array} { rrr } 7 & -2 & 1 \\ -11 & 6 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end {array} \right ] \] \( A X=B \) 의 양변에 \( A ^ { -1 } \) 를 곱하면 \[ X=A ^ { -1 } B= \frac { 1 } { 4 } \left [ \begin {array} { rrr } 7 & -2 & 1 \\ -11 & 6 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 1 \\ 0 \\ 0 \end {array} \right ] \] \[ = \frac { 1 } { 4 } \left [ \begin {array} { r } 7 \\ -11 \\ 3 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } \frac { 7 } { 4 } \\ - \frac { 11 } { 4 } \\ \frac { 3 } { 4 } \end {array} \right ] \] 따라서 이 연립방정식의 해는 \[ X=(x, y, z)= \left ( \frac { 7 } { 4 } ,- \frac { 11 } { 4 } , \frac { 3 } { 4 } \right ) \]</p> <p>예제 2.4 .1 다음 행렬의 수반행렬을 구하여라. \[ A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] \( A \) 의 소행렬은 다음의 아홉 개이다. \[ M_ { 11 } = \left [ \begin {array} { ll } 5 & 6 \\ 8 & 9 \end {array} \right ], \quad M_ { 12 } = \left [ \begin {array} { ll } 4 & 6 \\ 7 & 9 \end {array} \right ], \quad M_ { 13 } = \left [ \begin {array} { ll } 4 & 5 \\ 7 & 8 \end {array} \right ] \\ \begin {array} { lll } M_ { 21 } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 3 \\ 8 & 9 \end {array} \right ], & M_ { 22 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 3 \\ 7 & 9 \end {array} \right ], & M_ { 23 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 7 & 8 \end {array} \right ] \\ M_ { 31 } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 3 \\ 5 & 6 \end {array} \right ], & M_ { 32 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 3 \\ 4 & 6 \end {array} \right ], & M_ { 33 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 4 & 5 \end {array} \right ] \end {array} \] \( A \) 의 소행렬식은 \[ \begin {array} { lll } \left \|M_ { 11 } \right \|=45-48=-3, & \left \|M_ { 12 } \right \|=36-42=-6, & \left \|M_ { 13 } \right \|=32-35=-3, \\ \left \|M_ { 21 } \right \|=18-24=-6, & \left \|M_ { 22 } \right \|=9-21=-12, & \left \|M_ { 23 } \right \|=8-14=-6, \\ \left \|M_ { 31 } \right \|=12-15=-3, & \left \|M_ { 32 } \right \|=6-12=-6, & \left \|M_ { 33 } \right \|=5-8=-3 \end {array} \] \( A \) 의 여인수는 \[ \begin {array} { l } A_ { 11 } =(-1) ^ { 1 + 1 } (-3)=-3, \quad A_ { 12 } =(-1) ^ { 1 + 2 } (-6)=6, \quad A_ { 13 } =(-1) ^ { 1 + 3 } (-3)=-3, \\ A_ { 21 } =(-1) ^ { 2 + 1 } (-6)=6, \quad A_ { 22 } =(-1) ^ { 2 + 2 } (-12)=-12, \quad A_ { 23 } =(-1) ^ { 2 + 3 } (-6)=6, \\ A_ { 31 } =(-1) ^ { 3 + 1 } (-3)=-3, \quad A_ { 32 } =(-1) ^ { 3 + 2 } (-6)=6, \quad A_ { 33 } =(-1) ^ { 3 + 3 } (-3)=-3 \end {array} \] 따라서 수반행렬은 \[ \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { rrr } -3 & 6 & -3 \\ 6 & -12 & 6 \\ -3 & 6 & -3 \end {array} \right ] \]</p> <p>예제 2.4.2 다음 행렬의 소행렬식, 여인수, 수반행렬을 구하여라. \[ A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \quad B= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 2 \\ -1 & -1 & -1 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>[풀이] 행렬 \( A \) 에 관한 소행렬식, 여인수, 수반행렬을 구하고 행렬 \( B \) 에 대해서는 각자에게 맡긴다. 소행렬식 \( D_ { i j } \) 는 \[ D_ { 11 } = \left \| \begin {array} { ll } 1 & 4 \\ 0 & 1 \end {array} \right \|=1, \quad D_ { 12 } = \left \| \begin {array} { ll } 1 & 4 \\ 1 & 1 \end {array} \right \|=-3, \quad D_ { 13 } = \left \| \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right \|=-1 \\ D_ { 21 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & -1 \\ 0 & 1 \end {array} \right \|=2, \quad D_ { 22 } = \left \| \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 1 \end {array} \right \|=2, \quad D_ { 23 } = \left \| \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 1 & 0 \end {array} \right \|=-2 \\ D_ { 31 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & -1 \\ 1 & 4 \end {array} \right \|=9, \quad D_ { 32 } = \left \| \begin {array} { rr } 1 & -1 \\ 1 & 4 \end {array} \right \|=5, \quad D_ { 33 } = \left \| \begin {array} { ll } 1 & 2 \\ 1 & 1 \end {array} \right \|=-1 \] 여인수 \( A_ { i j } \) 는 \[ \begin {array} { lll } A_ { 11 } =1, & A_ { 12 } =3, & A_ { 13 } =-1, \\ A_ { 21 } =-2, & A_ { 22 } =2, & A_ { 23 } =2, \\ A_ { 31 } =9, & A_ { 32 } =-5, & A_ { 33 } =-1 \end {array} \] 따라서 수반행렬은 \[ \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 9 \\ 3 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -1 \end {array} \right ] \]</p> <p>정리 2.3.3 치환군 \( S_ { n } \) 의 우치환 전체의 집합을 \( A_ { n } \), 기치환 전체의 집합을 \( B_ { n } \) 이라 할 때 \( \left \|A_ { n } \right \|= \left \|B_ { n } \right \|= \frac { n ! } { 2 } \) 이다.</p> <p>[증명] \( \tau=(1,2) \) 에 대하여 사상 \( f: A_ { n } \rightarrow B_ { n } \) 을 \( \sigma \rightarrow \tau \sigma \) 로 정의하자. \( \sigma \in A_ { n } \) 은 우치환이므로 \( \tau \sigma \) 는 기치환으로 \( B_ { n } \) 의 원소이다. 임의의 \( \delta \in B_ { n } \) 에 대하여 \( \tau ^ { -1 } \delta \) \( \in A_ { n } , \tau \left ( \tau ^ { -1 } \delta \right )= \left ( \tau \tau ^ { -1 } \right ) \delta= \delta \) 이므로 \( \tau ^ { -1 } \delta \) 는 \( \delta \) 의 원상이다. 그러므로 \( f \) 는 전사이다. \( \sigma, \delta \in A_ { n } \) 이 \( f( \sigma)=f( \delta) \) 이면 \( \tau \sigma= \tau \delta, \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \delta \). 양변에 (1 2)를 곱하면 \[ \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \delta= \delta \] 그러므로 \( f \) 는 일대일이다. 따라서 \( f \) 는 전단사이고 \( \left \|A_ { n } \right \|= \left \|B_ { n } \right \| \) 이다.</p> <p>예제 2.1.3 행렬 \( A \) 와 \( \alpha=-1 \) 에서 \( \alpha A=(-1) A \) 를 \( -A \) 로 나타내면 \( -A= \) \( -1 \cdot A, A-B=A + (-B) \) 이다. 다음 행렬 \( A, B \) 에서 \( A + B,-A, 2 A-3 B \) 를 구하여라.</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] \[ A + B= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \end {array} \right ] \] \[ -A=(-1) \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 0 \end {array} \right ] \] \[ 2 A-3 B=2 \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end {array} \right ]-3 \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end {array} \right ] \]</p> <p>\[ = \left [ \begin {array} { llr } 2 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -6 & -3 \\ -3 & 0 & -6 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 5 & -6 & -5 \\ -1 & 2 & -6 \end {array} \right ] \]</p> <p>위의 두 정리를 이용하면 행렬식의 계산에서 가장 중요한 다음 성질을 얻을 수 있다.</p> <p>정리 2.3.7 \( n \) 차행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 에서 다음이 성립한다.<ol type= start=1><li>서로 다른 두 행(두 열)을 서로 교환하여 만든 행렬의 행렬식의 값은 \( A \) 의 행렬식의 값과 부호만 다르다.</li> <li>서로 다른 두 행(두 열)에 대응하는 성분이 일치하면 행렬식의 값은 0 이다.</li> <li>하나의 행(열)에 수 \( \alpha \) 를 곱하여 다른 하나의 행(열)에 더하여도 행렬식의 값은 변하지 않는다.</li></ol></p> <p>[증명]</p> <p>(1) 행렬 \( A \) 의 행을 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } \) 이라 하고 \[ A= \left (A_ { 1 } , A_ { 2 } , \cdots, A_ { n } \right ) \] 으로 나타내기로 하자. 먼저 이웃하는 두 행을 교환한 행렬의 행렬식의 값은 \( A \) 의 행렬식의 값과 부호만 다름을 보이자. 정리 2.3.5 에 의하여 \[ \begin {aligned} 0=& \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } + A_ { k + 1 } , A_ { k } + A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ =& \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , A_ { k } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| + \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ & + \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k + 1 } , A_ { k } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| + \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k + 1 } , A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ =& \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| + \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k + 1 } , A_ { k } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| . \\ \|A\| & \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \|=- \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k + 1 } , A_ { k } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \end {aligned} \] 다음으로 제 \( r \) 행 \( A_ { r } \) 와 제 \( s \) 행 \( A_ { S } \) 를 교환하여 만든 행렬을 \( B \) 라 하자. \[A= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { r } , \cdots, A_ { s } , \cdots, A_ { n } \right ), \quad B= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { s } , \cdots, A_ { r } , \cdots, A_ { n } \right ) \] 이라 하고 \( B \) 의 이웃하는 행을 서로 교환하기를 \( 2(s-r)-1 \) 번 반복하면 행렬 \( A \) 가 된다. 이웃하는 행을 한 번 교환하면 행렬식의 값은 부호만 바뀌므로 \( (-1) ^ { 2(S-r)-1 } \) \( =-1 \) 이다. 따라서 \[ \|B\|=(-1) ^ { 2(S-r)-1 } \|A\|=-\|A\| \]</p> <p>치환 \( \sigma \subset S_ { n } \) 이 \( i_ { 1 } \rightarrow i_ { 2 } \rightarrow \cdots \rightarrow i_ { r } \rightarrow i_ { 1 } \) 이고 \( i_ { 1 } , i_ { 2 } , \cdots, i_ { r } \) 이외의 숫자는 치환 \( \sigma \) 에 의하여 변하지 않을 때, 이 치환 \( \sigma \) 를 길이가 \( r \) 인 순환치환(cycle permutation)이라 한다. 길이가 \( r \) 인 순환치환 \( \sigma \) 를 다음으로 나타낸다. \[ \sigma= \left (i_ { 1 } i_ { 2 } \cdots i_ { r-1 } i_ { r } \right ) \] 길이가 1 인 순환치환을 1 로 나타내기로 하면 \(S_3 \)= { 1, (1 2 3), (1 3 2), (2 3), (1 3), (1 2) } 로 표시할 수 있어 편리하다. 순환치환 \( \sigma= \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right ) \) 과 \( \delta= \left (j_ { 1 } \cdots \right . \) \( j_ { S } \) )에서 집합 \( \left \{ i_ { 1 } , \cdots, i_ { r } \right \} \) 와 \( \left \{ j_ { 1 } , \cdots, j_ { S } \right \} \) 의 교집합이 공집합일 때 \( \sigma \) 과 \( \delta \) 는 서로소라고 한다.</p> <p>예제 2.3.2 다음 치환을 순환치환으로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>\( \sigma= \left ( \begin {array} { lllllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 1 & 3 & 4 & 6 & 5 & 7 \end {array} \right ) \)</li> <li>\( \delta= \left ( \begin {array} { llllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 5 & 3 & 4 & 6 \end {array} \right ) \)</li></ol> <p>[풀이]</p> <ol type= start=1><li>3,4,7은 변하지 않고 \( 1 \leftrightarrow 2,5 \leftrightarrow 6 \) 이므로 \[ \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \]</li> <li>1,2,6은 변하지 않고 \( 3 \rightarrow 5 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \) 이므로 \[ \delta= \left ( \begin {array} { lll } 3 & 5 & 4 \end {array} \right ) . \]</li></ol> <p>길이가 2 인 순환치환을 호환(transposition)이라 한다. 숫자 \( i \) 와 \( j \) 만이 서로 바뀌고 나머지 숫자는 변하지 않은 호환을 \( (i j) \) 로 나타낸다. 호환 \( (i j) \) 의 역치환은 \( (i j) \) 이고 \( (i j)(i j)=1 \) 이다.</p> <p>예제 2.1.15 \( (A + B) ^ { 2 } \neq A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } \) 인 행렬 \( A, B \) 의 예를 들어라. 또 등식이 성립할 필요충분조건을 구하여라.</p> <p>[풀이] \( A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \) 이라 놓으면 \[ (A + B) ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] ^ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 2 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 5 & 2 \\ 2 & 1 \end {array} \right ] \] \[ \begin {aligned} A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } &= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] ^ { 2 } + 2 \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] ^ { 2 } \\ &= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] + 2 \left [ \begin {array} { ll } 2 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] + \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 6 & 1 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \end {aligned} \] 따라서 \( (A + B) ^ { 2 } \neq A ^ { 2 } + 2 A B + B \). 다음으로 \( (A + B) ^ { 2 } \neq A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } \) 이기 위한 필요충분조건은 \( A ^ { 2 } + A B + B A \) \( + B ^ { 2 } =A ^ { 2 } + 2 A B + B ^ { 2 } \) 에서 \( A B=B A \) 이다.</p> <p>(2) \( A, B \) 가 정칙행렬이면 역행렬 \( A ^ { -1 } , B ^ { -1 } \) 가 존재하여 \[ A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I, \quad B B ^ { -1 } =B ^ { -1 } B=I \] \((A B) \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )=A \left (B B ^ { -1 } \right ) A ^ { -1 } =A I A ^ { -1 } =A A ^ { -1 } =I, \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )(A B)=B ^ { -1 } \left (A ^ { -1 } A \right ) B=B ^ { -1 } I B=B ^ { -1 } B=I \) 이므로 \[ (A B) \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )= \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )(A B)=I \] 따라서 \( B ^ { -1 } A ^ { -1 } \) 은 \( A B \) 의 역행렬이다.</p></ol> <p>정리 2.1.6 행렬 \( A \in M_ { n \times n } \) 이 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 전치행렬 \( A ^ { t } \)가 가역행렬이 되는 것이다.</p> <p>[증명] \( \quad \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } =A \) 이므로 \( \quad \left (A ^ { -1 } A \right ) ^ { t } =A ^ { t } \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { t } =I, \quad \left (A A ^ { -1 } \right ) ^ { t } = \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { t } A ^ { t } =I \) 에서 \( A ^ { t } \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { t } = \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { t } A ^ { t } =I \). 그러므로 \( A ^ { t } \) 의 역행렬은 \( \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { t } \) 이다.</p> <p>2. \( A B \neq B A \) 이므로 비가환적이다. \[ \begin {array} { l } A B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \\ B A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 1 & 1 \end {array} \right ] \end {array} \]</p> <p>\( n \times n \) 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 에서 \( a_ { 11 } , \cdots, a_ { n n } \) 을 주대각성분(principal diagonal com-ponent) 이라 한다. \( i=j \) 이면 \( \delta_ { i j } =1, i \neq j \) 이면 \( \delta_ { i j } =0 \) 인 기호 \( \delta_ { i j } \) 를 Kronecker 의 델타라 한다. 주대각성분 이외의 모든 성분이 0 인 정방행렬을 대각행렬(diagonal matrix), 주대각성분이 모두 1 인 대각행렬을 \( n \) 차항등행렬 또는 항등행렬(identity matrix) 이라 하고 \( I_ { n } \) 또는 \( I \) 로 나타낸다.</p> <p>\( I_ { 2 } = \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 0 & 1 \end {array} \right ], \quad I_ { 3 } = \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad I_ { n } = \left [ \begin {array} { ccccc } 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end {array} \right ] \)</p> <p>행렬 \( A \in M_ { n \times n } \) 에서 \( A B=B A=I \) 인 행렬 \( B \in M_ { n \times n } \) 가 존재할 때 \( A \) 를 정칙행렬(nonsingular matrix)이라 한다. 이 때 행렬 \( A \) 를 가역적(invertible)이라 한다. 행렬 \( A \in M_ { n \times n } , A \neq 0 \) 에서 \( A B=0, B A=0 \) 인 행렬 \( B \in M_ { n \times n } , B \neq 0 \) 가 존재할 때 \( A \) 를 영인자 (zero-divisor) 라 한다.</p> <p>행렬 \( A \) 에서 \( A B=B A=I \) 인 행렬 \( B \) 가 존재하면 오직 하나뿐이다. \( A C=C A \) \( =I \) 인 행렬 \( C \) 가 존재하면 \( C=C I=C(A B)=(C A) B=I B=B \) 이기 때문이다. \( A B \) \( =B A=I \) 인 하나뿐인 행렬 \( B \) 를 \( A \) 의 역행렬(inverse matrix)이라 하고 \( A ^ { -1 } \) 로 나타낸다. 그러면 \( A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I \) 이다. 항등행렬 \( I \) 의 역행렬은 \( I \) 자신이다.</p> <p>정리 2.1.5 행렬 \( A, B \in M_ { n \times n } \) 에서 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =A \)</li> <li>\( (A B) ^ { -1 } =B ^ { -1 } A ^ { -1 } \)</li></ol> <p>[증명]</p> <p>(1) \( A \) 가 정칙행렬이면 \( A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I \) 이므로 \( A \) 의 역행렬은 \( A ^ { -1 } \) 이고 \( A ^ { -1 } \) 의 역행렬 \( \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } \) 은 \( A \) 이다. 따라서 \( \left (A ^ { -1 } \right ) ^ { -1 } =A \).</p> <p>[풀이]</p> <p>(1) \[ \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 6 & -3 & 4 \end {array} \right \| \overline {\overline { R_ { 2 } -2 R_ { 1 } } } \left \| \begin {array} { ccc } 2 & 1 & 3 \\ 4-4 & 2-2 & 1-6 \\ 6 & -3 & 4 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 6 & -3 & 4 \end {array} \right \| \] \[ \overline {\overline { R_ { 3 } -3 R_ { 2 } } } \left \| \begin {array} { ccc } 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 6-6 & -3-3 & 4-9 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { ccc } 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & -6 & -5 \end {array} \right \| \] \[ \overline {\overline { R_ { 3 } -R_ { 2 } } } \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & -6 & 0 \end {array} \right \| \] \[ =-2 \cdot(-5) \cdot(-6)=-60 \]</p> <p>(2) \[ \begin {aligned} \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 8 & 7 \\ 1 & 1 & 2 \\ -3 & 5 & 1 \end {array} \right \| \overline {\overline { R_ { 1 } -2 R_ { 2 } } } \left \| \begin {array} { ccc } 2-2 & 8-2 & 7-4 \\ 1 & 1 & 2 \\ -3 + 3 & 5 + 3 & 1 + 6 \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { lll } 0 & 6 & 3 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 8 & 7 \end {array} \right \| \\ \end {aligned} \] \[ \begin {aligned} \overline {\overline { R_ { 1 } \leftrightarrow R_ { 2 } } } - \left \| \begin {array} { ccc } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 6 & 3 \\ 0 & 8 & 7 \end {array} \right \|=-3 \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 8 & 7 \end {array} \right \| \end {aligned} \] \[ \overline {\overline { R_ { 3 } -4 R_ { 2 } } } -3 \left \| \begin {array} { ccc } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 8-8 & 7-4 \end {array} \right \|=-3 \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end {array} \right \| \] \[ =-3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3=-18 \]</p> <p>예제 2.3.6 다음 치환 \( \sigma \) 에 대하여 위 정리의 증명과정을 살펴보아라. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { llllll } 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 4 & 6 & 5 \end {array} \right ) \]</p> <p>[풀이] \( \sigma \) 에 의하여 변하는 최초의 숫자는 1 이다. \( \sigma(1)=2, \sigma(2)=3, \sigma(3)=1 \) 이므로 \( \delta= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right ), \{ 1,2,3,4,5,6 \} - \{ 1,2,3 \} = \{ 4,5,6 \} \) 에서 \( \sigma \) 에 의하여 변하는 최초의 숫자는 5 이다. \( \tau(5)=6, \tau(6)=5 \) 이므로 \( \tau=( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} ) . \{ 4,5,6 \} - \{ 5,6 \} \) \( = \{ 4 \} \) 에서 \( \sigma \) 에 의하여 변하지 않는 숫자는 없으므로 \( \pi=1 \) 이다. 따라서 \( \sigma= \delta \tau= \) \( \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right )( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} ) \), 순환치환 \( \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right )=(1,3)(1,2) \) 이므로 \( \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right )( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} ) \) 과 같이 호환의 곱으로 표시된다. 그런데 \( \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \) 이므로 \( \sigma= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \) \( \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { lll } 5 & 6 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \) 로도 표시될 수 있다.</p> <p>행렬 \( A, B \) 의 곱을 직사각형 배열로 나타내면 \[ \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cccc } b_ { 11 } & b_ { 12 } & \cdots & b_ { 1 r } \\ b_ { 21 } & b_ { 22 } & \cdots & b_ { 2 r } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ b_ { n 1 } & b_ { n 2 } & \cdots & b_ { n r } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cccc } c_ { 11 } & c_ { 12 } & \cdots & c_ { 1 r } \\ c_ { 21 } & c_ { 22 } & \cdots & c_ { 2 r } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ c_ { m 1 } & c_ { m 2 } & \cdots & c_ { m r } \end {array} \right ] \]</p> <p>\( A \) 를 행벡터 \( A_ { 1 } , \cdots, A_ { m } , B \) 를 열벡터 \( B ^ { 1 } , \cdots, B ^ { r } \) 으로 나타내면 \[ \left [ \begin {array} { c } A_ { 1 } \\ A_ { 2 } \\ \vdots \\ A_ { m } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { llll } B ^ { 1 } & B ^ { 2 } & \cdots & B ^ { r } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { cccc } A_ { 1 } \cdot B ^ { 1 } & A_ { 1 } \cdot B ^ { 2 } & \cdots & A_ { 1 } \cdot B ^ { r } \\ A_ { 2 } \cdot B ^ { 1 } & A_ { 2 } \cdot B ^ { 2 } & \cdots & A_ { 2 } \cdot B ^ { r } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_ { m } \cdot B ^ { 1 } & A_ { m } \cdot B ^ { 2 } & \cdots & A_ { m } \cdot B ^ { r } \end {array} \right ] \]</p> <p>행렬 \( A \) 의 열의 개수와 \( B \) 의 행의 개수가 같을 때 곱 \( A B \) 는 가능하다. \( n \times n \) 행렬 전체의 집합 \( M_ { n \times n } \) 의 모든 원소에 대하여 곱은 가능하다. 일반적으로 \( A \) 와 \( B \) 의 곱이 가능하지만 \( B \) 와 \( A \) 의 곱 \( B A \) 는 불가능한 경우가 있다. 행렬 \( A \) 와 \( B \) 의 곱이 가능하여 \( A B=B A \) 일 때 \( A \) 와 \( B \) 는 가환적(commutative)이라 한다.</p> <p>예제 2.1.6 다음 행렬 \( A, B \) 의 가환성을 판별하여라.</p> <ol type= start=1><li>\( A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \).</li> <li>\( A= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 1 \\ 0 & 0 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\ 1 & 0 \end {array} \right ] \)</li></ol> <p>[풀이]</p> <p>1. \( A B=B A \) 이므로 가환적이다. \[ A B= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] \[ B A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & -2 & 5 \\ 0 & 1 & -4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <p>(1) 행렬 \( A ^ { t } \) 의 제 \( i j \)-성분은 \( a_ { j i } , \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } \) 의 제 \( i j \)-성분은 \( a_ { i j } \) 이므로 \( \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } = \) \( A \) 이다. 같은 이유에서 \( (A + B) ^ { t } =A ^ { t } + B ^ { t } ,( \alpha A) ^ { t } = \alpha A ^ { t } \)</p> <p>(2) \( A= \left [a_ { i j } \right ], B= \left [b_ { j k } \right ] A B= \left [c_ { i k } \right ] \) 라 놓으면 \[ c_ { i k } = \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } , \quad c_ { k i } = \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j i } \] \( A ^ { t } \) 의 제 \( j i \)-성분은 \( a_ { i j } , B ^ { t } \) 의 제 \( b_ { k j } \) 성분은 \( b_ { j k } \) 이다. \( B ^ { t } A ^ { t } \) 의 제 \( k i \)-성분은 \( \sum_ { j=1 } ^ { n } b_ { j k } a_ { i j } = \) \( \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } \) 이므로 \( A B ^ { t } \) 의 제 \( i k \)-성분과 \( B ^ { t } A ^ { t } \) 의 제 \( k i \)-성분은 같다. 따라서 \( (A B) ^ { t } = \) \( B ^ { t } A ^ { t } \)</p></ol> <p>짝수 개의 호환의 곱으로 표시되는 치환을 우치환(even permutation)이라 하고, 홀수 개의 호환의 곱으로 표시되는 치환을 기치환(odd permutation)이라 한다.</p> <p>예제 2.3.7 \( S_ { n } \) 의 치환은 \( 3 !=6( \) 개)이다. 이들을 우치환과 기치환으로 분류하여라.</p> <p>[풀이] 우치환: \( \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end {array} \right )=1, \quad \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \), \[ \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 3 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right ) \] 기치환: \( \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 2 & 3 \end {array} \right ), \quad \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 2 \end {array} \right ) \), \( \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end {array} \right )= \left ( \begin {array} { ll } 1 & 3 \end {array} \right ) \)</p> <p>정리 2.3.4 행렬 \( A \in M_ { n \times n } \) 의 행렬식과 전치행렬 \( A ^ { t } \) 의 행렬식은 같다. 즉 \( \|A\|= \left \|A ^ { t } \right \| \).</p> <p>[증명] \( \quad A= \left [a_ { i j } \right ], A ^ { t } = \left [b_ { i j } \right ] \) 라 하면 \( b_ { i j } =a_ { j i } \) 이다. \( \operatorname { sgn } ( \sigma)= \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ), b_ { 1 \sigma(1) } b_ { 2 \sigma(2) } \) \( \cdots b_ { n \sigma(n) } =b_ {\sigma ^ { -1 } (1), 1 } b_ {\sigma ^ { -1 } (2), 2 } \cdots b_ {\sigma ^ { -1 } (n), n } \) 이므로 \[ \begin {aligned} \left \|A ^ { t } \right \| &= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) b_ { 1 \sigma(1) } b_ { 2 \sigma(2) } \cdots b_ { n \sigma(n) } \\ &= \sum_ {\sigma ^ { -1 } \in S_ { n } } \operatorname { sgn } \left ( \sigma ^ { -1 } \right ) b_ {\sigma ^ { -1 } (1), 1 } b_ {\sigma ^ { -1 } (2), 2 } \cdots b_ {\sigma ^ { -1 } (n), n } \\ &= \sum_ {\delta \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \delta) b_ {\delta(1), 1 } b_ {\delta(2), 2 } \cdots b_ {\delta(n), n } \\ &= \sum_ {\delta \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \delta) a_ { 1 \delta(1) } a_ { 2 \delta(2) } \cdots a_ { n \delta(n) } \\ &=\|A\| \end {aligned} \]</p> <p>(2) \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } , B= \left [b_ { j k } \right ] \in M_ { n \times r } , C= \left [c_ { j k } \right ] \in M_ { n \times r } \) 이면 행렬 \( B + C \) 의 제 \( j k \)-성분은 \( b_ { j k } + c_ { j k } \) 이고 \( A B \) 와 \( A C \) 의 제 \( i k \) 성분은 각각 \( \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } , \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } c_ { j k } \) 이다. 행렬 \( A(B + C) \) 와 \( A B, A C \) 의 제 \( i k \)-성분은 다음 관계가 있다. \[ \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } \left (b_ { j k } + c_ { j k } \right )= \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } + \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } c_ { j k } \] 행렬 \( A(B + C) \) 의 제 \( i k \)-성분은 행렬 \( A B, A C \) 의 제 \( i k \)-성분의 합과 같으므로 \( A(B + C)=A B + A C \).</p> <p>(3) 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } , B= \left [b_ { j k } \right ] \in M_ { n \times r } \) 의 곱 \( A B \) 의 제 \( i k- \) 성분과 \( \alpha \) 의 관계는 다음과 같다. \[ \alpha \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } b_ { j k } = \sum_ { j=1 } ^ { n } \left ( \alpha a_ { i j } \right ) b_ { j k } = \sum_ { j=1 } ^ { n } a_ { i j } \left ( \alpha b_ { j k } \right ) \] 행렬 \( \alpha(A B),( \alpha A) B, A( \alpha B) \) 의 모든 성분은 서로 같으므로 \( \alpha(A B)=( \alpha A) B= \) \( A( \alpha B) \).</p></ol> <p>행렬 \( C= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { k-1 } , A_ { i } , A_ { k + 1 } , \cdots, A_ { n } \right ) ^ { t } = \left [c_ { i j } \right ] \) 라 하자. 즉 \( i<k \) 에 대하여 \[ \|C\|= \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { i 1 } & a_ { i 2 } & \cdots & a_ { i n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { i 1 } & a_ { i 2 } & \cdots & a_ { i n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \leftarrow k \] 한편 \( \|A\|= \left \|A ^ { t } \right \| \) 이고, 행렬 \( A \) 의 제 \( j \) 열은 행렬 \( A ^ { t } \) 의 제 \( j \) 행이므로 등식 (2)는 \( \left \|A ^ { t } \right \| \)를 제 \( j \) 열에 관하여 전개한 것이다. 행렬식 \( \|A\|, A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 의 여인수 \( A_ { i j } \) 는 소행렬식의 값 \( D_ { i j } \) 에 \( (-1) ^ { i + j } \)의 부호를 붙힌 것으로 이 부호만을 배열하면 다음의 도표를 얻는다.</p> <p>예제 2.1.7 다음 행렬의 전치행렬 \( A ^ { t } , B ^ { t } ,(A B) ^ { t } , A ^ { t } B ^ { t } \) 을 구하여라.</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 4 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] \[ A ^ { t } = \left [ \begin {array} { rr } 2 & -1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 4 \end {array} \right ], \quad B ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end {array} \right ] \] \[ (A B) ^ { t } = \left [ \begin {array} { lll } -3 & 1 & 9 \\ -3 & 4 & 0 \end {array} \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { rr } -3 & -3 \\ 1 & 4 \\ 9 & 0 \end {array} \right ] \] \[ B ^ { t } A ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rr } 2 & -1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 4 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } -3 & -3 \\ 1 & 4 \\ 9 & 0 \end {array} \right ] \]</p> <p>(2) 제 \( k \) 행 \( A_ { k } \) 와 제 \( l \) 행 \( A_ { l } \) 이 같으면 \( A= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , \cdots, A_ { l } , \cdots, A_ { n } \right ) \) 에서 \( A_ { l } \) 행과 그 직전의 행 \( A_ { l-1 } \) 과 교환하고 다시 \( A_ { l-1 } \) 과 \( A_ { l-2 } \) 를 교환한다. 이러한 과 정을 \( l-k-1 \) 번 실시하면 행렬은 \[ B= \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { k } , A_ { l } , \cdots, A_ { n } \right ) \]이 된다. \( A_ { k } =A_ { l } \) 이므로 (1)과 정리 2.3.6에 의하여 \[ -\|A\|=\|B\|=0 \] 따라서 \( \|A\|=0 \).</p> <p>(3) 정리 2.3.5 와 (2)에 의하여 \[ \begin {array} { l } \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } + \alpha A_ { j } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ = \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| + \alpha \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ = \left \| \left (A_ { 1 } , \cdots, A_ { i } , \cdots, A_ { j } , \cdots, A_ { n } \right ) \right \| \\ =\|A\| \end {array} \]</p> <p>예제 2.3.14 행렬식의 성질을 이용하여 다음 행렬식의 값을 구하여라.<ol type= start=1><li>\( \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 6 & -3 & 4 \end {array} \right \| \)</li> <li>\( \left \| \begin {array} { rrr } 2 & 8 & 7 \\ 1 & 1 & 2 \\ -3 & 5 & 1 \end {array} \right \| \)</li></ol></p> <p>치환 \( \sigma \) 가 서로 소인 순환치환은 \( \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right ), \left (j_ { 1 } \cdots j_ { S } \right ), \cdots, \left (l_ { 1 } \cdots l_ { t } \right ) \) 의 곱으로 표시된다. \( \left (i_ { 1 } \cdots i_ { r } \right )= \left ( \begin {array} { ll } i_ { 1 } & i_ { r } \end {array} \right ) \cdots \left (i_ { 1 } i_ { 2 } \right ), \cdots, \left (l_ { 1 } \cdots l_ { t } \right )= \left (l_ { 1 } -l_ { t } \right ) \cdots \quad \left (l_ { 1 } , l_ { 2 } \right ) \) 이 각각 \( (r-1), \cdots,(t-1) \) 개의 호환의 곱으로 표시되므로 \( \sigma \) 는 \( (r-1) + (s-1) \) \( + \cdots + (t-1) \) 개의 호환의 곱으로 표시됨을 알 수 있다. 치환을 호환의 곱으로 나타내는 방법은 유일하지 않음을 알았다. 몇 개의 호환의 곱으로 표시된 치환에 하나의 호환을 곱하여 원래의 치환과 같게 할 수는 없을까 하는 의문이 생긴다.다음 정리에서 보는 바와 같이 그러한 가능성은 전혀 없다.</p> <p>정리 2.3.2 임의의 치환 \( \sigma \in S_ { n } \) 은 짝수 개의 호환의 곱으로 표시되거나 또는 홀수 개의 호환의 곱으로 표시되는 오직 한 가지 경우만이 있을 수 있다. 즉 짝수 개의 호환의 곱으로도 표시되고 동시에 홀수 개의 호환의 곱으로 표시되는 치환은 존재하지 않는다.</p> <p>[증명] 집합 \( \{ 1,2, \cdots, n \} = \left \{ x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right \} \) 의 차적(difference product) \( Q \left (x_ { 1 } \right . \), \( \left .x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )= \prod_ { i<j } \left (x_ { i } -x_ { j } \right ) \) 를 생각한다. \[ \prod_ { i<j } \left (x_ { i } -x_ { j } \right )= \left (x_ { 1 } -x_ { 2 } \right ) \left (x_ { 1 } -x_ { 3 } \right ) \cdots \left (x_ { 1 } -x_ { n } \right ) \left (x_ { 2 } -x_ { 3 } \right ) \cdots \left (x_ { 2 } -x_ { n } \right ) \cdots \left (x_ { n-1 } -x_ { n } \right ) \] \( x_ { 1 } \leftrightarrow x_ { 2 } \) 인 차적 \( Q \left (x_ { 2 } , x_ { 1 } , x_ { 3 } , \cdots, x_ { n } \right )=-Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \) 임을 쉽게 알 수 있다. 같은 이유에서 \( k<l \) 에 대하여 \[ Q= \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { l } , \cdots, x_ { k } , \cdots, x_ { n } \right )=-Q \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \] 치환 \( \sigma= \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\ p_ { 1 } & p_ { 2 } & \cdots & p_ { n } \end {array} \right ) \) 과 \( Q \left (x_ { 1 } , \cdots, x_ { n } \right ) \) 의 곱을 \[ \sigma Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )=Q \left (x_ { P_ { 1 } } , x_ { P_ { 2 } } , \cdots, x_ { P_ { n } } \right ) \] 으로 정의하자. 치환 \( \tau= \left ( \begin {array} { cccc } 1 & 2 & \cdots & n \\ q_ { 1 } & q_ { 2 } & \cdots & q_ { n } \end {array} \right ) \quad \tau= \left ( \begin {array} { cccc } p_ { 1 } & p_ { 2 } & \cdots & p_ { n } \\ r_ { 1 } & r_ { 2 } & \cdots & r_ { n } \end {array} \right ) \) 에 대하여 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} ( \tau \sigma) Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) &= \tau \left ( \sigma Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right )= \tau \left (Q \left (x_ { P_ { 1 } } , x_ { P_ { 2 } } , \cdots, x_ { P_ { n } } \right ) \right ) \\ &=Q \left (x_ { r_ { 1 } } , x_ { r_ { 2 } } , \cdots, x_ { r_ { n } } \right ) \end {aligned} \] 이때 \( \sigma= \tau_ { 1 } \tau_ { 2 } \cdots \tau_ { r } = \rho_ { 1 } \rho_ { 2 } \cdots \rho_ { S } \) 와 같이 호환 \( \tau_ { i } , \rho_ { j } \) 에 의하여 두 가지로 표현되었다고 가정하면 \( \sigma \) 는 \( r \) 개, \( s \) 개의 호환의 곱으로 이루어져 있다. \[ \sigma Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right )= \left ( \tau_ { 1 } \tau_ { 2 } \cdots \tau_ { r } \right ) Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \\ \begin {aligned} &= \left ( \tau_ { 1 } \tau_ { 2 } \cdots \tau_ { r-1 } \right ) \left ( \tau_ { r } Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right ) \\ &= \left ( \tau_ { 1 } \cdots \tau_ { r-1 } \right ) \left \{ (-1) Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \right \} \\ &= \cdots=(-1) ^ { r } Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \\ \sigma Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) &= \left ( \rho_ { 1 } \rho_ { 2 } \cdots \rho_ { S } \right ) Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \\ &=(-1) ^ { S } Q \left (x_ { 1 } , x_ { 2 } , \cdots, x_ { n } \right ) \end {aligned} \] 위의 두 식에서 \( (-1) ^ { r } =(-1) ^ { s } \) 이므로 \( r \) 와 \( s \) 는 동시에 짝수 또는 동시에 홀수이다. 따라서 치환 \( \sigma \) 의 호환의 곱의 개수는 언제나 짝수 또는 언제나 홀수이다.</p> <p>예제 2.4.12 다음 연립방정식의 해를 정리 2.4.3의 증명과정에 따라서 구하여라. \[ \left \{\begin {array} { r } 2 x-5 y + 2 z=7 \\ x + 2 y-4 z=3 \\ 3 x-4 y-6 z=5 \end {array} \right . \] [풀이] 이 연립방정식을 행렬로 나타내면 \[ \begin {aligned} A X &= \left [ \begin {array} { rrr } 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\ 3 & -4 & -6 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x \\ y \\ z \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 7 \\ 3 \\ 5 \end {array} \right ]=B \\ \|A\| &= \left \| \begin {array} { rrr } 2 & -5 & 2 \\ 1 & 2 & -4 \\ 3 & -4 & -6 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -4 \\ 2 & -5 & 2 \\ 3 & -4 & -6 \end {array} \right \|=- \left \| \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -4 \\ 0 & -9 & 10 \\ 0 & -10 & 6 \end {array} \right \| \\ &=- \left \| \begin {array} { rr } -9 & 10 \\ -10 & 6 \end {array} \right \|=-(-54 + 100)=-46 \\ A_ { 11 } &= \left \| \begin {array} { rr } 2 & -4 \\ -4 & -6 \end {array} \right \|=-28, A_ { 12 } =- \left \| \begin {array} { ll } 1 & -4 \\ 3 & -6 \end {array} \right \|=-6, \quad A_ { 13 } = \left \| \begin {array} { rr } 1 & 2 \\ 3 & -4 \end {array} \right \|=-10, \\ A_ { 21 } &= \left \| \begin {array} { rr } -5 & 2 \\ -4 & -6 \end {array} \right \|=-38, A_ { 22 } = \left \| \begin {array} { ll } 2 & 2 \\ 3 & -6 \end {array} \right \|=-18, \quad A_ { 23 } =- \left \| \begin {array} { ll } 2 & -5 \\ 3 & -4 \end {array} \right \|=-7, \end {aligned} \\ \begin {array} { l } A_ { 31 } = \left \| \begin {array} { rr } -5 & 2 \\ 2 & -4 \end {array} \right \|=16, \quad A_ { 32 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & 2 \\ 1 & -4 \end {array} \right \|=10, \quad A_ { 33 } = \left \| \begin {array} { rr } 2 & -5 \\ 1 & 2 \end {array} \right \|=9, \\ \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { rrr } -28 & -38 & 16 \\ -6 & -18 & 10 \\ -10 & -7 & 9 \end {array} \right ], \quad A ^ { -1 } = \frac { 1 } { -46 } \left [ \begin {array} { rrr } -28 & -38 & 16 \\ -6 & -18 & 10 \\ -10 & -7 & 9 \end {array} \right ] \\ X= \frac { 1 } { -46 } \left [ \begin {array} { rrr } -28 & -38 & 16 \\ -6 & -18 & 10 \\ -10 & -7 & 9 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 7 \\ 3 \\ 5 \end {array} \right ]= \frac { 1 } { -46 } \left [ \begin {array} { r } -230 \\ -46 \\ -46 \end {array} \right ] \\ = \frac { 1 } { -46 } \left [ \begin {array} { r } -230 \\ -46 \\ -46 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } 5 \\ 1 \\ 1 \end {array} \right ] \end {array} \] 따라서 \( X=(5,1,1) \).</p> <p>(2) \( \left \| \begin {array} { ccc } 1 + x & 1 + y & 1 + z \\ 1 + 2 x & 1 + 2 y & 1 + 2 z \\ 1 + 3 x & 1 + 3 y & 1 + 3 z \end {array} \right \|= \left \| \left ( \begin {array} { ccc } 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end {array} \right ) \left ( \begin {array} { ccc } 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ) \right \| \) \( = \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \end {array} \right \| \left \| \begin {array} { lll } 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right \|=0 \)</p> <h1>2.4 행렬식의 전개</h1> <p>3 차행렬식 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 에서 \( \|A\|=a_ { 11 } a_ { 22 } a_ { 33 } + a_ { 12 } a_ { 23 } a_ { 31 } + a_ { 13 } a_ { 21 } a_ { 32 } -a_ { 13 } a_ { 22 } a_ { 31 } - a_ { 12 } a_ { 21 } a_ { 33 } -a_ { 11 } a_ { 23 } a_ { 32 } \) 를 2차행렬식으로 나타내어 보자. 3차행렬식 \( \|A\| \) 는 2차행렬식의 일차결합으로 표시된다. 즉 \[ \begin {aligned} \|A\|= \left \| \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \| &=a_ { 11 } \left \| \begin {array} { cc } a_ { 22 } & a_ { 23 } \\ a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \|-a_ { 12 } \left \| \begin {array} { cc } a_ { 21 } & a_ { 23 } \\ a_ { 31 } & a_ { 33 } \end {array} \right \| + a_ { 13 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 21 } & a_ { 22 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } \end {array} \right \| \\ &=-a_ { 21 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right \| + a_ { 22 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 31 } & a_ { 33 } \end {array} \right \|-a_ { 23 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 12 } \\ a_ { 31 } & a_ { 32 } \end {array} \right \| \\ &=a_ { 31 } \left \| \begin {array} { cc } a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ a_ { 22 } & a_ { 23 } \end {array} \right \|-a_ { 32 } \left \| \begin {array} { cc } a_ { 11 } & a_ { 13 } \\ a_ { 21 } & a_ { 23 } \end {array} \right \| + a_ { 33 } \left \| \begin {array} { ll } a_ { 11 } & a_ { 12 } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } \end {array} \right \| \end {aligned} \] 위에서 본 바와 같이 3차행렬식은 2차행렬식의 값을 얻음으로써 자연스럽게 구해진다. 이러한 생각을 4차 이상의 행렬식에 적용할 수 있음을 보이고자 한다. 일반적으로 \( n \) 차 이상의 행렬식은 \( (n-1) \) 차행렬식, \( (n-1) \) 차행렬식은 \( (n-2) \) 차 행렬식, \( \cdots, \) 4 차행렬식은 3 차행렬식, 3 차행렬식은 2 차행렬식으로 나타낼 수 있음을 밝히려고 한다.</p> <h1>2.3 행렬식의 성질</h1> <p>공이 아닌 집합 \( S \) 위의 일대일대응사상 \( \sigma: S \rightarrow S \) 전체의 집합을 \( A(S) \) 라 놓자. \[ A(S)= \{\sigma\| \sigma: S \rightarrow S\| \sigma: \text { 전단사 } \} \] \( A(S) \) 의 원소 \( \sigma, \delta \) 에 대하여 \( ( \delta \sigma)(x)= \delta( \sigma(x)), x \in S \) 으로 정의된 사상 \( \delta \sigma \) : \( S \rightarrow S \) 는 전단사이므로 \( \delta \sigma \in A(S) \) 이다. 항등사상 \( I: S \rightarrow S, I(x)=x, x \in S \) 를 1 이라 하고, \( \sigma \) 의 역사상을 \( \sigma ^ { -1 } \) 이라 하면 \[ 1 \sigma= \sigma, \quad \sigma \sigma ^ { -1 } == \sigma ^ { -1 } \sigma=1 \] 집합 \( A(S) \) 는 사상의 합성에 의하여 군을 이룬다. 이 군 \( A(S) \) 를 \( S \) 위의 치환군 (permutation group)이라 하고 \( \sigma \) 를 치환(permutation)이라 한다. 집합 \( I_ { n } = \{ 1 \), \( 2, \cdots, n \} \) 위의 치환군 \( A \left (I_ { n } \right ) \) 을 \( S_ { n } \) 으로 나타낸다. \( I_ { n } \) 위의 전단사인 사상은 \( n \) ! 개 존재하므로 \( \left \|S_ { n } \right \|=n \) ! 이다. 치환 \( \sigma \in S_ { n } \) 을 아래와 같이 원소나열법으로 나타낼 수 있다. \[ \sigma= \left ( \begin {array} { ccc } 1 & 2 & n \\ \sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(n) \end {array} \right ) \]</p> <p>예제 2.3.1 집합 \( I_ { 3 } = \{ 1,2,3 \} \) 위의 치환군 \( S_ { n } \) 의 원소와 그 역을 구하여라.</p> <p>[풀이] \( \{ 1,2,3 \} \) 에서 \( \{ 1,2,3 \} \) 으로의 전단사인 사상은 \( 3 !=6 \) (개) 이다. \[ 1= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end {array} \right ) \quad \sigma_ { 1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right ) \quad \sigma_ { 2 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right ) \] \[ \tau_ { 1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right ) \quad \tau_ { 2 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end {array} \right ) \quad \tau_ { 3 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right ) \] 집합 \( S_ { 3 } = \left \{ 1, \sigma_ { 1 } , \sigma_ { 2 } , \tau_ { 1 } , \tau_ { 2 } , \tau_ { 3 } \right \} \). 이들의 역사상은 아래와 같다. \[ \sigma_ { 1 } ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right )= \sigma_ { 2 } \] \[ \sigma_ { 2 } ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \sigma_ { 1 } \] \[ \tau_ { 1 } ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end {array} \right )= \tau_ { 1 } \] \[ \tau_ { 2 } ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \tau_ { 2 } \] \[ \tau_ { 3 } ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right ) ^ { -1 } = \tau_ { 3 } \].</p> <p>예제 2.1.18 다음 삼각행렬의 차이를 말하여라.</p> <p>\( L= \left [ \begin {array} { lll } 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end {array} \right ] \quad M= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] \quad U= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \quad N= \left [ \begin {array} { lll } 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] \( L \): 하삼각행렬, \( M \) : 하삼각행렬, \( U \) : 상삼각행렬, \( N \) : 상삼각행렬</p> <p>복소수 \( \mathrm { C } \) 의 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 와 \( a_ { i j } \) 의 공액복소수 \( \overline { a_ { i j } } \) 에 관한 행렬 \( \bar { A } = \left [ \overline { a_ { i j } } \right ] \) 를 \( A \) 의 공액행렬(conjugate matrix)이라 한다. 모든 \( i, j \) 에 대하여 \( \overline { a_ { i j } } =a_ { j i } \) 일 때 \( A \) 를 Hermite 행렬(Hermitian matrix)이라 하고, \( \bar { A } =- { } ^ { t } A \) 인 행렬을 Hermite교대행렬 (skew Hermitian matrix) 이라 한다. 공액전치행렬 \( \overline { A ^ { t } } \) 을 \( A ^ { * } \) 으로 나타내면 \( A ^ { * } =A \) 일 때 Hermite행렬, \( A ^ { * } =-A \) 일 때 Hermite교대행렬이다.</p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 의 주대각선분 \( a_ { 11 } , a_ { 22 } , \cdots, a_ { n n } \) 의 합 \( a_ { 11 } + a_ { 22 } + \cdots + \) \( a_ { n n } \) 을 \( A \) 의 흔적(trace)이라 하고 \( \operatorname { tr } A \) 로 나타낸다.</p> <p>예제 2.1.16 행렬 \( A, B \in M_ { n \times n } \) 과 수 \( \alpha \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( \operatorname { tr } A ^ { t } = \operatorname { tr } A \)</li> <li>\( \operatorname { tr } (A + B)= \operatorname { tr } A + \operatorname { tr } B \)</li> <li>\( \operatorname { tr } ( \alpha A)= \alpha \operatorname { tr } A \)</li> <li>\( \operatorname { tr } A B= \operatorname { tr } B A \)</li></ol> <p>[풀이]</p> <p>(1), (3)은 흔적의 정의에서 분명히 성립한다.</p> <p>(2) \( A= \left [a_ { i j } \right ], B= \left [b_ { i j } \right ], A + B= \left [c_ { i j } \right ] \) 라 놓으면 \( a_ { i j } + b_ { i j } =c_ { i j } \) 이므로 \[ \begin {aligned} \operatorname { tr } (A + B) &= \sum_ { i=1 } ^ { n } c_ { i j } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \left (a_ { i j } + b_ { i j } \right ) \\ &= \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i j } + \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i j } = \operatorname { tr } A + \operatorname { tr } B \end {aligned} \]</p> <p>예제 2.3.13 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 에서 하나의 행(열)의 성분이 모두 0 이면 행렬식의 값 \( \|A\|=0 \) 이다.</p> <p>[풀이] 행렬식의 정의에 의하면 \[ \|A\|= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \] \( \{\sigma(1), \sigma(2), \cdots, \sigma(n) \} = \{ 1,2, \cdots, n \} \) 이므로 \( a_ { 1 \sigma(1) } , a_ { 2 \sigma(2) } , \cdots, a_ { n \sigma(n) } \) 중 어느 하나가 영인 행의 원소이다. 모든 \( a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } =0 \) 이므로 \( \|A\|=0 \).</p> <p>정리 2.3.6 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 에서 이웃하는 두 행(두 열)의 대응하는 성분이 같으면 행렬식의 값은 0 이다. \( \begin {array} { r } k \leftarrow \\ k + 1 \leftarrow \end {array} \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { k 1 } & a_ { k 2 } & \cdots & a_ { k n } \\ a_ { k 1 } & a_ { k 2 } & \cdots & a_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { c } A_ { 1 } \\ \vdots \\ A_ { k } \\ A_ { k } \\ \vdots \\ A_ { n } \end {array} \right \|=0 \)</p> <p>[풀이] \[ \begin {array} { l } A B= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end {array} \right ] \\ B A= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end {array} \right ] \end {array} \] 따라서 \( \operatorname { tr } (A B)=1 + 1 + (-1)=1, \operatorname { tr } (B A)=-1 + 2 + 0=1 \).</p> <p>\( n \) 차행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 에서 주대각선 아래쪽(위쪽)에 있는 성분이 모두 0 일 때 \( A \) 를 상 3 각행렬(upper triangular matrix) [하 3 각행렬(lower triangular matrix)]이라 한다. 모든 \( 1 \leq j \leq i \leq n \) 에 대하여 \( a_ { i j } =0 \) 인 행렬이 상 3 각행렬, 모든 \( 1 \leq i<j \) \( \leq n \) 에 대하여 \( a_ { i j } =0 \) 인 행렬이 하 3 각행렬이다. 주대각성분 이외의 모든 성분이 0 인 행렬을 대각행렬, 모든 주대각성분이 일정한 수 \( a \) 인 대각행렬을 스칼라 행렬(scalar matrix)이라 한다.</p> <p>\[ \left \| \begin {array} { ccccc } + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ + & - & + & - & \cdots \\ - & + & - & + & \cdots \\ + & - & + & - & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end {array} \right \| \] 행렬의 성분 \( a_ { i j } \) 가 0 이면 여인수 \( A_ { i j } \) 의 값에 관계 없이 \( a_ { i j } A_ { i j } =0 \) 이므로 행렬식의 전개에서 \( A_ { i j } \) 의 값을 구할 필요가 없게 된다. 예를 들어 모든 \( a_ { i j } =0 \) 이면 \( \|A\|=0 \) 이다. 행렬식의 값을 얻고자 할 때는 행렬식의 성분이 0 인 것을 행렬식의 성질로 많이 만들어 \( (n-1) \) 차행렬식으로 전개한다. 이러한 과정을 다시 한번 시행하면 \( (n-2) \) 차행렬식이 된다. 결과적으로 2 차행렬식의 전개식이 되어 계산이 쉬워진다. 이러한 의미에서 행렬식의 계산에서 행 또는 열에 관한 전개식이 유용하게 쓰인다.</p> <p>행렬식의 여인수에 관한 전개식은 행렬식의 값을 얻는 데 뿐만 아니라 역행렬을 구하는 데 긴요하게 쓰인다. 역행렬이 존재하는 \( n \) 차행렬을 가역행렬이라 하고, 행렬식의 값이 0 이 아닌 행렬을 정칙행렬이라 하며 이 둘은 같은 개념이다.</p> <p>정리 2.4.2 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 이 가역행렬이기 위한 필요충분조건은 \( A \) 가 정칙행렬인 것이다.</p> <p>[증명] \( A \) 가 가역행렬이면 \( A A ^ { -1 } =A ^ { -1 } A=I \) 인 행렬 \( A ^ { -1 } \) 이 단 하나 존재한다. 행렬식의 곱에 관한 성질에서 \[ \left \|A A ^ { -1 } \right \|= \left \|A ^ { -1 } A \right \|=\|I\|, \quad\|A\| \left \|A ^ { -1 } \right \|=1 \] 따라서 \( \|A\| \neq 0, \left \|A ^ { -1 } \right \|= \frac { 1 } { \|A\| } \) 이다. 역으로 \( \|A\| \neq 0 \) 이면 역행렬이 존재함을 보이자. \( A \) 의 수반행렬 \( \operatorname { adj } A \) 에서 \[ A \operatorname { adj } A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { cccc } A_ { 11 } & A_ { 21 } & \cdots & A_ { n 1 } \\ A_ { 12 } & A_ { 22 } & \cdots & A_ { n 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_ { 1 n } & A_ { 2 n } & \cdots & A_ { n n } \end {array} \right ] \] \[ = \left [ \begin {array} { cccc } \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { 1 k } A_ { 1 k } & \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { 1 k } A_ { 2 k } & \cdots & \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { 1 k } A_ { n k } \\ \sum a_ { 2 k } A_ { 1 k } & \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { 2 k } A_ { 2 k } & \cdots & \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { 2 k } A_ { n k } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \sum a_ { n k } A_ { 1 k } & \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { n k } A_ { 2 k } & \cdots & \sum a_ { n k } A_ { n k } \end {array} \right ] \] \[ = \left [ \begin {array} { cccc } \|A\| & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \|A\| & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \|A\| \end {array} \right ]=\|A\| \left [ \begin {array} { cccc } 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end {array} \right ] \] \[ =\|A\| I \] \( \|A\| \neq 0 \) 이므로 \[ \frac { A \operatorname { adj } A } { \|A\| } =I, \quad A \left ( \frac {\operatorname { adj } A } { \|A\| } \right )=I \] 따라서 행렬 \( A \) 의 역행렬이 존재하여 \[ A ^ { -1 } = \frac { 1 } { \|A\| } \operatorname { adj } A \]</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ 0 & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \quad B= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & 0 \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \)</p> <p>[풀이] 치환 \( \sigma \) 에 대하여 \( a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \) 은 행렬 \( A \) 의 행에서 열이 중복되지 않도록 정확히 하나씩 택하여 곱한 것이다. \( \sigma=1 \) 이면 주대각성분의 곱은 \( a_ { 11 } a_ { 22 } \) \( \cdots a_ { n n } , \delta \neq 1 \) 이면 \( a_ { 1 \sigma(1) } , a_ { 2 \sigma(2) } , \cdots, a_ { n \sigma(n) } \) 중 적어도 하나는 0 이므로 \( a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots \) \( a_ { n \sigma(n) } =0 \). 따라서 \[ \|A\|=\|B\|= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } =a_ { 11 } a_ { 22 } \cdots a_ { n n } \] 치환 \( \sigma \in S_ { n } \) 에 대하여 \( \sigma(k)=j \) 라 하면 \( \sigma ^ { -1 } (j)=k \) 이므로 \[ a_ { k \sigma(k) } =a_ {\sigma ^ { -1 } (j), j } , \quad i, j=1,2, \cdots, n \] \( a_ {\sigma ^ { -1 } (j), j } \) 의 곱하는 순서를 적당히 바꾸면 \[a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } =a_ {\sigma ^ { -1 } (1), 1 } a_ {\sigma ^ { -1 } (2), 2 } \cdots a_ {\sigma ^ { -1 } (n), n } \] 예를 들어 \( \sigma= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end {array} \right ), \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end {array} \right ) \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} a_ { 13 } a_ { 21 } a_ { 32 } &=a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } a_ { 3 \sigma(3) } =a_ {\sigma ^ { -1 } (1), 1 } a_ {\sigma ^ { -1 } (2), 2 } a_ {\sigma ^ { -1 } (3), 3 } \\ &=a_ { 21 } a_ { 32 } a_ { 13 } =a_ { 13 } a_ { 21 } a_ { 32 } \end {aligned} \] 치환 \( \sigma= \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right ), \sigma ^ { -1 } = \left ( \begin {array} { lll } 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end {array} \right ) \) 에 대하여 \[ \begin {aligned} a_ { 12 } a_ { 21 } a_ { 33 } &=a_ { 10 ^ {\circ } (1) } a_ { 20 ^ {\circ } (2) } a_ { 30 ^ {\circ } (3) } =a_ {\sigma ^ { -1 } (1), 1 } a_ {\sigma ^ { -1 } (2), 2 } a_ {\sigma ^ { -1 } (3), 3 } \\ &=a_ { 21 } a_ { 12 } a_ { 33 } =a_ { 12 } a_ { 21 } a_ { 33 } \end {aligned} \] 또한 \( S_ { n } = \left \{\sigma ^ { -1 } \mid \sigma \in S_ { n } \right \} \) 이 성립하므로 다음 정리를 얻는다.</p> <p>(3) \( A= \left [a_ { i j } \right ], B= \left [b_ { j k } \right ], A B= \left [c_ { i k } \right ], B A= \left [d_ { i k } \right ] \) 라 놓으면 다음 두 식이 성립 하므로 \( \operatorname { tr } (A B)= \operatorname { tr } (B A) \) 이다. \[ \begin {array} { l } \operatorname { tr } (A B)= \sum_ { i=1 } ^ { n } c_ { i i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k i } \\ \operatorname { tr } (B A)= \sum_ { i=1 } ^ { n } d_ { i i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { n } b_ { i k } a_ { k i } = \sum_ { i=1 } ^ { n } \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { k i } b_ { i k } = \sum_ { k=1 } ^ { n } \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k i } . \end {array} \]</p> <p>예제 2.1.17 다음 행렬 \( A, B \) 에서 \( \operatorname { tr } (A B), \operatorname { tr } (B A) \) 를 구하여라.</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad B= \left [ \begin {array} { rrr } -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end {array} \right ] \)</p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { n \times n } \) 의 제 \( i \) 행과 제 \( j \) 열을 제외한 나머지 성분으로 이루어진 \( (n-1) \) 차 행렬을 제 \( i j- \) 성분 \( a_ { i j } \) 에 대한 소행렬(minor matrix)이라 하고 \( M_ { i j } \) 로 나타낸다. 행렬식 \( \left \|M_ { i j } \right \| \) 를 \( A \) 의 소행렬식(minor)이라 하고, \( D_ { i j } \) 로 나타내기도 한다. \[ M_ { i j } = \left [ \begin {array} { cccccc } a_ { 11 } & \cdots & a_ { 1 j-1 } & a_ { 1 j + 1 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { i-11 } & \cdots & a_ { i-1 j-1 } & a_ { i-1 j + 1 } & \cdots & a_ { i-1 n } \\ a_ { i + 11 } & \cdots & a_ { i + 1 j-1 } & a_ { i + 1 j + 1 } & \cdots & a_ { i + 1 n } \\ \vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & \cdots & a_ { n j-1 } & a_ { n j + 1 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ] \]</p> <p>소행렬 \( M_ { i j } \) 는 \( n \times n=n ^ { 2 } \) 개가 있다. 치환군 \( S_ { n } \) 의 원소는 \( n \) ! 개이므로 소행렬을 구하는 것은 치환을 구하는 것보다 용이하다. 이러한 의미에서 행렬식의 성질을 밝히는 데 소행렬을 생각하게 되었다. 소행렬식 \( \left \|M_ { i j } \right \| \) 에 부호를 붙힌 수 \[ A_ { i j } =(-1) ^ { i + j } \left \|M_ { i j } \right \| \] 를 행렬 \( A \) 의 제 \( i j \)-성분의 여인수(cofactor)라 한다. 여인수 \( A_ { i j } \) 를 제 \( j i- \) 성분으로 갖는 행렬을 수반행렬(adjoint matrix) 또는 여인수행렬(cofactor matrix)이라 하고 \( \operatorname { adj } A \) 로 나타낸다. 즉 \[ \operatorname { adj } A= \left [A_ { i j } \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { cccc } A_ { 11 } & A_ { 21 } & \cdots & A_ { n 1 } \\ A_ { 12 } & A_ { 22 } & \cdots & A_ { n 2 } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ A_ { 1 n } & A_ { 2 n } & \cdots & A_ { n n } \end {array} \right ] \]</p> <h1>1.1 행렬과 연산</h1> <p>체 \( \mathbb { K } \) 의 원소를 스칼라(scalar) 또는 수(number)라 한다. 수 \( a_ { i j } \in \mathbb { K } (i = 1, \cdots \), \( m, j=1, \cdots, n) \) 의 직사각형 모양의 배열 \[ A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \]을 체 \( \mathbb { K } \) 위의 행렬(matrix)이라 한다. 가로에 배열된 것이 \( m \) 개, 세로에 배열된 것이 \( n \) 개라는 의미에서 \( m \times n \) 행렬 또는 크기가 \( m \times n \) 인 행렬이라 한다.</p> <p>\(i=1, \cdots, m \) 에서 \( \left [ \begin {array} { llll } a_ { i 1 } & a_ { i 2 } & \cdots & a_ { i n } \end {array} \right ] \)을 제 \( i \)행 ( \(i \)-th row) 이라 하고 \(j=1, \cdots, n \)에서 다음을 제 \( j \) 열(j-th column)이라 한다.</p> <p>\( \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 j } \\ a_ { 2 j } \\ \vdots \\ a_ { m j } \end {array} \right ] \)</p> <p>위의 행렬 \( A \) 에는 \( m \) 개의 행과 \( n \) 개의 열이 있다. 제 \( i \) 행과 제 \( j \) 열이 겹쳐지는 수 \( a_ { i j } \) 를 제 \( i j \)-성분 (component) 이라 하고 행렬을 \[ A= \left [a_ { i j } \right ], \quad i=1, \cdots, m, \quad j=1, \cdots, n \]으로 나타낸다. 실수 \( \mathbb { R } \) 위의 행렬을 실행렬(real matrix), 복소수 \( C \) 위의 행렬을 복소행렬 (complex matrix) 이라 한다. 체 \( \mathbb { K } \) 를 특별히 언급할 필요가 없을 때 \( A= \) \( \left [a_ { i j } \right ] \) 를 행렬이라 한다. 체 \( \mathbb { K } \) 위의 \( m \times n \) 행렬 전체의 집합을 \( \mathrm { Mat } _ { m \times n } ( \mathbb { K } ) \) 또는 \( M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) \) 로 나타낸다. 이 책에서는 실행렬과 복소행렬을 주로 다루며, 행의 개수와 열의 개수가 같은 정방행렬(square matrix)에 관한 성질을 살펴보기로 한다.</p> <p>모든 성분이 0 인 \( m \times n \) 행렬을 영행렬(zero matrix)이라 하고 0 으로 나타낸다. 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ],-A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } \) 에서 \[ A + B= \left [a_ { i j } \right ] + \left [-a_ { i j } \right ]= \left [a_ { i j } -a_ { i j } \right ]=[0]=0 \] \( \left [-a_ { i j } \right ]=(-1) \cdot \left [a_ { i j } \right ]=(-1) A=-A \) 로 나타내면 \( A + (-A)=0 \). 또한 모든 행렬 \( A \) 에 대하여 \( A + O=A \) 이다.</p> <p>정리 2.1.1 행렬 \( A, B, C \in M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ) \) 와 \( \alpha, \beta \in \mathbb { K } \) 에 대하여 다음이 성립한다.</p> <ol type= start=1><li>\( (A + B) + C=A + (B + C) \)</li> <li>\( A + O=A=O + A \)</li> <li>\( A + (-A)=(-A) + A=0 \)</li> <li>\( A + B=B + A \)</li> <li>\( \alpha(A + B)= \alpha A + \alpha B \)</li> <li>\( ( \alpha + \beta) A= \alpha A + \beta A \)</li> <li>\( ( \alpha \beta) A= \alpha( \beta A) \)</li> <li>\( 1 A=A(1 \) 은 수의 1 \( ) \)</p></li></ol> <p>[증명]</p> <ol type= start=1><li>\( A= \left [a_ { i j } \right ], \quad B= \left [b_ { i j } \right ], \quad C= \left [c_ { i j } \right ] \) \[ \begin {aligned} A + (B + C) &= \left [a_ { i j } \right ] + \left \{\left [b_ { i j } \right ] + \left [c_ { i j } \right ] \right \} = \left [a_ { i j } \right ] + \left [b_ { i j } + c_ { i j } \right ] \\ &= \left [a_ { i j } + \left (b_ { i j } + c_ { i j } \right ) \right ]= \left [ \left (a_ { i j } + b_ { i j } \right ) + c_ { i j } \right ] \\ &= \left [a_ { i j } + b_ { i j } \right ] + \left [c_ { i j } \right ]=(A + B) + C \end {aligned} \]</li> <li>\( A + O= \left [a_ { i j } \right ] + [0]= \left [a_ { i j } + 0 \right ]= \left [a_ { i j } \right ]=A \)</li> <li>\( -A= \left [-a_ { i j } \right ] \) 이므로 \( A + (-A)= \left [a_ { i j } -a_ { i j } \right ]=[0]=0 \).</li></ol> <p>예제 2.1.4 \( m \times n \) 행렬 전체의 집합 \( M_ { m \times n } \) 은 덧셈에 관한 군을 이룬다.</p> <p>(ii) \( E= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \alpha a_ { k 1 } & \alpha a_ { k 2 } & \cdots & \alpha a_ { k n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right ]= \left [e_ { i j } \right ] \) 라 하면 \[ e_ { i \sigma(i) } = \left \{\begin {array} { ll } a_ { i \sigma(i) } , & i \neq k \\ \alpha a_ { k \sigma(k) } , & i=k \end {array} \right . \] 그러므로 \[ \begin {aligned} \|E\| &= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) e_ { 1 \sigma(1) } e_ { 2 \sigma(2) } \cdots e_ { k \sigma(k) } \cdots e_ { n \sigma(n) } \\ &= \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots \left ( \alpha a_ { k \sigma(k) } \right ) \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ &= \alpha \sum_ {\sigma \in S_ { n } } \operatorname { sgn } ( \sigma) a_ { 1 \sigma(1) } a_ { 2 \sigma(2) } \cdots a_ { n \sigma(n) } \\ &= \alpha \left \| \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_ { n 1 } & a_ { n 2 } & \cdots & a_ { n n } \end {array} \right \| \end {aligned} \]행렬을 행벡터로 나타내면 \[ \left \| \begin {array} { c } A_ { 1 } \\ \vdots \\ A_ { k-1 } \\ A_ { k } + \alpha B_ { k } \\ A_ { k + 1 } \\ \vdots \\ A_ { n } \end {array} \right \|= \left \| \begin {array} { c } A_ { 1 } \\ \vdots \\ A_ { k-1 } \\ A_ { k } \\ A_ { k + 1 } \\ \vdots \\ A_ { n } \end {array} \right \| + \alpha \left \| \begin {array} { c } A_ { 1 } \\ \vdots \\ A_ { k-1 } \\ B_ { k } \\ A_ { k + 1 } \\ \vdots \\ A_ { n } \end {array} \right \| \] 따라서 행렬식은 행에 대하여 선형성을 갖는다.</p></ol></p> <p>[풀이] \( A, B \in M_ { m \times n } \) 이면 \( A + B \in M_ { m \times n } \) 이고 (i) \( A + B=B + A \), (ii) \( (A + B) + C \) \( =A + (B + C) \), (iii) \( -A \in M_ { m \times n } , A + (-A)=O \). 또한 \( O + A=A \) 이므로 \( M_ { m \times n } \) 은 덧셈에 관한 항등원 \( O \) 를 가진 덧셈군이다.</p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \in M_ { m \times n } ( \mathbb { K } ), B= \left [b_ { j k } \right ] \in M_ { n \times r } ( \mathbb { K } ) \) 의 곱 \( A B \) 는 \( c_ { i j } = \sum_ { k=1 } ^ { n } a_ { i k } b_ { k j } \) \( =a_ { i 1 } b_ { 1 j } + a_ { i 2 } b_ { 2 j } + \cdots + a_ { i n } b_ { n j } \) 를 제 \( i j- \) 성분으로 갖는 행렬이다.</p> <p>\( m \times n \) 행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 와 \( n \times r \) 행렬 \( B= \left [b_ { j k } \right ] \) 의 곱 \( A B \) 를 알기 쉅게 나타내어 보자. \( 1 \times n \) 행렬 \( A \) 와 \( n \times 1 \) 열의 \( B \) 의 도트곱(dot product)을 다음으로 정의한다.</p> <p>\( A \cdot B= \left [ \begin {array} { llll } a_ { 1 } & a_ { 2 } & \cdots & a_ { n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { n } \end {array} \right ]=a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 2 } + \cdots + a_ { n } b_ { n } \)</p> <p>\( n \) 차정방행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 에서 \( A ^ { t } =A \) 일 때 \( A \) 를 대칭행렬(symmetric matrix)이라 한다. 모든 \( 1 \leq i, j \leq n \) 에 대하여 \( a_ { j i } =a_ { i j } \) 이면 \( A \) 는 대칭행렬이다. \( A ^ { t } =-A \) 일 때 \( A \) 를 교대행렬(alternating matrix)이라 한다. 모든 \( 1 \leq i, j \leq n \) 에 대하여 \( a_ { j i } \) \( =-a_ { i j } \) 이면 \( A \) 는 교대행렬이다.</p> <p>예제 2.1.9 다음 중에서 교대행렬은 어느 것인가?</p> <ol type=1 start=1><li>\( {\left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 3 \\ 0 & 5 & -4 \\ 1 & 0 & -1 \end {array} \right ] } \)</li> <li>\( {\left [ \begin {array} { lll } 0 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \end {array} \right ] } \)</li> <li>\( {\left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end {array} \right ] } \)</li> <li>\( {\left [ \begin {array} { rrr } 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end {array} \right ] } \)</li></ol> <p>[풀이] \( \quad A ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end {array} \right ] ^ { t } = \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ -1 & 2 & 0 \end {array} \right ]=- \left [ \begin {array} { rrr } 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & -2 & 0 \end {array} \right ]=-A \) 이므로 (4)는 교대행렬이다.</p> <p>예제 2.1.10 정방행렬 \( A \) 에서 다음이 성립한다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A A ^ { t } , A + A ^ { t } \) 는 대칭행렬이다.</li> <li>\( A-A ^ { t } \) 는 교대행렬이다.</li> <li>행렬 \( A \) 는 교대 대칭행렬과 교대행렬의 합으로 일의적으로 표시된다.</li></ol> <p>[풀이]</p> <p>(1) 정리 2.1.3에서 \( \left (A A ^ { t } \right ) ^ { t } = \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } A ^ { t } =A A ^ { t } , \quad \left (A + A ^ { t } \right ) ^ { t } =A ^ { t } + \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } =A ^ { t } \) \( + A=A + A ^ { t } \). 그러므로 \( A A ^ { t } , A + A ^ { t } \) 은 대칭행렬이다.</p> <p>(2) \( \left (A-A ^ { t } \right ) ^ { t } =A ^ { t } + \left (-A ^ { t } \right ) ^ { t } =A ^ { t } - \left (A ^ { t } \right ) ^ { t } =A ^ { t } -A=- \left (A-A ^ { t } \right ) \) 이므로 \( A-A ^ { t } \) 은 교대행렬이다.</p> <p>(3) \( B= \frac { A + A ^ { t } } { 2 } , C= \frac { A-A ^ { t } } { 2 } \) 이라 놓으면 \( B + C= \frac { 1 } { 2 } \left (A + A ^ { t } \right ) + \frac { 1 } { 2 } \left (A-A ^ { t } \right )= \) \( A, B ^ { t } =B, C ^ { t } =-C \) 이다. \( A=B ^ {\prime } + C ^ {\prime } , B ^ {\prime t } =B ^ {\prime } , C ^ {\prime t } =-C ^ {\prime } \) 인 행렬 \( B ^ {\prime } , C ^ {\prime } \) 가 존재 한다면 \( A ^ { t } = \left (B ^ {\prime } + C ^ {\prime } \right ) ^ { t } =B ^ {\prime t } + C ^ {\prime t } =B ^ {\prime } -C ^ {\prime } \) 이다. \( A + A ^ { t } = \left (B ^ {\prime } + C ^ {\prime } \right ) + \left (B ^ {\prime } -C ^ {\prime } \right )= \) \( 2 B ^ {\prime } , A-A ^ { t } = \left (B ^ {\prime } + C ^ {\prime } \right )- \left (B ^ {\prime } -C ^ {\prime } \right ) ^ { t } = \left (B ^ {\prime } + C ^ {\prime } \right )-B ^ {\prime } + C ^ {\prime } =2 C ^ {\prime } \) 이므로 \[ B ^ {\prime } = \frac { 1 } { 2 } \left (A + A ^ { t } \right ), \quad C ^ {\prime } = \frac { 1 } { 2 } \left (A-A ^ { t } \right ) \] 그러므로 \( B=B ^ {\prime } , C=C ^ {\prime } \) 이다. 따라서 \( A=B + C \) 인 대칭행렬 \( B \) 와 교대행렬 \( C \) 는 \( B= \frac { 1 } { 2 } \left (A + A ^ { t } \right ), C= \frac { 1 } { 2 } \left (A-A ^ { t } \right ) \) 뿐이다.</p></ol>	자연
복소해석학개론_복소평면과 복소함수	<p>[예제 \(1.70 \)] (앞의 네 번째 등식에서 \( \alpha=2, n=i \)이면) \( k \)가 정수일 때 \[ \left (i ^ { 2 } \right ) ^ { i } =e ^ { i \log (-1) } =e ^ { i(1 + 2 k) \pi i } =e ^ { -(1 + 2 k) \pi } \] 이고 \[ (i) ^ { 2 i } =e ^ { 2 i \log i } =e ^ { 2 i \left ( \frac { 1 } { 2 } + 2 k \right ) \pi i } =e ^ { -(1 + 4 k) \pi } \] 이다. 따라서 해의 두 집합이 같지 않으므로 네 번째 등식은 항상 성립하지는 않는다.</p> <h2>1.5 .4 삼각함수와 사상성질</h2> <p>\( z \)의 삼각함수는 지수함수에 의해 정의된다. 지수함수의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \cos z= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { i z } + e ^ { -i z } \right ), \quad \sin z= \frac { 1 } { 2 i } \left (e ^ { i z } -e ^ { -i z } \right ) \] 다른 네 개의 함수는 \( \sin z \)와 \( \cos z \)를 이용해 정의된다. \[ \tan z= \frac {\sin z } {\cos z } , \quad \cot z= \frac {\cos z } {\sin z } , \quad \sec z= \frac { 1 } {\cos z } , \quad \csc z= \frac { 1 } {\sin z } \] 물론 정의들은 분모가 \(0 \)이 안되는 점에서만 성립한다.</p> <p>\( z \)가 실수이면, 즉 \( z=x \)라면, \( \cos z \)와 \( \sin z \)는 보통의 정의와 일치한 \[ \begin {aligned} \cos (z + 2 \pi) &= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { i(z + 2 \pi) } + e ^ { -i(z + } \right . \\ &= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { i z } + e ^ { -i z } \right ) \\ &= \cos z \end {aligned} \] 임에 유의하면 모든 \( z \)에 대해, \( \sin (z + 2 \pi)= \sin z \)임을 안다. 따라서 모든 \( z \) 임의의 정수 \( k \)에 대해, \[ \cos (z + 2 \pi k)= \cos z, \quad \sin (z + 2 \pi k)= \sin z \] 라면 \[ e ^ { i z } e ^ { i \alpha } + e ^ { -i z } e ^ { -i \alpha } =e ^ { i z } + e ^ { -i z } \] 이고 \[ \begin {aligned} e ^ { i z } \left (e ^ { i \alpha } -1 \right ) &=e ^ { -i z } \left (1-e ^ { -i \alpha } \right ) \\ &=e ^ { -i \alpha } e ^ { -i z } \left (e ^ { i \alpha } -1 \right ) \end {aligned} \] 이다. \( e ^ { i \alpha } -1 \neq 0 \) 이면 양변에서 제거하여, 모든 \( z \)에 대해, \[ e ^ { i z } =e ^ { -i \alpha } e ^ { -i z } \] 을 얻고, \( z=0 \)으로 놓으면 \( 1=e ^ { -i \alpha } \)가 되는 데 이는 \( 1 \neq e ^ { i \alpha } \)에 어긋난다. 따라서 \( e ^ { i \alpha } =1 \)이어야만 하고, 적당한 정수 \( k \)에 대해 \( \alpha=2 \pi k \)가 된다. 결과적으로 \( 2 \pi \)는 \( \cos z \)와 \( \sin z \)의 기본 주기이다.</p> <p>이제 \( i \)가 \[ i ^ { 2 } =(i)(i)=-1 \] 을 만족하고, \( x \) 와 \( y \) 가 실수이면 \[ z=x + i y \] 의 형태를 복소수라 한다. 기호 \( x + i y \)를 \( z \)의 데카르트 형태라고 한다.</p> <p>숫자 \( x \)는 \( z \)의 실부라 하고 \[ x= \Re z \] 라 쓴다. 숫자 \( y \)는 그것이 실수임에도 불구하고 \( z \)의 허부라 부르고, \[ y= \Im z \] 라 쓴다. 예를 들어 \( 1= \Re(1 + 3 i) \)이고 \( 3= \Im(1 + 3 i) \)이다. 특히, 두 복소수가 같을 필요충분조건은 그들의 실부와 허부가 각각 같은 것이다.</p> <p>\( z \)의 모듈러스 또는, 절대값은 \[ \|z\|= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \quad z=x + i y \] 로 정의한다.</p> <p>각각의 복소수 \( z=x + i y \)는 \( x y \)-평면에서 점 \( P(x, y) \)에 대웅한다( \(1.1.4 \)절 참조). 그러면 \( z \)의 모듈러스 \( \|z\| \)는 단지 \( P(x, y) \)로부터 원점, 복소수 표현으로 0까지의 거리이다(그림 \(1.1 \)).</p> <p>이와 같이 하면, \( x, y \)와 \( \|z\| \)에 관련된 세 개의 부등식을 얻을 수 있는데, 이는 \[ \|x\| \leq\|z\|, \quad\|y\| \leq\|z\| \text { 그리고 } \|z\| \leq\|x\| + \|y\| \] 이다. 처음 두 개는 분명하다. 세 번째 것은 \[ \|z\| ^ { 2 } =x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq x ^ { 2 } + 2\|x\|\|y\| + y ^ { 2 } =(\|x\| + \|y\|) ^ { 2 } \] 으로부터 얻을 수 있다.</p> <p>\( z=x + i y \)의 복소공액(또는 켤레복소수)은 \[ \bar { z } =x-i y \] 로 주어진다. 공학책에서 가끔은 \( \bar { z } \)대신 \( z ^ { * } \)를 쓰기도 하고 \( i \)대신 \( j \)를 쓰는데 우리는 이 둘 다 쓰지 않는다. \( z=2-3 i \)라는 특수한 복소수에 대해서는 \[ \bar { z } =2 + 3 i \text { 이고 } \|z\|= \sqrt { 13 } \] 이다(그림 \(1.2 \)).</p> <p>몇 가지 사실을 더 말할 수 있겠다. \[ \left \|x_ { j } \right \| \leq \left \|z_ { j } \right \|, \quad \left \|y_ { j } \right \| \leq \left \|z_ { j } \right \| \] 에 의해 실수의 무한급수에 관한 비교 판정법을 쓰면, 음이 아닌 급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { j } \right \| \)의 수렴은 두 급수 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|x_ { j } \right \| \text { 와 } \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|y_ { j } \right \| \] 의 수렴을 유도한다. 따라서 두 급수 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } x_ { j } \text { 와 } \sum_ { j=1 } ^ {\infty } y_ { j } \] 가 수렴하고 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } x_ { j } + i y_ { j } \] 또한 수렴한다. 더욱이 모든 \( n \)에 대해 \[ \left \|S_ { n } \right \|= \left \| \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \right \| \leq \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { j } \right \| \] 가 성립한다. 결론적으로 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { j } \right \| \)가 수렴하면 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \)도 수렴하고 \[ \left \| \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \right \| \leq \sum_ { j=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { j } \right \| \] 이다. 음이 아닌 수의 무한급수의 수렴에 대한 여러 판정법(비교, 비율, 제곱근, 적분)이 있기 때문에 위의 수렴에 관한 판정법은 유용하다. \( \sum \left \|z_ { j } \right \| \)가 수렴할 때, 급수 \( \sum z_ { j } \)는 절대수렴한다고 한다. 그러나 이러한 판정법들은 제한적인 가정하에서만 성립할 뿐만 아니라 수렴에 대한 충분조건은 물론 필요조건도 제공해 주지 못한다. 이것을 해결하기 위한 것은 앞에서 다룬 코시 수열밖에 없다. 수열에 대한 코시 판정법(정리 \(1.8 \))을 급수에 대해 재서술한 것이 연습문제 \( 1.4 \)의 \(1.4.4 \)절 \(12 \)에 주어져 있다.</p> <p>\(9 \). \( a, b, c \)를 \( a \neq 0 \)이고 \( b ^ { 2 }<4 a c \)인 실수들이라 하자. \( a z ^ { 2 } + b z + c=0 \)의 두 해는 서로 복소공액임을 보여라.</p> <p>\(10 \). \( A \)가 실수이고 \( B \)가 복소수라 가정하자. \[ \|z\| ^ { 2 } + A ^ { 2 } =\|z + A\| ^ { 2 } -2 \Re(A z) \] 와 \[ \|z\| ^ { 2 } + 2 \Re(B z)=\|z + \bar { B } \| ^ { 2 } -\|B\| ^ { 2 } \] 이 성립함을 증명하라.</p> <p>\(11 \). \( \|z\|=1 \)이기 위한 필요충분조건은 \( \frac { 1 } { z } = \bar { z } \)이다.</p> <p>\(12 \). \( z \)와 \( w \)가 복소수일 때 \( z w=0 \)을 만족하면 \( z \) 또는 \( w \)가 \(0 \)임을 증명하라.</p> <p>\(13 \). \( z_ { 1 } , \cdots, z_ { n } \)을 복소수라 하자. 수학적 귀납법에 의해 다음 공식을 증명하라.<ol type=a start=1><li>\( \left \|z_ { 1 } z_ { 2 } \cdots z_ { n } \right \|= \left \|z_ { 1 } \right \| \left \|z_ { 2 } \right \| \cdots \left \|z_ { n } \right \| \)</li> <li>\( \Re \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } + \cdots + z_ { n } \right )= \Re \left (z_ { 1 } \right ) + \Re \left (z_ { 2 } \right ) + \cdots + \Re \left (z_ { n } \right ) \)</li> <li>\( \Im \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } + \cdots + z_ { n } \right )= \Im \left (z_ { 1 } \right ) + \Im \left (z_ { 2 } \right ) + \cdots + \Im \left (z_ { n } \right ) \)</li> <li>\( \overline { z_ { 1 } z_ { 2 } \cdots z_ { n } } = \bar { z } _ { 1 } \bar { z } _ { 2 } \cdots \bar { z } _ { n } \)</li></ol></p> <p>점 \( z_ { 0 } \)의 모든 빠진 근방이 \( D \)의 점을 적어도 하나 포함하면, \( z_ { 0 } (D \)의 점일 수도 아닐 수도 있다)을 \( D \)의 극한점(limit point)[또는 쌓인 점, 집적점]이라 한다. 이에 따르면 닫힌 집합은 자신의 극한점을 모두 포함하고, 그 역도 성립한다. 그러므로 \( D \)의 폐포 \( \bar { D } \)는 \( D \)와 \( D \)의 극한점들의 합이다.</p> <p>이제 열린 집합과 닫힌 집합 사이의 관계를 살펴보자.</p> <p>[정리 \(1.1 \)] 집합 \( D \)가 열린 집합일 필요충분조건은 자신의 어떤 경계점도 포함하지 않는 것이다. 집합 \( S \)가 닫힌 집합일 필요충분조건은 그것의 여집합 \( D= \{ z: z \notin S \} \)가 열린 집합인 것이다.</p> <p>증명 이 정리가 성립함을 보이기 위해서 \( D \)가 열린 집합이라고 가정하자. \( p \)를 \( D \)의 경계점이라 하자. 만약 \( p \)가 \( D \)안에 있다면, \( (D \)가 열린 집합이기 때문에 \( ) \) 중심이 \( p \)인 \( D \) 안에 머무는 열린 원반이 존재한다. 따라서, \( p \)는 \( D \)의 경계에 있지 않다. 이 모순은 \( p \)가 \( D \)안에 없다는 것을 뜻한다. 역으로, \( D \)가 경계점을 하나도 포함하지 않는 집합이라고 하자. \( D \)가 열려 있음을 보여야 한다. \( z_ { 0 } \in D \)이면, \( z_ { 0 } \)은 \( D \)의 경계점이 될 수 없다. 따라서 \( D \)의 부분집합이거나 여집합의 부분집합이 되는 \( z_ { 0 } \)이 중심인 어떤 원반이 존재한다. \( z_ { 0 } \)이 \( D \)의 원소이므로 후자는 불가능하다. 따라서 원반은 \( D \)안에 존재하고, 이것은 \( D \)의 각 점이 내점임을 뜻한다. 따라서 \( D \)는 열려 있다.</p> <p>여기서 조금 주의해야 할 필요가 있다. 경계를 전부가 아닌 일부만 포함함으로써 열리지도 닫히지도 않은 많은 집합이 있다. 예를 들어, \( \Re z \leq 6 \)이고 \( \Im z>2 \)인 \( z \)들의 집합 \( D \)는 열려 있지도 닫혀 있지도 않다. 왜냐하면 이것의 경계는 \( \Re w=6 \)과 \( \Im w \geq 2 \)인 \( w \)들 또는 \( \Im w=2 \)와 \( \Re w \leq 6 \)인 \( w \)들로 이루어져 있기 때문이다 (그림 \( 1.16) \).</p> <p>풀이 \( w \)의 실부를 계산하면 \[ \Re w= \Re \left ( \frac { 1 + z } { 1-z } \right )= \Re \frac { (1 + z)(1- \bar { z } ) } { \|1-z\| ^ { 2 } } = \frac { 1-\|z\| ^ { 2 } } { \|1-z\| ^ { 2 } } \] 이다. 이 마지막 값은 \( \|z\|<1 \)이면 양이다. 이것은 \( T \)의 치역이 \( \Re w>0 \)인 \( w \)의 집합임을 말한다. \( w ^ {\prime } \)을 \( \Re w ^ {\prime } >0 \)인 임의의 점이라 하자. \( z ^ {\prime } = \frac { w ^ {\prime } -1 } { w ^ {\prime } + 1 } \)은 \( \left \|z ^ {\prime } \right \|<1 \)을 만족함을 보이겠다. 실제로 \( \left \|w ^ {\prime } + 1 \right \| ^ { 2 } >\left \|w ^ {\prime } -1 \right \| ^ { 2 } \) 일 때 \( 1>\left \| \frac { w ^ {\prime } -1 } { w ^ {\prime } + 1 } \right \| \)이 성립한다. \( \left \|w ^ {\prime } + 1 \right \| ^ { 2 } \)과 \( \left \|w ^ {\prime } -1 \right \| ^ { 2 } \)을 전개하면 \[ \left \|w ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } + 2 \Re w ^ {\prime } + 1>\left \|w ^ {\prime } \right \| ^ { 2 } -2 \Re w ^ {\prime } + 1 \] 을 얻는데, \( \Re w ^ {\prime } >0 \)이므로 맞는 부등식이다. 따라서 \( z ^ {\prime } = \frac { w ^ {\prime } -1 } { w ^ {\prime } + 1 } \)은 원반 \( \|z\|<1 \) 안에 있으며, \[ T z ^ {\prime } = \frac { 1 + z ^ {\prime } } { 1-z ^ {\prime } } = \frac { 1 + \frac { w ^ {\prime } -1 } { w ^ {\prime } + 1 } } { 1- \frac { w ^ {\prime } -1 } { w ^ {\prime } + 1 } } = \frac { 2 w ^ {\prime } } { 2 } =w ^ {\prime } \] 이다.</p> <p \(0 \)이 아닌 복소수 \( z \)의 편각을 \( \vartheta \)가 \( [0,2 \pi) \)상에 있거나 없거나 관계없이 \[ z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \] 를 만족하는 \( \vartheta \)로 정의한다. 이때 \( \vartheta= \arg z \)로 쓴다. 다시 말하면, \[ \arg z= \vartheta \text { 는 } z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \text { 와 동치이다. } \] \( \arg z \)의 값을 구체적으로 선택함으로써 \( \arg z \)의 주값(principal value)[또는 \( z \)의 주편각] \( \operatorname { Arg } z \)를 정의할 수 있는데, 이를 구간 \( (- \pi, \pi] \)안에 있는 것으로 다음 등식을 만족하는 수 \( \vartheta_ { 0 } \)으로 정의한다. \[ z=\|z\| \left ( \cos \vartheta_ { 0 } + i \sin \vartheta_ { 0 } \right ) \] 그러면 \( \arg z= \operatorname { Arg } z + 2 n \pi(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \)로 나타낼 수 있고, \[ \arg (z w)= \arg z + \arg w \quad( \bmod 2 \pi) \] 로 쓸 수 있는데, 여기서 표현 \( ( \bmod 2 \pi) \)는 마지막 식의 양변이 \( 2 \pi \)의 적당한 배수만큼 차이가 있음을 뜻한다. 예를 들어, \( z=-1 + i \)이고 \( w=i \)라면 \( z w=-1-i \)이고 \( \arg (z w)=- \frac { 3 \pi } { 4 } \)이다. 그러나, \[ \operatorname { Arg } z + \operatorname { Arg } w= \frac { 3 \pi } { 4 } + \frac {\pi } { 2 } = \frac { 5 \pi } { 4 } =- \frac { 3 \pi } { 4 } + 2 \pi \] 이다.</p> <h2>1.1.3 벡터로서의 복소수</h2> <p>\( z=x + i y \)와 \( w=s + i t \)가 \(0 \)이 아닌 복소수라면 \[ \|z-w\|= \sqrt { (x-s) ^ { 2 } + (y-t) ^ { 2 } } \] 은 \( x y \)-평면의 점 \( P(x, y) \)에서 점 \( Q(s, t) \)까지의 거리이다. 더욱이, 합 \( z + w=(x + s) + i(y + t) \)와 차 \( z-w=(x-s) + i(y-t) \)는 벡터 \( \overrightarrow { O P } \)와 \( \overrightarrow { O Q } \)의 합과 차에 정확하게 대응한다[평행사변형법칙](그림 \(1.5 \)).</p> <p>[예제 \(1.14 \)] \( \Re z \leq 6 \)이 되는 모든 점 \( z \)의 집합은 열린 집합이 아니다.</p> <p>예제 \( 1.14 \)의 집합은 열려 있지 않다. 왜냐하면, 예를 들어, 점 \( w_ { 0 } =6 \)은 그 안에 있지만 \( w_ { 0 } \)에 중심을 둔 모든 열린 원반은 반지름을 얼마로 작게 하든지 \( \Re z>6 \)인 점 \( z \)를 포함하기 때문이다. 점 \( w_ { 0 } =6 \)은 집합의 가장자리에 있으므로 경계점이라 부른다. 그 곳에서는 집합의 여집합과도 만난다. 정확한 정의는 다음과 같다.</p> <p>\( S \)를 집합이라 하고 \( p \)를 점이라 하자. 점 \( p \)가 \( S \)의 내점도 외점도 아닐 때, 즉 \( p \)의 임의의 근방이 \( S \)의 점과 \( S \)에 있지 않은 점을 동시에 포함하면 점 \( p \)를 \( S \)의 경계점이라한다. \( S \)의 모든 경계점의 집합을 \( S \)의 경계라 부른다(그림 \(1.15 \)).</p> <p>[예제 \(1.15 \)] \( z_ { 0 } \)이 중심이고 반지름이 \( R \)인 열린 원반의 경계는 중심이 \( z_ { 0 } \)이고 반지름이 \( R \)인 원이다.</p> <p>[예제 \(1.16 \)] \( \Re z>0 \)인 점 \( z \)의 집합의 경계는 허축이다.</p> <p>[예제 \(1.17 \)] \( \| \Im z\|>1 \)인 모든 점 \( z \)의 집합의 경계는 \( \| \Im z\|=1 \)을 만족하는 모든 \( z \)의 집합이다.</p> <p>[예제 \(1.18 \)] \( x ^ { 2 }<y \)를 만족하는 모든 \( z=x + i y \)의 집합의 경계는 \( y=x ^ { 2 } \)이다.</p> <p>[예제 \(1.19 \)] \( \Re z \leq 6 \)을 만족하는 모든 \( z \)의 집합의 경계는 수직선 \( \Re z=6 \)이다.</p> <p>여러분들은 지금까지 위에서 논의한 열린 집합은 그들의 경계를 하나도 포함하지 않는다는 것을 살펴 보았다. 실제로 아래에 잘 정리를 하겠지만 이것은 기초적인 정리이다. 그러나, 반대 방향은 어떠하겠는가? 집합이 그의 경계를 포함하면 닫혔다(또는 닫힌 집합이라)고 말한다. \( D \)의 모든 점과 \( D \)의 모든 경계점으로 이루어진 닫힌 집합을 \( D \)의 폐포(closure)[또는 닫힘]라고 하고, \( \bar { D } \)라 쓴다. 예를 들어, 집합 \( \|z\| \leq 1 \)은 집합 \( \|z\|<1 \)의 폐포이다.</p> <p>이제 점 \( (a, b, 0) \)과 동일시된 구 위의 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , u_ { 1 } \right ) \)을 구해보자. 우선 세 점 \[ (0,0,1), \quad \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , u_ { 1 } \right ), \quad(a, b, 0) \] 이 일직선 위에 있음을 관찰하라. ( \(3 \)차원 공간에서 \(3 \)점을 지나는 직선의 방정식은 벡터의 성질을 이용해 쉽게 구할 수 있다.) 따라서 어떤 실수 \( t( \neq 0) \)에 대해 \[ \frac { x_ { 1 } } { a } = \frac { y_ { 1 } } { b } = \frac { u_ { 1 } -1 } { -1 } =t \] 가 성립한다. 그러나 \[ x_ { 1 } ^ { 2 } + y_ { 1 } ^ { 2 } + u_ { 1 } ^ { 2 } =(a t) ^ { 2 } + (b t) ^ { 2 } + (1-t) ^ { 2 } =1 \] 이므로 이를 \( t \)에 관해 풀면 다음과 같이 된다. \[ t= \frac { 2 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 1 } \] 식 ( \(1.8 \))에 의해 복소수 \( (a, b) \)는 결국 다음의 점과 동일시된다. \[ \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , u_ { 1 } \right )= \left ( \frac { 2 a } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 1 } , \frac { 2 b } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 1 } , \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } -1 } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 1 } \right ) \] 식 ( \(1.9 \))을 다시 쓰면, 복소수 \( z=x + i y \)는 구 위의 점 \[ \left ( \frac { 2 x } { \|z\| ^ { 2 } + 1 } , \frac { 2 y } { \|z\| ^ { 2 } + 1 } , \frac { \|z\| ^ { 2 } -1 } { \|z\| ^ { 2 } + 1 } \right ) \] 과 동일시 된다.</p> <p>월리스의 방법은 \( - \sqrt { -1 } \)이 \( \sqrt { -1 } \)가 같은 점에 의해 표현된다는 바람직하지 않은 결과를 갖는다. 그럼에도 불구하고, 이 설명으로 복소수를 “평면의 점”으로 생각하는 무대가 구성이 되었다. 1800년대에 이르러, 위대한 스위스 수학자 레오나르도 오일러(L. Euler, \( 1707-1783) \)는 방정식 \( x ^ { n } -1=0 \)에 대한 \( n \)개의 해와 관련하여 이 관점을 받아들였다. 이 해들은 \( \vartheta \)의 다양한 값에 대해 \( \cos \vartheta + \sqrt { -1 } \sin \vartheta \)로 표현될 수 있음을 곧 배우게 된다. 오일러는 이것들이 평면의 정다각형의 꼭지점에 위치한 것으로 생각하였다. 오일러는 또한 \( \sqrt { -1 } \) 에 대해 \( i \) 라는 기호를 처음으로 도입한 사람이다. 오늘날, 이 기호는 일부의 전기 기술자들이 \( i \)를 전류의 기호로 쓰기 위해 \( j \)라는 기호를 쓰기는 하지만, 가장 대중화된 것이다.</p> <p>아마도 복소수의 용인을 이끌어낸 가장 영향력있는 인물은 영리한 독일 수학자 카를 프리드릭 가우스(K. Gauss, \(1777 \)- \(1855 \))인데 그는 대수학의 기본정리의 몇 가지 증 명에서 복소수를 이용함으로써 복소수의 유용성을 강화하였다. \(1831 \)년 논문에서, 그는 \( x + i y \)를 좌표평면의 점 \( (x, y) \)와 일치화 시킴으로써 이 수의 분명한 기하학적 표현을 생성하였다. 그는 또한 이 수들이 어떻게 더해지고 곱해질 수 있는지를 서술하였다.</p> <p>\(1831 \)년은 복소수가 적법성을 얻은 해만은 아니라는 것에 유의할 필요가 있다. 같은 해에 다작의 논리학자 드 모르강(A. de Morgan, 1806-1871)은 자신의 책 「수학의 연구와 어려움에 대하여 \( \lrcorner( \) On the Study and Difficulties of Mathematics)에서 "기호 \( \sqrt { -a } \)는 의미가 없거나, 또는 약간은 자가 당착적이고 불합리하다는 것을 보았다. 그럼에도 불구하고, 그러한 기호들을 통해, 대단히 유용한 대수학의 일부가 성립되었다."라고 썼다. 확실히 하기 위해서, 드 모르강은 복소수의 사고가 관련된 몇 가지의 가능한 논리적인 문제를 제기하였다. 한편, 그 시대에 이 문제들에 대한 충분한 답들이 떠돌아 다녔다. 드 모르강은 자신이 이 책을 쓸 때에 가우스의 논문을 인지하지 못했지만, 다른 사람들은 일찍이는 1806 년에 가우스의 연구와 비슷한 연구를 했고, 앞의 인용은 "설익은 논리" 그 자체는 수학 사회가 새로운 사고를 받아들이도록 흔들기에는 "부족 하다"는 것을 보여준다. 분명히, 논리는 복소수의 사고를 받아들이는데 필요한 요소였지만 가우스, 오일러와 “충분한 권력"을 가진 다른 사람들에 의해 이 논리가 받아들여지는데도 또한 필요한 요소이었다. 더 많은 수학자들이 이 새로운 이론에 동의함에 따 라 이것에 대해 사회적으로 반기를 들기는 더 어려워졌다. 19세기 말에 복소수는 확고하게 자리를 잡았다. 따라서, 다른 새로운 수학적 또는 과학적 이론과 함께 복소수의 허용은 과학문화적 상호작용의 혼합을 가져왔다.</p> <p>결합법칙이 성립하므로 합 \( z_ { 1 } + z_ { 2 } + z_ { 3 } \) 또는 곱 \( z_ { 1 } z_ { 2 } z_ { 3 } \)는 실수에서와 마찬가지로 괄호없이 잘 정의된다.</p> <p>각각의 \( z=(x, y) \)는 덧셈에 관한 유일한 역원 \( -z=(-x,-y) \)를 가지는 데 이는 \( z + (-z)=0 \)이기 때문이다. 0이 아닌 \( z=(x, y) \)는 조건 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } >0 \)을 반드시 만족하고, 곱셈에 관한 유일한 역원은 \( (z) \left (z ^ { -1 } \right )=(1,0)=1 \)이므로 \[ z ^ { -1 } = \left ( \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } , \frac { -y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right ) \]<caption>(1.3)</caption>이다. \( z=0 \)이면 역원 \( z ^ { -1 } \)는 정의되지 않는다. \( z=0 \)이면 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =0 \)이고 이는 식 (1.3)에서 허용되지 않는다.</p> <p>이렇게 구성된 복소수의 수학적 체계는 체의 한 예이다. 복소수계 외에도 다른 여러 가지 체의 예가 있다. 예를 들어, 실수계 자체도 체를 이루고, 유리수도 그렇다. 복소수 \( (0,1) \)은 제곱이 -1인 중요한 성질을 가지고 있다. 즉 \( (0,1)(0,1)=(-1,0) \). 더욱이, \( (0,1) \)과 \( (0,-1) \)이 이러한 성질을 가진 두 복소수이다(연습문제를 보라). \( (0,1) \)을 기호 \( i \)로 놓는다. 그러면 모든 복소수는 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \begin {aligned} z=(x, y) &=(x, 0) + (0, y) \\ &=(x, 0) + (y, 0)(0,1) \\ &=(x, 0) + (y, 0) i \end {aligned} \] \( (a, 0) \)형의 복소수는 그들의 일반적인 산술법칙 \[ \begin {aligned} (a, 0) + (b, 0) &=(a + b, 0) \\ (a, 0)(b, 0) &=(a b, 0) \end {aligned} \] 을 만족하는 단순한 실수이고, 따라서 \( (a, 0) \)를 \( a \)와 동일시하는 것은 아주 자연스러운 것이다. 이에 따라 \[ z=(x, y)=(x, 0) + i(y, 0)=x + i y \] 로 표시할 수 있다. 이로써 \( \mathbb { C } \simeq \mathbb { R } \times \mathbb { R } = \mathbb { R } ^ { 2 } \)를 구성하였다.</p> <h2>1.4.4 무한급수</h2> <p>복소수 수열의 수렴성은 실수 수열의 수렴성과 거의 같기 때문에 복소수의 무한급수의 합에 관한 것도 실수의 무한급수의 합과 근본적으로 같다. \( z_ { 1 } , z_ { 2 } , \cdots \)를 복소수라 하고, 그것들의 \( n \)번째 부분합을 \[ S_ { n } = \sum_ { j=1 } ^ { n } z_ { j } =z_ { 1 } + z_ { 2 } + \cdots + z_ { n } , \quad n=1,2, \cdots \] 로 정의한다. 이제 수열 \( \left \{ S_ { n } \right \} \)의 행동을 살펴보자. 만일 \( \left \{ S_ { n } \right \} \)이 극한 \( S \)를 갖는다면, 무한급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \)는 수렴하고 합이 \( S \)이다. 이것을 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } =S \] 라 쓴다. 어떤 이유에서 수열 \( \left \{ S_ { n } \right \} \)이 극한을 갖지 않으면, 급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \)가 발산한다고 한다. 복소수의 무한급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \) 의 수렴(또는 발산)은 두 개의 실수의 무한급수의 수렴(또는 발산)에 의해 정립할 수 있다. \( z_ { j } =x_ { j } + i y_ { j } \) 로 씀으로 바로 알 수 있다. 즉, \[ S_ { n } = \sum_ { j=1 } ^ { n } z_ { j } = \sum_ { j=1 } ^ { n } x_ { j } + i \sum_ { j=1 } ^ { n } y_ { j } = \sigma_ { n } + i \tau_ { n } \] 앞서 말했듯이 수열 \( \left \{ S_ { n } \right \} \)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 실수의 수열 \( \left \{\sigma_ { n } \right \} \)과 \( \left \{\tau_ { n } \right \} \)이 동시에 수렴하는 것이고, 이때 \[ S= \lim S_ { n } = \lim \sigma_ { n } + i \lim \tau_ { n } \] 이 된다. 그러나, 두 수열 \( \left \{\sigma_ { n } \right \} \)과 \( \left \{\tau_ { n } \right \} \)의 수렴은 두 무한급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } x_ { j } \)와 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } y_ { j } \)가 모두 수렴함을 뜻한다. 따라서 다음의 결과를 얻는다: \( z_ { j } =x_ { j } + i y_ { j } (j=1,2,3, \cdots) \)라면, 무한급수 \( \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } \left (z_ { j } =x_ { j } + i y_ { j } \right ) \)가 수렴하는 필요충분조건은 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } x_ { j } \text { 와 } \sum_ { j=1 } ^ {\infty } y_ { j } \] 가 모두 수렴하는 것이다. 더욱이 \( \sum z_ { j } \)가 수렴하면 \[ \sum_ { j=1 } ^ {\infty } z_ { j } = \sum_ { j=1 } ^ {\infty } x_ { j } + i \sum_ { j=1 } ^ {\infty } y_ { j } \] 이다.</p> <p>열린 연결집합을 영역이라 부른다. 예를 들어, 위반평면 \( \mathbb { H } = \{ z \mid \Re z>0 \} \)은 영역이다. 열린 단위원반 \( \Delta= \{ z\|\| z \mid<1 \} \)도 또한 영역이다. 그러나 닫힌 단위원반 \( \|z\| \leq 1 \)은 영역이 아니다. 영역은 해석함수와 조화함수의 연구를 위한 자연적인 구성이다. 집합 \( S \) 안에 있는 각각의 점의 쌍 \( p, q \)를 연결하는 선분 \( p q \)가 \( S \)안에 다시 머문다면 이 집합 \( S \)를 볼록집합이라 한다. 특히, 볼록하고 열린 집합은 연결되어 있다는 것은 분명해진다(그림 \(1.18 \)).</p> <p>주의 : 영역에 그것의 약간의 혹은 모든 경계점을 포함하는 집합을 구역이라 하겠다. 예를 들어, 수평띠 \( \{ z \mid 1< \Im z<2 \} \)는 영역이지만 \( \{ z \mid 1< \Im z \leq 2 \} \)는 구역이다. 특히 영역과 그것의 경계의 합으로 이루어진 집합을 닫힌 영역이라 한다. 즉 반평면 \( \{ z \mid x \leq y \} \)는 닫힌 영역이다. 영역에서는 성립되지만 구역에서는 성립하지 않는 성질이 있으므로 주의를 기울일 필요가 있겠다.</p> <p>[예제 \(1.27 \)] 각각의 열린 원반은 볼록집합이다.</p> <p>[예제 \(1.28 \)] \( x ^ { 2 } >y \)인 \( z=x + i y \)들의 집합은 볼록집합이 아니다.</p> <p>[예제 \(1.29 \)] 두 집합 \( \Re z>0 \)과 \( \Re z \leq 6 \)인 \( z \)들의 모임은 볼록집합이다. 열린 반평면은 직선의 절대적인 한쪽에 있는 점들 즉, 예를 들어 \( \Re(a z + b)>0 \)을 만족하는 점 \( z \)들—로 정의된다. 각각의 열린 반평면은 볼록집합이고 또한 열린 집합이다(그림 \(1.19 \)).</p> <p>닫힌 반평면은 열린 반평면에 정의된 직선을 합한 것이다. 즉, \( \Re(a z + b) \geq 0 \)인 점 \( z \)들의 집합이다. 각각의 닫힌 반평면은 볼록집합이며 동시에 닫혀있다.</p> <p>'왜 각각의 반평면이 (열렸거나 닫혔거나) 볼록인가?' 하는 것을 알아 보는 것은 유익하다. \( p \)와 \( q \)를 두 점이라 하면 \( p \)에서 \( q \)까지의 선분을 다음과 같이 나타낼 수 있다(연습문제 \( 1.2 \)의 15 \() \). \[ t q + (1-t) p, \quad 0 \leq t \leq 1 \] \( p \)와 \( q \)가 \( \Re(a z + b)>0 \)으로 주어진 열린 반평면의 점이라면, \[ \Re(a(t q + (1-t) p) + b)=t \Re(a q + b) + (1-t) \Re(a p + b)>0 \] 이고, 따라서 \( p \)에서 \( q \)까지의 선분은 같은 열린 반평면 안에 있다. 닫힌 반평면의 경우도 거의 같다.</p> <p>적당한 양의 정수 \( m \)에 대해, 식 \[ ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) ^ { m } = \cos m \vartheta + i \sin m \vartheta \] 가 성립한다고 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) ^ { m + 1 } &=( \cos \vartheta + \sin \vartheta) ^ { m } ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \\ &=( \cos m \vartheta + i \sin m \vartheta)( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \\ &= \cos (m + 1) \vartheta + i \sin (m + 1) \vartheta \end {aligned} \] 가 된다. 따라서 \( m \)에 대해 등식이 성립하면 \( m + 1 \)에 대해서도 성립한다. 이 식은 \( n=1 \)일 때 성립하므로 모든 양의 정수 \( n \)에 대해 성립하게 된다.</p> <p>[예제 \(1.4 \)] \( \vartheta= \frac {\pi } { 4 } \)라 하면 \( \cos \vartheta= \sin \vartheta= \frac {\sqrt { } 2 } { 2 } \)이다. 그러므로, \[ \left ( \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } + i \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \right ) ^ { 4 } = \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right ) ^ { 4 } = \cos \pi + i \sin \pi=-1 \] 이 된다.</p> <p>[예제 \(1.5 \)] 드 무아브르의 공식 \( (1.2) \)는 \( \cos n \vartheta \)와 \( \sin n \vartheta \)에 대한 삼각함수 등식을 유도하는데 사용될 수 있다. 예를 들어, 세제곱에 의해 \[ \begin {aligned} ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) ^ { 3 } &= \cos ^ { 3 } \vartheta + 3 i \cos ^ { 2 } \vartheta \sin \vartheta-3 \cos \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta-i \sin ^ { 3 } \vartheta \\ &= \left ( \cos ^ { 3 } \vartheta-3 \cos \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta \right ) + i \left (3 \cos ^ { 2 } \vartheta \sin \vartheta- \sin ^ { 3 } \vartheta \right ) \end {aligned} \] 그런데 드 무아브르 공식에 의하면 \( ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) ^ { 3 } = \cos 3 \vartheta + i \sin 3 \vartheta \)이고, 실부와 허부를 비교하면 \[ \begin {array} { l } \cos 3 \vartheta= \cos ^ { 3 } \vartheta-3 \cos \vartheta \sin ^ { 2 } \vartheta=4 \cos ^ { 3 } \vartheta-3 \cos \vartheta \\ \sin 3 \vartheta=3 \cos ^ { 2 } \vartheta \sin \vartheta- \sin ^ { 3 } \vartheta=3 \sin \vartheta-4 \sin ^ { 3 } \vartheta \end {array} \] 가 된다. 비슷한 공식이 \( \cos 4 \vartheta, \sin 4 \vartheta, \cos 5 \vartheta \)등에 대해서도 유도될 수 있다(연습문제 \(23) \).</p> <p>\(23 \). \( u \)가 영역 \( D \)에서 연속인 함수라 하자. \( u \)가 다음 성질을 가졌다고 가정하자. "각각의 점 \( z \in D \)에 대해 \( u \)가 상수가 되는 \( p \)에 중심을 둔 원반이 존재한다." \( u \)가 \( D \) 전체에서 상수임을 보여라. \( D \)가 영역임을 이용해야 할 것이다.</p> <p>\(24 \). 함수 \( f(z)= \frac { 1 } { z } \)은 영역 \( 0<\|z\|<1 \)에서 연속이지만 균등연속은 아님을 보여라. 또한 균등연속이 될 수 있는 일반적인 영역을 구하라.</p> <p>\(25 \). \( D= \{ z:\|z\|<1 \} \)일 때 \( f(z)= \frac { 1 } { 1-z } \)은 \( D \)에서 균등연속이 아님을 증명하라.</p> <p>\( D \)의 열린 집합족 \( \left \{ O_ {\alpha } \right \} \)에 대해 \( D \subset \bigcup_ {\alpha } \)이면 \( \left \{ O_ {\alpha } \right \} \)를 \( D \) 의 열린 피복이라 한다. 특히 \( D \)의 모든 열린 피복이 유한부분피복을 포함하면 \( D \)를 컴팩트 집합이라한다. 다음을 증명하라.</p> <p>\(26 \). D가 평면의 부분집합일 때 다음은 동치이다. (i)과 (ⅱ)의 동치를 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)라 한다.<ol type=i start=1><li>\( D \)는 닫힌 집합이고 유계이다.</li> <li>\( D \)는 컴팩트이다.</li> <li>\( D \)의 모든 무한 부분집합은 \( D \)에서 극한점을 갖는다.</li> <li>\( D \)의 모든 수열이 \( D \)의 점으로 수렴하는 부분수열을 갖는다.</li></ol></p> <p>\(27 \). \( w=f(z) \)는 컴팩트 집합 \( K \)에서 \( f(K) \)로의 연속이고 \( 1-1 \)인 함수라 하자. \( z=f ^ { -1 } (w) \)는 연속임을 보여라.</p> <p>\(28 \). \( K \)를 컴팩트 집합이라 하고 \( z \)를 복소평면의 임의의 점이라 하자. \( \varrho(z) \)를 \( z \)에서 \( K \)까지의 최소거리라 할 때 \( (z \)가 \( K \)안에 있으면 \( \varrho(z)=0 \)이다 \( ), \varrho(z) \)는 \( z \)의 연속함수이다.</p> <p>\(1.4.4 \)절</p> <p>\(1~4 \). 주어진 무한급수가 수렴하는지 발산하는지 결정하라.</p> <p>\(1 \).<ol type=a start=1><li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 + 2 i } {\sqrt { 6 } } \right ) ^ { n } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n \left ( \frac { 1 } { 2 i } \right ) ^ { n } \)</li> <li>\( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 2 + i } {\sqrt { 5 } } \right ) ^ { n } \)</li></ol></p> <p>[정리 \(1.9 \)] \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \)를 \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } \)의 제거된 근방에서 정의된 복소함수라 하자. \( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=w_ { 0 } =u_ { 0 } + i v_ { 0 } \)일 필요충분조건은 \[ \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } u \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=u_ { 0 } \text { 이고 } \quad \lim _ { (x, y) \rightarrow \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) } v \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right )=v_ { 0 } \] 인 것이다.</p> <p>[예제 \(1.50 \)] \( m=1,2, \cdots \)이면 \( \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { 1 } { z ^ { m } } =0 \)이다.</p> <p>[예제 \(1.51 \)] \( \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { z ^ { 4 } + 1 } { z ^ { 4 } + 5 z ^ { 2 } + 3 } =1 \)인데, 이는 상을 다음과 같이 고쳐 쓸 수 있으므로, \( \|z\| \rightarrow \infty \)일 때 \(1 \)을 제외한 모든 항이 \(0 \)으로 가기 때문이다. \[ \frac { 1 + \frac { 1 } { z ^ { 4 } } } { 1 + \frac { 5 } { z ^ { 2 } } + \frac { 3 } { z ^ { 4 } } } \]</p> <p>[예제 \(1.52 \)] \( \lim _ { z \rightarrow \infty } \frac { x + y ^ { 3 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 3 } } \)은 존재하지 않는다. 다음과 같이 증명할 수 있다. \( z=x \)라 하면 주어진 식은 \(0 \)으로 간다. 그러나 \( z=i y \)로 택하면 식은 \(1 \)로 간다.</p> <p>증명 증명은 연습문제로 남기겠다.</p> <p>정의 \( 1.7 \)에 따르면 다음을 얻는다.</p> <p>[정리 \(1.12 \)] \( f(z) \)가 \( z_ { 0 } \)에서 연속이고 \(0 \)이 아니라면, \( z_ { 0 } \)의 어떤 근방에서 \( f(z) \neq 0 \)이다.</p> <p>증명 \( f \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \)일 때 부등식 ( \(1.7 \))에서 \( \varepsilon= \frac {\left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 2 } \)이라 하면 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \frac {\left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 2 } \] 인 양수 \( \delta \)가 존재한다. 따라서 근방 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \)의 점 \( z \)에서 \( f(z)=0 \)이라면, \( \left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \frac {\left \|f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| } { 2 } \)이고 이는 모순이다.</p> <p>위의 따름정리 \( 1.1 \)은 \( a_ { 0 } , a_ { 1 } , \ldots, a_ { n } \)이 복소수일 때 다음 다항식 \[ p(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + \cdots + a_ { n } z ^ { n } \] 이 복소평면에서 연속임을 말해준다. 나아가 \( p \)와 \( q \)가 두 다항식이라면 상 \( r= \frac { p } { q } \)도 \( q(z) \neq 0 \)이 아닌 모든 점에서 연속이다. 두 다항식의 비를 유리함수라 한다.</p> <p>모든 복소함수 \( f \)는 \( u \)와 \( v \)가 실함수라면 \( f=u + i v \)로 쓸 수 있고 이때 \( u(z)= \Re f(z), v(z)= \Im f(z) \) 이다. 이와 같은 방법에 의해 \( f \)의 극한, 연속성 등에 관한 서술은 \( u \)와 \( v \)에 관한 서술로 바꿀 수 있다. 예를 들어 \( f \)가 \( z_ { 0 } \)에서 연속이기 위한 필요충분조건은 \( u \)와 \( v \)가 \( z_ { 0 } \)에서 연속인 것이다.</p> <p>[예제 \(1.7 \)] \( i + 1 \)의 \(5 \)제곱근을 구하라.</p> <p>풀이 \( i + 1 \)의 극형식은 \[ 1 + i= \sqrt { 2 } \left ( \cos \frac {\pi } { 4 } + i \sin \frac {\pi } { 4 } \right ) \] 이므로 \( 1 + i \)의 모든 \(5 \)제곱근의 절대값은 \( 2 \frac { 1 } { 10 } \fallingdotseq 1.0717 \)이다. 해 중의 한 개는 편각이 \( \frac {\pi } { 20 } \)이고, 다른 것들은 \( \frac {\pi } { 20 } + \frac { 2 \pi } { 5 } , \frac {\pi } { 20 } + \frac { 4 \pi } { 5 } , \frac {\pi } { 20 } + \frac { 6 \pi } { 5 } \)와 \( \frac {\pi } { 20 } + \frac { 8 \pi } { 5 } \)의 편각을 가지고 있다(그림 \(1.9 \)).</p> <p>[예제 \(1.8 \)] \( z ^ { 4 } -4 z ^ { 2 } + 4-2 i=0 \)을 풀어라.</p> <p>풀이 위의 방정식은 \[ z ^ { 4 } -4 z ^ { 2 } + 4=2 i \] 또는 \[ \left (z ^ { 2 } -2 \right ) ^ { 2 } =(1 + i) ^ { 2 } \] 으로 고쳐 쓸 수 있다. 이것은 해 \[ z ^ { 2 } -2= \left \{\begin {array} { r } 1 + i \\ -1-i \end {array} \right . \] 를 갖는다. 이것은 \[ z ^ { 2 } = \left \{\begin {array} { l } 3 + i \\ 1-i \end {array} \right . \] 와 동치이고 위의 것을 풀면 원 방정식에 대한 네 개의 해를 구할 수 있다. 이들은 \[ \begin {aligned} z_ { 1 } &=10 ^ {\frac { 1 } { 4 } } \left ( \cos \vartheta_ { 0 } + i \sin \vartheta_ { 0 } \right ), \\ z_ { 2 } &=-10 ^ {\frac { 1 } { 4 } } \left ( \cos \vartheta_ { 0 } + i \sin \vartheta_ { 0 } \right ), \quad \vartheta_ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \arctan \frac { 1 } { 3 } \end {aligned} \] 과 \[ \begin {aligned} z_ { 3 } &= \sqrt { 2 ^ {\frac { 1 } { 2 } } } \left ( \cos \vartheta_ { 1 } + i \sin \vartheta_ { 1 } \right ) \\ z_ { 4 } &=- \sqrt { 2 } ^ {\frac { 1 } { 2 } } \left ( \cos \vartheta_ { 1 } + i \sin \vartheta_ { 1 } \right ), \quad \vartheta_ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \arctan (-1)=- \frac {\pi } { 8 } \end {aligned} \] 이다.</p> <p>더욱이, \( B \neq 0 \)이면 수열 \( \left \{\frac { z_ { n } } { w_ { n } } \right \} \)은 \( \frac { A } { B } \)로 수렴한다.</p> <p>증명 각 결과의 증명은 간단하다. 예를 들어, \( z_ { n } w_ { n } \rightarrow A B \)임을 보이기 위해 \[ z_ { n } w_ { n } -A B= \left (z_ { n } -A \right ) B + \left (w_ { n } -B \right ) z_ { n } \] 이라 놓자. \( N_ { 1 } \)과 \( N_ { 2 } \)를 각각 \( n \geq N_ { 1 } \)이면 \( \left \|z_ { n } -A \right \|< \varepsilon ^ {\prime } \)이 되고 \( n \geq N_ { 2 } \)이면 \( \mid w_ { n } - B \mid< \varepsilon ^ {\prime } \)이 되는 아주 큰 수로 잡자. 그러면, \( \varepsilon ^ {\prime }<1 \)이면 \[ \left \|z_ { n } \right \| \leq \varepsilon ^ {\prime } + \|A\|<1 + \|A\| \] 이다. 또 \( n \geq N=N_ { 1 } + N_ { 2 } \)에 대해, \[ \begin {aligned} \left \|z_ { n } w_ { n } -A B \right \| & \leq \left \|z_ { n } -A \right \|\|B\| + \left \|w_ { n } -B \right \| \left \|z_ { n } \right \| \\ &< \varepsilon ^ {\prime } \|B\| + \varepsilon ^ {\prime } (1 + \|A\|) \\ &= \varepsilon ^ {\prime } (1 + \|A\| + \|B\|) \\ &< \varepsilon \end {aligned} \] 이 된다. 여기서 \( \varepsilon ^ {\prime } \)은 \( \varepsilon ^ {\prime } (1 + \|A\| + \|B\|)< \varepsilon \)을 만족하도록 선택한다.</p> <p>[예제 1.43] 수열 \( z_ { n } =1 + i \left (1- \frac { 2 } { n } \right ) \)는 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( 1 + i \)로 수렴한다. 따라서 수열 \[ z_ { n } ^ { 2 } = \frac { 4 } { n } - \frac { 4 } { n ^ { 2 } } + i \left (2- \frac { 4 } { n } \right ) \] 는 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( 2 i=(1 + i) ^ { 2 } \)으로 수렴한다.</p> <p>따라서 위의 논의는 본질적으로 복소수열의 많은 성질이 실수열의 그 대응 성질로부터 추론될 수 있음을 보여준다. 예를 들어, 극한의 유일성이 실수열의 극한의 유일성으로부터 유도될 수 있다.</p> <p>[예제 \(1.38 \)] 수열 \( z_ { n } =1 + \frac { i } { n } \)는 \(1 \)로 수렴한다.</p> <p>[예제 \(1.39 \)] 수열 \( z_ { n } = \left (- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { n } + i \left (1- \frac { 1 } { 2 n } \right ) \)은 \( i \)로 수렴한다.</p> <p>[예제 \(1.40 \)] 수열 \( z_ { n } = \frac { 1 } { n } \left ( \cos \frac { n \pi } { 4 } + i \sin \frac { n \pi } { 4 } \right ) \)는 \(0 \)으로 수렴한다.</p> <p>[예제 \(1.41 \)] 수열 \( z_ { n } =n- \frac { 1 } { n } \)은 발산한다.</p> <p>[예제 \(1.42 \)] 수열 \( z_ { n } =i ^ { n } \) 은 각 항이 \( i,-1,-i, 1 \) 의 순으로 반복되기 때문에 발산한 다.</p> <p>\( z_ { n } \rightarrow A \)이면 \( \quad \left \|z_ { n } \right \| \rightarrow\|A\| \)인 것은 수렴의 정의의 하나의 간단한 결과이다. 이 주장의 역은 일반적으로 옳지 않다. 예를 들어, \( \left \|(-1) ^ { n } + \frac { i } { n } \right \| \rightarrow 1 \)이지만 수열 \( \left \{ (-1) ^ { n } + \frac { i } { n } \right \} \)은 극한이 없다.</p> <p>수렴수열은 그의 극한의 근처에 항들을 밀집시키기 때문에 다음 정리는 아주 자연스러운 것이다.</p> <p>[정리 \(1.2 \)] 수렴수열은 유계이다.</p> <p>증명 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z_ { n } =z_ { 0 } \)이면 \( n>N \)일 때 \( z_ { n } \in N \left (z_ { 0 } , 1 \right ) \)이다. \[ M= \max \left \{\left \|z_ { 1 } \right \|, \left \|z_ { 2 } \right \|, \cdots, \left \|z_ { N } \right \| \right \} \] 이라 하면 모든 \( n \)에 대해 \( \left \|z_ { n } \right \|<M + \left \|z_ { 0 } \right \| + 1 \)이다.</p> <h2>1.2.3 복소수에 의한 직선과 원의 표현</h2> <p>(실축에 수직이 아닌) 직선의 방정식 \( y=m x + b(m \)과 \( b \)는 실수 \() \)는 \[ 0= \Re((m + i) z + b) \] 로 표현할 수 있다. 더 일반적으로, \( a=A + i B \)가 \(0 \)이 아닌 복소수이고 \( b \)가 임의의 복소수(단지 실수만은 아닌)라 하면 \[ 0= \Re(a z + b) \] 는 정확히 직선 \( A x-B y + \Re(b)=0 \)이다. 이 표현은 또한 수직선 \( x= \Re z= \) 상수를 포함한다(그림 \(1.10 \)).</p> <p>원은 주어진 점, 중심에서 같은 거리에 있는 모든 점의 집합이다. \( z_ { 0 } \)이 중심이고 \( r \)이 반지름이라면, 원의 방정식은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r \)로 표현된다. 그러나 원을 표현하기 위하여 복소수를 사용하는 다른 방법들이 있다. \( p \)와 \( q \)가 서로 다른 복소수라 하면, \[ \|z-p\|=\|z-q\| \]를 만족하는 복소수 \( z \)는 \( p \)와 \( q \)로부터 같은 거리에 있다. 이 점들의 위치는 정확히 \( p \)와 \( q \)를 연결하는 선분의 수직이등분선인 직선이다. 그러나, \( \varrho \)가 \(1 \)이 아닌 양의 실수라면, \[ \|z-p\|= \varrho\|z-q\| \] 를 만족하는 복소수 \( z \)들은 원을 이룬다. 이것을 보려면, \( 0< \varrho<1 \)이라(그렇지 않다면 방정식의 양변을 \( \varrho \)로 나눈다) 가정하자. \( z=w + q, c=p-q \)라 놓자. 그러면 위의 식은 \[ \|w-c\|= \varrho\|w\| \] 가 된다. 양변을 제곱하고 한쪽으로 옮겨 정리하면, \[ \|w\| ^ { 2 } \left (1- \varrho ^ { 2 } \right )-2 \Re w \bar { c } + \|c\| ^ { 2 } =0 \] 로 쓸 수 있다. 왼쪽 항의 제곱형을 완성하면 \[ \left (1- \varrho ^ { 2 } \right )\|w\| ^ { 2 } -2 \Re w \bar { c } + \frac { \|c\| ^ { 2 } } { 1- \varrho ^ { 2 } } = \frac { \|c\| ^ { 2 } \varrho ^ { 2 } } { 1- \varrho ^ { 2 } } \] 이 된다. 이와 동치로 \[ \left \|w- \frac { c } { 1- \varrho ^ { 2 } } \right \|=\|c\| \frac {\varrho } { 1- \varrho ^ { 2 } } \] 를 얻는다. 따라서 \( w \)는 중심이 \( \frac { c } { 1- \varrho ^ { 2 } } \)이고 반지름이 \( R= \frac { \|c\| \varrho } { 1- \varrho ^ { 2 } } \)인 원을 만든다. 그러므로 \( z \)는 같은 반지름 \( R \)을 갖고 중심이 \[ z_ { 0 } = \frac { p- \varrho ^ { 2 } q } { 1- \varrho ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 1- \varrho ^ { 2 } } p- \frac {\varrho ^ { 2 } } { 1- \varrho ^ { 2 } } q \] 인 원을 형성한다.</p> <p>\( \log z \)의 연속성을 살피기 위해서 원점에서 시작하는 반직선(예를 들어 음의 실축)을 평면으로부터 제거하고 나머지 영역을 \( D \)라 한다. \( z_ { 0 } \)을 \( D \)의 임의의 점이라 하고 \( \arg z_ { 0 } \)에 대한 임의의 값을 고정시키자. 이를테면 \( \arg z_ { 0 } = \vartheta_ { 0 } \). 그러면 \( D \) 안에 \( \log z \)의 분지를 \( \log z= \ln \|z\| + i \arg z \)의 법칙에 의해 정의한다. 여기에서 \( \log z_ { 0 } = \ln \left \|z_ { 0 } \right \| + i \vartheta_ { 0 } \)라는 성질을 더한다. 그러면 \( D \)안에서 \( \arg z \)의 값들은 길이가 \( 2 \pi \)인 유일하게 결정된 열린 구간에 있게 된다. 이 구간은 \( \vartheta_ { 0 } \)를 포함하고, \( \arg z \)는 이 규정 안에서 연속이다. 함수 \( \ln \|z\| \)도 \( D \)안에서 연속이다. 따라서 특별한 선택 \( \arg z_ { 0 } = \vartheta_ { 0 } \)에 의해 결정된 \( \log \)의 분지도 \( D \)에서 연속이다. 예를 들어 양이 아닌 실축을 제거하고(그림 \(1.26 \)), \( z_ { 0 } =1 + i, \vartheta_ { 0 } = \frac { 9 } { 4 } \pi \)를 택하면, 그렇게 결정된 \( \log z \)의 분지는 구간 \( ( \pi, 3 \pi) \)를 \( \arg z \)로 갖는다. 분명히 \( D \)안에 \( \log z \)의 수많은 가능한 분지가 있고, 그 각각은 연속이다.</p> <p>식 ( \(1.10 \))에 의해 우리는 로그함수의 몇몇 사상성질을 쉽게 결정할 수 있다. 함수 \( w= \log z \)에 대해 원 \( \|z\|=r \)의 상은 선분 \( u= \log r, \quad- \pi<v \leq \pi \)이다(그림 \(1.27 \)). 또 반직선 \( \operatorname { Arg } z= \vartheta \)는 직선 \( v= \vartheta \)로 사상된다(그림 \(1.28 \)).</p> <h2>1.5.3 복소지수</h2> <p>\( \log z \)의 정의를 이용하면 \( 1.2 \)절에서 시작한 해의 논의를 마감할 수 있다. \(0 \)이 아닌 복소수 \( a \)에 대해 \( a ^ { z } \)와 \( z ^ { a } \) 를 \[ a ^ { z } =e ^ { z \log a } \text { 와 } \quad z ^ { a } =e ^ { a \log z } \] 으로 정의한다. 이 결과는 \( \log a \)나 \( \log z \)의 정의와 성질에 의존하는 여러가지 성질을 갖는다. 그러나 \( a \)와 \( z \)가 양이고 실수이면 보통의 정의와 일치한다.</p> <p>이 발전은 결국 허수의 허용에 대단한 자극이 되었다. 물론 음수의 해는 \( x ^ { 2 } + 1=0 \)과 같은 가장 간단한 \(2 \)차 방정식에서 일찍 나타났다. 그러나 오늘날 \( x= \pm \sqrt { -1 } \)과 같은 해는 수학자가 무시하기 쉬웠다. 카르다노의 시대에는 음수는 아직 약간의 의혹을 가지고 취급되었고, 따라서 그것의 제곱근을 취하는 것은 더욱 그러하였다. 비록 이 개념을 다루려는 몇 가지 시도를 하였지만, 카르다노 자신은 어느 순간에 \( \sqrt { -1 } \)과 같은 양은 "미묘해서 소용이 없다"고 말했다. 다른 많은 수학자들도 이 관점을 지니고 있었다. 그러나, 봄벨리(R. Bombelli)는 \(1572 \)년 책 「대수학」(Algebra)에서 음수의 제곱근은 상당한 유용성을 가졌다는 것을 보였다. 간단한 저하 \(3 \)차 방정식 \( x ^ { 3 } -15 x-4=0 \)을 생 각해 보자. “페로-타르탈리아”의 공식 (1.4)에서 \( b=-1 \)과 \( c=-4 \)로 놓으면 \( x \)에 대한 한 가지 해는 \[ x= \sqrt[3] { 2 + \sqrt { -121 } } - \sqrt[3] { -2 + \sqrt { -121 } } \] 임을 알 수 있다.</p> <p>봄벨리는 '앞의 방정식에서 \( x \)의 두 부분을 적당한 수 \( u \)와 \( v \)에 대해 \( u + v \sqrt { -1 } \)과 \( -u + v \sqrt { -1 } \)의 형태로 쓸 수 있지 않을까?'라고 의문을 가졌다. 실제로, 잘 알려진 등식 \( (a + b) ^ { 3 } =a ^ { 3 } + 3 a ^ { 2 } b + 3 a b ^ { 2 } + b ^ { 3 } \)을 이용하고 음수의 제곱근은 대수의 일반적인 법칙을 만족한다는 것을 무의식적으로 가정하면, \[ \begin {aligned} (2 + \sqrt { -1 } ) ^ { 3 } &=2 ^ { 3 } + 3 \left (2 ^ { 2 } \right ) \sqrt { -1 } + 3(2)( \sqrt { -1 } ) ^ { 2 } + ( \sqrt { -1 } ) ^ { 3 } \\ &=8 + 12 \sqrt { -1 } -6- \sqrt { -1 } \\ &=2 + 11 \sqrt { -1 } \\ &=2 + \sqrt { -121 } \end {aligned} \] 가 됨을 알 수 있다. 봄벨리는 \( (2 + \sqrt { -1 } ) ^ { 3 } =2 + \sqrt { -121 } \)이라면, \( 2 + \sqrt { -1 } = \) \( \sqrt[3] { 2 + \sqrt { -121 } } \)이어야 한다고 주장했다. 비슷하게 \( -2 + \sqrt { -1 } = \sqrt[3] { -2 + \sqrt { -121 } } \)임을 보였다. 그러면 \[ \sqrt[3] { 2 + \sqrt { -121 } } - \sqrt[3] { -2 + \sqrt { -121 } } =(2 + \sqrt { -1 } )-(-2 + \sqrt { -1 } )=4 \] 를 얻고, 이것은 상당한 충격이었다. 지금까지 허수가 \(2 \)차 방정식에 대한 해로 나타날 때에 수학자는 허수를 쉽게 다룰 수 있었다. 그러나 \(3 \)차 방정식에서는 이러한 사치를 부릴 수 없었다. \( x=4 \)가 방정식 \( x ^ { 3 } -15 x-4=0 \)의 올바른 해가 된다는 것은 바로 확인할 수 있으므로 이견이 없다. 그러나, 진짜 해에 도달하기 위해서는 “허수"의 미지의 영역으로 우회해야만 했다. 따라서, 이 수에 대해 뭐라고 말하든 간에(오늘날에는 복소수라 부른다), 그것의 유용성은 더 이상 무시될 수 없었다.</p> <p>띠 \( 0 \leq x \leq \frac {\pi } { 2 } \)와 \( 0 \leq y< \infty \) 위에서 \( f(z)= \sin z \)의 치역을 구해보자. 먼저 \[ \Re( \sin z)= \sin x \cosh y \geq 0 \] \[ \Im( \sin z)= \cos x \sinh y \geq 0 \] 이므로 \( \sin z \)의 값은 제 \(1 \)사분면에 있다(그림 \(1.30 \)). 다음에 \( x=0,0 \leq y< \infty \)로 이루어진 반직선에서는 \[ \sin (i y)=i \sinh y= \frac { i } { 2 } \left (e ^ { y } -e ^ { -y } \right ) \] 이다.</p> <p>\( y=0 \)이면, \( \sinh (y)=0 \)이고 \( \sinh (y) \)는 (미분값이 양이므로) 증가한다. 따라서, \( y \)가 \(0 \)에서 \( \infty \)까지 증가하면 \( \sin (i y) \)는 \( 0 \leq \beta< \infty \)인 모든 값 \( i \beta \)를 취한다. 다음에, \( x \)가 \(0 \)에서 \( \frac {\pi } { 2 } \)까지 증가함에 따라 \( \sin x \)는 \(0 \)에서 \(1 \)까지 움직인다. 마지막으로 \[ \sin \left ( \frac {\pi } { 2 } + i y \right )= \cosh y \] 이고 \( y \)가 \(0 \)에서 \( \infty \)까지 움직일 때 이 값은 \(1 \)에서 \( \infty \)로 증가한다. 따라서 띠 \( 0 \leq x \leq \frac {\pi } { 2 } \), \( 0 \leq y< \infty \)의 경계는 \( \sin z \)에 의해 \(1 \)사분면의 경계로 사상된다(그림 \(1.30 \)). 이제 내 부는 내부로 사상됨을 보이자. 사상이 단사임은 이미 알고 있다. \( \sin z=w= \sigma + i \tau \)로 쓰자. 수직성분 \( z=x_ { 0 } + i y(y \geq 0) \)는 쌍곡선 \[ \frac {\sigma ^ { 2 } } {\left ( \sin x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } - \frac {\tau ^ { 2 } } {\left ( \cos x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } =1 \] 의 \(1 \)사분면에 있는 부분 위로 사상된다. 이것은 방정식 \[ \sin z=a + i b, \quad a, b: \text { 양수 } \] 를 어떻게 풀 수 있는가를 제공한다. 처음에 점 \( a + i b \)를 \( w= \sigma + i \tau \)가 \[ \frac {\sigma ^ { 2 } } {\left ( \sin x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } - \frac {\tau ^ { 2 } } {\left ( \cos x_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } =1 \] 을 만족하는 쌍곡선 위에 있도록 \( x \)를 선택하고, \( a= \sin x \cos y \)와 \( b= \cos x \sin y \)를 만족하도록 \( y \)를 잡는다. 결과적으로, 함수 \( f(z)= \sin z \)는 \( 0 \leq x \leq \frac {\pi } { 2 } , 0 \leq y< \infty( \) 반 무한띠)를 \( 1-1 \) 형태로 1 사분면 전체 위로 사상한다. 이 때 띠의 경계는 1 사분면의 경계 위로 사상된다. 이와 같은 정보, 특히 이 사상은 경계치 문제와 유동의 해를 구하는 데 매우 중요하다. 마지막으로 \( \sin (- \bar { z } )=- \overline {\sin z } ( \) 연습문제 \(15,22 \) 참조)이기 때문에 함수 \( f(z)= \sin z \)는 반무한띠 \( \left \{ - \frac {\pi } { 2 }<x< \frac {\pi } { 2 } , y>0 \right \} \)을 위반평면 \( \{ w=s + i t: \) \( - \infty<s< \infty, t>0 \} \)으로 전단사한다.</p> <p>[예제 \(1.67 \)] \( i ^ { i } \)의 모든 값을 구하고 그들이 모두 실수임을 보여라.</p> <p>풀이 복소지수의 정의로부터 구하자. \[ i ^ { i } =e ^ { i \log i } =e ^ { i \left [i \left ( \frac {\pi } { 2 } + 2 k \pi \right ) \right ] } =e ^ { - \left [ \frac {\pi } { 2 } + 2 k \pi \right ] } , \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \] 여기서 관심을 끄는 것은 두 순허수로부터 시작하여 순실수의 무한집합을 얻었다는 것 이다. 이 결과는 \(1746 \)년경에 오일러(Euler)에 의해 처음 유도된 것 같다. \( k=0 \)이면 주값 \( i ^ { i } =e ^ { - \frac {\pi } { 2 } } \)를 얻음을 유의하라.</p> <p>[예제 \(1.68 \)] \( z ^ { i + 1 } =4 \)의 해를 구하라.</p> <p>풀이 방정식을 고치면 이므로 \( (1 + i) \log z= \ln 4 + 2 n \pi i(n=0, \pm 1, \cdots) \)이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \log z &=(1-i)[ \ln 2 + n \pi i] \\ &=( \ln 2 + n \pi) + i(n \pi- \ln 2) \end {aligned} \] 를 얻는다. 그러므로 \[ \begin {aligned} z &=2 e ^ { n \pi } ( \cos (n \pi- \ln 2) + i \sin (n \pi- \ln 2)) \\ &=2 e ^ { n \pi } \left \{ (-1) ^ { n } \cos ( \ln 2) + i(-1) ^ { n + 1 } \sin ( \ln 2) \right \} \\ &=(-1) ^ { n } 2 e ^ { n \pi } \{\cos ( \ln 2)-i \sin ( \ln 2) \} \quad(n=0, \pm 1, \cdots) \end {aligned} \] 가 구하고자 하는 해이다.</p> <p>[예제 \(1.69 \)] 다음 등식을 유도하라. \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (1 + \frac { z } { n } \right ) ^ { n } =e ^ { z } \quad(z: \text { 복소수 } ) \]</p> <p>정리 \( 1.2 \)의 역은 참이 아니다. 수열 \( \{ 1,2,1,2, \cdots \} \)를 생각해 보라.</p> <p>수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)의 부분수열(subsequence)은 그의 항들을 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)의 항 중에서 순서를 유지하여 뽑은 수열 \( \left \{ z_ { n_ { k } } \right \} \) 이다. 이에 관한 몇 가지 사실을 증명없이 써 보겠다. (증명은 실수열인 경우와 같으므로 스스로 완성해 보아라.)</p> <p>[정리 \(1.3 \)] 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 \( z_ { 0 } \)으로 수렴하면 모든 부분수열 \( \left \{ z_ { n_ { k } } \right \} \)도 \( z_ { 0 } \)으로 수렴한다.</p> <p>[정리 \(1.4 \)] 모든 유계복소수열은 수렴부분수열을 갖는다.</p> <p>수열의 극한과 수열의 극한점 사이의 관계는 무엇일까? 수열이 유한개의 서로 다른 항만을 갖는다면 그 수열은 어떤 극한점도 갖지 않는다. 예를 들어 수열 \( \{ 1,-1, i, i, \cdots \} \)에서 \( i \)는 극한이지만 극한점은 아니다. 그러나 다음 정리가 성립하는데 이의 증명은 독자에게 맡긴다.</p> <p>[정리 \(1.5 \)] 점 \( z_ { 0 } \)이 집합 \( A \)의 극한점이기 위한 필요충분조건은 \( z_ { 0 } \)으로 수렴하는 \( A \)의 서로 다른 점열이 존재하는 것이다. 앞의 정리들을 결합하면 다음의 볼차노-바이어슈트라스(Bolzano-Weierstrass) 정리를 얻는다.</p> <p>[정리 \(1.6 \)] (볼차노-바이어슈트라스) 평면의 모든 유계 무한집합은 극한점을 갖는다.</p> <p>여러분들은 미적분학에서 수렴하는 실수열의 합, 곱, 상에 관한 결과를 배웠을 것이다. 비슷한 논의가 복소수열에 대해 성립한다. 다음 정리에 이 결과를 모아 보겠다.</p> <p>[정리 \(1.7 \)] \( \left \{ z_ { n } \right \} \)과 \( \left \{ w_ { n } \right \} \)을 극한이 각각 \( A \)와 \( B \)인 복소 수렴 수열이라 하자. \( \lambda \)를 복소수라 하면 수열 \( \left \{ z_ { n } + \lambda w_ { n } \right \} \) 과 \( \left \{ z_ { n } w_ { n } \right \} \)은 각각 극한 \( A + \lambda B \) 와 \( A B \) 로 수렴한다.</p> <p>(참고 : \( T(z)= \frac { 1 + z } { 1-z } \)는 후에 5.3절에서 자세하게 다룰 선형분수변환의 예이다.)</p> <p>실변수 함수에서처럼, 함수의 정의역은 함수의 치역보다는 결정하기가 쉽다. 대부분의 경우, 이 책에서는 치역 안에 있는 각각의 점에 대한 구체적인 법칙보다는 어떤 성질들의 일반적인 기술에 그칠 것이다. 예를 들어 치역은 열렸거나 연결되었거나 또는, 볼록하다는 것을 말할 수 있을 것이다.</p> <p>이제 복소함수의 그래프에 대해 살펴보자. 실변수의 실수값 함수에 대해, 미적분학에서 배웠듯이 함수의 그래프를 그리는 방법은 함수의 행동을 가시화하는 데 아주 좋은 도구이다. 그러한 기술은 복소함수의 경우에 곧바로 쓸 수 있는 것은 아니다. 만일 함수 \( f \)가 실수값을 가진다면 3차원 공간 \( (x, y, t) \)에서 그것의 그래프 \( t=f(x + i y) \)를 그릴 수 있다(그림 1.21). 그러나 함수가 복소수값을 가진다면 이와 같은 형태의 그림은 (적어도 현재에는) 가능하지 않다. 더욱이, 여기서 다루어지는 거의 모든 함수는 복소수값을 가졌다. 계속할 수 있는 한 가지 방법은 \( \|f\| \)의 그래프를 그리는 것이다. 그러나 더 유용한 방법은 (하나는 정의역의 변수 \( z \)의 또 하나는 치역의 변수 \( w=f(z) \)의) 두 개의 복소평면을 이용하는 것이다. 예를 들어, 예제 1.37에서 함수 \( T(z)= \frac { 1 + z } { 1-z } \)는 원반 \( \{ z:\|z\|<1 \} \)을 \( \Re w>0 \)인 \( w \) 의 집합으로 사상함을 보았다. 이것은 그림 1.22처럼 그래프를 그릴 수 있다. 이와 같은 형태의 그림은 복소수값을 갖는 복소변수의 함수의 행동을 이해하는데 매우 유용하다. 우리는 이 방법을 자주 사용할 것이다.</p> <h2>1.4.2 복소수의 수열과 극한</h2> <p>복소수열의 극한의 개념이나 복소함수의 극한, 또는 연속은 실변수 함수의 그것들과 거의 같다. 수열의 극한부터 시작해 보자.</p> <p>복소수열은 정의역이 자연수이고 치역이 복소수의 부분집합인 함수이다. 다음과 같은 것이 복소수열의 예이다. \[ \begin {array} { l } f(n)= \left (2- \frac { 1 } { n } \right ) + \left (5 + \frac { 1 } { n } \right ) i, \quad(n=1,2,3, \cdots) \\ g(n)=e ^ { i \left ( \frac {\pi n } { 4 } \right ) } , \quad(n=1,2,3, \cdots) \\ h(n)=5 + 3 i + \left ( \frac { 1 } { 1 + i } \right ) n, \quad(n=1,2,3, \cdots) \\ r(n)= \left ( \frac { 1 } { 4 } + \frac { i } { 2 } \right ) ^ { n } , \quad(n=1,2,3, \cdots) \end {array} \] 편리성을 위해 복소수열이라는 용어대신 수열이라는 용어를 쓴다.</p> <p>그러나 이 돌파구조차 복소수가 인정받을 수 있게 하지는 못했다. 결국, 실수가 수직선상에 기하학적으로 표현될 수 있었다. 이 새로운 수는 어떤 가능한 표현을 가질 수 있는가? 1673년에 존 월리스(J. Wallis, 1616-1703)는 오늘날 우리가 사용하는 형태에 가까운 복소수의 기하학적 그림을 시도해 보았다. 그는 일반적인 \(2 \)차 방정식- \( x ^ { 2 } + 2 b x + c=0 \) 으로 쓰고 따라서 다음 논의를 더 다루기 쉽게 만든다-에 대한 해를 표현하는 경우에 관심을 두었다. 근의 공식을 이용하면 이 방정식은 해 \( x=-b- \sqrt { b ^ { 2 } -c ^ { 2 } } \quad \) 과 \( \quad x=-b + \sqrt { b ^ { 2 } -c ^ { 2 } } \)를 가짐을 알 수 있다.</p> <p>월리스는 점 \( -b \)에서 왼쪽과 오른쪽으로의 위치변경으로 이 해를 생각했다. 그는 값이 \( \sqrt { b ^ { 2 } -c ^ { 2 } } \)인 각각의 위치변경을 그림 \( 1.6 \)에 보인 직각삼각형의 변의 길이로 보았다.</p> <p>그림 \(1.6 \)에서 점 \( P_ { 1 } \)과 \( P_ { 2 } \)는 우리의 방정식에 대한 해이다. 이것은 \( b ^ { 2 } -c ^ { 2 } \geq 0 \)이 되면 분명히 정확하다. 하지만 음의 제곱근, 즉 \( b ^ { 2 } -c ^ { 2 }<0 \)이 나타나는 경우에는 \( P_ { 1 } \)과 \( P_ { 2 } \)를 어떻게 나타낼 수 있을까? 월리스는 이러한 경우가 발생하면 \( b \)가 \( c \)보다 작고 따라서 그림 \( 1.6 \)에서 길이 \( b \)의 직선은 절대로 \( x \)축까지 도달할 수 없을 것이라 설명했다. 대신에, 그것은 그림 \( 1.7 \)에 보여진 것처럼 \( x \)-축 위쪽의 어딘가에 머물러야 한다. 월리스는 \( P_ { 1 } \)과 \( P_ { 2 } \)는 \( b ^ { 2 } -c ^ { 2 }<0 \)일 때 해 \( x=-b- \sqrt { b ^ { 2 } -c ^ { 2 } } \)와 \( x=-b + \sqrt { b ^ { 2 } -c ^ { 2 } } \)의 기하학적 위치를 표현해야 한다고 주장했다. 그는 ' \( b \)가 \( c \)보다 작기 때문에 이것은 이전에 그랬던 것같이 더 이상 직각삼각형의 빗변이 될 수 없다'라고 분명히 생각했다. 길이 \( c \)의 변이 이제 그 역할을 해야만 한다.</p> <p>\( \zeta \)와 \( \xi \)가 두 개의 (다른) 복소수라면 \( z= \zeta- \xi, w= \xi \)로 놓으면 \[ \| \zeta\| \leq\| \zeta- \xi\| + \| \xi\| \] 이거나 \[ \| \zeta\|-\| \xi\| \leq\| \zeta- \xi\| \] 가 된다. 같은 방법으로 \[ \| \xi\|-\| \zeta\| \leq\| \zeta- \xi\| \] 인데, 위의 것과 연결하면 삼각 부등식의 다음 변형을 얻는다. \[ \|\| \zeta\|-\| \xi\|\| \leq\| \zeta- \xi\| \] 이것을 역삼각 부등식이라 한다.</p> <h2>1.2 .2 복소수 해</h2> <p>\(0 \)이 아닌 복소수의 분수멱의 계산은 \(1.1 \)절에서 전개한 방법으로 가능하다. 복소수의 관심 주제로 최초로 제기된 것은 \( x ^ { 2 } + 1=0 \)과 같은 방정식의 해를 구하려는 시도에 있었다. 여기서, 확실한 '완비성'은 실수에 의해서가 아니라, 복소수에 의해 확보될 것이다. \( w \)를 \(0 \) 이 아닌 복소수라 하고 \( n \)은 양의 정수라 하자. 방정식 \( z ^ { n } =w \)를 만족하는 복소수 \( z \)를 \( w \)의 \( n \)제곱근이라 한다. \( w \)의 서로 다른 모든 \( n \)제곱근을 결정할 것이다.</p> <p>\( w=\|w\|( \cos \psi + i \sin \psi) \)를 \( w \)의 극형식이라 하자. 여기서 \( \psi \)는 구간 \( (- \pi, \pi] \)에 존재한다. \( z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \) 로 놓으면 관계식 \( z ^ { n } =w \)와 \(1.1 \)절의 드 무아브르의 공식(식 ( \(1.2 \)))에 의해 다음의 세 방정식을 얻는다. \[ \|z\| ^ { n } =\|w\|, \quad \cos (n \vartheta)= \cos \psi, \quad \sin (n \vartheta)= \sin \psi \] 따라서, \( \|z\|=\|w\| ^ {\frac { 1 } { n } } \)이어야 한다. \( \vartheta \)는 잘 결정되지 않았다. 물론, \( \vartheta \)에 대한 한 가지 가능성은 \( \vartheta= \frac {\psi } { n } \)이다. 그러나, 다른 것들도 있다.</p> <p>\[ \vartheta_ { k } = \frac {\psi } { n } + k \left ( \frac { 2 \pi } { n } \right ), \quad k=0,1, \cdots, n-1 \] 로 정의한다. 그러면 \( n \vartheta_ { k } = \psi + 2 \pi k \)이고, 따라서 \( \cos n \vartheta_ { k } = \cos \psi \)이며 \( \sin n \vartheta_ { k } = \sin \psi \)이다. 복소수 \( z_ { 0 } , z_ { 1 } , \cdots, z_ { n-1 } \)은 법칙 \[ z_ { k } =\|w\| ^ {\frac { 1 } { n } } e ^ { i \vartheta_ { k } } =\|w\| ^ {\frac { 1 } { n } } \left ( \cos \vartheta_ { k } + i \sin \vartheta_ { k } \right ), \quad k=0,1, \cdots, n-1 \] 에 의해 정의된다. 그러면 \( z_ { 0 } , z_ { 1 } , \cdots, z_ { n-1 } \)의 각각은 서로 다르다(연습문제 \(1.1 \)의 \(1.1.1 \)절- \(1.1.3 \)절 \(15 \)). 또 각각은 \[ z_ { k } ^ { n } =w, \quad k=0,1, \cdots, n-1 \] 을 만족한다. 더욱이, 이 복소수 \( z_ { 0 } , z_ { 1 } , \cdots, z_ { n-1 } \)들은 방정식 \( z ^ { n } =w \)의 오로지 가능 한 해들이다. 왜냐하면 \[ \cos n \vartheta= \cos \psi, \quad \sin n \vartheta= \sin \psi \] 이면, (다시 연습문제 \( 1.1 \)의 \(1.1.1 \)절- \(1.1.3 \)절 \(15 \)에 의해) 어떤 정수 \( j \)에 대해 \( n \vartheta= \) \( \psi + 2 \pi j \)가 된다.</p> <p>\(12 \). (코시 판정법) \( S_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } z_ { k } \)라 하면 급수 \( \sum_ { k=1 } ^ {\infty } z_ { k } \)가 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \( m \geq n>N \)이면 \[ \left \|S_ { m } -S_ { n } \right \|= \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { m } z_ { k } \right \|< \varepsilon \] 이 되는 정수 \( N \)이 존재하는 것임을 증명하라.</p> <p>\(1.4.5 \)절</p> <p>\(1 \). 단위구 위의 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , u_ { 1 } \right ) \)이 주어질 때 복소평면 위의 그 대응점을 구하라.</p> <p>\(2 \). 복소평면에서 단위구 위로의 사상과 그 역사상이 연속임을 증명하라.</p> <p>\(3 \). 구 위의 북극을 지나지 않는 원은 복소평면 위의 원으로 대응됨을 보여라.</p> <p>\(4 \). 구 위의 북극을 지나는 원은 복소평면 위의 직선으로 대응됨을 보여라.</p> <p>\(5 \). 입체 사영에 의해 복소평면과 구 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + \left (u- \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } = \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) ^ { 2 } \)을 동일시 할 수 있음을 보여라.</p> <p>\(6 \). 구 위의 한 쌍의 원점대칭점의 입체사영상 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)가 만족하는 관계식을 구하라.</p> <h1>1.5 초등함수와 그 사상성질</h1> <h2>1.5.1 지수함수와 사상성질</h2> <p>지수함수는 복소해석학에서 가장 중요한 함수 중의 하나이다. 정의는 \[ e ^ { z } =e ^ { x } ( \cos y + i \sin y), \quad z=x + i y \] 이다. 표현 \( \exp (z) \)가 특히, \( z \)가 복잡한 형태를 가졌을 때 가끔 사용되기도 한다. \( e ^ { z } \)의 정의는 그것의 가장 중요한 성질 중의 하나를 곧바로 유도한다. 임의의 두 복소수 \( z \)와 \( w \)에 대해, \[ e ^ { z + w } =e ^ { z } e ^ { w } \] 가 성립한다. 이것을 증명하기 위해 \( z=x + i y \)와 \( w=s + i t \)라 놓자. 그러면 두 수의 합에 대한 sine과 cosine에 대한 삼각등식을 이용해 다음과 같이 계산할 수 있다. \[ \begin {aligned} e ^ { z + w } &=e ^ { x + s } [ \cos (y + t) + i \sin (y + t)] \\ &=e ^ { x } e ^ { s } [( \cos y \cos t- \sin y \sin t) + i( \sin y \cos t + \sin t \cos y)] \\ &=e ^ { x } ( \cos y + i \sin y) e ^ { s } ( \cos t + i \sin t) \\ &=e ^ { z } e ^ { w } \end {aligned} \]</p> <p>\(4 \). 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 방정식을 풀어라. 해를 복소수로 표현하라.<ol type=a start=1><li>\( z ^ { 2 } + 6=0 \)</li> <li>\( 2 z ^ { 2 } + 2 z + 5=0 \)</li> <li>\( 5 z ^ { 2 } + 4 z + 1=0 \)</li> <li>\( z ^ { 2 } -z=1 \)</li> <li>\( z ^ { 2 } =2 z \)</li></ol></p> <p>\(5 \). 다음과 같이 주어진 점 \( w \)의 위치를 그려라.<ol type=a start=1><li>\( \|w + 2\| ^ { 2 } =4 \)</li> <li>\( \|w + 2\|=\|w-2\| \)</li> <li>\( \left \|w ^ { 2 } -2 w-1 \right \|=0 \)</li> <li>\( \Re[(1-i) \bar { w } ]=0 \)</li> <li>\( \Re \left [ \frac { w } { 1 + i } \right ]=0 \)</li> <li>\( \|w-2\|=1 \)</li></ol></p> <p>\(6 \). \( z=x + i y(z \neq 0) \)일 때 \( \Re \left ( \frac { 1 } { z } \right ) \)와 \( \Im \left ( \frac { 1 } { z } \right ) \)를 구하라. \( \Re(i z)=- \Im z \)이고 \( \Im(i z)= \Re z \)임을 보여라.</p> <p>\(7. \) 다음 수들을 극형식으로 써라.<ol type=a start=1><li>\( -1 + i \)</li> <li>\( 1 + i \sqrt { 3 } \)</li> <li>\( -i \)</li> <li>\( (2-i) ^ { 2 } \)</li> <li>\( \|4 + 3 i\| \)</li> <li>\( \sqrt { 5 } -i \)</li> <li>\( -2-2 i \)</li> <li>\( \frac {\sqrt { 2 } } { 1 + i } \)</li> <li>\( \left ( \frac { 1 + i } {\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 4 } \)</li></ol></p> <p>\(8 \). 극좌표 \( (r, \vartheta) \)가 다음과 같이 주어진 복소수를 구하라.<ol type=a start=1><li>\( \left ( \sqrt { 3 } , \frac {\pi } { 4 } \right ) \)</li> <li>\( \left ( \frac { 1 } {\sqrt { 2 } } , \pi \right ) \)</li> <li>\( \left (4,- \frac {\pi } { 2 } \right ) \)</li> <li>\( \left (2,- \frac {\pi } { 2 } \right ) \)</li> <li>\( (1,4 \pi) \)</li> <li>\( \left ( \sqrt { 2 } , \frac { 9 \pi } { 4 } \right ) \)</li></ol></p> <h2>1.5.2 로그함수와 사상성질</h2> <p>지수함수의 역이 로그함수(또는 대수함수)이다. \(0 \)이 아닌 \( z \in \mathbb { C } \)에 대해, 로그함수 \( \log z \)를 \( e ^ { w } =z \)가 되는 \( w \in \mathbb { C } \), 즉 \( w= \log z \)로 정의한다. 바로 앞절에서 \( e ^ { z } =w \)를 만족하는 \( z \)가 \( z=x + i y= \ln \|w\| + i \arg w \)임을 알았다. 따라서 \( w \)와 \( z \)의 역할을 바꾸면 \[ w= \ln \|z\| + i \arg z, \quad z \neq 0 \] 를 얻는다. 이것이 단일 복소수가 아님은 명백하다. 즉, \( \arg z= \psi + 2 \pi m \)이 되어 임의의 두 \( w \)의 차이가 \( 2 \pi i \)의 배수이다. 일가함수를 만들기 위해 \( \log z \)의 분지(branches)를 선택하는데, 이로 인해 \( z \)의 \(0 \)이 아닌 모든 복소값에 대해서 \[ e ^ {\log ^ { * } z } =z \] 를 만족하는 일가함수 \( \log ^ { * } z= \ln \|z\| + i \vartheta( \alpha< \vartheta< \alpha + 2 \pi) \)를 정의할 수 있다. 즉, 다가함수 \( f \)의 분지 \( F \)는 어떤 영역에서 연속인 일가함수로, 그 영역의 각 점 \( z \)에서 \( F(z) \)의 값은 그 영역에서 \( f(z) \)의 값 중 하나이다. 특히 \[ \log z= \ln \|z\| + i \operatorname { Arg } z \]<caption>(1.10)</caption>로 정의한다. 부연 설명하면, \( \operatorname { Arg } \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) \neq \operatorname { Arg } z_ { 1 } + \operatorname { Arg } z_ { 2 } \)이기 때문에 \( \log \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) \) \( \neq \log z_ { 1 } + \log z_ { 2 } \)일 수가 있다. \( \log z \)를 \( \log z \)의 주분지(Principal Branch)[또는 주 값]라 한다. 다가함수의 분지를 정의하기 위해 도입한 곡선(직선 포함)을 분지절단이라 하는데, \( \arg z \) 의 다른 선택(즉, 다른 분지절단)에 대해서는 \( \log z \)의 다른 값(분지)이 나온다. 사실 원점에서 출발하여 \( \infty \) 로 향해가는 곡선 중 연속적이고, 또, 스스로 꼬이지 않는(즉, 자신과 만나지 않는) 곡선은 모두 분지절단이 될 수 있다. 다가함수 \( f \) 의 분지 절단 위의 점은 \( f \)의 특이점이고( \(4.1.1 \)절), 모든 분지절단이 공유하는 점을 분지점이라고 한다. 예를 들어, \( z=0 \)은 \( \log z \)의 분지점이다.</p> <p>\(8 \). \( z_ { n } =n \left \{ 1- \cos \frac {\vartheta } { n } -i \sin \frac {\vartheta } { n } \right \} , \quad \vartheta \) : 고정</p> <p>\(9~13 \). 주어진 점에서 각 함수의 극한을 구하거나 존재하지 않는 경우는 그 이유를 설명하라.</p> <p>\(9 \). (a) \( f(z)=\|1-z\| ^ { 2 } , \quad z_ { 0 } =i \)에서 (b) \( f(z)= \operatorname { Arg } z, \quad z_ { 0 } =-1 \)에서</p> <p>\(10 \). \( f(z)=(1- \Im z) ^ { -1 } , \quad z_ { 0 } =8 \)에서 그리고 \( z_ { 0 } =8 + i \)에서</p> <p>\(11 \). \( f(z)=(z-2) \log \|z-2\|, \quad z_ { 0 } =2 \)에서</p> <p>\(12 \). \( f(z)= \frac { \|z\| ^ { 2 } } { z } \quad(z \neq 0), \quad z_ { 0 } =0 \)에서</p> <p>\(13 \). \( f(z)= \frac { z ^ { 3 } -8 i } { z + 2 i } \quad(z \neq-2 i), \quad z_ { 0 } =-2 i \)에서</p> <p>\(14~16 \). 주어진 함수가 연속이 되는 모든 점을 구하라.</p> <p>\(14 \). (a) \( f(z)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { z ^ { 3 } + i } { z-i } , & z \neq i \\ -3, & z=i \end {array} \right . \) (b) \( f(z)= \left \{\begin {array} { cc } \frac { z ^ { 4 } -1 } { z-i } , & z \neq i \\ 4 i, & z=i \end {array} \right . \)</p> <p>\(15 \). (a) \( f(z)=( \Im z- \Re z) ^ { -1 } \) (b) \( g(z)= \left (1-\|z\| ^ { 2 } \right ) ^ { -3 } \)</p> <p>\(16 \). (a) \( h(z)= \left \{\begin {array} { cc } z, & \|z\| \leq 1 \\ \|z\| ^ { 2 } , & \|z\|>1 \end {array} \right . \) (b) \( h(z)= \bar { z } ^ { 3 } \)</p> <p>\(16 \). 실수에서의 쌍곡함수의 정의를 이용해 다음 공식을 증명하라. \[ \begin {array} { l } \cos (x + i y)= \cos x \cosh y-i \sin x \sinh y \\ \sin (x + i y)= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y \end {array} \]</p> <p>\(17 \). \( \cos z=0 \)이기 위한 필요충분조건은 \( z= \frac {\pi } { 2 } + n \pi(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \)임을 보여라. \( \sin z=0 \)이기 위한 필요충분조건은 \( z=n \pi(n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \)임을 증명하라. 즉, 실축으로부터 전평면으로 \( \sin z \)와 \( \cos z \)를 확장하는 것은 어떤 새로운 영점을 만들지 못한다.</p> <p>\(18 \). 모든 복소수 \( z \)와 \( w \)에 대해 다음 등식을 증명하라. \[ \begin {array} { l } \cos (z + w)= \cos z \cos w- \sin z \sin w \\ \sin (z + w)= \sin z \sin w + \cos z \sin w \end {array} \]</p> <p>\(19 \). \( z=i y \)이고 \( y \rightarrow \infty \)이면 \( \cos z \)와 \( \sin z \)는 유계가 아님을 보여라. 또한 다음 두 결과가 성립함을 증명하라.<ol type=a start=1><li>\( y \geq 0,- \infty<x< \infty \) 이면 \( \| \cos (x + i y)\| \leq e ^ { y } \)</li> <li>\( y \geq 0,- \infty<x< \infty \) 이면 \( \| \sin (x + i y)\| \leq e ^ { y } \)</li></ol></p> <p>\(20 \). 모든 \( z \)에 대해 \( \cos ^ { 2 } z + \sin ^ { 2 } z=1 \)이 됨을 증명하라.</p> <p>\(21 \). \( \cosh z \)와 \( \sinh z \)를 \[ \cosh z= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { z } + e ^ { -z } \right ), \quad \sinh z= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { z } -e ^ { -z } \right ) \] 으로 정의한다. 다음 항등식이 성립함을 보여라.<ol type=i start=1><li>\( \cosh ^ { 2 } z- \sinh ^ { 2 } z=1 \)</li> <li>\( \cosh z= \cos (i z) \)</li> <li>\( \sinh z=-i \sin (i z) \)</li> <li>\( \| \cosh z\| ^ { 2 } = \sinh ^ { 2 } x + \cos ^ { 2 } y \)</li> <li>\( \| \sinh z\| ^ { 2 } = \sinh ^ { 2 } x + \sin ^ { 2 } y \)</li></ol></p> <p>[예제 \(1.44 \)] \( a_ { 0 } , a_ { 1 } , a_ { 2 } \)와 \( a_ { 3 } \)가 복소수라 하고 \( \left \{ z_ { n } \right \} \) 은 \( z_ { n } \rightarrow A \)인 수열이라 하자. 그러면 \( \left \{ a_ { 0 } + a_ { 1 } z_ { n } + a_ { 2 } z_ { n } ^ { 2 } + a_ { 3 } z_ { n=1 } ^ { 3 } \right \} _ { n=1 } ^ {\infty } \)은 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( a_ { 0 } + a_ { 1 } A + a_ { 2 } A ^ { 2 } + a_ { 3 } A ^ { 3 } \)으로 수렴한다. 이는 위의 정리 \( 1.7 \)의 몇 가지 응용에 의해 밝힐 수 있다.</p> <p>이제 수열에 관한 중요한 성질 중의 하나로 수렴수열의 개념과 동치가 될 수 있는 개념을 살펴보자.</p> <p>복소수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 코시 수열(Cauchy sequence)이라 함은 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \( m, n>N \)일 때 \( \left \|z_ { m } -z_ { n } \right \|< \varepsilon \)인 정수 \( N \)이 존재할 때이다.</p> <p>[정리 \(1.8 \)] 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 코시 수열인 것이다.</p> <p>증명 위의 정리들과 삼각부등식을 이용해 스스로 완결해 보기 바란다.</p> <p>정리 \( 1.8 \)은 복소수열의 근원을 알지 못하고서도 수열의 수렴성을 판정하는 일반적인 방법을 제공해 주고 있다. 유리수체에서는 코시 수열이 수렴하지 않는다. 모든 코시 수열이 수렴하는 체계를 완비적이라 한다.</p> <h2>1.4 .3 복소함수의 극한과 연속</h2> <p>\( f \)를 평면의 부분집합 \( D \)에서 정의된 함수라 하자. \( z_ { 0 } \)은 \( D \) 또는 \( D \)의 경계에 있는 점이라 하자. 만일, 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \[ z \in D, \quad 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \Rightarrow\|f(z)-L\|< \varepsilon \] 이 되는 \( \delta>0 \)을 \( z_ { 0 } \)에서 갖는다고 한다면 \( f \)는 \( z_ { 0 } \)에서 극한 \( L \)을 갖는다고 하고 \[ \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z)=L, \text { 또는 } \quad z \rightarrow z_ { 0 } \text { 일 때 } f(z) \rightarrow L \] 이라 쓴다. 여기서 \( D \) 안에서 어떤 방법으로든지 \( z \)가 \( z_ { 0 } \)에 접근할 때 \( f(z) \)가 \( L \)로 접근하는 경우에만 \( f \)는 점 \( z_ { 0 } \)에서 극한 \( L \)을 갖는다는 것을 강조하는 것이 좋을 듯하다.</p> <p>따라서 \[ n \rightarrow \infty \text { 이면 } n \psi_ { n } = \left (n \tan \psi_ { n } \right ) \left ( \frac {\psi_ { n } } {\tan \psi_ { n } } \right ) \rightarrow r \sin \vartheta=y \] 이고, 결과적으로 \( n \rightarrow \infty \)일 때 \[ n \log \left (1 + \frac { z } { n } \right ) \rightarrow x + i y=z \] 이다. 그러므로 \( \left (1 + \frac { z } { n } \right ) ^ { n } \rightarrow e ^ { z } \)이다.</p> <p>복소지수에 대한 몇 가지 법칙이 실수인 경우에서 유도된다. \( z, w, \alpha \)와 \( \beta \)가 복소수이고 \( z w \neq 0 \)이라면 다음 성질이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( z ^ { - \alpha } = \frac { 1 } { z ^ {\alpha } } \)</li> <li>\( z ^ {\alpha } z ^ {\beta } =z ^ {\alpha + \beta } , \quad(z w) ^ {\alpha } =z ^ {\alpha } w ^ {\alpha } e ^ { 2 n \pi i \alpha } \quad(n \) : 정수 \( ) \)</li> <li>\( \frac { z ^ {\alpha } } { z ^ {\beta } } =z ^ {\alpha- \beta } , \quad \left ( \frac { z } { w } \right ) ^ {\alpha } = \frac { z ^ {\alpha } } { w ^ {\alpha } } e ^ { 2 n \pi i \alpha } \quad(n: \) 정수 \( ) \)</li> <li>\( \left (z ^ {\alpha } \right ) ^ { n } =z ^ {\alpha n } \quad(n: \) 정수 \( ) \)</li></ol></p> <p>두 번째의 첫 등식은 \( \alpha, \beta \)와 \( \alpha + \beta \)가 \( \log z \)의 같은 분지(또는 주분지)에 기반을 두면 옳지만, 그렇지 않으면 \( z ^ {\alpha } z ^ {\beta } \)는 \( z ^ {\alpha + \beta } \)의 모든 값을 취하지만 그 역은 \( \alpha \)와 \( \beta \)의 특수한 값에 대해서만 성립한다(연습문제 \(14 \)). 또한 네 번째 등식은 \( n \)이 임의의 복소수로 대체되면 성립하지 않는다. 즉, \( \left (z ^ {\alpha } \right ) ^ {\beta } \)는 \( z ^ {\alpha \beta } \)의 모든 값을 취하지만, 역은 \( \alpha \) 와 \( \beta \) 의 특수한 값에 대해서만 성립한다. 일반적으로 \( \left (z ^ {\alpha } \right ) ^ {\beta } =z ^ {\alpha \beta } e ^ { 2 n \pi i \beta } (n \) : 정수)이 성립한다. 다음 예가 이 사실을 보여준다.</p> <p>점 \( z_ { 0 } \)에서 극한을 갖는 함수들의 합, 곱, 상에 관한 다음의 정리는 정리 \( 1.7 \)에 대응되는 것이다.</p> <p>[정리 \(1.10 \)] \( f \)와 \( g \)를 점 \( z_ { 0 } \)에서 \( L \)과 \( M \)을 각각 극한으로 갖는 함수라 하자. \( \lambda \)를 복소수라 하면, \( f + \lambda g \)와 \( f g \)는 점 \( z_ { 0 } \)에서 \( L + \lambda M \)과 \( L M \) 을 각각 극한으로 갖는다. 또한 \( M \neq 0 \)이면 \( \frac { f } { g } \) 는 점 \( z_ { 0 } \)에서 극한 \( \frac { L } { M } \)을 취한다.</p> <p>\( f \)를 복소평면의 부분집합 \( D \) 위에서 정의된 함수라 하자. \( z_ { 0 } \in D \)일 때, 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \varepsilon \]<caption>(1.7)</caption>이 되는 ( \( \varepsilon \)과 \( z_ { 0 } \)에 종속인) \( \delta>0 \)가 존재하면 \( f \)는 \( z_ { 0 } \)에서 연속이라 한다. 즉, \( z \in D \)이고 \( z \)가 \( z_ { 0 } \)에 충분히 가까워질 때 \( f(z) \)의 값이 \( f \left (z_ { 0 } \right ) \)에 임의로 가까워지면 \( f \)는 \( z_ { 0 } \)에서 연속이다. 이를 더 쉽게 생각해 보면 \( \lim _ { z \rightarrow z_ { 0 } } f(z) \)와 \( f \left (z_ { 0 } \right ) \)이 존재하고 그 값이 같으면 \( f \)는 \( z_ { 0 } \)에서 연속이라고 말한다. \( f \) 가 \( D \)의 모든 점에서 연속이라면 \( f \)는 \( D \)에서 연속이라고 한다. \( f( \infty) \)가 정의되고 \( \lim _ { z \rightarrow \infty } f(z)=f( \infty) \)이면 \( f \)는 \( \infty \)에서 연속이다.</p> <p>이제 방금 유도한 정보들을 아름다운 기하학적 형태서로 수직인 두 원의 족 를 만들기 위해 적용한다. \( C_ { 1 } \)을 \[ \|z-p\|= \varrho\|z-q\|, \quad 0< \varrho< \infty \] 인 원들의 족이라 하자. (완비성을 위해 \( \varrho=1 \), 즉 직선인 경우를 포함한다.) \( L \)을 \( p \)에서 \( q \)까지의 선분의 수직이등분선이라 하자. \( C_ { 2 } \)를 \( L \)위에 중심을 두고, \( p \) 와 \( q \) 를 지나는 원의 족이라 하자. 족 \( C_ { 1 } \)안의 각 원은 족 \( C_ { 2 } \)안에 있는 각 원과 그들의 두 개의 교점에서 수직으로 만난다. 직선 \( L \) 과 \( p \) 와 \( q \) 를 지나는 직선 \( L ^ {\prime } \) 의 교점에 중심을 위치 시키면 계산은 훨씬 간단해진다. 그러면 \( L ^ {\prime } \)은 실축으로 택하고 \( L \) 은 허축으로 할 수 있다. 이런 방법으로 \( 0<p=-q \)라 가정할 수 있다. 그러면, 족 \( C_ { 1 } \)으로부터의 원은 실축 위의 점에 중심이 있고, \( 0< \varrho<1 \) 이라 가정하는데 문제가 없기 때문에 그 원의 중심은 \( s= \frac { p \left (1 + \varrho ^ { 2 } \right ) } { 1- \varrho ^ { 2 } } \)이다. 족 \( C_ { 2 } \)로부터의 원의 중심은 점 \( t=i \alpha( \alpha \) : 실수 \( ) \)이고, 이 원은 \( p \)와 \( -p \)를 반드시 통과해야 한다. \( z=x + i y \)가 두 원 위에 있다고 하자(그림 \(1.12 \)). \( z \)가 원 \( C_ { 1 } \)위에 있으므로 \[ \|z-p\|= \varrho\|z + p\| \] 이고 결과적으로 \[ x ^ { 2 } \left (1- \varrho ^ { 2 } \right )-2 p \left (1 + \varrho ^ { 2 } \right ) x + p ^ { 2 } \left (1- \varrho ^ { 2 } \right ) + y ^ { 2 } \left (1- \varrho ^ { 2 } \right )=0 \] 이다. 단순화시키기 위해 \( \nu= \frac { 1 + \varrho ^ { 2 } } { 1- \varrho ^ { 2 } } \)이라 놓으면 앞의 방정식은 \[ x ^ { 2 } -2 p \nu x + p ^ { 2 } + y ^ { 2 } =0 \] 이 된다. 다른 한편으로는 \( z=x + i y \)가 역시 원 \( C_ { 2 } \) 위에 있으므로 \[ \|z-i \alpha\|=\|p-i \alpha\|=\|-p-i \alpha\|= \sqrt { p ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } } \]이고, 따라서 \[ x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -2 \alpha y=p ^ { 2 } \] 이다. \( i \alpha \)에서 \( z \)까지의 선분이 \( s \)에서 \( z \)까지의 선분과 수직으로 만나는 것을 증명하기 위해 \[ \Re[ \overline { (z-i \alpha) } (z-s)]=0 \] 임을 보여야만 한다. 이것은 \( 1.1 \)절의 끝부분에 논의한 수직성에 의해 유도된다. 그러나, \( s=p \nu \)임을 이용하면 \[ \begin {aligned} 2 \Re[ \overline { [z-i \alpha) } (z-s)] &=2 x(x-s) + 2 y(y- \alpha) \\ &=2 \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -p \nu x- \alpha y \right ) \\ &=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -2 p \nu x + x ^ { 2 } + y ^ { 2 } -2 \alpha y \\ &=-p ^ { 2 } + p ^ { 2 } =0 \end {aligned} \] 이고, 이것이 구하고자 하는 결론이다.</p> <p>복소평면과 복소함수</p> <p>이 장에서는 다항식, 영역, 함수와 극한에 관한 실해석학의 결과들을 복소해석학의 관점에서 살펴본다. 비슷한 점이 많이 있지만 복소수는 실수와 달리 기하학적 논의에 적합한 2차원적 특성을 가지고 있다. 예를 들어 실변수의 실함수는 일반적으로 실직선의 구간을 다른 구간으로 보내지만 복소변수의 복소함수는 평면의 영역을 다른 영역으로 사상한다. 복소수의 2 차원적 특성은 복소해석학에서 평면위상의 특수성을 잘 반영한다. 여기서는 구체적으로 다음의 네 가지를 살펴본다. \((1) \) 복소수계의 대수적 구조와 기하학적 구조는 무엇이고 성질은 어떠한가? \((2) \) 평면위상은 어떻게 구성되나? \((3) \) 복소수열의 수렴성과 함수의 연속성은 실수계의 그것과 어떻게 다른가? \((4) \) 기본적인 복소함수의 예는 어떤 것이 있는가?</p> <h1>1.1 복소수계</h1> <h2>1.1 .1 복소수계의 도입</h2> <p>우리에게 익숙한 \( -1, \frac { 1 } { 3 } ,- \sqrt { 2 } \)와 \( \pi \)같은 수들은 직선 위에 있는 점들로 표현이 되는데, 이를 실수라 한다. 실수의 기본적이고 기초적인 성질 중의 하나는 그들이 음이 아닌 제 곱을 가진 것이다. 실제로, 0 이 아닌 실수의 제곱은 양이다. 따라서 방정식 \[ x ^ { 2 } + 1 = 0 \]<caption>(1.1)</caption>은 왼쪽 변이 어떤 \( x \)에 대해서도 \(1 \)보다 작지 않기 때문에 실수의 해를 가질 수 없다. 실수의 해를 갖는 비슷한 방정식을 풀 때 쓰는 방법을 써서 방정식 ( \(1.1 \))을 구체적으로 살펴 볼 수 있다. 다음과 같이 계산하자. 식 ( \(1.1 \))이 성립하면, \[ x ^ { 2 } =-1 \] 이 되고, 이로부터 \[ x= \pm \sqrt { -1 } \] 을 얻는다. 즉, 이 형식적 과정에 의해 다음의 두 개의 기호적인 해 \[ x= + \sqrt { -1 } \text { 과 } - \sqrt { -1 } \] 을 얻는다.</p> <p>이제 기호 \( \sqrt { -1 } \)을 새로운 양(quantity)으로 취급할 수 있으며 실수계와 연결하여 \( ( \sqrt { -1 } ) ^ { 2 } \)은 \( -1 \)이 되는 것만 제외하고는 실수에서의 법칙들과 같은 산술법칙을 택할 수 있다. 이같은 접근 방법은 비록 \( -1=( \sqrt { -1 } )( \sqrt { -1 } )= \sqrt { (-1)(-1) } = \sqrt { 1 } =1 \)과 같 은 계산에서 약간의 어려움이 나타나는데도 불구하고 수세기 전부터 사용되었다. 이 어 려움은 피할 수 있는데, 구체적으로 \( i= \sqrt { -1 } \)이라는 오일러(L. Euler, 1707-1783)의 표시를 따르면 간단하다. 수 \( i \)를 허수단위라 한다.</p> <p>\(17 \). \( D \)를 영역이라 하고 \( p \)와 \( q \)를 \( D \)의 점이라 하자. \( p \)와 \( q \)를 수평 또는 수직 (두 형태 모두 쓸 수 있는) 선분에 의해 연결하는 다각곡선이 존재함을 증명하라. (도움말 : 사선이라는 말을 (아마도 많은) 수평 또는 수직 선분으로 바꾸어라. 그림 \( 1.20 \)을 보라.)</p> <p>\(18 \). \(0 \)이 아닌 복소수 \( z_ { 0 } \)를 고정하자. 평면으로부터 사선 \( \left \{ t z_ { 0 } : 0 \leq t \leq \infty \right \} \)을 빼서 얻은 집합 \( D \)가 영역임을 증명하라.</p> <p>\(19 \). 열린 집합 \( D \)는 \( D \)안의 각각의 점 \( z \)에 대해 \( p \)에서 \( z \)를 연결하는 선분이 \( D \)안에 머무는 성질을 가진 점 \( p \in D \)가 존재하면 별모양이라 부른다.<ol type=a start=1><li>원반 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 0 } \right \|<r \right \} \)이 별모양임을 보여라.</li> <li>임의의 볼록집합은 별모양임을 보여라.</li></ol></p> <p>\(20 \). 다음 집합 중 어느 것이 '별모양'인지 결정하라<ol type=a start=1><li>\( D= \{ z:\|z + 1\|<2 \) 또는 \( \|z + 1\|<2 \} \)</li> <li>\( D= \{ z=x + i y: x>0 \) 이고 \( \|z\|>1 \} \)</li> <li>\( D= \{ z:\|z\|>1 \} \)</li> <li>\( D= \{ z=x + i y: x>0 \) 이고 \( [x>y + 1 \) 또는 \( x>1-y] \} \)</li></ol></p> <p>\(21 \). 각각의 별모양 집합은 연결되어 있음을 증명하라.</p> <p>\(22 \). \( A, B \)가 \( A= \left \{ (x, y): y= \sin \frac { 1 } { x } , x \neq 0 \right \} , B= \{ (0, y):-1 \leq y \leq 1 \} \)일 때 \( A \cup B \)는 연결집합이지만 \( A \)의 어떤 점도 \( B \)의 점과 \( A \cup B \)에 놓이는 다각선에 의해 연결될 수 없음을 보여라.</p> <h1>1.4 복소함수와 극한</h1> <h2>1.4.1 복소함수와 그래프</h2> <p>복소함수는 명시된 집합 \( D \subset \mathbb { C } \) 안에서 각 \( z \in D \)에 복소수를 지정하는 법칙이다. \( D \)를 함수의 정의역이라 한다. 함수의 모든 가능한 값의 모임 \( \{ w=f(z) \mid z \in D \} \)를 함수의 치역이라 한다. 따라서 함수는 복소수의 어떤 부분집합을 정의역으로 가지고 복소수의 다른 (일반적으로 전혀 다른) 부분 집합을 치역으로 갖는다. 독립 복소 변수 \( z \)를 종속 복소 변수 \( w \)와 구별하기 위해 종종 \( w=f(z) \)라 쓴다. \( z \)가 실부 \( x \)와 허부 \( y \)에 의해 \( z=x + i y \)로 표현될 수 있듯이 \( u \)와 \( v \)가 각각 \( w \)의 실부와 허부일 때 \[ w=f(z)=u + i v \] 로 쓸 수 있다. 다시 말하면, \( f(x + i y)=u + i v \)이고, \( u \)와 \( v \)가 \( x \)와 \( y \)의 함수이므로 \( u=u(x, y) \)이고 \( v=v(x, y) \)로 생각할 수 있다. 앞의 식들을 종합하면 복소함수 \( f \)를 \[ f(z)=f(x + i y)=u(x, y) + i v(x, y) \] 로 쓸 수 있다.</p> <p>\(8 \). \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \)이 수렴하면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } a_ { n } =0 \)이 됨을 증명하라.<p>\(9 \). \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } \)이 수렴한다 가정하자. \( \|z\|<1 \)이라 하자. 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)은 수렴함을 보여라. 실제로는 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } z ^ { n } \right \| \)이 수렴함을 보여라. (도움말 : 문제 \(8 \)에 의해 적당한 \( M \)과 모든 \( n \)에 대해 \( \left \|a_ { n } \right \| \leq M \)이다.)</p> <p>\(10~11 \). \( \left \{ c_ { n } \right \} \)을 양수의 수열이라 하자.</p> <p>\(10 \). (근판정법) \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (c_ { n } \right ) ^ {\frac { 1 } { n } } =A \)가 존재한다 가정하자. 급수 \( \sum c_ { n } \)은 \( 0 \leq A<1 \)일때 수렴하고 \( A>1 \)이면 발산함을 증명하라. (도움말 : \( A<1 \) 이면 \( A<B<1 \)인 \( B \)가 존재한다. 따라서 \( n \geq N \)이면 \( c_ { n }<B ^ { n } \)이다(왜?). \( 1<A \)이면 모든 \( n \geq N ^ {\prime } \)에 대해 \( c_ { n } \geq 1 \)이다(왜?).)</p> <p>\(11 \). (비율판정법) \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { c_ { n + 1 } } { c_ { n } } =c \] 가 존재한다고 하자. \( 0 \leq c<1 \)이면 \( \sum c_ { n } \)이 수렴하고 \( c>1 \)이면 발산함을 증명하라. (도움말 : \( c<1 \)이면 \( c<d<1 \)인 \( d \)에 대해 모든 \( n \geq N \)에 대해 \( c_ { n + 1 } \leq d c_ { n } \)이다(왜?). 따라서 \( c_ { n + k } \leq d ^ { k } c_ { n } (k=0,1,2, \cdots) \)이고 \( \sum c_ { j } \)는 수렴한다. \( c>1 \)이면 모든 \( n \geq N ^ {\prime } \)에 대해 \( c_ { n + 1 } \geq c_ { n } \)이다(왜?). 그러므로 \( \left \{ c_ { n } \right \} \)은 \(0 \)으로 수렴하지 않는다.)</p> <p>[예제 \(1.9 \)] 위에서 행한 것을 하나의 특수한 경우에 확인하기 위해서 \[ \|z-i\|= \frac { 1 } { 2 } \|z-1\| \] 을 만족하는 점 \( z \)들의 위치를 생각해 보자. 양변에 \(2 \)를 곱하고 제곱하면 \[ 4 \left \{ \|z\| ^ { 2 } -2 \Re(z \bar { i } ) + \|i\| ^ { 2 } \right \} =\|z\| ^ { 2 } -2 \Re z + \|1\| ^ { 2 } \] 이 되고, 간단히 하면 \[ 3\|z\| ^ { 2 } -8 y + 2 x=-3 \] 이 된다. 조금 더 계산해 보면 \[ 3 x ^ { 2 } + 2 x + \frac { 1 } { 3 } + 3 y ^ { 2 } -8 y + \frac { 16 } { 3 } =-3 + \frac { 17 } { 3 } = \frac { 8 } { 3 } \] 이 된다. 따라서 \[ \left (x + \frac { 1 } { 3 } \right ) ^ { 2 } + \left (y- \frac { 4 } { 3 } \right ) ^ { 2 } = \frac { 8 } { 9 } \] 을 얻는다. 이것은 중심이 \( - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 4 i } { 3 } \)이고 반지름이 \( \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \)인 원이다. 예제의 앞에 있던 표현을 써서 \( p=i, q=1, \varrho= \frac { 1 } { 2 } \)이라 하자. 그러면 반지름은 \[ R= \frac { \|p-q\| \varrho } { 1- \varrho ^ { 2 } } = \frac {\sqrt { 2 } \left ( \frac { 1 } { 2 } \right ) } {\frac { 3 } { 4 } } = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \] 이고 중심은 \[ z_ { 0 } = \frac { p- \varrho ^ { 2 } q } { 1- \varrho ^ { 2 } } = \frac { - \frac { 1 } { 4 } + i } {\frac { 3 } { 4 } } =- \frac { 1 } { 3 } + \frac { 4 } { 3 } i \] 이다. 이것은 조금 전에 구했던 값들이다. 이 원의 중심은 \(1 \)과 \( i \)를 지나는 직선 위에 있다(그림 \(1.11 \)).</p> <p>\(20 \). (a) 항등식 \( 1 + z + z ^ { 2 } + \cdots + z ^ { n } = \frac { 1-z ^ { n + 1 } } { 1-z } \)가 \( z \neq 1 \)인 모든 \( z \)에 대해 성립함을 증명하라.</p> <p>(b) (a)를 이용해 다음 등식(라그랑주 등식)을 증명하라.</p> <p>\( \begin {aligned} \sum_ { 0 } ^ { n } \cos k \vartheta &=1 + \cos \vartheta + \cos 2 \vartheta + \cdots + \cos n \vartheta \\ &= \frac { 1 } { 2 } + \frac {\sin \left (n + \frac { 1 } { 2 } \right ) \vartheta } { 2 \sin \frac { 1 } { 2 } \vartheta } \end {aligned} \)</p> <p>\(21 \). \( \operatorname { Arg } w \)를 \( - \pi \)와 \( \pi \)를 포함한 사이의 편각의 값이라 하자. \( \|z\|=1 \)이면 \[ \operatorname { Arg } \left ( \frac { z-1 } { z + 1 } \right )= \left \{\begin {aligned} \frac {\pi } { 2 } &: \Im z>0 \\ - \frac {\pi } { 2 } &: \quad \Im z<0 \end {aligned} \right . \]</p> <p>\(22 \). \( \arg \frac { z } { w } = \arg z- \arg w \)임을 증명하고 등식의 의미를 기술하라. 또 \( \overline {\arg \bar { z } } = \) \( \arg \bar { z } =- \arg z \)임을 보여라.</p> <p>\(23 \). \( \cos n \vartheta \)는 정수 계수에 의한 \( \cos \vartheta \)의 멱의 조합으로 표현될 수 있다. (도움말 : 드 무아브르 공식 (식 \( (1.2) \)와 \( \sin ^ { 2 } \vartheta=1- \cos ^ { 2 } \vartheta \)라는 사실을 이용하라.)</p> <p>\(24 \). (a) \( p \)와 \( q \)가 음이 아닌 실수라 할 때 \( (p-q) ^ { 2 } \)을 고려함으로써 \[ p + q \leq \sqrt { 2 } \sqrt { p ^ { 2 } + q ^ { 2 } } \] 임을 증명하라.</p> <p>\(27 \). \( C \)를 원이나 직선이라 하자. \( B \)가 고정된 복소수일 때 점 \( z + \beta(z \in C) \)의 그림도 원 또는 직선임을 보여라.</p> <p>\(28 \). \( C \)를 원이나 직선이라 하자. \( \alpha \)가 \(0 \)이 아닌 고정된 복소수라면 점 \( \alpha z(z \in C) \)의 그림도 원 또는 직선임을 보여라.</p> <p>\(29 \). \( L \)을 \( a>0 \)일 때 직선 \( y=a \)라 하자. 점 \( \frac { 1 } { z } (z \in L) \)의 그림은 반지름이 \( \frac { 1 } { 2 a } \)이고 중심이 \( - \frac { i } { 2 a } \)인 원임을 보여라.</p> <p>\(30 \). \( L \)을 원점을 지나는 직선이라 하자. 점 \( \frac { 1 } { z } (z \in L) \)들의 그림은 원점을 지나는 직선임을 증명하라. 두 직선의 기울기의 관계는?</p> <p>\(31 \). \( C \)를 원 \( \|z-c\|=r(0<r<c) \)이라 하자. 점 \( \frac { 1 } { z } (z \in C) \)들의 그림은 중심이 \( \frac { c } { c ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \)이고 반지름이 \( \frac { r } { c ^ { 2 } -r ^ { 2 } } \)인 원임을 증명하라.</p> <p>\(32 \). \( C \)를 원 \( \|z-r\|=r(r>0) \)이라 하자. 점 \( \frac { 1 } { z } (z \in C) \)들의 그림은 \( \frac { 1 } { 2 r } \)을 지나는 수직선임을 보여라.</p> <h1>1.3 평면의 부분집합</h1> <p>복소함수론의 기본을 이해하기 위해서는, 복소평면의 몇 가지 특수한 형태의 부분집합을 생각해 보아야 한다. 여기서는 이 집합들의 정의와 기본적인 성질을 살펴본다.</p> <h2>1.3.1 열린 집합과 닫힌 집합</h2> <p>\( \varepsilon>0 \)에 대해, \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \)을 만족하는 모든 점 \( z \)의 집합을 \( z_ { 0 } \)의 \( \varepsilon \) 근방(간단히 근방) 또는 \( z_ { 0 } \)이 중심이고 반지름이 \( \varepsilon \)인 열린 원반이라 하고, \( z_ { 0 } \)이 빠진 집합 \( 0< \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \varepsilon \)을 \( z_ { 0 } \)의 빠진 근방이라 한다. 점 \( w_ { 0 } \)과 집합 \( D \subset \mathbb { C } \)에 대해, \( D \)안에 완전히 머무는 \( w_ { 0 } \) 의 근방이 존재하면 \( w_ { 0 } \)을 \( D \)의 내점이라 하고(그림 \( \left .1.14 \right ), D \)의 점을 전혀 포함하지 않는 \( w_ { 0 } \)의 근방이 존재하면 \( w_ { 0 } \)을 \( D \)의 외점이라 한다. 모든 점이 내점인 집합은 열렸다(또는 열린 집합이라)고 한다.</p> <h2>1.1.5 복소수의 기원-재탐구</h2> <p>복소해석학은 미적분학의 사고를 허수에 적용하는 분야로 생각할 수 있다. 그러나 허수가 정확히 무엇인가? 보통, 학생들은 고등학교에서 교사들에게 다음과 같은 주의사항과 함께 이것에 관해 배운다. “우리는 음수의 제곱근은 취할 수가 없습니다. 그러나, 할 수 있다고 '가정'하고 이 수가 정말로 허수이므로 기호로 \( i= \sqrt { -1 } \)이라 놓는 것이 편리할 것입니다." 그리고는 이 수에 대한 산술법칙을 배운다. 법칙은 성립한다. \( i= \sqrt { -1 } \)이면 \( i ^ { 2 } =-1 \)을 얻는다. 한편, 허수가 수학보다는 마술을 하는지에 대해 의아해하는 것은 이상한 일이 아니다.</p> <p>여러분이 그렇게 느꼈다면 자신을 축하하라! 여러분은 \(16 \)세기부터 \(19 \)세기 사이의 위대한 수학자의 반열에 있는 것이다. 그들 역시 음수의 제곱근의 개념에 혼란을 겪었다. 이 절의 목표는 어떻게 허수가 도입되고, 탐구되고, 회피되었고, 무시되었으며 궁극적 으로 수학사회에서 받아들여졌는지에 대한 매우 다양한 역사가 된 여러 가지 에피소드를 강조하는데 있다. 일반적인 믿음에 반해,“허수"에 관한 어떤 허상도 정말로 존재하지 않는다는 것을 보이고자 한다.</p> <p>이야기는 1545 년으로 거슬러 올라간다. 그 때에 이태리 수학자 지롤라모 카르다노 \( ( \mathrm { G } \).Cardano, \(1501 \)- \(1576 \))는 \(40 \)쪽짜리 대표작 「위대한 예술」(Ars Magna)을 출판하였다. 그는 여기서 일반적인 \(3 \)차 방정식 \[ x ^ { 3 } + a x ^ { 2 } + b x + c=0 \] 에 대한 대수적인 해를 처음으로 제시하였다. 그의 방법은 이 방정식을 저하된 3차 방 정식이라 불리는 방정식으로 변환하는 것을 사용하였다. 이 방정식은 \( x ^ { 2 } \)항이 없는 \(3 \)차 방정식이고 따라서 \[ x ^ { 3 } + b x + c=0 \] 으로 쓰여질 수 있다.</p> <p>카르다노는 이런 형태의 방정식을 어떻게 다루어야 하는지를 알았다. 이것의 해는 니콜로 폰타나(N. Pontana)에 의해 그에게 전해졌는데, 불행하게도 폰타나는 타르탈리아(N. Tartaglia, 1499-1557)라는 말더듬이로 알려져 있다. 해는 또한 약 \(30 \)년 앞서 페로(Scipione de Ferro)에 의해 독립적으로 발견되었다. 페로와 타르탈리아는 저하된 \(3 \)차 방정식에 대한 해 중의 하나가 \[ x= \sqrt[3] { - \frac { c } { 2 } + \sqrt {\frac { c ^ { 2 } } { 4 } + \frac { b ^ { 3 } } { 27 } } } - \sqrt[3] {\frac { c } { 2 } + \sqrt {\frac { c ^ { 2 } } { 4 } + \frac { b ^ { 3 } } { 27 } } } \]<caption>(1.4)</caption>임을 보였다. \( x \)에 대한 이 값은 저하된 \(3 \)차 방정식을 \(1 \)차식과 \(2 \)차식으로 인수분해하는데 사용되어질 수 있고, \(2 \)차식은 근의 공식을 이용해 풀 수 있다. 따라서, 타르탈리아의 결과와 슬기로운 변환기술을 이용해 카르다노는 불가능한 작업처럼 보였던 일반적인 \(3 \)차 방정식의 해법을 알아 낼 수 있었다.</p> <p>\(30 \). \( 0< \alpha<2 \)라 하자. \( f(z)=z ^ {\alpha } = \exp ( \alpha \log z) \)에 대한 \( \log z \)의 알맞은 선택은 영역 \( \{ x + i y: y>0 \} \)을 영역 \( \{ w: 0< \arg w< \alpha w \} \) 위로 \( 1-1 \)로 사상함을 보여라. 또한 \( f \)는 경계를 경계로 보냄을 증명하라(그림 \(1.33) \).</p> <p>\(31 \). 함수 \( w=g(z)=e ^ { z ^ { 2 } } \)는 직선 \( x=y \)와 \( x=-y \)를 원 \( \|w\|=1 \) 위로 사상함을 보여라. 더욱이 \( g \)는 구역 \( \left \{ x + i y: x ^ { 2 } >y ^ { 2 } \right \} \)의 두 조각의 각각을 집합 \( \{ w:\|w\|>1 \} \) 위로 보내고 구역 \( \left \{ x + i y: x ^ { 2 }<y ^ { 2 } \right \} \)의 두 조각의 각각을 집합 \( \{ w:\|w\|<1 \} \) 위로 사상함을 보여라.</p> <p>\(32 \). \( \zeta \) 가 \[ -i \log \left (i z + \sqrt { 1-z ^ { 2 } } \right ) \] 의 임의의 값이라면 \( \sin \zeta=z \)임을 직접 증명하라. 마찬가지로 \( \xi \)가 \[ \frac { i } { 2 } \log \left ( \frac { 1-i w } { 1 + i w } \right ) \] 의 임의의 값이라면, \( \tan \xi=w \)임을 보여라.</p> <p>\(33 \). 문제 \(32 \)의 결과와 로그함수의 분지에 관한 여러분의 지식을 이용해 \( \arcsin z \)의 분지를 설명하라.</p> <p>\(34 \). (a) 역사인함수 \( \sin ^ { -1 } z \)의 분지에 관계없이 \( \sin \left ( \sin ^ { -1 } z \right )=z \)임을 보여라.</p> <p>(b) \( f_ { 1 } \)과 \( f_ { 2 } \)가 \( \sin ^ { -1 } z \)의 두 분지라 하면, \( n, k \)가 정수일 때, \( f_ { 1 } (z)=f_ { 2 } (z) + 2 n \pi \) 또는 \( f_ { 1 } (z)=(2 k + 1) \pi-f_ { 2 } (z) \)임을 보여라.</p> <p>(c) \( \operatorname { Sin } ^ { -1 } ( \sin z)=z \)는 옳은가? 여기서 \( \operatorname { Sin } ^ { -1 } z \)는 식 ( \(1.13 \))에서 로그와 제곱근의 분지가 모두 주분지로 선택된 역사인함수로 주역사인함수라 한다.</p> <h2>1.4.5 입체 사영</h2> <p>\( \mathbb { C } \)에서 절대값이 \( M \)보다 큰 모든 점의 집합을 \( \infty \)의 \( M \)-근방 \(3 \)이라 하고, \( N( \infty ; M) \)으로 쓴다. 임의의 실수 \( M>0 \)에 대해 유한개의 \( n \)을 제외한 모든 \( n \)에 대해 \( z_ { n } \in N( \infty ; M) \)이면 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)은 \( \infty \)로 접근한다고 한다.</p> <p>복소수의 집합에 \( \infty \)를 결합하면 확장된 복소수계 \( \widehat {\mathbb { C } } = \mathbb { C } \cup \{\infty \} \)를 얻는다. 이 확장된 복소수계는 두 점 \( ( + \infty \)와 \( - \infty) \)이 더해진 확장된 실수계와는 개념상 다르다는 것을 주목해야 한다. 평면의 이 한 점 컴팩트화 \( \mathbb { C } \cup \{\infty \} \)는 실직선의 한 점 컴팩트화와 같은 유사한 기하학적 모형을 갖는데 평면의 경우에는 단위원이 단위구 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 \)로 대치된다.</p> <p>복소평면의 임의의 실수 \( (a, b) \)에 대해 두 점 \( (a, b, 0) \)과 \( (0,0,1) \)을 잇는 \( \mathbb { R } ^ { 3 } \)의 한 직선을 그리자. 이 직선은 \( (0,0,1) \) 과 어떤 다른 점 \( \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } , u_ { 1 } \right ) \)에서 구 \( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } =1 \)과 만난다. 구 위의 점 \( (0,0,1) \)로부터 평면 위의 점 \( (a, b, 0) \)으로의 이 사영을 입체 사영(Stereographic projection)이라 한다(그림 \(1.23 \)).</p> <p>이 일대일 대응이 유한 복소평면의 점들과 \( (0,0,1) \)을 제외한 구 위의 모든 점을 일대일로 짝을 맺게 한다. 확장된 복소수계에서의 점 \( \infty \) 는 점 \( (0,0,1) \) 과 동일시 되는데, 점 \( (0,0,1) \)을 흔히 북극(north pole)이라 한다.</p> <p>[예제 \(1.13 \)] \( x ^ { 2 }<y \)를 만족하는 모든 점 \( z=x + i y \)의 집합도 역시 열린 집합이다. \( z_ { 0 } =x_ { 0 } + i y_ { 0 } \)를 이 안의 한 점이라 하자. 그러면 \( x_ { 0 } ^ { 2 } + \delta<y_ { 0 } \) 인 양수 \( \delta \)가 존재한다. 또한 \( 2 x_ { 0 } \delta + \delta ^ { 3 }<1- \delta \)가 되도록 \( \delta \)를 작게 가정할 수 있다(이 부등식은 하나의 기술적인 부분에서만 필요할 것이다). \( z=x + i y \)가 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta ^ { 2 } \)을 만족한다고 하자. 그러면 \( \delta ^ { 2 } >\left \|x-x_ { 0 } \right \| \)이고 \( \delta ^ { 2 } >\left \|y-y_ { 0 } \right \| \)이다. 따라서 \[ \begin {aligned} x ^ { 2 } &< \left (x_ { 0 } + \delta ^ { 2 } \right ) ^ { 2 } =x_ { 0 } ^ { 2 } + 2 x_ { 0 } \delta ^ { 2 } + \delta ^ { 4 } \\ &<y_ { 0 } - \delta + 2 x_ { 0 } \delta ^ { 2 } + \delta ^ { 4 } \\ &<y + \delta ^ { 2 } - \delta + 2 x_ { 0 } \delta ^ { 2 } + \delta ^ { 4 } \end {aligned} \] 이다. 그러나 \( \delta \)의 선택 때문에 \( \delta ^ { 2 } - \delta + 2 x_ { 0 } \delta ^ { 2 } + \delta ^ { 4 }<0 \)이므로 \( z \)가 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta ^ { 2 } \)을 만족하기만 하면 \( x ^ { 2 }<y \)이 된다.</p> <p>\(22 \). \( a( \neq 0), b \)와 \( c \)를 복소수라 하자. \( a z ^ { 2 } + b z + c=0 \)의 해는 \[ z_ { 1 } , z_ { 2 } = \frac { -b \pm \sqrt { b ^ { 2 } -4 a c } } { 2 a } \] 로서 이는 \( a, b \)와 \( c \)가 실수일 때와 꼭 같다.</p> <p>\(23 \). \( b \)와 \( c \)를 복소수라 하자. 이차방정식 \( z ^ { 2 } + b z + c=0 \)의 해가 서로 다른 것의 복소공액이기 위한 필요충분조건은 \( b ^ { 2 } -4 c \)가 음의 실수이고 \( b \)는 실수이며 \( c \)는 양수인 것이다.</p> <p>\(24 \). \( A \)를 복소수라 하고 \( B \)를 실수라 한다. 방정식 \( \left \|z ^ { 2 } \right \| + \Re(A z) + B=0 \)이 근을 가질 필요충분조건은 \( \|A\| ^ { 2 } \geq 4 B \)인 것이다. 이것이 사실이라면, 해집합은 원이거나 한 개의 점임을 보여라.</p> <p>\(25 \). \( C \)가 원이고 \( A \)와 \( B \)를 \( C \)에 있는 임의의 두 개의 서로 다른 점이라 하자. \( A \)와 \( B \)를 잇는 \( C \)의 더 작은 호 위에 \( P \)를 잡으면 선분 \( A P \)와 \( B P \)가 이루는 각은 \( P \)와 무관함을 보여라. 이 각은 \( A \)와 \( B \)가 직경의 양쪽 끝에 있다면 \( \frac {\pi } { 2 } \)이다. '더 작은'이 '더 큰'으로 바뀌어도 결과는 참이다.</p> <p>\(26 \). \( z_ { 1 } , z_ { 2 } , \cdots, z_ { n } \)을 복소수라 하자. 수학적 귀납법에 의해 다음을 증명하라. \[ \left \|z_ { 1 } + \cdots + z_ { n } \right \| \leq \left \|z_ { 1 } \right \| + \cdots + \left \|z_ { n } \right \| \]</p> <p>\(27 \). \( n=2 \)인 경우 슈바르츠 부등식을 직접 증명하라.</p> <p>\(28 \). 슈바르츠 부등식은 어느 때 등식이 성립하는가?</p> <p>\(29 \). 슈바르츠 부등식을 이용해 \[ \left \{\sum_ { j=1 } ^ { n } \left \|a_ { j } + b_ { j } \right \| ^ { 2 } \right \} ^ {\frac { 1 } { 2 } } \leq \left \{\sum_ { j=1 } ^ { n } \left \|a_ { j } \right \| ^ { 2 } \right \} ^ {\frac { 1 } { 2 } } + \left \{\sum_ { j=1 } ^ { n } \left \|b_ { j } \right \| ^ { 2 } \right \} ^ {\frac { 1 } { 2 } } \] 을 만들어라. (도움말 : \( \sum_ { j=1 } ^ { n } \left \|a_ { j } + b_ { j } \right \| ^ { 2 } \)을 전개하고 슈바르츠 부등식을 쓰라.)</p> <p>\(30 \). \( \operatorname { Arg } \frac { 1 } { z } \neq- \operatorname { Arg } z \)인 복소수 \( z \)의 집합을 서술하라.</p> <p>\(31 \). \( P(z)=a_ { n } z ^ { n } + a_ { n-1 } z ^ { n-1 } + \cdots + a_ { 1 } z + a_ { 0 } \)을 실계수 \( a_ { 0 } , a_ { 1 } , \ldots, a_ { n } \)을 갖는 다항식이라 하자. \( z_ { 1 } \)이 \( P(z) \)의 해라면 \( \bar { z } _ { 1 } \)도 해임을 증명하라.</p> <p>\( 1.1 .4 \)절</p> <p>\(1 \). 곱셈에 관한 법칙으로부터 \( z ^ { 2 } =(-z) ^ { 2 } \)을 직접 증명하라.</p> <p>\(2 \). \( z=(x, y) \)이고 \( z ^ { 2 } =(-1,0) \)이라 가정하자. \( z=i \) 또는 \( z=-i \)임을 보여라.</p> <p>\((5) \) \( a= \frac {\pm \sqrt { x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } {\sqrt { 2 } } \), \((6) \) \( b= \frac {\pm \sqrt { -x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } } {\sqrt { 2 } } \)</p> <p>를 얻는다. \( y \)가 양수라 가정하자. 방정식 \((2) \)에 따르면 \( a \)와 \( b \)의 부호에 대해 무엇을 말할 수 있는가? 따라서 \((5) \)에서 얻은 \( a \)가 양수라면, \((6) \)에서 얻은 \( b \)도 또한 양수이다. \( a \)가 음수이면 \( b \)도 음수임을 증명하라. 그러므로 \( y>0 \)이면 \( z ^ { 1 / 2 } =a + b i \)에 대해 두 가지의 가능한 값이 존재한다.</p> <p>(e) \( y \)가 음수라 가정하자. \( a + b i \)가 하나의 값에 대해서는 \( a \)가 양이고 \( b \)가 음이고 다른 하나는 그 반대인 두 값을 가짐을 증명하라.</p> <p>(f) \( y=0 \)이라 가정하자. \( x \)가 양, 영, 음이 됨에 따라 \( (x + i y) ^ { 1 / 2 } \)은 양, 영, 또는 음의 한 쌍의 값을 가짐을 보여라.</p> <p>(g) 방정식 \((5) \)와 \((6) \)을 이용해 \( i ^ { 1 / 2 } \)의 두 값을 구하라. 다른 방법을 이용해 똑같은 값을 얻을 수 있음을 검토하라.</p> <p>3. \( z=1 + 2 i, w=2-i \)이고 \( \zeta=4 + 3 i \)라 하자. 다음 값들을 계산하라.<ol type=a start=1><li>\( z + 3 w \)</li> <li>\( -2 w + \bar {\zeta } \)</li> <li>\( z ^ { 2 } \)</li> <li>\( w ^ { 3 } + w \)</li> <li>\( \Re \left ( \zeta ^ { -1 } \right ) \)</li> <li>\( \frac { w } { z } \)</li> <li>\( \zeta ^ { 2 } + 2 \bar {\zeta } + 3 \)</li></ol></p> <p>\( z \)와 \( w \)의 역할을 바꾸면 \[ \arcsin z=-i \log \left (i z + \sqrt { 1-z ^ { 2 } } \right ), \quad z \in D \]<caption>(1.13)</caption>이라 쓸 수 있다. 이 함수는 \( D \)에서 연속인 함수이다. (제곱근은 \(2 \)가함수라는 사실과 앞의 결과로부터 식 \((1.13) \)이 사인값이 주어진 수 \( z \)와 같은 복소수에 대한 구체적인 공식이다.) 같은 방법으로, \[ \arccos z=-i \log \left (z + \sqrt { z ^ { 2 } -1 } \right ) \] 이고 \[ \arctan z= \frac { i } { 2 } \log \left ( \frac { 1-i z } { 1 + i z } \right ), \quad z \neq \pm i \] 이다. 이때 결론에 쓴 로그(또는 대수)와 제곱근에 대한 알맞은 설명一제곱근과 로그함수가 일가함수가 되도록 하는 분지를 선택하는 것一이 덧붙여진다(연습문제 \(32,33 ) \).</p> <p>연습문제 \( 1.5 \)</p> <p>\(1 \)~ \(5 \). 주어진 표현의 값을 구하라.</p> <p>\(1 \).<ol type=a start=1><li>\( e ^ {\frac {\pi i } { 4 } } \)</li> <li>\( e ^ {\frac { 5 \pi i } { 4 } } \)</li> <li>\( \log (1 + i \sqrt { 3 } ) \)</li></ol></p> <p>\(2 \).<ol type=a start=1><li>\( \log (-i) \)</li> <li>\( (1 + i) ^ { i } \)</li> <li>\( 2 ^ { -1-i } \)</li></ol></p> <p>\(3 \).<ol type=a start=1><li>\( e ^ { - \frac { 7 \pi i } { 3 } } \)</li> <li>\( \exp ( \log (3 + 2 i)) \)</li> <li>\( \log (4-4 i) \)</li></ol></p> <p>\(4 \).<ol type=a start=1><li>\( \log (-1) \)</li> <li>\( i ^ {\sqrt { 3 } } \)</li> <li>\( \log ( \sqrt { 3 } -i) \)</li></ol></p> <p>\(5 \).<ol type=a start=1><li>\( \log \left ((1-i) ^ { 4 } \right ) \)</li> <li>\( \exp \left [ \pi \left ( \frac { 1 + i } {\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 4 } \right ] \)</li></ol></p> <p>\( \log z \)가 다가함수이므로, 함수 \( z ^ { a } \)는 일반적으로 다가함수이다. \[ f(z)=e ^ { a \log z } \] 으로 주어진 함수 \( f \)를 다가함수 \( z ^ { a } \)의 주분지라 부른다.</p> <p>[예제 \(1.65 \)] \( (-1) ^ { i } \)의 값을 찾아라.</p> <p>풀이 \( \log (-1)=(2 n + 1) \pi i(n=0, \pm 1, \cdots) \)를 이용해 \[ (-1) ^ { i } =e ^ { i \log (-1) } =e ^ { -(2 n + 1) \pi } , \quad n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \] 을 얻는다.</p> <p>[예제 \(1.66 \)] \( \sqrt { 1 + i } \)의 값을 구하라.</p> <p>풀이 \( n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \)일 때 \( \log (1 + i)= \frac {\ln 2 } { 2 } + i \left ( \frac { 1 } { 4 } + 2 n \right ) \pi \)임을 이용하면 \[ \begin {aligned} \sqrt { 1 + i } &=(1 + i) ^ {\frac { 1 } { 2 } } =e ^ {\frac { 1 } { 2 } \log (1 + i) } \\ &=e ^ {\frac { 1 } { 2 } \left ( \ln 2 ^ {\frac { 1 } { 2 } } + \left ( \frac { 1 } { 4 } + 2 n \right ) \pi i \right ) } \\ &=e ^ {\ln 2 ^ {\frac { 1 } { 4 } } + \left ( \frac { 1 } { 8 } + n \right ) \pi i } \\ &=2 ^ {\frac { 1 } { 4 } } \left ( \cos \left ( \frac { 1 } { 8 } + n \right ) \pi + i \sin \left ( \frac { 1 } { 8 } + n \right ) \pi \right ), \quad n=0, \pm 1, \cdots \end {aligned} \] 를 얻는다.</p> <p>이것은 실함수인 경우에는 실변수가 왼쪽이나 오른쪽으로만 접근하기 때문에 근본적으로 다르게 된다. 복소수 \( z \)는 무한히 많은 방향으로부터 \( z_ { 0 } \)에 접근할 수 있다. 다시 한 번 몇 개의 예제를 살펴보는 것이 도움이 될 것이다.</p> <p>[예제 1.45] 함수 \( f(z)=\|z\| ^ { 3 } \)는 점 \( z_ { 0 } =-2 i \)에서 극한 8을 갖는다.</p> <p>[예제 1.46] 함수 \( g(z)= \frac { 1 } { 1-z } \)은 점 \( z_ { 0 } =i \)에서 극한 \( \frac { 1 + i } { 2 } \)를 갖는다.</p> <p>[예제 1.47] 함수 \( h(z)= \Re \left (z ^ { 4 } + 4 \right ) \)는 점 \( z_ { 0 } =1 + i \)에서 극한 0을 갖는다.</p> <p>[예제 1.48] 함수 \( f(z)= \frac { z ^ { 4 } -1 } { z-i } \)는 점 \( z_ { 0 } =i \)에서 극한 \( -4 i \)를 갖는다. 이는 \( z ^ { 4 } -1= (z-i)(z + i)(z-1)(z + 1) \) 이므로 \( f(z) \)는 \( z \neq i \)이면 \( (z + i)(z + 1)(z-1) \)로 단순화 되기 때문이다.</p> <p>[예제 1.49] 함수 \( f(z)= \frac { z } {\bar { z } } (z \neq 0) \)을 \( z_ { 0 } =0 \)에서 극한을 갖지 않는다. \( z \)가 실수라면 \( f(z)=1 \)이고 \( z \)가 순허수 \( z=i y \)라면 \( f(i y)=-1 \)이다. 그러한 함수는 \( z_ { 0 } =0 \)에서 극한을 가질 수 없다.</p> <p>만일, 주어진 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \( \|z\| \geq M \)이기만 하면 \( \|f(z)-L\|< \varepsilon \)이 되는 커다란 수 \( M \)이 존재한다면, 함수 \( f \) 는 \( \infty \) 에서 극한 \( L \)을 갖는다고 하고 \[ \lim _ { z \rightarrow \infty } f(z)=L \] 로 쓴다.</p> <p>여기서 \( \|z\| \)가 크기만 하면 될 뿐 \( \arg z \)에 대한 제한은 없음에 유의하라.</p> <p>더욱이, 위의 사상과 그 역사상이 연속임을 밝히는 것은 그리 어렵지 않다.</p> <p>연습문제 \( 1.4 \)</p> <p>\( 1.4 .1 \) 절 \( -1.4 .3 \) 절</p> <p>\(1 \). \( f(z)=f(x + i y)=x + y + i \left (x ^ { 3 } y-y ^ { 2 } \right ) \)이라 하자. 다음 값을 구하라.<ol type=a start=1><li>\( f(-1 + 3 i) \)</li> <li>\( f(3 i-2) \)</li></ol></p> <p>\(2 \). \( f(z)=z ^ { 2 } + 4 z \bar { z } -5 \Re z + \Im z \)일 때 다음 값을 구하라.<ol type=a start=1><li>\( f(-3 + 2 i) \)</li> <li>\( f(2 i-1) \)</li></ol></p> <p>\(3 \). \( f(z)= \frac { z + 2-i } { z-1 + i } \)를 \( u + i v \)의 형태로 써라.</p> <p>\(4~8 \). 수렴하는 각 수열의 극한을 구하라. 수열이 발산하면 그 이유를 설명하라.</p> <p>\(4 \).<ol type=a start=1><li>\( z_ { n } = \left ( \frac { 1 + i } {\sqrt { 3 } } \right ) ^ { n } \)</li> <li>\( z_ { n } = \left ( \frac { 1 + i } {\sqrt { 2 } } \right ) ^ { n } \)</li></ol></p> <p>\(5 \).<ol type=a start=1><li>\( z_ { n } =n \left ( \frac { i } { 2 } \right ) ^ { n } \)</li> <li>\( z_ { n } = \log \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) \)</li></ol></p> <p>\(6 \).<ol type=a start=1><li>\( z_ { n } =n + \frac { i } { n } \)</li> <li>\( z_ { n } = \frac {\cos n \vartheta + i \sin n \vartheta } { n } , \vartheta \) : 고정</li></ol></p> <p>\(7 \). \( z_ { n } = \operatorname { Arg } \left (1 + \frac {\alpha } { n } \right ), \quad \alpha \) : 고정된 복소수</p> <p>그러나 가우스와 그렇게 많은 다른 사람들이 생산하는 것을 도운 이론은 무엇이고 이 제 우리는 복소수를 어떻게 생각하는가? 이것이 \(1 \)장의 내용이다.</p> <p>연습문제 \( 1.1 \)</p> <p>\(1.1.1 \)절 - \(1.1 .3 \)절</p> <p>\(1 \). (a) 복소수체 \( \mathbb { C } \)위에서 순서를 정의할 수 있는 방법이 많이 있다. 이 중 한 가지를 정의하라.</p> <p>(b) 체 \( F \)위에 순서<가 정의되어 있고 다음 두 조건을 만족할 때, \( F \)를 순서체라 한다. \( a, b, c \in F \)에 대해,<ol type=i start=1><li>\( a>b \Rightarrow \forall c, a + c>b + c \)</li> <li>\( a>0, b>0 \Rightarrow a \cdot b>0 \)</li></ol>복소수체는 이 정의에 의한 순서체가 될 수 없음을 증명하라.</p> <p>\(2 \). \( x, y \)가 주어진 수이고, \( a, b \)가 미지수일 때, \( a + b i= \sqrt { x + i y } \)라 하자. 다음 순서대로 \( a, b \)를 \( x, y \)에 관해 풀고자 한다. 각 문제를 증명하라.</p> <p>(a) 이 방정식의 양변을 제곱하여<ol type=1 start=1><li>\( x=a ^ { 2 } -b ^ { 2 } \),</li> <li>\( y=2 a b \)</li></ol>임을 밝혀라. 여기서 \( y \neq 0 \)이라 가정하자.</p> <p>(b) 방정식 ( \(2 \))를 이용해 ( \(1 \))에서 \( b \)를 소거하면, 방정식 ( \(1 \))은 \( a ^ { 2 } \)에 관한 \(2 \)차 방정식이 됨을 증명하라.</p> <p>\((3) \) \( a ^ { 2 } = \frac { x \pm \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { 2 } \)임을 중명하라. \((3) \)에서 음의 부호를 제거해야만 하는 이유를 설명하라. (도움말 : \( a \)가 어떻게 가정되었는가?)</p> <p>(c) 식 \((4) \) \( b ^ { 2 } = \frac { -x + \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { 2 } \)를 증명하라.</p> <p>(d) 방정식 \((3) \)과 \((4) \)에서 제곱근을 취하면</p> <p>\( f(z)=e ^ { z } \)의 사상은 복소 \( z \)-평면을 0이 빠진 복소 \( w \)-평면으로 옮긴다. 각각의 점 \( w_ { 0 } \)는 각각의 형태가 \( z_ { 0 } + 2 \pi i m(m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots) \)인 역상 \( z \)를 무한히 많이 갖는다(여기서 \( z_ { 0 } \)은 \( e ^ { z_ { 0 } } =w_ { 0 } \)이 되는 임의의 해이다). 특히 \( f(z)=e ^ { z } \)는 띠 \( y_ { 0 } \leq \Im z< y_ { 0 } + 2 \pi,- \infty< \Re z< \infty \)를 원점이 제거된 \( w \)-평면으로 옮긴다. 함수 \( f(z)=e ^ { z } \)는 그 띠 위에서 \( 1-1 \)이다. \( e ^ { z_ { 1 } } =e ^ { z_ { 2 } } \)라면 \( e ^ { z_ { 1 } -z_ { 2 } } =1 \)이고 따라서 어떤 정수 \( k \)에 대해 \( z_ { 1 } -z_ { 2 } =2 \pi i k \) 이다(그림 1.25).</p> <p>함수 \( f(z)=e ^ { z } \)는 각 수평선 \( y=c \)를 원점에서 무한점을 연결하는 반직선(사선)으로, 즉 사선 \( \{ r \cos c + i r \sin c: 0<r< \infty \} \) 으로 사상한다. 이것은 \( \exp (x + i c)= \) \( e ^ { x } ( \cos c + i \sin c) \)이고 \( x \)가 \( - \infty \)에서 \( \infty \)로 커갈 때 \( e ^ { x } \)는 \(0 \)에서 \( \infty \)로 증가하기 때문 이다. 물론 \( e ^ { x } >0 \)이다. 또한 \( \exp (c + i y)=e ^ { c } ( \cos y + i \sin y) \)이므로, \( e ^ { z } \)는 각각의 수직선 \( x=c \)를 중심이 원점이고 반지름이 \( e ^ { c } \)인 원으로 사상한다. 이 원 위의 각 점은 \( \cos y \)와 \( \sin y \)가 주기함수 (주기 \( 2 \pi\)) 이므로 수직선의 수많은 점들의 상이 된다.</p> <p>[예제 \(1.10 \)] 반지름이 \( R \)인 각각의 열린 원반 \( D= \left \{ z: \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \right \} \)은 열린 집합이다. 이것을 보기 위해 \( w_ { 0 } \in D \)를 택하고 \( \left \|w_ { 0 } -z_ { 0 } \right \|=r<R \)이라 하자. \( \varepsilon= \frac { R-r } { 3 } \)로 놓고 \( \left \|z-w_ { 0 } \right \|< \varepsilon \)인 임의의 \( z \)에 대해 삼각부등식을 쓰면 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq \left \|z-w_ { 0 } \right \| + \left \|w_ { 0 } -z_ { 0 } \right \|< \varepsilon + r= \frac { R-r } { 3 } + r<R \] 이 된다. 따라서 \( w_ { 0 } \)의 \( \varepsilon \)근방이 집합 \( D \)안에 있다. 그러므로 \( D \)의 각 점은 내점이고, 결과적으로 \( D \)는 열렸다.</p> <p>[예제 \(1.11 \)] \( D= \{ z: \Re z>0 \} \)은 열린 집합이다. 이를 보이기 위해 \( w_ { 0 } \in D \)이라하면 \( \sigma_ { 0 } = \Re w_ { 0 } >0 \)이다. \( \varepsilon= \frac { 1 } { 2 } \sigma_ { 0 } \)이고 \( \left \|z-w_ { 0 } \right \| \leq \varepsilon \)이라면 \( - \varepsilon< \Re \left (z-w_ { 0 } \right )< \varepsilon \)이다. 그러므로 다음이 성립한다. \[ \Re z= \Re \left (z-w_ { 0 } \right ) + \Re w_ { 0 } >- \varepsilon + \sigma_ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sigma_ { 0 } >0 \] 따라서 \( z \) 역시 \( D \) 안에 있다. 그러므로 \( D \)의 각 점 \( w_ { 0 } \)은 내점이고 \( D \)는 열렸다.</p> <p>[예제 \(1.12 \)] 집합 \( \{ z:\| \Im z\|>1 \} \)은 열린 집합이다. 예제 \( 1.11 \)과 같은 방법으로 증명할 수 있다.</p> <p>\(27 \). 함수 \( w= \cos z \)는 띠 \( \{ 0<x< \pi \} \)를 그림 \(1.31 \)의 영역 \( D \)위로 \( 1-1 \)로 사상함을 보여라. 이것을 이용해 \( \cos z \)의 역함수를 구하라. 교재에 주어진 \( \arccos z \)에 대한 공식을 유도하라.</p> <p>\(28 \). \( z \)가 \( \|z\| \geq 1 \)인 실수가 아니면, \[ \Re \left [i z + \left (1-z ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ]>0, \quad \Re \left [i z- \left (1-z ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ]<0 \] 이 성립함을 보여라. (도움말 : \( \Im z>0, \Im z<0, z \in(-1,1) \)인 경우로 나누어 생각하라. 연습문제 \( 1.1 \)의 \(1.1.1 \)절- \(1.1.3 \)절 \(2 \)를 참고하라.) 또 이를 이용해 \[ \begin {array} { l } \left \| \Re \left [-i \log \left (i z + \sqrt { 1-z ^ { 2 } } \right ) \right ] \right \|< \frac {\pi } { 2 } , \\ \left \| \Re \left [-i \log \left (i z- \sqrt { 1-z ^ { 2 } } \right ) \right ] \right \|>\frac {\pi } { 2 } \end {array} \] 임을 증명하라. (도움말: \( i z \pm \sqrt { 1-z ^ { 2 } } =u + i v \)로 놓으면 각각의 경우에서 \( u>0 \) (점 \( (u, v) \)가 \(1,4 \)사분면의 점) 또는 \( u<0 \) (점 \( (u, v) \)가 \(2,3 \)사분면의 점)이다. 이 때 실부를 계산해 보라.)</p> <p>\(29 \). \( z \)가 \( \|z\| \geq 1 \)인 실수일 때에도 다음 등식이 성립함을 보여라. \[ \arcsin z=-i \log \left [ \left (1-z ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } + i z \right ] \]</p> <p>\( u \)를 실수라 하면 (삼각) 쌍곡함수를 \[ \begin {aligned} \cosh u &= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { u } + e ^ { -u } \right ), \\ \sinh u &= \frac { 1 } { 2 } \left (e ^ { u } -e ^ { -u } \right ) \end {aligned} \] 으로 정의할 수 있고, 이때 \[ \begin {array} { l } \cos (x + i y)= \cos x \cosh y-i \sin x \sinh y \\ \sin (x + i y)= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y \end {array} \] 가 된다. 증명은 연습문제(문제 \(16 \))로 남긴다.</p> <p>\( \sin (x + i y) \)에 관한 위의 식을 이용해 함수 \( f(z)= \sin z \)의 몇 가지 기본 성질을 알아 볼 수 있다.</p> <p>\( z=x + i y \)가 \( 0 \leq x< \frac {\pi } { 2 } \)이고 \( y \geq 0 \)이라 하자. 이 제한된 구역에서 \( \sin z \)가 \(1 \)대 \(1 \) 즉, \( x_ { 1 } \)과 \( x_ { 2 } \)가 \( \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ) \)안에 있고 \( y_ { 1 } \)과 \( y_ { 2 } \)가 음이 아닐 때 \[ \sin \left (x_ { 1 } + i y_ { 1 } \right )= \sin \left (x_ { 2 } + i y_ { 2 } \right ) \] 를 풀면 \( x_ { 1 } =x_ { 2 } \)이고 \( y_ { 1 } =y_ { 2 } \)-임을 보이자. \[ 2 i \sin (x + i y)=e ^ { i x } e ^ { -y } -e ^ { -i x } e ^ { y } \] 임을 기억하라. 그러면 \( \sin \left (x_ { 1 } + i y_ { 1 } \right )= \sin \left (x_ { 2 } + i y_ { 2 } \right ) \)를 풀면 \[ e ^ { i x_ { 1 } } e ^ { -y_ { 1 } } -e ^ { -i x_ { 1 } } e ^ { y_ { 1 } } =e ^ { i x_ { 2 } } e ^ { -y_ { 2 } } -e ^ { -i x_ { 2 } } e ^ { y_ { 2 } } \] 이고 이는 \[ \begin {aligned} e ^ { i x_ { 1 } } e ^ { -y_ { 1 } } -e ^ { i x_ { 2 } } e ^ { -y_ { 2 } } &=e ^ { -i x_ { 1 } } e ^ { y_ { 1 } } -e ^ { -i x_ { 2 } } e ^ { y_ { 2 } } \\ &=e ^ { -i x_ { 1 } } e ^ { -i x_ { 2 } } e ^ { y_ { 1 } } e ^ { y_ { 2 } } \left [e ^ { i x_ { 2 } } e ^ { -y_ { 2 } } -e ^ { i x_ { 1 } } e ^ { -y_ { 1 } } \right ] \end {aligned} \] 을 유도한다. \( e ^ { i x_ { 1 } } e ^ { -y_ { 1 } } -e ^ { i x_ { 2 } } e ^ { -y_ { 2 } } \neq 0 \)이면, 양변을 이것으로 나누면 \[ 1=-e ^ { -i x_ { 1 } } e ^ { -i x_ { 2 } } e ^ { y_ { 1 } } e ^ { y_ { 2 } } \] 을 얻는다. 좌변의 절대값은 \(1 \)이고 우변의 것은 \( \exp \left (y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) \)이다. 이는 \( y_ { 1 } + y_ { 2 } =0 \)임을 말한다. 따라서 \( \exp \left [-i x_ { 1 } -i x_ { 2 } \right ]=-1 \)이 되고 이것은 어떤 정수 \( m \)에 대해 \( x_ { 1 } + x_ { 2 } = \) \( \pi(2 m + 1) \)일 때에만 성립한다. 그러나 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } \) 를 \( \left [0, \frac {\pi } { 2 } \right ) \) 안의 수로 \( y_ { 1 } , y_ { 2 } \) 를 \( [0, \infty) \) 안의 수로 제한했었다. 따라서 유일한 결론은 물론 \( x_ { 1 } =x_ { 2 } =0 \)이고 \( y_ { 1 } =y_ { 2 } =0 \)이어야만 한다. 그러나 이것은 성립될 수 없으므로 \[ e ^ { i x_ { 1 } } e ^ { -y_ { 1 } } =e ^ { i x_ { 2 } } e ^ { -y_ { 2 } } \] 이어야 하고, 이는 \( y_ { 1 } =y_ { 2 } \)이고 \( x_ { 1 } -x_ { 2 } \)는 \( 2 \pi \)의 정수배임을 뜻한다. 이것은 다시 \( x_ { 1 } =x_ { 2 } \)임을 말한다.</p> <p>\(19 \).<ol type=a start=1><li>\( z ^ { 8 } =-1 \)</li> <li>\( z ^ { 3 } =8 \)</li></ol></p> <p>\(20 \). \( n \)이 홀수이고 \( w \)가 음의 실수라 하자. 방정식 \( z ^ { n } =w \)를 만족하는 하나의 해는 음의 실수임을 보여라. (예를 들어, \( -2 \)는 \( z ^ { 3 } =-8 \)의 해이다.)</p> <p>\(21 \). (a) \(1.1.1 \)절- \(1.1.3 \)절의 연습문제 \(20 \)(a)를 이용해 임의의 복소수의 \( n( \geq 2) \)제곱근들의 합이 \(0 \)임을 보여라.</p> <p>(b) (a)의 결과를 이용해 \( n \geq 2 \)일 때 \[ \cos \left ( \frac { 2 \pi } { n } \right ) + \cos \left ( \frac { 4 \pi } { n } \right ) + \cdots + \cos \left [ \frac { 2(n-1) \pi } { n } \right ]=-1 \] 이고 \[ \sin \left ( \frac { 2 \pi } { n } \right ) + \sin \left ( \frac { 4 \pi } { n } \right ) + \cdots + \sin \left [ \frac { 2(n-1) \pi } { n } \right ]=0 \] 임을 증명하라.</p> <p>(c) \( \zeta \)를 방정식 \( z ^ { n } =w \)의 임의의 한 해라면 모든 해는 \( \zeta \)에 \(1 \)의 여러 가지 \( n \)제곱근을 곱해 생성할 수 있음을, 즉 해집합은 \[ \zeta, \zeta \omega_ { n } , \zeta \omega_ { n } ^ { 2 } , \cdots, \zeta \omega_ { n } ^ { n-1 } \] 임을 증명하라.</p> <p>(d) \( 1=z_ { 0 } , z_ { 1 } , z_ { 2 } , \cdots, z_ { n-1 } \)을 \(1 \)의 \( n \)제곱근들이라 하자. \[ \left (z-z_ { 1 } \right ) \left (z-z_ { 2 } \right ) \cdots \left (z-z_ { n-1 } \right )=1 + z + z ^ { 2 } + \cdots + z ^ { n-1 } \] 임을 증명하라.</p> <p>[예제 \(1.33 \)] \( f(z)=4 z ^ { 2 } + 2 z + 1 \)은 전체 복소평면을 정의역으로 갖는다. 치역도 역시 전체 복소평면이다. \( w \)를 임의의 복소수라 하면, \( f(z)=w \)는 \(2 \)차 방정식 \[ 4 z ^ { 2 } + 2 z + 1-w=0 \] 이다. 이 방정식은 근의 공식을 이용해 풀 수 있다.</p> <p>\( s_ { 1 } , s_ { 2 } \) 가 \( 4-16(1-w)=-12 + 16 w \)의 두 제곱근이라 하면 해는 \[ z_ { j } = \frac { -2 + s_ { j } } { 8 } , \quad j=1,2 \] 가 된다. ( \( s_ { 1 } =s_ { 2 } \)가 될 수도 있는데 이는 \( w= \frac { 3 } { 4 } \)일 때이다.)</p> <p>[예제 \(1.34 \)] \( f(z)= \frac { 1 } { z-1 } \)은 함수가 정의되지 않은 점 \( z=1 \)만 제외하고 모든 복소수를 정의역으로 가진다. 치역은 \( w=0 \)만 제외하고 모든 복소수이다. 이는 \( w= \frac { 1 } { z-1 } \)을 풀면 \( z=1 + \frac { 1 } { w } \)이기 때문이다.</p> <p>[예제 \(1.35 \)] \( g(z)=\|z\| ^ { 2 } \)은 복소평면을 정의역으로 가진다. 치역은 \(0 \)이상인 모든 실수의 집합이다.</p> <p>[예제 \(1.36 \)] \( h(z)=i \left (2-( \Im z) ^ { -1 } \right ) \)는 실축 위의 수만 제외하고 모든 \( z \)에 대해 정의되어 있다. 순허수 \( w \)에 대해 \( w=h(z)=i \left (2-( \Im z) ^ { -1 } \right ) \)의 해는 \( \Im z=(2 + i w) ^ { -1 } \)을 만족하는 임의의 복소수이다. 이것은 \( w \neq 2 i \)이기만 하면 많은 복소수를 정의한다. 따라서 \( h \)의 치역은 \( w=2 i \)를 제외한 모든 순허수이다.</p> <p>[예제 \(1.37 \)] 원반 \( \{ \|z\|<1 \} \) 위에서의 함수 \( w=T(z)= \frac { 1 + z } { 1-z } \)의 치역은 실부가 양수인 복소수 \( w \)의 집합이다.</p> <p>또한 하나의 기술적인 점이 있다. 복소평면 자체도 경계를 가지고 있지 않다. 따라서 정의에 의해 열린 집합인 동시에 닫힌 집합이다. 이것은 이러한 성질을 갖는 공집합이 아닌 유일한 집합이다. (이 서술의 진실성은 실수의 기본적인 성질에 의존한다.) 이 사실을 뒤에 이용하지 않기 때문에 증명하지는 않겠다.</p> <h2>1.3.2 연결집합</h2> <p>다각곡선은 (마지막 것을 제외하고) 한 개의 끝점이 다음 것의 시작점이 되는 방향성 선분 \( P_ { 1 } P_ { 2 } , P_ { 2 } P_ { 3 } , \cdots, P_ { n-1 } P_ { n } \)의 유한결합이다(그림 1.17). 열린 집합 \( D \)는 \( D \)안의 임의의 두 점 \( p, q \)가 완전히 \( D \)안에 있는 다각곡선에 의해 연결될 수 있다면 연결되었다고 한다. 즉, 모든 선분 \( p P_ { 2 } , P_ { 2 } P_ { 3 } , \cdots, P_ { n-1 } q \)가 \( D \)안에 머물게 되는 점 \( P_ { 2 } , \cdots, P_ { n-1 } \)이 존재한다. 단순히 말하자면, 연결집합은 “한 조각"으로 이루어진다.</p> <p>[예제 \(1.20 \)] 열린 원반은 열린 연결집합이다.</p>[예제 \(1.21 \)] 원환 \( \{ z\|1<\| z \mid<2 \} \)는 열린 연결집합이다.</p>[예제 \(1.22 \)] \( \Re z>0 \)인 \( z \)들의 집합은 열린 연결집합이다.</p>[예제 \( 1.23 \)] x ^ { 2 }<y \)를 만족하는 \( z=x + i y \)들의 집합은 연결집합이다.</p>[예제 \(1.24 \)] \( \| \Im z\|>1 \)인 \( z \)들의 집합은 연결집합이 아니다.</p>[예제 \(1.25 \)] \( \Re z<6 \) 인 \( z \)들의 집합은 연결집합이다.</p>[예제 \(1.26 \)] \( \Re z \neq 0 \)인 \( z \)들의 집합은 연결집합이 아니다.</p> <p>예를 들어 예제 \( 1.26 \)에서 점 \( p=1 \)과 \( q=-1 \)은 주어진 집합 안에 들어 있지만 \( p \)와 \( q \)를 연결하는 어떤 다각곡선도 허축을 반드시 만나야만 한다. 따라서 이 곡선은 \( \Re z \neq 0 \)인 집합 안에 온전히 들어갈 수 없다.</p> <p>\(8 \). \( H= \{ z=x + i y:- \pi \leq y< \pi \} \)</p> <p>\(9 \). \( K= \bigcap_ { n=1 } ^ {\infty } \left \{ z:\|z\|< \frac { 1 } { n } \right \} \)</p> <p>\(10 \). \( \alpha( \neq 0) \)와 \( \beta \)를 복소수라 하자. \( z \)가 다음의 영역을 움직일 때 점 \( \alpha z + \beta \)의 집합을 그려라.<ol type=a start=1><li>제 1 사분면, \( \{ z=x + i y: x>0 \) 이고 \( y>0 \} \)</li> <li>위 반평면, \( \{ z=x + i y: y>0 \} \)</li> <li>원반 \( \{ z:\|z\|<R \} \)</li></ol>각각의 경우 결과로 나온 집합은 열려 있고 연결되었음을 증명하라. (도움말 : 첫째로 집합 \( \alpha z \)를 조사하라.)</p> <p>\(11 \). \( z \)가 제 \(2 \)사분면 \( \{ z=x + i y: x<0 \)이고 \( y>0 \} \)위를 움직일 때 점 \( z ^ { 2 } \)의 집합을 기술하라. 이 집합은 열려 있고, 연결되어 있음을 증명하라. (도움말 : \( z \)의 극형식을 이용하라.)</p> <p>\(12 \). 평면 상의 집합 \( S \)안의 모든 점 \( z \)에 대해 \( \|z\| \leq M \)인 양수 \( M \)이 존재한다면 \( S \)는 유계이다. 그렇지 않으면 \( S \)는 유계가 아니다. 문제 \(1 \)에서 \(9 \)까지에서 주어진 집합 중의 \(6 \)개는 유계가 아니다. 그것들을 찾아라.</p> <p>\(13 \). 문제 \(1 \)에서 \(9 \)에 주어진 집합 중의 어느 것이 \( \infty \)를 포함하는가?</p> <p>\(14 \). (a) 두 공집합이 아닌 열린 집합의 합은 열린 집합임을 보여라. ‘열린'이 ‘닫힌'으로 바뀌어도 성립함을 보여라. 또한 '합'이‘공통'으로 바뀌어도 성립함을 보여라.</p> <p>(b) (a)에서 '두'를 '유한개의 많은'으로 바꾸어 증명하라.</p> <p>\(15 \). \( D_ { 1 } \)과 \( D_ { 2 } \)가 공통부분을 가진 영역이라 하자. \( D_ { 1 } \cup D_ { 2 } \)도 영역임을 보여라.</p> <p>\(16 \). \( \Omega_ { 1 } \)과 \( \Omega_ { 2 } \)를 \[ \begin {array} { l } \Omega_ { 1 } = \left \{ z: 1<\|z\|<2 \text { 이고 } \Re z>- \frac { 1 } { 2 } \right \} , \\ \Omega_ { 2 } = \left \{ z: 1<\|z\|<2 \text { 이고 } \Re z< \frac { 1 } { 2 } \right \} \end {array} \] 이라 하자. \( \Omega_ { 1 } \)과 \( \Omega_ { 2 } \) 모두 영역이지만 \( \Omega_ { 1 } \cap \Omega_ { 2 } \)는 아님을 증명하라.</p> <p>[예제 1.30] \( f(z)=z ^ { 4 } \)을 \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \)의 형태로 쓰면 \[ f(z)=(x + i y) ^ { 4 } = \left (x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + 2 x y i \right ) ^ { 2 } = \left (x ^ { 4 } + y ^ { 4 } -6 x ^ { 2 } y ^ { 2 } \right ) + \left (4 x ^ { 3 } y-4 x y ^ { 3 } \right ) i \] 가 된다.</p> <p>[예제 1.31] \( f(z)= \bar { z } \Re z + z ^ { 2 } + \Im z \)를 \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \)의 형태로 쓰면 \( \left (2 x ^ { 2 } -y ^ { 2 } + y \right ) + i x y \)가 된다. 역으로 \( u(x, y) \)와 \( v(x, y) \)가 주어지면 식 \( x= \frac { z + \bar { z } } { 2 } \quad \)와 \( \quad y= \frac { z- \bar { z } } { 2 i } \)를 이용해 \( f \)를 \( z \)와 \( \bar { z } \)를 포함하는 식으로 쓸 수 있다.</p> <p>[예제 1.32] \( f(z)=4 x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } i \)를 변수 \( z \)와 \( \bar { z } \)를 포함하는 식으로 쓰면 \[ f(z)=4 \left ( \frac { z + \bar { z } } { 2 } \right ) ^ { 2 } + 4 \left ( \frac { z- \bar { z } } { 2 i } \right ) ^ { 2 } i \] 이므로 \( f(z)=(1-i) z ^ { 2 } + (1-i) \bar { z } ^ { 2 } + 2(1 + i) z \bar { z } \)가 된다.</p> <p>\(3 \). \( z ^ { 2 } =(0,1) \)을 풀어라.</p> <p>\(4 \). \( z ^ { 2 } \)이 실수이고 음수라 가정하자. 즉, \( z ^ { 2 } =(a, 0), a<0 . z=(0, b) \)임을 보이고 \( a \)에 관해 \( b \)를 구하라.</p> <p>\(5 \). 계산에 의해 복소수의 합은 결합가능함을 보여라. \( \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) + z_ { 3 } =z_ { 1 } + \left (z_ { 2 } + z_ { 3 } \right ) \). 또 교환가능함도 보여라. \( z_ { 1 } + z_ { 2 } =z_ { 2 } + z_ { 1 } \)</p> <p>\(6 \). 계산에 의해 복소수의 곱은 결합가능함을 보여라. \( \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) z_ { 3 } =z_ { 1 } \left (z_ { 2 } z_ { 3 } \right ) \). 또 교환가능함도 보여라. \( z_ { 1 } z_ { 2 } =z_ { 2 } z_ { 1 } \)</p> <p>\(7 \). \( z=(x, y) \)의 절대값 \( \|z\| \)를 \( \|z\|= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)으로 정의하자. \( \left \|z_ { 1 } z_ { 2 } \right \|= \left \|z_ { 1 } \right \| \left \|z_ { 2 } \right \| \)임을 직접 증명하라.</p> <p>\(8 \). \( z=(x, y) \)의 복소공액 \( \bar { z } \)를 \( \bar { z } =(x,-y) \)로 정의한다. \( z \bar { z } = \left (\|z\| ^ { 2 } , 0 \right ) \)임을 증명하라.</p> <p>\(9 \). \( z_ { 1 } z_ { 2 } =0 \) 이면 \( z_ { 1 } =0 \)이거나 \( z_ { 2 } =0 \)임을 증명하라.</p> <p>풀이 충분히 큰 수 \( n \)에 대해 \( n \log \left (1 + \frac { z } { n } \right ) \)를 살펴보자. \[ n \log \left (1 + \frac { z } { n } \right )=n \ln \left \|1 + \frac { z } { n } \right \| + i n \arg \left (1 + \frac { z } { n } \right ) \] 로 쓸 수 있고, 실부는 \( n \rightarrow \infty \)일 때 로피탈의 법칙에 의해 \[ n \ln \left \|1 + \frac { z } { n } \right \|= \frac { 1 } { 2 } n \ln \left [1 + \frac { 2 x } { n } + \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \right ] \quad \longrightarrow \quad x \] 가 된다. 이제 \( z=r( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \)로 \( \psi_ { n } = \arg \left (1 + \frac { z } { n } \right ) \)라 놓으면 그림 \( 1.29 \)에서 \[ \tan \psi_ { n } = \frac {\frac { r } { n } \sin \vartheta } { 1 + \frac { r } { n } \cos \vartheta } \] 를 얻고, 따라서 다음이 성립한다. \[ n \tan \psi_ { n } = \frac { r \sin \vartheta } { 1 + \frac { r } { n } \cos \vartheta } \]</p> <p>\( n \rightarrow \infty \) 일때 \( \psi_ { n } \rightarrow 0 \)이므로 \( \frac {\psi_ { n } } {\tan \psi_ { n } } \rightarrow 1 \)임을 안다 \( \left ( \theta \rightarrow 0 \right . \) 이면, \( \frac {\theta } {\sin \theta } \rightarrow 1 \)이용 \( ) \)</p> <p>연속의 정의에서 \( \delta \)가 \( z_ { 0 } \)에 관계없이 선택될 수 있다면 함수는 균등연속(uniformly continuous)[또는 고른 연속, 평등연속]이라 한다. 구체적으로 임의의 \( \varepsilon>0 \)에 대해 \[ z_ { 1 } , z_ { 2 } \in D, \quad \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \|< \delta \text { 일 때 } \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 2 } \right ) \right \|< \varepsilon \] 이 되는 \( ( \varepsilon \)에만 관계된 \( ) \delta>0 \)가 존재하면 \( f(z) \)는 구역 \( D \)에서 균등연속이다.</p> <p>[예제 \(1.59 \)] 함수 \( f(z)=z ^ { 2 } \)은 복소평면에서 균등연속이 아님을 보여라.</p> <p>풀이 \( f(z)=z ^ { 2 } \)이 균등연속이라 하고 \( \varepsilon=1 \)이라 놓자. 임의의 \( \delta>0 \)에 대해 \( z_ { 1 } = \frac { 1 } {\delta } , z_ { 2 } = \frac { 1 } {\delta } + \frac {\delta } { 2 } \)가 되게 \( z_ { 1 } , z_ { 2 } \)를 취하면 \[ \left \|z_ { 1 } -z_ { 2 } \right \|= \left \| \frac { 1 } {\delta } - \left ( \frac { 1 } {\delta } + \frac {\delta } { 2 } \right ) \right \|= \frac {\delta } { 2 }< \delta \] 이지만 \[ \left \|f \left (z_ { 1 } \right )-f \left (z_ { 2 } \right ) \right \|= \left \|z_ { 1 } ^ { 2 } -z_ { 2 } ^ { 2 } \right \|=1 + \frac {\delta ^ { 2 } } { 4 } >1= \varepsilon \] 이므로 모순이다. 따라서 \( f(z)=z ^ { 2 } \)은 평면 전체에서 균등연속이 아니다. 그러나 이 함수는 임의의 유계인 구역에서는 균등연속이다.</p> <p>참고 \( f(z) \)가 컴팩트 집합 \( A \)에서 연속이면 \( f(z) \)는 \( A \)에서 균등연속임을 보일 수 있다.</p> <p>참고: 극형식 \( z=r( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \)를 \( z=(r, \vartheta) \)로 놓기도 한다.</p> <p>[예제 \(1.2 \)] \( z=-1 + i \)를 극형식으로 나타내라.</p> <p>풀이 \( \|z\|= \sqrt { 1 + 1 } \)이고 \( \vartheta= \arctan \frac { 1 } { -1 } = \frac { 3 } { 4 } \pi \)이다. 따라서 \[ -1 + i= \sqrt { 2 } \left [ \cos \frac { 3 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 4 } \right ] \] 이며, 정확성을 바로 알아 볼 수 있다. 왜냐하면 \( \cos \frac { 3 \pi } { 4 } =- \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \)이고 \( \sin \frac { 3 \pi } { 4 } = \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \)이기 때문이다 (그림 \( 1.3( \mathrm { ~b } )) \).</p> <p>지금쯤이면 여러분들은 \( \vartheta \) 가 \( \vartheta + 2 \pi, \vartheta-4 \pi \) 또는, 실제로 \( n \)이 정수일 때 \( \vartheta + 2 n \pi \)로 교체될 수 있을 것이라는 것을 느꼈을 것이다. 복소수의 극형식에서 사용할 수 있는 적당한 각에 관한 모호성은 단순히 의미론의 문제는 아니다. 후에 이것은 몇 가지 기본적인 문제를 야기시킨다는 것을 보게 될 것이다. 잠깐 이 문제를 제쳐두고, 극형식의 다른 성질들에 관해 생각해 보자. \[ z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \text { 와 } \quad w=\|w\|( \cos \psi + i \sin \psi) \] 가 복소수라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} z w &=\|z\|\|w\| \{ ( \cos \vartheta \cos \psi- \sin \vartheta \sin \psi) + i( \cos \vartheta \sin \psi + \cos \psi \sin \vartheta) \} \\ &=\|z w\| \{\cos ( \vartheta + \psi) + i \sin ( \vartheta + \psi) \} \end {aligned} \] 이다(그림 \(1.4 \)). 더욱이 \[ \begin {array} { l } \qquad \begin {aligned} \frac { z } { w } &= \frac { \|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) } { \|w\|( \cos \psi + i \sin \psi) } \\ &= \left ( \frac { \|z\| } { \|w\| } \right ) \{\cos \vartheta \cos \psi + \sin \vartheta \sin \psi + i( \cos \psi \sin \vartheta- \cos \vartheta \sin \psi) \} \\ &= \left ( \frac { \|z\| } { \|w\| } \right ) \{\cos ( \vartheta- \psi) + i \sin ( \vartheta- \psi) \} \end {aligned} \end {array} \] 이다. 위에서 두 각에 대한 sine과 cosine함수의 합과 차에 관한 공식을 이용했다. 따라서 두 복소수의 곱(또는 상)은 각각 그들의 절대값을 곱하고(또는 나누고), 또 각각 그들의 각을 더함(또는 뻼)으로써 만들 수 있다는 것을 알 수 있다. 다시 말하면 \( w \) 에 \( z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) \)를 곱함으로써 반시계방향으로 \( \vartheta \)래디안 만큼 또 \( \|w\| \)를 \( \|z\| \)의 크기만큼 확장(또는 축소)하는 \( w \)의 회전을 얻는다.</p> <p>복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈과 나눗셈은 일반적인 산술법칙을 따른다. \( \left (i ^ { 2 } =-1 \right . \)이고, 일반적으로, \(0 \)에 대한 나누기는 허용하지 않는 것을 명심하라.)</p> <p>구체적으로, \[ z=x + i y \text { 이고 } \quad w=s + i t \]라 하면 \[ \begin {aligned} z + w &=(x + s) + i(y + t) \\ z-w &=(x-s) + i(y-t) \\ z w &=(r s-y t) + i(x t + y s) \\ \frac { z } { w } &= \frac {\bar { w } z } {\bar { w } w } = \frac { (x s + y t) + i(y s-x t) } { s ^ { 2 } + t ^ { 2 } } , \quad w \neq 0 \end {aligned} \] 이 성립한다. 여기서 \( z \)와 \( w \)의 상에 대한 식을 얻기 위해서 분모와 분자에 \( \bar { w } =s-i t \)를 곱하는 형식을 취했다.</p> <p>[예제 \(1.1 \)] 이 법칙들을 특별한 경우에 적용해 보기 위해 \[ z=1 + i, \quad w= \sqrt { 3 } + i \] 라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} z + w &=(1 + \sqrt { 3 } ) + 2 i \\ z w &=[(1)( \sqrt { 3 } )-(1)(1)] + i[(1)(1) + (1)( \sqrt { 3 } )]=( \sqrt { 3 } -1) + ( \sqrt { 3 } + 1) i \\ \frac { z } { w } &= \frac {\bar { w } z } {\bar { w } w } = \frac { ( \sqrt { 3 } + 1) + ( \sqrt { 3 } -1) i } { 4 } = \frac {\sqrt { 3 } + 1 } { 4 } + \frac {\sqrt { 3 } -1 } { 4 } i \end {aligned} \] 이다.</p> <p>[예제 1.3] \( z=-1 + i \)이고 \( w= \sqrt { 3 } + i \)일 때 \( z w \)와 \( \frac { z } { w } \)의 극형식을 구하라. 풀이 예제 \( 1.2 \)로부터 \( z \)의 극형식이 \[ z= \sqrt { 2 } \left [ \cos \frac { 3 \pi } { 4 } + i \sin \frac { 3 \pi } { 4 } \right ] \] 임을 알고, \( w \)의 극형식이 \[ w= \sqrt { 3 } + i=2 \left [ \cos \frac {\pi } { 6 } + i \sin \frac {\pi } { 6 } \right ] \] 임을 안다. 따라서 \[ \begin {array} { l } (- \sqrt { 3 } -1) + i( \sqrt { 3 } -1)= \quad z w=2 \sqrt { 2 } \left [ \cos \frac { 11 } { 12 } \pi + i \sin \frac { 11 } { 12 } \pi \right ] \\ \frac { - \sqrt { 3 } + 1 } { 4 } + \frac { i( \sqrt { 3 } + 1) } { 4 } = \frac { z } { w } = \frac {\sqrt { 2 } } { 2 } \left [ \cos \frac { 7 } { 12 } \pi + i \sin \frac { 7 } { 12 } \pi \right ] \end {array} \] 을 얻게 된다.</p> <p>앞에서 이야기한 것들은 임의의 양의 정수 \( n \)과 각 \( \vartheta \)에 대해 드 무아브르(De Moivre)의 공식 \( ^ { 1 } \)을 유도하는데 쓰여지게 된다. \[ ( \cos \vartheta + i \sin \vartheta) ^ { n } = \cos n \vartheta + i \sin n \vartheta \]<caption>(1.2)</caption>이 공식은 \( n=1 \)일 때는 분명히 성립한다. 모든 \( n \)에 대해 성립함을 보이기 위해 수학적 귀납법을 쓴다.</p> <p>\(14 \). 다음 세 점으로 이루어진 집합 중 어느 것이 직각삼각형의 꼭지점을 만드는 지 결정하라.<ol type=a start=1><li>\( 3 + 5 i, 2 + 2 i, 5 + i \)</li> <li>\( 2 + i, 3 + 5 i, 4 + i \)</li> <li>\( 6 + 4 i, 7 + 5 i, 8 + 4 i \)</li></ol></p> <p>\(15 \). \( \cos \vartheta= \cos \psi \)이고 \( \sin \vartheta= \sin \psi \)일 필요충분조건은 \( \vartheta- \psi \)가 \( 2 \pi \)의 정수배인 것이다.</p> <p>\(16 \). 꼭지점이 \( 0, z, w \)인 삼각형이 정삼각형이기 위한 필요충분조건은 \( \|z\| ^ { 2 } =\|w\| ^ { 2 } =2 \Re(z \bar { w } ) \)인 것이다.</p> <p>\(17 \). \( z_ { 0 } \)을 \(0 \)이 아닌 복소수라 하자. 점 \( t z_ { 0 } (- \infty<t< \infty) \)의 위치는 \( z_ { 0 } \)과 \(0 \)을 지나는 직선임을 보여라.</p> <p>\(18 \). \( w \neq 0 \)이면 \( \left \| \frac { z } { w } \right \|= \frac { \|z\| } { \|w\| } \)이다.</p> <p>\(19 \). \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)를 복소평면의 서로 다른 두 점이라 하자.</p> <p>(a) \( K \)를 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)사이의 거리보다 큰 양의 실수라 하자. 집합 \( \left \{ z: \left \|z-z_ { 1 } \right \| + \right . \left . \left \|z-z_ { 2 } \right \|=K \right \} \) 는 초점이 \( z_ { 1 } \) 과 \( z_ { 2 } \)인 타원임을 증명하라.</p> <p>(b) \( K \)를 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)사이의 거리보다 작은 양의 실수라 하자. 집합 \( \{ z: \mid z- \left .z_ { 1 } \|-\| z-z_ { 2 } \mid=K \right \} \)는 초점이 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)인 쌍곡선임을 증명하라.</p> <p>\(6 \). \( a \)와 \( b \)가 모두 \(0 \)이 아닐 때 \( e ^ { z } =a + b i \)를 풀어라.</p> <p>\(7 \). \( w= \log z \)에 대해 주분지절단을 택할 때 \( w= \log z \)가 음의 실축에서는 연속이 아님을 증명하라. 이것을 일반적인 분지에 대해 설명하고 따라서 모든 \(0 \)이 아닌 복소수 \( z \)에 대해 \( \log z \)가 연속이 되도록 하는 하나의 분지는 존재하지 않음을 유도하라.</p> <p>\(8 \). \( f(z) \)가 영역 \( D \)에서 정의되고 \( f(z) \neq 0 \)이다. 모든 \( z \in D \)에 대해 \( \operatorname { Arg } f(z)= \Im \log f(z) \) 임을 보여라.</p> <p>\(9 \). 일반적으로 \( \log z_ { 1 } z_ { 2 } = \log z_ { 1 } + \log z_ { 2 } + 2 k \pi i \)임을 증명하라.</p> <p>\(10 \). \( f(z)= \log (1-z) ^ { 2 } \)이 불연속인 곡선-즉, 분지절단-을 구하라.</p> <p>\(11 \). \( \log \frac { z } {\bar { z } } = \log z- \log \bar { z } \)가 성립하는 \( z \)의 영역을 구하라.</p> <p>\(12 \). \( i ^ { i } \cdot i ^ { -i } \)의 값을 구하라.</p> <p>\(13 \). \( i ^ { i ^ { i } } \)을 구하라. 이 값은 \( i ^ { i \cdot i } =i ^ { -1 } \)과 일치하지 않음을 증명하라.</p> <p>\(14 \). \( \alpha, \beta \)와 \( z \)가 복소수일 때, \( z ^ {\alpha } z ^ {\beta } =z ^ {\alpha + \beta } \)가 일반적으로 성립하지 않음을 보여라. \( \alpha, \beta \)가 복소수가 아닌 경우는 어떤가?</p> <p>\(15 \). 다음 등식이 성립함을 보여라.<ol type=a start=1><li>\( \exp ( \bar { z } )= \overline {\exp (z) } \)</li> <li>\( \sin ( \bar { z } )= \overline {\sin z } \)</li> <li>\( \cos ( \bar { z } )= \overline {\cos z } \)</li></ol></p> <p>\( \left \{ z_ { n } \right \} _ { n=0 } ^ {\infty } \)를 복소수의 수열이라 하고, \( A \)를 복소수라 하자. 주어진 임의의 양수 \( \varepsilon \)에 대해, 모든 \( n \geq N \)에 대해 \[ \left \|z_ { n } -A \right \|< \varepsilon \] 이 성립하는 \( N \)이 존재한다면 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)은 극한으로서 복소수 \( A \)를 갖는다, 또는 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)은 \( A \)로 수렴한다고 한다. 이때 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } z_ { n } =A \text { 또는 } z_ { n } \rightarrow A \] 라 쓴다. 어떤 이유에서건 수열이 수렴하지 않으면 발산한다고 한다. \( z_ { n } =x_ { n } + i y_ { n } \)이고 \( A=s + i t \)라 하면 \( z_ { n } \rightarrow A \) 일 필요충분조건은 \( x_ { n } \rightarrow s \) 이고 \( y_ { n } \rightarrow t \)인 것이다. 이것은 \(1.1 \)절에서 논의한 세 가지 부등식 즉, \[ \left \|x_ { n } -s \right \| \leq \left \|z_ { n } -A \right \|, \quad \left \|y_ { n } -t \right \| \leq \left \|z_ { n } -A \right \| \] 그리고 \[ \left \|z_ { n } -A \right \| \leq \left \|x_ { n } -s \right \| + \left \|y_ { n } -t \right \| \] 에 의해 가능하다. 동시에 다음과 같이 쓸 수도 있다. 복소수의 수열 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 복소수 \( A \)로 수렴할 필요충분조건은 \( D \)가 \( A \)에 중심을 둔 열린 원반이라 할 때 유한개의 점을 제외한 모든 점 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)은 \( D \)안에 머무른다.</p> <p>\(15 \). \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)를 서로 다른 복소수라 하자. 점 \( t z_ { 1 } + (1-t) z_ { 2 } (- \infty<t< \infty) \)의 그래프는 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)를 지나는 직선을 나타냄을 보여라. 값 \( 0 \leq t \leq 1 \)은 \( z_ { 1 } \)과 \( z_ { 2 } \)를 연결하는 선분을 제공한다.</p> <p>\(16 \). \( \alpha \)가 \( 0<\| \alpha\|<1 \)인 복소수라 하자. 다음을 증명하라.</p> <ol type=a start=1><li>\( \|z- \alpha\|<\|1- \bar {\alpha } z\| \)를 만족하는 모든 \( z \)의 집합은 \( \{ z:\|z\|<1 \} \)이다.</li> <li>\( \|z- \alpha\|=\|1- \bar {\alpha } z\| \)를 만족하는 모든 \( z \)의 집합은 원 \( \{ z:\|z\|=1 \} \)이다.</li> <li>\( \|z- \alpha\|>\|1- \bar {\alpha } z\| \)를 만족하는 모든 \( z \)의 집합은 \( \{ z:\|z\|>1 \} \)이다.</li></ol>(도움말 : 양변을 제곱하고 간단히 하라.)</p> <p>\(17 \). 삼각부등식에 관련한 다음 명제를 증명하라.</p> <p>(a) \( z \)와 \( w \)를 \(0 \)이 아닌 복소수라 하자. \( \|z + w\|=\|z\| + \|w\| \)이기 위한 필요충분조건은 어떤 양의 실수 \( s \)에 대해 \( z=s w \)인 것이다 \( ( \)이는 \( \Re(z \bar { w } )=\|z\|\|w\| \)이기 위한 필요충분조건이 \( \operatorname { Arg } z= \operatorname { Arg } w \)임과 동치이다).</p> <p>(b) \( \left \| \sum_ { 1 } ^ { n } z_ { j } \right \|= \sum_ { 1 } ^ { n } \left \|z_ { j } \right \| \)이기 위한 필요충분조건은 \( \operatorname { Arg } z_ { j } \)가 \( j \)에 무관한 것임을 수학적 귀납법을 이용해 증명하라.</p> <p>\(18~19 \). 책에서 요약된 방법을 써서 주어진 방정식의 모든 해를 찾아라.</p> <p>\(18 \).<ol type=a start=1><li>\( z ^ { 5 } =i \)</li> <li>\( (z + 1) ^ { 4 } =1-i \)</li></ol></p> <p>또한 벡터 \( \overrightarrow { O P } \)나 벡터 \( \overrightarrow { O Q } \)사이의 각 \( \alpha \)는 두 벡터의 일반적인 내적을 이용해 구할 수 있다. \[ \begin {aligned} \cos \alpha &= \frac {\overrightarrow { O P } \cdot \overrightarrow { O Q } } {\\| \overrightarrow { O P } \\| \cdot \\| \overrightarrow { O Q } \\| } \\ &= \frac { x s + y t } {\sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \sqrt { s ^ { 2 } + t ^ { 2 } } } \\ &= \frac {\Re(z \bar { w } ) } { \|z\|\|w\| } \end {aligned} \] 특히, \( \overrightarrow { O P } \)와 \( \overrightarrow { O Q } \)가 직교할 필요충분조건은 \( \Re(z \bar { w } )=0 \)이다. \( z, w \)와 \( z-w \)에 의해 이루어지는 삼각형의 변의 길이 사이의 관계식을 코사인 법칙이라 부르는데 다음과 같다.</p> <p>\( \begin {aligned} \|z-w\| ^ { 2 } &=(x-s) ^ { 2 } + (y-t) ^ { 2 } \\ &=x ^ { 2 } + s ^ { 2 } + y ^ { 2 } + t ^ { 2 } -2(x s + y t) \\ &=\|z\| ^ { 2 } + \|w\| ^ { 2 } -2 \Re(z \bar { w } ) \end {aligned} \)</p> <p>정리해 보면, 일반적인 \( x y \)-평면은 복소수 \( z=x + i y \) 의 위치로서 자연적으로 설명될수 있고, 벡터 \( P(x, y) \)의 기하에 대한 모든 법칙들은 \( z \)에 관한 것으로 개정할 수 있다. 그래서 지금부터는 \( x y \)-평면을 복소평면 \( { } ^ { 2 } \), 평면, 또는 간단히 \( \mathbb { C } \)로 생각한다. \( x \)-축을 실축이라 부르고, \( y \)-축을 허축이라 부른다.</p> <p>[정리 \(1.11 \)] \( f(z)=u(x, y) + i v(x, y) \)가 \( z_ { 0 } \)의 어떤 근방에서 정의되었다고 하자. \( f \)가 \( z_ { 0 } \)에서 연속일 필요충분조건은 \( u \)와 \( v \)가 \( \left (x_ { 0 } , y_ { 0 } \right ) \)에서 연속인 것이다.</p> <p>앞의 예제들을 '연속'의 개념 안에서 살펴보자.</p> <p>[예제 \(1.53 \)] \( f(z)=\|z\| ^ { 3 } \)은 복소평면의 모든 점에서 연속이다.</p> <p>[예제 \(1.54 \)] \( g(z)= \frac { 1 } { 1-z } \)는 \( z=1 \)만 제외하고 평면의 모든 점에서 연속이다.</p> <p>[예제 \(1.55 \)] \( h(z)= \Re \left (z ^ { 4 } + 4 \right ) \)는 평면의 모든 점에서 연속이다.</p> <p>[예제 \(1.56 \)] \( f(z)= \frac { z ^ { 4 } -1 } { z-i } \)는 \( f(i)=-4 i \)로 정의하면 전평면에서 연속이다.</p> <p>[예제 \(1.57 \)] \( h(z)= \frac { z } {\bar { z } } \)는 \( z=0 \)을 제외한 모든 곳에서 연속이다. 여기서, \( z_ { 0 } =0 \)에서 \( h \)가 연속이 되도록 \( h(0) \)을 정의할 수 없다. 이는 \( z \)가 실수이면 \( h(z)=1 \)이고 \( z \)가 순허수이면 \( h(z)=-1 \)이기 때문이다. 이러한 함수는 \( z_ { 0 } =0 \), 즉 실축과 허축이 만나는 점에서 연속이 될 수 없다.</p> <p>[예제 \(1.58 \)] 함수 \( g(z)= \frac { 1 } { \|z\| + 1 } \)은 \( g( \infty)=0 \)으로 놓으면 평면의 모든 점과 \( \infty \)에서 연속이다.</p> <p>연속함수의 합과 곱이 연속인 것을 기억할 것이다. 다음에 다시 기술해 보겠다.</p> <p>[따름정리 \(1.1 \)] \( f \)와 \( g \)를 점 \( z_ { 0 } \)에서 연속인 함수라 하자. \( \lambda \)를 복소수라 하면 \( f + \lambda g \)와 \( f g \)도 \( z_ { 0 } \)에서 연속이다. 또한 \( g \left (z_ { 0 } \right ) \neq 0 \)이라면 \( \frac { f } { g } \)도 \( z_ { 0 } \)에서 연속이다. 마지막으로 \( h \)가 \( w_ { 0 } =f \left (z_ { 0 } \right ) \)에 중심을 둔 원반의 각 점에서 연속이면 합성함수 \( h(f(z)) \)도 \( z_ { 0 } \)에서 연속이다.</p> <p>기본적인 정의에 의해 몇 가지 결과를 얻을 수 있다. 첫째로, \( e ^ { z } \)는 \( z \)의 연속함수이다. 함수 \( e ^ { x } , \cos y, \sin y \)등은 \( x \)와 \( y \)의 연속함수이다. 따라서, \( \Re \left (e ^ { z } \right )=e ^ { x } \cos y \)와 \( \Im \left (e ^ { z } \right )=e ^ { x } \sin y \)가 모두 연속이고, 평면의 모든 점에서 \( e ^ { z } \)가 연속이다. 둘째로, \[ \left \|e ^ { z } \right \|= \left ( \left (e ^ { x } \cos y \right ) ^ { 2 } + \left (e ^ { x } \sin y \right ) ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \] 이므로 \[ \left \|e ^ { z } \right \|=e ^ {\Re(z) } \] 이다. 특히, 실수 \( t \)에 대해 \[ \left \|e ^ { i t } \right \|=1 \] 이다. \( t \)가 실수일 때 \( e ^ { i t } = \cos t + i \sin t \)이므로 \( t \)가 증가할 때 \( e ^ { i t } \)는 원점이 중심이고 반지름이 \(1 \)인 원 위를 반시계 방향으로 움직인다. \( t \)가 \(0 \)에서 \( 2 \pi \)까지 움직일 때 한바퀴 를 돈다(그림 \(1.24 \)). 물론 \[ m=0, \pm 1, \pm 2, \cdots \text { 일 때 } e ^ { 2 \pi i m } =1 \] 이고 \[ e ^ {\pi i } =-1 \] 이다.</p> <p>세 번째로 \( e ^ { x } \)와 \( e ^ { i y } \)가 \(0 \)이 될 수 없으므로 함수 \( f(z)=e ^ { z } \)는 \(0 \)이 될 수 없다. 다른 한편으로 \( w \)가 임의의 \(0 \)이 아닌 복소수라면, 방정식 \[ e ^ { z } =w \] 는 무한히 많은 해를 갖는다. 이것은 \( w \)를 극형식 \[ w=r( \cos \psi + i \sin \psi) \] 로 놓고 \( x= \ln r, y= \psi + 2 \pi m \) ( \( m \)은 정수)이라 하면 \[ e ^ { x + i y } =e ^ {\ln r } e ^ { i( \psi + 2 \pi m) } =r[ \cos \psi + i \sin \psi]=w \] 가 되므로 증명이 된다. 더욱이 방정식 \( e ^ { z } =w \)의 모든 해 \( z \)는 위의 형태를 갖는다. 왜냐하면 \( e ^ { z } =w \)라면 \[ r=\|w\|= \left \|e ^ { z } \right \|=e ^ { x } \] 이고, 따라서 \( x= \ln r \)이다. 결과적으로 \[ \cos y + i \sin y=e ^ { i y } = \cos \psi + i \sin \psi \] 가 되므로 정수 \( m \)에 대해 \( y= \psi + 2 \pi m \)이다(연습문제 \( 1.1 \)의 \(1.1.1 \)절- \(1.1.3 \)절 \(13 \)).</p> <p>[예제 \(1.63 \)] 급수 \[ \sum_ { k=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 2 ^ { k } } (1 + i) ^ { 2 k } \] 는 발산한다. 이는 \[ \frac { 1 } { 2 ^ { k } } (1 + i) ^ { 2 k } = \left \{\frac { (1 + i) ^ { 2 } } { 2 } \right \} ^ { k } =i ^ { k } \] 이기 때문에 급수의 각 합이 \(0 \)으로 가지 않기 때문이다(연습문제 \( 1.4 \)의 \(1.4.4 \)절 \(6 \)).</p> <p>[예제 \(1.64 \)] 예제 \( 1.60 \)의 시작에 있는 등식은 등비급수를 넘어선 중요성을 가지고 있다. \( x \neq 1 \)인 임의의 실수라면 \[ 1 + x + x ^ { 2 } + x ^ { 3 } + \cdots + x ^ { n } = \frac { 1-x ^ { n + 1 } } { 1-x } \] 이 된다. 이 등식은 다른 유용한 등식을 얻기 위해 이용될 수 있다. 예를 들어, 양변을 \( x \)에 관해 미분하고 \( x \)를 곱한 후 \(1 \)을 더한다. 결과는 등식 \[ 1 + x + 2 x ^ { 2 } + 3 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 4 } + \cdots + n x ^ { n } =1-(n + 1) \frac { x ^ { n + 1 } } { 1-x } + x \frac { 1-x ^ { n + 1 } } { (1-x) ^ { 2 } } \] 이 된다. 이 \(3 \)단계의 과정을 계속하면 \( 1 + x + 4 x ^ { 2 } + 9 x ^ { 3 } + \cdots + n ^ { 2 } x ^ { n } \)에 관한 다른 등식을 얻는다.</p> <h2>1.3.3 무한점</h2> <p>유용하고 자주 이용되는 약속은 \( \mathbb { C } \)에 무한점을 더하는 것이다. 이는 다음과 같이 이해될 수 있다. \( D \)가 \( \|z\|>M \)인 모든 점 \( z \)를 포함하도록 하는 큰 수 \( M \)이 존재하면 집합 \( D \)는 무한점을 내점으로 포함한다. 예를 들어, 열린 반평면 \( \Re z>0 \)는 무한점을 포함하지 않지만 열린 집합 \( D= \{ z:\|z + 1\| + \|z-1\|>1 \} \)은 무한점을 포함한다. \( \|z\| \)를 \( \arg z \)에 제한없이 한없이 증가시키면 무한점에 도달한다. 이 모든 것을 현상화할 수 있는 한 가지 방법은 \( w= \frac { 1 } { z } \)로 놓고 \( \|w\| \)를 아주 작게 생각하는 것이다. 무한점을 포함하는 열린 집합은 \( w=0 \)을 포함하는 열린 집합이 된다. 더욱이, " \( z \)가 무한대로 접근한다"는 서술은 “ \( w \)가 \(0 \)으로 수렴한다" 와 같다. 무한점은 무한대의 일반적인 기호인“ \( \infty \) "로 표현된다.</p> <p>연습문제 \( 1.3 \)</p> <p>\(1~9 \). 각각의 집합에 대해 (a) 내부와 경계를 표시하고 (b) 집합이 열려 있는지 닫혀 있는지 또는 그렇지 않은지 밝히고 (c) (내부가 있다면) 내부가 연결되어 있는지를 말하라.</p> <p>\(1 \). \( A= \{ z=x + i y: x \geq 2 \)이고 \( y \leq 4 \} \)</p> <p>\(2 \). \( B= \{ z:\|z\|<1 \) 또는 \( \|z-3\| \leq 1 \} \)</p> <p>\(3 \). \( C= \left \{ z=x + i y: x ^ { 2 }<y \right \} \)</p> <p>\(4 \). \( D= \left \{ z: \Re \left (z ^ { 2 } \right )=4 \right \} \)</p> <p>\(5 \). \( E= \{ z: z \bar { z } -2 \geq 0 \} \)</p> <p>\(6 \). \( F= \left \{ z: z ^ { 3 } -2 z ^ { 2 } + 5 z-4=0 \right \} \)</p> <p>\(7 \). \( G= \{ z=x + i y:\|z + 1\| \geq 1 \)이고 \( x<0 \} \)</p> <h2>1.5.5 역삼각함수</h2> <p>위에서 함수 \( w= \sin z \)의 사상성질을 살펴 보았는데 이에 따라 \( \sin z \)는 적어도 \(1 \)사분면에 있는 \( w \)에 대해 정의된 \( \arcsin w \left ( \right . \) 또는 \( \left . \sin ^ { -1 } w \right ) \)라 불리는 역함수(즉, 역삼각함수)를 갖는다. 더 나아가 사상 \( w= \sin z \)를 좀 더 살펴보면(연습문제 \(26 \)), \( \sin z \)는 띠 \[ S= \left \{ x + i y:- \frac {\pi } { 2 }<x< \frac {\pi } { 2 } , \quad- \infty<y< \infty \right \} \] 를 복소평면에서 두 구간 \( (- \infty,-1] \)과 \( [1, \infty) \)를 뺀 영역 \( D \)로 전단사함을 알 수 있다(그림 \(1.31 \)). 따라서 \( D \) 위에서 \( z \)를 \( w \)에 관해 유일하게 풀 수 있다. 알맞은 분지를 선택할 때 이렇게 결정된 복소수 \( z \)를 \( w \)의 \( \operatorname { arcsine } \)이라 부르고, \( \arcsin w \)라 쓴다. 이 \( \arcsin w \)에 대한 구체적인 식을 유도해 보자. 주어진 복소수 \( w( \in D) \)에 대해, 방정식 \[ w= \frac { e ^ { i z } -e ^ { -i z } } { 2 i } \]<caption>(1.11)</caption>가 \( S \)에서 유일한 해를 가짐을 보인다. 이 식을 정리해 보면, \[ e ^ { 2 i z } -2 i w e ^ { i z } -1=0 \] 이고, 이는 변수 \( e ^ { i z } \)에 관한 \(2 \)차 방정식이다. 근의 공식에 의해 풀면 \[ e ^ { i z } =i w \pm \sqrt { 1-w ^ { 2 } } \] 을 얻는다. 이로 인해 \( - \pi< \Re z \leq \pi \) 를 만족하는 식 (1.11)의 두 해 \[ \begin {array} { l } z_ { 1 } =-i \log \left [i w + \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ], \\ z_ { 2 } =-i \log \left [i w- \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ] \end {array} \] 을 얻게 된다. \[ i w- \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } =- \frac { 1 } { i w + \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } } \] 이므로 \( w \)가 \( \|w\| \geq 1 \)인 실수가 아니라면, \[ \Re \left [i w + \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ]>0, \quad \Re \left [i w- \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ]<0 \] 이 성립한다(연습문제 \(28 \)을 보라). 이는, \( w \)가 \( \|w\| \geq 1 \)인 실수가 아닌 경우에는 \[ \left \| \Re z_ { 1 } \right \|< \frac {\pi } { 2 } \text { 이고 } \quad \left \| \Re z_ { 2 } \right \|>\frac {\pi } { 2 } \] 임을 말해준다. 그러므로 \( z_ { 1 } \)만이 \( S \)에 속하는 식 ( \(1.11 \))의 유일한 해가 된다. 즉, \[ z= \arcsin w=-i \log \left [i w + \left (1-w ^ { 2 } \right ) ^ {\frac { 1 } { 2 } } \right ] \] 이다. 마지막으로 \( w \)가 \( \|w\| \geq 1 \)을 만족하는 실수인 경우에도 식 ( \(1.12 \))가 성립함을 보 일 수 있다(연습문제 \(29 \)).</p> <h2>1.1.4 실수쌍으로부터의 복소수의 구성</h2> <p>복소수를 구성하는 또 하나의 방법이 1806년에 스위스 수학자 아르강(J. Argand, \( 1768- \) \(1822 \))에 의해 제시되었다. 이는 복소수를 실평면의 점과 연관하여 생각할 수 있도록 한 것이다. 다시 말하면, 복소수 \( z \)를 실수의 순서쌍 \( (x, y) \)로 정의한다. 다시 말하면, \( z=(x, y) \)로 쓴다. 두 복소수 \( z_ { 1 } = \left (x_ { 1 } , y_ { 1 } \right ) \) 과 \( z_ { 2 } = \left (x_ { 2 } , y_ { 2 } \right ) \)는 \( x_ { 1 } =x_ { 2 } \)이고 \( y_ { 1 } =y_ { 2 } \)이면 같다고 한다. 합과 곱은 합 : \( z_ { 1 } + z_ { 2 } = \left (x_ { 1 } + x_ { 2 } , y_ { 1 } + y_ { 2 } \right ) \) 곱 \( : z_ { 1 } z_ { 2 } = \left (x_ { 1 } x_ { 2 } -y_ { 1 } y_ { 2 } , x_ { 1 } y_ { 2 } + x_ { 2 } y_ { 1 } \right ) \) 으로 각각 정의된다. 합의 항등원은 \( 0=(0,0) \)이다, 이것은 모든 \( (x, y) \)에 대해 \[ (0,0) + (x, y)=(x, y) + (0,0)=(x, y) \] 이기 때문이다. 곱의 항등원은 모든 \( (x, y) \) 에 대해 \( (1,0)(x, y)=(x, y)(1,0)=(x, y) \)이므로 \( 1=(1,0) \)이다. 더욱이, 합과 곱은 교환가능함을 알 수 있다. \[ z_ { 1 } + z_ { 2 } =z_ { 2 } + z_ { 1 } , \quad z_ { 1 } z_ { 2 } =z_ { 2 } z_ { 1 } \] 또 이것들은 결합가능하다. \[ \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right ) + z_ { 3 } =z_ { 1 } + \left (z_ { 2 } + z_ { 3 } \right ), \quad \left (z_ { 1 } z_ { 2 } \right ) z_ { 3 } =z_ { 1 } \left (z_ { 2 } z_ { 3 } \right ) \] 이외에 분배법칙도 성립한다. \[ z \left (z_ { 1 } + z_ { 2 } \right )=z z_ { 1 } + z z_ { 2 } \]</p> <p>\(10 \). \( z=(x, y) \)라 하자.<ol type=a start=1><li>\( \|x\| \leq\|z\| \)</li> <li>\( \|y\| \leq\|z\| \)</li> <li>\( \|z\| \leq\|x\| + \|y\| \)임을 보여라.</li></ol></p> <p>\(11 \). 복소수 \( a + b i \) 또는 \( (a, b) \)가 항렬 \[ \left ( \begin {array} { rr } a & b \\ -b & a \end {array} \right ) \] 에 의해 표현되었다고 하고 등식, 합, 곱등을 항렬에서처럼 정의하자. 이 형태에서 복소수계의 연산(algebra)을 구성하라.</p> <p>\(1.1.5 \)절</p> <p>\(1 \). 등식 \( -2 + \sqrt { -1 } = \sqrt[3] { -2 + \sqrt { -121 } } \)을 증명하라.</p> <p>\(2 \). 왜 \(3 \)차 방정식이 \(2 \)차 방정식보다 복소수를 받아들이도록 하는데 중추적 역할을 했는지 설명하라.</p> <p>\(3 \). \( 27 x ^ { 3 } -9 x-2=0 \)의 모든 해를 구하라. (도움말: 동치인 \(3 \)차 다항식을 구하고 공식 ( \(1.4 \))를 이용하라.)</p> <p>\(4 \). 조사해 봄으로써, \( x ^ { 3 } -6 x + 4=0 \)의 해는 \( x=2 \)임을 알 수 있다. 어려움에 대한 사고를 얻기 위해, 봄벨리는 자신의 책에서 등식 \((1.5) \)와 \((1.6) \)을 구성하였다. 공식 \((1.4) \)를 이용하면 해 \( x=2 \)가 어떻게 나올 수 있는지를 보여라.</p> <p>\(5 \). 복소수를 표현하는 월리스의 관점은 왜 \( - \sqrt { -1 } \)이 \( \sqrt { -1 } \)과 같은 점에 의해 표현되는지를 설명하라.</p> <p>\(6 \). 오늘날 우리가 사용하고 있는 복소수의 표현과 일치될 수 있도록 월리스의 복소수의 그림을 약간 수정하는 것이 가능한가? 이 질문에 대한 여러분의 조사를 돕기위해 다음 논문을 추천한다. Norton, Alec, and Lotto, Benjamin, "Complex Roots Made Visible," The College Mathematics Journal, Vol. \(15(3) \), June, \( 1984,248-249 \) 쪽.</p> <p>\(7 \). 복소해석학의 역사에 관한 보고서를 써라.</p> <h1>1.2 복소수의 기하학적 성질</h1> <h2>1.2 .1 삼각부등식</h2> <p>간단한 기하학적 설명을 가진 중요한 부등식부터 살펴보자. \( z=x + i y \)와 \( w=s + i t \)를 복소수라 하자. 그러면 \[ \begin {aligned} \|z + w\| ^ { 2 } &=(x + s) ^ { 2 } + (y + t) ^ { 2 } \\ &=x ^ { 2 } + s ^ { 2 } + y ^ { 2 } + t ^ { 2 } + 2(x s + y t) \\ &=\|z\| ^ { 2 } + \|w\| ^ { 2 } + 2 \Re(z \bar { w } ) \\ & \leq\|z\| ^ { 2 } + \|w\| ^ { 2 } + 2\|z \bar { w } \| \\ &=\|z\| ^ { 2 } + \|w\| ^ { 2 } + 2\|z\|\|w\| \\ &=(\|z\| + \|w\|) ^ { 2 } \end {aligned} \] 을 얻고, 양변에 제곱근을 취하면 \[ \|z + w\| \leq\|z\| + \|w\| \] 를 얻는다. (등호는 \( z \)와 \( w \)의 하나가 다른 하나의 음이 아닌 정수배일 때, 그 때에만 성립한다: 연습문제 \(17 \).) 이것이 삼각부등식이다. 이 이름은 삼각형의 한 변이 다른 두 변의 합보다 크지 않다는 사실에서 연유된다(그림 \(1.8 \)).</p> <p>여기에서 특별히 중요한 두 가지 사실이 있다. 첫째는 자주 사용되는 것으로 \[ z \bar { z } =(x + i y)(x-i y)=x ^ { 2 } + y ^ { 2 } =\|z\| ^ { 2 } \]이다. 두 번째는 \( z \)와 \( \bar { z } \)는 같은 절대값을 갖는다는 것이다. \[ \|z\|= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } =\| \bar { z } \| \] 또 하나의 유용한 관계식이 다음의 계산으로부터 나온다. \[ \begin {aligned} \|z w\| ^ { 2 } &=(x s-y t) ^ { 2 } + (x t + y s) ^ { 2 } \\ &=x ^ { 2 } s ^ { 2 } + y ^ { 2 } t ^ { 2 } + x ^ { 2 } t ^ { 2 } + y ^ { 2 } s ^ { 2 } \\ &= \left (x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right ) \left (s ^ { 2 } + t ^ { 2 } \right ) \\ &=\|z\| ^ { 2 } \|w\| ^ { 2 } \end {aligned} \] 따라서 제곱근을 취하면 \[ \|z w\|=\|z\|\|w\| \] 를 얻는다. 같은 맥락에서 \( \overline { z w } \)를 계산하면 다음을 얻는다. \[ \begin {aligned} \overline { z w } &=(x s-y t)-i(x t + y s) \\ &=(x-i y)(s-i t) \\ &= \bar { z } \bar { w } \end {aligned} \] 또한 동일한 기호와 방법을 사용하여 계산하면 다음을 얻는다. \[ \overline { z + w } = \bar { z } + \bar { w } \]</p> <h2>1.1 .2 극형식</h2> <p>\( x y \)-평면에서 점 \( P(x, y) \)와 복소수 \( z=x + i y \)의 일치화는 \( x y \)-평면에 일반적인 극좌표를 도입하면 중요성과 관심이 더해진다. 극좌표계는 \( r= \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \)이고 \( \vartheta \)가 양의 \( x \)축으로부터 \(0 \)에서 \( P(x, y) \)까지를 잇는 선분에 이르는 각이라면, \( x=r \cos \vartheta \) 와 \( \quad y=r \sin \vartheta \)를 제공한다. \( r=\|z\| \)임을 바로 알 수 있다. 따라서 \[ z=\|z\|( \cos \vartheta + i \sin \vartheta)=(\|z\| \cos \vartheta,\|z\| \sin \vartheta), \quad \vartheta= \arctan \frac { y } { x } \] 이고 이를 \( z \)의 극형식이라 한다(그림 \(1.3 \)(a)). 이 때 \[ \cos \vartheta + i \sin \vartheta=e ^ { i \vartheta } \] 로 쓰기도 하는데 이를 오일러 공식(Euler formula)이라 한다. 이것을 이용해 \( 1.5 .1 \)절 에서 복소지수함수를 정의한다.</p> <p>값 \( j=0,1, \cdots, n-1 \)에 대해서는 서로 다른 수 \( \cos \vartheta_ { j } + i \sin \vartheta_ { j } \)가 생긴다. 반면에 다른 \( j \)값들에 대해서는 이미 얻은 수들이 반복되어 나타난다. \( w \)의 \( n \)제곱근의 기하학적 그림은 매우 간단하다. \( n \)개의 해는 원점이 중심이고 반지름이 \( \varrho=\|w\| ^ {\frac { 1 } { n } } \)인 원 위에 놓여 있다. 해들은 그 중의 하나가 편각 \( \vartheta_ { 0 } = \frac { 1 } { n } \arg w \)를 가지고 나머지는 원 위에 균등하게 퍼져 있다. 예를 들어 그림 \( 1.9 \)를 참조하라. 위에서 \( w=1 \), 즉 \( z ^ { n } =1 \)이라면 \[ z_ { k } =e ^ { i \frac { 2 \pi k } { n } } = \cos \frac { 2 \pi k } { n } + i \sin \frac { 2 \pi k } { n } \quad(k=0,1, \cdots, n-1) \] 로 주어진다. 이것들을 \(1 \)의 \( n \)제곱근이라 한다. 이 때 \[ \omega_ { n } =e ^ { i \frac { 2 \pi } { n } } = \cos \frac { 2 \pi } { n } + i \sin \frac { 2 \pi } { n } \] 로 주어진 \( \omega_ { n } \)을 \(1 \)의 원시 \( n \)제곱근이라 한다. 드 무아브르의 공식에 의하면 \(1 \)의 \( n \)제곱근은 \[ 1, \omega_ { n } , \omega_ { n } ^ { 2 } , \cdots, \omega_ { n } ^ { n-1 } \] 로 표현될 수 있다. 기하학적으로 \(1 \)의 \( n \)제곱근들은 단위원 \( \{ z:\|z\|=1 \} \) 위에 균등하게 펴져 있는 점들로 정 \( n \)각형의 꼭지점을 형성한다.</p> <p>[예제 \(1.6 \)] \(1 \)의 \(12 \)제곱근을 구하라.</p> <p>풀이 \( w=1= \cos 0 + i \sin 0 \)이므로 모든 \(12 \)제곱근의 절대값은 \(1 \)이다. 해는 원점이 중심이고 반지름이 \(1 \)인 원 위에 균등하게 자리하고 있다. 한 해가 \( z_ { 0 } =1 \)이다. 다른 해들은 \( \frac { 2 \pi } { 12 } , \frac { 4 \pi } { 12 } , \frac { 6 \pi } { 12 } , \cdots, \frac { 22 \pi } { 12 } \)등의 편각을 각각 가진다.</p>	자연
방향성 있는 음원이 적용된 음향 포물선 방정식 모델	<p>한편, Fig. 5(b)의 \(5 \mathrm { ~km } \) 이내에서의 음장을 관찰하면 약하게 위 방향의 음파와 아랫방향의 음파가 동시에 발생하는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>이를 명확하게 보이기 위해 \( \mathrm { r } =10 \mathrm { ~m } \) 에서 유리함수 필터를 이용한 음장에 대해 수직파수분석을 수행했다. 수직 파수 분석 결과는 \( \mathrm { r } =10 \mathrm { ~m } \) 에서 수직방향의 음장을 푸리에 변환하여 얻을 수 있다. Fig. 6은 그 결과이다. 전 방향의 음원을 사용하는 경우에 대략 \( -1<k_ { z } / k_ { 0 }<1 \) 에서 분포하는 음장이 유리함수 필터링에 의해 각각 필터링 되는 것을 명확하게 확인할 수 있다.</p> <p>Ⅳ. 결 론</p> <p>본 연구에서는 포물선 방정식 모델에 방향성 있는 음원을 구현할 수 있는 기법을 개발했다. 첫 번째 기법은 Delta 함수를 수학적으로 필터링하는 방법으로 간단하게 sinc 함수 형태로 얻어진다. 이 방법은 포물선 방정식 모델의 입력부에 구현하기는 매우 단순하나 실제 수치영역은 유한하며, 깊이 방향에 대해 불연속성이 존재하므로 실제 도파관 환경에서 구현을 해보면 부엽이 나타나는 것을 확인할 수 있다. 이것은 실제 수중에서 수직 선배열을 이용하여 방향성 있는 음장을 구현할 때 발생하는 문제들과 매우 유사하다.</p> <p>두 번째 방법은 유리함수 필터링을 이용한 방법이다. 유리함수 필터는 포물선 방정식에 나타나는 연산자인 \( \mathrm { X } \) 연산자를 필터링 하는 방법으로, 본 연구에서는 방향성 있는 음원을 만들기 위해 위 방법을 적용하였다. 위의 방법은 음장 자체를 필터링하는 것이기 때문에 보다 명료한 음장이 얻어진다는 장점이 있으나, 깊이방향에 대해서 위로 진행하는 음파와 아래로 진행하는 음파를 구분하지 못하는 단점이 존재한다. 위의 두 방법을 서로 조합하면 보다 정확도 높은 필터링이 가능하리라 예상되나 응용적인 연구에 속하므로 본 연구에서는 다루지 않을 것이다.</p> <p>필터링 된 Delta 함수를 이용한 방향성 음원의 self-starter는Eq.(3)의포물선방정식의self-starter의 \( \delta \left (z-z_ { s } \right ) \)항을 Eq. (5)로 대체하는 것으로 쉽게 제작할 수 있다.</p> <h2>2.3 유리 함수를 이용한 self-starter 필터링</h2> <p>두 번째로 제안하는 방법은 첫 번째 방법과 달리 Eq. (3)의 self-starter 해에 유리 함수 필터를 직접 적용하는 방법이다.</p> <p>주 내용을 기술하기에 앞서 Eq. (2)의 물리적인 의미를 고찰한다. 등 음속과 등 밀도의 해양환경을 가정할 때, Eq. (2)는 \( X= \left (1 / k_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \left [ \partial ^ { 2 } / \partial z ^ { 2 } + \left (k ^ { 2 } -k_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \right ] \) 로 단순화 된다. 평면파를 가정할 때, \( \partial ^ { 2 } / \partial z ^ { 2 } =(j k \sin \theta) ^ { 2 } \) 이 되며, \( X= \left (k ^ { 2 } / k_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \cos ^ { 2 } \theta-1 \) 로 정리할 수 있다. 이 식에서 ' \(-1 \)'에 해당하는 성분만 제외하면, \( \mathrm { X } \) 연산자는 결국 음파의 수평파수의 제곱이라는 것을 짐작할 수 있다. 그렇기 때문에 \( \mathrm { X } \) 연산자를 필터링하는 임의의 함수 \( R(X) \) 를 설계할 수 있다면, 수평파수에 대한 필터링이 가능할 것이다.</p> <p>Collins는 안정된 해를 구하기 위해 Eq. (3)을 다음과 같이 2 단계로 나누어서 계산을 했다.</p> <ol type=1 start=1><li>\( p_ { t m p } (X)=(1 + X) ^ { -2 } \delta \left (z-z_ { s } \right ). \)</li> <li>\( \phi( \Delta r)= \sqrt {\frac { 2 \pi j } { k_ { 0 } } } \frac { e ^ { j k_ { 0 } \Delta r(-1 + \sqrt { 1 + X } ) } } { (1 + X) ^ { -7 / 4 } } p_ { t m p } (X). \)</li> <caption>(7)</caption></ol> <p>우리는 Eq. (7)의 두 번째 줄에 아래와 같이 필터링 함수 \( R(X) \) 를 도입했다.</p> <p>여기서 \( \Delta= \left (k_ { u } -k_ { l } \right ) / 2, k_ { c } = \left (k_ { u } + k_ { l } \right ) / 2 \) 이다.</p> <p>Eq. (5)를 보면, 밴드패스 필터링 된 Delta 함수는 해적으로 sinc 함수의 형태로 나타나는 것을 확인할 수 있다. 위 식에서 \( \mathrm { k } \) 는 물리적으로 음파의 수직 파수의 의미를 갖는다. 음파의 전파 각도를 스침각 \( \theta \) 라고 할 때, 수직 파수는 각각 \( k_ { l } =k \sin \theta_ { l } , k_ { u } =k \sin \theta_ { u } \) 로 치환을 할 수 있다. 이때 \( \Delta_ {\theta } = \theta_ { u } - \theta_ { l } \) 이 방향성 있는 음원의 빔 폭이 된다.</p> <p>이론상으로는 Eq. (5)에서 \( k_ { l } \) 과 \( k_ { u } \) 의 값을 조정하면 가느다란 빔을 만들 수 있으니, 현실적으로 수치영역이 유한하기 때문에 한계가 있다. 보다 자세히 설명하면, Eq. (5)의 sinc 함수의 주엽의 null-to-null 크기는 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <p>\[ \Delta_ { z } = \frac { 2 \pi } {\Delta } = \frac { 2 c_ { 0 } } { f \left ( \sin \theta_ { u } - \sin \theta_ { l } \right ) } , \]<caption>(6)</caption></p> <p>여기서 \( c_ { 0 } \) 는 음원 위치에서의 수중 음속이며, \( f \) 는 주파수이다.</p> <p>만약에 10 도의 빔 폭을 갖는 음원을 만들려고 하고 수중음속이 \( 1500 \mathrm { ~m } / \mathrm { s } \) 라 할 때, \( \Delta_ { z } \approx 9000 \mathrm { m } / \mathrm { f } \) 가 된다. \( 100 \mathrm { ~Hz } \) 의 음원을 사용한다고 할 때, 주엽의 크기는 \( 90 \mathrm { ~m } \) 가 된다. Eq. (5)의 sinc 함수에서 주요 에너지 성분을 담을 수 있는 영역은 경험적으로 주엽 크기의 최소 5 배 이상이어야 한다. 그렇기 때문에 위의 조건에서 수심은 최소 \( 450 \mathrm { ~m } \) 이상이어야 한다. 실제 한국 해 근처의 해역은 위 조건을 항상 만족하지 못한다. 그렇기 때문에 위의 필터링 된 Delta 함수는 고주파수의 음원 \( (1 \mathrm { kHz } \) 이상)에서 주로 사용가능할 것이다.</p> <p>\[ \phi( \Delta r)= \sqrt {\frac { 2 \pi j } { k_ { 0 } } } \frac { e ^ { j k_ { 0 } \Delta r(-1 + \sqrt { 1 + X } ) } } { (1 + X) ^ { -7 / 4 } } R(X) p_ { t m p } (X). \]<caption>(8)</caption></p> <p>즉, \( R(X) \) 는 \( p_ { tmp } (X) \) 를 필터링 해주는 역할을 하는 임의의 필터이다. 본 연구에서는 Cederberg et al. 가 제안한 사각 필터를 사용했다.</p> <p>\[R(X)= \left \{\begin {array} { ll } 1 & , X_ { l }<X<X_ { u } \\ 0 & , otherwise \end {array} , \right . \]<caption>(9)</caption></p> <p>여기서 \( X_ { l } \) 와 \( X_ { u } \) 는 필터에서 통과시키는 대역의 하한값과 상한값을 말한다.</p> <p>Eq. (9)를 포물선 방정식 모델에 적용하기 위해서 아래와 같이 \( R(X) \) 를 유리함수로 근사해야 한다.</p> <p>\[ R(X) \cong g(X)= \frac { 1 + \sum_ { i=1 } ^ { n } a_ { i } X } { 1 + \sum_ { i=1 } ^ { n } b_ { i } X } . \]<caption>(10)</caption></p> <p>위의 식에서 \( a_ { i } \) 와 \( b_ { i } \) 는 최소자승법을 적용하여 계산하였다.</p> <p>Eq. (10)은 유리 함수의 형태이기 때문에 Eq. (8)의 포물선 방정식 알고리즘에 쉽게 적용할 수 있다. 하지만 Eq. (9)에서 대역 통과 구간의 크기가 작을수록 Eq. (10)에서 유리함수 근사의 차수가 높아질 것이다. 유리 함수 차수가 높아지면 Eq. (8)의 계산시간이 증가하나 보통 \( 1 \mathrm { ~s } \) 이내이다.</p> <p>또한, Eq. (9)의 필터링 함수는 물리적으로 ‘수평파수의 제곱 \( (X) \) '을 필터링하도록 설계 된 것이다. 만약에 음원에서 아랫방향으로 \( \theta \) 의 각도로 전파하는 음파와 윗방향으로 \( - \theta \) 로 전파하는 음파가 있을 때, 이 두 개의 음파의 \( X \) 값은 서로 동일할 것이다. 그렇기 때문에, 위의 필터링 방법으로는 깊이 방향에 대해 위로 가는 음파와 아래로 가는 음파를 구분할 수는 없다.</p> <h1>Ⅰ. 서 론</h1> <p>음향 포물선 방정식 법은 해양에서 단일 음원에서 방사된 중저주파 음파 전달을 모의하는데 가장 많이 사용되는 방법이다. 포물선 방정식법으로 구현된 모델로 전 세계적으로 RAnge-dependent Modcl(RAM)이 널리 알려져 있다.</p> <p>수중음파전달에서는 먼 거리에서 관찰한 값이 중요한 경우가 많기 때문에, 단일 음원을 사용하여 모델링을 해도 대부분은 소나방정식을 통헤 음파전달 예측을 하는데 크게 불편함은 없다. 하지만 센서 배열의 성능을 시험하거나, 근거리 음파전달, 음파 굴절에 의한 영향 등 을 모의하고 싶을 때는 방향성이 있는 음원에 대한 포물선 방정식 모델이 필요할 것이다.</p> <p>본 연구에서는 방향성이 있는 음원을 모의하기 위한 두 가지 방법을 제안한다. 첫 번째 방법은 전 방향성 음원을 모사하는 함수인 Delta 함수를 필터링 하는 것이다. 필터링 하는 구간에 따라 구현하고자하는 방향성 음원의 특성이 달라질 것이다. 본 연구에서는 수학적으로 방향성 음원의 빔 크기와 필터링 간격 간의 관계를 보였다.</p> <p>두 번째는 단일 음원의 self-starter 해에 필터를 적용하는 것이다. 필터를 통헤서 self-starter 해의 원하는 부분의 파수 성분만 남겨놓는 것이다. 참고로 본 연구와 연구 목적은 다르지만 위와 같은 방법은 이미 1997년에 포물선 방정식 self-starter 해를 안정화시키기 위한 방법으로 Caderberg et al.에 의해 제안되었다. 그렇지만 방향성 있는 음원 연구에 적용한 것은 본 연구가 처음이다.</p> <h2>Ⅱ. 이 론</h2> <h3>2.1 Split-Step Padè 포물선 방정식 모델</h3> <p>2차원 포물선 방정식의 Split-step 해는 다음과 같이 표현된다.</p> <p>\[ \phi(r + \Delta r) = e ^ { j k_ { 0 } \Delta r(-1 + \sqrt { 1 + X } ) } \phi(r), \]<caption>(1)</caption></p> <p>여기서 \( r \) 은수평거리를 나타내며, \( k_ { 0 } \) 는 참조 파수이고, \( \Delta r \) 은 거리방향의 증분이다. \( \mathrm { X } \) 연산자는 다음과 같다.</p> <p>\[ X= \frac { 1 } { k_ { 0 } ^ { 2 } } \left ( \frac {\rho } {\alpha } \frac {\partial } {\partial z } \left ( \frac { 1 } {\rho } \frac {\partial } {\partial z } \alpha \right ) + \left (k ^ { 2 } -k_ { 0 } ^ { 2 } \right ) \right ). \]<caption>(2)</caption></p> <p>위 식에서 \( k_ { 0 } \) 는 참조 파수이고, \( \rho \) 는 매질의 밀도, \( k \) 는 매질의 파수이다. \( \alpha \) 는 에너지 보존을 만족시키기 위한 계수이다. \( \partial / \partial z \)는 깊이방향에 대한 편미분을 나타낸다.</p> <p>Eq. (1)의 포물선 방정식을 풀기 위해서는 초기해가 필요하다. 일반적으로 포물선 방정식에서는 초기해는 self-starter를 이용하여 계산을 한다. Collins에 의해 2차원 원통형 좌표계에서 제안된 초기해는 다음과 같다.</p> <p>\[ \phi( \Delta r)= \sqrt {\frac { 2 \pi j } { k_ { 0 } } } \frac { e ^ { j k_ { 0 } \Delta r(-1 + \sqrt { 1 + X } ) } } { (1 + X) ^ { 1 / 4 } } \delta \left (z-z_ { s } \right ). \]<caption>(3)</caption></p> <p>위 식에서 \( \delta(-) \)는 Delta 함수를 의미하며, \( z_ { s } \)는 음원이 위치한 수심이다. 참고로 유한차분법에서 수치적으로 Delta 함수를 적용할 때, 음원이 위치한 노드에서는 \( 1 / \Delta z \) 을 놓고 그 외에는 0을 놓는다. 여기서 \( \Delta z \) 는 깊이 격자의 간격이다.</p> <h1>2.2 Delta 함수의 필터링</h1> <p>수학적으로 Delta 함수는 푸리에 변환을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.</p> <p>\[ \delta \left (z-z_ { s } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { - \infty } ^ {\infty } e ^ { j k \left (z-z_ { s } \right ) } d k . \]<caption>(4)</caption></p> <p>Eq. (4)의 우측의 스펙트럼에서 \( \left [k_ { l } , k_ { u } \right ] \)의 구간에 해당되는 파수 성분만 뽑아낸다고 하면, 근사된 Delta 함수 \( \delta_ { k } \)는 아래와 같이 정리할 수 있다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \delta_ { k } \left (z-z_ { s } \right )= \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { k_ { l } } ^ { k_ { u } } e ^ { j k \left (z-z_ { s } \right ) } d k \\ = \frac {\Delta } {\pi } \frac {\sin \left [ \Delta \left (z-z_ { s } \right ) \right ] } {\Delta \left (z-z_ { s } \right ) } e ^ { j k_ { c } \left (z-z_ { s } \right ) } , \end {aligned} \]<caption>(5)</caption></p> <p>Fig. 2(a)는 필터링을 하지 않은 경우의 음파전달손실을 보여준다. 음파가 전 방향으로 다중반사를 하며 진행하는 것을 알 수 있다. Fig. 2(b)는 위에서 서술한 빔 폭에 대해 방향성을 준 음원의 결과이다. 명확하게 음원의 방향성이 구현되는 것을 확인할 수 있다. 다만 수치영역에 부엽이 발생한다.</p> <p>이것은 수치 영역이 유한하기 때문에 발생하는 Aliasing으로 볼 수 있다.</p> <p>Fig. 3은 동일한 환경에서 주파수만 \( 100 \mathrm { ~Hz } \) 로 낮추었을 때의 결과를 보여준다. Delta 함수의 유효한 영역에 비해 도파관의 깊이가 작기 때문에 정확하게 방향성 있는 음원이 구현되지 못하고 뭉그러지는 것을 확인할 수 있다.</p> <p>Fig. 4는 심해 환경에서 빔의 조향각에 따른 전달손실의 결과를 보여준다. 빔 폭은 5 도로 동일하며 음원의 주파수는 \( 2 \mathrm { ~kHz } \) 를 사용했다. Fig. 4(a)는 비교를 위해 전 방향의 음원을 사용했을 때의 전달손실의 결과를 나타낸다. 빔의 중심각을 \( \theta_ { 0 } \) 라고 할 때 Fig.4(b)는 \( \theta_ { 0 } =3 ^ {\circ } \), Fig.4(c)는 \( \theta_ { 0 } =10 ^ {\circ } \) 로 설정했다. 여기서 + 값은 음파의 방향이 아랫방향인 것을 말한다.</p> <p>Fig. 4(b)와 4(c)를 살펴보면, 심해 환경에서 나타나는 굴절파와 해저면 반사파가 Delta 함수의 필터링을 통해 명확하게 분리가 되는 것을 확인할 수 있다.</p> <h3>3.2 유리함수 필터링 예제</h3> <p>본 절에서는 유리함수 필터링을 이용한 방향성 있는 음원에 대한 수치실험을 진행했다.우선 앞 절의 심해 환경에 대해 각각 \( \theta_ { 0 } =2.5 ^ {\circ } , \theta_ { 0 } =17.5 ^ {\circ } \) 이고, 빔폭은 5도인 방향성 있는 음원을 생각했다. 유리 함수 근사의 차수는 6차를 사용했다.</p> <p>Fig. 5는 각각의 결과를 보여준다. Fig. 5(a)와 5(b)는 각각 \( \theta_ { 0 } =2.5 ^ {\circ } \) 이고 \( \theta_ { 0 } =17.5 ^ {\circ } \) 일 때이다 (실제는 유리함수 필터링의 특성에 따라 \( \theta_ { 0 } = \pm 2.5 ^ {\circ } \) 와 \( \theta_ { 0 } = \pm 17.5 ^ {\circ } \) 의 빔이 발생한다). 해당 영역에 대해서 필터링이 되는 것을 볼 수 있다. 특히 Eq. (5)의 필터링 된 Delta 함수를 사용하는 것에 비해 유리 함수 필터링이 보다 더 깨끗한 결과를 얻는 것을 확인할 수 있다. 이는 필터링 된 Delta 함수는 수치 영역의 유한성과 불연속성으로 인해 정확하게 구현하는 것에 어려움이 있으나, 유리 함수 필터를 사용한 방법은 음장의 파수를 필터링 시켜주는 방법이므로 보다 정확하다.</p>	자연
공학도를 위한 기초미적분학_매개변수방정식의 미적분	<h1>연 ·습 · 문 . 제 7.1</h1><p>\( 1 \). 다음의 매개변수방정식을 직교방정식으로 표현하고 곡선의 개형을 그려라.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( x=\sqrt{1-t^{2}}, y=t \quad(-1 \leq t \leq 1) \)</li><li>\( x=2 \sin t, y=3 \cos t\left(-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2}\right) \)</li><li>\( x=4+3 \cos t, y=5+3 \sin t(0 \leq t \leq 2 \pi) \)</li></ol></p><p>\( 2 \). 매개변수의 주어진 값에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( x=t^{4}+1, \quad y=t^{3}+t ; t=-1 \)</li><li>\( x=e^{\sqrt{t}}, y=t-\ln t^{2} ; t=1 \)</li><li>\( x=t-\frac{1}{t}, \quad y=t+\frac{1}{t} ; \quad t=2 \)</li></ol></p><p>\( 3 \). \( \frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} \)을 구하여라.</p><p><ol type=1 start=1><li>\( x=t-e^{t}, \quad y=t+e^{t} \)</li><li>\( x=2 \sin t, y=3 \cos t(0<t<2 \pi) \)</li><li>\( x=\ln 3 t, \quad y=\sqrt{t^{2}+2} \)</li></ol></p><h1>7.2 매개변수방정식의 적분: 곡선의 길이</h1><p>곡선 \( C \) 가 \( x=f(t), y=g(t), a \leq t \leq b \)와 같이 매개변수방정식으로 주어졌을 때는 \[\frac{d y}{d x}=\frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}, \quad d x=f^{\prime}(t) d t\]이므로 곡선의 길이 \( L \)은 \[\begin{aligned}L &=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}} d x=\int_{a}^{b} \sqrt{1+\left(\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}\right)^{2}}\left\|f^{\prime}(t)\right\| d t \\&=\int_{a}^{b} \sqrt{f^{\prime}(t)^{2}+g^{\prime}(t)^{2}} d t\end{aligned}\] 이다. 여기서 곡선 위의 점이 \( x \)축 음의 방향으로 이동하는 때도 있으므로 \( d x= \) \( \left\|f^{\prime}(t)\right\| d t \)를 사용했다. 따라서 \[L=\int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{d x}{d t}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d t}\right)^{2}} d t\]이 된다.</p><p>예제 \( 7.2.1 \) 구간 \( [-1,3] \)에서 곡선 \( x=2(2 t+3)^{\frac{3}{2}}, y=3(t+1)^{2} \) 의 길이를 구하여라.</p><p>풀이 \( \quad \frac{d x}{d t}=6(2 t+3)^{\frac{1}{2}}, \frac{d y}{d t}=6(t+1) \)이므로 \[L=\int_{-1}^{3} \sqrt{36(2 t+3)+36\left(t^{2}+2 t+1\right)} d t=72\]이다.</p><h1>연·습·문·제 7.2</h1><p>\( 1 \). 매개변수방정식 \( x=\cos t, y=\sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi \)로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라.</p><p>\( 2 \). 매개변수방정식 \( x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi \)로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라.</p> <h1>7.1 매개변수방정식의 미분 :접선의 방정식과 곡선의 개형</h1><p>\( x \)와 \( y \)가 매개변수라 불리는 제 \( 3 \)의 변수 \( t \)의 연속함수로서 방정식 \( x=f(t) \), \( y=g(t) \)로 주어졌을 때, 이 방정식을 매개변수방정식이라고 부른다. \( t \)가 변할 때, 점 \( (x, y)=(f(t), g(t)) \)도 변하고 그 자취를 따라 곡선 \( C \)가 형성되는데, 우리는 이것을 매개변수곡선이라 부른다. 매개변수 \( t \)는 반드시 시간을 의미하는 것만은 아니다. 변수도 \( t \) 이외의 다른 문자를 써도 된다. 그러나 많은 매개변수곡선의 응용에 있어서 \( t \)는 시간을 나타낸다. 그러므로 \( (x, y)=(f(t), g(t)) \)를 시간 \( t \)에 있어서 질점의 위치로 간주할 수 있다.</p><p>매개변수로 표시된 곡선의 그래프를 그리는 방법은 \( t \)값을 변화시킬 때마다 결정되는 \( x \) 와 \( y \)의 값을 찾아 그것들을 연결하여 곡선을 그리는 방법과 매개변수 \( t \)를 소거하여 우리가 알고 있는 직교방정식으로 고쳐서 그리는 방법이 있다. 단, 이때 제한변역이 생기는가 확인한다.</p><p>예제 \( 7.1.1 \) 모든 \( t \)에 대하여 \( x=1-2 t \)와 \( y=-3+4 t \)에 의해 매개변수화된 곡선 \( C \)를 그리고 \( t \)가 증가함에 따라 움직이는 방향을 나타내어라.</p><p>풀이 \( 1 \) \(t \)의 값이 증가할 때의 \( x, y \) 값을 구하여 곡선 \( C \)를 구해보면 앞의 그림과 같은 직선으로 방향은 위 왼쪽을 향한다.</p><p>풀이 \( 2\) \(t \)를 포함하지 않는 직교방정식으로 고치기 위해 첫 번째 매개변수방 정식을 \( t \)에 대해 풀면 \( t=\frac{1-x}{2} \)을 얻는다. 두 번째 매개변수방정식에 \( t \)를 대입하여 \( y=-3+4\left(\frac{1-x}{2}\right)=-1-2 x \)를 얻는다. 따라서 곡선 \( C \)는 기울기 \( -2, y \)절편 \( -1 \)인 직선을 나타낸다. \( t \)가 증가하면 질점은 곡선 \( C \) 상의 위 왼쪽으로 움직인다.</p><p>예제 \( 7.1.2 \) \( a>0 \)이라 하자. \( 0 \leq t \leq 2 \pi \)에 대해 \( x=a \cos t, y=a \sin t \)인 매개변수방정식을 갖는 곡선 \( C \)는 무엇인가?</p><p>풀이 \( x^{2}+y^{2}=a^{2}\left(\cos ^{2} t+\sin ^{2} t\right)=a^{2} \)으로 \( t \) 를 소거할 수 있다.</p><p>\( t=0 \)일 때 원 위의 점 \( (a, 0), t=\frac{\pi}{2} \)일 때 \( (0, a) \) \( t=\pi \)일 때 \( (-a, 0), t=\frac{3 \pi}{2} \)일 때 \( (0,-a) \) \( t=2 \pi \)일 때 \( (a, 0) \)이므로 곡선 \( C \)는 반지름이 \( a \)인 원을 시계 반대방향으로 한 바퀴 도는 곡선이다.</p> <h1>연·습 ·문 ·제 7.1</h1> <p>\( 1 \). 다음의 매개변수방정식을 직교방정식으로 표현하고 곡선의 개형을 그려라.</p> <p> <ul> <li>\( x = \sqrt { 1-t ^ { 2 } } , y=t \quad(-1 \leq t \leq 1) \)</li> <li>\( x=2 \sin t, y=3 \cos t \left (- \frac {\pi } { 2 }<t< \frac {\pi } { 2 } \right ) \)</li> <li>\( x=4 + 3 \cos t, y=5 + 3 \sin t(0 \leq t \leq 2 \pi) \)</li></ul></p> <p>\( 2 \). 매개변수의 주어진 값에 대응하는 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.</p> <p> <ul> <li>\( x=t ^ { 4 } + 1, \quad y=t ^ { 3 } + t ; t=-1 \)</li> <li>\( x=e ^ {\sqrt { t } } , y=t- \ln t ^ { 2 } ; t=1 \)</li> <li>\( x=t- \frac { 1 } { t } , y=t + \frac { 1 } { t } ; t=2 \)</li></ul></p> <p>\( 3 \). \( \frac { d y } { d x } , \frac { d ^ { 2 } y } { d x ^ { 2 } } \)을 구하여라.</p> <p> <ul> <li>\( x=t-e ^ { t } , y=t + e ^ { t } \)</li> <li>\( x=2 \sin t, y=3 \cos t(0<t<2 \pi) \)</li> <li>\( x= \ln 3 t, y= \sqrt { t ^ { 2 } + 2 } \)</li></ul></p> <h1>7.2 매개변수방정식의 적분: 곡선의 길이</h1> <p>곡선 \( C \) 가 \( x=f(t), y=g(t), a \leq t \leq b \)와 같이 매개변수방정식으로 주어졌을 때는 \[ \frac { d y } { d x } = \frac {\frac { d y } { d t } } {\frac { d x } { d t } } = \frac { g ^ {\prime } (t) } { f ^ {\prime } (t) } , \quad d x=f ^ {\prime } (t) d t \]이므로 곡선의 길이 \( L \)은 \[ \begin {aligned} L &= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left ( \frac { d y } { d x } \right ) ^ { 2 } } d x= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { 1 + \left ( \frac { g ^ {\prime } (t) } { f ^ {\prime } (t) } \right ) ^ { 2 } } \left \|f ^ {\prime } (t) \right \| d t \\&= \int_ { a } ^ { b } \sqrt { f ^ {\prime } (t) ^ { 2 } + g ^ {\prime } (t) ^ { 2 } } d t \end {aligned} \] 이다. 여기서 곡선 위의 점이 \( x \)축 음의 방향으로 이동하는 때도 있으므로 \( d x= \) \( \left \|f ^ {\prime } (t) \right \| d t \) 를 사용했다. 따라서 \[L= \int_ { a } ^ { b } \sqrt {\left ( \frac { d x } { d t } \right ) ^ { 2 } + \left ( \frac { d y } { d t } \right ) ^ { 2 } } d t \]이 된다</p> <p>예제 \( 7.2.1 \) 구간 \( [-1,3] \)에서 곡선 \( x=2(2 t + 3) ^ {\frac { 3 } { 2 } } , y=3(t + 1) ^ { 2 } \) 의 길이를 구하여라.</p> <p>풀이 \( \frac { d x } { d t } =6(2 t + 3) ^ {\frac { 1 } { 2 } } , \frac { d y } { d t } =6(t + 1) \)이므로 \[L= \int_ { -1 } ^ { 3 } \sqrt { 36(2 t + 3) + 36 \left (t ^ { 2 } + 2 t + 1 \right ) } d t=72 \]이다.</p> <h1>연·습·문·제 7.2</h1> <p>\( 1 \). 매개변수방정식 \( x= \cos t, y= \sin t, 0 \leq t \leq 2 \pi \)로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라.</p> <p>\( 2 \). 매개변수방정식 \( x=a(t- \sin t), y=a(1- \cos t), 0 \leq t \leq 2 \pi \)로 주어지는 곡선의 길이를 구하여라.</p>	자연
M337-선형대수학	<p>유제1.11</p> <p>\( e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \) 는 유제 1.10의 기본 행 연산을 의미한다.</p> <ol type=1 start=1><li>기본 행 연산 \( e_ { 1 } ^ { -1 } , e_ { 2 } ^ { -1 } , e_ { 3 } ^ { -1 } \) 을 설명하라.</li> <li>기본 행 연산 \( e_ { 1 } ^ { -1 } , e_ { 2 } ^ { -1 } , e_ { 3 } ^ { -1 } \) 에 대응하는 \( 3 \times 3 \) 기본 행 행렬 \( E_ { 1 } ^ {\prime } , E_ { 2 } { } ^ {\prime } , E_ { 3 } { } ^ {\prime } \) 을 구하라.</li> <li>\( E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } \) 와 \( E_ { 1 } ^ {\prime } , E_ { 2 } ^ {\prime } , E_ { 3 } ^ {\prime } \) 의 관계를 말하라.</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( e_ { 1 } ^ { -1 } : R_ { 1 } \) 과 \( R_ { 2 } \) 를 교환한다. \( e_ { 2 } ^ { -1 } : R_ { 3 } \) 를 \( \frac { 1 } { 7 } R_ { 3 } \) 로 바꾼다. \( e_ { 3 } ^ { -1 } : R_ { 2 } \) 를 \( 3 R_ { 1 } + R_ { 2 } \) 로 바꾼다.</li> <li>\[ \begin {array} { l } E_ { 1 } { } ^ {\prime } =e_ { 1 } ^ { -1 } (I)= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \\E_ { 2 } { } ^ {\prime } =e_ { 2 } ^ { -1 } (I)= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & \frac { 1 } { 7 } \end {array} \right ], \\E_ { 3 } { } ^ {\prime } =e_ { 3 } ^ { -1 } (I)= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] . \end {array} \]</li> <li>\( E_ { 1 } ^ {\prime } , E_ { 2 } ^ {\prime } , E_ { 3 } ^ {\prime } \)은 각각 \( E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } \) 의 역행렬이다. \[ \begin {array} { l } E_ { 1 } E_ { 1 } { } ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \\1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \\E_ { 2 } E_ { 2 } { } ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & \frac { 1 } { 7 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \\ E_ { 3 } E_ { 3 } { } ^ {\prime } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\-3 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\3 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \text { . } \\ \end {array} \]</li></ol> <p>유제 1.12</p> <p>(2) \[ \begin {aligned} M &= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 3 & -1 & 3 \\ 5 & 7 & 4 & 1 & 5 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 7 & -7 & -5 \\ 0 & 2 & 14 & -14 & -15 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 7 & -7 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -5 \end {array} \right ] \end {aligned} \]이므로 \( 0 x_ { 1 } + 0 x_ { 2 } + 0 x_ { 3 } + 0 x_ { 4 } =-5 \) 이다. 따라서 해는 없다.</p> <p>(3) \[ \begin {aligned} M &= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 5 & -1 & -4 \\ 3 & -2 & -1 & 5 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & -8 & -4 & -4 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & 0 & -28 & -84 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { lllr } 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & -10 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end {array} \right ] \end {aligned} \] \( \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end {array} \right ] \)</p> <p>보기 1.16 \[ \left \{\begin {array} { rl } x + 2 y + 3 z & =1 \\x + 3 y + 6 z & =3, \\2 x + 6 y + 13 z & =5 \end {array} , A= \left [ \begin {array} { rrr } 1& 2 & 3 \\1 & 3 & 6 \\2 & 6 & 13 \end {array} \right ], A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -8 & 3 \\-1 & 7 & -3 \\0 & -2 & 1 \end {array} \right ] \right . \]이면 정리 1.8에 의해 유일한 해는 \[A ^ { -1 } B= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -8 & 3 \\-1 & 7 & -3 \\0 & -2 & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } 1 \\3 \\5 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } -6 \\5 \\-1 \end {array} \right ] \]이다.</p> <h2>첨가행렬과 연립방정식의 계수행렬(Augmented and Coefficient Matrices of a System)</h2> <p>\( m \times n \) 선형 연립방정식은 다음과 같이 두 가지 행렬로 각각 나타낼 수 있다. \[M= \left [ \begin {array} { ccccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } & b_ { 1 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } & b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } & b_ { n } \end {array} \right ] \\text { 그리고 } A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \]</p> <h2>삼각형 형태와 사다리꼴 형태의 연립방정식</h2> <h3>삼각형 형태(Triangular Form)</h3> <p>다음 삼각형 형태의 연립방정식을 살펴보자. \[ \begin {array} { r } 2x_ { 1 } -3 x_ { 2 } + 5 x_ { 3 } -2 x_ { 4 } =9 \\5 x_ { 2 } -x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } =1 \end {array} \] \( 7 x_ { 3 } -x_ { 4 } =3 \) \( 2 x_ { 4 } =8 \)</p> <p>후방대입법을 사용하면 이 연립방정식을 쉽게 풀 수 있고 이 연립방정식은 항상 오직 한 개의 해를 갖는다. 즉, \( x_ { 4 } =4 \) 이고 이를 세 번째 식에 대입하여 \( x_ { 3 } =1 \) 임을 알 수 있다. 다시 두 번째 식에 \( x_ { 3 } \) 와 \( x_ { 4 } \) 를 대입하면 \( x_ { 2 } =-2 \) 임을 구할 수 있다. 마지막으로 \( x_ { 2 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \) 를 모두 첫 번째 식에 대입하면 \( x_ { 1 } \) 을 구할 수 있다. 그러므로 해는 \( u=(3,-2,1,4) \) 이다. 구하는 과정에서 보았듯이 하나 이상의 해는 생길 수가 없다.</p> <h3>사다리꼴 형태(Echelon Form)와 선택변수(Pivot Variables), 자유변수(Free Variables)</h3> <p>다음 사다리꼴 형태의 연립방정식을 살펴보자. \[ \begin {array} { r } 2 x_ { 1 } + 6 x_ { 2 } -x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } -2 x_ { 5 } =15 \\x_ { 3 } + 2 x_ { 4 } + 2 x_ { 5 } =5 \\3 x_ { 4 } -9 x_ { 5 } =6 \end {array} \]</p> <p>위의 방정식에서 첫 번째 방정식의 선두 미지수(leading unknown)는 \( x_ { 1 } \) 이고 두 번째 방정식의 선두 미지수는 \( x_ { 3 } \) 이며, 세 번째 방정식의 선두 미지수는 \( x_ { 4 } \)이다. \( x_ { 2 } \) 와 \( x_ { 5 } \) 는 선두 미지수가 아니다. 이들 미지수를 자유변수라고 한다. 그리고 선두 미지수 \( x_ { 1 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \) 를 선택변수라고 한다.</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin {aligned} A=L U=& {\left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 2 & - \frac { 3 } { 2 } & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { llr } 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \text { 이므로 } } \\ & {\left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 2 & - \frac { 3 } { 2 } & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { llr } 1 & 2 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -2 \\ 3 \end {array} \right ] } \end {aligned} \)이다. 먼저 \( \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 2 & - \frac { 3 } { 2 } & 1 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } u_ { 1 } \\ u_ { 2 } \\ u_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -2 \\ 3 \end {array} \right ] \) 이 되는 \( \left (u_ { 1 } , u_ { 2 } , u_ { 3 } \right ) \) 를 구하자. \( u_ { 1 } =1 \) 이고 \( -3 u_ { 1 } + u_ { 2 } =-2 \) 이므로 \( u_ { 2 } =1 \) 이다. 또 \( 2 u_ { 1 } -3 / 2 u_ { 2 } + u_ { 3 } =3 \) 이므로 \( u_ { 3 } =5 / 2 \) 이다. 이제 \[ \left [ \begin {array} { llr } 1 & 2 & -3 \\0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\x_ { 2 } \\x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { l } u_ { 1 } \\u_ { 2 } \\u_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 1 \\1 \\5 / 2 \end {array} \right ] \]이다. \( 7 x_ { 3 } =5 / 2 \) 이므로 \( x_ { 3 } =5 / 14 \) 이다. \( 2 x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } =1 \) 이므로 \( x_ { 2 } = \) \( -3 / 14 \) 이다. \( x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -3 x_ { 3 } =1 \) 이므로 \( x_ { 1 } =35 / 14 \) 이다. 따라서 \( x=(35 / 14,-3 / 14,5 / 14) \) 이다.</p> <p>행렬의 모든 성분이 실수이면 \( \mathbb { R } \) 위의 행렬(matrices over \( \mathbb { R } ) \) 이라고 부른다. 마찬가지로 모든 성분이 복소수이면 복소수 \( \mathbb { C } \) 위의 행렬이라고 한다.</p> <p>보기 1.10</p> <ol type=1 start=1><li>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 3 & -4 & 5 \\ 0 & -1 & -1 \end {array} \right ] \)은 \(2 \times 3 \) 각각 두 개의 행벡터이고 \( \left [ \begin {array} { l } 3 \\ 0 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { l } -4 \\ -1 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { r } 5 \\ -1 \end {array} \right ] \)은 열벡터이다.</li> <li>\( 3 \times 5 \) 영행렬은 \( 0= \left [ \begin {array} { lllll } 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \) 이다.</li> <li>\( \left [ \begin {array} { cc } 2 x + y & z + 2 t \\ x + y & 2 z-t \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { rr } 4 & 2 \\ 3 & -1 \end {array} \right ] \) 을 만족하는 \( x, y, z, t \)는 각 성분이 같아야 하므로 \[ \left \{\begin {array} { rl } 2 x + y & =4 \\x + y & =3 \end {array} , \left \{\begin {aligned} z + 2 t &=2 \\2 z-t &=-1 \end {aligned} \right . \right . \]을 얻고, 이 연립방정식을 풀면 \( x=1, y=2, t=1, z=0 \) 이다</li></ol> <h2>사다리꼴 행렬(Echelon Matrices)</h2> <p>다음 두 조건을 만족시키는 행렬 \( A \) 를 사다리꼴 행렬이라고 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>모든 성분이 영인 행이 있다면 행렬의 가장 마지막 행에 와야 한다.</li> <li>한 행의 첫 번째 영이 아닌 성분은 앞선 행의 첫 번째 영이 아닌 성분의 오른쪽 밑에 와야 한다. 각 행의 첫 번째 영이 아닌 성분을 선택성분이라 한다.</li></ol> <p>보기 1.11 다음 행렬은 사다리꼴 행렬이다. 선택성분이 네모로 표시되어 있다. \[ \left [ \begin {array} { cccccccccc } 0 & 2 & 3 & 4 & 5 & 9 & 0 & 7 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 1 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 7 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \]</p> <p>일반적으로 사다리꼴 형태는 다음과 같은 형태이다. 여기서 \( 1<j_ { 2 }< \cdots<j_ { r } \)이고 \( a_ { 11 } , a_ { 2 j_ { 2 } } , \ldots, a_ { r j_ { r } } \) 은 모두 0이 아니다. \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + a_ { 13 } x_ { 3 } + a_ { 14 } x_ { 4 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\a_ { 2 j_ { 2 } } x_ { j_ { 2 } } + a_ { 2 j_ { 3 } } x_ { j_ { 3 } } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ \begin {array} { c } \vdots \\a_ { r j_ { r } } x_ { j_ { r } } \end {array} + \cdots + a_ { r n } x_ { n } =b_ { r } \\ \end {array} \]</p> <p>선택변수는 \( x_ { 1 } , x_ { j_ { 2 } } , \ldots, x_ { j_ { r } } \) 이고 \( r \leq n \) 이다.</p> <p>선택변수는 \( x_ { 1 } , x_ { j_ { 2 } } , \ldots, x_ { j_ { r } } \) 이고 \( r \leq n \) 이다.</p> <p>정리 \( 1.5 \)</p> <p>\( n \) 개의 미지수와 \( r \) 개의 방정식을 갖는 사다리꼴 형태의 선형 연립방정식을 보자. 다음과 같은 두 가지 경우가 있다.</p> <ol type=i start=1><li>\( r=n \) 인 경우, 즉 미지수의 개수와 방정식의 개수가 같은 경우이다 고로 삼각형 형태가 되므로 오직 한 개의 해를 갖는다.</li> <li>\( r<n \) 인 경우, 즉 방정식보다 미지수가 더 많은 경우이다. \( (n-r) \) 가 자유변수에 임의의 값을 배정하고 나머지 \( r \) 개의 선택변수를 구하여 연립방정식의 해를 구한다(이 경우 스칼라 체가 무한이면 무한개의 해를 갖는다).</li></ol> <p>증명</p> <ol type=i start=1><li>\( r=n \) 이라 하면 대각성분이 0 이 아닌 상삼각행렬 \( A \) 를 가진 정방 연립방정식 \( A X=B \) 를 얻을 수 있다. 그러면 \( A \) 는 가역적이다. 따라서 \[A \left (A ^ { -1 } B \right )= \left (A A ^ { -1 } \right ) B=I B=B \]이므로 \( A ^ { -1 } B \) 는 해가 된다. 이제 \( v \) 가 \( A v=B \) 를 만족한다고 하자. \[v=I v= \left (A ^ { -1 } A \right ) v=A ^ { -1 } (A v)=A ^ { -1 } B \]이므로 \( A ^ { -1 } B \) 는 유일한 해이다.</li> <li>\( (n-r) \) 개의 자유변수에 값을 지정하면 선택변수만을 가진 삼각형 형태의 연립방정식이 된다. (i)에 의하여 이 연립방정식은 유일한해를 갖는다.</li></ol> <p>무한개의 해를 나타내는 방법에는 두 가지가 있다.</p> <p>특히 행렬 \( B \) 가 사다리꼴 행렬이라면 행렬 \( B \) 를 행렬 \( A \) 의 사다리꼴 형태</p> <p>(echelon form)라 한다.</p> <p>(echelon form)라 한다.</p> <p>정리 1.6</p> <p>행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 와 \( B= \left [b_ { i j } \right ] \) 가 행 동치 사다리꼴 행렬이라 하자. 그리고 다음과 같은 선택성분을 갖는다 하자. \[ a_ { 1 j_ { 1 } } , a_ { 2 j_ { 2 } } , \ldots, a_ { r j_ { r } } \text { 그리고 } b_ { 1 k_ { 1 } } , b_ { 2 k_ { 2 } } , \ldots, b_ { s k_ { s } } \] 그러면 \( A \) 와 \( B \) 는 같은 개수의 영이 아닌 행을 소유하고, 즉 \( r=s \) 이고 선택성분들은 같은 위치를 갖는다. 즉, \[ j_ { 1 } =k_ { 1 } , j_ { 2 } =k_ { 2 } , \ldots, j_ { r } =k_ { r } . \]</p> <p>정리 1.7</p> <p>모든 행렬은 유일한 행 표준형 행렬과 행 동치이다.</p> <p>정리 1.7의 행렬을 \( A \) 의 행 표준형 행렬이라고 한다.</p> <p>정의 1.1</p> <p>한 행렬 \( A \) 의 사다리꼴 형태 안의 선택원소(pivot elements)의 개수를 행렬 \( A \) 의 랭크(rank), \( \operatorname { rank } (A) \) 라고 한다.</p> <p>유제1.4 다음 행렬들을 사다리꼴 형태로 바꾸어라. (1) \( A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 2-3 & 0 \\ 2 & 4-2 & 2 \\ 3 & 6-4 & 3 \end {array} \right ] \) (2) \( B= \left [ \begin {array} { rrr } -4 & 1 & -6 \\ 1 & 2 & -5 \\ 6 & 3 & -4 \end {array} \right ] \)</p> <p>풀이 (1) \( a_ { 11 } \neq 0 \) 이므로 선택한다. \( a_ { 23 } =4 \) 를 선택한다. 즉, \[ A \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 3 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \]</p> <h2>\( n \times n \) 행렬의 역행렬 찾기</h2> <p>다음은 행렬의 역행렬을 찾는 알고리듬이다.</p> <ul> <li>알고리듬 : 입력은 행렬 \( A \) 이다. 출력은 행렬 \( A \) 의 역행렬 또는 역행렬이 존재하진 않다는 메시지이다.</li> <li>Step 1. \( n \times 2 n \) 행렬 \( M=[A, I] \) 를 만든다.</li> <li>Step 2. \( M \) 을 행 연산을 써서 사다리꼴 형태로 만든다. 만약 \( A \) 의 한 행이 모두 0 이 되면 STOP. \( A \) 는 역행렬이 없다.</li> <li>Step 3. \( M \) 을 행 표준형으로 바꾸어 \[M \sim[I, B] \] 형태로 만든다.</li> <li>Step 4. \( A ^ { -1 } =B \) 로 놓는다.</li></ul> <h2>알고리듬의 증명</h2> <p>\( A \) 를 가역행렬이라 하고 기본 행 연산 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } , \ldots, e_ { q } \) 가 행렬 \( M=[A, I] \) 에 작용하여 \( [I, B] \) 형태로 바뀌었다고 하자. 그리고 \( E_ { i } \) 들을 \( e_ { i } \) 에 대응하는 기본 행렬이라 하자. 그러면 정리 1.10에 의해 \( E_ { q } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A=I \) 또는 \( \left (E_ { q } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } I \right ) A=I \) 그러므로 \( A ^ { -1 } =E_ { q } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } I \)이다. 즉 \( A ^ { -1 } \) 는 기본 행 연산 \( e_ { 1 } , e_ { 2 } , \ldots, e_ { q } \) 를 단위행렬에 적용함으로써 얻어질 수 있다. 그러므로 \( B=A ^ { -1 } \) 이 된다.</p> <p>보기 1.21</p> <p>행렬 \( A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end {array} \right ] \) 의 역행렬을 찾아라. \( M=[A, I] \) 를 사다리꼴 형태로 바꾸면이 되어 \( M \) 의 왼쪽 부분이 삼각행렬 형태를 이룬다. 그러므로 \( A \)가 역행렬을 가짐을 알 수 있다. 계속해서 행 표준형으로 바꾼다. 그러므로 \[A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } -11 & 2 & 2 \\-4 & 0 & 1 \\6 & -1 & -1 \end {array} \right ] \]이다.</p> <h2>선형 연립방정식에의 응용</h2> <p>연립방정식을 푸는 방법 중 하나는 그것의 첨가행렬 \( M \) 을 사용하는 것이다. 즉 행렬 \( M \) 을 사다리꼴로 바꾸어 해를 구하거나(이 단계에서 해의 존재성을 알 수 있다) 또는 더 나아가 행 표준형을 구하여 온전히 해를 구하는 것이다. 이 방법은 기본 행 연산을 통하여 동치인 행렬을 만드는 것이 연립방정식에 직접 행 연산을 하는 것과 같은 것이기 때문이다. 예제를 보자.</p> <p>보기 1.19</p> <p>다음 각 연립방정식을 풀어라.<ol type=1 start=1><li>\( \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } + x_ { 2 } -2 x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } =5 \\ 2 x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -3 x_ { 3 } + x_ { 4 } =3 \\ 3 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } -4 x_ { 3 } -2 x_ { 4 } =1 \end {array} \right . \)</li> <li>\( \left \{\begin {array} { r } x_ { 1 } + x_ { 2 } -2 x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } =4 \\ 2 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } -x_ { 4 } =3 \\ 5 x_ { 1 } + 7 x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } + x_ { 4 } =5 \end {array} \right . \)</li> <li>\[ \left \{\begin {array} { r } x + 2 y + z=3 \\2 x + 5 y-z=-4 \\3 x-2 y-z=5 \end {array} \right . \]</li></ol></p> <p>풀이</p> <p>\( M= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 2 & 2 & -3 & 1 & 3 \\ 3 & 3 & -4 & -2 & 1 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 2 & -14 & -14 \end {array} \right ] \) \[ \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 1 & -2 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -7 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end {array} \right ] \] 이 행 표준형을 연립방정식 형태로 다시 쓰면 바로 해를 구할 수 있다. \[ \begin {array} { l } x_ { 1 } =-9-x_ { 2 } + 10 x_ { 4 } \\ x_ { 3 } =-7 \quad + 7 x_ { 4 } \end {array} \] \( x_ { 1 } \) 과 \( x_ { 2 } \) 는 선택변수이고 \( x_ { 2 } \) 와 \( x_ { 4 } \) 는 자유변수이다.</p> <p>보기 1.23</p> <p>\( A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\ -3 & -4 & 13 \\ 2 & 1 & -5 \end {array} \right ] \) 라고 하자. \( A \) 의 \( L U \) 분해를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\[ \begin {aligned} A= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\-3 & -4 & 13 \\2 & 1 & -5 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\0 & 2 & 4 \\0 & -3 & 1 \end {array} \right ] \\ \left (R_ { 2 } \leftarrow m_ { 21 } R_ { 1 } + R_ { 2 } , m_ { 21 } =3 / 1 ; R_ { 3 } \leftarrow m_ { 31 } R_ { 1 } + R_ { 3 } , m_ { 31 } =-2 / 1 \right ) \\& \sim \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \left (R_ { 3 } \leftarrow m_ { 32 } R_ { 3 } + R_ { 3 } , m_ { 32 } =3 / 2 \right ) \end {aligned} \]이므로 \[L= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\-3 & 1 & 0 \\ 2 & - \frac { 3 } { 2 } & 1 \end {array} \right ] \] 이고 \[U= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \]이다.</p> <h2>선형 연립방정식에의 응용</h2> <p>보기 1.24</p> <p>\( \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 2 & -3 \\ -3 & -4 & 13 \\ 2 & 1 & -5 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ x_ { 3 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { r } 1 \\ -2 \\ 3 \end {array} \right ] \) 을 풀어라.</p> <p>(2) \( \left \{\begin {array} { rl } x + 2 y-3 z & =-1 \\ 7 y-11 z & =-10 \\ -7 y + 11 z & =7 \end {array} \quad L_ { 2 } \rightarrow 3 L_ { 1 } + L_ { 2 } , L_ { 3 } \rightarrow-5 L_ { 1 } + L_ { 3 } \right . \)그러므로 \( L_ { 3 } \rightarrow L_ { 2 } + L_ { 3 } \) 연산을 취하면 \( 0 x + 0 y + 0 z=-3 \) 이 되어 해가 없다.</p> <h1>1.3사다리꼴 행렬, 행 표준형과 행 동치</h1> <p>체 \( \mathbb { K } \) 위의 행렬 \( A \) 는 다음과 같이 체 \( \mathbb { K } \) 의 원소(스칼라)들을 성분으로 갖는 사각형 형태의 배열로 나타내어진다. \[A= \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \cdots & a_ { 1 n } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & \cdots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \cdots & a_ { m n } \end {array} \right ] \]행렬 \( A \)의 각 행(rows)은 \[ \left (a_ { 11 } , a_ { 12 } , \ldots, a_ { 1n } \right ), \left (a_ { 21 } , a_ { 22 } , \ldots, a_ { 2 n } \right ), \ldots, \left (a_ { m 1 } , a_ { m 2 } , \ldots, a_ { m n } \right ) \]과 같이 \( m \) 개의 행벡터를 이루고 각 열(columns)은 \[ \left [ \begin {array} { c } a_ { 11 } \\a_ { 21 } \\ \vdots \\a_ { m 1 } \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { c } a_ { 12 } \\a_ { 22 } \\ \vdots \\a_ { m 2 } \end {array} \right ], \ldots, \left [ \begin {array} { c } a_ { 1 n } \\a_ { 2 n } \\ \vdots \\a_ { m n } \end {array} \right ] \] 같이 \( n \) 개의 열벡터를 이룬다. 행렬 \( A \) 의 성분 \( a_ { i j } \) 를 \( i j \) 성분 또는 \( i j \) 원소라 부르고 행렬 \( A \) 의 \( i \) 번째 열과 \( j \) 번째 행에 나타낸다. 단순히 행렬 \( A \) 를 \[A= \left [a_ { i j } \right ] \]라 쓰고 \( m \) 개의 행과 \( n \) 개의 열을 가진 행렬을 \( m \times n \) 행렬이라 하며, \( m \) 과 \( n \)을 행렬의 크기(size)라고 한다. 두 행렬 \( A, B \) 가 같은 크기를 갖고 대응하는 모든 성분이 각각 일치할 때 우리는 두 행렬을 같다(equal)고 하고 \( A=B \) 라고 쓴다. 즉 두 행렬이 같음을 보이려면 \( m \times n \) 개의 스칼라를 비교하여야 한다. 한 행렬의 성분이 모두 0 인 행렬을 영행렬이라 하고 0 으로 나타낸다.</p> <h2>선형 연립방정식(System of Linear Equations)</h2> <p>선형 연립방정식이란 똑같은 미지수를 갖는 선형 방정식의 나열이다. 특히 다음과 같은 기본 형태로 쓸 수 있다. \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\ a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } =b_ { 2 } \\ a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } =b_ { m } \\ \end {array} \]</p> <p>여기서 \( a_ { i j } \) 와 \( b_ { i } \) 들은 상수이다. \( a_ { i j } \) 는 미지수 \( x_ { j } \) 의 계수라 하고 \( b_ { i } \) 는 방정식의 상수항이라 한다.</p> <p>위의 연립방정식을 \( m \times n \) 시스템이라 한다. 만약 \( m=n \) 이면 정방 시스템이라 한다. 즉 방정식의 개수 \( m \) 과 미지수의 개수 \( n \) 이 같다.</p> <p>위의 연립방정식에서 \( b_ { i } \) 가 모두 0 이면 이 시스템을 동차(homogeneous)방정식이라 하고, \( b_ { i } \) 중 하나라도 0 이 아니면 비동차(nonhomogeneous)방정식이라 한다.</p> <p>위의 연립방정식의 한 해(a solution)란 미지수의 나열 또는 벡터 \( u \in \mathbb { K } ^ { n } \) 로서 이 시스템의 각각의 방정식을 모두 만족시킨다. 이러한 해들의 전체 집합을 이 연립방정식의 일반해(general solution)라 한다.</p> <p> <p>보기 1.2 선형 연립방정식 \[ \begin {array} { r } x_ { 1 } + x_ { 2 } + 4 x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } =5 \\2 x_ { 1 } + 3 x_ { 2 } + x_ { 3 } -2 x_ { 4 } =1 \\x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -5 x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } =3 \end {array} \]이 있다. (1) \( u=(-8,6,1,1) \), (2) \( v=(-10,5,1,2) \) 가 이 연립방정식의 해인지 알아보라.</p> <h3>미지수가 2개인 선형 연립방정식</h3> <p>기본 형태로 주어진 다음의 미지수 \( x, y \) 를 갖는 비퇴화 선형 연립방정식을 보자. \[ \begin {array} { l } A_ { 1 } x + B_ { 1 } y=C_ { 1 } \\A_ { 2 } x + B_ { 2 } y=C_ { 2 } \end {array} \]</p> <p>비퇴화 방정식이기 때문에 \( A_ { 1 } \) 과 \( B_ { 1 } \) 이 동시에 0 은 아니다. 또한 \( A_ { 2 } \) 와 \( B_ { 2 } \) 도 동시에 0 은 아니다. 실수체 \( \mathbb { R } \) 이 스칼라 집합이면 각 방정식의 그래프는 \( \mathbb { R } ^ { 2 } \) 위의 직선일 것이고, 선형 연립방정식의 근은 그림 1-1의 세 가지 경우 중 한가지이다. 명확히 정리하면 다음과 같다.</p> <p>(1) 연립방정식은 정확히 한 개의 해를 갖는다</p> <p>그림 1-1(a)와 같이 두 개의 직선이 한 점에서 만나는 경우이다. 이 경우는 두 개의 직선의 기울기가 서로 달라야 한다. 즉 \[ \frac { A_ { 1 } } { A_ { 2 } } \neq \frac { B_ { 1 } } { B_ { 2 } } \text { 또는 } A_ { 1 } B_ { 2 } -A_ { 2 } B_ { 1 } \neq 0 \text { . } \]</p> <p>(2) 연립방정식은 해가 없다</p> <p>이 경우는 두 개의 직선이 평행한 경우이다. 하지만 두 직선은 서로 다르다. 그러므로 \[ \frac { A_ { 1 } } { A_ { 2 } } = \frac { B_ { 1 } } { B_ { 2 } } \neq \frac { C_ { 1 } } { C_ { 2 } } . \]</p> <p>(3) 연립방정식은 무한히 많은 해를 갖는다</p> <p>두 직선이 같은 경우이다. 즉 \[ \frac { A_ { 1 } } { A_ { 2 } } = \frac { B_ { 1 } } { B_ { 2 } } = \frac { C_ { 1 } } { C_ { 2 } } . \]</p> <p>언급 II 정방행렬이 역행렬을 가질 필요충분조건은 행렬식이 영이 아닌 것이다. 또한 역행렬을 찾는다는 것은 위에서 보았듯이 \( n \times n \) 연립방정식을 푸는 것과 같다.</p> <p> <p>유제 1.6 \( A= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end {array} \right ] \) 일 때 \( A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { lll } x_ { 1 } & x_ { 2 } & x_ { 3 } \\ y_ { 1 } & y_ { 2 } & y_ { 3 } \\ z_ { 1 } & z_ { 2 } & z_ { 3 } \end {array} \right ] \) 를 찾아라.</p> <p>풀이 \[ \begin {aligned} A A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 1 & 1 \\0 & 1 & 2 \\1 & 2 & 4 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { lll } x_ { 1 } & x_ { 2 } & x_ { 3 } \\y_ { 1 } & y_ { 2 } & y_ { 3 } \\z_ { 1 } & z_ { 2 } & z_ { 3 } \end {array} \right ]=I \text { 이므로 } \\x_ { 1 } + y_ { 1 } + z_ { 1 } =1 & x_ { 2 } + y_ { 2 } + z_ { 2 } =0 \\y_ { 1 } + 2 z_ { 1 } =0 & x_ { 3 } + y_ { 3 } + z_ { 3 } =0 \\y_ { 2 } + 2 z_ { 2 } =1 & y_ { 3 } + 2 z_ { 3 } =0 \\x_ { 1 } + 2 y_ { 1 } + 4 z_ { 1 } =0 & x_ { 2 } + 2 y_ { 2 } + 4 z_ { 2 } =0 \quad x_ { 3 } + 2 y_ { 3 } + 4 z_ { 3 } =1 \end {aligned} \]을 풀면 \( x_ { 1 } =0, y_ { 1 } =2, z_ { 1 } =-1, x_ { 2 } =-2, y_ { 2 } =3, \quad z_ { 2 } =-1 \), \( x_ { 3 } =1, y_ { 3 } =-2, z_ { 3 } =1 \) 이므로 \[A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rrr } 0 & -2 & 1 \\2 & 3 & -2 \\-1 & -1 & 1 \end {array} \right ] \]이다.</p> <p>이제 후방대입법을 사용하여 근을 구하면 된다.</p> <p>보기 1.7 다음 선형 연립방정식을 가우스 소거법을 사용하여 풀어라. \[ \begin {array} { lrl } L_ { 1 } : & x-3 y-2 z & =6 \\L_ { 2 } : & 2 x-4 y-3 z & =8 \\L_ { 3 } : & -3 x + 6 y + 8 z & =-5 \end {array} \]</p> <p>풀이 (전방소거법: Forward Elimination) \( a_ { 11 } =1 \neq 0 \) 이다. \[ \begin {array} { l } x-3 y-2 z=6 \\2 y + z=-4 \quad \left (-2 L_ { 1 } + L_ { 2 } \right ) \\-3 y + 2 z=13 \quad \left (3 L_ { 1 } + L_ { 3 } \right ) \\ \Downarrow \\x-3 y-2 z=6 \\2 y + z=-4 \\7 z=14 \quad \left ( \frac { 3 } { 2 } L_ { 2 } + L_ { 3 } \right ) \\ \end {array} \](후방대입법: Back-substitution) \[ \begin {array} { l } z = \frac { 14 } { 7 } = 2 \\ y= -\frac { -4-2 } { 2 } = -3 \\ x=6+4-9=1 \end {array} \]이다.</p> <p>보기 1.8 다음 선형 연립방정식을 가우스 소거법을 사용하여 풀어라. \[ \begin {array} { r } x + 2 y-3 z=1 \\2 x + 5 y-8 z=4 \\3 x + 8 y-13 z=7 \end {array} \]</p> <p>풀이 (전방소거법: Forward Elimination) \( a_ { 11 } =1 \neq 0 \)이다. \[x + 2 y-3 z=1 \] \[ \begin {aligned} y-2 z=2 & \left (-2 L_ { 1 } + L_ { 2 } \right ) \\2 y-4 z=4 & \left (-3 L_ { 1 } + L_ { 3 } \right ) \end {aligned} \] 또는 \[ \begin {array} { r } x + 2 y-3 z=1 \\y-2 z=2 \end {array} \]가 되어 세 번째 방정식은 두 번째 방정식의 2배이므로 연립방정식에서 제거된다. 따라서 연립방정식은 사다리꼴 형태가 되어 무한개의 근을 갖게 된다. 이제 \( z=a \) 라 하고 후방대입법을 적용하자. \[\] (후방대입법: Back-substitution) \[ \begin {aligned} z &=a \\y &=2 a + 2 \\x &=1 + 3 a-2(2 a + 2) \\&=-a-3 \end {aligned} \]이다. 즉 \( u=(-3-a, 2 + 2 a, a) \)이다.</p> <p>보기 1.18 \( A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -4 & 6 & 10 \\ 3 & 6 & -6 & 9 & 13 \end {array} \right ] \) 이 있다고 하자. (1) 사다리꼴 형태로 변환하라. (2) 행 표준형 형태로 만들어라.</p> <p>(1) \( A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 2 & 4 & -4 & 6 & 10 \\ 3 & 6 & -6 & 9 & 13 \end {array} \right ] \) \[ \begin {array} { l } \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 6 & 7 \end {array} \right ]: \left (-2 L_ { 1 } + L_ { 2 } ,-3 L_ { 1 } + L_ { 3 } \right ) \\ \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end {array} \right ]: \left (- \frac { 3 } { 2 } L_ { 2 } + L_ { 3 } \right ) \end {array} \]</p> <p>(2) \[ \begin {aligned} A &= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]: \left (L_ { 3 } /(-2) \right ) \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]: \left (-6 L_ { 3 } + L_ { 2 } ,-2 L_ { 3 } + L_ { 1 } \right ) \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]: \left (L_ { 2 } / 2 \right ) \end {aligned} \] \( \sim \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 2 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end {array} \right ]: \left (3 L_ { 2 } + L_ { 1 } \right ) \)</p> <p>언급 \\| \( \frac { A_ { 1 } } { A_ { 2 } } \neq \frac { B_ { 1 } } { B_ { 2 } } \) 또는 \( A_ { 1 } B_ { 2 } -A_ { 2 } B_ { 1 } \neq 0 \) 에서 \( A_ { 1 } B_ { 2 } -A_ { 2 } B_ { 1 } \) 을 위수 2 의 행렬식이라 하고 다음과 같이 쓴다. \[ \left \| \begin {array} { ll } A_ { 1 } & B_ { 1 } \\A_ { 2 } & B_ { 2 } \end {array} \right \|=A_ { 1 } B_ { 2 } -A_ { 2 } B_ { 1 } \text { . } \]</p> <p>즉, 앞의 (1)은 다음과 같이 쓸 수 있다. \[ \begin {array} { l } A_ { 1 } x + B_ { 1 } y=C_ { 1 } \\A_ { 2 } x + B_ { 2 } y=C_ { 2 } \end {array} \]</p> <p>따라서 위의 연립방정식이 오직 한 개의 해를 가질 필요충분조건은 행렬식 \( A_ { 1 } B_ { 2 } -A_ { 2 } B_ { 1 } \neq 0 \) 인 것이다.</p> <h3>소거 알고리듬</h3> <p>이 방법은 전방소거법과 후방대입법으로 이루어져 있고 미지수가 많은 경우에도 그대로 응용이 가능하다.</p> <p>알고리듬 \( 1.1 \) 입력은 미지수 2 개의 \( L_ { 1 } \) 과 \( L_ { 2 } \) 두 개의 비퇴화 방정식이다.</p> <p>I. (전방소거법: Forward Elimination)</p> <p>두 방정식을 상수배 하여 두 방정식 안의 한 개의 미지수의 두 계수가 서로 같은 절댓값을 갖지만 부호가 반대가 되게 한다. 이렇게 만든 두 방정식을 더하여 미지수 한 개가 소거된 새로운 한 개의 방정식 \( L_ { 3 } \) 를 만든다. 이제 연립방정식을 구성하는 두 방정식은 \( L_ { 1 } \) 과 \( L_ { 3 } \) 또는 \( L_ { 2 } \) 와 \( L_ { 3 } \) 이다. 만약 \( L_ { 3 } \) 가 퇴화 방정식이면 여기서 멈춘다.</p> <p>풀이 (1) \( u=(-8,6,1,1) \) 을 각각의 방정식에 대입하자. \[ \begin {array} { r } -8 + 6 + 4(1) + 3(1)=5 \\2(-8) + 3(6) + 1-2(1)=1 \\-8 + 2(6)-5(1) + 4(1)=3 \end {array} \]이므로 \( u=(-8,6,1,1) \) 은 방정식을 모두 만족시킨다. 그러므로 해이다.</p> <p>(2) \( v=(-10,5,1,2) \) 는 \[ \begin {array} { c } -10 + 5 \quad + 4(1) + 3(2)=5 \\2(-10) + 3(5) + 1 \quad-2(2)=-8 \neq 1 \end {array} \]이므로 \( v=(-10,5,1,2) \) 는 해가 아니다.</p> <p>\( m \times n \) 선형 연립방정식이 한 개 또는 그 이상의 해를 가지면 이 연립방정식이 견고(consistent)하다고 한다. 만약 해를 갖지 않으면 비견고(inconsistent)하다고 한다.</p> <p>정리 1.1 스칼라 체 \( \mathbb { K } \) 가 무한집합이라 하자. 임의의 선형 연립방정식은 다음 중 하나만을 만족한다.</p> <ol type=i start=1><li>한 개의 유일한 해를 갖는다.</li> <li>해를 갖지 않는다.</li> <li>무한개의 해를 갖는다</li> <h2>퇴화 선형 방정식(Degenerate Linear Equations)</h2> <p>모든 계수들이 0인 선형 방정식, 즉 \[ 0 x_ { 1 } + 0 x_ { 2 } + \cdots + 0 x_ { n } =b \]인 방정식을 퇴화 선형 방정식이라 한다. 만약 계수들 중 0이 아닌 계수가 하나라도 있으면 비퇴화(nondegenerate) 선형 방정식이라 한다. 우리는 주로 비퇴화 선형 방정식을 다루게 된다.</p> <h2>동치인 연립방정식과 기본 연산</h2> <p>\( n \) 개의 미지수와 \( m \) 개의 선형 방정식을 갖는 선형 연립방정식을 다시 보자. \[ \begin {array} { cc } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } & =b_ { 1 } \\a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } & =b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } & =b_ { m } \end {array} \]<caption>( * )</caption></p> <p>유제1.8</p> <p>다음 행렬을 가우스 조단 소거법을 사용하여 행 표준형 형태로 바꾸어라(가우스 소거법과의 차이점을 알자). \( A= \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 9 & -2 & 8 \end {array} \right ] \)</p> <p>풀이</p> <p>\( \begin {aligned} A & \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 9 & 3 & -4 & 4 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrrr } 1 & -2 & 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & \frac { 1 } { 3 } & - \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \\ 0 & 9 & 3 & -4 & 4 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 0 & \frac { 11 } { 3 } & - \frac { 1 } { 3 } & \frac { 8 } { 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 1 } { 3 } & - \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 0 & \frac { 11 } { 3 } & - \frac { 1 } { 3 } & \frac { 8 } { 3 } \\ 0 & 1 & \frac { 1 } { 3 } & - \frac { 2 } { 3 } & \frac { 1 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { lllll } 1 & 0 & \frac { 11 } { 3 } & 0 & \frac { 17 } { 6 } \\ 0 & 1 & \frac { 1 } { 3 } & 0 & \frac { 2 } { 3 } \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac { 1 } { 2 } \end {array} \right ] \end {aligned} \)</p> <h2>기본 행렬의 응용</h2> <p>정리 1.10 을 이용하여 다음을 증명할 수 있다.</p> <p>정리 1.11</p> <p>\( A \) 를 정방행렬이라 할 때 다음은 동치이다.</p> <ol type=i start=1><li>\( A \) 는 가역적이다.</li> <li>\( A \) 는 단위행렬 \( I \) 와 행 동치이다.</li> <li>\( A \) 는 기본 행렬의 곱이다.</li></ol> <p>증명</p> <p>\( A \)가 가역적이고 행 표준형 행렬 \( B \)와 행 동치라고 하자. 그러면 기본 행렬 \( E_ { 1 } , E_ { 2 } , \ldots, E_ { s } \) 가 존재하여 \( E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A=B \) 이다. \( A \) 가 가역적이고 각각의 기본 행렬들이 가역적이므로 \( B \) 도 역시 가역적이다. 만약 \( B \neq I \) 이면 \( B \) 가 행 표준 정방행렬이므로 모두 0 인 행을 포함하게 된다. 그러면 \( B \) 는 가역적이지 않게 되므로 모순이다. 그러므로 \( B=I \) 이다. (ii)가 성립한다면 기본 행렬 \( E_ { 1 } , E_ { 2 } , \ldots, E_ { s } \) 가 존재하여 \( E_ { s } \cdots \) \( E_ { 2 } E_ { 1 } A=B \)이다. 그러므로 \( A= \left (E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } \right ) ^ { -1 } =E_ { 1 } ^ { -1 } E_ { 2 } ^ { -1 } \cdots E_ { s } ^ { -1 } \)이다. \( E_ { i } ^ { -1 } \) 들도 기본 행렬이므로 (iii)이 성립한다. (iii)이 성립한다고 하자. \( A=E_ { 1 } E_ { 2 } \cdots E_ { s } \) 이고 \( E_ { i } \) 들이 가역적이므로 그들의 곱 \( A \)도 가역적이다.</p> <p>정리 1.12</p> <p>\( A B=I \) 라 하자. 그러면 \( B A=I \) 이다. 그러므로 \( B=A ^ { -1 } \) 이다.</p> <h2>행 표준형(Row Canonical Form)</h2> <p>다음 두 조건을 만족시키는 사다리꼴 행렬 \( A \) 를 행 표준형 행렬이라 한다.</p> <ol type=1 start=1><li>각 선택성분은 1 이다.</li> <li>각 선택성분은 이 성분이 속한 각 열에서 유일한 영이 아닌 성분이다.</li></ol> <p>보기1.12 다음 행렬은 행 표준형 행렬이다. \[ \left [ \begin {array} { lrlllr } 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end {array} \right ], \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \]</p> <h2>기본 행 연산(Elementary Row Operations)</h2> <p>\( A \) 를 \( R_ { 1 } , R_ { 2 } , \ldots, R_ { m } \) 을 행으로 갖는 행렬이라 하자. 다음 연산을 기본 행 연산이라 한다.</p> <ul> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 1 } \right ] \) (행 교환) : 행 \( R_ { i } \) 와 \( R_ { j } \) 를 교환한다.</li> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 2 } \right ] \) (행 상수배) : 행 \( R_ { i } \) 를 영이 아닌 스칼라 \( k \) 를 곱한 \( k R_ { i } \) 로 바꾼다.</li> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 3 } \right ] \) (행 덧셈) : 행 \( R_ { j } \) 를 \( k R_ { i } + R_ { j } \) 로 바꾼다.</li></ul> <h2>행 동치(Row Equivalence)</h2> <p>행렬 \( B \) 가 한 행렬 \( A \) 에 유한개의 기본 행 연산을 적용하여 얻어졌다면 행렬 \( A \) 와 행렬 \( B \) 를 행 동치라 하고 다음과 같이 쓴다. \[A \sim B \]</p> <h3>매개변수 형태(Parametric Form)</h3> <p>\( \begin {aligned} 2 x_ { 1 } + 6 x_ { 2 } -x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } -2 x_ { 5 } &=15 \\ x_ { 3 } + 2 x_ { 4 } + 2 x_ { 5 } &=5 \\ 3 x_ { 4 } -9 x_ { 5 } &=6 \end {aligned} \)</p> <p>자유변수 \( x_ { 2 } \) 와 \( x_ { 5 } \) 에 매개변수를 배당한다. 즉 \( x_ { 2 } =a, x_ { 5 } =b \) 라고 한다. 그리고 방정식을 풀어 나머지 선택변수를 구한다. \( x_ { 5 } \) 를 이용하여 \( x_ { 4 } \) 를 구하면 \( x_ { 4 } =2 + 3 b \) 이고, 이런 식으로 \( x_ { 3 } =1-8 b, x_ { 1 } =4-3 a-9 b \) 를 구한다. 그러므로 일반해는 \( v=(4-3 a-9 b, a, 1-8 b, 2 + 3 b, b) \) 이다. 여기서 \( a, b \) 는 임의의 스칼라이다.</p> <h3>자유변수 형태(Free Variable Form)</h3> <p>매개변수 형태의 방법과 거의 같다. 단 매개변수 대신 \( x_ { 2 } \) 와 \( x_ { 5 } \) 를 그대로 사용한다. 즉 위 연립방정식의 일반해는 \( v= \left (4-3 x_ { 2 } -9 x_ { 5 } , x_ { 2 } , 1-8 x_ { 5 } , 2 + 3 x_ { 5 } \right . \), \( x_ { 5 } \) )가 된다.</p> <p>또한 위 두 가지 방법으로 일반해를 나타낼 수 있고 어떤 특정한 해(particular solution)를 자유변수에 임의의 수를 배당함으로써 구할 수 있다. 즉 \( x_ { 2 } =1, x_ { 5 } =1 \) 이라 하면 특정해(particular solution)는 \[ u=(-8,1,7,5,1) \]이다.</p> <p>유제1.1 다음 각 연립방정식에서 선택변수와 자유변수를 구하시오.</p> <ol type=1 start=1><li>\( 2 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } -6 x_ { 3 } -5 x_ { 4 } + 2 x_ { 5 } =7 \) \[ \begin {array} { r } x_ { 3 } + 3 x_ { 4 } -7 x_ { 5 } =6 \\x_ { 4 } -2 x_ { 5 } =1 \end {array} \]</li> <li>\( 2 x-6 y + 7 z=1 \) \[ \begin {aligned} 4 y + 3 z &=8 \\2 z &=4 \end {aligned} \]</li> <li>\[ \begin {array} { r } x + 2 y-3 z=2 \\2 x + 3 y + z=4 \\3 x + 4 y + 5 z=8 \end {array} \]</li></ol> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( x_ { 1 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \) 가 선택변수이고 \( x_ { 2 } , x_ { 5 } \) 가 자유변수이다.</li> <li>\( x, y, z \) 가 선택변수이고 자유변수는 없다.</li> <li>선택변수와 자유변수는 사다리꼴 형태에서만 논하므로 논할 수가 없다.</li></ol> <p>유제 1.14</p> <p>모든 기본 행 행렬은 가역적이고 또한 그 역도 기본 행 행렬이다.</p> <p>증명</p> <p>\( E \) 를 기본 연산 \( e \) 에 대응하는 기본 행렬이라 하자. 즉 \( e(I)=E \)이다. \( e ^ {\prime } \) 을 \( e \) 의 역연산이라 하고 \( E ^ {\prime } \) 을 그에 대응하는 기본 행렬이라 하자. 즉 \( e ^ {\prime } (I)=E ^ {\prime } \) 이다. 그러면 \[I=e ^ {\prime } (e(I))=e ^ {\prime } (E)=E ^ {\prime } E \]이고 \[I=e \left (e ^ {\prime } (I) \right )=e \left (E ^ {\prime } \right )=E E ^ {\prime } \]이므로 \( E ^ {\prime } \) 은 \( E \) 의 역행렬이다.</p> <h2>기본 열 연산들</h2> <p>\( A \) 를 열 \( C_ { 1 } , C_ { 2 } , \ldots, C_ { n } \) 을 갖는 행렬이라 하자. 다음의 연산들을 기본 열 연산이라 한다(기본 행 연산과 흡사하다).</p> <ul> <li>\( \left [ \mathrm { F } _ { 1 } \right ] \) 열 \( C_ { i } \) 와 열 \( C_ { j } \) 를 교환한다.</li> <li>\( \left [ \mathrm { F } _ { 2 } \right ] \) 열 \( C_ { i } \) 를 \( k C_ { i } \) 로 바꾼다 \( (k \neq 0) \).</li> <li>\( \left [ \mathrm { F } _ { 3 } \right ] \) 열 \( C_ { j } \) 를 \( k C_ { i } + C_ { j } \) 로 바꾼다.</li></ul> <p>\( f \) 를 기본 열 연산이라 하고 \( F \) 를 \( f \) 를 단위행렬 \( I \) 에 작용시켜 나온 결과라 하면, 즉 \[F=f(I) \]라 하면 \( F \) 를 기본 열 연산 \( f \) 에 대응하는 기본 행렬(elementary matrix)이라 부른다. \( F \) 는 항상 정방행렬이다.</p> <p>위의 연립방정식을 풀면 \[x_ { 1 } = \frac { d } { a d-b c } , y_ { 1 } = \frac { -c } { a d-b c } , x_ { 2 } = \frac { -b } { a d-b c } , y_ { 2 } = \frac { a } { a d-b c } \]를 얻는다. 여기서 \( a d-b c \neq 0 \) 이어야 한다. \( \|A\|=a d-b c \) 라고 하면[절댓값이 아니다. 행렬의 행렬식(determinant of \( A \) )이라 한다.] 다음과 같이 쓸 수 있다. \[A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { ll } a & b \\c & d \end {array} \right ] ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { cc } \frac { d } { \|A\| } & - \frac { b } { \|A\| } \\- \frac { c } { \|A\| } & \frac { a } { \|A\| } \end {array} \right ]= \frac { 1 } { \|A\| } \left [ \begin {array} { rr } d & -b \\-c & a \end {array} \right ] \]</p> <p>만약 \( \|A\|=a d-b c=0 \) 이라면 \( A \) 는 가역적이 아니다. 즉 역행렬을 갖지 않는다.</p> <p>보기 1.15 \( A= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 5 \\ 1 & 3 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 3 & -5 \\ -1 & 2 \end {array} \right ] \) 의 역행렬을 찾아라.</p> <p>풀이 \( \|A\|=6-5=1 \) 이고 \( \|B\|=6-5=1 \) 이다. 그러므로 \[A ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { rr } 3 & -5 \\-1 & 2 \end {array} \right ] \text { 이고 } B ^ { -1 } = \left [ \begin {array} { ll } 2 & 5 \\1 & 3 \end {array} \right ] \]이다.</p> <p>보기 \( 1.22 \)</p> <p>다음 3 개의 기본 열 연산을 보자.</p> <ol type=1 start=1><li>\( C_ { 1 } \) 과 \( C_ { 3 } \) 를 상호 교환.</li> <li>\( C_ { 3 } \) 를 \( -2 C_ { 3 } \) 로 바꿈.</li> <li>\( C_ { 3 } \) 를 \( -3 C_ { 2 } + C_ { 3 } \) 로 바꿈.</p></li></ol> <p>위의 기본 열 연산에 해당하는 \( 3 \times 3 \) 기본 행렬은 다음과 같다. \[F_ { 1 } = \left [ \begin {array} { lll } 0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end {array} \right ], \quad F_ { 2 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & -2 \end {array} \right ], \quad F_ { 3 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & -3 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ] . \]</p> <p>정리 \( 1.14 \)</p> <p>임의의 행렬 \( A \) 에 대하여 \( f(A)=A F \) 이다.</p> <p>위의 정리에서 곱셈의 순서에 주의하자.</p> <h2>동치행렬</h2> <p>행렬 \( B \) 가 연속적인 행 또는 열 연산들에 의해 행렬 \( A \) 로부터 얻어진다면 행렬 \( B \) 는 행렬 \( A \) 와 동치라고 한다. 또는 가역행렬 \( P \) 와 \( Q \) 가 존재하여 \( B=P A Q \) 를 만족하면 행렬 \( B \) 는 행렬 \( A \) 와 동치라고 한다.</p> <p>정리 \( 1.15 \)</p> <p>모든 \( m \times n \) 행렬 \( A \) 는 \[ \left [ \begin {array} { cc } I_ { r } & 0 \\0 & 0 \end {array} \right ] \]과 같은 유일한 블록행렬과 동치이다. 여기서 \( I_ { r } \) 은 \( r \) 정방 단위행렬이다.</p> <p>(후방대입법: Back-substitution)</p> <p>\( \begin {aligned} x_ { 3 } &= \frac { b_ { 3 } ^ {\prime \prime } } { a ^ {\prime \prime } } \\ x_ { 23 } &= \frac {\left (b ^ {\prime } { } _ { 2 } -a ^ {\prime } { } _ { 23 } x_ { 3 } \right ) } { a_ { 22 } ^ {\prime } } \\ x_ { 1 } &= \frac {\left (b_ { 1 } -a_ { 13 } x_ { 3 } -a_ { 12 } x_ { 2 } \right ) } { a_ { 11 } } \end {aligned} \)</p> <p>다음 \( m \) 개의 방정식과 \( n \) 개의 미지수를 가진 일반적인 선형 연립방정식을 보자. \[ \begin {array} { cc } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } & =b_ { 1 } \\a_ { 21 } x_ { 1 } + a_ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { 2 n } x_ { n } & =b_ { 2 } \\ \vdots & \vdots \\a_ { m 1 } x_ { 1 } + a_ { m 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { m n } x_ { n } & =b_ { m } \end {array} \]</p> <p>\( x_ { 1 } \) 을 소거하기 위해 첫 번째 방정식에 \( -a_ { 21 } / a_ { 11 } \) 을 곱한다. \[-a_ { 21 } x_ { 1 } - \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 12 } x_ { 2 } - \cdots- \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 1 n } x_ { n } = \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } b_ { 1 } \]</p> <p>풀이 \( x_ { 1 } , x_ { 3 } , x_ { 4 } \) 가 선택변수이고 \( x_ { 2 } , x_ { 5 } \) 가 자유변수이므로 \( a=x_ { 2 } \), \( b=x_ { 5 } \) 라 하면 \( x_ { 4 } =2 b + 1 \) 이다. \( x_ { 4 } =2 b + 1 \) 과 \( x_ { 5 } =b \) 를 두 번째 식에 대입하면 \( x_ { 3 } + 3(2 b + 1)-7 b=6 \) 이므로 \( x_ { 3 } =b + 3 \) 이다. 이제 첫 번째 식에 \( x_ { 4 } =2 b + 1, x_ { 2 } =a, x_ { 5 } =b, x_ { 3 } =b + 3 \) 을 대입하면 \[x_ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } a + 7 b + 15 \]이다. 따라서 \[x_ { 1 } = \frac { 3 } { 2 } a + 7 b + 15, x_ { 2 } =a, x_ { 3 } =b + 3, x_ { 4 } =2 b + 1, x_ { 5 } =b \]이다.</p> <p>유제1.3 가우스 소거법을 사용하여 다음 연립방정식을 풀어라. (1) \( \left \{\begin {aligned} x + 2 y-4 z &=-4 \\ 2 x + 5 y-9 z &=-10 \\ 3 x-2 y + 3 z &=11 \end {aligned} \right . \)(2) \( \left \{\begin {aligned} x + 2 y-3 z &=-1 \\-3 x + y-2 z &=-7 \\ 5 x + 3 y-4 z &=2 \end {aligned} \right . \)</p> <p>풀이 (1) \[ \begin {aligned} \left \{\begin {aligned} x + 2 y-4 z &=-4 \\y-z &=-2 \\-8 y + 15 z &=23 \end {aligned} \right . \\ \left \{\begin {aligned} x + 2 y-4 z &=-4 \\y-z &=-2 \\7 z &=7 \end {aligned} \right . \end {aligned} \]그러므로 \( u=(2,-1,1) \) 을 얻는다.</p> <p>언급 Ⅱ</p> <ol type=1 start=1><li>위의 기본 행 연산 \( \left [ \mathrm { E } _ { 2 } \right ] \) 와 \( \left [ \mathrm { E } _ { 3 } \right ] \) 에서 바뀌는 방정식은 오직 \( L_ { i } \) 라는 것을 명심하자.</li> <li>정리 1.3의 기본 연산은 기본 행 연산 또는 기본 열 연산을 말한다.</li></ol> <p>이 책에서는 주로 기본 행 연산을 다룬다.</p> <h2>미지수가 1개인 방정식, 2개인 선형 연립방정식</h2> <h3>미지수가 1개인 방정식</h3> <p>정리 1.4방정식 \( a x=b \) 를 보자.</p> <ol type=i start=1><li>\( a \neq 0 \) 이면 \( x= \frac { b } { a } \) 는 유일한 해이다.</li> <li>\( a=0 \) 이지만 \( b \neq 0 \) 이면 \( a x=b \) 는 해가 없다.</li> <li>\( a=0 \) 이고 \( b=0 \) 이면 모든 스칼라 \( k \) 가 해이다.</li></ol> <p>증명</p> <ol type=i start=1><li>\( a \neq 0 \) 이면 스칼라 \( \frac { b } { a } \) 가 존재한다. \( a x=b \) 에 대입하면 \( a \left ( \frac { b } { a } \right )=b \), \( b=b \) 이므로 \( \frac { b } { a } \) 는 \( a x=b \) 의 해이다. 이제 \( x_ { 0 } \) 가 \( a x=b \) 의 해라고 하자. 즉, \( a x_ { 0 } =b \) 이다. 양변에 \( \frac { 1 } { a } \) 을 곱하면 \( x_ { 0 } = \frac { b } { a } \) 를 얻으므로 \( \frac { b } { a } \) 는 \( a x=b \) 의 유일한 해이다.</li> <li>\( a=0 \) 이라 하자. 그러면 임의의 스칼라 \( k \) 에 대하여 \( a k=0 k=0 \)이다. \( b \neq 0 \) 이면 \( a k \neq b \) 이다. 임의의 스칼라 \( k \) 는 \( a x=b \) 의 해가 아니므로 \( a x=b \) 는 해가 없다.</li> <li>\( a=0 \) 이고 \( b=0 \) 이면 임의의 스칼라 \( k \) 에 대하여 \( a k=0 k=0=b \)이다. 그러므로 어떤 \( k \) 라도 \( a x=b \) 의 해가 되므로 증명이 끝난다.</li></ol> <p>보기 1.4 다음을 풀어라.<ol type=1 start=1><li>\( 3 x-1=6 \)</li> <li>\( 2 x-5=2 x + 3 \)</li> <li>\( 4 + 2 x-3=2 x + 1 \)</li> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( 3 x=7, x= \frac { 7 } { 3 } \) 이다.</li> <li>\( 0 x=8 \) 의 꼴이 되므로 해가 없다.</li> <li>\( 0 x=0 \) 이므로 모든 스칼라 \( k \) 가 해가 된다.</li></ol></p> <p>첫 번째 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라 하고 두 번째 행렬을 계수행렬(coefficient matrix)이라고 한다.</p> <h2>행렬을 사용한 가우스 소거법</h2> <p>선형 연립방정식을 푸는 가장 주요한 방법인 가우스 소거법의 행렬 버전을 공부하자. 이 방법은 두 부분으로 되어 있다.</p> <p>I. (전방소거법: Forward Elimination)</p> <p>행렬을 기본 행 연산을 사용하여 사다리꼴 형태로 바꾸어나가는 과정이다. 1.2절의 전방소거법과 행렬 버전일 뿐 그 방법은 동일하다.</p> <p>II. (후방소거법: Backward Elimination)</p> <p>행렬을 기본 행 연산을 사용하여 위에서 구한 사다리꼴 형태를 행 표준형 형태로 바꾸어나가는 과정이다. 전방소거법과 비슷하나 그 방향이 밑에서부터 시작한다.</p> <p>보기 1.17 (전방소거법: Forward Elimination) \( a_ { 11 } \neq 0 \) 이 되도록 방정식의 위치를 바꾼다. \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { lll\|l } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & b_ { 1 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } & b_ { 2 } \\a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } & b_ { 3 } \end {array} \right ] } \\{\left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & b_ { 1 } \\0 & a_ { 22 } ^ {\prime } & a_ { 23 } ^ {\prime } & b_ { 2 } ^ {\prime } \\0 & a_ { 32 } ^ {\prime } & a_ { 33 } ^ {\prime } & b_ { 3 } ^ {\prime } \end {array} \right ] } \\{\left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & b_ { 1 } \\0 & a ^ {\prime } { } _ { 22 } & a ^ {\prime } { } _ { 23 } & b_ { 2 } ^ {\prime } \\0 & 0 & a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } & b_ { 3 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] } \\ \end {array} \] (후방소거법: Backward Elimination) \[ \begin {array} { l } {\left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & b_ { 1 } \\ 0 & a_ { 22 } ^ {\prime } & a_ { 23 } ^ {\prime } & b_ { 2 } ^ {\prime } \\ 0 & 0 & a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } ^ {\prime \prime } & b_ { 3 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] \quad \left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & 0 & b_ { 1 } ^ { * } \\ 0 & 1 & 0 & b_ { 2 } ^ { * } / a_ { 22 } ^ {\prime } \\ 0 & 0 & 1 & b_ { 3 } ^ {\prime \prime } / a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } \end {array} \right ] } \\ \Downarrow \\{\left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } & b_ { 1 } \\ 0 & a_ { 22 } ^ {\prime } & a_ { 23 } ^ {\prime } & b_ { 2 } ^ {\prime } \\ 0 & 0 & 1 & b_ { 3 } ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } a_ { 33 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] \quad \left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & 0 & 0 & b_ { 1 } ^ { * * } \\ 0 & 1 & 0 & b_ { 2 } ^ { * } / a_ { 22 } ^ {\prime } \\ 0 & 0 & 1 & b_ { 3 } ^ {\prime \prime } / a_ { 33 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] } \\ \Downarrow-a ^ {\prime } { } _ { 23 } L_ { 3 } + L_ { 2 } ,-a_ { 13 } L_ { 3 } + L_ { 1 } \quad \Downarrow \\{\left [ \begin {array} { ccc\|c } a_ { 11 } & a_ { 12 } & 0 & b_ { 1 } ^ { * } \\ 0 & a ^ {\prime } { } _ { 22 } & 0 & b_ { 2 } ^ { * } \\ 0 & 0 & 1 & b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } / a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } \end {array} \right ] \quad \left [ \begin {array} { ccc\|c } 1 & 0 & 0 & b_ { 1 } ^ { * * } / a_ { 11 } \\ 0 & 1 & 0 & b_ { 2 } ^ { * } / a ^ {\prime } \\ 0 & 0 & 1 & b_ { 32 } ^ {\prime \prime } / a_ { 33 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] } \\ \end {array} \] 따라서 \( x_ { 3 } =b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } / a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } \) 이고 \( b_ { 2 } ^ { * } =b_ { 2 } ^ {\prime } -a ^ {\prime } { } _ { 23 } \left (b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } / a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } \right ) \) 이므로 \( b_ { 2 } ^ { * } =b ^ {\prime } { } _ { 2 } -a ^ {\prime } { } _ { 23 } x_ { 3 } \) 이다. 그러므로 \(x_ { 2 } =b_ { 2 } ^ { * } / a ^ {\prime } { } _ { 22 } = \left (b ^ {\prime } { } _ { 2 } -a ^ {\prime } { } _ { 23 } x_ { 3 } \right ) / a ^ {\prime } { } _ { 22 } \)이다. 또한 \[ b_ { 1 } ^ { * * } =b_ { 1 } ^ { * } -a_ { 12 } b_ { 2 } ^ { * } / a ^ {\prime } { } _ { 22 } =b_ { 1 } -a_ { 13 } \frac { b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } } { a ^ {\prime \prime } } -a_ { 13 } a_ { 2 } b_ { 2 } ^ { * } / a ^ {\prime } { } _ { 22 } \] \[=b_ { 1 } -a_ { 13 } x_ { 3 } -a_ { 12 } x_ { 2 } \] 이므로 \( x_ { 1 } =b_ { 1 } ^ { * * } / a_ { 11 } = \left (b_ { 1 } -a_ { 13 } x_ { 3 } -a_ { 12 } x_ { 2 } \right ) / a_ { 11 } \) 이 된다. 이를 종하면 \[x_ { 1 } = \frac {\left (b_ { 1 } -a_ { 13 } x_ { 3 } -a_ { 12 } x_ { 2 } \right ) } { a_ { 11 } } , x_ { 2 } = \frac {\left (b_ { 2 } ^ {\prime } -a_ { 23 } ^ {\prime } x_ { 3 } \right ) } { a_ { 22 } ^ {\prime } } , x_ { 3 } = \frac { b_ { 3 } ^ {\prime \prime } } { a_ { 33 } ^ {\prime \prime } } \]이다.</p> <h1>1.2 가우스 소거법</h1> <p>선형 연립방정식을 푸는 가장 주요한 방법이 가우스 소거법이다. 이 방법은 두 부분으로 되어 있다.</p> <p>I. (전방소거법: Forward Elimination)</p> <p>연립방정식을 퇴화 방정식이나(해가 없음) 또는 삼각형 형태(유일한 해), 사다리꼴 형태(무한히 많은 해)로 바꾸어나가는 과정이다.</p> <p>II. (후방대입법: Back-substitution)</p> <p>위에서 구한 삼각형 형태나 사다리꼴 형태의 연립방정식을 후방대입법을 사용해 모든 해를 하나씩 구해나가는 과정이다.</p> <p>먼저 예를 들어 설명하자.</p> <p>보기 1.6 (전방소거법: Forward Elimination) \( a_ { 11 } \neq 0 \) 이 되도록 방정식의 위치를 바꾼다. \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x + a_ { 12 } y + a_ { 13 } z=b_ { 1 } \\a_ { 21 } x + a_ { 22 } y + a_ { 23 } z=b_ { 2 } \\a_ { 31 } x + a_ { 32 } y + a_ { 33 } z=b_ { 3 } \end {array} \] \( \Downarrow \) 선택성분 \( a_ { 11 } ,-a_ { 21 } / a_ { 11 } \) 과 \( -a_ { 31 } / a_ { 11 } \) \[ \begin {aligned} a_ { 11 } x + a_ { 12 } y + a_ { 13 } z &=b_ { 1 } \\a_ { 22 } ^ {\prime } y + a_ { 23 } ^ {\prime } z &=b_ { 2 } ^ {\prime } \\a_ { 32 } ^ {\prime } y + a_ { 33 } ^ {\prime } z &=b_ { 3 } ^ {\prime } \end {aligned} \] \( \Downarrow \) 선택성분 \( a ^ {\prime } { } _ { 22 } ,-a_ { 32 } ^ {\prime } / a_ { 22 } ^ {\prime } \) \[ \begin {aligned} a_ { 11 } x + a_ { 12 } y + a_ { 13 } z &=b_ { 1 } \\a_ { 22 } ^ {\prime } y + a_ { 23 } ^ {\prime } z &=b_ { 2 } ^ {\prime } \\a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } z &=b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } \end {aligned} \]여기서 \[ \begin {array} { l } a_ { 22 } ^ {\prime } =- \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 12 } + a_ { 22 } ,a_ { 23 } ^ {\prime } =- \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 13 } + a_ { 23 } , b_ { 2 } ^ {\prime } =- \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } b_ { 1 } + b_ { 2 } , \\a_ { 32 } ^ {\prime } =- \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } a_ { 12 } + a_ { 32 } , a_ { 33 } ^ {\prime } =- \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } a_ { 13 } + a_ { 33 } , b_ { 3 } ^ {\prime } = \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } b_ { 1 } + b_ { 3 } , \\a_ { 33 } ^ {\prime \prime } =- \frac { a_ { 32 } ^ {\prime } } { a_ { 32 } ^ {\prime } } a_ { 23 } ^ {\prime } + a_ { 33 } ^ {\prime } , b_ { 3 } ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } =- \frac { a_ { 32 } ^ {\prime } } { a_ { 22 } ^ {\prime } } b_ { 2 } ^ {\prime } + b_ { 3 } ^ {\prime } \end {array} \]이다.</p> <p>그리고 이 식을 두 번째 식에 더한다 \[ \left (a_ { 22 } - \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 12 } \right ) x_ { 2 } + \cdots + \left (a_ { 2 n } \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } a_ { 1 n } \right ) x_ { n } =b_ { 2 } - \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } b_ { 1 } \]</p> <p>또는 이것을 다음과 같이 나타내자. \( a ^ {\prime } { } _ { 22 } x_ { 2 } + \cdots + a ^ {\prime } { } _ { 2 n } x_ { n } =b ^ {\prime } { } _ { 2 } \)</p> <p>이 방법을 나머지 방정식에도 계속 적용하여 \[ \begin {array} { l } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + a_ { 13 } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } =b_ { 1 } \\a ^ {\prime } { } _ { 22 } x_ { 2 } + a ^ {\prime } { } _ { 23 } x_ { 3 } + \cdots + a ^ {\prime } { } _ { 2 n } x_ { n } =b ^ {\prime } { } _ { 2 } \\ \vdots \quad \vdots \\a_ { m 2 } ^ {\prime } x_ { 2 } + a_ { m 3 } ^ {\prime } x_ { 3 } + \cdots + a_ { m n } ^ {\prime } x_ { n } =b_ { m } ^ {\prime } \\ \end {array} \]을 만든다. 다음 단계는 \( x_ { 2 } \) 를 소거하는 것이다. \( a ^ {\prime } { } _ { 22 } \neq 0 \) 임을 확인하고 아니면 첫 번째 방정식을 제외하고 나머지 방정식의 순서를 바꾸어주어 \( a_ { 22 } ^ {\prime } \neq 0 \) 을 만든다. 그리고 위에 했던 방법을 두 번째 방정식에 다시 반복하면 \[ \begin {array} { cc } a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + a_ { 13 } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } & =b_ { 1 } \\a_ { 22 } ^ {\prime } x_ { 2 } + a ^ {\prime } { } _ { 23 } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 2 n } ^ {\prime } x_ { n } & =b ^ {\prime } { } _ { 2 } \\a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } x_ { 3 } + \cdots + a ^ {\prime \prime } { } _ { 3 n } x_ { n } & =b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } \\ \vdots & \vdots \\a ^ {\prime \prime \prime } { } _ { m 3 } x_ { 3 } + \cdots + a ^ {\prime \prime } { } _ { m n } x_ { n } & =b ^ {\prime \prime } { } _ { m } \end {array} \]을 얻는다. 그래서 마침내 \[ \begin {aligned} a_ { 11 } x_ { 1 } + a_ { 12 } x_ { 2 } + a_ { 13 } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 1 n } x_ { n } &=b_ { 1 } \\a_ { 22 } ^ {\prime } x_ { 2 } + a_ { 23 } ^ {\prime } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 2 n } ^ {\prime } x_ { n } &=b_ { 2 } ^ {\prime } \\a_ { 33 } ^ {\prime \prime } x_ { 3 } + \cdots + a_ { 3 n } ^ {\prime \prime } x_ { n } &=b ^ {\prime \prime } { } _ { 3 } \\ \vdots & \vdots \\a_ { m n } ^ { (m-1) } x_ { n } &=b_ { m } ^ { (m-1) } \end {aligned} \]을 얻는다. 최후에 연립방정식은 삼각형이나 사다리꼴 형태가 되거나 또는 해가 없는 퇴화 방정식이 된다.</p> <p>(2) \( \begin {aligned} B & \sim \left [ \begin {array} { rrr } 5 & -9 & 6 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrr } 5 & -9 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrr } 5 & -9 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \\ & \sim \left [ \begin {array} { rrr } 5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \end {aligned} \)</p> <h2>선형 연립방정식의 행렬 표현</h2> <p>\( n \) 개의 미지수를 가진 \( m \) 개의 선형 연립방정식은 다음 행렬방정식의 형태 나타낼 수 있다. \[ \left [ \begin {array} { cccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & \ldots & a_ { 1 n } \\ a_ { 21 } & a_ { 22 } & \ldots & a_ { 2 n } \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_ { m 1 } & a_ { m 2 } & \ldots & a_ { m n } \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { c } x_ { 1 } \\ x_ { 2 } \\ \vdots \\ x_ { n } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } b_ { 1 } \\ b_ { 2 } \\ \vdots \\ b_ { m } \end {array} \right ] \text { 또는 } A X=B \text { 또는 } A x=b \]</p> <h1>1.1 선형 연립방정식</h1> <p>먼저 선형 연립방정식과 그와 연관된 기본적인 정의에 대해 논하자. 문제를 푸는 방법은 나중에 다룰 것이다.</p> <h2>선형 방정식과 해(Linear Equations and Solution)</h2> <p>미지수 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , \ldots, x_ { n } \) 의 선형 방정식이란 다음과 같은 기본 형태(standard form)로 바꿀 수 있는 방정식을 말한다. \[a_ { 1 } x_ { 1 } + a_ { 2 } x_ { 2 } + \cdots + a_ { n } x_ { n } = b . \]</p> <p>여기서 \( a_ { 1 } , a_ { 2 } , \ldots, a_ { n } \) 과 \( b \) 는 상수이다. 상수 \( a_ { k } \) 들은 \( x_ { k } \) 들의 계수라 불리고 \( b \) 는 방정식의 상수항이라 불린다.</p> <p>이 선형 방정식의 해는 \[x_ { 1 } =k_ { 1 } , x_ { 2 } =k_ { 2 } , \ldots, x_ { n } =k_ { n } \text { 또는 } u= \left (k_ { 1 } , k_ { 2 } , \ldots, k_ { n } \right ) \in \mathbb { K } ^ { n } \]으로서, 선형 방정식의 \( x_ { i } \) 에 \( k_ { i } \) 를 대입하였을 때 \[a_ { 1 } k_ { 1 } + a_ { 2 } k_ { 2 } + \cdots + a_ { n } k_ { n } =b \]를 만족시킨다. 이 경우 우리는 \( u \) 가 이 방정식을 만족시킨다고 말한다.</p> <p>보기 1.1 선형 방정식 \( x-2 y-3 z=4 \) 를 보자. \( u=(x, y, z)=(-1,-1,-1) \) 은 이 방정식의 해가 되지만 \( w= \) \( (1,2,3) \) 은 해가 되지 않는다. 즉, \( (-1)-2(-1)-3(-1)=4 \) 이지만 \( 1-2(2)-3(3)=-12 \neq 4 \) 이다.</p> <h2>\( 2 \times 2 \) 행렬의 역행렬</h2> <p>\( A= \left [ \begin {array} { ll } a & b \\ c & d \end {array} \right ] \) 를 임의의 \( 2 \times 2 \) 행렬이라 하자. \( A \) 의 역행렬 \( A ^ { -1 } \) 을 찾아보자. \( A A ^ { -1 } =I \) 이어야 하므로 \[ \left [ \begin {array} { ll } a & b \\c & d \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { ll } x_ { 1 } & x_ { 2 } \\y_ { 1 } & y_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \text { 또는 } \left [ \begin {array} { ll } a x_ { 1 } + b y_ { 1 } & a x_ { 2 } + b y_ { 2 } \\c x_ { 1 } + d y_ { 1 } & c x_ { 2 } + d y_ { 2 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \]을 만족시키는 \( x_ { 1 } , x_ { 2 } , y_ { 1 } , y_ { 2 } \) 를 찾아야 한다. 위의 두 행렬의 각 성분이 같아야 하므로 다음과 같은 4 개의 방정식을 얻는다. \[ \begin {array} { l } a x_ { 1 } + b y_ { 1 } =1, a x_ { 2 } + b y_ { 2 } =0, \\c x_ { 1 } + d y_ { 1 } =0, c x_ { 2 } + d y_ { 2 } =1 . \end {array} \]</p> <p>증명</p> <p>증명은 알고리듬처럼 추정적(constructive)이다.</p> <ul> <li>Step 1 : \( A \) 를 영이 아닌 \( a_ { 1 j_ { 1 } } , a_ { 2 j_ { 2 } } , \ldots, a_ { r j_ { r } } \) 의 선도(leading)성분을 갖는 행 표준형으로 만든다.</li> <li>Step 2 : 열 \( C_ { 1 } \) 을 \( C_ { 1 j_ { 1 } } \) 과 바꾸고, 열 \( C_ { 2 } \) 를 \( C_ { 2 j_ { 2 } } \) 와 바꾸고, \( \ldots \) 열 \( C_ { r } \) 을 \( C_ { r j_ { r } } \) 과 바꾼다. 이 과정은 \( a_ { 11 } , a_ { 22 } , \ldots, a_ { r r } \) 의 선도성분을 갖는 \( \left [ \begin {array} { cc } I_ { r } & B \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \) 형태의 행렬을 낳는다.</li> <li>Step 3 : 열 연산을 사용하여, 즉 \( i=1,2, \ldots, r, j=r + 1, r + 2 \), \( \ldots, n \) 에 대하여 열 \( C_ { j } \) 를 \( -b_ { i j } C_ { i } + C_ { j } \) 로 바꿔 \( \left [ \begin {array} { cc } I_ { r } & 0 \\ 0 & 0 \end {array} \right ] \) 형태로 만든다.</li></ul> <p>정의 1.2</p> <p>정리 1.15에서 \( r \) 을 행렬 \( A \) 의 랭크라 하며, 이는 앞서서 정의한 랭크와 일치한다.</p> <h1>1.5 \(LU \) 분해</h1> <p>행렬 \[A= \left [ \begin {array} { lll } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\a_ { 21 } & a_ { 22 } & a_ { 23 } \\a_ { 31 } & a_ { 32 } & a_ { 33 } \end {array} \right ] \]이 가역행렬이라 하자. \( m_ { 21 } = \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } \) 이라 하고 \( R_ { 2 } \) 를 \( m_ { 21 } R_ { 1 } + R_ { 2 } \) 로 바꾸고, \( m_ { 31 } =- \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } \) 이라 하고 \( R_ { 3 } \) 를 \( m_ { 31 } R_ { 1 } + R_ { 3 } \) 로 바꾸면 \[A \sim \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\0 & a_ { 22 } ^ {\prime } & a_ { 23 } ^ {\prime } \\0 & a_ { 32 } ^ {\prime } & a_ { 33 } ^ {\prime } \end {array} \right ] \]이 된다. 다시 \( m_ { 32 } =- \frac { a_ { 32 } ^ {\prime } } { a_ { 22 } ^ {\prime } } \) 라 하고 \( R_ { 3 } \) 를 \( m_ { 32 } R_ { 2 } + R_ { 3 } \) 로 바꾸면 \[A \sim \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\0 & a ^ {\prime } { } _ { 22 } & a_ { 23 } ^ {\prime } \\0 & 0 & a ^ {\prime \prime } \\33 \end {array} \right ] \]이 된다. 여기서 \[ \begin {array} { l } a_ { 22 } ^ {\prime } =-a_ { 12 } \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } + a_ { 22 } , a_ { 23 } ^ {\prime } =-a_ { 13 } \frac { a_ { 21 } } { a_ { 11 } } + a_ { 23 } , \\a_ { 32 } ^ {\prime } =-a_ { 12 } \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } + a_ { 32 } , a_ { 33 } ^ {\prime } =-a_ { 13 } \frac { a_ { 31 } } { a_ { 11 } } + a_ { 33 } \end {array} \] 이고 \( a ^ {\prime \prime } { } _ { 33 } =-a ^ {\prime } { } _ { 23 } \frac { a_ { 32 } ^ {\prime } } { a_ { 22 } ^ {\prime } } + a_ { 33 } ^ {\prime } { } _ { 33 } \) 이다. 이제 \( U= \left [ \begin {array} { ccc } a_ { 11 } & a_ { 12 } & a_ { 13 } \\ 0 & a_ { 22 } ^ {\prime } & a ^ {\prime } { } _ { 23 } \\ 0 & 0 & a_ { 33 } ^ {\prime \prime } \end {array} \right ] \) 이고 \( L= \left [ \begin {array} { ccc } 1 & 0 & 0 \\ -m_ { 21 } & 1 & 0 \\ -m_ { 31 } & -m_ { 32 } & 1 \end {array} \right ] \) 이라고 하자. 그러면 \( A=L U \) 이다.</p> <p>유제1.10</p> <p>\( e_ { 1 } , e_ { 2 } , e_ { 3 } \) 가 각각 다음의 기본 행 연산을 의미한다고 하자.<ol type=i start=1><li>\( R_ { 1 } \) 과 \( R_ { 2 } \) 를 교환.</li> <li>\( R_ { 3 } \) 를 \( 7 R_ { 3 } \) 로 바꿈.</li> <li>\( R_ { 2 } \) 를 \( -3 R_ { 1 } + R_ { 2 } \) 로 바꿈.</li></ol>위의 기본 행 연산에 대응하는 \( 3 \times 3 \) 기본 행 행렬 \( E_ { 1 } , E_ { 2 } , E_ { 3 } \) 를 구하라.</p> <p>풀이</p> <p>\( E_ { 1 } =e_ { 1 } (I)= \left [ \begin {array} { lll } 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ], E_ { 2 } =e_ { 2 } (I)= \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 7 \end {array} \right ] \), \( E_ { 3 } =e_ { 3 } (I)= \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {array} \right ] \).</p> <p>정리 1.10</p> <p>\( e \) 를 기본 행 연산이라 하고 \( E \) 를 \( e \) 에 해당하는 \( m \times m \) 기본 행렬이라 하자. 그러면 임의의 \( m \times n \) 행렬 \( A \) 에 대하여 \[e(A)=E A \]이다.</p> <p>다른 말로 하면 행렬 \( A \) 에 기본 행 연산을 시행하는 것은 기본 행렬 \( E \) 를 행렬 \( A \) 에 곱하는 것과 같다. \( e ^ {\prime } \) 을 기본 행 연산 \( e \) 의 역연산이라 하고 \( E ^ {\prime } \) 과 \( E \)를 그에 대응하는 기본 행렬이라 할 때 \( E \) 는 가역적이고 그 역은 \( E ^ {\prime } \) 이다(유제 1.14). 특히 유한개의 기본 행렬의 곱 \[P=E_ { k } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } \]은 가역적이다.</p> <p>유제1.7 \( A, B \) 가 \( n \times n \) 가역행렬이라 하자. \( A B \) 도 또한 가역행렬이고 \( (A B) ^ { -1 } =B ^ { -1 } A ^ { -1 } \) 임을 보여라.</p> <p>풀이 \( (A B) \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )=A \left (B B ^ { -1 } \right ) A ^ { -1 } =A I A ^ { -1 } =AA ^ { -1 } =I \) 이고 \( \left (B ^ { -1 } A ^ { -1 } \right )(A B)=B ^ { -1 } \left (A ^ { -1 } A \right ) B=B ^ { -1 } I B=B ^ { -1 } B=I \) 이므로 \( (A B) ^ { -1 } =B ^ { -1 } A ^ { -1 } \) 이다.</p> <h2>정방 선형 연립방정식의 행렬방정식</h2> <p>정방행렬이란 행과 열의 개수가 일치하는 행렬을 말한다. 계수행렬 \( A \) 가 정방행렬일 때 선형 연립방정식 \( A X=B \) 를 정방 연립방정식이라 한다.</p> <p>정리 1.8</p> <p>정방 선형 연립방정식 \( A X=B \) 가 유일한 해를 가질 필요충분조건은 \( A \) 가 가역적이라는 것이다. 이 경우 \( A ^ { -1 } B \) 는 이 연립방정식의 유일한 해이다.</p> <p>여기서는 \( A \) 가 가역적이면 \( A ^ { -1 } B \) 는 이 연립방정식의 유일한 해임을 증명하자. \( A \) 가 가역적이면 \[ A \left (A ^ { -1 } B \right )= \left (A A ^ { -1 } \right ) B=I B=B \]이므로 \( A ^ { -1 } B \) 는 한 해이다. 이제 \( v \) 가 다른 해라고 하면 \( A v=B \) 이다. 그러면 \[v=I v= \left (A ^ { -1 } A \right ) v=A ^ { -1 } (A v)=A ^ { -1 } B \]이므로 \( A ^ { -1 } B \) 는 유일한 해이다.</p> <p>이러한 행렬 \( B \) 를 \( A \) 의 역(inverse)행렬이라 하고 \( A ^ { -1 } \) 로 나타낸다. 또한 \( A \)는 행렬 \( B \) 의 역행렬이 된다.</p> <p>보기 1.14 \[ \begin {array} { l } A= \left [ \begin {array} { ll } 2 & 5 \\1 & 3 \end {array} \right ], B= \left [ \begin {array} { rr } 3 & -5 \\-1 & 2 \end {array} \right ] \text { 라고 하자. } \\A B= \left [ \begin {array} { cc } 6-5 & -10 + 10 \\3-3 & -5 + 6 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \text { 이고 } \\B A= \left [ \begin {array} { cc } 6-5 & 15-15 \\-2 + 2 & -5 + 6 \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { ll } 1 & 0 \\0 & 1 \end {array} \right ] \text { 이므로 } \end {array} \] \( A \) 와 \( B \) 는 서로 역행렬이다.</p> <p>\( A B=I \) 이기 위한 필요충분조건이 \( B A=I \) 라는 것을 증명할 것이다. 만약 \( A \) 와 \( B \) 가 가역적이면 \( A B \) 도 가역적이고 \( (A B) ^ { -1 } =B ^ { -1 } A ^ { -1 } \) 이다. 더 나아가 \( A_ { 1 } , A_ { 2 } , \ldots, A_ { k } \) 가 가역적이면 그들의 곱도 또한 가역적이고 \[ \left (A_ { 1 } A_ { 2 } \cdots A_ { k } \right ) ^ { -1 } =A_ { k } ^ { -1 } \cdots A_ { 2 } ^ { -1 } A_ { 1 } ^ { -1 } \]이다.</p> <p>보기 1.3</p> <p>보기 1.2의 연립방정식의 각 식을 \( L_ { 1 } , L_ { 2 } , L_ { 3 } \) 라 하자. \( c_ { 1 } =-2 \), \( c_ { 2 } =3, c_ { 3 } =4 \) 일 때 이 식들의 선형결합 \( L \) 은 \[ \begin {aligned} -2 L_ { 1 } &:-2 x_ { 1 } -2 x_ { 2 } -8 x_ { 3 } -6 x_ { 4 } =-10 \\ 3 L_ { 2 } &: \quad 6 x_ { 1 } + 9 x_ { 2 } + 3 x_ { 3 } -6 x_ { 4 } =3 \\ 4 L_ { 3 } &: \quad 4 x_ { 1 } + 8 x_ { 2 } -20 x_ { 3 } + 16 x_ { 4 } =12 \\ \text { (합) } L: \quad 8 x_ { 1 } + 15 x_ { 2 } -25 x_ { 3 } + 4 x_ { 4 } &=5 \end {aligned} \]이다. 연립방정식의 근 \( u=(-8,6,1,1) \) 은 또한 \( L \) 의 근이 된다.</p> <p>정리 1.2 두 개의 선형 연립방정식 \( \mathfrak { m } \)과 \( \mathfrak { L } \)이 있다고 하자. \( \mathfrak { m } \)과 \( \mathfrak { L } \)이 같은 해를 가질 필요충분조건은 \( \mathfrak { m } \)의 각 방정식이 \( \mathfrak { L } \)의 방정식들의 선형결합인 것(또는 \( \mathfrak { L } \)의 각 방정식이 9의 방정식들의 선형결합인 것)이다.</p> <h2>기본 행 연산(Elementary Row Operations)</h2> <p>다음 연산들을 방정식 \( L_ { 1 } , L_ { 2 } , \ldots, L_ { m } \) 으로 이루어진 연립방정식 위의 기본행 연산이라 한다.</p> <ul> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 1 } \right ] \) 두 방정식을 교환한다.</li> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 2 } \right ] \) 한 방정식을 상수배 한다. 방정식 \( L_ { i } \) 를 \( k L_ { i } \) 로 바꾼다.</li> <li>\( \left [ \mathrm { E } _ { 3 } \right ] \) 다른 방정식을 상수배 하여 자기 자신과 합한 후 자신과 바꾼다. 즉 \( L_ { i } \) 를 \( k L_ { j } + L_ { i } \) 로 바꾼다 \( (k \neq 0) \).</li></ul> <p>정리 1.3 한 연립방정식 9이 다른 연립방정식 \( \mathfrak { L } \) 로부터 유한개의 기본 연산(a finite sequence of elementary operations)을 통하여 얻어졌다고 하자. 그러면 9과 이는 같은 해들을 갖는다.</p> <p>증명</p> <p>\( A \) 가 가역적이지 않다고 하자. \( A \) 는 \( I \) 와 행 동치가 아니고 한 행이 두 0 인 행렬과 행 동치가 될 것이다. 다른 말로 기본 행렬 \( E_ { 1 } , E_ { 2 } , \ldots \), \( E_ { s } \) 가 존재하여 \( E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A \) 가 한 행이 모두 0 인 행렬이 될 것이다. 그러면 \( A B=I \) 이므로 \( E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A B=E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } \) 이다. 그런데 \( E_ { s } \cdots \) \( E_ { 1 } A B \) 는 한 행이 모두 0 인 행렬이고 \( E_ { s } \cdots E_ { 1 } \) 은 가역적이므로 한 행이 모두 0 인 행을 포함하지 않는다. 이는 모순이다. 따라서 \( A \) 는 가역적이다. 또한 \[ B=I B= \left (A ^ { -1 } A \right ) B=A ^ { -1 } (A B)=A ^ { -1 } I=A ^ { -1 } , \] \( B A=A ^ { -1 } A=I \).</p> <p>한 행렬이 역행렬을 가짐을 보일 때 \( A B=I \) 이든지 \( B A=I \) 중 하나만 보여도 충분함을 의미한다.</p> <p>행 동치도 또한 행렬의 곱으로 나타낼 수 있다.</p> <p>정리 1.13</p> <p>\( B \) 가 \( A \) 와 행 동치일 필요충분조건은 가역행렬 \( P \) 가 존재하여 \( B=P A \) 인 것이다.</p> <p>증명</p> <p>만약 \( B \sim A \) 이면 \( B=e_ { s } \left ( \cdots \left (e_ { 2 } \left (e_ { 1 } (A) \right ) \right ) \cdots \right )=E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } A=P A \) 이다. 여기서 \( P=E_ { s } \cdots E_ { 2 } E_ { 1 } \) 은 가역행렬이다. 반대로 \( B=P A \) 라고 하자. 정리 1.11에 의해 \( P \) 는 기본 행렬들의 곱이므로 \( B \) 는 \( A \) 로부터 기본 연산들을 통하여 얻어진다. 즉 \( B \sim A \) 이다.</p> <p>II. (후방대입법: Back-substitution)</p> <p>위에서 구한 \( L_ { 3 } \) 를 이용하여 미지수를 구한 후 이를 \( L_ { 1 } \left ( \right . \) 혹은 \( \left .L_ { 2 } \right ) \) 에 대입하여 나머지 미지수를 구한다.</p> <p>보기1.5 다음 연립방정식을 풀어라.</p> <p>풀이</p> <ol type=1 start=1><li>\( L_ { 1 } : 2 x + 3 y=4 \) \[L_ { 2 } : 3 x + y=5 \]</li> <li>\( L_ { 1 } : x-3 y=4 \) \[L_ { 2 } :-2 x + 6 y=-10 \]</li> <li>\( L_ { 1 } : x-3 y=4 \) \[L_ { 2 } :-2 x + 6 y=-8 \]</li></ol> <ol type=1 start=1><li>\( L_ { 1 } \) 을 \( -3 \) 배 하고 \( L_ { 2 } \) 를 2 배 하면 \( -3 \times L_ { 1 } :-6 x-9 y=-12 \), \( 2 \times L_ { 2 } : 6 x + 2 y=10 \) 이 되고, \( L_ { 1 } \) 과 \( L_ { 2 } \) 를 더하면 \( L_ { 3 } :-7 y \) \( =-2 \) 를 얻는다. \( L_ { 3 } \) 를 풀면 \( y= \frac { 2 } { 7 } \) 이고 이를 \( L_ { 2 } \) 에 대입하면 \( x= \frac { 11 } { 7 } \) 을 얻는다.</li> <li>\( L_ { 1 } \) 을 \( -2 \) 배 하여 \( L_ { 2 } \) 에 더하면 \( 0 x + 0 y=-2 \) 가 되어 퇴화 방정식이 된다. 이 식을 만족시키는 \( x \) 와 \( y \) 는 없으므로 이 연립방정식의 해는 없다.</li> <li>\( L_ { 1 } \) 을 2 배 하여 \( L_ { 2 } \) 에 더하면 \( 0 x + 0 y=0 \) 이 되어 퇴화 방정식이 된다. 하지만 모든 \( x \) 와 \( y \) 가 이 식을 만족시키므로 이 연립방정식의 해는 무한개이다. 이 연립방정식의 일반해를 \( y=t \) 라 놓고 이를 \( L_ { 1 } \) 에 대입하면 \( x=3 t + 4 \) 가 되므로 \( (3 t + 4, t), t \in \mathbb { R } \) 가 된다. 여기서 \( t \) 를 매개변수(parameter)라 하고, 이 일반해는 바로 직선 \( L_ { 1 } \left (L_ { 2 } \right . \) 와 동일함)이고 방정식 \( L_ { 1 } \) 의 매개변수 방정식 형태이다.</li></ol> <h2>존재성과 유일성에의 응용</h2> <p>연립방정식 해의 존재성과 유일성을 행렬의 랭크를 사용하여 서술한다.</p> <p>유제 1.9</p> <p>첨가행렬을 사용하여 다음 선형 연립방정식을 풀어라. (1) \( \left \{\begin {aligned} x + 2 y-z &=3 \\ x + 3 y + z &=5 \\ 3 x + 8 y + 4 z &=17 \end {aligned} \right . \) (2) \( \left \{\begin {array} { r } x-2 y + 4 z=2 \\ 2 x-3 y + 5 z=3 \\ 3 x-4 y + 6 z=7 \end {array} \right . \)</p> <p>풀이</p> <p>(1) \( M= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -1 & 3 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 8 & 4 & 17 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 7 & 8 \end {array} \right ] \) \[ \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \end {array} \right ] \]이므로 \( \left \{\begin {aligned} x + 2 y-z &=3 \\ y + 2 z &=2 \text { 를 얻을 수 있고 후방대입법을 사용 } \\ 3 z &=4 \end {aligned} \right . \)하여 \( x= \frac { 17 } { 3 } , y=- \frac { 2 } { 3 } , z= \frac { 4 } { 3 } \) 를 구한다. (2) \( M= \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 4 & 2 \\ 2 & -3 & 5 & 3 \\ 3-4 & 6 & 7 \end {array} \right ] \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 2 & -6 & 1 \end {array} \right ] \) \( \sim \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & -2 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end {array} \right ] \) 이므로 해는 없다.</p> <p>여기서 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 는 계수행렬, \( X= \left [x_ { j } \right ] \) 는 미지수의 열벡터, \( B= \left [b_ { i } \right ] \)는 상수들의 열벡터이다. 선형 연립방정식과 행렬방정식이 동치라는 말은 서로 같은 근을 갖는다는 것이다.</p> <p>보기 1.13 다음의 선형 연립방정식과 행렬방정식은 동치이다. \[ \begin {array} { r } x_ { 1 } + 2 x_ { 2 } -4 x_ { 3 } + 7 x_ { 4 } =4 \\3 x_ { 1 } -5 x_ { 2 } + 6 x_ { 3 } -8 x_ { 4 } =8 \\4 x_ { 1 } -3 x_ { 2 } -2 x_ { 3 } + 6 x_ { 4 } =11 \end {array} \]이고 \[ \left [ \begin {array} { rrrr } 1 & 2 & -4 & 7 \\3 & -5 & 6 & -8 \\4 & -3 & -2 & 6 \end {array} \right ] \left [ \begin {array} { l } x_ { 1 } \\x_ { 2 } \\x_ { 3 } \\x_ { 4 } \end {array} \right ]= \left [ \begin {array} { c } 4 \\8 \\11 \end {array} \right ] \]</p> <h2>정칙행렬</h2> <p>\( n \) 정방행렬 \( A= \left [a_ { i j } \right ] \) 가 다음과 같은 조건을 만족하는 행렬 \( B \) 를 가지면 가역적(invertible 또는 nonsingular)이라고 한다. \[A B=B A=I \] 여기서 \( I \) 는 단위행렬이다. 이러한 행렬 \( B \) 는 유일하게 존재한다. 즉, 만약 \( A B_ { 1 } =B_ { 1 } A=I \) 이고 \( A B_ { 2 } =B_ { 2 } A=I \) 라 하면, \[B_ { 1 } =B_ { 1 } I=B_ { 1 } \left (A B_ { 2 } \right )= \left (B_ { 1 } A \right ) B_ { 2 } =I B_ { 2 } =B_ { 2 } \]가 되어 \( B_ { 1 } =B_ { 2 } \) 가 된다.</p> <p>정리 \( 1.9 \)</p> <p>첨가행렬 \( M=[A, B] \) 를 가지고 \( n \) 개의 미지수를 갖는 선형 연립방정식을 보자.<ol type=i start=1><li>이 선형 연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은 \[ \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (M) . \]</li> <li>이 선형 연립방정식의 해가 유일할 필요충분조건은 \[n= \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (M) \] .</li></ol> <p>증명</p> <ol type=i start=1><li>이 선형 연립방정식이 해를 가질 필요충분조건은 \( M=[A, B] \)의 사다리꼴 형태가 다음과 같은 형태의 행을 갖지 않는 것이다. \[ (0,0, \ldots, 0, b), b \neq 0 \text { . } \] 만약 \( M=[A, B] \) 의 사다리꼴 형태가 위와 같은 행을 갖는다는 것은 \( b \) 가 \( M \) 의 선택성분이 되고 \( A \) 의 선택성분은 아니라는 것이다. 그러므로 \( \operatorname { rank } (M)>\operatorname { rank } (A) \) 이다. 반면에 \( A \) 와 \( M \) 의 사다리꼴이 같은 선택성분을 갖는다면 \( \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (M) \) 이다.</li> <li>이 선형 연립방정식의 해가 유일할 필요충분조건은 \( A \) 의 사다리꼴이 자유변수를 갖지 않는 것이다. 즉 각각의 미지수가 선택변수를 갖는 것이다. 그러므로 \( n= \operatorname { rank } (A)= \operatorname { rank } (M) \) 이다.</li></ol> <h1>1.4 기본 행렬</h1> <p>\( e \) 를 기본 행 연산이라 하고 \( e(A) \) 는 한 행렬 \( A \) 에 연산 \( e \) 를 수행한 결과라 하자. 기본 행 연산 \( e \) 를 단위행렬 \( I \) 에 적용했을 때 얻어진 행렬을 \( E \) 라고 하면 \( E=e(I) \).</p> <p>이때 \( E \) 를 기본 행 연산 \( e \) 에 해당하는 기본 행렬(elementary matrix)이라고 부른다. \( E \) 는 항상 정방행렬이다.</p> <p>1.20</p> <p>다음 3 개의 기본 행 연산을 보자.<ol type=1 start=1><li>\( R_ { 2 } \)와 \( R_ { 3 } \) 를 상호 교환.</li> <li>\( R_ { 2 } \)를 \( -6 R_ { 2 } \) 로 바꿈.</li> <li>\( R_ { 3 } \)를 \( -4 R_ { 1 } + R_ { 3 } \) 로 바꿈.</li></ol>위의 기본 행 연산에 해당하는 \( 3 \times 3 \) 기본 행렬은 다음과 같다. \[E_ { 1 } = \left [ \begin {array} { lll } 1 & 0 & 0 \\0& 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \end {array} \right ], \quad E_ { 2 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\0 & -6 & 0 \\0 & 0 & 1 \end {array} \right ], \quad E_ { 3 } = \left [ \begin {array} { rrr } 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\-4 & 0 & 1 \end {array} \right ] . \]</p>	자연
미분적분을 위한 기초수학의 이해	<h2>(사) 차집합</h2> <p>\( A \) 의 원소이지만 \( B \) 의 원소가 아닌 것들의 전체의 집합을 \( A, B \) 의 차집합이라 하고 \[A-B ~또는 ~A \backslash B \] 로 나타낸다. 즉, \[ A \backslash B = \{ x \mid x \in A ~and ~x \notin B \} . \]</p> <p>예컨대 \[ \begin {array} { l } A= \{ 1,2,3,4,5 \} , \\ B= \{ 4,5,6 \} \end {array} \] 이라 하면, \( A \) 의 원소 중 \( B \) 의 원소가 아닌 것은 \( 1,2,3 \) 이므로 \[A \backslash B= \{ 1,2,3 \} \] 이다. 또한 \[ B \backslash A= \{ 6 \} \] 도 쉽게 알 수 있을 것이다.</p> <p>벤 그림으로 나타내면 그림과 같다. 이 그림을 보면 \[A \backslash B=A \cap \bar { B } \] 임을 알 수 있다.</p> <p>차집합의 개념으로는, \( A \) 의 여집합은 전체집합 \( U \) 와 \( A \) 의 차집합, 즉 \[ \bar { A } =U \backslash A \]이다.</p> <p>보기 \( 2.2 .6 \) \( A= \{ a, b, c, d, e \} , B= \{ b, c, e, f, g \} \) 라 할 때, 다음 집합을 각각 구하여라.</p>(1) \( A \backslash B \) (2) \( B \backslash A \) (3) \( A \backslash A \)<p>풀이 (1) \( A \backslash B= \{ a, d \} \). (2) \( B \backslash A= \{ f, g \} \). (3) \( A \backslash A= \phi \)</p> <p>보기 \( 2.2 .7 \) \[ \begin {array} { l } A= \{ x \mid 0 \leq x \leq 10, x \text { 는 정수 } \} , \\ B= \{ x \mid 0<x<10, x \text { 는 소수 } \} , \\ C= \{ x \mid 1 \leq x \leq 9, x \text { 는 실수 } \} \text { 일 때, 집합 } (A \backslash B) \cap C \text { 를 구하여라. } \end {array} \]</p> <p>풀이 \( A= \{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \} , B= \{ 2,3,5,7 \} \). 그러므로 \[A \backslash B= \{ 0,1,4,6,8,9,10 \} . \] \( (A \backslash B) \cap C \) 를 구하면 \[ \begin {aligned} (A \backslash B) \cap C &= \{ 0,1,4,6,8,9,10 \} \cap \{ x \mid 1 \leq x \leq 9, x \text { 는 실수 } \} \\ &= \{ 1,4,6,8,9 \} . \end {aligned} \]</p> <p>그리고 임의의 집합 \( A \) 의 모든 부분집합족을 \( A \) 의 멱집합(power set)이라 하고 기호 \[P(A) \text { 또는 } 2^{A}\]로 쓴다.</p> <p>예를 들면, \( A=\{ㄱ, ㄴ, ㄷ\} \) 라 하자. 그러면 \( P(A)=\{A,\{ㄱ, ㄴ\},\{ㄱ, ㄷ\},\{ㄴ, ㄷ\},\{ㄱ\},\{ㄴ\},\{ㄷ\}, \varnothing\} \) 이다.</p> <p>또한 두 집합 \( A \) 와 \( B \) 가 서로소(disjoint)라는 뜻은 \( A \) 와 \( B \) 가 공통의 원을 갖지 않음을 의미한다.</p> <p>예를 들면, \( A \) 와 \( B \) 는 각각 양수와 음수의 집합이라 하자. 그러면 \( A \) 와 \( B \) 는 서로소 이다.</p> <p>이제 집합 사이의 관계를 설명해주는 간단하고 시각적인 방법이 있다.</p> <p>(1) 벤-오일러그림 또는 간단히 벤 그림(venn-euler diagram 또는 ven diagram)은 집합을 보통원으로 경계되는 간단한 평면 영역으로 나타내는 방법이다</p> <p>(2) 직선그림(line diagram)은 집합의 포함관계를 직선으로 나타내는 방법이다.</p> <p>예로써, \( A \subset B \) 이면 \[\begin{array}{l}B \\A\end{array}\] 로 나타낸다.</p> <p>보기 2.1.2 집합 \( P=\{a, b, c\} \) 의 모든 부분집합을 구하여라.</p> <p>풀이 집합 자신 \( \{a, b, c\} \) 는 하나의 부분집합이다. 또 집합 \( P \) 의 부분집합 중 원소를 2 개 포함하는 것은 \[ \{a, b\}, \quad\{a, c\}, \quad\{b, c\} \] 이고, 원소를 단 한 개 포함하는 것은 \[ \{a\}, \quad\{b\}, \quad\{c\} \] 이다. 또 원소를 1 개도 갖지 않는 것은 \[\{~\}\] 즉, 공집합 \( \phi \) 도 부분집합이다.</p> <p>따라서 구하는 모든 부분집합은 \( \{a, b, c\},\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\},\{a\},\{b\},\{c\} \), \( \phi \) 의 8 개이다.</p> <p>보기 2.1.3 집합 \( A, B, C, D \) 에서 원소나열법은 조건제시법으로, 조건제시법은 원소나열법으로 나타내어라.</p> <ol type= start=1><li>\( A=\{1,2,3,6\} \)</li> <li>\( B=\{1,3,5,7,9\} \)</li> <li>\( C=\{x \mid x \) 는 소수, \( 1 \leq x \leq 10\} \)</li> <li>\( D=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\} \)</li></ol>풀이<ol type= start=1><li>\( A=\{x \mid x \) 는 6 의 약수, \( x>0\} \).</li> <li>\( B=\{x \mid x=2 n-1, n \) 은 자연수 \( \} \).</li> <li>\( C=\{2,3,5,7\} \).</li> <li>\( D=(x-1)(x-2)=0 \) 에서 \( x=1 \) 또는 \( x=2 \). 그러므로 \( D=\{1,2\} \).</li></ol> <p>보기 2.1.4 다음과 같은 세 집합 \( A, B, C \) 의 포함 관계를 조사하여라.</p> <p>\[A=\{2,3,5,7\},\] \[B=\{x \mid 1 \leq x \leq 10, x \text { 는 정수 }\}, \] \[C=\{x \mid 1 \leq x \leq 10, x \text { 는 소수 }\} .\]</p> <p>풀이 \( A=\{2,3,5,7\} \), \(B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \) \(C=\{2,3,5,7\}\) 이므로 \( A \subset B, C \subset B, A=C \) 즉, \( A=C \subset B \).</p> <h2>(다) 합집합</h2> <p>\( A \) 의 원소와 \( B \) 의 원소를 모두 합처서 된 집합을 \( A \) 와 \( B \) 의 합집합이라 하고 \[ A \cup B \] 로 나타낸다. 즉, \[ A \cup B=\{x \mid x \in A \text { 또는 } x \in B\} \] 이다.</p> <p>기호 \( \cup \) 는 union이라고 읽는다. ( \( \cup \) 의 모양이 cup과 닮은 데서 컵이라고 읽기도 한다.)</p> <p>합집합을 구체적으로 따져 보자.</p> <p>\[ \begin{array}{l} A=\{a, b, c, d, e\}, \\ B=\{c, d, e, f, g, h\} \end{array}\]라 하면 \[A \cup B=\{a, b, c, d, e, f, g, h\}\] 이다. \( A, B \) 에 같은 것이 있어도 두 번 헤아리지 않는다.</p> <p>물론, 여기서 전체집합은 알파벳 26 자라고 생각해도 좋다.</p> <p>벤 그림으로 나타내면 \( A \cup B \) 는 그림의 음영된 부분이다.</p> <p>합집합의 정의에 의해서 다음 관계들은 벤 그림을 써서 쉽게 이해할 수 있을 것이다.</p> <p>\[ \begin{array}{l} A \cup A=A . \\ A \cup B=B \cup A .\text { (교환법칙) }\\ A \cup \phi=\phi \cup A=A . \\ A \cup U=U. \text {(단, } U \text { 는 전체집합) } \\ \bar{A} \cup A=U .\text {(단 } U \text { 는 전체집합) } \\ (A \cup B) \cup C=A \cup(B \cup C). \text { (결합법칙) } \end{array} \]</p> <p>여기서 마지막 식은 \( A \cup B \) 에다 \( C \) 를 합한 것과 \( A \) 와 \( B \cup C \) 를 합한 것이 같다는 것이고 이것은 \( A, B, C \) 를 모두 합한 것이므로 \[ A \cup B \cup C \] 라고 쓴다. 또 \[ B \subset A \text { 이면 } A \cup B=A \] 가 성립한다는 것도 그림에 의해서 쉽게 알 수 있다.</p> <p>보기 \( 2.2 .2 \) 다음 각 집합에서 \( A \cup B \) 를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A=\{a, b, c\}, B=\{b, c, d\} \)</li> <li>\( A=\{a, b, c, d\}, B=\{b, c\} \)</li> <li>\( A=\{x \mid x=2 n, n=1,2,3, \cdots\}, B=\{y \mid y=2 n-1, n=1,2,3, \cdots\} \)</li></ol></p> <p>풀이<ol type=1 start=1><li>\( A \cup B=\{a, b, c, d\} \).</li> <li>\( A \cup B=\{a, b, c, d\} \).</li> <li>\( A=\{2,4,6, \cdots\}, B=\{1,3,5, \cdots\} \) 이므로 \( A \cup B=\{n \mid n \) 은 자연수 \( \} \) 또는 \( A \cup B=\{1,2,3, \cdots\} \).</li></ol></p> <p>이 관계를 벤 그림으로 나타내면 그림의 음영된 부분이 된다.</p> <p>보기 2.3.1 다음의 각 표현을 전칭기호 또는 존재기호로 나타내어라.</p></p> <ol type= start=1><li>모든 자연수 \( n \) 에 대하여</li> <li>적어도 하나의 유리수 \( q \) 에 대하여</li> <li>무리수 \( q \) 가 존재한다</li> <li>임의의 복소수 \( c \) 에 대하여</li> <li>어떤 정수 \( i \) 에 대하여</li></ol> <p>여기서 \( \mathbb{Q}, \mathbb{Q}^{\prime}, \mathbb{C} \) 와 \( \mathbb{Z} \) 는 각각 유리수, 무리수, 복소수와 정수들의 집합을 나타낸다.</p> <p>풀이 (1) \( { }^{\forall} n \in \mathbb{N} \). (2) \( \exists q \in \mathbb{Q} \). (3) \( \exists q \in \mathbb{Q}^{\prime} \). (4) \( { }^{\forall} c \in \mathbb{C} \). (5) \( \exists i \in \mathbb{Z} \).</p> <p>다음에 전칭기호를 포함하는 명제함수 \[ { }^{\forall}x \in M, p(x) \] 의 부정 \[ \sim\left[{ }^{\nvdash} x \in M, p(x)\right] \] 를 생각해 보자. 이것은 「\( M \) 에 속하는 모든 \( x \) 에 대해서, \( p(x) \) 는 참이라고는 할 수 없다.」 즉, 「 \( M \) 에 속하는 어떤 \( x \) 에 대해서, \( \sim p(x) \) 는 참이다.」 라는 뜻을 나타내고 있다. 즉, \[ \exists x \in M, \sim p(x) \] 이다. 따라서 \[ \sim\left[{ }^{\nvdash} x \in M, p(x)\right]=[\exists x \in M, \sim p(x)] . \] 이때 우변 식에 나타나는 \( x \) 를 반례(反例)라고 한다. 마찬가지로 \[ \sim[\exists x \in M, p(x)]=\left[{ }^{\dashv} x \in M, \sim p(x)\right] \] 이 성립한다. 위 두 식을 드·모르강의 법칙이라 한다. 즉, all, some의 부정법을 나타내는 것이다.</p> <p>보기 2.3.2 다음 명제의 부정을 만들고 참 - 거짓을 조사하여라.</p> <p>(1) 모든 실수 \( x \) 에 대하여 \( x^{2}+1>0 \) 이다</p> <p>(2) 임의의 실수 \( x \) 에 대하여 \( (x-2)(x-3)=0 \) 이다</p> <p>풀이 (1) \( \sim\left({ }^{\forall} x \in \mathbb{R}\right)\left(x^{2}+1>0\right) \equiv(\exists x \in \mathbb{R}) \sim\left(x^{2}+1>0\right) \) \[ \equiv(\exists x \in \mathbb{R}) x^{2}+1 \leq 0 . \]</p> <p>그래서 주어진 명제의 부정은 “ \( x^{2}+1 \leq 0 \) 인 실수 \( x \) 가 존재한다"이다.</p> <p>한편 \( \left\{x \in \mathbb{R}: x^{2}+1 \leq 0\right\}=\varnothing \). 따라서 부정명제는 거짓이다.</p> <p>(2) \( \sim\left({ }^{\nvdash} c \in \mathbb{R}\right)(x-2)(x-3)=0 \equiv(\exists x \in \mathbb{R}) \sim[(x-2)(x-3)=0] \) \[ \equiv(\exists x \in \mathbb{R})(x-2)(x-3) \neq 0 \text {. } \]</p> <p>따라서 주어진 명제의 부정은 “어떤 실수 \( x \) 에 대하여 \( (x-2)(x-3) \neq 0 \) "이다.</p> <p>한편 \( \{x \in \mathbb{R}:(x-2)(x-3) \neq 0\}=x \neq 2 \wedge x \neq\{x \in \mathbb{R}: 3\} \neq \varnothing \).</p> <p>따라서 부정명제는 참이다.</p> <h2>(라) 공통집합</h2> <p>두 집합 \( A, B \) 에 모두 포함되어 있는 원소들의 집합을 \( A, B \) 의 공통집합 또는 적집합(積集合)이라 하고 \[A \cap B \] 로 나타낸다. 즉, \[ A \cap B=\{x \mid x \in A ~and ~x \in B\} \] 이다. 앞의 예에서는 \[ A \cap B=\{c, d, e\} \] 이다. 기호 \( \cap \) 는 intersection이라고 읽는다. ( \( \cap \) 의 모양이 cap과 비슷하기 때문에 캡 이라고 읽기도 한다.)</p> <p>이번에는 좀 색다른 예를 들어보자. \( N \) 을 자연수 전체의 집합이라 하고, \( A \) 를 4 의 배수 전체의 집합, \( B \) 를 6 의 배수 전체의 집합이라 하자. \[A=\{4,8,12,16,20,24, \cdots\},\] \[B=\{6,12,18,24,30,36, \cdots\} \text {. }\]</p> <p>여기서 \( A, B \) 의 공통 원소를 찾아보면 \( 12,24, \cdots \) 등 12 의 배수임을 알 수 있다. 즉, \[ A \cap B=\{12,24,36, \cdots\} \] 이다.</p> <p>\( A \cap B \) 를 벤 그림으로 나타내면 그림과 같다.</p> <p>공통집합에 대해서는 다음과 같은 관계가 성립한다. \[\begin{array}{l} A \cap A=A. \\ A \cap B=B \cap A.\text { (교환법칙) }\\ A \cap \phi=\phi .\\ A \cap U=A .\text {(단, } U \text { 는 전체집합) } \\ \bar{A} \cap A=\phi .\\ (A \cap B) \cap C=A \cap(B \cap C). \text { (결합법칙) } \end{array}\]</p> <p>이 마지막 관계를 벤 그림으로 표시하면 그림과 같고, \( A, B, C \) 에 공통으로 포함되는 것이므로 \[ A \cap B \cap C \]로 표시해도 된다. 또 \( B \subset A \) 이면 \[A \cap B=B\] 도 그림에 의해서 쉽게 이해할 수 있을 것이다.</p> <p>다음에 전체집합 \( U \) 를 1 부터 10 까지의 자연수 전체라 하고, \[ \begin{array}{l} A=\{2,4,6,8,10\}, \\ B=\{1,2,3,4,5\}, C=\{4,5,6\} \end{array} \] 이라 하여 \( \subset, \cup, \cap \) 및 여집합 사이의 관계를 관찰해 보자.</p> <p>\[B \cup C=\{1,2,3,4,5,6\}\]이므로 \( A \cap(B \cup C)=\{2,4,6\} \) 이다. 또한 \( A \cap B=\{2,4\}, A \cap C=\{4,6\} \) 이므로 \( (A \cap B) \cup(A \cap C)=\{2,4,6\} \) 이다. 따라서 \[A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)\] 가 성립한다. 이것을 배분 법칙이라 하며, 벤 그림으로 나타내면 다음과 같다.</p> <p>또한 \( B \cap C=\{4,5\} \) 이므로 \[\begin{array}{l} A \cup(B \cap C)=\{2,4,5,6,8,10\}, \\ A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}, \\ A \cup C=\{2,4,5,6,8,10\} \end{array}\] 이므로 \[ (A \cup B) \cap(A \cup C)=\{2,4,5,6,8,10\} .\]</p> <p>따라서 \[A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)\] 가 성립한다. 이것도 배분법칙이다. 이 경우의 벤 그림은 각자 그려 보기 바란다.</p> <p>보기 \( 2.2 .3 \) 다음 집합에서 \( A \cap B \) 를 구하여라.</p> <ol type=1 start=1><li>\( A=\{a, b, c\}, B=\{b, c, d\} \)</li> <li>\( A=\{a, b, c, d\}, B=\{b, c\} \)</li> <li>\( A=\{a, b, c\}, B=\{d, e, f, g\} \)</li></ol> <p>풀이 (1) \( A \cap B=\{b, c\} \). (2) \( A \cap B=\{b, c\} \). (3) \( A \cap B=\phi \).</p> <p>이 관계를 벤 그림으로 나타내면 그림의 음영된 부분이 된다.</p> <h1>\( 2.2 \) 집합의 연산</h1> <p>이제 \( P(x) \) 를 집합 \( X \) 의 모든 부분집합의 집합, 즉 \( P(x)=\{A: A \subset X\} \) 라 하자. 이와 같이 집합을 원소로 하는 집합을 집합족(family of sets)이라 한다.</p> <p>\( X \) 의 부분집합 사이에 집합산을 정의하여 보자.</p> <p>아래와 같은 집합산들은 집합 \( P(x) \) 에시 정의되는 연산들이다.</p> <h2>(가) 전체집합</h2> <p>하나의 커다란 집합 \( U \) 를 정해 놓고 그 부분집합들에 대해서 고찰하려고 할 때, 이 \( U \)를 전체집합이라 한다. 전체집합을 설정한다는 것은 바로 취급하고자 하는 대상을 정해 놓는 것과 같은 것이다.</p> <p>집합의 관계를 보다 쉽게 이해시키기 위해서 벤 그림이라는 것을 사용한다. 전체 집합을 하나의 직사각형의 내부로 나타내고, 그 부분집합 \( A \) 를 직사각형 내에 그린 원의 내부로 나타낸다.</p> <p>이것은 집합의 원소들을 평면상의 점으로 바꿔 놓고 점집합이 나타내는 영역을 도시하는, 집합을 파악하기 위한 하나의 직관적인 표현 방법이다. 고교 정도에서 배우는 집합들 사이의 관계는 벤 그림을 그려서 직관적으로 파악할 수 있으면 된다.</p> <h2>(나) 여집합</h2> <p>\( A \) 가 전체집합 \( U \) 의 부분집합일 때, \( A \) 에 속하지 않는 \( U \) 의 원소 전체를 \( A \) 의 \( U \) 에 관한 여집합이라 하고, \( \bar{A} \) (또는 \( A^{c} \) )로 나타낸다. 여기서 \( A^{c} \) 의 \( c \) 는 complementary \( \operatorname{set} \) (여집합)의 머리문자 \( c \) 를 딴 것이다.</p> <p>\( \bar{A} \) 를 표시하면 \[ \bar{A}=\{x \mid A \subset B, x \in U, x \notin A\} . \]</p> <p>여집합의 정의로부터, 다음 법칙이 성립한다는 것은 벤 그림에 의해서 쉽게 알 수 있을 것이다.</p> <p>\[ \begin{array}{c} \overline{\bar{A}}=A . \\ \bar{\phi}=U, \bar{U}=\phi . \\ B \subset A \leftrightarrow \bar{A} \subset \bar{B} . \end{array} \]</p> <p>다음에 전체집합 \( U \) 의 부분집합들 사이의 세 개의 연산을 정의한다.</p> <p>보기 \( 2.2 .1 \) 다음 집합 \( A \) 에 대하여 \( A^{c} \) 는 어떤 집합인가?</p> <p>1) \( U \) 를 자연수 전체의 집합이라 할 때, \( A=\{n \mid n \) 은 양의 짝수 \( \} \)</p> <p>(2) \( U \) 를 실수 전체의 집합이라 할 때, \( A=\{x \mid x \) 는 무리수 \( \} \)</p> <p>풀이 (1) \( A^{c}=\{n \mid n \) 은 양의 홀수 \( \} \).</p> <p>(2) \( A^{c}=\{x \mid x \) 는 유리수 \( \} \).</p> <h1>\( 2.1 \) 집합과 원소</h1> <p>현대수학의 모든 분야는 집합론에 기초를 두고 이론이 전개되고 있다. 집합론은 독일 수학자 G. Cantor(1845~1918)에 의하여 연구되기 시작하였다.</p> <p>Cantor는 집합론에 관한 여러 가지 업적을 거의 독자적으로 남긴 사람으로서 집합론의 창시자라고 볼 수 있다.</p> <p>수학의 모든 분야에서 기본개념은 집합이란 개념이다. 직관적으로, 집합(set)이란 임의로 명확하게 정의되는 대상들의 모임을 뜻한다.</p> <p>다음의 보기에서 알게 되듯이, 집합에 있는 대상들은 임의의 물건, 즉 수, 사람, 문자, 강 등 일 수 있다. 이러한 대상들을 그 집합의 원소(element) 또는 원(mumber) 이라 한다.</p> <p>예들 들면, 다음의 각각은 집합이다.</p> <ol type=1 start=1><li>수 \( 1,3,5 \) 와 8</li> <li>방정식 \( x^{2}-2 x-3=0 \) 의 해</li> <li>우리나라 문자중의 모음 : ㅏ, ㅣ, ㅗ와 ㅜ</li> <li>동아시아 국가의 수도</li></ol> <p>홀수번호에 있는 집합은 그것의 원을 실제로 열거함으로써 정의되고 짝수번호에 있는 집합은 특수한 대상이 그 집합의 원이 되는지 안되는지를 결정하는 성질, 즉 규칙을 서술함으로써 정의됨에 유의하라.</p> <p>표시법 (1) 집합은 보통 영어의 대문자 \[ A, B, C, X, Y, \cdots \] 등으로 나타내고 집합에 있는 원은 보통 영어의 소문자 \[ a, b, c, x, y, \cdots \] 등으로 나타낼 것이다.</p> <p>(2) 우리가 특별한 집합을 실제로 그것의 원을 나열함으로써 정의하면, 예로서 \( A \) 는 수 \( 1,3,5 \) 와 8 로 이루어진다고 하자. 그러면 우리는 \[A=\{1,3,5,8\}\]로 쓴다. 즉, 원 사이를 "\(,\)"로 분류하고 양끝을 "\(\{ ~\} \) "로 닫는다.</p> <p>이것을 집합의 원소나열법(tabular form)이라 한다.</p> <p>그러나 우리가 특별한 집합을 그것의 원이 만족해야만 하는 성질을 서술함으로써 정의하면 예로써, \(B \) 는 짝수들의 집합이라 하자. 그러면 우리는 임의의 원을 나타내기위하여 보통 문자를 \( x \) 를 사용하여 \[B=\{x: x는 짝수이다\} 또는 \{x: x는 짝수다\} \] 로 쓰고 이것을 “B는 \( x \) 가 짝수인 수 \( x \) 의 집합이다"로 읽는다.</p> <p>이것을 집합의 조건제시법(set-builder form)이라 한다. 여기에서 : 또는 \|는 "such that"인 관계대명사를 나타냄에 유의하라.</p> <p>앞에서 설명한 예에서의 각 집합을 \( A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4} \) 로 나타내기로 하자. 그러면 각 각 다음과 같이 표시할 수 있다.</p> <ol type= start=1><li>\( A_{1}=\{1,3,5,8\} \)</li> <li>\( A_{2}=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3=0\right\} \)</li> <li>\( A_{3}=\{ㅏ, ㅣ, ㅗ, ㅜ \} \)</li> <li>\( A_{4}=\{x \mid x \) 는 동아시아 국가의 수도이다 \( \} \)</li></ol> <h2>(마) 드 ◦ 모르강의 법칙</h2> <p>합집합과 공통집합의 여집합은 서로 어떤 관계가 있는지 살펴보자. 앞면의 집합 \( A, B \) 에 대하여 \[A \cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\} \] 이므로 \[ \overline{A \cup B}=\{7,9\} \] 이다. 또한 \[ \bar{A}=\{1,3,5,7,9\}, \bar{B}=\{6,7,8,9,10\} \] 이므로 \( \bar{A} \cap \bar{B}=\{7,9\} \) 이다.</p> <p>따라서 \[ \overline{A \cup B}=\bar{A} \cap \bar{B} \] 가 성립한다. 이것을 드-모르강의 법칙이라 하며, 벤 그림으로 나타내면 다음과 같다.</p> <p>또 \( \overline{A \cap B}=\bar{A} \cup \bar{B} \) 도 드.모르강의 법칙이다. 각자 벤 그림을 그려서 확인해 보기 바란다.</p> <h2>(바) 유한집합의 원소의 갯수</h2> <p>\( n(A) \) 를 집합 \( A \) 의 원소의 갯수라 하면, 앞의 \( A, B \) 에서는 \[ \begin{aligned} \therefore & n(A)=5, \quad n(B)=5, \\ & n(A \cup B)=8, \quad n(A \cap B)=2, \\ & n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B) . \end{aligned} \] 벤 그림으로 나타내면 그림과 같다.</p> <p>\( n(A)+n(B) \) 는 \( A, B \) 의 공통집합 \( A \cap B \) 인 부분의 갯수가 2 중으로 포함되므로 \( n(A \cap B) \) 의 2 배가 가산되어 있어서 이 부분의 갯수를 빼 주어야 한다.</p> <p>보기 2.2.4 두 집합 \( A, B \) 가 있다.</p> <p>(1) \( n(A)=10, n(B)=15, n(A \cap B)=7 \) 일 때, \( n(A \cup B) \) 를 구하여라.</p> <p>(2) \( n(A)=8, n(B)=7, n(A \cup B)=15 \) 일 때, \( n(A \cap B) \) 를 구하여라.</p> <p>풀이 \( n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B) \) 에 대입하면 (1) \( n(A \cup B)=10+15-7 . \quad \therefore n(A \cup B)=18 \). (2) \( 15=8+7-n(A \cap B) . \quad \therefore n(A \cap B)=0 \).</p> <p>보기 \( 2.2 .5 \) 100 이하의 자연수 중 2,3 어느 것으로도 나누어지지 않는 것의 갯수를 구하여라.</p> <p>풀이 2 의 배수는 \( 2,4, \cdots, 100 \) 의 50 개, 3 의 배수는 \( 3,6, \cdots, 99 \) 의 33 개이며, 2 와 3 으로 나누어지는 수, 즉 6 의 배수는 \( 6,12, \cdots, 96 \) 의 16 개이다. 지금 2 의 배수의 집 합을 \( A, 3 \) 의 배수의 집합을 \( B \) 라 하면 \[ n(A)=50, n(B)=33, n(A \cap B)=16 \] 이므로 \[ \begin{aligned} n(A \cup B) &=n(A)+n(B)-n(A \cap B) \\ &=50+33-16=67 \end{aligned} \] 이다. \( n(A \cup B) \) 는 2 또는 3 으로 나누어지는 수의 갯수이므로 2 로도 3 으로도 나누어 지지 않는 수는 \( n(\overline{A \cup B}) \) 이다.</p> <p>따라서 구하는 수는 \[ 100-n(A \cup B)=100-67=33 . \] 주 \( n(\bar{A})=n(U)-n(A) \)</p> <h1>\( 2.3 \) 명제함수와 집합의 관계</h1> <p>수학에서는, 예컨대 \[x^{2}=1\] 이라는 식이 나타난다. 이것은 \( x \) 라는 하나의 부정(不定)인 것을 포함하는 문장이라고 볼 수 있다. 이 문장의 참 - 거짓은 \( x \) 가 무엇을 나타내는가를 지정해 줌으로써 비로 소 정해진다. 즉, \[ \begin{array}{l} x=0 \text { 이면 } 0^{2}=0 \neq 1 \text { 이므로 거짓 }(\mathrm{F}), \\ x=1 \text { 이면 } 1^{2}=1 \neq 1 \text { 이므로 거짓 }(\mathrm{T}) . \end{array} \]</p> <p>이와 같이 하나의 집합 \( M \) 의 임의의 원소 \( x \) 를 포함하는 뜻있는 문장 \[ p(x) \] 로서, \( x \) 에 \( M \) 의 하나의 원소를 대입할 때마다 참 - 거짓의 판정이 가능한 명제로 되는 것을 집합 \( M \) 에 관한 명제함수(propositional function)라 한다.</p> <p>위에서 든 예 \( x^{2}=1 \) 은 \( M \) 을 실수의 집합이라 할 때 \( M \) 에 관한 명제함수이다. 여기 서는 명제함수 \( x^{2}=1 \) 이 \( M \) 의 어떤 특정한 \( x \) 에 대해서만 참이 된다.</p> <p>이와 같이 \( M \) 에 속하는 어떤 \( x \) 에 대해서 명제함수 \( p(x) \) 가 참일 때, 이것을 \[ \exists x \in M, \quad p(x) \] 라 쓰고, 「 \( M \) 에 속하는 어떤(some) \( x \) 에 대해서, \( p(x) \) 는 참이다.」 라고 읽는다. 여기서 나타난 \( \exists \) 인 기호를 존재기호라 한다. 이것은 존재(Exist)의 머리문자를 거꾸로 놓은 것이다.</p> <p>이 기호에 의하면 \[\exists x \in M, \quad x^{2}-1=0\] 이며, 이러한 식을 보통 방정식이라 한다.</p> <p>다음에 \( M \) 을 실수의 집합이라 하고 명제함수 \[ (x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1 \] 을 생각하면 이것은 \( M \) 에 속하는 모든 \( x \) 에 대해서 참인 명제함수이다. 이것을 \[ { }^{\forall} x \in M, \quad p(x) \] 라 쓰고 「 M 에 속하는 모든(all) \( x \) 에 대해서, \( p(x) \) 는 참이다.」 라고 읽는다. 여기서 기호 \( { }^{\forall} \) 는 전칭기호라 한다. 이것은 모든(all)의 머리문자를 거꾸로 쓴 것이다.</p> <p>이 기호에 의하면 위의 명제함수는 \[ { }^{\forall} x \in M, \quad(x+1)^{2}=x^{2}+2 x+1 \] 이며, 이러한 식을 보통 항등식이라 한다.</p> <p>명제함수 \( { }^{\forall} x \in M \) 이 점집합을 나타내는 부등식이면 조건부 부등식, 절대 부등식이 이에 해당된다.</p> <p>이제 원과 집합 사이의 관계를 살펴보기로 하자.</p> <p>대상 \( x \) 가 집합 \( A \) 의 원(element)이면 \[ x \in A \] 로 쓰고 “ \( x \) 는 \( A \) 에 속한다(belong to)" 또는 “ \( x \) 는 \( A \) 에 있다 \( (x \) is in \( A \) )"로 읽는다.</p> <p>대상 \( x \) 가 집합 \( A \) 의 원이 아니면 \[ x \notin A \] 로 쓴다. 여기에서 \( x \notin A \Leftrightarrow \sim(x \in A) \).</p> <p>또한, 오직 하나의 원소만을 갓는 집합을 단집합(singleton set)이라 한다.</p> <p>이와 같이 집합 \( A \) 가 유한개의 원소로 이루어졌을 경우 \( A \) 를 유한집합(finite set) 이라고 하며, \( A \) 가 무한개의 원소를 포함할 경우 \( A \) 를 무한집합(infinite set)이라고 한다.</p> <p>그리고 공집합(empty set, 또는 null set)이라는 뜻은 원을 전혀 갓지 않는 집합을 의미하고 기호 \( \varnothing \) 로 쓴다. 따라서 \[\varnothing=\{x: x \neq x\}\] 로 정의할 수 있다.</p> <p>이제 \( A \) 가 \( B \) 의 부분집합(subset)이라는 뜻은 \( A \) 에 있는 모든 원이 역시 \( B \) 의 원임을 의미한다. 이 관계를 기호로 \[ A \subset B 또는 B \supset A \] 로 나타내고 역시 “ \( A \) 는 \( B \) 에 포함된다” 또는 “ \( B \) 는 \( A \) 를 포함한다”로 읽는다. 더욱 이 \( A \) 가 \( B \) 의 부분집합이 아니면 \[A \not \subset B\] 로 쓴다. 여기에서 \( A \not \subset B \Leftrightarrow \sim(A \subset B) \).</p> <p>따라서 \( A \not \subset B \) 이면 \( B \) 의 원이 아닌 \( A \) 의 원이 적어도 하나 있다. 특히 \( A \subset B \) 이고 \( A \neq B \) 일 때, \( A \) 는 \( B \) 의 진부분집합(proper subset)이라 한다.</p> <p>또한 집합론의 응용에서 연구의 대상이 되는 모든 집합이 고정된 집합의 부분집합 이 될 경우가 있을 것이다. 이러한 집합을 전체집합(universal set)이라하고 기호 \( U \) 로 나타낸다.</p>	자연
복소해석학 개론	<p>두 거듭제곱급수의 합과 곱에 대한 수렴반경은 정리 6.20의 수렴반경 \( R \)보다 더 클 수 있다. \( f(z) \)와 \( g(z) \)에 대한 거듭제곱급수의 계수 사이에 \( b_ { n } =-a_ { n } \)의 관계가 있으면 이들은 동일한 수렴반경 \( R \)을 가질 것이다. 그러나 이들의 합은 모든 복소수 \( z \)에 대하여 성립하게 된다.</p> <p>예 7 (a) 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (2-3 i) ^ { n } z ^ { n } \)과 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-2 + 3 i) ^ { n } z ^ { n } \)은 \( \|z\|< \frac { 1 } { 3 } \)에서 수렴하지만 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (2-3 i) ^ { n } z ^ { n } + \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-2 + 3 i) ^ { n } z ^ { n } =0 \]이 되어, 이 들의 합은 모든 복소수에서 수렴한다.</p> <p>(b) 거듭제곱급수 \( 3 + 2 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 3 ^ { n } z ^ { n } \)은 \( \|z\|< \frac { 1 } { 3 } \)에서 수렴하고 \( 1-2 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)은 \( \|z\|<1 \)에서 수렴한다. \( a_ { 0 } =3, b_ { 0 } =1, n \geq 1 \)에 대하여 \( a_ { n } =2 \cdot 3 ^ { n } , b_ { n } =-2 \)이므로, \[c_ { 0 } =a_ { 0 } b_ { 0 } =3 \]이고 \( n \geq 1 \)에 대하여 \[ \begin {aligned} c_ { n } =a_ { 0 } b_ { n } + a_ { n } b_ { 0 } + \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } a_ { k } b_ { n-k } &=3 \cdot(-2) + 2 \cdot 3 ^ { n } + \sum_ { k=1 } ^ { n-1 } 2 \cdot(-2) 3 ^ { n } \\&=-6 + 2 \cdot 3 ^ { n } + (-4) \frac { 3-3 ^ { n } } { 1-3 } =0 \end {aligned} \]이다. 따라서 \[ \left (3 + 2 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } 3 ^ { n } z ^ { n } \right ) \left (1-2 \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \right )=c_ { 0 } =3 \]이 되어, 이들의 곱은 모든 복소수에서 수렴한다.</p> <p>증명 \( n \)번째 항까지의 부분합을 \( s_ { n } (z)= \sum_ { k=0 } ^ { n } f_ { k } (z) \)라 하면, 유한개의 항에 대하여 합과 적분의 순서를 교환할 수 있으므로 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \int_ { C } f_ { n } (z) d z \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \sum_ { k=0 } ^ { n } \int_ { C } f_ { k } (z) d z \right )= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \int_ { C } s_ { n } (z) d z \right ) \]이다. 그러면 정리 6.13에 의하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left ( \int_ { C } s_ { n } (z) d z \right )= \int \lim _ { C n \rightarrow \infty } s_ { n } (z) d z= \int \left ( \sum_ { C=0 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \right ) d z \]이다.</p> <p>균등수렴의 중요성은 함수열이 갖는 성질을 그의 극한함수가 그대로 보존한다는 것이었다. 다음 정리는 해석적인 함수의 열에 대한 것이다.</p> <p>정리 6.15 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 영역 \( D \)의 모든 유계폐부분집합에서 함수 \( f(z) \)로 균등수렴하는 해석함수열이면, \( f(z) \)는 \( D \)에서 해석적이다.</p> <p>증명 \( z_ { 0 } \)를 \( D \)의 임의의 점이라 하고 \( D \)에 포함되는 \( z_ { 0 } \)의 한 근방을 \( N \left (z_ { 0 } , \epsilon \right ) \)이라 하면, 정리 6.7에 의하여 \( f(z) \)는 \( N(z_ { 0 } , \epsilon) \)에서 연속이다. \( C \)를 \( N(z_ { 0 } , \epsilon) \)에 포함되는 임의의 단일폐등심선이라 하면, 정리 6.13에 의하여 \( \\ \)(3) \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { C } f_ { n } (z) d z= \int f_ { C } (z) d z \]이다. 한편, 각 \( n \)에 대하여 \( f_ { n } (z) \)는 \( N(z_ { 0 } , \epsilon) \)에서 해석적이므로, Cauchy-Goursat의 정리에 의하여 \( \int_ { C } f_ { n } (z) d z=0 \)이다. 따라서 (3)으로부터 \( \int_ { C } f(z) d z=0 \)이다. 그러면 Morera의 정리 5.19에 의하여 \( f(z) \)는 \( N(z_ { 0 } , \epsilon) \)에서 해석적이고, \( z_ { 0 } \)는 임의의 점이므로 정리가 증명된다.</p> <p>(b) 함수 \( f_ { n } (z)= \frac { 1 } { n z } \)로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( 0<\|z\|<1 \)에서 함수 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않음을 보인다. 이를 위하여, \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 균등수렴한다고 가정하고 \( 0< \epsilon<1 \)이라 하자. 그러면 \( 0<\|z\|<1 \)인 모든 점 \( z \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \| \frac { 1 } { n z } \right \|< \epsilon \]인 정수 \( N( \epsilon) \)이 존재할 것이다. 그러나 \( n \geq N( \epsilon) \)인 \( n \)에 대하여 \( z= \frac { 1 } { n } \)이라 하면 \( \left \|f_ { n } (z) \right \|=1>\epsilon \)이 되어, 이 함수열은 \( 0<\|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않는다.</p> <p>균등수렴하는 함수열의 중요성을 다음 정리에서 알 수 있다. 즉 함수열에 속하는 함수가 갖는 어떤 성질을 그 함수열의 극한함수가 그대로 갖는다는 것이다.</p> <p>정리 6.7 연속인 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 함수 \( f(z) \)로 균등수렴한다고 하자. 그러면 \( f(z) \)는 \( E \)에서 연속이다.</p> <p>증명 가정에 의하여, 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \[n \geq N \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \frac {\epsilon } { 3 } \]인 양의 정수 \( N \)이 존재한다. 이제 \( f(z) \)가 임의의 점 \( z_ { 0 } \in E \)에서 연속임을 보일 것이다. 삼각부등식에 의하여 \[ \begin {aligned} \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| & \leq \left \|f(z)-f_ { N } (z) \right \| + \left \|f_ { N } (z)-f_ { N } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| + \left \|f_ { N } \left (z_ { 0 } \right )-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \| \\& \leq \frac {\epsilon } { 3 } + \left \|f_ { N } (z)-f_ { N } \left (z_ { 0 } \right ) \right \| + \frac {\epsilon } { 3 } \end {aligned} \]을 얻는다. \( f_ { N } (z) \)는 \( z_ { 0 } \)에서 연속이므로, \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta \)인 \( z \in E \)에 대하여 \[ \left \|f_ { N } (z)-f_ { N } \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \frac {\epsilon } { 3 } \] 이 되는 \( \delta>0 \)가 존재한다. 따라서 \[ \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \delta, z \in E \text { 이면 } \quad \left \|f(z)-f \left (z_ { 0 } \right ) \right \|< \epsilon \]이 되어, \( f(z) \)는 임의의 점 \( z_ { 0 } \in E \)에서 연속이다.</p> <p>(b) \( L>1 \)이면, \( \left \|z_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } >1 \)이 되는 무한히 많은 양의 정수 \( n \)이 존재한다. 그러면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z_ { n } \neq 0 \)이고, 정리 6.3에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 발산한다.</p> <p>\( L=1 \)이면 근판정법을 이용하여 급수의 수렴이나 발산을 판정할 수 없다. 예 2의 두 급수에 대하여 모두 \( L=1 \)이지만 하나는 발산하고 다른 하나는 수렴한다.</p> <p>예 4 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 + i } { 2 } \right ) ^ { n } \)의 수렴과 발산을 판정하여라.</p> <p>풀이 근판정법을 이용한다. \( \\ \) \( \limsup ^ { n } \sqrt {\left \| \frac { 1 + i } { 2 } \right \| ^ { n } } = \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { 1 + i } { 2 } \right \|= \sqrt {\frac { 1 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } }<1 \) \( \\ \) 이므로 이 급수는 절대수렴하고, 따라서 수렴한다.</p> <p>근판정법을 이용하여 주어진 급수의 수렴영역을 구할 수 있다.</p> <p>예 5 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n ^ { 3 } } { z ^ { n } } \)의 수렴영역을 구하여라.</p> <p>풀이 근판정법을 이용하면 \( \\ \) \(L= \limsup \left \| \frac { n ^ { 3 } } { z ^ { n } } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } = \left \| \frac { 1 } { z } \right \| \lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ {\frac { 3 } { n } } = \frac { 1 } { \|z\| } \) \( \\ \) 이다. 따라서 이 급수는 단위원의 외부 \( \frac { 1 } { \|z\| }<1 \)에서 절대수렴하고 단위원의 내부에서 발산한다. 그러나 단위원에서는 수렴이나 발산을 판정할 수 없다.</p> <p>정리 6.25에서 \( b_ { n } =a_ { -n } \)으로 두면, (2)를 \[a_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \zeta \quad(n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) \]로 쓸 수 있고 (1)은 \[f(z)= \sum_ { n=- \infty } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]과 같이 표현된다. 함수 \( f(z) \)에 대한 이 급수를 고리(annulus) \( A \)에서 \( z_ { 0 } \)에 관한 Laurent 급수(Laurent series)라 한다. \( \left (z-z_ { 0 } \right ) \)의 음의 거듭제곱급수를 Laurent 전개의 주부(principal part)라 하고 양의 거듭제곱급수를 이 전개의 해석부(analytic part)라 한다.</p> <p>예 1 \(f(z)=e ^ { - \frac { 1 } { z } } \)의 \( z=0 \)에 관한 Laurent 급수는 \[1- \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 ! z ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 ! z ^ { 3 } } + \cdots= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { n ! z ^ { n } } \quad(\|z\|>0) \]이고, 주부는 \( - \frac { 1 } { z } + \frac { 1 } { 2 ! z ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 3 ! z ^ { 3 } } + \cdots \), 해석부는 1이다.</p> <p>주어진 함수 \( f(z) \)에 대한 Laurent 급수의 계수 \( a_ { n } \)과 \( b_ { n } \)이 항상 적분을 이용하여 구할 수 있는 것은 아니다. 따라서 이 급수를 얻기 위하여 다른 방법들이 사용된다. 예 1은 \[e ^ { u } =1 + u + \frac { u ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { u ^ { 3 } } { 3 ! } + \cdots \]의 \( u \)에 \( \frac { 1 } { z } \)을 대입하여 정리한 것이다.</p> <p>예 4 \( \frac { 1 } { 1-z } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } z ^ { n } (\|z\|<1) \)이므로 \( \frac { 1 } { (1-z) ^ { 2 } } = \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n z ^ { n-1 } (\|z\|<1) \)이다.</p> <p>\( z \)에 관한 거듭제곱급수의 수렴반경이 계수 \( a_ { n } \)에 의하여 결정되었다. 마찬가지로 \( z-z_ { 0 } \)에 관한 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \)의 수렴반경 역시 이들 계수에 의하여 결정된다. 정리 6.18 또는 비판정법에 의하여 구한 수렴반경이 \( R \)이면 이 급수는 원 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|=R \)의 내부에서 수렴하고 이 원의 외부에서 발산한다. 또한 \( \|z\|<R \)에서 성립하는 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)에 관한 성질들은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \)에서 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \)에 그대로 적용된다.</p> <p>예 5(a) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } (n + 1)(z-2) ^ { n } \)에 대하여 \[ \rho= \limsup \left \|(-1) ^ { n } (n + 1) \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } =1 \]이므로, 수렴반경은 \( R= \frac { 1 } {\rho } =1 \)이다. 따라서 이 급수는 \( \|z-2\|<1 \)에서 수렴한다.</p> <p>(b) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (1- \sqrt { 3 } i) ^ { n } \left ( \frac { z + i } { 3 } \right ) ^ { n } \)에 대하여 \( a_ { n } =(1- \sqrt { 3 } i) ^ { n } \)이고, 비판정법을 이용하면 \[ R= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n } } { a_ { n + 1 } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { (1- \sqrt { 3 } i) ^ { n } } { (1- \sqrt { 3 } i) ^ { n + 1 } } \right \|= \frac { 1 } { 2 } \]이다. 따라서 이 급수는 \[ \left \| \frac { z + i } { 3 } \right \|< \frac { 1 } { 2 } , \text { 즉 } \quad\|z + i\|< \frac { 3 } { 2 } \]인 원의 내부에서 수렴한다.</p> <p>(d) \( f(z)= \log (z + 1) \)에 대한 Maclaurin 급수의 계수를 구한다.</p> <p>\[ \begin {array} { c } f(z)= \log (z + 1), \quad f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { z + 1 } , \quad f ^ {\prime \prime } (z)=-(z + 1) ^ { 2 } , \\ \ldots, f ^ { (n) } (z)=(-1) ^ { n-1 } \frac { (n-1) ! } { (z + 1) ^ { -n } } , \ldots \end {array} \]이고, \( z=0 \)에 대하여 \[f(0)=0, f ^ {\prime } (0)=1, f ^ {\prime \prime } (0)=-1, \ldots, f ^ { (n) } (0)=(-1) ^ { n-1 } (n-1) !, \ldots \]이다. 따라서 \[ \begin {aligned} \log (z + 1) &=z- \frac { z ^ { 2 } } { 2 } + \frac { z ^ { 3 } } { 3 } - \frac { z ^ { 4 } } { 4 } + \cdots + (-1) ^ { n + 1 } \frac { z ^ { n } } { n } + \cdots \\ &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n + 1 } } { n } z ^ { n } \quad(\|z\|<1) \end {aligned} \]이다.</p> <p>예 1을 이용하여 많은 다른 함수들에 대한 Maclaurin의 급수를 구할 수 있다.</p> <p>예 2(a) \( f(z)=z ^ { 3 } e ^ { 3 z } \)에 대한 Maclaurin의 급수를 구하여 보자. 예 1(a)를 이용한다.</p> <p>\( e ^ { z } \)에 대한 급수에서 \( z \) 대신 \( 3 z \)를 대입하면 \[e ^ { 3 z } =1 + 3 z + \frac { 3 ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { 3 ^ { n } z ^ { n } } { n ! } + \cdots \quad(\|z\|< \infty) \]이다. 따라서 \[ \begin {aligned} z ^ { 3 } e ^ { 3 z } &=z ^ { 3 } \left (1 + 3 z + \frac { 3 ^ { 2 } z ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { 3 ^ { n } z ^ { n } } { n ! } + \cdots \right ) \\&=z ^ { 3 } + 3 z ^ { 4 } + \frac { 3 ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { 3 ^ { n } z ^ { n + 3 } } { n ! } + \cdots= \sum_ { n=3 } ^ {\infty } \frac { 3 ^ { n-3 } } { (n-3) ! } z ^ { n } \quad(\|z\|< \infty) \end {aligned} \]이다.</p> <p>예 2 (a) \( f(z)= \frac {\sin z } { z } \)를 \( z=0 \)에 관한 Laurent 급수로 전개해 보자.</p> <p>\[ \sin z=z- \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } + \cdots \]이므로, 모든 \( z \neq 0 \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \frac {\sin z } { z } &= \frac { 1 } { z } \left (z- \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } + \cdots \right ) \\&=1- \frac { z ^ { 2 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 4 } } { 5 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n } } { (2 n + 1) ! } + \cdots \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n } } { (2 n + 1) ! } \end {aligned} \]이고, 주부는 0이다.</p> <p>(b) \( f(z)= \frac {\sin z } { z ^ { 4 } } \)의 \( z=0 \)에 관한 Laurent 급수는 모든 \( z \neq 0 \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \frac {\sin z } { z ^ { 4 } } &= \frac { 1 } { z ^ { 4 } } \left (z- \frac { z ^ { 3 } } { 3 ! } + \frac { z ^ { 5 } } { 5 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n + 1 } } { (2 n + 1) ! } + \cdots \right ) \\&= \frac { 1 } { z ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 3 ! z } + \frac { z } { 5 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n-3 } } { (2 n + 1) ! } + \cdots \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \frac { z ^ { 2 n-3 } } { (2 n + 1) ! } \end {aligned} \]이고, 주부는 \( \frac { 1 } { z ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 3 ! z } \)이다.</p> <p>근판정법과 마찬가지로 \( L=1 \)이면 비판정법을 이용하여 수렴이나 발산을 판정할 수 없다. 예 2에 있는 두 급수에 대하여 모두 \( L=1 \)이다. 그러나 하나는 발산하고 다른 하나는 수렴하였다.</p> <p>예 6 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n ^ { i } } { (2 i) ^ { n } } \)에 대하여, 비판정법을 이용하면 \[L= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [ \frac {\frac { (n + 1) ^ { i } } { 2 i ^ { n + 1 } } } {\frac { n ^ { i } } { (2 i) ^ { n } } } \right ]= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac {\left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) ^ { i } } { 2 i } \right \|= \left \| \frac { 1 ^ { i } } { 2 i } \right \|= \frac { 1 } { 2 } \]이다. \( \|L\|= \frac { 1 } { 2 }<1 \)이므로, 이 급수는 수렴한다.</p> <h1>6.2 균등수렴</h1> <p>이 절에서는 항들이 복소함수인 함수열과 함수들의 급수에 대하여 다룬다. 각 양의 정수 \( n \)에 대하여 복소수의 집합 \( D \)에서 정의되는 복소함수 \( f_ { n } : D \rightarrow \mathbb { C } \) 이 존재하면, 이들의 열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)를 \( D \)에서 \( \mathbb { C } \)로의 함수열(sequence of functions)이라 한다.</p> <p>정의 6.1 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)를 \( D \)에서 \( \mathbb { C } \)로의 함수열이라 하고 \( E \subseteq D \)라 하자. 임의의 \( \epsilon>0 \)과 각 점 \( z \in E \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon, z) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \epsilon \]이 되는 양의 정수 \( N=N( \epsilon, z) \)이 존재하면, 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 집합 \( E \)에서 함수 \( f(z) \)로 수렴한다(converge) 또는 점별수렴한다(converges pointwise)라고 한다.</p> <p>(3) \[ \begin {aligned} f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z_ { 0 } } d \zeta & + \frac {\left (z-z_ { 0 } \right ) } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } } d \zeta \\& + \cdots + \frac {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n-1 } } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } d \zeta + R_ { n } \end {aligned} \]여기서 \[R_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta \]이다. (3)의 각 항에 Cauchy 적분공식을 적용하면 다음과 같이 된다.</p> <p>\[f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n-1) } \left (z_ { 0 } \right ) } { (n-1) ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n-1 } + R_ { n } \]</p> <p>이제 \( n \rightarrow \infty \)일 때, 나머지의 항 \( R_ { n } \rightarrow 0 \)임을 보이면 된다. \( f(z) \)는 \( D \)에서 연속이므로, \( C_ { 1 } \)에서 \( \|f(z)\| \leq M \)이라 할 수 있다. 그러면 (4) \[ \left \|R_ { n } \right \| \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int_ { C_ { 1 } } \left \| \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right \| ^ { n } \left \| \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } \right \|\|d \zeta\| \leq \frac { M } { 2 \pi } \left ( \frac { r } {\rho } \right ) ^ { n } \int_ { C_ { 1 } } \frac { 1 } { \| \zeta-z\| } \|d \zeta\| \]이다. 부등식 \[ \frac { 1 } { \| \zeta-z\| } = \frac { 1 } {\left \| \zeta-z_ { 0 } - \left (z-z_ { 0 } \right ) \right \| } \leq \frac { 1 } {\left \| \zeta-z_ { 0 } \right \|- \left \|z-z_ { 0 } \right \| } = \frac { 1 } {\rho-r } \]로부터 식 (4)는 다음과 같이 된다.</p> <p>함수열과 그들의 급수에 대한 적분과 미분에 관한 정리들을 소개한다. 다음 정리는 함수열에 대하여 적분의 극한과 극한의 적분에 관한 것이다.</p> <p>정리 6.13 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 등심선 \( C \)에서 연속인 함수열이고 \( C \)에서 \( f(z) \)로 균등수렴하면 다음이 성립한다.</p> <p>\( \lim _ { n \rightarrow \infty } \int_ { C } f_ { n } (z) d z= \int f_ { C } (z) d z \)</p> <p>증명 정리 6.7에 의하여 극한 \( f(z) \)는 \( C \)에서 연속이고, 따라서 적분 \( \int_ { C } f(z) d z \)가 존재한다. \( f_ { n } (z) \)는 \( C \)에서 연속이므로, 주어진 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \epsilon \]이 되는 양의 정수 \( N( \epsilon) \)이 존재한다. \( C \)의 길이를 \( L \)로 나타내면, \( n \geq N( \epsilon) \)일 때 \[ \begin {aligned} \left \| \int_ { C } f_ { n } (z) d z- \int_ { C } f(z) d z \right \| &= \left \| \int_ { C } \left [f_ { n } (z)-f(z) d z \right ] \right \| \\&= \int_ { C } \left \| \left [f_ { n } (z)-f(z) \right ] \right \|\|d z\|< \epsilon L \end {aligned} \]이다. 이는 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 성립하므로 결론을 얻는다.</p> <p>함수열의 적분에 관한 성질이 함수의 급수에 대한 적분에서도 성립한다. 이의 증명에 함수열의 적분에 관한 성질이 이용된다.</p> <p>정리 6.14 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 등심선 \( C \)에서 연속인 함수열이고 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)가 \( C \)에서 균등수렴하면, 다음이 성립한다.</p> <p>\( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \int_ { C } f_ { n } (z) d z \right )= \int \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \right ) d z \)</p> <p>다음 정리는 해석적인 함수들의 급수의 미분에 관한 것이다. 해석함수들을 미분한 도함수의 합은 해석함수들의 급수의 합을 미분한 것과 같다.</p> <p>정리 6.16 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 영역 \( D \)에서 해석함수들의 열이고 급수 \( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)가 \( D \)의 모든 유계폐부분집합에서 균등수렴하면, \( D \)의 모든 \( z \)에서 다음이 성립한다.</p> <p>\( f ^ {\prime } (z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { { n } ^ {\prime } } (z) \)</p> <p>증명 정리 6.15에 의하여 \( f(z) \)는 \( D \)에서 해석적이다. \( D \)의 한 점을 \( z \)라 하고 \( D \)에 포함되는 \( z \)의 한 근방을 \( N(z, \epsilon) \)이라 하자. \( C \)가 \( N(z, \epsilon) \)에 포함되는 임의의 단일폐등심선이면, 정리 5.18의 도함수에 관한 Cauchy 적분공식에 의하여 \[f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } d \zeta \]이다. 또한 각 \( n \)에 대하여 \[f_ { n } ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } d \zeta \]이다. \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)는 \( f(z) \)로 균등수렴하므로, \( C \)에 있는 \( \zeta \)에 대하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } \)는 \( \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } \)로 균등수렴한다. 따라서 정리 6.14를 이용하면 \[ \begin {aligned} f ^ {\prime } (z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } d \zeta &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } \right ) d \zeta \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { 2 } } d \zeta \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } ^ {\prime } (z) \end {aligned} \]를 얻는다.</p> <p>(b) \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z_ { 1 } ^ { n } \)이 발산한다고 하자. 그러면 \( \|z\|>\left \|z_ { 1 } \right \| \)인 임의의 \( z \)에서 수렴할 수 없다. 만약 \( z \)에서 수렴한다면 (a)에 의하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z_ { 1 } ^ { n } \)이 절대수렴하여야 하고, 따라서 수렴하여야 한다. 이는 가정에 모순이다.</p> <p>예 1 급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { z ^ { n } } { n } \)은 \( z=-1 \)에서 수렴하고 \( z=1 \)에서 발산한다. 따라서 정리 6.17에 의하여 이 급수는 \( \|z\|<1 \)에서 수렴하고 \( \|z\|>1 \)에서 발산한다.</p> <p>다음 정리는 거듭제곱급수가 수렴하는 점들의 집합과 발산하는 점들의 집합의 경계가 되는 원에 관한 것이다.</p> <p>정리 6.18 (Cauchy-Hadamarl 정리) 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)에 대하여, 계수의 수열 \( \left \{\left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } \right \} \)이 유계이면 \( \rho= \limsup \left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } \)이라 하고 유계가 아니면 \( \rho= + \infty \)라 하자. 그러면 \[R= \left \{\begin {array} { rc } \rho= + \infty \text { 이면 } & 0 \\0< \rho< + \infty \text { 이면 } & 1 / \rho \\ \rho=0 \text { 이면 } & + \infty \end {array} \right . \]로 정의되는 \( R \)에 대하여 급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \) 은 다음을 만족한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( \|z\|<R \)에서 절대수렴한다.</li> <li>\( \|z\| \leq r<R \)에서 균등수렴한다.</li> <li>\( \|z\|>R \)에서 발산한다.</li></ol> <p>증명 (a) 급수가 0이 아닌 모든 \( z \)에서 발산하면 \( R=0 \)이고, 모든 \( z \)에서 수렴하면 \( R= + \infty \)이다. \( 0<R< + \infty \)인 경우를 다룬다. 이제 \( 0<\|z\|<R \)이라 하면 \( \|z\|< \alpha R \)인 양수 \( \alpha<1 \)가 존재한다. 그러므로 \( \rho< \frac {\alpha } { \|z\| } \)이고, 따라서 충분히 큰 \( n \)에 대하여 \( \left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } }< \frac {\alpha } { \|z\| } \)이다. 이는 그러한 \( n \)에 대하여 \( \left \|a_ { n } z ^ { n } \right \|< \alpha ^ { n } \)과 동치이고, \( \alpha<1 \)이므로 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left \|a_ { n } z ^ { n } \right \| \)은 수렴한다.</p> <p>Weierstrass M-판정법이 거듭제곱급수로 전개할 수 있는 유일한 형태인 기하급수를 이용하여 함수열의 급수에 대한 균등수렴성을 논할 수 있게 해 준다.</p> <p>예 6 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)은 \( \|z\|<1 \)에서 절대수렴하고 \( \|z\| \leq r<1 \)에서 균등수렴함을 보여라.</p> <p>풀이 \( \|z\|<1 \)이므로 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|z ^ { n } \right \|= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \|z\| ^ { n } = \frac { \|z\| } { 1-\|z\| } \)이고, 따라서 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)은 절대수렴한다. 한편 \( \|z\| \leq r<1 \)에 대하여 \( M_ { n } =r ^ { n } \)이면 \( \|z\| ^ { n } \leq r ^ { n } \)이고, 정리 6.12의 Weierstrass M-판정법에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)은 \( \|z\| \leq r<1 \)에서 균등수렴한다.</p> <p>이제 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)이 \( \|z\|<1 \)에서 균등수렴하지 않음을 보인다.</p> <p>\[s_ { n } (z)= \sum_ { k=1 } ^ { n } z ^ { k } = \frac { z-z ^ { n + 1 } } { 1-z } \]이라 하면, 수열 \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)= \frac { z } { 1-z } \)로 점별수렴한다. 한편 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z ^ { n } \)이 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)= \frac { z } { 1-z } \)로 균등수렴한다고 가정하고 \( 0< \epsilon< \frac { 1 } { 3 } \)이라 하자. 그러면 \( \|z\|<1 \)인 모든 \( z \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|s_ { n } (z)-f(z) \right \|< \epsilon \]이 되는 양의 정수 \( N( \epsilon) \)이 존재하여야 한다. 이제 \( z=1- \frac { 1 } { n } \)로 놓으면 \[ \left \|s_ { n-1 } (z)-f(z) \right \|= \left \| \frac { z ^ { n } } { 1-z } \right \|=n \left (1- \frac { 1 } { n } \right ) ^ { n } \]이고, 충분히 큰 \( n \)에 대하여 \[ \left \|s_ { n } (z)-f(z) \right \|>\frac { n } { 3 } \]이다. 따라서 이 부분합의 열은 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않는다.</p> <p>정리 6.6 (비판정법) 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)에 대하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { z_ { n + 1 } } { z_ { n } } \right \|=L \]이 존재하면 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( L<1 \)이면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 수렴한다.</li> <li>\( L>1 \)이면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 발산한다.</li></ol> <p>증명 (a) \( L<r<1 \)인 \( r \) 에 대하여 \( \\ \) \(n \geq N \)이면 \( \quad \left \| \frac { z_ { n + 1 } } { z_ { n } } \right \|<r \) \( \\ \) 인 정수 \( N \)이 존재한다. 그러면 \( n \geq N \)에 대하여 \( \left \|z_ { n + 1 } \right \|<r \left \|z_ { n } \right \| \)이고, 양의 정수 \( m \)에 대하여 귀납적 논의가 \( \left \|z_ { N + m } \right \|<r ^ { m } \left \|z_ { N } \right \| \)임을 보여 준다. \( 0<r<1 \)이므로 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } r ^ { m } \)이 수렴하고, 비교판정법에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { n } \right \| \)도 수렴한다. 따라서 정리 6.4에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 수렴한다.</p> <p>(b) \( L>1 \) 이라 하자. \[n \geq N \text { 이면 } \quad \left \| \frac { z_ { n + 1 } } { z_ { n } } \right \|>1 \] 인 정수 \( N \)이 존재한다. 그러면 \( n \geq N \)에 대하여 \( \left \|z_ { n + 1 } \right \|>\left \|z_ { n } \right \| \)이고, 양의 정수 \( m \)에 대하여 귀납적 논의로 \( \left \|z_ { N + m } \right \|>\left \|z_ { N } \right \| \)임을 알 수 있다. 따라서 정리 6.3에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 발산한다.</p> <p>점별수렴의 정의에서 요구하는 양의 정수 \( N \)을 \( N( \epsilon, z) \)로 표기한 이유는 이 정수가 \( \epsilon \)과 점 \( z \)에 종속된다는 의미로 \( E \)의 각 점에 따라 달라질 수 있다는 것이다.</p> <p>예 1 (a) 함수 \( f_ { n } (z)=z ^ { n } \)이 \( \|z\|<1 \)에서 점별수렴함을 보이자. \( \left \|z ^ { n } \right \|=\|z\| ^ { n } \)이고, \( r=\|z\|<1 \)이라 하면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \|z ^ { n } \right \|=0 \)이다. 따라서 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 점별수렴한다.</p> <p>(b) 함수 \( f_ { n } (z)= \frac { 1 } { n z } \)로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( 0<\|z\|<1 \)에서 함수 \( f(z)=0 \)으로 점별수렴함을 보인다. \( 0< \left \|z_ { 0 } \right \|<1 \)인 임의의 점 \( z_ { 0 } \)를 택하자. \( \epsilon>0 \)이 주어지면 \( N \left ( \epsilon, z_ { 0 } \right )>\frac { 1 } { n \left \|z_ { 0 } \right \| } \)인 양의 정수 \( N \left ( \epsilon, z_ { 0 } \right ) \)에 대하여 \[n \geq N \left ( \epsilon, z_ { 0 } \right ) \text { 이면 } \quad \left \| \frac { 1 } { n z_ { 0 } } \right \|< \epsilon \] 이다. 따라서 \( f_ { n } (z)= \frac { 1 } { n z } \)로 주어진 함수열은 \( 0<\|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 점별수렴한다.</p> <p>점별수렴과는 달리 \( E \)의 모든 점에서 공통으로 적용할 수 있는 양의 정수 \( N \)이 존재하는 함수열이 있다.</p> <p>정의 6.2 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)를 \( D \)에서 \( \mathbb { C } \)로의 함수열이라 하고 \( E \subseteq D \)라 하자. 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \epsilon \]이 되는 양의 정수 \( N=N( \epsilon) \)이 존재하면, \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 집합 \( E \)에서 함수 \( f(z) \)로 균등 수렴한다(converge uniformly)라고 한다.</p> <p>먼저 수렴원의 내부에서 어떤 함수로 수렴하는 거듭제곱급수는 유일하다는 것을 보인다.</p> <p>정리 6.21 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)과 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } z ^ { n } \)이 \( \|z\|<R \)에서 동일한 함수 \( f(z) \)로 수렴하면, 모든 양의 정수 \( n \)에 대하여 \[a_ { n } =b_ { n } \]이다.</p> <p>증명 앞의 논의가 모든 \( k \)에 대하여 \( k ! a_ { k } =f ^ { (n) } (0)=k ! b_ { k } \)임을 말해주고 있다.</p> <p>앞에서 논한 거듭제곱급수의 계수와 정리 6.28로부터 다음을 얻는다.</p> <p>정리 6.22 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)은 \( \|z\|<R \)에서 어떤 함수 \( f(z) \)로 수렴한다. 그리고 \( \|z\|<R \)인 각 점 \( z \)에서 \( f(z) \)는 모든 계수의 도함수를 가지며, 거듭제곱급수의 계수들은 \[f ^ { (k) } (0)=k ! a_ { k } \]로부터 유일하게 결정된다.</p> <p>정리 6.22에 의하여 얻어진 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } z ^ { n } \]을 \( f(z) \)에 대한 Maclauin 급수전개(Maclaurin series expansion)라 하고 \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } (0) } { n ! } z ^ { n } \]으로 쓴다.</p> <p>예 1 (a) \( f(z)=e ^ { z } \)은 정함수이므로 모든 계수의 도함수가 존재한다. \( f ^ { (n) } (z)=e ^ { z } \)이고 \( f ^ { (n) } (0)=1 \)이므로, \( f(z)=e ^ { z } \)의 Maclaurin의 급수는 \[ \begin {aligned} e ^ { z } &=1 + z + \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \cdots + \frac { z ^ { n } } { n ! } + \cdots \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { z ^ { n } } { n ! } \quad(\|z\|< \infty) \end {aligned} \]이다.</p> <h2>거듭제곱급수의 합과 곱</h2> <p>\( \|z\|<R_ { 1 } \)에서 \( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)이고 \( \|z\|<R_ { 2 } \)에서 \( g(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } z ^ { n } \)인 두 거듭제곱급수의 합과 곱을 다음과 같이 정의한다.</p> <p>\[ \begin {aligned} f(z) & + g(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } + \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } z ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left (a_ { n } + b_ { n } \right ) z ^ { n } \\ f(z) g(z) &= \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \right ) \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } z ^ { n } \right ) \\ &= \left (a_ { 0 } + a_ { 1 } z + a_ { 2 } z ^ { 2 } + \cdots \right ) \left (b_ { 0 } + b_ { 1 } z + b_ { 2 } z ^ { 2 } + \cdots \right ) \\ &=a_ { 0 } b_ { 0 } + \left (a_ { 0 } b_ { 1 } + a_ { 1 } b_ { 0 } \right ) z + \left (a_ { 0 } b_ { 2 } + a_ { 1 } b_ { 1 } + a_ { 2 } b_ { 0 } \right ) z ^ { 2 } + \cdots \end {aligned} \]두 거듭제곱급수의 곱에서 \[c_ { k } =a_ { 0 } b_ { k } + a_ { 1 } b_ { k-1 } + \cdots + a_ { k } b_ { 0 } = \sum_ { m=0 } ^ { k } a_ { m } b_ { k-m } \]이라 하면 \[f(z) g(z)= \sum_ { k=0 } ^ {\infty } c_ { k } z ^ { k } \]로 쓸 수 있다. 이를 두 급수의 Cauchy 곱이라 한다.</p> <p>(c) \( f(z)= \sin \frac { 1 } { z } \)을 \( z=0 \)에 관한 Laurent 급수를 얻기 위하여 \( \sin z \)의 전개에서 \( z \)에 \( \frac { 1 } { z } \)을 대입하면, 모든 \( z \neq 0 \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \sin \frac { 1 } { z } &= \frac { 1 } { z } - \frac { 1 } { 3 ! z ^ { 3 } } + \frac { 1 } { 5 ! z ^ { 5 } } + \cdots + (-1) ^ { n-1 } \frac { 1 } { (2 n-1) ! z ^ { 2 n-1 } } + \cdots \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { (-1) ^ { n } } { (2 n + 1) ! } z ^ { -2 n-1 } \quad(\|z\|>0) \end {aligned} \]이고 해석부는 0이다.</p> <p>함수에 따라 한 점의 구멍 뚫린 근방에서 급수를 얻는 방법이 다를 수 있다. 다음 예를 보라.</p> <p>예 3 (a) \( f(z)= \frac { 1 } { z ^ { 2 } + 1 } = \frac { 1 } { (z-i)(z + i) } \)을 \( z=i \)의 구멍 뚫린 근방에서 성립하는 Laurent 급수를 구해보자.</p> <p>\[ \frac { 1 } { z + i } = \frac { 1 } { 2 i + (z-i) } = \frac { 1 } { 2 i \left (1 + \frac { z-i } { 2 i } \right ) } = \frac { 1 } { 2 i } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \left ( \frac { z-i } { 2 i } \right ) ^ { n } \]이고, 이는 \( 0< \left \| \frac { z-i } { 2 i } \right \|= \frac { \|z-i\| } { 2 }<1 \)에서 성립한다. 따라서 \[f(z)= \frac { 1 } { (z-i)(z + i) } = \frac { 1 } { (z-i) } \left [ \frac { 1 } { 2 i } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \left ( \frac { (z-i) } { 2 i } \right ) ^ { n } \right ] \] \[=- \sum_ { n=-1 } ^ {\infty } \left ( \frac { -1 } { 2 i } \right ) ^ { n + 2 } (z-i) ^ { n } =- \sum_ { n=-1 } ^ {\infty } \left ( \frac { i } { 2 } \right ) ^ { n + 2 } (z-i) ^ { n } \quad(0<\|z-i\|<2) \]이다.</p> <p>예 3 (a) \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이 \( a_ { n } =(-1) ^ { n } \left (1 + \frac { 1 } { n } \right ) \)로 정의된 수열이면, \( \limsup a_ { n } =1 \)이다.</p> <p>(b) \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이 \( a_ { n } =n ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \left ( \frac { 1 } { 2 } n \pi \right ) \)로 정의된 수열이면, \( \limsup a_ { n } = \infty \)이다.</p> <p>정리 6.13의 증명에 두 실수의 급수에 대한 비교판정법이 필요하다. 이는 다음과 같다. 어떤 양의 정수 \( K \)가 존재하여 \[n \geq K \text { 이면 } \quad 0 \leq x_ { n } \leq y_ { n } \]인 두 실수의 급수 \( \sum x_ { n } \)과 \( \sum y_ { n } \)에 대하여, \( \sum y_ { n } \)이 수렴하면 \( \sum x_ { n } \)도 수렴하고 \( \sum x_ { n } \)이 발산하면 \( \sum y_ { n } \)도 발산한다.</p> <p>정리 6.5 (근판정법) 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)에 대하여 \[ \limsup \left \|z_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } =L \]이 존재하면 다음이 성립한다.</p> <ol type=a start=1><li>\( L<1 \)이면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 수렴한다.</li> <li>\( L>1 \)이면 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 발산한다.</li></ol> <p>증명 (a) \( L<r<1 \)인 \( r \)에 대하여 \[n \geq N \text { 이면 } \quad \left \|z_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } }<r \]이 되는 정수 \( N \)이 존재한다. 그러면 \( n \geq N \)에 대하여 \( \left \|z_ { n } \right \|<r ^ { n } \)이고 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } r ^ { n } \)이 수렴하므로, 비교판정법에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { n } \right \| \)도 수렴한다. 따라서 정리 6.4에 의하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 수렴 한다.</p> <p>마찬가지로 Cauchy 판정법과 균등수렴의 정의를 결합하여 다음을 얻는다.</p> <p>정리 6.10 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 균등수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \[m, n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f_ { m } (z) \right \|< \epsilon \]인 정수 \( N=N( \epsilon) \)이 존재하는 것이다.</p> <p>증명 \( ( \Rightarrow) \) \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 균등수렴한다고 하자. 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \[m, n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \frac {\epsilon } { 2 } , \left \|f_ { m } (z)-f(z) \right \|< \frac {\epsilon } { 2 } \] 인 양의 정수 \( N=N( \epsilon) \)이 존재한다. 그러면 \[ \left \|f_ { n } (z)-f_ { m } (z) \right \| \leq \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< + \left \|f_ { m } (z)-f(z) \right \|< \frac {\epsilon } { 2 } + \frac {\epsilon } { 2 } = \epsilon \]이다.</p> <p>\( ( \Leftarrow) \) 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \( \\ \) (1) \[m, n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f_ { m } (z) \right \|< \epsilon \] 인 정수 \( N=N( \epsilon) \)이 존재한다고 하자. 그러면 각 \( z \in E \)에 대하여 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 Cauchy 수열이고, 따라서 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( f(z) \)로 점별수렴한다. (1)에서 \( n \geq N( \epsilon) \)이고 \( m \rightarrow \infty \)를 취하면 \[ \left \|f_ { n } (z)-f(z) \right \|< \epsilon \]이다. 이는 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 성립하므로, \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( E \)에서 균등수렴한다.</p> <p>정의에서 \( N=N( \epsilon) \)은 단지 \( \epsilon \)에만 종속된다는 의미이다. 다음 예에서 이를 확인하여라.</p> <p>예 2 함수 \( f_ { n } (z)=z ^ { n } \)으로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\| \leq r<1 \)에서 균등수렴한다. 이를 보이자. \( r<1 \)이라 하면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } r ^ { n } =0 \)이므로, 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad r ^ { n }< \epsilon \]이 되는 \( N( \epsilon) \)이 존재한다. \( \|z\| \leq r<1 \)이고 \( \left \|z ^ { n } \right \|=\|z\| ^ { n } \leq r ^ { n }< \epsilon \)이므로 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|z ^ { n } \right \|< \epsilon \]이 되어, 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\| \leq r<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴한다.</p> <p>점별수렴과 균등수렴의 정의에 의하여, 어떤 집합에서 균등수렴하는 함수열은 그 집합에서 점별수렴한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 다음을 예 1과 비교하여라.</p> <p>예 3 (a) 함수 \( f_ { n } (z)=z ^ { n } \)으로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\|<1 \)에서 균등수렴하지 않는다. 이를 보이자. \( \|z\|<1 \)에서 균등수렴한다고 가정하고 \( 0< \epsilon< \frac { 1 } { 3 } \)이라 하자. 그러면 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \|z ^ { n } \right \|< \epsilon \]이 되는 \( N( \epsilon) \)이 존재하여야 한다. \( z=1- \frac { 1 } { n } \)로 놓으면 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z ^ { n } = \frac { 1 } { e } \)이고, 충분히 큰 \( n \)에 대하여 \[ \left \|z ^ { n } \right \|>\frac { 1 } { 3 } \]이 된다. 따라서 이 함수열은 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않는다.</p> <p>\[ \left \|R_ { n } \right \| \leq \frac { M } { 2 \pi( \rho-r) } \left ( \frac { r } {\rho } \right ) ^ { n } \int_ { C_ { 1 } } \|d \zeta\|= \frac { M \rho } {\rho-r } \left ( \frac { r } {\rho } \right ) ^ { n } \] \( r< \rho \)이므로, \( n \rightarrow \infty \)일 때 \( \left ( \frac { r } {\rho } \right ) ^ { n } \rightarrow 0 \)이 되고 \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]와 같이 표현되어 정리가 증명되었다.</p> <p>정리 6.23과 정리 6.24에 의하면, \( f(z) \)가 \( z_ { 0 } \)에서 해석적이기 위한 필요충분조건은 원판 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq r \)에서 \( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \)이 되는 것이다. 따라서 해석함수들에 대한 급수전개들의 타당성이 보장된다.</p> <h1>6.5 Laurent 급수</h1> <p>Taylor 급수는 \( z_ { 0 } \)에서 해석적인 함수 \( f(z) \)를 \( z_ { 0 } \)의 어떤 근방에서 수렴하는 거듭제곱 급수로 표현할 수 있게 해 준다. 그러나 \( z_ { 0 } \)에서 해석적이 아닌 함수는 \( f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) \)가 존재하지 않아 Taylor 급수로 전개할 수 없다. 이러한 함수에 대하여 Laurent 급수라고 하는 다른 급수표현이 존재한다. 이 급수는 \( z-z_ { 0 } \)의 양의 거듭제곱과 음의 거듭제곱을 동시에 이용한다. 먼저 양의 거듭제곱과 음의 거듭제곱과의 관계에 대하여 알아보자. 만약 \( z_ { 0 } \)의 어떤 구멍 뚫린 근방에서 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \]인 급수가 존재하면, 양의 거듭제곱급수 부분인 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|=R_ { 2 } \)의 내부에서 어떤 해석함수 \( f_ { 1 } (z) \)로 수렴할 것이다. 한편 음의 거듭제곱 급수 부분인 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \]은 \( \frac { 1 } {\left (z-z_ { 0 } \right ) } \)에 관한 거듭제곱급수로 생각할 수 있고 이의 수렴반경이 \( R \)이면, 이 급수는 \( \frac { 1 } {\left \|z-z_ { 0 } \right \| }<R \), 즉 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|>\frac { 1 } { R } =R_ { 1 } \)에서 어떤 해석함수 \( f_ { 2 } (z) \)로 절대수렴할 것이다. 따라서 \( 0 \leq R_ { 1 }<R_ { 2 } \)이면, \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \]은 고리인 영역 \( R_ { 1 }< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \)인 모든 \( z \)에서 해석함수 \( f(z)=f_ { 1 } (z) + f_ { 2 } (z) \)로 수렴할 것이다.</p> <p>정리 6.3은 급수의 수렴에 대한 필요조건이다.</p> <p>예 2 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } =0, \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } =0 \) 이지만 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n } \)은 발산하고 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \)은 수렴한다.</p> <p>급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)에 대하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|z_ { n } \right \| \)이 수렴하면, 그 급수는 절대수렴한다(absolutely convergent)라고 한다.</p> <p>정리 6.4 절대수렴하는 급수는 수렴한다.</p> <p>증명 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)이 절대수렴하므로, 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \[n \geq N \text { 이면 } \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } \left \|z_ { k } \right \|< \epsilon \quad(p=1,2, \ldots) \]이 되는 정수 \( N \)이 존재한다. 삼각부등식에 의하여 \[ \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } z_ { k } \right \| \leq \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } \left \|z_ { k } \right \| \]이고, 정리 1.14에 의하여 결과를 얻는다.</p> <p>\( \left \{ a_ { n } \right \} \)을 음이 아닌 유계실수열이라 하자. 충분히 큰 모든 정수 \( n \)에 대하여 \( a_ { n } \leq u \)가 되는 \( u \)들 집합의 하한을 수열 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)의 상극한(limit superior)이라 하고, 이를 \( \limsup a_ { n } \)으로 표기한다. 만약 \( \left \{ a_ { n } \right \} \)이 유계가 아니면, 이의 상극한을 \( \infty \)로 정의한다.</p> <p>정리 6.16을 일반화해 보자. 각 양의 정수 \( k \)에 대하여 \[ \begin {aligned} f ^ { (k) } (z) &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } d \zeta \\f_ { n } ^ { (k) } (z) &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } d \zeta \end {aligned} \]이다. 또 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } \)는 \( C \)에 있는 \( \zeta \)에서 \( \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } \)로 균등수렴하므로, 정리 6.14에 의하여 \[ \begin {array} { l } f ^ { (k) } (z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } d \zeta= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \left ( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } \right ) d \zeta \\= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f_ { n } ( \zeta) } { ( \zeta-z) ^ { k + 1 } } d \zeta \right )= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } f_ { n } ^ { (k) } (z) \\ \end {array} \]이다.</p> <p>Cauchy 판정법을 함수의 급수에 적용하면 다음을 얻는다.</p> <p>정리 6.11 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)가 집합 \( E \)에서 균등수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( \epsilon>0 \)과 모든 \( z \in E \)에 대하여 \[n \geq N( \epsilon) \text { 이면 } \quad \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } f_ { k } (z) \right \|< \epsilon \quad(p=1,2, \ldots) \]인 정수 \( N=N( \epsilon) \)이 존재하는 것이다.</p> <p>증명 (2)로 정의된 함수열 \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)에 정리 6.10을 적용하면 결과를 얻는다.</p> <p>다음은 균등수렴과 절대수렴을 판정할 수 있는 정리이다. 특히 균등수렴의 판정에서 유용하다.</p> <p>정리 6.12 (Weierstrass M-판정법) \( \left \{ M_ { n } \right \} \)을 모든 \( z \in E \)와 각 \( n \)에 대하여 \( \left \|f_ { n } (z) \right \| \leq M_ { n } \)인 실수열이라 하자. 만일 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } M_ { n } \)이 수렴하면, \( \sum f_ { n } (z) \)는 집합 \( E \)에서 균등수렴하고, 또 절대수렴한다.</p> <p>증명 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \[n \geq N \text { 이면 } \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } M_ { k }< \epsilon \quad(p=1,2, \ldots) \]이 되는 정수 \( N \)이 존재한다. 한편 삼각부등식과 가정에 의하면 \[ \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } f_ { k } (z) \right \| \leq \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } \left \|f_ { k } (z) \right \| \leq \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } M_ { k }< \epsilon \]이다. 부분합의 열 \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)에 정리 6.10을 적용하고 또 비교판정법을 이용하면 균등수렴과 절대수렴을 각각 얻는다.</p> <p>(b) 예 1(d)에 정리 6.19를 적용하면 \( \|z\|<1 \)에 대하여 다음을 얻는다.</p> <p>\[ \begin {aligned} \frac { 1 } { z + 1 } &=1-z + z ^ { 2 } -z ^ { 3 } + \cdots + (-1) ^ { n } z ^ { n } + \cdots \\ &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } z ^ { n } \end {aligned} \]</p> <p>앞에서 논한 내용들을 \( z-z_ { 0 } \)에 관한 거듭제곱급수에 적용해 보자. \( z-z_ { 0 } \)에 관한 거듭제곱급수가 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \)에서 함수 \( f(z) \)로 수렴하면 \[f(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + a_ { 2 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + a_ { 3 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 3 } + \cdots \]로 쓸 수 있다. 그리고 이의 도함수들은 \[ \begin {array} { c } f ^ {\prime } (z)=a_ { 1 } + 2 a_ { 2 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + 3 a_ { 3 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + 4 a_ { 4 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 3 } + \cdots \\f ^ {\prime \prime } (z)=2 \cdot 1 a_ { 2 } + 3 \cdot 2 a_ { 3 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + 4 \cdot 3 a_ { 4 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \\f ^ {\prime \prime \prime } (z)=3 \cdot 2 \cdot 1 a_ { 3 } + 4 \cdot 3 \cdot 2 a_ { 4 } \left (z-z_ { 0 } \right ) + \cdots \\ \vdots \\f ^ { (k) } (z)=k ! a_ { k } + \frac { (k + 1) ! } { 1 ! } a_ { k + 1 } \left (z z_ { 0 } \right ) + \frac { (k + 2) ! } { 2 ! } a_ { k + 2 } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots \\ \vdots \end {array} \]이고, 이들의 수렴반경은 모두 같다. 여기에서 \( z=z_ { 0 } \)로 놓으면 \[f \left (z_ { 0 } \right )=a_ { 0 } , f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right )=a_ { 1 } , f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right )=2 ! a_ { 2 } , \ldots, f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right )=k ! a_ { k } , \ldots \]이고, 이러한 계수를 갖는 거듭제곱급수는 유일하다. 따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.</p> <p>정리 6.22에서 거듭제곱급수가 수렴원의 내부에서 해석함수를 표현하였다. 이제 이의 역을 논한다.</p> <p>정리 6.24 (Taylor의 정리) 함수 \( f(z) \)가 경계가 \( C \)인 영역 \( D \)에서 해석적이라 하자. 만일 \( z_ { 0 } \)가 \( D \)에 속하는 점이면 \[f(z)=f \left (z_ { 0 } \right ) + f ^ {\prime } \left (z_ { 0 } \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) + \frac { f ^ {\prime \prime } \left (z_ { 0 } \right ) } { 2 ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { 2 } + \cdots + \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \cdots \]이다. 이 급수는 \( D \)에 포함되는 최대원판 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \)에서 수렴한다.</p> <p>증명 중심이 \( z_ { 0 } \)이고 반지름이 \( \rho( \rho<R) \)인 원 \( C_ { 1 } \)을 만들자. \( z \)가 \( C_ { 1 } \) 내부에 있는 임의의 점이면, 정리 5.17의 Cauchy 적분공식에 의하여 \( \\ \) (1) \[f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta \]이다. 이제 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r \)이라 하면 \( r= \left \|z-z_ { 0 } \right \|< \left \| \zeta-z_ { 0 } \right \|= \rho \)이므로, \( \\ \)(2) \[ \frac { 1 } {\zeta-z } = \frac { 1 } {\zeta-z_ { 0 } - \left (z-z_ { 0 } \right ) } = \frac { 1 } {\zeta-z_ { 0 } } \frac { 1 } { 1- \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) } \] \[= \frac { 1 } {\zeta-z_ { 0 } } \left [1 + \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { 2 } + \cdots + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n-1 } + \sum_ { k=n } ^ {\infty } \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { k } \right ] \]이다. 한편 \[ \begin {aligned} \sum_ { k=n } ^ {\infty } \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { k } &= \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } \left [1 + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { 2 } + \cdots \right ] \\&= \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } \frac { 1 } { 1- \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } } = \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } \left ( \frac {\zeta-z_ { 0 } } {\zeta-z } \right ) \end {aligned} \]이므로, 식 (2)를 \[ \frac { 1 } {\zeta-z } = \frac { 1 } {\zeta-z_ { 0 } } \left [1 + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) + \cdots + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n-1 } + \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } \left ( \frac {\zeta-z_ { 0 } } {\zeta-z } \right ) \right ] \]로 쓸 수 있다. 이 식에 \( f( \zeta) \)를 곱하여 정리 6.14를 이용하면 식 (1)로부터 다음을 얻는다.</p> <p>정리 6.20 \(f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)과 \( g(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } b_ { n } z ^ { n } \)이 각각 \( \|z\|<R_ { 1 } \)과 \( \|z\|<R_ { 2 } \)에서 수렴한다고 하자. 그러면 \( f(z) + g(z) \)와 \( f(z) g(z) \)는 \( \|z\|<R= \min \left \{ R_ { 1 } , R_ { 2 } \right \} \)에서 수렴한다.</p> <p>증명 각 거듭제곱급수의 부분합을 \[s_ { n } (z)= \sum_ { k=0 } ^ { n } a_ { k } z ^ { k } , \quad t_ { n } (z)= \sum_ { k=0 } ^ { n } b_ { k } z ^ { k } \]이라 하면, \( \|z\|<R \)인 점 \( z \)에 대하여 \[f(z)= \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } (z), \quad g(z)= \lim _ { n \rightarrow \infty } t_ { n } (z) \]이다. 극한의 성질을 이용하면, \( \|z\|<R \)인 임의의 점 \( z \)에 대하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [s_ { n } (z) + t_ { n } (z) \right ]= \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } (z) + \lim _ { n \rightarrow \infty } t_ { n } (z)=f(z) + g(z) \]이고, \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left [s_ { n } (z) t_ { n } (z) \right ]= \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } s_ { n } (z) \right ) \left ( \lim _ { n \rightarrow \infty } t_ { n } (z) \right )=f(z) g(z) \]이다. \( z \)는 \( \|z\|<R \)인 임의의 점이므로, 두 거듭제곱급수의 합과 곱은 수렴반경이 \( R \)이다.</p> <p>함수열이 균등수렴하지 않음을 판정할 수 있는 도구가 필요하다.</p> <p>정리 6.8 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 균등수렴하지 않을 필요충분조건은 어떤 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \[ \left \|f_ { n_ { k } } \left (z_ { n } \right )-f \left (z_ { k } \right ) \right \| \geq \epsilon \]이 되는 부분함수열 \( \left \{ f_ { n_ { k } } (z) \right \} \)와 \( E \)의 수열 \( \left \{ z_ { k } \right \} \)가 존재하는 것이다.</p> <p>증명 이 결과의 증명은 균등수렴에 관한 정의를 부정함으로써 얻어진다. 자세한 증명은 독자에게 넘긴다.</p> <p>예 4 (a) 예 3(a)에서 \( 0< \epsilon< \frac { 1 } { 3 } \)에 대하여 \( n_ { k } =k, z_ { k } =1- \frac { 1 } { k } \)로 놓으면, 정리 6.8에 의하여 \( f_ { n } (z)=z ^ { n } \)으로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않는다.</p> <p>(b) 예 3(b)에서 \( 0< \epsilon<1 \)에 대하여 \( n_ { k } =k, z_ { k } = \frac { 1 } { k } \)이라 하면, 정리 6.8에 의하여 \( f_ { n } (z)= \frac { 1 } { n z } \)로 주어지는 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)는 \( 0<\|z\|<1 \)에서 \( f(z)=0 \)으로 균등수렴하지 않는다.</p> <p>정리 1.14의 Cauchy 판정법을 함수열의 각 점에 적용하여 점별수렴의 정의와 결합하면 다음과 같은 정리를 얻는다.</p> <p>정리 6.9 함수열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 점별수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( \epsilon>0 \)과 각 \( z \in E \)에 대하여 \[m, n \geq N( \epsilon, z) \text { 이면 } \quad \left \|f_ { n } (z)-f_ { m } (z) \right \|< \epsilon \]인 \( N=N \left ( \epsilon, z_ { 0 } \right ) \)이 존재하는 것이다.</p> <p>(b) \( f(z)= \cosh z \)에 대한 Maclaurin의 급수를 \( \cosh z= \cos (i z) \)와 예 1(c)를 이용하여 구한다.</p> <p>\( \cosh z= \cos (i z)=1- \frac { (i z) ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { (i z) ^ { 4 } } { 4 ! } - \cdots + (-1) ^ { n } \frac { (i z) ^ { 2 n } } { 2 n ! } + \cdots \)</p> <p>\[=1 + \frac { z ^ { 2 } } { 2 ! } + \frac { z ^ { 4 } } { 4 ! } - \cdots + \frac { z ^ { 2 n } } { (2 n) ! } + \cdots= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { z ^ { 2 n } } { (2 n) ! } \quad(\|z\|< \infty) \]이다.</p> <p>(c) \( f(z)= \frac { 1 + z ^ { 3 } } { 1 + z ^ { 2 } } \) 이면 \[ \begin {aligned} \left (1 + z ^ { 3 } \right ) \frac { 1 } { 1 + z ^ { 2 } } &= \left (1 + z ^ { 3 } \right ) \left (1-z ^ { 2 } + z ^ { 4 } -z ^ { 6 } + \ldots \right ) \\&= \left (1-z ^ { 2 } + z ^ { 4 } -z ^ { 6 } + \ldots \right ) + z ^ { 3 } \left (1-z ^ { 2 } + z ^ { 4 } -z ^ { 6 } + \ldots \right ) \\&=1-z ^ { 2 } + z ^ { 3 } + z ^ { 4 } -z ^ { 5 } -z ^ { 6 } + z ^ { 7 } - \ldots \quad(\|z\|<1) \end {aligned} \]이다.</p> <p>정리 6.25 \(f(z) \)가 \( z_ { 0 } \)와 \( 0 \leq R_ { 1 }<R_ { 2 } \)에 대한 한 영역 \( A= \left \{ z: R_ { 1 }< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \right \} \)에서 해석적이라 하자. 여기서 \( R_ { 1 } =0 \)이거나 \( R_ { 2 } = \infty \)일 수도 있다. 그러면 \( A \)의 모든 점 \( z \)에서 \( \\ \)(1) \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \]이 성립한다. 또 우변의 급수는 \( A \)에서 절대수렴하고 \( R_ { 1 }< \rho_ { 1 }< \rho_ { 2 }<R_ { 2 } \)인 임의의 집합 \( B= \left \{ z: \rho_ { 1 } \leq \left \|z-z_ { 0 } \right \| \leq \rho_ { 2 } \right \} \)에서 균등수렴한다. \( C \)가 고리 \( A \)에 포함되는 임의의 단일폐등심선이면, 이 급수의 계수는 다음과 같이 주어진다.</p> <p>(2) \[ \begin {aligned} a_ { n } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \zeta \quad(n=0,1,2, \ldots) \\b_ { n } &= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } f( \zeta) \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n-1 } d \zeta \quad(n=0,1,2, \ldots) \end {aligned} \]</p> <p>증명 Taylor 정리의 증명에서와 마찬가지로 Cauchy의 적분공식을 이용한다. 먼저 계수가 (2)로 정의된 \( a_ { n } \)과 \( b_ { n } \)인 급수가 \( B \)에서 균등수렴함을 보인다. 영역 \( A \)에 포함되는 단일폐등심선 \( C \)는 \( R_ { 1 }<r_ { 1 }< \rho_ { 1 }< \rho_ { 2 }<r_ { 2 }<R_ { 2 } \)인 \( C_ { 1 } : \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r_ { 1 } \), \( C_ { 2 } : \left \|z-z_ { 0 } \right \|=r_ { 2 } \)와 변형가능하므로, 변형정리 5.16에 의하여 \[ \begin {array} { r } a_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \zeta \\b_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 2 } } f( \zeta) \left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n-1 } d \zeta \end {array} \]이다. \( z \in B \)에 대한 Cauchy의 적분공식은 \[f(z)= \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 2 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta- \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta \]가 된다. Taylor 정리에서와 같이 \( C_ { 2 } \)에 있는 \( \zeta \)와 \( C_ { 2 } \) 내부에 있는 \( z \)에 대하여 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } {\zeta-z } &= \frac { 1 } {\zeta-z_ { 0 } - \left (z-z_ { 0 } \right ) } = \frac { 1 } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) \left (1- \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) } \\&= \frac { 1 } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { z-z_ { 0 } } {\zeta-z_ { 0 } } \right ) ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \end {aligned} \]이고, 이는 \( C_ { 2 } \)에서 균등수렴한다. \( f( \zeta) \)는 \( C_ { 2 } \)에서 유계이므로, 이 식에 \( \frac { f( \zeta) } { 2 \pi i } \)를 곱하고 항별로 적분하여 정리 6.14를 이용하면 \[ \begin {aligned} \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 2 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta &= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 2 } } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \zeta \right ) \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \end {aligned} \]이다. 여기서 \[a_ { n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 2 } } \frac { f( \zeta) } {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } d \zeta \quad(n=0,1,2, \ldots) \]이다. 이는 \( C_ { 2 } \)의 내부에서 수렴하고 이 보다 작은 원판에서 균등수렴하며, 특히 \( B \)에서 균등수렴한다. 같은 방법으로 \( C_ { 1 } \)에 있는 \( \zeta \)에 대하여 \[- \frac { 1 } {\zeta-z } = \frac { 1 } {\left (z-z_ { 0 } \right ) \left (1- \frac {\zeta-z_ { 0 } } { z-z_ { 0 } } \right ) } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac {\left ( \zeta-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n + 1 } } \]이고, 이는 \( C_ { 1 } \)에서 균등수렴한다. 따라서 \[ \begin {aligned} - \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } \frac { f( \zeta) } {\zeta-z } d \zeta &= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C_ { 1 } } f( \zeta) \cdot \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n-1 } d \zeta \right ) \frac { 1 } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \\&= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \end {aligned} \]이다. 이 급수는 \( C_ { 1 } \)의 외부에서 수렴하고, 이 보다 더 큰 원의 외부에서 균등수렴한다. 변형정리에 의하여 \( C_ { 1 } \)과 \( C_ { 2 } \)를 \( C \)로 대체할 수 있고 \( r_ { 1 } \)과 \( r_ { 2 } \)를 각각 \( R_ { 1 } \)과 \( R_ { 2 } \)에 임의로 가깝게 할 수 있으므로, (1)은 \( A \)의 모든 \( z \)에서 성립한다.</p> <h1>6.4 Maclaurin 급수와 Taylor 급수</h1> <p>이 절에서는 복소함수를 거듭제곱급수로 표현하는 방법을 소개한다. 그리고 이와 관련한 내용들을 다룬다.</p> <p>정리 6.19에 의하면 \( \|z\|<R \)에서 수렴하는 거듭제곱급수 \[f(z)=a_ { 0 } + a_ { 1 } z + a_ { 2 } z ^ { 2 } + a_ { 3 } z ^ { 3 } + \cdots \]은 도함수 \[f ^ {\prime } (z)=a_ { 1 } + 2 a_ { 2 } z + 3 a_ { 3 } z ^ { 2 } + 4 a_ { 4 } z ^ { 3 } + \cdots \]을 가지며 이들의 수렴반경은 동일하다. 또 정리 6.16에 의하여 이를 반복해도 같은 결과를 얻을 수 있다. 따라서 \[ \begin {array} { c } f ^ {\prime \prime } (z)=2 \cdot 1 a_ { 2 } + 3 \cdot 2 a_ { 3 } z + 4 \cdot 3 a_ { 4 } z ^ { 2 } + \cdots \\f ^ {\prime \prime \prime } (z)=3 \cdot 2 \cdot 1 a_ { 3 } + 4 \cdot 3 \cdot 2 a_ { 4 } z + \cdots \\ \vdots \\f ^ { (k) } (z)=k ! a_ { k } + \frac { (k + 1) ! } { 1 ! } a_ { k + 1 } z + \frac { (k + 2) ! } { 2 ! } a_ { k + 2 } z ^ { 2 } + \cdots \\ \vdots \end {array} \]이고, 이들의 수렴반경은 모두 같다. 여기에서 \( z=0 \)으로 놓으면 다음을 얻는다.</p> <p>\( f(0)=a_ { 0 } , f ^ {\prime } (0)=a_ { 1 } , f ^ {\prime \prime } (0)=2 ! a_ { 2 } , \ldots, f ^ { (k) } (0)=k ! a_ { k } , \ldots \)</p> <p>(b) \( f(z)= \frac { z } { z ^ { 2 } + 1 } = \frac { z } { (z-i)(z + i) } = \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { z-i } + \frac { 1 } { z + i } \right ) \)을 \( z=i \)의 구멍 뚫린 근방에서 성립하는 Laurent 급수를 구해보자. (a)를 이용하면 \[ \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1 } { 2 } \left ( \frac { 1 } { z-i } + \frac { 1 } { z + i } \right )= \frac { 1 } { 2 } \left [ \frac { 1 } { (z-i) } + \frac { 1 } { 2 i } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } \left ( \frac { z-i } { 2 i } \right ) ^ { n } \right ] \\&= \frac { 1 } { 2(z-i) } + i \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { i } { 2 } \right ) ^ { n + 2 } (z-i) ^ { n } \quad(0<\|z-i\|<2) \end {aligned} \]을 얻는다.</p> <p>다음 예는 영역에 따라 다른 Laurent 급수가 존재함을 보여준다.</p> <p>예 4 다음 함수를 \( z=2 \)와 \( z=3 \)에 관한 Laurent 급수를 구하여라. 또 다른 영역에서도 Laurent 급수를 구하여라.</p> <p>\( f(z)= \frac { 1 } { (z-2)(z-3) } \)</p> <p>풀이 (a) \( z=2 \)에 관한 \( f(z) \)의 Laurent 급수는 \[ \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1 } { (z-2)(z-3) } =- \frac { 1 } { (z-2)[1-(z-2)] } \\&=- \frac { 1 } { z-2 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (z-2) ^ { n } =- \sum_ { n=-1 } ^ {\infty } (z-2) ^ { n } \quad(0<\|z-2\|<1) \end {aligned} \]이다. 마찬가지로 \( z=3 \)에 관한 \( f(z) \)의 Laurent 급수는 \[ \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1 } { (z-2)(z-3) } = \frac { 1 } { [1 + (z-3)](z-3) } \\&= \frac { 1 } { (z-3) } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } (-1) ^ { n } (z-3) ^ { n } = \sum_ { n=-1 } ^ {\infty } (-1) ^ { n + 1 } (z-3) ^ { n } \quad(0<\|z-3\|<1) \end {aligned} \]이다.</p> <p>(b) \( \|z\| \leq r<R \)일 때, \( M_ { n } = \left \|a_ { n } \right \| r ^ { n } \)으로 놓으면, Weierstrass M-판정법에 의하여 이 급수는 균등수렴한다.</p> <p>(c) \( \|z\|>R=1 / \rho \)이면 \( \left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } >\frac { 1 } { \|z\| } \)이 되는 무수히 많은 \( n \)이 존재한다. 이는 그러한 \( n \)에 대하여 \( \left \|a_ { n } z ^ { n } \right \|>1 \)과 동치이고, 수열 \( \left \{ a_ { n } z ^ { n } \right \} \)은 0으로 수렴하지 않는다. 그러므로 정리 6.3에 의하여 이 급수는 발산한다.</p> <p>정리 6.18에서 정의한 수 \( R \)을 이 급수의 수렴반경(radius of convergence)이라 하고 원 \( \|z\|=R \)을 그 급수의 수렴원(circle of convergence)이라 한다. 거듭제곱급수는 항상 \( \|z\|=R \)의 내부에서 수렴하고 외부에서 발산한다. 그러나 원 \( \|z\|=R \)에서는 급수의 수렴이나 발산을 판정하기가 쉽지 않다.</p> <p>예 2 급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } z ^ { n } \)에 대하여 \( a_ { n } =1 \)이므로 \( R=1 \)이다. 따라서 이 급수는 \( \|z\|<1 \)에서 수렴하고 \( \|z\|>1 \)에서 발산한다. 또한 원 \( \|z\|=1 \) 위의 모든 점 \( z \)에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z ^ { n } =0 \)이 될 수 없으므로, 정리 6.3에 의하여 이곳에서 발산한다. 이 급수는 \( \|z\| \leq r<1 \)에서 균등수렴한다. 그러나 개원판 \( \|z\|<1 \)에서 균등수렴하지 않는다. 6.2절의 예 6을 보라.</p> <p>비판정법으로부터 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)에 대하여 \[ \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n } } { a_ { n + 1 } } \right \| \]이 존재하면, 이 극한값이 수렴반경 \( R \)이 된다.</p> <p>정리 6.23 거듭제곱급수 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]은 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \)에서 어떤 함수 \( f(z) \)로 수렴한다. 그리고 이 \( f(z) \)는 \( \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R \)의 각 점에서 모든 계수의 도함수를 가지며, 거듭제곱급수의 계수들은 \[f ^ { (k) } \left (z_ { 0 } \right )=k ! a_ { k } \]에 의하여 유일하게 결정된다.</p> <p>정리 6.23의 계수에 의하여 얻어진 \[ \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]을 \( z_ { 0 } \)에서 \( f(z) \)에 대한 Taylor 급수전개(Taylor series expansion)라 하고 \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { f ^ { (n) } \left (z_ { 0 } \right ) } { n ! } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } \]으로 쓴다.</p> <p>예 4 (a) \( f(z)=e ^ { z } \)을 \( z_ { 0 } =1-i \)에서 Taylor 급수로 전개해 보자. \( f ^ { (n) } (1-i)=e ^ { 1-i } \)이므로 \[ \begin {aligned} e ^ { z } &=e ^ { 1-i } + e ^ { 1-i } (z-1 + i) + \frac { e ^ { 1-i } } { 2 ! } (z-1 + i) ^ { 2 } + \ldots + \frac { e ^ { 1-i } } { n ! } (z-1 + i) ^ { n } + \ldots \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { e ^ { 1-i } } { n ! } (z-1 + i) ^ { n } \quad(\|z-1 + i\|< \infty) \end {aligned} \]이다.</p> <p>이제 함수열의 수렴에 관한 성질들을 함수의 급수에 적용해 보자. 함수들의 급수의 수렴에 관한 성질들은 이 급수의 부분합의 열을 이용하여 얻을 수 있다.</p> <p>\( D \)에서 정의되는 함수들의 열 \( \left \{ f_ { n } (z) \right \} \)에 의하여 생성된 복소함수들의 급수 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \]의 부분합 \( \\ \) (2) \[s_ { n } (z)= \sum_ { k=1 } ^ { n } f_ { k } (z) \] 의 열을 \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)라 하자. \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)가 수렴하는 모든 \( z \)의 집합 \( E \)에서 이의 극한이 \( f(z) \)이면, \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)는 \( E \)에서 \( f(z) \)로 수렴한다라고 한다. 그리고 이 급수의 극한이 존재하면, 급수의 기호 \[ \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \]를 이 극한을 나타내는 기호로 쓴다.</p> <p>예 5 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } z ^ { n } \)에 대하여 \( s_ { n } (z)= \sum_ { k=0 } ^ { n } z ^ { k } \)이고, \( \|z\|<1 \)에서 \( f(z)= \frac { 1 } { 1-z } \)이다.</p> <p>각 \( z \in E \)에 대하여 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \left \|f_ { n } (z) \right \| \)이 수렴하면, 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)는 절대수렴한다라고 한다. 또 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)의 부분합의 열 \( \left \{ s_ { n } (z) \right \} \)가 집합 \( E \)에서 \( f(z) \)로 균등수렴하면, 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } f_ { n } (z) \)는 \( E \)에서 \( f(z) \)로 균등수렴한다라고 한다.</p> <p>급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)에서 \( s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } z_ { k } \)로 주어지는 수열 \( \left \{ s_ { n } \right \} \)에 정리 1.14 Cauchy 판정법을 적용하면 다음을 얻는다.</p> <p>정리 6.2 급수 \( \sum_ { k=1 } ^ {\infty } z_ { k } \)가 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 \( \\ \) (1) \[m, n \geq N \text { 이면 } \quad \left \|s_ { m } -s_ { n } \right \|= \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { m } z_ { k } \right \|< \epsilon \] 이 되는 정수 \( N \)이 존재하는 것이다.</p> <p>(1)에서 \( m=n + p(p=1,2, \ldots) \)라 하면, 이를 \( \\ \) (2) \[n \geq N \text { 이면 } \quad \left \|s_ { n + p } -s_ { n } \right \|= \left \| \sum_ { k=n + 1 } ^ { n + p } z_ { k } \right \|< \epsilon \] 으로 쓸 수 있다.</p> <p>정리 6.3 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)이 수렴하면, \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z_ { n } =0 \)이다.</p> <p>증명 임의의 \( \epsilon>0 \)에 대하여 식 (2)에서 \( p=1 \)을 취하면 결과를 얻는다.</p> <p>정리 6.3은 발산의 판정에 자주 이용된다. \( \lim _ { n \rightarrow \infty } z_ { n } \neq 0 \)이면, 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } z_ { n } \)은 발산하기 때문이다.</p> <p>예 1 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { n } { 2 } i ^ { n + 1 } \)에 대하여 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { 2 } i ^ { n + 1 } \neq 0 \)이므로, 이 급수는 발산한다.</p> <p>(d) \( \|z\|>3 \)이면 \[ \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1 } { z-3 } - \frac { 1 } { z-2 } = \frac { 1 } { z \left (1- \frac { 3 } { z } \right ) } - \frac { 1 } { z \left (1- \frac { 2 } { z } \right ) } \\&= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 3 ^ { n } } { z ^ { n + 1 } } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 2 ^ { n } } { z ^ { n + 1 } } = \sum_ { n=- \infty } ^ { -1 } \left ( \frac { 1 } { 3 ^ { n + 1 } } - \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } \right ) z ^ { n } \end {aligned} \]이다.</p> <p>정리 6.32에서 Laurent 급수의 존재성을 증명하였다. 이제 이의 유일성을 보인다.</p> <p>정리 6.26 영역 \( A= \left \{ z: R_ { 1 }< \left \|z-z_ { 0 } \right \|<R_ { 2 } \right \} \)에서 해석적인 함수에 대한 Laurent 급수는 유일하다.</p> <p>증명 \( f(z) \)에 대한 한 Laurent 급수를 \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n } } \]이라 하자. 이 급수가 \( A \)에서 수렴하면, 이 급수는 \( A \)에 포함되는 원 \( C \)에서 균등수렴한다. 식의 양변에 임의의 정수 \( k \)에 대하여 \( \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { -k-1 } \)을 식의 양변에 곱하면 \[ \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k + 1 } } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n-k-1 } + \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { b_ { n } } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { n + k + 1 } } \]이고, 이것 역시 \( C \)에서 균등수렴한다. 이제 \( C \)를 따라서 항별로 적분하면 5.3절의 예 4에 의하여 \[ \int_ { C } \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { m } d z= \left \{\begin {array} { c } m \neq-1 \text { 이면 } 0 \\m=1 \text { 이면 } 2 \pi i \end {array} \right . \]이므로, \( k \geq 0 \)에 대하여 \( n=k \)인 경우를 제외하면 모두 0이 된다. 따라서 \[ \int_ { C } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k + 1 } } d z=2 \pi i a_ { k } \]가 되어 \[a_ { k } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } \frac { f(z) } {\left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { k + 1 } } d z \]이다. 마찬가지로, \( k \leq-1 \)이면 \( n=-k \)인 경우를 제외하면 모두 0이 되어 \[b_ { -k } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int_ { C } f(z) \left (z-z_ { 0 } \right ) ^ { -k-1 } d z \]이다. 이는 정리 6.25의 계수 (2)와 같고, 따라서 Laurent 급수의 유일성이 증명되었다.</p> <p>예 3 (a) 급수 \( \sum_ { n=1 } ^ {\infty } \frac { z ^ { n } } { n } \)에 대하여, \[R= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac { a_ { n + 1 } } { a_ { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \left \| \frac {\frac { 1 } { n + 1 } } {\frac { 1 } { n } } \right \|= \lim _ { n \rightarrow \infty } \frac { n } { n + 1 } =1 \]이므로, 이 급수의 수렴반경은 1이고 \( \|z\|<1 \)에서 수렴한다. 예 1을 보라.</p> <p>(b) 급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } n ^ { n } z ^ { n } \)은 0이 아닌 어떤 복소수에 대해서도 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } n ^ { n } z ^ { n } =0 \)이 아니므로 오직 \( z=0 \)에서만 수렴한다. 따라서 \( R=0 \)이다.</p> <p>거듭제곱급수의 항별 미분에 대하여 살펴본다. \( \|z\|<R \)에서 \( f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)이라 하자. 그러면 정리 6.7에 의하여 \( f(z) \)는 \( \|z\|<R \)에서 연속이고, 또 정리 6.15에 의하여 \( \|z\|<R \)에서 해석적이다.</p> <p>정리 6.19 \( \|z\|<R \)에서 수렴하는 거듭제곱급수 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)는 \( \|z\|<R \)에서 항별로 미분가능하고 \( \\ \) (1) \[f(z)= \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \text { 이면 } \quad f ^ {\prime } (z)= \sum_ { n=1 } ^ {\infty } n a_ { n } z ^ { n-1 } \]이다. 그리고 이들 두 급수의 수렴반경은 같다.</p> <p>증명 Cauchy-Hadamard의 정리 6.18에 의하여 \( \sum_ { n=0 } ^ {\infty } a_ { n } z ^ { n } \)은 \( \|z\| \leq r<R \)에서 \( f(z) \)로 균등수렴하고, 정리 6.16에 의하여 \( \|z\|<R \)에서 (1)을 얻는다. 이제 \( \lim _ { n \rightarrow \infty } \left (\|n\| ^ {\frac { 1 } { n } } \right )=1 \)이므로, 수열 \( \left \{\left \|n a_ { n } \right \| ^ {\frac { ! } { n } } \right \} \)이 유계이기 위한 필요충분조건은 \( \left \{\left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { ! } { n } } \right \} \)이 유계인 것이다. 또한 \[ \limsup \left ( \left \|n a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } \right )= \limsup \left ( \left \|a_ { n } \right \| ^ {\frac { 1 } { n } } \right ) \]이므로, 두 거듭제곱급수의 수렴반경은 같다.</p> <h1>제6장 무한급수</h1> <p>무한급수를 정의하고 이의 부분합의 열을 수열에 적용하여 급수의 수렴성을 논한다. 그리고 함수열과 함수의 급수, Taylor 급수들을 소개한다. 이들은 실수에서 소개한 것들과 매우 유사하다. 그리고 복소적분에서 특별히 중요한 Laurent 급수도 소개한다.</p> <h1>6.1 무한급수</h1> <p>무한급수는 형태상으로는 수열보다 다소 복잡하게 느껴질지 모르나 급수의 부분 합으로 이루어진 수열을 앞에서 다룬 성질에 적용하면 급수에 관한 여러 성질들을 손쉽게 얻을 수 있다.</p> <p>\( \left \{ z_ { n } \right \} \)이 복소수열일 때, \[ \sum_ { n = 1 } ^ {\infty } z_ { n } \] 을 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)에 의하여 생성된 무한급수(infinite series)라고 한다. 그리고 이 급수의 제 \( n \)항 까지의 합 \[ s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } z_ { n } \] 을 이 급수의 \( n \)번째 항까지의 부분합(partial sum)이라 한다. 부분합으로 구성되는 새로 운 수열 \( \left \{ s_ { n } \right \} \)의 극한 \( s \)가 존재하면, 이 급수는 수렴한다(convergent)라고 한다. 또한 극 한 \( s \)를 이 급수의 합(sum)이라 하고 \[ s= \sum_ { k=1 } ^ {\infty } z_ { n } \] 으로 쓴다. 또 수열 \( \left \{ s_ { n } \right \} \)이 수렴하지 않으면, 이 급수는 발산한다(divergent)라고 한다.</p> <p>정리 6.1 \( \left \{ z_ { n } \right \} \)을 각 \( n \)에 대하여 \( z_ { n } =x_ { n } + i y_ { n } \)으로 주어지는 복소수열이라 하자. \( \sum_ { k=1 } ^ {\infty } z_ { k } \)가 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( \sum_ { k=1 } ^ {\infty } x_ { k } \)와 \( \sum_ { k=1 } ^ {\infty } y_ { k } \)가 모두 수렴하는 것이다.</p> <p>증명 \( s_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } z_ { k } , k_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } x_ { k } , t_ { n } = \sum_ { k=1 } ^ { n } y_ { k } \)라 하면, 정리 1.7에 의하여 \( \left \{ s_ { n } \right \} \)이 수렴하기 위한 필요충분조건은 \( \left \{ k_ { n } \right \} \)과 \( \left \{ t_ { n } \right \} \)이 모두 수렴하는 것이다.</p> <p>(b) \( \|z\|<2 \)이면 \[ \begin {aligned} f(z)= \frac { 1 } { z-3 } - \frac { 1 } { z-2 } &=- \frac { 1 } { 3 \left (1- \frac { z } { 3 } \right ) } + \frac { 1 } { 2 \left (1- \frac { z } { 2 } \right ) } \\&=- \frac { 1 } { 3 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { z } { 3 } \right ) ^ { n } + \frac { 1 } { 2 } \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { z } { 2 } \right ) ^ { n } = \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \left ( \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } - \frac { 1 } { 3 ^ { n + 1 } } \right ) z ^ { n } \end {aligned} \]이다.</p> <p>(c) \( 2<\|z\|<3 \)이면 \[ \begin {aligned} f(z) &= \frac { 1 } { z-3 } - \frac { 1 } { z-2 } =- \frac { 1 } { 3 \left (1- \frac { z } { 3 } \right ) } - \frac { 1 } { z \left (1- \frac { 2 } { z } \right ) } \\&=- \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { z ^ { n } } { 3 ^ { n + 1 } } - \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 2 ^ { n } } { z ^ { n + 1 } } =- \sum_ { n=0 } ^ {\infty } \frac { 1 } { 3 ^ { n + 1 } } z ^ { n } - \sum_ { - \infty } ^ { -1 } \frac { 1 } { 2 ^ { n + 1 } } z ^ { n } \end {aligned} \]이다.</p>	자연
사범대생을 위한 대수학_아이디얼과 잉여환, 환 동형정리	<h1>6.4 환의 직접합(직합)</h1> <p>이 절에서는 여러 개의 환을 확장하여 새로운 환을 만드는 방법에 대하여 논한다.</p> <p>정리 \(6.4.1 \) 환 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)의 Cartesian 곱 \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \) 의 원소 \( \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ), \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) \)에 관한 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의하자. \[ \begin {aligned} \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) + \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) & = \left (a_ { 1 } + b_ { 1 } , \cdots, a_ { n } + b_ { n } \right ) \\ \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) &= \left (a_ { 1 } b_ { 1 } , \cdots, a_ { n } b_ { n } \right ) \end {aligned} \] 그러면, 다음이 성립한다. \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)은 환이다. ※ 이 환을 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)의 (외부)직접곱(직적)(direct product) 또는 (외부)직접합(직합)(direct sum)이라 한다. ※이 환을 \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } = \prod_ { i=1 } ^ { n } R_ { i } \) 또는 \( R_ { 1 } \oplus \cdots \oplus R_ { n } = \oplus_ { i=1 } ^ { n } R_ { i } \)라 표기한다.</p> <p>(증명) 정리 \(3.4.1 \)에서 가환군이 되므로 곱셈에 대해서만 보이면 된다. 임의의 \( a_ { i } , b_ { i } \in R_ { i } \)에 대하여 \( a_ { i } b_ { i } \in R_ { i } \)이므로 곱셈이 잘 정의된다. 곱셈에 대한 분배법칙과 결합법칙이 성립하는 것은 쉽게 증명할 수 있으므로 각자 해볼 것.</p> <p>\((2) \) \( \alpha \in F \)가 \( f(x) \)의 근이면, \((1) \)에 의하여 \[ f \left ( \alpha ^ { p } \right )=f( \alpha) ^ { p } =0 ^ { p } =0 \] 이므로 \( \alpha ^ { p } \)도 \( f(x) \)의 근이다. 그러면 다시 \((1) \)에 의하여 \(0=f \left ( \left ( \alpha ^ { p } \right ) ^ { p } \right )=f \left ( \alpha ^ { p ^ { 2 } } \right ) \)이다. 따라서 \( \alpha ^ { p ^ { 2 } } \)도 \( f(x) \)의 근이다. 귀납적으로 \( \alpha ^ { p ^ { i } } (i=0,1,2, \cdots) \)은 \( f(x) \)의 근임을 보일 수 있다.</p> <p>예 \(6.3.14 \) 다항식환 \( \mathbb { Z } _ { 5 } [x] \)에서 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( (x + 1) ^ { 5 } =x ^ { 5 } + 1, \quad(2 x-3) ^ { 5 } =2 x ^ { 5 } -3 \)</li> <li>\( (2 x + 3) ^ { 10 } = \left ((2 x + 3) ^ { 5 } \right ) ^ { 2 } = \left (2 x ^ { 5 } + 3 \right ) ^ { 2 } =4 x ^ { 10 } + 2 x ^ { 5 } + 4 \)</li></ol></p> <p>예 \(6.3.15 \) 표수가 \(2 \)인 체 \( F \)의 소체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 다항식 \( f(x)=x ^ { 3 } + x + 1 \in \mathbb { Z } _ { 2 } [x] \)에 대하여 원소 \( \alpha \in F \)가 \( f(x) \)의 근일 때, \( F \)에서 \( f(x) \)를 인수분해하라.</p> <p>(풀이) 정리 \(6.3.13 \)에 의하여 \( \alpha, \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 ^ { 2 } } \in F \)은 \( f(x) \)의 근이다. 또한 \( f(0) \neq 0, f(1) \neq 0 \)이므로 \( \alpha \neq 0,1 \)이다. \( \alpha ^ { 3 } = \alpha + 1 \)에서 \[ \alpha ^ { 4 } = \alpha ^ { 2 } + \alpha \] 이므로, \( \alpha, \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 4 } \)은 \( f(x) \)의 서로 다른 세 근이다. 따라서 \( f(x) \)는 다음과 같이 인수분해된다. \[ f(x)=(x- \alpha) \left (x- \alpha ^ { 2 } \right ) \left (x- \alpha ^ { 4 } \right )=(x- \alpha) \left (x- \alpha ^ { 2 } \right ) \left (x- \alpha ^ { 2 } - \alpha \right ) \]</p> <p>임용시험 출제 \(6.3.16 \) [ \(2013 \)학년도] 다음 중에서 옳은 것을 모두 골라라.<ol type=1 start=1><li>환 \( \mathbb { Z } _ { n } \)의 \(0 \)이 아닌 원소 \( a \)가 영인자(zero divisor)이면 \( a \)는 단원(unit)이 아니다.</li> <li>정역(integral domain) \( R \)의 표수(characteristic) \( n \)이 양수이면 \( n \)은 소수이다.</li> <li>다항식 \( x ^ { 7 } + 9 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 2 } -15 x + 12 \)는 \( \mathbb { Q } [x] \)에서 기약(irreducible)이다.</li></ol></p> <p>문제 \(6.4.3 \) 두 환 \( R, R ^ {\prime } \)에 대하여 다음을 증명하라. \[ R \times R ^ {\prime } \cong R ^ {\prime } \times R \] 따라서 직합의 곱의 순서가 바뀌어도 대수적 구조는 변하지 않는다. 그러므로 대수학에서 직합의 순서가 바뀌어도 같은 대수적 구조로 간주한다.</p> <p>정리 \(6.4.4 \) 환 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \) 이 단위원을 가진 환일 때, 다음이 성립한다.<ol type = 1 start=1><li>\( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)은 단위원을 가진 환이다.</li> <li>단원군은 \( U \left (R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \right )=U \left (R_ { 1 } \right ) \times \cdots \times U \left (R_ { n } \right ) \)이다.</li></ol></p> <p>(증명) \((1) \) 환 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)이 단위원을 각각 \( 1_ { 1 } , \cdots 1_ { n } \)이라고 하자. 임의의 원소 \( \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \in R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)에 대하여 \[ \begin {array} { l } \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \left (1_ { 1 } , \cdots, 1_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } 1_ { 1 } , \cdots, a_ { n } 1_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \\ \left (1_ { 1 } , \cdots, 1_ { n } \right ) \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right )= \left (1_ { 1 } a_ { 1 } , \cdots, 1_ { n } a_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \end {array} \] 이므로 \( \left (1_ { 1 } , \cdots, 1_ { n } \right ) \)은 \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)의 단위원이다.</p> <p>예 \(6.4.9 \) 위수 \(24 \)인 가환환 \( \mathbb { Z } _ { 4 } \times \mathbb { Z } _ { 6 } \)의 모든 아이디얼을 구하면 다음과 같은 \(12 \)개가 존재한다(연습문제 \(3 \) 번 참조). \[ \begin {array} { cccc } \{ 0 \} \times \{ 0 \} , & \{ 0 \} \times \langle 2 \rangle ^ {\prime } , & \{ 0 \} \times \langle 3 \rangle ^ {\prime } , & \{ 0 \} \times \mathbb { Z } _ { 6 } , \\ \langle 2 \rangle ^ {\prime } \times \{ 0 \} , & \langle 2 \rangle ^ {\prime } \times \langle 2 \rangle ^ {\prime } , & \langle 2 \rangle ^ {\prime } \times \langle 3 \rangle ^ {\prime } , & \langle 2 \rangle ^ {\prime } \times \mathbb { Z } _ { 6 } , \\ \mathbb { Z } _ { 4 } \times \{ 0 \} , & \mathbb { Z } _ { 4 } \times \langle 2 \rangle ^ {\prime } , & \mathbb { Z } _ { 4 } \times \langle 3 \rangle ^ {\prime } , & \mathbb { Z } _ { 4 } \times \mathbb { Z } _ { 6 } , \end {array} \] 그리고 다음이 성립한다. \[ \left ( \mathbb { Z } _ { 4 } \times \mathbb { Z } _ { 6 } \right ) / \left ( \mathbb { Z } _ { 4 } \times \langle 3 \rangle ^ {\prime } \right ) \cong \left ( \mathbb { Z } _ { 4 } / \mathbb { Z } _ { 4 } \right ) \times \left ( \mathbb { Z } _ { 6 } / \{ 0,3 \} \right ) \cong \{ 0 \} \times \mathbb { Z } _ { 3 } \cong \mathbb { Z } _ { 3 } \]</p> <p>정리 \(6.5.19 \) 체 \( F \) 위의 다항식환 \( F[x] \)의 다항식 \( 0 \neq p(x) \in F[x] \)에 대해 다음이 성립한다.</p> <p>\( p(x) \)가 기약다항식이고 \( p(x)\|f(x) g(x) \quad \Longrightarrow \quad p(x)\| f(x) \) 또는 \( p(x) \mid g(x) \)</p> <p>(증명) \( p(x) \)가 기약다항식이므로 정리 \(6.5.18 \)에 의하여 \( \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \) 는 \( F[x] \)의 극대 아이디얼이다. 그러면 따름정리 \(6.5.13 \)에 의해서 \( \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \)는 \( F[x] \)의 소 아이디얼이다. 그러므로 \[ f(x) g(x) \in \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \Longrightarrow f(x) \in \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \text { 또는 } g(x) \in \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \]이다. 따라서 적당한 다항식 \( h(x), k(x) \in F[x] \)가 존재해서 \[ f(x) = h(x) p(x) \text { 또는 } g(x)=k(x) p(x) \quad \Longrightarrow \quad p(x) \mid f(x) \text { 또는 } p(x) \mid g(x) \] 이다.</p> <p>예 \( 6.5.20 \) 체 위에서의 다항식환에서 기약다항식에 관한 성질을 살펴 보자.</p> <p>\((1) \) 체 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Z } _ { 2 } [x] \)에서 \( p(x)=x ^ { 3 } + x + 1 \)는 기약다항식이다.</p> <p>실제로 \( p(0)=1 \neq 0, p(1)=1 \neq 0 \)이므로 \( p(x) \)는 \( \mathbb { Z } _ { 2 } \)위에서 기약다항식이다(정리 \(5.6.4 \)). 그러면 \( \mathbb { Z } _ { 2 } [x] / \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \)는 체가 된다. 이 체는 \(8 \)개의 원소를 가진 체이다. \( \alpha=x + \langle p(x) \rangle ^ {\prime } \)라 하면 \( \alpha ^ { 3 } + \alpha + 1=0 \)이다. 원소를 원소 나열법으로 표현하면 다음과 같다. \[ \mathbb { Z } _ { 2 } [x] / \langle p(x) \rangle ^ {\prime } = \left \{ 0,1, \alpha, \alpha + 1, \alpha ^ { 2 } , \alpha ^ { 2 } + 1, \alpha ^ { 2 } + \alpha, \alpha ^ { 2 } + \alpha + 1 \right \} , \quad \text { 단, } \alpha ^ { 3 } + \alpha + 1=0 \]</p> <p>덧셈과 곱셈 연산의 예는 다음과 같다. \( \operatorname { char } \left ( \mathbb { Z } _ { 2 } \right )=2 \)이고 \( 1=-1 \)임을 활용한다. \[ \begin {aligned} ( \alpha + 1) + \left ( \alpha ^ { 2 } + 1 \right ) &= \alpha ^ { 2 } + \alpha, \\ ( \alpha + 1) \left ( \alpha ^ { 2 } + 1 \right ) &= \alpha ^ { 3 } + \alpha + \alpha ^ { 2 } + 1=( \alpha + 1) + \alpha + \alpha ^ { 2 } + 1= \alpha ^ { 2 } \end {aligned} \]</p> <p>(2) 유리수체 \( \mathbb { Q } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { Q } [x] \)에서 기약다항식 \( x ^ { 2 } -2 \)를 생각하자(Eisenstein 기약 판정). \( \mathbb { Q } [x] / \left \langle x ^ { 2 } -2 \right \rangle ^ {\prime } \)는 체가 되고 \( \sqrt { 2 } =x + \left \langle x ^ { 2 } -2 \right \rangle ^ {\prime } \)라 하면 \( \sqrt { 2 } ^ { 2 } -2=0 \)이다. 원소는 다음과 같다. \[ \mathbb { Q } [x] / \left \langle x ^ { 2 } -2 \right \rangle ^ {\prime } = \{ a + b \sqrt { 2 } \mid a, b \in \mathbb { Q } \} \]</p> <p>(3) 실수체 \( \mathbb { R } \) 위의 다항식환 \( \mathbb { R } [x] \)에서 기약다항식 \( x ^ { 2 } + 1 \)을 생각하자. \( \mathbb { R } [x] / \left \langle x ^ { 2 } + 1 \right \rangle ^ {\prime } \)는 체가 되고 \( i=x + \left \langle x ^ { 2 } + 1 \right \rangle ^ {\prime } \)라 하면 \( i ^ { 2 } + 1=0 \)이다. 원소는 다음과 같다. \[ \mathbb { R } [x] / \left \langle x ^ { 2 } + 1 \right \rangle ^ {\prime } = \left \{ a + b x + \left \langle x ^ { 2 } + 1 \right \rangle ^ {\prime } \mid a, b \in \mathbb { R } \right \} = \{ a + b i \mid a, b \in \mathbb { R } \} = \mathbb { C } \]</p> <p>\(7 \). 정수환 \( \mathbb { Z } \)에서 \( I, J \)가 \( \{ 0 \} \)이 아닌 서로 다른 소 아이디얼일 때, \( I \cap J \)는 \( \mathbb { Z } \)의 소 아이디얼이 아님을 보여라.</p> <p>\(8 \). 단위원 \(1 \)을 가진 가환환 \( R \)에서 \( P( \neq R) \)가 \( R \)의 아이디얼일 때, \( P \)가 \( R \)의 소 아이디얼이기 위한 필요충분조건은 \( S=R-P \)가 \( R \)의 곱셈집합인 것임을 보여라.</p> <p>\(9 \). 소수 \( p \)에 대하여 \( S= \mathbb { Z } -p \mathbb { Z } \)이라 하고 \[ \mathbb { Q } _ { p } = \left \{\frac { a } { s } \in \mathbb { Q } \mid a \in \mathbb { Z } , s \in S \right \} , \quad M= \left \{\frac { b } { s } \in \mathbb { Q } \mid b \in p \mathbb { Z } , s \in S \right \} \] 이라고 할 때, \( \mathbb { Q } _ { p } \)는 유리수체 \( \mathbb { Q } \)의 부분환이다.<ol type=1 start=1><li>\( M \)은 가환환 \( \mathbb { Q } _ { p } \)의 극대 아이디얼임을 보여라.</li> <li>\( U \left ( \mathbb { Q } _ { p } \right )= \mathbb { Q } _ { p } -M \)이고, 또 \( \mathbb { Q } _ { p } \)의 극대 아이디얼은 \( M \) 뿐임을 보여라.</li></ol></p> <p>\(10 \). 환 \( R \)가 단항 아이디얼 정역일 때, \( P( \neq \{ 0 \} ) \)가 \( R \)의 소 아이디얼이면 \( P \)는 \( R \)의 극대 아이디 얼임을 보여라. (정리 \(7.2.6 \)을 사용하지 말고 소 아이디얼과 극대 아이디얼의 정의를 이용하여 증명할 것)</p> <p>\(11 \). \( N \)이 환 \( R \)의 극대 아이디얼이기 위한 필요충분조건은 \( R / N \)이 단순환임을 보여라.</p> <p>\(12 \). 환 \( R \)에서 체 \( F \)로의 환준동형사상 \( \phi: R \rightarrow F \)가 전사이면, \( \operatorname { ker } ( \phi) \)는 \( R \)의 극대 아이디얼임을 보여라.</p> <p>\(13 \). 환 \( R \)이 단위원 \(1 \)을 가진 가환환일 때, \( R \)의 소 아이디얼 \( P \)에 대하여 잉여환 \( R / P \)가 유한환이면, \( P \)는 \( R \)의 극대 아이디얼임을 보여라.</p> <p>정리 6.4.2 환 \( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)의 직합 \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)에 대하여 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)이 모두 유한환이면, \( \left \|R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \right \|= \left \|R_ { 1 } \right \| \cdots \left \|R_ { n } \right \| \)</li> <li>\( R_ { 1 } , \cdots, R_ { n } \)이 모두 가환환이면, \( R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)은 가환환</li> <li>\( H_ { 1 }<R_ { 1 } , \cdots, H_ { n }<R_ { n } \)이면, \( H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n }<R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)</li> <li>\( H_ { 1 } \triangleleft R_ { 1 } , \cdots, H_ { n } \triangleleft R_ { n } \)이면, \( H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \triangleleft R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)</li></ol></p> <p>(증명) 정리 3.4.2에서 군에 대한 성질은 만족하므로 곱셈에 대한 것만 증명한다. (1) (2) 정의에 의하여 정리가 성립한다. (3) 임의의 \( \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ), \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right ) \in H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \) 에 대하여 \[ \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \left (b_ { 1 } , \cdots, b_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } b_ { 1 } , \cdots, a_ { n } b_ { n } \right ) \in H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \] 이다. 그러므로 부분환 판정조건(정리 5.2.12)에 의하여, \( H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n }<R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \) 이다. (4) 임의의 \( \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \in H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \)와 임의의 \( \left (r_ { 1 } , \cdots, r_ { n } \right ) \in R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)에 대하여, \( H_ { 1 } \triangleleft R_ { 1 } , \cdots, H_ { n } \triangleleft R_ { n } \)이므로 \[ \begin {array} { l } \left (r_ { 1 } , \cdots, r_ { n } \right ) \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right )= \left (r_ { 1 } a_ { 1 } , \cdots, r_ { n } a_ { n } \right ) \in H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \\ \left (a_ { 1 } , \cdots, a_ { n } \right ) \left (r_ { 1 } , \cdots, r_ { n } \right )= \left (a_ { 1 } r_ { 1 } , \cdots, a_ { n } r_ { n } \right ) \in H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \end {array} \] 이다. 따라서 \( H_ { 1 } \times \cdots \times H_ { n } \triangleleft R_ { 1 } \times \cdots \times R_ { n } \)이다.</p> <p>연 습 문 제 ( \(6.5 \))</p> <p>\(1 \). 다음 환의 소 아이디얼과 극대 아이디얼을 구하라.<ol type = 1 start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 6 } \)</li> <;i>\( \mathbb { Z } _ { 12 } \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 2 } \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 2 } \times \mathbb { Z } _ { 4 } \)</li></ol></p> <p>\(2 \). \( R= \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \)에서 다음 물음에 답하라.<ol type=1 start=1><li>\( M= \mathbb { Z } \times p \mathbb { Z } (p \)는 소수)는 \( R \)의 극대 아이디얼이 됨을 증명하라.<.li> <li>\( R \)에서 극대 아이디얼이 아닌 소 아이디얼을 구하라.</li></ol></p> <p>\(3 \). 다음 잉여환이 체가 되는 상수 \( c \)를 모두 구하라.<ol type=1 start=1><li>\( \mathbb { Z } _ { 3 } [x] / \left \langle x ^ { 2 } + c \right \rangle ^ {\prime } \)</li> <li>\( \mathbb { Z } _ { 5 } [x] / \left \langle x ^ { 2 } + c x + 1 \right \rangle ^ {\prime } \)</li></ol></p> <p>\(4 \). 유리수체 \( \mathbb { Q } \)에 대하여 \( \mathbb { Q } [x] / \left \langle \frac { x ^ { 4 } } { 3 } -x + 1 \right \rangle ^ {\prime } \)은 체임을 보여라.</p> <p>\(5 \). 체 \( F \) 위의 다항식환 \( F[x] \)에 대하여 다음 물음에 답하라.<ol type=1 start=1><li>\( \langle x \rangle ^ {\prime } \) 는 \( F[x] \) 의 극대 아이디얼임을 보여라.</li> <li>\( \langle x \rangle ^ {\prime } \) 가 아닌 \( F[x] \) 의 또 다른 극대 아이디얼을 구하라.</li> <li>\( F[x] \) 의 모든 비자명 소 아이디얼은 극대 아이디얼임을 보여라.</li></ol></p> <p>\(6 \). 다항식환 \( \mathbb { Z } [x] \)에서 \( I= \{ 2 a + x g(x) \mid a \in \mathbb { Z } , g(x) \in \mathbb { Z } [x] \} \)는 \( \mathbb { Z } [x] \)의 극대 아이디얼이고 \( \langle x \rangle ^ {\prime } \)은 극대 아이디얼이 아님을 보여라.</p> <p>문제 \( 6.5.5 \) 정수환 \( \mathbb { Z } \)의 아이디얼 \( p \mathbb { Z } \)가 극대 아이디얼이면, \( p \)가 소수임을 보여라.</p> <p>예 \(6.5.6 \) 소 아이디얼이지만 극대 아이디얼이 아닌 예를 살펴보자.</p> <p>\((1) \) 가환환 \( \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \)의 아이디얼 \( \mathbb { Z } \times \{ 0 \} \)은 \( \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \)의 소 아이디얼이지만 극대 아이디얼이 아니다.</p> <p>실제로 \[ \mathbb { Z } \times \{ 0 \}< \mathbb { Z } \times 2 \mathbb { Z }< \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \] 이 되어 극대 아이디얼이 아니다. 하지만 \( (a, b)(c, d) = (a c, b d) \in \mathbb { Z } \times \{ 0 \} \)이라 하면 \( b d=0 \)이므로 \[ (a, b)=(a, 0) \in \mathbb { Z } \times \{ 0 \} \text { 또는 } (c, d)=(c, 0) \in \mathbb { Z } \times \{ 0 \} \]이다. 따라서 \( \mathbb { Z } \times \{ 0 \} \)은 \( \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } \)의 소 아이디얼이지만 극대 아이디얼이 아니다.</p> <p>\((2) \) 가환환 \( \mathbb { Z } _ { 6 } \)의 아이디얼 \( \{ 0 \} \)은 극대 아이디얼도 아니고 소아이디얼도 아니다. 왜냐하면 \[ \{ 0 \}<2 \mathbb { Z } _ { 6 }< \mathbb { Z } _ { 6 } \] 이므로 영아이디얼 \( \{ 0 \} \)은 극대 아이디얼이 아니다. 다음에 \[ 2 \cdot 3 \in \{ 0 \} \text { 이지만, } 2 \notin \{ 0 \} \text { 이고 } 3 \notin \{ 0 \} \] 이므로 \( \{ 0 \} \)은 \( \mathbb { Z } _ { 6 } \)의 소 아이디얼이 아니다.</p> <p>예 \(6.5.7 \) 극대 아이디얼이지만 소 아이디얼이 아닌 예를 살펴보자.</p> <p>정리 6.3.13 체 \( F \)의 표수가 소수 \( p \)일 때, \( F \)의 소체 \( \mathbb { Z } _ { p } \) 위의 \( n \)차 다항식 \( f(x) = a_ { n } x ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } \in \mathbb { Z } _ { p } [x] \)에 대하여 \( \alpha \in F \)가 \( f(x) \)의 근이면, 다음이 성립한다.<ol type=1 start=1><li>\( f(x) ^ { p } =a_ { n } \left (x ^ { p } \right ) ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x ^ { p } + a_ { 0 } =f \left (x ^ { p } \right ) \)</li> <li>\( f( \alpha)=0 \Longrightarrow f \left ( \alpha ^ { p } \right )=0 \) 즉, \( \quad \alpha, \alpha ^ { p } , \alpha ^ { p ^ { 2 } } , \cdots, \alpha ^ { p ^ { n } } , \cdots \)은 \( f(x) \)의 근 이다.</li></ol></p> <p>(증명) (1) 다항식환 \( \mathbb { Z } _ { p } [x] \)의 표수는 \( p \)이다. 또, \( a_ { n } , \cdots, a_ { 1 } , a_ { 0 } \in \mathbb { Z } _ { p } \)이므로 Fermat 정리(정리 1.2.19)에 의하여 \( a_ { n } ^ { p } =a_ { n } , \quad \cdots \quad, \quad a_ { 1 } ^ { p } =a_ { 1 } , \quad a_ { 0 } ^ { p } =a_ { 0 } \) 이다. 그러면 정리 6.3.11과 정리 9.1.20에 의하여 다음이 성립한다. \[ \begin {aligned} f(x) ^ { p } &= \left (a_ { n } x ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x + a_ { 0 } \right ) ^ { p } \\ &= \left (a_ { n } x ^ { n } \right ) ^ { p } + \cdots + \left (a_ { 1 } x \right ) ^ { p } + a_ { 0 } ^ { p } \\ &=a_ { n } ^ { p } \left (x ^ { n } \right ) ^ { p } + \cdots + a_ { 1 } ^ { p } x ^ { p } + a_ { 0 } ^ { p } \\ &=a_ { n } \left (x ^ { p } \right ) ^ { n } + \cdots + a_ { 1 } x ^ { p } + a_ { 0 } =f \left (x ^ { p } \right ) \end {aligned} \]</p> <p>정리 \(6.4.10 \) 환 \( R \)의 두 아이디얼 \( I, J \)에 대하여 다음이 성립한다. \[ I \cap J = \{ 0 \} \quad \Longrightarrow \quad \forall a \in I, b \in J, a b=b a=0 \]</p> <p>(증명) \((1) \) 임의의 원소 \( a \in I, b \in J \)에 대하여 \[ a b \in I \cap J= \{ 0 \} , \quad b a \in I \cap J= \{ 0 \} \] 이므로 \( a b=b a=0 \)이다.</p> <p>정리 \(6.4.11 \) 환 \( R \)의 두 아이디얼 \( I, J \)에 대하여 \[ R=I + J, \quad I \cap J= \{ 0 \} \] 일 때, \( I, J \)의 (외적) 직합 \( I \times J \)에서 \( R \)로의 함수를 \[ f: I \times J \longrightarrow R, \quad f(a, b)=a + b \] 라 정의하면, 다음이 성립한다. \( f \)는 환 동형사상이다. 즉, \( R \cong I \times J \)이다.</p> <p>(증명) \( R=I + J \)이므로 \( f \)는 전사함수이다. 또한 \( I \cap J= \{ 0 \} \)이므로, 모든 원소 \( a \in I, b \in J \)에 대하여 \( a b=b a=0 \)이다(정리 \(6.4.10 \)).</p> <p>따라서 임의의 원소 \( (a, b), \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) \in I \times J \)에 대하여 \[ \begin {aligned} f \left ((a, b) + \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) \right ) &=f \left (a + a ^ {\prime } , b + b ^ {\prime } \right ) \\ &=a + a ^ {\prime } + b + b ^ {\prime } =a + b + a ^ {\prime } + b ^ {\prime } \\ &=f(a, b) + f \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) \\ f \left ((a, b) \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) \right ) &=f \left (a a ^ {\prime } , b b ^ {\prime } \right )=a a ^ {\prime } + b b ^ {\prime } \\ &=a a ^ {\prime } + a b ^ {\prime } + b a ^ {\prime } + b b ^ {\prime } \\ &=(a + b) \left (a ^ {\prime } + b ^ {\prime } \right )=f(a, b) f \left (a ^ {\prime } , b ^ {\prime } \right ) \end {aligned} \]이므로 \( f \)는 환 준동형사상이다. 마지막으로 \( (a, b) \in \operatorname { ker } (f) \)라 하면 \[ 0=f(a, b)=a + b \quad \Longrightarrow \quad a=-b \in I \cap J= \{ 0 \} \quad \Longrightarrow \quad a=b=0 \] 이므로 \( \operatorname { ker } (f)= \{ (0,0) \} \)가 되어 \( f \)는 단사함수이고, \( f \)는 환 동형사상이다. 따라서 \( R \cong I \times J \)이다.</p>	자연

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